Vol .15, No. 2, 67-73, January 2019
APLIKASI MODEL EPIDEMIK SEIAR-SEI PADA PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA DENGAN INFEKSI ASIMTOMATIK DAN SUPER INFEKSI

## Stella Maryana Belwawin 

## Abstract
This aim of this study is to determine the point of equilibrium and analyze the stability of SEIAR-SEI  model  on  malaria  disease  with  asymptomatic  infection,  super  infection  and the effect of the mosquito's life cycle. This study also aim is to measure the sensitivity of the spread of malaria to the parameters of asymptomatic infections, the rate of treatment, and  the  rate  of  birth  of  mosquitoes  through  the  magnitude  of .  The  method  in  this research  is  deductively,  through  several  stage,  such  as    determination  of  disease-free equilibrium  point  and  endemic  equilibrium  point,  determination  of  basic  reproduction number  ( ),  analyze  of  the  basic  reproduction  number  sensitivity  of  the  spread  of malaria to the parameters of asymptomatic infections, the rate of treatment, and the rate of birth of mosquitoes. The endemic equilibrium point was obtained using rule of Descartes. The result show that the change in the value of parameter , , and has effect on the basic reproduction number ( ). Treatment factors in the human population influence the elimination  of  malaria  in  a  population.  Whereas  asymptomatic  infection  factors  and  the birth rate of adult mosquitoes influence the increase in malaria infection.
Keywords: Malaria, asymptomatic infection, super infection, basic reproduction number, rule of descrates .

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan  menentukan titik keseimbangan dan  menganalisis kestabilan dari model  SEIAR_SEI  pada  penyakit  malaria  dengan  pengaruh  infeksi  asimtomatik,  super infeksi,  dan  siklus  hidup  nyamuk.  Penelitian  ini  juga  bertujuan  mengukur  tingkat sensitivitas  penyebaran  penyakit  malaria  terhadap  parameter  infeksi  asimtomatik,  laju pengobatan,  serta  laju  kelahiran  nyamuk.melalu  besaran .    Metode  yang  digunakan dalam  penelitian  ini  adalah  metode  deduktif  dengan  langkah-langkah  :  menentukan  titik keseimbangan  bebas  penyakit  dan  endemik  dan  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar
). Analisis sensitivitas bilangan reproduksi dasar dilakukan terhadap parameter infeksi asimtomatik,  pengobatan,  dan  laju  kelahiran  nyamuk.  Tititk  keseimbangan  endemik diperoleh dengan aturan descrates. Hasil yang diperoleh menunjukkan parameter , , dan berpengaruh terhadap bilangan reproduksi dasar ( ). Faktor pengobatan berpengaruh terhadap  eliminasi  penyakit  malaria.  Sedangkan  faktor  infeksi  asimtomatik  dan  laju kelahiran nyamuk dewasa berpengaruh terhadap peningkatan infeksi penyakit malaria.
Kata  kunci: Malaria,  Infeksi  Asimtomatik,  Super  Infeksi,  Bilangan  Reproduksi Dasar, Aturan Descrates .

## 1. Pendahuluan
Malaria adalah penyakit yang disebabkan oleh infeksi protozoa yang disebut dengan Plasmodium. Penyakit ini ditularkan oleh nyamuk Anopheles betina dan sering muncul pada
 Program studi Magister Matematika Universitas Hassanuddin, Email : smayabelwawin@ymail.com

## Stella Maryana Belwawin
daerah  tropis  seperti  Indonesia  dan  negara-negara  di  Asia  lainnya,  terutama  di  Indonesia bagian timur  [4].  Secara  matematika,  penyebaran  penyakit  menular  dapat  dimodelkan  untuk memprediksi penyebaran penularan penyakit malaria ke depan.  Berdasarkan prediksi tersebut dapat dilakukan upaya pencegahan agar penyakit malaria dapat dieliminasi. Model Epidemik SEIR  merupakan  salah  satu  model  yang  dapat  dipakai  pada  kasus  malaria.  Pada  model  ini populasi manusia dibagi menjadi empat kelas yaitu: ( Susceptible ), ( Exposed ), ( Infected ) dan ( Removed ).  Sedangkan  pada  populasi  nyamuk  terdiri  dari  3  kompartemen  yaitu: ( Susceptible ), ( Exposed ), ( Infected ). Penelitian terbaru oleh Bakary Traore dkk (2017) [5] yang meneliti tentang penularan malaria dengan struktur umur untuk vektor populasi. Peneliti menggunakan  model  epidemik  SEIRS-SEI  untuk  mengkonstruksi  dinamika  penyebaran penyakit  malaria  dari  nyamuk  ke  manusia.  Liming  Cai  (2017) mengenalkan  model  malaria dengan kelas infeksi asimtomatik pada populasi manusia. Infeksi asimtomatik adalah infeksi penyakit  yang  tidak  menunjukkan  gejala.  Penderita  pembawa  infeksi  atau  penyakit  tidak mengalami gejala yang nyata. Infeksi asimtomatik juga disebut sebagai infeksi subklinis, atau infeksi diam secara klinis [3].
Berdasarkan  penjelasan  yang  telah  dipaparkan  diatas,  maka  diketahui bahwa faktor- faktor  penting  dalam  dinamika  transmisi  penyakit  malaria  adalah  yang  berkaitan  tentang infeksi  asimtomatik,  superinfeksi  dan  siklus  hidup  nyamuk.  Pada  penelitian  ini  akan dilakukan  pengembangan  model  dengan  meninjau  faktor-faktor  penting  dari  model-model yang  telah  dikembangkan  oleh  Bakary  Traore  dan  peneliti  lainnya.        Pemodelan  akan meninjau  kasus  malaria  asimtomatik  dan  superinfeksi  pada  populasi  manusia  serta  siklus hidup  nyamuk  untuk  memahami  faktor-faktor  penting  dalam  penyebaran  penyakit  malaria. Penelitian ini  akan  dituliskan  dalam  tesis  dengan judul:  “Aplikasi  Model  Epidemik  SEIAR- SEI pada penyebaran penyakit malaria dengan infeksi asimtomatik dan superinfeksi “.

## 2. Model Matematika
Model  SEIAR  yang  merupakan  pengembangan  dari  model  SEIR  secara  umum terbagi  menjadi  4  kelas  yaitu susceptible (S), exposed (E), Infected (I),  dan recovered (R) (Jinhong  dkk,  2014).  Namun  pada  model  penyakit  malaria  tersebut  dikembangkan  menjadi model  SEIAR-SEI  dengan  5  kelas  pada  populasi  manusia  yaitu  : Susceptible ( ), Exposed ( ), Infected ( ), Asymtomatic Infected ( ),  dan  Recovered  ( )  [1].  Sedangkan  pada populasi  nyamuk  terdiri  dari  5  kelas  yaitu: Eggs ( ),  Larva  dan  Pupa ( ), Susceptible ( ), Exposed ( ), Infected ( )  [5].    Total  dari  jumlah    populasi  manusia  dan  nyamuk  dewasa diberikan masing-masing oleh :
(1) (2)
Berdasarkan  kompartemen  diatas  maka  model  dapat ditulis  dalam  bentuk  bentuk  persamaan differensial sebagai berikut :
( ) ( ) ( ) (3)

## Stella Maryana Belwawin
( )
( )
.
Dengan  :
menyatakan laju perubahan jumlah individu yang rentan malaria pada  waktu t.
menyatakan  laju  perubahan  jumlah  individu  yang  terpapar  ke  dalam  masa  inkubasi
( exposed ) pada waktu t.
menyatakan laju perubahan jumlah individu yang sakit malaria pada waktu t.
menyatakan laju perubahan jumlah individu yang terinfeksi namun tidak menunjukkan gejala pada waktu t.
menyatakan perubahan individu yang sembuh pada waktu t.
menyatakan  laju  perubahan    jumlah  nyamuk  rentan  terinfeksi  penyakit  malaria  pada waktu t.
menyatakan laju perubahan  jumlah nyamuk yang mengalami   masa inkubasi parasit penyakit malaria pada waktu t.
menyatakan laju perubahan  jumlah nyamuk terinfeksi penyakit malaria pada waktu t.
menyatakan laju perkembangbiakan telur nyamuk pada waktu t.
menyatakan  laju perubahan jumlah telur nyamuk menjadi larva pada waktu t.
Variabel dan parameter yang digunakan disajikan pada Tabel 1 dan Tabel 2
Tabel 2. Variabel Pada Model Malaria SEIAR-SEI Variabel Keterangan Jumlah Susceptible pada manusia Jumlah Exposed pada manusia Jumlah Infected pada manusia Jumlah Asymptomatic Infected pada manusia Jumlah Recover pada manusia Jumlah Suceptible pada nyamuk Jumlah Exposed pada nyamuk Jumlah Infected pada nyamuk
Jumlah Telur nyamuk Jumlah Larva nyamuk Tabel 2. Parameter pada model malaria SEIAR - SEI Parameter Keterangan laju kelahiran manusia

## Stella Maryana Belwawin
Konstanta laju  hilangnya kekebalan tubuh pada manusia setelah sembuh laju perpindahan manusia terpapar ke manusia terinfeksi Probabilitas perpindahan dari Exposed ke kelas Asymptomatic Infected Laju terjadinya infeksi ( tingkat gigitan nyamuk) pada manusia Laju terjadinya infeksi ( tingkat gigitan nyamuk sehat menggigit individu yang terinfeksi malaria)
Proporsi infektifitas dari individu yang sembuh  pada nyamuk sehat.
Konstanta laju super infeksi dari individu yang terinfeksi namun tidak terdeteksi ( asymptomatic infected ).
Konstanta  pengurangan atau peningkatan infektivitas dari individu asimtomatik pada nyamuk yang sehat. laju perpindahan dari individu yang terinfeksi ke kelas asimtomatik laju infeksi dari nyamuk ke manusia laju kostan kematian manusia secara alami Konstanta laju pemulihan manusia dari parasit malaria laju perpindahan dari  kelas telur nyamuk ke kelas larva laju perubahan dari larva menjadi nyamuk dewasa laju pembentukan telur nyamuk laju kematian telur nyamuk laju kematian telur nyamuk laju kelahiran nyamuk dewasa laju infeksi malaria dari manusia ke nyamuk laju kostan kematian nyamuk secara alami laju perpindahan nyamuk terpapar ke nyamuk terinfeksi
Gambar 1. Skema penularan penyakit malaria SEIAR-SEI dengan infeksi asimtomatik, superinfeksi dan siklus hidup nyamuk

## Stella Maryana Belwawin
Pada  penelitian  sebelumnya,  lihat  [1],  secara  matematis  diperoleh  hasil  bahwa penyakit malaria dapat ditularkan jika terjadi kontak antara nyamuk rentan dengan  individu asimtomatik.  Beberapa upaya yang dapat dilakukan untuk mencegah terjadinya wabah yaitu dengan melakukan pengobatan pada populasi manusia yang terinfeksi penyakit malaria. Pada penelitian  ini  akan  dianalisis  beberapa  parameter  yang  mempengaruhi  nilai  reproduksi bilangan dasar ( ).

## 3. Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini  model  (3)  akan  dianalisis  dengan  menentukan  titik  kesetimbangan bebas  penyakit,  titik  keseimbangan  endemik,  bilangan  reproduksi  dasar  dan  kestabilan  dari titik  keseimbangan  model  SEIAR-SEI  tersebut.  Titik  keseimbangan  bebas  penyakit merupakan  keadaan  saat  penyakit  menular tidak  menyebar  dalam  suatu  populasi  dan  terjadi pada  saat .  Untuk maka  diperoleh . Substitusi sehingga  diperoleh    titik  keseimbangan bebas penyakit : ( )   ( ) (4) Menurut  Diekmann  dkk  (1990)  [2]
adalah  matriks  generasi  dari    model    (3) maka bilangan reproduksi dasar ( basic reproduction number ) dinyatakan sebagai : (5) Dengan merupakan spektral radius dari matriks . Spektral radius dari matriks next generation adalah : √ .  Sehingga  nilai  bilangan
reproduksi dasar yaitu :
√ (6)
Selanjutnya  akan  dianalisis  dampak  beberapa  parameter  terhadap  bilangan reproduksi dasar yaitu :
1. yaitu  laju  pengobatan  terhadap  individu  yang  terinfeksi  sehingga  dapat berpindah ke kelas susceptible (rentan).
2. laju  pengurangan  atau  peningkatan  infektivitas  dari  individu  tanpa  gelaja (asimtomatik) terhadap nyamuk yang rentan.
3. yaitu  proporsi  individu  yang  sembuh  tetapi  masih  berpeluang  menularkan parasit jika tergigit oleh nyamuk sehat.
4. yaitu  laju  kelahiran  nyamuk  dewasa  dimana  larva  nyamuk  berubah  menjadi nyamuk dewasa.
Hasil  yang  diperoleh  dari  bentuk
pada  kasus  penyakit  malaria    menunjukkan  bahwa peningkatan  pengobatan  yang  diberikan  akan    sehingga  terjadi  kondisi  bebas  penyakit.  Hasil  yang diperoleh  dari juga  menunjukkan  bahwa  peningkatan  jumlah  individu  yang  telah  sembuh namun  masih  bisa  menularkan  penyakit  pada  kasus  penyakit  malaria  akan  berdampak  pada peningkatan infeksi dalam populasi (penurunan nilai . Sedangkan hasil dari menunjukkan bahwa  dengan  adanya  peningkatan  infeksi  malaria  dari  individu  dengan  infeksi  asimtomatik berdampak pada peningkatan infeksi dalam populasi manusia dan populasi nyamuk (peningkatan nilai
).  Hasil dari juga menunjukkan dengan adanya peningkatan laju kelahiran nyamuk dewasa
pada  populasi  nyamuk  akan  berdampak  pada  peningkatan  infeksi  dalam  kasus  penyakit  malaria (peningkatan nilai ).

## Stella Maryana Belwawin
Titik  keseimbangan  endemik  merupakan  keadaan  saat  penyakit  menular  menyebar dalam  suatu  populasi  dan  terjadi  saat
.  Untuk maka  diperoleh .  Misalkan  rata-rata  laju  infeksi  pada  populasi  manusia  adalah dan  pada nyamuk adalah yang telah didefinisikan  dengan persamaan : , dan (8) ( )
(9)
Setelah  melakukan  proses  saling  substitusi  maka  diperoleh  titik  keseimbangan  endemik sebagai berikut :
(10) dengan :
, ,
,
,
,
,
, dan
,
dengan syarat :
.

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah :
1. Titik keseimbangan bebas penyakit yang diperoleh dari model SEIAR-SEI pada penyakit malaria  dengan  pengaruh  infeksi  asimtomatik,  super  infeksi  dan  siklus  hidup  nyamuk adalah :
( )   ( ) .
Titik keseimbangan endemik model SEIAR-SEI pada penyakit malaria dengan pengaruh infeksi asimtomatik, super infeksi dan siklus hidup nyamuk adalah :
(4.39)
dengan
,
,
,
, , , , dan . Dengan syarat
, dan
2. Faktor  infeksi  asimtomatik  pada  populasi  manusia )  memiliki  pengaruh  terhadap perubahan nilai . Jika nilai yang diberikan semakin besar maka nilai juga semakin besar.    Faktor  superinfeksi  tidak  berpengaruh  pada  besaran
karena  parameter
superinfeksi tidak  terdapat  dalam .  Sedangkan  faktor  pengobatan yang  diberikan kepada  individu  dengan  infeksi  simtomatik  sehingga  dapat  berpindah  ke  kelas  infeksi asimtomatik  dan  individu  rentan,  menyebabkan  perubahan  terhadap  nilai .  Semakin besar  nilai yang diberikan maka nilai semakin kecil.

## Daftar Pustaka
[1].  Cai Liming dkk,, 2017. Optimal Control of a Malaria Model with Asymptomatic Class and Superinfection, doi /   10.1016/j.mbs.2017.03.00.
[2].  Diekmann  O.  dkk.  1990.  On  the  Definition  and  the  Computation  of  the  Basic Reproduction  Rasio in  Models  for  Infectious  Disease.  J.  Math.  Biol.  Vol  28:  365- 382.
[3].  Lindblade  K.A.  dkk,,  2013.    The  silent  threat:  asymptomatic  parasitemia  and  malaria transmission,  Expert Rev. Anti. Infect. Ther., 11(6), , p.623-639.
[4].  Kemenkes R.I., 2016. Eliminasi Malaria Indonesia, www.malaria.id , diakses tanggal 3 Mei  2018.
[5]. Traore Bakary,  2017. A Mathematical Model of Malaria Transmission with Structured Vektor Pupolation and Seasonality, DOI/10.1155/2017/6754097.