## KARAKTERISTIK FUNGSI DISTRIBUSI FOUR-PARAMETER GENERALIZED-t
Rahman Cahyadi 1 , Warsono 2 , Mustofa Usman 3 , Dian Kurniasari 4
1 Pendidikan Matematika, STKIP Muhammadiyah Pringsewu Email: rahman_cahyadi@yahoo.com
2 Matematika, Universitas Lampung
3 Matematika, Universitas Lampung
4 Matematika, Universitas Lampung

## Abstract
This  research  is  about  the  characteristic  function  of  four-parameter  generalized  t distribution.  Four-parameter  generalized  t  distribution  has  four  parameters  which are  µ  as  a  location  parameter,  σ  as  a  scale  parameter,  p  and  q  as  a  shape parameter,  and    B  as  a  function  of  beta.  The  characteristic  function  are  retrieved from the expectation of itx e , where i as a imaginary number. Then, the characteristic function  of four-parameter  generalized  t  distribution was  able  to  be  determined  by using  definition  and  trigonometric  expansions.  Based  on  those  two  methods  this study  got  the  same  results  and  then  will  be  continued  proving  the  fundamental properties of the characteristic function of four-parameter generalized t distribution. Furthermore,  it  needs  graph  simulation  on  a  characteristic  function  of  four- parameter generalized t distribution.  Graph simulation result on the characteristic function  of  four-  parameter  generalized  t  distribution  was  formed  a  closed  curve (circle) are smooth.
Keywords: four-parameter generalized t distribution, characteristic function, graph simulation

## 1. PENDAHULUAN
Distribusi t merupakan salah satu
dari keluarga distribusi peluang kontinu yang penurunannya berdasarkan distribusi normal baku dan distribusi  khi-kuadrat.  Distribusi four- parameter  generalized  t merupakan bentuk  perumuman  dari distribusi  t dengan  menambahkan  lagi  parameter yang  lain.  Distribusi four-parameter
generalized t memiliki empat parameter  yaitu  parameter  bentuk ( p , q ),  parameter  lokasi  ( µ ),  dan
parameter  skala  ( σ )  serta  B  sebagai fungsi  beta.  Sudah  banyak  peneliti yang  membahas  tentang  distribusi four-parameter generalized t diantaranya  yaitu:  McDonald  dan Newey  (1988),  Boyer  dkk  (2003), Chan dkk (2007), Lee dkk (2012).
Fungsi  karakteristik  adalah  salah satu  jenis  transformasi  yang  sering digunakan  pada  teori  peluang  dan statistika.  Fungsi  karakteristik  dapat digunakan  untuk  menentukan  fungsi distribusi  dari  suatu  peubah  acak  yang dikenal  sebagai  teorema  inversi  fungsi
karakteristik.  Teorema  inversi  fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang menjadi ciri khas fungsi karakteristik.  Fungsi  karakteristik  juga memiliki  sifat-sifat  dasar.  Namun demikian,  sejauh  penelusuran  yang telah  penulis  lakukan  bahwa  belum ditemukan  penjelasan  tentang  fungsi karakteristik khususnya fungsi karakteristik  distribusi four-parameter generalized t .
Pada  penelitian  ini,  penulis  akan membahas  lebih  dalam  mengenai fungsi  karakteristik,  dan  pembuktian sifat-sifat  dasar  fungsi  karakteristik dari distribusi four-parameter generalized  t (1),  kemudian  akan dilanjutkan dengan melakukan simulasi grafik fungsi kepekatan
peluang  dan  fungsi  karakteristik  dari distribusi four-parameter generalized t dengan software  MATLAB  R2010b .
Menurut McDonald dan Newey (1988)
distribusi generalized t memiliki fungsi
kepekatan peluang berbentuk :
  q p p p x q q p B q p q p x GT                   1 1 1 1 , 1 2 , , , ;
    
for      x (1)
Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi
, σ > 0 adalah parameter skala , p > 0
dan q > 0 keduanya parameter bentuk
dan B ( . ) Apakah fungsi beta (Chan et al , 2007),
Fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter  generalized  t dapat diperoleh dari fungsi pembangkit momen dengan menambahkan i sebagai  bagian  imaginer  dan  ekspansi trigonometri.  Dalam  penelitian  ini digunakan  dua  cara  tersebut  untuk mencari fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  sifat-sifat dasar fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter  generalized  t dan melakukan simulasi grafik gambar fungsi  kepekatan  peluang  dan  fungsi karakteristik dari distribusi four- parameter  generalized  t .  Berdasarkan latar  belakang  yang  telah  diuraikan dalam  penelitian  ini  akan  dibahas kajian  tentang  “Fungsi  Karakteristik dari Distribusi four-parameter generalized t ”.

## 2. PEMBAHASAN
1) Distribusi Four-Parameter
Generalized t
Suatu  peubah  acak  X  dikatakan memiliki  distribusi  generalized t , dengan parameter  ,  , p dan q , dan jika  dan  hanya  jika  fungsi  kepekatan peluang dari X adalah
  q p p p x q q p B q p q p x GT                   1 1 1 1 , 1 2 , , , ;
     for      x (2)
Dimana μ ∈ R adalah parameter lokasi , σ > 0 adalah parameter skala , p > 0
dan q > 0 keduanya parameter bentuk dan B ( . ) Adalah fungsi beta (Chan et al, 2007).
Gambar 1. Grafik Fungsi Kepekatan Peluang dari Distribusi four-parameter generalized t dengan p =1, q =20, σ =100, µ =0

## 2) Simulasi  Grafik  Fungsi  Kepekatan
Peluang  Distribusi Four-Parameter

## Generalized t
Pada bagian ini akan dibahas mengenai  simulasi  grafik  fungsi kepekatan  peluang  dari  ditribusi four-
parameter generalized t dengan menggunakan  software  MATLAB
R 2010 b .
(1) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan
nilai p tetap, q meningkat, σ
meningkat, µ tetap
Gambar 2. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =1, q =(1,2,3,4), σ =(50,75,100,125), µ =0
(2) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four- parameter    generalized t dengan nilai p tetap, q menurun, σ menurun, µ tetap
Gambar 3. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =1, q =(4,3,2,1), σ =(125,100,75,50), µ =0
(3) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four- parameter  generalized  t dengan nilai p meningkat, q meningkat, σ menurun, µ tetap
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 -3 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=50,µ1=0 p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=1,q3=3,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=4,sigma1=125,µ1=0 p2=1,q2=3,sigma2=100,µ2=0 p3=1,q3=2,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=0
Gambar 4. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(1,2,3,4), q =(1,2,3,4), σ =(125,100,75,50), µ =0
.
(4) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan
peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan
nilai p meningkat, q menurun, σ
meningkat, µ tetap
Gambar 5. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(1,2,3,4), q =(4,3,2,1), σ =(50,75,100,125), µ =0
(5) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan
nilai p menurun, q meningkat, σ meningkat, µ tetap
Gambar 6. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(4,3,2,1), q =(1,2,3,4), σ =(50,75,100,125), µ =0
(6) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four- parameter  generalized  t dengan nilai p menurun, q menurun, σ meningkat, µ tetap
Gambar 7. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(4,3,2,1), q =(4,3,2,1), σ =(50,75,100,125), µ =0
(7) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan nilai p meningkat, q tetap, σ menurun, µ berbeda
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=0 p2=2,q2=2,sigma2=100,µ2=0 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=4,sigma4=50,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=4,sigma1=50,µ1=0 p2=2,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=2,sigma3=100,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=125,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=1,sigma1=50,µ1=0 p2=3,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=3,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=125,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=4,sigma1=50,µ1=0 p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=2,sigma3=100,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=125,µ4=0
Gambar 8. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(1,2,3,4), q =1, σ =(125,100,75,50), µ =(-50,-25,0,25)
(8) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan
peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan
nilai p menurun, q tetap, σ
menurun, µ berbeda
Gambar 9. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(4,3,2,1), q =1, σ =(125,100,75,50), µ =(-50,-25,0,25)
(9) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan
peluang dari distribusi four- parameter  generalized  t dengan
nilai p meningkat, q meningkat, σ
tetap, µ tetap
Gambar 10. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(1,2,3,4), q =(1,2,3,4), σ =75, µ =0
(10) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four- parameter  generalized  t dengan nilai p menurun, q menurun, σ tetap, µ tetap
Gambar 11. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(4,3,2,1), q =(4,3,2,1), σ =75, µ =0
(11) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four- parameter  generalized  t dengan nilai p tetap, q meningkat, σ tetap,
µ tetap
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=2,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=50,µ4=25 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=1,sigma1=125,µ1=-50 p2=3,q2=1,sigma2=100,µ2=-25 p3=2,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=50,µ4=25 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 -3 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=2,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=4,sigma4=75,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x 10 -3 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=4,q1=4,sigma1=75,µ1=0 p2=3,q2=3,sigma2=75,µ2=0 p3=2,q3=2,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=1,sigma4=75,µ4=0
Gambar 12. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =1, q =(1,2,3,4), σ =75, µ =0
(12) Simulasi  grafik  fungsi  kepekatan peluang dari distribusi four-
parameter  generalized  t dengan
nilai p meningkat, q tetap, σ tetap,
µ tetap
Gambar 13. Grafik Fungsi kepekatan peluang distribusi four-parameter generalized t dengan p =(1,2,3,4), q =1, σ =75, µ =0
Dari gambar grafik fungsi
kepekatan  peluang  distribusi four-
parameter  generalized  t dapat  di  lihat
bahwa σ adalah parameter skala, p dan
q adalah  parameter  bentuk  sehingga
semakin  menurun  nilai σ maka
semakin  kecil  skala  dari  grafik  yang terbentuk    dan  sebaliknya,  semakin meningkat  nilai σ maka  semakin  besar
skala  dari  grafik  yang  terbentuk.
Sedangkan puncak grafik yang terbentuk  dipengaruhi  oleh  meningkat atau menurun nilai p dan q . Kemudian µ adalah  parameter  lokasi  sehingga dapat  di  lihat  pada  gambar  bahwa grafik selalu simetri pada µ .

## 3) Fungsi Karakteristik Distribusi Four-

## Parameter Generalized t

## (1) Fungsi  Karakteristik  Distribusi

## Four-Parameter  Generalized  t
dengan definisi
Pada bagian ini akan dijelaskan fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized    t .  Fungsi  karakteristik
dari distribusi four-parameter generalized    t dapat  diperoleh  dari fungsi  pembangkit  momen  dengan menambahkan i sebagai bagian imajiner .
Jika  X  adalah  distribusi  peubah  acak distribusi generalized t dengan parameter μ ∈ R dan σ , p , q > 0 , maka fungsi  karakteristik  X  adalah  sebagai berikut :
            dx x f e e E t itx itx x 
Oleh  karena  batas  x  pada  fungsi kepekatan  peluang  distribusi four- parameter generalized t adalah
     x ,dan  berdasarkan  simulasi grafik  fungsi  kepekatan  peluang
-200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 -3 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=1,q2=2,sigma2=75,µ2=0 p3=1,q3=3,sigma3=75,µ3=0 p4=1,q4=4,sigma4=75,µ4=0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 0 1 2 3 4 5 6 7 x 10 -3 x f( x ) PDF Distribusi Four-Parameter Generalized t p1=1,q1=1,sigma1=75,µ1=0 p2=2,q2=1,sigma2=75,µ2=0 p3=3,q3=1,sigma3=75,µ3=0 p4=4,q4=1,sigma4=75,µ4=0
distribusi four-parameter  generalized
t diperoleh  grafik  plot  yang  simetri
pada µ ,  maka  berdasarkan  teorema simetri  berlaku:
             dx x f e t x it x ) ( 2 dx x q q p B q p e q p x it p p i                           1 1 1 , 1 2 2 ) ( Misalkan p x q y     1 kita dapat
menulis ulang persamaan ( 2 ) dalam bentuk berikut
                  0 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 1 , 1 dy q y p y e q p B q p t p p p p q x it x        dy y y e q p B q x it p p                1 1 1 . , 1 1 1 ) (
(3)
Menggunakan MacLaurin dari fungsi
) (   x it e , maka persamaan ( 3 ) dapat ditulis sebagai
      dy y y n x it q p B t q n n x p p                        0 1 0 1 1 1 . ! ) ( , 1 1   
                        0 , 1 , 1 ! 1 n n q p B p n q p n p B n itq p 
                        0 1 1 . . ! 1 n p p n p n p n q q n itq p 
Dengan pendekatan Stirling, diperoleh
                           0 ! 1 1 1 1 1 n n x n q p itq t p p p    (4)
Dengan  menggunakan  ekspansi  deret
MacLaurin,  persamaan  (4)  dapat dinyatakan sebagai
  p p p q p itq x e t 1 1 1 1 1                 
Jadi fungsi karakteristik dari distribusi four-parameter generalized t adalah                                      
p p p it p it it x it x it it itx x e e e t e e E e e E t 1 1 1 1 ) ( . .          
(2) Fungsi karakteristik distribusi
four-parameter generalized t dengan ekspansi trigonometri Selain  menggunakan  metode  yang dijelaskan  sebelumnya  ,  pada  bagian ini  akan  dijelaskan  cara  lain  untuk menentukan fungsi dari karakteristik , sebagai berikut :
Akan ditunjukkan bahwa
          tx Sin i tx Cos E e E t itx x             tx Sin E i tx Cos E                     p p it e 1 1  
Bukti :          dx x f e t itx x 
Oleh  karena  batas  x  pada  fungsi kepekatan  peluang  distribusi four- parameter generalized t adalah
     x ,  dan  berdasarkan  simulasi grafik  fungsi  kepekatan  peluang distribusi four-parameter  generalized
t diperoleh  grafik  plot  yang  simetri pada µ ,  maka  berdasarkan  teorema simetri  berlaku:
             dx x f e t x it x ) ( 2
              
  dx x f x t Sin i x t Cos ) ( ) ( 2 (5)
Persamaan (5) akan diselesaikan
berikut ini
    ) (      x t Cos x f dan     ) (      x t Sin x f         0 ) ( n n n x C x f   ; dimana   0 ! 1 n n f n C 
Oleh karena,
            n n x t n x t x t x t Cos 2 4 2 ) ( ! 2 1 ) ( ! 4 1 ) ( ! 2 1 1 ) (                            1 2 5 3 ) ( ! 1 2 1 ) ( ! 5 1 ) ( ! 3 1 ) ( ) (             n n x t i n x t i x t i x it x t Sin i       
Dengan  memisahkan  menjadi  dua bagian, kita selesaikan secara terpisah dari persamaan (5) yang kita miliki,

## Bagian pertama
    dx x q q p B q p x C dx x f x t Cos q p n n n p p     
                            1 1 1 1 , 1 ) ( ) ( 0            dx x q x t x t q p B q p q p p p  
                           
  1 1 1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 4 2
        (6)
Dengan memisalkan
p x q y     1 kita dapat
menuliskan persamaan ( 6 ) dalam bentuk berikut
          dy q y p y x t x t q p B q p dx x f x t Cos p p p p q        1 1 1 1 1 4 2 1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 ) (                         
          dy y y x t x t q p B q p p                        1 1 1 ! 4 ) ( ! 2 ) ( 1 , 1 1 1 0 4 2                                                  0 0 0 1 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 4 ) ( 1 ! 2 ) ( 1 , 1 1  dy y y x t dy y y x t dy y y q p B q q q p p p p p p                                                        0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y q y t dy y y q y t dy y y q p B q q q p p p p p p p p p p                                          0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 1 1 4 4 1 1 2 2 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y y q t dy y y y q t dy y y q p B q q q p p p p p p p p p p                                                0 0 0 1 4 4 1 2 2 1 4 4 1 4 1 4 4 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ! 4 1 ! 2 1 , 1 1  dy y y y q t dy y y q t dy y y q p B p p p p p p p p p p p p p p p q q q  

## Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi
Beta, kita memiliki
                                              p q p p B q t p q p p B q t q p B q p B dx x f x t Cos p p 4 , 4 1 ! 4 2 , 2 1 ! 2 , 1 , 1 1 ) ( 4 4 2 2 4 2                                                  q p B p q p p B tq q p B p q p p B tq p p , 1 4 , 4 1 ! 4 , 1 2 , 2 1 ! 2 1 4 2 1 1   (7) Bagian kedua ,
    dx x q q p B q p x C dx x f x t Sin i q p n n n p p     
                            1 1 1 1 , 1 ) ( ) ( 0       
    dx x q x t i x t i x it q p B q p q p p p  
                             1 1 1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 ) ( ) ( , 1 5 3          (8)
Dengan memisalkan p x q y     1 kita dapat
menuliskan persamaan (8) dalam bentuk berikut
          dy q y p y x t i x t i x it q p B q p dx x f x t Sin i p p p p q       
1 1 1 1 1 0 5 3 1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 ) ( ) ( , 1 ) ( 2                              
      dy y y x t i x t i itx q p B q p p                          1 1 1 ! 5 ) ( ! 3 3 ) ( , 1 1 1 0 5                                                   0 0 0 1 5 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 ) ( 1 ! 3 ) ( 1 ) ( , 1 1  dy y y x t i dy y y x t i dy y y x it q p B q q q p p p p p p                                                             0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1  dy y y q y it dy y y q y it dy y y q y it q p B q q q p p p p p p p p p p p p                                                  0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 1 1 5 5 1 1 3 3 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1 ) (  dy y y y q it dy y y y q it dy y y y itq q p B dx x f x t Sin i q q q p p p p p p p p p p p p                                                      0 0 0 1 5 5 1 3 3 1 5 5 1 5 1 5 3 3 1 3 1 3 1 1 1 1 1 1 1 ! 5 1 ! 3 1 , 1 1  dy y y q it dy y y q it dy y y itq q p B p p p p p p p p p p p p p p p p p p q q q    Selanjutnya, dengan menggunakan fungsi

## Beta , kita memiliki
                                                p q p p B q it p q p p B q it p q p p B itq q p B dx x f x t Sin i p p p 5 , 5 1 ! 5 3 , 3 1 ! 3 1 , 1 1 , 1 1 ) ( 5 5 3 3 5 3 1                                                                 q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq i q p B p q p p B itq p p p , 1 5 , 5 1 ! 5 , 1 3 , 3 1 ! 3 , 1 1 , 1 1 5 3 1 1 1    (9)
Mensubstitusikan Persamaan ( 7 ) dan
Persamaan ( 9 ) ke dalam Persamaan ( 5 ), jadi
       
                                                                                                                                           q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq i q p B p q p p B itq q p B p q p p B tq q p B p q p p B tq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p p p , 1 5 , 5 1 . ! 5 , 1 3 , 3 1 . ! 3 , 1 1 , 1 1 . , 1 4 , 4 1 . ! 4 , 1 2 , 2 1 . ! 2 1 ) ( ) ( 5 3 4 2 1 1 1 1 1                                                                                                                q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq q p B p q p p B tq i q p B p q p p B tq q p B p q p p B itq p p p p p , 1 5 , 5 1 . ! 5 , 1 4 , 4 1 . ! 4 , 1 3 , 3 1 . ! 3 , 1 2 , 2 1 . ! 2 , 1 1 , 1 1 . 1 5 4 3 2 1 1 1 1 1      Diketahui  bahwa 1   i , i adalah  bagian dari  imajiner  ,  sehingga  persamaan menjadi
                                         0 1 1 1 1 . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p p n p n p p n p n p n q q q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p                                             0 1 1 1 1 . . . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p p p n p n p n q q q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p                                     0 1 1 . . ! ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 n p p n p n p n q q n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p     
Dengan pendekatan Stirling , kita memperoleh
       
                                   0 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 . 2 . . 2 . 2 . . 2 ! ) ( ) ( n q q p q q p n q e e q e e n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p n p n p p p                 
                             0 1 1 ! ) ( ) ( 1 n n p n p n p q p n itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos
                                    0 ! 1 1 ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( 1 1 1 n n n q p itq dx x f x t Sin i dx x f x t Cos p p p     
(10)
dan  persamaan  (  10  )  dapat  ditulis kembali sebagai bentuk berikut
  p p p q p itq x e t 1 1 1 1 1                 
Jadi  fungsi  karakteristik  dari  distribusi four-parameter generalized t adalah
                                      p p p it p it it x it x it it itx x e e e t e e E e e E t 1 1 1 1 ) ( . .          
Dengan  demikian  ,  fungsi  karakteristik dari distribusi four-parameter generalized
t adalah
                    p p it x e t 1 1   
Berdasarkan  penjabaran  tersebut  dalam
menentukan fungsi
karakteristik
menggunakan  definisi  dan  menggunakan ekspansi  trigonometri  diperoleh  hasil yang  sama.  Sehingga  dapat  disimpulkan fungsi  karakteristik  dari  distribusi four-
parameter generalized t adalah :
                    p p it x e t 1 1   
(3) Pembuktian Sifat-Sifat Dasar Fungsi
Karakteristik dari  Fungsi
Karakteristik Distribusi Four-

## Parameter  Generalized t
Pada  bagian  ini  akan  dibahas    tentang sifat-sifat  dasar  fungsi  karakteristik  dari fungsi  karakteristik  distribusi four- parameter generalized t . Akan ditunjukkan  bahwa  fungsi  karakteristik distribusi four-parameter  generalized  t
memenuhi  sifat-sifat  dasar  dari  fungsi karakteristik.
Sifat  1.  Misalkan  fungsi  karakteristik distribusi four-parameter generalized
adalah
                    p p it x e t 1 1    Maka 1 ) 0 (  x  .
Bukti: Perhatikan bahwa
                    p p it x e t 1 1    Masukan t = 0 , maka kita mendapatkan
1 ) 0 ( ) 0 ( 0 1 0 1                     x p x e e p     Sifat 2 . 1 ) (  t x 
Bukti:
Menurut definisi , diketahui bahwa :
) ( sin ) ( cos x t i x t e itx   dan 1
  i , sehingga 1 1 1 ) ( sin ) ( cos 2 2 2      itx itx e tx tx e jadi diperoleh         dF e t itx x dF itx e 2 2 ) ( ~ .                               ~ 1 1 1 , 1 1 2 . 2 2 2 . 1 2        dx q p p x q q p B p q p dx x f dF dF                    ~ 1 1 1 . , 1 1     dx x q p q p B q p q p p p
(15)
Misalkan p x q y     1 kita dapat menulis
ulang persamaan ( 15 ) dalam bentuk berikut
 
                         0 1 ~ 0 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 . , 1 ) ( dy y y q p B dy q y p y q p B q p t q q p x p p p p p    Karena   dy y y q p B q p p             0 1 1 1 1 , 1 , maka   1 , 1 , 1 1               q p B q p B t x  ▄ Sifat 3 .
Misalkan                     p p it x e t 1 1    adalah fungsi
karakteristik  dari  peubah  acak  X  dari distribusi four-parameter  generalized  t .
Maka fungsi karakteristik peubah acak -X adalah ) ( t x 
Bukti.
Misalkan ) ( t x  adalah  konjugat  kompleks dari ) ( t x  , akan  ditunjukkan  bahwa  fungsi
karakteristik (-t) adalah ) ( t x  , maka :
                                      p p p it p it x e e t 1 1 1 1 1 ) (      ) ( ) ( 1 t t x x    
Jadi, fungsi karakteristik ( -t ) dari distribusi four-parameter  generalized  t
adalah                      p p it x e t 1 1 1   
Dari  pembuktian  ketiga  sifat  fungsi karakteristik tersebut, maka dapat disimpulkan    bahwa  fungsi  karakteristik dari distribusi four-parameter generalized
t memenuhi  sifat-sifat  dasar  dari  fungsi karakteristik.  Selanjutnya  akan  dilakukan simulasi  grafik  fungsi  karakteristik  dari distribusi four-parameter generalized t.
3) Simulasi  Grafik  Fungsi  Karakteristik Distribusi
Four-Parameter

## Generalized t
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai simulasi  grafik  fungsi  karakteristik  dari ditribusi four-parameter  generalized  t dengan menggunakan software MATLAB
R 2010 b .
1. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik
dari distribusi four-parameter generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =1.
Gambar 14. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =1.
2. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =1,5. -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1
Gambar 15. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =1,5

## 3. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik
dari distribusi
four-parameter
generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =2 Gambar 16. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =2

## 4. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik
dari distribusi
four-parameter
generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =2,5.
Gambar 17. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =2,5.
5. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =3,5.
Gambar 18. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =3,5

## 6. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik
dari distribusi four-parameter generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan p =5.
Gambar 19. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =5
7. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik dari distribusi four-parameter generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =10. -1 -0.5 0 0.5 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=2 -1 -0.5 0 0.5 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=2.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=3.5 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=5
Gambar 20. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =10
8. Simulasi  grafik  fungsi  Karakteristik
dari distribusi four-parameter
generalized  t dengan µ =0, σ =1  dan
p =100.
Gambar 21. Grafik Fungsi karakteristik distribusi four-parameter generalized t dengan µ =0, σ =1 dan p =100.
Berdasarkan  hasil  simulasi  grafik fungsi  karakteristik  dari distribusi four-parameter  generalized  t dengan
menggunakan  software  MATLAB
R2010b  dapat  disimpulkan  bahwa
semakin  meningkat  nilai  parameter bentuk  yaitu p ,  maka  grafik  fungsi
karakteristik distribusi four-parameter
generalized  t akan  membentuk  kurva
tertutup (lingkaran) yang mulus.

## 3. KESIMPULAN
Kita  dapat  menyimpulkan  beberapa  poin dari paparan diatas sebagai berikut :
1. Fungsi  karakteristik  dari  distribusi four-parameter generalized t adalah
                    p p it x e t 1 1   
2. Fungsi  karakteristik  distribusi four- parameter  generalized    t memenuhi sifat-sifat dasar fungsi karakteristik.
3. Hasil  simulasi  grafik  menunjukan bahwa  semakin  meningkat  nilai parameter p yaitu  parameter  bentuk, maka  grafik  fungsi  karakteristik distribusi four-parameter generalized t membentuk kurva tertutup
(lingkaran) yang mulus.

## 4. DAFTAR PUSTAKA
Boyer,  Brian  H.,  James  B.  McDonald, Whitney  K.  Newey.  (2003).  A Comparison of  Partially Adaptive and  Reweighted  Least  Squares Estimation. Econometric  Reviews Vol.22. No.2 pp : 115-134.
Chan,  J.S.K,  Choy,  S.T.B,  and  Markov
U.E:  2007.  Robust  Bayesian Analysis  of  Loss  Reserves  Data Using
the
Generalized-t Distribution. Quantitative Finance Research  Centre.  University  of Technology Sydney . www.qfrc.uts.edu.au Lee,  Anthony,  Francois  Caron,  Arnaud Doucet, and Chris Holmes.
(2012). Bayesian  Sparsity-Path-
-1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=10 -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Characteristic Function of Four-Parameter Generalized t distribution with Mu=0,sigma=1, p=100
Analysis  of  Genetic  Association
Signal  using  Generalized  t  Priors. Statistical Applications in Genetics  and  Molecular  Biology. Computational Statistical Methods For Genomics And Systems Biology. McDonald  ,James  B  and  Whitney  K. Newey. (1988). Partially Adaptive Estimation of Regression Models Via The Generalized t Distribution .
Econmet Theory 4 : 428-457.