Analisis tegangan keluaran generator listrik frekuensi rendah dengan metode conjugate-gradient

## Jamrud Aminuddin
Program Studi Fisika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman Jalan Dr. Suparno No.61 Karangwangkal Purwokerto Jawa Tengah email: jamrud.aminuddin@unsoed.ac.id
Abstrak- Analisis  numerik  terhadap  tegangan  keluaran  generator  listrik  berdasarkan  persamaan  induksi elektromagnetik  telah  dilakukan  dengan  metode  conjugate-gradient.  Parameter  fisis  yang  digunakan  sebagai input merupakan angka-angka hasil eksperimen dari referensi tentang generator listrik frekuensi rendah,  yaitu: magnet  permanen,  luas  penampang,  dan  sudut  antara  medan  magnet  dan  momen  magnet.  Parameter  yang dijadikan  fungsi  target  dalam  metode  conjugate-gradient  adalah  jumlah  lilitan  pada  solenoid  dan  tegangan keluaran  yang  dibangkitkan  melalui energi  mekanik. Hasil  perhitungan  menunjukkan bahwa  tingkat  kesalahan dengan metode ini sekitar 5%. Secara keseluruhan, analisis numerik ini menunjukkan bahwa tegangan keluaran dapat diseimbangkan melalui pengaturan jumlah solenoid dan kecepatan putaran generator
Kata Kunci: conjugate-gradient, generator, induksi, solenoid, tegangan
Abstract  – –  The  numerical  analysis  of  the  output  voltage  of  the  electric  generators  based  on  the electromagnetic  induction  equation  has  been  carried  out  using  the  conjugate-gradient  method.  The  physical parameters  used  as  constant  numbers  are  from  the  experimental  results  of  the  electric  generator  with  lower frequency, i.e.: the permanent magnet,  cross-sectional  area,  and the  angle  between the  magnetic field  and the magnetic moment. The other parameters considered in the conjugate gradient-method are the number of coils of the  solenoid  and  the  output  voltage  which  is  generated  from  the  kinetic  energy.  The  results  of  the  calculation show  that  the  error  rate  of  the  method  is  approximately  5%.  Overall,  this  numerical  analysis  shows  that  the output voltage can be balanced through the adjustment of the number of coils of the solenoid and the rotational speed of the generator.
Key words: conjugate-gradient, generator, induction, solenoid, voltage

## PENDAHULUAN
Generator listrik merupakan alat untuk mengubah  energi  kinetik  dalam  bentuk  putaran menjadi  energi  listrik.  Generator  paling  sering digunakan untuk berbagai jenis sistem pembangkit,  seperti:  tenaga  air,  tenaga  panas bumi, tenaga uap dan tenaga angin, serta tenaga gelombang  laut  [1,2].  Pada  prinsipnya  tidak semua energi kinetik yang bersumber dari alam memiliki  kecepatan  putaran  yang  tinggi  untuk membangkitkan listrik. Sebagian energi tersebut hanya mampu memutar poros generator dengan kecepatan  rendah.  Generator  yang  mampu membangkitkan listrik dengan kecepatan putaran  yang  rendah  dikenal  dengan  istilah generator listrik frekuensi rendah [3,4].
Ada  dua  buah  jenis  generator  yang  biasa digunakan, yaitu generator sinkron dan asinkron. Generator sinkron merupakan generator  dengan  kecepatan  putar  rotor  sama dengan  kecepatan  medan  putar  stator  seperti generator  medan  magnet  permanen.  Sedangkan
generator  asinkron  memiliki  kecepatan  putar rotor  yang  berbeda  dengan  kecepatan  putar medan stator seperti generator induksi. Generator  induksi  banyak  digunakan  pada pembangkit  listrik  skala  kecil  karena  harganya yang  lebih  murah,  tidak  membutuhkan  sikat, konstruksinya yang sederhana, serta mudah dan murah perawatannya [5,6].
Generator  bekerja  berdasarkan  prinsip induksi  elektromagnetik  yang  terjadi  pada solenoid  yang  digerakkan  pada magnet. Sebaliknya sebuah magnet yang digerakan pada soleniod juga menimbulkan induksi elektromagnetik  [2,7].  Dimensi  kumparan  dan besarnya  medan  magnet  pada  sebuah  generator serta  besarnya  kecepatan  pergerakan  di  antara keduanya  dapat  dibuat  bervariasi  berdasarkan kebutuhan  daya  listrik  yang  diinginkan  [3]. Fenomena  tersebut  memerlukan  analisis  yang tepat  untuk  menghasilkan  sebuah  generator yang  efektif  dan  efisien  dalam  menghasilkan arus  listrik  [8-10].  Metode  yang  selama  ini dikembangkan  dalam  perancangan  generator
listrik adalah ekperimen. Untuk itu, dalam studi ini  dikembangkan  sebuah  metode  komputasi untuk  menentukan  dimensi  generator  sebelum eksperimen dilakukan.
Salah  satu  metode  yang  memungkinkan untuk  menentukan  beberapa  parameter  fisis terkait dengan optimasi kinerja generator adalah metode conjugate-gradient .  Metode conjugate- gradient merupakan  prosedur  yang  digunakan untuk  menemukan  minimum  lokal  dari  fungsi yang  terdiferensialkan.  Metode conjugate- gradient juga  dapat  digunakan  untuk  mencari solusi  numerik  dari  suatu  persamaan  linier tertentu  yang  matriksnya  simetris  dan  definit positif.  Metode  ini  bersifat  iteratif  sehingga dapat  diaplikasikan  pada  sistem  persamaan diferensial [11-13].
Berdasarkan  uraian  di  atas  maka  dalam tulisan  ini  dilakukan  analisis  tegangan  keluaran generator listrik frekuensi rendah  untuk menghasilkan  arus listrik. Metode yang digunakan  merupakan  pengembangan  referensi [1] dan [3]. Metode untuk menganalisis dimensi kumparan  dan  besarnya  medan  magnet  pada sebuah  generator  serta  besarnya  kecepatan pergerakan  di  antara  keduanya  akan  dianalisis dengan metode conjugate-gradient [11-14].

## METODE
Analisis gaya gerak listrik dari sebuah generator dilakukan  melalui  tiga  tahapan  utama.  Ketiga tahapan  tersebut  adalah:  perumusan  persamaan gaya gerak listrik, penyusunan algortima beserta realisasinya  dalam  bahasa  pemrograman,  dan perhitungan  beserta  analisisnya.  Perumusan persamaan  yang terkait dengan generator listrik dimulai  dari  prinsip  induksi  elektromagnetik, kemudian dihubungkan dengan perubahan fluks magnetik dikenal dengan Hukum Faraday [2,7]. Persamaan gaya gerak listrik (GGL) selanjutnya dianalisis dengan menggunakan metode conjugate-gradient [11-14]. Metode ini diimplementasikan  dalam  bahasa  pemrograman
Matlab  [14,15].  Analisis  dilakukan  terhadap banyaknya  solenoid,  kecepatan  sudut  putaran, dan tegangan keluaran generator [3].
Generator  bekerja  berdasarkan  prinsip induksi  elektromagnetik  yang  dapat  terjadi  jika sebuah  kumparan  digerakkan  pada  sebuah magnet.  Dapat  juga  terjadi  sebaliknya,  sebuah magnet  yang  digerakkan  terhadap  solenoid. Solenoid  merupakan  kumparan  kawat  yang berbentuk  silinder  yang  jarak  antar  lilitannya sangat  rapat.  Kedua  benda  tersebut  dapat
menghasilkan  induksi  elektromagnetik  atau gaya  gerak  listrik  induksi  [2,7].  Bentuk  dasar penampang generator diperlihatkan pada Gambar 1 .

## Gambar 1. Penampang generator [7]
Hubungan  antara  gaya  gerak  listrik  (GGL) induksi  dengan  perubahan  fluks  magnetik dikenal  dengan  Hukum  Faraday.    Menurut percobaan  Faraday,  jika  fluks  magnetik  yang melalui  suatu  rangkaian  diubah  dengan  cara apapun,  maka  GGL  induksi  akan  sama  besar dengan  laju  perubahan  fluks  yang  diinduksikan dalam rangkaian. Fluks ini dapat dihasilkan dari medan  magnet  dalam  bentuk  simpal  arus. Hukum  Faraday  menyatakan  bahwa  tegangan elektrik  imbas ε di  dalam  sebuah  rangkaian sama  dengan  kecepatan  fluks  yang  melalui rangkaian  tersebut.  Jika  kecepatan  perubahan fluks dinyatakan di dalam Weber per detik (W.s - 1 ),  maka  tegangan  gerak  elektrik  ε  akan dinyatakan  dalam  Volt  (V).  Besarnya  GGL ( electromagnetic force ) induksi dapat
dinyatakan sebagai perubahan fluks magnetik  B dalam selang waktu ( t ):
. B d dt     (1)
Tanda  negatif  menunjukkan  arah  tegangan gerak elektrik imbas yang merupakan kontribusi dari  Hukum  Lenz,  dengan  tegangan  gerak elektrik akan melawan perubahan yang diterima simpal.  Jika  persamaan  (1)  dikenakan  pada sebuah  solenoid  dengan N lilitan,  maka  sebuah tegangan  gerak  elektrik  akan  muncul  dalam setiap  lilitan.  Sehingga  semua  tegangan  gerak elektrik dapat dituliskan dalam bentuk:
( ) , B B d d N N dt dt        (2)
dengan N  B menyatakan nilai tautan fluks ( fluks linkages )  di  dalam  solenoid, N adalah  jumlah lilitan  dan  B menyatakan  fluks  magnetik.  Jika  B =N  B , maka  persamaan  (2)  dapat  ditulis dalam bentuk:
( ) . d NBA dA NB dt dt      (3)
Jika N dan B konstan  terhadap  waktu, sedangkan A luas  penampang  yang  berubah terhadap  sudut,  dan  sudut  berubah  tehadap waktu,  maka  persamaan  (3)  dapat  dinyatakan dalam bentuk:
. dA d NB d dt     
(4) Jika . . cos B A B A   ,  maka  persamaan  (4)
menjadi
, sin    NBA  (5)
dengan  adalah  besarnya  sudut  antara  medan magnet  dan  momen  magnet,  dan  adalah kecepatan  sudut.  Persamaan  (5)  menunjukkan GGL induksi yang ditimbulkan dapat diperbesar dengan  memperbanyak  jumlah  lilitan  pada solenoid, menggunakan magnet yang lebih kuat, dan  mempercepat  putaran  generator  listrik [1,2,7].
Berdasarkan  persamaan  (5),  penentuan jumlah  lilitan  solenoid,  besarnya  kecepatan radial,  sudut  medan  magnet,  dan  magnet permanent dilakukan dengan metode conjugate- gradient .  Metode  tersebut  adalah  sebuah algoritma  untuk  mencari  solusi  numerik  sistem persamaan  linier  yang  matriksnya  simetris  dan definit  positif.  Metode  ini  bersifat iteratif , sehingga  dapat  diaplikasikan  pada  sistem  yang sedikit  kompleks  jika  diselesaikan  dengan metode  langsung.  Secara  matematis  metode  ini dimulai dengan sebuah pemahaman
    min : n
f x x R  (6)
di  mana : n f R R  adalah  fungsi  yang differentiable dan  terbatas.  Untuk  menyesaikan masalah  ini,  dimulai  dengan  memberikan  nilai awal x 0  R n ,  sebuah  metode non  linear conjugate  gradient ,  membangun  barisan  { x k } berdasarkan rumus:
1 k k k k x x d     (7)
dengan k  >  0  diperoleh  dengan  metode line search dan d k dibangun dari:
1 1 0 0 ; k k k k d g s d g         (8) dengan k  adalah  parameter conjugate- gradient , 1 k x k s x x    dan   k k g f x   [11-14].
Penamaan  parameter  yang  terkait  dengan persamaan (5) dalam metode conjugate gradient ,  dimulai  dari  asumsi  bahwa  optimasi akan dilakukan terhadap nilai tegangan keluaran
(  )  sebagai  fungsi  dari  jumlah  lilitan  ( N )  dan kecepatan radial (  ),
( , ) sin . N N B A      (9)
Dari  persamaan  (9),  maka  diketahui  fungsi target dalam bentuk:
( , ) sin N N B A       , (10)
dan
( , ) sin . N NB A       (11)
Parameter  lainnya  yang  merupakan  fungsi yang berpengaruh terhadap besarnya gaya-gerak listrik  pada  persamaan  (5)  dianggap  sebagai konstanta  hitungan  numerik.  Pada  prinsipnya semua  variabel  dapat  dijadikan  sebagai  fungsi target,  tetapi  setelah  mempertimbangkan  faktor teknis,  maka  parameter  lainnya  dianggap konstan  dalam  proses  perhitungan  dengan metode conjugate-gradient .    Parameter  fisis yang  dianggap  konstan  dalam  prosedur  ini adalah B (medan  magnet), A (luas  penampang) dan  (sudut  antara  medan  magnet  dan  momen magnet). Prosedur lengkap dengan metode conjugate-gradient terhadap  persamaan  (5) untuk  menganalisis  beberapa  parameter  fisis yang terkait dengan generator listrik adalah:
0. Menentukan  parameter  yang  dianggap konstan  ( B , A ,  dan  ),  nilai  awal perhitungan ( 0 N , 0  , N 0  ,   0 , N 0  ,   0 ,  , 0 0 N G G  , N d 0 ,  0 d ), dan melakukan estimasi awal terhadap nilai 0  , setelah itu prosedur  berikut  dilakukan  sampai  iterasi ke- n : 1.
1 1 1 n n n n N N d         dan 1 1 1 N N n n n n d         2.   , ( , ) ( , ) N n N G N N 
       
3. , 1 1 T N n n n T n n G G G G      (Superscript  T  transpose
matriks)
4. 1 N n n n N N     dan 1 n n n       
5. N N N n n n n d G      dan n n n n d G        
6. 1 1 N n N N n n N n d d                  dan 1 1 n n n n d d                      7. N N N n n n n d G      dan n n n n d G        
8. Nilai GGL pada iterasi ke- n :
( , ) sin n n n N N B A
    
9. Error: 1 1 100% n n n n          .
Prosedur tersebut diimplementasikan dalam pemrograman  Matlab  [14,15].  Hasil  yang ditargetkan  adalah  tegangan  keluaran  optimum dengan  jumlah  lilitan  dan  kecepatan  putaran yang bervariasi.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  Gambar  2  diperlihatkan  hasil  estimasi dengan  metode conjugate-gradient .  Parameter fisis  yang  digunakan  sebagai  bilangan  konstan merupakan pengujian angka-angka hasil eksperimen  dari  referensi.  Pada  referensi tersebut,  digunakan  magnet  permanen  ( B ) sebesar  1,0833  Tesla  (  0,0002  Weber),  luas penampang ( A ) sebesar 2  cm 2 , dan sudut antara medan  magnet  dan  momen  magnet  (  )  sebesar 45 o .  Jumlah  lilitan  sebanyak  63  dengan tegangan  keluaran  sebesar  12  Volt  yang dibangkitkan dengan kecepatan putaran 500 rpm ( revolution  per  minute )  [2,3,9].  Jumlah  lilitan berdasarkan perhitungan komputasi berada pada angka  yang  hampir  sama  dengan  ekperimen pada referensi [2,3,9], yaitu pada kisaran 60.
Gambar  2 . Hasil  perhitungan  tegangan  keluaran dengan  metode conjugate-gradient .  Garis  kontur menunjukkan  besarnya  tegangan  keluaran  (Volt) berdasarkan  jumlah  lilitan  dan  kecepatan  angular generator listrik.
Tegangan  keluaran  dengan  fungsi  target berupa  kecepatan  putaran  (  )  pada  angka  500 rpm  menunjukkan  angka  antara  12-13  Volt. Hasil  ini  menunjukkan  bahwa  hasil  metode conjugate-gradient dengan menggunakan
angka-angka  hasil  eksperimen  menunjukkan akurasi sekitar 95%. Untuk itu pada perhitungan selanjutnya dilakukan variasi terhadap
parameter  konstan  dengan  asumsi  bahwa tegangan keluaran berdasarkan metode conjugate-gradient dikoreksi  sebesar  5%. Waktu  yang  digunakan  untuk  perhitungan dalam Matlab sangat singkat karena menggunakan parameter angka yang kecil.
Tabel  1 .  Pengaruh  magnet  permanen  terhadap tegangan keluaran Magnet permanen (Weber) Tegangan keluaran (Volt) 0,0001 6,0609 0,0002 12,1218 0,0003 18,1827 0,0004 24,2437 0,0005 30,3046 0,0006 36,3655 0,0007 42,4264 0,0008 48,4873 0,0009 54,5482
Tabel  1  merupakan  pengembangan  hasil perhitungan dengan metode conjugate-gradient . Parameter  yang  dijadikan  standar  pada  Gambar 2 adalah kecepatan putaran pada angka 500 rpm dan  jumlah  lilitan  pada  angka  60  dengan tegangan  keluaran  yang  terbaca  pada  garis kontur  sebesar  10,1015  Volt.  Bilangan  konstan yang  divariasikan  pada  bagian  ini  adalah magnet permanen, sedangkan parameter lainnya dibuat tetap. Nilai parameter konstan yang tidak divariasikan  dalam  perhitungan  ini  adalah  luas penampang ( A ) sebesar 2 cm 2 , dan sudut antara medan  magnet  dan  momen  magnet  (  )  sebesar 45 o .  Kedua  nilai  tersebut  diambil  dari  hasil eksperimen  pada  referensi  [2,3,9].  Hasil estimasi  dengan  metode conjugate-gradient menunjukkan bahwa pengaruh magnet permanen  yang  ditingkatkan  setiap  0,0001 Weber mampu meningkatkan tegangan keluaran generator lisrik sebesar 5 Volt.
Tabel  2 .  Pengaruh  luas  penampang  terhadap tegangan keluaran
Luas penampang (cm 2 ) Tegangan keluaran (Volt) 1,5 10,1015 2,0 12,1218 2,5 14,1421 3,0 16,1624 3,5 18,1827 4,0 20,2031 4,5 22,2234 5,0 24,2437 Tabel 2 merupakan pengembangan metode perhitungan  pada  Tabel  1  dengan  parameter
standar yang sama. Parameter yang divariasikan adalah  luas  penampang  generator  ( A ).  Nilai parameter  konstan  yang  tidak  divariasikan dalam perhitungan ini adalah magnet  permanen ( B )  sebesar  0,0002  Weber,  dan  sudut  antara medan  magnet  dan  momen  magnet  (  )  sebesar 45 o . Parameter konstan tersebut merupakan nilai yang  diperoleh  dari  hasil  ekperimen  untuk generator  frekuensi  rendah.  Parameter  yang tidak  pernah  divariasikan  secara  eksperimen adalah  sebesar  45 o [8,9].  Nilai  tersebut digunakan  untuk  menganalisis  parameter  yang ideal  untuk  menghasilkan  tegangan  keluaran pada angka  12 Volt. Pada Tabel 1, angka yang mendekati  adalah  12,1218  Volt  dengan  magnet permanen 0,0002 Weber sehingga nilai tersebut digunakan  pada  bagian  ini.  Hasil  pada  Tabel  2 menunjukkan  bahwa  pada  magnet  permanen 0,0002 Weber  dengan  peningkatan luas penampang  0,5  cm 2 akan  meningkatkan tegangan keluaran generator sebesar  2 Volt.
Gambar  3. Hasil  perhitungan  teoretis  tegangan keluaran generator dengan  target  220  Volt (diperlihatkan  pada  garis  kontur).  Ada  tiga  keadaan untuk  mendapatkan  nilai  yang  ditargetkan  antara jumlah lilitan dan kecepatan.
Gambar  3  merupakan  hasil  estimasi rancangan  generator  listrik  dengan  daya keluaran  220  Volt.  Tegangan  tersebut  dipilih dengan  asumsi  bahwa  tengangan  yang  umum digunakan  di  Indonesia  adalah  220  Volt  [3]. Parameter  fisis yang digunakan  sebagai bilangan  konstan  merupakan  pengujian  secara teoretis  berdasarkan  kecenderungan  hasil  pada Tabel  1  dan  2.  Fungsi  target  berupa  jumlah lilitan  dan  kecepatan  putaran  seperti  pada Gambar 3 dihasilkan melalui pengujian beberapa  bilangan  konstan  dengan  prosedur yang  sama  seperti  pada  Gambar  2.  Pada pengujian  ini  digunakan  luas  penampang
generator  sebesar  10  cm  dan  magnet  permanen 0,0009  Weber.  Dengan  menggunakan  prinsip eksperimen  maka  sudut  antara  medan  magnet dan  momen  magnet  tidak  divariasi  tetapi menggunakan  angka  yang  umum  digunakan dalam  pembuatan  generator,  yaitu  sebesar  45 o [8,9].  Hasil  estimasi  yang  telah  dilakukan menunjukkan  bahwa  tegangan  220  Volt diperoleh  pada  kecepatan  antara  300-450  rpm dengan jumlah lilitan antara 70-90.
Hasil  ini  juga  memberi  petunjuk  bahwa untuk  mendapatkan  nilai  tegangan  yang ditargetkan,  maka  perlu  dilakukan  analisis keseimbangan  antara  kecepatan  putaran  dan jumlah  lilitan  [6,8,10].  Metode  ini  hanya merupakan  alat  bantu  dalam  proses  pembuatan generator listrik.  Dalam eksperimen dibutuhkan beberapa  koreksi  untuk  memastikan  tegangan keluaran generator listrik. Metode ini juga dapat diaplikasikan  dengan  mengubah  fungsi  target dan  parameter  konstan  [11,13].  Berdasarkan nilai-nilai  yang  digunakan  sebagai  input  yang tidak  lain  adalah  hasil  eksperimen  dengan akurasi  sekitar  95%,  maka  metode  ini  sangat direkomendasikan untuk kajian optimasi lainnya.

## KESIMPULAN
Analisis  parameter  yang  berpengaruh  pada kinerja generator listrik  telah  dilakukan  secara teoretis  dengan  metode  numerik.  Perumusan dimulai  dengan  meninjau  Hukum  Faraday  dan Hukum  Lenz  tentang  gaya  gerak  listrik  (GGL) akibat induksi elektromagnetik. Dari perumusan tersebut diperoleh persamaan tegangan keluaran generator  listrik  sebagai  fungsi  dari  medan magnet,  luas  permukaan  generator,  kecepatan putaran, sudut antara medan magnet dan momen magnet,  dan  jumlah  lilitan  solenoid.  Dari persamaan  tersebut,  ditetapkan  dua  buah  fungsi target  untuk  menganalisis  tegangan  keluaran generator  listrik  dengan  metode conjugate- gradient ,  yaitu  kecepatan  putaran  dan  jumlah lilitan.  Fungsi  lainnya  dianggap  sebagai parameter  konstan.  Parameter  konstan  tersebut juga  divariasikan  untuk  mengetahui  efeknya terhadap  tegangan  keluaran  dari  generator listrik.
Pengujian  metode  ini  dilakukan  dengan menggunakan data-data eksperimen yang dilakukan  oleh  peneliti  sebelumnya  yang diperoleh  melalui  pengukuran  secara  langsung. Hasil  estimasi  dengan  metode conjugate- gradient menunjukkan bahwa metode ini sangat
akurat  dengan  tingkat  kesalahan  hanya  5%. Selanjutnya  inovasi  baru  yang  dilakukan  dalam analisis numerik ini adalah estimasi keseimbangan antara jumlah lilitan dan kecepatan  putaran  generator  dengan  target keluaran  disesuaikan  dengan  tegangan  untuk instrument  listrik  yang  umumnya  digunakan  di Indonesia,  yaitu  220  Volt.  Hasil  estimasi terakhir  menunjukkan  bahwa  untuk  mencapai nilai  yang  ditargetkan  diperlukan  peningkatan jumlah  lilitan  untuk  menekan  energi  untuk memutar generator listrik.
Metode conjugate-gradient yang  telah diterapkan  hanya  merupakan  alat  bantu  dalam proses  pembuatan  generator  listrik.  Dalam eksperimen  dibutuhkan  beberapa  koreksi  untuk memastikan tegangan keluaran generator listrik. Parameter  yang  digunakan  untuk  hasil  yang terakhir  belum  mempunyai  angka  pembanding berdasarkan  hasil  eksperimen.  Untuk  itu  sangat disarankan agar hasil ini
dapat
diimplementasikan  dengan  membuat prototype generator berdasarkan hasil perhitungan teoretis yang diperoleh dalam analisis ini.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Artikel  ilmiah  ini  merupakan  bagian  dari kegiatan  penelitian  hibah  bersaing  dengan sumber  dana  Dikti,  nomor  kontrak:  DIPA- 023.04.2.189899/2014.  Untuk  itu  saya  ucapkan terima  kasih  atas  dukungan  dana  dalam penelitian  ini.  Ucapan  terima  kasih  juga  saya ucapkan  kepada  rekan-rekan  yang  tidak  bisa disebutkan  semuanya  dalam  ruang  sempit  ini, atas diskusinya yang sangat bermanfaat.

## PUSTAKA
[1] G.A.  Caxaria,  D.M.  Sousa,  and  H.M.
Ramos, Small Scale Hydropower:
generator  analysis  and  optimization  for water  supply  systems, World  Renewable Energy Congress 2011 Sweden , 8-13 May Lingköping-Sweden, (2011) 1386-1393.
[2] P.  Irasari,  D.  Hidayati,  dan  Nurafni, Analisis  Prototipe  Generator  Kecepatan Rendah  Untuk  Pembangkit  Listrik  Skala Kecil,  Majalah  Teknologi  Indonesia, 29(1)  (2006) 47-51.
[3] P.  Irasari,  A.S.  Nugraha,  dan  M.  Kasim, Analisis Getaran pada Generator Magnet Permanen  1  Kw  Hasil  Rancang  Bangun
Pusat  Penelitian  Tenaga  Listrik  dan Mekatronik ,  Journal  of  Mechatronics, Electrical Power, & Vehicular Technology 1(1) (2010) 19-26.
[4] M.E.A. Farrag, and G.A. Putrus, Analysis of  the  Dynamic  Performance  of  Self- Excited  Induction  Generators  Employed in Renewable Energy Generation , Energies 7 (2014) 278- 294.
[5] A.  Gupta,  and  S.  Wadhwani, Analysis  of Self-Excited  Induction  Generator  for
Isolated  System ,  International  Journal  of Computational Engineering Research (IJCER)  2(2) (2012) 353 –358.
[6] M. Hadziselimovic, I. Zagradisnik, and B.
Stumberger, I nduction Machine: Comparison  of  Motor  and  Generator Characteristics , Acta Technica
Jaurinensis  6(1) (2013) 39-47.
[7] J.D.  Jackson, Classical  Electrodynamics , 3rd  Edition,  John  Wiley  and  Sons,  USA, 1998
[8] M.  Senthilkumar, Optimal  Capacitor  for Maximum Output Power Tracking of Self
Excited Induction Generator Using Fuzzy
Logic  Approach ,  International  Journal  on Computer  Science and  Engineering (IJCSE) 2(5) (2010) 1758-1762.
[9] K.  Thakur, A  Reliable  and  Accurate Calculation  of  Excitation  Capacitance Value  for  an  Induction  Generator  Based on  Interval  Computation  Technique ,
International  Journal  of  Automation  and Computing 8(4) (2011) 429 – 436.
[10] G.K.  Shilpa,  and  P.F.  Dias, Stability  of Voltage Using Different Control Strategies  in  Isolated  Self  Excited Induction  Generator  for  Variable  Speed Applications ,  International  Journal  of Engineering  Trends  and  Technology
(IJEET) 4(3) (2013) 2366 – 2370.
[11] S. Sanmatías, and E.A. Vercher, Generalized Conjugate Gradient Algorithm , Journal of Optimization
Theory  and  Applications  98  (1998)  489– 502.
[12] Z. Wei, G. Li, and L. Qi, New Nonlinear Conjugate Gradient Formulas for Large- scale Unconstrained Optimization
Problems ,  Applied  Mathematics  and Computation 179(2) (2006) 407-430.
[13] I.  Abdullahi,  and  R.  Ahmad, Global
Convergence  Analysis  of  a  New  Hybrid Conjugate Gradient Method for Unconstrained  Optimization  Problems , Malaysian  Journal  of  Fundamental  and
Applied Sciences 2(13) (2017) 40-48.
[14] G.  Liendfield,  and  J.  Penny, Numerical Methods  using  MATLAB .  Ellis  Horword Limited. New York, 1995.
[15] J.  Aminuddin, Dasar–Dasar  Fisika
Komputasi Menggunakan MATLAB , Edisi Pertama. Gava Media. Yogyakarta, 2008.