J. Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 3, No. 1, May 2006, 27–40

## Keterbatasan Operator Riesz di Ruang Morrey
Gani Gunawan ∗ , Hendra Gunawan
Departemen Matematika FMIPA ITB

## Abstrak
Dengan menggunakan transformasi Fourier, didefinisikan operator ( − ∆) − α 2 , 0 < α < n , yang dikenal sebagai operator Riesz atau operator integral fraksional I α , yaitu I α := ( − ∆) − α 2 , 0 < α < n . Dalam makalah ini akan diperlihatkan bahwa aksi dari operator tersebut bersifat terbatas dari ruang L p ( R n ) ke ruang L q ( R n ) jika dan hanya jika dengan 1 p − 1 q = α n dengan 1 < p < q < ∞ . Selanjutnya diperlihatkan juga bahwa operator tersebut terbatas di ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey.
Kata Kunci: Operator Riesz, ruang Lebesgue, ruang Morrey

## 1. Pendahuluan
Diasumsikan f ∈ S , dengan S adalah himpunan fungsi yang terdiferensialkan tak hingga kali di R n . Transformasi Fourier dari fungsi f dinotasikan dengan f ∧ , dan didefinisikan oleh
f ∧ ( ξ ) := Z R n f ( x ) e − 2 πiξx dx, ∀ ξ ∈ R n
∗ Jur. Mat. UNISBA, Mhs S2 Jur. Mat. ITB
Jika ∆ f menotasikan Laplacian dari f yang didefinisikan oleh ∆ f := n X
j =1 ∂ 2 f ∂x 2 , maka untuk suatu ξ ∈ R n , berlaku ( − ∆ f ) ∧ ( ξ ) = 4 π 2 | ξ | 2 f ∧ ( ξ ), lihat ([5], halaman 308). Oleh karena itu melalui persamaan ini didefinisikan untuk 0 < α < n , (( − ∆) − α 2 f ) ∧ ( ξ ) = (2 π | ξ | ) − α f ∧ ( ξ ), untuk setiap ξ ∈ R n .
Karena ( − ∆) − α 2 f = (( − ∆) − α 2 f ) ∧∨ = ((2 π | ξ | ) − α f ∧ ) ∨ dimana ( − ∆) − α 2 f ) ∧∨ adalah invers transformasi Fourier dari (( − ∆) − α 2 f ) ∧ , maka untuk suatu x ∈ R n ,
¡ (2 π | ξ | ) − α f ∧ ¢ ∨ ( x ) = Γ( n − α 2 ) 2 α π n 2 Γ( α 2 ) Z R n f ( y ) | x − y | n − α dy
Uraian dari invers transformasi tersebut dapat dilihat pada ([5], halaman 367) atau ([7], halaman 123). Menurut Stein (lihat [2], halaman 117), dituliskan bahwa
I α f := ( − ∆) − α 2 f, 0 < α < n
Jadi
I α f ( x ) := 1 Γ( α ) Z R n f ( y ) | x − y | n − α dy (1)
dengan
Γ( α ) = π n 2 2 α Γ( α 2 ) Γ( ( n − α ) 2 )
I α pada Persamaan 1 selanjutnya dinamakan sebagai operator Riesz atau operator integral fraksional .
Dalam makalah ini akan dilihat bagaimana aksi dari operator tersebut jika dikenakan di ruang L p = L p ( R n ) dan ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey. Adapun notasi L p = L p ( R n ), 1 ≤ p < ∞ disebut juga ruang Lebesgue, yaitu himpunan kelas-kelas ekuivalen fungsi sedemikian sehingga k f k L p ( R n ) < ∞ , atau dapat ditulis L p ( R n ) := { f : k f k L p ( R n ) < ∞} dengan k f k L p ( R n ) = k f k p adalah norm dari f dan didefinisikan oleh k f k p := ( R R n | f ( x ) | p dx ) 1 /p , untuk setiap x ∈ R n . Sedangkan norm dari f untuk p = ∞ didefinisikan oleh k f k ∞ := ess sup {| f ( x ) | : x ∈ R n } dengan ess sup {| f ( x ) | : x ∈ R n } merupakan batas atas terkecil esensial dari | f | .
Diawali dari suatu proposisi mengenai operator I α di ruang L p ( R n ), dapat diperlihatkan bahwa melalui operator dilasi yang dikenakan pada opertor I α diper- oleh suatu syarat perlu dari keterbatasan operator I α di ruang L p ( R n ). Kemu- dian dengan menggunakan fakta keterbatasan fungsi maksimal atau ketaksamaan Hardy-Littlewood di ruang L p ( R n ) dapat ditunjukan juga bahwa operator I α meru- pakan operator yang terbatas dari L p ( R n ) ke L q ( R n ) asalkan 1 p − 1 q = α n dengan 1 < p < q < ∞ . Selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Fefferman-Stein ,
dapat ditunjukan bahwa operator maksimal juga terbatas di ruang perumuman- nya, khususnya di ruang Morrey. Berdasar pada fakta ini, akhirnya diperoleh hasil bahwa operator I α juga terbatas di ruang perumumannya, yakni terbatas di ruang Morrey.

## 2. Keterbatasan Operator I α di Ruang Lebesgue
Pertama-tama akan kita lihat aksi dari operator I α ini di ruang L p ( R n ) yang mempunyai sifat bahwa operator tersebut terbatas dari L p ( R n ) ke L q ( R n ) hanya jika 1 p − 1 q = α n . Untuk melihat sifat ini kita pandang suatu operator dilasi τ δ yang didefinisikan untuk δ > 0 oleh τ δ f ( x ) := f ( δx ). Maka dapat dinyatakan suatu lemma berikut,
Lemma 2.1
( a ) k τ δ f k p = δ − n/p k f k p ( b ) τ δ − 1 I α f = δ − α I α τ δ − 1 f
Bukti: (a).
k τ δ f k p = µZ < n ( τ δ f ( x )) p dx ¶ 1 /p = µZ < n ( f ( δx )) p dx ¶ 1 /p = µZ < n ( f ( x 0 )) p δ − n dx 0 ¶ 1 /p = δ − n/p µZ < n ( f ( x 0 ) p dx 0 ¶ 1 /p = δ − n/p k f k p
(b).
τ δ − 1 I α f ( x ) = τ δ − 1 · 1 Γ( α ) Z < n | x − y | − n + α f ( y ) dy ¸ = 1 Γ( α ) Z < n | x δ − y | − n + α f ( y ) dy = 1 Γ( α ) Z < n | x − δy | − n + α δ n − α f ( y ) dy = 1 Γ( α ) Z < n | x − y 0 | − n + α δ n δ − α f ( y 0 δ ) dy = δ − α 1 Γ( α ) Z < n | x − y 0 | − n + α f ( y 0 δ ) dy 0 = δ − α 1 Γ( α ) Z < n | x − y 0 | − n + α τ δ − 1 f ( y 0 ) dy 0 = δ − α I α τ δ − 1 f ( x ) ¥
Akibat dari Lemma 2.1 tersebut diperoleh syarat perlu keterbatasan fungsi mak- simal di ruang L p ( R n ) yang dinyatakan dalam proposisi berikut.
Proposisi 2.2 Jika ketaksamaan
k I α f k q ≤ A k f k p , 0 < α < n (2)
dipenuhi untuk setiap f dan untuk suatu konstanta A , maka 1 p − 1 q = α n .

## Bukti:
Akibat dari Lemma 2.1 bagian (a), dapat ditulis k τ δ − 1 I α f k q = δ n/q k I α f k q bahwa sehingga diperoleh
k I α f k q = δ − n q k τ δ − 1 I α f k q
Menurut Lemma 2.1 bagian (b), τ δ − 1 I α f ( x ) = δ − α I α τ δ − 1 f ( x ), maka diperoleh
k I α f k q = δ − n q k τ δ − 1 I α f k q = δ − n q k δ − α I α τ δ − 1 f k q = δ − n q − α k I α τ δ − 1 f k q
Karena Ketaksamaan 2 dipenuhi, maka diperoleh untuk suatu konstanta A (dalam hal ini A dapat diasumsikan sebagai konstanta terkecil yang memenuhi 2)
k I α f k q ≤ Aδ − n q − α k τ δ − 1 f k q (3)
Menurut Lemma 2.1 bagian (a), k τ δ − 1 f k q = δ n q k f k q . Jadi Ketaksamaan 3 dapat ditulis
k I α f k q ≤ Aδ − n p − n q − α k f k q (4)
Ini mungkin hanya jika n p − n q − α = 0.
Diamati lebih lanjut, syarat cukup untuk proposisi tersebut juga dapat dipenuhi. Namun untuk kasus p = 1, (maka q = n n − α ) dan q = 8, (maka p = n α ) gagal untuk dapat dipenuhi, lihat ([2], halaman 119). Oleh karena itu, setelah melalui pengamatan ini dapat diformulasikan teorema positifnya, yang disebut teo- rema Hardy-Littlewood-Sobolev . Persisnya kita mempunyai suatu teorema berikut.
Teorema 2.3 (Hardy-Littlewood-Sobolev) Jika 1 p = 1 q − α n dan 1 < p < q < ∞ dengan 0 < α < n , maka
k f ∗ | · | α − n k L q ( R n ) ≤ A p,q k f k L q ( R n )
Sebelum membuktikan Teorema 2.3 tersebut, pertama-tama perhatikan bebe- rapa definisi, sifat dan fakta yang ada sebagai konsep yang mendasarinya. Se- belumnya, didefinisikan fungsi maksimal Hardy-Littlewood ,
M f ( x ) := sup 0 <R< ∞ 1 µ ( B ( x, R )) Z B ( x,R ) | f ( y ) | dy, ∀ x ∈ R n
dengan f ∈ L 1 loc ( R n ), yaitu fungsi terintegralkan secara lokal di R n , dan µ ( B ( x, R )) adalah ukuran Lebesgue B ( x, R ) di R n . Dalam hal ini B ( R ) = B ( x, R ) adalah bola buka di R n yang berpusat di titik x ∈ R n dengan radius R > 0, yaitu B ( x, R ) := { y ∈ R n : | x − y | < R } , untuk setiap x ∈ R n dan R > 0. Selanjutnya teorema Hardy-Littlewood berikut, yang menyatakan bahwa operator maksimal M tersebut terbatas di ruang L p ( R n ), lihat [8].
Teorema 2.4 (Hardy-Littlewood) Jika 1 < p < ∞ dan f ∈ L p , maka M f ∈ L p dan k M f k p ≤ C p,n k f k p .
Definisi 2.5 Fungsi f di R n disebut fungsi radial jika nilai f ( x ) hanya bergantung pada | x | untuk x ∈ R n .
Lemma 2.6 Misalkan ψ fungsi non negatif di R n . Jika ψ fungsi radial yang turun, maka
sup {| f ∗ ψ t ( x ) | : t > 0 } ≤ M f ( x ) Z R n ψ dy
dengan M f merupakan fungsi maksimal dan ψ t = t − n ψ ( x t )
Bukti: Lihat ([3], halaman 57)
Lemma 2.7 Jika f fungsi radial, maka
Z
R n f ( x ) dx = ω n − 1 ∞ Z 0 f ( r ) r n − 1 dr, x ∈ R n
dengan ω n − 1 = 2 π n/ 2 Γ( n 2 )
Lihat ([5], halaman 407).
Lemma 2.8 Misalkan φ ( y ) = | y | − k χ B ( R ) ( y ) , y ∈ R n dan y 6 = 0 . Maka untuk setiap R > 0 dan 0 < k < n ,
(i). φ adalah fungsi turun secara radial
(ii). φ terintegralkan
Bukti:
(i). Ambil y 1 , y 2 dengan 0 < | y 1 | < | y 2 | ≤ R , maka | y 1 | − k > | y 2 | − k . Karena χ B ( R ) ( y ) = 1 untuk setiap y ∈ B ( R ), sehingga diperoleh χ B ( R ) ( y 1 ) = χ B ( R ) ( y 2 ) = 1. Jadi φ ( y 1 ) = | y 1 | − k χ B ( R ) ( y 1 ) ≥ | y 2 | − k χ B ( R ) ( y 2 ) = φ ( y 2 ). Ini berarti φ ( y ) adalah fungsi turun secara radial untuk setiap y ∈ R n . (ii).
Z R n φ ( y ) dy = Z R n | y | − k χ B ( R ) ( y ) dy = Z | y | <R | y | − k dy = Z θ ∈ S n − 1   R Z 0 | r | − k r n − 1 dr   dθ = Z θ ∈ S n − 1 µ 1 n − k | r | n − k ¶ r = R r =0 dθ = Z θ ∈ S n − 1 R n − k n − k dθ = R n − k n − k Z θ ∈ S n − 1 dθ = R n − k n − k ω n − 1 = R n − k n − k 2 π n/ 2 Γ( n 2 ) < ∞ ¥
Lemma 2.9 Misalkan ψ ( y ) = | y | − k χ C B ( R ) ( y ) dengan y ∈ R n , y 6 = 0 dan R > 0 . Jika 0 < k < n dan n − kp 0 < 0 , maka ψ ∈ L p 0
Bukti
Z < n | ψ ( y ) | p 0 dy = Z < n | | y | − k χ C B ( R ) ( y ) | p 0 dy = Z < n | y | − kp 0 χ C B ( R ) ( y ) dy = Z | y |≥< | y | − kp 0 dy = Z θ ∈ s n − 1 µZ ∞ < | r | − kp 0 r n − 1 dr ¶ dθ = Z θ ∈ s n − 1 µ 1 n − kp 0 r n − kp 0 ¶ r = ∞ r = < dθ, n − kp 0 < 0 = R n − kp 0 kp 0 − n Z θ ∈ s n − 1 dθ = R n − kp 0 kp 0 − n ω n − 1 = R n − kp 0 kp 0 − n 2 π n/ 2 Γ( n/ 2) < ∞
Jadi ψ ∈ L p 0 .
Selanjutnya kita lihat pembuktian Teorema 2.3 sebagai berikut, Untuk R > 0 dapat dituliskan bahwa
( f ∗ | · | α − n )( x ) = Z R n f ( x − y ) | y | α − n dy = Z | y | <R f ( x − y ) | y | α − n dy + Z | y |≥ R f ( x − y ) | y | α − n dy (5)
Perhatikan suku pertama Persamaan 5, dapat ditulis menjadi
Z | y | <R f ( x − y ) | y | α − n dy = ¡ f ∗ | · | α − n χ B ( R ) ( y ) ¢ ( x )
dengan
χ B ( R ) ( y ) =    1 , jika y ∈ B ( R ) 0 , jika y / ∈ B ( R )
Dan menurut Definisi 2.5, jika dimisalkan φ ( y ) = | y | α − n χ B ( R ) ( y ) maka φ meru- pakan fungsi radial. Berdasarkan Lemma 2.8 diperoleh bahwa φ adalah fungsi
turun yang terintegralkan. Akibatnya menurut Lemma 2.6, jika φ t = t − n φ ( x/t ), maka
| f ∗ φ ( x ) | = | f ∗ φ 1 ( x ) | ≤ sup {| f ∗ φ t ( x ) | : t > 0 } ≤ M f ( x ) Z R n φ ( y ) dy = C 1 R α M f ( x ) , ( φ terintegralkan ) (6)
untuk suatu bilangan real C 1 .
Suku kedua dari Persamaan 5 dapat dituliskan menjadi Z
| y |≥ R f ( x − y ) | y | α − n dy = ¡ f ∗ | · | α − n χ C B ( R ) ( y ) ¢ ( x ) = Z f ( x − y ) | y | α − n χ C B ( R ) ( y ) dy
dengan
χ C B ( R ) ( y ) =    1 , jika y ∈ C B ( R ) 0 , jika y / ∈ C B ( R )
Oleh karena itu dapat ditulis ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z | y |≥< f ( x − y ) | y | α − n dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ Z f ( x − y ) | y | α − n χ C B ( R ) ( y ) dy ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z | f ( x − y ) | y | α − n χ C B ( R ) ( y ) | dy
Misalkan u = − y , maka dapat ditulis Z f ( x − y ) | y | α − n χ C B ( R ) ( y ) dy = Z f ( u + x ) | u | α − n χ C B ( R ) ( u ) du.
Jadi menurut ketaksamaan Holder diperoleh ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Z | y |≥ R f ( x − y ) | y | α − n dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ Z ¯ ¯ f ( u + x ) | u | α − n χ C B ( R ) ( u ) ¯ ¯ du = k f + x | u | α − n χ C B ( R ) ( u ) k 1 ≤ k f + x k p k| u | α − n χ C B ( R ) ( u ) k p 0 = k f k p k| y | α − n χ C B ( R ) ( y ) k p 0 = k f k p k ψ k p 0 (7)
dengan ψ = | · | α − n χ C B ( R ) .
Perhatikan Lemma 2.9 jika k = n − α , maka
kp 0 − n = ( n q − n p + n ) p 0 − n = n µ p 0 q ¶ > 0 .
Akibatnya diperoleh n − kp 0 < 0. Sehingga menurut Lemma 2.9, dapat dikatakan bahwa ψ ∈ L p 0 . Oleh karenanya dapat dipandang untuk suatu bilangan real C 2
k ψ k p 0 = C 2 R − n/q (8)
Dengan demikian Ketaksamaan 7 menjadi
¯ ¯
¯ ¯ ¯ Z | y |≥ R f ( x − y ) | y | α − n dy ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ C 2 R − n/q k f k p (9)
untuk suatu bilangan real C 2 . Dari Persamaan 5, 6 dan 9 diperoleh
¯ ¯ ( f ∗ | · | α − n )( x ) ¯ ¯ ≤ C 1 R α M f ( x ) + C 2 k f k p R − n/q ≤ A [ R α M f ( x ) + k f k p R − n/q ] dimana A = max { C 1 , C 2 } .
Selanjutnya pilih R sehingga R α M f ( x ) = k f k p R − n/q atau R − n/p = M f ( x ) k f k p . Jadi jika dipilih R − n/p = M f ( x ) k f k p , maka
¯ ¯ ( f ∗ | · | α − n )( x ) ¯ ¯ ≤ A [ M f ( x )] p/q k f k 1 − p/q p
Sehingga diperoleh
k f ∗ | · k α − n k q = ( Z | ( f ∗ | · | α − n )( x ) | q dx ) 1 /q ≤ [ Z ( A [ M f ( x )] p/q k f k 1 − p/q p ) q dx ] 1 /q ≤ A k f k 1 − p/q p [ Z ( M f ( x )) p ] 1 /q ≤ A k f k 1 − p/q p k M f k p/q p ≤ A k f k 1 − p/q p k f k p/q p = C k f k p
untuk suatu konstanta C yang tergantung pada p, q .
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
k f ∗ | · k α − n k L q ( R n ) ≤ A p,q k f k L q ( R n )

## 3. Keterbatasan Operator I di Ruang Morrey
Ruang Morrey L p,λ ( R n ) pertama kali diperkenalkan oleh C.B. Morrey pada tahun 1938 dalam suatu jurnal matematika dengan judul on the solutions of quasi linear elliptic partial differential equations . Selanjutnya ruang Morrey banyak ditemukan
pada saat mempelajari perilaku operator Schrodinger dan teori potensial. Tujuan utama kita dalam pembahasan pada bagian ini, akan menunjukan bahwa operator I α juga terbatas di ruang Morrey L p,λ ( R n ) ke L q,λ ( R n ) asalkan 1 p − 1 q = α n − λ dan 0 ≤ λ < n − αp . Adapun ruang Morrey itu sendiri didefinisikan sebagai himpunan semua fungsi f yang terintegralkan secara lokal pada R n , yaitu seperti yang dinyatakan dalam definisi berikut,
Definisi 3.1 Untuk 1 ≤ p < ∞ dan 0 ≤ λ ≤ n , ruang Morrey L p,λ ( R n ) didefin- isikan oleh
L p,λ ( R n ) := { f ∈ L p loc ( R n ) : k f k L p,λ ( R n ) < + ∞}
dengan
k f k L p,λ ( R n ) := sup B = B ( x,R ) µ 1 R λ Z B | f ( x ) | p dx ¶ 1 /p
Dalam hal ini notasi B = B ( x, R ) merupakan bola buka berdimensi n dengan pusat x ∈ R n dan berjari-jari R > 0, yaitu B ( x, R ) := { y ∈ < n : | x − y | < R } . Untuk setiap bola B = B ( x, R ) berdimensi n ini dipunyai suatu fakta bahwa
| B | ≤ CR n (10)
dimana n adalah suatu bilangan dimensi yang tetap dan C adalah konstanta yang tidak bergantung pada x dan R , dengan | B | menyatakan ukuran Lebesgue dari B , lihat ([5], halaman 3). Dari fakta 10 tersebut dapat dinyatakan suatu lemma berikut.
Lemma 3.2 Untuk setiap α > 0 , maka berlaku R B ( x,R ) 1 | x − y | n − α dy ≤ CR α untuk suatu konstanta real C .
Bukti: Jika n ≤ α , maka jelas bahwa menurut fakta (*), R B ( x,R ) 1 | x − y | n − α dy = | B | ≤ CR α . Sekarang jika n < α , maka Z
B ( x,R ) 1 | x − y | n − α dy ≤ ∞ X j =0 Z 2 − j − 1 R ≤| x − y | < 2 − j R 1 | x − y | n − α dy ≤ ∞ X j =0 1 (2 − j − 1 R ) n − α | B ( x, 2 − j R ) | ≤ ∞ X j =0 (2 ( j +1)( n − α ) R n − α C (2 − j R ) n = C ∞ X j =0 2 − αj R α = CR α
Selanjutnya sebelum diperlihatkan suatu fakta yang menyatakan bahwa oper- ator I α juga terbatas di ruang Morrey, yakni dari L p,λ ( R n ), ke L q,λ ( R n ), terlebih dahulu disajikan suatu ketaksamaan Fefferman-Stein yang buktinya dapat dilihat di ([3], halaman 53).
Teorema 3.3 (Fefferman-Stein) Misalkan ω adalah fungsi tak negatif dan f adalah fungsi terintegralkan secara lokal di R n . Maka terdapat C p > 0 sedemikian sehingga Z R n | M f ( x ) | p ω ( x ) dx ≤ C p Z R n | f ( x ) | p M ω ( x ) dx
Dengan menggunakan ketaksamaan Fefferman-Stein ini diperoleh suatu fak- ta bahwa operator maksimal juga terbatas di ruang Morrey. Seperti dinyatakan dalam teorema berikut,
Teorema 3.4 (Chiarenza-Frasca) Misal 1 < p < ∞ dan 0 ≤ λ < n . Maka k M f k L p,λ ≤ C k f k L p,λ , untuk suatu konstanta C yang tidak bergantung pada f .
Bukti:
Menurut ketaksamaan yang dinyatakan dalam Teorema 3.3, maka Z
R n | M f ( x ) | p χ ( x ) dx ≤ C Z R n | f ( x ) | p ( M χ ( x )) dx (11)
untuk suatu fungsi f dan χ yang tak negatif. Ambil f ∈ L p,λ , dan χ adalah fungsi karakteristik pada bola B R = B ( x 0 , R ). Maka menurut Ketaksamaan 11 di atas diperoleh
Z B R | M f ( x ) | p dx ≤ C k f k p L p,λ ( (2 R ) λ + ∞ X k =1 1 (2 k − 1 R ) n (2 k +1 R ) λ ) ⊆ C k f k p L p,λ R λ
Jadi didapat
1 R λ p µZ B R | M f ( x ) | p ¶ 1 p ≤ C k f k p L p,λ
untuk suatu konstanta C
¥ .
Berdasarkan pada fakta keterbatasan fungsi maksimal M f di ruang Morrey, maka dapat dibuktikan suatu pernyataan teorema berikut, bahwa operator integral fraksional I α juga terbatas di ruang Morrey.
Teorema 3.5 (Chiarenza-Frasca) Jika 1 q = 1 p − α n − λ , 0 < α < n, 1 < p < n α dan 0 ≤ λ < n − αp . Maka terdapat C p,q > 0 sedemikian sehingga
k I α f k L q,λ ≤ C p,q k f k L q,λ
Bukti:
Misalkan f ∈ L p,λ , dan f 6 = 0, maka untuk x ∈ R n dan r > 0 tuliskan I α f ( x ) := I 1 ( x ) + I 2 ( x ), dengan
I 1 ( x ) := Z | x − y | <R f ( y ) | x − y | n − α dy, dan I 2 ( x ) := Z | x − y |≥ R f ( y ) | x − y | n − α dy
Untuk I 1 ( x ) diperoleh
| I 1 ( x ) | ≤ Z | x − y | <R | f ( y ) | | x − y | n − α dy ≤ C − 1 X k = −∞ (2 k R ) α M f ( x ) dy ≤ CR α M f ( x )
Sementara itu, untuk I 2 ( x ) diperoleh
| I 2 ( x ) | ≤ Z | x − y |≥ R | f ( y ) | | x − y | n − α dy ≤ CR α − n p + λ p k f k p,λ ≤ CR α + λ − n p k f k L p,λ
Sehingga untuk setiap x ∈ R n dan R > 0 diperoleh
| I α f ( x ) | ≤ C ³ R α M f ( x ) + R α + λ − n p k f k L p,λ ´ (12)
Selanjutnya dengan memilih R 0 = µ M f ( x ) k f k L p,λ ¶ p n − λ > 0 dan mensubstitusikan- nya ke dalam Ketaksamaan 12, sehingga didapat
| I α f ( x ) | ≤ C ( M f ( x )) n − λ − pα n − λ k f k pα n − λ Lp,λ ≤ C ( M f ( x )) p q k f k q − p q L p,λ
Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal terbatas di L p,λ , maka diperoleh ketaksamaan
k I α f k L q,λ ≤ C k f k L p,λ untuk suatu konstanta C yang hanya tergantung pada p dan q . ¥
Perhatikan bahwa jika λ = 0 maka L p, 0 ( R n ) = L p ( R n ). Ini berarti akan diperoleh kembali keterbatasan I α dari L p ( R n ) ke L q ( R n ). Sedangkan jika λ = n , maka diperoleh L p,λ ( R n ) = L ∞ ( R n ). Dalam hal λ = n ini, keterbatasan operator I α dari L p ( R n ) ke L q ( R n ) menjadi tidak berlaku, seperti yang ditunjukan dalam ([2], halaman 119).

## 4. Kesimpulan
Melalui operator dilasi yang dikenakan terhadap operator integral fraksional, dan dengan adanya fakta keterbatasan fungsi maksimal di ruang L p ( R n ), diperoleh fakta bahwa untuk 0 < α < n , operator integral fraksional I α yang didefinisikan sebagai
I α f ( x ) := 1 Γ( α ) Z R n f ( y ) | x − y | n − α dy
merupakan operator terbatas dari L p ( R n ) ke L q ( R n ) dengan 1 p − 1 q = α n dan 1 < p < q < ∞ . Persisnya kita mempunyai ketaksamaan
k I α f k ≤ C p,q k f k p
jika dan hanya jika 1 p − 1 q = α n dan 1 < p < q < ∞ .
Selanjutnya di ruang perumumannya, khususnya di ruang Morrey L p,λ , ( R n ), dengan menggunakan ketaksamaan Fefferman-Stein diperoleh fakta bahwa opera- tor maksimal juga terbatas di ruang perumumannya. Akibatnya dengan meman- faatkan fakta ini diperoleh hasil bahwa operator integral fraksional I α juga ter- batas di ruang perumumannya, yaitu I α terbatas dari ruang L p,λ ( R n ) ke L q,λ ( R n ) dengan 1 p − 1 q = α n − α dan 0 ≤ λ < n − αp .

## Ucapan Terima Kasih.
Kedua penulis berterima kasih kepada LPPM-ITB untuk dana Riset ITB Tahun 2006 No. 0004/K01.03.2/PL2.1.5/I/2006.

## Pustaka
[1] E. Nakai, Recent topics of fractional integrals, Departemen of Mathematics, Osaka Kyoiku University Kashiwara, Osaka 582-8582, Japan.
[2] E.M. Stein, Singular integrals and differentiability properties of functions, Princenton University Press, Princenton, N.J, 1970.
[3] E.M. Stein, Harmonic Analysis: real variable methods, orthogonality, and oscillatory integrals, Princenton University Press, Princenton, New Jersey, 1993.
[4] F. Chiarenza and M.Frasca, Morrey spaces and Hardy Littlewood maximal function, rend. Mat. 7, 273-279, 1987.
[5] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Grove, CA, 1992.
[6] J.G. Cuerva and A.E. Gatto, Boundedness properties of fractional integral operators associated to non doubling measures, Mathematics Subject Classi- fication, DePaul University, Spain, 1991.
[7] M. Loss and H. Elliot, Analysis, Graduate student in mathematics, volume 4, 2001.
[8] R. Fefferman, Maximal functions in analysis, The University of Chicago REU, 2005.