Vol. 13, No. 1,  66-70,  Juli  2016
Seputar Ideal-ideal dalam Gelanggang Operator Differensial
Amir Kamal Amir 

## Abstrak
Misalkan R adalah  suatu  gelanggang dengan identitas 1,  adalah suatu endomorfisma dari R ,  dan  adalah  suatu  -  derivatif.  Gelanggang  polinom  miring,  disimbol  dengan [ ; , ] R x   ,  dalam    peubah    tak  diketahui x, adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom
seperti 0 ( ) n n f x a x a    yang memenuhi aturan perkalian ( ) ( ), xa a x a a R       .  Dalam  hal 1   atau  adalah  suatu  endomorfisma identitas, gelanggang polinom miring  [ ; , ] R x   disebut gelanggang operator differensial dan ditulis  [ ; ] R x  . Dalam paper ini akan diuraikan secara rinci bentuk ideal-ideal dari gelangang
[ ; ] R x  dengan asumsi bahwa R adalah suatu gelanggang komutatif noether.
Kata Kunci: Operator, differensial, derivatif, ideal, prim.

## 1. Pendahuluan
Definisi  dari  gelanggang  polinom  miring  (gelanggnag  tak  komutatif)  ini  pertamakali diperkenalkan oleh Ore (Ore, 1933), yang mengkombinasikan ide awal dari Hilbert (kasus 0   ) dan  Schlessinger  (kasus 1   ).  Sejak  kemunculan  artikel  dari  Ore  ini,  Gelanggang  Polinom Miring  telah  memerankan  peran  yang  penting  dalam  teori  gelanggang  tak  komutatif  dan  telah banyak  peneliti  yang  bergelut  dalam  teori  gelanggang  tak  komutatif  menginvestigasi  bentuk gelanggang tersebut dari berbagai sudut pandang, seperti teori ideal, teori order, teori Galois, dan aljabar homologi. Dalam paper ini akan dibahas bentuk khusus dari gelanggang polinom miring, yaitu gelanggang operator differensial.

## Definisi 1.
Misalkan R adalah suatu gelanggang dengan identitas 1,  adalah suatu endomorfisma dari R, dan  adalah suatu derivatif   , yaitu:
(i).  adalah suatu endomorfisma pada  R, dengan R  sebagai  grup penjumlahan
(ii). ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b       untuk setiap , . a b R 
Gelanggang polinom miring atas R dengan variabel  x adalah gelanggang:
0 [ ; , ] { ( ) | } n n i R x f x a x a a R        dengan ( ) ( ), xa a x a a R       .
 JurusanMatematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin, e-mail:  amirkamalamir@yahoo.com

## Amir Kamal Amir
Apabila 1   atau  adalah suatu endomorfisma identitas, maka gelanggang polinom miring cukup ditulis [ ; ] R x  dan lebih dikenal dengan nama gelanggang operator differensial .
Untuk 0   , gelanggang polinom  miring cukup ditulis [ ; ] R x  . Sedangkan untuk  kasus 1   dan 0   gelanggang polinom miring cukup ditulis [ ] R x , yang merupakan gelanggang polinom biasa.
Contoh 1.
Misalkan C adalah himpunan bilangan kompleks. Lambang  adalah suatu endomorfisma pada C yang  didefinisikan  sebagai   a bi a bi     ,  untuk  setiap a bi   C dan 0   ,  maka [ ; , ] x   merupakan  suatu  gelanggang  polinom  miring.  Selanjutnya  akan  ditunjukkan  sifat ketidakkomutatifan dalam gelanggang polinom miring [ ; , ] x   C .
       2 2
(3 2 ) (4 5 ) (3 2 ) (4 5 )
(3 2 ) (4 5 ) (3 2 )(4 5 ) (22 7 ) i x i x i x i x
i i x x i i x i x                      2 2 (4 5 ) (3 2 ) (4 5 ) (3 2 )
(4 5 ) (3 2 ) (4 5 )(3 2 ) (22 7 ) .
i x i x i x i x
i i x x i i x i x              
Dalam  gelanggang    operator  differensial [ ; ] R x  dikenal  istilah  - ideal  dan  - prime  ideal. Pengertian dari istilah-istilah tersebut dipaparkan pada definisi berikut ini.
Definisi 2.
Misalkan [ ; ] R x  adalah suatu gelangang  operator differensial. Suatu  - ideal dari R  adalah suatu ideal  I dari R sedemikian sehingga ( ) I I   . Suatu  - prime ideal adalah suatu  - ideal  murni I dari  R sedemikian sehingga jika  J, K adalah  - ideal yang memenuhi JK I  , maka J I  atau K I  .
Berikut diberikan penjabaran dari ( ). m a 
Teorema 1.
Misalkan [ ; , ] R x   adalah suatu gelanggang polinom miring, maka
1
1
0 ( ) ( ) ( ) m m i m i i a a a a          untuk setiap a R  dan  m = 1,2, .... .

## Bukti:
Pembuktian menggunakan induksi. Persamaan di atas jelas untuk m =1 . Misalkan persamaan di atas  benar  untuk m  =  k ,  akan  ditunjukkan  bahwa  persamaan  tersebut  benar  untuk m=k+ 1 . Persamaan benar untuk m=k artinya
Amir Kamal Amir 1 1 0 ( ) ( ) ( ) k k i k i i a a a a          .
Selanjutnya untuk
1 m k   diperoleh
1 ( ) ( ) ( ) ( ) k k k a a a a a       
1 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
k k i k i m i k i i i a a a a a a a            
    
Pada  tulisan  ini  akan  dipaparkan  secara  rinci  bentuk  ideal-ideal  (prim)  dari  gelanggang operator differensial [ ; ] R x  .

## 2. Ideal-ideal dalam Gelanggang Operator Differensial
Dalam bagian ini akan dipaparkan secara rinci bentuk ideal-ideal (prim) dari gelanggang operator differensial [ ; ] R x  dengan R adalah suatu gelanggang komutatif noether.

## Teorema 2.
Misalkan R adalah suatu gelanggang,  adalah suatu derivatif dari R, dan [ ; ] S R x   adalah gelanggang operator differensial, maka
a. Jika I adalah suatu ideal kanan dari R, maka IS adalah suatu ideal kanan dari S.
b. Jika I adalah suatu  -ideal dari R, maka IS adalah suatu ideal dari S .
c. Jika J adalah suatu ideal dari S, maka J R  adalah suatu  -ideal dari R.
Bukti:
a. Misalkan I adalah suatu ideal kanan dari R , ( ) af x IS  , dan ( ) g x S  . Dari sini diperoleh     ( ) ( ) ( ) ( ) af x g x a f x g x IS   karena ( ) ( ) f x g x IS  . Jadi IS merupakan ideal kanan dari S.
b. Misalkan I adalah suatu  -ideal dari R , berarti ( ) I I   . Ambil 0 1 ( ) . n n
f x f f x f x IS     
Ini berarti bahwa , i f I i   . Misalkan
0 1 ( ) m m
g x g g x g x S      ,  akan  ditunjukkan  bahwa ( ) ( ) f x g x IS  dan
( ) ( ) g x f x IS  . Karena i f I  dan ( ) i f g x S  , maka dengan mudah dapat dilihat bahwa
( ) ( ) f x g x IS  .  Selanjutnya,  dengan  memperhatikan  bentuk  dari ( ) m a  pada  Teorema  1 dan  mengingat  bahwa ( ) I I   ,  maka  dengan  mudah  juga  dapat  disimpulkan  bahwa
( ) ( ) g x f x IS  .
c. Ambil a J R   ,  maka a J  ,  sehingga , ax xa J  karena J adalah  suatu  ideal  dari S . Dengan demikian ax xa J   , sehingga ( ) . a ax xa J    
Ideal-ideal  dalam  gelanggang  operator  differensial  selalu  memuat  konstanta.  Hal  ini ditunjukkan pada teorema berikut.

## Amir Kamal Amir

## Teorema 3.
Misalkan  R  adalah  suatu  daerah  integral  komutatif  dengan  karakteristik  nol,  adalah  suatu derivatif dan [ ; ] S R x   . Jika I adalah suatu ideal tak nol dari S, maka 0. I R   Bukti: Pilih  elemen  tak  nol 0 1 ( ) n n f x f f x f x   
 dari I .  Dalam  hal  ini  diasumsikan 1 n  . Selanjutnya n disebut  derajat  polinom ( ) f x dan n f disebut  koefisien  terdepan.  Pilih a R 
sedemikian sehingga ( ) 0. a   Dengan menggunakan Teorema 1 dapat diketahui bahwa 1 ( ) ( ) ( ) [ -1] n n f x a af x nf a x suku dengan derajat kurang dari n      . Karena ( ) 0, n nf a   maka hal ini berarti I memuat elemen tak nol dengan derajat n-1 . Apabila proses  tersebut  di  atas  diulangi,  maka  pada  akhirnya  kita  akan  menemukan  bahwa I memuat elemen tak nol dengan derajat nol.
Teorema berikut memberikan sifat dari suatu  -ideal.

## Teorema 4.
Misalkan R adalah suatu gelanggang,  adalah suatu derivatif dari R, dan P adalah suatu prim minimal ideal dari R sedemikian sehingga R/P mempunyai karakteristik nol, maka P adalah suatu  -ideal.

## Bukti:
Misalkan  ( ) 0} n Q a R a P n       . Dengan kalkulasi sederhana dapat dibuktikan bahwa Q adalah suatu ideal dari R yang termuat dalam ideal P .  Selanjutnya ditunjukkan bahwa Q adalah ideal  prim.  Perhatikan  elemen-elemen , . a b R Q   Selanjutnya  pilih  bilangan-bilangan  bulat taknegatif sekecil mungkin r dan s sedemikian sehingga ( ) r a  dan ( ) s b  tidak berada dalam P . Kemudian  pilih c R  sedemikian  sehingga ( ) ( ) . r s a c b P    Sekarang  gunakan  kembali
Teorema 1 untuk menguraikan ( ) r s acb   , diperoleh hasil sebagai berikut:
0 0 0 ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
r s r s i r s r s i i r s i i j i i i j r s r s i
acb a cb a c b
i i j                                    
 
Karena ( ) r s i a P     untuk i s  dan ( ) i b P   untuk j s  , maka semua suku-suku dalam deret  jumlah  pada  persamaan  diatas  berada  dalam P kecuali ( ) ( ) r s r s s a c y s s             tidak
berada dalam P karena ( ) ( ) r s a c b   tidak berada dalam P dan R/P mempunyai karakteristik nol.
Dengan  demikian ( ) r s acb P    sehingga  berdasarkan  bentuk  dari Q disimpulkan  bahwa . acb Q  Hal ini membuktikan bahwa Q adalah ideal prim. Karena Q P  dan P adalah prim minimal, maka . P Q  Selanjutnya, karena Q adalah  -ideal (dapat dengan mudah dilihat dari pembentukan Q ), maka P juga merupakan  -ideal.

## Amir Kamal Amir
Berikut akan diberikan hubungan antara ideal prime gelanggang R dengan ideal prim gelanggang operator differensial [ ; ] S R x   .

## Teorema 5.
Misalkan  R  adalah  suatu  gelanggang  Noether  dengan  derivatif  sedemikian  sehingga  R adalah suatu aljabar terhadap . Misalkan [ ; ] S R x   dan P adalah suatu ideal prim dari S, maka P R  adalah suatu ideal prim dari R.

## Bukti:
Pembuktian akan dilakukan dalam dua kasus, yaitu kasus 0 P R   dan kasus 0. P R   (i). Kasus 0 P R
  .
Jika  Q  adalah  sustu  ideal  prim  dari R maka R/Q mempunyai  karakteristik  nol  karena R  . Jadi berdasarkan Teorema 4, Q adalah suatu  -ideal. Berdasarkan [2, Teorema 5] terdapat ideal- ideal  prim  minimal 1 , , m Q Q dalam R sedemikian  sehingga 1 2 0. m Q Q Q  Dari Teorema  2 diketahui behwa setiap
i Q S adalah suatu ideal dari S , dan bahwa
1 2
1 2
( )( ) ( ) 0. m m Q S Q S Q S Q Q Q S   Karena P adalah ideal prime, kita peroleh i Q S P  untuk suatu i . Dari sini, 0 i Q P R    , jadi P R  adalah suatu ideal prim.
(ii). Kasus 0.
P R  
Karena P R  adalah  suatu  -ideal  dari R [Teorema  2],  maka       ' / ; ' S R P R x    adalah  suatu  gelanggang  operator  differensial  menurut  [2,  exercise  2X].  Selanjutnya,  pilih ideal prim P’ dari S’ sedemikian sehingga   ' / 0. P R P R        Dengan kondisi seperti ini, maka
mengacu  pada  pembuktian  bagian  (i)  dapat  disimpulkan  bahwa  0  adalah  ideal  prim  dari
  / R P R  . Karena 0 adalah ideal prim dari   / R P R  , hal ini berarti P R  adalah ideal prim dari R .

## Daftar Pustaka
[1]  Goodearl, K.R., 1992, Prieme ideals in skew polinomial ring and quantized Weyl algebras, J. of Algebra, 150,  324-377
[2]  Goodearl,  K.R.,  dan  Warfiled,  J.R.,  1989, An  Introduction  to  Noncommutative  Noetherian Rings, Cambridge University Press, London.
[3]  McConnel, J.C., dan Robson, J.C., 1987, Noncommutative Noetherian Rings , John Wiley & Sons.
[4]  Ore, O., 1933, Theory of non-commutative polynomials , Annals of Math , 34, 480-508.