## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10358
Pendugaan Imbal Hasil Saham BCA dengan Model Autoregressive Moving Average
Grifin Ryandi Egeten 1* , Berlian Setiawaty 2 , Retno Budiarti 3
1,2,3 Departemen Matematika, Fakultas MIPA, Institut Pertanian Bogor, Jalan Meranti, Kampus IPB Dramaga 16680, Jawa Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: grifin_egeten@apps.ipb.ac.id

## ABSTRAK 1
Seorang investor pada umumnya berharap untuk membeli suatu saham dengan harga yang rendah  dan  menjual  saham  tersebut  dengan  harga  yang  lebih  tinggi  untuk  memperoleh imbal hasil yang tinggi. Namun, kapan waktu yang tepat melakukannya menjadi tantangan tersendiri  bagi  para  investor.  Oleh  sebab  itu,  dibutuhkan  suatu  model  yang  mampu menduga imbal hasil saham dengan baik, salah satunya adalah model autoregressive moving average (ARMA).  Tujuan  dari  penelitian  ini  adalah  untuk  menerapkan  model autoregressive (AR) , model moving  average (MA),  atau  model autoregressive  moving  average (ARMA)  pada data  observasi  untuk  menduga  imbal  hasil  saham bank  central  asia (BCA).  Terdapat  empat prosedur  dalam  membangun  sebuah  model  AR,  MA  atau  ARMA.  Pertama,  data  yang digunakan  harus weakly  stationary .  Kedua,  orde  dari  model  harus  diidentifikasi  untuk memperoleh model yang terbaik. Ketiga, parameter setiap model harus ditentukan. Keempat, kelayakan  model  harus  diperiksa  dengan  melakukan  analisis  residual  untuk  memperoleh model  yang  terbaik.  Pada  akhirnya,  model  ARMA  (1,1)  adalah  model  terbaik  dan  akurat dalam menduga imbal hasil saham BCA.
Kata Kunci: Imbal hasil; Autoregressive (AR); Moving Average (MA); Autoregressive Moving Average (ARMA); Pendugaan

## ABSTRACT
Generally, investor always wish to be able to buy a stock at a low price and sell it at a higher price to obtain  high  returns.  However,  when  is  the  best  time  to  buy  or  sell  it  is  a  challenge  for  investor. Therefore,  proper  models  are  needed  to  predict  a  stock  return,  one  of  them  is  autoregressive  moving average (ARMA) model. The first purpose of this paper is to apply the autoregressive (AR), moving average  (MA)  or  ARMA  models  to  the  observations  to  predict  stock  returns  of  bank  central  asia (BCA) .  There  are  four  procedures  which  is  used  to  build  an  AR,  MA,  or  ARMA  model.  First,  the observations must be weakly stationary. Second, the order of the models must be identified to obtain the best  model.  Third,  the  unknown  parameters  of  the  models  are  estimated  by  maximum  likelihood. Fourth,  through  residual  analysis,  diagnostic  checks  are  performed  to  determine  the  adequacy  of  the model.  In  this  paper,  stock  returns  of  BCA  are  used  as  data  observation.  Finally,  the  ARMA  (1,1) model is the best model and appropriate to predict the stock returns of BCA in the future.

## Keywords:
Stock Return; Autoregressive (AR); Moving Average (MA); Autoregressive Moving Average (ARMA); Prediction
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2021 G. R. Egeten, B. Setiawaty, R. Budiarti | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 11 April 2021 | Accepted: 22 May 2021 | Online: 30 May 2021
Format Sitasi:
G.  R.  Egeten,  B.  Setiyawaty,  and  R.  Budiarti. “ Pendugaan  Imbal  Hasil  Saham  dengan  Model Autoregressive Moving Average, ” Jambura J. Math. , vol. 3, no. 2, pp.140-154, 2021.

## 1.  Pendahuluan
Imbal hasil saham merupakan salah satu topik penting dalam dunia ekonomi. Evaluasi terhadap  suatu  aset  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  imbal  hasil  saham tersebut,  yang  secara  konvensional  didefinisikan  sebagai  fungsi  logaritma  natural terhadap perubahan harga [1]. Namun, apakah imbal hasil saham di masa depan dapat diduga  menjadi  pertanyaan  yang  krusial  dikemukakan  oleh  Ding, et.al [2].  Beberapa penelitian  menunjukkan  bahwa  imbal  hasil  saham  dapat  diduga  menggunakan variabel  yang  relevan  seperti  dividen  [3]-[5].  Di  sisi  lain,  Hu, et.al [6]  menyatakan bahwa  serangkaian  imbal  hasil  saham  dapat  mencerminkan  volatilitas  pasar  saham lebih  baik dibandingkan  dengan  serangkaian  harga  saham,  sehingga  pendugaan dan pemodelan  imbal  hasil  saham  memiliki  nilai  penelitian  yang  lebih  penting dibandingkan pendugaan harga saham.
Pendugaan  imbal  hasil  saham  penting  untuk  para  pengelola  portofolio  mengambil keputusan dalam mengalokasikan modal, merespon resiko perdagangan dan efisiensi pasar  saham.  Imbal  hasil  saham  dapat  dipandang  sebagai  bagian  dari  suatu  deret waktu  ( time  series ).  Data  imbal  hasil  yang  ada  dengan  periode  waktu  tertentu,  dapat dimanfaatkan untuk membangun suatu model yang digunakan untuk menduga imbal hasil  saham  di  waktu  yang  akan  datang.  Salah  satu  model  yang  terkenal  dan  sering digunakan adalah model Autoregressive Moving Average (ARMA) [7].
Menurut  Emenogu, et.al [8]  mengatakan  bahwa  model  ARMA  adalah  model  yang populer  dan  sangat  baik  untuk  pemodelan  dan  pendugaan  deret  waktu.  Model  ini sudah  diterapkan  di  hampir  semua  bidang  usaha  seperti  teknik,  geofisika,  bisnis, ekonomi,  keuangan,  pertanian,  ilmu  kedokteran,  ilmu  sosial,  meteorologi  dan pengendalian kualitas seperti pada penelitian yang terdapat pada [9]-[13].
Model  ARMA  merupakan  gabungan  antara  model Autoregressive (AR)  dan  model Moving Average (MA). Proses ARMA dapat digunakan untuk memodelkan suatu deret waktu yang stasioner selama orde dari AR dan MA ditentukan dengan tepat. Hal ini menunjukkan  bahwa  sebuah  rangkaian  imbal  hasil  dapat  dimodelkan  dengan kombinasi imbal hasil pada masa lampau dan/atau galat pada masa lampau. Menurut Box dan Jenkins [14] dalam proses memodelkan deret waktu membutuhkan  minimal empat  tahap.  Tahap  pertama  adalah  imbal  hasil  harus  stasioner  dalam  rataan  dan varian. Tahap kedua adalah penentuan orde yang sesuai untuk AR, MA atau ARMA menggunakan  fungsi autocorrelations dan partial  autocorrelations .  Tahap  ketiga  adalah menduga nilai parameter setiap model. Setelah nilai setiap parameter diketahui, maka tahap  keempat  adalah  diagnostic  checking.  Tahap  ini  digunakan  untuk  menentukan apakah residual dari model yang dipilih merupakan proses white noise atau tidak. Jika proses diagnostic  checking menunjukkan  residual  model merupakan  proses white  noise yang  diasumsikan  menyebar  normal  maka  model  tersebut  dapat  digunakan  untuk menduga imbal hasil saham.
Langkah-langkah  tersebut  dikenal  sebagai  metode  Box-Jenkins  yang  digunakan sebagai  alat  peramalan  nilai  ekonomi.  Perbedaan  penelitian  ini  dengan  penelitian terdahulu yang dilakukan oleh Latha, et.al [15] terletak pada langkah pertama metode
Box-Jenkins.  Berdasarkan  metode  tersebut,  data  observasi  haruslah  stasioner  dalam rataan  dan variance. Tahap  pertama  pada  penelitian  terdahulu  hanya  menguji kestasioneran  data  dalam  rataan  saja,  sementara  pada  makalah  ini  dilakukan pengujian  kestasioneran  data  dalam  rataan  dan variance yang  merupakan  tahapan pertama metode Box-Jenkins.
Pada  penelitian  ini  diharapkan model  AR,  MA,  atau  ARMA  salah  satunya  mampu menduga imbal hasil saham dengan baik. Tujuan penelitian ini adalah menduga imbal hasil  saham bank  central  asia (BCA)  dengan  menerapkan  model  AR,  MA atau ARMA berdasarkan  metode  Box-Jenkins.  Penelitian  ini  menggunakan  bantuan software komputasi open-source R  dengan  beberapa package seperti tseries,  forecast, TSA  dan nortsTest.

## 2.  Metode
Pada  penelitian  ini,  data  yang  akan  digunakan  adalah  harga  saham bank  central  asia (BCA) sebanyak 747 data harian selama kurang lebih tiga tahun periode waktu yaitu 2017-2020  terhitung  sejak  tanggal  03  Januari  2017  sampai  dengan  03  Februari  2020. Penelitian  ini  diawali  dengan  memeriksa  kestasioneran  data  dalam  rataan  maupun variance , apabila data sudah stasioner maka orde yang tepat untuk model sudah dapat ditentukan  dengan  melihat  nilai  atau  grafik autocorrelation  function (ACF)  dan partial autocorrelation  function (PACF)  imbal  hasil  saham.  Sampai  tahap  ini  mungkin  akan ditemukan  beberapa  model  yang  nantinya  akan  dipilih  satu  model  yang  terbaik. Untuk  memilih  model  terbaik  di  antara  calon  model  terbaik,  maka  pada  tahap selanjutnya  perlu  ditentukan  nilai  parameter  dan Akaike’s  Information  Criterion (AIC) setiap  model.  Setelah  model  terbaik  sudah  dipilih,  maka  selanjutnya  akan  diperiksa kelayakan  model  (model  diagnostic  checking).  Setelah  itu,  model  tersebut  dapat digunakan  untuk  pendugaan  ataupun  peramalan  dan  akan  diuji  keakuratannya menggunakan mean absolute percentage error (MAPE). Langkah terakhir ialah penarikan kesimpulan berdasarkan hasil yang didapatkan.

## 2.1. Stasioneritas
Menurut Shumway dan Stoffer [16], proses {𝑌 𝑡 } dikatakan covariance – stationary atau weakly stationary apabila memenuhi pernyataan berikut:
1. 𝐸(𝑌 𝑡 ) = 𝜇 , untuk semua 𝑡 ∈ ℤ
2. 𝐸[(𝑌 𝑡 − 𝜇)(𝑌 𝑡−𝑗 − 𝜇)] = 𝛾 (𝑡−𝑡+𝑗) = 𝛾 𝑗 ,  untuk  setiap 𝑡 ∈ ℤ dan  sebarang 𝑗 = 0,1,2, … .

## 2.2. Operator Lag
Misalkan  proses {𝑌 𝑡 } diberikan, maka  operator lag atau backshift  operator yang dilambangkan  dengan 𝐿 didefinisikan  sebagai 𝑐𝐿 𝑘 𝑌 𝑡 = 𝑐𝑌 𝑡−𝑘 , dengan 𝑘 ∈ Ζ dan 𝑐 konstanta [16] .

## 2.3. Autocorrelation Function
Autocorrelation coefficient pada lag 𝑘 suatu deret waktu adalah
𝜌 𝑗 = 𝛾 𝑗 𝛾 0 = 𝐶𝑜𝑣(𝑌 𝑡 , 𝑌 𝑡+𝑗 ) 𝑉𝑎𝑟(𝑌 𝑡 ) , untuk 𝑗 = 0,1,2, … . (1)
Kumpulan  nilai  dari 𝜌 𝑗 , 𝑗 = 0,1,2, … disebut  sebagai autocorrelation  function (ACF). Penduga ACF adalah sampel ACF yang dilambangkan 𝑟 𝑗 adalah sebagai berikut
𝑟 𝑗 = 𝜌̂ 𝑗 = 1 𝑇 ∑ (𝑌 𝑡 − 𝑌̅ 𝑡 )(𝑌 𝑡+𝑗 − 𝑌̅ 𝑡 ) 𝑇−𝑗 𝑡=1 𝑐 0 , untuk 𝑗 = 0,1,2, … . (2)
dengan 𝑐 0 = 𝛾̂ 0 = 𝜎 2 , 𝑇 adalah banyaknya data dan 𝑌̅ 𝑡 adalah rata-rata 𝑌 𝑡 [17].

## 2.4. Proses White Noise
Hal mendasar untuk semua proses pada penelitian ini adalah proses {𝜀 𝑡 } di mana 𝑡 ∈ ℤ yang memiliki rataan nol dan variance 𝜎 2 , yaitu
𝐸(𝜀 𝑡 ) = 0, ∀𝑡 ∈ ℤ 𝐸(𝜀 𝑡 2 ) = 𝜎 2 , ∀𝑡 ∈ ℤ, dan 𝐸(𝜀 𝑡 𝜀 𝜏 ) = 0, 𝑡 ≠ 𝜏, ∀𝑡, 𝜏 ∈ ℤ.
Proses {𝜀 𝑡 } dikenal  sebagai  proses white  noise atau  disebut  juga  sebagai  proses white noise Gaussian apabila 𝜀 𝑡 ~𝑁(0, 𝜎 2 ) [16].

## 2.5. Proses Moving Average
Proses {𝑌 𝑡 } disebut proses moving average orde 𝑞 yang dilambangkan 𝑀𝐴(𝑞) jika
𝑌 𝑡 = 𝜇 + 𝜀 𝑡 + 𝜃 1 𝜀 𝑡−1 + 𝜃 2 𝜀 𝑡−2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝜀 𝑡−𝑞 , (3)
dengan 𝜇 dan 𝜃 1 , 𝜃 2 , … , 𝜃 𝑞 adalah bilangan real (konstanta).
Barisan {𝜀 𝑡 } diasumsikan  proses white  noise sehingga  nilai  harapan  proses 𝑀𝐴(𝑞) adalah konstanta yang tidak bergantung pada waktu, variance adalah sebagai berikut
𝛾 0 = 𝐸[(𝑌 𝑡 − 𝜇) 2 ] = (1 + 𝜃 1 2 + 𝜃 2 2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 2 )𝜎 2 , (4)
dan autocovariance untuk proses 𝑀𝐴(𝑞) adalah
𝛾 𝑗 = { (𝜃 𝑗 + 𝜃 𝑗+1 𝜃 1 + 𝜃 𝑗+2 𝜃 2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞−𝑗 )𝜎 2
0 , untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑞, untuk 𝑗 > 𝑞 . (5)
Autocorrelation  function (ACF) untuk  proses 𝑀𝐴(𝑞) diperoleh  dengan  menggunakan persamaan (4) dan (5) sebagai berikut
𝜌 𝑗 = { (𝜃 𝑗 + 𝜃 𝑗+1 𝜃 1 + 𝜃 𝑗+2 𝜃 2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝜃 𝑞−𝑗 ) (1 + 𝜃 1 2 + 𝜃 2 2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 2 ) 0 , untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑞,
untuk 𝑗 > 𝑞 . (6)
Akibatnya autocorrelation function (ACF) proses 𝑀𝐴(𝑞) cuts off setelah lag 𝑞 . Gambar 1 merupakan contoh plot ACF untuk model 𝑀𝐴(𝑞) dengan 𝑞 = 5 .
Gambar 1. Autocorrelation functions proses MA (5)
Perhatikan proses 𝑀𝐴(𝑞) pada persamaan (3), untuk 𝑞 → ∞ diperoleh
𝑌 𝑡 = 𝜇 + 𝜓 0 𝜀 𝑡 + 𝜓 1 𝜀 𝑡−1 + 𝜓 2 𝜀 𝑡−2 + ⋯. (7)
{𝑌 𝑡 } yang memenuhi persamaan (7) merupakan proses moving average dengan orde tak hingga  yang  dilambangkan 𝑀𝐴(∞) dengan 𝜓 0 = 1 dan 𝜓 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2, … adalah koefisien dari proses 𝑀𝐴(∞) .
Nilai harapan, variance dan autocovariance dari proses 𝑀𝐴(∞) dapat diperoleh dengan cara  yang  serupa  seperti  proses 𝑀𝐴(𝑞) dengan  asumsi  bahwa  barisan {𝜀 𝑡 } adalah proses white  noise sehingga 𝐸[𝜀 𝑡 ] = 0 , 𝐸[𝜀 𝑡 2 ] = 𝜎 2 dan 𝐸[𝜀 𝑡 𝜀 𝑡−𝑘 ] = 0 untuk 𝑘 ≠ 0 dan akan diperoleh nilai harapan dan autocovariance dari proses 𝑀𝐴(∞) tidak bergantung pada waktu ( 𝑡 ) seperti proses 𝑀𝐴(𝑞) , hal ini menunjukkan bahwa pada kedua proses tersebut, {𝑌 𝑡 } adalah proses yang covariance-stationary [16].

## 2.6. Proses Autoregressive
Proses {𝑌 𝑡 } disebut proses autoregressive ordo 𝑝 yang dilambangkan 𝐴𝑅(𝑝) jika
𝑌 𝑡 = 𝑐 + 𝜙 1 𝑌 𝑡−1 + 𝜙 2 𝑌 𝑡−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑌 𝑡−𝑝 + 𝜀 𝑡 , (8)
dengan 𝑐 dan 𝜙 1 , 𝜙 2 , … , 𝜙 𝑝 adalah konstanta bilangan real. Persamaan (8) dapat ditulis dalam bentuk operator lag sebagai berikut
(1 − 𝜙 1 𝐿 − 𝜙 2 𝐿 2 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝐿 𝑝 )𝑌 𝑡 = 𝑐 + 𝜀 𝑡 . (9)
Misalkan  bagian  polinomial  operator lag 𝜓(𝐿) = (1 + 𝜙 1 𝐿 + 𝜙 2 𝐿 2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝐿 𝑝 ) , sehingga diperoleh bentuk lain dari 𝑌 𝑡 sebagai berikut
𝑌 𝑡 = 𝜓(𝐿) −1 𝑐 + 𝜓(𝐿) −1 𝜀 𝑡 = 𝑐 1 − 𝜙 1 − 𝜙 2 − ⋯ − 𝜙 𝑝 + ∑ 𝜓 𝑗 𝜀 𝑡−𝑗 ∞ 𝑗=0 . (10)
Nilai harapan proses 𝑌 𝑡 pada persamaan (10) adalah sebagai berikut
𝐸[𝑌 𝑡 ] = 𝑐 1 − 𝜙 1 − 𝜙 2 − ⋯ − 𝜙 𝑝 = 𝜇, (11)
dengan demikian proses 𝐴𝑅(𝑝) dapat ditulis dalam bentuk
𝑌 𝑡 − 𝜇 = 𝜙 1 (𝑌 𝑡−1 − 𝜇) + 𝜙 2 (𝑌 𝑡−2 − 𝜇) + ⋯ + 𝜙 𝑝 (𝑌 𝑡−𝑝 − 𝜇) + 𝜀 𝑡 . (12)
Variance diperoleh dengan menghitung nilai harapan dari (𝑌 𝑡 − 𝜇 ) yang kedua sisinya sudah dikalikan dengan (𝑌 𝑡 − 𝜇) , sehingga diperoleh
𝛾 0 = 𝜙 1 𝛾 1 + 𝜙 2 𝛾 2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝛾 𝑝 + 𝜎 2 . (13)
Autocovariance diperoleh dengan menghitung nilai harapan dari (𝑌 𝑡 − 𝜇 ) yang kedua sisinya sudah dikalikan dengan (𝑌 𝑡−𝑗 − 𝜇) sehingga diperoleh
𝛾 𝑗 = 𝜙 1 𝛾 𝑗−1 + 𝜙 2 𝛾 𝑗−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝛾 𝑗−𝑝 , untuk 𝑗 = 1,2,3, … . (14)
Oleh karena nilai harapan dan autocovariance tidak bergantung pada waktu, maka pada proses 𝐴𝑅(𝑝) , {𝑌 𝑡 } adalah proses covariance-stationary .
Autocorrelation function (ACF) proses 𝐴𝑅(𝑝) diperoleh dengan membagi persamaan (14) dengan 𝛾 0 , sehingga diperoleh
𝜌 𝑗 = 𝜙 1 𝜌 𝑗−1 + 𝜙 2 𝜌 𝑗−2 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝜌 𝑗−𝑝 , untuk 𝑗 = 1,2,3, … . (15)
ACF  proses 𝐴𝑅(𝑝) merupakan  persamaan  beda,  sehingga  untuk 𝑝 > 1 dibutuhkan akar-akar (𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , … , 𝜆 𝑝 ) untuk memperoleh solusi umum dengan catatan akar-akar real dan berbeda adalah sebagai berikut
𝜌 𝑗 = 𝑔 1 𝜆 1 𝑗 + 𝑔 2 𝜆 2 𝑗 + ⋯ + 𝑔 𝑝 𝜆 𝑝 𝑗 , untuk 𝑗 = 1,2,3, … . (16)
di  mana 𝑔 1 , 𝑔 2 , … , 𝑔 𝑝 yang  diperoleh  dari 𝜌 0 dan 𝜌 1 .  Pola  ACF  pada  proses 𝐴𝑅(𝑝) adalah exponential decay untuk akar-akar yang real dan berbeda seperti pada Gambar 2 untuk 𝑝 = 2 .
Kemudian  solusi  umum  untuk  akar-akar  yang complex dalam  bentuk 𝑎 ± 𝑖𝑏 adalah sebagai berikut
𝜌 𝑗 = 𝑅 𝑗 [𝑔 1 cos(𝛼𝑗) + 𝑔 2 sin(𝛼𝑗)], untuk 𝑗 = 1,2,3, … . (17)
dengan 𝑅 = |𝜆 𝑖 | = √𝑎 2 + 𝑏 2 untuk 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑝 dan 𝛼 diperoleh dari cos(𝛼) = 𝑎 𝑅 atau sin(𝛼) = 𝑏 𝑅 , kemudian 𝑔 1 dan 𝑔 2 adalah konstanta tertentu. Sehingga pola ACF untuk akar-akar yang complex adalah seperti pada Gambar 3 dengan 𝑝 = 2 [16].

## 2.7. Partial Autocorrelation Function
Partial  autocorrelation  function (PACF)  dipandang  sebagai  korelasi  antara  dua  peubah yang  dilambangkan  dengan 𝜙 𝑘𝑘 untuk 𝑘 = 1,2,3, … .  Penduga  untuk  PACF  adalah sampel PACF ( 𝜙̂ 𝑘𝑘 ) dapat ditentukan menggunakan persamaan Yule Walker berikut
[ 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 3 ⋮ 𝜌 𝑘 ] = [ 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 … … … 𝜌 𝑘−1 𝜌 𝑘−2 𝜌 𝑘−3 ⋮ ⋮ ⋮ 𝜌 𝑘−1 𝜌 𝑘−2 𝜌 𝑘−3 … … ⋮ 1 ] [ 𝜙 𝑘1 𝜙 𝑘2 𝜙 𝑘3 ⋮ 𝜙 𝑘𝑘 ] , (18)
secara ringkas bentuk matriks di atas dapat ditulis sebagai
Gambar 2. Autocorrelation functions proses 𝐴𝑅(2) akar real dan berbeda
Gambar 3. Autocorrelation function proses 𝐴𝑅(2) akar complex
𝝆 𝑘×1 = 𝑷 𝑘×𝑘 𝝓 𝑘×1 . (19)
Jika matriks 𝑷 memiliki invers maka 𝝓 𝑘×1 = 𝑷 𝑘×1 −1 𝝆 𝑘×1 , dengan menggunakan metode Cramer diperoleh solusi untuk 𝑘 = 1,2,3 secara berurutan adalah
𝜙 11 = 𝜌 1 , 𝜙 22 = | 1 𝜌 1 𝜌 1 𝜌 2 | | 1 𝜌 1 𝜌 1 1 | = 𝜌 2 − 𝜌 1 2 1 − 𝜌 1 2 , dan 𝜙 33 = | 1 𝜌 1 𝜌 1 𝜌 1 1 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 1 𝜌 3 | | 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 𝜌 1 𝜌 2 𝜌 1 1 | . (20)
Koefisien terakhir dari matriks 𝝓 yaitu 𝜙 𝑘𝑘 ( ∀𝑘 = 1,2,3, … ) disebut sebagai PACF.
PACF  untuk  proses 𝑀𝐴(𝑞) dapat  ditentukan  dengan  mensubstitusikan  ACF  proses 𝑀𝐴(𝑞) pada  persamaan  (6)  ke  solusi  persamaan  Yule  Walker,  sehingga  membentuk pola exponential decay dan atau damped sinusoid seperti pada Gambar 4 untuk 𝑞 = 1 .
Gambar 4. Partial autocorrelation functions proses 𝑀𝐴(1)
PACF  untuk  proses 𝐴𝑅(𝑝) juga  ditentukan  dengan  cara  yang  serupa  yaitu mensubstitusikan  ACF  proses 𝐴𝑅(𝑝) pada  persamaan  (15)  ke  solusi  persamaan  Yule Walker dengan asumsi akar-akar real dan berbeda satu dengan yang lainnya, sehingga membentuk pola cuts off setelah lag 𝑝 seperti pada Gambar 5 untuk 𝑝 = 6 [18].
Gambar 5. Partial autocorrelation functions proses 𝐴𝑅(6)

## 2.8. Proses Autoregressive Moving Average
Proses autoregressive moving average terdiri dari gabungan bentuk autoregressive ordo 𝑝 dan moving average ordo 𝑞 yang dinotasikan dengan 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) . Proses {𝑌 𝑡 } disebut proses 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) jika
𝑌 𝑡 = 𝑐 + 𝜙 1 𝑌 𝑡−1 + ⋯ + 𝜙 𝑝 𝑌 𝑡−𝑝 + 𝜀 𝑡 + 𝜃 1 𝜀 𝑡−1 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝜀 𝑡−𝑞 , (21)
dengan 𝑐, 𝜙 𝑖 dan 𝜃 𝑖 ( 𝑖 = 1,2,3, … ) konstanta real . Bentuk operator lag adalah
(1 − 𝜙 1 𝐿 − 𝜙 2 𝐿 2 − ⋯ − 𝜙 𝑝 𝐿 𝑝 )𝑌 𝑡 = 𝑐 + (1 + 𝜃 1 𝐿 + 𝜃 2 𝐿 2 + ⋯ + 𝜃 𝑞 𝐿 𝑞 )𝜀 𝑡 𝜙(𝐿)𝑌 𝑡 = 𝑐 + 𝜃(𝐿)𝜀 𝑡 . (22)
Kedua sisi dikalikan dengan 𝜙(𝐿) −1 sehingga diperoleh
𝑌 𝑡 = 𝜙(𝐿) −1 𝑐 + 𝜓(𝐿)𝜀 𝑡 , (23)
dengan 𝜓(𝐿) = 𝜃(𝐿) 𝜙(𝐿) = (1+𝜃 1 𝐿+𝜃 2 𝐿 2 +⋯+𝜃 𝑞 𝐿 𝑞 ) (1−𝜙 1 𝐿−𝜙 2 𝐿 2 −⋯−𝜙 𝑝 𝐿 𝑝 ) .    Hal  ini  membuat  nilai  harapan  untuk proses 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) sama  seperti  nilai  harapan  proses 𝐴𝑅(𝑝) . Autocovariance dan  ACF proses 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) untuk 𝑗 > 𝑞 sama  dengan  proses 𝐴𝑅(𝑝) ,  sehingga  pola  ACF  yang terbentuk adalah exponential decay dan atau damped sinusoid tergantung akar-akar dari persamaan bedanya . Nilai ACF model 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) disubstitusikan ke solusi persamaan Yule  Walker  pada  persamaan  (20)  untuk  memperoleh  nilai  PACF 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) .  Pola PACF  model 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) adalah exponential  decay untuk  akar-akar  yang real dan berbeda kemudian damped sinusoid untuk akar-akar yang complex [16].
Oleh karena nilai harapan dan autocovariance tidak bergantung pada waktu, maka pada proses 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) , {𝑌 𝑡 } adalah  proses covariance-stationary .  Perilaku  ACF  dan  PACF setiap model dirangkum pada Tabel 1 [17].
Tabel 1. Perilaku ACF dan PACF proses yang covanriance-stationary Model ACF PACF 𝑀𝐴(𝑞) Cuts off setelah lag 𝑞 Exponential decay dan/atau damped sinusoid 𝐴𝑅(𝑝) Exponential decay dan/atau damped sinusoid Cuts off setelah lag 𝑝 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) Exponential decay dan/atau damped sinusoid Exponential decay dan/atau damped sinusoid

## 2.9. Estimasi Parameter
Prinsip  utama  yang  digunakan  untuk  mencari  setiap  nilai  parameter  tersebut  adalah maximum likelihood estimation [16]. Misalkan 𝚯 adalah kumpulan parameter model dan fungsi log likelihood
𝐿(𝜽) = 𝑓 𝑌 𝑇 ,𝑌 𝑇−1 ,…,𝑌 1 (𝑦 𝑇 , 𝑦 𝑇−1 , … , 𝑦 1 ; 𝜽) = log 𝑓 𝑌 1 (𝑦 1 ; 𝜽) + ∑ log 𝑓 𝑌 𝑡 |𝑌 𝑡−1 (𝑦 𝑡 |𝑦 𝑡−1 ; 𝜽) 𝑇 𝑡=2 , (24)
dengan 𝜽 ∈ 𝚯 . Kemudian akan dicari 𝜽 ̂ ∈ 𝚯 , sehingga 𝜽 ̂ ∈ argmax 𝐿(𝜽) .

## 2.10. Peramalan
Salah satu prinsip dari peramalan adalah peramalan yang menggunakan nilai harapan bersyarat.  Mengacu  pada  data  observasi,  ingin  diramal  nilai  dari 𝑌 𝑇+𝑙 dengan  syarat atau berdasarkan 𝐼 𝑇 = {𝑌 1 , 𝑌 2 , … , 𝑌 𝑇 } . Notasi untuk peramalan ini adalah 𝑌̂ 𝑇 (𝑙) , dengan 𝑌̂ 𝑇 (𝑙) = 𝐸[𝑌 𝑇+1 |𝐼 𝑇 ] adalah  periode  waktu  ke  depan  di  mana 𝑙 = 1,2,3, … .  Perhitungan peramalan 𝑌̂ 𝑇 (𝑙) dapat ditentukan secara rekursif dengan menentukan peramalan satu waktu  ke  depan 𝑌̂ 𝑇 (1) terlebih  dahulu,  kemudian  dua  waktu  ke  depan 𝑌̂ 𝑇 (2) dan seterusnya sampai 𝑙 waktu kedepan 𝑌̂ 𝑇 (𝑙) . Bentuk umum peramalan 𝑌̂ 𝑇 (𝑙) untuk model 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) adalah sebagai berikut
𝑌̂ 𝑇 (𝑙) = 𝑐̂ + 𝜙̂ 1 𝑌̂ 𝑇 (𝑙 − 1) + ⋯ + 𝜙̂ 𝑙 𝑌 𝑇 + ⋯ + 𝜙̂ 𝑝 𝑌 𝑇+𝑙−𝑝 + 𝜃̂ 𝑙 𝜀̃ 𝑇 + ⋯ + 𝜃̂ 𝑞 𝜀 𝑇+𝑙−𝑞 . (25)
dengan 𝜀 ̃ 𝑇 adalah residual terakhir. Tujuan utama dari peramalan setelah semua nilai parameter  diketahui  adalah  untuk  menduga  suatu  nilai  di  waktu  yang  akan  datang dengan error sekecil  mungkin. Error diperoleh  dengan  nilai  aktual  dikurang  dengan
nilai  ramalan.  Oleh  sebab  itu  peramalan  optimal  adalah  peramalan  yang meminimumkan error atau  yang  dikenal  sebagai minimum mean  squared  error forecast [19].

## 3.  Aplikasi Model ARMA pada Saham BCA
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah harga saham BCA sebanyak 747 data yang diunduh dari investing.com. Misalkan data imbal hasil BCA adalah 𝑌 𝑡 dan data harga  saham  BCA  adalah 𝑃 𝑡 ,  maka  imbal  hasil  BCA  diperoleh  dengan  rumus 𝑌 𝑡 = 100[ln(𝑃 𝑡 ) − ln(𝑃 𝑡−1 )] di  mana 𝑡 = 1,2,3, … ,747 .  Grafik  harga  dan  imbal  hasil  saham BCA adalah seperti pada Gambar 6 dan Gambar 7.
Gambar 6. Grafik harga saham BCA
Gambar 7. Grafik imbal hasil saham BCA
Selanjutnya akan dibahas metode Box-Jenkins mulai dari tahap pertama sampai pada tahap aplikasi yaitu peramalan.

## 3.1. Menguji Kestasioneran Data
Tahap awal dalam membangun model 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) adalah menguji kestasioneran data dengan  uji Augmented Dickey-Fuller  (ADF)  dan lagrange  multiplier  test kedua  uji tersebut  dapat  dilakukan  dengan  bantuan software R . Uji  ADF  dilakukan  pada 𝑌 𝑡 dengan hipotesis 𝐻 0 adalah data tidak stasioner dalam rataan. 𝐻 0 ditolak apabila nilai p-value kurang dari taraf nyata 0,05 . Nilai p-value dari 𝑌 𝑡 diperoleh sebesar 0,01 artinya 𝑌 𝑡 stasioner dalam rataan.
Uji stasioner dalam variance dilakukan dengan lagrange multiplier test dengan hipotesis 𝐻 0 adalah data  stasioner  dalam variance . 𝐻 0 diterima apabila  nilai p-value lebih  besar dari taraf nyata 0,05 . Nilai p-value 𝑌 𝑡 diperoleh sebesar 2,2𝑒 − 16 . Nilai p-value lagrange multiplier test dari 𝑌 𝑡 diperoleh lebih kecil dari 0,05 , artinya data tidak stasioner dalam variance. Data  dapat  dibuat  menjadi  stasioner  dalam variance dengan  melakukan transformasi.  Ada  beberapa  alternatif  transformasi  seperti  transformasi  logaritma

## Pendugaan Imbal Hasil Saham BCA dengan Model Autoregressive Moving Average
natural dan  transformasi  Box  Cox  dengan  parameter  lamda  ( 𝜆 ).  Pada  penelitian  ini dilakukan transformasi logaritma natural . Transformasi dilakukan pada 𝑃 𝑡 oleh karena terdapat nilai nol dan negatif pada 𝑌 𝑡 . Setelah itu, ditentukan imbal hasil saham BCA yang  baru  ( 𝑌 𝑡 ∗∗ )  dari  data  yang  sudah  ditransformasi  dengan  mengikuti  persamaan berikut
𝑌 𝑡 ∗∗ = 100[ln(𝑃 𝑡 ∗ ) − ln(𝑃 𝑡−1 ∗ )] + 𝑘, (26)
di  mana 𝑃 𝑡 ∗ = ln(𝑃 𝑡 ) dan 𝑘 adalah  sembarang  konstanta real .  Grafik  dari 𝑌 𝑡 ∗∗ adalah seperti pada Gambar 8.
Setelah itu, langkah selanjutnya adalah melakukan lagrange multiplier test pada 𝑌 𝑡 ∗∗ dan diperoleh  hasil p-value 𝑌 𝑡 ∗∗ adalah 1 di mana  lebih  besar  dari 0,05 .  Jadi 𝑌 𝑡 ∗∗ stasioner, sehingga dapat digunakan untuk proses selanjutnya.

## 3.2. Menentukan Orde Model
Data  observasi  pada  penelitian  ini  sebanyak  747  data  ( 𝑇 = 747 ),  dengan  demikian daerah  penolakan  adalah 2/√747 dengan 𝛼 = 0,0455 .  Calon  orde  yang  akan  dipilih adalah  nilai  ACF  dan  PACF  yang  lebih  besar  dari 0,07318 atau  lebih  kecil  dari −0,07318 secara signifikan.
Orde 𝑝 dapat ditentukan dengan melihat grafik PACF dan orde 𝑞 ditentukan dengan memperhatikan grafik ACF. Perhatikan Gambar 9, untuk calon orde 𝑝 dipilih lag yang secara  signifikan  melewati  batas  daerah  penolakan  (garis  biru),  yaitu lag 1  dan  2, kemudian  calon  orde 𝑞 hanya lag 1  yang  melewati  batas  daerah  penolakkan  secara signifikan. Sehingga calon model terbaik adalah 𝐴𝑅(1) , 𝐴𝑅(2) , dan 𝑀𝐴(1) . Oleh karena model 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) adalah gabungan dari model 𝐴𝑅(𝑝) dan 𝑀𝐴(𝑞) maka calon model terbaik  lainnya  adalah 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) dan 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) .  Jadi  calon  model  terbaik  yang terkumpul adalah model 𝐴𝑅(1) , 𝐴𝑅(2) , 𝑀𝐴(1) , 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) dan 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) yang akan ditentukan nilai parameternya masing-masing.
Gambar 8. Grafik imbal hasil saham BCA yang sudah ditransformasi
Gambar 9. Grafik ACF dan PACF dari 𝑌 𝑡 ∗∗

## 3.3. Menduga Parameter Model
Setelah  semua  calon  model  terbaik  diketahui,  selanjutnya  akan  ditentukan  nilai parameter  setiap  model.  Menurut  Montgomery, et.al [17]  menyatakan  bahwa  model yang  dapat  digunakan  adalah  model  yang  memiliki  nilai p-value parameter  kurang dari 0,05 . Parameter dari masing-masing model di rangkum pada Tabel 2.
Tabel 2. Nilai parameter setiap model Model Parameter Nilai p-value 𝐴𝑅(1) Intercept 𝜙̂ 1 0,5399 −0,1125 0 0,0021 𝐴𝑅(2) Intercept 𝜙̂ 1 𝜙̂ 2 0,5399 −0,1230 −0,0941 0 0,0008 0,0101 𝑀𝐴(1) Intercept 𝜃̂ 1 0,5399 −0,1411 0 0,0006 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) Intercept 𝜙̂ 1 𝜃̂ 1 0,5401 0,5972 −0,7386 0 0 0 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) Intercept 𝜙̂ 1 𝜙̂ 2 𝜃̂ 1 0,5400 0,5397 −0,0261 −0,6749 0 0,0029 0,6334 0,0002
Berdasarkan Tabel 2 parameter 𝜙̂ 2 dari model 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) tidak memenuhi kriteria oleh karena p-value dari 𝜙̂ 2 lebih besar dari 0,05 yaitu sebesar 0,6334 , oleh sebab itu model 𝐴𝑅𝑀𝐴(2,1) tidak dipakai pada tahap berikutnya. Kemudian akan dipilih model terbaik diantara model 𝐴𝑅(1) , 𝐴𝑅(2) , 𝑀𝐴(1) dan 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) .
Akaike’s  Information  Criterion (AIC)  adalah  salah  satu  metode  yang  digunakan  untuk memilih  model  yg  terbaik.  Menurut  Cavanaugh  dan  Neath [20]  mengatakan  bahwa model yang memiliki nilai AIC terkecil dianggap sebagai model terbaik. Nilai AIC dari setiap calon model terbaik dirangkum pada Tabel 3.
Tabel 3. Nilai AIC Model Nilai AIC 𝐴𝑅(1) −1018,51 𝐴𝑅(2) −1023,15 𝑀𝐴(1) −1020,81 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) −1029,87 Model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) adalah model yang memiliki nilai AIC terkecil yaitu −1029,87 , oleh karena itu model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) merupakan model terbaik yang dapat digunakan untuk menduga imbal hasil BCA ke depan ( 𝑌̂ 𝑡 ∗∗ ).

## 3.4. Memeriksa Kelayakan Model
Setelah  model  terbaik  diperoleh,  langkah  selanjutnya  adalah  memeriksa  kelayakan model  tersebut.  Menurut  Montgomery, et.al [17]  mengatakan  bahwa  suatu  proses 𝐴𝑅𝑀𝐴(𝑝, 𝑞) dikatakan layak apabila ACF dan PACF residual model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) tidak melewati garis daerah penolakan atau |𝑟 𝑘 | ≤ 2 √𝑇 ⁄ dan |𝜙̂ 𝑗𝑗 | ≤ 2 √𝑇 ⁄ dengan 𝑇 adalah

## Pendugaan Imbal Hasil Saham BCA dengan Model Autoregressive Moving Average
banyaknya data dan 𝛼 = 0,0455 . Nilai ACF dan PACF residual dari model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) dirangkum  pada  Tabel  4.  Pada  Tabel  4,  didapati  bahwa  untuk  setiap lag nilai |𝑟 𝑘 | ≤ 0,07318 dan nilai |𝜙̂ 𝑗𝑗 | ≤ 0,07318 .
Tabel 4. Nilai ACF dan PACF residual model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1)
Lag ACF ( 𝑟 𝑘 ) PACF ( 𝜙̂ 𝑗𝑗 ) 1 0,0072721941 0,007272194 2 −0,0075090167 −0,007562301 3 −0,0117924159 −0,011683687 4 −0,0176090247 −0,017499153 … … … 27 0,0731049517 0,065702390 28 0,0214114235 0,009827000
Kelayakan  model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) dapat  juga  dilihat  secara  visual  dari  grafik  ACF  dan PACF  residual  model  tersebut.  Gambar  10  merupakan  grafik  nilai  ACF  dan  PACF residual dari model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) .
Pada  Gambar  10  dapat  dilihat  bahwa  tidak  terdapat  ACF  dan  PACF  yang  melewati daerah  penolakan  garis  berwarna  biru  secara  signifikan  untuk  setiap lag .  Hal  ini menunjukkan  bahwa  model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) adalah  model  yang  layak  dan  dapat digunakan untuk menduga imbal hasil saham BCA.

## 3.5. Melakukan Pendugaan Data
Pada  penelitian  ini,  nilai  awal  untuk  epsilon  pada  saat 𝑡 = 0 adalah 𝜀̂ 0 = 𝜀 0 = 0 , sedangkan nilai awal untuk imbal hasil saham BCA pada saat 𝑡 = 0 adalah nilai aktual yang  sudah  ditransformasi  yaitu 𝑌̂ 0 ∗∗ = 𝑌 0 ∗∗ = 0,630838033237 .  Sebelum  melakukan peramalan,  747  data  dibangkitkan  kembali  menggunakan  model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) sebagai validasi  model  dan  diperoleh  grafik  harga  saham  aktual  ( 𝑌 𝑡 ∗∗ )  dengan  harga  saham yang  dibangkitkan  ( 𝑌̂ 𝑡 ∗∗ )  untuk 𝑡 = 1,2, … ,747 .  Gambar  11  merupakan  perbandingan antara grafik imbal hasil saham BCA aktual dengan dugaan.
Gambar 10. Grafik ACF dan PACF residual dari model ARMA(1,1)
Gambar 11 . Grafik imbal hasil saham BCA aktual dan dugaan
Pada Gambar 11 diperoleh bahwa rentang imbal hasil saham BCA aktual lebih besar dibandingkan  dengan  rentang  imbal  hasil  saham  BCA  dugaan.  Tahap  selanjutnya adalah  nilai  imbal  hasil  saham  BCA  yang  sudah  dibangkitkan  ( 𝑌̂ 𝑡 ∗∗ )  dikonversi  ke harga saham BCA ( 𝑃̂ 𝑡 ) dengan menggunakan persamaan (27).
𝑃̂ 𝑡 = 𝑒𝑥𝑝 [ln(𝑃̂ 𝑡−1 ) 𝑒𝑥𝑝 { 𝑌̂ 𝑡 ∗∗ − 𝑘 100 }] (27)
Gambar  12  merupakan  perbandingan  harga  saham  BCA  aktual  dengan  dugaan sebanyak 747 data.
Gambar  12  menunjukkan  bahwa  harga  dugaan  saham  BCA  mendekati  harga  aktual saham  BCA.  Hal  ini  dapat  dikonfirmasikan  dengan  menghitung  nilai mean  absolute percentage error (MAPE) dari model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) untuk mengukur tingkat akurasi model tersebut.  MAPE  yang  diperoleh  adalah  sebesar 6,52% .  Menurut  Lou, et.al [21],  nilai MAPE dibawah 10% masuk kategori sangat akurat.
Selanjutnya  akan  dilakukan  peramalan  untuk  10  waktu  ke  depan.  Jika  peramalan untuk 10 waktu ke depan ( 𝑙 = 1,2,3, … ,10) setelah 𝑇 = 747 , maka peramalan dilakukan dengan mengikuti model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) sebagai berikut
𝑌̂ 𝑇 ∗∗ (𝑙) = 0,21750652 + 0,5972𝑌 𝑇+𝑙−1 ∗∗ − 0,7386𝜀̃ 𝑇+𝑙−1 (28)
dengan 𝜀̃ 𝑇 adalah  residual  terakhir  dan 𝜀̃ 𝑇+𝑙 = 0 untuk  setiap 𝑙 .  Gambar  13 menunjukkan  perbandingan  nilai  imbal hasil  saham  BCA yang  diramal dengan  nilai imbal hasil saham aktual untuk 10 waktu ke depan.
Gambar 12 .  Grafik harga saham BCA aktual dan dugaan
Gambar 13. Grafik imbal hasil saham BCA aktual dan ramalan

## Pendugaan Imbal Hasil Saham BCA dengan Model Autoregressive Moving Average
Pada  Gambar  13  diperoleh  bahwa  nilai  imbal  hasil  saham  BCA  yang  diramal mendeketi  nilai  imbal  hasil aktual  saham BCA  untuk 10  waktu  ke  depan.  Kemudian nilai  peramalan  imbal  hasil  saham  BCA akan  dikonversikan  ke  harga  saham dengan mengikuti  persamaan  (27).  Gambar  14  menunjukkan  perbandingan  harga  saham aktual dan ramalan untuk 10 waktu ke depan.
Gambar  14  menunjukkan  bahwa  harga  saham  BCA  yang  diramal  mendekati  harga aktual  saham  BCA.  Hal  ini  dapat  dibuktikan  dengan  melakukan  perhitungan  nilai MAPE. Nilai MAPE dari peramalan ini sebesar 0,93% untuk 𝑡 = 748,749, … ,757 yang tergolong kategori sangat akurat.

## 4.  Kesimpulan
Data  imbal  hasil  saham bank  centra  asia (BCA)  digunakan  pada  penelitian  ini  untuk menentukan  model  terbaik.  Hasilnya  adalah  model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) merupakan  model yang  terbaik  dan  mampu  menduga  imbal  hasil  saham  di  waktu  yang  mendatang dengan akurat. Hal ini ditunjukkan dengan nilai mean absolute percentage error (MAPE) model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) sebesar 6,52% untuk 𝑡 = 1,2,3, … ,747 dan 0,93% untuk 𝑡 = 748,749, … ,757 yang tergolong kategori sangat akurat. Berdasarkan temuan ini, dapat disimpulkan bahwa model 𝐴𝑅𝑀𝐴(1,1) sangat akurat dalam menduga imbal hasil BCA di waktu mendatang.

## Referensi
[1] N. Dritsakis and G. Savvas , “Forecasting Volatility Stock Return: Evidence from the Nordic Stock Exchanges,” International Journal of Economics and Finance, vol. 9, no. 2, pp. 15-31, Jan 2017.
[2] S.  Ding,  T.  Cui,  X.  Xiong  and  R.  Bai,  “Forecasting  Stock  Market  Return  with Nonlinearity: A Genetic Programming Approach,” Journal of Ambient Intelligence and Humanized Computing, vol. 11, no, 11, pp. 4927-4939, Nov 2020.
[3] T.  Bollerslev,  V.  Todorov  and  L. Xu,  “Tail  Risk  Premia  and  Return Predictability,” Journal  of  Financial  Economics, vol.  118,  no.  1,  pp.  113-134,  Oct 2015.
[4] B.  Golez  and  P.  Koudijs,  “Four  Centuries  of  Return  Preditability,” Journal  of Financial Economics, vol. 127, no. 2, pp. 248-263, Feb 2018.
[5] R.  Liu,  J.  Yang  and  C.  Ruan,  “Expected  Stock  Return  and  Mixed  Frequency Variance  Risk  Premium  Data,” Journal  of  Ambient  Intelligence  and  Humanized Computing, vol. 11, no. 9, pp. 3585-3596, Sep 2020.
Gambar 14. Grafik harga saham BCA aktual dan ramalan
[6] Y. Hu, Z. Tao, D . Xing, Z. Pan, J. Zhao and X. Chen, “Research on Stock Returns Forecast of the Four Major Banks Based on ARMA and GARCH Model,” Journal of Physics: Conference Series, vol. 1616, no.2, pp. 1-6, Aug 2020.
[7] M.  M.  Rounaghi  and  F.  N.  Zadeh. “ Investigation  of  market  efficiency  and Financial Stability between S&P 500 and London Stock Exchange: Monthly and yearly Forecasting of Time Series Stock Returns using ARMA model ” . Physica A: Statistical Mechanics and its Applications ., vol. 456, pp. 10-21, Aug 2016. [8] N.  G.  E menogu,  M.  O.  Adenomon  and  N.  O.  Nwaze,  “Modeling  and Forecasting  Daily  Stock  Returns  of  Guaranty  Trust  Bank  Nigeria  PLC  Using ARMA-GARCH  Models,  Persistence,  Half- Life  Volatility  and  Backtesting,” Science World Journal, vol. 14, No. 3, pp. 1-22, Sep 2019.
[9] G.  Kirchgassner,  J.  Wolters  and  U.  Hassler, Introduction  to  Modern  Time  Series Analysis, 2 Edition. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2013.
[10] M. O. Adenomon, “Modelling and Forecasting Unemployment Rates in Nigeria Using ARIMA Model,” FUW Trends in Science and Technology Journal., vol. 2, no. 1B, pp. 525-531, Apr 2017.
[11] T.  M.  J.  A.  Cooray, Applied  Time  Series:  Analysis  and  Forecasting .  California: Alpha Science Intl. Ltd., 2008.
[12] I.  Dobre  and  A.  A.  Alexandru,  “Modelling  Unemployment  Rate  Using  Box - Jenkins Procedure,” Journal of Applied Quantitative Methods, vol. 3, no. 2, pp. 156- 166, Jan 2008.
[13] M.  A.  Din,  “ARIMA  by  Box  Jenkins  Methodology  for  Estimation  and Forecasting  Models  in  Higher  Education”. Athens:  ATINER’S  Conference  Paper Series, no. EMS2015-1846, Mar 2016.
[14] G.  E.  P.  Box  and  G.  Jenkins, Time  Series  Analysis,  Forecasting  and  Control. Oakland, CA: Holden Day, 1970.
[15] M.  Latha,  K.  S.  Nageswararao  and  M.  Venkataramanaiah,  “Forecasting  Time Series  Stock  Returns  Using  ARIMA:  Evidence  from  S&P  BSE  Sensex,” International Journal of Pure and Applied Mathematics , vol. 118, no. 24, May 2018.
[16] R.H. Shumway and D. S. Stoffer, Time Series Analysis and Its Application with R example, 4 Edition. Cham: Springer, 2017.
[17] D.  C.  Montgomery,  C.  L.  Jennings,  and M.  Kulahci, Introduction  to  Time  Series Analysis  and  Forecasting ,  2  Edition.  Hoboken,  New  Jersey:  Wiley  Interscience, 2015.
[18] G. E. P. Box, G. M Jenkins, and G. C Reinsel, G. M. Ljung, Time Series Analysis Forecasting and Control, 5 Edition . New Jersey: John Wiley & Sons, 2016.
[19] R.  J.  Hyndman  and  G.  Athanasopoulos, Forecasting:  Principles  and  Practice, 2 Edition. Australia: Monash University, 2018.
[20] J.  E.  Cavanaugh  and  A.  A.  Neath.  “The  Akaike  Information  Criterion: Background,  Derivation,  Properties,  Application,  Interpretation  and Refinements”. WIREs Computational Statistics., vol. 11, no. 3, pp. 1-11, Jun 2019.
[21] P. Lou, L. Wang, X. Zhang, J. Xu and K. Wang. “Modelling Seasonal Brucellosis Epidemics  in  Bayingolin  Mongol  Autonomous  Prefecture  of  Xinjiang,  China, 2010- 2014”. BioMed Research International., no.1, pp.1-27, Sep 2016.
This  article  is  an  open-access  article  distributed  under  the  terms  and  conditions  of  the Creative Commons  Attribution-NonCommercial  4.0  International  License . Editorial  of  JJoM: Department  of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof.  Dr. Ing. B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.