VISUALISASI FENOMENA HARMONIS DAN CHAOS PADA GETARAN TERGANDENG BERBASIS KOMPUTASI NUMERIK RUNGE KUTTA
Leonora L. R. Trifina 1 , Ali Warsito 2 , Laura A. S. Lapono 3 , Andreas Ch. Louk 4
Program Studi Fisika, Fakultas Sains dan Teknik, Universitas Nusa Cendana Jl. Adisucipto-Penfui,
Kupang, NTT, 85001, Indonesia E-mail: ichatrifina988@gmail.com

## Abstrak
Telah  dilakukan  penelitian  tentang  visualisasi  fenomena  harmonis  dan  chaos  pada  kasus  fisis getaran  tergandeng  dengan  metode  komputasi  numerik  Runge  Kutta  dengan  tujuan  menerapkan metode  komputasi  Runge  Kutta  orde  satu  sampai  empat  untuk  memperoleh  solusi  persamaan diferensial  orde  dua  pada  sistem  getaran  tergandeng,  menghitung  nilai  perpindahan  benda menggunakan  metode  komputasi  Runge  Kutta  orde  satu  sampai  empat,  memperoleh  grafik perpindahan benda terhadap waktu pada kasus getaran tergandeng untuk keadaan harmonis dan chaos pada nilai lebar langkah tertentu, serta membandingkan kekonvergenan metode Runge Kutta dari  orde  satu  sampai  empat  dengan  metode  Analitik  Khusus.  Solusi  dari  persamaan  getaran tergandeng yang tergolong dalam persamaan diferensial orde dua cukup sulit diselesaikan secara analitik  sehingga  untuk  menyelesaikannya  dimanfaatkan  metode  komputasi  Runge  Kutta  sebagai solusi  alternatif.  Hasil  penelitian  menunjukkan  keadaan  harmonis  sistem  diperoleh  saat  grafik perpindahan  memperlihatkan  gerak  masing-masing  pendulum  yang  konstan  dengan  posisi perpindahan pendulum terhadap waktu berupa grafik sinusoidal pada nilai  C 1 = 40 N/m, C 2 = 30 N/m, C = 10 N/m, C = 0 N/m dan keadaan chaos digambarkan dengan grafik perpindahan pendulum terhadap waktu dengan pola yang tidak beraturan. Pada kasus ini diperoleh hasil bahwa metode Runge  Kutta  orde  empat  lebih  cepat  konvergen  dari  metode  Runge  Kutta  orde  satu  sampai  tiga dengan  hasil  terbaik  diperoleh  pada  nilai  lebar  langkah  0,001.  Metode  Runge  Kutta  orde  empat juga memiliki nilai eror rata-rata pendekatan lebih kecil dari metode Runge Kutta orde satu sampai tiga yakni 1 × 10 −11 pada metode Runge Kutta orde empat dan nilai eror rata-rata berturut-turut adalah 5,029945707121 × 10 −3 , 2,951357802047 × 10 −3 dan 9,908989611342 × 10 −4 pada metode Runge Kutta orde satu sampai tiga.
Kata kunci: Getaran tergandeng; fenomena harmonis; chaos; komputasi numerik; metode runge kutta

## Abstract
Research has been carried out on the visualization of harmonic and chaos phenomenont on coupled vibration  physcal  case  using  the  Runge  Kutta  numerical  computation  method  with  the  aim  of applying  the  first  to  fourth  order  Runge  Kutta  computation  method  to  obtain    a  second  order differential  equation  solution  on  coupled  vibration  system,  calculating  the  displacement  value  of objects  using  computation  method  Runge  Kutta  order  first  to  fourth,  obtained  a  graph  of  the displacement of objects againts time in case of coupled vibration for harmonic and chaos states at certain  step  width  values  and  compare  the  convergence  of  the  Runge  Kutta  method  from  first  to fourth order with the special analytical method. The solution of coupled vibration equation which is classified as a second order differential equation was quite difficulted to solve analytically, so the Runge Kutta computation method was used to solve it as an alternative solution. The results of the research showed that the harmonic state of the system was obtained when the displacement graph showed the motion of each pendulum which was constant with the pendulum displacement position with respect to time in the form of a sinusoidal graph at a value of C 1 = 40 N/m, C 2 = 30 N/m, C = 10 N/m, C = 0 N/m and the chaotic state was represented by a graph of the displacement of the pendulum with respect to time with an irregular pattern. In this case, it was found that the fourth order Runge Kutta method converged faster than the first to third order Runge Kutta method with the best results obtained at a step width value of 0,001. The fourth order Runge Kutta method also has a smaller approximation average error value  from first to third order Runge Kutta method was 1 × 10 −11 on  the  fourth  order  Runge  Kutta  method  and  the  avarage  error  values  are 5,029945707121 × 10 −3 , 2,951357802047 × 10 −3 and 9,908989611342 × 10 −4 on the Runge Kutta method of first to third order.
Keywords:  Coupled    vibration;  harmonic  phenomenant;  chaos;  numerical  computation;  runge kutta method

## PENDAHULUAN
Getaran  secara  teknik  didefinisikan sebagai gerak osilasi dari suatu obyek terhadap posisi  awalnya  [1]  dan  menjadi  bagian  dari salah  satu  fenomena  alam.  Persoalan  getaran berkembang  tidak  hanya  pada  masalah idealisasi  dan  kepraktisan,  tetapi  juga  pada akurasi  perhitungan.  Karateristik  getaran random  terjadi  pada  fenomena  gempa  bumi, angin dan kebisingan yang berasal dari mesin.
Peristiwa  getaran  dapat  diklasifikasikan berdasarkan ada tidaknya eksitasi yang bekerja secara kontinyu, menurut derajat kebebasannya atau  menurut  sistem  massanya  [2].  Dalam bidang  kajian  fisika  dikenal  adanya  sistem getaran  tergandeng  yang  tergolong  dalam peristiwa  getaran  berdasar  pada  derajat kebebasan, dimana banyaknya koordinat bebas
(independence)
diperlukan untuk mendefinisikan persamaan gerak sistem. Aplikasi  teknis  dalam  sains  dan  teknik  dari fenomena  fisis  ini  seperti,  pembangunan gedung pencakar langit.
Dalam  menelaah  sistem  fisis  getaran selaras  tergandeng  yang  persamaan  gerak sistemnya tergolong dalam persamaan diferensial  linear  orde  kedua  dan  untuk menemukan  solusi  dari  persamaan  tersebut cukup  rumit  diselesaikan  secara  analitik, membutuhkan waktu yang lama serta kemungkinan  akurasi  yang  diperoleh  kurang maksimal.Pemahaman  mekanika  menyebutkan bahwa sistem dengan derajat kebebasan tertentu disebut sebagai sistem diskrit dan sistem dengan derajat kebebasan tak terhingga disebut sebagai sistem  kontinyu  [3].  Dalam  tinjauan  sistem getaran  tergandeng  yang  tergolong  dalam sistem  diskrit  karena  derajat  kebebasan  yang terbatas  2  maka,  untuk  mendapati  solusi terhadap  pendekatan  masalahnya  diperlukan perhitungan  numerik  dan  bantuan  komputer untuk  menganalisis  getaran  secara  kompleks. Adapun  proses  menganalisis  masalah-masalah fisis  dengan  metode  numerik  dan  bantuan komputer seperti ini biasa disebut dengan fisika komputasi [4].
Terdapat beberapa metode numerik yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan  ini  diantaranya  Metode  Euler  dan Metode  Runge  Kutta.  Dimana  dalam  tinjauan kasus  ini  dimanfaatkan  Metode  Runge  Kutta dengan prinsip menggunakan titik-titik lanjutan pada tiap-tiap langkah interval dengan harapan
untuk meningkatkan akurasi. Pemilihan metode ini didasarkan pada perbedaan tingkat akurasinya  dan  menjadi  bagian  dari  metode yang dapat menyelesaikan persamaan diferensial yang rumit, sehingga dapat membandingkan  solusi  yang  didapat  dan kecepatan konvergensinya.
Penelitian  mengenai  getaran  tergandeng telah dilakukan sebelumnya oleh
[5]  dan  [6]  juga  oleh  [7].  Penelitian- penelitian  tersebut  di  atas  hanya  bertujuan memverifikasi bahwa pada fenomena getaran 2 massa  tergandeng  terjadi  keadaan  harmonis atau selaras sehingga di kaji lebih lanjut dengan menelisik  keadaan  transisi  dari  harmonik  atau selaras  menuju chaos ,  dengan  masih  terkait dengan variasi massa dan konstanta pegas. Penelitian  ini  dilakukan  dengan  tujuan menerapkan metode komputasi numerik Runge Kutta orde satu sampai empat untuk mendapati solusi persamaan diferensial orde 2 pada sistem getaran tergandeng, memperoleh nilai perpindahan  pendulum  terhadap  waktu  pada nilai lebar langkah (h) tertentu, serta melakukan interpretasi visualisasi  fenomena getaran tergandeng  untuk  keadaan  harmonis  dan keadaan chaos didasarkan  variasi  massa, kelajuan awal benda dan konstanta pegas pada sistem.

## Getaran
Getaran  merupakan  gerakan  berosilasi dari  sistem  mekanis  serta  kondisi-kondisi dinamisnya.  Getaran  dapat  berupa  benturan yang berulang secara kontinyu atau dengan kata lain dapat pula berupa gerakan tidak beraturan atau acak.

## Getaran Selaras Tergandeng
Getaran suatu sistem yang memiliki gaya pemulih sebanding dengan besarnya simpangan,  maka  keadaan  ini  disebut  sebagai gerak  harmonik  sederhana  [8].  Gaya  pemulih cenderung  memulihkan  pegas  ke  konfigurasi awalnya [9]. Getaran selaras tergandeng identik dengan  sistem  getaran  dua  derajat  kebebasan dimana  sistem  ini  memiliki  dua  frekuensi natural  dan  memerlukan  dua  koordinat  untuk menyatakan  persamaan  geraknya.  Persamaan gerak  sistemnya  tergolong  dalam  persamaan diferensial yaitu
−𝑀 𝑑 2 𝑥1 𝑑𝑡 2 − 𝐶 1 𝑥 1 +  𝐶(𝑥 2 − 𝑥 1 ) = 0       (1)
−𝑀 𝑑 2 𝑥2 𝑑𝑡 2 − 𝐶 2 𝑥 2 −  𝐶(𝑥 2 − 𝑥 1 ) = 0      (2)

## Metode Runge-Kutta
Penggunaan titik-titik lanjutan pada tiap- tiap  langkah  interval  dengan  harapan  tingkat akurasinya meningkat merupakan prinsip utama dari  metode  Runge-Kutta  [10],  seperti  terlihat pada  persamaan  umum  iteratifnya  yang  ditulis dalam bentuk:
𝑦 𝑛+1 =   𝑦 𝑛 + 𝑓(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , ℎ) (3)
Dimana: 𝑓(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 , ℎ) =   𝑎 1 𝑘 1 + 𝑎 2 𝑘 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚 𝑘 𝑚 ℎ =   𝑥 𝑛+1 − 𝑥 𝑛 Penjabaran bentuk umum metode Runge-Kutta ke dalam metode Runge-Kutta orde satu sampai dengan orde empat adalah sebagai berikut: a. Metode Runge-Kutta Orde Satu
𝑦 𝑛 = 𝑦 𝑛−1 + ℎ𝑓(𝑦 𝑛−1, 𝑡 𝑛−1 ) b. Metode Runge-Kutta Orde Dua
𝑦 𝑛+1 =   𝑦 𝑛 + (1 2 ⁄ 𝑘 1 + 1 2 ⁄ 𝑘 2 ) c. Metode Runge-Kutta Orde Tiga
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 1 6 ⁄ (𝑘 1 + 4𝑘 2 + 𝑘 3 ) d. Metode Runge-Kutta Orde Empat
𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 1 6 ⁄ (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )

## METODE Analisa Model
Kasus  yang  akan  dicari  solusinya merupakan  kasus  dua  buah  benda  yang tergandeng  dengan  massa  masing-masing  M 1 dan M 2 dimana terhubung oleh tiga buah pegas dengan  besar  nilai  konstanta  masing-masing pada  benda  pertama  adalah  C 1 ,  benda  kedua adalah C 2 dan konstanta penghubung dua benda adalah  C  dengan  massa  masing-masing  benda diberikan kelajuan awal. Bagaimanakah bentuk prilaku perpindahan dari masing-masing benda dengan variasi nilai konstanta pegas dan massa dari  benda  1  maupun  benda  2.  Ilustrasi  dari kasus dapat dilihat pada gambar 1.
Gambar  1. Kasus Getaran Tergandeng
Berdasarkan  dua  persamaan  getaran selaras tergandeng pada persamaan (1) dan (2) dan  mengacu  pada  penelitian  sebelumnya (Schmid  dkk,  1990  dan  Arafah,  2001)  serta Sulaiman (2008), maka dapat diuraikan sebagai berikut:
𝜕 2 𝑥 1 𝜕𝑡 2 = − ( 𝐶 1 +𝐶 𝑀 1 ) 𝑥 1 + 𝐶 𝑀 2 𝑥 2 (4) 𝜕 2 𝑥 2 𝜕𝑡 2 = − ( 𝐶 2 +𝐶 𝑀 2 ) 𝑥 2 + 𝐶 𝑀 1 𝑥 1 (5)
Dari persamaan  (3) dan (4) dimodifikasi sebagai berikut:
𝜕𝑥 1 𝜕𝑡 = 𝑧 1 (6)
𝜕𝑥 2 𝜕𝑡 = 𝑧 2 (7)
Sehingga persamaannya menjadi:
𝜕𝑧 1 𝜕𝑡 = − ( 𝐶 1 +𝐶 𝑀 1 ) 𝑥 1 + 𝐶 𝑀 2 𝑥 2 (8)
𝜕𝑧 2 𝜕𝑡 = − ( 𝐶 2 +𝐶 𝑀 2 ) 𝑥 2 + 𝐶 𝑀 1 𝑥 1 (9)
Persamaan  (8)  dan  (9)  tersebut  yang  akan digunakan dalam berbagai metode komputasi.

## Implementasi Metode Komputasi
Analisa Komputasi dalam bentuk perancangan flowchart (diagram  alir)  sebagai alur  logika  dan  algoritma  sebagai  landasan dalam menuliskan sintaks program. Procedure dalam  program  sesuai  dengan  metode-metode yang digunakan untuk analisa komputasi.
Gambar    2.  Diagram  Alir  Metode  Analitik Khusus
Gambar  3. Diagram Alir Metode Runge Kutta
1 Gambar  4. Diagram Alir Metode Runge Kutta 2
Gambar  5. Diagram Alir Metode Runge Kutta 3

## Gambar  6. Diagram Alir Metode Runge Kutta 4

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil Perancangan Aplikasi Getaran Tergandeng Perancangan aplikasi getaran tergandeng untuk memvisulaisasikan fenomena harmonis    dan    chaos    menggunakan pemrograman  Delphi  XE5  adalah    sebagai berikut:

## Tampilan Utama Aplikasi
Pada tampilan  utama aplikasi terdapat beberapa  objek  dengan  fungsinya  masing-
masing. Nama dan fungsi objek-objek tersebut adalah sebagai berikut:
1. Tab  menu  home  berfungsi  menampilkan menu  setting  untuk  perhitungan  fenomena getaran  tergandeng  yang  memuat  5  metode perhitungan. Dimana 5 metode tersebut yaitu Metode  Analitik  Khusus,  Metode  Runge Kutta  Orde  Satu,  Metode Runge  Kutta  Orde Dua,  Metode  Runge  Kutta  Orde  Tiga,  dan Metode Runge Kutta Orde Empat.
2. Tab menu data terdiri dari tombol simpan data untuk  menyimpan  data  yang  telah  diolah, tombol  load  data  untuk  memgambil  data dalam database, tombol simpan gambar untuk menyimpan file gambar dalam format bitmap dan  tombol  tabel  data  untuk  menampilkan data-data hasil perhitungan.
3. Tab  menu  grafik  terdiri  dari  tombol  plot grafik  X1  untuk  menampilkan  grafik perpindahan  pendulum  1,  tombol  plot  grafik X2  untuk  menampilkan  grafik  perpindahan pendulum 2, tombol plot grafik X1 dan grafik X2  untuk  menampilkan  sekaligus  grafik  X1 dan  X2  dari  lima  metode  dalam  satu  grafik dan tombol hapus data untuk menghapus data pada stringgrid dan grafik hasil ploting.
4. Tab menu info terdiri dari tombol profil untuk menampilkan profil tentang pembuat aplikasi, tombol  about  untuk  menampilkan  informasi umum terkait aplikasi dan tombol help untuk menampilkan cara penggunaan aplikasi.

## Gambar  7. Tampilan Utama Aplikasi

## Hasil Pengujian Solusi Analitik
Pengujian  validasi  program  dilakukan dengan menerapkan getaran tergandeng sederhana yang memiliki solusi secara analitik, dengan  memberikan  nilai  massa  pendulum pertama  dan  pendulum  kedua M 1 = M 2 =  3  kg, konstanta  pegas  C=  0  N/m,  kelajuan  massa pertama dan kedua Z 01 = 0 m/s , Z 02 = 50 m/ s ,  gaya  yang  bekerja  pada  massa  pertama  dan kedua C 1 = 30 N/m , C 2 = 40 N/m ,  dengan waktu awal t 0 = 0 sekon dan waktu akhir t = 2 sekon , simpangan massa pertama dan kedua 𝑥 01 = 3 meter , 𝑥 02 = 5 meter .  Dari  hasil perhitungan  metode  komputasi  untuk  metode analitik  keadaan  khusus  dengan  C  =  0  dengan variasi  lebar  langkah h = 0,1 , h = 0,01 dan h = 0,001 maka  diperoleh  bahwa  metode Runge  Kutta  orde  satu  sampai  empat  baru memberikan hasil yang mendekati nilai analitik ketika nilai lebar langkah diperkecil pada nilai h = 0,001 ,  hal  ini  dipahami  karena  pada metode  Runge  Kutta  tingkat  akurasinya meningkat oleh penggunaan
titik-titik  lanjutan  pada  tiap  langkah-langkah interval dan untuk mencapai akurasi yang tinggi diperlukan  nilai  lebar  langkah  (h)  yang  sangat kecil.
Analisa  analitik  yang  dilakukan  agar dapat  diketahui  apakah  hasil  dari  solusi  yang digunakan  memiliki  nilai  presisi  dan  akurasi yang  baik  atau  tidak  diperlukan  sebuah  nilai standar  yang  dapat  dipakai  sebagai  hasil pembanding  atau  dapat  dipercayai  sebagai sebuah  nilai  kebenaran.  Data  pada  tabel  1 merupakan data hasil perhitungan perpindahan benda  1  terhadap  waktu  (X1)  dari  kelima metode  yang  digunakan.  Hal  ini  dilakukan untuk  melihat  perbandingan  nilai  perhitungan secara  analitik  dan  komputasi  numerik.  Dari hasil  tersebut  terlihat  bahwa  metode  Runge Kutta  orde  4  menghasilkan  nilai  perhitungan yang  sama  dengan  nilai  yang  diperoleh  oleh metode Analitik Khusus dengan nilai eror yang sangat kecil yakni 1× 10 −11 .
Tabel 1. Hasil perhitungan X1 Sistem Getaran Tergandeng untuk M1=M2= 3 kg, C 1 =  30 N/m , C 2 = 40 N/m ,C= 0 N/m, h = 0,001 , Z 01 = 0 m/s
No Waktu (t) Analitik Khusus Runge Kutta 1 Runge Kutta 2 Runge Kutta 3 Runge Kutta 4 1 0.001 2.9999850000125 3 2.999985 2.999985 2.9999850000125 2 0.002 2.9999400002 2.99997 2.999940000075 2.9999400001125 2.9999400002 3 0.003 2.9998650010125 2.99991 2.9998650006 2.9998650007625 2.9998650010125 4 0.004 2.99976000319998 2.9998200003 2.99976000225 2.99976000267499 2.99976000319998 5 0.005 2.99962500781243 2.9997000015 2.99962500599997 2.99962500687496 2.99962500781244
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 1996 1.996 2.99876274969111 3.02884191790856 3.00621970604493 3.00124608419201 2.99876274969152 1997 1.997 2.99847532339684 3.02856695399962 3.00593154109262 3.00095838159218 2.99847532339730 1998 1.998 2.99815791237432 3.02826170167151 3.00561331606690 3.00064066914376 2.99815791237483 1999 1.999 2.99781051979766 3.02792616367385 3.00526503407489 3.00029294999889 2.99781051979822 2000 2 2.99743314914079 3.02756034305918 3.00488669852426 2.99991522760974 2.9974331491414 Galat (%) 5.029945707121E-03 2.951357802047E-03 9.908989611342E-04 1E-11
Gambar  8. Grafik Pendulum dengan (M1=M2= 3 kg, 𝐂 𝟏 = 𝟑𝟎 𝐍/𝐦 , 𝐂 𝟐 = 𝟒𝟎 𝐍/𝐦 ,C= 0 N/m, 𝐡 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 , 𝐙 𝟎𝟏 = 𝟎 𝐦/𝐬 )
Analisa Solusi Perpindahan Benda terhadap Waktu pada Sistem Getaran Tergandeng
Penggambaran fenomena getaran tergandeng  dengan  variasi  beberapa  variabel dalam sistem yang ditinjau melalui serangkaian proses komputasi untuk penginterpretasian dan analisis dalam beberapa keadaan yakni kopling lemah,  kopling  sedang  dan  kopling  kuat, digunakan  metode  Runge-  Kutta  4.  Parameter konstanta  pegas (C 1 , C 2 ,  dan  C)  menjadi parameter  utama  dalam  meninjau  perpindahan benda  pada  beberapa  keadaan  tersebut. Diperoleh  dari  variasi  beberapa  variabel  nilai konstanta pegas memberikan pengaruh signifikan pada setiap gerak pendulum.
Gambar  9. Grafik Pendulum dengan Kopling Lemah (M1=M2= 3 kg, C 1 = C 2 = 40 N/m , C= 4 N/m)
Pada  pendulum  dengan  kopling  lemah (C 1 = C 2 = 40 N/m , C= 4 N/m) nilai konstanta  pegas  yang  kecil  memberikan pengaruh  pada  setiap  gerak  pendulum  seperti terlihat pada gambar 9, dimana setiap pendulum memiliki  kesempatan  yang  lebih  besar  untuk terus  berosilasi  secara  bergantian,  keadaan  ini dikarenakan  ikatan  antara  kedua  pendulum yang elastis.
Gambar  10. Grafik Pendulum dengan Kopling Sedang  I  (M1=M2=  3  kg, C 1 = 30 , C 2 = 40 N/m , C= 10 N/m)
Untuk  keadaan  kopling  sedang  1 dengan nilai antara keduanya tidak begitu besar yaitu C 1 = 30 , C 2 = 40 N/m dengan  C=  10
N/m diperoleh gambar 10 yang mengambarkan bahwa  dalam  sistem  tidak  ada  gaya  dominan pada masing-masing pendulum sehingga terlihat  keduanya  bergerak  secara  sembarang
satu  sama  lain  sekalipun  belum  dikategorikan sebagai gerak yang harmonis.
Gambar  11. Grafik Pendulum dengan Kopling
Sedang    II  (M1=M2=  3  kg, C 1 = C 2 = 40 N/m , C= 10 N/m)
Tinjauan lebih lanjut dengan menetapkan nilai  tetapan  gaya  yang  sama  pada  masing- masing  pendulum  yakni C 1 = C 2 = 40 N/m dan  C=  10  N/m  tetap  serta  simpangan  awal masing-masing pendulum berbeda dari keadaan sebelumnya diatur menjadi 5 m pada pendulum pertama  dan  8  m  untuk  pendulum  kedua  serta waktu osilasi (t= 5,5 sekon). Gambaran sistem yang diperoleh dari keadaan ini seperti terlihat pada  gambar  11  menunjukkan  getaran  yang dihasilkan  masih  dalam  keadaan  acak  dimana masing-masing  pendulum  bergerak  secara sembarang satu terhadap yang lain.
Gambar  12. Grafik Pendulum dengan Kopling Sedang III (M1=M2= 3 kg, 𝐂 𝟏 = 𝟒𝟎 , 𝐂 𝟐 = 𝟑𝟎 𝐍/𝐦 , C= 10 N/m)
Kondisi lain diperoleh dengan mengubah nilai kelajuan awal pada benda 1 yaitu 20 m/s dan  nilai  tetapan  gaya  pada  masing-masing pendulum C 1 = 40 , C 2 = 30 N/m dan  C=  10 N/m  serta  simpangan  awal  dan  waktu  osilasi dari  masing-masing  memiliki  nilai  yang  sama dengan  nilai  pendulum  di  kopling  sedang  II. Dengan  kondisi  ini  diperoleh  grafik  yang menunjukkan  getaran  harmonis  pada  sistem seperti terlihat pada gambar 12. Keadaan ini disebut “ eigen-oscillation ” yang merupakan koordinat  normal  sistem  dengan  gerak  yang menunjukkan  perpindahan  pendulum  yang simetris dan tidak saling mendominasi
Gambar  13. Grafik Pendulum dengan Kopling Kuat (M1=M2= 3 kg, C 1 = C 2 = 40 N/m , C= 400 N/m
Pada tinjauan pendulum dengan kopling kuat  dengan  ( C 1 = C 2 = 40 N/m ,  C=10C1) memberikan  pengaruh  pada  kedua  pendulum sehingga tidak bisa bergerak secara bebas yang diperlihatkan  oleh  gambar  5.10.  Hal  ini menunjukkan  kekakuan  dari  sistem  yang dikarenakan  penghubung  diantara  keduanya bersifat  tidak  elastis  dan  mengharuskan keduanya berosilasi bersama-sama dan masing- masing tidak bisa bergerak bebas serta perlahan memperlihatkan keadaan sistem yang chaos .

## Analisis Keadaan Harmonis dan Chaos pada Sistem GetaranTergandeng
Pada  sistem  getaran  tergandeng  identik dengan fenomena   harmonis dan chaos , dimana dari  hasil  yang  diperoleh  berdasarkan  kajian pada sistem dengan tinjauan beberapa parameter seperti nilai massa benda (M1 dan M2 ),  dan  konstanta  pegas  diperoleh bahwa  keadaan  harmonis  pada  sistem  ditandai dengan grafik yang teratur dan pola keterkaitan antara  dinamika  pada  perpindahan x 1 dan x 2 terhadap  waktu  cukup  stabil  sementara  untuk keadaan chaos terlihat  dengan  jelas  pola  yang tidak  beraturan  pada  perpindahan x 1 dan x 2 dengan  gerakan  sistem  yang  terlihat  acak sehingga  sulit  untuk  dapat  diprediksi  dalam setiap  geraknya  seiring  dengan  bertambahnya nilai  massa  dan  konstanta  pegas.Beberapa keadaan  tersebut  diwakilkan  oleh  beberapa gambar hasil visualisasi berikut:

## Keadaan Harmonis
Gambar    14.  Grafik  Pendulum  dengan  massa pendulum kedua (M2= 10 kg)
Gambar 15. Grafik Pendulum dengan konstanta pegas (C= 25 N/m)

## Keadaan Chaos
Gambar  16.Grafik  Pendulum  dengan  massa pendulum pertama (M1= 50 kg)
Gambar  17. Grafik Pendulum dengan
konstanta pegas (C= 100 N/m)
Gambar  18. Grafik Pendulum dengan
konstanta pegas (C= 800 N/m)

## Analisis  Fisis  Fenomena  Harmonis  dan
Chaos pada Sistem Getaran Tergandeng
Kajian terhadap sistem getaran tergandeng  dalam  menganalisis  fenomena harmonis  dan chaos ,  dimana  dua  kondisi tersebut  menggambarkan  karateristik  dari sistem  dilakukan  dengan  mengubah  nilai  dari beberapa  parameter  untuk  menggambarkan secara  nyata  perilaku  dari  sistem.  Parameter- parameter tersebut antara lain adalah massa dari masing-masing pendulum, kelajuan awal benda dan konstanta pegas.
Beberapa grafik visualisasi yang dihasilkan  dari  hasil  ploting  data  perhitungan dengan meninjau beberapa keadaan diantaranya sistem  dengan  kopling  lemah,  kopling  sedang
dan kopling kuat serta variasi parameter massa dan  konstanta  pegas  secara  kompleks  untuk menganalisis perilaku sistem getaran tergandeng  yakni  fenomena  harmonis  dan chaos secara kualitatif dan kuantitatif. Analisis aspek  kualitatif  dan  kuantitatif  diperkuat  oleh perbandingan plot perpindahan terhadap waktu dari masing-masing pendulum yang menunjukkan  sensitivitas  sistem  terhadap keadaan awal. Kondisi  harmonis  untuk  sistem  getaran tergandeng  diperoleh  saat  grafik  perpindahan memperlihatkan masing-masing gerak
pendulum  yang  selalu  konstan  dengan  posisi perpindahan  pendulum  terhadap  waktu  berupa grafik  sinusoidal  sementara  kondisi chaos diperoleh  saat  gerak  dari  masing-masing pendulum sudah tidak beraturan atau mengalami  fluktuasi  yang  mana  terdapat lonjakan-lonjakan  dan  penurunan-penurunan dari  grafik  perpindahan  pendulum  terhadap waktu  dengan  pola  yang  tidak  beraturan  atau dengan  kata  lain  gerakan  masing-masing pendulum  dalam  sistem  tidak  pernah  berulang dan  terus  menerus  melakukan  gerakan  yang berbeda dalam setiap waktu.
Untuk  melihat  keakuratan  dari  solusi numerik  dimanfaatkan  galat  atau  nilai  eror relatif  yang  mana  galat  berasosiasi  dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya  dengan  semakin  kecil  galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Dari hasil yang telah diperoleh pada penggunaan  3  variasi  nilai  lebar  langkah  yang berbeda  nilai  kesalahan  relatif  terkecil  di peroleh  pada  lebar  langkah  h=0,001  pada metode  Runge  Kutta  orde  empat  sebesar 1 × 10 −11 sedangkan  pada  metode  Runge Kutta  orde  satu  sampai  tiga  nilai  rata-rata kesalahan relatif berturut-turut berkisar 5,029945707121 × 10 −3 , 2,951357802047 ×
10 −3 dan 9,908989611342 × 10 −4 . Terlihat bahwa  nilai  kesalahan  relatif  pada  metode Runge  Kutta  orde  empat  jauh  lebih  kecil dibandingkan  nilai  kesalahan  relatif  pada metode  Runge  Kutta  orde  satu  sampai  tiga. Sehingga,  didasari  hal  tersebut  bahwa  metode Runge Kutta orde empat lebih cepat konvergen dan memiliki nilai kesalahan relatif yang lebih kecil  dibandingkan  metode  Runge  Kutta  orde satu sampai tiga.

## KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah dilakukan, maka dapat disimpulkan bahwa:
Implementasi metode komputasi numerik Runge  Kutta  orde  satu  sampai  empat memberikan  solusi  pendekatan  numerik  yang mendekati  nilai  analitik  sekaligus  persamaan diferensial  sistem  getaran  tergandeng  dimana dari penggunaan Metode Runge Kutta orde satu sampai empat, metode Runge Kutta orde empat merupakan  metode  yang  terbaik  ketelitiannya dengan  nilai  rata-rata  kesalahan  relatif 1 × 10 −11 pada lebar langkah h=0.001 dibandingkan dengan Metode Runge Kutta orde satu  sampai  tiga  sehingga  diketahui  bahwa semakin  kecil  nilai  lebar  langkah  (h)  dan semakin  tinggi  orde  dari  metode  Runge  Kutta yang  digunakan  maka  hasil  yang  diperoleh semakin  teliti  dan  lebih  mendekati  hasil analitiknya.
Pada sistem fisis getaran tergandeng ini, nilai  lebar  langkah  yang  digunakan  yakni  0,1; 0,01 dan 0,001 dan nilai perpindahan pendulum terhadap waktu dengan hasil terbaik serta yang mendekati  nilai  analitik  diperoleh  pada  lebar langkah (h) = 0,001.
Interpretasi fenomena getaran tergandeng yang  didasarkan  pada  variasi  massa,  kelajuan awal  benda  dan  konstanta  pegas  memberikan gambaran  sistem  yang  bersifat  harmonis  dan chaos yang  mana  hal  ini  menyatakan  bahwa nilai massa, kelajuan awal benda dan konstanta pegas pada sistem memberikan pengaruh yang sangat signifikan. Ketika nilai massa pendulum dan  konstanta  pegas  diperbesar  maka  setiap pendulum  memiliki  frekuensi  osilasi  yang semakin kecil sehingga gejala chaos atau acak pada sistem  semakin  terlihat  seperti  pada  nilai C=  100  N/m,  C=  400  N/m,  C=  800  N/m  dan keadaan  harmonis  pada  sistem  diperoleh  pada nilai massa pendulum M1=M2= 3 kg , kelajuan awal benda Z 01 = 20 m/s, Z 02 = 40 m/s dan nilai konstanta pegas C= 10 N/m serta pada nilai C= 0 N/m .

## SARAN
Berdasarkan  hasil  penelitian,  maka penulis menyampaikan saran, yaitu pada kasus
ini  diperoleh  grafik  fenomena  harmonis  dan chaos dengan tinjauan beberapa variasi sehingga penulis menyarankan untuk melakukan kajian lebih lanjut dengan meninjau beberapa  parameter  lain  yang  mempengaruhi sistem  sekaligus  mengembangkan  aplikasi sistem  lebih  lanjut  dengan  membuat  aplikasi dengan  sistem  berbasis  android. DAFTAR PUSTAKA
1 Pain,  H.J.  2005. The  Physics  of Vibrations and Waves 6 th Edition. USA
: John Wiley  Sons, Inc
2 Dewanto,  J.  1999. Klasifikasi  Getaran .
Jurnal Teknik Mesin. Vol. 1, No. 2, hal 156-162 3 Tungga, BK. 2011. Dasar-dasar Getaran Mekanis . Yogyakarta : Penerbit
Andi
4 Warsito,  A.  2009. Fisika  Komputasi . Modul Bahan Ajar Fisika FST Undana
5 Schmid, Erich W, dkk.1990. Theoretical Physics  on  Personal  Computer  2 th
Edition .New York: Heidelberg
6 Arafah,  E.  2002. Coupled  Harmonic
Oscillations .  Department  of  Physics. University of Jordan 7 Sulaiman, Halfiana. 2008. Kajian Fenomena Fisis Getaran Selaras
Tergandeng  dengan  Metode  Euler  dan Runge-Kutta .  Skripsi  Jurusan  Fisika-
FST : Universitas Nusa Cendana
8 Halliday, Jearl. W, dkk. 1998. Fundamental  of  Physics  9 th Edition . USA : John Wiley  Sons, Inc
9 Tipler,  P.A.  1991. Fisika  Untuk  Sains dan Teknik . Jakarta : Erlangga
10 Chapra,  S.C.,  R.P.  Canale.  2014. Numerical  Methods  for  Engineers  7th Edition . McGraw-Hill Education : New York
11 Giancolli, Douglas C. 1997. Fisika Jilid
I  Edisi  Keempat .  Terjemahan  Cuk
Imawan, dkk. Jakarta : Erlangga 12 Boas, M.L. 1983. Mathematical Methods  in  the  Physical  Sciences  3 rd
Edition . USA: John Wiley  Sons, Inc
13 Beiser,  Arthur.  1981. Konsep  Fisika Modern . Jakarta : Erlangga