Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39

## RELASI FUZZY PADA GRUP FAKTOR FUZZY
*1 Ahmad Madani, 1 Saman Abdurrahman, 1 Na’imah Hijriati
1 Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani KM. 36, Banjarbaru 70714, Kalimantan Selatan
* Email: dhamath74@gmail.com

## ABSTRACT
Fuzzy  subsets on the non-empty set is a mapping of this set to the interval [0,1] . The concept of fuzzy subgroups introduced from advanced concept of fuzzy set in group theory. In concept of fuzzy set there is the concept  of relations is  fuzzy relations.  In  this study examined that fuzzy relations related to the equivalence and congruence on a fuzzy group and fuzzy factor group. The results of this study was to show that a  fuzzy relation 𝛽𝛽 : 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )} if 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 and 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ) if 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 is a fuzzy congruence relations on fuzzy group and a fuzzy relation 𝜌𝜌 defined of 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ) is a fuzzy congruence relations on fuzzy factor group.
Keywords: Fuzzy subgroup, Fuzzy factor group, Fuzzy relations 𝛽𝛽 , Fuzzy congruence relations.

## ABSTRAK
Subset fuzzy pada himpunan tak kosong  merupakan suatu pemetaan dari  himpunan tersebut ke interval [0,1] .  Diperkenalkan konsep subgrup fuzzy yang merupakan pengembangan dari konsep himpunan fuzzy didalam teori grup. Pada konsep himpunan fuzzy terdapat konsep relasi yaitu relasi fuzzy. Pada penelitian ini dikaji sifat relasi fuzzy yang berkaitan dengan sifat ekuivalensi dan kongruen pada grup fuzzy dan grup faktor fuzzy . Hasil dari penelitian ini yaitu relasi fuzzy 𝛽𝛽 dengan : 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )} jika 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 dan 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ) jika 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 merupakan relasi kongruen fuzzy atas grup fuzzy serta relasi fuzzy 𝜌𝜌 yang didefinisikan oleh 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 ) merupakan relasi kongruen fuzzy atas grup faktor fuzzy.
Kata Kunci: Subgrup fuzzy , Grup faktor fuzzy , Relasi fuzzy 𝛽𝛽 , Relasi kongruen fuzzy .

## 1. PENDAHULUAN
Himpunan fuzzy dikembangkan pada tahun 1965 oleh Zadeh, kemudian pada tahun 1971, Rosenfeld memperkenalkan konsep grup fuzzy dalam teori grup yang mana salah satu dari konsep grup fuzzy adalah subgrup fuzzy [12]. Konsep relasi fuzzy dituliskan oleh Klir pada tahun 1995 [9] yaitu subset fuzzy 𝜇𝜇 pada 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 yang dapat dituliskan 𝜇𝜇 ∶ 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → [0,1] . Pada tahun 1992, Kuroki memperkenalkan konsep kongruen fuzzy dan karakteristik dari kongruen fuzzy dari grup 𝐺𝐺 yang cakupannya hanya pada subgrup normal fuzzy [10] . Relasi kongruen fuzzy terpenuhi apabila relasi fuzzy merupakan relasi ekuivalensi fuzzy yang kompatibel fuzzy [3]. Dalam penelitian ini akan mengkaji relasi fuzzy yang membentuk suatu relasi fuzzy 𝛽𝛽 atas grup 𝐺𝐺 [3] . Dengan menggunakan relasi tersebut akan diuji kongruen fuzzy pada grup fuzzy .  Kemudian , membuktikan bahwa himpunan fuzzy dari grup faktor fuzzy merupakan subgrup faktor fuzzy dan subgrup normal faktor fuzzy dengan menggunakan relasi fuzzy 𝛽𝛽 serta
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
membuktikan  suatu relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan  relasi  kongruen fuzzy pada grup faktor fuzzy.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Himpunan Fuzzy
Himpunan fuzzy merupakan pemetaan dari himpunan tak kosong ke interval tertutup [0,1] :
Definisi 2.1.1 [9] Suatu subset 𝜇𝜇 dari 𝐺𝐺 merupakan suatu fungsi 𝜇𝜇 ∶ 𝐺𝐺 → [0,1] .
Definisi 2.1.3 [13] Diberikan himpunan fuzzy 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 dari himpunan tak kosong 𝐺𝐺 , sehingga berlaku :
(i) 𝐾𝐾 ⊆ 𝐿𝐿 jika dan hanya jika 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 ) , ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
(ii) 𝐾𝐾 = 𝐿𝐿 jika dan hanya jika 𝐾𝐾 ⊆ 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝐿𝐿 ⊆ 𝐾𝐾 .
(iii) ( 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 )( 𝑥𝑥 ) = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 )} , ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 . (iv) ( 𝐾𝐾 ∪ 𝐿𝐿 )( 𝑥𝑥 ) = max{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 )} , ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .

## 2.2 Relasi Fuzzy
Definisi 2.2.1 [9] Diberikan 𝑋𝑋 himpunan tak kosong, maka relasi biner fuzzy 𝑅𝑅 pada 𝑋𝑋 merupakan subset fuzzy 𝜇𝜇 pada 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 dapat dituliskan 𝜇𝜇 ∶ 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 → [0,1] dengan himpunan fuzzy 𝑅𝑅 = {( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 )|( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝑋𝑋 × 𝑋𝑋 } .
Definisi 2.2.2 [3] Diberikan 𝑋𝑋 himpunan tak kosong. Suatu relasi biner fuzzy 𝜇𝜇 atas 𝑋𝑋 disebut relasi ekuivalensi jika berlaku :
(i) 𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅𝑅𝑅𝑒𝑒𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 , yaitu ∀𝑥𝑥 ∈ 𝑋𝑋 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑏𝑏 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 , 𝑥𝑥 ) = 1 . (ii) 𝑆𝑆𝑅𝑅𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑏𝑏𝑅𝑅𝑅𝑅 , yaitu ∀𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝑋𝑋 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑏𝑏 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 , 𝑥𝑥 ). (iii) 𝑇𝑇𝑏𝑏𝑎𝑎𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑆𝑆𝑅𝑅𝑅𝑅 , yaitu ∀𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 ∈ 𝑋𝑋 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑏𝑏 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 , 𝑧𝑧 ) ≥ { 𝜇𝜇 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ). 𝜇𝜇 ( 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧 )} 𝑦𝑦∈𝑋𝑋 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 .
Definisi 2.2.3 [3] Diberikan 𝑆𝑆 semigrup, suatu relasi biner fuzzy 𝜇𝜇 atas 𝑆𝑆 disebut kompatibel fuzzy jika untuk setiap 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 ∈ 𝑆𝑆 𝑏𝑏𝑒𝑒𝑏𝑏𝑅𝑅𝑎𝑎𝑅𝑅𝑏𝑏 𝑆𝑆𝑅𝑅𝑑𝑑 { 𝜇𝜇 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 ( 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 )} ≤ 𝜇𝜇 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 , 𝑏𝑏𝑑𝑑 ) .
Definisi 2.2.4 [3] Diberikan 𝑆𝑆 semigrup, suatu relasi ekulivalensi fuzzy 𝜇𝜇 yang kompatibel atas 𝑆𝑆 disebut kongruen fuzzy.
Definisi 2.2.5 [3] Misalkan 𝜇𝜇 𝐻𝐻 adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Didefinisikan relasi fuzzy 𝛽𝛽 pada grup 𝐺𝐺 yang dipetakan ke interval [0,1] sebagai :
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = � min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )} , 𝑗𝑗𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 )                       , 𝑗𝑗𝑅𝑅𝑅𝑅𝑎𝑎 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏

## 2.3 Subgrup Fuzzy dan Subgrup Normal Fuzzy
Definisi 2.3.1 [2] Diberikan 𝐺𝐺 grup, suatu pemetaan 𝜇𝜇 𝐻𝐻 : 𝐺𝐺 → [0,1] disebut subgrup fuzzy jika:
(i) 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) ≥ min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 )} , ∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .
(ii) 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 −1 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), ∀ 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 . (iii) 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ) = 1.
Teorema 2.3.2 Jika 𝐺𝐺 grup dengan elemen identitas 𝑒𝑒 , maka 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ) ≤ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ), ∀𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 .
Definisi 2.6.3 [3] Suatu subgrup fuzzy 𝜇𝜇 𝐻𝐻 atas 𝐺𝐺 disebut subgrup normal fuzzy dari 𝐺𝐺 jika:
𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) untuk setiap 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 .

## 2.4 Subgrup Faktor Fuzzy dan Subgrup Normal Faktor Fuzzy
Definisi 2.4.1 [3] Himpunan fuzzy 𝐾𝐾 yang  merupakan subgrup fuzzy atas 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ disebut subgrup faktor fuzzy.
Definisi 2.4.2 [3] Himpunan fuzzy 𝐾𝐾 yang  merupakan subgrup normal fuzzy atas 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ disebut subgrup normal faktor fuzzy.
Selanjutnya dibentuk suat pemetaan 𝐾𝐾 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] dengan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) sedemikian sehingga 𝐾𝐾 merupakan subgrup faktor fuzzy dan subgrup normal faktor fuzzzy. Kemudian diberikan 𝐾𝐾 suatu subgrup normal faktor fuzzy didefinisikan relasi fuzzy 𝜌𝜌 sebagai berikut:
Definisi 2.4.3 [3] Relasi fuzzy 𝜌𝜌 atas 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ × 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ didefinisikan sebagai: 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 )

## 3. PROSEDUR PENELITIAN
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. Mempelajari definisi maupun teorema yang akan digunakan dalam penelitian seperti definisi himpunan fuzzy , relasi fuzzy, subgrup fuzzy dan subgrup normal fuzzy .
2. Membuktikan bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 dari grup 𝐺𝐺 dengan menggunakan relasi fuzzy merupakan relasi kongruen fuzzy .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
3. Membuktikan bahwa himpunan fuzzy 𝐾𝐾 dari grup faktor fuzzy merupakan subgrup faktor fuzzy dan subgrup normal faktor fuzzy .
4. Membuktikan bahwa relasi fuzzy 𝜌𝜌 dari grup faktor fuzzy merupakan  relasi kongruen fuzzy .
5. Menyimpulkan hasil dan saran dari penelitian.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1 Relasi Fuzzy 𝜷𝜷 Merupakan Relasi Kongruen Fuzzy
Diberikan relasi fuzzy 𝛽𝛽 pada Definisi 2.2.5, akan dibuktikan bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan kongruen fuzzy dengan 𝜇𝜇 𝐻𝐻 adalah subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Berikut akan disajikan proposisi yang terkait dengan relasi fuzzy 𝛽𝛽 yaitu:

## Proposisi 4.1.1
Diberikan 𝐺𝐺 grup dengan identitas 𝑒𝑒 . Jika 𝜇𝜇 𝐻𝐻 merupakan subgrup fuzzy atas grup 𝐺𝐺 , maka relasi 𝛽𝛽 atas 𝐺𝐺 merupakan relasi ekuivalensi atas 𝐺𝐺 .
Bukti: ( 𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝛽𝛽 bersifat Refleksif.
Ambil suatu 𝑎𝑎 ∈ 𝐺𝐺 sehingga 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ) = 1 . ( 𝑅𝑅𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝛽𝛽 bersifat Simetrik.
Ambil sebarang 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ∈ 𝐺𝐺 diperoleh
𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 )} = 𝛽𝛽 ( 𝑏𝑏 , 𝑎𝑎 ) . ( 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝛽𝛽 bersifat Transitif.
Ambil sebarang 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 maka berdasarkan Definisi 2.5.3 diperoleh bahwa : 𝛽𝛽 ∘ 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 ) = maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 { 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ). 𝛽𝛽 ( 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 )}
= maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 {min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )}. min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 )}} ≤ maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 {min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )}} . maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 {min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 )}} ≤ maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 { 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 )} . maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 { 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 )} ≤ min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 )} = 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 ), ∀𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 ∈ 𝐺𝐺 .
Sehingga diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan relasi ekuivalensi. ∎
Proposisi 4.1.2 Jika 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 , ∀ 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ∈ 𝐺𝐺 , ∃ 𝑥𝑥 −1 , 𝑦𝑦 −1 ∈ 𝐺𝐺 , maka berlaku:
𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 −1 , 𝑦𝑦 −1 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ).
Bukti:
Diketahui 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup fuzzy dari 𝐺𝐺 , diperoleh: 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 −1 , 𝑦𝑦 −1 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 −1 )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 )} = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) .
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
Kemudian, akan dibuktikan bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 adalah relasi yang kompatibel yang akan disajikan oleh proposisi berikut:
Proposisi 4.1.3 Jika 𝐺𝐺 grup , maka relasi fuzzy 𝛽𝛽 atas 𝐺𝐺 merupakan kompatibel fuzzy . Bukti : Dengan menggunakan Definisi 2.2.3 [3] dan relasi fuzzy 𝛽𝛽 , sehingga untuk setiap 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 ∈ 𝐺𝐺 diperoleh 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 , 𝑏𝑏𝑑𝑑 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏𝑑𝑑 )} ≥ min{min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 )}, min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑑𝑑 )}} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑑𝑑 )}
= min{min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )}, min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑑𝑑 )}} = min{ 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ), 𝛽𝛽 ( 𝑐𝑐 , 𝑑𝑑 )} . Sehingga diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan kompatibel fuzzy . ∎
Proposisi 4.1.4 Jika 𝐺𝐺 grup, maka relasi  fuzzy 𝛽𝛽 atas 𝐺𝐺 merupakan kongruen fuzzy. Bukti:
Diketahui pada Proposisi 4.1.1, diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan ekuivalensi fuzzy dan pada Proposisi 4.1.3 diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan kompatibel fuzzy, sehingga pada Definisi 2.2.4 diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan kongruen fuzzy. ∎

## 4.2 Subgrup Faktor Fuzzy dan Subgrup Normal Faktor Fuzzy
Dibentuk suatu pemetaan 𝐾𝐾 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] dengan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) sedemikian sehinggga 𝐾𝐾 subgrup fuzzy. Selanjutnya 𝐾𝐾 disebut subgrup faktor fuzzy dan subgrup normal faktor fuzzy yang disajikan pada praposisi berikut.
Proposisi 4.2.1 Himpunan fuzzy 𝐾𝐾 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] dengan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) merupakan subgrup faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . Bukti: Akan  dibuktikan bahwa 𝐾𝐾 subgrup faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . Karena 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup fuzzy dari grup 𝐺𝐺 . Untuk setiap 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ diperoleh 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 , ℎ ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ) . Karena 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup fuzzy sehingga 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) ≥ min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 )} ≥ min{min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}, min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}} = min{ 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ), 𝛽𝛽 ( 𝑦𝑦 , ℎ )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} .
dan, Untuk 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ , ∃ 𝑥𝑥 −1 ∈ 𝐺𝐺 dengan ℎ ∈ 𝑥𝑥 maka 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ diperoleh
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 −1 , ℎ ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) .
Sehingga diperoleh bahwa 𝐾𝐾 merupakan subgrup faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . ∎
Proposisi 4.2.2
Himpunan fuzzy 𝐾𝐾 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] dengan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) . Jika 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup normal maka 𝐾𝐾 merupakan subgrup normal faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . Bukti:
Dengan  menggunakan definisi subgrup normal fuzzy dan diketahui bahwa 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup normal fuzzy sehingga  untuk setiap 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ diperoleh 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 , ℎ ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝛽𝛽 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 , ℎ ) = 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ) .
Sehingga diperoleh bahwa 𝐾𝐾 merupakan subgrup normal faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . ∎ Proposisi 4.2.3 Jika 𝐾𝐾 adalah subgrup faktor fuzzy dari grup 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ untuk suatu 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ maka berlaku : 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) ⇔ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) ∀ 𝑦𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ .
Bukti:
𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) ≥ min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑒𝑒𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} = min{ 𝛽𝛽 ( 𝑒𝑒 , ℎ ), 𝛽𝛽 ( 𝑦𝑦 , ℎ )} = min{min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}, min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ ), min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑦𝑦 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝛽𝛽 ( 𝑦𝑦 , ℎ ) = 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) . dan 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑥𝑥 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝛽𝛽 ( 𝑒𝑒 , ℎ ) = 𝐾𝐾 ( 𝑒𝑒𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 ) .
∎
Diberikan subset fuzzy dari sebarang himpunan tak kosong 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 , maka akan ditunjukkan sifat operasi fuzzy 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan nilai minimum dari derajat keanggotaan suatu unsur dari 𝐾𝐾 dan 𝐿𝐿 , yang mana akan disajikan Proposisi sebagai berikut
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
Proposisi 4.2.4 Jika diberikan 𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝐿𝐿 merupakan dua subgrup faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ ,  maka 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan subgrup  faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . Bukti: Untuk setiap 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ dengan ℎ ∈ 𝑥𝑥 sehingga diperoleh
𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 )} ≥ min{min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )}, min{ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )}} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} = min{min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )}, min{ 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )}} = min{ 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥 )} .
Untuk suatu 𝑥𝑥𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ dengan ℎ ∈ 𝑥𝑥 , ∃ 𝑥𝑥 −1 ∈ 𝐺𝐺 maka 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ sehingga diperoleh 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ) = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 )} = 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) .
Sehingga diperoleh bahwa 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan subgrup faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . ∎ Proposisi 4.2.5 Jika diberikan 𝐾𝐾 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑑𝑑 𝐿𝐿 merupakan dua subgrup normal faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ ,maka 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan subgrup  normal faktor fuzzy dari 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ .
Bukti: 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ), 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 )} = 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 ( 𝑦𝑦𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 ) . Sehingga diperoleh bahwa 𝐾𝐾 ∩ 𝐿𝐿 merupakan subgrup normal faktor fuzzy dari
𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . ∎ 4.3 Relasi Fuzzy 𝝆𝝆 merupakan Relasi Kongruen Fuzzy
Diberikan relasi fuzzy 𝜌𝜌 [3] pada Definisi 2.4.3, dari Definisi 2.2.4  akan dibuktikan bahwa relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan relasi ekuivalensi fuzzy dan relasi kompatibel fuzzy yang disajikan pada proposisi berikut.

## Proposisi 4.3.1
Relasi 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ) merupakan relasi kongruen fuzzy pada 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ × 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ .
Bukti: ( 𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝜌𝜌 bersifat Refleksif. Ambil suatu 𝑎𝑎𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ diperoleh 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑎𝑎 −1 𝑥𝑥 ) = 𝑅𝑅 ( 𝑥𝑥 ) . ( 𝑅𝑅𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝜌𝜌 bersifat Simetrik. Ambil sebarang 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ diperoleh
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 (( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 ) −1 𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑏𝑏𝑎𝑎 −1 𝑥𝑥 ) = 𝜌𝜌 ( 𝑏𝑏𝑥𝑥 , 𝑎𝑎𝑥𝑥 ) . ( 𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅 ) Relasi fuzzy 𝜌𝜌 bersifat Transitif.
Ambil sebarang 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ ,diperoleh 𝜌𝜌 ∘ 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑥𝑥 ) = maks 𝑏𝑏𝐻𝐻∈𝐺𝐺 𝐻𝐻 ⁄ { 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ). 𝜌𝜌 ( 𝑏𝑏𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑥𝑥 )} = maks 𝑏𝑏𝐻𝐻∈𝐺𝐺 𝐻𝐻 ⁄ { 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ). 𝐾𝐾 ( 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑐𝑐 −1 𝑥𝑥 )} = maks 𝑏𝑏𝐻𝐻∈𝐺𝐺 𝐻𝐻 ⁄ { 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ). 𝐾𝐾 ( 𝑏𝑏𝑐𝑐 −1 𝑥𝑥 )} = maks 𝑏𝑏∈𝐺𝐺 { 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 , ℎ ). 𝛽𝛽 ( 𝑏𝑏𝑐𝑐 −1 , ℎ )}
= maks 𝑦𝑦∈𝐺𝐺 {min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}. min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏𝑐𝑐 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} } ≤ maks 𝑦𝑦∈𝐺𝐺 {min{min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏𝑐𝑐 −1 )}, 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}} ≤ maks 𝑦𝑦∈𝐺𝐺 {min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )}}
= min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑐𝑐 −1 𝑥𝑥 ) = 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑥𝑥 ) . ( 𝑅𝑅𝑖𝑖 ) Relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan Kompatibel fuzzy Ambil sebarang 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 , 𝑐𝑐𝑥𝑥 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 ∈ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ , diperoleh
min{ 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ), 𝜌𝜌 ( 𝑐𝑐𝑥𝑥 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 )} = min{ 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 𝑥𝑥 ), 𝐾𝐾 ( 𝑐𝑐𝑑𝑑 −1 𝑥𝑥 )} = min{ 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 , ℎ ), 𝛽𝛽 ( 𝑐𝑐𝑑𝑑 −1 , ℎ )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑏𝑏 −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐𝑑𝑑 −1 )} . Karena diketahui bahwa 𝜇𝜇 𝐻𝐻 subgrup normal fuzzy sehingga min{ 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑥𝑥 ), 𝜌𝜌 ( 𝑐𝑐𝑥𝑥 , 𝑑𝑑𝑥𝑥 )} = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 −1 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑐𝑐𝑑𝑑 −1 )} ≤ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 −1 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑑𝑑 −1 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑏𝑏 −1 𝑑𝑑 −1 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏𝑑𝑑 ) −1 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( ℎ )} = 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐 ( 𝑏𝑏𝑑𝑑 ) −1 , ℎ ) = 𝐾𝐾 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑥𝑥 ( 𝑏𝑏𝑑𝑑 ) −1 𝑥𝑥 ) = 𝜌𝜌 ( 𝑎𝑎𝑐𝑐𝑥𝑥 , 𝑏𝑏𝑑𝑑𝑥𝑥 ) . Berdasarkan pembuktian (i), (ii), (iii) diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan relasi ekuivalensi fuzzy dan pada pembuktian ( 𝑅𝑅𝑖𝑖 ) diperoleh bahwa relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan kompatibel fuzzy , sehingga dari Definisi 2.5.7 maka disimpulkan bahwa relasi fuzzy 𝜌𝜌 merupakan  relasi  kongruen fuzzy atas grup 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ . ∎
5. KESIMPULAN
1. Relasi fuzzy 𝛽𝛽 pada 𝐺𝐺 × 𝐺𝐺 yang dipetakan  ke  interval [0,1] sebagai berikut: 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = min{ 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑎𝑎 ), 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑏𝑏 )} jika 𝑎𝑎 ≠ 𝑏𝑏 dan 𝛽𝛽 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝜇𝜇 𝐻𝐻 ( 𝑒𝑒 ) jika 𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 , maka relasi fuzzy 𝛽𝛽 merupakan relasi kongruen fuzzy.
2. Pemetaan 𝐾𝐾 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] yang didefinisikan oleh 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 ) = 𝛽𝛽 ( 𝑥𝑥 , ℎ ) untuk setiap ℎ ∈ 𝑥𝑥 merupakan subgrup normal faktor fuzzy.
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.1 (Juni 2020) Hal. 33 -39
3. Pemetaan 𝜌𝜌 ∶ 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ × 𝐺𝐺 𝑥𝑥 ⁄ → [0,1] , didefinisikan 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥 , 𝑦𝑦𝑥𝑥 ) = 𝐾𝐾 ( 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦 −1 𝑥𝑥 )
merupakan relasi kongruen fuzzy .

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Abdurrahman, S. 2012. Struktur Aljabar. Surabaya.
[2] Akgul, M. 1988. Some Properties of Fuzzy Groups. Journal of Mathematical Analysis and Application. 133:93-100.
[3] Aktas, H. 2004. On Fuzzy Relations and Fuzzy Quotient Groups. International Journal of Computational Cognition Volume 2. 2:71-79.
[4] Filep, L & Maurier, G.I. 1989. Fuzzy Congruences and Compatible Fuzzy Partitions. Fuzzy Set and System. 46: 121-132.
[5] Fraleigh, J.B. 2003. A First Course in Abstract Algenbra 7 th edition. Addison Wasley Publishing Company, New York.
[6] Judson, Thomas W. 2009. Abstract Algebra Theory and Applications. Stephen F. Austin State University, Texas.
[7] Kandasamy, W.B.V. 2003. Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA.
[8] Kim, J.P & Bae, D.R. 1997. Fuzzy Congruences in Groups. Fuzzy Sets and Systems. 85: 115-120.
[9] Klir, G.J & Yuan, B. 1995. Fuzzy Sets and Fuzzy Logic: Theory and Applications. New Jersey: Prentice Hall PTR.
[10] Mordeson, J.N , Bhutani, K.R & Rosenfeld, A. 2005. Fuzzy Group Theory. Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 131. USA.
[11] Mordeson, J.N, Malik, D.S, Kuroki, N. 2003. Fuzzy Semigroups . Studies in Fuzziness and Soft Computing, Volume 131. USA.
[12] Rosenfeld, A. 1971. Fuzzy Groups. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 35: 512-517.
[13] Zadeh, L. 1965. Fuzzy Sets. Information and Control. 8: 338-353.