ANALISIS TAHAP PEMBUKTIKAN TEOREMA STEWART PADA MAHASISWA PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA UNIVERISTAS KATOLIK WIDYA MANDALA MADIUN
Vigih Hery Kristanto
Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Katolik Widya Mandala Madiun; Jl. Manggis, 15-17, Madiun, Jawa Timur, (0351)453328 e-mail: vigihhery@gmail.com
Abstrak. Tujuan  dalam  penelitian  ini  adalah  untuk  mengetahui  tahap  pembuktian  teorema  Stewart yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  Prodi  Pendidikan  Matematika  Universitas  Katolik  Widya  Mandala Madiun.  Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian  kualitatif  dengan  analisis  data  secara  deskriptif. Banyaknya  subyek  penelitian  terdiri  dari  tiga  mahasiswa.  Penelitian  ini  mendeskripsikan  tahap pembuktian  teorema  Stewart  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa.  Proses  pengumpulan  data  diawali dengan  subyek  diminta  untuk  membuktikan  teorema  Stewart  dan  menuliskan  proses  pembuktian teorema Stewart pada lembar jawaban yang disediakan. Dari hasil pengumpulan data diperoleh bahwa proses pembuktian yang dilakukan oleh ketiga mahasiswa tersebut menggunakan metode pembuktian langsung, terdapat beberapa kesamaan ketiga mahasiswa dalam mengawali  proses pembuktian, yaitu: menggambar  garis  tinggi  pada  segitiga  dan  menggunakan  teorema  pythagoras  untuk  menambah informasi yang digunakan dalam proses pembuktian, untuk membuktikan teorema Stewart dibutuhkan ketelitian  pada  saat  menguraikan  suatu  bentuk  aljabar  dan  pemahaman  terhadap  konsep  aljabar  dari bilangan,  untuk  membuktikan  teorema  Stewart  dibutuhkan  waktu  yang  sesuai  dengan  kecepatan berpikir  yang  membuktikan,  untuk  membuktikan  teorema  Stewart  dibutuhkan  keterampilan pemecahan  masalah,  pemikiran  logis,  kritis,  analitis  dan  sistematis.  Dengan  demikian  dapat disimpulkan bahwa, secara garis besar langkah-langkah pembuktian teorema  Stewart  yang dilakukan oleh  mahasiswa  Program  Studi  Pendidikan  Matematika,  dimulai  dengan  menggambar  segitiga  ABC dan  menggambarkan  pula  garis  bantu  (garis  tinggi  CE),  mengumpulkan  informasi-informasi  yang digunakan  dalam  proses  pembuktian,  kemudian  menggunakan  informasi-informasi  yang  diperoleh untuk menguraikan bentuk ruas kanan dari persamaan menjadi ruas kiri, sehingga persamaan tersebut berlaku. Kata Kunci: Analisis, Pembuktian, Teorema, Stewart
Abstract. The purpose of this research was to find out how the stage of proofing the Stewart theorem was  conducted  by  students  of  the  Mathematics  Education  Department  at  Catholic  Widya  Mandala University of Madiun. This type of research is qualitative research with descriptive data analysis. The number  of  research  subjects  consisted  of  three  students.  This  study  describes  the  stage  of  proofing Stewart's  theorem  by  students.  The  data  collection  process  begins  with  the  subject  being  asked  to prove Stewart's theorem and write down the process of proving Stewart's theorem on the answer sheet provided. From the results of data collection, it was found that the verification process carried out by the three students used the direct verification method, there were  some similarities between the three students in initiating the verification process, namely: drawing a high line on a triangle and using the pythagoras  theorem  to  add  information  used  in  the  verification  process,  to  proving  that  Stewart's theorem  required  precision  when  describing  an  algebraic  form  and  understanding  of  algebraic concepts  from  numbers,  to  prove  Stewart's  theorem  needed  time  according  to  the  speed  of  thinking that  proves,  to  prove  the  Stewart  theorem  required  problem  solving  skills,  logical  thinking,  critical, analytical  and  systematic.  Thus  it  can  be  concluded  that,  in  general  the  steps  of  proving  Stewart's theorem carried out by students of the Mathematics Education Department, starting with drawing ABC triangles  and  also  describing  auxiliary  lines  (high  of  CE),  collecting  information  used  in  the verification  process,  then  use  the  information  obtained  to  describe  the  shape  of  the  right  side  of  the equation
becomes  the  left  hand  side,  so  that  the equation applies.
Keyword: Analysis, Proof, Theorem, Stewart

## Pendahuluan
Pengetahuan  adalah  modal  dasar  untuk  mencapai  kemajuan  kehidupan  manusia. Pengetahuan  dapat  diperoleh  salah  satunya  dengan  penelitian  dan  eksplorasi,  dua  proses  ini membutuhkan  waktu  yang  lama.  Dalam  kajian  matematika,  eksplorasi  yang  dilakukan berlandaskan  pada  abstraksi  dan  simbolisasi  dengan  menetapkan  aksioma,  definisi  dengan menyusun  formulasi  konjektur  (dugaan).  Deduksi  secara  taat  azas  ( rigorous )  berdasarkan penalaran  untuk  menyatakan  kebenaran  dugaan,  serta    membangun  teorema.  Membangun teorema  merupakan  salah  satu  hal  penting  dalam  sebuah  proses  eksplorasi,  tanpa  teorema pekerjaan menjadi lebih sulit dan proses eksplorasi akan terhenti pada suatu kondisi tertentu. Namun  sebelum  digunakan,  suatu  teorema  harus  dibuktikan  terlebih  dahulu  kebenarannya. Menurut Julan Hernadi, orang perlu membuktikan suatu pernyataan matematika karena suatu pembuktian dapat memberikan keyakinan bahwa apa yang selama ini dianggap benar adalah benar  (Hernadi,  2012).  Dalam  matematika  suatu  konsep  pangkal  disebut  dengan  aksioma, aksioma  merupakan  pernyataan-pernyataan  yang  telah  disepakati  kebenarannya.  Dengan menggunakan  aksioma  inilah  diturunkan  teorema-teorema  yang  harus  dibuktikan kebenarannya menggunakan logika matematika (Kristanto, 2011).
Selain  itu,  pembuktian  suatu  teorema  dapat  memberikan  pemahaman  kepada  yang membuktikan dan melatih yang membuktikan teorema tersebut untuk berpikir analitis, kritis, logis,  dan  sistematis.  Keterampilan-keterampilan  berpikir  tersebut  merupakan  modal  dasar bagi  seseorang  untuk  dapat  hidup  dan  menyelesaikan  permasalahan  dalam  kehidupannya. Salah satu bidang kajian matematika yang sangat erat hubungannya dengan kehidupan adalah geometri. Geometri Merupakan cabang matematika yang mengkaji ukuran, bentuk permukaan ( shape ), bentuk bangun, dan posisinya dalam ruang observasi. Ini sesuai dengan penggunaan awal  geometri,  yaitu  penyelidikan  bumi  dan  ukurannya.  Bidang  ini  merupakan  sains  tertua, pada  awalnya  mengkaji  ukuran  panjang,  luas,  dan  volume  dari  bangun-bangun  tertentu termasuk  di  dalamnya  bidang  astronomi  yang  mengkaji  letak  dan  peredaran  planet-planet dalam  jagad  raya.  Oleh  karena  itu,  memahami  teorema  dalam  geometri  menjadi  keharusan, khususnya  bagi  mahasiswa  Program  Studi  pendidikan  matematika.  Hal  ini  dikarenakan mereka  nantinya  menjadi  guru  matematika  yang  akan  membelajarkan  siswa  menggunakan konsep Geometri untuk menyelesaikan masalah dalam kehidupan.
Dalam  geometri  terdapat  banyak  teorema  yang  dapat  dipelajari,  salah  satunya  adalah teorema Stewart. Teorema Stewart digunakan untuk menentukan ukuran panjang suatu garis yang  ditarik  dari  salah  satu  titik  sudut  segitiga  ke  sisi  di  hadapan  sudut  tersebut.  Selain  itu, teorema Stewart ini juga yang menjadi dasar dalam menentukan panjang suatu garis berat dari segitiga.  Pada  sebarang  segitiga,  panjang  garis  yang  dibuat  dari  salah  satu  titik  sudut  suatu segitiga  ke  sisi  dihadapannya  dapat  dihitung.  Namun,  untuk  menghitung  garis  tersebut, panjang  setiap  sisi  segitiga  dan  bagian-bagian  sisi  yang  terpotong  oleh  garis  tersebut  harus diketahui. Untuk lebih memperjelas, di bawah ini digambarkan sebarang segitiga ABC.

## Gambar 1. Segitiga ABC dengan CD sebarang
Terlihat  pada    gambar  1,  dibuat  garis  dari  titik  C  dan  memotong  sisi  AB  dari  segitiga ABC di titik D. Panjang garis CD dapat dihitung, dengan syarat panjang sisi AB, BC, AC dan bagian-bagian  perpotongan  CD  dengan  AB  yaitu  AD  dan  DB  diketahui.  Untuk  menghitung panjang  CD  dengan  syarat  seperti  di  atas  digunakan  teorema  Stewart.  Teorema  Stewart berbunyi,  ”kuadrat  suatu  garis  yang  ditarik  dari  sebuah  titik  sudut  segitiga  ke  sisi dihadapannya, dikalikan dengan sisi tersebut sama dengan jumlah kuadrat dua sisi  yang lain dan masing-masing dikalikan dengan bagian sisi ketiga yang tidak bersebelahan letaknya dan dikurangi dengan perkalian dari bagian-bagian itu dengan sisi tersebut”. Jika dituliskan dalam bentuk matematis berdasarkan gambar 1, maka teorema Stewart di atas menjadi:
Bunyi teorema Stewart di atas, dapat dinyatakan dalam bentuk implikasi jika p maka q (p  q) yaitu, jika pada sisi AB dari sebuah segitiga ABC terletak titik D, maka:
Bentuk  implikasi  dari  teorema  Stewart  di  atas  menyatakan  bahwa,  jika  pada  sisi  AB pada  suatu  segitiga  ABC  terdapat  titik  D,  maka  panjang  CD  dapat  dihitung  menggunakan persamaan  yang  telah  diuraikan  di  atas.  Karena  teorema  Stewart  dapat  dinyatakan  dalam bentuk implikasi, sehingga untuk membuktikan teorema tersebut dapat menggunakan metode- metode  pembuktian  matematika.  Terdapat  berbagai  macam  jenis  metode  pembuktian  dalam matematika.  Namun,  metode  pembuktian  apapun  memiliki  prinsip  dasar  serupa,  yaitu membuktikan  kebenaran  dari  suatu  pernyataan.  Dalam  menentukan  nilai  kebenaran  suatu pernyataan  matematika  digunakan  dua  dasar  pemikiran  yaitu,  dasar  empiris  dan  dasar  tak empiris.  Dalam  dasar  empiris  dalam  penentuan  benar  atau  salah  dari  sebuah  pernyataan berdasarkan pada fakta yang ada atau dijumpai dalam kehidupan sehari-hari. Dalam dasar tak empiris  penentuan  benar  atau  salah  dari  sebuah  pernyataan  dengan  memakai  bukti  atau perhitungan-perhitungan dalam matematika (Arieyantini, 2013).
Sebagai contoh pernyataan dalam  teorema kerapatan, ” if x and y are real number with x <  y,  then  there  exist  a  rational  number  r  such  that  x  <  r  <  y ”  (Bartle,  1994).  Teorema kerapatan tersebut dapat dibuktikan dengan tahap-tahap sebagai berikut.
A B C D
Perhatikan  bahwa adalah  bilangan  positif  (x  <  y).  Menurut  sifat  Archimedes terdapat bilangan asli n sedemikian sehingga n > . Akibatnya untuk nilai n tersebut berlaku:
... (i)
Diambil sebarang bilangan bulat pertama yang lebih dari nx, yaitu: m dan berlaku:
... (ii) Dari (i) dan (ii) diperoleh: atau Sehingga  jika dibagi  dengan  n,  maka  diperoleh  bentuk . Misalkan , pembuktian selesai.
Contoh lain, misalnya pernyataan, “tunjukkan bahwa 2 n > n 3 , jika n  10! (Liu, 1995). Pernyataan tersebut dapat dibuktikan dengan tahapan sebagai berikut.
Pembuktian dengan induksi matematika, yaitu: (1) langkah dasar, (2) langkah induktif. Untuk  membuktikan  contoh  tersebut,  pertama  kita  menggunakan  langkah  dasar.  (1) Untuk n = 10, diperoleh: 2 10 = 1024 > 10 3 = 1000. Sehingga untuk n = 10 contoh soal di atas benar. (2) Asumsikan contoh di atas, berlaku untuk n = k, sehingga diperoleh: 2 k > k 3 . Kemudian akan dibuktikan bahwa bentuk tersebut juga berlaku untuk n = k + 1.
( ) ( ) ( )
Karena bentuk 2 n > n 3 berlaku untuk n = k + 1, sehingga 2 n > n 3 , jika n  10 berlaku untuk semua bilangan asli n.
Teorema Stewart  disampaikan dalam matematika sekolah, tepatnya pada jenjang SMP kelas VIII kurikulum KTSP. Sebagai calon guru matematika maka bagi mahasiswa  Program Studi pendidikan matematika teorema ini menjadi salah satu kompetensi yang harus dikuasai. Dengan  demikian,  dengan  mengetahui  tahap  pembuktian  Teorema  Stewart,  wawasan  dan pemahaman mahasiswa subyek penelitian dapat meningkat. Dari semua uraian di atas, maka terlihat  dengan  jelas  betapa  pentingnya  mempelajari  pembuktian  teorema  dan  memahami teorema  dalam  kajian  geometri,  khususnya  teorema  Stewart.  Oleh  sebab  itu  peneliti menuliskan sebuah kajian yang berjudul,”Analisis Tahap Pembuktian Teorema Stewart”.

## Metode Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan di Universitas Katolik Widya Mandala Madiun, Jl. Manggis, No. 15-17, Kota Madiun. Penelitian ini dilaksanakan selama satu hari, yaitu pada hari Jum’at, 17  Juni  2011.  Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian  kualitatif  dengan  analisis  data  secara deskriptif.  Penelitian  ini  nantinya  akan  mendeskripsikan  tahap  pembuktian  teorema  Stewart yang  dilakukan  oleh  mahasiswa.  Dengan  demikian  subyek  dalam  penelitian  ini  adalah mahasiswa  Program  Studi  Pendidikan  Matematika  semester  VI  tahun  akademik  2010-2011. Mahasiswa  yang  dipilih  sebagai  subyek  penelitian  memiliki  indeks  prestasi  akademik kumulatif  (IPK)  heterogen.  Selain  itu,  kemampuan  mahasiswa  tersebut  dalam  Mata  Kuliah Geometri juga heterogen.
Di  Program  Studi  Pendidikan  Matematika,  mahasiswa  semester  VI  sebanyak  19 mahasiswa dan dipilih sebagai subyek penelitian sebanyak tiga mahasiswa. Hal ini dilakukan dengan  pertimbangan  bahwa  penelitian  ini  tidak  termasuk  penelitian  dalam  skala  besar, sehingga  tiga  mahasiswa  sebagai  subyek  penelitian  sudah  cukup.  Selain  itu,  peneliti mempunyai berbagai macam keterbatasan. Tiga mahasiswa yang terpilih dalam penelitian ini dicantumkan dalam tabel sebagai berikut:
Tabel 1. Daftar Mahasiswa Subyek Penelitian No Inisial IPK terakhir 1. YH 3,69 2. H 3,42 3. DF 2,91
Langkah-langkah yang dilakukan oleh peneliti pada penelitian ini adalah membuat dasar pemikiran  tentang  pentingnya  melakukan  penelitian,  mengkaji  teori-teori  yang  berkaitan dengan penelitian, memilih subyek penelitian, menyusun instrumen penelitian, melaksanakan penelitian  (pengumpulan  data  penelitian),  pelaporan  hasil  penelitian,  dan  publikasi  hasil penelitian.  Proses  pengumpulan  data  untuk  kepentingan  analisis  pada  penelitian  ini  adalah subyek  diminta  untuk  membuktikan  teorema  Stewart  dan  menuliskan  proses  pembuktian teorema Stewart pada lembar jawaban yang disediakan. Sehingga data yang terkumpul dalam bentuk  dokumen.  Dokumen  yang  dimaksud  adalah  lembar  jawaban  yang  telah  diisi  oleh subyek  penelitian.  Instrumen  yang  digunakan  untuk  mengumpulkan  data  pada  penelitian  ini adalah  lembar  soal  beserta  lembar  jawaban.  Pada  saat  pengumpulan  data,  dilakukan perekaman  menggunakan  kamera  CCTV  untuk  mencegah  kecurangan  subyek  dalam membuktikan  teorema.  Hal  ini  dikarenakan  pada  saat  menentukan  pembuktian  teorema Stewart, subyek bekerja dalam waktu dan ruangan yang sama.

## Hasil Pembahasan dan Penelitian

## Salah Satu Langkah Pembuktian Teorema Stewart
Untuk  membuktikan  teorema  Stewart  terlebih  dahulu  dapat  digambarkan  sebuah  garis bantu pada segitiga ABC. Misalkan dibuat garis CE sebagai tinggi segitiga ABC, karena CE merupakan  tinggi  segitiga  ABC,  maka  garis  CE  tegak  lurus  dengan  garis  AB.  Keadaan tersebut digambarkan sebagai berikut.

## Gambar 2. Segitiga ABC dengan CD sebarang dan CE garis tinggi
Dengan ditambahkannya garis bantu CE pada segitiga ABC, sehingga diperoleh segitiga siku-siku  CED.  Karena  CED  segitiga  siku-siku,  maka  dapat  digunakan  teorema  pythagoras pada panjang sisi segitiga CED, sebagai berikut:
CE 2 = CD 2 – DE 2 ... (i).
Kemudian dari segitiga ADC, diperoleh sebuah hubungan: AC 2 = AE 2 + CE 2 .
Terlihat bahwa panjang AE = AD – DE, sehingga bentuk di atas menjadi: AC 2 = CE 2 + (AD – DE) 2 ... (ii).
Selanjutnya persamaan (i) disubstitusikan ke dalam persamaan (ii), sehingga didapatkan sebuah persamaan berbentuk:
AC 2 = CD 2 – DE 2 + (AD – DE) 2 AC 2 = CD 2 – DE 2 + AD 2 – 2 . AD . DE + DE 2
AC 2 = CD 2 + AD 2 – 2 . AD . DE... (iii)
Dari  penjabaran  di  atas,  diperoleh  persamaan  (iii).  Selanjutnya,  dari  segitiga  siku-siku BCE menggunakan teorema pythagoras diperoleh persamaan:
BC 2 = CE 2 + BE 2 , terlihat bahwa panjang BE = BD + DE, sehingga persamaan di atas menjadi: BC 2 = CE 2 + (BD + DE) 2 ... (iv).
Kemudian, persamaan (i) disbutitusikan ke dalam persamaan (iv), sehingga diperoleh: BC 2 = CD 2 – DE 2 + (BD + DE) 2 BC 2 = CD 2 – DE 2 + BD 2 + 2 . BD . DE + DE 2 BC 2 = CD 2 + BD 2 + 2 . BD . DE... (v)
Berdasarkan  penjabaran  di  atas,  diperoleh  persamaan  (v).  Selanjutnya,  persamaan  (iii) di atas dikalikan dengan BD pada kedua ruas, sedangkan persamaan (v) dikalikan dengan AD pada  kedua  ruas.  Hal  ini  mengakibatkan  muncul  dua  persamaan  baru,  yaitu  persamaan  (vi) dan persamaan (vii) sebagai berikut:
AC 2 . BD = CD 2 . BD + AD 2 . BD – 2 . AD . DE . BD... (vi). BC 2 . AD = CD 2 . AD + BD 2 . AD + 2 . BD . DE . AD... (vii).
Persamaan  (vi)  dan  (vii)  tersebut  kita  jumlahkan,  sehingga  menghasilkan  persamaan sebagai berikut.
AC 2 . BD + BC 2 . AD = CD 2 . (AD + BD) + AD . BD . (AD + BD).
Karena AD + BD = AB, sehingga persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:
A B C D E
AC 2 . BD + BC 2 . AD = CD 2 . AB + AD . BD . AB.
Dengan  sedikit  manipulasi,  maka  diperoleh:
Dengan demikian, dapat ditunjukkan bahwa pada segitiga ABC berlaku persamaan

## Hasil Pengumpulan Data
Pada  saat  mahasiswa  bekerja  untuk  menentukan  pembuktian  dari  teorema  Stewart, peneliti  mengusahakan  membuat  kondisi  menjadi  senyaman  mungkin.  Hasil  dari  proses pengumpulan  data  berupa  dokumen  lembar  jawaban  yang  berisi  proses  pembuktian  teorema Stewart  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa.  Proses  pengumpulan  data  ini  didokumentasikan dengan rekaman CCTV. Pada pembahasan ini akan disampaikan proses pembuktian teorema Stewart  yang  dilakukan  mahasiswa  hasil  dari  analisis  pada  lembar  jawaban  yang  dilakukan oleh  peneliti.  Proses  pembuktian  teorema  Stewart  yang  dilakukan  oleh  masing-masing mahasiswa diuraikan sebagai berikut:
1. Mahasiswa Pertama (YH)
Berdasarkan  yang  tertulis  pada  lembar  jawaban,  mahasiswa  memulai  dengan menggambarkan segitiga ABC seperti yang tergambar pada lembar soal, tetapi menambahkan garis penghubung CE yang merupakan tinggi dari segitiga ABC.

## Gambar 3. Segitiga ABC yang digambarkan oleh YH
Selanjutnya, mahasiswa ini menggunakan torema phytaghoras untuk  segitiga siku-siku CDE, BCE, dan ACE sebagai berikut:
CD 2 = DE 2 + CE 2 yang dinamai dengan persamaan (1)
CB 2 = BE 2 + CE 2 dinamai dengan persamaan (2)
AC 2 = AE 2 + CE 2 dinamai dengan persamaan (3)
Kemudian pada persamaan (1), ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan panjang garis AB, sehingga diperoleh bentuk:
CD 2 . AB = DE 2 . AB + CE 2 . AB.
Diketahui  pada  gambar  bahwa  panjang  AB  =  AD  +  BD,  sehingga  bentuk  persamaan tersebut dapat dirubah menjadi:
A B C D E
CD 2 . AB = DE 2 . (AD + BD) + CE 2 . (AD + BD) CD 2 . AB = DE 2 . AD + DE 2 . BD + CE 2 . AD + CE 2 . BD
Setelah  itu,  persamaan  (3)  dirubah  menjadi:  CE 2 =  AC 2 –  AE 2 dan  disubtitusikan  ke dalam  persamaan  CD 2 .  AB  =  DE 2 .  AD  +  DE 2 .  BD  +  CE 2 .  AD  +  CE 2 .  BD,  sehingga diperoleh bentuk: CD 2 . AB = DE 2 . AD + DE 2 . BD + AC 2 . AD – AE 2 . AD + AC 2 . BD – AE 2 . BD dinamai dengan persamaan (4). Untuk selanjutnya, persamaan (2) dirubah menjadi: BE 2 = CB 2 – CE 2 . Oleh karena panjang BE = DE + BD, maka persamaan BE 2 = CB 2 – CE 2 ekuivalen  dengan  bentuk:  (DE  +  BD) 2 =  BC 2 –  CE 2 .  Persamaan  ini  kemudian  diuraikan sehingga diperoleh: DE 2 + 2 . DE . BD + BD 2 = BC 2 – CE 2  DE 2 = BC 2 – CE 2 – 2 . DE . BD – BD 2 , persamaan ini dinamai dengan persamaan (5).
Persamaan (5) tersebut disubtitusikan ke dalam persamaan (4), hal ini diuraikan sebagai berikut:
CD 2 . AB = DE 2 . AD + DE 2 . BD + AC 2 . AD – AE 2 . AD + AC 2 . BD – AE 2 . BD  CD 2 . AB = (BC 2 – CE 2 – 2 . DE . BD – BD 2 ) 2 . AD + (BC 2 – CE 2 – 2 . DE . BD – BD 2 ) 2 . BD + AC 2 . AD – AE 2 . AD + AC 2 . BD – AE 2 . BD.  CD 2 . AB = BC 2 . AD – CE 2 . AD – 2 . DE . BD . AD – BD 2 . AD + BC 2 . BD – CE 2 . BD – 2 . DE . BD 2 – BD 2 . BD + AC 2 . AD – AE 2 . AD + AC 2 . BD – AE 2 . BD.
Terdapat kekeliruan pada penjabaran bentuk yang digaris bawah. Bentuk (BC 2 – CE 2 – 2 . DE . BD – BD 2 ) 2 sebelum dikalikan dengan AD, seharusnya dikuadratkan terlebih dahulu, namun  pada  penjabaran  selanjutnya  bentuk  tersebut  tidak  dikuadratkan  dan  langsung dikalikan dengan AD sehingga menjadi bentuk  BC 2 . AD – CE 2 . AD – 2 . DE . BD . AD – BD 2 . AD. Berdasarkan hal ini, penyajian kelanjutan proses pembuktian teorema Stewart yang dilakukan  mahasiswa  ini  tidak  dituliskan  oleh  peneliti.  Pada  akhirnya  mahasiswa  ini  belum berhasil membuktikan teorema Stewart.

## 2. Mahasiswa Kedua (H)
Dari  yang  tertulis  pada  lembar  jawaban,  mahasiswa    menuliskan  bahwa  persamaan dengan  bentuk
merupakan  pembuktian  satu arah. Oleh sebab itu, mahasiswa ini akan membuktikan persamaan tersebut dengan mengubah bentuk  ruas  kanan  pada  persamaan  menjadi  bentuk  ruas  kiri.  Kemudian,  mahasiswa  ini menggambarkan sebuah garis bantu pada segitiga ABC, yaitu garis CE = h sebagai tinggi dari segitiga ABC.
Gambar 4. Segitiga ABC yang digambar oleh H
A B C D E h
Selanjutnya dari gambar di atas, diperoleh bahwa panjang AD = AB – BD dan AE = AB –  BE  serta  mengkonstruksikan  bentuk  (h 2 +  DE 2 )  .  AB  =  h 2 .  AB  +  DE 2 .  AB.  Proses selanjutnya,  menggunakan  teorema  pythagoras  pada  segitiga  siku-siku  BCE,  CDE  dan segitiga siku-siku ACE, diperoleh:
BC 2 = CE 2 + BE 2  BC 2 = h 2 + BE 2 , CD 2 = CE 2 + DE 2  CD 2 = h 2 + DE 2 , dan
AC 2 = CE 2 + AE 2  AC 2 = h 2 + AE 2 .
Setelah  semua  informasi  di  atas  diperoleh,  mahasiswa  ini  menguraikan  bentuk  ruas kanan, yaitu
menjadi
. Proses penguraian tersebut
dijabarkan sebagai berikut:
BC 2 . AD + AC 2 . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB
 (h 2 + BE 2 ) . AD + (h 2 + AE 2 ) . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB oleh  karena  AD  =  AB  –  BD,  sehingga  diperoleh  bentuk  yang  ekuivalen  dengan persamaan di atas sebagai berikut:
 (h 2 + BE 2 ) . (AB – BD) + (h 2 + AE 2 ) . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB
 h 2 . AB – h 2 . BD + BE 2 . AB – BE 2 . BD + h 2 . BD + AE 2 . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AB – BE 2 . BD + AE 2 . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB
 h 2 . AB + BE 2 . (AB – BD) + AE 2 . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AD + AE 2 . BD – AD . BD . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AD + AE 2 . BD – (AB – BD) . BD . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AD + AE 2 . BD – AB 2 . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB
Dari  informasi  yang  diperoleh  pada  bagian  awal,  diketahui  bahwa  AE  =  AB  –  BE, sehingga persamaan di atas ekuivalen dengan persamaan:
 h 2 . AB + BE 2 . AD + (AB – BE) 2 . BD – AB 2 . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB
 h 2 . AB + BE 2 . AD + (AB 2 – 2 . AB . BE + BE 2 ) . BD – AB 2 . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB
 h 2 . AB + BE 2 . AD + AB 2 . BD – 2 . AB . BE . BD + BE 2 . BD – AB 2 . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AD – 2 . AB . BE . BD + BE 2 . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . (AD + BD)  – 2 . AB . BE . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + BE 2 . AB  – 2 . AB . BE . BD + BD 2 . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + (BE 2 – 2 . BE . BD + BD 2 ) . AB = CD 2 . AB  h 2 . AB + (BE – BD) 2 . AB = CD 2 . AB
Pada  gambar  dapat  diketahui  dengan  jelas  bahwa  panjang  DE  =  BE  –  BD,  sehingga persamaan di atas ekuivalen dengan:
 h 2 . AB + DE 2 . AB = CD 2 . AB telah dikonstruksikan di atas bahwa bentuk h 2 . AB + DE 2 . AB = CD 2 . AB, sehingga diperoleh:  CD 2 .  AB  =  CD 2 .  AB.  Sehingga  dengan  kata  lain,  ruas  kanan  sama  dengan  ruas kiri. Mahasiswa ini dapat membuktikan teorema Stewart dengan proses panjang.
3. Mahasiswa Ketiga (DF)
Mahasiswa ini memulai membuktikan teorema Stewart dengan menguraikan persamaan menjadi bentuk CD 2 . AB = BC 2 . (AB – BD) +  AC 2 .  BD  –  AD  .  BD  .  AB.  Bentuk  AB  –  BD  diperoleh  dari  gambar  segitiga  ABC  yang tercantum pada lembar soal, sebagai berikut:

## Gambar 5. Segitiga ABC yang digambar oleh DF
Terlihat pada gambar di atas, bahwa panjang AD = AB – BD. Kemudian, bentuk CD 2 . AB = BC 2 . (AB – BD) + AC 2 . BD – AD . BD . AB diuraikan lagi, sehingga diperoleh: CD 2 . AB = BC 2 . AB – BC 2 . BD + AC 2 . BD – AD . BD . AB  CD 2 . AB – BC 2 . AB = (AC 2 – BC 2 ) . BD – AD . BD . AB  (CD 2 – BC 2 ) . AB = (AC 2 – BC 2 ) . BD – AD . BD . AB
Selanjutnya  mensubtitusikan  bentuk  AD  =  AB  –  BD  ke  dalam  persamaan  di  atas, sehingga diperoleh persamaan dengan bentuk:
(CD 2 – BC 2 ) . AB = (AC 2 – BC 2 ) . BD – (AB – BD) . BD . AB
 (CD 2 – BC 2 ) . AB = (AC 2 – BC 2 ) . BD – AB 2 . BD + BD 2 . AB  (CD 2 – BC 2 ) . AB – BD 2 . AB = (AC 2 – BC 2 ) . BD – AB 2 . BD  (CD 2 – BC 2 – BD 2 ) . AB = (AC 2 – BC 2 – AB 2 ) . BD
Dari  bentuk  persamaan  di  atas,  mahasiswa  ini  menyimpulkan  bahwa: ;
; .  Kesimpulan  ini  secara  matematis  tidak  bisa  diterima,  karena  secara
matematis  bentuk  (CD 2 –  BC 2 –  BD 2 )  .  AB  =  (AC 2 –  BC 2 –  AB 2 )  .  BD  ekuivalen  dengan (
)
dan  dengan  proses  yang  bagaimanapun  tidak  akan  dapat  disimpulkan bahwa ; ; .  Karena  terdapat  kekeliruan  yang  tidak  bisa  diterima, sehingga  penyajian  kelanjutan  proses  pembuktian  teorema  Stewart  yang  dilakukan  oleh mahasiswa  tidak  dituliskan  oleh  peneliti.  Pada  akhirnya  mahasiswa  ini  belum  dapat membuktikan teorema Stewart.

## Diskusi dan Pembahasan
Dengan  demikian,  masing-masing  mahasiswa  telah  mencoba  untuk  membuktikan teorema  Stewart.  Namun,  hanya  mahasiswa  kedua  yang  dapat  menyelesaikan  pembuktian teorema  Stewart  dengan  proses  yang  panjang.  Jika  diamati  lebih  lanjut,  proses  pembuktian
A B C D E
yang  dilakukan  oleh  ketiga  mahasiswa  ini  menggunakan  metode  pembuktian  langsung. Langkah-langkah  yang  dilakukan  oleh  tiga  mahasiswa  ini  berbeda-beda,  tetapi  terdapat beberapa  kesamaan,  yaitu  terlebih  dahulu  menggambarkan  segitiga  ABC  dan  menambahkan garis  tinggi  CE,  menggunakan  sifat-sifat  garis  tinggi  dan  teorema  phytagotas  untuk  mencari informasi yang digunakan dalam pembuktian.
Dari  proses  pembuktian  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  pertama,  dapat  disimpulkan bahwa mahasiswa pertama kurang teliti pada saat menguraikan bentuk (BC 2 – CE 2 – 2 . DE . BD  –  BD 2 ) 2 ,  sehingga  terjadi  kekeliruan  fatal  pada  proses-proses  selanjutnya.  Begitu  juga dengan  proses  pembuktian  yang  dilakukan  oleh  mahasiswa  ketiga.  Pada  proses  pembuktian yang dilakukan oleh mahasiswa ketiga terjadi kekeliruan dalam menyimpulkan bentuk (CD 2 – BC 2 – BD 2 ) . AB = (AC 2 – BC 2 – AB 2 ) . BD. Hal ini mungkin disebabkan karena mahasiswa ketiga kurang memahami konsep aljabar dari suatu bilangan.
Kekeliruan  seperti  ini  mungkin  tidak  akan  terjadi  jika  mahasiswa  diberi  waktu  yang lebih  lama  pada  saat  mencoba  membuktikan,  karena  setiap  orang  mempunyai  kecepatan berbeda-beda  dalam  menyelesaikan  suatu  permasalahan.  Sehingga  selain  mempunyai pemikiran  yang  kritis,  analitis,  logis  dan  sistematis,  seseorang  juga  harus  mempunyai keterampilan pemecahan masalah.

## Hasil Temuan
Berdasarkan  uraian  pada  bagian  diskusi  dan  pembahasan  di  atas,  ditemukan  beberapa hal  penting  berkaitan  dengan  pembuktian  teorema  Stewart,  antara  lain  proses  pembuktian yang dilakukan oleh ketiga mahasiswa tersebut menggunakan metode pembuktian langsung, terdapat  beberapa  kesamaan  ketiga  mahasiswa  dalam  mengawali  proses  pembuktian,  yaitu: menggambar  garis  tinggi  pada  segitiga,  dan  menggunakan  teorema  pythagoras  untuk menambah informasi yang digunakan dalam proses pembuktian, untuk membuktikan teorema Stewart  dibutuhkan  ketelitian  pada  saat  menguraikan  suatu  bentuk  aljabar  dan  pemahaman terhadap konsep aljabar dari bilangan, untuk membuktikan teorema Stewart dibutuhkan waktu yang  sesuai  dengan  kecepatan  berpikir  yang  membuktikan,  untuk  membuktikan  teorema Stewart  dibutuhkan  keterampilan  pemecahan  masalah,  pemikiran  logis,  kritis,  analitis  dan sistematis.

## Kesimpulan
Berdasarkan  penjelasan-penjelasan  pada  bagian  sebelumnya,  pada  penelitian  dapat disimpulkan  bahwa  secara  garis  besar  langkah-langkah  pembuktian  teorema  Stewart  yang dilakukan  oleh  mahasiswa  semester  VI,  Program  Studi  Pendidikan  Matematika,  Universitas Katolik Widya Mandala Madiun, yaitu menggambar segitiga ABC dan menggambarkan pula garis bantu yaitu, garis tinggi CE, mengumpulkan informasi-informasi yang digunakan dalam proses  pembuktian,  menggunakan  informasi-informasi  yang  diperoleh  untuk  menguraikan bentuk  ruas  kanan  dari  persamaan
menjadi ruas kiri, sehingga persamaan tersebut berlaku.

## Daftar Pustaka
Arieyantini,  P.  (2013).  Logika  Matematika.  Retrieved  September  21,  2018,  from http://pramanikaarieyantini.blogspot.com/2013/01/logika-matematika_10.html.
Bartle,  R.  G.  &  D.  R.  S.  (1994). Introduction  to  Real  Analysis (Second).  Singapore:  John Wiley & Son (SEA), Inc.
Hernadi,  J.  (2012).  Metoda  Pembuktian  dalam  Matematika.  Retrieved  September  21,  2018, from https://julanhernadi.files.wordpress.com/2012/11/method-of-proof.pdf
Kristanto,  V.  H.  (2011).  Pendidikan  Karakter  dalam  Pembelajaran  Matematika  Pembentuk Generasi Anti Korupsi. Jurnal Widya Warta , Tahun XXXV (01), 140–141.
Liu,  C.  L.  (1995). Dasar-dasar  Matematika  Diskrit (Edisi  Kedu).  Jakarta:  PT  Gramedia Pustaka Utama.