ANALISIS BEBERAPA TEOREMA KETUNGGALAN TITIK TETAP DI RUANG METRIK MULTIPLIKATIF (MULTIPLICATIVE METRIC SPACES)

## Malahayati
Program Studi Matematik a, UIN Sunan Kalijaga Yogyak arta JL. Lak sda Adisucipto No.1 Yogyak arta
Email : malahayati???
Abstract. This research was conducted to analyze several theorems about fixed  point uniqueness on multiplicative metric space. Firstly,  the proof of fixed point unique nes s theorem on complete multiplicative  metric  space is analyzed with involvi ng multiplicative  continuous functions. Then, several fixed point uniqueness theorems is analyzed without involving multiplicative continuous functions. The proof of fixed point uniqueness  theorem on complete  multiplicative metric space with involvi ng multiplicative continuous  functions can be done without  requirement  of contraction multiplicative  mapping.  If this mapping is satisfying  a condition with involvi ng multiplicative continuous  functions then it was proven that it had the unique  fixed  point. Furthermore, the proof of fixed point uniqueness  theorem on complete multiplicat ive metric space without involving multiplicative continuous  functions can be done by requiring the mapping is contraction.
Keywords: Multiplicative metric space,  Complete  multiplicative metric space, multiplicative continuous functions, Contraction multiplicative mapping
Abstrak. Penelitian ini menganalisa  beberapa teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif.  Pembahasan diawali dengan menganalisa  pembuktian teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif lengkap dengan melibatkan bantuan fungsi kontinu multiplikatif. Selanjutnya  di analisa beberapa teorema ketunggalan titik tetap tanpa melibatkan fungsi kontinu multiplikatif. Pembuktian teorema ketungga la n titik  tetap di ruang metrik multiplikatif lengkap dengan bantuan fungsi kontinu multiplikatif dapat dibuktikan tanpa mensyaratkan pemetaannya  kontraksi multiplika t if. Apabila pemetaan tersebut memenuhi suatu kondisi dengan bantuan suatu fungsi kontinu multiplikatif  maka terbukti mempunyai titik tetap tunggal.  Sedangkan Pembuktia n teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif  lengkap tanpa bantuan fungsi kontinu multiplikatif dibuktikan dengan mensyaratkan pemetaannya kontraksi. Kata kunci: Ruang metrik multiplikatif,  Ruang metrik multiplikatif lengkap, Fungsi kontinu multiplikatif, Pemetaan kontraksi multiplikatif.

## I. PENDAHULUAN
Teorema titik  tetap Banach merupakan teorema ketunggalan  titik  tetap pada suatu pemetaan yang disebut kontraksi dari ruang metrik lengkap ke dalam dirinya  sendiri. Ruang metrik memperjelas konsep jarak, definisi dari metrik bermanfaat  untuk mengetahui aplikasi yang lebih umum dari konsep jarak. Di dalam kalkulus dipelajari tentang fungsi-fungsi yang terdefinisi  dalam garis bilangan real  . Di dalam bilangan  real  , didefinisikan fungsi jarak,

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
yaitu  memasangkan
untuk  setiap selanjutnya, disebut  fungs i jarak di  .
Konsep jarak dalam kalkulus  di perluas ke kalkulus  multiplikatif  yang dikenalkan pertama kali oleh Bashirov dkk, [1]. Bashirov dkk mengenalkan  konsep derivative  multiplikat i f dan integral multiplikatif serta aplikasinya  dilanjutkan dengan mengenalkan konsep jarak multiplikatif. Diawali dengan mendefinisikan nilai mutlak multiplikatif berikut ini.
Diberikan  bilangan
, nilai  mutlak  multiplikatif
yang  dinotasika n dengan didefinisikan dengan
Selanjutnya,  jarak  multiplikatif
yang  dinotasikan  dengan
didefinisikan dengan
Hal inilah yang menjadi motivasi lahirnya  definisi ruang metrik multiplikatif yang dikenalkan  oleh Ozavsar dan Cevikel [4]. Ozavsar dan Cevikel juga mengenalkan  konsep pemetaan kontraksi multiplikatif dan membuktikan  beberapa teorema titik tetap dari pemetaan tersebut di ruang metrik  multiplikatif lengkap.  Selanjutnya  Sarwar dan Badshah [7] membahas beberapa teorema titik  tetap di ruang metrik  multiplikatif lengkap yang lain dengan memodifikasi  kondisi pada teorema yang telah di bahas pada [4]. Akan tetapi dalam jurnal tersebut tidak diberikan  bukti secara mendetail  oleh karenanya  peneliti tertarik untuk membahas teorema tersebut secara mendetail dan sekaligus memberikan  beberapa contoh agar mudah dalam memahami  konsep yang telah dibahas.
Mengkaji dan membahas  penelitian yang dilakukan oleh Sarwar dan Badshah dianggap perlu dan penting,  karena merupakan penelitian  yang baru dan berbeda dari penelit ia n sebelumnya,  serta dalam jurnal tersebut pembahasan tentang ruang metrik multiplikatif dan pembuktian teorema titik tetap masih sangat singkat, dan minimnya contoh.

## II. RUANG METRIK MULTIPLIKATIF
Pada bagian ini akan dibahas tentang konsep ruang metrik multiplikatif.  Beberapa definis i dan sifat-sifat  dasar ruang metrik multiplikatif yang mendukung  pembuktian  teorema ketunggalan titik tetap akan dibahas terlebih dahulu.
Definisi ruang metrik multiplikatif tidak begitu berbeda dengan ruang metrik yang telah dikenal. Perbedaan signifikan terletak pada  definisi metrik  multiplikatif  yang bernilai lebih dari atau sama dengan satu sedangkan ruang metrik pada umumnya  bernilai lebih dari atau sama dengan nol. Lebih jelasnya berikut diberikan definisi ruang metrik multiplikatif.
Definisi 2.1. Ruang Metrik multiplikatif [4]. Diberikan himpunan tak kosong  . Pemetaan yang memenuhi kondisi
(1) untuk setiap (2) jika dan hanya jika untuk setiap ; (3) untuk setiap (4) untuk setiap
disebut  metrik  multiplikatif pada
Selanjutnya  pasangan
disebut   ruang metrik multiplikatif .

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Berikut diberikan contoh ruang metrik multiplikatif agar lebih memudahkan dalam memahami definsi di atas.
Contoh 2.2 Diberikan  himpunan tak kosong dan merupakan  ruang  metrik. Selanjutnya didefinisikan pemetaan pada  , yaitu dengan dengan bilangan , dapat dibuktikan adalah ruang metrik multiplikatif. Bukti: Diambil sebarang dan bilangan . (i) Akan dibuktikan . Berdasarkan definisi di atas, jelas bahwa . (ii) Akan dibuktikan jika dan hanya  jika . Berdasarkan definisi di atas, jelas bahwa . (iii) Akan dibuktikan .  Berdasarkan definisi di atas, jelas bahwa . (iv) Akan dibuktikan . Berdasarkan definisi di atas, a) Untuk dan b) Untuk dan ,  untuk ,  untuk c) Untuk dan untuk untuk d) Untuk dan untuk , untuk e) Untuk dan , untuk , untuk
Dari a), b), c), d) dan e) diperoleh  bahwa
Jadi berdasarkan (i), (ii),  (iii),  dan (iv) terbukti bahwa adalah  ruang  metrik multiplikatif.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Selanjutnya diberikan definisi nilai mutlak multiplikatif,  dilanjutkan dengan suatu lemma ketidaksamaan segitiga multiplikatif.  Definisi ini berbeda dengan definisi nilai mutlak di real, nilai mutlak multiplikatif memiliki nilai lebih dari atau sama dengan 1.
Definisi 2.3  Nilai Mutlak Multiplikatif [7]. Diberikan , nilai mutlak multiplikatif dinotasikan
didefinisikan dengan Lemma 2.4 [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif
. Ketidaksamaan berikut benar
untuk setiap
Bukti :
Berdasarkan ketidaksamaan segitiga multiplikatif diperoleh
sehingga didapat
(2.1)
sehingga didapat
(2.2) berdasarkan definisi dari , persamaan dan persamaan
diperoleh
(2.3)
Kemudian disebut dengan ketidaksamaan segitiga invers multiplikatif .
Berikut diberikan definisi  fungsi kontinu dan barisan di ruang metric multiplikatif yang akan digunakan dalam pembuktian teorema ketunggalan titik tetap yang melibatkan fungsi kontinu.
Definisi 2.5 Fungsi Kontinu  Multiplikatif [4]. Diberikan dan adalah masing- masing ruang metrik multiplikatif dan . Fungsi ) dikatakan kontinu di , apabila untuk setiap ,   terdapat sehingga  untuk setiap dengan
berlaku
Definisi 2.6 Barisan Konvergen Multiplikatif [4]. Diberikan ruang metrik  multiplikatif dan barisan . Barisan dikatakan konvergen multiplikatif ke apabila untuk setiap terdapat sehingga untuk semua berlaku Barisan konvergen multiplikatif ke  dinotasikan dengan .
Teorema berikut tentang kekonvergenan subbarisan di ruang metric multiplikatif.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Teorema  2.7 [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif
dan
. Apabila
konvergen multiplikatif ke  maka setiap subbarisannya konvergen multiplikatif ke  .
Bukti: Diberikan adalah ruang metrik multiplikatif dan barisan  didalam Diketahui artinya terdapat bilangan  asli sehingga  untuk  setiap berlaku Ambil sebarang subbarisan dari katakanlah sehingga  didapatkan Akan ditunjukkan Ambil sebarang . Karena adalah bilangan bulat yang naik tegas, maka  berlaku Karena berarti untuk setiap mengakibatkan . Oleh karena itu berlaku jadi terbutki
Definisi 2.8 Barisan Cauchy  Multiplikatif [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif dan barisan . Barisan dikatakan Cauchy multiplikatif  ke apabila untuk
setiap
terdapat sehingga untuk semua m, berlaku
Definisi 2.9 Ruang Metrik Multiplikatif  Lengkap [4]. Ruang metrik multiplikatif dikatakan  lengkap jika setiap barisan Cauchy multiplikatif di konvergen multiplikatif di
Definisi 2.10 Barisan Terbatas  Multiplikatif [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif dan Barisan dikatakan terbatas apabila terdapat sedemikian hingga untuk setiap .
Selanjutnya  diberikan toerema yang menyatakan hubungan antara barisan Cauchy multiplikat i f dan barisan terbatas multiplikatif.
Teorema  2.11. [4]. Diberikan adalah ruang metrik multiplikatif dan barisan
Cauchy multiplikatif di maka barisan terbatas multiplikatif di  . Bukti :  Diberikan adalah ruang metrik  multiplikatif  dan barisan  Cauchy multiplikatif di Berdasarkan definisi barisan Cauchy multiplikatif berarti untuk , terdapat bilangan  asli dengan demikian untuk setiap Kemudian dengan asumsi dibentuk  himpunan Maka jelas untuk  setiap . Sehingga  diperoleh untuk  setiap Jadi  barisan adalah  barisan  terbatas multiplikatif.
Definisi 2.12. [4] Diberikan  ruang metrik multiplikatif
, pemetaan
dinamakan kontraksi multiplikatif  jika terdapat bilangan konstan
sedemikian  hingga

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## III. HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas hasil dari penelitian ini.  Pembahasan dimulai dengan membuktikan suatu teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif lengkap dengan bantuan fungsi kontinu. Selanjutnya  dibuktikan teorema lainnya,  bedanya adalah tidak melibatkan fungsi kontinu multiplikatif. Dilanjutkan dengan membahas contohnya.
Teorema 3.1 [7]. Diberikan ruang metrik multiplikatif lengkap
Jika fungsi
memenuhi
(3.1) untuk  setiap dan adalah fungsi  kontinu dengan untuk maka  memiliki titip tetap tunggal di  .

## Bukti:
Teorema titik  tetap Banach merupakan suatu prosedur untuk  menyatakan keberadaan dan ketunggalan titik  tetap suatu pemetaan, yang disebut iterasi. Dengan metode ini untuk sembarang dalam suatu himpunan didefinisikan barisan rekursif yakni Dengan sehingga diperoleh Jadi jelas barisan dapat di kontruksi menjadi (3.2) untuk  setiap .
Jika untuk beberapa bilangan  asli  ,
maka jelas bahwa adalah titik  tetap dari  .
Dari logika pikir diatas dapat dibuktikan secara lengkap sebagai berikut,
(1) Akan dibuktikan bahwa Pembuktiannya  akan melibatkan  barisan monoton dan barisan terbatas. (2) Akan dibuktikan  bahwa Pembuktiannya  menggunakan hasil pada
(1).
Pembuktian (1) dan (2) diatas digunakan dalam pembuktian selanjutnya.
(3) Akan  ditunjukkan  bahwa
memiliki  titik  periodik.  Pembuktiannya  melibatka n ketidaksamaan segitiga  multiplikatif,  barisan konvergen multiplikatif,  barisan bagian multiplikatif dan barisan Cauchy multiplikatif.
(4) Akan ditunjukkan  bahwa  memiliki  titik  tetap di  .
(5) Akan ditunjukkan memiliki titik tetap tunggal di
Bukti lengkapnya  sebagai berikut.  Andaikan
untuk  setiap ,  untuk mendiskusikan keadaan ini dapat dieksekusi dengan langkah-kangkah dibawah ini:
Langkah ke-1 . Akan ditunjukkan  bahwa
(3.3) Subtitusikan dan di persaman
, dan dengan menggunakan  sifat  dari fungsi diperoleh

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Karena
dan dari Definisi 2.1 bagian (3) maka diperoleh
.
Selanjutnya  dengan menguadratkan  kedua ruas dan membaginya  dengan diperoleh,
untuk  setiap Oleh karena itu adalah barisan yang mononton  turun dan berdasarkan sifat ruang metrik multiplikatif maka terbatas ke bawah  di sehingga  barisan konvergen ke suatu bilangan Misalkan konvergen  ke suatu bilangan  . Dengan di persamaan dan menggunakan kekontinuan dari  , didapatkan Berdasarkan  definisi  fungsi bahwa maka sehingga  karena jika dan hanya jika dengan demikian
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## Jadi terbukti bahwa
Langkah ke-2 . Selanjutnya  akan dibuktikan
(3.5) Berdasarkan persamaan didapatkan Karena maka diperoleh Dengan dan menggunakan  persamaan diperoleh Berdasarkan Definisi  2.1 (1) maka untuk  setiap sehingga jelas bahwa Jadi persamaan
terbukti.
Langkah ke-3 . Selanjutnya  pada langkah  ini akan ditunjukkan  bahwa memiliki  titik periodik. Pembuktiannya  menggunakan kontradiksi dengan mengandaikan tidak  memilik i titik  periodik, maka adalah titik yang jelas berbeda-beda , sehingga untuk  setiap
. Sebelum  membuktikan  bahwa memiliki  titik periodik akan dibuktikan  terlebih dahulu barisan Cauchy multiplikatif  sehingga  karena
adalah  ruang  metrik multiplikatif lengkap  maka adalah barisan konvergen multiplikatif.  Selanjutnya  karena adalah barisan konvergen multiplikatif maka terdapat sehingga konvergen multiplikatif ke  . Kemudian ini lah yang akan dibuktikan sebagai titik periodik dari  . Seperti halnya  di atas akan dibuktikan  bahwa
adalah barisan Cauchy multiplikatif dengan cara kontradiksi.  Andaikan bukan barisan Cauchy multiplikatif  maka ada
sehingga
untuk bilangan bulat  ada bilangan  bulat
dimana oleh karena itu (3.6)
Untuk setiap bilangan  bulat positif  , dengan memberikan
bilangan bulat terkecil yang lebih
dari  maka untuk berlaku
(3.7)
Dari persamaan (3.6), persamaan (3.7), dan menggunakan  ketidaksamaan segitiga  multiplikati f diperoleh
Dengan mengambil  nilai limit
dan menggunakan  persamaan (3.3) dan (3.5) diperoleh

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## Dengan demikian
Subtitusikan dan hal ini bermaksud untuk  mendapatkan
di persamaan (3.1) sehingga
Karena maka diperoleh . (3.9) Dengan mengambil nilai limit di persamaan (3.9) dan menggunakan  persamaan
(3.3) dan persamaan (3.8) diperoleh
=1. Sehingga  kontradiksi  dengan .  Sehingga adalah barisan Cauchy multiplikat if. Sehingga  benar bahwa konvergen multiplikatif kesuatu bilangan .  Selanjut nya subtitusikan dan pada persamaan (3.1) sehingga  didapatkan Karena maka Dengan mengambil nilai limit dan menggunakan persamaan (3.3) diperoleh
(3.11)
Persamaan (3.11) tersebut akan digunakan pada pembuktian  selanjutnya. Sekarang akan dicari kontradiksi untuk asumsi bahwa  tidak memiliki  titik periodik dengan mengikuti  dua kasus berikut.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Kasus ke-1. Jika dan untuk  setiap
, maka dengan menggunaka n
ketidaksamaan segitiga multiplikatif didapatkan Dengan melimitkan
maka dan menggunakan  persamaan (3.3) serta Definis i 2.1 (2) didapatkan
Dari persamaan (3.11) dan persamaan (3.12) diperoleh
Dimana  berlaku hanya untuk
berdasarkan Definisi  2.1 (2), itu menunj uka n sehingga adalah titik  tetap dari oleh karena itu, titik  periodik dari untuk periode . Dengan demikian kontradiksi dengan asumsi awal bahwa  tidak memiliki  titik periodik.
Kasus ke-2. Jika atau untuk maka untuk kemungkinan dan berdasarkan iterasi  diawal pada  persamaan diperoleh sehingga adalah titik  periodik dari  . Jika dan berdasarkan persamaan
maka diperoleh
jadi adalah titik  periodik dari  . Oleh karena itu terdapat kontradiksi untuk pernyataan bahwa tidak memiliki  titik periodik. Sekarang untuk setiap dengan didapatkan Atau dengan didapatkan
Dalam dua pernyatan  diatas untuk  bilangan  bulat
adalah tetap (tidak  merubah
persamaan).  Jadi
dan
merupakan barisan bagian dari
dan karena
adalah barisan konvergen  multiplikatif  ke di ruang metrik  multiplikatif,  berdasarkan Teorema 2.7 dua barisan bagian tersebut juga konvergen  multiplikatif ke titik limit yang sama, yaitu
Dengan demikian Karena adalah barisan bagian dari , oleh karena itu Berdasarkan anggapan  bahwa tidak memiliki  titik periodik, oleh karena itu untuk  suatu
dengan . Menggunakan ketidaksamaan segitiga  invers multip lika tif maka
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Sehingga  dari persamaan
dan didapatkan,
Kemudian dengan mengambil nilai limit dari persamaan (3.17) dan mengunakan hasil dari persamaan (3.14) diperoleh
Dengan demikian
Sehingga  berdasarkan sifat dari limit  didapatkan
Sekarang dari persamaan (3.1) dengan  mensubtitusikan dan didapatkan Kemudian  dengan mengambi  nilai limit dan berdasarkan  persamaan dan persamaan diperoleh Karena nilai  dari maka diperoleh Demikian  diatas benar hanya jika , sehingga  berdasarkan Definisi 2.1(2) maka berlaku jika dan hanya  jika .  Jadi adalah titik  periodik  dari

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Sehingga  kontradiksi dengan pernyataan awal bahwa tidak memiliki  titik periodik. Oleh karena itu memiliki titik periodik dimana
untuk  beberapa
Langkah ke-4. Selanjutnya  akan dibuktikan  bahwa memiliki titik  tetap. Setelah terbukti bahwa memiliki  titik periodik  dimana
untuk  beberapa untuk . Sekarang jika maka dengan demikian adalah titik  tetap dari  . Diasums ika n Akan ditunjukkan  bahwa adalah titik  tetap dari  . Dibuktikan  dengan cara kontradiksi dengan mengandaikan . Sehingga  berdasarkan Definisi  2.1 (2) maka jika dan hanya  jika Sehingga  karena tidak mungk in jelas bahwa kemudian jika dan hanya jika maka karena jelas bahwa . Dengan menggunakan  persamaan (3.1) dan persamaan (3.2) diperoleh karena maka , sehingga diperoleh Karena memiiki  titik periodik sehingga maka didapatkan Karena tidak  berlaku  dan karena ,  maka diperoleh Dengan menggunakan persamaan (3.1) didapatkan Karena
diperoleh
Karena
tidak mungkin berlaku maka,

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Dengan melanjutkan langkah pada persamaan
dan menggunakan  persamaan
diperoleh
Dari uraian  pengandaian
diperoleh  pertidaksamaan  pada (3.21) yang merupakan pertidaksamaan yang bernilai salah sehingga terjadi kontradiksi,  oleh karena itu yang benar adalah
. Jadi adalah titik  tetap dari
Langkah ke-5. Selanjutnya akan dibuktikan ketunggalan titik tetap dari  . Andaikan  titik  tetap dari tidak tunggal,  maka ada dimana yang merupakan dua titik  tetap yang
berbeda dari  , yaitu dan . Sehingga  dengan menggunakan persamaan (3.1) diperoleh Karena jika dan hanya  jika , kemudian pula jika dan hanya  jika sehingga  diperoleh Karena nilai untuk  setiap sehingga  diperoleh Dengan demikian jelas bahwa . Oleh karena itu memiliki titik tetap tunggal di  .
Teorema-teorema berikut tidak melibatkan kekontinuan fungsi multiplikatif.
Theorema 3.2 [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif dan fungsi
adalah
kontraksi multiplikatif. Jika
lengkap, maka  memiliki titik tetap tunggal.
Theorem 3.3 [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif lengkap dan Jika fungsi memenuhi kondisi berikut ini: dengan maka  memiliki titik tetap tunggal. Theorem 3.4 [4]. Diberikan ruang metrik multiplikatif lengkap dan Jika fungsi memenuhi kondisi berikut ini: dengan maka  memiliki titik tetap tunggal.
Teorema berikut Menarik untuk  di bahas pembuktiannya  karena serupa dengan Teorema 3.2 sampaiTeorema  3.4 di atas, akan tetapi kondisi dari ketiga teorema tersebut di gabung menjadi satu.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Teorema 3.5 [7]. Diberikan  ruang metrik multiplikatif lengkap dan dengan dan ). Jika fungsi memenuhi salah satu kondisi berikut ini: (1)
(2)
(3)
dengan
maka  memiliki titik tetap tunggal. Bukti : Misalkan Jelas Ambil  sebarang dan Ambil dan . Diketahui dengan adalah  titik tetap  . Untuk kondisi (1), harus  memenuhi
. Untuk  kondisi  (2), harus
memenuhi:
Sehingga diperoleh:
Untuk kondisi (3), harus memenuhi :
Sehingga diperoleh:

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Maka untuk  setiap  diperoleh:
Diberikan dengan . Berdasarkan ketaksamaan segitiga  multiplikatif diperoleh: Karena apabila maka . Hal ini berakibat: Oleh  sebab  itu, adalah barisan Cauchy multiplikatif.  Karena lengkap,  maka
terdapat
sedemikian hingga konvergen  ke . SElanjutnya  akan dibuktikan bahwa . Andaikan ,  maka . Berdasarkan  ketaksamaan
segitiga  diperoleh
(3.21) Ingat definisi  bola Dari (3.21) untuk setiap . Karena { konvergen ke  maka setiap bola dengan pusat  memuat semua bilangan berhingga kecuali { Oleh karena itu pasti ada
bilangan
sedemikian  hingga Berdasarkan hipotesis  pada teorema diatas, dua titik
dan  paling tidak pasti memenuhi salah satu dari tiga kondisi di bawah ini:
Kondisi tidak mungkin karena
Dan kondisi juga tidak mungkin karena
Dengan cara yang sama, kondisi
juga tidak mungkin karena:

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id
Karena dari tiga kondisi diatas tidak terpenuhi, maka pengandaian salah. Sehingga  benar bahwa
. Selanjutnya,  akan dibuktikan ketunggalannya.  Andaikan dengan sedemikian hingga Karena adalah metrik multiplikatif,  maka Untuk diperoleh untuk  setiap
untuk  setiap
dan
untuk  setiap .
Dengan demikian,  tidak ada dari tiga kondisi diatas terpenuhi.  Maka dari itu, titik  tetap di adalah tunggal.
Contoh 3.6 Diberikan kemudian  didefinisikan dengan Maka adalah ruang metrik multiplikatif lengkap. Diberikan pemetaan dengan dan didefinisikan  fungsi dengan
Maka  memenuhi kondisi pada Teorema 3.1 sehingga  jika memenuhi  kondisi teorema tersebut maka berlaku
Untuk  setiap Jadi memiliki titik tetap tunggal di

## IV. KESIMPULAN
Pembuktian  teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif lengkap dengan bantuan fungsi kontinu multiplikatif dapat dibuktikan tanpa mensyaratkan pemetaannya kontraksi. Apabila pemetaan tersebut memenuhi suatu kondisi dengan bantuan suatu fungs i kontinu multiplikatif maka terbukti mempunyai titik tetap tunggal.  Sedangkan, Pembuktian teorema ketunggalan titik tetap di ruang metrik multiplikatif lengkap tanpa bantuan fungs i kontinu multiplikatif  dibagi menjadi dua, pertama, dibuktikan  3 (tiga) teorema ketungga la n titik tetap dengan kondisi yang berbeda-beda. Pembuktian dengan mensyaratkan pemetaannya kontraksi multiplikatif,  maka terbukti pemetaan tersebut memiliki  titik tetap tunggal.  Kedua, dibuktikan suatu teorema yang menyatakan bahwa apabila suatu pemetaan memenuhi kondisi

## UCAPAN  TERIMA KASIH
Terima  kasih kepada LPPM UIN Sunan Kalijaga  yang telah membantu  membia ya i penelitian  ini serta beberapa rekan diantaranya  Yogi dan Fitri yang telah berkontribusi baik secara langsung maupun tidak langsung dalam terselesainya penelitian ini.

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id

## REFERENSI
[1]. A.E. Bashirov,  E.M.Kurpnar and A. Ozyapc. Multiplicative calculus and its Applications, J.Math. Analysis.App.,  337 (2008) hal 36-48.
[2]. Bartle, R.G and Sherbert, D.R. 2010. Introduction to Real Analysis. Fourt Edition.  New York: John Wiley & Sons. Inc.
[3]. M. Edelstein, On fixed and periodic  points under contractive mappings , J. London Math. Soc.(37), 74 79 (1962).
[4]. M. Ozavsar`  and A.C. Cevikel, Fixed Point of Multiplicative contraction mapping on multiplicative metric space. J. Arxiv: 1205.5131v1 [math.GM]  23 May 2012.
[5]. R. P. Agarwal,  M. A. El-Gebily,  and D. ORegan, Generalized  contractions in partially ordered metric spaces , Appl. Anal. 87,109 116 (2008)
[6].Shirali,  Satish and Vasudeva, Harkrishan  L. 2006. Metric Spaces . London: Springer- Verlag.
[7]. Sarwar, M. and Badshah-e-Rome, Some Unique Fixed Point Theorems in Multiplicative Metric Space, J. Arxiv:1410.3384v2  [math.GM]  29 Desember 2014.
[8]. Z. Mustafa,  Z, B. Sims, A new approach to a generalized metric spaces . J. Nonlinear Convex Anal.  7(2) (2006), 289297. MR2254125 (2007f:54049)
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA), Vol. 1, No. 1 (June 2018) Available online at www.jfma.matematika.undip.ac.id