Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 2, Desember 2020, 123-137 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i2.6650
Konstruksi Brace Dua Sisi Dengan Menggunakan Ring Jacobson
Puguh Wahyu Prasetyo 1*, Catur Yustika Melati 2
1,2 Universitas Ahmad Dahlan; Kampus 4 UAD, Jalan Lingkar Selatan, Tamanan, Bantul DIY Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Ahmad Dahlan, Indonesia puguh.prasetyo@pmat.uad.ac.id
Diajukan:26 Februari 2020,  Diperbaiki: 6 Desember 2020, Diterima:12 Desember 2020

## Abstrak
Dalam  perkembangan  ilmu  pengetahuan  alam,  matematika  dan  fisika  merupakan  ilmu-ilmu  sains dasar  yang  merupakan  fundamental  bagi  cabang  ilmu  yang  lain.  Dalam  perkembangan  ilmu  Fisika seringkali juga memotivasi adanya temuan-temuan baru dalam ilmu matematika khususnya aljabar. Di lain pihak,  banyak  permasalahan  dalam  fisika  teoritis  dapat  diselesaikan  melalui  pendekatan  aljabar.  Dalam kesempatan ini, salah satu bukti hubungan antara fisika dan matematika (khususnya aljabar) diberikan. Pada tahun 1967 suatu persamaan fundamental dalam Ilmu fisika ditemukan oleh penerima hadiah Nobel C. N. Yang. Dalam kurun waktu yang sama, persamaan ini juga diklaim ditemukan oleh R. J. Baxter. Oleh sebab itu, persamaan fundamental ini disebut dengan persamaan Yang-Baxter.  Faktanya, persamaan Yang-Baxter ini mempunyai dampak besar dalam perkembangan ilmu pengetahuan, salah satunya adalah dalam Teori Knot. Akan tetapi solusi analitik dari persamaan ini belum ditemukan hingga saat ini. Hal ini memotivasi para  peneliti  untuk  menemukan  solusinya  baik  secara  kualitatif  maupun  kuantitatif.  Beberapa  solusi pendekatan  kualitatif  telah  ditemukan  dengan  menggunakan  pendakatan  struktur  aljabar  yang  disebut dengan brace. Dalam paper ini, deskripsi tentang brace diberikan sebagai suatu perumuman dari radikal Jacobson dari suatu ring. Konstruksi brace dua sisi juga diberikan dalam artikel ini.
Kata Kunci : Grup abelian, brace, persamaan Yang-Baxter, radikal Jacobson.

## Abstract
In  the  development  of  science,  mathematics  and  physics  are  basic  sciences  that  are  used  as  a fundamental  aspect  for  another  branch  of  science.  In  the  development  of  physics,  we  often  found  some notions which motivated some new inventions in Mathematics, especially in algebra. On the other hand, many problems in theoretical physics can be solved by using the algebraic approach. In this chance, one of the proof the relationship between physics and mathematics (especially in algebra) is given. In 1967, a fundamental equation in physics had been found by Nobel laureate C. N Yang. In the same period, this fundamental equation was also claimed by R.J Baxter. Hence, this fundamental equation is called the Yang- Baxter equation. In fact, the Yang-Baxter equation has a significant impact on science, for example, in Knot Theory. However, the analytics solution of the Yang-Baxter equation has not been found until now. This condition  motivates  some  researchers  to  find  the  solution  to  the  Yang-Baxter  equation  via  qualitative research  or  quantitative  research.  Some  qualitative  approach  of  the  Yang-Baxter  equation  solution  has been  developed  by  using  an  approach  type  of  algebraic  structure,  namely,  brace.  In  this  paper,  the description of the brace will be given as a generalization of the Jacobson radical of rings. The construction of two-sided braces is also given in this paper.
Keywords : Abelian group, brace, Yang-Baxter equation, Jacobson radical.

## 1 Pendahuluan
Persamaan Yang-Baxter pertama kali muncul dalam bidang fisika teoritis . Persamaan Yang- Baxter ini ditemukan oleh Fisikawan penerima hadiah Nobel C. N. Yang dalam paper [1]. Selain itu, persamaan Yang-Baxter juga ditemukan dalam [2] dan [3] karya R. J Baxter dengan bidang statistika  mekanik.  Persamaan  Yang-Baxter  ini  merupakan  salah  satu  persamaan  fundamental dalam fisika matematis yang menjadi dasar dalam perkembangan Teori Knot dan perkembangan grup Braid [4]. Ilustrasi Teori Knot dan grup Braid ditunjukkan oleh gambar berikut ini.
Gambar 1 . Ilustrasi Teori Knot (Simpul) [5].
Gambar 2 . Representasi Visual Grup Braid berorder 24 [6].
Contoh grup Braid berorder 24 sendiri adalah grup permutasi 𝑆 4 yang memiliki anggota 4! = 4.3.2.1 = 24 dengan operasi komposisi. Selain itu, dampak adanya persamaan Yang-Baxter juga dapat  ditemukan  dalam  bidang  kuantum  mekanik  [4].  Hal  ini  memotivasi  para  peneliti  untuk mencari solusi dari persamaan Yang-Baxter. Solusi yang diperoleh saat ini terbagi menjadi dua jenis,  yaitu  solusi  dengan  pendekatan  kualitatif,  yaitu  dengan  menggunakan  aksioma-aksioma aljabar dan dengan pendekatan kuantitatif dengan menggunakan solusi numerik [7]. Akan tetapi secara umum, solusi analitiknya masih belum ditemukan hingga saat ini [4]. Beberapa solusi dapat ditemukan  dalam  [8]  dan  [9].  Selain  itu,  Agata  Smoktunowicz  dalam  [10]  dan  [11]  juga memberikan  solusi  alternatif  dari  sudut  pandang  teori  himpunan.  Selanjutnya,  solusi  dengan pendekatan teori himpunan juga diberikan oleh Castelli, et.al dalam papernya [12] dan Matsumoto & Shimizu dalam [13].  Solusi yang diperumum diberikan oleh [14] dengan menggunakan struktur
aljabar  baru  yang  disebut  dengan brace.  Brace pertama  kali  dikenalkan  pada  tahun  2007  oleh Wolfgang Rump dalam papernya [15]. Adapun konsep dan sifat-sifat dasar brace akan dikaji lebih lanjut pada bagian berikutnya. Di lain pihak, solusi numerik dalam bentuk matriks diberikan oleh Smoktunowicz dalam papernya [7].

## 2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kualitatif dengan menggunakan hasil-hasil  penelitian  sebelumnya  melalui  proses literature  study dan library  research .  Adapun langkah-langkah dalam penelitian ini adalah dijelaskan dalam beberapa tahapan berikut ini.

## 2.1. Menelaah Konsep Brace
Sebagai tahap awal dalam penelitian ini, pengetahuan tentang brace merupakan dasar untuk mengembangkan teori-teori baru dalam aljabar abstrak. Adapun langkah-langkah dalam tahapan awal ini adalah memahami definisi brace serta memberikan contoh-contoh brace dari hasil-hasil yang sudah ada.

## 2.2. Menelaah Konsep Dalam Teori Radikal Yang Berkaitan Dengan brace
Adapun topik dalam penelitian ini adalah Teori Radikal. Teori Radikal merupakan salah satu cabang  dalam  aljabar  abstrak  yang  saat  ini  masih  sangat  luas  pengembangannya.  Hal  ini ditunjukkan  dengan  adanya  permasalahan  terbuka  atau open  problem .  Dalam  kesempatan  ini, dasar-dasar Teori Radikal yang dapat digunakan untuk melengkapi hasil yang berkaitan tentang brace adalah radikal Jacobson.
2.3. Konstruksi Hasil
Setelah  menguasai  konsep  tentang brace dan  radikal  Jacobson , maka  langkah  berikutnya adalah  memberikan  syarat  perlu  dan  syarat  cukup  agar  suatu  himpunan  merupakan brace . Selanjutnya,  akan  diberikan  hubungan brace dengan  radikal  yang  lain  seperti  radikal  prima 𝜷 , radikal  Levitzki 𝓛 ,  dan  radikal  nil 𝓝 .  Pada  akhir  bagian  dalam  hasil  penelitian  ini,  diberikan konsep  ring  secara  khusus  yang  merupakan brace .  Adapun  ring  yang  secara  khusus  digunakan dalam hasil penelitian ini merupakan ring himpunan semua bilangan rasional dengan pembilang ( numerator )  berupa  bilangan  genap  dan  penyebut  ( denumerator )  berupa  bilangan  ganjil. Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut
𝑾 = { 𝟐𝒙 𝟐𝒚 + 𝟏 | 𝐠𝐜𝐝(𝟐𝒙, 𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝟏, 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ}.
Matematikawan  yang  pertama  kali  menemukan  ring  ini  adalah  Nathan  Jacobson  yang sekaligus  pertama  kali  menemukan  radikal  Jacobson.  Adapun  hasil  akhir  dalam  penelitian  ini,
ditunjukkan  bahwa  ring 𝑾 = { 𝟐𝒙 𝟐𝒚+𝟏 | 𝐠𝐜𝐝(𝟐𝒙, 𝟐𝒚 + 𝟏) = 𝟏, 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ} yang  ditemukan  oleh Nathan Jacobson merupakan brace .

## 3 Brace
Untuk mempermudah proses penyelidikan diberikan definisi brace kiri, brace kanan, dan brace dua sisi di bawah ini yang ekuivalen dengan definisi brace oleh Rump [15].
Definisi 1 [11] Suatu himpunan tak kosong 𝐴 disebut brace kiri jika operasi biner (+) dan (. ) sedemikian hingga (𝐵, +) merupakan grup abelian dan (𝐵, . ) merupakan grup yang belum tentu komutatif dan memenuhi sifat 𝑎. (𝑏 + 𝑐) + 𝑎 = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 . Didefinisikan dengan  cara  yang  sama,  disebut  brace  kanan  jika (𝑏 + 𝑐). 𝑎 + 𝑎 = 𝑏. 𝑎 + 𝑐. 𝑎 .  Himpunan (𝐵, +, . ) disebut brace dua sisi jika merupakan brace kiri sekaligus brace kanan.
Untuk  memperjelas  definisi  di  atas,  diberikan  teorema  di  bawah  ini  untuk  menunjukkan eksistensi brace kiri.
Teorema 2 [16] Misalkan 𝐴 = ℤ/(2𝑝) dengan 𝑝 adalah bilangan prima. Himpunan 𝐴 membentuk brace kiri yang bukan merupakan brace kanan.
Bukti.
Didefinisikan  produk  atas 𝐴 , 𝑥 1 . 𝑥 2 = 𝑥 1 + (−1) 𝑥 1 𝑥 2 .  Kemudian  dapat  dengan  mudah ditunjukkan bahwa 𝐴 merupakan brace kiri. Sebaliknya perhatkan bahwa (1 + 1). 1 = 2.1 + 1 = 2 + (−1) 2 + 1 = 4 dan 1.1 + 1.1 = 0 + 0 = 0 .  Dengan  demikian  dapat  disimpulkan  bahwa himpunan 𝐴 merupakan brace kiri akan tetapi bukan brace kanan.
Contoh 1 [16] Diberikan grup abelian 𝐴 dan didefinisikan 𝑎. 𝑎 ′ = 𝑎 + 𝑎′ untuk setiap 𝑎, 𝑎 ′ ∈ 𝐴 . Grup abelian 𝐴 dengan operasi biner (. ) membentuk brace dua sisi. Contoh ini merupakan bentuk brace yang trivial.
Eksistensi brace dalam perkembangan ilmu aljabar abstrak khususnya teori ring sangatlah penting.  Penelitian  tentang brace dilanjutkan  oleh  para  peneliti  aljabar  dengan  mengkaji generalisasinya seperti yang  ditunjukkan dalam paper  [14],  [17] dan [18]. Selain itu, hubungan braces dengan struktur grup juga diberikan oleh [19].

## 4 Pengantar Teori Radikal Ring
Dalam bagian ini akan diberikan beberapa definisi fundamental seperti ring prima, ring nil, ring nilpotent, dan ring quasi- beraturan sebagai landasan yang akan digunakan dalam menyelidiki sifat-sifat brace yang berkaitan dengan teori radikal ring.
Definisi  3 [20] Diketahui  ring 𝐴 .  Suatu  elemen 𝑎 ∈ 𝐴 disebut  elemen  nilpotent  jika  terdapat bilangan bulat positif 𝑛 sehingga 𝑎 𝑛 = 0 . Ring 𝐴 disebut ring nil jika setiap elemen dari ring 𝐴 merupakan elemen nilpotent. Di lain pihak, ring 𝐴 disebut ring nilpotent jika terdapat bilangan bulat positif 𝑛 sehingga 𝐴 𝑛 = 0 .
Definisi 4 [20] Suatu ideal 𝑃 dari ring 𝐴 disebut ideal prima jika 𝐼, 𝐽 ideal 𝐴 dengan sifat 𝐼𝐽 ⊆ 𝑃 , maka  berlaku 𝐼 ⊆ 𝑃 atau 𝐽 ⊆ 𝑃 .  Ring 𝐴 disebut  ring  prima  jika {0} merupakan  ideal  prima. Selanjutnya  ring 𝐴 disebut  ring  quasi-beraturan  jika  dengan  operasi  biner (∘) atas 𝐴 yang didefinisikan oleh 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎𝑏 untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 membentuk grup.
Kontribusi  hasil  penelitian  dalam  paper  ini  dalam  perkembangan  Ilmu  Matematika khususnya Aljabar Abstrak yaitu memberikan konstruksi brace dua sisi dari sudut pandang Teori Radikal  Ring.  Sebelum  diberikan  konstruksi brace dua  sisi,  didefinisikan  suatu  operasi  biner ∗ atas himpunan tak kosong 𝐵 sebagai berikut
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎. 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 (1).
Berikut merupakan syarat perlu dan syarat cukup agar suatu himpunan merupakan brace dua sisi.
Teorema  5 [20] Himpunan  tak  kosong (𝐵, +, . ) merupakan  brace  dua sisi  jika dan hanya  jika (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐 untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 .
Bukti.
Jelas dalam [20].
Teorema 5 di atas merupakah salah satu alat yang digunakan untuk menghubungkan antara brace dan radikal Jacobson. Oleh sebab itu pada bagian ini akan diberikan konsep-konsep kelas radikal ring.
Definisi  6 [21] Suatu  kelas  ring 𝛾 disebut  sebagai  kelas  ring  yang  tertutup  terhadap homomorfisma ring jika untuk setiap 𝐴 ∈ 𝛾 , maka 𝐴/𝐼 ∈ 𝛾 untuk setiap ideal 𝐼 dari 𝐴 .
Untuk  memperjelas  eksistensi  kelas  yang  tertutup  terhadap  homomorfisma  perhatikan contoh-contoh berkut ini.
Contoh 2 [21] Perhatikan kelas ring 𝒩 yang terdiri dari semua ring nil. Ingat kembali definisi ring nil. Suatu ring 𝐴 disebut ring nil jika untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴 terdapat bilangan bulat positif 𝑛 sehingga 𝑎 𝑛 = 0 . Perhatikan bahwa setiap peta dari suatu homomorfisma ring dapat direpresentasi sebagai ring faktor 𝐴/𝐼 dengan 𝐼 ideal 𝐴 . Oleh sebab itu, dapat diambil sebarang 𝐼 yang merupakan ideal 𝐴 .  Selanjutnya  diambil  sebarang 𝑎̅ ∈ 𝐴/𝐼 ,  maka 𝑎̅ dapat  direpresentasikan  sebagai 𝑎̅ = 𝑎 + 𝐼 dengan 𝑎 ∈ 𝐴 . Karena 𝐴 merupakan ring nil, maka terdapat bilangan bulat positif 𝑛 sehingga 𝑎 𝑛 = 0 . Selanjutnya, 𝑎̅ 𝑛 = (𝑎 + 𝐼) 𝑛 = 𝑎 𝑛 + 𝐼 = 0 + 𝐼 = 0̅ . Oleh sebab itu, dapat disimpulkan bahwa setiap elemen 𝑎̅ ∈ 𝐴 merupakan elemen nilpotent . Dengan kata lain, dapat disimpulkan bahwa ring faktor 𝐴/𝐼 merupakan ring nil.
Untuk  memperkuat  konsep,  setelah  diberikan  contoh  kelas  ring  yang  bersifat  tertutup terhadap  homomorfisma,  berikut  ini  merupakan  contoh  kelas  ring  yang  tidak  tertutup  terhadap homomorfisma.
Contoh 3 [21] Perhatikan kelas ring 𝜋 yang terdiri dari semua ring prima. Pada contoh berikut akan  ditunjukkan  bahwa  kelas  semua  ring  prima 𝜋 merupakan  kelas  ring  yang  tidak  tertutup terhadap  homomorfisma  dengan counter  example .  Perhatikan  ring 𝑊 = { 2𝑥 2𝑦+1 | gcd(2𝑥, 2𝑦 + 1) = 1, 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ} . Jelas bahwa ring 𝑊 merupakan ring yang elemen-elemennya adalah himpunan bilangan-bilangan dengan numerator genap dan denumetaror ganjil dan ring 𝑊 merupakan ring prima  dengan  ideal-idealnya  membentuk  kondisi  rantai  menurun  ( descending  chain  condition ) dapat direpresentasikan sebagai (2 𝑚 ) dengan 𝑚 ∈ ℕ . Akan tetapi ring faktornya bukan merupakan ring  prima  karena  setiap  ring  faktornya  dapat  direpesentasikan  sebagai (2 𝑚 ) (2 𝑘 ) dengan 𝑚 ≥ 𝑘
sedemikian  sehingga ( (2 𝑚 ) (2 𝑘 ) ) 2 = {0̅} .  Oleh  sebab  itu, (2 𝑚 ) (2 𝑘 ) merupakan  ring nilpotent yang mengakibatkan (2 𝑚 ) (2 𝑘 ) bukan merupakan ring prima. Dengan demikian (2 𝑚 ) (2 𝑘 ) ∉ 𝜋 . Jadi 𝜋 tidak tertutup terhadap homomorfisma.
Definisi 7 [21] Suatu kelas ring 𝛾 disebut sebagai kelas ring yang memiliki sifat induktif jika 𝐼 1 ⊆ ⋯ ⊆ 𝐼 𝜆 ⊆ ⋯ merupakan rantai naik ideal-ideal dari suatu ring 𝐴 dan jika setiap 𝐼 𝜆 ∈ 𝛾 , maka ∪ 𝐼 𝜆 ∈ 𝛾 .
Untuk memperjelas struktur kelas ring yang memiliki sifat induktif dan tidak, perhatikan dua contoh kelas ring sebagai berikut.
Contoh 4 Dapat ditunjukkan bahwa kelas ring 𝒩 yang terdiri dari semua ring nil merupakan kelas ring yang memiliki sifat induktif [21].
Contoh  5 Kelas  ring 𝒩 0 yang  terdiri  dari  semua  ring nilpotent tidak  memiliki  sifat  induktif. Penjelasan dan pembuktikan secara lengkap telah ada dalam [21].
Definisi 8 [21] Suatu kelas ring 𝛾 disebut tertutup terhadap perluasan jika untuk setiap ring 𝐴 sehingga terdapat 𝐼 yang merupakan ideal 𝐴 dengan sifat 𝐼 dan ring faktor 𝐴/𝐼 berada dalam kelas ring 𝛾 , maka 𝐴 juga merupakan anggota 𝛾 .
Definisi  9 [21] Suatu  kelas  ring 𝛾 disebut  kelas  radikal  ring  jika 𝛾 tertutup  terhadap homomorfisma, memiliki sifat induktif dan tertutup terhadap perluasan.
Salah satu contoh kelas radikal adalah kelas semua ring nil 𝒩 yang ditunjukkan oleh [22] pada Lemma 3. Berdasarkan konstruksinya, ada dua jenis konstruksi, yaitu kontruksi radikal atas dan  konstruksi  radikal  bawah.  Dua  kontruksi  kelas  radikal ini  dapat  ditemukan  dalam  [22]  dan [21]. Dari kontruksi tersebut, terdapat radikal atas yang dibangun oleh kelas khusus antara lain radikal prima 𝛽 , radikal Levitzki ℒ , dan radikal Jacobson 𝒥 . Berdasarkan sifatnya, kelas radikal- kelas radikal ini merupakan anggota dari lattice semua kelas radikal supernilpotent . Dalam lattice tersebut, radikal prima 𝛽 merupakan elemen terkecil. Adapun bagian lattice tersebut diilustrasikan oleh gambar di bawah ini.
Gambar 3 . Ilustrasi Hubungan Antara 𝛽, ℒ, 𝒩 dan 𝒥 .
Kelas  radikal  prima 𝛽 termuat  dengan  tegas  dalam  kelas  radikal  Levizki ℒ ,  kelas  radikal levitzki ℒ termuat secara tegas dalam kelas radikal nil 𝒩 dan kelas radikal nil termuat secara tegas dalam kelas radikal Jacobson 𝒥 .  Hal dijelaskan karena adanya contoh berikut ini.
Contoh  6 [21] Misalkan 𝐾 merupakan  lapangan  berhingga  dan 𝐾〈𝑥, 𝑦〉 merupakan  polinomial aljabar  atas 𝐾 dalam 𝑥 dan 𝑦 yang  tidak  berlaku  sifat  komutatif.  Perhatikan  bahwa  himpunan 𝐾〈𝑥, 𝑦〉 merupakan himpunan yang terhitung atau countable maka himpunan ini dapat dinotasikan dengan 𝑅 yang  merupakan  polinomial  dengan  konstanta  nol.  Dengan  mencacah  elemen- elemennya,  maka  elemen 𝑅 dapat  dinotasikan  dengan {𝑢 1 , 𝑢 2 , … } .  Selanjutnya,  misalkan 𝐼 merupakan himpunan tak kosong yang merupakan ideal 𝑅 yang dibangung oleh semua 𝑠 𝑖𝑗 , dengan rincian  elemen 𝑆 𝑖𝑗 dapat  diperoleh  dari  [21].  Lebih  lanjut,  dalam  [21]  ditunjukkan  bahwa  ring faktor 𝑅/𝐼 merupakan  elemen  dari  kelas  radikal  nil 𝒩 tetapi 𝑅/𝐼 bukan  anggota  kelas  radikal Levizki ℒ . Oleh sebab itu 𝒩 ≠ ℒ . Kemudian perhatikan bahwa setiap elemen nilpotent dari suatu ring merupakan elemen quasi- beraturan kiri seperti yang dijelaskan dalam Proposisi 4.4.4 [21]. Akibatnya, setiap ring nil merupakan ring quasi- beraturan. Oleh sebab itu, setiap ring  nil termuat dalam kelas radikal Jacobson 𝒥 . Sebaliknya perhatikan ring 𝒲 yang didefinisikan oleh
𝒲 = { 2𝑥 2𝑦+1 | gcd(𝑥, 𝑦) = 1;  𝑥, 𝑦 ∈ ℤ}. (2).
Perhatikan bahwa ring 𝒲 merupakan salah satu anggota dalam kelas radikal Jacobson seperti yang dijelaskan dalam [21]. Akan tetapi, perhatikan bahwa ring 𝒲 bukanlah ring nil. Dengan demikian 𝒩 ≠ 𝒥 .
Berdasarkan  sifat lattice dari  semua  kelas  radikal  supernilpotent  dan  Contoh  10  yang diberikan di atas dapat disimpulkan bahwa 𝛽 ⊂ ℒ ⊂ 𝒩 ⊂ 𝒥 . Akan tetapi dapat ditemukan ring- ring  tertentu  sehingga  berlaku 𝛽(𝐴) = ℒ(𝐴) = 𝒩(𝐴) = 𝒥(𝐴) .  Dengan  masing-masing 𝛽(𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴) dan 𝒥(𝐴) adalah 𝛽(𝐴) = ∑{𝐼 ideal ring 𝐴|𝐼 ∈ 𝛽} , ℒ(𝐴) = ∑{𝐼 ideal ring 𝐴|𝐼 ∈ ℒ} , 𝒩(𝐴) = ∑{𝐼 ideal ring 𝐴|𝐼 ∈ 𝒩} , dan 𝒥(𝐴) = ∑{𝐼 ideal ring 𝐴|𝐼 ∈ 𝒥} . Oleh sebab itu, untuk sebarang ring 𝐴 berlaku sifat berikut ini,
𝛽(𝐴) ⊆ ℒ(𝐴) ⊆ 𝒩(𝐴) ⊆ 𝒥(𝐴).

## 5 Hasil dan Pembahasan
Pada teorema-teorema berikutnya akan dibahas tentang kaitan antara kelas radikal Jacobson 𝒥 dengan brace yang  telah  diperkenalkan  pada  bagian  sebelumnya.  Sebagai  pendahuluan diberikan teorema sebagai berikut yang merupakan alat hubung antara brace dan radikal Jacobson .
Teorema  10 [1] Misalkan 𝐵 merupakan  himpunan  tak  kosong.  Himpunan 𝐵 yang  dilengkapi dengan  dua  operasi  biner  yaitu (+) dan (. ) merupakan  brace  dua  sisi  jika  dan  hanya  jika (𝐵, +,∗) merupakan ring  Jacobson,  dengan kata lain, 𝐵 ∈ 𝒥 dan operasi biner (∗) merupakan operasi yang didefinisikan pada Persamaan 1.
Bukti.
Diketahui himpunan tak kosong 𝐵 yang dilengkapi dengan dua operasi biner yaitu (+) dan (. ) merupakan brace dua  sisi.  Akan  ditunjukkan  bahwa (𝐵, +,∗) merupakan  ring  Jacobson  yang artinya  berdasarkan  definisi  pembentukkan  kelas  ring Jacobson  harus  ditunjukkan  bahwa (𝐵,∘) membentuk grup dengan (∘) merupakan operasi biner atas 𝐵 yang didefinisikan oleh 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑏 untuk  setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 .    Selanjutnya  diambil  sebarang 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐵 ,  maka  berdasarkan definisi  operasi  biner (∘) diperoleh 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑏 ,  akibatnya 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∘ 𝑏 − 𝑎 − 𝑏 . Selanjutnya perhatian Persamaan 1, maka operasi biner (∘) sama dengan operasi (. ) yang telah didefnisikan pada 𝐵 dengan memandang (𝐵, +, . ) sebagai brace. Oleh sebab itu (𝐵,∘) membentuk grup, sehingga dapat disimpulkan bahwa (𝐵, +,∗) merupakan ring Jacobson.
Sebaliknya  diketahui (𝐵, +,∗) merupakan  ring  Jacobson,  akan  ditunjukkan  bahwa (𝐵, +, . ) membentuk brace dua sisi. Karena (𝐵, +,∗) merupakan ring Jacobson, maka jelas bahwa (𝐵, . ) membentuk grup. Selanjutnya diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐵 , sehingga diperoleh (𝑎 + 𝑏) ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑐 karena (𝐵, +,∗) merupakan  ring  sehingga  berlaku  sifat  distributif. Dengan demikian berdasarkan Teorema 5 dapat disimpulkan bahwa (𝐵, +, . ) membentuk brace dua sisi.
Sebagai akibat dari teorema di atas dan sifat yang dimiliki oleh kelas radikal prima 𝛽 , kelas radikal Levitzki ℒ , kelas radikal nil 𝒩, dan kelas radikal Jacobson 𝒥 dalam lattice semua kelas radikal supernilpotent, diperoleh akibat sebagai berikut.
Teorema 11 Diketahui ring 𝐴 dan himpunan-himpunan berikut 𝛽(𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), 𝒥(𝐴) berturut- turut merupakan radikal prima, Levitzki radikal, radikal nil, dan radikal Jacobson dari ring 𝐴 .
Dapat  ditunjukkan  bahwa 𝛽(𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), dan 𝒥(𝐴) masing-masing  merupakan  brace  dua sisi.
Bukti.
Berdasarkan sifat lattice dari semua radikal supernilpotent diperoleh 𝛽 ⊂ ℒ ⊂ 𝒩 ⊂  𝒥 [2]. Oleh sebab itu untuk sebarang ring 𝐴 berlaku 𝛽(𝐴) ⊆  ℒ(𝐴) ⊆ 𝒩(𝐴) ⊆  𝒥(𝐴) . Dengan masing-masing 𝛽(𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), 𝒥(𝐴) merupakan ideal-ideal terbesar dari ring 𝐴 yang masing-masing termuat dalam  kelas  radikal 𝛽, ℒ, 𝒩, 𝒥 .  Oleh  sebab  itu 𝛽(𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), 𝒥(𝐴) ∈ 𝒥 .  Dengan  demikian (𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), 𝒥(𝐴) masing-masing merupakan ring Jacobson. Jadi berdasarkan Teorema 10, dapat disimpulkan bahwa (𝐴), ℒ(𝐴), 𝒩(𝐴), dan 𝒥(𝐴) masing-masing membentuk brace dua sisi.
Pada  teorema  berikut  akan  dijelaskan  eksistensi  contoh  nyata  dari  suatu brace dua  sisi dengan menggunakan Teorema 10.
Teorema  12 Didefinisikan  himpunan 𝑊 = { 2𝑥 2𝑦+1 | 𝑔𝑐𝑑(2𝑥, 2𝑦 + 1) = 1, 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ} .  Struktur (𝑊, +, . ) merupakan brace dua sisi, dengan 𝑎. 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 × 𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑊 . Bukti.
Berdasarkan Teorema 10, untuk menunjukkan bahwa himpunan
𝑊 = { 2𝑥 2𝑦 + 1 | gcd(2𝑥, 2𝑦 + 1) = 1, 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ},
merupakan brace dua sisi cukup ditunjukkan bahwa 𝑊 merupakan ring Jacobson. Dengan kata lain  akan  ditunjukkan  bahwa (𝑊,∘) membentuk  grup  dengan 𝑎 ∘ 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 + (𝑎 × 𝑏) untuk setiap 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑊 [2]. Untuk membuktikan bahwa (𝑊,∘) merupakan grup, akan dijabarkan dalam empat tahap.
1. Diambil sebarang 𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ 𝑊 , maka 𝑎 1 dan 𝑎 2 dapat direpresentasikan sebagai
𝑎 1 = 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 , 𝑎 2 = 2𝑥 2 2𝑦 2 + 1
dengan gcd(2𝑥 1 , 2𝑦 1 + 1) = gcd(2𝑥 2 , 2𝑦 2 + 1) = 1 .  Selanjutnya  perhatikan  perkalian berikut ini
𝑎 1 ∘ 𝑎 2 = 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 + 2𝑥 2 2𝑦 2 + 1 + ( 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 × 2𝑥 2 2𝑦 2 + 1 ) = 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 + 2𝑥 2 2𝑦 2 + 1 + 4𝑥 1 𝑥 2 (2𝑦 1 + 1)(2𝑦 2 + 1)
= 2𝑥 1 (2𝑦 2 + 1) + 2𝑥 2 (2𝑦 1 + 1) + 4𝑥 1 𝑥 2 (2𝑦 1 + 1)(2𝑦 2 + 1) = 4𝑥 1 𝑦 2 + 2𝑥 1 + 4𝑥 2 𝑦 1 + 2𝑥 2 + 4𝑥 1 𝑥 2 4𝑦 1 𝑦 2 + 2𝑦 1 + 2𝑦 2 + 1 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 = 2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1
Untuk
gcd(2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ), 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1) = 1 Jelas mengakibatkan 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 ∈ 𝑊 .
Untuk
gcd(2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ), 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1) ≠ 1
Misalkan
gcd(2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ), 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1) = 𝑑 Untuk suatu bilangan bulat positif 𝑑 ≠ 1 . Dengan kata lain bilangan rasional
2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1
bukan dalam primitif atau pecahan yang paling sederhana.  Lebih lanjut diperoleh
2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1 = 2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 𝑑 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1 𝑑 .
Dengan memperhatikan bahwa
gcd(2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ), 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1) = 𝑑, maka
2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 𝑑
dan
2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1 𝑑
Masing-masing merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut dengan menggunakan sifat dasar dalam great common divisor yang telah kita pelajari dalam teori bilangan, dipenuhi sifat
gcd ( 2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 𝑑 , 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1 𝑑 ) = 1
Yang menjamin bahwa bilangan rasional
2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1
dapat disederhanakan dalam bentuk pecahan paling sederhana katakan 2(2𝑥 1 𝑦 2 + 𝑥 1 + 2𝑥 2 𝑦 1 + 𝑥 2 + 2𝑥 1 𝑥 2 ) 2(2𝑦 1 𝑦 2 + 𝑦 1 + 𝑦 2 ) + 1 = 𝑚 𝑛
dengan sifat 𝑚 bilangan genap dan 𝑛 bilangan ganjil sedemikian sehingga gcd(𝑚, 𝑛) = 1 . Lebih  lanjut  karena 𝑚 bilangan  genap  dan 𝑛 bilangan  ganjil,  maka 𝑚 dapat direpresentasikan  sebagai 𝑚 = 2𝑚 1 untuk  suatu 𝑚 1 ∈ ℤ dan 𝑛 = 2𝑛 1 + 1 untuk  suatu 𝑛 1 ∈ ℤ .  Hal  ini  juga  mengakibatkan 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 ∈ 𝑊 .  Dengan  demikian  dapat  disimpulkan bahwa operasi biner (∘) atas 𝑊 bersifat tertutup. Untuk memperjelas ilustrasi tahapan 1 perhatikan bahwa bilangan rasional
2 3 , 4 3 ∈ 𝑊
dengan sifat gcd(2,3) = gcd(4,3) = 1 . Lebih lanjut perhatikan
2 3 ∘ 4 3 = 2 3 + 4 3 + ( 2 3 × 4 3 ) = 6 3 + 8 9 = 26 9 ∈ 𝑊
Dilain  pihak  andaikata  ditemui  hasil  operasi ∘ yang  menghasilkan  bilangan  rasional 6 9 .
Meskipun gcd(6,9) = 3 ≠ 1 ,  bilangan  rasional 6 9 juga  merupakan  anggota 𝑊 dengan memperhatikan bahwa
6 9 = 2 3
Dengan sifat gcd(2,3) = 1 .
2. Diambil sebarang 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ∈ 𝑊 , sehingga diperoleh ( 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 ) ∘ 𝑎 3 = (𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎 2 ) ∘ 𝑎 3 = 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + 𝑎 1 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎 3 + 𝑎 2 𝑎 3 + 𝑎 1 𝑎 2 𝑎 3 = 𝑎 1 ∘ (𝑎 2 + 𝑎 3 + 𝑎 2 𝑎 3 ) ( 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 ) ∘ 𝑎 3 = 𝑎 1 ∘ (𝑎 2 ∘ 𝑎 3 ).
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa operasi biner (∘) atas 𝑊 bersifat asosiatif.
3. Perhatikan bahwa terdapat 0 ∈ 𝑊 dengan sifat 𝑎 ∘ 0 = 𝑎 + 0 + 𝑎. 0 = 𝑎 untuk  setiap ∈ 𝑎 ∈ 𝑊 . Jadi 𝑊 memuat elemen identitas.
4. Diambil sebarang 𝑎 1 ∈ 𝑊 , akan ditentukan 𝑎 2 ∈ 𝑊 dengan sifat 𝑎 1 ∘ 𝑎 2 = 0 . Perhatikan 𝑎 1 ∈ 𝑊 , maka
𝑎 1 = 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ,
dengan gcd(2𝑥 1 , 2𝑦 1 + 1) = 1 dan 𝑥 1 , 𝑦 1 ∈ ℤ . Selanjutnya,
𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 1 𝑎 2 = 0,
135
2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 + 𝑎 2 + ( 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ) 𝑎 2 = 0, 𝑎 2 + ( 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ) 𝑎 2 = − 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 , ( 2𝑦 1 + 1 2𝑦 1 + 1 ) 𝑎 2 + ( 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ) 𝑎 2 = − 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 , ( (2𝑦 1 + 1)2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ) 𝑎 2 = − 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 , 𝑎 2 = − 2𝑥 1 2𝑦 1 + 1 ( 2𝑦 1 + 1 (2𝑦 1 + 1)2𝑥 1 ), 𝑎 2 = − 2 ( 2𝑥 1 𝑦 1 + 𝑥 1 (2𝑦 1 + 1)2𝑥 1 ) 2𝑦 1 + 1 ∈ 𝑊.
Berdasarkan empat langkah penjabaran di atas, dapat disimpulkan bahwa (𝑊,∘) merupakan grup. Oleh sebab itu, 𝑊 merupakan ring Jacobson. Kemudian berdasarkan Teorema 10 dan Teorema 11, ring 𝑊 merupakan brace dua sisi.

## 6 Simpulan
Berdasarkan hasil peneliti-peneliti sebelumnya, brace merupakan salah satu struktur dalam aljabar abstrak yang digunakan sebagai alat untuk menentukan solusi dari persamaan Yang-Baxter. Oleh  sebab  itu,  mengkaji  sifat-sifat brace sangat  penting  bagi  perkembangan  Aljabar  Abstrak khsususnya Teori Ring. Berdasarkan sifatnya, brace dibagi menjadi tiga yaitu brace kiri, brace kanan, dan brace dua sisi. Hasil dalam penelitian ini adalah memberikan kontruksi brace dua sisi dari sudut pandang teori radikal ring, yaitu dengan menggunakan konsep ring Jacobson dan radikal Jacobson.

## 7 Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terimakasih  kepada  reviewer  serta  semua  pihak  yang  telah memberikan  masukan  dan  saran  dalam  menyempurnakan  paper  ini.  Penulis  juga  mengucapkan terimakasih  kepada  LPPM  Universitas  Ahmad  Dahlan  atas  kontrak  penelitian  nomor  PD- 120/SP3/LPPM-UAD/2020

## 8 Daftar Pustaka
[1] C. N. Yang, “Some Exact Results For The Many-Body Problem In One Dimension with Repulsive,” Phys. Rev. Lett. , vol. 19, no. 23, pp. 1312–1315, 1967.
[2] R. Baxter, “Partition function of the Eight-Vertex lattice model,” Ann. Phys. (N. Y). , vol. 70, no. 1, pp. 193–228, Mar. 1972.
[3] R. Baxter, Exactly Solved Models in Statistical Mechanics . London, UK: Academic Press, 1982.
[4] F. Nichita, “Introduction to the Yang-Baxter Equation with Open Problems,” axioms , vol. 1, no. 1, pp. 33–37, Apr. 2012.
[5] Wikipedia, “en.wikipedia.org,” Wikimedia Foundation, Inc, 2019. [Online]. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Knot_theory. [Accessed: 26-Feb-2020].
[6] Wikipedia, “en.wikipedia.org,” Wikimedia Foundation, Inc, 2020. [Online]. Available: https://en.wikipedia.org/wiki/Braid_group. [Accessed: 26-Feb-2020].
[7] A. Smoktunowicz and A. Smoktunowicz, “Set-theoretic solutions of the Yang–Baxter equation and new classes of R-matrices,” Linear Algebra Appl. , vol. 546, pp. 86–114, Jun. 2018.
[8] T. Gateva-Ivanova, “A combinatorial approach to the set-theoretic solutions of the Yang- Baxter equation,” J. Math. Phys. , vol. 45, no. 10, pp. 3828–3858, Oct. 2004.
[9] R. Larry A, Lambe dan David E, Introduction to the quantum Yang-Baxter equation and quantum groups: An algebraic approach. In Mathematics and Its Applications 423 . Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1997.
[10]  A. Smoktunowicz, “On Engel groups, nilpotent groups, rings, braces and the Yang-Baxter equation,” Trans. Am. Math. Soc. , vol. 370, no. 9, pp. 6535–6564, Mar. 2018.
[11]  A. Smoktunowicz, “A note on set-theoretic solutions of the Yang–Baxter equation,” J. Algebr. , vol. 500, pp. 3–18, Apr. 2018.
[12]  M. Castelli, F. Catino, and G. Pinto, “About a question of Gateva-Ivanova and Cameron on square-free set-theoretic solutions of the Yang-Baxter equation,” Commun. Algebr. , vol. 48, no. 6, pp. 1–13, Jun. 2020.
[13]  D. K. Matsumoto and K. Shimizu, “Quiver-theoretical approach to dynamical Yang– Baxter maps,” J. Algebr. , vol. 507, pp. 47–80, Aug. 2018.
[14]  F. Cedó, A. Smoktunowicz, and L. Vendramin, “Skew left braces of nilpotent type,” Proc. London Math. Soc. , vol. 118, no. 6, pp. 1367–1392, Jun. 2019.
[15]  W. Rump, “Braces, radical rings, and the quantum Yang-Baxter equation,” J. Algebr. , vol. 307, no. 1, pp. 153–170, Jan. 2007.
[16]  D. B. Pérez, “Study Of The Algebraic Structure Of Left Braces And The Yang-Baxter Equation,” Universitat Autonoma de Barelona, 2016.
[17]  E. Acri and M. Bonatto, “Skew braces of size pq,” Commun. Algebr. , vol. 48, no. 5, pp. 1–
20, May 2020.
[18]  L. Guarnieri and L. Vendramin, “Skew braces and the Yang–Baxter equation,” Math. Comput. , vol. 86, no. 307, pp. 2519–2534, Nov. 2017.
[19]  D. B. Pérez, “Counterexample to a conjecture about braces,” J. Algebr. , vol. 453, pp. 160– 176, May 2016.
[20]  F. Cedó, T. Gateva-Ivanova, and A. Smoktunowicz, “Braces and symmetric groups with special conditions,” J. Pure Appl. Algebr. , vol. 222, no. 12, pp. 3877–3890, Dec. 2018.
[21]  B. J. Gardner and R. Wiegandt, Radical Theory of Rings . New York: Marcel Dekker, Inc, 2004.
[22]  P. W. Prasetyo, S. Wahyuni, I. E. Wijayanti, and H. France-Jackson, “Dari Radikal Ring Ke Radikal Modul (From Radical Of Rings To Radical Of Modules),” Pros. Semin. Nas. Mat. Univ. Jember , 2014.