## KADIKMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 1, April 2023, Hal. 9-19 e-ISSN : 2686-3243 ; p-ISSN : 2085-0662 https://jurnal.unej.ac.id/index.php/kadikma https://doi.org/10.19184/kdma.v14i1.38552

## PEWARNAAN GRACEFUL PADA GRAF HASIL OPERASI COMB GRAF SIKLUS DAN GRAF STAR
Eko Waluyo 1 *, Abdul Aziz Wahab 1 , Mohammad Rudi 1
Universias Islam Zainul Hasan Genggong, Indonesia *E-mail: ekowaluyo.tdm@gmail.com
Article History: Received: 06-01-2023 ; Revised: 11-02-2023 ; Accepted: 23-03-2024

## ABSTRAK
Pewarnaan graceful adalah pewarnaan titik pada suatu graf yang menginduksi pewarnaan sisinya. pewarnaan sisi pada pewarnaan graceful diperoleh dari nilai mutlak selisih antara warna titik yang bertetangga  dengan  sisi  tersebut.  Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian  eksploratif  dengan menggunakan  metode  deduktif  aksiomatik  dan  metode  pendeteksi  pola.  Penelitian  ini  bertujuan untuk  mengetahui  pewarnaan  graceful  dan  bilangan  kromatik  pada C n ▷ S m .  Penelitian menghasilkan satu teorema baru yang terdiri dari tiga kasus mengenai bilangan kromatik graceful pada graf siklus comb graf star yaitu χ g (C n ▷ S m ) = m + 7; untuk n ≡ 1 mod 3, χ g (C n ▷ S m ) = m + 7; untuk n ≡ 2 mod 3, dan χ g (C n ▷ S m ) = m + 6; untuk n ≡ 0 mod 3
Keywords: Pewarnaan Graf, Pewarnaan Graceful, Bilangan Kromatik

## ABSTRACT
Graceful coloring is a vertex coloring of graph that induces edge coloring. Side coloring in graceful coloring is obtained from the absolute value of the difference between the colors of the vertices adjacent to the side. This research is a type of exploratory research using axi omatic deductive methods and pattern detection methods. This study aims to determine the graceful coloring and chromatic numbers on a graph 𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 . This research produces a new theorem which consists of three cases regarding graceful chromatic numbers on graphs 𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 that is 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑓𝑜𝑟 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑓𝑜𝑟 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, dan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6; 𝑓𝑜𝑟 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3

## Keywords: Graph coloring, Graceful coloring, Chromatic number

## PENDAHULUAN
Perkembangan teknologi informasi telah mengalami perkembangan yang pesat selama ini.  Perkembangan  ini  tidak  terlepas  dari  permasalahan  yang  dihadapi  manusia  dalam kehidupan sehari-hari, dari yang sederhana hingga yang kompleks. Masalah apa pun dapat diselesaikan  dengan  menerapkan  sains.  Salah  satu  dari  ilmu  yang  dapat  dijadikan  dasar pengembangan  teknologi  adalah  matematika.  Matematika,  sebagai  ilmu  dasar,  berperan penting  dalam  pengembangan  ilmu  alam,  teknologi  modern,  dan  pemikiran  manusia.
Matematika  merupakan  wahana  berpikir  untuk  mengembangkan  kemampuan  berpikir, berpikir  logis,  sistematis  dan  kritis.  Oleh  karena  itu,  matematika  dapat  diterapkan  pada masalah  mulai  dari  yang  sederhana  hingga  yang  kompleks  dengan  mengamati  penyebab masalah dan menemukan solusi untuk masalah tersebut secara konsisten.
Bidang  matematika  yang  menarik  untuk  ditelaah  lebih  lanjut,  salah  satunya  adalah teori graf. Graf adalah pasangan ( 𝑉 ( 𝐺 ), 𝐸 ( 𝐺 )) dengan 𝑉 ( 𝐺 ) adalah himpunan tidak kosong dari objek-objek yang disebut titik, dan 𝑉 ( 𝐺 ) adalah himpunan (mungkin kosong) pasangan tak berurutan dari titik-titik berbeda di 𝑉 ( 𝐺 ) yang disebut sisi [11]. Teori graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 1736 oleh matematikawan Swiss, yakni Leonhard Euler. Melalui karyanya  yang  melibatkan  usahanya  untuk  memecahkan  masalah  jembatan  Konnisberg menggunakan  graf.  Teori  graf  mewakili  objek  diskrit  visual  sebagai  poin.  Objek  ini kemudian  dihubungkan  antara  objek  titik  diskrit  dan  objek  titik  diskrit  lainnya  yang direpresentasikan sebagai sisi [3].
Salah  satu  kajian  teori  graf  yang  dapat  diterapkan  untuk  menyelesaikan  berbagai permasalahan dalam kehidupan sehari-hari adalah pewarnaan graf. Pewarnaan graf adalah kegiatan  memberikan  warna  yang  berbeda  pada  setiap  simpul,  sisi,  atau  daerah  yang berdekatan. Pewarnaan graf dibagi menjadi tiga jenis yaitu pewarnaan titik, sisi, dan daerah. Pewarnaan titik adalah proses pemberian warna yang berbeda pada setiap titik pada graf agar titik-titik  yang  bertetangga  tidak  memiliki  warna  yang  sama.  Pewarnaan  sisi  kemudian diwarnai dengan cara memberi warna berbeda pada setiap sisi yang berdekatan sehingga sisi yang berdekatan tidak memiliki warna yang sama. Pewarnaan daerah juga mewarnai daerah yang  berdekatan  dengan  warna  yang  berbeda  sehingga  daerah  yang  berdekatan  tidak memiliki warna yang sama.
Dalam pewarnaan graf terdapat kasus khusus, yaitu pewarnaan graceful . Pewarnaan graceful pertama kali diperkenalkan pada tahun 2015 oleh Gary Chartrand [4]. Pewarnaan graceful adalah pewarnaan titik pada suatu graf yang menginduksi pewarnaan sisinya. Jadi, pewarnaan sisi pada pewarnaan graceful diperoleh dari nilai mutlak selisih antara warna titik yang  bertetangga  dengan  sisi  tersebut.  Warna  titik  dan  sisi  yang  digunakan  dinyatakan dengan bilangan asli yang boleh berulang dengan syarat setiap titik dan sisi yang bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Kemudian, jumlah warna titik minimum yang terbentuk pada pewarnaan graceful dari graf G disebut bilangan kromatik graceful yang disimbolkan dengan 𝜒 𝑔 (𝐺) [9].
Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung dan 𝑢 adalah simpul di 𝐻 . Operasi comb dari graf 𝐺 dan graf 𝐻 dinotasikan dengan 𝐺  ▷ 𝐻 adalah graf yang diperoleh dengan mengambil satu kopian 𝐺 dan |𝐺| kopian dari 𝐻 dan melekatkan simpul 𝑢 dari masingmasing graf 𝐻 kopian ke- 𝑖 pada simpul ke- 𝑖 dari graf 𝐺 [10].
Beberapa peneliti yang telah melakukan penelitian tentang pewarnaan graceful adalah (English & Zhang, 2017) tentang bilangan kromatik graceful pada graf pohon. Selanjutnya [1] menemukan bilangan kromatik graceful pada keluarga graf unicyclic , yaitu graf tadpole , graf pan , dan graf sun . Selanjutnya [8] tentang bilangan kromatik graceful pada beberapa kelas  graf  khusus.  Selanjutnya  [9]  yang  menemukan  bilangan  kromatik graceful pada keluarga graf unicyclic , yaitu graf bull , graf net , graf cricket , graf caveman , graf peach , dan graf flowerpot . Selanjutnya [7] menemukan bilangan kromatik graceful pada hasil operasi comb graf roda, yaitu graf roda dengan graf lintasan dan graf roda dengan graf lingkaran. Berdasarkan  hasil  penelitian  sebelumnya,  penelitian  ini  tertarik  untuk  menganalisis bilangan kromatik graceful pada graf siklus comb graf star . Pemilihan pewarnaan graceful didasari oleh keunikannya, yaitu pada suatu  graf  G titik yang bertetangga harus memiliki warna yang berbeda yang menginduksi pewarnaan sisinya dimana warna sisinya diperoleh dari nilai mutlak selisih titik yang bertetangga dengan sisi tersebut. Sementara itu, pemilihan
graf  siklus comb graf star didasari  oleh  proses  generalisasi  yaitu  menjadikan  topik pewarnaan graceful semakin umum melalui penelitian terkait bilangan kromatik graceful graf  siklus comb graf star yang  belum  pernah  diteliti  atau  didapatkan  sebelumnya.  Oleh karena itu, judul dari penelitian ini adalah “Pewarnaan Graceful pada Graf Hasil Operasi Comb Graf Siklus dan Graf Star ”.

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian  eksploratif.  Penelitian  eksploratori  adalah penelitian  yang  dilakukan  secara  luas  dan  mendalam  dengan  tujuan  menyelidiki  atau menganalisis  hal-hal  baru,  dan  menggunakan  hasilnya  sebagai  acuan  untuk  penelitian selanjutnya. Alasan penelitian ini bersifat eksploratori adalah karena penelitian ini bertujuan untuk  memperkenalkan  sesuatu  yang  baru  dan  diketahui  oleh  masyarakat  luas,  serta memberikan penjelasan dasar dan mengembangkan teori-teori yang dapat diperbaharui.
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduktif aksiomatik dan metode pendeteksi pola ( pattern recognition ). Metode deduktif aksiomatik adalah metode penelitian  yang  menggunakan  prinsip-prinsip  pembuktian  deduktif  yang  berlaku  dalam logika matematika dengan menggunakan aksioma atau teorema yang telah ada yang dapat diterapkan dalam pewarnaan graceful pada graf siklus comb graf star . Metode pendeteksi pola  ( pattern recognition )  merupakan  metode  untuk  mencari  serta  menemukan  pola pewarnaan dan bilangan kromatik, sehingga diperoleh bilangan kromatik graceful pada graf siklus comb graf star.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil dari penelitian ini adalah teorema pewarnaan graceful ( Graceful Coloring ) pada graf siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) dengan syarat 𝑛 ≥ 4, dan 𝑚  ≥ 2 Penelitian ini diawali dengan  menentukan  graf  siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ). Kemudian  menentukan kardinalitas dari graf siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) . Setelah itu, melakukan pewarnaan titik proper dan pewarnaan sisi  proper pada graf  yang telah ditentukan hingga memenuhi definisi pewarnaan graceful dan didapatkan bilangan kromatiknya.
Pada penelitian ini didapatkan satu  teorema baru  yang terdiri dari tiga kasus terkait pewarnan graceful graf  siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ). Format  penyajian  temuan penelitian ini diawali dengan pernyataan teorema kemudian dilanjutkan dengan bukti dan ilustrasi sebagai validasi kebenaran teorema.
A. Hasil
Pada  penelitian  pewarnaan graceful pada  graf  siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ini diperoleh satu teorema. Pewarnaan ini dimulai dari memberikan warna pada setiap titik dan sisi sedemikian hingga setiap dua titik yang bertetangga berbeda dan setiap dua sisi yang bertetangga berbeda, dimana warna sisi diperoleh dari selisih warna dua titik yang berkaitan dengan  sisi  tersebut.  Banyaknya  warna  minimum  yang  digunakan  dalam  pewarnaan  titik proper disebut bilangan kromatik graceful dari graf 𝐺 yang dinotasikan dengan 𝜒 𝑔 (𝐺) . Jadi, bilangan  kromatik graceful adalah  bilangan 𝑘 terkecil  sehingga  graf 𝐺 dapat  diwarnai dengan k warna.
Gambar 2. Graf Siklus Comb Graf Star
Teorema 3.1. Bilangan kromatik graceful pada graf siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ), 𝑛  ≥ 4, 𝑚  ≥ 2 adalah
𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) { 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 𝑚 + 6; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3
Bukti. Graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) memiliki 𝑉(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = {𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑖𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} dan 𝐸(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = {𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 𝑛 𝑥 1 } ∪ {𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚} .  Kardinalitas  titik  pada  graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) adalah |𝑉(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 )| = 𝑛(2 + 𝑚)
dan  kardinalitas  sisi  dari  graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) adalah |𝐸(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 )| = 𝑛(2 + 𝑚) .  Graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) juga memiliki ∆(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 1 sedemikian hingga diperoleh lemma batas bawah 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 2.
Kasus 1. Untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 Untuk  membuktikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, harus  ditentukan terlebih dahulu batas bawah dan batas atasnya. Berdasarkan Lema 1.1 𝜒 𝑔 (𝐺) ≥ ∆(𝐺) + 1 diperoleh  batas  bawah 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 2. Diasumsikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6 , diberikan warna titik 𝑦 𝑚 = 𝑚 + 6 , diperoleh sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 yang akan memiliki warna yang sama dengan salah satu sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 lainnya, hal ini kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful sedemikian hingga asumsi terdapat 𝑚 + 6 warna adalah salah. Karena asumsi 𝑚 + 6 salah, otomatis 𝑚 + 2 juga salah. Jadi terbukti bahwa 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 7 . Selanjutnya  dibuktikan  batas  atas  bilangan  kromatik gracefull graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) . Didefinisikan 𝑓: 𝑉(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) → {1, 2, 3, … , 𝑚 + 7} diberikan oleh: Untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3
𝑓[𝑐(𝑥 𝑖 )] { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3
4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖 )] { 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 6, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 𝑛
Dikarenakan 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )]{ 𝑗 + 1, 1  ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3  ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,   𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 kasus 1
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1,    2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 5 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 kasus 2 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1, 4  ≤  𝑖  ≤  𝑛, 9  ≤  𝑗  ≤  𝑚 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 3 kasus 3
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1, 5  ≤  𝑖  ≤  𝑛, 11  ≤  𝑗  ≤  𝑚 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 =  2 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 4 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛 kasus 4
Dapat dilihat bahwa fungsi 𝑓 juga menginduksi pewarnaan sisi proper dari graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) diberikan oleh:
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 )] { 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑3
2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 )] { 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 𝑚𝑜𝑑 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 𝑛
Dikarenakan 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚
2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 , 𝑖 = 1
3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 , 𝑖 = 2 kasus 1
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 2 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 3
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 4
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚
1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛 , 𝑖 = 1 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛 , 𝑖 = 2 kasus 5
Berdasarkan  batas  bawah  dan  batas  atas  bilangan  kromatik graceful pada  graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 diperoleh 𝑚 + 7 ≥ 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 7 , dengan kata lain 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7 untuk 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 . Kasus 2. Untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 Untuk membuktikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, harus ditentukan terlebih dahulu batas bawah dan batas atasnya. Berdasarkan Lema 1.1 𝜒 𝑔 (𝐺) ≥ ∆(𝐺) + 1 diperoleh  batas  bawah 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 2. Diasumsikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6 , diberikan warna titik 𝑦 𝑚 = 𝑚 + 6 , diperoleh sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 yang akan memiliki warna yang sama dengan salah satu sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 lainnya, hal ini kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful sedemikian hingga asumsi terdapat 𝑚 + 6 warna adalah salah. Karena asumsi 𝑚 + 6 salah, otomatis 𝑚 + 2 juga salah. Jadi terbukti bahwa 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 7 .
Selanjutnya  dibuktikan  batas  atas  bilangan  kromatik gracefull graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) . Didefinisikan 𝑓: 𝑉(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) → {1, 2, 3, … , 𝑚 + 7} diberikan oleh: Untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3
𝑓[𝑐(𝑥 𝑖 )] {
1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛 − 1 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖 )] { 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 6, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 𝑛 − 1 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 = 𝑛
Dikarenakan 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )]{ 𝑗 + 1, 1  ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 3  ≤ 𝑗 ≤ 𝑚,    𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 kasus 1
𝑓[𝑐(𝑌 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 5 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 kasus 2 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1, 4  ≤  𝑖  ≤  𝑛, 9  ≤  𝑗  ≤  𝑚 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 3 kasus 3 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1,   5  ≤  𝑖  ≤  𝑛, 11  ≤  𝑗  ≤  𝑚 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 1 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 =  2 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 4 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛−1 kasus 4 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝑗 + 1,   3  ≤  𝑖  ≤  𝑛, 7  ≤  𝑗  ≤  𝑚 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛 kasus 5
Dapat dilihat bahwa fungsi 𝑓 juga menginduksi pewarnaan sisi proper dari graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑦 1 𝑆 𝑚 ) diberikan oleh:
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 )]
{ 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛 − 1 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 )] {
1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 1 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 𝑚𝑜𝑑 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  0 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  = 𝑛 − 1 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 𝑛
Dikarenakan 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚
2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 , 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 1 , 𝑖 = 2
kasus 1
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚
1 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 2
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 3
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 4
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,    3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚
1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛−1 , 𝑖 = 1
2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 𝑛−1 , 𝑖 = 2 kasus 5
Berdasarkan batas bawah dan batas atas bilangan kromatik graceful pada graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 diperoleh 𝑚 + 7 ≥ 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 7 , dengan kata lain 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7 untuk 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 . Kasus 3. Untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 Untuk  membuktikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, harus  ditentukan terlebih dahulu batas bawah dan batas atasnya. Berdasarkan Lema 1.1 𝜒 𝑔 (𝐺) ≥ ∆(𝐺) + 1 diperoleh  batas  bawah 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 2. Diasumsikan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 5 , diberikan warna titik 𝑦 𝑚 = 𝑚 + 5 , diperoleh sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 yang akan memiliki warna yang sama dengan salah satu sisi 𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 lainnya. hal ini kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful sedemikian hingga asumsi terdapat 𝑚 + 5 warna adalah salah. Karena asumsi 𝑚 + 5 salah, otomatis 𝑚 + 2 juga salah. Jadi terbukti bahwa 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 6 . Selanjutnya  dibuktikan  batas  atas  bilangan  kromatik gracefull graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) . Didefinisikan 𝑓: 𝑉(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) → {1, 2, 3, … , 𝑚 + 7} diberikan oleh: Untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3
𝑓[𝑐(𝑥 𝑖 )] { 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖 )] { 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3
Dikarenakan 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 5 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 Kasus 1
𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1, 4 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 9 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 = 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 3 Kasus 2
Dapat dilihat bahwa fungsi 𝑓 juga menginduksi pewarnaan sisi proper dari graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) diberikan oleh:
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 )] { 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑3 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 )] { 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  1 𝑚𝑜𝑑 3 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  2 𝑚𝑜𝑑 3 3 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≡  0 𝑚𝑜𝑑 3
Dikarenakan 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] pada 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 terdapat beberapa fungsi yang berbeda, agar lebih mudah dipahami peneliti membagi mejadi beberapa kasus berikut.
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1,   3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,   3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 1
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1,   3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,   3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 2
𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] { 𝐽 + 1,   3 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛,   3 ≤ 𝐽 ≤ 𝑚 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 1 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3, 𝑖 = 2 kasus 3
Berdasarkan batas bawah dan batas atas bilangan kromatik graceful pada graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 diperoleh 𝑚 + 6 ≥ 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 6 , dengan kata lain 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6 untuk 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 .
B. Pembahasan
Penelitian ini menghasilkan satu teorema baru yakni
𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) { 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3 𝑚 + 6; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3
Fungsi pewarnaan titik dilambangkan
𝑓[𝑐(𝑥 𝑖 )] 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖 )] 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )]
Dan fungsi pewarnaan sisi dilambangkan
𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 )] 𝑓[𝑐′(𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 )] 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )]
Dalam  membuktikan  batas  bawah  teorema  ini  peneliti  menggunakan  lema  1.1 𝜒 𝑔 (𝐺) ≥ ∆(𝐺) + 1 .  Diketahui ∆(𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 1 sedemikian  hingga  diperoleh  lemma batas bawah 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) ≥ 𝑚 + 2.
Pada pembuktian batas atas terdapat 𝑓[𝑐(𝑦 𝑖𝑗 )] dan 𝑓[𝑐′(𝑦 𝑖 𝑦 𝑖𝑗 )] yang memuat beberapa fungsi  yang  berbeda  pada  setiap 𝑛 modulonya,  sehingga  peneliti  mebaginya  ke  dalam beberapa kasus agar memudahkan pembaca dalam memamahaminya.
Tabel 1. Hasil Penelitian Yang Relevan
Graf Hasil 𝝌 𝒈 (𝑮) Keterangan Graf Tadpole 𝜒 𝑔 (𝑇 𝑛𝑚 ) = { 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 5 4, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 5 Alfarisi dkk, 2019 Graf Pan 𝜒 𝑔 (𝑃𝑔 𝑛 ) = { 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 5 4, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 5 Alfarisi dkk, 2019
Graf Hasil 𝝌 𝒈 (𝑮) Keterangan Graf matahari 𝜒 𝑔 (𝑚 𝑛 ) = { 6, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 5 5, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 5 Alfarisi dkk, 2019 Graf Diamon 𝜒 𝑔 (𝐷) = 4 Mincu dkk, 2019 Graf Spindle 𝜒 𝑔 (𝐺) = 7 Mincu dkk, 2019 Graf Rumah 𝜒 𝑔 (𝐺) = 6 Mincu dkk, 2019 Graf Jellyfish 𝜒 𝑔 (𝐽 𝑛,𝑚 ) = 𝑛 + 3 Mincu dkk, 2019 Graf Payung 𝜒 𝑔 (𝑈 𝑛,𝑚 ) = 𝑛 + 2 Mincu dkk, 2019 Graf Bull 𝜒 𝑔 (𝐵 3,𝑚 ) = 4 Sania dkk, 2020

## KESIMPULAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan dari analisis graf siklus comb graf star (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) , peneliti  menyimpulkan  bahwa  bilangan  kromatik graceful diperoleh  dari  pewarnaan  titik proper yang menginduksi  pewarnaan sisi  proper  pada  graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) . Dari penelitian ini menghasilkan  satu  teorema  baru  yang  terdiri  dari  tiga  kasus  mengenai  bilangan  kromatik graceful pada graf (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) yaitu bilangan kromatik 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 1 𝑚𝑜𝑑 3, 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 7; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 2 𝑚𝑜𝑑 3, dan 𝜒 𝑔 (𝐶 𝑛 ▷ 𝑆 𝑚 ) = 𝑚 + 6; 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑛 ≡ 0 𝑚𝑜𝑑 3 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Alfarisi, R., Dafik, Prihandini, R. M., Adawiyah, R., Albirri, E. R., & Agustin, I. H. (2019).  Graceful  Chromatic  Number  of  Unicyclic  Graphs. Journal  of  Physics: Conference Series , 1306 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1306/1/012039
[2] Asy’ari,  M.  L.,  Dafik,  Agustin,  I.  H.,  Nisviasari,  R.,  &  Adawiyah,  R.  (2022).  On graceful chromatic number of some graphs Journal of Physics: Conference Series, doi: 10.1088/1742-6596/2157/1/012013
[3] Aziz, T. A. (2021). Eksplorasi Justifikasi dan Rasionalisasi Mahasiswa dalam Konsep Teori Graf. Jurnal Pendidikan Matematika Raflesia , 06 (02), 40–54. https://ejournal.unib.ac.id/index.php/jpmr
[4] Bi, Z., Byers, A., English, S., Laforge, E., & Zhang, P. (2017). Graceful colorings of graphs. Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing , 101 .
[5] English,  S.,  &  Zhang,  P.  (2017).  On  graceful  colorings  of  trees. Mathematica Bohemica , 142 (1). https://doi.org/10.21136/MB.2017.0035-15
[6] Khoirunnisa,  S.,  Dafik,  Kristiana,  A.  I.,  Alfarisi,  R.,  &  Albirri,  E.  R.  (2021).  On graceful  chromatic  number  of  comb  product  of  ladder  graph. Journal  of  Physics: Conference Series , 1836 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1836/1/012027
[7] Khoirunnisa,  S.,  Dafik,  Kristiana,  A.  I.,  Alfarisi,  R.,  &  Albirri,  E.  R.  (2021).  On graceful  chromatic  number  of  comb  product  of  ladder  graph. Journal  of  Physics: Conference Series , 1836 (1). https://doi.org/10.1088/1742-6596/1836/1/012027
[8] Mincu, R., Obreja, C., & Popa, A. (2019). The Graceful Chromatic Number for Some Particular Classes of Graphs. Proceedings - 21st International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing, SYNASC 2019 . https://doi.org/10.1109/SYNASC49474.2019.00024
[9] Sania, N. A., Dafik, D.,  &  Fatahillah, A.  (2020). Bilangan Kromatik  Graceful pada Keluarga  Graf  Unicyclic. CGANT  JOURNAL  OF  MATHEMATICS  AND APPLICATIONS , 1 (2). https://doi.org/10.25037/cgantjma.v1i2.39
[10] Saputro, S. W., Mardiana, N., & Purwasih, I. A. (2017). The metric dimension of comb product graphs. Matematicki Vesnik , 69 (4).
[11] Umilasari, R., & Darmaji. (2015). Bilangan Dominasi Jarak Dua Pada Graf-Graf Hasil Opearasi Korona dan Comb. Thesis , SM 142501 .