JURNAL FOURIER | April 2023, Vol. 12, No. 1, 33-40

## Komutatif Matriks ordo 𝟐 × 𝟐 Atas Aljabar Max-Plus

## Any Muanalifah
Program  Studi  Matematika,  Fakultas  Sains  dan  Matematika,  Universitas  Islam  Negeri  Walisongo Semarang 50185, Indonesia
Korespondensi; Any Muanalifah, Email: any.muanalifah@walisongo.ac.id

## Abstrak
Pada aljabar klasik, tidak semua matriks saling komutatif, begitu juga di aljabar max-plus. Pada artikel ini kita akan mereview dan mengkaji tentang komutatif matriks ordo 2 × 2 atas aljabar max-plus dimana kita akan buktikan bahwa 𝐴 ⊗ 𝐵 = 𝐵 ⊗ 𝐴 . Kemudian kita akan mengelompokkan kedalam beberapa kelas matriks komutatif diantaranya matriks normal, matriks circulant, matriks segitiga atas,  segitiga bawah dan generalisasi matriks Kleenestar.
Kata Kunci : Aljabar max-plus, komutatif matriks, matriks normal, matriks circulant, generalisasi matriks Kleenestar.

## Abstract
In classical algebra, not all matrices are commutative, as well as in max-plus algebra. In this article we will survey and discuss the commutative matrix ordo 2×2 over max-plus algebra, and we will prove that ⊗ 𝐵 = 𝐵 ⊗ 𝐴 . Then we divide into several classes including normal matrices, circulant matrices, upper triangular matrices, lower triangular matrices and generalized Kleenestar matrices.
Keywords :  max-plus  algebra,  commutative  matrices,  normal  matrices,  circulant  matrices,  generalisation  of  Kleenestar matrices.

## Pendahuluan
Matriks merupakan teori fundamental dalam aljabar linear yang mempunyai terapan yang sangat luas di matematika dan berbagai ilmu lainnya seperti fisika, Teknik, ilmu computer dan ekonomi. Matriks pada  aljabar  klasik  menggunakan  operasi  perkalian  dan  penjumlahan  yang  sangat  erat  dengan  sifat komutatif  dan  assosiatif.  Dalam  aljabar  klasik  tidak  semua  matriks  mempunyai  sifat  komutatif. Beberapa  matriks  yang  bersifat  komutatif  diantaranya,  matriks circulant ,  matriks  idempotent  dan matriks diagonal.
Dalam beberapa tahun terakhir, struktur aljabar baru yang disebut aljabar max-plus. Aljabar max- plus adalah salah satu contoh semiring yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu ⨁ yang berarti maximum  dan ⨂ yang  berarti  penjumlahan.  Beberapa  aplikasi  aljabar  max-plus  diantaranya cryptography [1] [2] [3], scheduling [4], and optimization [5]. Theoritical Computer Science . Beberapa penelitian juga muncul tentang matriks dalam aljabar max-plus diantaranya basis dalam aljabar max- plus [6], rank matriks dalam aljabar max-plus [7] [8] [9] dan semigrup atas matriks dalam aljabar max- plus [10] [11] [12].
Konsep komutatif matriks dalam aljabar max-plus juga analog dengan konsep komutatif matriks pada aljabar klasik. Beberapa penelitian yang membahas tentang komutatif matriks dalam aljabar max-
plus telah dilakukan oleh [13] [14] [15] [16] dan aplikasi komutatif matriks atas aljabar max-plus dalam cryptography [17].
Diberikan himpunan semua matriks ukuran 2 × 2 atas aljabar max-plus dan dinotasikan dengan 𝑀 2 (ℝ 𝑚𝑎𝑥 ) . Selanjutnya akan dibahas tentang komutatif matriks atas 𝑀 2 (ℝ 𝑚𝑎𝑥 ) . Pada penelitian ini kita akan mambagi matriks-matriks yang saling komutatif pada beberapa kelas.

## Landasan Teori
Pada bagian ini akan dibahas beberapa definisi dasar aljabar max-plus. Sebelum membahas aljabar max- plus terlebih dahulu diberikan definisi semiring
Definisi  1. Misal R adalah  himpunan  tak  kosong  yang  dilengkapi  dengan  dua  operasi  biner + dan ∙ Struktur aljabar (𝑅, +, ×) disebut semiring jika memenuhi sifat-sifat berikut:
1. (𝑅, +) merupakan monoid komutatif
(i) Assosiatif
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐  ∈ 𝑅 berlaku (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐)
(ii) Mempunyai elemen identitas Ada 0 ∈ 𝑅 sedemikian hingga 0 + 𝑎 = 𝑎 + 0 = 𝑎, ∀∈ 𝑅
(iii) Komutatif
∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 berlaku 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎
2. (𝑅, ∙) merupakan monoid
(i) Assosiatif
∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐  ∈ 𝑅 berlaku (𝑎 ∙ 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑏 ∙ 𝑐)
(ii) Mempunyai elemen identitas
3. (𝑅, +, ∙) mempunyai sifat distributive ∀ 𝑎, 𝑏, 𝑐  ∈ 𝑅 berlaku
(i) 𝑎 ∙ (𝑏 + 𝑐) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑏 + 𝑏 ∙ 𝑐
(iii) (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐
4. Mempunyai elemen penyerap
Ada 𝑎 ∈ 𝑅 sehingga 𝑎 ∙ 0 = 0 ∙ 𝑎, ∀ 𝑎 ∈ 𝑅
Semiring juga mempunyai sifat-sifat khusus seperti idempotent dan komutatif yang didefinisikan sebagai berikut:
Definisi 2. Misal 𝑅 adalah semiring dan untuk setiap a ∈ R berlaku berlaku a + a = a maka R disebut semiring idempoten.
Definisi  3. Misal 𝑅 adalah  semiring  dan  untuk  setiap a, b ∈ R berlaku  berlaku a × b = b × a maka R disebut semiring komutatif.
Contoh  4. Diberikan  himpunan  bilangan ℝ yang  diperluas  dengan −∞ dan  dilengkapi  dengan  dua operasi  bilangan ⨁ (maksimum)  dan ⨂ (penjumlahan).  Struktur  aljabar (ℝ ∪ {−∞}, ⨁, ⨂) yang memenuhi definisi semiring disebut aljabar max-plus dan dinotasikan dengan ℝ 𝑚𝑎𝑥 . Untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 didefinisikan
𝑎⨁𝑏 = 𝑚𝑎𝑥(𝑎, 𝑏)
dan
𝑎⨂𝑏 = 𝑎 + 𝑏
Operasi aritmatika dasar pada aljabar max-plus dapat diperluas ke operasi aritmetika vektor dan matriks sebagai berikut:

## 1. Penjumlahan matriks
Misal 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑚×𝑛 maka didefinisikan (𝑎⨁𝑏) 𝑖𝑗 = 𝑚𝑎𝑥  (𝑎 𝑖𝑗 ∙   𝑏 𝑖𝑗 ) untuk semua 𝑖, 𝑗  ∈ ℕ .
2. Perkalian matriks
Misal 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑚×𝑝 dan 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑝×𝑛 maka didefinisikan (𝑎⨂b) 𝑖𝑗 = 𝑘 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 𝑖𝑘 +   𝑏 𝑘𝑗 ) untuk semua 𝑖, 𝑗  ∈ ℕ .
3. Perkalian matriks dari skalar
Misal 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑚×𝑛 dan 𝛼 ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 maka didefinisikan (𝛼⨂A) 𝑖𝑗 =  (𝛼 +   𝑎 𝑖𝑗 ) untuk semua 𝑖, 𝑗  ∈ ℕ .
Berikut juga akan diberikan beberapa definisi penting matriks dalam aljabar Max-Plus
Definisi  5. Matriks  identitas  atas  aljabar  Max-plus  dinotasikan  dengan In dimana  entri-entri  pada diagonal utama sama dengan 0 dan entri-entri pada non diagonal utama sama dengan −∞.
Definisi  6. Matriks  diagonal  atas  aljabar  Max-plus  dinotasikan  dengan 𝐷 𝑛 di  mana  entri-entri  pada diagonal utama adalah sebarang bilangan di ℝ max dan entri-entri pada non diagonal utama adalah −∞ . Biasanya  matriks  diagonal  ditulis  sebagai 𝐷 𝑛 = (𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛 ) −1 dimana 𝑑 1 , 𝑑 2 , … , 𝑑 𝑛 adalah  entri- entri pada diagonal utama.
Sebelum kita memperkenalkan hak kelas-kelas matriks komutatif dalam aljabar Max-plus berikut ini akan diberikan definisi dua matriks dikatakan saling komutatif
Definisi 7. Misal 𝐴, 𝐵  ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 maka A dan B dikatakan komutatif jika 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴.
Penelitian ini menggunakan studi literature dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengkaji artikel tentang aljabar Max-plus dan matriks komutatif atas aljabar klasik
2. Mengkaji tentang matriks atas aljabar Max-plus
3. Mengkaji matriks komutatif ordo 2 × 2 atas aljabar Max-plus
4. Mengkaji kelas-kelas matriks komutatif ordo 2 × 2 atas aljabar Max-plus
5. Menarik kesimpulan

## Hasil dan Pembahasan
Pada penelitian ini kita berfokus pada matriks ukuran 2 × 2 yang saling kamutatif dalam aljabar Max- Plus.

## Matriks Normal
Berikut ini akan diberikan definisi matriks normal.
Definisi 8. Matriks 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 disebut matriks normal jika 𝑎 𝑖𝑖 = 0 dan −∞ ≤ 𝑎 𝑖𝑗 ≤ 0 . Selanjutnya matriks normal dalam aljabar max-plus dinotasikan sebagai 𝑀 𝑛 𝑛𝑜𝑟 .
Linde  de  lapuente  [13]  membuktikan  bahwa  untuk  setiap 𝐴, 𝐵  ∈ 𝑀 2 𝑛𝑜𝑟 yaitu  matriks  normal dengan ordo 2 × 2 maka 𝐴 dan 𝐵 saling komutatif seperti pada lemma berikut:
Lemma 9. Diberikan 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 2 𝑛𝑜𝑟 maka 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴 = 𝐴⨁𝐵 .
Bukti. Ambil sebarang 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) ∈ 𝑀 2 𝑛𝑜𝑟 untuk 𝑖, 𝑗 ∈ [1,2] maka didapatkan
(𝐴⨂𝐵) 11 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 11 + 𝑏 11 , 𝑎 12 + 𝑏 21 ) = 0 (𝐴⨂𝐵) 12 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 11 + 𝑏 11 , 𝑎 12 + 𝑏 22 )
= 𝑚𝑎𝑥( 𝑏 12 + 𝑎 12 )
(𝐴⨂𝐵) 21 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 21 + 𝑏 11 , 𝑎 22 + 𝑏 21 )
= 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 21 + 𝑏 21 )
(𝐴⨂𝐵) 22 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑎 21 + 𝑏 12 , 𝑎 22 + 𝑏 22 ) = 0 Selanjutnya akan kita cek (𝐴⨂𝐵) 𝑖𝑗 dengan 𝑖, 𝑗  ∈ [1, 2] sebagai berikut:
(𝐴⨂𝐵) 11 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑏 11 + 𝑎, 𝑏 12 + 𝑎 21 )
= 0
(𝐴⨂𝐵) 21 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑏 11 + 𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑎 22 )
= 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 12 + 𝑏 12 ) (𝐴⨂𝐵) 22 = 𝑚𝑎𝑥 (𝑏 21 + 𝑎 12 , 𝑏 22 + 𝑎 22 ) = 0 Kita akan periksa (𝐴⨁𝐵) 𝑖𝑗 . Diperhatika bahwa, untuk setiap 𝑖, 𝑗  ∈ [1, 2] diperoleh (𝐴⨁𝐵) 11 = 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 11 , 𝑏 12 ) = 0 (𝐴⨁𝐵) 12 = 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 12 , 𝑏 12 ) (𝐴⨁𝐵) 21 = 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 21 , 𝑏 21 )
(𝐴⨁𝐵) 22 = 𝑚𝑎𝑥( 𝑎 22 , 𝑏 22 ) = 0 Jadi dari hasil yang ada dapat dismpulkan bahwa 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴 = 𝐴⨁𝐵 . ∎ Tetapi Lemma 3.2 ini tidak berlaku untuk 𝑛 ≥ 3 seperti pada contoh berikut ini
Contoh  10. Diberikan  matriks 𝐴 = [ 0 −1 −4 −3 0 −1 −1 0 0 ] dan 𝐵 = [ 0 −2 −6 −1 0 −1 −3 −1 0 ] .  Maka 𝐴⨂𝐵 = [ 0 −1 −2 −1 0 −1 −1 0 0 ] dan 𝐵⨂𝐴 = [ 0 −1 −3 −1 0 −1 −1 0 0 ] . Dapat dilihat disini bahwa 𝐴⨂𝐵 ≠ 𝐵⨂𝐴 .
Selanjutnya definisi matriks normal dapat di generalisasi sebagai berikut:
Definisi 11. Misalkan 𝑀 = (𝑚 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 maka 𝑀 dikatakan 𝑘 − matriks normal jika memenuhi
𝑚 𝑖𝑗 = { 𝑘         𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘  𝑖 = 𝑗, 𝑘 ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 + ℝ ≤0 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑖  ≠ 𝑗 dan dinotasikan dengan 𝑀 𝑛 𝑘−𝑛𝑜𝑟 .
Teorema 12 . Misalkan 𝐴 ∈ 𝑀 2 𝑘−𝑛𝑜𝑟 dan 𝐵 ∈ 𝑀 2 𝑙−𝑛𝑜𝑟 maka 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴 = 𝑙⨂𝐴⨁𝑘⨂𝐵 .
Bukti. Misal 𝐴 ∈ 𝑀 2 𝑘−𝑛𝑜𝑟 dimana 𝐴 = [ 𝑘 𝑎 12 𝑎 21 𝑘 ] dan 𝐵 ∈ 𝑀 2 𝑙−𝑛𝑜𝑟 dimana 𝐵 = [ 𝑙 𝑏 12 𝑏 𝑙 ] 𝐴⨂𝐵 = [ 𝑙 𝑎 12 𝑎 21 𝑙 ] ⨂ [ 𝑙 𝑏 12 𝑏 21 𝑙 ] = [ max  (𝑘 + 𝑙, 𝑎 12 + 𝑏 21 ) max (𝑘 +   𝑏 12 , 𝑎 12 + 𝑙) 𝑚𝑎𝑥(𝑎 21 + 𝑙, 𝑘 + 𝑏 21 ) max (𝑎 21 + 𝑏 12 , 𝑘 + 𝑙) ] = [ 𝑘 + 𝑙 max (𝑘 +   𝑏 12 , 𝑎 12 + 𝑙) 𝑚𝑎𝑥(𝑎 21 + 𝑙, 𝑘 + 𝑏 21 ) 𝑘 + 𝑙 ]
𝐵⨂𝐴 = [ 𝑙 𝑏 12 𝑏 21 𝑙 ] ⨂ [ 𝑙 𝑎 12 𝑎 21 𝑙 ] = [ max (𝑙 + 𝑎, 𝑏 12 + 𝑎 21 ) max (𝑙 +   𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑘) 𝑚𝑎𝑥(𝑏 21 + 𝑘, 𝑙 + 𝑎 21 ) max (𝑏 21 + 𝑎 12 , 𝑙 + 𝑘) ] = [ 𝑙 + 𝑘 max (𝑙 +   𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑘) 𝑚𝑎𝑥(𝑏 21 + 𝑘, 𝑙 + 𝑎 21 ) 𝑙 + 𝑘 ]
Dapat kita lihat bahwa 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴.                                                                                                                 ∎

## Matriks Circulant
Seperti pada aljabar klasik, matriks circulant atas aljabar mac-plus juga bersifat komutatif. Berikut ini teorema yang menjamin 2 buah matriks circulant ukuran 2 × 2 bersifat komutatif.
Teorema 13. Misal A, B adalah matriks circulant 2 × 2 maka 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴 .
Bukti. Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks circulant dimana 𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 12 𝑎 11 ] dan 𝐵 = [ 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 12 𝑏 11 ] maka diperoleh
A⨂B = [ a 11 a 12 a 12 a 11 ] ⨂ [ b 11 b 12 b 12 b 11 ] = [ max (a 11 + b 11 , a 12 + b 12 ) max (a 11 + b 12 , a 12 + b 11 ) max(a 12 + b 11 , a 11 + b 12 ) max (a 12 + b 12 , a 11 + b 11 ) ] dan
𝐵⨂𝐴 = [ 𝑏 11 𝑏 12 𝑏 12 𝑏 11 ] ⨂ [ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 12 𝑎 11 ] = [ max(𝑏 11 + 𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑎 12 ) max(𝑏 11 + 𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑎 11 ) max(𝑏 12 + 𝑎 11 , 𝑏 11 + 𝑎 12 ) max(𝑏 12 + 𝑎 12 , 𝑏 11 + 𝑎 11 ) ]
Dapat kita lihat bahwa 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴.
∎

## Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah
Sama seperti dalam aljabar klasik, tidak semua matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah pada aljabar  max-plus  bersifat  komutatif.  Berikut  ini  diberikan  teorema  yang  menyatakan  dua  matriks segitiga atas (matriks segitiga bawah) yang saling komutatif.
Teorema 14. Diberikan matriks A = (a ij ) dan B = (b ij ) adalah matriks segitiga atas (segitiga bawah) ukuran 2 × 2 di  aljabar  max-plus  jika a ij = k, b ij = l untuk k, l  ∈ ℝ max + maka A⨂B = B⨂A = l⨂A⨁k⨂B .
Bukti. Misal 𝐴 dan 𝐵 adalah matriks segitiga atas dengan 𝐴 = [ 𝑎 11 𝑎 12 −∞ 𝑎 22 ] , 𝐵 = [ 𝑏 11 𝑏 12 −∞ 𝑏 22 ] 𝐴⨂𝐵 = [ 𝑎 11 𝑎 12 −∞ 𝑎 22 ] ⨂ [ 𝑎 11 𝑎 12 −∞ 𝑎 22 ] = [ max (𝑎 11 + 𝑏 11 , 𝑎 12 + (−∞)) max (𝑎 11 + 𝑏 12 , 𝑎 12 + 𝑏 22 ) max((−∞) + 𝑏 11 , 𝑎 22 + (−∞)) max ((−∞) + 𝑏 12 , 𝑎 22 + 𝑏 22 ) ] = [ 𝑎 11 + 𝑏 11 max (𝑎 11 + 𝑏 12 , 𝑎 12 + 𝑏 22 ) −∞ 𝑎 22 + 𝑏 22 ] = [ 𝑘 + 𝑙 max (𝑘 + 𝑏 12 , 𝑎 12 + 𝑙)
−∞ 𝑘 + 𝑙 ]
𝐵⨂𝐴 = [ 𝑏 11 𝑏 12 −∞ 𝑏 22 ] ⨂ [ 𝑎 11 𝑎 12 −∞ 𝑎 22 ] = [ max (𝑏 11 + 𝑎 11 , 𝑏 12 + (−∞)) max (𝑏 11 + 𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑎 22 ) 𝑚𝑎𝑥((−∞) + 𝑎 11 , 𝑏 22 + (−∞)) max ((−∞) + 𝑎 12 , 𝑏 22 + 𝑎 22 ) ] = [ 𝑏 11 + 𝑎 11 max (𝑏 11 + 𝑎 12 , 𝑏 12 + 𝑎 22 ) −∞ 𝑏 22 + 𝑎 22 ] = [ 𝑙 + 𝑘 max(𝑙 + 𝑎 12 , 𝑏 12+𝑘 ) −∞ 𝑘 + 𝑙 ]
Dapat  kita  lihat 𝐴⨂𝐵 = 𝐵⨂𝐴. Untuk  matriks  segitiga  bawah,  proses  pengerjaannya  analog  dengan matriks segitiga atas.
∎

## Matriks Power dan Generalisasi Matriks Kleene Star
Dalam aljabar max-plus matriks power juga bersifat saling komutatif seperti pada aljabar klasik. Misal diberikan  matriks 𝐴 ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 dan 𝑘, 𝑙  ∈ ℤ 𝑚𝑎𝑥 + maka  diperoleh 𝐴 𝑘 ⨂𝐴 𝑙 = 𝐴 𝑘+𝑙 = 𝐴 𝑙+𝑘 = 𝐴 𝑙 ⨂𝐴 𝑘 . Selain pangkat bulat positif kita juga bisa membuktikan untuk 𝑘, 𝑙  ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 sehingga 0 ≤ 𝑘, 𝑙 ≤ 1 dan 0 ≤ 𝑘 + 𝑙 ≤ 1 maka 𝐴 𝑘 ⨂𝐴 𝑙 = 𝐴 𝑙 ⨂𝐴 𝑘 .  Akan  tetapi  sifat  komutatif  ini  tidak  berlaku  untuk sebarang matriks 𝐴 ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 𝑛 .
Selanjutkan diperkenalkan generalisasi matriks Kleene star oleh Jones [19] sebagai berikut:
Definisi 15. Misal 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) adalah matriks ukuran n × n atas aljabar max-plus yang memenuhi sifat berikut
𝑎 𝑖𝑗 ⨂𝑎 𝑗𝑘 ≤ 𝑎 𝑖𝑘 ⨂𝑎 𝑗𝑗 , ∀ 𝑖, 𝑗, 𝑘 (1)
Kita sebut 𝐴 sebagai generalisasi matriks Kleene star.
Selanjutnya  akan  diperkenalkan  juga  definisi  matriks  roots  atas  generalisasi  matriks  kleene  star sebagai berikut.
Definisi 16. Misal A adalah generalisasi matriks A dan α ∈ ℝ maka matriks A (α) = (a ij (α) ) didefinisikan sebagai berikut:
𝑎 𝑖𝑗 (𝛼) = 𝑎 𝑖𝑗 ⨂(𝑎 𝑖𝑘 + 𝑎 𝑗𝑗 ) ⨂𝛼−1 (2)
Berikut ini akan diberikan teorema yang  menyatakan deformasi pada generalisasi matriks kleene star ukuran 2 × 2 saling komutatif.
Teorema  17. Untuk  sebarang 𝛼, 𝛽  ∈ ℚ dengan 0 ≤ 𝛼 ≤ 1, 0 ≤ 𝛽 ≤ 1 maka A (α) ⨂A (β) = A (β) ⨂ A (α) = A (α+β) dengan 𝐴 generalisasi matrik Kleene star ukuran 2 × 2 .
Bukti. Misalkan 𝛼 = 𝑎 𝑏 dan 𝛽 = 𝑐 𝑑 maka kita dapat menuliskan 𝛼 = 𝑎 𝑑 𝑏 𝑑 dan 𝛽 = 𝑐 𝑑 𝑑 𝑏 maka 𝐴 (𝛼) =   𝐴 𝑞𝑑 𝑏𝑑 = (𝐴 ( 1 𝑏𝑑 ) ) ⨂𝑎𝑑 dan 𝐴 (𝛽) = 𝐴 𝑐𝑏 𝑑𝑏 = (𝐴 ( 1 𝑏𝑑 ) ) ⨂𝑐𝑏 . Sehingga
𝐴 (𝛼) ⨂𝐴 (𝛽) = (𝐴 ( 1 𝑏𝑑 ) ) ⨂𝑎𝑑 ⨂ (𝐴 ( 1 𝑏𝑑 ) ) ⨂𝑐𝑏
= (𝐴 ( 1 𝑏𝑑 ) ) (𝑎𝑑+𝑏𝑐)
= 𝐴 𝑎𝑑+𝑏𝑐 𝑏𝑑 = 𝐴 (𝛼+𝛽)
Dalam  papernya  Yangxinyu  Xio  [16]  membuat  generalisasi  matriks 𝐴 dan 𝐵 yang  saling  komutatif. Misal  diberikan  matriks 𝐴 = (𝑎 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 2 maka  matriks 𝐵 = (𝑏 𝑖𝑗 ) ∈ ℝ 𝑚𝑎𝑥 2 dikatakan  komutatif dengan matriks 𝐴 jika memenuhi persamaan berikut
(𝐴⨂𝐵) 11 = (𝑎 11 ⨂𝑏 11 )⨁(𝑎 12 ⨂𝑏 21 ) = (𝑎 11 ⨂𝑏 11 )⨁(𝑎 21 ⨂𝑏 12 ) = (𝐵⨂𝐴) 11
(𝐴⨂𝐵) 12 = (𝑎 11 ⨂𝑏 12 )⨁(𝑎 12 ⨂𝑏 22 ) = (𝑎 12 ⨂𝑏 11 )⨁(𝑎 22 ⨂𝑏 12 ) = (𝐵⨂𝐴) 11 (3) (𝐴⨂𝐵) 21 = (𝑎 21 ⨂𝑏 11 )⨁(𝑎 22 ⨂𝑏 21 ) = (𝑎 11 ⨂𝑏 21 )⨁(𝑎 21 ⨂𝑏 22 ) = (𝐵⨂𝐴) 21
(𝐴⨂𝐵) 22 = (𝑎 21 ⨂𝑏 12 )⨁(𝑎 22 ⨂𝑏 22 ) = (𝑎 12 ⨂𝑏 21 )⨁(𝑎 22 ⨂𝑏 22 ) = (𝐵⨂𝐴) 22
Sistem persamaan (3) dapat ditulis sebagai system persamaan linear dua sisi berikut
𝐶⨂𝑥 = 𝐷⨂𝑥 (4) dimana 𝑥 = [𝑏 11 𝑏 12 𝑏 21 𝑏 22 ] 𝑇 dan 𝐶 = [ 𝑎 11 −∞ 𝑎 12 −∞ 𝑎 11 −∞ −∞ 𝑎 12 𝑎 21 −∞ 𝑎 22 −∞ 𝑎 21 −∞ −∞ 𝑎 22 ] , 𝐷 = [ 𝑎 11 𝑎 21 −∞ 𝑎 12 𝑎 22 −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ 𝑎 11 −∞ −∞ 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 ]
Sistem  persamaan  ini  dapat  diselesaikan  dengan  metode  alternating  [20].  Akan  tetapi  sistem persamaan linear (2) tidak semuanya mempunyai solusi.

## Kesimpulan
Sama seperti pada aljabar klasik, kita juga bisa mencari kelas-kelas matriks komutatif untuk orde 2 × 2 . Kita peroleh kelas-kelas matriks tersebut diantaranya matriks normal, matriks circulant, matriks power, dan generalisasi matriks Kleene star. Pada [20] kita juga bisa menyelesaikan sistem persamaan linear 𝐶⨂𝑥 = 𝐷⨂𝑥 untuk  mencari  matriks  yang  saling  komutatif.  Saran  penelitian  selanjutnya,  dari generalisasi matriks komutatif ordo 2 × 2 maka kita ibsa mencari kelas-kelas lainnya pada komutatif ordo 2 × 2 atas aljabar max-plus.

## Referensi
[1] D. Grigoriev dan V. Shpilrain, “Tropical Cryptography,” Communication in Algebra, vol. 42, no. 6, pp. 2624-2632, 2014.
[2]   D. Grigoriev dan V. Shpilrain, “Tropical cryptography II: Extensions by homomorphisms,” Communication in Algebra, vol. 47, no. 10, pp. 4224-4229, 2019.
[3] A. Muanalifah dan S. Sergeev, “On the tropical discrete logarithm problem and security of a protocol based on tropical semidirect product,” Communication in Algebra, vol. 50, no. 2, pp. 861-879, 2022.
[4]   S.  Kubo  dan  K.  Nishinari,  “Applications  of  max-plus  algebra  to  flow  shop  scheduling  problems,” Discrete  Applied Mathematics, vol. 247, pp. 278-293, 2018.
[5] L. Prastiwi dan Y. Listiana, “The Application of Max-Plus Algebra to Determine The Optimal Time of Ikat Kupang Woven Production,” International Journal of Computing Science and Applied Mathematics, vol. 3, no. 2, pp. 77-80, 2017.
[6]   R. Cuningham-Green dan P. Butkoviic, “Basis in max-algebra,” Linear Algebra and its Application, vol. 389, pp. 107-120, 2004.
[7]   M. Develin, F.Santos dan B. Strumfels, “On the rank of tropical matrix,” arxiv preprint/0312114, 2023.
[8]   P. Guillon, Z. Izhakian, M.Mairesse dan G. Merlet, “The ultimate rank of tropical matrices,” Journal of Algebra, vol. 437, pp. 222-248, 2015.
[9]   Z. Izhakian dan L. Rowen, “The tropical rank of a tropical matrix,” Communications in Algebra, vol. 37, no. 11, pp. 3912- 3927, 2009.
[10]  Z. Izhakian, M. Johnson dan M.Kambites, “Tropical Matrix Groups,” Semigroup forum, vol. 96, no. 1, pp. 178-196, 2018.
[11]  Z. Izhakian dan S.Margolis, “Semigroup identities in the monoid of two by two tropical matrices,” Semigroup forum, vol. 80, no. 2, 2010.
[12]  J. Okninski, “Identities of the semigroup of upper triangular tropical matrices,” Communications in Algebra, vol. 43, no. 10, pp. 4422-4426, 2015.
[13]  J.  Linde  dan  M.  de  la  Puente,  “Matrices  commuting  with  a  given  normal  tropical  matrix,” Linear  Algebra  and  its Applications, pp. 101-121, 2015.
[14] D. Katz, H. Schneider dan S.Sergeev, “On commuting matrices in max-algebra and in classical nonnegative algebra,”
Linear Algebra and its Application , vol. 436, no. 2, pp. 276-292, 2012.
[15]  R.Morrison  dan  N.  Tran,  “The  tropical  commuting  variety,” Linear  Algebra  and  its  Applications, vol.  507, pp. 300-321, 2016.
[16]  Y. Xie, “On 2 x 2 tropical commuting matrices,” LinearAlgebra and its Applications, vol. 620, pp. 92-108, 2021.
[17]  A.  Muanalifah  dan  S.  Sergey,  “Modifying  the  Tropical  Version  of  Stickel's  Key  Exchange  Protocol,” Applications  of
Mathematics, vol. 65, pp. 727-753, 2020.
[18]  P. Butkovic, Max-Linear Systems: Thoery and Algorithm, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, 2010.
[19]  D. Jones, “Matrix roots in the max-plus algebra,” Linear Algebra and its Application, vol. 631, pp. 10-34, 2021.
[20]  R.A.Cuninghame-Green dan P. Butkovic, “The Equation Ax=By over(max,+),” Theoritical Computer Science, vol. 293, pp. 3-12, 2003.
[21]  B. Bakhadly, A. Guterman dan M. d. L. Puente, “Normal Tropical (0,-1)-Matrices and Their Orthogonal Sets,” J. Math Sci, vol. 269, pp. 614-631, 2023.
[22]  M. Johnson dan M.Kambites, “Multiplicative structure of 2x2 tropical matrices,” Linear Algebra and its Applications, vol. 435, no. 7, pp. 1612-1625, 2011.