## SOLUSI KUADRAT TERKECIL MODEL REGRESI FUZZY DENGAN VARIABEL DEPENDEN FUZZY SIMETRIS

## Iqbal Kharisudin
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Semarang Email: iqbal_kh@staff.unnes.ac.id

## ABSTRAK
Diketahui  bahwa  model  regresi  biasa  digunakan  untuk  menganalisis  data-data  tegas.  Pada  kondisi terdapat ketidakpastian (ketidaktepatan, ketidakjelasan)  nilai-nilai variabel terobservasi, maka model regresi  fuzzy  diperlukan.  Pada  makalah  ini  dibahas  suatu  model  regresi  fuzzy  dengan  variabel dependen  fuzzy  simetris  dan  variabel  independen  tegas  menggunakan  pendekatan  kuadrat  terkecil. Metode  yang  digunakan  untuk  menemukan  model  linear  adalah  meminimalkan  fungsi  jarak  fuzzy antara  variabel  terobservasi  dengan  estimasi  variabel  dependen  atau  nilai  teoritis  yang berkorespondensi.  Ditunjukkan  bahwa  solusi  dari  model  ini  merupakan  generalisasi  model  regresi klasik. Selanjutnya dibahas sifat-sifat berkaitan dengan solusi model yang diperoleh.
Kata kunci : model pusat, model tepi, jarak fuzzy, solusi iteratif.

## ABSTRACT
It is known that the regression model used to analyze the crisp data . In the condition that there is  uncertainty ( imprecision,  vagueness ) on  values  of  observed  variables,  then  the  fuzzy  regression model is required. In this paper discussed a fuzzy regression model with symmetrical fuzzy dependent variable and crisp independent variables using the least squares approach. The method used to find the  linear  model  is  to  minimize  the  distance  function  between  observed  fuzzy  variables  with  the estimation dependent variable or the corresponding theoretical value. It is shown that the solution of this  model  is  a  generalization  of  the  classical  regression  model. Further  discussion  is  about  the properties of solution of the model .
Keyword : center model, spread model, fuzzy distance, iterative solution .

## PENDAHULUAN
Penalaran statistik ( statistical reasoning ) dipengaruhi  oleh  beberapa  jenis  sumber ketidakpastian, seperti: keacakan ( randomness ), ketidaktepatan  ( imprecision ),  ketidakjelasan ( vagueness ),  ketidaktahuan  sebagian  ( partial ignorance ),  dan  sebagainya.  Dalam  konteks analisis  regresi,  terdapat  beberapa  aspek ketidakpastian  yang  sering  diperhatikan,  yaitu ketidakpastian  berkaitan  dengan:  (1)  hubungan antara  variabel  dependen  dengan  variabel independen, (2) hubungan antara data terobservasi  dengan  "semesta"  data  yang
mungkin, dan (3) ketidakpastian (ketidaktepatan,  ketidakjelasan)    nilai-nilai variabel terobservasi (Coppi, 2008).
Dalam  paradigma  statistik  tradisional, ketidakpastian  (1)  dan  (2)  telah  banyak ditangani  dengan  sangat  memuaskan.  Untuk menjawab  permasalahan  ketidakpastian  (3), telah  banyak  para  peneliti  yang  mencoba mengusulkan berbagai metode sebagai alternatif. Seiring dengan perkembangan penelitian,  pada  dekade  terakhir,  telah  banyak penelitian  yang  berupaya  mengembangkan koalisi  antara  teori  himpunan  fuzzy  dan  teori
statistik.  Tujuan  yang  hendak  dicapai  di antaranya  adalah  untuk:  (1)  memperkenalkan permasalahan  analisis  data  baru  berkaitan dengan relasional fuzzy, (2) membangun model formal  yang  menggabungkan randomness
dengan fuzziness , (3) mengembangkan metodologi statistik univariate dan multivariate dalam  menangani  data  bernilai  fuzzy,  dan  (4) menyertakan  konsep  fuzzy  dalam  membantu menyelesaikan permasalahan statistik tradisional dengan data non -fuzzy (Coppi dkk., 2006).
Secara  umum  terdapat  dua  pendekatan yang  berbeda  dalam  analisis  regresi  fuzzy. Pertama pendekatan berbasis konsep possibilistic  yang  pertama  kali  diperkenalkan oleh  Tanaka  dkk.  (1982).  Kedua  adalah pendekatan  berbasis  kuadrat  terkecil,  yaitu perluasan metode kuadrat terkecil dalam setting fuzzy.  Kedua  pendekatan  ini  mempunyai perbedaan  dalam  metode  optimasi  fungsional untuk membangun model regresi "terbaik".
Salah  satu  pendekatan  kuadrat  terkecil dalam  analsis  regresi  fuzzy  diusulkan  oleh D'Urso  dkk.  Metode  yang  digunakan  untuk menemukan model linear adalah
meminimalkan  fungsi  jarak  fuzzy  antara variabel  terobservasi  dan  variabel  output  yang didefinisikan dalam suatu ruang metrik tertentu. Tulisan  yang  membahas  masalah  ini  di antaranya  D'Urso  dan  Gastaldi  2000,  2002, Coppi  dan  D'Urso  2003,  D'Urso  2003,  D'Urso dan Giordani 2003, D'Urso dan Giordani 2006, Coppi  dkk.  2006,  D'Urso  dan  Santoro  2006a, 2006b.  Dalam  tulisan  ini  dikaji  model  regresi dengan  variabel  dependen  fuzzy  simetris  dan
variabel  independen tegas. Selanjutnya dibahas bentuk solusi model dengan pendekatan kuadrat terkecil  dan  beberapa  bukti  sifat-sifat  dari solusi model.

## KONSEP FUZZY UNTUK ANALISIS REGRESI
Untuk  merepresentasikan  ketidakpastian dalam  permasalahan  kehidupan  diperlukan konsep  fuzzy  yang  diperkenalkan  oleh  L.  A. Zadeh  pada  1965  dan  dengan  konsep  bilangan fuzzy (Zimmermann, 1991; Taheri, 2008). Pada dasarnya  kita  semua  sering  menggunakan konsep fuzzy, aturan samar, dan ketidaktepatan informasi  untuk  mengambil  keputusan  dalam situasi  yang  tidak  menentu.  Oleh  karena  itu model-model  komputasional  dari  sistem  real perlu  juga  bisa  mengenali,  merepresentasikan, memanipulasi, menginterpretasikan, dan menggunakan  ketidakpastian  (Bezdek  (1993) dalam  Coppi  dkk.,  2006).  Kelas  umum  dari data  fuzzy  dinyatakan  dengan  (selanjutnya disebut dengan) data fuzzy LR. Data fuzzy LR dapat  dinyatakan  dengan  matriks  data  fuzzy (Coppi, 2006).

## Himpunan dan Bilangan Fuzzy
Teori  himpunan  tegas  didasarkan  pada  logika dwi  nilai  ( two-valued  logic )  sebagai  fungsi karakteristik  yang  memetakan  setiap  elemen hanya  pada  dua  nilai  yaitu  0  dan  1.  Teori himpunan  fuzzy  didasarkan  pada  logika  multi nilai  ( multi-valued  logic )  sehingga  fungsi karakteristiknya memetakan nilai-nilai kedalam suatu  range  tertentu  yang  menunjukkan  derajat keanggotaan setiap anggota. Dalam konteks ini,
fungsi  karakteristik  disebut  dengan  fungsi keanggotaan  ( membership  function )  dan range adalah  interval  [0,1].  Fungsi  keanggotaan memetakan  setiap  anggota  himpunan  fuzzy  ke dalam  derajat  keanggotaan  dari  0  sampai dengan 1, yaitu:
𝜇 𝐴 : Ω →  0,1 .
Himpunan  fuzzy 𝐴 dalam Ω dapat dinyatakan  sebagai  pasangan  terurut  dari sebarang  elemen x dan  nilai  keanggotaannya, yaitu:
𝐴  =   𝑥, 𝜇 𝐴 𝑥   𝑥 ∈ Ω .
Untuk  suatu 𝑥 0 ∈ Ω ,  nilai 𝜇 𝐴 𝑥 0 menyatakan derajat  keanggotaan 𝑥 0 di  dalam 𝐴 .  Semakin besar nilai 𝜇 𝐴 𝑥 0 , maka semakin tinggi derajat keanggotaan 𝑥 0 di  dalam 𝐴 .  Jika  fungsi keanggotaan hanya menggunakan nilai 0 dan 1, maka himpunan fuzzy menjadi himpunan tegas ( crisp set ) sehingga himpunan fuzzy merupakan generalisasi  dari  himpunan  tegas.  Derajat keanggotaan  merupakan  ukuran  subjektif  yang bergantung  pada  perbedaan  individu  dalam merepresentasikan konsep yang abstrak.
Konsep  yang  sama  bisa  jadi  diinterpretasikan dengan  cara  yang  berbeda  bergantung  pada konteksnya.
Bilangan  fuzzy  didefinisikan  berdasarkan konsep  himpunan  fuzzy.  Bilangan  fuzzy  dapat didefinisikan secara umum dengan menggunakan  konsep  himpunan  fuzzy  normal dan  konveks  maupun  secara  khusus  dengan menggunakan fungsi keanggotaan.
Definisi  1.1.1. (Chen  dan  Pham,  2001).
Himpunan  fuzzy 𝐴 di  dalam Ω dikatakan konveks  jika  dan  hanya  jika  setiap 𝐴 𝛼 untuk
𝛼 ∈ (0,1] adalah  konveks,  yaitu  untuk  setiap 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ 𝐴 dan 𝛽 ∈ [0,1] , berlaku
𝜇 𝐴 𝛽𝑥 1 +  1 − 𝛽 𝑥 2 ≥ min 𝜇 𝐴 𝑥 1 , 𝜇 𝐴 𝑥 2 . Catatan 1.1.2 . Jika Ω = ℜ himpunan bilangan real,  dan  fungsi  keanggotaan  himpunan  fuzzy adalah  kontinu,  maka  himpunan  level- 𝛼 , 𝐴 𝛼 , dari  himpunan  fuzzy  konveks  adalah  interval tertutup.
Definisi  1.1.3. (Taheri,  2008,  Giachetti  dan Young,  1997).  Bilangan  fuzzy 𝑋 adalah himpunan fuzzy normal dan konveks pada garis real ℜ yang  memenuhi  (i)  terdapat  tepat  satu 𝑥 0 ∈ ℜ dengan 𝜇 𝑋 𝑥 0 = 1 dan (ii) 𝜇 𝑋 bersifat upper semi-continuous .
Bentuk  khusus  dari  representasi  bilangan fuzzy  yang  dapat  meningkatkan  efisiensi komputasional  adalah  bilangan  fuzzy  tipe  LR. Bilangan  fuzzy  tipe  LR  paling  banyak  dan mudah digunakan untuk mendeskripsikan data.
Definisi  1.1.4. (Zimmermann,  1991).  Misalkan L  (dan  R)  adalah  fungsi  berbentuk  turun  dari ℜ + ke 0,1 dengan 𝐿 0  = 1 ; 𝐿 𝑥  < 1 untuk setiap 𝑥 > 0 ; 𝐿 𝑥  > 0 untuk  setiap 𝑥 < 1 ; 𝐿 1  = 0 atau  ( 𝐿 𝑥  > 0 untuk  setiap 𝑥 dan 𝐿 +∞  = 0 ). 𝑋 disebut bilangan fuzzy 𝐿𝑅 1 jika untuk 𝑚, 𝛼 > 0, 𝛽 > 0 dalam ℜ ,  fungsi keanggotaan 𝑋 didefinisikan
𝜇 𝑋 𝑥  = 𝐿 𝑚 − 𝑥 𝛼 , untuk 𝑥 < 𝑚, 𝑅 𝑥 − 𝑚 𝛽 , untuk 𝑥 ≥ 𝑚,
dengan 𝑚 disebut nilai mean dari 𝑋 dan 𝛼 dan 𝛽 masing-masing  disebut  tepi  kiri  dan  tepi
kanan.  Bilangan  fuzzy 𝑋 dinyatakan  dengan
𝑋  =  𝑚, 𝛼, 𝛽 𝐿𝑅 .

## Jarak dan Ruang Metrik Fuzzy
Pada  bagian  ini  dikemukakan  definisi  jarak antara  dua  bilangan  fuzzy  simetris  dan  sifat ruang  metrik  berdasarkan  definisi  jarak tersebut. Misalkan 𝒮 𝐿𝐿 ℜ menyatakan himpunan semua bilangan fuzzy simetris.
Definisi 1.2.1. (Yang dan Ko, 1996). Misalkan
𝑋  =  𝑚 𝑥 , 𝛼 𝑥 , 𝛽 𝑥 𝐿𝑅 dan 𝑌  =  𝑚 𝑦 , 𝛼 𝑦 , 𝛽 𝑦 𝐿𝑅 adalah  bilangan  fuzzy 𝐿𝑅 di  dalam 𝒮 𝐿𝐿 ℜ .
Jarak  antara  dua  bilangan  fuzzy 𝑋 dan 𝑌 didefinisikan dengan
𝑑 𝐿𝑅 2 𝑋 , 𝑌   =  𝑚 𝑥 − 𝑚 𝑦 2 +   𝑚 𝑥 − 𝜆𝛼 𝑥 −  𝑚 𝑦 − 𝜆𝛼 𝑦 2 +   𝑚 𝑥 + 𝜌𝛽 𝑥 −  𝑚 𝑦 + 𝜌𝛽 𝑦 2
dengan
𝜆 =   𝐿 −1 𝜔 1 0 d𝜔 dan 𝜌 =
𝑅 −1 𝜔 1
0 d𝜔 .
Pada  definisi  1.2.1  di  atas, 𝜆 dan 𝜌 menyatakan  pengaruh  bentuk  dari  fungsi keanggotaan terhadap jarak antara dua bilangan fuzzy.  Nilai 𝜆 dan 𝜌 memiliki  peran  ganda, yaitu  berhubungan  dengan  variabilitas  fungsi keanggotaan  dan  menurunkan  penekanan  pada tepi,  karena  pada  kenyataannya  bobot  pusat lebih  besar  daripada  bobot  tepi.  Selanjutnya pada  definisi  1.2.1,  jika  kedua  bilangan  adalah bilangan fuzzy simetris ( 𝛼 𝑥 = 𝛽 𝑥 , 𝛼 𝑦 = 𝛽 𝑦 , dan 𝜆 = 𝜌 =   𝐿 −1 𝜔 1 0 d𝜔 ),  maka  diperoleh  jarak antara  dua  bilangan  fuzzy  simetris 𝑋 dan 𝑌 , yaitu:
𝑑 𝐿𝐿 2 𝑋 , 𝑌   = 3 𝑚 𝑥 − 𝑚 𝑦 2 + 2𝜆 2 𝛼 𝑥 − 𝛼 𝑦 2 .
Teorema  1.2.2. (Yang  dan  Ko,  1996).
𝒮 𝐿𝐿 ℜ , 𝑑 𝐿𝐿 adalah ruang metrik.
Teorema  1.2.3. (Yang  dan  Ko,  1996).
𝒮 𝐿𝐿 ℜ , 𝑑 𝐿𝐿 adalah ruang metrik complete .

## MODEL REGRESI FUZZY
Analisis  regresi  linear  dengan  model  fuzzy pertama  kali  diusulkan  oleh  Tanaka  dkk.  pada tahun  1982.  Berdasarkan  metode  ini,  koefisien regresi  merupakan  bilangan  fuzzy  yang  dapat dinyatakan  sebagai  interval  dengan  fungsi keanggotaan.  Perkembangan  teori  fuzzy  pada analisis regresi sejak dikemukakan oleh Tanaka dkk.  sangat  pesat.  Referensi  yang  cukup lengkap berkaitan dengan perkembangan metode regresi fuzzy diantaranya seperti Chang dan  Ayyub  (2001)  dan  Shapiro  (2005). Pendekatan  lain  yang  juga  banyak  diteliti adalah  kuadrat  terkecil  dalam  analisis  regresi fuzzy.  Pendekatan  ini  telah  banyak  diteliti dalam  dua  dekade  terakhir,  di  antaranya  oleh Celmins  (1987),  Diamond  (1988),  Chang  dan Lee  (1996),  Ma  dkk.  (1997),  dan  Wu  (2003). Penelitian-penelitian  dalam  konteks  tersebut sangat  beragam  dan  masih  menjadi  topik penelitian yang berkembang.
Ide  dasar  analisis  regresi  fuzzy  yang dikembangkan adalah memodelkan pusat ( center )  dari  variabel  dependen  fuzzy  simetris dengan  mengadopsi  model  regresi  klasik, selanjutnya  secara  simultan  memodelkan  tepi variabel  dependen  fuzzy  melalui  regresi  linear sederhana.  Hubungan  antara 𝑌 (variabel dependen  fuzzy  simetris)  dengan 𝑋 1 , … , 𝑋 𝑘 (variabel  independen  tegas)  dinyatakan  dengan
model (D’Urso dan Gastaldi, 2000; D’Urso dan Santoro, 2006b):
𝐦 = 𝛍 + 𝛆, 𝐦 − 𝐥 = 𝛍 − 𝛅 + 𝛆 𝐿 ;
𝐦 + 𝐥 = 𝛍 + 𝛅 + 𝛆 𝑅 ;
dengan 𝛍 = 𝐗𝐚 dan 𝛅 = 𝛍𝑏 + 𝟏𝑑,
(2.0.1)
dimana 𝟏 adalah  vektor  1-an  berukuran 𝑛 ×
1 , 𝐗 matriks berukuran 𝑛×𝑘+1 berisi vektor 𝟏 dan  variabel  input 𝐱 1 , … , 𝐱 𝑘 ; 𝐦 , 𝛍 masing- masing  adalah  vektor  pusat  terobservasi  dan vektor pusat interpolasi berukuran 𝑛 × 1 ; 𝐥 , 𝛅 masing-masing  adalah  vektor  tepi  terobservasi dan vektor tepi interpolasi berukuran 𝑛 × 1 ; 𝐚 vektor  koefisien/parameter  regresi  untuk 𝐦 berukuran 𝑘 + 1  × 1 ; b dan d koefisien/parameter  regresi  untuk  model  tepi; serta 𝛆 , 𝛆 𝐿 , dan 𝛆 𝑅 adalah vektor residual.
Model  regresi  tersebut  di  bangun  atas  tiga model  linear.  Pertama  interpolasi  pusat  dari observasi fuzzy, kedua dan ketiga adalah model untuk  batas  bawah  (pusat  –  tepi)  dan  model untuk  batas  atas  (pusat  +  tepi)  yang  dibangun berdasarkan  model  pertama.  Dalam  kasus variabel  output  adalah  simetris,  maka  tepi  kiri sama dengan tepi kanan, sehingga model kedua dan  model  ketiga  mempunyai  estimasi  tepi yang sama.

## Fungsi Objektif
Berdasarkan kriteria kuadrat terkecil, parameter dari model (2.0.1) diestimasi dengan meminimalkan  kuadrat  jarak  antara  variabel dependen  terobservasi 𝑌 dengan  nilai  teoritis
yang  berkorespondensi 𝑌 ∗ yang  didefinisikan melalui  model  (2.0.1).  Untuk  tujuan  ini, digunakan  konsep  jarak  Euclid  untuk  bilangan fuzzy 𝐿𝐿 , yaitu:
Δ 𝐿𝐿 2 =  𝐦 − 𝛍 2 +   𝐦 − 𝜆𝐥  −  𝛍 − 𝜆𝛅 2 +   𝐦 + 𝜆𝐥  −  𝛍 + 𝜆𝛅 2 = 3 𝐦 − 𝛍 ′ 𝐦 − 𝛍 + 2𝜆 2 𝐥 − 𝛅 ′ 𝐥 − 𝛅 .
Nilai  parameter 𝜆 berkaitan  dengan  bentuk fungsi dari  jenis variabel fuzzy  (lihat Kharisudin  dan  Subanar,  2009).  Berdasarkan jenis  fungsi  keanggotaan  bilangan  fuzzy simetris,  nilai 𝜆 pada  dasarnya  merupakan penyesuaian  tepi  kiri  dan  tepi  kanan  pada  saat perhitungan  batas  bawah  dan  batas  atas bilangan  fuzzy 𝑦 𝑖 , 𝑦 𝑖 ∗ 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 .  Pada persamaan  (2.1) 𝜆 menyatakan  bobot  yang berbeda  antara  pusat  dengan  tepi  (kiri  maupun kanan). Dalam estimasi parameter regresi, nilai 𝜆 didefinisikan  secara  subjektif  sesuai  dengan bobot  pusat  dan  tepi  variabel  fuzzy  dengan memperhatikan  bentuk  spesifik  dari  fungsi keanggotaan  yang  memberikan  karakter  setiap datum  fuzzy.  Secara  umum  bobot  tersebut selalu  kurang  dari  satu,  dengan  alasan  bahwa bobot untuk tepi selalu kurang dari bobot untuk pusat variabel fuzzy.
Berdasarkan model (2.0.1), basis jarak (2.1) dapat ditulis menjadi
Δ 𝐿𝐿 2 = 3 𝐦 ′ 𝐦 − 2𝐦 ′ 𝐗𝐚 + 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚 + 2𝜆 2 𝐥 ′ 𝐥 − 2𝐥 ′ 𝐗𝐚𝑏 − 2𝐥 ′ 𝟏𝑑 + 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚𝑏 2 + 2𝟏 ′ 𝐗𝐚𝑏𝑑 + 𝑛𝑑 2 .
Dengan  demikian  fungsi  objektif  kuadrat terkecil menjadi
min 𝐚,𝑏,𝑑 3 𝐦 ′ 𝐦 − 2𝐦 ′ 𝐗𝐚 + 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚  +
2 𝜆2𝐥′𝐥−2𝐥′𝐗𝐚𝑏−2𝐥′𝟏𝑑+𝐚′𝐗′𝐗𝐚𝑏2+
2𝟏′𝐗𝐚𝑏𝑑+𝑛𝑑2 .
(2.1.1)

## Solusi Kuadrat Terkecil Iteratif
Untuk  menentukan  solusi  masalah  (2.1.1), dicari turunan parsial Δ 𝐿𝐿 2 terhadap parameter a , b , dan d untuk nilai sama dengan nol, sehingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut.
𝐚 =  3 + 2𝜆 2 𝑏 2 −1 𝐗 ′ 𝐗 −1 𝐗 ′ 3𝐦 + 2 𝜆2𝐥𝑏−𝟏𝑏𝑑. (2.2.1)
𝑏 =  𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚 −1 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐥 − 𝟏𝑑 . (2.2.2)
𝑑 = 𝑛 −1 𝟏 ′ 𝐥 − 𝐗𝐚𝑏 .
(2.2.3)
Solusi iteratif dari sistem persamaan di atas diperoleh  dengan  mengasumsikan  bahwa X mempunyai  rank  penuh.  Prosedur  optimisasi dengan menggunakan algoritma iteratif berdasarkan  persamaan  (2.2.1)  -  (2.2.3)  tidak dijamin  diperolehnya  minimum  global,  hanya minimum  lokal  saja.  Dengan  demikian,  sangat disarankan untuk menggunakan algoitma iterasi dengan  beberapa  nilai  awal  untuk  mengetahui stabilitas solusi (D’Urso dan Santoro, 2006a).
Selanjutnya dapat dilihat bahwa pada kasus variabel dependen tegas (crisp) yaitu 𝐥 = 𝟎 dan 𝑏 = 𝑑 = 0 maka  estimasi 𝐚 yang  termuat dalam (2.2.1) akan menghasilkan solusi kuadrat terkecil  biasa  yaitu 𝐗 ′ 𝐗 −1 𝐗 ′ 𝐦 .  Dengan demikian  model  dan  solusi  pada  sistem persamaan  di  atas  merupakan  generalisasi  dari model  regresi  linear  klasik,  jika  variabel dependen memuat ketidakpastian.

## Sifat Solusi Kuadrat Terkecil dari Model
Pada  bagian  ini  akan  dibuktikan  sifat-sifat solusi kuadrat terkecil iteratif (2.2.1) s.d. (2.2.3) dari  model  (2.0.1).  Berkaitan  dengan  model (2.0.1),  selanjutnya  estimasi  kuadrat  terkecil iteratif dari 𝛍 dan 𝛅 masing-masing dinyatakan dengan 𝛍 = 𝐗𝐚 dan 𝛅 = 𝛍 𝑏  + 𝟏𝑑 .
Proposisi 2.3.1 . Hubungan berikut benar 𝐦 − 𝛍 ′ 𝛍 = 0
(2.3.1)
yaitu  residual 𝐦 − 𝛍 tidak  berkorelasi dengan estimasi pusat 𝛍 .
Bukti: Berdasarkan  turunan  parsial Δ 𝐿𝐿 2 terhadap 𝐚 seperti  yang  termuat  dalam  (2.2.1) diperoleh
𝜕Δ 𝐿𝐿 2 𝜕𝐚 = 𝟎 ⇔ 3 −2𝐗 ′ 𝐦 + 2𝐗 ′ 𝐗𝐚 + 2𝜆 2 −2𝐗 ′ 𝐥𝑏  + 2𝐗 ′ 𝐗𝐚 𝑏 2 + 2𝐗 ′ 𝟏𝑏 𝑑   = 𝟎 ⇔ 𝐗 ′ 3 𝐦 − 𝛍 + 2𝜆 2 𝑏  𝐥 − 𝐗𝐚 𝑏  − 𝟏𝑑 = 𝟎 𝑘+1 ⇔ 𝐗 ′ 3 𝐦 − 𝛍 + 2𝜆 2 𝑏  𝐥 − 𝛅 = 𝟎 𝑘+1 . (2.3.2)
Selanjutnya  persamaan  (2.3.2)  di  atas  dapat ditulis
𝐚 ′ 𝐗 ′ 3 𝐦 − 𝛍 + 2𝜆 2 𝑏  𝐥 − 𝛅 = 𝐚 ′ 𝟎 𝒌+𝟏 ⇔ 𝛍 ′ 3 𝐦 − 𝛍 + 2𝜆 2 𝑏  𝐥 − 𝛅 = 0 . (2.3.3)
Berdasarkan  turunan  parsial Δ 𝐿𝐿 2 terhadap 𝑏 yang termuat dalam (2.2.2) diperoleh
𝜕Δ 𝐿𝐿 2 𝜕𝑏 = 0 ⇔ 2𝜆 2 −2𝐥 ′ 𝐗𝐚  + 2𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚 𝑏  + 2𝟏 ′ 𝐗𝐚 𝑑   = 0 ⇔ 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐗𝐚 𝑏  = 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝐥 − 𝐚 ′ 𝐗 ′ 𝟏𝑑 ⇔ 𝛍 ′ 𝐥 − 𝛅 = 0. (2.3.4)
Dengan  mensubstitusi  (2.3.4)  ke  (2.3.3), diperoleh
𝛍 ′ 3 𝐦 − 𝛍 = 0 ⇔ 𝛍 ′ 𝐦 − 𝛍 = 0 ⇔ 𝐦 − 𝛍 ′ 𝛍 = 0. ∎
Proposisi 2.3.2 . Jumlahan (dan juga mean) dari n residual  pusat 𝐦 − 𝛍 dan  jumlahan  (dan juga  mean)  dari n residual  tepi 𝐥 − 𝛅 adalah nol, yaitu
𝟏 ′ 𝐦 − 𝛍 = 0, (2.3.5)
𝟏 ′ 𝐥 − 𝛅 = 0. (2.3.6)
Bukti :
(i). Akan  ditunjukkan  benar  untuk  persamaan
(2.3.6).  Berdasarkan  turunan  parsial Δ 𝐿𝐿 2
terhadap 𝑑 yang  termuat  dalam  (2.2.3), diperoleh
𝜕Δ 𝐿𝐿 2 𝜕𝑑 = 0 ⇔ −𝟏 ′ 𝐥 + 𝟏 ′ 𝐗𝐚 𝑏  + 𝑛𝑑  = 0
⇔ 𝟏 ′ 𝐥 − 𝟏 ′ 𝛍 𝑏  − 𝟏 ′ 𝟏𝑑  = 0 ⇔ 𝟏 ′ 𝐥 − 𝛅 = 0. ∎
(ii). Berdasarkan  basis  jarak  pada  persamaan (2.1), dapat dituliskan
Δ 𝐿𝐿 2 = 3 𝐦 − 𝛍 2𝜆 2 𝐥 − 𝛅 2 = 3 𝐦 − 𝐗𝐚 2𝜆 2 𝐥 − 𝐗𝐚 𝑏  − 𝟏𝑑 2 = 3𝐦 2𝜆 2 𝐥 − 𝟏𝑑    −
3𝐗2𝜆2𝐗𝑏𝐚2=𝐲−𝐙𝐚2.
(2.3.7)
Dalam  hal  ini,  regresi  fuzzy  dengan variabel  dependen  fuzzy  ditransformasi  ke dalam  masalah  regresi  biasa  antara 𝐲 (vektor variabel  dependen)  dan 𝐙 (matriks  variabel independen).  Selanjutnya  berdasarkan  sifat estimasi  regresi  biasa,  diketahui  bahwa  untuk vektor optimal 𝐚 diperoleh
𝟏 ′ 𝐲 = 𝟏 ′ 𝐙𝐚 . (2.3.8)
Dengan mensubstitusi 𝐲 dan 𝐙 dalam (2.3.7) ke dalam (2.3.8), diperoleh
𝟏 ′ 3𝐦 + 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝐥 − 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝟏𝑑 = 𝟏 ′ 3𝐗𝐚  + 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝐗𝐚 𝑏 ⇔ 0 = 𝟏 ′ 3𝐦 + 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝐥 − 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝟏𝑑  −
𝟏 ′ 3𝐗𝐚  − 𝟏 ′ 2𝜆 2 𝐗𝐚 𝑏
⇔ 3 𝟏 ′ 𝐦 − 𝛍 = −2𝜆 2 𝟏 ′ 𝐥 − 𝛅 . (2.3.9)
Dengan mensubstitusi (2.3.6) ke dalam (2.3.9), diperoleh
3 𝟏 ′ 𝐦 − 𝛍 = 0 ⇔ 𝟏 ′ 𝐦 − 𝛍 = 0. ∎
Proposisi 3.3 . Hubungan berikut benar 𝐥 − 𝛅 ′ 𝛅 = 0. (2.3.10) yaitu  residual 𝐥 − 𝛅 tidak  berkorelasi  dengan estimasi tepi 𝛅 .
Bukti: Berdasarkan (2.3.4) diperoleh
𝛍 ′ 𝐥 − 𝛅 = 0 ⇔  𝐥 − 𝛅 ′ 𝐗𝐚  = 0 ⇔  𝐥 − 𝛅 ′ 𝐗𝐚 𝑏  = 0. (2.3.11)
Selanjutnya dalam proposisi 2.3.2, persamaan
(2.3.6) ditunjukkan
𝟏 ′ 𝐥 − 𝛅 = 0 ⇔  𝐥 − 𝛅 ′ 𝟏𝑑  = 0. (2.3.12)
Dengan demikian berdasarkan (2.3.11) dan
(2.3.12) diperoleh
𝐥 − 𝛅 ′ 𝐗𝐚 𝑏  +  𝐥 − 𝛅 ′ 𝟏𝑑  = 0
⇔  𝐥 − 𝛅 ′ 𝐗𝐚 𝑏  + 𝟏𝑑   = 0
⇔  𝐥 − 𝛅 ′ 𝛅 = 0. ∎

## SIMPULAN
Berdasarkan  uraian  di  atas,  dapat  ditarik beberapa simpulan antara lain: (i) model regresi fuzzy dengan variabel  dependen  fuzzy simetris merupakan  perluasan  model  regresi  klasik dengan  menambahkan  model  regresi  linear sederhana untuk model tepi, (ii) kriteria kuadrat terkecil diadopsi untuk mengestimasi parameter dari model dengan meminimalkan kuadrat jarak fuzzy  antara  variabel  dependen  terobservasi 𝑌 dengan nilai teoritis yang berkorespondensi 𝑌 ∗ , (iii)  solusi  iteratif  dari  model  yang  didapat dengan menentukan turunan parsial fungsi jarak terhadap parameter  yang diestimasi  merupakan generalisasi  solusi  regresi  klasik,  dan  (iv) dibuktikan  beberapa  sifat  solusi  iteratif  dari model. Selanjutnya masih diperlukan penyelidikan  lebih  lanjut  berkaitan  dengan sifat-sifat  solusi  model,  serta  pengembangan dan  aplikasi  model  regresi  fuzzy  ini  dalam permasalahan kehidupan sehari-hari.

## DAFTAR PUSTAKA
Celmins,  A.  1987.  Multidimensional  least- squares  fitting  of  fuzzy  models, Math.
Model . 9 , 669-690.
Chang, P.T. and E. S. Lee. 1996. A generalized fuzzy  weighted  least-squares  regression, Fuzzy Sets and Systems 82 , 289-298.
Chang,  Y.-H.  O.  and  B.  M.  Ayyub.  2001. Fuzzy  regression  methods-a  comparative
assessment, Fuzzy  Sets  and  Systems 119 ,
187-203.
Chen, G. and T. T. Pham. 2001. Introduction to fuzzy  sets,  fuzzy  logic,  and  fuzzy  control systems , Boca Raton: CRC Press.
Coppi, R. 2008.  Management of uncertainty in statistical reasoning: The case of regression analysis,
International Journal of Approximate Reasoning 47 , 284-305.
Coppi,  R.  and  P.  D'Urso.  2003.  Regression analysis with fuzzy informational paradigm:  a  least  squares  approach  using membership  function  information, Int.  J.
Pure Appl. Math . 8 , no. 3, 279-306.
Coppi,  R.,  P.  D'Urso,  P.  Giordani,  and  A. Santoro. 2006.  Least  squares estimation  of a  linear  regression  model  with  LR  fuzzy response, Computational  Statistics  &  Data Analysis 51 , 267-286.
Coppi, R., M. A. Gil, and H. A. L. Kiers. 2006. The  fuzzy  approach  to  statistical  analysis, Computational  Statistics  &  Data  Analysis 51 , 1-14.
Coppi,  R.,  P.  Giordani,  and  P.  D'Urso.  2006. Component models for fuzzy data,
Psychometrika 71 , no. 4, 733-761.
Diamond,  P.  1998.  Fuzzy  least  squares, Information Sciences 46 , 141-157.
D'Urso, P. 2003.  Linear regression analysis for fuzzy/crisp  input  and  fuzzy/crisp  output data, Computational  Statistics  &  Data Analysis 42 , 47-72.
D'Urso,  P.  and  T.  Gastaldi.  2000.  A  least- squares approach to fuzzy linear regression analysis, Computational  Statistics  &  Data Analysis 34 , 427-440.
-------.  2002.  An  "orderwise"  polynomial regression  procedure  for  fuzzy  data, Fuzzy Sets and Systems 130 , 1-19.
D'Urso,  P.  and  P.  Giordani.  2003.  Fitting  of fuzzy  linear  regression  models  with multivariate  response, Int.  Math.  J . 3 ,  no. 6, 655-664.
-------.  2006.  A  weighted  fuzzy  c-means clustering model for fuzzy data,
Computational  Statistics  &  Data  Analysis 50 , no. 6, 1496-1523.
D'Urso,  P.  and  A.  Santoro.  2006a.  Fuzzy clusterwise  linear  regression  analysis  with symmetrical fuzzy output variable,
Computational  Statistics  &  Data  Analysis
51 , 287-313.
-------.  2006b.  Goodness  of  fit  and  variable selection  in  the  fuzzy  multiple  linear regression, Fuzzy  Sets  and  Systems 157 ,
2627-2647.
Giachetti,  R.  E.  and  R.  E.  Young.  1997. A
parametric representation
of fuzzy numbers  and  their  arithmetic  operators ,
Fuzzy Sets and Systems 91 , 185-202.
Kharisudin,  I.  and  Subanar.  2009.  Fuzzy regression analysis with symmetrical fuzzy dependent  variable, The  Proceeding  of IICMA  2009 ,  ISBN:  978-602-96426-0-5,
pp 935-950.
Ma,  M.,  M.  Friedman,  and  A.  Kandel.  1997.
General fuzzy least squares, Fuzzy Sets and
Systems 88 , 107-118.
Shapiro,  A.  F.  2005. Fuzzy  regression  and  the term  structure  of  interest  rates  revisited ,
Unpublished paper, Penn State University.
Taheri,  S.  M.  2008.  C-fuzzy  numbers  and  a dual  of  extension  principle, Information Sciences 178 , 827-835.
Tanaka,  H.,  S.  Uejima,  and  K.  Asai.  1982.
Linear  regression  analysis  with  fuzzy model, IEEE  Transactions  on  Systems, Man and Cybernetics 12 , no. 6, 903-907.
Wu, H. C. 2003. Fuzzy least squares estimators in  linear  regression  analysis  for  imprecise input  and  output  data, Computational Statistics & Data Analysis 42 , 203-217.
Yang, M.-S. and C.-H. Ko. 1996. On a class of fuzzy  c-numbers  clustering  procedures  for fuzzy data, Fuzzy Sets and Systems 84 , 49-
60.
Zadeh,  L.  A.  1999.  Fuzzy  sets  as  a  basis  for  a theory  of  possibility, Fuzzy  Sets  and Systems 100 Supplement , 9-34.
Zimmermann, H. J. 1991. Fuzzy set theory and its applications , Boston: Kluwer Academic Publisher.