Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 18, No. 1, Mei 2021, 79-94 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v18i1.7705

## Himpunan Fuzzy dan Rough Sets
Bijan Davvaz 1 , Imam Mukhlash 2,* , Soleha 2 1 Department of Mathematics, Yazd University, Yazd, Iran e-mail: davvaz@yazd.ac.ir
2 Departemen Matematika, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Kampus ITS, Sukolilo-Surabaya 60111, Indonesia e-mail: imamm@matematika.its.ac.id , seha_07@matematika.its.ac.id
Diajukan: 4 September 2020,  Diperbaiki: 4 Oktober 2020, Diterima: 22 April 2021

## Abstract
Konsep himpunan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh pada tahun 1965. Himpunan fuzzy adalah model matematika dari data kualitatif atau kuantitatif yang bersifat samar, yang sering dihasilkan melalui bahasa alami. Model ini didasarkan pada generalisasi konsep himpunan klasik dan fungsi karakteristiknya. Himpunan fuzzy intuitionistic adalah himpunan yang elemen-elemennya memiliki derajat keanggotaan dan non-keanggotaan.  Himpunan fuzzy intuitionistic diperkenalkan oleh Atanassov pada tahun 1983 sebagai perluasan dari himpunan fuzzy. Di sisi lain, konsep rough set diusulkan oleh Pawlak pada tahun 1982. Sejak itu, topik ini telah dikaji di banyak paper. Tujuan keseluruhan dari paper ini adalah untuk menyajikan pengantar beberapa konsep utama terkait dengan himpunan fuzzy, himpunan fuzzy intuitionistic dan rough set . Pada paper ini akan dikaji beberapa topik berikut: crisp sets dan fungsi karakteristik, himpunan fuzzy, himpunan fuzzy intuitionistic , rough sets , dan rough sets probabilistik. Kata kunci: Fungsi karakteristik, himpunan fuzzy, himpunan fuzzy intuitionistic , aproksimasi  bawah dan atas, rough set .

## Abstract
The concept of a fuzzy set was introduced by Zadeh in 1965. Fuzzy set is a mathematical model of vague qualitative or quantitative data, frequently generated by means of the natural language. The model is based on the generalization of the classical concepts of set and its characteristic function. Intuitionistic fuzzy sets are sets whose elements have degrees of membership and non-membership. Intuitionistic fuzzy sets have been introduced by Atanassov in 1983 as an extension fuzzy sets. On the other hand, the concept of rough set was proposed by Pawlak 1982. Since then the subject has been investigated in many papers. The overall aim of this paper is to present an introduction to some of main concepts related to fuzzy sets, intuitionistic fuzzy sets and rough sets. We investigate Crisp sets and characteristic functions, fuzzy sets, intuitionistic fuzzy sets, rough sets and probabilistic rough sets. Keywords : Characteristic function, fuzzy set, intuitionistic fuzzy set, lower and upper approximations, rough set.

## 1 Crisp Set dan Fungsi Karakteristik.
Teori himpunan merupakan salah satu cabang logika matematika yang mempelajari konsep himpunan, yang secara informal didefinisikan sebagai kumpulan objek-objek. Walaupun beberapa tipe objek dapat dikumpulan dalam suatu himpunan, teori himpunan seringkali diaplikasikan pada objek-objek yang relevan dengan matematika. Bahasa dari teori himpunan dapat digunakan untuk
mendefinisikan hampir semua objek matematika. Studi modern tentang teori himpunan diawali oleh George Cantor dan Richard Dedekin pada tahun 1870an.
Jika 𝑋𝑋 adalah sebuah himpunan (yang mana angota-anggotanya dapat berupa bilangan atau objek-objek yang lain) dan 𝑥𝑥 adalah anggota dari 𝑋𝑋 , maka dapat ditulis 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 . Sebaliknya, jika 𝑥𝑥 bukan anggota dari 𝑋𝑋 maka dapat ditulis dengan 𝑥𝑥 ∉ 𝑋𝑋 . Untuk sebuah sifat 𝑝𝑝 dan 𝑥𝑥 adalah anggota dari 𝑋𝑋 , ditulis 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 ) untuk menyatakan bahwa 𝑥𝑥 mempunyai sifat 𝑝𝑝 . Suatu himpunan bisa didefinisikan oleh sebuah sifat. Notasi 𝐴𝐴 = { 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 ∶ 𝑝𝑝 ( 𝑥𝑥 )} menyatakan bahwa himpunan 𝐴𝐴 memuat semua anggota 𝑥𝑥 dari 𝑋𝑋 yang memiliki sifat 𝑝𝑝 . Himpunan kosong ∅ adalah sebuah himpunan yang tidak mempunyai anggota. Pertimbangkan sebuah gagasan tentang subset dan operasi himpunan ( union /gabungan, intersection /irisan, dan komplemen) dari suatu himpunan beserta aturan dasar yang mengatur operasi-operasi ini.
Andaikan bahwa 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 adalah dua himpunan, maka
(1) 𝐴𝐴 disebut 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 dari 𝐵𝐵 dan ditulis 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 jika setiap anggota 𝐴𝐴 juga merupakan anggota 𝐵𝐵 .
(2) 𝑈𝑈𝑛𝑛𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 / 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛𝑔𝑔𝑔𝑔𝑛𝑛 dari 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 , dinyatakan dengan 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 , adalah himpunan dari semua elemen 𝑥𝑥 sedemikian hingga 𝑥𝑥 anggota dari paling sedikit salah satu dari 𝐴𝐴 atau 𝐵𝐵 .
(3) 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝐼𝐼𝑠𝑠𝑠𝑠𝐼𝐼𝑠𝑠𝑖𝑖𝑖𝑖𝑛𝑛 / 𝑖𝑖𝐼𝐼𝑖𝑖𝑠𝑠𝑔𝑔𝑛𝑛 dari 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 , dinyatakan dengan 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 , adalah himpunan dari semua elemen 𝑥𝑥 sedemikian hingga 𝑥𝑥 anggota dari 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 .
(4) 𝐾𝐾𝑖𝑖𝐾𝐾𝑝𝑝𝐾𝐾𝑠𝑠𝐾𝐾𝑠𝑠𝑛𝑛 dari 𝐴𝐴 mengacu pada elemen-elemen yang bukan anggota 𝐴𝐴 dan dinyatakan dengan 𝐴𝐴 𝑐𝑐 .
Definisi 1. Misalkan 𝑋𝑋 adalah himpunan semesta dan 𝐴𝐴 ⊆ 𝑋𝑋 . Maka, 𝜒𝜒 𝐴𝐴 : 𝑋𝑋 ⟶ [0,1]
𝜒𝜒 𝐴𝐴 = � 1, jika 𝑥𝑥 ∈ 𝐴𝐴 0, jika 𝑥𝑥 ∉ 𝐴𝐴
disebut fungsi karakteristik dari himpunan 𝐴𝐴 .
Teorema 2 dan 3 dapat membantu untuk memahami dengan lebih baik gagasan tentang himpunan fuzzy sebagai sebuah generalisasi dari himpunan biasa.
Teorema 2. Misalkan 𝑋𝑋 adalah himpunan semesta dan 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ⊆ 𝑋𝑋 . Maka
𝜒𝜒 𝐴𝐴 = 𝜒𝜒 𝐵𝐵 ↔ 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵
Teorema 3 . Misalkan 𝑋𝑋 adalah himpunan semesta dan 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ⊆ 𝑋𝑋 . Maka
1. 𝜒𝜒 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛 { 𝜒𝜒 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜒𝜒 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}, untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 ;
2. 𝜒𝜒 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑥𝑥 { 𝜒𝜒 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜒𝜒 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}, 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑔𝑔𝑝𝑝 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 } ;
3. 𝜒𝜒 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝜒𝜒 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑖𝑖𝑔𝑔𝑝𝑝 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .

## 81

## 2  Apakah Himpunan Fuzzy?
Proses-proses yang dimodelkan dalam dunia nyata seringkali tidak eksak. Biasanya, realitas yang terkait dengan ketidakpastian tidak dapat dimodelkan sebagaimana adanya dan ada keterbatasan dalam melakukan  pemodelan.  Himpunan  fuzzy memungkinkan seseorang untuk bekerja dalam situasi yang tidak pasti dan ambigu dan memecahkan masalah yang tidak diharapkan atau masalah dengan informasi yang tidak lengkap.
Himpunan fuzzy adalah himpunan yang elemen-elemennya memiliki derajat keanggotaan. Himpunan fuzzy telah diperkenalkan oleh L. A. Zadeh (1965) sebagai perluasan dari pengertian himpunan klasik [1]. Juga, lihat [2].
Teori fuzzy menggunakan variabel linguistik yang nilainya adalah kata-kata fuzzy, atau lebih bersifat ekspresi -alih-alih angka-, yang berakar pada bahasa alami. Kata-kata fuzzy tidak akurat tetapi sangat mudah dimengerti dan digunakan secara luas dalam bahasa sehari-hari.
Ketinggian Pendek, rata-rata,tinggi,… Usia Bayi, anak-anak, remaja, dewasa, separuh baya, tua,… Suhu Sangat dingin, dingin, sejuk, panas, sangat panas,… Keamanan Rendah, sedang, tinggi,…
Gambar 1. L.A Zadeh
Dalam teori himpunan klasik, keanggotaan unsur-unsur dalam suatu himpunan dinilai berdasarkan kondisi bivalen: suatu unsur termasuk milik suatu himpunan atau bukan. Sebaliknya, teori himpunan fuzzy mengijinkan penilaian bertahap dari keanggotaan elemen dalam himpunan; hal ini dijelaskan dengan bantuan fungsi keanggotaan yang dinilai dalam interval bilangan real [0,1] . Himpunan fuzzy menggeneralisasi himpunan klasik, karena fungsi karakteristik himpunan klasik adalah kasus khusus dari fungsi keanggotaan himpunan fuzzy, jika himpunan fuzzy hanya mengambil nilai 0 atau 1.

## Himpunan Fuzzy dan Rough Sets
Dalam kehidupan sehari-hari, biasanya ingin dicari pendapat dari orang-orang profesional/ahli  dengan kualifikasi terbaik, misalnya, dokter medis terbaik dapat memberikan diagnostik terbaik, pilot terbaik dapat memberikan saran navigasi terbaik untuk pesawat, dan lain- lain. Oleh karena itu, sangat diharapkan untuk memasukkan pengetahuan para ahli ini ke dalam beberapa sistem otomatis sehingga akan membantu orang lain untuk membuat keputusan yang tepat yang (hampir) sebaik keputusan yang dibuat oleh para ahli terkemuka. Dengan mengingat tujuan ini, tugas kita adalah merancang sistem yang akan memberikan saran terbaik dari para ahli terbaik di bidangnya. Namun, salah satu rintangan utama dari penggabungan ini adalah bahwa para ahli biasanya tidak dapat menggambarkan pengetahuan mereka dengan menggunakan istilah yang benar dan tepat. Misalnya, untuk menggambarkan ukuran suatu jenis tumor, seorang dokter jarang menggunakan angka pasti. Sebaliknya dia akan mengatakan sesuatu seperti “ukurannya antara 1,4 dan 1,6 cm ". Selain itu, seorang ahli biasanya akan menggunakan beberapa kata dari bahasa alami, misalnya, “ukuran tumor kira-kira 1,5 cm, dengan kesalahan sekitar 0,1 cm". Dengan demikian, dalam keadaan seperti itu, cara memformalkan pernyataan yang diberikan oleh seorang pakar merupakan salah satu tujuan utama logika fuzzy.
Contoh 1.  Misalkan 𝑋𝑋 adalah himpunan semua mahasiswa Institut Teknologi Sepuluh Nopember, dan misalkan
𝐴𝐴 = Himpunan semua mahasiswa perempuan;
𝐵𝐵 = Himpunan semua mahasiswa Departemen Matematika;
𝐶𝐶 = Himpunan semua mahasiswa Departemen Statistika;
𝐷𝐷 = Himpunan semua mahasiswa cerdas;
𝐸𝐸 = Himpunan semua mahasiswa tinggi.
Himpunan-himpunan 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 , dan 𝐶𝐶 adalah himpunan crisp, sedangkan himpunan 𝐷𝐷 dan 𝐸𝐸 bersifat samar/kabur. Jadi, 𝐷𝐷 dan 𝐸𝐸 adalah himpunan fuzzy.
Definisi 4. Misalkan 𝑋𝑋 suatu himpunan. Suatu 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝐴𝐴 dari 𝑋𝑋 dikarakteristikkan oleh sebuah fungsi keanggotaan 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ∶ 𝑋𝑋 → [0,1] yang terkait dengan setiap titik 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 dengan tingkat atau derajat keanggotaan 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ∈ [0,1].
Contoh 2. Didefinisikan suatu fungsi keanggotaan yang mungkin untuk suatu subset fuzzy dari “bilangan real yang dekat dengan nol” sebagai berikut
𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 1 1 + 10 𝑥𝑥 2
Dengan menggunakan fungsi ini, dapat ditentukan derajat keanggotaan dari setiap bilangan real dalam 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 ini, yang menandakan derajat kedekatan suatu bilangan ke 0. Sebagai contoh, bilangan 3 mempunyai derajat keanggotaan 0.01, mempunyai tingkat kedekatan 0.09 ke

## 83
0, bilangan 0.25 mempunyai derajat kedekatan 0.62 dengan 0, dan bilangan 0 mempunyai derajat keaggotaan 1. Secara intuitif diharapkan bahwa dengan melakukan beberapa operasi pada fungsi yang sesuai dengan himpunan bilangan yang mendekati 0, bisa diperoleh fungsi yang mewakili himpunan bilangan yang sangat dekat dengan 0. Satu cara yang mungkin untuk menyelesaikan hal ini adalah dengan mengkuadratkan fungsi, yaitu,
𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = � 1 1 + 10 𝑥𝑥 2 � 2 .
Fungsi ini dapat juga digeneralisasi ke keluarga fungsi yang mewakili himpunan bilangan real yang dekat dengan bilangan tertentu 𝑔𝑔 sebagai berikut:,
𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 1 1 + 10( 𝑥𝑥 − 𝑔𝑔 ) 2 .
Definisi 5. Misalkan 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 dari 𝑋𝑋 .
• 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
• 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
• 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐶𝐶 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑥𝑥 { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
• 𝐷𝐷 = 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐷𝐷 ( 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛 { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
• Komplemen dari 𝐴𝐴 , dinotasikan dengan 𝐴𝐴 𝑐𝑐 , didefinisikan oleh
𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝑠𝑠𝑛𝑛𝑠𝑠𝑠𝑠𝑢𝑢 𝑠𝑠𝑠𝑠𝐾𝐾𝑠𝑠𝑔𝑔 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
Perhatikan bahwa ketika jangkauan fungsi keanggotaan dibatasi pada himpunan [0; 1], fungsi- fungsi ini bekerja persis seperti operator yang sesuai untuk subset himpunan crisp. Untuk penyederhanaan, akan direpresentasikan setiap subset fuzzy dengan fungsi keanggotaannya.
Proposisi 6. (Sifat aljabar dari himpunan fuzzy). Misalkan 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 dan 𝐶𝐶 subset fuzzy dari himpunan semesta 𝑋𝑋 . Maka
1. Hukum idempotent:
𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 = 𝐴𝐴 ;
2. Hukum komutatif:
𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∪ 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = 𝐵𝐵 ∩ 𝐴𝐴 ;

## 3. Hukum asosiatif:
( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) ∪ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∪ ( 𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶 ) dan ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) ∩ 𝐶𝐶 = 𝐴𝐴 ∩ ( 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 );

## 4. Hukum absorbsi:
𝐴𝐴 ∪ ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) = 𝐴𝐴 dan 𝐴𝐴 ∩ ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) = 𝐴𝐴 ;

## Himpunan Fuzzy dan Rough Sets

## 5. Hukum distributif:
𝐴𝐴 ∪ ( 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 ) =(A ∪ 𝐵𝐵 ) ∩ ( 𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶 ) dan 𝐴𝐴 ∩ ( 𝐵𝐵 ∪ 𝐶𝐶 ) =(A ∩ 𝐵𝐵 ) ∪ ( 𝐵𝐵 ∩ 𝐶𝐶 );
6. Hukum involusi:
( 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ) 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 ;
7. Hukum identitas:
A ∪ ∅ = 𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑛𝑛 𝐴𝐴 ∩ ∅ = ∅ ; A ∪ 𝑋𝑋 = 𝑋𝑋 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑛𝑛 𝐴𝐴 ∩ 𝑋𝑋 = 𝐴𝐴 ;
Dengan ∅ adalah himpunan kosong fuzzy didefinisikan dengan 𝜇𝜇 ∅ ( 𝑥𝑥 ) = 0 untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
8. Hukum deMorgan:
( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∩ 𝐵𝐵 𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑔𝑔𝑛𝑛 ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) 𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∪ 𝐵𝐵 𝑐𝑐 .
Untuk membuktikan proposisi tersebut, sebagai contoh, untuk membuktikan 8. misalkan 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 , maka diperoleh
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 ) 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − max { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}
=  1 + min { − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), −𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} =   min {1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} = min { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 )} = 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∩𝐵𝐵 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ),
Dengan uraian yang sama, diperoleh
𝜇𝜇 ( 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ) 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − min { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}
=  1 + max { − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), −𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} =   max {1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 1 − 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} = max{ 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 )} = 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ∪𝐵𝐵 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ),
Catatan: Secara umum,
𝐴𝐴 ∪ 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ≠ 𝑋𝑋 dan 𝐴𝐴 ∩ 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ≠ ∅ Definisi 7. Misalkan 𝑓𝑓 adalah pemetaan dari sebuah himpunan 𝑋𝑋 ke himpunan 𝑌𝑌 . Misalkan 𝜇𝜇 adalah subset fuzzy dari 𝑋𝑋 dan 𝜆𝜆 adalah subset fuzzy dari 𝑌𝑌 . Maka, invers image (Im) 𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 ) dari 𝜆𝜆 adalah subset dari 𝑋𝑋 didefinisikan dengan 𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 )( 𝑥𝑥 ) = 𝜆𝜆 ( 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )) , untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 . Image dari 𝑓𝑓 ( 𝜇𝜇 ) adalah subset fuzzy dari 𝑌𝑌 dan didefinisikan dengan
𝑓𝑓 ( 𝜇𝜇 )( 𝑓𝑓 ) = � sup{ 𝜇𝜇 ( 𝑠𝑠 ) | 𝑠𝑠 ∈ 𝑓𝑓 −1 ( 𝑓𝑓 )} 𝑗𝑗𝑖𝑖𝑢𝑢𝑔𝑔 𝑓𝑓 −1 ( 𝑓𝑓 ) ≠ ∅ ; 0, 𝑓𝑓𝑔𝑔𝑛𝑛𝑔𝑔 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑖𝑖𝑛𝑛 .
untuk semua 𝑓𝑓 ∈ 𝑌𝑌 .
Selanjutnya, tidaklah sulit untuk melihat bahwa pernyataan berikut berlaku.
(1) Jika { 𝜆𝜆 𝑖𝑖 } 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 adalah keluarga dari subset fuzzy 𝑌𝑌 , maka 𝑓𝑓 −1 ( ⋃ 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) = ⋃ 𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 dan 𝑓𝑓 −1 ( ⋂ 𝜆𝜆 𝑖𝑖 𝑖𝑖∈𝐼𝐼 ) = ⋂ 𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 𝑖𝑖 ) 𝑖𝑖∈𝐼𝐼
(2) Jika μ adalah subset fuzzy dari 𝑋𝑋 maka 𝜇𝜇 ⊆ 𝑓𝑓 −1 �𝑓𝑓 ( 𝑠𝑠 ) � . Selanjutnya, jika 𝑓𝑓 adalah satu- satu, maka 𝑓𝑓 −1 �𝑓𝑓 ( 𝜇𝜇 ) � = 𝜇𝜇 .
(3) Jika 𝜆𝜆 adalah subset fuzzy dari 𝑌𝑌 , maka 𝑓𝑓�𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 ) � ⊆ 𝜆𝜆 . Selanjutnya, jika 𝑓𝑓 onto, maka 𝑓𝑓�𝑓𝑓 −1 ( 𝜆𝜆 ) � = 𝜆𝜆 .
Misalkan 𝑓𝑓 adalah pemetaan dari himpunan 𝑋𝑋 ke himpunan 𝑌𝑌 dan 𝜇𝜇 adalah subset fuzzy dari 𝑋𝑋 . Maka, 𝜇𝜇 disebut 𝑓𝑓 − 𝑖𝑖𝑛𝑛𝑖𝑖𝑔𝑔𝐼𝐼𝑖𝑖𝑔𝑔𝑛𝑛𝑠𝑠 jika 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑓𝑓 ) yang berarti bahwa 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) = 𝜇𝜇 ( 𝑓𝑓 ), untuk semua 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 ∈ 𝑋𝑋 .
Meskipun kisaran nilai antara 0 dan 1 adalah yang paling umum digunakan untuk merepresentasikan derajat keanggotaan, setiap himpunan sebarang dengan beberapa keterurutan parsial atau keseluruhan, sebenarnya dapat digunakan. Unsur-unsur himpunan ini tidak harus berupa angka asalkan urutannya dapat diartikan mewakili berbagai kekuatan derajat keanggotaan. Fungsi keanggotaan umum ini memiliki bentuk
𝜇𝜇 𝐴𝐴 : 𝑋𝑋 → 𝐿𝐿 ,
yang mana 𝐿𝐿 menyatakan himpunan yang (paling tidak) terurut parsial. Karena L paling sering berupa lattice , himpunan bagian fuzzy yang didefinisikan oleh fungsi derajat keanggotaan umum ini disebut himpunan bagian L-fuzzy, di mana L dimaksudkan sebagai singkatan dari lattice . Misalkan ( 𝑋𝑋 , ≤ , ∨ , ∧ ) adalah lattice dengan elemen minimum 0 dan maksimum 1. Diberikan subset f 𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜇𝜇 ∶ 𝑋𝑋 → 𝑋𝑋 , 𝛼𝛼 − 𝐼𝐼𝑠𝑠𝑠𝑠 dari 𝜇𝜇 didefinisikan dengan 𝜇𝜇 𝛼𝛼 = { 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 | 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) ≥ 𝛼𝛼 }, dengan 𝛼𝛼 ∈ 𝑋𝑋 . Beberapa sifat dari 𝛼𝛼 − 𝐼𝐼𝑠𝑠𝑠𝑠 antara lain sebagai berikut.
Proposisi 8. Untuk beberapa 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝐿𝐿 − 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 μ  pada 𝑋𝑋 , dengan 𝛼𝛼 − 𝐼𝐼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 { 𝜇𝜇 𝛼𝛼 } 𝛼𝛼∈𝑋𝑋 , pernyataan-pernyataan berikut adalah benar.
(1) Untuk semua 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 ∈ 𝑋𝑋 , jika 𝛼𝛼 ≤ 𝛽𝛽 , maka 𝜇𝜇 𝛽𝛽 ⊆ 𝜇𝜇 𝛼𝛼 .
(2) Untuk semua 𝐼𝐼 ⊆ 𝑋𝑋 , berlaku ⋂ 𝜇𝜇 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇 ∨𝐼𝐼 𝛼𝛼∈𝐼𝐼 .
(3) 𝜇𝜇 0 = 𝑋𝑋
Proposisi 9. Pertimbangkan suatu keluarga himpunan { 𝜇𝜇� 𝛼𝛼 } 𝛼𝛼∈𝑋𝑋 yang memenuhi sifat-sifat berikut.
(1) Untuk semua 𝛼𝛼 , 𝛽𝛽 ∈ 𝑋𝑋 , jika 𝛼𝛼 ≤ 𝛽𝛽 , maka 𝜇𝜇� 𝛽𝛽 ⊆ 𝜇𝜇� 𝛼𝛼
(2) Untuk semua 𝐼𝐼 ⊆ 𝑋𝑋 , berlaku ⋂ 𝜇𝜇� 𝛼𝛼 𝛼𝛼∈𝐼𝐼 = 𝜇𝜇� ∨𝐼𝐼 .
(3) 𝜇𝜇� 0 = 𝑋𝑋 .
Definisikan subset 𝐿𝐿 − 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜇𝜇 sebagai berikut: untuk semua 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 , 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 ) = ⋁ { 𝛼𝛼 ∈ 𝑋𝑋 | 𝑥𝑥 ∈ 𝜇𝜇� 𝛼𝛼 } . Maka, untuk semua 𝛼𝛼 ∈ 𝑋𝑋 , berlaku 𝜇𝜇 𝛼𝛼 = 𝜇𝜇� 𝛼𝛼 .
Proposisi 10. Untuk beberapa subset 𝐿𝐿 − 𝑓𝑓𝑠𝑠𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓𝑓 𝜇𝜇 dan 𝜆𝜆 pada 𝑋𝑋 , 𝜇𝜇 = 𝜆𝜆 jika dan hanya jika, untuk 𝛼𝛼 ∈ 𝑋𝑋 , 𝜇𝜇 𝛼𝛼 = 𝜆𝜆 𝛼𝛼

## 3  Himpunan Fuzzy Intuitionistic
Sebagai perumuman penting dari gagasan himpunan fuzzy pada X, Atanassov memperkenalkan dalam [3]  konsep  himpunan  fuzzy intuitionistic yang didefinisikan pada himpunan 𝑋𝑋 yang tidak kosong sebagai objek dengan bentuk
𝐴𝐴 = ��𝑥𝑥 , 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) � � 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 },
Dengan fungsi 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ∶ 𝑋𝑋 ⟶ [0,1] dan 𝜆𝜆 𝐴𝐴 : 𝑋𝑋 ⟶ [0,1] menotasikan derajat keanggotaan (yaitu 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )) dan derajat non-keanggotaan (yaitu 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 )) dari setiap anggota 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 terhadap himpunan 𝐴𝐴 beruturut-turut; dan 0 ≤ 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) + 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 1 untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .

## Gambar 2. K. T.  Atanassov
Untuk setiap dua himpunan fuzzy intuitionistic 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 pada 𝑋𝑋 didefinisikan (lihat [4]):
1. 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 jika dan hanya jika 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) dan 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) ≥ 𝜆𝜆 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 .
2. 𝐴𝐴 𝑐𝑐 = ��𝑥𝑥 , 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) � � 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
3. 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {( 𝑥𝑥 , min{ 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )},  max{ 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜆𝜆 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}) | 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
4. 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {( 𝑥𝑥 , max{ 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )},  min{ 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜆𝜆 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )}) | 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
5. 𝐴𝐴 = ��𝑥𝑥 , 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ) � � 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
6. ◊ 𝐴𝐴 = ��𝑥𝑥 , 𝜆𝜆 𝐴𝐴 𝑐𝑐 ( 𝑥𝑥 ), 𝜆𝜆 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) � � 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 }.
Contoh 3. Misalkan himpunan semesta 𝑋𝑋 = {10, 100, 500, 1000, 1200}. Suatu himpunan fuzzy intuitionistic “Besar” dari 𝑋𝑋 dinotasikan dengan 𝐿𝐿 dan dapat didefinisikan dengan
𝐿𝐿 = {< 10, 0.01, 0.9 >, < 100, 0.1, 0.88 >, < 500, 0.4, 0.5 >, < 1000, 0.8, 0.1 >, < 1200, 1, 0 >},
Dapat juga didefinisikan suatu himpunan fuzzy intuitionistic “Sangat Besar” dari 𝑋𝑋 dinotasikan dengan 𝑉𝑉𝐿𝐿 sebagai berikut:
𝜇𝜇 𝑉𝑉𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ) = �𝜇𝜇 𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ) � 2 dan 𝜆𝜆 𝑉𝑉𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − � 1 − 𝜆𝜆 𝑉𝑉 ( 𝑥𝑥 ) � 2 , untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 . Sehingga,
𝑉𝑉𝐿𝐿 = {< 10, 0.0001, 0.99 >, < 100, 0.01, 0.9856 >, < 500, 0.16, 0.75 >, < 1000, 0.64, 0.19 >, < 1200, 1, 0 >}.
Contoh 4. Pandang himpunan semesta { 𝑔𝑔 1 , 𝑔𝑔 2 , 𝑔𝑔 3 , 𝑔𝑔 4 , 𝑔𝑔 5 }. Misalkan 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 dua himpunan fuzzy intuitionistic dari 𝑋𝑋 diberikan oleh
𝐴𝐴 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.2, 0.6 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.3, 0.7 >, < 𝑔𝑔 3 , 1, 0 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.8, 0.1 >, < 𝑔𝑔 5 , 0.5, 0.4 >} dan
𝐵𝐵 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.4, 0.4 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.5, 0.2 >, < 𝑔𝑔 3 , 0.6, 0.2 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.1, 0.7 >, < 𝑔𝑔 5 , 0, 1 >} . maka
𝐴𝐴 𝑐𝑐 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.6, 0.2 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.7, 0.3 >, < 𝑔𝑔 3 , 0,1 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.1, 0.8 >, < 𝑔𝑔 5 , 0.4, 0.5 >}, 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.2, 0.6 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.3, 0.7 >, < 𝑔𝑔 3 , 0.6, 0.2 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.1, 0.7 >, < 𝑔𝑔 5 , 0,1 >}, 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.4, 0.4 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.5, 0.2 >, < 𝑔𝑔 3 , 1, 0 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.8, 0.1 >, < 𝑔𝑔 5 , 0.5,0.4 >}, 𝐴𝐴 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.2, 0.8 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.3, 0.7 >, < 𝑔𝑔 3 , 1, 0 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.8, 0.2 >, < 𝑔𝑔 5 , 0.5,0.5 >},
◊ 𝐵𝐵 = {< 𝑔𝑔 1 , 0.6, 0.4 >, < 𝑔𝑔 2 , 0.8, 0.2 >, < 𝑔𝑔 3 , 0.8, 0.2 >, < 𝑔𝑔 4 , 0.3, 0.7 >, < 𝑔𝑔 5 , 0,1 >}.

## 4 Rough Set
Konsep rough set pertama kali diperkenalkan oleh Pawlak [5], [6] sebagai alat formal untuk memodelkan dan memproses informasi lengkap di sistem informasi. Teori rough set merupakan perluasan dari teori himpunan, yaitu suatu himpunan bagian dari semesta dideskripsikan oleh suatu pasangan dari himpunan asli  yang dinamakan himpunan  aproksimasi  atas dan bawah. Kunci gagasan pada model rough set tersebut adalah relasi ekivalen, yaitu relasi refleksif, simetri dan transitif.  Kelas ekivalen adalah fondasi dalam  mengkonstruksi aproksimasi bawah dan atas. Aproksimasi bawah dari suatu himpunan adalah gabungan dari seluruh kelas ekivalen yang merupakan himpunan bagian dari himpunan tersebut, dan aproksimasi atas adalah gabungan seluruh kelas ekivalen yang irisannya tidak kosong dengan himpunan tersebut. Penjelasan detailnya dapat dibaca di [7], [8].

## Gambar 3 . Z. Pawlak
Misalkan 𝑈𝑈 suatu himpunan tak kosong. Suatu partisi atau klasifikasi dari 𝑈𝑈 adalah rumpun 𝒫𝒫 dengan 𝒫𝒫 adalah kumpulan himpunan bagian tak kosong dari 𝑈𝑈 (power-set) sedemikian hingga setiap anggota dari 𝑈𝑈 termuat di tepat satu anggota 𝒫𝒫 . Ingat bahwa suatu relasi ekivalen 𝜃𝜃 pada 𝑈𝑈 adalah refleksif, simetri dan transitif, yaitu untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑓𝑓 , 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 , diperoleh 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑥𝑥
Refleksif jika 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑓𝑓 maka 𝑓𝑓𝜃𝜃𝑥𝑥 Simetri jika 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑓𝑓 dan 𝑓𝑓𝜃𝜃𝑓𝑓 maka 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑓𝑓 Transitif setiap partisi 𝒫𝒫 menghasilkan satu relasi ekivalen 𝜃𝜃 pada 𝑈𝑈 dengan menetapkan 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑓𝑓 ⟺ 𝑥𝑥 dan 𝑓𝑓 terletak pada kelas yang sama di 𝒫𝒫 .
Sebaliknya, setiap relasi ekivalen 𝜃𝜃 menghasilkan suatu partisi 𝒫𝒫 dengan kelas ekivalen [ 𝑥𝑥 ] 𝜃𝜃 = { 𝑓𝑓 ∈ 𝑈𝑈 | 𝑥𝑥𝜃𝜃𝑓𝑓 } .
Beberapa notasi berikut akan digunakan dalam artikel ini. Diberikan suatu semesta 𝑈𝑈 , dengan 𝒫𝒫 dinotasikan sebagai power-set dari 𝑈𝑈 . jika 𝜃𝜃 adalah relasi ekivalen pada 𝑈𝑈 maka untuk setiap 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 , [ 𝑥𝑥 ] 𝜃𝜃 bermakna kelas ekivalen dari 𝑥𝑥 . Untuk setiap 𝑋𝑋 ⊆ 𝑈𝑈 , 𝑋𝑋 𝐶𝐶 dinotasikan sebagai komplemen dari 𝑋𝑋 , yaitu himpunan 𝑈𝑈 \ 𝑋𝑋 .
Misalkan 𝑈𝑈 himpunan semesta dan 𝜌𝜌 relasi ekivalen dari 𝑈𝑈 . Diberikan sebarang himpunan 𝐴𝐴 ⊆ 𝑈𝑈 , maka tidak mungkin untuk mendeskripsikan 𝐴𝐴 secara tepat menggunakan kelas ekivalen dari 𝜌𝜌 . Maknanya  adalah bahwa  informasi yang tersedia masih belum mencukupi untuk mendeskripsikan 𝐴𝐴 secara tepat. Pada kasus ini, 𝐴𝐴 dapat digambarkan oleh pasangan aproksimasi bawah dan atas
𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ≔ ⋃ [ 𝑔𝑔 ] 𝜌𝜌 [ 𝑎𝑎 ] 𝜌𝜌 ⊆𝐴𝐴 dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) := ⋃ [ 𝑔𝑔 ] 𝜌𝜌 [ 𝑎𝑎 ] 𝜌𝜌 ∩𝐴𝐴≠∅ ,
Dengan [ 𝑔𝑔 ] 𝜌𝜌 = { 𝑠𝑠 | 𝑔𝑔 𝜌𝜌 𝑠𝑠 } adalah kelas ekivalen yang memuat 𝑔𝑔 . Aproksimasi bawah 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) adalah gabungan dari seluruh kelas ekivalen yang termuat di 𝐴𝐴 . Aproksimasi atas 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) adalah

## 89
gabungan seluruh kelas ekivalen yang irisannya dengan 𝐴𝐴 tidak kosong . Anggota aproksimasi bawah pasti anggota dari 𝐴𝐴 sedangkan anggota aproksimasi atas adalah mungkin anggota dari 𝐴𝐴 . Aproksimasi bawah dan atas dapat dinyatakan sebagai berikut:
𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = { 𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 | [ 𝑔𝑔 ] 𝜌𝜌 ⊆ 𝐴𝐴 } dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = { 𝑔𝑔 ∈ 𝑈𝑈 | [ 𝑔𝑔 ] 𝜌𝜌 ∩ 𝐴𝐴 ≠ ∅ } .
Selisih  antara aproksimasi atas dan bawah dinamakan daerah batas- 𝜌𝜌 dari 𝐴𝐴 dan dinotasikan dengan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) � . Himpunan bagian 𝑋𝑋 dari 𝑈𝑈 dikatakan definable jika 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) . Jika 𝑋𝑋 ⊆ 𝑈𝑈 diberikan suatu sifat 𝑃𝑃 dan 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 , maka
1. 𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) bermakna 𝑥𝑥 pasti memiliki sifat 𝑃𝑃 .
2. 𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) bermakna 𝑥𝑥 mungkin memiliki sifat 𝑃𝑃 .
3. 𝑥𝑥 ∈ 𝑈𝑈 \ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) bermakna 𝑥𝑥 tidak mungkin memiliki sifat 𝑃𝑃 .
Proposisi 11. Dari uraian diatas, diperoleh
1. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ; 2. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( ∅ ) = ∅ = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( ∅ ) ;
3. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑈𝑈 ) = 𝑈𝑈 = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑈𝑈 ) ;
4. Jika 𝐴𝐴 ⊆ 𝐵𝐵 , maka 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) ;
5. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ;
6. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 );
7. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ;
8. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 );
9. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = ( �𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 𝐶𝐶 ) � 𝐶𝐶 ;
10. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 𝐶𝐶 )) 𝐶𝐶 ;
11. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ); 12. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 ) ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ); 13. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) ⊇ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 );
14. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ).
Suatu pasangan ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) dengan 𝑈𝑈 ≠ ∅ dan 𝜌𝜌 adalah suatu relasi ekivalen pada 𝑈𝑈 , dinamakan ruang aproksimasi. Untuk suatu ruang aproksimasi ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) dengan aproksimasi pada ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) adalah suatu pemetaan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 : 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ) ⟶ 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ) × 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ) yang didefinisikan untuk setiap 𝑋𝑋 ∈ 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ), yaitu 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) = ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ), 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 )).
Persamaan rough set antara himpunan-himpunan didefinisikan sebagai berikut:
Untuk sebarang 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ⊆ 𝑈𝑈 , berlaku
𝐴𝐴 ≈ 𝐵𝐵 ⟺ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ).
Tampak jelas bahwa ≈ adalah suatu relasi ekivalen pada 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ). Sebarang kelas ekivalen pada relasi ≈ dinamakan rough set . Dinotasikan rumpun seluruh rough set dengan
ℛ 0 = {[ 𝑋𝑋 ] ≈ | 𝑋𝑋 ⊆ 𝑈𝑈 }.
Oleh karena itu, untuk suatu ruang aproksimasi ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) , pasangan ( 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ) ∈ 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ) × 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ) adalah rough set jika dan hanya jika ( 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝑋𝑋 ) untuk suatu 𝑋𝑋 ∈ 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ).
Misalkan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) = ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ), 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )) dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) = ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ), 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 )) adalah dua himpunan rough  set pada ruang aproksimasi ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) .  Maka, himpunan gabungan, irisan,  relasi inklusi, komplemen dan selisih antara rough set ditetapkan sebagai berikut:
1. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊔ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) ≔ ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) , 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∪ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 )),
2. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊓ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) ∶ =   ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) , 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 )),
3. 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊑ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) ∶⟺ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) = 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) .
Jika 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊑ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) , dikatakan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) adalah suatu himpunan bagian rough  set . Sehingga antara rough set 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) , dapat dinyatakan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊑ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) jika dan hanya jika 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) dan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ⊆ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) . Sifat inklusi pada rough set ini juga berlaku untuk seluruh sifat inklusi pada himpunan. complement rough dari 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) dinotasikan dengan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐶𝐶 ( 𝐴𝐴 ) dan didefinisikan dengan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐶𝐶 ( 𝐴𝐴 ) ≔ ( 𝑈𝑈 \ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ), 𝑈𝑈 \ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )).
Juga didefinisikan 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )\ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) sebagai berikut 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )\ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ) ≔ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ∩ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐶𝐶 ( 𝐵𝐵 )
= ( 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )\ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 ), 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 )\ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐵𝐵 )).
J. Pomykala dan J. A. Pomykala [9] menunjukkan bahwa himpunan dari rough set membentuk aljabar Stone.
Lemma 12. [9 Lemma 4] Misalkan ( 𝑈𝑈 , 𝜌𝜌 ) ruang aproksimasi dan ℛ 0 rumpun dari rough set. Maka aljabar ( ℛ 0 , ⊔ , ⊓ ) adalah lattice distributive lengkap.
Lattice ( ℛ 0 , ⊔ , ⊓ ) bersifat  terbatas, dengan 0 = [ ∅ ] ≈ adalah anggota terkecil dan 1 = [ 𝑈𝑈 ] ≈ adalah anggota terbesar.
Ingat bahwa pada lattice terbatas ( 𝐿𝐿 , ∨ , ∧ , 0, 1) , 𝑥𝑥 adalah komplemen dari 𝑓𝑓 jika dan hanya jika 𝑥𝑥 ∧ 𝑓𝑓 = 0 dan 𝑥𝑥 ∨ 𝑓𝑓 = 1.
Mudah dilihat bahwa ℛ 0 bukan lattice komplemen [10].
Misalkan 𝐿𝐿 lattice yang memuat 0; anggota 𝑥𝑥 ∗ adalah pseudo-komplemen dari 𝑥𝑥 ∈ 𝐿𝐿 jika dan hanya jika 𝑥𝑥 ∧ 𝑥𝑥 ∗ = 0 dan 𝑥𝑥 ∧ 𝑓𝑓 = 0 mengakibatkan 𝑓𝑓 ≤ 𝑥𝑥 ∗ . Lattice pseudo-komplemen adalah salah satu dimana setiap anggotanya mempunyai pseudo-komplemen,
Dapat didefinisikan operasi pada ℛ ∗ , sebagai berikut: untuk setiap 𝒳𝒳 ∈ ℛ ∗ ,
𝒳𝒳 ∗ = [ 𝑈𝑈 − 𝒳𝒳� ] ≈ ,
Maka 𝒳𝒳 ∗ adalah pseudo-komplemen dari 𝒳𝒳 .
Lemma 13. [9, Lemma 7] ( ℛ 0 , ⊔ , ⊓ , ∗ ) adalah lattice pseudo-komplemen.
Lattice distributive dengan pseudo-komplemen dinamakan aljabar Stone jika dan hanya jika lattice tersebut memenuhi kesamaan identitas 𝑔𝑔 ∗ ∨ 𝑔𝑔 ∗∗ = 1 .
Lemma 14. [9, Lemma 8] Pada aljabar ( ℛ 0 , ⊔ , ⊓ , ∗ , 0, 1) identitas Stone adalah lattice valid. Hasil-hasil di atas dapat diringkas dalam teorema berikut.
Teorema 15. [9, Teorema 1]  Misalkan ℛ 0 adalah rumpun dari rough set. Maka, aljabar ( ℛ 0 , ⊔ , ⊓ , ∗ , 0, 1) adalah lengkap, aljabar Stone atomic.
Aljabar Stone rangkap adalah aljabar (L, +, ∙ , ∗ , 0, 1) sedemikian hingga (L, +, ∙ , 0, 1) adalah lattice distributive terbatas, ∗ adalah pseudo-komplemen, hukum Stone terpenuhi (yaitu 𝑔𝑔 ∗ + 𝑔𝑔 ∗∗ = 1), + adalah pseudo-komplemen dual (yaitu 𝑥𝑥 ≥ 𝑔𝑔 + ⇔ 𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 = 1 , dan hukum dual Stone terpenuhi (yaitu 𝑔𝑔 + . 𝑔𝑔 ++ = 0) . Aljabar Stone regular jika 𝑔𝑔 + = 𝑠𝑠 + dan 𝑔𝑔 ∗ = 𝑠𝑠 ∗ mengakibatkan 𝑔𝑔 = 𝑠𝑠 . Pembaca dapat melihat [11] untuk penjelasan dasar mengenai aljabar Stone rangkap.
Teorema 16 . [12, Teorema 2.1] ℛ 0 adalah aljabar Stone pada setiap ruang aproksimasi.

## 5 Rough Set Probabilistik
Gagasan probabilistik bersyarat adalah alat dasar teori probabilistik, dan ini disayangkan bahwa kesederhanaannya agak dikaburkan oleh istilah-istilah yang justru sulit dipahami.
Misalkan 𝑋𝑋 adalah suatu kejadian dengan peluang positif. Untuk suatu sebarang kejadian 𝐴𝐴 dapat ditulis
𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 | 𝑋𝑋 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴∩𝑋𝑋 ) 𝑃𝑃 ( 𝑋𝑋 ) .
Kuantitas yang ditentukan disebut probabilitas bersyarat dari 𝐴𝐴 terhadap hipotesis 𝑋𝑋 . Ketika seluruh sampel mempunyai peluang positif, maka 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 | 𝑋𝑋 ) adalah rasio | 𝐴𝐴∩𝑋𝑋 | | 𝑋𝑋 | dari jumlah sampel bersama 𝐴𝐴 dan 𝑋𝑋 . Seluruh teorema probablilstik adalah valid termasuk probablilistik bersyarat sehubungan dengan hipotesis 𝑋𝑋 tertentu. Misalnya saja teorema fundamental untuk peluang terjadinya 𝐴𝐴 atau 𝐵𝐵 atau keduanya dalam persamaan
𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 ∪ 𝐵𝐵 | 𝑋𝑋 ) = 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 | 𝑋𝑋 ) + 𝑃𝑃 ( 𝐵𝐵 | 𝑋𝑋 ) − 𝑃𝑃 ( 𝐴𝐴 ∩ 𝐵𝐵 | 𝑋𝑋 ).
Untuk setiap 𝐴𝐴 ⊆ 𝑈𝑈 , fungsi keanggotaan rough set didefinisikan dengan
𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = | 𝐴𝐴∩ [ 𝑥𝑥 ] 𝜌𝜌 | |[ 𝑥𝑥 ] 𝜌𝜌 | .
Berdasarkan definisi di atas, anggota yang terletak pada kelas ekivalen yang sama mempunyai derajat keanggotaan yang sama. Dapat dilihat bahwa terdapat similaritas antara fungsi keanggotaan rough set dengan probabilistik bersyarat.  Nilai keanggotaan rough set 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) dapat diartikan sebagai peluang 𝑥𝑥 yang termuat di 𝐴𝐴 mengingat 𝑥𝑥 adalah anggota suatu kelas ekivalen. Berdasarkan  pengertian ini, diperoleh gagasan rough set probabilistik.  Dengan menggunakan hukum probabilitas, operasi irisan dan gabungan rough set probabilistik tidak berlaku. Namun dapat diperoleh:
1. 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 1 ⟺ 𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) ,
2. 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 0 ⟺ 𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 𝐶𝐶 ),
3. 0 < 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) < 1 ⟺ 𝑥𝑥 ∈ 𝑔𝑔𝑝𝑝𝑝𝑝 ( 𝐴𝐴 ) � ., 4. 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 1 − 𝜇𝜇 𝐴𝐴 𝐶𝐶 ,
5. 𝜇𝜇 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 = 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) + 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) − 𝜇𝜇 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) ,
6. 𝐾𝐾𝑔𝑔𝑥𝑥 { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} ≤ 𝜇𝜇 𝐴𝐴∪𝐵𝐵 ≤ 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛 {1, 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) + 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )},
7. 𝜇𝜇 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝐾𝐾𝑖𝑖𝑛𝑛 { 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ( 𝑥𝑥 )} ,
8. Untuk setiap pasangan saling asing koleksi 𝑃𝑃 dari himpunan bagian
𝜇𝜇 ∪𝑃𝑃 ( 𝑥𝑥 ) = � { 𝜇𝜇 𝑌𝑌 ( 𝑥𝑥 ) | 𝑌𝑌 ∈ 𝑃𝑃 }.
Aksioma diatas diperoleh  dari sifat probabilitas.
Dengan fungsi keanggotaan rough set , dapat dilihat bahwa rough set probabilistik sebagai bentuk khusus dari himpunan fuzzy. Dengan menggambar kaitan antara dua teori ini, operator yang tidak berlaku pada rough set probabilistik dapat memberikan banyak wawasan mengenai definisi operator himpunan fuzzy.
Gagasan rough set probabilistik dapat dihubungkan ke aljabar rough set – 𝜌𝜌 ( 𝒫𝒫 ( 𝑈𝑈 ), ≈ , ⊓ , ⊔ , ¬, [ ∅ ] ≈ , [ 𝑈𝑈 ] ≈ ) . Dua anggota yang mempunyai fungsi keanggotaan yang sama, yaitu 𝐴𝐴 ≈ 𝐵𝐵 , maka tidak dapat disimpulkan 𝐴𝐴 dan 𝐵𝐵 mempunyai fungsi keanggotaan yang sama, sehingga 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ≠ 𝜇𝜇 𝐵𝐵 . Misalkan 𝐼𝐼 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) dan 𝑠𝑠 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) masing-masing menotasikan inti dan tumpuan  dari 𝜇𝜇 𝐴𝐴 yang didefinisikan dengan
𝐼𝐼 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) = { 𝑥𝑥 | 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) = 1},
𝑠𝑠 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) = { 𝑥𝑥 | 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ( 𝑥𝑥 ) > 0} .

## 93
Berdasarkan sifat (1) dan (2), dapat diperiksa bahwa jika 𝐴𝐴 ≈ 𝐵𝐵 maka 𝐼𝐼 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) = 𝐼𝐼 ( 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ) dan 𝑠𝑠 ( 𝜇𝜇 𝐴𝐴 ) = 𝑠𝑠 ( 𝜇𝜇 𝐵𝐵 ) . Dengan kata lain, suatu rough set - 𝜌𝜌 adalah rumpun rough set probabilistik dengan inti dan tumpuan yang sama.

## 6  Simpulan
Pada paper ini telah dibahas beberapa kajian mengenai himpunan fuzzy, rough set dan perluasannya yang meliputi pengertian tentang crisp sets dan fungsi karakteristik, himpunan fuzzy intuitionistic , dan rough set probabilistik.

## 7  Ucapan terima kasih:
Paper ini dipersiapkan pada saat penulis pertama melakukan kunjungan ke Departemen Matematika ITS dalam rangka mengikuti program World Class Professor tahun 2019. Terima kasih disampaikan kepada Kementerian Riset, Teknologi dan Pendidikan Tinggi  yang telah membiayai program ini.

## 8 Daftar Pustaka
[1]  L.A.Zadeh, “Fuzzy Sets.,” Information and Control , vol. 8, pp. 338–353, 1965.
[2]  B. Davvaz and I Cristea, “Fuzzy Algebraic Hyperstructures: An introduction,” Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 321,  2015.
[3]  K.T. Atanassov, “Intuitionistic Fuzzy Sets,” Fuzzy Sets and Systems , vol. 20, pp. 87–96, 1986.
[4]  K.T. Atanassov, “New Operations Defined over the Intuitionistic Fuzzy Sets,” Fuzzy Sets and Systems , vol. 61, pp. 137–142, 1994.
[5]  Z. Pawlak, “Rough Sets,” Int. J. Comput. Inf. Sci. , vol. 11, pp. 341–356, 1982.
[6]  Z. Pawlak, “Rough Sets - Theoretical Aspects of Reasoning about Data,” Kluwer Acad. Publ. Dordr. , 1991.
[7]  B. Davvaz, “Roughness in Rings,” Information  Sciences. , vol. 164, no. 1–4, pp. 147–163, 2004.
[8]  B. Davvaz, “Rough Algebraic Structures Corresponding to Ring Theory,” Algebraic. Methods in General Rough Sets, Trends Math., Birkhuser/Springer, Cham ,  pp. 657–695, 2018.
[9]  J. Pomykala and J. A. Pomykala, “The Stone Algebra of Rough Sets,” Bull. Polish Acad. Sci. Math , vol. 36, pp. 495-508, 1988.
[10]  T. Iwinski, “Algebraic Approach to Rough Sets,” Bull. Polish Acad. Sci. Math , vol. 35, pp. 673–683, 1987.
[11]  G. Gratzer, “Lattice Theory: First Concepts and Distributive Lattices.,” W. H. Freeman and Co., San Fransisco, Calif. , pp. xv+212,  1971.
[12]  S. Comer, “On Connections between Information Systems, Rough Sets and Algebraic Logic,” Banach Center Publication, Warsaw , vol. 28,  pp. 117–124, 1993.