Limits:  Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN:  2579-8936 P-ISSN:  1829-605X Vol.  16,  No. 2, Desember 2019,  73-86 DOI:  http://dx.doi.org/10.12962/ limits.v16i2.5329

## Analisis  Perbandingan Bilangan Reproduksi Dasar pada Model Penyebaran Penyakit Dengue dengan Pengaruh Faktor Usia di Kota Bandung
Vania Junisha 1 , Farah Kristiani 2 *, Benny Yong 3
1,2,3 Universitas Katolik  Parahyangan, Jl. Ciumbuleuit  94 Bandung 40141
1,2,3 Departemen Matematika UNPAR Bandung Indonesia
e-mail:farah @ unpar.ac.id

## Abstrak
Penyakit Dengue merupakan salah satu masalah kesehatan yang utama di masyarakat Indonesia pada umumnya dan di kota Bandung pada khususnya. Pada penyebarannya, ternyata terdapat perbedaan tingkat risiko  transmisi  antara kelompok  usia  anak dan orang dewasa pada penyakit  Dengue. Sebagai  salah satu strategi  pencegahan  penyebaran  penyakit  ini,  dapat  dengan  melalui  pemodelan  dari  sistem  dinamika penyebarannya. Penelitian  ini  akan menganalisa  model  penyebaran  penyakit  Dengue di  kota  Bandung dengan  memperhitungkan  faktor  individu  anak  dengan  kasus  simtomatik  dan  asimtomatik.  Bilangan Reproduksi  Dasar (BRD) sebagai nilai  ambang batas penyebaran penyakit  ini  akan dicari  dan  dianalis is dengan menggunakan metode Matriks Generasi dan Laju Pertumbuhan Intrinsik  dan dengan menerapkan nilai  parameter-parameter dan data banyaknya kasus dengue di kota Bandung pada tahun 2016-2018. Titik kesetimbangan  dari  kondisi  bebas  penyakit  dan  endemik  juga    akan  ditentukan  untuk  memverifikasi keakuratan model  yang  dibuat.  Dari  hasil  analisisnya,  disimpulkan  bahwa kedua  metode menghasilkan bentuk  BRD yang memiliki  karakter yang berbeda dan diterapkan pada kondisi  yang berbeda pula. Jika data real tersedia, maka lebih  baik  menerapkan metode  Laju Pertumbuhan Intrinsik.  Sebaliknya,  jika  data real tidak lengkap tersedia, maka disarankan menggunakan metode Matriks Generasi.
Kata Kunci : Dengue, bilangan  reproduksi dasar, Bandung, Matriks Generasi, Laju Pertumbuhan Intrinsik

## Abstract
Dengue is one of the major health problems in Indonesia specially in city of Bandung. In its spread, it  turns out there are differences in the level of risk of dengue transmission between the age group of children and adults. As one of the strategies to prevent the spread of this disease, it can implement the modelling of a dynamic system of its spread. This study analyzed the model of the spread of dengue in Bandung by considering the individual factors of children with symptomatic and asymptomatic cases. Basic Reproduction Numbers (BRD) as the threshold value of the spread of this disease will be determined and analyzed using the Generation Matrix and Intrinsic Growth Rate methods and by applying the values of parameters and data on the number of dengue cases in Bandung in 2016-2018. Equilibrium points from disease-free and endemic conditions will also be determined to verify the accuracy of the model. From the results of the analysis, it was concluded that the two methods produced a BRD that had different characters. The use of BRD from certain methods can be adjusted to the availability of data and the assumption of parameter values in risky areas of dengue disease.
Keywords : Dengue, basic reproduction number, Bandung, Generation Matrix, Intrinsic Growth Rate

## 74

## 1 Pendahuluan
Penyakit  Dengue  merupakan  masalah  kesehatan  masyarakat  yang  utama  di daerah tropis  dan sub-tropis.  Hal  ini  disebabkan  karena  nyamuk  Aedes  sebagai  vektor  penyakit  Dengue  hanya berkembang  biak  pada daerah  yang  temperaturnya  lebih  dari 160℃ dan  pada ketinggian  kurang dari  1.000 meter  di  atas permukaan  air  laut.  Diperkirakan  50-100 juta  kasus  Dengue  terjadi  setiap tahun  di lebih  dari  100 negara  endemik  dan 75% berada di wilayah  Asia-Pasifik  ([1], [2]).
Berdasarkan  data WHO [3], Indonesia  merupakan  salah  satu  negara  di  Asia  Tenggara  yang memiliki  jumlah  kasus Dengue  tertinggi.  90% dari  kasus Dengue  diderita  oleh  anak dibawah  umur 15  tahun  dengan  tingkat  kematian  penyakit  Dengue  rata-rata  5%  dan  sekitar  25.000  kematian setiap  tahun  [4].  Berdasarkan  data  dari  Dinas  Kesehatan  kota  Bandung,  kasus  Dengue  yang diderita  oleh  anak  dibawah  umur  15 tahun  selalu  lebih  banyak  setiap  tahunnya.  Oleh  karena  itu, kelompok  usia  anak  merupakan  faktor  penting  yang  harus  dipertimbangkan  dalam  pemodelan pemetaan  penyakit.  Faktor usia  bukan  hanya  terkait  dengan  kekebalan  tubuh  seseorang  terhadap penularan  suatu  penyakit  tertentu,  tetapi  juga  untuk  pencegahan  dan  pengobatan  dari  suatu penyakit  tertentu  ([5], [6]).
Salah  satu  cara yang  dapat dilakukan  untuk  mencegah  dan mengontrol  penyebaran  penyakit Dengue  adalah  dengan  membuat pemodelan  matematika untuk  memahami dinamika penyebarannya.  Model  penyebaran  penyakit  pertama  kali  diperkenalkan  oleh  Kermack  dan McKendrick  pada  tahun  1927,  yaitu  model  S-I-R(Susceptible,  Infected,  Recovered)  [7].  Dari model  tersebut  akan  diperoleh  Bilangan  Reproduksi  Dasar  (BRD).  BRD  merupakan  nilai  ambang batas  untuk  mengetahui  apakah  suatu  penyakit  akan  menjadi  wabah  di  suatu  populasi.  Dengan mengetahui  BRD  yang  akurat  dalam  model  penyebaran  penyakit,  dapat  diperoleh  strategi  untuk mengontrol  penyebaran  penyakit  dengan  lebih  baik.  Heffernan,  Smith,  dan  Wahl  [8]  telah membahas  berbagai  macam  metode  untuk  menentukan  BRD.  Beberapa  metodenya  antara  lain metode  Jacobi,  metode  matriks  generasi,  metode  laju  pertumbuhan  intrinsik,  dan  sebagainya.
Artikel  ini  akan  membahas  model  matematika  untuk  menentukan  BRD  pada  kasus penyebaran  penyakit  Dengue.  Artikel  ini  hanya  akan memperhatikan  individu  anak dengan  kasus simtomatik  dan  asimtomatik.  Dari  model  tersebut  akan  dicari  titik  kesetimbangannya.  Pada Pongsumpun  [9],  telah  dibahas  metode  penentuan  BRD  dengan  menggunakan  metode  Jacobi. Artikel  ini  akan  menelaah  metode  lain  dalam  BRD  yaitu  dengan  menggunakan  metode  Matriks Generasi  dan Laju  Pertumbuhan  Intrinsik.  Lalu  akan dibandingkan  hasil  yang  diperoleh  dari ketiga model  yang  berbeda  tersebut.  Setelah  itu  akan  dianalis is  simulasi  numerik  dan  strategi  untuk mengontrol  penyebaran  penyakit  Dengue  di  Bandung.

## 2 Metode Penelitian
2.1. Model  Kompartemen  Penyebaran  Penyakit  Dengue
Pemodelan  penyebaran  penyakit  Dengue  yang  akan dibahas  pada  artikel  ini  mengacu  pada dinamika  penyebaran  penyakit  Dengue  pada  individu  anak  dengan  kasus  simtomatik  dan asimtomatik  [9]. Model  tersebut  dapat digambarkan  dalam  model  kompartemen  pada Gambar  1.
Notasi  yang  digunakan  pada model  kompartemen  pada  Gambar  1 adalah 𝑆 𝑗 yaitu  populasi anak  yang  rentan  terhadap  penyakit  Dengue, 𝐼 𝑗 yaitu  populasi  anak  yang  terinfeksi  dengan  gejala (simtomatik), 𝐼 𝑎 yaitu  populasi  anak yang  terinfeksi  tanpa  gejala  (asimtomatik), 𝑅 𝑗 yaitu  populasi anak yang  pulih  dari penyakit  Dengue, A yaitu  populasi  individu  dewasa, 𝑆 𝑣 yaitu  populasi  vektor yang  rentan  terhadap  penyakit  Dengue, 𝐼 𝑣 yaitu  populasi  vektor  yang  terinfeksi  penyakit  Dengue, 𝑁 ℎ yaitu  total  populasi  manusia, 𝑁 𝑣 yaitu  total  populasi  vektor, 𝜏 yaitu  laju  kelahiran  manusia, 𝜇 ℎ yaitu  laju  kematian  manusia, 𝛽 𝑠 yaitu  laju  transmisi  penyakit  dari  nyamuk  ke manusia  dan menjadi individu  yang  terinfeksi  simtomatik, 𝛽 𝑎 yaitu  laju  transmisi  penyakit  dari  nyamuk  ke manusia  dan menjadi  individu  yang  terinfeksi  asimtomatik, b yaitu  laju  populasi  vektor  menggigit  manusia, 𝜖 yaitu  laju  individu  anak menjadi  individu  dewasa, r yaitu  laju  pemulihan  populasi  manusia, E yaitu banyaknya  populasi  nyamuk  yang  masuk  ke  dalam  vektor  kompartemen  rentan, 𝛽 𝑣 yaitu  laju transmisi  penyakit  dari  manusia  ke nyamuk, 𝜇 𝑣 yaitu  laju  kematian  populasi  vektor.
Gambar  1. Model  kompartemen  untuk  penyebaran  penyakit  Dengue

## 76
Dari  model  kompartemen  tersebut,  dapat  dituliskan  sistem  persamaan  diferensial  sebagai berikut,
𝑑𝑆 𝑗 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝜏𝑁 ℎ − (𝛽 𝑠 + 𝛽 𝑎 )𝑏 𝑁 ℎ 𝑆 𝑗 (𝑡)𝐼 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖)𝑆 𝑗 (𝑡) (1) 𝑑𝐼 𝑠 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑠 𝑏 𝑁 ℎ 𝑆 𝑗 (𝑡)𝐼 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝐼 𝑠 (𝑡) 𝑑𝐼 𝑎 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑎 𝑏 𝑁 ℎ 𝑆 𝑗 (𝑡)𝐼 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝐼 𝑎 (𝑡)
𝑑𝑅 𝑗 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟(𝐼 𝑠 (𝑡) + 𝐼 𝑎 (𝑡)) − (𝜇 ℎ + 𝜖)𝑅 𝑗 (𝑡) 𝑑𝐴(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝜖 (𝑆 𝑗 (𝑡) + 𝐼 𝑠 (𝑡) + 𝐼 𝑎 (𝑡) + 𝑅 𝑗 (𝑡)) − 𝜇 ℎ 𝐴(𝑡)
𝑑𝑆 𝑣 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝐸 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ 𝑆 𝑣 (𝑡)(𝐼 𝑠 (𝑡) + 𝐼 𝑎 (𝑡)) − 𝜇 𝑣 (𝑡)𝑆 𝑣 (𝑡) 𝑑𝐼 𝑣 (𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ 𝑆 𝑣 (𝑡)(𝐼 𝑠 (𝑡) + 𝐼 𝑎 (𝑡)) − 𝜇 𝑣 𝐼 𝑣 (𝑡)
Diperoleh  total  populasi  manusia  dan  vektor  adalah 𝑁 ℎ = 𝑆 𝑗 (𝑡) + 𝐼 𝑠 (𝑡) + 𝐼 𝑎 (𝑡) + 𝑅 𝑗 (𝑡) + 𝐴(𝑡) dan 𝑁 𝑣 = 𝑆 𝑣 (𝑡) + 𝐼 𝑣 (𝑡) .  Karena  kedua  total  populasi  tersebut  diasumsikan  konstan,  maka diperoleh 𝑑 𝑑𝑡 𝑁 ℎ = 0 dan 𝑑 𝑑𝑡 𝑁 𝑣 = 0 ,  sehingga didapatkan 𝜏 = 𝜇 ℎ dan 𝑁 𝑣 = 𝐸 𝜇 𝑣 .  Untuk menyederhanakan  perhitungan,  sistem  persamaan  diferensial  (1) disederhanakan  menjadi 𝑠 𝑗 (𝑡) = 𝑆 𝑗 (𝑡) 𝑁 ℎ , 𝑖 𝑠 (𝑡) = 𝐼 𝑠 (𝑡) 𝑁 ℎ , 𝑖 𝑎 (𝑡) = 𝐼 𝑎 (𝑡) 𝑁 ℎ , 𝑟 𝑗 (𝑡) = 𝑅 𝑗 (𝑡) 𝑁 ℎ , 𝑠 𝑣 (𝑡) = 𝑆 𝑣 (𝑡) 𝑁 ℎ , 𝑖 𝑣 (𝑡) = 𝐼 𝑣 (𝑡) 𝑁 ℎ , sehingga
menjadi
sistem  persamaan  diferensial  (2), sebagai  berikut,
𝑑 𝑑𝑡 𝑠 𝑗 (𝑡) = 𝜇 ℎ − (𝛿 𝑠 + 𝛿 𝑎 )𝑠 𝑗 (𝑡)𝑖 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖)𝑠 𝑗 (𝑡)
(2)
𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑠 (𝑡) = 𝛿 𝑠 𝑠 𝑗 (𝑡)𝑖 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝑖 𝑠 (𝑡)
𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑎 (𝑡) = 𝛿 𝑎 𝑠 𝑗 (𝑡)𝑖 𝑣 (𝑡) − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝑖 𝑎 (𝑡) 𝑑 𝑑𝑡 𝑟 𝑗 (𝑡) = 𝑟(𝑖 𝑠 (𝑡) + 𝑖 𝑎 (𝑡)) − (𝜇 ℎ + 𝜖)𝑟 𝑗 (𝑡)
𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑣 (𝑡) = 𝛿 𝑣 (1 − 𝑖 𝑣 (𝑡))(𝑖 𝑠 (𝑡) + 𝑖 𝑎 (𝑡)) − 𝜇 𝑣 𝑖 𝑣 (𝑡)
Vania  Junisha,  Farah  Kristiani,  Benny  Yong
dengan 𝛿 𝑠 = 𝑏𝛽 𝑠 ( 𝐸 𝜇𝑣 ) 𝑁 ℎ , 𝛿 𝑎 = 𝑏𝛽 𝑎 ( 𝐸 𝜇𝑣 ) 𝑁 ℎ , dan 𝛿 𝑣 = 𝑏𝛽 𝑣 . Selanjutnya,  diperoleh  titik  kesetimbangan  dari persamaan  (2) untuk  kondisi  bebas penyakit 𝐸 0 dan endemik 𝐸 1 , dengan 𝐸 0 = ( 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ +𝜖 , 0,0,0,0) dan
𝐸 1 = (𝑠̅ 𝑗 ,𝑖̅ 𝑠 , 𝑖̅ 𝑎 ,𝑟̅ 𝑗 ,𝑖̅ 𝑣 ) , dengan 𝑠̅ 𝑗 = (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝐴 0 𝐴 0 (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝑁 , 𝑖̅ 𝑠 = 𝐴 𝑠 𝐴 0 𝜇 𝑣 𝜇 ℎ (𝐴 0 −𝑁) 𝛿 𝑣 (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝑁 , 𝑖̅ 𝑎 = 𝐴 𝑎 𝐴 0 𝜇 𝑣 𝜇 ℎ (𝐴 0 −𝑁) 𝛿 𝑣 (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝑁 ,  𝑟̅ 𝑗 = 𝜇 𝑣 (𝐴 0 −𝑁) 𝛿 𝑣 𝑁(𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝑁 , 𝑖̅ 𝑣 = 𝜇 ℎ (𝐴 0 −𝑁) (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )+𝜇 ℎ 𝐴 0 dan 𝐴 0 = (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )𝛿 𝑣 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝑟) ,  𝐴 𝑠 = 𝛿 𝑠 𝛿 𝑣 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝑟) ,  𝐴 𝑎 = 𝛿 𝑎 𝛿 𝑣 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝑟) , 𝑁 = 𝜇 ℎ +𝜖 𝜇 ℎ .

## 2.2. Metode Penentuan  BRD
BRD  atau ℛ 0 adalah  nilai  rata-rata  kemunculan  penularan  baru  yang  disebabkan  oleh seorang  individu  terinfeksi  dalam  suatu  populasi  yang  semuanya  rentan  untuk  tertular. ℛ 0 dapat berfungsi  sebagai  parameter  ambang  batas  terjadinya  penyebaran  suatu  penyakit  dan  berguna sebagai  indikator  dalam  mengidentifikasi  apakah suatu  penyakit  akan menjadi  endemik  atau tidak di dalam  suatu  populasi.  Jika ℛ 0 < 1 maka  tidak akan terjadi  endemik,  namun  jika ℛ 0 > 1 , maka penyakit  tersebut  akan  menjadi  endemik.  Lebih  lanjutnya,  jika ℛ 0 = 1 berarti  setiap  orang  akan menularkan  penyakitnya  ke satu  orang  lainnya,  sehingga  penyakit  tersebut  akan  tetap  ada dalam suatu  populasi,  tetapi  jumlah  penderitanya  cenderung  stabil  dan tidak  bertambah  ([10], [11]).
Dengan  menggunakan  metode  Jacobi,  Pongsumpun  [9] telah  menentukan  bentuk  BRD  dari model  ini  adalah ℛ 0 = √ (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 )𝛿 𝑣 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝜖+𝑟) ( 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ +𝜖 ) . Namun  demikian,  pada [8], dijelaskan  bahwa ℛ 0 yang diperoleh  dengan  menggunakan  metode  Jacobi  belum  tentu  akurat. ℛ 0 akurat  jika  hasil  yang diperoleh  dengan  metode  Jacobi  sama  dengan  hasil  yang  diperoleh  dengan  metode  matriks generasi.  Oleh  karena  itu,  pada bagian  berikutnya  akan  dicari  bentuk ℛ 0 dengan  menggunak a n metode  matriks  generasi.  Selain  itu  akan dibahas  juga  metode  penentuan ℛ 0 lainnya  yaitu  dengan metode  Laju  Pertumbuhan  Intrinsik  untuk  memberikan  pendekatan  alternatif.  Metode terakhir  ini mempertimbangkan  juga  laju  pertumbuhan  infeksi,  baik  untuk  populasi  manusia  maupun  untuk populasi  vektor.
2.3. Matriks  Generasi
Metode  yang  digunakan  di  sini  berdasarkan  metode  yang  dijelaskan  dalam  [7].  Perhatikan kompartemen  terinfeksi  pada sistem  persamaan  diferensial  (2), yaitu 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑠 (𝑡), 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑎 (𝑡), dan 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑣 (𝑡) .
Misalkan 𝑗(𝑥) menyatakan  laju  kemunculan  infeksi  baru  dan 𝑣(𝑥) menyatakan  laju  perpindahan individu,  maka  dapat diperoleh,
𝑗(𝑥) = (
𝛿 𝑠 𝑠 𝑗 (𝑡)𝑖 𝑣 (𝑡) 𝛿 𝑎 𝑠 𝑗 (𝑡)𝑖 𝑣 (𝑡) 𝛿 𝑣 (1 − 𝑖 𝑣 (𝑡))(𝑖 𝑠 (𝑡) + 𝑖 𝑎 (𝑡)) ) , dan
𝑣(𝑥) = ( (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝑖 𝑠 (𝑡) (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝑖 𝑎 (𝑡) 𝜇 𝑣 𝑖 𝑣 (𝑡) ) . Kemudian
dimisalkan 𝐹 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑗(𝑥) dan 𝑉 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑣(𝑥) ,  masing-masing  menyatakan  turunan  pertama  dari 𝑖 𝑠 ,𝑖 𝑎 , dan 𝑖 𝑣 , sehingga  diperoleh  matriks
𝐹 =   ( 0 0
𝛿 𝑠 𝑠 𝑗 (𝑡)
0 0 𝛿 𝑎 𝑠 𝑗 (𝑡) 𝛿 𝑣 (1 − 𝑖 𝑣 (𝑡)) 𝛿 𝑣 (1 − 𝑖 𝑣 (𝑡)) −𝛿 𝑣 (𝑖 𝑠 (𝑡) + 𝑖 𝑎 (𝑡)) ) dan 𝑉 =   ( 𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟 0
0 0 𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟 0 0 0 𝜇 𝑣 ) .
Langkah  berikutnya  adalah  dengan  mensubstitusi  titik  kesetimbangan 𝐸 0 pada 𝐹 dan 𝑉 sehingga  didapatkan  matriks  generasi  dengan  mengalikan  matriks 𝐹 dan 𝑉 −1 dengan  hasil  sebagai berikut
𝐹𝑉 −1 = ( 0 0 𝛿 𝑠 𝜇 ℎ 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝜖) 0 0 𝛿 𝑎 𝜇 ℎ 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝜖) 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ +𝜖+𝑟 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ +𝜖+𝑟 0 ) . (3)
Dengan  bantuan  perangkat  lunak  Maple,  diperoleh  nilai  eigen  dari  persamaan  (3)  yaitu
𝜆 1 = 0,  𝜆 2 = √ 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ (𝛿 𝑎 +𝛿 𝑠 ) 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 +𝜇 ℎ 𝑟+2𝜇 ℎ 𝜖 +𝑟𝜖+𝜖 2 ) , 𝜆 3 =  −√ 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ (𝛿 𝑎 +𝛿 𝑠 ) 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 +𝜇 ℎ 𝑟+2𝜇 ℎ 𝜖+𝑟𝜖+𝜖 2 ) . Menurut  [7], nilai  eigen positif  yang  terbesar  adalah  BRD  dari  model  penyebaran  penyakit  ini,  sehingga  BRD  dari  model ini  adalah
ℛ 0 = √ 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ (𝛿 𝑎 +𝛿 𝑠 ) 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 +𝜇 ℎ 𝑟+2𝜇 ℎ 𝜖+𝑟𝜖+𝜖 2 ) . (4)
Nilai ℛ 0 ini  sudah  akurat  karena sudah  sama dengan  bentuk ℛ 0 yang  diperoleh  dari  metode Jacobi  yang  ditentukan  oleh  Pongsumpun  [9].

## 2.4. Laju  Pertumbuhan  Intrinsik
Metode berikutnya  adalah metode  Laju Pertumbuhan  Intrinsik  yang  mempertimbangkan  laju pertumbuhan  infeksi  pada populasi  manusia  dan  vector  [12]. Dalam  kasus  epidemik,  diasums ika n jumlah  kasus  akumulatif  yang  terinfeksi  dapat  bervariasi.  Dalam  pemodelan  penyebaran  kasus Dengue  pada  artikel  ini,  diasumsikan 𝑖 𝑠 (𝑡) ∝ 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡), 𝑖 𝑠 (𝑡) ∝ 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡), dan 𝑖 𝑣 (𝑡) ∝ 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡) sehingga  diperoleh,
Vania  Junisha,  Farah  Kristiani,  Benny  Yong
𝑖 𝑠 (𝑡) = 𝑆 0 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡), 𝑖 𝑎 (𝑡) = 𝐴 0 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡), dan 𝑖 𝑣 (𝑡) = 𝑉 0 𝑒𝑥𝑝(𝑟 0 𝑡) ,                   (5)
dimana 𝑟 0 merupakan  laju  pertumbuhan  infeksi, 𝑆 0 dan 𝐴 0 merupakan  proporsi  awal  dari manusia rentan,  dan 𝑉 0 merupakan  proporsi  awal  dari  nyamuk  rentan  dan masing- masing  adalah  konstanta positif.  Pada metode  ini,  populasi  selain  manusia  dan  nyamuk  rentan  dapat  diabaikan,  sehingga diperoleh 𝑆 𝑗 (𝑡) = 𝑁 ℎ dan 𝑆 𝑣 (𝑡) = 𝑁 𝑣 .  Selanjutnya  dicari 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑠 (𝑡), 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑎 (𝑡), dan 𝑑 𝑑𝑡 𝑖 𝑣 (𝑡) dan disubstitusikan  ke persamaan  (2), dan setelah  disederhanakan  persamaannya  akan diperoleh,
𝑆 0 = 𝛿 𝑠 𝑉 0 − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝑆 0 (6)
𝐴 0 = 𝛿 𝑎 𝑉 0 − (𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟)𝐴 0 (7) 𝑉 0 = 𝛿 𝑣 (𝑆 0 + 𝐴 0 ) − 𝜇 𝑣 𝑉 0 (8)
Kemudian  substitusikan  persamaan  (6)  dan  (7)  ke  persamaan  (8)  sehingga  didapatkan bentuk,
𝛿 𝑣 (𝛿 𝑠 + 𝛿 𝑎 ) = (𝑟 0 + 𝜇 𝑣 )(𝑟 0 + 𝜇 ℎ + 𝜖 + 𝑟) (9)
Dengan  melakukan  manipulasi  aljabar  di  kedua  ruas  pada  persamaan  (9),  dapat  diperoleh bentuk  sebagai  berikut,
√ 𝛿 𝑣 (𝛿 𝑠 +𝛿 𝑎 ) 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ +𝜖+𝑟) 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ +𝜖 = √(1 + 𝑟 0 𝜇 𝑣 ) (1 + 𝑟 0 𝜇 ℎ +𝜖+𝑟 ) ( 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ +𝜖 ). (10)
Ruas  kiri  dari  persamaan  (10) memiliki  bentuk  yang  sama  dengan ℛ 0 pada persamaan  (4), sehingga  ruas  kanan  dari  persamaan  (10)  dapat  dinyatakan  sebagai ℛ 0 juga.  Jadi,  BRD  untuk metode  Laju  Pertumbuhan  Intrinsik  memiliki  bentuk  sebagai  berikut,
ℛ 0 = √(1 + 𝑟 0 𝜇 ℎ ) (1 + 𝑟 0 𝜇 ℎ +𝜖 +𝑟 ) ( 𝜇 ℎ 𝜇 ℎ +𝜖 ) . (11)
80
Dengue  dengan  Pengaruh  Faktor Usia  di Kota Bandung

## 3 Hasil dan Pembahasan
Data  yang  digunakan  dalam  pemodelan  di  sini  adalah  data  banyaknya  penderita  penyakit Dengue  yang  diambil  dari  Dinas  Kesehatan  Kota Bandung,  dari tahun  2016-2018. Nilai  parameter yang  digunakan  diasumsikan  dapat  mendekati  kondisi  real  dan  diambil  dari  artikel  ilmia h sebelumnya.
Pada bab ini  ditunjukkan  simulasi  numerik  pemodelan  penyebaran  penyakit  Dengue  di  kota Bandung.  Simulasi  akan  dibagi  menjadi  dua  bagian,  yaitu  untuk  metode  Matriks  Generasi  dan Laju  Pertumbuhan  Intrinsik.
3.1  Simulasi  Numerik  untuk  Metode Matriks  Generasi
Simulasi  numerik  dibagi  menjadi  dua  bagian  untuk  menunjukkan  kondisi  bebas  penyakit dan  kondisi  endemik.  Nilai-nilai  parameter  dipilih  dari  artikel  ilmiah  dari  riset-riset  sebelumnya yang  diasumsikan  sesuai  dengan  kondisi  iklim  di  Bandung.
Dari  BRD  pada  persamaan  (4),  dapat  ditentukan  nilai  E  yang  membuat  kondisi  bebas penyakit  ( ℛ 0 < 1 ) atau endemic  ( ℛ 0 > 1 ) dengan  menggunakan  cara sebagai  berikut,
ℛ 0 <  1 √ 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ (𝛿 𝑎 + 𝛿 𝑠 ) 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝑟 + 2𝜇 ℎ 𝜖 + 𝑟𝜖 + 𝜖 2 ) < 1
𝛿 𝑎 + 𝛿 𝑠 < 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝑟 + 2𝜇 ℎ 𝜖 + 𝑟𝜖 + 𝜖 2 ) 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ 𝑏𝛽 𝑎 ( 𝐸 𝜇 𝑣 ) 𝑁 ℎ + 𝑏𝛽 𝑠 ( 𝐸 𝜇 𝑣 ) 𝑁 ℎ < 𝜇 𝑣 (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝑟 + 2𝜇 ℎ 𝜖 + 𝑟𝜖 + 𝜖 2 ) 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ 𝐸 < 𝜇 𝑣 2 𝑁 ℎ (𝜇 ℎ 2 + 𝜇 ℎ 𝑟 + 2𝜇 ℎ 𝜖 + 𝑟𝜖 + 𝜖 2 ) 𝛿 𝑣 𝜇 ℎ 𝑏(𝛽 𝑎 + 𝛽 𝑠 ) . (12)
Untuk  mendukung  simulasi  tersebut,  diperlukan  nilai-nilai  parameternya  yaitu 𝜇 ℎ = 0,0007945, 𝑁 ℎ = 2.497.938 [13] , 𝛽 𝑠 = 0,2, 𝛽 𝑎 = 0,8, 𝑏 = 0,5, 𝑟 = 1 7 ⁄ ,  𝛽 𝑣 = 1, 𝜇 𝑣 = 1 14 ⁄ dan 𝜖 = 0,00018 [5]. Selanjutnya,  simulasi  numerik  pada kondisi  bebas penyakit  menggunaka n nilai 𝐸 = 5.000 yang  diasumsikan  dapat  menyebabkan ℛ 0 < 1 berdasarkan  ketaksamaan  (12). Dengan  cara yang  sama,  untuk  mendukung  simulasi  numerik  dengan  kondisi  endemik,  digunaka n nilai 𝐸 = 100.000 .
Berdasarkan  nilai-nilai  tersebut,  diperoleh  nilai ℛ 0 = 0,74567 untuk  kondisi  bebas penyakit  dengan  grafik  proporsi  variabelnya  ditunjukkan  dalam  grafik  pada Gambar  2. Dari  grafik
tersebut  dapat  dilihat  bahwa  pada saat 𝑡 → ∞ ,  masing- masing  variabel  akan  stabil  pada kondisi titik  kesetimbangan 𝐸 0 = (0,8154,0, 0, 0, 0) .

## 82
Dengan  cara  yang  sama,  diperoleh  nilai ℛ 0 = 3,33473 untuk  kondisi  endemik  dengan grafik  proporsi  variabelnya  ditunjukkan  dalam  grafik  pada  Gambar  3.  Pada  grafik  tersebut, masing- masing  variabel  akan  stabil  pada kondisi  titik  kesetimbangan
𝐸 1 = (0,0759;0,0010;0,0040;0,7344;0,0339) .

## 3.2  Simulasi  Numerik  untuk  Laju  Pertumbuhan  Intrinsik
Simulasi  numerik  untuk  metode  ini  memerlukan  nilai  parameter  yang  lebih  sedikit,  yaitu 𝜇 ℎ , 𝜖, 𝑟, dan 𝜇 𝑣 dengan  besaran  parameter  mengikuti  penjelasan  pada  Subbab  3.1.  Berikutnya diperlukan  juga  data kumulatif  dari  banyaknya  penderita  penyakit  Dengue  di Kota Bandung  yang diperoleh  dari  Dinas  Kesehatan  Kota Bandung  untuk  mendapatkan  nilai  parameter 𝑟 0 . Gambar  4 menunjukkan  jumlah  kumulatif  kasus  Dengue  di  kota Bandung  pada tahun  2016, 2017 dan 2018.
Dari  Gambar  4,  diperoleh  nilai 𝑟 0 dengan  mencari  nilai  gradien  dari  grafik  eksponensia l tersebut  [12],  [14].  Jika  semua  nilai  parameter  dimasukkan,  akan  diperoleh  hasil ℛ 0 dari persamaan  (10) sebagai  berikut,
Tabel 1.  Nilai 𝑟 0 dan ℛ 0 Tahun 𝒓 𝟎 𝓡 𝟎 2016 0,165 2,407 2017 0,149 2,263 2018 0,186 2,596
Gambar  4. Jumlah  kumulatif  kasus  Dengue  Kota Bandung  tahun  2016-2018

## 84
Hasil  di  Tabel  1  akan  dianalisa  dan  dibandingkan  dengan  data  real  yang  diperoleh  dari Dinas  Kesehatan  kota Bandung.  Banyak  kasus  Dengue  pada tahun  2016 adalah  3.618 dan tahun 2017 sebanyak  1.786. Jika  dihitung  rasio  perbandingan  kasus  tahun  2017  terhadap  kasus  tahun 2016, diperoleh  hasil  0,494, artinya  kasus tahun  2017 adalah  sekitar  0,494 kali  kasus  yang  terjadi di  tahun  2016. Dari  kondisi  ini,  diperoleh  persentase  error  kesalahan  hasil 𝓡 𝟎 tahun  2016 adalah 79,5% jika dibandingkan  dengan  rasio  kasus di tahun  2016 ke tahun  2017. Dengan  cara yang  sama, jika  diketahui  banyak  kasus  Dengue  pada  tahun  2018  adalah  sebanyak  3.394,  maka  persentase error  kesalahan  hasil 𝓡 𝟎 di  tahun  2017 dapat  dihitung  juga  dan  diperoleh  hasilnya  adalah  16%. Persentase  error  kesalahan  hasil 𝓡 𝟎 di  tahun  2018  tidak  dapat  dihitung  karena  banyak  kasus Dengue  tahun  2019  belum  diketahui.  Persentase  error  ini  kemungkinan  dipengaruhi  oleh pemilihan  nilai  parameter-parameter  yang  digunakan  dalam  perhitungan 𝓡 𝟎 .  Riset  mengena i parameter-parameter  yang  mempengaruhi  nilai 𝓡 𝟎 ini  dapat  dilanjutkan  dalam  penelit ia n berikutnya  yang  lebih  difokuskan  pada analisis  sensitivitas  parameter  yang  mempengaruhi  besaran nilai 𝓡 𝟎 .

## 3.3  Analisa  Hasil  Masing-Masing  Metode
Dari  hasil  yang  diperoleh  pada  Subbab  3.1  dan  3.2,  dapat  dilihat  perbedaan  dari  kedua metode  yang  digunakan  untuk  menentukan  bentuk 𝓡 𝟎 . Pada metode  Jacobi  dan matriks  generasi, bentuk  BRD dipengaruhi  oleh  beberapa parameter  yang  mengakomodasi  kondisi  real,  seperti  laju transmisi  penyakit  dari  nyamuk  ke  manusia  dan  sebaliknya,  banyaknya  populasi  nyamuk  yang masuk  ke  dalam  kompartemen  nyamuk  rentan,  dan  lain  sebagainya.  Kelebihan  dari  adanya pengaruh  parameter-parameter  ini  adalah  dapat  melakukan  tindakan  pencegahan  penyebaran penyakit  Dengue  yang  disesuaikan  dengan  simulasi  numerik  pada  nilai-nilai  parameter  yang mempengaruhinya,  sehingga  dapat menekan  nilai  BRD  menjadi  kurang  dari  1.
Lebih  lanjutnya,  model  laju  pertumbuhan  intrinsik  secara  natural  lebih  realistis  untuk diterapkan,  karena  metode  ini  bergantung  pada  data  real  per  tahun  pada  masing- masing  daerah yang  berisiko  terjangkit  penyakit  Dengue.  Dari  nilai  BRD  yang  dihasilkan  dari  model  ini,  dapat diketahui  wilayah  mana  saja yang  membutuhkan  tindakan  pencegahan  yang  lebih  serius  sehingga diharapkan  strategi  penanganannya  dapat lebih  efisien  dari  segi  waktu  dan biaya.

## 4 Simpulan
Untuk  mencegah  penyebaran  penyakit  Dengue  di  daerah  yang  berisiko  terjangkit, memerlukan  pengambilan  langkah-langkah  strategis  agar  dapat efisien  dari  segi  waktu  dan biaya. Salah  satu  caranya  adalah  dengan  menganalisis  dinamika  penyebaran  penyakit  ini  dan memperhatikan  faktor-faktor  yang  mempengaruhi  penyebarannya.  Untuk  itu  perlu  penerapan
metode  yang  tepat  untuk  menganalisa  model  penyebaran  yang  dipilih.  Dalam  hal  ini,  metode matriks  generasi  dan  laju  pertumbuhan  intrinsik  dapat  diterapkan  karena  kedua  metode  ini dipengaruhi  oleh  parameter  dan data yang  bisa  mewakili  kondisi  real.
BRD  penyebaran  penyakit  Dengue  ini  penting  untuk  ditentukan  supaya  para  pengambil kebijakan  dapat  menganalisa  lebih  dalam  mengenai  faktor-faktor  yang  dapat dikontrol  sehingga dapat  menghentikan  penyebaran  penyakit  ini.  Nilai  BRD  yang  diperoleh  dapat  berbeda  jika dihitung  dari  kedua  metode  yang  berbeda ini.  Kedua BRD  yang  disajikan  dalam  artikel  ini  dapat diterapkan  pada  kondisi  yang  mendukung  pemilihan  metodenya.  Jika  data  real  tersedia,  maka metode  Laju  Pertumbuhan  Intrinsik  dapat  dijadikan  pilihan.  Namun  jika  data  real  tidak  tersedia, maka  metode  Matriks  Generasi  dapat dijadikan  pilihan  pemodelannya.
Saran  untuk  pengembangan  riset  ini  adalah  dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang disesuaikan  dengan  tahun  penerapan  kasusnya.  Lebih  lanjut,  dapat  juga  dilakukan  analis is sensitivitas  nilai  parameter  yang  mempengaruhi  pemodelan  ini.

## 5 Ucapan Terima Kasih
Penulis  mengucapkan  terima  kasih  kepada para reviewer  yang  sudah  memberikan  masukan yang  berharga  untuk  perbaikan  materi  dalam  artikel  ini.  Tidak  lupa  penulis  juga  berterima  kasih kepada  Dinas  Kesehatan  Kota Bandung  untuk  data  yang  disediakan  untuk  mendukung  riset  ini. Terakhir,  dukungan  dari  Universitas  Katolik  Parahyangan  agar  penulis  terus  berkarya  dalam penelitian  sangat  penulis  hargai.

## 6 Daftar Pustaka
[1] WHO, “Global  Strategy  for  Dengue  Prevention  and Control  2012–2020,” World Heal. Organiszation ,  2012.
[2] S. Keman,  “Perubahan  Iklim  Global,  Kesehatan  Manusia  dan Pembangunan Berkelanjutan,” J. Kesehat. Lingkung. , 2007.
[3] M. B. Nathan,  R. Dayal-Drager,  and M. Guzman,  “Epidemiology,  burden  of disease  and transmission,”  in Dengue: guidelines for diagnosis, treatment, prevention, and control , 2009.
[4] R. World  Health  Organization,  “Dengue  Bulletin,”  vol.  25, no. December,  2008.
[5] F. Kristiani,  N. Samat,  and S. Ghani, BAYESIAN DENGUE DISEASE MAPPING FOR JUVENILE AND ADULT IN BANDUNG, INDONESIA . 2015.
[6] F. Kristiani,  N. A. Samat,  and S. Bin  Ab Ghani,  “The  SIR-SI model  with  age-structured
human  population  for  dengue  disease  mapping  in  Bandung,  Indonesia,” Model Assist.
Stat. Appl. , 2017.
[7] Z. Ma and J. Li, Dynamical modeling and analysis of epidemics . 2009.
[8] J. M. Heffernan,  R. J. Smith,  and L. M. Wahl,  “Perspectives  on the  basic  reproductive ratio,” Journal of the Royal Society Interface . 2005.
[9] P. Pongsumpun,  “Age  structured  model  for  symptomatic  and asymptomatic  infections  of dengue  disease,” Int. J. Model. Simul. , 2009.
[10]  G. Cruz-Pacheco,  L. Esteva,  J. A. Montaño-Hirose,  and  C. Vargas,  “Modelling  the dynamics  of  West Nile  Virus,” Bull. Math. Biol. ,  2005.
[11]  H. Nishiura,  “Mathematical  and statistical  analyses  of the  spread of  dengue,” Dengue Bull. ,  2006.
[12]  N. Badshah,  H. Shah,  and M. Javid,  “Estimation  of basic  reproduction  number  for dengue fever  in  Lahore,  Pakistan,” Sains Malaysiana , 2015.
[13]  BPS Provinsi  Jawa Barat,  “Proyeksi  Penduduk  dan Laju  Pertumbuhan  Penduduk  di Kota Bandung,  2012 - 2017.” .
[14]  Study  Force, How to Plot and Calculate Slope of Exponential Functions . p.
https://www.youtube.com/watch?v=ckYthkRmKpc&featur.