Vol .15, No. 2, 25-32, January 2019

## KONSTRUKSI UJI KESESUAIAN MODEL GEOGRAPHICALLY WEIGHTED POLYNOMIAL REGRESSION
Toha Saifudin, Fatmawati, dan Nur Chamidah *

## Abstract
Geographically  Weighted  Polynomial  Regression (GWPolR)  is  a  generalization  of Geographically  Weighted  Regression (GWR)  model.  By  using  the  generalization,  GWPolR has parameters much more than GWR model. In general, excess of the number of parameter will have a higher appropriate value. However, the model which has less parameter will have the excess  for easing  in application and its interpretation. Nevertheless,  when the  model has more  the  parameters,  then  the  model  will  be  better  significantly  to  be  used.    Therefore,  the aim  of  this  paper  is  to  construct  the  conformity  between  hypothesis  test  with  respect  to  the GWPolR model.
Keywords : Geographically  weighted  polynomial  regression,  Geographically  Weighted Regression, uji kesesuaian model

## Abstrak
Geographically  Weighted  Polynomial  Regression (GWPolR)  merupakan  perumuman  dari model Geographically  Weighted  Regression (GWR).  Dengan  perumuman  tersebut,  model GWPolR  memiliki  jumlah  parameter  yang  lebih  banyak  daripada  model  GWR.  Umumnya, kelebihan  model  dengan  jumlah  parameter  lebih  banyak  adalah  memiliki  nilai  kesesuaian lebih  tinggi.  Sebaliknya,  model  dengan  jumlah  parameter  yang  sedikit  memiliki  kelebihan berupa  kemudahan  dalam  aplikasi  dan  interpretasinya.  Namun  demikian,  jika  model  dengan jumlah  parameter  yang  lebih  banyak  ternyata  secara  signifikan  lebih  baik  maka  sudah seharusnya  model  tersebut  dipilih  untuk  digunakan.  Oleh  karena  itu,  tujuan  paper  ini  adalah mengkonstruksi uji hipotesis kesesuaian model GWPolR.
Kata Kunci: Geographically  weighted  polynomial  regression , Geographically  Weighted Regression, uji kesesuaian model

## 1. Pendahuluan
Metode  GWR  merupakan  metode  analisis  data  spasial  yang  populer  digunakan  dalam sejumlah bidang penerapan. Namun demikian, beberapa upaya perluasan untuk perbaikan model telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti.  Sebagai  contoh,  misalnya:  Fotheringham  dkk  (2002) memberikan  beberapa  perluasan  GWR  untuk  model generalized  linear ,  dan  Brunsdon  dkk (1999) membahas model GWR semiparametrik.
Menurut  beberapa  referensi,  seperti  Fotheringham  dkk  (2002)  dan  Leung  dkk  (2000), model GWR dapat dinyatakan dalam bentuk
∑ ( ) , (1) dengan ( ) adalah  nilai  pengamatan  variabel  respon y dan  variabel-variabel prediktor , , …, dan di lokasi ( ) , ( ) untuk adalah parameter
atau  koefisien  regresi  di  lokasi ( ) ,  dan , adalah  galat  model  yang

## Toha Saifudin, Fatmawati, dan Nur Chamidah
diasumsikan berdistribusi Normal dengan rata-rata 0 dan variansi yang biasanya dinyatakan dengan ( )
Model GWR merupakan model dengan koefisien atau parameter regresi yang bervariasi berdasarkan  lokasi.  Namun  jika  dilihat  model  di  masing-masing  lokasi,  semua  variabel prediktor  dihubungkan  terhadap  respon  menggunakan  fungsi  linier.  Faktanya,  tidak  semua variabel prediktor memiliki hubungan linier dengan respon. Mungkin diantara variabel prediktor yang  terlibat  dalam  model,  ada  beberapa  darinya  yang  memiliki  pola  non  linier.  Untuk mengatasi  hal  tersebut,  Saifudin  dkk  (2017)  telah  membuat  model  perluasan  atau  perumuman dengan  menggunakan  pendekatan  fungsi  polinomial.  Dalam  Saifudin  dkk  (2017),  model tersebut dinamakan Geographically Weighted Polynomial Regression (GWPolR). Model GWPolR merupakan perumuman dari model GWR dengan memperumum fungsi linier  menjadi  fungsi  polinomial.  Tujuan  penggunaan  fungsi  polinomial  dalam  perumuman  ini adalah agar dapat lebih mengakomodasi perilaku sampel yang kemungkinan ada satu atau lebih variabel prediktor memiliki hubungan non linier dengan respon.  Konsekuensi dari perumuman tersebut, model GWPolR memiliki jumlah parameter yang lebih banyak daripada model GWR. Umumnya, kelebihan model dengan jumlah parameter yang lebih banyak adalah memiliki nilai kesesuaian  lebih  tinggi.  Sebaliknya,  model  dengan  jumlah  parameter  yang  lebih  sedikit memiliki  kelebihan  berupa  kemudahan  dalam  aplikasi  dan  interpretasinya.  Namun  demikian, jika  model  dengan  jumlah  parameter  yang  lebih  banyak  ternyata  secara  signifikan  lebih  baik maka  sudah  seharusnya  model  tersebut  dipilih  untuk  digunakan.  Oleh  karena  itu,  diperlukan bahasan  tentang  uji  signifikansi  kesesuaian  model  GWPolR.  Berdasarkan  hal  tersebut,  maka tujuan paper ini adalah mengkonstruksi uji hipotesis kesesuaian model GWPolR.

## 2. Model Geographically Weighted Polynomial Regression
Menurut  Saifudin  dkk  (2017),  model  GWPolR  sebagai  perumuman  dari  model  GWR pada persamaan (1) dapat dinyatakan sebagai
( )   ∑ ∑ ( ) . (2) Dalam format matriks, model (2) dapat ditulis sebagai ( ) (3) dengan ( ) ,
dan
( )   ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) .
Menurut  Saifudin  (2017),  estimator weighted  least  square untuk  parameter  model GWPolR pada persamaan (3) di lokasi ( ) dapat dinyatakan sebagai ̂ ( ) [ ( ) ] ( ) , (4) dengan ( ) ,
[ ] , ( )       [ ( ) ( ) ( ) ] ,
Toha Saifudin, Fatmawati, dan Nur Chamidah
( )    ( ) untuk (  ) adalah  fungsi  kernel  yang  diberikan,  dan h adalah bandwidth .
Berdasarkan persamaan (4), vektor nilai estimasi model GWPolR untuk variabel respon y di n lokasi dapat dinyatakan sebagai
̂ ( ̂ ̂ ̂ ) , (5)
dengan
[ [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( ) [ ( ) ] ( )]
dinamakan hat  matrix dari  model  GWPolR.  Berdasarkan  persamaan  (5),  vektor residual  dapat ditulis sebagai
̂ ̂ (     ) . (6) Selanjutnya, dengan persamaan (6) Jumlah Kuadrat Galat (JKG) model GWPolR adalah ̂ ̂ (     ) (     ) , (7)
dengan I adalah matriks identitas orde n .

## 3. Uji  Kesesuaian  Model Geographically  Weighted  Polynomial Regression
Dalam bagian ini akan dikonstruksi statistik uji kesesuaian model GWPolR berdasarkan JKG  model.  Distribusi  pendekatan  dari  statistik  ujitersebut  kemudian  akan  diinvestigasi  untuk menguji  apakah  model  GWPolR  dapat  menggambarkan  data  sampel  secara  signifikan  lebih baikdaripada model GWR. Dalam bahasan ini, diberikan dua asumsi sebagai berikut: Asumsi 1:   galat  model  yaitu
diasumsikan  berdistribusi  Normal  dengan  mean  0
dan variansi Asumsi 2:  Misalkan  bahwa ̂ adalah  nilai  estimasi  dari di  lokasi ( ) .  Untuk
, ̂ adalah estimator unbias dari ( ) , yaitu ( ̂ )    ( ) .

## 3.1 Distribusi Jumlah Kuadrat Galat Model GWPolR
Misalkan ( ) adalah  baris  ke-i  dari  matriks , dan ̂ ( ) adalah vektor estimator parameter di lokasi ( ) . Nilai dugaan bagi dapat dinyatakan sebagai ̂ ̂ ( ) [ ( ) ] ( ) , (8)
dan residual model sebagai ̂ ̂ n . Misalkan ̂ ( ̂ ̂ ̂ ) menyatakan  vektor  nilai  dugaan  bagi dan ̂ ( ̂ ̂ ̂ ) menyatakan vektor residual, maka
̂ , dan ̂ ̂ ( ) (9)
dengan
[ ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( )] (10)
merupakan hat matrix dari model GWPolR dan I adalah matriks identitas berorde n .
Oleh karena itu,
̂ ̂ (     ) (11)
dengan I adalah matriks identitas orde n .
Misalkan  jumlah  kuadrat  galat  model  GWR  Polinomial  dinotasikan  dengan , maka
∑ ̂ ̂ ̂ (     ) (     ) (12)
Selanjutnya, Estimator tak bias bagi variansi galat diberikan dalam Teorema 1 berikut.
Teorema  1 .  Misalkan  model  GWPolR  memenuhi  Asumsi  1  dan  Asumsi  2,  dan ̂ ( )
sebagai estimator parameter di lokasi ( ) , maka estimator tak bias untuk variansi galat ( )
diberikan sebagai berikut:
̂ , (13) dengan (( ) ( ))       (    ( )     ( )) .
Bukti: Berdasarkan Asumsi 1 dan Asumsi 2 , maka ( ̂ )    ( )    ( ̂ ) , ( ) , dengan (
) adalah  vektor  galat  model.  Dengan  demikian, dapat dinyatakan sebagai berikut
( ̂ ( ̂ )) ( ̂ ( ̂ )) ( ) ( ) .
Oleh karena itu, maka
( )    ( ( ) ( ) )
(  ( ( ) ( ) )) (( ) ( ) ( )) , (14) dengan (( ) ( )) .  Berdasarkan  persamaan  (14)  dapat  diambil  bahwa estimator tak bias bagi adalah ̂ . Secara operasional, dapat dinyatakan dengan rumus berikut
(( ) ( )) ( )     ( )     ( )     ( ) (    ( )     ( )) . (15)

## Toha Saifudin, Fatmawati, dan Nur Chamidah
Berdasarkan  Teorema  1,  besaran dapat  digunakan  untuk  mengestimasi  variansi galat .  Besaran  ini  dapat  digunakan  untuk  mengukur  kesesuaian  model  GWR  Polinomial terhadap  data  sampel.  Semakin  kecil  nilai  besaran  ini,  menunjukkan  semakin  sesuai  model tersebut  diterapkan  pada  data  sampel.  Namun  untuk  kepentingan  uji  kesesuaian  model, diperlukan  pengetahuan  tentang  distribusi  dari  besaran .  Oleh  karena  itu  diberikan pendekatan distribusi untuk yang dapat dilihat pada Teorema 2 berikut.
Teorema 2. Misalkan model GWPolR memenuhi asumsi 1 dan 2. Misalkan ̂ ( ) adalah estimator parameter model di lokasi ( ) . Distribusi untuk variabel acak (16) dapat didekati menggunakan distribusi dengan derajat bebas , dengan ((( ) ( )) ) (17)
Bukti:
Dari  persamaan  (18)  dapat  dilihat  bahwa dapat  dinyatakan  sebagai  bentuk kuadrat  dari  variabel  Normal  dengan (     ) (     ) merupakan  matriks  simetri  dan semidefinit positif. Berdasarkan teori distribusi bentuk kuadrat (1) diketahui bahwa suatu bentuk kuadrat  dari  variabel  Normal  Baku,  yaitu dengan
, dan A matriks  simetri, berdistribusi jika  dan  hanya  jika A matriks  idempoten  (sebagai  contoh,  lihat  Rencher  & Schaalje (2008), corollary 1 dari Teorema 5.5, hal. 118). Untuk variabel
( ) (     ) (     ) ( ) , (18)
diketahui bahwa (    ) , tetapi matriks (     ) (     ) umumnya tidak idempoten, karena elemen  pembentuknya  yaitu  matriks  pembobot ( ) berbeda  pada  setiap lokasi i . Karena itu tidak  berdistribusi secara  eksak,  namun  dapat  ditentukan  distribusi secara pendekatan  ( approximated ).  Berdasarkan  teori  distribusi  bentuk  kuadrat  (Yuan  &  Bentler, 2010),  pendekatan  distribusi terhadap  bentuk  kuadrat  (18)  dapat  dilakukan  dengan  cara mengalikan  variabel dengan  konstanta c ,  yang  dapat  ditulis .  Selanjutnya c dan r ditentukan sedemikian hingga rata-rata dan variansi dari dan bentuk kuadrat yang didekati saling bersesuaian (sama). Untuk variabel , berdasarkan teori dapat diketahui bahwa rata-rata dan variansinya masing-masing adalah r dan 2 . Oleh karena itu mean dan variansi dari variabel masing-masing adalah cr dan 2 .
Untuk variabel bentuk kuadrat
, berdasarkan persamaan (14) diketahui mempunyai mean .  Adapun  variansinya  diuraikan  berikut.  Karena  matriks ( ) ( ) simetri  dan semidefinit positif, maka terdapat matriks ortogonal P orde n sedemikian hingga
( ) ( )            ( ) (19)
dengan adalah matriks diagonal yang elemen diagonal utamanya merupakan nilai-nilai eigen dari matriks ( ) ( ) . misalkan bahwa ( ) . (20) Sesuai dengan sifat distribusi Normal multivariat, maka merupakan variabel acak
independen dan identik berdistribusi Normal baku, yang ditulis (   ) . Di sisi lain, dari persamaan (20) diperoleh , dan dari persamaan (18) diperoleh
( ) ( )
∑ . (21) Sesuai dengan teori distribusi, oleh karena (   ) maka ( ) untuk ,  , , . oleh karena itu ( ) , dan a ( )   ∑ a ( )     ∑ . (22) Jika adalah  nilai-nilai  eigen  dari  matriks ( ) ( ) maka merupakan nilai-nilai eigen dari matriks (( ) ( )) . Oleh karena itu
a ( )          ((( ) ( )) ) , (23) dengan ((( ) ( )) ) .
Berdasarkan persamaan (14) and (23), dapat dibentuk sistem persamaan berikut
{ (24) Penyelesaian  dari  sistem  persamaan  (24)  adalah ,  dan .  Dengan  demikian, distribusi  dari atau dapat  didekati  menggunakan  distribusi dengan  derajat bebas , dengan ((( ) ( )) )
3.2 Statistik Uji Kesesuaian Model Geographically Weighted Polynomial Regression dan Distribusinya
Jumlah  Kuadrat  Galat  dan  distribusi  pendekatannya  yang  telah  diperoleh  pada  bagian 3.1 di atas selanjutnya akan digunakan untuk menguji kesesuaian model, apakah GWPolR dapat memodelkan data secara signifikan lebih baik daripada GWR . Dalam uji kesesuaian model ini dihipotesiskan sebagai berikut:
H 0 :   Model GWPolR tidak berbeda dengan model GWR,
H 1 :   Model GWPolR signifikan lebih sesuai daripada model GWR.
Untuk  menguji  hipotesis  di  atas,  dalam  paper  ini  dikonstruksi  suatu  statistik  uji  dan distribusi pendekatannya.melalui Teorema 3 berikut.
Teorema 3. Misalkan (     ) (     ) adalah jumlah kuadrat galat model GWR dengan L adalah hat  matrix model  GWR,  dan (     ) (     ) adalah  jumlah kuadrat  galat  model  GWPolR  dengan G adalah hat  matrix model  GWPolR.  Distribusi  dari statistik
⁄ ⁄
(25)
mendekati  distribusi F dengan  derajat  bebas  pembilang
dan  derajat  bebas  penyebut
,  dengan (((     ) (     )) ) dan (((     ) (     )) ) untuk
Bukti:

## Toha Saifudin, Fatmawati, dan Nur Chamidah
Jika model GWPolR digunakan untuk memodelkan data sampel, maka jumlah kuadrat galat  dapat  dinyatakan  dengan
(     ) (     ) .  Berdasarkan  Teorema  2, distribusi dari variabel dapat didekati dengan distribusi dengan derajat bebas
,
untuk (((     ) (     )) )
Jika  model  GWR  digunakan  untuk  memodelkan  data  sampel,  maka    jumlah  kuadrat galat  dapat  dinyatakan  dengan (     ) (     ) ,  dengan adalah hat  matrix model GWR. Menurut Leung dkk (2000), distribusi dari variabel dapat didekati dengan distribusi dengan derajat bebas , untuk ((     ) (     )) , dan (26) (((     ) (     )) ) . (27)
Dengan cara yang sama seperti dalam mendapatkan persamaan (15), secara operasional dapat dinyatakan dalam bentuk
(    ( )     ( )) . (28)
Secara  teori  distribusi,  diketahui  bahwa  variabel
⁄ ⁄ berdistribusi F dengan  derajat
bebas pembilang r dan derajat bebas penyebut d . Oleh karena itu, distribusi dari statistik
( ) ⁄ ( ) ⁄ , (29)
mendekati  distribusi F dengan  derajat  bebas  pembilang dan  derajat  bebas  penyebut
.  Jika  disederhanakan,  maka  persamaan  (29)  menjadi  persamaan  (25),  dengan
(((     ) (     )) ) dan (((     ) (     )) ) untuk
Jika  H 0 benar,  maka  secara  logika  besaran mendekati  1.  Jika  H 0 salah,  maka besaran tersebut cenderung kecil mendekati 0. Berdasarkan logika tersebut, semakin kecil nilai maka semakin mendukung untuk menolak H 0 yang berarti bahwa model GWPolR signifikan lebih sesuai daripada model GWR. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi yang diberikan, tolak H 0 jika ( ⁄ ⁄ ) dan simpulkan bahwa model GWPolR signifikan lebih sesuai daripada model GWR. Jika tidak demikian, maka dapat dikatakan bahwa model GWPolR tidak dapat memberikan peningkatan ketepatan yang signifikan dari model GWR.

## 4. Kesimpulan
Uji  kesesuaian  model  GWPolR  dibangun  untuk  memeriksa  apakah  model  GWPolR menggambarkan kumpulan data tertentu secara signifikan lebih baik daripada GWR atau tidak. Uji  ini  bisa  dibangun  berdasarkan  jumlah  kuadrat  galat  dari  model.  Statistik  uji  kesesuaian model GWPolR dapat didekati menggunakan distribusi F.

## Daftar Pustaka
[1].  Brunsdon,  C.,  Fotheringham  A.S.,  &  Charlton,  M.,  1999.  Some  Notes  on  Parametric Significance Tests for Geographically Weighted Regression. Journal of Regional Science . 38(3): 497–524.
[2].  Fotheringham  A.S.,  Brunsdon  C.,  &  Chartlon  M.,  2002. Geographically  Weighted Regression: The Analysis Of Spatially Varying Relationships . John Wiley and Sons, USA.
[3].  Leung,  Y.,  Mei,  CL.,  &  Zhang,  WX.,  2000.  Statistical  Tests  for  Spatial  Nonstationarity based on The Geographically Weighted Regression Model. Environment and Planning A . 32: 9–32.
[4].  Rencher,  A.C.,  &  Schaalje,  G.G.,  2008. Linear  Models  in  Statistics, 2 nd Edition.  John Willey & Sons, New York, USA.
[5].  Saifudin,  T.,  Fatmawati,  dan  Chamidah,  N.,  2017. Perluasan  Geographically  Weighted Regression  Menggunakan  Fungsi  Polinomial ,  Prosiding  Seminar  Nasional  Integrasi Matematika dan Nilai Islami, 1[1], Juli 2017, 15-20.
[7].  Yuan,  K.H.,  &  Bentler,  P.M.,  2010.  Two  Simple  Approximations  to  the  Distribution  of Quadratic  Forms. British  Journal  of  Mathematical  and  Statistical  Psychology ,  63(2): 273–291.