Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.10 No.1 (2016) Hal. 38-45
METODE DEKOMPOSISI LAPLACE UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL NONLINIER
Sinar Ismaya, Yuni Yulida * , Na’imah Hijriati Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat
* email: y_yulida@unlam.ac.id

## ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial dikelompokkan menjadi dua bagian yaitu persamaan diferensial linier dan nonlinier. Banyak fenomena alam yang dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial parsial nonlinier, seperti K-dV dan persamaan Burger. Untuk dapat menjelaskan fenomena alam yang berbentuk persamaan diferensial parsial nonlinier  diperlukan metode pendekatan yang selanjutnya dapat diaplikasikan untuk menentukan solusi persamaan diferensial parsial tersebut. Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan penyelesaian persamaan diferensial non- linier adalah Metode Dekomposisi Laplace yang menggabungkan teori Transformasi Laplace dan Metode Dekomposisi Adomian.Penelitian ini dilaksanakan  dengan menggunakan metode literatur, dengan prosedur sebagai berikut : Mengkaji tentang Persamaan Diferensial Parsial Non-Linier, Metode  Dekomposisi Adomian,  Transformasi Laplace  dan  Metode Dekomposisi Laplace; kemudian menentukan penyelesaian persamaan diferensial non-linier dengan Metode Dekomposisi Laplace.  Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh solusi persamaan diferensial parsial nonlinier
Orde satu dengan menggunakan metode dekomposisi Laplace yaitu
0 n n u u ∞ = = ∑ dengan
𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥)� dan 𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0
dan pada persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua adalah
0 n n u u ∞ = = ∑ dengan
𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠2 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥) + 1 𝑠𝑠2 𝑘𝑘(𝑥𝑥)� dan 𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠2 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠2 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0
Kata kunci : Persamaan Diferensial Parsial Non-Linier  Metode Dekomposisi Laplace

## 1. PENDAHULUAN
Persamaan diferensial adalah persamaan yang di dalamnya terdapat turunan terhadap satu atau lebih variabel bebas. Jika terdapat variabel bebas yang tunggal, turunannya merupakan turunan biasa dan persamaannya disebut Persamaan diferensial  biasa ( ordinary differential equation ). Jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, turunannya adalah turunan parsial dan persamaannya disebut Persamaan  diferensial  parsial ( partial differential equation )  [1].  Persamaan diferensial parsial dikelompokkan menjadi dua bagian yaitu persamaan diferensial parsial linier dan persamaan diferensial parsial nonlinier. Solusi persamaan diferensial parsial linier dapat ditentukan dengan berbagai metode, diantaranya transformasi laplace, metode pemisahan variabel, metode beda hingga, metode Euler dan metode D’Alembert. Di sisi lain, untuk menjelaskan fenomena alam
yang berbentuk persamaan diferensial parsial nonlinier,  seperti persamaan K-dv dan persamaan burger, diperlukan solusi eksak sehingga model dari persamaan diferensial parsial nonlinier dapat diinterpretasikan.  Namun, karena terdapat bagian nonlinier maka sulit untuk menentukan solusi eksak dari persamaan ini. Salah satu metode yang digunakan untuk menentukan solusi  persamaan diferensial  nonlinier  adalah Metode Dekomposisi Laplace  yang menggabungkan teori Transformasi Laplace dan Metode Dekomposisi Adomian.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Secara umum persamaan diferensial parsial linier orde satu yang memiliki variabel tak bebas 𝑢𝑢 =  𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) dan variabel bebas 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 berbentuk [6]:
𝐴𝐴( 𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐵𝐵(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐶𝐶(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (1)
Bentuk umum persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan dua peubah bebas adalah ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , ,
, , , ( , ) , u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x y y x x y ∂ ∂ ∂ ∂
∂ + + + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
(2)
Jika persamaan diferensial orde satu dan dua dengan peubah bebas x dan y tidak dapat dinyatakan dalam kedua persamaan  diatas  maka berturut-turut  disebut persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu dan dua [5]
Berikut  diberikan  definisi  transformasi Laplace  untuk fungsi dua peubah dalam peubah x dan t :
Definisi 1 [7] Diberikan fungsi dua peubah u(x,t) dimana t ≥ 0 adalah peubah waktu. Misalkan U(x,s) adalah transformasi Laplace dari u(x,t) terhadap t, maka transformasi laplace dari fungsi dua peubah u(x,t) yang dinyatakan oleh ℒ{𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} didefinisikan sebagai berikut:
𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠)   = ℒ{𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} = ∫ 𝑒𝑒 −𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝑡𝑡 ∞ 0 , 𝑠𝑠 > 0. (3)
Berikut disajikan sifat transformasi Laplace dari turunan parsial: Sifat 2 [4] Diberikan fungsi u (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) . Jika ℒ{𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} = 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠) maka (i)       ℒ � 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝜕𝜕 � = 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝜕𝜕 (ii)     ℒ � 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 � = 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 (iii)       ℒ � 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝑠𝑠 � =  𝑠𝑠𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠) − 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0)
(iv)     ℒ � 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝑠𝑠 2 � = 𝑠𝑠 2 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠) − 𝑠𝑠𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0) − 𝑢𝑢 𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 0) (4)
Definisi 1 [8]
Invers  transformasi Laplace  untuk fungsi dua peubah (peubah x dan t )  disajikan dalam definisi berikut:
Misalkan transformasi Laplace dari fungsi 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) adalah 𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠) ,
( ) { } , ( , ) u x t U x s =  ,  fungsi 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) disebut invers transformasi Laplace dari U(x,s), yaitu:
𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 {𝑈𝑈(𝑥𝑥, 𝑠𝑠)}
Berikut disajikan metode dekomposisi Adomian untuk Persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu dan dua :
Persamaan  diferensial parsial nonlinier orde satu dituliskan dalam bentuk operator:
𝐿𝐿 𝑠𝑠 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑅𝑅𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) + 𝑁𝑁𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) (5) dengan   nilai awal 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| 𝑠𝑠=0 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0) dan persamaan  diferensial parsial nonlinier orde dua  dituliskan dalam bentuk operator:
( ) ( ) ( ) ( ) , , , ,
tt L u x t Ru x t Nu x t g x t + + = (6)
dengan nilai awal 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)| 𝑠𝑠=0 = 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 0) 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝜕𝜕,𝑠𝑠) 𝜕𝜕𝑠𝑠 | 𝑠𝑠=0 = 𝑢𝑢 𝑠𝑠 (𝑥𝑥, 0)
dengan 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝑠𝑠 = 𝜕𝜕 2 𝜕𝜕𝑠𝑠 2 , 𝐿𝐿 𝑠𝑠 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑠𝑠 , R merupakan jumlahan operator sisa dari 𝐿𝐿 𝑠𝑠 , dan 𝑁𝑁 adalah bagian nonliniernya.
Metode Dekomposisi Adomian mengasumsikan bahwa fungsi 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) adalah fungsi kontinu dan dapat didiferensialkan sehingga dapat dituliskan dalam bentuk deret tak hingga :
0 ( , ) ( , ) n n u x t u x t ∞ = = ∑
Selanjutnya, bagian nonliniernya dituliskan dalam bentuk deret tak hingga,
yaitu:
0 ( , ) n n Nu x t A ∞ = = ∑ dengan n A adalah polinomial Adomian dari 𝑢𝑢 0 , 𝑢𝑢 1 , … , 𝑢𝑢 𝑛𝑛 , yaitu: 0 0 1 ( , ) ( , ) ! n n n n n n d A x t N u x t n d λ λ λ ∞ = =     =         ∑ (7)
Jika 𝑛𝑛 = 0 maka berdasarkan persamaan polinomial adomiannya adalah fungsi semula nonliniernya, yaitu:
0 0 ( , ) ( ( , )) A x t N u x t = (8) Jika 1, 2, 3,... n = maka polinomial adomiannya adalah persamaan (7)

## 3. METODE
Metode yang digunakan bersifat studi literature. Prosedur penelitian dimulai dengan mengumpulkan dan mengkaji  materi  tentang  Persamaan Diferensial Parsial Nonlinier, Metode  Dekomposisi Adomian, Transformasi Laplace  dan Metode Dekomposisi Laplace; menentukan penyelesaian persamaan diferensial nonlinier dengan Metode Dekomposisi Laplace, serta penerapan  dalam beberapa contoh.
4. PEMBAHASAN
4.1 Metode Dekomposisi Laplace untuk PDP Nonlinier Orde Satu

## Langkah 1
Persamaan diferensial pada  persamaan (5)  kedua ruasnya dikenakan transformasi Laplace, yaitu:
ℒ{𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} = 1 𝑠𝑠 [ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + ℎ(𝑥𝑥) − ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − ℒ{𝑁𝑁𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)}] (9)

## Langkah 2
Menentukan relasi rekursif dengan menerapkan metode dekomposisi Adomian pada persamaan (9), diperoleh:
( ) { } ( ) { } 0 1 1 ,
, ( ) u x t g x t h x s s = +   (10) ( ) { } ( ) { } { } 1 1 1 , , ; 0 n n n u x t
Ru x t A n s s + = − − ≥    (11)

## Langkah 3
Menggunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan solusi. Aplikasikan invers transformasi laplace pada kedua ruas (10) dan (11): Sehingga akan menghasilkan:
𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥)�
dan 𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0

## 4.2 Metode Dekomposisi Laplace untuk PDP Non Linier Orde Dua Langkah 1
Persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua pada persamaan (6) kedua ruasnya dikenakan transformasi Laplace.
( ) { } ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) { } 2 1 , , ( )
, , u x t g x t sh x k x Ru x t Nu x t s   = + + − −       (12)

## Langkah 2
Menentukan relasi rekursif dengan menerapkan metode dekomposisi pada persamaan (12), diperoleh:
ℒ{𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} = 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥) + 1 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘(𝑥𝑥) (13)
ℒ{𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} = − 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 } ; 𝑛𝑛 ≥ 0 (14)

## Langkah 3
Menggunakan invers transformasi Laplace untuk menentukan solusi. Aplikasikan invers transformasi laplace pada kedua ruas persamaan (13) dan (14):
𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ (𝑥𝑥) + 1 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘(𝑥𝑥)�
dan 𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0
Solusi persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu dan dua yaitu:
0 1 2 3 0 ... n n u u u u u u u ∞ = = + + + + ⇔ = ∑

## 3.3 Penerapan Metode Dekomposisi Laplace
Diberikan persamaan diferensial parsial orde dua sebagai berikut:
2 2 ( , ) ( , ) ( , ) u x t u x t u x t u t x x ∂ ∂ ∂ = − ∂ ∂ ∂
dengan nilai awal:
2 ( , 0) 1 u x x = −
Persamaan diatas akan diubah ke dalam bentuk operator, yaitu:
𝐿𝐿 𝑠𝑠 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = 𝑅𝑅𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) − 𝑁𝑁𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑡𝑡) (15)
dimana ( ) ( , , ) t u L u x t x t t = ∂ ∂ ( ) 2 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x u x t Ru x t x u x t Nu x t u u u x ∂ = ∂ ∂ = = ∂
Berikut langkah-langkah dalam menentukan solusi  persaman diferensia  parsial orde dua tersebut:
Langkah 1
Laplacekan kedua ruas persamaan (15):
{ } ( ) { } 2 2 2 ( , ) ( , ) 1 1 x u x t u x t u u x x s   ∂   = − + −     ∂             

## Langkah 2
Menerapkan metode dekomposisi pada persamaan,  Adomian mengasumsikan penyelesaian dalam bentuk persamaan persamaan, yaitu:
0 ( , ) ( , ) n n u x t u x t ∞ = = ∑ dan untuk suku nonlinier pada persamaan akan diuraikan menjadi: ( ) 0 n x n u u A ∞ = = ∑ untuk 𝑛𝑛 = 0 ,  polinomial  adomian yang digunakan adalah persaamaan (8),sedangkan  untuk 𝑛𝑛 = 1,2,3 … polinomial  adomian yang digunakan adalah persaamaan (7)
Selanjutnya ( ) { } ( ) { } ( ) { } ( ) { } 0 1 2 3 , , , , ...
u x t u x t u x t u x t + + + +
    { } 2 2 0 0 2 ( , ) 1 1 n n n u t A x x s x ∞ ∞ = =   ∂   = − +
−     ∂        
  ∑ ∑   { } { } { } 2 2 2 0 1 2 2 2 2 0 1 2 1 1 1 1
1 ( , ) ( , ) ( , ) 2 1 ... ... 1 1 u x t u x t
u x t
x x x x A A s s s s s s A s 
       ∂ ∂ ∂   − + + +           ∂ ∂ ∂           =     − − − −   +      
Persamaan diatas adalah bentuk deret rekursif yang dapat disajikan dalam :
( ) { } 0 2 1 1 , u x x t s  − =       (16)
( ) { } { } 1 2 2 1 ( , ) , n n n u x t u x t s A x +     ∂ −     ∂       =    0 n ≥ (17)

## Langkah 3
Aplikasikan invers transformasi laplace pada kedua ruas persamaan (16) dan (17):
( ) 1 0 2 1 1 , t x u x s −   −     =       ( ) { } 1 2 2 1 1 , ) , ( n n n u t x x u s x
A t − +      =      ∂ −   ∂             ; 0 n ≥
Selanjutnya, menentukan nilai 0 1 , ,... u u (i). Nilai ( ) 0 , u x t ( ) 1 1 0 2 2 2 1 1 1 1 , 1 x u x t s s x x − −       − − −      = = =  
                   (ii). Nilai ( ) 1 , u x t
akan dicari A 0 terlebih dahulu, yaitu:
( ) 0 0 0 2 2 3 2 2 2 4 1 x A u u x x x x   = = − = −    
Selanjutnya substitusikan A 0 ke u 1 , diperoleh:
( ) { } 0 1 2 2 1 0 ( , ) 1 , u x t s u x t A x −   ∂ −      =  
            ∂     3 2 3 1 4 4 1 2 x s x x −     − − −    
=                   2 2 t x = − (iii). Nilai ( ) 2 , u x t
akan dicari A 1 terlebih dahulu, yaitu: ( ) ( ) 1 1 0 0 1 x x A u u u u = +
2 2 3 2 2 2 4 1 t t x x x x       = − + −             3 4 4 12 t t x x = −
Selanjutnya substitusikan A 1 ke u 2 , diperoleh:
( ) { } 1 2 2 2 1 1 ( , ) 1 , u x t s u x t A x −   ∂ −      =  
      
     ∂     { } { } 4 3 4 1 12 4 12 1 1 1 t t t x x s x −       =      − − +           
3 1 3 1 4 t x s −   = −      2 3 2 t x = − 
Solusi dari persamaan diferensial parsial orde dua diatas adalah:
0 1 2 3 0 ( , ) ( , ) ... n n u x t u x t u u u u ∞ = = = + + + + ∑ 2 3 2 3 4 2 2 2 2
( , ) 1 ... t t t u x t x x x x   = − − −    − −  2 3 4 2 3 4 2 1 1 ... t t t t x x x x x   = − + + + + +     0 2 1 n n t x x ∞ =     = −           ∑ 2 1 x t = − −
Berikut adalah gambar grafik tiga dimensi untuk solusi yang diperoleh dari contoh 2 menggunakan program Maple 11:
Gambar 1. Solusi ( ) 2 , 1 u x t x t = − −
5. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil yang diperoleh  terdapat tiga langkah dalam menentukan solusi persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu dan dua. Solusi persamaan diferensial parsial nonlinier orde satu, yaitu:
0 n n u u ∞ = = ∑ dengan 𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥)� dan 𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0 dan solusi persamaan diferensial parsial nonlinier orde dua, yaitu:
0 n n u u ∞ = = ∑ dengan 𝑢𝑢 0 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 � 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} + 1 𝑠𝑠 ℎ(𝑥𝑥) + 1 𝑠𝑠 2 𝑘𝑘(𝑥𝑥)� dan
𝑢𝑢 𝑛𝑛+1 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡) = ℒ −1 �− 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝑅𝑅𝑢𝑢 𝑛𝑛 (𝑥𝑥, 𝑡𝑡)} − 1 𝑠𝑠 2 ℒ{𝐴𝐴 𝑛𝑛 }� ; 𝑛𝑛 ≥ 0

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]. Ayres, F. Jr. 1999. Persamaan Diferensial . Erlangga. Jakarta.
[2]. Abassy, Tamer A. 2010. New treatment of adomian decomposition method with compaction equations. Studies in Nonlinear Sciences 1 (2): 41-49.
[3]. Khan, Majid and M.Hussain. 2010. Modified laplace decomposition method. Applied Mathematical Sciences, Vol. 4, 2010, no. 36, 1769 - 1783.
[4].  Powers, David L. 1987 . Boundary Value Problems Third Edition . Elsevier Inc. United States of America.
[5]. Ross, S. L. 1984. Differential Equations . Third Edition. John Wiley & Sons. New York.
[6]. Johnshon, Robin. 2010. The Notebook Series : First Order Partial Diferential Equation.  School of Mathematics & StatisticsUniversity of Newcastle upon Tyne.
[7].  Schiff, L. Joel. 1999. The Laplace Transformation Aplication and Theory. Springer-Verlag New York Inc.
[8]. Yovanovich, M.M. -------. Laplace Transform.