## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
Model Matematika Penyebaran Penyakit Antraknosa pada Tanaman Cabe dengan Tindakan Preventif dan
Kuratif
1 Mella susriyanti, 2 Defri ahmad 1,2 Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Negeri Padang email: mella04091999@gmail.com

## Abstrak
Salah  satu  penyakit  yang  dapat  menyerang  tanaman  cabe  adalah  penyakit antraknosa. Penyakit ini dapat menyebabkan hilangnya hasil panen. Tingkat penyebaran penyakit ini tergantung dari upaya pengendaliannya mulai sejak upaya  preventif  sampai  upaya  kuratif.  Tujuan  dari  penelitian  ini  untuk membentuk model, menganalisis dan menginterpretasikan hasil analisis model matematika  penyebaran  penyakit  antraknosa  pada  tanaman  cabe  dengan tindakan  preventif  dan  kuratif.  Penelitian  ini  adalah  penelitian  dasar  dan metode  yang  digunakan  yaitu  metode  deskriptif.  Model  matematika  yang terbentuk  yaitu  model  SIRPC.  Berdasarkan  analisis  yang  telah  dilakukan diperoleh dua titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan endemik.  Titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  bersifat  stabil  asimtotik  jika 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) dan 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < 𝜋. Sedangkan untuk titik kesetimbangan endemik akan bersifat stabil asimtotik jika 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 , 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 5 , 𝑎 1 2 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 , 𝑎 3 > 𝑎12𝑎4−𝑎0𝑎1𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ,  dan (𝑎 3 − 𝑎12𝑎4−𝑎0𝑎1𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ) ( 𝑎1𝑎4−𝑎0𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ) > 𝑎 5 . Semakin  besar  tindakan preventif menyebabkan populasi terlindungi semakin meningkat dan populasi rentan  semakin  menurun  sedangkan  ketika  tindakan  kuratif  semakin  besar maka populasi terinfeksi dan carrier akan semakin menurun
Kata  kunci: model  matematika;  penyakit  antraknosa;  tindakan preventif; tindakan kuratif

## Abstract
A disease that can affect chili plants is anthracnose. This disease can cause crop loss. The level of spread of this disease depends on control efforts, starting from preventive and moving to curative efforts. The purpose of this study was to form a model, analyse it, and interpret the result of a mathematical model analysis of the  spread  of  anthracnose  disease  in  chilies  with  preventive  and  curative measures. This type of research is basic research, and the method used is the descriptive method. The mathematical model formed is the SIRPC model.  The SIRPC model is the resultant mathematical model. Two balance point the illness free balance point and the endemic balance point are discovered as a result of the study that has been done. The asymptotically stable illness free balance point if 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) and 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < 𝜋. Whereas the endemic balance point will be asymptotically stable if 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 , 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 5 , 𝑎 1 2 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 , 𝑎 3 > 𝑎12𝑎4−𝑎0𝑎1𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ,  and (𝑎 3 − 𝑎12𝑎4−𝑎0𝑎1𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ) ( 𝑎1𝑎4−𝑎0𝑎5 𝑎1𝑎2−𝑎0𝑎3 ) > 𝑎 5 .  The  greater  the  preventive action,  the  more  the  protected  population  increases  and  the  vulnerable population decreases, while when the curative action is greater, the infected and carrier populations decrease. Keywords: mathematical  model;  athracnose  disease;  preventive measure; currative measure

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646

## A. Pendahuluan
Model  matematika  adalah  salah  satu  alat  bantu  untuk  menyatakan kejadian  dunia  nyata  dalam  bentuk  fungsi  atau  persamaan  matematika sehingga diperoleh pemahaman yang lebih tepat terhadap masalah tersebut (Widowati,  2013).  Model  matematika  banyak  diterapkan  pada  bidang keilmuan yaitu fisika, kimia, biologi, ilmu teknologi dan bidang ilmu lainnya. Salah satu model matematika yang diterapkan dalam kehidupan sehari-hari dapat  kita  lihat  pada  bidang  biologi  yaitu  penyebaran  penyakit  pada tanaman cabe.
Tanaman cabe atau Capsicum annum merupakan tumbuhan perdu dari famili Solanaceae . Cabe juga mempunyai nilai ekonomis yang cukup tinggi. Komoditas  ini  umum  dikonsumsi  di  Indonesia,  baik  secara  produk  segar maupun  olahan.  Kebutuhan  cabe  terus  meningkat  setiap  tahun,  akibat bertambahnya jumlah penduduk dan industri yang berkembang pesat yang membutuhkan bahan pokok cabe (Farid, 2012).
Berdasarkan  data  BPS  indonesia  dapat  diketahui  bahwa  produksi tanaman  cabe  dapat  mengalami  peningkatan  ataupun  penurunan produktivitas.  Penurunan  produktivitas  cabe  dapat  dipengaruhi  oleh berbagai faktor seperti  faktor bahan tanaman, faktor esensiil, faktor iklim dan  faktor  gangguan.  Terdapat  berbagai  jenis  faktor  gangguan  berupa penyakit yang dapat menyebabkan rendahnya produktivitas tanaman cabe seperti  penyakit  layu  fusarium  ( Fusarium  oxysporum  f.sp ),  penyakit  layu bakteri  ralstonia  ( Ralstonia  gloeospoiroides ),  penyakit  antraknosa ( Collectrotichum  sp ),  penyakit  virus  kuning  ( Gemini  virus ),  dan  penyakit bercak daun ( Cercospora sp ) (Meilin, 2014).
Penyakit  antraknosa  adalah  salah  satu  penyakit  yang  hampir  selalu menyerang  area  perkebunan  tanaman  cabe.  Jamur  penyebab  penyakit  ini yaitu  jamur Colletotrichum  sp yang  dapat  menyebabkan  kehilangan  hasil panen  sampai  lebih  dari  50%  (Syukur,  2013).  Jamur Colletotrichum  sp termasuk kedalam salah satu patogen yang terbawa oleh benih dan dapat bertahan  dalam  tanah,  sisa  tanaman  atau  buah  yang  telah  tekontaminasi sehingga dapat menjadi sumber penularan (Nawangsih, 2001). Penyebaran penyakit  antraknosa  yaitu  melalui  penyebaran  spora  jamur  yang  dapat dibawa  oleh  manusia,  serangga,  hembusan  angin,  peralatan  pertanian, percikan air hujan dan aplikasi pestisida (Sutarman, 2017).
Gejala awal penyakit antraknosa pada cabe yaitu matinya bagian pucuk dan kemudian mengalami matinya bagian bawah tanaman, termasuk dahan, daun,  bahkan  buah  berubah  menjadi  kering  serta  memiliki  tonjolan aservulus  yang berwarna  coklat  gelap  kehitaman.  Buah  akan cepat  busuk dan  berwarna  kehitaman  (Duriat,  2007).  Penyakit  ini  disebut  sebagai penyakit  yang  sulit  diatasi  karena  gejala  serangannya  sulit  untuk diidentifikasi  sejak  dini  walaupun  proses  infeksinya  sudah  lama  terjadi. Gejala antraknosa biasanya dapat diidentifikasi setelah buah cabe matang

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
(Cerkauskas, 2004). Jika pengendalian tidak tepat, kehilangan hasil akibat serangan antraknosa pada cabe dapat mendekati 100%. Karena jamur dapat tumbuh subur pada lingkungan yang lembab, dan penyakit akan mewabah saat musim hujan (Suhardi, 1992).
Untuk meminimalkan tingkat serangan penyakit antraknosa pada suatu hamparan kebun cabe, maka dibutuhkan tindakan pengendalian. Tindakan pengendalian yang dapat dilakukan seperti tindakan pencegahan (preventif) dan  tindakan  pengobatan  (kuratif).  Sebelum  melakukan  tindakan pengendalian  penyakit  maka  perlu  dilihat  bagaimana  pola  penyebaran penyakit  tersebut.  Dalam  hal  ini,  bidang  matematika  mempunyai  peran penting  dalam  memberikan  gambaran  pola  penyebaran  penyakit  yaitu melalui bentuk model matematika.
Model matematika penyebaran penyakit antraknosa pada tanaman cabe belum  pernah  diteliti,  namun  ada  penelitian  yang  mengarah  pada pembentukan model penyebaran penyakit yaitu seperti yang dilakukan oleh Anggriani  dkk.  (2018)  yang  menyatakan  bahwa  perlakuan  preventif terhadap tanaman yang rentan dapat mengurangi penyakit endemik. Serta penelitian  yang  dilakukan  oleh  El-Sayed  dkk.  (2020),  ia  mengusulkan pembentukan model penyakit tanaman orde fraksional dengan infeksi dua tahap dimana individu yang rentan melewati fase terpapar sebelum menjadi individu yang menularkan penyakit dan tanaman yang terpapar juga dapat menularkan  penyakit.  Penelitian  ini  dilakukan  untuk  membetuk, menganalis  dan  menginterpretasikan  hasil  analisis  model  matematika penyebaran  penyakit  antraknosa  pada  tanaman  cabe  dengan  tindakan preventif dan kuratif.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  menggunakan  penelitian  dasar  atau  teoritis  dan metodenya yaitu metode deskriptif. Tahapan yang dilalui dalam penelitian ini yaitu mengidentifikasi dan merumuskan masalah sesuai dengan masalah penelitian, yang merupakan masalah penting dari penelitian ini. Kemudian mengumpulkan  serta  mengkaji  teori  yang  berkaitan  dengan  masalah penelitian  yang  bersumber  dari  studi  kepustakaan.  Setelah  itu  membuat asumsi,  variabel,  dan  parameter  yang  akan  digunakan  untuk  membentuk model dan melakukan analisis model, dimana dalam hal ini akan diketahui hal apa saja yang berpengaruh dalam proses penyebaran penyakit tersebut. Selanjutnya  membentuk  model  matematika  penyebaran  penyakit antraknosa  pada  tanaman  cabe  dengan  tindakan  preventif  dan  kuratif, sehingga diperoleh suatu bagan beserta persamaan dari masalah penelitian. Kemudian menganalisis model dan menginterpretasikan hasil analisis model yang  telah  diperoleh,  dimana  dari  hasil  analisis  ini  akan  diketahui  kapan penyakit  ini  akan  menyebar  dalam  suatu  populasi.  Setelah  itu  menarik kesimpulan,  dengan  adanya  kesimpulan  maka  kita  dapat  mengetahui bagaimana cara mengatasi penyebaran penyakit.

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646

## C. Hasil dan Pembahasan
1. Pembentukan model
Asumsi-asumsi yang akan digunakan sebagai berikut:
 Tindakan  preventif    diberikan  pada  tanaman  cabe  yang  rentan terhadap penyakit
 Tanaman  cabe  rentan  terhadap  penyakit  yang  menerima  tindakan preventif (pencegahan) akan memasuki kompartmen terlindungi (𝑃) .
Dimana  tanaman  cabe  yang  terlindungi (𝑃) memiliki  efek pencegahan,  tetapi  tidak  kebal  terhadap  penyakit  sehingga memungkinkan  mereka  masuk  kembali  pada  kompartment  rentan (𝑆).
 Individu  carrier  adalah  individu  pembawa  penyakit  namun  gejala yang ditimbulkan akan muncul setelah tanaman cabe berbuah.
 Pengobatan dilakukan terhadap tanaman cabe yang terinfeksi yang sudah menunjukkan gejala terinfeksi.
 Tanaman  terinfeksi (𝐼) yang  diberi  tindakan  pengobatan  dapat beralih menjadi populasi sembuh (𝑅) namun dapat kembali menjadi subpopulasi 𝑆 karena tidak memiliki kekebalan yang permanen.
 Jika  tanaman  cabe  telah  menunjukkan  gejala  terinfeksi  yang meneyeluruh,  maka  tanaman  tersebut  akan  dicabut.  Dimana banyaknya tanaman yang dicabut sama dengan penanaman.
Variabel  dan  parameter  yang  akan  digunakan  dalam pembentukan model sebagai berikut:
 𝑆 merupakan kelompok tanaman cabe yang rentan terhadap penyakit
 𝐼 merupakan  kelompok  tanaman  cabe  yang  terinfeksi  dan  dapat menularkan penyakit
 𝑅 merupakan  kelompok  tanaman  cabe  yang  sembuh  dari  penyakit akibat tindakan kuratif
 𝑃 merupakan  kelompok  tanaman  cabe  yang  terlindungi  sementara dari penyakit akibat tindakan preventif
 𝐶 merupakan kelompok tanaman cabe pembawa penyakit (carrier)
 𝜌 adalah peluang individu rentan menjadi carrier
 𝛼 adalah laju infeksi penyakit
 𝜋 adalah laju sifat bawaan terinfeksi penyakit
 𝛽 adalah tingkat tindakan pencegahan ( preventif)
 𝛿 adalah tingkat tindakan pengobatan (kuratif)
 𝜂 adalah laju pencabutan
 𝛾 adalah laju perubahan populasi 𝑃 menjadi 𝑆 karena berkurangnya efek tindakan preventif
 𝜀 adalah  laju  perubahan  populasi 𝑅 menjadi 𝑆 karena  tidak mempunyai kekebalan yang permanen

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan  asumsi,  variabel  dan  parameter  yang  diberikan, maka dapat dibentuk diagram seperti berikut:
Gambar 1. Diagram Model Matematika Penyebaran Penyakit Antraknosa pada Tanaman Cabe dengan Tindakan Preventif dan Kuratif
Dari Gambar 1 diperoleh model matematika penyebaran penyakit antraknosa pada tanaman cabe dengan tindakan preventif dan kuratif dalam bentuk sistem persamaan differensial nonlinear seperti berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝛾𝑃 + 𝜀𝑅 + 𝜂𝐼 − 𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 − 𝛽𝑆
(1) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌)𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 + 𝜋𝐶 − 𝛿𝐼 − 𝜂𝐼
(2) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼 − 𝜀𝑅
(3) 𝑑𝑃 𝑑𝑡 = 𝛽𝑆 − 𝛾𝑃
(4) 𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜌𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 − 𝜋𝐶
(5) dengan 𝑁 adalah total individu, dimana 𝑁 = 𝑆 + 𝐼 + 𝑅 + 𝑃 + 𝐶

## 2. Analisis model
Analisis model matematika penyebaran penyakit antraknosa pada tanaman cabe dengan tindakan preventif dan kuratif akan dilakukan dengan  pencarian  terhadap  titik  kesetimbangan  model,  bilangan reproduksi dasar dan analisis kestabilan serta melakukan simulasi.
a. Titik  Kesetimbangan  Model  Matematika  Penyebaran  Penyakit Antraknosa pada Tanaman Cabe dengan Tindakan Preventif dan
Kuratif Titik kesetimbangan model diperoleh pada saat
( 𝑑𝑆 𝑑𝑡 , 𝑑𝐼 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 , 𝑑𝑃 𝑑𝑡 , 𝑑𝑐 𝑑𝑡 ) = (0,0,0,0,0) sehingga  sistem  persamaan  (1) menjadi seperti berikut:
𝜂𝐼 I 𝜀𝑅 (1 − 𝜌)𝛼𝑆 (𝐼 + 𝐶) 𝑁 𝜌𝛼𝑆 (𝐼 + 𝐶) 𝑁 𝛿𝐼 𝛾𝑃 𝛽𝑆 𝜋𝐶 S I P C R

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
𝛾𝑃 + 𝜀𝑅 + 𝜂𝐼 − 𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 − 𝛽𝑆 = 0
(6)
(1 − 𝜌)𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 + 𝜋𝐶 − 𝛿𝐼 − 𝜂𝐼 = 0
(7) 𝛿𝐼 + 𝜔𝐼 − 𝜀𝑅 = 0 (8) 𝛽𝑆 − 𝛾𝑃 = 0 (9)
𝜌𝛼𝑆 (𝐼+𝐶) 𝑁 − 𝜋𝐶 = 0
(10)
Dari  persamaan  (6)-(10)  diperoleh  dua  titik  kesetimbangan yaitu  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit (𝐸 0 ) dan  titik kesetimbangan  endemik (𝐸 1 ) ,  dengan  nilai  masing-masing  yaitu seperti berikut:
𝐸 0 (𝑆, 𝐼, 𝑅, 𝑃, 𝐶) = ( 𝛾 𝛽+𝛾 , 0,0, 𝛽 𝛽+𝛾 , 0) 𝐸 1 (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝑃 ∗ , 𝐶 ∗ ) = ( 𝜋(𝛿+𝜂) 𝛼𝜋+𝛼𝜌(𝛿+𝜂) , 𝑎−𝑏−𝑐 𝑑+𝑎 , 𝛿𝐼 ∗ 𝜀 , 𝛽𝜋(𝛿+𝜂) 𝛾𝛼𝜋+𝛾𝛼𝜌(𝛿+𝜂) , 𝜌𝐼 ∗ (𝛿+𝜂) 𝜋 )

## Dimana:
𝑎 = 𝜀𝜋(𝜋𝛼 + 𝜌𝛼𝛿 + 𝜌𝛼𝜂)(𝛾𝛼𝜋 + 𝛾𝜌𝛼𝛿 + 𝛾𝜌𝛼𝜂) 𝑏 = 𝜀𝜋(𝜋𝛿 + 𝜋𝜂)(𝛾𝛼𝜋 + 𝛾𝜌𝛼𝛿 + 𝛾𝜌𝛼𝜂)
𝑐 = 𝜀𝜋(𝛽𝜋𝛿 + 𝛽𝜋𝜂)(𝜋𝛼 + 𝜌𝛼𝛿 + 𝜌𝛼𝜂)
𝑑 = (𝛿𝜋 + 𝜌𝜀𝛿 + 𝜌𝜀𝜂)(𝜋𝛼 + 𝜌𝛼𝛿 + 𝜌𝛼𝜂)(𝛾𝛼𝜋 + 𝛾𝜌𝛼𝛿 + 𝛾𝜌𝛼𝜂) dengan syarat eksistensi 𝑎 > 0, 𝑑 > 0 dan 𝑏 < 0, 𝑐 < 0 sehingga 𝑎−𝑏−𝑐 𝑑+𝑎 > 0
b. Bilangan Reproduksi Dasar (𝑹 𝟎 ) Bilangan 𝑅 0 adalah  suatu  bilangan  yang  digunakan  untuk melihat  didalam  suatu  kelompok  terjadi  endemik  atau  tidak. Untuk menentukan 𝑅 0 digunakan metode next generation matriks , yaitu  dengan  menggunakan  matriks  transmisi  dari 𝐹 dan 𝑉 sebagai berikut:
𝐹 = [ 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝜋 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 ] dan 𝑉 = [ 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 0 𝜋 ]
Bilangan 𝑅 0 adalah radius spektal atau nilai eigen terbesar dari matriks (𝐹𝑉 −1 ) , sehingga didapatkan 𝑅 0 sebagai berikut:
𝑅 0 = 𝑏 5 − 𝑏 4 + 𝑏 + √(𝑏 4 − 𝑏 5 − 𝑏) 2 − 4(𝑏𝑏 5 − 𝑏𝑏 4 + 𝑏 3 𝑏 1 − 𝑏 3 𝑏 2 ) 2
Dimana:

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
𝑏 = 𝛼𝛾𝜋 𝜌𝛼𝛾+𝛾𝛿+𝛽𝛿+𝛾𝜂+𝛽𝜂 , 𝑏 1 = 𝜌𝛼 2 𝛾 2 (𝛾+𝛽)(𝜌𝛼𝛾+𝛾𝛿+𝛽𝛿+𝛾𝜂+𝛽𝜂) ,      𝑏 2 = 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝜋 𝑏 3 = 𝜌𝛼𝛾𝜋 𝜌𝛼𝛾+𝛾𝛿+𝛽𝛿+𝛾𝜂+𝛽𝜂 ,   𝑏 4 = 𝜌 2 𝛼 2 𝛾 2 (𝛾+𝛽)(𝜌𝛼𝛾+𝛾𝛿+𝛽𝛿+𝛾𝜂+𝛽𝜂) ,     𝑏 5 = 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 dengan syarat eksistensi 𝑏 > 0, 𝑏 1 < 0, 𝑏 2 > 0 , 𝑏 3 > 0, 𝑏 4 < 0 , sehingga (𝑏 4 − 𝑏 5 − 𝑏) 2 > 4(𝑏𝑏 5 − 𝑏𝑏 4 + 𝑏 3 𝑏 1 − 𝑏 3 𝑏 2 )
c. Analisis kestabilan titik kesetimbangan
Analisis  kestabilan  dapat  dilakukan  dengan  mencari  nilai eigen dari matrik jacobi dari persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5). Dari persamaan tersebut didapatkan matriks seperti berikut:
𝐽 =
[ −(𝛼𝐼 + 𝛼𝐶 + 𝛽) 𝜂 − 𝛼𝑆 𝜀 𝛾 0 (𝛼𝐼 + 𝛼𝐶 − 𝜌𝛼𝐼 − 𝜌𝛼𝐶) 𝛼𝑆 − (𝜌𝛼𝑆 + 𝛿 + 𝜂) 0 0 𝜋 0 𝛿 −𝜀 0 0 𝛽 0 0 −𝛾 0 𝜌𝛼(𝐼 + 𝐶) 𝜌𝛼𝑆 0 0 𝜌𝛼𝑆 − 𝜋]
Titik kesetimbangan model  disebut  stabil asimtotik apabila semua nilai eigen real dari matriks jacobi bernilai negative
1) Analisis kestabilan titik kesetimbangan bebas penyakit (𝐸 0 )
𝐽(𝐸 0 ) =
[ −𝛽 𝜂 − 𝛼𝛾 𝛾+𝛽
𝜀 𝛾 0 0 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 − ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) 0 0 𝜋 0 𝛿 −𝜀 0 0 𝛽 0 0 −𝛾 0 0 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 0 0 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 − 𝜋]
Untuk  menentukan  nilai  eigen  maka  berlaku |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )| = 0 dimana 𝐼 adalah  matriks  identitas,  sehingga  diperoleh determinan matriks seperti berikut:
(𝜆 + 𝛽) (𝜆 − 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) (𝜆 + 𝜀)(𝜆 + 𝛾)(𝜆 − 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝜋) = 0
 𝜆 1 + 𝛽 = 0 karena 𝛽 > 0 maka 𝜆 1 < 0  𝜆 2 − 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) = 0 diperoleh 𝜆 2 > 0, agar 𝜆 2 < 0 maka 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂)  𝜆 3 + 𝜀 = 0 karena 𝜀 > 0 maka 𝜆 3 < 0  𝜆 4 + 𝛾 = 0 karena 𝛾 > 0 maka 𝜆 4 < 0  𝜆 5 − 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝜋 = 0 diperoleh 𝜆 5 = 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 − 𝜋, agar 𝜆 5 < 0 maka 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < 𝜋
Dari  persamaan  karakteristik  diatas  dapat  diketahui bahwa semua nilai eigen negatif, sehingga titik kesetimbangan
𝐸 0 stabil asimtotik dengan syarat 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) dan 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 <

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646

## 𝜋
2) Analisis kestabilan titik kesetimbangan endemik (𝑬 𝟏 ) Matriks  jacobi  disekitar  titik  kesetimbangan  endemik sebagai berikut:
𝐽(𝐸 1 ) = [ −𝑑 1 𝑑 2 𝜀 𝛾 0 𝑑 3 𝑑 4 0 0 𝜋 0 𝛿 −𝜀 0 0 𝛽 0 0 −𝛾 0 𝑑 5 𝑑 6 0 0 𝑑 7] Dimana: 𝑑 1 = 𝛼𝐼 ∗ + 𝛼𝐶 ∗ + 𝛽 𝑑 2 = 𝜂 − 𝛼𝑆 ∗ 𝑑 3 = 𝛼𝐼 ∗ + 𝛼𝐶 ∗ − 𝜌𝛼𝐼 ∗ − 𝜌𝛼𝐶 ∗ 𝑑 4 = 𝛼𝑠 ∗ (1 − 𝜌) − 𝛿 − 𝜂 𝑑 5 = 𝜌𝛼(𝐼 ∗ + 𝐶 ∗ ) 𝑑 6 = 𝜌𝛼𝑆 ∗ 𝑑 7 = 𝜌𝛼𝑆 ∗ − 𝜋 Untuk  menentukan  nilai  eigen  maka  berlaku |𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 1 )| = 0
dimana 𝐼 adalah  matriks  identitas,  sehingga  diperoleh persamaan karakteristik seperti berikut:
𝑎 0 𝜆 5 + 𝑎 1 𝜆 4 + 𝑎 2 𝜆 3 + 𝑎 3 𝜆 2 + 𝑎 4 𝜆 + 𝑎 5 = 0
Dimana:
𝑎 0 = 1 𝑎 1 = 𝜀 + 𝛾 + 𝑑 1 − 𝑑 4 − 𝑑 7 𝑎 2 = 𝜀𝛾 + 𝑑 1 𝜀 − 𝑑 4 𝜀 − 𝑑 7 𝜀 + 𝑑 1 𝛾 − 𝑑 4 𝛾 − 𝑑 7 𝛾 + 𝑑 4 𝑑 7 − 𝑑 1 𝑑 4 − 𝑑 1 𝑑 7
𝑎 3 = 𝑑 1 𝜀𝛾 − 𝑑 4 𝜀𝛾 − 𝑑 7 𝜀𝛾 + 𝑑 4 𝑑 7 𝜀 − 𝑑 1 𝑑 4 𝜀 − 𝑑 1 𝑑 7 𝜀 + 𝑑 4 𝑑 7 𝛾 − 𝑑 1 𝑑 4 𝛾 −           𝑑 1 𝑑 7 𝛾 + 𝑑 1 𝑑 4 𝑑 7 𝑎 4 = 𝑑 4 𝑑 7 𝜀𝛾 − 𝑑 1 𝑑 4 𝜀𝛾 − 𝑑 1 𝑑 7 𝜀𝛾 + 𝑑 1 𝑑 4 𝑑 7 𝜀 + 𝑑 1 𝑑 4 𝑑 7 𝛾 𝑎 5 = 𝜀𝛾𝑑 1 𝑑 4 𝑑 7 Dengan  menggunakan  metode  kriteria  Routh-hurwitz  titik kesetimbangan endemik akan bersifat stabil asimtotik dengan syarat seperti berikut:
a) 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 d) 𝑎 3 > 𝑎 1 2 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 b) 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 5 e) (𝑎 3 − 𝑎 1 2 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 ) ( 𝑎 1 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 ) > 𝑎 5 c) 𝑎 1 2 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 d) d. Simulasi
Simulasi  numerik  bertujuan  untuk  memberikan  hasil  yang lebih  jelas  terhadap  penyebaran  penyakit  antraknosa  pada  cabe dengan tindakan preventif dan kuratif. Simulasi dilakukan dengan membentuk trayektori dari kondisi awal yang dimisalkan.
1) Simulasi titik Kesetimbangan Bebas Penyakit (𝐸 0 )
Parameter yang akan digunakan seperti tabel berikut:

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646

## Tabel 1. Nilai Parameter Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit
Variabel Nilai N 1 𝜌 0.001 𝛼 0.070 𝜋 0.018 𝛽 0.050 𝛿 0.005 𝜂 0.001 𝛾 0.025 𝜀 0.015 Dari nilai pada Tabel 1 akan dihitung 𝐸 0 dan 𝑅 0 terlebih dahulu sehingga diperoleh:
𝐸 0 = (0.36; 0;  0;  0.64; 0) dan 𝑅 0 = 0.0233488003 Diperoleh 𝑅 0 < 1 , yang artinya penyakit tidak mewabah. Dalam simulasi  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  digunakan  dua tebakan nilai awal seperti pada Tabel 2.
Tabel 2. Tebakan Nilai Awal Titik Kesetimbangan Bebas
Penyakit Variabel Nilai 𝑆 0.40 0.31 𝐼 0.10 0.15 𝑅 0.10 0.11 𝑃 0.30 0.32 𝐶 0.10 0.11
Sehingga didapatkan grafik seperti pada Gambar 2.
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡)

## Gambar 2. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Bebas
Penyakit
Berdasarkan  Gambar  2  kurva  merah  adalah  kurva  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  kurva  hijau  dan  merah nantinya  akan  menentukan  stabil  atau  tidak  stabilnya  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dari  masing-masing  grafik. Dapat  diketahui  trayektori  kurva  biru  dan  hijau  bergerak mendekati  kurva  merah.  Dapat  disimpulkan  bahwa  titik kesetimbangan 𝐸 0 bersifat  stabil  asimtotik  dimana  juga

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
diperkuat  dengan  nilai 𝑅 0 < 1 ,  yang  artinya  dalam  waktu tertentu penyebaran penyakit antraknosa akan menghilang.
2) Simulasi titik kesetimbangan Endemik (𝑬 𝟏 ) Parameter yang akan digunakan seperti pada Tabel 3:
Tabel 3. Nilai Parameter Titik Kesetimbangan Endemik (𝐸 1 ) Variabel Nilai 𝐍 1 𝝆 0.001 𝜶 0.080 𝝅 0.018 𝜷 0.0010 𝜹 0.001 𝜼 0.001 𝜸 0.025 𝜺 0.005 Dari  nilai  Tabel  3  akan  dihitung 𝐸 1 = (𝑆 ∗ , 𝐼 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝑃 ∗ , 𝐶 ∗ ) dan 𝑅 0 terlebih dahulu sehingga diperoleh:
𝑆 ∗ = 0. 02499821441 𝐼 ∗ = 0.8116199036 𝑅 ∗ = 0.1623239807 𝑃 ∗ = 0.000999928574 𝐶 ∗ = 0.00005797285 dan 𝑅 0 = 1.731002250 Diperoleh 𝑅 0 > 1 , yang artinya penyakit akan mewabah. Dalam simulasi  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  digunakan  dua tebakan nilai awal seperti pada Tabel 4.
Tabel 4. Tebakan Nilai Awal Titik Kesetimbangan Endemik
Variabel Nilai 𝑆 0.1249982144 0.09499821441 𝐼 0.5116199036 0.6116199036 𝑅 0.1923239807 0.1723239807 𝑃 0.1009999286 0.06099992858 𝐶 0.07005797285 0.06005797285
Sehingga  didapatkan grafik seperti pada Gambar 3.
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡)
Gambar 3. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik (𝐸 1 )

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan  Gambar  3  kurva  merah  adalah  kurva  titik kesetimbangan endemik dan kurva hijau dan merah nantinya akan  menentukan  stabil  atau  tidak  stabilnya  titik kesetimbangan  endemik  dari  masing-masing  grafik.  Dapat diketahui  bahwa  trayektori  kurva  biru  dan  hijau  bergerak mendekati  kurva  merah  yang  berarti  bahwa  akan  terjadi penyebaran  penyakit  dalam  waktu  yang  lama.  Hal  ini  juga diperkuat dengan nilai 𝑅 0 > 1 .
3) Simulasi  Titik  Kesetimbangan  Endemik (𝑬 𝟏 ) dengan  Nilai 𝜷 dan 𝜹 Berbeda
Parameter  lain  yang  akan  digunakan  dalam  simulasi  sama dengan Tabel 3 , sehingga didapatkan grafik seperti berikut:
a. 𝛽 = 0.0125 dan 𝛿 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡) Gambar 4. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛽 = 0.0125 dan 𝛿 berbeda b. 𝛽 = 0.025 dan 𝛿 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡)
𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡) Gambar 5. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛽 = 0.025 dan 𝛿 berbeda c. 𝛽 = 0.05 dan 𝛿 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡)
𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡) Gambar 6. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛽 = 0.05 dan 𝛿 berbeda

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
Berdasarkan  Gambar  4,5  dan  6  kurva  merah  adalah  kurva dengan nilai δ = 0.0125 , kurva biru dengan δ = 0.025 dan kurva kuning  dengan δ = 0.05 ,  dari  gambar  tersebut    dapat  dilihat bahwa  ketika δ semakin  besar  maka  individu  rentan  dan terlindungi  semakin  meningkat  sedangkan  individu  terinfeksi akan semakin menurun dan individu sembuh berbanding lurus dengan individu terinfeksi, yang artinya apabila individu yang terinfeksi  sedikit  maka  individu  yang  sembuh  juga  sedikit. Semakin  besar  nilai δ akan  semakin  cepat  mengurangi penyebaran individu terinfeksi dan pembawa penyakit.
4) Simulasi Titik Kesetimbangan Endemik (𝑬 𝟏 ) dengan Nilai 𝜹 dan 𝜷 Berbeda
Parameter  lain  yang  akan  digunakan  dalam  simulasi  sama dengan Tabel 3 , sehingga didapatkan grafik seperti berikut:
a. 𝛿 = 0.0125 dan 𝛽 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡)
𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡)
Gambar 7. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛿 = 0.0125 dan 𝛽 berbeda b. 𝛿 = 0.0125 dan 𝛽 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡)
𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡)
Gambar 8. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛿 = 0.025 dan 𝛽 berbeda
c. 𝛿 = 0.0125 dan 𝛽 = (0.0125 ; 0.025; 0.05)

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡) 𝑃(𝑡) 𝐶(𝑡)
Gambar 9. Trayektori Disekitar Titik Kesetimbangan Endemik dengan 𝛿 = 0.05 dan 𝛽 berbeda Berdasarkan  Gambar  7,8  dan  9  kurva  merah  adalah  kurva dengan nilai 𝛽 = 0.0125 , kurva biru dengan 𝛽 = 0.025 dan kurva kuning  dengan 𝛽 = 0.05 ,  dari  gambar  tersebut  dapat  dilihat bahwa  pada  saat 𝛽 semakin  besar  maka  individu  terlindungi akan  semakin  meningkat  dan  individu  rentan  semakin menurun,  sedangkan  untuk  individu  terinfeksi,  sembuh  dan pembawa penyakit perubahan nilai 𝛽 tidak terlalu berpengaruh.

## 3. Interpretasi
Berdasarkan  analisis  yang  telah  dilakukan  diperoleh  titik kesetimbangan  bebas  penyakit  dan  titik kestimbangan  endemik yang bersifat  stabil  asimtotik.  Hasil  simulasi  yang  dilakukan  menyatakan bahwa  jika  tindakan  pengobatan  semakin  besar  maka  individu terinfeksi  dan  carrier  akan  semakin  menurun  sedangkan  untuk individu  sembuh  berbanding  lurus  dengan  individu  terinfeksi  yang artinya apabila individu terinfeksi sedikit maka individu yang sembuh juga sedikit. Dan untuk individu rentan dan terlindungi akan semakin meningkat karena perubahan individu terinfeksi akan mempengaruhi individu  rentan  dan  terlindungi.  Sedangkan  ketika  tindakan pencegahan  semakin  besar  akan  menyebabkan  individu  terlindungi semakin  meningkat  namun  individu  rentan  dan  pembawa  penyakit semakin  menurun  akan  tetapi  perubahan  besarnya  tindakan pencegahan tidak terlalu berpengaruh terhadap individu terinfeksi dan sembuh, karena tindakan pencegahan hanya dilakukan pada individu rentan terhadap penyakit.

## D. Simpulan
Model matematika penyebaran penyakit antraknosa pada tanaman cabe dengan  tindakan  preventif  dan  kuratif  diperoleh  suatu  bentuk  sistem persamaan  differensial.  Dari  hasil  analisis  model  diperoleh  titik kesetimbangan  bebas  penyakit    yang  bersifat  stabil  asimtotik  jika 𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < ( 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 + 𝛿 + 𝜂) dan 𝜌𝛼𝛾 𝛾+𝛽 < 𝜋 serta  titik  kesetimbangan  endemik  yang  akan bersifat  stabil  asimtotik  jika 𝑎 1 𝑎 2 > 𝑎 0 𝑎 3 , 𝑎 1 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 5 , 𝑎 1 2 𝑎 4 > 𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 , (𝑎 3 −

## AKSIOMA: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 14, No. 2 September 2023 e-ISSN 2579-7646
𝑎 1 2 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 ) ( 𝑎 1 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 ) > 𝑎 5 , dan 𝑎 3 > 𝑎 1 2 𝑎 4 −𝑎 0 𝑎 1 𝑎 5 𝑎 1 𝑎 2 −𝑎 0 𝑎 3 . Semakin  besar  tindakan preventif menyebabkan individu terlindungi semakin meningkat dan populsi rentan semakin menurun sedangkan ketika tindakan kuratif semakin besar maka individu terinfeksi dan carrier akan semakin menurun

## E. Daftar Pustaka
Anggriani, N., Arumi, D., Hertini, E., Istifadah, N., & Supriatna, A. (2017). Dynamical analysis of plant disease model with roguing, replanting and preventive  treatment. Proceedings  of  4th  International  Conferenve  on Research,  Implementation,  and  Education  of  Mathematics  and  Science . Yogyakarta  State  University:  Faculty  of  Mathematics  And  Natural Sciences Badan Pusat Statistik. Diakses dari https://www.bps.go.id Cerkauskas,R.  (2004). AVRDC  Fact  Sheet  Anttracnose .  AVRDC-The  World Vegetable Centre
Duriat,  A.S., N.Gunaeni.,&  A.W.Wulandari.  (2007). Penyakit  Penting  Pada Tanaman  Cabai  dan  Pengendaliannya .  Balai  Penelitian  Tanaman Sayuran : Bandung
El-Sayed, A. M. A., Rida, S. Z., & Gaber, Y. A. (2020). Dynamical of curative and  preventive  treatments  in  a  two-stage  plant  disease  model  of fractional  order. Chaos,  Solitons  &  Fractals , 137 ,  109879. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.109879
Farid, M., & Subekti, N. A. (2012). Tinjauan terhadap produksi, konsumsi, distribusi dan dinamika harga cabe di Indonesia. Buletin Ilmiah Litbang Perdagangan , 6 (2), 211-234. https://doi.org/10.3908/bilp.v6i2.132 Meilin,  A.  (2014).  Hama  dan  penyakit  pada  tanaman  cabai  serta pengendaliannya
Nawangsih,  A.  A.,  H.  P.  Imad  dan  A.  Wahyudi.  (2001). Cabai  Hot  Beauty .
Penebar Swadaya. Jakarta
Suhardi.  (1992).  Pengujian  Efikasi  Derosal  60  WP  Terhadap  Bercak  Daun Cercospora  (Cercospora  capsici)  dan  Antraknosa  (Colletotrichum  spp.) Pada  Tanaman  Cabai.  Laporan  Hasil  Penelitian.  Perhimpunan Fitopatologi Indonesia Komisariat Daerah Segunung.Cianjur
Sutarman. (2017). Dasar-dasar Ilmu Penyakit Tanaman. Umsida Press Syukur,  Muhammad.  2013. Cabai  Prospek  Bisnis  dan  Teknologi Mancanegara . Bogor: Swadaya Widowati dan Sutimin. (2013). Buku Ajar Pemodelan Matematika . Jurusan Matematika Universitas Diponegoro