## PEMODELAN REGRESI COX DAN REGRESI WEIBULL WAKTU SEMBUH
DIARE PADA BALITA
Siti Alfiatur Rohmaniah 1 dan Danardono 2
1 Universitas Islam Darul ’Ulum Lamongan, nia0304@gmail.com ,
2 Universitas Gadjah Mada, danardono@ugm.ac.id
Abstract. There are some consequences that occur because of diarrhea such as low levels of hemoglobin, weight loss, and dehydration. Severe dehydration can lead to death. This study aims to model the time cured of diarrhea on infants used the Cox regression method and Weibull regression to determine the factors that significantly influence the long diarrhea. The method used to analyze data on infants under diar- rhea includes sex, duration of diarrhea from beginning to heal, age of the children, the value of nutrition in infants and toddlers hemoglobin levels. Further, it continued by modeling these factors using cox regression and regression weibull. The results obtained the nutritional value on infants significantly effect on diarrhea in infants.
Keywords : Cox regression, Weibull regression, AFT models
Abstrak. Ada beberapa akibat yang terjadi karena diare seperti rendahnya kadar Hb, berat badan menurun, dan dehidrasi. Dehidrasi yang berat dapat menyebabkan kematian. Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan waktu sembuh diare pada balita menggunakan metode regresi Cox dan regresi Weibull untuk mengetahui fak- tor yang berpengaruh signifikan terhadap lama diare. Metode yang digunakan adalah menganalisis data mengenai balita yang mengalami diare meliputi jenis kelamin, lama waktu diare dari awal sampai sembuh, usia balita, nilai gizi pada balita, dan kadar hemoglobin balita. Selanjutnya memodelkan faktor-faktor tersebut menggunakan re- gresi cox dan regresi weibull. Hasil yang diperoleh nilai gizi pada balita berpengaruh signifikan terhadap lama diare pada balita.
Kata Kunci : regresi Cox, regresi Weibull, model AFT.

## 1 Pendahuluan
Diare bukanlah penyakit yang datang dengan sendirinya. Diare umumnya dise- babkan karena asupan makanan yang terkontaminasi bibit penyakit ataupun racun. Diare akibat makanan yang terkena kuman biasanya menimbulkan ge- jala balita buang air besar kemudian muntah. Sebaliknya, diare karena kera- cunan, gejala utamanya adalah muntah baru diikuti diare.Penyakit diare da- pat menyerang siapa saja, baik itu anak-anak maupun orang dewasa. Ka- sus ini banyak terjadi di Negara-negara berkembang dengan standar hidup yang rendah, ada beberapa akibat yang terjadi karena diare seperti rendahnya kadar Hb, berat badan menurun, dan akibat terparah pada anak-anak yang mengalami diare adalah dehidrasi. Kebanyakan orang tua kurang memahami adanya gejala dehidrasi yang terjadi pada bayi mereka. Bahkan banyak yang mempercayai terjadinya diare pada anak sebagai pertanda anak akan tambah pintar, tanpa menyadari bahasa dehidrasi yang mengancam dibalik diare itu.
Jurnal UJMC, Volume 2, Nomor 1, Hal. 50 - 55 ISSN : 2460 - 3333

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Kondisi inilah yang seringkali menyebabkan diare yang berujung dehidrasi be- rat bisa menyebabkan kematian. Karena diare masih menjadi masalah yang bahaya, khususnya bagi kesehatan balita, peneliti akan memodelkan waktu sembuh diare pada balita menggunakan metode regresi Cox dan regresi Weibull untuk mengetahui faktor yang berpengaruh signifikan terhadap lama diare.

## 2 Kajian Teori

## 2.1 Regresi Cox
Model regresi Cox adalah model regresi hazard proporsional dengan fungsi baseline hazardnya dimodelkan secara nonparametrik dan fungsi variabel in- dependennya dimodelkan secara parametrik. Regresi Cox dimodelkan sebagai:
h ( t | x ) = h 0 ( t ) ψ ( x, β ) . (1)
Dengan x = ( x 1 , ..., x p ) adalah vektor kovariat dan β 0 = ( β 1 , ..., β p ) adalah parameter dari model regresi [3]. Dalam regresi ini, hazard untuk tiap-tiap individu sama dengan baseline hazard h 0 ( t ) apabila pengaruh variabel inde- penden tidak diperhatikan. Estimasi parameter pada model regresi didasarkan pada partial likelihood :
L ( β ) = Y k ∈ D exp( x k β ) P j ∈ R k exp( x j β ) (2)
dengan x adalah vektor kovariat, β adalah parameter regresi, D adalah him- punan indeks j dari semua waktu kejadian, R k adalah himpunan risiko semua individu yang belum mendapat kejadian pada saat tertentu. Fungsi log partial likelihood l ( β ) adalah
l ( β ) = X k ∈ D x k β − X k ∈ D log   X j ∈ R k exp( x j β )   (3)
Algoritma Newton-Raphson untuk estimasi parameter berdasarkan log par- tial likelihood adalah [1]:
1. Mulai dengan nilai awal ˆ β (0) .
2. Pada iterasi ke- k , nilai estimasi di- update
ˆ β ( k +1) = ˆ β ( k ) + I ˆ β ( k ) − 1 U ˆ β ( k ) .
3. Iterasi dihentikan dengan kriteria kekonvergenan l ˆ β ( k +1) ≈ ˆ β ( k ) . 4. Diperoleh estimasi ˆ β dan variansinya ˆ V ( ˆ β ) = I ( ˆ β ) − 1 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science

## 2.2 Regresi Weibull
Fungsi survival untuk regresi weibull adalah:
S ( t | X ) = exp ( − ( f λ ( X ; β ) t ) α ) . (4)
Atau dapat ditulis
S ( t | X ) = exp " − exp y − Xβ σ !# , (5)
yang disebut fungsi survival distribusi Extreme Value , dengan parameter lokasi µ = − Xβ dan parameter skala σ = 1 α . Estimasi parameter menggunakan fungsi likelihood sebagai berikut:
L ( β ; σ ) = n Y i =1 f ( t i , θ | X i ) δ i S ( t i , θ | X i ) 1 − δ i . (6)

## 3 Hasil dan Pembahasan
Data yang digunakan dalam penelitian adalah data survival 96 pasien balita yang menderita diare di RS PKU Muhammadiyah Yogyakarta yang diperoleh dari skripsi Arum Ayu Kartika (tahun 2013), Program Studi Pendidikan dok- ter, Fakultas Kedokteran dan Ilmu Kesehatan, Universitas Muhammadiyah Yogyakarta [2]. Data tersebut meliputi data jenis kelamin (”1” laki-laki, ”2” perempuan), lama diare (hari), umur (bulan), berat badan (kg), nilai gizi, kadar Hb (gr/dl), dan delta sama dengan 1. Data kemudian diolah menggu- nakan software R 3.3.2 dengan library survival .

## 3.1 Pemodelan Regresi Cox
Dengan menggunakan regresi Cox diperoleh hasil berikut. Dari Gambar 1, secara keseluruhan terlihat bahwa p-value =0,13 ¿ 0,05, artinya model regresi tidak layak untuk digunakan.
Gambar 1: Uji Keseluruhan Regresi Cox
Selanjutnya, dilakukan uji secara parsial dengan hasil sebagai berikut:

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Gambar 2: Uji Parsial Regresi Cox
Pada Gambar 2, semua variabel bebas tidak signifikan hal itu terlihat pada nilai p-value lebih besar dari 0,05. Oleh karenanya, perlu dilakukan analisis re- gresi ulang, tanpa mengikutsertakan variabel yang mempunyai p-value terbe- sar. Proses ini dilanjutkan sampai diperoleh semua variabel signifikan. Berikut hasil regresi ulangnya. Pada Gambar 3 terlihat bahwa nilai P-value =0,00489
Gambar 3: Uji Keseluruhan Regresi Cox Ulang
kurang dari 0,05. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa model regresi su- dah layak untuk digunakan.
Gambar 4: Uji Parsial Regresi Cox Ulang
Terlihat pada Gambar 4, variabel bebas nilai gizi sudah signifikan (0 , 0044 < 0 , 05), sehingga model regresi sudah layak untuk digunakan. Selanjutnya, diper- oleh persamaan model regresi Cox-nya adalah sebagai berikut:
h ( t | X ) = h 0 ( t ) ψ ( X, β )
atau
h ( t | X ) = h 0 ( t ) exp(1 , 181( nilaigizi )) .
Karena variabel bebas yang signifikan hanya variabel nilai gizi, dan datanya numerik (bukan kategorik), maka tidak perlu dicari proporsional hazardnya.

## 3.2 Pemodelan Regresi Model AFT Weibull
Dengan menggunakan regresi model AFT Weibull diperoleh hasil berikut. Pada Gambar 5 terlihat bahwa nilai p − value = 0 , 2 lebih besar dari 0,05, sehingga dikatakan bahwa model regresi tidak layak untuk digunakan.

## Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Gambar 5: Uji Keseluruhan Regresi Model AFT Weibull
Gambar 6: Uji Parsial Regresi Model AFT Weibull
Secara parsial, semua variabel bebas tidak signifikan karena nilai p-value lebih besar dari 0,05 pada Gambar 6, sehingga perlu dilakukan analisis regresi ulang. Setelah dilakukan analisis regresi ulang diperoleh sebagai berikut:
Gambar 7: Uji Keseluruhan Regresi Model AFT Weibull Ulang
Berdasarkan Gambar 7, nilai p − value = 0 , 0087 < 0 , 05, artinya model re- gresi sudah layak untuk digunakan. Untuk uji parsialnya, diperoleh bahwa nilai konstanta ( intercept ) dan variabel bebas nilai gizi sudah signifikan (lihat Gam- bar 8), sehingga model regresi sudah layak untuk digunakan. Dengan begitu, persamaan model regresi Weibullnya adalah sebagai berikut:
S ( t | X ) = exp( − exp( β 0 + β 4 X 4 ) t ) α )
atau
S ( t | X ) = exp( − exp(1 , 5760 − 0 , 0356( nilaigizi ) t ) α ) .
Serta dapat dibuat fungsi hazard model AFT Weibull nya adalah sebagai berikut:
h ( t | X ) = α (exp( β 0 + β 4 X 4 ))((exp( β 0 + β 4 X 4 )) t ) α − 1
atau
h ( t | X ) = α (exp(1 , 5760 − 0 , 0356( nilaigizi )))((exp(1 , 5760 − 0 , 0356( nilaigizi ))) t ) α − 1 .

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
Jurusan Matematika, UNISDA, Lamongan
Gambar 8: Uji Parsial Regresi Model AFT Weibull Ulang

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dapat ditarik kesimpulan bahwa baik menggu- nakan metode regresi Cox maupun regresi Weibull, faktor yang berpengaruh signifikan terhadap fungsi survival waktu sembuh diare pada balita adalah variabel nilai gizi.

## Daftar Pustaka
[1] Danardono. 2012. Analisis Data Survival . Diktat Kuliah Jurusan Matematika, FMIPA, UGM. Yogyakarta.
[2] Kartika, A. A. 2013. Data Balita Menderita Diare di RS PKU Muhammadiyah Yogyakarta . Skripsi. UMY. Yogyakarta.
[3] Klien, J. P. 2003. Survival Analysis Techniques for Concored and Truncated Data . Springer. New York.
[4] Tableman, M. dan Kim, J. S. Survival Analysis using S . Chapman and Hall/CRC. New York.