## PENGELOMPOKAN PRESTASI MATEMATIKA SISWA INDONESIA BERDASARKAN HASIL SURVEY TIMSS MENGGUNAKAN ANALISIS LOGISTIK KELAS LATEN

## Riswan 

## Abstract ;
Conventional  methods  of  clustering  become  weak  when  meet  measured  objects  with qualitative  or  categorical  data.Latent  class  logistic  analysis  can  bean  alternative  method  of clustering to overcome this problem. This research is aim to see the application of latent class logistic analysis to clusterthe measured objects with qualitative and quantitative variable and at once to find out backgrounds of the clusters. The objects in this research are 2171 eight grade students from 133 schools in Indonesia. There are two resultsinthis research; first in clustering and second in logistic analysis. In clustering, the students have beenclustered into four  ideal  clusters,e.g.39.16  percent  students  were  in  cluster1,  32.42  percent  in  cluster2, 21.46 percent in cluster3, and 6.97 percent in cluster4.Each cluster representsthe students with very low, low,medium, andhigh ability in mathematics. In logistic analysis, overall, each cluster  has  been  explained  well  by  covariatese.g.  student’s  interest,  attitude,  aptitudeand motivation  on  mathematics,  parent’ssocial-economic  condition,  parent’s  highest  education level,  teacher’s  highest  education  level,teacher’s  major  study  of  mathematics  and educations,teacher’s perceptions on schools,school’s facilities, etc.
Key Words : Latent class logistic analysis, Covariate, EM algorithm, and Local independence.

## A. PENDAHULUAN
Analisis klaster merupakan suatu metode pengelompokan satuan objek pengamatan  menjadi  beberapa  kelompok  objek  pengamatan  berdasarkan peubah-peubah  yang  dimiliki  sehingga  objek-objek  yang  terletak  dalam kelompok yang sama relatif lebih homogen dibandingkan dengan objek-objek pada  kelompok  yang  berbeda.  Metode  pengelompokanklasik  seperti  metode berhirarki (single lingkage, complete lingkage, average lingkage, centroid)dan metode tak
 Dosen Tetap Jurusan Tarbiyah  STAIN Samarinda
berhirarki  (k-means,k-medoid)  sering  terkendala  masalah  data  pengukuran  yang bersifat kualitatif atau kategorik.
Metode  kelas  laten  dapat  dijadikan  sebagai  metode  alternatif  dalam mengelompokkan  objek  pengamatan  yang  bersifat  kategorik.  Metode  kelas latenadalah  suatu  metode  statistik  untuk  mengidentifikasi  keanggotaan  kelas yang tidak terukur (laten) antara subjek dengan peubah yang diamati.Metode ini menggunakan fungsi peluang posterior sebagai basis pengelompokannya yang diduga  menggunakan  metode  kemungkinan  maksimum  (maximum  likelihood). 1 Metode  ini  menggambarkan  hubungan  antara  suatu  himpunan  peubah pengamatan  (manifest/symptom/indikator)  dengan  yang  tidak  diamati  yang disebut  dengan  peubah  laten.Pengelompokan  data  pengamatan  berdasarkan indikator  yang  melibatkan  kovariat  sebagai  peubah  penjelas,dapat  dikaji  lebih jauh dengan menggunakananalisislogistik kelas laten sebagai pengembangan dari analisis kelas laten.
Asumsi  yang  harus  dipenuhi  dalam  analisis  logistik  kelas  laten  adalah kebebasan  lokal  (local  independence)  antar  peubah  pengamatan.Adanya pelanggaran terhadap asumsi ini akan berpengaruh terhadap tingkat kecocokan model.  Kriteria  yang  digunakan  untuk  menguji  kebebasan  lokal  adalah  nilai Bivariate  Residual  (BVR).Sedangkan  kriteria  kecocokan  model  secara keseluruhan  digunakan  nilai  Bayesian  Information  Criteria  (BIC)atau  Akaike’s Information Criteria (AIC).
Model  kelas  laten  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Lazarfeld  dan Henry 2 untuk  peubah  dichotomous  dan  dikembangkan  oleh  Goodman 3 untuk peubah  nominal.  Akhir-akhir  ini  model  kelas  laten  telah  diperluas  lagi  untuk peubah  campuran  (mixture  variable)  baik  nominal,  ordinal,  maupun kontinu.Nainggolan  menggunakan  analisis  kelas  laten  untuk  mengelompokan pasien  demam  dengue  (DD)  dan  demam  berdarah  dengue  (DBD). 4 Hasilnya
1 Vermunt JK, Magidson J. Latent Class Cluster Analysis. (Cambridge University Press: Hagenaars JA & McCutcheon AL (eds.) Applied Latent Class Analysis,2002), hal. 6-7
2 Lazarsfelds  P.  F.,  Henry  NW.Latent  Structur  Analysis.  (Boston:  Houghton  Mifflin, 1968), hal. 275
3 Goodman,  L.  A.  Exploratory  Latent  Structure  Analysis  Using  Both  Identifiable  and Unidentifiable Models. (Biometrika, 1974), hal. 215-231.
4 Nainggolan  BMH.  Perbandingan  Analisis  Laten  Kelas  dengan  Kriteria  WHO  untuk Penggerombolan  Pasien  Demam  Dengue  (DD)  dan  Demam  Berdarah  Dengue  (DBD)  [tesis].  (Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Intstitut Pertanian Bogor, 2009), hal. 1-4
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
menunjukkan bahwa pengelompokan dengan menggunakan analisis kelas laten mirip  dengan  pengelompokan  menggunakan  kriteria  dari  WHO.  Dalam penelitiannya,  Nainggolan  tidak  sampai  pada  penelusuran  terhadap  faktor- faktor yang mempengaruhi pasien terkena DD atau DBD.
Sedangkan  model  logistik  kelas  latenpertama  kali  diperkenalkan  oleh Chung, Flaherty dan Schafer. 5 Berdasarkan hasil  penelitiannya terhadap siswa SMA  dari  tahun  1977  s.d  2001,  hasilnyamenunjukkan  bahwa  pemakaian marijuana  dan  sikap-sikap  siswa  terhadap  kondisi  moral  dan  sosialnya  dapat disimpulkan dengan baik ke dalam empat model kelas laten. Penerapan model logistik  multinomial  terhadap  respon  laten  tersebut  menunjukkan  bahwa pengelompokan siswa dalam kelas laten sangat berkaitan dengan faktor-faktor demografis, gaya hidup, political beliefs, dan agama.
Tulisan  ini  bertujuan  untuk  mengkaji  dan  menerapkan  model  analisis kelas  latendalam  mengelompokkan  objek  pengamatan  yang  bersifat  kategorik sekaligus  mencari  faktor-faktor  yang  melatarbelakanginya.  Dalam  tulisan  ini analisis  logistik  kelas  laten  diterapkan  untuk  mengelompokkan  prestasi  siswa Indonesia  berdasarkan  hasil  survey  TIMSS  (Trend  in  International  Mathematics and Science Study) yang dilakukan oleh lembaga IEA (International Association for the  Evaluation  of  Educational  Achievement).  Setelah  dilakukan  pengelompokan kemudian  dicari  faktor-faktor  yang  melatarbelakangi  prestasi  siswa  tersebut pada tiap kelompoknya.
Sebagaimana  diketahui  bahwa  lembaga  IEA  melakukan  survey  secara berkala  setiap  empat  tahun  sekali,  yang  dilakukan  terhadap  siswa,  guru,  dan sekolah di sejumlah negara di dunia. Indonesia telah mengikuti proyek ini sejak tahun  1995,  hasil  survey  terakhir,  yaitu  tahun  2007,  menunjukkan  bahwa Indonesia menempati ranking ke-35 dari 49 negara peserta. Rangking ini tidak jauh berbeda dengan hasil survey tahun 2003 dan 1999, di mana prestasi siswa Indonesia  di  tingkat  Asia  Tenggara  saja  masih  di  bawah  Singapura,  Malaysia, bahkan  Thailand.  Sehingga  menarik  untuk  diteliti  apa  yang  melatarbelakangi rendahnya prestasi matematika siswa Indonesia tersebut.
5 Chung H. et al., Latent Class Logistic Regression: Application to marijuana use and attitudes among high school seniors. (Journal of The Royal Statistical Society, 2006), hal. 723-743.
Kajian  yang  berkaitan  dengan  hasil  survey  TIMSS  telah  dilakukan  di antaranya oleh Santoso. 6 Hasilnya menunjukkan bahwa, secara umum, faktor- faktor  seperti  sikap  atau  motivasi  belajar  matematika  siswa,  persepsi  siswa terhadap  sekolah,  persepsi  siswa  terhadap  matematika,  minat  belajar  siswa, perilaku  siswa  di  sekolah,  keadaan  sosial  ekonomi  orang  tua,  latar  belakang guru,  penilaian  guru  terhadap  sekolah,  serta  sarana  dan  prasarana  sekolah sangat  berpengaruh  terhadapprestasi  matematika  siswa.  Namun  demikian, belum  ada  riset  yang  mencoba  mengelompokkan  prestasi  matematika  siswa tersebut  sekaligus  mencari  faktor-faktor  yang  melatarbelakanginya.  Oleh karena  itu  penulis  tertarik  untuk  melakukan  kajian  ini  dengan  menggunakan analisislogistik kelas laten.

## B. TINJAUAN TENTANG METODOLOGI KAJIAN
Bahan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunderhasil  survey  TIMSS tahun 2007 melalui Pusat Penelitian Pendidikan (Puspendik) Badan Penelitian dan  Pengembangan  Departemen  Pendidikan  Nasional.Survey  dilakukan melalui  angket  kuesioner  yang  ditujukan  kepada  siswa,  guru  dan  sekolah  di sejumlah daerah di Indonesia. Data berasal dari 2171 siswa SLTP kelas 8 dari 133  sekolah  baik  negeri  maupun  swasta.  Data  berkaitan  dengan  kemampuan matematika siswa (aljabar, data dan peluang, bilangan, dan geometri) dan data latar belakang siswa, guru dan sekolah. Data tersebut dikelompokkan ke dalam dua peubah yaitu peubah indikator berupa skor matematika siswa, dan peubah kovariat berupa latar belakang siswa, guru dan sekolah. 7 Tahapan yang dilakukan dalam kajian ini adalah:
1. Menyiapkan datadengan indikator y dan kovariat x.
2. Membentuk  kelas  laten  berdasarkan  nilai  peluang  dari  semua  sampel menggunakan  software  Latent  Gold  4.0.  Dalam  hal  ini,  peubah  y 1 sampai dengan  y 4 masing-masing  berupa  peubah  nominal  dimana  peubah  y i berbentuk politomus dengan lima kategori (sangat rendah, rendah, sedang, tinggi,advance). Sebaran multinomial berganda  y i dengan peubah kovariat x i memiliki fungsi sebaran peluang sebagai ;
6 Santoso  A.  Faktor-faktor  yang  mempengaruhi  prestasi  siswa:  tinjauan  berdasarkan  data TIMSS  2007  (Jakarta:  Badan  Penelitian  dan  Pengembangan  Departemen  Pendidikan Nasional, 2009), hal. 4-6
7 Sumber data: Pusat data TIMSS, diekstrak menggunakan software IDBAnalyzer.
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
          K k P i y is k S s i k K k k i i k k i h is h p x y g x x y f 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) , | (     
Dimana M adalah jumlah parameter, M = (K – 1) + K*( 1 
 i i S ), DF(K) =
1 1     M S i P i ,  dan ) ..., , , ( 2 1 K      adalah  vektor  proporsi  campuran dari  K  kelas  laten,  p  adalah  jumlah  peubah  yaitu  4,  dan  S  banyaknya kategori yaitu 5.
3. Pendugaan parameter menggunakan algoritma EM, yaitu:
a. Definisikan nilai awal )
, , , ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 (       .
b. Hitung sebaran peluang bersama:
) ˆ | ( ) ( ˆ ) ˆ , | ( 1 k h i k K l k i h y g x x y f       sebaran multinomial dengan p = 4, dan S = 5 adalah
          K k i y is k s i k K k k i i k k i h is h x y g x x y f 1 4 1 ) ( 5 1 1 ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) , | (     
c. Tahapan E, hitung   6 ,..., 1 dan 2171 ,..., 1 , ) | ( ˆ ) (   k h y k P r h ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ˆ , ( ˆ ) ˆ , ( ˆ ) | ( ˆ r l h r l K l r k h r r h y g y g y k P       
menyatakanpeluang bersyarat yang menyatakan y h muncul dari k. d. Tahapan M, sesuaikan pendugaan parameter yang baru yaitu
n y k P h n h k ) | ( ˆ ˆ 1    
untuk peubah nominal, pendugaan peluang bersyarat y i =s adalah
k h n h s ih is k n y k P y   ˆ ) | ( ˆ ˆ 1 ) ( ) (   
e. Ulangi tahap 2 dan 3 sampai konvergen.
4. Ketika  algoritma  EM  mencapai  optimal,  dilanjutkan  ke  metode  Newton Raphson.
5. Memilih klaster terbaik dengan menggunakan nilai BIC.
6. Memeriksa asumsi kebebasan lokal dengan menggunakan nilai BVR.
7. Menguji signifikansi nilai dugan parameter dengan Wald Chi-Square Statistic.
8. Interpretasihasil analisis logistik kelas laten.
9. Simpulan dan saran

## Riswan

## C. KONSEP DASAR ANALISIS KELAS LATEN
Secara  umum  model  kelas  laten  dinyatakan  dengan  sebaran  gabungan dari  peubah-peubah  yang  diamati  pada  data  yang  memiliki  berbagai  macam skala  pengukuran.  Misalkan
) ,..., , ( 2 1 p y y y dinotasikan  sebagai  vektor  dari  p peubah  indikator  dimana  setiap  peubah  memiliki  sebaran  bersyarat  dalam keluarga  eksponensial  seperti  Bernoulli,  Poisson,  multinomial,  dan  normal. Misalkany ih adalah  nilai  dari  h  (h=1,2,…,n)  sampel  objek  untuk  peubah  ke-i. Vektor baris ) ,..., , ( 2 1 ' ph h h h y y y y  mengacu ke bentuk respon dari i objek,maka model kelas laten didefinisikan sebagai sebaran peluang bersama yaitu:
   K k k h k k h y g y f 1 ) | ( ) | (   
dimana ) | ( k h y g  adalah  sebaran  y i dengan  parameter  model  , k  adalah peluang  awal  kelas  laten  pada  data  y, k  adalah  peluang  suatu  objek  pada kelask, dengan k banyaknya kelas (k=1,2,…,K).
Peubah  biner:  Pada  kasus  dimana  peubah  y i berbentuk  biner  (0  dan  1), sebaran  ini  diasumsikan  berbentuk  sebaran  Bernoulli  berganda,maka  sebaran peluangnya adalah
          P i yi ik yi ik K k k k i K k k k h y g y f 1 1 1 1 ) 1 ( ) | ( ) | (      
dengan ik  adalah  peluang  suatu  objek  pada  gerombol  k,  M  adalah  jumlah parameter, dimana M = (K – 1) + K*p, DF adalah derajat kebebasan, dimana DF(K) = 2 p – M – 1 .
Peubah  nominal:  Pada  kasus  dimana  peubah  y i berbentuk  politomus,  maka sebaran peluangnya adalah
          K k P i y is k S s k K k k i k k h is h p y g y f 1 1 ) ( 1 1 ) ( ) ( ) | ( ) | (     
dengan  M  adalah  jumlah  parameter  dimana  M  =  (K  –  1)  +  K*( 1   i i S ),
DF(K)  = 1 1     M S i P i ,  dan ) ..., , , ( 2 1 K      adalah  vektor  proporsi campuran dari K kelas.
Peubah  ordinal:  Pada  kasus  dimana  peubah  y i berbentuk  ordinal,  maka sebaran peluangnya adalah
              K k P i L s y s ik s ik k K k k i k k h p s hi y g y f 1 1 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( ) | ( ) | (      
denganM = (K – 1) + K*( 1   i i L ), DF(K) = 1 1     M L i P i .
Peubah  kuantitatif:  Pada  kasus  dimana  peubah  y i berbentuk  kuantitatif, sebarannya diasumsikan normal, maka sebaran peluangnya adalah
               P i ik i i i K k k i k h y y f 1 2 2 2 1 2 1 1 2 ) ( 2 1 exp ) 2 ( ) , | (       
dengan ik  adalah  lokasi  parameter  dari  peubah  kontinu  y i dalam  kelask. 2 i  adalah ragam dari peubah ke-i, dan jumlah parameter (2p + 1)*K – 1.

## D. MODEL LOGISTIK KELAS LATEN
Model kelas laten dengan melibatkan kovariat adalah sebagai berikut:
     p i ik hi K k i k k i h y g x x y f 1 1 ) | ( ) ( ) , | (   
dimanax i dinotasikan sebagai nilai kovariat objek h, maka model logistik kelas laten didefinisikan sebagai berikut:
) ( exp ) exp( ) ( 1 i k K k i k i k x x x      
Parameter  model  logit  diduga  secara  bersamaan  dengan  model  kelas laten menggunakan algorima EM.Pengujian nilai signifikansi dugaan parameter dinyatakan dengan rumusan hipotesis berikut:
0 : 0  i H 
(koefisien logit tidak berpengaruh terhadap model)
0 : 0   i H  (ada koefisien logit yang berpengaruh terhadap model)
Dengan statistik uji menggunakan Wald Chi-SquareStatisticyaitu   2 ) ˆ ( / ˆ   SE W  . Jika  digunakan  tarap  nyata  ,  maka  tolak  H 0 jika  nilai 2 ,  p x W  atau  p-value   .

## 1. Pendugaan parameter
Dua metode utama untuk menduga parameter pada analisis kelas laten adalah kemungkinan maksimum (EM) dan metode Newton-Raphson. Fungsi likelihood untuk analisis model kelas laten campuran adalah:
   n h h y f L 1 ) ( log dan      n h K k k h k y g y L 1 1 ) | ( log ) | (   
Dalam  hal  ini  peubah  pengamatan  bebas  bersyarat  pada  setiap  klaster  k.
Dinotasikan ) ,..., ( 1 K x x x  dengan ) ,..., ( 1 nK k K x x x  , 1  ik x jika i y muncul dari klaster k, 0  ik x untuk lainnya. Vektor indikator yang tidak diketahui dari K klaster memiliki bentuk likelihood lengkap yaitu:
    n i K k k h k hk y g x x y L 1 1 ) | ( log ) , | (    Log-likelihood tersebut dimaksimumkan dengan menggunakan algoritma EM dengan  kendala 1 1    K k k  .  Kendala  tambahan  dipersyaratkan  pada  kasus
nominal dan ordinal, yaitu 1 1 ) (    i S s is k  dan 1 1 ) (    i L s is k  .

## 2. Ukuran kecocokan model
Kriteria  pememilihan  klaster  atau  model  terbaik  dapat  digunakan beberapa kriteria seperti: Statistik Chi-Square, Bayesian Information Criteria (BIC), dan  Akaike’s  Information  Criteria  (AIC).  Model  terbaik  adalah  model  dengan nilai AIC dan BIC terkecil. (Vermunt & Magidson 2001).
  m L AIC 2 ) ln( max 2    dan   ) log( 2 ) ln( max 2 n m L BIC   
dalam hal ini, m adalah banyaknya parameter,  n adalah ukuran sampel, dan  L adalah fungsi kemungkinan likelihood.

## 3. Asumsi kebebasan lokal
Analisis kelas laten mensyaratkan antar peubah harus saling bebas pada suatu  kelas  laten  tertentu  yang  disebut  dengan  kebebasan  lokal.Pelanggaran terhadap asumsi kebebasan lokal dilihat dari nilai Bivariater Residual (BVR) yaitu nilai Pearson Chi-Square dibagi dengan derajat bebasnya, yaitu:
    j i ij ij ij E E O X 1 2 2 ) ( dan df X BVR 2 
dengan  O ij adalah  frekuensi  observasi,  E ij frekuensi  harapan,  dan  df  =(p-1)(k- 1).Asumsi kebebasan lokal dipenuhi jika nila BVR<3.84.
4. Prestasi matematika siswa
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
Prestasi  siswa  dalam  bidang  matematika  bisa  dilihat  dari  kemampuan mereka  dalam  memecahkankan  soal-soal  atau  permasalahan  matematika. Bidang-bidang matematika yang dipelajari siswa di sekolah bisa digolongkan ke dalam empat kategori yaitu aljabar, data dan peluang, bilangan, dan geometri. TIMSS  mengelompokkan  kemampuan  matematika  baik  aljabar,  data  dan peluang,  bilangan  maupun  geometri  berdasarkan  Math  International  Benchmark yaitu:  kemampuan  siswa  dengan  skor  kurang  dari  400,  antara  400  sampai kurang dari 475, antara 475 sampai kurang dari 550, antara 550 sampai kurang dari 625, dan skor 625 ke atas. Berdasarkan hasil survey 2007, skor matematika siswa Indonesia berada pada rata-rata 397,1 termasuk ke dalam kategori sangat rendah.

## 5. Faktor-faktor yang Mempengaruhi Prestasi Siswa
Secara  umum  banyak  sekali  faktor  yang  dapat  mempengaruhi  prestasi belajar siswa baik internal maupun eksternal. Faktor internal berasal dari dalam diri  siswa  seperti  aspek  fisiologis  dan  psikologis.  Aspek  psikologis  dapat mempengaruhi  kuantitas  dan  kualitas  perolehan  pembelajaran  siswa, beberapa  hal  yang  dipandang  penting  adalah  tingkat  kecerdasan,  sikap  siswa terhadap  pelajaran,  bakat,  minat  dan  motivasi  siswa. 8 Sedangkan  pendidikan orang  tua,  cita-cita  pendidikan  siswa,  jumlah  buku  yang  dimiliki  siswa  di rumah, ketersediaan perangkat komputer, sosial ekonomi, waktu pengerjakan pekerjaan  rumah  merupakan  faktor  eksternal  dari  siswa  yang  berpengaruh terhadap prestasi akademiknya. 9
Khusus  dalam  bidang  matematika,  Santoso  telah  merangkum  faktor- faktor  baik  internal  maupun  eksternal  yang  dapat  mempengaruhi  prestasi matematika siswa yaitu:sikap atau motivasi belajar matematika siswa, persepsi siswa  terhadap  sekolah,  persepsi  siswa  terhadap  matematika,  minat  belajar siswa,  perilaku  siswa  di  sekolah,  keadaan  sosial  ekonomi  orang  tua,  latar
8 Syah  M.  Psikologi  Pendidikan  dengan  Pendekatan  Baru  (Edisi  Revisi).(Bandung:  PT Remaja Rosda Karya, 2005), hal. 144
9 Mullis  IV  S  et  al.  TIMSS  2007:  Assessment  Frameworks  from  IEA’s  Trends  in International Mathematics and Science Study at the fourth and Eight Grades. (Boston College: TIMSS International Study Center, 2005), hal. 35-37

## Riswan
belakang  guru,  penilaian  guru  terhadap  sekolah,  serta  sarana  dan  prasarana sekolah. 10

## 6. Variabel penelitian
Varibel atau peubah penelitian terdiri dari peubah indikator dan kovariat atau peubah penjelas yaitu sebagai berikut:
Indikator:
y 1 : Kemampuan aljabar y 2 : Kemampuan data dan peluang y 3 : Kemampuan bilangan y 4 : Kemampuan geometri
Kovariat: x 1 :  Lama mengajar (0-2, 2-5, 5-9, 9-14, 14-20, 20-27, >27 tahun)
x 2 :  Tingkat pendidikan guru (SLTA, D1/D2, D3/D4, S1,S2/S3) x 3 :  Latar belakang pendidikan guru (linear, agak linear, tidak linear) x 4 :  Persepsi guru terhadap sekolah (tinggi, sedang, rendah, sgtrendah) x 5 :  Banyak buku yang dimiliki siswa (0-11, 12-25, 26-100, 100-200, >200 buku)
x 6 :  Sosial ekonomi orang tua (sgt tinggi, tinggi, sedang, rendah, sgt rendah)
x 7 :  Tingkat pendidikan orang tua (sgt rendah, rendah, sedang, tinggi,
sgttinggi)
x 8 :  Motivasi belajar siswa (sgttinggi, tinggi, sedang, rendah, sgtrendah) x 9 :  Persepsi siswa terhadap matematika (jelek, biasa saja, baik) x 10 :  Minat belajar matematika siswa (sgttinggi, tinggi, sedang, rendah) x 11 :  Persepsi siswa terhadap sekolah (jelek, biasa saja, baik)
x 12 :  Intensitas pemberian PR/minggu (setiap hari, 3-4 kali, 1-2 kali, kurang dari sekali, tidak pernah)
x 13 :  Lama waktu mengerjakan PR (0,1-15,16-30,31-60,61- 90,>90 menit)
x 14 :  Perilaku siswa (baik, sedang, jelek, sangat jelek) x 15 :  Penguatan (tinggi, sedang, rendah)
x 16 :  Sarana prasarana sekolah (sgt. kurang, kurang, sedang, banyak, sgt.
banyak)
10 Santoso, Faktor-faktor yang Mempengaruhi, hal. 4-6
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
x 17 :  Penggunaan waktu luang (normal, sedang, jelek, sangat jelek)

## E. HASIL KAJIAN

## a. Deskripsi data
Berdasarkan  hasil  survey  TIMSS  tahun  2007,  diperoleh  informasi bahwa  prestasi  siswa  Indonesia  khususnya  siswa  SLTP  kelas  8  masih  jauh  di bawah standar Internasional. Skor matematika siswa Indonesia sebagian besar, yaitu  sekitar  40%-nya,  masih  di  bawah  400  baik  untuk  skor  aljabar,  data  dan peluang,  bilangan,  maupun  geometri,  dan  hanya  sebagian  kecil  saja  diantara mereka  yang  dapat  meraih  skor  di  atas  625,  paling  banyak  6%  untuk  skor aljabar,  selebihnya  jauh  di  bawah  6%.  Kemampuan  siswa  Indonesia  dalam bidang  matematika  tersebut  tergambar  dalam  Tabel  1  dan  gambar  1  berikut ini.
Tabel 1 Skor matematika siswa SLTP kelas 8
SKOR ALJABAR DATA & PELUANG BILANGAN GEOMETRI Jumla h % Jumla h % Jumla h % Jumla h % (<;400) 850 39,15 834 38,42 889 40,95 942 43,39 [400;475 ) 748 34,45 779 35,88 746 34,36 648 29,85 [475;550 ) 438 20,18 448 20,64 404 18,61 402 18,52 [550;625 ) 122 5,62 103 4,74 113 5,20 154 7,09 [625;>) 13 0,60 7 0,32 19 0,88 25 1,15 Total 2171 100 2171 100 2171 100 2171 100

## Gambar 1  Skor matematika siswa SLTP Kelas 8

## b. Hasil analisis kelas laten
1. Pemilihan model terbaik
Pemilihan  model  terbaik  dalam  analisis  kelas  laten  mengandung pengertian  berapa  kelas  terbaik  untuk  mengelompokan  objek  pengamatan. Berikut ini disajikan berbagai model hasil analisis kelas laten.

## Tabel2Kecocokanmodel
LL BIC(L L) N pa r L² df p- value Mod el2 2- Kelas - 8571,1 799 17833, 825 90 17092, 453 208 1 1,3e- 2311 Mod el3 3- Kelas - 7801,1 951 16862, 393 16 4 15552, 484 200 7 1,9e- 2052 Mod 4- - 16859, 23 14980, 193 3,4e- 0 10 20 30 40 50 60 (<;400) [400;475) [475;550) [550;625) [625;>) ALJ DAT BIL GEO N=2171 %
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan

## Analisis Logistik Kelas Laten
el4 Kelas 7515,2 652 071 8 624 3 1977 Mod el5 5- Kelas - 7349,1 607 17095, 4 31 2 14648, 415 185 9 2,5e- 1947
Berdasarkan Tabel 2 diketahui bahwa nilai BIC terkecil diperoleh pada Model4,  yaitu  model  dengan  4  kelas  dengan  p-value  signifikan.  Maka  untuk selanjutnya,  dipilih  model  dengan  4  kelas  sebagai  model  terbaik  untuk mengelompokkan  prestasi  siswa  Indonesia  berdasarkan  kemampuanya  dalam bidang matematika yaitu ajabar, data dan peluang, bilangan, dan geometri.

## 2. Pemeriksaan asumsi kebebasan lokal
Pemeriksaan asumsi kebebasan lokal dilakukan terhadap model terbaik yang  sudah  terpilih  yaitu  model  dengan  4  kelas.  Berikut  ini  disajikan  nilai Bivariate Residual (BVR) sebagai kriteria  yang digunakan untuk menilai kondisi kebebasan lokal.
Tabel 3 NilaiBivariate Residual (BVR) Indikator y 1 y 2 y 3 y 4 y 1 , y 2 1,9772 , y 3 2,0791 1,9582 , y 4 0,8589 1,2267 1,9658 , Kovariat y 1 y 2 y 3 y 4 x 11 5,6266 0,6723 9,3972  24,9932
Berdasarkan  Tabel  3  diperoleh  informasi  bahwa  terdapat  gangguan asumsi kebebasan lokal pada peubah kovariat x 11 yaitu persepsi guru terhadap sekolah  dengan  peubah  indikator  y 1 ,y 1 ,  dan  y 4 dengan  nilai  BVR  >  3.84,  dan jika  dilihat  pada  pada  Tabel  4,  peubah  x 11 tidak  berpengaruh  nyata  terhadap model dengan p-value sebesar 1. Sehingga untuk mengatasi gangguan terhadap asumsi  kebebasan  lokal  tersebut  dilakukan  dengan  mengeluarkan  peubah  x 11 tersebut  dari  model,  kemudian  dilakukan  pemodelan  ulang  terhadap  model dengan 4 kelas tersebut.

## Tabel4Nilaisignifikansi parameter
x 11 Kelas1  Kelas2  Kelas3  Kelas4 p-value Baik 0,566 1,0227 - 1,9949 0,4062  0,1888 1 Kurang Baik 0,5579  0,9767 - 2,0971 0,5626 Tidak Baik - 1,1239 - 1,9994 4,092 - 0,9688
Setelah dilakukan pemodelan ulang, sebagaimana terlihat pada Tabel 5, diperoleh Model 5 dengan 4 kelas dengan keadaan yang lebih baik dimana nilai BIC-nya  lebih  kecil  dari  model  sebelumnya,  serta  tidak  ada  lagi  nilai  BVR  > 3.84, sehingga model sudah memenuhi asumsi kebebasan lokal.
Tabel 5 Kecocokan model LL BIC(LL)  Npar L² df p- value Model4 4- Kelas - 7515,2652 16859,071 238 14980,624  1933 3,4e- 1977 Model5 4- Kelas -7516,196  16814,835 232 14982,486  1939 7,0e- 1975

## 3. Karakteristik model kelas laten berdasarkan peubah indikator
Berdasarkan  uraian  terdahulu  bahwa  model  kelas  laten  terbaik  adalah model  dengan  4  kelas.  Karakteristik  dari  masing-masing  kelas  tersebut berdasarkan peubah indikatornya dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6 Karakteristikmodel berdasarkan peubah indikator Kelas1 Kelas2 Kelas3 Kelas4 Ukuran kelas 0,3916 0,3242 0,2146 0,0697 Indikator Skor Aljabar (<;400) 0,8251 0,2107 0,0006 0,0006 [400;475) 0,1672 0,672 0,285 0,0007
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
(y 1 ) [475;550) 0,0077 0,1163 0,6446 0,3257 [550;625) 0 0,001 0,0698 0,587 [625;>) 0 0 0 0,0859 Data&Peluang (<;400) 0,8067 0,1988 0,0177 0,0011 [400;475) 0,1826 0,6319 0,3786 0,0176 (y 2 ) [475;550) 0,0108 0,1655 0,5472 0,446 [550;625) 0 0,0038 0,0565 0,489 [625;>) 0 0 0 0,0463 Bilangan (<;400) 0,9172 0,155 0,0003 0,0007 [400;475) 0,0827 0,7719 0,2841 0,0006 (y 3 ) [475;550) 0,0001 0,073 0,6888 0,2089 [550;625) 0 0 0,0268 0,6642 [625;>) 0 0 0 0,1256 Geometri (<;400) 0,9027 0,2448 0,0048 0,0007 [400;475) 0,0967 0,6541 0,2225 0,0118 (y 4 ) [475;550) 0,0005 0,0994 0,6709 0,1257 [550;625) 0 0,0017 0,1018 0,6966 [625;>) 0 0 0 0,1652
Berdasarkan  Tabel  6  tersebut  dapat  digambarkan  bahwa  kelompok pertama  atau  kelas1  dengan  proporsi  paling  besar  39,16%  atau  sekitar  850 siswa  adalah  kelompok  siswa  yang  prestasinya  paling  rendah.  Keadaan  ini dapat  dilihat  dari  sebagian  besar  siswa  yang  berada  pada  kelompok  ini memperoleh skor (<;400) dengan proporsi sebesar 82,51% untuk skor aljabar, 80,67%  untuk  skor  data  dan  peluang,  91,27%  untuk  skor  bilangan,  90,27% untuk  skor  geometri.Tidak  ada  sama  sekali  siswa  yang  memperoleh  skor  550 atau lebih, baik untuk aljabar, data dan peluang, bilangan, maupun geometri.
Kelompok  kedua  atau  kelas  2  dengan  proporsi  sebesar  32,42%  atau sekitar  704  siswa  sedikit  lebih  baik  perolehan  skor  matematikanya  dari kelompok  yang  pertama.  Sebagian  besar  diantara  mereka  memperoleh  skor [400;475)  dengan  proporsi  sebesar  67,2%  untuk  skor  aljabar,  63,16%  untuk skor  data  dan  peluang,  77,19%  untuk  skor  bilangan,  65,41%  untuk  skor geometri,  dan  sisanya  ada  yang  memperoleh  skor  (<;400)  dan  [475;550),  dan sama  sekali  tidak  ada  siswa  yang  memperoleh  skor  [625;>)  baik  untuk  skor aljabar, data dan peluang, bilangan, maupun geometri.
Kelompok  ketiga  atau  kelas3  dengan  proporsi  sebesar  21,46%  atau sekitar 466 siswa. Sebagian besar diantara mereka memperoleh skor [475;550) dengan  proporsi  sebesar  64,46%  untuk  skor  aljabar,  54,16%  untuk  skor  data dan  peluang,  67,09%  untuk  skor  bilangan,  68,88%  untuk  skor  geometri,  dan sedikit  sisanya  ada  yang  memperoleh  skor  (<;400),  [475;550)  dan  [550;625). Walaupun  siswa  di  kelompok  ini  skornya  lebih  baik  dibanding  kelompok pertama  dan  kedua,  namun  tidak  ada  siswa  yang  memperoleh  skor  [625;>) baik untuk aljabar, data dan peluang, bilangan, maupun geometri.
Kelompok  terakhir  yaitu  kelas  4  dengan  proporsi  paling  kecil  yaitu sebesar  6,97%  atau  hanya  sekitar  151  siswa  sajaadalah  kelompok  siswa  yang prestasinya  paling  tinggi.  Sebagian  besar  diantara  mereka  memperoleh  skor [550;625)  dengan  proporsi  sebesar  58,7%  untuk  skor  aljabar,  48,9%  untuk skor  data  dan  peluang,  66,42%  untuk  skor  bilangan,  69,66%  untuk  skor geometri.Sebagian  lain  siswa  memperoleh  skor  [475;550)  dengan  proporsi sebesar  32,57%  untuk  skor  aljabar,  44,6%  untuk  skor  data  dan  peluang, 20,89% untuk skor bilangan, 12,57% untuk skor geometri. Walaupun siswa di kelompok  empat  ini  memiliki  skor  paling  tinggi  dibandingkan  kelompok lainnya,  namun  sedikit  diantara  mereka  yang  memperoleh  skor  [625;>)  yaitu 4,63% untuk skor aljabar, 8,59% untuk skor data dan peluang, 12,56% untuk skor bilangan, 16,52% untuk skor geometri.
Jika  kelompok  tersebut  didefinisikan  ke  dalam  suatu  kategori  prestasi siswa  dalam  bidang  matematika,  maka  siswa  yang  berada  pada  kelompok pertama termasuk kategori sangat rendah(SR), kedua rendah (R), ketiga sedang (S), dan  keempat  tinggi(T).  Tidak  ada  kategori  sangat  tinggi,  hal  ini  bisa  dipahami bahwa  prestasi  siswa  Indonesia  masih  di  bawah  rata-rata  skor  TIMSS  yaitu sebesar 500 dan sangat sedikit sekali siswa yang memperoleh skor 625 ke atas.

## 4. Parameter model logistik kelas laten
Pendugaan  parameter  logistik  kelas  laten  dilakukan  dengan menggunakan  algoritma  EM.  Ketika  algoritma  EM  telah  mencapai  nilai  yang optimum,  proses  dilanjutkan  dengan  metode  Newton-Raphson.  Dalam aplikasinya,  kedua  tahapan  tersebut  dilakukan  dengan  menggunakan softwareLatent Gold 4.0.
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
Hasil  pendugaan  parameter  pada  analisis  logistik  kelas  laten menunjukan  bahwa  pada  tarap  nyata  15%,  hampir  semua  parameter  peubah kovariat  x  memiliki  pengaruh  nyata  terhadap  model  kecuali  x 15 yaitu  peubah penguatan  pembelajaran.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  secara  umum  latar belakang siswa, guru, dan sekolah sangat berpengaruh terhadap prestasi siswa dalam bidang matematika.
Model  logistik  kelas  latendengan  empat  kelas  (K=4),  16  peubah kovariat  (P=16),  dan  2171  pengamatan  (I=2171)  dapatdinyatakan  sebagai berikut:
) ( exp ) exp( ) ( 1 i k K k i k i k x x x        ) ( exp ) exp( ) ( 4 1 i k k i k i k x x x      
dengan k = 1,2,3,K, p=1,2,3,…,P, dan i=1,2,3,…,I.
Berdasarkan hasil pendugaan parameter logistik kelas laten, maka dapat diduga  besaran  peluang  suatu  pengamatan  atau  individu  dengan  karakteristik peubah  kovariat  tertentu  masuk  ke  dalam  kelompok  yang  ada.  Dalam  hal ini,dapat  diperkirakan  besarnya  peluang  seorang  siswa  dengan  latar  belakang tertentu  masuk  ke  dalam  kelompok  siswa  yang  prestasinya  sangat  rendah  (SR), rendah  (R),  sedang  (S),  atau  tinggi  (T).  Sebagai  contoh,  siswa  dengan  latar belakang  yang  kurang  baik  sebagaimana  terlihat  pada  Tabel  7,  memiliki peluang  yang  besar  untuk  masuk  ke  dalam  kelompok  siswa  yang  prestasinya sangat  rendah  (SR)  yaitu  sebesar  99,97%,  dan  sangat  kecil  sekali  peluangnya untuk  bisa  masuk  ke  dalam  kelompok  siswa  dengan  kemampuan  tinggi  (T) dengan  peluang  hanya  0,1%.Pada  siswa  yang  kelompok  prestasinya  sangat rendah (SR) ini, kontribusi terbesar diberikan oleh faktor motivasi yang sangat rendah, minat belajar yang sangat rendah pula, serta latar belakang pendidikan guru yang tidak linear.
Tabel7 Peluangsiswa dengan latar belakang kurang baik Kelas1  Kelas2  Kelas3  Kelas4 Intersep 2,2619  1,8201 - - Lama_mgjr (x 1 ) (0;2]  0,4059  0,1715 - 0.2971 Tk_pend_gr (x 2 ) Lulus  0,0234 - - 1.4056 Lb_pend_gr (x 3 ) Tidak  1,4025  0,8739  1.0139 - Nyaman_gr (x 4 ) Sangat - 0,2372  1.1297  -1.292 Byk_buku (x 5 ) [0;11)  0,0436  0,3515 - - Ekonm_ot (x 6 ) Sangat  0,3615 - - 0.0645
Pend_ot (x 7 ) Sangat  0,7324  0,3992 - - Motivasi (x 8 ) Sangat  2,9732  2,1758 - - Persps_mat (x 9 ) Jelek  0,6965  0,2807 - - Minat_bljr (x 10 ) Sangat  2,7912 - - 0.4632 Intens_pr (x 12 ) < 1 kali 0,79 0,1078  0.1307 - Waktu_pr (x 13 ) 1-15  0,7835  0,0643 - - Prilaku_sis (x 14 ) Sangat  -1,026  0,4436 0.2 0.3824 Reinforcmn (x 15 ) Rendah  0,7157  0,1427  0.2593 - Sarana_skl (x 16 ) Sangat - - 0.0642 0.38 Waktu_lng (x 17 ) Sangat - 2,4149 - 4.6918
) ( exp ) exp( ) ( 4 1 i k k i k i k x x x      
0.9997  0.9972  0,0007  0,0010
Sebaliknya,  siswa  yang  memiliki  latar  belakang  yang  baik  sebagaimana terlihat  pada  Tabel  8,  memiliki  peluang  yang  besar  untuk  masuk  ke  dalam kelompok  siswa  yang  prestasinya  tinggi  (T)  dengan  peluang  sebesar  94,39% dan kecil peluangnya untuk masuk ke dalam kelompok siswa yang prestasinya sangat  rendah  (SR)  yaitu  sebesar  12,96%.  Pada  siswa  yang  kelompok prestasinya  tinggi  (T)  ini,  kontribusi  terbesar  diberikan  oleh  faktor  latar belakang pendidikan guru yang linear, persepsi guru terhadap sekolah/tingkat kenyaman  guru  di  lingkungan  sekolah,  serta  lama  mengajar  guru  atau  guru yang berpengalaman.
Tabel 8  Peluang siswa dengan latar belakang baik Kelas1  Kelas2  Kelas3  Kelas4 Intersep 22,619  18,201  -0.238 -3.844 Lama_mgjr (x 1 ) (14;20] tahun -0.437 -0.392 -0.302 1.1315 Tk_pend_gr  (x 2 )  Lulus S1 -0.657 -0.004  0.3257  0.3355 Lb_pend_gr  (x 3 )  Linear -0.942 -0.556 -0.361 1.8581 Nyaman_gr (x 4 )  Tinggi -0.279 -0.371 -0.585  1.2344 Byk_buku (x 5 ) [200;>) buku 0.0225  -0.908  0.3895  0.4956 Ekonm_ot (x 6 ) Sangat Tinggi -0.593 -0.08 0.062 0.6117
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
Pend_ot (x 7 ) Sangat Tinggi -0.457  0.0405  0.2899 0.127 Motivasi (x 8 ) Sangat Tinggi -0.212 -0.543  0.6744 0.08 Persps_mat (x 9 )  Baik -0.725 -0.219  0.2329 0.711 Minat_bljr (x 10 ) Sangat Tinggi -0.698  0.3735 0.102 0.2222 Intens_pr (x 12 )  Setiap hari -0.294 -0.012 -0.011  0.3169 Waktu_pr (x 13 )  > 90 menit -0.119  0.0335  -0.172  0.2575 Prilaku_sis (x 14 )  Baik 0.1024  -0.567 -0.279  0.7437 Reinforcmn  (x 15 )  Tinggi -0.489 -0.14 -0.079  0.7077 Sarana_skl (x 16 ) Sangat Banyak 0.1335  0.0607  -0.034 -0.16 Waktu_lng (x 17 )  Normal 1.477 -0.491 1.021 -2.007
) ( exp ) exp( ) ( 4 1 h k k h k h k x x x      
0.1296  0.1242  0.7382  0.9439

## F. KESIMPULAN
Dari uraian di atas maka dapat disimpulkan ;
1. Analisis logistik kelas laten sebagai bagian dari analisis statistika khususnya analisis  klastercocok  untuk  digunakan  dalam  mengelompokkan  prestasi siswa dengan berbagai faktor atau latar-belakangyang mempengaruhinya.
2. Berdasarkan  hasil  analisis  logistik  kelas  laten  terhadap  data  hasil  survey TIMSS  tahun  2007,  maka  prestasi  matematika  siswa  SLTP  kelas  8  di Indonesia dapat digolongkan  ke dalam  empat kategori  yaitu: sangat  rendah, rendah,  sedang,  dan  tinggi  dengan  proporsi  masing-masing  sebesar  39,16%, 32,42%, 21,46% dan 6,97%.
3. Latar  belakang  keempat  kelompok  siswa  tersebut  cukup  baik  dijelaskan oleh faktor-faktor seperti: berapa lama guru mengajar, program studi yang ditempuh  guru,  tingkat  pendidikan  guru,  persepsi  guru  terhadap  sekolah,
tingkat pendidikan orang tua, keadaan ekonomi orang tua, banyaknya buku pelajaran  yang  dimiliki,  minat,  motivasi,  dan  persepsi  siswa  terhadap matematika, perilaku siswa di sekolah, intensitas pemberian PR, banyaknya waktu  untuk  mengerjakan  PR,  sarana  dan  prasarana  sekolah,  serta pemanfaatan waktu luang.
4. Latar  belakang  siswa  pada  masing-masing  kelompok  tersebut  berbeda- beda, siswa dengan latar belakang yang kurang baik, kecil sekali peluangnya untuk  mencapai  prestasi  yang  tinggi,  dan  sebaliknya  siswa  dengan  latar belakang yang baik, besar sekali peluangnya untuk mencapai prestasi  yang tinggi.

## BIBLIOGRAFI
Chung H. et al. Latent Class Logistic Regression: Application to marijuana use and  attitudes  among  high  school  seniors.Journal  of  The  Royal  Statistical Society, 2006
Hagenaars  JA.  Latent  Structure  Models  with  direct  effect  between  Indikator:  Locals dependence models. Sociological Methods and Research, 1998
Lazarsfelds PF, Henry NW. Latent Structur Analysis. Boston: Houghton Mifflin. 1998
Mullis  IVS.et  al.  TIMSS  2007:  Assessment  Frameworks  from  IEA’s  Trends  in International Mathematics and Science Study at the fourth and Eight Grades. MA,
Boston, TIMSS InternationalStudyCenter: BostonCollege, 2005
Nainggolan BMH. Perbandingan Analisis Laten Kelas dengan Kriteria WHO untuk Penggerombolan  Pasien  Demam  Dengue  (DD)  dan  Demam  Berdarah  Dengue (DBD)[tesis]. Bogor: Fakultas Matematika dan Ilmu  Pengetahuan Alam, Intstitut Pertanian Bogor, 2009
Santoso A. Faktor-faktor yang mempengaruhi prestasi siswa: tinjauan berdasarkan data TIMSS  2007.  ProsidingSeminar  Mutu  pendidikan  dasar  dan  menengah  hasil penelitian Puspendik. Jakarta 28-29 Oktober 2009. Jakarta: Badan Penelitian dan Pengembangan Departemen Pendidikan Nasional, 2009
Syah M. Psikologi Pendidikan dengan Pendekatan Baru (Edisi Revisi). Bandung: PT Remaja Rosda Karya, 2005
Pengelompokan Prestasi Matematika Siswa Indonesia Berdasarkan Hasil Survey Timss Menggunakan Analisis Logistik Kelas Laten
Vermunt  JK,  Magidson  J.  Latent  Class  Cluster  Analysis.  Hagenaars  JA  & McCutcheon  AL  (eds.)  Applied  Latent  Class  Analysis.  Cambridge University Press, 2002