## Operator Linear-2 Terbatas pada Ruang Bernorma-2 Non-Archimedean
Burhanudin Arif Nurnugroho 1 , Supama 2 , A. Zulijanto 2
1 Program Studi Pendididkan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Ahmad Dahlan, Yogyakarta, Indonesia.
2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengatahuan Alam, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta, Indonesia.
Korespondensi; Burhanudin Arif Nurnugroho, Email: burhanudin@pmat.uad.ac.id

## Abstrak
Di dalam paper ini dikonstruksikan operator linear-2 terbatas dari 𝑿 𝟐 ke 𝒀 , dengan 𝑿 ruang bernorma-2 non-Archimedean dan 𝒀 ruang bernorma non-Archimedean. Di dalam paper ini ditunjukan bahwa himpunan semua operator linear-2 terbatas dari 𝑿 𝟐 ke 𝒀 , ditulis 𝑩(𝑿 𝟐 , 𝒀) merupakan ruang bernorma non-Archimedean. Selanjutnya, ditunjukan bahwa 𝑩(𝑿 𝟐 , 𝒀) , apabila 𝒀 ruang Banach non-Archimedean.
Kata Kunci norma; ruang operator; terbatas; linear-2; bernorma-2 non-Archimedean

## Abstract
In this paper we construct  bounded 2-linear operators from 𝑿 𝟐 to Y, where X is non-Archimedean 2-normed spaces and 𝒀 is a non-Archimedean-normed space. We prove that the set of all bounded 2-linear operators from 𝑿 𝟐 to 𝒀 , denoted  by 𝑩(𝑿 𝟐 , 𝒀) is  a  non-Archimedean  normed  spaces.  Furthermore,  we  show  that 𝑩(𝑿 𝟐 , 𝒀) ,  is  a  non- Archimedean Banach normed space, whenever Y is a non-Archimedean Banach space.
Keywords Norm; operator spaces; bounded;  2-linear; non-Archimedean 2-normed

## Pendahuluan
Konsep norma dan operator linear memiliki peranan penting dalam analisis fungsional. Mencari konsep yang merupakan pengembangan dari konsep norma, kemudian meneliti konsep operator linear yang berkaitan  merupakan  salah  satu  topik  penelitian  dalam  analisis  fungsional.  Beberapa  penelitian mengenai pengembangan konsep norma salah satunya adalah konsep norma non-Archimedean [7,8,9]. Lebih lanjut mengikuti konsep norma-2, yang diperkenalkan oleh Gahler [1,2], konsep norma non- Archimedean dikembangkan menjadi konsep norma-2 non-Archimedean [5,10,11,12].
Di  dalam  [9],  telah  dijelaskan  mengenai  konsep  operator  linear  pada  ruang  bernorma  non- Archimedean. Selanjutnya, pada [3,4,6] telah dibahas mengenai operator linear-2 (operator linear-n) pada ruang bernorma-2 (bernorma-n).
Di dalam paper ini akan dibahas mengenai konstruksi ruang operator linear-2 terbatas pada ruang bernorma-2  non-Archimedean.  Selanjutnya,  akan  dibuktikan  bahwa 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) ,  yaitu  koleksi  semua operator  linear-2  terbatas  dari 𝑋 2 ke 𝑌 ,  merupakan  ruang  bernorma-2  non-Archimdean.  Apabila 𝑌 ruang Banach non-Archimedean maka 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) juga merupakan ruang Banach non-Archimedean.

## Landasan Teori
Penelitian dilakukan dengan terlebih dahulu mengkonstruksikan ruang operator linear-2 terbatas pada ruang bernorma-2 non-Archimedean. Selanjutnya, akan dicari suatu fungsi yang merupakan norma dari ruang tersebut.
Berikut  diberikan  beberapa  konsep  yang  mendasari  penelitian  ini.  Konsep  nilai  mutlak  pada ℝ , diperumum pada sebarang lapangan 𝕂. Berikut diberikan beberapa konsep tentang konsep nilai mutlak pada sebarang lapangan 𝕂 [13].
Definisi 1 . Diberikan sebarang lapangan 𝕂. Nilai mutlak pada 𝕂 didefinisikan sebagai fungsi | . |: 𝕂 → ℝ, yang memenuhi kondisi-kondisi berikut:
i. |𝑥| ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝕂,
ii. |𝑥| = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0 𝕂 , iii. |𝑥𝑦| = |𝑥||𝑦|, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝕂, iv. |𝑥 + 𝑦| ≤ |𝑥| + |𝑦|, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝕂.
Pasangan (𝕂, | . |) disebut lapangan bernilai.
Nilai mutlak | . | pada 𝕂 dikatakan non-Archimedean jika himpunan {𝑛. 1 𝕂 : 𝑛 ∈ ℕ} terbatas, dalam kasus  lain  disebut  Archimedean.  Beberpa  karakteristik  dari  nilai  mutlak  non-Archimedean  diberikan pada teorema-teorema berikut:
Teorema 1 .  Diketahui lapangan bernilai (𝕂, | . |). Pernyataan –pernyataan
i. Nilai mutlak | . | non-Archimedean. ii. | 𝑛. 1 𝕂 | ≤ 1, ∀𝑛 ∈ ℕ. iii. |𝑥 + 𝑦| ≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{|𝑥|, |𝑦|}, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝕂.
iv. Jika 𝑥, 𝑦 ∈ 𝕂 dan |𝑥| ≤ |𝑦| , maka |𝑦 − 𝑥| = |𝑦|.
Berikut diberikan contoh lapangan bernilai non-Archimedean. Diambil sebarang bilangan prima 𝑝. Nilai mutlak pada ℚ , didefinisikan dengan, |0 𝑝 | = 0, untuk 𝑥 ∈ ℤ ,
|𝑥| 𝑝 = 𝑝 −𝑟(𝑥) ,
dengan 𝑟(𝑥) adalah bilangan positif terbesar sedemikian sehingga 𝑝 𝑟(𝑥) membagi habis 𝑥 (𝑝 𝑟(𝑥) | 𝑥) dan untuk setiap 𝑥 = 𝑛 𝑚 , 𝑛, 𝑚 ∈ ℤ, 𝑚 ≠ 0,
| 𝑛 𝑚 | 𝑝 = |𝑛| 𝑝 |𝑚| 𝑝 .
Nilai mutlak | . | 𝑝 pada ℚ tersebut selanjutnya disebut nilai mutlak p-adic. Untuk selanjutnya, jika tidak disebutkan secara khusus, maka nilai mutlak pada ℚ adalah nilai mutlak p-adic.
Dapat dimengerti bahwa untuk setiap lapangan bernilai (𝕂, |. | ) , maka fungsional 𝑑: 𝕂 × 𝕂 → ℝ , dengan
𝑑(𝑥, 𝑦) = |𝑥 − 𝑦|,
Merupakan metrik pada 𝕂. Dengan demikian (𝕂, 𝑑) merupakan ruang metrik. Lapangan bernilai (ℚ, | . | ) baibukan  merupangan  tidak  lengkap  terhadap  metrik 𝑑. Selanjutnya,  pelengkap  dari ℚ terhadap nilai mutlak o-adic disebut himpunan bilangan p-adic dan dinyatakan dengan ℚ 𝑝 [9].
Definisi 2. Diberikan 𝑋 ruang linear atas lapangan bernilai non-Archimedean (𝕂, |. | ). Fungsi ‖ . ‖: 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞) dikatakan norma non-Archimedean jika i. ‖𝑥‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥 = 0,
ii. ‖𝛼𝑥‖ = |𝛼|‖𝑥‖, ∀𝛼 ∈ 𝕂, 𝑥 ∈  𝑋,
iii. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥‖, , ‖𝑦‖}, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋.
Pasangan (𝑋, ‖ . ‖) disebut ruang bernorma non-Archimedean.
Mengikuti konsep ruang bernorma, berikut diberikan definisi ruang bernorma-2 non-Archimedean [10].
Definisi 3. Diberikan 𝑋 ruang linear atas lapangan bernilai non-Archimedean (𝕂, |. | ), dengan dimensi (𝑋) ≥ 2 . Fungsi ‖. , . ‖: 𝑋 × 𝑋 → [0, ∞) dikatakan norma non-Archimedean jika i. ‖𝑥, 𝑦‖ = 0 jika dan hanya jika 𝑥, , 𝑦 saling tak bebas linear,
ii. ‖𝑥, 𝑦‖ = ‖𝑦, 𝑥‖, 𝑥, 𝑦 ∈  𝑋,
iii. ‖𝛼𝑥, 𝑦‖ = |𝛼|‖𝑥, 𝑦‖, ∀𝛼 ∈ 𝕂, 𝑥, 𝑦 ∈  𝑋,
iv. ‖𝑥 + 𝑦, 𝑧‖ ≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥, 𝑧‖ , ‖𝑦, 𝑧‖}, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋. Pasangan (𝑋, ‖. , . ‖) disebut ruang bernorma-2 non-Archimedean.

## Hasil dan Pembahasan
Mengikuti konsep operator linear-2 (linear-n) terbatas [3,4,6], berikut didefinisikan operator linear -2 terbatas  pada  ruang  bernorma-2  non-Archimedean.  Untuk  selanjutnya X ruang  bernorma-2  non- Archimedean  dan Y ruang  bernorma  non-Archimedean  atas  lapangan  bernilai  non-Archimedean (𝕂, |. | ).
Definisi  4. Operator 𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 dikatakan  linear-2  jika  untuk  setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑋 dan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 belaku
i. 𝑇(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) = 𝑇(𝑎, 𝑏) + 𝑇(𝑎, 𝑑) + 𝑇(𝑐, 𝑏) + 𝑇(𝑐, 𝑑),
ii. 𝑇(𝛼𝑎, 𝛽𝑏) = 𝛼𝛽𝑇(𝑎, 𝑏).
Definisi  5. Operator  linear-2 𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 dikatakan  terbatas,  jika  terdapat 𝐿 > 0, sehingga  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋 berlaku
‖𝑇(𝑎, 𝑏)‖ ≤ 𝐿‖𝑎, 𝑏‖.
Contoh  1. Diberikan  sebarang  lapangan  bernilai  non-Archimedean (𝕂, |. | ) ,  dan (𝕂 2 , ‖ . ‖) ruang bernorma non-Archimedean, maka 𝕂 2 merupakan ruang bernorma-2 non-Archimedean dengan
‖𝑥, 𝑦‖ = { ‖𝑥‖‖𝑦‖; 𝑥, 𝑦 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟,
0; 𝑥, 𝑦 𝑡𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑏𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟.
Akibatnya, operator 𝑇: 𝕂 2 × 𝕂 2 → 𝕂 2 , dengan 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑇((𝑥 1 , 𝑥 2 ), (𝑦 1 , 𝑦 2 )) = (𝑥 1 𝑦 1 , 𝑥 2 𝑦 2 ) = 𝑥𝑦.
Diperhatikan bahwa,
𝐹(𝑥 + 𝑢, 𝑦 + 𝑣) = (𝑥 + 𝑢)(𝑦 + 𝑣) = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑣 + 𝑢𝑦 + 𝑢𝑣, 𝐹(𝛼𝑥, 𝛽𝑦) = 𝛼𝛽𝑥𝑦,
dan
‖𝑇(𝑥, 𝑦)‖ = ‖𝑥𝑦‖
Dengan demikian terbukti bahwa 𝑇 operator linear-2.
Contoh 2. Operator 𝑇 ℚ = ℚ 2 × ℚ 2 → ℚ dengan 𝑇 ℚ (𝑥, 𝑦) = det ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 ) .
Dengan norma non-Archimedean pada ℚ didefinisikan sebagai nilai mutlak p-adic dan  norma-2 non- Archimedean pada ℚ didefinisikan dengan
‖𝑥, 𝑦‖ = |det ( 𝑥 1 𝑦 1 𝑥 2 𝑦 2 )| 𝑝 ,
maka 𝑇 ℚ merupakan operator linear-2 terbatas.
Selanjutnya, jika 𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 merupakan operator linear-2 terbatas dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 saling tak bebas linear maka dapat dimengerti bahwa 𝑇(𝑥, 𝑦) = 0. Dibentuk
𝐵(𝑋 2 , 𝑌) = {𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 ∶  𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 − 2 𝑡𝑒𝑟𝑏𝑎𝑡𝑎𝑠}.
Akan  ditunjukan  bahwa 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan  ruang  bernorma  non-Archimedean.  Namun sebelumnya, ditunjukan bahwa 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan ruang linear.
Lemma 1. 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan ruang linear.
Bukti: Diambil sebarang 𝐹, 𝐺 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) dan 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ 𝕂. Diperhatikan bahwa, untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑋 , berlaku
(𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) = 𝛼𝐹(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) + 𝐺(𝑎 + 𝑐, 𝑏 + 𝑑) = 𝛼𝐹(𝑎, 𝑏) + 𝐺(𝑎, 𝑏) + 𝛼𝐹(𝑎, 𝑑) + 𝐺(𝑎, 𝑑)
+𝛼𝐹(𝑐, 𝑏) + 𝐺(𝑐, 𝑏) + 𝛼𝐹(𝑐, 𝑑) + 𝐺(𝑐, 𝑑) = (𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑎, 𝑏) + (𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑎, 𝑑)
+(𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑐, 𝑏) + (𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑐, 𝑑), (𝛼𝐹 + 𝐺)(𝛽𝑎, 𝛾𝑏) = 𝛼𝐹(𝛽𝑎, 𝛾𝑏) + 𝐺(𝛽𝑎, 𝛾𝑏) = 𝛼𝛽𝛾𝐹(𝑎, 𝑏) + 𝛽𝛾𝐺(𝑎, 𝑏) = 𝛽𝛾(𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑎, 𝑏),
dan terdapat 𝐿 1 , 𝐿 2 > 0 , sehingga untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑋, berlaku
‖(𝛼𝐹 + 𝐺)(𝑥, 𝑦)‖ = ‖𝛼𝐹(𝑥, 𝑦) + 𝐺(𝑥, 𝑦)‖
≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{ ‖𝛼𝐹(𝑥, 𝑦)‖, ‖𝐺(𝑥, 𝑦)‖} ≤   ‖𝛼𝐹(𝑥, 𝑦)‖ + ‖𝐺(𝑥, 𝑦)‖
≤ |𝛼|‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ + ‖𝐺(𝑥, 𝑦)‖ ≤ |𝛼|𝐿 1 ‖𝑥, 𝑦‖ + 𝐿 2 ‖𝑥, 𝑦‖ = (|𝛼|𝐿 1 + 𝐿 2 )‖𝑥, 𝑦‖.
Dengan demikian terbukti bahwa 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) ruang linear. ∎
Berikut  di  konstruksikan  suatu  fungsi  yang  merupakan  norma  non-Archimedean  pada 𝐵(𝑋 2 , 𝑌). Namun sebelumnya, diperhatikan bahwa, jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang saling bebas linear maka ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 . Akibatnya jika 𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 merupakan operator linear-2 terbatas, maka terdapat 𝐿 > 0 , sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang saling bebas linear, maka ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 𝐿‖𝑥, 𝑦‖ ‖𝑥, 𝑦‖ = 𝐿.
Dengan demikian, himpunan
𝐻 = { ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0} ⊂ ℝ
terbatas. Akibatnya bedasarkan sifat kelengkapan pada ℝ , maka 𝐻 memiliki supremum dan infimum.
Teorema  1. Ruang 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan  ruang  bernorma  non-Archimedean  dengan  norma  non- Archimedean didefinisikan dengan,
‖𝐹‖ = 𝑠𝑢𝑝{ ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}.
Bukti: Diperhatikan bahwa jika ‖𝐹‖ = 0, maka ‖𝐹(𝑥,𝑦)‖ ‖𝑥,𝑦‖ = 0, untuk setiap ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0. Dengan demikian diperoleh ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ = 0 , untuk setiap ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 . Akibatnya 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , yang tak bebas linear. Karena 𝐹 linear-2 dan terbatas, maka diperoleh 𝐹 = 0. Sebaliknya, jika diketahui 𝐹 = 0 , maka ‖𝐹(𝑥,𝑦)‖ ‖𝑥,𝑦‖ = 0, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 , akibatnya
‖𝐹‖ = 𝑠𝑢𝑝{ ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0} = 0.
Untuk  sebarang 𝐹 ∈  𝐵(𝑋 2 , 𝑌) ,  dapat  dimengerti  bahwa ‖𝐹‖ = ‖−𝐹‖ .  Selanjutnya,    untuk  setiap 𝐹, 𝐺 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 diperoleh
‖𝐹 + 𝐺‖ = 𝑠𝑢𝑝{ ‖(𝐹 + 𝐺)(𝑥, 𝑦)‖ ‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0} ≤ sup{ ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}
+ sup{ ‖𝐺(𝑥, 𝑦)‖ ‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}
= ‖𝐹‖ + ‖𝐺‖.
Dengan demikian terbukti 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) ruang bernorma non-Archimedean. ∎
Selanjutnya,  berikut  akan  diberikan  beberapa  ekuivalensi  dari  norma  non-Archimedean  pada 𝐵(𝑋 2 , 𝑌). Namun sebelumnya, diberikan lemma berikut:
Lemma 2. Operator linear-2 𝑇: 𝑋 2 → 𝑌 terbatas jika dan hanya jika terdapat 𝐿 > 0 sehingga, ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ ≤ 𝐿 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑦‖, ‖𝑢, 𝑦 − 𝑣‖} atau
‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ ≤ 𝐿 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑣‖, ‖𝑥, 𝑦 − 𝑣‖} , untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋.
Bukti:  Diperhatikan  bahwa  jika 𝑇 operator  linear-2  terbatas  maka  terdapat 𝐿 > 0 ,  sehingga  untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 , berlaku
‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ = ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑦) + 𝑇(𝑢, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖
= ‖𝑇(𝑥, 𝑦) + 𝑇(−𝑢, 𝑦) + 𝑇(𝑢, 𝑦) + 𝑇(𝑢, −𝑣)‖
≤ ‖𝑇(𝑥 − 𝑢, 𝑦) + 𝑇(𝑢, 𝑦 − 𝑣)‖
≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑇(𝑥 − 𝑢, 𝑦)‖, ‖𝑇(𝑢, 𝑦 − 𝑣)‖}
≤ 𝐿 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑦‖, ‖𝑢, 𝑦 − 𝑣‖},
atau
‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ = ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑥, 𝑣) + 𝑇(𝑥, 𝑣) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖
≤ ‖𝑇(𝑥, 𝑦) + 𝑇(𝑥, −𝑣) + 𝑇(𝑥, 𝑣) + 𝑇(−𝑢, 𝑣)‖
≤ ‖𝑇(𝑥, 𝑦 − 𝑣) + 𝑇(𝑥 − 𝑢, 𝑣)‖
≤ 𝐿 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑣‖, ‖𝑥, 𝑦 − 𝑣‖}.
Sebaliknya, cukup diambil 𝑢 = 𝑣 = 0. ∎
Teorema 2. Untuk setiap 𝐹 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) berlaku
‖𝐹‖ = sup{‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ = 1} = inf{𝑘: ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ≤ 𝑘‖𝑥, 𝑦‖, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋}
= sup{‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 1}
= inf{𝑘: ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ ≤ 𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑦‖, ‖𝑢, 𝑦 − 𝑣‖}, ∀𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋} = inf{𝑘: ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ ≤ 𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑣‖, ‖𝑥, 𝑦 − 𝑣‖}, ∀𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋}.
Bukti: Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , dengan ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 , dimisalkan 𝛼 = √‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0, dan 𝑢 = 𝑥 𝛼 dan 𝑣 = 𝑦 𝛼 , akibatnya,
‖𝑢, 𝑣‖ = ‖ 𝑥 𝛼 , 𝑦 𝛼 ‖ = 1 𝛼 2 ‖𝑥, 𝑦‖ = 1.
Karena 𝐹 linear-2, maka
‖𝐹‖ = sup { ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}
= sup { ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ √‖𝑥, 𝑦‖√‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}
= sup {‖𝐹 ( 𝑥 √‖𝑥, 𝑦‖ , 𝑦 √‖𝑥, 𝑦‖ )‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0}
= sup{‖𝐹(𝑢, 𝑣)‖ : 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋, ‖𝑢, 𝑣‖ = 1}.
Selanjutnya, dibentuk
𝐾 = {𝑘: ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ≤ 𝑘‖𝑥, 𝑦‖, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋}.
Dapat dimengerti bahwa ‖𝐹‖ ∈ 𝐾 , akibatnya inf 𝐾 ≤   ‖𝐹‖ . Di sisi lain untuk setiap 𝑘 ∈ 𝐾 , dengan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 yang saling tak bebas linear maka ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 𝑘.
Akibatnya,
sup { ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ‖𝑥, 𝑦‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0} ≤ 𝑘.
Dengan demikian ‖𝐹‖ = inf 𝐾.
Diperhatikan bahwa, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 dengan ‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 1 , diperoleh ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ≤ ‖𝐹‖‖𝑥, 𝑦‖ ≤ ‖𝐹‖.
Akibatnya,
sup{‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 1} ≤ ‖𝐹‖.
Sebaliknya, karena ‖𝐹‖ = sup{‖𝐹(𝑢, 𝑣)‖ : 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋, ‖𝑢, 𝑣‖ = 1}, akibatnya ‖𝐹‖ ≤ sup{‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 1}.
Dengan demikian ‖𝐹‖ = sup{‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ : 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, ‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 1 . Lebih lanjut, dibentuk
𝐻 = {𝑘: ‖𝑇(𝑥, 𝑦) − 𝑇(𝑢, 𝑣)‖ ≤ 𝑘 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝑥 − 𝑢, 𝑦‖, ‖𝑢, 𝑦 − 𝑣‖}, ∀𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋} . Dapat dimengerti bahwa 𝐾 merupakan himpunan bagian dari 𝐻 . Akibatnya , inf 𝐻 ≤ inf 𝐾 = ‖𝐹‖. Di sisi lain, untuk setiap 𝑘 ∈ 𝐻 , diperoleh ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖
‖𝑥, 𝑦‖ ≤ 𝑘,
untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 dengan ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 , 𝑢 = 𝑣 = 0. Akibatnya ‖𝐹‖ ≤ 𝑘 , sehingga ‖𝐹‖ ≤ inf 𝐻 . Dengan demikian ‖𝐹‖ = inf 𝐻 . Pada persamaan yag terakhir dapat dibuktikan dengan cara sejalan. ∎
Selanjutnya akan diberikan kondisi agar 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan ruang Banach non-Archimedean.
Lemma 3. Diberikan barisan (𝐹 𝑛 ) di dalam 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) . Jika untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , barisan (𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)) di dalam 𝑌 , dan konvergen ke 𝐹(𝑥, 𝑦) maka barisan (‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)‖) konvergen ke (‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖) .
Bukti. Karena barisan (𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)) konvergen ke 𝐹(𝑥, 𝑦), akibatnya untuk setiap 𝜖 > 0, terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ , sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ , dengan 𝑛 ≥ 𝑛 0 berlaku ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖ < 𝜖.
Karena
|‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)‖ − ‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖| ≤ ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖.
Terbukti barisan (‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)‖) konvergen ke (‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖) . ∎
Lemma 4. Jika (𝐹 𝑛 ) barisan Cauchy di dalam 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) , maka (‖𝐹 𝑛 ‖) merupakan  barisan Cauchy di dalam ℝ .
Bukti. Karena (𝐹 𝑛 ) barisan Cauchy di dalam 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) , maka untuk setiap 𝜖 > 0 , terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ , sehingga setiap 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ , dengan 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛 0 berlaku |‖𝐹 𝑛 ‖ − ‖𝐹‖| ≤ ‖𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑚 ‖ < 𝜖.
Dengan demikian terbukti bahwa (‖𝐹 𝑛 ‖) merupakan  barisan Cauchy di dalam ℝ . ∎
Teorema  3. Jika 𝑌 ruang  Banach  non-Archimedean,  maka 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan  ruang  Baach  non- Archimedean.
Bukti.  Diambil  sebarang  barisan  Cauchy (𝐹 𝑛 ) didalam 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) .  Akibatnya,  untuk  setiap 𝜖 > 0 , terdapat 𝑛 0 ∈ ℕ , sehingga untuk setiap 𝑛, 𝑚 ∈ ℕ dengan 𝑛, 𝑚 ≥ 𝑛 0 berlaku
‖𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑚 ‖ < 𝜖 2 .
Dengan demikian, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , diperoleh ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹 𝑚 (𝑥, 𝑦)‖ = ‖(𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑚 ) (𝑥, 𝑦) ‖ ≤ ‖𝐹 𝑛 − 𝐹 𝑚 ‖‖𝑥, 𝑦‖ < ‖𝑥, 𝑦‖𝜖 2 .
Akibatnya,  untuk  setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, barisan (𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)) merupakan  barisan  Cauchy  di  dalam 𝑌. Selanjutnya,  karena 𝑌 merupakan  ruang  Banach  non-Archimedean,  maka  terdapat 𝐹(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑌 , sehingga
𝐹(𝑥, 𝑦) = lim
𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦).
Oleh karenanya, untuk setiap 𝜖 > 0 , terdapat 𝑁 ∈ ℕ , sehingga untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ , dengan 𝑛 ≥ 𝑁 berlaku
‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖ < ‖𝑥, 𝑦‖𝜖 2 .
Selanjutnya, diperhatikan bahwa untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑋 dan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝕂 , berlaku 𝐹(𝑥 + 𝑢, 𝑦 + 𝑣)   = lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥 + 𝑢, 𝑦 + 𝑣)
= lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) + lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑣) + lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑢, 𝑦) + lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑢, 𝑣) = 𝐹(𝑥, 𝑦) + 𝐹(𝑥, 𝑣) + 𝐹(𝑢, 𝑦) + 𝐹(𝑢, 𝑣), dan
𝐹(𝛼𝑥, 𝛽𝑦) = lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝛼𝑥, 𝛽𝑦) = 𝛼𝛽 lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)
= 𝛼𝛽𝐹(𝑥, 𝑦).
Dengan demikian 𝐹 merupakan operator linear-2. Berdasarkan Lemma 4, karena (‖𝐹 𝑛 ‖) merupakan barisan  Cauchy  di  dalam ℝ ,  maka (‖𝐹 𝑛 ‖) terbatas.  Artinya,  terdapat 𝐿 > 0 ,  sedemikian  sehingga untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 berlaku
‖𝐹(𝑥, 𝑦)‖ = ‖ lim 𝑛→∞ 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)‖ = lim 𝑛→∞ ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦)‖
≤ lim 𝑛→∞ ‖𝐹 𝑛 ‖‖𝑥, 𝑦‖
≤ lim 𝑛→∞ 𝐿‖𝑥, 𝑦‖
≤ 𝐿‖𝑥, 𝑦‖.
Akibatnya, diperoleh bahwa 𝐹 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌). Selanjutnya, diperhatikan saat ‖𝑥, 𝑦‖ ≠ 0 , diperoleh ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖ = ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹 𝑚 (𝑥, 𝑦) + 𝐹 𝑚 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖
≤ 𝑚𝑎𝑘𝑠{‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹 𝑚 (𝑥, 𝑦)‖, ‖𝐹 𝑚 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖}
< ‖𝑥, 𝑦‖𝜖
2 < ‖𝑥, 𝑦‖𝜖 .
Disisi  lain  saat ‖𝑥, 𝑦‖ = 0 ,  maka 𝑥, 𝑦 saling  tak  bebas  linear.  Karena 𝐹 𝑛 , 𝐹 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) maka 𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) = 0 = 𝐹(𝑥, 𝑦). Dengan demikian, untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋 , berlaku ‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ≤ ‖𝑥, 𝑦‖𝜖.
Dengan demikian, karena
‖𝐹 𝑛 (𝑥, 𝑦) − 𝐹(𝑥, 𝑦)‖ ≤   ‖𝐹 𝑛 − 𝐹‖‖𝑥, 𝑦‖, diperoleh
‖𝐹 𝑛 − 𝐹‖ < 𝜖, ∀𝑛 ≥ 𝑁.
Akibatnya, terbukti bahwa setiap barisan Cauchy (𝐹 𝑛 ) ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) konvergen ke 𝐹 ∈ 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) . Dengan kata lain terbukti 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) lengkap, atau 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan ruang Banach non-Archimedean. ∎

## Kesimpulan
Dapat dibentuk suatu norma non-Archimedean pad 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) sedemikian sehingga 𝐵(𝑋 2 , 𝑌) merupakan ruang Banach non-Archimedean, dengan syarat 𝑌 merupakan ruang Banach non-Archimedean.

## Ucapan Terimakasih
Ucapan  terimakasih  penulis  haturkan  kepada  Prodi  Pendidikan  Matematika  UAD  yang  telah memberikan dukungan untuk melakukan penelitian ini.

## Referensi
[1] S. Gahler. 1964. Lineare 2-normierte raume. Math. Nachr, 28: 1-43.
[2] H. Gunawan and Mashadi. 2001. On n-Normed Spaces. Int. J. Math. Sci., 27: 631-639.
[3] S.M.  Gozali,  H.  Gunawan,  and  O.  Neswan.  2010.  On  n-Norms  and  Bounded  n-Linear  Functionals  in  a  Hilbert Spaces. Ann. Funct. Anali. 1: 72-79.
[4] Agus L. Soenjaya. 2012. On n-Bounded and n-Continuous Operator in n-Normed Spaces. J. Indones. Math. Soc. Vol. 18, No. 1: 45-56.
[5] Hahng-Yun Chu, Se-Hyun Ku, and Dong Seung Kang. 2008. Characterizations on 2-Isometries. Journal math. Anal. Appl. 340:641-628.
[6] R. W. Freese, Y. J. Cho. 2001. Geometry of Linear 2-Normed Spaces. Hauppauge, New-York, Nova Science Publisher Inc.
[7] A.  F.  Monna.  1943.  Linear  Functional  Equations  in  Non-Archimedean  Banach  Spaces.  Nederl.  Akad.  Wetensch. Verslagen. Afd. Natuurkunde, 52: 654-661.
[8] C. Perez-Garcia and W. H. Schikhof. 2010. Locally Convex Spaces Over Non-Archimedean Valued Fields. Cambridge, Cambridge University Press.
[9] Toka Diagana. 2009. Non-Archimedean Linear Operators and Applications. New York, Nova Science Publisher Inc.
[10] M. Amyari and Gh. Sadeghi. 2009. Mapping on Non-Archimedean Strictly 2-Convex 2-Normed Spaces. The 18 𝑡ℎ Seminar on Mathematical Analysis and its Applications, Tarbiat Moallem University: 57-60.
[11] Jaeyoo Choy and Se-Hyun Ku. 2009. Characterization on 2-isometries in Non-Archimedean 2-Normed Spaces. Journal of The Chungcheong Mathematical Society, Vol 22, No. 1: 65-71.
[12] Hahng-Yun Chu and Se-Hyun Ku. 2013. A Mazur-Ulam Theorem problem in non-Archimedean n-Normed Spaces. Jounal of Inequalities and Applications, 2013, 34: 1-10.
[13] A.C.M. Rooij. 1978. Non-Archimedean Functional Analysus. New York and Besel, Marcel Dekker Inc.