## PELABELAN GRACEFUL, SKOLEM GRACEFUL

## DAN PELABELAN 𝝆 PADA GRAF H-BINTANG DAN A-BINTANG
Nurul Huda 1 , Zulfi Amri 2
1 Staf Pengajar Prodi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UNLAM, Banjarbaru
2 Peneliti P3SWOT Kementrian Pendidikan Nasional
e-mail: huda.oke@gmail.com , zulfi_ghifarri@yahoo.com,

## ABSTRAK
Graf  G  =  (V,E)  adalah  sepasang  himpunan  terurut  dimana  V  adalah  himpunan simpul  tak  kosong  dan  E  adalah  himpunan  busur.  Pelabelan  pada  graf  G  adalah penetapan  nilai  simpul  dan  busur  atau  keduanya  dengan  aturan  tertentu.  Pelabelan graceful  adalah  fungsi  injektif 𝛼 dari  himpunan  simpul  V  ke  himpunan  bilangan 0,1,2, … .  𝐸 yang  menginduksi  fungsi  bijektif 𝛼 ’  dari  himpunan  busur  E  ke  himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana setiap busur uv ∈ E dengan simpul u,v ∈ V berlaku 𝛼 ’ (uv) = 𝛼(𝑢) –  𝛼(𝑣) .  Pelabelan  skolem  graceful  adalah  modifikasi  dari  pelabelan  graceful yaitu  fungsi  injektif  μ  dari  himpunan  simpul  V  ke  himpunan  bilangan 1,2, … .  𝑉 yang menginduksi fungsi bijektif μ’ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana  setiap  busur  uv ∈ E  dengan  simpul  u,v ∈ V  berlaku  μ’  (uv)  = 𝜇(𝑢) –  𝜇(𝑣) . Pelabelan 𝜌 adalah  modifikasi  lain  dari  pelabelan  graceful  yaitu  fungsi  injektif  γ  dari himpunan  simpul  V  ke  himpunan  bilangan 0,1,2, … .  𝐸  + 1 yang  menginduksi  fungsi bijektif γ’ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana setiap busur uv ∈ E dengan simpul u,v ∈ V berlaku γ’ (uv) = 𝛾(𝑢) –  𝛾(𝑣) . Graf H-bintang dibentuk dari huruf H dan semua daunnya diberikan graf bintang 𝑆 𝑛 . Graf A-bintang dibentuk dari huruf  A  dan  semua  daunnya  diberikan  graf  bintang 𝑆 𝑛 .Pada  makalah  ini  diberikan konstruksi pelabelan graceful, skolem graceful dan pelabelan 𝜌 untuk graf H-bintang dan A-bintang.
Kata  kunci  : pelabelan  graceful, pelabelan  skolem  graceful,  pelabelan 𝜌 ,  graf  ilalang (S n ,3), graf H-bintang dan graf A-bintang.

## 1. PENDAHULUAN
Graf  G  adalah  sepasang  himpunan    ( V,E )    dimana V adalah  suatu  himpunan  tak kosong  dan E adalah  suatu  himpunan  (mungkin  kosong  yang  berisi  pasangan-pasangan (tak  terurut)  dari  anggota-anggota V= { 𝑣 1 , 𝑣 2 , 𝑣 3 , … … }  dan  anggota-anggota E  = { 𝑒 1 , 𝑒 2 , 𝑒 3 , … … } masing-masing disebut simpul dan busur dari graf G. Banyaknya anggota V dinyatakan  dengan 𝑉 dan    banyaknya  anggota E dinyatakan  dengan 𝐸 . Graf  yang digunakan dalam makalah ini adalah graf sederhana tak berarah.
Pemilihan  graf  H-bintang  dan  A-bintang  di  latar  belakangi  dari  graf  ( 𝑆 𝑛 , 3), jika graf bintang pada graf ( 𝑆 𝑛 , 3) di hilangkan maka  graf   tersebut berbentuk seperti huruf Y kemudian  muncul  suatu  pertanyaan  bagaimana  jika  abjad  diberikan  graf  bintang  pada daun-daunnya  sehingga  mengkontruksi  graf  H-bintang  dan  Graf  A-bintang.  Sedangkan huruf  I,L,M,N,V,W  dan  huruf  Z  akan  membentuk  graf  kartefilan  beserta  dengan variasinya,  sedangkan  huruf  K  dan  X  akan  membentuk  graf    ( 𝑆 𝑛 , 4) serta  hurup  T  dan huruf Y sendiri membentuk graf ( 𝑆 𝑛 , 3). Berikut diberikan contoh graf H-bintang dan Graf A-bintang.
Pelabelan graceful pada graf G( V,E ) adalah fungsi injektif 𝛼 dari himpunan simpul V ke himpunan  bilangan 0,1,2, … .  𝐸 yang  menginduksi  fungsi  bijektif 𝛼 ’  dari  himpunan busur E ke himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana setiap busur uv ∈ E dengan simpul u,v ∈ V berlaku 𝛼 ’ ( uv ) = 𝛼(𝑢) –  𝛼(𝑣) . Pelabelan skolem graceful adalah modifikasi  dari pelabelan  graceful  yaitu  fungsi  injektif μ dari  himpunan  simpul V ke  himpunan  bilangan 1,2, … .  𝑉 yang  menginduksi  fungsi  bijektif μ ’  dari  himpunan  busur E ke  himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana setiap busur uv ∈ E dengan simpul u,v ∈ V berlaku μ ’ ( uv ) = 𝜇(𝑢) –  𝜇(𝑣) . Pelabelan 𝝆 adalah modifikasi dari pelabelan graceful yaitu fungsi injektif γ  dari  himpunan  simpul V ke  himpunan  bilangan 0,1,2, … .  𝐸  + 1 yang  menginduksi fungsi bijektif γ’ dari himpunan busur E ke himpunan bilangan 1,2, … .  𝐸 dimana setiap busur uv ∈ E dengan simpul u,v ∈ V berlaku γ’ ( uv ) = 𝛾(𝑢) –  𝛾(𝑣) .[1,2,3]. Beberapa graf yang telah dibuktikan memiliki  pelabelan  graceful, skolem  graceful dan  atau Pelabelan 𝜌 diantaranya adalah sebagai berikut : graf bintang 𝑆 𝑛 , graf sapu 𝐵 4,𝑘 , graf cumi-cumi 𝑆𝑞 4,𝑛 , graf  carterpilar,  graf  cycle,  graf  super  star  graf  ( 𝑆 𝑛 , 3 ).  Selain  itu  sevenhot  juga membuktikan  gabungan  dari  beberapa  graf  yakni,  graf 2𝑆 𝑛 ,  graf 𝑆 𝑛 ∪  𝑆 𝑛+1 ,  graf 𝑆 𝑛 ∪ 𝐵 4,𝑘 , graf 𝑆 𝑛 ∪ 𝑆𝑞 4,𝑚 [4].
Graf ( 𝑺 𝒏 , 𝟑 ) adalah suatu  graf  yang dibangun dari 3  graf bintang 𝑆 𝑛 kemudian  diberikan sebuah simpul c disebut  dengan simpul  pusat, dan diberikan busur  yang  menghubungkan setiap simpul pusat 𝑆 𝑛 dengan sebuah simpul c tersebut [1].
Gambar 1.1 Graf H-Bintang dan Graf A-Bintang
Gambar 1.2 Graf ( 𝑆 𝑛 , 3 )
Graf  bintang 𝑺 𝒏 adalah  graf  yang  dibangun  dari  satu  simpul  pusat  kemudian menambahkan  sejumlah  simpul  daun  pada  simpul  pusat  tersebut.  Graf  bintang  memiliki n +1 simpul dan n busur [2]
Graf  H-Bintang adalah  suatu  graf  yang  dibangun  dari bebapa  graf bintang 𝑆 𝑛 kemudian diberikan  suatu  graf  berbentuk  huruf  H  besar  dimana  setiap  simpul  berderajat  satu  pada graf H merupakan pusat graf bintang. Berikut diberikan contoh graf   H-bintang
Graf  A-Bintang adalah  suatu  graf  yang  dibangun  dari  graf  yang  berbentuk  huruf  A kemudian diberikan graf bintang 𝑆 𝑛 pada daun-daunnya. Berikut diberikan contoh graf   A- Bintang.
Graf  H-Bintang adalah  suatu  graf  yang dibangun  dari bebapa  graf bintang 𝑆 𝑛 kemudian diberikan  graf berbentuk  huruf A besar dimana setiap simpul  berderajat satu  pada  graf A merupakan pusat graf bintang. Berikut diberikan contoh graf   A-bintang
Gambar 1.3 Graf
bintang 𝑆 6
𝑣 4 1 𝑣 𝑖 1 𝑣 𝑛 1 𝑣 1 3 𝑣 2 3 𝑣 3 3 𝑣 4 3 𝑣 𝑖 3 𝑣 𝑛 3 𝑣 𝑛 4 𝑣 𝑖 4 𝑣 4 4 𝑣 3 4 𝑣 2 4 𝑣 1 4 𝑣 2 2 𝑣 1 2 𝑣 𝑛 2 𝑣 𝑖 2 𝑣 3 1 𝑣 2 1 𝑣 1 1 𝑐 6 𝑐 5 𝑐 4 𝑐 3 𝑐 1 𝑐 2
𝑣 4 2 𝑣 3 2
Gambar 1.4 Penamaan Graf H- Bintang
𝑣 1 1 𝑣 2 1 𝑣 3 1 𝑣 4 1 𝑣 𝑖 1 𝑣 𝑛 1 𝑣 1 2 𝑣 2 2 𝑣 3 2 𝑣 4 2 𝑣 𝑖 2 𝑣 𝑛 2 𝑐 1 𝑐 2 𝑐 3 𝑐 4 𝑐 5
Gambar 1.5 Penamaan Graf A- Bintang

## 2. PELABELAN PADA GRAF H-BINTANG
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  konstruksi  pelabelan  graceful  dan  pelabelan  skolem graceful dan pelabelan pada graf H-Bintang.
Teorema 2.1 Graf H-Bintang memiliki pelabelan graceful Bukti. Misalkan notasi simpul graf H-Bintang diberikan pada Gambar 1.4
Pada  Gambar  1.4  diatas  terlihat  bahwa  himpunan  simpul  Graf  H-Bintang  adalah 𝑐 1 , … , 𝑐 6 , 𝑣 1 1 , 𝑣 2 1 , . . , 𝑣 𝑛 1 , 𝑣 1 2 , 𝑣 2 2 , … , 𝑣 𝑛 2 , 𝑣 1 3 , 𝑣 2 3 , … , 𝑣 𝑛 3 , 𝑣 1 4 , . . . , 𝑣 𝑛 4 ,  dan  himpunan  busur  Graf H-Bintang
adalah
𝑐 1 𝑐 2 , 𝑐 2 𝑐 3 , 𝑐 2 𝑐 5 , 𝑐 4 𝑐 5 , 𝑐 5 𝑐 6 , 𝑐 1 𝑣 1 1 , … , 𝑐 1 𝑣 𝑛 1 , 𝑐 3 𝑣 1 2 , … , 𝑐 3 𝑣 𝑛 2 , 𝑐 4 𝑣 1 3 , … , 𝑐 4 𝑣 𝑛 3 , 𝑐 6 𝑣 1 4 , … , 𝑐 6 𝑣 𝑛 4 maka  jelas  bahwa 𝑉 =  4 n +  6  dan 𝐸 =  4 n +  5.  Didefinisikan  pelabelan  dengan menngunakan notasi 𝛼 (alpha) untuk simpul sebagai berikut :
𝛼 𝑐 1 =  0 (2.1)
𝛼 𝑐 2 =  3 𝑛  + 5 (2.2)
𝛼 𝑐 3 =  1 (2.3)
𝛼 𝑐 4 =  2𝑛 + 3 (2.4) 𝛼 𝑐 5 =   𝑛  + 2 (2.5)
𝛼 𝑐 6 =  2𝑛 + 4 (2.6)
𝛼 𝑣 𝑖 1 = 4𝑛 + 6 − 𝑖 i = 1,2…., n (2.7) 𝛼 𝑣 𝑖 2 = 3𝑛 + 5 − 𝑖 i = 1,2…., n (2.8) 𝛼 𝑣 𝑖 3 = 𝑛 + 2 + 𝑖 i = 1,2…., n (2.9) 𝛼 𝑣 𝑖 4 = 𝑖  + 1 i = 1,2…., n (2.10)
Pelabelan 𝛼 yang didefinisikan pada persamaan (2.1)-(2.10) , melabelkan anggota            V H-Bintang adalah pemetaan injektif dari V ke himpunan 0 , 1 , … , |𝐸| , 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.
Setiap  busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 diberikan  label  dengan  pelabelan  busur  α ′ yang  di  induksikan  oleh pelabelan 𝛼 ′ 𝑢𝑣  =    𝛼 𝑢  −  𝛼(𝑣) pada H-Bintang yang dinyatakan sebagai berikut: 𝛼 ′ 𝑐 1 𝑐 2 = | 𝛼 𝑐 1 −  𝛼 𝑐 2 | = | (0) – ( 3 𝑛  + 5 )| = | 3 𝑛  + 5 | (2.11) 𝛼 ′ ( 𝑐 2 𝑐 3 )    = | 𝛼 𝑐 2 −  𝛼 𝑐 3 |
= | ( 3 𝑛  + 5 ) – (1)| = | 3 𝑛  + 4 | (2.12) 𝛼 ′ ( 𝑐 2 𝑐 5 )     = | 𝛼 𝑐 2 −  𝛼 𝑐 5 | = | ( 3 𝑛  + 5 ) – ( n+2 )| = | 2n +3 | (2.13) 𝛼 ′ ( 𝑐 4 𝑐 5 )     = | 𝛼 𝑐 4 −  𝛼 𝑐 5 | = | (2 n +3) – ( n+2 )| = | n +1 | (2.14) 𝛼 ′ ( 𝑐 5 𝑐 6 )     = | 𝛼 𝑐 5 −  𝛼 𝑐 6 | = | ( n+2 ) – ( 2𝑛 + 4 )| = | n +2 | (2.15) 𝛼 ′ 𝑐 1 𝑣 𝑖 1 = | 𝛼 𝑐 1 −  𝛼 𝑣 𝑖 1 | = | (0) – ( 4𝑛 + 6 − 𝑖 )| = | 4𝑛 + 6 − 𝑖 | i =1,2...,n (2.16) 𝛼 ′ ( 𝑐 3 𝑣 𝑖 2 )     = | 𝛼 𝑐 3 −  𝛼 𝑣 𝑖 2 |
= | (1) – ( 3𝑛 + 5 − 𝑖 )| = | 3𝑛 + 4 − 𝑖 | i =1,2...,n (2.17) 𝛼 ′ ( 𝑐 4 𝑣 𝑖 3 )     = | 𝛼 𝑐 4 −  𝛼 𝑣 𝑖 3 | = | ( 2𝑛 + 3 ) – ( 𝑛 + 2 + 𝑖 )| = | 𝑛 + 1 − 𝑖 | i = 1,2...,n.        (2.18) 𝛼 ′ ( 𝑐 6 𝑣 𝑖 4 )     = | 𝛼 𝑐 6 −  𝛼 𝑣 𝑖 4 | = | ( 2𝑛 + 4 ) – ( 𝑖  + 1 )| = | 2𝑛 + 3 − 𝑖 | i = 1,2...,n.        (2.19)
Berdasarkan pelabelan 𝛼 yang didefinisikan pada persamaan (2.1)-(2.10) setiap simpulnya memiliki label yang berbeda dan merupakan himpunan bilangan 0 , 1 , 2 , … , |𝐸| . Kemudian pelabelan 𝛼 ′ yang diinduksi oleh pelabelan simpul 𝛼 , memberikan nilai yang berbeda pada masing-masing  busur  seperti  pada  persamaan (2.11)–(2.19) yang  merupakan  himpunan bilangan 1 , 2 , … , |𝐸| . Berdasarkan  hal  tersebut,  maka 𝛼 merupakan  pelabelan  graceful untuk graf H-Bintang ■
Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful untuk graf H-Bintang.
Untuk  semua  kelas  graf  graceful  dengan 𝑉 = 𝐸 +  1  merupakan  graf  skolem  graceful dengan mendefinisikan 𝜇 𝑣  = 𝑥(𝑣) + 1 . Sehingga diperoleh akibat berikut:
Akibat 2.2 Graf H-Bintang memiliki pelabelan Skolem graceful Bukti. Misalkan notasi vertek graf 𝑆 𝑛 , 3 diberikan seperti pada Gambar 1.4 Didefinisikan  pelabelan 𝜇 untuk  simpul  dengan  menambahkan  1  pada  setiap  label simpulnya  yang  menggunakan  pelabelan  pada  Teorema  2.1.  Jadi 𝜇 𝑥  = 𝜆 𝑥  + 1 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉 H-Bintang dengan 𝜆 adalah pelabelan pada bukti Teorema 2.1. Pelabelan  yang  didefinisikan  oleh 𝜇 akan  melabelkan  anggota 𝑉 H-Bintang  dengan pelabelan 𝜇(𝑉 H-Bintang)  adalah  pemetaan  injektif  dari  V  ke  himpunan 1,2, … , |𝑉| , 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉. Sehingga  setiap  busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 diberikan  label  dengan 𝜇 ′ 𝑢𝑣  =    𝜇 𝑢  − 𝜇(𝑣) pada H-Bintang yang menghasilkan sama seperti persamaan (2.11)–(2.19) .
19 16 17 18 19 20 21 7 15 23 22 8 1 2 3 4 5 6 29 28 27 26 25 24 26 25 24 9 10 11 12 13 14 7 6 5 4 3 2 21 22 17 18 27 28 29 16 8 15 1 0 23 20 Gambar 1.6 Pelabelan Graceful Pada Graf H- Bintang 14 13 12 11 10 9
Berdasarkan  pelabelan 𝜇 yang  terdefinisikan  dari  bukti  teorema  2.1  setiap  simpulnya memiliki  label  yang  berbeda  dan  merupakan  himpunan  bilangan 1 , 2 , … , |𝑉| . Kemudian pelabelan 𝜇 ′ seperti  persamaan 2.11  − (219) yang  diinduksi  oleh  pelabelan  simpul 𝜇 seperti  bukti  Teorema (2.1) ,  memberikan  nilai  yang  berbeda  pada  masing-masing  busur yang  merupakan  himpunan  bilangan 1 , 2 , … , |𝐸| . Maka 𝜇 merupakan  pelabelan  skolem graceful untuk graf H-Bintang.■
Berikut ini diberikan contoh pelabelan skolem graceful untuk graf H-Bintang.
Untuk semua kelas graf graceful dan graf skolem graceful dengan 𝑉 = 𝐸 + 1 merupakan graf 𝜌 dengan mendefinisikan γ 𝑣  = 𝜇(𝑣) atau γ 𝑣  = 𝛼(𝑣) . Sehingga diperoleh  akibat berikut:
Akibat 2.3 Graf H-Bintang memiliki pelabelan 𝜌
Bukti. Misal graf H-Bintang ditunjukkan seperti pada Gambar 1.4 Menggunakan  cara  yang  sama  pada  pembuktian  graceful  pada  Teorema  2.1  dengan mendefinisikan pelabelan simpul γ = 𝛼 seperti persamaan (2.1)–(2.10) dan pelabelan busur γ’ ( uv ) = γ(𝑢) –  γ(𝑣) dimana uv ∈ E dengan u,v ∈ V diperoleh pelabelan simpul dari H- Bintang  ke  subhimpunan  bilangan 0 , 1 , 2 , … ,  𝐸  + 1 , dan  pelabelan  busur  dari 𝑆 𝑛 , 3 ke himpunan bilangan 1 , 2 , … , |𝐸| . Jadi graf H-Bintang memiliki pelabelan 𝜌 . ■

## 3. PELABELAN PADA GRAF A-BINTANG
Pada bagian ini akan diberikan konstruksi pelabelan graceful dan pelabelan 𝜌 pada graf A-Bintang.
Teorema 3.1 Graf A-Bintang memiliki pelabelan graceful Bukti. Misalkan notasi simpul graf A-Bintang diberikan pada Gambar 1.5 Pada  Gambar  1.5  diatas  terlihat  bahwa  himpunan  simpul V A-Bintang  adalah 𝑐 1 , … , 𝑐 5 , 𝑣 1 1 , 𝑣 2 1 , . . , 𝑣 𝑛 1 , 𝑣 1 2 , 𝑣 2 2 , … , 𝑣 2𝑛 2
himpunan busur E
A-Bintang adalah 𝑐 1 𝑐 3 , 𝑐 3 𝑐 5 , 𝑐 2 𝑐 4 , 𝑐 4 𝑐 5 , 𝑐 1 𝑣 1 1 , … , 𝑐 1 𝑣 𝑛 1 , 𝑐 2 𝑣 1 2 , … , 𝑐 2 𝑣 𝑛 2 maka  jelas  bahwa 𝑉 =  2 n +  5  dan
20 16 17 18 19 20 21 7 15 23 22 8 1 2 3 4 5 6 29 28 27 26 25 24 27 26 25 10 11 12 13 14 15 8 7 6 5 4 3 22 23 18 19 28 29 30 17 9 16 2 1 24 21 Gambar 1.7 Pelabelan Skolem Graceful Pada Graf H-Bintang 14 13 12 11 10 9
𝐸 = 2 n + 5. Didefinisikan pelabelan dengan menngunakan notasi 𝛼 (alpha) untuk simpul sebagai berikut :
𝛼 𝑐 1 =  0 (3.1)
𝛼 𝑐 2 =  𝑛  + 4 (3.2)
𝛼 𝑐 3 =  𝑛 + 5 (3.3)
𝛼 𝑐 4 =  2 (3.4) 𝛼 𝑐 5 =   1 (3.5)
𝛼 𝑣 𝑖 1 = 2𝑛 + 6 − 𝑖 = 1,2…., n (3.6) 𝛼 𝑣 𝑖 2 = 𝑖 + 2 i = 1,2…., n (3.7)
Pelabelan 𝛼 yang didefinisikan pada persamaan (3.1)-(3.7) , melabelkan anggota               V A-Bintang adalah pemetaan injektif dari V ke himpunan 0 , 1 , … , |𝐸| , 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉.
Setiap  busur 𝑢𝑣 ∈ 𝐸 diberikan  label  dengan  pelabelan  busur  α ′ yang  di  induksikan  oleh pelabelan 𝛼 ′ 𝑢𝑣  =    𝛼 𝑢  −  𝛼(𝑣) pada A-Bintang yang dinyatakan sebagai berikut: 𝛼 ′ 𝑐 1 𝑐 3 = | 𝛼 𝑐 1 −  𝛼 𝑐 3 | = | (0) – ( 𝑛  + 5 )| = | 𝑛  + 5 | (3.8)
𝛼 ′ ( 𝑐 3 𝑐 5 )    = | 𝛼 𝑐 3 −  𝛼 𝑐 5 |
= | ( 𝑛  + 5 ) – (1)| = | 𝑛  + 4 | (3.9) 𝛼 ′ ( 𝑐 2 𝑐 4 )     = | 𝛼 𝑐 2 −  𝛼 𝑐 4 | = | ( 𝑛  + 4 ) – ( 2 )| = | n +2 | (3.10) 𝛼 ′ ( 𝑐 4 𝑐 5 )     = | 𝛼 𝑐 4 −  𝛼 𝑐 5 | = | (2) – ( 1 )| = | 1 | (3.11) 𝛼 ′ 𝑐 1 𝑣 𝑖 1 = | 𝛼 𝑐 1 −  𝛼 𝑣 𝑖 1 | = | (0) – ( 2𝑛 + 6 − 𝑖 )| = | 2𝑛 + 6 − 𝑖 | i =1,2...,n (3.12) 𝛼 ′ ( 𝑐 2 𝑣 𝑖 2 )     = | 𝛼 𝑐 2 −  𝛼 𝑣 𝑖 2 | = | ( 𝑛  + 4 ) – ( 𝑖 + 2 )| = | 𝑛 + 2 − 𝑖 | i =1,2...,n (3.13)
Berdasarkan pelabelan 𝛼 yang didefinisikan pada persamaan (3.1)-(3.7) setiap simpulnya memiliki  label  yang  berbeda  dan  merupakan  subhimpunan  bilangan 0 , 1 , 2 , … , |𝐸| pada pelabelan  simpul  pada  graf  ini 𝑛 + 3 .  Kemudian  pelabelan 𝛼 ′ yang  diinduksi  oleh pelabelan  simpul 𝛼 ,  memberikan  nilai  yang  berbeda  pada  masing-masing  busur  seperti pada  persamaan (3.8)–(3.13) yang  merupakan  himpunan  bilangan 1 , 2 , … , |𝐸| . Berdasarkan hal tersebut, maka 𝛼 merupakan pelabelan graceful untuk graf A-Bintang. ■ Berikut ini diberikan contoh pelabelan graceful untuk graf A-Bintang .
17 16 15 14 13 12 3 4 5 6 7 8 0 10 11 2 1
Gambar 1.8 Pelabelan Graceful Pada Graf A- Bintang
Untuk  semua  kelas  graf  graceful  dengan 𝑉 = 𝐸 selalu  tidak  bisa  mengkonstruksi pelabelan  skolem  graceful  karena  tidak  akan  bisa  menunjukkan 𝑒 𝑚𝑎𝑘𝑠 akan  tetapi  setiap pelabelan graceful bisa dikonstrusikan pelabelan 𝜌 seperti akibat berikut:
Akibat 3.2 Graf A-Bintang memiliki pelabelan 𝜌 Bukti. Misal graf A-Bintang ditunjukkan seperti pada Gambar 1.1 Menggunakan  cara  yang  sama  pada  pembuktian  graceful  pada  Teorema  2.1  dengan mendefinisikan pelabelan simpul γ = 𝛼 seperti persamaan (3.1)–(3.7) dan pelabelan busur γ’ ( uv ) = γ(𝑢) –  γ(𝑣) dimana uv ∈ E dengan u,v ∈ V diperoleh pelabelan simpul dari A- Bintang ke subhimpunan bilangan 0 , 1 , 2 , … ,  𝐸  + 1 , dan pelabelan busur dari           A- Bintang ke himpunan bilangan 1 , 2 , … , |𝐸| . Jadi graf A-Bintang memiliki pelabelan 𝜌 .■

## 4. KESIMPULAN
Pada  makalah  ini  telah  diberikan  kontruksi  pelabelan  graceful,  skolem  graceful  dan pelabelan 𝜌 pada graf H-Bintang dan A-Bintang.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Amri,dkk. (2011). Pelabelan Graceful, Skolem Graceful dan Pelabelan 𝜌 Pada Graf (S n ,3) . Prosiding Seminar Nasional UNY,Yogjakarta, hal M 131- M 136.
[2] Choudum,  S.  A.,  &  Kishore,  S.  P.  (1996). All  5-star  are  Skolem  graceful .  Indian  J. Pure and Appl. Math,27 , 1101-1105.
[3] Galian,  J.  A.  (2010). Dynamic  survey  of  graph  Labeling .  Electronic  Journal  of Combinatorics,17,#ds6
[4] Sevenhot,  Sugeng.K.A.,  Silaban,  D.R.,  (2010). Pelabelan  Skolem  Graceful  dan Pelabelan 𝜌 Pada  Gabungan  Dua  Graf. Prosiding  Seminar  Nasional UNPAR, Bandung, hal MS 183- MS 191