Solusi Persamaan Schrödinger Osilator Harmonik  dalam Ruang Momentum
Paken Pandiangan *) dan A. Arkundato **)
*) PMIPA FKIP  Universitas Terbuka
**) FMIPA Universitas Jember

## Abstract
The solution of Schrödinger equation for the simple harmonic oscillator has been investigated and explored. The solutions are coordinate representation or momentum representation. The eigen energy  is ) ( 2 1 0   n E n   .    The  expectation  value  is 0   n n p x respectively.  Both  Method will produce similar result.
Key words: Schrödinger equation, harmonic oscillator, momentum represent-tation.

## PENDAHULUAN
Telaah  baku  mengenai  suatu  sistem  fisis  mikroskopis  yang  berdimensi  atom  pada  umumnya dimulai  dengan  mendefinisikan  persamaan  Schrödinger  yang  sesuai  untuk  sistem  tersebut. Selanjutnya  dengan  menyelesaikan  persamaan  ini  untuk  syarat  batas  yang  diberikan,  energi  eigen dan  fungsi  gelombang  yang  menggambarkan  keadaan  sistem  tersebut  dapat  diketahui.    Dengan mengetahui struktur energi sistem, kita selanjutnya berusaha mencari terobosan-terobosan baru baik yang  bersifat  aplikatif  maupun  substansional  untuk  merumuskan  teori  baru  yang  lain.    Pada umumnya persamaan yang sering dipecahkan misalnya berbentuk sebagai berikut.
t t x i t x x V x t x m           ) , ( ) , ( ) ( ) , ( 2 2 2 2  
(1)
Hal  ini  berlaku  pada  sistem  partikel  tunggal  bermassa m dalam  medan  potensial V (x)  yang dievaluasi untuk dimensi satu.
Persamaan  Schrödinger  yang  merupakan  salah  satu  persamaan  fundamental  dalam  telaah mekanika kuantum sebenarnya mempunyai bentuk yang lebih umum sebagai berikut.
t i H       ˆ (2)
H ˆ adalah  operator  Hamiltonian  atau  sering  disebut  Hamiltonian  sistem.    Bentuk  Hamiltonian  ini ditentukan berdasarkan sifat-sifat sistem dimaksud, yang untuk kasus nonrelativistik gerak partikel bermassa m dalam medan potensial V tersebut akan bersifat real dan merupakan penjumlahan dari operator energi kinetik dan energi potensial partikel yaitu:
V T H ˆ ˆ ˆ  
(3)
Sampai  di  sini  kita  dihadapkan  pada  pilihan  bebas  untuk  merumuskan  Hamiltonian  dari  suku energi kinetik dan potensial sistem.  Kita dapat menyatakan Hamiltonian sistem berbentuk:
) ( ˆ 2 ˆ ˆ 2 p V m p H   
(4)
dengan  menyatakan  momentum  linear
    i p ˆ ,  sehingga  Hamiltoniannya  dapat  dituliskan sebagai
) ( ˆ 2 ˆ 2 2 r V m H
      (5)
Kedua  rumusan  (4)  dan  (5)  sesungguhnya  mewakili  sistem  partikel  yang  sama,  namun dirumuskan  secara  berbeda  karena  baik  (4)  maupun  (5)  menyatakan H ˆ dalam  (3).  Mana  yang seharusnya kita gunakan dari kedua rumusan di atas? Jawabannya bergantung pada kedua rumusan tersebut  manakah  yang  akan  lebih  menguntungkan  kita  untuk  menyelesaikan  persamaan Schrödinger  yang  telah  didefinisikan  untuk  sistem.  Pada  masalah  hamburan,  sering  lebih menguntungkan jika kita selesaikan dengan (4). Perhitungan numerik sistem kuantum nano-struktur juga  akan  memberikan  perbaikan  yang  signifikan  pada  lama  waktu  eksekusi  program  ( code )  serta memori komputer yang diperlukan [1] .  Untuk mencari informasi berkaitan dengan sistem kuantum, kita  dapat  menggunakan  (4)  atau  menggunakan  (5)  dan  kedua-duanya  seharusnya  menghasilkan kesimpulan yang sama untuk sistem.  Selanjutnya kita dapat menyatakan bahwa solusi persamaan Schrödinger  dengan  menggunakan  Hamiltonian  (4)  adalah solusi  ruang  momentum sedangkan solusi  persamaan  Schrödinger  dengan  menggunakan  Hamiltonian  (5)  disebut solusi  ruang koordinat [2] .  Fungsi  gelombang  dalam  ruang  koordinat  dituliskan  dengan  ( r  ,t )  dan  fungsi gelombang dalam ruang momentum dinyatakan dengan  ( p  ,t)
Riset  teoretik  yang  disampaikan  dalam  tulisan  ini  adalah  mencoba  mencari  solusi  persamaan Schrödinger  untuk  sistem  osilator  harmonik  dalam ruang  momentum. Sistem  osilator  yang  akan ditelaah adalah osilator harmonik sederhana dan untuk satu dimensi.  Solusi ruang koordinat untuk osilator  ini  sudah  sering  diungkap  dalam  buku-buku  baku  mekanika  kuantum  sehingga  kita  dapat menggunakannya sebagai gauge untuk model solusi ruang momentum kita.

## TINJAUAN PUSTAKA
Osilator  harmonik  terjadi  di  banyak  cabang  fisika  dan  merupakan  salah  satu  sistem  penting untuk  dipelajari  secara  rinci.    Di  dalam  fisika  atom,  vibrasi  atom  di  dalam  molekul  dan  zat  padat dihampiri  dengan  pengandaian  gerak  osilasi  harmonik.  Di  dalam  fisika  inti  potensial  rata-rata nukleon  di  dalam  inti  juga  sering  dihampiri  dengan  potensial  harmonik.  Di  dalam  fisika  partikel fungsi  gelombang  mode  fourier  tunggal  boson  juga  dianggap  sebagai  gerak  harmonik [4] . Selanjutnya  osilator  harmonik  sederhana  adalah  sebuah  model  yang  banyak  digunakan  guna mendekati  potensial  kompleks  di  dalam  banyak  disiplin  ilmu.    Mengapa  demikian?  Meskipun sebagaian  besar  masalah  osilasi  di  alam  yang  kita  jumpai  adalah  gerak  osilasi  teredam  ( damped ) atau terpaksa ( forced ) namun simpangan kecilnya terhadap titik kesetimbangan dapat sangat akurat dihampiri dengan osilator harmonik sederhana [5] .

## Gerak Harmonik Sederhana Klasik
Secara klasik rumusan gerak harmonik sederhana diberikan oleh persamaan diferensial orde dua berikut ini.
) ( ) ( 2 0 2 2 t x t x dx d   
(6)
dengan ”salah satu” solusinya yang memenuhi adalah berbentuk
) sin( ) ( 0     t A t x (7)
di  mana 0  adalah  frekuensi  alamiah,  serta  adalah  tetapan  fase.    Sistem  osilator  harmonik sederhana  yang  paling  terkenal  misalnya  adalah  sistem  pegas  dengan  tetapan  pegas k f dengan sebuah massa m diikatkan pada ujung pegas, dan ujung pegas yang lain terikat pada suatu dinding tak bergerak. Sistem ini mempunyai frekuensi alamiah sebagai solusi dari persamaan (6) berbentuk:
m k f  0  (8)
Secara  praktis  amplitudo  dan  tetapan  fase  ditentukan  oleh  syarat  awal x ( t 0 ).    Energi  potensial yang diturunkan dari hukum Hooke untuk pegas tersebut adalah:
2 2 0 2 1 2 2 1 ) ( x m x k Fdx x V f       (9)
Energi total dari partikel adalah energi kinetiknya ditambah energi potensial partikel yaitu:
2 2 0 2 1 2 2 x m m p E    (10)
Sistem pegas ini mempunyai classical turning point di titik (Gambar 1):
2 0 2  m E x E  
(11)
Gambar 1.  Energi potensial menurut hukum Hooke
Dengan  rumusan  (6)  sampai  dengan  (11),  maka  kita  dapat  memprediksi  hsil  pengukuran  yang dilakukan  pada  osilator  klasik.    Kita  selanjutnya  akan  merumuskan  solusi  kuantum  gerak  osilator mikroskopis.

## Solusi Kuantum Dalam Ruang Koordinat Gerak Osilator Sederhana
Hamiltonian pada persamaan (5) mengenai osilator harmonik sederhana dalam ruang koordinat menurut padanan klasik persamaan (10) adalah:
2 2 0 2 1 2 2 2 2 ˆ x m dx d m H      (12)
Solusi persamaan Schrödinger tak gayut waktu untuk Hamiltonian ini adalah:
  ) ( 2 ) ( 2 2 0 2 1 2 2 2 x x m E m x dx d n n n        (13)
Sehingga solusi persamaan  (2) untuk keadaan stasioner sistem adalah:
] / exp[ ) ( ) , (  t iE x t x n n n  
 
14)
dengan E n adalah salah satu energi yang diperbolehkan untuk osilator.  Persoalan kita adalah untuk mencari ) ( x n  sebagai solusi dari persamaan (13).
Untuk menyelesaikan persamaan differensial secara analitik (utamanya secara numerik) sering akan useful jika  kita  dapat  meminimasi  jumlah  simbol  dan  memunculkan  variabel/parameter  tak berdimensi.  Untuk tujuan ini kita dapat melakukan langkah-langkah berikut.
 Persamaan (13) kita ubah menjadi:
0 ) ( 2 2 2 2 2 0 2 2 2          x E m x m dx d n n     (15)
 Selanjutnya kita munculkan definisi-definisi berikut ini.
Energi E ) / 2 ( 0     Tak berdimensi Kuat potensial  / 0   m  (panjang) -1 Posisi x    Tak berdimensi
 Dengan definisi di atas kita men-skala x dengan parameter kuat potensial  / 0   m  untuk menghasilkan variabel tak berdimensi x    .  Selanjutnya untuk menghindari persamaan (15) yang relatif rumit dalam x untuk fungsi ) ( x n E  , kita dapat mengubahnya menjadi solusi dalam
 untuk ) (   n E .  Dengan dalil rantai kita dapat merumuskan bahwa:
       d d d d dx d dx d   (16) 2 2 2 2 2        d d dx d dx d d d dx d        
(17)  Memperkenalkan  variabel  energi  baru E ) / 2 ( 0     maka  kita  dapat  mengubah  persamaan (15)  menjadi  persamaan  Schrödinger  untuk  osilator  harmonik  sederhana  dalam  bentuk  yang lebih elegan,
0 ) ( 2 2 2                d d (18)
 Selanjutnya  persamaan  (18)  merupakan  persamaan  Weber  yang  terkenal  dalam  matematika. Persamaan  Weber  merupakan  salah  satu  persamaan  diferensial  yang  solusi  analitiknya  sudah diketahui. Fungsi-fungsi yang muncul dalam solusi persamaan Weber merupakan fungsi-fungsi khusus (sebagai fungsi penting dalam matematika) dan sudah ditabelkan.

## Solusi Persamaan Weber
Langkah  pertama  yang  harus  kita  lakukan  jika  menemukan  suatu  persamaan  diferensial  yang belum dikenal adalah dengan cara melihat perilakunya untuk batas asimtotik variabel-variabelnya. Beberapa  persamaan  memperlihatkan  keadaan blow  up dalam  batas-batas  ini,  sehingga  kita  harus menangani perilaku asimtotik untuk fungsi-fungsi yang tak diketahui ini lebih dahulu sebelum kita dapat  memecahkan  persamaan  diferensial  dengan  metode  standar,  misalkan  dengan  metode  deret. Kita biasanya menyebut titik-titik limit di atas sebagai titik-titik singularitas. Namun demikian juga dapat terjadi keadaan blow up pada titik berhingga, misalnya pada x = 0. Oleh karena itu sebelum mencoba  menyelesaikan  sebuah  persamaan  diferensial  ada  baiknya  kita  cari  terlebih  dahulu  titik- titik singularitasnya.
Misalkan ) (   as adalah limit untuk ) (    , yaitu ) ( ) (       as   
.  Persamaan Weber dapat
kita  tuliskan  dalam  bentuk  asimtotik
0 ) ( 2 2 2    
        as d d
.  Persamaan  ini  sangat  mirip  dengan
persamaan  dari  fungsi  Gaussian:
  ) ( 1 2 2 2    f
d f d   ,  yang  mempunyai  dua  solusi  bebas  linear berbentuk Gaussian ) 2 / exp( 2   dan ) 2 / exp( 2  . Dalam daerah asimtotik fungsi Gaussian menjadi persamaan Weber.  Solusi persamaan Weber untuk daerah asimtotik    dapat kita nyatakan dengan
) 2 / exp( ) 2 / exp( ) ( 2 2     B A as    (19a)
Solusi  ini  masih  umum  sifatnya,  dan  jika  kita  ingin  mendapatkan  fungsi  gelombang  yang well- behaved ,  maka  kita  perlu membuang  suku  kedua  eksponensial  sehingga  fungsi eigen  Hamiltonian osilator harmonik sederhana untuk batas asimtotik adalah:
) 2 / exp( ) ( ) ( 2            A as E n (19b)
Kita dapat merumuskan solusi eksak dengan menampilkan fungsi baru ) (   H sebagai berikut.
) 2 / exp( ) ( ) ( 2        AH n E (20)
Agar fungsi gelombang ini ternormalisasi kita memerlukan persamaan berikut ini
0 ) 2 / exp( ) (
2
        H (21a)
Selanjutnya  dengan  substitusi  persamaan  (20)  ke  persamaan  Weber  (18)    kita  peroleh persamaan diferensial Hermite.
0 ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) ( 2 2              H H H d d
(21b)
Persoalan  osilator  harmonik  sederhana  yang  kita  hadapi  sekarang  adalah  mencari  solusi persamaan  diferensial  Hermite  untuk  batas  asimtotik  dengan  memperhatikan  syarat ternormalisasinya  fungsi  gelombang  (fungsi  gelombang  yang  dapat  diterima).  Untuk  ini  kita memerlukan  polinomial  Hermite  (deret  berhingga)  sebagai  ganti  dari  fungsi  Hermite  (deret takhingga).
Solusi  persamaan  Schrödinger  tak  gayut  waktu  untuk  osilator  harmonik  sederhana  dapat  kita langsung berikan di sini (penurunan lebih lanjut dapat dilihat pada buku-buku mekanika kuantum):
2 / 2 2 ) ( ) ( x n n n e x H A x  
   (22)
dengan
 0   m 
( n = 0,1,2,3,…) (23)
Dengan energi eigen osilator harmonik sederhana adalah:
0 2 1 ) (     n E n ( n = 0,1,2,3,…) (24)
Beberapa nilai dari polinomial Hermite adalah:
1 ) ( 0   H (25)
  2 ) ( 1  H (26)
2 4 ) ( 2 2     H , …dan seterusnya (27)
Tetapan normalisasi fungsi gelombang dapat dicari dengan syarat normalisasi yaitu:
! 2 1 4 / 1 2 n A n n         
(28)
Fungsi gelombang osilator harmonik sederhana gayut waktu adalah
2 / ) 1 2 ( 2 / 4 / 1 2 0 2 2 ) ( ! 2 1 ) , ( t n i x n n n e e x H n t x                         (29)
Kita  dapat  mentabelkan  beberapa  nilai  fungsi  eigen  osilator  harmonik  sederhana  dengan  energi eigen terkait dalam tabel berikut ini.
n E n ) ( x n E  0 0 2 1   ) exp( 2 2 4 / 1 2 x           1 0 2 3   ) exp( 2 2 / 1 2 2 4 / 1 2 x x     
      2 0 2 5   ) exp( ) 2 4 ( 8 / 1 2 2 2 2 4 / 1 2 x x            
… … …
Dengan formulasi di atas, maka kita selanjutnya dapat menentukan beberapa sifat statistik dari sistem osilator harmonik sederhana dengan menggunakan konsep nilai ekspektasi.  Sebagai contoh kita  dapat  menghitung  nilai  ekspektasi  pengukuran  posisi x dan  momentum p ˆ keadaan stasioner osilator harmonik sederhana secara berturut-turut adalah:
0 ) ( ) ( *       dx x x x x n n n   , dan
(30)
0 ) ( ) ( *             dx x dx d i x p n n n    (31)

## SOLUSI RUANG MOMENTUM OSILATOR HARMONIK
Selanjutnya di sini akan diturunkan bahwa fungsi gelombang osilator harmonik sederhana juga adalah polynomial  Hermite kali  sebuah  fungsi  Gaussian.      Kita  dapat  merumuskan  persamaan Schrödinger  osilator  harmonik  sederhana  dalam  ruang  momentum  dengan  mengingat  kembali
Hamiltonian  sistem  pada  persamaan  (10).  Kita  lakukan  transformasi
dp d i x  
,  sehingga  kita peroleh Hamiltonian sistem sebagai berikut.
2 2 2 2 0 2 2 2 ˆ dp d m m p H    
(32)
Dengan demikian persamaan Schrödinger osilator harmonik sederhana dapat dituliskan sebagai,
) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 0 2 p E p dp d m m p n n n       
     (33)
dengan ini kita telah membedakan bahwa fungsi eigen ruang momentum adalah ) ( p  . Selanjutnya kita  pecahkan  persamaan  ini  dengan  cara  yang  kurang  lebih  sama  dengan  cara  kita  memecahkan persoalan OHS dalam ruang koordinat.
Solusi persamaan ini juga akan berbentuk polynomial Hermite kali fungsi Gaussian, yaitu:
) exp( ) ( ) ( 2 p p F p n n     (34)
Turunan kedua dari fungsi ini adalah:
  2 2 2 exp( ) 2 4 ( ' 4 ) ( " ) ( "
p F p pF p F p n n n n           (35)
Substitusi (35) dan (34) ke (33)  diperoleh:
n n n n n F E F p m m p m pF m F m             2 2 2 0 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 ' 2 " 2            (36)
Misalkan nilai  adalah sebagai berikut.
) 2 /( 1 0 
  m  (37)
maka kita akan mendapatkan persamaan diferensial untuk fungsi n F yaitu,
0 2 ' 2 0 0 " 2 2 0            n n n n F E pF F m      
(38)
Seperti  biasanya kita definisikan parameter tak berdimensi  0  m p q  , sehingga persamaan (38)
menjadi:
0 1 2 2 0 2 2           n n n n F E dq dF q dq F d   (39)
Persamaan  diferensial  ini  akan  memberikan polynomial  Hermite seperti  pada  rumusan  kita
sebelumnya  jika  kita  ambil ) ( 2 1 0   n E n   .    Pilihan E n yang  lain  akan  menunjukkan  bahwa F pada q besar  (daerah  asimptotik)  akan divergen sehingga  fungsi  gelombang  total  akan  bersifat divergen , yang secara fisis ini akan ditolak.
Dengan  logika  yang  sama  seperti  yang  kita  gunakan  untuk  memecahkan  persamaan  dalam ruang koordinat, maka fungsi gelombang dalam ruang momentum adalah:
  ) 2 /( exp ) ( 0 2 0       m p m p H N e p n n i n n 
   
     (40)
dengan tetapan normalisasi sebesar
! 2 / 1 2 4 / 1 0 n m N n           (41)
Fungsi  eigen    dalam  ruang  momentum  juga  kita  sisipkan  faktor  fase exp(i  n ) agar Fourier Transform fungsi  eigen  ruang  momentum  tepat  sama  memberikan  fungsi  eigen  ruang  koordinat seperti pada persamaan (29).

## PEMBAHASAN
Solusi  persamaan  Schrödinger  untuk  osilator  harmonik  sederhana  dalam  ruang  momentum menghasilkan fungsi eigen persamaan (40)  dengan energi eigen ) ( 2 1 0   n E n   yang tidak lain adalah  nilai  yang  diperoleh  menurut  solusi  ruang  koordinat,  yaitu  persamaan  (24).    Kita  dapat mencari validitas fungsi gelombang yang kita dapatkan dengan mencari sifat-sifat statistik besaran fisis  namun  menurut  fungsi  eigen  ruang  momentum  kemudian  membandingkan  hasilnya  dengan hasil solusi ruang koordinat.  Jika kita selesaikan persamaan nilai ekspektasi posisi dan momentum berikut,
      
    dp p dp d i p x n n n ) ( ) ( *   
(42)
dan
       dp p p p p n n n ) ( ) ( *   (43)
maka hasilnya akan sama yaitu
0   n n p x di ruang momentum. (44)
Perhitungan  nilai  ekspektasi  observabel  yang  lain  akan  memperlihatkan  hasil  yang  sama  di kedua  ruang.  Oleh  karena  itu  dalam  menyelesaikan  persoalan  kuantum  kita  dapat  memilih pemecahan persamaan Schrödinger, baik di ruang momentum ataupun di ruang posisi, bergantung pada tujuan kita. Melalui studi nanostruktur ini, perhitungan numerik persamaan Schrödinger akan menghemat waktu eksekusi program jika kita gunakan pendekatan ruang momentum [1] .

## KESIMPULAN DAN SARAN
Studi  kuantum  osilator  harmonik  sederhana  dengan  pendekatan  solusi  ruang  momentum menunjukkan  bahwa  hasil  yang  diperoleh  sama  dengan  solusi  ruang  koordinat.    Oleh  karena  itu sistem  kuantum  secara  umum  dapat  ditelaah  melalui  salah  satu  atau  kedua-duanya  pendekatan tersebut.    Dalam  salah  satu  aspek  mungkin  solusi  ruang  posisi  lebih  baik  dari  solusi  ruang momentum demikian juga sebaliknya.
Persamaan Schrödinger untuk ruang posisi adalah
0 ) ( 2 2 2 2 2 0 2 2       
  x E m x m dx d n n    
dengan fungsi eigen serta energi eigennya masing-masing adalah:
2 / t ) 1 n 2 (i 2 / x n n 4 / 1 2 n 0 2 2 e e ) x ( H ! n 2 1 )t , x (                         dan ) ( 2 1 0   n E n   .
Sedangkan persamaan Schrödinger di ruang momentum adalah
) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 0 2 p E p dp d m m p n n n       
    
dengan fungsi eigen  serta nilai eigennya  masing-masing adalah
  ) 2 /( exp ) ( 0 2 0       m p m p H N e p n n i n n 
        
dan ) ( 2 1 0   n E n   .
Perhitungan nilai ekspektasi posisi dan momentum kedua pendekatan ini sama yaitu
0   n n p x .
Sebagai  saran  untuk  riset  teoretik  ini  ada  baiknya  dicoba  perhitungan  secara  numerik  kedua pendekatan untuk meminimalisasi beberapa asumsi yang harus diberikan, sehingga secara pasti kita memperoleh kesimpulan yang lebih baik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  Pala,  M.G.,  Lannaccone,  G.,  A  three-dimensional  solver  of  the  Schrödinger  Equation  in momentum space for the detailed simulation of nanostructures, Nanotechnology 13 (2002) 369- 372.
[2]  Davidov, A.A., Quantum Mechanics, Pergamon Press, 1965
[3]  Kroemer,  H.,  Quantum  Mechanics  for  Enginnering,  Material  Sciences  and  Applied  Physics, Prentice Hall Inc., 1994
[4]  Dawson, J.F., Quantum Mechanics, Fundamental Principles and Application, Dept of Physics, University of Hampshire, Durham, 2003.
[5]  Morrison, M.A., Understanding Quantum Physics, Prentice-Hall International Editions, 2000.
[6] http://www.math.md/imi-site/journals/Buletin/issues/iss_abst/abs97_2.shtml.
[7]  http://www.ams.org/mathscinet. American Mathematical Society 201 Charles StreetProvidence, RI 02904-2294.