Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 2, Desember 2020, 139-156 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i2.6692
Kontrol Penyebaran Penyakit SARS dengan Menggunakan Analisis Sensitivitas pada Bilangan Reproduksi Dasar
Benny Yong 1 *, Putri Efelin 2
1,2 Universitas Katolik Parahyangan, Jl. Ciumbuleuit 94 Bandung 40141 1,2 Departemen Matematika UNPAR Bandung Indonesia *e-mail: benny_y@unpar.ac.id
Diajukan:9 Maret 2020,  Diperbaiki: 7 Oktober 2020, Diterima:28 Oktober 2020

## Abstrak
Makalah ini membahas analisis sensitivitas pada bilangan reproduksi dasar pada model penyebaran penyakit SARS dengan  pengaruh  vaksinasi . Model  melibatkan  individu  rentan,  individu  terinfeksi  tapi belum  dapat  menularkan,  individu yang  diisolasi,  individu  terinfeksi  yang  dapat  menularkan  dan  belum terdiagnosa SARS, individu  pulih,  dan  individu  meninggal  karena  penyakit SARS ,  dan  individu  rentan yang  telah  divaksin.  Karena  ketidakpastian  dalam  penaksiran  nilai  parameter  yang  mengakibatkan bervariasinya  nilai  bilangan  reproduksi  dasar,  akan  dilakukan  simulasi  Monte  Carlo  pada  bilangan reproduksi  dasar  dengan  menggunakan  berbagai  distribusi  untuk  setiap  parameternya.  Hasil  analisis sensitivitas  pada  model  penyebaran  penyakit SARS dengan  pengaruh  vaksinasi  menunjukkan  bahwa parameter  proporsi  individu  isolasi  yang  berpotensi  menginfeksi  individu  rentan  mempunyai  pengaruh positif  terbesar  dalam  penyebaran  penyakit SARS untuk  semua  kondisi  nilai  bilangan  reproduksi  dasar. Parameter proporsi individu rentan yang berhasil divaksin sebelum terjadinya SARS dalam suatu populasi mempunyai  pengaruh  negatif  terbesar  dalam  penyebaran  penyakit SARS ketika  kondisi  bilangan reproduksi  dasar  bernilai  kurang  dari  satu,  sedangkan  parameter  laju  pemulihan  dari  individu  isolasi mempunyai  pengaruh  negatif  terbesar  dalam  penyebaran  penyakit SARS untuk  kondisi  bilangan reproduksi dasar bernilai lebih dari satu.
Kata Kunci : SARS , bilangan reproduksi dasar, simulasi Monte Carlo, analisis sensitivitas.

## Abstract
This  paper  discusses  sensitivity  analysis  of  basic  reproductive  number  of  SARS  epidemic  model with  vaccination.  Model  in  the  form  of  a  compartmental  model  including  susceptible,  latent,  isolated, infectious,  recovered,  dead,  vaccinated  individuals.  Because  uncertainty  in  estimating  the  value  of parameters, Monte Carlo simulation is used here to estimate the variability of basic reproductive number using  different  distributions  of  the  parameters.  Effectiveness  of  isolation  is  the  most  positive  sensitive parameter  in  the  basic  reproductive  number  for  all  conditions.  Proportion  of  susceptible  successfully vaccinated  is  the  most  negative  sensitive  parameter  when  value  of  basic  reproductive  number  less  than one,  whereas  recovery  rate  of  diagnosed  individuals  is  the  most  negative  sensitive  parameter  if  basic reproductive number greater than one.
Keywords : SARS, basic reproductive number, Monte Carlo simulation, sensitivity analysis.

## 1 Pendahuluan
Salah  satu  penyakit  menular  yang  sempat  terjadi  di  dunia  ini  adalah Severe  Acute Respiratory  Syndrome ( SARS ). SARS adalah  suatu  jenis  penyakit  pernapasan  yang  disebabkan oleh SARS  Coronavirus ( SARS-Cov )  dan  biasanya  akan  berpotensi  menimbulkan  penyakit radang paru-paru yang fatal. Pada tahun 2004, peneliti di Tiongkok akhirnya menemukan vaksin SARS .
Beberapa penelitian telah membahas tentang pemodelan matematika untuk penyakit SARS . Pada makalahnya, Y. Zhou dan Z. Ma pada 2003 memodelkan penyebaran dan kontrol penyakit SARS di  Cina  dengan  menggunakan  model  epidemik  diskret.  Pada  makalah  lain,  J.  Zhang,  J. Lou, Z. Ma, dan J. Wu pada 2004 menganalisis pola penyebaran penyakit SARS di Cina melalui sebuah  model  matematika.  W.  Wang  dan  S.  Ruan  pada  2004  mengkonstruksi  sebuah  model matematika  untuk  melakukan  simulasi  penyebaran  SARS  di  Beijing.  Sedangkan  G.  Chowell, dkk. pada 2015 membandingkan pola dan dinamika penyebaran dari MERS dan SARS .
Pada makalah [3] telah dibahas mengenai model matematika untuk penyakit SARS dengan dua  kondisi  yaitu  model pre-outbreak  vaccination ( POV )  dan  model during-outbreak vaccination ( DOV ).  Pada  model POV , vaksin diberikan sebelum terjadinya wabah SARS dalam sebuah populasi sedangkan pada model DOV , vaksin diberikan selama terdapat penyakit SARS di dalam populasi itu. Hasil simulasi numerik pada [2] menunjukkan bahwa lebih baik menerapkan model POV daripada  model DOV karena  durasi  waktu  dimulainya  vaksinasi  setelah  terjadinya wabah penyakit SARS dalam suatu populasi tidak memiliki pengaruh yang besar terhadap jumlah kasus penyebaran penyakit SARS secara kumulatif.
Pada  makalah  ini  bilangan  reproduksi  dasar  dari  kedua  model  tersebut  akan  ditaksir melalui  simulasi  Monte  Carlo.  Hal  tersebut  dilakukan  karena  bilangan  reproduksi  dasar  yang bervariasi  akibat  ketidakpastian  dalam  penaksiran  nilai  parameter  [17].  Karena  model POV merupakan  model  yang  paling  baik  untuk  mengontrol  penyebaran  penyakit SARS ,  maka  pada makalah  ini  akan  dianalisis  parameter  mana  yang  paling  berpengaruh  dalam  mengontrol penyebaran penyakit SARS melalui analisis sensitivitas pada model POV saja.
Batasan  masalah  yang  digunakan  dalam  makalah  ini  adalah  jumlah  populasi  konstan, individu yang sudah pulih tidak dapat kembali menjadi individu yang rentan terhadap penyakit, individu  isolasi  masih  dapat  menginfeksi  individu  rentan,  penyakit  ini  hanya  untuk  populasi manusia, dan vaksin hanya untuk individu rentan.

## 2 Proses Pemodelan
Model POV melibatkan individu rentan ( S ), individu terinfeksi tapi belum bisa menularkan (individu laten) yang akan dibagi menjadi dua yaitu individu yang belum terdiagnosa SARS ( E n ) dan individu yang sudah terdiagnosa SARS ( E i ), individu yang diisolasi ( W ), individu terinfeksi yang sudah bisa menularkan dan belum terdiagnosa SARS ( I ), individu pulih ( R ), serta individu meninggal karena penyakit SARS ( D ) dengan 𝑁 adalah total populasi. Pada model ini, sebanyak 𝜎𝑁 individu divaksin terlebih dahulu sebelum terjadinya wabah SARS dengan σ adalah proporsi individu  yang  berhasil  divaksin  sebelum  terjadinya  wabah SARS . Hal  tersebut  menyebabkan banyaknya  individu  rentan  awalnya  adalah  sebanyak (1 − 𝜎)𝑁 .  Diagram  kompartemen  model POV disajikan pada Gambar 1 dengan nilai parameternya diberikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Definisi Parameter [2] Parameter Definisi Nilai [3] β Laju transmisi 0,25 1 𝑘 Rata-rata waktu individu laten ( E n dan E i ) akan terinfeksi atau diisolasi 6,37 γ 1 Laju pemulihan dari individu terinfeksi 0,0352 γ 2 Laju pemulihan dari individu isolasi 0,0425 α Laju individu terinfeksi menjadi terdiagnosa dan diisolasi 0,206 δ Laju kematian karena terinfeksi SARS 0,0279 σ Proporsi individu rentan yang berhasil divaksin sebelum terjadi wabah SARS [0,1] ρ Proporsi individu rentan menjadi individu E i [0,1] θ Proporsi individu E n yang mengisolasikan dirinya sendiri [0,1] l Proporsi individu isolasi yang berpotensi menginfeksi individu rentan [0,1] 𝜀 Tingkat keberhasilan vaksinasi [0.5,0.9] 𝜒 Laju vaksinasi terhadap individu rentan [0.2,0.5]
Perubahan jumlah individu rentan terjadi karena adanya kontak dengan individu terinfeksi dan  individu  yang  diisolasi  sebanyak 𝐼+𝑙𝑊 𝑁 𝑆 dengan  laju  transmisi  sebesar 𝛽 dan  proporsi perpindahan individu rentan ke populasi individu 𝐸 𝑖 sebesar 𝜌 . Sehingga jumlah individu rentan yang sukses terinfeksi dan berpindah ke populasi individu 𝐸 𝑖 ada sebanyak 𝛽𝜌 𝐼+𝑙𝑊 𝑁 𝑆 . Sedangkan jumlah  individu  rentan  yang  sukses  terinfeksi  dan  berpindah  ke  populasi  individu 𝐸 𝑛 ada sebanyak 𝛽(1 − 𝜌) 𝐼+𝑙𝑊 𝑁 𝑆 . Adanya individu 𝐸 𝑖 yang diisolasi dengan laju 𝑘 akan menyebabkan jumlah individu di 𝐸 𝑖 akan berkurang sebanyak 𝑘𝐸 𝑖 . Terjadinya perpindahan individu 𝐸 𝑛 akibat mengisolasikan dirinya sendiri dengan laju sebesar 𝑘 dan proporsi 𝜃 akan menyebabkan jumlah individu 𝐸 𝑛 berkurang  sebanyak 𝑘𝜃𝐸 𝑛 dan  sisanya  sebanyak 𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 akan  berpindah  ke
populasi 𝐼 .  Jumlah  individu  terinfeksi  akan  berkurang  karena  terjadi  perpindahan  individu terinfeksi  ke  populasi  individu  yang  diisolasi  sebanyak 𝛼𝐼 ,  terjadi  kematian  karena  penyakit SARS sebanyak 𝛿𝐼 ,  dan  terjadi  pemulihan  pada  individu  terinfeksi  sebanyak 𝛾 1 𝐼 .  Sedangkan jumlah  individu  yang  diisolasi  akan  berkurang  karena  terjadi  pemulihan  sebanyak 𝛾 2 𝑊 dan akibat adanya kematian karena penyakit SARS sebanyak 𝛿𝑊 .
Gambar 1 . Diagram kompartemen model POV
Model POV secara keseluruhan diberikan oleh sistem persamaan (1) sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 =   − 𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 −  𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝐸 𝑛 𝑑𝑡 =   −𝑘𝜃𝐸 𝑛 − 𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 +  𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝐸 𝑖 𝑑𝑡 =   −𝑘𝐸 𝑖 + 𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑘𝜃𝐸 𝑛 + 𝑘𝐸 𝑖 + 𝛼𝐼 − (𝛿 + 𝛾 2 )𝑊 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 − (𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝐼 + 𝛾 2 𝑊 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼 + 𝛿𝑊
(1)
Pada  model DOV ,  vaksinasi  dilakukan  selama  terjadinya  wabah SARS dalam  suatu populasi.  Pada  model  ini  juga  terdapat  populasi  individu  baru  yaitu  populasi  individu  rentan yang  telah  divaksin  ( V ).  Individu-individu  rentan  tersebut  divaksin  karena  melakukan  kontak dengan individu yang diisolasi. Diagram kompartemen model DOV disajikan pada Gambar 2.
Gambar 2. Diagram kompartemen model DOV
Jadi,  pada  model DOV hanya  menambahkan  populasi V .  Persamaan  (2)  merupakan  sistem persamaan dari model DOV , yaitu
𝑑𝑆 𝑑𝑡 =   − 𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 −  𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝐸 𝑛 𝑑𝑡 =   −𝑘𝜃𝐸 𝑛 − 𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 +  𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝐸 𝑖 𝑑𝑡 =   −𝑘𝐸 𝑖 + 𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙 𝑊) 𝑁 𝑆 𝑑𝑊 𝑑𝑡 = 𝑘𝜃𝐸 𝑛 + 𝑘𝐸 𝑖 + 𝛼𝐼 − (𝛿 + 𝛾 2 )𝑊 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 − (𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 )𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛾 1 𝐼 + 𝛾 2 𝑊 𝑑𝐷 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼 + 𝛿𝑊 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜒ԑ 𝑊 𝑁 𝑆 (2)
Selanjutnya,  untuk  kedua  model  ini  akan  ditentukan  ambang  batas  penyebaran  penyakit  yang bisa  didapat  dengan  menggunakan  matriks  generasi.  Ambang  batas  ini  biasa  dikenal  sebagai bilangan  reproduksi  dasar.  Bilangan  reproduksi  dasar  merupakan  angka  rata-rata  kemunculan penularan  baru  yang  disebabkan  oleh  seorang  individu  terinfeksi  dalam  suatu  populasi  yang semuanya rentan untuk tertular. [1,4].
Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model POV pada sistem (1) adalah
𝐸 01 (𝑆 ∗ , 𝐸 𝑛 ∗ , 𝐸 𝑖 ∗ , 𝑊 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐷 ∗ ) = ((1 − 𝜎)𝑁, 0,0,0,0,0,0)
Untuk model POV , populasi terbagi menjadi 7 kompartemen, misalkan
𝑥 = (𝐸 𝑛 , 𝐸 𝑖 , 𝑊, 𝐼, 𝑆, 𝑅, 𝐷) 𝑇
dengan
𝑥 𝑖 (𝑡) = (𝐸 𝑛 , 𝐸 𝑖 , 𝑊, 𝐼) 𝑇 , 𝑖 = 1,2,3,4
merupakan kompartemen-kompartemen untuk individu terinfeksi. Laju perubahan kompartemen terinfeksi ke- 𝑖 terhadap waktu adalah
𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑗 𝑖 (𝑥) −   𝑣 𝑖 (𝑥)
dengan 𝑗(𝑥) = ( 𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙𝑊)
𝑁 𝑆 𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙𝑊) 𝑁 𝑆 0 0 0 0 0 ) , 𝑣(𝑥) = ( 𝑘𝐸 𝑛 𝑘𝐸 𝑖 −𝑘𝜃𝐸 𝑛 − 𝑘𝐸 𝑖 + (𝛿 + 𝛾 2 )𝑊 − 𝛼𝐼 −𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 + (𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 )𝐼 0 0 0 )
Diperoleh matriks generasi [16, 18]
𝐹𝑉 −1 = ( 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 ℎ 0 0 0 0 0 0 0 0 )| 𝐸 01
dengan
𝑎 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙(1 − 𝜎)(𝜃(𝛿 + 𝛾 1 )) + 𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽(1 − 𝜌)(1 − 𝜎)(1 − 𝜃) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 𝑏 = 𝛽𝜌𝑙(1 − 𝜎) ((𝜃(𝛿 + 𝛾 1 )) + 𝛼) (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽𝜌(1 − 𝜎)(1 − 𝜃) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 𝑐 = 𝛽(1 − 𝜌)(1 − 𝜎)𝑙 𝛿 + 𝛾 2 𝑑 = 𝛽𝜌𝑙(1 − 𝜎) 𝛿 + 𝛾 2 𝑒 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙(1 − 𝜎) 𝛿 + 𝛾 2 𝑓 = 𝛽𝜌𝑙(1 − 𝜎) 𝛿 + 𝛾 2 𝑔 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙(1 − 𝜎)𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽(1 − 𝜌)(1 − 𝜎) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1
ℎ = 𝛽𝜌𝑙(1 − 𝜎)𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽𝜌(1 − 𝜎) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1
Nilai  eigen  terbesar  dari  matriks  generasi  tersebut  merupakan  bilangan  reproduksi  dasar  untuk model POV , yaitu:
ℜ 0 = β(1 − σ) ( (1−ρ)𝑙θ δ+γ 2 + (1−ρ)𝑙(1−θ)α (δ+γ 2 )(α+δ+γ 1 ) + (1−ρ)(1−θ) (α+δ+γ 1 ) + ρ𝑙 δ+γ 2 ) (3)
Berdasarkan ℜ 0 pada model POV , dapat dilihat bahwa β(1 − σ) menunjukkan berkurangnya laju transmisi akibat vaksinasi sebelum terjadinya wabah SARS dalam suatu populasi. Laju individu yang  belum  terdiagnosa SARS terinfeksi  akibat  melakukan  kontak  dengan  individu  isolasi  dan kemudian  mengisolasikan  dirinya  sendiri  ditunjukkan  oleh (1−ρ)𝑙θ δ+γ 2 ,  laju  individu  yang  belum terdiganosa SARS terinfeksi  akibat  melakukan  kontak  dengan  individu  isolasi  dan  kemudian dapat  menularkan  infeksi  serta  terdiagnosa SARS ditunjukkan  oleh (1−ρ)𝑙(1−θ)α (δ+γ 2 )(α+δ+γ 1 ) ,  laju  individu yang  belum  terdiagnosa SARS menjadi  individu  terinfeksi  dan  dapat  menularkan  infeksi  ke individu  rentan  ditunjukkan  oleh (1−ρ)(1−θ) (α+δ+γ 1 ) ,  sedangkan  laju  individu  rentan  yang  terinfeksi karena melakukan  kontak dengan individu isolasi  kemudian  menjadi  individu  yang terdiagnosa SARS ditunjukkan oleh ρ𝑙 δ+γ 2 .
Titik kesetimbangan bebas penyakit untuk model DOV pada sistem (2) adalah:
𝐸 02 (𝑉 ′ , 𝑆 ′ , 𝐸 𝑛 ′ , 𝐸 𝑖 ′ , 𝑊 ′ , 𝐼 ′ , 𝑅 ′ , 𝐷 ′ ) = (0, 𝑁, 0,0,0,0,0,0)
Untuk model DOV , populasi terbagi menjadi 8 kompartemen, misalkan
𝑥 = (𝐸 𝑛 , 𝐸 𝑖 , 𝑊, 𝐼, 𝑉, 𝑆, 𝑅, 𝐷) 𝑇
dengan
𝑥 𝑖 (𝑡) = (𝐸 𝑛 , 𝐸 𝑖 , 𝑊, 𝐼) 𝑇 , 𝑖 = 1,2,3,4
merupakan kompartemen-kompartemen untuk individu terinfeksi. Laju perubahan kompartemen terinfeksi ke- 𝑖 terhadap waktu adalah
𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 = 𝑗 𝑖 (𝑥) −   𝑣 𝑖 (𝑥)
dengan
𝑗(𝑥) = ( 𝛽(1 − 𝜌) (𝐼 + 𝑙𝑊) 𝑁 𝑆 𝛽𝜌 (𝐼 + 𝑙𝑊) 𝑁 𝑆 0 0 0 0 0 0 ) , 𝑣(𝑥) = ( 𝑘𝐸 𝑛 𝑘𝐸 𝑖 −𝑘𝜃𝐸 𝑛 − 𝑘𝐸 𝑖 + (𝛿 + 𝛾 2 )𝑊 − 𝛼𝐼 −𝑘(1 − 𝜃)𝐸 𝑛 + (𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 )𝐼
0 0 0 0 )
Diperoleh matriks generasi [16, 18]
𝐹𝑉 −1 = ( 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑 𝑒 𝑔 𝑓 ℎ 0 0 0 0 0 0 0 0 )| 𝐸 02
dengan
𝑎 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙(𝜃(𝛿 + 𝛾 1 )) + 𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽(1 − 𝜌)(1 − 𝜃) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 𝑏 = 𝛽𝜌𝑙 ((𝜃(𝛿 + 𝛾 1 )) + 𝛼) (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽𝜌(1 − 𝜃) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 𝑐 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙 𝛿 + 𝛾 2 𝑑 = 𝛽𝜌𝑙 𝛿 + 𝛾 2 𝑒 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙 𝛿 + 𝛾 2 𝑓 = 𝛽𝜌𝑙 𝛿 + 𝛾 2 𝑔 = 𝛽(1 − 𝜌)𝑙𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽(1 − 𝜌) 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ℎ = 𝛽𝜌𝑙𝛼 (𝛿 + 𝛾 2 )(𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1 ) + 𝛽𝜌 𝛼 + 𝛿 + 𝛾 1
Nilai  eigen  terbesar  dari  matriks  generasi  tersebut  merupakan  bilangan  reproduksi  dasar  untuk model DOV , yaitu:
ℜ 0 = β ( (1−ρ)𝑙θ δ+γ 2 + (1−ρ)𝑙(1−θ)α (δ+γ 2 )(α+δ+γ 1 ) + (1−ρ)(1−θ) (α+δ+γ 1 ) + ρ𝑙 δ+γ 2 ) (4)
Berdasarkan ℜ 0 pada  model DOV ,  dapat  dilihat  bahwa β menunjukkan  laju  transmisi  ketika terjadinya  wabah SARS dalam  suatu  populasi.  Sisanya,  semua  suku  di  dalam  kurung  dari
bilangan reproduksi dasar pada model DOV ini mempunyai arti yang sama dengan semua suku di dalam kurung dari bilangan reproduksi dasar pada model POV .
Pengambilan  suatu  data  dapat  dilakukan  dengan  cara  sampling.  Sampling  dilakukan  jika sebagian  saja  anggota  populasi  yang  menjadi  sampel  observasi  dan  hasilnya  merupakan  data perkiraan. Metode sampling lebih banyak digunakan karena tetap dapat mengambil kesimpulan tentang  keadaan  populasi  hanya  dengan  menggunakan  sebagian  sampel.  Teknik  penarikan sampel tersebut bisa dilakukan secara acak sederhana atau bisa disebut sampling acak sederhana. Sampling acak sederhana dilakukan jika suatu sampel dipilih dari suatu populasi sehingga setiap kemungkinan  sampel  mempunyai  kesempatan  yang  sama  untuk  terpilih  [5].  Salah  satu  cara pengambilan  sampel  dapat  menggunakan  simulasi  Monte  Carlo.  Simulasi  Monte  Carlo menggunakan prinsip hukum bilangan besar. Untuk melakukan simulasi ini, pertama-tama perlu ditentukan suatu interval bilangan acak dari setiap parameter yang digunakan. Kedua, bangkitkan bilangan  acak  sebanyak  yang  diperlukan.  Selanjutnya,  lakukan  simulasi  dari  bilangan-bilangan acak tersebut. Terakhir, cari rata-rata dari hasil simulasi tersebut.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada  bagian  ini,  akan  ditinjau  bilangan  reproduksi  dasar  model POV dan DOV melalui simulasi Monte Carlo. Diketahui distribusi dari setiap parameter yang digunakan sebagai berikut [3, 8, 9]:
1. Proporsi individu rentan berhasil divaksin (σ) ~ unif (0,1)
2. Proporsi individu rentan menjadi terinfeksi tapi belum bisa menularkan (ρ) ~ unif (0,1)
3. Proporsi individu untraced latent yang diisolasi (θ) ~ unif (0,1)
4. Rata-rata waktu individu terinfeksi menjadi terdiagnosa dan diisolasi ( 1 𝛼 ) ~ Gamma (a=1,9 ; b=2,5)
5. Rata-rata waktu kematian karena terinfeksi SARS ( 1 𝛿 ) ~ Gamma (a=2,25 ; b=16)
6. Rata-rata waktu pemulihan dari individu terinfeksi yang diisolasi ( 1 𝛾 2 ) ~ Gamma (a=8,9;b=2,6)
7. Rata-rata waktu pemulihan dari individu terinfeksi ( 1 𝛾 2 ) ~ Gamma (a=8,9 ; b=2,6)
8. Laju transmisi perhari (β) ~ exp ( 𝜇 =0,25)
Sedangkan  untuk  proporsi  individu  isolasi  yang  dapat  menginfeksi  individu  rentan  ( 𝑙 ), dibagi menjadi 4 distribusi,yaitu [3, 8]:
 l ~ unif (0,1)
 l ~ Beta (a=2,b=2)
 l ~ Beta (a=1,b=2)
 l ~ Beta (a=2,b=1)
Dengan menggunakan program MATLAB, jika nilai parameter-parameter tersebut dibangkitkan sebanyak 100000 kali, hasil satu kali simulasi akan didapat :
Tabel 2. Simulasi ℜ 0 untuk model POV dan DOV
Distribusi dari l Rata-rata 𝕽 𝟎 𝕽 𝟎 < 𝟏 Model POV Model DOV Model POV Model DOV l ~unif (0,1) 0,83 1,66 75% 54,05% l~Beta (a=2,b=2) 0,83 1,66 75% 51,87% l~Beta (a=1,b=2) 0,58 1,18 83% 64,8% l~Beta (a=2,b=1) 1,07 2,143 68% 43,28%
Didapat histogram dari keempat distribusi 𝑙 untuk model POV sebagai berikut:
Sedangkan histogram dari keempat distribusi 𝑙 untuk model DOV sebagai berikut:
Gambar 4. Histogram dari keempat distribusi 𝑙 untuk model DOV
Berdasarkan Tabel 2, Gambar 3, dan Gambar 4, distribusi dari parameter l yang memiliki pengaruh  paling  besar  pada ℜ 0 baik  untuk  model POV dan DOV adalah  saat  parameter l berdistribusi Beta (a=1,b=2).  Hal  ini  dikarenakan  saat  parameter l berdistribusi Beta (a=1,b=2) memiliki nilai ℜ 0 < 1 paling besar dan rata-rata ℜ 0 paling kecil.
Berdasarkan paper [2], model POV lebih baik daripada model DOV . Oleh karena itu, akan dilakukan  analisis  sensitivitas  untuk  model POV saja.  Untuk  mengetahui  parameter  mana  yang paling  berpengaruh  dalam  mengontrol  penyebaran  penyakit SARS ,  perlu  dilakukan  analisis sensitivitas pada bilangan reproduksi dasar ( ℜ 0 ) untuk setiap parameter yang digunakan [12, 15]. Analisis  sensitivitas  pada  bilangan  reproduksi  dasar  ini  dilakukan  hanya  untuk  model POV karena  model  tersebut  adalah  model  yang  lebih  baik  dalam  mengontrol  penyebaran  penyakit SARS .  Terdapat  8  parameter  pada  model POV yang  akan  diwakili  oleh  λ.  Didefinisikan sensitivitas untuk λ sebagai berikut [13, 14, 15]:
𝑆 λ = λ ℜ 0 . 𝜕ℜ 0 𝜕λ (5)
Nilai-nilai parameter akan ditentukan agar menghasilkan ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1 . Parameter- parameter  yang  digunakan  berdasarkan  data  pada  Tabel  1  dan  berdasarkan  simulasi  numerik model POV dan DOV .  Parameter l dan  σ  diduga  sebagai  parameter  yang  dapat  mengontrol
penyebaran  penyakit SARS paling  signifikan  ketika ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1 .  Analisis  penyebaran penyakit  dilakukan  terhadap  kondisi  bebas  penyakit  untuk  melihat  parameter  mana  yang berpengaruh,  terutama  terhadap  naiknya  bilangan  reproduksi  dasar  ketika  kondisi  ini  sehingga pemangku  kebijakan  dapat  mengantisipasi  perubahan  kondisi  dari  bebas  penyakit  menjadi endemik pada suatu wilayah dengan cara melakukan kontrol parameter melalui suatu kebijakan sehingga keadaan wilayahnya tetap bebas dari penyakit. Sedangkan analisis penyebaran penyakit dilakukan  terhadap  kondisi  endemik  suatu  wilayah  agar  pemangku  kebijakan  mendapatkan gambaran  untuk  melakukan  tindakan  yang  tepat  sasaran  untuk  segera  menurunkan  bilangan reproduksi dasar ini sehingga wilayahnya menjadi bebas penyakit.  Nilai dari kedua parameter l dan σ tersebut dipilih berdasarkan Gambar 5.
Gambar 5. Grafik untuk menentukan nilai parameter l dan σ
Berdasarkan  Gambar  5,  dipilih  nilai l =0,2  dan  σ=0,5  sehingga  akan  menghasilkan ℜ 0 = 0,3596081754 ( ℜ 0 < 1 ).  Kemudian  dipilih  juga  nilai l =0,5  dan  σ=0,15  sehingga  akan menghasilkan ℜ 0 = 1,513539269 ( ℜ 0 > 1 ). Didapat nilai sensitivitas pada model POV ketika ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1 yang disajikan pada Tabel 3.
Berdasarkan  Tabel  3,  terlihat  bahwa  parameter  proporsi  individu  isolasi  yang  berpotensi menginfeksi individu rentan ( l ) mempunyai pengaruh positif terhadap penyebaran penyakit SARS ketika ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1 .  Ini  berarti,  jika  parameter  tersebut  semakin  besar  maka  banyaknya kasus SARS di  populasi  tersebut  semakin  banyak,  dan  sebaliknya.  Sementara  itu  ketika ℜ 0 < 1, parameter proporsi individu rentan yang berhasil divaksin sebelum terjadi wabah SARS dalam  suatu  populasi  (σ)  memberikan  pengaruh  negatif  terbesar  terhadap  penyebaran  penyakit SARS , dan ketika ℜ 0 > 1 parameter laju pemulihan dari individu isolasi ( 𝛾 2 ) yang memberikan pengaruh  negatif  terbesar  terhadap  penyebaran  penyakit SARS .  Ini  berarti,  semakin  besar  nilai
parameter  tersebut  menyebabkan  banyaknya  kasus SARS semakin  sedikit.  Sedangkan  untuk parameter laju pemulihan dari individu terinfeksi ( 𝛾 1 ), memberikan pengaruh yang sangat kecil terhadap penyebaran penyakit SARS ketika ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1 .
Tabel 3. Hasil analisis sensitivitas dari setiap parameter ketika ℜ 0 < 1 dan ℜ 0 > 1
Sensitivitas dari setiap parameter Nilai sensitivitas 𝕽 𝟎 < 1 𝕽 𝟎 > 1 𝑆 𝜎 -1.000000000 -0,1764705882 𝑆 𝑙 0,9838653623 0,9934830559 𝑆 𝛾 2 -0,5942471915 -0,6000562048 𝑆 𝛿 -0,3922681777 -0,3950899988 𝑆 𝜌 -0,5165155406 -0,1403234568 𝑆 𝜃 -0,01324398823 -0,003598037353 𝑆 𝛼 -0,01014018314 -0,002754816532 𝑆 𝛾 1 -0,003344447921 -0,002098979957
Nilai parameter l, σ, dan 𝛾 1 ketika ℜ 0 < 1 akan dilihat kenaikannya sebanyak 10%, 50%, dan 100% untuk menunjukkan bahwa hasil dari  Tabel 3 sudah tepat. Hal tersebut dapat dilihat pada grafik berikut :
Gambar 6. Proporsi individu yang terinfeksi SARS ketika ℜ 0 < 1 dengan perubahan pada parameter l, σ, dan 𝛾 1
Berdasarkan  Gambar  6,  terlihat  bahwa  ketika  parameter  σ  naik  10%,  50%,  dan  100% selalu terjadi penurunan pada proporsi individu yang terinfeksi penyakit SARS . Saat awal σ=0,5, keadaan  bebas  penyakit  terjadi  sekitar t =176.  Jika  σ  naik  10%,  maka  kejadian  bebas  penyakit akan lebih cepat terjadi yaitu sekitar t =155. Begitu pula jika σ naik 50%, kejadian bebas penyakit akan  lebih  cepat  terjadi  yaitu  sekitar t =127.  Kemudian  ketika  σ  naik  100%,  kejadian  bebas penyakit  lebih  cepat  terjadi  dibandingkan  dengan  σ  awal  dan  ketika  σ  naik  10%  maupun  50% yaitu sekitar t= 87. Hal ini sesuai dengan 𝑆 𝜎 yang bernilai negatif terbesar pada Tabel 3.
Ketika l naik  10%,  50%,  dan  100%  selalu  terjadi  kenaikan  pada  proporsi  individu  yang terinfeksi  penyakit SARS .  Saat  awal l =0,5,  keadaan  bebas  penyakit  terjadi  sekitar t =170.  Jika l naik 10%, maka kejadian bebas penyakit akan lebih lama terjadi yaitu sekitar t= 18. Begitu pula jika l naik 50%, kejadian bebas penyakit akan lebih lama terjadi yaitu sekitar t= 252. Kemudian ketika l naik 100%, kejadian bebas penyakit lebih lama terjadi dibandingkan dengan l awal dan ketika l naik  10%  maupun  50%  yaitu  sekitar t= 398.  Hal  ini  sesuai  dengan 𝑆 𝑙 yang  bernilai positif pada Tabel 3.
Ketika 𝛾 1 naik 10%, 50%, dan 100% tidak terjadi penurunan yang signifikan pada proporsi individu yang terinfeksi penyakit SARS . Keadaan bebas penyakit akan terjadi sekitar t =165. Hal ini sesuai dengan 𝑆 𝛾 1 yang bernilai negatif terkecil. Jadi, dugaan bahwa parameter l dan σ dapat mengontrol penyebaran penyakit SARS paling signifikan dibandingkan parameter lainnya ketika ℜ 0 < 1 adalah benar. Perhatikan juga potret fase model POV ketika ℜ 0 < 1 berikut:
Gambar 7. Potret fase model POV ketika ℜ 0 < 1
Berdasarkan  Gambar  7,  terlihat  bahwa  untuk  sembarang  nilai  awal  proporsi  individu terinfeksi  akan  selalu  menuju  nol  berapapun  jumlah  individu  rentan  dalam  suatu  populasi.  Hal
Benny Yong, Putri Efelin
tersebut  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  model POV stabil.  Sehingga, hasil analisis sensitivitas pada model POV ketika ℜ 0 < 1 benar bebas penyakit.
Nilai parameter l, 𝛾 1 , dan 𝛾 2 ketika ℜ 0 > 1 akan dilihat kenaikannya sebanyak 10%, 50%, dan 100% untuk menunjukkan bahwa hasil dari  Tabel 3 sudah tepat. Hal tersebut dapat dilihat pada grafik berikut :
Gambar 8. Proporsi individu yang terinfeksi SARS ketika ℜ 0 > 1 dengan perubahan pada parameter l, 𝛾 1 , dan 𝛾 2
Berdasarkan  Gambar  8,  terlihat  bahwa  ketika  parameter 𝛾 2 naik  10%,  50%,  dan  100% selalu  terjadi  penurunan  pada  proporsi  individu  yang  terinfeksi  penyakit SARS .  Saat  awal 𝛾 2 =0,0425, keadaan munculnya penyakit terjadi sekitar t =423. Jika 𝛾 2 naik 10%, maka kejadian munculnya penyakit  akan  lebih  lama  terjadi  yaitu  sekitar t =427.  Begitu  pula  jika 𝛾 2 naik  50%, kejadian  munculnya  penyakit  akan  lebih  lama  terjadi  yaitu  sekitar t =842.  Kemudian  ketika 𝛾 2 naik  100%,  kejadian  munculnya  penyakit  lebih  lama  terjadi  dibandingkan  dengan 𝛾 2 awal  dan ketika 𝛾 2 naik 10%  maupun 50%. Ketika 𝛾 2 naik 100% penyakit sudah hamper hilang. Hal ini sesuai dengan 𝑆 𝛾 2 yang bernilai negatif terbesar pada Tabel 3.
Ketika l naik  10%,  50%,  dan  100%  selalu  terjadi  kenaikan  pada  proporsi  individu  yang terinfeksi  penyakit SARS .  Saat  awal l =0,5,  keadaan  munculnya  penyakit  terjadi  sekitar t =426.
Jika l naik 10%, maka kejadian munculnya penyakit akan lebih cepat terjadi yaitu sekitar t= 352. Begitu pula jika l naik 50%, kejadian munculnya penyakit akan lebih cepat terjadi yaitu sekitar t= 217.  Kemudian  ketika l naik  100%,  kejadian  munculnya  penyakit  lebih  cepat  terjadi dibandingkan  dengan l awal  dan  ketika l naik  10%  maupun  50%  yaitu  sekitar t= 157.  Hal  ini sesuai dengan 𝑆 𝑙 yang bernilai positif pada Tabel 3.
Ketika 𝛾 1 naik 10%, 50%, dan 100% tidak terjadi penurunan yang signifikan pada proporsi individu yang terinfeksi penyakit SARS . Keadaan munculnya penyakit akan terjadi sekitar t =201. Hal  ini  sesuai  dengan 𝑆 𝛾 1 yang  bernilai  negatif  terkecil.  Jadi,  dugaan  bahwa  parameter l dan  σ dapat mengontrol penyebaran  penyakit SARS paling signifikan dibandingkan parameter lainnya ketika ℜ 0 > 1 salah.  Ternyata,  parameter l dan  parameter 𝛾 2 yang  paling  berpengaruh  dalam mengontrol  penyebaran  penyakit SARS .  Perhatikan  juga  potret  fase  model POV ketika ℜ 0 > 1 berikut:
Gambar 9. Potret fase model POV ketika ℜ 0 > 1
Berdasarkan  Gambar  9,  terlihat  bahwa  untuk  sembarang  nilai  awal  proporsi  individu terinfeksi  akan  selalu  menuju  nol  berapapun  jumlah  individu  rentan  dalam  suatu  populasi.  Hal tersebut  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  model POV stabil.  Sehingga, hasil  analisis  sensitivitas  pada  model POV ketika ℜ 0 > 1 benar  bebas  penyakit  meskipun penyakit SARS sempat muncul.

## 4 Simpulan
Berdasarkan simulasi Monte Carlo pada model POV , dapat disimpulkan bahwa parameter proporsi  individu  isolasi  yang  berpotensi  menginfeksi  individu  rentan  yang  berdistribusi Beta (a=1,b=2)  memiliki  pengaruh  paling  besar  dengan ℜ 0 < 1 sebesar  83%  dan  rata-rata ℜ 0 memiliki  nilai  yang  paling  kecil  yaitu  sebesar  0,58.  Begitu  pula  untuk  model DOV, dapat disimpulkan  bahwa  parameter  proporsi  individu  isolasi  yang  berpotensi  menginfeksi  individu rentan yang berdistribusi Beta (a=1,b=2) memiliki pengaruh paling besar dengan ℜ 0 < 1 sebesar 64,8% dan rata-rata ℜ 0 memiliki nilai yang paling kecil yaitu sebesar 1,18.
Analisis sensitivitas pada bilangan reproduksi dasar model POV ketika ℜ 0 < 1 dan ketika ℜ 0 > 1 menunjukkan  bahwa  parameter  proporsi  individu  isolasi  yang  berpotensi  menginfeksi individu rentan mempunyai pengaruh positif terhadap penyebaran penyakit SARS . Sementara itu, ketika ℜ 0 < 1 parameter proporsi individu rentan yang berhasil divaksin sebelum terjadi wabah SARS dalam suatu populasi memberikan pengaruh negatif terbesar terhadap penyebaran penyakit SARS .  Ketika ℜ 0 > 1 parameter  laju  pemulihan  dari  individu  isolasi  memberikan  pengaruh negatif terbesar terhadap penyebaran penyakit SARS .

## 5 Daftar Pustaka
[1] P. L. Delamater, E. J. Street, T. F. Leslie, Y. T. Yang, dan K. H. Jacobsen, "Complexity of the Basic Reproduction Number (R 0 )", Emerging Infectious Diseases, vol. 25, 2019.
[2] P. Efelin, B. Yong, dan L. Owen, "Model Penyebaran Penyakit SARS dengan Pengaruh Vaksinasi", Prosiding Seminar Nasional Matematika Universitas Katolik Parahyangan, vol. 11, pp. 77-85, 2016.
[3] J. Gjorgjieva, K. Smith, G. Chowell, F. Sanchez, J. Snyder, dan C. Castillo-Chaves, "The Role of Vaccination in the Control of SARS", Mathematical Biosciences and Engineering, vol. 2, 2005.
[4] Jing Li, D. Blakeley, dan R. J. Smith?, "The Failure of R 0 ", Computational and Mathematical Methods in Medicine, vol. 2011, 2011.
[5] Nurhayati, "Studi Perbandingan Metode Sampling Antara Simple Random dengan Stratified Random",  Jurnal Basis Data, ICT Research Center UNAS, vol.3, no.1, 2008.
[6] Yicang Zhou dan Zhien Ma, "A Discrete Epidemic Model for SARS Transmission and Control in China", Mathematical and Computer Modelling, vol. 40, pp. 1491-1506, 2003.
[7] Juan Zhang, Jie Lou, Zhien Ma, dan Jianhong Wu, "A Compartmental Model for The Analysis of SARS Transmission Patterns and Outbreak Control Measures in China",
Applied Mathematics and Computation, vol. 162, pp. 909-924, 2004.
[8] G. Chowell, C. Castillo-Chavez, P. W. Fenimore, C. M. Kribs-Zaleta, L. Arriola, dan J. M. Hyman, "Model Parameters and Outbreak Control for SARS", Emerging Infectious Diseases, vol. 10, pp. 1258-1263, 2004.
[9] J. Y. Kodaira dan J. R. de Souza Passos, "The Basic Reproduction Number in SIR Models - A Probabilistic Approach", 9th Brazilian Conference on Dynamics, Control and Their Application, 2010.
[10]   Wendi Wang dan Shigui Ruan, "Simulating the SARS outbreak in Beijing with limited data", Journal of Theoretical Biology, vol. 227, pp. 369-379, 2004.
[11]   G. Chowell, F. Abdirizak, S. Lee, J. Lee, E. Jung, H. Nishiura, dan C. Viboud,
"Transmission characteristics of MERS and SARS in the healthcare setting: a comparative study", BMC Medicine, vol 13:210, 2015.
[12]   K. O. Okosun, M. Mukamuri, dan D. O. Makinde, "Global Stability Analysis and Control of Leptospirosis", Open Mathematics, vol. 14, pp. 567-585, 2016.
[13]   H. S. Rodrigues, M. T. T. Monteiro, dan D. F. M. Torres, "Sensitivity Analysis in a Dengue Epidemiological Model", Conference Papers in Mathematics, vol. 2013, 2013.
[14]   H. W. Berhe, O. D. Makinde, dan D. M. Theuri, "Parameter Estimation and Sensitivity Analysis of Dysentery Diarrhea Epidemic Model", Journal of Applied Mathematics, vol. 2019, 2019.
[15]   P. v. d. Driessche, "Reproduction numbers of infectious disease models", Infectious Disease Modelling, vol. 2, pp. 288-303, 2017.
[16]   Hyun Mo Yang, "The basic reproduction number obtained from Jacobian and next generation matrices - A case study of dengue transmission modelling", BioSystems, vol. 126, pp. 52-75, 2014.
[17]   A. Khan, M. Hassan, dan M. Imran, "Estimating the basic reproduction number for single- strain dengue fever epidemics", Infectious Diseases of Poverty, vol. 3:12, 2014.
[18]   K. Sato, "Basic reproduction number of SEIRS model on regular lattice", Mathematical Biosciences and Engineering, vol. 16:6, pp. 6708-6727, 2019.