Abstrak —Tingkat inflasi nasional merupakan salah satu indikator yang penting dalam menganalisis pertumubuhan perekonomian suatu negara. Tingkat inflasi yang tidak dikelola dengan baik dapat menyebabkan perekonomian suatu negara mengalami kemunduran. Pada data tingkat inflasi nasional digunakan  model  ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average ) dan terdeteksi  terdapat adanya heteroskedastisitas, sehingga digunakan model time series ARCH-GARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity-Generalized Conditional Heteroskedasticity ).  Model  yang sesuai yaitu ARCH(1) dengan nilai MAPE (Mean Absolute Percentage Error) yang masih sangat besar yaitu 34,662%. Oleh karena itu, untuk mendapatkan nilai error yang lebih kecil dilakukan perbaikan error dengan menggunakan  Filter Kalman. Hasil akhir menunjukkan bahwa Filter Kalman mampu memperbaiki hasil estimasi yang ditandai dengan nilai MAPE ARCH-Filter Kalman lebih kecil dibandingkan dengan model ARCH. Hasil estimasi terbaik pada data tingkat inflasi nasional adalah Filter Kalman polinomial derajat 2 dengan nilai 𝑸𝑸 = 𝑹𝑹 = 𝟎𝟎 , 𝟎𝟎𝟎𝟎 yang memiliki nilai MAPE terkecil yaitu 1,0035%.
Kata Kunci —ARCH-GARCH, Filter Kalman, Tingkat Inflasi.

## I. PENDAHULUAN
ESTABILAN tingkat inflasi nasional merupakan salah satu upaya pemerintah dalam menciptakan pertumbuhan ekonomi yang berkesinambungan demi terciptanya peningkatan kesejahteraan masyarakat.  Secara sederhana inflasi adalah proses meningkatnya harga-harga secara umum dan terus-menerus yang mengakibatkan nilai suatu mata uang akan mengalami penurunan dan daya beli mata uang tersebut menjadi semakin lemah yang akan berdampak terhadap individu, dunia usaha serta anggaran pendapatan dan belanja pemerintah [1]. Oleh karena itu, diperlukannya usaha untuk mengendalikan tingkat inflasi pada suatu tingkat yang rendah dan stabil yaitu dengan mengambil kebijakan ekonomi yang tepat.
Dalam mengestimasi tingkat inflasi terdapat beberapa penelitian yang telah dilakukan. Salah satunya adalah dengan menggunakan ARIMA-Filter Kalman dan Var-Filter Kalman oleh Popy Febritasari (2016) dalam mengestimasi tingkat inflasi di kota Malang dan Probolinggo [2]. Hasil akhir dari penelitian ini menunjukkan bahwa algoritma Filter Kalman mempu memperbaiki hasil ramalan model ARIMA dan Var Estimasi tingkat inflasi di Jawa Timur juga dilakukan oleh Jessica Rahma Prilantika (2017) dengan menggunakan GSTAR-Filter Kalman dan mendapatkan nilai RMSE yang lebih kecil dibandingkan model GSTAR estimasi OLS [3].
Pada penelitian Tugas Akhir ini, akan dilakukan estimasi tingkat inflasi nasional dengan menggunakan metode ARCH- GARCH Filter Kalman. Metode ARCH-GARCH ( Autoregressive Conditional Heteroskedasticity-Generalized Conditional Heteroskedasticity ) adalah suatu metode yang dapat digunakan untuk permalan data time series yang
mengandung unsur heteroskedastisitas. Namun, untuk menghasilkan nilai error yang lebih kecil maka diterapkan metode Filter Kalman untuk memperbaiki error yang diperoleh dari model ARCH-GARCH. Algortima Filter Kalman adalah salah satu algoritma yang dapat digunakan untuk memperkirakan nilai berikutnya berdasarkan nilai-nilai sebelumnya. Algoritma ini biasanya digunakan untuk melakukan estimasi data sebenarnya berdasarkan data pengamatan yang mengandung noise dan beberapa faktor ketidaktepatan nilainya.

## II. METODE PENELITIAN

## A. Sumber Data
Data yang digunakan adalah data sukender tingkat inflasi nasional dari website resmi Bank Indonesia bulan Januari 2011 sampai Desember 2020. Data tersebut dibagi menjadi 2 yaitu, data in-sample dan data out-sample . Data in-sample yang digunakan sebanyak 108 data (Januari 2011 – Desember 2019), sedangkan data out-sample sebanyak 12 data (Januari 2020  –  Desember 2020). Data in-sample digunakan untuk membentuk model dan data out-sample digunakan untuk mengecek ketepatan model. Pada penelitian ini, data tingkat inflasi nasional dimisalkan degan 𝑋𝑋 𝑡𝑡 .
B. Analisis Time Series Langkah pertama analisis time series adalah uji Augmented Dickey Fuller untuk menentukan stasioneritas. Apabila data tidak stasioner terhadap varian maka dilakukan Transformasi Box-Cox sedangkan apabila data tidak stasioner terhadap mean maka dilakukan diifferencing . Setelah data stasioner terhadap varian maupun mean, dilakukan analis plot PACF dan ACF untuk identifikasi model ARIMA. Pada model dugaan sementara  dilakukan uji signifikansi parameter, uji residual white noise dan uji normalitas. Pada model ARIMA terbaik dilakukan uji heteroskedastisitas. Apabila terdapat unsur heteroskedastisitas digunakan model ARCH-GARCH untuk menyelesaikan volatilitas pada data. Kemudian pada model yang sesuai  diterapkan Filter Kalman untuk memperbaiki error. Hasil estimasi Filter Kalman dibandingkan dengan menggunakan MAPE dari model ARCH dan ARCH-Filter Kalman.

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Stasioneritas Stasioneritas  terhadap data time series dapat dilakukan dengan melakukan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF). Uji Augmented Dickey-Fuller adalah konsep formal yang dikenalkan oleh David Dickey dan Wayne Fuller untuk mengetahui apakah suatu data memiliki akar unit atau tidak. Apabila data memiliki akar unit maka data tersebut tidak

## K

## Estimasi Tingkat Inflasi Nasional Menggunakan ARCH-GARCH Filter Kalman
Radisha Fanni Sianti, Sentot Didik Surjanto, dan Erna Apriliani Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) e-mail : sentotds@matematika.its.ac.id
stasioner dan sebaliknya.   Berdasarkan    Gambar  1. didapatkan t-statistik ADF sebesar  -2,313  dengan probabilitas 0,1699. Uji ADF dapat dilakukan sebagai berikut :
𝐻𝐻 0 ∶ 𝛾𝛾 = 0 (terdapat akar unit sehingga data tidak stasioner)
𝐻𝐻 1 ∶ 𝛾𝛾 < 0 (tidak terdapat akar unit sehingga data stasioner)
1) Statistik Uji
𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝛾𝛾� 𝑆𝑆 . 𝐸𝐸 . ( 𝛾𝛾� ) = − 2,313
𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 0 , 05 ; 250 = − 2,889
2) Kriteria Pengujian Dengan taraf signifikansi 𝛼𝛼 = 0,05 , Menolak 𝐻𝐻 0 jika nilai 𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 < 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
3) Keputusan Gagal menolak 𝐻𝐻 0 karena  nilai 𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 > 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 artinya pada data tingkat inflasi nasional terdapat akar unit sehingga data tidak stasioner.
Pada data tingkat inflasi nasional memiliki nilai 𝜆𝜆 ( rounded value ) sebesar 0 yang menunjukkan bahwa data belum stasioner terhadap varian dan terdapat trend pada grafik time series yang menunjukkan bahwa data belum stasioner terhadap mean. Sehingga data tingkat inflasi nasional perlu dilakukan transformsi dan differencing.
B. Identifikasi Model ARIMA
Setelah  data tingkat inflasi nasional stasioner terhadap varian maupun mean, identifikasi ARIMA dilakukan dengan melihat plot ACF ( Autocorrelation Function ) dan PACF
( Partial Autocorrelation Function ) pada data tingkat inflasi nasional yang sudah stasioner terhadap mean maupun varian. Berdasarkan  Gambar  2.  dan  Gambar 3. dugaan model sementara adalah ARIMA ([1,12], 1, [1,12]) yang akan dilanjutkan dengan uji signifikansi parameter. Berikut adalah langkah-langkah dalam uji signifikansi parameter  model ARIMA ([1,12], 1, [1,12]).
1) Hipotesis
𝐻𝐻 0 ∶ 𝜙𝜙 1 = 0 (parameter 𝜙𝜙 1 tidak signifikan)
𝐻𝐻 1 ∶ 𝜙𝜙 1 ≠ 0 (parameter 𝜙𝜙 1 signifikan)

## 2) Statistik uji
Dengan menggunakan rumus t  maka didapatkan hasil berikut
𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 = 𝜙𝜙 1 � 𝑆𝑆𝐸𝐸 ( 𝜙𝜙 1 ) = 0,145472 0,21097 = 0,689538
𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑡𝑡 0 , 025 ; 108 = 1,98217

## 3) Kriteria pengujian
Dengan  taraf siginifikansi 𝛼𝛼 = 0,05 ,  Menolak 𝐻𝐻 0 jika �𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � > 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 4) Keputusan
Gagal  menolak 𝐻𝐻 0 karena �𝑡𝑡 ℎ𝑖𝑖𝑡𝑡𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖 � < 𝑡𝑡 𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 artinya parameter 𝜙𝜙 1 tidak signifikan. Dengan cara yang sama, dilakukan juga uji signifikansi pada parameter AR(12), MA(1) dan MA(12). Didapatkan bahwa model ARIMA ([1,12],1,[1,12]) tidak semua parameternya signifikan  yang tertera pada Tabel 1. Maka dilakukan overfitting pada model ARIMA  untuk mencari parameter model yang signifikan. Diperoleh model ARIMA yang signifikan adalah ARIMA (1,1,12), ARIMA (12,1,1), ARIMA (1,1,0) dan ARIMA (12,1,0). Selanjutnya dilakukan uji white noise dan  uji normalitas pada salah satu model
Gambar 1. Uji augmented dickey fuller.
Gambar 2. Plot partial autocorrelation function (PACF) tingkat inflasi nasional.
Gambar 3. Plot autocorrelation function (ACF) tingkat inflasi nasional. Tabel 1. Estimasi parameter model ARIMA ([1,12],1,[1,12]) Parameter Koefisien SE t-stat P-value 𝜙𝜙 1 0,145472 0,21097 0,689 0,492 𝜙𝜙 12 0,120532 0,175807 0,686 0,495 𝜃𝜃 1 0,059786 0,223965 0,267 0,79 𝜃𝜃 12 -0,60443 0,203829 -2,965 0,004
ARIMA  yaitu ARIMA(1,1,0).  Pengujian asumsi residual white noise dilakukan sebagai berikut :
1) Hipotesis
𝐻𝐻 0 ∶ 𝜌𝜌 1 = 𝜌𝜌 2 = ⋯ = 𝜌𝜌 15 = 0 (residual bersifat white noise ) 𝐻𝐻 1 ∶ minimal ada satu 𝜌𝜌 𝑖𝑖 ≠ 0 , dengan 𝑖𝑖 = 1,2, … ,15 (residual tidak bersifat white noise )
2) Statistik Uji Untuk 𝑘𝑘 = 15 , maka
𝑄𝑄 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 2) � 𝜌𝜌 𝑘𝑘 � 2 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 15 𝑘𝑘=1 𝑄𝑄 = 107(107 + 2) � (0,042) 2 108 − 1 + ⋯ + (0,122) 2 108 − 15 �
𝑄𝑄 = 21,032
Tabel distribusi Chi-Square diperoleh :
𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 15−1−0 ) = 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 14 ) = 23,685
3) Kriteria Pengujian
Dengan taraf signifikansi 𝛼𝛼 = 0,05 , Menolak 𝐻𝐻 0 jika 𝑄𝑄 > 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 14 )
4) Keputusan Gagal menolak 𝐻𝐻 0 karena 𝑄𝑄 < 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 14 ) artinya residual ARIMA (1,1,0)  bersifat white noise. Selanjutnya  pada  uji normalitas digunakan rumus Jarque Bera sebagai berikut :

## 1) Hipotesis
𝐻𝐻 0 : residual berdistribusi normal 𝐻𝐻 1 : residual tidak berdistribusi normal
2) Statistik Uji
𝐽𝐽𝐽𝐽 = 𝑛𝑛 � 𝑆𝑆 2 6 + ( 𝐾𝐾 − 3) 2 24 � 𝐽𝐽𝐽𝐽 = 108 � (0,069766) 2 6 + (5,390609 − 3) 2 24 � 𝐽𝐽𝐽𝐽 = 108(0,2389366904)
𝐽𝐽𝐽𝐽 = 25,5662 Tabel distribusi Chi-Square diperoleh :
𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 2 ) = 5,99145

## 3) Kriteria Pengujian
Dengan taraf signifikansi 𝛼𝛼 = 0,05 , Menolak 𝐻𝐻 0 jika nilai JB > 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 2 )

## 4) Keputusan
Menolak 𝐻𝐻 0 d 𝐽𝐽𝐽𝐽 > 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 2 ) artinya  residual  ARIMA (1,1,0) tidak berdistribusi normal. Dengan cara yang sama didapatkan uji white noise dan uji normalitas pada model overfitting yang tertera pada Tabel 2. Berdasarkan Tabel 2. model ARIMA (1,1,0) memenuhi uji asumsi white noise namun tidak berdistribusi normal. Ketidaknormalan dari residual dapat mengindikasikan kondisi heteroskedastisitas yang menunjukkan adanya proses ARCH-GARCH  [4].  Oleh karena itu,  dilakukan uji heteroskedastisitas pada model ARIMA (1,1,0).

## 1) Hipotesis
𝐻𝐻 0 ∶ 𝜌𝜌 1 = ⋯ = 𝜌𝜌 12 = 0 (tidak bersifat heteroskedastisitas) 𝐻𝐻 0 ∶ Minimal ada satu 𝜌𝜌 𝑖𝑖 ≠ 0 , dengan 𝑖𝑖 = 1, … ,12 (bersifat heteroskedastisitas)
Tabel 2. Uji white noise dan uji normalitas model overfitting ARIMA Model Uji White Noise Uji Normalitas ARIMA (1,1,12) Tidak White Noise Tidak Normal ARIMA (12,1,1) Tidak White Noise Tidak Normal ARIMA (1,1,0) White Noise Tidak Normal ARIMA (12,1,0) Tidak White Noise Tidak Normal Tabel 3. Estimasi parameter model overfitting ARCH-GARCH Model Koef SE t-Stat p-value ARCH(1) 𝛼𝛼 0 0,0049 0,002 3,294 0,001 𝛼𝛼 1 0,9281 0,42 2,206 0,027 GARCH(1,1) 𝛼𝛼 0 0,0061 0,002 3,9571 0,0001 𝛼𝛼 1 0,7820 0,29 2,6953 0,007 𝛽𝛽 1 -0,036 0,11 -0,331 0,741 Tabel 4. Uji Signifikansi, nilai AIC dan SIC model overfitting ARCH- GARCH Model Uji Signifikansi AIC SIC ARCH(1) Signifikan -1,6848 -1,6875 GARCH(1,1) Tidak Signifikan -1,6581 -1,5576 Tabel 5. Perbandingan MAPE ARCH dan ARCH filter kalman Model Terbaik MAPE ARCH 34, 662%
ARCH-Filter Kalman Polinomial Derajat 1 𝑄𝑄 = 0,01 dan 𝑅𝑅 = 0,1 8,6668% 𝑄𝑄 = 𝑅𝑅 = 0,01 1,6105% ARCH-Filter Kalman Polinomial Derajat 2 𝑄𝑄 = 0,01 dan 𝑅𝑅 = 0,1
6,5447% 𝑄𝑄 = 𝑅𝑅 = 0,01 1,0035% Gambar  4. Autocorrelation  function dan partial autocorrelation function residual kuadrat.
2) Statistik uji
Untuk 𝑘𝑘 = 12 , maka
𝐿𝐿𝐽𝐽 = 𝑛𝑛 ( 𝑛𝑛 + 2) � 𝜌𝜌 𝑘𝑘 2 𝑛𝑛 − 𝑘𝑘 12 𝑘𝑘=1 𝐿𝐿𝐽𝐽 = 107(109) � (0,22) 2 120 − 1 + ⋯ + (0,439) 2 120 − 12 �

## 𝐿𝐿𝐽𝐽 = 34,864
Tabel distribusi Chi-Square diperoleh :
𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 12−1−0 ) = 19,6751
3) Kriteria pengujian
Dengan taraf signifikansi 𝛼𝛼 = 0,05 ,  Menolak 𝐻𝐻 0 jika 𝐿𝐿𝐽𝐽 > 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 11 )
4) Keputusan Menolak 𝐻𝐻 0 karena 𝐿𝐿𝐽𝐽 > 𝜒𝜒 2 ( 0 , 05 ; 11 ) artinya  kuadrat residual ARIMA (1,1,0) bersifat heteroskedastisitas. Karena kuadrat residual model ARIMA (1,1,0) bersifat heteroskedastisitas  maka untuk meramalkan data tingkat inflasi nasional menggunakan model ARIMA menjadi kurang efisien. Untuk mendapatkan hasil yang lebih baik perlu dilakukan pemodelan time series yang
mempertimbangkan adanya heteroskedastisitas yaitu model ARCH-GARCH.

## C. Identifikasi Model ARCH-GARCH
Pembentukan model ARCH-GARCH yang pertama dilakukan adalah membuat plot ACF dan PACF residual kuadrat.
Berdasarkan  Gambar  4.  plot ACF menunjukkan cuts off pada lag ke-1 dan 12 dan plot PACF menunjukkan cuts off pada lag ke-1 dan 12. Sehingga diperoleh model dugaan sementara adalah ARCH(1) dan GARCH(1,1). Hasil estimasi parameter ARCH(1) dan GARCH(1,1) tertera pada Tabel 3.
Berdasarkan hasil overfitting , dipilih model ARCH(1) karena memiliki parameter yang signifikan dan memiliki nilai AIC dan SIC terkecil  yang tertera pada Tabel 4. Sehingga didapatkan model ARCH(1) dan ARIMA (1,1,0) sebagai berikut :
𝑍𝑍 𝑡𝑡 = 0,107501 𝑍𝑍 𝑡𝑡−1 + 𝑢𝑢 𝑡𝑡
Dengan 𝑍𝑍 𝑡𝑡 = 𝑌𝑌 𝑡𝑡+1 − 𝑌𝑌 𝑡𝑡 & 𝑌𝑌 𝑡𝑡 = ln 𝑋𝑋 𝑡𝑡 𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 = 0,004993 + 0,928125 𝑢𝑢 𝑡𝑡−1 2
Keterangan : 𝑋𝑋 𝑡𝑡 : data tingkat inflasi nasional pada waktu 𝑡𝑡 𝑌𝑌 𝑡𝑡 : transformasi data tingkat inflasi nasional pada waktu 𝑡𝑡 𝑍𝑍 𝑡𝑡 : differencing data tingkat inflasi nasional pada waktu 𝑡𝑡 𝑢𝑢 𝑡𝑡 : residual data tingkat inflasi nasional pada waktu 𝑡𝑡
(a) (b)
Gambar  6. Hasil simulasi tingkat inflasi nasional filter kalman polinomial derajat 1 (a) Q = 0,01 dan R = 0,1 dan (b) Q = R = 0,01.
(a) (b)
Gambar  5. Hasil simulai tingkat inflasi nasional filter kalman polinomial derajat 2 (a) Q = 0,01 dan R = 0,1 dan (b) Q = R = 0,01.
𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 : varian residual data tingkat inflasi nasional pada waktu 𝑡𝑡 Pada hasil ramalan  didapatkan tingkat inflasi nasional 2020 yang cenderung menurun dengan nilai terbesar pada bulan Januari 2020 sebesar 2,658% dan nilai terkecil pada bulan Desember 2020 sebesar 2,259% dengan nilai MAPE sebesar  34,662%.  Berdasarkan  hasil perhitungan MAPE dapat disimpulkan bahwa model ARCH(1) kurang cukup baik karena nilai MAPE > 10%. Oleh karena itu diterapkan Filter Kalman untuk memperbaiki error hasil ramalan.

## D. Penerapan Filter Kalman
Penerapan Filter Kalman merupakan suatu estimasi dengan tahapan prediksi satu langkah kedepan dan kemudian dikoreksi dengan data aktual, sehingga dapat diestimasi nilai error dengan menggunakan besaran nilai kovarian yaitu noise sistem dan noise pengukuran. Dengan nilai kovarian yang diasumsikan diharapkan terdapat pengaruh terhadap hasil estimasi tingkat inflasi nasional.Penerapan Filter Kalman dilakukan  dengan menggunakan persamaan polinomial derajat 1 dan polinomial derajat 2 yang   membentuk persamaan sebagai berikut :
𝑢𝑢 1 0 = 𝑎𝑎 0 , 1 + 𝑎𝑎 1 , 1 𝑚𝑚 𝑖𝑖 dengan 𝑥𝑥 𝑡𝑡 = � 𝑎𝑎 0 , 1 𝑎𝑎 1 , 1 � dan 𝐻𝐻 𝑖𝑖 = [1 𝑚𝑚 𝑖𝑖 ]
𝑢𝑢 2 0 = 𝑎𝑎 0 , 2 + 𝑎𝑎 1 , 2 𝑚𝑚 𝑖𝑖 + 𝑎𝑎 2 , 2 𝑚𝑚 𝑖𝑖 2 dengan 𝑥𝑥 ( 𝑡𝑡 𝑖𝑖 ) = � 𝑎𝑎 0 , 2 𝑎𝑎 1 , 2 𝑎𝑎 2 , 2 �
Dan 𝐻𝐻 𝑖𝑖 = [1 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖 2 ]
Model sistem Filter Kalman untuk polinomial derajat 1 dan 2 adalah sebagai berikut :
𝑥𝑥 𝑡𝑡+1 = 𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 𝜔𝜔 𝑡𝑡
Dapat dituliskan dalam bentuk state space sebagai berikut untuk polinomial derajat 1:
� 𝑎𝑎 0 , 1 𝑎𝑎 1 , 1 � 𝑡𝑡+1 = � 1 0 0 1 � � 𝑎𝑎 0 , 1 𝑎𝑎 1 , 1 � 𝑡𝑡 + 𝜔𝜔 𝑡𝑡
Untuk polinomial derajat 2
� 𝑎𝑎 0 , 2 𝑎𝑎 1 , 2 𝑎𝑎 2 , 2 � 𝑡𝑡+1 = � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � � 𝑎𝑎 0 , 2 𝑎𝑎 1 , 2 𝑎𝑎 2 , 2 � 𝑡𝑡 + 𝜔𝜔 𝑡𝑡
Dan model pengukuran
𝑧𝑧 𝑡𝑡 = 𝐻𝐻 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑡𝑡 + 𝑣𝑣 𝑡𝑡
Dengan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 0 sebagai variabel pengukuran maka diperoleh model pengukuran 𝑧𝑧 𝑡𝑡 dalam bentuk state space sebagai berikut untuk polinomial derajat 1
𝑧𝑧 𝑡𝑡 = [1 𝑚𝑚 𝑖𝑖 ] � 𝑎𝑎 0 , 1 𝑎𝑎 1 , 1 � 𝑡𝑡 + 𝑣𝑣 𝑡𝑡
Untuk polinomial derajat 2
𝑧𝑧 𝑡𝑡 = [1 𝑚𝑚 𝑖𝑖 𝑚𝑚 𝑖𝑖 2 ] � 𝑎𝑎 0 , 2 𝑎𝑎 1 , 2 𝑎𝑎 2 , 2 � 𝑡𝑡 + 𝑣𝑣 𝑡𝑡
Diasumsikan  bahwa  nilai 𝑄𝑄 = 0,01 . Dengan untuk polinomial derajat 1:
𝑃𝑃 0 = � 1 0 0 1 � dan 𝑄𝑄 𝑡𝑡 = � 1 0 0 1 � 𝑄𝑄 Dan untuk polinomial derajat 2 𝑃𝑃 0 = � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � dan 𝑄𝑄 𝑡𝑡 = � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � 𝑄𝑄
Nilai awal diperoleh dari nilai hasil peramalan tingkat inflasi nasional pada  model ARCH(1).  Untuk polinomial derajat 1 nilai 𝑥𝑥� 0 = � 2,658 2,618 � . Untuk polinomial derajat 2 nilai
𝑥𝑥� 0 = � 2,658 2,618 2,579 � .  Kemudian dilanjutkan pada tahap prediksi dan tahap koreksi.  Tahap prediksi  dilakukan dengan menggunakan persamaan berikut:
𝑥𝑥� 𝑡𝑡̅+1 = 𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝑥𝑥� 𝑡𝑡
𝑃𝑃 𝑡𝑡̅+1 = 𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝑃𝑃 𝑡𝑡 𝐴𝐴 𝑡𝑡 𝑇𝑇 + 𝑄𝑄 𝑘𝑘
Sedangkan  tahap koreksi dilakukan sebagai berikut, Kalman Gain   didapatkan  dengan menggunakan nilai kovarian error pada tahap prediksi.
𝐾𝐾 𝑡𝑡+1 = 𝑃𝑃 𝑡𝑡̅+1 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 𝑇𝑇 ( 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 𝑃𝑃 𝑡𝑡̅+1 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 𝑇𝑇 + 𝑅𝑅 𝑡𝑡+1 ) −1
Kemudian nilai 𝑥𝑥� 𝑘𝑘+1 didapatkan dengan menggunakan nilai 𝑥𝑥� 𝑡𝑡̅+1 yang diperoleh pada tahap prediksi  dan nilai Kalman Gain pada tahap koreksi.
𝑥𝑥� 𝑡𝑡+1 = 𝑥𝑥� 𝑡𝑡̅+1 + 𝐾𝐾 𝑡𝑡+1 [ 𝑧𝑧 𝑡𝑡+1 − 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 𝑥𝑥� 𝑡𝑡̅+1 ]
Kemudian, nilai 𝑃𝑃 𝑡𝑡+1 didapatkan dengan menggunakan nilai 𝑃𝑃 𝑡𝑡̅+1 yang telah diperoleh pada tahap prediksi  dan Kalman Gain pada tahap koreksi.
𝑃𝑃 𝑡𝑡+1 = [( 𝑃𝑃 𝑡𝑡̅+1 ) −1 + 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 𝑇𝑇 ( 𝑅𝑅 𝑡𝑡+1 ) −1 𝐻𝐻 𝑡𝑡+1 ] −1
Simulasi  Filter Kalman telah dilakukan dengan menggunakan software MatLab.  Berikut adalah hasil estimasi tingkat inflasi nasional menggunakan Filter Kalman derajat polinomial 1 .
Gambar 5 adalah hasil simulasi Filter Kalman polinomial derajat 1. Pada simulasi didapatkan nilai MAPE terkecil pada data tingkat inflasi nasional dengan menggunakan  nilai 𝑄𝑄 = 𝑅𝑅 = 0,01 . Gambar 6 adalah hasil simulasi Filter Kalman polinomial derajat 2. Pada simulasi didapatkan nilai MAPE terkecil pada data tingkat inflasi nasional dengan menggunakan  nilai 𝑄𝑄 = 𝑅𝑅 = 0,01 .  Tabel 5  adalah nilai MAPE dari masing- masing model.
Tabel  5.  menunjukkan bahwa hasil nilai MAPE terbaik didapatkan  setelah dilakukanya penerapan Filter Kalman yang  ditandai dengan nilai MAPE yang bernilai kecil dan mendekati data aktual.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil penelitian Tugas Akhir ini, dapat disimpulkan sebagai berikut diperoleh model terbaik  pada data tingkat inflasi nasional  yaitu  ARCH (1) dengan nilai MAPE 34,662%. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
𝑍𝑍 𝑡𝑡 = 0,107501 𝑍𝑍 𝑡𝑡−1 + 𝑢𝑢 𝑡𝑡
dengan 𝑍𝑍 𝑡𝑡 = 𝑌𝑌 𝑡𝑡+1 − 𝑌𝑌 𝑡𝑡 dan 𝑌𝑌 𝑡𝑡 = ln 𝑋𝑋 𝑡𝑡
𝜎𝜎 𝑡𝑡 2 = 0,004993 + 0,928125 𝑢𝑢 𝑡𝑡−1 2
Berdasarkan model tersebut, tingkat inflasi nasional pada saat 𝑡𝑡 dipengaruhi oleh tingkat inflasi pada saat 𝑡𝑡 − 1 . Sedangkan nilai variani residual pada saat 𝑡𝑡 dipengaruhi oleh varian residual kuadrat pada saat 𝑡𝑡 − 1 . Pada simulasi Filter Kalman perbaikan error, nilai MAPE pada Filter Kalman polinomial derajat 2 sebesar 1,0035% lebih kecil dibandingkan Filter Kalman polinomial derajat 1 sebesar 1,6105% untuk setiap nilai 𝑄𝑄 dan 𝑅𝑅 yang sama. Hal ini menunjukkan bahwa estimasi Filter Kalman Polinomial derajat 2 lebih baik dari pada Filter Kalman polinomial Derajat 1.  Hasil estimasi tingkat inflasi nasional untuk periode 2020 berada pada kisaran 1,356% hingga 2,967%.
Adapun saran yang dapat yang dapat dikembangkan untuk Penelitian Tugas Akhir adalah estimasi Filter Kalman dalam memperbaiki error dari peramalan time series lainnya seperti SARIMA atau motede peramalan lainnya.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Suseno and S. Astiyah, Inflasi , Jakarta: Bank Indonesia, 2009.
[2]  P. Febritasari, “Estimasi Inflasi Wilayah Kerja KpwBI Malang Menggunakan ARIMA-Filter Kalman dan VAR-Filter Kalman,” Departemen Matematika: Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2016.
[3]  J. R. Prillantika, “Perbandingan Model Gstar Dan Gstar-Filter Kalman Pada Peramalan Tingkat Inflasi Di Tiga Kota Di Jawa Timur,” Departemen Matematika: Institut Teknologi Sepuluh Nopember, 2017.
[4]  L. P. Widasari and N. Wahyuningsih, “Aplikasi model ARCH-GARCH dalam peramalan tingkat inflasi,” J. Sains dan Seni ITS , vol. 1, no. 1, 2012.