Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
DOI:10.31605/saintifik.v9i1.391
ISSN 2622-8904 (online)
Analisis dan Solusi Numerik Model Matematika pada Penyebaran Covid-19 di Provinsi Sulawesi Selatan dengan Metode Runge Kutta dan Adams-Bashforth-Moulton
Syafruddin Side *1 , Amni Rasyidah 2 , Wahidah Sanusi 3 1,2,3 Universitas Negeri Makassar e-mail: syafruddin@unm.ac.id

## Abstrak
Penelitian  terapan  ini  bertujuan  untuk  membangun  model  matematika  SEIAR  pada  penyebaran Covid-19. Kemudian melakukan analisis dan menentukan solusi numerik dari model matematika penyebaran Covid-19 di Sulawesi Selatan. Analisis model dilakukan dengan menentukan titik kesetimbangan, kestabilan model,  dan  bilangan  reproduksi  dasar  ( 𝑅 0 ) .  Solusi  numerik  model  diperoleh  dengan  metode  Adams- Bashforth-Moulton (ABM) orde lima. Solusi awal metode ABM diperoleh dengan metode Runge Kutta Klasik, Runge  Kutta  Fehlberg,  dan  Runge  Kutta  Merson.  Uji  model  dilakukan  dengan  bantuan  Maple  dan berdasarkan  data  bulanan  (sekunder)  jumlah  kasus  Covid-19  tahun  2021  yang  terkomfirmasi  di  Sulawesi Selatan.  Hasil  yang  diperoleh  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  model  matematika Covid-19  dikatakan  stabil  asimtotik  jika 𝑅 0 ≤ 1 dan  tidak  stabil  ketika 𝑅 0 > 1 serta  titik  kesetimbangan endemik  model  stabil  asimtotik.  Pada  penentuan  solusi  numerik  model  menunjukkan  metode  Runge  Kutta Klasik lebih baik dalam memberikan solusi awal pada metode ABM dengan jumlah iterasi yang lebih sedikit dan galat yang lebih kecil dibandingkan Runge Kutta Fehlberg dan Runge Kutta Merson..
Kata Kunci – Model Matematika, Covid-19, Metode Numerik, Adams-Bashforth-Moulton, Runge Kutta Klasik, Runge Kutta Fehlberg, Runge Kutta Merson.

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  matematika  pada  kesehatan  memberikan  peranan  penting  dalam menganalisa  dan  mengontrol  penyebaran  penyakit  yang  dapat  dianalisa  dalam  bentuk  model  matematika (Side,  2015).  Salah  satu  model  matematika  dalam  kesehatan  yaitu  penyebaran  suatu  penyakit  yaitu penyebaran wabah Covid-19.
Covid-19  (Coronavirus  Disease  2019)  adalah  penyakit  menular  pada  gangguan  pernafasan  yang disebabkan  oleh  salah  satu  jenis  virus  corona  yaitu  Sars-Cov-2.  Virus  corona  adalah  zoonosis  yang menularkan  antara  hewan  dan  manusia.  Gejala  umum  infeksi  Covid-19  antara  lain  gejala  gangguan pernafasan akut seperti demam, batuk dan sesak napas. Pada kasus Covid-19 yang berat dapat menyebabkan pneumonia,  sindrom  pernapasan  akut,  gagal  ginjal,  dan  bahkan  kematian  (Kemenkes  RI,  2020).  Hingga Maret  2021,  pandemi  Covid-19  di  Indonesia  telah  berlangsung  selama  satu  tahun  dengan  kasus  positif bertambah 5.937 menjadi 1.511.712 kasus, pasien sembuh bertambah 5.635 menjadi 1.348.330 orang dan pasien meninggal bertambah 104 menjadi 40.858 orang (Anonim2, 2021). Laporan media harian Covid-19 per  13  Februari  2021  pukul  12.00  WIB  menunjukkan  5  provinsi  dengan  penambahan  kasus  tertinggi (Anonim1, 2021). Salah satunya yaitu Sulawesi Selatan dengan penambahan 381 kasus baru dan 467 pasien sembuh dari COVID-19 (Annas, S et al, 2020).
Penyelesaian  permasalahan  model  matematika  penyebaran  Covid-19  memerlukan  suatu  solusi. Solusi  dengan  metode  analitik  sulit  digunakan  pada  model  matematika  Covid-19  karena  model  tersebut termasuk model matematika non linear sehingga dibutuhkan metode numerik dalam mencari solusi. Metode numerik  yang  digunakan  yaitu  metode  Adams-Bashforth-Moulton  (ABM)  dengan  metode  Runge  Kutta Klasik,  Runge  Kutta  Fehlberg,  dan  Runge  Kutta  Merson  sebagai  metode  dalam  menentukan  solusi  awal
model  (Kuzuairi,  2016).  Penelitian  tentang  pemodelan  matematika  pada  penyebaran  Covid-19  dan  solusi numerik  model  matematika  menggunakan  metode  Runge  Kutta  dan  Adams-Bashforth-Moulton  telah dilakukan oleh (Annas, et al , 2020) (Ramadhan, et al , 2021) (Makhlouf, et al , 2019) (Apriadi, et al , 2014) (Mondal, et al , 2017) (Zikri, et al , 2019) (Abdy, et al, 2021) (Sanusi, et al , 2021), tetapi belum ada yang melakukan penelitian mengenai solusi numerik model penyebaran Covid-19 dengan menggunakan metode gabungan antara model Runge Kutta dan Adams-Bashforth-Moulton, sehingga penelitian ini menjadi penting karena kedua metode ini memiliki ketelitian yang lebih tinggi dibandingkan metode lainnya (Yuni, 2022).

## 2. METODE PENELITIAN
Jenis  penelitian  ini  adalah  penelitian  terapan  yaitu  menganalisis  model  matematika  penyebaran Covid-19  di  Sulawesi  Selatan  serta  mengkaji  penggunaan  metode  Runge  Kutta  (Ramadhan, et  al ,  2021) (Zikri, et  al ,  2019)  dan  Adams-Bashforth-Moulton  (Kuzuairi, et  al ,  2016)  dalam  menyelesaikan  solusi numerik  pada  model  matematika  tersebut.  Sumber  data  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  data bulanan  (sekunder)  jumlah  kasus  Covid-19  terkomfirmasi  positif  Covid-19  yang  diperoleh  dari  Dinas Kesehatan  Provinsi  Sulawesi  Selatan. Langkah  awal  yang  dilakukan  adalah  membangun  model  yaitu Susceptible,  Exposed,  Asymtomatid,  Infected,  dan  Recovered    (SEAIR),  Selanjutnya  menentukan  titik kesetimbangan penyakit dan kesetimbangan bebas penyakit serta kestabilan model SEAIR, dan dilanjutakan dengan menentukan bilangan reproduksi dasar (R 0 ) kemudian menentukan nilai awal dan parameter dari data yang diperoleh. Selanjutnya akan disimulasikan dengan menggunakan metode Adams-Bashforth-Moulton (ABM) yaitu dengan metode Runge Kutta Klasik, Runge Kutta Fehlberg, dan Runge Kutta Merson untuk memperoleh solusi numerik dan selanjutnya akan dibandingkan dengan memperhatikan nilai rata-rata galat yang diperoleh tiap-tiap metode dengan cara :
𝑥̅ = ∑ ( 𝑁 𝑝𝑟𝑒𝑑𝑖𝑘𝑠𝑖 − 𝑁 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 𝑁 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘 ) 𝑖 𝑛 𝑖=1

## 𝐵𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘 𝐼𝑡𝑒𝑟𝑎𝑠𝑖 𝑡(𝐵𝑢𝑙𝑎𝑛)
Sehingga metode yang yang memiliki rentang galat paling kecil akan metode yang paling akurat dari prediksi penyebaran Covid-19 yang terkomfirmasi di provinsi Sulawesi Selatan.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Formulasi model matematika penyebaran Covid-19
Berdasarkan klasifikasi operasional Covid-19 (Annas, et al , 2020) , populasi total (N) dibagi menjadi lima  kelas  (kompartemen)  yaitu:  Suscepted  pada  kasus  suspek  atau  yang  rentan  terpapar  Covid-19  (S), Exposed  pada  kasus  probable  (E),  Asimptomatic  pada  kasus  terkonfirmasi  Covid-19  tanpa  gejala  (A), Infected  pada  kasus  yang  terkonfirmasi  Covid-19  dengan  gejala  (I),  dan  Recovered  (R)  pada  kasus  yang sembuh dari penyakit.
Beberapa asumsi yang ditetapkan dalam membangun formasi model matematika penyebaran Covid- 19 dengan parameter yang terdefinisi pada Tabel 1 yaitu sebagai berikut:
-  Terdapat kelahiran dan kematian dalam populasi dan tidak terdapat migrasi
-  Laju kelahiran sama dengan laju kematian alami
-  Terdapat individu yang rentan terpapar Covid-19 (suscepted)
-  Terdapat individu yang kontak dengan terinfeksi sehingga memiliki gejala-gejala dengan gambaran klinis meyakinkan Covid-19 dan belum terkonfirmasi positif dalam hal ini disebut kasus probable (exposed)
-  Terdapat individu yang terkonfirmasi positif Covid-19 dengan gejala (infected)
-  Terdapat individu yang terkonfirmasi positif Covid-19 tanpa gejala (asimptomatic)
-  Terdapat individu yang telah bebas (sembuh) dari Covid-19 (recovered)
-  Terdapat individu yang mendapatkan vaksinasi sehingga telah sembuh dari Covid-19 -  Terdapat laju kematian akibat terkonfirmasi positif Covid-19
-  Individu yang telah sembuh memiliki kekebalan terhadap Covid-19
Berdasarkan  asumsi-asumsi  diperoleh  model  matematika  penyebaran  Covid-19  dalam  bentuk diagram transfer pada Gambar 1.
Gambar 1. Diagram Model Matematika Penyebaran Covid-19
Tabel 1. Definisi variabel/parameter Variabel / Parameter Definisi N 𝑺 𝑬 𝑰 𝑨 𝑹 𝜇 𝜇 𝑖 𝛼 𝛽 𝛾 𝛿 𝜎 𝑣
Jumlah populasi manusia
Jumlah  populasi  yang  rentang  terinfeksi  virus  Covid-19 ( Suspected) Jumlah populasi yang terpapar virus Covid-19 ( Exposed ) Jumlah populasi yang terinfeksi virus Covid-19 ( Infected) Jumlah  populasi  yang  terinfeksi  virus  Covid-19  dengan bebas gejala ( Asymtomatic)
Jumlah  populasi  yang  berhasil  dan  bebas  dari  virus Covid-19 ( Recovered) Tingkat kematian populasi Tingkat kematian populasi oleh Covid-19 Laju perubahan dari 𝑆 ke 𝐸 Laju perubahan dari 𝐸 ke 𝐼 Laju perubahan dari 𝐼 ke 𝑅
Laju perubahan dari 𝑆 ke 𝐴 Laju perubahan dari 𝐴 ke 𝑅 Vaksinasi pada populasi 𝑆
Formulasi untuk model matematika penyebaran Covid-19 sesuai pada Gambar 1 dituliskan dalam bentuk sistem persamaan differensial (1.1 – 1.4) berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (𝑣 + 𝜇 + 𝛼𝐼 𝑁 + 𝛿𝐼 𝑁 ) 𝑆 (1.1)
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼𝑆 𝑁 − (𝛽 + 𝜇)𝐸 (1.2)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝛽𝐸 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝐼 (1.3) 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛿𝐼𝑆 𝑁 − (𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝐴 (1.4)
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑣𝑆 + 𝛾𝐼 + 𝜎𝐴 − 𝜇𝑅 (1.5)
dimana 𝑁 = 𝑆 + 𝐸 + 𝐼 + 𝐴 + 𝑅 adalah total populasi.
Formulasi persamaan diferensial (1.1) sampai (1.5) dapat disederhanakan dengan 𝑠 = 𝑆 𝑁 , 𝑒 = 𝐸 𝑁 , 𝑖 = 𝐼 𝑁 , 𝑎 = 𝐴 𝑁 , dan 𝑟 = 𝑅 𝑁 sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial (2):
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝜇 − (𝑣 + 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛿𝑖)𝑠
(2.1) 𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 𝛼𝑖𝑠 − (𝛽 + 𝜇)𝑒
(2.2)
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 𝛽𝑒 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝑖 (2.3)
𝑑𝑎 𝑑𝑡 = 𝛿𝑖𝑠 − (𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝑎
(2.4) 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝑣𝑠 + 𝛾𝑖 + 𝜎𝑎 − 𝜇𝑟 (2.5)

## 3.2 Analisis model matematika pada penyebaran Covid-19
Analisis  model  matematika  pada  penyebaran  Covid-19  terlebih  dahulu  menentukan  titik kesetimbangan dan bilangan reproduksi dasar ( 𝑅 0 ). Untuk menentukan titik kesetimbangan sistem (2.1-2.5) diperoleh dengan cara menyelesaikan persamaan: 𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑒 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑎 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 0 .
Dengan demikian diperoleh sistem persamaan (3) berikut: 𝜇 − (𝑣 + 𝜇 + 𝛼𝑖 + 𝛿𝑖)𝑠 = 0
(3.1)
𝛼𝑖𝑠 − (𝛽 + 𝜇)𝑒 = 0
(3.2) 𝛽𝑒 − (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝑖 = 0
(3.3)
𝛿𝑖𝑠 − (𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝑎 = 0 (3.4)
𝑣𝑠 + 𝛾𝑖 + 𝜎𝑎 − 𝜇𝑟 = 0
(3.5)
Sistem persamaan model matematika penyebaran Covid-19 memiliki dua jenis titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan bebas penyakit dan tidak bebas penyakit atau endemik.

## a) Bebas penyakit
Titik kesetimbangan bebas penyakit merupakan keadaan dimana penyakit menular tidak menyebar dalam suatu populasi dan terjadi pada saat 𝐼 = 0 . Untuk 𝐼 = 0 maka diperoleh 𝑒 = 𝑖 = 𝑎 = 0 . Substitusi 𝑒 = 𝑖 = 𝑎 = 0 ke persamaan (3.1) sampai (3.5) sehingga diperoleh: 𝑠 = 𝜇 𝑣+𝜇 𝑟 = 𝑣 𝑣+𝜇 Sehingga diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit pada penyebaran Covid-19 yaitu:
(𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑎, 𝑟) = ( 𝜇 𝑣+𝜇 , 0,0,0, 𝑣 𝑣+𝜇 )
b) Tidak bebas penyakit (Endemik)
Titik kesetimbangan penyebaran penyakit yang endemik yaitu solusi dari sistem persamaan (3). 𝑠 ∗ = (𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝛼𝛽 𝑒 ∗ = 𝛼𝛽𝜇−(𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝛽(𝛼+𝛿)(𝛽+𝜇) 𝑖 ∗ = 𝛼𝛽𝜇−(𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) (𝛼+𝛿)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝑎 ∗ = 𝛿(𝛼𝛽𝜇−(𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 )) 𝛼𝛽(𝛼+𝛿)(𝜎+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝑟 ∗ = 𝑣(𝛼+𝛿)(𝛽+𝜇) 2 (𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 2 (𝜎+𝜇+𝜇 𝑖 )+𝛼𝛽𝛾(𝛼𝛽𝜇−(𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ))(𝜎+𝜇+𝜇 𝑖 )+𝜎𝛿(𝛼𝛽𝜇−(𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ))(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝛼𝛽𝜇(𝛼+𝛿)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 )(𝜎+𝜇+𝜇 𝑖 ) Sehingga diperoleh titik kesetimbangan endemik pada penyebaran Covid-19 yaitu:
(𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑎 ∗ , 𝑟 ∗ ) = ( (𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )
𝛼𝛽
𝛼𝛽𝜇 − (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 𝛽(𝛼 + 𝛿)(𝛽 + 𝜇)
𝛼𝛽𝜇 − (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) (𝛼 + 𝛿)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )
𝛿(𝛼𝛽𝜇 − (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )) 𝛼𝛽(𝛼 + 𝛿)(𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 𝑣(𝛼 + 𝛿)(𝛽 + 𝜇) 2 (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 2 (𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) + 𝛼𝛽𝛾(𝛼𝛽𝜇 − (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ))(𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) + 𝜎𝛿(𝛼𝛽𝜇 − (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ))(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 𝛼𝛽𝜇(𝛼 + 𝛿)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )(𝜎 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) ) Selanjutnya,  dalam  menentukan  bilangan  reproduksi  dasar  ( 𝑅 0 ) diperoleh Next  Generation  Matrix dari sistem persamaan (2):
𝐹 = ( 𝛼𝑖𝑠 0 ) , 𝑉 = ( (𝛽 + 𝜇)𝑒 (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )𝑖 − 𝛽𝑒 ) 𝐹 ′ = ( 0 𝛼𝑠 0 0 ) , 𝑉 ′ = ( 𝛽 + 𝜇 0 −𝛽 𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )
(𝑉 ′ ) −1 = ( 1 𝛽+𝜇 0
𝛽 (𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 1 𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 )
𝐹 ′ (𝑉 ′ ) −1 = ( 𝛼𝛽𝑠 (𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝛼𝑠 𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 0 0 ) 𝑅 0 = 𝛼𝛽𝑠 (𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 ) 𝑅 0 = 𝛼𝛽𝜇 (𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 )
Dengan demikian, bilangan reproduksi dasar model matematika penyebaran Covid-19 yaitu:
𝑅 0 = 𝛼𝛽𝜇 (𝑣+𝜇)(𝛽+𝜇)(𝛾+𝜇+𝜇 𝑖 )
Selanjutnya,  dilakukan  analisis  kestabilan  pada  titik  kesetimbangan  model  penyebaran  Covid-19  dengan memperhatikan teorema-teorema berikut:

## Teorema 1
Titik kesetimbangan bebas penyakit model matematika penyebaran Covid-19 dikatakan stabil asimtotik jika 𝑅 0 < 1 dan tidak stabil ketika 𝑅 0 > 1 (Side, 2022). Bukti:
Berdasarkan sistem persamaan (4.2) diperoleh matriks Jacobian (𝐽) berikut:
𝐽 =
( −(𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖) 0 −(𝛼 + 𝛿)𝑠 0 0 𝛼𝑖 −(𝛽 + 𝜇) 𝛼𝑠 0 0 0 𝛽 −(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 0 0 𝛿𝑖 0 𝛿𝑠 −(𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎) 0 𝑣 0 𝛾 𝜎 −𝜇)
|𝜆𝐼 − 𝐽| = 0
| | 𝜆 + (𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖) 0 (𝛼 + 𝛿)𝑠 0 0 −𝛼𝑖 𝜆 + (𝛽 + 𝜇) −𝛼𝑠 0 0 0 −𝛽 𝜆 + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) 0 0 −𝛿𝑖 0 −𝛿𝑠 𝜆 + (𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎) 0 −𝑣 0 −𝛾 −𝜎 𝜆 + 𝜇 | | = 0
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + (𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎)) | 𝜆 + (𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖) 0 (𝛼 + 𝛿)𝑠 −𝛼𝑖 𝜆 + (𝛽 + 𝜇) −𝛼𝑠 0 −𝛽 𝜆 + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) | = 0
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + (𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎)) (( 𝜆 + (𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖)) ((𝜆 + (𝛽 + 𝜇))(𝜆 + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )) − 𝛼𝛽𝑠) + 𝛼𝑖(𝛽(𝛼 + 𝛿))𝑠) = 0 (4.1)
Substitusi  nilai  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit (𝑠, 𝑒, 𝑖, 𝑎, 𝑟) yaitu 𝑠 = 𝑢(𝑢 + 𝑣) −1 dan 𝑖 = 0 ke persamaan (4.1) sehingga diperoleh:
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + (𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎))( 𝜆 + 𝑣 + 𝜇) ((𝜆 + (𝛽 + 𝜇))  (𝜆 + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )) − 𝛼𝛽𝑢(𝑢 + 𝑣) −1 ) = 0 (4.2)
Perhatikan bahwa:
(𝜆 + (𝛽 + 𝜇))  (𝜆 + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )) − 𝛼𝛽𝑢(𝑢 + 𝑣) −1 = 0
(4.3)
Berdasarkan aturan tanda Descartes , persamaan (4.3) akan memiliki akar-akar negatif jika semua tanda pada setiap suku-sukunya positif sehingga agar persamaan (4.2) memiliki akar-akar negatif maka haruslah 𝑅 0 ≤ 1 . Oleh karena itu maka dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotik jika 𝑅 0 ≤  1 dan tidak stabil jika 𝑅 0 >  1 . ∎

## Teorema 2
Titik  kesetimbangan  endemik  penyakit  model  matematika  penyebaran  Covid-19  stabil  asimtotik  (Side, 2022).
Bukti:
Berdasarkan  persamaan  (4.1)  subtitusi  nilai  titik  kesetimbangan  endemik (𝑠 ∗ , 𝑒 ∗ , 𝑖 ∗ , 𝑎 ∗ , 𝑟 ∗ ) sehingga diperoleh:
(𝜆 + 𝜇)(𝜆 + (𝜇 + 𝜇 𝑖 + 𝜎)) (( 𝜆 + 𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖)(𝜆 2 + ((𝛽 + 𝜇) + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ))𝜆) + (𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )(𝛼 + 𝛿)𝑖) = 0 (4.4)
Perhatikan bahwa:
(( 𝜆 + 𝑣 + 𝜇 + (𝛼 + 𝛿)𝑖)(𝜆 2 + ((𝛽 + 𝜇) + (𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ))𝜆) + (𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 )(𝛼 + 𝛿)𝑖) = 0
(4.5)
Dari persamaan (4.5) diperoleh bahwa semua tanda pada setiap suku-sukunya positif sehingga berdasarkan aturan tanda Descartes (Martha, 2022), persamaan (4.4) memiliki akar-akar negatif. Oleh karena itu dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan endemik model matematika penyebaran Covid-19 stabil asimtotik. ∎
3.3 Solusi numerik model matematika penyebaran Covid-19 di Sulawesi Selatan menggunakan metode Runge Kutta dan Adams-Bashforth-Moulton
Metode Runge Kutta Klasik orde lima (Ramadhan, 2021) : 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 1 90 (7𝑘 1 + 32𝑘 3 + 12𝑘 4 + 32𝑘 5 + 7𝑘 6 ) (5.1)
dengan 𝑘 1 = ℎ𝑓(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) ; 𝑘 2 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 2 𝑘 1 ) ; 𝑘 3 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 4 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 16 (3𝑘 1 + 𝑘 2 )) 𝑘 4 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 2 𝑘 3 ) ; 𝑘 5 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 3 4 ℎ, 𝑦 𝑛 + 3 16 (−𝑘 2 + 2𝑘 3 + 3𝑘 4 ))
𝑘 6 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 7 (𝑘 1 + 4𝑘 2 + 6𝑘 3 − 12𝑘 4 + 8𝑘 4 ))
untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
Substitusi sistem persamaan (2) ke persamaan (5.1) diperoleh hasil iterasi pada Tabel 2.
Tabel 2. Data kasus Covid-19 dengan metode Runge Kutta Klasik (K)
Metode Runge Kutta Fehlberg orde lima (Ramadhan, 2021): 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 16 135 𝑘 1 + 6656 12825 𝑘 3 + 28561 56437 𝑘 4 − 9 50 𝑘 5 + 2 55 𝑘 6 (5.2)
dengan : 𝑘 1 = ℎ𝑓(𝑥 𝑛 , 𝑦 𝑛 ) 𝑘 2 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 4 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 4 𝑘 1 ) 𝑘 3 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 3 8 ℎ, 𝑦 𝑛 + 3 32 𝑘 1 + 9 32 𝑘 2 )
𝑘 4 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 12 13 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1932 2197 𝑘 1 − 7200 2197 𝑘 2 + 7296 2197 𝑘 3 ) 𝑘 5 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + ℎ, 𝑦 𝑛 + 439 216 𝑘 1 − 8𝑘 2 + 3860 513 𝑘 3 − 845 4104 𝑘 4 ) 𝑘 6 = ℎ𝑓(𝑥 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 − 8 27 𝑘 1 + 2𝑘 2 − 3544 2565 𝑘 3 + 1859 4104 𝑘 4 − 11 40 𝑘 5 ) untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
Dengan mensubtitusi sistem persamaan (2) ke (5.2) diperoleh hasil iterasi pada Tabel 3.
Tabel 3. Data kasus Covid-19 dengan metode Runge Kutta Fehlberg (F)
Metode Runge Kutta Merson orde lima [8]: 𝑦 𝑛+1 = 𝑦 𝑛 + 1 6 (𝑘 1 + 4𝑘 4 + 𝑘 5 ) (5.3)
dengan : 𝑘 1 = ℎ𝑓(𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) 𝑘 2 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 3 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 3 𝑘 1 )
𝑘 3 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 3 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 6 (𝑘 1 + 𝑘 2 ))
t
(Bulan) 𝑆𝑢𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝐾 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝐾 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝐾 𝐴𝑠𝑦𝑚𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐 𝐾 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 𝐾 0 0,834525775 0,001302319 0,000206834 8,8595E-05 0,163876477 1 0,834146322 0,00122986 0,000126255 -1,03409E-06 0,164238691 2 0,833766869 0,001157402 4,56766E-05 -9,06632E-05 0,164600904 3 0,833387416 0,001084944 -3,49022E-05 -0,000180292 0,164963118 4 0,833007962 0,001012485 -0,000115481 -0,000269921 0,165325332 5 0,832628509 0,000940027 -0,00019606 -0,000359551 0,165687546
t (Bulan) 𝑆𝑢𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝐹 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝐹 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝐹 𝐴𝑠𝑦𝑚𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐 𝐹 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 𝐹 0 0,834525775 0,001302319 0,000206834 8,8595E-05 0,163876477 1 0,834152963 0,000929506 -0,000165978 -0,000284217 0,163503664 2 0,83378015 0,000556694 -0,000538791 -0,00065703 0,163130852 3 0,833407338 0,000183881 -0,000911603 -0,001029842 0,162758039 4 0,833034525  -0,000188931 -0,001284416 -0,001402655 0,162385227 5 0,832661713  -0,000561744 -0,001657228 -0,001775468 0,162012414
𝑘 4 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + 1 2 ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 8 (𝑘 1 + 𝑘 2 ))
𝑘 5 = ℎ𝑓 (𝑥 𝑛 + ℎ, 𝑦 𝑛 + 1 2 (𝑘 1 − 3𝑘 3 + 4𝑘 4 ))
untuk 𝑛 = 0, 1, 2, 3, 4
Subtitusi sistem persamaan (2) ke persamaan (5.3) diperoleh hasil iterasi pada Tabel 4.
Tabel 4. Data kasus Covid-19 dengan metode Runge Kutta Merson (M).

## 3.4  Solusi  numerik  model  matematika  penyebaran  Covid-19  menggunakan  persamaan  prediktor  metode Adams-Bashforth orde lima
Metode prediktor Adams-Bashforth orde lima dengan rumus sebagai berikut:
𝑦 𝑛+1 (0) = 𝑦 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (6.1)
Sistem  persamaan  (2)  disubstitusi  ke  persamaan  (6.1)  diperoleh  sistem  persamaan  (7)  berikut  sebagai prediktor Adams-Bashforth orde lima:
𝑆 𝑛+1 (0) = 𝑆 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (7.1)
𝐸 𝑛+1 (0) = 𝐸 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (7.2)
𝐼 𝑛+1 (0) = 𝐼 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (7.3)
𝐴 𝑛+1 (0) = 𝐴 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (7.4)
𝑅 𝑛+1 (0) = 𝑅 𝑛 + ℎ 720 (1901𝑓 𝑛 − 2774𝑓 𝑛−1 + 2616𝑓 𝑛−2 − 1274𝑓 𝑛−3 + 251𝑓 𝑛−4 ) (7.5)
Metode korektor Adams-Moulton orde lima dengan rumus sebagai berikut:
𝑦 𝑛+1 (𝑘) = 𝑦 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (6.2)
dengan 𝑘 = 1,2,3,4, …
Sistem persamaan (2) subtitusi ke persamaan (6.2) diperoleh sistem persamaan (8) berikut sebagai korektor Adams-Moulton orde lima:
𝑆 𝑛+1 (𝑘) = 𝑆 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 (0) + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (8.1)
𝐸 𝑛+1 (𝑘) = 𝐸 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 (0) + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (8.2)
𝐼 𝑛+1 (𝑘) = 𝐼 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 (0) + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (8.3)
𝐴 𝑛+1 (𝑘) = 𝐴 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 (0) + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (8.4)
𝑅 𝑛+1 (𝑘) = 𝑅 𝑛 + ℎ 720 (251𝑓 𝑛+1 (0) + 646𝑓 𝑛 − 264𝑓 𝑛−1 + 106𝑓 𝑛−2 − 19𝑓 𝑛−3 ) (8.5)
Iterasi  solusi  numerik  model  matematika  Covid-19  menggunakan  metode  Adams-Bashforth-Moulton disajikan pada Tabel 5, Tabel 6, dan Tabel 7.
t
(Bulan) 𝑆𝑢𝑠𝑝𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑀 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑠𝑒𝑑 𝑀 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑐𝑡𝑒𝑑 𝑀 𝐴𝑠𝑦𝑚𝑡𝑜𝑚𝑎𝑡𝑖𝑐 𝑀 𝑅𝑒𝑐𝑜𝑣𝑒𝑟𝑒𝑑 𝑀 0 0,834525775 0,001302319 0,000206834 8,8595E-05 0,163876477 1 0,834160753 0,000937296 -0,000158188 -0,000276427 0,163511454 2 0,833795731 0,000572274 -0,000523211 -0,00064145 0,163146432 3 0,833430708 0,000207251 -0,000888233 -0,001006472 0,16278141 4 0,833065686  -0,000157771 -0,001253255 -0,001371495 0,162416387 5 0,832700663  -0,000522793 -0,001618278 -0,001736517 0,162051365
Tabel 5. Iterasi dengan solusi awal menggunakan metode Runge Kutta Klasik
t 𝑆 𝐾𝑛+1 (𝑡) 𝐸 𝐾 𝑛+1 (𝑡) 𝐼 𝐾𝑛+1 (𝑡) 𝐴 𝐾𝑛+1 (𝑡) 𝑅 𝐾𝑛+1 (𝑡) 6 0,832712 0,00094 -0,000196 -0,00036 0,165704 7 0,832795 0,00094 -0,000196 -0,00036 0,165721 8 0,832878 0,00094 -0,000196 -0,00036 0,165737 9 0,832962 0,00094 -0,000196 -0,00036 0,165754 10 0,833045 0,00094 -0,000196 -0,00036 0,16577 Tabel 6. Iterasi dengan solusi awal menggunakan metode Runge Kutta Fehlberg t 𝑆 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝐸 𝐹 𝑛+1 (𝑡) 𝐼 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝐴 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝑅 𝐹𝑛+1 (𝑡) 6 0,832744976 -0,000561806 -0,0016574 -0,001775651 0,16202861 7 0,832828259 -0,000561858  -0,001657562  -0,001775825 0,162044818 8 0,832911545 -0,000561916  -0,001657729  -0,001776003 0,162061022 9 0,83299484 -0,000561972  -0,001657894  -0,001776181 0,162077229 10 0,833078144 -0,000562028 -0,00165806 -0,001776359 0,162093438
Tabel 7. Iterasi dengan solusi awal menggunakan metode Runge Kutta Merson
t 𝑆 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝐸 𝐹 𝑛+1 (𝑡) 𝐼 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝐴 𝐹𝑛+1 (𝑡) 𝑅 𝐹𝑛+1 (𝑡) 6 0,832783931 -0,000522851  -0,001618445  -0,001736696 0,162067565 7 0,832867218 -0,0005229 -0,001618604  -0,001736866 0,162083776 8 0,832950507 -0,000522953  -0,001618766  -0,001737041 0,162099984 9 0,833033806 -0,000523006  -0,001618928  -0,001737215 0,162116195 10 0,833117114 -0,000523058 -0,00161909 -0,001737389 0,162132408
Keakuratan  diantara  ketiga  metode  Runge  Kutta  dapat  dilihat  dari  solusi  model  matematika  pada penyebaran Covid-19 dan ketiga jenis metode Runge Kutta dibandingkan dengan memperhatikan nilai rata- rata  galat  yang  diperoleh  tiap-tiap  metode.  Metode  yang  memiliki  nilai  rata-rata  galat  yang  paling  kecil selama rentang waktu yang ditentukan, maka metode tersebut yang akan dikatakan lebih akurat (Apriad, et al , 2014). Hasil perbandingan galat antara ketiga jenis metode Runge Kutta tersebut disajikan pada Tabel 8 sampai Tabel 12.
Tabel 8. Perbandingan rata-rata galat Suscepted t 𝑺 𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑺 𝑲 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑺 𝑭 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑺 𝑴 1 0,832596311 0,001550011 0,001556652 0,001564442 2 0,830685653 0,003081216 0,003094497 0,003110077 3 0,828793621 0,004593795 0,004613717 0,004637087 4 0,826920044 0,006087919 0,006114482 0,006145642 5 0,825064723 0,007563786 0,00759699 0,007635941 6 0,823227492 0,009484277 0,009517485 0,009556439 7 0,821408175 0,011386873 0,011420084 0,011459042 8 0,819606601 0,01327173 0,013304944 0,013343906 9 0,817822597 0,015139026 0,015172244 0,01521121 10 0,816056277 0,016988646 0,017021867 0,017060837 Rata-rata 0,008914728 0,008941296 0,008972462
Tabel 9. Perbandingan rata-rata galat Exposed t 𝑬 𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑬 𝑲 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑬 𝑭 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑬 𝑴 1 0,001283881 5,40208E-05 0,000354375 0,000346585 2 0,001265705 0,000108303 0,000709012 0,000693432 3 0,001247788 0,000162844 0,001063907 0,001040537 4 0,001230126 0,00021764 0,001419057 0,001387897 5 0,001212714 0,000272687 0,001774458 0,001735508 6 0,00119555 0,00025543 0,001757356 0,001718401 7 0,00117863 0,000238415 0,001740488 0,00170153 8 0,00116195 0,000221641 0,001723866 0,001684903 9 0,001145507 0,000205105 0,001707479 0,001668513 10 0,001129304 0,000188807 0,001691332 0,001652362 Rata-rata 0,000192489 0,001394133 0,001362967 Tabel 10. Perbandingan rata-rata galat Infected t 𝑰 𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑰 𝑲 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑰 𝑭 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑰 𝑴 1 0,00021214 8,5885E-05 0,000378119 0,000370329 2 0,000217174 0,000171498 0,000755965 0,000740385 3 0,000221944 0,000256847 0,001133548 0,001110177 4 0,000226458 0,000341939 0,001510874 0,001479714 5 0,000230726 0,000426785 0,001887954 0,001849003 6 0,000234753 0,000430834 0,001892153 0,001853198 7 0,000238549 0,000434649 0,001896111 0,001857153 8 0,000242121 0,00043824 0,001899849 0,001860887 9 0,000245475 0,000441614 0,00190337 0,001864403 10 0,000248608 0,000444766 0,001906668 0,001867698 Rata-rata 0,000347306 0,001516461 0,001485295 Tabel 11. Perbandingan rata-rata galat Asimptomatic t 𝑨 𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑨 𝑲 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑨 𝑭 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑨 𝑴 1 8,78E-05 8,87873E-05 0,000371971 0,000364181 2 6,96E-06 9,76252E-05 0,000663992 0,000648412 3 8,62E-05 0,000266511 0,001116061 0,00109269 4 8,55E-05 0,000355441 0,001488174 0,001457014 5 8,49E-05 0,000444412 0,001860329 0,001821379 6 8,42E-05 0,000443831 0,001859894 0,00182094 7 8,37E-05 0,000443285 0,001859486 0,001820528 8 8,31E-05 0,000442773 0,001859117 0,001820155 9 8,26E-05 0,000442294 0,001858779 0,001819813 10 8,21E-05 0,000441847 0,001858475 0,001819505 Rata-rata 0,000346681 0,001479628 0,001448462
Tabel 12. Perbandingan rata-rata galat Recovered t 𝑹 𝒆𝒌𝒔𝒂𝒌 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑹 𝑲 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑹 𝑭 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 𝑹 𝑴 1 0,165819829 0,001581138 0,002316164 0,002308374 2 0,167744333 0,003143428 0,004613481 0,004597901 3 0,169650169 0,004687051 0,00689213 0,00686876 4 0,171537506 0,006212174 0,009152279 0,009121119 5 0,17340654 0,007718994 0,011394126 0,011355176 6 0,175257437 0,009553317 0,013228827 0,013189872 7 0,17709037 0,011369682 0,015045552 0,015006594 8 0,178905511 0,013168248 0,016844489 0,016805526 9 0,180703029 0,014949192 0,0186258 0,018586834 10 0,182482812 0,016712398 0,020389374 0,020350404 Rata-rata 0,008909562 0,011850222 0,011819056

## Pembahasan
Hasil penelitian (Annas, et al , 2020) (Abdy, et al , 2021) (Side, et al , 2021) menunjukkan bahwa jumlah kasus Covid-19 di Indonesia terus meningkat dan vaksinasi dapat menurunkan jumlah kasus. Hasil ini sejalan dengan hasil simulasi yang diperoleh pada model matematika yang menunjukkan bahwa kasus Covid-19 dapat ditekan dengan vaksinasi. Hasil penelitian (Ramadhan, et al , 2021) menunjukkan bahwa solusi numerik pada penyakit tuberculosis dapat dilakukan dengan menggunakan metode RungeKutta, dan metode Runge Kutta orde-5 lebih akurat  dari  Runge  Kutta  orde-4.  Sedangkan  hasil  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  metode  RungeKutta Klasik lebih akurat dibandingkan dengan metode Runge Kutta Fehlberg dan Merson.

## 4. KESIMPULAN
Pada penelitian ini diperoleh bahwa titik kesetimbangan bebas penyakit akan stabil asimtotik jika 𝑅 0 ≤ 1 dan tidak stabil jika 𝑅 0 >  1 serta titik kesetimbangan endemik model matematika penyebaran Covid- 19 stabil asimtotik dengan bilangan reproduksi dasar yaitu:
𝑅 0 = 𝛼𝛽𝜇 (𝑣 + 𝜇)(𝛽 + 𝜇)(𝛾 + 𝜇 + 𝜇 𝑖 ) .
Solusi numerik model menunjukkan metode Runge Kutta Klasik lebih baik dibandingkan metode Runge  Kutta  Fehlberg  dan  Runge  Kutta  Merson  dalam  memberikan  solusi  awal  untuk  metode  Adams- Bashforth-Moulton pada model matematika penyebaran Covid-19. Metode Runge Kutta Klasik pada metode Adams-Bashforth-Moulton memberikan jumlah iterasi yang lebih sedikit dengan galat yang lebih kecil serta rata-rata  galat  pada  metode  Runge  Kutta  Klasik  lebih  kecil  dibandingkan  metode  Runge  Kutta  Fehlberg maupun Runge Kutta Merson pada metode Adams-Bashforth-Moulton.

## DAFTAR PUSTAKA
Annas,  S.,  Pratama,  M.  I.,  Rifandi,  M.,  Sanusi,  W.,  &  Side,  S.  (2020).  Stability  analysis  and  numerical simulation  of  SEIR  model  for  pandemic  COVID-19  spread  in  Indonesia. Chaos,  solitons  & fractals , 139 , 110072. 1-7. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110072
Anonim1.  (2021).  5  Provinsi  Penyumbang  Kasus  Positif  COVID-19  Tertinggi  per  13  Februari  2021. https://www.liputan6.com/health/read/4482271/5-provinsi-penyumbang-kasus-positif-covid-19- tertinggi-per-13-februari-2021 .  Diakses pada 20 Maret 2021
Anonim2.  (2021).  Data  Terkini  Korban  Virus  Corona  di  Indonesia  pada  Maret  2021. https://www.merdeka.com/peristiwa/data-terkini-korban-virus-corona-di-indonesia-pada-maret- 2021.html .  Diakses pada 2 April 2021
Apriadi,  B.  P.,  &  Noviani,  E.  (2014).  Metode  Adams-Bashforth-Moulton  dalam  Penyelesaian  Persamaan Diferensial Non Linear. Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya , 3 (02). 107- 116. http://dx.doi.org/10.26418/bbimst.v3i02.6561
Kementrian Kesehatan Republik Indonesia (Kemenkes RI). (2020). Pedoman Pencegahan dan Pengendalian Coronavirus Disease (Covid-19) . Kemenkes: Jakarta.
Kuzairi,  K.,  Yulianto,  T.,  &  Safitri,  L.  (2016).  Aplikasi  Metode  Adams  Bashforth-Moulton  (Abm)  Pada Model Penyakit Kanker. J Mat MANTIK , 2 , 14-21.
Abdy, M., Side, S., Annas, S., Nur, W., & Sanusi, W. (2021). An SIR epidemic model for COVID-19 spread with fuzzy parameter: the case of Indonesia. Advances in difference equations , 2021 , 1-17.
Martha,  A.,  &  Agus  Kadarmanto.  (2022).  ANALISIS  KESALAHAN  MAHASISWA  DALAM MENYELESAIKAN  SOALMATEMATIKA  PADA  MATERI  FUNGSI  POLINOMIAL. Progresif  :
Media Publikasi Ilmiah , 10 (1), 1–8. Retrieved from
https://ejournal.unibo.ac.id/index.php/progresif/article/view/389
Makhlouf, A. M., El-Shennawy, L., & Elkaranshawy, H. A. (2020). Mathematical modelling for the role of CD4+  T  cells  in  tumor-immune  interactions. Computational  and  mathematical  methods  in medicine , 2020 . 1-16.
Mondal, S. P., Roy, S., Das, B., Mahata, A. 2017. Numerical So[7]  Makhlouf, A. M., El-Shennawy, L., Hesham  A.  E.  2019.  Mathematical  Modelling  for  the  Role  of  CD4+T  Cells  in  Tumor  Immune Interaction. Hindawi (Computational and Mathematical Methoda in Medicine). Volume 2020 , 1-16.
Ramadhan,  N.  R.,  Minggi,  I.,  &  Side,  S.  (2021,  June).  The  accuracy  comparison  of  the  RK-4  and  RK-5 method  of  SEIR  model  for  tuberculosis  cases  in  South  Sulawesi.  In Journal  of  Physics:  Conference Series (Vol. 1918, No. 4, p. 042027). IOP Publishing. https://10.1088/1742-6596/1918/4/042027
Sanusi,  W.,  Badwi,  N.,  Zaki,  A.,  Sidjara,  S.,  Sari,  N.,  Pratama,  M.  I.,  &  Side,  S.  (2021).  Analysis  and simulation  of  SIRS  model  for  dengue  fever  transmission  in  South  Sulawesi,  Indonesia. Journal  of Applied Mathematics , 2021 , 1-8.
Side, S., Irwan, I., Rifandi, M., Pratama, M., Ruliana, R., & Hamid, N. Z. (2022). Optimum Control of SEIR Model  on  COVID-19  Spread  with  Delay  Time  and  Vaccination  Effect  in  South  Sulawesi Province. Jurnal Varian , 6 (1), 11 - 24. https://doi.org/https://doi.org/10.30812/varian.v6i1.1882
Side, S., Mahathir Hulinggi, P. K., Khatimah Syam, H., Irfan, M., Palarungi Taufik, A. G., & Side, S. (2021). The Effectiveness of Vaccination Against The Spread of COVID-19 with SEIR Mathematical Modeling in Gowa District. Jurnal Varian , 5 (1), 17 - 28. https://doi.org/https://doi.org/10.30812/varian.v5i1.1404
Rangkuti, Y. M., & Side, S. (2015). Pemodelan Matematika dan Solusi Numerik untuk Penularan Demam Berdarah. http://digilib.unimed.ac.id/id/eprint/6051
Sanusi, W., Pratama, M. I., Rifandi, M., Sidjara, S., & Side, S. (2021, February). Numerical Solution of SIRS model  for  Dengue  Fever  Transmission  in  Makassar  Citywith  Runge  Kutta  Method.  In Journal  of
Physics:  Conference  Series (Vol.  1752,  No.  1,  p.  012004).  IOP  Publishing. https://10.1088/1742- 6596/1752/1/012004
Wulandari,  Y.,  Kiftiah,  M.,  &  Yudhi,  Y.  KONTROL  OPTIMAL  MODEL  MANGSA  PEMANGSA DENGAN  PERTAHANAN  PADA  MANGSA. Bimaster:  Buletin  Ilmiah  Matematika,  Statistika  dan Terapannya , 11 (3). http://dx.doi.org/10.26418/bbimst.v11i3.56043
Zikri, F., Fajar, M. Y., & Gunawan, G. (2020, February). Penerapan Metode Runge-Kutta Fehlberg pada Model Sistem Pegas Massa Dua Derajat Kebebasan dengan Redaman. In Prosiding SI MaNIs (Seminar Nasional Integrasi Matematika dan Nilai-Nilai Islami) (Vol. 3, No. 1, pp. 230-238).