J .   M a t h .   a n d   I t s   A p p l . I S S N :   1 8 2 9 -6 0 5 X V o l .   1 3 ,   N o .   2 ,   N o p e mb e r   2 0 1 6 ,   4 5 -5 2

## ANALISIS EKSISTENSI  TRAVELING WAVE FRONT PADA MODEL  MATEMATIKA
REASSORTMENT VIRUS INFLUENSA H5N1 DAN H1N1-p
Hariyanto 1 , Suharmadi Sanjaya 2 , Sri Suprapti 3
1,2,3 Laboratorium Pemodelan dan Simulasi Sistem Jurusan Matematika FMIPA-ITS 1 hariyanto@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Reassortment  dari  virus  influensa  adalah  transmisi  dari  lebih  dari  satu virus pada satu species yang dapat terjadi pada satu maupun beberapa lokasi, transmisi  virus  dapat  terjadi  karena  kontak  individual  pada  masing-masing lokasi atau pada lokasi silang. Jika penyebaran virus pada multilokasi terjadi pada multi species dan multi strain maka analisa traveling wave front dapat dilakukan  berdasarkan  pada  model  sistem  persamaan  differensial  parsial- integral.  Pada  makalah  ini  merupakan  hasil  penelitian  dengan mengembangkan model penyebaran virus pada 2 lokasi dengan setiap lokasi mempunyai  potensi  untuk  terjadinya  reassortment  virus  influensa  H5N1 dengan  H1N1-p,  pergerakan  individual  secara  lokal  maupun  global  sangat mempengaruhi  konstruksi  model  penyebaran  virus  yang  dibangun,  oleh karena  itu  analisa  terhadap  eksistensi  traveling  wave  front  dalam  rangka untuk mengetahui potensi terjadinya penyebaran secara luas.
Kata Kunci: Pemodelan Epidemik, Model Spasial, Traveling wave front

## 1. Pendahuluan
Reassortment  virus  terjadi  jika  material  genetika  dari  beberapa  species bergabung  dan  akan  menghasilkan  species  baru  yang  mempunyai karakteristik berbeda  tetapi masih mempunyai garis keturunan dari species sebelumnya,  koalisi  dari  virus  influensa  terjadi  berasal  dari  genome  yang terdiri dari 8 segmen berbeda pada RNA dan segmen-segmen tersebut mirip dengan  minikromosom  yang  setiap  saat  akan  menyatu.  Jika host yang berperan  sebagai mixing  vessel terinfeksi  oleh  2  virus  dengan  strain  yang berbeda  maka  kemungkinan  yang  terjadi  adalah  terbentuk  pasangan viral partikel  baru  oleh  segmen-segmen  asli  yang  dapat  berasal  dari  salah  satu
strain, Pasangan viral partikel tersebut disebut sebagai strain baru yang akan menjadi bagian dari kedua virus tersebut atau garis keturunannya.
Berdasarkan  pada  kasus  yang  telah  terjadi  pada  virus  influensa sebelumnya reassortment mayoritas berbentuk genetik shift , Hal ini misalnya pandemik dari strain flu pada tahun 1957 virus influensa Asian H2N2, dan suspect pada  reassortment  dari  avian  H5N1,  dan  pada  tahun  1918  dengan virus H1N1. Ditemukan sirkulasi semua virus H5N1 mempunyai gen HA dan Na yang terjadi di A/Goose/Guangdong/I/1996, Dan pada tahun 1968 terjadi reassortment antara virus avian dan virus manusia, Pada tahun 2009 terjadi mixing outbreak flu swine yang merupakan gabungan dari rangkaian genetik influensa swine, avian dan manusia, Antigenik shift merupakan kasus khusus dari reassortment atau viral shift yang mempunyai perubahan phenotype , Hal ini dapat didefinisikan sebagai proses oleh paling sedikit 2 strain dari virus, Khususnya  influensa,  yang  mengkombinasikan strain tersebut  untuk membentuk subtipe baru yang terjadi dari campuran permukaan antigen dari 2 strain asli.
Virus  influensa  yang  beredar  di  Indonesia  terdiri  dari  virus-virus H1N1,H3N2,H1N1-p,dan H5N1 yang terdiri dari 170 varian dengan 3 jenis penyerangan  yang  berbeda-beda,berdasarkan  pada  kenyataan  bahwa penyebaran  virus  influensa  dapat  terjadi  pada  lokasi  yang  berbeda  dengan strain yang berbeda, misalnya penyebaran virus influenza avian H5N1 secara global   yang terjadi di  Indonesia berpotensi terjadinya koalisi dengan virus manusia,  beberapa  penelitian  di  laboratorium  telah  dilakukan  antara  lain koalisi antara H5N1 unggas A/Chicken/South Kalimantan/UT6028/06(SK06 H5N1)  dan  H3N2  A/Tokyo/UT-SK-1/Tok07.H3N2    menghasilkan  virus dengan patogen tinggi[7,10].
Model  matematika  yang  dibangun  berdasarkan  pada  penyebaran  virus baik  lokal  maupun  global  telah  dilakukan  antara  lain:  kontruksi  model berdasarkan  penyebaran  virus  satu  strain  satu    species  pada  multi  lokasi menghasilkan  sistem  persamaan  differensial  biasa  yang  dapat  menganalisa korelasi  penyebaran  lokasi  lain  dengan  lokasi  pusat  penyebaran  [1,5]. Konstruksi  model  juga  dibuat  berdasarkan  pada  lokasi  spasial  dengan anggapan  bahwa  populasi  sebagai  partikel  yang  bergerak  bebas,  model  ini mencerminkan  penyebaran  global  pada  2  lokasi  dengan  strain  yang  sama maupun  species  yang  sama  [3,411],  berikutnya  model  yang  dikonstruksi dengan  mengembangkan  model  [11]  akan  tetapi  dibedakan  berdasarkan individual  yang  terinfeksi  dan  pergerakan  individual  pada  masing-masing lokasi  dan  hasil  yang  diperoleh  berbentuk  sistem  persamaan  differensial parsial  integral[8,11,13].  Model  yang  telah  dibuat  sangat  relevan  dengan makalah  yang  dibahas  yaitu lokasi spasial dengan multispecies multistrain pada masing-masing lokasi, konstruksi model untuk penyebaran multi strain multi  species  pada  satu  lokasi  telah  dibuat  dan  analisa  terhadap  model traveling wave dapat mengetahui penyebaran virus super strain. Pada makalah ini model dikontruksi berdasarkan pada individual sebagai partikel  bebas  yang  bergerak  pada  2  lokasi  dengan  masing-masing  lokasi terdapat  penyebaran  virus  dengan  strain  yang  berbeda,  analisa  terhadap
eksistensi traveling  wave front dilakukan  pada  model  traveling  wave  yang dibangun  dari  model  penyebaran  global  berbentuk  sistem  persamaan differensial parsial integral dan hasil dari analisa dapat mengetahui tentang potensi  terjadinya  penyebaran  virus  yang  lebih  luas,  struktur  pembahasan pada makalah ini antara lain landasan teori yang digunakan untuk melakukan kajian  dibahas  pada  §II,  metode  yang  dilakukan  pada  §III,  hasil  yang diperoleh pada §IV dan kesimpulan dari analisa yang dilakukan akan dibahas pada §V.

## 2. Teori Penunjang
Pada  bab ini akan menjelaskan tentang teori dasar yang menunjang dalam melakukan kajian antara lain  teori pemodelan matematika, oleh karena model dikonstruksi  dalam  sistem  maka  masing  masing  lokasi  dinyatakan  sebagai subsistem  dan  masing-masing  subsistem  dihubungkan  oleh  interface  agar supaya model matematika yang terbentuk menjadi model yang saling terkait. Diantara  persamaan-persamaan,  interface  individual  diantara  lokasi  dan transmisi silang diantara lokasi [4].
Hukum-hukum  dasar  yang  digunakan  dalam  melakukan  kajian  pada makalah ini adalah:
1. Model  sistem  kompartemen,  sistem  dianggap  sebagai  perubahan populasi  yang  terbagi  menjadi  beberapa  subpopulasi  sehingga perubahan setiap subpopulasi adalah
2. ∑  (perubahan individual karena sifat epidemiologi  + gerakan individual  yang  masuk) masuk –  (perubahan  individual    karena  sifat epidemiologi  +  gerakan  individual  yang  keluar) keluar ,  oleh  karena individual  dianggap  sebagai  partikel  bebas  maka  digunakan persamaan reaksi diffusi berbentuk
𝜕𝑃(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑑(𝑥)∇𝑃(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑃(𝑥, 𝑡))                                                                              (1) dengan 𝑃(𝑥, 𝑡) fungsi  densitas  populasi, 𝑑(𝑥)∇𝑃(𝑥, 𝑡) bagian  dari diffusi dan 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑃(𝑥, 𝑡)) bagian dari reaksi [3,13 ].
3. Misalkan  populasi  dibagi  dalam  2  bagian  yaitu 𝑆(𝑥, 𝑡) dan 𝐼(𝑥, 𝑡)
maka persamaan reaksi diffusi dapat dinyatakan dalam bentuk:
𝜕𝑆(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑑(𝑥)∇𝑆(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝑆(𝑥, 𝑡))                                                                                (2) 𝜕𝐼(𝑥, 𝑡) 𝜕𝑡 = 𝑑(𝑥)∇𝐼(𝑥, 𝑡)   + 𝑓(𝑥, 𝑡, 𝐼(𝑥, 𝑡) ) Penyelesaian  dari traveling  wavefront dari  persamaan  (2)  adalah penyelesaian  berbentuk 𝑆(𝑥, 𝑡) = 𝑆(𝑢), 𝐼(𝑥, 𝑡) = 𝐼(𝑢) dengan 𝑢 = 𝑥 + 𝑐𝑡 dan 𝑐 sebagai  kecepatan  gelombang.  Untuk  melakukan  analisa  terhadap eksistensi traveling  wave front digunakan  definisi  dan  theorema  sebagai berikut:
Definisi 1. Penyelesian traveling wavefront dengan kecepatan c untuk model sistem (2) adalah  penyelesaian  yang  mempunyai  bentuk (𝑆(𝑥 + 𝑐𝑡), 𝐼(𝑥 + 𝑐𝑡)) dan berhubungan  dengan  titik  kesetimbangan  penyakit  endemik  dan  bebas penyakit dari sistem sehingga
lim 𝑢→+∞ (𝑆, 𝐼) = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ ) dan                                          (3)
lim
𝑢→−∞ (𝑆, 𝐼) = (𝑆 ∞ , 0)
Teorema 1 Jika  kecepatan  minimal  dari traveling  wave adalah 𝑐 ∗ sedemikian  hingga untuk  setiap 𝑐 ≥ 𝑐 ∗ maka  pada  model  sistem  tak  linear  akan  mempunyai penyelesaian traveling  wavefront  non increasing (𝑆(𝑥 + 𝑐𝑡), 𝐼(𝑥 + 𝑐𝑡)) dengan kecepatan 𝑐 yang memenuhi lim 𝑢→+∞ (𝑆, 𝐼) = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ ) dan lim 𝑢→−∞ (𝑆, 𝐼) = (𝑆 ∞ , 0) [2,8,12].

## 3. Konstruksi Model Penyebaran Virus
Populasi  berada  dalam  2  lokasi  yaitu  lokasi 1  dengan  ukuran 1 L dan lokasi 2  dengan ukuran 2 L dan pada masing-masing lokasi populasi dibagi dalam subpopulasi-subpopulasi pada lokasi 1 dan lokasi 2  yang terdiri dari
Susceptible , Ekspose , Terinfeksi dengan densitas spasial 𝑆 11 (𝑥, 𝑡), 𝐸 11 (𝑥, 𝑡), 𝐼 11 (𝑥, 𝑡) untuk virus H1N1-p dan Susceptible ,Terinfeksi  dengan densitas spasial 𝑆 21 (𝑥, 𝑡), 𝐼 21 (𝑥, 𝑡) untuk virus H5N1 .
Konstruksi model reassortment kedua virus dinyatakan dalam bentuk 𝜕𝑆 11 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝐼 11 𝜕 2
𝑆 11 𝜕𝑥 2 − 𝛼𝑆 11 𝐼 11 − 𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 21 −   𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 22 + 𝑏 1 𝑆 11 − 𝑑 1 𝑆 11 + 𝛾𝐸 11 −   ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑆 11 𝑑𝑥 + Ω ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑆 12 𝑑𝑥 +
Ω 𝛿𝐼 11
𝜕𝐼 11 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝐼 11 𝜕 2 𝐼 11 𝜕𝑥 2 + 𝛾𝐸 11 − 𝛿𝐼 11 − 𝑏 1 𝐼 11 − 𝑑 1 𝐼 11 + 𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 21 +   𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 22 − ∫ 𝐾(𝑦 − Ω
𝑥)𝐼 11 𝑑𝑥 + ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑆 12 𝑑𝑥
Ω (4) 𝜕𝑆 21 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝑆 21 𝜕 2 𝑆 21 𝜕𝑥 2 − 𝛼𝑆 11 𝐼 11 − 𝛽𝑆 21 𝐼 21 − 𝛽𝑆 21 𝐼 22 + 𝑏 2 𝑆 21 − 𝑑 2 𝑆 21 −   ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑆 21 𝑑𝑥 + Ω ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝑆 22 𝑑𝑥 Ω
𝜕𝐼 21 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝐼 21 𝜕 2 𝐼 21 𝜕𝑥 2 + 𝑏 2 𝐼 21 − 𝑑 2 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 22 − ∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝐼 21 𝑑𝑥 + Ω
∫ 𝐾(𝑦 − 𝑥)𝐼 22 𝑑𝑥
Ω

## Dengan syarat awal
𝑆 11 (𝑥, 0) = 𝑆 10 = 𝜎, 𝐼 11 (𝑥, 0) = 𝐼 10 , 𝑆 21 (𝑥, 0) = 𝑆 210 , 𝐼 21 (𝑥, 0) = 𝐼 210
Syarat batas
𝜕𝑆 11 𝜕𝑡 (0) = 𝜕𝑆 11 𝜕𝑡 (𝐿) = 0, 𝜕𝐼 11 𝜕𝑡 (0) = 𝜕𝐼 11 𝜕𝑡 (𝐿) = 0 𝜕𝑆 21 𝜕𝑡 (0) = 𝜕𝑆 21 𝜕𝑡 (𝐿) = 0, 𝜕𝐼 21 𝜕𝑡 (0) = 𝜕𝐼 21 𝜕𝑡 (𝐿) = 0
Parameter yang digunakan dalam bentuk konstan antara lain :  𝛼 rate  transmisi  H1N1-p, 𝛽 ∗ rate  transmisi  H5N1  dari  unggas  ke manusia,
 𝛽 rate  transmisi  H5N1  dari  unggas  ke  unggas , b 1 rate  mortalitas manusia,
 𝑑 1 rate kematian pada manusia, 𝛿 rate recovery pada manusia,
 𝛾 periode ekspose pada manusia , 𝑏 2 rate mortalitas pada unggas,
 𝑑 2 rate kematian pada unggas,
 𝜀 1, 𝜀 2 besaran  yang  menyatakan  bobot  dari  gerakan  individual bergerak pada lokasi yang sama atau pada lokasi lain 0 < 𝜀 1, 𝜀 2 < 1.

## 4. Analisa Eksistensi Traveling Wavefront
Model traveling wave dikonstruksi dari model penyebaran virus dengan melakukan  trasnformasi 𝑢 = 𝑥 + 𝑐𝑡, 𝑐 sebagai  kecepatan  penyebaran  sehingga diperoleh  model traveling  wave berbentuk 𝐼 11 (𝑥, 𝑡) = 𝐼 11 (𝑢) , 𝐼 21 (𝑥, 𝑡) = 𝐼 21 untuk lokasi 1 dan untuk lokasi 2 diperoleh 𝐼 12 (𝑥, 𝑡) = 𝐼 12 (𝑢) , 𝐼 22 (𝑥, 𝑡) = 𝐼 22 (𝑢) . Model traveling wave pada lokasi 1 adalah model dari penyebaran H1N1- p dan H5N1 pada manusia.dan penyebaran H5N1 pada unggas adalah: 𝜕𝐼 11 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝐼 11 𝜕 2 𝐼 11 𝜕𝑥 2 + 𝛾𝐸 11 − 𝛿𝐼 11 − 𝑏 1 𝐼 11 − 𝑑 1 𝐼 11 + 𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 21 +   𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 22 + 𝜀 2 𝐼 11 − 𝜀 1 𝐼 11 (5) 𝜕𝐼 21 𝜕𝑡 = 𝐷 1 𝐼 21 𝜕 2 𝐼 21 𝜕𝑥 2 − 𝑏 2 𝐼 21 − 𝑑 2 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 22 + 𝜀 2 𝐼 21 − 𝜀 1 𝐼 21
bagian persamaan berbentuk 𝛾𝐸 11 yaitu individual pada subpopulasi ekspose yang  berubah  menjadi  individual  terinfeksi  yang  dapat  dinyatakan  dalam bentuk  model travelling  wavefront menjadi  dengan 𝑓 𝜅 adalah  transformasi Fourier dari individual terinfeksi pada kondisi latent
𝜅 ∫ 𝛼𝑆 11 (𝑢 − 𝑦 − 𝑐𝜏)𝐼 11 (
∞ −∞
𝑢 − 𝑦 − 𝑐𝜏)𝑓 𝜅 𝑑𝑦
Dengan demikian model traveling wavefront adalah
𝐷 1 𝐼 11 𝑑 2 𝐼 11 𝑑𝑥 2 − 𝑐 𝑑𝐼 11 𝑑𝑡 + 𝜅 ∫ 𝛼𝑆 11 (𝑢 − 𝑦 − 𝑐𝜏)𝐼 11 ( ∞ −∞ 𝑢 − 𝑦 − 𝑐𝜏)𝑓 𝜅 𝑑𝑦  − 𝛿𝐼 11 − 𝑏 1 𝐼 11 − 𝑑 1 𝐼 11 + 𝛽 ∗ 𝑆 11 𝐼 21 + 𝛽 ∗ 𝜀 2 𝑆 11 𝐼 21 + 𝜀 2 𝐼 11 − 𝜀 1 𝐼 11 = 0                                                         (6)
𝐷 1 𝐼 21 𝑑
2 𝐼 21 𝑑𝑥 2 − 𝑐 𝑑𝐼 21 𝑑𝑡 − 𝑏 2 𝐼 21 − 𝑑 2 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 21 + 𝛽𝑆 21 𝐼 22 + 𝜀 2 𝐼 21 − 𝜀 1 𝐼 21 = 0
Titik kesetimbangan bebas penyakit pada penyebaran virus H1N1-p dan virus H5N1 adalah (𝑆 11 𝑜 (𝑥, 𝑡), 𝐼 11 𝑜 (𝑥, 𝑡)) = (𝑆 21 𝑜 (𝑥, 𝑡), 𝐼 21 𝑜 (𝑥, 𝑡)) = 𝜎 𝑑 1 −𝑏 1 +𝜀 1 −𝜀 2 atau ( 𝜎 𝜗 1 , 0), dengan syarat batas sebagai berikut:
lim 𝑢→−∞ (𝐼 11 (𝑢), 𝐼 21 (𝑢)) = (𝐼 11 𝑜 (𝑥, 𝑡), 𝐼 21 𝑜 (𝑥, 𝑡))
dan (7) lim 𝑢→+∞ (𝐼 11 (𝑢), 𝐼 21 (𝑢)) = (𝐼 11 ∗ (𝑥, 𝑡), 𝐼 21 ∗ (𝑥, 𝑡)
Linearisasi  terhadap  model traveling  wavefront penyebaran  H1N1-p  dan H5N1 pada lokasi 1 di sekitar titik kesetimbangan bebas virus. adalah
𝐷 1 𝐼 11 𝑑 2 𝐼 11 𝑑𝑥 2 − 𝑐 𝑑𝐼 11 𝑑𝑡 + 𝜅 ∫ 𝜎𝛼 𝜗 1 𝐼 11 ( ∞ −∞ 𝑢 − 𝑦 − 𝑐𝜏)𝑓 𝜅 𝑑𝑦  − 𝛿𝐼 11 − 𝑏 1 𝐼 11 − 𝑑 1 𝐼 11 + 𝜎𝛽 ∗ 𝜗 1 𝐼 21 + 𝜎𝛽 ∗ 𝜀 2 𝜗 1 𝐼 21 + 𝜀 2 𝐼 11 − 𝜀 1 𝐼 11 = 0                                                                                                         (7)
𝐷 1 𝐼 21 𝑑 2 𝐼 21 𝑑𝑥 2 − 𝑐 𝑑𝐼 21 𝑑𝑡 − 𝑏 2 𝐼 21 − 𝑑 2 𝐼 21 + 𝜎𝛽 𝜗 1 𝐼 21 + 𝜎𝛽𝜀 2 𝜗 1 𝐼 22 + 𝜀 2 𝐼 21 − 𝜀 1 𝐼 21 = 0
jika  penyelesaian  dari  model  tersebut  adalah
) , ( 2 1 u e k u e k

 maka  akan diperoleh 𝑔(𝜆, 𝑐)ℎ(𝜆, 𝑐) = (𝐷 1 𝐼 11 𝜆 2 − 𝑐𝜆 − 𝜉 + 𝜎𝛼𝜅 𝜗 1 𝑒 𝜏𝐷 1 𝐼11 𝜆 2 −𝜆𝑐𝜏 ) (𝐷 1 𝐼 21 𝜆 2 − 𝑐𝜆 − 𝜃) = 0 (8)
Jika 𝜕𝑔 𝜕𝜆 = 𝜕ℎ 𝜕𝜆 = 0 maka  diperoleh 𝜆 1 = 𝑐 2𝐷 1 𝐼11 > 0 dan 𝜆
2 = 𝑐 2𝐷 1 𝐼21 > 0 , dari  nilai  tersebut  dapat  diperoleh  persamaan ( 𝑐 2 4𝐷 1 𝐼21 − 𝜃) ( 𝑐 2 2𝐷 1 𝐼11 − 𝜉 + 𝜅𝜎𝛼 𝜗 1 𝑒 𝑐2𝜏 4𝐷1 𝐼11 ) = 0 dan memberikan jawaban tentang kecepatan minimal 𝑐 ∗ . Jika 𝐷 1 𝐼 11 = 𝐷 1 𝐼 21 = 𝐷 1 , 𝑧 ∗ = 𝑐 2 2𝐷 1 ⟹ 𝑐 ∗ = √2𝐷 1 𝑧 ∗ diperoleh ( 𝑧 ∗ 2 − 𝜃) (𝑧 ∗ − 𝜉) = 0 untuk 𝜏 = 0 yang akan memberikan 2 kecepatan minimal yaitu 𝑐 ∗ = √4𝐷 1 𝜃 untuk 𝑧 ∗ = 2 𝜃 dan 𝑐 ∗ = √2𝐷 1 𝜉 untuk 𝑧 ∗ = 𝜉 dengan 𝑏 1 + 𝑑 1 − 𝜀 2 + 𝜀 1 + 𝛿 = 𝜉 dan 𝜀 1 − 𝑏 2 + 𝑑 2 + 𝜎𝛽(1+𝜀 2 ) 𝜗 2 − 𝜀 2 = 𝜃
Model traveling wave pada Lokasi 2 merupakan penyebaran H5N1dan H1N1-p    pada  manusia  dan  kecepatan  minimal 𝑐 ∗ dapat  diperoleh  dengan langkah-langkah seperti pada lokasi 1 yang menghasilkan persamaan khusus berbentuk ( 𝑐 2 𝐷 1 𝐼22 − 𝜃) ( 𝑐 2 2𝐷 1 𝐼12 − 𝜉 + 𝜅𝜎𝛼 𝜗 1 𝑒 𝑐2𝜏 4𝐷1 𝐼12 ) = 0 ,  jika 𝐷 1 𝐼 12 = 𝐷 1 𝐼 22 = 𝐷 1 dan 𝑧 ∗ = 𝑐 2 2𝐷 1 ⇒ 𝑐
∗ = √2𝐷 1 𝑧 ∗ sehingga  diperoleh ( 𝑧 ∗ 2 − 𝜃) (𝑧 ∗ − 𝜉) = 0 untuk 𝜏 = 0 yang  akan memberikan 2 kecepatan minimal yaitu 𝑐 ∗ = √4𝐷 1 𝜃 untuk 𝑧 ∗ = 2𝜃 dan 𝑐 ∗ = √2𝐷 1 𝜉 untuk 𝑧 ∗ = 𝜉 dengan 𝑏 1 + 𝑑 1 − 𝜀 2 + 𝜀 1 + 𝛿 = 𝜉 dan 𝜀 1 − b 2 + d 2 + 𝜎𝛽(1+𝜀 2 ) 𝜗 2 − 𝜀 2 = 0 Model traveling wave front global adalah penyebaran virus H5N1 pada unggas  secara  global,  analisa traveling  wavefront dilakukan  terhadap pergerakan indvidual susceptible pada lokasi 1 dan penyebaran pandemik dari virus H5N1 yang terjadi pada unggas pada lokasi 2.
Penyelesaian model traveling
wavefront (𝑘 1 𝑒 𝜆𝑢 , 𝑘 2 𝑒 𝜆𝑢 ) dapat
menghasilkan  parameter 𝜆 berbentuk 𝜆 1 = 𝑐 2𝐷 1 𝑆11 , 𝜆 2 = − 𝑐 2𝐷 2 𝑆22 dan  persamaan ( 𝑐 2 4𝐷 2 𝐼22 − 2𝑣) ( 𝜗 1 𝑐 2 4𝐷 1 𝑆11 − 𝜗 1 𝜂) = 0 ,  jika 𝐷 1 𝑆 11 = 𝐷 2 𝐼 22 = 𝐷,  𝑧 ∗ = 𝑐 2 4𝐷 ⇒ 𝑐 ∗ = √4𝐷𝑧 ∗ maka (𝑧 ∗ − 2𝑣)(𝜗 1 𝑧 ∗ − 𝜗 1 𝜂) = 0 menghasilkan kecepatan minimal yaitu 𝑐 ∗ = √8𝐷𝑣 untuk 𝑧 ∗ = 2𝑣 dan 𝑐 ∗ = √4𝐷𝜂 dengan 𝑣 = 𝑏 2 − 𝑑 2 + 𝛽𝜎𝜀 2 𝜗 1 + 𝛽𝜎 𝜗 1 − 𝜀 1 + 𝜀 2 , 𝜂 = 𝑑 1 − 𝑏 1 + 𝜀 1 − 𝜀 2 .

## 5. Analisa Persistensi Traveling Wavefront
Jika (𝐼 11 (𝑢), 𝐼 21 (𝑢)) = (𝑘 1 𝑒 𝜆𝑢 , 𝑘 2 𝑒 𝜆𝑢 ) adalah penyelesaian dari model traveling wavefront berbentuk (𝐷 1 𝐼 11 𝜆 2 + 𝑐𝜆 − 𝜉 + 𝜅𝜎𝛼 𝜗 1 𝑒 𝜏𝐷 1 𝐼 11𝜆2−𝜆𝑐𝜏 ) (𝐷 1 𝐼 21 𝜆 2 + 𝑐𝜆 − 𝜃) = 0, untuk 𝜆 1 = − 𝑐 2𝐷 121 𝐼 < 0 berlaku 𝑔(𝜆, 𝑐) = 𝐷 111 𝐼 𝜆 2 + 𝑐𝜆 − 𝜉 + 𝜅𝜎𝛼 𝜗 1 𝑒 𝜏𝐷 1 𝐼 11𝜆2−𝜆𝑐𝜏 dan sup(𝑔(𝜆, 𝑐)) = 𝑐𝜆 − 𝜉 + 𝜅𝜎𝛼 𝜗 1 𝑒 𝜏𝐷 1 𝐼 11𝜆2−𝜆𝑐𝜏 sehingga lim 𝜆→∞ sup(𝑔(𝜆, 𝑐)) > 𝜉 atau  dapat  dinyatakan  sebagai lim 𝑢→∞ sup(𝐼 11 (𝑢)) > 𝜉 untuk 𝑏 1 + 𝑑 1 − 𝜀 2 + 𝜀 1 + 𝛿 = 𝜉 . Jadi terdapat weakly uniformly persistence pada traveling  wavefront terhadap  kecepatan  penyebaran  virus H1N1-p pada lokasi 1.
Dengan cara yang sama dapat juga dilakukan analisa terhadap kecepatan penyebaran  virus  H5N1  dan  menghasilkan strongly  uniformly  persistence pada lokasi 2.
Berdasarkan  analisa  tersebut  di  atas  dapat  diperoleh  hubungan  antara persistensi  dengan  kecepatan  minimal 𝑐 ∗ pada  masing-masing  lokasi penyebaran virus yaitu Lokasi 1
Virus  H1N1-p  dengan  kecepatan  minimal 𝑐 ∗ = √2𝐷 1 𝜉, 𝑏 1 + 𝑑 1 − 𝜀 2 + 𝜀 1 + 𝛿 = 𝜉 dengan persistensi weakly uniformly persistence.
Virus H5N1 dengan kecepatan minimal 𝑐 ∗ = √4𝐷 1 𝜃, 𝜀 1 − 𝑏 2 + 𝑑 2 + 𝜎𝛽(1+𝜀 2 ) 𝜗 2 − 𝜀 2 = 𝜃 dengan persistensi strongly uniformly persistence Lokasi 2 Virus  H1N1-p  dengan  kecepatan  minimal 𝑐 ∗ = √2𝐷 1 𝜉, 𝑏 1 + 𝑑 1 − 𝜀 2 + 𝜀 1 + 𝛿 = 𝜉 dengan persistensi weakly uniformly persistence.
Virus  H5N1  dengan  kecepatan  minimal 𝑐 ∗ = √4𝐷 1 𝜃, 𝜀 1 − 𝑏 2 + 𝑑 2 + 𝜎𝛽(1+𝜀 2 ) 𝜗 2 − 𝜀 2 = 𝜃 dengan persistensi strongly uniformly persistence
Global Virus H5N1 dengan kecepatan minimal 𝑐 ∗ = √8𝐷𝑣, 𝑣 = 𝑏 2 − 𝑑 2 + 𝛽𝜎𝜀 2 𝜗 1 + 𝛽𝜎 𝜗 1 − 𝜀 1 + 𝜀 2 , dengan persistensi weakly uniformly persistence.

## 6. Kesimpulan dan Saran
Kesimpulan yang dapat dilakukan dari penelitian ini adalah
1. Belum  nampak  adanya reassortment diantara  virus  influensa  H5N1 dan H1N1 walaupun pada transmisi virus H5N1 dikonstruksi terjadi antara manusia ke manusia.
2. Asumsi terhadap penyebaran virus inluensa H5N1 adalah pandemik, hal tersebut mendelaki kebenaran terbukti bahwa kecepatan minimal bergantung pada rate transmisi dari virus H5N1 pada unggas.
3. Batasan terhadap gerakan individual pada lokasinya maupun bergerak pada lokasi lain sangat mempengarui proses terjadinya reassortment.
Saran  yang diberikan dalam rangka untuk  pengembangan penelitian ini adalah :
1. Perlu  dikembangkan  fungsi  densitas  Kernel  lain  yang  lebih  tepat sesuai  dengan phenomena obyek.
2. Sebagai  bentuk  pengembangan  dapat  pula  dilakukan  untuk multilokasi multi strain sehingga potensi penyebaran virus yang lebih luas dapat diamati

## 7. Daftar Pustaka
[1] J. Arino, J. R. Davis, D. Hartley, R. Jordan, J. M.  Miller and V.D. Drissche,  “A  multi-species  epidemic  model  with  spatial  dynamic”, Mathematical Medicine and Biology . 22 (2005), p. 129-142.
[2] S.AI  and  W.  Huang,  “Traveling  Wave  for  a  Reaction-Diffusion system  in  population  Dynamic  and  Epidemiology”, Proccedings  of the Royal Soceity of Edinburgh 135A (2005), p.663-675.
[3] K.B. Blyuss, “On a model of spatial spread of epidemics with long - distance travel”, Physics Letters A 345 (2005), p. 129-136.
[4] H.  W.  Hectcote  H  W,  “The  mathematics  of  Infectious  Diseases”, SIAM 42 (2000), p.599-653.
[5] M. Hyman, T. La Force, “Modelling The spread of Influenza Among Cities”, in Computational and Applied Mathematics Program , (Center for Nonlinear Studies, Los Alamos National Laboratory), Los Alamos Report 2004, p. 215-240.
[6] W.  Joseph,  H.  So,  W.  Jianhong  and  X.  Zou,  “A.  reaction-diffusion model for a single species with age structure: Traveling wave fronts on unbounded domains”, Proc. R. Soc. Lond. A 457 (2001), p. 1-13.
[7] C.  Lie,  M.  Hatta,  C.  A.  Nidom,  Y.  Muramoto,  S.  Watanabe,  G. Neumann,  “Reassortment  between  avian  H5N1  and  human  H3N2 influenza  virues  creates  hybrid  virues  with  substantial  virulence”,
PNAS (2009), p. 1-6.
[8] J.  Li  and  X.  Zou,”  Modelling  Spatial  Spread  of  Infectious  Diseases with a fixed latent period in a spatially continous domain”, Buletin of Mathematical Biology (2009), p.1-36.
[9] M.  Lewis,  J.  Renclawowicz,  P.V.D.  Driessche,  2006,  ”Traveling Waveand  Spread  Rate  for  a  West  Nile  Virus  Model”, Buletin  of Mathematical Biology 68 (2006), p.3-23.
[10] C.  A.  Nidom,  “Berperang  Melawan  Flu  Burung”, Kompas.Com (2012).
[11] S.  Ruan,  “Spatial  Temporal  Dynamics  in  nonlocal  Epidemiogical Models”, Miami University Press (2006).
[12] Riviera  J,  Y.  Li,  “Eksistence  of  Traveling  Wave  Solution  for  A Nonlocal  Reaction-Diffusion  Model  of  Influenza  a  Drift”, Discrete and Continue Dynamical System Series B 13 (1) (2010), p.157-174.
[13] Widodo.  B,  Sing  M,  “Numerical  Solution  of  Flood  Routing  Model Using  Finite  Volume  Methods”, Studies  in  Nonlinear  Sciences 2(1):40-45,2011
[14] Zhang  FF,  G.  Huo,  Q-X.  Liu,  G-Q  Sun  and  Z.  Jin,”  Existence  of Traveling  wave  in  nonlinear  Si  Epidemic  Models”, Journal  of Biological System 17 (4) (2009), p.1-15.