## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v2i2.4642

## Perbandingan Model ARCH (1) dan GARCH (1,1) Ditinjau dari Perilaku Kurtosis dan Fungsi Autokorelasi
Isran K. Hasan 1* , Ismail Djakaria 2 , Demas Novaleda Abdul Karim 3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Gorontalo, Jl. Jenderal Sudirman No. 06, Kota Gorontalo 96128, Gorontalo, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: isran.hasan@ung.ac.id

## ABSTRAK 1
Tulisan  ini  membahas  tentang  perbandingan  model  ARCH  (1)  dan  GARCH  (1,1)  dengan melihat perilaku kurtosis dan fungsi autokorelasi baik secara analitik maupun menggunakan simulasi. Metode yang digunakan adalah studi literatur. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa  secara  analitik  kedua  model  memiliki  kurtosis  lebih  dari  tiga  yang  berarti  model tersebut  merupakan  model  dengan  distribusi  ekor  tebal  serta  kedua  model  tersebut mempunyai  fungsi  autokorelasi  return  kuadrat  yang  turun  secara  perlahan.  Hasil  simulasi numerik  perbandingan  MSE  nilai  kurtosis  data  dan  kurtosis  model  menunjukkan  bahwa model  GARCH  (1,1)  memiliki  MSE  terkecil  dengan  nilai  3,702.  Selanjutnya,  hasil  numerik perbandingan MSE untuk fungsi autokorelasi diperoleh GARCH (1,1) memiliki MSE terkecil pada dua data yaitu SMGR.JK dan JMSR.JK masing masing memiliki nilai 0,0025 dan 0,0015, sedangkan untuk data MNCN.JK MSE terkecilnya adalah model ARCH (1) dengan distribusi 𝑡 dengan nilai 0,0048.

## Kata Kunci:
Fungsi Autokorelasi; Heterokedastik; Kurtosis; Model ARCH; Model GARCH

## ABSTRACT
This paper discusses the comparison of ARCH (1) and GARCH (1,1) models by looking at the behavior of kurtosis and autocorrelation functions both analytically and using simulations. The method used is the study of literature. The results obtained show that analytically both models have a kurtosis of more than three, which means that the model is a model with a thick tail distribution and both models have the slow decay of autocorrelation function of quadratic return. The numerical simulation results of the MSE comparison of the data kurtosis and kurtosis of the model show that the GARCH (1,1) model has the smallest MSE with a value of 3.702. Furthermore, the numerical results of the MSE comparison for  the  autocorrelation  function  obtained  by  GARCH  (1,1)  have  the  smallest  MSE  in  the  two  data, namely  SMGR.JK  and  JMSR.JK,  respectively  having  values  of  0.0025  and  0.0015,  while  for MNCN.JK MSE the smallest is the ARCH model (the ARCH model) 1) with a 𝑡 distribution with a value of 0.0048.
Keywords: ARCH Model; Autocorrelation Function; GARCH Model; Heteroscedasticity; Kurtosis

## Format Sitasi:
I. K. Hasan, I. Djakaria, and D. N. A. Karim , “ Perbandingan Model ARCH (1) dan GARCH (1,1) Ditinjau dari Perilaku Kurtosis dan Fungsi Autokorelasi ,” Jambura J. Math. , vol. 2, no. 2, pp.97- 107, 2020.
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2020 I.K. Hasan, I. Djakaria, D.N.A. Karim |Under the license CC BY-NC 4.0
Diterima: 28 Februari 2020|Disetujui: 30 Maret 2020|Online: 31 Maret 2020

## 1.  Pendahuluan
Pemodelan  volatilitas  pada  return  saham  adalah  sesuatu  yang  umum  dipakai  oleh para  investor  untuk  meramalkan  data  pada  masa  yang  akan  datang.  Pemodelan volatilitas dapat digunakan untuk menghitung kerugian maksimum dari suatu return saham  dalam  periode  tertentu  [1].  Terdapat  berbagai  jenis  model  volatilitas diantaranya  model  ARCH  (1)  dan  Model  GARCH  (1,1).  Model  ini  pertama  kali diperkenalkan  oleh  Engle  [2]  dan  Bollerslev  [3]  dalam  bentuk  umum ARCH  ( 𝑝) dan GARCH ( 𝑝, 𝑞). Pemilihan Orde 1 pada disebabkan oleh dua hal, yaitu model dengan orde  1  adalah  model  yang  paling  banyak  di  gunakan,  dan  model  dengan  orde  1 memberikan  parameter  yang  lebih  simple  ( parsimony )  sehingga  memudahkan  dalam komputasi [4].
Beberapa tulisan yang mengkaji tentang peramalan dan perbandingan  menggunakan model ARCH (1) dan GARCH (1,1) terdapat pada [5][6][7]. Tulisan tersebt membahas mengenai  perbandingan  serta  peramalan  data  atau  volatilitas  data  saham menggunakan  model-model  heteroskedastik  melalui  prosedur  yang  telah  lazim digunakan dengan merekonstruksi kondisi datanya.
Pada makalah ini, diambil sudut pandang yang berbeda yaitu dengan melihat perilaku kurtosis dan fungsi autokorelasi. Hal ini disebabkan karena model volatilitas yang baik adalah model volatilitas yang dapat mengakomodasi fakta – fakta empiris dari return saham  [8].  Adapun  yang  dimaksud  dengan  fakta  empiris  ini  adalah  kurtosis  yang tinggi,  fungsi  autokorelasi  retun  kuadrat  turun  secara  perlahan, volatility  clustering , efek leverage ,  asimetris  dll  [9].  Selanjutnya  pada  makalah  ini,  diambil  kurtosis  dan fungsi  autokorelasi,  karena  dapat  terukur  dengan  memanfaatkan  sifat  sifat  statistika dari model.
Secara  lebih  spesifik,  pada  makalh  ini  dibahas  perbandingan  model  ARCH  (1)  dan GARCH  (1,1)  masing  masing  dengan  berbagai  variasi  distribusi  galat  ditinjau  dari perilaku kurtosis dan fungsi autokorelasi.

## 2.  Metode
Metode  yang  digunakan  pada  penulisan  makalah  ini  adalah  studi  literatur  dengan menelusuri  jurnal-jurnal  dan  buku  teks  yang  terkait  dengan  kurtosis  dan  fungsi autokorelasi dari model runtun waktu heterokedastik. Adapun tahapan-tahapan yang dilakukan adalah sebagai berikut,
a. Tahapan  pertama  adalah  modifikasi  teorema-teorema  terkait  dengan  kurtosis  dan fungsi  autokorelasi  dari model  ARCH  (1)  dan  GARCH  (1,1)  dalam  bentuk  umum serta menganalisis teorema-teorema tersebut.
b. Tahapan  kedua  adalah  menganalisis  kurtosis  dan  fungsi  autokorelasi  dari  model ARCH (1) dan GARCH (1,1) dengan variabilitas pada distribusi galat.
c. Tahapan  ketiga  adalah  melakukan  simulasi  menggunakan  data  real  untuk membandingkan  perilaku  kurtosis  dan  autokorelasi  dari  model  ARCH  (1)  dan GARCH (1,1) dengan variasi pada distribusi galat yang mana distibusi galat yang digunakan  pada  makalah  ini  adalah  distribusi  normal  dan  distribusi student ’s t . Adapun data yang digunakan adalah data sekunder return harga penutupan saham harian  dari  tiga  saham  LQ45  yang  memiliki  PER  ( Price  Earning  Ratio )  tinggi berdasarkan data dari pada periode Januari 2019 sampai pada Desember 2019. [10]
Selanjutnya disajikan beberapa definisi dasar yang digunakan pada makalah ini.
Definisi 1 (Model ARCH ( 1 )) [11] Misalkan 𝑋 𝑡 = 𝑅 𝑡 − 𝜇 𝑡 menyatakan proses stokastik dari  return  suatu aset  pada  waktu 𝑡 dengan 𝑅 𝑡 adalah  Return  Saham. 𝑋 𝑡 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡 ≥ 0 dikatakan mengikuti model ARCH(1) jika,
𝑋 𝑡 = 𝜎 𝑡 ⋅ 𝜀 𝑡 , 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 ⋅ 𝑋 𝑡−1 2 (1)
dengan asumsi,
1. 𝜀 𝑡 adalah  barisan  peubah  acak  yang  IID  dengan zero  mean dan  variansinya terbatas.
2. 𝜎 𝑡 dan 𝜀 𝑡 saling bebas. 3. 𝑋 𝑡−1 dan 𝜀 𝑡 saling bebas.
4. Untuk  menjamin  variansi  ( 𝜎 𝑡 )  positif  maka  parameter  harus  dibatasi  yaitu
𝛼 0 > 0, 𝛼 1 ≥ 0 , 𝛽 1 ≥ 0 dan 0 ≤ 𝛼 1 < 1.
Definisi  2  (Model  GARCH  ( 1,1 )) [11] Misalkan 𝑋 𝑡 = 𝑅 𝑡 − 𝜇 𝑡 menyatakan  proses stokastik  dari  return  suatu  aset  pada  waktu 𝑡 dengan 𝑅 𝑡 adalah  Return  Saham. 𝑋 𝑡 , 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑡 ≥ 0 dikatakan mengikuti model GARCH(1,1) jika,
𝑋 𝑡 = 𝜎 𝑡 ⋅ 𝜀 𝑡 , 𝜎 𝑡 2 = 𝛼 0 + 𝛼 1 ⋅ 𝑋 𝑡−1 2 + 𝛽 1 ⋅ 𝜎 𝑡−1 2 (2)
dengan asumsi:
1. 𝜀 𝑡 adalah  barisan  peubah  acak  yang  IID  dengan zero  mean dan  variansinya terbatas 2. 𝜎 𝑡 dan 𝜀 𝑡 saling bebas 3. 𝑋 𝑡−1 dan 𝜀 𝑡 saling bebas 4. Untuk menjamin variansi ( 𝜎 𝑡 ) positif maka parameter harus dibatasi yaitu 𝛼 0 > 0, 𝛼 1 ≥ 0 , 𝛽 1 ≥ 0 dan (𝛼 1 + 𝛽 1 ) < 1

## 3.  Hasil dan Pembahasan

## 3.1.  Kurtosis Model ARCH (1) dan Model GARCH (1,1)
Kurtosis  GARCH  (1,1)  sebelumnya  telah  dijabarkan  dengan  mengunakan  fungsi nonlinier dari 𝛾 𝑖1 = 𝛽 𝑖 + 𝛼 𝑖 𝑚 2 serta memanfaatkan fungsi Gamma [12]. Adapun pada tulisan ini, kami menentukan dengan cara berbeda yaitu dengan memanfaatkan sifat- sifat ekspektasi dan asumsi pada persamaan (2). Hasilnya dinyatakan pada Teorema 1.
Teorema 1. Misalkan 𝑋 𝑡 memenuhi persamaan (2) maka kurtosis 𝑋 𝑡 adalah:
𝜅 = 𝜅 𝜀 ⋅ (1 − (𝛼 1 𝑚 2 + 𝛽 1 )) 2 1 − (𝛼 1 2 𝑚 4 + 2𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 + 𝛽 1 2 ) (3)
dengan 𝜅 𝜀 adalah  kurtosis  dari 𝜀 𝑡 dan 𝑚 2 dan 𝑚 4 masing-masing  adalah 𝐸(𝜀 𝑡 2 )  dan 𝐸(𝜀 𝑡 4 ).
Bukti. Perhatikan bahwa
𝜅 = 𝐸(𝑋 𝑡 4 ) [𝐸(𝑋 𝑡 2 )] 2 = 𝜅 𝜀 𝐸(𝜎 𝑡 4 ) [𝐸(𝑋 𝑡 2 )] 2
dengan 𝜅 𝜀 adalah kurtosis dari 𝜀 𝑡 , sehingga
𝐸 (𝜎 𝑡 4 )   = 𝐸[(𝛼 0 + 𝛼 1 𝑋 𝑡−1 2 + 𝛽 1 𝜎 𝑡−1 2 ) 2 ] = 𝐸[𝛼 0 2 + 𝛼 1 2 𝑋 𝑡−1 4 + 𝛽 1 2 𝜎 𝑡−1 4 + 2𝛼 0 𝛼 1 𝑋 𝑡−1 2 + 2𝛼 0 𝛽 1 𝜎 𝑡−1 2 + 2𝛼 1 𝛽 1 𝑋 𝑡−1 2 𝜎 𝑡−1 2 ]
= 𝛼 0 2 + 𝛼 1 2 𝐸(𝑋 𝑡−1 4 ) + 𝛽 1 2 𝐸(𝜎 𝑡−1 4 ) + 2𝛼 0 𝛼 1 𝐸(𝑋 𝑡−1 2 ) + 2𝛼 0 𝛽 1 𝐸(𝜎 𝑡−1 2 ) + 2𝛼 1 𝛽 1 𝐸(𝑋 𝑡−1 2 𝜎 𝑡−1 2 )

## Perhatikan bahwa untuk proses stasioner berlaku
𝐸(𝜎 𝑡 4 ) = 𝐸(𝜎 𝑡−1 4 )
Karena 𝑋 𝑡 = 𝜎 𝑡 𝜀 𝑡 maka
𝐸(𝑋 𝑡 4 ) = 𝐸(𝜎 𝑡 4 )𝐸(𝜀 𝑡 4 ) = 𝑚 4 𝐸(𝜎 𝑡 4 ) 𝐸(𝑋 𝑡−1 2 𝜎 𝑡−1 2 ) = 𝐸(𝜎 𝑡−1 4 )𝐸(𝜀 𝑡 2 ) = 𝑚 2 𝐸(𝜎 𝑡 4 ) 𝐸(𝑋 𝑡−1 2 ) = 𝛼 0 𝑚 2 1 − 𝛼 1 𝑚 2 − 𝛽 1 𝐸(𝜎 𝑡−1 2 ) = 𝛼 0 1 − 𝛼 1 𝑚 2 − 𝛽 1
Dengan 𝑚 2 = 𝐸(𝜀 𝑡 2 ) dan 𝑚 4 = 𝐸(𝜀 𝑡 4 ) . Dari sini diperoleh
𝐸(𝜎 𝑡 4 ) = 𝛼 0 2 (1 + 𝛼 1 𝑚 2 +   𝛽 1 )/(1 − 𝛼 1 𝑚 2 − 𝛽 1 ) 1 − 𝛼 1 𝑚 4 − 2𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 − 𝛽 1 2
sehingga diperoleh kurtosis untuk model GARCH (1,1) adalah
𝜅 = 𝛼 0 2 (1+𝛼 1 𝑚 2 +𝛽 1 ) 1−𝛼 1 𝑚 2 −𝛽 1 1 − 𝛼 1 𝑚 4 − 2𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 − 𝛽 1 2 × (1 − 𝛼 1 𝑚 2 − 𝛽 1 ) 2 𝛼 0 2 = 𝜅 𝜀 (1 − (𝛼 1 𝑚 2 + 𝛽 1 )) 2 1 − (𝛼 1 2 𝑚 4 + 2𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 + 𝛽 1 2 ) . ∎
Persamaan  (3)  ini  memberikan  nilai    kurtosis  yang  sama  dengan  [12].  Persamaan  (3) akan memenuhi kondisi jika,
(𝛼 1 2 𝑚 4 + 2𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 + 𝛽 1 2 ) < 1                                                               (4)
Selanjutnya,  untuk  kurtosis  model  ARCH  (1)  dapat  diperoleh  dengan  menetapkan nilai 𝛽 1 = 0 sehingga diperoleh,
𝜅 = 𝜅 𝜀 ⋅ (1 − (𝛼 1 𝑚 2 )) 2 1 − (𝛼 1 2 𝑚 4 ) (5)
Dari persamaan (3) dan persamaan (4) terlihat bahwa jika parameter model memenuhi asumsi dan persamaan (4) terpenuhi maka nilai 𝜅 > 𝜅 𝜀 . Oleh karena itu, jika 𝜀 𝑡 ~𝑁 (0,1) maka  nilai 𝜅 > 3 .  Akibatnya,  baik  model  ARCH  (1)  maupun  GARCH(1,1)  adalah model  yang  memiliki  kurtosis  yang  tinggi  meskipun  distribusi  galatnya  bukan distribusi ekor tebal. Sehingga, secara analitik kita tidak bisa melihat model mana yang terbaik  karena  kedua  model  dapat  mengakomodasi  sifat  distribusi  ekor  tebal  dari return.
Meskipun  model  ARCH  (1)  dan  GARCH  (1,1)  dengan  galat  berdistribusi  normal mampu  mengakomodasi  sifat  ekor  tebal,  menurut  [13],  dalam  banyak  aplikasinya dalam data finansial distribusi normal belum cukup untuk mengakomodasi distribusi return.  Salah  satu  solusi  dari  masalah  ini  adalah  dengan  mengadopsi  distribusi 𝜀 𝑡 dengan distribusi yang memiliki ekor yang lebih tebal dibandingkan distribusi normal. Distribusi 𝜀 𝑡 dengan  distribusi student’s  t diperoleh  bahwa  model  dapat mendeskripsikan  dengan  baik  perilaku  data  return.  Hasil  ini  diperoleh  dengan mengadopsi  cara  yang  digunakan  pada  [14].  Jika  diperhatikan  untuk  distribusi 𝜀 𝑡 dengan distribusi student’s  t dengan 𝜈 > 4 dan  menggunakan  persamaan  (3) dan  (4), maka kurtosisnya dari model tersebut akan lebih besar dari tiga.

## 3.2.  Fungsi Autokorelasi Model ARCH (1) dan Model GARCH (1,1)
Pada  bagian  ini  kami  menentukan  autokorelasi  dengan  mengunakan  fakta  bahwa model  GARCH  ( 𝑝 , 𝑞 )  dapat  direpresentasikan  sebagai  model  ARMA  ( max(𝑝, 𝑞) , 𝑝 ) dalam bentuk 𝑋 𝑡 2 [15]. Hasil ini lebih lanjut dinyatakan pada Teorema 2.
Teorema  2. Misalkan 𝑋 𝑡 memenuhi  persamaan  (2)  dan 𝑙 menyatakan  banyaknya langkah ( lag ) maka fungsi autokorelasi return kuadrat 𝑋 𝑡 2 dan 𝑋 𝑡−𝑙 2 adalah,
𝜌 𝑙 = {
1               , 𝑙 = 0 𝛼 1 (1 − 𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 ) (1 − 2𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 ) , 𝑙 = 1 (𝛼 1 + 𝛽 1 ) 𝑙−1 𝜌 1 , 𝑙 > 1 (6)
Bukti. Misalkan 𝑋 𝑡 memenuhi persamaan (2) maka
𝑋 𝑡 2 =   𝛼 0 + (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝑋 𝑡−1 2 − 𝛽 1 𝜂 𝑡−1 + 𝜂 𝑡 (7)
Dengan 𝜂 𝑡 adalah proses white noise . Perhatikan bahwa
𝐸(𝑋 𝑡 2 ) = 𝜇 = 𝛼 0 1 − (𝛼 1 + 𝛽 1 )
Sehingga  dengan  mengunakan  manipulasi  aljabar  maka  persamaan  (7)  dapat  ditulis kembali menjadi,
𝑋 𝑡 2 − 𝜇 = (𝛼 1 + 𝛽 1 )(𝑋 𝑡−1 − 𝜇) − 𝛽 1 𝜂 𝑡−1 + 𝜂 𝑡
Jika kedua ruas dikalikan dengan 𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇 kemudian diekspektasikan maka diperoleh
• Untuk 𝑙 = 0
𝐸[(𝑋 𝑡 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡 2 − 𝜇) = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝐸[(𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡 2 − 𝜇)] − 𝛽 1 𝐸(𝜂 𝑡−1 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)
+ 𝐸(𝜂 𝑡 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)] 𝛾 0 = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝛾 1 − 𝛽 1 𝐸[𝜂 𝑡−1 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)] + 𝐸(𝜂 𝑡 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)
Perhatikan bahwa
𝐸[𝜂 𝑡 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)] = 𝐸[𝜂 𝑡 ((𝛼 1 + 𝛽 1 )(𝑋 𝑡 2 − 𝜇) − 𝛽 1 𝜂 𝑡−1 + 𝜂 𝑡 = 𝜎 𝜂 2 𝐸[𝜂 𝑡−1 (𝑋 𝑡 2 − 𝜇)] = 𝐸[𝜂 𝑡−1 ((𝛼 1 + 𝛽 1 )(𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)) − 𝛽 1 𝜂 𝑡−1 + 𝜂 𝑡 = 𝛼 1 𝜎 𝑛 2
Dari sini diperoleh
𝛾 0 = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝛾 1 + (1 − 𝛼 1 𝛽 1 )𝜎 𝑛 2 (8)
• Untuk 𝑙 = 1
𝐸[(𝑋 𝑡 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)] = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝐸[(𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)] − 𝛽 1 𝐸[(𝜂 𝑡−1 (𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)] + 𝐸[(𝜂 𝑡 (𝑋 𝑡−1 2 − 𝜇)]

## Dari sini diperoleh
𝛾 1 = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝛾 0 − 𝛽 1 𝜎 𝜂 2 (9)
• Untuk 𝑙 ≥ 2
𝐸[(𝑋 𝑡 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇)] = (𝛼 1 + 𝛽 1 ) 𝐸[(𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇)(𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇)] − 𝛽 1 𝐸[(𝜂 𝑡−1 (𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇)] + 𝐸[(𝜂 𝑡 (𝑋 𝑡−𝑙 2 − 𝜇)]
Dari sini dapat diperoleh
𝛾 𝑙 = (𝛼 1 + 𝛽 1 )𝛾 𝑙−1
Selanjutnya dengan menyelesaikan persamaan (8) dan persamaan (9) diperoleh
𝛾 0 = (1 − 2𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 )𝜎 𝜂 2 1 − (𝛼 1 + 𝛽 1 ) 2 𝛾 1 = [𝛼 1 (1 − 𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 )]𝜎 𝜂 2 1 − (𝛼 1 + 𝛽 1 ) 2
Dari hasil sebelumnya diperoleh
𝜌 1 = 𝛾 1 𝛾 0 = 𝛼 1 (1 − 𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 ) 1 − 2𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2
Dengan meneruskan proses ini diperoleh fungsi autokorelasi dari 𝜌 𝑙 untuk 𝑙 ≥ 2 yaitu
𝜌 𝑙 = (𝛼 1 + 𝛽 1 ) 𝑙−1 𝜌 1
∎
Cara  ini  memiliki  kekurangan  yaitu  hanya  bisa  digunakan  pada  asumsi  galat berdistribusi normal oleh karena itu, persamaan (6) hanya memenuhi jika 𝜀 𝑡 ~𝑁(0,1) . Secara umum [12] menuliskan persamaan fungsi autokorelasi dari model GARCH (1,1) pada persamaan (10)
𝜌 𝑙 = { 0                               , 𝑙 = 0 (𝛼 1 𝑚 2 + 𝛽 1 ) 𝑙−1 ⋅ 𝛼 1 𝑚 2 (1 − 𝛼 1 𝛽 1 𝑚 2 − 𝛽 1 2 ) (1 − 2𝛼 1 𝛽 1 − 𝛽 1 2 ) , 𝑙 ≥ 1 (10)
Selanjutnya,  untuk  model  ARCH  (1)  dapat  diperoleh  fungsi  autokorelasinya  dengan menetapkan nilai 𝛽 1 = 0 sehingga diperoleh hasil sebagai berikut,
𝜌 𝑙 = { 0      , 𝑙 = 0 (𝛼 1 𝑚 2 ) 𝑙 , 𝑙 ≥ 1 (11)
Pada persamaan (6) dan (7) terlihat jelas bahwa  jika parameter model ARCH (1) dan GARCH (1,1) memenuhi definisi (1) maka jelas bahwa 𝜌 1 > 𝜌 2 > ⋯ > 𝜌 𝑙 . Hal ini berarti bahwa fungsi autokorelasinya akan selalu turun secara perlahan. Hal ini dapat dilihat pada gambar (1)
Gambar 1. Plot perilaku fungsi autokorelasi 𝑋 𝑡 2 dari model GARCH (1,1)
Gambar 1  merupakan gambar  dari  persamaan  (6)  dengan fixed  parameter .  Dari  Gambar  (1) terlihat bahwa fungsi autokorelasi 𝑋 𝑡 2 akan turun secara perlahan. Hal ini sesuai dengan sifat empiris fungsi autokorelasi yang terdapat pada [9]. Fungsi autokorelasi dari return kuadrat akan perlahan turun ( slowly decay of autocorrelation ). Hal ini berarti baik model ARCH (1) dan GARCH (1,1) memiliki fungsi autokorelasi turun secara perlahan.

## 3.3.  Simulasi
Simulasi  pada  bab  ini  bertujuan  untuk  melihat  seberapa  besar  perbedaan  antara kurtosis  dan  fungsi  autokorelasi  data  aktual  dibandingkan  dengan  kurtosis  dan
autokorelasi  model  ARCH  (1)  dan  GARCH  (1,1).  Seperti  yang  telah  dijelaskan sebelumnya  bahwa  data  yang  digunakan  pada  simulasi  ini  adalah  data  sekunder return  harga  penutupan  saham  harian  dari  3  saham  LQ45  yang  memiliki  PER  tinggi berdasarkan  data  dari  [10]  pada  periode  Januari  2019  sampai  pada  Desember  2019 yaitu:
1. PT. Semen Indonesia, Tbk (SMGR.JK).
2. PT. Jasa Marga (Persero), Tbk (JSMR.JK).
3. PT. Media Nusantara Citra, Tbk (MNCN).
Dari  data  diatas  selanjutnya  dihitung  return  harga  saham  dengan  menggunakan formulasi 𝑟 𝑡 = (𝑙𝑛 𝑃 𝑡 −  𝑙𝑛 𝑃 𝑡−1 )   ×  100 dengan 𝑟 𝑡 dan 𝑃 𝑡 masing masing menyatakan return  dan  harga  saham  pada  saat 𝑡 .  Selanjutnya  dihitung  mengunakan  software MATLAB  R201sa statistik  deskriptifnya dan  estimasi  parameter  dari  model  ARCH(1) dan GARCH (1,1) dengan disribusi galat yang digunakan adalah distribusi normal dan distribusi s tudent’s t dengan derajat bebas sepuluh . Hasilnya dapat dilihat pada tabel (1).
Table 1. Statistik deskriptif dan hasil estimasi parameter SMGR JMSR MNCN Skewness -0,037373 0,272976 0,615828 Kurtosis 15,939440 3,990510 6,267070 Model ARCH (1) dengan distribusi Normal 𝛼 0 0,0004451 0,00038 0,000792 𝛼 1 0,1939264 0,159169 0,433845 Model ARCH (1) dengan distribusi student’s t 𝛼 0 0,000410 0,000383 0,000763 𝛼 1 0,203941 0,170211 0,108818 Model GARCH (1,1) dengan distribusi Normal 𝛼 0 0,000155 0,000227 0,000565 𝛼 1 0,582522 0,330528 0,148459 𝛽 1 0,137646 0,167851 0,495621 Model GARCH (1,1) dengan distribusi student’s t 𝛼 0 8,63 × 10 −5 2,39 × 10 −4 0,000106 𝛼 1 0,691533 0,308618 0,783344 𝛽 1 0,136671 0,176535 0,079701
Nilai-nilai  yang  terdapat  dari  tabel  (1)  diperoleh  dengan  melakukan  prosedur  pemodelan runtun waktu heteroskedastik. Nilai – nilai ini kemudian disubtitusikan pada persamaan (7) dan  (8)  untuk  memperoleh  nilai  kurtosis  model.  Selanjutnya  dibandingkan  hasil  antara kurtosis  data  dan  kurtosis  model  untuk  melihat  hasil  yang  paling  baik  diukur  dengan menggunakan MSE sehingga diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 2.
Table 2. Perbandingan Nilai MSE kurtosis data dan kurtosis model
Data Kurtosis Data Kurtosis ARCH (1) Kurtosis ARCH (1)-t Kurtosis GARCH (1,1) Kurtosis GARCH (1,1)-t SMGR.JK 4,575900  3,254340 5,923795 3,256341 14,783750 JMSR.JK 3,527936  3,164511 4,532963 3,243130 5,698164 MNCN.JK  21,746160  5,594140 3,469072 18,698920 4,381430 MSE 87,58878  1,1697* 10 13 3,70267401 136,814650
Tabel 2 menunjukkan bahwa nilai kurtosis yang memiliki MSE terkecil adalah model GARCH (1,1) sehingga dapat disimpulkan pada kumpulan data ini model GARCH (1,1) memberikan nilai terbaik dalam mengakomodasi nilai kurtosis pada data real. Hal ini juga terlihat pada data MNCN.JK yang memiliki kurtosis yang sangat tinggi dapat didekati dengan baik oleh model GARCH (1,1).
Jika nilai-nilai parameter pada tabel (1) disubtitusikan pada persamaan (7) dan (8) maka akan diperoleh  juga  nilai-nilai  fungsi  autokorelasi  model.  Selanjutnya,  nilai-nilai  ini  akan dibandingkan dengan fungsi autokorelasi data yaitu dengan melihat MSE. Nilai-nilai fungsi autokorelasi  ini  akan  dibatasi  pada  5  lag  pertama  karena  persamaan  (7)  dan  (8)  akan konvergen ke nol, jika lagnya semakin besar. Hasil perbandingan antara fungsi autokorelasi data dan fungsi autokorelasi model yang disajikan pada Tabel 3.
Table 3. Perbandingan Nilai MSE fungsi autokorelasi data dan fungsi autokorelasi model
Emiten  Lag 𝜌 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝜌 𝑎𝑟𝑐ℎ(1) 𝜌 𝑎𝑟𝑐ℎ(1)−𝑡 𝜌 𝑔𝑎𝑟𝑐ℎ(1,1) 𝜌 𝑔𝑎𝑟𝑐ℎ(1,1)−𝑡 SMGR 0 1 1 1 1 1 1 0.243552 0,19392643 0,203940615  0,159706 0,241532554 2 0,141246 0,03760746 0,041591774  0,1150151 0,208290956 3 0,050043 0,00729308 0,008482252  0,0828302 0,179624326 4 0,000422 0,00141432 0,001729876  0,0596517 0,154903022 MSE 0,00300644 0,002645812 0,0024603 0,009030941 JMSR 0 1 1 1 1 1 1 0,230484 0,15916862 0,170211382  0,1797936 0,240222308 2 0,064633 0,02533465 0,028971915  0,0896054 0,127146363 3 0,038561 0,00403248 0,00493135 0,0446575 0,06729682 4 -0,04602 0,00064184 0,000839372  0,0222564 0,035619281 MSE 0,00199991 0,001646201 0,0015783 0,002298604 MNCN 0 1 1 1 1 1 1 0,23621 0,43384473 0,108817567  0,539515 0,133389227 2 0,010375 0,18822125 0,011841263  0,3474908 0,117778824 3 0,088068 0,0816588 0,001288537  0,2238118 0,103995289 4 -0,01065 0,03542724 0,000140216  0,1441527 0,091824828 MSE 0,01457055 0,004775623 0,0496061 0,006572378
Dari Tabel 3 dapat dilihat bahwa nilai fungsi autokorelasi model GARCH (1,1) memiliki MSE terkecil untuk dua data return saham yaitu SMGR.JK dan JMSR.JK. Untuk MNCN.JK, nilai fungsi  autokorelasi  model  ARCH  (1)  dengan  distribusi  t  memiliki  nilai  MSE  terkecil.  Oleh
karena itu dapat disimpulkan bahwa dalam fungsi autokorelasi model GARCH (1,1) dapat mengakomodasi dengan baik sifat fungsi autokorelasi return kuadrat turun secara perlahan ( slowly decay of autocorrelation ) untuk data data ini.

## 4.  Kesimpulan
Secara analitik, Model ARCH (1) dan GARCH (1,1) memiliki kurtosis yang tinggi yaitu lebih  dari  tiga  yang  berarti  kedua  model  tersebut  memiliki  distribusi  ekor  tebal  dan fungsi autokorelasi yang turun secara perlahan. Hasil simulasi numerik perbandingan MSE  nilai  kurtosis  data  dan  kurtosis  model  diperoleh  bahwa  model  GARCH(1,1) memiliki  MSE  terkecil  dengan  nilai  3,702.  Selanjutnya,  hasil  numerik  perbandingan MSE  untuk  fungsi  autokorelasi  diperoleh  GARCH  (1,1)  memiliki  MSE  terkecil  pada dua data yaitu SMGR.JK dan JMSR.JK masing masing memiliki nilai 0,0025 dan 0,0015. Selanjutnya  untuk  data  MNCN.JK  MSE  terkecilnya  adalah  model  ARCH  (1)  dengan distribusi 𝑡 dengan nilai 0,0048.

## Referensi
[1]  R. S. Tsay, Analysis of financial time series . New York: Wiley, 2002.
[2] R. F. Engle, “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance  of  United  K ingdom  Inflation,” Econometrica ,  vol.  50,  no.  4,  p.  987,  Jul. 1982, doi: 10.2307/1912773.
[3] T.  Bollerslev,  “Generalized  autoregressive  conditional  heteroskedasticity,” J. Econom. , vol. 31, no. 3, pp. 307 – 327, Apr. 1986, doi: 10.1016/0304-4076(86)90063-1.
[4] H.  Malmsten  and  T.  Teräsvirta,  “Stylized  Facts  of  Financial  Time  Series  and Three Popular Mod- els of Volatility,” Eur J Pure Appl Math , p. 35, 2010.
[5]  R. Bilondatu, N. Nurwan, and D. R. Isa , “A Model ARCH (1) dan GARCH (1,1) pada  Peramalan  Harga  Saham  PT.  Cowell  Development Tbk.,” BAREKENG  J. Ilmu  Mat.  Dan  Terap. ,  vol.  13,  no.  1,  pp.  009 – 018,  Mar.  2019,  doi: 10.30598/barekengvol13iss1pp009-018ar676.
[6] C. M. Lim and S. K. Sek, “Comparing the Performances of GARCH -type Models in Capturing the Stock Market Volatility in Malaysia,” Procedia Econ. Finance , vol. 5, pp. 478 – 487, 2013, doi: 10.1016/S2212-5671(13)00056-7.
[7] H.  Herwartz,  “Stock  return  prediction  under  GARCH  — An  empirical assessment,” Int.  J.  Forecast. ,  vol.  33,  no.  3,  pp.  569 – 580,  Jul.  2017,  doi: 10.1016/j.ijforecast.2017.01.002.
[8] R. F. Engle and A. J. Patton, “What good is a volatility model?,” Quant. Finance , vol. 1, no. 2, pp. 237 – 245, Feb. 2001, doi: 10.1088/1469-7688/1/2/305.
[9] R.  Cont,  “Empirical  propertie s  of  asset  returns:  stylized  facts  and  statistical issues,” Quant.  Finance ,  vol.  1,  no.  2,  pp.  223 – 236,  Feb.  2001,  doi:
10.1080/713665670.
[10] D.  Ayuningtyas,  “5  Saham  LQ45  Beri  Cuan  di  Atas  20%,  Mari  Simak Kinerjanya,” market .  https://www.cnbcindonesia.com/market/20191104102926- 17-112353/5-saham-lq45-beri-cuan-di-atas-20-mari-simak-kinerjanya (accessed Feb. 27, 2020).
[11]  E. Zivot and J. Wang, Modeling financial time series with S-plus , 2nd ed. New York, NY: Springer, 2006.
[12]  C.  He  and  T.  Teräsvirta, “ Fourth  Moment  Structure  of  The  GARCH  ( p , q ) PROCESS,” Econom.  Theory ,  vol.  15,  no.  6,  pp.  824 – 846,  Dec.  1999,  doi:
10.1017/S0266466699156032.
[13] T.  Bollerslev,  R.  Y.  Chou,  and  K.  F.  Kroner,  “ARCH  modeling  in  finance,” J. Econom. , vol. 52, no. 1 – 2, pp. 5 – 59, Apr. 1992, doi: 10.1016/0304-4076(92)90064-X.
[14] X. Bai, J. R. Russell, and G. C. Tiao, “Kurtosis of GARCH and stochastic volatility models  with  non- normal  innovations,” J.  Econom. ,  vol.  114,  no.  2,  pp.  349 – 360,
Jun. 2003, doi: 10.1016/S0304-4076(03)00088-5.
[15]  C.  Francq  and  J.-M.  Zakoian, GARCH  models:  structure,  statistical  inference,  and financial applications . Chichester, West Sussex: Wiley, 2010.