Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 16 No. 1, Juni 2024, hal. 73-84 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## PENENTUAN UKURAN SAMPEL MENGGUNAKAN RUMUS BERNOULLI DAN SLOVIN: KONSEP DAN APLIKASINYA

## Nadhilah Idzni Majdina
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman majdinaaa@gmail.com
Budi Pratikno*
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman budi.pratikno@unsoed.ac.id

## Agustini Tripena
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman
ABSTRACT. The  research  discussed  a  sample survey  to  draw  the  population inference based on the sample from that population. There are several techniques to take a sample size, but here we focused to  use the Bernoulli’s and Slovin’s formula. This study aims to: (1)  reconstruct  the  Bernoulli’s  and  Slovin’s  formula  and  (2)  examine  the  conditions (properties)  in  using  the  Bernoulli’s  and  Slovin’s  formula.  Here,  we  used  a  simple random  sampling  (SRM).  Furthermore,  both  the  reconstruction  of  Bernoulli's  and Slovin's formula used the SRM as a sampling technique. This is due to the simple random sampling  is  a  sampling  technique  that  does  not  try  to  reduce  the  effect  of  variation  or variance of data (on estimation errors). The results showed that the Bernoulli’s formula is used to determine sample size which estimates the infinite population proportion. Here, the assumption of the level of confidence is any values and the variance of the population is  given  as / pq n with  p  is  any  real  value  of  the  proportion  between  0  and  1.
Meanwhile, the Slovin’s formula is used to determine the sample size which estimates the finite population proportion with the confidence levels from 87 99 , where p is better to be 0.5. This is due to it will produce the maximum samples.
Keywords : Bernoulli’s Formula, Solvin’s Formula, sample size, and survey sample.
ABSTRAK .  Riset  ini  membahas  survei  sampel  dalam  upayanya  menarik  kesimpulan populasi  berdasarkan  informasi  yang  diperoleh  dari  sampel  dalam  populasi.  Beberapa teknik  sampling  untuk  menentukan  ukuran  sampel  relatif  banyak  sehingga  riset  ini difokuskan  untuk  menggunakan  ukuran  sampel  berdasarkan  metode  (rumus)  Bernoulli dan  Slovin.  Selanjutnya,  riset  ini  dilakukan  untuk:  (1)  merekonstruksi  rumus  Bernoulli dan rumus Slovin dan (2) mengkaji ketentuan penggunaan ( properties ) dari kedua metode (rumus) tersebut, Bernoulli dan Slovin. Pada riset ini, metode pengambilan sampel yang digunakan  adalah simple  random  sampling  (SRM) ,  yang  mana  model  ini  digunakan sebagai teknik sampling yang mendasari rekonstruksi rumus Bernoulli dan rumus Slovin. Hal  ini,  karena  SRM  merupakan  salah  satu  teknik  sampling  yang  tidak  mengurangi
pengaruh variansi atau keragaman data pada kesalahan estimasi. Hasil penelitian referensi menunjukan  bahwa  metode  Benoulli  dipakai  estimasi  ukuran  sampel infinite  population proportion .  Pada  konsep  ini,  asumsi  keragaman  populasi  yang  dimasukkan  dalam perhitungan adalah pq/n dengan nilai p diambil sembarang, dan error ditentukan peneliti. Sedangkan  metode  Slovin  dipakai  untuk  menentukan  estimasi  ukuran  sampel finite population proportion , dengan tingkat kepercayaan adalah 87 99, dimana nilai tidak boleh mendekati 0 atau 1, tetapia mendekati 0,5 merupakan pilihan terbaik yang menghasilkan sampel terbanyak.
Kata kunci : Metode Bernoulli, rumus Slovin, survey sampel, dan ukuran sampel

## 1. PENDAHULUAN
Dalam  kontek  teori  sampling,  kesimpulan  populasi  selalu  berbasis karateristik  sampel  yang  relevan  dengan  populasinya.  Informasi  mengenai karakteristik populasi selalu dibutuhkan oleh berbagai bidang. Untuk alasan yang berkaitan dengan waktu biaya dan tenaga maka informasi  mengenai karakteristik populasi  sering  diperoleh  dengan  menggunakan  survei  sampel  (Levy  dan Lemeshow,  2008).  Secara  umum,  konsep  survei  sampel  adalah  membuat kesimpulan  mengenai  suatu  populasi  berdasarkan  sampel  dengan  akurasi  yang valid.  Kesimpulan  dalam  survei  sampel  mengarah  pada  estimasi  dari  parameter atau  karakteristik  numerik  tertentu  dari  populasi.  Karena  itu,  statistik mengkelompokan  dua  faktor  penting  yang  mempengaruhi  kuantitas  informasi dalam suatu investigasi, yaitu ukuran sampel dan variansi (Scheaffer dkk., 2012).
Dalam teknik  sampling  terdapat  beberap  metode  pengambilan  sampel, diantaranya  yang  paling  populer  adalah  teknik  probabilitik sampling , smple random  sampling (SRS).  SRS  ini  merupakan  salah  satu  teknik  sampling  yang tidak mengurangi pengaruh variansi atau keragaman data pada kesalahan estimasi. Simple  random  sampling terjadi  jika  setiap  sampel  yang  terdiri  dari elemen dipilih  secara  acak  dari  populasi  memiliki  peluang  yang  sama  untuk  dipilih (Scheaffer  dkk.,  2012). SRM  ini merupakan  jenis  teknik  sampling  yang  paling sederhana dan useful .
Unsur  lain  yang  terkait  dengan  ukuran  sampel,  diluar  metodenya  (seperti SRM tersebut), misal standar deviasi, error dan akurasi keinginan peneliti. Karena itu,  disamping  unsur  tersebut,  biasanya  peneliti  juga  menginginkan  cara  yang
sederhana dan praktis untuk menentukan ukuran sampel. Contoh rumus sederhana untuk menentukan ukuran sampel adalah rumus Bernoulli dan Slovin.
Riset terdahulu tentang sampling telah banyak dikerjakan, diantaranya oleh Tejada  dan  Punzalan  (2012)  yang  melakukan  penelitian  dengan  mengkaji  rumus Slovin  dan  mengungkapkan  bahwa  rumus  tersebut  tidak  memiliki  dasar penggunaan  yang  memadai  di  berbagai  literatur.  Masih  jarang  penelitian  yang mengkaji  mengenai  rumus  Bernoulli  dan  Slovin  khususnya  yang  berdasar  pada teknik  sampling simple  random  sampling .  Oleh  karena  itu,  penelitian  ini difokuskan untuk mengkaji rumus Bernoulli dan Slovin dengan melakukan telaah konsep  dan  aplikasi  rumus-rumus  tersebut,  dengan  harapann  dapat  memberikan manfaat  dalam  bidang  matematika  statistika  khususnya  untuk  topik  ukuran sampel.  Penelitian  tentang sampling survey dapat  ditemukan  pada  Bartlett,  dkk (2001), Cochran, (1977). Hansen, dkk  (1953), Krejcie and Morgan  (1970),  Levy dan Lemeshow (2008), Sugiyono (2018), dan Scheaffer, dkk (2012).
Selanjutnya, pada paper ini pendahuluan disajikan pada Bagian 1. Bagian 2 memaparkan metode penelitian, dan selanjutnya hasil riset ditampilkan di Bagian 3. Kemudian, kesimpulan diberikan pada Bagian 4.

## 2. METODE PENELITIAN
Tahap-tahap yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  adalah  (1) merekonstruksi  rumus  Bernoulli  dan  Slovin  berdasarkan  estimasi  interval kepercayaan  proporsi  pada simple  random  sampling .  Dalam  step  ini,  rumus Bernoulli  menggunakan  populasi  tak  terbatas  dalam  rekonstruksinya  dan  rumus Slovin  menggunakan  populasi  terbatas,  (2)  mengaplikasikan  rumus  Bernoulli dengan  simulasi  pada  tingkat  signifikansi, prior  information untuk  nilai proporsi  sampel,  dan  nilai error tertentu,  dan  (3)  menentukan  ketentuan penggunaan  kedua  rumus  tersebut  dan  merekomendasi  penggunaan  rumus Bernoulli  dan  rumus  Slovin  berdasarkan  proses  rekonstruksi  dan  aplikasi  sesuai sifat dan properties yang diturunkan dari proses rekonstruksi ini

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian  ini  membahas  tentang  rekonstruksi  rumus  Bernoulli  dan  Slovin, aplikasi  kedua rumus tersebut  untuk  perhitungan ukuran sampel dengan simulasi error , dan penentuan rekomendasi penggunaan yang didasarkan pada rekonstruksi Bernoulli dan rumus Slovin.

## 3.1 Rekonstruksi Rumus Ukuran Sampel Bernoulli
Berdasarkan  interval  kepercayaan  yang  didasarkan  oleh simple  random sampling ,  maka  interval  kepercayaan  proporsi  sampel  pada  populasi  tak  terbatas
( infinite population ) dapat dijabarkan sebagai berikut.
√ (1)
dengan adalah proporsi sampel (estimator proporsi),
adalah nilai distribusi
normal two  tail ,  dan  bentuk
adalah  variansi  proporsi  sampel  (estimator
variansi)  yang  tak  bias.  Menurut  Scheaffer  dkk.  (2012), merupakan estimator  variansi  yang  bias,  tetapi  konstruksinya  lebih  sederhana.  Karena  bias pada sangat kecil, maka penggunaan formulasi  yang lebih sederhana tetap memiliki  daya  tarik  yang  dapat  dipahami.  Oleh  sebab  itu,  dari  rumus  (1)  dapat error ( e) dan n dinyatakan sebagai
√ (2)
(3) dengan dan .  Penggunaan atau tidak
diperkenankan karena menyebabkan masalah numerik dalam perhitungan statistik, yaitu  pembagian  dengan  nol  yang  menjadikan  masalah  ketidakadaan    .  Secara statistika dinyatakan bahwa ukuran sampel yang semakin besar diharapkan dapat memberikan  hasil  yang  semakin  baik.  Dengan  sampel  yang  besar, mean dan standar  deviasi  yang  diperoleh  memiliki  probabilitas  yang  tinggi  untuk
menyerupai mean dan  standar  deviasi  populasi  (Hajar,  1996).  Oleh  karena  itu, persamaan (3) dapat dikembangkan sebagai berikut.
(4)
Jadi,  berdasarkan  proses  rekonstruksi  yang  berasal  dari  interval  kepercayaan proporsi  sampel  pada  populasi  tak  terbatas,  rumus  (4)  yang  ditemukan  memiliki kesamaan dengan rumus Bernoulli.

## 3.2 Rekonstruksi Rumus Slovin
Berdasarkan  interval  kepercayaan  yang  didasarkan  oleh simple  random sampling ,  maka  interval  kepercayaan  proporsi  sampel  pada  populasi  terbatas ( finite population ) dapat dijabarkan sebagai berikut.
√ √ (5) Bentuk disederhanakan  menjadi ,  sehingga e dapat  dinyatakan sebagai
√ √ (6) (7) Bentuk yang  sama  dengan  persamaan  (3)  dinamakan  ukuran  sampel awal sebelum adanya finite population correction (fpc) dengan lambang .
⁄ (8)
Persamaan  (8)  dapat  ditulis  kembali  menjadi  lebih  sederhana,  sehingga  di  dapat formula n sebagai berikut.
(9)
(10)
Persamaan  (10)  digunakan  oleh  Tejada  dan  Punzalan  (2012)  untuk melakukan  penelitian  terhadap  rumus  Slovin  dengan  melakukan  simulasi  nilai dan .  Jika prior  information tidak  ada,  nilai dapat  diganti  dengan untuk  mendapatkan  ukuran  sampel  yang  konservatif  (kemungkinan  lebih  besar dari  yang  dibutuhkan)  (Scheaffer  dkk.,  2012).  Selain  itu,  berdasarkan  konsep Bayesian  dalam  mengestimasi  proporsi, prior  information digunakan  untuk membentuk  distribusi  probabilitas  awal  atas  proporsi  yang  diestimasi.  Dengan memilih prior  information peneliti  memberikan  bobot  yang  sama  terhadap kemungkinan  bahwa  proporsi  dapat  lebih  tinggi  atau  lebih  rendah  dari (Kruschke, 2015). Oleh karena itu, nilai maka didapat
(11)
Persamaan (11) disubstitusikan ke persamaan (10).
⁄ (12) Untuk mencapai rumus Slovin, tingkat kepercayaan 95% digunakan dengan nilai
disubstitusikan ke persamaan (12) menjadi (13)
Jadi,  berdasarkan  proses  rekonstruksi  yang  berasal  dari  interval  kepercayaan proporsi  sampel  pada  populasi  terbatas,  rumus  (13)  yang  ditemukan  memiliki kesamaan dengan rumus Slovin.
Untuk  memperluas  jangkauan  tingkat  kepercayaan,  pembulatan  dilakukan tidak  hanya  terpaku  dengan  tingkat  signifikansi  95%  dengan  nilai
yang dibulatkan menjadi
.
(14) (15)
Jadi,  rumus  Slovin  dapat  digunakan  pada  penelitian  dengan  tingkat  kepercayaan
.

## 3.3 Simulasi Tingkat Kepercayaan pada Rekonstruksi Rumus Slovin
Simulasi  tingkat  kepercayaan dilakukan  pada  pada  persamaan (tesrebut  dengan  tingkat  kepercayaan  80%,  90%,  95%,  dan  99%.  Berdasarkan simulasi tingkat kepercayaan yang dilakukan, diperoleh berbagai interval sebagai asumsi  proporsi  sampel  untuk  rumus  Slovin  pada  tingkat  kepercayaan  tersebut. Pada  tingkat  kepercayaan  80%,  tidak  ada  nilai  proporsi  sampel  yang  memenuhi, maka  rumus  Slovin  tidak  dapat  digunakan  pada  tingkat  kepercayaan  tersebut. Pada  tingkat  kepercayaan  90%,  asumsi  proporsi  sampel  untuk  rumus  Slovin berada  pada  interval  0.24  < p <  0,76.  Pada  tingkat  kepercayaan  95%,  asumsi proporsi  sampel  untuk  rumus  Slovin  berada  pada  interval  0.15  < p <  0,84.  Pada tingkat  kepercayaan  99%,  asumsi  proporsi  sampel  untuk  rumus  Slovin  berada pada unterval 0,08 < p < 0,34 atau 0.65 < p < 0,92. Oleh karena itu, rumus Slovin kurang  tepat  untuk  digunakan  pada  tingkat  kepercayaan  99%  apabila prior information tidak diketahui.
3.4 Simulasi Tingkat Kepercayaan dan Proporsi Sampel pada Rekonstruksi Rumus Slovin
Berikut  hasil  simulasi  tingkat  kepercayaan dan  proporsi  sampel pada rekonstruksi rumus Slovin .
Tabel 1. Simulasi dan pada Rekonstruksi Rumus Slovin 80% 90% 95% 99%
Pembulatan yang menghasilkan nilai 1 pada koefisien pembilang dan konstanta penyebut  (bercetak  tebal)  menjadikan  pada  Tabel  1  sesuai  dengan  persamaan rumus  Slovin.  Maka,  pasangan  tingkat  kepercayaan  dan  proporsi  sampel  yang bercetak  tebal  dapat  digunakan  untuk  merekonstruksi  rumus  Slovin.  Pembulatan yang  menghasilkan  nilai  0  maupun  2  koefisien pembilang  dan  konstanta penyebut  (tidak  bercetak  tebal)  menjadikan  persamaan  pada  Tabel  1  berbeda dengan  persamaan  rumus  Slovin.  Maka,  pasangan  tingkat  kepercayaan  dan proporsi  yang  tidak  bercetak  tebal  tidak  dapat  digunakan  untuk  merekonstruksi rumus Slovin.
3.5 Aplikasi Rumus Bernoulli dan Slovin untuk Perhitungan Ukuran Sampel
Berikut  adalah  hasil  perhitungan  ukuran  sampel  oleh  rumus  Bernoulli dengan simulasi error , tingkat kepercayaan, dan proporsi sampel.
Tabel 2. Ukuran Sampel oleh Rumus Bernoulli 80% 80% 80% 90% 90% 90% 95% 95% 95% 0,01 0,05 0,1 0,01 0,05 0,1 0,01 0,05 0,1 0,1 1479 59 15 2435 97 24 3457 138 35 0,2 2630 105 26 4330 173 43 6147 246 61 0,3 3451 138 35 5683 227 57 8067 323 81 0,4 3944 158 39 6494 260 65 9220 369 92 0,5 4109 164 41 6765 271 68 9604 384 96 0,6 3944 158 39 6494 260 65 9220 369 92 0,7 3451 138 35 5683 227 57 8067 323 81 0,8 2630 105 26 4330 173 43 6147 246 61 0,9 1479 59 15 2435 97 24 3457 138 35
Berdasarkan  Tabel  2,  jika  populasi  berjumlah  kurang  dari  1.000,  maka  rumus Bernoulli  pada error 0,01  tidak  dapat  digunakan.  Hal  tersebut  membuktikan bahwa  rumus  Bernoulli  sesuai  untuk  populasi  yang  berukuran  besar  atau infinite population .  Selain  itu,  ukuran  sampel  mencapai  maksimal  jika  tidak  ada prior information yang diketahui atau nilai . Di samping itu, karena pendekatan statistika  yang  digunakan  dalam  rekonstruksi  rumus  Bernoulli  menggunakan distribusi  normal  dengan  ukuran  sampel  minimum  yang  harus  dipenuhi  adalah sebesar 30 (Scheaffer et al., 2012) dan hasil ukuran sampel yang berada di bawah 30 tidak dapat digunakan.
Berikut  adalah  hasil  perhitungan  ukuran  sampel  oleh  rumus  Slovin  dengan simulasi error dan ukuran populasi.

## Tabel 3. Ukuran Sampel oleh Rumus Slovin
0,01 0,05 0,1 30 30 28 23 40 40 36 29 50 50 44 33 60 60 52 38 70 70 60 41 80 79 67 44
90 89 73 47 100 99 80 50 150 148 109 60 200 196 133 67 250 244 154 71 300 291 171 75 400 385 200 80 500 476 222 83 1000 909 286 91 2000 1667 333 95 3000 2308 353 97 4000 2857 364 98 5000 3333 370 98 6000 3750 375 98 7000 4118 378 99 8000 4444 381 99 9000 4737 383 99 10000 5000 385 99
Mengacu  pada  Tabel  3  diketahui  bahwa  tidak  ada  perbedaan  yang  signifikan terhadap ukuran sampel setelah tertentu pada tiap penggunaan nilai error yang sama.  Ukuran  sampel  yang  dihasilkan  oleh  rumus  Slovin  juga  relatif  kecil dibandingkan  dengan  rumus  Bernoulli.  Oleh  karena  itu,  hasil  ukuran  sampel rumus  Slovin  hanya  akan  sesuai  pada  jumlah  populasi  yang  yang  tidak  terlalu besar atau finite population . Selain itu, rumus Slovin juga menggunakan distribusi normal  dalam  rekonstruksinya,  maka  ukuran  sampel  minimum  yang  harus dipenuhi adalah sebesar 30 (Scheaffer et.al., 2012) dan hasil ukuran sampel yang berada  di  bawah  30  tidak  dapat  digunakan.  Apabila  ukuran  populasi  berada  di bawah  30,  maka  teknik  sampling  yang  diaplikasikan  adalah  sampling  jenuh dengan seluruh elemen populasi digunakan sebagai sampel (Sugiyono, 2018).

## 3.6 Rekomendasi Penggunaan Rumus Bernoulli dan Slovin
Dari  rekonstruksi  dan  aplikasi  rumus  Bernoulli  dan  Slovin  sebelumnya, maka  dapat  disusun  beberapa  rekomendasi  penggunaan  rumus  Bernoulli  dan Slovin sebagai berikut.
1. Rumus  Benoulli  dan  Slovin  digunakan  untuk  menentukan  ukuran  sampel  jika penelitian bertujuan untuk mengestimasi proporsi. Rumus Bernoulli digunakan pada populasi tak terbatas dan rumus Slovin digunakan pada populasi terbatas;
2. Asumsi  tingkat  kepercayaan pada rumus  Bernoulli bebas dipilih oleh peneliti, sedangkan  asumsi  tingkat  kepercayaan  pada  rumus  Slovin  berkisar  pada interval apabila  tidak  ada prior  information
untuk ;
3. Asumsi  keragaman  pada  rumus  Bernoulli  dan  Slovin  adalah .  Pada rumus Bernoulli, peneliti dapat memilih secara bebas asumsi nilai ;
4. Asumsi nilai error dapat ditentukan oleh peneliti secara bebas.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan hasil dan pembahasan maka rumus Bernoulli dan Slovin dapat dibangun  berdasarkan  rumus  interval  kepercayaan  pada  estimasi  proporsi  oleh simple random sampling . Penentuan ukuran sampel dengan menggunakan rumus Bernoulli  dan  Slovin  memiliki  pendekatan  yang  sama,  yaitu  menggunakan distribusi  normal.  Namun,  penggunaan  rumus  Bernoulli  dan  Slovin  hanya direkomendasikan  untuk  mengestimasi  proporsi  populasi.  Selain  itu,  asumsi keragaman  yang  digunakan  dalam  perhitungan  adalah .  Rumus  Bernoulli dan Slovin juga memberi kebebasan untuk menentukan nilai error . Penelitian ini diharapkan  dapat  dilanjutkan  dengan  menambahkan  dasar  rekonstruksi  rumus, seperti estimasi mean dengan simple random sampling .

## DAFTAR PUSTAKA
Bartlett,  J.  E.,  Kotrlik,  J.  W.,  dan  Higgins,  C.  C., Organizational  Research: Determining  Appropriate  Sample  Size  in  Survey  Research ,  Information Technology, Learning, and Performance Journal, 19 (1) (2001), 43-50.
Cochran,  G.  W., Sampling  Techniques , 3 rd Edition,  John  Wiley  &  Sons,  Inc., Canada, 1977.
Hajar,  I.,  Dasar-Dasar Metodologi  Penelitian Kuantitatif dalam Pendidikan, Raja Grafindo Persada, Jakarta, 1996.
Hansen, M. H., Hurwitz, W. N., dan Madow, W. G., Sample Survey Methods and Theory: Methods and Applications , Vol. I, John Wiley and Sons, New York, 1953.
Kruschke,  J.  K., Doing  Bayesian  Data  Analysis:  A  Tutorial  with  R,  JAGS,  and Stan , 2 nd Edition, Academic Press, Bloomington, 2015.
Levy,  P.  S.  dan  Lemeshow,  S., Sampling  of  Populations:  Methods  and Applications , 4 th Edition, John Wiley and Sons, Inc., New Jersey, 2008.
Scheaffer,  R.  L.,  Mendenhall,  W.,  Ott,  R.  L.,  Gerow,  K.  G., Elementary  Survey Sampling Seventh Edition , Brooks/Cole, Boston, 2012.
Sugiyono, Metode  Penelitian  Pendidikan  Pendekatan  Kuantitatif,  Kualitatif,  dan R & D , Alfabeta, Bandung, 2018.
Tejada,  J.  J.  dan  Punzalan,  J.  R.  B., On  the  Misuse  of  Slovin’s  Formula ,  The Philippine Statistician, 61 (1) (2012), 129-136.