ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55

## EKSISTENSI SOLUSI PERSAMAAN PELL NEGATIF

## Rizky Hidayatullah, Thresye, Nurul Huda
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36, Banjarbaru 70714, Kalsel
Email: Rizkyrizkyrizky0@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan  Pell  Negatif  adalah  persamaan  diophantin  nonlinier  yang  berbentuk 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 dimana 𝑑 merupakan bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna. Tujuan penelitian ini adalah untuk  mendapatkan  syarat  dari  eksistensi  solusi  persamaan  Pell  negatif.  Penelitian ini dilakukan dengan cara studi literatur dari berbagai sumber baik buku, artikel dan jurnal yang berkaitan dengan materi yang akan dibahas dan diteliti. Hasil dari penelitian ini adalah didapatkan syarat dari eksistensi solusi persamaan Pell Negatif yaitu: (i) 𝑛 berupa bilangan bulat positif ganjil sedemikian sehingga solusi positif dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 adalah 𝑥 = 𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 . Dari solusi tersebut, 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 � merupakan kekonvergenan ke- 𝑘 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dan 𝑛 adalah panjang periode dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dengan 𝑝 0 = 𝑎 0 ; 𝑞 0 = 1 , 𝑝 1 = 𝑎 0 𝑎 1 + 1; 𝑞 1 = 𝑎 1 , dan 𝑝 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑝 𝑘−1 + 𝑝 𝑘−2 ; 𝑞 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑞 𝑘−1 + 𝑞 𝑘−2 , 𝑘 = 2,3, … ; (ii) 𝑑 ≡ 1,2 ( 𝑚𝑜𝑑 4) dan ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) merupakan solusi fundamental dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 yang memenuhi 𝑥 1 ≡ − 1 ( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) . Kata kunci : pecahan kontinu, persamaan Diophantin, Persamaan Pell, Persamaan Pell negatif .

## ABSTRACT
Negatif Pell equation is a nonlinear Diophantine equation has  form 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 where 𝑑 is positive nonsquare integer. The purpose of this research is to get the terms of the existence of solution of negative Pell equation. The method of this research is literature study by collecting all the materials, such as books, articles and journals relating to the material that will be discussed and research study. The result of this research are obtained the terms of the existence of solution of the negative Pell equation: (i) 𝑛 is an odd positif integer such that the positive solutions of 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 are given by 𝑥 = 𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 and 𝑦 = 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 . From that solutions, 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 � is the 𝑘 th convergent of the continued fraction expansion of √𝑑 and 𝑛 is the length period of the continued fraction expansion of √𝑑 with 𝑝 0 = 𝑎 0 ; 𝑞 0 = 1 , 𝑝 1 = 𝑎 0 𝑎 1 + 1; 𝑞 1 = 𝑎 1 , and 𝑝 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑝 𝑘−1 + 𝑝 𝑘−2 ; 𝑞 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑞 𝑘−1 + 𝑞 𝑘−2 , 𝑘 = 2,3, … ; (ii) 𝑑 ≡ 1,2 ( 𝑚𝑜𝑑 4) and ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) is fundamental solution of 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 satisfies 𝑥 1 ≡ − 1 ( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) . Keywords: continued fraction, Diophantine equation, Pell equation, negative Pell equation

## 1. PENDAHULUAN
Teori  Bilangan  adalah  bagian  dari  matematika  yang  menyangkut  kajian tentang  bilangan  bulat  dan  sifat-sifatnya.  Dalam  teori  bilangan  dikenal  dengan persamaan  diophantin  yaitu  persamaan  polinomial  dengan  solusinya  berupa bilangan  bulat  sebarang  non  negatif.  Menurut  Burton  (2007)  persamaan diophantin  diambil  dari  nama  matematikawan  Diophantus  yang  tinggal  di Alexandria sekitar tahun 250 Masehi. Persamaan tersebut baru dikenalkan sekitar tahun  270  Masehi  oleh  Uskup  Laodikia  dalam  buku  tentang  perhitungan  Mesir untuk menghormati temannya Diophantus.
Persamaan Diophantin terdiri dari dua bentuk yaitu persamaan diophantin linier  dan  persamaan  diophantin  nonlinier.  Persamaan  diophantin  linier  adalah persamaan  polinomial  berderajat  satu  sedangkan  persamaan  diophantin  nonlinier
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
adalah  persamaan  polinomial  berderajat  lebih  dari  satu.  Persamaan  diophantin nonlinier 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 𝑛 dengan 𝑑 dan 𝑛 adalah  bilangan  bulat  mempunyai persamaan  khusus  yaitu  persamaan  Pell  dengan  bentuk 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 dimana 𝑑 adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna [4}. Masalah lain yang akan muncul yaitu untuk eksistensi dari solusi persamaan  yang berbentuk 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 dengan 𝑑 bilangan  bulat  positif  bukan  kuadrat  sempurna.  Persamaan  tersebut dikenal dengan nama Persamaan Pell Negatif. Berdasarkan analisa masalah  yang dikaji, maka dibahas syarat dari eksistensi solusi persamaan Pell negatif.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Persaman Diophantin
Persamaan diophantin adalah persamaan polinomial yang memberikan variabel-variabel tertentu dengan penyelesaian  berupa bilangan bulat. Persamaan diophantin terbagi atas dua bentuk, yaitu persamaan diophantin linier dan nonlinier.
Bentuk umum persamaan Diophantin adalah
𝑎 1 𝑥 1 + ⋯ + 𝑎 𝑘 𝑥 𝑘 = 𝑏 dengan 𝑎 1 , … , 𝑎 𝑘 adalah koefisien, 𝑥 1 , … , 𝑥 𝑘 adalah solusi persamaannya dan 𝑏 adalah konstanta dimana 𝑎 𝑖 , 𝑏 , 𝑥 𝑖 ∈ ℤ ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑘 . Persamaan diophantin linier yang memiliki dua variabel disebut persamaan diophantin linier dua variabel, jika tiga variabel disebut persamaan diophantin tiga variabel dan seterusnya. Persamaan diophantin nonlinier adalah persamaan diophantin berpangkat dua atau lebih.

## 2.2 Bilangan Rasional dan Irrasional
Definisi 2.1 [8]
Bilangan riil 𝛼 disebut rasional jika 𝛼 = 𝑎 / 𝑏 , dimana 𝑎 dan 𝑏 adalah bilangan bulat dengan 𝑏 ≠ 0 . Jika 𝛼 bukan rasional, maka 𝛼 disebut bilangan irrasional. Definisi 2.2 [1]
Bilangan bulat 𝑑 disebut kuadrat sempurna jika terdapat bilangan bulat 𝑟 sedemikian sehingga 𝑑 = 𝑟 2 .

## 2.3 Pecahan Kontinu
Definisi 2.3 [3]
Pecahan Kontinu berhingga adalah pecahan yang berbentuk
𝑎 0 + 1 𝑎 1 + 1 𝑎 2 + 1 𝑎3+ 1 ⋱ 1 𝑎𝑛−1+ 1 𝑎𝑛
dengan 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan riil dan 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 > 0 . Nilai 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bagian penyebut dari pecahan ini. Pecahan ini disebut sederhana jika semua nilai 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan bulat.
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
Definisi 2.4 [3] Pecahan kontinu yang dibentuk dari [ 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ] dengan memotong ekspansinya sampai kebagian penyebut 𝑎 𝑘 disebut kekonvergenan ke-k dari pecahan kontinu dan dinotasikan oleh 𝐶 𝑘 dengan
𝐶 𝑘 = [ 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑘 ];           1 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛
sehingga kekonvergenan ke-0 atau 𝐶 0 = 𝑎 0 .
Teorema 2.5 [8] Misalkan 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 adalah bilangan riil dengan 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 positif. Misalkan barisan 𝑝 0 , 𝑝 1 , … , 𝑝 𝑛 dan barisan 𝑞 0 , 𝑞 1 , … , 𝑞 𝑛 didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:
𝑝 0 = 𝑎 0 𝑞 0 = 1 𝑝 1 = 𝑎 0 𝑎 1 + 1 𝑞 1 = 𝑎 1 dan 𝑝 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑝 𝑘−1 + 𝑝 𝑘−2 𝑞 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑞 𝑘−1 + 𝑞 𝑘−2 Untuk 𝑘 = 2,3, … , 𝑛 . Maka kekonvergenan ke-k 𝐶 𝑘 = [ 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑘 ] dinyatakan dengan 𝐶 𝑘 = 𝑝 𝑘 / 𝑞 𝑘 .
Definisi 2.6 [9] Diberikan [ 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … ] adalah pecahan kontinu tak hingga sedemikian sehingga 𝑎 𝑘 = 𝑎 𝑛+𝑘 untuk semua 𝑘 dan suatu bilangan bulat 𝑛 , maka pecahan kontinu ini periodik dan 𝑛 disebut periodenya.

## Definisi 2.7 [8]
Jika 𝛿 = 𝑎+√𝑏 𝑐 adalah irrasional kuadratik. Maka kunjugasi dari 𝛿 dinotasikan dengan 𝛿′ dan didefinisikan dengan 𝛿′ = 𝑎−√𝑏 𝑐 .

## 2.4 Persamaan Pell
Persamaan diophantin nonlinier yang salah satunya berbentuk
𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 𝑛 dengan 𝑛 suatu bilangan bulat dan 𝑑 merupakan suatu bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna, jika 𝑛 = 1 maka disebut persamaan Pell [8] Teorema 2.8 [8] Dimisalkan 𝑑 dan 𝑛 adalah elemen dari bilangan bulat dengan 𝑑 > 0 , 𝑑 bukan kuadrat sempurna dan | 𝑛 | < √𝑑 , jika 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 𝑛 maka 𝑥 / 𝑦 adalah suatu kekonvergenan dari ekspansi pecahan kontinu dari √𝑑 .
Lemma 2.9 [8]
Jika 𝑟 + 𝑠√𝑑 = 𝑡 + 𝑢√𝑑 dimana 𝑟 , 𝑠 , 𝑡 dan 𝑢 adalah bilangan rasional dan 𝑑 adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna, maka 𝑟 = 𝑡 dan 𝑠 = 𝑢 .

## Teorema 2.10 [3]
Jika 𝑑 adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna. Didefinisikan
𝛿 𝑘 = 𝑃 𝑘 +√𝑑 𝑄 𝑘 , 𝑎 𝑘 = ⟦𝛿 𝑘 ⟧ , 𝑃 𝑘+1 = 𝑎 𝑘 𝑄 𝑘 − 𝑃 𝑘 , dan 𝑄 𝑘+1 = 𝑑−𝑃 𝑘+1 2 𝑄 𝑘 untuk 𝑘 = 0,1,2, … dimana 𝛿 0 = √𝑑 . Selanjutnya misalkan 𝑝 𝑘 / 𝑞 𝑘 adalah kekonvergenan ke- 𝑘 dari ekspansi pecahan kontinu dari √𝑑 , maka
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
𝑝 𝑘 2 − 𝑑𝑞 𝑘 2 = ( − 1) 𝑘+1 𝑄 𝑘+1

## 3 METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian  ini adalah secara studi literatur. Adapun prosedur penelitian ini adalah dengan cara mengumpulkan referensi pendukung yang berkaitan dengan  Persaman Diophantin Nonlinier khususnya persamaan pell negatif. Referensi tersebut dipelajari, dibahas dan dijabarkan sehingga diperoleh solusidari persamaan pell negatif tersebut. Selanjutnya menjelaskan dan membuktikan teorema yang berhubungan dengan eksistensi persamaan Pell negatif. Kemudian didapatkan syarat dari eksistensi solusi persamaan Pell negatif dan menentukan solusi persamaan tersebut.

## 4 HASIL DAN PEMBAHASAN Teorema 4.1
Jika 𝑑 adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna dan 𝑝 𝑘 / 𝑞 𝑘 adalah kekonvergenan ke-k dari ekspansi pecahan kontinu dari √𝑑 yang mempunyai panjang periode 𝑛 ∈ ℕ . Maka
a. Solusi positif dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 berupa
( 𝑥 , 𝑦 ) = � ( 𝑝 𝑘𝑛−1 , 𝑞 𝑘𝑛−1 ) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ∈ ℕ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 ( 𝑝 2𝑘𝑛−1 , 𝑞 2𝑘𝑛−1 ) 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ∈ ℕ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙
b. Solusi positif dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 tidak adaketika 𝑛 genap, jika n ganjil maka solusinya ( 𝑥 , 𝑦 ) = �𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 , 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 � 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘 ∈ ℕ
Akibat 4.2
Jika 𝑑 > 0 bukan bilangan kuadrat sempurna dan √𝑑 mempunyai ekspansi pecahan kontinu dengan panjang periode 𝑛 , maka solusi fundamental  dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 adalah
( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) = � ( 𝑝 𝑛−1 , 𝑞 𝑛−1 ) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝 ( 𝑝 2𝑛−1 , 𝑞 2𝑛−1 ) 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙 sedangkan jika 𝑛 ganjil maka solusi fundamental dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 adalah
( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) = ( 𝑝 𝑛−1 , 𝑞 𝑛−1 )
Teorema 4.3
Jika  d adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna dan 𝑥 1 , 𝑦 1 adalah solusi terkecil untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = ±1 , maka
a) Solusi positif yang lain berupa ( 𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 ) untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 yaitu 𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑 = ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 𝑚 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ∈ ℕ
b) Solusi positif yang lain berupa ( 𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 ) untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 yaitu
𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑 = ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 2𝑚−1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ∈ ℕ
Teorema 4.4
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
Jika 𝑑 ≡ 1,2 ( 𝑚𝑜𝑑 4) adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna, maka ada solusi untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 jika dan hanya jika 𝑥 1 ≡ − 1 ( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) , dimana ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah solusi fundamental dari 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 .

## Bukti Teorema 4.1
Dalam Teorema 2.8  mengindikasikan solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = ±1 adalah dalam bentuk 𝑥 = 𝑝 𝑗 , 𝑦 = 𝑞 𝑗 dan 𝑑 adalah bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna.
Berdasarkan Teorema 2.10 𝑝 𝑗 2 − 𝑑𝑞 𝑗 2 = ( − 1) 𝑗+1 𝑄 𝑗+1 …(1)
Sehingga agar memenuhi persamaan Pell, maka 𝑗 + 1 harus berupa bilangan positif dan 𝑄 𝑗+1 = 1 . Jika 𝑄 𝑗+1 = 1 , maka 𝑛 |( 𝑗 + 1) sedemikian sehingga 𝑗 + 1 = 𝑛𝑙 . Kemudian disubstitusikan ke persamaan (1) sedemikian sehingga diperoleh
𝑝 𝑙𝑛−1 2 − 𝑑𝑞 𝑙𝑛−1 2 = ( − 1) 𝑛𝑙 …(2)
Berdasarkan persamaan (4.2) didapatkan
a. Solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 mempunyai 2 kondisi : i. Untuk 𝑛 genap dan 𝑙 ganjil atau genap Karena 𝑛 adalah genap dan 𝑙 adalah bilangan bulat maka 𝑛𝑙 genap. Misalkan 𝑙 = 𝑘 disubstitusikan ke persamaan (4.2) maka persamaan (2) menjadi 𝑝 𝑘𝑛−1 2 − 𝑑𝑞 𝑘𝑛−1 2 = 1 . Karena diketahui persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 solusinya berupa 𝑥 = 𝑝 𝑗 dan 𝑦 = 𝑞 𝑗 maka diperoleh  solusinya  yaitu 𝑥 = 𝑝 𝑘𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑞 𝑘𝑛−1 dimana 𝑘 ∈ ℕ .
ii. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑙 genap. Karena 𝑛 adalah ganjil dan 𝑙 genap maka 𝑛𝑙 genap.  Misalkan 𝑙 = 2 𝑘 disubstitusikan ke persamaan (2)  maka persamaan (2) menjadi 𝑝 2𝑘𝑛−1 2 − 𝑑𝑞 2𝑘𝑛−1 2 = 1 .Karena diketahui persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 solusinya berupa 𝑥 = 𝑝 𝑗 dan 𝑦 = 𝑞 𝑗 maka diperoleh  solusinya  yaitu 𝑥 = 𝑝 2𝑘𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑞 2𝑘𝑛−1 dimana 𝑘 ∈ ℕ . b. Solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 mempunyai 2 kondisi : i. Untuk 𝑛 ganjil dan 𝑙 ganjil. Karena 𝑛 adalah ganjil dan 𝑙 ganjil maka 𝑛𝑙 ganjil.  Misalkan 𝑙 = 2 𝑘 − 1 disubstitusikan ke persamaan (2) maka persamaan (2) menjadi 𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 2 − 𝑑𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 2 = − 1 . Karena diketahui persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 solusinya berupa 𝑥 = 𝑝 𝑗 dan 𝑦 = 𝑞 𝑗 maka diperoleh solusinya yaitu 𝑥 = 𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 dimana 𝑘 ∈ ℕ .
ii. Untuk 𝑛 genap dan 𝑙 sebarang bilangan bulat Ambil 𝑛 = 2 𝑎 maka 𝑛𝑙 = 2 𝑎𝑙 atau 𝑛𝑙 ∈ 2ℤ sedemikian sehingga ( − 1) 𝑛𝑙 ≠ − 1 . Akibatnya untuk 𝑛 genap maka tidak ada solusinya untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 . Dari a dan b teorema ini terbukti. ∎

## Bukti Akibat 4.2
Dari Teorema 4.1 telah dibuktikan solusi positif untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 adalah jika 𝑛 genap maka ( 𝑥 , 𝑦 ) = ( 𝑝 𝑘𝑛−1 , 𝑞 𝑘𝑛−1 ) . Jadi untuk menentukan solusi fundamental ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 diambil untuk kekonvergenan
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
ke- 1 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 maka 𝑘 = 1 sedemikian sehingga diperoleh
( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) = ( 𝑝 1 . 𝑛−1 , 𝑞 1 . 𝑛−1 )   = ( 𝑝 𝑛−1 , 𝑞 𝑛−1 )
Untuk 𝑛 ganjil maka solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 berdasarkan Teorema 4.1 adalah ( 𝑥 , 𝑦 ) = ( 𝑝 2𝑘𝑛−1 , 𝑞 2𝑘𝑛−1 ) . Jadi untuk menentukan solusi fundamental ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 diambil untuk kekonvergenan ke- 1 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 maka 𝑘 = 1 sedemikian sehingga diperoleh ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) = ( 𝑝 2 . 1 . 𝑛−1 , 𝑞 2 . 1 . 𝑛−1 )   = ( 𝑝 2𝑛−1 , 𝑞 2𝑛−1 )
Sedangkan untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 berdasarkan Teorema 4.1 jika 𝑛 ganjil solusinya adalah ( 𝑥 , 𝑦 ) = �𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 , 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 � . Jadi untuk menentukan solusi fundamental ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 diambil untuk kekonvergenan ke- 1 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 maka 𝑘 = 1 sedemikian sehingga diperoleh ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) = ( 𝑝 ( 2 . 1−1 ) 𝑛−1 , 𝑞 ( 2 . 1−1 ) 𝑛−1 )   = ( 𝑝 𝑛−1 , 𝑞 𝑛−1 )
Dari uraian diatas maka akibat ini terbukti. ∎

## Bukti Teorema 4.3
a) Akan ditunjukkan bahwa 𝑥 𝑚 dan 𝑦 𝑚 untuk 𝑚 ∈ ℕ adalah  juga  solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 . Claim :
Pertama akan dibuktikan bahwa  konjugat dari ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 𝑚 adalah ( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) 𝑚 . Diketahui:
𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑 = ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 𝑚
Maka berdasarkan Definisi 2.7
�𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑� ′ = � ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 𝑚 � ′ 𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = � ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 )( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) … ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) ��������������������������� 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑚 � ′
𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = � ( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 )( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) … ( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) ��������������������������� 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝑚 �
𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = �𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 � 𝑚
Sehingga terbukti bahwa konjugat dari �𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 � 𝑚 adalah �𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 � 𝑚 . Selanjutnya
𝑥 𝑚 2 − 𝑑𝑦 𝑚 2 = ( 𝑥 1 2 − 𝑑𝑦 1 2 ) 𝑚 Karena 𝑥 1 dan 𝑦 1 adalah solusi terkecil untuk persamaan pell, maka 𝑥 1 2 − 𝑑𝑦 1 2 = 1 , akibatnya 𝑥 𝑚 2 − 𝑑𝑦 𝑚 2 = (1) 𝑚 = 1 Jadi 𝑥 𝑚 dan 𝑦 𝑚 juga merupakan solusi dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 . b) Akan ditunjukkan bahwa 𝑥 𝑚 dan 𝑦 𝑚 untuk 𝑚 ∈ ℕ adalah  juga  solusi persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 .
Claim :
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
Pertama akan dibuktikan bahwa  konjugat dari ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 2𝑚−1 adalah
( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) 2𝑚−1 .
Diketahui:
𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑 = ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 2𝑚−1
Maka berdasarkan Definisi 2.7
�𝑥 𝑚 + 𝑦 𝑚 √𝑑� ′ = � ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) 2𝑚−1 � ′ 𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = � ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 )( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) … ( 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 ) ��������������������������� 𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 2𝑚−1 � ′
𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = � ( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 )( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) … ( 𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 ) ���������������������������
𝑠𝑒𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 2𝑚−1 � 𝑥 𝑚 − 𝑦 𝑚 √𝑑 = �𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 � 2𝑚−1
Sehingga terbukti bahwa konjugat dari �𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 � 2𝑚−1 adalah �𝑥 1 − 𝑦 1 √𝑑 � 2𝑚−1 . Selanjutnya
𝑥 𝑚 2 − 𝑑𝑦 𝑚 2 = ( 𝑥 1 2 − 𝑑𝑦 1 2 ) 2𝑚−1
Karena 𝑥 1 dan 𝑦 1 adalah  solusi  terkecil  untuk  persamaan  pell  negatif,  maka 𝑥 1 2 − 𝑑𝑦 1 2 = − 1 , akibatnya 𝑥 𝑚 2 − 𝑑𝑦 𝑚 2 = ( − 1) 2𝑚−1 = − 1 Jadi 𝑥 𝑚 dan 𝑦 𝑚 juga merupakan solusi dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 . Dari a dan b teorema ini terbukti. ∎
Bukti Teorema 4.4 ( ⇒ ) Diketahui 𝑑 ≡ 1,2 ( 𝑚𝑜𝑑 4) bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna, 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 mempunyai solusi dan ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) solusi  fundamental  dari 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 . Karena persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 mempunyai solusi maka terdapat solusi fundamental ( 𝑝 0 , 𝑞 0 ) . Jika ( 𝑝 0 , 𝑞 0 ) merupakan solusi fundamental dari 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 maka berdasarkan Teorema 4.3 maka agar diperoleh solusi fundamental dari 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 = �𝑝 0 + 𝑞 0 √𝑑� 2 𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑 = 𝑝 0 2 + 𝑑𝑞 0 2 + 2 𝑝 0 𝑞 0 √𝑑 Menurut Lemma 2.9 diperoleh 𝑥 1 = 𝑝 0 2 + 𝑑𝑞 0 2 = 𝑝 0 2 − 𝑑𝑞 0 2 + 2 𝑑𝑞 0 2 = − 1 + 2 𝑑𝑞 0 2 …(3)
Karena terdapatsuatu  bilangan bulat 𝑞 0 2 sedemikian sehingga 𝑥 1 = − 1 +
2 𝑑𝑞 0 2 maka diperoleh 𝑥 1 ≡ − 1( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) .
Jadi terbukti bahwa 𝑥 1 ≡ − 1( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) dimana ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah solusi fundamental dari persamaan pell positif.
( ⇐ ) Diketahui ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) adalah solusi fundamental dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 dengan 𝑥 1 ≡ − 1( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) . Sedemikan sehingga diperoleh 𝑥 1 = − 1 + 2 𝑑𝑘 …(4)
Dari persamaan pell 𝑥 1 2 − 𝑑𝑦 1 2 = 1 substitusikan persamaan (4) maka diperoleh ( − 1 + 2 𝑑𝑘 ) 2 − 𝑑𝑦 1 2 = 1 4 𝑑 2 𝑘 2 − 4 𝑑𝑘 − 𝑑𝑦 1 2 = 0
Dimisalkan 𝑦 1 = 2 𝑦 2 maka
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
𝑘 ( 𝑑𝑘 − 1) = 𝑦 2 2
Dimisalkan bahwa 𝑘 = 𝑟 2 dan 𝑑𝑘 − 1 = 𝑠 2 dimana ( 𝑘 , 𝑑𝑘 − 1) = 1 diperoleh 𝑑𝑘 − 1 = 𝑠 2 𝑑𝑟 2 − 1 = 𝑠 2 𝑠 2 − 𝑑𝑟 2 = − 1
Maka terbukti bahwa persamaan pell negatif mempunyai solusi, jadi teorema ini terbukti. ∎ 5 KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari penilitian ini adalah
1. Persamaan Pell negatif  adalah persamaan diophantin nonlinier berbentuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 yang solusinya dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi pecahan kontinu dari √𝑑 dimana 𝑑 adalah anggota bilangan bulat positif bukan kuadrat sempurna. Jika 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 � = [ 𝑎 0 ; 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑘 ] merupakan kekonvergenan ke- 𝑘 dari ekspansi pecahan kontinu dari √𝑑 maka solusi positifnya dapat ditemukan diantara 𝑝 𝑘 dan 𝑞 𝑘 .
2. Persamaan Pell negatif 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 mempunyai solusi jika terpenuhi syarat sebagai berikut:
a. 𝑛 berupa bilangan bulat positif ganjil sedemikian sehingga solusi positif dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 adalah 𝑥 = 𝑝 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 dan 𝑦 = 𝑞 ( 2𝑘−1 ) 𝑛−1 dimana 𝑝 𝑘 𝑞 𝑘 � adalah kekonvergenan ke- 𝑘 dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dan 𝑛 adalah panjang periode dari ekspansi pecahan kontinu √𝑑 dengan 𝑝 0 = 𝑎 0 ; 𝑞 0 = 1 , 𝑝 1 = 𝑎 0 𝑎 1 + 1; 𝑞 1 = 𝑎 1 , dan 𝑝 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑝 𝑘−1 + 𝑝 𝑘−2 ; 𝑞 𝑘 = 𝑎 𝑘 𝑞 𝑘−1 + 𝑞 𝑘−2 , 𝑘 = 2,3, … .
b. 𝑑 ≡ 1,2 ( 𝑚𝑜𝑑 4) dan ( 𝑥 1 , 𝑦 1 ) merupakan solusi fundamental dari persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = 1 yang memenuhi 𝑥 1 ≡ − 1 ( 𝑚𝑜𝑑 2 𝑑 ) . 3. Jika 𝑥 1 , 𝑦 1 adalah solusi terkecil untuk persamaan 𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 = − 1 dan 𝑛 ganjil maka setiap pasang bilangan bulat 𝑥 𝑚 , 𝑦 𝑚 yang didefinisikan oleh kondisi 𝑥 𝑚
+ 𝑦 𝑚 √𝑑 = �𝑥 1 + 𝑦 1 √𝑑� 2𝑚−1 ; 𝑚 = 1,2,3, … adalah juga merupakan solusi positif.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Arnold, Jimmy. 2005. An Introduction to Mathematical Proofs. http://www.math.vt.edu/people/elder/Math3034.
[2]  Bartle & Sherbet. 2011. Introduction to Real Analysis 4 th Edition . Hamilton: United State of Amerika.
[3]  Burton, D. M. 2007. Elementary Number Theory Fifth Edition . McGraw Hill: New York.
[4]  Jacobson & Williams. 2009. Solving the Pell Equation . CMS Books in Mathematics: Canadian Mathematical Society.
[5]  Mollin, Richard A. 2007. Fundamental Number Theory with Applications Second Edition. CRC: Taylor & Francis Group.
[6]  Mollin & Srinivasan. A Note on the Negative Pell Equation . International Journal of Algebra. Vol 4(19) : 919-922.
[7]  Nathanson. M. B. 1999. Elementary Method in Number Theory . Springer: New Jersey.
ISSN: 1978-4422 Vol.1 1 No. 2 ( Desember 2017 ) Hal. 47-55
[8]  Rosen. K. H. 1993. Elementary Number Theory And Its Aplication . Murray Hills: New Jersey.
[9]  Yang, Seung Hyun. 2008. Continued Fraction and Pell’s Equation .  http://www.math.uchicago.edu/~may/VIGRE/VIGRE2008/REUP apers/Yang.pdf.