## MODEL MATEMATIKA PENYAKTI DIABETES MELITUS
Muh. Irwan 1 , Irwan 2 , jusrawati 3
1,2,3 Dosen Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar e-mail : muhirwan@uin-alauddin.ac.id 1 , irwan.msi@uin-alauddin.ac.id 2 jusrawati@gmail.com 3

## Abstract
Diabetes mellitus (DM) or often known as diabetes mellitus, is a disease that can be caused by heredity, one of the factors caused by patterns of human life patterns. In the paper a model and mathematical analysis of DM disease are introduced. To simplify the analysis, the Runge Kutta method was used to complete the model. Based on the results of the analysis, it is known that the population of patients with DM disease tends to increase for a long period of time.
Key words: Mathematical Modeling, Diabetes Mellitus, Numerical Method

## Abstrak
Penyakit diabetes mellitus(DM) atau sering dikenal dengan penyakti diabetes, merupakan penyakit yang dapat disebabkan karena keturunan, salah satu faktor penyebabnya disebabkan pola pola hidup manusia. Pada paper diperkenalkan model dan analisis matematika berkaitan penyakit DM. Untuk mempermudah analisis, digunakan metode Runge Kutta untuk menyelesaikan model. Berdasarkan hasil analisis, diketahui bahwa populasi penderita penyakit DM cenderung bertambah untuk selang waktu yang cukup lama.
Kata Kunci : Pemodelan Matematika, Penyakit Diabetes Melitus, Metode Numerik.

## I. PENDAHULUAN
Berdasarkan data International Diabetes Federation (IDF)  jumlah  orang  yang  menderita penyakit  DM  sekitar  183  juta  orang,  dan  mereka tidak menyadari bahwa mereka menderita penyakit DM.  diperkirakan  terdapat  sebesar  80%  orang penderita DM yang tinggal di Negara berpenghasilan rendah dan menengah.  Pada tahun 2006.  Sedangkan  dikawasan  asia  tenggara  tercatat lebih  dari  50  juta  orang  yang  menderita  DM  [1]. Sedangkan  Indonesia  berada  pada  urutan  ke-7 penderita DM terbesar di dunia. Dan sebanyak 8,5 juta oeang yang berusia 20-79 tahun [2]. Data  menunjukkan,  bahwa  Provinsi  Sulewasi Selatana  khususnya  di  Kabupaten  Bulukumba bahwa  pada  tahun  2013  terdapat  1150  orang  yang terjangkit  penyakit  DM.  Sedangkan  pada  tahun 2014 (januari-Agustus) sebanayk 143 pasien [3]. Penelitian sebelumnya,
1. N.Ardiansyah  dan  M.kharis    menyimpulkan bahwa perawatan terhadap penderita DM tidak terlalu  signifikan  selama  memiliki  kebiasaan buruk khususnya pola makan.
2. Nanik  Listiana  menyimpulkan  bahwa  jumlah penderita  DM  akan  terus  bertambah  dengan memperhatikan titik kesetimbangan.
Dengan masih banyaknya variable yang mempengaruhi  penyakit  DM  sehingga  pada  paper ini  akan  dibuat  model  matematika  DM  dengan kompilasi  Model  matematika  ini  akan  dianalisis berdasarkan  titik  kestimbangannya.  Selanjutnya, model  tersebut  akan  disimulasikan  menggunakan data  yang  telah  diperoleh  dengan  menggunakan metode numerik.

## Pemodelan Matematika
Pemodelan    matematika  merupakan  suatu    proses dalam  mateamtika  dengan  berdasarkana  asumsi- asumsi tertentu [4]. Secara umum proses pemodelan dilakukan dengan langkah sebagai berikut,
1. Menetukan masalah
2. Membuat asumsi dan pendekatannya
3. Menentukan model (persamaan matematika)
4. Menyelesaikan persamaan mateamtika (model matematika)
5. Membuat interpretasi berdasarkan solusi yang diperoleh.

## Titik Equilibrium
Definisi. Misalkan 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) . 𝑥̂ 𝜖 𝑅 𝑛 disebut titik equilibrium dari 𝒙̇ = 𝒇(𝒙) . Jika memenuhi 𝑓(𝑥̂) = 0 .
Misalkan diberikan suatu sistem otonoums
𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑥, 𝑦) , 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑔(𝑥, 𝑦)
Titik (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) disebut  titik  kritis  dengan  syarat 𝑓(𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) = 0 dan 𝑔, 𝑦 ∗ ) = 0 .  Maka    Titik  kritis (𝑥 ∗ , 𝑦 ∗ ) adalah  solusi  sitem  sistem  (2.1)  yang bernilai konstan ( 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑦 𝑑𝑡 = 0) [13].
Definisi Pelinearan . Misalkan fungsi 𝑓 = {𝑓 1 , … , 𝑓 𝑛 } , 𝑥̇ = 𝑓(𝑥) dengan 𝑓 𝑖 ∈ 𝐶(𝐸), 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Matriks 𝑱(𝒇(𝒙 ̅)) =
[ 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 1 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 2 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 1 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅ ) 𝜕𝑥 2 … 𝜕𝑓 𝑛 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑛 ]
Dinamakan matriks jacobian dari f di titik 𝑥̅ Stabil suatu titik kesetimbangan dikatakan stabil, jika dan hanya  jika  akar-akar  karakteristiknya  bernilai  real dan negative.

## Tidak stabil
Suatu  titik  setimbang  dikatakan  stabil  jika  hanya jika  (nilai  eigen)  bernilai  real  positif  atau mempunyai  paling  sedikit  satu  nilai  eigen  real positif.

## Metode Numerik
Metode    numerik  merupakan  suatu  tekhnil  untuk menyelesaikan  rumusan  matematika  yang  sulit diselesaikan  dengan  cara  analitik  [5].  Misalnya, persamaan  differensial.  Tidak  semua  persamaan diferensial  bisa  ditentukan  solusinya  dengan  cara analitik.  Sehingga  diharuskan  untuk  memilih metode  numerik.  Diantaranya,  metode  Heun, Metode  Euler,  Runge-Kutta  Ode  23  atau  Runge- Kutta Ode 45.

## Metode Runge-Kutta
Metode  Runge-Kutta  diperkenalkan  oleh  Carl Runge  dan  Martin Kutta  pada tahun  1900  masehi. Metode  Runge-Kutta  merupakan  salah  satu alternatif  dari  metode  deret  Taylor  dengan  tidak membutuhkan turunan fungsi.

## Diabetes Melitus
Diabetes  Mellitus  dikenal  di  Indonesia  dengan istilah  penyakit  Gula  atau  kencing  manis  dengan ditandai  kondisi  gula  darah overnormal atau melebihi  gula  darah  normal  yang  disebabkan  oleh tubuh  kekuarangan  insulin[6].    Dula  darah dikategorikan  berada  pada  kondisi  normal  dengan ketentuan [7]:
a. Kondisi  sebelum  makan  70  sampai  130 mg/dL
b. Selang  2  jam  setelah  makan  kadar  gula darah dkurang dari 180mg/dL
c. Tidak  makan  setelah  8  jam  kondisi  kadar gula darah  kurang dari 100mg/dL
d. Menjelang tidur 100 sampai  140 mg/dL
DM dikategorikan menjadi dua tipe yaitu DM Tipe 1 dan DM  tipe  II. Pada DM  tipe  1,  sel  beta pankreas  rusak  mengakibatkan  proses  autoimun tidak  dapat  mengahsilkan  insulin.  Sehingga  pada tipe ini pasien harus mendapatkan insulin . DM tipe 2, kebanyakan  tipe  ini  diderita  seseorang DM Gestasional, dan  banyak  terjadi  pada  pada  ibu hamil [7].
Penyakit  DM  disebut  sebagai the  great  imitator, merupakan penyakit yang dapat menyerang seluruh anggota  tubuh.  Oleh  sebab  itu  DM    dapat mengakibatkan    terjadinya  komplikasi  pada  tubuh baik berupa komplikasi akut ataupun  kronis  [8]. II. METODOLOGI PENELITIAN
Langkah-langakah yang dilakukan untuk menghasilkan  model  matematika  DM  adalah sebagai berikut:
1. Merumuskan  masalah  yang  berkaitan  dengan DM
2. Membuat asumsi berdasarkan observasi
3. Membuat persamaan matematika
4. Menentukan titik kesetimbangan
5. Menentkan nilai eigen (𝜆)
6. Membuat interpretasi berdasarkan hasil simulasi.
7. Melakukan validasi model
III. HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Memformulasikan model real
Beberapa  hal  yang  yang  berkaitan  dengan  DM yaitu,  DM    adalalah  gangguan  metabolism,  DM dapat  menimbulkan  komplikasi  yang  dapat berakibat fatal, Komplikasi diabetes dapat dicegah, ditunda atau diperlambat dengan mengontrol kadar gula  darah,  Mengontrol  kadar  gula  darah  dapat dilakukan dengan terapi misalnya patuh meminum oba,  Kematian  pada  penderita  DM  berhubungan dengan  komplikasi  yang  terjadi,  Kelangsungan hidup penderita diabetes lebih panjang dan diabetes dapat  dikontrol  lebih  lama  degan  pemberian beberap obat.  (Restyana
2. Membuat Asumsi
Berdasarkan  kondisi  DM,  dibuat  asumsi  sebagai berikut.
a) Terdapat  kematian  kematian  secara  alami disetiap kelas populasi.
b) Kasus  baru  dikategorikan  sebaga  kelas populasi DM tanpa komplikasi.
c) Terjadi kematian akibat komplikasi

## 3. Formulasi model matematika
Berdasarkan  asumsi  di  atas,  peta  kondisi  populasi DM digambarkan pada grafik berikut.
Berdasarkan grafik di atas  diketahui bahwa 𝑁(𝑡) = 𝐷(𝑡) +  𝐶(𝑡) .  Misalkan 𝜃 = 𝛾 + 𝛿 +  𝜇 ,  dan 𝜎 = 𝜆 + 𝜇 + 𝛼 .  Selanjutnya  diberikan 𝜆 = 𝛽 𝐶(𝑡) 𝑁(𝑡) , dimana  konstanta 𝛽 merupakan  koefisien pengendali  untuk  menentukan  nilai 𝜆 .  Diperoleh model sebagai berikut,
𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝐼 𝑑 − 𝜎𝐷 + 𝛾𝐶
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = (𝛽 − 𝜃)𝐶 − 𝛽 𝐶 2 𝑁 (3.1) 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝐼 𝑑 − 𝜇𝑁 − 𝛿𝐶 − 𝛼𝐷

## 4. Titik Equilibrium
Titik equilibrium diperoleh dengan ketentuan 𝑑𝐷 𝑑𝑡 =
0 , 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0, yang  bermakna  bahwa  tidak terjadi  populasi  untuk  setiap  t.  diperoleh  titik equilibrium sebagai berikut:
(𝐷 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑁 ∗ ) = ( 𝐼 𝑑 𝜎 , 0 , 𝐼 𝑑 (𝜎−𝛼) 𝜎𝜇 ) 𝐷 ∗ = 𝑖 𝑑 ( 1+(𝛾(𝛽−𝜃)(𝜎−𝛼)) 𝜇𝛽𝜎 2 ) 𝐶 ∗ = ( 𝐼 𝑑 (𝛽−𝜃)(𝜎−𝛼) 𝜇𝜎𝛽 ) 𝑁 ∗ = 𝐼 𝑑 ( (1 − (𝛿𝜎𝑝𝑞) − (𝛼(1 + 𝛾𝑝𝑞)))
𝛽𝜇 2 𝜎 2 )
5. Pelinearan Pada Titik Tetap Pelinearan dilakukan menggunakan matriks Jacobian, yaitu
   
     
 
               
2 * 2 * * * * * * ) ( ) ( 2 ) ( 0 0 ) ( N C N C N C D J

## 6. Menentukan Nilai Eigen
Dari  matriks  Jacobian  diperoleh  nilai  Eigen  yaitu: 𝜆 1 = −𝜇 , 𝜆 2 = −𝜎 , 𝜆 3 = 𝛽 − 𝜃 ,

## 7. Simulasi Model
Data  yang  digunakan  adalah  data  pasien  penderita DM di RSUD kabupaten Bulukumba. Dengan 𝐼 𝑑 = 1170 .  Berdasarkan  data  dari  RSUD  kota Bulukumba diketahui:
1. bahwa Jumlah penderita DM sebanyak 1170
2. dari  1700  penderita  DM  terdapat  1000  jiwa dengan komplikasi 1000 jiwa dan dan sisanya tanpa komplikasi .
Tabel 1. Parameter
Berikut  ini  adalah  simulasi  model  pencarian kestabilan  titik  tetap  pada  saat  masih  terdapat penderita  yang  mengalami  kesembuhan.  Dengan memisalkan  nilai  parameter  yaitu = 0,02 , 𝛿 = 0,05 , 𝛼 = 0.04 , 𝛾 = 0,08 , 𝛽 = 1 ,  dan 𝜆 = 0,85 . Pada kondisi ini tingkat kesembuhan komplikasi 𝛾 pada  penderita  DM    sebesar  0,08  maka  diperoleh 𝜃 = 0,15 sehingga  jika  disubtitusikan  ke  dalam Sistem  Persamaan  (4.2)  akan  diperoleh  seperti berikut ini:
𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 1170 − (0,91)𝐷 + 0,08𝐶
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = (1 − 0,15)𝐶 − 𝐶 2 𝑁 = 0,85𝐶 − 𝐶 2 𝑁
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 1170 − 0,02𝑁 − 0,05𝐶 − 0,04𝐷
Kestabilan dari Sistem (4.3) dapat diselidiki melalui nilai  eigen  dari  matriks  jacobiannnya  yang  telah diperoleh yaitu 𝜆 1 = −0,02 , 𝜆 2 = −0,91 dan 𝜆 3 = 0,85 . dapat dilihat bahwa  salah satu nilai eigennya merupakan  bilangan  real  positif,  maka  titik (𝐷 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑁 ∗ ) = (1285,71 , 0 , 55928,57) tidak stabil.
Selanjutnya  Kestabilan  dari  sistem      bergantung pada  nilai  eigen  dari  matriks  jacobiannya  yang diperoleh  yaitu 𝜆 1 = −0,02 , 𝜆 2 = −0,91 ,  dan 𝜆 3 = 0,97 . Dapat dilihat salah satu dari nilai eigen merupakan  bilangan  real  positif,  maka  perilaku sistem  di  sekitar  titik (𝐷 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑁 ∗ ) = (74822,92 , 47539,29 , 3263688) adalah tidak stabil.
Dengan  menggukan  metode runge  kutta dapat diketahui  laju  perubahan  populasi  penderita  DM, dapat dilihat pada tabel dan grafik berikut.:
Tabel 4.2 . Laju perubahan populasi penderita DM
loop Runge Kutta Orde-4 ∆𝑥 = 0,1 parameter Nilai (𝑦𝑟 −1 ) 𝜇 0,020 𝛿 0,050 𝛼 0,040 𝛾 0,080 𝛽 1,00 𝜆 0,850
D C N 1 275,0 1003,0 1279,0 2 370,0 1013,0 1387,0 3 458,0 1027,0 1494,0 4 538,0 1046,0 1601,0 5 611,0 1068,0 1707,0 6 678,0 1094,0 1812,0 7 739,0 1122,0 1917,0 8 795,0 1153,0 2022,0 9 847,0 1186,0 2125,0 10 894,0 1222,0 2284,0
Tabel  4.2  di  atas  menunjukkan  laju  populasi semakin  meningkat  setiap  waktu  (tahun).  Selain pada tabel di atas laju perubahan populasi penderita DM juga dapat dilihat pada Gambar berikut
Gambar  4.1 .  Grafik  Laju  perubahan  poppulasi penderita DM tanpa Komplikasi
Gambar  4.2 .  Grafik  Laju  Perubahan  Populasi Penderita DM dengan Komplikasi
Gambar 4.3 . Grafik Laju Perubahan Total Populasi Penderita DM
Berdasarkan  ketiga  gambar  di  atas  (Gambar  4.1, 4.2,  4.3)  di  menjelaskan  bahwa  laju  pertumbuhan populasi  penderita  DM  tanpa  dan  dengan komplikasi  serta  total  populasi  terhadap  waktu semakin meningkat.
a. Kondisi  saat  tidak  terdapat  penderita  yang mengalami kesembuhan komplikasi
Simulasi  selanjutnya  yaitu  pada  kondisi  saat  tidak ada  penderita  yang  sembuh  dari  komplikasi  atau 𝛾 = 0 . Dengan memisalkan nilai parameter yaitu = 0,02 , 𝛿 = 0,05 , 𝛼 = 0,04 , 𝛾 = 0 , 𝛽 = 1 ,  dan 𝜆 = 0,85 . maka  diperoleh 𝜃 = 0,07 sehingga  jika disubstitusikan  ke  dalam  Persamaan  (4.2)  akan diperoleh seperti berikut
𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 1170 − (0,91)𝐷 + 0
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = (1 − 0,07)𝐶 − 𝐶 2 𝑁 = 0,93𝐶 − 𝐶 2 𝑁 (4.4)
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 1170 − 0,02𝑁 − 0,05𝐶 − 0,04𝐷
Kestabilan dari Sistem (4.4) dapat diselidiki melalui nilai  eigen  dari  matriks  jacobiannnya.  Diperoleh nilai  eigen  yaitu 𝜆 1 = −0,02 , 𝜆 2 = −0,91 dan 𝜆 3 =  0,85 .  dapa  dilihat  bahwa    salah  satu  nilai eigennya  merupakan  bilangan  real  positif,  maka titik
) 57 , 55928 , 0 , 714 , 1285 ( ) , , ( * * *
0  N C D P tidak stabil.
Selanjutnya  kestabilan  dari    diperoleh  nilai  eigen yaitu 𝜆 1 = −0,02 , 𝜆 2 = −0,9 ,  dan 𝜆 3 = 0.968 . Nilai  eigen  yang    diperoleh  yang  merupakan bilangan  real  negative  dan  positif,  maka  perilaku sistem disekitar titik 𝑃 1 (𝐷 ∗ , 𝐶 ∗ , 𝑁 ∗ ) = (70643,64 , 52013,57 , 32608861) dapat  dikatakan  tidak stabil.
Berikut diberikan laju perubahan populasi penderita DM dengan menggunakan metode Runge Kutta
Tabel 4.3 . Laju perubahan populasi penderita DM Iteasi ke- Runge  Kutta  Orde  4 Dengan (∆𝑥) = 0,1 D C N 1 267 1011 1279 2 356 1029 1387 3 437 1050 1494 4 510 1075 1601 5 578 1105 1707 6 639 1138 1812 7 696 1174 1917 8 747 1212 2021 9 794 1254 2125 10 837 1297 2228
Tabel  4.3  di  atas  menunjukkan  laju  populasi semakin  meningkat  setiap  waktu  (tahun).  Selain
pada tabel di atas laju perubahan populasi penderita DM juga dapat dilihat pada Gambar berikut:
Gambar  4.4. Grafik  Laju  Perubahan  populasi penderita DM tanpa Komplikasi
Gambar  4.5 .  Grafik  laju  perubahan  populasi penderita DM dengan komplikasi
Gambar 4.6 .  Grafik  laju  perubahan total  populasi penderita DM
Berdasarkan  ketiga  gambar  di  atas  (Gambar  4.4, 4.5,  4.6)  di  menjelaskan  bahwa  laju  pertumbuhan populasi  penderita  DM  tanpa  dan  dengan komplikasi  serta  total  populasi  terhadap  waktu semakin meningkat
Berdasarkan  nilai  kestabilan  dari  kedua  kondisi diatas  dapat  dikatakan  bahwa    nilai 𝛾 tidak membawa  pengaruh  terhadap  kestabilan  sistem. Akan  tetapi  kenaikan  nilai 𝛾 mampu  mengurangi jumlah  populasi penderita DM dengan komplikasi
Pembahasan Pada penelitian ini, untuk memperoleh tujuan yang ingin dicapai terlebih dahulu mengumpulkan data- data yang berkaitan dengan penyakit DM tanpa dan dengan Komplikasi. Data yang diperoleh kemudian dibuat menjadi asumsi-asumi yang akan digunakan untuk  membentuk  model  matematika.  Sehingga diperoleh model pada Persamaan  (4.1). Pada persamaan (4.1) model pertama dapat dilihat laju pertumbuhan populasi penderita DM dipengaruhi  dengan  adanya  insiden  penyakit  DM yang  artinya  adanya  individu  yang  didiagnosa menderita DM yang diasumsikan konstan,. Adanya individu  yang  sembuh  dari  komplikasi,  selain  itu juga  dipengaruhi  dengan  adanya  kematian  alami
proporsi    DM  meningkat  ke  taraf  komplikasi  dan adanya  laju  individu  yang  berhasil    menormalkan gula  darah  yang  demikian  dapat  mengurangi  laju pertumbuhan penderita DM tanpa komplikasi. Pada  persamaan  (4.1)  model  kedua  dapat  dilihat bahwa populasi tanpa komplikasi dipengaruhi oleh proporsi  individu  yang  menjadi  komplikasi, semakin banyak penderita individu yang mengalami komplikasi  teasi  maka  jumlah  populasi  pada penderita  DM  dengan  komplikasi  akan  semakin meningkat  dan  ini  menandakan  bahwa  laju kematian  individu  juga  akan  semakin  meningkat setiap waktu.
Model  yang  terbentuk  merupakan  persamaan- persamaan diferensial yang  kemudian diselesaikan dengan  membentuk  model  baru.  Model  yang terbentuk dapat dilihat pada sistem Persamaan (4.2). pada  sistem  ini  terbentuk  sistem  persamaan  non linear.  Kemudian  dari  model  tersebut  ditentukan nilai titik kesetibangan dan titik kestabilannya.

## IV. KESIMPULAN
Model  matematika  terhadap  kelangsungan  hidup penderita DM yaitu:
a. 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝐼 𝑑 − 𝜎𝐷 + 𝛾𝐶
b. 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = (𝛽 − 𝜃)𝐶 − 𝛽 𝐶 2 𝑁 c. 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 𝐼 𝑑 − 𝜇𝑁 − 𝛿𝐶 − 𝛼𝐷
Kestabilan model matematika terhadap kelangsungan  hidup  penderita  DM  berdasarkan syarat  kestabilannya  diperoleh  kondisi  yang  tidak stabil.  Dengan  kata  lain  bahwa  populasi  penderita DM  akan  selalu  ada  dan  terus  meningkat.  Hal  ini menandakan  bahwa  jumlah  kematian  yang disebabkan penyakit DM akan selalu ada dan terus meningkat.
Dalam  paper  ini  penulis  menggunakan  variabel tanpa  komplikasi  dan  dengan  komplikasi.  Untuk penelitian selanjutnya dapat menggunakan variabel dan  parameter  lain  seperti  berbagai  jenis penggunaan  obat  untuk  melihat  pengaruhnya terhadap  kelangsungan  hidup  pada  penderita diabetes melitus.

## V. DAFTAR PUSTAKA
[1]   T. K. Shara, "Faktor Resiko Kejadian Diabetes Melitus Tipe Ii Di Puskesmas Kecamatan Cengkareng Jakarta Barat Tahun 2012," Jurnal ilmiah kesehatan FKM STIKes
MH. Thamrin, p. vol. 5. no.1, 2012.
[2]   d. M. Efendi, "Pemodelan matematika dan Analisis Kestabilam lokal Pada Perubahan Populasi Penderita Diabetes Melitus,"
Bimaster, p. 5, 2015.
[3]   I. maulana, Analisis Komplikasi Yang berhubungan dengan kejadian silent coronary artery disease pada pasien riwayat diabetes melitus tipe 2 (TESIS), 2012.
[4]   E. Cahyono, Pemodelan Matematika, Yokyakarta: Graha Ilmu, 2013.
[5]   Supinah, Modifikasi Metode Runge-Kutta Orde 4 (Kutta) Berdasarkan Rata-Rata Kontra Harmonik. (Skripsi), RIAU: UIN
Sultan Syarif kasim RIAU, 2011.
[6]   N. F. S. I Nyoman Budiantara, "Analisis survival dengan pendekatan multivariate adaptive regression splines pada kasus demam berdarah dengue," Sains dan Seni,
2012.
[7]   Hasdiana, Mengenal Penyakit Diabetes pada Orang Dewasa dan Anak anak dengan solusi Herbal, Kedir: Nuha Medika, 2012.
[8]   Mardikawati, "Penanganan penderita diabetes melitus RSUD H>A Sulthan Daeng Radja Kabupaten Bulukumba," 2015.
[9]   Y. Ramadani, "Berapa Kadar Gula Darah Normal," 17 Oktober 2018. [Online]. Available: https://tirto.id/berapa-kadar-gula- darah-normal-c7jR.
[10]  M. d. Ardiansyah, "Model Matematika untuk Penyakit Diabetes Tanpa Faktor Genetik.,"
Jurnal MIPA, p. 35, 2012.
[11]  I. Juliah, Analisis kestabilan titik kesetimbangan model matematika proses transmisi virus dengue di dalam tubuh manusia dengan terapi obat herbal
(SKRIPS), Semarang: FMIPA UNESA, 2015.
[12]  W. d. Listiana nanik, "Analisis kestabilan Model matematika dari Popupasi penderita diabetes Melitus," 2012.
[13]  R. Munir, Metode Numerik Revisi Kedua, Bandung: Informatika, 2008.
[14]  S. L. Yulianar, titik kesetimbangan model matematika pada pertumbuhan sel T yang mensekresi interlekuin-2 (SKRIPSI), Malang: UIN Malik Ibrahim, 2009.