Swing-up dan Stabilisasi pada Sistem Pendulum Kereta menggunakan Metode Fuzzy dan Linear Quadratic Regulator
Renditia Rachman, Trihastuti Agustinah
Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111
E-mail : renditia.rachman10@mhs.ee.its.ac.id , trihastuti@elect-eng.its.ac.id
Abstrak—Sistem Pendulum Kereta merupakan sistem nonlinear dan tidak stabil yang sering digunakan untuk menguji metode-metode kontrol. Makalah  ini  membahas desain sistem kontrol swing-up menggunakan Fuzzy Swing-up Controller (FSC) model Mamdani dimana variabel yang dikontrol adalah sudut batang pendulum dan kecepatan sudut batang pendulum. Selain itu, juga memperhitungkan batasan panjang rel dan sinyal kontrol. Untuk stabilisasi batang pendulum pada posisi 0 radian diselesaikan menggunakan Linear Quadratic Regulator  (LQR), disusun dari model nonlinear Sistem Pendulum Kereta yang direpresentasikan dalam model fuzzy Takagi-Sugeno (T-S) untuk beberapa titik kerja. Skema kontrol keseluruhan disusun dengan konsep Parallel Distributed Compensation (PDC) yang merupakan kontroler state-feedback yang dinamis. Hasil simulasi dan implementasi menunjukkan bahwa Sistem Pendulum Kereta dapat melakukan swing-up dan mempertahankan batang pendulum pada posisi terbalik.
Kata Kunci—Fuzzy,  Linear Quadratic Regulator, Sistem Pendulum Kereta, Stabilisasi, Swing-up

## I. PENDAHULUAN
alam perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi, Sistem Pendulum Kereta merupakan suatu sistem yang sangat penting dalam penelitian di bidang kontrol. Berbagai teori  dan metode kontrol banyak diuji dan dibandingkan melalui pengujian terhadap Sistem Pendulum Kereta. Hal ini dikarenakan  Sistem Pendulum Kereta merupakan sistem nonlinear  yang kompleks dan tidak stabil, serta dapat dilinearkan di sekitar titik kesetimbangan.  Sistem seperti ini, dapat ditemukan pada robot humanoid dan alat transportasi segway.
Permasalahan kontrol yang biasa terdapat pada Sistem Pendulum Kereta adalah swing-up , stabilisasi, dan tracking . Swing-up merupakan upaya yang dilakukan untuk mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung (pendan)  ke posisi terbalik. Stabilisasi adalah upaya untuk mempertahankan kestabilan batang pendulum pada posisi terbalik. Sedangkan tracking merupakan  upaya untuk mengontrol kereta agar bergerak mengikuti sinyal  referensi dan tetap melakukan stabilisasi.
Pada permasalahan swing-up , penyelesaian dengan metode energy control [1] yakni dengan memasukkan energi (gaya) pada Sistem Pendulum Kereta dengan menerapkan aksi kontrol pada kereta yang tepat. Metode ini bekerja dengan baik ketika panjang lintasan (rel) kereta tidak terbatas. Lebih
jauh lagi, algoritma metode tersebut dikembangkan dengan menerapkan panjang lintasan yang terbatas [2].
Permasalahan yang akan diselesaikan dalam makalah ini adalah swing-up dan stabilisasi. Mengacu pada [3] yakni penyelesaiannya dilakukan dengan  merancang Fuzzy Swing- up Controller (FSC) berbasis model fuzzy Mamdani. Penggunaan kontroler fuzzy dipilih karena memiliki perhitungan matematis yang sederhana. Selanjutnya, dilakukan stabilisasi Sistem Pendulum Kereta di sekitar titik ekulibriumnya. Permasalahan-permasalahan tersebut dilakukan dengan menggunakan kereta dengan panjang lintasan dan aksi kontrol yang terbatas.
Karakteristik  nonlinear dari Sistem Pendulum Kereta perlu direpresentasikan ke dalam model linear terlebih dahulu. Perilaku nonlinear Sistem Pendulum Kereta dapat direpresentasikan dengan menggunakan model fuzzy . Langkah awal yang perlu dilakukan adalah merepresentasikan plant lokal yang dinamis dari perbedaan daerah titik kerja ke model linear. Kemudian  dibuat model dan aturan fuzzy yang sesuai untuk dapat melakukan swing-up . Setelah proses swing-up akan dilakukan stabilisasi menggunakan Linear Quadratic Regulator (LQR) untuk mendapatkan nilai gain state feedback sehingga  batang pendulum dapat dipertahankan pada posisi terbalik.

## II. TEORI DASAR
Struktur Sistem Pendulum Kereta [4]  dibagi menjadi dua bagian, yaitu batang pendulum dan kereta. Batang pendulum dapat berotasi secara vertikal yang bersumbu pada sisi kereta. Sedangkan  kereta mampu bergerak arah horizontal pada rel dengan panjang yang terbatas. Model fisik  Sistem Pendulum Kereta ditunjukkan pada Gambar  1.
Sistem dinamik Sistem Pendulum Kereta  memiliki empat elemen vektor state yang dinyatakan dalam x . Keempat elemen vektor state tersebut adalah: x 1 : Posisi kereta diukur dari titik tengah rel x 2 : Sudut pendulum terhadap garis vertikal x 3 : Kecepatan kereta x 4 : Kecepatan sudut batang pendulum Model matematika dalam bentuk persamaan state dapat dituliskan sebagai berikut:
D
Gambar 1 Diagram fisik Sistem Pendulum Kereta
𝑥̇ 1 = 𝑥 3 𝑥̇ 2 = 𝑥 4 𝑥̇ 3 = 𝑎 ( 𝐹 − 𝑇 𝑐 − 𝜇𝑥 4 2 sin 𝑥 2 ) + 𝑙 cos 𝑥 2 �𝜇𝑔 sin 𝑥 2 − 𝑓 𝑝 𝑥 4 �
𝐽 + 𝜇𝑙 sin 2 𝑥 2
𝑥̇ 4 = 𝑙 cos 𝑥 2 ( 𝐹 − 𝑇 𝑐 − 𝜇𝑥 4 2 sin 𝑥 2 ) + 𝜇𝑔 sin 𝑥 2 − 𝑓 𝑝 𝑥 4 𝐽 + 𝜇𝑙 sin 2 𝑥 2 (1)
dengan:
𝑎 = 𝑙 2 + 𝐽 𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝
𝜇 = �𝑚 𝑐 + 𝑚 𝑝 �𝑙

## III. PERANCANGAN SISTEM KONTROL
Pada bagian  ini membahas perancangan algoritma Fuzzy Swing-up Controller (FSC) yang bertujuan untuk mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung (pendan) ke posisi terbalik. Kemudian, dibahas mengenai teori kontrol optimal yang digunakan untuk menstabilkan batang pendulum pada posisi terbaliknya, teori ini biasa disebut Linear Quadratic Regulator (LQR).

## A. Fuzzy Swing-up Controller (FSC)
Pada Sistem Pendulum Kereta memiliki aksi kontrol yang diberikan pada kereta, apabila aksi kontrol tersebut mendorong kereta bergerak ke kiri maka akan menyebabkan batang pendulum bergerak ke kanan dan jika aksi kontrol mendorong kereta bergerak ke kanan maka akan menyebabkan batang pendulum bergerak  ke kiri. Hal ini dapat diketahui bahwa aksi kontrol yang diterapkan pada kereta akan menggerakkan batang pendulum dengan arah yang berlawanan.
Dalam perancangan FSC, variabel masukan yang dikontrol adalah sudut batang pendulum 𝑥 2 dan kecepatan sudut batang pendulum 𝑥 4 . Sedangkan variabel keluaran adalah aksi kontrol F .  Setiap variabel diklasifikasikan dalam beberapa himpunan fuzzy .
Variabel masukan 𝑥 2 terdiri dari lima himpunan fuzzy, yaitu Positive Very Small (PVS), Positive Small (PS), Positive Medium (PM), Positive Big (PB), dan Positive Very Big
Gambar 2 Fungsi Keanggotaan Variabel Masukan 𝑥 2
Gambar 3 Fungsi Keanggotaan Variabel Masukan 𝑥 4
Gambar 4 Fungsi Keanggotaan Variabel Keluaran F
Tabel 1 Aturan Fuzzy Swing-up Controller
(PVB).  Variabel masukan 𝑥 4 dibagi menjadi dua  himpunan fuzzy , yaitu Negative (N) dan Positive (P).
Sedangkan variabel keluaran 𝐹 dibagi menjadi sepuluh himpunan  fuzzy, yaitu Negative Very Big (NVB),  Negative Big  (NB),  Negative Medium (NM),  Negative Small (NS), Negative Very Small (NVS),  Positive Very Small (PVS), Positive Small (PS),  Positive Medium (PM),  Positive Big (PB), dan Positive Very Big (PVB). Adapun fungsi keanggotaan untuk variabel masukan  dan keluaran  dapat dilihat pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4. Sedangkan aturan fuzzy selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 1.
Misal  sudut batang pendulum 𝑥 2 berada pada PVB  dan kecepatan sudut batang pendulum 𝑥 4 adalah P, maka diberikan gaya (aksi kontrol)  PVB  agar batang pendulum dapat secepatnya berada pada posisi terbaliknya. Kemudian, ketika batang pendulum bergerak searah jarum jam (N), maka besarnya gaya dinaikkan  menjadi  PB, PM, PS, PVS. Setelah sudut batang pendulum  berada pada PVS, maka berikan gaya
F 𝑇 𝑐 𝑚 𝑐 𝑚 𝑝 𝑉 pusat massa i sumbu rotasi 𝑥 2 𝑙 x 1 titik tengah rel t
NVB agar batang pendulum secepatnya berada pada posisi terbaliknya, begitu seterusnya.  Dengan pemilihan fungsi keanggotaan yang tepat, maka batang pendulum dapat berayun ke posisi terbalik.

## B.  Perancangan Kontrol Stabilisasi
Untuk mempertahankan batang pendulum pada posisi terbalik, maka diperlukan kontrol stabilisasi. Pada makalah ini digunakan kontrol optimal atau disebut Linear Quadratic Regulator (LQR)  [5].  Pada dasarnya LQR digunakan untuk meminimumkan persamaan indeks performansi dari
𝐽 = � ( 𝑥 𝑇 𝑄𝑥 + 𝑢 𝑇 𝑅𝑢 ) 𝑑𝑡 (2) ∞
0
dengan syarat
𝐱̇ = 𝐀𝐱 + 𝐁𝐮 ; 𝐮 = −𝐊𝐱 (3)
Dengan mensubstitusikan Persamaan (2) ke dalam Persamaan (3) diperoleh
𝐽 = � 𝐱 𝑻 𝐐𝑥 + ( −𝐊𝑥 ) 𝑇 𝐑 ( −𝐊𝐱 ) 𝑑𝑡 ∞
0 = � ( 𝐱 𝑻 𝐐𝑥 + 𝐱 𝑻 𝐊 𝑻 𝐑𝐊𝐱 ) 𝑑𝑡 ∞
0 = � 𝐱 𝑻 ( 𝐐 + 𝐊 𝑻 𝐑𝐊 ) 𝑥 𝑑𝑡 ∞ 0 (4)
Solusi kontrol optimal pada dasarnya adalah mendapatkan nilai gain  K yang mampu meminimalkan indeks performansi (2).  Gain tersebut didapatkan melalui perhitungan persamaan aljabar Riccati.
Pada makalah ini, proses kontrol stabilisasi dengan menggunakan LQR  digunakan tiga titik kerja, yaitu 𝑥 2 = 0 rad, 𝑥 2 = 0,175 rad, dan 𝑥 2 = 0,2 rad. Selanjutnya dengan menggunakan persamaan Aljabar Riccati diperoleh tiga nilai 𝐊 hasil dari linearisasi dari tiga titik kerja Sistem Pendulum Kereta.
Untuk titik kerja pertama 𝑥 2 = 0 rad:
𝑥 2 = [0 0 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0
sehingga diperoleh
𝐱̇ = 𝐀 𝟏 𝐱 + 𝐁 𝟏 𝐮
dengan
𝐀 𝟏 = � 0 0 1 0 0 0 0
0 0,2526 15,0421 0 0 0 1 − 0,0001 − 0,0079 � ; 𝐁 𝟏 = �
0 0 0,8272 1,2370 �
didapatkan matriks 𝐊 𝟏
𝐊 𝟏 = [ − 31,6228 112,4825 − 25,4363 29,1471]
Untuk titik kerja kedua adalah 𝑥 2 = [0 0,175 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh
𝐱̇ = 𝐀 𝟐 𝐱 + 𝐁 𝟐 𝐮
dengan
𝐀 𝟐 = � 0 0 1 0 0 0 0
0 0,2367 14,7777 0 0 0 1 − 0,0001 − 0,0079 � ; 𝐁 𝟐 = � 0 0 0,8266 1,2171 �
didapatkan matriks 𝐊 𝟐
𝐊 𝟐 = [ − 31,6228 113,4464 − 25,5705 29,6430]
Adapun untuk tiitik kerja ketiga adalah 𝑥 2 = [0 0,2 0 0] 𝑇 dan 𝑢 = 0 diperoleh
𝐱̇ = 𝐀 𝟑 𝐱 + 𝐁 𝟑 𝐮
dengan
𝐀 𝟑 = � 0 0 1 0 0 0 0
0 0,2319 14,6974 0 0 0 1 − 0,0001 − 0,0079 � ; 𝐁 𝟑 = � 0 0 0,8264 1,2111 �
didapatkan matriks 𝐊 𝟑
𝐊 𝟑 = [ − 31,6228 113,7463 − 25,6121 29,7978]
Setelah  diperoleh ketiga 𝐊 dari  tiga  titik linearisasi, digunakan fuzzy T-S  [6]  untuk menentukan 𝐊 mana yang digunakan saat proses stabilisasi berlangsung. Fungsi keanggotaan  yang digunakan dalam aturan fuzzy hanya untuk posisi sudut pendulum.  Fungsi keanggotaan  yang digunakan pada makalah ini adalah jenis triangular dengan fungsi sebagai berikut
𝑓 ( 𝑥 , 𝑎 , 𝑏 , 𝑐 ) =
⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ 0, 𝑥 ≤ 𝑎 𝑥 − 𝑎 𝑏 − 𝑎 , 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑐 − 𝑥 𝑐 − 𝑏 , 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐
0, 𝑐 ≤ 𝑥 (5)
Makalah  ini  menggunakan tiga aturan, yaitu pada saat kondisi sudut 0 rad, kemudian pada saat kondisi sudut ±0,175 rad, dan terakhir pada kondisi sudut ±0,2 rad.
Aturan-aturan yang digunakan terdiri dari dua macam, yaitu aturan untuk plant dan aturan untuk kontroler. Adapun aturan untuk plant adalah sebagai berikut Aturan plant ke-1:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 1 (sekitar 0 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝐱̇ = 𝐀 𝟏 𝐱 + 𝐁 𝟏 𝐮 (6)
Aturan plant ke-2:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 2 (sekitar ±0,175 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝐱̇ = 𝐀 𝟐 𝐱 + 𝐁 𝟐 𝐮
(7)
Aturan plant ke-3:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 3 (sekitar ±0,2 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝐱̇ = 𝐀 𝟑 𝐱 + 𝐁 𝟑 𝐮 (8)
Dengan menggunakan konsep Parallel Distributed Compensation  (PDC), dapat disusun aturan kontroler fuzzy yang bersesuaian dengan aturan plant menjadi sebagai berikut
Aturan kontroler ke-1:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 1 (sekitar 0 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑢 = −𝐊 𝟏 𝐱 (9)
Aturan kontroler ke-2:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 2 (sekitar ±0,175 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑢 = −𝐊 𝟐 𝐱 (10)
Aturan kontroler ke-3:
𝐼𝑓 𝑥 2 adalah 𝑀 3 (sekitar ±0,2 rad) 𝑇ℎ𝑒𝑛 𝑢 = −𝐊 𝟑 𝐱 (11)
Hasil untuk sinyal kontrol secara keseluruhan dapat ditulis sebagai berikut
𝑢 = − ( 𝜇 1 𝐊 𝟏 + 𝜇 2 𝐊 𝟐 + 𝜇 3 𝐊 𝟑 ) (12)
dengan 𝜇 1 adalah pembobot dari aturan ke-1, 𝜇 2 adalah pembobot dari aturan ke-2, dan 𝜇 3 adalah pembobot dari aturan ke-3.

## IV. HASIL SIMULASI DAN IMPLEMENTASI

## A.   Simulasi
Parameter-parameter yang digunakan FSC untuk simulasi ditunjukkan pada Tabel 2 yang mengacu pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 serta aturan fuzzy pada Tabel 1.
Respons posisi kereta (dalam satuan meter) menggunakan metode yang diusulkan ditunjukkan pada  Gambar 5. Dari respons tersebut dapat diketahui bahwa mula-mula kereta bergerak ke kiri dan kemudian bergerak ke kanan untuk mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung (pendan) ke posisi terbalik (sekitar 0 radian). Untuk mengayunkan batang pendulum tersebut, kereta menyimpang sekitar ±0,4 m dan membutuhkan waktu sekitar lima detik untuk menstabilkan batang pendulum.
Hasil respons sudut batang pendulum direpresentasikan pada Gambar 6. Respons sudut batang pendulum diukur terhadap sumbu vertikal (dalam satuan radian). Sudut 0 radian kondisi ketika batang pendulum dalam posisi terbalik. Batang pendulum mencapai posisi terbalik setelah berayun sebanyak dua kali. Pada simulasi tersebut, batang pendulum mencapai ayunan maksimum sebesar 3,5 radian. Kemudian batang pendulum menuju 0 radian, sehingga berada pada posisi terbalik.
Tabel 2 Parameter FSC untuk Simulasi Gambar 5  Respons Posisi Kereta Gambar 6  Respons Sudut Batang Pendulum

## Gambar 7  Respons Sinyal Kontrol
Sedangkan sinyal kontrol yang diperlukan untuk swing-up dan stabilisasi ditunjukkan pada Gambar 7. Sinyal kontrol absolut maksimum pada 10 N yang terjadi saat proses swing- up . Sinyal kontrol tersebut berubah-ubah sesuai dengan aturan fuzzy yang telah dibuat. Setelah batang pendulum mencapai kestabilan pada sudut 0 radian, sinyal kontrol menjadi konstan
pada 0 N.
Gambar 8  Perbandingan Respons Posisi Kereta Antara Metode yang Diusulkan dengan Metode Energy Control
Gambar 9  Perbandingan Respons Sudut Batang Pendulum Antara Metode yang  Diusulkan dengan Metode Energy Control
Gambar 10  Perbandingan Respons Sinyal Kontrol Antara Metode   yang Diusulkan dengan Metode Energy Control

## B.    Perbandingan Hasil Simulasi Metode yang diusulkan dengan Metode Energy Control
Perbandingan respons posisi kereta (dalam satuan meter) menggunakan  metode yang diusulkan dengan metode energy control [1] ditunjukkan pada Gambar 8.
Respons posisi kereta yang menggunakan metode energy control , kereta bergerak ke kanan sebanyak tiga kali dan bergerak ke kiri sebanyak dua kali, dengan geraknya kereta tersebut dapat mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung (pendan) ke posisi terbalik (sekitar 0 radian). Untuk mengayunkan batang pendulum tersebut, kereta menyimpang hingga sekitar ±0,37 m.  Sedangkan respons posisi kereta pada metode yang diusulkan kereta bergerak ke kanan sebanyak dua kali dan bergerak ke kiri sebanyak satu kali.
Untuk perbandingan respons sudut batang pendulum antara metode yang diusulkan dengan metode energy control dapat
dilihat pada Gambar 9. Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa dengan menggunakan metode energy control terdapat overshoot pada posisi sudut batang pendulum sekitar ±5,64 radian dan terdapat diskontinu ketika switch dari proses swing-up ke stabilisasi.
Untuk perbandingan respons sinyal kontrol antara metode yang diusulkan dengan metode energy control ditunjukkan pada Gambar 10.  Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa pada metode energy control memiliki sinyal kontrol absolut maksimum yang sangat besar yaitu 200 N. Sedangkan pada metode yang diusulkan memiliki sinyal kontrol absolut maksimum sebesar 10 N.

## C. Implementasi
Parameter-parameter yang digunakan FSC untuk implementasi sama halnya dengan yang disebutkan pada Tabel 2 yang mengacu pada Gambar 2, Gambar 3, dan Gambar 4 dengan aturan fuzzy pada Tabel 1.
Gambar 11-13 adalah respons posisi kereta untuk ketiga implementasi dalam satuan meter. Pada ketiga implementasi, kereta bergerak ke kanan dua kali dan ke kiri satu kali untuk mengayunkan batang pendulum ke posisi terbalik. Untuk mengayunkan batang pendulum tersebut kereta bergerak maksimum sejauh ±0,35 m.
Pada implementasi pertama, terdapat diskontinu pada saat switch dari proses swing-up ke stabilisasi. Posisi kereta setelah melakukan swing-up kembali dengan jarak 0,005 m dari titik tengah lintasan.
Pada implementasi kedua, setelah kereta bergerak ke kanan dan ke kiri masing-masing sebanyak satu kali, kereta kembali bergerak bolak-balik sesaat berjarak 0,28 m dari titik tengah rel sebelum kembali ke titik tengah rel.
Pada implementasi ketiga, pertama-tama kereta bergerak ke kanan sejauh ±0,34 m kemudian bergerak ke kiri pada posisi ±0,105 m dan bergerak lagi ke kanan pada posisi ±0,295 m dan akhirnya dapat kembali lagi ke titik tengah rel. Waktu yang dibutuhkan untuk melakukan swing-up adalah ±4 detik. Gambar 14 adalah respons sudut batang pendulum dari ketiga implementasi. Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa implementasi ketiga memiliki respons yang lebih baik diantara implementasi pertama dan kedua. Hal ini dikarenakan tidak adanya diskontinuitas serta batang pendulum pada implementasi ketiga lebih cepat menuju posisi terbalik.
Dari ketiga implementasi tersebut, respons terbaik yaitu pada  implementasi ketiga.  Untuk respons sinyal kontrol pada implementasi ketiga ditunjukkan pada Gambar 15 sinyal kontrol absolut maksimum pada ±20 N pada saat swing-up. Sedangkan pada saat stabilisasi sinyal kontrol absolut maksimum di sekitar ±7 N.
Gambar 11 Respons Posisi Kereta pada Implementasi Pertama
Gambar 12 Respons Posisi Kereta pada Implementasi Kedua
Gambar 13 Respons Posisi Kereta pada Implementasi Ketiga
Gambar 14    Respons Sudut Batang Pendulum pada Implementasi
Gambar 15    Respons Sinyal Kontrol pada Implementasi  Ketiga

## V. KESIMPULAN
Dari hasil pengujian sistem kontrol hasil perancangan pada simulasi maupun implementasi dapat diambil kesimpulan bahwa proses swing-up dengan menggunakan FSC disertai aturan fuzzy yang sederhana mampu mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung (pendan) ke posisi terbalik dalam waktu yang singkat dan jumlah ayunan yang sedikit. Metode Linear Quadratic regulator (LQR) terbukti mampu mempertahankan kestabilan batang pendulum pada posisi terbalik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] K. J. Aström and K. Furuta, “Swinging up a pendulum by energy control”, Automatica , vol. 36, pp. 287-295, 2000.
[2] D. Chatterjee, A. Patra, and H. K. Joglekar, “Swing-up and stabilization of a cart-pendulum system under restricted cart track length”, Systems and Control Letters , vol. 47, pp. 355-364, 2002.
[3] N. Muškinja dan B. Tovornik, “Swinging Up and Stabilization  of a Real Inverted Pendulum,” IEEE Trans. on Ind. Electron ., vol. 53, pp. 631-639, April, 2006. [4] _______, "Control in a MATLAB Environment (MATLAB 6.5 Version ) ", Feedback Instruments Ltd., 2004 [5] D. S. Naidu, “ Optimal Control System ” CRC Press, Idaho, Ch.3-4, 2002 [6] K. M. Passino, dan S. Yurkovich, " Fuzzy Control ", Addison Wesley Longman, California, 1998.