DISKRITISASI PADA SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL POLA PEMBENTUKAN SEL
Khusnul Khamidiyah 1 ,  Usman Pagalay 2
1 Mahasiswa Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang
2 Dosen Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi UIN Maulana Malik Ibrahim Malang e-mail : diyah_af@yahoo.co.id, usmanpagalay@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Persamaan  Meinhardt  merupakan  sebuah  model  matematika  yang  menggambarkan  pola pembentukan  sel  pada hydra .  Hans  Meinhardt  menggunakan  jenis  persamaan  difusi  untuk menggambarkan bagaimana variabel-variabel berkembang biak, mati, bergerak dan berinteraksi. Bentuk model  yang  dirumuskan  oleh  Meinhardt  tersebut  merupakan  model  kontinu,  sehingga  salah  satu  studi yang  dapat  diterapkan  pada  model Meinhardt adalah  dilakukannya  diskritrisasi.  Diskritisasi  merupakan proses  kuantisasi  sifat-sifat  kontinu.  Salah  satu  metode  yang  dapat  memperkirakan  bentuk  diferensial kontinu  menjadi  bentuk diskrit ialah metode  beda hingga. Sehingga dalam penelitian ini akan dilakukan proses  diskritisasi  pada  model  pembentukan  sel.  Metode  yang  digunakan  adalah  beda  hingga  skema Crank-Nicolson yang  merupakan  pengembangan  dari  skema  eksplisit  dan  implisit.  Kelebihan  dari  skema Crank-Nicolson adalah nilai error yang lebih kecil dari pada skema eksplisit dan implisit. Dalam penelitian ini digunakan beda hingga maju untuk turunan 𝑡 dan beda hingga pusat untuk turunan 𝑥 pada persamaan activator 𝑎(𝑥, 𝑡) dan inhibitor 𝑏(𝑥, 𝑡) .  Langkah-langkah  yang  dilakukan  adalah  dimulai  dengan menganalisis persamaan Meinhardt dan dilanjutkan dengan diskritisasi.
Kata kunci : Metode beda hingga, persamaan Meinhardt, , skema Crank-Nicolson

## ABSTRACT
Meinhardt equation is a mathematical model which describes the pattern of cell formation in hydra. Hans Meinhardt uses the diffusion equation type to describe how the variables are breed, die, move, and interact. The model formulated by Meinhardt is a continuous model. Thus, one of the studies which can be applied  to  Meinhardt  equation  is  discretization.  Discretization  is  a  quantization  process  of  continuous properties. One method which can predict continuous differential form into discrete form is by applying finite  difference  method.  Thus,  the  proses  of  discretization  will  be  conducted  in  this  research  on  the pattern formation of cell. The method used in this study is finite difference method implementing Crank- Nicolson  scheme  which  is  the  result  of  explicit  and  implicit  scheme  development.  The  advantage  of  the Crank Nicolson scheme is the smaller error values than the explicit and implicit scheme. This method used finite  forward  difference  for  derivatives  of 𝑡 and  finite  centre  difference  for  derivatives  of 𝑥 at  the activator 𝑎(𝑥, 𝑡) and  inhibitor 𝑏(𝑥, 𝑡) .  The  Steps  conducted  by  analyzing  Meinhardt  equation  and continued with discretization.
Keywords : Crank-Nicolson scheme, finite difference method, Meinhardt equation

## PENDAHULUAN
Sel  merupakan  kumpulan  materi  paling sederhana  yang  dapat  hidup  dan  termasuk  unit penyusun  tubuh  ( building  block ).  Seluruh makhluk hidup tersusun atas sel. Sel adalah unit dasar  kehidupan.  Dalam  kingdom  monera  dan protista,  keseluruhan  organisme  tersusun  atas sel  tunggal.  Pada  kebanyakan  fungi  dan  dalam kingdom  hewan  dan  tumbuhan,  organisme adalah  susunan  yang  luar  biasa  kompleks  dari
sel-sel  yang  bisa  triliunan  banyaknya  (Fried  & Hademenos, 2005).
Hydra merupakan  metazoan  atau  hewan bersel  banyak  yang  hidup  di  kolam  atau  di sungai  yang  airnya  mengalir.  Tubuh hydra berbentuk  polip  yang  hidup  soliter  dalam  arti tidak  berkoloni,  dapat  berpindah  tempat  tetapi biasanya  melekat  pada  obyek,  misalnya  batu- batuan,  batang  kayu,  tanaman  air  dan  lain-lain. Tubuhnya  berbentuk  silindris  yang  dapat dijulurkan  serta  dipendekkan.  Kemampuan untuk dapat menjulur dan memendek ini karena
memang  tubuh hydra memiliki  fibril-fibril khusus  pada  beberapa  sel.  Panjang  tubuh hydra mulai  dari  2  sampai  20  mm,  dengan  diameter tubuhnya tidak lebih dari 1 mm (Kastawi, 2005).
Pada  organisme  yang  lebih  tinggi, pentingnya  proses  pembentukan  pola  dasar pada  subdivisi  dari  sebuah  organisme  hanya terjadi  sekali  dan  dalam  waktu  yang  relatif singkat. Dalam berbagai kasus, embrio lebih sulit dijangkau  dalam  manipulasi  sebuah  penelitian. Berbeda  dengan  potongan-potongan  kecil  pada hydra  yang  hidup  di  air  tawar  dapat meregenerasi tubuhnya setiap saat. Oleh karena itu, model organisme yang tepat untuk dipelajari dan diajukan sebagai model serta sistem biologi yang nyata (Gierer, 1977).
Hans Meinhardt merumuskan pola pembentukan  sel  hydra  dalam  sebuah  sistem persamaan  diferensial  parsial.  Model  yang dirumuskan  oleh  Meinhardt  merupakan  model kontinu,  sehingga  salah  satu  studi  yang  dapat diterapkan pada model tersebut adalah dilakukannya diskritrisasi. Diskritisasi merupakan proses kuantisasi sifat-sifat kontinu.
Kuantisasi diartikan sebagai proses pengelompokan  sifat-sifat  kontinu  pada  selang- selang tertentu ( step size ). Kegunaan diskritisasi adalah  untuk  mereduksi  dan  menyederhanakan data, sehingga didapatkan data diskrit yang lebih mudah  dipahami,  digunakan,  dan  dijelaskan. Oleh  karena  itu,  hasil  pembelajaran  dengan bentuk  diskrit  dipandang  Dougherty  (1995) sebagai hasil yang cepat dan akurat dibandingkan  hasil  dari  bentuk  kontinu  (Liu, Hussain, Tan, & Dash, 2012).
Salah satu metode yang dapat memperkirakan  bentuk  diferensial  kontinu menjadi  bentuk  diskrit  ialah  dengan  metode beda  hingga.  Metode  beda  hingga  yang digunakan  oleh  penulis  dalam  penelitian  ini adalah  skema Crank-Nicolson yang  merupakan pengembangan dari skema eksplisit dan implisit. Kelebihan  dari  skema Crank-Nicolson adalah nilai error yang lebih kecil. Berdasarkan paparan tersebut  di  atas,  penulis  tertarik  untuk membahas  dan  mengkaji  model Meinhardt dalam  tulisan  ini  dengan  judul Diskritisasi  pada Sistem  Persamaan  Diferensial  Parsial  Pola Pembentukan Sel.

## KAJIAN PUSTAKA
1. Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan-persamaan  yang  mengandung  satu atau  lebih  turunan-turunan  parsial.  Persamaan itu  haruslah  melibatkan  paling  sedikit  dua variabel  bebas.  Tingkat  persamaan  diferensial
parsial  adalah  tingkat  turunan  tertinggi  pada persamaan itu (Ayres, 1992).
2. Orde Persamaan Diferensial Parsial
Orde  dari  persamaan  diferensial  parsial ditentukan  berdasarkan  orde  dari  turunan tertinggi  pada  persamaan  diferensial  parsial tersebut.  Sebagai  contoh,  persamaan  diferensial parsial  pola  pembentukan  sel  yang  kemudian disebut  sebagai  persamaan Meinhardt berikut merupakan  contoh  persamaan  orde  satu  dan dua:
PDE orde satu: 𝜕𝑎 𝜕𝑡 = 𝑠𝑏𝑎 2 − 𝑟 𝑎 𝑎
PDE orde dua: 𝜕𝑎 𝜕𝑡 = 𝑠𝑏𝑎 2 − 𝑟 𝑎 𝑎 + 𝐷 𝑎 𝜕2𝑎 𝜕𝑥2 (Sasongko, 2010).

## 3. Linieritas Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan  diferensial  parsial  berikut merupakan  bentuk  persamaan  diferensial  orde dua:
𝛼 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 + 𝛽 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 + 𝛾 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 + 𝛿 = 0
(1) Persamaan diferensial parsial juga
digolongkan menjadi persamaan linier, kuasilinier  dan  nonlinier,  dengan  penjelasan berikut:
a. Apabila  koefisien  pada  persamaan  (1) adalah  konstan  atau  fungsi  yang  hanya terdiri dari variabel bebas saja [𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 𝛿 = (𝑥, 𝑦)] ,  maka  persamaan  itu  disebut persamaan linier;
b. Apabila  koefisien  pada  persamaan  (1) adalah  fungsi  dari  variabel  tak  bebas ( dependent  variable )  dan/atau  merupakan turunan  dengan  pangkat  yang  lebih  rendah daripada persamaan diferensialnya [𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 𝛿 = (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝜕𝑢 𝜕𝑥 , 𝜕𝑢 𝜕𝑦 )] , maka persamaan itu disebut persamaan kuasilinier;
c. Apabila  koefisiennya  merupakan  fungsi dengan  turunan  sama  dengan  pangkatnya,
[𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 𝛿 = (𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝜕2𝑢 𝜕𝑥2 , 𝜕2𝑢 𝜕𝑦2 , 𝜕2𝑢 𝜕𝑥𝜕𝑦 )] , maka  persamaan  itu  disebut  persamaan nonlinier.
(Sasongko, 2010).
4. Bentuk Kanonik Persamaan Diferensial
Parsial
Berikut  ini  diberikan  beberapa  bentuk persamaan diferensial parsial:
a. Persamaan Ellips, jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 < 0 b. Persamaan Parabola, jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = 0 c. Persamaan Hiperbola, jika 𝑏 2 − 4𝑎𝑐 > 0 (Triatmodjo, 2002).

## 5. Deret Taylor
Deret  taylor  merupakan  dasar  untuk menyelesaikam masalah dalam metode numerik, terutama  penyelesaian  persamaan  diferensial. Jika  suatu  fungsi 𝑓(𝑥) diketahui  di  titik 𝑥 𝑖 dan semua turunan dari 𝑓 terhadap 𝑥 diketahui pada titik  tersebut,  maka  dengan  deret  taylor  dapat dinyatakan  nilai 𝑓 pada  titik 𝑥 𝑖+1 yang  terletak pada jarak ∆𝑥 dari titik 𝑥 𝑖 (Triatmodjo, 2002). Andaikan 𝑓 adalah  suatu  fungsi  dengan turunan ke (𝑛 + 1) , 𝑓 (𝑛+1) (𝑥) , ada untuk setiap 𝑥 pada suatu selang terbuka 𝐼 yang mengandung 𝑎 . Maka untuk setiap 𝑥 di 𝐼 ,
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓 ′′ (𝑎) 2! (𝑥 − 𝑎) 2 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! (𝑥 − 𝑎) 𝑛 + 𝑅 𝑛 (𝑥)
Dimana  sisa  (atau  kesalahan) 𝑅 𝑛 (𝑥) diberikan oleh rumus:
𝑅 𝑛 (𝑥) = 𝑓 (𝑛+1) (𝑐) (𝑛 + 1)! (𝑥 − 𝑎) 𝑛+1
Dengan 𝑐 suatu  titik  antara 𝑥 dan 𝑎 (Purcell  & Varberg, 1999).
Persamaan di atas merupakan penjumlahan dari  suku-suku  ( term ),  yang  disebut  deret. Perhatikanlah bahwa deret taylor ini panjangnya tidak  terhingga,  untuk  memudahkan  penulisan suku-suku  selanjutnya  kita  menggunakan  tanda ellipsis (⋯ ) .  Jika  dimisalkan 𝑥 − 𝑎 = ℎ ,  maka 𝑓(𝑥) dapat juga ditulis sebagai:
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎) + 𝑓 ′ (𝑎)ℎ + 𝑓 ′′ (𝑎) 2! ℎ 2 + ⋯ + 𝑓 (𝑛) (𝑎) 𝑛! ℎ 𝑛 + 𝑅 𝑛 (𝑥)
Deret pangkat dari (𝑥 − 𝑎) yang menggambarkan sebuah fungsi dinamakan deret taylor.  Apabila 𝑎 = 0 ,  deret  yang  bersangkutan disebut  deret  Maclaurin  (Purcell  &  Varberg, 1999).

## 6. Diferensial Numerik
Diferensial  numerik  digunakan  untuk memperkirakan  bentuk  diferensial  kontinu menjadi  bentuk  diskret.  Diferensial  numerik  ini banyak digunakan untuk menyelesaikan persamaan  diferensial.  Bentuk  tersebut  dapat diturunkan berdasar pada deret taylor.
Persamaan di bawah ini:
𝑦 ′ (𝑥 𝑖+1 ) = 𝑦(𝑥 𝑖+1 ) − 𝑦(𝑥 𝑖 ) (𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 ) dikenal  dengan  metode  numerik  sebagai  beda terbagi berhingga. Secara umum dapat dinyatakan sebagai:
𝑓 ′ (𝑥 𝑖+1 ) = ∆𝑓 𝑖 ℎ +  ℎ
Dengan ∆𝑓 𝑖 disebut  beda ke depan pertama dan ℎ disebut  ukuran  langkah,  yaitu  panjang  selang hampiran.  Istilah  ke  depan  digunakan  karena
ada  hampiran  turunan  di  titik 𝑖 dipergunakan data pada titik yang bersangkutan dan titik yang di  depannya.  Suku ∆𝑓𝑖 ℎ disebut  sebagai  beda terbagi  berhingga  pertama  (Djojodihardjo, 2000).
Beda terbagi ke depan ini merupakan salah satu dari beberapa cara yang dapat dikembangkan dari deret taylor guna memperoleh turunan secara numerik.
7. Metode Beda Hingga Skema Crank- Nicolson Skema
Crank-Nicolson merupakan pengembangan dari skema eksplisit dan implisit. Dalam  skema  eksplisit,  ruas  kanan  ditulis  pada waktu  ke 𝑛 .  Dalam  skema  implisit,  ruas  kanan ditulis  untuk  waktu 𝑛 + 1 .  Dalam  kedua  skema tersebut  diferensial  terhadap  waktu  ditulis dalam bentuk:
𝜕𝑇 𝜕𝑡 ≈ (𝑇 𝑖 𝑛+1 − 𝑇 𝑖 𝑛 ) ∆𝑡 yang berarti diferensial terpusat terhadap waktu 𝑛 + 1 2 . Skema Crank-Nicolson menulis ruas kanan pada  waktu 𝑛 + 1 2 yang  merupakan  nilai  rerata dari skema eksplisit dan implisit. Skema jaringan titik hitungan diberikan oleh gambar 1 berikut.
Gambar 1. Skema Crank-Nicolson
Skema ini menggunakan teknik pembobotan  untuk  diskritisasi  waktu  sekarang 𝑡 𝑛 dan diskritisasi waktu yang akan datang 𝑡 𝑛+1 dengan  cara  yang  lebih  fleksibel  yaitu  dengan menggunakan  faktor  pemberat  waktu.  Beda hingga terhadap ruang (𝑥) : 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 = 𝜃 ( 𝑇 𝑖+1 𝑛+1 − 2𝑇 𝑖 𝑛+1 + 𝑇 𝑖−1 𝑛+1 (∆𝑥) 2 ) + (1 − 𝜃) ( 𝑇 𝑖+1 𝑛 − 2𝑇 𝑖 𝑛 + 𝑇 𝑖−1 𝑛 (∆𝑥) 2 ) (2)
Dengan 0 ≤ 𝜃 ≤ 1 adalah  faktor  pemberat waktu (Luknanto, 2003).
Sedangkan  untuk  beda  hingga  terhadap waktu:
𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝑇 𝑖 𝑛+1 − 𝑇 𝑖 𝑛 ∆𝑡 Dengan 𝜃 adalah  koefisien  pembobot  dengan nilai:
𝜃 = 0, jika skema adalah eksplisit 𝜃 = 1, jika skema adalah implisit 𝜃 = 1 2 , jika skema adalah Crank-Nicolson (Lapidus & Pinder, 1981). Sehingga persamaan (2) dapat ditulis sebagai: 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 = 1 2 ( 𝑇𝑖+1 𝑛+1−2𝑇 𝑖 𝑛+1+𝑇 𝑖−1 𝑛+1
(∆𝑥)2 ) + 1 2 ( 𝑇𝑖+1 𝑛 −2𝑇 𝑖 𝑛+𝑇 𝑖−1 𝑛 (∆𝑥)2 )
Crank  dan  Nicolson  (1947)  mengajukan dan  juga  menggunakan  sebuah  metode  yang mereduksi  perhitungan  pada  volume  total,  dan itu  dianggap  sah  (konvergen  dan  stabil)  untuk semua  nilai 𝑟 .  Mereka  mempertimbangkan  pdp terpenuhi  di  titik (𝑖ℎ, (𝑛 + 1 2 ) 𝑘) dan  mengganti
dengan 𝜕2𝑇 𝜕𝑥2 dengan rata-rata perkiraan perbedaan  pada  saat 𝑛 dan 𝑛 + 1 .  Dengan  kata lain mereka mengganti persamaan
𝜕𝑇 𝜕𝑡 = 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 dengan persamaan 𝑇𝑖 𝑛+1−𝑇 𝑖 𝑛 𝑘 = 1
2 ( 𝑇𝑖+1 𝑛+1−2𝑇 𝑖 𝑛+1+𝑇 𝑖−1 𝑛+1 ℎ2 + 𝑇𝑖+1 𝑛 −2𝑇 𝑖 𝑛+𝑇 𝑖−1 𝑛 ℎ2 )
dan diberikan, −𝑟𝑇 𝑖−1 𝑛+1 + (2 + 2𝑟)𝑇 𝑖 𝑛+1 − 𝑟𝑇 𝑖+1 𝑛+1
= 𝑟𝑇 𝑖−1 𝑛 + (2 − 2𝑟)𝑇 𝑖 𝑛 + 𝑟𝑇 𝑖+1 𝑛
dimana 𝑟 = 𝑘 ℎ2 (Smith, 1985).

## 8. Model Meinhardt
(Meinhardt,  2012)  menyajikan  sebuah model  matematika  yang  menggambarkan  pola pembentukan  sel  pada hydra ,  yang  berbentuk sistem persamaan diferensial parsial. Persamaan Meinhardt  terdiri  dari  dua  persamaan  yang berjenis persamaan
difusi. Dengan
mendefinisikan
𝑎(𝑥, 𝑡) sebagai activator
(pengaktif) dan 𝑏(𝑥, 𝑡) sebagai inhibitor (penghambat)  pembentukan  sel.  Persamaan Meinhardt ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
𝜕𝑎 𝜕𝑡 = 𝑠𝑏𝑎 2 − 𝑟 𝑎 𝑎 + 𝐷 𝑎 𝜕 2 𝑎 𝜕𝑥 2 𝜕𝑏 𝜕𝑡 = 𝑏 𝑏 − 𝑠𝑏𝑎 2 − 𝑟 𝑏 𝑏 + 𝐷 𝑏 𝜕 2 𝑏 𝜕𝑥 2
9. Pembentukan Sel Hydra
Seluruh  makhluk  hidup  tersusun  atas  sel. Sel adalah unit dasar kehidupan. Dalam kingdom monera  dan  protista,  keseluruhan  organisme tersusun atas sel tunggal. Pada kebanyakan fungi dan  dalam  kingdom  hewan  dan  tumbuhan, organisme  adalah  susunan  yang  luar  biasa kompleks  dari  sel-sel  yang  bisa  triliunan banyaknya (Fried & Hademenos, 2005).
Hydra ,  satu  diantara  segelintir  Cnidaria yang  ditemukan  di  perairan  tawar,  merupakan hydrozoa  yang  tak  lazim  karena  hanya  terdapat dalam  bentuk  polip.  Ketika  kondisi  lingkungan menguntungkan, hydra bereproduksi  secara
aseksual. Ketika kondisi memburuk, hydra dapat bereproduksi  secara  seksual,  membentuk  zigot resisten  yang  tetap  dorman  hingga  keadaan membaik (Campbell, et al., 2012).
Pembentukan  sel  yang  dipengaruhi  oleh zat pengaktif dan zat penghambat terjadi melalui proses  difusi.  Dimana  difusi  sendiri  menurut (Villee, 1984) adalah gerakan molekul dari suatu daerah dengan konsentrasi tinggi ke daerah lain dengan konsentrasi lebih rendah yang disebabkan oleh energi kinetik molekul-molekul tersebut.  Tiap  molekul  cenderung  bergerak lurus  sampai  terbentur  pada  molekul  lain kemudian  terpental  dan  bergerak  ke  arah  lain. Setelah tersebar secara merata, molekul tersebut tetap  bergerak,  tetapi  jika  ada  molekul  yang bergerak  dengan  cepat  dari  kiri  ke  kanan, secepat itu pula ada molekul lain yang bergerak dari kanan ke kiri sehingga keseimbangan dapat dipertahankan.

## PEMBAHASAN
Variabel-variabel  yang  digunakan  dalam model  pengaruh  pengaktif  dan  penghambat terhadap  pembentukan  sel  pada hydra diambil dari  jurnal  yang  dirumuskan  oleh  Hans (Meinhardt,  2012)  dalam  karya  tulisnya  yang berjudul Models  of  Biological  Pattern  Formation sebagai berikut:
Pengaktif ( activator ) 𝑎(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑎(𝑥,𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑠𝑏(𝑥, 𝑡)𝑎 2 (𝑥, 𝑡) − 𝑟 𝑎 𝑎(𝑥, 𝑡) + 𝐷 𝑎 𝜕2𝑎(𝑥,𝑡)
𝜕𝑥2(𝑥,𝑡)
Penghambat ( inhibitor ) 𝑏(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑏(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑏 𝑏 − 𝑠𝑏(𝑥, 𝑡)𝑎 2 (𝑥, 𝑡) − 𝑟 𝑏 𝑏(𝑥, 𝑡)
+ 𝐷 𝑏 𝜕 2 𝑏(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑥 2 (𝑥, 𝑡) Perubahan konsentrasi pengaktif persatuan waktu  sebanding  dengan  kepadatan  sel s yang menggambarkan kemampuan sel tersebut untuk melakukan  reaksi  dan  sebanding  dengan berkurangnya  kerusakan  pengaktif  melalui pertukaran dengan sel tetangganya akibat difusi. Sedangkan  perubahan  konsentrasi  penghambat persatuan  waktu  sebanding  dengan  laju produksi  penghambat  dan  sebanding  dengan berkurangnya kerusakan penghambat (Meinhardt, 2012).
Agar  pembentukan  pola  dapat  terjadi, penghambat  harus  berdifusi  jauh  lebih  cepat dari  pengaktif (𝐷 𝑏 ≥ 𝐷 𝑎 ) .  Pola  akan  stabil  jika tingkat  kerusakan  penghambat  lebih  tinggi dibandingkan  dengan  pengaktif (𝑟 𝑏 > 𝑟 𝑎 ) ,  dan jika  keadaan  sebaliknya  terjadi (𝑟 𝑎 > 𝑟 𝑏 ) maka osilasi  akan  terjadi. 𝑏 𝑎 menggambarkan  laju
produksi activator-independen
kecil dari pengaktif  yang  diperlukan  untuk  memulai produksi activator  autocatalytic pada  tingkat rendah  pada 𝑎 ,  misalnya  selama  regenerasi berlangsung. Dalam kebanyakan simulasi, kepadatan  sel 𝑠 diasumsikan  merata  kecuali beberapa  fluktuasi  acak  kecil  yang  memicu pembentukan  pola  dan  yang  tetap  konstan selama simulasi (Meinhardt, 2012).

## 1. Diskritisasi Persamaan Meinhardt dengan Metode Beda Hingga Skema Crank-Nicolson pada Activator
Berikut  merupakan  proses  diskritisasi model  pengaktif,  persamaan  yang  digunakan yaitu persamaan:
𝜕𝑎(𝑥,𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑠𝑏(𝑥, 𝑡)𝑎 2 (𝑥, 𝑡) − 𝑟 𝑎 𝑎(𝑥, 𝑡) + 𝐷 𝑎 𝜕2𝑎(𝑥,𝑡) 𝜕𝑥2(𝑥,𝑡)
(3)
dinotasikan,
𝑎(𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) = 1 2 (𝑎 𝑖 𝑛 + 𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 𝑏(𝑥 𝑖 , 𝑡 𝑛 ) = 1 2 (𝑏 𝑖 𝑛 + 𝑏 𝑖 𝑛+1 )
Berdasarkan pernyataan
Luknanto
sebagaimana tercantum dalam kajian pustaka di atas, maka transformasi beda hingga maju untuk turunan 𝑡 dan beda hingga pusat untuk turunan 𝑥 adalah sebagai berikut:
𝜕𝑎(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡 = 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑎 𝑖 𝑛 ∆𝑡 𝜕2𝑎 𝜕𝑥2 = 1 2 ( 𝑎𝑖−1 𝑛+1−2𝑎 𝑖 𝑛+1+𝑎 𝑖+1 𝑛+1 ∆𝑥2 + 𝑎𝑖−1 𝑛 −2𝑎𝑖 𝑛+𝑎 𝑖+1 𝑛 ∆𝑥2 )
Bentuk  beda  hingga  disubtitusikan  ke persamaan  (3),  sehingga  diperoleh  bentuk persamaan diskrit sebagai berikut: 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑎 𝑖 𝑛 ∆𝑡 = 1 2 𝑠[𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 + 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 ] − 1 2 𝑟 𝑎 [𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝑎 𝑖 𝑛 ] + 1 2 𝐷 𝑎 ( 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 − 2𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 ∆𝑥 2 + 𝑎 𝑖−1 𝑛 − 2𝑎 𝑖 𝑛 + 𝑎 𝑖+1 𝑛 ∆𝑥 2 ) (4)
Persamaan (4) juga dapat ditulis dalam bentuk: 𝑎 𝑖 𝑛+1 ∆𝑡 = 𝑎 𝑖 𝑛 ∆𝑡 + 𝑠 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 + 𝑠 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 − 𝑟 𝑎 2 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑟 𝑎 2 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 − 𝐷 𝑎 ∆𝑥 2 𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝐷 𝑎 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 + 𝐷 𝑎 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛 − 𝐷 𝑎 ∆𝑥 2 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛 (5)
Persamaan (5) dikalikan dengan pada kedua ruasnya, sehingga diperoleh:
𝑎 𝑖 𝑛+1 = 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 − 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛 (6)
Dalam  bentuk  yang  lebih  sederhana  dan untuk  mengelompokkan  antara  diskritisasi waktu sekarang (𝑛) dan diskritisasi waktu yang akan datang (𝑛 + 1) , maka persamaan (6) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
− 𝐷𝑎∆𝑡 2∆𝑥2 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 + 𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝑟𝑎∆𝑡 2 𝑎 𝑖 𝑛+1 + 𝐷𝑎∆𝑡 ∆𝑥2 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝐷𝑎∆𝑡
2∆𝑥2 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝐷𝑎∆𝑡 2∆𝑥2 𝑎 𝑖−1 𝑛 + 𝑎 𝑖 𝑛 − 𝑟𝑎∆𝑡 2 𝑎 𝑖 𝑛 − 𝐷𝑎∆𝑡 ∆𝑥2 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷𝑎∆𝑡 2∆𝑥2 𝑎 𝑖+1 𝑛 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 (7)
Persamaan  (7)  disederhanakan  dalam  bentuk sebagai berikut:
− 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 (8)
Didefinisikan:
𝑃 = 𝐷𝑎∆𝑡 2∆𝑥2
𝑄 = 𝑟𝑎∆𝑡 2
𝑅 = 𝐷𝑎∆𝑡 ∆𝑥2 𝑆 = 𝑠∆𝑡 2 Kemudian  dengan  mensubtitusikan 𝑃, 𝑄, 𝑅 dan 𝑆 pada persamaan di atas, maka diperoleh:
−𝑃𝑎 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑄 + 𝑅)𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑃𝑎 𝑖+1 𝑛+1 − 𝑆𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑃𝑎 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑄 − 𝑅)𝑎 𝑖 𝑛 + 𝑃𝑎 𝑖+1 𝑛 + 𝑆𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 (9)
2. Diskritisasi Persamaan Meinhardt dengan Metode Beda Hingga Skema Crank-Nicolson pada Inhibitor Persamaan penghambat
dalam pembentukan  sel  pada hydra sebagaimana persamaan:
𝜕𝑏 𝜕𝑡 = 𝑏 𝑏 − 𝑠𝑏𝑎 2 − 𝑟 𝑏 𝑏 + 𝐷 𝑏 𝜕 2 𝑏 𝜕𝑥 2 (10)
t 
Transformasi  beda  hingga  maju  untuk turunan t dan beda hingga pusat untuk turunan x adalah sebagai berikut:
𝜕𝑏(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑏 𝑖 𝑛 ∆𝑡 𝜕2𝑏 𝜕𝑥2 = 1 2 ( 𝑏𝑖−1 𝑛+1−2𝑏 𝑖 𝑛+1+𝑏 𝑖+1 𝑛+1 ∆𝑥2 + 𝑏𝑖−1 𝑛 −2𝑏 𝑖 𝑛+𝑏 𝑖+1 𝑛 ∆𝑥2 )
Bentuk  beda  hingga  disubtitusikan  ke persamaan  (10),  sehingga  diperoleh  bentuk persamaan diskrit sebagai berikut:
𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑏 𝑖 𝑛 ∆𝑡 = 𝑏 𝑏 − 1 2 𝑠[𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 + 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 ] − 1 2 𝑟 𝑏 [𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝑏 𝑖 𝑛 ] + 1 2 𝐷 𝑏 ( 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 − 2𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 ∆𝑥 2 + 𝑏 𝑖−1 𝑛 − 2𝑏 𝑖 𝑛 + 𝑏 𝑖+1 𝑛 ∆𝑥 2 ) (11)
Persamaan  (11)  dapat  disederhanakan menjadi:
𝑏𝑖 𝑛+1 ∆𝑡 = 𝑏𝑖 𝑛 ∆𝑡 + 𝑏 𝑏 − 𝑠 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 − 𝑠 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 − 𝑟𝑏 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑟𝑏 2 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷𝑏 2∆𝑥2 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 − 𝐷𝑏 ∆𝑥2 𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝐷𝑏 2∆𝑥2 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝐷𝑏 2∆𝑥2 𝑏 𝑖−1 𝑛 − 𝐷𝑏 ∆𝑥2 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷𝑏 2∆𝑥2 𝑏 𝑖+1 𝑛 (12)
Persamaan (12) dikalikan dengan t  pada kedua ruasnya, sehingga diperoleh:
𝑏 𝑖 𝑛+1 = 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝑏 𝑏 ∆𝑡 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 − 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛 (13)
Dalam  bentuk  yang  lebih  sederhana  dan untuk  mengelompokkan  antara  diskritisasi waktu sekarang (𝑛) dan diskritisasi waktu yang akan  datang (𝑛 + 1) ,  maka  persamaan  (13) dapat ditulis dalam bentuk sebagai berikut:
− 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 + 𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑏 𝑏 ∆𝑡 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛 + 𝑏 𝑖 𝑛 − 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2
(14)
Dalam  bentuk  yang  lebih  sederhana, persamaan  (14)  dapat  ditulis  dalam  bentuk sebagai berikut:
− 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑏 𝑏 ∆𝑡 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 (15)
Didefinisikan:
𝑇 = 𝐷𝑏∆𝑡 2∆𝑥2 𝑈 = 𝑟𝑏∆𝑡 2 𝑉 = 𝐷𝑏∆𝑡 ∆𝑥2 𝑊 = 𝑠∆𝑡 2 Kemudian  dengan  mensubtitusikan 𝑇, 𝑈, 𝑉 dan 𝑊 pada persamaan (15), maka diperoleh: −𝑇𝑏 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑈 + 𝑉)𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑇𝑏 𝑖+1 𝑛+1 +
𝑊𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑏 𝑏 ∆𝑡 + 𝑇𝑏 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑈 −
𝑉)𝑏 𝑖 𝑛 + 𝑇𝑏 𝑖+1 𝑛 − 𝑊𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 (16)
Dari  proses  diskritisasi  di  atas,  maka diperoleh  sistem  persamaan Meinhardt diskrit sebagai berikut:
−𝑃𝑎 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑄 + 𝑅)𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝑃𝑎 𝑖+1 𝑛+1 − 𝑆𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑃𝑎 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑄 − 𝑅)𝑎 𝑖 𝑛 + 𝑃𝑎 𝑖+1 𝑛 + 𝑆𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 −𝑇𝑏 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑈 + 𝑉)𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝑇𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝑊𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑏 𝑏 ∆𝑡 + 𝑇𝑏 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑈 − 𝑉)𝑏 𝑖 𝑛 + 𝑇𝑏 𝑖+1 𝑛 − 𝑊𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2

## PENUTUP
Berdasarkan penjelasan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa bentuk diskrit dari persamaan Meinhardt adalah sebagai berikut:
1. Activator
− 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑎 𝑖 𝑛+1 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛+1 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑟 𝑎 ∆𝑡 2 − 𝐷 𝑎 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑎 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑎 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑎 𝑖+1 𝑛 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2 2. Inhibitor
− 𝐷 𝑏 ∆𝑡
2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛+1 + (1 + 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑏 𝑖 𝑛+1 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛+1 + 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛+1 (𝑎 𝑖 𝑛+1 ) 2 = 𝑏 𝑏 ∆𝑡 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖−1 𝑛 + (1 − 𝑟 𝑏 ∆𝑡 2 − 𝐷 𝑏 ∆𝑡 ∆𝑥 2 ) 𝑏 𝑖 𝑛 + 𝐷 𝑏 ∆𝑡 2∆𝑥 2 𝑏 𝑖+1 𝑛 − 𝑠∆𝑡 2 𝑏 𝑖 𝑛 (𝑎 𝑖 𝑛 ) 2

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Ayres,  F.  (1992).  Persamaan  Diferensial. Jakarta: Erlangga.
[2] Campbell, N. A., Jackson, R. B., Minorsky, P. V., Wasserman, S. A., Cain, M. L., Urry, L. A., et al. (2012). Biology. Jakarta: Erlangga.
[3] Djojodihardjo, H. (2000). Metode Numerik.  Jakarta:  Gramedia  Pustaka
Utama.
[4] Fried,  G.  H.,  &  Hademenos,  G.  J.  (2005). Schaum's Outlines of Theory and
Problems  of  Biology  Second  Edition.
Jakarta: Erlangga.
[5] Gierer,  A.  (1977).  Biological  Features  and Physical  Concepts  of  Pattern  Formation Exemplified by Hydra. Curr. Top. Dev. Biol
, 17.
[6] Kastawi,  Y.  (2005).  Zoology  Avertebrata. Malang: UM Press.
[7] Lapidus,  L.,  &  Pinder,  G.  F.  (1981). Numerical  Solution  of  Partial  Differential
Equations  in  Science  and  Engineering.
New York: A Wiley-Interscience
Publication.
[8] Liu,  H.,  Hussain,  F.,  Tan,  C.  L.,  &  Dash,  M. (2012). Discretization: An Enabling Technique. 2.
[9] Luknanto,  D.  (2003).  Model  Matematika. Yogyakarta: Bahan
Kuliah tidak dipublikasikan  Jurusan  Teknik  Sipil  FT UGM.
[10] Meinhardt, H. (2012). Models of Biological Pattern Formation. 1-10.
[11] Purcell,  E.  J.,  &  Varberg,  D.  (1999). Calculus  with  Analytic  Geometry  5th Edition. Jakarta: Erlangga.
[12] Sasongko,  S.  B.  (2010).  Metode  Numerik dengan Scilab.
Yogyakarta: Andi Yogyakarta.
[13] Smith, G. D. (1985). Numerical Solution of Partial  Differential  Equations:  Finite Difference  Methods.  Oxford:  Clarendon Press.
[14] Triatmodjo,  B.  (2002).  Metode  Numerik dilengkapi  dengan  Program  Komputer. Yogyakarta: Beta Offset.
[15] Villee,  C.  A.  (1984).  General  Zoologi  Sixth Edition. Jakarta: Erlangga.