## PEMANFAATAN SOFTWARE BERBASIS MATRIK DALAM PERHITUNGAN KONSTRUKSI STATIS TAK TENTU PADA MEKANIKA TEKNIK LANJUT

## Muh. Khotibul Umam Hs
Jurusan Pendidikan Teknik Mesin FT UNY muh_khotibul_umam@yahoo.com

## ABSTRACT
Along  with  the  rapid  development  of  personal  computers,  the  use  of  computer  software  for  various purposes  is  also  increased.  The  calculation  in  engineering  mechanics  course,  especially  in  the  process  of calculating  statically  indeterminate  structures,  the  use  of  matrix  is  essentials.  Matrix  calculation  were  once considered  less  favorable,  particularly  in  higher  order matrices.  It  became  much  easier  and  much  faster after the  use  of  computer  software  capable  of  processing  the  matrix  calculation.  The  advantages  of  using computer software for matrix calculation can also be used for engineering calculations in general.

## Keywords: computer software, matrix, statically indeterminate construction, engineering mechanics

## ABSTRAK
Sejalan dengan pesatnya perkembangan komputer pribadi, penggunaan perangkat lunak komputer untuk berbagai  keperluan  juga  semakin  meningkat.  Pada  perhitungan  mata  kuliah  mekanika  teknik,  terutama  pada proses  perhitungan  konstruksi  statis  tak  tentu,  penggunaan  matrik  yang  sebelumnya  dianggap  sebagai perhitungan yang kurang menguntungkan, terutama pada matrik yang berordo tinggi, menjadi jauh lebih mudah dan  cepat  dengan  bantuan  perangkat  lunak  komputer  yang  berkemampuan  mengolah  matrik.  Manfaat  dari pemanfaatan perangkat lunak ini dapat digunakan sebagai alat bantu perhitungan matrik keperluan teknik secara umum. Penggunaan  perangkat  lunak  komputer  berbasis  matrik  pada  proses  perhitungan  konstruksi  statis  tak tentu mempunyai beberapa keuntungan dibanding dengan metode lainnya yaitu: (a) membutuhkan pemahaman yang  lebih  mudah,  (b)  tingkat  akurasi  bisa  didapat  sesuai  dengan  keinginan,  (c)  kecepatan  penyelesaian  yang tinggi.
Kata Kunci: Perangkat lunak komputer, matrik, konstruksi statis tak tentu, mekanika teknik

## PENDAHULUAN
Metode matrik adalah salah satu metode perhitungan  yang  banyak  dipakai  pada berbagai  hal,  diantaranya  digunakan  untuk representasi, perhitungan, studi linear pemetaan,  dan finite  group .  Selain  itu  matrik juga  berkembang  menjadi  dasar  2D,  3D  dan 4G  geometri  (math.stackexchange.com).  Cara ini  mempunyai  logika  pemahaman  yang sederhana,  tetapi  pada  tingkat  matrik  yang tinggi  (lebih  dari  4x4)  metode  ini  banyak ditinggalkan karena membutuhkan perhitungan yang  berulang-ulang  dan  perlu  kecermatan yang tinggi untuk mendapatkan hasil yang baik (www.decodedscience.org).
Sejalan  dengan  perkembangan personal computer (PC)  atau  komputer  pribadi  yang
pesat,  dan  diikuti  pula  dengan  meningkatnya kemampuan  perangkat  lunaknya  (Pusat  Data Informasi  dan  Pertahanan  RI,  2014),  maka penggunaan  matrik  sebagai  suatu  metode perhitungan  pada  berbagai  bidang  teknik, terutama bidang konstruksi, menjadi salah satu pilihan  yang  cukup  menarik  (news.MIT.edu). Perkalian  matrik  dan  operasi  lainnya  seperti determinan matrik, invers matrik, transpose matrik  dan  sebagainya,  yang  sebelumnya membutuhkan  waktu  yang  panjang  dan kecermatan  yang  tinggi  untuk  menyelesaikan, dengan  bantuan  perangkat  lunak  komputer hanya  membutuhkan  waktu  yang  sangat pendek, tetapi dengan hasil yang memuaskan.
Demikian  pula  pilihan  akan  jenis perangkat  lunak  menjadi  semakin  beragam. Dari  mulai  perangkat  lunak  yang  murni
berbasis  matrik  seperti ANSYS dan Nastran , maupun  yang  sifatnya  umum  seperti Matlab,
Mathcad dan Maple ,  menjadi  alternatif  yang dapat  dimanfaatkan  karena  berkemampuan mengolah  matrik  sampai  lebih  dari 100x100 dengan kecepatan yang tinggi.
Perhitungan menggunakan metode matriks  tersebut  banyak  digunakan  pada  mata kuliah  Mekanika  Teknik  Lanjut.  Silabus perkuliahan  Mekanika  Teknik  Lanjut  (Umam: 2010)  menjelaskan  bahwa  kompetensi  yang harus  dikuasai  oleh  mahasiswa  adalah:  (1) dapat  menghitung  defleksi  yang  terjadi  pada konstruksi statis tertentu, (2) menghitung besar kakas  reaksi  pada  konstruksi  statis  tak  tentu melalui  prinsip  defleksi  dengan  menggunakan metode  langsung,  fungsi  bertingkat,  maupun superposisi, (3) mampu membuat normal force diagram (NFD), shearing force diagram (SFD) dan  bending  moment  diagram  (BMD)  dari berbagai macam konstruksi statis tak tentu, (4) memahami  prinsip  metode  elemen  hingga  dan menerapkannya  pada  proses  perhitungan defleksi  pada  balok  menerus  dan  rangka batang  yang  mempunyai  bentuk  konstruksi statis  tak  tentu,  (5)  memanfaatkan  beberapa perangkat  lunak  komputer  seperti  Microsoft Excel, Matlab maupun Ansys untuk membantu proses perhitungan.
Pengembangan proses perhitungan dengan  menggunakan  matrik  bertujuan  agar lebih  mudah  diaplikasikan  pada  mata  kuliah Mekanika  Teknik  Lanjut  khususnya  pada perhitungan  konstruksi  statis  tak  tentu. Mahasiswa  diharapkan  dapat  menggunakan beberapa  perangkat  lunak  komputer  sebagai alat bantu dalam menganalisa konstruksi statis tak tentu tersebut.

## METODE
Penelitian  ini  merupakan  penelitian pengembangan  dengan  objek  penelitian  yaitu penggunaan  aplikasi  komputer  sebagai  alat bantu  dalam  perhitungan  matriks. Software yang ada diuji coba untuk menghitung matriks berordo  tinggi  dengan  dikomparasikan  dengan
hasil perhitungan secara manual dan kemudian dilihat tingkat kesalahan yang terjadi diantaranya keduanya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penggunaan  perangkat  lunak  komputer pada  penyelesaian  persoalan  teknik  adalah proses  pengubahan  persamaan  teknik  yang ada,  yang  pada  umumnya  banyak  mempunyai persamaan  deffrensial,  menjadi  persamaan yang  lebih  sederhana  tetapi  harus  diselesaikan berulang-ulang. Persamaan deffrensial tersebut kemudian diubah menjadi persamaan lain yang mudah  diselesaikan  tetapi  perhitungannya harus  dilakukan  secara  berulang-ulang.  Hal tersebut  untuk  mendapatkan  persamaan  yang dapat  dihitung  dengan  perangkat  lunak komputer.
Gambar 1. Perhitungan luas suatu daerah
Contoh sederhana pada perhitungan luas suatu  daerah  sebagaimana  ditunjukkan  pada Gambar  1a.  Perhitungan  dapat  diselesaikan dengan  melakukan  proses  integrasi  terhadap persamaan  garis  yang  membatasi  daerah tersebut. Semakin rumit bentuk garis batasnya, maka  semakin  komplek  pula  persamaannya, dan  penyelesaiannya  pun  akan  semakin  sulit. Untuk  menghindari  kesulitan  ini,  luas  daerah kemudian  dibagi  menjadi  beberapa  bujur sangkar ukuran kecil sebagaimana ditunjukkan Gambar  1b,  dan  perhitungan  luas  didasarkan pada  luas  dan  jumlah  semua  bujur  sangkar yang ada. Hal yang diperhatikan bahwa ukuran tiap bujur sangkar adalah tidak sama. Semakin kecil ukuran bujur sangkarnya , terutama pada daerah  perbatasan,  maka  akan  semakin  baik
hasilnya,  tetapi  akan  semakin  lama  pula penyelesaiannya.  Konsep  dasar  itulah  yang dipakai  pada  metode  elemen  hingga,  yaitu membagi  suatu  benda  kerja  yang  besar, menjadi  bentuk-bentuk  kecil  yang  sesuai dengan sifat pada bagian-bagian kecil tersebut.
Pembagian daerah-daerah kecil itu, yang umum  disebut  elemen,  biasanya  didasarkan pada  perubahan  bentuk,  penampang,  sifat benda,  maupun  perubahan  gaya  yang  bekerja pada  suatu  titik.  Persoalan-persoalan  statika, misalnya  perhitungan normal  force  diagram (NFD), shearing  force  diagram (SFD)  yang biasa  dipelajari  pada  mata  kuliah  Mekanika Teknik  Lanjut  juga  dapat  diselesaikan  dengan cara  seperti  yang  dijelaskan  tersebut.  Sebagai gambaran, perhatikan gambar konstruksi poros bertingkat pada Gambar 2.
Gambar 2. Poros bertingkat dengan konstruksi statis tak tentu
Pembagian  yang  paling  sederhana  dan menguntungkan pada konstruksi di atas adalah dengan  membaginya  menjadi  tiga  elemen, yaitu elemen 1 yang dimulai dari titik 1 sampai titik  2,  elemen  2  yang  dimulai  dari  titik  2 sampai titik 3, dan elemen ketiga yang dimulai dari  titik  3  sampai  titik  4.  Pembagian  jumlah elemen  ini  tidak  bersifat  mutlak,  tetapi tergantung pada tingkat akurasi yang dibutuhkan.  Tingkat  akurasi  yang  diinginkan semakin tinggi, maka ukuran tiap elemen harus dibuat  semakin  kecil.  Namun  demikian, pembagian  jumlah  elemen  tersebut  juga  harus memperhatikan adanya perubahan yang terjadi pada  konstruksi.  Tiap  perubahan  seyogyanya menjadi  titik  ujung  dari  elemen.  Sebagai contoh,  apabila  antara  titik  1  dan  titik  3 dikehendaki dibagi menjadi tiga elemen, maka pembagian  yang  baik  adalah  titik  1  sampai  2
menjadi elemen pertama dan dua elemen yang lain  didapatkan  dengan  cara  membagi  antara titik  2  dan  3  menjadi  elemen  2  dan  elemen tiga. Pola yang lain adalah antara titik 1 dan 2 dibagi menjadi dua elemen, dan elemen ketiga adalah  antara  titik  2  dan  3.  Dengan  kata  lain, meletakkan  titik  2  berada  di  tengah-tengah elemen sebaiknya dihindari.
Proses  perhitungan  pada  mekanika benda  tegar  banyak  didasarkan  pada  Hukum Hook, sebagaimana ditunjukkan pada persamaan 1 di bawah ini.
 =  . E = A F ...............(1)
dimana:
 = tegangan yang terjadi pada benda
 =  regangan  (penambahan  panjang  (  L ) berbanding panjang semula ( L )) E = modulus elastisitas bahan
F = gaya yang bekerja pada benda
A = Luas penampang benda.
Gambar 3. Pergeseran benda akibat gaya F
Gambar  di  atas  dapat  dijelaskan  bahwa penambahan panjang (  L ) benda akibat adanya F adalah:
 L = u 2 – u 1 ...........................  (2) dimana:
u 1 , u 2 = pergeseran pada titik (node) 1 dan titik 2
Dengan  demikian,  persamaan  (1)  berubah menjadi:
60 Jurnal Dinamika, Volume 1, Nomor 1, Oktober 2016
 L = AE FL .......................... (3)
Jika kekakuan benda dinyatakan sebagai:
L F k   ............................   (4)
maka  dari  persamaan  (3)  dan  (4)  dapat dihasilkan kekakuan benda ( k ):
L AE k  ............................  (5)
Berdasarkan  Gambar  3  di  atas,  yang  mana terdapat F 1 dan F 2 pada  node  1  dan  node  2, maka  besarnya  gaya  yang  bekerja  pada masing-masing titik adalah:
F 1 = k (u 1 – u 2 ) F 2 = k (u 2 – u 1
)
Yang secara matrik dapat dituliskan sebagai:
                     2 1 2 1 1 1 1 1 u u k F F
atau { F} = [k] . {u }....................... (6)
dimana:
{ F} =       2 1 F F = matrik vektor beban pada titik-
titik elemen
[ k] =                  1 1 1 1 1 1 1 1 L AE k =  matrik kekakuan elemen
{ u} =       2 1 u u =  matrik  pergeseran  titik-titik pada elemen
Matrik kekakuan benda pada persamaan (6)  adalah  matrik  yang  didasarkan  pada pergeseran ke arah X saja. Pada kenyataannya, suatu benda jarang sekali bergerak hanya pada satu  arah.  Setidaknya,  suatu  benda  akan bergeser  ke  dua  arah.  bahkan  pada  umumnya bergerak ke tiga arah sumbu yaitu X, Y dan Z.
Matrik  kekakuan  benda yang bergeser  ke  arah
X  dan  Y  dapat  diperoleh  sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 4.
Gambar 4. Pergeseran benda pada X dan Y
Matrik  kekakuan  pada  persamaan  (6) dapat  diubah  menjadi  matrik  kekakuan  benda yang  bergeser  ke  dua  arah,  yaitu  dengan menambahkan  angka  nol  pada  anggota  matrik yang  bersesuaian  dengan  arah Y ,  sehingga persamaan (6) berubah menjadi:
                                 
 
       y x y x y x y x u u u u L AE F F F F 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 .....(7)
Persamaan  (7)  di  atas  didasarkan  pada sistem  koordinat  lokal,  yaitu  suatu  sistem koordinat  yang  dibuat  dengan  meletakkan sumbu x berimpit  dengan  arah  kemiringan elemen  benda.  Matrik  kekakuan  yang  dibuat dengan  sistem  koordinat  lokal  tersebut  hanya berlaku pada elemen itu saja, dan tidak berlaku bagi elemen lain. Untuk mengubahnya menjadi matrik  kekakuan  yang  berlaku  keseluruhan (global) digunakan formula berikut:
[ k] XY = [Tr].[k] xy .[Tr] T ........................  (8)
dimana:
[Tr] = matrik transformasi =
     
                cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos ......... (9)
Penerapan  perhitungan  tersebut  di  atas dapat  digunakan  pada  pembelajaran  Mekanika Teknik  Lanjut  khususnya  untuk  menghitung defleksi  yang  terjadi  pada  konstruksi  statis tertentu  atau  menghitung  besar  kakas  reaksi pada  konstruksi  statis  tak  tentu.  Perhitungan dapat  dilakukan  secara  manual  untuk  menguji tingkat  pemahaman  materi  dan  menggunakan aplikasi komputer untuk membuktikan ketepatan hasil perhitungan manual tersebut. .
Prosedur  penggunaan  perangkat  lunak komputer  ini  pada  perhitungan  konstruksi statis  tak  tentu  dijelaskan  melalui  contoh berikut  ini.  Contoh  kasus  ini  diselesaikan dengan menggunakan Matlab. Penyelesaian ini dapat  juga  dikombinasikan  dengan Microsoft Excel untuk  memberikan  gambaran  langkah demi langkah penyelesaian soal.
Soal: Tentukan  semua  gaya  yang bekerja  pada  struktur  seperti  ditunjukkan  pada Gambar  5  di  bawah,  dan  tentukan  pergeseran vertikal  pada  titik  A.  Luas  penampang melintang  tiap  batang  adalah  50  mm 2 dengan modulus elastisitas (E) = 1,5.10 5 MPa.
Gambar 5. (a) Konstruksi soal, (b) Pola peletakan node pada konstruksi
Langkah  penyelesaian  adalah  sebagai berikut:  diasumsikan  bahwa  bahan  dianggap 61sotropic,  dan  konstruksi  dibagi  dalam  tiga elemen,  yaitu  AB  sebagai  elemen  1,  AC sebagai  elemen  2,  dan  AD  sebagai  elemen  3.
Dengan  demikian  titik-titik  pada  konstruksi  di atas berubah menjadi pola pada Gambar 5 (b).
Untuk  menyelesaikan  soal  di  atas,  dilakukan tinjauan  pada  tiap  elemen:  (a)  Elemen  1 dengan  sudut  =  120 o (diukur  dari  sumbu X positif  dengan  arah  berlawanan  jarum  jam).
Titik  1  pada  koordinat  global  menjadi  node  1 pada  elemen  1,  dan  titik  2  pada  koordinat global  menjadi  node  2.  (b)  Elemen  2  bersudut 150 o ,  dengan  node  1  pada  koordinat  global menjadi node 1 pada elemen 2, dan titik 3 pada koordinat global menjadi node 2. (c) Elemen 3 bersudut  180 o ,  dengan  node  1  pada  koordinat global menjadi node 1 pada elemen 3, dan titik 4 pada koordinat global menjadi node 2.
Matrik  kekakuan  elemen  diperoleh dengan  menggunakan  persamaan  (8)  dan  (9), dan  hasilnya adalah:

##  
                     3 , 29 91 , 16 3 , 29 91 , 16 91 , 16 77 , 9 91 , 16 77 , 9 3 , 29 91 , 16 3 , 29 91 , 16 91 , 16 77 , 9 91 , 16 77 , 9 10 5 1 XY k ... (10)                        91 , 16 3 , 29 91 , 16 3 , 29 3 , 29 74 , 50 3 , 29 74 , 50 91 , 16 3 , 29 91 , 16 3 , 29 3 , 29 74 , 50 3 , 29 74 , 50 10 5 2 XY k .... (11)                  0 0 0 0 0 12 , 78 0 12 , 78 0 0 0 0 0 12 , 78 0 12 , 78 10 5 3 XY k ..... (12)
Ketiga matrik kekakuan di atas menggunakan  sistem  koordinat  global,  tetapi hanya  berlaku  bagi  masing-masing  elemen. Untuk  mendapatkan  matrik  kekakuan  yang berlaku untuk seluruh konstruksi, ketiga matrik kekakuan  elemen  itu  harus  digabungkan dengan memperhatikan posisi tiap-tiap
komponen matrik.
Secara keseluruhan, konstruksi mempunyai  3  elemen  dan  dengan  4  titik. Karena  masing-masing  titik  dapat  bergeser pada  arah X dan Y ,  maka  matrik  kekakuan yang berlaku untuk seluruh konstruksi mempunyai  ukuran  ( 4x2)x(4x2) atau  matrik
30 30 20 kN A B C D 960 mm 30 30 20 kN 1 2 3 4 e 1 e 2 e 3 960 mm
8x8 .  Dengan  demikian  persamaan  (7)  yang berlaku bagi seluruh konstruksi adalah:
                                                                               Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X Y X u u u u u u u u K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K F F F F F F F F 4 4 3 3 2 2 1 1 88 87 86 85 84 83 82 81 78 77 76 75 74 73 72 71 68 67 66 65 64 63 62 61 58 57 56 55 54 53 52 51 48 47 46 45 44 43 42 41 38 37 36 35 34 33 32 31 28 27 26 25 24 23 22 21 18 17 16 15 14 13 12 11 4 4 3 3 2 2 1 1 ............(13)
Untuk  mendapatkan  semua  komponen matrik  di  atas,  dapat  dilakukan  dengan menjumlahkan semua matrik kekakuan elemen yang  ada.  Harus  diperhatikan  bahwa  matrik kekakuan elemen hanya untuk dua node, yaitu titik 1 dan titik 2 pada masing-masing elemen. Sedangkan  matrik  kekakuan  pada  persamaan 11,  diperuntukkan  bagi  4  node  pada  semua elemen.  Oleh  karena  itu  penjumlahan  semua matrik kekakuan yang ada harus memperhatikan  kesesuaian  antara  node  pada elemen dan node pada konstruksi total.
Sebagai  contoh,  pada  matrik  kekakuan untuk elemen 1, komponen baris 1 dan 2 yang terletak  pada  kolom  1  dan  2  pada  matrik tersebut  bersesuaian  dengan  node  1  pada konstruksi. Sedangkan komponen baris 3 dan 4 yang terletak pada kolom 3 dan 4 pada matrik tersebut  bersesuaian  dengan  node  2  pada konstruksi.  Demikian  juga  pada  matrik kekakuan  untuk  elemen  2  baris  1  dan  2  yang terletak  pada  kolom  1  dan  2  matrik  ini  sesuai dengan node 1 pada konstruksi, sedang baris 3 dan 4 pada kolom 3 dan 4 sama dengan node 3 pada konstruksi.
Cara  termudah  untuk  mendapatkan matrik  kekakuan  konstruksi  adalah  dengan mengubah  pola  matrik  kekakuan  elemen  yang semula  matrik  4x4, menjadi matrik 8x8 sesuai dengan matrik kekakuan konstruksi. Perubahan itu  dengan  menambahkan  bilangan  nol  pada bagian  yang  tidak  ada.  Sebagai  contoh  matrik kekakuan elemen 2 yang mempunyai komponen  titik  1  dan  3.  Semua  komponen untuk  node  2  dan  4  yang  tidak  dipunyai  oleh
matrik  ini  diisi  dengan  nol,  sehingga  matrik kekakuan elemen 2 berubah menjadi:
                                     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 91 , 16 3 , 29 0 0 91 , 16 3 , 29 0 0 3 , 29 74 , 50 0 0 3 , 29 74 , 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 91 , 16 3 , 29 0 0 91 , 16 3 , 29 0 0 3 , 29 74 , 50 0 0 3 , 29 74 , 50 10 5 2 XY k
Dengan  pola  yang  sama  didapatkan matrik  kekakuan  elemen  1  dan  3,  yang kemudian  dijumlahkan  untuk  mendapatkan matrik kekakuan konstruksi:
            
            
                   0 0 0 0 0 0 0 0 0 81 , 7 0 0 0 0 0 81 , 7 0 0 69 , 1 93 , 2 0 0 69 , 1 93 , 2 0 0 93 , 2 07 , 5 0 0 93 , 2 07 , 5 0 0 0 0 93 , 2 69 , 1 93 , 2 69 , 1 0 0 0 0 69 , 1 98 , 0 69 , 1 98 , 0 0 0 69 , 1 93 , 2 93 , 2 69 , 1 62 , 4 62 , 4 0 81 , 7 93 , 2 07 , 5 69 , 1 98 , 0 62 , 4 86 , 13 10 6 TOTAL K
Gambar  5  (b)  diketahui  bahwa  gaya yang  bekerja  titik  2,  3  dan  4  belum  diketahui besarnya,  baik  ke  arah  sumbu- X maupun sumbu sumbu- Y . Sedangkan pada titik 1  besar gaya  ke  arah  sumbu- X sama  dengan  nol,  dan ke  arah  sumbu- Y sebesar  20  kN.  Dari  gambar tersebut  juga  diketahui  bahwa  pergeseran  titik 2,  3  dan  4,  baik  ke  arah  sumbu- X maupun sumbu- Y sama  dengan  nol. Sedangkan pergeseran  titik  1  belum  diketahui  besarnya.
Dengan demikian persamaan (13) menjadi:
                                      
            
                                         
  0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 81 , 7 0 0 0 0 0 81 , 7 0 0 69 , 1 93 , 2 0 0 69 , 1 93 , 2 0 0 93 , 2 07 , 5 0 0 93 , 2 07 , 5 0 0 0 0 93 , 2 69 , 1 93 , 2 69 , 1 0 0 0 0 69 , 1 98 , 0 69 , 1 98 , 0 0 0 69 , 1 93 , 2 93 , 2 69 , 1 62 , 4 62 , 4 0 81 , 7 93 , 2 07 , 5 69 , 1 98 , 0 62 , 4 86 , 13 10 20000 0 1 1 6 4 4 3 3 2 2 Y X Y X Y X Y X u u
F F F F F F Dengan  menggunakan Matlab ,  proses perhitungan untuk mendapatkan matrik
kekakuan itu secara lengkap dapat dilihat pada Program 1. Dari baris pertama dan kedua pada persamaan matrik di atas, didapatkan: k=[1,0,-1,0;0,0,0,0;-1,0,1,0;0,0,0,0] %matrik kekakuan lokal (berlaku umum) teta1=120*pi/180 %sudut antara elemen 1 dengan X-positif teta2=150*pi/180 %sudut antara elemen 2 dengan X-positif teta3=180*pi/180 %sudut antara elemen 3 dengan X-positif
%Berikut ini adalah matrik kekakuan lokal, matrik transformasi dan matrik kekakuan global k1=50e-6*1.5e11*cos(60*pi/180)*k/.96 Tr1=[cos(teta1),-sin(teta1),0,0;sin(teta1),cos(teta1),0,0;0,0,cos(teta1),-sin(teta1);0,0,sin(teta1),cos(teta1)] kgb1=Tr1*k1*Tr1'
k2=50e-6*1.5e11*cos(30*pi/180)*k/.96 Tr2=[cos(teta2),-sin(teta2),0,0;sin(teta2),cos(teta2),0,0;0,0,cos(teta2),-sin(teta2);0,0,sin(teta2),cos(teta2)] kgb2=Tr2*k2*Tr2'
k3=50e-6*1.5e11*cos(0*pi/180)*k/.96 Tr3=[cos(teta3),-sin(teta3),0,0;sin(teta3),cos(teta3),0,0;0,0,cos(teta3),-sin(teta3);0,0,sin(teta3),cos(teta3)] kgb3=Tr3*k3*Tr3'
%perubahan matrik kekakuan global dari (4x4) ke (8x8) kgb1(8,8)=0
gb21=kgb2(1:2,1:2) gb21(4,4)=0 gb22=kgb2(3:4,1:2) gb22(4,4)=0 kgb2=[gb21,gb22;gb22,gb21]
gb31=kgb3(1:2,1:2) gb32=kgb3(1:2,3:4) kgb3=gb31 kgb3(8,8)=0 kgb3(7:8,7:8)=gb31 kgb3(1:2,7:8)=gb32 kgb3(7:8,1:2)=gb32
Ktotal=kgb1+kgb2+kgb3 %matrik kekakuan konstruksi u/ keseluruhan

## Program 1. Penentuan matrik kekakuan dengan MATLAB
Pergeseran  yang  dihasilkan  node  1  ke  arah X ( u 1 X ) dan ke arah Y ( u 1 Y ) sebesar:
u 1 X = -0,0021645 m = 2,1645 mm u 1 Y = - 0.0064935 m = 6,4935 mm
Sedangkan  besar  gaya  yang  bekerja  pada masing-masing tumpuan adalah:
F 2 X = 0.0089 N
F 2 Y = -0.0138 N
Atau  gaya  yang  bekerja  pada  node  2  sebesar 16,421 kN. Sedangkan pada node 3, besar gaya yang bekerja adalah:
F 3 X = 0.0081 N F 3 Y = -0.0046 N
Resultan  kedua  gaya  di  atas  adalah  sama dengan  9,315  kN.  Sedangkan  yang  bekerja pada node 4, sebesar:
F 4 X = -0.0169 N = 16,9 kN.
Hall  (1973)  memberikan  hasil  perhitungan dengan force method sebesar:
F 2 X = 16,9 kN. F 3 X = 9,30 kN. F 4 X = 17,74 kN.
u 1 X = -2,17 mm.  dan
u 1 Y = -6,51 mm.
Jika dibandingkan dengan hasil
perhitungan Hall di atas, metode ini mempunyai  kesalahan  relatif  berturut-turut sama  dengan  2,83%;  0,161%;  4,75%;  0,253% dan 0,254%. Perbedaan hasil perhitungan yang
muncul tersebut, yang tak lebih dari 5%, salah satunya adalah akibat pembulatan perhitungan. Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa hasil
perhitungan
tersebut dapat dipertanggung-jawabkan.

## SIMPULAN
Penggunaan perangkat lunak komputer
berbasis  matrik  pada  proses  perhitungan konstruksi statis tak tentu mempunyai beberapa keuntungan dibanding dengan metode lainnya. Keuntungan itu antara lain: (a) membutuhkan  pemahaman  yang  lebih  mudah,
(b)  tingkat  akurasi  bisa  didapat  sesuai  dengan keinginan,  (c)  kecepatan  penyelesaian  yang tinggi

## DAFTAR RUJUKAN
Cook,  Robert  D.  1990. Konsep  dan  Aplikasi Metode  Elemen  Hingga .  Bandung:
Eresco
Grandin,  Hartley  Jr.  1986. Fundamentals  of the  Finite  Element  Method .  New  York:
Macmillan Publishing Company
Hall,  A.S.  1973. An  Introduction  to  The
Mechanics  of  Solids .  Sydney:  John Willey  Sons Australasia Pty Ltd Larry, H. 2013. Explained: Matrice .
http://news.mit.edu/2013/explained.matr ice.2105695. Diakses pada 20 Juli 2016
Mike,  D.  2013. Practical  Use  of  Matrice Mathematic . Diakses melalui www.decodedscience.org/practical-use- of-mathematic pada 18 Juli 2016 Moaveni, Saeed. 1999. Finite Element
Analysis  Theory  and  Application  with ANSYS . New Jersey: Prentice Hall Inc
Palm,  William  J.  III.  1999. MATLAB  For Engineering Application . New York:The McGraw-Hill Companies
Pusat  Data  dan  Informasi  Kementerian Pertahanan  RI.  2014. Pertumbuhan Komputer  Indonesia  Paling  Pesat  di Dunia. Diakses melalui www.pusditkemhan.go.id pada 2 Februari 2016
What  is  the  usefulness  of  matrice? Diakses melalui www.math.stackexchange.com/160328 pada 17 Agustus 2016
Yang,  T.Y.  1986. Finite  Element  Structural Analysis . New Jersey: Prentice Hall Inc