## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 4, No. 1, 2022, pp. 1-14.

## Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Hasil Operasi Comb Graf Bintang
A. I. Kristiana 1,* , S. Indriani 1 & E.R Albirri 1
1 Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Jember
*Corresponding author : arika.fkip@unej.ac.id
Abstract. Let 𝐺(𝑉, 𝐸) is a simple graph and connected where 𝑉(𝐺) is vertex set and 𝐸(𝐺) is  edge  set. An  inclusive  local  irregularity  vertex  coloring  is  defined  by  a  mapping 𝑙: 𝑉(𝐺) → {1,2, … , 𝑘} as  vertex  labeling  and 𝑤 𝑖 : 𝑉(𝐺) → 𝑁 is  function  of  inclusive  local irregularity  vertex  coloring,  with 𝑤 𝑖 (𝑣) = 𝑙(𝑣) + ∑ 𝑙(𝑢) 𝑢∈𝑁(𝑣) .  In  other  words,  an  inclusive local irregularity vertex coloring is to assign a color to the graph with the resulting weight value by adding up the labels of the vertices  that are  neighbouring to its own label.  The  minimum number of colors produced from inclusive local irregularity vertex coloring of graph 𝐺 is called inclusive chromatic number local irregularity, denoted by 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐺) . In this paper, we learn about the  inclusive  local  irregularity  vertex  coloring  and  determine  the  chromatic  number  of  comb product on star graph.
Keywords: An Inclusive Local Irregularity Vertex Coloring, Comb Product On Star Graph

## 1 Pendahuluan
Sebuah  graf  didefinisikan  sebagai  pasangan  terurut  dari (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)) dimana 𝑉(𝐺) adalah himpunan tak kosong dari elemen yang disebut titik dan 𝐸(𝐺) adalah himpunan sisi  yang  berhingga  dan  boleh  kosong  serta  setiap  sisi  menghubungkan  dua  titik.  Dari definisi tersebut, sebuah graf dapat terbentuk apabila terdapat minimal satu titik saja dan tidak harus memiliki sisi [1]. Semua graf yang digunakan pada penelitian ini merupakan graf sederhana dan terhubung.
Pewarnaan graf merupakan pemberian warna pada setiap elemen pada graf sedemikian sehingga  setiap  elemen  graf  yang  bertetangga  memiliki  warna  yang  berbeda.  Terdapat tiga macam pewarnaan pada graf yaitu pewarnaan titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah.  Jumlah  warna  minimum  yang  dihasilkan  dari  pewarnaan  disebut  dengan bilangan kromatik [2].
Pewarnaan  ketakteraturan  lokal  merupakan  penggabungan  dari  konsep  pelabelan  dan pewarnaan titik pada graf. Hal ini dilakukan dengan cara meminimumkan label titik pada graf. Pelabelan graf merupakan suatu cara untuk memberikan label pada setiap elemen yang terdapat dalam suatu graf yaitu titik, sisi, atau keduanya. Kristiana, dkk dalam [3]
mendefinisikan  ketakteraturan  lokal,  misalkan 𝑙: 𝑉(𝐺) → {1,2, . . , 𝑘} merupakan  fungsi label  dan 𝑤: 𝑉(𝐺) → 𝑁 merupakan  fungsi  bobot.  Kristiana,  dkk  juga  mendapatkan bilangan kromatik ketakteraturan lokal pada graf lintasan, graf bintang, dan graf lingkaran [3]. Selain itu, graf yang telah diteliti yaitu graf roda [4], graf buku segitiga, graf pan, graf buku persegi, graf grid [5] dan graf hasil operasi comb graf bintang [6].
Pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  merupakan  pengembangan  konsep  dari pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  dimana  bobot  titik  yang  dihasilkan  dengan menjumlahkan  titik-titik  yang  bertetangga  dan  titik  dirinya  sendiri.  Berbeda  dengan pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  yang  bobot  titiknya  hanya  didapatkan  melalui penjumlahan titik-titik yang bertetangga saja. Pewarnaan dilakukan seminimal mungkin sedemikian sehingga titik yang bertetangga memiliki warna yang berbeda. A.I Kristiana dkk (2020) [7] telah mendefinisikan tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif sebagai berikut:
Definisi 1.1 [7] Diberikan 𝑙: 𝑉(𝐺) → {1,2, . . , 𝑘} adalah fungsi label dan 𝑤 𝑖 : 𝑉(𝐺) → 𝑁 adalah fungsi bobot pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif dengan 𝑤 𝑖 (𝑣) = 𝑙(𝑣) +
∑ 𝑙(𝑢) 𝑢∈𝑁(𝑣) .  Pelabelan l dikatakan  sebagai  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal inklusif jika :
(i) 𝑂𝑝𝑡(𝑙) = 𝑚𝑖𝑛{𝑚𝑎𝑥{𝑙 𝑎 }}; 𝑙 𝑎 adalah pelabelan titik ketakteraturan lokal inklusif (ii) Untuk setiap titik 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺), 𝑤 𝑖 (𝑢) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑣) .
Definisi  1.2 [7] Jumlah  warna  minimum  yang  dihasilkan  dari  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif sebuah graf G disebut bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal inklusif, dinotasikan dengan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐺) .
Definisi  1.3 [8] Jumlah  warna  minimum  yang  dihasilkan  dari  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal sebuah graf G disebut bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal, dinotasikan dengan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐺) .
Pada artikel ini, untuk memudahkan dalam menemukan pewarnaan titik ketakteraturan lokal  inklusif    pada  sebuah  graf  maka  akan  digunakan  definisi,  lemma,  proposisi,  dan observasi sebagai berikut :
Lemma  1.1 [7] Diberikan  graf  G  adalah  graf  sederhana  dan  terhubung,  maka
( ) ( ) i lis lis G G  

## 
Observasi 1.1 Suatu graf 𝐺 dengan derajat titik yang berbeda memiliki optimal pelabelan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 1 .
Observasi 1.2  Misalkan graf 𝐺 dengan derajat titik yang sama memiliki optimal pelabelan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 .
Preposisi  1.1 [8] Misalkan (𝑆 𝑚 ) adalah  graf  bintang  dengan  order 𝑚 + 1 dan (𝑆 𝑛 ) adalah graf bintang dengan order 𝑛 + 1 , untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan (titik tempel) dari graf bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 , maka 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 .
Preposisi  1.2 [6] Misalkan (𝐾 𝑚,𝑝 ) dan (𝑆 𝑛 ) adalah  graf  komplit  bipartite  dan  graf bintang. Untuk setiap 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan (titik tempel)  dari graf bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 , maka 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 .
Preposisi 1.3 [6] Misalkan (𝐹𝑟 𝑚 ) dan (𝑆 𝑛 ) adalah graf persahabatan dan graf bintang. Untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan (titik tempel)  dari graf bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 , maka 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 .
Penelitian ini menggunakan graf hasil operasi comb dengan graf bintang. Operasi comb graf adalah operasi  yang  akan digunakan pada penelitian ini. Misalkan 𝐺 dan 𝐻 adalah graf terhubung dan 𝑜 adalah titik pusat dari 𝐻 [11]. Pada operasi comb graf , graf 𝐺 dan 𝐻 dinotasikan dengan 𝐺 ▷ 𝑜 𝐻 merupakan graf yang diperoleh dengan mengambil satu salinan graf 𝐺 , dengan |𝑉(𝐺)| merupakan salinan dari 𝐻 , yang meletakkan titik 𝑜 dengan masing–masing salinan graf 𝐻 ke– i terhadap titik ke– i dari sebuah graf 𝐺 .
Pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  juga  tergolong  topik  yang  baru  dan masih  banyak  graf  yang  belum  diteliti  pada  topik  ini  sehingga  peneliti  melakukan penelitian  tentang  topik  ini  dengan  graf  yang  berbeda.  A.I  Kristiana  dkk  [7]  telah melakukan penelitian terkait pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada beberapa graf sederhana,  yang meliputi graf lintasan, graf lingkaran dan graf bintang.  Penelitian tersebut menjadi penelitian awal mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif yang kemudian dilanjutkan oleh penelitian lain yaitu U.A Anwar dkk [9] yang meneliti mengenai pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada keluarga graf pohon dan A. Maarif  dkk  [10]  yang  meneliti  mengenai  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif pada graf kipas (𝐹 𝑛 ) , graf petasan (𝐹 𝑛,4 ) ,dan graf matahari (𝑆𝐿 𝑛 ) .

## 2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode pendeteksi pola dan metode deduksi  aksiomatik.  Metode  pendeteksi  pola  digunakan  untuk  merumuskan  pola  dari bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  beberapa  graf  yang  akan  diteliti sedangkan  metode  deduksi  aksiomatik  digunakan  dengan  menerapkan  prinsip-prinsip pembuktian  deduktif  yang  berlaku  dalam  logika  matematika  dengan  menggunakan
aksioma, lemma, dan teorema yang sudah ada kemudian diterapkan dalam penyelesaian dari  suatu  permasalahan  yang  berkaitan  dengan  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal inklusif.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Dalam artikel ini, kami membahas bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal inklusif pada  hasil  operasi comb graf  bintang  yaitu (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ), (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ), dan (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) sehingga menghasilkan teorema yang terurai sebagai berikut:
Teorema 3.1 Misalkan (𝑆 𝑚 ) adalah graf bintang dengan order 𝑚 + 1 dan (𝑆 𝑛 ) adalah graf bintang dengan order 𝑛 + 1 , untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan  dari graf  bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 ,  maka  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif pada graf 𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 .
Bukti. Diketahui graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah graf bintang (𝑆 𝑚 ) dengan order 𝑚 + 1 dan (𝑆 𝑛 ) adalah  graf  bintang  dengan  order 𝑛 + 1 . Himpunan  titik  dari  graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝑉(𝑆 𝑚 ▷ 𝑣 0 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 𝑖,𝑗 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} .  Himpunan  sisi  dari  graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑣 0 𝑆 𝑛 ) adalah 𝐸(𝑆 𝑚 ▷ 𝑣 0 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 0,0 𝑥 𝑖,0 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚}   ∪ {𝑥 𝑖,0 𝑥 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 0,0 𝑥 0,𝑗 , 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} .  Sehingga  didapatkan  kardinalitas  titiknya  yaitu |𝑉(𝑆 𝑚 ▷ 𝑣 0 𝑆 𝑛 )| = (𝑚 + 1)(𝑛 + 1) dan  kardinalitas  sisinya  yaitu |𝐸(𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 𝑚(𝑛 + 1) + 𝑛 . Apabila setiap 𝑣(𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dilabeli dengan 1, maka akan didapatkan bobot dari titik yang bertetangga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) dan 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) yaitu:
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) + 𝑙(𝑥 0,0 ) + 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 3 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = 𝑙(𝑥 0,0 ) + 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 2
Perhitungan bobot diatas didapatkan setiap titik yang bertetangga pada graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) memiliki derajat yang berbeda. Berdasarkan Observasi 1.1, maka didapatkan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 1 . Selanjutnya  untuk  membuktikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 .  Berdasarkan  Lemma  1.1  dan Preposisi 1, batas bawah dari bilangan kromatik titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 .  Kemudian  batas  atas dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) didefiniskan 𝑙: 𝑉(𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {1} dengan 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1 untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 , sehingga  diperoleh perhitungan  bobot  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) sebagai berikut.
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = { 2, 𝑛 + 2, 𝑚 + 𝑛 + 1, untuk 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 𝑛
untuk 𝑖 = 0, 𝑗 = 0
Dari perhitungan bobot titik ketakteraturan lokal inklusif didapatkan, |𝑤 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 3 untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 sebagai  batas  atas  dari  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal inklusif. Dalam hal ini telah didapatkan batas bawah melalui Preposisi 1.1 dan batas atas melalui fungsi bobot maka diketahui bahwa 3 = 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Berdasarkan  Definisi  1.1  tentang  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  dapat disimpulkan  bahwa  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≥ 3 dan 𝑛 ≥ 3 adalah  3  atau 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Maka  pembuktian  telah selesai.
(a) (b)
Gambar 1 a) Graf (𝑺 𝒎 ▷ 𝐨 𝑺 𝒏 ) , (b) Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Graf (𝑺 𝟓 ▷ 𝐨 𝑺 𝟑 )
Gambar 1 di atas merupakan gambar graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) yang telah diberi pelabelan, perhitungan bobot dan pewarnaannya. Gambar 1 (a) merupakan gambar graf (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) secara umum dan Gambar 1 (b) merupakan salah satu contoh gambar graf S 5 ▷ o S 3 yang telah dilakukan pelabelan dan perhitungan bobot warnanya.
Teorema 3.2 Misalkan (𝐾 𝑚,𝑝 ) dan (𝑆 𝑛 ) adalah graf komplit bipartite dan graf bintang. Untuk  setiap 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan  titik  pelekatan  dari  graf  bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 ,  maka  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf 𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 adalah
𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = { 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ≠ 𝑝, 𝑛 ≥ 3
4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 = 𝑝, 𝑛 ≥ 3 .
Bukti. Diketahui  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah  graf    komplit  bipartite  dan  graf  bintang. Untuk setiap 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 . Himpunan  titik  dari  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝑉(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑣 0 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} .  Himpunan  sisi  pada  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝐸(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 𝑖,0 𝑥 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝} ∪ {𝑥 𝑖,0 𝑦 𝑗,0 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑖,0 𝑦 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑝} .Sehingga  kita  dapatkan  kardinalitas  titiknya yaitu |𝑉(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 𝑚 + 𝑝(𝑛 + 1) dan  didapat  kardinalitas  sisinya  yaitu |𝐸(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 𝑚𝑝 + 𝑛(𝑚 + 𝑝) .  Pada  pembuktian  teorema  ini  terdapat  dua  kasus bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) yaitu ketika 𝑚 ≠ 𝑝 dan 𝑚 = 𝑝 sebagai berikut.
Kasus 1. Untuk 𝑚 ≠ 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3
Bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≠ 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah  3.  Apabila  setiap 𝑣(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dilabeli  dengan  1,  maka akan didapatkan bobot dari titik yang bertetangga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) dan 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) yaitu :
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 + ∑ 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) 𝑝 𝑖=1 = 1 + 𝑛 + 𝑝 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) + ∑ 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) 𝑚 𝑖=1 = 1 + 𝑛 + 𝑚
Diketahui 𝑚 ≠ 𝑝 sehingga  didapatkan  setiap  titik  yang  bertetangga  pada  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≠ 𝑝 memiliki derajat yang berbeda. Berdasarkan Observasi 1.1, maka didapatkan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) = 1 . Untuk membuktikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Berdasarkan Lemma  1.1  dan  Preposisi  1.2,  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik  titik  ketakteraturan lokal  inklusif  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≠ 𝑝 didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Kemudian batas atas dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 didefiniskan 𝑙: 𝑉(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {1} . Pelabelan  titk  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah sebagai berikut.
𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) = 1
Perhitungan bobot titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 yang didapatkan dari penjumlahan label yang bertetangga dengan label dirinya sendiri adalah sebagai berikut.
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = { 2, 1 + 𝑛 + 𝑝, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 0
𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) = { 2, 1 + 𝑛 + 𝑚, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0
Dari  perhitungan  bobot  titik  di  atas  didapatkan |𝑤 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 3 dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 sebagai  batas atas dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 .  Sehingga  telah didapatkan batas bawah melalui Preposisi 1.2 dan batas atas melalui fungsi bobot, maka diketahui  bahwa 3 = 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Berdasarkan  Definisi 1.1  tentang  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  dapat  disimpulkan  bahwa bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah  3  atau 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Pembuktian  pewarnaan  titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 ≠ 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 telah selesai.
(a) (b)
Gambar  2 (a)  Graf (𝑲 𝒎,𝒑 ▷ 𝒐 𝑺 𝒏 ), (b)  Pewarnaan  Titik  Ketakteraturan  Lokal Inklusif pada Graf (𝑲 𝒎,𝒑 ▷ 𝒐 𝑺 𝒏 )
Gambar 2 merupakan gambar graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) yang telah diberi pelabelan, perhitungan bobot  dan  pewarnaannya.  Gambar  2  (a)  merupakan  gambar  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) secara
umum dan Gambar 2 (b) merupakan salah satu contoh gambar graf (𝐾 2,3 ▷ 𝑜 𝑆 3 ) yang telah dilakukan pelabelan dan perhitungan bobot warnanya.
Kasus 2. Untuk 𝑚 = 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3
Bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 = 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah 4. Apabila setiap 𝑣(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dilabeli dengan 1, maka akan didapatkan bobot dari titik yang bertetangga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) dan 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) yaitu :
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 + ∑ 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) 𝑝 𝑖=1 = 1 + 𝑛 + 𝑝 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) + ∑ 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) 𝑚 𝑖=1 = 1 + 𝑛 + 𝑚 .
Diketahui 𝑚 = 𝑝 sehingga  didapatkan  setiap  titik  yang  bertetangga  pada  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 = 𝑝 memiliki derajat yang sama. Hal tersebut kontradiksi dengan Definisi 1.2 tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif dimana setiap titik yang bertetangga 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) tidak  boleh  sama.  Berdasarkan  Observasi  1.2,  maka  optimum pelabelan graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≠ 𝑝 didapatkan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 .
Selanjutnya  untuk  membuktikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 .  Berdasarkan  Lemma  1.1  dan Preposisi  1.2,  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 untuk 𝑚 = 𝑝 .  Kemudian  batas atas dari bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 didefiniskan 𝑙: 𝑉(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {1,2} . Pelabelan titk ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 .
Apabila 𝑣(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dilabeli dengan {1,2} secara berturut-turut maka pelabelan titiknya seperti berikut.
𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1,       untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) = { 1, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
2, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0
Bobot titik yang diperoleh dari penjumlahan label titik yang bertetangga dengan dirinya sendiri yaitu sebagai berikut.
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = { 2, 1 + 𝑛 + 2𝑝,
untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 0
𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) = { 3, 2 + 𝑚 + 𝑛, untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0
Dari  perhitungan  bobot  titik  di  atas  didapatkan |𝑤 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 4 dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 . Nilai bilangan kromatik dari pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 tidak sama dengan batas bawah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 . Akan dibuktikan batas bawah untuk bilangan kromatik sama dengan 3 tidak berlaku. Asumsikan bahwa 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 , yang artinya akan terdapat 3 warna dari hasil pewarwanaan titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 . Apabila setiap titik dilabeli  dengan  1  dan  2,  maka  akan  didapatkan  kemungkinan  bobot  titik  pada  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dengan 𝑚 = 𝑝 untuk 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 .
Tabel 1 Kemungkinan Bobot Titik (𝑲 𝒎,𝒑 ▷ 𝒐 𝑺 𝒏 ) dengan 𝒎 = 𝒑
𝑣(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) 𝑑(𝑣) 𝑤 𝑖 (𝑣) 𝑥 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 1 2 ≤ 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) ≤ 3 𝑦 𝑖,𝑗 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 1 3 ≤ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) ≤ 4 𝑥 𝑖,0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 0 𝑛 + 𝑝 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 ≤ 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) ≤ 2𝑛 + 2𝑝 + 2𝑚 𝑦 𝑖,0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0 𝑛 + 𝑚 𝑚 + 𝑛 + 𝑝 ≤ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) ≤ 2𝑛 + 2𝑝 + 2𝑚
Diketahui 𝑚 = 𝑝 , jika (𝑥 𝑖,0 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 0 dan (𝑦 𝑖,0, ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0 adalah  titik  yang  bertetangga  memiliki  derajat  yang  sama  yaitu 𝑛 + 𝑝 dan 𝑛 + 𝑚. Sehingga akan didapatkan beberapa kemungkinan label titik yang berderajat 𝑛 + 𝑝 dan 𝑛 + 𝑚 yaitu 1,1,1,…,1 pada titik 𝑛 . Apabila 𝑚 dan 𝑝 dilabeli dengan 1 atau 2 pada titik (𝑥 𝑖,0 ) dan (𝑦 𝑖,0 ) sehingga  akan  didapatkan  beberapa  kemungkinan  bobot  titik  sebagai berikut.
a. Untuk 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) = 1 , 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) = 1 dengan 𝑛 = 1 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) = 1 + 𝑛 + 𝑚 , dengan 𝑚 = 𝑝
b. Untuk 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) = 2 , 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) = 2 dengan 𝑛 = 1 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) = 2 + 𝑛 + 2𝑚 , dengan 𝑚 = 𝑝
Berdasarkan pernyataan di atas, tidak mungkin titik yang bertetangga memiliki bobot titik yang sama. Hal ini kontradiksi dengan Definisi 1.1 tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif karena 𝑥 𝑖,0 𝑦 𝑖,0 ∈ 𝐸(𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ), sehingga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) .
Apabila (𝑥 𝑖,0 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑗 = 0 dan (𝑦 𝑖,0, ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑝, 𝑗 = 0 adalah  titik yang  bertetangga  memiliki  derajat  yang  sama  yaitu 𝑛 + 𝑝 dan 𝑛 + 𝑚 .  Asumsikan  titik (𝑥 𝑖,𝑗 ) dan (𝑦 𝑖,𝑗 ) untuk 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 𝑝;  1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚, 𝑝 dilabeli dengan 1,1,1,1,1,…1. Apabila 𝑚 dan 𝑝 dilabeli dengan 1 dan 2 pada titik (𝑥 𝑖,0 ) dan (𝑦 𝑖,0 ) sehingga akan didapatkan beberapa kemungkinan bobot titik sebagai berikut.
a. Untuk 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) = 1 , 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) = 2 dengan 𝑛 = 1 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) b. Untuk 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1 , 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) = 1 dengan 𝑝 = 2 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) c. Untuk 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) = 1 , 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) = 2 dengan 𝑚 = 1 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 ) d. Untuk 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1 , 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) = 2 dengan 𝑚, 𝑝 = 1 diperoleh 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) ≠ 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,0 )
Asumsikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 untuk 𝑚 = 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 maka terdapat 4 warna pada graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) . Titik yang berderajat 𝑛 + 𝑝 bertetangga dengan titik yang berderajat 1, jika mengikuti pola pelabelan yang telah ditetapkan didapatkan bobot titik yang berderajat 1 yaitu :
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = 2 , untuk 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = 1 dan 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) = 1 𝑤 𝑖 (𝑦 𝑖,𝑗 ) = 3 , untuk 𝑙(𝑦 𝑖,𝑗 ) = 1 dan 𝑙(𝑦 𝑖,0 ) = 2
Dari pernyataan di atas, titik yang berderajat 1 memiliki 2 bobot titik yang berbeda. Jadi batas  bawah  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 = 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 4 . Berdasarkan batas atas dan  batas  bawah  bilangan  kromatik  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif, didapatkan 4 ≤ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≤ 4 , sehingga terbukti bahwa 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 untuk 𝑚 = 𝑝 dengan 𝑚, 𝑝 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 .
(a) (b)
Gambar  3 (a)  Graf (𝑲 𝒎,𝒑 ▷ 𝒐 𝑺 𝒏 ) ,  (b)  Pewarnaan  Titik  Ketakteraturan  Lokal Inklusif pada Graf (𝑲 𝟑,𝟑 ▷ 𝒐 𝑺 𝟑 )
Gambar 3 merupakan gambar graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) yang telah diberi pelabelan, perhitungan bobot  dan  pewarnaannya.  Gambar  3  (a)  merupakan  gambar  graf (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) secara umum dan Gambar 3 (b) merupakan salah satu contoh gambar graf (𝐾 3,3 ▷ 𝑜 𝑆 3 ) yang telah dilakukan pelabelan dan perhitungan bobot warnanya.
Teorema  3.3  Misalkan (𝐹𝑟 𝑚 ) dan (𝑆 𝑛 ) adalah  graf  persahabatan  dan  graf  bintang. Untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan titik pelekatan dari graf bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 , maka bilangan kromatik ketakteraturan lokal inklusif pada graf 𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 adalah 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 .
Bukti. Diketahui  graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah  graf  persahabatan  dan  graf  bintang  untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 dengan  titik  pelekatan  dari  graf  bintang (𝑆 𝑛 ) berderajat 𝑛 . Himpunan titik dari graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝑉(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 𝑖,𝑗 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan himpunan sisi dari graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) adalah 𝐸(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {𝑥 0,0 𝑥 𝑖,0 , 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚} ∪ {𝑥 𝑖,0 𝑥 𝑖+1 , 𝑖 ∈ 𝑜𝑑𝑑, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚 − 1} ∪ {𝑥 𝑖,0 𝑥 𝑖,𝑗 , 0 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} . Kardinalitas  titiknya  yaitu |𝑉(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 2𝑚(𝑛 + 1) + 𝑛 + 1 dan  kardinalitas sisinya  yaitu |𝐸(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 3𝑚 + 𝑛(2𝑚 + 1) . Bilangan  kromatik  ketakteraturan lokal inklusif 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk  setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah 4. Apabila setiap 𝑣(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) dilabeli dengan 1, maka akan didapatkan bobot dari titik yang bertetangga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) dan 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖+1,0 ) yaitu:
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) = 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) + 𝑙(𝑥 𝑖+1,0 ) + 𝑙(𝑥 0,0 ) + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 = 3 + 𝑛
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖+1,0 ) = 𝑙(𝑥 𝑖+1,0 ) + 𝑙(𝑥 𝑖,0 ) + 𝑙(𝑥 0,0 ) + ∑ 𝑙(𝑥 𝑖+1,𝑗 ) 𝑛 𝑗=1 = 3 + 𝑛
Diketahui kedua titik yang bertetangga 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,0 ) dan 𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖+1,0 ) pada graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 memiliki bobot titik yang sama. Hal tersebut kontradiksi dengan Definisi 1.1 tentang pewarnaan titik ketakteraturan lokal inklusif dimana setiap titik  yang  bertetangga 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) tidak  boleh  sama.  Berdasarkan  Observasi  1.2,  maka optimum  pelabelan  graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk  setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 didapatkan 𝑜𝑝𝑡(𝑙) ≥ 2 .
Selanjutnya  untuk  membuktikan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 .  Berdasarkan  Lemma  1.1  dan Preposisi  1.3,  batas  bawah  dari  bilangan  kromatik  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif didapatkan 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 untuk  setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 . Kemudian  batas  atas  dari  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk  setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 didefiniskan 𝑙: 𝑉(𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = {1,2} . Pelabelan titik ketakteraturan lokal inklusif pada graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk setiap 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 .
𝑙(𝑥 𝑖,𝑗 ) = { 1, 1, 1, 2, 2, 2,
untuk  𝑖 = 0, 𝑗 = 0 untuk  𝑖 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 𝑗 = 0 untuk  𝑖 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk  𝑖 = 0, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
untuk  𝑖 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 untuk  𝑖 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 𝑗 = 0
Bobot titik yang diperoleh dari penjumlahan label titik yang bertetangga dengan dirinya sendiri yaitu sebagai berikut.
𝑤 𝑖 (𝑥 𝑖,𝑗 ) = { 3, 𝑛 + 4, 2𝑛 + 4, 3𝑚 + 2𝑛 + 1, untuk   0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛
untuk  𝑖 = 𝑔𝑒𝑛𝑎𝑝, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 𝑗 = 0
untuk  𝑖 = 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙, 1 ≤ 𝑖 ≤ 2𝑚, 𝑗 = 0
untuk  𝑖 = 0, 𝑗 = 0
Dari perhitungan bobot titik ketakteraturan lokal inklusif didapatkan, |𝑤 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 )| = 4 untuk 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 sebagai  batas  atas  dari  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal inklusif. Dalam hal ini telah didapatkan batas bawah melalui Preposisi 3 dan batas atas
melalui fungsi bobot maka diketahui bahwa 4 = 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) ≥ 𝜒 𝑙𝑖𝑠 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 .  Berdasarkan  Definisi  1.1  yaitu  tentang  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif dapat  disimpulkan  bahwa  bilangan  kromatik  ketakteraturan  lokal  inklusif  graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) untuk 𝑚 ≥ 2 dan 𝑛 ≥ 3 adalah  4  atau 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4 . Maka pembuktian telah selesai.
Gambar 4 Pewarnaan Titik Ketakteraturan Lokal Inklusif pada Graf (𝑭𝒓 𝟑 ▷ 𝐨 𝑺 𝟑 )
Gambar 4 merupakan gambar graf (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) secara umum sedangkan untuk Gambar 5 merupakan salah satu  contoh  gambar  graf 𝐹𝑟 3 ▷ 𝑜 𝑆 3 yang telah dilakukan pelabelan dan perhitungan bobot warnanya.

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  pada  bab  sebelumnya,  telah  diperoleh  3  bilangan kromatik  baru  mengenai  topik  pewarnaan  titik  ketakteraturan  lokal  inklusif  pada  hasil operasi comb graf bintang yaitu :
(i) 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝑆 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 3 , (ii) 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐾 𝑚,𝑝 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = { 3, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 ≠ 𝑝, 𝑛 ≥ 3

## 4, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑚 = 𝑝, 𝑛 ≥ 3
(iii) 𝜒 𝑙𝑖𝑠 𝑖 (𝐹𝑟 𝑚 ▷ 𝑜 𝑆 𝑛 ) = 4

## 5 Ucapan Terima kasih
Kami mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya atas dukungan dari LP2M dan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Jember Indonesia tahun 2022.

## 6 Daftar Pustaka
[1] Hartsfield,  N.  and  G.  Ringel.  1990. Pearls  in  Graph  Theory  A  Comprehensive Introduction. New York: Academic Press, Inc.
[2] Dafik. 2015. Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya Keterampilan Berpikir Tingkat Tinggi. Pidato  Pengukuhan  Guru  Besar. Jember:  Pidato  Ilmiah  Pengukuhan Profesor di Lingkungan UNEJ. Mei.
[3] Kristiana.A.I.,  Dafik,  Utoyo,  M.  I.,  Slamin,  Alfarisi,  R.,  Agustin,  I.  H.,  dan  M. Venkatachalam. 2019. Local Irregularity Vertex Coloring of Graphs. International Journal of Civil Engineering and Technology. 10(4):451-461.
[4] Kristiana.A.I.,  Dafik,  Agustin  I.  h.,  Utoyo,    R.Alfarisi,  dan  Waluyo  E.  2019.  On The  Chromatic  Number  Local  Irregularity  of  Related  Wheel  Graph. IOP  Conf. Series : Journal of Physics. Conf. Series. 1211.0120003.
[5] N  Azahra,  Kristiana  A.I.,  Dafik,  dan  R  Alfarisi.  2020.  On  the  Local  Irregularity Vertex  Coloring  of  Related  Grid  Graph. International  Journal  of  Academic  and Applied Research (IJAAR) 1-4.
[6] Mursyidah,  I.L.,  Dafik,  R.  Adawiyah,  A.I.  Kristiana  dan  I.H.  Agustin.  2020.  On Local  Irregularity  Vertex  Coloring  of  Comb  Product  on  Star  Graphs. Journal  of Physics : Conference Series. 1836 012023.
[7] Kristiana.A.I.,  Dafik,  R.Alfarisi,  U.A.Anwar,  dan  S.M.Citra.  2020.  An  Inclusive Local  Irregularity  Coloring  Of  Graphs. Advances  in  Mathematics:  Scientific Journal. 10:8941-8946.
[8] Mursyidah, I.L., Dafik, R. Adawiyah, A.I. Kristiana, dan R. Alfarisi. 2021. On The Local Irregularity Vertex Coloring of Comb Product by Path Graph and Star Graph. Discrete Mathematics, Algoritms and Aplication.
[9] Anwar, U. A., A.I. Kristiana, A. Fatahillah, Dafik, dan R. Alfarisi. 2021. Pewarnaan Ketakteraturan  Lokal  Inklusif  pada  Keluarga  Graf  Pohon  Tree .  Journal  of Mathematics and Applications . 2(1): 24-30.
[10]  Maarif,  A.,  Halim,  M.  G.,  Indriani,  S.,  Kristiana,  A.  I.,  &  Alfarisi,  R.  (2021). Pewarnaan  Titik  Ketakteraturan  Lokal  Inklusif  pada  Graf  Kipas,  Graf  Petasan (n,4) dan Graf Matahari. 15(10), 8946.
[11]  R. Ramdani. 2019. On The Total Vertex Irregularity Strength of Comb Product of Two Cycles and Two Stars. Indonesian Journal of Combinatorics. 3(2):79-94.