SOLUSI NUMERIK MODEL REAKSI-DIFUSI ( TURING ) DENGAN METODE BEDA HINGGA IMPLISIT
1 Junik Rahayu, 2 Usman Pagalay, dan 3 Ari Kusumastuti
1,2,3 Jurusan Matematika UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail: rahayujunik@yahoo.com

## ABSTRAK
Alan  Turing  (1952)  mengemukakan  bahwa  sistem  interaksi  bahan  kimia  dipengaruhi  oleh  difusi yang tidak stabil yang kemudian berkembang menjadi pola spasial. Hasil dari penelitian ini disebut dengan model reaksi-difusi ( Turing ).
Pada umumnya model difusi mempunyai difusifitas berupa konstanta. Barras dkk. (2006) mengganti mekanisme  Murray  (2003)  dalam  menganalisis  model  ini,  sehingga  terbentuklah  model  dengan  rasio pertumbuhan domain yang tumbuh secara eksponensial sebagai difusifitasnya. Hal inilah yang membuat model ini lebih menarik dibandingkan dengan model difusi yang lain.
Berbagai model matematika dipastikan mempunyai solusi, begitu juga dengan model ini. Paper ini membahas  penyelesaian  numerik  pada  contoh  model.  Digunakan  metode  beda  hingga  implisit  sebagai metode dasar menyelesaikan model. Dalam model terdapat dua konsentrasi yang bereaksi untuk mencapai suatu kesetimbangan. Dari konsentrasi ini akan diperiksa keterikatan pada pertumbuhan domain dengan adanya  dinamika  gangguan  kecil  serta  pengaruh  pertumbuhan  domain  terhadap  penyelesaian  numerik model. Dari penyelesaian numerik diperoleh bahwa pertumbuhan domain mempengaruhi dua konsentrasi dalam model dan penyelesaian numerik.
Kata kunci : Metode Beda Hingga Implisit, Model Reaksi-Difusi (Turing), Pertumbuhan Domain.

## ABSTRACT
Alan Turing (1952) telling that chemicals interaction system influenced by unstable diffusion which later;then round into pattern of spasial. Result of from this research is referred as with of reaction-diffusion (Turing) model’s.
In  general  diffusion  model’s  have  coeficient  diffuson  in  the  form  of  constanta.  Barras  et.  al  (2006) changing mechanism of Murray (2003) in analysing this model, is so that formed by model with domain growth ratio which grow by eksponensial as its. This matter make this model more is interesting compared to other diffusion model.
Various mathematics model ascertained to have solution, so also with this model. This Paper study the solving of numeric at model of example.Used by different method till implisit as basic method finish model. In model there are two concentration reacting to reach an is balance. Than this concentration will be checked by binding at domain growth with existence of small trouble dynamics and also influence of domain growth to solving of model numerik. From solving of numeric obtained that domain growth influence two concentration in model and numerical solution.
Keywords : Reaction-Diffusion (Turing) Model’s, Finite difference methods, Implicit Scheme,Domain Growth Rate.

## PENDAHULUAN
Alan Turing (1952) mengemukakan bahwa sistem  interaksi  bahan  kimia  dipengaruhi  oleh difusi  yang  tidak  stabil  yang  kemudian berkembang  menjadi  pola  spasial.  Dalam  era integrasi  biologi,  model  hasil  penelitian  Alan Turing  merupakan  salah  satu  contoh  pertama bagaimana  mengintegrasikan  proses  sederhana yang  dapat  memberikan  hasil  yang  kompleks, dalam hal ini, kombinasi dari proses penyetabilan yang menghasilkan sistem yang tidak stabil. Pada model tersebut, diasumsikan bahwa sel tidak
bergerak  tetapi  hanya  menanggapi  pembedaan isyarat  kimia.  Hasil  dari  penelitian  ini  disebut dengan model reaksi-difusi ( Turing ).
Barras  dkk  (2006)  mengganti  mekanisme model Murray (2003) dalam menganalisis model ini  dengan  domain  pertumbuhan  menggunakan kinetika Schnakenberg ,  yang  timbul  dari  suatu penerapan  hukum  aksi  massa  untuk  skema trimolecular. Menurut  Barras  dkk  (2006)  model terdiri dari 2 persamaan diferensial parsial dan 1 persamaan diferensial biasa, sehingga membentuk  sistem.  Dalam  jurnalnya  Barras  dkk (2006) mengungkap bahwa proses transisi dalam
model mencapai puncak didorong oleh pertumbuhan  domain  sehingga  menghasilkan urutan pola.
Model  matematis  yang  kompleks  seperti model  ini,  sukar  mendapatkan  solusinya  dengan solusi analitis. Walaupun metode numerik dalam pencarian  solusi  dari  suatu  sistem  juga  jarang digunakan akhir-akhir ini, akan tetapi metode ini merupakan  alternatif  dalam  menyelesaikan persoalan matematik. Metode ini dapat digunakan untuk mendekati solusi secara eksak.
Salah  satu  metode  numerik  untuk menyelesaikan  persamaan  diferensial  parsial seperti  model  ini  adalah  metode  beda  hingga. Dalam  metode  beda  hingga  terdapat  bermacam skema,  salah  satunya  skema  implisit  yang  stabil tanpa syarat.

## KAJIAN TEORI

## A. Analisis  Persamaan  Diferensial  Parsial Pada Model Reaksi-Difusi ( Turing)
Suatu  persamaan  yang  di  dalamnya terdapat  turunan  parsial  dan  terdapat  dua  atau lebih  variabel  bebas  maka  persamaan  tersebut disebut  persamaan  diferensial  parsial (partial differential equation/pde) (Ayres, 1992). Bentuk  umum  persamaan  diferensial parsial  linear  orde  2  dalam  2  variabel  bebas adalah:
𝐴𝑓 𝑥𝑥 + 𝐵𝑓 𝑥𝑦 + 𝐶𝑓 𝑦𝑦 + 𝐷𝑓 𝑥 + 𝐸𝑓 𝑦 + 𝐹𝑓 = 𝐺
Menurut  Sasongko  (2010)  persamaan  di atas  dapat  dinyatakan  sebagai  kondisi-kondisi berikut:
1. Apabila  koefisien , , , , , , A B C D E F G adalah konstanta  atau  fungsi  yang  terdiri  dari variabel bebas saja, maka persamaan tersebut disebut linier.
2. Apabila koefisien , , , , , , A B C D E F G adalah fungsi  dari  variabel  tak  bebas    dan  atau merupakan  turunan  dengan  orde  yang  lebih rendah  daripada  persamaan  diferensialnya
, , u u x t     
     maka persamaan tersebut disebut kuasilinier.
3. Apabila  koefisien , , , , , , A B C D E F G adalah fungsi  dengan  orde  turunan  yang  sama dengan  orde  persamaan  diferensialnya
2 2 2 2 2 , , , u u u x t x t     
        maka persamaan tersebut disebut persamaan non-linier.
Tipe  dari  persamaan  diferensial  orde  dua ditentukan oleh determinan (𝐷) jika:
a. 2 4 0, D B AC    maka bertipe Eliptik. b. 2 4 0, D B AC
   maka bertipe Parabolik. c. 2 4 0, D B AC
   maka bertipe Hiperbolik.
Model  Turing  menurut  Barras  dkk (2006) berbentuk:
2 2 2 2 2 2 2 2 1 u u a uv u t L x v d v b uv v v t L x dL L dt                     
Dengan  mengganti  persamaan 𝑑𝐿 𝑑𝑡 = 𝜌𝐿 menjadi persamaan diferensial biasa, diasumsikan 𝐿(0) = 1 , maka model menjadi bentuk berikut:
2 2 2 2 1 ( ) ( ( ) ) t xx t x t x u u a uv u L t d v v b uv v v t e L t L         
   
Dari  derinisi  yang  telah  diuraikan  di  atas, maka  model  dapat  diklasifikasikan  menjadi persamaan diferensial parsial kuasilinier orde dua tipe Parabolik.
Solusi  model  adalah  fungsi ( , ) u x t dan ( , ) v x t yang memenuhi persamaan di atas. Solusi tersebut  merupakan  solusi  umum,  sehingga diperlukan  subtitusi  kondisi  batas  dan  kondisi awal agar didapatkan solusi khusus. Kondisi batas yang  digunakan  pada  model  adalah Dirichlet Boundary Conditions . Untuk interval 0 0.002 t   dan 0 1 x   .
Nilai batas (0, ) 0.9 u t  ;
(0,0.002) 0.9 u  ; (0, ) 1 v t  dan (0,0.002) 1 v  untuk  semua . t Sedangkan  kondisi  awal  yang digunakan  untuk  model  adalah ( ) L t yang dirumuskan sebagai berikut:
𝑢(𝑥, 0) = 𝑣(𝑥, 0) = 𝐿(𝑡) = 𝑒 𝜌𝑡
(1)
Persamaan  tersebut  akan  digunakan  untuk membuat iterasi numerik pada pembahasan.
B. Analisis Model Reaksi-Difusi ( Turing)
Pemodelan  Matematika  mengenai  model reaksi-difusi  dikemukakan  oleh  Alan  Turing (1952)  yang  mengidentifikasi  perkembangan embrio  menjadi  dewasa.  Dalam  penelitiannya Alan  Turing  mengasumsikan  bahwa  sistem interaksi  bahan  kimia  dipengaruhi  oleh  difusi yang  tidak  stabil  yang  kemudian  berkembang menjadi pola spasial.
Barras  dkk  (2006)  mengganti  mekanisme model Murray (2003) dalam menganalisis model
dengan  domain  pertumbuhan  menggunakan kinetika Schnakenberg ,  yang  timbul  dari  suatu penerapan  hukum  aksi  massa  untuk  skema trimolecular, sehingga  terbentuklah  model.  Pada model  diasumsikan  proses  difusi  dalam  kasus pertumbuhan  domain  yang  tumbuh  secara eksponensial.
Selanjutnya Brownian  motion untuk persamaan 𝑢 𝑡 = 1 𝐿(𝑡)2 𝑢 𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣 2 − 𝜌𝑢 dapat dituliskan sebagai,
𝑢 𝑡 − 1 𝐿(𝑡) 2 𝑢 𝑥𝑥 − 𝑎 + 𝑢𝑣 2 + 𝜌𝑢 = 0 (2)
Menurut  Zauderer  (1998:2-5),  untuk menyelesaikan  persamaan   , u x t di  atas, digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1. Ekspektasi  dari  variabel  acak 𝑥 atau  disebut juga  sebagai  lokasi  perpindahan  partikel dalam gelombang yang didefinisikan:
𝐸(𝑥) = 𝑥 = (𝑝 − 𝑞)𝛿
dengan C adalah kecepatan difusi, dan dalam masalah  ini  kecepatan  difusi  dianggap  sama dengan nol.
2. Varian dari suatu variabel acak x atau disebut juga  dengan  besarnya  perpindahan  yang terjadi dari suatu proses difusi, didefinisikan sebagai berikut:
𝑉(𝑥) = 4𝑝𝛿 2 dengan 𝐷 adalah  konstanta  atau  koefisien difusi  yang  dalam  hal  ini  diasumsikan besarnya sama dengan 2/𝐿(𝑡) 2 .
3. Asumsi  dasar  difusi  yang  digunakan  adalah   , u x t yang  merupakan  distribusi  peluang.
Dimana distribusi peluang dari suatu partikel pada  langkah x dan  pada  waktu  yang  ke t   sama  dengan    peluang  ketika  berada pada  titik x   pada  waktu t dikalikan dengan peluang perpindahan partikel ke arah kanan  ( p )    pada  suatu  langkah  ditambah dengan peluang partikel pada saat berada di titik x   pada  waktu t dikalikan  dengan probabilitas perpindahan ke arah kiri ( q ) pada suatu langkah, dimana 1, p q   yang dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝜏) = 𝑝𝑢(𝑥 − 𝛿, 𝑡) + 𝑞𝑢(𝑥 + 𝛿, 𝑡)
(3)
dimana  merupakan partisi waktu.
4. p adalah  peluang  perpindahan  partikel  ke arah  kanan,  sedangkan q adalah  peluang perpindahan  partikel  ke  arah  kiri,  dimana
, . p q R 
Untuk  menyelesaikan brownian  motion persamaan   , u x t di atas, digunakan deret Taylor sebagai berikut:
a. Untuk 𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝜏) = 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝜏𝑢 𝑡 (𝑥, 𝑡) . b. Untuk 𝑢(𝑥 − 𝛿, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝛿𝑢 𝑥 (𝑥, 𝑡) + 1 2 𝛿 2 𝑢 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) . c. Untuk 𝑢(𝑥 + 𝛿, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿𝑢 𝑥 (𝑥, 𝑡) + 1 2 𝛿 2 𝑢 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡)
sedangkan  untuk  persamaan 𝑣 𝑡 = 𝑑 𝐿(𝑡)2 𝑣 𝑥𝑥 + 𝑏 + 𝑢𝑣 2 − 𝑣 − 𝜌𝑣 dapat ditulis sebagai:
𝑣 𝑡 − 𝑑 𝐿(𝑡) 2 𝑣 𝑥𝑥 − 𝑏 − 𝑢𝑣 2 + 𝑣 + 𝜌𝑣 = 0. Menurut Zauderer (1998:2-5), untuk menyelesaikan  persamaan   , v x t di  atas, digunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:
1. Ekspektasi  dari  variabel  acak 𝑥 atau  disebut juga  sebagai  lokasi  perpindahan  partikel dalam gelombang yang didefinisikan:
    , E x x p q     dengan C adalah kecepatan difusi, dan dalam masalah  ini  kecepatan  difusi  dianggap  sama dengan nol.
2. Varian dari suatu variabel acak x atau disebut juga  dengan  besarnya  perpindahan  yang terjadi dari suatu proses difusi, didefinisikan sebagai berikut:   2 4 , V x p  
dengan 𝐷 adalah  konstanta  atau  koefisien difusi  yang  dalam  hal  ini  diasumsikan besarnya sama dengan 2𝑑/𝐿(𝑡) 2 .
3. Asumsi  dasar  difusi  yang  digunakan  adalah   , v x t yang  merupakan  distribusi  peluang.
Dimana distribusi peluang dari suatu partikel pada  langkah x dan  pada  waktu  yang  ke t   sama  dengan    peluang  ketika  berada pada  titik x   pada  waktu t dikalikan dengan peluang perpindahan partikel ke arah kanan   p pada  suatu  langkah  ditambah dengan peluang partikel pada saat berada di titik x   pada  waktu t dikalikan  dengan probabilitas  perpindahan  ke  arah  kiri   q pada  suatu  langkah,  dimana 𝑝 + 𝑞 = 1 ,  yang dapat dituliskan dalam bentuk berikut:
𝑣(𝑥, 𝑡 + 𝜏) = 𝑝𝑣(𝑥 − 𝛿, 𝑡) + 𝑞𝑣(𝑥 + 𝛿, 𝑡) (4)
dimana  merupakan partisi waktu.
4. p adalah  peluang  perpindahan  partikel  ke arah  kanan,  sedangkan q adalah  peluang

## perpindahan  partikel  ke  arah  kiri,  dimana
, . p q R 
Untuk  menyelesaikan brownian  motion persamaan   , v x t di atas, digunakan deret Taylor sebagai berikut:
a. Untuk 𝑣(𝑥, 𝑡 + 𝜏) = 𝑣(𝑥, 𝑡) + 𝜏𝑣 𝑡 (𝑥, 𝑡) . b. Untuk 𝑣(𝑥 − 𝛿, 𝑡) = 𝑣(𝑥, 𝑡) − 𝛿𝑢 𝑥 (𝑥, 𝑡) + 1
2 𝛿 2 𝑣 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) .
c. Untuk 𝑣(𝑥 + 𝛿, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝛿𝑣 𝑥 (𝑥, 𝑡) + 1 2 𝛿 2 𝑣 𝑥𝑥 (𝑥, 𝑡) .
Nilai  parameter,  kondisi  awal  dan  kondisi batas  mengacu  pada  keterangan  Barras  dkk (2006)  dengan  merupakan  rasio  domain pertumbuhan,
u   dan v   adalah dilution effect ,  energi  kinetik 0.9 a  dan 0.1 b  dan koefisien difusi 0.06. d  Beberapa nilai  yang sesuai dengan keterangan Barras dkk (2006) yaitu
0.001,   0.05   dan 0.01.  
C. Metode Beda Hingga Skema Implisit untuk Model Reaksi-Difusi ( Turing )
Dibentuk  skema  beda  hingga  untuk turunan parsial fungsi u dan v yang terdiri dari dua variabel bebas x dan . t Berikut merupakan deret Taylor:(Causaon dan Mingham, 2010)
2
0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ... 2! xx x u x x t u x t u x t      

     1 0 1 ( , ) , 1 ! n n n x u x t O x n        (5)
Dalam  skema  implisit,  untuk  menghitung variabel  di  suatu  titik  perlu  dibuat  suatu  sistem persamaan  yang  mengandung  variabel  di  titik tersebut  dan  titik-titik  sekitarnya  pada  waktu yang  sama  (Triatmodjo,  2002).  Berikut merupakan langkah iterasi pada skema implisit:
Gambar 1. Gambar  Skema Implisit Gambar  skema  di  atas  digunakan  untuk menghitung  turunan  petama  dan  kedua  model reaksi-difusi ( Turing ).

## PEMBAHASAN
A. Metode Beda Hingga Skema Implisit Model Reaksi-Difusi ( Turing )
Berikut  merupakan  model  reaksi-difusi ( Turing) :
{ 𝑢 𝑡 = 1 𝐿(𝑡) 2 𝑢 𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣 2 − 𝜌𝑢
𝑣 𝑡 = 𝑑 𝐿(𝑡) 2 𝑣 𝑥𝑥 + 𝑏 + 𝑢𝑣 2 − 𝑣 − 𝜌𝑣
𝐿(𝑡) = 𝑒 𝜌𝑡
pada  persamaan 𝑢 𝑡 = 1 𝐿(𝑡)2 𝑢 𝑥𝑥 + 𝑎 − 𝑢𝑣 2 − 𝜌𝑢 , maka dapat dinyatakan bentuk diskritnya sebagai berikut:
−𝛼𝑢 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 2𝛼)𝑢 𝑖 𝑛+1 − 𝛼𝑢 𝑖+1 𝑛+1 = 𝑢 𝑖 𝑛 + Δ𝑡(𝑎 − 𝑢 𝑖 𝑛 (𝑣 𝑖 𝑛 ) 2 − 𝜌𝑢 𝑖 𝑛 dengan 𝛼 = Δ𝑡 𝐿(𝑡)2Δ𝑥2 .  Adapun  stensilnya  dapat digambarkan sebagai berikut:
Gambar 2. Stensil untuk Persamaan   , u x t
Selanjutnya pada persamaan
2 2 , ( ) t xx d v v b uv v v L t 
     maka  dapat  dinyatakan bentuk diskritnya sebagai berikut:
  2 1 1 1
1 1 1 2 ( ). n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t b u v v v                   
dengan
2 2 . ( ) t d d L t x      
Stensilnya  dapat  di  lihat  pada  gambar  3  berikut ini.
Gambar 3. Stensil untuk Persamaan   , v x t
Jaringan  titik  hitung  beda  hingga  implisit untuk model  pada daerah 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑅 dan 𝑡 0 ≤
𝑡 ≤ 𝑇 adalah  sebagai  berikut  dapat  dilihat  pada gambar 4.
Gambar 4. Jaringan Titik Hitung Beda Hingga Implisit untuk Model.
Digunakan kondisi awal sebagai berikut:
𝑢(𝑥, 0) = 0.9 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 𝑣(𝑥, 0) = 1 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚
Setelah  didapatkan  nilai  awal  dan  nilai batas,  iterasi  dilakukan  pada  hasil  diskritisasi dengan sesuai jaringan titik hitung pada Gambar 4.
B. Penyelesaian  Numerik  Model  Reaksi- Difusi ( Turing )
Diselesaikan  contoh  model  reaksi-difusi ( Turing ) pada daerah batas 0 < 𝑥 < 1 dan 0 < 𝑡 < 0.002 ,    rasio  pertumbuhan  domain 𝜌 = 0.001, energi  kinetik 𝑎 = 0.9 dan 𝑎 = 0.1 serta  rasio koefisien  difusi 𝑑 = 0.06 sehingga  model  dapat dituliskan sebagai berikut:
{ 𝑢 𝑡 = 1 𝐿(𝑡) 2 𝑢 𝑥𝑥 + 0.9 − 𝑢𝑣 2 − 0.001𝑢
𝑣 𝑡 = 0.06 𝐿(𝑡) 2 𝑣 𝑥𝑥 + 0.1 + 𝑢𝑣 2 − 𝑣 − 0.001𝑣
𝐿(𝑡) = 𝑒 𝛼𝑡 (6)
Dipilih nilai Δ𝑡 = 0.00002 dan Δ𝑥 = 0.01 . Selanjutnya  dilakukan  iterasi  dengan kondisi batas sebagai berikut:
𝑢(𝑥 0 , 𝑡) = 𝑢(0, 𝑡) = 0.9, 𝑢(𝑅, 𝑡) = 𝑢(1, 𝑡) = 0.9 𝑣(𝑥 0 , 𝑡) = 𝑣(0, 𝑡) = 1, 𝑣(𝑅, 𝑡) = 𝑣(1, 𝑡) = 1 sehingga diperoleh:
𝑢 𝑖 𝑛 = 0.9, ∀𝑛 = 0,1,2, … ,100, ∀𝑖 = 0,1,2, … ,100 𝑣 𝑖 𝑛 = 1,    ∀𝑛 = 0,1,2, … ,100, ∀𝑖 = 0,1,2, … ,100
Langkah berikutnya yaitu dilakukan iterasi kondisi awal sebagai berikut:
𝑢 𝑖 𝑛 = 𝑓(𝑡 𝑖 ) = 0.9 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 , ∀𝑛 = 0 , ∀𝑖 = 1,2, … ,99 . 𝑣 𝑖 𝑛 = 𝑔(𝑡 𝑖 ) = 1 + 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜𝑚 , ∀𝑛 = 0 , ∀𝑖 = 1,2, … ,99 .
Setelah  didapatkan  nilai  awal  dan  nilai  batas, iterasi  dilakukan  pada  hasil  diskritisasi  sesuai jaringan titik hitung pada Gambar 5.
Gambar 5. Jaringan Titik Hitung Skema Beda Hingga Implisit untuk Model dengan Parameter
x dan t
Gambar 6. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001 .
Gambar 7. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡) terhadap waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.001 .
Gambar 8. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001 .
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Jarak (x) K o n s e n tr a s i u 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Waktu (t) K o n s e n tr a s i u 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Waktu (t) K o n s e n tr a s i u
Gambar 9. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.001 .
Gambar 10. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡)
terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.05.
Gambar 11. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡) terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.05 .
Gambar 12. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.05
Gambar 13. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.05
.
Gambar 14. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.01.
Gambar 15. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑢(𝑥, 𝑡) terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.01
.
Gambar  16.  Grafik  Solusi  Numerik  untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Jarak (𝑥) dengan 𝜌 = 0.01
.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Waktu (t) K o n s e n tr a s i v 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Jarak (x) K o n s e n tr a s i u 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.1 Jarak (x) K o n s e n tr a s i v 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Jarak (x) K o n s e n tr a s i v 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Waktu (t) K o n s e n tr a s i v 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Jarak (x) K o n s e n tr a s i u 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Jarak (x) K o n s e n tr a s i v 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96 Waktu (t) K o n s e n tr a s i u
Gambar 17. Grafik Solusi Numerik untuk 𝑣(𝑥, 𝑡) terhadap Waktu (𝑡) dengan 𝜌 = 0.01.
C. Interpretasi Penyelesaian Numerik Model Reaksi-Difusi ( Turing )
Kondisi  batas  yang  digunakan  dalam bahasan ini adalah
    0 , 0, 0.9, u x t u t       , 1, 0.9. u R t u t       0 , 0, 1, v x t v t       , 1, 1. v R t v t  
hal  tersebut  diinterpretasi  bahwa 0 x dan R merupakan  batas  domain  yang  diselesaikan sehingga efek dilusi sebelum 0 x dan R diabaikan.
Nilai  batas 0.9 dapat  dimaknai  bahwa  energi kinetik non-dimensional pada titik 0 0 x  sebesar 0.9 dan  nilai  batas  1  dapat  dimaknai  bahwa energi kinetik non-dimensional pada titik 𝑥 𝑛 = 𝑅 sebesar 1 pada masing-masing konsentrasi untuk semua waktu 𝑡 . Dengan adanya kondisi batas yang diberikan,  maka  dapat  memberikan  batasan daerah yang akan diselesaikan.
Parameter-parameter  yang  digunakan  di dalam  model  yaitu  merupakan  rasio pertumbuhan  domain, u   dan v   adalah dilution  effect ,  energi  kinetik  pada 0.9 a  dan
0.1 b  dan koefisien difusi 0.06. d  Kondisi  awal  yang  digunakan  dalam pembahasan  contoh  model  adalah  sebagai berikut:
( ) 0,9 , 0, 1, 2,...,99
n i i u f t bilangan random n
i       
( ) 1
, 0, 1, 2,...,99 n i i v g t bilangan random n i       
Kondisi  tersebut  dapat  dimaknai  bahwa energi kinetik non-dimensional pada titik 𝑥 0 pada waktu 𝑡 𝑖 untuk  masing-masing  konsentrasi dipengaruhi  oleh  adanya  penambahan  bilangan random di belakang suatu konstanta.
Dengan membandingkan Gambar 1, 2, 3, 4, 5  dan  6  dapat  diketahui  bahwa  nilai  mempengaruhi  perubahan  konsentrasi ( , ) u x t dan ( , ). v x t Sehingga dapat disimpulkan nilai 
mempengaruhi penyelesaian numerik pada model reaksi-difusi ( Turing ).

## PENUTUP
Berdasarkan pembahasan, dapat diperoleh bahwa  untuk  menyelesaikan  model  dengan menttransformasikan  dalam  bentuk  skema  beda hingga  implisit  menggunakan  beda  maju  untuk turunan  pertama  terhadap  waktu  dan  beda simetrik  untuk  tururnan  kedua  terhadap  ruang, sehingga  diperoleh  bentuk  diskrit  model  reaksi- difusi ( Turing ) sebagai berikut:
    2 1 1 1
1 1 1 2 ( ) n n n n n n n i i i i i i i u u u u t a u v u         
           2 1 1 1
1 1 1 2 ( ). n n n n n n n n i i i i i i i i v v v v t b u v v v       
           
Selanjutnya  dilakukan  iterasi  dengan parameter,  kondisi  batas  dan  kondisi  awal  pada daerah  batas  yang  telah  ditentukan  pada  hasil diskritisasi  di  atas.  Untuk  menghitung  solusi numerik  digunakan  program  yang  tertera  pada Lampiran.
Berdasar  hasil  perhitungan  diperoleh solusi numerik untuk model reaksi-difusi ( Turing ) berupa  matriks  ukuran 101x101. Simulasi Gambar, menunjukkan rasio domain pertumbuhan ( )  mempengaruhi dua konsentrasi pada  proses  difusi  serta  mempengaruhi penyelesaian numerik model.
Peneliti lain diharapkan dapat mengembangkan  penelitian  ini  dalam  kasus  dua dimensi ataupun dengan menurunkan model yang berupa  persamaan  diferensial  parsial  menjadi persamaan  diferensial  biasa  sehingga  dapat dibandingkan hasilnya dengan penelitian ini.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ayres,  F.  1992. Persamaan  Diferensial . Jakarta: Erlangga.
[2] Causon,  D.M  dan  Mingham,  C.G..  2010. Introductory  Finite  Difference  Methods  for PDEs .  United  Kingdom:  Ventus  Publishing Aps.
[3] Barras, I., Crampin E. J., dan Maini P. K.. 2006. Mode  Transitions  in  a  Model  Reaction- Diffusion  System  Driven  by  Domain  Growth and  noise .  Bulletin  of  Mathematical  Biology (2006) 68: 981-995.
[4] Murray, J.D.. 2003. Mathematical Biology 3rd edition  in  2  volumes:  Spatial  Models  and Biomedical Applications. New York: Springer.
[5] Sasongko, S. B. 2010. Metode Numerik dengan Scilab . Yogyakarta: C.V Andi Offset.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 x 10 -3 1 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 Waktu (t) K o n s e n tr a s i v
[6] Triatmodjo,  B.  2002. Metode  Numerik. Yogyakarta: Beta Offset.
[7] Turing,  A.M..  1952. The  chemical  basis  of morphogenesis. London: Phil. Trans. R. Soc.
[8] Zauderer,  E..  1998. Partial  Differential Equations  of  Applied  Mathematics,  Second Edition . New York: John Wiley.