J. of Math. and Its Appl. ISSN: 1829-605X Vol. 1, No. 1 (2004), 1–7
Desain Kontroler Tunggal Untuk Meredam Osilasi Multi Frekuensi Pada Sistem Skala Besar

## Mardlijah
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya mardlijah@matematika.its.ac.id

## Adi Soeprijanto
Jurusan Teknik Elektro Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya adisup@ee.its.ac.id

## Abstrak
Paper ini menjelaskan tahapan desain kontroler tunggal yang ditujukan untuk meredam lebih dari satu frekuensi osilasi yang terjadi pada suatu sistem skala besar termasuk metoda- metoda yang dikembangkan pada setiap tahapannya. Metoda ini dikembangkan terutama sangat berguna untuk desain kontroler pada sistem yang sangat besar serta memiliki multi frekuensi osilasi dan multi variabel state sebagai kandidat sinyal umpan balik. Pada tahap awal, dilakukan pemetaan frekuensi osilasi yang muncul untuk kemudian dipilih bebe- rapa frekuensi sebagai target yang akan distabilkan. Selanjutnya, pengaruh masing-masing variabel state terhadap frekuensi target dianalisis dengan menggunakan faktor partisipasi. Variabel-variabel state yang dominan akan dipilih sebagai kandidat sinyal umpan balik. Jalur umpan balik didapat dengan menginjeksikan sinyal kontrol ke variabel state tertentu. Se- lanjutnya keefektifan jalur umpan balik dianalisis dengan konsep residu. Jalur umpan balik dengan nilai residu terbesar merupakan pilihan terbaik untuk meredam frekuensi target. Perhitungan kontroler dikembangkan berdasar kontrol robust dan akan diaplikasikan pada sistem riil ketenagalistrikan dalam level simulasi dengan Simulink-Matlab.

## 1 Pendahuluan
Dalam desain kontroler untuk suatu sistem kontrol otomatik tertentu, order sistem sangat mempengaruhi tingkat kesulitan desain. Se- bagai contoh, pada sistem kecil dengan single input single output (SISO), pemilihan input- output kontroler tidak menjadi persoalan. Na- mun pada sistem-sistem besar, order matriks sistem bisa mencapai puluhan bahkan ratusan. Tipe-tipe frekuensi osilasi yang muncul juga beragam, berkisar antara 0,01 Hz – ribuan Hz. Dalam kondisi semacam ini, sebelum sampai
pada tahap desain kontroler, dilakukan berba- gai analisis awal seperti pemetaan frekuensi os- ilasi, analisis sensitivitas antara variabel state dengan frekuensi osilasi dan penentuan jalur umpan balik efektif [1].
Dalam paper ini, pemetaan frekuensi osilasi dilakukan dengan menggunakan faktor partisi- pasi. Dengan menggunakan eigen value anal- ysis dapat diketahui jumlah dan karakteristik masing-masing frekuensi (mode) yang muncul pada sistem. Kontribusi masing-masing vari- abel state terhadap mode tertentu dinyatakan sebagai faktor partisipasi variabel tersebut ter-

## Mardlijah dan Adi Soeprijanto
hadap mode yang bersangkutan. Faktor par- tisipasi menunjukkan derajat sensitifitas an- tara variabel state tertentu dengan mode ter- tentu. Dengan demikian, variabel state dengan nilai faktor partisipasi yang tinggi merupakan kandidat umpan balik yang baik. Persoalan- nya kemudian hanya tergantung pada nilai observability -nya. Penentuan jalur umpan ba- lik effektif ditentukan dengan memanfaatkan konsep residu. Nilai residu suatu jalur umpan balik sebanding dengan nilai observability vari- abel umpan balik dan nilai controlability tipe dan letak sinyal kontrol [2].
Pemanfaatan konsep residu dan faktor par- tisipasi untuk menentukan jalur umpan balik efektif kontroler telah diterapkan pada bebe- rapa sistem ideal. Sayangnya, penerapan kon- sep ini untuk sistem skala besar masih san- gat terbatas. Disamping itu, kontroler yang didesain hanya ditujukan untuk jenis osilasi (frekuensi) tertentu. Pada paper ini, kon- sep residu dan faktor partisipasi akan dit- erapkan untuk desain kontroler pada sistem tenaga listrik skala besar yaitu sistem in- terkoneksi Jawa-Bali 500 kV. Kontroler yang didesain ditujukan untuk meredam lebih dari satu jenis frekuensi osilasi sehingga diperlukan metoda khusus untuk penalaan parameter kon- trolernya. Metoda penalaan yang dimaksud dikembangkan berdasar pada kontrol robust [3].

## 2 Desain Kontroler Pada Sistem Skala Besar
Pada sistem skala besar, terdapat lebih dari satu kontroler untuk meredam berbagai osilasi yang terdapat dalam sistem. Gambar 1 me- nunjukkan interaksi antar berbagai kontroler ( H i ) pada suatu sistem. Idealnya, setiap kon- troler bekerja secara independen (satu kon- troler untuk meredam satu frekuensi) dan tidak saling memberikan pengaruh negatif. Pada pa- per ini, desain dan telaah dilakukan untuk satu kontroler yang mampu meredam bebe- rapa frekuensi osilasi sekaligus dengan asumsi pengaruh kontroler lain diabaikan.
H

## H
H System u u u y y y disturbance 1 1 2 2 n n n 1 2 Gambar 1: Multikontroler pada Sistem Skala Besar x G H v u y + -
Gambar 2: Konfigurasi Umum Umpan Balik
Jika dilihat dari salah satu kontroler, kon- figurasi sistem dapat digambarkan seperti pada Gambar 2. G merupakan model matematik sis- tem skala besar dilihat dari kontroler H . Model matematik ini dapat dinyatakan secara state space atau fungsi transfer Laplace. Nilai v adalah nilai referensi yang dimanfaatkan untuk mengatur variabel kontrol. Tahapan desain kontroler tunggal dalam sistem skala besar:
i. Analisis kestabilan sistem melalui pemetaan frekuensi osilasi. Dalam tahap ini ditentukan pula frekuensi target
(frekuensi-frekuensi kritis yang akan dista- bilkan).
ii. Pemilihan variabel dan jalur umpan balik untuk menjamin keefektifan kontroler.
iii. Reduksi model matematika sistem G men- jadi model nominal yang berisi hanya mode-mode osilasi yang akan distabilkan.
iv. Perhitungan kontroler dengan metode ro- bust kontrol.

## 3 Tahapan Desain
3.1 Pemetaan Frekuensi Osilasi dan Penentuan Frekuensi Target Untuk memetakan frekuensi osilasi, sistem skala besar direpresentasikan secara state space:
∆ ˙ x = A ∆ x + B ∆ u (1) ∆ y = C ∆ x + D ∆ u (2)
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
dengan x : state vektor dengan dimensi n u : input vektor dengan dimensi r
y : output vektor dengan dimensi m A : state atau matriks plant dengan ma- triks n × n
B : kontrol input matriks n × r C : output matriks m × n
D : matriks yang didefinisikan sebagai input yang proporsional langsung dari output, m × r
Nilai-nilai eigen matriks A mengandung infor- masi nilai-nilai frekuensi osilasi sistem. Dengan menggunakan persamaan:
( A − λI ) φ = 0 (3)
dengan
A :matriks n × n φ :vektor n × 1, φ 6 = 0
akan diperoleh nilai-nilai eigen λ = λ 1 , λ 2 , . . . , λ n . Komponen real nilai eigen menya- takan redaman sedangkan komponen imajiner menyatakan frekuensi osilasi.
Nilai negatif pada bagian real menyatakan osilasi teredam (stabil) dan sebaliknya. Untuk nilai eigen pasangan kompleks:
λ = σ ± jω (4)
frekuensi osilasi dalam Hz adalah
f = ω 2 π (5)
dengan nilai rasio redaman
ζ = − σ √ σ 2 + ω 2 (6)
Tipe frekuensi osilasi ditentukan berdasar pada variabel state dengan kontribusi dominan pada frekuensi tersebut.
Untuk menghitung besar kontribusi setiap variabel terhadap setiap osilasi digunakan faktor par- tisipasi. Faktor partisipasi dari variabel state ke- i terhadap mode ke- k :
P ik = Φ ik · Ψ ik (7)
dengan Φ ik dan Ψ ik berturut-turut menya- takan elemen dari eigen vektor kanan dan eigen vektor kiri matriks A . Eigen vektor kanan (Φ) dan eigen vektor kiri (Ψ) didefinisikan :
A Φ = ΛΦ , Ψ = Φ − 1 (8)
dengan Λ matriks diagonal dengan elemen se- mua nilai eigen λ i .
Penentuan frekuensi target didasarkan pada nilai redaman setiap frekuensi dan tipe frekuensi. Frekuensi-frekuensi dengan nilai redaman sangat kecil (mendekati nol) dan memiliki tipe sejenis akan diambil sebagai tar- get. Kesamaan tipe frekuensi target sangat penting karena berhubungan dengan penen- tuan variabel umpan balik [4].

## 3.2 Pemilihan Jalur Umpan Balik
Untuk meredam frekuensi-frekuensi target, jalur umpan balik ditentukan dengan nilai residu. Residu R ij k merepresentasikan keefek- tifan jalur umpan balik ke- i dan posisi ma- suk sinyal kontrol ke- j untuk meredam mode (frekuensi) target ke- k . Secara matematik dapat dirumuskan sbb:
R ij k = C i Φ k Ψ k B j (9)
dengan
R ij k : residu jalur umpan balik C i : matriks output baris ke- i Φ k : kolom ke- k dari vektor eigen kanan Ψ k : baris ke- k dari vektor eigen kiri B j : matriks input kolom ke- j
Nilai residu yang tinggi menunjukkan tingkat keefektifan yang tinggi dalam meredam frekuensi target. Jika tipe frekuensi tar- get sama, dimungkinkan untuk membuat jalur umpan balik SISO. Jika tidak, maka kontroler dapat berbentuk MIMO.

## 3.3 Pembentukan Model Nominal
Untuk menurunkan order kontroler yang akan di desain, order dari plant G ( s ) direduksi men- jadi G r ( s ). Secara matematik:
G ( s ) = G r ( s ) + G n ( s ) (10)
dengan
G r ( s ) = X k ∈ T ρ ij k s − λ k , G n ( s ) = X l ∈ T ρ ij l s − λ l
G r ( s ) merupakan model sistem reduksi yang hanya terdiri dari frekuensi-frekuensi target,
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
sedangkan G n ( s ) merupakan model yang ter- diri dari frekuensi-frekuensi non target. T , λ k , ρ ij k berturut-turut adalah domain frekuensi target, nilai eigen frekuensi target dan nilai keefektifan jalur umpan balik ij untuk men- gontrol frekuensi target k . λ l dan ρ ij l berturut- turut merupakan nilai eigen frekuensi non- target dan nilai keefektifan jalur umpan ba- lik ij untuk mengontrol frekuensi non-target l . Dalam desain kontroler, G r ( s ) akan dipakai se- bagai plant nominal sedangkan G n ( s ) sebagai uncertainty .

## 3.4 Perhitungan Kontroler
Robust + - r e u y PLANT G(s) H(s) W W W M P A
Gambar 3: Struktur Dasar Desain Kontroler
Dengan Robust H ∞
Model nominal yang diperoleh dalam tahap se- belumnya akan digunakan untuk desain kon- troler menggunakan metode H ∞ . Gambar 3 menunjukkan struktur dasar desain. W p , W A dan W M berturut-turut adalah weighting func- tion yang dimanfaatkan untuk mengatasi noise , disturbance dan ketidakpastian model. Pen- carian parameter kontroler H ( s ) dilakukan dengan optimasi persamaan:
° ° ° ° ° ° W p ( s ) S ( s ) W A ( s ) R ( s ) W M ( s ) T ( s ) ° ° ° ° ° ° ∞ ≤ 1 (11)
dengan S ( s ) = [1 + G r ( s ) H ( s )] − 1
R ( s ) = H ( s ) S ( s ) T ( s ) = 1 − S ( s ) = G r ( s ) H ( s ) S ( s )
S ( s ), R ( s ), dan T ( s ) berturut-turut adalah fungsi transfer antara r dengan e , r dengan u , dan r dengan y . Optimasi di atas telah me- ngandung syarat kestabilan internal [5].

## 4 Implementasi

## 4.1 Deskripsi Plant dan Permodelan
Metode yang dikembangkan akan diaplikasikan untuk desain kontroler pada sistem tenaga listrik guna meredam osilasi mekanik yang muncul. Letak kontroler yang didesain adalah pada generator yang dinilai effektif untuk tu- juan peredaman [6]. Sistem tenaga listrik yang dipilih adalah sistem tenaga listrik 500 kV Jawa Bali. Gambar sistem tenaga listrik 500 kV Jawa Bali beserta data jaringan dapat di- lihat pada lampiran (Tabel 4). Generator di- modelkan sebagai two axis model, exciter dan governor sebagai sistem order satu [7].

## 4.2 Spesifikasi Desain
Pada riset ini, spesifikasi utama yang akan dicapai adalah nilai redaman dari frekuensi- frekuensi mekanik berkisar 0 , 4 – 0 , 7.

## 4.3 Hasil per Tahap
Hasil pemetaan frekuensi osilasi plant terli- hat pada Tabel 1. Pada tabel tersebut hanya ditampilkan sebagian saja dari keseluruhan frekuensi sistem. Terlihat bahwa frekuensi- frekuensi dengan nomor mulai 29 sampai dengan 42 merupakan frekuensi-frekuensi kri- tis karena memiliki nilai redaman yang san- gat rendah. Disini, hanya akan diambil dua frekuensi kritis sebagai frekuensi target yaitu frekuensi interarea mekanik dan frekuensi lokal mekanik. Dengan menggunakan faktor partisi- pasi dapat diketahui bahwa frekuensi nomor 31,32 adalah interarea mekanik. Untuk menen- tukan frekuensi lokal mekanik mana yang akan diambil sebagai frekuensi target, terlebih dahulu ditentukan jalur umpan balik (posisi) kontroler dengan konsep residu. Hasilnya ter- lihat pada Tabel 2 yang menunjukkan bahwa variabel kecepatan pada generator Cirata (gen- erator 3) merupakan umpan balik yang pa- ling efektif untuk meredam osilasi inter-area. Output kontroler akan dimasukkan kedalam rangkaian eksitasi generator cirata.
Dengan demikian frekuensi lokal mekanik yang diambil sebagai target adalah lokal mekanik di cirata. Dengan faktor partisipasi diketahui bahwa frekuensi lokal mekanik cirata adalah frekuensi no 37,38. Dengan demikian
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004
model reduksi yang akan dipakai untuk mendi- sain kontroler adalah mode 31, 32, 37 dan 38. Dengan menggunakan metode yang diuraikan pada Sub-bab 3.4 dan dengan menggunakan weighting functions :
W M = 0 , 2( s 2 + 101 s + 100) s 2 + 25 s + 100 W P = 10( s + 300) s + 10 W A = 0 , 1 s 2 + 100 , 001 s + 1 0 , 1 s 2 + 1 , 1 s + 1 diperoleh kontroler dengan fungsi transfer:
H ( s ) = 0 , 05 s 5 +0 , 46 s 4 +1 , 82 s 3 +2 , 61 s 2 +1 , 11 s − 0 , 12 12 , 7 s 5 +21 , 6 s 4 +147 s 3 +396 s 2 +458 s +192 Setelah dipasang kontroler, nilai eigen untuk frekuensi 31, 32, 37 dan 38 disajikan dalam Tabel 3 (lihat Lampiran).

## 4.4 Simulasi dan Analisis
Gambar 4 dan Gambar 5 menunjukkan res- pon δ dan ω sebelum dan setelah pemasangan kontroler di Cirata terhadap gangguan step pada beban. Dari bentuk grafik osilasi, terli- hat bahwa nilai osilasi redaman berkisar antara 0,5 — 0,7. Dengan demikian, kontroler yang didesain cukup efektif dalam meredam osilasi mekanik lokal dan inter-area.
tanpa kontroler
dengan kontroler
0 0,5 1 1,5 (det) t -25 -15 0 (deg) δ Gambar 4: Respon δ Cirata
ω (p,u) 0,6 0 -0,8 0 1,5 (det) t tanpa kontroler dengan kontroler
Gambar 5: Respon ω Cirata

## 5 Kesimpulan
Dari hasil simulasi dan analisa dapat diambil beberapa kesimpulan:
a. Metoda yang dikembangkan dalam paper ini terbukti mampu menghasilkan kon- troler yang efektif meredam beberapa osilasi frekuensi sekaligus.
b. Dengan metoda yang dikembangkan, order kontroler menjadi kecil sehingga memper- mudah implementasi.
c. Pemasangan kontroler pada generator Cirata terbukti efektif meredam osilasi lokal dan inter-area mekanik dan dapat menaikkan nilai redaman sampai sekitar 0,5 — 0,7.

## Daftar Pustaka
[1] M. Klein, L.X. Lee, G.J. Rogers, S. Far- rokhpay, N.J. Balu, “ H ∞ Damping Con- troller Design in Large Power Systems”, IEEE Trans. on Power System , Vol. 10, No. 1, February 1995.
[2] P. Kundur, Power System Stability and Control , McGraw-Hill, Inc., 1994.
[3] K.A. Folly, A Study on the Design of Ro- bust PSS Using H8 Control , Ph.D thesis, Hiroshima University, Feb, 1997.
[4] Adi Soeprijanto, N. Yorino, H. Sasaki, “A Method for Constructing Reduced Models Effective for Designing Coordinated H ∞ PSS’s”, Proceedings of the 1999 ICEE ,
(1999) pp. 281-284.
[5] K.A. Folly, N.Yorino, H.Sasaki, “An Im- proved H8 PSS”, Trans. of IEE Japan , Vol. 118-B, No. 6, June, 1998.
[6] Nelson Martin, Leonardo T.G. Lima, “De- termination of Suitable Locations for Power System Stabilizers and SVC for Damp- ing Electromechanical Oscillations in Large Scale Power Systems”, IEEE Trans. on PS , Vol. 5, No. 4, November 1990, pp.1455- 1469.
[7] P.M. Anderson, A.A. Fouad, Power System Stability and Control , Iowa State University Press, 1977.
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004

## Lampiran
Tabel 1: Frekuensi Osilasi Plant Mode Eigenvalues Damping Frekuensi Ratio (Hz) 8,9 -2.1770e+001+3.4672e+001i 5.32e-01 6.51e+00 10,11 -2.4880e+001+3.9902e+001i 5.29e-01 7.48e+00 12,13 -2.4467e+001+2.1540e+001i 7.51e-01 5.19e+00 29,30 -2.8391e-003+3.5819e-002i 7.90e-02 1.17e+00 31,32 -3.9415e-003+7.7270e-002i 5.09e-02 4.54e-01 33,34 -4.0392e-003+8.7422e-002i 4.62e-02 1.39e+00 35,36 -5.4216e-003+9.9603e-002i 5.44e-02 1.86e+00 37,38 -4.5695e-003+9.8397e-002i 4.64e-02 1.81e+00 39,40 -6.4803e-003+1.1640e-001i 5.56e-02 1.58e+00 41,42 -5.9740e-003+1.1416e-001i 5.23e-02 1.57e+00
Tabel 2: Residu Inter-area
Var. Tegangan Generator state Vt1 Vt2 Vt3 Vt4 Vt5 Vt6 Vt7 δ 1 2.29e-03 1.78e-03 2.53e-02 3.35e-03 4.40e-04 1.92e-04 1.15e-04 ω 1 1.76e-04 1.37e-04 1.95e-01 2.58e-04 3.39e-05 1.48e-05 8.83e-06 δ 2 1.32e-03 1.03e-03 1.46e-02 1.93e-03 2.54e-04 1.10e-04 6.60e-05 ω 2 1.02e-04 7.90e-05 1.12e-01 1.49e-04 1.95e-05 8.50e-06 5.09e-06 δ 3 2.60e-03 2.02e-03 2.21e-02 3.80e-03 4.99e-04 2.17e-04 1.30e-04 ω 3 1.99e-04 1.56e-04 2.87e-01 2.93e-04 3.84e-05 1.67e-05 1.01e-05 δ 4 8.34e-04 6.49e-04 9.22e-02 1.22e-03 1.60e-04 6.98e-05 4.18e-05 ω 4 6.42e-05 4.99e-05 7.10e-03 9.41e-05 1.26e-05 5.38e-06 3.22e-06 δ 5 1.32e-04 1.03e-04 1.46e-02 1.93e-04 2.54e-05 1.11e-05 6.61e-06 ω 5 1.02e-05 7.91e-06 1.12e-03 1.49e-05 1.96e-06 8.51e-07 5.09e-07 δ 6 1.09e-04 8.45e-05 1.20e-02 1.59e-04 2.09e-05 9.09e-06 5.44e-06 ω 6 8.37e-06 6.51e-06 9.25e-04 1.23e-05 1.61e-06 7.00e-07 4.19e-07 δ 7 5.51e-05 4.28e-05 6.10e-03 8.07e-05 1.06e-05 4.61e-06 2.76e-06 ω 7 4.24e-06 3.30e-06 4.69e-04 6.21e-06 8.16e-07 3.55e-07 2.12e-07
Tabel 3: Nilai-nilai Eigen dengan Kontroler
Mode Eigenvalues Damping Ratio Frekuensi (Hz) 31,32 -5.3443e-002 +5.3659e-002i 7.06E-01 1.20E-02 37,38 -6.2890e-00 +9,0896e-00i 5.69E-01 1.76E+00
Tabel 4: Data Saluran Transmisi 500 kV Jawa-Bali No Saluran Z (Ohm/km/phasa) C (mF/km) Jarak (km) 1 Suralaya - Gandul 0.02+j0.2 0.01283 111.00 2 Suralaya - Cilegon 0.02+j0.2 0.01289 12.48 3 Cilegon - Cibinong 0.02+j0.2 0.01283 116.00 4 Gandul - Cibinong 0.02+j0.2 0.01283 21.30 5 Gandul - Kembangan 0.02+j0.2 0.01289 31.90 6 Cibinong - Saguling 0.02+j0.2 0.01283 80.30 7 Cibinong - Bekasi 0.02+j0.2 0.01283 37.92 8 Cibinong - Cawang 0.02+j0.2 0.01283 57.00 9 Cawang - Bekasi 0.02+j0.2 0.01277 18.00 10 Muara Tawar - Cibatu 0.02+j0.2 0.01283 55.00 11 Cibatu - Cirata 0.02+j0.2 0.01283 44.56 12 Cirata - Saguling 0.02+j0.2 0.01289 25.10 13 Saguling - Bandung Sel. 0.02+j0.2 0.01283 37.43 14 Bandung Sel. - Ungaran 0.02+j0.2 0.01283 342.80 15 Bandung Sel. - Maduracan 0.02+j0.2 0.01283 130.00 16 Maduracan - Ungaran 0.02+j0.2 0.01283 228.68 17 Ungaran - Krian 0.02+j0.2 0.01283 251.00 18 Ungaran - Pedan 0.02+j0.2 0.01277 75.00 19 Krian - Grati 0.02+j0.2 0.01289 74.00 20 Krian - Gresik 0.02+j0.2 0.01277 22.20 21 Grati - Paiton 0.02+j0.2 0.01289 74.00 22 Paiton - Pedan 0.02+j0.2 0.01277 410.00
SURALAYA CILEGON CIBATU MUARATAWAR GANDUL KEMBANGAN CIBINONG BEKASI CIRATA SAGULING CAWANG BANDUNG SELATAN MADURACAN UNGARAN PEDAN PAITON SURABAYA BARAT GRATI GRESIK
Gambar 6: Sistem Transmisi 500 kV Jawa Bali
Limits Journal of Mathematics and Its Applications, Volume 1, Number 1, May 2004