## VARIASI POHON FRAKTAL MENGGUNAKAN L-SYSTEMS

## (Fractal Tree Variations Using L-Systems)
Pradifta G. Ramadhan, Kosala D. Purnomo , Firdaus Ubaidillah
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jember Jl. Kalimantan 37 Jember 68121, Indonesia
e-mail : pradiftagilangramadhan@gmail.com, kosala.fmipa@unej.ac.id
Abstract. Fractal tree is simply a trunk and a number of branches, each  of which looks  like  the  tree  itself.  The  fractal  tree  can  be  generated  using  the  IFS  and  L- Systems methods. In this article, the author develops fractal tree generation using L- Systems with additional variations. The variations given are in thickness, length, and branch  angle.  This  development  is  expected  to  produce  more  diverse  fractal  tree patterns. In generating a fractal tree using L-Systems, it begins by determining the letters and symbols to be used. Then determine which axioms should be used. Then the production rules are made together with the determination of the parametric L- Systems.  And  the  last  is  to  determine  the  probability  value  for  the  stochastic  L- Systems. In the deterministic L-Systems, thickness variations, length variations, and branch angle variations are carried out. In the variation of branch thickness, if the ratio of the thickness of the left branch is greater than that of the right branch, the fractal tree is skewed to the left. Then in the variation of branch length if the ratio of the length of the left branch is smaller than the ratio of the length of the right branch, the length of the left branch is longer than the length of the right branch. Then at the angle of the branching the smaller the 𝜃 that is included causes the branches to be closer together. The use of stochastic L-Systems can produce more diverse fractal tree patterns, even though they use the same production rules and parameter values.
Keywords: Fractal, Fractal Tree, L-Systems MSC2020: 03D78

## 1. Pendahuluan
Fraktal berasal dari bahasa Latin fractus yang artinya "patah", "rusak" atau "tidak teratur [13]. Fraktal merupakan benda geometris yang kasar pada segala skala dan terlihat dapat dibagi bagi dengan cara yang radikal [5, 10]. Inti dari konsep fraktal adalah adanya proses pembangkitan  bagian-bagian  yang  identik  melalui  aturan  atau  rumusan  tertentu  dan memiliki  “kesamaan  diri”  ( self-similarity )  dalam  jumlah  besar.  Prinsip  yang  paling sederhana  dari  pembangkitan  tersebut  adalah  keteraturan  ( regularity )  dan  keteracakan ( randomness ). Berdasarkan prinsip keteraturan, bagian-bagian terkecil dari suatu struktur dapat  menyusun  diri  sendiri  dalam  sebuah  mode  periodik  atau  kuasiperiodik menghasilkan  bentuk  seperti  segitiga  sierpinski,  kurva Koch - snowflake dan  himpunan Cantor.  Sementara  dari  prinsip  keteracakan,  contohnya  yaitu chaos  game dan
pertumbuhan  rambut  binatang  yang  prosesnya  berlangsung  secara  acak  [12].  Fraktal memiliki sifat unik yaitu s elf-similarity atau keserupaan diri [8]. Sifat s elf-similarity atau keserupaan  diri  merupakan  obyek  yang  memilik  bagian-bagian  pembentuk  yang  sama dengan bentuk keseluruhan [6]. Sifat self-similarity didapat melalui beberapa iterasi yang dilakukan secara terus-menerus dengan skala yang lebih kecil, sehingga setiap bagian dari setiap komponen jika diperbesar akan tampak tetap dari keseluruhan objek [11]. Fraktal memiliki berbagai macam objek. Salah satunya yaitu pohon fraktal. Pohon fraktal secara sederhana merupakan batang dan sejumlah cabang yang masing masing terlihat seperti pohon itu sendiri  [2]. Pohon fraktal dapat  dibangkitkan melalui metode L-Systems dan IFS. Iterated Function System (IFS) adalah suatu fungsi iterasi  transformasi citra yang digunakan  untuk  membentuk  objek-objek  fraktal.  IFS  dibangun  melalui  transformasi yang  diulang-ulang  untuk  sebarang  pola  [14]. L-Systems merupakan  metode  yang mengubah  secara  bergantian  pada  bagian-bagian  dari  objek  sederhana  seperti  segmen garis dengan menggunakan formula atau aturan produksi. Terdapat dua jenis L-Systems yang berdasarkan jumlah aturan produksinya yaitu deterministic L-Systems dan stochastic L-Systems.  Deterministic  L-Systems merupakan L-Systems yang  memiliki  tepat  satu produksi untuk setiap simbol. Stochastic L-Systems merupakan L-Systems yang memiliki lebih  dari  satu  aturan  produksi  untuk  setiap  simbol  tertentu  dan  memerlukan  kriteria tertentu untuk menentukan kapan aturan suatu produksi diterapkan (probabilitas).
Terdapat beberapa penelitian tentang pohon fraktal. Salah satunya yaitu Wahyuningtyas [15]  dengan  topik  penelitiannya  tentang  pembangkitan  fraktal  pohon  Pythagoras menggunakan iterated  function  system. Pada  penelitian  tersebut  menghasilkan  pohon fraktal dapat dibangkitkan dengan metode iterarted function systems . Zamir [16] dengan topik penelitian Arterial Branching within the confines of fractal L-Systems formalism. Pada  penelitian  tersebut L-Systems dapat  menghasilkan  struktur  pohon  yang  memiliki sifat teoritis dan memiliki pola fraktal.
Dari  beberapa  penelitian  tentang  pohon  fraktal  penulis  ingin  mengembangkan pembangkitan pohon fraktal menggunakan L-Systems dengan tambahan variasi. Variasi yang diberikan yaitu pada ketebalan cabang, panjang cabang, dan sudut percabanagan. Pengembangan  ini  diharapkan  mampu  menghasilkan  pola  pohon  fraktal  yang  semakin beragam. Adapula tujuan yang dicapai pada penilitian ini yaitu untuk menganalisis pola pohon  fraktal  yang  dibangkitkan  mengunakan L-Systems dengan  variasi  ketebalan, panjang, dan sudut percabangan.
Pohon  fraktal  secara  sederhana  merupakan  batang  dan  sejumlah  cabang  yang  masing- masing terlihat seperti pohon itu sendiri [2]. Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan tentang  struktur  fraktal  pohon.  Pertama-tama,  sepotong  kecil  pohon  terlihat  seperti seluruh pohon.  Kedua, pohon dibentuk dengan proses sederhana yang dilakukan secara berulang-ulang. Terdapat teori menarik mengenai pohon yang dicetuskan oleh Leonardo Da Vinci bahwa semua cabang pohon di setiap tahap tingginya ketika disatukan memiliki
ketebalan yang sama dengan batang di bawahnya.
Proses mendasar dan mendasar yang digunakan oleh pohon untuk tumbuh adalah tunas keluar  dari  tanah,  dan  kemudian  membelah  menjadi  cabang-cabang.  Masing-masing cabang ini kemudian membelah lagi menjadi cabang baru, dan masing-masing cabang ini membelah lagi menjadi cabang baru. Pada setiap titik dalam proses ini, seolah-olah dua pohon  baru  yang  lebih  kecil  muncul,  dan  cabang-cabang  baru  dapat  dianggap  sebagai batang  pohon  generasi  berikutnya.  Jadi  pohon  besar  dapat  dilihat  sebagai  kumpulan banyak  pohon  kecil  dengan  berbagai  ukuran.  Demikianlah  pengulangan  percabangan yang membentuk pohon juga menghasilkan kesamaan diri pohon itu.
Pada  tahun  1968  seorang  ahli  biologi  memperkenalkan  jenis  baru  dari  mekanisme penulisan ulang string  yang kemudian disebut L-Systems [9] . L-Systems adalah sebuah sistem  penulisan  kembali,  yaitu  teknik  pembangunan  objek  yang  kompleks  dari pengulangan bagian objek yang sederhana dengan menggunakan suatu aturan penulisan kembali  yang  dilakukan  secara  rekursif.  Objek  kompleks  ini  dibangun  dengan  cara mengganti  bagian-bagian  dari  objek  sederhana  secara  bergantian  menggunakan seperangkat aturan penulisan kembali atau produksi [7]. L-Systems terdiri dari beberapa komponen utama yaitu, huruf, aksioma, dan aturan produksi [4]. Ada dua jenis L-Systems berdasarkan jumlah aturan produksi, yaitu deterministic dan stochastic L-Systems.
Parametric L-Systems merupakan rangkaian modul terdiri dari huruf dengan parameter terkait.  Huruf-huruf  milik  alfabet V dan  parameter  milik  himpunan  bilangan  real. Misalkan  modul  dengan  huruf 𝐴 ∈ 𝑉 dan  parameter 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ∈ ℝ maka dilambangkan  dengan 𝐴(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ) [3].  Berikut  bentuk  produksi parametric  L- Systems .
predecessor : condition → successor
Secara sederhana predecessor merupakan simbol tunggal dan parameter yang terkait. Jika predecessor memenuhi condition yang  telah  didefinisikan  maka predecessor akan digantikan oleh successor . Berikut contoh dari bentuk parameter tersebut:
𝜔: 𝐴(0,0;  0,2)
𝑝 1 : 𝐴(𝑠, 𝑓): 𝑠 < 𝑓 → 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐴(𝑠 + 0,1; 𝑓) 𝑝 2 : 𝐴(𝑠, 𝑓): 𝑠 ≥ 𝑓 → 𝐹
𝜔 merupakan aksioma. Sedangkan 𝑝 1 dan 𝑝 2 merupakan aturan produksi yang terdiri dari 𝐴(𝑠, 𝑓) sebagai predecessor . Kemudian 𝑠 < 𝑓 merupakan condition untuk 𝑝 1 dan 𝑠 ≥ 𝑓 merupakan condition untuk 𝑝 2 .  Lalu 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐴(𝑠 + 0,1; 𝑓) merupakan successor untuk 𝑝 1 dan 𝐹 merupakan successor untuk 𝑝 2 . Dan berikut merupakan hasil dari aksioma dan aturan-aturan produksi di atas:
𝑔 0 : 𝐴(0,0;  0,2) 𝑔 1 : 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐴(0,1;  0,2)
𝑔 2 : 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐴(0,2;  0,2) 𝑔 3 : 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐹
Dimulai  dengan 𝑔 1 sebagai  aksioma.  Produksi 𝑝 1 berlaku  karena 0,0 < 0,2 ,  sehingga 𝐴(0,0;  0,2) diganti  dengan 𝐹[+𝐹][−𝐹]𝐴(0,1;  0,2) .  Produksi 𝑝 1 berlaku  lagi  karena 0,1 < 0,2 dan di dapat 𝑔 2 . Karena 0,2 = 0,2 maka produksi 𝑝 2 berlaku, sehingga di dapat 𝑔 3 [1].

## 2. Metodologi
Langkah  awal  penelitian  ini  yaitu  dengan  studi  literatur,  yaitu  melakukan  pencarian informasi  dari  berbagai  sumber  tertulis  seperti  jurnal,  buku,  dan  skripsi  yang  terkait dengan  pustaka  pohon  fraktal  dan L-Systems sebagai  sumber  yang  relevan.  Sumber informasi  yang  berhubungan  dengan  masalah  penelitian  tersebut  kemudian  dianalisis untuk  digunakan  sebagai  referensi  penelitian.  Kemudian  membangkitkan  dan memvariasikan  pohon  fraktal  menggunakan L-Systems .  Pada  langkah  ini  penulis menggunakan  dua  jenis L-Systems ,  yaitu deterministic  L-Systems dan stochastic  L- Systems .  Adapun  cara  membangkitkan  pohon  fraktal  dengan  menggunakan L-Systems . Pertama  dilakukan  yaitu  menentukan  huruf  dan  simbol  yang  akan  digunakan.  Dalam menentukan  huruf  dan  simbol  yang  digunakan  harus  seminim  mungkin  agar  aturan produksi  yang  digunakan  terbentuk  lebih  sederhana.  Kemudian  menentukan  aksioma yang  harus  digunakan.  Dalam  menentukan  aksioma  penulis  menggunakan  huruf  yang telah  ditentukan  pada  tahap  sebelumnya.  Berikutnya  yaitu  pembuatan  aturan  produksi dilakukan bersamaan dengan penentuan parametric L-Systems . Setelah beberapa aturan produksi didapatkan komponen terakhir yang harus ditentukan yaitu faktor probabilitas untuk stochastic  L-Systems .  Dalam  penentuan parametric  L-Systems untuk  ketebalan cabang  penulis  mengacu  pada  teori  yang  dicetuskan  oleh  Leonardo  Da  Vinci  yang mengungkapkan bahwa “semua cabang pohon di setiap tahap tingginya ketika disatukan memiliki ketebalan yang sama dengan batang di bawahnya”. Sementara untuk panjang cabang, semakin kecil rasio panjang yang diinput maka panjang cabangnya akan semakin panjang. Terakhir untuk sudut belok pada tiap cabang, semakin besar ketebalan cabang maka sudut belok pada cabang akan semakin mengecil. Misalkan ada batang mempunyai dua cabang maka ketebalan, panjang, dan sudut didefinisikan sebagai berikut:
𝑑 :  ketebalan  batang, 𝑑 1 :  rasio  ketebalan  pada  cabang  kiri, 𝑑 2 :  rasio  ketebalan  pada cabang kanan, 𝑔 1 : rasio menentukan panjang cabang bagian kiri, 𝑔 2 : rasio menentukan panjang cabang bagian kanan, 𝑙 : panjang batang, 𝑙 1 :  panjang  cabang  kiri, 𝑙 2 :  panjang cabang kanan, 𝜃 : sudut percabangan, 𝛼 : sudut belok pada cabang kiri, 𝛽 : sudut belok pada cabang kanan.
Berdasarkan uraian di atas didapatkan Persamaan (1) sampai Persamaan (5).
𝐿 = 𝐿 1 + 𝐿 2 (1)
1 2 𝜋𝑑 2 = 1 2 𝜋𝑑 1 2 + 1 2 𝜋𝑑 2 2 (2)
𝑑 2 = 𝑑 1 2 + 𝑑 2 2 (3)
𝑙 1 = 𝑙 𝑔 1 dan 𝑙 2 = 𝑙 𝑔 2 (4)
𝛼 = (1 − 𝑑 1 )𝜃 dan 𝛽 = (1 − 𝑑 2 )𝜃 (5)
Terakhir  yaitu  memvisualisasikan  hasil  dengan  membuat  program  menggunakan MATLAB.  Setelah  hasil  didapatkan  langkah  selanjutnya  yaitu  menganalisis  hasil  dan pembahasan.  Pola-pola  yang  didapat  akan  dibandingkan  bentuknya  dari  pohon  fraktal yang dibangkitkan dengan menggunakan deterministic L-Systems dan pohon fraktal yang dibangkitkan dengan menggunakan stochastic L-Systems .

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Pembangkitan Pohon Fraktal Menggunakan L-Systems
Dalam  pembangkitan  pohon  fraktal  menggunakan L-Systems dimulai  dengan menentukan  huruf  dan  simbol  yang  akan  digunakan.  Kemudian  menentukan  aksioma yang  harus  digunakan.  Lalu  pembuatan  aturan  produksi  dilakukan  bersamaan  dengan penentuan parametric L-Systems . Dan yang terakhir yaitu menentukan nilai probabilitas untuk stochastic L-Systems . Berikut merupakan contoh komponen L-Systems .
𝑉 = {𝐹, 𝑓, −, +, &, !}
𝑤 = 𝑓 𝑝 1 : 𝑓 → ! [+𝐹][−𝑓] 𝑝 2 : 𝐹 → &[+𝐹][−𝑓]
Pada  komponen  deterministik L-Systems di  atas,  aturan  produksi  pertama (𝑝 1 ) memetakan 𝑓 menjadi ! [+𝐹][−𝑓] . Sedangkan aturan produksi kedua (𝑝 2 ) memetakan 𝐹 menjadi &[+𝐹][−𝑓] .  Aturan  produksi  tersebut  menggambarkan  bentuk  percabangan batang tanaman serta panjang dan ketebalan pada tanaman. Berikut merupakan hasil dari sistem di atas dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Beberapa generasi L-Systems Generasi Hasil Produksi 𝑡 0 𝑓 𝑡 1 ! [+𝐹][−𝑓] 𝑡 2 ! [+&[+𝐹][−𝑓]][−! [+𝐹][−𝑓]] 𝑡 3 ! [+&[+&[+𝐹][−𝑓]][−! [+𝐹][−𝑓]]] [−! [+&[+𝐹][−𝑓]][−! [+𝐹][−𝑓]]]
Hasil produksi pada generasi L-Systems (lihat pada Tabel 1), 𝑓 merupakan hasil generasi pertama  dan  juga  sebagai  aksioma.  Pada 𝑡 0 hanya  membentuk  sebuah  batang. Selanjutnya  pada 𝑡 1 huruf 𝑓 akan  membentuk  dua  cabang.  Simbol  “ + ”  dan  simbol “ − “ akan membuat  cabang berbelok sebesar 𝛼 untuk  simbol  “ + ” dan 𝛽 untuk  simbol “ − ”.

## 3.2. Menentukan Parametric L-Systems
Langkah-langkah yang dilakukan untuk mendapatkan lebih banyak variasi pada pohon fraktal  dengan  cara  memasukkan  nilai  probabilitas,  ketebalan  batang  dan  sudut percabangan. Untuk mencapai hal tersebut peneliti menggunakan parametric L-Systems. Dengan  memasukkan parametric  L-Systems peneliti  dapat  memasukkan  ketebalan batang, panjang batang, dan sudut percabangan dengan mudah. Misalkan:
𝐹(𝑙, 𝑑) :  Menggambar cabang yang besar atau kecil ke depan dengan panjang 𝑙 satuan dan 𝑑 satuan, 𝑙, 𝑑 > 0 . 𝑓(𝑙, 𝑑) :  Menggambar cabang yang besar atau kecil ke depan dengan panjang 𝑙 satuan dan 𝑑 satuan, 𝑙, 𝑑 > 0 . +(𝛼) : Berputar ke kiri sebesar 𝛼 derajat.
−(𝛽) : Berputar ke kanan sebesar 𝛽 derajat.
& : Mengganti fungsi 𝐹 pada generasi sebelumnya.
! : Mengganti fungsi 𝑓 pada generasi sebelumnya. 𝑔 1 : Untuk menentukan panjang cabang bagian kiri. 𝑔 2 : Untuk menentukan panjang cabang bagian kanan.
𝑑 1 : Rasio ketebalan pada cabang kiri. 𝑑 2 : Rasio ketebalan pada cabang kanan. 𝑙 : Panjang cabang pada generasi sebelumnya.
𝑙 1 : Panjang cabang kiri pada generasi selanjutnya. 𝑙 2 : Panjang cabang kanan pada generasi selanjutnya.
𝜃 : Sudut percabangan.
𝛼 : Sudut belok yang dihasilkan dari sudut percabangan.
𝛽 : Sudut belok yang dihasilkan dari sudut percabangan.
𝑃 1 : Peluang munculnya aturan produksi.
𝑃 2 : Peluang munculnya aturan produksi.
Perubahan generasi dari aturan produksi L-Systems pada Tabel 1 setelah memanfaatkan parametric L-Systems dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Generasi parametric L-Systems Generasi Hasil Produksi 𝑡 0 𝐹 𝑡 1 ! [+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓] 𝑡 2 ! [+&[+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓]][−! [+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓]] 𝑡 3 ! [+&[+&[+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓]][−! [+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓]]][−! [+&[+(𝛼)𝐹] [−(𝛽)𝑓]][−! [+(𝛼)𝐹][−(𝛽)𝑓]]]
Berdasarkan  aturan  ketebalan  cabang,  panjang  cabang,  dan  sudut  percabangan  pada Persamaan  (6)  sampai  (7),  berikut  merupakan  contoh  implementasi  ketebalan  cabang, panjang cabang dan sudut percabangan pada aturan produksi.
𝑤 = 𝑓(𝑙, 𝑑)
𝑝 1 : 𝑓(𝑙, 𝑑) → ! (𝑙, 𝑑) [+(𝛼)𝐹 ( 𝑙 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝛽)𝑓 ( 𝑙 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] ∶ 𝑃 1 (6)
𝑝 2 : 𝐹(𝑙, 𝑑) → &(𝑙, 𝑑) [+(𝛼)𝐹 ( 𝑙 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝛽)𝑓 ( 𝑙 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] ∶ 𝑃 2 (7)
Generasi awal akan tercipta suatu batang dengan panjang sebesar 𝑙 dan ketebalan sebesar 𝑑 . Kemudian generasi selanjutnya menghasilkan dua cabang 𝑓 dan 𝐹 . Konstanta 𝑔 1 dan 𝑔 2 menentukan panjang pada setiap cabang. 𝑃 1 dan 𝑃 2 merupakan peluang munculnya aturan produksi 𝑝 1 dan 𝑝 2 .

## 3.3. Simulasi Program
Simulasi program untuk membangkitkan pohon fraktal menggunakan MATLAB2015B. Peneliti menampilkan hasil penelitian dengan memanfaatkan tampilan GUI yang terdapat pada MATLAB2015B. Tampilan program simulasi ditunjukkan pada Gambar 1.

## Gambar 1. Tampilan GUI pohon fraktal

## 3.4. Variasi Pohon Fraktal Menggunakan Deterministic L-Systems
Variasi kali ini penulis melakukan empat macam variasi yaitu:
a. Variasi pohon fraktal dengan megubah ketebalan cabang
Pada  variasi  ini,  penulis  menggunakan  ketebalan  cabang  dengan  rasio  ketebalan yang  divariasikan.  Masing-masing  rasio  ketebalan  yang  digunakan  untuk  pohon fraktal yaitu 𝑑 1 = 1 2 √2, 𝑑 2 = 1 2 √2 untuk pohon fraktal pertama dan 𝑑 1 = 0,85, 𝑑 2 = 0,5267 untuk pohon fraktal kedua. Kedua variasi ketebalan ini menggunakan 𝜃 = 154° dan rasio panjang cabang 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6. Berikut merupakan hasil visualisasi dari mengubah ketebalan pada pohon fraktal akan ditampilkan pada Gambar 2.
(a) (b)
(a) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (b) 𝑑 1 = 0,85 , 𝑑 2 = 0,5267 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 °
Gambar 2. Hasil pohon fraktal dengan variasi ketebalan cabang
Pohon fraktal hasil variasi ketebalan pada Gambar 2(a) terlihat simetris, sedangkan pada  Gambar  2(b)  lebih  condong  ke  kiri.  Hal  tersebut  dikarenakan  rasio  dari ketebalan yaitu 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 . Pada Gambar  2(b) rasio  ketebalan 𝑑 1 lebih besar dari pada rasio ketebalan 𝑑 2 , mengakibatkan cabang sebelah kiri lebih tebal dari pada cabang kanan. Berdasarkan Persamaan (5) rasio ketebalan 𝑑 1 lebih besar dari pada rasio ketebalan 𝑑 2 , mengakibatkan sudut 𝛼 lebih kecil dari pada sudut 𝛽 . Sehingga menghasilkan pola pohon fraktal yang condong ke kiri.
b. Variasi pohon fraktal dengan megubah panjang cabang Variasi  kali  ini  penelis  menggunakan  panjang  cabang.  Dalam  simulasi  ini  penulis menggunakan  dua  variasi  ketebalan  cabang  yaitu 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 .  Pada  kedua  varasi  ketebalan  pada  cabang  penulis  menggunakan 𝜃 1 = 154 ° .  Pada  ketebalan  ke  dua  cabang  yang  sama  penulis  menggunakan  dua  rasio panjang yang berbeda yaitu 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 dan 𝑔 1 = 1,4 , 𝑔 2 = 1,8 . Sementara pada ketebalan ke dua cabang yang berbeda penulis menggunakan tiga rasio panjang yang berbeda  yaitu 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , 𝑔 1 = 1,5 , 𝑔 2 = 1,6 ; 𝑔 1 = 1,6 , 𝑔 2 = 1,3 .  Berikut merupakan hasil visualisasi dari mengubah panjang cabang pada pohon fraktal akan ditampilkan pada Gambar 3.
(a) (b) (c) (d) (e)
(a) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (b) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 1,4 , 𝑔 2 = 1,8 , dan 𝜃 = 154 ° ; (c) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (d) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,5 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154
° ; (e) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,75 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° .
Gambar 3. Hasil pohon fraktal dengan variasi panjang cabang
Masing-masing  hasil  variasi  pada  Gambar  3  memiliki  bentuk  yang  berbeda.  Pada Gambar  3(a)  dengan  parameter  rasio  ketebalan  cabang 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 ,  rasio
panjang cabang 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 dan sudut percabangan 𝜃 = 154 ° menghasilkan pola pohon  fraktal  yang  simetris.  Pada  hasil  tersebut  terlihat  bahwa  ketebalan,  panjang serta sudut belok pada cabang kiri sama dengan cabang kanan. Hal ini dikarenakan parameter-parameter  yang  digunakan  pada  kedua  cabang  bernilai  sama.  Lalu Gambar  3(b)  dihasilkan  dari  penggunaan  nilai  parameter 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 ; 𝑔 1 = 1,4 , 𝑔 2 = 1,8 dan 𝜃 = 154 ° . Dari nilai-nilai tersebut diketahui bahwa parameter rasio panjang  cabang  kiri  lebih  kecil  dibandingkan  rasio  panjang  cabang  kanan. Berdasarkan Persamaan  (4) panjang cabang berbanding terbalik dengan parameter rasio panjang cabang. Oleh karena itu, cabang kiri yang dihasilkan lebih panjang dari cabang  kanan.  Apabila  dilihat  pada  hasil  simulasi  Gambar  3(b),  konsep  tersebut dipenuhi karena dengan menggunakan nilai parameter itu, menghasilkan pola pohon fraktal dengan cabang kiri lebih panjang dari pada cabang kanan. Kemudian pada Gambar  3(c)  merupakan  hasil  dari  nilai  parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 ,dan 𝜃 = 154 ° . Karena 𝑑 1 lebih besar dari pada 𝑑 2 maka jelas bahwa ketebalan cabang sebelah kiri lebih besar dari pada cabang kanan. Berdasarkan Persamaan (5) mengakibatkan  sudut  belok  sebelah  kiri  lebih  kecil  dari  pada  sudut  belok  sebelah kanan, sehingga pola pohon fraktal terlihat condong ke kiri. Namun untuk panjang cabang sama panjang, karena  rasio  parameter 𝑔 1 = 𝑔 2 . Selanjutnya, pada Gambar 3(d)  dengan  parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,5 , 𝑔 2 = 1,6 ,  dan 𝜃 = 154 ° menghasilkan bentuk pohon fraktal yang condong ke kiri dengan panjang cabang kiri lebih panjang dari pada cabang kanan. Hasil tersebut diperoleh karena nilai 𝑑 1 lebih besar dari 𝑑 2 dan nilai 𝑔 1 lebih kecil dari 𝑔 2 , seperti pada hasil simulasi sebelumnya di Gambar 3(b) dan Gambar 3(c). Terakhir hasil pada Gambar 3(e) didapatkan dari nilai parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,75 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° . Karena 𝑑 1 lebih besar dari pada 𝑑 2 dan 𝑔 1 lebih besar dari pada 𝑔 2 mengakibatkan pohon fraktal menjadi  condong  ke  kiri  dan  panjang  cabang  kiri  lebih  pendek  dari  pada  cabang kanan.
c. Variasi pohon fraktal dengan megubah sudut percabangan Selanjutnya  yaitu  variasi  pada  sudut  percabangan.  Dalam  simulasi  ini  penulis menggunakan  dua  variasi  ketebalan  cabang  yaitu 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝑑 1 = 0,8, 𝑑 2 = 0,4 .  Pada  semua  variasi  penulis  menggunakan  tiga  sudut  yang  berbeda yaitu 𝜃 1 = 154 ° , 𝜃 2 = 120 ° , 𝜃 3 = 180 ° .  Kemudian  penulis  menggunakan  rasio panjang  untuk  semua  variasi  yaitu 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 .  Berikut  merupakan  hasil visualisasi dari mengubah sudut percabangan pada pohon fraktal akan ditampilkan pada Gambar 4.
(a) (b) (c) (d) (e) (f)
(a) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (b) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 2 = 120 ° ; (c) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 3 = 180 ° ; (d) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 1 = 154 ° ; (e) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 2 = 120 ° ; (f) 𝑑 1 = 0.8, 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 3 = 180 °

## Gambar 4. Hasil pohon fraktal dengan variasi sudut percabangan
Hasil pada Gambar 4(a) merupakan hasil simulasi dengan nilai parameter 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝜃 1 = 154 ° .  Selanjutnya  pada  nilai  parameter 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝜃 2 = 120 ° menghasilkan Gambar 4(b). Kemudian pada Gambar 4(c) merupakan hasil dari nilai parameter 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝜃 3 = 180 ° . Dari Gambar 4(a), Gambar 4(b), dan Gambar 4(c) bentuknya terlihat simetris dikarenakan nilai parameter 𝑑 1 = 𝑑 2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 ,  dan 𝛼 = 𝛽 .  Selanjutnya  pada  parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 ,  dan 𝜃 1 = 154 ° menghasilkan Gambar 4(d). Berikutnya hasil pada Gambar 4(e) didapatkan dari nilai parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 ,  dan 𝜃 2 = 120 ° .  Terakhir  pada  Gambar  4.5(f) merupakan  hasil  dari  nilai  parameter 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 ,  dan 𝜃 3 = 180 ° .  Pada Gambar  4(d),  Gambar  4(e),  dan  Gambar  4(f)  bentuknya  terlihat  lebih  condong  ke kiri. Hal tersebut dikarenakan setiap parameter diinputkan pada rasio ketebalan 𝑑 1 lebih  besar  dari  pada  rasio  ketebalan 𝑑 2 sehingga  berdasarkan  Persamaan  (5) mengakibatkan sudut 𝛼 lebih  kecil dari pada sudut 𝛽 .  Terdapat  persamaan di hasil variasi  pada  Gambar  4  yaitu,  semakin  kecil 𝜃 yang  diinputkan  mengakibatkan cabang-cabangnya semakin berdekatan. Begitupun sebaliknya semakin besar 𝜃 yang diinput mengakibatkan cabang-cabangnya semakin merenggang.
d. Variasi pohon fraktal dengan megubah ketebalan, panjang, dan sudut percabangan
Variasi  kali  ini  melibatkan  perubahan  pada  ketebalan,  panjang,  dan  sudut percabangan.  Pada  variasi  kali  ini  menggunakan  ketebalan  panjang  dan  sudut percabangan  masing-masing  yaitu 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 dan 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 ; 𝑔 1 = 1,6 , 𝑔 2 = 1,6 ,  dan 𝑔 1 = 1,3 , 𝑔 2 = 1,6 ; 𝜃 = 154° ; 𝜃 = 120° .  Berikut  merupakan hasil  visualisasi  dari  mengubah  ketebalan,  panjang,  dan  sudut  percabangan  akan ditampilkan pada Gambar 5.
(a) (b) (c) (d)
(e)
(a) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (b) 𝑑 1 = 𝑑 2 = 1 2 √2 , 𝑔 1 = 1,3 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 2 = 120 ° ; (c) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,45 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 3 = 154 ° ; (d) 𝑑 1 = 0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,6 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 = 154 ° ; (e) 𝑑 1 =
0,8 , 𝑑 2 = 0,4 , 𝑔 1 = 1,3 , 𝑔 2 = 1,6 , dan 𝜃 2 = 120 °
Gambar 5. Hasil pohon fraktal dengan variasi ketebalan cabang, panjang cabang, dan sudut percabangan

## 3.5.  Variasi Pohon Fraktal Menggunakan Stochastic L-Systems
Pada  bagian  ini  dibahas  mengenai  variasi  pohon  fraktal  menggunakan  stochastic L- Systems . Yang pertama dilakukan yaitu menentukan parametric deterministic L-Systems . Selanjutnya  yaitu  menentukanan  nilai  peluang  munculnya  aturan  produksi  untuk stochastic L-Systems . Berikut merupakan komponen L-Systems yang akan digunakan.
𝑉 = {𝑓, 𝐹, , !, +, −, (, ), [, ]} 𝜔 = 𝑓 , 𝑑 = 10 , 𝑑 1 = 0,85 , 𝑑 2 = 0,5 267, 𝑙 = 10 , 𝑔 1 = 1,5 , 𝑔 2 = 1,65 , 𝜃 = 140 °
𝑝 1 : 𝑓(𝑙, 𝑑) → ! (𝑙, 𝑑) [+(𝑎 1 )𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝑏 1 )𝑓 (𝑙 ∗ 1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] 𝑝 2 : +(𝑎)𝐹(𝑙, 𝑑) → +(𝑎)(𝑙, 𝑑) [+(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗ 1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] : 0.4
𝑝 3 : +(𝑎)𝐹(𝑙, 𝑑) → +(𝑎)(𝑙, 𝑑) [+(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗
1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] [−(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] : 0.6
𝑝 4 : −(𝑎)𝐹(𝑙, 𝑑) → −(𝑎)(𝑙, 𝑑) [+(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗ 1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] : 0.3 𝑝 5 : −(𝑎)𝐹(𝑙, 𝑑) → −(𝑎)(𝑙. 𝑑) [+(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗
1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] [−(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] : 0.7
𝑝 6 : −(𝑏)𝑓(𝑙, 𝑑) → −(𝑏)! (𝑙, 𝑑) [+(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗
1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] [−(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] : 0.4 𝑝 7 : −(𝑏)𝑓(𝑙, 𝑑) → −(𝑏)! (𝑙, 𝑑) [+(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗
1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗ 1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] : 0.6 𝑝 8 : +(𝑏)𝑓(𝑙, 𝑑) → +(𝑏)! (𝑙, 𝑑) [+(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗
1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] [−(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] : 0.3 𝑝 9 : +(𝑏)𝑓(𝑙, 𝑑) → +(𝑏)! (𝑙, 𝑑) [+(𝑎)𝐹 (𝑙 ∗ 1 𝑔 1 , 𝑑 ∗ 𝑑 1 )] [−(𝑏)𝑓 (𝑙 ∗ 1 𝑔 2 , 𝑑 ∗ 𝑑 2 )] : 0.7
Pada aturan produksi di atas, terlihat bahwa terdapat sembilan aturan dengan delapan di antaranya  memiliki  probabilitas.  Aturan 𝑝 2 dan 𝑝 3 memiliki predecessor yang  sama namun  dengan  probabilitas  yang  berbeda,  sehingga successor yang  dihasilkan  juga berbeda.  Hal  ini  juga  digunakan  pada  aturan 𝑝 4 dengan 𝑝 5 ,  aturan 𝑝 6 dengan 𝑝 7 ,  dan aturan 𝑝 8 dengan 𝑝 9 .  Aturan  tersebut  kemudian  disimulasikan  dengan  parameter  rasio ketebalan  cabang 𝑑 1 = 0,85 , 𝑑 2 = 0,5 267;  rasio  panjang  cabang 𝑔 1 = 𝑔 2 = 1,6 ,  dan sudut percabangan 𝜃 = 154° . Simulasi ini dilakukan dua kali dan hasilnya ditunjukkan pada Gambar 5.
Pada Gambar  5 terlihat  bahwa dengan aturan produksi yang sama  dan parameter yang sama, dengan menggunakan stochastic L-Systems dapat menghasilkan pola pohon fraktal yang  berbeda.  Hal  tersebut  dikarenakan  pada  proses  produksi  terdapat  mekanisme random  untuk  memilih successor yang  akan  digunakan  untuk  mengganti predecessor sesuai  probabilitasnya.  Penggunaan  mekanisme  random  tersebut  membuat  aturan produksi  masing-masing  generasi  berbeda-beda  untuk  setiap  simulasi  yang  dilakukan. Oleh karena itu, penerapan stochastic L-Systems dapat menghasilkan pola pohon fraktal yang sangat beragam.
Gambar 6. Hasil pohon fraktal dengan menggunakan stochastic L-Systems

## 4. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat  ditarik  kesimpulan  bahwa L-Systems dapat digunakan  untuk  mendapatkan  variasi  pohon  fraktal  dengan  pengaruh  parameter  rasio ketebalan, rasio panjang, sudut sebagai berikut.
a. Rasio ketebalan yang diinput semakin kecil mengkibatkan ketebalan cabang semakin kecil dan sudut beloknya semakin besar. Begitupun sebaliknya, semakin besar rasio ketebalan  yang  diinputkan  maka  ketebalan  cabang  semankin  besar  dan  sudut beloknya semakin kecil.
b. Jika  rasio  panjang  cabang  kiri  yang  diinputkan  lebih  kecil  dari  pada  rasio  panjang cabang kanan, maka cabang kiri lebih panjang dari pada cabang kanan.
c. Semakin  besar  sudut 𝜃 yang  diinputkan  maka  semakin  merenggang  cabang  pada pohon  fraktal.  Begitupun  sebaliknya,  semakin  kecil  sudut 𝜃 maka  semakin berdekatan.
d. Penggunaan stochastic L-Systems dapat menghasilkan pola pohon fraktal yang lebih beragam, meskipun menggunakan aturan produksi dan nilai parameter yang sama.

## Daftar Pustaka
[1] Curry, R., (1999), On the Evolution of Parametric L-Systems, Canada: University of Calgary.
[2] Frongillo, R.M., Lock, E., dan Brown, D.A., (2006), Symmetric Fractal Trees in Three Dimension, Chaos, Solions  Fractals 32(2), PP: 284-295.
[3] Hasang, S. dan Supardjo, S., (2012), Geometri Fraktal dalam Rancangan Arsitektur, Media Martasain , 9(1), PP: 111-124.
[4] Juhari,  (2013),  Pemodelan  Pertumbuhan  Tanaman  Zea  Mays  L.  Menggunakan Stochastic L-Systems , Jurnal CAUCHY 3(1), PP: 49-54.
[5] Mandelbrot,  B.B.,  (1983), The  Fractal  Geometry  of  Nature, New  York  :  W.  H. Freeman and Company.
[6] Marom, S., (2017), Application of Fractal Concept in Material Batik Development Baset on Wolframs Mathematica, Jurnal Sains Matematika dan Terapan 1(2), PP: 49-61.
[7] Mishra, J. dan Mishra, S., (2007), L-Systems Fractal , Netherland : Elsevier.
[8] Purnomo,  K.D.,  (2014),  Pembangkitan  Segitiga  Sierpinski  dengan  Transformasi Affine Berbasis Benda Geometris, Prosiding Seminar Nasional Matematika 1(1), 19 November 2014, Universitas Jember: 365-375.
[9] Pusinkiewicz, P. dan Lindenmayer, A., (2004), The Algorithmuc Beauty of Plants , New York : Springer-Verlag.
[10] Romadiastri, Y., (2013), Batik Fraktal:  Perkembangan Aplikasi Geometri Fraktal, Delta 1(2), PP: 115-199.
[11] Saefurrohman dan Ningsih., D.H.U., (2016),  Desain Motif Batik Dengan Metode Fraktal Dan Algoritma L-Systems untuk Membangun Pustaka Batik Wali, Jurnal Teknologi Informasi DINAMIK 21(1), PP: 42-51.
[12] Sampurno  dan  Faryuni,  I.  D.,  (2016), Metode  Analisis  Fraktal, Yogyakarta:  CV Budi Utama.
[13] Sekawati,  L.,  (2013),  Teknik  Penggambaran  Bentuk  dan  Citra  Alamiah  Berbasis Dimensi Fraktal, Makalah IF2120 Matematika diskrit .
[14] Utomo, B., (2011), Fraktal dan Invers Fraktal, Jurnal Matematika 2(1), PP: 28-37.
[15] Wahyuningtyas,  D.,  (2020),  Pembangkitan  Pohon  Fraktal  Tiga  Cabang  dengan Metode Iterated Function System, Skripsi, Jember: Universitas Jember.
[16] Zamir,  M.,  (2001),  Arterial  Branching  within  the  confines  of  fractal  L-Systems formalism, Jurnal Gen Physiol 118, PP: 267-275.