## ANALISIS TEORITIS DAN EMPIRIS UJI CRAPS DARI DIEHARD BATTERY OF RANDOMNESS TEST UNTUK PENGUJIAN PEMBANGKIT BILANGAN ACAKSEMU
Sari Agustini Hafman 1 dan Arif Fachru Rozi 2
1,2 Lembaga Sandi Negara e-mail:  sari.hafman@lemsaneg.go.id 1 , arif.fachru@lemsaneg.go.id 2

## ABSTRAK
Menurut Kerchoffs (1883), keamanan sistem kriptografi harus hanya bergantung pada kunci yang digunakan  dalam  sistem  tersebut.  Umumnya,  kunci  dihasilkan  oleh Pseudo  Random  Number  Generator (PRNG) atau Random Number Generator (RNG). Terdapat tiga tipe keacakan yang dihasilkan oleh PRNG dan RNG yaitu pseudorandom sequence (barisan acaksemu), cryptographically secure pseudorandom sequences (barisan acaksemu yang aman secara kriptografi) dan real random sequences (barisan yang acak nyata). Untuk memeriksa tipe keacakan yang dihasilkan oleh suatu PRNG atau RNG digunakan berbagai uji statistik, diantaranya diehard  battery of  test  of  randomness .  Mengingat  tujuan,  dasar  pengambilan  parameter pengujian serta proses pembentukan statistik uji berhubungan dengan valid atau tidaknya kesimpulan yang dihasilkan dari suatu uji statistik maka dilakukan kajian terhadap salah satu uji yang terdapat dalam diehard battery of randomness test yaitu uji craps. Uji yang terinspirasi dari permainan craps ini bertujuan untuk memeriksa apakah suatu PRNG menghasilkan barisan acaksemu yang berdistribusi identik dan independen (iid). Untuk menunjukkan proses pembentukan serta penerapan permainan craps pada statistik uji craps, dilakukan  analisis  teoritis  dengan  menerapkan  berbagai  teori  statistik  terhadap  uji  tersebut.  Selain  itu, dilakukan  observasi  secara  empiris  dengan  menerapkan  uji  craps  pada  beberapa  PRNG  dengan  tujuan untuk memeriksa keefektifan uji tersebut dalam mendeteksi bentuk distribusi dan independensi barisan yang dihasilkan suatu PRNG.
Kata kunci : Identik dan Independen (iid), Permainan Craps, Pseudo Random Number Generator (PRNG), Uji Craps

## ABSTRACT
According to Kerchoffs (1883), the security system should only rely on cryptographic keys which is used in that system. Generally, the key sequences  are generated by a Pseudo Random Number Generator (PRNG) or Random Number Generator (RNG). There are three types of randomness sequences that generated by the RNG and PRNG i.e. pseudorandom sequence, cryptographically secure pseudorandom sequences, and real random sequences. Several statistical tests, including diehard battery of tests of randomness, is used to check the type of randomness sequences that generated by PRNG or RNG. Due to its purpose, the principle on taking the testing parameters and the test statistic are associated with the validity of the conclusion produced by a statistical test, then the theoretical analysis is performed by applying a variety of statistical theory to evaluate craps test, one of the test included in the diehard battery of randomness tests. Craps test, inspired by craps game, aims to examine whether a PRNG produces an independent and  identically distributed (iid) pseudorandom sequences. To demonstrate the process to produce a test statistics equation and to show how craps games applied on that test, will be carried out theoretical analysis by applying a variety of statistical theory. Furthermore, empirical observations will be done by applying craps test on a PRNG in order to check the test effectiveness in detecting the distribution and independency of sequences which produced by PRNG .
Keywords: Craps Games, Craps Test, Independent and Identically Distributed (iid), Pseudo Random Number Generator (PRNG)

## PENDAHULUAN
Menurut  Kerchoffs  (1883),  keamanan sistem  kriptografi  harus  hanya  bergantung  pada kunci  yang  digunakan  dalam  sistem  tersebut. Umumnya, kunci dihasilkan oleh Pseudo Random Number  Generator (PRNG)  atau Random  Number
Generator (RNG).  Terdapat  tiga  tipe  keacakan yang  dihasilkan  oleh  PRNG  dan  RNG  yaitu pseudorandom  sequence (barisan  acaksemu), cryptographically secure pseudorandom sequences (barisan acaksemu yang aman secara kriptografi) dan real  random  sequences (barisan  yang  acak nyata).  Barisan  dikatakan  acaksemu  jika  secara
statistik terlihat acak (berdistribusi seragam dan saling  bebas).  Barisan  dikatakan  aman  secara kriptografis  bila  barisan  tersebut  secara  statistik terlihat  acak  serta unpredictable (ketidak- terdugaan).  Barisan  dikatakan  acak  nyata  bila memenuhi  tiga  syarat  yaitu  barisan  tersebut secara  statistik  terlihat  acak,  ketidakterdugaan dan  barisan  yang  sama  tidak  dapat  dihasilkan kembali (Schneier, 1996).
Untuk  memeriksa  tipe  keacakan  yang dihasilkan oleh suatu PRNG atau RNG pendekatan yang  umum  digunakan  adalah  membangkitkan barisan  kunci  dalam  jumlah  besar  dang mengaplikasikan  berbagai  uji  statistik  pada barisan  tersebut.  Uji  statistik  yang  banyak digunakan  diantaranya diehard  battery of  test  of randomness .  Informasi  yang  diperoleh  dari  hasil pengujian  keacakan  hanya  untuk  membedakan barisan  kunci  tersebut  dari  barisan  kunci  yang acak nyata. Uji tersebut dianggap sebagai uji yang menggunakan pendekatan black box karena tidak memperhitungkan struktur dari PRNG/RNG yang digunakan untuk menghasilkan barisan tersebut.
Mengingat  tujuan,  dasar  pengambilan parameter  pengujian  serta  proses  pembentukan statistik  uji  berhubungan  dengan  valid  atau tidaknya  kesimpulan  yang  dihasilkan  dari  suatu uji statistik maka dilakukan kajian terhadap salah satu uji yang banyak digunakan dalam pengujian keacakan  barisan  kunci  yaitu  uji  craps  yang terdapat dalam diehard battery of randomness . Uji yang  terinspirasi  dari  permainan  craps  ini bertujuan  untuk  memeriksa  apakah  suatu  PRNG menghasilkan barisan acaksemu yang berdistribusi  identik  dan  independen  (iid)  atau tidak.
Untuk  menunjukkan  proses  pembentukan serta  penerapan  permainan  craps  pada  statistik uji  craps,  dilakukan  analisis  teoritis  dengan menerapkan  berbagai  teori  statistik  terhadap  uji tersebut.  Selain  itu,  dilakukan  observasi  secara empiris  dengan  menerapkan  uji  craps  pada beberapa PRNG dengan tujuan untuk memeriksa keefektifan uji tersebut dalam mendeteksi bentuk distribusi  dan  independensi  barisan  yang dihasilkan suatu PRNG.

## TEORI DASAR

## Distribusi Normal
Distribusi  Normal  adalah  model  distribusi kontinu  yang  penting  dalam  teori  probabilitas. Distribusi  normal  memiliki  kurva  berbentuk lonceng  yang  simetris.  Dua  parameter  yang menentukan  distribusi  normal  adalah mean (𝜇) dan  variansi (𝜎 2 ) .  Fungsi  kerapatan  probabilitas dari distribusi normal adalah:
𝑓(𝑥) = 1 𝜎√2𝜋 𝑒 − (𝑥−𝜇)2 2𝜎2
𝜇 adalah  rata-rata, 𝜎 2 adalah  variansi  dan 𝜋 = 3,14159 ⋯
Teorema 1 :
Jika X adalah  suatu  peubah  acak  binom dengan mean 𝜇 = 𝑛𝑝 dan variansi 𝜎 2 = 𝑛𝑝𝑞 maka bentuk limit dari distibusi
𝑍 = 𝑋 − 𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞
dengan 𝑛 → ∞ adalah berdistribusi 𝑁(0,1) .

## Distribusi Chi-Square
Variabel  acak  kontinu X mempunyai distribusi chi  square dengan  derajat  bebas v jika fungsi kerapatannya adalah
𝑓(𝑥; 𝑣) = { 1 2 𝑣 2 Γ( 𝑣 2 ) 𝑥 𝑣 2−1 𝑒 − 𝑥 2
0,   lainnya , 𝑥 > 0
dengan v adalah integer positif.

## Distribusi Multinomial
Definisi 1. (Soejati,2005)
Distribusi  multinomial      adalah  distribusi peluang bersama frekuensi-frekuensi sel 𝑛 1 , ⋯ , 𝑛 𝑘 dalam n trial  multinomial  dengan  parameter 𝑝 1 , ⋯ , 𝑝 𝑘 yang masing-masing merupakan peluang sel.
Fungsi  peluang  distribusi  multinomial adalah
𝑓(𝑛 1 , ⋯ , 𝑛 𝑘 ) = 𝑛! 𝑛 1 ! ⋯ 𝑛 𝑘 ! 𝑝 1 𝑛1 ⋯ 𝑝 𝑘 𝑛𝑘
untuk ∑ 𝑛 𝑖 = 𝑛 𝑘 𝑖=1 .  Parameter-parameter  itu memenuhi ∑ 𝑝 𝑖 = 1 𝑘 𝑖=1 Nilai ekspektasi dan variansi dari distribusi multinomial  adalah 𝐸(𝑛 𝑖 ) = 𝑛𝑝 𝑖 dan 𝑉𝑎𝑟(𝑛 𝑖 ) = 𝑛𝑝 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 ) dimana 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘 .
Teorema 2.
Misalkan 𝑦 1 , ⋯ , 𝑦 𝑘
berdistribusi multinomial  dengan  probabilitas 𝑝 1 , ⋯ , 𝑝 𝑘 maka untuk n besar, variabel acak tidak negatif
𝜒 2 = ∑ (𝑦𝑖−𝑛𝑝𝑖)2 𝑛𝑝𝑖 𝑘 𝑖=1 dimana 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘 (1)
mendekati  distribusi chi-square dengan derajat  bebas = 𝑘 − 1 dengan  harga mean 𝜒 2 adalah 𝜇 = 𝑘 − 1 .
Persamaan  1  pertama  kali  diperkenalkan dan dipelajari oleh Karl Pearson pada tahun 1900 sehingga  dikenal  dengan  nama  ” Pearson’s  chi square statistic ”.
Harga mean 𝜒 2 hanya  tergantung  pada banyak  sel  atau  kelas k (banyak  kemungkinan yang dapat terjadi pada eksperimen multinomial) dan tidak tergantung pada harga 𝑝 𝑖 , 𝑖 = 1,2, ⋯ , 𝑘 .
Bukti :
𝑚𝑒𝑎𝑛(𝜒 2 ) = 𝐸(𝜒 2 ) = ∑ 𝐸(𝑦 𝑖 − 𝑛𝑝 𝑖 ) 2 𝑛𝑝 𝑖 𝑘 𝑖=1
= ∑ 𝑣𝑎𝑟(𝑦 𝑖 ) 𝑛𝑝 𝑖 𝑘 𝑖=1 = ∑ 𝑛𝑝 𝑖 (1 − 𝑝 𝑖 ) 𝑛𝑝 𝑖 𝑘 𝑖=1 ∑ 1 − 𝑘 𝑖=1 𝑝 𝑖 = ∑ 1 𝑘 𝑖=1 − ∑ 𝑝 𝑖 𝑘 𝑖=1 = 𝑘 − 1
Rumus  transformasi 𝜒 2 sering  ditulis dengan persamaan
𝜒 2 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑛𝑝 𝑖 ) 2 𝑛𝑝 𝑖 𝑘 𝑖=1 = ∑ (𝑂 𝑖 − 𝐸 𝑖 ) 2 𝐸 𝑖 𝑘 𝑖=1
dengan 𝑂 𝑖 = 𝑦 𝑖 adalah  frekuensi  sel i yang diobservasi dalam sampel berukuran n , sedangkan 𝐸 𝑖 = 𝑛𝑝 𝑖 = 𝑚𝑒𝑎𝑛(𝑦 𝑖 ) adalah mean atau  frekuensi  sel i yang  diharapkan  (nilai ekspektasi).
Uji Chi-Square Goodness of Fit
Teorema 3.
Uji chi-Square  goodness  of  fit antara frekuensi yang diobservasi dengan frekuensi yang diharapkan, berdasarkan pada ukuran
𝜒 2 = ∑ (𝑂𝑖 − 𝐸𝑖) 2 𝐸𝑖 𝑘 𝑖=1 (2)
dengan 𝜒 2 adalah  nilai  variabel  acak  yang distribusi samplingnya hampir mendekati distribusi chi-square dengan  derajat  bebas 𝑣 = 𝑘 − 1, 𝑂 𝑖 adalah frekuensi yang diobservasi dan 𝐸 𝑖 adalah frekuensi yang diharapkan untuk setiap sel ke- i .
Prosedur  uji chi-square  goodness  of  fit berdasarkan  atas  distribusi  pendekatan  maka prosedur  ini  sebaiknya  tidak  digunakan  jika frekuensi  harapan  sangat  kecil  atau 𝑒 𝑖 < 5 .  Jika dalam  proses  perhitungan  terdapat  frekuensi harapan yang lebih kecil  dari lima maka frekuensi tersebut  dapat  digabungkan  dengan  frekuensi yang  lain  supaya  prosedur  diatas  terpenuhi (Soejati, 1985).

## Uji Craps
Ide uji craps berasal dari permainan craps. Craps  merupakan  suatu  permainan  yang melibatkan  dua  buah  dadu  yang  dilakukan  oleh seorang  pemain  atau  lebih.  Craps  dimainkan dalam  babak  (round)  yang  diatur  dalam  aturan permainan craps. Berikut adalah aturan permainan Craps.
a. Jika  jumlah  mata  dadu  7  atau  11  pada lemparan pertama maka pelempar dinyatakan menang.
b. Jika  jumlahnya  2,3,  atau  12  maka  pelempar kalah.
c. jika  jumlahnya  4,5,6,8,9  atau  10  maka pelempar  dapat  melanjutkan  lemparannya sampai  ia  mendapatkan  angka  yang  sama seperti  lemparan  pertama  (dinyatakan menang) atau 7  (dinyatakan kalah).
Berdasarkan  aturan  permainan  craps tersebut,  Marsaglia  mengajukan  uji  craps  yang terdiri dari dua buah uji statistik yaitu :
a. uji  untuk  menganalisis  jumlah  kemenangan (uji 1)
Pada uji ini diasumsikan permainan dilakukan sebanyak n kali, minimal 200.000 kali.  Dari n kali permainan tersebut akan dihitung jumlah kemenangannya.  Banyaknya  kemenangan harus  mendekati  distribusi  normal  dengan rataan  200.000 p dan  variansi  200.000 p (1- p ) dengan p = 244/495.
b. uji  untuk  menganalisis  banyaknya  lemparan sampai permainan selesai (uji 2)
Pada  uji  ini  akan  dihitung  banyaknya melakukan  lemparan  dadu  yang  dilakukan seorang  pemain  sampai  permainannya selesai. Banyaknya lemparan yang dilakukan oleh  setiap  pemain  dapat  bervariasi  mulai dari  1  sampai  tak  hingga.  Tetapi  pada  uji  ini meskipun pemain dapat melakukan lemparan lebih  dari  21  kali,  lemparan  tetap  dianggap sebanyak  21  kali  sehingga  jumlah  lemparan hanya akan dikelompokkan kedalam 21 kelas. Banyaknya lemparan harus berdistribusi  chi- square dengan derajat bebas 20.

## Pseudorandom Number Generator (PRNG)
Definisi 1 (Schneier, 1996):
PRNG adalah pembangkit barisan bilangan acaksemu , yang  membutuhkan seed (input) dengan  proses  pembangkitan  tiap  elemen tergantung  dari  formulasi  matematis  yang digunakan pada PRNG tersebut.
Proses  pembangkitan  tiap  elemen  dari PRNG  memiliki  hubungan  linier  sesuai  fungsi matematis  yang  digunakan,  sehingga  untuk meminimalisir  kelinierannya,  digunakan  fungsi non-linier  dan  pengaturan  parameter  inputnya. Untuk  memenuhi  sifat unpredictable ,  pada umumnya  PRNG  menggunakan  input  berupa barisan  bit  acak  yang  berasal  dari  suatu  RNG. Terdapat  tiga  tipe  PRG  berdasarkan  prinsip kerjanya yaitu :
a. Tipe Linear
Tipe  ini  berdasarkan  pada  hubungan  linear yang  berulang  yang  digunakan  untuk menghitung  nilai  selanjutnya  dari  nilai sebelumnya. Salah satu contoh PRNG bertipe Linear  adalah Multiply  with  Carry  Generator (MWC).
b. Tipe Shift Register
Tipe  ini  mengambil  beberapa  nilai  yang berurutan  dari  suatu multiple  recursive generator (MRG)  untuk  mengkonstruksi output selanjutnya. Contoh PRNG bertipe shift register adalah shift register generator 31 bit dan shift register generator 32 bit.
c. Tipe Nonlinear
Tipe PRNG yang tidak menghasilkan struktur berpola  dan  menghasilkan  output  yang berlaku  seperti  barisan  yang  acak  nyata hampir di seluruh periode. Salah satu contoh PRNG  bertipe  nonlinear  adalah inverse congruential generator (ICG).

## METODE PENELITIAN
Penelitian  ini  terdiri  atas  dua  tahap  yaitu penelitian  secara  teoritis  dan  secara  empiris. Berikut penjelasan dari kedua metode tersebut.

## Penelitian  Secara Teoritis
Penelitian secara teoritis dilakukan terhadap statistik uji craps baik uji 1 maupun uji 2 dengan  menerapkan  berbagai  teori  statistik terhadap uji-uji tersebut

## Penelitian Secara Empiris
Data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini merupakan  data  simulasi  yang  berasal  dari  10 PRNG yang berasal dari tiga tipe PRNG. Kesepuluh PRNG  beserta  parameternya  seperti  yang diperlihatkan  pada  Tabel  1.  Jumlah  data  yang dibangkitkan  oleh  kesepuluh  PRNG  tersebut sebesar 11 Mbyte (Marsaglia,1985).
Tabel1. Sepuluh PRNG dan Parameternya
Tipe Nama PRNG Parameter Linear Multiply With Carry (MWC) MWC- 1 a =1791398085 x = 191, c = 17 MWC- 2 a =1447497129 x =191, c=17 MWC- 3 a =2083801278 x =191, c=17 Shift Register Shift Register Generator (SRG)  31 Bit SRG31- 1 L=13, R=18 SRG31- 2 L=18, R=3 SRG31- 3 L=24, R=7 Shift Register Generator (SRG)  32 Bit SRG32- 1 Shift Register 17 dan 15 SRG32- 2 Shift Register 15 dan 17 SRG32- 3 Shift Register 13, 17 dan 5 Nonlinear Inverse Congruential Generator (ICG) a = 9 b = 13
seed = 247
Karena  uji craps bertujuan  untuk  menguji sifat  keacakan  dari  suatu  PRNG  maka  sebelum menerapkan  uji  craps  terlebih  dahulu  dilakukan pembangkitan barisan kunci sebesar 11 Megabyte dari  ketiga  PRNG  tersebut.  Kedua  statistik  uji craps  digunakan  untuk  menghitung p-value . P- value ini  selanjutnya  akan  dibandingkan  dengan tingkat  kepercayaan (𝛼) .  Tingkat  kepercayaan yang digunakan dalam penelitian ini adalah 0,001. Jika 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≥ 𝛼 maka  hipotesis  nol  diterima atau  barisan  dikatakan  acak.  Jika 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 < 𝛼 maka hipotesis nol ditolak atau barisan dikatakan tidak acak.

## PEMBAHASAN

## Analisis Teoritis
Pada  tahap  ini  dilakukan  analisis  teoritis dengan  menerapkan  berbagai  teori  statistik terhadap  proses  pembentukan  statistik  uji  pada kedua statistik uji yang terdapat dalam uji  craps. Hasil analisisnya adalah sebagai berikut.
a. Proses pembentukan statistik uji pada uji 1

## Misalkan :
G adalah  jumlah  permainan, N adalah banyaknya  lemparan, 𝑋 𝑖 , 𝑌 𝑖 adalah  outcome pada  lemparan  ke- i , 𝑍 𝑖 = 𝑋 𝑖 + 𝑌 𝑖 adalah jumlah  score  pada  lemparan  ke- i ,  I  adalah indikator  ketika  menang  yang  dinyatakan dengan :
𝐼 = { 1, jika menang
0, jika kalah
A adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 7 atau 11
B adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 4 pada lemparan ke-1 dan ke-2 C adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 5 pada lemparan ke-1 dan ke-2 D adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 6 pada lemparan ke-1 dan ke-2 E adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 8 pada lemparan ke-1 dan ke-2 F adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 9 pada lemparan ke-1 dan ke-2 G adalah  kejadian  mendapat  mata  dadu berjumlah 10 pada lemparan ke-1 dan ke-2
Probabilitas memperoleh
mata dadu berjumlah 2,3,4,..., 12 pada lemparan pertama diperoleh sebagai berikut :
𝑃(𝑍 1 = 2) = 𝑃(𝑍 1 = 12) = 1 36 𝑃(𝑍 1 = 3) = 𝑃(𝑍 1 = 11) = 2 36 𝑃(𝑍 1 = 4) = 𝑃(𝑍 1 = 10) = 3 36 𝑃(𝑍 1 = 5) = 𝑃(𝑍 1 = 9) = 4
36
𝑃(𝑍 1 = 6) = 𝑃(𝑍 1 = 8) = 5 36 𝑃(𝑍 1 = 7) = 6 36 (3)
Probabilitas  jumlah  kemenangan  pada permainan craps diperoleh dari :
1) probabilitas  memperoleh  mata  dadu bernilai 7 atau 11 pada lemparan pertama dari dua dadu
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝑍 1 = 7) + 𝑃(𝑍 1 = 11) = 2 9
2) probabilitas  memperoleh  mata  dadu bernilai  sama  (4,5,6,8,9  atau  10)  baik pada lemparan pertama atau kedua 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝑍 1 = 4) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 4) = 𝑃(𝑍 1 = 4) ∙ 𝑃(𝑍 1 = 4) 𝑃(𝑍 1 = 4) + 𝑃(𝑍 1 = 7) = 3 36 ∙ 3 36 3 36 + 6 36 = 1 36 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝑍 1 = 5) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 5) = 4 36 ∙ 4 10 = 2 45 𝑃(𝐷) = 𝑃(𝑍 1 = 6) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 6) = 5 36 ∙ 5 11 = 25 396 𝑃(𝐸) = 𝑃(𝑍 1 = 8) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 8) = 5 36 ∙ 5 8 = 25 396 𝑃(𝐹) = 𝑃(𝑍 1 = 9) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 9) = 4 36 ∙ 4 10 = 2 45 𝑃(𝐺) = 𝑃(𝑍 1 = 10) ∙ 𝑃(𝐼 = 1|𝑍 1 = 10) = 3 36 ∙ 3 9 = 1 36
𝑃(𝐼 = 1) = 2 9 + 2 ∙ 1 36 + 2 ∙ 2 45 + 2 ∙ 25 396 = 244
495
sehingga 𝑃(𝐼 = 0) = 251 495 .
Karena  jumlah  kemenangan  saat  permainan craps  diulang  sebanyak  200.000  atau G = 200000  merupakan  peubah  acak  binom dengan 𝑝 = 244 495 maka diperoleh
𝜇 = 200000 ∙ 244 495 = 98585,86
𝜎 2 = 200000 ∙ 244 495 ∙ 251 495 .
Dengan  menggunakan  teorema  1  diperoleh statistik uji pada uji 1 yaitu
𝑧𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 = 𝑋−𝑛𝑝 √𝑛𝑝𝑞 = 𝑋−98585,86 √200000 ∙ 244 495 ∙ 251 495 .
Berdasarkan central limit theorem , untuk 𝑛 → ∞  distribusi  dari 𝑧𝑠𝑐𝑜𝑟𝑒 = 𝑋 − 98585,86
√200000 ∙ 244 495 ∙ 251 495
mendekati 𝑁(0,1)
b. Proses pembentukan statistik uji pada uji 2
Pada  proses  pembentukan  statistik  uji pada  uji  2,  terlebih  dahulu  harus  dihitung probabilitas  dari  jumlah  lemparan  yang mungkin  dilakukan  seorang  pemain.  Seperti yang  telah  dijelaskan  sebelumnya  jumlah lemparan  dikelompokkan  kedalam  21  kelas mulai  dari  kelas  1  yang  merepresentasikan pemain  hanya  dapat  melakukan  lemparan sebanyak satu kali atau dengan kata lain kalah pada  lemparan  pertama  atau  menang  pada lemparan  pertama.  Dikatakan  kalah  pada lemparan  pertama  yaitu  ketika  jumlah  mata dadu  pada  lemparan  pertama  bernilai  2,  3 atau  12,  sedangkan  dikatakan  menang  pada lemparan  pertama  adalah  ketika  mata  dadu bernilai 7 atau 11. Kelas yang lain yaitu kelas 2 sampai 21 terjadi ketika jumlah mata dadu bernilai  sama  (4,5,6,8,9  atau  10)  pada lemparan pertama,  kedua dan seterusnya.
Berikut  adalah  proses  pembentukan statistik ujinya.
1) Untuk kelas 1 (𝑁 = 1)
Karena probabilitas melempar hanya 1 kali adalah
𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 𝑧) = 1 . maka probabilitas kelas 1 adalah 𝑃(𝑁 = 1) = 𝑃(𝑍 = 2) ∙ 𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 2) +𝑃(𝑍 = 3) ∙ 𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 3) +𝑃(𝑍 = 12) ∙ 𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 12) +𝑃(𝑍 = 7) ∙ 𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 7)
+𝑃(𝑍 = 11) ∙ 𝑃(𝑁 = 1|𝑍 = 11) = 1 36 ⁄ ∙ 1 + 2 36 ⁄ ∙ 1 + 1 36 ⁄ ∙ 1
+ 6 36 ⁄ ∙ 1 + 2 36 ⁄ ∙ 1 = 12 36

## ⁄
Setelah  probabilitas  dari  kelas  ke-1 diperoleh  maka  dapat  dihitung  nilai harapannya ketika G = 200000 yaitu 𝐸(𝑁 = 1) = 200000 ∙ 𝑃(𝑁 = 1)
= 200000 ∙ 12 36 ⁄ = 66666,7 2) Untuk  kelas  yang  lain (𝑁 = 𝑛) dengan 𝑛 = 2,3, ⋯ ,20
Probabilitas  melempar  sebanyak n kali merupakan distrisbusi geometri sehingga
𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 𝑧) = 𝑃 𝑍=𝑧 ∙ (1 − 𝑃 𝑍=𝑧 ) (𝑛−1)−1 = 𝑃 𝑍=𝑧 ∙ (1 − 𝑃 𝑍=𝑧 ) 𝑛−2
untuk 𝑛 = 2,3, ⋯ ,20 dengan 𝑃 𝑍=𝑧 adalah probabilitas  permainan  berakhir  saat muncul  jumlah  mata  dadu  7 (𝑍 = 7) yang pertama.
Sehingga
𝑃
𝑍=𝑧 = 𝑃(𝑍 = 𝑧) + 𝑃(𝑍 = 7) . maka untuk 𝑧 = 4,5,6,8,9,10 diperoleh
𝑃 𝑍=4 = 𝑃(𝑍 = 4) + 𝑃(𝑍 = 7) = 3 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 9 36 ⁄ 𝑃 𝑍=5 = 𝑃(𝑍 = 5) + 𝑃(𝑍 = 7) = 4 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 10 36 ⁄ 𝑃 𝑍=6 = 𝑃(𝑍 = 6) + 𝑃(𝑍 = 7) = 5 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 11 36 ⁄ 𝑃 𝑍=8 = 𝑃(𝑍 = 8) + 𝑃(𝑍 = 7) = 5 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 11 36 ⁄ 𝑃 𝑍=9 = 𝑃(𝑍 = 9) + 𝑃(𝑍 = 7) = 4 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 10 36 ⁄ 𝑃 𝑍=10 = 𝑃(𝑍 = 10) + 𝑃(𝑍 = 7) = 3 36 ⁄ + 6 36 ⁄ = 9 36 ⁄
Probabilitas kelas ke- n adalah
𝑃(𝑁 = 𝑛) = 𝑃(𝑍 = 4) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 2) +𝑃(𝑍 = 5) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 5) +𝑃(𝑍 = 6) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 6) +𝑃(𝑍 = 8) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 8) +𝑃(𝑍 = 9) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 9)
+𝑃(𝑍 = 10) ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 10) karena 𝑃(𝑍 = 4) = 𝑃(𝑍 = 10) dan 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 4) = 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 10) serta
𝑃(𝑍 = 5) = 𝑃(𝑍 = 9) dan 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 5) = 𝑃(𝑁 = 𝑛|𝑍 = 9) , maka 𝑃(𝑁 = 𝑛) = 2 ∙ 𝑃(𝑍 = 4) ∙ 𝑃 ( 𝑁 = 𝑛 | 𝑍 = 4 ) + 2 ∙ 𝑃 ( 𝑍 = 5 ) ∙ 𝑃 ( 𝑁 = 𝑛 | 𝑍 = 5 ) + 2 ∙ 𝑃 ( 𝑍 = 6 ) ∙ 𝑃 ( 𝑁 = 𝑛 | 𝑍 = 6 ) = 2 ∙ 𝑃(𝑍 = 4) ∙ 𝑃 𝑍=4 (1 − 𝑃 𝑍=4 ) 𝑛 − 2 +2 ∙ 𝑃(𝑍 = 5) ∙ 𝑃 𝑍=5 (1 − 𝑃 𝑍=4 ) 𝑛 − 2 +2 ∙ 𝑃(𝑍 = 6) ∙ 𝑃 𝑍=6 (1 − 𝑃 𝑍=4 ) 𝑛 − 2 = 2 ∙ 3 36 ⁄ ∙ 9 36 ⁄ ∙ (1 − 9 36 ⁄ ) 𝑛 − 2 +2 ∙ 4 36 ⁄ ∙ 10 36 ⁄ ∙ (1 − 10 36 ⁄ ) 𝑛 − 2
+2 ∙ 5 36 ⁄ ∙ 11 36 ⁄ ∙ (1 − 11 36 ⁄ ) 𝑛 − 2
= 1 24 ⁄ (3 4 ⁄ ) 𝑛 − 2 + 5 81 ⁄ (13 18 ⁄ ) 𝑛 − 2 + 55 648 ⁄ (25 36 ⁄ ) 𝑛 − 2
untuk 𝑛 = 2,3,4, ⋯ ,20
Tabel 2 Probabilitas dan Nilai Harapan dari Kelas ke-2 s.d. Kelas ke-20 Kelas ke- Probabilitas Nilai Harapan n P ( N = n ) E ( N = n ) 2 0,188271605  37654,3 3 0,134773663  26954,7 4 0,096567311  19313,5 5 0,0692571 13851,4 6 0,049717715  9943,5 7 0,035725128  7145,0 8 0,025695361  5139,1 9 0,018499325  3699,9 10 0,013331487  2666,3 11 0,009616645  1923,3 12 0,006943702  1388,7 13 0,005018575  1003,7 14 0,003630703  726,1 15 0,002629179  525,8 16 0,001905753  381,2 17 0,001382697  276,5 18 0,001004149  200,8 19 0,000729922  146,0 20 0,000531076  106,2
Seperti  pada  kelas  ke-1  maka  setelah diperoleh probabilitas dari  masing-masing kelas maka dapat dihitung nilai harapannya ketika G = 200000 yaitu 𝐸(𝑁 = 𝑛) = 200000 ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛) untuk 𝑛 = 2,3,4, ⋯ ,20 .
Probabilitas  dan  nilai  harapan  dari  kelas ke-2 s.d. ke-20 ditampilkan pada Tabel 2.
3) Untuk kelas ke-21 ( N = 21)
Pada uji 2 diasumsikan lemparan di atas 21 kali  memiliki  kemungkinan  yang  kecil untuk  terjadi  (seperti  yang  ditunjukkan pada  Tabel  3)  maka  meskipun  pemain dapat  melakukan  lemparan  lebih  dari  21 kali, lemparan tersebut dimasukkan dalam kelas  ke-21.  Akibatnya  probabilitas  kelas ke-21 merupakan gabungan dari probabilitas ketika lemparan  mencapai 21 ditambah  probabilitas  ketika  lemparan diatas 21  kali atau dapat dihitung sebagai berikut :
𝑃(𝑁 = 21) = 1 − [𝑃(𝑁 = 1) + 𝑃(𝑁 = 2) + ⋯ + +𝑃(𝑁 = 20)] = 0,001436
sehingga nilai harapan kelas ke-21 ketika G = 200000 yaitu
𝐸(𝑁 = 21) = 200000 ∙ 0,001436 = 287,1
Tabel 3 Probabilitas
Kelas ke-21 s.d. Kelas ke-35 Kelas ke- Probabilitas n P ( N = n ) 21 0,000387 22 0,000282 23 0,000206 24 0,00015 25 0,00011 26 8,03E-05 27 5,88E-05 28 4,31E-05 29 3,16E-05 30 2,32E-05 31 1,7E-05 32 1,25E-05 33 9,19E-06 34 6,77E-06 35 4,98E-06 Karena  banyaknya  lemparan  merupakan data  berskala  nominal  dan  tujuan  dari  uji adalah untuk mengetahui apakah banyaknya lemparan membentuk
distribusi  seperti  yang  diharapkan  untuk suatu  barisan  acak  maka  staistik  uji  yang digunakan adalah chi-square goodness of fit yang dinyatakan dengan persamaan :
𝑐ℎ𝑖𝑠𝑞 = ∑ (𝑂 𝑛 − 𝐸(𝑁 = 𝑛)) 2
𝐸(𝑁 = 𝑛) 21 𝑛=1
dengan derajat bebas 20.
Berdasarkan  prosedur  uji chi-square goodness  of  fit yaitu  nilai  frekuensi  harapan tiap  kelas 𝑒 𝑖 ≥ 5 maka  pada  uji  2  jumlah permainan  yang  harus  dilakukan  minimal harus lebih dari atau sama dengan 9415 kali atau 𝐺 ≥ 9415 .    Karena  probabilitas  kelas bervariasi  maka  nilai  yang  diambil  sebagai rujukan  adalah  probabilitas  terkecil.  Dari kelas  ke-1  s.d.  kelas  ke-21  probabilitas terkecil  dimiliki  oleh  kelas  ke-20  yaitu 0,000531076.
Bukti :
𝑒 𝑖 = 𝐺 ∙ 𝑃(𝑁 = 𝑛) dengan  minimal 𝑃(𝑁 = 21) = 0,000531076 maka 5 = 𝐺 ∙ 0,000531076 sehingga minimal 𝐺 =
5 0,000531076 = 9414,8485 = 9415 .
p adalah notasi untuk proporsi.
Basic  step : 𝑝(9415) benar  karena 9415 ∙ 0,000531076 = 5,00008054 ≥ 5
Inductive step : misalkan 𝑝(𝐺) benar sehingga 𝐺 ∙
0,000531076 ≥ 5 maka  akan  ditunjukkan bahwa saat 𝑝(𝐺 + 1) juga benar. 𝑝(𝐺 + 1): (𝐺 + 1) ∙ 0,000531076 ≥ 5 ⇒ (𝐺 + 1) ∙ 0,000531076 = (𝐺 ∙ 0,000531076) +(0,000531076) ≥ 5 Menurut hipotesis induksi 𝐺 ∙ 0,000531076 ≥ 5 sedangkan untuk 𝐺 > 9415 , nilai 0,000531076 lebih  besar  dari  0  sehingga 0,000531076 akan memperbesar nilai di ruas kanan persamaan. Akibatnya
(𝐺 ∙ 0,000531076) + (0,000531076) ≥ 5 jelas benar. Jadi G pada uji 2 adalah 𝐺 ≥ 9415 .
Pada  uji  2  ini,  Marsaglia  merekomendasikan menggunakan G yang  lebih  besar  dari  9415 yaitu 200000 (Marsaglia and Tsang, 2002).

## Analisis Empiris
Hasil pengujian  dengan  menggunakan  dua uji dari uji craps pada sepuluh PRNG ditampilkan baik dalam bentuk tabel maupun gambar. Tabel 4 memperlihatkan hasil pengujian dengan menggunakan uji craps ke-1 pada sepuluh PRNG.
Tabel 4. Hasil Pengujian dengan Menggunakan
Uji Craps ke-1 Generator  Uji 1 z-score  P-value Ket. MWC-1 -3,269 0,00054  tdk acak MWC-2 -0,053 0,47885  acak MWC-3 -0,63 0,26435  acak SRG31-1 -0,831 0,20291  acak SRG31-2 2,152 0,98430  acak SRG31-3 -0,178 0,42925  acak SRG32-1 0,269 0,60603  acak SRG32-1 -0,286 0,38759  acak SRG32-3 0,269 0,60603  acak ICG 0,73 0,76720  acak
Pada  Tabel  4  terlihat  bahwa  hanya  PRNG MWC-1 yang tidak lulus uji craps ke-1 sedangkan kesembilan PRNG yang lain lulus uji tersebut. Hal ini karena jumlah kemenangan sebenarnya (hasil observasi) MWC-1  memiliki nilai yang jauh lebih kecil  dari  jumlah  kemenangan  harapan  dengan selisih sebesar 730,86. Berbeda dengan kesembilan PRNG lain yang memiliki selisih tidak terlalu  jauh  dari  nilai  harapan  yaitu  -185,86  s.d. 481,14.  Informasi  mengenai  jumlah  kemenangan observasi  dan  jumlah  harapan  kesepuluh  PRNG tersebut  ditampilkan  pada  Tabel  5.  Berdasarkan informasi yang diperoleh dari Tabel 4 dan Tabel 5 terlihat bahwa uji craps ke-1 cukup efektif untuk
mendeteksi  bentuk  distribusi  dan  independensi barisan yang dihasilkan suatu PRNG.
Tabel 5 Jumlah Kemenangan vs Jumlah Harapan dari Sepuluh PRNG Nama PRNG Jumlah Menang Selisih Observasi  Harapan MWC-1 97855 98585,86  -730,86 MWC-2 98574 98585,86  -11,86 MWC-3 98445 98585,86  -140,86 SRG31-1 98400 98585,86  -185,86 SRG31-2 99067 98585,86  481,14 SRG31-3 98546 98585,86  -39,86 SRG32-1 98646 98585,86  60,14 SRG32-2 98522 98585,86  -63,86 SRG32-3 98646 98585,86  60,14
Hasil  pengujian  pada  kesepuluh  PRNG dengan menggunakan uji craps ke-2 diperlihatkan pada Tabel 6. Pada Tabel 6 terlihat bahwa seluruh PRNG lulus uji ke-2. Hal ini karena nilai observasi pada  tiap  kelas  tidak  berbeda  jauh  dengan  nilai harapannya.  Sebagai  contoh  ditampilkan  hasil pengujian  dengan  menggunakan  uji  craps  ke-2 pada PRNG MWC-1  secara lengkap pada Tabel 7.
Tabel 6 Hasil Pengujian dengan Menggunakan Uji Craps ke-2
Generator  Uji 2
chisq P-value Ket. MWC-1 26,69  0,855698  acak MWC-2 22,55  0,688596  acak MWC-3 19,82  0,530605  acak SRG31-1 15,48  0,251595  acak SRG31-2 18,4 0,438732  acak SRG31-3 26,39  0,846570  acak SRG32-1 16,33  0,303937  acak SRG32-1 16 0,283332  acak SRG32-3 16,33  0,303937  acak ICG 19 0,478151  acak
Pada Tabel 7 terlihat bahwa nilai observasi pada tiap  kelas  tidak  berbeda  jauh  dengan  nilai  yang diharapkan  yaitu  antara  -205,1  s.d.  259,7.  Hal tersebut  diperkuat  dengan  Gambar  1.  Pada Gambar  1  terlihat  bahwa  banyaknya  lemparan sebenarnya (hasil observasi) dengan nilai harapan tiap kelas tidak memiliki selisih yang terlalu jauh.
Tabel 7 Hasil Pengujian dengan Menggunakan Uji Craps ke-2 pada MWC Generator -1
Kelas  Observed  Expected  Chisq  Sum 1 66490 66666.7 .468 .468 2 37914 37654.3 1.791  2.259 3 26889 26954.7 .160 2.419
4 19320 19313.5 .002 2.421 5 14088 13851.4 4.041  6.462 6 10026 9943.5 .684 7.146 7 7105 7145.0 .224 7.370 8 4934 5139.1 8.183  15.554 9 3713 3699.9 .047 15.600 10 2646 2666.3 .155 15.755 11 1904 1923.3 .194 15.949 12 1426 1388.7 1.000  16.949 13 978 1003.7 .659 17.607 14 670 726.1 4.340  21.948 15 512 525.8 .364 22.312 16 383 381.2 .009 22.321 17 268 276.5 .264 22.585 18 195 200.8 .169 22.754 19 160 146.0 1.346  24.099 20 115 106.2 .727 24.826 21 264 287.1 1.861  26.687
Gambar 1 Grafik Banyaknya Lemparan vs Nilai Harapan Tiap Kelas pada MWC-1
Berdasarkan  informasi  dari  Tabel  6  dan Tabel  7  serta  Gambar  1,  terlihat  bahwa  uji  craps ke-2  cukup  efektif  untuk  mendeteksi  bentuk distribusi  dan  independensi  barisan  yang dihasilkan suatu PRNG.

## PENUTUP
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah dilakukan maka dapat disimpulkan bahwa :
1. Pada uji craps ke-1, jumlah kemenangan saat permainan  craps  merupakan  peubah  acak binom sehingga dengan menggunakan central limit theorem diperoleh bahwa statistik uji ke- 1 mendekati distribusi normal baku.
2. Statistik uji yang digunakan pada uji craps ke- 2 adalah uji chi-square goodness of fit dengan distribusi hipotesis adalah distribusi
multinomial  karena  banyaknya  lemparan yang dihitung pada uji craps ke-2 merupakan data  berskala  nominal  yang  terdiri  dari  21 kelas  dan  tujuan  dari  uji  ke-2  adalah  untuk mengetahui  apakah  banyaknya  lemparan membentuk distribusi seperti yang diharapkan untuk suatu barisan acak.
3. Sesuai  dengan  prosedur  uji chi-square goodness  of  fit maka  jumlah  permainan  yang harus dilakukan pada uji craps ke-2 minimal harus lebih atau sama dengan 9415 kali.
4. Hasil pengujian terhadap sepuluh PRNG yang berasal  dari  tiga  tipe  PRNG  yang  berbeda menunjukkan uji craps baik uji 1 maupun uji- 2  cukup  efektif  untuk  mendeteksi  bentuk distribusi  dan  independensi  barisan  yang dihasilkan suatu PRNG.

## REFERENSI
[1] Kerckhoffs  A.,  (1883),  La  Cryptographic Militaire. Journal des Sciences Militaires IX. 5- 38.
[2] Marsaglia  G.,  (1985),  A  current  view  of random  number  generator, Keynote  Addres, Proc.Statistics  and  Computer  Science  :  16 th Symposium on the Interface, Atlanta .
[3] Marsaglia  G.  &  Tsang  W.W.,  (2002),  Some dificult-to-pass  of  randomness, Journal  of Statistical Software . 7, Issue 3.
[4] Schneier  B.,  (1996),  Applied  Cryptography  : Protocols,  Algorithms  and  Source  Code  in  C 2 nd Edition, John Wiley & Sons, Canada.
[5] Soejati Z., (1985), Metode Statistika 2 Edisi 1 ,
Universitas Terbuka, Jakarta.