## INVENTORY DAN TRANSPORTASI PADA JARINGAN BERKENDALA MENGGUNAKAN SIMULTANEOUS OPTIMIZATION METHOD
Wahyu Sri Utami i
i Prodi Teknik Informatika, Universitas Teknologi Yogyakarta, wahyu.utami@uty.ac.id
ABSTRAK ,  Perlakuan  terhadap  material  mulai  dari  titik produksi ( source ) sampai sebagai produk di titik konsumsi ( sink ) jika tidak dikelola secara profesional biasanya akan memerlukan  biaya  yang  relatif  cukup  tinggi  bagi perusahaan. Hal ini merupakan masalah yang krusial untuk diselesaikan.  Permasalahan  yang  ditimbulkan  pada dasarnya  adalah  kombinasi  dari  permasalahan  produksi, transportasi  dan  bagaimana  menentukan  order  yang ekonomis. Secara tradisional tahap-tahap dalam pemrosesan  material  tersebut  dioptimasi  secara  terpisah. Akan tetapi, semakin banyak titik sumber dan titik tujuan, maka tidak akan praktis lagi jika harus dioptimasi terpisah. Sehingga dalam penelitian ini digunakan metode optimasi simultan  yang  mengintegrasikan  seluruh  proses  tersebut kedalam  suatu  bentuk  model  logistik  yang  tidak  linear kemudian  akan  dioptimasi  secara  simultan.  Fungsi objektifnya  adalah  meminimalkan  total  biaya  inventory, produksi dan transportasi dengan kendala terbatasnya stok persediaan  dan  permintaan  yang  harus  terpenuhi.  Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa dengan menggunakan optimasi  simultan,  biaya  yang  dikeluarkan  lebih  rendah dibandingkan  jika  menggunakan  metode  optimasi  secara tradisional.
Kata  Kunci:  inventory,  produksi,  transportasi,  order, metode optimasi terpisah, metode optimasi simultan

## 1. PENDAHULUAN
Metode  riset  operasi  ( operation  research )  yang pada prinsipnya berisi berbagai tehnik kuantitatif yang  banyak  dipakai  dalam  pengambilan- pengambilan  keputusan  manajemen  (Pangestu Subagyo,  1992).  Permasalahan  peminimalan biaya  pada  jaringan  rantai  persediaan,  dimana untuk  meminimalkan  biaya  inventory,  produksi dan  transportasi  secara  tradisional  dihitung (dioptimasi)  secara  terpisah  (Julian  Benjamin, 1989).  Pemrosesannya  dimulai  dari  produksi  di titik source ,  kemudian  disimpan  sebagai persediaan  sampai  sikirimkan  ke  titik sink . Permasalahan  yang  mempunyai  lebih  banyak sumber dan tujuan akan menjadi tidak efisien jika dikerjakan  secara  terpisah,  sehingga  pada penelitian  ini  penulis  ingin  menggunakan  suatu
metode efektif untuk menyelesaikan permasalahan  tersebut  secara  keseluruhan  yang disebut simultaneous  optimization method (Julian Benjamin, 1989), dan kemudian membandingkan  solusi  yang  diperoleh  dari metode  tersebut  dengan  solusi  yang  diperoleh dari  metode  optimasi  secara  terpisah  maupun konvensional.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Persoalan  utama  dalam  pengelolaan  persediaan ini  terkandung  dalam  dua  pertanyaan  utama, yaitu: berapa banyak harus disediakan dan kapan penyediaan  itu  dilakukan.  (Imam  K.,  2003). Permasalahan yang diangkat dalam penelitian ini adalah  berapa  banyaknya  barang  yang  harus  di produksi  dan  di  order  agar  total  biaya  yang dikeluarkan  mulai  dari  titik source sampai  titik sink menjadi minimum.
Permasalahan  dirumuskan  kedalam  model persediaan  independen,  yaitu  model  dengan penentuan jumlah pembelian bahan atau barang yang  bersifat  bebas.  Biasanya  diaplikasikan untuk pembelian persediaan di mana permintaannya  bersifat  kontinyu  dari  waktu  ke waktu dan konstan sehingga hanya ada beberapa model  inventory  yang  sesuai  dan  memenuhi kondisi tersebut, yaitu:
1) Economic Order Quantity ( EOQ )
2) Economic Production Quantity ( EPQ )

## 3) The Quantity Discount Model
Karena  diasumsikan  tidak  ada  diskon,  sehingga hanya model 1 dan 2 yang akan digunakan guna menyelesaikan  permasalahan  dalam  penelitian ini.
Transportation cos t = i = 1 m å C ij X ij j = 1 n å TC = 1 2 2 DSP ( P - D ) H 1 - D P æ è ç ö ø ÷ H + ( P - D ) H

## 2 DSP DS

## MODEL ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ)
Total  biaya  tahunan  ( total  annual  cost )  untuk model  EOQ  berasal  dari holding  cost ditambah dengan order cost .
(2.1)
dimana,
TC = total cost
H  = holding cost per unit
D  =  total  permintaan  ( demand )  per      satuan waktu
O  = order cost per order

## MODEL ECONOMIC PRODUCTION QUANTITY (EPQ)
Sedangkan  total  biaya  untuk  model  EPQ diperoleh dari penjumlahan holding cost dengan set up cost.
(2.2)
dimana,
TC   = total cost
H     = holding cost per unit
D  = total permintaan ( demand ) per satuan waktu
P     =  laju produksi per satuan waktu
S     = set-up cost per unit

## MODEL BIAYA TRANSPORTASI
Secara umum permasalahan transportasi
disumuskan menjadi model transportation cost sebagai berikut :
(2.3)
Dengan C ij biaya transport per unit barang yang dkirimkan dari titik source i ke titk sink j dan X ij adalah  banyaknya  unit  barang  yang  dkirimkan dari  titik source i  ke  titk sink j.  (Wayne  L. Winston, 1994)

## 3. METODOLOGI
Proses  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini dilakukan dengan urutan sebagai berikut:
1. Membentuk  model total  logistic  problem mulai di titik source sampai ke titik sink .
2. Mencari  solusi  optimal  menggunakan metode  konvensional  atau traditional optimization method.
3. Mencari  solusi  optimal  menggunakan metode  heuristik  (Julian  Benjamin,  1989) untuk problem multi source dan multi sink .
4. Untuk  memperjelas  hasil  yang  diperoleh dalam  pembahasan  diberikan  simulasi numeric  dan  digunakan software LINGO untuk  mempermudah  penyelesaian  dalam penentukan  solusi  terbaik  dari  tiap-tiap metode.

## 4. PEMBAHASAN
MEMBENTUK MODEL

## TOTAL LOGISTIC PROBLEM
Total  biaya  di  titik source adalah  hasil penjumlahan  biaya  produksi, holding  costs dan set-up cost menjadi persamaan berikut ini:
(4.1)
dimana,
f 1 =  total biaya di titik source
r i =  biaya produksi per unit    di titik produksi i
S i =  kapasitas produksi tahunan di titik source i, ditentukan terlebih dahulu untuk  analisis
H i = holding cost di titik source i
P i =  laju produksi tahunan di titik
source i
TC = 1 2 2 DOH + HDO
2 = i = 1 m å r i S i + z i 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + S i z i K i + H i 2 X ij j = 1 n å æ è ç ç ç çç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷÷ ) , , , , , ( 11 1 1 mn m X X z z f    
) , ( ) ( ) , ( 3 2 1 Y X f Y f X z f W    z i = jumlah produksi di titik produksi i
K i = set up cost di titik produksi i
X ij =  jumlah unit barang yang akan dikirim dari titik source i ke titik sink j per order
Biaya  transportasi  merupakan  suatu  bentuk fungsi persamaan linear sebagai berikut:
f 2 ( Y 11 ,..........., Y mn ) = i = 1 m å C ij Y ij j = 1 n å (4.2)
dimana,
f 2 =   total biaya transportasi
C ij =  biaya transportasi per unit dari  titik source i ke titik sink j
=    jumlah  unit  yang  akan  dikirim  dari  titik
source i ke titik sink j per   tahun.
Karena  tidak  ada  proses  produksi,  maka  total biaya di titik sink hanya memuat biaya inventory saja.  Biaya inventory di  titik sink dirumuskan
sebagai persamaan berikut (4.3) dimana, f 3 =  total biaya di titik sink
G j = holding cost di titik sink j
I j = order cost di titik sink j
X ij =  jumlah unit barang yang akan dikirim dari titik source i ke titik sink j per order
=  jumlah unit yang akan dikirim dari titik source i ke titik sink j per tahun.
Sehingga  total  biaya  keseluruhan  proses  mulai dari  titik source sampai  titik sink dirumuskan menjadi persamaan berikut:
(4.4)
Fungsi biaya 4.4 merupakan total model logistic problem yang  akan  diminimalkan.  Apabila kapasitas supply yang  terbatas  dan  permintaan yang  harus  dipenuhi  diperhitungkan,  maka formulasi problem menjadi:
Minimize
(4.5) 0 ≤ z i ≤ S i untuk setiap i; 0 ≤ X ij ≤ Y ij untuk setiap i dan j;
S i i = 1 m å = D j j = 1 n å (4.6)
dimana ,
D j =permintaan tahunan di titik sink j
S i =kapasitas produksi tahunan di titik source
Baik  D j dan  S j keduanya  di  tentukan  terlebih dahulu untuk analisis.
Menentukan Solusi Optimum untuk Problem Produksi-Transportasi-Inventory pada Sistem Multi    Source  dan  Multi  Sink  Menggunakan Metode Konvensional.
Perhitungan  untuk  problem  ini  telah  mencakup pembahasan pada problem satu source satu sink . Akan  dihitung  total  biaya  yang  dikeluarkan
Y ij
Y ij ij ij Y X z , , 1                                              n j j ij ij j ij m i n j ij ij m i n j ij i i i i i i i i i i m i I X Y G X Y C X H K z S H P S z S r 1 1 1 1 1 1 001 , 0 2 2 1 2                                              n j j ij ij j ij m i n j ij ij m i n j ij i i i i i i i i i i m i I X Y G X Y C X H K z S H P S z S r W 1 1 1 1 1 1 001 , 0 2 2 1 2 , , : 1 1       n j i ij m i j ij S Y D Y to Subject
f 3 ( X 11 ,......, X mn , Y 11 ,......., Y mn )
= i = 1 m å X ij 2 G j + Y ij (0, 001 + X ij ) I j æ è çç ö ø ÷÷ j = 1 n å
K S TC Cost tion Transporta TC t Total    cos
untuk  proses  produksi  di  titik source i  (i =1,2,3,…m), biaya transportasi dan biaya di titik sink j (j =1,2,3,…n).
T otal  cost optimum  sementara  di  titik source adalah:
(4.1.1)
Untuk mencari biaya pendistribusian barang dari tiap–tiap  titik source ke  tiap–tiap  titik sink digunakan rumus transportation cost yang sama dengan persamaan (3.16) yaitu:
ij n j ij m i Y C t tion transporta Total      1 1 cos (4.1.2)
Total cost minimum di titik sink diperoleh rumus sebagai berikut:
(4.1.3)
Untuk  memperoleh  total  biaya  mulai  dari  titik sink sampai  ke  titik source , dihitung  dengan menjumlahkan solusi-solusi yang telah diperoleh di tiap-tiap titik. Total biaya keseluruhan terdiri dari  total  biaya  di  titik source ,  total  biaya transportasi,  dan  total  biaya  di  titik sink . Sehingga total biaya keseluruhan dapat dituliskan oleh persamaan berikut ini:
(4.1.4)
Persamaan  4.1.4  adalah  persamaan  multi variabel,  sehingga  dengan  menyederhanakan persamaan  tersebut,  diperoleh  persamaan  yang meminimalkan  biaya  dengan  kendala  kapasitas supply yang terbatas dan permintaan yang harus dipenuhi.
Minimize (4.1.5)
0 ≤ z i ≤ S i untuk setiap i; 0 ≤ X ij ≤ Y ij untuk setiap i dan j; ∑S i = ∑D j .
Untuk menyelesaikan bentuk persamaan dengan kendala seperti persamaan diatas pada dasarnya dapat  diselesaikan  secara  manual  menggunakan metode  pengali Lagrange .  Akan  tetapi  untuk permasalahan  multi  source  dan  multi  sink  yang lebih besar, tidak memungkinkan lagi jika harus diselesaikan secara manual, sehingga digunakan software Lingo
untuk mempermudah mendapatkan solusi.
Menentukan Solusi Optimum untuk Problem Produksi-Transportasi-Inventory pada Sistem Multi    Source  dan  Multi  Sink  Menggunakan Metode Optimasi Simultan dengan Heuristik.
Pada  penelitian  ini,  untuk  menyelesaikan problem  produksi-transportasi- inventory multi source dan  multi sink digunakan  metode simultan Heuristic (Julian Benjamin, 1989) . Pada metode  ini,  fungsi  objektif  dan  kendala  pada persamaan  4.1.5  akan  diselesaikan  secara simultan  dengan  terlebih  dahulu  mengoptimasi variabel  z i dan  variabel  X ij pada  persamaan  W.
Dan  hanya  pada  persaman  W  yang  terdiri  dari variabel-variabel  X ij dan  Y ij tersebut  yang kemudian  akan  dioptimasi  bersama  secara heuristik. Metode ini disebut sebagai Simultaneous Solution Procedures.
Total cos t = r i S i + 1 2 2 S i P i K i ( P i - S i ) H i 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + ( P i - S i ) H i 2 S i P i K i S i K i + H i 2 2 Y ij I j G j æ è çç ö ø ÷÷ j = 1 n å æ è ç ç ç ç ç ö
ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ i = 1 m å + i = 1 m å C ij Y ij + G j 2 2 Y ij I j G j + Y ij I j 0, 001 + G j 2 Y ij I j æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ j = 1 n å n j j ,... 2 , 1 ,   m i i ,... 2 , 1 ,                                                 n j j ij j j ij j ij ij j ij ij m i m i n j j j ij i i i i i i i i i I Y G I Y G I Y G Y C G I Y H P H K S S P S r 1 1 1 1 2 001 , 0 2 2 2 2 2 ) ( 2 , , : 1 1 '       n j i ij m i j ij S Y D Y to Subject                              n j j j ij j ij j j ij j m i k G I Y I Y G I Y G TC 1 1 2 001 , 0 2 2
TC s = r i S i + 1 2 2 S i P i K i ( P i - S i ) H i 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + ( P i - S i ) H i 2 S i P i K i S i K i + H i 2 2 Y ij I j G j æ è çç ö ø ÷÷ j = 1 n å æ è ç ç ç ç ç ö ø ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ i = 1 m å
W = i = 1 m å ( r i S i + z i 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + S i z i K i + H i 2 X ij ) j = 1 n å + i = 1 m å C ij Y ij j = 1 n å + i = 1 m å ( X ij 2 G j + Y ij 0, 001 + X ij ( ) I j j = 1 n å ) n j m i X Y I G H n j m i X W j i ij ij j j i j i ij
,... 2 , 1 , , ,... 2 , 1 , 0 ) 001 , 0 ( 2 2 ,... 2 , 1 , , ,... 2 , 1 , 0
2                (4.2.1)
Variabel  z i dihitung  terpisah  dari  persamaan  W dan kemudian diselesaikan menggunakan optimasi  klasik  sebagai  suatu  bentuk  fungsi Economic  Production  Lot  Size  Problem dan diperoleh solusi untuk z i adalah sebagai berikut:
0    i z W ,
z i = 2 S i P i K i ( P i - S i ) H i , (4.2.2)
z i adalah  banyaknya  barang  yang  harus diproduksi  di  titik source i  agar  biaya  yang dikeluarkan oleh perusahaan minimum.
Kemudian mendefferensial-kan W terhadap X ij secara  terpisah  dan  menyamadengankan  nol, akan diperoleh solusi untuk X ij.
(4.2.3)
Dengan  menggunakan  metode  optimasi  klasik untuk mendapatkan X ij .
(4.2.4)
Maka diperoleh solusi untuk X ij sebagai berikut:
,
(4.2.5)
Pada persamaan 4.2.5, jika Y ij bernilai nol (tidak terjadi  pengiriman),  maka  pastinya  X ij juga bernilai  nol  (tidak  terjadi  order).  Akan  tetapi karena terjadi pengurangan 0,001 maka nilai X ij yang  diperoleh  pada  persamaan  akan  bernilai negatif  dan  solusi  menjadi  tidak  terdefinisi. Sehingga persamaan untuk mendapatkan nila X ij yang  positif  adalah  tanpa  pengurangan  0,001. Maka diperoleh solusi untuk X ij sebagai berikut:
(4.2.6)
X ij adalah  batas  bawah  awal  yang  akan digunakan untuk menemukan solusi akhir.
Fungsi  objektif  W  menjadi  suatu  bentuk  fungsi linear terhadap Y ij .
Solusi optimum untuk Y ij dapat diperoleh dengan menyelesaikan  program  linear  pada  persamaan berikut.
(4.2.7)
Dimana  koefisian  A  pada  persamaan  diatas adalah:
,
(4.2.8)
Pada  persamaan  4.2.8  variabel  X ij ditambah dengan  0,001  agar  tidak  terjadi  pembagian dengan nol jika X ij bernilai nol.
Sehingga persamaan (4.2.8) adalah meminimumkan  fungsi ' W pada  saat  A ij
W = i = 1 m å r i S i + z i 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + S i z i K i + H i 2 X ij j = 1 n å æ è çç ö ø ÷÷+ i = 1 m å C ij Y ij j = 1 n å + i = 1 m å ( X ij 2 G j + Y ij 0, 001 + X ij ( ) I j j = 1 n å )            ) 001 , 0 ( ij j ij ij X I C A 001 , 0 ) ( 2    i j ij j ij H G Y I
X
           n j i ij j m i ij n j ij ij m i S Y D Y to subject Y A W Minimize 1 1 1 1 : ' m i i ,... 2 , 1 ,  
n j j ,... 2 , 1 ,   n j j ,... 2 , 1 ,   m i i ,... 2 , 1 ,   n j j ,... 2 , 1 ,  
m i i ,... 2 , 1 ,   m i i ,... 2 , 1 ,   1 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i - S i z i 2 K i = 0 m i i ,... 2 , 1 ,   , ,... 2 , 1 , m i i  
, ,... 2 , 1 , m i i   X ij = 2 I j Y ij ( G j + H i ) n j j ,... 2 , 1 ,  
disubstitusi. Diperoleh biaya optimumnya sebagai berikut:
W*= 1 f
+ ' W (4.2.9)
Solusi–solusi yang  telah  diperoleh  pada persamaan diatas, belum cukup untuk menyelesaikan Simultaneous Solution
Procedures .  Untuk  memperoleh  solusi  akhir yang  optimum,  digunakan  algoritma  yang dianggap  efisien  dan  solusi  yang  diperoleh mendekati  nilai  optimum  sebenarnya.  Dalam Tugas  Akhir  ini,  penulis  menggunakan  metode Heuristic (Julian  Benjamin,  1989)  untuk menyelesaikan  permasalahan  yang  ada.  Metode ini  akan  menggabungkan  solusi–solusi  yang telah  diperoleh  pada  persamaan  (4.2.6),  (4.2.7), dan (4.2.8) untuk mencari solusi akhirnya.
Langkah  –  langkah  dalam  metode heuristic adalah sebagai berikut:
1. Menentukan  solusi  untuk  z i yang  telah dihitung pada persamaan (4.2.2).
2. Menentukan  solusi  fesibel  awal  untuk  Y ij dengan  mencari  nilai  minimum  dari  S i dan D j , Y ij 0 = Minimum[S i , D j ]. Ambil nilai awal t=0
a. Mensubstitusi Y ij t ke persamaan (4.2.5) dan diperoleh nilai awal untuk X ij t .
b. Menentukan solusi fesibel lokal optimum  dengan  langkah  –  langkah sebagai berkut:
1. Menghitung  nilai  untuk  koefisien
A ij t dengan  mensubstitusi  X ij t ke persamaan (4.2.8).
2. Menentukan  solusi  fesibel  baru Y ij t+1 dengan  mensubstitusi  A ij t kedalam  persamaan  (4.1.5)  dan menyelesaikannya  sebagai  suatu bentuk pemrograman linear.
3. Menghitung X ij t+1 dengan mensubstitusi    Y ij t+1 ke  persamaan (4.2.5).
4. Menentukan  nilai  dari  fungsi objektif  yang  baru  W t+1 dengan mensubstitusi  z i ,  X ij t+1 ,  dan  Y ij t+1 kedalam persaman (4.2.1).
c. Stop  iterasi  jika  Y ij t+1 =  Y ij t . Jika  tidak ambil  t  =  t  +  1  kemudian  kembali  ke langkah no 2b.
3. W* = Minimum [W t ].
Untuk  mengaplikasikan  algoritma  diatas,  dapat dikerjakan  secara  manual.  Akan  tetapi  untuk permasalahan  yang  semakin  banyaknya  titik source dan titik sink , maka tidak akan praktis lagi jika  harus  dikerjakan  secara  manual.  Sehingga dalam  pengerjaan  tugas  akhir  ini  penulis menggunakan software LINGO untuk mempermudah  pengerjaannya.  LINGO  adalah suatu software yang  dapat  menyelesaikan permasalahan optimisasi yang berbentuk persamaan  linear  maupun  non  linear.  LINGO memperingkas pengerjaan suatu problem pemrograman  linear  maupun  nonlinear,  dengan memasukkan model tersebut kemudian menyelesaikannya  sampai  diperoleh  solusi optimum,  dan  menganalisa  hasil  optimum tersebut.  Untuk  lebih  memahami  tentang kegunaan  LINGO,  diberikan  contoh  dengan bentuk  permasalahan  multi source dan  multi sink .

## Contoh Problem multi source dan multi sink
Diberikan 3 anak perusahaan yang memproduksi satu  jenis  item  dan  4  distributor  yang  akan menerima  item  dari  tiap-tiap  perusahaan penyuplai.  Diketahui  biaya  produksi  per  unit  di masing-masing  titik  produksi  adalah  (r i ),  r 1 =$5, r 2 =$3,  r 3 =$6.  Laju  produksi  tahunan  untuk masing-masing  titik source adalah:  P 1 =38000, P 2 =37700, P 3 =59000. Besarnya demand , suppply ,  biaya  inventory  dan  biaya  transportasi diberikan pada tabel-tabel diawah ini.
Tabel 1. Biaya transportasi ($/unit) dari titik source (i) ke titik sink (j)
Source ( i ) Sink ( j ) A B C D I 1,33 0,69 0,53 - II 0,98 1,23 1,68 - III - - 1,13 0,30
Tabel  2.  Kapasitas  tahunan  dan  biaya inventory di titik source
I II III
Kapasitas tahunan (unit/tahun) 37000 37000 58000 Set up cost ($/produksi) 5000 5000 5000 Holding cost ($/unit/tahun) 0,10 0,10 0,10 Tabel 3. Permintaan tahunan dan biaya inventory di titik sink Parameter A B C D Permintaan tahunan (unit/tahun) 12000 9000 109000 2000 Order cost ($/order) 20 20 20 20 Holding cost ($//unit/tahun) 0,12 0,12 0,12 0,12
Perusahaan ingin menghitung besarnya produksi barang  dan  besarnya  order  yang  harus  dikirim dari tiap-tiap titik source i ke tiap-tiap titik sink j tiap  tahunnya  agar  biaya  yang  dikeluarkan minimum  serta  banyaknya  order  dalam  setahun yang harus dipenuhi.
Penyelesaian menggunakan metode konvensional.
Diperoleh  jumlah barang yang harus diproduksi di masing-masing titik source i adalah:
z 1 = 2 x 37000 x 38000 x 5000
(38000 - 37000) x 0,1 » 374967
z 2 = 2 x 37000 x 37700 x 5000
(37700 - 37000) x 0,1 » 446398
z 3 = 2 x 58000 x 59000 x 5000
(59000 - 58000) x 0,1 » 584979
Dimana z i adalah banyaknya barang yang harus diproduksi  di  titik source i  agar  biaya  produksi yang  dikeluarkan  oleh  perusahaan  menjadi minimum.
Solusi  Y ij akan  dicari    menggunakan software LINGO, diperoleh:
Y 11 =0                 Y 23 =16000
Y 12 =0                 Y 24 =0 Y 13 =37000         Y 31 =0 Y 14 =0                 Y 32 =0
Y 21 =12000         Y 33 =56000
Y 22 =9000           Y 34 =2000
Dengan menggunakan  LINGO diperoleh output total  biaya  optimumnya    adalah  $ 782504,5. Selanjutnya  dihitung  nilai  X ij yaitu  jumlah barang  yang  di  order  dari  titik source i  ke  titik sink j  dengan  mensubstitusi  Y ij yang  telah diperoleh  sebelumnya.                                  Sedangkan dengan  menggunakan  metode  konvensional, diperoleh biaya minimum yang harus dikeluarkan oleh perusahaan sebesar $782504,5 dimana order optimumnya adalah X ij dan jumlah barang  yang  harus  dikirim  per  tahunnya  adalah Y ij .
Penyelesaian  problem  multi  source  dan  multi sink menggunakan metode heuristik.
Persoalan  akan  diselesaikan  sesuai  metode heuristik  (Julian  Benjamin,  1989),  dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Menghitung nilai z i .
2. Misal t = 0, akan dihitung Y ij 0 sebagai solusi fesibel awal.
a.  Dengan mensubstitusi Y ij 0 ke persamaan berikut:
i i i i i i i H S P K P S z ) ( 2   6 , 584978 1 , 0 ) 58000 59000 ( 5000 59000 58000 2 3 , 446398 1 , 0 ) 37000 37700 ( 5000 37700 37000 2 374966,7 1 , 0 ) 37000 38000 ( 5000 38000 37000 2 3 2 1          x x x x z x x x x z x x x x z 3 , 2 , 1 ,   i i ) ( 2 i j ij j ij H G Y I X   3 , 2 , 1 ,   i i 4 , 3 , 2 , 1 ,   j j
diperoleh nilai untuk X ij 0 :
b.  Mencari solusi fesibel awal.

## Iterasi 1
• .Menghitung nilai untuk koefisien A ij 0
dengan mensubstitusi X ij 0 ke persamaan berikut:
• Menentukan  solusi  fesibel  baru    Y ij 1
dengan mensubstitusi A ij 0 ke dalam persamaan berikut:
Persamaan diatas diselesaikan menggunakan software LINGO  dan
diperoleh solusinya yaitu Y ij 1 .
• Menghitung X ij 1 dengan mensubstitusi
Y ij 1 . • Dengan mensubstitusi z i , X ij 1 ,Y ij 1 , C ij , S i ,  K i ,  H i, P i, I j ,  G j, dan  D j kedalam persaman (4.2.1) diperoleh W 1 adalah:
c. Karena  diperoleh  nilai  Y ij 1 ≠  Y ij 0 ,  maka harus kembali ke langkah no 2b, sehingga  menjadi  penghitungan  untuk iterasi 2.

## Iterasi 2
• Menghitung  nilai  untuk  koefisien  A ij 1
dengan mensubstitusi X ij 1 . • Menentukan solusi fesibel baru  Y ij 2 dengan mensubstitusi A ij 1 ke dalam persamaan:
Untuk  menyelesaikan  persamaan  diatas langsung digunakan software LINGO. Dan diperoleh solusi untuk Y ij 2 .
• Menghitung  X ij 2 dengan  mensubstitusi
Y ij 2 . • Diperoleh  fungsi  objektif  yang  baru  W 2 dengan mensubstitusi z i , X ij 2 , Y ij 2 , C ij , Si, K i , H i, P i, I j , G j, dan D j ke persamaan:
= 782394
Karena  diperoleh  nilai  Y ij 2 =  Y ij 1 maka  stop iterasi. W * = minimum[W t+1 ] = $ 782394.
Dengan  menggunakan  metode  konvensional, biaya  yang  harus  dikeluarkan  oleh  perusahaan sebesar $782504,5 sedangkan jika menggunakan metode  heuristik  (Julian  Benjamin,  1989) diperoleh total biaya adalah $782394,0. Sehingga perusahaan  dapat  menghemat  biaya  sebesar $110,5.
, ) 001 , 0 (            ij j ij ij X I C A , 3 , 2 , 1 ,   i i 4 , 3 , 2 , 1 ,   j j
Minimize W ' = 1, 343540 Y 11 1 + 0, 7056347 Y 12 1 + 0, 5377110 Y 13 1 + 0, 9935401 Y 21 1 + 1, 245635 Y 22 1 + 1, 68771 Y 23 1 + 1,136159 Y 33 1 + 0, 3331662 Y 34 1
subject to : Y 11 1 + Y 21 1 = 12000 Y 12 1 + Y 22 1 = 9000 Y 13 1 + Y 23 1 + Y 33 1 = 109000
Y 34 1 = 2000 Y 11 1 + Y 12 1 + Y 13 1 = 37000 Y 21 1 + Y 22 1 + Y 23 1 = 37000 Y 33 1 + Y 34 1 = 58000 W 1 = i = 1 m å ( r i S i + z i 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + S i z i K i + H i 2 X ij 1 ) j = 1 n å + i = 1 m å C ij Y ij 1 j = 1 n å +
i = 1 m å ( X ij 1 2 G j + Y ij 1 0, 001 + X ij 1 ( ) I j j = 1 n å ) 58000 37000 37000 2000 109000 9000 12000 : 3331662 , 0 136159 , 1 691726 , 1 245635 , 1 9935401 , 0 5377110 , 0 69 , 20000 33 , 20001 ' 2 34 2 33 2 23 2 22 2 21 2 13 2 12 2 11 2 34 2 33 2 23 2 13 2 22 2 12 2 21 2 11 2 34 2 33 2 23 2 22 2 21 2 13 2 12 2 11                         Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y to subject Y Y Y Y Y Y Y Y W Minimaze W 2 = i = 1 m å r i S i + z i 2 1 - S i P i æ è ç ö ø ÷ H i + S i z i K i + H i 2 X ij 2 j = 1 n å æ è çç ö ø ÷÷+ i = 1 m å C ij Y ij 2 j = 1 n å + i = 1 m å X ij 2 2 G j + Y ij 2 (0, 001 + X ij 2 ) I j æ è çç ö ø ÷÷ j = 1 n å

## 5. KESIMPULAN
Setelah dilakukan perhitungan dengan menyelesaikan  sebuah  contoh  kasus,  dapat disimpulkan  bahwa  proses  pencarian  solusi menggunakan metode Optimasi Simultan dengan Heuristik  dapat  menghasilkan  total  biaya produksi,  transportasi  dan inventory lebih minimum  dibandingkan  menggunakan  Metode Optimasi Konvensional.
Diperoleh  jumlah  produksi  barang  dan  jumlah pengiriman  barang  pertahunnya  optimum, dengan  kata  lain  jumlah  produksi  memenuhi permintaan konsumen.

## 6. SARAN
Dalam proses pencarian solusi pada sistem multi source dan  multi sink diberikan  algoritma  yang cukup  rumit,  sehingga  dengan  menambahkan aplikasi  pemrograman  yang  lebih  baik  akan sangat membantu dalam perhitungan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Benjamin, J. 1989. An Analysis of Inventory and
Transportation  Costs  in  a  Constrained Network :  North  Carolina:  A&T  State University.
Imam,  K.  2003. Manajemen  Persediaan : Fakultas Ekonomi Universitas Jember.
(di dowload pada  1  Maret  2008). rul2a@yahoo.com
Subagyo, P. dkk. 1992. Dasar-Dasar Operation Research , Edisi  Kedua.  Yogyakarta: penerbit BPFE.
Winston,  W.  L.,  1994, Operations  Research Applications  and  Algorithms, edisi ketiga, International Thomson Publisher, California.