## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
kajian sifat ekor tebal distribusi mode - centered burr
1,2 Jacob Stevy Seleky
1 Statistic Research Division, Institut Teknologi Bandung, Jalan Ganesa 10, Bandung 40132
2 Mathematics Education Departmen, Faculty of Education, Pelita Harapan University, Tangerang – Banten 15811 email korespondensi: jacobian@s.itb.ac.id

## Abstrak
Distribusi  ekor  tebal  adalah  salah  satu  kajian  penting  dalam  pemodelan statistik.  Suatu  distribusi  dikatakan  memiliki  sifat  ekor  tebal  jika  memenuhi kriteria yang telah dirumuskan berdasarkan teori distribusi ekor tebal. Dalam artikel ini, penulis melakukan kajian sifat-sifat ekor tebal dari distribusi Mode- Centered  Burr  (MCB)  berdasarkan  teori  distribusi  ekor  tebal  yang  sudah dipublikasikan.  Berdasarkan  hasil  kajian  dapat  diketahui  bahwa  distribusi MCB memiliki sifat ekor tebal.  Akibatnya, dapat disimpulkan bahwa distribusi MCB berekor tebal.
Kata kunci: distribusi; ekor-tebal; mode-centered Burr

## Abstract
The  heavy-tailed  distribution  is  one  of  the  important  studies  in  statistical modeling.  A  distribution  is  said  to  have heavy-tailed  properties  if  it  meets  the conditions formulated based on the theory of the heavy-tailed distribution. In this article, the author studies the heavy-tailed properties of the Mode-Centered Burr (MCB)  distributions  based  on  published  theories  of  heavy-tailed  distribution. Based on the study's results, it can be known that the MCB distributions have a heavy-tailed property.  As a result, it can be concluded that the MCB distribution is heavy-tailed.
Keywords: distribution; heavy-tailed; mode-centered Burr

## A. Pendahuluan
Dalam  beberapa  dekade  terakhir,  distribusi  ekor  tebal  mendapat perhatian  khusus  dalam  pemodelan  statistika.  Hal  tersebut  dikarenakan distribusi  ekor  tebal  dapat  digunakan  untuk  mengukur  peluang  kejadian tidak  umum  yang  menyebabkan  nilai-nilai  ekstrim  pada  ekor  distribusi. Banyak fenomena nyata yang telah ditemukan mengikuti sifat ditribusi ekor tebal. Sebagai contoh, distribusi kekayaan yang dimiliki seseorang, ukuran file dalam sistem komputer, durasi koneksi waktu pekerjaan CPU, ukuran halaman web dan risiko yang timbul dalam kegiatan finansial.
Selain  karena  kegunaannya,  distribusi  ekor  tebal  memiliki  sifat  dan perilaku yang berbeda dengan distribusi normal maupun distribusi ekor tipis lainnya.  Oleh  karena  itu,  penelitian  terkait  distribusi  ekor  tebal  penting untuk  terus  dikembangkan.  Adapun  beberapa  hasil  penelitian  yang  telah dipublikasikan terkait distribusi ekor tebal antara lain Bryson (1974), yang

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
mempublikasikan  artikelnya  dengan  jud ul  “Heavy -Tailed  Distributions  : Properties and Test”, Sergey dan Dmitry (2014), dalam karya “Heavy -Tailed and  Long- Tailed  Distributions”,  Raj  Jain  (201 7),  yang  mempresentasikan “Introduction to Heavy -Tailed Distributions, Self-Similar Processe, and Long- Range  Dependence,  Nasim  Nicholas  Taleb  (2020),  dengan  judul  buku “Statistical Consequences of Fat Tails”, dan
Jayakrishnan Nair, Adam Wierman, dan Bert Zwart (2021), yang menyusun “The Fundamentals of Heavy Tails: Properties, Emergence, and Estimation”. Menggunakan  teori  distribusi  ekor  tebal  di  dalam  literatur-literatur  di atas, penulis kemudian mengkaji sifat ekor tebal distribusi Mode-Centered Burr  (MCB)  (Nair  dan  Syuhada,  2016).  Distribusi  MCB  adalah  hasil modifikasi  distribusi  Burr  Tipe  II  (Burr,  1942).  Distribusi  MCB  termasuk dalam  kelas  distribusi  neo-normal.  Kelas  distribusi  neo-normal  adalah kelompok distribusi yang dapat dibandingkan dalam banyak aspek dengan distribusi  normal.  Distribusi  neo-normal  merepresentasikan  relaksasi  dari distribusi normal terkait dengan sifat kemencengan dan keruncingan data (Choir dkk, 2019). Distribusi MCB merupakan hasil relaksasi dari distribusi normal terkait keruncingan data. Oleh karena itu, distribusi MCB berbentuk simteris seperti distribusi normal (Nair dan Syuhada, 2016).
Artikel ini disusun sebagai berikut, pada bagian metode dibahas teori- teori  yang  berkaitan  dengan  definisi  maupun  cara  identifikasi  suatu distribusi memiliki sifat ekor tebal. Ada beberapa cara yang digunakan oleh penulis  untuk  melakukan  kajian  sifat  ekor  tebal  distribusi  MCB.  Pada bagian hasil dan pembahasan penulis mengkaji dan menganalisis sifat ekor tebal distribusi MCB menggunakan teori-teori yang telah dijelaskan dalam bagian  metode.  Sedangkan  pada  bagian  penutup  penulis  membuat kesimpulan terhadap analisis hasil kajian yang diperoleh.

## B.  Metode Penelitian
Metode  penelitian  yang  digunakan  dalam  kajian  ini  adalah  studi literatur.  Dengan  menggunakan  teori  distribusi  ekor  tebal  berdasarkan literatur-literatur  yang  sudah  dipublikasikan,  penulis  menganalisis  sifat distribusi ekor tebal dari distribusi Mode-Cetered Burr (MCB) . Oleh karena itu, pada bab ini penulis menjelaskan beberapa kajian teori distribusi ekor tebal yang menjadi rujukan dalam analisis yang dikerjakan.
Suatu distribusi disebut distribusi ekor tebal ( heavy-tailed ) jika distribusi tersebut  memiliki  ekor  yang  lebih  tebal  dari  ekor  distribusi  eksponensial (Bryson,  1974).  Untuk  pendefinisian  secara  formal  melalui  perumusan matematis, perlu dirumuskan suatu fungsi distribusi 𝐹(𝑥) dari peubah acak 𝑋 beserta  komplemennya  yang  dinyatakan  sebagai 𝐹̅(𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥) . 𝐹̅(𝑥) disebut juga fungsi kesintasan, dalam artikel ini focus kajian ekor distribusi adalah  pada  ekor  kanan  distribusi  yang  dapat  dinyatakan  sebagai 𝐹̅(𝑥) =

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
𝐹(𝑥, ∞) , 𝑥 ∈  ℛ (Sergey & Dmitry, 2014).

## 1. Definisi Distribusi Ekor Tebal
Pendefinisian distribusi ekor tebal secara matematis dinyatakan dalam definisi 1 berikut ini.

## Definisi 1
Suatu fungsi distribusi 𝐹(𝑥) disebut memiliki ekor tebal jika dan hanya jika untuk setiap 𝜇 > 0
limsup 𝑥→∞ 𝐹̅ (𝑥). 𝑒 𝜇𝑥 = ∞ (1)
sebaliknya, fungsi distribusi 𝐹(𝑥) disebut memiliki ekor tipis ( light-tailed ). Suatu  peubah  acak 𝑋 disebut  memiliki  ekor  tebal  (ekor  tipis)  jika  fungsi distribusinya  memiliki  ekor  tebal  (ekor  tipis)  (Raj  Jain,  2017)  & (Jayakrishnan Nair, Adam Wierman, dan Bert Zwart, 2021).
Sebagai catatan, definisi distribusi ekor tebal pada persamaan (1) berlaku untuk  ekor  kanan  distribusi,  yaitu  berkaitan  dengan  perilaku  nilai  fungsi peluang yang lebih besar dari 𝑥 yaitu 𝑥 → ∞ .
Adapun  penentuan  distribusi  eksponensial  sebagai  batas  antara  ekor tebal  dan  ekor  tipis  dikarenakan  distribusi  eksponensial  berfungsi  untuk memisahkan dua kelas distribusi yang memiliki sifat dan karakteristik yang berbeda. Sebagai ilustrasi diberikan Gambar 1. (Raj Jain, 2017)
Gambar 1. Perbandingan Distribusi Eksponensial dan Ekor Tebal
Untuk mempelajari perbedaan antara distribusi berekor tebal dan ekor tipis, dapat digunakan definisi lain dari distribusi ekor tebal sebagai berikut

## Lemma 1
Misalkan diketahui peubah acak 𝑋 , ketiga pernyataan berikut ekivalen 1. 𝑋 berekor tebal.
2. 𝑀(𝑠) = 𝐸[𝑒 𝑠𝑋 ] = ∞, ∀𝑠 > 0.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
3. 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑓 𝑥→∞ − 𝑙𝑜𝑔𝑃(𝑋>𝑥) 𝑥 = 0.
Untuk  membuktikan Lemma 1 .  perlu  ditunjukkan  ekivalensi  ketiga pernyataan tersebut, yaitu dengan menunjukkan ekivalensi hubungan 1 → 2, 2 → 3, dan 3  → 1. Dalam artikel ini penulis tidak memberikan
pembuktian secara rinci, untuk pembuktiannya dapat merujuk draft artikel berdasarkan (Jayakrishnan Nair, Adam Wierman, dan Bert Zwart, 2021) dan (Sergey  dan  Dmitry,  2014).  Sebagai  catatan  sifat  (2)  dari Lemma 1 yaitu fungsi  pembangkit  momen,  dalam  distribusi  ekor  tipis  dapat  digunakan untuk  mengkarakterisasi  sifat  distribusi  sedangkan  pada  ekor  tebal  hal tersebut  tidak  dapat  digunakan.  Selanjutnya  untuk  mengidentifikasi  sifat ekor tebal suatu distribusi dapat digunakan beberapa cara sebagai berikut.

## 2. Identifikasi Sifat Distribusi Ekor Tebal
Berdasarkan  literatur-literatur  yang  sudah  dipublikasikan,  terdapat beberapa  cara  untuk  mengidentifikasi  sifat  ekor  tebal  suatu  distribusi. Kajian cara identifikasi sifat ekor tebal suatu distribusi yang digunakan oleh penulis  dalam  artikel    ini  antara  lain  berdasarkan:  1)  Definisi  secara matematis pada definisi 1 dan Lemma 1; 2) Keberadaan momen dan kurtosis; 3)  Hukum  pangkat  distribusi  dan  indeks  ekor;  4) Regularly  varying distributions ; dan 5) Hazard rate . dan long tails distributions .
Adapun penjelasan ke-empat cara selain cara pertama di atas dilakukan secara umum sehingga tidak membahas sifat-sifat lain yang terkait dengan rinci. Penjelasan mengenai cara identifikasi yang disebutkan di atas dapat dijelaskan sebagai berikut.
a. Keberadaan Momen dan Kurtosis
Menurut Klugman dkk (2012), jika suatu distribusi keberadaan momen tak terpusatnya lengkap maka distribusi tersebut memiliki ekor kanan yang tipis,  sedangkan  jika  keberadaan  momen  tak  terpusat  hanya  sampai  nilai tertentu  (tidak  lengkap)  maka  dapat  diindikasikan  distribusi  tersebut memiliki  ekor  kanan  yang  tebal.  Selain  itu,  distribusi  ekor  tebal  dapat dikaitkan  dengan  sifat  momen  ke-empat,  yang  disebut  kurtosis.  Rumus kurtosis dari peubah acak 𝑋 dapat dinyatakan dalam Persamaan (2).
𝜅 = 𝐸 [(𝑋 − 𝐸(𝑋)) 4 ] (𝑉𝑎𝑟(𝑋)) 2 (2)
dengan 𝐸(𝑋) adalah mean dari 𝑋 dan Var(X) adalah variansi dari 𝑋 . Ini berisi tentang  ringkasan  metode  penelitian,  meliputi  jenis  penelitian,  setting penelitian,  subjek  penelitian  (populasi  dan  sampel),  teknik  pengumpulan data, keabsahan data serta teknik analisis data.
Kurtosis  pada  distribusi  normal  adalah  3,  distribusi  dengan  kurtosis

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
lebih besar dari 3 lebih runcing dari distribusi normal yang berakibat ekor distribusi  tersebut  lebih  lambat  menuju  nol.  Distribusi  dengan  kriteria demikian  disebut  distribusi  ekor  tebal.  Akibatnya  data  yang  kurtosisnya lebih besar dari tiga memiliki distribusi ekor tebal.

## b. Hukum Pangkat dan Indeks Ekor
Loretan  dan  Phillips  (1994)  menyatakan  bahwa  ekor  distribusi  imbal hasil suatu aset keuangan diasumsikan mengikuti bentuk Pareto-Levy yaitu 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑐𝑥 −𝛼 dengan 𝛼 adalah  indeks  ekor  yang  menjadi  ukuran keruncingan  ekor  dan  c  adalah  parameter  skala.  Semakin  kecil  nilai 𝛼 , berakibat  semakin  lambat  ekor  distribusi  menuju  nol,  atau  semakin  tebal ekor distribusi tersebut. Oleh karena itu, nilai 𝛼 dari suatu distribusi data dapat dijadikan ukuran ketebalan ekornya. Indeks ekor dari suatu distribusi menyatakan  keberadaan  orde  tertinggi  momennya.  Sehingga  indeks  ekor bermanfaat untuk mengetahui ketebalan ekor dari suatu distribusi.
c. Regularly varying distributions
Salah  satu  kelas  distribusi  ekor  tebal  yang  cukup  banyak  dibicarakan adalah  kelas  distribusi  yang  memiliki  fungsi  berubah  secara  teratur ( regularly  varying )  (Embrecht  dkk,  1997).  Distribusi  yang  memiliki  sifat berubah secara teratur ( regularly varying ) sesuai dengan sifat pendekatan hukum perpangkatan. Secara khusus dapat dikatakan bahwa sifat distribusi yang berubah secara teratur ( regularly varying ) memiliki sifat pendekatan hukum perpangkatan ( approximately power law ) pada ekor distribusi. Secara formal  dapat  dinyatakan  kelas  distribusi  yang  berubah  secara  teratur ( regularly varying distributions ) dalam Persamaan (3) berikut.
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝐹̅(𝑡𝑥) 𝐹̅(𝑥) = 𝑡 −𝛼 (3)
dengan 𝐹̅(𝑥) = 1 − 𝐹(𝑥) , t suatu bilangan real positif, dan 𝛼 ∈ (0, ∞) adalah indeks ekor.

## d. Hazard Rate dan Longtails Distribuitons
Jayakrishnan Nair, Adam Wierman, dan Bert Zwart (2021), menyatakan bahwa  indikasi  suatu  distribusi  ekor  tebal  dapat  dilakukan  dengan menggunakan sifat hazard rate yang menurun dan sifat ekor panjang ( long tails )  suatu  distribusi. Hazard  rate dirumuskan  dalam  Persamaan  (4) berikut.
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝐹̅(𝑥) (4)
dengan f(x) adalah  fungsi  peluang  dari 𝑋 .  Dan  sifat  ekor  panjang  suatu distribusi dapat dirumuskan dalam Persamaan (5).

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
𝑙𝑖𝑚 𝑥→ ∞ 𝐹̅(𝑥 + 𝑡) 𝐹̅(𝑥) = 1 (5)
Berdasarkan definisi, lemma dan cara penentuan distribusi ekor tebal yang dijelaskan  oleh  penulis,  pada  bab  berikutnya  penulis  mengkaji  sifat  ekor tebal distribusi MCB.

## C.  Hasil dan Pembahasan
Pembahasan  diawali  dengan  distribusi MCB dilanjutkan  dengan  hasil kajian sifat ekor tebal distribusi MCB .
1. Distribusi Mode-Centered Burr (MCB)
Dalam  artikel    ini,  fokus  kajian  distribusi  adalah  distribusi Mode- Centered  Burr (MCB) (  Nair  dan  Syuhada,  2016).  Fungsi  distribusi MCB adalah hasil modifikasi fungsi distribusi Burr Tipe II (Burr, 1948). Fungsi distribusi MCB dinotasikan sebagai MCB ( 𝜆) dirumuskan dalam Persamaan (6) berikut.
𝐹(𝑥) = 1 (1 + 𝑒 −𝜆𝑥 ) , |𝑥| < ∞ (6)
dengan 𝜆 = 4 √2𝜋 .. Sedangkan fungsi peluangnya dinyatakan sebagai berikut
𝑓(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 (1 + 𝑒 −𝜆𝑥 ) 2 , |𝑥| < ∞ (7)
Untuk  mendapatkan  visualisasi  fungsi  distribusi  dan  fungsi  peluang distribus MCB ( 𝜆) diberikan Gambar 2.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Gambar 2. Grafik (a)  Fungsi Distribusi  dan (b) Fungsi Peluang
Berdasarkan  Gambar  2.,  dapat  diketahui  bahwa  fungsi  distribusi  dan fungsi peluang dari distribusi MCB ( 𝜆) memiliki kemiripan dengan distribusi N (0,1) . Berdasarkan Nair dan Syuhada (2016), distribusi MCB ( 𝜆) memiliki ekor yang lebih lambat menuju nol dibandingkan distribusi N (0,1) . Selain itu fungsi peluang distribusi MCB ( 𝜆) dan distribusi N (0,1) memiliki puncak sama tinggi yang dapat dilihat pada Gambar 2. (b).
Menggunakan  definisi  fungsi  distribusi  dan  fungsi  peluang  distribusi MCB  ( 𝜆), penulis  melakukan  analisis  sifat  ekor  tebal  berdasarkan  kajian teori pada bab sebelumnya.

## 2. Analisis Sifat Ekor Tebal Distribusi MCB
Misalkan 𝑋 ~ 𝑀𝐶𝐵(𝜆) dengan fungsi distribusi 𝐹(𝑥) pada persamaan (6), maka  dapat  ditunjukkan  bahwa  distribusi MCB  ( 𝜆) memiliki  ekor  tebal berdasarkan definisi 1 dalam Persamaan (8) berikut ini.
lim 𝑥→∞ 𝐹̅ (𝑥). 𝑒 𝜇𝑥 = lim 𝑥→∞ 𝑒 −𝜆𝑥 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) . 𝑒 𝜇𝑥 = lim 𝑥→∞ 𝑒 (𝜇−𝜆)𝑥 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) = { ∞, 𝜇 > 𝜆 1, 𝜇 = 𝜆 0, 𝜇 < 𝜆 (8)
Sehingga untuk memenuhi definisi distribusi ekor tebal maka ditentukan 𝜇 > 𝜆 yang mengakibtkan
lim 𝑥→∞ 𝐹̅ (𝑥). 𝑒 𝜇𝑥 = ∞ (9)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
berdasarkan sifat limit superior berlaku limsup 𝑥→∞ 𝐹̅ (𝑥). 𝑒 𝜇𝑥 = ∞ .
Selanjutnya menggunakan Lemma 1 sifat (3)
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ − log(𝐹̅(𝑥)) 𝑥 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ − 𝑙𝑜𝑔( 𝑒−𝜆𝑥 1+𝑒−𝜆𝑥 ) 𝑥 = 𝜆 + 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑙𝑜𝑔(1+𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝑥 (10)
Hasil  dari 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑙𝑜𝑔(1+𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝑥 = 0, dengan  demikian  berdasarkan  sifat  limit inferior berlaku
lim  𝑖𝑛𝑓 𝑥→∞ − log(𝑃(𝑋 > 𝑥)) 𝑥 = 𝜆 + 0 (11)
Hasil diatas menunjukkan bahwa untuk 𝑥 → ∞ bentuk liminf menurun ke 0 tetapi dibatasi pada 𝜆 .
Cara penentuan sifat ekor tebal distribusi MCB selanjutnya adalah dengan menganalisis keberadaan momen tak terpusat. Rumus momen tak terpusat dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝐸[𝑋 𝑘 ] =   ∫ 𝑥 𝑘 ∞ −∞ 𝑓(𝑥)𝑑𝑓 = ∫ 𝑥 𝑘 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 (1 + 𝑒 −𝜆𝑥 ) 2 𝑑𝑥 ∞ −∞ (12)
dengan  menggunakan  substitusi 𝑢 = 1 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) diperoleh 𝑑𝑢 = 𝑥 𝑘 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) 2 , selanjutnya dengan melakukan transformasi x ke dalam u serta perubahan batas integral diperoleh bentuk umum momen tak terpusat sebagai berikut
𝐸[𝑋 𝑘 ] = (−1) 𝑘 𝜆 𝑘 ∫ 𝑙𝑛 𝑘 ( 1 − 𝑢 𝑢 ) 𝑑𝑢, 𝑘 = 1,2,3, … 1 0 (13)
Bentuk  integral  di  atas  dapat  ditentukan  sedemikian  sehingga  diperoleh 𝐸[𝑋] = 𝐸[𝑋 3 ] = 0 sedangkan bentuk 𝐸[𝑋 2 ] dapat dinyatakan sebagai berikut
𝐸[𝑋 2 ] = (−1) 2 2! 𝜆 2 [2 − ∑ 1 (𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 2 ∞ 𝑛=0 ] (14)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
dan bentuk 𝐸[𝑋 4 ] dapat dinyatakan sebagai berikut
𝐸[𝑋 4 ] = (−1) 4 4! 𝜆 4 [2 + 2 ∑ 1 (𝑛+1)(𝑛+2) 3 − 2 ∑ 1 (𝑛+1)(𝑛+2) 4 ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑛=0 ] (15)
Berdasarkan hasil di atas dapat diketahui bahwa keberadaan momen tak terpusat distribusi MCB ( 𝜆) tidak lengkap.  Dengan demikian berdasarkan penjelasan pada bab sebelumnya dikarenakan keberadaan momen distribusi MCB ( 𝜆) tidak lengkap maka hal ini dapat dijadikan sebagai indikator sifat ekor  tebal  distribusi MCB  ( 𝜆) .  Berkaitan  dengan  hal  ini,  kurtosis  dari distribusi MCB ( 𝜆) dapat ditentukan menggunakan 𝐸[𝑋 2 ] dan 𝐸[𝑋 4 ] yang dapat dinyatakan sebagai berikut
𝜅 = ( (−1)44! 𝜆4 [2+2 ∑ 1 (𝑛+1)(𝑛+2)3 −2 ∑ 1 (𝑛+1)(𝑛+2)4 ∞ 𝑛=0 ∞ 𝑛=0 ]) ( (−1)22! 𝜆2 [2−∑ 1 (𝑛+1)(𝑛+2)2 ∞ 𝑛=0 ]) 2 (16)
Untuk penentun nilai numerik kurtosis menggunakan rumus di atas cukup sulit dilakukan, oleh karena itu penulis melakukan simulasi numerik
menggunakan  metode  transformasi  invers  distribusi MCB  ( 𝜆) dan mendapatkan hasil numerik yang disajikan dalalm Tabel 1.
Tabel 1. Hasil numerik variansi dan kurtosis. Ukuran Sampel (n) Variansi Kurtosis 10 1.515 4.537 100 1.349 4.075 1000 1.066 3.770
Berdasarkan Tabel 1., dapat diketahui bahwa nilai numerik kurtosis yang diperoleh  lebih  besar  dari  3.  Dengan  demikian  dapat  dikatakan  bahwa distribusi MCB ( 𝜆) memiliki indikasi sifat ekor tebal.
Selanjutnya  indikasi  sifat  ekor  tebal  dapat  ditentukan  melalui  hukum pangkat,  indeks  ekor  dan regularly  varying  distributions .  Loretan  dan Phillips  (1994)  menyatakan  bahwa  ekor  distribusi  imbal  hasil  suatu  aset keuangan diasumsikan mengikuti bentuk Pareto-Levy yaitu 𝑃(𝑋 > 𝑥) = 𝑐𝑥 −𝛼 dengan 𝛼 adalah indeks ekor. Berdasarkan penjelasan sebelumnya diketahui bahwa  komplemen  fungsi  distribusi MCB  ( 𝜆) dapat  dinyatakan  dalam Persamaan (17).
𝐹̅(𝑥) = 𝑒 −𝜆𝑥 1 + 𝑒 −𝜆𝑥 ~ 1 1 + 𝑒 𝜆𝑥 ~ (1 + 𝑒 𝜆𝑥 ) −1 ~ 𝑒 −𝜆𝑥 (17)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
bentuk 𝑒 −𝜆𝑥 secara  aljabar  menurun  dengan  semakin  besarnya x .  Hal  ini dapat diketahui karena 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑒 −𝜆𝑥 = 0 . Dengan demikian sifat ini mengikuti sifat
distribusi Pareto yang digunakan sebagai rujukan penentuan sifat ekor tebal suatu  distribusi.  Selanjutnya  penentuan regularly  varying  distributions dapat menggunakan rumus berikut
𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝐹̅(𝑡𝑥) 𝐹̅(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑒 −𝜆𝑡𝑥 (1 + 𝑒 −𝜆𝑡𝑥 ) (1 + 𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝑒 −𝜆𝑥 = 1 𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ 𝑒 (1−𝑡)𝜆𝑥 = { ∞, 𝑡 > 1 1 𝑡 , 𝑡 = 1 0, 𝑡 < 1 (18)
Dalam kasus ini dipilih t = 1 sehingga limitnya bernilai 1 yang memenuhi slowly regularly varying distributions. Penentuan terakhir indikasi sifat ekor tebal distribusi MCB( 𝜆) adalah dengan menentukan hazard rate .dan long tails distributions . Adapun hazard rate dapat
ditentukan menggunakan rumus berikut
ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) 𝐹̅(𝑥) = 𝜆𝑒 −𝜆𝑥 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) 2 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) 𝑒 −𝜆𝑥 = 𝜆 (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) (19)
Berdasarkan persamaan (19) dapat diketahui bahwa fungsi hazard rate adalah fungsi yang menurun dan terbatas di 𝜆 . Sedangkan penentuan sifat long tail distribusi MCB ( 𝜆) dapat menggunakan perumusan Persamaan (20).
𝑙𝑖𝑚 𝑥→ ∞ 𝐹̅(𝑥+𝑡)
𝐹̅(𝑥) =   𝑒 −𝜆𝑡 𝑙𝑖𝑚 𝑥→∞ (1+𝑒 −𝜆𝑥 ) (1+𝑒 −𝜆(𝑥+𝑡) ) = 𝑒 −𝜆𝑡 (20)
Dengan  membuat  penyebut  sekecil  mungkin  maka  nilainya  akan semakin  dekat  ke  satu sehingga  mendekat  sifat long  tail suatu  distribusi. Berdasarkan  Jayakrishnan  Nair,  Adam  Wierman,  dan  Bert  Zwart,  (2021) semua  distribusi  yang  mempunyai long  tail pasti  berdistribusi  ekor  tebal. Selain itu, fungsi hazard rate yang menurun juga sebagai salah satu indikasi ekor  tebal  suatu  distribusi.    Sebagai  visualisasi  fungsi  komplementer  dari fungsi  distribusi  atau  disebut  fungsi  kesintasan  dan  fungsi hazard dapat melihat Gambar. 3. berikut

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Gambar 3. Grafik (a) Fungsi Kesintasan (b) Fungsi hazard
Berdasarkan Gambar 3., dapat diketahui fungsi hazard menurun pada saat melewati  puncak  kurva  tetapi  dibatas  pada  nilai  tertentu,  hal  ini  sebagai bukti indikasi sifat ekor tebal distribusi MCB ( 𝜆) .

## D.  Simpulan
Berdasarkan hasil kajian dan analisis sifat ekor tebal distribusi MCB ( 𝜆) menggunakan definisi dan cara-cara yang diusulkan berdasarkan teori-teori distribusi  ekor  tebal  yang  telah  dipublikasikan,  maka  dapat  disimpulkan bahwa distribusi MCB ( 𝜆) memiliki sifat ekor tebal. Ada beberapa kriteria yang tidak dipenuhi secara penuh, tetapi hampir sebagian besar kriteria sifat ekor  tebal  yang  diusulkan  terpenuhi.  Dengan  demikian  dapat  dinyatakan bahwa distribusi MCB ( 𝜆) adalah distribusi yang mirip dengan distribusi N (0,1) tetapi memiliki sifat ekor tebal.

## E. Daftar Pustaka
Bryson,  M.C.  (1974).  Heavy-Tailed  Distributions:  Properties  and  Test. Technometrics Jounal . Vol. 16(1), 61 – 68. Burr,  I.W.  (1942).  Cumulative  frequency  functions. Journal  of  Annual Mathematics and Statistics . Vol. 13(2), 215--232.
Choir,  A.S,  Iriawan,  N,  Ulama,  B.S.S  &  Dokhi,  M.  (2019).  MSEPBurr Distribution: Properties and Parameter Estimation. Pakistan Journal of Statistcs and Operation Research .  179--193. Jayakrishnan Nair, Adam Wierman, & Bert Zwart (2021), The Fundamentals of Heavy Tails: Properties, Emergence, and Estimation . Book Draft.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 13, No. 3 Desember 2022 e-ISSN 2579-7646
Klugman,S.A, Panjer, H.H & Willmot, G.E. (2012). Loss models: from data to decisions . Publisher:John Wiley & Sons.
Loretan,  M  &  Phillips,  P.  C.  (1994).  Testing  the  covariance  stationarity  of heavy-tailed time series: An overview of the theory with applications to several financial datasets. Journal of empirical finance . Vol. 1(2), 211- 248.
Nair,  G  &  Syuhada,  K.  (2016).  Stochastic  Volatility  Model  with  Burr Distribution Error: Evidence from Australian Stock Returns. Journal of Thailand Statistician .  Vol. 14(1), 1--14.
Nasim Nicholas Taleb (2020), Statistical Consequences of Fat Tails . STEM Academic Press.
Raj  Jain  (2017),  Introduction  to  Heavy-Tailed  Distributions,  Self-Similar Processe,  and  Long-Range  Dependence.  Materi  Presentasi  pada http: //www. cse.wustl.edu/~jain/cse567-17 /. R.  F.  A.  J.  McNeil  &  P.  Embrechts.  (2005). Quantittive  Risk  Management . Princeton University Press.
Sergey, S. & Dmitry K. (2014), Heavy-Tailed and Long-Tailed Distributions.
Springer Series in Operations Research and Financial Engineering.