Vol.16, No. 1, 19-24, July 2019 doi:10.20956/jmsk.v16i1.5939
1,2,3,4 , Program Studi Pascasarjana(S2) Matematika, FMIPA Universitas Hasanuddin,
Emai address: 1 iinsutrisna3@gmail.com, 2 asriadiasrunmath@gmail.com,
3 mawardibahri@gmail.com, 4 syamsuddint@yahoo.com

## Transformasi Fourier Fraksional dari Fungsi Gaussian
1 Iin Sutrisna, 2 Asriadi Nasrun, 3 Mawardi Bahri, 4 Syamsuddin Toaha

## Abstract
The fractional Fourier transform is one of the generalizations of ordinary Fourier transform that  depend  on  a  particular  angle .  In  this  paper  we  will  derive  the  fractional  Fourier transforms  of  a  function  that  is  well  known  in  the  field  of  analysis,  namely  Gaussian function.
Keywords: Fractional Fourier transform, Fourier transform, Gaussian Function.

## Abstrak
Transformasi Fourier fraksional adalah salah satu dari generalisasi dari transformasi Fourier biasa  yang  tergantung  dari  sudut tertentu.  Dalam  tulisan  ini  akan  diungkapkan  bentuk transformasi  Fourier  fraksional  dari  sebuah  fungsi  yang  sangat  dikenal  di  bidang  analisis yaitu fungsi Gaussian.
Kata  kunci: Transformasi  Fourier  fraksional,  transformasi  Fourier,  fungsi Gaussian .

## 1. Pendahuluan
Transformasi  Transformasi  Fourier  fraksional  adalah  sebuah  generalisasi  dari transformasi  Fourier biasa dengan  sebuah  parameter orde .  Secara  matematis, transformasi Fourier berorde adalah adalah sebuah pangkat dari operator transformasi Fourier.
adalah  orde  transformasi  Fourier  fraksional  dari  transformasi  Fourier  biasa.  Dengan perkembangan dari transformasi Fourier fraksional dan konsep yang terkait, domain frekuensi biasa hanya sebuah kasus khusus dari rangkaian kesatuan domain Fourier fraksional, dan kini telah sampai pada teori yang lebih umum sebagai alternatif untuk representasi signal. Setiap sifat dan aplikasi dari transformasi Fourier merupakan sebuah kasus khusus dari transformasi Fourier  fraksional.  Dalam  semua  area  dimana  konsep  transformasi  Fourier  dan  domain frekuensi  digunakan,  terdapat  potensi  untuk  melakukan  generalisasi  dan  perbaikan    dengan menggunakan  transformasi  Fourier  fraksional.  Misalnya,  telah  diketahui  dengan  jelas  hasil yang  menyatakan  bahwa  pola  diffraksi  dari  sebuah  celah  adalah  dalam  bentuk  transformasi Fourier  pola  diffraksi  celah  tersebut,  dapat  digeneralisasi  bahwa  dalam  jarak  yang  sangat dekat  adalah  transformasi  Fourier  fraksional  dari  celah  [7].  Ada  beberapa  transformasi digeneralisasi  menggunakan  transformasi  Fourier  fraksional  dan transformasi linear  kanonik seperti  seperti  transformasi  wavelet  fraksional  [1]  dan  distribusi  Wigner-Ville  berkaitan dengan transformasi linear kanonik [3].

## 2. Transformasi Fourier dan Sifat-sifat Dasarnya

## Iin Sutrisna, Asriadi Nasrun, Mawardi Bahri, Syamsuddin Toaha
Misalkan adalah  fungsi  terintegral  Lebesgue  pada ,  dinotasikan
( ) ,  yakni semua fungsi bernilai kompleks yang memenuhi ∫ | ( )|
. Karena kontinyu
dan  terbatas,  maka  perkalian
( ) terintegral  lokal  untuk  setiap
Juga, | | untuk semua dan di . Pandang integral
〈 〉   ∫  ( ) (   )

## Jelas bahwa
|∫  ( ) |   |∫  ( ) |   ∫ | ( )| (   )
Hal ini menyatakan bahwa integral ada untuk semua
Definisi 1.1 [1] Transformasi Fourier (TF) dari sebuah fungsi ( ) dituliskan sebagai ̂( )    * +( ) √ ∫  ( ) (   )
Generalisasi  transformasi  Fourier  dalam  matriks  disebut  dengan  transformasi  Fourier matriks bisa diperoleh di [4].
Contoh 1.1
Diberikan fungsi Gaussian ( ) maka
{ }( )   √ ( ) (   )
Misalkan ( ) ( ) maka  operator  translasi,  modulasi  dan  dilatasi  dari  fungsi berturut-turut dinyatakan sebagai berikut
( )    (     ) ( ) ( ) ( ) √| | ( )          (   )
Teorema 1.1 [5] Jika ( ) ( ) maka berlaku
* ( )+( ) ̂( ) * ( )+( ) ̂( )
{ ( ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅}( )    ̂( ) ̅̅̅̅̅̅̅
* ( )+( ) ̂( )  ]
(   )
Teorema 1.2 [5]
Jika ( ) ( ) ( ) untuk bilangan asli maka
̂( ) ada dan berlaku
̂( )
(  ) * ( )+( )                                          (   )
Teorema 1.3 [5]
Jika ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) untuk  bilangan  asli dan | | ( )
untuk *               + maka ̂( ) ada dan berlaku
{ ( ) } ( )   (  ) ̂( )                                       (   )
Teorema 1.4 (Invers TF). ([5] Jika ̂( ) ( ) maka berlaku
( ) { ̂( )}( ) √ ∫  ̂( ) (   )

## 3. Transformasi Fourier Fraksional
Pada bagian ini akan mengungkap sifat-sifat dasar dari transformasi Fourier fraksional dan  kemudian  akan  dibuktikan  secara  detail  transformasi  Fourier  fraksional  dari  fungsi Gaussian.
Definisi 3.1 [6] Transformasi Fourier fraksional dengan sudut parameter dari sebuah fungsi ( ) ( ) , dinotasikan ( )( )    ̂ ( ) , dinyatakan sebagai
. ( )/ ( )    ̂ ( )   ∫ (    ) ( )                                (   )
dengan kernelnya adalah
(    )
{ ( ) √ (     )
(     )                                        (      ) (   ) dan (         ) √
Rumus  invers  yang  berkorespondensi  dengan  transformasi  Fourier  fraksional  untuk dinyatakan sebagai
( )   ∫ (    ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̂ ( )                                (   )
dimana
(    ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( ) (    )                   (   )
dan
̅̅̅̅ (   ) Teorema 3.1 [6] Jika ( ) maka untuk maka berlaku [ ( )] ( )   ( ) , ( )-( )                        (   )
Definisi 3.2 Ruang Schwartz dan ruang Schwartz yang berkaitan dengan TFF berturut- turut didefinisikan sebagai
{ ( ) ( )| | ( )| }            (   )
{ ( ) ( )| | ( )| }                 (   ) dimana . / .
Teorema  3.2 Misalkan (    ) adalah  kernel  dari  transformasi  Fourier  fraksional  dan
. / . Maka
(i) (    )   (         ) (    ) * + (ii) ,( ) ( )-( )   (         ) , ( )-( ) * + dan
dengan . / .

## Iin Sutrisna, Asriadi Nasrun, Mawardi Bahri, Syamsuddin Toaha
Teorema 3.3 Jika ( ) , maka ̂ memenuhi kondisi berikut (i) ̂ ( ) dengan ‖ ̂ ‖ | |‖ ̂ ‖ ,
(ii) ̂ kontinyu pada , (iii) ̂ ( ) untuk atau .
Teorema  3.4 Jika ̂ dan ̂ berturut-turut  adalah  transformasi  Fourier  fraksional  dari
( ) , maka
∫  ( ) ( ) ̅̅̅̅̅̅ ∫  ̂ ( ) ̂ ( )
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (   )
∫  ̂ ( ) ( ) ∫  ( ) ̂ ( ) (    ) dan
∫ | ( )| ∫ | ̂ ( )| (    )
Teorema berikut mengungkapkan transformasi Fourier fraksional dari sebuah fungsi Gaussian yang merupakan hasil utama dari tulisan ini.
Teorema  3.5 (TFF  fungsi  Gaussian). Jika
( ) , , maka  untuk konstanta real berlaku . ( )/ ( )   √ ( (       ) (          ) ) (    )
Bukti:
Perhatikan bahwa, berdasarkan definisi diperoleh
. ( )/ ( )
∫ ( ( ) )
√ ∫ ( ) √ ∫ ( )
√ ∫
√ ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ) √ ∫ ( ). . /        /
√ ∫ ( ). . /        / √ ∫ ( )( ( ) ) √ ∫ ( )(( ) ( ) ) √ ∫ ( )( ) ( )( ) √ ( )( ) ∫ ( )( ) √ ( )( ) ∫ ( )( ) Karena integral Gaussian ∫ √ maka . ( )/ ( )
√ ( (         ) ) √ . / √ ( (         ) ) √ √ ( (       ) (          ) )

## 4. Kesimpulan
Dengan telah diungkapkannya bentuk TFF dari fungsi Gaussian yaitu
. ( )/ ( )   √ ( (       ) (          ) )
diharapkan  telah  memudahkan  mencari  bentuk  TFF  dari  fungsi  lain  yang  melibatkan  fungsi Gaussian.

## Daftar Pustaka
[1]  Bahri    M.  dan  Ashino  R.,  2017.  Logarithmic  Uncertainty  Principles  Convolution Theorem  Related  to  Continious  Fractional  Wavelet  Transform  and  its  Properties  on  a Generalized  Sobolev  Space. International  Journal  of  wavelet,  Multiresolution  and Information Processing. Vol. 15, No.5,

## Iin Sutrisna, Asriadi Nasrun, Mawardi Bahri, Syamsuddin Toaha
[2]  Bahri    M.  dan  Ashino  R.  dan  Amir  A.K.,  2017.  Correlation  Formulation  Using Relationship  Between  Convolution  and  Correlation  in  Linear  Canonical  Transform Domain. International  Conference  on  Wavelet  Analysis  and  Pattern  Recognition , Ningbo, China., hal. 177-182.
[3]  Bahri  M. dan Ashino R., 2015. Convolution and Correlation Theorem for Wigner-Ville Distribution  Associated  with  Linear  Canonical  Transform . Intenational  Conference  on Information Technology-New Generations (ITNG ), hal. 341-346.
[4]  Bahri  M., 2010. Consruction of Quaternion-Valued Wavelets . Matematika: Malaysian Journal of Industrial and Applied Mathematics . Vol. 26, No.1, hal. 107-114.
[5]  Clarke,  B.M.N.,  2009. Fourier  Theory .  Departement  of  Mathematics,  Macquarie University, hal. 1-65.
[6]  Akhilesh  P.,  Manna  S.,.  Ashutosh  Mahato  dan  V.K.  Singh.,  2014.  The  generalized continuous wavelet transform associated with the fractional Fourier transform . Journal of Computational and Applied Mathematics. , hal. 1-12.
[7]  Ozaktas  H.  dan  Kutay  A.,  1996 .  Introduction  to  fraksional  Fourier  transform  and  its application ., hal. 3-4.