NORMA OPERATOR PADA RUANG FUNGSI TERINTEGRAL DUNFORD
Solikhin 1 , Susilo Hariyanto 1 , YD Sumanto 1 , Abdul Aziz 1 1 Departemen Matematika, FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. Soedarto, S.H. Semarang, 50275
1 solikhin@live.undip.ac.id
Abstract. We are discussed operator norms on spce of Dunford integral function. We show that for a function which Dunford integral, operator from dual space into space of  Lebesgue  integral    is  a  bounded  linear  operator.  Furthermore,  sets  of  all  bounded linear operator is a linear space and it is a normed space by norm certain.  Finally, the distance function generated by the norm is metrix space.
Key word: Dunford integral, operator norms.
Abstrak. Artikel  ini  membahas  operator  pada  ruang  fungsi  terintegral  Dunford. Ditunjukkan bahwa untuk setiap fungsi yang terintegral Dunford, operator dari ruang dual  ke  ruang  integral  Lebesgue    merupakan  operator  linear  terbatas.  Selanjutnya himpunan  semua  operator  linear  terbatas  merupakan  ruang  linear  dan  dengan  norma tertentu  merupakan  ruang  bernorma.  Lebih  lanjut  dengan  fungsi  jarak  yang dibangkitkan dari normanya merupakan ruang metrik.
Kata kunci: Integral Dunford, norma operator.

## I. PENDAHULUAN
Integral  Lebesgue  fungsi  bernilai  riil  merupakan  perluasan  dari  integral  Riemann  yang didefinisikan  melalui  fungsi  sederhana  pada  sebarang  himpunan  terukur  [1].  Integral Riemann  terbatas  pada  fungsi  yang  terdefinisi  pada  selang  tertutup.  Padahal,  pada  teori mekanika  kuantum,  persamaan  differensial  atau  teori  probabilitas  dihadapkan  pada  fungsi atas  sebarang  himpunan.  Melalui  integral  Lebesgue  ini,  permasalahan-permasalahan  yang tidak  dapat  ditangani  oleh  integral  Rieman  dapat  terjawab.  Salah  satu  keunggulan  dari integral  Lebesgue adalah dapat menangani suatu  fungsi baik  terbatas maupun tidak terbatas dan  secara  bersamaan  dapat  menangani  suatu  fungsi  dengan  domain  atas  himpunan  yang lebih  umum.  Fakta  lain  bahwa  struktur  dari  ruang  fungsi  yang  terintegral  Lebesgue merupakan  ruang  bernorma  lengkap  [2].  Hal  inilah  salah  satu  motivasi  para  peneliti  untuk mengkajinya.
Kajian  integral  Lebesgue  mengalami  perkembangan.  Integral  Lebesgue  digeneralisasi untuk  mendefinisikan  suatu  integral  lain.  Misalnya  seperti  integral  Dunford  [3].  Integral Dunford didefinisikan dari suatu fungsi terukur * :[ , ] f a b X → sedemikian untuk setiap * x di ruang  dual  dari  ruang  Banach X ,  fungsi  komposisi  bernilai  riil ( ) * :[ , ] x f a b R → adalah terintegral Lebesgue. Jadi, jika untuk setiap * x di  ruang dual dari ruang Banach X berfungsi bernilai  riil ( ) * x f adalah  terintegral  Lebesgue,  maka  fungsi f terintegral  Dunford.  Pada pendefinisian  integral  Dunford,  integral  Lebesguenya  juga  telah  digeneralisasi  ke  dalam integral Henstock seperti yang dikenal integral Henstock-Dunford [4].

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42
Pada integral Dunford, jaminan eksistensi nilainya dijamin oleh Lemma Dunford. Melalui lemma  tersebut  dapat  dikontruksi  operator  dan  merupakan  operator  linear  terbatas  [3,  5]. Kemudian dikaji seminorma pada ruang fungsi terintegral Dunford [6]. Berdasarkan operator linear  terbatas  yang  telah  dibentuk,  dibahas  operator  adjoint  dan  kompak  lemah  [7,  8]. Dihasilkan  bahwa  untuk  setiap  fungsi  yang  terintegral  Dunford,  operator  linear  terbatas kompak  lemah  jika  dan  hanya  jika  operator  adjoint  kompak  lemah.  Lebih  lanjut  kedua normanya  sama.  Berdasarkan  operator  linear  terbatas  yang  dibentuk,  didefinisikan  suatu fungsi . pada ( ) * 1 , B X L , himpunan semua operator linear terbatas dari ruang dual ke ruang fungsi  terintegral  Lebesgue.  Ditunjukkan  bahwa  fungsi  tersebut  merupakan  norma  operator pada ( ) * 1 , B X L .  Selanjutnya  berdasarkan  norma  operator  yang  telah  didefinisikan,  dibentuk fungsi jarak  dan ditunjukkan bahwa ( ) ( ) * 1 , , B X L  merupakan ruang metrik.

## II.  RUANG METRIK DAN RUANG BERNORMA
Diberikan definisi ruang metrik dan ruang bernorma beserta sifat-sifatnya.
Definisi 2.1 [5] Diberikan himpunan X tak kosong. Fungsi jarak : X X R   → dikatakan metrik pada X bila benar bahwa
(i). ( ) 1 2 , 0 x x   , untuk setiap 1 2 , x x di X ,
(ii). ( ) 1 2 1 2 , 0 x x x x  =  = ,
(iii). ( ) ( ) 1 2 2 1 , , x x x x   = , untuk setiap 1 2 , x x di X dan (iv). ( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 2 3 , , ,
x x x x x x     + , untuk setiap 1 2 3 , , x x x  di X .
Pasangan ( ) , X  disebut ruang metrik jika  adalah sebuah metrik pada X .
Definisi 2.2 [5] Diberikan ruang linear X .  Fungsi : X R  → dikatakan norma pada X jika berlaku
(i). 1 0 x  , 1 1 0 x x  =  = ,
(ii). 1 1 ux u x = , dan
(iii). 1 2 1 2 x x x x +  + ,
untuk setiap 1 2 , x x X  dan sebarang skalar u R  .
Himpunan X dilengkapi oleh norma  , ditulis ( ) , X  dan disebut ruang bernorma.
Norma pada X dapat mendefinisikan sebuah metrik  pada X yang diberikan oleh ( ) 1 2 1 2 , x x x x  = − ,
untuk setiap 1 2 , x x X  dan disebut metrik yang diinduksi oleh norma [7].

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42

## III.  INTEGRAL DUNFORD
Integral Dunford didefinisikan berdasarkan fungsi terukur lemah.
Definisi 3.1 [3] Diketahui X ruang Banach. Fungsi terukur lemah :[ , ] → f a b X dikatakan terintegral  Dunford  pada [ , ] a b ,  jika  untuk  setiap * x di * X komposisi  fungsi  riil ( ) * x f terintegral Lebesgue pada [ , ] a b , dan untuk sebarang himpunan terukur [ , ] E a b  terdapat vektort ( ) ** ** , f E x X  sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , , f E E x x L x f = 
untuk setiap * *  x X .
Nilai  integral  Dunford ( ) E D f  ,  fungsi f atas  sebarang  himpunan  terukur [ , ] E a b 
diberikan oleh vektor ( ) ** ** , f E x X  , yaitu ( ) ( ) ** , f E E x D f =  .
Vektor ini adalah tunggal.
Teorema  3.2 [4] Jika f terintegral  Dunford  pada [ , ] a b ,  maka  untuk  setiap  himpunan terukur [ , ] E a b  vektor ( ) ** ** , f E x X  tunggal .
Bukti: Diambil sebarang himpunan terukur [ , ] E a b  . Misalkan ada vektor ( ) ** ** , f E x X  dan ( ) ** ** , f E z X  maka
( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , f E E x x L x f =  dan ( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , f A E z x L x f =  .
Lebih lanjut
( ) ( ) ( ) ( ) ** * ** * , , f E f E x x z x − ( ) ( ) ( ) ( ) * * E E L x f L x f = −   * * 0, x X =   . □
Contoh  fungsi  yang  terintegral  Dunford  adalah  fungsi  konstan,  fungsi  kontinu,  fungsi terbatas,  fungsi  terintegral  Riemann,  fungsi  terintegral  Lebesgue  [4],  atau  fungsi  yang terintegral McShane dan lain sebagainya.
Menurut Definisi 3.1 jelas bahwa jika suatu fungsi f adalah terintegral Dunford, maka untuk setiap * x di * X komposisi fungsi bernilai riil * x f adalah terintegral Lebesgue, artinya jika  untuk  sebarang * x di * X fungsi  bernilai  riil * x f terintegral  Lebesgue,  maka f terintegral Dunford.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42
Teorema 3.3 Fungsi [ , ] f D a b  bila dan hanya bila untuk setiap * * x X  , * [ , ] x f L a b  .
Bukti: Jelas menurut Definisi. □
Berdasarkan Definisi 3.1 dan Teorema 3.3, diperoleh bahwa koleksi semua fungsi yang terintegral  Dunford  merupakan  ruang  linear,  yaitu  untuk  setiap  dua  fungsi f dan g yang terintegral Dunford dan sebarang skalar c R  maka f g + juga terintegral Dunford dan cf juga terintegral Dunford.
Teorema  3.4 Koleksi  semua  fungsi  yang  terintegral  Dunford, [ , ] D a b merupakan  ruang linear.
Bukti: Koleksi [ , ] D a b dikatakan ruang linear jika untuk setiap , [ , ] f g D a b  dan sebarang u R  berlaku [ , ] f g D a b +  dan [ , ] uf D a b  . Diambil  sebarang , [ , ] f g D a b  dan  sebarang  skalar u R  .  Karena , [ , ] f g D a b  ,  maka untuk  setiap * * x X  diperoleh * [ , ] x f L a b  dan * [ , ] x g L a b  .  Dengan  demikian  untuk setiap * * x X  didapatkan ( ) * [ , ] x f g L a b +  . Jadi, [ , ] f g D a b +  .
Lebih  lanjut,  untuk  sebarang  skalar u R  dan  untuk  setiap * x di * X diperoleh  fungsi
( ) * [ , ] x uf L a b  . Jadi, [ , ] uf D a b  . Jadi, [ , ] D a b ruang linier. □
Teorema  3.5 Jika f  = hampir  dimana-mana  pada [ , ] a b ,  maka [ , ] f D a b  dan  jika [ , ] E a b  himpunan terukur maka
( ) ** , f E x  = .
Bukti: Karena f  = hampir  dimana-mana  pada [ , ] a b ,  maka  ada  himpunan  terukur [ , ]
E a b  dengan ( ) 0 E   = sedemikian sehingga jika * * x X  berlaku ( ) * ( ) 0 x f x = untuk setiap [ , ] x a b E  − dan ( ) * ( ) 0 x f x  untuk setiap x E  .
Dibentuk
1 j j E E  = = dengan ( )   : 1 , 1, 2,3,... j E x E j f x j j E =  −   =  dan ( ) 0 j E   = .
Diambil  sebarang 0   ,  maka  untuk  suatu k terdapat  himpunan  terbuka k O dengan ( ) 2 j j O j 
   sehingga j j O E  .
Didefinisikan  fungsi  positif  pada [ , ] a b sedemikian  sehingga ( )
, ( ) j N x x O   untuk
j x E  , 1, 2,3,... j = dan sebarang fungsi positif  untuk x yang lain.
Untuk setiap [ , ] E a b  himpunan terukur berlaku

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42
( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 0 j j j E x E x E x E x f x f x f x f    − = + =     * 1 2 j j x j k    =  =  untuk setiap * * x X  dan * 1 x  .
Hal  ini  berarti * [ , ] x f L a b  sehingga  untuk  setiap  himpunan  terukur [ , ] E a b  terdapat vektor ( ) **
** , f E x X  sehingga berlaku
( ) ( ) ( ) ** * * , 0 f E A x x L x f = =  .
Jadi
[ , ] f D a b  dan ( ) ** , f E x  = . □

## IV. NORMA OPERATOR
Dua fungsi f dan h dikatakan ekuivalen, jika f g = hampir dimana-mana pada [ , ] a b , yaitu terdapat [ , ] E a b  himpunan terukur-  dengan ( ) 0 E   = sehingga berlaku ( ) ( ) f x h x = ,
untuk setiap x di [ , ] a b E − .
Misalkan  diberikan  ruang  Banach X dan * X ruang  dual  dari X serta 1 L .  Untuk  suatu fungsi f terintegral Dunford didefinisikan operator * 1 : T X L → , oleh ( ) ( ) * * T x x f = ,
untuk setiap * x di * X .
Telah ditunjukkan bahwa * 1 : T X L → merupakan operator linear terbatas [4].
Selanjutnya  koleksi  semua  operator  linear  dan  terbatas * 1 : T X L → dinotasikan  dengan
( ) * 1 , B X L .
Teorema 3.6 Koleksi semua operator linear terbatas ( ) * 1 , B X L merupakan ruang linear .
Bukti: Diambil  sebarang ( ) * 1 2 1 , , T T B X L  dan  sebarang  skalar c R  ,  maka  berlaku
( ) ( ) * 1 2 1 , T T B X L +  dan ( ) * 1 1 , cT B X L
 , yaitu untuk sebarang [ , ] f D a b  dan * * x X  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 1 2 1 2 T T x x f g T x T x + = + = +
dan
( ) ( ) ( ) ( ) * * * 1 1 cT x x cf cT x = = .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42
Karena 1 T operator linear terbatas dan 2 T operator linear terbatas, maka jelas bahwa 1 2 T T + juga operator linear terbatas dan 1 cT operator linear terbatas.
□
Selanjutnya didefinisikan fungsi dari himpunan  semua operator linear terbatas ke himpunan bilangan riil.
Untuk  suatu [ , ] f D a b  dan  setiap * * x X  dapat  didefinisikan  fungsi
( ) * 1 : , B X L R  →
oleh
  * * * * sup , 1 T Tx x X x =  =   * * * * sup , 1,  suatu [ , ] x f x X x f D a b =  =  .
Fungsi ( ) * 1 : , B X L R  → merupakan norma, seperti yang diuraikan dalam teorema berikut ini.
Teorema 3.7 ( ) ( ) * 1 , , . B X L merupakan ruang bernorma dengan norma
  * * * * sup , 1, suatu [ , ] T x f x X x f D a b =  =  .
Bukti:
Diambil sebarang ( ) * 1 , , T S B X L  dan sebarang skalar c R  .
(N1) Jelas bahwa
  * * * * sup , 1,  suatu [ , ] 0 T x f x X x f D a b =  =   .
0 T T  =  = .
(N2)   * * * * sup , 1,  suatu [ , ] cT cx f x X x f D a b =  =    * * * * sup , 1,  suatu [ , ] c x f x X x f D a b
=  =    * * * * sup , 1,  suatu [ , ] c x f x X x f D a b =  =  c T = .
(N3) ( )   * * * * sup , 1,  suatu  , [ , ] T S x f g x X x f g D a b + = +  =    * * * * * sup , 1,  suatu  , [ , ] x f x g x X x f g D a b = +  = 

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42
  * * * * sup , 1,  suatu [ , ] x f x X x f D a b   =  +   * * * *
sup , 1,  suatu [ , ] x g x X x g D a b  =  T S = + . Jadi, ( ) ( ) * 1 , , . B X L merupakan ruang bernorma.  □
Didefinisikan fungsi jarak  pada ( ) * 1 , B X L oleh ( ) 1 2 1 2 , T T T T  = −
untuk setiap 1 T dan 2 T di ( ) * 1 , B X L . Fungsi ( ) ( ) * * 1 1 : , , B X L B X L R   → merupakan metrik pada ( ) * 1 , B X L .
Teorema 3.8 Ruang linear ( ) * 1 , B X L merupakan ruang metrik terhadap fungsi jarak
( ) 1 2 1 2 , T T T T  = − ,
untuk setiap 1 T dan 2 T  di ( ) * 1 , B X L .
Bukti:
(1). Diambil sebarang dua operator linear terbatas 1 T dan 2 T di ( ) * 1 , B X L , diperoleh ( ) 1 2 1 2 , T T T T  = − 0  .
(2). Diambil sebarang dua operator linear terbatas 1 T dan 2 T di ( ) * 1 , B X L ,  diperoleh ( ) ( ) 1 2 1 2 2 1 2 1 ,
, T T T T T T T T   = − = − = .
(3). Diambil sebarang tiga operator linear terbatas
( ) * 1 2 3 1 , , , T T T B X L  diperoleh ( ) ( ) ( ) 1 3 1 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 ,
, , T T T T T T T T T T T T T T T T    = − = − + −  − + − = + .
Jadi,  fungsi  jarak  merupakan metrik pada ( ) * 1 , B X L , artinya ( ) ( ) * 1 , , B X L  merupakan ruang metrik.  □

## V. PENUTUP
Koleksi  semua  fungsi  yang  terintegral  Dunford  merupakan  ruang  linear.  Jika  untuk setiap fungsi yang terintegral Dunford didefinisikan operator dari ruang dual ke ruang fungsi terintegral Lebesgue, maka operator tersebut merupakan operator linear terbatas. Selanjutnya koleksi  semua  operator  linear  terbatas  merupakan  ruang  linear.  Lebih  lanjut,  koleksi  semua operator linear terbatas dengan suatu norma tertentu dan fungsi jarak yang dibangkitkan dari normanya merupakan ruang bernorma dan ruang metrik. Pada topik norma operator ini, perlu dikaji lebih lanjut apakah dengan norma operator tersebut merupakan ruang lengkap.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42

## REFERENSI
[1]   Lee  P.Y.  (1989), Lanzhou  Lectures  on  Henstock  Integration ,  World  Scientific, Singapore.
[2]  Gordon,  R.  A.  (1994), The  Integral  of  lebesgue,  Denjoy,  Perron,  and  Henstock , Mathematical Society, USA.
[3]  Schwabik,  S.  &  Guoju,  Ye.  (2005), Topics  in  Banach  Space  Integration ,  World Scientific, Singapore.
[4]  Guoju,  Ye.  &  Tianqing,  An.  (2001),  On  Henstock-Dunford  and  Henstock-Pettis Integrals, IJMMS , 25(7): 467-478.
[5]  Solikhin,  dkk.  (2018),  Operator  pada  Ruang  Fungsi  Terintegral  Dunford, Journal  of Fundamental Mathematics and
Application (JFMA) , 2(1): 110,
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v1i2.17
[6]  Solikhin,  dkk.  (2018),  Seminorma  pada  Ruang  Fungsi  Terintegral  Dunford, Journal  of Fundamental Mathematics and
Application (JFMA) , 2(1): 26-34, http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i1.30
[7]  Kreyszig, E. (1989), Introductory Funtional Analysis with Applications , John Willey & Sons, USA.
[8]  Darmawijaya,  S.  (2007), Pengantar  Analisis  Abstrak, Jurusan  Matematika  Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.42