Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 2, Nopember 2021, 187-202 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i2.9480
Multi Criteria Decision Making menggunakan Operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
Nurul Faqiyyatur Rokhmah 1 , Noor Hidayat 1 , Abdul Rouf Alghofari 1
1 Jurusan Matematika, Universitas Brawijaya, Malang, Indonesia e-mail: nurulfaqiyya@gmail.com
Diajukan: 24 Juni 2021, Diperbaiki: 9 Agustus 2021, Diterima: 11 Agustus 2021

## Abstrak
Multi Criteria Decision Making (MCDM)  adalah  proses  penentuan solusi terbaik dalam suatu masalah berdasarkan kriteria yang telah ditentukan. Dalam berbagai kasus, pengambil keputusan sulit untuk menyatakan pendapatnya dalam angka yang tegas. Oleh karena itu, penggunaan bilangan fuzzy dianggap lebih efisien. Salah satu bilangan fuzzy yang digunakan dalam kasus MCDM adalah Interval Value Pythagorean Fuzzy Number (IVPFN). Informasi fuzzy pada kasus MCDM dinyatakan dalam IVPFN.
Akurasi informasi fuzzy dinilai oleh Group Generalized Parameter (GGP) yang dinyatakan dengan cara yang sama seperti informasi fuzzy , yaitu dengan IVPFN. Informasi fuzzy dan GGP selanjutnya diagregasi menggunakan  operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Average (GGIVPFWA) dan Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Geometric (GGIVPFWG). Kedua operator tersebut bertujuan untuk menemukan alternatif terbaik yang dapat dipilih. Hasil keputusan dari operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG selanjutnya diverifikasi menggunakan weighted similarity measure dan menunjukkan bahwa kedua operator tersebut dapat menyelesaikan masalah MCDM secara efektif dan akurat.
Kata Kunci : multi criteria decision making, interval value Pythagorean fuzzy, group generalized parameter, weighted similarity measure .

## Abstract
Multi Criteria Decision Making (MCDM) is a way for figuring out the first-rate answer primarily based totally on decided criteria. In diverse cases, the decision makers discover it hard to explicit their opinion in a crisp number. So that, the use of fuzzy number is considered more efficient. One of fuzzy number commonly used in the MCDM cases is Interval Value Pythagorean Fuzzy Number (IVPFN). The fuzzy information of MCDM problem is represented by IVPFN. The fuzzy information accuracy is assessed by Group  Generalized Parameter (GGP) which is represented withinside the identical technique  as fuzzy information. The fuzzy information and GGP are then aggregated using Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Average (GGIVPFWA) and Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Geometric (GGIVPFWG) operators. The two operators aim to determine the best alternative that can be chosen. The results are then verified using weighted similarity measure and show that GGIVPFWA and GGIVPFWG can effectively and accurately solve the MCDM problem.
Keywords : multi criteria decision making, interval value Pythagorean fuzzy, group generalized parameter, weighted similarity measure .

## 1  Pendahuluan
Multi Criteria Decision Making (MCDM) merupakan proses penentuan solusi atau alternatif terbaik berdasarkan beberapa kriteria yang telah ditentukan. MCDM memberikan peringkat atau

## 188 Multi Criteria Decision Making menggunakan Operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
urutan prioritas dari yang paling menguntungkan hingga tidak menguntungkan. Dalam berbagai kasus MCDM, pengambil keputusan menyatakan pendapatnya menggunakan himpunan fuzzy yang pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965) [1]. Hal tersebut dilakukan karena pengambil keputusan sulit untuk menyatakan pendapatnya dalam angka yang tegas.
Representasi informasi fuzzy dalam kasus MCDM selanjutnya mengikuti perkembangan teori himpunan fuzzy pada  [2]  dan  [3]. Pada tahun 2013, Yager [4]  memperkenalkan teori Pythagorean Fuzzy Set (PFS). Selanjutnya, Peng dan Yang [5] memperluas konsep PFS menjadi Interval Value Pythagorean Fuzzy Set (IVPFS). IVPFS dapat merepresentasikan informasi fuzzy dengan lebih efektif dan akurat.
Akurasi informasi fuzzy ditentukan oleh Generalized Parameter (GP), suatu konsep yang diperkenalkan oleh Agarwal (2013) [6]. Namun, GP tertentu tidak dapat menilai akurasi informasi fuzzy secara akurat, sehingga diperlukan lebih banyak GP yang dihimpun dalam Group Generalized Parameter (GGP). GGP dapat menentukan akurasi informasi fuzzy dan mengurangi dampak kesalahan akibat penggunaan GP tertentu. GGP direpresentasikan dengan cara yang sama seperti informasi fuzzy .
Proses pengolahan informasi fuzzy yang dinyatakan dalam PFS menggunakan operator agregasi Pythagorean fuzzy diteliti oleh Garg pada tahun 2016 dan 2017 dalam [7]  dan  [8]. Selanjutnya, proses pengolahan informasi fuzzy yang dinyatakan dalam IVPFS menggunakan operator interval value Pythagorean fuzzy diteliti oleh Rahman pada tahun 2017 dan 2018 dalam [9]  dan  [10].  Pada tahun 2020, Feng dkk  [11]  meneliti tentang operator yang mengagregasi informasi fuzzy dan GGP yang dinyatakan dalam PFS.
Hasil agregasi informasi fuzzy dan GGP dengan operator agregasi Pythagorean fuzzy mungkin saja mengalami kesalahan. Oleh karena itu, konsep similarity measure digunakan untuk memverifikasi hasil dari operator agregasi Pythagorean fuzzy yang digunakan. Konsep similarity measure dari himpunan Pythagorean fuzzy diteliti oleh Zhang [12]. Sedangkan konsep similarity measure dari himpunan interval value Pythagorean fuzzy diteliti oleh Li [13].
Berdasarkan penelitian-penelitian sebelumnya, artikel ini akan membangun definisi tentang operator agregasi group generalized interval value Pythagorean  fuzzy . Artikel ini juga akan memberikan kasus MCDM dengan informasi fuzzy dan GGP yang dinyatakan dalam IVPFS. Informasi tersebut selanjutnya diagregasi menggunakan operator agregasi group generalized interval value Pythagorean fuzzy . Hasil dari operator agregasi tersebut selanjutnya diverifikasi menggunakan weighted similarity measure untuk mementukan tingkat efektivitas dan akurasi dari operator agregasi yang digunakan.

## 189

## 2 Metode Penelitian
Metode  penelitian studi literatur adalah metode yang digunakan  dalam penelitian  ini. Sumber literatur yang digunakan berasal dari beberapa pustaka, seperti buku dan artikel ilmiah. Penelitian ini diawali dengan mempelajari teori IVPFS, GGP, dan weighted similarity measure . Kemudian membangun operator yang mengagregasi informasi fuzzy dan GGP yang dinyatakan dalam IVPFS. Selanjutnya mengaplikasikan operator agregasi dalam kasus MCDM dan memverifikasi hasil yang diperoleh menggunakan weighted similarity measure . Beberapa definisi dan proposisi yang dijadikan sebagai rujukan dalam penelitian ini diberikan sebagai berikut.

## 2.1 Himpunan Interval Value Pythagorean Fuzzy
Bilangan interval 𝑦𝑦� didefinisikan sebagai 𝑦𝑦� = [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] = { 𝑦𝑦 𝑎𝑎 ≤ 𝑦𝑦 ≤ 𝑦𝑦 𝑏𝑏 } dengan 𝑦𝑦 𝑎𝑎 dan 𝑦𝑦 𝑏𝑏 adalah batas bawah dan batas atas dari bilangan interval 𝑦𝑦� . Jika 𝑦𝑦 𝑎𝑎 = 𝑦𝑦 𝑏𝑏 , maka 𝑦𝑦� adalah bilangan riil. Untuk sebarang dua interval [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] dan [ 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ] , berlaku operasi berikut [14].
1. [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] + [ 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ] = [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 + 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 + 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ] 2. [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] − [ 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ] = [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 − 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 − 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ]
3. [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] × [ 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ] = [ 𝑦𝑦 ∗ , 𝑧𝑧 ∗ ] , dengan 𝑦𝑦 ∗ = min( 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ) dan 𝑧𝑧 ∗ = max( 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑎𝑎 𝑧𝑧 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ) 4. �𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 � �𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 � = [ 𝑦𝑦 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 𝑏𝑏 ] × � 1 𝑧𝑧 𝑏𝑏 , 1 𝑧𝑧 𝑎𝑎 � ,   0 ∉ [ 𝑧𝑧 𝑎𝑎 , 𝑧𝑧 𝑏𝑏 ]
Bilangan interval telah diaplikasikan dalam berbagai bidang, salah satunya adalah himpunan interval value Pythagorean  fuzzy .  Himpunan interval value Pythagorean fuzzy menjadi dasar utama dalam penelitian ini untuk membentuk operator agregasi interval value Pythagorean fuzzy yang baru. Berikut diberikan definisi dan beberapa operator yang berlaku pada himpunan interval value Pythagorean fuzzy .
Definisi 1 [15] Misalkan 𝑌𝑌 adalah himpunan tak kosong. IVPFS 𝐼𝐼 atas 𝑌𝑌 didefinisikan sebagai 𝐼𝐼 = ��𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) ��𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌� . (1)
dimana
𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � ⊂ [0,1], dengan 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ) = inf �𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) � dan 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) = sup �𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) � 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � ⊂ [0,1], dengan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ) = inf �𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) � dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) = sup �𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) � dan 0 ≤ �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � 2 + �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � 2 ≤ 1 . 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) adalah derajat keanggotaan dan derajat non keanggotaan dari 𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌 pada 𝐼𝐼 . 𝜋𝜋 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) = �𝜋𝜋 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ), 𝜋𝜋 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � adalah derajat ketidakpastian dari 𝑦𝑦 pada 𝐼𝐼 dengan 𝜋𝜋 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ) = � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � 2 dan 𝜋𝜋 𝐼𝐼 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) = � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ) � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 ) � 2 .
Selanjutnya, 𝐼𝐼 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 �� disebut sebagai Interval Value Pythagorean Fuzzy Number (IVPFN).
Definisi 2 [15] Misalkan 𝐼𝐼 1 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 �� dan 𝐼𝐼 2 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 �� adalah  dua IVPFN. Relasi antara dua IVPFN didefinisikan sebagai berikut.
1. 𝐼𝐼 1 = 𝐼𝐼 2 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 = 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 = 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 = 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 = 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 . 2. 𝐼𝐼 1 ≤ 𝐼𝐼 2 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 .
Definisi 3 [15] Misalkan 𝐼𝐼 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 �� adalah suatu IVPFN. Fungsi score 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 ) dan fungsi akurasi 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 ) didefinisikan sebagai berikut.
𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 ) = 1 2 � ( 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ) 2 + �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � 2 − ( 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ) 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � 2 � , 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 ) ∈ [ − 1,1]. (2)
𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 ) = 1 2 � ( 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ) 2 + �𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � 2 + ( 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑎𝑎 ) 2 + �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑏𝑏 � 2 � , 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 ) ∈ [0,1]. (3)
Jika 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 adalah dua IVPFN, maka:
1. Jika 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 ) < 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 ) , maka 𝐼𝐼 1 < 𝐼𝐼 2 .
2. Jika 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 ) = 𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 ) , maka: a. Jika 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 1 ) = 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 2 ) , maka 𝐼𝐼 1 = 𝐼𝐼 2 b. Jika 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 1 ) < 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 2 ) , maka 𝐼𝐼 1 < 𝐼𝐼 2 c. Jika 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 1 ) > 𝐻𝐻 ( 𝐼𝐼 2 ) , maka 𝐼𝐼 1 > 𝐼𝐼 2
Definisi 4 [15] Misalkan 𝐼𝐼 1 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 �� dan 𝐼𝐼 2 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 �� adalah dua IVPFN dan 𝜆𝜆 > 0 , maka:
1. 𝐼𝐼 1 ⊕ 𝐼𝐼 2 = ����𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 + �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 � 2 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 � 2 , ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 + �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � 2 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � 2 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 �� .
2. 𝐼𝐼 1 ⊗ 𝐼𝐼 2 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � , ���𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 + �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 � 2 , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 + �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 � 2 �� .
3. 𝜆𝜆𝐼𝐼 1 = ��� 1 − � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 � 𝜆𝜆 , � 1 − � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 � 𝜆𝜆 � , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 𝜆𝜆 , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 𝜆𝜆 �� .
4. 𝐼𝐼 1 𝜆𝜆 = � ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 𝜆𝜆 , �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 𝜆𝜆 � , �� 1 − � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 � 𝜆𝜆 , � 1 − � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 � 𝜆𝜆 �� .
Koleksi IVPFN 𝐼𝐼 𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 diagregasi menggunakan Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Average (IVPFWA) dan Interval Value Pythagorean Fuzzy Weighted Geometric (IVPFWG).
Definisi dari kedua operator tersebut diberikan sebagai berikut.
Definisi 5 [10] Misalkan 𝐼𝐼 𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 adalah koleksi IVPFN.
Operator IVPFWA didefinisikan sebagai
𝜙𝜙 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) = � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , ���𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �� . (4)
Operator IVPFWG didefinisikan sebagai
𝜓𝜓 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) = ����𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , ��𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ � . (5)
dengan 𝛼𝛼 𝑖𝑖 adalah pembobot dari 𝐼𝐼 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 dan 𝛼𝛼 𝑖𝑖 ∈ [0,1], ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 .

## 2.2 Similarity Measure
Konsep similarity measure dalam penelitian ini berperan sebagai metode verifikasi hasil dari operator agregasi interval value Pythagorean fuzzy . Konsep similarity measure berperan untuk menentukan tingkat efektivitas dan akurasi dari  operator agregasi yang digunakan. Berikut diberikan definisi similarity measure
Definisi 6 [13] Misalkan 𝑌𝑌 adalah himpunan tak kosong dan 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 adalah IVPFS atas 𝑌𝑌 . Similarity measure antara 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 adalah fungsi 𝑆𝑆𝑆𝑆 : 𝑌𝑌 × 𝑌𝑌 → [0,1] yang memenuhi aksioma berikut:
1. 0 ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) ≤ 1 .
2. 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = 1 jika 𝐼𝐼 1 = 𝐼𝐼 2 .
3. 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 1 ) .
4. 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) dan 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 ) jika 𝐼𝐼 1 ⊂ 𝐼𝐼 2 ⊂ 𝐼𝐼 3 untuk sebarang
IVPFS 𝐼𝐼 3 .
Proposisi 7 [13] Misalkan 𝑌𝑌 = { 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , ⋯ , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } adalah  suatu  himpunan dan 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 adalah dua IVPFS atas 𝑌𝑌 . Similarity measure antara 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 adalah
𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = 1 2 𝑛𝑛 � � min �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � + min �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
. (6)
yang memenuhi aksioma pada Definisi 6, dengan
𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �

## 192 Multi Criteria Decision Making menggunakan Operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
Bukti : Berdasarkan verifikasi, 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) memenuhi aksioma 1-3 pada Definisi 6. Selanjutnya akan dibuktikan untuk aksioma 4. Misalkan 𝐼𝐼 1 ⊂ 𝐼𝐼 2 ⊂ 𝐼𝐼 3 . Berdasarkan Definisi 2 diperoleh
𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 )    dan 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 )    dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ≥ 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 )
Untuk setiap 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ∈ 𝑌𝑌 . Selanjutnya,
min ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � min ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �
max ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �
dan
𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = 1 2 𝑛𝑛 � � min �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � + min �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 2 𝑛𝑛 � ⎝ ⎜ ⎛ min ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � max ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � + min ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �� max ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) ��⎠ ⎟ ⎞ 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 2 𝑛𝑛 � � �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � + �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 2 𝑛𝑛 � �� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � + � 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 2 𝑛𝑛 � �� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
Dengan cara yang sama, diperoleh
𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) = 1 2 𝑛𝑛 � �� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 ) = 1 2 𝑛𝑛 � �� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �� 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1
Selanjutnya, untuk 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) diperoleh

## 193
� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � ≤ � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � ≤ � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �
dan
� 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � ≤ � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � ≤ � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜇𝜇 𝐼𝐼 3 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) + 𝜈𝜈 𝐼𝐼 3 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �
Akibatnya diperoleh 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) dan 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 3 ) ≤ 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 2 , 𝐼𝐼 3 ) . Sehingga 𝑆𝑆𝑆𝑆 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) memenuhi aksioma 4. Proposisi 8 [13] Misalkan 𝑌𝑌 = { 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 2 , ⋯ , 𝑦𝑦 𝑛𝑛 } adalah himpunan dan 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 adalah dua IVPFS. Weighted similarity measure antara 𝐼𝐼 1 dan 𝐼𝐼 2 adalah
𝑆𝑆𝑆𝑆 ∗ ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 ) = � 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝛿𝛿 min �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � + 𝛾𝛾 min �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � max �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 . (7)
yang memenuhi aksioma pada Definisi 6, dengan
𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 ) � 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜇𝜇 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) � dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) = �𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑎𝑎 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 2 𝑏𝑏 ( 𝑦𝑦 𝑖𝑖 ) �
𝛼𝛼 𝑖𝑖 adalah pembobot dari 𝑦𝑦 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 dengan 𝛼𝛼 𝑖𝑖 ∈ [0,1] dan ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 . 𝛿𝛿 dan 𝛾𝛾 adalah pembobot dari 𝜇𝜇 dan 𝜈𝜈 dengan 𝛿𝛿 , 𝛾𝛾 ∈ [0,1] dan 𝛿𝛿 + 𝛾𝛾 = 1 .
IVPFS diaplikasikan dalam berbagai bidang pengambilan keputusan, salah satunya adalah MCDM. Koleksi informasi fuzzy 𝐴𝐴 = { 𝐴𝐴 𝑖𝑖 | 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 } berdasarkan kriteria 𝐶𝐶 = �𝐶𝐶 𝑗𝑗 �𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑚𝑚� dalam kasus MCDM  dinyatakan dalam IVPFN. Dalam proses MCDM, terdapat suatu konsep yang berperan penting dalam pengambilan keputusan, yaitu konsep interval value Pythagorean fuzzy ideal solution ( 𝐴𝐴 ∗ ) . Konsep tersebut digunakan untuk mengidentifikasi alternatif 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ∈ 𝐴𝐴 yang terbaik. Dalam proses pengambilan keputusan yang sebenarnya, konsep ini tidak ada. Dengan kata lain, 𝐴𝐴 ∗ biasanya merupakan alternatif yang tidak layak, yaitu 𝐴𝐴 ∗ ∉ 𝐴𝐴 . Sebaliknya, 𝐴𝐴 ∗ merupakan alternatif yang optimal dalam kasus MCDM.
Nilai 𝐴𝐴 ∗ ditentukan  dengan dua jenis kriteria, yaitu kriteria jenis manfaat dan biaya. 𝐴𝐴 ∗ didefinisikan sebagai berikut.
𝐴𝐴 ∗ = { 𝐴𝐴 1 ∗ , 𝐴𝐴 2 ∗ , ⋯ , 𝐴𝐴 𝑚𝑚 ∗ } . (8)
dengan 𝐴𝐴 𝑗𝑗 ∗ = �𝐶𝐶 𝑗𝑗 , max i �𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 � �𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑚𝑚� untuk kriteria jenis manfaat dan 𝐴𝐴 𝑗𝑗 ∗ = �𝐶𝐶 𝑗𝑗 , min i �𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 � �𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑚𝑚� untuk kriteria jenis biaya [13].

## 2.3 Generalized Parameter
Generalized Parameter (GP) merupakan konsep yang digunakan untuk menilai akurasi suatu informasi fuzzy . GP dinyatakan dengan cara yang sama seperti informasi fuzzy . Jika informasi fuzzy dinyatakan dengan IVPFS, maka GP juga dinyatakan dalam IVPFS. Berikut diberikan definisi GP.
Definisi 9 [11] Misalkan 𝑌𝑌 adalah himpunan tak kosong dan 𝐼𝐼 = ��𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) ��𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌� dengan 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) dan 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) yang diberikan seperti pada Definisi 1 adalah IVPFS atas 𝑌𝑌 . Generalized Parameter (GP) dari 𝐼𝐼 didefinisikan sebagai
𝜖𝜖 = ( 𝜇𝜇 𝜖𝜖 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 ) . (9)
dengan 𝜇𝜇 𝜖𝜖 adalah derajat akurasi informasi dan 𝑣𝑣 𝜖𝜖 adalah derajat oposisi akurasi informasi pada 𝐼𝐼 . Selanjutnya, 𝐼𝐼 bersama dengan GP dituliskan sebagai
𝐼𝐼 𝜖𝜖 = ���𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) ��𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌� , ( 𝜇𝜇 𝜖𝜖 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 ) �
Group Generalized Parameter (GGP) dari 𝐼𝐼 didefinisikan sebagai
𝜖𝜖 = { 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 } = ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 � , �𝜇𝜇 𝜖𝜖 2 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 2 � , ⋯ , �𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑙𝑙 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑙𝑙 �� . (10)
Selanjutnya, 𝐼𝐼 bersama dengan GGP dituliskan sebagai
𝐼𝐼 𝜖𝜖 = ���𝑦𝑦 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ), 𝜈𝜈 𝐼𝐼 ( 𝑦𝑦 ) ��𝑦𝑦 ∈ 𝑌𝑌� , ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 � , �𝜇𝜇 𝜖𝜖 2 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 2 � , ⋯ , �𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑙𝑙 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ���

## 3  Hasil dan Pembahasan
Operator agregasi group generalized interval value Pythagorean fuzzy merupakan suatu operator yang digunakan untuk mengagregasi informasi fuzzy dan GGP yang dinyatakan dalam IVPFS.  Hal itu mengakibatkan bahwa operator agregasi group generalized interval value Pythagorean fuzzy dibangun dari dua konsep, yaitu konsep GGP dan IVPFS. Berikut diberikan definisi dari beberapa operator agregasi group generalized interval value Pythagorean fuzzy .
3.1 Operator Agregasi Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
Definisi 10 Misal diberikan suatu informasi fuzzy 𝐼𝐼 𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 dan GGP 𝜖𝜖 𝑘𝑘 = ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑏𝑏 �� untuk  k = 1, 2, ⋯ , 𝑙𝑙 . Ω 𝑛𝑛 adalah himpunan yang memuat koleksi informasi fuzzy 𝐼𝐼 𝑖𝑖 dan Ω 𝑙𝑙 adalah himpunan yang memuat koleksi GGP 𝜖𝜖 𝑘𝑘 . Operator GGIVPFWA adalah fungsi Φ : Ω 𝑛𝑛 × Ω 𝑙𝑙 → Ω dengan
Φ� ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ), ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) � = 𝜙𝜙 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) ⊗ 𝜙𝜙 ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) = ( 𝛼𝛼 1 𝐼𝐼 1 ⊕ 𝛼𝛼 2 𝐼𝐼 2 ⊕ ⋯ ⊕ 𝛼𝛼 𝑛𝑛 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) ⊗ ( 𝛽𝛽 1 𝜖𝜖 1 ⊕ 𝛽𝛽 2 𝜖𝜖 2 ⊕ ⋯ ⊕ 𝛽𝛽 𝑙𝑙 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) . (11)
Operator GGIVPFWG adalah pemetaan Ψ : Ω 𝑛𝑛 × Ω 𝑙𝑙 → Ω dengan
Φ� ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ), ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) � = 𝜓𝜓 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) ⊗ 𝜓𝜓 ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) = �𝐼𝐼 1 𝛼𝛼 1 ⊗ 𝐼𝐼 2 𝛼𝛼 2 ⊗ ⋯ ⊗ 𝐼𝐼 𝑛𝑛 𝛼𝛼 𝑛𝑛 � ⊗ �𝜖𝜖 1 𝛽𝛽 1 ⊗ 𝜖𝜖 2 𝛽𝛽 2 ⊗ ⋯ ⊗ 𝜖𝜖 𝑙𝑙 𝛽𝛽 𝑙𝑙 � . (12)
𝛼𝛼 𝑖𝑖 adalah pembobot atas 𝐼𝐼 𝑖𝑖 dengan 𝛼𝛼 𝑖𝑖 ∈ [0,1] dan ∑ 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 = 1 . 𝛽𝛽 𝑘𝑘 adalah pembobot atas 𝜖𝜖 𝑘𝑘 dengan 𝛽𝛽 𝑘𝑘 ∈ [0,1] dan ∑ 𝛽𝛽 𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 = 1 . Jika 𝑙𝑙 = 1 , maka hanya ada satu GP. Sehingga operator GGIVPFWA menjadi  operator GIVPFWA. Sama halnya dengan operator GGIVPFWG yang menjadi operator GIVPFWG.
Teorema 11 Jika 𝐼𝐼 𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 adalah 𝑛𝑛 IVPFN dan 𝜖𝜖 𝑘𝑘 = ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘 𝑏𝑏 �� untuk  k = 1, 2, ⋯ , 𝑙𝑙 adalah 𝑙𝑙 IVPFN, maka operator GGIVPFWA didefinisikan sebagai
Φ� ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ), ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) � = 𝜙𝜙 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) ⊗ 𝜙𝜙 ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 )
= � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , ���𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 �� ⊗ ⎝ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 , � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , ���𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 , ��𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � ⎠ ⎞ = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � , �� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � 2 , ��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ . (13)
dan operator GGIVPFWG didefinisikan sebagai
Ψ� ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ), ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 ) � = 𝜓𝜓 ( 𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑛𝑛 ) ⊗ 𝜓𝜓 ( 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑙𝑙 )
= ����𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , ��𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 , � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ � ⊗ ⎝ ⎛���𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 , ��𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 , � 1 − � � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎞
(14)
= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ��∏ �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � �∏ �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � , �∏ �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 � �∏ �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 �� , ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ � � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝛼𝛼𝑖𝑖 � + � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � − � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝛼𝛼𝑖𝑖 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � , � � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝛼𝛼𝑖𝑖 � + � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � − � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝛼𝛼𝑖𝑖 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ .
Bukti : Teorema 11 hanya akan dibuktikan untuk Persamaan 13 menggunakan induksi matematika. Untuk Persamaan 13, misalkan 𝑛𝑛 = 1 dan 𝑙𝑙 = 1 maka
Φ ( 𝐼𝐼 1 , 𝜖𝜖 1 ) = ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 �� ⊗ ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑏𝑏 ��
= ��𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 𝜇𝜇 𝜖𝜖 1 𝑏𝑏 � , ���𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 + �𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑎𝑎 � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑎𝑎 � 2 �𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑎𝑎 � 2 , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 + �𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑏𝑏 � 2 − �𝜈𝜈 𝐼𝐼 1 𝑏𝑏 � 2 �𝜈𝜈 𝜖𝜖 1 𝑏𝑏 � 2 ��
Asumsikan Persamaan 13 benar untuk 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 dan 𝑙𝑙 = 𝑞𝑞 , sehingga
Φ ��𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑝𝑝 � , �𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑞𝑞 �� = ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � , �� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � 2 , ��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞 𝑘𝑘=1 � 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ . Sehingga untuk 𝑛𝑛 = 𝑝𝑝 + 1 dan 𝑙𝑙 = 𝑞𝑞 + 1 diperoleh
Φ ��𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑝𝑝 , 𝐼𝐼 𝑝𝑝+1 � , �𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑞𝑞 , 𝜖𝜖 𝑞𝑞+1 ��
= 𝜙𝜙�𝐼𝐼 1 , 𝐼𝐼 2 , ⋯ , 𝐼𝐼 𝑝𝑝 , 𝐼𝐼 𝑝𝑝+1 � ⊗ 𝜙𝜙�𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , ⋯ , 𝜖𝜖 𝑞𝑞 , 𝜖𝜖 𝑞𝑞+1 � = ⎝ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 , � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , ���𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 , ��𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � ⎠ ⎞
⊗ ⎝ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 , � 1 − � � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ , ���𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 , ��𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � ⎠ ⎞
(15)
= ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎛ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � ,
�� 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 2 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � � 1 − ∏ � 1 − �𝜇𝜇 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 2 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ , ⎣ ⎢ ⎢ ⎡��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑎𝑎 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑎𝑎 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � 2 ,
��∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � 2 + �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � 2 − �∏ �𝜈𝜈 𝐼𝐼𝑖𝑖 𝑏𝑏 � 𝛼𝛼𝑖𝑖 𝑝𝑝+1 𝑖𝑖=1 � 2 �∏ �𝜈𝜈 𝜖𝜖𝑘𝑘 𝑏𝑏 � 𝛽𝛽𝑘𝑘 𝑞𝑞+1 𝑘𝑘=1 � 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ .
Persamaan 13 benar untuk setiap 𝑛𝑛 dan 𝑙𝑙 . Sehingga terbukti bahwa Persamaan 13 berlaku.
3.2 Multi Criteria Decision Making menggunakan operator group generalized interval value

## Pythagorean fuzzy
Misal diberikan jenis mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 dengan kriteria penilaian 𝐶𝐶 𝑗𝑗 untuk 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑚𝑚 . Setiap kriteria 𝐶𝐶 𝑗𝑗 memiliki pembobot masing-masing yang menentukan prioritas kriteria yang diinginkan oleh pelanggan. Informasi fuzzy jenis mobil berdasarkan kriteria tertentu dinotasikan sebagai 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 .  Pelanggan meminta saran pada pengamat ahli dalam bidang otomotif yang dinotasikan dengan 𝜖𝜖 𝑘𝑘 untuk 𝑘𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑙𝑙 dalam pengambilan keputusan. Pelanggan memberikan pembobot untuk setiap pengamat ahli 𝜖𝜖 𝑘𝑘 sebagai bentuk prioritas kepercayaan pelanggan pada masing-masing pengamat ahli. Hasil penilaian pengamat ahli dalam bidang otomotif pada setiap mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 adalah GGP 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 . Informasi fuzzy 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 dan GGP 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 dinyatakan dalam IVPFN. Selanjutnya, dua koleksi IVPFN tersebut akan diagregasi menggunakan operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG untuk memilih suatu mobil. Proses pemilihan mobil yang akan dibeli oleh pelanggan menggunakan operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG adalah:
1. Menentukan beberapa pilihan jenis mobil, yaitu 𝐴𝐴 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, ⋯ , 𝑛𝑛 dengan kriteria 𝐶𝐶 𝑗𝑗 untuk 𝑗𝑗 = 1, 2, ⋯ , 𝑚𝑚 serta pembobot 𝛼𝛼 𝑗𝑗 dengan 𝛼𝛼 𝑗𝑗 ∈ [0,1] dan ∑ 𝛼𝛼 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 = 1 .
2. Menyatakan informasi 𝑓𝑓𝑓𝑓𝑧𝑧𝑧𝑧𝑦𝑦 jenis mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 berdasarkan kriteria 𝐶𝐶 𝑗𝑗 dalam bentuk IVPFN 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 = ��𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� .
3. Menentukan penasihat pengambil keputusan 𝜖𝜖 𝑘𝑘 untuk 𝑘𝑘 = 1, 2, ⋯ , 𝑙𝑙 serta pembobotnya, yaitu 𝛽𝛽 𝑘𝑘 dengan 𝛽𝛽 𝑘𝑘 ∈ [0,1] dan ∑ 𝛽𝛽 𝑗𝑗 𝑙𝑙 𝑘𝑘=1 = 1 .
4. Menyatakan penilaian 𝜖𝜖 𝑘𝑘 atas setiap mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 sebagai GGP dalam bentuk IVPFN 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� .
5. Mengagregasi informasi fuzzy jenis mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖𝑗𝑗 dan GGP 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 menggunakan operator agregasi GGIVPFWA dan GGIVPFWG.
6. Menghitung nilai score dari GGIVPFWA dan GGIVPFWG.

## 198 Multi Criteria Decision Making menggunakan Operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
7. Mengurutkan alternatif terbaik yang dapat dipilih berdasarkan nilai score . Semaking tinggi nilai score , semakin tinggi pula urutan pilihan alternatif tersebut.
Misalkan  seorang pelanggan  ingin membeli sebuah mobil dari beberapa jenis mobil. Misalkan terdapat lima pilihan jenis mobil, yaitu 𝐴𝐴 1 , 𝐴𝐴 2 , 𝐴𝐴 3 , 𝐴𝐴 4 , dan 𝐴𝐴 5 . Pelanggan memiliki empat kriteria untuk memilih suatu mobil, yaitu 𝐶𝐶 1 = harga mobil, 𝐶𝐶 2 = model mobil, 𝐶𝐶 3 = desain mobil, dan 𝐶𝐶 4 = warna mobil. Pembobot kriteria yang diberikan oleh Pelanggan  adalah 𝛼𝛼 = (0.15, 0.20, 0.35, 0.30) . Informasi kriteria yang diberikan oleh Pelanggan untuk setiap mobil dinyatakan dalam IVPFN 𝐴𝐴 𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� dan disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Informasi Fuzzy Jenis Mobil 𝑪𝑪 𝟏𝟏 𝑪𝑪 𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟑𝟑 𝑪𝑪 𝟒𝟒 𝑨𝑨 𝟏𝟏 ([0.48, 0.67], [0.15, 0.44]) ([0.40, 0.62], [0.10, 0.33]) ([0.40, 0.45], [0.30, 0.32]) ([0.30, 0.42], [0.20, 0.23]) 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ([0.50, 0.71], [0.18, 0.21]) ([0.50, 0.72], [0.18, 0.44]) ([0.50, 0.61], [0.20, 0.27]) ([0.60, 0.72], [0.30, 0.40]) 𝑨𝑨 𝟑𝟑 ([0.50, 0.63], [0.30, 0.43]) ([0.45, 0.57], [0.25, 0.35]) ([0.63, 0.68], [0.40, 0.50]) ([0.30, 0.55], [0.10, 0.25]) 𝑨𝑨 𝟒𝟒 ([0.46, 0.59], [0.25, 0.46]) ([0.45, 0.50], [0.20, 0.29]) ([0.35, 0.55], [0.05, 0.34]) ([0.50, 0.62], [0.40, 0.47]) 𝑨𝑨 𝟓𝟓 ([0.30, 0.46], [0.25, 0.28]) ([0.35, 0.43], [0.13, 0.15]) ([0.30, 0.51], [0.05, 0.27]) ([0.30, 0.44], [0.10, 0.24])
Pelanggan meminta saran pada tiga pengamat ahli bidang otomotif, yaitu 𝜖𝜖 1 , 𝜖𝜖 2 , 𝜖𝜖 3 dengan pembobot 𝛽𝛽 = (0.25, 0.45, 0.30) . Informasi penilaian yang diberikan oleh pengamat ahli disebut sebagai GGP dan dinyatakan dalam IVPFN 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 = ��𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜇𝜇 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑏𝑏 � , �𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑎𝑎 , 𝜈𝜈 𝜖𝜖 𝑘𝑘𝑖𝑖 𝑏𝑏 �� untuk 𝑘𝑘 = 1, 2, 3 dan 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 . Informasi GGP dari 𝐴𝐴 𝑖𝑖 yang diberikan oleh pengamat ahli adalah
Tabel 2. Group Generalized Parameter
𝑪𝑪 𝟏𝟏
𝑪𝑪 𝟐𝟐 𝑪𝑪 𝟑𝟑 𝑨𝑨 𝟏𝟏 ([0.40, 0.90], [0.28, 0.30]) ([0.30, 0.70], [0.18, 0,20]) ([0.30, 0.70], [0.05, 0.10]) 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ([0.30, 0.70], [0.15, 0.20]) ([0.20, 0.80], [0.05, 0.10]) ([0.50, 0.80], [0.20, 0.50]) 𝑨𝑨 𝟑𝟑 ([0.30, 0.80], [0.05, 0.10]) ([0.40, 0.80], [0.10, 0.30]) ([0.50, 0.90], [0.15, 0.40]) 𝑨𝑨 𝟒𝟒 ([0.20, 0.80], [0.15, 0.20]) ([0.20, 0,70], [0.10, 0.20]) ([0.20, 0.80], [0.05, 0.20]) 𝑨𝑨 𝟓𝟓 ([0.45, 0.60], [0.25, 0.40]) ([0.40, 0.60], [0.20, 0.30])
([0.40, 0.70], [0.15, 0.30])
Informasi pada Tabel 1 dan 2 selanjutnya diagregasi menggunakan operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG dan memberikan hasil sebagai berikut.
Tabel 3. Nilai Agregasi GGIVPFWA dan GGIVPFWG untuk 𝐴𝐴 𝑖𝑖
𝚽𝚽 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 ) 𝚿𝚿 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 )
𝑨𝑨 𝟏𝟏 ([0.1276, 0.4079], [0.2345, 0.3505]) ([0.1216, 0.3719], [0.2881, 0.3783]) 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ([0.1852, 0.5338], [0.2385, 0.3706]) ([0.1539, 0.5246], [0: 2656, 0.4530]) 𝑨𝑨 𝟑𝟑 ([0.2090, 0.5175], [0.2479, 0.4359]) ([0.1813, 0.5047], [0.3129, 0.4897])
𝚽𝚽 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 ) 𝚿𝚿 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 )
𝑨𝑨 𝟒𝟒 ([0.0876, 0.4339], [0.1801, 0.4225]) ([0.0854, 0.4259], [0.2806, 0.4370]) 𝑨𝑨 𝟓𝟓 ([0.1285, 0.2964], [0.2152, 0.3906]) ([0.1275, 0.2918], [0.2380, 0.4011])
Langkah selanjutnya adalah menghitung nilai score 𝑆𝑆�Φ ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) � dan 𝑆𝑆�Ψ ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) � menggunakan Persamaan (2). Nilai score 𝑆𝑆�Φ ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) � dan 𝑆𝑆�Ψ ( 𝐴𝐴 𝑖𝑖 ) � disajikan dalam tabel berikut.
Tabel 4. Nilai Score GGIVPFWA dan GGIVPFWG untuk 𝐴𝐴 𝑖𝑖 𝐒𝐒�𝚽𝚽 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 ) � 𝑺𝑺�𝚿𝚿 ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 ) � 𝑨𝑨 𝟏𝟏 0.0024 − 0.0365 𝑨𝑨 𝟐𝟐 0.0625 0.0116 𝑨𝑨 𝟑𝟑 0.0300 − 0.0251 𝑨𝑨 𝟒𝟒 − 0.0075 − 0.0405 𝑨𝑨 𝟓𝟓 − 0.0472 − 0.0581
Berdasarkan Tabel 4, urutan alternatif terbaik dari jenis mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 menggunakan operator GGIVPFWA adalah 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5 . Hasil yang sama juga diberikan oleh operator GGIVPFWG. Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan GGP pada Tabel 2 untuk mengakurasi informasi fuzzy pada Tabel 1 efektif. Hasil yang diberikan mungkin berbeda jika hanya GP tertentu yang digunakan untuk mengakurasi informasi fuzzy . Berikut adalah perbandingan urutan alternatif dari setiap operator menggunakan GP tertentu dengan pembobot 𝛽𝛽 1 = 0.55 dan 𝛽𝛽 2 = 0.45 untuk mengagregasi informasi fuzzy dengan dua GP.
Tabel 5. Perbandingan Hasil Operator Agregasi menggunakan GP tertentu
Operator Agregasi Hasil GIVPFWA 1 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 5 GIVPFWG 1 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 5 GIVPFWA 2 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 5 GIVPFWG 2 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5 GIVPFWA 3 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 5 > 𝐴𝐴 3 GIVPFWG 3 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 5 > 𝐴𝐴 2 GGIVPFWA 1,2 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 5
GGIVPFWG 1,2 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5
GGIVPFWA 1,3 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5
GGIVPFWG 1,3 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 5 GGIVPFWA 2,3 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5
GGIVPFWG 2,3 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5

## 200 Multi Criteria Decision Making menggunakan Operator Group Generalized Interval Value Pythagorean Fuzzy
Langkah selanjutnya untuk mengambil keputusan dalam kasus MCDM adalah memverifikasi hasil keputusan yang diberikan oleh operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG menggunakan weighted similarity maeasure . Berdasarkan Persamaan (8), nilai interval value Pythagorean fuzzy ideal solution 𝐴𝐴 ∗ adalah
𝐴𝐴 ∗ = � ([0.30, 0.46], [0.25, 0.28]), ([0.35, 0.43], [0.13, 0.15]), ([0.63, 0.68], [0.40, 0.50]), ([0.60, 0.72], [0.30, 0.40]) �
Diberikan 𝛿𝛿 = 0.55 dan 𝛾𝛾 = 0.45 . Berdasarkan Persamaan (7), nilai weighted similarity measure dari jenis mobil 𝐴𝐴 𝑖𝑖 untuk 𝑖𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5 dengan ideal solution 𝐴𝐴 ∗ adalah
Tabel 6. Weighted Similarity Measure antara 𝐴𝐴 𝑖𝑖 dengan 𝐴𝐴 ∗ 𝐒𝐒𝐒𝐒 ∗ ( 𝑨𝑨 𝒊𝒊 , 𝑨𝑨 ∗ ) 𝑨𝑨 𝟏𝟏 ([0.5168, 0.9408]) 𝑨𝑨 𝟐𝟐 ([0.6016, 0.9729]) 𝑨𝑨 𝟑𝟑 ([0.5864, 0.9664]) 𝑨𝑨 𝟒𝟒 ([0.5116, 0.9381]) 𝑨𝑨 𝟓𝟓 ([0.4848, 0.9322])
Berdasarkan Tabel 6, diperoleh urutan alternatif menggunakan weighted similarity measure adalah 𝐴𝐴 2 > 𝐴𝐴 3 > 𝐴𝐴 1 > 𝐴𝐴 4 > 𝐴𝐴 5 . Hasil tersebut sama dengan hasil menggunakan operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG. Hal ini menunjukkan bahwa operator GGIVPFWA dan GGIVPFWG dapat menyelesaikan kasus MCDM secara efektif dan akurat.
Urutan alternatif dari operator agregasi pada Tabel 5 menunjukkan bahwa hanya terdapat satu operator yang menghasilkan keputusan yang sama dengan weighted similarity measure , yaitu operator  GIVPFWG 2 , GGIVPFWG 1,2 , dan GGIVPFWA 2,3 . Hal ini menunjukkan bahwa penggunaan GP tertentu memberikan dampak langsung pada hasil keputusan. Jika GP yang digunakan salah, maka keputusan yang dihasilkan operator agregasi kemungkinan besar salah. Sehingga, kesalahan yang diakibatkan oleh GP tertentu dapat diatasi dengan menggunakan GGP.
Berdasarkan uraian diatas, keputusan yang dihasilkan adalah mobil 𝐴𝐴 2 merupakan pilihan terbaik yang dapat dibeli Pelanggan sesuai dengan kriteria 𝐶𝐶 𝑗𝑗 untuk 𝑗𝑗 = 1, 2, 3, 4 . Hal tersebut ditunjukkan dengan weighted similarity measure yang menghasilkan mobil 𝐴𝐴 2 dengan nilai tertinggi. Sebaliknya, mobil 𝐴𝐴 5 adalah mobil yang jauh dari kriteria yang diinginkan Pelanggan dibandingkan jenis mobil lainnya. Hal tersebut ditunjukkan dengan weighted similarity measure yang menghasilkan mobil 𝐴𝐴 5 dengan nilai terendah.

## 201

## 4  Simpulan
Berdasarkan uraian pembahasan diatas, dapat disimpulkan bahwa operator agregasi GGIVPFWA dibangun dari dua konsep, yaitu konsep GGP dan IVPFWA. Sedangkan operator agregasi GGIVPFWG dibangun dari konsep GGP dan IVPFWG.  Aplikasi  operator agregasi GGIVPFWA dan GGIVPFWG dalam kasus MCDM menghasilkan keputusan yang efektif dan akurat.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  L. A. Zadeh, “Fuzzy sets,” Inf. Control , vol. 8, no. 3, pp. 338–353, Jun. 1965, doi: 10.1016/S0019-9958(65)90241-X.
[2]  K. T. Atanassov, “Intuitionistic fuzzy sets,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 20, no. 1, pp. 87–96, 1986, doi: 10.1016/S0165-0114(86)80034-3.
[3]  K. Atanassov and G. Gargov, “Interval valued intuitionistic fuzzy sets,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 31, no. 3, pp. 343–349, 1989, doi: 10.1016/0165-0114(89)90205-4.
[4]  R. R. Yager and A. M. Abbasov, “Pythagorean membership grades, complex numbers, and decision making,” Int. J. Intell. Syst. , vol. 28, no. 5, pp. 436–452, May 2013, doi: 10.1002/int.21584.
[5]  X. Peng and Y. Yang, “Some Results for Pythagorean Fuzzy Sets,” Int. J. Intell. Syst. , vol. 30, no. 11, pp. 1133–1160, Nov. 2015, doi: 10.1002/int.21738.
[6]  M. Agarwal, K. K. Biswas, and M. Hanmandlu, “Generalized intuitionistic fuzzy soft sets with applications in decision-making,” Appl. Soft Comput. J. , vol. 13, no. 8, pp. 3552– 3566, 2013, doi: 10.1016/j.asoc.2013.03.015.
[7]  H. Garg, “A New Generalized Pythagorean Fuzzy Information Aggregation Using Einstein Operations and Its Application to Decision Making,” Int. J. Intell. Syst. , vol. 31, no. 9, pp. 886–920, Sep. 2016, doi: 10.1002/int.21809.
[8]  H. Garg, “Generalized Pythagorean Fuzzy Geometric Aggregation Operators Using Einstein t-Norm and t-Conorm for Multicriteria Decision-Making Process,” Int. J. Intell. Syst. , vol. 32, no. 6, pp. 597–630, Jun. 2017, doi: 10.1002/int.21860.
[9]  K. Rahman, S. Abdullah, M. Shakeel, M. S. Ali Khan, and M. Ullah, “Interval-valued Pythagorean fuzzy geometric aggregation operators and their application to group decision making problem,” Cogent Math. , vol. 4, no. 1, p. 1338638, 2017,
doi: 10.1080/23311835.2017.1338638.
[10]  K. Rahman, A. Ali, and M. S. A. Khan, “Some Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Weighted Averaging Aggregation Operators and Their Application to Multiple Attribute Decision Making,” Punjab Univ. J. Math. , vol. 50, no. 2, pp. 113–129, 2018.
[11]  J. Feng, Q. Zhang, and J. Hu, “Group Generalized Pythagorean Fuzzy Aggregation Operators and Their Application in Decision Making,” IEEE Access , vol. 8, pp. 138004– 138020, 2020, doi: 10.1109/ACCESS.2020.3010718.
[12]  Q. Zhang, J. Hu, J. Feng, A. Liu, and Y. Li, “New Similarity Measures of Pythagorean Fuzzy Sets and Their Applications,” IEEE Access , vol. 7, pp. 138192–138202, 2019, doi: 10.1109/ACCESS.2019.2942766.
[13]  H. Li, Y. Cao, L. Su, and Q. Xia, “An interval pythagorean fuzzy multi-criteria decision making method based on similarity measures and connection numbers,” Inf. , vol. 10, no.
2, pp. 1–18, 2019, doi: 10.3390/info10020080.
[14]  R. E. Moore, Methods and Applications of Interval Analysis . Society for Industrial and Applied Mathematics, 1979.
[15]  X. Peng and Y. Yang, “Fundamental Properties of Interval-Valued Pythagorean Fuzzy Aggregation Operators,” Int. J. Intell. Syst. , vol. 31, no. 5, pp. 444–487, May 2016,
doi: 10.1002/int.21790.