## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 2, No. 1, 2020, pp. 23-45.

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Matematika Dinamika Pelanggan Berdasarkan Kebijakan Pemasaran
Muhammad Iqbal Abdi Farchan 1 , Fatmawati 2 & Cicik Alfiniyah 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Kampus C Universitas Airlangga, Jl. Mulyorejo, Surabaya
3 Corresponding author: cicik-a@fst.unair.ac.id
Abstract. Customer  dynamics  include  the  exchange  of  information  and  ongoing  transactions between customers and the organization. This process has an important role in the company to run its business, so that the number of customers increase. To achieve this, many things are done by the company. One of the strategies is product advertising by word of mouth. The purpose of this thesis is  to  analyze  the  stability  of  equilibrium  point  and  to  apply  the  optimal  control  word  of  mouth advertising  on  mathematics  model  of  the  customer  dynamics  based  on  marketing  policy. Mathematics model of the customer dynamics based on marketing policy without control has two equilibrium  points,  namely  non  –  endemic  equilibrium  ( E 0 )  and  endemic  equilibrium  ( E 1 ).  Local stability  of  equilibrium  and  the  existence  of  endemic  equilibrium  depends  on  basic  reproduction number ( R 0 ). The non – endemic equilibrium tend to asymptotically stable if R 0 < 1.  The problem of optimal control is solved by Pontryagin’s Maximum Principle. The simulation results show that the total number of referral and regular customer populations that are given control in the form of word of mouth advertising efforts at the end of the observation are 312 and 18470 with the control effort  costs  occurred  in  1798364.63.  While  the  total  number  of  referral  and  regular  customer populations that are not given control in the form of word of mouth advertising efforts at the end observation are 241 and 17260. Based on these results show that word of mouth advertising efforts have an effect to increase the number of referral and regular customer in accordance with the aim of providing optimal control.
Keywords: customer dynamics, mathematics model, optimal control, stability, word of mouth advertising.

## 1 Pendahuluan
Setiap perusahaan memiliki keinginan agar produk yang ditawarkan kepada konsumen laku  terjual.  Oleh  karena  itu  setiap  perusahaan    memiliki  kebijakan  pemasaran  agar produk  yang  ditawarkan  menarik  perhatian  konsumen.  Bahkan  menurut  laporan  CMO ( Credit  Marketing  Officer )  pada  tahun  2017  yang  dilakukan  oleh  ( Fuqua  School  of Busines ),  Assosiasi  pemasaran  Amerika  dan  Deloitte  menunjukkan  bahwa  pendapatan perusahaan  dialokasikan  untuk  anggaran  pemasaran    antara  10%    dan  20  %.  Dengan demikian pemasaran merupakan salah satu elemen penting di perusahaan yang tidak bisa dipandang sebelah mata [1].
Pemasaran  pada  umumnya  memiliki  target  agar  pelanggan  dapat  dipertahankan selamanya.  Hal  ini  tentu  tidak  mudah  mengingat  perubahan-perubahan  dapat  terjadi setiap  saat,  baik  perubahan  yang  terjadi  pada  pelanggan  seperti  selera,  minat  maupun perubahan yang terjadi pada lingkungan. Masa krisis yang terjadi pada pertengahan tahun 1997  merupakan  salah  satu  contoh  perubahan  yang  terjadi  pada  lingkungan.  Hal  ini berdampak  pada  daya  beli  pelanggan.  Daya  beli  pelanggan  yang  menurun  tajam menandakan  bahwa  harga  barang  yang  ada  dipasaran  melambung  tinggi.  Meskipun pemasar memiliki segmen pelanggan yang dianggap loyal, dalam kondisi krisis, pemasar harus  tetap  bisa  mempertahankan  merk  mereka.  Hal-hal  yang  perlu  dilakukan  yaitu dengan  mempertahankan  kualitas,  memberikan  pelayanan  yang  memuaskan,  dan menentukan harga yang terjangkau di pasaran [2].
Beberapa  penelitian  menyebutkan  bahwa  pelanggan  suatu  perusahaan  dapat diklasifikasikan  ke  dalam  beberapa  kelompok  sesuai  dengan  peran  mereka  yang berpengaruh  terhadap  pelanggan  lainnya.  Kelompok  pelanggan  tersebut  adalah pelanggan referral , regular ,  dan  potensial.  Pelanggan referral adalah  pelanggan  yang sering membeli produk di suatu perusahaan, disamping itu mereka merekomendasikannya  ke  pelanggan  lain.  Pelanggan regular adalah  pelanggan  yang sering membeli produk di suatu perusahaan tanpa merekomendasikannya ke orang lain. Sedangkan  Pelanggan  potensial  adalah  calon  konsumen  setia  dari  suatu  produk perusahaan  tertentu.  Dari  ketiga  definisi  pelanggan  tersebut  dapat  diketahui  bahwa, pelanggan referral merupakan  tipe  pelanggan  yang  menguntungkan  bagi  perusahaan, karena  sifat  pelanggan  ini  disamping  membeli  produk,  mereka  dapat  mempengaruhi orang lain untuk menjadi pelanggan dari suatu perusahaan. Dengan demikian, perusahaan lebih mengutamakan pelanggan referral karena sifat yang dimilikinya. Walaupun semua pelanggan  penting,  pelanggan referral tetap  lebih  berharga  karena  dapat  membantu perusahaan  untuk mengungguli persaingan yang ada di pasar [3].
Selain memperhatikan  pelanggan, perusahaan juga harus memperhatikan bagaimana cara mempromosikan  produknya.  Salah  satu  cara  yang  mudah  dilakukan  yaitu  dengan pengiklanan  melalui  mulut  ke  mulut (word  of  mouth).  Word  of  mouth adalah  suatu kegiatan komunikasi pemasaran melalui promosi yang dilakukan pelanggan ke pelanggan lain, baik melalui lisan, tulisan maupun elektronik yang dipergunakan masyarakat untuk bertukar  pikiran  tentang  pengalamannya  dan  pengetahuan  sebuah  perusahaan,  produk atau jasa. Pengiklanan word of mouh memiliki banyak keungggulan diantaranya  yaitu lebih  meyakinkan  dan  berbiaya  rendah.  Oleh  karena  itu  banyak  perusahaan  yang menjadikan iklan dengan metode word of mouth sebagai sarana untuk mempromosikan produknya [4].
Dinamika  pelanggan  yang  turut  berkontribusi  bagi  perusahaan  dalam  mendapat keuntungan sangat menarik untuk dikaji . Salah satunya pada bidang matematika, yaitu dengan  pendekatan  model  matematika.  Terdapat  beberapa  peneliti  yang  membahas
tentang model matematika dinamika pelanggan. Silva dkk [3] pertama kali  mengusulkan model persamaan diferensial biasa tentang  dinamika pelanggan dengan memperhatikan faktor biaya referral marketing . Pada model  Silva dkk [3] terdapat empat kompartemen yaitu, pelanggan referral , regular , potensial referral , dan potensial regular . Rosa dkk [1] mengkontruksikan model dinamika pelanggan dengan memberikan dua variabel kontrol yaitu, pengiklanan suatu produk di media massa dan pengiklanan melalui mulut ke mulut. Terdapat  tiga  kompartemen  yang  digunakan  pada  model  tersebut  yaitu,  pelanggan referral , regular ,  dan  potensial.  Li  dkk  [5]  mengkontruksikan  model  penyebaran pengiklanan melalui word of mouth dengan memperhatikan komentar positif dan negatif . Terdapat empat kompartemen yang digunakan yakni populasi manusia yang rentan yaitu populasi  yang  akan  membeli  barang,  populasi  manusia  yang  terinfeksi  yaitu  populasi yang telah membeli barang tapi belum berkomentar, populasi manusia yang berkomentar positif, populasi manusia yang berkomentar negatif.
Pada  penelitian  ini  penulis  tertarik  untuk  membahas  model  matematika  dinamika pelanggan  berdasarkan  kebijakan  pemasaran.  Model  yang  digunakan  merujuk  pada model  yang  ditulis  oleh  Rosa  dkk  [1]  dengan  memodifikasi  adanya  laju  kelahiran  dan kematian  serta  menambahkan  satu  kompartemen  dengan  cara  membagi  populasi pelanggan  potensial  menjadi  dua  sub  populasi,  yakni  populasi  pelanggan  potensial referral dan  populasi  pelanggan  potensial regular .  Variabel  kontrol  yang  diberikan berupa pengiklanan produk melalui word of mouth .

## 2 Formulasi Model
Pada bagian ini akan diformulasikan model matematika dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan  pemasaran.  Adapun  asumsi  yang  digunakan  untuk  kontruksi  model  sebagai berikut :
a. Semua  populasi  yang  menjadi  populasi  yang  dituju  dapat  kembali  menjadi populasi semula.
b. Hanya populasi pelanggan referral yang dapat mempengaruhi populasi pelanggan potensial menjadi populasi pelanggan referral dan regular.
c. Perubahan populasi pelanggan regular menjadi populasi pelanggan referral tanpa ada pengaruh dari populasi pelanggan referral.
Model dasar dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan pemasaran merujuk pada jurnal yang  ditulis  oleh  Rosa  dkk  [1].  Pada  model  tersebut  terdapat  tiga  kompartemen  yaitu populasi pelanggan referral (𝑅) , populasi pelanggan regular (𝐶) , dan populasi pelanggan potensial (𝑃) dengan asumsi mengabaikan laju kelahiran dan kematian. Pada skripsi ini dilakukan  modifikasi  model  dengan  memperhatikan  laju  kelahiran  dan  kematian  serta menambahkan  satu  kompartemen  dengan  cara  membagi  populasi  pelanggan  potensial
menjadi dua sub populasi, yakni populasi pelanggan potensial referral (𝑃 𝑅 ) dan populasi pelanggan  potensial regular (𝑃 𝐶 ) .  Pendefinisian  parameter  dapat  dilihat  pada  Tabel  1 berikut.
Tabel 1 Pendefinisian Parameter Model Notasi Keterangan Λ Laju rekruitmen pelanggan 𝛼 Proporsi laju rekruitmen pelanggan 𝜇 Laju  hilangnya  pelanggan  karena  kematian,  emigrasi,  dan  kehilangan kepercayaan terhadap suatu produk 𝜂 1 Laju transisi dari pelanggan potensial regular ke pelanggan potensial referral 𝜂 2 Laju transisi dari pelanggan potensial referral ke pelanggan potensial regular 𝛿 Laju  perubahan  pelanggan  potensial  ke  pelanggan referral atau regular karena pengaruh pelanggan referral 𝜔 1 Laju transisi dari pelanggan regular ke pelanggan referral 𝜔 2 Laju transisi dari pelanggan referral ke pelanggan regular 𝛽 1 Laju  berkurangnya  pelanggan  reguler  karena  menjadi  pelanggan  potensial regular 𝛽 2 Laju  berkurangnya  pelanggan  referral  karena  menjadi  pelanggan  potensial
referral
Berdasarkan asumsi dan pendefinisian parameter serta variabel dapat dibentuk diagram transmisi yang disajikan pada Gambar 1 sebagai berikut.
Gambar 1 Diagram Transmisi Model
Dari diagram transmisi pada Gambar 1 dapat diformulasikan model sebagai berikut:
𝑑𝑃 𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼Λ + 𝛽 2 𝑅 +  𝜂 1 𝑃 𝐶 − (𝜇 + 𝜂 2 )𝑃 𝑅 − 𝛿𝑅𝑃 𝑅 (1)
𝑑𝑃 𝐶 𝑑𝑡 = (1 − 𝛼)Λ + 𝛽 1 𝐶 +  𝜂 2 𝑃 𝑅 − (𝜇 + 𝜂 1 )𝑃 𝐶 − 𝛿𝑅𝑃 𝐶 (2)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜔 1 𝐶 − (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 )𝑅 + 𝛿𝑅𝑃 𝑅 (3)
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜔 2 𝑅 − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝐶 + 𝛿𝑅𝑃 𝐶 (4)
dengan  𝑅, 𝐶, 𝑃 𝐶 , 𝑃 𝑅  0, Λ, 𝛼, 𝜇, 𝜂 1 , 𝜂 2 , 𝛿, 𝜔 1 , 𝜔 2 , 𝛽 1 , 𝛽 2 >  0.
Persamaan  (1)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  pelanggan  potensial referral per satuan  waktu.  Populasi  ini  bertambah  karena  kelahiran  atau  imigrasi,  dan  perubahan populasi pelanggan referral menjadi populasi pelanggan potensial referral . Populasi ini bertambah  karena  perubahan  populasi  pelanggan  potensial regular menjadi  populasi pelanggan potensial referral. Populasi ini berkurang karena populasi pelanggan potensial referral menjadi populasi pelanggan referral akibat pengaruh dari pelanggan referral dan berkurang pula karena menjadi populasi pelanggan potensial regular. Populasi ini juga berkurang karena kematian alami, emigrasi, dan kehilangan kepercayaan terhadap suatu produk.
Persamaan  (2)  menyatakan  laju  perubahan  populasi  pelanggan  potensial regular per satuan  waktu.  Populasi  ini  bertambah  karena  kelahiran  atau  imigrasi,  dan  perubahan populasi pelanggan regular menjadi populasi pelanggan potensial regular . Populasi ini bertambah  karena  perubahan  populasi  pelanggan  potensial referral menjadi  populasi pelanggan potensial regular. Populasi ini berkurang karena populasi pelanggan potensial regular menjadi populasi pelanggan regular akibat pengaruh dari pelanggan referral dan berkurang pula karena menjadi populasi pelanggan potensial referral . Populasi ini juga berkurang karena kematian alami, emigrasi, dan kehilangan kepercayaan terhadap suatu produk.
Persamaan (3) menyatakan laju perubahan populasi pelanggan referral per satuan waktu. Populasi  ini  bertambah  karena  populasi  pelanggan  potensial referral menjadi  populasi pelanggan referral akibat pengaruh dari pelanggan referral . Populasi ini juga bertambah karena  perubahan  populasi  pelanggan regular menjadi  populasi  pelanggan referral . Populasi ini berkurang karena populasi pelanggan referral menjadi populasi pelanggan potensial referral dan pelanggan regular . Populasi ini juga berkurang karena kematian alami, emigrasi, dan kehilangan kepercayaan terhadap suatu produk.
Persamaan (4) menyatakan laju perubahan populasi pelanggan regular per satuan waktu. Populasi  ini  bertambah  karena  populasi  pelanggan  potensial regular menjadi  populasi pelanggan regular akibat pengaruh dari pelanggan referral . Populasi ini juga bertambah karena perubahan populasi pelanggan referral menjadi pelanggan regular . Populasi ini berkurang  karena  populasi  pelanggan regular menjadi  populasi  pelanggan  potensial regular dan      pelanggan referral .  Populasi  ini  juga  berkurang  karena  kematian  alami, emigrasi, dan kehilangan kepercayaan terhadap suatu produk.

## 3 Titik Setimbang Model
Model matematika dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan pemasaran  memiliki dua titik setimbang, yaitu titik setimbang non endemik (𝐸 0 ) dan titik setimbang endemik (𝐸 1 ) . Titik  setimbang  non  endemik  dari  model  tersebut  adalah 𝐸 0 = (𝑃 𝑅 0 , 𝑃 𝐶 0 , 𝑅 0 , 𝐶 0 ) = ( Λ 𝜇 𝛼𝜇+𝜂 1 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 , Λ 𝜇 (1−𝛼)𝜇+𝜂 2 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 , 0,0) .
Selanjutnya, dari titik setimbang non endemik 𝐸 0 dengan menggunakan metode Next Generation Matrix [6] dapat diperoleh bilangan reproduksi dasar (𝑅 0 ) berikut:
R 0 = Λ𝛿((𝛼𝜇+𝜂 1 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 1 [(1−𝛼)𝜇+𝜂 2 ]) 𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 )((𝜇+𝛽 2 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 2 (𝜇+𝛽 1 ))
Dari  hasil  perhitungan  diperoleh  titik  setimbang  endemik 𝐸 1 = (𝑃 𝑅 ∗ , 𝑃 𝐶 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐶 ∗ ) dari model tersebut adalah sebagai berikut.
𝑃 𝑅 ∗ = (𝛼Λ+𝛽 2 𝑅 ∗ )[𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )] [𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )](𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) +
(1 − 𝛼)Λ 𝜂 1 (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) +  𝜂 1 𝛽 1 𝐶 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) [𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )](𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 𝜂 2 𝛼Λ +   𝜂 1 𝜂 2 𝛽 2 𝑅 ∗
[𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )](𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )
𝑃 𝐶 ∗ = (1−𝛼)Λ(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝛽 1 𝐶 ∗ (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+ 𝜂 2 𝛼Λ+ 𝜂 2 𝛽 2 𝑅 ∗
𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝜂 1 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )+𝛿𝑅 ∗ (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )
𝐶 ∗ = 𝜇𝜔 2 (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )𝑅 ∗ +𝜂 1 𝜔 2 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )𝑅 ∗ +𝛿𝜔 2 (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )R 2∗
(𝜇+𝜔 1 )[𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝜂 1 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )+𝛿𝑅 ∗ (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )]+𝛽 1 [𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝜂 1 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )] +
(1−𝛼)Λ𝛿(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )𝑅 ∗ +𝛿 𝜂 2 𝛼Λ𝑅 ∗ +𝛿 𝜂 2 𝛽 2 R 2∗
(𝜇+𝜔 1 )[𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝜂 1 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )+𝛿𝑅 ∗ (𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )]+𝛽 1 [𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝛿𝑅 ∗ )+𝜂 1 (𝜇+𝛿𝑅 ∗ )]
Sedangkan 𝑅 ∗ merupakan akar dari polinomial berderajat lima berikut:
𝑟 1 𝑅 5 + 𝑟 2 𝑅 4 + 𝑟 3 𝑅 3 + 𝑟 4 𝑅 2 + 𝑟 5 𝑅 + 𝑟 6 = 0 (5)

## dengan
𝑟 1 = −𝜇𝜔 1 𝛿 5 − 𝜇 2 𝛿 5 − 𝜔 2 𝜇𝛿 5
𝑟 2 = −3𝜔 2 𝜇𝛿 4 𝜂 1 − 2𝜇 2 𝛿 4 𝜂 1 − 𝛿 4 𝛽 2 𝜂 2 𝜇 − 5𝜔 2 𝜇 2 𝛿 4 − 5𝜇 3 𝛿 4 − 𝛿 4 𝛽 2 𝜇𝜔 1 +    𝛿 5 𝛼Λ𝜇 − 3𝜇𝜔 1 𝛿 4 𝜂 2 − 𝛿 4 𝛽 2 𝜇 2 − 2𝜔 2 𝜇𝛿 4 𝜂 1 − 𝛿 4 𝛽 1 𝜇 2 − 𝜇𝛽 1 𝛿 4 𝜂 1 −   3𝜇 2 𝛿 4 𝜂 2 −  5𝜔 1 𝜇 2 𝛿 4 − 𝜔 2 𝜇𝛽 1 𝛿 4 − 2𝜔 1 𝜇𝛿 4 𝜂 1 + (1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 5 + 𝛿 5 𝛼Λ𝜔 1 𝑟 3 = −4𝛿 3 𝛽 2 𝜇 3 − 10𝜔 1 𝜇 3 𝛿 3 − 8𝜇 3 𝛿 3 𝜂 1 − 12𝜇 3 𝛿 3 𝜂 2 − 3𝜇 2 𝛿 3 𝜂 2 2 − 4𝛽 1 𝜇 3 𝛿 3 −  10𝜔 2 𝜇 3 𝛿 3 − 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛿 3 − 8𝜔 1 𝜂 1 𝜇 2 𝛿 3 − 8𝜔 2 𝜂 1 𝜇 2 𝛿 3 − 4𝜔 2 𝛽 1 𝜇 2 𝛿 3 −  5𝛽 1 𝜂 1 𝜇 2 𝛿 3 − 3𝜇𝜔 1 𝛿 3 𝜂 2 2 − 3𝜔 2 𝜇𝛿 3 𝜂 2 2 −
𝜇𝜔 1 𝜂 1 2 𝛿 3 − 𝜇𝛽 1 𝜂 1 2 𝛿 3 − 𝜔 2 𝜇𝜂 1 2 𝛿 3 −   12𝜔 2 𝜇 2 𝛿 3 𝜂 2 − 4𝜇 2 𝛿 3 𝜂 1 𝜂 2 − 12𝜔 1 𝜇 2 𝛿 3 𝜂 2 − 3𝛽 1 𝜇 2 𝛿 3 𝜂 2 − 4𝛿 3 𝛽 2 𝜇 2 𝜔 1 −   6𝛿 3 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 2 − 2𝛿 3 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 1 − 𝛿 3 𝛽 2 𝜇 2 𝛽 1 − 2𝛿 3 𝛽 2 𝜂 2 2 𝜇 + 4𝛿 4 𝛼Λ𝜇 2 − 10𝜇 4 𝛿 3 − 𝛿 3 𝛽 2 𝜂 2 𝜂 1 𝜇 − 𝛿 3 𝛽 2 𝜂 2 𝛽 1 𝜇 − 2𝛽 1 𝜂 1 𝛿 3 𝜇𝜔 2 − 3𝜔 2 𝛽 1 𝜇𝛿 3 𝜂 2 − 4𝜇𝜔 1 𝜂 1 𝛿 3 𝜂 2 −   2𝜇𝛽 1 𝜂 1 𝛿 3 𝜂 2 −
4𝜇𝜔 2 𝛿 3 𝜂 1 𝜂 2 − 3𝜔 1 𝛿 3 𝛽 2 𝜂 2 𝜇 − 2𝛿 3 𝛽 2 𝜇𝜔 1 𝜂 1 − 𝛿 3 𝛽 2 𝜇𝛽 1 𝜂 1 +     (1 − 𝛼)Λ𝛿 4 𝜂 1 𝜇 + 𝛽 1 𝜂 1 (1 −
𝛼)Λ𝛿 4 + 𝛿 4 𝛼Λ𝛽 1 𝜇 + 𝛿 4 𝛼Λ𝛽 1 𝜂 1 + 4(1 −    𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 4 𝜇 +  3(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 4 𝜂 2 + 2(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 4 𝜂 1 + 3𝜔 1 𝛿 4 𝜂 2 𝛼Λ +    4𝜔 1 𝛿 4 𝛼Λ𝜇 +  2𝛿 4 𝛼Λ𝜂 1 𝜇 +  2𝛿 4 𝛼Λ𝜂 1 𝜔 1 + 2𝛿 4 𝛼Λ𝜂 2 𝜇 𝑟 4 = −18𝜇 4 𝛿 2 𝜂 2 − 12𝜇 4 𝛿 2 𝜂 1 − 𝜇 2 𝛿 2 𝜂 2 3 − 10𝜔 1 𝜇 4 𝛿 2 − 10𝜔 2 𝜇 4 𝛿 2 − 9𝜇 3 𝛿 2 𝜂 2 2 −    3𝜇 3 𝜂 1 2 𝛿 2 − 6𝛽
1 𝜇 4 𝛿 2 − 6𝛿 2 𝛽 2 𝜇 4 − 12𝜔 1 𝜂 1 𝜇 3 𝛿 2 − 3𝜔 1 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛿 2 −     9𝜔 2 𝜇 2 𝜂 2 2 𝛿 2 −  12𝜔 2 𝜇 3 𝜂 1 𝛿 2 −
3𝜔 2 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛿 2 − 6𝜔 2 𝛽 1 𝜇 3 𝛿 2 − 9𝛽 1 𝜂 1 𝜇 3 𝛿 2 −     3𝛽 1 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛿 2 −  9𝜔 1 𝜇 2 𝜂 2 2 𝛿 2 − 2𝜇 2 𝜂 1 𝜂 2 2 𝛿 2 −
3𝛽 1 𝜇 2 𝛿 2 𝜂 2 2 − 𝜇𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 3 −     𝛽 2 𝜇𝛿 2 𝜂 2 3 − 𝜔 2 𝜇𝛿 2 𝜂 2 3 −  12𝜇 3 𝛿 2 𝜂 1 𝜂 2 − 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛿 2 𝜂 2 − 18𝜔 1 𝜇 3 𝛿 2 𝜂 2 −
9𝛽 1 𝜇 3 𝛿 2 𝜂 2 −  18𝜔 2 𝜇 3 𝛿 2 𝜂 2 −  6𝛽 2 𝜇 3 𝛿 2 𝜂 1 − 12𝛽 2 𝜇 3 𝛿 2 𝜂 2 − 6𝛿 2 𝛽 2 𝜇 3 𝜔 1
− 3𝛿 2 𝛽 2 𝜇 3 𝛽 1 − 7𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 2 2 − 𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 1 2 + 6𝛿 3 𝛼Λ𝜇 3 − 10𝜇 5 𝛿 2 − 𝛿 2 𝛽 2 𝜂 1 2 𝜇𝛽 1 −  2𝛿 2 𝛽 2 𝜂 2 2 𝜇𝛽 1 − 𝛿 2 𝛽 2 𝜂 2 2 𝜂 1 𝜇 − 6𝛽 1 𝛿 2 𝜂 1 𝜇 2 𝜔 2 − 𝛽 1 𝛿 2 𝜂 1 2 𝜔 2 𝜇 − 12𝜔 1 𝜂 1 𝜇 2 𝛿 2 𝜂 2 −  12𝜔 2 𝜇 2 𝜂 1 𝜂 2 𝛿 2 − 8𝛽 1 𝜂 1 𝜇
2 𝛿 2 𝜂 2 − 3𝜔 2 𝛽 1 𝜇𝜂 2 2 𝛿 2 − 2𝜇𝜔 1 𝜂 1 𝜂 2 2 𝛿 2 − 𝜂 1 𝜇𝛽 1 𝜂 2 2 𝛿 2 −  2𝜔 2 𝜇𝜂 1 𝛿 2 𝜂 2 2 − 𝜇𝜔 1 𝜂 1 2 𝛿 2 𝜂 2 − 𝜇𝛽 1 𝜂 1 2 𝛿 2 𝜂 2 − 𝜔 2 𝜇𝜂 1 2 𝛿 2 𝜂 2 − 4𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 𝛽 2 𝜂 1 𝜇 −  3𝛿 2 𝛽 2 𝜂 2 𝜇𝛽 1 𝜂 1 − 4𝛽 1 𝜂 1 𝛿 2 𝜇𝜔 2 𝜂 2 − 9(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 3 𝜇𝜂 2 + 6(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 3 𝜇𝜂 1 +  4(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 3 𝜂 1 𝜂 2 +  9𝜔 1 𝛿 3 𝜂 2 𝛼Λ𝜇 + 4𝜔 1 𝛿 3 𝜂 2 𝛼Λ𝜂 1 + 6𝛿 3 𝛼Λ𝜇𝜔 1 𝜂 1 +   4𝛿 3 𝛼Λ𝜇𝛽 1 𝜂 1 + 3𝛿 3 𝛼Λ𝜂 1 𝜂 2 𝜇 +  2𝛿 3 𝛼Λ𝜇𝜂 2 𝛽 1 + 2𝛿 3 𝛼Λ𝜇𝜂 2 𝛽 1 𝜂 1 + 2(1 −
𝛼)Λ𝛿 3 𝜂 1 𝜂 2 𝜇 + 3(1 − 𝛼)Λ𝛿 3 𝜂 1 𝛽 1 𝜇 + 2𝜂 1 𝛽 1 (1 −  𝛼)Λ𝛿 3 𝜂 2 − 9𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 𝛽 2 𝜇 2 −  3𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 2 𝛽 2 𝜇 −
6𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝜔 1 𝜂 1 − 4𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝛽 1 𝜂 1 − 6𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 1 𝜂 2 −   5𝛿 2 𝛽 2 𝜇 2 𝜂 2 𝛽 1 − 𝛿 2 𝛽 2 𝜇𝜂 1 2 𝜔 1 −
9𝜔 2 𝛽 1 𝜇 2 𝛿 2 𝜂 2 + 3(1 − 𝛼)Λ𝛿 3 𝜇 2 𝜂 1 + (1 − 𝛼)Λ𝛿 3 𝜇𝜂 1 2 + (1 −  𝛼)Λ𝛿 3 𝜂 1 2 𝜔 1 + (1 − 𝛼)Λ𝛿 3 𝜂 1 2 𝛽 1 + 𝛼Λ𝛿 3 𝜇𝜂 1 2 +  𝛿 3 𝛼Λ𝜂 1 2 𝜔 1 + 𝛿 3 𝛼Λ𝜂 1 2 𝛽 1 + 𝛿 3 𝛼Λ𝜂 2 2 𝜇 + 6(1 −  𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 3 𝜇 2 + 3(1 −  𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 3 𝜂 2 2 + 3𝜔 1 𝛿 3 𝜂 2 2 𝛼Λ + 6𝛿 3 𝛼Λ𝜇 2 𝜔 1 + 6𝛿 3 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 2 +  6𝛿 3 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 1 +  3𝛿 3 𝛼Λ𝜇 2 𝛽 1 𝑟 5 = −4𝛿𝛽 2 𝜇 5 − 5𝜔 2 𝜇 5 𝛿 − 5𝜔 1 𝜇 5 𝛿 − 3𝜇 4 𝜂 1 2 𝛿 − 8𝜇 5 𝛿𝜂 1 − 9𝜇 4 𝛿𝜂 2 2 − 2𝜇 3 𝛿𝜂 2 3 −   4𝛽 1 𝜇 5 𝛿 −
12𝜇 5 𝛿𝜂 2 − 3𝛽 1 𝜂 1 2 𝜇 3 𝛿 − 8𝜔 2 𝜂 1 𝜇 4 𝛿 − 3 𝜔 2 𝜂 1 2 𝜇 3 𝛿 − 7𝛽 1 𝜂 1 𝜇 4 𝛿 −   9𝜔 2 𝜂 2 2 𝜇 3 𝛿 − 2𝜔 2 𝜇 2 𝛿𝜂 2 3 −
2𝛽 2 𝜇 2 𝜂 2 3 𝛿 − 2𝜔 1 𝜇 2 𝜂 2 3 𝛿 − 4𝜇 3 𝜂 1 𝜂 2 2 𝛿 − 𝛽 1 𝜇 2 𝜂 2 3 𝛿 −   8𝜔 1 𝜂 1 𝜇 4 𝛿 − 9𝜔 1 𝜇 3 𝜂 2 2 𝛿 − 12𝜂 1 𝜇 4 𝛿𝜂 2 − 6𝛽 1 𝜇 3 𝜂 2 2 𝛿 − 3𝜔 1 𝜂 1 2 𝜇 3 𝛿 −
12𝜔 2 𝜇 4 𝛿𝜂 2 − 4𝜔 2 𝛽 1 𝜇 4 𝛿 − 2𝜇 3 𝜂 1 2 𝛿𝜂 2 − 12𝜔 1 𝜇 4 𝛿𝜂 2 − 9𝛽 1 𝜇 4 𝛿𝜂 2 −  10𝛿𝛽 2 𝜇 4 𝜂 2 − 6𝛿𝜂 1 𝛽 2 𝜇 4 − 4𝛿𝛽 2 𝜇 4 𝜔 1 − 3𝛿𝛽 2 𝜇 4 𝛽 1 − 8𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝜂 2 2 −   2𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝜂 1 2 + 4𝛿 2 𝛼Λ𝜇 4 − 5𝜇 6 𝛿 − 2𝛿𝛽 2 𝜇 2 𝜂 1 2 𝛽 1 − 3𝛿𝜂 1 𝜂 2 2 𝛽 2 𝜇 2 − 𝛿𝜂 2 𝜂 1 2 𝛽 2 𝜇 2 −  6𝛽 1 𝜂 1 𝛿𝜇 3 𝜔 2 − 2𝛽 1 𝛿𝜂 1 2 𝜔 2 𝜇 2 − 12𝜔 1 𝜂 1 𝛿𝜇 3 𝜂 2 − 4𝜔 1 𝜂 1 𝜇 2 𝛿𝜂 2 2 − 12𝜇 3 𝜔 2 𝜂 2 𝜂 1 𝛿 − 9𝜔 2 𝛽 1 𝜇 3 𝛿𝜂 2 − 10𝜂 1 𝛽 1 𝜇 3 𝜂 2 𝛿 − 6𝜔 2 𝛽 1 𝜇 2 𝜂 2 2 𝛿 − 4𝜔 2 𝜇 2 𝜂 2 2 𝛿𝜂 1 − 𝛽 2 𝛽 1 𝜇𝜂 2 3 𝛿 − 𝜔 2 𝛽 1 𝜇𝜂 2 3 𝛿 − 2𝜔 1 𝜂 1 2 𝜇 2 𝜂 2 𝛿 − 2𝜔 2 𝜂 1 2 𝜇 2 𝛿𝜂 2 −      2𝛽 1 𝜂 1 2 𝜇 2 𝜂 2 𝛿 + 8(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 2 𝜇𝜂 1 𝜂 2 + 8𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 𝛼Λ𝜂 1 𝜇 + 5𝛿 2 𝛼Λ𝜂 2 𝛽 1 𝜇𝜂 1 +       4(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 𝜂 2 𝛽 1 𝜇 − 8𝜔 1 𝛿𝜂 2 𝛽 2 𝜂 1 𝜇 2 − 2𝜔 1 𝛿𝜂 2 2 𝛽 2 𝜂 1 𝜇 − 7𝛿𝛽 2 𝜂 2 𝜇 2 𝛽 1 𝜂 1 −       𝛿𝜂 1 2 𝛽 2 𝜂 2 𝜔 1 𝜇 − 2𝛿𝜂 1 𝜂 2 2 𝛽 2 𝛽 1 𝜇 − 𝛿𝜂 1 2 𝜂 2 𝛽 2 𝛽 1 𝜇 − 8𝛽 1 𝜂 1 𝛿𝜇 2 𝜔 2 𝜂 2 −       2𝛽 1 𝜂 1 𝛿𝜇𝜔 2 𝜂 2 2 − 𝛽 1 𝜂 1 2 𝛿𝜔 2 𝜂 2 + 𝛿 2 𝛼Λ𝜂 2 2 𝛽 1 𝜇 + (1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 2 𝜂 2 𝜇 +
(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 𝜂 2 2 𝜇 + (1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 2 𝜂 1 2 𝜔 1 + (1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 2 𝜂 1 2 𝛽 1 + 𝛿 2 𝜂 1 2 𝜂 2 𝛼Λ𝜇 +        𝛿 2 𝜂 2 2 𝜂 1 𝛼Λ𝜇 + 𝛿 2 𝜂 1 2 𝜂 2 𝛼Λ𝜔 1 + 𝛿 2 𝜂 1 2 𝜂 2 𝛼Λ𝛽 1 + 𝛽 1 𝜂 1 (1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 2 2 +        𝛽 1 𝛿 2 𝜂 2 2 𝜂 1 𝛼Λ + 9(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 2 𝜂 2 𝜇 2 +
6(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜔 1 𝜂 2 2 𝜇 + 6𝛿 2 𝜔 1 𝜂 2 2 𝛼Λ𝜇 +       6(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜔 1 𝜂 1 𝜇 2 + 2(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 2 𝜂 2 2 𝜂 1 +
9𝛿 2 𝜔 1 𝜂 2 𝛼Λ𝜇 2 +       2𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 2 𝛼Λ𝜂 1 + 6𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝜔 1 𝜂 1 + 5𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝛽 1 𝜂 1 + 6𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 2 𝜂 1 +
4𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 2 𝛽 1 + 2𝛿 2 𝛼Λ𝜂 1 2 𝜇𝜔 1 + 2𝛿 2 𝛼Λ𝜂 1 2 𝜇𝛽 1 + 4(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 𝜇 2 𝜂 2 +       2(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 2 𝜇𝜔 1 + 3(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 𝜇 2 𝛽 1 + 2(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 2 𝜇𝛽 1 −       9𝜔 1 𝛿𝜂 2 𝛽 2 𝜇 3 − 6𝜔 1 𝛿𝜂 2 2 𝛽 2 𝜇 2 −
𝜔 1 𝛿𝜂 2 3 𝛽 2 𝜇 − 6𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝜔 1 𝜂 1 − 7𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝛽 1 𝜂 2 −       5𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝛽 1 𝜂 1 − 9𝛿𝛽 2 𝜇 3 𝜂 2 𝜂 1 − 5𝛿𝛽 2 𝜇 2 𝜂 2 2 𝛽 1 −
2𝛿𝛽 2 𝜇 2 𝜂 1 2 𝜔 1 − 3𝛽 1 𝜂 1 𝜇 2 𝛿𝜂 2 2 +       3(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 𝜇 3 + 2(1 − 𝛼)Λ𝛿 2 𝜂 1 2 𝜇 2 + (1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 2 𝜂 2 3 + 𝜔 1 𝛿 2 𝜂 2 3 𝛼Λ +       4(1 − 𝛼)𝜔 1 Λ𝛿 2 𝜇 3 + 6𝛿 2 𝛼Λ𝜇 3 𝜂 1 + 6𝛿 2 𝛼Λ𝜇 3 𝜂 2 + 4𝛿 2 𝛼Λ𝜇 3 𝜔 1 + 3𝛿 2 𝛼Λ𝜇 3 𝛽 1 + 2𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 2 2 + 2𝛿 2 𝛼Λ𝜇 2 𝜂 1 2 𝑟 6 = 𝜇(𝜇 + 𝜂 2 )(𝜇 + 𝜂 1 + 𝜂 2 )(Λ𝛿(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )(𝛼𝜇 + 𝜂 1 ) + 𝜔 1 (𝜇(1 − 𝛼) +       𝜂 2 )) − 𝜇(𝜇 + 𝜂 1 + 𝜂 2 )((𝜇 + 𝛽 2 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 2 (𝜇 + 𝛽 1 ))
Berdasarkan sifat  polinomial  berderajat lima, persamaan (5) memiliki satu  akar positif jika perkalian semua akarnya lebih dari nol. Selanjutnya diperoleh syarat untuk eksistensi 𝑅 ∗ yaitu 𝑅 0 > 1. Kompartemen 𝑃 𝑅 ∗ , 𝑃 𝐶 ∗ , 𝐶 ∗ akan eksis jika 𝑅 ∗ eksis. Oleh sebab itu, titik setimbang endemik eksis jika dan hanya jika 𝑅 0 > 1 .

## 4 Kestabilan Lokal Titik Setimbang
Pada bagian ini akan dilakukan analisis kestabilan lokal pada kedua titik setimbang model, yaitu titik setimbang non endemik 𝐸 0 dan titik setimbang endemik 𝐸 1 .

## 4.1 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Non Endemik
Analisis  kestabilan  lokal  pada  titik  setimbang  non  endemik  diawali  dengan mensubstitusikan nilai
titik
setimbang non endemik yaitu
𝐸 0 = ( Λ 𝜇 𝛼𝜇+𝜂 1 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 , Λ 𝜇 (1−𝛼)𝜇+𝜂 2 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 , 0,0) ke dalam matriks Jacobian, sehingga diperoleh
𝐽𝐸 0 = [ −(𝜇 + 𝜂 2 ) 𝜂 1 𝛽 2 − 𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇 + 𝜂 1 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 0 𝜂 2 −(𝜇 + 𝜂 1 ) −𝛿 Λ 𝜇 (1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 𝛽 1 0 0 −(𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 ) + 𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇 + 𝜂 1 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 𝜔 1
0 0 𝜔 2 + 𝛿 Λ 𝜇 (1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 −(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) ]
Berdasarkan  matriks  Jacobian 𝐽 𝐸 0 ,  dapat  dibentuk  persamaan  karakteristik  sebagai berikut:
det(𝐽 𝐸 0 − 𝜆𝐼) = 0. 𝑑𝑒𝑡 [ −(𝜇 + 𝜂 2 ) − λ 𝜂 1 𝛽 2 − 𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇+𝜂 1 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 0
𝜂 2 −(𝜇 + 𝜂 1 ) − λ −𝛿 Λ 𝜇 (1−𝛼)𝜇+𝜂 2 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 𝛽 1 0 0 −(𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 ) + 𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇+𝜂 1 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 − λ 𝜔 1 0 0 𝜔 2 + 𝛿 Λ 𝜇 (1−𝛼)𝜇+𝜂 2 𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 −(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) − λ] = 0
atau diperoleh bentuk yang ekivalen sebagai berikut
(λ 2 + λA 1 + A 2 )(λ 2 + λ𝐵 1 + 𝐵 2 ) = 0 (6a)
dengan
𝐴 1 = 2𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 𝐴 2 = 𝜇 2 + 𝜇𝜂 1 + 𝜂 2 𝜇
𝐵 1 = (2𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 ) + (𝛽 1 + 𝜔 1 ) − 𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇 + 𝜂 1 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 𝐵 2 = (𝜇 + 𝛽 2 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 2 (𝜇 + 𝛽 1 ) − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝛿 Λ 𝜇 𝛼𝜇 + 𝜂 1 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 − 𝜔 1 𝛿 Λ 𝜇 (1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1
Titik  setimbang  non  endemik  akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika  persamaan karakteristik (6a) memiliki akar-akar bagian real negatif. Hal tersebut dapat diselesaikan dengan  menggunakan  kriteria  Routh-Hurwitz.  Metode  ini  memperhatikan  koefisien- koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung persamaan karakteristik secara langsung.  Selanjutnya  akan  dicari  nilai  eign  dari  persamaan  (6a).  Pandang  persamaan berikut:
(λ 2 + λA 1 + A 2 ) = 0
(6b)
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz  persamaan  (6b)  akan  memiliki  akar  –  akar  bagian real  negatif    jika  dan  hanya  jika 𝐴 1 , 𝐴 2 > 0. Jelas  bahwa 𝐴 1 , 𝐴 2 > 0 karena  semua parameter bernilai positif.
Pandang persamaan berikut:
(λ 2 + λB 1 + B 2 ) = 0 (6c)
Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz  persamaan  (6c)  akan  memiliki  akar  –  akar  bagian real  negatif  jika  dan  hanya  jika 𝐵 1 , 𝐵 2 > 0 .  Selanjutnya  agar 𝐵 1 > 0 diperoleh  syarat yaitu 𝐽 𝐾 R 0 < 1 dengan 𝐽 = (𝛼𝜇 + 𝜂 1 )((𝜇 + 𝛽 2 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 2 (𝜇 + 𝛽 1 )) dan 𝐾 = ((2𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 ) + (𝛽 1 + 𝜔 1 ))((𝛼𝜇 + 𝜂 1 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 1 [(1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 ]) sedangkan  agar 𝐵 2 > 0 diperoleh  syarat R 0 < 1 .  Selanjutnya  dengan  menguraikan parameter  dalam 𝐽 dan 𝐾 serta  membandingkan  nilainya  diperoleh 𝐽 𝐾 < 1 .  Dengan demikian  dapat  dituliskan  bahwa 𝐽 𝐾 R 0 < R 0 .  Oleh  karena  itu  syarat  kestabilan  titik setimbang non endemik hanya bergantung pada R 0 < 1 . Maka dapat disimpulkan bahwa titik setimbang non endemik stabil asimtotis jika dan hanya jika R 0 < 1 .

## 4.2 Kestabilan Lokal Titik Setimbang Endemik
Langkah  pertama  untuk  menentukan  kestabilan  titik  setimbang  endemik  yaitu  dengan mensubstitusikan titik setimbang endemik 𝐸 1 = (𝑃 𝑅 ∗ , 𝑃 𝐶 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐶 ∗ ) pada matriks Jacobian, sehingga diperoleh :
𝐽𝐸 1 = [ −𝑦 1 𝜂 1 𝛽 2 − 𝑦 2 0 𝜂 2 −𝑦 3 −𝑦 4 𝛽 1 𝛿𝑅 ∗ 0 −𝑑 3 + 𝑦 2 𝜔 1 0 𝛿𝑅 ∗ 𝜔 2 + 𝑦 4 −𝑑 4 ]
dengan
𝑦 1 = 𝑑 1 + 𝛿𝑅 ∗
𝑦 2 = 𝛿 𝑑 5 𝑑 7
𝑦 3 = 𝑑 2 + 𝛿𝑅 ∗
𝑦 4 = 𝛿 𝑑 6 𝑑 8 𝑑 1 = 𝜇 + 𝜂 2 𝑑 2 = 𝜇 + 𝜂 1 𝑑 3 = 𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 𝑑 4 = 𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1
𝑑 5 = (𝛼Λ+𝛽 2 𝑅 ∗ )[𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )] + (1 − 𝛼)Λ 𝜂 1 (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) +  𝜂 1 𝛽 1 𝐶 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) +  𝜂 1 𝜂 2 𝛼Λ +   𝜂 1 𝜂 2 𝛽 2 𝑅 ∗
𝑑 6 = (1 − 𝛼)Λ(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛽 1 𝐶 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) +  𝜂 2 𝛼Λ +  𝜂 2 𝛽 2 𝑅 ∗
𝑑 7 = [𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )](𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) 𝑑 8 = 𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝜂 1 (𝜇 + 𝛿𝑅 ∗ ) + 𝛿𝑅 ∗ (𝜇 + 𝜂 2 + 𝛿𝑅 ∗ )
Berdasarkan  matriks  Jacobian  di  sekitar  titik  setimbang  endemik 𝐸 1 ,    akan  ditentukan nilai eigennya dengan menggunakan det (𝐽 𝐸 1 − 𝜆𝐼) = 0 , yaitu 𝑑𝑒𝑡 [ −𝑦 1 − 𝜆 𝜂 1 𝛽 2 − 𝑦 2 0 𝜂 2 −𝑦 3 − 𝜆 −𝑦 4 𝛽 1 𝛿𝑅 ∗ 0 −𝑑 3 + 𝑦 2 − 𝜆 𝜔 1
0 𝛿𝑅 ∗ 𝜔 2 + 𝑦 4 −𝑑 4 − 𝜆] = 0
Dari sini, diperoleh persamaan karakteristik sebagai berikut:
𝜆 4 + 𝜆 3 𝐺 1 + 𝜆 2 𝐺 2 + 𝜆𝐺 3 + 𝐺 4 = 0 (7)
Karena nilai 𝐺 1 , 𝐺 2 , 𝐺 3 dan 𝐺 4 mengandung banyak parameter yang sulit disederhanakan, maka Penentuan  akar-akar persamaan karakteristik  pada persamaan  (7) sulit  dilakukan secara analitik. Oleh sebab itu, titik setimbang endemik akan dianalisis melalui simulasi numerik menggunakan bidang fase.
Simulasi  ini  dilakukan  dengan  memberikan  nilai  parameter  dan  tiga  nilai  awal  yang berbeda  untuk  setiap  populasi (𝑃 𝑅 (0), 𝑃 𝐶 (0), 𝑅(0), 𝐶(0)) .  Hal  ini  bertujuan  untuk mengetahui solusi dari setiap nilai awal yang diberikan menuju ke satu titik atau tidak. Adapun waktu yang digunakan pada simulasi ini adalah saat 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 tahun. Adapun nilai awal dan nilai parameter disajikan pada Tabel 2 dan Tabel 3.
Tabel 2 Nilai Parameter Model Matematika Penyalahgunaan Narkoba dengan Memperhatikan
Tipe Perawatan beserta Tingkat Resiko Parameter Nilai Satuan Sumber
Λ
244.2 𝑜𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛
[3]
𝛼 0.01 − [3] 𝜇 0.01 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3] 𝜂 1 0.0002 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3] 𝜂 2 0.0002 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3]
Parameter Nilai Satuan Sumber 𝛿 0.002 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 Asumsi 𝜔 1 0.004 2200 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3]
𝜔 2 0.0002 1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3]
𝛽 1 0.18
1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3]
𝛽 2 0.18
1 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 [3]
Tabel 3 Nilai Awal Bidang Fase Titik Setimbang Endemik 𝐸 1 Nilai awal 𝑷 𝑹 (𝟎) 𝑷 𝑪 (𝟎) 𝑹(𝟎) 𝑪(𝟎) Warna 1 90 200 250 300 Hijau 2 100 350 450 500 Biru 3 200 305 350 400 Merah
Hasil  simulasi  bidang  fase  pada  titik  setimbang  endemik  model  matematika penyalahgunaan  narkoba  dengan  memperhatikan  tipe  perawatan  beserta  tingkat  resiko ditunjukkan pada Gambar 2 berikut:
Gambar 2 Grafik Bidang Fase Populasi 𝑅 − 𝐶
Berdasarkan  Gambar  2  terlihat  bahwa  untuk  masing-masing  nilai  awal,  jumlah  kedua populasi  menuju  ke  satu  titik  yaitu (𝑅, 𝐶) = (268, 17650) .  Hal  ini  berarti  solusi  dari setiap subpopulasi pada model bergerak menuju ke titik setimbang endemik yaitu 𝐸 1 = (𝑃 𝑅 ∗ , 𝑃 𝐶 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐶 ∗ ) = (95 ; 6256 ; 268 ; 17650) Selain  itu,  didapatkan  juga  nilai 𝑅 0 = 7.4096 > 1 . Karena pada Gambar 2 menunjukkan grafik bergerak menuju satu titik yaitu titik setimbang endemik serta diperoleh nilai 𝑅 0 > 1 , maka titik setimbang endemik 𝐸 1 cenderung stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 . Ini berarti jika syarat terpenuhi, maka terjadi  penyebaran  pengaruh  pelanggan referral terhadap  pelanggan  potensial  untuk menjadi pelanggan referral atau regular .

## 5 Analisis Sensitivitas Parameter
Pada  saat  menganalisis  syarat  kestabilan  tentunya  terdapat  beberapa  parameter  yang berpengaruh  cukup  besar.  Analisis  sensitivitas  bertujuan  untuk  menentukan  parameter yang memiliki pengaruh besar pada syarat kestabilan dari titik setimbang non endemik maupun  endemik.  Hal  tersebut  dapat  diketahui  melalui  indeks  sensitivitas  ( 𝑒 𝑚 )  dari masing-masing  parameter.  Adapun  indeks  sensitivitas  parameter  dirumuskan  sebagai berikut [7]:
𝑒 𝑚 = ( 𝜕𝑅 0 𝜕𝑚 ) 𝑚 𝑅 0 ,
dengan :
𝑚 : parameter yang akan dianalisis 𝑒 𝑚 : indeks sensitivitas parameter 𝑚 .
Pada penelitian ini, 𝑅 0 yang digunakan adalah sebagai berikut:
𝑅 0 = Λ𝛿((𝛼𝜇 + 𝜂 1 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 1 [(1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 ]) 𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 )((𝜇 + 𝛽 2 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 2 (𝜇 + 𝛽 1 ))
Terdapat  10  parameter  yang  mempengaruhi 𝑅 0 diantaranya Λ, 𝛿, 𝛼, 𝜇, 𝜂 1 , 𝛽 1 , 𝜔 1 , 𝜂 2 , 𝛽 2 , dan 𝜔 2 . Berikut diberikan contoh perhitungan indeks sensitivitas untuk parameter Λ .
𝑒 Λ = ( 𝜕𝑅 0 𝜕Λ ) Λ 𝑅 0 = 𝛿((𝛼𝜇+𝜂 1 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 1 [(1−𝛼)𝜇+𝜂 2 ]) 𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 )((𝜇+𝛽 2 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 2 (𝜇+𝛽 1 )) Λ𝜇(𝜇+𝜂 2 +𝜂 1 )((𝜇+𝛽 2 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 2 (𝜇+𝛽 1 )) Λ𝛿((𝛼𝜇+𝜂 1 )(𝜇+𝛽 1 +𝜔 1 )+𝜔 1 [(1−𝛼)𝜇+𝜂 2 ]) = 1 .
Hasil perhitungan indeks sensitivitas parameter model matematika dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan pemasaran  dapat dilihat pada Tabel 4 berikut :
Tabel 4 Hasil Perhitungan Indeks Sensitivitas Parameter Parameter Indeks Sensitivitas Λ 1
𝛿
1
𝛼
0.33 𝜇 −1.68
𝜂 1 0.64
𝛽 1 −0.0003 𝜔 1 0.00032
𝜂 2 −0.019
𝛽 2 −0.95 𝜔 2 −0.001
Berdasarkan Tabel 4, untuk indeks sensitivitas yang bernilai positif, jika nilai parameter dinaikkan maka nilai 𝑅 0 akan bertambah. Sebaliknya, untuk indeks sensitivitas yang bernilai negatif, jika  nilai  parameter  dinaikkan  maka  nilai 𝑅 0 akan  berkurang.  Sebagai  contoh,  jika parameter 𝛿 bertambah sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 juga akan bertambah 10%. Namun, ketika parameter 𝜇 bertambah sebesar 10%, maka nilai 𝑅 0 akan berkurang sebesar 9.4%. Analisis  tersebut  berlaku  pula  untuk  parameter Λ, 𝛼, 𝛽 1 , 𝜔 1 , 𝜂 2 , 𝛽 2 , 𝜂 1 ,  dan 𝜔 2 .  Dari penjelasan  analisis  tersebut,  parameter  yang  memiliki  pengaruh  besar  dalam  model adalah Λ, 𝛿, dan 𝜇 . Namun, karena parameter laju rekruitmen pelanggan (Λ) tidak dapat dikontrol, maka salah satu parameter yang berpengaruh dan dapat dikontrol adalah 𝛿 dan 𝜇 .
Selanjutnya , akan disimulasikan sensitivitas parameter 𝛿 dan 𝜇 terhadap 𝑅 0 yang masing –  masing  merupakan  laju  perubahan  pelanggan  potensial  ke  pelanggan referral atau regular karena  pengaruh  pelanggan referral dan  laju  hilangnya  pelanggan  karena kematian, emigrasi,  dan  kehilangan kepercayaan  terhadap suatu  produk. Pada simulasi ini dipilih nilai 𝜇 = 0.01 , 𝜇 = 0.02 , 𝜇 = 0.03 , dengan 𝛿 berada pada selang 0,1 ≤  𝛿 ≤ 0,9 .. Berikut adalah hasil simulasi berupa grafik sensitivitas 𝛿 dan 𝜇 terhadap 𝑅 0 dapat dilihat pada Gambar 3.
Gambar 3 Sensitivitas 𝛿 Terhadap 𝑅 0 dengan Nilai 𝜇 yang Berbeda
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa untuk ketiga nilai 𝜇 yang berbeda, semakin besar nilai 𝜇 maka semakin kecil nilai 𝑅 0 . Selain itu, semakin besar nilai 𝛿 maka semakin besar pula  nilai 𝑅 0 .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  indeks  sensitivitas 𝜇 yang  bernilai  negatif mengakibatkan jika nilai 𝜇 dinaikkan maka nilai 𝑅 0 turun, sedangkan indeks sensitivitas 𝛿 yang bernilai positif mengakibatkan jika nilai 𝛿 dinaikkan maka nilai 𝑅 0 juga naik.

## 6 Analisis Masalah Kontrol Optimal
Salah  satu  tujuan  penelitian  ini  adalah  menganalisis  kontrol  optimal  untuk  model matematika dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan pemasaran. Sebelumnya, terlebih dahulu  dikontruksi  bentuk  kontrol  optimal  untuk  model  matematika  yang  dibahas. Kontrol  optimal  yang  ditambahkan  pada  model  untuk  penelitian  ini  adalah  upaya pengiklanan suatu produk melalui word of mouth. .
Berikut  diberikan  model  matematika  dinamika  pelanggan  berdasarkan  kebijakan pemasaran  dengan adanya penambahan variabel kontrol:
𝑑𝑃 𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼Λ + 𝛽 2 𝑅 +  𝜂 1 𝑃 𝐶 − (𝜇 + 𝜂 2 )𝑃 𝑅 − (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅 (8a)
𝑑𝑃 𝐶 𝑑𝑡 = (1 − 𝛼)Λ + 𝛽 1 𝐶 +  𝜂 2 𝑃 𝑅 − (𝜇 + 𝜂 1 )𝑃 𝐶 − 𝛿𝑅𝑃 𝐶 (8b)
𝑑𝑅
𝑑𝑡 = 𝜔 1 𝐶 − (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 )𝑅 + (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅 (8c)
𝑑𝐶
𝑑𝑡 = 𝜔 2 𝑅 − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝐶 + 𝛿𝑅𝑃 𝐶 (8d)
Dengan 𝑢(𝑡) merupakan upaya pengiklanan suatu produk melalui word of mouth pada saat 𝑡 .  Variabel  kontrol 𝑢 terdapat  pada  persamaan  (8a)  dan  (8c).  Pemberian  variabel kontrol ini bertujuan untuk menambah populasi pelanggan referral dan pelanggan regular serta  meminimumkan  biaya  yang  dikeluarkan  untuk  upaya  tersebut.  Untuk  mencapai tujuan tersebut digunakanlah metode Prinsip Maksimum Pontryagin. Dengan demikian dapat dibentuk fungsi ongkos atau indeks performansi sebagai berikut :
𝑚𝑎𝑥  𝐽 = ∫ 𝑅 + 𝐶 −
𝑡 𝑓
𝑡 0 1 2 𝜃𝑢 2 𝑑𝑡
Dengan  koefisien 𝜃 adalah  konstanta  pembobot  berupa  biaya  yang  harus  dikeluarkan untuk pengiklanan word of mouth . Batas kontrol optimal berada pada 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 serta 𝑡 𝑓 merupakan waktu akhir pengamatan.

## 6.1 Penyelesaian Kontrol Optimal
Berdasarkan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin,  langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah membentuk fungsi Hamiltonian pada model sebagai berikut:
𝐻 = 𝑅 + 𝐶 − 1 2 𝜃𝑢 2 + 𝜓 ′ (𝑡)𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) (8e)
dengan 𝑓(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) adalah ruas kanan dari model yang disertai penambahan variabel kontrol. Sedangkan 𝜓(𝑡) merupakan pengali Lagrange atau variabel co-state dan 𝜓 ′ (𝑡) adalah transpose dari 𝜓(𝑡) sehingga dapat dituliskan sebagai berikut :
𝜓(𝑡) = ( 𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 𝜓 4 ) dan 𝜓 ′ (𝑡) = (𝜓 1 𝜓 2 𝜓 3 𝜓 4 ) .
Fungsi Hamiltonian tersebut dapat diuraikan sebagai berikut:
𝐻 = 𝑅 + 𝐶 − 1 2 𝜃𝑢 2 + 𝜓 1 [𝛼Λ + 𝛽 2 𝑅 +  𝜂 1 𝑃 𝐶 − (𝜇 + 𝜂 2 )𝑃 𝑅 − (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅 ] + 𝜓 2 [(1 − 𝛼)Λ + 𝛽 1
𝐶 +  𝜂 2 𝑃 𝑅 − (𝜇 + 𝜂 1 )𝑃 𝐶 − 𝛿𝑅𝑃 𝐶 ] + 𝜓 3 [𝜔 1 𝐶 − (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 )𝑅 + (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅 ] + 𝜓 4 [𝜔 2 𝑅 − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝐶 + 𝛿𝑅𝑃 𝐶 ]
Selanjutnya  untuk  memperoleh 𝑢 yang  optimal,  maka  fungsi  Hamiltonian  harus memenuhi kondisi stasioner yaitu 𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0 dengan uraian berikut :
𝜕𝐻 𝜕𝑢 = 0
 −𝜃𝑢 − 𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 + 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 = 0
 𝜃𝑢 = −𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 + 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅
 𝑢 = 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 −𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃
Batas  kontrol  optimal  berada  pada 0 ≤ 𝑢(𝑡) ≤ 1 ,  sehingga  diperoleh  beberapa kemungkinan nilai 𝑢 yang dapat dituliskan sebagai berikut :
𝑢 ∗ = { 0 untuk 𝑢 ∗ ≤ 0 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 − 𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃 untuk 0 < 𝑢 ∗ < 1 1 untuk 𝑢 ∗ ≥ 1
Berdasarkan kemungkinan diatas, maka diperoleh nilai 𝑢 ∗ yang optimal sebagai berikut :
𝑢 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 −𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃 ))
(8f)
Dari persamaan (8f) diketahui bahwa nilai kontrol 𝑢 bergantung pada variavel state dan co-state ,  sehingga  perlu  adanya  penyelesaian  persamaan state dan  persamaan co-state untuk memperoleh variabel tersebut.
Berikut adalah penyelesaian persamaan state yang diperoleh dari 𝜕𝐻 𝜕𝜓 :
𝑃 𝑅 ̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜓 1 = 𝛼Λ + 𝛽 2 𝑅 +  𝜂 1 𝑃 𝐶 − (𝜇 + 𝜂 2 )𝑃 𝑅 − (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅
𝑃 𝐶 ̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜓 2 = (1 − 𝛼)Λ + 𝛽 1 𝐶 +  𝜂 2 𝑃 𝑅 − (𝜇 + 𝜂 1 )𝑃 𝐶 − 𝛿𝑅𝑃 𝐶
𝑅̇    = 𝜕𝐻 𝜕𝜓 3 = 𝜔 1 𝐶 − (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 )𝑅 + (𝛿 + 𝑢γ)𝑅𝑃 𝑅
𝐶̇    = 𝜕𝐻 𝜕𝜓 4 = 𝜔 2 𝑅 − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝐶 + 𝛿𝑅𝑃 𝐶 .
Berikut ini adalah penyelesaian persamaan co-state yang diperoleh dari − 𝜕𝐻 𝜕𝑥 :
𝜓 1 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑃 𝑅 = −[−𝜓 1 (𝜇 + 𝜂 2 ) − 𝜓 1 (𝛿 + 𝑢γ)𝑅 + 𝜓 2 𝜂 2 + 𝜓 3 (𝛿 + 𝑢γ)𝑅]
𝜓 2 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑃 𝐶 = −[𝜓 1 𝜂 1 − 𝜓 2 (𝜇 + 𝜂 1 ) − 𝜓 2 𝛿𝑅 + 𝜓 4 𝛿𝑅]
𝜓 3 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 = −[1 + 𝜓 1 𝛽 2 − 𝜓 1 (𝛿 + 𝑢γ)𝑃 𝑅 − 𝜓 2 𝛿𝑃 𝐶 − 𝜓 3 (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 ) + 𝜓 3 (𝛿 + 𝑢γ)𝑃 𝑅 + 𝜓 4 𝜔 2 𝑅 + 𝜓 4 𝛿𝑃 𝐶 ] 𝜓 4 ̇ = − 𝜕𝐻 𝜕𝐶 = −[1 + 𝜓 2 𝛽 1 + 𝜓 3 𝜔 1 − 𝜓 4 (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )]
Dengan syarat akhir variabel co-state 𝜓 𝑖 (𝑡 𝑓 ) = 0 , 𝑖 = 1, 2, 3, 4.
Dari persamaan state dan co-state akan diperoleh nilai variabel state dan co-state yang selanjutnya disubstitusikan pengontrol 𝑢 ∗ . Berikutnya mensubstitusikan persamaan (8f) ke dalam persamaan state untuk memperoleh bentuk solusi yang optimal sebagai berikut:
𝑃 𝑅 ̇ = 𝛼Λ + 𝛽 2 𝑅 +  𝜂 1 𝑃 𝐶 − (𝜇 + 𝜂 2 )𝑃 𝑅 − (𝛿 + 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 −𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃 )) γ)𝑅𝑃 𝑅
𝑃 𝐶 ̇ = (1 − 𝛼)Λ + 𝛽 1 𝐶 +  𝜂 2 𝑃 𝑅 − (𝜇 + 𝜂 1 )𝑃 𝐶 − 𝛿𝑅𝑃 𝐶
𝑅̇    = 𝜔 1 𝐶 − (𝜇 + 𝛽 2 + 𝜔 2 )𝑅 + (𝛿 + 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 −𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃 )) γ)𝑅𝑃 𝑅
𝐶̇    = 𝜔 2 𝑅 − (𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 )𝐶 + 𝛿𝑅𝑃 𝐶
Berdasarkan penjelasan diatas untuk memperoleh nilai 𝑃 𝑅 , 𝑃 𝐶 , 𝑅, 𝐶 dari bentuk 𝑢 ∗ yang optimal, harus ditentukan penyelesaian persamaan state dan co-state . Namun persamaan tersebut  berbentuk  non  linier  yang  sulit  diselesaikan  secara  analitik,  sehingga  akan diselesaikan secara numerik.

## 6.2 Simulasi
Penyelesaian  secara  numerik  untuk  kontrol  masalah  optimal  dapat  dilakukan  dengan mensimulasikan  permasalahan  kontrol  optimal  menggunakan  program  DOTcvp  pada software MATLAB. Simulasi ini juga bertujuan untuk mengetahui pengaruh pemberian upaya  pengiklanan word  of  mouth terhadap  populasi  yang  akan  dimaksimalkan.  Pada program  DOTcvp  persamaan state didefinisikan  sebagai 𝑃 𝑅 = 𝑦(1), 𝑃 𝐶 = 𝑦(2), 𝑅 = 𝑦(3), 𝐶 = 𝑦(4) ,  sedangkan  indeks  performansi  didefinisikan  sebagai state baru  yaitu 𝑦(5) dan variabel kontrol 𝑢(1) .
Pada  simulasi  numerik  ini  diberikan  nilai  awal  untuk  semua  populasi  yaitu 𝑃 𝑅 (0) = 200, 𝑃 𝐶 (0) = 22000, 𝑅(0) = 20, 𝐶(0) = 2200 .  Simulasi  ini  dilakukan  untuk 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 tahun. Nilai parameter yang digunakan merujuk pada Tabel 4. konstanta pembobot untuk upaya pengiklanan word of mouth adalah 𝜃 = 10 .
Simulasi  kontrol  optimal ini dilakukan dengan mengamati  populasi pelanggan referral dan pelanggan regular untuk dibandingkan dengan simulasi pada saat belum diberi upaya pengiklanan word  of  mouth. Karena  pada  skripsi  ini  hanya  terdapat  satu  penambahan variabel  kontrol,  maka  simulasi  dilakukan  dengan  satu  skenario  yaitu  saat  ada  upaya pengiklanan word of mouth (𝑢 ≠ 0) .
Berikut  adalah  hasil  simulasi  perbandingan  populasi  pelanggan referral tanpa  adanya variabel kontrol dan dengan adanya variabel kontrol.
Gambar 4 Simulasi Perbandingan Jumlah Pelanggan Referral (𝑅)
Berdasarkan Gambar 4 terlihat bahwa terdapat perbedaan antara jumlah populasi tanpa diberi upaya kontrol dan jumlah populasi setelah diberi upaya kontrol. Jumlah populasi tanpa diberi kontrol naik signifikan hingga tahun ke-20 kemudian naik secara bertahap sampai akhir pengamatan. Namun setelah diberi upaya pengiklanan word of mouth , pada awal  pengamatan    jumlah  populasi  pelanggan referral naik  secara  signifikan  melebihi jumlah populasi pelanggan referral sebelum diberi upaya kontrol. Setelah itu pada awal pengamatan  pula  populasi  naik  secara  bertahap  sampai  akhir  pengamatan.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  upaya  pengiklanan word  of  mouth memberikan  efek  untuk meningkatkan  jumlah  populasi  pelanggan referral sesuai  dengan  tujuan  pemberian kontrol  optimal.  Berikut  ini  diberikan  tabel  perbandingan  jumlah  populasi  pelanggan referral tanpa dan dengan adanya penambahan variabel kontrol yang diamati pada akhir pengamatan :
Tabel 5 Perbandingan Populasi Pelanggan Referral (𝑅) Pada Akhir Pengamatan Skenario Jumlah Populasi 𝑹 Tanpa Kontrol 241 Dengan Kontrol 312
Berdasarkan  Tabel  5  terlihat  bahwa  kedua  skenario  memiliki  perbedaan  jumlah  populasi  saat akhir  pengamatan.  Hal  ini  mempertegas  bahwa  pemberian  kontrol  memberikan  efek  untuk memaksimalkan jumlah pelanggan referral.
.
Gambar 5 Simulasi Perbandingan Jumlah Pelanggan Regular (𝐶)
Berdasarkan  Gambar  5,  jumlah  populasi  tanpa  diberi  kontrol  naik  secara  signifikan hingga  tahun  ke-20  kemudian  naik  secara  bertahap  hingga  akhir  pengamatan.  Namun setelah diberi upaya pengiklanan word of mouth, pada awal pengamatan jumlah populasi pelanggan regular naik  secara  signifikan  melebihi  jumlah  populasi  pelanggan regular sebelum  diberi  upaya  kontrol,  setelah  itu  pada  tahun  ke-7  jumlah  populasi  naik  secara bertahap  hingga  akhir  pengamatan.  Berikut  ini  diberikan  tabel  perbandingan  jumlah pelanggan referral tanpa dan dengan adanya penambahan variabel kontrol yang diamati pada akhir pengamatan.
Tabel 6 Perbandingan Populasi Pelanggan Regular (𝐶) Pada Akhir Pengamatan
Skenario Jumlah Populasi 𝑪 Tanpa Kontrol 17260 Dengan Kontrol 18470
Berdasarkan Tabel 6 terlihat bahwa kedua skenario memiliki perbedaan jumlah populasi saat akhir pengamatan. Hal ini mempertegas bahwa pemberian kontrol memberikan efek untuk memaksimalkan jumlah pelanggan regular.
Berdasarkan Gambar 4 – 5 dan Tabel 5 – 6, terlihat bahwa pemberian kontrol optimal berupa  pengiklanan  produk  melalui word  of  mouth dapat  memaksimumkan  jumlah populasi pelanggan referral dan pelanggan regular . Hal ini menunjukkan upaya kontrol yang  diberikan  memberikan  efek  untuk  memaksimumkan  jumlah  populasi  pelanggan referral dan pelanggan regular.
Selanjutnya untuk simulasi profil kontrol disajikan pada Gambar 6 berikut :
Gambar 6 Profil Kontrol Upaya Pengiklanan Word of Mouth
Gambar 6 menunjukkan grafik pemberian upaya pengiklanan word of mouth hingga tahun ke-100.  Pada  Gambar  6  terlihat  bahwa  pemberian  upaya  pengiklanan word  of  mouth secara penuh yaitu 100% sampai tahun ke-5. Setelah itu pada tahun ke-5 sampai tahun ke-90 upaya pengiklanan word of mouth menurun menjadi 65.18%. kemudian pada tahun ke-90  sampai  94  upaya  pengiklanan word  of  mouth ditingkatkan  sebesar  65.45%. selanjutnya  pada  tahun  ke-95  sampai  100  usaha  pemberian  kontrol  terus  mengalami penurunan  hingga  59%.  Dari  simulasi  yang  dilakukan,  juga  diperoleh  biaya  upaya pengiklanan word of mouth sebesar 1798364.63.

## 7 Kesimpulan
Berdasarkan hasil pembahasan yang telah dijelaskan, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Model  matematika  dinamika  pelanggan  berdasarkan  kebijakan  pemasaran memiliki  dua  titik  setimbang,  yaitu  titik  setimbang  non  endemik (𝐸 0 ) dan  titik setimbang endemik (𝐸 1 ) . Titik setimbang endemik akan stabil asimtotis jika dan hanya jika 𝑅 0 < 1 , sedangkan titik setimbang endemik cenderung stabil asimtotis jika memenuhi 𝑅 0 > 1 , dengan nilai 𝑅 0 sebagai berikut :
R 0 = Λ𝛿((𝛼𝜇 + 𝜂 1 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 1 [(1 − 𝛼)𝜇 + 𝜂 2 ])
𝜇(𝜇 + 𝜂 2 + 𝜂 1 )((𝜇 + 𝛽 2 )(𝜇 + 𝛽 1 + 𝜔 1 ) + 𝜔 2 (𝜇 + 𝛽 1 ))
2. Bentuk kontrol optimal pada model matematika dinamika pelanggan berdasarkan kebijakan  pemasaran  yang  diberi  kontrol  berupa  upaya  pengiklanan word  of mouth adalah
𝑢 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 𝜓 3 γ𝑅𝑃 𝑅 − 𝜓 1 γ𝑅𝑃 𝑅 𝜃 )).
3. Berdasarkan hasil simulasi numerik pada model matematika dinamika pelanggan berdasarkan  kebijakan  pemasaran  menunjukkan  bahwa,  jumlah  populasi pelanggan referral dan regular yang diberikan kontrol berupa upaya pengiklanan word  of  mouth pada  akhir  pengamatan  berturut  –  turut  adalah  312  dan  18470 dengan  biaya  upaya  kontrol  yang  dikeluarkan sebesar  1798364.63.  Sedangkan jumlah  populasi  pelanggan referral dan regular yang  tidak  diberikan  kontrol berupa upaya pengiklanan word of mouth pada akhir pengamatan berturut – turut adalah  241  dan  17260.  Berdasarkan  hasil  tersebut  menunjukkan  bahwa,  upaya pengiklanan word  of  mouth memberikan  efek  untuk  meningkatkan  jumlah pelanggan referral dan regular sesuai dengan tujuan pemberian kontrol optimal.

## 8 Daftar Pustaka
[1] Rosa,  S.,  Rebelo,  P.,  Silva,  C.M.,  Alves,  H.,  dan  Carvalho,  P.G.,  2018,  Optimal Control  of  the  Customer  Dynamics  Based  on  Marketing  Policy, Applied Mathematics and Computation , 330 : 42-55.
[2] Swastha,  B.D.,  1999,  Loyalitas  Pelanggan:  Sebuah  Kajian  Konseptual  Sebagai Panduan Bagi Peneliti, Jurnal Ekonomi dan Bisnis Indonesia ,  14, No. 3
[3] Silva,  C.M.,  Silvèrio,  R.,  Helena,  A.,  dan  Pedro,  G.C.,    2016,  A  Mathematical Model  for  the  Customer  Dynamics  Based  on  Marketing  Policy, Applied Mathematics and Computation , 273 : 42-53.
[4] Latief, R., 2018, Word of Mouth Communication Penjualan Produk, Media Sahabat Cendekia, Surabaya
[5] Li, P., Xiofan, Y., Lu-Xing, Y., Qingyu, X.,Yingbo,W., dan Yuan, Y.T., 2018, The Modeling and Analysis of the Word of Mouth Marketing, Phisica A , 493 : 1-16.
[6] Driessche, P.  dan  Watmough, J., 2002, Reproduction numbers and sub-threshold endemic  equilibria  for  compartmental  models  of  disease  transmission, Mathematical Biosciences, 180:29-48.
[7] Chitnis, N., Hyman, J.M., dan Cushing, 2008, Determine important parameters in the  spread  of  malaria  through  the  sensitivity  analysis  of  mathematics  model, Bulletin of Mathematical Biology, 70:1272-1296.