Aplikasi Pemodelan Prey Predator Terhadap Cash Flow Keuangan di Bank BRI Pamekasan
Zulfa Zahratul Jannah, S.Si 1
1) Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Islam Madura (UIM) Jl. Bettet No. 04, Pamekasan, Madura 60111 Indonesia
Email: zulfazahratuljannah@yahoo.co.id

## ABSTRAK
Jurnal ini membahas tentang  prey predator yang diaplikasikan  terhadap cash flow  keuangan  di Bank BRI  Pamekasan.  Cash  flow  (aliran  kas)  merupakan  sejumlah  uang  kas  keluar  dan  masuk  sebagai  akibat  dari aktifitas perusahaan dengan kata lain adalah aliran kas yang terdiri dari aliran masuk  dalam perusahaan dan aliran kas keluar perusahaan serta beberapa saldonya setiap periode. Pada model ini adalah membahas tentang mangsa-pemangsa. Data yang digunakan adalah tentang laporan cash flow keuangan di Bank BRI Pamekasan pada tahun 2013 dan 2014. Dengan mengaplikasikan model ini akan diperoleh tidak stabil.
Kata Kunci: prey predator, cash flow, Bank BRI

## 1. PENDAHULUAN
Bank  adalah  sebuah  lembaga  intermediasi keuangan yang umumnya didirikan dengan kewenangan  untuk  menerima  simpanan  uang  dan menerbitkan promes atau yang dikenal sebagai bank note.  Salah  satu  sistem  yang  terdapat  didalamnya adalah cash flow (aliran kas) (Kasmir 2000). Cash flow (aliran kas) merupakan sejumlah uang kas  keluar  dan  masuk  sebagai  akibat  dari  aktifitas perusahaan  dengan  kata  lain  adalah  aliran  kas  yang terdiri dari aliran masuk dalam perusahaan dan aliran kas keluar perusahaan serta beberapa saldonya setiap periode (Hasan 2007).
Aliran  kas  yang  berhubungan  dengan  suatu proyek  dapat  dibagi  menjadi  tiga  kelompok,  yaitu Aliran  Kas  Awal  ( Initial  Cash  Flow ) , Aliran  Kas Operasional  ( Operational  Cash  Flow ),  dan  Aliran Kas  Akhir  ( Terminal  Cash  Flow ).  Aliran  kas  awal merupakan  aliran  kas  yang  berkaitan  dengan pengeluaran  untuk  kegiatan  investasi,  misalnya pembelian  tanah,  gedung,  dan  biaya  pendahuluan. Aliran  kas  awal  dapat  dikatakan  aliran  kas  keluar ( cash  out  flow ).  Aliran  kas  operasional  merupakan aliran kas yang berkaitan dengan operasional proyek seperti  penjualan,  biaya  umum,  dan  administrasi. Oleh  sebab  itu  aliran  kas  operasional  merupakan aliran kas masuk ( cash in flow ) dan aliran kas keluar ( cash out flow ). Aliran kas akhir merupakan aliran kas yang berkaitan dengan nilai sisa proyek (nilai residu) seperti  sisa  modal  kerja.  Nilai  sisa  proyek  yaitu penjualan peralatan proyek (Muzawir 2010). Prey predator adalah suatu metode Matematika yang menjelaskan tentang sistem timbal balik (mangsa-memangsa). Metode ini sangat cocok digunakan  untuk  permasalahan cash  flow sistem keuangan  di  bank.  Dengan  menerapkan  metode  ini diharapkan  akan  lebih  mempermudah staf  keuangan
untuk mendata aliran  kas yang masuk maupun  yang keluar dalam setiap periode.
Penelitian mengenai model prey-predator pernah dilakukan  oleh  Prian  Peisesa  Putri  (2013)  dalam skripsi yang berjudul Analisis Solusi Numerik Model Predator-Prey dengan  Metode  Runge-Kutta  Orde Empat dan Gill. Selain itu Luluk Ianatul Afifah (2015) juga pernah meneliti tentang masalah prey predator yakni  Analisis  Kestabilan  Model  Prey  Predator dengan Pemanenan Konstan Ikan Prey.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Pengertian Bank Bank  adalah  sebuah  lembaga  intermediasi keuangan yang umumnya didirikan dengan kewenangan  untuk  menerima  simpanan  uang  dan menerbitkan promes atau yang dikenal sebagai bank note.  Salah  satu  sistem  yang  terdapat  didalamnya adalah cash flow (aliran kas) (Kasmir,2000). Menurut UU No. 10 Tahun 1998 tanggal 10 November 1998 tentang perbankan, dapat disimpulkan  bahwa  usaha  perbankan  meliputi  tiga kegiatan,  yaitu  menghimpun  dana,  menyalurkan dana,  dan  memberikan  jasa  bank  lainnya. Kegiatan menghimpun  dan  menyalurkan  dana  merupakan kegiatan  pokok  bank  sedangkan  memberikan  jasa bank  lainnya  hanya  kegiatan  pendukung.  Kegiatan menghimpun dana, berupa mengumpulkan dana dari masyarakat  dalam  bentuk simpanan  giro, tabungan, dan deposito.  Biasanya  sambil  diberikan  balas  jasa yang  menarik  seperti bunga dan  hadiah  sebagai rangsangan  bagi  masyarakat. Kegiatan  menyalurkan dana berupa pemberian pinjaman kepada masyarakat. Sedangkan  jasa-jasa  perbankan  lainnya diberikan  untuk  mendukung  kelancaran  kegiatan utama  tersebut.  Bank  didirikan  oleh  Prof.  Dr.  Ali Afifuddin, SE (Kasmir, 2000).

## 2.2 Cash flow
Cash flow (aliran kas) merupakan sejumlah uang  kas  keluar  dan  masuk  sebagai  akibat  dari aktifitas  perusahaan  dengan  kata  lain  adalah  aliran kas yang terdiri dari aliran masuk dalam perusahaan dan  aliran  kas  keluar  perusahaan  serta  beberapa saldonya setiap periode (Hasan 2007).
Hal  utama  yang  perlu  selalu  diperhatikan yang  mendasari  dalam  mengatur  arus  kas  adalah memahami dengan jelas fungsi dana / uang yang kita miliki, kita simpan atau investasikan.

## 2.3 Prey predator
Prey predator adalah suatu metode Matematika yang menjelaskan tentang sistem timbal balik (mangsa-memangsa). Berikut  ini adalah sistem Prey - Predator klasik:
= ( ) − ( )
= ( ) − (1) (0), (0) > 0
Dengan , mereprensentasikan  masing- masing kepadatan prey dan predator , ( ) dan ( ) adalah  masing-masing  fungsi predator dan prey , , > 0 adalah  masing-masing  konfersi  dan  laju kematian predator (Lakshmi et.all , 2014).
Pada  penelitian  asli  Holling  pada  dinamika prey predator , istilah “respon fungsional” diperkenalkan  terutama  untuk  mendiskripsikan perubahan pada laju konsumsi dari prey oleh predator ketika  kepadatan  dari prey bervariasi.  Situasi sederhana ini dapat diringkas dengan membuat skema jumlah dari prey yang dikonsumsi (tiap satuan waktu) sebagai  sebuah  fungsi  dari  kepadatan prey .  Holling menyediakan  istilah  “tipe  1”  untuk  kasus  dimana sebuah  skema  menunjukkan  suatu  hubungan  linear antara  jumlah prey yang  dikonsumsi  dan  kepadatan prey , dan istilah “tipe II”  kasus dimana  gradien dari kurva menurun secara monoton terhadap peningkatan kepadatan prey , hingga pada ahirnya konvergen pada sebuah  nilai  konstan  dari  konsumsi prey ,  Perilaku “tipe III” terjadi ketika gradien dari kurva meningkat kemudian  menurun  seiring  dengan  peningkatan kepadatan prey .  Perilaku  “ sigmoidal ”  ini  mengacu pada  keberadaan  dari  ” learning  behavior ”  pada populasi predator. Real tepatnya mendaftar perubahan  perilaku  yang  jelas  yang  mungkin memindahkan  respon  fungsional  dari  tipe  II  ketipe III, sebagai contoh predator mempelajari teknik yang lebih khusus untuk menangani prey , atau mempelajari  untuk  focus  pada  pencarian  tempat tertentup ada lingkungan prey .
Respon  tipe  I  adalah  hasil  dari  asumsi sederhana  bahwa  peluang  dari  suatu predator yang diberikan  bertemu  dengan prey pada  suatu  interval waktu  yang  tetap,  tergantung  secara linear pada kepadatan prey .  Dengan  menggunakan  notasi  pada penelitian Holling diperoleh hubungan dalam bentuk:
=
(2) Dengan Y adalah  jumlah  dari prey yang dikonsumsi  oleh  satu  predator, X adalah  kepadatan prey , T s adalah  waktu  yang  diperlukan  untuk pencarian dan a adalah konstanta dari proporsinalitas, diistilahkan sebagai “laju temuan”oleh Holling. Jika keharusan  untuk  menghabiskan  waktu  dalam penanganan prey ditiadakan,  maka  semua  waktu dapat digunakan untuk pencarian, sehingga T s = T t , dan diperoleh  respon  tipe  I:  dengan  mengasumsikan bahwa predator (memiliki  kepadatan P )  bertindak secara  intependen,  pada  waktu T t jumlah  total  dari prey akan  berkurang  sebanyak .  Lebih tepatnya rumusan biasa dari keseluruhan respon”tipe I”  adalah  sebagai  hubungan linear untuk  kepadatan prey yang  kecil,  tetapi  dengan  sebauah  kepadatan prey yang lebih besar, pada waktu   jumlah dari prey yang dikonsunsi oleh satu predator diberikan sebagai
= { , }. Jika pada
penambahan predator membutuhkan waktu penanganan bentuk setiap prey secara  individu  yang  dikonsumsi,  waktu  yang tersedia untuk pencarian berkurang: = − . Dengan  menggabungkan Ts dengan  persamaan  (2)
diperoleh
= − yang berarti = 1 + (3)
Persamaan  (3)  adalah  rumusan  tipe  II.  Pada interval  waktu jumlah  total  dari prey berkurang sebanyak /(1 + ) .  Perhatikan  bahwa ab tidak  memiliki ukuran dan dapat ditafsirkan sebagai suatu rasio dari dua waktu karakteristik: ab besar jika waktu  penanganan b lebih  lama  dari  waktu  temuan 1 /a dan ab kecil jika sebaliknya; pada kasus ini respon tipe II berubah menjadi respon tipe I.
Respon tipe III tidak mudah diformulasikan hanya dengan memisahkan perilaku penanganan dan pencarian.  Inidapat  dilihat  sebagai  generelisasi  dari respon tipe II ke bentuk
= 1 + (4)
Pada  literatur,  kasus  tipe  III  sering dimotivasi  dengan  menduga  bahwa learning behavior terjadi  pada  populasi predator dengan peningkatan  konsekuen  pada  laju  temuan  sebagai mana  pertemuan  dengan prey terjadi.  Karena  pada kepadatan prey yang  lebih  tinggi  ada  lebih  banyak pertemuan  ini  memotivasi  dalam  memodifikasi  laju temuan a sehingga  meningkat  secara  monoton dengan  jumlah prey :  modifikasi  sederhana  ini melibatkan  pergantian a dengan ,  untuk setiap > 1 . persamaan (4) memasukkan modifikasi sambil mempertahankan kekonvergenan pada kepadatan prey yang besar yakni X (Souza, 2013).
2.4 Titik Kesetimbangan
Titik  ekuilibrim  atau  titik  kesetimbangan merupakan  solusi  dari  sistem ̇ = ( ) yang  tidak mengalami perubahan terhadap waktu. Definisi 2.1 (Layliyah, 2014) Titik ∈   ℝ disebut  titik ekuilibrium dari ̇ = ( ) jika ( ) = 0 Contoh 2.1: Akan di cari titik ekuilibrium dari persamaan (5) ̇ ( ) = ( ) − ( ) ,
̇ ( ) = − ( ) + ( ) .                    (5) Penyelesaian dari persamaan (5) adalah:
Misal = ( , ) adalah  titik  ekuilibrium persamaan (2.5) maka untuk ̇ = 0 diperoleh: − = 0 − + = 0 (6)
Dari persamaan (6) maka diperoleh:
= (7)
Substitusikan  persamaan  (7)  kepersamaan  (6) sehingga diperoleh:
− + = 0
⇔− (1 − ) = 0 ⇔ = 0 atau = ±1 (8) Selanjutnya substitusikan = 0 dari persamaan (8) kepersamaan (7) sehingga diperoleh = 0 .
Substitusikan = 1 dan = −1 dari persamaan (8) ke  persamaan  (7),  maka  diperoleh = 1 .  Jadi  titik ekuilibrium dari persamaan (6) adalah (0,0) , (1,1) , dan (1, −1) .

## 3. METODE PENELITIAN
Pada subbab ini akan dijelaskan tentang metode yang digunakan dalam penelitian ini disertai dengan pustaka  yang  mendasari  teori  dalam  penelitian  ini, seperti penelitian sebelumnya, pengertian Bank, Prey Predator .  Adapun  untuk  langkah-langkah  dalam penelitian ini dapat dilihat dalam Gambar 1.
Gambar 1 . Flowchart penelitian
4. ANALISIS HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1    Penentuan tipe fungsi prey predator Tipe 1 Bentuk rumus umum tipe 1 = (9)
Tipe  1  pada  persamaan  (9)  diperoleh  dengan menggunakan  persamaan  regresi linear sederhana dalam bentuk sebagai berikut:
= ∑ ∑ ∑ ² ¯¹ ∑ ∑ (10)
Untuk perhitungan debet dari persamaan (4.2) di peroleh: = 55 274.428 274.428 4.353.048 ¯¹ 1.717.039.020 1.096.802 Dengan ( ) = 238868784 Dan ¯ = 55 274.428 274.428 4.353.048 = 55 274.428 274.428 4.353.048 =
. . . .
= 2,302 1,148 1.148 1.822 1.717.039.020 1.096.802 = 5,21 3,313 (11) Berdasarkan = + pada  persamaan  (9) maka persamaan (11)  dapat diperoleh: = 5,21 + 3,313 (12) Untuk  perhitungan  kredit  dari  persamaan  (10)  di peroleh: = 27 278740 278740 682220 ¯¹ 292314922 2864 Dengan ( ) = 17862460 Dan ¯ = 27 278740 278740 682220 = 27 278740
278740 682220 = . 292314922 2864 = 1,511 0,015 0,015 0,038 292314922 2864 = 441687890 4384832,66 (13) Berdasarkan = + pada  persamaan  (10) maka persamaan (13)  dapat diperoleh: = 441687890 + 4384832,66 (14)
Dari persamaan (10) dan persamaan (13) dengan memasukkan  data Cash  Flow Keuangan  Bank  BRI Pamekasan  maka  diperoleh  Gambar  2  fungsi  p(x) Tipe 1 dan Tabel 1 regresi P(x) dengan menggunakan software MATLAB R2009a sebagai berikut: Mulai
Mencari parameter , , , dari model Prey Predator
Analisis titik setimbang dari model Prey
Predator
Analisis kestabilan Selesai
Gambar 2 Penentuan Fungsi p(x) Tipe 1
Error dari hasil regresi data asli dapat dilihat pada Tabel  1
Tabel 1 Penentuan Fungsi p(x) Regresi Tipe 1
Tipe yang lainnya menggunakan rumus yang sama, dan  ahirnya  diperoleh  kesimpulan  bahwa  debet menggunakan tipe 2 dan kredit menggunakan tipe 2.

## 4.2. Titik ekuilibrium
Titik  ekuilibrium  diperoleh  ketika = 0 . Berdasarkan persamaan (1) maka diperoleh:
= ( ) −
↔ =
₁ ₁ ₁ ₁ − (15) Ketika
= 0 maka  pada  persamaan  (2) diperoleh:
₁ ₁ ₁ ₁ − = 0 ↔ ₁ ₁ ₁ ₁ − = 0 = 0 ₁ ₁
₁ ₁ − = 0 ₁ ₁ ₁ ₁ =
₁ ₁ =    ( + ₁ ₁ ) ₁ ₁ = + ₁ ₁ ₁ ₁ − ₁ ₁ = ( ₁ ₁ − ₁ ₁) = = ( ₁ ₁ ₁ ₁) (16)
Sedangkan     nya adalah sebagai berikut:
= ( ) − ( ) ↔ = ₂ ₂ ₂ ₂ −∝ y ₁ ₁ ₁ ₁ ↔ = ₂ ₂ ² ₂ ₂ −∝ ₁ ₁ ₁ ₁
↔ = ₂ ₂ ² ₂ ₂ − ₁ ₁∝
₁ ₁ (17)
Pada persamaan (17) ketika = 0 maka diperoleh: ₂ ₂ ² ₂ ₂ − ₁ ₁ ∝ ₁ ₁ = 0 ↔ ₂ ₂ ² ₂ ₂ = ₁ ₁ ∝ ₁ ₁
= ₂ ₂ ²
₂ ₂ ₁ ₁ ₁∝ (18) Ketika = 0 , maka pada persamaan (16) diperoleh: ₂ ₂ ² ₂ ₂ ₁ ₁ ₁∝ = 0 (19)
Dengan syarat pada persamaan (19) adalah
(1 + ₂ ₂ )( ₁ ₁ ∝ ) ≠ 0 (1 + ₂ ₂ ) ≠ 0
( ₁ ₁ ∝ ) ≠ 0
₂ ₂ ≠ −1 ≠ 0 ≠ − ₂ ₂ Dengan syarat pada persamaan (19) adalah ( ) ( + ) = ( ) = 0 ( + ₁ ₁ ) = ² = 0 ₁ ₁ = −1 = 0 = − ₁ ₁ Nilai = ( ₁ ₁ ₁ ₁) pada    persamaan  (16) disubstitusikan ke = ₂ ₂ ²
₂ ₂
₁ ₁ ₁∝ pada persamaan (15) sehingga diperoleh:
=
₂ ₂( ₁ ₁ ₁ ₁ )² ₂ ₂( ₁ ₁ ₁ ₁ ) ₁ ₁( ₁ ₁ ₁ ₁ ) ₁ ₁∝( ₁ ₁ ₁ ₁ ) (20)
Jadi  titik  ekuilibrium  model prey  predator ( , ) adalah:
( ₁ ₁ ₁ ₁) , ₂ ₂( ₁ ₁ ₁ ₁ )² ₂ ₂( ₁ ₁ ₁ ₁ ) ₁ ₁( ₁ ₁ ₁ ₁ ) ₁ ₁∝( ₁ ₁ ₁ ₁ )

## 4.3. Analisis kestabilan
Kemudian akan dilakukan analisa kestabilan pada model  prey predator yaitu ̇ = ₂ ₂ ² ₂ ₂ −
₁ ₁∝ ₁ ₁ pada persamaan (1)
dan
=
₁ ₁
₁ ₁ − pada persamaan (16).
Misal: ( , ) = ̇ (21) ( , ) = ̇ (22)
Dari  persamaan  (21)  dan  (22)  dapat  diselesaikan dengan menggunakan deret taylor sehingga diperoleh bentuk matrik jacobian sebagai berikut:
Volume 2 No. 1, Mei 2016
̇ ̇ = ₁ ₁ ₂ ₂ (23)
Dari persamaaan (23) dapat ditulis dalam bentuk matrik jacobian sebagai berikut:
̇ ̇ = ( ) − ∝ ∝ ∝ ( ) ∝ ( )
−   β
(24)
Akan  dicari  nilai  eigen  dari  persamaan  (24) sehingga diperoleh: |λ 1-A| = 0
λ 0 0 λ − ( ) − ∝ ∝ ∝ ( ) ∝ ( ) −   β =
0 (25)
Dari  persamaan  (25)  maka  dimisalkan  sebagai berikut:
λ 0 0 λ − ( − ) ( − ) = 0 λ − ( − ) − − λ − ( − ) = 0 (λ − + )(λ − + ) − ( ) = 0
λ − λ + λ −
+ − + − + − = 0
λ − λ + λ − + + − − + − = 0
λ + (− + − + ) + ( − − + − ) = 0 λ₁, ₂ = ( )± ( )² ( )( ) ( ) = ± ² ² ² = ± ²
² ² Sehingga diperoleh kesimpulan bahwa: ₁ = ² ² ²
(26)
₂ =
(27)
Berdasarkan  parameter ∝ = 0,1 dan = 0,05 maka  nilai eigen pada persamaan (26) dan persamaan (27) adalah tidak stabil.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  hasil  perhitungan  manual  dan software MATLAB  R2009a  dapat  disimpulkan bahwa  data  hasil  pengamatan  tentang cash  flow keuangan  di  Bank  BRI  Pamekasan  menggunakan pemodelan prey  predator dengan  cara  mencari  nilai titik  kesetimbangan,  kestabilan  dan  memasukkan nilai  parameternya.  Sehingga  di  peroleh  hasil  tidak stabil.

## DAFTAR PUSTAKA
Dawes, J. (2013). A Derivation of Holling's type I,II dan  III  Functional  Responses  in  Predator- Prey  SystemS. Brazil:  Departement  of Matehematical scinces, University of Bath.
Kasmir.  (2000). Manajemen  Perbankan. Jakarta: Rajawali Press.
Lakshmi, G. V., Vijaya.S, & Gunasekaran.M. (2014). Bifurcation  and  Stability  Analisis  in Dynamics  of  Prey-Predator  Model  with Holling  Type  IV  Functional  Response  and Intra-Specifik  Competition. Internasional Journal of Engineering and Science , Vol 4, pp.52-61.
Layliyah,  N.  (2014).  Bifurkasi  pada  model susceptible infected recovered (SIR) dengan waktu  tunda  dan  laju  penularan  bilinear. Dalam skripsi. Yogyakarta: Universitas Negeri Yogyakarta.
Munir,  R.  (2000). Deret  Taylor  dan  Analisis  Galat. Bandung: IF-STEI-ITB.
Saunders,  A.,  &  Cornett,  M.  M.  (2006). Financial Institutions Management: A Risk Management Approach. Singapore:
McGraw.Hill.
Souza, M. (2013). A derivation of Holling's type I, II dan III functional respones in predator-prey system. Brazil: Department of Mathematical Sciences University of Bath.
Suherman,  Purwanto,  &  Surja.  (2014). Laporan Keuangan Konsoladisian. Jakarta: PT. Bank Rakyat Indonesia (persero).