Vol. 19, No. 2, January 2023, pp. 304-316 DOI: 10.20956/j.v19i2.23263

## The Construction of Armendariz Ring using Formal Triangle Matrix Ring

## Konstruksi Gelanggang Armendariz menggunakan Gelanggang Matriks Segitiga Formal
Aidah Nabilah Anwar 1 *, Amir Kamal Amir 2* , Nurdin 3*
* Program Studi Magister Matematika, FMIPA-Universitas Hasanuddin, Indonesia
Email: aidahnabilahanwar.28@gmail.com 1 , amirkamalamir@yahoo.com 2 , nurdin1701@gmail.com 3
Received: 29  September 2022 ; Accepted: 23 November 2022 ; Published: 5 January 2023

## Abstract
Trinion and Quaternion numbers are one of the hypercomplex numbers which is an extensions of the complex number.  From  Trinion  and  Quaternion  numbers,  a  bimodule  can  be  formed  which  is  an  ordered  pair  of Trinion  and  Quaternion.  Furthermore,  Trinion  number,  Quaternion  number,  and  their  bimodule  can  be formed  into  a 2 × 2 Formal  Triangle  Matrix.  The  Formal  Triangle  Matrix  is  better  known  as  the  Upper Triangle  Matrix.  Since  Trinion  number,  Quaternion  number  and  their  bimodule  are  rings,  then  the  Formal Triangle Matrix can be called as the Formal Triangular Matrix Ring. The purpose of this study is to construct the  Armendariz  Ring  using  the  Formal  Triangular  Matrix  Ring.  The  obtained  results  will  show  that  the Formal  Triangular  Matrix  Rings  are  the 𝜎 -Skew  Armendariz  Ring  and  the 𝜎 -Skew 𝜋 -Armendariz  Ring, where 𝜎 is a Ring Endomorphism and 𝜋 is 𝜎 -derivation.
Keywords : Trinion, Quaternion, Bimodule, Formal Triangular Matrix Ring, Armendariz Ring.

## Abstrak
Bilangan  Trinion  dan  Quaternion  adalah  salah  satu  dari  bilangan hypercomplex yang  merupakan  perluasan dari bilangan complex. Dari bilangan Trinion dan Quaternion dapat terbentuk suatu bimodul yang merupakan pasangan  terurut  dari  Trinion  dan  Quaternion.  Selanjutnya,  bilangan  Trinion,  Quaternion  dan  bimodulnya dikemas kedalam bentuk Matriks Segitiga Formal yang berordo 2 × 2 . Matriks Segitiga Formal lebih dikenal sebagai  Matriks  Segitiga  Atas.  Dikarenakan  bilangan  Trinion,  Quaternion  dan  bimodulnya  merupakan

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
gelanggang,  maka  Matriks  Segitiga  Formal  tersebut  dapat  disebut  Gelanggang  Matriks  Segitiga  Formal. Tujuan  dari  penelitian  ini  ialah  untuk  mengkonstruksi  Gelanggang  Armendariz  menggunakan  Gelanggang Matriks  Segitiga  Formal.  Hasil  yang  akan  diperoleh  menunjukkan  bahwa  Gelanggang  Matriks  Segitiga Formal  merupakan  Gelanggang 𝜎 -Skew  Armendariz  dan  Gelanggang 𝜎 -Skew 𝜋 -Armendariz,  dimana 𝜎 adalah endomorfisma Gelanggang Matriks Segitiga Formal dan 𝜋 adalah 𝜎 derivatif.
Kata  kunci  : Trinion,  Quaternion,  Bimodul,  Gelanggang  Matriks  Segitiga  Formal,  Gelanggang Armendariz

## 1. PENDAHULUAN
Dalam aljabar abstrak, bilangan hypercomplex adalah perluasan dari bilangan complex yang memiliki  lebih  dari  satu  bagian  imajiner.  Bilangan hypercomplex diantaranya  ialah  Trinion  dan Quaternion. Trinion (𝕋) merupakan kombinasi linear dari satu bagian riil dan dua bagian imajiner.
Himpunan bilangan Trinion dapat dituliskan dalam bentuk
𝕋 = {𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋 | 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 ∈ ℝ},
dimana 𝒊 𝟐 = 𝒋, 𝒋 𝟐 = −𝒊, 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 = −1 . Sedangkan, Quaternion ( ℍ) merupakan kombinasi linear dari  satu  bagian  riil  dan  tiga  bagian  imajiner.  Himpunan  bilangan  Quaternion  dapat  dituliskan dalam bentuk
ℍ = {𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌 | 𝑞 0 , 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ∈ ℝ },
dimana 𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒊 𝟐 = 𝒋 𝟐 = 𝒌 𝟐 = −𝟏 .
Untuk  penjelasan lebih  lanjut  mengenai  Trinion  dan Quaternion  dapat  dilihat  pada  [1]  [9]. Dalam  penelitian  ini  akan  ditunjukkan  proses  pengkonstruksian  Gelanggang  Armendariz menggunakan  Gelanggang  Matriks  Segitiga  Formal. Namun,  sebelumnya  perlu diketahui  definisi mengenai  Bimodul,  Gelanggang  Polinomial  Miring  dan  Gelanggang  Armendariz.  Penjelasan definisi berikut dapat dilihat pada [4],[8],[10] dan [11].
Definisi  1.1. Matriks  Segitiga  Formal (𝒯) yang  berordo 2 × 2 juga  dikenal  sebagai  Matriks Segitiga Atas berordo 2 × 2 dengan bentuk sebagai berikut :
𝒯 = {( 𝑎 1 𝑎 2 0 𝑎 3 )| 𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ∈ 𝑅}
dimana 𝑅 adalah suatu gelanggang.
Definisi  1.2. Suatu  gelanggang  polinom  miring 𝑅[𝑥; 𝜎] dengan 𝜎 adalah  endomorfisma Gelanggang 𝑅 disebut  sebagai  gelanggang 𝝈 -  skew  Armendariz jika  dua  polinomial 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓 𝑖 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 , 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑔 𝑗 𝑥 𝑗 𝑚 𝑗=0 ∈ 𝑅[𝑥; 𝜎]\{0} sedemikian  sehingga 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0 ,  maka 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 0 untuk setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 .

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
Definisi  1.3. Misalkan 𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿] adalah  suatu  gelanggang  polinom  mirng  dengan 𝜎 adalah endomorfisma gelanggang dan 𝛿 adalah 𝜎 - derivatif. Gelanggang 𝑅 disebut sebagai Gelanggang 𝝈 - skew 𝝅 -  Armendariz jika  dua  polinomial 𝑓(𝑥) , 𝑔(𝑥) ∈ 𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿]\{0} sedemikian  sehingga 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ∈ 𝑁(𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿]) dimana 𝑁(𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿]) adalah  himpunan  semua  elemen  nilpoten  dari 𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿].
Maka, 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 ∈ 𝑁(𝑅[𝑥; 𝜎, 𝛿]) untuk setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 .

## 2. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diberikan  bimodul  yang  merupakan  pasangan  terurut  dari  gelanggang  Trinion  dan Gelanggang Quaternion sebagai berikut.
Teorema 2.1. Misalkan himpunan 𝑀 adalah kumpulan bimodul yang merupakan pasangan terurut antara dua gelanggang berbeda yaitu Gelanggang Trinion (𝕋) dan Gelanggang Quaternion (ℍ) dengan bentuk sebagai berikut :
𝑀 = {(𝑟, 𝑠) | 𝑟 ∈ 𝕋, 𝑠 ∈ ℍ}
dimana  operasi  pernjumlahan  dan  perkaliannya  mengikut  pada  operasi  penjumlahan  dan perkalian dalam Trinion dan Quaternion. Untuk setiap (𝑟 1 , 𝑠 1 ), (𝑟 2 , 𝑠 2 ) ∈ 𝑀 , maka berlaku :
1. (𝑟 1 , 𝑠 1 ) + (𝑟 2 , 𝑠 2 ) = (𝑟 1 + 𝑟 2 , 𝑠 1 + 𝑠 2 )
2. (𝑟 1 , 𝑠 1 ) ∙ (𝑟 2 , 𝑠 2 ) = (𝑟 1 ∙ 𝑟 2 , 𝑠 1 ∙ 𝑠 2 )
Diberikan  pula  Matriks  Segitiga  Formal  dengan  elemen  di  dalam  matriks  tersebut  berupa Gelanggang  Trinion,  Gelanggang  Quaternion  dan  Bimodulnya  beserta  endomorfismanya  sebagai berikut.
Teorema  2.2. Matriks  segitiga  formal  dengan  elemen  matriks  didalamnya  berupa  gelanggang Trinion,  gelanggang  Quaternion  dan  Bimodulnya  dapat  disebut  sebagai  Gelanggang  Polinom Miring Matriks Segitiga Formal yang berbentuk sebagai berikut :
𝒯 = {( 𝑟 (𝑟, 𝑠) 0 𝑠 )| 𝑟 ∈ 𝕋, (𝑟, 𝑠) ∈ 𝑀, 𝑠 ∈ ℍ}
dimana  aturan  perkaliannya  mengikut  kepada  aturan  perkalian  dari  masing  masing gelanggang.
Teorema  2.3. Misalkan 𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋] adalah  Gelanggang  Polinom  Miring  Matriks  Segitiga  Formal yang berbentuk :
𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋] = ∑ ( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋 , 𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑘 𝑥 𝑘
𝑘 dengan 𝜎 adalah endomorfisma gelanggang, dimana
𝜎 ( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋 , 𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) )

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
= ( (𝑟 0 − 𝑟 2 𝒊 − 𝑟 1 𝒋) (𝑝 0 − 𝑝 2 𝒊 − 𝑝 1 𝒋 , 𝑞 0 − 𝑞 3 𝒊 − 𝑞 2 𝒋 − 𝑞 1 𝒌) 0 (𝑠 0 − 𝑠 3 𝒊 − 𝑠 2 𝒋 − 𝑠 1 𝒌) ).
dan 𝜎 -derivatif  yang  digunakan  bernilai  0.  Maka, 𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋] termasuk  Gelanggang 𝜎 -Skew Armendariz dan Gelanggang 𝜎 -Skew 𝜋 -Armendariz.
Bukti :
Ambil,
𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒯[𝑥; 𝜎]\{0}
Kasus 1
Misalkan, 𝑓(𝑥) = 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 , dimana
𝑓 𝑖 = ( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋 , 𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖
Dan, 𝑔(𝑥) = 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 , dimana
𝑔 𝑗 = ( (𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋 , 𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 (𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) ) 𝑗
untuk setiap 𝒊, 𝒋 = 0 𝑑𝑎𝑛 1 .
Maka, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = (𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥)(𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥)
= 𝑓 0 𝑔 0 + (𝑓 0 𝑔 1 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 )) 𝑥 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) 𝑥 2

## = 0
Dari perkalian f (𝑥)𝑔(𝑥) diperoleh tiga hal, yaitu
1. 𝑓 0 𝑔 0 = 0
2. 𝑓 0 𝑔 1 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 ) = 0
3. 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) = 0
Tiga hal tersebut akan menjadi modal awal dalam penentuan bentuk umum 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) .
1. Akan ditunjukkan 𝑓 0 𝑔 0 = 0
𝑓 0 𝑔 0 = [( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋 , 𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 0 ] [( (𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋 , 𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 (𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) ) 0 ]
Untuk memudahkan perhitungan, maka perkalian matriks diatas akan dipisah berdasarkan elemen matriks.
𝑨 𝟏𝟏 = {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) 0 }{(𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) 0 }
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 = −1, 𝒊 𝟐 = 𝒋, 𝒋 𝟐 = −1 , maka
= (𝑟 0 𝑎 0 − 𝑟 1 𝑎 2 − 𝑟 2 𝑎 1 ) + (𝑟 0 𝑎 1 + 𝑟 1 𝑎 0 − 𝑟 2 𝑎 2 )𝒊 + (𝑟 0 𝑎 2 + 𝑟 1 𝑎 1 + 𝑟 2 𝑎 0 )𝒋 = 0
Atau,

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
(𝑖).          𝑟 0 𝑎 0 − 𝑟 1 𝑎 2 − 𝑟 2 𝑎 1 = 0 (𝑖𝑖).          𝑟 0 𝑎 1 + 𝑟 1 𝑎 0 − 𝑟 2 𝑎 2 = 0 (𝑖𝑖𝑖).        𝑟 0 𝑎 2 + 𝑟 1 𝑎 1 + 𝑟 2 𝑎 0 = 0 } ...........................................  (1)
Berdasarkan Persamaan (1) diperoleh,
𝑎 0 ( 𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 ) + 𝑎 1 ( −𝑟 2 𝑟 0 𝑟 1 ) + 𝑎 2 ( −𝑟 1 −𝑟 2 𝑟 0 ) = 0
Karena diantara 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 ada yang tidak nol, maka vektor-vektor
{( 𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 ) , ( −𝑟 2 𝑟 0 𝑟 1 ) , ( −𝑟 1 −𝑟 2 𝑟 0 )}
tidak bebas linear (bergantung linear). Oleh karena itu,
𝑑𝑒𝑡 ([ 𝑟 0 −𝑟 2 −𝑟 1 𝑟 1 𝑟 0 −𝑟 2 𝑟 2 𝑟 1 𝑟 0 ]) = 0
Atau, 𝑟 0 3 − 𝑟 1 3 + 𝑟 2 3 + 3𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 = 0 ...........................................  (2)
Berdasarkan  Persamaan  (2)  dapat  disimpulkan 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 .  Selanjutnya,  apabila  nilai 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 disubtitusikan  ke  persamaan  (1),  maka  diperoleh −𝑎 0 + 𝑎 1 − 𝑎 2 = 0 sehingga disimpulkan 𝑎 1 = 𝑎 0 + 𝑎 2 .
𝑨 𝟐𝟐 = {(𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) 0 }{(𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) 0 }
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒊 𝟐 = 𝒋 𝟐 = 𝒌 𝟐 = −1 , maka
= (𝑠 0 𝑏 0 − 𝑠 1 𝑏 1 − 𝑠 2 𝑏 2 − 𝑠 3 𝑏 3 ) + (𝑠 0 𝑏 1 + 𝑠 1 𝑏 0 + 𝑠 2 𝑏 3 − 𝑠 3 𝑏 2 )𝒊 + (𝑠 0 𝑏 2 − 𝑠 1 𝑏 3 + 𝑠 2 𝑏 0 + 𝑠 3 𝑏 1 )𝒋 + (𝑠 0 𝑏 3 + 𝑠 1 𝑏 2 − 𝑠 2 𝑏 1 + 𝑠 3 𝑏 0 )𝒌 = 0
Atau,
(𝑖).        𝑠 0 𝑏 0 − 𝑠 1 𝑏 1 − 𝑠 2 𝑏 2 − 𝑠 3 𝑏 3 = 0 (𝑖𝑖).      𝑠 0 𝑏 1 + 𝑠 1 𝑏 0 + 𝑠 2 𝑏 3 − 𝑠 3 𝑏 2 = 0 (𝑖𝑖𝑖).     𝑠 0 𝑏 2 − 𝑠 1 𝑏 3 + 𝑠 2 𝑏 0 + 𝑠 3 𝑏 1 = 0 (𝑖𝑣).     𝑠 0 𝑏 3 + 𝑠 1 𝑏 2 − 𝑠 2 𝑏 1 + 𝑠 3 𝑏 0 = 0 } .................................  (3)
Berdasarkan Persamaan (3) diperoleh,
𝑠 0 ( 𝑏 0 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ) + 𝑠 1 ( −𝑏 1 𝑏 0 −𝑏 3 𝑏 2 ) + 𝑠 2 ( −𝑏 2 𝑏 3 𝑏 0 −𝑏 1 ) + 𝑠 3 ( −𝑏 3 −𝑏 2 𝑏 1 𝑏 0 ) = 0
Karena diantara 𝑠 0 , 𝑠 1 , 𝑠 2 , 𝑠 3 ada yang tidak nol, maka vektor-vektor
{( 𝑏 0 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ) , ( −𝑏 1 𝑏 0 −𝑏 3 𝑏 2 ) , ( −𝑏 2 𝑏 3 𝑏 0 −𝑏 1 ) , ( −𝑏 3 −𝑏 2 𝑏 1 𝑏 0 )}

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
tidak bebas linear (bergantung linear). Oleh karena itu,
𝑑𝑒𝑡 ([ 𝑏 0 −𝑏 1 𝑏 1 𝑏 0 −𝑏 2 −𝑏 3 𝑏 3 −𝑏 2 𝑏 2 −𝑏 3 𝑏 3 𝑏 2 𝑏 0 𝑏 1 −𝑏 1 𝑏 0 ]) = 0
Atau, 𝑏 0 4 − 𝑏 1 4 + 𝑏 2 4 − 𝑏 3 4 + 2𝑏 0 2 𝑏 2 2 − 2𝑏 1 2 𝑏 3 2 = 0 ...........................................  (4)
Berdasarkan Persamaan (4) dapat disimpulkan 𝑏 0 = 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0 dengan 𝑠 0 , 𝑠 1 , 𝑠 2 , 𝑠 3 sebarang.
𝑨 𝟏𝟐 = {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) 0 } {(𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 }
+ {(𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋), (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 }{(𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) 0 }
= {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌)}
+ {(𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌)}
= {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) + (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋)}
, {(𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) + (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌)} = 0
Untuk lebih memudahkan perhitungan, bagian Trinion dan Quaternion akan dipisah.
1. Trinion
= [(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋)] + (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋)
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 = −1, 𝒊 𝟐 = 𝒋, 𝒋 𝟐 = −1 , maka
= (𝑟 0 𝑥 0 − 𝑟 1 𝑥 2 − 𝑟 2 𝑥 1 + 𝑝 0 ) + (𝑟 0 𝑥 1 + 𝑟 1 𝑥 0 − 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑝 1 )𝒊 + (𝑟 0 𝑥 2 + 𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 0 + 𝑝 2 )𝒋
= 0
Atau,
(i). 𝑟 0 𝑥 0 − 𝑟 1 𝑥 2 − 𝑟 2 𝑥 1 = −𝑝 0 .................................  (5)
(ii). 𝑟 0 𝑥 1 + 𝑟 1 𝑥 0 − 𝑟 2 𝑥 2 = −𝑝 1 .................................  (6)
(iii). 𝑟 0 𝑥 2 + 𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 0 = −𝑝 2 .................................  (7)
Pada 𝑨 𝟏𝟏 telah diketahui bahwa 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 , maka
(i). 𝑟 1 (−𝑥 0 + 𝑥 1
− 𝑥 2 ) = −𝑝 0 .................................  (8)
(ii). 𝑟 1 (𝑥 0 − 𝑥 1
+ 𝑥 2 ) = −𝑝 1 .................................  (9)
(iii). 𝑟 1 (−𝑥 0 + 𝑥 1
− 𝑥 2 ) = −𝑝 2 .................................  (10)
Dari  pers.  (8),  pers.  (9)  dan  pers.  (10)  diperoleh 𝑝 0 = −𝑝 1 = 𝑝 2 .  Dimana 𝑝 1 = −𝑟 1 (𝑥 0 − 𝑥 1 + 𝑥 2 ) .  Karena  diketahui 𝑝 0 = −𝑝 1 ,  maka  dari  pers.  (5)  dan  pers.  (6) diperoleh 𝑥 1 = 𝑥 0 + 𝑥 2 sehingga disimpulkan 𝑝 0 = 𝑝 1 = 𝑝 2 = 0 .
2. Quaternion

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
= (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) + [(𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌)]
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒊 𝟐 = 𝒋 𝟐 = 𝒌 𝟐 = −1 , maka
= (𝑞 0 𝑏 0 − 𝑞 1 𝑏 1 − 𝑞 2 𝑏 2 − 𝑞 3 𝑏 3 + 𝑦 0 ) + (𝑞 0 𝑏 1 + 𝑞 1 𝑏 0 + 𝑞 2 𝑏 3 − 𝑞 3 𝑏 2 + 𝑦 1 )𝒊 + (𝑞 0 𝑏 2 − 𝑞 1 𝑏 3 + 𝑞 2 𝑏 0 + 𝑞 3 𝑏 1 + 𝑦 2 )𝒋 + (𝑞 0 𝑏 3 + 𝑞 1 𝑏 2 − 𝑞 2 𝑏 1 + 𝑞 3 𝑏 0 + 𝑦 3 )𝒌 = 0
Atau,
(i). 𝑞 0 𝑏 0 − 𝑞 1 𝑏 1 − 𝑞 2 𝑏 2 − 𝑞 3 𝑏 3 = −𝑦 0
(ii). 𝑞 0 𝑏 1 + 𝑞 1 𝑏 0 + 𝑞 2 𝑏 3 − 𝑞 3 𝑏 2 = −𝑦 1
(iii). 𝑞 0 𝑏 2 − 𝑞 1 𝑏 3 + 𝑞 2 𝑏 0 + 𝑞 3 𝑏 1 = −𝑦 2
(iv). 𝑞 0 𝑏 3 + 𝑞 1 𝑏 2 − 𝑞 2 𝑏 1 + 𝑞 3 𝑏 0 = −𝑦 3
Pada 𝑨 𝟐𝟐 telah  diketahui  bahwa 𝑏 0 = 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0 ,  sehingga  dapat disimpulkan 𝑦 0 = 𝑦 1 = 𝑦 2 = 𝑦 3 = 0 dan 𝑞 0 , 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ≠ 0 .  Selanjutnya,  apabila dituliskan  kembali  kedalam  bentuk  matriks,  maka  matriks 𝑓 0 dan 𝑔 0 adalah  sebagai berikut
𝑓 0 = [( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 0 ] 𝑔 0 = [( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋 (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋 ,0 0 0 ) 0 ]
Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  hasil  perkalian 𝑓 0 𝑔 0 akan  bernilai  0  jika  bentuk matriks 𝑓 0 dan 𝑔 0 seperti diatas.
2. Akan ditunjukkan 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) = 0
𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) = [( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 1 ] 𝜎 [( (𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 (𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) ) 1 ] = [( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 1 ] [( (𝑎 0 − 𝑎 2 𝒊 − 𝑎 1 𝒋) (𝑥 0 − 𝑥 2 𝒊 − 𝑥 1 𝒋) , (𝑦 0 − 𝑦 3 𝒊 − 𝑦 2 𝒋 − 𝑦 1 𝒌) 0 (𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌) ) 1 ]
Untuk memudahkan perhitungan, maka perkalian matriks diatas akan dipisah berdasarkan elemen matriks.
𝑨 𝟏𝟏 = {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) 1 }{(𝑎 0 − 𝑎 2 𝒊 − 𝑎 1 𝒋) 1 }
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 = −1, 𝒊 𝟐 = 𝒋, 𝒋 𝟐 = −1 , maka

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
= (𝑟 0 𝑎 0 + 𝑟 1 𝑎 1 + 𝑟 2 𝑎 2 ) + (𝑟 1 𝑎 0 − 𝑟 0 𝑎 2 +   𝑟 2 𝑎 1 )𝒊 + (𝑟 2 𝑎 0 − 𝑟 0 𝑎 1 − 𝑟 1 𝑎 2 )𝒋 = 0
Atau,
(𝑖).          𝑟 0 𝑎 0 + 𝑟 1 𝑎 1 + 𝑟 2 𝑎 2 = 0 (𝑖𝑖).          𝑟 1 𝑎 0 − 𝑟 0 𝑎 2 +   𝑟 2 𝑎 1 = 0 (𝑖𝑖𝑖).        𝑟 2 𝑎 0 − 𝑟 0 𝑎 1 − 𝑟 1 𝑎 2 = 0 } ...........................................  (11)
Sehingga dari persamaan (1) diperoleh,
𝑎 0 ( 𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 ) + 𝑎 1 ( 𝑟 1 𝑟 2 −𝑟 0 ) + 𝑎 2 ( 𝑟 2 −𝑟 0 −𝑟 1 ) = 0
Karena diantara 𝑎 0 , 𝑎 1 , 𝑎 2 ada yang tidak nol, maka vektor-vektor
{( 𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 ) , ( 𝑟 1 𝑟 2 −𝑟 0 ) , ( 𝑟 2 −𝑟 0 −𝑟 1 )}
tidak bebas linear (bergantung linear). Oleh karena itu,
𝑑𝑒𝑡 ([ 𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 𝑟 1 𝑟 2 −𝑟 0 𝑟 2 −𝑟 0 −𝑟 1 ]) = 0
Atau, 𝑟 0 3 − 𝑟 1 3 + 𝑟 2 3 + 3𝑟 0 𝑟 1 𝑟 2 = 0 ...........................................  (12)
Berdasarkan  Persamaan  (12)  dapat  disimpulkan 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 .  Selanjutnya,  apabila  nilai 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 disubtitusikan  ke  persamaan  (11),  maka  diperoleh −𝑎 0 + 𝑎 1 − 𝑎 2 = 0 sehingga disimpulkan 𝑎 1 = 𝑎 0 + 𝑎 2 .
𝑨 𝟐𝟐 = {(𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) 1 }{(𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌) 1 }
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒊 𝟐 = 𝒋 𝟐 = 𝒌 𝟐 = −1 , maka
= (𝑠 0 𝑏 0 + 𝑠 1 𝑏 3 + 𝑠 2 𝑏 2 + 𝑠 3 𝑏 1 ) + (𝑠 1 𝑏 0 − 𝑠 0 𝑏 3 −   𝑠 2 𝑏 1 + 𝑠 3 𝑏 2 )𝒊 + (𝑠 1 𝑏 1 − 𝑠 0 𝑏 2 + 𝑠 2 𝑏 0 − 𝑠 3 𝑏 3 )𝒋 + (𝑠 3 𝑏 0 − 𝑠 0 𝑏 1 − 𝑠 1 𝑏 2 +   𝑠 2 𝑏 3 )𝒌
= 0
Atau,
(𝑖).        𝑠 0 𝑏 0 + 𝑠 1 𝑏 3 + 𝑠 2 𝑏 2 + 𝑠 3 𝑏 1 = 0 (𝑖𝑖).      𝑠 1 𝑏 0 − 𝑠 0 𝑏 3 − 𝑠 2 𝑏 1 + 𝑠 3 𝑏 2 = 0 (𝑖𝑖𝑖).     𝑠 1 𝑏 1 − 𝑠 0 𝑏 2 + 𝑠 2 𝑏 0 − 𝑠 3 𝑏 3 = 0 (𝑖𝑣).     𝑠 3 𝑏 0 − 𝑠 0 𝑏 1 − 𝑠 1 𝑏 2 + 𝑠 2 𝑏 3 = 0 } .................................  (13)
Sehingga dari persamaan (13) diperoleh,
𝑠 0 ( 𝑏 0 −𝑏 3 −𝑏 2 −𝑏 1 ) + 𝑠 1 ( 𝑏 3 𝑏 0 𝑏 1 −𝑏 2 ) + 𝑠 2 ( 𝑏 2 −𝑏 1 𝑏 0 𝑏 3 ) + 𝑠 3 ( 𝑏 1 𝑏 2 −𝑏 3 𝑏 0 ) = 0.
Karena diantara 𝑠 0 , 𝑠 1 , 𝑠 2 , 𝑠 3 ada yang tidak nol, maka vektor-vektor

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
{( 𝑏 0 −𝑏 3 −𝑏 2 −𝑏 1 ) , ( 𝑏 3 𝑏 0 𝑏 1 −𝑏 2 ) , ( 𝑏 2 −𝑏 1 𝑏 0 𝑏 3 ) , ( 𝑏 1 𝑏 2 −𝑏 3 𝑏 0 )}
tidak bebas linear (bergantung linear). Oleh karena itu,
𝑑𝑒𝑡 ([ 𝑏 0 𝑏 3 −𝑏 3 𝑏 0 𝑏 2 𝑏 1 −𝑏 1 𝑏 2 −𝑏 2 𝑏 1 −𝑏 1 −𝑏 2 𝑏 0 −𝑏 3 𝑏 3 𝑏 0 ]) = 0
Atau, 𝑏 0 4 − 𝑏 1 4 + 𝑏 2 4 − 𝑏 3 4 + 2𝑏 0 2 𝑏 2 2 − 2𝑏 1 2 𝑏 3 2 = 0 ...........................................  (14) Berdasarkan  Persamaan  (14)  dapat  disimpulkan 𝑏 0 = 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0 dengan 𝑠 0 , 𝑠 1 , 𝑠 2 , 𝑠 3 sebarang.
𝑨 𝟏𝟐 = {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) 1 } {(𝑥 0 − 𝑥 2 𝒊 − 𝑥 1 𝒋) , (𝑦 0 − 𝑦 3 𝒊 − 𝑦 2 𝒋 − 𝑦 1 𝒌) 1 }
+ {(𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋), (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 𝟏 }{(𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌) 1 }
= {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 − 𝑥 2 𝒊 − 𝑥 1 𝒋) , (𝑦 0 − 𝑦 3 𝒊 − 𝑦 2 𝒋 − 𝑦 1 𝒌)}
+ {(𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌)}
= {(𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 − 𝑥 2 𝒊 − 𝑥 1 𝒋) + (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋)}
, {(𝑦 0 − 𝑦 3 𝒊 − 𝑦 2 𝒋 − 𝑦 1 𝒌) + (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌)} = 0
Untuk lebih memudahkan perhitungan, bagian Trinion dan Quaternion akan dipisah sementara.
1. Trinion
= (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋)(𝑥 0 − 𝑥 2 𝒊 − 𝑥 1 𝒋) + (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋)
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒋𝒊 = −1, 𝒊 𝟐 = 𝒋, 𝒋 𝟐 = −1 , maka = (𝑟 0 𝑥 0 + 𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 2 + 𝑝 0 ) + (𝑟 1 𝑥 0 − 𝑟 0 𝑥 2 + 𝑟 2 𝑥 1 + 𝑝 1 )𝒊 + (𝑟 2 𝑥 0 − 𝑟 0 𝑥 1 − 𝑟 1 𝑥 2 + 𝑝 2 )𝒋
= 0
Atau,
(i). 𝑟 0 𝑥 0 + 𝑟 1 𝑥 1 + 𝑟 2 𝑥 2 = −𝑝 0 .................................  (15) (ii). 𝑟 1 𝑥 0 − 𝑟 0 𝑥 2 + 𝑟 2 𝑥 1 = −𝑝 1 .................................  (16)
(iii). 𝑟 2 𝑥 0 − 𝑟 0 𝑥 1
− 𝑟 1 𝑥 2 = −𝑝 2 .................................  (17)
Pada 𝑨 𝟏𝟏 telah diketahui bahwa 𝑟 0 = −𝑟 1 = 𝑟 2 , maka
(i). 𝑟 1 (−𝑥 0 + 𝑥 1
− 𝑥 2 ) = −𝑝 0 .................................  (18)
(ii). 𝑟 1 (𝑥 0 − 𝑥 1
+ 𝑥 2 ) = −𝑝 1 .................................  (19)
(iii). 𝑟 1 (−𝑥 0 + 𝑥 1 − 𝑥 2 ) = −𝑝 2 .................................  (20)

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
Dari  pers.  (18),  pers.  (19)  dan  pers.  (20)  diperoleh 𝑝 0 = −𝑝 1 = 𝑝 2 .  Dimana 𝑝 1 = −𝑟 1 (𝑥 0 − 𝑥 1 + 𝑥 2 ) .  Karena  diketahui 𝑝 0 = −𝑝 1 ,  maka  dari  pers.  (15)  dan  pers.  (16) diperoleh 𝑥 1 = 𝑥 0 + 𝑥 2 sehingga disimpulkan 𝑝 0 = 𝑝 1 = 𝑝 2 = 0 .
2. Quaternion
= (𝑦 0 − 𝑦 3 𝒊 − 𝑦 2 𝒋 − 𝑦 1 𝒌) + (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌)(𝑏 0 − 𝑏 3 𝒊 − 𝑏 2 𝒋 − 𝑏 1 𝒌)
Karena diketahui bahwa 𝒊𝒋 = 𝒌, 𝒋𝒌 = 𝒊, 𝒌𝒊 = 𝒋, 𝒊 𝟐 = 𝒋 𝟐 = 𝒌 𝟐 = −1 , maka
= (𝑞 0 𝑏 0 + 𝑞 1 𝑏 3 + 𝑞 2 𝑏 2 + 𝑞 3 𝑏 1 + 𝑦 0 ) + (𝑞 1 𝑏 0 − 𝑞 0 𝑏 3 − 𝑞 2 𝑏 1 + 𝑞 3 𝑏 2 + 𝑦 1 )𝒊 + (𝑞 1 𝑏 1 − 𝑞 0 𝑏 2 + 𝑞 2 𝑏 0 − 𝑞 3 𝑏 3 + 𝑦 2 )𝒋 + (𝑞 2 𝑏 3 − 𝑞 0 𝑏 1 − 𝑞 1 𝑏 2 + 𝑞 3 𝑏 0 + 𝑦 3 )𝒌 = 0
Atau,
(i). 𝑞 0 𝑏 0 + 𝑞 1 𝑏 3 + 𝑞 2 𝑏 2 + 𝑞 3 𝑏 1 = −𝑦 0
(ii). 𝑞 1 𝑏 0 − 𝑞 0 𝑏 3 − 𝑞 2 𝑏 1 + 𝑞 3 𝑏 2 = −𝑦 1
(iii). 𝑞 1 𝑏 1 − 𝑞 0 𝑏 2 + 𝑞 2 𝑏 0 − 𝑞 3 𝑏 3 = −𝑦 2
(iv). 𝑞 2 𝑏 3 − 𝑞 0 𝑏 1 − 𝑞 1 𝑏 2 + 𝑞 3 𝑏 0 = −𝑦 3
Pada 𝑨 𝟐𝟐 telah diketahui bahwa 𝑏 0 = 𝑏 1 = 𝑏 2 = 𝑏 3 = 0 , sehingga dapat disimpulkan 𝑦 0 = 𝑦 1 = 𝑦 2 = 𝑦 3 = 0 dan 𝑞 0 , 𝑞 1 , 𝑞 2 , 𝑞 3 ≠ 0 .  Selanjutnya,  apabila  dituliskan  kembali kedalam bentuk matriks, maka matriks 𝑓 1 dan 𝑔 1 adalah sebagai berikut
𝑓 1 = [( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 1 ] 𝑔 1 = [( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋 (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋 ,0 0 0 ) 1 ]
Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  hasil  perkalian 𝑓 1 𝑔 1 akan  bernilai  0  jika  bentuk matriks 𝑓 1 dan 𝑔 1 seperti diatas.
Dapat dilihat bahwa matriks 𝑓 0 dan 𝑓 1 mempunyai bentuk yang sama. Begitu pula dengan 𝑔 0 dan 𝑔 1 yang  mempunyai  bentuk  yang  sama.  Maka  dapat  disimpulkan  bahwa  modal  kedua yang  merupakan perkalian 𝑓 0 𝑔 1 dan 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 ) juga bernilai 0. Sehingga untuk 𝑓(𝑥) = 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 dan 𝑔(𝑥) = 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 mempunyai bentuk umum 𝑓 𝑖 dan 𝑔 𝑖 dengan 𝑖 = 0,1 sebagai berikut.
𝑓 𝑖 = [( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖 ] 𝑔 𝑖 = [( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋 (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋 ,0 0 0 ) 𝑖 ]
Kasus 2
Misalkan, 𝑓(𝑥) = 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 2 , dimana

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
𝑓 𝑖 = ( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖
dan, 𝑔(𝑥) = 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + 𝑔 2 𝑥 2 , dimana
𝑔 𝑗 = ( (𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 (𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) ) 𝑗
untuk setiap 𝒊, 𝒋 = 0 ,1, 𝑑𝑎𝑛 2 .
Maka,
𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)    = (𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 2 )(𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + 𝑔 2 𝑥 2 ) = 𝑓 0 𝑔 0 + 𝑓 0 𝑔 1 𝑥 + 𝑓 0 𝑔 2 𝑥 2 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 ) 𝑥 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) 𝑥 2 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 2 ) 𝑥 3 + 𝑓 2 𝑔 0 𝑥 2 + 𝑓 2 𝑔 1 𝑥 3 + 𝑓 2 𝑔 2 𝑥 4 = 𝑓 0 𝑔 0 + (𝑓 0 𝑔 1 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 ))𝑥 + (𝑓 0 𝑔 2 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) + 𝑓 2 𝑔 0 )𝑥 2 + ( 𝑓 1 𝜎(𝑔 2 ) + 𝑓 2 𝑔 1 )𝑥 3 + 𝑓 2 𝑔 2 𝑥 4
= 0.
Dari perkalian 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) diperoleh lima modal, yaitu
1. 𝑓 0 𝑔 0 = 0
2. 𝑓 0 𝑔 1 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 0 ) = 0
3. 𝑓 0 𝑔 2 + 𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) + 𝑓 2 𝑔 0 = 0
4. 𝑓 1 𝜎(𝑔 2 ) + 𝑓 2 𝑔 1 = 0
5. 𝑓 2 𝑔 2 = 0
Berdasar  pada Kasus  1 diatas,  maka  dari  modal  pertama  dan  modal  kelima  dapat disimpulkan  bahwa  bentuk  dari 𝑓 0 dan 𝑓 2 sama.  Begitu  pula  dengan  bentuk  dari 𝑔 0 dan 𝑔 2 . Maka pada modal ketiga yang merupakan perkalian antara 𝑓 0 𝑔 2 dan 𝑓 2 𝑔 0 juga akan bernilai 0. Sehingga, dari modal ketiga diperoleh
𝑓 1 𝜎(𝑔 1 ) = 0.
Kembali berdasar pada Kasus 1 , maka nilai dari 𝑓 1 dan 𝑔 1 adalah
𝑓 1 = [( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 1 ] 𝑔 1 = [( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋 (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋 ,0 0 0 ) 1 ].
Dapat  dilihat  bahwa 𝑓 0 , 𝑓 1 , 𝑓 2 mempunyai  bentuk  matriks  yang  sama.  Begitu  pula dengan 𝑔 0 , 𝑔 1 , 𝑔 2 yang  mempuyai  bentuk  matriks  yang  sama.  Sehingga  untuk 𝑓(𝑥) = 𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 + 𝑓 2 𝑥 2 dan 𝑔(𝑥) = 𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + 𝑔 2 𝑥 2 mempunyai bentuk umum 𝑓 𝑖 dan 𝑔 𝑖 dengan 𝑖 = 0,1 ,2 sebagai berikut.
𝑓 𝑖 = [( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖 ]

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
𝑔 𝑖 = [( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋 (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋 ,0 0 0 ) 𝑖 ]. Kasus 3
Misalkan, 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑓 𝑛 𝑥 𝑛 𝑛 𝑖=0 , dimana
𝑓 𝑖 = ( (𝑟 0 + 𝑟 1 𝒊 + 𝑟 2 𝒋) (𝑝 0 + 𝑝 1 𝒊 + 𝑝 2 𝒋) , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖
Dan, 𝑔(𝑥) = ∑ 𝑔 𝑚 𝑥 𝑚 𝑚 𝑗=0 , dimana
𝑔 𝑗 = ( (𝑎 0 + 𝑎 1 𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + 𝑥 1 𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , (𝑦 0 + 𝑦 1 𝒊 + 𝑦 2 𝒋 + 𝑦 3 𝒌) 0 (𝑏 0 + 𝑏 1 𝒊 + 𝑏 2 𝒋 + 𝑏 3 𝒌) ) 𝑗
untuk setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 .
Maka, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)   = (𝑓 0 + 𝑓 1 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑛 𝑥 𝑛 )(𝑔 0 + 𝑔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑔 𝑚 𝑥 𝑚 )
= 𝑓 0 𝑔 0 + 𝑓 0 𝑔 1 𝑥 + ⋯ + 𝑓 𝑛 𝑔 𝑚 𝑥 𝑛+𝑚

## = 0
Dari  perkalian 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ,  diperoleh  sebanyak 𝑛 + 𝑚 + 1 modal.  Masing-masing  modal memiliki jumlahan index yang berbeda dan berada pada interval 0 ≤ 𝑖 + 𝑗 ≤ 𝑛 + 𝑚 .
Karena gelanggang matriks segitiga formal merupakan gelanggang polinom miring, maka : 1. Untuk 𝑖 ganjil, perkalian antara 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 menjadi 𝑓 𝑖 𝜎(𝑔 𝑗 ) .
2. Untuk 𝑖 genap, perkalian antara 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 tetap.
Maka  dari  ketiga  kasus  diatas  dapat  disimpulkan  bahwa  untuk  setiap 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒯[𝑥; 𝜎]\{0} dengan
𝑓(𝑥) = ∑ ( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖 𝑛 𝑖=0 𝑥 𝑖
𝑔(𝑥) = ∑ ( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , 0
0 0 ) 𝑗 𝑚
𝑗=0 𝑥 𝑗
sedemikian  sehingga 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0 ,  maka 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 0 ,  untuk  setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 . Maka Gelanggang Matriks Segitiga Formal merupakan Gelanggang 𝝈 -Skew Armendariz.
Selanjutnya,  karena 𝒯[𝑥; 𝜎] hanya  memiliki  satu  elemen  nilpoten  yaitu  0,  maka  untuk setiap 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒯[𝑥; 𝜎]\{0} sedemikian  sehingga 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0 ∈ 𝑁(𝒯[𝑥; 𝜎]) ,  maka 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 0 ∈ 𝑁(𝒯[𝑥; 𝜎]) untuk setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 . Sehingga, Gelanggang Matriks Segtiga Formal merupakan Gelanggang 𝝈 -Skew 𝝅 -Armendariz.

## 3. KESIMPULAN
Gelanggang  Matriks  Segitiga  Formal 𝒯[𝑥; 𝜎] merupakan  Gelanggang 𝜎 -Skew Armendariz karena terdapat dua polinomial 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒯[𝑥; 𝜎]\{0} dimana,

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI
Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
𝑓(𝑥) = ∑ ( (𝑟 0 − 𝑟 0 𝒊 + 𝑟 0 𝒋) 0 , (𝑞 0 + 𝑞 1 𝒊 + 𝑞 2 𝒋 + 𝑞 3 𝒌) 0 (𝑠 0 + 𝑠 1 𝒊 + 𝑠 2 𝒋 + 𝑠 3 𝒌) ) 𝑖 𝑛 𝑖=0 𝑥 𝑖
𝑔(𝑥) = ∑ ( (𝑎 0 + (𝑎 0 + 𝑎 2 )𝒊 + 𝑎 2 𝒋) (𝑥 0 + (𝑥 0 + 𝑥 2 )𝒊 + 𝑥 2 𝒋) , 0 0
0 ) 𝑗 𝑚
𝑗=0
𝑥 𝑗
sedemikian  sehingga, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0 ,  maka 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 0 .  Gelanggang  Matriks  Segitiga  Formal 𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋] dengan 𝜋 = 0 juga  merupakan  Gelanggang 𝜎 -Skew 𝜋 -Armendariz  karena  memiliki satu  elemen  nilpoten  yaitu  0.  Maka,  terdapat  dua  polinomial 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋]\{0} sedemikian  sehingga, 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 0 ∈ 𝑁(𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋]) ,  maka 𝑓 𝑖 𝑔 𝑗 = 0 ∈ 𝑁(𝒯[𝑥; 𝜎, 𝜋]) untuk setiap 0 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 dan 0 ≤ 𝑗 ≤ 𝑚 .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Amir  Kamal  Amir,  N.  E.  M.  B.  A.  N.  A.,  2020.  Center  of  The  Skew  Polynomial  Ring Over Trinion Matrix. Far East Journal of Mathematical Sciences (FJMS), Volume 127, pp. 29-40.
[2] Anwar, A. N., 2020. Karakteristik Polinom yang Komutatif dengan Setiap Polinom dalam Gelanggang Polinom Miring dengan Gelanggang Tumpuan Trinion.
[3] Areej M. Abduldaim, S. C., 2013. ∝ -skew π-McCoy Rings. Hindawi, p. Volume 2013.
[4] Armendariz, E., 1973. A note on Extensions of Baer and p.p.-rings,. J. Austral Math Soc.
[5] Chebotar, M., 2018. On Skew Laurent Polynomial over Locally Nilpotent Rings. Linear Algebra and Its Applications, pp. 287-290.
[6] Ghahramani,  H.,  2011.  Skew  Polynomial  Rings  of  Formal  Triangular  Matrix  Rings. Journal of Algebra, pp. 349 (2012) 201-216.
[7] Hardy,  K.,  2005. Linear  Algebra  For  Endgineers  and  Scientists  Using  Matlab. New Jersey: Pearson Education, Inc.
[8] Howard Anton, C. R., 2011. Elementary Linear Algebra with Supplemental Applications .
[9] McCoy, N. H., 1942. Remarks on Divisors of Zero. Amer Math Monthly.
[10] Mulkiah, 2016. Matriks Representasi Quaternion dan Trinion. Makassar.
[11] Sims,  C.  C.,  1984. Abstract  Algebra  A  Computational  Approach. Canada:  Library  of Congress Cataloging.
[12] Sri  Wahyuni,  Y.  A.  N.,  t.thn.  Sifat-Sifat  Pengembangan  Ring  Armendariz  dan  Ring McCoy. Jurnal Matematika UNAND, pp. Vol.3 No.3 Hal.1-8.
[13] Yuwaningsih,  D.  A.,  2020.  Hasil  Tambah  Langsung  Suatu  (R,S)  Modul. Journal  of Fundamental Mathematics and Applications, p. Vol 3 No.2.

## JURNAL MATEMATIKA, STATISTIKA DAN KOMPUTASI

## Aidah Nabilah Anwar, Amir Kamal Amir, Nurdin
[14] Zhang,  X.,  2018.  Power-Serieswise  McCoy  Modules. Mathematical  Problems  in Engineering.