Vol. 9, No.2,  114-122,  Januari  2013

## Penerapan Teorema Bondy pada Penentuan Bilangan Ramsey Graf Bintang Terhadap Graf Roda
Hasmawati 1

## Abstrak
Graf  yang  memuat  semua  siklus  dari  yang  terkecil  sampai  ke  yang  terbesar  disebut pansiklis. Teorema Bondy menyebutkan bahwa jika G berorde n dan ( ) , maka adalah  pansiklis  atau untuk n genap.  Selanjutnya,  graf  dengan  siklus  yang memuat  semua  titik  dari  graf  tersebut  disebut  graf  Hamilton.  Dalam  makalah  ini  akan ditunjukkan  bahwa  graf  Hamilton  yang  dilengkapi  dengan  syarat  tertentu  juga  memuat siklus  dari  yang  terkecil  sampai  yang  terbesar.  Dalam  tulisan  ini  disajikan  pembuktian teorema Bondy dengan  memanfaatkan sifat-sifat  graf Hamilton. Bagian akhir penulisan diuraikan penerapan teorema Bondy dalam penentuan batas atas bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda.
Kata Kunci : Teorema Bondy, bilangan Ramsey, graf bintang, graf roda.

## 1. Pendahuluan
Teori Ramsey adalah suatu area penelitian dalam teori graf yang sedang berkembang pesat dan mempunyai banyak aplikasi, di antaranya pada teori bilangan, analisis harmonik, aljabar, geometri, komputasi, topologi, teori himpunan, logika, teori ergodik, teori informasi dan  ilmu  komputer  (Makalah  Pidato  Ilmiah  Baskoro,  [1]).  Meskipun  tergolong  area  yang baru  dalam  bidang  kombinatorik,  khususnya  dalam  teori  graf,  namun  teori  ini  telah mendapat  perhatian  dari  banyak  peneliti.  Akibatnya  kajian  ini  berkembang  pesat  dan  telah memperoleh banyak hasil.
Kesulitan  utama  dalam  menentukan  bilangan  Ramsey  graf  adalah  sulitnya menemukan  metode,  teknik,  atau  teorema  yang  terkait  dengan  karakteristik  suatu  graf. Namun  untuk  graf  siklus,  teorema  Bondy  dapat  dijadikan  sebagai  alternatif  metode.  Lebih jauh,  graf  roda  adalah  graf  yang  sub  graf  pembangunnya  memuat  siklus,  Olehnya  itu, metode  atau  teknik  yang  digunakan  pada  penentuan  bilangan  Ramsey  untuk  graf    siklus, juga dapat digunakan pada penentuan bilangan Ramsey untuk  graf roda.
Teorema Bondy adalah teorema yang menjamin keberadaan semua siklus dari yang terkecil  sampai  yang  terbesar.  Dengan  demikian,  torema  Bondy  mempunyai  peranan  yang penting  dalam  penentuan  bilangan  Ramsey,  khususnya  untuk  graf  yang  memuat  siklus  [3]. Karenanya,  pemahaman  yang  mendalam  tentang  teorema  Bondy  dengan  cara  menemukan alternatif  pembuktiannya  adalah  juga  penting.  Dalam  tulisan  ini,  sebelum  menyajikan penerapan teorema Bondy terlebih dahulu menyajikan alternatif pembuktian teorema Bondy.

## 2. Beberapa Pengertian dan Notasi
Pada  awal  bagian  ini  diuraikan  beberapa  pengertian,  istilah  dan  notasi  dalam  graf. Selain  itu,  juga  diuraikan  pengertian  graf  Hamilton  dan  sifat-sifatnya,  graf  pansiklik,  dan beberapa  jenis  graf  khusus  seperti  graf  lengkap,  lintasan,  siklus,  graf  bintang,  graf  pohon dan graf roda. Bagian selanjutnya membahas tentang beberapa batas atas bilangan Ramsey
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin

## Hasmawati
yang telah diperoleh sebelumnya. Untuk kepentingan pengertian graf didefinisikan [ V ] 2 = { Y : Y  V ,  Y  =2) Graf G ( V,E ) adalah suatu sistem yang terdiri dari himpunan berhingga tak kosong V = V ( G ) dan himpunan E = E ( G ) dengan E [ ] . Himpunan V disebut himpunan titik dari G dan himpunan E disebut himpunan sisi dari G. Setiap u dan v di V ( G )  disebut  titik dan setiap e = { u,v }  di E ( G )  disebut sisi . Selanjutnya,  sisi e = { u,v } hanya ditulis uv. Titik u disebut  tetangga ( neighbor )  dari  titik v jika e = uv. Lebih  lanjut,  titik u dan v dikatakan titik-titik bertetangga ( adjacent ), sedangkan sisi e dikatakan terkait ( incident ) dengan titik u dan v. Dua sisi e 1 dan e 2 pada G disebut sisi-sisi bertetangga jika e 1 dan e 2 terkait pada satu titik  yang  sama.  Sisi dan dikatakan  saling  bebas jika dan tidak  bertetangga. Secara  serupa,  dua  titik  pada G dikatakan  saling  bebas  jika  kedua  titik  tersebut  tidak bertetangga.
Graf F disebut  komplemen dari  graf G ,  jika V ( F )  = V ( G )  dan uv    E ( F )  jika  dan hanya  jika uv E ( G ).  Komplemen  dari  graf G dinotasikan  dengan  .  Dua  graf G dan H disebut  isomorfik jika  terdapat  pemetaan  satu-satu  dan  pada    : V ( G ) V ( H )  sedemikian sehingga  untuk  setiap
berlaku xy E(G) jika  dan  hanya  jika
Kardinalitas himpunan S dinotasikan dengan , adalah banyaknya anggota dari S . Orde graf G adalah dan ukuran graf G adalah
. Graf G berorde m dinotasikan dengan G m .  Graf dikatakan  graf  lengkap,  dinotasikan  dengan jika  setiap  dua  titik pada bertetangga.  Misalkan adalah    sebarang    titik  pada dan . Didefinisikan
N s ( v i ) = { w dan N s [ v i ]= N s ( v i ) , ,
dan
. Derajat titik pada graf G , dinotasikan dengan , adalah . Derajat maksimum dari   adalah , dan derajat minimum dari adalah .  Graf disebut  graf r-reguler jika
.
Teorema 1. Misalkan G adalah sebarang graf berorde n dan berukuran q. Jika , maka

## Akibat 1. (Lema Handshaking)
Banyaknya titik yang berderajat ganjil pada suatu graf adalah genap
Bukti Teorema 1 dan Akibat 1 dapat dilihat pada rujukan Chartrand dan Lesniak [2].
Misalkan u dan v adalah  dua  titik  pada  graf yang  tidak  bertetangga.  Graf adalah  suatu  graf  baru  dengan  himpunan  titik dan himpunan  sisi .  Graf disebut  sub  graf  dari jika
dan .  Selanjutnya,  sub  graf dari ditulis .  Sub  graf dikatakan  sub  graf  maksimal  dari jika memuat  semua  sisi untuk  semua .  Untuk  sebarang  himpunan ,  sub  graf  terinduksi oleh    dari    adalah sub graf maksimal dari   dengan himpunan titik   dan dinotasikan dengan . Sub graf dinotasikan dengan . Misalkan adalah  sebarang  graf.  Misalkan  pula dan . Didefinisikan dan .      Graf adalah suatu        sub  graf        dari dengan dan .  Graf adalah  suatu  subgraf  dari dengan dan .  Khususnya untuk dan dengan , subgraf ditulis dan sub graf ditulis . Lintasan  ( path ) dengan
titik  adalah  graf    yang    titik-titiknya      dapat diurutkan      dalam      suatu      barisan
sedemikian      sehingga . Graf   dikatakan terhubung jika untuk setiap dua titik dan   pada graf tersebut terdapat suatu lintasan yang memuat    dan  . Jika adalah  suatu  lintasan  berorde    dan ,  maka  graf disebut siklus berorde    (Lihat  Gambar  1).  Panjang adalah ,
yaitu banyaknya sisi pada dan panjang siklus adalah  .
Gambar 1 (a) Lintasan P n dan (b) Siklus C n
Panjang  siklus  terbesar  pada  suatu  graf dinotasikan  dengan ,  sedangkan panjang  siklus  terkecil  dinotasikan  dengan
.  Graf    dengan  orde    disebut  pansiklis
( pancyclic )  jika memuat  semua  siklus dengan ,  dan  disebut    pansiklis lemah ( weakly pancyclic ) jika   memuat siklus untuk
. Graf pada Gambar 2 adalah pansiklis lemah dengan dan adalah pansiklis karena memuat semua siklus untuk .

## Hasmawati
Gambar 2. Graf G 1 adalah Graf Pansiklik dan G2 adalah Pansiklik Lemah
Graf pohon adalah graf terhubung berorde   dan tidak memuat siklus.  Bintang adalah  pohon  dengan V ( S n )  = { v 1, v 2, ..., v n } dan E ( S n ) = { v 1 v i +1 : i = 1, 2, ..., n – 1}. Titik v 1 disebut pusat dari S n . Roda W k adalah suatu graf yang dibentuk dari siklus C k dengan menambahkan satu titik, sebut x , dan menambahkan k sisi dari titik x ke semua titik di C k . Dalam hal ini, titik x disebut poros ( hub ) roda dan siklus C k disebut rim roda.
Misalkan adalah beberapa himpunan bagian dari himpunan titik
pada suatu graf  . Untuk setiap  , himpunan   disebut
dari jika , dan serta dengan .  Graf disebut  graf - jika dapat  dipartisi  ke  dalam partisi  himpunan  bebas .  Graf untuk dengan disebut  graf  multipartit,  dinotasikan  dengan Khusus untuk , grafnya disebut graf bipartit. Graf multipartit
disebut  graf  multipartit  lengkap  jika  setiap  titik  disetiap  partisi  bertetangga  dengan  semua titik dipartisi-partisi lainnya. Graf multiparti lengkap dinotasikan dengan .
Menurut  pengertian  ini,  bintang merupakan  graf  bipartit  lengkap  dengan  notasi
.  Graf disebut  graf  multipertit  lengkap  seimbang  dinotasikan  dengan
,  jika untuk  setiap  .  Pada  Gambar  3:  gambar  (a)  adalah  graf  multipartit
,  gambar  (b)  adalah  graf  multipartit  lengkap
,  dan  gambar  (c)  adalah  graf
multipartit lengkap seimbang
. (a) (b) (c)
Gambar 2.3. (a) Graf Bipartit Lengkap K 3,4 dan (b), (c) Graf Multipartit .
Teorema 2.
Jika  G  adalah  graf  berorde  n  dan  berukuran
maka  G  memuat  sebuah  siklus  ganjil
atau .

## 2.1. Graf Hamilton
Sebelumnya  telah  dijelaskan  bahwa  siklus  adalah  lintasan  yang  kedua  ujungnya dikaitkan  oleh  suatu  sisi.  Pada  bagian  ini  disajikan  pengertian  graf  Hamilton  dan  sifat- sifatnya.  Siklus  Hamiltonian  ( Hamiltonian  Cycle ) merupakan  siklus  pada  graf G yang memuat  setiap  titik  di G. Graf  yang  memuat  siklus  Hamiltonian  disebut  graf    Hamilton. Selanjutnya, graf Hamilton yang memiliki sifat-sifat tertentu memuat semua siklus dari yang terkecil  sampai  ke  yang  terbesar.  Pada  tulisan  selanjutnya  diuraikan  pembuktian  teorema Bondy  dengan  menggunakan  konsep  graf  Hamilton  dengan  beberapa  tambahan  sifat tertentu.
Belum  ada  suatu  teorema  atau  lemma  yang  memberikan  karakteristik  yang  cukup untuk  graf  Hamilton.  Namun  berikut  ini  disajikan  teorema  tentang  karakteristik  graf Hamilton,  walaupun  masih  banyak  graf  Hamilton  yang  tidak  terakomodir  pada  teorema- teorema tersebut.

## Teorema 3.
Misalkan      G      adalah    sebarang    graf  sederhana    berorde    n  .    Jika
, maka G adalah graf Hamilton.
Graf  siklus  dan  roda  merupakan  graf  Hamilton,  meskipun  tidak  memenuhi  syarat Teorema  3.  Di  sini  ditekankan  bahwa  jika  jumlah  derajat  setiap  dua  titik  pada  suatu  graf sama atau lebih dari ordenya, maka graf tersebut pasti Hamilton.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menemukan  metode  alternatif  pembuktian  teorema Bondy.  Pada  penelitian  ini  dikaji  graf  Hamilton  dan  sifat-sifatnya.  Siklus  Hamiltonian ( Hamiltonian  Cycle ) merupakan  siklus  dalam  graf G yang  memuat  setiap  titik  di G. Graf yang  memuat  siklus  Hamiltonian  disebut  graf    Hamilton.  Selanjutnya,  graf  Hamilton  yang memiliki  sifat  tertentu  memuat  semua  siklus  dari  yang  terkecil  sampai  ke  yang  terbesar. Dengan  demikian  graf  Hamilton  dengan  beberapa  tambahan  sifat-sifat  dapat  digunakan untuk membuktikan teorema Bondy.

## 2.2. Bilangan Ramsey
Teori Ramsey pertama dipelajari dalam konteks problem penentuan prosedur regular untuk memeriksa konsistensi dari suatu formula logika yang diberikan. Kemudian, teori ini menjadi  terkenal  setelah  Paul  Erdos  dan  George  Szekeres  (1935)  mengaplikasikannya  ke dalam  teori  graf  yang  menghasilkan  teorema  tentang  bilangan  Ramsey  graf.  Selanjutnya, melalui teorema tersebut konsep bilangan Ramsey graf dua warna dinyatakan dalam teorema berikut

## Definisi 1.
Untuk  sembarang dua bilangan asli n 1 dan n 2 , bilangan Ramsey R ( n 1 , n 2 ) adalah bilangan bulat terkecil m sedemikian sehingga untuk setiap graf F berorde m memenuhi sifat berikut:
F memuat graf atau   memuat .
Bilangan  M o disebut  bilangan  Ramsey  klasik  dua  warna yang  selanjutnya  disebut bilangan  Ramsey  klasik , dan  dinotasikan  dengan R ( n 1 ,  n 2 ) atau R ( , ).  Pengertian bilangan  Ramsey  klasik R(n 1 ,  n 2 )    dapat  dinyatakan    sebagai  berikut.  Karena  setiap  graf F memenuhi    = F,  R ( n 1 , n 2 )  pada  Definisi  1  bersifat  simetri  yaitu R ( n 1 , n 2 ) =  R ( n 2 , n 1 ),  lihat [6].
Definisi  1  dapat  diperumum  menjadi  definisi  bilangan  Ramsey  graf.  Dalam  hal ini,graf tidak terbatas pada graf lengkap tetapi diperumum menjadi sembarang graf. Definisi bilangan Ramsey graf seperti berikut.

## Definisi 2.
Diberikan  graf    G  dan  H,  bilangan  Ramsey  graf  R(G,H)  adalah  bilangan  asli  terkecil  m sedemikian  sehingga  sembarang  graf  F  berorde  m  selalu  memuat  graf  G  sebagi  subgraf atau komplemen F memuat graf H sebagai subgraf .
Penyajian  berikut  ini  adalah  beberapa  survei  tentang  batas  atas  bilangan  Ramsey klasik  dan  bilangan  Ramsey  graf.  Surahmat  dalam  disertasinya  pada  tahun  2003  [7], menyajikan  bukti  eksistensi  bilangan  Ramsey  klasik R ( n 1 , n 2 )  dengan  menunjukkan  batas atas  dan  batas  bawahnya.  Batas  atas R ( n 1 , n 2 )  adalah  untuk  setiap  bilangan  asli n 1 dan n 2 , R ( n 1 , n 2 ) senantiasa ada dan memenuhi
R ( n 1 , n 2 ) (1)
Pada tahun 2005, Hasmawati dkk. [4] menunjukkan bahwa R ( S n, W m )  3 n - 2 untuk n  3 dan m ganjil, m  2 n -1. Dua tahun setelah itu, Hasmawati dkk. [5] memberikan batas atas  bilangan  Ramsey  untuk k -copy  bintang  terhadap  roda  yakni R ( kG , H )  R ( G , H )  +  ( k - 1)  V ( G )  . Selanjutnya, Ahsan dalam tesisnya pada tahun 2010 menunjukkan bahwa R ( S n, W 8 )  5( n -1)/2, untuk n  11, n  3 (mod 4).
Dengan  memperhatikan  ketidaksamaan  pada  (1)  dapat  diketahui  bahwa  setiap bilangan  Ramsey  untuk  dua  pasang  graf  selalu  memiliki  batas  atas.  Namun  yang  penting dalam penentuan bilangan Ramsey yang eksak adalah batas atas terkecil. Salah satu metode yang banyak digunakan oleh para peneliti teori graf dalam menentukan batas atas bilangan Ramsey khususnya untuk graf roda atau graf siklus adalah Teorema Bondy.

## 1. Teorema Bondy dan Penerapannya
Teorema Bondy adalah teorema yang menjamin keberadaan semua siklus pada suatu graf  tertentu  dan  ditemukan  oleh  Bondy  pada  tahun  1971.  Terema  tersebut  menyebutkan bahwa jika terdapat suatu graf yang derajat terkecilnya adalah setengah dari ordernya maka graf  tersebut  memuat  semua  siklus  dari  yang  terkecil  sampai  yang  terbesar.  Melalui pengertian graf roda, diketahui bahwa siklus adalah sub graf pembangun graf roda. Karena itu,  untuk  mengetahui  keberadaan  roda  pada  suatu  graf  juga  dapat  menggunakan  teorema Bondy. Lebih jauh dalam penetuan batas atas bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda atau graf siklus digunakan teorema Bondy sebagai alternatif metode.

## 3.1 Teorema Bondy
Graf  yang  memuat  semua  siklus  disebut  pansiklis.  Sedangkan  karakteristik  graf pansiklik diberikan oleh Teorema Bondy.
Teorema 4. ( Bondy, 1971). Misalkan G adalah graf berorde n. Jika
,  maka   adalah pansiklis atau untuk n genap .

## Bukti.
Pertama-tama akan ditunjukkan bahwa jika   adalah graf berorde   dimana  , maka n genap dan
.

## Hasmawati
Misalkan G adalah  graf  berorde n dengan .  Maka ,  akan
diperoleh
(2)
Berdasarkan Teorema 3 graf G merupakan graf Hamilton. Menurut Teorema 2 , ukuran dari suatu graf atau banyaknya sisi pada suatu graf yang dinotasikan dengan   adalah
atau . Dengan  demikian  diperoleh  graf  Hamilton  ( ),  dengan .  Misalkan adalah  siklus  Hamilton  dari yang  tidak  memuat -siklus dengan dan misalkan pula dan adalah dua titik yang berurutan dari C (dalam hal ini semua subscripts dinyatakan sebagai modulo n ). Jika dan dan ,  maka  paling  banyak  satu  dari dan adalah  sebuah  sisi  dari G . Karenanya  setiap    titik    berderajat dalam yang bertetangga    dengan ,    terdapat  sebuah  titik  pada yang    tidak bertetangga  dengan .  Dan  juga . , (3)
Andaikan     adalah  bilangan  ganjil.  Maka  dengan menggunakan persamaan (3) terdapat beberapa titik, yang misalkan , sedemikian sehingga . Akibatnya ,  hal  ini  kontradiksi dengan kenyataan bahwa . Jadi n mestilah bilangan genap. Jika   adalah bilangan genap dan menurut persamaan (3), ), maka . KarenA dan  dari  persamaan  (3), ,  maka  berlaku .    Jika persamaan (3) berlaku untuk setiap  , berlaku jika dan hanya jika dan . (4)

## Hasmawati
Andaikan .  Jika G berukuran dan  dengan  menggunakan  Teorema  1,
maka   mempunyai sebuah siklus ganjil. Ini menunjukkan bahwa G memuat sebuah siklus sebelah luar terbesar dengan panjang yang ganjil.
Misalkan , adalah  siklus  sebelah  luar  yang  terpendek  dengan  panjang ganjil maka    adalah  genap  dan (   tidak  memuat -siklus). Oleh  karena  berlaku ,  maka  dengan  persamaan  (4), . Dan  begitu  pula  dengan  menggunakan  persamaan  (4),    diperoleh . Olehnya itu adalah  sebuah siklus bagian luar dengan panjang ganjil . Hal ini kontradiksi dengan panjang siklus terpendek pada   yaitu .  Jadi mestilah . Kemudian  akan  ditunjukkan  dengan  induksi  pada  ,  bahwa  jika adalah  sebuah  graf Hamilton , dengan , maka   pansiklis atau untuk   genap. Jika , maka dan   pansiklis. Diasumsikan bahwa untuk semua graf Hamilton berorder dengan  sisi  paling  sedikit maka pansiklis  atau untuk bernilai genap. Misalkan   sebuah graf Hamilton dengan . Diasumsikan bahwa: (i)   genap dan atau  (ii)   ganjil. Akan ditunjukkan bahwa   pansiklis. Asumsi  ini  merupakan  lanjutan  dari  bagian  pertama  pembuktian  dimana
dengan   genap dan   memuat
(5) yang  merupakan  sebuah -siklus  dari  G.  Dalam  hal  ini, memuat  sebuah  siklus yaitu .  Misalkan adalah  titik  yang  tunggal  dari yang  tidak  terdapat  di .  Jika  deg
,  maka  untuk  setiap  bilangan    memenuhi
, sehingga verteks terletak pada sebuah ( )-siklus dari G ; Sebaliknya,  jika dengan ,  maka ,  dimana (mod ). tidak  terletak  pada  setiap  siklus    atau  terdapat  siklus yang tidak  memuat . Hal ini menunjukkan bahwa deg , yang   mana   kontradiksi dengan  deg .  Jadi   adalah pansiklis jika deg . Jika deg , maka adalah graf Hamilton berorder dengan paling  sedikit memiliki sisi . adalah sisi yang terkait dengan   titik . Oleh    karena dan    sesuai  asumsi    bahwa maka    dengan    menggunakan  hipotesis        induksi          maka disimpulkan   bahwa adalah     pansiklis.   Jadi terbukti   adalah pansiklis.

## 3.2 Penerapan Teorema Bondy
Pada  bagian  ini  akan  diperlihatkan  penggunaan  teorema  Bondy  dalam  penentuan batas atas  bilangan Ramsey untuk graf bintang terhadap graf roda dengan orde graf bintang lebih  besar  dari  orde  graf  roda.  Kita  akan  menunjukkan  bahwa  41  adalah  salah  satu  batas atas  bilangan  Ramsey  untuk  graf  bintang  berorde  15  terhadap  graf  roda  berorde  8  atau R ( S 15 , W 8 )  41.
Ambil  sembarang  graf F dengan  F  =  41.  Misalkan F tidak  memuat S 15 ,  akan ditunjukkan  bahwa  komplemen F memuat W 8 .  Karena F tidak  memuat S 15 ,  berarti  untuk setiap titik v di F , d F ( v )  13. Mengingat orde F adalah ganjil dan menurut Akibat 1 (Lema Handshaking),  terdapat  paling  sedikit  satu  titik u 0  F berderajat  genap.  Dengan  tidak mengurangi perumuman pembuktian dimisalkan d ( u 0 ) = 12. Tulis A = V ( F ) \ N [ u 0 ]  dan T = F [ A ].  Dapat  diketahui  bahwa  T   37-  N [ u 0 ]  = 41 – 13 = 28.    Karena d F ( v )  13 untuk setiap  titik v di F dan T adalah  sub  graf  dari F ,  maka d T ( v )  13  untuk  setiap  titik  di T . Berarti untuk setiap titik v di komplemen T berderajat d ( v )  28-14=14   T  / 2. Menurut teorema  Bondy  komplemen T merupakan  graf  pansiklik.  Berarti  Komplemen T memuat siklus  berorde  8  ( C 8 ).  Siklus C 8 bersama-sama  dengan  titik v 0 membentuk  graf  roda W 8 di komplemen F .  Hal  ini  membuktikan  bahwa  sembarang  graf  berorde  41  pasti  memuat S 15 atau komplemennya memuat W 8. Menurut definisi bilangan Ramsey R ( S 15 , W 8 )  41 atau 41 adalah batas atas bilangan Ramsey untuk graf bintang S 15 terhadap graf roda W 8

## Daftar Pustaka
[1]    Baskoro  E.T., 2007. Makalah Pidato Ilmiah pada pengukuhan Guru Besar ITB .
[2]     Chartrand G. dan Lesniak L., 1996. Graph and Digraph , 3 th Edition . Chapman and Hall.
[3]     Hasmawati,  2007.  Bilangan  Ramsey  untuk  Graf  yang  Memuat  Bintang. Disertasi . Program Pascasarjana Matematika ITB.
[4]    Hasmawati dkk., 2005. Star-Wheel Ramsey  Numbers. The Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing , pp.123-128.
[5]    Hasmawati dkk., 2008, The Ramsey Numbers for Disjoint Unions of Graphs. Discrete Mathematics , 308, pp.2046-2049.
[6]    Radziszowski  S.P.,  2004.  Small  Ramsey  Numbers. The  Electronic  Journal  of Combinatorics , #DS1.9, http://www.combinatorics.org/ .
[7]    Surahmat,  2003.  Bilangan  Ramsey  untuk  Graf  Roda. Disertasi .  Departemen Matematika ITB Indonesia.