## Vol. 13, No. 2,  91-100,  Januari  2017
Metode  Elemen Batas pada Persamaan  Integral Batas
Nasrah Sirajang dan Muhdaniar Darwis 

## Abstrak
Metode  Elemen  Batas  (MEB)  atau  disebut  juga Boundary  Element  Method adalah  suatu metode  numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  berbagai  macam  permasalahan  dalam ilmu  pengetahuan  dengan  persamaan  pengatur  berupa  persamaan  diferensial  parsial  eliptik. Dalam  tulisan  ini  akan  ditunjukkankan  pembentukan  MEB  menuju  solusi  numerik  dari masalah  nilai  batas  eliptik  pada  persamaan  Laplace  dua  dimensi  (2D)  dengan  media anisotropik. Dari hasil numerik yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa MEB bekerja dengan baik untuk menyelesaikan permasalahan ini.
Kata kunci: MEB, domain, persamaan pengatur, syarat batas, integral batas.

## 1. Pendahuluan
Persamaan Laplace dua dimensi  ( 2 2 2 2 0 x y         ) terdapat pada  rumusan  masalah yang berbeda-beda  dari  studi    engineering  dan  ilmu-ilmu  eksakta  seperti  thermostatics,  elastostatics, magnetostatics,  dan  aliran  fluida  ideal.  Masalah  batas  interior  pada  daerah  R(2D)  terbatas  oleh kurva C tertutup dengan syarat batas
1 1 ( , ), ( , )
f x y x y C
  
(1)
2 2 ( , ), ( , ) f x y x y C n   
  (2)
dimana dan dalah  fungsi  yang  telah  ditentukan  dan dan adalah  fungsi  yang  tidak beririsan sehingga 1 2 C UC C  . Turunan normal n    dari persamaan di atas adalah
P = n    = (3)
dimana & x y n n merupakan  komponen-komponen x dan y unit  vektor  normal  di  kurva  C.  Unit vektor normal  ( , ) x y n n pada C menunjukkan jarak titik dari daerah R. Dengan demikian  ( , ) x y n n adalah fungsi dari x dan y .
Metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ini adalah Metode elemen batas ( MEB  ).  Salah  satu  keunggulan  utama  MEB  adalah  keunikan  fiturnya  dalam  hal  pengurangan dimensi  masalah,  masalah  dengan  domain  tiga  dimensi  dijadikan  masalah  dua  dimensi  dan masalah  berdomain  dua  dimensi  menjadi  masalah  satu  dimensi.  Keunggulan  lain  dari  MEB
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar

## Nasrah Sirajang dan Muhdaniar Darwis
adalah  kemampuan  menangani  masalah  untuk  domain  terbuka  (tak  terbatas)  yang  biasanya muncul pada masalah eksterior.
Prosedur  MEB  dimulai  dengan  mentransformasi  persamaan  diferensial  parsil  yang mengatur  domain  menjadi  sebuah  persamaan  integral  dimana  integralnya  dikenakan  pada  batas domain.  Kemudian  persamaan  integral  batas  ini  didiskritisasi  menjadi  sejumlah  persamaan integral  yang  dikenakan  pada  panel  atau  elemen  batas  domain.  Pada  setiap  panel,  syarat  batas diasumsikan  konstan,  berubah  secara  linier,  kuadratik  dan  seterusnya.  Diskritisasi  integral  batas ini menghasilkan suatu sistem persamaan linier dari mana solusi masalah dapat diperoleh [2].

## 2. Pernyataan Masalah Nilai Batas

## 2.1 Persamaan Pengatur
Persamaan  pengatur  untuk  masalah  ini  adalah  suatu  persamaan  eliptik  dua  dimensi berbentuk
0 2         j i ij x x (4)
dimana  adalah fungsi  yang  dicari, i x komponen  koordinat  titik,  koefisien ij  dan  adalah konstanta  riil  yang  mencerminkan  karakteristik  medium  yang  digunakan  dan  indeks  i,  j  =  1,  2. matriks  koefisien   ij  adalah  matriks  definit  positif  yaitu
0 2 12 22 11      dan  simetris  yaitu
21 12    .
Dalam persamaan (4) konvensi penjumlahan pada indeks berulang diasumsikan berlaku, sehingga secara eksplisit pers. (4) dapat dituliskan sebagai berikut:
0 2 2 2 2 22 2 1 2 12 2 1 2 11                   x x x x
Kasus isotropik adalah kasus khusus yang terjadi bila
22 11    dan 21 12    = 0. Untuk kasus ini, persamaan (4) dapat dituliskan sebagai berikut:
11 ' ' 2 2 2 2 1 2 / , 0               
x x (5)
dan  bila 0 '   maka  persamaan  (5)  disebut  persamaan  Laplace,  sedangkan  bila 0 '   maka persamaan (5) di sebut persamaan Helmholtz.

## 2.2 Syarat Batas/Domain

## Bentuk Persamaan Laplace
(  )
(6)
memiliki 3 jenis syarat batas:
1. Dirichlet jika  fungsi  unknown  dibebankan  atas  sebagian  dari  batas  itu,  yaitu ( ) ( ) , s adalah suatu sistem koordinat sepanjang batas.
2. Neumann jika  derivative  normal  dari    fungsi  diketahui ( ) ,  dimana n adalah unit normal yang keluar.
3. Robin jika  berbentuk ( ) .    Suatu    masalah  memerlukan  spesifikasi hanya satu jenis syarat batas atas bagian manapun dari batas itu, yakni nilai fungsi yang ditetapkan, atau derivative normal, tetapi bukan kedua-duanya.
Data  yang  berada  pada  bentuk  batas  adalah  bagian  dari  spesifikasi  masalah  dan  dapat menjadi  sebarang  kecuali  beberapa  kendala  minor.    Sebagai  contoh,  jika  syarat  Neumann diterapkan    pada  batas  keseluruhan,  lalu  solusi  dapat  ditentukan  hanya  sampai  kepada  suatu konstanta  aditif,  yakni  jika adalah  suatu  solusi  dari dengan ,    maka
solusinya  adalah
dimana C adalah  suatu  konstan  sebarang.    Pada  kasus  ini,  perubahan harus  memenuhi  suatu  syarat  yang  compatabilas  yang  dapat  diperoleh  dengan  menerapkan teorema divergensi pada persamaan (6), sehingga
∫ ∫ ∫ (7)

## 3. Persamaan Integral Batas
Misalkan suatu fungsi G, solusi dari persamaan Laplace berbentuk:
( ) (8)
dimana ( ) adalah suatu fungsi yang bergantung pada variabel ruang x dan pada titik asal . Bila  kedua  ruas  dari  persamaan  (8)  diperkalikan  dengan  fungsi  dan  persamaan  (6) dikalikan dengan G, kemudian hasilnya diperkurangkan, diperoleh:
   ( ) (9)
Jika persamaan di atas diintegralkan  pada domain Ω, maka :
∫ (   ) Ω ∫  ( ) Ω (10)
Aturan rantai dari turunan dan teorema Divergensi Gauss dapat digunakan untuk mengubah ruas kiri menjadi persamaan integral batas, sehingga diperoleh :
∫ (   ) Ω ∫  ( ) Ω (11) ∫    (   ) Ω ∫  ( ) Ω (12)
∫     (   ) Ω ∫  ( ) Ω (13)
∫ (   ) Ω ∫  ( ) Ω (14)
Fungsi  Q  yang  ekuivalen  dengan  fungsi  delta  Dirac  dan  G  yang  menjadi  ruang  bebas  fungsi Green terhubungkan, membolehkan untuk mengurangi integral pada ruas kanan persamaan (14). Dari definisi diperoleh :
Nasrah Sirajang dan Muhdaniar Darwis
∫  ( ) Ω  ( ) (15)
Dengan demikian persamaan (14) menjadi :
∫ (   )  ( ) Ω (16)
Untuk menentukan ruang bebas fungsi Green, dapat digunakan persamaan Laplace pada kordinat polar , sehingga
∫ (   )  ( ) | | Ω (17)
atau ekivalen dengan
∫ ( | |  )  ( ) Ω (18)
Selanjutnya perhatikan bahwa
dan (19)
Gambar 1. Pendikritisasian MEB dengan Segmen Garis Lurus. Titik Sumber (asal)
Terletak pada Sedangkan Titik pada Segmen Terletak pada Interval .
Integral batas dapat diubah menjadi pendikritisasian pada segmen tunggal sedemikian sehingga persamaan (18) menjadi
∑ ∫ (  ( )  )  ( ) (20)
B dari pendiskritisasian adalah mengaproksimasi keragaman dan turunan normalnya pada batas. ( ) (21)  ( )  |  | (22)
Dengan =
adalah  panjang  segmen  batas  j. dan  | adalah  koefisien  yang  akan dipilih untuk menyelesaikan persamaan integralnya.
Dengan mengganti pengapromaksian pada persamaan (20), diperoleh
∑( )  ( )   ∑ (  |  | )                    (  )
∫ (24)
∫ (25)
∫ ( )   ( ) (26) ∫ ( )   ( ) (27)

## 4. Hasil Numerik

## 4.1 Masalah Uji dengan Solusi Analitik
PD Laplace 2D yang akan diselesaikan berbentuk
  (28)

## Solusi analitik untuk persamaan di atas adalah
(    ) dengan domain yang ditinjau berbentuk persegi dengan syarat batas
P yang  dapat  dihitung  dari  pers.  (28),  diketahui  pada  BC  dan  CD. seperti  diberikan  oleh pers.(28),  diketahui  pada  AD  dan  AD.  Koefisien ij  adalah 11  = 22  =1, 12  =0 .  Geometri
medium dan syarat batas dari masalah adalah        1 0 0 1 ) ( ij  .
Gambar 2.  Geometri dari Masalah Uji.
Tabel  1  berikut  menunjukkan  perbandingan  antara  solusi  BEM  dan  solusi  eksak  dengan jumah elemen yang berbeda.
Tabel 1. Solusi BEM dan Eksak untuk Masalah Uji Isotropik. Solusi interior: ---------------------------------------------------------------------------------------- Titik                           Solusi MEB                       Solusi Eksak phi         phi1        phi2         phi         phi1       phi2
---------------------------------------------------------------------------------------- BEM 80 elemen ---------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000    0,5987    0,9978    0,9994    0,6000    1,0000    1,0000 0,3000 0,5000    0,7982    0,9980    0,9986    0,8000    1,0000    1,0000 0,5000 0,5000    0,9979    0,9982    0,9982    1,0000    1,0000    1,0000 0,7000 0,5000    1,1975    0,9982    0,9979    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,3972    0,9987    0,9980    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------
BEM 160 elemen
---------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000   0,5993  0,9991   0,9998   0,6000   1,0000   1,0000 0,3000 0,5000    0,7992    0,9992    0,9994    0,8000    1,0000    1,0000 0,5000 0,5000    0,9990    0,9992    0,9992    1,0000    1,0000    1,0000 0,7000 0,5000    1,1989    0,9992    0,9991    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,3987    0,9994    0,9991    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------
x y A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(1,0) P=1 P=1
----------------------------------------------------------------------------------------
Titik                           Solusi MEB                       Solusi Eksak phi         phi1        phi2         phi         phi1       phi2
---------------------------------------------------------------------------------------- BEM 320 elemen --------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000    0,5997    0,9996    0,9999    0,6000    1,0000    1,0000 0,3000 0,5000    0,7996    0,9996    0,9997    0,8000    1,0000    1,0000 0,5000 0,5000    0,9995    0,9997    0,9997    1,0000    1,0000    1,0000 0,7000 0,5000    1,1995    0,9996    0,9996    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,3994    0,9997    0,9996    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------
Apabila  diasumsikan  bahwa  medium  adalah  bahan  anisoptropik  dan  memiliki  koefisien
      
5 , 0 5 , 0 5 , 0 1 ) ( ij  maka  perbandingan  antara  solusi  BEM  dan  solusi  eksak  dengan  jumah
elemen yang berbeda akan ditunjukkan pada Tabel 2.
Gambar 3. Geometri dari Masalah Uji dengan Bahan Anisotropik.
Tabel 2 . Solusi BEM dan eksak untuk masalah uji anisotropik Solusi interior : --------------------------------------------------------------------------------------
Titik                Solusi MEB                          Solusi Eksak phi        phi1        phi2         phi        phi1         phi2 -------------------------------------------------------------------------------------- BEM 80 elemen ---------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000    0,5972    1,0048    1,0010    0,6000    1,0000    1,0000 0,3000 0,5000    0,7985    1,0072    0,9978    0,8000    1,0000    1,0000
x y A(0,0) B(1,0) C(1,1) D(1,0) P = 1
0,5000 0,5000    1,0000    1,0079    0,9972    1,0000    1,0000    1,0000
0,7000 0,5000    1,2015    1,0072    0,9978    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,4028    1,0047    1,0010    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------- --------------------------------------------------------------------------------------
Titik                Solusi MEB                          Solusi Eksak phi        phi1        phi2         phi        phi1         phi2
-------------------------------------------------------------------------------------- BEM 160 elemen ---------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000    0,5986    1,0029    0,9996    0,6000    1,0000    1,0000 0,3000 0,5000    0,7992    1,0036    0,9990    0,8000    1,0000    1,0000 0,5000 0,5000    1,0000    1,0039    0,9988    1,0000    1,0000    1,0000 0,7000 0,5000    1,2008    1,0036    0,9990    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,4014    1,0029    0,9996    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------
BEM 320 elemen
---------------------------------------------------------------------------------------- 0,1000 0,5000    0,5993    1,0014    0,9998    0,6000    1,0000    1,0000 0,3000 0,5000    0,7996    1,0018    0,9995    0,8000    1,0000    1,0000 0,5000 0,5000    1,0000    1,0019    0,9994    1,0000    1,0000    1,0000 0,7000 0,5000    1,2004    1,0018    0,9995    1,2000    1,0000    1,0000 0,9000 0,5000    1,4007    1,0014    0,9998    1,4000    1,0000    1,0000 ---------------------------------------------------------------------------------------

## 4.2 Masalah Uji  Tanpa  Solusi Analitik
Geometri medium dan syarat batas dari masalah adalah
Gambar 4. Geometri dari Masalah Uji.

## Nasrah Sirajang dan Muhdaniar Darwis
apabila  diasumsikan  bahwa  medium  adalah  bahan  anisoptropik  dan  memiliki  koefisien
       3 , 0 5 , 0 5 , 0 1 ) ( ij  .
Tabel 3. Solusi BEM dan Eksak untuk Masalah Uji Tanpa Solusi Analitik. Solusi interior :
------------------------------------------------------------------------------------- Titik                        Solusi MEB                        Solusi Eksak phi        phi1        phi2         phi       phi1      phi2
------------------------------------------------------------------------------------- BEM   120 elemen ------------------------------------------------------------------------------------- 0,5000 2,0000    0,8401   -0,3330   -0,3146 1,0000 2,0000    0,6698   -0,3408   -0,3231 1,5000 2,0000    0,5008   -0,3351   -0,3373 2,0000 2,0000    0,3354   -0,3236   -0,3632 2,5000 2,0000    0,1896   -0,2274   -0,6535 -------------------------------------------------------------------------------------
BEM   240 elemen
------------------------------------------------------------------------------------- 0,5000 2,0000    0,8387   -0,3317   -0,3143 1,0000 2,0000    0,6691   -0,3394   -0,3221 1,5000 2,0000    0,5008   -0,3339   -0,3359 2,0000 2,0000    0,3359   -0,3228   -0,3605 2,5000 2,0000    0,1904   -0,2267   -0,6455 -------------------------------------------------------------------------------------
BEM   480 elemen
------------------------------------------------------------------------------------- 0,5000 2,0000    0,8380   -0,3312   -0,3139
1,0000 2,0000    0,6688   -0,3387   -0,3217
1,5000 2,0000    0,5008   -0,3333   -0,3351
2,0000 2,0000    0,3362   -0,3224   -0,3593
2,5000 2,0000    0,1907   -0,2266   -0,6414
-------------------------------------------------------------------------------------

## 5. Kesimpulan
Metode  elemen  batas  (BEM)  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah  nilai  batas baik  yang  diketahui  solusi  analitiknya  maupun  yang  tidak  diketahui  solusi  analitiknya.  Solusi numerik  yang  diperoleh  dengan    BEM  memperlihatkan  hasil  yang  cukup  akurat  dan  sesuai dengan yang diharapkan. Seiring dengan penambahan jumlah elemen, solusi numerik konvergen ke suatu solusi tertentu.

## Daftar Pustaka
[1] Ang  WT.,  2007. A  Beginner’s  Course  in  Boundary  Element  Methods. Universal Publishers, Boca Raton, USA.
[2] Azis M.I, 2009. Mengenal Metode Elemen Batas dan Aplikasinya .
[3] Kreyszig  E.,  1999. Advanced  Engineering  Mathematics .  John  Wiley  &  Sons  Inc.,  New York.
[4] Nakhle H.A, 2005. Partial Differential Equations with Fourier Series and Boundary Value Problem . Person Prentice Hall, New Jersey.