Vol. 5, No.2, 108-114,  Januari  2009
Solusi Numerik Persamaan Differensial Biasa Dengan Menggunakan Metode Predictor – Corrector
Agustinus Ribal  dan Khaeruddin 

## Abstrak
Dalam tulisan ini akan diperkenalkan suatu  solusi numerik dari persamaan differensial biasa order  pertama  dengan  menggunakan  metode  predictor-corrector.  Pertama-tama  formula predictor  akan  ditentukan,  kemudian  menurunkan  predictor  formula  untuk  Adam-Bashforth beserta  dengan  corrector  formulanya  dimana  corrector  formula  akan  digunakan  untuk mengoreksi  nilai  yang  telah  diprediksi.  Selanjutnya,  perulangan  corrector  akan  dilakukan. Metode Runge Kutta orde keempat akan digunakan sebagai nilai awal dari metode predictor.
Kata  Kunci : corrector  method,  masalah  nilai  awal,  metode  banyak  langkah, persamaan differensial biasa.

## 1. Pendahuluan
Banyak  hasil  perumusan  matematika  dalam  bidang  sains  dan    teknik    berakhir  dalam bentuk  persamaan  differensial  biasa  orde  dan  tidak  dapat  diselesaikan  secara  analitik.  Untuk itulah dibutuhkan suatu metode numerik dalam menyelesaikan masalah-masalah tersebut. Dengan kemajuan  teknologi  komputer  sekarang  ini,  metode  numerik  bukan  lagi  masalah.  Beberapa metode  numerik  telah  diperkenalkan  untuk  menyelesaikan  persamaan  differensial  biasa  seperti, metode Taylor, metode Euler, metode Runge-Kutta dan lain-lain.
Dalam  tulisan  ini  kami  akan  mengkaji  sebuah  metode  yang  berbeda  dengan  metode yang disebutkan di atas. Metode yang akan digunakan dalam tulisan ini adalah metode predictor- corrector,  dimana  kita  pertama-tama  memprediksikan  solusi  numerik  dari  suatu  persamaan differensial  biasa  orde  pertama  kemudian  kita  mengoreksinya  dengan  metode  corrector.  Oleh karena kelemahan utama dari predictor method adalah tidak mempunyai nilai awal, maka dalam tulisan  ini  akan  digunakan  metode  Runge-Kutta  orde  keempat  dalam  menentukan  nilai  awal untuk metode predictor.

## 2.  Metode Banyak Langkah ( Multistep )
Seperti telah diketahui bahwa metode satu langkah seperti metode deret Taylor, metode Euler, dan metode Runge-Kutta yang berbentuk:
) , ( 1 n n n y x g y  
menggunakan hasil dari langkah terakhir proses untuk menentukan solusi berikutnya.
Metode  banyak  langkah  adalah  pengembangan  dari  metode  satu  langkah  yang menggunakan beberapa informasi sebelumnya untuk menentukan solusi yang diinginkan. Bentuk umum dari metode ini adalah:
) , ; ; , ; , ; , ( 2 2 1 1 1 p n p n n n n n n n n y x y x y x y x g y         
 dan  Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
Agustinus Ribal, Khaeruddin
dimana 0  p .
Penurunan metode banyak langkah adalah sebagai berikut:
) , ( y x f dx dy 
maka 0 ; ) , ( 1 1         p dx y x f y y n p n x x p n n (1)
dimana Galat s P y x f m   ) ( ) , (    ) 1 ( 1 1 0 1 ) 1 ( ) 1 (                         m m m m k n k k f h m s f k s
juga
sh x x n  
Sehingga persamaan (1) bisa ditulis:
      1 1 ) ( p m p n n ds s P h y y dan
) ( 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 1  
              m p m m f m s h error (2)

## 3.  Metode Adam-Bashforth Predictor-Corrector
Jika kita mengambil 0  p dan 3  m , maka persamaan (1) menjadi:
     1 ) , ( 1 n n x x n n dx y x f y y dengan sh x x n   dan n n n n f s s s f s s f s f s P y x f 3 2 3 6 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) ( ) , (           
Sehingga diperoleh formula predictor sebagai berikut:
    1 0 3 1 ) ( ds s P h y y n p n             1 0 3 2 6 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ds f s s s f s s f s f h y n n n n n               n n n n n f f f f h y 3 2 8 3 12 5 2 1   3 2 1 9 37 59 55 24
        n n n n n f f f f h y Jadi,
  3 2 1 1 9 37 59 55 24          n n n n n p n f f f f h y y
Dengan cara yang sama (menggunakan persamaan (2)), akan diperoleh galat sebagai berikut:
) ( 720 251 ) 5 ( 5 1  y h E p i  
Selanjutnya formula corrector untuk Adam-Bashforth diperoleh sebagai berikut:
     1 ) ( 3 1 n n x x n c n dx s P y y dimana 1 3 1 2 1 1 3 6 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ) (               n n n n f s s s f s s f s f s P dan sh x x n    1 Sehingga diperoleh corrector formula sebagai berikut:
                  0 1 1 3 1 2 1 1 1 6 ) 2 )( 1 ( 2 ) 1 ( ds f s s s f s s f s f h y y n n n n n c n                   1 3 1 2 1 1 24 1 12 1 2 1 n n n n n f f f f h y   2 1 1 5 19 9
24         n n n n n f f f f h y Jadi,   2 1 1 1 5 19 9
24          n n n n n c n f f f f h y y dengan galat sebesar ) ( 720 19 ) 5 ( 5 1  y h E c i   

## 4.  Diskritisasi Galat
Galat  pemotongan  dapat  diperkirakan  pada  setiap  langkah  untuk  mengurangi banyaknya iterasi dari corrector sebagai berikut:
P:   3 2 1 1 9 37 59 55 24          n n n n n n f f f f h y y dengan galat ) ( 720 251 ) 5 ( 5 1  y h E p i  
C:   2 1 1 1 5 19 9
24          n n n n n n f f f f h y y dengan galat
) ( 720 19 ) 5 ( 5 1  y h E c i   
Misalkan p n y 1  adalah nilai dari 1  n y yang diperoleh dari P, maka
1 1 3 1 ) 5 ( 5 1 1 1 1 ); ( 720 251 ) (             n n p n p n p n n x x y h y E y x y   (3) 1 2 2 2 ) 5 ( 5 1 1 1 1 ); ( 720 19 ) (             n n c n c n c n n x x y h y E y x y   (4)
Jika kita asumsikan bahwa turunan orde kelima dari ) ( x y konstan, maka
) ( ) ( ) ( ) 5 ( 1 ) 5 ( 2 ) 5 (    y y y   Oleh karena itu, dari persamaan (4) diperoleh ) ( 720 19 ) ( ) 5 ( 5 1 1  y h y x y galat c n n       (5)
Juga dari (3) dan (4) diperoleh
) ( 8 3 ) 5 ( 5 1 1  y h y y p n c n    
maka
  p n c n y y h y 1 1 5 ) 5 ( 3 8 ) (      (6)
Dengan memasukkan (6) ke (5) diperoleh
  p n c n y y galat 1 1 270 19     
Jadi galat pada setiap langkah adalah
  p n c n y y 1 1 270 19    

## 5.  Solusi Numerik
Pada  bagian  ini  akan  dipelajari  sebuah  contoh  dimana  kita  akan  menentukan  solusi dari persamaan differensial biasa orde pertama yaitu
] 1 . 0 , 0 [ ; '    x y x y 1 ) 0 (  y
Penentuan  solusi    dari  persamaan  differensial  biasa  di  atas  akan  dicari  dengan  dua  cara  yaitu dengan  predictor-corrector  dan  dengan  perulangan  corrector  sebanyak  dua  kali.  Sebagaimana telah  diketahui  bahwa  metode  predictor  tidak  mempunyai  nilai  awal,  maka  dalam  hal  ini  kami akan menggunakan metode Runge-kutta orde keempat untuk menentukan nilai awalnya.

## - Solusi  dengan menggunakan Predictor Method
Hasil    dari  persamaan  differensial  biasa  di  atas  dengan  metode  predictor  atau  metode banyak langkah ( multistep ) adalah sebagai berikut:
Tabel 1.  Metode Prediktor
n X Y f eksak galat 4 0.000  1.000000000000  1.000000000000  1.000000000000 0.000000000000 0.025  1.025630240885  1.050630240885  1.025630241049 0.000000000164 0.050  1.052542192417  1.102542192417  1.052542192752 0.000000000335 0.075  1.080768301254  1.155768301254  1.080768301769 0.000000000515

## Agustinus Ribal, Khaeruddin
0.100  1.110341828472  1.210341828472  1.110341836151
0.000000007679
Sambungan Tabel 1.
n x Y f eksak galat 16 0.000  1.000000000000  1.000000000000  1.000000000000 0.000000000000 0.025  1.025630241042  1.050630241042  1.025630241049 0.000000000007 0.050  1.052542192747  1.102542192747  1.052542192752 0.000000000005 0.075  1.080768301766  1.155768301766  1.080768301769 0.000000000003 0.100  1.110341836150  1.210341836150  1.110341836151 0.000000000001 32 0.000  1.000000000000  1.000000000000  1.000000000000 0.000000000000 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301769  1.155768301769  1.080768301769 0.000000000000 0.100  1.110341836152  1.210341836152  1.110341836151 0.000000000001 40 0.000  1.000000000000  1.000000000000  1.000000000000 0.000000000000 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301769  1.155768301769  1.080768301769 0.000000000000 0.100  1.110341836151  1.210341836151  1.110341836151 0.000000000000

## - Solusi numerik dengan menggunakan Predictor-Corrector (PEC)Method
Tabel 2. Predictor-Corector Method n x Y f eksak galat 4 0.100  1.110341836107  1.210341836107  1.110341836151 0.000000000044 16 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192754  1.102542192754  1.052542192752 0.000000000002 0.075  1.080768301773  1.155768301773  1.080768301769 0.000000000004 0.100  1.110341836158  1.210341836158  1.110341836151 0.000000000007 32 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301770  1.155768301770  1.080768301769 0.000000000001 0.100  1.110341836152  1.210341836152  1.110341836151 0.000000000001 40 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301769  1.155768301769  1.080768301769 0.000000000000 0.100  1.110341836151  1.210341836151  1.110341836151 0.000000000000

## Agustinus Ribal, Khaeruddin
-  Solusi numerik dengan perulangan corrector (PE(CE) 2 )
Tabel 3. Metode Perulangan corrector n x Y f eksak galat 4 0.100  1.110341836178  1.210341836178  1.110341836151 0.000000000027 16 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192754  1.102542192754  1.052542192752 0.000000000002 0.075  1.080768301773  1.155768301773  1.080768301769 0.000000000004 0.100  1.110341836158  1.210341836158  1.110341836151 0.000000000007 32 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301770  1.155768301770  1.080768301769 0.000000000001 0.100  1.110341836152  1.210341836152  1.110341836151 0.000000000001 40 0.025  1.025630241049  1.050630241049  1.025630241049 0.000000000000 0.050  1.052542192752  1.102542192752  1.052542192752 0.000000000000 0.075  1.080768301769  1.155768301769  1.080768301769 0.000000000000 0.100  1.110341836151  1.210341836151  1.110341836151 0.000000000000

## 6.  Kesimpulan
Dengan memperhatikan hasil numerik pada bagian sebelumnya, maka kita bisa melihat bahwa  hasil  numerik  setelah  dilakukan  koreksian  lebih  akurat  dari  sebelumnya.  Juga  setelah dilakukan perulangan terhadap corrector, maka nilai yang diperoleh pun lebih akurat.

## Daftar Pustaka
[1]. C.  Arévalo,  C.  Führer    &  M.  Selva,    2002,  " A  Collocation  Formulation  of  Multistep Methods for Variable Step-size Extensions ", Applied Numerical Mathematics , no. 42, pp. 5- 16.
[2]. R.I.  Becker,  1981,    " Two-Sided  Stability  and  Convergence  of  Multistage  and  Multistep Methods  for  Ordinary  Differential  Equations ", Mathematical  Analysis  and  Applications, vol. 81, pp. 453-473.
[3]. J.C.  Butcher,    2000,  " Numerical  methods  for  ordinary  differential  equations  in  the  20th century ", Computational and Applied Mathematics , no. 125, pp. 1-29.
[4]. J.  Frank,  W.  Hundsdorfer,    &  J.G.  Verwer,  1997,  " On  the  Stability  of  Implicit-explicit Linear Multistep Methods ", Applied Numerical Mathematics , no. 25, pp. 193 - 205.
[5]. S.K.Ghoshal, M. Gupta & V.Rajaraman, 1989, "A Parallel Multistep Predictor-Corrector Algorithm  for  Solving  Ordinary  Differential  Equations" , Parallel  and  Distributed Computing , no. 6, pp. 36-648.

## Agustinus Ribal, Khaeruddin
[6]. KJit  Hout,  2002,  " On  the  contractivity  of  implicit–explicit  linear  multistep  methods ", Applied Numerical Mathematics , no. 42, p. 201–212.
[7]. IN Katz, MA Franklin, & A. Sens,  1977, " Optimally Stable Parallel Predictors for Adams- Moulton  Correctors" , Computation  and  Mathematics  with  Applications, vol.  3,  pp.  217- 233.
[8]. PSRC  Rao,  2006, "Special  Multistep  Methods  Based  on  Numerical  Differentiation  for Solving  the  Initial  Value  Problem" , Applied  Mathematics  and  Computation ,  no.  181,  pp. 500-510.
[9]. H. Tian, L.Fan & J.Xiang,  2007, "Numerical Dissipativity of Multistep Methods for Delay Differential Equations" , Applied Mathematics and Computation , no. 188, p. 934–941.
[10]. A.  UsmanaA  &  G.  Hallb,  2000, "Alternative  Stepsize  Strategies  for  Adams  Predictor- Corrector Codes" , Computational and Applied Mathematics , no. 116, pp. 105-120.
[11]. D. Voss & S. Abbas, 1997, "Block Predictor-Corrector Scheme for the Parallel Solution of ODES", Computers Math. Applic., vol. 33, no. 6, pp. 65-72.
[12]. RV. Wyk, 1970, "Variable Mesh Multistep Methods for Ordinary Differential Equations" , Computational Physics, vol. 5, pp. 244 - 264.