JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 2, Tahun 2021, Halaman 170-179 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## PERHITUNGAN PREMI MURNI PADA SISTEM BONUS MALUS

## UNTUK FREKUENSI KLAIM BERDISTRIBUSI BINOMIAL NEGATIF DAN BESAR KLAIM BERDISTRIBUSI WEIBULL PADA DATA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR DI INDONESIA
Rillifa Iris Adisti 1* , Aceng Komarudin Mutaqin 2
1,2 Prodi Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Bandung *email: rillifairis@gmail.com

## ABSTRACT
System bonus malus is one of the systems offered by an insurance company where the risk premium calculation is based on the claim history of each policyholder. In study will be discussed premium calculation in system, bonus malus  where the frequency of claims has a negative binomial distribution and the size of claims is Weibull distribution on motor vehicle insurance data in Indonesia. This method will producesystem an bonus malus optimal by finding the posterior distribution using Bayes analysis. As the application material used secondary data from the recording results obtained from the general insurance company PT. XYZ in 2014, data contains data on the frequency of claims and the amount ofclaims partial loss of policyholders forinsurance products for comprehensivemotor vehicle insurance category 8 regions 3.The results of the implementation show that the premiums with the system are bonus malus optimalconsidered  fair enough because  the premiums paid by policyholders insurance that extends the policy in the following year is proportional to the risk it faces, where the premium to be paid by each policyholder is based on past claims history.
Keywords :  system bonus malus, negative binomial distribution, Weibull  distribution, comprehensive,  partial loss.

## 1. PENDAHULUAN
Seiring  dengan  beragam  dan  banyaknya  kendaraan  bermotor  yang  beredar  telah menimbulkan  semakin  padatnya  kondisi  lalu  lintas  dan  risiko  yang  harus  dihadapi  oleh manusia. Risiko  yang mungkin  terjadi  seperti kecelakaan dalam berkendara, dan hal lainnya yang merugikan  bagi seseorang. Alangkah  baiknya jika pengguna kendaraan memperhatikan risiko  berkendara,  solusi  yang  tepat  untuk  menanggulangi  risiko  tersebut  sebaiknya pengguna  kendaraan  menyerahkan  risiko  tersebut  kepada  pihak  asuransi.  Asuransi  atau pertanggungan  menurut  pasal 246  Kitab  Undang-Undang  Hukum  Dagang (KUHD) adalah suatu  perjanjian  dengan  mana  seorang  penanggung  mengikatkan  diri  kepada  seorang tertanggung,  dengan  menerima  suatu  premi,  untuk  penggantian  kepadanya  karena  suatu kerusakan  atau  kehilangan  keuntungan  yang  diharapkan  yang  mungkin  akan  dideritanya karena suatu peristiwa  yang tidak  tentu.
Salah satu jenis  asuransi yang banyak diminati  di Indonesia  yaitu  asuransi kendaraan bermotor,  karena  kendaraan  bermotor  merupakan  salah  satu  barang  investasi  untuk kehidupan  sehingga  banyak  masyarakat  menggunakan  perusahaan  asuransi  untuk mengalihkan  risiko  yang  terjadi  pada kendaraan bermotor  mereka dari  kejadian  yang  tidak diinginkan.  Berbagai  macam  sistem  yang  ditawarkan  oleh  perusahaan  asuransi  untuk menarik  minat  masyarakat salah  satunya  adalah  sistem bonus malus . Di  Indonesia  sistem bonus malus belum  banyak  digunakan,  dan penggunaan  hanya pada pemberian bonus bila tidak  ada klaim  selama setahun ketika  perpanjang  kontrak.  Sistem bonus malus yang biasa digunakan  biasanya  hanya berdasarkan frekuensi klaim  yang diajukan  oleh  pemegang polis tanpa  memperhitungkan  besar  atau  kecilnya  klaim.  Dalam  hal  ini  pemegang  polis  yang
mengajukan  klaim  akan membayar premi yang sama. Dengan cara ini  pemegang polis  yang mengalami  kecelakaan  kerugian  dalam  jumlah  kecil  akan  membayar  premi  yang  sama dengan pemegang polis  yang mengalami  kecelakaan kerugian  dalam  ukuran besar.
Secara umum ada dua jenis sistem bonus malus yang saat ini  ada, yaitu  sistem bonus malus didasarkan  pada data frekuensi  klaim  saja dan sistem bonus malus yang  didasarkan pada data frekuensi  klaim  dan data besar klaim.  Dalam sistem bonus malus yang didasarkan pada  data  frekuensi  klaim  saja,  frekuensi  klaim  dimodelkan  oleh  distribusi  geometrik, binomial  negatif,  atau Poisson  inverse Gaussian. Dalam penelitian  (Mutaqin  & Komarudin, 2008) menjelaskan  bahwa komponen  dari frekuensi klaim  menggunakan  distribusi  binomial negatif dapat menggunakan  distribusi  campuran dari distribusi  Poisson dan distribusi  gamma Sedangkan  dalam  sistem bonus malus yang  didasarkan  pada data frekuensi  klaim  dan data besar klaim,  selain  distribusi  untuk  frekuensi  klaim  yang  disebutkan  di  atas,  besar klaim dimodelkan  oleh distribusi  Pareto, atau Weibull.
Berdasarkan uraian di atas, dalam skripsi  ini  akan dibahas penerapan perhitungan  premi pada sistem bonus malus dimana  frekuensi  klaim  berdistribusi  binomial  negatif  dan  besar klaim  berdistribusi  Weibull  untuk  data asuransi kendaraan bermotor di  Indonesia.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1. Sistem Bonus Malus
Sistem Bonus Malus ini pertama kali  diperkenalkan  di Eropa pada awal tahun 1960  dan dikembangkan  oleh  Bichsel  dan  Bulhman  tahun  1964  dan  Delaporte  pada  tahun  1965. Sistem Bonus malus merupakan  salah satu sistem  yang  ditawarkan  oleh  suatu  perusahaan asuransi  dimana  dalam  perhitungan  premi  risikonya  berdasarkan sejarah  klaim  dari  setiap pemegang  polis.  Dalam  sistem  ini  jika  pemegang  polis  melakukan  klaim  di  tahun sebelumnya  maka  akan  dikenakan malus yaitu  meningkatnya  jumlah  premi  yang  harus dibayarkan  untuk  tahun  berikutnya.  Sebaliknya  jika  pemegang  polis  di  tahun  sebelumnya tidak  melakukan  klaim  maka  akan diberikan bonus yaitu  pengurangan  jumlah  premi  yang harus di  bayar pada tahun berikutnya.  Secara umum  ada dua jenis  sistem bonus malus yang saat ini  ada, yaitu  sistem bonus malus didasarkan  pada data frekuensi klaim  saja dan sistem bonus malus yang didasarkan pada data frekuensi klaim  dan data besar klaim. Dalam  sistem bonus  malus distribusi  frekuensi  klaim  dimodelkan  oleh  distribusi binomial  negatif  yang  merupakan  distribusi  campuran  dari  distribusi  Poisson  dengan parameter 𝜆 , dengan fungsi  massa peluangnya  adalah:
𝑃(𝑋 = 𝑘, 𝜆) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑘 𝑘! , untuk 𝑘 = 0, 1, 2,   .  .  .
(1)
Dimana parameter 𝜆 berdistribusi  gamma dengan parameter 𝑟 dan 𝜏.
𝑈(𝜆) = 𝜏 𝑟 𝑒 −𝜏𝜆 𝜆 𝑟−1 Γ(𝑟) (2)
Distribusi  marjinal  dari 𝑋 dapat  dihitung  dengan  menggunakan  persamaan 𝑃(𝑋 = 𝑘) = ∫ 𝑃(𝑋 = 𝑘|𝜆)𝑈(𝜆)𝑑𝜆 ∞ 0 yang  membentuk  fungsi  massa peluang  untuk  distribusi  binomial negatif dengan parameter 𝑟 dan 𝜏 sebagai berikut:
𝑝 𝑘 = ( 𝑘 + 𝑟 − 1 𝑘 ) ( 𝜏 1 + 𝜏 ) 𝑟 ( 1 1 + 𝜏 ) 𝑘 (3)
Misalkan 𝐾 1 , 𝐾 2 , … , 𝐾 𝑛 adalah suatu sampel  acak berukuran 𝑛 dari  distribusi  binomia l negatif  dengan  parameter 𝑟 dan 𝜏 ,  dengan  nilai  sampel  acak  tersebut  adalah  Misalkan 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘 𝑛 .  Penaksir  kemungkinan  maksimum  untuk 𝑟 dan 𝜏 dari  distribusi  binomial negatif  tidak  dapat  diselesaikan  secara  ekspilit,  namun  hanya  dapat  ditaksir  dengan
menggunakan  numerik.  Salah  satu  metode  numerik  tersebut  adalah  metode  Newton- Raphson. Taksiran parameter 𝑟 dan 𝜏 adalah solusi  dari  2 persamaan berikut:
𝑛  ln ( 1 + 𝜏 𝜏 ) = ∑ ∑ 1 𝑟 + 𝑗 𝑘 𝑖 𝑗=0 𝑛 𝑖=1 (4) 𝜏 = 𝑟 𝑘̅
(5)
Distribusi  besar klaim  sering  dimodelkan  dalam  asuransi kerugian.  Besar klaim  adalah besarnya  pembayaran  yang  diberikan  oleh  perusahaan  asuransi  untuk  menggantikan kerugian yang di klaim  oleh pemegang polis  asuransi. besar klaim  dimodelkan  oleh distribusi Weibull.   Distribusi  Weibull  merupakan  distribusi  campuran  dari  distribusi  eksponensial yang memiliki  fungsi  densitas peluang:
𝑓( 𝑥 | 𝜃 ) = 𝜃𝑒 −𝑥𝜃 ;       0 < 𝑥 < ∞ dan 𝜃 > 0
Parameter 𝜃 berdistribusi  Levy dengan parameter 𝑐 , dengan fungsi  densitas peluang  berikut:
𝑈(𝜃) = 𝑐 2√𝜋𝜃 3 𝑒 −𝑐 2 4𝜃 ;  𝜃 > 0 (6)
Santi dkk. (2016) membahas distribusi  marjinal  dari 𝑋 dapat dihitung  dengan menggunakan persamaan 𝑓(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥|𝜃)𝑈(𝜃)𝑑𝜃 ∞
0 yang  membentuk  fungsi  densitas  peluang  untuk distribusi  Weibull:
𝑓 𝑥 (𝑥) = 1 2 𝑐𝑥 −12 𝑒 −𝑐√𝑥 ;𝑠 0 < 𝑥 < ∞ (7)
Fungsi  distribusi  kumulatif  untuk  distribusi  Weibull  di atas adalah:
𝐹(𝑥) = 1 − 𝑒 −𝑐√𝑥 ;  0 < 𝑥 < ∞ (8)
Misalkan 𝑋 1 , 𝑋 2 , …, 𝑋 𝑛 adalah  suatu  sampel  acak  beridistribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran,  dengan  nilai  sampel  acak  tersebut 𝑥 1 , 𝑥 2 ,… , 𝑥 𝑛 .  Berdasarkan Persamaan  (7)  dapat  dirumuskan  taksiran  parameter  dari  distribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran  menggunakan  metode  kemungkinan  maksimum.  Turunan  fungsi  log- likelihood terhadap parameter 𝑐 untuk data di atas adalah: 𝜕𝑙(𝑥, 𝑐)
𝜕𝑐 = 𝑛 ∑ (𝑥 𝑖 ) 1 2 𝑛 𝑖=1 (9)

## 2.2. Uji Kecocokan Distribusi
a. Uji kecocokan Chi Kuadrat
Uji  kecocokan  chi  kuadrat  adalah  suatu  pengujian  hipotesis  statistik  yang  digunakan untuk  mengetahui  apakah 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,. . . , 𝑥 𝑛 merupakan  realisasi  dari  sampel  acak 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , . . . , 𝑋 𝑛 yang berasal dari  distribusi 𝐹(. ) . Pada uji  kecocokan digunakan  hipotesis sebagai berikut:
𝐻 0 : 𝑥 1 , 𝑥 2 ,𝑥 3 ,. . . , 𝑥 𝑛 merupakan realisasi  dari sampel acak yang berdistribusi 𝐹(. ) 𝐻 1 : 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ,. . . , 𝑥 𝑛 merupakan realisasi  dari sampel acak yang berdistribusi  bukan 𝐹(. ) Statistik  uji  untuk menguji  kecocokan chi-kuadrat,  yaitu:
𝜒 2 = ∑ (𝑂 𝑖 − 𝐸 𝑖 ) 2 𝐸 𝑖 𝑘 𝑖=1
(10)
Nilai  kritis  dihitung  dari distribusi  chi-kuadrat  dengan derajat bebas 𝑘 − 𝑝 − 1 , dimana 𝑘 banyaknya  kategori  dan 𝑝 banyaknya  parameter  dalam  distribusi  diskrit.  Kriteria pengujiannya  adalah  tolak  hipotesis  nol  jika  statistik  uji  chi-kuadrat  lebih  besar dari  nilai distribusi  chi-kuadrat  pada  taraf  nyata  α  dan  derajat  bebas 𝑘 − 𝑝 − 1 atau 𝜒 2 ≥ 𝜒 2 (𝑘−𝑝−1)(1−𝛼) .

## b. Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji  Kolmogorov-Smirnov  merupakan  salah  satu  uji  kecocokan  model  untuk  peubah acak kontinu.  Hipotesis  uji  Kolmogorov-Smirnov  adalah:
𝐻 0 : Data berasal dari suatu populasi  berdistribusi 𝐹(. ) 𝐻 1 : Data tidak berasal dari suatu populasi 𝐹(. )
Misalkan  suatu  sampel  acak  berukuran 𝑛 ,  yaitu 𝑋 1 , 𝑋 2 , … , 𝑋 𝑛 ,  dimana  realisasi  dari sampel acak tersebut adalah 𝑥 1 ,𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛 . Statistik  uji   Kolmogorov-Smirnov  untuk hipotesis di atas adalah:
𝐷 = max 1≤𝑖≤𝑛 |𝐹 𝑛 (𝑥 𝑖 ) − 𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 )| (11)
Hipotesis  nol  diterima  apabila  statistik  uji 𝐷 lebih  kecil  dari nilai  kritisnya,  maka nilai kritis  untuk  uji  hipotesis  di  atas dapat dilakukan  dengan  nilai  pendekatan 𝑛 yang disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 1 Nilai  Kritis  Uji  Kolmogorov-Smirnov  untuk  n > 25 Tingkat Signifikansi (𝜶) 0,10 0,05 0,01 Nilai kritis 1,22 √𝑛 1,36 √𝑛 1,63
√𝑛
Sumber: Klugman dkk. (2012)
2.3. Sistem Bonus Malus Optimal
Perhitungan  premi risiko  sistem bonus malus optimal  yang wajib  dibayarkan  oleh setiap pemegang  polis  asuransi  didasarkan  pada komponen  frekuensi  klaim  dan besar klaim  yang diajukan  oleh pemegang polis  asuransi. Model komponen  dari frekuensi klaim  menggunakan distribusi  binomial  negatif  yang merupakan  campuran dari distribusi  Poisson  dan distribusi gamma. Dengan menggunakan  pendekatan Bayes (Mutaqin  & Komarudin,  2008)  diperoleh distribusi  posterior  untuk  peubah acak 𝜆 sebagai berikut:
𝜆𝑢(𝜆|𝑘 1 , 𝑘 2 , …, 𝑘 𝑡 ) = 𝑒 −𝜆(𝑡+𝜏) 𝜆 𝐾+𝑟−1 (𝑡 + 𝜏) 𝐾+𝑟 Γ(𝐾 + 𝑟) (12)
Dengan  menggunakan  fungsi  rugi  kuadratik,  taksiran  rata-rata banyaknya  klaim  dari pemegang polis  asuransi pada tahun 𝑡 + 1 adalah:
𝜆̂ 𝑡+1 = 𝐸(𝜆|𝐾) = ∫ 𝜆𝑢(𝜆|𝑘 1 , 𝑘 2 ,… , 𝑘 𝑡 ) = 𝐾 + 𝑟 𝑡 + 𝜏 ∞ 0 (13)
dengan 𝐾 = ∑ 𝑘 𝑖 𝑡 𝑖=1 menyatakan  total  frekuensi klaim  selama t periode  dan 𝑘 𝑖 menyatakan frekuensi  klaim  dari  pemegang polis  pada periode  waktu ke- i , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑡. Misalkan 𝑥 𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝐾 , menyatakan  besar klaim  ke 𝑖 ,  kemudian  total  besar klaim untuk  seorang pemegang  polis  selama 𝑡 periode  adalah ∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 . Distribusi  posterior  untuk parameter 𝜃 dapat diperoleh  dengan menggunakan  pendekatan Bayes sebagai berikut:
𝜋(𝜃|𝑥 1 , 𝑥 2 ,… , 𝑥 𝐾 ) = 𝜃 𝐾−32 𝑒 −(𝑐 2 4𝜃+𝜃 (∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) ∫ 𝜃 𝐾−32 𝑒 −(𝑐 2 4𝜃+𝜃 (∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) 𝑑𝜃 ∞ 0
(14)
Memodifikasi  Persamaan (14), sehingga  diperoleh: 𝜋(𝜃|𝑥 1 ,𝑥 2 ,…, 𝑥 𝐾 )
= ( 𝑐 2√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 ) −(𝐾− 1 2 ) 𝜃 𝐾− 3 2 𝑒 −(𝑐 2 4𝜃 +𝜃(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 ))
∫
( 2√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 𝑐 ) 𝐾− 3 2 𝑒 − ( 𝑐√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 2 ( 2√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 𝜃 𝑐 + 𝑐 2√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )𝜃) ) 𝑑 ( 2√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )𝜃 𝑐 ) ∞ 0
(15)
Bentuk  integral  pada Persamaan (15)  dapat  diselesaikan  dengan  menggunakan  fungsi Bassel sehingga diperoleh:
𝐵 𝑣 (𝑥) = 1 2 ∫ 𝑦 𝑣−1 𝑒 −𝑥 2 (𝑦+1 𝑦 ) 𝑑𝑦, 𝐵 𝑣 (𝑥) > 0, ∀𝑥 > 0, 𝑣 ∈ 𝑅.
∞ 0 (16)
Maka distribusi  posterior  untuk besar klaim  yaitu:
𝜋(𝜃|𝑥 1 , 𝑥 2 ,… , 𝑥 𝑘 ) = ( 𝑐 2√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 ) ) −(𝐾−12) 𝜃 𝐾−32 𝑒 −(𝑐 2 4𝜃+𝜃 (∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 ))) 2𝐵 𝑘−12 (𝑐√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) (17)
Estimasi  rata-rata besar kerugian  untuk  periode  selanjutnya 𝜃 𝑡+1 menggunakan  fungsi kerugian  kuadratik,  jika diketahui  besar kerugian 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑘 selama periode waktu t dan K klaim  adalah:
𝜃̂ 𝑡+1 = 𝐵 𝐾−32 (𝑐√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 ))
𝐵 𝐾−32 (𝑐√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) ( 2√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 𝑐 ) (18)
Jika premi risiko  periode 𝑡 + 1 yang ditetapkan tidak hanya bergantung  pada banyaknya klaim 𝑘 1 , 𝑘 2 , … , 𝑘 𝑡 ,  tetapi  juga  bergantung  pada ukuran  klaim 𝑥 1 ,𝑥 2 , …, 𝑥 𝑘 . Maka  premi risiko  yang harus dibayarkan  oleh  setiap pemegang polis  adalah:
𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖 (𝑡+1) = ( 𝐾 + 𝑟 𝑡 + 𝜏 ) 𝐵 𝐾−32 (𝑐√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) 𝐵 𝐾−32 (𝑐√(∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 )) ( 2√∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 𝑐 ) (19)
Pada saaat besar kerugian  =  0 atau pada saat tidak  ada klaim  yang  diajukan (𝐾 = 0) perhitungan  premi  risiko  pada  Persamaan (19)  tidak  terdefinisi  sehingga  perlu  dianalisis ulang.  Analisis  premi risiko  untuk  besar kerugian  pada saat 0 adalah sebagai berikut:
𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖 𝐾=0 = 𝑟 𝜏 ( 2 𝑐 2 ) (20)

## 2.4. Asuransi
Asuransi  merupakan  perjanjian  antara  dua  pihak,  yaitu  perusahaan  asuransi  dan pemegang polis  yang menjadi  dasar bagi penerimaan premi oleh perusahaan asuransi sebagai imbalan  untuk  memberikan  penggantian  atas  kerugian  finansial  yang  dialami  oleh tertanggung  atau pemegang  polis  (UU. RI Nomor 40 tahun 2014  tentang Perasuransian).
Menurut  Abdulkadir  Muhammad  (dikutif  dalam  Febriana,  2012)  asuransi  dapat diklasifikasikan  dalam beberapa kriteria,  yaitu:
1. Berdasarkan sifat perikatannya
2. Berdasarkan jenis  resiko
3. Berdasarkan jenis  usaha

## 2.5. Asuransi Kendaraan Bermotor
Asuransi  kendaraan  bermotor  adalah  produk  asuransi  kerugian  yang  melindung i tertanggung  dari risiko  kerugian  yang mungkin  timbul  sehubungan  dengan kepemilikan  dan pemakaian  kendaraan  bermotor  (Peraturan Menteri  Keuangan  Nomor  74/PMK.010/2007 tentang  penyelenggaraan  pertanggungan  asuransi  pada  lini  usaha  asuransi  kendaraan bermotor  dalam  pasal 1 ayat 2). Terdapat dua jenis  perlindungan  untuk  asuransi  kendaraan bermotor,  yaitu:
1. Total Loss Only (TLO) atau Kerugian Total
2. Comprehensive (Komprehensif) atau Risiko  Gabungan

## 3. METODE PENELITIAN
Data  yang  digunakan  dalam  skripsi  ini  adalah  data  sekunder  hasil  pencatatan  yang diperoleh  dari  PT. XYZ  tahun  2014.  Data tersebut berisi  frekuensi  klaim  dan  besar klaim pemegang  polis  untuk  produk  asuransi  kendaraan  bermotor  c omprehenshive terhadap perusahaan asuransi PT XYZ. Data yang akan dipakai  dalam keperluan  aplikasi  adalah data pemegang polis  asuransi kendaraan bermotor kategori  8 yang terdapat pada Wilayah  3. 3.1. Metode Uji Kecocokan Distribusi Binomial Negatif
Berikut  ini  adalah  tahapan  pengujian  kecocokan  distribusi  binomial  negatif  untuk  data frekuensi  klaim  asuransi kendaraan bermotor menggunakan  uji  kecocokan chi-kuadrat:
1. Merumuskan  Hipotesis
𝐻 0 : data frekuensi klaim  berasal dari populasi  berdistribusi  binomial  negatif.
𝐻 1 : data frekuensi klaim  bukan berasal dari populasi  yang berdistribusi  binomial  negatif.
2. Menaksir  parameter distribusi  binomial  negatif  menggunakan  metode  iterasi  Newton Raphson  yang  merupakan  solusi  dari  Persamaan (4) dan  (5). Perangkat lunak  Matlab akan digunakan  untuk  menaksir  parameter tersebut.
3. Menghitung  taksiran peluang  untuk setiap frekuensi klaim  yang mungkin, 𝑝 𝑥, untuk 𝑥 = 0, 1, 2, … menggunakan  Persamaan (3).
4. Menghitung  statistik  uji  chi-kuadrat  menggunakan  Persamaan (10).
5. Memutuskan  apakah  hipotesis 𝐻 0 ditolak  atau diterima  dengan  membandingkan  nilai statistik  uji  chi-kuadrat  dengan  nilai  kuantil  distribusi  chi-kuadrat  pada  taraf nyata α dengan derajat bebas 𝑘 − 3 , dimana 𝑘 adalah banyaknya kategori.
3.2. Metode Uji Kecocokan Distribusi Weibull Sebagai Distribusi Campuran
Berikut ini  tahapan pengujian  kecocokan distribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran untuk  data  besar  klaim  asuransi  kendaraan  bermotor  menggunakan  uji  kecocokan Kolmogorov-Smirnov:
1. Merumuskan  Hipotesis
𝐻 0 : data  besar  klaim  berasal  dari  populasi  berdistribusi  Weibull  sebagai  distribusi campuran
𝐻 1 : data besar klaim  bukan  berasal  dari  populasi  yang  berdistribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran
2. Menaksir  parameter  distribusi Weibull sebagai  distribusi campuran  dengan menggunakan  Persamaan (9).
3. Mengurutkan  data besar klaim  kendaraan bermotor  dari nilai  terkecil  ke terbesar.
4. Menghitung  fungsi  distribusi  empiris  pada data pengamatan ke- i .
5. Menghitung  fungsi  distribusi  kumulatif  untuk  distribusi  Weibull  sebagai  distribusi campuran menggunakan  Persamaan (8).
6. Menghitung  nilai  statistik  uji  Kolmogorov  Smirnov  menggunakan  Persamaan (11).
7. Membandingkan  nilai  statistik  uji  dengan  nilai  kritis  pada  taraf nyata 𝛼 .  Kemudian memutuskan  apakah hipotesis  nol  diterima  atau ditolak.
3.3. Perhitungan Premi dengan Sistem Bonus Malus Optimal
Berikut  ini  adalah  langkah-langkah  menghitung  premi  murni  menggunakan  sistem bonus malus optimal:
1. Menghitung  taksiran  rata-rata  banyaknya  klaim  pada  tahun 𝑡 + 1 menggunakan Persamaan (13).
2. Menghitung  taksiran  rata-rata besar klaim  pada tahun 𝑡 + 1 menggunakan  Persamaan (18).
8. Menghitung  taksiran  premi  asuransi  kendaraan  bermotor  untuk  periode 𝑡 + 1 menggunakan  Persamaan (19), dengan menggunakan software Microsoft Excel.
9. Menghitung  taksiran premi  asuransi kendaraan bermotor  pada saat tidak  ada klaim yang diajukan  ( 𝐾 = 0) menggunakan  Persamaan (20), dengan menggunakan software Microsoft Excel.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1.  Uji Kecocokan Distribusi Binomial Negatif Hipotesis  pengujiannya  adalah:
𝐻 0 : Data frekuensi  klaim  asuransi  kendaraan bermotor  kategori  8 wilayah  3 di  Indonesia berasal dari populasi  yang berdistribusi  binomial  negatif.
𝐻 1 : Data frekuensi  klaim  asuransi  kendaraan  bermotor  bermotor  kategori  8  wilayah  3  di Indonesia   bukan berasal dari  populasi  yang berdistribusi  binomial  negatif
Selanjutnya  adalah  menghitung  taksiran  parameter distribusi  binomial  negatif  dengan bantuan  perangkat  lunak  Matlab  R2018a  Hasil  taksiran  parameter  distribusi  binomial negatifnya  adalah 𝑟̂ = 0,04735 dan 𝜏̂ = 4,26617 .  Berdasarkan  nilai  taksiran  parameter distribusi  binomial  negatif yang telah diperoleh,  dapat dihitung  nilai  taksiran peluang  untuk setiap  frekuensi  klaim  menggunakan  Persamaan (3).  Secara umum  nilai  taksiran  peluang untuk  setiap kategori  frekuensi klaim  adalah:
𝑝 𝑘 = ( 𝑘 + 𝑟̂ − 1 𝑘 ) ( 𝜏̂ 1 + 𝜏̂ ) 𝑟̂ ( 1 1 + 𝜏̂ ) 𝑘
Hasil  nilai  taksiran  peluang  untuk  setiap  frekuensi  klaim  disajikan  dalam  Tabel  2 kolom  (3), kolom  (1) berisikan  frekuensi  klaim,  kolom  (2) berisikan  banyaknya  pemegang polis  yang  mengajukan  klaim.  Berdasarkan nilai  taksiran  peluang  frekuensi  klaim  tersebut, dapat dihitung  nilai  harapan untuk  setiap frekuensi klaim, 𝑛𝑝 𝑘 , untuk  setiap 𝑘 , yaitu dengan mengalikan 𝑝 𝑘 dengan ukuran sampel.
Nilai  statistik  uji  chi-kuadrat  ada  dalam  Tabel  2  kolom  (5)  baris  terakhir,  yaitu 0,0641.  Dengan taraf nyata 5% nilai  kuantil  distribusi  chi-kuadrat  dengan  derajat bebas (4- 3) adalah  3,84.  Terlihat  bahwa nilai  statistik  ujinya  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  nilai kuantilnya.  Dengan demikian  hipotesis  nol  diterima  dan disimpulkan  bahwa data frekuensi klaim  pemegang  polis  asuransi  kendaraan  bermotor  kategori  8  wilayah  3  berasal  dari populasi  berdistribusi  binomial  negatif.
Tabel 2 Nilai-nilai  yang dibutuhkan  untuk  Perhitungan  Statistik  Uji  Pada Distribusi
Binomial  Negatif Frekuensi Klaim (𝒌) Banyaknya Pemegang Polis 𝑶 𝒊 Peluang Terjadinya Klaim 𝒑 𝒌 Nilai Harapan Terjadinya Klaim 𝑬 𝒊 (𝑶 𝒊 − 𝑬 𝒊 ) 𝟐 𝑬 𝒊 0 5.888 0,9901 5.888,0574 0,0000 1 53 0,0089 52,8857 0,0002 2 5 0,0009 5,2588 0,0127 ≥3 1 0,0001 0,7981 0,0511 Jumlah 5.947 1,0000 5.947 0,0641 4.2. Uji Kecocokan Distribusi Weibull
Hipotesis  untuk  pengujian  tersebut adalah:
𝐻 0 : Data besar klaim  asuransi  kendaraan  bermotor  kategori  8 wilayah  3   di  Indonesia berasal dari populasi  yang berdistribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran.
𝐻 1 : Data besar klaim  asuransi  kendaraan  bermotor  kategori  8  Wilayah  3  di  Indonesia bukan berasal dari populasi  yang berdistribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran.
Selanjutnya  yaitu  menghitung  nilai  taksiran  parameter 𝑐 dari  distribusi  Weibull sebagai distribusi  campuran. Nilai  taksirannya  dihitung  berdasarkan Persamaan (7) yaitu:
𝑐̂ = 𝑛 ∑ (𝑥 𝑖 ) 1 2 𝑛 𝑖=1 = 66 148616,6 = 0,0004.
Berdasarkan nilai  taksiran  parameter 𝑐 ,  dapat  dihitung  nilai  taksiran  fungsi  distribusi kumulatif  dari  distribusi  Weibull  sebagai  distribusi  campuran.  Misal  untuk  data  urutan pertama, 𝑥 (1) = 101500 ,  dengan  bantuan  perangkat software Microsoft  Excel  2013 diperoleh  nilai  taksiran fungsi  distribusi  kumulatif  dari distribusi  Weibull  sebagai distribusi campuran adalah:
𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 ) = 1 − 𝑒 −0,0004√101500 = 0,1197.
Nilai  taksiran  fungsi  distribusi  kumulatif  dari  distribusi  Weibull  sebagai  distribusi campuran  untuk  data yang  lainnya  dihitung  dengan  cara yang  sama  sebagaimana  di  atas. Selanjutnya  Kolom  (5)  merupakan  nilai  dari  nilai  fungsi  empiris  yang  didapat  dari  kolom (3) dikurangin  nilai  fungsi  distribusi  kumulatif  yang didapat  kolom  (4).
Tabel 3 Hasil Perhitungan  untuk  Uji  Kolmogorov-Smirnov  Data Besar Klaim I 𝒙 𝒊 𝑭 ∗ (𝒙 𝒊 ) 𝑭 𝒏 (𝒙 𝒊 ) − 𝑭 ∗ (𝒙 𝒊 ) 1 101500 0,0152 0,1197 -0,1045 2 110000 0,0303 0,1242 -0,0939 3 115000 0,0455 0,1268 -0,0814 4 125000 0,0606 0,1319 -0,0713 5 147000 0,0758 0,1422 -0,0664 6 168000 0,0909 0,1512 -0,0603 7 171500 0,1061 0,1527 -0,0466 8 210000 0,1212 0,1675 -0,0463 9 226000 0,1364 0,1732 -0,0368 10 300000 0,1515 0,1967 -0,0452 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 66 80340000 1,0000 0,9723 0,0277
Dengan  bantuan  hasil  perhitungan  yang  ada pada Tabel  3,  dapat dihitung  statistik  uji Kolmogorov-Smirnov  yaitu:
𝐷 = max 1≤𝑖≤𝑛 |𝐹 𝑛 (𝑥 𝑖 ) − 𝐹 ∗ (𝑥 𝑖 )| = 0,1411.
Dari hasil  perhitungan  diperoleh  nilai  statistik  uji  Kolmogorov-Smirnov  yaitu 𝐷 = 0,1411 . Dengan  taraf  nyata, 𝛼 = 5% ,  nilai  kritisnya  adalah 1,36 √66 = 0,1674 .  Terlihat  bahwa  nilai statistik  uji  Kolmogorov-Smirnov  di  atas lebih  kecil  dibandingkan  dengan  nilai  kritisnya, sehingga  hipotesis  nol  diterima  dan  disimpulkan  bahwa  data  besar  klaim  tertanggung asuransi  kendaraan bermotor  di  Indonesia  kategori  8 wilayah  3 berasal  dari  populasi  yang berdistribusi  Weibull  sebagai distribusi  campuran.

## 4.3. Perhitungan Premi Sistem Bonus Malus Optimal
Penentuan  premi  sistem bonus  malus optimal  diperoleh  dengan  menggunakan komponen  frekuensi  klaim  dan komponen  besar klaim.  Data frekuensi  klaim  berdistribusi binomial  negatif  dengan  nilai  taksiran  parameter 𝑟̂ = 0,04731 dan 𝜏̂ = 4,26617 dan data besar klaim  berdistribusi  Weibull  dengan nilai  taksiran parameter 𝑐̂ = 0,0004 . Perhitungan  premi  risiko  pada  periode 𝑡 + 1 dengan  sistem bonus  malus optimal diperoleh  dengan menggunakan  Persamaan (19), dan saat besar kerugian = 0 atau pada saat tidak  ada  klaim  yang  diajuakan (𝐾 = 0 )  premi  risiko  dihitung  menggunakan  Persamaan (20).  Pada Tabel  4  dapat  dilihat  perhitungan  premi  dengan  sistem bonus malus optimal dengan total besar klaim  dalam 1 tahun, ∑ 𝑥 𝑖 𝐾 𝑖=1 = 500.000 . Tabel 4 Nilai Premi Berdasarkan Frekuensi  Klaim  dan Besar Klaim (dalam  Rupiah) Tahun ( t ) Banyaknya Klaim ( K ) 0 1 2 3 0 138.737 1 31.789 703.156 1.374.524 2.045.891 2 26.716 590.942 1.155.167 1.719.393 3 23.039 509.614 996.189 1.482.763 4 20.252 447.963 875.675 1.303.386 5 18.067 399.619 781.172 1.162.725
Penjelasan untuk Tabel 4 di atas adalah sebagai berikut.  Sebagai contoh untuk baris 𝑡 = 1, jika  seorang  pemegang  polis  asuransi  dengan  premi  awal  Rp.  138.737  dan  tidak mengajukan  klaim  dalam  satu tahun masa asuransinya,  maka pemegang polis  tersebut akan mendapatkan bonus berupa penurunan  harga premi  yang harus  dibayarkan  di  tahun  kedua masa asuransinya yaitu  Rp. 31.789  (dengan catatan apabila pemegang polis  memperpanjang polis  asuransinya).  Jika  pemegang  polis  asuransi  mengajukan  satu  kali  klaim  dalam  satu
tahun  masa asuransinya  dengan  total  besar klaim  sebesar Rp. 500.000,  maka  premi  yang harus  dibayarkan  pada  tahun  kedua  masa  asuransinya  adalah  sebesar  Rp.  703.156.  Jika pemegang polis  mengajukan  dua kali  klaim  dalam satu tahun masa asuransinya dengan  total besar klaim  sebesar Rp. 500.000,  maka premi  yang harus dibayarkan pada tahun kedua masa asuransinya  adalah Rp. 1.374.524.
Penjelasan  untuk 𝑡 = 2 ,  dengan  premi  pada tahun  pertama sebesar Rp. 138.737,  jika seorang pemegang polis  tidak  mengajukan  klaim  dalam  dua tahun masa asuransinya,  maka premi  yang  harus dibayarkan  pada tahun  ketiga  masa asuransinya  adalah Rp. 26.716.  Jika pemegang  polis  mengajukan  klaim  satu  kali  klaim  selama  dua  tahun  masa  asuransinya dengan total besar klaim  sebesar Rp. 500.000,  maka premi yang harus dibayarkan  pada tahun ketiga masa asuransinya  adalah Rp. 590.942.

## 5. KESIMPULAN
Dalam  penelitian  ini  telah  dilakukan  penerapan perhitungan  premi  murni  pada sistem bonus  malus dimana  frekuensi  klaim  berdistribusi  binomial  negatif  dan  besar  klaim berdistribusi  Weibull  pada  data  asuransi  kendaraan  bermotor  kategori  8  wilayah  3  di Indonesia.  Hasil perhitungan  menunjukkan  bahwa premi  dengan sistem bonus malus secara optimal dirasa cukup adil  karena premi yang dibayarkan  oleh pemegang  polis  asuransi yang melakukan  perpanjangan  polis  pada  tahun  berikutnya  sebanding  dengan  risiko  yang dihadapinya,  dimana  premi  yang  harus dibayarkan  oleh  setiap  pemegang  polis  didasarkan pada sejarah klaim  masa lalu,  dalam hal ini  frekuensi klaim  dan besar klaim.

## DAFTAR PUSTAKA
Febriana (2012). Pelaksanaan Asuransi Kendaraan Bermotor Terhadap Kepentingan Pihak Ketiga Studi Kasus PT Asuransi Indrapura Cab. Bandar Lampung . Lampung: Jurusan Hukum  Perdata , Fakultas Hukum,  Universitas  Lampung.
Kementrian  Keuangan.  (2007). Peraturan Menteri Keuangan Nomor 74/PMK.010/2007: Tentang  Penyelenggaraan  Pertanggungan  Asuransi  pada  Lini  Usaha  Asuransi Kendaraan Bermotor . Jakarta: Kemenkeu.
Kinasih,  I. P. (2019). Weibull  Parameter Estimation  using  Bisection  and Genetic Alghoritm. 26-46.
Kitab  Undang-Undang  Hukum  Dagang  (KUHD).  Bab  IX  Tentang  Asuransi  atau Pertanggungan  pada Umumnya,  Pasal 246.
Klugman,  S.  A.,  Panjer,  H.  H.,  &  Willmot,  G.  E.  (2012). Loss  Model From  Data To Decisions . New York: Willey  Interscience.
Mutaqin,  A.  K.,  &  Komarudin.  (2008).  Perhitungan  Premi  untuk  Asuransi  Kendaraan Bermotor  Berdasarkan  Sejarah  Frekuensi  Klaim  Pemegang  Polis  Menggunakan Analisis  Bayes. Phytagoras , 47-55.
Otoritas  Jasa Keuangan. (2017). Penetapan Tarif Premi atau Kontribusi pada Lini Usaha Asuransi Harta Benda atau Asuransi Kendaraan Bermotor .  Jakarta:  Surat  Edaran Otoritas Jasa Keuangan No. 7/SEOJK.05/2017.
Santi,  D. N., Purnaba, & Mangku.  (2016).  Bonus-Malus  System with  the Claim  Frequency Distribution  is Geometric and Severity Distribution  is Truncated Weibull. Iop Science . Undang-  Undang  Republik  Indonesia.  (2014).  UU  RI. Nomor  40 Tahun 2014: Tentang Perasuransian . Jakarta.