Vol. 13, No. 1,  78-84,  Juli  2016
Ortogonalitas- P di Ruang Norm-2
Muh. Nur 

## Abstrak
Pada tulisan ini, akan dipelajari ortogonalitas di ruang hasil kali dalam dan ortogonalitas- P di ruang norm- . Setelah itu, menunjukkan bahwa ortogonalitas- P hanya memenuhi empat sifat yaitu  nondegenerasi,  simetri,  kontinuitas,  dan  resolvabilitas.  Terakhir,    ditunjukkan  bahwa ruang  norm- merupakan  ruang  hasil  kali  dalam- jika  ortogonalitas- P memenuhi  sifat homogenitas.
Kata kunci: Ruang norm- , ruang hasil kali dalam- , ortogonalitas-P.

## Abstract
In this article, we will study an ortogonality in an inner product and a P -orthogonality in a - normed space.  We then show that every the P -orthogonality only satisfy the four properties of nondegeneracy, symmetry, continuity, and resolvability. Finally, it is shown that the -normed space is the -inner product if P -orthogonality satisfying property of homogenity.
Keywords: -Normed space, -inner product space, P -orthogonality .

## 1. Pendahuluan
Salah  satu  konsep  penting  di  ruang  vektor  adalah  ortogonalitas  antara  dua  vektor.  Sisi penting dari ortogonalitas ini dapat dilihat dari kaitannya dengan konsep proyeksi,ortonormalitas serta  aproksimasi  di  ruang  vektor.    Di  ruang  hasilkali  dalam (   〈   〉) dua  vektor dan dikatakan ortogonal ,  ditulis jika  dan  hanya  jika 〈    〉 Beberapa  sifat  dasar ortogonalitas di ruang hasil kali dalam (   〈   〉) adalah:
1. Nondegenerasi , jika maka . 2. Simetri , jika maka . 3. Homogenitas, Jika maka untuk setiap skalar. 4. Aditif kanan , jika dan maka . 5. Resolvabilitas, Untuk  setiap
terdapat  skalar sedemikian  sehingga ( ) .
6. Kontinuitas, Jika (dalam norm) dan untuk setiap maka .
Telah  diketahui  bahwa  pada  suatu  ruang  norm (   ‖   ‖) dikenal  konsep  ortogonalitas antara dua buah vektor. Diantaranya yang cukup terkenal yang adalah sebagai berikut:
a. Ortogonalitas- P (Phytagorean):
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10 Makassar,  nur_math@yahoo.com
Muh. Nur
jika dan hanya jika ‖ ‖ ‖ ‖ ‖     ‖
b. Ortogonalitas- I (Isoceles):
jika dan hanya jika ‖     ‖   ‖     ‖
c. Ortogonalitas- BJ (Birkhoff-James):
jika dan hanya jika ‖ ‖   ‖      ‖ untuk setiap .
Catat bahwa di ruang hasilkali dalam, ortogonalitas- P , ortogonalitas- I dan ortogonalitas- BJ ekuivalen dengan  ortogonalitas biasa (lebih jauh lihat [3]). Adapun dalam ruang norm ketiga ortogonalitas di atas secara umum tidak ekuivalen di samping juga tidak semua sifat-sifat ortogonalitas  pada  ruang  hasil  kali  dalam  dipenuhi  oleh  ketiga  ortogonalitas  diatas.  Untuk ortogonalitas- P hanya memenuhi sifat nondegenerasi, simetri, kontinuitas, dan resolvabilitas pada ruang hasil kali dalam, lihat [3,5]. Adapun sifat homogenitas dan aditif kanan diperlihatkan dari contoh berikut ini:
Contoh 1. Ortogonalitas- P tidak memenuhi sifat homogenitas dan aditif kanan. Di , ambil (         ) dan (           ) , maka
tetapi tidak ortogonal- P ke .
Dalam  tulisan  ini  kita  pertama  memperkenalkan  konsep  ruang  norm- ,  ruang  hasil  kali dalam- serta  membahas  beberapa  ortogonalitas  dalam  ruang  norm- .  Setelah  itu  dikhususkan dibahas  mengenai  ortogonalitas-P  beserta  sifat-sifat  yang  berlaku  didalamnya.  Terakhir  dibahas mngenai sifat homogenitas di ruang norm-2 sehingga menghasilkan ruang hasil kali dalam-2.

## 2. Pembahasan
2.1 Ruang Norm- dan Ruang Hasil Kali Dalam-
Misalkan adalah ruang vektor real berdimensi dimana . Suatu fungsi bernilai real  yang  didefinisikan  sebagai  suatu    pemetaan ‖   ‖ ,  sehingga  untuk  setiap memenuhi sifat dibawah ini:
1. ‖    ‖ 0 jika dan hanya jika bergantung linear;
2. ‖    ‖ ‖    ‖ ;
3. ‖     ‖ | |‖    ‖ untuk setiap
;
4. ‖        ‖ ‖    ‖     ‖    ‖ , disebut sebagai norm- di .
Pasangan (   ‖   ‖) disebut suatu ruang norm- .
Sebagai  contoh adalah    ruang  vektor  real  berdimensi dimana .  Definisikan
fungsi ‖   ‖ di sebagai berikut:
‖    ‖   [    ( 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉 )] (1)
merupakan  norm- pada dan  disebut  norm- standar  (lihat  [6]).  Secara  geometris,  diketahui bahwa ‖ ‖   〈    〉 merupakan  panjang  vektor .  Sedangkan  pada  Persamaan  (1)  diperoleh
‖    ‖   *‖ ‖ ‖ ‖ 〈    〉 + yang  mempresentasikan  luas  jajaran  genjang  yang  direntang oleh dan di . Dengan menggunakan sifat 1-4 dari definisi norm- diatas serta
‖    ‖     ‖   (      )     ‖ ( )
maka perhatikan proposisi berikut.
Proposisi 1. Jika (   ‖     ‖) adalah ruang norm- maka
1. ‖    ‖ untuk setiap
2. ‖    ‖   ‖         ‖ untuk setiap dan
.
Pada  konsep  ortogonalitas  di  ruang  norm  terinspirasi  di  ruang  hasil  kali  dalam.  Begitu juga konsep atau notasi ortogonalitas di ruang norm- tidak terlepas dari ruang hasil kali dalam- . Suatu ruang hasil kali dalam-2 merupakan ruang vektor real yang dilengkapi dengan suatu hasil kali dalam-2 ⟨    |  ⟩ dimana memenuhi sifat dibawah ini:
1. ⟨    | ⟩ , ⟨    | ⟩ jika  dan  hanya  jika bergantung  linear  untuk  setiap
; 2. ⟨    | ⟩ ⟨    | ⟩ untuk setiap ; 3. ⟨    | ⟩ ⟨    | ⟩ untuk setiap
4. ⟨     | ⟩ ⟨    | ⟩ untuk setiap dan ; 5. ⟨         | ⟩ ⟨    | ⟩     ⟨     | ⟩ untuk setiap . Sebagai  contoh adalah    ruang  vektor  real  berdimensi dimana .  Definisikan
fungsi ⟨    |  ⟩ di sebagai berikut:
⟨    | ⟩       ( 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉 ) (3)
merupakan hasil kali dalam- pada dan disebut hasil kali dalam- standar. Adapun hubungan antara ruang norm- dan ruang hasil kali dalam- adalah sebagai berikut.
Proposisi 2. Jika  suatu  norm - diperoleh  dari  hasil  kali  dalam -
untuk  setiap berlaku
hukum jajaran genjang, yakni ‖        ‖ ‖        ‖ (‖    ‖ ‖    ‖ ) .
Bukti:
Diketahui bahwa ‖        ‖ ⟨            | ⟩ dan ‖        ‖ ⟨            | ⟩ .
Dengan menjumlahkan dan menggunakan sifat-sifat hasil kali dalam- diperoleh kesamaan yang diinginkan. �
Untuk  lebih  jauh  mengetahui  tentang  ruang  norm- dan  ruang  hasil  kali  dalam- lihat [1,2,6].

## 2.2 Ortogonalitas di Ruang Norm-
Sebagaimana  halnya  diruang  norm,  di  ruang  norm- juga  dikenal  berbagai    rumusan ortogonalitas  antara  dua  buah  vektor.  Adapun  beberapa  ortogonalitas  pada  ruang  norm- yang dirumuskan oleh Khan dan Siddiqui sebagai berikut:
jika dan hanya jika ‖    ‖ ‖    ‖ ‖        ‖ untuk setiap jika dan hanya jika ‖        ‖   ‖        ‖ untuk setiap
Muh. Nur
jika dan hanya jika ‖    ‖   ‖         ‖ untuk setiap
Kemudian  Gunawan  dkk.  (lihat  [4])  memperbaiki  kekurangan  yang  dirumuskan  oleh Khan dan Siddiqui sebagai berikut:
jika dan hanya jika terdapat subruang
dengan ( ) sehingga ‖    ‖ ‖    ‖ ‖        ‖ untuk setiap
jika  dan  hanya  jika  terdapat  subruang dengan ( ) sehingga ‖        ‖   ‖        ‖ untuk setiap jika dan hanya jika terdapat subruang dengan ( ) sehingga
‖    ‖   ‖         ‖ untuk setiap
2.3 Ortogonalitas- P di Ruang Norm-
Sesuai  dengan  definisi  yang  dirumuskan  oleh  Gunawan  dkk.  [4],  ortogonalitas- P didefinisikan sebagai berikut.

## Definisi 1.
Misalkan (   ‖   ‖) adalah ruang norm- . Untuk setiap , dikatakan ortogonalitas-P ke
( ) jika  dan  hanya  jika  terdapat  subruang dengan ( ) sedemikian sehingga ‖    ‖ ‖    ‖ ‖        ‖ untuk setiap .
Di  dalam  kasus  standar,  teorema  berikut  menjamin  definisi  di  atas  ternyata  ekuivalen dengan definisi ortogonalitas di ruang hasil kali dalam.
Teorema 1. (Ekuivalensi Ortogonalitas- P ).
Pada ruang hasil kali dalam- standar, ortogonal-P ke- jika dan hanya jika 〈    〉 atau .
Bukti: Diketahui ortogonal-P ke- artinya ‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ sehingga diperoleh
| 〈            〉 〈        〉 〈        〉 〈    〉 |   | 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉 |   | 〈    〉 〈    〉 〈    〉 〈    〉 | ( )
Akibatnya   diperoleh    2 〈    〉 = 0 dengan kata lain 〈    〉 = 0. Sebaliknya misalkan 〈    〉 = 0. Pilih =span * + atau  span * + sehingga ⟨    | ⟩ untuk  setiap .  Karena ⟨    | ⟩ ,‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ - akibatnya ‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ =0.  Jadi ‖
‖ ‖    ‖ ‖    ‖
Sedangkan sifat-sifat dasar ortogonalitas- P di ruang norm- mempunyai sifat-sifat yang sama dengan ortogonalitas- P di ruang norm dengan beberapa tambahan seperti yang disebutkan dalam Gunawan [4].

## Muh. Nur
Proposisi 3.
Ortogonalitas-P  di  ruang  norm- memenuhi  sifat  non-degenerasi,    simetri  dan kontinuitas.
Bukti: Misalkan maka  terdapat  sebuah  subruang dari dengan ( ) sehingga ‖    ‖ untuk  setiap
.  Andaikan ,  karena  dim
maka  dapat  dipilih
sedemikian  sehingga *    + bebas  linear.  Akibatnya ‖    ‖ sehingga  kontradiksi  dengan hipotesis.  Jadi .  Untuk  sifat  simetrinya  tinggal  menggunakan  sifat  ke  dua  dari  norm- . Sedangkan  untuk  sifat  membuktikan  sifat  kontinuitas,  misalkan konvergen  ke dan konvergen  ke dalam  norm- dan untuk  setiap .  Karena  norm- merupakan pemetaan kontinu sehingga dengan menggunakan sifat norm- diperoleh
‖        ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ . ( )
Teorema 2. (Sifat Resolvabilitas) Misalkan (   ‖   ‖) adalah  ruang  norm- dan subruang dengan ( ) .  Jika maka terdapat skalar sedemikian sehingga   untuk setiap berlaku ‖    ‖ ‖         ‖ ‖    (      )   ‖ (6)
Bukti:
Definisikan fungsi bernilai real yakni
( )      ‖    ‖ ‖         ‖ ‖    (      )   ‖ . (7)
Dengan  menggunakan  kesamaan (   ) ,  Persamaan  (7)  menjadi ( ) ‖    ‖ (   ) (‖         ‖ )   ‖(     )        ‖ (8)
Sehingga  diperoleh ( )    ‖    ‖ 0 ‖    ‖   . / ‖    ‖1 .  Jadi ( ) bernilai  positif    jika nilai cukup besar. Selanjutnya definisikan fungsi
(  )      ‖    ‖ ‖         ‖ ‖(     )        ‖ . (9)
Dengan cara yg sama dan menggunakan kesamaan (   ) , diperoleh (  )   ‖    ‖ (   ) (‖         ‖ )   ‖(     )        ‖ (10) Sehingga diperoleh (  )      ‖    ‖ ‖    ‖ . / ‖    ‖‖    ‖
‖    ‖ 0  . / ‖    ‖   . / ‖    ‖ 1     ‖    ‖ 0 ‖    ‖   .
/ ‖    ‖1 . (11)
Jadi (  ) bernilai  negatif  jika  nilai cukup  besar.  Karena ( ) kontinu  maka  terdapat  nilai sedemikian  sehingga ( ) .  Dengan  kata  lain ‖    ‖ ‖         ‖ ‖    (      )   ‖ untuk suatu nilai
Akibat 5. Misalkan (   ‖   ‖) adalah  ruang  norm- dan subruang dengan ( ) .  Jika maka terdapat skalar sedemikian sehingga   untuk setiap berlaku ‖    ‖ ‖         ‖ ‖    (      )   ‖ (12)
Dengan  menggunakan  sifat  pada  ortogonalitas- P dalam  ruang  norm- di  atas  diperoleh teorema berikut ini
Teorema 6. Misalkan (   ‖   ‖) merupakan ruang norm- Jika ortogonalitas-P memenuhi sifat homogenitas di ruang norm- maka (   ⟨    |  ⟩) merupakan ruang hasil kali dalam- .
Bukti:
Berdasarkan  Proposisi  2,  tinggal  ditunjukkan ‖        ‖ ‖        ‖ (‖    ‖ ‖    ‖ ) . Berdasarkan  Teorema  6  diatas  diperoleh  Jika maka  terdapat  skalar sedemikian
sehingga      untuk  setiap berlaku ‖    ‖ ‖         ‖ ‖    (      )   ‖ .  Misalkan sifat homogenitas terpenuhi yaitu dengan sehingga diperoleh
(–      ) ‖    ‖ ‖         ‖ ‖(–      )    (      )   ‖ ‖        ‖ (13)
Dengan  cara  yang  sama  diperoleh (–      ) ‖    ‖ ‖         ‖ ‖        ‖ .  Dengan menjumlahkan  kedua  persamaan  diatas  diperoleh ‖        ‖ ‖        ‖ ‖         ‖
( )‖    ‖ .  Akibatnya  dengan  menggunakan  sifat  homogenitas  yaitu diperoleh ‖        ‖ ‖        ‖ ‖    ‖ ‖    ‖ .

## 3. Kesimpulan
Konsep  ortogonalitas- P dalam  ruang  norm (   ‖   ‖) hanya  memenuhi  beberapa  sifat dasar  ortogonalitas  di  ruang  hasil  kali  dalam  yaitu  sifat  nondegenerasi,  simetri, kontinuitas,  dan resolvabilitas  .  Begitu  juga,    pada  ruang  norm- juga  telah  dibuktikan  bahwa    keempat  sifat ortogonalitas  di  ruang  hasil  kali  dalam  dipenuhi.  Misalkan  sifat  homogenitas  dipenuhi  dalam ortoganiltas- P dalam ruang norm- sehingga ruang vektornya yang dilengkapi dengan hasil kali dalam- merupakan ruang hasil kali dalam- .

## Daftar Pustaka
[1]   Diminnie C., Gähler S. dan White A., 1973. 2-inner Product Spaces. Demonstratio. Math ., 6, 525-536.
[2]     Gunawan    H.  dan      Mashadi    M.,  2001.  On  Finite-dimensional  2-Normed  Spaces. Soochow. J. Math. Sci ., 27, 321-329.
[3]    Gunawan  H., Nursupiamin,  Kikianty  E.,  2005.  Beberapa Konsep Ortogonalitas di Ruang Norm, Program Riset ITB .
[4]      Gunawan    H. et  al .,  2006. Orthogonality  in  2-Normed  Spaces  Revisited .  Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak Ser. Mat.17.
[5]    James R.C., 1945. Orthogonality in Normed Linear Spaces. Duke Math. J.
[6]    Muh Nur., 2011.  Teorema Titik Tetap di Ruang Norm- Standar. Program Tesis ITB.