Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660 Vol.14 No.y  (..... 20 20) Hal. xx-xx
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” http://ppjp.ulm.ac.id/journals/index.php/epsilon p-ISSN: 1978-4422 | e-ISSN 2656-7660
Vol.14 No.2 (Desember  2020) Hal. 62 -70

## PELABELAN TOTAL TAK-AJAIB SISI PADA MULTISTAR
Yoga Jati Kusuma 1 , Dominikus Arif Budi Prasetyo 2
1,2 Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma
Paingan, Maguwoharjo, Depok, Sleman, Yogyakarta
Email 2 : dominic_abp@usd.ac.id

## ABSTRACT
Graph theory contains several topics, one of which will be discussed in this study is graph labeling. In the topic of labeling, the graph used is a limited, simple, and undirected graph. In this study, the type of labeling used is total labeling. The multistar graph used in this study is a combination of star graphs whose center vertex are not connected to each other. This research uses literature research method which is divided into two parts, that is the basic calculation to determine the boundary of the  first term 𝑎𝑎 and the difference 𝑑𝑑 from the ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) edge antimagic total labeling on the 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 multistar graph. The second part is to apply ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) edge antimagic total labeling  to the multistar graph 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 . In multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 can be labeled  by ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) edge antimagic total labeling by
� 3𝑚𝑚2𝑛𝑛2+5𝑚𝑚2𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � and � 2𝑚𝑚2𝑛𝑛2+5𝑚𝑚2𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛
2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � for center label smallest value, with 𝑚𝑚 ≥ 1 and 𝑛𝑛 ≥ 2 . Otherwise, for center label largest value can be done by � 7𝑚𝑚2𝑛𝑛2+𝑚𝑚2𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛
2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � and � 6𝑚𝑚2𝑛𝑛2+𝑚𝑚2𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛
2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � with 𝑚𝑚 ≥ 1 and 𝑛𝑛 ≥ 2 .
Keywords : edge antimagic total labeling, multistar graph.

## ABSTRAK
Teori graf memuat beberapa topik, salah satu yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah pelabelan graf. Dalam topik pelabelan, graf yang digunakan merupakan graf terbatas, sederhana, dan tak berarah. Dalam penelitian ini, jenis pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total. Graf multistar yang digunakan dalam penelitian ini merupakan gabungan graf star yang titik pusatnya tidak saling terhubung. Penelitian ini menggunakan metode penelitian pustaka yang dibagi menjadi dua bagian, yakni perhitungan dasar  untuk menentukan batas suku pertama 𝑎𝑎 dan beda 𝑑𝑑 dari pelabelan total tak-ajaib sisi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 . Bagian yang kedua adalah keberlakukan pelabelan total tak-ajaib sisi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 . Pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 berlaku pelabelan total tak-ajaib sisi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) � 3𝑚𝑚2𝑛𝑛2+5𝑚𝑚2𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � dan � 2𝑚𝑚2𝑛𝑛2+5𝑚𝑚2𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � untuk pelabelan dengan pemberian titik pusat nilai terkecil dengan 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 . Sedangkan untuk pelabelan dengan pemberian titik pusat nilai terbesar berlaku � 7𝑚𝑚2𝑛𝑛2+𝑚𝑚2𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � dan
� 6𝑚𝑚2𝑛𝑛2+𝑚𝑚2𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛
2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .
Kata kunci: pelabelan total tak-ajaib sisi, graf multistar.

## 1. LATARBELAKANG
Teori graf merupakan salah satu cabang matematika yang perkembangannya berperan dalam model-model terstruktur. Unsur-unsur pada graf dapat digunakan untuk memodelkan struktur-struktur model sebagai representasi objek [6]. Pendekatan ini pertama kali diprakarsai oleh Leonhard Euler dalam presentasinya memecahkan permasalahan Jembatan Kӧnigsberg pada tanggal 26 Agustus 1735 di
Akademi Ilmu Pengetahuan St. Petersburg [12]. Permasalahan Jembatan Kӧnigsberg merupakan pertanyaan dari masyarakat kota Kӧnigsberg ke pada Euler, yaitu apakah mungkin berjalan melewati tujuh jembatan tepat satu kali dan kembali ke tempat semula. Metode yang digunakan oleh Euler untuk menyelesaikan permasalahan Jembatan Kӧnigsberg inilah yang sekarang dikenal sebagai teori graf.
Teori graf memuat beberapa topik, salah satu yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah pelabelan graf. Dalam topik pelabelan, graf yang digunakan merupakan graf terbatas, sederhana, dan tak berarah. Topik pelabelan graf pertama kali  dikaji  oleh  Sedlàček [10]. Kotzig dan Rosa mendefinisikan pelabelan ajaib sebagai pemetaan bijektif dari unsur graf ke himpunan bulat positif dan bobot dari unsur graf tersebut besarnya sama [13]. Selanjutnya Bodendiek dan Walther mendefinisikan konsep pelabelan tak-ajaib ( a,d ) sebagai suatu pelabelan sisi dengan bobot semua titiknya membentuk barisan aritmatika naik dengan suku pertama a dan beda d [3]. Kajian mengenai pelabelan total tak-ajaib titik ( a,d ) sudah dilakukan Baca, dkk pada graf Petersen, graf sikel ganjil, dan beberapa bentuk perluasan lainnya [2]. Muttaqien, dkk menunjukkan keberlakukan pelabelan total ajaib sisi pada graf dobel star dan graf matahari  [7]. Abdussakir menunjukkan keberlakuan pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf multistar [1].  Irawati melakukan penelitian tentang pelabelan total ajaib sisi pada graf star [5], sedangkan Chusna melakukan riset pelabelan ajaib sisi super pada graf star yang titik pusatnya terhubung dengan single hook vertex [4]. Rusmansyah menunjukkan keberlakuan pelabelan total tak-ajaib sisi super ( a,d ) pada subbagian graf star [9] dan Nurainun, dkk menunjukkan keberlakukan pelabelan total tak-ajaib super pada gabungan dua graf star dan lintasan [8]. Dalam penelitian ini, peneliti ingin meneliti keberlakuan pelabelan total tak-ajaib sisi ( a,d ) atau ( a,d )—EATL pada graf multistar.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Pelabelan pada graf merupakan pemetaan bijektif dari unsur-unsur pada graf ke himpunan bilangan asli. Ada tiga jenis pelabelan pada graf, yakni pelabelan titik, pelabelan sisi, dan pelabelan total. Perbedaan ketiganya terletak pada domain yang digunakan. Pelabelan titik merupakan pelabelan dengan domain himpunan titik, pelabelan sisi merupakan pelabelan dengan domain himpuan sisi, dan pelabelan total merupakan pelabelan dengan domain titik dan sisi. Dalam penelitian ini, jenis
pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total. Berikut diberikan beberapa definisi tentang pelabelan.

## Definisi 1 [11]
Suatu pemetaan bijektif 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) ∪ 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) → {1,2,3, … | 𝑉𝑉 | + | 𝐸𝐸 |} disebut pelabelan total tak- ajaib dari graf 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) jika bobot dari sisi 𝑤𝑤 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑢𝑢 ) + 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢 ) , untuk setiap 𝑢𝑢 , 𝑢𝑢 ∈ 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) dan 𝑢𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) .
Definisi 2 [11]
Suatu pemetaan bijektif 𝑓𝑓 : 𝑉𝑉 ( 𝐺𝐺 ) ∪ 𝐸𝐸 ( 𝐺𝐺 ) ⇒ {1,2,3, … , | 𝑉𝑉 | + | 𝐸𝐸 |} disebut pelabelan total tak- ajaib sisi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) dari graf 𝐺𝐺 ( 𝑉𝑉 , 𝐸𝐸 ) jika bobot dari sisi-sisinya membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertama 𝑎𝑎 dan beda 𝑑𝑑 , yaitu 𝑊𝑊 = { 𝑤𝑤 𝑓𝑓 ( 𝑢𝑢𝑢𝑢 )| 𝑢𝑢𝑢𝑢 ∈ 𝐸𝐸 } = { 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 , 𝑎𝑎 + 2 𝑑𝑑 , … , 𝑎𝑎 + (| 𝑉𝑉 | − 1) 𝑑𝑑 } .
Sebelum memulai perhitungan dasar pelabelan total tak-ajaib sisi ( edge antimagic total labeling – EATL ), terlebih dahulu diberikan definisi graf multistar yang digunakan dalam penelitian ini. Graf bintang ( star ) merupakan graf bipartite lengkap 𝐾𝐾 ( 1 , 𝑛𝑛 ) dengan 𝑛𝑛 bilangan asli yang merupakan titik ujung dan satu titik pusat. Dalam penelitian ini graf multistar yang digunakan merupakan gabungan beberapa graf star yang tidak terhubung, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛
Graf Multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 mempunyai himpunan titik 𝑉𝑉 ( 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = �𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑗𝑗 |0 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚� dan himpunan sisi 𝐸𝐸 ( 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = �𝑢𝑢 0 𝑗𝑗 𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 , 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 𝑚𝑚� . Akibatnya graf multistar mempunyai 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 titik dan 𝑚𝑚𝑛𝑛 sisi, dengan total banyak titik dan sisinya adalah 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 . Misalkan 𝑆𝑆 𝑤𝑤 adalah jumlah semua bobot sisi, 𝑆𝑆 𝑣𝑣 adalah jumlah semua label titik, 𝑆𝑆 𝑒𝑒 adalah jumlah semua label sisi, dan 𝑆𝑆 𝑐𝑐 adalah jumlah semua label titik pusat, maka untuk menghitung bobot sisi dilakukan dengan cara menjumlahkan total label titik, sisi, dan label titik pusatnya, yakni :
𝑆𝑆 𝑤𝑤 = 𝑆𝑆 𝑣𝑣 + 𝑆𝑆 𝑒𝑒 + 𝑆𝑆 𝑐𝑐 ( 1 )
Pemberian label pada graf multistar dapat dilakukan dua cara. Cara yang pertama adalah memberikan nilai label terkecil pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujungnya. Sedangkan cara yang kedua adalah memberikan nilai label terbesar pada titik pusatnya atau dengan kata lain, pelabelan dimulai dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusatnya. Kedua cara tersebut memberikan proses pelabelan yang berbeda. Baik dari perhitungan maupun pemberian label pada unsur-unsur graf multistar. Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dijelaskan kedua cara atau metode dalam pelabelan total tak ajaib sisi graf multistar. Berikut diberikan definisi pelabelan multistar terkait dengan cara yang digunakan.

## Definisi 3
Bila pelabelan multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dimulai dari titik pusat, maka himpunan label titik pusatnya adalah 𝑐𝑐 = {1,2, … , 𝑚𝑚 } , himpunan label sisinya adalah 𝑒𝑒 = { 𝑚𝑚 + 1, 𝑚𝑚 + 2, … , 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 } , dan himpunan label titik ujungnya adalah 𝑢𝑢 = { 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1, 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 2, … , 𝑚𝑚 + 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 } .

## Definisi 4
Bila pelabelan multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dimulai dari titik ujung, maka himpunan label titik ujungnya adalah 𝑢𝑢 = {1,2, … , 𝑚𝑚𝑛𝑛 } , himpunan label sisinya adalah 𝑒𝑒 = { 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1, 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 2, … ,2 𝑚𝑚𝑛𝑛 } , dan himpunan label titik pusatnya adalah 𝑐𝑐 = {2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1,2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 2, … ,2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 } .

## 3. METODE PENELITIAN
Penelitian ini menggunakan metode penelitian pustaka ( library research ) sebagaimana terlampir pada daftar pustaka. Penelitian ini akan dibagi menjadi dua bagian, yakni perhitungan dasar untuk menentukan batas suku pertama 𝑎𝑎 dan beda 𝑑𝑑 dari EATL pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 . Bagian yang kedua adalah keberlakukan EATL pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 . Dalam penelitian ini graf multistar yang digunakan merupakan gabungan beberapa graf star yang tidak terhubung dan pelabelan yang digunakan adalah pelabelan total.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Jenis I : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terkecil
Pelabelan jenis pertama ini, dimulai dengan memberikan label dari titik pusat berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik ujung. Sebelum memulai proses pelabelan, terlebih dahulu diberikan definisi yang akan digunakan pada pelabelan jenis ini. Berdasarkan Definisi 1, jumlah semua bobot sisi diperoleh dari menjumlahkan semua label titik, label sisi, dan ( 𝑛𝑛 − 1) kali label titik pusat, sehingga diperoleh
𝑆𝑆 𝑤𝑤 = 1 + 2 + ⋯ + 𝑚𝑚 (2 𝑛𝑛 + 1) + ( 𝑛𝑛 − 1) � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ( 2 )
Jurnal Matematika Murni dan Terapan “εpsilon” Vol.14 No.2 ( 20 20) Hal. 62 -70
Dengan 𝑆𝑆 𝑤𝑤 menyatakan jumlahan bobot sisi dan 𝑐𝑐 𝑗𝑗 adalah label titik pusat dari star 𝑗𝑗 . Di lain sisi, menggunakan Definisi 2 didapat
𝑆𝑆 𝑤𝑤 = 𝑎𝑎 + ( 𝑎𝑎 + 𝑑𝑑 ) + ⋯ + ( 𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ) = 𝑚𝑚𝑛𝑛 �𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 2 � ( 3 )
Dari Persamaan 2 dan 3 diperoleh
𝑚𝑚𝑛𝑛 �𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 2 � = 1 + 2 + ⋯ + 𝑚𝑚 (2 𝑛𝑛 + 1) + ( 𝑛𝑛 − 1) � 𝑐𝑐 𝑗𝑗 𝑚𝑚 𝑗𝑗=1 ( 4 )
Sesuai dengan Definisi 3, dipilih label untuk titik pusatnya {1,2,3, … , 𝑚𝑚 } , sehingga Persamaan 4 menjadi
𝑚𝑚𝑛𝑛 �𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 2 � = (2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 1)(2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ) 2 +( 𝑛𝑛 − 1) 𝑚𝑚 ( 𝑚𝑚 + 1) 2 ( 5 )
Selanjutnya, akan diberikan hasil pengembangan peneliti tentang ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL pada graf multistar. Hasil yang pertama tentang batas nilai 𝑎𝑎 dan 𝑑𝑑 agar graf multistar memenuhi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL untuk setiap 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 . Menggunakan Definisi 3 dapat dihitung bobot terkecil sisinya, yaitu 𝑎𝑎 ≥ 1 + ( 𝑚𝑚 + 1) + ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1) = 2 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 . Sehingga diperoleh pertidaksamaan
𝑎𝑎 ≥ 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 ( 6 )
Di lain sisi, berdasarkan Definisi 2 dapat dihitung bobot terbesar sisinya, yaitu 𝑚𝑚 + (2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ) + ( 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 ) = 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 𝑚𝑚 . Sehingga diperoleh pertidaksamaan
𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ≤ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 𝑚𝑚 ( 7 )
Menggunakan Pertidaksamaan 6 dan 7 untuk mencari nilai 𝑑𝑑 , diperoleh
𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ≤ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 𝑚𝑚 ⟺ 𝑎𝑎 ≤ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 𝑚𝑚 − ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ⟺ 2 𝑚𝑚 + 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 ≤ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 𝑚𝑚 − ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ⟺ 𝑑𝑑 ≤ 2𝑚𝑚𝑛𝑛+𝑚𝑚−3 𝑚𝑚𝑛𝑛−1 ≈ 2 ( 8 )
Jadi, didapat nilai 𝑑𝑑 ≤ 2 atau 𝑑𝑑 = 1,2 . Langkah selanjutnya, akan dicari nilai 𝑎𝑎 berdasarkan nilai 𝑑𝑑 terkait.
1) Untuk nilai 𝑑𝑑 = 1
Menggunakan Persamaan 5, diperoleh nilai 𝑎𝑎 = 3𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 . Hasil ini tidak
bertentangan dengan syarat Pertidaksamaan 6 dan 7. Sehingga graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dapat dilakukan � 3𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .
2) Untuk nilai 𝑑𝑑 = 2
Menggunakan Persamaan 5, diperoleh nilai 𝑎𝑎 = 2𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 . Hasil ini tidak
bertentangan dengan syarat Pertidaksamaan 6 dan 7. Sehingga graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dapat dilakukan � 2𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .
Contoh ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 dengan nilai 𝑑𝑑 = 1 dan 𝑑𝑑 = 2 berturut- turut dapat dilihat pada Gambar 2 dan Gambar 3.
Gambar 2. (13,1) − EATL pada 2 𝑆𝑆 2 Gambar 3. (16,2) − EATL pada 3 𝑆𝑆 2

## Jenis II : Pelabelan dengan Pemberian Titik Pusat Nilai Terbesar
Pelabelan jenis kedua ini, dimulai dengan memberikan label dari titik ujung berlanjut ke sisi kemudian berakhir di titik pusat. Secara umum, proses perhitungan bobot total sisi untuk pelabelan jenis kedua analog dengan pelabelan jenis pertama, hanya perlu disesuaikan pemilihan label titik pusatnya sesuai dengan Definisi 4. Sehingga diperoleh persamaan bobot total sisinya
68
𝑚𝑚𝑛𝑛 �𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 2 � = (2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 1)(2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ) 2 +( 𝑛𝑛 − 1) 𝑚𝑚 (4 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 + 1) 2 ( 9 )
Selanjutnya, akan diberikan hasil pengembangan peneliti tentang ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL  pada graf multistar. Hasil yang pertama tentang batas nilai 𝑎𝑎 dan 𝑑𝑑 agar graf multistar memenuhi
( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL  untuk setiap 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 . Menggunakan Definisi 3 dapat dihitung bobot terkecil sisinya, yaitu 𝑎𝑎 ≥ 1 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1) + (2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 1) = 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 . Sehingga diperoleh pertidaksamaan
𝑎𝑎 ≥ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 ( 10 )
Di lain sisi, berdasarkan Definisi 2 dapat dihitung bobot terbesar sisinya, yaitu 𝑚𝑚𝑛𝑛 + (2 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ) + 2 𝑚𝑚𝑛𝑛 = 5 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 . Sehingga diperoleh pertidaksamaan
𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ≤ 5 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ( 11 )
Menggunakan Pertidaksamaan 6 dan 7 untuk mencari nilai 𝑑𝑑 , diperoleh
𝑎𝑎 + ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ≤ 5 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 ⟺ 𝑎𝑎 ≤ 5 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 − ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑 ⟺ 3 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 3 ≤ 5 𝑚𝑚𝑛𝑛 + 𝑚𝑚 − ( 𝑚𝑚𝑛𝑛 − 1) 𝑑𝑑
⟺ 𝑑𝑑 ≤ 2𝑚𝑚𝑛𝑛+𝑚𝑚−3 𝑚𝑚𝑛𝑛−1 ≈ 2 ( 12 )
Jadi, didapat nilai 𝑑𝑑 ≤ 2 atau 𝑑𝑑 = 1,2 . Langkah selanjutnya, akan dicari nilai 𝑎𝑎 berdasarkan nilai 𝑑𝑑 terkait.
1) Untuk nilai 𝑑𝑑 = 1
Menggunakan Persamaan 9, diperoleh nilai 𝑎𝑎 = 7𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 . Hasil ini tidak
bertentangan dengan syarat Pertidaksamaan 10 dan 11. Sehingga graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dapat dilakukan � 7𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .
2) Untuk nilai 𝑑𝑑 = 2
Menggunakan Persamaan 9, diperoleh nilai 𝑎𝑎 = 6𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛
2𝑚𝑚𝑛𝑛 . Hasil ini tidak
bertentangan dengan syarat Pertidaksamaan 10 dan 11. Sehingga graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 dapat dilakukan � 6𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .
Contoh ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) —EATL untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 dengan nilai 𝑑𝑑 = 1 dan 𝑑𝑑 = 2 berturut- turut dapat dilihat pada Gambar 4 dan Gambar 5.
Gambar 4. (17,1) −
EATL pada 2 𝑆𝑆 2 Gambar 5. (22,2) − EATL pada 3 𝑆𝑆 2

## 5. KESIMPULAN
Pada graf multistar 𝑚𝑚𝑆𝑆 𝑛𝑛 berlaku pelabelan total tak-ajaib sisi ( 𝑎𝑎 , 𝑑𝑑 ) . Untuk pelabelan dengan pemberian titik pusat nilai terkecil berlaku � 3𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 �
untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 dan � 2𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +5𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 . Sedangkan untuk pelabelan dengan pemberian titik pusat nilai terbesar berlaku � 7𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+4𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 1 � untuk 𝑚𝑚 ≥ 1 dan 𝑛𝑛 ≥ 2 dan � 6𝑚𝑚 2 𝑛𝑛 2 +𝑚𝑚 2 𝑛𝑛+5𝑚𝑚𝑛𝑛 2𝑚𝑚𝑛𝑛 , 2 � untuk 𝑚𝑚 ≥ 1
dan 𝑛𝑛 ≥ 2 .

## REFERENSI
[1].  Abdussakir. 2010. Pelabelan Super Sisi Ajaib pada Graf Multistar . Malang: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.
[2].  Baca, M., MacDougall, A. J., Bertault, F., Miller, M., Simanjutak, R., & Slamin. 2003. Vertex-antimagic total labelings of graphs. Discussiones Mathematicae Graph Theory , pp. 67-83.
[3].  Bodendiek, R., & Walther, G. 1994. On the relations between certain graph labelings. Discrete Mathematics , pp. 9-16.
[4].  Chusna, L. F. 2011. Super Edge Magic Labelling on Star Graph that its Center Vertex are Connected by Single Hook Vertex . Malang: Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim.
[5].  Irawati, D. 2013. Pelabelan Total Ajaib Sisi Pada Graf Star. Jurnal Matematika Unand , 2(1), 85-89.
[6].  Kusumah, S. Y. 2020. Matematika Diskrit . Bandung: PT Remaja Rosdakarya.
[7].  Muttaqien, M. A., Mulyono, & Suyitno, A. 2013. Edge Magic Total Labeling on Double Star Graph and Sun Graph. Semarang: Unnes Journal of Mathematics .
[8].  Nurainun, S. M., & Sudarsana, I. W. 2012. Super Edge Antimagic Total Labelling on Union of Double Star  Graphs and Path. Jurnal Ilmiah Matematika dan Terapan , 9(1), 16-28.
[9].  Rusmansyah, S. 2016. Pelabelan Super Sisi Tak Ajaib pada Subbagian Graf Star. Jurnal Matematika Unand , 5(2), 38-44.
[10]. Sedláček, J. 1963. Problem 27. Theory of graphs and its appl ications. Proc.
Symp. Smolenice , pp. 163-164.
[11].  Wallis, W. D. 2001. Magic Graphs . Birkhauser.
[12].  Wilson, R., & Watkins, J. J. 2013. Combinatorics: Ancient and Modern . United Kingdom: Oxford University Press.
[13].  Yonanta, B. V., & Prasetyo, D. A. 2020. Pelabelan Total Tak-Ajaib Pada Graf Multistar. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika (Sendika) , pp. 35-39.