Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi

## PERBANDINGAN METODE CROSS VALIDATION DAN GENERALIZED CROSS VALIDATION DALAM REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON SPLINE
Luh Putu Safitri Pratiwi, S.Si.,M.Si.
STMIK STIKOM Bali e-mail: safitri.pratiwi@yahoo.com

## Abstract
Regression  analysis  is  one  of  the most  popular  methods  in  statistics  to  explain  causal  relationships between  one  predictor  variables  to  one  response  variable.  In  general,  modeling  can  be  done  using regression analysis. The regression curve can be assumed by the parametric regression approach and the nonparametric regression approach. However, not all data acquired follows a certain pattern so that this type  of  data  uses  a  nonparametric  regression  approach.  The  nonparametric  regression  approach  is  not related  to  the  assumption  of  the  regression  curve  form  as  it  is  to  the  parametric  regression,  and  more flexible.  There  are  several  techniques  performed  for  estimation  in  nonparametric  regression  ie  Spline. Some cases in the regression analysis found many problems that can not be solved by simple regression analysis of one response because if using two response variables in the research, it must be seen the value of correlation between variables. As a result, regression issues must be solved by the birespon regression model. This study aims to describe the IMR and malnutrition status of children under five and to get the Spline  model  in  the  best  birespon  nonparametric  regression  through  the  relationship  between  the suspected variables by using Cross Validation (CV) and Generalized Cross Validation (GCV) methods. The  results  obtained  are  the  best  model  that  is  suitable  for  health    by  using  CV  method,  obtained  the minimum  CV  value  located  on  Spline  model  linear  one  knot  that  is  equal  to  77.37831  with  MSE  of 76.75449.
Keywords: Nonparametric Regression, GCV, CV, Spline, Birespon.

## Abstrak
Analisis  regresi  merupakan  salah  satu  metode  yang  sangat  populer  dalam  statistika  untuk  menjelaskan hubungan  sebab  akibat  antara  satu/beberapa  variabel  prediktor  terhadap  satu  variabel  respon. Pada umumnya,  pemodelan  yang  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  analisis  regresi.  Kurva  regresi  dapat diduga dengan pendekatan regresi parametrik dan pendekatan regresi nonparametrik. Namun, tidak semua data  yang  diperoleh  mengikuti  pola  tertentu  sehingga jenis  data  ini  menggunakan  pendekatan  regresi nonparametrik.  Pendekatan  regresi  nonparametrik  tidak  terkait  dengan  asumsi  bentuk  kurva  regresi seperti  halnya  pada  regresi  parametrik,  dan  lebih  fleksibel.  Ada  beberapa  teknik  yang  dilakukan  untuk estimasi  dalam  regresi  nonparametrik  yaitu  Spline. Beberapa  kasus  dalam  analisis  regresi  banyak dijumpai  permasalahan  yang  tidak  dapat  diselesaikan  dengan  analisis  regresi  sederhana  satu  respon karena  jika  menggunakan  dua  variabel  respon  pada  penelitian,  maka  harus dilihat  nilai  korelasi  antar variabel.  Akibatnya,  persoalan  regresi  harus  diselesaikan  dengan  model  regresi  birespon.  Penelitian  ini bertujuan untuk mendeskripsikan AKB dan status gizi buruk balita dan mendapatkan model Spline dalam regresi  nonparametrik  birespon  terbaik  melalui  hubungan  antara  variabel  yang  diduga  berpengaruh dengan  menggunakan  metode Cross  Validation (CV) dan Generalized  Cross  Validation  (GCV).  Hasil yang didapat yaitu model terbaik yang sesuai untuk derajat kesehatan di Indonesia pada tahun 2015 yaitu dengan menggunakan metode CV dengan  nilai CV minimum yang terletak  pada model Spline linier satu knot yakni sebesar 77.37831 dengan MSE sebesar 76.75449.
Kata kunci: Regresi Nonparametrik, GCV, CV, Spline, Birespon.
__________________________________________________________________
______________________________
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi

## I. PENDAHULUAN
Upaya  untuk  meningkatkan  derajat  kesehatan tidak  telepas  dari  indikator  yang  terlibat.  Indikator tersebut  pada  umumnya  tercermin  pada  kondisi angka  kematian,  angka  kesakitan  dan  status  gizi. Derajat kesehatan masyarakat digambarkan melalui Angka  Kematian  Bayi  (AKB),  Angka  Kematian Balita  (AKABA),  Angka  Kematian  Ibu  (AKI), angka morbiditas beberapa penyakit, dan status gizi balita [1]. Angka  kematian  bayi  (AKB)  dan  status gizi  balita  merupakan  indikator  yang  paling menggambarkan  tingkat  kesejahteraan  masyarakat [2].
Berdasarkan  data [1], AKB  di  Provinsi  Bali dari  tahun  2006  sampai  dengan  tahun  2015 menunjukan  trend  yang  fluktuatif,  meski  sudah lebih  rendah  dari  angka  kematian  bayi  secara nasional,.  AKB  di  Provinsi  Bali  tetap  lebih  rendah dibandingkan  dengan  target  Renstra  Dinkes Provinsi Bali yaitu 15 per 1.000 kelahiran hidup di tahun 2014 dan target MDG’s tahun 2015 yaitu 23 per  1.000  kelahiran  hidup.  AKB  terendah  dicapai oleh Kota Denpasar sebesar 0,6 per 1000 kelahiran hidup,  sedangkan  AKB  tertinggi  dicapai  oleh Kabupaten Karangasem  sebesar  10,6  per  1000 kelahiran  hidup.  Jumlah  kasus  balita  gizi  buruk  di Bali  tahun  2015  sebesar  80,52%  mengalami peningkatan  dibandingkan  tahun  2014  sebesar 79,92%,  akan  tetapi  capaian  ini  masih  dibawah target  Renstra  Dinkes  Provinsi  Bali  sebesar  81%. Kabupaten  yang  belum  mencapai  target  yaitu Buleleng (67,12%) dan Bangli (73,52%). Sementara  kabupaten  lainnya  sudah  memenuhi target.  Capaian  tertinggi  dicapai  oleh  kabupaten Klungkung  (86,1%)  dan  Badung  (86,02%).  Masih ada 19% balita yang belum terpantau status gizinya, hal  inilah  yang  memungkinkan  terjadi  masalah- masalah kesehatan. Masih terdapatnya Kabupaten/kota yang memiliki AKB dan status gizi Buruk  balita  tinggi  tentunya  tidak  terlepas  dari faktor-faktor  yang  mempengaruhi, yang  secara tepat  dapat  dilakukan  dengan  pemodelan  terhadap dua indikator tersebut.
Pada  umumnya,  pemodelan  yang  dapat dilakukan  dengan  menggunakan  analisis  regresi. Kurva  regresi  dapat  diduga  dengan  pendekatan regresi parametrik dan pendekatan regresi nonparametrik.  Pendekatan  regresi  parametrik digunakan  jika  pola  data  mengikuti  bentuk  pola tertentu  misalnya linier,  kuadratik,  dan  kubik  [3]. Namun, tidak semua data yang diperoleh mengikuti pola  tertentu  sehingga  jenis  data  ini  menggunakan
pendekatan  regresi  nonparametrik.  Pendekatan regresi  nonparametrik  tidak  terkait  dengan  asumsi bentuk  kurva  regresi  seperti  halnya  pada  regresi parametrik,  dan  lebih  fleksibel.  Ada  beberapa teknik yang dilakukan untuk estimasi dalam regresi nonparametrik yaitu Spline. Regresi Spline mempunyai  interpretasi  statistik  dan  interpretasi visual  yang  sangat  khusus  dan  sangat  baik  [4], sehingga  memiliki  keistimewaan  dibandingkan regresi lainnya.
Pemilihan parameter penghalus optimal dalam regresi Spline pada hakikatnya merupakan pemilihan  lokasi  titik  knot  [5]. Budiantara  [6] menyebutkan  bentuk  estimator  Spline  sangat dipengaruhi  oleh  nilai  parameter  penghalus,  jika nilai  parameter  penghalus  sangat  kecil  maka  akan memberikan  estimator  kurva  regresi  yang  sangat kasar.  Sebaliknya,  jika  nilai  parameter  penghalus sangat besar maka akan dihasilkan estimator kurva regresi  nonparametrik  yang  sangat  mulus  sehingga perlu  dipilih  parameter  penghalus  yang  optimal agar  diperoleh  estimator  yang  paling  sesuai  untuk data.  Beberapa  metode  untuk  memilih  parameter penghalus  yaitu Unbiased  Risk (UBR)  [7], Cross Validation (CV) [8]    dan  [9] memberikan  suatu metode Generalized  Cross  Validation (GCV). Dalam  beberapa  kasus,  CV  memiliki  kaitan  yang erat dengan GCV. GCV merupakan modifikasi dari CV  yang  didapat  dengan  meminimumkan  fungsi CV,  sehingga  menarik  untuk  dilakukan  suatu pembandingan  antara  metode  CV  maupun  GCV [10].
Beberapa  kasus  dalam  analisis  regresi  banyak dijumpai permasalahan yang tidak dapat diselesaikan  dengan  analisis  regresi  sederhana satu respon  karena  jika  menggunakan  dua  variabel respon  pada  penelitian,  maka  harus  dilihat  nilai korelasi  antar  variabel.  Apabila  variabel  respon dianalisis  secara  parsial  atau  satu-satu  korelasi antara variabel respon yang akan diteliti tidak akan menghasilkan  model  yang  optimal.  Akibatnya, persoalan  regresi  harus  diselesaikan  dengan  model regresi birespon.
[6] dalam  penelitiannya  menyebutkan  bahwa untuk  memilih  model  Spline  terbaik  dalam  regresi nonparametrik  dapat  digunakan  fungsi  prediksi yaitu uji CV, uji GCV, uji GML maupun uji UBR. Penelitian  mengenai  metode  CV  dan  metode  GCV pernah  dilakukan  oleh [11], diaplikasikan  dengan menggunakan  data  fertilitas  di  Provinsi  Jawa Timur.
Berdasarkan  hasil-hasil  penelitian  yang  telah
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi
diuraikan  di  atas,  maka  penelitian  ini  melihat karakteristik AKB dan status gizi dan memodelkan kedua  indikator  tersebut  dengan  menggunakan pendekatan  regresi  nonparametrik  birespon  Spline dengan metode CV dan GCV.

## A. Faktor – Faktor  yang  Mempengaruhi Angka  Kematian  Bayi  dan  Angka  Status Gizi Buruk
Mortalitas  atau  kematian  adalah  keadaan hilangnya  semua  tanda-tanda  kehidupan  secara permanen  yang  dapat terjadi  setiap  saat pada  siapa saja  setelah  kelahiran  hidup.  Mortalitas  dapat diukur  dari  Angka  Kematian  Bayi  (AKB),  yang mengukur  banyaknya bayi  yang meninggal sebelum  mencapai  usia  1  tahun  yang  dinyatakan dalam 1000 kelahiran hidup pada tahun yang sama [12].  Secara  garis  besar,  penyebabnya  kematian bayi ada dua yaitu endogen dan eksogen. Kematian bayi  endogen  atau  yang  dikenal  atau  yang  umum disebut  dengan  kematian  neonatal adalah  kematian bayi  yang  terjadi  pada  bulan  pertama  setelah dilahirkan,  dan  umumnya  disebabkan  oleh  faktor- faktor yang dibawa anak sejak lahir, diperoleh dari orang  tuanya  selama  dalam  kandungan  [2]. Sedangkan  kematian  bayi  eksogen  atau  kematian post  neo-natal,  adalah  kematian  bayi  yang  terjadi setelah satu bulan sampai menjelang usia satu tahun yang disebabkan oleh faktor-faktor yang berhubungan  dengan  pengaruh  lingkungan  sekitar [2].
Indikator  kedua  dalam  derajat  kesehatan  yaitu status  gizi  balita  yang  merupakan  ukuran  kondisi tubuh  seseorang  yang  dapat  dilihat  dari  makanan yang  dikonsumsi  dan  penggunaan  zat-zat  gizi  di dalam tubuh. Status gizi dibedakan atas gizi buruk, gizi  kurang,  gizi  baik,  dan  gizi  lebih.  Status  gizi masyarakat  dapat  dilihat  dari  indikator  banyaknya balita  dengan  gizi  buruk.  Gizi  buruk  merupakan status  kondisi  seseorang  yang  kekurangan  nutrisi, atau  nutrisinya  di  bawah  standar  rata-rata [13]. Menurut [14] faktor-faktor  yang  mempengaruhi status  gizi  ialah  tingkat  pendapatan  keluarga, tingkat  pengetahuan  ibu,  tingkat  pendidikan  ibu, tingkat pekerjaan ibu, dan tingkat asupan makanan.

## B. Penelitian yang Terkait
Beberapa  penelitian  tentang  Spline  dalam regresi nonparametrik birespon yaitu: 1. [15] dengan judul faktor-faktor yang mempengaruhi derajat kesehatan dengan menggunakan  regresi  multivariat  (studi kasus :
derajat  kesehatan  kabupaten  dan  kota  di Provinsi Sumatera Barat). Hasil penelitian yang di dapat ialah faktor-faktor yang mempengaruhi angka kematian bayi dan persentase gizi buruk balita  adalah  persentase  penduduk  dengan akses  sanitasi  yang  layak  dan  persentase  berat bayi lahir rendah (BBLR)
2. [16] dengan judul analisis faktor – faktor yang mempengaruhi  persentase  penduduk  miskin dan  pengeluaran  perkapita  makanan  di  Jawa Timur  dengan  metode  regresi  nonparametrik birespon Spline. Hasil penelitian yang di dapat ialah  model  regresi  nonparametrik  birespon Spline  terbaik  adalah  model  Spline  linier dengan satu titik knot
3. [17] dengan judul pendekatan regresi nonparametrik  birespon  untuk  pemodelan determinan  tingkat  pendidikan  di  Pulau  Papua, model terbaik yang diperoleh dengan GCV dan MSE  yang  terkecil  adalah  model  regresi nonparametrik  birespon  Spline  dengan  1  titik knot.
4. [11] dengan judul metode Cross Validation dan Generalized  Cross  Validation dalam  regresi nonparametrik Spline studi kasus data fertilitas di  Jawa  Timur  hasil  yang  diperoleh  estimasi kurva  regresi  nonparametrik  Spline  dengan metode GCV memberikan hasil yang lebih baik dibandingkan menggunakan metode CV dengan memperhatikan kriteria kebaikan model serta pengujian asumsi residual model.

## C. Regresi Parametrik
Regresi  parametrik  merupakan  metode  yang digunakan untuk mengetahui pola hubungan antara variabel  respon  dan  variabel  bebas,  yang  diketahui bentuk  kurva  regresinya.  Model  persamaan  regresi sebagai berikut.
n i x f y i i i , , 2 , 1 ; ) (      (1)
dengan :
i y merupakan respon ke-i, ) ( i x f merupakan kurva regresi, dan i  merupakan error yang diasumsikan identik, independen, dan berdistribusi normal Model  regresi  parametrik  linear  dengan variabel  prediktor 1 x , 2 x ,... m x secara  umum  dapat dituliskan pada persamaan berikut.
i im m i i i x x x y             2 2 1 1 0 (2) n i , , 2 , 1   (2.1)
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi

## D. Regresi Nonparametrik Spline
Model  regresi  nonparametrik  Spline secara umum dapat disajikan sebagai berikut [18].
n i t f y i i i , , 2 , 1 ; ) (      (3)
dengan ) ( i t f merupakan  fungsi  Spline  berorde p dengan titik knot r k k k , , , 2 1  dan i  adalah error yang berdistribusi normal independen dengan mean  nol  dan  varians 2 .  Titik  knot  merupakan titik  perpaduan  bersama  yang  memperlihatkan terjadinya  perubahan  pola  perilaku  dari  fungsi Spline pada interval-interval yang berbeda.
Apabila persamaan (3) disubstitusikan kedalam persamaan  (2)  maka  diperoleh  persamaan  regresi nonparametrik Spline sebagai berikut.
         p j r l p l i l p j i j i k t t t f 0 1 ) ( ) (   (4) (2) (2.4)
p l i k t   ) ( merupakan  fungsi truncated (potongan) yang dapat dijabarkan sebagai berikut.
         l i l i p l i p l i k t k t k t k t , 0 , ) ( ) ( (5)
Bila Persamaan (5) disubstitusikan ke persamaan (3)  akan  menghasilkan  model  regresi nonparametrik Spline sebagai berikut.
           p j r l i p l i l p j i j i n i k t t y 0 1 , , 2 , 1 ; ) (     (6)
Estimasi  regresi  nonparametrik  Spline truncated dapat  diperoleh  dengan  menggunakan  metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE).  Apabila pada Persamaan (6) diasumsikan error berdistribusi normal y i juga  berdistribusi  normal  dengan mean ) ( i t f dan  varians 2  .  Sehingga  diperoleh  fungsi Likelihood sebagai berikut.
   
                          
     2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 exp 2 2 2 1 exp ) ( ) , ( i i n n i n i i i i t f y t f y y f f y L    
(7)
Estimasi  titik  untuk  fungsi f didapatkan  dengan memaksimumkan  fungsi Likelihood   f y L , yang dapat dijabarkan sebagai berikut.
          2 2 2 1 0 2 1 1 max , max 2 exp 2 (8) p r n p n j i i i f R i j r p p l i l l L y f y t t k                                

## 
Kemudian  menerapkan  transformasi  logaritma sehingga menghasilkan persamaan sebagai berikut
 
   2 2 2 1 0 1 1 log , (2 ) (9)
2 2 p n r p j j j i p l i l i j l n L y y t t k       
          
     dengan ' 2 1 ) , , , ( r k k k   k .
Bila  Persamaan  (9)  diturunkan  secara parsial terhadap γ dan disamakan dengan nol pada sisi kanan akan mendapatkan hasil yang dijabarkan sebagai berikut.
    0 , log    γ  y (10)
Estimasi Likelihood untuk   k γ didapatkan dengan  melakukan  penjabaran  kembali  pada persamaan  (10).  Hasil  estimasi  parameter   k γ ˆ dapat dilihat pada persamaan berikut.
            y k X k X k X k X k γ ' 1 '   ˆ (11)

## E. Regresi Nonparametrik Birespon Spline
Menurut [19] dalam analisis regresi Spline jika terdapat  satu  variabel  respon  dan  satu  variabel prediktor  maka  regresi  ini  disebut  dengan  regresi Spline  univariabel.  Sebaliknya,  apabila  terdapat satu  variabel  respon  dan  lebih  dari  satu  variabel prediktor, maka  regresi  tersebut  dinamakan  regresi Spline  multivariabel.  Sedangkan  regresi  birespon didefinisikan sebagai salah satu model regresi yang memiliki  variabel  respon  lebih  dari  satu  dan diantara variabel-variabel tersebut terdapat korelasi atau hubungan yang kuat [20]. Jika regresi birespon memiliki bentuk kurva regresi yang tidak diketahui bentuk  polanya,  maka  pendekatan  yang  digunakan adalah  regresi  nonparametrik  birespon.  Model untuk  regresi  nonparametrik  birespon  Spline  dapat dituliskan sebagai berikut.
        p j ii ji i p j ii ji i x g y x f y 1 2 2 1 1 1 ) ( ) (
  (12)
dengan  fungsi f dan g adalah kurva regresi yang tidak  diketahui  bentuknya  dan  dihampiri  dengan fungsi Spline sebagai berikut.
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi
  1 1 ( ) ( ) 13 p m p h ji hj ji lj ji lj h l f x a x t k          dan   1 1 ( ) p m p h ji hj ji lj ji lj h l g x x t k          
dengan hj a dan lj  merupakan  untuk  parameter variabel  respon  pertama  sedangkan hj  dan lj  merupakan parameter variabel respon kedua.
Estimasi  parameter  bisa  dicari  dengan melakukan  optimasi Weighted  Least  Square (WLS).  Penentuan  matrik  pembobot W dalam kasus  ini  yaitu  dengan  perhitungan  nilai  varian kovarian  dari  respon  pertama  dan  respon  kedua. Adapun penyelesaian  optimasi  parameter  dengan WLS didapat persamaan sebagai berikut.
              X y W X y W      min p (14)
persamaan 14  dapat  diselesaikan  dengan penurunan  secara  parsial  dan  memisalkan  fungsi sebagai berikut.
) ( )' ( ) (     X y W X y   
Selanjutnya  persamaan  yang  diperoleh  diturunkan terhadap  sebagai berikut.
     ) ( (15)
Setelah  dilakukan  penurunan  terhadap  ,  hasil penurunan disamakan dengan nol. Sehingga bentuk estimasi model Spline dalam regresi nonparametrik birespon akan diperoleh sebagai berikut.
y k A Wy X WX X X X y ) ( ' 1 ) ' ( ˆ ˆ     
dengan     W X WX X X k
A     1 (16)

## F. Korelasi antara Variabel - Variabel Respon
Sebelum  merakukan  pemodelan,  terlebih dahulu  harus  diketahui  besar  hubungan  atau korelasi  antar  variabel-variabel  tersebut.  Untuk mengetahui  nilai  korelasinya  dapat  digunakan koefisien  korelasi  Pearson  yang  secara  umum memiliki persamaan sebagai berikut.
          2 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 var var cov y y y y y y r  (17)
atau dapat dituliskan dengan rumus sebagai berikut:
          2 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 var var cov y y y y y y r  (18)
dengan
     2 2 1 1 1 2 , 1 cov y y y y y y i n i i                      n i i n i i y y y y y y 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 var ; var
.  Nilai  koefisien  korelasi  yang  dihasilkan berdasarkan  perhitungan  dengan  korelasi  Pearson berkisar  antara -1  sampai  dengan  1.  Apabila  nilai koefisien  korelasi  mendekati -1  atau  1  maka hubungan  atau  korelasi  antara  variabel-variabel respon semakin kuat, sedangkan jika nilai koefisien korelasi  mendekati 0  maka  hubungan  atau  korelasi antara variabel-variabel respon semakin lemah [21].

## G. Pemilihan Titik knot optimal
Untuk  memperoleh  Spline  terbaik  bergantung pada  pemilihan  titik-titik  knot.  Dalam Spline,  titik knot merupakan perpaduan bersama antara perubahan  fungsi  pada  interval  yang  berlainan. Pemilihan  titik  knot  optimal  dalam  regresi Spline nonparametrik pada model-model koefisien bervariasi,  tidak  berbeda  jauh  dengan  pemilihan titik  knot  pada  regresi Spline  nonparametrik  pada umumnya.
Untuk  tujuan  memilih  parameter  optimal  ini, telah  dikembangan  beberapa  metode  dalam  regresi nonparametrik untuk data cross section, seperti [8] memberikan  metode Cross  Validation (CV), [7] memberikan metode Unbiased Risk (UBR), dan [9] memberikan  suatu  metode Generalized  Cross Validation (GCV).

## H. Cross Validation (CV)
Dasar  dari  metode  CV  adalah  untuk  memilih  nilai k (knot)  yang  minimumkan   k CV .  Langkah awal  dalam  metode  CV  adalah  memperhatikan bahwa  nilai  bergantung  secara  linear  pada  data dengan persamaan   y y k A  ˆ dengan     W X WX X X k A     1
Hasil yang diperoleh dari pengembangan perhitungan nilai CV diberikan sebagai berikut.
    2 1 1 ˆ 1 CV            n i ii i i y y n k A k (19)
Luh Putu Safitri Pratiwi
Metode CV mengasumsikan bahwa fungsi diperoleh  tanpa  pengamatan  ke-i  dari  data. Selanjutnya, estimator diperoleh dari suatu subsampel berukuran   yang diambil dari data asli. Apabila penghapusan pengamatan ke-i ini dilakukan  secara  berulang-ulang,  maka  akan diperoleh  suatu  persamaan  CV [10].    Metode  CV biasa  disebut  sebagai  metode  hapus-satu,  yaitu suatu metode yang bertujuan untuk meminimumkan  jumlah  kuadrat  dari  error  prediksi untuk  variabel  respon,  dimana  prediktor  untuk respon  tersebut  didasarkan  pada  estimator  yang menggunakan seluruh data kecuali data [22].

## I. Generalized Cross Validation (GCV)
Metode  untuk  memilih  titik  knot  optimal salah  satunya  adalah  dengan  metode  GCV [6]. GCV merupakan suatu bentuk modifikasi dari CV. Nilai GCV kemudian diperoleh, dengan menjumlahkan residual-residual kuadrat yang telah terkoreksi  dengan  kuadrat  dari  faktor-faktor  ini. Karena  faktor  yang  diperoleh  bernilai  sama  untuk setiap i, maka diperoleh.
 
    2 1 1 2 1 ˆ
1 ) ( k A trace n y y n k GCV n i i i               2 1 k A I    trace n k MSE (20)
dengan,             W k X k WX k X k X k A     1

## J. Kriteria Pemilihan Model Terbaik
Tujuan  analisis  regresi  adalah  mendapatkan model terbaik yang  mampu menjelaskan hubungan antara  variabel  prediktor  dan  variabel  respon berdasarkan  kriteria  tertentu.  Kriteria  yang  sering digunakan  adalah  pemilihan  model  terbaik Mean Square  Error (MSE). Nilai  MSE  adalah  nilai taksiran  dari  varians  residual,  sehingga  model regresi  terbaik  adalah  model  dengan  MSE minimum.  Koefisien  determinasi  adalah  nilai  dari proporsi keragaman total disekitar nilai tengah yang dijelaskan dari model regresi [21].

## II. METODOLOGI PENELITIAN

## A. Sumber Data
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah  data  sekunder  yang  diperoleh  dari  Dinas Kesehatan  Provinsi  Bali  tahun  2015  dan  data  dari
Survei  Sosial  Ekonomi  Nasional  (SUSENAS) Provinsi Bali tahun 2015.
B. Variabel Penelitian
Tabel 1. Variabel Penelitian Variabel Keterangan Variabel Y 1 Y 2 Angka Kematian Bayi (AKB) angka gizi buruk balita X 1
persentase  bayi  yang  tidak  diberi ASI
X 2 Persentase bayi  berat  badan  lahir rendah

## C. Metode Penelitian
Metode  penelitian yang  digunakan  untuk mencapai  setiap  tujuan  penelitian  dijabarkan sebagai berikut :
1. Mendeskripsikan AKB dan status gizi balita di Bali  serta  faktor – faktor  yang  diduga mempengaruhinya  dengan  membuat  plot antara  variabel  prediktor  dengan  variabel respon
2. Melihat  korelasi  antara  variabel  respon  yaitu AKB dan status gizi.
3. Memodelkan  data  dengan  model  regresi nonparametrik  birespon  Spline  dengan  satu titik knot, dua titik knot, dan tiga titik knot
4. Menghitung nilai CV dan GCV untuk masing- masing model regresi Spline.
5. Menentukan  titik  knot  dan  orde  knot  optimal berdasarkan nilai CV dan GCV minimum.
6. Melakukan  pengujian  signifikansi  parameter yang  dihasilkan  dari  estimasi  model  regresi nonparametrik  Spline  dengan  metode  CV  dan GCV minimum.
7. Melakukan diagnostik residual yang dihasilkan dari estimasi model regresi nonparametrik  Spline  dengan  metode  CV  dan GCV minimum.
8. Membandingkan  nilai  MSE  estimasi  model regresi nonparametrik Spline dengan titik knot optimal menggunakan metode CV dan GCV.
9. Menginterpretasikan hasil analisis dan mengambil kesimpulan.
Tahapan-tahapan  di  atas  dilakukan  secara otomatis  oleh  komputer  dengan  menggunakan software
Statistika. Untuk mempermudah pemahaman  alur  analisis,  maka  langkah-langkah analisis  dibuat  dalam  bentuk  diagram  alir  seperti berikut:
Luh Putu Safitri Pratiwi

## Gambar 1. Tahapan Implementasi Model dan

## Software Terhadap Kasus

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
A. Aplikasi  Model Regresi  Nonparametrik Birespon  Spline pada data AKB dan Angka gizi buruk di Provinsi Bali Sebelum  memodelkan Derajat  kesehatan di Provinsi Bali maka  perlu  dilihat  deskripsi  statistik dari data untuk masing masing variabel seperti pada table berikut  ini.  Statistik  deskriptif  yang ditampilkan  digunakan  dalam  program  terutama untuk inisialisasi titik knot.

## Tabel 2 Karakteristik AKB dan Angka Gizi Buruk
Balita Faktor yang diduga Mempengaruhi
Variabe l Rata- rata Varians i Minimum Maksimu m y 1 6.9 17.7 0.0 19.1 y 2 1.8 6.6 0.0 14.0
x 1 152.1 3774.1 63.9 458.4 x 2 5.4 9.9 0.6 13.6
Tabel  2.  menunjukkan karakteristik  AKB  dan angka  gizi  buruk  balita  yakni  nilai  rata – rata, variansi,  minimum,  dan  maksimum.  Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa rata – rata AKB di Provinsi Bali  yang  tersebar  pada  57  Kecamatan  tiap  1000 penduduk  adalah  sebanyak  6  atau  7  dengan keragaman  sebesar  17.7.  Terlihat  dari  nilai minimum dan maksimum pada Tabel 1. mengindikasikan  bahwa  AKB  di  Provinsi  Bali tertinggi sebesar 19.1% yaitu terletak di Kecamatan Kubu dan  terendah  sebesar  0% terletak  di Kecamatan Denpasar  Barat dan Kecamatan Kuta. Sementara itu, AKB di Provinsi Bali adalah sebesar 1.8% dengan keragaman sebesar 6.6.
Angka  gizi  buruk  balita  di  Provinsi  Bali tertinggi  sebesar  14.0% terletak  di  Kecamatan Kubu  dan  terendah  sebesar  0%  terletak  di Kecamatan  Ubud,  Tegallalang, Gianyar,  Melaya, Mendoyo, Susut, Banjarangkan,
Tabanan, Selemadeg,  Selemadeg  timur,  Pupuan,  Marga Petang, Kuta, Kuta Selatan, kuta Utara, Kubutambahan, Seririt, dan Manggis.
Penelitian ini bertujuan untuk membandingkan metode  CV  dan  metode  GCV  untuk  memilih  titik knot  optimal  dalam  regresi  Spline birespon. Untuk melihat  pola  hubungan  antar  variabel  dapat  dilihat dari  grafik  scatter  plot.  Hasil  sebaran  data  atau scatter  plot untuk  masing  masing  variabel respon dan variabel prediktor sebagai berikut:
Gambar 2. Scatterplot antara y 1 dengan x 1 dan x 2 500 400 300 200 100 20 15 10 5 0 15 10 5 0 x1 y1 x2 Scatterplot of y1 vs x1, x2 Menghitung koefiesien korelasi
antar variabel respon Membuat scaterrplot antara variabel respon dan prediktor Merancang model regresi nonparametrik birespon  Spline  sesuai kasus
Membandingkan  CV dan GCV pengujian signifikansi Menentukan titik knot optimal  dengan  CV dan GCV minimum
Intepretasi hasil
Luh Putu Safitri Pratiwi
Gambar 3. Scatterplot antara y 2 dengan x 1 dan x 2
Dilihat  dari  kedua  gambar  tersebut  maka pemodelan  yang  tepat  adalah  memodelkan  dengan regresi  nonparametrik  birespon  dengan  estimator yang  digunakan adalah  Spline.  Dari  variabel tersebut akan dibuat model dari model Spline linier dengan  jumlah  titik  knot  satu  dan  dua.  Hasilnya kemudian dibandingkan nilai CV dan GCV terkecil diantara model yang terbentuk. Pemilihan titik knot pada  model  dilakukan  secara otomatis  oleh program komputer
B. Regresi  Nonparametrik  Birespon Spline pada Data  AKB  dan  Angka  status  gizi
Buruk Balita Dalam memodelkan data dengan nonparametrik  birespon  Spline,  langkah  awal  yang dilakukan  adalah  menentukan titik  knot  optimal yang berkaitan dengan nilai CV dan GCV terkecil. Tabel-tabel berikut menunjukkan nilai CV dan nilai GCV pada data AKB dan Angka Gizi Buruk Balita Tahun  2015  dengan  titik  knot  satu  dan  dua diperoleh  dengan  menggunakan  bantuan  software Matlab.
Bentuk  umum birespon Spline  linier  dua variabel prediktor dengan k titik knot adalah:
(1) (1) (1) (1) (1) (1) ˆ ( ) ( ) 1 0 11 1 11 1 1 1 1 1 1 (1) (1) (1) (1) (1) ( ) ( ) 12 1 12 2 1 2 2 2 2 y x x K x K k k x x K x K k k    
                      (2) (2) (2) (2) (2) (2) ˆ ( ) ( ) 2 0 11 1 11 1 1 1 1 1 1 (2) (2) (2) (2) (2) ( ) ( ) 12 1 12 2 1 2 2 2
2
y x x K x K k j k
x x K x K k k    
                   



## C. Pemilihan  Titik  Knot  Optimal dengan metode GCV
Pada  hasil  pengolahan  data derajat  kesehatan di  Indonesia  dengan  dua variabel prediktor yaitu AKB  dan  angka  status  gizi  buruk  balita  dan menggunakan satu dan dua titik knot untuk masing- masing variabel prediktor didapatkan  nilai  GCV minimum  untuk  masing  masing  model  sebagai berikut:
Tabel 3. Nilai GCV Minimum dan MSE Masing- masing Titik Knot Variabel Prediktor GCV Minimum MSE 1 Titik knot 78.7909 77.4146 2 Titik knot 82.3998 80.9605
Tabel  3 menunjukkan  bahwa  nilai  GCV minimum  dihasilkan  pada  saat  menggunakan  knot satu  yakni  sebesar  78.7909  dengan  MSE  sebesar 77.4146. Sehingga, titik knot optimal yaitu terletak pada  GCV  satu  titik  knot  . Nilai  titik  knot  untuk masing  masing  variabel  prediktor pada  masing- masing respon seperti pada tabel berikut ini.
Tabel 4. Nilai Titik Knot untuk masing-masing
variabel Model Variable rediktor Titik  knot Respon 1 Titik  knot Respon 2 Linier 1 Knot x 1 176.61 176.61 x 2 0.60 0.60 Linier 2 Knot x 1 63.90 195.40 195.40 326.90 x 2 0.60 4.93 0.60 4.93
Hasil  estimasi  parameter  dari  model  terbaik  pada regresi  Spline  linier  dengan  satu titik  knot  adalah sebagai berikut:
Tabel 5. Estimasi Parameter Model Spline Linier
Multirespon dengan 1 titik knot Estimasi Respon 1 Respon 2 0  0.00045 0.00072 1  0.04816 0.08016 1  -0.01067 -0.02090 2  0.00292 0.00536 2  0.00264 0.00493
Sehingga estimasi model Spline linier birespon dengan  satu titik  knot  dapat  ditulis  keadalam bentuk persamaan sebagai berikut:
500 400 300 200 100 12 10 8 6 4 2 0 15 10 5 0 x1 y2 x2 Scatterplot of y2 vs x1, x2
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi
Untuk  variabel  respon  pertama yaitu AKB sebagai berikut.
ˆ 0.00045 0.04816 0.01067( 176.61) 1 1 1 0.00292 0.00264( 0.60) 2 2 y x x x x         
Untuk  variabel  respon  kedua angka  gizi  buruk balita sebagai berikut.
ˆ 0.00072 0.08016 0.02090( 176.61) 2 1 1 0.00536 0.00493( 0.60) 2 2 y x x x x         
D. Pemilihan  Titik  Knot  Optimal dengan Metode CV Pada hasil pengolahan data derajat kesehatan di Indonesia dengan dua variabel prediktor yaitu AKB dan angka status gizi buruk balita dan menggunakan satu dan dua titik knot untuk masing- masing  variabel  prediktor  didapatkan  nilai  CV minimum  untuk  masing  masing  model  sebagai berikut:
Tabel 6. Nilai CV Minimum dan MSE Masing-
masing Titik Knot Variabel Prediktor CV Minimum MSE 1 Titik knot 77.37831 76.75449 2 Titik knot 80.62915 80.96054 Tabel  6 menunjukkan  bahwa  nilai CV minimum  dihasilkan  pada  saat  menggunakan  knot satu  yakni  sebesar 77.37831 dengan MSE  sebesar 76.75449.  Sehingga,  titik  knot  optimal  yaitu terletak pada CV satu titik knot.
Nilai  titik  knot untuk  masing  masing  variabel prediktor  pada  masing-masing  respon  seperti  pada tabel berikut ini.
Tabel 7. Nilai Titik Knot untuk masing masing
variabel model Variable rediktor Titik  knot Respon 1 Titik  knot Respon 2 Linier  1 Knot x 1 162.53 162.53 x 2 0.60 0.60 Linier  2 Knot x 1 63.90 195.40 195.40 326.90 x 2 0.60 4.93 0.60 4.93 Hasil estimasi parameter dari model terbaik pada  regresi  Spline  linier  dengan  satu titik  knot adalah sebagai berikut:
Tabel 8. Estimasi Parameter Model Spline Linier
Birespon dengan 1 titik knot Estimasi Respon 1 Respon 2 0  0.00046 0.00072 1  0.04825 0.08030 1  -0.01160 -0.02003 2  0.00292 0.00537 2  0.00265 0.00494
Sehingga estimasi  model  Spline  linier  birespon dengan  1  titik  knot  dapat  ditulis  keadalam  bentuk persamaan sebagai berikut:
Untuk  variabel  respon  pertama yaitu AKB sebagai berikut. 0.00046 0.04825 0.01160 162.53 0.002 ˆ ( ) 1 1 1 ( 0.60) 2 92 0.0026 2 5 y x x x x 
       
Untuk  variabel  respon  kedua angka  gizi  buruk balita sebagai berikut. 0.00072 0.08030 0.02003 162.53 0.005 ˆ ( ) 2 1 1 ( 0.60) 2 37 0.0049 2 4 y x x x x         
D.    Perbandingan  Titik  Knot  Optimal dengan metode GCV dan CV
Tabel 9. Nilai CV Minimum dan MSE Masing-
masing Titik Knot Variabel Prediktor GCV Minimum MSE 1 Titik knot 78.7909 77.4146 2 Titik knot 82.3998 80.9605 Variabel Prediktor CV Minimum MSE 1 Titik knot 77.37831 76.75449 2 Titik knot 80.62915 80.96054
Dari  nilai CV  dan GCV  minimum  tersebut  maka model terbaik yang  sesuai  untuk derajat  kesehatan di  Indonesia  pada  tahun  2015  yaitu dengan menggunakan metode CV dengan model linier  satu titik knot.
Dari  model dengan  menggunakan  metode  CV maka  model  derajat  kesehatan  di  Indonesia  dapat diintepretasikan  kedalam  regresi  nonparametrik birespon yaitu:
1. Model  yang  terbaik  yang  menjelaskan  derajat kesehatan  yaitu  dengan  variabel  respon  AKB dan angka gizi buruk balita di Indonesia adalah model Spline linier dengan satu titik knot.
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi
2. Pada respon AKB dan respon angka gizi buruk balita,  perubahan  pola  perilaku  data  pada variabel  persentase  bayi  diberikan  ASI  terjadi pada  titik  162.53,  dimana  jika  nilai  variabel tersebut dibawah 162.53persen maka persentase  AKB  dan  angka  gizi  buruk  balita memiliki  pola  yang  berbeda  dengan  setelah persentase  bayi  diberikan  ASI  bernilai 162.53 persen dan lebih.
3. Pada respon AKB dan respon angka gizi buruk balita,  perubahan  pola  perilaku  data  pada variabel  BBLR  terjadi  pada  titik  0.60,  yaitu pola  persentase  AKB  dan  angka  gizi  buruk balita berubah setelah titik 0.60.

## IV. KESIMPULAN DAN SARAN A.  Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  dapat diambil kesimpulan sebagai berikut: 1. Model yang terbaik yang dapat menggambarkan tingkat  derajat  kesehatan  di Indonesia  yaitu  AKB  dan  angka  gizi  buruk balita  adalah  dengan  model  Spline  linier  satu titik  knot menggunakan  metode  CV.  Model yang terbentuk yaitu:
Untuk  variabel  respon  pertama yaitu AKB sebagai berikut.
0.00046 0.04825 0.01160 162.53 0.002 ˆ ( ) 1 1 1 ( 0.60)
2 92 0.0026 2 5 y x x x x         
Untuk  variabel  respon  kedua angka  gizi  buruk balita sebagai berikut. 0.00072 0.08030 0.02003 162.53 0.005 ˆ ( ) 2 1 1 ( 0.60)
2 37 0.0049 2 4 y x x x x         
Dengan, nilai CV  : 77.37831dan nilai  MSE sebesar: 76.75449.

## B.  Saran
Penelitian ini terbatas pada penggunaan regresi birespon Spline linier. Untuk penelitian selanjutnya dapat  dikembangkan  dengan  regresi kuadratik  dan kubik. Saran yang dapat diberikan dalam penelitian ini  adalah  perlu  dilakukan  penelitian  lebih  lanjut untuk  menentukan  uji  statistik  dari  model  yang terbentuk  misalnya  uji  hipotesis  dan  interval konfidensi  serta  dalam  memodelkan  derajat kesehatan di Indonesia, penulis hanya menggunakan dua variabel respon dan dua variabel prediktor, dengan jumlah knot terbanyak hanya dua titik  knot  sedangkan  masih  banyak  respon  dan
prediktor  yang  mungkin  mempengaruhi  derajat kesehatan di Indonesia

## V. DAFTAR PUSTAKA
[1] Dinkes Bali (Dinas Kesehatan Provinsi Bali).
(2015). Profil Kesehatan Provinsi Bali Tahun
2015. Bali: Pemerintah Provinsi Bali.
[2] Depkes RI (Departemen Kesehatan RI). (2003). Indikator Indonesia Sehat 2010 dan Pedoman Penetapan Indikator Provinsi Sehat dan Kabupaten/Kota Sehat: Keputusan Menteri Kesehatan Nomor 1202/Menkes/SK/VIII/2003.
Departemen Kesehatan RI, Jakarta.
[3] Budiantara,  I.  N.  (2007). Pendugaan  Model Fertilitas Wanita di Indonesia dengan Menggunakan  Regresi  Spline,  Laporan  Akhir Pelaksanaan  Penelitian  Studi  Kajian  Wanita Tahun Anggaran 2007, LPPM, Intitut
Teknologi Sepuluh Nopember, Surabaya
[4] Budiantara, I. N. (2009). Spline dalam Regresi Nonparametrik  dan  Semiparametrik:  Sebuah Pemodelan  Statistika  Masa  Kini  dan  Masa Mendatang,  ITS  Press,  Institut  Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.
[5] Tripena,  Agustini.  (2011). Penentuan  Model Regresi  Spline  Terbaik,  Prosiding  Seminar Nasional  Statistika  Universitas  Diponegoro 2011, Semarang.
[6] Budiantara, I. N. (2000).  Metode U, GML, CV dan GCV dalam Regresi Nonparametrik Spline, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia (MIHMI), 6, 41-45.
[7] Wang,  Y.  (1998).  “Spline  Smoothing  Models with  Correlated  Error”.  Journal  of  the  Royal Statistical Sociaty, Series B, 5r0, 341-348.
[8] Craven, P., and Wahba, G. (1979). "Smoothing Noisy Data With Spline Functions". Numerische Mathematik, 31, 377-403
[9] Wahba,  G.  (1990).  “Spline  Model  for
Observational D ata}”. SIAM, XII,
Philadelphia.
[10] Eubank,  R.  L.  (1988). “Spline  Smoothing  and Nonparametric Regression”. New York: Marcel Dekker.
[11] Fitriyani,  Nurul.  (2014).  Metode  Cross Validation  Dan  Generalized  Cross  Validation Dalam  Regresi  Nonparametrik  Spline  Studi Kasus  Data  Fertilitas  Di  Jawa  Timur.  Tesis, Jurusan Statistika,  Fakultas  Matematika  dan Ilmu  Pengetahuan  Alam,  Institut  Teknologi Sepuluh Nopember (ITS), Surabaya
Perbandingan Metode Cross Validation Dan Generalized Cross Validation Dalam Regresi Nonparametrik Birespon Spline Luh Putu Safitri Pratiwi
[12] Kemenkes  Sumut  (Kementerian  Kesehatan Pemerintahan Provinsi Sumatera Barat).
(2014). Profil  Kesehatan  Provinsi  Sumatera
Barat  2014. Sumatera  Barat: Kementerian
Kesehatan  Pemerintahan  Provinsi  Sumatera
Barat.
[13] Dinkes Jateng (Dinas Kesehatan Provinsi Jawa Tengah).  (2015). Profil  Kesehatan  Provinsi Jawa  Tengah  Tahun  2015. Jawa  Tengah: Pemerintah Provinsi Jawa Tengah.
[14] Santoso,  Soegoeng  dan  Anne  Lies  Ranti.
(2009).  Kesehatan  dan  Gizi,  Jakarta,  Rineka Cipta
[15] Aulia,  Annisya  (2017).  Faktor-faktor  yang Mempengaruhi  Derajat  Kesehatan  dengan Menggunakan Regresi Multivariat (Studi kasus
:  Derajat  Kesehatan  Kabupaten  dan  Kota  di Provinsi  Sumatera  Barat).  Diploma  thesis,
Universitas Andalas.
[16] Wulandari,  I.  D.  A.  M.  I.  (2014).  Analisis Faktor – Faktor Yang Mempengaruhi Persentase  Penduduk  Miskin  Dan  Pengeluaran Perkapita  Makanan  Di  Jawa  Timur  Dengan Metode  Regresi  Nonparametrik  Birespon
Spline.  Tugas  Akhir,  Jurusan  Statistika, Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan Alam,  Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember (ITS), Surabaya.
[17] Setyawan, N.A.D. (2011). Pendekatan Regresi Nonparametrik Birespon
Spline untuk Pemodelan  Determinan  Tingkat  Pendidikan  di Pulau  Papua, Thesis,  Jurusan  Statistika,
Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan Alam,  Institut  Teknologi  Sepuluh  Nopember,
Surabaya.
[18] Eubank,  R.  L.  (1999).  “Nonparametric Regression  and  Spline  Smoothing  Second Edition”. New York: Marcel Dekker.
[19] Budiantara,  I.  N.  (2004). Model Spline Multivariabel  dalam  Regresi  Nonparametrik, Makalah Seminar Nasional Matematika, Jurusan Matematika ITS Surabaya.
[20] Similia,T.  Dan  Tikka,  J.  (2007).  Input Selection  and  Shrinkage  in  Multiresponse Linear  Regression,  Preprint  Submitted  to Elsevier.
[21] Drape r,  N.R.  and  Smith,  H.  (1998).  “Applied Regression  Analysis,Three  Edition”.  John Wiley and sons, Inc. New York.
[22] Andrews, Y. Ng. (1991). “Preventing “Overfitting” of Cross - Validation Data”.
School  of  Computer  Science,  Carnegie  Mellon University, Pittsburgh PA.