Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 255-273 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.14310

## Model Matematika COVID-19 dengan Vaksinasi Dua Tahap, Karantina, dan Pengobatan Mandiri
Muhammad Manaqib 1 *, Mahmudi 2 , Rahmawati Annisa Salsadilla 3 1,2,3 UIN Syarif Hidayatullah Jakarta; Jalan Ir. H. Djuanda No. 95 Tangerang Selatan, Banten 1,2,3 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Syarif Hidayatullah Jakarta e-mail: muhammad.manaqib@uinjkt.ac.id
Diajukan: 3 September 2022, Diperbaiki: 22 September 2023, Diterima: 18 Oktober 2023

## Abstrak
Penelitian  ini  mengembangkan  model  SEIR  untuk  memodelkan  penyebaran  COVID-19  dengan menambahkan  vaksinasi  dua  tahap,  isolasi  mandiri,  karantina  di  rumah  sakit,  dan  pengobatan  mandiri. Pembentukan  model  diawali  dengan  membuat  asumsi  dan  diagram  transfer  penyebaran  COVID-19 dengan  populasi  dibagi  menjadi  sembilan  subpopulasi  yaitu  subpopulasi  rentan,  subpopulasi  vaksinasi dosis  1,  subpopulasi  vaksinasi  dosis  2,  subpopulasi  laten,  subpopulasi  terinfeksi,  subpopulasi  isolasi mandiri,  subpopulasi  karantina  di  rumah  sakit,  subpopulasi  pengobatan  mandiri,  dan  subpopulasi removed , kemudian dibentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Dari analisis model diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit, titik ekuilibrium endemik penyakit, dan bilangan reproduksi dasar ( 𝑅 0 ). Titik ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil  asimtotik  lokal  ketika 𝑅 0 < 1 .  Eksistensi  titik  ekuilbirum  endemik terdapat  satu  atau  tiga  akar  positif  jika 𝑅 0 > 1 dan  terdapat  nol  atau  dua  akar  positif  jika 𝑅 0 < 1 . Bifurkasi  mundur  terjadi  pada  kondisi 𝑅 0 < 1 sehingga  diperoleh  persamaan  bifurkasi  mundur 𝑅 0 𝑐 < 𝑅 0 < 1 . Simulasi numerik untuk model yang dibuat sesuai dengan analisis yang telah dilakukan. Analisis sensitivitas  diperoleh  parameter  yang  berpengaruh  signifikan  pada  penyebaran  COVID-19  adalah  laju kontak dengan individu terinfeksi dan laju vaksinasi dosis satu.
Kata Kunci : Bilangan Reproduksi Dasar, COVID-19, Karantina, Vaksinasi, Kestabilan Titik Ekuilibirum

## Abstract
This research was developed SEIR model for transmission of the COVID-19 disease with add two- stage vaccination, self-isolation, hospital quarantine, and self-medication. The model development begins with making assumptions and compartment diagrams for the spread of COVID-19 with Population was divided  into  nine  part  of  sub-populations,  there  are  the  susceptible  sub-population,  the  first  dose vaccination  sub-population,  the  second  dose  vaccination  sub-population,  the  latent  sub-population,  the infected  sub-population,  the  self-isolation  sub-population,  the  hospital  quarantine  sub-population,  the self-medication  sub-population,  and  the  removed  sub-population  afterwards  a  system  of  nonlinear differential  equations  is  formed.  From  model  analysis,  it  is  the  disease-free  equilibrium  point  and  the endemic equilibrium points and the basic reproduction number (𝑅 0 ) . The disease-free equilibrium point is locally asymptotically stable when 𝑅 0 < 1 . The existence of an endemic equilibrium point there is one or three positive roots if 𝑅 0 > 1 and there is zero or two positive roots if 𝑅 0 < 1 . Backward bifurcation  occurs  at  conditions 𝑅 0 < 1 so  that 𝑅 0 𝑐 < 𝑅 0 < 1 .  Numerical  simulations  for  the  model  is made according to the analysis that has been done. Sensitivity analysis obtained that the parameters that have a significant effect on the spread of COVID-19 are the rate of contact with infected individuals, and the rate of first dose vaccination.
Keywords:  Basic  Reproduction  Number,  COVID-19,  Quarantine,  Vaccination,  Stability  of  Equilibrium Points
256

## 1 Pendahuluan
COVID-19  berhasil  diidentifikasi  pada  bulan  Desember  2019  di  Wuhan,  China.  COVID- 19  ditemukan  karena  meningkatnya  kasus  pneumonia  yang  penyebabnya  tidak  diketahui. Dengan  cepat  virus  ini  menjadi  pandemi  yang  menyebar  ke  seluruh  dunia  dan  menimbulkan dampak serius bagi kelangsungan kehidupan manusia [1]. COVID-19 menyebar melalui tempat atau benda yang terkontaminasi cairan yang berasal dari hidung dan mulut seseorang yang telah terinfeksi  atau  dikenal  dengan  droplet.  Hal  ini  mengakibatkan  mudahnya  seseorang  terinfeksi virus tersebut [2].
Berbagai  upaya  pencegahan  COVID-19  telah  ditetapkan  pemerintah  dan  organisasi kesehatan  dunia  (WHO),  seperti  penerapan  protokol  kesehatan  3M  (memakai  masker,  mencuci tangan, dan menjaga jarak), penutupan akses wilayah ( lockdown ), karantina baik secara mandiri maupun  di  rumah  sakit  dan  program  vaksinasi  [3].  Adapun  upaya  penanganan  yang  dilakukan untuk  seseorang  yang  telah  terpapar  COVID-19  seperti  pengobatan  secara  medis  yang  dapat dilakukan  di  rumah  sakit  maupun  mandiri  di  rumah  [4].  Upaya  pencegahan  dan  penanganan yang telah disebutkan di atas dapat dijadikan variabel tambahan dalam suatu penelitian epidemi penyakit seperti penggunaan masker, vaksinasi, karantina, isolasi, dan pengobatan mandiri. Hal- hal  tersebut  digabungkan  ke  suatu  kasus  penelitian  akan  memberikan  hasil  yang  lebih berkembang.  Studi  ini  memperkenalkan  beberapa  metodologi  yang  menggunakan  pemodelan matematika  yang  didukung  oleh  analisis  untuk  mendapatkan  pengetahuan  mengenai  transmisi dinamika dan pengendalian COVID-19 pada populasi manusia [5].
Banyak  penelitian  mengenai  pemodelan  matematika  COVID-19  yang  mengembangkan model  dasar  SEIR  ( Susceptible Exposed Infected Recovered / Removed ),  seperti  yang dikembangkan  oleh  D.  Dwomoh  et  al.  [6]  menambahkan  subpopulasi Quarantine dan Hospitalized , B.K Mishra et al. [7] menambahkan subpopulasi Quarantine yang dibagi karantina mandiri  dan  rumah  sakit,  Mohsin  Ali  et  al.  [8]  menambahkan  subpopulasi Medication (Pengobatan), M.Manaqib, et al. [9] menambahkan subpopulasi Quarantine dan Kesehatan. Pada penelitian  ini  akan  dijelaskan  gambaran  umum  mengenai  analisis  model  epidemi  COVID-19 SEIR  dengan  ditambahkan  kompartemen  vaksinasi  yang  dibagi  menjadi  dua  yaitu  vaksinasi dosis satu dan vaksinasi dosis dua, kompartemen karantina yang dibagi menjadi dua yaitu isolasi mandiri dan karantina di rumah sakit, dan pengobatan mandiri.

## 2 Metode Penelitian
Pada  penelitian  ini,  model  matematika  yang  digunakan  untuk  menggambarkan  model penyebaran COVID-19 adalah model epidemi SEIR dengan menambahkan vaksinasi dua tahap,
isolasi  mandiri,  karantina  di  rumah  sakit,  dan  pengobatan  mandiri.  Setelah  diperoleh  model matematika,  dicari  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dan  titik  ekuilibrium  endemik  yang eksistensinya  bergantung  terhadap 𝑅 0 .  Kestabilan  lokal  kedua  titik  ekuilibrium  ditentukan berdasarkan  tanda  akar-akar  karakteristik  dari  hasil  linearisasi  yang  berbentuk  matriks  Jacobi serta  digunakan  metode  kriteria  Routh-Hurwitz  dan kriteria  Lienard-Chipart .  Analisis  bifurkasi dilakukan untuk melihat eksistensi titik ekuilibrium endemik serta untuk menentukan terjadi atau tidak bifurkasi mundur. Terakhir dilakukan simulasi numerik untuk memverifikasi hasil analitik dan  analisis  sensitivitas  untuk  melihat  nilai  parameter  yang  berpengaruh  secara  signifikan terhadap penyebaran COVID-19.

## 3 Hasil dan Pembahasan

## 3.1 Konstruksi Model
Pada penelitian ini populasi dibagi menjadi sembilan subpopulasi yaitu subpopulasi rentan ( 𝑆 ),  subpopulasi  vaksinasi  dosis  satu  ( 𝑉 1 ),  subpopulasi  vaksinasi  dosis  dua  ( 𝑉 2 ),  subpopulasi laten  ( 𝐸 ),  subpopulasi  terinfeksi  ( 𝐼 ),  subpopulasi  isolasi  mandiri  ( 𝑄 1 ),  subpopulasi  karantina  di rumah  sakit  ( 𝑄 2 ),  subpopulasi  pengobatan  mandiri  ( 𝑀 ),  dan  subpopulasi sembuh  atau  meninggal akibat  penyakit removed ( 𝑅 ).  Selanjutnya  diberikan  asumsi-asumsi  sebagai  dasar  pembentukan model. (1) Setiap individu yang lahir rentan tertular penyakit. (2) Vaksinasi dilakukan sebanyak dua tahap yang bertujuan untuk menurunkan resiko individu rentan tertular, tetapi individu yang divaksin  dosis  satu  maupun  dosis  dua  masih  dapat  terinfeksi.  (3)  Individu  yang  melakukan vaksinasi  dosis  satu  dan  tidak  terinfeksi  diasumsikan  melakukan  vaksinasi  dosis  dua.  (4) Individu  yang  terinfeksi  akan  sembuh  alami,  meninggal  akibat  penyakit,  melakukan  isolasi mandiri,  atau  karantina  di  rumah  sakit.  (5)  Individu  yang  sedang  isolasi  mandiri  akan  sembuh alami, meninggal akibat penyakit, atau melakukan pengobatan mandiri. (6) Individu yang sedang karantina di rumah sakit akan sembuh alami, atau meninggal akibat penyakit. (7) Individu yang melakukan  pengobatan  mandiri  akan  sembuh  alami,  atau  meninggal  akibat  penyakit.  Adapun parameter dari model ini didefinisikan sebagai berikut.
Tabel 1. Parameter Model Parameter Definisi Syarat Satuan 𝛽 Laju  perpindahan  individu  rentan  sebelum  vaksinasi menjadi individu laten 0 < 𝛽 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜉 Laju  perpindahan  individu  rentan  sebelum  vaksinasi menjadi individu rentan sudah vaksinasi dosis satu 0 ≤ 𝜉 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖
258
Model Matematika COVID-19 dengan Vaksinasi Dua Tahap, Karantina, dan Pengobatan Mandiri Parameter Definisi Syarat Satuan 𝜀 Efikasi vaksinasi dosis satu 0 ≤ 𝜀 < 1 𝜔 Laju perpindahan individu vaksinasi dosis satu menjadi individu vaksinasi dosis dua 0 ≤ 𝜔 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜏 1 Laju perpindahan individu vaksinasi dosis satu menjadi individu laten 0 < 𝜏 1 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜏 2 Laju perpindahan individu vaksinasi dosis dua menjadi individu laten 0 < 𝜏 2 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜌 Efikasi vaksinasi dosis dua 0 ≤ 𝜌 < 1 𝜑 Laju perpindahan individu vaksinasi dosis dua menjadi individu sembuh 0 ≤ 𝜑 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜎 Laju  perpindahan  individu  laten  menjadi  individu terinfeksi 0 ≤ 𝜎 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜃 1 Laju  perpindahan  individu  terinfeksi  menjadi  individu dalam isolasi mandiri 0 ≤ 𝜃 1 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜃 2 Laju  perpindahan  individu  terinfeksi  menjadi  individu dalam karantina di rumah sakit 0 ≤ 𝜃 2 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛼 Laju  perpindahan  individu  dalam  isolasi  mandiri menjadi individu dalam pengobatan mandiri 0 ≤  𝛼 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 1 Laju  perpindahan  individu  dalam  pengobatan  mandiri menjadi  individu  sembuh  atau  meninggal  akibat penyakit 0 ≤ 𝛾 1 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 2 Laju  perpindahan  individu  dalam  karantina  di  rumah sakit  menjadi  individu  sembuh  atau  meninggal  akibat penyakit 0 ≤ 𝛾 2 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 3 Laju  perpindahan  individu  terinfeksi  menjadi  individu sembuh atau meninggal akibat penyakit 0 ≤ 𝛾 3 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝛾 4 Laju  perpindahan  individu  isolasi  mandiri  menjadi individu sembuh atau meninggal akibat penyakit 0 ≤ 𝛾 4 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 𝜇 Laju kelahiran dan kematian alami 0 < 𝜇 ≤ 1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖

## Muhammad Manaqib, Mahmudi, Rahmawati Annisa Salsadilla
Berikut  ini  adalah  diagram  transfer  yang  menggambarkan  model  matematika  COVID-19 dengan  vaksinasi  dua  tahap,  karantina,  dan  pengobatan  mandiri  sesuai  dengan  asumsi  model, variabel, dan parameter yang digunakan.
Gambar 1. Diagram Transfer Model
Berdasarkan  diagram  transfer  model  pada  Gambar  1,  dapat  dibentuk  persamaan  model matematika berupa sistem persamaan diferensial biasa nonlinear berikut.
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − ( 𝛽𝐼 𝑁 + 𝜉 + 𝜇) 𝑆 𝑑𝑉 1 𝑑𝑡 = 𝜉𝑆 − ( (1−𝜀)𝜏 1 𝐼 𝑁 + 𝜀𝜔 + 𝜇) 𝑉 1 𝑑𝑉 2 𝑑𝑡 = 𝜀𝜔𝑉 1 − ( (1−𝜌)𝜏 2 𝐼 𝑁 + 𝜌𝜑 + 𝜇) 𝑉 2 𝑑𝐸 𝑑𝑡 = ( 𝛽𝑆 𝑁 + (1−𝜀)𝜏 1 𝑉 1 𝑁 + (1−𝜌)𝜏 2 𝑉 2 𝑁 ) 𝐼 − (𝜎 + 𝜇)𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜎𝐸 − (𝜃 1 + 𝜃 2 + 𝛾 3 + 𝜇)𝐼 𝑑𝑄 1 𝑑𝑡 = 𝜃 1 𝐼 − (𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇)𝑄 1 𝑑𝑄 2 𝑑𝑡 =   𝜃 2 𝐼 − (𝛾 2 + 𝜇)𝑄 2 𝑑𝑀 𝑑𝑡 = 𝛼𝑄 1 − (𝛾 1 + 𝜇)𝑀 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜌𝜑𝑉 2 + 𝛾 1 𝑃 + 𝛾 2 𝑄 2 + 𝛾 3 𝐼 + 𝛾 4 𝑄 1 − 𝜇𝑅 (1)
260
dengan 𝑁 = 𝑆 + 𝑉 1 + 𝑉 2 + 𝐸 + 𝐼 + 𝑄 1 + 𝑄 2 + 𝑀 + 𝑅 maka  diperoleh 𝑑𝑁 𝑑𝑡 = 0 .  Dengan demikian, 𝑁(𝑡) = 𝑐 dengan 𝑐 adalah bilangan bulat positif, maka 𝑁(𝑡) konstan.
Sistem  (1)  dapat  dibentuk  ke  dalam  model non-dimensional ,  yaitu  dengan  mengubah satuan setiap kompartemen menjadi proporsi berikut.
𝑠 = 𝑆 𝑁 , 𝑣 1 = 𝑉 1 𝑁 , 𝑣 2 = 𝑉 2 𝑁 , 𝑒 = 𝐸 𝑁 , 𝑖 = 𝐼 𝑁 , 𝑞 1 = 𝑄 1 𝑁 , 𝑞 2 = 𝑄 2 𝑁 , 𝑚 = 𝑀 𝑁 , 𝑟 = 𝑅 𝑁 . (2)
Karena variabel 𝑅 tidak muncul pada persamaan lain maka persamaan 𝑅 untuk sementara dapat diabaikan dari sistem. Sehingga sistem non-dimensional delapan varibel berikut.
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝛽𝑖 + 𝜉 + 𝜇)𝑠
𝑑𝑣 1 𝑑𝑡 = 𝜉𝑠 − ((1 − 𝜀)𝜏 1 𝑖 + 𝜀𝜔 + 𝜇)𝑣 1
𝑑𝑣 2 𝑑𝑡 = 𝜀𝜔𝑣 1 − ((1 − 𝜌)𝜏 2 𝑖 + 𝜌𝜑 + 𝜇) 𝑣 2
𝑑𝑒 𝑑𝑡 = (𝛽𝑠 + (1 − 𝜀)𝜏 1 𝑣 1 + (1 − 𝜌)𝜏 2 𝑣 2 )𝑖 − (𝜎 + 𝜇)𝑒
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝜎𝑒 − (𝜃 1 + 𝜃 2 + 𝛾 3 + 𝜇)𝑖 (3)
𝑑𝑞 1 𝑑𝑡 = 𝜃 1 𝑖 − (𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇)𝑞 1
𝑑𝑞 2 𝑑𝑡 =   𝜃 2 𝑖 − (𝛾 2 + 𝜇)𝑞 2 𝑑𝑚 𝑑𝑡 = 𝛼𝑞 1 − (𝛾 1 + 𝜇)𝑚.
Dikarenakan  sistem  (3)  menggambarkan  interaksi  subpopulasi  manusia,  maka  solusi  dari sistem harus non-negatif dan terbatas [10][11] . Teorema berikut telah menjamin solusi sistem (3) adalah non-negatif dan terbatas.
Teorema 1 Semua solusi dari sistem (3) yang bergantung pada nilai awal 𝑠 0 , 𝑣 1 0 , 𝑣 20 , 𝑒 0 , 𝑖 0 , 𝑞 10 , 𝑞 20 , 𝑚 0 adalah non-negatif dan terbatas.
Bukti .  Pertama  akan  dibuktikan  bahwa  semua  persamaan  dari  sistem  (3)  tidak  negatif. Diperhatikan persamaan pertama dari sistem (3)
⟺ 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝛽𝑖(𝑡) + 𝜉 + 𝜇)𝑠(𝑡) 𝑑𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 > −(𝛽𝑖(𝑡) + 𝜉 + 𝜇)𝑠(𝑡)
⟺ 𝑑𝑠(𝑡) 𝑠(𝑡) > −(𝛽𝑖(𝑡) + 𝜉 + 𝜇)𝑑𝑡.
Selanjutnya dengan mengintegralkan kedua sisi diperoleh
⟺ 𝑙𝑛|𝑠(𝑡)| > −(𝜉 + 𝜇)𝑡 − ∫ 𝛽𝑖(𝑡) 𝑑𝑡 + 𝑐
⟺ 𝑠(𝑡) > 𝑒 −(𝜉+𝜇)𝑡−∫ 𝛽𝑖(𝑡)𝑑𝑡+𝑐 , misal 𝑐 1 = 𝑒 𝑐 dan 𝑔 1 (𝑡) = ∫ 𝛽𝑖 (𝑡)𝑑𝑡
⟺ 𝑠(𝑡) > 𝑐 1 𝑒 −(𝜉+𝜇)𝑡 𝑒 −𝑔 1 (𝑡) ,
dengan nilai awal 𝑠(0) = 𝑠 0 ≥ 0
⟺ 𝑠(𝑡) > 𝑠 0 𝑒 𝑔 1 (0)−𝑔 1 (𝑡) 𝑒 −(𝜉+𝜇)𝑡 ≥ 0.
terbukti 𝑠(𝑡) tidak  negatif.  Persamaan  yang  lainnya  dapat  tunjukan  dengan  cara  yang  sama. Selanjutnya  akan  dibuktikan  solusi  dari  sistem  (3)  terbatas.  Diketahui  pada  model non- dimensional (3) 𝑠(𝑡) + 𝑣 1 (𝑡) + 𝑣 2 (𝑡) + 𝑒(𝑡) + 𝑖(𝑡) + 𝑞 1 (𝑡) + 𝑞 2 (𝑡) + 𝑚(𝑡) + 𝑟(𝑡) = 1 . Sehingga dapat didefinisikan himpunan invarian positif domain dari sistem (3)
𝛺 1 = {(𝑠, 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑒, 𝑖, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑚) ∈ ℝ + 8 |𝑠 + 𝑣 1 + 𝑣 2 + 𝑒 + 𝑖 + 𝑞 1 + 𝑞 2 + 𝑚 ≤ 1} . (4)
Terbukti Teorema 1 benar. ■

## 3.2 Titik ekuilibrium dan Bilangan Reproduksi Dasar
Dari sistem (4) akan dicari titik ekuilibrium bebas penyakit dan titik ekuilibrium endemik penyakit.  Dengan  menetapkan  ruas  kanan  persamaan  pada  Model  (3)  menjadi  nol,  kita mendapatkan  solusi  sebagai  titik  ekulibrium  [12].  Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  didapat ketika tidak ada penyakit dalam populasi. Diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐸 0 (𝑠, 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑒, 𝑖, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑚) = ( 𝜇 (𝜉+𝜇) , 𝜉𝜇 (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇) , 𝜀𝜔𝜉𝜇 (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇) , 0,0,0,0,0) . (5)
Selanjutnya  akan  dicari  bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) dengan  metode  Matriks  Generasi Selanjutnya  yaitu  dengan  melakukan  pelinearan  terhadap  subsistem  terinfeksi  yang direpresentasikan dengan matriks Jacobi ( 𝑱 ) kemudian didekomposisi menjadi 𝑱 = 𝑭 − 𝑽 dengan 𝑭 adalah matriks transmisi dan 𝑽 adalah matriks transisi sebagai berikut
𝑭 =
[ 0 𝛽𝜇(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇)+(1−𝜀)𝜏 1 𝜉𝜇(𝜌𝜑+𝜇)+(1−𝜌)𝜏 2 𝜀𝜔𝜉𝜇 (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0] 𝑽 =
[
(𝜎 + 𝜇) 0 0 0 0 −𝜎 (𝜃 1 + 𝜃 2 + 𝛾 3 + 𝜇) 0 0 0 0 −𝜃 1 (𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇) 0 0 0 −𝜃 2 0 (𝛾 2 + 𝜇) 0 0 0 −𝛼 0 (𝛾 1 + 𝜇)] .
Terakhir 𝑅 0 diperoleh dari radius spectral dari 𝑭𝑽 −1 . Diperoleh
𝑅 0 = 𝜇𝜎[𝛽(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇)+(1−𝜀)𝜏 1 𝜉(𝜌𝜑+𝜇)+(1−𝜌)𝜏 2 𝜀𝜔𝜉] (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇)(𝜎+𝜇)(𝜃 1 +𝜃 2 +𝛾 3 +𝜇) . (6)
Titik  ekuilibrium  endemik  adalah  kondisi  dimana  terdapat  individu  terinfeksi  dalam  populasi sehingga kompartemen 𝑖 pada titik ekuilibrium endemik yaitu 𝑖 ∗ > 0 . Untuk menyederhanakan
262
penulisan  dimisalkan 𝐴 =   (𝜀𝜔 + 𝜇) , 𝐵 = (𝜌𝜑 + 𝜇) , 𝐶 = (1 − 𝜀)𝜏 1 , 𝑊 = (1 − 𝜌)𝜏 2 , 𝑋 = (𝜉 + 𝜇) , 𝑌 = (𝜎 + 𝜇) , 𝑍 = (𝜃 1 + 𝜃 2 + 𝛾 3 + 𝜇) .
Teorema  2 Misalkan 𝐸 1 = (𝑠 ∗ , 𝑣 1 ∗ , 𝑣 2 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑞 1 ∗ , 𝑞 2 ∗ , , 𝑚 ∗ ) adalah  titik  ekuilibrium  endemik penyakit dari sistem (4). Jika 𝑅 0 > 1 , maka titik ekuilibrium 𝐸 1 ada yaitu
𝑠 ∗ = 𝜇 𝛽𝑖 ∗ +𝑋 ; 𝑣 1 ∗ = 𝜉𝜇 (𝛽𝑖 ∗ +𝑋)(𝐶𝑖 ∗ +𝐴) ; 𝑣 2 ∗ = 𝜉𝜀𝜔𝜇 (𝛽𝑖 ∗ +𝑋)(𝐶𝑖 ∗ +𝐴)(𝑊𝑖 ∗ +𝐵) 𝑒 ∗ = 𝛽𝜇𝑖 ∗ (𝐶𝑖 ∗ +𝐴)(𝑊𝑖 ∗ +𝐵)+𝐶𝜉𝜇𝑖 ∗ (𝑊𝑖 ∗ +𝐵)+𝑊𝜉𝜀𝜔𝜇𝑖 ∗ (𝛽𝑖 ∗ +𝑋)(𝐶𝑖 ∗ +𝐴)(𝑊𝑖 ∗ +𝐵)𝑌 𝑞 1 ∗ = 𝜃 1 𝑖 ∗ 𝛼+𝛾 4 +𝜇 ; 𝑞 2 ∗ = 𝜃 2 𝑖 ∗ 𝛾 2 +𝜇 ; 𝑚 ∗ = 𝛼𝜃 1 𝑖 ∗ (𝛼+𝛾 4 +𝜇)(𝛾 1 +𝜇) 𝑎 0 𝑖 ∗3 + 𝑎 1 𝑖 ∗2 + 𝑎 2 𝑖 ∗ + 𝑎 3 = 0,
dengan 𝑎 0 = 𝐶𝛽𝑊𝑌𝑍 , 𝑎 1 =  𝛽𝐴𝑊𝑌𝑍 + 𝐶𝑋𝑊𝑌𝑍 + 𝐶𝛽𝐵𝑌𝑍 − 𝜎𝛽𝜇𝐶𝑊 , 𝑎 2 = 𝑋𝐴𝑊𝑌𝑍 + 𝛽𝐴𝐵𝑌𝑍 + 𝐶𝑋𝐵𝑌𝑍 − 𝜎𝛽𝜇𝐶𝐵 − 𝜎𝛽𝜇𝐴𝑊 − 𝜎𝐶𝜉𝜇𝑊 , 𝑎 3 = 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍(1 − 𝑅 0 ) .
Bukti . Pada titik ekuilibrium endemik penyakit akan menetap pada populasi, maka akan selalu ada  individu  terinfeksi  jika  masih  terdapat  penyakit 𝑖 ∗ > 0 .  Maka  akan  dibuktikan  persamaan polinomial 𝑖 ∗ paling  tidak  memiliki  satu  akar  positif  menggunakan Descartes  Rules  of  Sign . Berdasarkan Descartes  Rules  of  Sign, sebuah  polinomial  akan  memiliki  akar  positif  sebanyak perubahan  tanda  yang  terjadi  pada  koefisien  persamaan  tersebut  [10].  Dengan 𝑅 0 > 1 didapat nilai 𝑎 3 < 0 maka  terdapat  setidaknya  satu  akar  positif  pada  persamaan  tersebut  [13].  Dengan demikian didapat nilai 𝑖 ∗ > 0 jika dan hanya jika 𝑅 0 > 1 . Terbukti Teorema 2 benar. ■

## 3.3 Analisis Kestabilan Lokal Titik Ekuilibrium
Analisis kestabilan ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobian yang diperoleh melalui metode linearisasi sistem di sekitar titik ekuilibrium dari sistem (3), yaitu
𝐽 (𝐸) = [ −(𝛽𝑖 + 𝑋) 0 0 0
−𝛽𝑠 0 0 0 𝜉 −(𝐶𝑖 + 𝐴) 0 0 −𝐶𝑣 1 0 0 0 0 𝜀𝜔 −(𝑊𝑖 + 𝐵) 0 −𝑊𝑣 2 0 0 0 𝛽𝑖 𝐶𝑖 𝑊𝑖 −𝑌 (𝛽𝑠 + 𝐶𝑣 1 + 𝑊𝑣 2 ) 0 0 0 0 0 0 𝜎 −𝑍 0 0 0 0 0 0 0 𝜃 1 −(𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇) 0 0 0 0 0 0 𝜃 2 0 −(𝛾 2 + 𝜇) 0 0 0 0 0 0 𝛼 0 −(𝛾 1 + 𝜇)] . (7)
Teorema  3  Jika 𝑅 0 < 1 maka  titik  ekuilibrium  bebas  penyakit 𝐸 0 pada  sistem  (4)  stabil asimtotik lokal.
Bukti. Dengan mengevaluasi 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽 (𝐸 0 ) ) = 0 , kita punya persamaan karakteristik (𝜆 + (𝛾 1 + 𝜇))(𝜆 + (𝛾 2 + 𝜇))(𝜆 + (𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇))(𝜆 + 𝜌𝜑 + 𝜇)(𝜆 + 𝜀𝜔 + 𝜇)(𝜆 + 𝜉 + 𝜇)𝑃 = 0 (8)
dengan 𝑃 = (𝜆 + 𝑌)(𝜆 + 𝑍) − 𝜎 ( 𝛽𝜇 𝑋 + 𝐶𝜉𝜇 𝑋𝐴 + 𝑊𝜀𝜔𝜉𝜇 𝑋𝐴𝐵 ). Diperoleh 𝜆 1 = −(𝛾 1 + 𝜇) , 𝜆 2 = −(𝛾 2 + 𝜇) , 𝜆 3 = −(𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇) , 𝜆 4 = −(𝜌𝜑 + 𝜇) , 𝜆 5 = −(𝜀𝜔 + 𝜇) , 𝜆 6 = −(𝜉 + 𝜇) .  Karena 𝜇 > 0 dan 𝛾 1 , 𝛾 2 , 𝛾 4 , 𝛼, 𝜌, 𝜑, 𝜀, 𝜔, 𝜉 ≥ 0 maka  keenam  nilai  eigen  tersebut  bernilai  negatif.  Dari
Persamaan  (8)  dapat  dilihat  bahwa  persamaan  karakteristik  untuk  kedua  nilai  eigen  lainnya sebagai berikut. Polinomial 𝑃 dapat diubah dalam bentuk
𝑃 = 𝑎 0 𝜆 2 + 𝑎 1 𝜆 + 𝑎 2 = 0 (9)
dengan 𝑎 0 = 1 , 𝑎 1 =   (𝑍 + 𝑌) , 𝑎 2 = 𝑌𝑍[1 − 𝑅 0 ] .  Karena 𝑃 merupakan  polinomial  berderajat dua,  berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz  akan  dibuktikan  bahwa 𝑎 1 > 0 dan 𝑎 1 𝑎 2 > 0 ,  atau kondisi ini ekuivalen dengan 𝑎 1 > 0 dan 𝑎 2 > 0 agar polinomial 𝑃 mempunyai akar-akar negatif [14]. Jelas bahwa 𝑎 1 > 0 dan 𝑎 2 > 0 jika 𝑅 0 < 1 . Dengan demikian Persamaan (9) mempunyai akar-akar yang bagian realnya negatif. Sehingga berdasarkan [15], terbukti Teorema 3 benar. ∎ Teorema  4  Jika 𝑅 0 > 1 koefisien 𝑎 3 , 𝑎 5 positif  dan  determinan  matriks ∆ 2 , ∆ 4 positif  dari kriteria Routh-Hurwitz maka titik ekuilibrium 𝐸 1 stabil asimtotik lokal.
Bukti :  Dengan  mengevaluasi 𝑑𝑒𝑡(𝜆𝐼 − 𝐽 (𝐸 1 ) ) = 0 ,  kita  punya  persamaan  karakteristik  dari matriks Jacobian sebagai berikut.
(𝜆 + (𝛾 1 + 𝜇))(𝜆 + (𝛾 2 + 𝜇))(𝜆 + (𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇))𝑄 = 0 (3)
dengan 𝑄 = 𝑎 0 𝜆 5 + 𝑎 1 𝜆 4 + 𝑎 2 𝜆 3 + 𝑎 3 𝜆 2 + 𝑎 4 𝜆 + 𝑎 5 (11) 𝑎 0 = 1 , 𝑎 1 =  𝑌 + 𝑍 + 𝑃 1 + 𝑃 2 + 𝑃 3 ,
𝑎 2 = 𝑌𝑍 + 𝑌𝑃 1 + 𝑌𝑃 2 + 𝑌𝑃 3 + 𝑍𝑃 1 + 𝑍𝑃 2 + 𝑍𝑃 3 + 𝑃 1 𝑃 2 + 𝑃 1 𝑃 3 + 𝑃 2 𝑃 3 − 𝜎𝑃 4 ; 𝑎 3 = 𝜎𝐶 2 𝑖 ∗ 𝑣 1 ∗ + 𝜎𝑊 2 𝑖 ∗ 𝑣 2 ∗ + 𝑌𝑍𝑃 1 + 𝑌𝑍𝑃 2 + 𝑌𝑍𝑃 3 + 𝑌𝑃 1 𝑃 2 + 𝑌𝑃 1 𝑃 3 + 𝑌𝑃 2 𝑃 3 + 𝑍𝑃 1 𝑃 2 + 𝑍𝑃 1 𝑃 3 + 𝑍𝑃 2 𝑃 3 + 𝑃 1 𝑃 2 𝑃 3 + 𝜎𝛽𝑠 ∗ 𝛽𝑖 ∗ − 𝜎𝑃 3 𝑃 4 − 𝜎𝑃 2 𝑃 4 − 𝜎𝑃 1 𝑃 4 ,
𝑎 4 = 𝑌𝑍𝑃 1 𝑃 2 + 𝑌𝑍𝑃 1 𝑃 3 + 𝑌𝑍𝑃 2 𝑃 3 + 𝑌𝑃 1 𝑃 2 𝑃 2 + 𝑍𝑃 1 𝑃 2 𝑃 3 + 𝜎𝑊𝑖 ∗ 𝜀𝜔𝐶𝑣 1 ∗ + 𝜎𝛽𝑠 ∗ 𝛽𝑖 ∗ 𝑃 1 + 𝜎𝛽𝑠 ∗ 𝛽𝑖 ∗ 𝑃 2 + 𝜎𝐶 2 𝑖 ∗ 𝑣 1 ∗ 𝑃 1 + 𝜎𝐶 2 𝑖 ∗ 𝑣 1 ∗ 𝑃 3 + 𝜎𝐶𝑖 ∗ 𝛽𝑠 ∗ 𝜉 + 𝜎𝑊 2 𝑖 ∗ 𝑣 2 ∗ 𝑃 2 + 𝜎𝑊 2 𝑖 ∗ 𝑣 2 ∗ 𝑃 3 − 𝜎𝑃 2 𝑃 3 𝑃 4 − 𝜎𝑃 1 𝑃 3 𝑃 4 − 𝜎𝑃 1 𝑃 2 𝑃 4 ,
𝑎 5 = 𝑌𝑍𝑃 1 𝑃 2 𝑃 3 + 𝜎𝑊𝑖 ∗ 𝜀𝜔𝐶𝑣 1 ∗ 𝑃 3 + 𝜎𝛽𝑠 ∗ 𝛽𝑖 ∗ 𝑃 1 𝑃 2 + 𝜎𝐶 2 𝑖 ∗ 𝑣 1 ∗ 𝑃 1 𝑃 3 + 𝜎𝐶𝑖 ∗ 𝛽𝑠 ∗ 𝜉𝑃 1 + 𝜎𝑊 2 𝑖 ∗ 𝑣 2 ∗ 𝑃 2 𝑃 3 + 𝜎𝑊𝑖 ∗ 𝜀𝜔𝛽𝑠 ∗ 𝜉 − 𝜎𝑃 1 𝑃 2 𝑃 3 𝑃 4 ,
𝑃 1 = (𝑊𝑖 ∗ + 𝐵), 𝑃 2 = (𝐶𝑖 ∗ + 𝐴), 𝑃 3 = (𝛽𝑖 ∗ + 𝑋), 𝑃 4 = (𝛽𝑠 ∗ + 𝐶𝑣 1 ∗ + 𝑊𝑣 2 ∗ ) .
Diperoleh 𝜆 1 = −(𝛾 1 + 𝜇) , 𝜆 2 = −(𝛾 2 + 𝜇) , 𝜆 3 = −(𝛼 + 𝛾 4 + 𝜇) .  Karena 𝜇 > 0, dan 𝛾 1 , 𝛾 2 , 𝛾 4 , 𝛼 ≥ 0 maka  ketiga  nilai  eigen  tersebut  bernilai  negatif.  Untuk  menyederhanakan pembuktian,  menurut  kriteria  Lienard-Chipart  [16],  semua  nilai  eigen  dari  polynomial  derajat lima (11) akan bernilai negatif jika dan hanya jika koefisien kriteria Routh-Hurwitz 𝑎 1 , 𝑎 3 , dan 𝑎 5 positif dan matriks Routh-Hurwitz ∆ 2 dan ∆ 4 positif. Karena 𝑅 0 > 1 jelas 𝑎 1 > 0 dan titik ekuilibrium endemik 𝐸 1 stabil asimtotik lokal ketika koefisien kriteria Routh-Hurwitz 𝑎 3 , dan 𝑎 5 positif,  dan  determinan  matriks  Routh-Hurwitz ∆ 2 dan ∆ 4 positif  terpenuhi.  Sehingga  terbukti Teorema 4 benar.  ■
264

## 3.4 Analisis Bifurkasi
Bifurkasi  merupakan  fenomena  terjadinya  perubahan  titik  ekuilibrium  dan  perubahan kestabilan  titik  ekuilibrium,    dikarenakan 𝑖 ∗ merupakan  polinomial  berderajat  tiga,  maka  akan ada  kemungkinan  akar  positif  lebih  dari  satu,  maka  perlu  dilakukan  pengecekan  eksistensi 𝑖 ∗ . Bifurkasi mundur adalah fenomena penyakit belum tentu menghilang dalam populasi meskipun 𝑅 0 < 1 .
Dalam menentukan apakah bifurkasi mundur terjadi atau tidak pada model, perlu diketahui bagaimana  eksistensi  titik  ekuilibrium  endemik  dari  model.  Diketahui  persamaan  polinomial i ∗ sebagai berikut:
𝑎 0 𝑖 ∗3 + 𝑎 1 𝑖 ∗2 + 𝑎 2 𝑖 ∗ + 𝑎 3 = 0
dengan 𝑎 0 = 𝐶𝛽𝑊𝑌𝑍 , 𝑎 1 =  𝛽𝐴𝑊𝑌𝑍 + 𝐶𝑋𝑊𝑌𝑍 + 𝐶𝛽𝐵𝑌𝑍 − 𝜎𝛽𝜇𝐶𝑊 , 𝑎 2 = 𝑋𝐴𝑊𝑌𝑍 + 𝛽𝐴𝐵𝑌𝑍 + 𝐶𝑋𝐵𝑌𝑍 − 𝜎𝛽𝜇𝐶𝐵 − 𝜎𝛽𝜇𝐴𝑊 − 𝜎𝐶𝜉𝜇𝑊 , 𝑎 3 = 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍(1 − 𝑅 0 ) . Diperhatikan  bahwa 𝑎 0 selalu  positif dan 𝑎 3 negatif jika 𝑅 0 > 1 , namun ketika 𝑅 0 < 1 𝑎 3 menjadi positif. Untuk menentukan jumlah kemungkinan akar positif yang tepat, dapat menggunakan Descartes rule of sign yang tergantung pada tanda 𝑎 1 dan 𝑎 2 [17][18]. Sehingga diperoleh tabel dalam dua kasus, yaitu Kasus 1: 𝑅 0 > 1
Tabel 2. Jumlah Akar Positif dari Persamaan Polinomial 𝑖 ∗
𝒂 𝟎 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂 𝟑 Perubahan Tanda Polinomial 𝒊 ∗ Jumlah Akar Positif + + − − 1 1 + + + − 1 1
+ − − − 1 1 + − + − 3 1 atau 3
Kasus 1: 𝑅 0 < 1
Tabel 3. Jumlah Akar Positif dari Persamaan Polinomial 𝑖 ∗
𝒂 𝟎 𝒂 𝟏 𝒂 𝟐 𝒂 𝟑 Perubahan Tanda Polinomial 𝒊 ∗ Jumlah Akar Positif + + + + 0 0
+ + − + 2 0 atau 2
+ − + + 2 0 atau 2
+ − − + 2 0 atau 2
Jika  pada  persamaan  polinomial 𝑖 ∗ terjadi  perubahan  tanda  pada  saat 𝑅 0 < 1 ,  dan  terdapat dua  akar  positif.  Akibatnya  ada  dua  titik  ekuilibrium  endemik  saat 𝑅 0 < 1 ,  sehingga  bifurkasi mundur  terjadi.  Untuk  memeriksa  fenomena  bifurkasi  mundur,  dicari  nilai  kritis  dari 𝑅 0 yang dilambangkan dengan 𝑅 0 𝑐 . Bifurkasi mundur terjadi ketika 𝑅 0 𝑐 ada [19]. Untuk memperoleh nilai 𝑅 0 𝑐 akan dicari titik optimum dari persamaan polinomial 𝑖 ∗ kemudian mensubstitusikan hasilnya
ke  dalam  persamaan 𝑎 0 𝑖 ∗3 + 𝑎 1 𝑖 ∗2 + 𝑎 2 𝑖 ∗ + 𝑎 3 = 0 [20].  Misalkan 𝑝(𝑖 ∗ ) = 𝑎 0 𝑖 ∗3 + 𝑎 1 𝑖 ∗2 + 𝑎 2 𝑖 ∗ + 𝑎 3 ,  untuk  mencari  titik  optimum  dari  persamaan 𝑝(𝑖 ∗ ) dilakukan  penurunan  fungsi persamaan 𝑝(𝑖 ∗ ) terhadap 𝑖 ∗ , sehingga
3𝑎 0 𝑖 ∗2 + 2𝑎 1 𝑖 ∗ + 𝑎 2 = 0 ⟺ 𝑖 1 ∗ = −𝑎 1 −√𝑎 1 2 −4𝑎 0 𝑎 2 3𝑎 0 dan 𝑖 2 ∗ = −𝑎 1 +√𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 3𝑎 0 .
Substitusi 𝑖 1 ∗ ke dalam persamaan 𝑝(𝑖 ∗ ) = 0 diperoleh
𝑎 3 = (𝑎 1 +√𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 )(5𝑎 1 √𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 −12𝑎 0 𝑎 2 +5𝑎 1 2 ) 27𝑎 0 2 .
Karena 𝑎 3 = 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍(1 − 𝑅 0 ) maka 𝑅 0 = 1 − (𝑎 1 +√𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 )(5𝑎 1 √𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 −12𝑎 0 𝑎 2 +5𝑎 1 2 )
27𝑎 0 2 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍 .
Substitusi 𝑖 2 ∗ ke dalam persamaan 𝑝(𝑖 ∗ ) = 0
𝑎 3 = (−𝑎 1 + √𝑎 1 2 − 3𝑎 0 𝑎 2 ) (5𝑎 1 √𝑎 1 2 − 3𝑎 0 𝑎 2 + 12𝑎 0 𝑎 2 − 5𝑎 1 2 ) 27𝑎 0 2 .
Karena 𝑎 3 = 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍(1 − 𝑅 0 ) maka 𝑅 0 = 1 − (−𝑎 1 +√𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 )(5𝑎 1 √𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 +12𝑎 0 𝑎 2 −5𝑎 1 2 ) 27𝑎 0 2 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍 .
Karena 𝑅 0 = 𝑅 0 𝑐 [20], sehingga diperoleh penyelesaian untuk nilai kritis dari 𝑅 0 𝑐 , yaitu
𝑅 0 𝑐 = 1 − ( ±𝑎 1 + √ 𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 )( 5𝑎 1 √ 𝑎 1 2 −3𝑎 0 𝑎 2 ±12𝑎 0 𝑎 2 ±5𝑎 1 2 ) 27𝑎 0 2 𝑋𝐴𝐵𝑌𝑍 .
Jadi  bifurkasi  mundur  benar  terjadi  untuk  nilai 𝑅 0 < 1 ,  sehingga  persamaan  bifurkasi mundur,  yaitu 𝑅 0 𝑐 < 𝑅 0 < 1 .  Akibat  dari  persamaan  bifurkasi  mundur  yaitu  pada  saat 𝑅 0 < 1 titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil  dan  karena  terdapat  dua  titik  ekuilibrium  endemik,  pada saat 𝑅 0 𝑐 < 𝑅 0 < 1 satu titik ekuilibrium endemik stabil, dan satu titik ekuilibrium lainnya stabil pada saat 𝑅 0 > 1 [19][21]. Artinya penyakit akan tetap ada dalam populasi pada saat 𝑅 0 > 1 dan 𝑅 0 𝑐 < 𝑅 0 < 1 , penyakit menghilang dari populasi pada saat 𝑅 0 < 1 .

## 3.5 Simulasi Numerik
Simulasi  numerik  dari  model  matematika  COVID-19 dengan  vaksinasi  dua  tahap, karantina,  dan  pengobatan  mandiri  dilakukan  menggunakan  bantuan Maple  2021 dengan parameter-parameter yang ditampilkan pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Nilai-Nilai Parameter Simulasi Bebas Penyakit Parameter Nilai Satuan Referensi 𝜇 0.0125 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [9] 𝛽 0.4215 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [22]
266
Parameter Nilai Satuan Referensi 𝜉 0.0203 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [23] 𝜀 0.653 [24] 𝜔 1 28 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 Asumsi 𝜏 1 1 28 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 Asumsi 𝜏 2 1 90 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 Asumsi 𝜌 0.653 [24] 𝜑 0,0336 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [10] 𝜎 0.196 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [5] 𝜃 1 0.10 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [23] 𝜃 2 0.11 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [23] 𝛼 0,0833 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [25] 𝛾 1 0.1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [25] 𝛾 2 0.8198 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [25] 𝛾 3 0,1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [25] 𝛾 4 0.1 1 ℎ𝑎𝑟𝑖 [25]
Substitusi  nilai  parameter  pada  Tabel  4  ke  Persamaan  (3)  diperoleh 𝑅 0 = 0,5569881789 . Titik  ekuilibrium  bebas  penyakit  dari  sistem  (3)  adalah 𝐸 0 (𝑠,  𝑣 1 ,  𝑣 2 , 𝑒, 𝑖, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑚) = ( 0,3810975610 , 0,2159679498 , 0,1462416992 ,  0,  0,  0,  0,  0).  Menggunakan  nilai  awal 𝑠(0) = 0,2 , 𝑣 1 (0) = 0,15 , 𝑣 2 (0) = 0,05 , 𝑒(0) = 0,1 , 𝑖(0) = 0,18 , 𝑞 1 (0) = 0,02 , 𝑞 2 (0) = 0,13 , 𝑚(0) = 0,07 dan 𝑟(0) = 0,1 diperoleh simulasi pada Gambar 2.
Gambar 2. Simulasi Sistem (3) Menuju Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit 𝑬 𝟎 Selanjutnya  dilakukan  simulasi  numerik  untuk 𝑅 0 > 1 .  Berdasarkan  Tabel  4,  jika  nilai parameter 𝛽 diperbesar  menjadi 0,95 ,  dan  nilai  parameter 𝜉 diperkecil  menjadi 0,005 maka diperoleh bilangan reproduksi dasar dari sistem (3) adalah 𝑅 0 = 2,133300428 . Diperoleh titik ekuilibrium  endemik  dari  sistem  (3)  adalah 𝐸 1 = (𝑠 ∗ , 𝑣 1 ∗ , 𝑣 2 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑞 1 ∗ , 𝑞 2 ∗ , 𝑚 ∗ ) = ( 0,3603346720 , 0,04998306801 , 0,03377738223 , 0,02977318072 , 0,0180947082907757 , 0,009241424050 , 0,002391466913 , 0,006842761099 ).  Dengan nilai  awal 𝑠(0) = 0,5 , 𝑣 1 (0) = 0,1 , 𝑣 2 (0) = 0,05 , 𝑒(0) = 0,1 , 𝑖(0) = 0,18 , 𝑞 1 (0) = 0,02 , 𝑞 2 (0) = 0,005 , 𝑚(0) = 0,005 dan 𝑟(0) = 0,04 diperoleh simulasi pada Gambar 3.
Gambar 3. Simulasi Sistem (3) Menuju Titik Ekuilibrium Endemik Penyakit 𝐸 1

## 3.6 Analisis Sensitivitas
Untuk  menentukan  intervensi  yang  optimal  dalam  menekan  jumlah  individu  terinfeksi, perlu  mengidentifikasi  faktor-faktor  yang  berpengaruh  terhadap  penularan  COVID-19.  Indeks sensitivitas  dapat  digunakan  untuk  mengidentifikasi  parameter  yang  memiliki  pengaruh  paling signifikan  terhadap 𝑅 0 .  Parameter  dengan  pengaruh  yang  tinggi  pada 𝑅 0 menunjukan  bahwa parameter  tersebut  memiliki  pengaruh  yang  dominan  terhadap  penyebaran  COVID-19.  Indeks sensitivitas  dapat  dihitung  dengan  menurunkan  persamaan 𝑅 0 terhadap  parameter 𝑝 ,  dimana 𝑝 adalah parameter yang akan dihitung indeks sensitivitasnya, sebagai berikut [26].
𝐶 𝑝 𝑅 0 = 𝜕𝑅 0 𝜕𝑝 × 𝑝 𝑅 0
Secara  lengkap  indeks  sensitivitas  seluruh  parameter  yang  berkaitan  dengan 𝑅 0 ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Indeks Sensitivitas Parameter Parameter Indeks Sensitivitas 𝛽 +0,8406361523 𝜉 −0,6048957636 𝜇 +0,4118240264 𝜌 −0,3661405827 𝜃 2 −0,3410852716 𝜃 1 −0,3100775197
Parameter Indeks Sensitivitas 𝛾 3 −0,3100775197 𝜏 2 +0,1453571727 𝜑 −0,09260100430 𝜎 +0,05995203831 𝜔 +0,04160384011 𝜀 +0,01524545628 𝜏 1 +0,01400667539
Selanjutnya dilakukan simulasi numerik untuk melihat pengaruh beberapa parameter yang menggambarkan penyebaran COVID-19 menggunakan beberapa nilai yang berbeda.

## 1) Pengaruh Vaksinasi
Dengan  mengubah  nilai  parameter 𝜉 (laju  perpindakan  individu  rentan  menjadi  vaksinasi dosis satu) dapat diketahui efektivitas penggunaan vaksinasi yang ditampilkan pada Tabel 6.
Tabel 6. Pengaruh Laju Vaksinasi 𝝃 𝑹 𝟎 Kondisi 𝒊 0,0001 1,429728722 Menjadi endemik dan stabil pada hari ke-900 0,001 1,335253837 Menjadi endemik dan stabil pada hari ke-800 0,01 0,8061944881 Penyakit menghilang pada hari ke-80 0,1 0,1713232693 Penyakit menghilang pada hari ke-45
2) Pengaruh Karantina
Dengan  mengubah  nilai  parameter 𝜃 1 (laju  perpindahan  individu  terinfeksi  menjadi  isolasi mandiri) dan 𝜃 2 (laju perpindahan individu terinfeksi menjadi karantina di rumah sakit) secara bersamaan dapat diketahui efektivitas karantina yang ditampilkan pada Tabel 7
Tabel 7. Pengaruh Laju Karantina
𝜽 𝟏 𝜽 𝟐 𝑹 𝟎 Kondisi 𝒊 0,005 0,005 1,466356634 Menjadi endemik dan stabil pada hari ke-400 0,01 0,01 1,355688209 Menjadi endemik dan stabil pada hari ke-350 0,06 0,06 0,7725965062 Penyakit menghilang pada hari ke-90 0,7 0,7 0,1187627687 Penyakit menghilang pada hari ke-25

## 4 Simpulan
Model  matematika  COVID-19  dengan  vaksinasi  dua  tahap,  karantina,  dan  pengobatan mandiri  dibentuk  dengan  membagi  populasi  menjadi  tujuh  sub-populasi  yaitu susceptible (rentan), vaccination (vaksinasi), exposed (laten), infected (terinfeksi), quarantine
270

## Model Matematika COVID-19 dengan Vaksinasi Dua Tahap, Karantina,
dan Pengobatan Mandiri
(isolasi/karantina), medication (pengobatan  mandiri), removed (sembuh  atau  meninggal  akibat penyakit)  dan  membagi  kompartemen  vaksinasi  menjadi  dua  yaitu  vaksinasi  dosis  satu  dan vaksinasi  dosis  dua,  serta  membagi  kompartemen  karantina  menjadi  dua  yaitu  isolasi  mandiri dan karantina di rumah sakit.
Model yang dibentuk memiliki titik ekuilibrium bebas penyakit 𝐸 0 (𝑠, 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑒, 𝑖, 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑚) = ( 𝜇 (𝜉+𝜇) , 𝜉𝜇 (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇) , 𝜀𝜔𝜉𝜇 (𝜉+𝜇)(𝜀𝜔+𝜇)(𝜌𝜑+𝜇) , 0,0,0,0,0) dan titik ekulilibrium  endemik  penyakit 𝐸 1 (𝑠 ∗ , 𝑣 1 ∗ , 𝑣 2 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑞 1 ∗ , 𝑞 2 ∗ , 𝑚 ∗ ) yang  ada  jika 𝑅 0 > 1 .Titik ekuilibrium  bebas  penyakit  stabil  asimtotik  lokal  jika 𝑅 0 < 1 .  Eksistensi  titik  ekuilibirum endemik terdapat satu atau tiga akar positif jika 𝑅 0 > 1 dan terdapat nol atau dua akar positif jika 𝑅 0 < 1 .  Bifurkasi  mundur  terjadi  pada  kondisi 𝑅 0 < 1 sehingga  diperoleh 𝑅 𝑐 < 𝑅 0 < 1 . Berdasarkan  hasil  simulasi  numerik  disimpulkan  penyakit  akan  menghilang  pada  populasi  jika 𝑅 0 < 1 ,  dan  akan  menetap  pada  populasi  jika 𝑅 0 > 1 .  Dari  hasil  analisis  sensitivitas  diperoleh beberapa  parameter  yang  paling  berpengaruh  secara  signifikan  yaitu  penggunaan  vaksinasi, karantina.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Kami  mengucapkan  terima  kasih  kepada  Program  Studi  Matematika,  Fakultas  Sains  dan Teknologi, dan Pusat Penelitian dan Penerbitan UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas dukungan sprititual dan materilnya.

## 6 Daftar Pustaka
[1] H.  A.  Diah  Handayani,  Dwi  Rendra  Hadi,  Fathiyah  Isbaniah,  Erlina  Burhan,  “Penyakit Virus Corona 2019,” JURNAL RESPIROLOGI INDONESIA , vol. 40, no. 3, pp. 119–129, 2020.
[2] M. Jayaweera, H. Perera, B. Gunawardana, and J. Manatunge, “Transmission of COVID- 19  virus  by  droplets  and  aerosols:  A  critical  review  on  the  unresolved  dichotomy,” Environ Res , vol. 188, no. June, 2020, doi: 10.1016/j.envres.2020.109819.
[3] Satgascovid-19,  “Startegi  Pemerintah  untuk  Mengatasi  Covid-19.”  https://covid- 19.go.id/p/berita/empat-strategi-pemerintah-atasi-covif-19 (accessed Oct. 27, 2021).
[4] Fathiyah Isbaniah and Agus Dwi Susanto, “Pneumonia Corona Virus Infection Disease- 19 (COVID-19),” Journal Of The Indonesian Medical Association , vol. 70, no. 4, pp. 87– 94, 2020, doi: 10.47830/jinma-vol.70.4-2020-235.
[5] A.  B.  Gumel,  E.  A.  Iboi,  C.  N.  Ngonghala,  and  E.  H.  Elbasha,  “A  primer  on  using mathematics to understand COVID-19 dynamics : Modeling , analysis and simulations,” Infect  Dis  Model ,  vol.  6,  no.  August  2020,  pp.  148–168,  2021,  doi: 10.1016/j.idm.2020.11.005.
[6] D. Dwomoh et al. , “Mathematical modeling of COVID-19 infection dynamics in Ghana : Impact  evaluation  of  integrated  government  and  individual  level  interventions,” Infectious Disease Modelling , vol. 6, pp. 381–397, 2021, doi: 10.1016/j.idm.2021.01.008.
[7] B. Kumar, A. Kumar, Y. Shankar, and B. Kumar, “COVID-19 created chaos across the globe : Three novel quarantine epidemic models Chaos , Solitons and Fractals COVID-19 created  chaos  across  the  globe :  Three  novel  quarantine  epidemic  models,” Chaos, Solitons  and  Fractals:  the  interdisciplinary  journal  of  Nonlinear  Science,  and Nonequilibrium  and  Complex  Phenomena ,  vol.  138,  no.  May,  p.  109928,  2020,  doi: 10.1016/j.chaos.2020.109928.
[8] M. Ali, M. Imran, and A. Khan, “Analysis and prediction of the COVID-19 outbreak in Pakistan,” Journal  of  Biological  Dynamics ,  vol.  14,  no.  1,  pp.  730–747,  2020,  doi: 10.1080/17513758.2020.1814883.
[9] M.  Manaqib,  I.  Fauziah,  and  E.  Hartati,  “Model  matematika  penyebaran  COVID-19 dengan  penggunaan  masker  kesehatan  dan  karantina,” Jambura  Journal  of Biomathematics (JJBM) , vol. 2, no. 2, pp. 68–79, Oct. 2021, doi: 10.34312/jjbm.v2i2.10483.
[10]  R. R. Musafir, A. Suryanto, and I. Darti, “Dynamics of COVID-19 Epidemic Model with Asymptomatic  Infection  ,  Quarantine  ,  Protection  and  Vaccination,”  vol.  4,  no.  2,  pp. 106–124, 2021, doi: 10.5614/cbms.2021.4.2.3.
[11]  D. Otoo, P. Opoku, S. Charles, and A. Prince, “Deterministic epidemic model for ( SVC Sy C Asy IR ) pneumonia dynamics , with vaccination and temporal immunity *,” Infect Dis Model , vol. 5, pp. 42–60, 2020, doi: 10.1016/j.idm.2019.11.001.
[12]  S.  Wiggins, Introductions  to  Applied  Nonlinear  Dynamics  Systems  and  Chaos ,  2nd  ed. New York: Springer, 2000.
[13]  F.  Xia,  X.  Yang,  R.  A.  Cheke,  and  Y.  Xiao,  “Quantifying  competitive  advantages  of mutant  strains  in  a  population  involving  importation  and  mass  vaccination  rollout,” Infectious Disease Modelling , vol. 6, pp. 988–996, 2021, doi: 10.1016/j.idm.2021.08.001.
[14]  M.  Martcheva, An  Introduction  to  Mathematical  Epidemiology .  New  York:  Springer, 2010.
272
[15]  Boyce, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems , 11th ed. New York: John Wiley & Sons, 2009.
[16]  A.  Aslah  and  M.  Daud,  “A  Note  on  Lienard-Chipart  Criteria  and  its  Application  to Epidemic Models,” vol. 9, no. 1, pp. 41–45, 2021, doi: 10.13189/ms.2021.090107.
[17]  A.  K.  Saha  and  C.  N.  Podder,  “Dynamics  of  novel  COVID-19  in  the  presence  of  Co- morbidity,” vol. 7, pp. 138–160, 2022, doi: 10.1016/j.idm.2022.04.005.
[18]  D. Aldila, A. Islamilova,  S. H. A. Khoshnaw, and B. D. Handari, “Forward Bifurcation with Hysteresis Phenomena from Atherosclerosis Mathematical Model,” vol. 4, no. 2, pp. 125–137, 2021, doi: 10.5614/cbms.2021.4.2.4.
[19]  R.  Anguelov,  S.  M.  Garba,  and  S.  Usaini,  “Backward  bifurcation  analysis  of epidemiological  model  with  partial  immunity,” Computers  and  Mathematics  with Applications , vol. 68, no. 9, pp. 931–940, 2014, doi: 10.1016/j.camwa.2014.06.010.
[20]  M.  Rohmawati,  “Backwad  Bifurcation  Analysis  and  Numerical  Solution  of  Infectious Disease  Transmission  Models  with  Partial  Immunity,”  Sepuluh  Nopember  Institute  of Technology, 2015.
[21]  M.  A.  Safi  and  A.  B.  Gumel,  “Mathematical  analysis  of  a  disease  transmission  model with quarantine , isolation and an imperfect vaccine,” Computers and Mathematics with Applications , vol. 61, no. 10, pp. 3044–3070, 2011, doi: 10.1016/j.camwa.2011.03.095.
[22]  N.  Nuraini,  K.  K.  Sukandar,  P.  Hadisoemarto,  H.  Susanto,  and  A.  I.  Hasan, “Mathematical  models  for  assessing  vaccination  scenarios  in  several  provinces  in Indonesia,” Infect Dis Model , vol. 6, pp. 1236–1258, 2021, doi: 10.1016/j.idm.2021.09.002.
[23]  M. Zevika, A. Triska, N. Nuraini, and G. L. Jr, “On The Study of Covid-19 Transmission Using Deterministic and Stochastic Models with Vaccination Treatment and Quarantine,” vol. 5, no. 1, pp. 1–19, 2022, doi: 10.5614/cbms.2022.5.1.1.
[24]  R. R. Musafir, A. Suryanto, and I. Darti, “Dynamics of COVID-19 Epidemic Model with Asymptomatic  Infection,  Quarantine,  Protection  and  Vaccination,” Communication  in Biomathematical  Sciences ,  vol.  4,  no.  2,  pp.  106–124,  Dec.  2021,  doi: 10.5614/cbms.2021.4.2.3.
[25]  B.  Yong,  J.  Hoseana,  and  L.  Owen,  “From  pandemic  to  a  new  normal :  Strategies  to optimise  governmental  interventions  in  Indonesia  based  on  an  SVEIQHR-type mathematical  model,” Infect  Dis  Model ,  vol.  7,  no.  3,  pp.  346–363,  2022,  doi: 10.1016/j.idm.2022.06.004.
[26]  L.  Yahya,  “Sensitivity  Analysis  of  Mathematical  Model  of  Coronavirus  Disease  ( COVID-19 ) Transmission,” vol. 6, no. 2, pp. 91–99, 2020.