ANALISIS DINAMIK SUDUT DEFLEKSI PADA MODEL VIBRASI DAWAI
1 Imam Mufid, 2 Ari Kusumastuti, 3 Fachrur Rozi
1 Jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
2 jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang 3 jurusan Matematika, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang
Email: imam.mufid@outlook.com

## ABSTRAK
Model  McKenna  menggambarkan  gerak  vertikal  dawai  dan  gerak  torsi  pada  balok  yang  digantungnya. Sudut defleksi merupakan sudut yang terbentuk pada gerak torsi. Dengan mengasumsikan bahwa dawai tidak pernah kehilangan ketegangan, maka diperoleh sistem tak berpasangan yang dapat dianalisis secara terpisah.  Pada  artikel  ini  ditunjukkan  pengaruh  faktor  eksternal  terhadap  kestabilan  dan  perilaku  dari model  sudut  defleksi.  Untuk  mengetahui  kestabilan  dan  perilaku  dari  sudut  defleksi  digunakan  analisis sistem dinamik. Berdasarkan hasil analisis, dengan menambahkan massa dari balok yang digantung akan diperoleh  tiga  solusi  yang  berbeda  berdasarkan  nilai  eigennya.  Faktor  eksternal  memiliki  pengaruh terhadap  kestabilan  dan  perubahan  besarnya  sudut  yang  terbentuk  pada  model  sudut  defleksi,  hal  ini disebabkan setelah ditambahkan faktor ekstern medan vektor dari model bergerak secara tidak beraturan atau bersifat chaotic .
Kata kunci : sistem dinamik, model McKenna, sistem tak homogen, sudut defleksi

## ABSTRACT
The McKenna is model describes vertical motion on string and torque motion on the beam that is hunged by string.  Deflection  is  an  angle  formed  at  the  torque  motion.  Assuming  that  string  never  lost  tension,  So  an unpaired system that can be analyzed separately is obtained. In this article we show  the influence of external factor on stability and behaviour of deflection angle of the models. To know the stability and behaviour of the deflection angle model, we used dynamic system analysis. Based on the analysis, by adding mass of the beam which is suspended will be obtained three different solutions based on it’s eigenvalues. External factors have an  influence  on  the  stability  and  evolution  of  angle  formed  on  the  deflection  angle  models,  this  is  due  to external factors after adding the vector field of the model moves irregularly or is chaotic.
Keywords : dynamical system, McKenna model, nonhomogeneous system,  deflection angle

## PENDAHULUAN
Banyak  fenomena  alam  yang  terjadi  yang  dapat dianalisis dengan menggunakan model matematika,  seperti  getaran  dan  gelombang. Vibrasi  merupakan  fenomena  alam  yang  sering terjadi.  Sehingga  akan  memberikan  manfaat  yang besar  jika  memperlajari  fenomena  vibrasi  ini. Salah satu model matematiika yang menggambarkan  vibrasi  adalah  model  McKenna yang merepresentasikan sistem gerak yang terdiri dari gerak vertikal dan gerak torsi.
Berikut adalah model McKenna yang menggambarkan  dinamika  pergerakan  torsi vertikal  yang  dinyatakan  dalam: 𝜃̈ = 3 𝐾 cos (𝜃) 𝑚𝑙
[(𝑦 − 𝑙 sin (𝜃)) + − (𝑦 + 𝑙 sin (𝜃)) + ] − 𝛿 1 𝜃̇ + 𝑓(𝑡) dan 𝑦̈ = −𝐾 𝑚 [(𝑦 − 𝑙 sin (𝜃)) + +   (𝑦 + 𝑙 sin (𝜃)) + ] − 𝛿 2 𝑦̇ + 𝑔, dengan 𝜃(𝑡) merupakan  sudut  dari horizontal  pada  dawai  pada  waktu  tertentu  yang disebut  dengan  sudut  defleksi.  Sedangkan 𝑦(𝑡)
menyatakan  dinamika  pergerakan  vertikal  dawai. Sudut  defleksi  pada  skripsi  ini  menggambarkan gerak torsi dari dawai yang dibebani balok. Model dari  sudut  defleksi  adalah  salah  satu  model dinamik  karena  modelnya  bergantung  waktu  dan dapat  merepresentasikan  skenario  yang  dapat berubah  sepanjang  waktu.  Tujuan  dari  analisis dinamik  adalah  untuk  menilai  perilaku  struktural dalam berbagai beban setiap waktu.
Berdasarkan teorema Hartman-Grobman, perilaku dari  persamaan  tak  linier  ekuivalen  dengan persamaan  hasil  linierisasinya  di  sekitar  titik kesetimbangan jika titik tetap tersebut hyperbolic. Titik kesetimbangan dikatakan hyperbolic jika nilai eigen dari hasil linierisasi di sekitar titik tersebut memiliki  bagian  real  tak  nol  [1].  Karena  model McKenna  adalah  persamaan  diferensial  tak  linier, maka  untuk  dapat  menganalisis  model  tersebut dilakukan pendekatan dengan melinierisasi model tersebut disekitar titik kesetimbangannya.
Artikel  ini  merupakan  upaya  ilmiah  untuk menganalisis  perilaku  dari  perubahan  sudut defleksi  pada  vibrasi  dawai  dalam  kerangka penelitian  pengembangan.  skripsi  ini  dilakukan analisis  sistem  dinamik  terhadap  model  tersebut, sehingga  dapat  diketahui  respon  yang  terjadi dengan  berbagai  parameter  yang  diberikan  dan juga  dapat  diketahui  seberapa  besar  pengaruh dari faktor eksternal.

## KAJIAN TEORI

## 1. Linierisasi
Fungsi 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) dapat  diekspansi  dengan menggunakan  deret  Taylor  di  sekitar  titik kesetimbangan (𝑥 10 , 𝑥 20 ) , sebagai berikut:
𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 ) = 𝑓(𝑥 10 , 𝑥 20 ) + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 1 | 𝑥 1 =𝑥 10 𝑥 2 =𝑥 20 ∙ (𝑥 1 − 𝑥 10 ) + 𝜕𝑓 𝜕𝑥 2 | 𝑥 1 =𝑥 10 𝑥 2 =𝑥 20 ∙ (𝑥 2 − 𝑥 20 ) + 1 2! ( 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 1 2 | 𝑥 1 =𝑥 10 𝑥 2 =𝑥 20 ∙ (𝑥 1 − 𝑥 10 ) + 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 2 2 | 𝑥 1 =𝑥 10 𝑥 2 =𝑥 20 ∙ (𝑥 2 − 𝑥 20 ) 2 + 𝜕 2 𝑓 𝜕𝑥 1 𝜕𝑥 2 | 𝑥 1 =𝑥 10 𝑥 2 =𝑥 20 ∙ (𝑥 1 − 𝑥 10 )(𝑥 2 − 𝑥 20 )) + ⋯.
[1]

## 2. Sistem Linier
Pada  dasarnya  setiap  persamaan  diferensial  orde 𝑛 dapat  diubah  menjadi  sistem  dengan 𝑛 buah persamaan.  Adapun  contoh  sistem  linier  adalah sebagai  berikut.  Diberikan  persamaan  diferensial linier orde dua:
𝑥̈ = −𝑘𝑥 − 𝑏𝑥̇ (1)
Misal 𝑥 1 = 𝑥 dan 𝑥 2 = 𝑥̇ ,  sehingga  persamaan  (1) dapat ditulis sebagai sistem persamaan diferensial linier orde satu.
𝑥̇ 1 = 𝑥 2 𝑥̇ 2 = −𝑘𝑥 1 − 𝑏𝑥 2 (2) [2].
Diberikan sistem sebagi berikut:
𝒙̇ = 𝑨𝒙 (3)
Misal  matriks 𝑨 dari  sistem  (3)  merupakan matriks  berukuran 2 × 2 dan  jika  sistem  (3) mempunyai  nilai-nilai  eigen  yang  berbeda,  maka solusi umum sistem (3) adalah:
𝒙(𝑡) = 𝐶 1 𝒗𝑒 𝜆 1 𝑡 + 𝐶 2 𝒖𝑒 𝜆 2 𝑡 (4)
dengan 𝒗 dan 𝒖 adalah  vektor-vektor  eigen  yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆 1 dan 𝜆 2 [3].
Jika persamaan karakteristik (3) mempunyai akar kembar 𝜆 1,2 = 𝜆 , dan diperoleh:
(a) Dua vektor eigen, maka solusinya adalah:
𝒙(𝑡) = 𝐶 1 𝒗𝑒 𝜆 1 𝑡 + 𝐶 2 𝒖𝑒 𝜆 1 𝑡 (5)
(b) Satu vektor eigen, maka solusinya adalah:
𝒙(𝑡) = 𝐶 1 𝒗𝑒 𝜆𝑡 + 𝐶 2 (𝒗𝑡 − 𝒘)𝑒 𝜆𝑡 (6)
dengan (𝑨 − 𝑰)𝒘 = 𝒗 [3].
Jika 𝜆 1,2 = 𝑎 ± 𝑖𝑏 merupakan  akar  kompleks  dari (3)  dan 𝒗 1,2 = 𝒖 ± 𝑖𝒘 adalah  vektor  eigen  yang bersesuaian, maka:
𝒙(𝑡) = 𝑒 𝑎𝑡 𝐶 1 (cos(𝑏𝑡) 𝒖 − sin(𝑏𝑡) 𝒘) + 𝑒 𝑎𝑡 𝐶 2 ( sin (𝑏𝑡) 𝒖 + cos (𝑏𝑡) 𝒘) (7)
adalah masing-masing solusi dari 𝒙̇ = 𝑨𝒙 [2].
3. Sistem Tak Homogen
Sistem  persamaan  diferensial  linier  tak  homogen secara umum dapat dituliskan sebagai:
𝒙̇ = 𝑨(𝑡)𝒙 + 𝒈(𝑡) (8)
Solusi 𝒙(𝑡) dari  persamaan  diferensial  linier  tak homogen  (8)  dengan  kondisi  awal 𝒙(0) = 𝒙 0 , dapat ditulis sebagai:
𝒙(𝑡) = 𝑒 𝑨𝑡 (𝒙 0 + ∫ 𝑒 𝑨𝑡 𝒈(𝑠) 𝒕 𝟎 𝑑𝑠) [2].

## 4. Model McKenna
Penurunan  persamaan  vibrasi  merambat  pada dawai  mengikuti  energi  potensial  dari  dawai dengan konstanta spring 𝐾 dan merentang sejauh 𝑥 dari titik kesetimbangan. Sehingga diperoleh:
𝐸𝑃 𝑑𝑎𝑤𝑎𝑖 = ∫ 𝐾𝑥𝑑𝑥 = 1 2 𝐾𝑥 2
Dengan demikian energi potensial total adalah:
𝐸𝑃 𝑑𝑎𝑤𝑎𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 1 2 𝐾(((𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)) + ) 2 − ((𝑦 + 𝑙 sin(𝜃)) + ) 2 )
Energi  potensial 𝐸𝑃 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 karena  beban  dari  balok dengan  massa 𝑚 yang  mengalami  perubahan posisi  ke  bawah  dari  titik  kesetimbangan  dengan jarak 𝑦 , diberikan sebagai berikut:
𝐸𝑃 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘 = −𝑚𝑦𝑔
Dimana 𝑔 adalah  gaya  gravitasi.  Sehingga diperoleh  energi  potensial  model  dari  dawai  dan balok yaitu:
𝐸𝑃 𝑚 = 𝐸𝑃 𝑑𝑎𝑤𝑎𝑖 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 + 𝐸𝑃 𝑏𝑎𝑙𝑜𝑘
𝐸𝑃 𝑚 = 𝐾 2 ([(𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)) + ] 2 − [(𝑦 + 𝑙 sin(𝜃)) + ] 2 ) − 𝑚𝑦𝑔
Kemudian  dilanjutkan  untuk  menemukan  energi kinetik  total,  untuk  pergerakan  vertikal  energi kinetik dari pusat massa balok adalah:
𝐸𝐾 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 = 1 2 𝑚𝑦̇ 2
Dimana 𝑦̇ adalah  kecepatan  dari  berat  balok,  dan persamaan  untuk  energi  kinetik  dari  gerak  torsi yaitu:
𝐸𝐾 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖 = 1 6 𝑚𝑙 2 𝜃̇
Dimana 𝜃̇ adalah kecepatan dari perubahan sudut.
Dengan  demikian,  energi  kinetik  total  diberikan sebagai berikut:
𝐸𝐾 𝑚 = 𝐸𝐾 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙 + 𝐸𝐾 𝑡𝑜𝑟𝑠𝑖
𝐸𝐾 𝑚 = 1 2 𝑚𝑦̇ 2 + 1 6 𝑚𝑙 2 𝜃̇ 2 .
Sekarang diperoleh Lagrangian sebagai berikut:
𝐿 = 𝐸𝐾 𝑚 − 𝐸𝑃 𝑚 𝐿 = 1 2 𝑚𝑦̇ 2 + 1 6 𝑚𝑙 2 𝜃̇ 2 − 𝐾 2 ([(𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)) + ] 2 +
[(𝑦 + 𝑙 sin (𝜃)) + ] 2 ) + 𝑚𝑦𝑔.
Berdasarkan pada asas least action, gerakan balok memenuhi persamaan Euler-Lagrange.
𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝜃̇ ) − 𝜕𝐿 𝜕𝜃 = 0 dan 𝑑 𝑑𝑡 ( 𝜕𝐿 𝜕𝑦̇ ) − 𝜕𝐿 𝜕𝑦 = 0
Hasil  diperoleh  dengan  mengevaluasi  turunan yang  diperlukan pada  persamaan  Euler-Lagrange, menambahankan redaman 𝛿 1 𝜃̇ dan dan 𝑓(𝑡) , serta 𝛿 2 𝑦̇ . sehingga diperoleh:
{ 𝜃̈ = 3𝐾 𝑚𝑙 cos(𝜃) [(𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)) + − (𝑦 + 𝑙 sin(𝜃)) + ]
−𝛿 1 𝜃̇ + 𝑓(𝑡)
𝑦̈ = − 𝐾 𝑚 [(𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)) + +   (𝑦 + 𝑙 sin(𝜃)) + ] −   𝛿 2 𝑦̇ +𝑔 (9)
Sistem  persamaan  di  atas  merupakan  model vibrasi dawai yang diusulkan oleh McKenna [4]

## PEMBAHASAN
Model sudut defleksi pada skripsi ini adalah model yang menggambarkan gerak torsi dari balok yang digantung  oleh  dua  buah  dawai.  Model  yang menggambarkan  sistem  gerak  ini  adalah  model McKenna.  Sistem  gerak  yang  digambarkan  pada model McKenna adalah gerak vertikal pada dawai dan  gerak  torsi  pada  balok.  Ilustrai  sistem  gerak dari  model  McKenna  akan  ditunjukkan  pada Gambar 1.
Gambar 1. Ilustrasi Model McKenna
Dengan  mengasumsikan  bahwa  dawai  tidak pernah kehilangan ketegangan, maka dimiliki 𝑦 ± 𝑙 sin(𝜃) ≥ 0 dan (𝑦 ± 𝑙 sin(𝜃)) + = 𝑦 ± 𝑙 sin(𝜃) .
Sehingga dengan mensubstitusikan (𝑦 ±
𝑙 sin(𝜃)) + = 𝑦 ± 𝑙 sin(𝜃) pada  sistem  persamaan (9)  dan  setelah  disederhanakan,  maka  diperoleh sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
{ 𝜃̈ = − 3𝐾 𝑚 sin(2𝜃) − 𝛿 1 𝜃̇ + 𝑓(𝑡)
𝑦̈ = − 2𝐾 𝑚 𝑦 − 𝛿 2 𝑦̇ + 𝑔 (10)
Dengan
𝑓(𝑡) = 𝛽 sin(𝜇𝑡)
berikut adalah persamaan  sudut  defleksi  yang  menggambarkan gerak torsi.
𝜃̈ = − 3𝐾 𝑚 sin(2𝜃) − 𝛿𝜃̇ + 𝛽 sin(𝜇𝑡) (11) 𝑦(𝑡) Titik Kesetimbanga n 𝑙
𝑦 − 𝑙 sin(𝜃)
𝑦 + 𝑙 sin(𝜃)
𝜃(𝑡)
Misal : 𝜃 1 = 𝜃 dan 𝜃 2 = 𝜃̇ , dengan menurunkan 𝜃 1 dan 𝜃 2 terhadap 𝑡 maka akan diperoleh 𝜃 1 ̇ = 𝜃̇ dan 𝜃 2 ̇ = 𝜃̈ .  Akibatnya  persamaan  (11)  berubah menjadi sistem sebagai berikut:
{ 𝜃̇ 1 =   𝜃 2 𝜃̇ 2 =  − 3𝐾 𝑚 sin(2𝜃 1 ) − 𝛿𝜃 2 + 𝛽 sin(𝜇𝑡) (12)
Dari  hasil  perhitungan  di  atas  diperoleh  titik kesetimbangan (𝜃 1 ∗ , 𝜃 2 ∗ ) = (𝑛𝜋, 0) dengan 𝑛 = 0,1,2,3, … .  Untuk  melakukan  ekspansi  Taylor cukup  dibutuhkan  satu  titik  kesetimbangan  saja, maka dipilih (𝜃 1 ∗ , 𝜃 2 ∗ ) = (0,0) . Sehingga persamaan (12) menjadi:
{ 𝜃 1 ̇ =    𝜃 2 𝜃 2 ̇ = − 6𝐾 𝑚 𝜃 1 − 𝛿𝜃 2 + 𝛽 sin(𝜇𝑡) (13)
Untuk  menentukan  solusi  dari  sistem  (13), terlebih dahulu diabaikan bentuk tak homogennya yaitu 𝛽 sin(𝜇𝑡) .  Untuk  menentukan  solusi homogennya  terlebih  dahulu  harus  ditentukan nilai eigennya, yang diperoleh:
𝜆 1,2 = −𝛿 ± √𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 2
Karena  nilai 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 dapat  bernilai  nol,  positif, maupun  negatif  berakibat  solusi  homogen memiliki  tiga  kemungkinan  berdasarkan  nilai eigennya.  Setelah  diperoleh  solusi  homogennya dengan  menggunakan  metode  variasi  parameter maka diperoleh solusi sistem (13) sebagai berikut:
(a) Nilai eigen real berbeda, 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 > 0 𝜃 1 (𝑡) = 𝐶 1 𝑒 −𝛿+𝑃 2 𝑡 + 𝐶 2 𝑒 −𝛿−𝑃 2 𝑡 + 4𝛽 ( (𝛿 2 − 𝑃 2 − 4𝜇 2 ) sin(𝜇𝑡) − 4𝜇𝛿 cos(𝜇𝑡)
(4𝜇 2 + (𝛿 − 𝑃) 2 )(4𝜇 2 + (𝑃 + 𝛿) 2 ) ) 𝜃 2 (𝑡) = 𝐶 1 𝑃 − 𝛿 2 𝑒 𝑃−𝛿 2 𝑡 + 𝐶 2 −𝛿 − 𝑃 2𝑒 𝛿+𝑃 2 𝑡 + 4𝛽
( (𝛿 2 − 𝑃 2 − 4𝜇 2 )𝜇 cos(𝜇𝑡) + 4𝛿𝜇 2 sin(𝜇𝑡)
(4𝜇 2 + (𝛿 − 𝑃) 2 )(4𝜇 2 + (𝑃 + 𝛿) 2 ) ) (14)
dengan 𝑃 = √𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 , dan
𝐶 1 = (𝑃 + 𝛿)𝜃 1 (0) + 2𝜃 2 (0) 2𝑃 −
4𝛽𝜇 ( 24𝐾 𝑚 − 4𝜇 2 ) + 8𝛽𝜇𝛿(𝑃 − 𝛿)
𝑃(4𝜇 2 + (𝛿 − 𝑃) 2 )(4𝜇 2 + (𝑃 + 𝛿) 2 )
𝐶 2 = − 2𝜃 2 (0) − (𝑃 − 𝛿)𝜃 1 (0)
2𝑃 +
4𝛽𝜇 ( 24𝐾 𝑚 − 4𝜇 2 ) + 8𝛽𝜇𝛿(𝑃 − 𝛿)
𝑃(4𝜇 2 + (𝛿 − 𝑃) 2 )(4𝜇 2 + (𝑃 + 𝛿) 2 ) (b) Nilai eigen real kembar 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 = 0
𝜃 1 (𝑡) = 𝑒 − 𝛿 2 𝑡 (𝐶 1 + 𝐶 2 ) + 𝛽𝑡 𝜇 2 + 𝛿 2 4 ( 𝛿 2 sin(𝜇𝑡) − 𝜇 cos(𝜇𝑡))
𝛽 ( (4𝜇𝑡(𝛿 2 + 4𝜇 2 ) − 16𝜇𝛿) cos(𝜇𝑡)
(𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2 −
(8𝜇 2 (2 + 𝛿𝑡) + 2𝛿 3 (𝑡 − 2)) sin(𝜇𝑡) ( 𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2 ) 𝜃 2 (𝑡) = 𝑒 − 𝛿 2 𝑡 ( −𝛿 2 𝐶 1 + 2 − 𝛿𝑡 2 𝐶 2 ) + 𝛽 2 − 𝛿𝑡 2 (𝜇 2 + 𝛿 2 4 ) ( 𝛿 2 sin(𝜇𝑡) − 𝜇 cos(𝜇𝑡)) − 𝛿𝛽 2 ( (4𝜇𝑡(𝛿 2 + 4𝜇 2 ) − 16𝜇𝛿)
(𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2
cos(𝜇𝑡) − (8𝜇 2 (2 + 𝛿𝑡) + 2𝛿 3 (𝑡 − 2)) sin(𝜇𝑡)
(𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2 ) (15)
dengan:
𝐶 1 = 𝜃 1 (0) + ( 16 𝜇𝛿 (𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2 ) 𝛽 𝐶 2 = 𝜃 2 (0) + 𝛿 2 𝜃 1 (0) + 𝛽 ( 4 𝜇 𝛿 2 + 4𝜇 2 + 8 𝜇𝛿 2 (𝛿 2 + 4𝜇 2 ) 2 ) (c) Nilai eigen kompleks 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 < 0 𝜃 1 (𝑡) = 𝑒 − 𝛿 2 𝑡 (𝐶 1 cos ( 𝑄 2 𝑡) + 𝐶 2 sin ( 𝑄 2 𝑡)) + 𝛽 cos ( 𝑄 2 𝑡) 𝑄 ( 𝛿 2 cos (( 𝑄 2 + 𝜇) 𝑡) + ( 𝑄 2 + 𝜇) sin (( 𝑄 2 + 𝜇) 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 + 𝜇) 2 − 𝛿 2 cos (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) + ( 𝑄 2 − 𝜇) sin (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 − 𝜇) 2 ) + 𝛽 𝑄 sin ( 𝑄𝑡 2 ) ( 𝛿 2 sin (( 𝑄 2 + 𝜇) 𝑡) − ( 𝑄 2 + 𝜇) cos (( 𝑄 2 + 𝜇) 𝑡)
( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 + 𝜇) 2
− 𝛿 2 sin (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) − ( 𝑄 2 − 𝜇) cos (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 − 𝜇) 2 ) 𝜃 1 (𝑡) = 𝑒 − 𝛿 2 𝑡 (𝐶 1 ( −𝛿 2 cos ( 𝑄 2 𝑡) − 𝑄 2 sin ( 𝑄 2 𝑡)) + 𝐶 2 ( −𝛿 2 sin ( 𝑄 2 𝑡) + 𝑄 2 cos ( 𝑄 2 𝑡)) + 𝛽 𝑄 ( −𝛿 2 cos ( 𝑄 2 𝑡) − 𝑄 2 sin ( 𝑄𝑡 2 )) ( 𝛿 2 cos ( 𝑄+2𝜇 2 𝑡) + 𝑄+2𝜇 2 sin ( 𝑄+2𝜇 2 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 + 𝜇) 2 𝛿 2 cos ( 𝑄−2𝜇 2 𝑡) + 𝑄−2𝜇 2 sin ( 𝑄−2𝜇 2 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 − 𝜇) 2 ) + 𝛽 𝑄 ( −𝛿 2 sin ( 𝑄 2 𝑡) + 𝑄 2 cos ( 𝑄 2 𝑡)) ( 𝛿 2 sin ( 𝑄+2𝜇 2 𝑡) − 𝑄+2𝜇 2 cos ( 𝑄+2𝜇 2 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 + 𝜇) 2 − 𝛿 2 sin (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) − ( 𝑄 2 − 𝜇) cos (( 𝑄 2 − 𝜇) 𝑡) ( 𝛿 2 ) 2 + ( 𝑄 2 − 𝜇) 2 ) (16)
dengan 𝑄 = √ 24𝐾 𝑚 − 𝛿 2 ,
𝐶 1 = 𝜃 1 (0) − 𝛽 𝑄 ( 2𝛿 𝛿 2 + (𝑄 + 2𝜇) 2 − 2𝛿 𝛿 2 + (𝑄 − 2𝜇) 2 )
𝐶 2 = 2𝜃 2 (0) + 𝛿𝜃 1 (0) 𝑄 − 𝛽 𝑄 2 ( 2𝑄 2 + 4𝜇𝑄 𝛿 2 + (𝑄 + 2𝜇) 2 − 2𝑄 2 − 4𝜇𝑄 𝛿 2 + (𝑄 − 2 𝜇) 2 )
Untuk  melihat  perilaku  dari  model  sudut  defleksi diberikan parameter-parameter sebagai berikut:
Tabel 1. Daftar Parameter
SIMBOL KETERANGAN 𝑚 Massa per satuan panjang balok (Kgs 2 /m) 𝑚 = 657,3 𝐾 Konstanta spring (Kg/m), 𝐾 = 3,75 𝑙 Panjang balok 𝑙 = 60 𝛿
viscous dumping bernilai 0,01
𝜇 Konstanta antara 1,2 sampai 1,6
𝛽
Amplitudo  berkisar  antara  0,02  sampai 0,06
Sumber: Data fiktif, hanya untuk ilustrasi
Dari  data  yang  diberikan  dapat  diketahui  solusi mana  yang  akan  digunakan  dengan  cara, subtitusikan  parameter  ke  dalam  persamaan berikut 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 , diperoleh 𝛿 2 − 24𝐾 𝑚 < 0 . Sehingga solusi yang digunakan adalah persamaan (16).  Dengan  mensubstitusikan  parameter-
parameter  dari  Tabel  1  ke  persamaan  (16)  maka diperoleh grafik sebagai berikut:
(a) (b) Gambar 2. (a) Grafik Solusi 𝜃 1 (𝑡) (b) Grafik Solusi 𝜃 2 (𝑡)
Untuk  melihat  pengaruh  faktor  eksternal 𝑓(𝑡) berikut  ditunjukkan  grafik  solusi  bentuk homogennya tanpa faktor eksternal.
Gambar 3. Grafik Solusi 𝜃 1
Adapun  perilaku  dari  model  dapat  dilihat  pada medan vektor dan trayekori sebagai berikut:
(a) (b) Gambar 4. (a) Medan Vektor Model Sudut Defleksi (b)Trayektori Solusi 𝜃 1 (𝑡) dan 𝜃 2 (𝑡)
Dari Gambar 5 dan Gambar 6 menunjukkan bahwa model sudut defleksi tidak stabil, diketahui model sebelum  ditambah  faktor  eksternal  memiliki kestabilan jenis spiral sink artinya stabil asimtotik, dan setelah ditambah faktor eksternal menjadikan model sudut defleksi menjadi tidak stabil.
Gambar 5 . Potret Fase Model Sudut Defleksi Sebelum Ditambah

## KESIMPULAN
Faktor eksternal 𝑓(𝑡) memiliki dampak yang besar terhadap  kestabilan  model  sudut  defleksi.  Model sudut defleksi tanpa faktor eksternal selalu stabil, tetapi,  jika  ditambah  dengan  faktor  eksternal grafik  solusi  menjadi  sangat  fluktuatif  di  sekitar titik  tetap  dan  potret  fase  menunjukkan  bentuk yang sangat tidak beraturan atau bersifat chaotic.
Untuk  mendapatkan  interpretasi  yang  lebih  baik perlu  dilakukan  analisis  kembali  dengan memperhatikan  gaya  yang  terjadi  pada  dawai yaitu 𝐾(𝑦 ± 𝑙 sin(𝜃)) + .

## REFERENCES
[1] G. Vries, T. Hillen, M. Lewis, J. Müller and M.
Schönfisch,  A  Course  in  Mathematical Biology: Quantitative Modeling with Mathematical  and  Computational  Methods, Alberta: SIAM, 2006. [2]   A.  G.  Parlos,  "Linearization  Of  Nonlinear Dynamics," 2014. [Online]. Available:
http://parlos.tamu.edu/MEEN651/Lineariza tion.pdf. [Accessed 17 Agustus 2014].
[3]   R.  C.  Robinson,  An  Introduction  Dynamical System Continuous and Discrete, New Jersey: Pearson Education, 2004.
[4]   W.  E.  Boyce  and  R.  C.  DiPrima,  Elementary Differential  Equations  and  Boundary  Value Problems, New York: John Wiley & Sons, Inc, 2009.
[5]   R.  O.  Kwofie,  "A  mathematical  model  of  a suspension  bridge  –  case  study:  Adomi bridge,  Atimpoku,  Ghana," Global  Advanced Research  Journal  of  Engineering,  Technology, and Innovation, vol. 1(3), pp. 047-062, 2012.