## KRIPTOSISTEM MENEZES VANSTONE
(A Menezes Vanstone Cryptosystem)

## Kiswara Agung Santoso
Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember, 68111, Jawa Timur, Indonesia Email: kiswara.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Many  kinds  of  cryptosystem  models  we  have  known.  Generally  if  input  of plaintext  is  alphabet  so  ciphertext  is  alphabet  or  real  number  that  can  be  transform  to alphabet. This paper will introduce a type of cryptosystem that have special output. It model is Menezes Vanstone cryptosystem. The plaintext of its method is pair of real number and ciphertext was produced is pair of real number too. If we want to know the meaning of ciphertext have to transform from real number to alphabet.
Keywords : MSC 2020 :

## 1. Pendahuluan
Kemajuan  di  bidang  teknologi  dan  komputer  telah  memungkinkan  seseorang  untuk melakukan transaksi bisnis secara cashless , selain itu juga dapat mengirimkan informasi kepada temannya secara online. Kegiatan tersebut tentu saja akan menimbulkan resiko bila nformasi  yang sensitif dan berharga tersebut diakses oleh orang-orang  yang tidak berhak.
Untuk  mengantisipasi  hal  tersebut  di  atas  maka  muncullah  ilmu  pengetahuan  yang mempelajari tentang pengkodean suatu teks yang lebih dikenal dengan nama Kriptografi. Banyak  cara  maupun  algoritma  yang  digunakan  dalam  pengkodean  ini,  salah  satunya adalah  dengan  menggunakan  metode  Menezes  Vanstone  pada  Z p .  Kriptosistem  ini merupakan modifikasi dari beberapa kriptosistem yang lain seperti kriptosistem ElGamal yang mempunyai  domain elliptic curve. Pada prinsipnya metode ini adalah mengubah plainteks  yang  berbentuk  kumpulan  abjad  (kata/kalimat)  menjadi  cipherteks  yang berbentuk bilangan dan pasangan terurut dari angka-angka hasil pengkodean. Metode ini merupakan cabang atau variasi dari Elliptic Curve Cryptosistem yang telah lama dikenal di  dalam  sistem  pengkodean.  Disini  penulis  mencoba  menelaah  kembali  sistem pengkodean ini dengan harapan para pembaca dapat memahami serta mengembangkan atau menemukan sistem pengkodean yang baru.

## Quadratic Residu
Definisi : Misalkan p adalah suatu bilangan ganjil prima dan x adalah bilangan bulat maka x disebut quadratic residu modulo p jika y 2 ≡ x (mod p ) dengan 𝑦 ∈ 𝑍 𝑝 dan 1 ≤ x ≤ p -1. x disebut quadratic non-residu modulo p jika
x ≠ 0 (mod p ) dan bukan quadratic residu modulo p .
Contoh : 1, 3, 4, 5, dan 9 adalah quadratic residu modulo 11 (Z 11 ) karena:
(+1) 2 (mod 11) = (+10) 2 (mod 11) = 1, (+5) 2 (mod 11) = (+6) 2 (mod 11) = 3
(+2) 2 (mod 11) = (+9) 2 (mod 11) = 4, (+4) 2 (mod 11) = (+7) 2 (mod 11) = 5
(+3) 2 (mod 11) = (+8) 2 (mod 11) = 9.
Definisi :   Jika p bilangan prima positif maka x p -1 ≡  1 (mod p ) Teorema Euler’s Criterion :
Jika p bilangan prima maka x adalah quadratic residu jika dan hanya jika :
    p x p mod 1 2 / 1  
Bukti : misalkan x = y 2 (mod p)  dan berdasarkan definisi bahwa x p-1 ≡  1 (mod p) untuk setiap p bilangan ganjil prima maka :
  2 / 1  p x ≡     2 / 1 2  p y (mod p) ≡   y p-1 (mod p)
≡   1 (mod p)
Definisi : Jika p bilangan ganjil prima dan sembarang bilangan bulat a ≥ 0 maka dapat didefinisikan Legendre symbol (a/p) sebagai berikut :
 
               p ulo residu non quadratic a jika p ulo
residu quadratic a jika p a jika p a mod 1 mod 1 mod 0 0

## Menezes Vanstone
Definisi : Misalkan bilangan ganjil prima p > 3 maka suatu Fungsi pembangkit pada Z p didefinisikan :
Yang mempunyai solusi :
Fungsi tersebut kemudian  dibentuk menjadi grup Abelian dengan aturan sbb:
dari bentuk di atas dapat disimpulkan bahwa -(x,y) = (x,-y)
Diketahui plaintext (P) = Z p * x Z p * ;   ciphertext (C) = E x Z p * x Z p *
Dengan kunci K = {(E, α, β) : β = aα. dan a € E. α  adalah  pasangan  berurutan  (x,y)  yang  didapat  dari  fungsi  pembangkit  yang  telah
) (mod 3 2 p b ax x y      * * , ) , ( p p x y x y x         ) , ( ) , ( 2 2 1 1 y x Q y x P Misalkan 0
2 1 2 1      Q P y y x x Jika
             1 3 1 3 2 1 2 3 y x x y x x x Q P  
             Q P utk y a x Q P utk x x y y , 2 3 , 1 2 1 1 2 1 2 
didefinisikan di atas yaitu :  y 2 ≡  x 3 + ax + b  (mod p). Nilai α dan β bersifat public dan a bersifat rahasia (secret)

## 2. Hasil dan Pembahasan
Berikut agoritma Elliptic Menezes Vanston Cryptosystem :

## Proses encoding
1. Tentukan bilangan random k  Z 11 dan a sebagai private key
2. Tentukan nilai α yang merupakan pasangan berurutan dari fungsi pembangkit
3. Konversi  pasangan  huruf  yang  akan  dikodekan  menjadi  bilangan.  Misalkan plaintext adalah (x 1 , x 2 )
4. Hasil pengkodean adalah pasangan berurutan c k(x,k) = (y 0 , y 1 , y 2 ) dimana :
y 0 = kα,  ;  β  =  aα
(c 1 , c 2 )  =  kβ y 1 =  c 1 .x 1 mod p y 2 =  c 2 .x 2 mod p
Hasil pengkodean dari sebuah pasangan berurutan dengan dua elemen menjadi sebuah pasangan  berurutan  dengan  tiga  elemen  dimana  elemen  pertama  juga  merupakan pasangan berurutan Proses decoding
1. Misalkan ciphertext yang akan didecode adalah (y 0 ,y 1 ,y 2 )
2. (c 1 , c 2 )  =  a.y 0
3. d K(y) = (y 1 c 1 -1 mod p ,  y 2 c 2 -1 mod p)
Hasil encoding dari ciphertext ke plaintext adalah sebuah pasangan berurutan dengan tiga elemen menjadi sebuah pasangan berurutan dengan dua elemen
Contoh :
Misalkan p=11,  a=1 dan b=6 sehingga didapat suatu fungsi pembangkit pada Z p :
Misalkan huruf yang kita kodekan adalah JB, sehingga bila ditransfer ke bentuk bilangan menjadi pasangan berurutan (9,1) . Andaikan bilangan acak yang kita pilih pada Z 11 adalah 6.
Menurut kriteria Euler konstanta yang merupakan quadratic residu modulo 11 adalah : 1, 3, 4, 5, 9 karena :
bila pada kurva diatas kita ambil nilai x yang memenuhi syarat maka dapat dibuat suatu tabel solusi seperti berikut :
) 11 (mod 6 3 2    x x y ) 11 (mod 1 9 ) 11 (mod 1 5 ) 11 (mod 1 4 ) 11 (mod 1 3 ) 11 (mod 1 1 5 5 5 5 5     
X ) 11 (mod 6 3 2    x x y Y 2 5 4 , 7 3 3 5 , 6 5 4 2 , 9 7 4 2 , 9 8 9 3 , 8 10 4 2 , 9
Nilai y di atas didapat karena perhitungan sebagai berikut :
Misalkan plainteks = (9,1),  fungsi pembangkit α = (2,7) dan private key (a = 7) dan nilai k = 6  maka dapat dihitung :
proses enkripsi :
β  =  7.α 4α  =  (10,2) ; 5α = (3,6) ; 6α = (7,9) ) 11 (mod 9 8 ) 11 (mod 9 3 ) 11 (mod 4 9 ) 11 (mod 4 2 ) 11 (mod 3 6 ) 11 (mod 3 5 ) 11 (mod 5 7 ) 11 (mod 5 4 2 2 2 2 2 2 2 2                                 3 , 8 3 11 mod 3 11 mod 8 2 8 5 2 11 mod 8 11 mod 3 2 5 4 11 mod 2 11 mod 4 . 5 11 mod 3 5 5 2 2 7 7 , 2 2 , 5 2 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1 2                                         y x x y x x x x x y y                         2 , 5 2 11 mod 2 11 mod 31 7 5 2 8 11 mod 5 11 mod 60 2 2 64 11 mod 8 11 mod 4 . 13 11 mod 14 13 7 . 2 1 4 . 3 2 3 7 , 2 7 , 2 1 3 1 3 2 1 2 3 1 2 1                                    y x x y x x x y a x
Ulangi proses di atas hingga didapat β  =  7.α  =  (7,2)
x = (x 1 ,x 2 ) = (9,1) ; k = 6,   sehingga dapat dihitung
y 0 = kα = 6.(2,7) = (7,9)
(c 1 ,c 2 ) = kβ = 6.(7,2) = (8,3)
Sehingga didapat nilai c 1 = 8 dan c 2 = 3 y 1 = c 1 x 1 mod  p =  8 x 9 mod 11 = 6
y 2 = c 2 x 2 mod  p =  3 x 1 mod 11 = 3 Jadi hasil encoding adalah y=(y 0 ,y 1 ,y 2 )  =  ((7,9),6,3).
proses dekripsi : Diketahui kode y = ((7,9),6,3). Untuk menguraikan kembali kita harus menghitung  dahulu (c 1 ,c 2 ) = a.y 0 = 7.(7,9) = (8,3)
Dan selanjutnya
x = (y 1 c 1 -1 mod p ,  y 2 c 2 -1 mod p) = (6 x 8 -1 mod 11,  3 x 3 -1 mod 11)
= (6 x 7 mod 11, 3 x 4 mod 11) = (9,1)
Jadi ciphertext telah di decode kembali menjadi plaintext yaitu (9,1) = JB.

## 3. Kesimpulan
Dari tulisan di atas dapat disimpulkan bahwa Menezes Vanston Cryptosystem merupakan salah satu sistem pengkodean yang mengkodekan plainteks dalam bentuk abjad menjadi cipherteks dalam bentuk pasangan berurutan dari bilangan-bilangan pada dimensi yang telah ditentukan.

## Daftar Pustaka
[1] A.J.  Menezes  Vanstone,  A.,  (1993), Elliptic  Curve  Cryptosystem  and  their implementation. Journal of Crptology, 6, hal 209 – 204.
[2] V.Miller. (1986). Uses of Elliptic Curve in cryptography. Lecture notes in computer science . Proceeding of SECURICOM. Hal 127 – 137.
[3] Douglas Stinson, D., (1997), Cryptography Theory and Practice . CRC Press. Boca Raton London.
[4] A.J.  Menezes,  A.J.,  (1993), Elliptic  Curve  Public  Key  Cryptosystems .  Kluwer Academic Publisher.
[5] Konheim, A.G., (1981). Cryptography A Primer . John Wiley and Sons.