Vol. 13, No. 1,  39-45,  Juli  2016
Solusi Persamaan Helmholtz untuk Material Komposit
Jeffry Kusuma 

## Abstrak
Propagasi  gelombang  pada  material  homogen  telah  banyak  dibahas  dan  didiskusikan  oleh banyak  ahli.    Akan  tetapi  propagasi  gelombang  pada  material  tak  homogen  seperti  material komposit  sangat  jarang  dibahas.    Hal  ini  bukannya  disebabkan  oleh  tidak  adanya  ataupun kurangnya aplikasi, tetapi lebih didorong atau disebabkan oleh kesulitan matematis yang akan dihadapi.  Tulisan  ini  mencoba  membahas  penggunaan  metode  elemen  batas  atau  BEM ( Boundary Elemen Method ) untuk mempelajari sifat-sifat propagasi gelombang pada material komposit.
Kata Kunci: Propagasi gelombang, material komposit, metode elemen batas.

## 1.   Pendahuluan
Dewasa  ini,  penerapan  matematika  dalam  berbagai  bidang  aplikasi  makin  banyak dijumpai.  Pemodelan  matematika  yang  melibatkan  gelombang  pun  telah  banyak  didiskusikan. Kemajuan studi akan sifat-sifat propagasi gelombang pun tidak dapat disangkal telah mengalami banyak  kemajuan,  khususnya  akan  propagasi  gelombang  pada  materi  yang  homogen.    Untuk materi  yang  tidak  homogen,  katakan  materi  yang  bersifat  komposit,  telah  pula  mengalami kemajuan yang tidak sedikit, seperti S ́ nches–Sesma dan  Esquivel (1979) yang membahas efek pergerakan tanah pada lembah yang sudah tertimbun yang mana sebenarnya melibatkan material komposit, Trifunac (1971) yang membahas gerakan permukaan pada lembah setengah lingkaran yang  sudah  tertimbun,  juga  Alsop et  al. (1970)  yang  membahas  refleksi  dan  transmisi  dari gelombang  inhomogeneous,  terakhir  oleh  Kusuma  (1992,  1993,  1994),  yang  kesemuanya mencerminkan kesulitan matematis yang dihadapi.
Penggunaan  metode  elemen  batas  untuk  menyelesaikan  beberapa  persoalan  yang  melibatkan material  inhomogen  maupun  nonhomogen  seperti  material  komposit  untuk  lembah  yang tertimbun telah memperlihatkan keampuhan metode elemen batas (Kusuma, 1992; 1993; 1994).
Dalam  tulisan  ini,  penggunan  metode  elemen  batas  dikhususkan  untuk  menyelesaikan persoalan  perambatan  gelombang  pada  material  komposit  yang  terdiri  dari  dua  jenis  material, dimana material yang kedua keseluruhannya berada di dalam material yang pertama.
_____________________________
*  Jurusan  Matematika,  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam,  Universitas Hasanuddin Makassar

## 2.   Problema dan Persamaan Helmholtz
Propagasi  gelombang  dalam  material  elastic  homogeneous  padat  dua  dimensi  akan memenuhi persamaan gelombang (Kreyzig, 1983).
dimana menyatakan  simpangan  dan √ merupakan  kecepatan  gelombang  pada  material elastik, masing masing menyatakan modulus shear , massa jenis dan waktu berturut-turut.
Untuk  gelombang  yang  harmonik  dan  tak  tergantung  pada  waktu  dari  exp
, persamaan (1) segera tereduksi menjadi persamaan Helmholtz
dimana
,  dan menyatakan frekuensi melingkar gelombang.
Bilamana  gelombang  melewati  suatu  material  komposit  yang  terdiri  dari  dua  jenis material  homogen  dimana  material  homogen  yang  satu  seluruhnya  berada  di  dalam  material homogen lainnya, maka akan memenuhi persamaan gelombang
atau
dimana j =  1  menyatakan  persamaan  gelombang  yang  berada  pada  material  pertama,  dan j =  2 menyatakan  persamaan  gelombang  yang  berada  pada  material  kedua.    Sebagaimana  yang  telah dibahas  dalam  Kusuma  (1992),  fungsi  Green  yang  berhubungan  dengan  Helmholtz  (Kusuma, 1992) dapat dituliskan dalam bentuk
( )
dimana menyatakan  fungsi  Bessel   jenis   kedua  yang  berordo  0,  dan {
} , karena fungsi ini memenuhi persamaan
dan menyatakan kronecker delta.

## 3.   Hubungan Resiprokal
Teorema.
Bila
keduanya  merupakan  solusi  persamaan  Helmholtz (4) yang  valid  dalam  suatu domain tertutup yang dibatasi oleh kontur tertutup sederhana , maka hubungan resiprokal yang dipenuhi adalah
∫
Bukti :
∫ ∫ ( )
Lebih lanjut, dengan menggunakan teorema divergensi diperoleh
∫ ∫ ( ) ( )
∫ ∫ ∫ Dengan cara yang sama diperoleh
∫ ∫
Bila persamaan (9) dan (10) diperkurangkan maka diperoleh persamaan (7) sehingga terbuktilah hubungan reciprokal di atas. 

## 4.   Persamaan Integral
Persamaan  integral  diturunkan  dengan  memperhatikan  kontur  yang  membatasi  domain yang  ditinjau.    Bila  ditentukan  bahwa  material  komposit  terdiri  dari  material  pertama  di  bagian luar  dibatasi  kontur dan  material  kedua  seluruhnya  berada  dalam  material  pertama  dan dibatasi oleh kontur , maka kontur yang membatasi material pertama seluruhnya adalah kontur tertutup sederhana
. Dengan mengeluarkan sebuah titik ( a , b ) dari dalam kontur tertutup

## Jeffry Kusuma
yang membatasi material pertama, katakanlah kontur ini berbentuk lingkaran kecil dengan jari- jari maka dari hubungan resiprokal akan diperoleh persamaan
∫ ( )
atau
∫ ( ) ∫ ( ) Karena ∫
dan ∫
, maka persamaan (12) segera tereduksi menjadi
∫ ( )
Disini adalah  Konstanta  yang  merupakan  nilai  tengah  Cauchy.    Konstanta akan  bernilai  1 bilamana  titik pada  material  pertama  berada  di  dalam  kontur ,  dan bernilai bilamana berada pada kontur
Sebagaimana  dalam  Kusuma  (1993),  kontur
disini  dipilih  dengan  arah  berlawanan dengan arah jarum jam, sedangkan kontur dipilih searah jarum jam.
Dengan cara yang sama pula bila titik dikeluarkan dari kontur yang membatasi material kedua maka akan diperoleh integral
∫ ( )
atau
∫ ( )
dimana merupakan konstanta nilai tengah Cauchy.  Kontur tetap dipilih searah arah jarum jam.
Bila pada persamaan (13) diganti dengan dan dengan sebagaimana dalam persamaan  (5),  maka  segera  diperoleh  persamaan  integral  yang  valid  dalam  material  pertama yakni
∫ ( ) Demikian  pula  pergantian diganti  dengan dan dengan segera  diperoleh persamaan integral
∫ ( )

## 5.   Metode Elemen Batas
Metode  elemen  batas  disini  langsung  menggunakan  persamaan  (16)  dan  (17).    Dengan mendiskritkan batasan kontur dan , katakan ke dalam N segmen dan ke dalam M segmen, persamaan (16) segera tereduksi menjadi
∑ ∫ ( ) ∑ ∫ ( )
Demikian pula persamaan (17) tereduksi menjadi
∑ ∫ ( )
Selanjutnya, dengan melakukan pendekatan elemen konstan, yakni dengan menganggap pada  kontur dan serta , pada  kontur merupakan  suatu    konstan,  maka persamaan (18) dan (19) berturut-turut dapat dituliskan sebagai
∑ { ∫ | ∫ } ∑ { ∫ | ∫ }
dan
∑ { | ∫ ∫ }
Untuk  propagasi  gelombang  yang  kontinu,  simpangan  gelombang  beserta shear  stress yang dibawa  dari  material  pertama  harus  sama  dengan  yang  diteruskan  ke  material  kedua  dan sebaliknya.  Persamaan kontinuitas ini memberikan hubungan
| |

## Jeffry Kusuma
Selanjutnya, bila diberikan N buah syarat awal yang diketahui pada batasan luar material pertama, yakni  pada  kontur maka  persamaan  (20)  sampai  (23)  beserta  syarat  awalnya  segera membentuk
sistem persamaan linier dengan
variabel yang tidak diketahui.
Sekali sistem persamaan linier ini terselesaikan,  simpangan  ataupun shear stress dapat dengan mudah diketahui dengan melibatkan persamaan (20) dan (21) untuk titik yang mana saja di dalam domain material pertama, maupun di dalam material kedua.

## 6.   Hasil Numerik
Sebagai  ilustrasi  ketepatan  dan  keakuratan  serta  keabsahan  teknik  penyelesaian sebagaimana dipaparkan di atas, marilah  tinjau suatu domain material komposit yang terdiri dari dua macam material homogen. Material pertama menempati  daerah bujur sangkar yang dibatasi oleh vertex (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1), sedangkan di dalam material ini terdapat material kedua yang dibatasi oleh vertex ( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) .
Bila masing-masing sisi bujur sangkar yang berada di sebelah luar dibagi atas 4 segmen yang  sama  panjang,  demikian  pula  setiap  sisi  bujur  sangkar  yang  berada  di  dalam  menjadi  4 segmen yang sama panjang dan diberikan kondisi batas
maka syarat batas berserta syarat kontinuitas (20) akan membentuk suatu sistem persamaan linier yang terdiri dari 48 persamaan dengan 48 variabel.
Bila sistem persamaan linier ini diselesaikan dan dilanjutkan dengan prosedur sebagaimana yang dipaparkan  sebelumnya,  maka  akan  diperoleh hasil  sebagaimana  yang  ada  pada tabel  berikut  di bawah ini.
Tabel 1. Nilai dan ⁄ pada Beberapa Titik di Batasan. Titik di Batasan Hasil Analitik Hasil Komputasi Error ⁄ ⁄ ⁄ (0.0000 , 0.8750) 1.0000 - 1.0002 0.0000 0.0002 - (0.0000 , 0.6250) 1.0000 - 1.0014 0.0000 0.0014 - (0.0000 , 0.3750) 1.0000 - 1.0014 0.0000 0.0014 - (0.0000 , 0.1250) 1.0000 - 1.0002 0.0000 0.0002 - (0.2500 , 0.3125) 0.9689 -0.2474 0.9700 -0.2873 0.0011 -0.0399 (0.2500 , 0.4375) 0.9689 -0.2474 0.9703 -0.2487 0.0014 -0.0013 (0.2500 , 0.5625) 0.9689 -0.2474 0.9703 -0.2487 0.0014 -0.0013 (0.2500 , 0.6875) 0.9689 -0.2474 0.9700 -0.2873 0.0011 -0.0399
Tabel 2. Nilai , ⁄ dan ⁄ pada Beberapa Titik di Interior. Titik di Interior Hasil Analitik Hasil Komputasi ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ (0.3000 , 0.3000) 0.9553 -0.2955 0.0000 0.9563 -0.3154 -0.0132 (0.4000 , 0.4000) 0.9211 -0.3894 0.0000 0.9223 -0.3915 0.0032 (0.5000 , 0.5000) 0.8776 -0.4794 0.0000 0.8789 -0.4793 0.0000 (0.5000 , 0.4000) 0.8776 -0.4794 0.0000 0.8788 -0.4790 0.0022 (0.7000 , 0.7000) 0.7648 -0.6442 0.0000 0.7673 -0.5713 0.0660
Tabel 3. Kesalahan Pendekatan pada Beberapa Titik di Interior.
Titik di Interior Error ⁄ ⁄ (0.3000 , 0.3000) 0.0010 -0.0199 -0.0132 (0.4000 , 0.4000) 0.0012 -0.0021 0.0032 (0.5000 , 0.5000) 0.0013 0.0001 0.0000 (0.5000 , 0.4000) 0.0013 0.0004 0.0022 (0.7000 , 0.7000) 0.0025 0.0729 0.0660
Hasil  yang  lebih  teliti  tentunya  dapat  dicapai  dengan  pendiskritan  lebih  banyak  atau  pemilihan segment integral yang lebih kecil.

## Daftar Pustaka
Abramowitz,  M.  dan  Stegun,  I.A.,  1970. Handbook  of  Mathematical  Functions. Dover,  New York.
Alsop,  L.E.,  Goodman,    A.S.,  dan  Gregersen  S.,  1970. Reflection  and  Transmission  of Inhomogeneous Waves with Particular Application to Rayleigh Waves.
Kreyzig, E., 1983. Advanced Engineering Mathematics, Fifth Edition. John Wiley and Sons, New York.
Kusuma,  J.,  1992.  On  some  mathematical  aspects  of  deformation  of  inhomogeneous  elastic materials . Ph.D Thesis , The University of Adelaide, Australia.
_________,  1993.  Model  matematika  untuk  efek  permukaan  yang  disebabkan  oleh  datangnya gelombang  SH  ( Surface  Horizontal ). Laporan  Penelitian ,  Universitas  Hasanuddin Makassar.
_________,  1994.  Model  matematika  untuk  efek  pembesaran  amplitudo  gelombang  di  bawah pengaruh kandungan deposit yang tertimbun dalam tanah . Laporan Penelitian , Universitas Hasanuddin Makassar.
Sánchez-Sesma,  F.J.,  Esquivel,  J.A.,  1979.  Ground  motion  on  alluvial  valleys  under  incident plane SH waves. Bull. Seism. Soc. Am. , 69, 1107 – 1120.
Trifunac, M.D., 1971. Surface motion of a semi–cylindrical alluvial valley for incident plane SH waves. Bull. Seism. Soc. Am ., 61, 1755 – 1770.