## Ideal Fuzzy Semiring Atas Level Subset

## Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Lambung Mangkurat. Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, 70123, Indonesia
Korespondensi: Saman Abdurrahman, Email: saman@ulm.ac.id

## Abstrak
Semiring  merupakan  salah  satu perluasan dari ring, dengan  cara  menghilangan  salah  satu aksioma pada  operasi  pertama yaitu aksioma invers. Pada semiring terdapat konsep subsemiring dan ideal dengan kondisi bahwa setiap ideal semiring adalah selalu subsemiring. Tetapi kondisi kebalikannya belum tentu berlaku. Selain konsep subsemiring dan ideal semiring, pada struktur semiring diperkenalkan konsep homomorfisma semiring. Kondisi ini, analog dengan homomorfisma di ring, sehingga sifat-sifat yang ada pada semiring dapat dinduksi dari sifat - sifat di ring, seperti konsep image dan preimage di bawah homomorfisma semiring analog dengan konsep image dan preimage di bawah homomorfisma ring. Konsep ideal pada semiring jika dipadukan dengan konsep fuzzy , akan menghasilkan konsep baru, yaitu konsep ideal fuzzy semiring. Pada makalah ini, akan diperkenalkan konsep ideal fuzzy semiring, image dan preimage ideal fuzzy dari suatu homomorfisma semiring. Lebih lanjut, akan diselidiki sifat-sifat ideal fuzzy semiring, image dan preimage ideal fuzzy dibawah homomorfisma semiring melalui suatu level subset.
Kata Kunci : Image; ideal fuzzy ; homomorfisma semiring; level subset; preimage

## Abstract
Semiring is one of the extensions of the ring by disappearing one of the axioms in the first operation, namely the inverse axiom. In semiring, there is the concept of subsemiring and ideal with the condition that every ideal semiring is always subsemiring. However, the opposite condition does not necessarily apply. In addition to the concept of subsemiring and the ideal of a semiring, in the semiring structure was introduced the concept of semiring homomorphism. This condition is analogous to the homomorphism in the ring so that the properties present in the semiring can be induced from the properties in the ring, such as the concept of image and preimage under the homomorphism of semiring analogous to the concept of image and preimage under the homomorphism of the ring. If combined with the fuzzy concept, the ideal concept in semiring will produce a new concept, namely the ideal concept of fuzzy semiring. This paper will introduce the concept of an ideal fuzzy semiring, image, and preimage ideal fuzzy from a semiring homomorphism. Furthermore, the properties of the fuzzy ideal semiring, image, and preimage of the fuzzy ideal will be investigated under the semiring homomorphism through a subset level.
Keywords : Image; ideal fuzzy; semiring homomorphism; level subset; preimage

## Pendahuluan
Konsep himpunan fuzzy yang diperkenalkan [1], memberikan andil sangat besar bagi perkembangan ilmu  pengetahuan  dan  teknologi.  Salah  satunya,  pada  bidang  aljabar  yang  dimotori  [2],  memberikan banyak ide bagi peneliti berikutnya untuk melakukan penelitian pada struktur aljabar lainnya, diantaranya [3]–[6] melakukan penelitian pada struktur semiring.
Penelitian ini, merupakan lanjutan dari penelitian [6]. Pada penelitian [6], peranan level subset dari suatu semiring fuzzy sangat berperan pada sifat – sifat yang dimiliki oleh subsemiring fuzzy . Oleh karena itu, pada penelitian ini akan dikaji peranan dari level subset dari suatu ideal fuzzy semiring atas kesohihan sifat – sifat ideal fuzzy semiring, image dan dan preimage suatu homomorfisma semiring. Sifat – sifat yang dikaji ini, diinduksi dari penelitian [7]–[13].

## Landasan Teori
Berikut  diberikan  konsep  –  konsep  yang  akan  digunakan  pada  bagian  pembahasan,  baik  itu  berupa definisi ataupun teorema.
Definisi 2.1. [14] Suatu himpunan tidak kosong 𝑆 disebut semiring jika pada 𝑆 didefinisikan dua operasi biner, yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (∙) sedemikian sehingga (𝑆, +) merupakan semigrup abelian dan (𝑆,∙) adalah semigrup (tidak harus komutatif), serta berlaku sifat distributif kiri dan kanan, yaitu:
𝑏(𝑐 + 𝑑) = 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑 dan (𝑏 + 𝑐)𝑑 = 𝑏𝑑 + 𝑐𝑑 untuk setiap 𝑏, 𝑐, 𝑑 ∈ 𝑆 . Jika semigrup (𝑆, +) memuat elemen identitas, maka elemen ini disebut elemen nol pada semiring (𝑆, +,∙) , yang dinotasikan dengan 0 𝑆 . Elemen 0 𝑆 pada semiring 𝑆 , berifat: 𝑠 + 0 𝑆 = 0 𝑆 + 𝑠 = 𝑠 dan 𝑠 ∙ 0 𝑆 = 0 𝑆 ∙ 𝑠 = 0 𝑆 untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 . Selanjutnya pada tulisan ini, yang dimaksud semiring 𝑆 adalah semiring yang memuat elemen 0 𝑆 , kecuali ada keterangan lebih lanjut.
Definisi 2.2. [14] Subset tidak kosong 𝐼 dari semiring 𝑆 disebut ideal dari 𝑆 jika untuk setiap 𝑐, 𝑑 ∈ 𝐼 dan 𝑠 ∈ 𝑆 dipenuhi kondisi:
(1). 𝑐 + 𝑑 ∈ 𝐼 ,
(2). 𝑐 ∙ 𝒔 ∈ 𝐼 , dan (3). 𝒔 ∙ 𝑐 ∈ 𝐼 .
Subset tidak kosong 𝐼 dari 𝑆 disebut ideal kanan dari 𝑆 jika dipenuhi kondisi (1) dan (2), sedangkan 𝐼 disebut ideal kiri dari 𝑆 jika dipenuhi kondisi (1) dan (3). Selanjutnya pada tulisan ini, yang dimaksud ideal adalah ideal kiri, kecuali ada keterangan lebih lanjut.
Himpunan bilangan bulat non-negatif ℕ 0 , dan himpunan bilangan asli ℕ adalah semiring atas operasi penjumlahan  dan  perkalian  bilangan  real.  Untuk  setiap 𝑛 ∈ ℕ ,  himpunan 𝑛ℕ 0 adalah  ideal  dari ℕ 0 . Tetapi, 𝑛ℕ bukan ideal dari ℕ 0 , karena terdapat 0 ℕ 0 ∈ ℕ 0 sedemikian sehingga untuk setiap 𝑎 ∈ ℕ , 0 ℕ 0 ∙ 𝑎 = 𝑎 ∙ 0 ℕ 0 = 0 ℕ 0 ∉ ℕ .
Definisi  2.3. [15] Suatu  pemetaan 𝑓 dari  semiring 𝑆 ke  semiring 𝑆 ⋆ disebut  homomorfisma  jika 𝑓(𝑎 + 𝑐) = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑐) dan 𝑓(𝑎𝑐) = 𝑓(𝑎)𝑓(𝑐) untuk setiap 𝑎, 𝑐 ∈ 𝑆 . Jika 𝑓(𝑆) = 𝑆 ⋆ , maka f disebut epimorfisma.
Berikutnya  diberikan  definisi  image,  preimage  dan  ideal fuzzy semiring 𝑆 ,  yang  berkaitan  dengan suatu subset fuzzy dari 𝑆 . Menurut [16] subset fuzzy dari 𝑆 adalah suatu  fungsi 𝛼: 𝑆 ⟶ [0,1] . Koleksi subset fuzzy dari 𝑆 , dinotasikan dengan ℱ(𝑆) .
Definisi 2.4. [17] Diberikan suatu fungsi 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ . (1) Jika 𝜉 ∈ ℱ(𝑆) , maka 𝑓 𝜉 , Image dari 𝜉 di bawah 𝑓 , adalah 𝑓 𝜉 ∈ ℱ(𝑆 ⋆ ) , yang didefinisikan dengan
𝑓 𝜉 (𝑐) ≝ { sup 𝑓(𝑠)=𝑐 𝜉(𝑠) , 𝑓 −1 (𝑐) ≠ ∅ 0, 𝑓 −1 (𝑐) = ∅
untuk setiap 𝑐 ∈ 𝑆 ⋆ .
(2) Jika 𝛼 ∈ ℱ(𝑆 ⋆ ) , maka 𝑓 𝛼 −1 , preimage dari 𝛼 di bawah 𝑓 , adalah 𝑓 𝛼 −1 ∈ ℱ(𝑆) , yang didefinisikan dengan
𝑓 𝛼 −1 (𝑠) ≝ 𝛼[𝑓(𝑠)] untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 .
Definisi 2.5. [7] subset fuzzy 𝛼 dari semiring 𝑆 merupakan ideal fuzzy dari 𝑆 jika dan hanya jika (1). 𝛼(𝑐 + 𝑑) ≥ 𝛼(𝑐) ∧ 𝛼(𝑑) ,
(2). 𝛼(𝑐 ∙ 𝒔) ≥ 𝛼(𝑐) , dan
(3). 𝛼(𝒔 ∙ 𝑐) ≥ 𝛼(𝑐) . Subset fuzzy 𝛼 dari 𝑆 disebut ideal kanan fuzzy dari 𝑆 jika dipenuhi kondisi (1) dan (2), sedangkan 𝛼 disebut ideal kiri fuzzy dari 𝑆 jika dipenuhi kondisi (1) dan (3). Selanjutnya pada tulisan ini, yang dimaksud ideal fuzzy adalah ideal kiri fuzzy , kecuali ada keterangan lebih lanjut.
Definisi  2.6. [7] Jika 𝛼 subset  fuzzy  dari  semiring 𝑆 dan 𝑥 ∈ [0,1] ,  maka  himpunan 𝛼 𝑥 ≝ {𝑠 ∈ 𝑆 | 𝛼(𝑠) ≥ 𝑥} disebut 𝑥 − level subset dari 𝛼 .

## Hasil dan Pembahasan
Teorema 3.1. Jika 𝛼 adalah ideal fuzzy dari semiring 𝑆 , maka 𝛼(0 𝑆 ) ≥ 𝛼(𝑠) untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 . Bukti. Mengingat 𝑆 adalah semiring yang memuat 0 𝑆 dan 𝛼 adalah ideal kiri fuzzy dari 𝑆 . Berarti, untuk setiap 𝑠 ∈ 𝑆 , dipenuhi kondisi:
0 𝑆 ∙ 𝑠 = 0 𝑆
sedemikian sehingga 𝛼(0 𝑆 ) = 𝛼(0 𝑆 ∙ 𝑠) ≥ 𝛼(𝑠) .  ■
Teorema 3.2. Diberikan subset fuzzy 𝛼 dari semiring 𝑆 . Jika 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 , maka level subset 𝛼 𝑥 (𝑥 ≤ 𝛼(0 𝑆 )) adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1] . Bukti. Misalkan 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Akan dibuktikan level subset 𝛼 𝑥 (𝑥 ≤ 𝛼(0 𝑆 )) adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1] . Berdasarkan definisi 𝛼 𝑥 , diperoleh 𝛼 𝑥 ⊆ 𝑆 . Karena 𝛼(0 𝑆 ) ≥ 𝑥 , untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1] , berarti: 0 𝑆 ∈ 𝛼 𝑥 . Dengan kata lain, 𝛼 𝑥 ≠ ∅ . Diambil sebarang 𝑎, 𝑑 ∈ 𝛼 𝑥 dan 𝑠 ∈ 𝑆 , berarti: 𝛼(𝑎) ≥ 𝑥 dan 𝛼(𝑑) ≥ 𝑥 .
Karena 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 , diperoleh: 𝛼(𝑎 + 𝑑) ≥ 𝛼(𝑎) ∧ 𝛼(𝑑) ≥ 𝑥 dan
𝛼(𝑠 ∙ 𝑎) ≥ 𝛼(𝑎) ≥ 𝑥 .
Akibatnya,
𝑎 + 𝑑 ∈ 𝛼 𝑥 dan 𝑠𝑎 ∈ 𝛼 𝑥 . Jadi, 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 . ∎
Teorema 3.3. Diberikan subset fuzzy 𝛼 dari semiring 𝑆 . Jika level subset 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 untuk setiap 𝑥 (≤ 𝛼(0 𝑆 )) , maka 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Bukti. Misalkan  level  subset 𝛼 𝑥 (𝑥 ≤ 𝛼(0 𝑆 )) adalah  ideal  dari 𝑆 , untuk  setiap 𝑥 ∈ [0,1] . Akan dibuktikan 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 .
Diambil sebarang 𝑎, 𝑑 ∈ 𝑆 . Karena 𝛼 ∈ ℱ(𝑆) , berarti ada 𝑥 1 , 𝑥 2 ∈ [0,1] sedemikian sehingga 𝛼(𝑎) = 𝑥 1 dan 𝛼(𝑑) = 𝑥 2 . Misalkan 𝑥 = 𝑥 1 ∧ 𝑥 2 . Akibatnya, 𝛼(𝑎) ≥ 𝑥 dan 𝛼(𝑑) ≥ 𝑥 , yaitu: 𝑎 ∈ 𝛼 𝑥 dan 𝑑 ∈ 𝛼 𝑥 . Karena 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1] , berarti dipenuhi kondisi: 𝑎 + 𝑑 ∈ 𝛼 𝑥 .
Oleh karena itu,
𝛼(𝑎 + 𝑑) ≥ 𝑥 = 𝑥 1 ∧ 𝑥 2 = 𝛼(𝑎) ∧ 𝛼(𝑑) .
Selanjutnya, Andaikan terdapat 𝑠 0 , 𝑎 0 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝛼(𝑠 0 ∙ 𝑎 0 ) < 𝛼(𝑎 0 ) .
𝑥 0 = 1 2 (𝛼(𝑠 0 ∙ 𝑎 0 ) + 𝛼(𝑎 0 ). ) .
Oleh karena itu,
𝛼(𝑠 0 ∙ 𝑎 0 ) < 𝑥 0 < 𝛼(𝑎 0 ) . Akibatnya,
𝑠 0 ∙ 𝑎 0 ∉ 𝛼 𝑥 0 dan 𝑎 0 ∈ 𝛼 𝑥 0 .
Dengan kata lain, 𝛼 𝑥 0 bukan ideal dari 𝑆 . Kondisi ini, kontradiksi dengan 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ [0,1] ,  sehingga  pengandaian  salah,  seharusnya  untuk  setiap 𝑠, 𝑎 ∈ 𝑆 dipenuhi  kondisi 𝛼(𝑠𝑎) ≥ 𝛼(𝑎) . ∎
Teorema  3.4. Diberikan 𝐴 adalah  subset  tidak  kosong  dari  semiring 𝑆 dan 𝛼 𝐴 ∈ ℱ(𝑆) sedemikian sehingga
𝛼 𝐴 (𝑎) = { 𝑥, 𝑎 ∈ 𝐴
𝑦, 𝑎 ∈ 𝑆 − 𝐴
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 dan 𝑦 < 𝑥 . Subset fuzzy 𝛼 𝐴 dari 𝑆 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 jika dan hanya jika 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 . Bukti. (⟹) Misalkan 𝐴 adalah subset tidak kosong dari semiring 𝑆 dan 𝛼 𝐴 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Akan dibuktikan 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑐 ∈ 𝐴 dan 𝑠 ∈ 𝑆 . Berarti, 𝛼 𝐴 (𝑎) = 𝑥 dan 𝛼 𝐴 (𝑐) = 𝑥 . Oleh karena itu, 𝛼 𝐴 (𝑎 + 𝑐) ≥ 𝛼 𝐴 (𝑎) ∧ 𝛼 𝐴 (𝑐) = 𝑥 dan 𝛼 𝐴 (𝑠𝑎) ≥ 𝛼 𝐴 (𝑎) = 𝑥 Akibatnya,
𝑎 + 𝑐 ∈ 𝐴 dan 𝑠𝑎 ∈ 𝐴 . Jadi, 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 . (⟸) Misalkan 𝐴 adalah ideal dari S dan 𝛼 𝐴 ∈ ℱ(𝑆) . Akan dibuktikan 𝛼 𝐴 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑠 ∈ 𝑆 . Berarti, ada tiga kemungkinan keanggotaan 𝑎 dan 𝑠 , bila dikaitkan dengan 𝐴 , yaitu:
(1) 𝑎, 𝑠 ∈ 𝐴 . Karena 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 , diperoleh: 𝑎 + 𝑐 ∈ 𝐴 dan 𝑠𝑎 ∈ 𝐴 . Oleh karena itu,
𝛼 𝐴 (𝑎 + 𝑠) = 𝑥 = 𝛼 𝐴 (𝑎) ∧ 𝛼 𝐴 (𝑐) dan 𝛼 𝐴 (𝑠𝑎) = 𝛼 𝐴 (𝑎) = 𝑥 = 𝛼 𝐴 (𝑎) .
(2) Salah satu dari 𝑎 dan 𝑠 adalah termuat di A, misalkan 𝑎 ∈ 𝐴 dan 𝑠 ∉ 𝐴 . Karena 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 , diperoleh: 𝑠𝑎 ∈ 𝐴 . Akibatnya: 𝛼 𝐴 (𝑎 + 𝑠) ≥ 𝑦 = 𝛼 𝐴 (𝑎) ∧ 𝛼 𝐴 (𝑐) dan 𝛼 𝐴 (𝑠𝑎) ≥ 𝑥 = 𝛼 𝐴 (𝑎) .
(3) 𝑎, 𝑠 ∉ 𝐴 . Berdasarkan kondisi ini, diperoleh kemungkinan nilai keanggotaan 𝑎 + 𝑠 dan 𝑠𝑎 , yaitu:
𝛼 𝐴 (𝑎 + 𝑠) ≥ 𝑦 = 𝛼 𝐴 (𝑎) ∧ 𝛼 𝐴 (𝑐) dan 𝛼 𝐴 (𝑠𝑎) ≥ 𝑦 = 𝛼 𝐴 (𝑎) . Berdasarkan hasil Analisa di atas, diperoleh:
𝛼 𝐴 (𝑎 + 𝑐) ≥ 𝛼 𝐴 (𝑎) ∧ 𝛼 𝐴 (𝑐) dan 𝛼 𝐴 (𝑠𝑎) ≥ 𝛼 𝐴 (𝑎) Untuk setiap 𝑎, 𝑠 ∈ 𝑆 . Dengan kata lain, 𝛼 𝐴 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . ∎
Akibat 3.5. Diberikan 𝐴 adalah subset tidak kosong dari semiring 𝑆 . Fungsi karakteristik dari A adalah ideal fuzzy dari 𝑆 jika dan hanya jika 𝐴 adalah ideal dari 𝑆 . Bukti. Misalkan fungsi karakteristik dari 𝐴 adalah 𝜂 𝐴 sedemikian sehingga
𝜂 𝐴 (𝑎) = { 1, 𝑎 ∈ 𝐴
0,
𝑎 ∈ 𝑆 − 𝐴
untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 . Oleh karena itu, dengan mengambil kondisi nilai 𝑥 = 1 dan 𝑦 = 0 pada Teorema 3.4, kebenaran dari Akibat 3.5 telah terbukti. ∎
Teorema  3.6. Diberikan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ epimorfisma  semiring.  Jika 𝛼 adalah  ideal  fuzzy  dari 𝑆 ,  maka bayangan dari level subset 𝛼 𝑥 di bawah 𝑓 , dinotasikan dengan 𝑓(𝛼 𝑥 ) , adalah ideal dari 𝑆 ⋆ , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝛼 .
Bukti. Misalkan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ homomorfisma semiring dan 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Akan dibuktikan 𝑓(𝛼 𝑥 ) adalah ideal dari 𝑆 ⋆ , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝛼 . Karena 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 , berdasarkan Teorema 3.2, diperoleh 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 . Akibatnya, 𝑓(𝛼 𝑥 ) ⊆ 𝑆 ⋆ dan 𝑓(𝛼 𝑥 ) ≠ ∅ .
Diambil  sebarang 𝑎 ⋆ , 𝑑 ⋆ ∈ 𝑓(𝛼 𝑥 ) dan 𝑠 ⋆ ∈ 𝑆 ⋆ .  Berarti  ada 𝑎, 𝑑 ∈ 𝛼 𝑥 dan 𝑠 ∈ 𝑆 sedemikian  sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑎 ⋆ , 𝑓(𝑑) = 𝑑 ⋆ , dan 𝑓(𝑠) = 𝑠 ⋆ . Oleh karena itu, 𝑎 ⋆ + 𝑑 ⋆ = 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑑) = 𝑓 (𝑎 + 𝑑)
⏟ ∈𝛼 𝑥 dan 𝑠 ⋆ 𝑎 ⋆ = 𝑓(𝑠)𝑓(𝑎) = 𝑓 (𝑠𝑎) ⏟ ∈𝛼 𝑥 .
Akibatnya,
𝑎 ⋆ + 𝑑 ⋆ ∈ 𝑓(𝛼 𝑥 ) dan 𝑠 ⋆ 𝑎 ⋆ ∈ 𝑓(𝛼 𝑥 ) . Jadi, 𝑓(𝛼 𝑥 ) adalah ideal dari 𝑆 ⋆ . ∎
Teorema 3.7. Diberikan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ epimorfisma semiring. Jika 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 , maka 𝑓 𝛼 , image dari 𝛼 di bawah 𝑓 , adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ . Bukti. Misalkan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ epimorfisma semiring dan 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Akan dibuktikan 𝑓 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ . Misalkan 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝑓 𝛼 ,  berarti  terdapat 𝑠 ⋆ ∈ 𝑆 , 𝑓 𝛼 (𝑠 ⋆ ) = sup 𝑠∈𝑓 −1 (𝑠 ⋆ ) 𝛼(𝑠) = 𝑥 ,  sedemikian  sehingga 𝑥 ≤ 𝛼(0 𝑆 ) dan 𝛼 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 . Jika 𝑥 = 0 , maka (𝑓 𝛼 ) 𝑥 = 𝑆 ⋆ . Jika 𝑥 > 0 , maka (𝑓 𝛼 ) 𝑥 = 𝑓(𝛼 𝑥 ) , karena 𝑑 ∈ (𝑓 𝛼 ) 𝑥 ⇔ 𝑓 𝛼 (𝑑) ≥ 𝑥 ⇔ sup 𝑠∈𝑓 −1 (𝑑) 𝛼(𝑠) ≥ 𝑥
⇔ terdapat 𝑎 ∈ 𝑆 sedemikian sehingga 𝑓(𝑎) = 𝑑 dan 𝛼(𝑎) ≥ 𝑥 ⇔ 𝑑 ∈ 𝑓(𝛼 𝑥 ) .
Mengingat (𝑓 𝛼 ) 𝑥 = 𝑓(𝛼 𝑥 ) ,  berarti  berdasarkan  Teorema  3.6, (𝑓 𝛼 ) 𝑥 adalah  ideal  dari 𝑆 ⋆ .  Akibatnya, berdasarkan Teorema 3.3, 𝑓 𝛼 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ . ∎
Teorema 3.8. Diberikan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ homomorfisma semiring. Jika 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ , maka 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) = {𝑠 ∈ 𝑆 | 𝑓(𝑠) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 } adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝛼 ⋆ . Bukti. Misalkan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ homomorfisma semiring dan 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ . Akan dibuktikan 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) = {𝑠 ∈ 𝑆 | 𝑓(𝑠) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 } adalah ideal dari 𝑆 , untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝛼 ⋆ . Karena 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ , berdasarkan Teorema 3.2, diperoleh (𝛼 ⋆ ) 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 ⋆ , untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝛼 ⋆ . Karena 0 𝑆 ⋆ ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 dan 𝑓(0 𝑆 ) = 0 𝑆 ⋆ ,  diperoleh 0 𝑆 ∈ 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) sedemikian sehingga 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) ≠ ∅ . Lebih lanjut, menurut definisi 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) , diperoleh 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) ⊆ 𝑆 . Diambil  sebarang 𝑎, 𝑐 ∈ 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) dan 𝑠 ∈ 𝑆 .  Berarti 𝑓(𝑎), 𝑓(𝑐) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 dan 𝑓(𝑠) ∈ 𝑆 ⋆ .  Karena (𝛼 ⋆ ) 𝑥 adalah ideal dari 𝑆 ⋆ , diperoleh: 𝑓(𝑎) + 𝑓(𝑐) = 𝑓(𝑎 + 𝑐) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 dan 𝑓(𝑠)𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑠𝑎) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 . Akibatnya,
𝑎 + 𝑐 ∈ 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) dan 𝑠𝑎 ∈ 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) .
Jadi, 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) adalah ideal dari 𝑆 . ∎
Teorema 3.9. Diberikan 𝑓: 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ homomorfisma semiring. Jika 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 , maka 𝑓 𝛼 ⋆ −1 , preimage dari 𝛼 ⋆ di bawah 𝑓 , adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Bukti. Misalkan : 𝑆 ⟶ 𝑆 ⋆ homomorfisma semiring dan 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ . Akan dibuktikan 𝑓 𝛼 ⋆ −1 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . Karena 𝛼 ⋆ adalah ideal fuzzy dari 𝑆 ⋆ , berarti berdasarkan Teorema 3.2, (𝛼 ⋆ ) 𝑥 untuk setiap 𝑥 ∈ 𝐼𝑚 𝛼 ⋆ . Akibatnya, berdasarkan Teorema 3.8, 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) adalah ideal dari 𝑆 . Selanjutnya, ditinjau dua kasus, yaitu:
1) Untuk 𝑥 = 0 , diperoleh (𝑓 𝛼 ⋆ −1 ) 𝑥 = 𝑆
2) Untuk 𝑥 > 0 , diperoleh (𝑓 𝛼 ⋆ −1 ) 𝑥 = 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) . Karena, 𝑐 ∈ (𝑓 𝛼 ⋆ −1 ) 𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 𝑓 𝛼 ⋆ −1 (𝑐) = 𝛼 ⋆ (𝑓(𝑐)) ⇔ 𝑓(𝑐) ∈ (𝛼 ⋆ ) 𝑥 ⇔ 𝑐 ∈ 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) .
Mengingat 𝑓 −1 ((𝛼 ⋆ ) 𝑥 ) = (𝑓 𝛼 ⋆ −1 ) 𝑥 ,  berarti  berdasarkan  Teorema  3.6, (𝑓 𝛼 ⋆ −1 ) 𝑥 adalah  ideal  dari 𝑆 . Akibatnya, berdasarkan Teorema 3.3, 𝑓 𝛼 ⋆ −1 adalah ideal fuzzy dari 𝑆 . ∎

## Kesimpulan
Level subset dari suatu ideal fuzzy semiring, sangat berperan dalam membuktikan kesohihan sifat – sifat ideal fuzzy pada suatu semiring, dan menjamin bahwa image dan preimage homomorfisma ideal fuzzy pada suatu semiring adalah ideal fuzzy semiring.

## Referensi
[1] L.  A.  Zadeh,  “Fuzzy  Sets,” Inf.  Control ,  vol.  8,  no.  3,  pp.  338–353,  1965,  doi:  https://doi.org/10.1016/S0019- 9958(65)90241-X.
[2] A.  Rosenfeld,  “Fuzzy  groups,” J.  Math.  Anal.  Appl. ,  vol.  35,  no.  3,  pp.  512–517,  Sep.  1971,  doi:  10.1016/0022- 247X(71)90199-5.
[3] S. Abdurrahman, “Interior ideal fuzzy semiring,” Epsil. J. Mat. Murni Dan Terap. , vol. 15, no. 2, pp. 116–123, 2021, doi: ttps://doi.org/10.20527/epsilon.v15i2.4894.
[4] S. Abdurrahman, C. Hira, and A. Hanif Arif, “Anti subsemiring fuzzy,” Epsil. J. Mat. Murni Dan Terap. , vol. 16, no. 1, pp. 83–92, 2022, doi: https://doi.org/10.20527/epsilon.v16i1.5443.
[5] S.  Abdurrahman,  “ω  –  fuzzy  subsemiring.pdf,” J.  Mat.  Sains,  dan  Teknol. ,  vol.  21,  no.  1,  pp.  1–10,  2020,  doi: https://doi.org/10.33830/jmst.v21i1.673.2020.
[6] S.  Abdurrahman,  “Karakteristik  subsemiring  fuzzy,” J.  Fourier ,  vol.  9,  no.  1,  pp.  19–23,  2020,  doi: 10.14421/fourier.2020.91.19-23.
[7] J.  Ahsan,  J.  N.  Mordeson,  and  M.  Shabir,  “Fuzzy  Ideals  of  Semirings,”  in Fuzzy  Semirings  with  Applications  to Automata Theory , Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2012, pp. 15–29.
[8] M. Akram and W. A. Dudek, “Intuitionistic fuzzy left k-ideals of semirings,” Soft Comput. , vol. 12, no. 9, pp. 881– 890, 2008, doi: 10.1007/s00500-007-0256-x.
[9] S. Ghosh, “Fuzzy k-ideals of semirings,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 95, pp. 103–108, 1998.
[10] S. Kar, S. Purkait, and K. P. Shum, “Interval-valued fuzzy k-quasi-ideals and k-regularity of semirings,” Afrika Mat. , vol. 26, no. 7–8, pp. 1413–1425, 2015, doi: 10.1007/s13370-014-0296-1.
[11] C. B. Kim, “Isomorphism theorems and fuzzy k-ideals of k-semirings,” Fuzzy Sets Syst. , vol. 112, no. 2, pp. 333–342, 2000, doi: 10.1016/S0165-0114(98)00018-9.
[12] M. O. Massa’deh and A. Fellatah, “Some properties on intuitionistic Q-fuzzy k-ideals and k–Q-fuzzy ideals in Γ - semirings,” Afrika Mat. , 2019.
[13] J. Neggers, Y. B. A. E. Jun, and H. E. E. S. I. K. Kim, “On L-fuzzy ideals in semiring II,” Czechoslov. Math. J. , vol. 49, no. 124, pp. 127–133, 1999.
[14] J.  S.  Golan,  “Semirings,”  in Semirings  and  Affine  Equations  over  Them:  Theory  and  Applications ,  Centrefor Mathematics and Computer Science, Amsterdam, The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 2003, pp. 1–26.
[15] P. J. Allen, “A Fundamental Theorem of Homomorphisms for Semirings,” Proc. Am. Math. Soc. , vol. 21, no. 2, pp. 412–416, 1969, doi: 10.2307/2037016.
[16] M. Jezewski, R. Czabanski, and J. Leski, “Introduction to Fuzzy Sets,” in Theory and Applications of Ordered Fuzzy Numbers: A Tribute to Professor Witold Kosiński , P. Prokopowicz, J. Czerniak, D. Mikołajewski, Ł. Apiecionek, and D. Ślȩzak, Eds. Cham: Springer International Publishing, 2017, pp. 3–22.
[17] J. N. Mordeson, K. R. Bhutani, and A. Rosenfeld, “Fuzzy Subsets and Fuzzy Subgroups BT  - Fuzzy Group Theory,” J. N. Mordeson, K. R. Bhutani, and A. Rosenfeld, Eds. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2005, pp. 1– 39.