Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.

## SIMULASI KUANTUM TRANSISTOR EFEK MEDAN MULTI GERBANG (NWFET)
Syamsudin Nur Wahid*, Rizal Maulana Kusmayadi *Universitas Islam Balitar Jl. Majapahit 12A Blitar Corresponding author: Snowhaatt@gmail.com
Makalah ini membahas metode numerik untuk simulasi kuantum satu dan dua dimensi dari nanowire multigate transistor efek medan. Perangkat dimodelkan berdasarkan teori massa efektif dan formalisme fungsi Green non-ekuilibrium. Simulasi terdiri dari solusi Poisson persamaan tiga dimensi, persamaan Schrodinger dua dimensi pada penampang lintang dan persamaan transport satu dimensi. Dijelaskan detail teknik numerik untuk setiap langkah-langkah simulasi.
Kata Kunci: Simulasi, Transistor, kuantum

## 1 PENDAHULUAN
Transistor  adalah  blok  pembangun  fundamental  dalam  perangkat elektronika. Pada komputasi chip silikon, jumlah transistor mencerminkan jumlah relatif kekuatan  pemrosesan  chip.  Sejak  1970-an  jumlah  transistor  yang  dibangun  didalam sebuah chip silikon telah berkembang dari hanya beberapa ratus hingga lebih dari dua milyar  transistor  pada  sebuah  chip  tunggal.  Perangkat  elektronik  sekarang  ini memerlukan  lebih  banyak  transistor  pada  setiap  chip,  juga  memerlukan  chip semikonduktor yang lebih kecil, lebih hemat energi, dan lebih hemat biaya.
Transistor arsitektur konvensional yang digunakan untuk 40 tahun terakhir tidak dapat lagi mengikuti permintaan ini. Transistor saat ini berbasis pada sambungan, yang dibentuk dengan menyambungkan dua potongan silikon dengan polaritas yang berbeda pada  sisi-sisinya.  Kontroler  bekerja  dengan  cara  mengaktifkan  dan  mematikan sambungan  arus  dalam  perangkat.  Penempatan  banyak  transistor  pada  sebuah  chip membutuhkan metode fabrikasi yang lebih tepat, yang akan sangat meningkatkan biaya chip.
Nanowire  transistor  efek  medan  multi  gerbang  (NWFET),  yang  memiliki beberapa  gerbang  disekitar  kanal  silikon  nanowire,  adalah  kandidat  yang  menjanjikan untuk  transistor  generasi  berikutnya  dan  telah  menarik  perhatian  baru-baru  ini.  Selain penekanan  efektif  efek  kanal  pendek  karena  peningkatan  kekuatan  gerbang,  NWFET multi  gerbang  menunjukkan  penggerak  arus  yang  baik  dan  juga  kompatibel  dengan prosesor  CMOS  konvensional.  Makalah  ini  bertujuan  untuk  mencari  pemodelan  yang akurat dan perhitungan berdasarkan mekanika kuantum untuk menilai batas kinerjanya, karena tampang - melintang dari NWFET multigate diharapkan luasnya menjadi beberapa nanometer saja.
Pada makalah ini dibangun simulasi  NWFET menggunakan  mekanika kuantum dengan  berdasarkan  teori    masa  effektif  dan non-equlibrium  green  functions  (NEGF) dengan  menggunakan  persamaan schrodinger sebagai  basis  awal  perhitungan.  dimana
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
pada makalah ini   penyelesaian  masalah persamaan schrodinger 3D akan di bagi menjadi 1D dan 2D.

## 1.1 Pendekatan
Pada  makalah  ini  yang  digunakan  sebagai  Perangkat  simulasi  adalah  FET nanowire tiga dimensi dengan sumber/cerat, kanal, dan beberapa gerbang. Sumber/cerat dimodelkan sebagai timbal semi-infinite yang didoping n-silikon berat, dengan doping tipikal  konsentrasi  10 20 cm -3 .  Kanal  silikon  bisa  bertipe-n  atau  tipe-p,  dan  gerbang diasumsikan logam dengan mid-gap work function .
Gambar 1. device Perangkat simulasi adalah FET nanowire tiga dimensi dengan sumber/cerat
Hamiltonian Masa efektif dari device yang digunakan seperti yang terlihat pada Gambar 1 dapat ditulis sebagai :
𝐻 3𝐷 ψ(x, y, z) = EΨ(𝑥, 𝑦, 𝑧)
(1)
Dimana nilai  H 3D adalah  :
) , , ( 1 2 1 2 2 * 2 * 2 2 2 * 2 3 z y x V z m z y m y x m H z y x D                                 , (2)
Dimana nilai 𝑚 𝑥 ∗ 𝑚 𝑦 ∗ 𝑚 𝑧 ∗ adalah nilai masa effektif pada arah x, y,z  dan  V adalah conducion band edge profil yang nilainya sebesar :
𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝐸 𝑐 0 (𝑦, 𝑧) − 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) , (3)
E 0 c adalah  setengah  pita  konduksi  pada  silikon  atau  oksida,  dan  ɸ(x,y,z)  adalah  level potensial  vakum.  Ψ(x,y,x)    yang  merupakan  persamaan    Schrodingeer  3D  dapat diekspansikan sebagai berikut :
Ψ(𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ 𝜙 𝑚 (𝑥)𝜓 𝑚 (𝑦, 𝑧; 𝑥) 𝑚 , (4)
Persamaan tersebut dapat dipecah menjadi persamaan schrodinger 2 D dan 1D. Dimana Ψ m (x,y;x) adalah fungsi eigen ke-m dari Schrodinger 2D
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
𝐻 2𝐷 𝜓 𝑚 (𝑦, 𝑧; 𝑥) = 𝐸 𝑚 (𝑥)𝜓 𝑚 (𝑦, 𝑧; 𝑥) , (5)
Dengan nilai H 2D adalah :
) ; , ( ) , ( 1 2 ) , ( 1 2 * 2 * 2 2 x z y V z z y m z y z y m y H z y D                             , (6)
Persamaan    schrodinger  2D  digunakan  untuk  menghitung  fungsi  gelombang  pada penampang lintang. Nilai 𝜙 𝑚 (𝑥) Merupakan fungsi Eigen dari Schrodinger 1D
) ( ) ( ) ( 2 2 2 * 2 x E x x E dx d m m m m x             , (7)
Schrodinger  1D digunakan untuk menghitung  fungsi gelombang direct transport.
Persamaan  schrodinger  1D  pada  persamaan  (7)  dapat  diselesaikan  dengan menggunakan metode NEGF. Pertama  kita tulis persamaan Green 1D. G m untuk sub pita m.
𝐺 𝑚 = [𝐸 − 𝐻 𝑚 1𝐷 − Σ 𝑆,𝑚 − Σ 𝐷,𝑚 ] −1 , (8)
Dimana :
) ( 2 2 2 * 2 1 x E dx d m H m x D m     , (9)
Σsm dan  Σdm adalah source (s) dan drain (D) self-energies dari sub pita m lalu dengan menggunakan persamaan green didapat rapat muatan pada 1D sebesar :
𝑛 𝑚 1𝐷 (𝑥) = 1 2𝜋∆𝑥 ∫ 𝑑𝐸(𝑓 𝑆 𝐺 𝑚 Γ 𝑆,𝑚 𝐺 𝑚 † + 𝑓 𝐷 𝐺 𝑚 Γ 𝐷,𝑚 𝐺 𝑚 † ) , (10)
Dimana Δx adalah jarak kisi . sedangkan Γ sm dan  Γ Dm didefinisikan sebagai :
Γ 𝑆,𝑚 = 𝑖(Σ 𝑆,𝑚 − Σ 𝑆,𝑚 † ) (11)
Γ 𝐷,𝑚 = 𝑖(Σ 𝐷,𝑚 − Σ 𝐷,𝑚 † ) (12)
Dan f s(D) adalah fungsi distribusi Fermi dari sumber dan cerat yang diberikan sebesar :
T k E E D S B D S F e E F / ) ( ) ( ) ( 1 1 ) (   
, (13)
Jika rapat muatan 1D telah diketahui, dapat ditentukan rapat muatan 3D. sebesar
𝑛 3𝐷 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑛 𝑚 1𝐷 (𝑥)|𝜓 𝑚 (𝑦, 𝑧; 𝑥)| 2 𝑚 , (14)
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
Dengan menggunakan persamaan poisson kita bisa mendapatkan  nilai potensialnya
∇ 2 𝜙(𝑥, 𝑦, 𝑧) = − 𝑞 𝜀 (𝑁 𝐷 (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑛 3𝐷 (𝑥, 𝑦, 𝑧)) (15)
Dengan  N D (x,y,z)  adalah  fungsi  profil  sebaran  doping.  Persamaan  dapat diselesaikan setelah iterasi  hingga konvergen dan mendapatkan potensial yang nilainya konstan  sehingga  kita  bisa  mendapatkan  distribusi  muatan  dari  transistor  tersebut. Dengan menggunakan fungsi Landauer–Büttiker kita bisa mendapatkan nilai dari arus
𝐼 𝑑 = 2𝑞 ℎ ∑ ∫ 𝑑𝐸𝑇 𝑚 (𝐸)(𝑓 𝑆 (𝐸) − 𝑓 𝐷 (𝐸)) 𝑚 , (16)
Dengan probabilitas tranmisi untuk subpita m diberikan sebesar :
𝑇 𝑚 (𝐸) = 𝑇𝑟(Γ 𝑆,𝑚 𝐺 𝑚 Γ 𝐷,𝑚 𝐺 𝑚 † ) , (17)

## 2 METODE

## Gambar 2. Flowchart simulasi
Langkah-langkah simulasi penentuan sebaran potensial dan arus yang melalui NWFET dapat  dideskripsikan  pada Gambar  2.  Flowchart  simulasiGambar  2 .  Terlebih  dahulu ditentukan  sebaran  nilai  potensial  pada  tampang  melintang  yang  akan  digunakan  untuk menyelesaiakan persamaan schrodinger 2D. kemudian diselesaikan NEGF 1D untuk memperoleh
Mendapatkan nilai Arus Tebakan awal nilai potensial Φ (x,z) Selesaikan persamaan schrodinger 2D
1D NEGF  ρ (x,z) Selesaikan persamaan poisson 3D Konvergen? ya Tidak
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
rapat muatan. Penggabungan persamaan 1D dan 2D menghasilkan persamaan Poisson 3D. Jika setiap  persamaan  menghasilkan  nilai  yang  konvergen,  maka  didapatkan  nilai  arus,  jika  tidak, perhitungan  diulangi  dengan  nilai  potensial  yang  baru.  Ukuran  NWFET  yang  digunakan diperlihatkan pada Gambar 3 .

## Gambar 3. Tampang  melintang dari NWFET
Pada makalah ini ukuran NWFET yang digunakan adalah Lebar: Ly = 5 nm, Tebal: Lz = 5 nm, Mesh: 15/nm , Tebal oksida: 10/15 nm, y α = 10/15 nm, y β = 5-10/15 nm, z α = y β , z β = y β , semua perhitungan menggunakan MATLAB. Masa efektif pada tampang melitang diberikan oleh :
 Untuk arah y dimana  :
𝑚 𝑦 ∗ (𝑦, 𝑧) = 𝑚 𝑦 ∗ (𝑦) untuk 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿 𝑧 , (18)
Maka didapat  :
𝑚 𝑦 ∗ (𝑦, 𝑧) = { 𝑚 ∗ 𝑦 (𝑦)        𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑧 ∝ ≤ 𝑧 ≤ 𝑧 𝐵 𝑚 0𝑥 ∗ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑧 < 𝑧 𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑧 > 𝑧 𝐵 , (19)
 Untuk arah z dimana :
𝑚 𝑧 ∗ (𝑦, 𝑧) = 𝑚 𝑧 ∗ (𝑧)     𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝐿 𝑦 , (20)
Maka didapat :
𝑚 𝑧 ∗ = { 𝑚 𝑆𝑖,𝑧 ∗ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑧 𝛼 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧 𝛽 𝑚 𝛼𝑥 ∗ 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑧 < 𝑧 𝛼 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑧 > 𝑧 𝛽 , (21)
Kita set konsentrasi doping: 10 20 cm -3 = 10 -1 nm -3 . Massa efektif si: m* si = 0.19 m 0 (arah transversal(z,y)), m 0 = 9.11x10 -31 = massa diam elekron, Massa oksida: m* ox = 0.18 m 0 (Zeghbroeck, 1997)
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
Dengan memasukan nilai My  dan Mz ke persamaan schrodinger  2D (persamaan (6)) lalu gunakan basis set
|𝐾⟩ = 𝜒 𝑖 (𝑦)𝜁 𝑗 (𝑧) , (22)
Maka didapat schrodinger pada arah y dan z  sebagai berikut
                   ) ( ) ( 1 2 * 2 y y V dy d m dy d i y   𝜖 𝑖 𝜒 𝑖 (𝑦) , (23)
                 ) ( ) ( 1 2 * 2 z z V dz d m dz d j z   𝜖 𝑗 𝜁 𝑗 (𝑧) , (24)
Dengan nilai potensial pada arah y dan z sebagai berikut :
) , ( 1 ) ( z y V dz z z y V z z        , (25)
) , ( 1 ) ( z y V dy y y z V y y        , (26)
Dengan nilai Potensial awal pita konduksi adalah Vyz = 0.2x1.6x10 -19 V (silikon) dan  Vyz(oksida)  =  4eV  lebih  tinggi  dari  Vyz(silikon)  Fungsi  eigen  χi(y)  dan  ζj(z) dipecahkan dengan metode beda hingga 1D tiga titik alur maju. Maka  Diperoleh matrix
𝜒 𝑖 = [𝑦1 𝑦2 … 𝑦𝑛]
(27) 𝜁 𝑖 = [𝑧1 𝑧2 … 𝑧𝑛] (28)
Dengan basis set  :
|𝐾⟩ = 𝜒 𝑖 𝜁 𝑖 = [ 𝑦 1 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ] [ 𝑧 1 𝑧 2 … 𝑧 𝑛 ] = [ [ 𝑦 1 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ] 𝑧 1 [ 𝑦 1 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ] 𝑧 2 … [ 𝑦 1 𝑦 2 … 𝑦 𝑛 ] 𝑧 𝑛 ] = [ 𝑦 1 𝑧 1 𝑦 2 𝑧 1 … 𝑦 1 𝑧 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 𝑛 ] = [ 𝑘 1 𝑘 2 … 𝑘 𝑛𝑛 ] (29)
Dengan mengalikan basis tersebut dengan persamaan schrodinger 2D maka didapat :
𝐻 2𝐷 |𝐾⟩ = −𝜁 𝑗 (𝑧) ℏ 2 2 𝑑 𝑑𝑦 ( 1 𝑚 𝑦 ∗ (𝑦) 𝑑𝜒 𝑖 (𝑦) 𝑑𝑦 ) − 𝜒 𝑖 (𝑦) ℏ 2 2 𝑑 𝑑𝑧 ( 1 𝑚 𝑧 ∗ (𝑧) 𝑑𝜁 𝑗 (𝑧) 𝑑𝑧 ) + 𝑉(𝑦, 𝑧)𝜒 𝑖 (𝑦)𝜁 𝑗 (𝑧)
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
𝐻 2𝐷 |𝐾⟩ = (𝜖 𝑖 + 𝜖 𝑗 + 𝑉(𝑦, 𝑧) − 𝑉(𝑦) − 𝑉(𝑧))|𝐾⟩ . (30)
Kalikan  persamaan  diatas  dengan  basis ⟨𝐿| .  Jika  basis |𝐾⟩ = [ 𝑎 𝑏 𝑐 ] ,  maka  basis ⟨𝐿| =
[𝑎 𝑏 𝑐] sehingga didapat :
𝐻 𝐿𝐾 2𝐷 = 𝜖 𝐿 𝛿 𝐿𝐾 + ⟨𝐿|𝑉(𝑦, 𝑧) − 𝑉(𝑦) − 𝑉(𝑧)|𝐾⟩ , (31)
Dengan ;
𝜖 𝐿 = 𝜖 𝑖 + 𝜖 𝑗 , (32)
𝐻 𝐿𝐾 2𝐷 = 𝐸 𝑚 (𝑥)𝜓𝑚(𝑧, 𝑦; 𝑥) = ⟨𝐿|𝐸𝑥|𝐾⟩ = 𝐸 𝑥 ⟨𝐿|𝐾⟩ (33)
Maka didapat nilai energi, yaitu
𝐸𝑥 = 𝐻 𝐿𝐾 2𝐷 ⟨ 𝐿 | 𝐾 ⟩ (34)
Dari  persamaan  diatas  kita  bisa  mendapatkan  nilai  Fungsi  gelombang  arah transversal ψ (y,z) =LK, Energi eigen arah longitudinal E x

## 2.1 Non Equlibrium Green Function
Fungsi Green seperti  pada  persamaan (8) bisa  didapat dari  melakukan inversi matriks
𝐺 𝑚 −1 (𝐸) =                   ) ( 0 ... ) ( 0 0 ... 0 ) ( ) ( , 1 , 1 2 , 2 1 , 1 E d t t E d t t E d t t E d x x x x N N N N     , (35)
Dimana :
𝑑 𝑛,𝑛 = { 𝐸 − (2𝑡 + 𝐸 𝑚 (1) + 𝛴 𝑆 (𝐸)) 𝐸 − (2𝑡 + 𝐸 𝑚 (𝑛)) 𝐸 − (2𝑡 + 𝐸 𝑚 (𝑁 𝑥 ) + Σ 𝐷 (𝐸))
𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 1 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 2, … , 𝑁 𝑥 − 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 𝑁 𝑥 (36)
Dengan N X adalah jumlah mesh pada arah  X  dan
2 * 2 2 x m t x    , (37)
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
Dimana Δx adalah jarak  antar mesh pada arah X. Sedangkan  Σ S,m (source) dan Σ D,m (drain)adalah energi sumber dan cerat yang dapat diperoleh melalui persamaan :
Σ 𝑆 (𝐸) = 1 2 (𝐸 − 2𝑡 − 𝐸 𝑚 (1) − 𝑖√(4𝑡 + 𝐸 𝑚 (1) − 𝐸)(𝐸 − 𝐸 𝑚 (1))) ,
Σ 𝐷 (𝐸) = 1 2 (𝐸 − 2𝑡 − 𝐸 𝑚 (𝑁 𝑥 ) − 𝑖√(4𝑡 + 𝐸 𝑚 (𝑁 𝑥 ) − 𝐸)(𝐸 − 𝐸 𝑚 (𝑁 𝑥 ))) ,  (38)
Dari  persamaan  diatas  dapat  dihasilkan    persamaan  Green  dengan  memasukan persamaaan (36),(37),(38) kedalam persamaan (8).  Didalam  Fungsi Green untuk sub pita m dan energi E berupa matrix 2D. Gm(E)=[x,x] untuk Setiap sub pita ada beberapa nilai E. Gm=[E,x,x]
Fungsi  Green  untuk  sub  pita  berbeda-beda.  G=Gm(E)(x)=[m,E,x,x]  sedangkan Hasilnya  untuk  fungsi  green  berupa  array  matrix  4D  [m,[E,[x,x]]]  pada  makalah  ini Diambil 2 buah nilai m=1,2 karena yang berperan adalah pita valensi dan pita konduksi dengan Nilai E bervariasi antara 0 s/d Emax.
Untuk  menentukan  nilainya  dari  fungsi  green,  Ambil  nilai  Emax=Ex+Ey+Ez untuk setiap sub pita. Diskritisasi nilai E menjadi N bagian dengan rentang dE=Emax/N (misal N=50) lalu kita Hitung konstanta t dan fungsi Σ S , Σ D untuk setiap nilai E . Setelah itu, kita Tentukan matrix dnE untuk setiap nilai E masukan ke persamaan (35) maka kita dapat Hasilnya berupa array 4 dimensi, yaitu 2 dimensi spasial (x), satu dimensi energi dan satu dimensi sub pita.

## 2.2 Penentuan rapat muatan
Untuk menentukan rapat muatan pertama kali kita tentukan energy Fermi pada source dan drain berdasarkan konsentrasi doping  yaitu sebesar :
  3 / 2 3 / 2 2 2 3 8 n mc hc E F               (39)
Kita tentukan kerapatan doping di sumber dan cerat adalah 10 10 cm -3 dan 10 20 cm -3 sehingga  Kerapatan  elektron  ns=10 16 m -3 dan  nd=10 26 m -3 .  Energi  fermi  masing- masing = 1.692414 eV dan 0.078554 eV dari persamaan (39) kita bisa menentukan tingkat distribusi fermi untuk setiap tingkatan energi  setelah mendapatkan tingkat energy baik untuk source ataupun drain maka kita bisa menentukan  nilai dari  Γ S,m dan Γ D,m dengan memasukan nilai energy tersebut ke persamaan (11) dan (12).
Setelah  nilai  Γ S,m dan  Γ D,m didapatkan,  kita  bisa  memasukannya  ke  persamaan (10) untuk mendapatkan nilai rapat muatan pada 1D. Pada komputasinya  perhitungan nilai rapat muatan didapat dengan cara mengubah bentuk integral menjadi sigma ∫  Σ dengan diskritisasi  dEn m 1d yang merupakan matrix 2 dimensi (m,x), hasil dari penjulahan matrix 4 dimensi (m,E,(x,x)). Maka dimensi spasial (x) perlu direduksi menjadi 1 dimensi saja.
Lalu  setelah  nilai rapat muatan pada 1D didapat kita bisa mendapatkan nilai rapat muatan  pada  3D  dengan  cara  memasukan  nilai  rapat  muatan  1d  kedalam  persamaan berikut :
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
𝑛 3𝐷 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = ∑ 𝑛 𝑚 1𝐷 (𝑥)|𝜓 𝑚 (𝑦, 𝑧; 𝑥)| 2 𝑚 , (40)
Untuk  mempermudah  masalah  kita  hitung  untuk  2  dimensi  saja  (x,y)  dengan  fungsi gelombang ψ y . Anggap ψ y sama pada setiap x.

## 2.3 Persamaan Poisson
Untuk  mendapatkan  nilai  potensial  Φ  Masukkan  sebaran  densitas  muatan  yang diperoleh dari NEGF ke persamaan poisson
∇ 2 𝜙 𝑘 = − 𝑞 𝜖 (𝑁 𝐷 − 𝑛 3𝐷 𝑘 𝑒 (𝜙 𝑘 −𝜙 𝑘−1 )/𝑘 𝐵 𝑇 ) , (41)
Dengan syarat batas:
◦ Pada perbatasan gerbang, φ ( x,y,z ) = V g
◦ Selain itu, dɸ/dn = 0.
◦ Untuk Kondisi pada perbatasan silikon dan oksida adalah : Si Si OX OX n n        
(42)
Persamaan Poisson memerlukan konstanta muatan elektron (q = 1.6×10 -19 ), permitivitas silikon dan oksida (Є si = 10 -10 ; Єox = 3.5×10 -11 ) (htt1) dan kB = 1.3×10 -23 , ambil T = 300. atau  gunakan  k B T  =  0.026.  Persamaan  Poisson  pada  makalah  ini  dikerjakan  dengan metode  beda-hingga  lima  titik  pada  titik  sentral  dalam  mesh  persegi  seperti  yang ditunjukkan pada Gambar 4 . Iterasi dilakukan sebanyak 150 kali. Diterapkan sarat batas setiap  kali  iterasi.  Pola  distribusi  potensial  dikembalikan  lagi  ke  langkah  awal  untuk iterasi selanjutnya. Perhitungan menggunakan MATLAB dengan menggunakan prosesor AMD A6  memerlukan 30 menit dalam sekali putaran iterasi.
Gambar 4. Gambaran massa  Material penyusun transistor
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.

## 3 HASIL DAN KESIMPULAN
Gambar  5.  Fungsi  gelombang  pada  penampang  lintang  (cross  section)  untuk  modus pertama dan keempat. Atas adalah Gambar  yang didapat dari hasil simulasi (berwarna) sedangkan   gambar  bawah adalah gambar  yang terdapat pada paper referensi (hitam putih) (Shin, 2008).
Dari hasil simulasi didapat gambaran fungsi gelombang pada lintang penampang atau Cross section seperti terlihat pada  Gambar 5 sesuai yang didapat oleh Shin dalam (Shin, 2008). Sedangkan untuk  pola sebaran distribusi potensial pada transistor didapat pada Gambar 6 dimana pola tersebut didapat dari tebakan awal pertama dengan iterasi sebanyak 150 kali di subrutin persamaan poisson. Pada putaran kedua pola yang terjadi sudah tidak konvergen lagi sehingga  tidak didapat nilai sebaran potensial. Hal tersebut bisa disebabkan oleh beberapa hal  yaitu bisa disebabkan tebakan awala sudah langsung mendekati nilai sebenarnya atau ketidak mampuan software yang digunakan dalam hal ini  MATLAB  karena  pada  referensi  (Shin,  2008)  software  yang  digunakan  adalah LAPACK    sedangkan untuk eror didapat  error yang relatif sama untuk setiap iterasi jika dibandingkan  dengan  yang  terdapat  di  paper  referensi  Gambar  7.    Dengan    mendapat gambaran  error  yang  hampir  sama  kita  bisa  memastikan  apa  yang  kita  dapat  tersebut sudah  konvergen  karena  gambaran  eror  tersebut  adalah  gambaran  khusus  yang  terjadi pada  proses  iterasi  beda  hingga  persamaan  poisson  yang  telah  mencapai  iterasi  yang
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
konvergen.  Oleh  sebab  itu  apa  yang  dilakukan  dalam  makalah  ini  bisa  dikatakan mendekati nilai yang didapat pada jurnal referensi (Shin, 2008).
Gambar 6. Sebaran  pola distribusi potensial yang didapat dari simulasi
Gambar 7. Error yang didapat yang merupakan typical  convergen behavior dari  NEGF.

## 4 DAFTAR PUSTAKA
(n.d.). Retrieved from http://inmmc.org/ftp/material/silicon-electrical.html
Shin, M. (2008). Three-dimensional quantum simulation of multigate nanowire field effect transistor. Mathematics and Computers in Simulation (79), 1060-1070. Retrieved from www.sciencedirect.com
Jurnal Qua Teknika, Vol. 7 No. 1 Maret 2017 ISSN 2088-2424(cetak); 2527-3892(elektronik) UNISBA Blitar, Http://qua.unisbablitar.ejournal.web.id
Syamsudin Nur Wahid, Rizal Maulana Kusmayadi. 2017.  Simulasi Kuantum Transistor Efek Medan Multi Gerbang (NWFET). Jurnal Qua Teknika , (2017), 7(1):53-64.
Zeghbroeck, B. J. (1997). Effective mass in semiconductors . Retrieved 11 20, 2013, from http://ecee.colorado.edu/%7Ebart/book/contents.htm