http://dx.doi.org/10.21580/square.2019.1.2.4135

## Karakteristik Solusi Dekomposisi QR dalam Aljabar Max-Plus Tersimetri
Zakaria Bani Ikhtiyar 1* , Saminanto 2 , Budi Cahyono 3
1,2,3 UIN Walisongo Semarang
* zakaria.bani45@gmail.com

## ABSTRAK
Kajian aljabar max-plus tersimetri hadir dari kondisi bahwa setiap elemen pada ℝ tidak memiliki invers terhadap operasi max. Aljabar max-plus tersimetri dibentuk dari pasangan berurutan elemen- elemen  di  ℝ .  Pembentukan  aljabar  max-plus  tersimetri  ini  memunculkan  kelas  positif,  kelas negatif,  kelas  nol,  dan  kelas  himpunan  baru,  yakni  kelas  balance.  Penelitian  ini  berfokus  pada pencarian karakteristik solusi dekomposisi QR dalam aljabar max-plus tersimetri dengan beberapa entri matriks awal  yang akan didekomposisi merupakan anggota kelas balance . Dekomposisi QR merupakan  salah  satu  dekomposisi  matriks,  yaitu  dekomposisi  suatu  matriks  persegi  panjang berukuran m × n menjadi perkalian matriks ortogonal   berukuran m × m dengan matriks segitiga atas   berukuran m × n. Secara umum, dekomposisi ini dapat digunakan dalam aljabar konvensional. Penelitian ini menjelaskan dekomposisi QR jika dipunyai matriks dengan entri-entri elemen balance di aljabar max-plus tersimetri.
Kata kunci : dekomposisi QR, aljabar max-plus, aljabar max-plus tersimetri, dekomposisi QR dalam aljabar max-plus tersimetri.

## ABSTRACT
The symmetry max-plus algebra study comes from the condition that each element in ℝ has no inverse of max operation. The symmetry max-plus algebra is formed from ordered pairs of elements in  ℝ .  This  will  bring  out  positive  classes,  negative  classes,  zero  classes,  and  new  set  classes, namely  the  balance  class.  This  study  focuses  on  finding  the  characteristics  of  QR decomposition solutions in symmetrical max-plus algebra  with some  initial matrix that its entries are element of the balance class. QR decomposition is one of the matrix decompositions, namely the decomposition of a rectangular matrix A with order m × n to be the multiplication of the orthogonal matrix Q with order m × m with the upper triangle matrix R with order m × n. In general, this decomposition can be  used  in  conventional  algebra.  This  study  explains  QR  decomposition  if  it  has  a  matrix  with symmetrical balance element entries in max-plus algebra.
Keywords: QR decomposition, max-plus algebra, symmetry max-plus algebra, QR decomposition in symmetry max-plus algebra.

## 1. PENDAHULUAN
Dekomposisi  QR  sesuai  dengan  (Ruminta,  2014)  adalah  dekomposisi  matriks × menjadi perkalian matriks ortogonal berukuran × dengan matriks segitiga atas berukuran × . Misal dimiliki matriks   berukuran × , maka dapat didekomposisi menjadi matriks berukuran × dan matriks   berukuran × .
=   × (1)
Dekomposisi  QR  dapat  dilakukan  dalam  himpunan  bilangan  real,  atau  dalam  aljabar konvensional, hal ini dapat dilihat dalam (Ruminta, 2014) , (Anton, 1987), atau (Golub & Loan, 1996). Bart De Schutter dan Bart De Moor dalam (Schutter & Moor, 2002) telah menjelaskan bahwa dekomposisi QR dapat dilakukan dalam aljabar max-plus. Dalam karyanya (Schutter & Moor, 2002) tersebut, Bart De Schutter dan Bart De Moor menjelaskan bahwa untuk melakukan dekomposisi QR dalam aljabar max-plus perlu perluasan struktur baru dari struktur ajabar max- plus menjadi aljabar max-plus tersimetri. Penjelasan tentang perluasan ini diambil dari (Bacelli, 2001).  Pembentukan  aljabar  max-plus  tersimetri  ini  diawali  dari  struktur  aljabar  max  plus dengan  bentuk  himpunan ℝ = ℝ ∪ {−∞} dilengkapi  dengan  operasi ⊕ dan ⊗ yang didefinisikan sebagai:
⊕ = max ( , ) (2) ⊗ = + (3)
∀ , ∈ ℝ
dengan elemen nolnya adalah −∞ dan elemen satuannya  . Pada operasi ⊕ tidak dimiliki elemen invers untuk setiap ∈ ℝ . Hal ini dapat dilihat dalam persamaan berikut:
⊕ = −∞ (4)
pada persamaan  (4)  tidak dapat ditemukan  nilai   yang  dapat  memenuhi  persamaan,  kecuali = = −∞ .  Hal  ini  mendasari  pembentukan  aljabar  max-plus  tersimetri.  Dalam pembentukan  aljabar max-plus tersimetri diperkenalkan  struktur baru  yang disebut pasangan aljabar yaitu struktur aljabar dengan himpunan ℙ = {( , )| , ∈ ℝ } dengan operasi
⊕ dan ⊗ yang didefinisikan berikut:
⊕ = ( , ) ⊕ ( , ) = ( ⊕ , ⊕ ) (5)
⊗ = ( , ) ⊗ ( , ) = (( ⊗ ) ⊕ ( ⊗ ), ( ⊗ ) ⊕ ( ⊗ ) ) (6)
∀ = ( , );   = ( , ); , , , ∈ ℝ
dengan elemen nolnya (−∞, −∞) dan elemen satuannya ( , −∞) .
Pada pasangan aljabar ini juga diperkenalkan operator-operator sebagai berikut :
1. Operator minus dinotasikan dengan ⊖
2. Operator absolut dinotasikan | |
3. Operator keseimbangan dinotasikan ° misal dimiliki = ( , ) , dijelaskan operator-operator tersebut sebagai berikut: ⊖ = ( , ) (7) | | = ⊕ (8) ° = ⊖ (9)
Aljabar  konvensional  menjelaskan  bahwa  untuk  setiap ∈ ℝ berlaku − = 0 .
Sedangkan  dalam  pasangan  aljabar  ditunjukkan  bahwa  untuk  setiap ∈ ℙ berlaku ⊖ =
° ≠ (−∞, −∞) . Oleh karena itu diperkenalkan relasi baru yaitu relasi ∇ . Relasi ∇ dibaca relasi keseimbangan didefinisikan sebagai
∇ jika ⊕ = ⊕ (10)
relasi ∇ berkoresponden  dengan = dalam  aljabar  konvensional.  Dengan  relasi  ini  didapatkan bahwa  untuk  setiap ∈ ℙ berlaku ⊖ = ° ∇ (−∞, −∞) .  Relasi ∇ merupakan  relasi refleksi, serta simetri, namun relasi ini tidak transitif. Hal ini dapat ditunjukkan misal dimiliki (4,1) ∇ (4,4), (4,4) ∇ (2,3) tetapi  tidak  berlaku (4,1) ∇ (2,3) .  Karena  relasi ∇ tidak  transitif, maka  tidak  dapat dibentuk  himpunan quotient dari  relasi  ini.  Oleh  karena  itu,  diperkenalkan lagi relasi baru berupa relasi ℛ yang didefinisikan sebagai berikut: ℛ ∇   , ≠ , ≠ = Untuk = ( , ); = ( , )
Relasi ℛ merupakan  relasi  ekuivalensi  (bukti  dapat  dilihat  dalam  (Ulfa,  2015)).  Sehingga dengan  relasi ℛ ini  dapat dibentuk himpunan quotient berupa = ℙ/ℛ  = {( , )| , ∈ ℝ } . Himpunan   dilengkapi dengan operasi ⊕ dan ⊗ yang didefinisikan sebagai:
⊕ = ( , ) ⊕ ( , ) = ( ⊕ , ⊕ ) (11)
⊗ = ( , ) ⊗ ( , ) = (( ⊗ ) ⊕ ( ⊗ ), ( ⊗ ) ⊕ ( ⊗ ) ) (12) ∀ = ( , );   = ( , ); , , , ∈ ℝ
karena  himpunan   merupakan  himpunan quotient ,  yaitu  himpunan  yang  dilengkapi  dengan relasi ekuivalensi. Maka terbentuk kelas-kelas dalam himpunan ini. Kelas-kelas ekuilensi yang terbentuk dijelaskan berikut ini:
1. Kelas ( , −∞) disebut dengan kelas max-positif dan disimbolkan:
⊕ = {( , −∞)|   ∈   ℝ } (13)
2. Kelas (−∞, ) disebut dengan kelas max-negatif dan disimbolkan:
⊖ = {(−∞, )|   ∈   ℝ } (14) 3. Kelas ( , ) disebut dengan kelas seimbang ( balance ) dan disimbolkan:
° = {( , )|   ∈   ℝ } (15) 4. Kelas ( , ) = (−∞, −∞) disebut kelas nol
Dari  himpunan   ini  diperkenalkan  dekomposisi  dari   yaitu = ⊕ ∪ ⊖ ∪ ° dan ∨ = ⊕ ∪ ⊖ .  Selain  itu  dapat  dituliskan  pula ⊕ ∩ ⊖ ∩ ° = ( , ) .  Anggota-anggota dari  , yaitu ∈ dituliskan sebagai berikut :
1. , jika ∈ ⊕ (16)
2. ⊖ , jika ∈ ⊖ (17)
3. ° , jika ∈ ° (18) 4. = , jika =   ( , ) (19)
Secara  sederhana,  korespondensi  operator-operator  dalam  aljabar  konvensional  ( )  dengan aljabar max-plus tersimetri ( ) disajikan dalam Tabel 1.
Tabel 1. Korespondensi   dengan
No. ℝ 1 + ⊕ 2 - ⊖ 3 × ⊗ 4 = ∇ 5 0 6 1 0 7 ℝ ⊕ 8 ℝ ⊖
Dengan terbentuknya aljabar max-plus tersimetri  ini, dekomposisi QR dapat dilakukan dalam aljabar max-plus. Dekomposisi ini diawali dengan memetakan himpunan aljabar max- plus tersimetri ( ) kedalam himpunan bilangan real ( ℝ ) berupa fungsi eksponensial. Penjelasan tentang pemetaan ini dijelaskan dalam (Schutter & Moor, 2002) atau (Ulfa, 2015). Kemudian Bart De Schutter dan Bart De Moor menjelaskan bahwa dekomposisi QR dalam aljabar max- plus tersimetri yaitu dekomposisi matriks ∈ × menjadi perkalian matriks ortogonal ∈
( ∨ ) × dengan matriks segitiga atas ∈ ( ∨ ) × , atau dapat dituliskan sebagai: =   ⊗ (20)
Dalam  pembentukan  himpunan   didapatkan  himpunan ° .  Himpunan  ini  merupakan himpunan  baru.  Dalam  aljabar  konvensional,  biasa  dikenal  himpunan  bilangan  positif  (+), himpunan bilangan negatif (-), atau himpunan bilangan nol (0). Himpunan baru tersebut dirasa menarik oleh peneliti, sehingga penelitian ini akan membahas tentang dekomposisi QR dalam aljabar  max-plus  tersimetri  dengan  beberapa  entri  matriks  awal  yang  akan  di  dekomposisi merupakan bilangan dalam himpunan ° .

## 2. METODE
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah jenis penelitian studi literatur tau penelitian teori. Penelitian studi literatur atau penelitian teori adalah serangkaian kegiatan yang  berkenaan  dengan  metode  pengumpulan  data  pustaka,  membaca  dan  mencatat  serta mengolah  bahan  penelitian  (Zed,  2008).  Pendekatan  penelitian  yang  digunakan  merupakan pendekatan  kualitatif.  Menurut  Sugiyono  dalam  (Depdiknas,  2008),  pendekatan  kualitatif adalah  pendekatan  penelitian  yang  digunakan  untuk  meneliti  pada  kondisi  objek  alamiah dimana peneliti merupakan instrumen kunci (Sugiyono, 2018).
Penelitian  yang  dilakukan  dengan  cara  mengumpulkan  data  berupa  teori  tentang dekomposisi QR, teori tentang aljabar max-plus, teori tentang aljabar max-plus tersimetri, dan teori  tentang  dekomposisi  QR  dalam  aljabar  max-plus  tersimetri.  Setelah  data  tersebut terkumpul,  selanjutnya  data  tersebut  dipelajari  dan  dianalisa.  Analisa  yang  ada  dituangkan dalam  beberapa  hasil  percobaan  perhitungan  dekomposisi  QR  dalam  aljabar  max-plus tersimetri.  Dalam  memperbanyak  percobaan  perhitungan,  peneliti  menggunakan  bantuan aplikasi  Matlab  2013a  dan  Mapel  2017  sebagai  alat  bantu  hitung  serta  alat  bantu  cek  hasil perhitungan yang ada.
Setelah hasil percobaan dirasa cukup, maka peneliti melihat dan mengelompokkan pola sesuai  dengan  ciri  khas  masing-masing  percobaan.  Pola  tersebut  kemudian  disajikan  dalam
teori yang akan ditunujukkan dalam bagian hasil. Kemudian teori tersebut dibuktikan sebagai pertanggung jawaban kebenaran sebuah teori.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan  data  berupa  teori  yang  ada,  dan  hasil  percobaan  yang  dilakukan  peneliti mendapat  pola  untuk  setiap berarti  sesuai  dalam  pernyataan  persamaan  (18) , berlaku sebagai berikut.
° ⊕ ° = ( , ) ⊕ ( , ) = ( ⊕ , ⊕ ) = ( , ) = ° (21) ° ⊕ = ( , ) ⊕ ( , −∞) = ( ⊕ , ⊕ −∞ = ( , ) = ° (22) ° ⊕ (⊖ ) = ( , ) ⊕ (−∞, ) = ( ⊕ −∞, ⊕ ) = ( , ) = ° (23) ° ⊕ = ( , ) ⊕ (−∞, −∞) = ( ⊕ −∞, ⊕ −∞) = ( , ) = ° (24)
Hasil persamaan pada (21), (22), (23), (24) didapatkan teori bahwa misalkan dimiliki matriks ∈ × dengan  beberapa  entri  elemen balance, kemudian  dimiliki ∈   ( ∨ ) × dengan ketentuan:
, = , , , ∈ ∨ , ⊖ , , , , ∈ °
kemudian dekomposisi QR dari ∇ ⊗ maka dekomposisi QR dari ⊕  ∇  ⊗ Dalam teori di atas, misal:
, dengan ketentuan dalam teori yang ada, dimiliki 6 kemungkinan dalam operasi berikut: 1. untuk 2. untuk 3. untuk 4. untuk 5. untuk 6. untuk Sehingga  jelas  bahwa untuk  ketentuan  yang  telah  disebutkan.  Sehingga  jelas bahwa jika dekomposisi QR dari ∇ Q ⊗ R maka dekomposisi QR ⊕  ∇  ⊗ .

## 4. SIMPULAN
Peneliti menyimpulkan bahwa  karakteristik solusi dekomposisi QR dalam ajabar max- plus  tersimetri  didapatkan  bahwa  misal  dimiliki  matriks ∈ × dengan  beberapa  entri elemen balance, kemudian dimiliki ∈   ( ∨ ) × dengan ketentuan
, = , , , ∈ ∨ , ⊖ , , , , ∈ °
kemudian dekomposisi QR dari ∇  ⊗ maka dekomposisi QR dari ⊕  ∇  ⊗ . Hasil  karakteristik  solusi  dekomposisi  QR  dalam  aljabar  max-plus  tersimetri  dalam penelitian  ini  masih  dalam  ruang  lingkup  yang  kecil.  Penelitian  selanjutnya  dapat dilakukan dalam lingkup yang lebih besar. Tidak hanya dalam entri kelas balance -nya, tetapi dalam jenis- jenis matriks   yang akan di dekomposisi.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. (1987). Aljabar Linear Elementer. Edisi 5. Jakarta: Erlangga.
Bacelli, F. d. (2001). Synchronization and Linearity An Algebra. New York: John Wiley and Sons.
Depdiknas. (2008). Pendekatan, Jenis, dan Metode Penelitian Pendidikan. Jakarta: Direktorat Tenaga  Kependidikan,  Direktorat  Jenderal  Peningkatan  Mutu  Pendidik  dan  Tenaga Kependidikan,Departemen Pendidikan Nasional.
Golub, G. H., & Loan, C. F. (1996). Matrix Computation, Third Edition. London: The Johns Hopkins Press Ltd.
Ruminta. (2014). Matriks (Persamaan Linier dan Pemrograman. Bandung: Rekayasa Sains.
Schutter,  B.  D.,  &  Moor,  B.  D.  (2002).  The  QR  Decomposition  and  the  Singular  Value Decomposition in the Symetrized Max-Plus. SIAM, 44(3) , 417-454.
Sugiyono. (2018). Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif, dan R&D. Bandung: Alfabeta.
Ulfa,  K.  (2015). Dekomposisi  Nilai  Singular  dalam  Aljabar  Max-Plus  Tersimetri.  Tesis. Yogyakarta: Program Studi S2 Matematika Universitas Gadjah Mada.
Zed, M. (2008). Metode Penelitian Kepustakaan. Jakarta: Yayasan Obor Indonesia.