Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)

## Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
Ika Nur Aprilianti 1 dan Priyo Sidik Sasongko 2
1,2 Departemen Ilmu Komputer/ Informatika Universitas Diponegoro, Semarang
1 ikanuraprilianti@gmail.com, 2 priyoss@undip.ac.id

## Abstract
PT. Sai Apparel Industries is a company that producing and exporting apparel to several countries. One of the factors that affect the profit of production is the availability of raw materials. To overcome the limitations  of  raw  materials,  the  company  added  a  tolerance  of  raw  materials  which  the  amount  is fluctuative which cause many problems for the manager or distributor of raw materials to know and send how much tolerance is required, by using the Fuzzy Linear Programming method. Fuzzy Linear Program is a linear program that represented by objective function and constraint functions that have a fuzzy parameters. Fuzzy Linear Programming found a method to handle the ambiguity in parameters with derivative Fuzzy Linear Programming model. The purpose of this research is using Fuzzy Linear Programming to find optimization of profit PT. Sai Apparel Industries with the replenishment of the raw materials that are fuzzy tolerance. The results of calculation of Fuzzy Linear Programming, the profit that can be received by PT. Sai Apparel Industries in producing is Rp. 62500.00 with the need to produce 12.5 units of type A and type C products 12.5 units, and raw materials tolerance should be added to each limit is 7.5 square meters interlining, yarn border 1 meter, 15 meter spool of yarn. So the total each raw material should be provided interlining 37.5 square meters, 25 meters border yarn, 75 meters spool yarn.

## Keywords: Optimization, Linear Programming, Fuzzy Linear Programming

## Abstrak
PT.  Sai  Apparel  Industries  adalah    perusahaan  yang  memproduksi  dan  mengekspor  pakaian  jadi  ke beberapa negara. Salah satu faktor yang mempengaruhi keuntungan produksi adalah ketersediaan bahan baku. Untuk mengatasi keterbatasanbahan baku, perusahaan menambahkan toleransi bahan baku yang jumlahnya  tidak  pasti  sehingga  menimbulkan  permasalahan  bagi  pihak  pengelola  atau  pendistribusi bahan  baku  untuk  mengirim  berapa  banyak toleransi  yang  dibutuhkan  dengan menggunakan  metode Program  Linier Fuzzy .  Program  Linier Fuzzy adalah  program  linier  yang  dinyatakan  dengan  fungsi obyektif dan fungsi kendala yang memiliki parameter fuzzy . Program  Linier Fuzzy menemukan cara untuk menangani ketidakjelasan dalam parameter model Program Linier Fuzzy diturunkan. Tujuan dari penelitian  ini  adalah  menggunakan  metode  Program  Linier Fuzzy untuk  menemukan  optimasi keuntungan yang diperoleh PT. Sai Apparel Industries dengan penambahan bahan baku toleransi yang bersifat fuzzy. Hasil dari perhitungan Program Linier Fuzzy , keuntungan yang dapat diterima oleh PT. Sai Apparel Industries dalam memproduksi adalah Rp. 62.500,00 dengan harus memproduksi produk tipe A 12,5 unit dan produk tipe C 12,5 unit. Dan bahan baku toleransi yang harus ditambahkan pada masing – masing batasan yaitu interlining 7,5 meter persegi, benang border 1 meter, benang spool 15 meter. Sehingga total masing – masing bahan baku yang harus disediakan interlining 37,5 meter persegi, benang border 25 meter, benang spool 75 meter.
Kata Kunci : Optimasi , Program Linier, Program Linier Fuzzy

## 1. Pendahuluan
Perusahaan garment merupakan perusahaan  yang bergerak di bidang tekstil yang memproses  bahan  baku  berupa  kain  menjadi pakaian  jadi  dan  hasilnya  akan  dijual  kepada konsumen  atau  pemesan.  PT  Sai  Apparel Industries adalah  perusahaan yang memproduksi dan mengekspor pakaian jadi ke beberapa negara. Untuk menyejahterakan karyawan dan menaikan devisa  negara  dibutuhkan  suatu  cara  agar diperoleh  keuntungan  yang  diperoleh  optimal. Salah satu faktor yang mempengaruhi keuntungan  produksi  adalah  ketersediaan  bahan baku.
PT  Sai  Apparel  Industries  memproduksi pakaian jadi melalui beberapa proses yaitu proses pemotongan, pembordiran, penjahitan, pencucian, dan finishing. Salah satu proses yang membutuhkan  bahan  baku  adalah  proses pembordiran. Dalam proses pembordiran, penyediaan  bahan  baku  di  departemen  bordir sudah ditentukan berapa banyak bahan baku yang dibutuhkan.  Karena  keterbatasan  sumber  daya perusahaan hanya mengirim bahan baku satu kali per hari tetapi jika bahan baku yang dibutuhkan habis,  maka  akan  dikirim  lagi  bahan  baku kembali  keesokan  harinya.  Untuk  mengatasi kekurangan  bahan  baku  perhari,  perusahaan menambahkan  toleransi  bahan  baku  yang jumlahnya  tidak  pasti  sehingga  menimbulkan permasalahan bagi pihak pengelola atau pendistribusi bahan baku untuk mengirim berapa banyak toleransi yang dibutuhkan.
Model  program  linier fuzzy menunjukkan bahwa  pemodelan  komplikasi  dapat  ditangani dengan  bantuan  beberapa  hasil  yang  telah dikembangkan  dalam  teori  himpunan fuzzy . Masalah program linier fuzzy mempertimbangkan untuk  menemukan  cara  untuk  menangani ketidakjelasan  dalam  parameter  model  program linier fuzzy diturunkan.  Model  program  linier fuzzy fleksibel  dan  mudah  untuk  menangani komputasi  (Elamvazuthi.I,  2009).  Tujuan  dari Program  linier fuzzy ini  adalah  mencari  solusi yang  dapat  diterima  berdasarkan  kriteria  yang dinyatakan  dalam  fungsi  objektif  dan  fungsi kendala.  Solusi  tersebut  berbentuk  himpunan fuzzy yang  memiliki  derajat  kebenaran  tertentu pada selang [0,1] .
Terkait dengan peningkatan keuntungan produksi maka  perusahaan  membutuhkan  suatu  aplikasi yang digunakan untuk menghitung dan memaksimalkan keuntungan produksi.
Ketersediaan bahan baku yang terbatas ini dapat digunakan  seoptimal  mungkin  sehingga  dapat dicapai keuntungan produksi secara keseluruhan. Berdasarkan  hal  di  atas  metode  program  linier fuzzy dinilai  mampu  menyelesaikan  masalah optimasi keuntungan produksi di PT. Sai Apparel Industries.

## 2. Metode

## Pemodelan Program Linier
Program  Linier  adalah  sebuah  prosedur dengan  perumusan  matematik  yang  dirancang untuk  membantu  pimpinan  organisasi  dalam mengalokasikan  sumber  daya  yang  terbatas sedemikian  rupa  sehingga  tujuan  organisasi dapat  tercapai.  Pemrograman  Linier  ini mempunyai arti bahwa peubah (variabel) tujuan organisasi berhubungan linier dengan variabel- variabel  bebasnya.  Hubungan  linier  tersebut dinamakan fungsi objektif. Program linier akan diselesaikan  dengan  dua  cara  yaitu  dengan metode grafik dan metode simpleks (Manurung, 1991).
Dalam  masalah  program  linier,  syarat- syarat  utama  yang  harus  dimiliki  yaitu  : (Manurung, 1991)
1. Ada  tujuan  yang  ingin  dicapai,  misalnya memaksimumkan  laba  atau  meminimumkan biaya
2. Untuk memperoleh laba maksimum atau biaya minimum, tersedia beberapa alternatif tindakan
3. Sumber  daya  yang  dimiliki  hanya  tersedia dalam jumlah yang terbatas
4.
Hubungan antara peubah-peubah yang dipertimbangkan harus dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan
matematik atau pertidaksamaan yang hubungannya linier Salah  satu  contoh  pada  model  program linier klasik adalah (Kusumadewi S. .., 2010) : Maksimumkan :
Dengan batasan 𝐴𝑥  ≤ 𝑏, 𝑥  ≥ 0 dengan 𝑐, 𝑥  ∈ 𝑅 𝑛 , 𝑏  ∈   𝑅 𝑚 , 𝐴  ∈   𝑅 𝑚𝑥𝑛
Atau Minimumkan:
Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
dengan
batasan 𝐴𝑥  ≥ 𝑏, 𝑥  ≥ 0 dengan 𝑐, 𝑥  ∈   𝑅 𝑛 , 𝑏  ∈ 𝑅 𝑚 , 𝐴  ∈   𝑅 𝑚𝑥𝑛
Keterangan : 𝑓(𝑥)     =  dinamakan 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 objektif 𝑐 𝑇 𝑥      =   𝑐 1 𝑥 1 +   𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ +   𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 + ⋯ +   𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 𝑥           =   (𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , … , 𝑥 𝑛 ) 𝑇 adalah variabel keputusan (𝐴𝑥) 𝑖 =   adalah kendala  (𝑎 𝑖1 𝑥 1 + ⋯ +   𝑎 𝑖𝑛 𝑥 𝑛 ) 𝐴 , 𝑏 dan 𝑐 adalah bilangan – bilangan crisp, tanda ≤ pada kasus maksimasi dan tanda ≥ pada kasus  minimasi  juga  bermakna crisp, demikian juga perintah “maksimumkan” atau “minimumkan”  merupakan  bentuk  imperatif tegas (Kusumadewi S. .., 2010).

## Program Linier dengan Metode Simpleks
Masalah  program  linier yang  melibatkan banyak  variabel  keputusan  dapat  dengan  cepat dipecahkan  dengan  bantuan  komputer.  Bila variabel  keputusan  yang  dikandung  banyak, masalah  tersebut  dapat  diselesaikan  dengan metode simpleks .
Prinsip kerja metode simpleks yaitu secara iteratif  mencari  nilai  titik  sudut  bidang  daftar yang  menghasilkan  nilai  optimum.  Akan  tetapi pencarian tidak dilakukan secara grafik, melainkan  secara  numerik  sehingga  dapat dilakukan untuk berapapun jumlah variabel yang digunakan. Ini berarti bahwa keterbatasan bidang dimensi  yang  dihadapi  metode  grafik  dapat teratasi,  meskipun  proses  yang  harus  dikerjakan relatif lebih banyak (Siang, 2011).
Langkah – langkah metode simpleks yaitu : (Taha, 2007)
1. Menentukan basic  solution /solusi  awal (initial  basic  feasible  solution) .  Dengan menggunakan bentuk standar.
2. Pilih variabel masukan ( entering variable ) dengan  berdasarkan  kondisi  optimal. Berhenti  jika  tidak  ada  variabel  masukan, maka hasil akhir solusi sudah optimal jika belum  maka  belum  optimal,  lanjutkan  ke langkah nomor 3.
3. Pilih leaving  variable (variabel  keluar) menggunakan kondisi yang fisibel.
4. Menentukan  nilai basic  solution (variabel basic)  dengan  menggunakan  komputasi
Gauss Jordan.kemudian ke langkah nomor 2.
Operasi baris ( row ) Gauss Jordan. Metode komputasi  ini  menyebabkan  adanya  variabel dasar dengan menggunakan dua jenis perhitungan : (Taha, 2007) 1. Baris pivot (pivot row)
a. Gantikan variabel keluaran ( leaving variable )  dalam  kolom basic /basis dengan variabel masukan
b. Baris pivot baru  =  baris pivot sekarang ÷ elemen pivot 2. Semua baris, temasuk baris Z
Baris baru = ( Baris sekarang) – (koefisien kolom pivot ) × (baris pivot baru)

## Program Linier Fuzzy
Program linier fuzzy adalah model program linier  dengan  menggunakan  pertimbangan  cara berpikir  manusia  dalam  membedakan  informasi secara  kualitatif.  Alasan  penggunaan  program linier fuzzy adalah  kondisi-kondisi  yang  muncul akibat  subyektifitas  dan  intuisi  yang  dominan dapat  diselesaikan  bukan  hanya  menggunakan asumsi  kepastian  seperti  pada  program  linier (Kusumadewi S. .., 2010).
Diasumsikan  bahwa  keputusan  program linier  akan  dibuat  pada  lingkungan fuzzy, maka bentuk rumus 2.1 dan 2.2 akan mengalami sedikit perubahan, yaitu :
1. Bentuk imperatif pada fungsi objektif tidak lagi  benar  –  benar  maksimum  atau minimum,  karena  adanya  beberapa  hal yang perlu mendapat pertimbangan dalam suatu sistem.
2. Tanda ≤ (pada  batasan)  dalam  kasus maksimasi  dan  tanda ≥ (pada  batasan) dalam kasus minimasi tidak lagi bermakna crisp secara  matematis,  namun  sedikit mengalami  pelanggaran  makna.  Hal  ini juga  disebabkan  karena  adanya  beberapa yang perlu dipertimbangkan dalam sistem yang  mengakibatkan  batasan  tidak  dapat didekati secara tegas.
Program linier fuzzy melakukan pencarian suatu  nilai 𝑧 yang merupakan fungsi objektif dan akan dioptimasikan sampai batasan-batasan yang dimodelkan  dengan    menggunakan    himpunan
fuzzy .  Sehingga  model  matematika  untuk  kasus maksimasi adalah sebagai berikut : Tentukan 𝑥 sedemikian hingga: Maksimalkan :
𝑐 𝑇 𝑥 = Z
Dengan kendala :
Keterangan : 𝑐 𝑇 𝑥      =   𝑐 1 𝑥 1 +   𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ +   𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 + ⋯ +   𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 𝑍          = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑢𝑗𝑢𝑎𝑛 𝐴𝑥       =    adalah kendala / batasan −  batasan 𝑏          =  𝑟𝑒𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 / 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑎𝑛𝑎𝑛
Dengan tanda ‘ ≤ ~ ’  merupakan bentuk fuzzy dari ‘ ≤ ’  yang  menginterprestasikan  ‘pada  dasarnya kurang  dari  atau  sama  dengan.  Demikian  pula tanda ‘ ≥ ~ ’ merupakan bentuk fuzzy dari ‘ ≥ ’ yang mengintepretasikan  ‘pada  dasarnya  lebih  dari atau sama dengan’.
Untuk  kasus  minimasi  pada  rumus  2.2  akan diperoleh:
Tentukan 𝑥 sedemikian hingga: Minimumkan :
𝑐 𝑇 𝑥 Dengan kendala
Keterangan : 𝑐 𝑇 𝑥      =   𝑐 1 𝑥 1 +   𝑐 2 𝑥 2 + ⋯ +   𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 + ⋯ +   𝑐 𝑛 𝑥 𝑛 𝑍          = 𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 𝑡𝑢𝑗𝑢𝑎𝑛 𝐴𝑥       =    adalah kendala / batasan
−  batasan
𝑏          =  𝑟𝑒𝑠𝑜𝑢𝑟𝑐𝑒 / nilai kanan
kendala/ batasan
Kedua rumus 2.9 dan 2.10 dapat dibawa ke suatu bentuk 2.11, yaitu:
Tentukan 𝑥 sedemikian hingga:
Dengan :
𝐵 =   (−𝑐 𝑇 𝐴 ) ;   dan
𝑑 =   ( −𝑧 𝑏 ) ; untuk kasus maksimasi Atau
𝐵 =   ( 𝑐 𝑇 −𝐴 ) ;   dan
𝑑 =   ( 𝑧 −𝑏 ) ; untuk kasus minimasi
Keterangan : Bx = nilai kiri/ variabel pengambilan keputusan d = nilai resource/ nilai kanan fungsi tujuan Kemudian  dibentuk  fungsi  keanggotaan.  Fungsi keanggotaan untuk model ‘keputusan’ himpunan fuzzy dapat  dinyatakan  sebagai  (Kusumadewi  S. .., 2010):
Keterangan : Setiap  baris/batasan  (0,  1,  2,  ...,  m)  akan direpresentasikan dengan sebuah himpunan fuzzy 𝜇 𝐷 [𝑥] =  fungsi  keanggotaan  untuk  model keputusan himpunan fuzzy
𝜇 𝑖 [𝐵 𝑖 𝑥] =  fungsi  keanggotaan  batasan  pada himpunan ke-i
𝐵 𝑖 𝑥 = batasan ke-i pada fungsi keanggotaan Langkah  selanjutnya  adalah  mencari  solusi terbaik  yaitu  solusi  yang  nilai  keanggotaannya paling besar, dengan demikian solusi sebenarnya adalah :
Dari  persamaan  2.13  dapat  dilihat  bahwa µ 𝑖 (𝐵 𝑖 𝑥) = 0 jika  batasan  ke- 𝑖 benar  -  benar dilanggar.  Sebaliknya, µ 𝑖 (𝐵 𝑖 𝑥) = 1 jika  batasan ke- 𝑖 benar-benar  dipatuhi  ( sama  halnya  dengan batasan bernilai tegas). Gambar 2.1 menunjukkan fungsi  keanggotaan µ 𝑖 (𝐵 𝑖 𝑥) dan 𝐵 𝑖 𝑥 .  Nilai µ 𝑖 (𝐵 𝑖 𝑥) akan turun secara monoton pada selang [0,1] yaitu (Kusumadewi S. .., 2010) :
Fungsi keanggotaan :
µ 𝑖 (𝐵 𝑖 𝑥) = { 1 ; 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝐵 𝑖 𝑥 ≤ 𝑑 𝑖 1 − 𝐵 𝑖 𝑥−𝑑 𝑖 𝑝 𝑖 ; 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑑 𝑖 < 𝐵 𝑖 𝑥  ≤ 𝑑 𝑖 +   𝑝 𝑖 0; 𝑗ika 𝐵 𝑖 𝑥  >   𝑑 𝑖 +   𝑝 𝑖
Keterangan : 𝑖 = 0, 1, 2, ..., m
Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
𝑝 = toleransi 𝑝 𝑖 = toleransi interval ke-i 𝑑 𝑖 = nilai resource / nilai kanan batasan ke-i
Gambar 2.1  Fungsi Keanggotaan Fungsi keanggotaan :
Keterangan :
𝑖 = 0, 1, 2, ..., m 𝑝 = toleransi 𝑝 𝑖 = toleransi interval ke-i 𝑑 𝑖 = nilai resource / nilai kanan batasan ke-i
Dengan  mensubtitusikan  (2.15)  ke  (2.13)  akan diperoleh (Kusumadewi S. .., 2010):
𝑚𝑎𝑥 𝑥 ≥ 0 𝜇 𝐷 [𝐵𝑥] = 𝑚𝑎𝑥 𝑥 ≥ 0 𝑚𝑖𝑛 𝑖 {1 − 𝐵 𝑖 𝑥 −   𝑑 𝑖 𝑝 𝑖 }
Dari  gambar  2.1  dapat  dilihat  bahwa,  semakin besar  nilai  domain  ,  akan    memiliki  nilai keanggotaan  yang  cenderung  semakin  kecil. Sehingga untuk mencari nilai λ-cut dapat dihitung 𝜆 = 1 − 𝑡 , dengan: 𝑑 𝑖 −   𝑡𝑝 𝑖 = ruas kanan batasan ke − 𝑖
Dengan  demikian  akan  diperoleh  bentuk linear programming baru sebagai berikut :
Maksimumkan : 𝜆 Dengan  batasan : 𝜆𝑝 𝑖 +   𝐵 𝑖 𝑥 ≤   𝑑 𝑖 +   𝑝 𝑖 𝑖 = 0,1, ..., m ; 𝑥  ≥  0

## 3. Implementasi

## Pemodelan Program Linier Fuzzy
Berdasarkan  latar  belakang  pada  sub  bab 1.1,  salah  satu  faktor  yang  mempengaruhi keuntungan  produksi  adalah  ketersediaan  bahan baku. Ketersediaan bahan baku yang terbatas ini
digunakan  seoptimal  mungkin  sehingga  dapat dicapai keuntungan produksi. Pemodelan program  linier  pada  kasus  bahan  baku  di modelkan dengan sebagai berikut : Maksimalkan 𝑐𝑥  = 𝑍 (𝑘𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛) Dengan kendala : 𝐴𝑥 ≤  𝑏 (𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢) 𝑥  ≥  0 Dimana 𝑐 adalah constanta / keuntungan per unit , 𝑥 adalah  jenis  tipe produk/  bordir  yang  akan  diproduksi, 𝑍 adalah keuntungan, 𝐴 adalah jumlah bahan baku  yang  dibutuhkan  untuk  pembuatan setiap tipe produk/bordir, dan data jumlah total bahan baku tertentu yang tersedia ( 𝑏 ). Namun,  untuk  menentukan  berapa jumlah  bahan  baku  perhari,  perusahaan menyediakan  stok  bahan  baku  yang jumlahnya tidak pasti / fuzzy karena pihak pendistribusi bahan baku hanya mendistribusikan  bahan  baku  dari  gudang hanya  satu  kali  dalam  satu  hari  ke departement  bordir.  Sehingga  ditentukan ada  toleransi  jumlah  bahan  baku    yang ditambahkan  pada  kendala  persamaan (3.1).  Kesimpulannya  jenis  fuzzy  ini terletak  pada  jumlah  bahan  baku  yang dijelaskan dalam persamaan/pertidaksamaan berikut : Maksimalkan 𝑐𝑥  = 𝑍 (𝑘𝑒𝑢𝑛𝑡𝑢𝑛𝑔𝑎𝑛) Dengan kendala :
𝐴𝑥 ≤ ~ 𝑏 (𝑏𝑎ℎ𝑎𝑛 𝑏𝑎𝑘𝑢)
𝑥  ≥  0
Pemodelan program linier fuzzy ini terdiri dari 3 komponen :
1. Variabel  keputusan/ decision variable yaitu  variabel  yang  digunakan  untuk mencari  nilai  yang  ditetapkan  dari variabel  –  variabel  yang  tidak  diketahui yang  akan  memberikan solusi optimal . Variabel keputusan dalam pemodelan ini adalah : 𝑥 1 =  jumlah  tipe  bordir  A  yang  akan diproduksi 𝑥 2 =  jumlah  tipe  bordir  B  yang  akan diproduksi
𝑥 3 =  jumlah  tipe  bordir  C  yang  akan diproduksi
2. Fungsi objektif yaitu fungsi yang merepresentasikan goal /tujuan dari permasalahan berdasarkan variabel keputusan. Fungsi objektif dalam pemodelan  program  linier fuzzy untuk optimasi  keuntungan  produksi  adalah untuk memaksimalkan keuntungan produksi  dari  ketersediaan  stok  bahan baku per hari.
Keuntungan produksi ( 𝑍 ) = (keuntungan per  unit  ) × (jumlah  unit  yang  di produksi)
Total keuntungan per unit tipe bordir A = 2 𝑥 1 (2 dalam ribuan)
Total keuntungan per unit tipe bordir B = 4 𝑥 2 (4 dalam ribuan)
Total keuntungan per unit tipe bordir C = 3 𝑥 3 (3 dalam ribuan)
Jadi fungsi objektif adalah maksimalkan 𝑍   =  2𝑥 1 +  4𝑥 2 +  3𝑥 3 𝑍 merepresesentasikan  fungsi  objektif dan  kata  maksimalkan  mengindikasikan fungsi objektif yang dimaksimalkan yang satuannya dalam ribuan rupiah.
3. Batasan ( constraints )
Ada tiga batasan/ kendala dalam masalah memaksimalkan  keuntungan  produksi dibidang pembordiran adalah
ketersediaan bahan baku yang meliputi : interlining atau kain keras, benang bordir, dan  benang spool. Batasan  pemodelan program  linier fuzzy untuk  optimasi keuntungan produksi dalam pembordiran ini bersifat fuzzy . Untuk masing - masing unit tipe bordir A  membutuhkan 1 meter persegi interlining /kain keras, tipe bordir
B  membutuhkan  3  meter  persegi interlining /kain  keras,  dan  tipe  bordir  C membutuhkan 2 meter persegi interlining/kain keras. Jadi total
seluruhnya  yang  dibutuhkan  masing masing produk/tipe bordir  = (bahan baku yang dibutuhkan per unit) × (jumlah unit) Total interlining /kain keras yang dibutuhkan untuk tipe bordir A = 𝑥 1 Total interlining /kain keras yang dibutuhkan untuk tipe bordir B = 3 𝑥 2
Total interlining /kain keras yang dibutuhkan untuk tipe bordir C = 2𝑥 3 Total interlining /kain keras yang dibutuhkan  untuk  tipe  bordir  A,B,C  = 𝑥 1 +  3 𝑥 2 +  2𝑥 3 Jadi batasan / kendalanya adalah : 𝑥 1 +  3 𝑥 2 +  2𝑥 3 ≤ 30 Untuk masing - masing unit tipe bordir A membutuhkan  1  meter  benang  bordir, tipe  bordir  B  membutuhkan  1  meter benang  bordir,  dan  tipe  bordir  C membutuhkan  1  meter  benang  bordir. Jadi  total  seluruhnya  yang  dibutuhkan masing  masing  produk/tipe  bordir    = (bahan baku yang dibutuhkan per unit) × (jumlah unit)
Total  benang  bordir  yang  dibutuhkan untuk tipe bordir A = 𝑥 1 Total  benang  bordir  yang  dibutuhkan untuk tipe bordir B = 𝑥 2
Total  benang  bordir    yang  dibutuhkan untuk tipe bordir C = 𝑥 3 Total  benang  bordir  yang  dibutuhkan untuk tipe bordir A,B,C = 𝑥 1 +    𝑥 2 +   𝑥 3 Jadi batasan / kendalanya adalah 𝑥 1 +    𝑥 2 +   𝑥 3 ≤   24 Untuk masing - masing unit tipe bordir A membutuhkan 3 meter benang spool , tipe bordir  B  membutuhkan  5  meter  benang spool , dan tipe bordir C membutuhkan 3 meter benang spool . Jadi total seluruhnya yang  dibutuhkan  masing  masing  tipe bordir    =  (bahan  baku  yang  dibutuhkan per unit) × (jumlah unit) Total  benang spool yang  dibutuhkan untuk tipe bordir A = 3𝑥 1 Total  benang spool yang  dibutuhkan untuk tipe bordir B = 5𝑥 2 Total  benang spool yang  dibutuhkan untuk tipe bordir C = 3𝑥 3 Total  benang spool yang  dibutuhkan untuk tipe bordir A,B,C = 3𝑥 1 +  5 𝑥 2 + 3𝑥 3 Jadi batasan / kendalanya adalah 3𝑥 1 +  5 𝑥 2 +  3𝑥 3 ≤   60 Kondisi  non  negatif  yaitu  :  ketiga 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 harus nonnegative  (0  atau bilangan positif) karena dalam kenyataannya,  tidak  bisa  dihasilkan
Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
produk  dengan  kuantitas  negatif.  Jadi batasan nonnegative nya adalah = 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 ≥ 0
Seperti  yang  dijelaskan  di  atas,  karena batasan  /  kendala  yang  bersifat  fuzzy terletak  pada  jumlah  bahan  baku  yang harus  disediakan,  maka  pada  masing masing  batasan  ditambahkan  toleransi. Batasan  untuk  ketersediaan  bahan  baku interlining /kain  keras  yaitu  tersedia  30 dengan  tolerasi  penambahan  15  meter persegi interlining/ kain  keras.  Batasan untuk  ketersediaan  bahan  baku  benang bordir  yaitu  tersedia  24  dengan  tolerasi penambahan  10    meter.  Sedangkan batasan  untuk  ketersediaan  bahan  baku benang spool yaitu  tersedia  60  dengan tolerasi  penambahan  30  meter  benang
spool .  Dimana  pertidaksamaan fuzzy ≤ ~ pada  masing  -  masing  batasan  /  kendala digambarkan dengan fungsi keanggotaan pada  Gambar  3.12,  Gambar  3.13,  dan Gambar 3.14.
Secara  ringkas,  pemodelan  program  linier fuzzy adalah sebagai berikut : Maksimalkan fungsi objektif : 𝑍   =  2𝑥 1 +  4𝑥 2 +  3𝑥 3 Dengan batasan atau kendala :
Model  mengindikasikan  bahwa  Z  akan  menjadi subyek  yang  dimaksimalkan  dengan  3  batasan bahan baku interlining /kain keras, benang bordir, dan benang spool . Dimana pertidaksamaan fuzzy ≤ ~ ditunjukkan  oleh  fungsi  keangotaan  yang terlihat  pada  Gambar  3.12,  Gambar  3.13,dan Gambar 3.14 diterapkan pada batasan (3.6).
Contoh tabel input yang  digunakan  dalam perhitungan ditunjukkan pada Tabel 3.9.
Tabel 3. 1 Tabel Data Masukan
Berdasarkan  pemodelan  program  linier dengan kendala fuzzy yang ditunjukkan pada tabel (3.9),  dapat  dijabarkan  toleransi  adalah 𝑝 𝑖 ( > 0) adalah toleransi ke- 𝑖 dari resource / bahan baku 𝑑 𝑖 ,  kemudian  pertidaksamaan fuzzy (𝐴𝑥) 𝑖 ≤ 𝑑 𝑖 ditentukan  sebagai (𝐴𝑥) 𝑖 ≤ 𝑑 𝑖 + 𝜆𝑝 𝑖 ,  dimana 𝜆 ∈[0,1] Dengan  kata  lain  batasan fuzzy (𝐵 𝑖 𝑥) 𝑖 ≤ ~ 𝑑 𝑖 pada  fungsi didefinisikan  sebagai himpunan fuzzy i dengan fungsi keanggotaan : Setelah  menentukan  fungsi  keanggotaan kemudian langkah selanjutnya yaitu
menyelesaikan  pertidaksamaan  (3.8)  dan  (3.9) dengan menggunakan standar program linier.
Perhitungan  program  linier  menunjukkan penyelesaian  perhitungan  program  linier  untuk
model  rumus  pertidaksaan  (3.8)  dan  (3.9) ditunjukkan pada point 1 dan 2 yaitu :
1. Proses  program  linier  tanpa  toleransi menggunakan metode simpleks merupakan proses  awal  yaitu  menghitung  data  -  data yang  dimasukkan  dengan  menggunakan adalah  proses  program  linier.  Proses program  linier  ini  bertujuan  untuk menghitung  nilai  z  dan 𝑥 dengan menggunakan  program  linier  dengan menggunakan metode simpleks. Data yang digunakan adalah data fungsi objektif dan kendala/batasan  menggunakan  persamaan yang tidak menggunakan toleransi ( 𝑡 = 0 ). Dengan hasil perhitungan :
2. Proses  program  linier  dengan  toleransi menggunakan metode simpleks merupakan
proses  selanjutnya  yaitu  menghitung  data data yang dimasukkan dengan menggunakan adalah proses program linier toleransi.  Proses  program  linier  toleransi ini bertujuan untuk menghitung nilai z dan 𝑥 dengan  menggunakan  program  linier dengan  menggunakan  metode  simpleks. Data  yang  digunakan  adalah  data  fungsi objektif dan kendala/batasan menggunakan persamaan  yang  tidak  menggunakan toleransi ( 𝑡 = 1 ). Dengan
hasil perhitungan :
Dari  kedua  hasil  penyelesaian  program linier  standard  pada  pertidaksamaan  (3.8)  dan (3.9)  kemudian  dapat  dihitung 𝑝 𝑜 .  Proses pembentukan fungsi keanggotaan dan menghitung  nilai 𝑝 𝑜 yang  diperoleh  dari  hasil pengurangan dari z pada saat 𝑡 = 1 dengan 𝑧 pada saat 𝑡 = 0 .
𝑷 𝟎 = 75 - 50 = 25
Kemudian 𝑥 0 dan 𝑥 1 adalah  solusi  dari  rumus pertidaksamaan (3.8) dan (3.9) masing – masing , cx  pada  fungsi  tujuan  didefinisikan  menjadi 𝐵𝑥 maka, 𝑧 0 = 𝐵𝑥 0 dan 𝑧 1 = 𝐵𝑥 1 .  Kemudian fungsi  keanggotaan  untuk  model  keputusan berikut ini, didefinisikan untuk mengkarakteristisasi tingkat optimum :
Yang mana :
Dengan  jelas  ketika  cx ≥ 𝑧 1 maka µ 0 (𝐵 0 𝑥) = 1 menujukkan  tingkat  maksimum optimal.  Ketika 𝑐𝑥 ≥ 𝑧 0 maka µ 0 (𝐵 0 𝑥) = 0 menunjukkan  tingkat  minimum  optimal.Dan ketika 𝑐𝑥 / 𝐵 0 𝑥 berada diantara 𝑧 1 dan 𝑧 0 tingkat optimal berubah diantara 0 sampai 1.
Karena  batasan/kendala    dan  fungsi  obyektif direpresentasikan oleh fungsi keanggotaan (3.11) dan (3.12) , berturut – turut dapat menggunaakan metode  max-min  untuk  menyelesaikan  masalah optimasi ini, Secara rinci masalah menjadi :
Dengan 𝑝 𝑖 adalah toleransi interval diperbolehkan  dengan  mesubtitusikan  rumus (3.12) dengan (3.13) menjadi :
Dengan demikian diperoleh rumus program linier baru yaitu  :
Maksimumkan : 𝜆 Dengan batasan :
Kemudian  dengan  mengambil 𝜆 = 1 − 𝑡 masalah  program  linier  dengan  kendala  fuzzy dapat  diselesaikan  dengan  standard  program linier :
Maksimumkan : 𝜆
Dengan batasan :
Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
Yang equivalent dengan : Maksimumkan : 𝜆 Dengan batasan :
Batasan  diselesaikan  dengan  menggunakan simpleks  2  fase  (min  maks),  Batasan  diubah  ke bentuk standar :
Min : r = 𝑅 1 −25𝜆 + 2𝑥 1 +  4 𝑥 2 +  3𝑥
3 − 𝑆 1 + 𝑅 1 =  50 15𝜆 + 𝑥 1 +  3 𝑥 2 +  2𝑥 3 +   𝑆 2 =  45 10𝜆 + 𝑥 1 +    𝑥 2 +   𝑥 3 +   𝑆 3 =  34 30𝜆 + 3𝑥 1 +  5 𝑥 2 +  3𝑥 3 +   𝑆 4 = 90 𝜆, 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑅 1 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 ≥  0 Diperoleh  variabel  basic 𝑅 1 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 ,  𝑑𝑎𝑛 𝑆 4 . Karena 𝑅 1 muncul  dipersamaan  r  ,  maka  harus disubtitusikan dengan batasan pertama.
−25𝜆 + 2𝑥 1 +  4 𝑥 2 +  3𝑥 3 − 𝑆 1 + 𝑅 1 =  50 𝑅 1 = 50 + 25𝜆 − 2𝑥 1 −  4 𝑥 2 −  3𝑥 3 + 𝑆 1
Minimalkan r = 50 + 25𝜆 − 2𝑥 1 −  4 𝑥 2 −  3𝑥 3 + 𝑆 1 Dengan batasan : −25𝜆 + 2𝑥 1 +  4 𝑥 2 +  3𝑥 3 − 𝑆 1 + 𝑅 1 =  50 15𝜆 + 𝑥 1 +  3 𝑥 2 +  2𝑥 3 +   𝑆 2 =  45 10𝜆 + 𝑥 1 +    𝑥 2 +   𝑥 3 +   𝑆 3 =  34 30𝜆 + 3𝑥 1 +  5 𝑥 2 +  3𝑥 3 +   𝑆 4 = 90 Kemudian dilakukan perhitungan dengan menggunakan metode simpleks minimum Persamaan program linier fuzzy maksimum baru dibuat  berdasarkan  hasil  perhitungan  persamaan program  linier  minimum  yaitu,  menyelesaikan program linier :
Maks : z = 𝝀
Dengan batasan : −6,25𝜆 + 0,5𝑥 1 +  1 𝑥 2 +  0,75𝑥 3 − 0,25𝑆 1 = 12,5
33,75𝜆 − 0,5𝑥 1 −  0,25𝑥 3 + 0,75𝑆 1 +   𝑆 2 =  7,5 16,25𝜆 + 0,5𝑥 1 + 0,25 𝑥 3 +   0,25 𝑆 1 + 𝑆 3 =   21,5
61,25𝜆 + 0,5𝑥 1 − 0,75𝑥 3 + 1,25 𝑆 1 +𝑆 4 = 27,5 𝜆, 𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑆 1 , 𝑆 2 , 𝑆 3 , 𝑆 4 ≥  0
Dihitung  dengan  menggunakan  metode  simpleks maksimum yang menghasilkan
Tabel  3.  2  Tabel  Hasil  Perhitungan  pada  Proses Program Linier Fuzzy
Hasil dari Tabel 3.38 dihasilkan 𝑥 1 = 12,5, 𝑥 2 = 0 , 𝑥 3 =  12,5  dan  Z  =  62,5  yang  artinya  untuk mendapatkan  keuntungan  62,5  ribu  diproduksi 12,5 pieces tipe bordir A, 0 piece tipe bordir B, dan  12,5 pieces tipe  bordir  C.  Dengan 𝜆 =  0,5 artinya  bahwa  untuk  setiap  himpunan  yng digunakan  untuk  mengimplementasikan  setiap batasan  sebesar  0,5.  Dengan  kata  lain  skala terbesar  t=  1-  0,5  digunakan  untuk  menentukan besarnya  penambahan  terbesar  bahan  baku  dari setiap batasan yang diizinkan.

## 4. Pengujian
Pengujian  Aplikasi  Program  Linier Fuzzy untuk  optimasi  keuntungan  produksi  dilakukan dengan  melakukan  perhitungan  manual.  Dari hasil  pengujian  validitas  pada  saat  perhitungan program linier berkendala fuzzy ditunjukkan pada Tabel  4.1.  Pada  tabel  4.1, 𝑡 menujukkan  nilai toleransi  yang  dibolehkan  untuk  penambahan bahan  baku.  Untuk 𝑡  =  0 artinya  pada  proses perhitungan  program  linier  tidak  dilakukan penambahan bahan baku sedangkan untuk 𝑡  =  1 proses  perhitungan  program  linier  dilakukan penambahan bahan baku secara mutlak. 𝝀 adalah nilai ketidakpastian / derajat ketidakpastian yang didapat dari hasil perhitungan.
Solusi  pada  tabel  4.1  menggambarkan penyelesaian  dengan  menggunakan  program linier  pada  saat  tidak  menggunakan  toleransi (𝑡  =  0 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = 1), keuntungan  maksimum yang dapat diperoleh perusahaan sebesar sebesar Rp.50.000  (50  dalam  ribuan),  keuntungan maksimum  akan  diperoleh  jika  produk  A diproduksi  sebanyak  10 pieces ,  sedangkan
produk  B  tidak  diproduksi,  dan  produk  C diproduksi sebanyak 10 pieces .
Pada tabel 4.1 menggambarkan
penyelesaian  dengan  menggunakan  program linier pada saat menggunakan toleransi maksimum (𝑡  =  1 𝑑𝑎𝑛 𝜆 = 0), keuntungan maksimum  yang  dapat  diperoleh  perusahaan sebesar  sebesar  Rp.75.000  (75  dalam  ribuan), keuntungan  maksimum  akan  diperoleh  jika produk  A  diproduksi  sebanyak  15 pieces , sedangkan produk B tidak diproduksi, dan produk C diproduksi sebanyak 15 pieces .
Tabel  4.1  menggambarkan  penyelesaian dengan menggunakan program linier berkendala fuzzy ( 𝜆 =  0,5  dan 𝑡  =  0,5 )  maka,  keuntungan maksimum  yang  dapat  diperoleh  perusahaan sebesar Rp.62.500 (62.5 dalam ribuan). Keuntungan  maksimum  akan  diperoleh  jika produk  A  diproduksi  sebanyak  12,5 pieces , sedangkan produk B tidak diproduksi, dan produk C diproduksi sebanyak 12,5 pieces .
Tabel 4. 1 Tabel Uji Validitas Hasil Perhitungan
Solusi Perhitungan 𝒕  =  𝟎 𝒕  =  𝟏 𝒕  =  𝟎, 𝟓 𝒙 𝟏 10 15 12,5 𝒙 𝟐 0 0 0 𝒙 𝟑 10 15 12,5 𝒁 50 75 62,5 𝝀 1 0 0,5
Dari  hasil  pada  tabel  4.1  dijelaskan  yang mampu  memenuhi  solusi  optimum  yang  dapat diterima berdasarkan kendala – kendala / kriteria bahan  baku  yang  bersifat fuzzy adalah  pada 𝜆 = 0,5  , 𝑡  =  0,5 dengan 𝑥 1 = 12,5 ,. 𝑥 2 = 0 dan 𝑥 3 = 12,5 .  Dari  nilai  tersebut  dapat  ditentukan nilai untuk setiap batasan yang merupakan jumlah bahan baku total yang sesungguhnya dibutuhkan :
1. Batasan-1
= 𝑥 1 +  3 𝑥 2 +  2𝑥 3 = (1 × 12,5)+(3 × 0)+(2 × 12,5) = 37,5
2. Batasan-2
= 𝑥 1 +    𝑥 2 +   𝑥 3
= (1 × 12,5)+(1 × 0)+(1 × 12,5) = 25
3. Batasan-3 = 3𝑥 1 +  5 𝑥 2 +  3𝑥 3 = (3 × 12,5)+(5 × 0)+(3 × 12,5) = 75 Dari hasil di atas maka, dibutuhkan bahan baku  interlining  sebanyak  37,5  meter  persegi, sedangkan bahan baku benang jahit sebanyak 25 meter  dan  bahan  baku  benang spool sebanyak 75 meter.
Penggunaan  fungsi  keanggotaan  pada kendala adalah untuk menentukan nilai pemenuhan  atau  derajat  kenggotaan  untuk masing-masing  batasan.  Derajat  keanggotaan pada masing masing batasan yaitu :
1. 𝜇 1 [𝐵 1 𝑥] = 0,5 (karena [37,5−30] 15 = 0,5 )
2. 𝜇 2 [𝐵 2 𝑥] = 0,1 (karena [25−24]
10 = 0,1 )
3. 𝜇 3 [𝐵 3 𝑥] = 0,5 (karena [75−60] 30 = 0,5) )
Tabel 4. 2 Analisis derajat pemenuhan( μ ) bahan baku
Keterangan : bb : bahan baku t : bahan baku toleransi bbs : bahan baku solusi fuzzy μ :  nilai  pemenuhan  masing masing batasan bahan baku
t realistis : bahan baku toleransi/
penambahan bahan baku realistis
Nilai 𝜆 = 0,5 mengandung  pengertian, bahwa 𝜆 − 𝑐𝑢𝑡 untuk setiap batasan sebesar 0,5. Dengan kata lain skala terbesar t = 1 - 0,5 = 0,5 digunakan untuk menentukan besarnya penambahan  bahan  baku  terbesar  dari  setiap batasan yang diizinkan. Pada tabel 4.7 dijelaskan bahwa  derajat  kenggotaan  /  derajat  pemenuhan pada masing - masing batasan adalah :
1. Pada  batasan  ke  1,  penambahan  bahan baku interlining diizinkan hingga 15 meter persegi,  pada  kenyataannya  dibutuhkan penambahan  0,5  kali  toleransi  yaitu sebesar 0,5 × 15 = 7,5. Penambahan pada batasan  ini  yang  berarti  perusahaan  harus menambah bahan baku toleransi sebanyak 7,5 meter persegi.
2. Pada  batasan  ke  2,  penambahan  bahan baku  benang  jahit  diizinkan  hingga  10
Aplikasi Program Linier Fuzzy untuk Optimasi Keuntungan Produksi  (Studi Kasus Produksi Garment di PT. Sai Apparel Industries)
meter,  pada  kenyataannya  dibutuhkan penambahan  0,1  kali  toleransi  yaitu sebesar  0,1 × 10  =  1.  Penambahan  pada batasan  ini  yang  berarti  perusahaan  harus menambah bahan baku toleransi sebanyak 1 meter.
3. Pada  batasan  ke  3,  penambahan  bahan baku  benang  spool  diizinkan  hingga  30 meter,  pada  kenyataannya  dibutuhkan penambahan  0,5  kali  toleransi  yaitu sebesar  0,5 × 30  = 15.  Penambahan  pada batasan  ini  yang  berarti  perusahaan  harus menambah bahan baku toleransi sebanyak 15 meter . Untuk  bahan  baku interlining diperlukan  bahan baku  sebanyak  37,5  meter  persegi  dengan penambahan  sebanyak  7,5  dari  maksimal  stok bahan baku yang dikirimkan per hari, bahan baku benang  jahit  dibutuhkan  25  meter    dengan penambahan  sebanyak  1  meter  dari  kebutuhan /stok  bahan  baku  yang  dikirimkan,  sedangkan benang spool dibutuhkan sebanyak 75 meter yaitu 15  meter  penambahan  dari  stok  bahan  baku maksimal yang dikirimkan perhari.Dan diperoleh keuntungan  maksimum  Rp.62.500,00  (62,5 dalam ribuan).

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan  yang  dapat  diambil  dalam pembuatan Tugas Akhir ini adalah :
1. Aplikasi  Program  Linier Fuzzy untuk optimasi  keuntungan  produksi  ini  dapat digunakan  untuk  memecahkan  masalah perencanaan yang berkaitan dengan ketersediaan  bahan  baku  di  departemen pembordiran  PT.  Sai  Apparel  Industries, serta dapat mengatasi penambahan jumlah bahan baku yang bersifat fuzzy.
2. Aplikasi  Program  Linier Fuzzy untuk optimasi keuntungan produksi pada PT. Sai Appareal Industries berhasil dibangun.
3. Nilai  z  dengan  menggunakan  metode program  linier fuzzy ,  yaitu  z  =    62.5
(keuntungan maksimum yang dapat diterima oleh PT. Sai Appareal Industries dalam  memproduksi  adalah  sebesar  Rp. 62.500,00). Dengan 𝑥 1 = 12,5 , 𝑥 2 = 0 dan 𝑥 3 = 12,5 dengan 𝜆 = 0,5 .
4. Penggunaan  derajat  keangotaan  pada batasan  akan  menghasilkan  nilai  realistis bahan  baku  toleransi  yang  seharusnya disediakan perusahaan.

## Referensi
[1]. Arlow, J. N. (2005). UML 2 and The Unified Process :Practical Object Oriented Analysis and Design. Pearson Education Inc.
[2]. Elamvazuthi.I, G. V. (2009). Aplication of a Fuzzy Programming Technique to Production Planning in the Textile Industry. International  Journal  of  Computer  Science and Information Security , 238.
[3]. Hidayatullah, P. (2012). Visual Basic . NET Membuat  Aplikasi  Database  dan  Program Kreatif. Bandung: Informatika.
[4]. Jacobson,  I.  (1999). The  Unified  Software Development  Process. Boston:  Addison Wesley.
[5]. Kusumadewi,  S.  .  (2010). Aplikasi  Logika Fuzzy untuk Pendukung Keputusan.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
[6]. Kusumadewi, S. (2003).
Artificial Intelligence Teknik dan Aplikasinya.
Yogyakarta: Graha Ilmu.
[7]. Manurung,  A.  H.  (1991). Pengambilan Keputusan  Pendekatan  Kuantitatif. Jakarta: Rineka Cipta.
[8]. Nugroho,  A.  (2010). Rekayasa  Perangkat Lunak  Berorientasi  Objek  dengan  Metode USDP  (Unified  Software  Development Process). Yogyakarta: Penerbit Andi.
[9]. Pudjo,  P.  d.  (2011). Menggunakan  UML. Bandung: Informatika.
[10]. Siang,  J.  J.  (2011). Riset  Operasi  dalam Pendekatan  Algoritmis. Yogyakarta:  ANDI OFFSET.
[11]. Sommerville, I. (2003). Software Engineering.  I  I.  Sommerville, Software Engineering (s. 246). Jakarta: Erlangga.
[12]. Sri  D,  R.  S.  (13.  Mei  2013). Pengantar Unified Modeling Language (UML) . Hentede 2013 fra Ilmukomputer.org: http://ilmukomputer.org/category/rekayasa- perangkat-lunak/
[13]. Taha, H. M. (2007). Operation Research : an introduction (8  udg.).  Upper  Saddle  River,
New Jersey: Pearson Education,Inc.