## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Jambura J. Math. Vol. 3, No. 1, pp. 80-92, January 2021
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i1.10137
Penentuan Harga Opsi Dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
Chalimatusadiah 1 , Donny Citra Lesmana 2* , Retno Budiarti 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, IPB University, Jl. Raya Dramaga, Bogor 16680, Jawa Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: donnylesmana@apps.ipb.ac.id

## ABSTRAK 1
Hal  yang  utama  dalam  perdagangan  opsi  adalah  penentuan  harga  jual  opsi  yang  optimal. Namun pada kenyataan sebenarnya fluktuasi harga aset yang terjadi di pasar menandakan bahwa volatilitas dari harga aset tidaklah konstan, hal ini menyebabkan investor mengalami kesulitan  dalam  menentukan  harga  opsi  yang  optimal.  Artikel  ini  membahas  tentang penentuan  harga  opsi  tipe  Eropa  yang  optimal  dengan  volatilitas  stokastik  menggunakan metode Monte Carlo dan pengaruh harga saham awal, harga strike , dan waktu jatuh tempo terhadap  harga  opsi  Eropa.  Adapun  model  volatilitas  stokastik  yang  digunakan  dalam penelitian  ini  adalah  model  Heston,  yang mengasumsikan  bahwa  proses  harga  saham  ( S t ) mengikuti  distribusi  log-normal,  dan  proses  volatilitas  saham  ( V t )  mengikuti  Proses  Cox- Ingersoll-Ross. Hal  pertama  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah  mengestimasi parameter  model  Heston  untuk  mendapatkan  harga  saham  dengan  menggunakan  metode ordinary  least  square dan  metode  numerik  Euler-Maruyama.  Langkah  kedua  adalah melakukan estimasi harga saham untuk mendapatkan harga opsi tipe Eropa menggunakan metode  Monte  Carlo.  Hasil  dari  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  penggunaan  metode Monte  Carlo  dalam  penentuan  harga  opsi  tipe  Eropa  dengan  volatilitas  stokastik  model Heston  menghasilkan  solusi  yang  cukup  baik  karena  memiliki  nilai error yang  kecil  dan akan  konvergen  ke  solusi  eksaknya  dengan  semakin  banyak  simulasi.  Selain  itu,  simulasi Monte Carlo memberikan kesimpulan bahwa parameter harga strike, harga saham awal dan waktu  jatuh  tempo  memiliki  pengaruh  terhadap  harga  opsi  yang  konsisten  dengan  teori harga opsi.

## Kata Kunci:
Harga Opsi; Model Volatilitas Heston; Metode Monte Carlo

## ABSTRACT
What is important in options trading is determining the optimal selling price. However, in real market conditions,  fluctuations  in  asset  prices that  occur  in  the  market  indicate  that  the  volatility  of  asset prices is not constant, this causes investors to experience difficulty in determining the optimal option price.  This  article  discusses  the  optimal  determination  of  the  European  type  option  price  with stochastic volatility using the Monte Carlo method and the effect of the initial stock price, strike price,
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 Chalimatusadiah, D.C. Lesmana, R. Budiarti | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 1 March 2021| Accepted: 20 April 2021| Online: 28 April 2021
Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
and expiration date on European option prices. The stochastic volatility model used in this study is the Heston model, which assumes that the stock price process (S) follows the normal log distribution, and the  stock  volatility  process  (V)  follows  the  Ingersoll-Ross  Cox  Process. The  first  thing  to  do  in  this study  is  to  estimate  the  parameters  of  the  Heston  model  to  get  stock  prices  using  the  ordinary  least square method and the Euler-Maruyama numerical method. The second step is to estimate the share price to get the European type option price using a Monte Carlo Simulation. This study indicates that the use of the Monte Carlo method in determining the price of European type options with the Heston model of stochastic volatility produces a fairly good solution because it has a small error value and will converge to the exact solution with more simulations. Also, the Monte Carlo simulation concludes that the  parameters  of  the  strike  price,  initial  stock  price,  and  maturity  date  influence  the  option  price, which is consistent with the option price theory.

## Keywords:
Option Value; Heston Volatility Model; Monte Carlo Method
Format Sitasi:
C. Chalimatusadiah, D. C. Lesmana and R. Budiarti “Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo,” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 1, pp. 80-92, 2021

## 1.  Pendahuluan
Derivatif  merupakan  istilah  umum  untuk  sebuah  kontrak  yang  nilainya  didasarkan pada  aset  yang  mendasarinya [1].  Salah  satu  jenis  investasi  derivatif  yang  menarik perhatian  investor  saat  ini  adalah  opsi.  Opsi  adalah  tipe  kontrak  yang  dibuat  oleh suatu  pihak  di  mana  pihak  tersebut  memberikan  hak  kepada  pihak  lain  untuk membeli ( call ) atau menjual ( put ) suatu aset pada harga tertentu dalam jangka waktu tertentu  [2].  Berdasarkan  proses  penentuan  nilai payoff ,  opsi  dibedakan  menjadi  dua jenis,  yaitu  opsi  vanilla  dan  opsi  eksotik.  Opsi  vanilla  dibedakan  menjadi  dua,  yaitu opsi  tipe  Amerika  dan  opsi  tipe  Eropa.  Opsi  tipe  Amerika  adalah  kontrak  yang memberikan  hak  kepada  pemiliknya  untuk  membeli  atau  menjual  aset  kapan  saja sebelum atau pada saat jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Eropa adalah kontrak yang memberikan  hak  kepada  pemiliknya  untuk  membeli  atau  menjual  aset  hanya  pada saat jatuh tempo, sedangkan untuk contoh opsi eksotik adalah opsi Asia [3].
Hal  yang  paling  pokok  dalam  perdagangan  opsi  adalah  penentuan  harga  jual  opsi yang optimal. Namun pada kenyataannya fluktuasi harga saham yang terjadi di bursa menyebabkan investor mengalami kesulitan dalam menentukan harga jual opsi yang optimal.  Metode  penentuan  harga  opsi  Black-Scholes  Merton  (BSM)  yang dikembangkan  oleh  Fisher  Black  dan  Myron  Scholes  pada  tahun  1973  merupakan metode yang terkenal untuk menghitung harga pasar opsi Eropa, metode ini berhasil mengungkapkan  masalah  penetapan  harga  opsi  sebagai  persamaan  diferensial parsial  [4].  Namun  model  ini  memiliki  asumsi  yang  secara  praktis  tidak  dapat dipenuhi, salah satunya nilai volatilitas dari harga aset adalah konstan.
Terdapat  beberapa  model  yang  telah  diusulkan  untuk  memodelkan  perilaku volatilitas, antara lain model dari Anderson  dan Brotherton-Ratcliffe [5], model  yang mengasumsikan  bahwa  volatilitas  mengikuti  proses  acak  [6],  dan  model  volatilitas stokastik [7] – [9]. Berdasarkan hasil penelitian Crisostomo [10] model Heston memiliki keunggulan  dibandingkan  model  stokastik  lain,  yaitu  memberikan  solusi  bentuk tertutup  untuk  penetapan  harga  opsi  Eropa  dan  memodelkan  perubahan  aset  dasar
yang  dapat  memperhitungkan  asimetri  dan  kurtosis  berlebih  yang  biasanya  diamati dalam return aset  keuangan.  Penelitian  mengenai  model  volatilitas  stokastik sebelumnya juga telah dilakukan oleh beberapa peneliti, di antaranya Wang [11] untuk menentukan harga opsi yang rentan  terhadap volatilitas  stokastik, Biswas  [12] untuk menentukan  harga  opsi  dengan regime  switching  stochastic  volatility  models ,  Tian  [13] untuk  menentukan  harga  opsi  Eropa  dengan  biaya  transaksi.  Hasil  dari  ketiga penelitian  tersebut  menyebutkan  bahwa  penggunaan  model  stokastik  memberikan hasil yang mirip dengan keadaan pasar aktual. Penelitian selanjutnya dilakukan oleh Moghaddam [14] yang menggunakan kombinasi antara model multiplikatif dan model Heston, hasil penelitian ini menyebutkan bahwa model Heston baik digunakan untuk periode jangka panjang.
Dalam dunia nyata model volatilitas yang paling mendekati adalah model volatilitas stokastik [15]. Model volatilitas stokastik mengasumsikan bahwa nilai volatilitas akan berfluktuasi  pada  rentang  volatilitas  minimum  dan  volatilitas  maksimum.  Model tersebut  mengadopsi  bentuk  persamaan  diferensial  parsial  taklinear  tanpa  solusi analitik,  sehingga  diperlukan  metode  numerik  untuk  menentukan  solusi hampirannya.  Selain  penelitian  untuk  menentukan  solusi  analitik  dari  harga  opsi, diperlukan  metode  numerik  untuk  menghitung  harga  opsi  yang  tidak  memiliki solusi analitik, misalnya dalam beberapa kasus PDP taklinear. Pada penentuan harga opsi  yang  tidak  dapat  ditentukan  secara  analitik,  diperlukan  pengunaan  simulasi numerik  untuk  mengestimasi  harga  opsi.  Salah  satu  contoh  simulasi  numerik  yang bisa digunakan adalah metode Monte Carlo. Metode Monte Carlo adalah metode yang digunakan untuk menaksir suatu nilai dengan cara membangkitkan sampel acak yang mungkin  dari  hasil simulasi,  kemudian  ditentukan  rataannya [16].  Berdasarkan hasil numerik  dengan  menggunakan  metode  Monte  Carlo,  jika  semakin  banyak  lintasan maka solusi  yang didapatkan akan semakin baik  [17]. Pada penelitian ini  digunakan metode  Monte  Carlo  untuk  menyimulasikan  harga  opsi  Eropa  dengan  model volatilitas stokasik Heston dan menganalisis beberapa parameter yang mempengaruhi harga  opsi.  Penggunaan  metode  ini  didasarkan  pada  kelebihan  dari  metode  Monte Carlo  yaitu,  semakin  banyak  simulasi  yang  dilakukan  maka  hasil  taksirannya  akan semakin  mendekati  solusi  analitik  atau  dengan  kata  lain  metode  Monte  Carlo  akan menghasilkan solusi yang konvergen ke solusi analitiknya [18].

## 2.  Metode
Dalam penentuan harga opsi tanpa solusi analitik, diperlukan metode numerik yang dapat  digunakan  untuk  memperkirakan  nilai  solusi.  Metode  numerik  yang  dapat digunakan  untuk  mengestimasi  nilai  suatu  solusi  adalah  metode  Monte  Carlo  [19]. Dengan menggunakan metode Monte Carlo, taksiran yang dihasilkan akan konvergen ke  solusi  eksaknya  dengan  semakin  banyak  simulasi  yang  dilakukan  atau  semakin banyak  sampel  yang  dibangkitkan.  Pada  penelitian  ini,  metode  yang  digunakan untuk mengestimasi nilai parameter model adalah metode numerik Euler-Maruyama dan ordinary least square .

## 2.1. Metode Euler-Maruyama
Metode Euler-Maruyama merupakan metode yang digunakan untuk mengaproksimasi solusi numerik dari persamaan diferensial stokastik (PDS). Metode Euler-Maruyama pertama kali dikenalkan oleh Leonhard Euler dan Gisiro Maruyama.
Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
Metode  ini  adalah  generalisasi  sederhana  metode  Euler  dari  persamaan  diferensial stokastik ke persamaan diferensial biasa dan tidak dapat digunakan pada persamaan diferensial deterministik.
Misalkan diberikan persamaan diferensial stokastik sebagai berikut
𝑑𝑆 𝑡 = 𝜇𝑆 𝑡 𝑑𝑡 +  𝜎𝑆 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 (1)
dengan  nilai  awal 𝑆 0 = 𝑠 0 dan 𝑊 𝑡 adalah  proses  Wiener.  Misalkan  persamaan diferensial  stokastik  memiliki  solusi  pada  interval  waktu [0, 𝑇] dengan  diskretisasi waktu (𝜏) 𝛿 yang memenuhi
0 = 𝜏 0 < 𝜏 1 < ⋯ < 𝜏 𝑡 < ⋯ < 𝜏 𝑁 = 𝑇
dan memiliki jarak yang sama sebesar 𝛿 = 𝑇 𝑁 , maka persamaan Euler-Maruyama untuk mengaproksimasi persamaan diferensial stokastik tersebut adalah
𝑆 𝑡+1 = 𝑆 𝑡 + 𝜇(𝑆 𝑡 )∆𝑡 + 𝜎(𝑆 𝑡 )∆𝑊 𝑡 (2)
untuk 𝑡 = 0,1, … , 𝑁 − 1, dengan nilai awal
𝑆 0 = 𝑠 0 dan
∆𝑡 = 𝜏 𝑡+1 − 𝜏 𝑡 = 𝛿
serta
∆𝑊 𝑡 = 𝑊 𝜏 𝑡+1 − 𝑊 𝜏 𝑡
peubah acak ∆𝑊 𝑡 ~ℕ(0, ∆𝑡) adalah peubah acak saling bebas yang berdistribusi normal dengan nilai harapan sebesar 0 dan varian ∆𝑡 [20] .

## 2.2. Metode Ordinary Least Square
Metode ordinary  least  square (OLS)  merupakan  metode  yang  digunakan  untuk mengestimasi koefisien model  regresi linear dengan meminimalkan jumlah  kuadrat error [21].
Misalkan terdapat model regresi linear sebagai berikut
𝑦 𝑖 = 𝑎 + 𝑏𝑥 𝑖 + 𝜀 𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 (3)
dengan meminimumkan jumlah kuadrat error dari persamaan (3) maka akan diperoleh penduga parameter sebagai berikut
𝑎 = ∑ 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 𝑏 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 (4)
𝑏 = ∑ 𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 − 1 𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 (∑ 𝑥 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 − 1 𝑛 (∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) 2 ) (5)

## 2.3. Metode Monte Carlo
Pada  matematika,  peluang  suatu  kejadian  didefinisikan  sebagai  banyaknya  kejadian atau  volume  relatif  kejadian  terhadap  semua  kejadian  yang  mungkin  terjadi.  Monte Carlo  menggunakan  prinsip  sebaliknya,  yakni  menghitung  volume  suatu  himpunan dengan  menginterpretasikannya  sebagai  peluang,  dengan  cara  sederhana  yaitu membangkitkan sampel acak dari semua hasil yang mungkin kemudian menentukan rataannya terhadap banyaknya sampel acak tersebut sebagai taksiran volume. Hukum bilangan  besar  menjamin  taksiran  ini  konvergen  ke  nilai  analitiknya  dengan mengambil  sampel  yang  cukup  besar.  Faktor  penting  yang  mempengaruh  nilai error adalah ukuran sampel [22]. Semakin banyak sampel yang digunakan, maka nilai error akan  semakin  kecil.  Hal  ini  berarti  semakin  kecil  nilai error ,  maka  semakin  akurat rata-rata sampel yang digunakan sebagai penduga mean populasi.
Salah satu penggunaan metode Monte Carlo adalah dalam penentuan harga opsi yang tidak memiliki solusi analitik dengan melakukan penaksiran nilai. Dalam menentukan harga opsi digunakan estimator Monte Carlo sebagai berikut
𝑂̂ 𝑀𝐶 = 1 𝑀 ∑ 𝑂 𝑀𝐶 (𝑖) 𝑀 𝑖=1 (6)
dengan M merupakan banyaknya simulasi yang diambil dan 𝑂 𝑀𝐶 (𝑖) merupakan harga opsi pada simulasi ke- i sebagai berikut
𝑂 𝑀𝐶 (𝑖) = 𝑒 −𝑟𝑇 𝐴 𝑖 ; 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑀 (7)
dengan 𝐴 𝑖 merupakan payoff opsi  Eropa  saat  jatuh  tempo  pada  simulasi  ke- 𝑖 sebagai berikut
𝐴 𝑖 = { max(𝑆 𝑖 − 𝐾, 0) ; 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑀  untuk opsi 𝑐𝑎𝑙𝑙 max(𝐾 − 𝑆 𝑖 , 0) ; 𝑖 = 1,2, . . . , 𝑀 untuk opsi 𝑝𝑢𝑡
dengan 𝑆 𝑖 merupakan  harga  aset  saat  jatuh  tempo  pada  simulasi  ke- 𝑖 .  Harga  opsi Eropa 𝑂 ditaksir dengan estimator Monte Carlo sebagai berikut
𝑂 ≈ 𝑂̂ 𝑀𝐶
dengan 𝑂̂ 𝑀𝐶 merupakan harga opsi rata-rata hasil simulasi.

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1.  Deskripsi Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data historis mingguan dari harga penutupan dan volatilitas saham Microsoft Corporation (MSFT) pada periode 10 Juli 2017 – 9  Maret  2020.  Data  harga  penutupan  saham  bersumber  dari www.yahoofinance.com dan  data  volatilitas  saham  MSFT  bersumber  dari www.alphaquery.com.

## 3.2.  Penghitungan Logaritma Return
Nilai logaritma return saham ditentukan dengan menggunakan persamaan (8)
Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
𝑅 𝑡 = 𝑙𝑛 ( 𝑆 𝑡 𝑆 𝑡−1 ) , untuk 𝑡 = 1,2,3, . . . , 𝑛 (8)
dengan:
𝑅 𝑡 = nilai logaritma return harga saham pada waktu 𝑡
𝑆 𝑡 = harga saham pada waktu 𝑡 𝑆 𝑡−1 = harga saham pada waktu 𝑡 − 1
Jika dinyatakan dalam bentuk grafik, maka data hasil penghitungan logaritma return akan terlihat seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik logaritma return harga saham MSFT
3.3.  Uji Normalitas Logaritma Return
Data  logaritma return kemudian  diuji  kenormalan  datanya  menggunakan  uji Kolmogorov-Smirnov dengan  menggunakan  bantuan software SPSS  17.0 . Hasil  dari  uji tersebut  diperoleh nilai p-value =  0,061 . Tingkat kepercayaan  yang  digunakan  adalah 𝛼 = 0,05 . Oleh karena p-value > 𝛼 , sehingga keputusan yang diperoleh adalah terima 𝐻 0 dengan kesimpulan bahwa data logaritma return harga mingguan dari saham MSFT yang digunakan dalam penelitian ini berdistribusi normal. Gambar 2 menyajikan plot normalitas dari data logaritma return.
Gambar 2. Grafik normalitas logaritma return
0 20 40 60 80 100 120 140 -0.1 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Grafik Return Saham Microsoft Corporation Waktu (Mingguan) R e tu rn

## 3.4.  Hasil Numerik Estimasi Parameter Model
Model  volatilitas  stokastik  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  model volatilitas  Heston.  Model  Heston mengasumsikan  bahwa  proses S t mengikuti distribusi log-normal, dan proses V t mengikuti Proses Cox-Ingersoll-Ross [23]. Model diberikan sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑡 = 𝜇𝑆 𝑡 𝑑𝑡 + √𝑉 𝑡 𝑆 𝑡 𝑑𝑊 𝑡 𝑑𝑉 𝑡 = ℵ(𝜃 − 𝑉 𝑡 )𝑑𝑡 + 𝜎√𝑉 𝑡 𝑑𝑍 𝑡 (9)
𝑑𝑊 𝑡 𝑑𝑍 𝑡 = 𝜌𝑑𝑡
Nilai  parameter  pada  model  Heston  diestimasi  menggunakan  metode  Euler- Maruyama, ordinary  least  square serta  beberapa  formula  untuk  menghitung  standar deviasi  dan  koefisien  korelasi.  Parameter-parameter  yang  diestimasi  adalah ℵ , 𝜃 , 𝜎 , 𝜇 dan ρ .
Untuk parameter ℵ dan 𝜃 diestimasi dengan menggunakan persamaan (10) dan (11)
ℵ ̂ = 1 − 𝑞 ∆𝑡 (10)
𝜃̂ = 𝑝 1 − 𝑞 . (11)
dengan:
𝑝 = ∑ ( 𝑉 𝑖+∆𝑡 𝜎 2 𝑉 𝑖 ∆𝒕 ) 𝑁−1 𝑖=1 − 𝑞 ∑ 1 𝜎 2 ∆𝒕 𝑁−1 𝑖=1 ∑ ( 1 𝜎 2 𝑉 𝑖 ∆𝒕 ) 𝑁−1 𝑖=1
𝑞 = ∑ ( 𝑉 𝑖+∆𝑡 𝜎 2 ∆𝒕 ) 𝑁−1 𝑖=1 − (𝑁−1) 𝜎2∆𝒕 ∑ ( 𝑉𝑖+∆𝑡 𝑉𝑖 ) 𝑁−1 𝑖=1 ∑ ( 1 𝑉𝑖 ) 𝑁−1 𝑖=1 ∑ ( 𝑉 𝑖 𝜎 2 ∆𝒕 ) 𝑁−1 𝑖=1 − (𝑁−1)2 𝜎2∆𝒕 ∑ ( 1 𝑉𝑖 ) 𝑁−1 𝑖=1
Untuk parameter 𝜎 , diestimasi dengan menggunakan persamaan (12)
𝑠 = √ 1 (𝑛−1) ∑ (𝑢 𝑖 − 𝑢̅) 2 𝑛 𝑖=1 (12)
dengan 𝑢̅ merupakan nilai rata-rata dari logaritma return , dan karena standar deviasi dari 𝑢 𝑖 adalah 𝜎̂√∆𝑡 maka 𝑠 merupakan estimasi dari 𝜎̂√∆𝑡 . Oleh karena itu, volatilitas dari harga aset dapat dihitung dengan persamaan (13)
𝜎̂ = 𝑠 √∆𝑡 . (13)
Untuk parameter 𝜌 , diestimasi dengan menggunakan persamaan (14)
𝑟 = ∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥̅)(𝑦 𝑖 − 𝑦̅) 𝑛 𝑖=1 √∑ (𝑥 𝑖 − 𝑥̅) 2 ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑦̅) 2 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (14)
Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
dengan:
𝑟 = koefisien korelasi 𝑥 𝑖 = nilai variabel 𝑥 pada pengamatan ke- 𝑖 dalam sampel 𝑦 𝑖 = nilai variabel 𝑦 pada pengamatan ke- 𝑖 dalam sampel 𝑥̅ = rata-rata variabel 𝑥 dalam sampel 𝑦̅ = rata-rata variabel 𝑦 dalam sampel
Nilai  parameter  model  Heston  yang  telah  diestimasi  menggunakan  bantuan software Scilab 6.0.2 disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai parameter model hasil estimasi Parameter Nilai ℵ ̂ 4,15000 𝜃̂ 0,25000 𝜎̂ 0,89300 𝜌 -0,02185
Dari Tabel 1 dapat diketahui rata-rata varian jangka panjang (𝜃̂) sebesar 0,25000; laju mean reversion (ℵ ̂) sebesar 4,15000; standar deviasi dari volatilitas (𝜎̂) sebesar 0,89300; dan  koefisien  korelasi (𝜌) sebesar – 0,02185.  Dalam  penentuan  harga  opsi  dengan model volatilitas Heston digunakan pendekatan risk neutral, sehingga dalam penelitian ini nilai dari parameter 𝜇 digantikan dengan nilai dari tingkat bunga bebas risiko ( 𝑟 ) .

## 3.5.  Hasil Numerik Harga Opsi
Nilai  parameter  model yang  telah  diestimasi  kemudian  digunakan  untuk mengaproksimasi  harga  saham  yang  kemudian  akan  dicari  harga  opsinya menggunakan  metode  Monte  Carlo.  Selain  parameter  hasil  estimasi,  terdapat  pula parameter lain yang digunakan untuk memperoleh harga saham, seperti selang waktu (∆𝑡)   = 1 52 tahun,  harga  saham  awal (𝑆 0 ) = $100, volatilitas  awal (𝑉 0 ) = 17 % dan banyaknya simulasi (𝑀) .
Harga saham yang diperoleh dari hasil aproksimasi kemudian dihitung harga opsinya. Pada simulasi harga opsi, input parameter yang digunakan adalah harga saham hasil simulasi  sebanyak 𝑀 harga,  harga strike (𝐾) = $100 ,  waktu  jatuh  tempo  opsi (𝑇) = 12 52 tahun, tingkat bunga bebas risiko (𝑟) = 3,75% per tahun dan ∆𝑡 = 1 52 tahun. Nilai harapan opsi Eropa pada waktu jatuh tempo dihitung dengan mencari nilai rata-rata dari seluruh harga opsi yang telah diperoleh dengan simulasi.
Tabel  2  menyajikan  hasil  dari  simulasi  Monte  Carlo  untuk harga  opsi  Eropa  dengan berbagai  nilai 𝑀 yang  telah  dipilih  disertai  dengan  nilai error relatif  dari  setiap simulasi. Nilai error relatif dari setiap simulasi dapat dihitung dengan formula sebagai berikut
𝜀 𝑟 = |𝑂 (𝑖) − 𝑂̂| 𝑂̂ (15)
dimana 𝑂̂ merupakan harga opsi hampiran untuk nilai numerik eksak dari harga opsi yang  tidak  diketahui, 𝑂 (𝑖) merupakan  harga  opsi  pada  simulasi  ke- 𝑖 .  Nilai  hasil penghitungan harga opsi disertai nilai error relatifnya disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2. Harga dan error relatif dari opsi Eropa hasil simulasi Banyaknya Simulasi Harga Opsi Call ($) Harga Opsi Put ($) Error Relatif Opsi Call Error Relatif Opsi Put 10 6,17 8,59 0,305180 0,063119 20 7,51 9,51 0,154279 0,176980 40 12,4 8,86 0,396396 0,096535 80 9,22 7,87 0,038288 0,025990 160 8,99 8,75 0,012387 0,082921 320 8,96 9,01 0,009009 0,115099 640 8,71 9,30 0,019144 0,150990 1280 9,22 8,02 0,038288 0,007426 2560 8,48 8,21 0,045045 0,016089 5120 8,78 8,15 0,011261 0,008663 10240 8,81 8,13 0,007883 0,006188
Dalam  penentuan  nilai error relatif,  nilai  solusi  eksak  yang  digunakan  adalah  nilai solusi  dari  simulasi  yang  optimal.  Simulasi  yang  optimal  diperoleh  dengan memperkirakan  simulasi  yang  dapat  diproses  sesuai  dengan  kapasitas memory maksimum  yang  tersedia  pada  komputer  dan  pada  penelitian  ini  memiliki  simulasi optimal  dengan  jumlah 𝑀 =  20000.  Pada  simulasi  optimal  tersebut,  harga  opsi call Eropa sebesar $8,88 dan harga opsi put Eropa sebesar $8,08.
Pada  Tabel  2  dapat  dilihat  bahwa  nilai error relatif  akan  semakin  kecil  jika  simulasi yang dilakukan semakin banyak, hal ini menandakan bahwa semakin banyak simulasi yang  di  proses  maka  hasil  yang  diperoleh  akan  semakin  dekat  dengan  solusi  eksak. Gambar 3 dan 4 menyajikan grafik perbandingan harga opsi call dan opsi put hampiran dengan solusi eksak.
Gambar  3. Grafik  perbandingan  harga opsi call hampiran  dengan solusi eksak Gambar 4. Grafik perbandingan harga opsi put hampiran  dengan solusi eksak
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 6 7 8 9 10 11 12 13 Banyaknya simulasi (M) H a rg a O p s i ($ ) Grafik Solusi Opsi Call solusi hampiran solusi eksak 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 7.8 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 9.2 9.4 9.6 9.8 Banyaknya simulasi (Kali) H a rg a O p s i ($ ) Grafik Solusi Opsi Put solusi hampiran solusi eksak
Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo
Pada Gambar 3 dan 4 penghitungan solusi hampiran dilakukan dengan menggunakan banyak simulasi ( 𝑀 ) yang berbeda, dimulai dengan 𝑀 = 10 kemudian dilipatgandakan menjadi 20; 40; 80 dan seterusnya sampai 𝑀 = 10240. Grafik perbandingan harga opsi call dan opsi put hampiran dengan solusi eksak menunjukkan bahwa semakin banyak simulasi yang dilakukan akan memberikan hasil hampiran yang konvergen ke solusi eksaknya.  Dari  simulasi  yang  telah  dilakukan,  simulasi  dengan  nilai 𝑀 =10240  yang memiliki  titik  paling  dekat  dengan  garis  solusi  eksak.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa dengan  melakukan  simulasi  sebanyak  10240  kali  nilai error relatif  yang  diperoleh adalah nilai error yang paling kecil.

## 3.6.  Perubahan Harga Opsi Eropa Terhadap Perubahan Nilai Parameter
Berikut akan ditunjukkan perubahan nilai dari parameter yang dapat mempengaruhi harga opsi Eropa. Paramater yang diamati adalah harga strike (𝐾) , harga saham awal (𝑆 0 ) dan  waktu  jatuh  tempo (𝑇) . Simulasi  dilakukan  dengan  mengambil  nilai 𝑀 sebanyak 5000 kali simulasi.

## 3.6.1.  Pengaruh Parameter Harga Strike (𝑲) Pada Harga Opsi Eropa
Gambar yang memperlihatkan grafik perubahan harga opsi call dan opsi put terhadap perubahan nilai parameter harga strike (𝐾) ditunjukkan pada Gambar 5 dan Gambar 6.
Gambar 5. Grafik perubahan harga opsi call terhadap nilai 𝐾 Gambar 6. Grafik perubahan harga opsi put terhadap nilai 𝐾
Gambar  5  menunjukkan  bahwa  semakin  meningkat  nilai  parameter  harga strike (𝐾) maka  harga  opsi call akan  semakin  turun. Hal  ini  sesuai  dengan  nilai payoff opsi call yang  akan  semakin  rendah  dengan  semakin  tingginya  harga strike (𝐾). Gambar  6 menunjukkan bahwa semakin meningkat nilai parameter harga strike (𝐾) maka harga opsi put akan  semakin  naik.  Hal  ini  sesuai  dengan  nilai payoff opsi put yang  akan semakin tinggi dengan semakin tingginya harga strike (𝐾) .
3.6.2.  Pengaruh Parameter Harga Saham Awal (𝑺 𝟎 ) Pada Harga Opsi Eropa
Gambar yang memperlihatkan grafik perubahan harga opsi call dan opsi put terhadap perubahan  nilai  parameter  harga  saham  awal (𝑆 0 ) ditunjukkan  pada  Gambar  7  dan Gambar 8.
Gambar 7. Grafik perubahan harga opsi
call terhadap nilai 𝑆 0 Gambar 8. Grafik perubahan harga opsi put terhadap nilai 𝑆 0
Gambar 7 menunjukkan bahwa terdapat hubungan yang positif antara nilai 𝑆 0 dengan harga  opsi call .  Hal  ini  terlihat  dari  grafik  dimana  dengan  semakin  besar  nilai 𝑆 0 mengakibatkan  harga  opsi call menjadi  semakin  besar.  Gambar  8  menunjukkan bahwa  terdapat  hubungan  negatif  antara  nilai 𝑆 0 dengan  harga  opsi put .  Hal  ini terlihat  dari  grafik  dimana  dengan  semakin besar  nilai 𝑆 0 mengakibatkan harga  opsi put menjadi semakin kecil.

## 3.6.3.  Pengaruh Parameter Waktu Jatuh Tempo (𝑻) Pada Harga Opsi Eropa
Gambar yang memperlihatkan grafik perubahan harga opsi call dan opsi put terhadap perubahan  nilai  parameter  waktu  jatuh  tempo (𝑇) ditunjukkan  pada  Gambar  9  dan Gambar 10.
Gambar 9 . Grafik perubahan harga opsi
call terhadap nilai 𝑇 Gambar  10. Grafik  perubahan  harga opsi put terhadap nilai 𝑇
Gambar  9  dan  Gambar  10  memperlihatkan  bahwa  harga  opsi call dan  opsi put akan semakin tinggi dengan semakin lama periode opsi. Hal ini dikarenakan semakin lama periode opsi  maka nilai  volatilitas  semakin besar  dan  akan  menghasilkan nilai payoff opsi yang semakin tinggi. Dengan nilai payoff yang tinggi, maka akan diperoleh harga opsi yang tinggi.

## Penentuan Harga Opsi dengan Volatilitas Stokastik Menggunakan Metode Monte Carlo

## 4.  Kesimpulan
Penggunaan  metode  Monte  Carlo  dalam  penentuan  harga  opsi  tipe  Eropa  dengan volatilitas  stokastik  model  Heston  menghasilkan  solusi  yang  cukup  baik  karena memiliki  nilai error yang  kecil. Hasil  simulasi Monte  Carlo  memberikan  kesimpulan bahwa  apabila  nilai  parameter  harga strike menurun  maka  harga  opsi call akan meningkat dan harga opsi put akan menurun, demikian sebaliknya. Untuk parameter harga  saham  awal  apabila  mengalami  peningkatan  maka  harga  opsi call akan meningkat dan harga opsi put akan menurun, demikian sebaliknya. Untuk parameter waktu  jatuh  tempo  memiliki  pengaruh  positif  terhadap  opsi call dan  opsi put. Pengaruh perubahan nilai parameter harga strike , harga saham awal dan waktu jatuh tempo  opsi  tersebut  sesuai  dengan  teori  harga  opsi.  Dari  hasil  penerapan  model volatilitas  stokastik  pada  penentuan  harga  opsi  dapat  memberikan  informasi  yang cukup  akurat  kepada  investor  dalam  melakukan  transaksi  di  pasar  modal,  hal  ini dikarenakan  penggunaan  nilai  volatilitas  stokastik  yang  menggambarkan  keadaan pasar yang sebenarnya.

## Referensi
[1] C.  Oliveira, Options  and  Derivatives  Programming  in  C  ++ .  New  Jersey  (US): Apress, 2016.
[2] J.  C.  Hull  and  S.  Basu, Options,  Futures,  and  Other  Derivatives ,  9th  ed.  India: Pearson India Education Services Pvt. Ltd, 2016.
[3] P.  Boyle  and  J.  Mcdougall, Trading  and  Pricing  Financial  Derivatives .  Boston (Berlin): Walter de Gruyter Inc, 2019.
[4] F.  Mostafa,  T.  Dillon,  and  E.  Chang, Computational  Intelligence  Applications  to Option  Pricing  ,  Volatility  Forecasting  and  Value  at  Risk .  Switzerland:  Springer, 2017.
[5] L. Andersen and R. Brotherton- Ratcliffe, “The equity option volatility smile: an implicit  finite- difference  approach,” J.  Comput.  Financ. ,  vol.  1,  no.  2,  pp.  5 – 37, 1998, doi: 10.21314/jcf.1997.009.
[6] S.  L.  Heston,  “A  Closed -Form  Solution  for  Options  with  Stochastic  Volatility with  Applications  to  Bond  and  Currency  Options,”  vol.  6,  no.  2,  pp.  327– 343, 1993.
[7] J.  Hull  and  A.  White,  “The  Pricing  of  Options  on  Assets  with  Stochastic Volatilit ies Od,” J. Finance , vol. XLII, no. 2, pp. 281 – 300, 1987.
[8] T. J. Lyons, “Uncertain volatility and the risk - free synthesis of derivatives,” Appl. Math. Financ. , vol. 2, no. 2, pp. 117 – 133, 1995, doi: 10.1080/13504869500000007.
[9] M.  Avellaneda,  A.  Levy, and  A.  Paras,  “Pricing  and  hedging  derivative securities in markets with uncertain volatilities,” Appl. Math. Financ. , vol. 2, no. 2, pp. 73 – 88, 1995.
[10] R.  Crisóstomo,  “An  Analysis  of  the  Heston  Stochastic  Volatility  Model : Implementation and Calibrat ion using Matlab *,” SSRN Electron. J , 2014.
[11] G.  Wang,  X.  Wang,  and  K.  Zhou,  “Pricing  vulnerable  options  with  stochastic volatility,” Physica A , 2017, doi: 10.1016/j.physa.2017.04.146.
[12] A. Biswas, A. Goswami, and L. Overbeck, “Option pricing in a r egime switching stochastic  volatility  model,” Stat.  Probab.  Lett. ,  vol.  11,  pp.  1 – 11,  2018,  doi: 10.1016/j.spl.2018.02.056.
[13] Y.  Tian  and  H.  Zhang,  “European  option  pricing  under  stochastic  volatility jump-diffusion models with transaction cost ✩ ,” Comput. Math. with Appl. , pp. 1 – 20, 2019, doi: 10.1016/j.camwa.2019.12.001.
[14] M. D. Moghaddam and R. A. Serota, “Combined multiplicative – Heston model for  stochastic  volatility,” Physica  A ,  vol.  561,  p.  125263,  2021,  doi: 10.1016/j.physa.2020.125263.
[15]  M. Cerrato, The Mathematics of Derivatives Securities with Applications in MATLAB . Great Britain: John Wiley & Sons Ltd, 2012.
[16]  A. Barbu and S.-C. Zhu, Monte Carlo methods . Singapore: Springer, 2020.
[17] J. Ma, W. Li, and H. Zheng, “Dual control M onte-Carlo method for tight bounds of  value  function  under  Heston  stochastic  volatility  model,” Eur.  J.  Oper.  Res. , vol. 280, no. 2, pp. 428 – 440, 2020, doi: 10.1016/j.ejor.2019.07.041.
[18]  P.  Glasserman, Monte  Carlo  Methods  in  Financial  Engineering .  New  York: Springer, 2003.
[19] I. Vidic, “Numerical methods for option pricing,” University of Werstern Cape, 2012.
[20]  X. Han and P. E. Kloeden, Probability Theory and Stochastic Modelling 85 Random Ordinary Differential Equations and Their Numerical Solution . Wuhan, Hubei China: Springer, 2017.
[21]  N. Schorghofer, Lessons in Scientific Computing . London: CRC Press, 2018.
[22]  J. W. Creswell, Educational Research , 4th ed. Boston: Pearson Education Inc, 2012.
[23] D.  Lamberton  and  G.  Terenzi,  “Variational  form ulation  of  American  option prices in the Heston Model,” SIAM J. Financ. Math. , vol. 10 (1), pp. 261 – 368, 2019.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics,  Universitas  Negeri  Gorontalo,  Jln.  Prof.  Dr.  Ing.  B.J.  Habibie, Moutong,  Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.