1 Dosen,  Departemen  Teknik  Elektro  dan  Teknologi  Informasi, Fakultas Teknik, Universitas Gadjah Mada, Jalan Grafika 2, Sleman, Daerah  Istimewa  Yogyakarta,  Indonesia  (tlp:  0274-552  305;  fax: 0274-547506; e-mail:dyonisius.dony@ugm.ac.id)

## Estimasi Rapat Spektral Daya Berbasiskan Compressive Sampling
Dyonisius Dony Ariananda 1
Abstract —This  paper  focus  on  spectrum  sensing  based  on power  spectral  density  (PSD)  reconstruction  from  sub-Nyquist- rate  samples.  In  the  existing works  on  PSD  reconstruction from sub-Nyquist-rate  samples,  the  resulting  system  of  linear equations  (SLE)  is  generally  overdetermined,  which  allows  the PSD reconstruction using least-squares (LS). Note that there is a lower  bound  for  the  achievable  sampling  rate  ensuring  that  the resulting  SLE  is  overdetermined.  This  paper  aims  for  a  further sampling  rate  reduction,  which  results  in  an  underdetermined SLE. However, when the resulting  SLE is underdetermined, the LS  method  cannot  be  used  to  reconstruct  PSD  and  additional constraints  are  required.  Under  this  circumstance,  a  sparsity assumption  (which  is  applicable  for  some  applications)  can  be applied on the PSD. The use of the orthogonal matching pursuit (OMP)  and  the  least  absolute  shrinkage  and  selection  operator (LASSO)  algorithms  to  reconstruct  the  PSD  for  the  case  of underdetermined  SLE  is  examined.  The  simulation  study  shows that  if  an  appropriate  regularization  parameter  is  used,  the quality  of  the  PSD  reconstructed  using  LASSO  is  only  slightly below  the  one  produced  using  Nyquist-rate  sampling.  From  the detection point of view, the PSD reconstructed using LASSO can accurately  locate  the  occupied  frequency  band  when  the  user signal  power  is  sufficiently  high  compared  to  the  noise  power. Meanwhile,  OMP  can  be  used  only  in  the  noiseless  scenario. These  results  indicate  that  the  sampling  rate  alleviation  up  to  a very  low  rate  is  possible  while  maintaining  the  quality  of  the spectrum sensing results at the acceptable level.
Intisari —  Makalah  ini  membahas  proses  penginderaan spektrum  berbasiskan  rekonstruksi  rapat  spektral  daya  ( power spectral density ,  PSD)  dari  sampel-sampel  digital  yang  diperoleh dari  pencuplikan  dengan  pesat  di  bawah  pesat  Nyquist.  Pada literatur  mengenai  rekonstruksi  PSD  berbasiskan  pencuplikan sub-Nyquist,  sistem  persamaan  yang  dihasilkan  umumnya bersifat overdetermined sehingga  algoritme least-squares (LS) dapat  dipakai.  Namun,  perlu  diingat  bahwa  ada  batas  minimal pesat  pencuplikan  yang  harus  dipenuhi  untuk  menjamin diperolehnya sistem overdetermined ini. Pada makalah ini, batas minimal  pesat  pencuplikan  di  atas  dicoba  dilewati  meskipun sistem persamaan yang diperoleh akan bersifat underdetermined yang  tidak  memungkinkan  digunakannya  algoritme  LS.  Agar rekonstruksi PSD tetap dapat dilakukan pada kondisi ini, asumsi sparsity (yang  valid  untuk  beberapa  aplikasi)  dapat  dikenakan pada  PSD  yang  akan  direkonstruksi.  Makalah  ini  mengevaluasi penggunaan  algoritme orthogonal  matching  pursuit (OMP)  dan least  absolute  shrinkage  and  selection  operator (LASSO)  untuk rekonstruksi PSD pada kasus sistem underdetermined. Hasil studi menunjukkan  bahwa  bila  parameter  regularisasi  yang  tepat digunakan,  hasil  rekonstruksi  PSD  dengan  metode  LASSO masih  mendekati  hasil  rekonstruksi  PSD  yang  diperoleh  pada
pesat  Nyquist.  Hasil  rekonstruksi  PSD  dengan  metode  LASSO juga  dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  lokasi  pita  frekuensi yang  diduduki  pengguna  secara  akurat  saat  daya  isyarat pengguna  relatif  cukup  tinggi  terhadap  daya  derau.  Sementara itu,  OMP  hanya  dapat  digunakan  untuk  kasus  tanpa  derau. Pada aplikasi yang membutuhkan proses rekonstruksi PSD, hasil ini mengindikasikan dimungkinkannya relaksasi pesat pencuplikan hingga pesat yang sangat rendah.
Kata  Kunci — Compressive  sampling ,  penginderaan  spektrum, pencuplikan  sub-Nyquist,  rapat  spektral  daya,  sistem under- determined , least absolute shrinkage and selection operator .

## I. P ENDAHULUAN
Pesatnya perkembangan teknologi informasi dan telekomunikasi  (terutama  komunikasi  nirkabel)  terus  diikuti dengan  meningkatnya  jumlah  aplikasi  yang  memanfaatkan kedua  teknologi  tersebut.  Hal  ini  didukung  oleh  semakin majunya teknologi pengolahan isyarat digital, yang memungkinkan terintegrasinya isyarat gambar, suara, maupun data,  mendorong  munculnya  teknik  penanganan  galat  yang lebih andal, serta meningkatkan kekebalan proses komunikasi terhadap keberadaan derau. Konversi isyarat analog ke isyarat digital  dilakukan  oleh  perangkat analog-to-digital  converter (ADC)  yang  melakukan  proses  pencuplikan  terhadap  isyarat analog  (disusul  dengan  proses  kuantisasi  dan encoding ). Menurut  teorema  pencuplikan  Nyquist  [1],  suatu  isyarat analog  real  yang  memiliki  lebar  pita  ( bandwidth )  yang terbatas  ( bandlimited )  dapat  direkonstruksi  dari  sampel- sampel  digital  hasil  pencuplikan  isyarat  tersebut  bila  pesat pencuplikan ( f s ) tidak lebih kecil dari dua kali nilai komponen frekuensi  tertinggi  pada  isyarat  tersebut  (pesat  Nyquist). Munculnya beberapa aplikasi yang memerlukan kapasitas dan lebar  pita  yang  cukup  besar,  seperti  aplikasi ultrawideband , telah  menimbulkan  permasalahan  baru  karena  pencuplikan isyarat  analog  yang  memiliki  pita  frekuensi  cukup  lebar membutuhkan f s yang  cukup  tinggi  pula.  Hal  ini  dapat mengakibatkan tingginya konsumsi daya pada ADC [2].
Teori Compressive  Sampling (CS)  dapat  membantu  dalam menjawab  permasalahan  pencuplikan  isyarat  analog  dengan pita  frekuensi  lebar  ( wideband )  di  atas  [3].  Teori  CS berargumen  bahwa  rekonstruksi  isyarat  analog  dari  sampel- sampel digital hasil pencuplikan dengan pesat di bawah pesat Nyquist  cukup  dimungkinkan,  baik  tanpa  galat  atau  dengan galat  yang  minimal,  bila  isyarat  analog  yang  asli  memiliki sifat sparse . Suatu isyarat dikatakan memiliki sifat sparse jika saat  isyarat  tersebut  direpresentasikan  pada  basis  atau kawasan  tertentu,  hasil  representasinya  mengandung  banyak elemen-elemen  yang  bernilai  nol  atau  mendekati  nol.  Jika syarat  di  atas  terpenuhi,  berbagai  algoritme  rekonstruksi isyarat  analog  dari  sampel-sampel  digital  hasil  pencuplikan
sub-Nyquist,  seperti orthogonal  matching  pursuit (OMP)  [4], basis  pursuit [5], least  absolute  shrinkage  and  selection operator (LASSO)  [6],  dan compressive  sampling  matching pursuit [7], dapat digunakan.
Meskipun  teori  CS  menawarkan  kemampuan  rekonstruksi isyarat terkait dengan pencuplikan isyarat analog pada aplikasi wideband ,  terdapat  pula  aplikasi-aplikasi wideband yang hanya  memerlukan  rekonstruksi  besaran  statistik  seperti autokorelasi  ataupun  rapat  spektral  daya  ( power  spectral density ,  PSD),  alih-alih  isyarat  analog  yang  asli.  Contoh aplikasi  yang  masuk  dalam  kategori  ini  adalah  aplikasi penginderaan  spektrum  ( spectrum  sensing )  pada  teknologi radio  kognitif  ( cognitive  radio ,  CR)  [8].  Teknologi  CR merupakan  teknologi  yang  memungkinkan  pengguna- pengguna  yang  tidak  memiliki  lisensi  pada  pita  frekuensi manapun  ( secondary  users ,  SU)  untuk  meminjam  dan menggunakan  pita  frekuensi  milik  pengguna  berlisensi ( primary  users ,  PU)  selama  pita  frekuensi  tersebut  tidak digunakan.  Teknologi  CR  bertujuan  untuk  meningkatkan efisiensi penggunaan spektrum yang ketersediaannya semakin menipis  berhubung  jumlah  aplikasi  yang  menggunakan komunikasi  nirkabel  semakin  meningkat  [9].  Untuk mengetahui  pita  frekuensi  yang  tidak  diduduki  oleh  PU,  SU perlu melakukan penginderaan pada pita frekuensi yang cukup lebar.  Akibatnya,  jika  isyarat  analog  yang  diterima  melalui proses penginderaan harus diolah secara digital dalam rangka pengambilan  keputusan,  pesat  pencuplikan  yang  harus dilakukan  oleh  perangkat  ADC  pada  sisi  SU  akan  cukup tinggi. Oleh karena itu, kebutuhan akan pencuplikan isyarat di bawah  pesat  Nyquist  dirasa  cukup  relevan  pada  aplikasi  ini. Akan  tetapi,  perlu  dicatat  bahwa  pada  aplikasi  CR, rekonstruksi  isyarat  analog  yang  asli  dari  sampel-sampel digital  yang  dihasilkan  tidak  diperlukan.  Hal  ini  karena  SU hanya  perlu  mengidentifikasi  pita  frekuensi  yang  sedang maupun  yang  tidak  sedang  diduduki  oleh  PU  dan  informasi semacam  ini  dapat  diperoleh  dari  PSD.  Dengan  demikian, pada  sisi  SU  modul  penginderaan  spektrum  dapat  dibangun dengan  berbasiskan  pencuplikan  isyarat  pada  pesat  sub- Nyquist  dan  rekonstruksi  PSD  dari  sampel-sampel  yang dihasilkan oleh proses pencuplikan [10].
Berbagai  metode  rekonstruksi  PSD  dari  sampel-sampel digital  yang  dihasilkan  oleh  proses  pencuplikan  sub-Nyquist telah  diusulkan  [10]-[13].  Pada  umumnya,  metode-metode tersebut  melakukan  estimasi  terhadap  nilai  korelasi  antara sampel-sampel  hasil  pencuplikan  sub-Nyquist.  Dengan berbasiskan  pada  hasil  estimasi  terhadap  nilai  korelasi- korelasi  di  atas,  proses  estimasi  terhadap  PSD  isyarat  analog yang  diterima  dilakukan.  Hubungan  antara  PSD  dengan  nilai korelasi  antara  sampel-sampel  hasil  pencuplikan  sub-Nyquist umumnya  dapat  dituliskan  dalam  sistem  persamaan  linear (SPL)  yang  berupa  sistem overdetermined [10].  Akibatnya, proses rekonstruksi PSD dari nilai-nilai korelasi antar sampel digital  dapat  dilakukan  tanpa  harus  mengasumsikan  bahwa isyarat  analog yang dicuplik  oleh  ADC  memiliki  sifat sparse pada  basis  atau  kawasan  mana  pun.  Dengan  demikian, penggunaan  algoritme-algoritme  rekonstruksi  isyarat  [4]-[7] dari sampel-sampel hasil pencuplikan sub-Nyquist atau proses
CS  dapat  dihindari,  dan  sebagai  gantinya,  algoritme  yang sederhana  seperti least-squares (LS)  dapat  digunakan  untuk rekonstruksi PSD.
Meskipun  PSD  sudah  menyediakan  informasi  yang  cukup untuk  mendeteksi  suatu  pita  frekuensi,  sedang  atau  tidak sedang diduduki oleh PU, terdapat cukup banyak publikasi di bidang  penginderaan  spektrum  untuk  aplikasi  CR  yang  tetap berkonsentrasi  pada  rekonstruksi  isyarat  atau  spektrum (representasi  isyarat  pada  kawasan  frekuensi)  dari  sampel- sampel  hasil  proses  CS  dengan  mengasumsikan  bahwa spektrum yang dipantau memiliki sifat sparse . Motivasi yang digunakan oleh publikasi–publikasi tersebut adalah inefisiensi penggunaan  spektrum  yang  melatarbelakangi  munculnya konsep CR itu sendiri. Inefisiensi penggunaan spektrum dapat diterjemahkan  sebagai  banyaknya  pita-pita  frekuensi  yang tidak terduduki ( spectrum holes ) pada tiap waktu tertentu yang berujung  pada  validnya  asumsi  bahwa  spektrum  yang dipantau  memiliki  sifat sparse .  Lokasi  dan  jumlah spectrum holes ini dapat berubah dari waktu ke waktu (yang  tidak  lain merupakan  justifikasi  bagi  perlunya  aplikasi  penginderaan spektrum  itu  sendiri).  Salah  satu  publikasi  yang  menginisiasi pendekatan  semacam  ini  adalah  publikasi  yang  melakukan rekonstruksi  spektrum  dengan  mengasumsikan  bahwa representasi  seluruh  isyarat  yang  dimonitor  memiliki  sifat sparse di  kawasan  frekuensi  [14].  Publikasi  ini  kemudian diikuti  oleh  publikasi  lainnya  yang  mengembangkan  teknik penginderaan  spektrum  untuk  kasus  beberapa  sensor  yang saling  bekerja  sama  dengan  tetap  berbasiskan  pada rekonstruksi  spektrum  [15]-[16].  Pengembangan  teknik penginderaan spektrum yang berbasiskan pada CS, rekonstruksi  spektrum,  dan  asumsi sparsity pada  spektrum yang  direkonstruksi  terus  bermunculan  hingga  saat  ini  [17]- [22].
Dari  uraian  mengenai  dua  kategori  metode  penginderaan spektrum  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa  metode penginderaan  spektrum  yang  berbasiskan  pada  rekonstruksi PSD belum mengeksploitasi validitas asumsi bahwa spektrum yang  dipantau  memiliki  sifat sparse .  Tidak  dimanfaatkannya asumsi  ini  memang  memungkinkan  diperolehnya  SPL  yang bersifat overdetermined ,  yang  memungkinkan  digunakannya algoritme  LS  pada  proses  rekonstruksi  PSD.  Sebaliknya, metode-metode  yang  berbasiskan  pada  rekonstruksi  isyarat telah  memanfaatkan  asumsi sparsity pada  spektrum  yang dipantau, tetapi mengabaikan fakta bahwa isyarat analog yang asli  tidak  perlu  direkonstruksi  pada  sisi  SU  jika  tujuan  yang diinginkan  adalah  sekadar  menemukan  pita-pita  frekuensi yang  tidak  diduduki  oleh  PU.  Kedua  kategori  metode  di  atas sama-sama  melakukan  pencuplikan  di  bawah  pesat  Nyquist. Akan  tetapi,  batas  minimal  pesat  pencuplikan  isyarat  analog yang  dapat  dilakukan  pada  kedua  kategori  di  atas  untuk mencapai  kualitas  penginderaan  spektrum  tertentu  tidak  akan serendah  pesat  pencuplikan  yang  dapat  dicapai  oleh  suatu metode  yang  di  satu  sisi  berfokus  pada  rekonstruksi  PSD tetapi  di  sisi  lain  juga  memanfaatkan  asumsi sparsity pada spektrum yang dipantau. Berdasarkan uraian di atas, makalah ini mencoba untuk menyajikan teknik penginderaan spektrum yang berbasiskan pada rekonstruksi PSD tetapi sekaligus juga
memanfaatkan  asumsi sparsity pada  PSD,  karena  pada prinsipnya, baik PSD maupun spektrum suatu isyarat memiliki sifat sparsity yang sama (lokasi elemen-elemen PSD maupun elemen-elemen  spektrum  yang  bernilai  mendekati  nol  adalah sama).

## II. P ENCUPLIKAN S UB -N YQUIST DAN M ODEL D ATA
Makalah  ini  mengasumsikan  keberadaan  sebuah  SU  yang melakukan  penginderaan  spektrum  pada  pita  frekuensi wideband dengan  berbasiskan  rekonstruksi  PSD.  Mengingat PSD  hanya  didefinisikan  pada  isyarat  stationer  [23],  isyarat yang diterima oleh SU diasumsikan sebagai isyarat wide-sense stationary (WSS).  Dengan  demikian,  rerata  ( mean )  isyarat yang  diterima  adalah  konstan  dari  waktu  ke  waktu  dan  nilai autokorelasi  isyarat  hanya  bergantung  pada  tenggang  atau selisih  indeks  waktu  ( lag )  antar  sampel.  Isyarat  analog  yang diterima  SU  dicuplik  pada  pesat  sub-Nyquist.  Proses  akuisisi sampel  atau  pencuplikan  dapat  dilakukan  dengan  metode- metode  yang  ada  di  literatur  seperti  pencuplikan multi-coset ( multi-coset  sampling )  [24]-[25], modulated  wideband converter [26],  ataupun random  demodulation [27].  Guna membatasi  lingkup  permasalahan,  pencuplikan  yang  dibahas pada  makalah  ini  adalah  pencuplikan multi-coset meskipun metode  yang  dibahas  sebenarnya  juga  dapat  diterapkan  pada jenis  pencuplikan  yang  lain.  Intuisi  mengenai  pencuplikan multi-coset dapat  diperoleh  dengan  pertama-tama  memper- timbangkan  pencuplikan  secara  seragam  ( uniform  sampling ) pada  pesat  Nyquist,  tetapi  untuk  setiap  periode  waktu  yang merupakan  kelipatan  waktu  cuplik  pada uniform  sampling , ada  beberapa  sampel  digital  pada  indeks  tertentu  yang diabaikan.  Indeks  sampel  digital  yang  diabaikan  ini  harus sama untuk setiap periode yang dimaksud. Dengan demikian, jumlah  sampel  yang  diakuisisi  pada  pencuplikan multi-coset ini lebih sedikit daripada jumlah  sampel  yang diperoleh pada pencuplikan  seragam  dengan  pesat  Nyquist.  Informasi  detail mengenai  pencuplikan multi-coset dapat  ditemukan  pada literatur yang tersedia [24]-[25].
Diasumsikan  suatu  isyarat  analog  WSS s ( t )  yang  diterima oleh  sebuah  SU.  Andaikan s ( t )  dicuplik  pada  pesat  Nyquist 1/ T dengan  berbasiskan uniform  sampling ,  maka  pada  selang waktu kNT , jumlah sampel digital yang dihasilkan oleh proses pencuplikan  adalah kN buah,  yang  dapat  dituliskan  sebagai s [0], s [1],  ..., s [ kN -1].  Tiap N sampel  yang  berurutan kemudian dapat disusun sebagai elemen-elemen vektor-vektor s [ k ], k = 0, 1, 2, ..., K -1, yang masing-masing berukuran N x 1, dengan s [ k ] diberikan oleh
s [ k ] = [ s [ kN ], s [ kN +1], s [ kN +2], ..., s [ kN + N -1]] T , (1)
dengan  [.] T mengindikasikan  operasi transpose pada  matriks atau vektor. Berlawanan dengan pengandaian di atas, makalah ini mengasumsikan bahwa isyarat s ( t ) dicuplik pada pesat sub- Nyquist M /( NT ) ( M<N ) dengan  menggunakan  pencuplikan multi-coset [24],  sehingga  jumlah  sampel  digital  yang dihasilkan  untuk  selang  waktu kNT adalah kM buah. Pencuplik multi-coset ini  dapat  dimodelkan  dengan M buah pencuplik seragam yang bekerja secara paralel, yang masing- masing memiliki pesat pencuplikan 1/( NT ) [24]. Perlu dicatat bahwa M buah pencuplik seragam ini tidak melakukan proses pencuplikan  pada  waktu  yang  bersamaan.  Tenggang  waktu
pencuplikan  antara  pencuplik  pertama  dengan M -1  pencuplik yang  lain  diberikan  oleh lT ,  dengan l adalah  bilangan  bulat antara 1 dan N -1 dan nilai l tidak sama untuk setiap dari M -1 pencuplik  di  atas.  Jika K sampel  yang  berturut-turut  pada pencuplik  seragam  ke-( m +1)  dituliskan  sebagai q m [0], q m [1],  ..., q m [ K -1],  dengan m =  0,  1,  2,  ..., M -1,  maka  dapat didefinisikan K buah  vektor q [ k ], k =  0,  1,  2,  ..., K -1,  yang masing-masing  berukuran M x  1  dan  yang  dapat  dituliskan sebagai
q [ k ] = [ q 0 [ k ], q 1 [ k ], q 2 [ k ], ..., q M -2 [ k ], q M -1 [ k ]] T . (2)
Berdasarkan  uraian  di  atas  serta  literatur-literatur  terkait [10],  [24]-[25],  proses  pencuplikan multi-coset di  atas  secara matematis  dapat  pula  dimodelkan  sebagai  perkalian  antara sebuah matriks C dengan vektor s [ k ] pada (1),
q [ k ] = C s [ k ], (3)
dengan k =  0,  1,  2,  ...., K -1,  dan C adalah  matriks  seleksi berukuran M x N , yang seluruh M barisnya diperoleh dengan memilih M dari N baris  pada  matriks  identitas I N yang berukuran N x N . Perlu diketahui bahwa indeks M baris pada matriks I N yang  dipakai  untuk  membentuk C terkait  dengan nilai l pada  tenggang  waktu  pencuplikan  antara  pencuplik pertama  pada  pencuplik multi-coset dengan M -1  pencuplik yang  lain  ( lT ).  Persamaan  (3)  juga  mengindikasikan  bahwa M / N adalah pesat kompresi relatif terhadap pesat pencuplikan Nyquist.
Jika R q adalah  matriks  autokorelasi  atas q [ k ]  yang berukuran M x M , maka R q dapat dituliskan sebagai [10]
R q = E[ q [ k ] q [ k ] H ] = C R s C T , (4)
dengan R s = E[ s [ k ] s [ k ] H ] adalah matriks autokorelasi atas s [ k ] yang  berukuran N x N dan  (.) H mengindikasikan  operasi transpose konjugat  pada  matriks  atau  vektor.  Berhubung s ( t ) adalah isyarat WSS, s [ k ] juga berisikan sampel-sampel digital WSS.  Dengan  demikian, R s merupakan  matriks  yang berbentuk  Toeplitz  dan  hanya  2 N -1  dari  N 2 elemen R s yang bernilai  unik.  Sebaliknya,  karena C adalah  matriks  seleksi, sampel-sampel  pada q [ k ]  umumnya  tidak  membentuk  runtun sampel  WSS  dan R q pun  tidak  berbentuk  Toeplitz.  Proses berikutnya  adalah  vektorisasi R q ke  dalam  sebuah  vektor vec( R q ) yang berukuran M 2 x 1, dengan vec(.) adalah operator yang menumpuk kolom-kolom suatu matriks ke dalam sebuah vektor. Dengan demikian, vec( R q ) dapat ditulis sebagai [10]
vec (R q ) = ( C ⊗ C) vec (R s ), (5)
dengan vektor vec( R s ) berukuran N 2 x 1 dan ⊗ adalah operasi Kronecker product .  Berhubung R s hanya  mengandung  2 N -1 elemen  yang  unik,  elemen-elemen R s dapat  dikondensasikan ke  dalam  vektor  berukuran  (2 N -1)  x  1  yaitu r s =  [ r s [0], r s [1],  ...., r s [ N -1], r s [1- N ], r s [2- N ],  ..., r s [-1]] T ,  dengan r s [ n ’]=E[ s [ n ] s * [ n - n ’]]  adalah  nilai  autokorelasi  atas  deret sampel  digital s [ n ]  pada lag n ’  dan  (.) * mengindikasikan operasi  konjugat.  Adapun  relasi  antara r s dengan R s dapat dituliskan sebagai [10]
vec (R s ) = T r s , (6)
dengan T adalah  matriks  perulangan  berukuran  N 2 x  (2 N -1) yang  baris-barisnya  diperoleh  (sebagian  dengan  perulangan) dari baris-baris matriks identitas I 2N-1 berukuran (2 N -1) x (2 N - 1).  Detail  formula  untuk  menyusun  matriks T dengan menggunakan baris-baris I 2N-1 dapat ditemukan pada referensi terkait [10]. Dengan menggunakan (6), vec( R q ) pada (5) dapat dituliskan sebagai
vec (R q ) = ( C ⊗ C) Tr s = Φr s , (7)
dengan  matriks Φ =( C ⊗ C)T berukuran  M 2 x  (2 N -1). Bergantung  pada  nilai M ,  SPL  pada  (7)  dapat  berupa  sistem yang  bersifat overdetermined maupun underdetermined , karena meskipun M < N , dapat diperoleh M 2 > 2 N -1  ataupun M 2 < 2 N -1. Untuk kasus  M 2 > 2 N -1, r s dapat  direkonstruksi dari  vec( R q )  jika Φ memiliki full  column  rank .  Dengan mempertimbangkan  bahwa  elemen-elemen Φ seluruhnya merupakan bilangan real, pada situasi ini, rekonstruksi r s dapat dilakukan dengan menggunakan LS sebagai
r s = ( Φ T Φ) -1 Φ T vec (R q ), (8)
dengan  (.) -1 mengindikasikan  operasi  invers.  Konstruksi  PSD dapat  dilakukan  dengan  melakukan  transformasi  Fourier diskret ( discrete Fourier transform , DFT) terhadap r s pada (8).

## III. M ETODOLOGI
Tujuan  penelitian  yang  dirangkum  dalam  makalah  ini adalah mengevaluasi rekonstruksi PSD yang berbasiskan pada model  (7)  tetapi  untuk  kasus  M 2 <  2 N -1  (jumlah  kolom Φ lebih besar daripada jumlah baris). Pada kasus ini rekonstruksi LS seperti (8) tidak dapat dilakukan karena SPL yang muncul pada  (7)  bersifat underdetermined .  Oleh  karena  itu,  asumsi sparsity dapat dikenakan pada PSD yang akan direkonstruksi. Pemodelan  yang  mengikutsertakan  asumsi  ini  disajikan  pada bagian IV.
Jenis  metodologi  yang  dipakai  adalah  simulasi  yang dilakukan  dengan  memanfaatkan  dua  buah  algoritme rekonstruksi yang telah dipakai pada penelitian di bidang CS, yaitu OMP [4] dan coordinate-descent LASSO (CD-LASSO) [6].  Kedua  algoritme  tersebut  disesuaikan  dengan  kasus rekonstruksi  PSD  yang  dibahas  pada  makalah  ini  dan disajikan  pada  bagian  IV.  Untuk  menyimulasikan  isyarat pengirim  yang  diterima  oleh  SU,  derau  putih  Gaussian ( additive  white  Gaussian  noise , AWGN)  dilewatkan  melalui proses  penapisan.  Untuk  mendapatkan  bentuk  PSD  yang dikehendaki,  tanggapan  frekuensi  tapis  disesuaikan  dengan pita frekuensi yang diduduki oleh isyarat pengirim. Pengujian dilakukan  pada  skenario  tanpa  maupun  dengan  keberadaan derau  AWGN  serta  difokuskan  pada  kasus  deteksi  karena pada  aplikasi  CR,  kesempurnaan  hasil  estimasi  PSD  tidaklah begitu  penting.  Yang  terpenting  pada  aplikasi  ini  adalah ketepatan  SU  dalam  mendeteksi  keberadaan  PU  pada  suatu pita  frekuensi.  Informasi  lebih  detail  mengenai  hal  ini  dapat ditemukan pada bagian V.

## IV. R EKONSTRUKSI R APAT S PEKTRAL D AYA BERBASISKAN
A SUMSI S PARSITY
Sebagaimana  dibahas  pada  bagian  III,  makalah  ini mengevaluasi proses rekonstruksi PSD pada saat SPL pada (7)
berupa  sistem underdetermined (M 2 <  2 N -1).  Dalam  kondisi ini, untuk setiap nilai vec( R q ) pada (7) yang diketahui, ada tak terhingga  solusi r s yang  memenuhi  (7).  Pada  situasi  ini, validitas asumsi bahwa spektrum yang dipantau memiliki sifat sparse dapat  dimanfaatkan  (sebagaimana  telah  dibahas  pada bagian I). Untuk itu, (7) dapat dituliskan sebagai
vec (R q ) = Φr s = Φ ( F 2 N -1 ) -1 p s = Ψp s , (9)
dengan Ψ = Φ ( F 2 N -1 ) -1 berukuran  M 2 x  (2 N -1), F 2 N -1 adalah matriks DFT berukuran (2 N -1) x (2 N -1), dan vektor berukuran (2 N -1) x  1 p s berisikan  PSD  sampel-sampel  digital s [ n ].  Bila asumsi sparsity dikenakan  pada p s , maka solusi bagi p s yang memenuhi (9) dapat diperoleh dari proses optimasi berikut
‖ ‖ subject to (s.t.) vec (R q ) = Ψp s , (10)
dengan  ||  .  || 0 mengindikasikan norm - l 0 yang  keluarannya berupa  jumlah  elemen  yang  tidak  nol  pada  vektor  yang dikenakan operasi norm - l 0 , sedangkan pernyataan yang ada di sebelah  kanan  notasi  (s.t.)  adalah  batasan  ( constraint )  yang harus  dipenuhi  pada  proses  optimasi.  Dengan  demikian,  (10) akan  memberikan  solusi p s yang  memenuhi  (9)  dan  yang memiliki  tingkat sparsity paling  tinggi  (jumlah  elemen bernilai nol paling banyak)  dibandingkan  solusi lainnya yang juga  memenuhi  (9).  Proses  optimasi  pada  (10)  cukup  rumit untuk diselesaikan karena fungsi tujuan  pada  proses optimasi (10)  bukanlah  fungsi  yang  bersifat convex .  Di  samping  itu, tingkat  keberhasilan  proses  optimasi  pada  (10)  juga  sangat bergantung pada kondisi atau struktur  matriks Ψ yang diukur dengan  menggunakan  besaran rank Kruskal  dan mutual coherence yang  dijelaskan  pada  literatur  terkait  [28],  [29]. Dengan  mempertimbangkan  bahwa Φ =( C ⊗ C)T ,  cukup  jelas bahwa  pemilihan  matriks  seleksi C untuk  nilai M tertentu akan menentukan kondisi matriks Ψ yang dikonstruksi. Salah satu  cara  yang  dapat  dilakukan  untuk  mengurangi  kerumitan pada  problem  optimasi  (10)  adalah  dengan  melakukan pendekatan terhadap problem optimasi (10). Hal ini dilakukan dengan mengganti norm - l 0 pada fungsi tujuan dengan norm - l 1 [28], [30], sehingga diperoleh
‖ ‖ s.t. vec (R q ) = Ψp s , (11)
dengan  ||  .  || 1 mengindikasikan norm - l 1 yang  keluarannya berupa  total  nilai  absolut  atas  seluruh  elemen-elemen  vektor yang dikenakan operasi norm - l 1 . Dengan demikian, (11) akan memberikan solusi p s yang memenuhi (9) dan yang memiliki total  nilai  absolut  paling  kecil  dibandingkan  solusi  lainnya yang  juga  memenuhi  (9).  Meskipun norm - l 0 dan norm - l 1 berbeda,  dalam  literatur  terkait  yang  membahas  tentang  teori CS [28]-[30], dijelaskan bahwa pada saat suatu vektor x yang akan  direkonstruksi  memiliki  sifat sparse ,  maka  dengan peluang yang cukup tinggi, proses minimalisasi terhadap || x || 1 akan  memberikan  solusi x yang  diinginkan  layaknya  jika dilakukan  minimalisasi  terhadap  || x || 0 .  Hal  ini  tentu memberikan keuntungan karena norm - l 1 bersifat convex yang berarti  problem  optimasi  pada  (11)  secara  komputasi  akan lebih  praktis  untuk  diselesaikan  daripada  problem  (10). Sebagaimana  pada  (10),  tingkat  keberhasilan  proses  optimasi (11)  juga  sangat  dipengaruhi  kondisi  matriks Ψ yang  diukur dengan menggunakan besaran mutual coherence [28], [29].
Formulasi di atas  merupakan formulasi pada kondisi ideal. Pada  prakteknya,  ada  dua  hal  penting  yang  perlu  mendapat perhatian. Hal pertama adalah perlunya dilakukan pendekatan terhadap  operasi expectancy E[.]  yang  digunakan  untuk menghitung matriks autokorelasi R q pada (4). Meskipun deret yang disusun oleh elemen-elemen q [ k ] tidak membentuk suatu deret WSS, dapat ditemukan bahwa deret vektor yang disusun oleh q [ k ],  untuk  k  =  0,  1,  2,  ....  adalah  deret  vektor  WSS. Dengan  demikian,  perhitungan R q pada  (4)  dapat  didekati dengan ̂ ∑ [ ] [ ] (12)
Akibatnya,  proses optimasi  (10) dan (11) harus  berturut-turut didefinisikan ulang sebagai
̂ ‖
̂ ‖ s.t. vec( ̂ ) = Ψ ̂ , (13)
̂ ‖ ̂ ‖ s.t. vec( ̂ ) = Ψ ̂ . (14)
Hal  yang  kedua  adalah  keberadaan  derau  pada q [ k ],  yang berarti,  alih-alih  (3), q [ k ]  diberikan  oleh q [ k ]= Cs [ k ]  + m [ k ], dengan m [ k ]  adalah  vektor  berukuran M x  1  yang  elemen- elemennya  berupa  derau  AWGN.  Jika  nilai  variansi  tiap-tiap elemen  pada m [ k ]  diberikan  oleh  σ m 2 dan  tidak  ada  korelasi antara m [ k ]  dan s [ k ],  maka  alih-alih  (5)  dan  (7), R q dapat dituliskan sebagai
vec (R q ) = ( C ⊗ C) Tr s + σ m 2 vec( I M ). (15)
Tampak  bahwa  suku  kedua  pada  ruas  kanan  (15) merupakan  besaran  yang  tidak  acak  ( deterministic )  sehingga bila  daya  derau  σ m 2 diketahui,  suku  kedua  pada  (15)  dapat dikurangkan dari nilai yang ada di ruas kiri. Akan tetapi, perlu diingat bahwa alih-alih R q , besaran yang dapat diperoleh oleh SU adalah ̂ pada (12), yang dapat dijabarkan sebagai
( ̂ )   (     )   ( ̂ )    ̂ , (16)
dengan ̂ adalah pendekatan bagi R s pada (4) yang diberikan oleh ̂ = (∑ [ ] [ ] ) , dan ̂ diberikan oleh
̂ ∑ (  [ ] [ ] [ ] [ ] )
∑ [ ] [ ] . (17)
Pada  (16)-(17),  tampak  bahwa  kontribusi  derau  pada ̂ tidak  berupa  besaran  yang  bersifat deterministic seperti  pada R q ,  melainkan  berupa  besaran  yang  bernilai  acak.  Saat sampel-sampel  yang  diperoleh  pada q [ k ]  terkontaminasi  oleh derau  dengan  spesifikasi  di  atas,  proses  rekonstruksi  PSD dapat  dilakukan  dengan  formulasi  yang  dalam  teori  CS dikenal  dengan sparsity-regularized LS  [29].  Proses rekonstruksi PSD dengan formulasi ini dapat ditulis sebagai
̂ ‖   ( ̂ ) ̂ ‖ ‖ ̂ ‖ , (18)
dengan || x || 2 mengindikasikan norm- l 2 atas x yang keluarannya berupa  panjang  vektor x ,  sedangkan  λ  adalah  parameter regularisasi yang nilainya mengindikasikan kompromi ( trade- off )  antara  usaha  untuk  mendapatkan ̂ yang  memiliki  sifat sparse dengan  usaha  untuk  meminimalkan  panjang  vektor
galat ( ̂ ) ̂ .  Pada  prinsipnya,  jika  λ  terlalu  besar, nilai  galat ( ̂ ) ̂ cenderung  praktis  akan  diabaikan dan  seluruh  elemen ̂ yang  dihasilkan  akan  bernilai  nol. Tampak bahwa keberadaan vektor galat ( ̂ ) ̂ pada problem  optimasi  (18)  mengakomodasi  keberadaan ̂ pada (16)  yang  muncul  akibat  keberadaan  derau.  Di  samping  itu, vektor  galat  ini  juga  mengakomodasi  galat  yang  muncul akibat ketidaksesuaian antara fakta bahwa ̂ umumnya tidak benar-benar  memiliki  struktur  Toeplitz  layaknya R s dengan proses  rekonstruksi ̂ pada  (18)  yang  secara  tidak  langsung mengasumsikan  bahwa ̂ = F 2 N -1 ̂ dengan ( ̂ )     ̂ ( yang  artinya  rekonstruksi  ini  mengasumsikan  bahwa ̂ memiliki struktur Toeplitz). Kondisi yang harus dipenuhi pada matriks Ψ agar  stabilitas  proses  optimasi  (18)  dapat  dicapai sehingga menghasilkan solusi yang akurasinya dapat diterima adalah  kondisi  yang  dikenal  dengan restricted  isometry property [28]-[30].
T ABEL I A LGORITME O RTHOGONAL M ATCHING P URSUIT [4] YANG TELAH DISESUAIKAN UNTUK P ROSES R EKONSTRUKSI PSD BERBASISKAN PADA (13)
Masukan : Matriks Ψ (ukuran M 2 x (2 N- 1)), matriks ̂ (ukuran M x M ),  tingkat  sparsity  μ  pada p s yang  akan direkonstruksi
Keluaran : Hasil estimasi PSD ̂ Notasi penting : i : pencacah iterasi. Γ i :  himpunan  pada  iterasi  ke- i yang  elemen-elemennya  berupa i buah  elemen  yang  merupakan  anggota  himpunan  {0,  1,  2, 3, ..., 2 N -2}. a i :  vektor  berukuran  M 2 x  1  yang  merupakan  pendekatan  bagi vec( ̂ ) pada akhir iterasi ke- i . b i :  vektor  residu  berukuran  M 2 x  1  yang  diberikan  oleh b i = vec( ̂ )- a i Prosedur:
1. Proses  inisialisasi:  Cacah  iterasi i diset  pada i =  1,  vektor residu b 0 diset  dengan b 0 =vec( ̂ ),  dan  himpunan  Γ 0 diset dengan Γ 0 = { }.
2. Temukan  indeks  γ i yang  merupakan  solusi  bagi  problem optimasi berikut:
| |
Jika  nilai  maksimum  ditemukan  untuk  lebih  dari  satu  indeks maka salah satu indeks dapat dipilih sebagai γ i
3. Dengan  mendefinisikan Ψ 0 sebagai  matriks  kosong  (tidak memiliki  elemen),  maka  dilakukan  operasi  penggabungan himpunan Γ i = Γ i-1 ∪ { γ i } dan operasi augmentasi matriks Ψ i = [ Ψ i -1 ]. 4. Temukan solusi bagi permasalahan LS berikut:
‖   ( ̂ ) ‖
Nilai y i akan diberikan oleh: ( ) ( ̂ ) 5. Tentukan  nilai  pendekatan  bagi  vec( ̂ )  pada  iterasi  ke- i beserta nilai residu yang dihasilkan:
a i = Ψ i y i b i = vec( ̂ ) a i
6. Tingkatkan  pencacah  iterasi i sebesar  1  dan  kembali  ke langkah 2 selama i < μ.
7. Lokasi  atau  indeks  elemen-elemen  hasil  estimasi  PSD ̂ yang  bernilai  tidak  nol  akan  diindikasikan  oleh  elemen- elemen  Γ μ sedangkan  nilai  elemen-elemen ̂ pada  indeks  γ i akan diberikan oleh elemen ke-( i +1) pada vektor y μ .
T ABEL II
A LGORITME C OORDINATE -D ESCENT LASSO [6] YANG T ELAH D ISESUAIKAN UNTUK P ROSES R EKONSTRUKSI PSD B ERBASISKAN PADA (18)
Masukan : Matriks Ψ (ukuran M 2 x (2 N- 1)), matriks ̂ (ukuran M x M ),  parameter  regularisasi  λ,  batas  maksimum iterasi  kalang  utama  yang  diinginkan  ( i max ),  nilai ambang  ( threshold ) ε yang  dapat  dipakai  untuk mengakhiri proses iterasi sebelum i max tercapai. Keluaran : Hasil estimasi PSD ̂ Notasi penting : i : pencacah iterasi untuk kalang utama.
j : pencacah iterasi untuk kalang dalam.
y :  Vektor  berukuran  (2 N -1)  x 1 yang  didefinisikan  sebagai y = [ y [0], y [1], y [2], ...., y [2 N -2]] T digunakan untuk menyimpan hasil estimasi PSD sementara. y 0 :  Vektor  berukuran  (2 N -1)  x  1  yang  juga  digunakan  untuk menyimpan hasil estimasi PSD sementara. Variabel bantu: α (vektor berukuran (2 N -1) x 1) dan β (skalar).
Prosedur: 1. Proses inisialisasi: i diset i = 1, vektor y diset y = 0 . 2. y 0 diset dengan y 0 = y . 3. Set j dengan j = 0. 4. Set α = vec( ̂ ) – Ψy + φ j y [ j ]. 5. Set β       (   ) | | .
6. Set [ ]   (( ) ‖ ‖ ) (   (β   )) .
7.  Jika j <  2 N -2  maka  nilai j ditingkatkan  sebesar  1  dan  proses kembali ke langkah 4.
8. Jika i < i max atau || y - y 0 || > ε maka nilai i ditingkatkan sebesar 1 dan proses kembali ke langkah 2. 9. Nilai ̂ diset dengan ̂ = y .
Fokus  makalah  ini  adalah  pada  problem  rekonstruksi  PSD yang berbasiskan pada (13) dan (18) untuk kasus tanpa derau ( q [ k ]= Cs [ k ])  serta  problem  rekonstruksi  PSD  yang  berbasis- kan  pada  (18)  untuk  kasus  dengan  derau  ( q [ k ]= Cs [ k ]+ m [ k ]). Untuk  kasus  tanpa  derau,  proses  rekonstruksi  PSD  yang berbasiskan  pada  (13)  akan  dilakukan  dengan  menggunakan algoritme OMP [4] yang memang berfokus pada minimalisasi norm- l 0 .  Detail  mengenai  algoritme  OMP  [4]  yang  telah disesuaikan  dengan  problem  optimasi  (13)  dapat  dilihat  pada Tabel  I.  Untuk  keperluan  Tabel  I  dan  Tabel  II, Ψ beserta kolom-kolomnya dapat dituliskan sebagai Ψ = [ φ 0 φ 1  ... φ 2 N -2 ], dengan φ n adalah  kolom  ke-( n +1)  pada  matriks Ψ .  Untuk proses  rekonstruksi  PSD  yang  berbasiskan  pada  (18),  baik untuk  kasus  dengan  maupun  tanpa  derau,  algoritme  CD- LASSO  [6]  akan  digunakan.  Detail  mengenai  algoritme  CD- LASSO  [6]  yang  telah  disesuaikan  dengan  problem  optimasi (18) diperlihatkan pada Tabel II.

## V. H ASIL DAN P EMBAHASAN
Bagian ini membahas detail simulasi yang dilakukan untuk mengevaluasi  rekonstruksi  PSD  pada  bagian  IV.  Pada simulasi  bagian  pertama  dan  kedua,  isyarat  WSS  yang diterima  oleh  SU  diasumsikan  menduduki  pita  frekuensi (dalam  frekuensi  digital)  [0,2π  0,26π],  [0,5π  0,56π],  dan [0,71π  0,77π]  dengan  isyarat  yang  diterima  diasumsikan memiliki  nilai  PSD  sebesar  10dBm/radian/sampel  pada  pita frekuensi  yang  diduduki.  Nilai  pita  frekuensi  di  atas  dipilih guna  menyimulasikan  asumsi  bahwa  spektrum  yang dipantau memiliki  sifat sparse karena  hanya  18%  dari  seluruh  pita
frekuensi digital yang tersedia ([0, π]) yang diduduki. Isyarat tersebut  dibangkitkan  dengan  melewatkan  AWGN  dengan daya  10dBm  melalui  sebuah  tapis  dengan  tanggapan  denyut terbatas ( finite impulse response ) yang tanggapan frekuensinya diatur  sedemikian  rupa  sehingga passband tapis tersebut  berada  pada  pita  frekuensi  yang  dirancang  untuk diduduki  oleh  isyarat  di  atas.  Jumlah  denyut  pada  tapis tersebut  diset  sama  dengan N =128  yang  artinya  nilai autokorelasi  isyarat r s [ n ]  akan  bernilai r s [ n ]=0  untuk n >127. Jika hal ini dikaitkan dengan elemen-elemen r s pada (6) maka jelas bahwa tahapan simulasi ini bertujuan untuk merekonstruksi  fungsi  autokorelasi  pada  seluruh lag yang nilai  korelasinya  tidak  nol.  Dengan  demikian,  bila  ada  galat dalam  rekonstruksi  PSD,  dapat  dipastikan  bahwa  galat tersebut  bukan  berasal  dari  efek truncation terhadap  fungsi autokorelasi.  SU  di  atas diasumsikan  menggunakan pencuplikan multi-coset dengan nilai N =128. Oleh karena itu, andaikan pencuplikan dilakukan oleh SU pada pesat Nyquist, jumlah sampel digital yang diperoleh adalah 128 K sampel. Simulasi  bagian  pertama  mengevaluasi  rekonstruksi  PSD yang  berbasiskan  pada  tiga  metode.  Metode  pertama  adalah
(a) (b)
Gbr.  1  Hasil  rekonstruksi  PSD  dengan  metode  LS,  CD-LASSO,  dan  OMP pada  simulasi  bagian  pertama  untuk  kasus  tanpa  derau  dengan  (a) K =391  vektor  sampel  dan  (b) K =3906  vektor  sampel.  Hasil rekonstruksi  PSD  yang  berbasiskan  pada  sampel-sampel  hasil pencuplikan Nyquist ditampilkan sebagai referensi.
metode  LS  yang  digunakan  untuk  merekonstruksi  PSD  dari sampel-sampel digital yang dihasilkan oleh pencuplikan multi- coset dengan  nilai M =20  (pesat  pencuplikan  5/32  kali  pesat Nyquist). Perlu diketahui bahwa nilai M =20 adalah batas nilai minimal  yang  masih  menjamin  agar  matriks Φ pada  (7) memiliki  jumlah  baris  yang  lebih  banyak  daripada  jumlah kolom  (M 2 >  2 N -1)  dan full  column  rank (yang  merupakan syarat agar rekonstruksi LS pada (8) dapat dilakukan). Untuk memenuhi syarat cukup bagi diperolehnya kondisi full column rank pada Φ ,  literatur  terkait  [10]  menginformasikan  bahwa pola  pencuplik multi-coset yang  dipakai  (yang  tidak  lain adalah  baris-baris  matriks I N yang  dipilih  sebagai  baris-baris matriks C pada  (3))  harus  merupakan  solusi  bagi permasalahan penggaris sparse ( sparse ruler ) minimal dengan panjang penggaris N -1  = 127. Menurut  salah  satu  solusi bagi permasalahan  penggaris sparse di  atas,  baris-baris I N yang dapat  digunakan  pada C guna  menjamin  kondisi full  column rank pada Φ adalah baris-baris ke-1, 2, 12, 22, 35, 48, 61, 71, 84, 97, 110, 113, 116, 119, 121, 122, 124, 125, 127, dan 128. Dua  metode  berikutnya,  CD-LASSO  dan  OMP,  digunakan untuk  merekonstruksi  PSD  dari  sampel-sampel  digital  yang
dihasilkan  oleh  pencuplikan multi-coset dengan  nilai M =15 (pesat  pencuplikan  15/128  kali  pencuplikan  Nyquist).  Pada situasi  ini,  jumlah  baris Φ yang  dihasilkan  (M 2 =  225)  lebih kecil  daripada  jumlah  kolom Φ (2 N -1=255),  sehingga  SPL pada (7) yang diperoleh bersifat underdetermined dan metode LS jelas tidak dapat digunakan. Untuk kasus underdetermined ini, 15 baris matriks I N yang dipilih sebagai baris-baris matriks C dapat  dipilih  dari  20  baris  yang  sudah  digunakan  pada C pada  kasus  metode  LS.  Untuk  kasus  ini,  baris-baris I N yang digunakan sebagai baris-baris matriks C adalah baris ke-1, 12, 22, 35, 48, 61, 84, 97, 110, 113, 119, 121, 124, 127, dan 128.
Gbr.  1  mengilustrasikan  hasil  simulasi  bagian  pertama untuk  kasus  tanpa  derau,  sedangkan  Gbr.  2  menggambarkan hasil  untuk  kasus  dengan  keberadaan  AWGN  yang  memiliki daya σ m 2 = 0 dBm. Jumlah vektor sampel K diset K = 391 pada Gbr.  1(a)  dan  Gbr.  2(a)  serta K =  3.906  pada  Gbr.  1(b)  dan Gbr.  2(b)  (jumlah  sampel  yang  diperoleh  pada  tiap  metode adalah KM ).  Plot  hasil  untuk  OMP  pada  kasus  dengan
Gbr. 3 Hasil rekonstruksi PSD dengan metode CD-LASSO, untuk empat nilai parameter  regularisasi  λ  yang  berbeda,  pada  simulasi  bagian  kedua. Daya  derau  diset  dengan  σ m 2 =  0  dBm  dan  jumlah  vektor  sampel K adalah K =3.906.
Gbr. 4 Hasil rekonstruksi PSD dengan metode CD-LASSO, untuk empat nilai parameter  regularisasi  λ  yang  berbeda,  pada  simulasi  bagian  kedua. Daya  derau  diset  dengan  σ m 2 =  5  dBm  dan  jumlah  vektor  sampel K adalah K =3.906. (a) (b)
Gbr.  2  Hasil  rekonstruksi  PSD  dengan  metode  LS  dan  CD-LASSO,  pada simulasi bagian pertama untuk kasus dengan keberadaan derau yang memiliki daya σ m 2 = 0 dBm dan untuk (a) K =391 vektor sampel dan (b) K =3.906  vektor  sampel.  Hasil  rekonstruksi  PSD  yang berbasiskan  pada    hasil  pencuplikan  Nyquist  ditampilkan  sebagai referensi.
keberadaan  AWGN  tidak  disediakan  karena  kualitas  hasil PSD  yang  direkonstruksi  terlalu  buruk  (perlu  diingat  bahwa OMP  pada  dasarnya  dirancang  tanpa  mempertimbangkan keberadaan  derau).  Tampak  bahwa  pada  kasus  dengan maupun  tanpa  derau,  kualitas  PSD  yang  direkonstruksi meningkat  drastis  saat  nilai K ditingkatkan  hampir  sepuluh kali lipat. Tampak pula bahwa pada saat jumlah vektor sampel mulai  mencukupi,  PSD  yang  direkonstruksi  pada  kasus underdetermined (baik dengan metode CD-LASSO dan OMP untuk  kasus  tanpa  derau  maupun  dengan  CD-LASSO  untuk kasus dengan derau) dapat dengan sangat baik mengidentifikasi pita frekuensi yang diduduki meskipun pesat pencuplikan  yang  dipakai  hanya  15/128  kali  pesat pencuplikan Nyquist. Pada kasus tanpa derau, nilai PSD yang dihasilkan  oleh  metode  OMP  dan  CD-LASSO  pada  pita frekuensi yang tidak diduduki justru lebih kecil dibandingkan dengan yang dihasilkan oleh metode LS, meskipun OMP dan CD-LASSO  digunakan  pada  kasus  dengan  pesat  pencuplikan yang  lebih  rendah.  Hal  ini  disebabkan  oleh  diakomodasinya sparsity  constraint pada  kasus underdetermined .  Pada  kasus dengan derau, diakomodasinya sparsity constraint pada proses rekonstruksi  PSD  dengan  CD-LASSO  juga  mampu  menekan daya derau pada hasil PSD yang direkonstruksi. Tampak pada Gbr.  2  bahwa  nilai  PSD  yang  direkonstruksi  dengan  CD- LASSO  pada  pita  frekuensi  yang  hanya  mengandung  derau justru  lebih  kecil  daripada  daya  derau  yang  sesungguhnya. Meskipun  pada  konteks  estimasi  PSD,  hasil  rekonstruksi dengan  menggunakan  CD-LASSO  ini  dapat  dipandang  tidak akurat  (karena  daya  derau  seolah  tidak  diestimasi  dengan benar), pada konteks deteksi, hasil ini cukup membantu dalam mendeteksi keberadaan isyarat yang terkontaminasi oleh derau.
Pada  Gbr.  1  dan  Gbr.  2,  parameter  regularisasi  λ  yang digunakan  pada  metode  CD-LASSO  untuk  kasus  tanpa  dan dengan  derau  berturut-turut  adalah  λ  =  0,01  dan  λ  =  0,1. Nilai-nilai  ini  dipilih  lantaran  memberikan  hasil  rekonstruksi yang  lebih  baik  daripada  nilai-nilai  λ  lainnya.  Perlu  diingat bahwa nilai parameter λ merupakan kompromi antara tingkat sparsity pada ̂ dengan  besar  vektor  galat, ( ̂ ) ̂ . Untuk  lebih  jelasnya,  pada  simulasi  bagian  kedua, rekonstruksi  PSD  dengan  menggunakan  metode  CD-LASSO dievaluasi  untuk  nilai  λ  yang  berbeda-beda.  Nilai M dan spesifikasi matriks C yang dipakai pada simulasi bagian kedua ini sama dengan yang dipakai pada kasus underdetermined di bagian  pertama.  Gbr.  3  dan  Gbr.  4  mengilustrasikan  hasil simulasi bagian kedua untuk kasus daya AWGN berturut-turut sebesar σ m 2 = 0 dBm dan σ m 2 = 5 dBm. Hasil rekonstruksi PSD yang  berbasiskan  pada  sampel-sampel  hasil  pencuplikan Nyquist  ditampilkan  sebagai  referensi.  Pada  kedua  gambar tersebut  tampak  bahwa  nilai  PSD  pada  pita  frekuensi  yang tidak diduduki semakin besar seiring dengan turunnya nilai λ. Sebaliknya,  akurasi  PSD  yang  direkonstruksi  semakin  buruk seiring dengan naiknya nilai λ. Untuk kasus σ m 2 = 0 dBm pada Gbr.  3,  tampak  bahwa  nilai  λ  =  0,05  memberikan  kompromi yang  lebih  optimal  daripada  ketiga  nilai  λ  lainnya,  karena akurasi  PSD  yang  direkonstruksi  masih  sangat  baik,  tetapi nilai  PSD  pada  pita  frekuensi  yang  tidak  diduduki  tidak sebesar  yang  ditemukan  pada  kasus  λ  =  0,005.  Akan  tetapi, jika  ditinjau  dari  keperluan  deteksi,  hasil  rekonstruksi  PSD untuk kasus λ = 0,2 lebih diinginkan, karena walaupun akurasi PSD  yang  direkonstruksi  tidak  terlalu  baik,  daya  derau  pada
pita  frekuensi  yang  tidak  diduduki  dapat  ditekan,  sehingga identifikasi  keberadaan  isyarat  pada  pita  frekuensi  yang diduduki  jauh  lebih  mudah.  Untuk  kasus  σ m 2 =  5  dBm  pada Gbr.  4,  nilai  PSD  pada  pita  frekuensi  yang  tidak  diduduki cenderung  mulai  mendekati  level  derau  yang  sesungguhnya untuk  λ  =  0,05  dan  λ  =  0,2  jika  dibandingkan  dengan  kasus σ m 2 =  0  dBm  pada  Gbr.  3.  Hasil  rekonstruksi  PSD  untuk  λ  = 0,05 relatif sama dengan hasil untuk  λ = 0,005  sehingga λ = 0,05  tidak  lagi  dapat  dipandang  sebagai  nilai  yang memberikan  kompromi  yang  lebih  optimal  dibanding  nilai  λ lainnya. Sementara itu, untuk kasus λ = 0,2, daya derau pada pita  frekuensi  yang  tidak  diduduki  masih  lebih  rendah  jika dibandingkan dengan kasus λ = 0,005 dan λ = 0,05, meskipun kualitas  rekonstruksi  PSD  pada  pita  frekuensi  yang  diduduki tidak  sebaik  pada  kasus  λ  =  0,005  dan  λ  =  0,05.  Hal  yang menarik  ditemukan  pada  kasus  λ  =  0,4.  Pada  Gbr.  3,  hasil rekonstruksi PSD untuk kasus λ = 0,4 sama sekali tidak akurat. Sebaliknya, untuk kasus daya derau yang lebih besar pada Gbr. 4, hasil rekonstruksi PSD yang dihasilkan untuk kasus λ = 0,4 setidaknya  mulai  dapat  mengidentifikasi  pita  frekuensi  yang diduduki.  Hasil  ini  cukup  menggambarkan  intuisi  yang
(a) (b)
Gbr.  5  Kurva  probabilitas  deteksi  dan false  alarm untuk  simulasi  bagian ketiga dengan λ = 0,1. Jumlah vektor sampel adalah (a) K = 391 dan (b) K =3.906.
sebetulnya  telah  tampak  pada  formula  optimasi  (18).  Saat daya  derau  kecil,  nilai  galat  yang  diindikasikan  oleh ( ̂ ) ̂ juga  akan  kecil  sehingga  adalah  hal  yang cukup  masuk  akal  apabila  bobot  yang  lebih  diberikan  pada usaha  minimalisasi ( ̂ ) ̂ relatif  terhadap  usaha minimalisasi ‖ ̂ ‖ (yang artinya lebih masuk akal bila nilai λ yang  lebih  kecil  diinginkan).  Untuk  daya  derau  yang  lebih besar,  nilai  galat  yang  diindikasikan  oleh ( ̂ ) ̂ juga lebih besar, sehingga usaha minimalisasi ( ̂ ) ̂ semestinya  tidak  terlalu  dipaksakan  sebagaimana  pada  kasus nilai  derau  yang  kecil  (nilai  λ  yang  lebih  kecil  tidak  terlalu diinginkan).  Perlu  dicatat  bahwa  analisis  di  atas  tidak  berarti bahwa  problem  optimasi  (18)  dapat  diselesaikan  secara  naif dengan mengeset λ dengan nilai yang besar untuk kasus daya derau  besar  dan  sebaliknya,  dengan  nilai  yang  kecil  untuk kasus  daya  derau  kecil,  karena  baik tingkat  sparsity maupun akurasi pada estimasi PSD selalu penting untuk berbagai nilai daya derau yang mungkin.
Pada  simulasi  bagian  ketiga  dan  keempat,  kinerja  proses rekonstruksi  PSD  yang  berbasiskan  pada  (18)  untuk  kasus keberadaan  derau  dievaluasi  pada  konteks  aplikasi  deteksi. Isyarat  WSS  yang  diterima  oleh  SU  diasumsikan  menduduki pita frekuensi [0,2π 0,38π] dengan PSD isyarat yang diterima pada pita yang diduduki diset pada nilai 10 dBm/radian/sampel.  Cara  membangkitkan  isyarat  ini  sama dengan cara yang dipakai pada simulasi bagian pertama. Pada simulasi bagian ketiga, evaluasi deteksi berbasiskan pada hasil rekonstruksi  PSD  dengan  CD-LASSO  dan  dilakukan  untuk dua  nilai M / N yang  berbeda  serta  dua  nilai  daya  derau  yang berbeda  sebagaimana  ditampilkan  pada  Gbr.  5.  Evaluasi deteksi  dilakukan  pada  pita  frekuensi  yang  diduduki  di  atas sedangkan  probabilitas false  alarm dievaluasi  pada  pita frekuensi  yang  letaknya  cukup  jauh  dari  pita  frekuensi  yang diduduki (yaitu pada pita frekuensi [0,765π π]). Hasil evaluasi deteksi untuk kasus rekonstruksi dengan LS (dengan M / N =0,2) disediakan  sebagai  referensi.  Sebagaimana  diperkirakan, untuk  ketiga  kasus  pada  Gbr.  5(a),  kemampuan  deteksi  yang lebih  baik  ditemukan  pada  situasi  dengan  nilai  daya  derau yang  lebih  kecil.  Di  samping  itu,  untuk  kasus  CD-LASSO,
nilai M / N yang  lebih  kecil  cenderung  menghasilkan kemampuan  deteksi  yang  lebih  buruk.  Meskipun  demikian, Gbr. 5(b) mengindikasikan bahwa penambahan jumlah vektor sampel  (yang  identik  dengan  durasi  penginderaan  yang  lebih panjang)  dapat  memperbaiki  kualitas  deteksi.  Dengan demikian,  kualitas  deteksi  yang  memburuk  akibat  pesat pencuplikan yang lebih rendah umumnya dapat dikompensasi dengan durasi penginderaan yang lebih panjang.
Pada simulasi bagian keempat, evaluasi deteksi berbasiskan pada  hasil  rekonstruksi  PSD  dengan  CD-LASSO  dan dilakukan  untuk  empat  nilai  λ  yang  berbeda,  sebagaimana ditampilkan  pada  Gbr.  6  dan  Gbr.  7.  Tampak  bahwa  nilai  λ yang berbeda memberikan kualitas deteksi yang berbeda pula. Sebagai contoh, untuk K = 1.172, nilai λ = 0,4 menghasilkan kualitas deteksi yang lebih baik dibandingkan nilai λ lainnya untuk  daya  derau  σ m 2 =  5  dBm,  tetapi  menghasilkan  kualitas deteksi yang lebih buruk  untuk daya derau  σ m 2 =  7  dBm.  Hal ini  sekaligus  mempertegas  pernyataan  sebelumnya  bahwa problem  optimasi  (18)  tidak  dapat  diselesaikan  secara  naif dengan  mengeset  λ  dengan  nilai  yang  besar  untuk  situasi dengan  daya  derau  cukup  besar.  Meskipun  demikian,  untuk
Gbr.  6  Kurva  probabilitas  deteksi  dan false  alarm untuk  simulasi  bagian keempat dengan daya derau σ m 2 = 5dBm dan jumlah vektor sampel
adalah K = 1.172. (a) (b)
Gbr.  7  Kurva  probabilitas  deteksi  dan false  alarm untuk  simulasi  bagian keempat dengan daya derau σ m 2 = 7 dBm dan jumlah vektor sampel sebesar (a) K = 1.172 dan (b) K = 2.930.
σ m 2 =  7  dBm,  kualitas  deteksi  yang  dihasilkan  untuk  λ  =  0,4 segera  membaik  saat  jumlah  vektor  sampel K dinaikkan menjadi K = 2.930 sebagaimana diperlihatkan pada Gbr. 7(b) dan  kualitas  deteksi  yang  dihasilkan  melampaui  kualitas deteksi yang dihasilkan untuk λ = 0,001 dan λ = 0,01.

## VI. K ESIMPULAN
Makalah  ini  mengevaluasi  rekonstruksi  PSD  berbasiskan sampel-sampel  digital  yang  dihasilkan  melalui  pencuplikan dengan  pesat  jauh  di  bawah  pesat  Nyquist  sedemikian  rupa sehingga SPL yang dihasilkan bersifat underdetermined . Pada situasi  ini,  asumsi sparsity dapat  diterapkan  pada  PSD  yang direkonstruksi sejauh asumsi sparsity tersebut valid (misalnya pada  aplikasi  penginderaan  spektrum  untuk  CR).  Dua  buah metode  rekonstruksi  yang  dievaluasi  adalah  OMP  dan  CD- LASSO.  Menurut  hasil  simulasi,  untuk  kasus  sistem underdetermined ,  kualitas  PSD  yang  direkonstruksi  dengan menggunakan  CD-LASSO  masih  dapat  memberikan  hasil rekonstruksi  yang  cukup  baik  untuk  kasus  tanpa  maupun dengan derau (dengan nilai σ m 2 hingga 5dBm dan daya isyarat sebesar  10  dBm)  selama  durasi  proses  penginderaan mencukupi.  Di  samping  itu,  saat  hasil  rekonstruksi  PSD dengan  CD-LASSO  digunakan  untuk  melakukan  proses deteksi,  kualitas  deteksi  yang  cukup  baik  dapat  diperoleh selama  panjang  durasi  penginderaan  mampu  mengompensasi pesat  pencuplikan  yang  rendah.  Perlu  diperhatikan  bahwa untuk  memperoleh  kualitas  rekonstruksi  PSD  dan  kualitas deteksi yang mencukupi, kompromi yang tepat antara batasan sparsity dan  besar  vektor  galat  harus  diperoleh  dengan menetapkan nilai parameter regularisasi yang tepat. Sementara itu,  algoritme  OMP  hanya  dapat  bekerja  dengan  baik  pada kasus tanpa derau.

## R EFERENSI
[1] M. Unser, “Sampling-50 years after Shannon,” Proceeding of the IEEE , Vol. 88, No. 4, hal. 569–587, Apr. 2000.
[2] B.  Le,  T.  Rondeau,  J.  Reed,  dan  C.  Bostian,  “Analog-to-digital Converters,” IEEE  Signal  Processing  Magazine ,  Vol.  22,  No.  6,  hal. 69–77, Nov. 2005.
[3] D.L.  Donoho,  “Compressed  Sensing,” IEEE  Transactions  on Information Theory , Vol. 52, No. 4, hal. 1289–1306, Apr. 2006.
[4] J.A.  Tropp  dan  A.  Gilbert,  “Signal  Recovery  from  Random Measurements  Via  Orthogonal  Matching  Pursuit,” IEEE  Transactions on Information Theory , Vol. 53, No. 12, hal. 4655–4666, Des. 2007.
[5] S.S. Chen, D.L. Donoho, dan M.A. Saunders, “Atomic Decomposition by Basis Pursuit,” Siam Review , Vol. 43, No. 1, hal. 129–159, 2001.
[6] R.  Tibshirani,  “Regression  Shrinkage  and  Selection  Via  the  Lasso:  A Retrospective,” Journal of the Royal Statistical Society, Series B , Vol. 73, No. 3, hal. 273–282, Jun. 2011.
[7] D. Needell dan J.A. Tropp, “CoSaMP: Iterative Signal Recovery from Incomplete  and  Inaccurate  Samples,” Applied  and  Computational Harmonic Analysis Elsevier , Vol. 26, No. 3, hal. 301–321, Mei 2009.
[8] I.  Budiarjo,  H.  Nikookar,  dan  L.P.  Ligthart,  “Cognitive  Radio Modulation  Techniques:  Reducing  Mutual  Interference,” IEEE  Signal Processing Magazine , Vol. 25, No. 6, hal. 24–34, Nov. 2008.
[9] S. Haykin, “Cognitive  Radio:  Brain  Empowered  Wireless Communications,” IEEE Journal on Selected Area in Communications , Vol. 23, No. 2, hal. 201–220, Feb. 2005.
[10] D.D. Ariananda, “Compressive Power Spectral Analysis” , Ph.D thesis, Technische Universiteit Delft, Delft, The Netherlands, Mar. 2015.
[11] M.A. Lexa, M.E. Davies, J.S. Thompson, dan J. Nikolic, “Compressive Power  Spectral  Density  Estimation,” Proc.  of  IEEE  International
Conference  on  Acoustics,  Speech,  and  Signal  Processing ,  2011,  hal. 3884-3887.
[12] C.P. Yen, Y. Tsai, dan X. Wang, “Wideband Spectrum Sensing Based on  Sub-Nyquist  Sampling,” IEEE  Transactions  on  Signal  Processing , Vol. 61, No. 12, hal. 3028–3040, Jun. 2013.
[13] D. Cohen dan Y.C. Eldar, “Sub-Nyquist Sampling for Power Spectrum Sensing  in  Cognitive  Radios:  A  Unified  Approach,  “ IEEE Transactions  on  Signal  Processing ,  Vol.  62,  No.  15,  hal.  3897-3910, Agt. 2014.
[14] Z.  Tian  dan  G.B.  Giannakis,  “Compressed  Sensing  for  Wideband Cognitive  Radios,” Proc.  of  IEEE  International  Conference  on Acoustics, Speech, and Signal Processing , 2007, hal. IV/1357-IV/1360.
[15] Z.  Tian,  “Compressed  Wideband  Sensing  in  Cooperative  Cognitive Radio  Networks,” Proc.  of  IEEE  Global  Telecommunications Conference , 2008, hal. 1-5.
[16] F.  Zeng,  C.  Li,  dan  Z.  Tian,  “Distributed  Compressive  Spectrum Sensing in Cooperative Multihop Cognitive Networks,” IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing , Vol. 5, No. 1, hal. 37–48, Feb. 2011.
[17] Y.  Wang,  Z.  Tian,  dan  C.  Feng,  “A  Two-Step  Compressed  Spectrum Sensing  Scheme  for  Wideband  Cognitive  Radios,” Proc.  of IEEE Global Telecommunications Conference , 2010, hal. 1-5.
[18] Z. Qin, Y. Gao, M.D. Plumbey, dan C.G. Parini, “Wideband Spectrum Sensing  on  Real-Time  Signals  at  Sub-Nyquist  Sampling  Rates  in Single and Cooperative Multiple Nodes, “ IEEE Transactions on Signal Processing , Vol. 64, No. 12, hal. 3106-3117, Jun. 2016.
[19] H.  Sun,  W.-Y  Chiu,  dan  A.  Nallanathan,  “Adaptive  Compressive Spectrum  Sensing  for  Wideband  Cognitive  Radios,” IEEE Communication Letters , Vol. 16, No. 11, hal. 1812–1815, Nov. 2012.
[20] Z.  Qin,  Y.  Gao,  dan  C.G.  Parini,  “Data-Assisted  Low  Complexity Compressive  Spectrum  Sensing  on  Real-Time  Signals  Under  Sub- Nyquist  Rate, “ IEEE  Transactions on  Wireless Communications , Vol. 15, No. 2, hal. 1174-1185, Feb. 2016.
[21] Z.  Qin,  J.  Wang,  J.  Chen,  dan  L.  Wang,  “Adaptive  Compressed Spectrum  Sensing  Based  on  Cross  Validation  in  Wideband  Cognitive Radio System, “ IEEE Systems Journal , Vol. 11, No. 4, hal. 2422-2431, Des. 2017.
[22] Y.  Wang,  Z.  Tian,  dan  C.  Feng,  “Sparsity  Order  Estimation  and  Its Application  in  Compressive  Spectrum  Sensing  for  Cognitive  Radios, “ IEEE Transactions on Wireless Communications , Vol. 11, No. 6, hal. 2116-2125, Jun. 2012.
[23] P.  Stoica  dan  R.L.  Moses, Spectral  Analysis  of  Signals ,  Upple  Saddle River, New Jersey, USA: Prentice-Hall, Inc., 2005.
[24] R. Venkataramani dan Y.  Bresler, “Optimal  Sub-Nyquist Nonuniform Sampling  and  Reconstruction  for  Multiband  Signals,  “ IEEE Transactions  on  Signal  Processing ,  Vol.  49,  No.  10,  hal.  2301-2313, Okt. 2001.
[25] M.  Mishali  dan  Y.C.  Eldar,  “Blind  Multiband  Signal  Reconstruction: Compressed  Sensing  for  Analog  Signals,  “ IEEE  Transactions  on Signal Processing , Vol. 57, No. 3, hal. 993-1009, Mar. 2009.
[26] M.  Mishali  dan  Y.C.  Eldar,  “From  Theory  to  Practice:  Sub-Nyquist Sampling  of  Sparse  Wideband  Analog  Signals,  “ IEEE  Journal  of Selected Topics in Signal Processing , Vol. 4, No. 2, hal. 375-391, Apr. 2010.
[27] J.A. Tropp, J.N. Laska, M.F. Duarte, J.K. Romberg, dan R.G. Baraniuk, “Beyond  Nyquist:  Efficient  Sampling  of  Sparse  Bandlimited  Signals, “ IEEE  Transactions  on  Information  Theory ,  Vol.  56,  No.  1,  hal.  520- 544, Jan. 2010.
[28] S.S. Gishkori, “Compressive Sampling for Wireless Communications” , Ph.D thesis, Technische Universiteit Delft, Delft, The Netherlands, Jun. 2014.
[29] Y.C.  Eldar  dan  G.  Kutyniok, Compressed  Sensing:  Theory  and Applications ,  Cambridge,  United  Kingdom:  Cambridge  University Press, 2012.
[30] E.J. Candes, J. Romberg, dan T. Tao, “Robust Uncertainty Principles: Exact  Signal  Reconstruction  from  Highly  Incomplete  Frequency Information,” IEEE Transactions on Information Theory , Vol. 52, No. 2, hal. 489–509, Feb. 2006.