Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 1, Maret 2023, 69-79 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i1.12618

## Model Kredibilitas Bühlmann-Straub
untuk Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif–Lindley
Ikhsan Maulidi 1 , Uswah 2 , Rini Oktavia 3 , Alim Misbullah 4 , Vina Apriliani 5* 1,2,3 Jurusan Matematika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Aceh, Indonesia
4 Jurusan Informatika, Universitas Syiah Kuala, Banda Aceh, Aceh, Indonesia
5 Jurusan Pendidikan Matematika, Universitas Islam Negeri Ar-Raniry, Banda Aceh, Aceh, Indonesia *e-mail: vina.apriliani@ar-raniry.ac.id
Diajukan: 30 Maret 2022, Diperbaiki: 29 Desember 2022, Diterima: 2 Maret 2023

## Abstrak
Salah  satu  alat  yang  dapat  digunakan  untuk  penentuan  premi  berbasis  risiko  adalah  teori kredibilitas.  Pendekatan  yang  dapat  digunakan  salah  satunya  adalah  dengan  pendekatan  akurasi  terbaik Bühlmann-Straub.  Artikel  ini  mengkaji  model  kredibilitas  Bühlmann-Straub  parametrik  di  mana  data frekuensi  klaim  diasumsikan  mengikuti  distribusi  Binomial  Negatif-Lindley  (NB-L).  Penentuan parameter kredibilitas Bühlmann-Straub ditentukan menggunakan kaidah dasar dalam teori peluang. Dari kajian  yang  telah  dilakukan  diperoleh  persamaan  eksplisit  untuk  menentukan  premi  kredibilitas Bühlmann-Straub.  Simulasi  penerapan  model  pada  data  juga  diberikan  dengan  mengasumsikan  data mengikuti distribusi NB-L. Parameter distribusi NB-L diduga dengan menggunakan metode momen dan penduga  maksimum likelihood .  Dari  simulasi  yang  dilakukan  diperoleh  bahwa  data  yang  digunakan memiliki nilai faktor  kredibilitas yang tinggi, sehingga data dapat dianggap sangat baik untuk menduga premi di masa mendatang.
Kata  Kunci :  kredibilitas  Bühlmann-Straub,  Binomial  Negatif-Lindley,  premi,  kredibilitas,  penduga maksimum Likelihood, metode momen

## Abstract
The credibility theory is one of the tools that can be used to determine risk-based premiums. One approach  that  can  be  used  is  the  best  accuracy  approach  such  as  Bühlmann-Straub.  We  study  the parametric  Bühlmann-Straub  credibility  model  in  which  the  claim  frequency  data  is  assumed  to  follow the Negative-Lindley (NB-L) Binomial distribution. Determination of the Bühlmann-Straub parameter is determined by using the basic rules in probability theory. From the study that has been carried out, an explicit  equation  has  been  obtained  to  determine  the  credibility  premium  of  Bühlmann-Straub.  A simulation of the application of the model to the data was also provided by assuming the data follows the NB-L  distribution.  The  NB-L  distribution  parameters  were  estimated  using  the  momen  method  and maximum likelihood estimation. From the simulation, it is found that the data used had a high credibility factor value which implies the data can be considered primely for estimating future premiums.
Keywords :  Bühlmann-Straub  credibility,  Negative  Binomial-Lindley,  premium,  credibility,  maximum Likelihood estimation, momen method

## 1 Pendahuluan
Salah  satu  teknik  determinasi  premi  berbasis  risiko  adalah  dengan  menggunakan  teori kredibilitas.  Teori  kredibilitas  bermanfaat  untuk  mengestimasi  nilai  premi  bersih  di  masa  yang akan datang dari pemegang polis [1]. Terdapat beberapa pendekatan pada teori kredibilitas, salah
satunya ialah pendekatan kredibilitas keakuratan terbaik yang terdiri dari dua model, yaitu model Bühlmann  dan  model  Bühlmann-Straub.  Model  Bühlmann  merupakan  model  paling  sederhana dalam menghitung premi di mana hanya membutuhkan besarnya klaim dari asuransi  yang telah terjadi  beberapa  tahun  lalu  [2]. Selanjutnya,  model  Bühlmann-Straub  merupakan  model Bühlmann  yang  dikembangkan.  Model  tersebut  lebih  rumit  dikarenakan  kerugian  per  objek untuk setiap tahunnya berbeda dan jumlah individu pada setiap kelompok premi dapat bervariasi pada setiap periode [1].
Pemodelan distribusi frekuensi klaim dapat diperoleh berdasarkan data frekuensi klaim di masa  lalu.  Frekuensi  klaim  dengan  peubah  acak  yang  nilainya  berupa  data  cacah  biasanya dimodelkan  menggunakan  distribusi  Binomial  Negatif.  Namun  pemodelan  data  menggunakan distribusi Binomial Negatif lebih baik digunakan jika distribusi data tidak memiliki heavy tailed (ekor tebal). Heavy tailed yang  ekstrem  menyebabkan terjadinya overdispersi  [3]. Overdispersi adalah  kondisi  di  mana  nilai  varians  lebih  besar  dari  nilai  rata-ratanya.  Jika  data  yang  tersedia memiliki heavy tailed diperlukan alternatif yang lebih baik untuk distribusi Binomial Negatif.
Distribusi campuran menjadi salah satu yang dapat digunakan untuk memperoleh distribusi probabilitas  baru.  Salah  satu  distribusi  campuran  yang  dapat  digunakan  untuk  memodelkan frekuensi  kedatangan  klaim  adalah  distribusi  Binomial  Negatif-Lindley  (NB-L)  yang  diperoleh dari  distribusi  Binomial  Negatif  dengan  distribusi  Lindley  [4].  Distribusi  Binomial  Negatif- Lindley  bergantung  pada  dua  nilai  parameter  yang  bernilai  positif . Metode  yang  dapat digunakan  untuk  mencari  nilai  parameter  distribusi  NB-L  ialah  dengan  metode  momen  dan maximum likelihood estimation (MLE).
Penelitian  terkait  penentuan  premi  dengan  kredibilitas  Bühlmann  dan  Bühlmann-Straub telah  banyak  dilakukan.  Beberapa  di  antaranya  yang  dilakukan  oleh  [5]  yang  meneliti  tentang premi  kredibilitas  pada  data  yang  berdistribusi  eksponen. [6]  telah memberikan  model kredibilitas Bayes dan Bühlmann untuk distribusi phase-type . Selain itu, [7] juga meneliti model parametrik  untuk  kredibilitas  Bühlmann pada data  yang mengikuti Weilbull Count  distribution . Penelitian yang mengkaji model Bühlmann yang berdistribusi NB-L dapat dilihat dalam [8].
Artikel  ini  merupakan  pengembangan  dari  model  Bühlmann  yang  telah  dirumuskan sebelumnya [8], yaitu model kredibilitas Bühlmann-Straub dengan klaim berdistribusi Binomial Negatif-Lindley.  Hal  yang  membedakan  antara  model  Bühlmann  dan  model  Bühlmann-Straub adalah  pada  jumlah  anggota  pemegang  polis  yang  mana  diasumsikan  tetap  pada  model Bühlmann. Pada model Bühlmann-Straub, jumlah pemegang polis akan memungkinkan berbeda- beda antar periode. Hal ini jelas lebih realistis untuk diaplikasikan pada data asuransi ke depan. Selain itu, distribusi NB-L juga lebih baik dalam memodelkan data yang memiliki nilai nol yang
sangat  banyak  seperti  data  asuransi  dibandingkan  distribusi  Poisson  dan  distribusi  Binomial Negatif  [4].  Perumusan  dugaan  parameter  diberikan  dalam  bentuk  persamaan  eksplisit  dan diberikan pula simulasi model tersebut pada data asuransi dengan menggunakan R [9].

## 2 Metode Penelitian

## 2.1  Fungsi Pembangkit Momen
Fungsi  pembangkit  momen  adalah  fungsi  yang  dapat  menghasilkan  momen-momen. Fungsi tersebut dapat digunakan untuk mencari nilai-nilai ekspektasi dengan lebih mudah.
Definisi 1 [10] Fungsi pembangkit momen dari suatu variabel X dapat didefinisikan sebagai:
𝑀(𝜃) = E(𝑒 𝜃𝑋 ).                                                                (1) Teorema  2 [10] Turunan  pertama  dari  fungsi  pembangkit  momen  pada 𝜃 =  0  adalah  nilai ekspektasi dari variabel random X,
𝑀 ′(0) = E[𝑋].                                                                    (2) Teorema  3 [10] Turunan  kedua  dari  fungsi  pembangkit  momen  pada 𝜃 =  0  adalah  nilai ekspektasi dari variabel random 𝑋 2 atau momen kedua dari 𝑋 ,
𝑀 ′′(𝜃) = E[𝑋 2 ].                                                                  (3)
Secara umum turunan ke-n dari fungsi pembangkit momen dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝑀 (𝑛) (0) = E[𝑋 𝑛 ], 𝑛 ≥ 1.

## 2.2  Distribusi Binomial Negatif
Definisi  4 [11] Misalkan 𝑋 adalah  peubah  acak  diskrit  yang  berdistribusi  binomial  negatif dengan  parameter  (r,p)  dan  dinotasikan  dengan 𝑋~𝑁𝐵 (𝑟, 𝑝). Peubah  acak  X  memiliki  fungsi massa peluang sebagai berikut:
𝑃 𝑥 (𝑥) =  𝑃(𝑋 = 𝑥) = ( 𝑥 − 1 𝑟 − 1 ) 𝑝 𝑟 (1 − 𝑃) 𝑥−𝑟 ,
dengan x = r, r + 1, …., r  ≤  x, 0 ≤  p ≤ 1.
Diberikan nilai harapan, momen kedua, dan varians dari 𝑋 sebagai berikut:
𝐸[𝑋] = 𝑟 (1 − 𝑝)
𝑝 ,                                                              (4)
𝐸(𝑋 2 ) = 𝑟 (1 − 𝑝)[1 + 𝑟(1 − 𝑝)] 𝑝 2 ,                                                 (5)
𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 𝑟 (1 − 𝑝) (𝑝) 2 .                                                              (6)

## 2.3  Distribusi Lindley
Distribusi  Lindley  diperkenalkan  sebelumnya  oleh  Lindley  pada  tahun  1958  [12]. Model distribusi ini sangat berguna dalam pemodelan dibidang asuransi.
Definisi  5 [12] Misalkan 𝛩 adalah  peubah  acak  kontinu  yang  berdistribusi  Lindley  dengan parameter 𝜆 dan  dinotasikan 𝛩~𝐿𝑖𝑛𝑑(𝜆) maka 𝛩 memiliki  fungsi  kepekatan  peluang  sebagai berikut:
𝑓 𝜃 (𝜃) = 𝜆 2 𝜆 + 1 (1 + 𝜃)𝑒 −𝜆𝜃 ,                                                           (7)
di mana 𝜃 > 0 dan 𝜆 > 0.
Lemma  6 [12] Misalkan 𝛩~𝐿𝑖𝑛𝑑(𝜆) dan  memiliki  fungsi  peluang  yang  diberikan  pada persamaan (7), maka fungsi pembangkit momen dari 𝛩 adalah
𝑀 𝛩 (𝑧) = 𝜆 2 𝜆 + 1 ( 𝜆 − 𝑧 + 1 (𝜆 − 𝑧) 2 ).                                                          (8)
Bukti:  Dapat  dibuktikan  dengan  menggunakan  persamaan  (1)  dan  (7). Selengkapnya  dapat dilihat di dalam [12].
Nilai  harapan  dan  varians  dari  distribusi  Lindley  dapat  ditentukan  dengan  menggunakan persamaan (2) dan (3) pada Teorema 2 dan Teorema 3.

## 2.4  Distribusi Binomial Negatif-Lindley (NB-L)
Definisi  7 [4] Misalkan 𝑋 adalah  peubah  acak  yang  berdistribusi  Binomial  Negatif-Lindley dengan parameter (r, 𝜆 ), dinotasikan dengan NB-L(r, 𝜆 ) jika memenuhi kondisi sebagai berikut:
𝑋|𝛩~𝑁𝐵(𝑟, 𝑝 = 𝑒 −𝛩 ) 𝑑𝑎𝑛 𝛩~𝐿𝑖𝑛𝑑(𝜆) dengan r > 0 dan 𝜆 > 0.
Fungsi pembangkit momen 𝑋 ~ 𝑁𝐵 − 𝐿(𝑟, 𝜆) adalah
𝑃 𝛩 (𝑧) = 𝜆 2 𝜆 + 1 ( 𝜆 − 𝑧 + 1 (𝜆 − 𝑧) 2 ),
dengan 𝑧 = 0,1,2, … .

## 2.5  Kredibilitas Bühlmann-Straub
Model Bühlmann-Straub adalah model Bühlmann yang telah dimodifikasi. Pada model ini, kerugian per-objek yang rentan terhadap risiko jika risiko tersebut benar-benar terjadi (eksposur) dapat bervariasi dari tahun ke tahun, dan jumlah tahun pengamatan dapat berubah dari satu risiko ke  risiko  lainnya.  Untuk  menentukan  kredibilitas  Bühlmann-Straub  diperlukan  beberapa parameter, yaitu:
1. Hypothetical mean atau premi individu (μ(𝛩 𝑖 )) dan nilai harapan dari hypothetical mean (μ), μ(𝛩 𝑖 ) =  𝐸(𝑋̅ 𝑖 |𝛩),                                                                   (9) 𝐸(𝑋̅ 𝑖 ) = 𝐸[𝐸(𝑋̅ 𝑖 |𝛩 𝑖 )] = 𝐸(μ(𝛩 𝑖 ) = μ.                                                (10)
Ikhsan Maulidi, Uswah, Rini Oktavia, Alim Misbullah, Vina Apriliani
2. Nilai harapan dari variance process (𝑣) dan varians dari hypothetical mean (𝑎),
𝑣𝑎𝑟(𝑋 𝑖 |𝛩) =  𝑣𝑎𝑟(μ(𝛩) + 𝐸 [ 𝑣𝑎𝑟(𝛩) 𝑚 𝑖 ] = 𝑉 𝑚 𝑖 + 𝑎,                             (11) 𝑣 =  𝐸 (𝑉𝑎𝑟((𝑋 𝑖 |𝛩))),                                                              (12) 𝑎 =  𝑣𝑎𝑟(𝜇(𝛩)).                                                                           (13) 3. Koefisien  kredibilitas  Bühlmann-Straub (𝑘) ,  faktor  kredibilitas  Bühlmann-Straub  populasi (𝑍) , faktor kredibilitas Bühlmann-Straub untuk setiap kelompok pemegang polis 𝑖 (𝑍 𝑖 ) , premi Bühlmann-Straub  populasi (𝐶) ,  premi  Bühlmann-Straub  untuk  setiap  kelompok  pemegang polis 𝑖 (𝐶̂ 𝑖 ) . Persamaan untuk menentukan koefisien kredibilitas Bühlmann-Straub adalah 𝑘 = 𝑣 𝑎 .                                                                                (14)
Dari  persamaan  (14),  maka  didapat  faktor  kredibilitas  Bühlmann-Straub  untuk  setiap kelompok pemegang polis 𝑖 , yaitu:
𝑍 𝑖 = 𝑚 𝑖 𝑚 𝑖 + 𝑘 ,                                                                           (15) dengan 𝑚 𝑖 menyatakan  banyaknya  pemegang  polis  pada  grup  ke 𝑖 untuk  semua  periode .
Selanjutnya, besar premi kredibilitas untuk setiap kelompok pemegang polis 𝑖 adalah 𝐶̂ 𝑖 = 𝑍 𝑖 𝑋̅ 𝑖 + (1 − 𝑍 𝑖 )𝑋̅ 𝑖 .                                                                (16) Untuk menentukan besar klaim untuk setiap grup polis 𝑖 dapat digunakan persamaan
𝑋̅ 𝑖 = ∑ 𝑚 𝑖𝑗 𝑚 𝑖 𝑛 𝑗=1 𝑋 𝑖𝑗 , 𝑖 = 1, … . 𝑙
dengan 𝑚 𝑖𝑗 menyatakan  banyaknya  pemegang  polis  grup  ke 𝑖 pada  periode  ke 𝑗. Penentuan banyak individu kelompok pemegang polis untuk setiap grup polis 𝑖 adalah dengan persamaan
𝑚 𝑖 = ∑ 𝑚 𝑖𝑗 .
𝑛
𝑗=1
Dengan menggunakan persamaan-persamaan di atas, maka didapatkan pula faktor kredibilitas Bühlmann-Straub populasi, yaitu:
𝑍 = 𝑚 𝑚 + 𝑘 ,                                                                            (17)
di mana 𝑚 =   ∑ 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖=1 dan 𝑘 memenuhi persamaan (14). Besaran premi populasi adalah 𝐶 = 𝑍𝑋̅ + (1 − 𝑍)μ                                                                     (18) dengan 𝑋̅ menyatakan besar rataan klaim data amatan dan dihitung dengan persamaan
𝑋̅ = ∑ 𝑚 𝑖 𝑋̅ 𝑖 𝑚 𝑛 𝑗=1 , [1].

## 3 Hasil dan Pembahasan
Model  penentuan  premi  dengan  kredibilitas  Bühlmann-Straub  dapat  ditentukan  dengan memberikan  persamaan  dugaan  parameter  kredibilitasnya.  Berikut  diuraikan  proses  penurunan persamaan dugaan parameter tersebut.

## 3.1  Persamaan Hypothetical Mean
Berdasarkan  persamaan  (4)  dan  persamaan  (9),  formula hypothetical  mean menggunakan distribusi Binomial Negatif-Lindley dapat ditentukan sebagai berikut:
μ(𝛩 𝑖 ) = 𝐸(𝑋̅ 𝑖 |𝛩 = 𝜃) = 𝑚 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑝 + 1 − 𝑝 𝑝 + ⋯ … + 1 − 𝑝 𝑝 ) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 ).                                                                        (19)
Karena 𝑋 𝑖 |𝛩~ 𝑁𝐵(𝑟, 𝑝 = 𝑒 −𝜃 ) , maka persamaan hypothetical mean pada persamaan (19) adalah
𝜇(𝜃 𝑖 ) = 𝐸(𝑋̅ 𝑖 |𝛩 𝑖 = 𝜃 𝑖 ) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 ) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟( 1 − 𝑒 −𝜃 𝑖 ) 𝑒 −𝜃 𝑖 ) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 (𝑒 𝜃 𝑖 − 1).         (20)
Dengan menggunakan persamaan (10) dan persamaan (20), maka nilai harapan dari hypothetical mean/collective premium (𝜇) adalah
𝜇 𝑖 = 𝐸[𝑋̅ 𝑖 ] = 𝐸(𝐸(𝑋̅ 𝑖 |𝛩)) = 𝐸(𝜇 𝑖 (𝛩 𝑖 )) = 𝐸 (𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 (𝑒 𝜃 𝑖 − 1)).                              (21)
Berdasarkan  Lemma  6,  dijelaskan  bahwa 𝛩 ~ Lind (𝜆) memiliki  fungsi  pembangkit  momen, sehingga dengan menggunakan persamaan (8) maka persamaan (21) menjadi
𝜇 𝑖 = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 𝑧 + 1 (𝜆 𝑖 − 𝑧) 2 ) − 1) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 1 + 1 (𝜆 𝑖 − 1) 2 ) − 1) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 (𝜆 𝑖 − 1) 2 ) − 1) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 𝜆 𝑖 (𝜆 𝑖 − 1) 2 − 1).
Untuk  menentukan  premi  dibutuhkan  nilai  parameter 𝑎 .  Nilai 𝑎 merupakan  ragam  dari hypothetical mean 𝜇(𝛩) . Berdasarkan persamaan (13) dan persamaan (20)  maka diperoleh 𝑎 𝑖 = 𝑣𝑎𝑟 (𝜇(𝛩)) =  𝑣𝑎𝑟 (𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 (𝑒 𝛩 𝑖 − 1))
=   𝑚 𝑖 𝑣𝑎𝑟 (𝑟 𝑖 𝑒 𝛩 𝑖 − 𝑟 𝑖 ) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 𝑣𝑎𝑟 (𝑒 𝛩 𝑖 ) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 2 [ 𝐸 (𝑒 2𝛩 𝑖 ) − (𝐸 (𝑒 𝛩 𝑖 )) 2 ].                                                                                              (22)
Dengan menggunakan persamaan (8), maka persamaan (22) menjadi 𝑎 𝑖 = 𝑟 2 𝑚 𝑖 [𝐸(𝑒 2𝛩 𝑖 ) − (𝐸(𝑒 𝛩 𝑖 )) 2 ] = 𝑟 2 𝑚 𝑖 [ 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 𝑧 + 1 (𝜆 𝑖 − 𝑧) 2 )    − ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 𝑧 + 1 (𝜆 𝑖 − 𝑧) 2 )) 2 ] = 𝑟 2 𝑚 𝑖 [ 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 2 + 1 (𝜆 𝑖 − 2) 2 ) − ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 1 + 1 (𝜆 𝑖 − 1) 2 )) 2 ] = 𝑟 2 𝑚 𝑖 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 [ 𝜆 𝑖 − 1 (𝜆 𝑖 − 2) 2 − ( 𝜆 𝑖 4 (𝜆 𝑖 + 1)((𝜆 𝑖 − 1) 4 )].                                                     (23)

## 3.2 Persamaan Variance Process dan Nilai Harapannya
Persamaan variance  process menggunakan  distribusi  NB-L  dapat  ditentukan  dengan menggunakan persamaan (11), yaitu:
𝑣𝑎𝑟(𝑋 𝑖 |𝛩 𝑖 = 𝜃 𝑖 ) = 𝑣 𝑖 (𝜃) 𝑚 𝑖 →   𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 𝑣𝑎𝑟(𝑋 𝑖 |𝛩 𝑖 = 𝜃 𝑖 )
𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 ( 𝐸((𝑋 𝑖 ) 2 |𝛩 𝑖 = 𝜃 𝑖 ) − ( 𝐸((𝑋 𝑖 )|𝛩 𝑖 = 𝜃 𝑖 )) 2 ).        (24)
Berdasarkan  persamaan  (5)  dan  persamaan  (6)  serta 𝑋 𝑖 berdistribusi  Binomial  Negatif,  maka variance process pada persamaan (24) menjadi
𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 )[1 + 𝑟 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 )] 𝑝 𝑖 2 − ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 ) 2 )
𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 )[1 + 𝑟 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 )] 𝑝 𝑖 2 − ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 ) ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 ))
𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 ( 𝑟 𝑖 ( 1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑝 𝑖 2 ) = 𝑚 𝑖 ( −𝑟 𝑖 𝑝 𝑖 + 𝑟 𝑖 𝑝 𝑖 2 ) 𝑣 𝑖 (𝜃) = 𝑚 𝑖 (𝑟 𝑖 (𝑝 𝑖 −2 − 𝑝 𝑖 −1 )) = 𝑚 𝑖 (𝑟 𝑖 (𝑒 2𝛩 𝑖 − 𝑒 𝛩 𝑖 )).                                                                        (25)
Berdasarkan  persamaan  (12)  dan  persamaan  (25),  maka  diperoleh  nilai  harapan  dari variance process (𝑣 𝑖 ) , yaitu:
𝑣 𝑖 = 𝐸(𝑣(𝛩 𝑖 )) = 𝑚 𝑖 (𝐸 (𝑟 𝑖 (𝑒 2𝛩 𝑖 − 𝑒 𝛩 𝑖 ))) = 𝑚 𝑖 (𝑟 𝑖 [𝐸(𝑒 2𝛩 𝑖 ) − 𝐸(𝑒 𝛩 𝑖 )]).                 (26)
Dengan menggunakan persamaan (8), maka persamaan (26) menjadi
𝑣 𝑖 = 𝑚 𝑖 (𝑟 𝑖 [ 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 2 + 1 (𝜆 𝑖 − 2) 2 ) − 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 ( 𝜆 𝑖 − 1 + 1 (𝜆 𝑖 − 1) 2 )]) = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑖 ( 𝜆 𝑖 2 𝜆 𝑖 + 1 [ 𝜆 − 1 (𝜆 − 2) 2 − ( 𝜆 (𝜆 − 1) 2 )]).                                                                                 (27)

## 3.3 Koefisien Kredibilitas Bühlmann-Straub
Pada bagian sebelumnya telah didapatkan formula 𝑣 ( variance dari 𝜇(𝜃)) pada persamaan (27)  dan 𝑎 (nilai  harapan  dari 𝑣(𝜃)) pada  persamaan  (23),  sehingga  dari  formulasi  tersebut diperoleh koefisien kredibilitas Bühlmann-Straub ( 𝑘) berdasarkan persamaan (14), yaitu:
𝑘 = 𝑣 𝑎 = 𝑚 𝑖 𝑟 𝜆2 𝜆+1 [ 𝜆−1 (𝜆−2)2 −( 𝜆 (𝜆−1)2 )] 𝑚 𝑖 𝑟 2 𝜆 2 𝜆+1 [ 𝜆−1 (𝜆−2)2 −( 𝜆4 (𝜆+1)((𝜆−1)4 )] = 𝑚 𝑖 𝑟 𝑚 𝑖 𝑟 2 [ 𝜆 − 1 (𝜆 − 2) 2 − ( 𝜆 (𝜆 − 1) 2 )] [ 𝜆 − 1 (𝜆 − 2) 2 − ( 𝜆 4 (𝜆 + 1)((𝜆 − 1) 4 )] −1 = 1 𝑟 [ 𝜆 5 − 2𝜆 4 − 𝜆 3 + 3𝜆 2 − 1 𝜆 4 − 5𝜆 2 + 4𝜆 − 1 ].                                                                                                     (28)

## 3.4 Faktor Kredibilitas dan Premi Kredibilitas Bṻhlmann-Straub
Setelah  menformulasikan  model  seperti  pada  bagian  sebelumnya,  maka  kita  dapatkan faktor kredibilitas Bühlmann-Straub untuk setiap pemegang polis 𝑖 berdasarkan persamaan (15). Selanjutnya  persamaan  (16),  (17),  dan  (18)  dapat  digunakan  untuk  mengestimasi  premi kredibilitas Bṻhlmann-Straub untuk setiap kelompok polis dan populasi.

## 4 Simulasi Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  bersumber  dari  [13]. Data  tersebut  merupakan data  pemegang  polis  asuransi  jaminan  sosial  disabilitas  yang  diambil  dari  Amerika  Serikat selama 15 tahun dari tahun 2001 sampai dengan 2015 dengan 52 grup polis. Dari data tersebut terdapat  rataan  klaim  untuk  kelompok  pemegang  polis  ke- 𝐢 pada  tahun  ke- 𝐣 dengan 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, . . 𝟓𝟐 dan 𝒋 =  𝟏, 𝟐, . . 𝟏𝟓 . Potongan data tersebut disajikan dalam tabel berikut ini.
Tabel 1. Data Simulasi
Grup (i) Tahun (j) 1 2 3 … 14 15 1 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) 211792 223434 232793 … 329307 329307 𝑚 𝑖𝑗 42416 45172 47729 … 63816 61603 2 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) 489839 508690 532877 … 773985 773985 𝑚 𝑖𝑗 113158 122035 122938 … 163333 156934 3 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) 264615 272820 281761 … 414495 414495 𝑚 𝑖𝑗 60785 66489 67459 … 69664 66752 … 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) … … … … … …

## Ikhsan Maulidi, Uswah, Rini Oktavia, Alim Misbullah, Vina Apriliani
Grup (i) Tahun (j) 1 2 3 … 14 15 𝑚 𝑖𝑗 … … … … … … 51 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) 25573 26931 27896 … 35997 35997 𝑚 𝑖𝑗 6564 6397 7061 … 6164 6841 52 𝑋 𝑖𝑗 (𝑗𝑢𝑡𝑎 𝑑𝑜𝑙𝑎𝑟) 47655 51646 55450 … 86344 86344 𝑚 𝑖𝑗 11150 13700 14699 … 13430 11989
Algoritma yang digunakan dalam simulasi ini adalah sebagai berikut:
a) Menggunakan  penduga  maksimum likelihood dan  aplikasi  R  ( package  fitdistrplus )  untuk memberikan dugaan parameter 𝜃 𝑖 dan 𝑟 𝑖 , untuk 𝑖 = 1,2, … ,52.
b) Menggunakan metode momen untuk memberikan dugaan pada parameter 𝜆 𝑖.
Dari hasil sebelumnya diperoleh 𝜃 𝑖 dan 𝑟 𝑖 yang dapat dilihat pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Data Parameter Distribusi Binomial Negatif (𝑟 𝑖 , 𝑝 𝑖 ) 𝒊 r 𝒊 r 𝒑 𝜽 1 47,8056 0,0002 8,6746 27 62,9436 0,0019 6,2484 2 44,0627 0,0001 9,5708 28 106,2790 0,0062 5,0772 3 41,5500 0,0001 9,0032 29 76,0794 0,0033 5,7074 4 106,7460 0,0004 7,8795 30 22,5100 0,0004 7,7323 5 132,2030 0,0007 7,1998 31 61,6670 0,0043 5,4524 6 51,3646 0,0001 8,9114 32 76,1683 0,0008 7,0965 7 55,3160 0,0003 8,2178 33 43,2644 0,0005 7,5791 8 54,3212 0,0002 8,6190 34 48,9655 0,0002 8,5493 9 121,3640 0,0012 6,7539 35 64,8055 0,0013 6,6400 10 73,0055 0,0003 8,1882 36 76,5305 0,0003 8,0803 11 67,9605 0,0010 6,9374 37 164,8600 0,0002 8,4166 12 24,2776 0,0005 7,5955 38 0,2989 0,0000 13,0087 13 78,2677 0,0016 6,4087 39 37,0021 0,0015 6,5099 14 41,3394 0,0016 6,4398 40 41,9796 0,0014 6,5910 15 116,9740 0,0029 5,8371 41 41,7534 0,0003 8,2475 16 35,7089 0,0002 8,7737 42 55,9188 0,0001 9,1464 17 42,1173 0,0001 9,2189 43 70,0156 0,0003 8,1988 18 43,8819 0,0003 8,1171 44 193,2770 0,0014 6,5582 19 51,1501 0,0001 9,0820 45 51,9609 0,0030 5,7936 20 37,9837 0,0002 8,4893 46 26,8230 0,0006 7,4821 21 43,4207 0,0003 8,2353 47 32,6265 0,0003 8,2481 22 80,0172 0,0004 7,9280 48 35,2130 0,0002 8,7076 23 39,1226 0,0005 7,6053 49 54,8165 0,0003 8,1108 24 36,6808 0,0002 8,3286 50 114,7390 0,0001 9,1393 25 24,6443 0,0000 10,2527 51 76,6381 0,0024 6,0472 26 38,2412 0,0003 8,0209 52 30,9191 0,0005 7,7013

## Model Kredibilitas Bühlmann-Straub untuk Frekuensi Klaim Berdistribusi Binomial Negatif–Lindley
Dengan  menggunakan  persamaan  (8)  diperoleh  dugaan  parameter 𝜆 untuk  grup  polis  1 adalah 0,21051, dan dengan menggunakan persamaaan (28) diperoleh nilai koefisien kredibilitas 𝑘  = 0,074025 . Selanjutnya nilai 𝑍 𝑖 dapat ditentukan dengan persamaan (15).
Dari hasil yang diperoleh, tingkat kredibilitas tertinggi adalah 𝑍 50 sebesar 99,9999999% dan  tingkat  kredibilitas  terendah 𝑍 31 sebesar 99,99998285% .  Berdasarkan  hal  tersebut,  nilai faktor kredibilitas yang diperoleh sangatlah tinggi sehingga premi kredibilitas Bṻhlmann-Straub dengan  model  NB-L  dapat  ditentukan  dari  data  masa  lampau  sepenuhnya  yaitu  berupa  rataan data klaim tersebut.

## 5 Simpulan
Model  kredibilitas  Bühlmann-Straub  parametrik  dengan  klaim  berdistribusi  Binomial Negatif-Lindley  cocok  digunakan  untuk  mengaplikasikan  data  frekuensi  klaim  asuransi  yang memiliki  overdispersi  yang  tinggi.  Penentuan  premi  kredibilitas  Bṻhlmann  Straub  dilakukan dengan  memberikan  dugaan  parameter  kredibilitas  yang  bergantung  pada  parameter  distribusi Binomial  Negatif-Lindley.  Dari  contoh  aplikasi  yang  dilakukan,  model  NB-L  ini  memberikan nilai  faktor  kredibilitas  Bühlmann  yang  cukup  besar,  artinya  data  cukup  baik  dalam  menduga nilai premi di masa mendatang.

## 6 Ucapan Terima Kasih
Ucapan  terima  kasih  diberikan  kepada  Bapak  Agah  D.  Garnadi  dari  Departemen Matematika, Institut Pertanian Bogor,  Indonesia yang telah memotivasi penulis untuk mengkaji model kredibilitas ini.

## 7 Daftar Pustaka
[1] H. Bühlmann and A. Gisler, A Course in Credibility Theory and Its Applications . Springer Science & Business Media, 2006.
[2] A. R. Effendie, Teori Risiko Aktuaria dengan Software R . Yogyakarta: UGM Press, 2019.
[3] J.  A.  Green,  “Too  many  zeros  and/or  highly  skewed?  a  tutorial  on  modelling  health behaviour as count data with Poisson and Negative Binomial regression,” Heal. Psychol. Behav. Med. , vol. 9, no. 1, pp. 436–455, 2021, doi: 10.1080/21642850.2021.1920416.
[4] H. Zamani and N. Ismail, “Negative binomial-Lindley distribution and its application,” J. Math. Stat. , vol. 6, no. 1, pp. 4–9, 2010, doi: 10.3844/jmssp.2010.4.9.
[5] L.  M.  Wen,  W.  Wang,  and  J.  L.  Wang,  “The  credibility  premiums  for  exponential
principle,” Acta  Math.  Sin.  Engl.  Ser. ,  vol.  27,  no.  11,  pp.  2217–2228,  2011,  doi: 10.1007/s10114-011-9198-4.
[6] A. Hassan Zadeh and D. A. Stanford, “Bayesian and Bühlmann credibility for phase-type distributions  with  a  univariate  risk  parameter,” Scand.  Actuar.  J. ,  vol.  2016,  no.  4,  pp. 338–355, 2016.
[7] T. M. Karina, S. Nurrohmah, and I. Fithriani, “Buhlmann credibility model in predicting claim  frequency  that  follows  heterogeneous  Weibull  count  distribution,”  in Journal  of Physics:  Conference  Series ,  2019,  vol.  1218,  no.  1,  p.  012041.  doi:  10.1088/1742- 6596/1218/1/012041.
[8] I.  Maulidi  and  V.  Apriliani,  “Model  kredibilitas  Bühlmann  dengan  frekuensi  klaim berdistribusi Binomial Negatif-Lindley,” Limits J. Math. Its Appl. , vol. 18, no. 1, pp. 71– 78, 2021, doi: 10.12962/limits.v18i1.6690.
[9] I.  Maulidi,  W.  Erliana,  A.  D.  Garnadi,  S.  Nurdiati,  and  I.  G.  P.  Purnaba,  “Penghitungan kredibilitas dengan pustaka actuar dalam R,” J. Math. Its Appl. , vol. 16, no. 2, pp. 45–52, 2017, doi: 10.29244/jmap.16.2.45-52.
[10]  S. Ghahramani, Fundamentals of Probability . New York (US): Prentice Hall, 2005.
[11]  L.  J.  Bain  and  M.  Engelhardt, Introduction  to  Probability  and  Mathematical  Statistics . California: Duxbury Press, 1992.
[12]  M.  E.  Ghitany,  B.  Atieh,  and  S.  Nadarajah,  “Lindley  distribution  and  its  application,” Math. Comput. Simul. , vol. 78, no. 4, pp. 493–506, 2008, doi: 10.1016/j.matcom.2007.06.007.
[13]  I. S. Zahra, “Perhitungan Premi dengan Menggunakan Model Kredibilitas Buhlmann dan Buhlmann Straub,” Institut Pertanian Bogor, 2019.