J ournal of Authentic Research on Mathematics Education Volume 5, No. 2, Juli 2023
https://doi.org/ 10.37058/jarme. v5i2.5970 e-ISSN 2655-7762

## LEARNING TRAJECTORY PESERTA DIDIK BERDASARKAN ARGUMENTASI MATEMATIS
Naufal Firdaus*,  Supratman, Dedi Muhtadi , Nani Ratnaningsih
Universitas Siliwangi, Jln. Siliwangi No. 24, Tasikmalaya 46115, Jawa Barat, Indonesia * Corresponding Author: naufalfirdaus14@gmail.com
ARTICLE INFO ABSTRACT Article history
Received: 26 November 2022 Revised: 15 Mei 2023 Accepted: 20 Juni 2023

## Keywords
Learning trajectory, Argumentasi Matematis, Tipe Argumentasi.
Learning trajectory, mathematics argumentation, the mode of argumentation.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menganalisis learning  trajectory peserta  didik  berdasarkan  argumentasi  matematis.  Penelitian menggunakan kualitatif-deskriptif dengan pendekatan  eksploratif. Subjek penelitian diambil secara purposive sebanyak empat orang peserta  didik  kelas  VIII  SMP  Islam  Terpadu  Qoshrul  Muhajirin berdasarkan learning trajectory peserta didik dan tipe argumentasi. Data  dikumpulkan  menggunakan  tes  argumentasi  matematis,  tes tipe argumentasi dan wawancara tidak terstruktur. Teknik analisis data  meliputi  reduksi  data,  penyajian  data  dan  penarikan kesimpulan. Hasil penelitian menyimpulkan: (1) learning trajectory peserta  didik  pada  tipe  argumentasi  matematis  induktif  yaitu menyelesaikan permasalahan dengan memanfaatkan gambar pada soal.  (2) learning  trajectory peserta  didik  pada  tipe  argumentasi matematis  aljabar  menggunakan  rumus  khusus  dalam menyelesaikan masalah. (3) learning trajectory peserta didik pada tipe  argumentasi  matematis  pictorial  menggunakan  ilustrasi gambar dengan rumus dalam menyelesaikan masalah.  (4) learning trajectory peserta  didik  pada  tipe  argumentasi  matematis perseptual  dengan  menggunakan  bantuan  ilustrasi  gambar  pada soal serta membuktikannya dengan rumus terstruktur.
This study aims to analyze the learning trajectory of students based on mathematical argumentation. The research adopts a qualitative- descriptive approach with an exploratory method. The study subjects were purposively selected, consisting of four students from the eighth grade  of  Qoshrul  Muhajirin  Integrated  Islamic  Junior  High  School, based  on  their  learning  trajectory  and  types  of  mathematical argumentation.  Data  were  collected  through  mathematical argumentation  tests,  argumentation-type  tests,  and  unstructured interviews.  Data  analysis  techniques  included  data  reduction,  data presentation,  and  conclusion.  The  research  findings  can  be summarized as follows: (1) The learning trajectory of students in the inductive  mathematical  argumentation  type  involves  solving problems  by  utilizing  images  in  the  questions.  (2)  The  learning trajectory of students in the algebraic mathematical argumentation type  involves  using  specific  formulas  to  solve  problems.  (3)  The learning  trajectory  of  students  in  the  pictorial  mathematical argumentation type involves using illustrated images and formulas to solve  problems.  (4)  The  learning  trajectory  of  students  in  the perceptual  mathematical  argumentation  type  involves  using illustrated images in the questions and providing structured formulas as evidence to support their arguments.
Copyright © 2021UniversitasSiliwangi. All rights reserved.

## JARME
How to Cite:
Firdaus,  N.,  Supratman,  Muhtadi,  D.,  &  Ratnaningsih,  N.  (2023). Learning  Trajectory Peserta  Didik Berdasarkan  Argumentasi  Matematis. Journal  of  Authentic  Research  on  Mathematics  Education,
5 (2), 164-176. https://doi.org/10.37058/jarme. v5i2.5970

## 1. PENDAHULUAN
Keberhasilan  siswa  dalam  menyelesaikan  masalah  tidak  hanya  didasarkan  pada banyaknya pengetahuan yang sudah dimiliki, namun kualitas pengetahuan merupakan hal yang sangat penting. Kualitas pengetahuan siswa akan lebih baik Ketika mereka diberikan beberapa  peluang  untuk  berpikir  dan  bernalar,  sehingga  siswa  dapat  mengembangkan pemahaman mereka. Kegiatan tersebut menurut Rosita et al ., (2019b) merupakan bagian dari kegiatan argumentasi. Argumentasi diartikan sebagai proses berpikir dan interaksi social di mana individu tersebut membangun dan mengkritik argumen (Nussbaum, 2011). Secara lebih rinci, van Emeren mengungkapkan argumentasi adalah aktivitas verbal dan social  dari  penalaran  yang  bertujuan  untuk  meningkatkan  (atau  penerimaan)  sudut pandang  yang  berbeda  bagi  pendengar  atau  pembaca  dengan  mengedepankan perkumpulan dari proporsi yang dimaksud untuk mendengarkan (atau membantah) sudut pandang yang dihadapkan keputusan yang rasional (Blair, 2005).
Driver  &  Osborne  (2000) berpendapat  bahwa  argumentasi  adalah  proses  yang digunakan  seseorang  untuk  menganalisis  informasi  kemudian  dikomunikasikan kepada orang  lain.  Dengan  kata  lain  argumnetasi  juga  memiliki  sifat  persuasif  atau  dapat mempengaruhi pemikiran seseiorang. Argumnetasi menjadi keterampilan dan kecakapan hidup  yang  berguna  di  abad  21  baik  dalam  berkomunikasi,  berinteraksi,  berdialog, bernegosiasi, dan bermusyawarah (Cardetti & LeMay, 2019; Quintana & Correnti, 2019) . Selain itu,  selama  decade  terakhir,  pendidik  sains  berpandangan  bahwa  argumentasi  penting untuk pemikiran ilmiah dan kontruksi pengetahuan dan hal itu juga harus menjadi pusat pembelajaran hasil dalam kurikulum sains (Felton & Gilabert, 2009).
Kaitannya  dengan  matematika, Kuhn  &  Moore  (2015) berpendapat  bahwa argumentasi menjadi perhatian khusus bagi keberhasilan siswa dalam kehidupan sehari- hari maupun dalam pembelajaran matematika. Sementara itu menurut National Governors Association Center for Best Practice & Council of Chief State School, argumentasi dalam kelas matematika  telah  dimasukkan  kedalam  standar  inti  untuk  praktik  matematika  sebagai Praktik Standar 3 yaitu membangun argumen yang aktif dan kritik terhadap orang lain (Kirkpatrick,  2016).  Oleh  karenanya,  pembelajaran  matematika  perlu  diarahkan  pada pengembangan  siswa  dalam  berargumentasi.  Argumentasi  digunakan  untuk  melihat sejauh  mana  pemahaman  dan  penguasaan  siswa  terhadap  objek  matematis  sehingga mampu menggunakan dan menjelaskan objek matematis dalam menyelesaikan masalah.
Beberapa  penelitian  mengenai  argumentasi  matematis  bisa  dilihat  dari  beberapa aspek tertentu, seperti halnya penelitian Liu et al. (2016) mengenai analisis aspek dan sifat argumentasi siswa sekolah menengah terhadap evaluasi di mana hasil temuannya adalah dukungan terhadap argumen memberikan dampak yang besar terhadap evaluasi argumen yang  diikuti  oleh  berbagai  jenis  representasi  sebagai  aspek  penting  dalam  mengambil keputusan. Penelitian Kirkpatrick (2016) mengenai siswa yang membangun argumen yang
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 166
valid  dan  mengkritisi  alasan  orang  lain  memberikan  beberapa  pengaruh  terhadap motivasi.  Selain  itu,  penelitian Nordin  &  Björklund  Boistrup  (2018) menunjukkan  bahwa siswa  dalam  merekonstruksi  argumen matematika  menggunakan  beberapa  komunikasi yang ada seperti ucapan, gambar dan simbol. Lebih lanjut,  Liu et al. (2013) melakukan studi  mengenai  tipe  argumen  yang  dihasilkan  dari  cara-cara  siswa  dalam merepresentasikan  argumentasi.  Liu  mengelompokkan  argumen  menjadi  4  kategori, yaitu: induktif, aljabar, visual dan perseptual. Argument induktif merupakan argumen yang menyajikan  beberapa  contoh  yang  mendukung  dari  konjektur  yang  diajukan;  argumen aljabar adalah argumen yang dinyatakan berdasrkan konteks representasi simbolik yang kemudian direpresentasikan ulang untuk mendukung konjektur yang diajukan; argumen visual  adalah  argumen  yang  mengandalkan  grafik  dan  gambar  untuk  memberikan penjelasan  tentang  bukti;  dan  argumen  perseptual  adalah  argumen  yang  berhubungan antara masalah yang didukung dengan beberapa penjelasan.
Argumentasi  juga  merupakan  sarana  yang  dapat  mengembangkan  kemampuan matematis  siswa  dalam  berbagai  hal  diantaranya  pembuktian  matematika  (Hoyles  & Kuchemann,  2002;  Laamena,  2017;  Sukirwan,  2016),  kemampuan  berpikir  kritis (Indrawatiningsih, Purwanto, As’ari, Sa’dijah, & Dwiyana, 2019) , kemampuan penalaran (Bieda et al., 2013; Nussbaum, 2011a), kemampuan pemahaman matematika  (Lameena et al .,  2018;  Rosita et  al., 2019a);  Rumsey  &  Langrall,  2016)  dan  kreativitas  matematis (Begona, 2014). Selain itu, menurut Rumsey & Langrall (2016) ketika siswa menjadi lebih mahir dalam menggunakan argumentasi matematis, mereka mampu dengan baik untuk mendukung klaim mereka dengan contoh dan untuk menantang klaim orang lain dengan contoh yang berlawanan, sehingga mereka lebih percaya diri untuk mengungkapkan ide atau gagasan yang dimilikinya. Oleh karena itu, pembelajaran matematika perlu diarahkan untuk pengembangan siswa dalam berargumentasi matematis.
Namun  dari  begitu  pentingnya  kemampuan  argumentasi  matematis,  berdasarkan penelitian Driver et al . (1998) menunjukkan bahwa siswa lemah dalam menyajikan dan menyusun argumen (Driver et al., 1998). Selain itu, penelitian Hatzikiriakou  &  Metallidou (2009) menunjukkan  dengan  subjek  guru  matematika  menyimpulkan  bahwa  penyebab sebagian besar siswa tidak dapat melakukan argument matematika dengan baik karena kesalahan  mereka  dalam  menafsirkan  pernyataan  sehinga  mereka  keliru  membangun model  mental  dan  kesulitan  dalam  menerjemahkan  kesimpulan  dari  pernyataan. Sementara itu berdasarkan penelitian Reznitskya, dkk. menyimpulkan bahwa kelemahan siswa dalam menulis struktur argumen, memilih konsep atau mendukung teorema, dan membuat  contoh  tandingan  adalah  faktor  utama  yang  menghambat  siswa  dalam membangun sebuah argument yang valid (Rosita et al., 2019). Kemudian berdasarkan hasil wawancara peneliti dengan guru mata pelajaran matematika di SMP IT Qoshrul Muhajirin dapat  ditarik  kesimpulan  sebagian  kecil  dari  peserta  didik  yang  mampu  memberikan argument  terhadap  suatu  permasalahan  serta masih banyak  peserta  didik  yang kurang berani  bertanya  mengenai  materi  yang  belum  dipahaminya.  Sehingga  peserta  didik tersebut  tidak  mampu  memahami  konsep  secara  menyeluruh  dan  belum  mendapatkan hasil belajar yang memuaskan. Peranan pendidik sangat penting untuk mengembangkan kemampuan argumentasi matematis peserta didik supaya keberhasilan untuk mencapai

## JARME
tujuan  pembelajaran  dapat  terwujud.  Salah  satu  tugas  matematika  yang  dipilih  untuk mengembangkan kemampuan argumentasi matematis adalah geometri.
Belajar  geometri  bukan  hanya  mempelajari  bentuk,  definisi,  sifat-sifat  maupun rumus  dari  konsep  geometri,  namun  lebih  jauhnya  lagi  digunakan  agar  peserta  didik memiliki  kemampuan  menganalisis  sifat-sifat  bangun  datar  dan  ruang  serta mengembangkan  argumentasi  matematis  mengenai  hubungan  geometri  (NCTM,  2000). Oleh karena itu, melalui geometri dapat digunakan sebagai sarana untuk mengembangkan dan melatih kemampuan peserta didik dalam berargumentasi matematis. Terkait hal itu,
Rohendi dkk (2018) berpendapat bahwa pembelajaran geometri dapat membantu peserta didik dalam menganalisis dan mengomunikasikan hal-hal terkait dengan bentuk bangun datar maupun bangun ruang yang ada di lingkungan sekitar peserta didik. Namun proses pembelajaran geometri tidak berjalan mulus. Terdapat beberapa asumsi bahwa geometri atau matematika adalah salah satu mata pelajaran yang paling sulit dan tidak disukai oleh sebagian besar peserta didik (Adolphus, 2011). Berdasarkan penelitian Fauzi & Arisetyawan (2020) terdapat  siswa  yang  mengalami  kesulitan  yang  dihadapi  peserta  didik  dalam menjawab  soal  geometri,  diantaranya  kesulitan  dalam  penggunaan  konsep,  dalam penggunaan prinsip dan kesulitan dalam  menyelesaikan masalah-maslah verbal. Hal ini disebabkan  karena  kesulitan  siswa  dalam  membentuk  kontruksi  nyata  yang  akurat, membutuhkan ketelitian dalam pengukuran, membutuhkan waktu yang lama dan bahkan banyak  siswa  yang  mengalami  hambatan  dalam  pembuktian  jawaban (Noto,  dkk,  2019) . Berdasarkan  penelitian  tersebut  menunjukkan  peserta  didik  belum  menguasai  konsep geometri dengan baik dan mengalami kesulitan dalam menyelesaikan masalah geometri. Hal  ini  berpengaruh  terhadap  argumentasi  matematis  terutama  dalam  menyelesaikan masalah geometri.
Keberhasilan  dari  belajar  geometri  adalah  untuk  mengoptimalkan  argumentasi matematis  peserta  didik  bukan  hanya  diperoleh  dari  proses  belajar,  namun  perlu diperhatikan juga dari pola pikir siswa sesuai dengan tahap perkembangannya. Salah satu cara  yang  dapat  dimanfaatkan  dalam  memfasilitasi  pola  pikir  siswa  adalah  dengan memperhatikan urutan dalam menyampaikan materi yang diberi nama dengan learning trajectory (alur  belajar). Menurut (Clements  &  Sarama,  2004) learning  trajectory adalah deskripsi pemikiran dan pembelajaran anak-anak dalam domain matematika tertentu dan rute yang terkira terkait serangkaian tugas instruksional yang dirancang untuk melahirkan proses mental atau tindakan yang dihipotesiskan untuk menggerakkan anak-anak melalui perkembangan tingkat berpikir, yang dikembangkan dengan tujuan mendukung prestasi anak-anak dari tujuan khusus dalam domain matematika itu. Sedangkan menurut Nurdin (2011) terdapat istilah Hypothetical Learning Trajectory (HLT) atau alur belajar hipotetik dan Learning Trajectory (LT). HLT adalah dugaan tentang rangkaian aktivitas yang dilalui anak  dalam  memecahkan  suatu  masalah  atau  memahami  suatu  konsep,  sedangkan  LT adalah suatu rangkaian aktivitas yang secara actual yang dilalui anak dalam memecahkan masalah atau memahami suatu konsep. Jadi alur belajar yang sesungguhnya merupakan hasil  revisi  dari  alur  belajar  hipotesis  berdasarkan  peristiwa  yang  terjadi  saat pembelajaran  atau  memecahkan  masalah  berlangsung.  Pola  hingga  alur  berpikir  siswa dalam  memberikan  langkah-langkah  atau  strategi  penyelesaian  masalah  sangatlah beragam.  Hal  ini  sejalan  dengan  ragamnya  proses  perkembangan  berpikir  yang  terjadi
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 168
pada setiap siswa serta pencapaian tingkat berpikir siswa. Oleh karena itu, guru sangat berperan penting dalam memahami pola pikir siswa, sehingga guru dapat membimbing dan memberi solusi secara tepat. Dengan demikian, proses berpikir siswa akan menjadi terurut dan terstruktur, sehingga siswa dapat mengaplikasikan pengetahuannya terhadap permasalahan. Clements & Sarama (2004) menjelaskan learning trajectory menggambarkan mengenai tujuan  pembelajaran,  proses  berpikir  dan  belajar  anak  di  berbagai tingkatan, dan kegiatan pembelajaran dimana mereka mungkin terlibat.
Surya (2011) berpendapat dengan mengetahui learning trajectory akan membantu guru  untuk  menerapkan  model,  strategi,  bahan  ajar,  dan  penilaian  yang  tepat  sesuai dengan tahapan berpikir peserta didik. Hal itu sejalan dengan pendapat Anwar  &  Rofiki (2018) yang mendefinisikan learning trajectory sebagai proses berpikir peserta didik dalam pembelajaran  yang  dirancang  untuk  mencapai  tujuan  dalam  pembelajaran  matematika yang  dapat  meningkatkan  pemahaman  peserta  didik.  Selain  itu  dengan  mengetahui learning  trajectory peserta  didik  dapat  membantu  pendidik  dalam  merancang model/strategi pembelajaran dalam menanggapi proses berpikir matematis peserta didik (Anwar & Rofiki, 2018) .
Berdasarkan  penjelasan  yang  telah  dipaparkan, learning  trajectory dalam argumentasi matematis peserta didik dalam kegiatan tersebut menjadi bahasan menarik untuk  diteliti.  Oleh  karena  itu  penulis  termotivasi  untuk  melakukan  penelitian  dengan judul “ Learning Trajectory Peserta Didik dalam Argumentasi Matematis”.

## 2. METODE
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah kualitatif deskriptif dengan pendekatan eksploratif untuk mendeskripsikan Learning trajectory peserta didik berdasarkan argumentasi peserta didik, serta data yang terkumpul kemudian dianalisis secara kualitatif.

## 2.1. Subjek Penelitian
Subjek  penelitian  adalah  4  peserta  didik  kelas  VIII  SMP  Islam  Terpadu  Qoshrul Muhajirin  Tahun  Pelajaran  2021/2022.  Subjek  dipilih  menggunakan  teknik  eksplorasi. Peneliti akan mengambil beberapa peserta didik sebagai calon subjek untuk menganalisis learning  trajectory peserta  didik  berdasarkan  tipe  argumentasi  matematis  dalam menyelesaikan  masalah  matematika . Sebelum  melaksanakan  tes,  peneliti  meminta rekomendasi pada guru untuk menentukan peserta didik yang akan dijadikan calon subjek penelitian yang memiliki kemampuan diatas rata-rata serta komunikatif. Hal yang akan dieksplorasi  pada  hasil  penelitian  yaitu  menganalisis learning  trajectory peserta  didik dalam  menyelesaikan  masalah  berdasarkan  struktur  argumentasi  dan tipe  argumentasi matematis . Peneliti  mengambil  calon  subjek  secara  kontinu  sampai  hasil  penelitian menemukan semua tipe argumentasi menurut Liu (2013) yaitu tipe argumentasi induktif, aljabar, visual dan perseptual terpenuhi. Peneliti akan memberikan instrument tes kepada salah  satu  peserta  didik  kelas  VIII  (calon  subjek  1)  jika  tidak  memenuhi  kriteria,  maka calon subjek 1 tidak diambil sebagai subjek penelitian ini.
Kegiatan tersebut akan berulang kepada calon subjek lain sampai ditemukan peserta didik  yang  memenuhi  struktur  dan  tipe  argumentasi  matematis.  Setelah  calon  subjek

## JARME
dipilih  sebagai  subjek  penelitian,  peneliti  akan  melakukan  pengelompokkan kecenderungan tipe argumentasi yang muncul, wawancara untuk memperoleh informasi yang  tidak  peneliti  peroleh  dalam  pengerjaan  soal  tes  argumentasi  matematis  yang dilakukan serta menganalisis learning trajectory peserta didik subjek penelitian.

## 2.2. Pengumpulan Data
Teknik  pengumpulan  data  yang  digunakan  adalah  tes  kemampuan  argumentasi matematis, Tes MCA (Mathematical of Classification Argumentation), dan wawancara tidak terstruktur terhadap empat subjek penelitian terpilih. Tes argumentasi matematis terdiri atas satu permasalahan yang memuat tiga indikator berdasarkan Knudsen et al., (2014) dimana peserta didik diminta untuk membuktikan klaim yang diberikan oleh kontraktor terhadap lahan tanah yang tersedia dengan menggunakan strategi-strategi peserta didik dan memberikan argumen terhadap langkah-langkah yang dilakukan. Tes MCA diadopsi dari penelitian Liu et al ., (2016)terdiri dari lima masalah yang memuat berbagai argumen- argumen terhadap konjektur dari jawaban atas masalah yang disajikan. Kemudian peserta didik  diminta  untuk  menyusun  masalah  dan  argumen  tersebut  sesuai  dengan  argumen yang  paling  diyakini  menurut  peserta  didik  dimana  hasil  urutan  yang  paling  tinggi menentukan hasil dari tipe argumentasi yang dimiliki oleh peserta didik tersebut. Setelah kedua  tes  tersebut  dilaksanakan,  kemudian  dilakukan  wawancara  dan  pedoman wawancara yang mengacu kepada indikator kemampuan argumentasi matematis dan tipe argumentasi matematis.

## 2.3. Analisis Data
Teknik analisis data dilakukan melalui tahapan reduksi data, penyajian data, serta interprestasi  dan  simpulan  data.  Tahap  reduksi  data  dalam  penelitian  ini  adalah Penentuan subjek penelitian dengan teknik eksploratif, mengambil beberapa peserta didik sebagai calon subjek untuk menganalisis learning trajectory peserta didik berdasarkan tipe argumentasi  matematis  dalam  menyelesaikan  masalah  matematika,  mengambil  calon subjek  secara  kontinu  dan  diberikan  instrument  tes.  Kegiatan  tersebut  akan  berulang kepada  calon  subjek  lain  sampai  ditemukan  peserta  didik  yang  mampu  menjawab  soal sampai tuntas berdasarkan struktur dan tipe argumentasi matematis, setelah calon subjek dipilih sebagai subjek penelitian, peneliti akan melakukan wawancara untuk memperoleh informasi yang tidak peneliti peroleh dalam pengerjaan soal tes argumentasi matematis, menganalisis learning  trajectory peserta  didik  subjek  penelitian,  kejadian  yang  dialami selama mengerjakan tes dan kesulitan yang dihadapi dalam mengerjakan tes, mengoreksi hasil tes argumentasi matematis dan menganalisis struktur argumentasi, tipe argumentasi yang muncul dan learning trajectory peserta didik dari jawaban yang diberikan, Hasil tes dan  wawancara dengan  subjek  penelitian  kemudian  disusun  menjadi bahasa  yang  baik sehingga  menjadi  data  yang  siap  digunakan.  Tahap  penyajian  data  dalam  penelitian  ini adalah memunculkan dan menunjukkan kumpulan data atau informasi yang terorganisasi dan kategori yang memungkinkan adanya suatu penarikan kesimpulan. Dalam penelitian ini,  ditampilkan  hasil  jawaban  peserta  didik  yang  menjadi  subjek  penelitian  dan menyajikan data hasil wawancara kemudian dianalisis secara deskriptif untuk mengetahui learning trajectory peserta didik, struktur argumentasi, tipe argumentasi matematis dalam
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 170
menyelesaikan masalah matematika serta mampu menyimpulkan sehingga bisa menjawab rumusan  masalah.  Tahap  menarik  kesimpulan  dan  memverifikasi  kesimpulan  dalam penelitian ini adalah penarikan kesimpulan dari hasil jawaban peserta didik dan diperkuat oleh  hasil  wawancara,  sehingga  dapat  ditarik  kesimpulan  terkait learning  trajectory peserta didik pada tipe argumentasi matematis induktif, aljabar, pictorial, dan perseptual.
Soal tes argumentasi matematis yang digunakan peneliti adalah sebagai berikut: Pak Samuel memiliki lahan seperti pada gambar berikut:
Lahan ABCD berbentuk persegi dengan panjang sisi 100 𝑚 . Lahan PQRS berbentuk persegi panjang dengan ukuran 𝑃𝑄 = 120 𝑚 dan 𝑄𝑅 = 50 𝑚 .
Pak Samuel berencana membuat kolam renang pada pertengahan lahan tersebut (daerah yang diarsir) dengan bantuan seorang kontraktor. Pak Samuel menghitung luas lahan yang tidak terpakai adalah 15.000 𝑚 2 lalu memberitahukannya kepada kontraktor.
Menurut kontraktor tersebut perbandingan luas kolam renang dengan lahan ABCD adalah 1: 2 0. Pertanyaan:
a. Apakah menurut kamu pendapat kontraktor tersebut benar? Jika iya, bagaimana kamu menunjukkan kebenarannya? Jika tidak, tunjukkan kesalahannya.
b. Simpulan apa yang dapat kamu dapatkan dari situasi di atas?

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1. Hasil
Berikut akan dipaparkan hasil penelitian tentang learning trajectory peserta didik dalam  argumentasi  matematis  berdasarkan  tipe  argumentasi.  Terdapat  4  peserta  didik terpilih sebagai subjek penelitian yang mewakili masing-masing satu peserta didik dari tipe argumentasi matematis induktif, aljabar, pictorial, dan perseptual.
Peserta didik dengan tipe argumentasi induktif (S1) terlebih dahulu menuliskan apa yang  diketahui  dari  permasalahan.  S1  menuliskan  sisi  dari  persegi  =  100  m,  Panjang persegi Panjang = 120 m, lebar persegi Panjang 50 m serta luas terpakai 15.000 𝑚 2 . Serta menuliskan unsur-unsur yang ditanyakan yaitu apakah pendapat kontraktor benar serta kesimpulan.  Langkah  berikutnya  S1  menghitung  luas  dari  lahan  persegi  dengan menggunakan  rumus  sisi  x  sisi  dan  diperoleh  10.000 𝑚 2 .  Setelah  itu  menghitung  luas persegi Panjang dengan menggunakan rumus Panjang x lebar dan diperoleh 6.000 𝑚 2 . Kemudian  S1  menggambar  ulang  bentuk  lahan  yang  terdapat  pada  soal  dan disamping gambar itu diberikan keterangan “hasil setelah saya teliti RQ=50 dan TR=10” . Setelah  itu,  S1  menghitung  luas  lahan  yang  tidak  terpakai  dengan  cara = 500 × 19 +

## JARME
500 × 11 yang  menghasilkan 15.000 𝑚 2 . Setelah  menghitung  luas  lahan  yang  tidak terpakai, kemudian S1 membuktikan bahwa lahan persegi ABCD bisa terpakai 20 kolam renang  serta  membuktikannya  dengan  perbandingan  antara  luas  lahan  ABCD  dengan kolam renang mendapatkan 20 : 1 tetapi dituliskan Kembali menjadi 1:20 supaya sesuai dengan  pernyataan  kontraktor.  Pada  akhirnya  dari  jawaban  soal  nomor  1  S1 menyimpulkan bahwa benar pernyataan  dari  kontraktor  tersebut. Namun  ada hal  yang menarik dari yang ditulis oleh S1 yaitu pada kesimpulan bahwa dari permasalahan yang disajikan  lumayan  memusingkan.  Setelah  dikonfirmasi  memusingkan  pada  bagian  awal sebelum membagi-bagi lahan menjadi bagian-bagian kecil yang sama dengan luas kolam renang yang dipakai.
Peserta didik dengan tipe argumentasi aljabar (S2) terlebih dahulu menuliskan apa yang  diketahui  dari  soal  dengan  cara  menggambar  ulang  gambar  yang  ada  pada  soal dengan  ukuran  yang  disebutkan  dari  soal.  Setelah  itu  S2  menghitung  luas  persegi  dan persegi Panjang. Namun ada hal yang perlu dikonfirmasi dari apa yang dituliskan S2 yaitu menuliskan  variabel 𝑥 pada  perhitungan  setelah  menghitung  luas  persegi  dan  persegi Panjang. Setelah itu, S2 melanjutkan pekerjaannya dengan cara menuliskan rumus (10.000 - x) + (6.000 - x) = 15.000. Selanjutnya peneliti mengonfirmasi dari apa yang ditulis oleh S2. Kemudian setelah menuliskan rumus tersebut, ternyata untuk menghitung luas dari kolam  yang  akan  digunakan.  Diperoleh  luas  lahannya  adalah  500 𝑚 2 .  Setelah  itu  S2 mencoba membuktikan hasil perhitungannya dengan apa yang menjadi pertanyaan dari soal tersebut. Kemudian S2 mencoba menghitung dengan cara mengalikan hasil luas kolam yang diperoleh 500 dikali dengan 20 yaitu dari 20 bagian pada soal ternyata menghasilkan 10.000 𝑚 2 yang  mana  luas  tersebut  merupakan  luas  persegi.  Sehingga  S2  menjawab pertanyaan a adalah  benar  dengan  penjelasan  500 𝑚 2 dikali  20  bagian  adalah  10.000 𝑚 2 sama  dengan  1:20  dengan  lahan  ABCD.  Terdapat  hal  yang  menarik  juga  dalam menjawab  soal  bagian  b,  tentang  penulisan  kesimpulan  yang  diperoleh  dari  masalah tersebut. S2  menuliskan  uraian  singkat  dari  apa  yang  menjadi  permasalahan  pada  soal tersebut
Peserta didik dengan tipe argumentasi pictorial (S3) terlebih dahulu menuliskan apa yang  diketahui  pada  soal.  Seperti  halnya  S2,  S3  juga  menuliskan  unsur-unsur  yang diketahui  yaitu  dengan cara  menggambar  ulang  gambar  pada  soal  dengan  ukuran  yang tertera pada soal. Kemudian S3 menghitung luas lahan ABCD dengan cara mengalikan sisi dengan sisi atau 𝑠 2 diperoleh 10.000 m. Setelah itu S3 menghitung luas lahan PQRS dengan rumus  Panjang  dikali  lebar  diperoleh  6.000  m.  Dari  apa  yang  dituliskan  S3,  terdapat beberapa  kekeliruan  yaitu  dalam  penulisan  satuan  luas  seharusnya  dari  10.000  m  dan 6.000 m itu satuan panjangnya (m) menggunakan kuadrat karena berbentuk luas. Setelah meghitung  luas  lahan  ABCD  dan  PPQRS  mencoba  untuk  dijumlahkan  adalah  16.000  m. Namun, yang 16.000 m itu tidak ada pengaruh apapun terhadap jawaban soal. Setelah itu S3  menuliskan  informasi  tambahan  terkait  apa  yang  diketahui  diantaranya  lahan  yang tidak terpakai kemudian menuliskan perbandingan luas menurut kontraktor adalah 1:20. Pada  permasalahan  a,  langsung  dijawab  oleh  S3  yaitu  benar  dengan  membuktikannya dengan langkah-langkah sebagai berikut, karena luas kolam renang  belum diketahui maka mencari  luas  kolam  renang  terlebih  dahulu  dengan  rumus  (10.000  -  x)  +  (6.000  -  x)  = 15.000. Dari penjelasan ttersebut diperoleh x atau luas kolam renangnya adalah 500 𝑚 2 .
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 172
Kemudian S3 membuktikan perbandingan lahan ABCD dengan luas kolam renang dengan cara  500:10.000  di mana  500  itu  dibagi  1  dan  10.000  itu  dibagi  20  sehingga  diperoleh perbandingan yang sama yaitu  500 : 500  (Terbukti).
Kemudian  untuk  pertanyaan  kedua  tentang  kesimpulan  yang  diperoleh  dari permasalahan,  S3  menuliskan  uraian  singkat  tentang  langkah-langkah  penyelesaian menjawab soal. Peserta didik dengan tipe argumentasi perseptual (S4) diketahui bahwa S4 langsung menjawab pertanyaan bagian a tanpa menuliskan apa yang diketahui dari soal dan menjawab benar dengan pembuktian menghitung luas ABCD, menghitung luas PQRS serta  menghitung  bidang  TRUQ  atau luas  kolam  serta  menggambar  ulang gambar  yang terdapat pada soal dengan menuliskan keterangan-keterangan yang ditemui S4. Kemudian untuk membuktikan benar atau tidaknya pernyataan kontraktor itu, S4 mengalikan hasil luas kolam yang diperolehnya dengan 20 karena sesuai denga napa yang diketahui dan hasilnya adalah 10.000 𝑚 2 yang mana sama dengan luas persegi ABCD. Setelah itu, S4 tidak puas sampai disana. S4 kemudian membuktikan Kembali dari apa yang diketahui di soal yaitu  menghitung luas lahan  yang tidak terpakai  dengan cara  luas  PQRS  dikurangi  500 diperoleh  5.500 𝑚 2 dan  luas  ABCD  10.000  dikurangi  500  diperoleh  9.500 𝑚 2 dan  jika dijumlahkan 5.500 𝑚 2 dengan 9.500 𝑚 2 hasilnya adalah 15.000 𝑚 2 yang sesuai dengan pernyataan Pak Samuel. Kemudian untuk menjawab soal bagian b, S4 menarik kesimpulan secara menyeluruh dari apa yang ditanyakan pada soal yang sudah dikerjakan sebelumnya di mana telah dibuktikan perbandingannya sesuai dan lahan yang tidak terpakainya juga sama dengan yang ada pada soal.

## 3.2. Pembahasan
Berdasarkan  uraian  hasil  perolehan  data  di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  terdapat perbedaan  hasil  kerja  antara  subjek  dengan  tipe  argumentasi  yang  berbeda.  Hal  ini dikarenakan learning trajectory yang dilalui oleh setiap peserta didik berbeda (Daro et al ., 2011).
Secara keseluruhan, learning trajectory peserta didik yang memiliki tipe argumentasi induktif yaitu: (1) memahami masalah; (2) menuliskan informasi yang yang diketahui dari soal; 3) menghitung luas persegi; (4) menghitung luas persegi Panjang; (5) mengukur luas lahan; (6) menghitung luas kolam renang; (7) menghitung luas lahan yang tidak terpakai; dan  (8)  membandingkan  antara  luas  kolam  renang  dengan  lahan  ABCD.  Dalam  hal  ini subjek  penelitian  yang  memiliki  tipe  argumentasi  induktif  cenderung  memiliki representais  dengan  cara  tersendiri,  bisa  dilihat  dari  hasil  pengerjaannya  tidak menggunakan rumus secara procedural, hanya melihat dari sudut pandang dari ilustrasi gambar yang disajikan di soal serta mengajukan dugaan dari sudut pandang yang lain.
Learning trajectory peserta didik yang memiliki tipe argumentasi aljabar yaitu: (1) memahami  masalah;  (2)  menggambar  kembali  ilustrasi lahan  dengan tambahan  unsur- unsur yang diketahui pada soal; (3) menghitung luas lahan persegi dan persegi Panjang; (4)  memisalkan  x  sebagai  lahan  yang  dijadikan  kolam;  (5)  menghitung  luas  kolam;  (6) membuat dugaan atas pertanyaan; (7) mengalikan hasil luas kolam dengan 20; dan (8) membuat  kesimpulan.  Dalam  hal  ini  subjek  penelitian  yang  meiliki  tipe  argumentasi aljabar  cenderung  menuliskan  formula  atau  rumus  yang  akan  digunakan  untuk mengungkapkan  luas  lahan  kolam  renang.  Serta  ditemukan  dalam  penyelesaian

## JARME
permasalahan subjek tersebut menggunakan persamaan matematis serta menggunakan simbol x untuk mendefinisikan sebuah kolam renang.
Learning trajectory peserta didik yang memiliki tipe argumentasi pictorial yaitu: (1) memahami soal;  (2) menuliskan unsur-unsur yang diketahui; (3) menghitung luas lahan ABCD;  (4)  menghitung  luas  lahan  PQRS;  (5)  menjumlahkan  lahan  ABCD  dengan  lahan PQRS; (6) menggambar ulang ilustrasi gambar dalam soal dengan menuliskan unsur-unsur yang  diketahui  pada  soal;  (7)  menuliskan  dugaan  atau  konjektur  dari  pertanyaan  a;  8) menghitung  luas  kolam  dengan  cara  menggunakan  rumus  aljabar;  (9)  membuktikan perbandingan antara lahan ABCD dengan kolam renang; dan (10) membuat kesimpulan dengan  mengungkapkan  uraian  yang dikerjakan  secara  deskriptif.  Dalam  hal  ini  subjek penelitian  yang  memiliki  tipe  argumentasi  pictorial  cenderung  tidak  mengungkapkan argumentasi dalam bentuk gambar, subjek tersebut hanya menggambarkan ilustrasi lahan yang ada pada soal serta dilengkapi dengan unsur-unsur yang diketahui dari soal.
Learning trajectory peserta didik yang memiliki tipe argumentasi perseptual, yaitu: (1) memahami soal; (2) membuat konjektur dari pertanyaan; (3) menghitung luas lahan ABCD; (4) menghitung luas lahan PQRS; (5) menghitung lahan TRUQ dengan pendekatan menghitung perbandingan TRUQ dengan lahan PQRS; (6) membuktikan hasil dugaan luas kolam  yang  diperoleh  dengan  cara  mengalikan  dengan  20  pada  lahan  ABCD;  (7) membuktikan jumlah luas lahan yang tidak terpakai dari luas lahan PQRS dan luas lahan ABCD;  dan  (7)  menyimpulkan  dengan  deskripsi  hasil  pengerjaan.  Dalam  hal  ini  subjek penelitian yang memiliki tipe argumentasi perseptual cenderung menggunakan gambar dan  tulisan  atau  deskripsi  sesuai  dengan  persepsi  atau  imajinasi  subjek.  Hal  tersebut terbukti dari pada saat langkah awal membagi-bagi lahan PQRS terhadap luas kolam TRUQ serta  membuktikannya  dengan  mengalikan  terhadap  apa  yang  dibandingkan. Selain  itu juga  subjek  tersebut  membuktikan  informasi  yang  terdapat  pada  soal  yaitu lahan  yang tidak terpakai dari lahan yang dibuatkan kolam renang.
Secara  keseluruhan,  subjek  penelitian  dari  semua  tipe  argumentasi  matematis memenuhi semua indikator argumentasi matematis menurut Knudsen et al., (2014) yaitu conjecturing, justifying, dan concluding.

## 4. SIMPULAN
Learning  trajectory peserta  didik  pada  tipe  argumentasi  induktif  dengan  lintasan belajar yang ditunjukkan yaitu memahami masalah, menuliskan informasi yang diketahui, menuliskan  unsur  yang  ditanyakan,  menghitung  luas  persegi  dan  persegi  panjang, menggambar  sketsa  lahan,  pembuktian  hasil  perhitungan  dan  menyimpulkan. Learning trajectory peserta  didik  pada  tipe  argumentasi  aljabar  dengan  lintasan  belajar  yang ditunjukkan  yaitu  memahami  masalah,  menuliskan  unsur  yang  diketahui,  menggambar sketsa,  pembuktian,  membuat  dugaan,  dan  menyimpulkan. Learning  trajectory peserta didik  pada  tipe  argumentasi  pictorial  dengan  lintasan  belajar  yang  ditunjukkan  yaitu memahami  masalah,  menuliskan  unsur  yang  diketahui,  menggambar  sketsa,  membuat dugaan, menghitung luas persegi dan persegi panjang, pembuktian, dan menyimpulkan. Learning trajectory peserta didik pada tipe argumentasi perseptual dengan lintasan belajar yang ditunjukkan yaitu memahami masalah, membuat dugaan, menghitung luas persegi dan persegi panjang, pembuktian, menyimpulkan.
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 174

## REFERENSI
Adolphus, T. (2011). Problems of Teaching and Learning of Geometry in Secondary Schools in Rivers State , Nigeria. Int. J. Emerg. Sci. IJES , 1 (June), 143 – 152. Anwar, & Rofiki, I. (2018). Investigating students' learning trajectory : a case on triangle. Journal  of  Physics:  Conference  Serie ,  1 – 7.  https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1088/1/012021
Begona,  C.  (2014).  Proofs,  mathematical  practice  and  argumentation. Springer Science+Business Media Dordrecht . https://doi.org/10.1007/s10503-014-9344-0 Bieda, K. N., Ji, X., Drwencke, J., & Picard, A. (2013). Reasoning and proving opportunities in elementary mathematics textbooks. International Journal of Educational Research . https://doi.org/10.1016/j.ijer.2013.06.005
Blair,  J.  A.  (2005). A  Time  for  Argument  Theory  Integration.  Critical  Problems  in Argumentation . http://scholar.uwindsor.ca/crrarpubhttp://scholar.uwindsor.ca/crrarpub/12http:/ /scholar.uwindsor.ca/communicationspub
Cardetti, F., & LeMay, S. (2019). Argumentation: Building Students' Capacity for Reasoning Essential  to  Learning  Mathematics  and  Sciences. PRIMUS , 29 (8),  775 – 798. https://doi.org/10.1080/10511970.2018.1482581
Clements,  D.  H.,  &  Sarama,  J.  (2004).  Learning  trajectories  in  mathematics  education.
Mathematical Thinking and Learning , 6 (2), 81 – 89.
https://doi.org/10.1207/s15327833mtl0602
Driver,  R.,  Newton,  P.,  &  Osborne,  J.  (1998).  Establishing  the  norms  of  scientific argumentation in classrooms. John Wiley & Sons, Inc , 287 – 312. https://doi.org/https://doi.org/10.1002/(SICI)1098-237X(200005)84:3<287::AID- SCE1>3.0.CO;2-A
Driver,  R.,  &  Osborne,  J.  (2000).  Establishing  the  Norms  of  Scientific  Argumentation  in Classrooms. In Sci Ed (Vol. 84).
Fauzi, I., & Arisetyawan, A. (2020). Analisis Kesulitan Belajar Siswa pada Materi Geometri di  Sekolah  Dasar. Jurnal  Matematika  Kreatif-Inovatif , 11 (1),  27 – 35. https://doi.org/http://dx.doi.org/10.15294/kreano.v11i1.20726
Felton, M., & Gilabert, S. (2009). Deliberation versus Dispute: The Impact of Argumentative Discourse Goals on Learning and Reasoning in the Science Classroom MERCE GARCIA- MILA. In Informal Logic (Vol. 29, Issue 4).
Hatzikiriakou,  K.,  &  Metallidou,  P.  (2009).  Teaching  deductive  reasoning  to  pre-service teachers: promises and constraints. International Journal of Science and Mathematics Education , 7 , 81 – 101. https://doi.org/https://doi.org/10.1007/s10763-007-9113-8 Hoyles,  C.,  &  Kuchemann,  D.  (2002).  Students'  understandings  of  logical  implication.
Educational Studies in Mathematics , 55 , 193 – 223. https://doi.org/https://doi.org/10.1023/A:1023629608614
Indrawatiningsih,  N.,  Purwanto,  As’ari,  A.  R.,  Sa’dijah,  C.,  &  Dwiyana.  (2019).  Students ' mathematical  argumentation  ability  in  determining  arguments  or  not  arguments. Journal of Physics: Conference Series . https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1315/1/012053

## JARME
Kirkpatrick, J. (2016). The effects of argumentation on student motivation in mathematics . https://scholarworks.uni.edu/hpt
Knudsen, J., Lara-Meloy, T., Stevens, H. S., & Rutstein, D. W. (2014). Advice for Mathematical Argumentation. Mathematics  Teaching  in  the  Middle  School , 19 (8),  494 – 500. https://doi.org/10.5951/mathteacmiddscho.19.8.0494
Kuhn, D., & Moore, W. (2015). Argumentation as core curriculum. Learning: Research and Practice , 1 (1), 66 – 78. https://doi.org/10.1080/23735082.2015.994254 Laamena, C. (2017). Karakteristik warrant dalam argumentasi dan pembuktian matematis.
Seminar Nasional Hasil Penelitian Universitas Kanjuruhan Malang , 3 , 296 – 302. Lameena, C. M., Nusantara, T., Irawan, E. B., & Muksar, M. (2018). Analysis of the students' argumentation based on the level of ability : study on the process of mathematical proof. Journal  of  Physics:  Conference  Series ,  1 – 7.  https://doi.org/10.1088/1742- 6596/1028/1/012156
Liu,  Y.,  Manouchehri,  A.,  Brosnan,  P.,  &  Clemens,  H.  (2013). Aspects  of  Mathematical Arguments that Influence Eighth Grade Students' Judgment of .
Liu,  Y.,  Tague, J.,  &  Somayajulu,  R.  (2016).  What  do  eight  grade  students look for  when determining if a mathematical argument is convincing. IEJME-Mathematics Education , 11 . NCTM. (2000). Principles and standards for School Mathematics . The National Council of Teachers of Mathematics, Inc.
Nordin, A. K., & Björklund Boistrup, L. (2018). A framework for identifying mathematical arguments as supported claims created in day-to-day classroom interactions. Journal of Mathematical Behavior , 51 , 15 – 27. https://doi.org/10.1016/j.jmathb.2018.06.005 Noto, M. S., Priatna, N., & Dahlan, J. A. (2019). Mathematical proof: the learning obstacle of pre-service  mathematics  teachers  on  transformation  geometry. Journal  on Mathematics Education , 10 (1), 117 – 126. https://doi.org/10.22342/jme.10.1.5379.117-126
Nurdin. (2011). Trajektori dalam pembelajaran matematika. Edumatica , 01 (April), 1 – 7. Nussbaum,  E.  M.  (2011a).  Argumentation,  dialogue  theory,  and  probability  modeling:
Alternative  frameworks  for  argumentation  research  in  education. Educational Psychologist , 46 (2), 84 – 106. https://doi.org/10.1080/00461520.2011.558816 Nussbaum,  E.  M.  (2011b).  Argumentation,  dialogue  theory,  and  probability  modeling: Alternative  frameworks  for  argumentation  research  in  education.  In Educational Psychologist (Vol. 46, Issue 2, pp. 84 – 106). https://doi.org/10.1080/00461520.2011.558816
Quintana, R., & Correnti, R. (2019). The right to argue: teaching and assessing everyday argumentation  skills. Journal  of  Further  and  Higher  Education , 43 (8),  1133 – 1151. https://doi.org/10.1080/0309877X.2018.1450967
Rohendi, D., Septian, S., & Sutarno, H. (2018). The Use of Geometry Learning Media Based on Augmented Reality for Junior High School Students The Use of Geometry Learning Media Based on Augmented Reality for Junior High School Students. IOP Conference Series:  Materials  Science  and  Engineering .  https://doi.org/10.1088/1757- 899X/306/1/012029
Firdaus, Supratman, Muhtadi, & Ratnaningsih, Learning Trajectory Peserta Didik … 176
Rosita, C. D., Kusumah, Y. S., Suryadi, D., & Kartasasmita, B. G. (2019a). Implementation of cooperative  integrated  reading  and composition  ( CIRC  ) to  enhance  mathematical argumentation ability of mathematics teacher students. Journal of Physics: Conference Series , 0 – 8. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1280/4/042002
Rosita, C. D., Kusumah, Y. S., Suryadi, D., & Kartasasmita, B. G. (2019b). Implementation of cooperative  integrated  reading  and  composition  (CIRC)  to  enhance  mathematical argumentation ability of mathematics teacher students. Journal of Physics: Conference Series , 1280 (4). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1280/4/042002 Rumsey, C., & Langrall, C. W. (2016). Promoting mathematical argumentation. Teaching Children Mathematics , 22 (7), 413 – 419.
Sukirwan.  (2016).  Argumentasi matematis  mahasiswa calon guru  pada  suatu  konjektur matematika. JPPM , 9 (1), 93 – 101.
Surya,  A.  (2011).  Learninng  trajectory  pada  pembelajaran  sekolah  dasar  (SD). Jurnal Pendidikan Ilmiah , 4 (2), 22 – 26.