Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646

## Multivariate Analysis of Variance (MANOVA) untuk
Memperkaya Hasil Penelitian Pendidikan
1 Sutrisno, 2 Dewi Wulandari
1,2 Universitas PGRI Semarang sutrisnojr@upgris.ac.id
Abstrak
MANOVA  merupakan  solusi  teknik  analisis  data  kuantitatif  bagi  peneliti  di  dunia pendidikan  yang  ingin  mengamati  hasil  belajar  peserta  didik  dalam  rangka menerapkan  prinsip  kebulatan  dalam  Kurikulum  2013  (prinsip  evaluasi  hasil belajar  meliputi  aspek  kognitif,  afektif,  dan  psikomotor).  MANOVA  mampu mengungkapkan  perbedaan  yang  tidak  ditampilkan  ANOVA  secara  terpisah, sehingga  dapat  meningkatkan  kesempatan  untuk  menemukan  perubahan  sebagai akibat  dari  perlakuan  yang  berbeda  dan  interaksinya.  Dengan  demikian,  temuan hasil  penelitian  akan  semakin  kaya  dan  sangat  berguna  bagi  perkembangan  ilmu pengetahuan.  Terdapat  dua  model  analisis  variansi  yaitu  model  overparameterized dan model rerata sel. Model rerata sel memberikan pendekatan sederhana dan tidak ambigu,  yang  dapat  digunakan  pada  data  seimbang  atau  data  tidak  seimbang. Model  ini  menggunakan  kontras  untuk  menyatakan  efek  utama  dan  interaksi.  Uji persyaratan  MANOVA  meliputi  uji  normalitas  multivariat  dengan  uji  Mardia  dan uji homogenitas matriks kovariansi dengan uji Box’s M. Terdapat beberapa statistik uji MANOVA yaitu Wilks’ Lambda, Pillai, Lawley-Hotelling, dan Roy’s Largest Root. Ketika  hipotesis  nol  MANOVA  ditolak,  maka  dilanjutkan  ANOVA  pada  setiap variabel  terikat.  Apabila  hipotesis  nol  ANOVA  ditolak dan  variabel  bebas  memiliki lebih dari dua nilai, maka dilakukan uji post hoc dengan metode Scheffe’. Prosedur ini menjaga taraf kesalahan α. Uji komparasi rerata antar sel tidak dapat dilakukan secara  langsung  menggunakan  General  Linear  Model  (GLM)  pada  SPSS.  Prosedur yang  dapat  dilakukan  adalah  memanipulasi  data  dengan  merubah  kondisi eksperimentasi  menjadi  nilai-nilai  yang  dianggap  satu  variabel  bebas,  sehingga dapat dianalisis dengan One-Way ANOVA atau GLM. Kesulitan analisis multivariat pada  perhitungannya  yang  terlalu  rumit,  sudah  terpecahkan  dengan  adanya software statistik yang semakin canggih.
Kata kunci: MANOVA,  analisis  multivariat,  memperkaya  hasil,  penelitian pendidikan

## Abstract
MANOVA  is  a  quantitative  data  analysis  technique  solution  for  researchers  in  the world of education who want to observe learners' learning outcomes in order to apply the  principle  of  unanimity  in  Curriculum  2013  (principle  of  evaluation  of  learning outcomes covering cognitive, affective, and psychomotor aspects). MANOVA is able to reveal  differences  that  the  ANOVA  does  not  show  separately,  thus  increasing  the chance to find change as a result of different treatments and interactions. Thus, the findings of research will be more rich and very useful for the development of science. There are two models of variance analysis ie overparameterized model and cell mean model.  The  cell  mean  model  provides  a  simple  and  unambiguous  approach,  which can be used on balanced data or unbalanced data. This model uses contrast to express main  effects and  interactions.  The  MANOVA  requirement test  includes  multivariate normality test with Mardia test and homogeneity test of covariance matrix with Box's M  test.  There  are  several  MANOVA  test  statistic  ie  Wilks'  Lambda,  Pillai,  Lawley-
Hotelling,  and  Roy's  Largest  Root.  When  MANOVA  hypothesis  is  rejected,  then ANOVA is followed on each dependent variable. If the ANOVA hypothesis is rejected and  the  independent  variable  has  more  than  two  values,  then  a  post  hoc  test  with Scheffe  'method  is  performed.  This  procedure  keeps  the  error  level  (α).  An  average comparative test between cells can not be performed directly using the General Linear Model (GLM) on SPSS. The procedure that can be done is to manipulate the data by changing  the  experimentation  conditions  into  values  considered  as  one  independent variable,  so  it  can  be  analyzed  with  One-Way  ANOVA  or  GLM.  The  difficulty  of multivariate  analysis  on  its  overly  complex  calculations  is  solved  by  increasingly sophisticated statistical software.
Keywords: MANOVA, multivariat analysis, enriches the results, education research

## A. Pendahuluan
Pendidikan  merupakan  sebuah  proses  belajar  yang  tidak  cukup  sekedar mengejar masalah kecerdasan saja. Berbagai potensi peserta didik lainnya juga harus  mendapatkan  perhatian  yang  profesional  agar  berkembang  secara optimal.  Oleh  karenanya,  untuk  mengetahui  perkembangan  hasil  belajar peserta  didik  perlu  dilihat  dari  berbagai  ranah  belajar  yang  meliputi  ranah sikap, pengetahuan, dan keterampilan sebagaimana dijelaskan pada Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 53 Tahun 2015 tentang  Penilaian  Hasil  Belajar  oleh  Pendidik  dan  Satuan  Pendidikan  pada Pendidikan  Dasar  dan  Pendidikan  Menengah,  khususnya  Pasal  5.  Pembagian taksonomi  hasil  belajar  yang  demikian  dikenal  dengan  taksonomi  Bloom  yang saat  ini  telah  disempurnakan  oleh  Anderson  dan  Krathwohl  dan  sangat berpengaruh terhadap pengembangan Kurikulum.
Berdasarkan  pemaparan  tersebut,  terlihat  bahwa  salah  satu  prinsip  dasar yang  harus  senantiasa  diperhatikan  dan  dipegang  dalam  pengembangan kurikulum 2013 adalah prinsip kebulatan, yaitu prinsip melaksanakan evaluasi hasil belajar secara menyeluruh terhadap peserta didik, baik dari aspek kognitif, afektif,  dan  psikomotor.  Untuk  mendukung  hal  tersebut,  peneliti  bidang pendidikan dalam melakukan penelitiannya harus memperhatikan ranah-ranah belajar  peserta  didik  secara  bersamaan,  sehingga  hasil  penelitiannya  selaras dengan  kurikulum  yang  berlaku.  Berdasarkan  pengamatan  peneliti  khususnya di  Indonesia,  pada  saat  ini  masih  sedikit  penelitian  pendidikan  yang memperhatikan  ranah-ranah  hasil  belajar  secara  bersamaan  sebagai  dampak dari  pembelajaran  yang  diberikan.  Dalam  berbagai  hasil  penelitian  yang ditemui,  para  peneliti  pendidikan  pada  umumnya  cenderung  memperhatikan satu ranah hasil belajar, misalnya ranah kognitif. Kalaupun ada penelitian yang mengkaji  lebih  dari  satu  variabel  terikat,  jumlahnya  masih  sedikit  dan  teknik analisis data yang digunakan masih terbatas, belum kuat, dan bahkan ada yang kurang  tepat.  Hal  ini  dikarenakan  sedikitnya  referensi  teknik  analisis  data untuk menyelesaikan kasus penelitian tersebut.
Peneliti  dalam  penerapan  displin  ilmunya  sering  mengukur  beberapa variabel  pada  setiap  unit  obyek  atau  eksperimental.  Dalam  beberapa  kasus, mungkin memisahkan setiap variabel dalam suatu sistem dan mempelajarinya secara  terpisah  dapat  dilakukan.  Namun,  biasanya  variabel  tidak  hanya berkorelasi dengan variabel lainnya, tetapi masing-masing variabel dipengaruhi oleh  variabel  lainnya  sehingga  mempengaruhi  statistik  uji.  Dengan  demikian, dalam  banyak  kasus,  variabel  yang  terjalin  sedemikian  rupa,  ketika  dianalisis secara  individual  akan  menghasilkan  sedikit  informasi  tentang  sistem. Menggunakan  analisis  multivariat,  variabel-variabel  tersebut  dapat  diperiksa secara  bersamaan  untuk  memahami  dampak  dari  proses  yang  dihasilkannya. Pendekatan  multivariat  memungkinkan  kita  untuk  mengeksplorasi  kinerja variabel  secara  bersama  dan  mengetahui  pengaruh  masing-masing  variabel terhadap variabel lainnya (Rencher, 2002).
Analisis  multivariat  merupakan  metode  statistik  yang  digunakan  untuk memahami  struktur  data  dalam  dimensi  tinggi  (Morrison,  1990;  Hardle  dan Simar, 2007; Leps dan Smilauer, 1999). Banyak teknik multivariat merupakan perluasan  dari  prosedur  univariat  (Morrison,  1990;  Mattjik  dan  Sumertajaya, 2011;  Anderson,  2003).  Secara  historis,  sebagian  besar  aplikasi  teknik multivariat  telah  dilakukan  dalam  bidang  ilmu  perilaku  dan  biologi.  Namun, minat  metode  multivariat  sekarang  telah  menyebar  ke  berbagai  bidang  lain seperti  di  bidang  pendidikan,  kimia,  fisika,  geologi,  teknik,  hukum,  bisnis, sastra,  agama,  penyiaran  publik,  keperawatan,  pertambangan,  linguistik, psikologi,  dan  bidang  lain.  Teknik-tekniknya  disukai  karena  dianggap  mampu memodelkan kerumitan sistem yang nyata, meskipun sulit untuk diterapkan.
Selama  bertahun-tahun  penerapan  analisis  multivariat  terhalang  oleh perhitungannya  yang  terlalu  rumit,  sehingga  tidak  dapat  dijangkau  dengan bantuan  komputer  yang  tersedia  pada  saat  itu.  Namun,  dengan  komputer modern,  hampir  setiap  analisis  yang  diinginkan,  tidak  peduli  berapa  banyak variabel  atau  pengamatan  yang  terlibat,  dapat  dengan  cepat  dan  mudah dilakukan.  Penggunaan  secara  langsung  prosedur  univariat  pada  masing- masing variabel terikat untuk data multivariat tidak lagi dimaklumi, mengingat ketersediaan  teknik  multivariat  dan  daya  komputasi  yang  tersedia  untuk menyelesaikan  pekerjaan  tersebut  (Rencher,  2002).  Berbagai  macam  prosedur deskriptif  dan  inferensial  multivariat  mudah  diakses  di  berbagai software statistik seperti SPSS, SYSTAT, S-Plus, dan Minitab (Timm, 2002).
Salah satu teknik dalam analisis multivariat yaitu Multivariate Analysis of Variance (MANOVA) atau Analisis Variansi Multivariat. MANOVA mempunyai pengertian  sebagai  suatu  teknik  statistik  yang  digunakan  untuk  menghitung pengujian  signifikansi  perbedaan  rata-rata  secara  bersamaan  antara  kelompok untuk  dua  atau  lebih  variabel  terikat.  MANOVA  adalah  generalisasi  dari ANOVA  untuk  situasi  dimana  terdapat  beberapa  variabel  terikat  (Tabachnick dan  Fidell,  2007).  MANOVA  memiliki  kelebihan  bila  dibandingkan  ANOVA.
Penggunaan MANOVA memiliki keunggulan yaitu mampu menganalisis semua variabel  terikat  secara  simultan,  sehingga  dapat  memperkecil kesalahan  tipe I ( α )  dalam  pengambilan  keputusan  uji  statistik  (Steven,  2002).  MANOVA merupakan  uji  yang kuat  dan  salah  satu cara  menghindari  peningkatan alpha sebagai  "filter"  untuk  ANOVA.  MANOVA  mampu  mendeteksi  dan mengungkapkan  perbedaan  yang  tidak  ditampilkan  ANOVA-ANOVA  pada masing-masing  variabel  terikat  secara  terpisah.  MANOVA  juga  mampu mengoreksi  hasil  ANOVA  palsu  yang  disebabkan  peningkatan  alpha  saat melakukan beberapa tes ANOVA pada masing-masing variabel terikat. Hal ini berarti  dengan  menggunakan  MANOVA,  peneliti  dapat  meningkatkan kesempatan untuk menemukan perubahan sebagai akibat dari perlakuan yang berbeda  dan  interaksinya.  Dengan  demikian,  temuan-temuan  hasil  penelitian akan semakin kaya dan sangat berguna bagi perkembangan ilmu pengetahuan.
Berdasarkan hal tersebut, peneliti sangat tertarik untuk menindaklanjutinya  dalam  bentuk  penelitian.  Penelitian  yang  dilaksanakan yaitu  mengkaji  prosedur  analisis  data  multivariat  menggunakan  MANOVA disertai  implementasinya  dalam  dunia  pendidikan  sebagai  upaya  memberikan inovasi penelitian pendidikan dan memperkaya hasil penelitian pendidikan.

## B. Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  penelitian  literatur  karena  dalam  penelitian  ini peneliti melakukan kajian literatur terhadap suatu model dalam ilmu statistika, berupa  buku  dan  artikel  jurnal  atau  proseding  terdahulu  yang  dapat mendukung  penelitian.  Untuk  mendukung  pembahasan,  diambil  kasus  dalam dunia  pendidikan  yaitu  penelitian  tentang  eksperimentasi  model  pembelajaran kooperatif  tipe  TGT  ( Teams  Games  Tournament )  dan  STAD  ( Student  Team Achievement  Division )  ditinjau  dari  Gaya  Belajar  terhadap  Prestasi  dan  Minat Belajar.  Variabel  bebas  dalam  kasus  ini  yaitu  model  pembelajaran  dan  gaya belajar, sedangkan variabel terikatnya yaitu prestasi belajar dan minat belajar. Variabel bebas model pembelajaran memiliki dua nilai yaitu kooperatif tipe TGT dan  kooperatif  tipe  STAD,  sedangkan  variabel  bebas  gaya  belajar  memiliki  3 nilai  yaitu  visual,  auditorial,  dan  kinestetik.  Kasus  ini  menggunakan  desain faktorial  2×3  dengan  dua  variabel  terikat,  sehingga  analisis  data  yang digunakan  yaitu  MANOVA  dua  jalan  dengan  sel  tidak  sama.  Penggunaan  sel tak  sama  dikarenakan  kecil  kemungkinan  kondisi  di  lapangan  setiap  kelas penelitian memiliki banyak peserta didik yang sama. Hal ini juga dimaksudkan menambahkan  referensi  tentang  MANOVA,  karena  pembahasan  untuk  sel  tak sama masih jauh lebih sedikit bila dibandingkan dengan sel sama.
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646

## C. Hasil dan Pembahasan
Pearson  dan  Fisher  adalah  orang  pertama  yang  memperkenalkan  analisis multivariat.  Mereka  merupakan  orang  yang  memiliki  pemahaman  paling mendasar  dalam  aplikasi  statistika  (Farrell,  1976).  Salah  satu  teknik  dalam analisis  multivariat  yaitu Multivariate  Analysis  of  Variance (MANOVA)  atau Analisis  Variansi  Multivariat.  MANOVA  mempunyai  pengertian  sebagai  suatu teknik  statistik  yang  digunakan  untuk  menghitung  pengujian  signifikansi perbedaan  rata-rata  secara  bersamaan  antara  kelompok  untuk  dua  atau  lebih variabel  terikat.  MANOVA  adalah  generalisasi  dari  ANOVA  untuk  situasi dimana  terdapat  beberapa  variabel  terikat  (Tabachnick  dan  Fidell,  2007). Menurut  Field  (2009:  603),  MANOVA  memiliki  kemiripan  asumsi  dengan ANOVA  tetapi  diperluas  untuk  kasus  multivariat.  Adapun  asumsi  yang  harus dipenuhi pada MANOVA yaitu:
1. Independen:  Pengamatan  harus  independen  secara  statistik.  Dipenuhinya persyaratan  ini  dimaksudkan  agar  perlakuan  yang  diberikan  kepada  setiap sampel, independen antara satu dengan lainnya.
2. Sampel  acak:  Dalam  statistika  untuk  hal  pengambilan  sampel  harus dilakukan  secara  random  (acak)  dari  populasinya  atau  dengan  kata  lain menggunakan  teknik  probabilitas.  Selain  itu,  data  yang  diukur  (variabel terikat) dalam penelitian berskala interval.
3. Normalitas multivariat: Dalam ANOVA, diasumsikan bahwa variabel terikat berdistribusi  normal  di  dalam  masing-masing  kelompok,  sedangkan  dalam kasus  MANOVA  diasumsikan  bahwa  variabel  terikat  (secara  bersama) berdistribusi normal multivariat di dalam kelompok.
4. Homogenitas  matriks  kovariansi:  Dalam  ANOVA,  diasumsikan  bahwa variansi  pada  setiap  kelompok  sama  (homogenitas  variansi).  Sedangkan dalam  MANOVA,  diasumsikan  benar  untuk  setiap  variabel  terikat  memiliki variansi yang sama pada setiap kelompok, selain itu diasumsikan juga bahwa korelasi  antara  manapun  variabel  terikat  adalah  sama  dalam  semua kelompok.  Asumsi  ini  diuji  dengan  pengujian  apakah  matriks  kovariansi populasi dari kelompok yang berbeda adalah sama.
Berdasarkan  hal  tersebut,  maka  perlu  dilakukan  uji  persyaratan  sebelum digunakan  MANOVA.  Uji  persyaratan  ini  pada  prinsipnya  bertujuan  untuk memastikan  bahwa  MANOVA  bisa  digunakan  dan  hasil  pengujiannya  dapat diinterpretasikan  dengan  tepat.  Namun  dalam  praktiknya,  asumsi  yang  harus diuji  yaitu  populasi-populasi  berdistribusi  normal  multivariat  dan  matriks kovariansi  populasi-populasi  sama,  sedangkan  asumsi  lainnya  tidak  perlu dilakukan pengujian.

## 1. Uji Normalitas Multivariat
Sebagian besar prosedur inferensial multivariat didasarkan pada distribusi normal  multivariat,  yang  merupakan  generalisasi  langsung  dari  distribusi normal  univariat.  Teknik  multivariat  optimal  di  bawah  asumsi  normalitas
multivariat,  tetapi  sayangnya  kurang  optimal  dalam  kondisi  distribusi  data yang miring (tidak simetris) dan sangat sensitif terhadap amatan pencilan (Oja, 2010).  Meskipun  data  sebenarnya  mungkin  tidak  sering  tepat  berdistribusi normal  multivariat,  distribusi  ini  sering  kali  berfungsi  sebagai  perkiraan  yang berguna  terhadap  distribusi  yang  sebenarnya.  Untungnya,  banyak  prosedur berdasarkan  normalitas  multivariat  kuat  terhadap  penyimpangan  keadaan normal (Rencher, 1998).

## Gambar 1. Kepadatan Normal Bivariat
Gambar 2. Plot Kontur untuk Distribusi pada Gambar 1
Terdapat  beberapa  prosedur  yang  diusulkan  para  ahli  untuk  menaksir normalitas  multivariat.  Menurut  Rencher  (2002),  salah  satu  prosedur  tersebut adalah melakukan generalisasi dari uji normalitas univariat berdasarkan pada skewness (kemiringan)  dan kurtosis (keruncingan)  yang  dikenal  dengan  uji Mardia. Romeu dan Ozturk (dalam Timm, 2002) telah meneliti 10 uji goodness- of-fit untuk normalitas multivariat, dari simulasi studinya menunjukkan bahwa uji  normalitas  multivariat  berdasarkan  kemiringan  dan  keruncingan  yang diusulkan oleh Mardia adalah uji yang paling dapat dipercaya dan stabil untuk menaksir normalitas multivariat. Penolakan terhadap normalitas menggunakan uji  Mardia  menandai  adanya  kehadiran outlier (pencilan)  multivariat  atau distribusi  berbeda  secara  signifikan  dari  distribusi  normal  multivariat.  Oleh karena  itu,  uji  ini  dapat  bermanfaat  ganda  yaitu  untuk  mengecek  normalitas multivariat  sekaligus  mengecek  kehadiran  pencilan.  Namun,  jika  hipotesis  nol ditolak,  peneliti  tidak  tahu  sektor  manakah  yang  membawa  pelanggaran terhadap  asumsi  tersebut.  Sehingga  diperlukan  pengidentifikasian  pencilan multivariat  dan/atau  mengubah  bentuk  data  untuk  mencapai  normalitas multivariat.  Saat  ini  sudah  tersedia  macro  SPSS  uji  Mardia  untuk  menguji asumsi normalitas multivariat yang dikembangkan oleh Lawrence T. DeCarlo.

## 2. Uji Homogenitas Matriks Kovariansi
Field  (2009:  604)  menjelaskan  bahwa  asumsi  homogenitas  matriks kovariansi  lebih  mudah  diuji  daripada  normalitas  multivariat.  Untuk melakukan  uji  homogenitas  matriks  kovariansi  dipergunakan  uji  Box’s M . Menurut Rencher (2002), uji Box’s M merupakan perluasan dari uji Bartlett. Box (dalam  Rencher,  1998)  menjelaskan  bahwa  uji  Box’s M menyediakan  dua pendekatan yaitu χ 2 dan F untuk distribusi M. Pendekatan χ 2 disarankan untuk p ≤ 5, k ≤ 5, dan setiap n i > 20. Dalam situasi dimana kondisi itu tidak terpenuhi, uji Box’s M lebih tepat didasarkan pada pendekatan F . Pearson (dalam Rencher, 1998) membandingkan kedua pendekatan  dengan distribusi eksak untuk p ≤ 5 dan disimpulkan bahwa keduanya merupakan pendekatan yang cukup baik dan pendekatan F yang  umumnya  lebih  akurat.  Uji  ini  harus  tidak  signifikan  jika matriksnya  sama.  Uji  Box’s M peka  terhadap  penyimpangan  normalitas multivariat,  maka  hasil  pengujian  dapat  tidak  signifikan  yang  bukan dikarenakan  matriksnya  sama,  tetapi  karena  asumsi  normalitas  multivariat tidak  dipenuhi.  Hal  serupa  juga  dikemukakan  oleh  Stevens  (2002),  bahwa  uji Box’s M untuk menguji asumsi homogenitas matriks kovariansi terlalu sensitif dengan  ketidaknormalan  distribusi  data.  Oleh  karena  itu,  penting  untuk mengetahui  apakah  data  amatan  memenuhi  asumsi  normalitas  multivariat sebelum menginterpretasikan uji Box’s M .

## 3. Model MANOVA
Fisher mempublikasikan ANOVA pada tahun 1922, sepuluh tahun sebelum mempublikasikan  ANCOVA.  Pada  awal  perkembangannya,  semua  struktur eksperimental melibatkan jumlah pengamatan yang sama di setiap sel. Setelah itu,  berkembang  untuk  kasus  yang  tidak  seimbang  dimana  jumlah  replikasi dapat  bervariasi  dari  satu  sel  ke  sel  lainnya.  Pada  tahun  1934,  Yates mempublikasikan  model  rerata  sel  (metode  rerata  kuadrat  tertimbang)  untuk menganalisa  data  yang  tidak  seimbang.  Namun  pada  awal  tahun  1950-an, model  rerata  sel  digantikan  oleh  model overparameterized .  Model overparameterized telah  berhasil  dengan  baik  dalam  kasus  yang  seimbang, namun  sayangnya,  berbagai  upaya  untuk  menggeneralisasi  model overparameterized dengan kasus yang tidak seimbang telah menghasilkan hasil yang  kontradiktif.  Baru-baru  ini,  Speed  (1969),  Urquhart,  Weeks,  dan Henderson (1973), Nelder (1974), Hocking dan Speed (1975), Bryce (1975), Bryce, Carter,  dan  Reader  (1976),  Searle  (1977), Speed,  dkk.  (1978),  Bryce,  Scott,  dan Carter (1980), Searle, Speed, dan Henderson (1981), serta Hocking (1985, 1996) berusaha mengembalikan ke model rerata sel karena permasalahan tersebut.
Terdapat  dua  model untuk  analisis  variansi  yaitu  model overparameterized ( non-full-rank ) ijk ij j i ijk ε γ β α μ x      dan model rerata sel ijk ij ijk ε μ x   . Model overparameterized didesain  untuk  data  seimbang  sehingga  ukuran  setiap  sel harus  sama.  Model  ini  menunjukkan  efek  utama  dan  interaksi.  Sedangkan
model  rerata  sel  tidak  menunjukkan  efek  utama  dan  interaksi,  tetapi  dapat digunakan  baik  pada  ukuran  sel  sama  maupun  tidak  sama.  Rencher  (1998) menjelaskan  bahwa  model  rerata  sel  memberikan  pendekatan  sederhana  dan tidak  ambigu  yang  mengarah  pada  pengujian  hipotesis  yang  dapat  dikenali dengan  jelas.  Untuk  menyelesaikan  uji  dalam  model  ini  digunakan  kontras untuk  menyatakan  efek  utama  dan  interaksi.  Model  rerata  sel  dapat  pula dinyatakan sebagai:
Ξ WM
X  
dimana:
        p x x x x x x X ' ' ' , , , , 2 1 abn 112 111 ab                           p μ μ μ μ μ μ M ' ' ' , , , 2 1 ab 12 11                           p ε ε ε ε ε ε Ξ ' ' ' , , , 2 1 abn 112 111 ab                  
W : rank penuh sebesar ab merupakan matriks ukuran N ×( ab )

## 4. Statistik Uji MANOVA
Terdapat  beberapa  statistik  uji  MANOVA  yaitu  Wilks’  Lambda,  Pillai, Lawley-Hotelling, dan Roy’s Largest Root. Banyak software statistik menyajikan perhitungan  keempat  statistik  uji  MANOVA  tersebut,  dan  biasanya  keempat statistik uji tersebut menghasilkan kesimpulan yang sama. Dalam kasus ketika keempat  statistik  uji  tersebut  menghasilkan  kesimpulan  yang  berbeda  dalam hal menerima dan menolak hipotesis, cara yang dapat dilakukan yaitu menguji nilai  eigen  dan  matriks  kovariansi  serta  mengevaluasi  permasalahan kesimpulan dalam karakteristik statistik uji (Rencher, 2002).
Pada artikel ini akan dibahas secara terperinci mengenai statistik uji Wilks’ Lambda.  Hal  ini  dengan  pertimbangan  bahwa  secara  historis,  Wilks’  Lambda telah  memainkan  peran  dominan  dalam  uji-uji  signifikansi  dalam  MANOVA. Wilks’ Lambda merupakan statistik uji MANOVA yang pertama kali diturunkan dan memiliki pendekatan χ 2 dan F yang terkenal (Rencher, 2002).
Sebelum  melakukan  perhitungan  statistik  uji  MANOVA,  terlebih  dahulu dihitung matriks Sum-of-Squares and Cross-Products (SSCP). Menurut Rencher (1998),  perhitungan  matriks  SSCP  untuk  MANOVA  dua  jalan  sel  tak  sama disajikan pada Tabel 1.
Tabel 1. Rangkuman Matriks SSCP MANOVA Dua Jalan Sel Tak Sama
Sumber Variasi Matriks SSCP Derajat Kebebasan Faktor A       M A A W W A M A H 1 1 ˆ ' ' ' ˆ    A 1   a v HA
Faktor B       M B B W W B M B H 1 1 ˆ ' ' ' ˆ    B 1   b v HB
Interaksi       M C C W W C M C H 1 1 ˆ ' ' ' ˆ AB       1 1    b a v HAB Galat     M W X M W X E ˆ ' ˆ    atau ab N v E  

## Aksioma
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
           a i b j n k ij ijk ij ijk ij ' x x x x 1 1 1 E Total            a i b j n k ijk ijk ij ' x x x x 1 1 1 T N – 1
dengan: a : banyaknya baris (klasifikasi faktor A ) b : banyaknya kolom (klasifikasi faktor B ) N : banyaknya seluruh data amatan = n 11 + n 12 + ... + n ij W : rank penuh sebesar ab merupakan matriks ukuran N ×( ab ) W ’ W : matriks diagonal ukuran ( ab )×( ab ) dengan entri n ij = diag( n 11 , n 12 , ..., n ab ) X : matriks ukuran N × p dengan entri seluruh data amatan
M ˆ : matriks ukuran ( ab )× p dengan entri pij x   X W W W 1 ' '  
A : matriks kontras untuk efek utama baris (faktor A ) B : matriks kontras untuk efek utama kolom (faktor B ) C : matriks kontras untuk efek sederhana (interaksi)
Sebagai  contoh  perhitungan  matriks  kontras,  ditinjau  kasus  pada  pada desain  faktorial  2×3  dengan  2  buah  variabel  terikat.  Perhitungan  matriks kontras pada kasus tersebut sebagai berikut:
Telah diketahui         ' , , , , , , 23 22 21 13 12 11 2 1 μ μ μ μ μ μ μ μ M  
Faktor A memiliki 2 nilai yang bersesuaian dengan 3 kolom faktor B . Untuk 2 nilai pada faktor A mempunyai 1 derajat kebebasan, sehingga memerlukan 1 kontras. Efek utama faktor A diperoleh dengan membandingkan baris pertama dengan baris kedua. Ini dapat dilakukan dengan satu kontras ortogonal.
    23 22 21 13 12 11 ' μ μ μ μ μ μ M a       23 22 21 13 12 11 μ μ μ μ μ μ         M 1 1 1 1 1 1       1 1 1 1 1 1 '      a A Faktor B memiliki 3 nilai yang bersesuaian dengan 2 baris faktor A . Untuk 3 nilai  pada  faktor B mempunyai  2  derajat  kebebasan,  sehingga  memerlukan  2 kontras. Efek utama faktor B diperoleh dengan membandingkan kolom pertama dengan dua kolom lainnya, dan kemudian membandingkan kolom kedua dengan kolom ketiga. Ini dapat dilakukan dengan dua kontras ortogonal berikut.
      23 13 22 12 21 11 1 2 ' μ μ μ μ μ μ M b       23 22 21 13 12 11 2 2 μ μ μ μ μ μ         M 1 1 2 1 1 2          23 13 22 12 2 ' μ μ μ μ M b     23 22 13 12 μ μ μ μ       M 1 1 0 1 1 0   

## Aksioma
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
             1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 2 B
Kontras a ’ M , b 1 ’ M ,  dan b 2 ’ M membandingkan  unsur-unsur ij μ di  dalam rerata  vektor M .  Interaksi AB mempunyai  2  derajat  kebebasan,  sehingga memerlukan  2  kontras  berhubungan  yang  diperoleh  dengan  mengalikan unsur-unsur bersesuaian dari a 1 dan b 1 serta a 1 dan b 2 . Perkalian menurut unsur dari dua vektor tersebut dinamakan Hadamard product .
  1 1 2 1 1 2 ' 1     c   1 1 0 1 1 0 ' 2    c             1 1 0 1 1 0 1 1 2 1 1 2 C
Untuk  kasus  lainnya  dapat  menyesuaikan  prosedur  perhitungan matriks  kontras  sebagaimana  yang  telah  dijelaskan.  Selanjutnya, perhitungan  Wilks’ untuk pengujian hipotesis terkait interaksi dan efek utama sebagai berikut (Rencher, 2002).
A A H E E   Λ B B H E E   Λ AB AB H E E   Λ
Tabel 2. Transformasi  Wilks’ menjadi Uji F Ekor Kanan Eksak
Parameter p , v H Statistik dalam Distribusi F Derajat Bebas Sebarang p , v H = 1 1 1 E v p p      p , v E – p + 1
Sebarang p , v H = 2 1 1 E v p p      2 p , 2( v E – p + 1)
p = 1, sebarang v H 1 E H v v    v H , v E
p = 2, sebarang v H 1 1 E H v v     2 v H , 2( v E – 1)
Rencher (2002) menjelaskan bahwa ketika v H = 1 atau 2 atau ketika p = 1  atau  2,  Wilks’  diubah  menjadi  statistik F eksak.  Perubahannya diberikan  pada  Tabel  2.  Hipotesis  ditolak  ketika  nilai  perubahan  dari  melebihi  titik  persentase  teratas  dengan  tingkat  signifikansi α dari distribusi F, dengan derajat bebas seperti yang ditunjukkan.
Untuk  nilai p dan v H selain  pada  Tabel  2,  perkiraan  statistik F diberikan oleh
1 2 1 1 1 t t df F df     dengan derajat bebas df 1 dan df 2 , dimana
1 , H df pv    2 1 2 , 2 H df wt pv   
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
  1 1 , 2 E H H w v v p v      2 2 2 2 4 . 5 H H p v t p v    
Ketika 2
H pv  , t diatur  sama  dengan  1.  Perkiraan
1 2 1 1 1 t t df F df     tereduksi  menjadi  nilai F eksak  yang  diberikan  dalam  Tabel  2,  ketika keduanya v H atau p adalah 1 atau 2.

## 5. Prosedur MANOVA
Setelah  mengetahui  statistik  uji  MANOVA  khususnya  Wilks’  Lambda, berikut prosedur pengujian MANOVA dua jalan dengan sel tak sama.
a.Menetapkan Hipotesis
1) Hipotesis perbedaan efek antarbaris
H 0 A : AM = O (arti H 0 A :
                                                      pa a a p p              2 1 2 22 12 1 21 11 )
H 1 A : AM ≠ O (arti H 1 A :  paling  sedikit  ada  dua  matriks  rerata  baris yang tidak sama)
2) Hipotesis perbedaan efek antarkolom
H 0 B : BM = O (arti H 0 B :
                                                      b p b b p p              2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 1
) H 1 B : BM ≠ O (arti H 1 B :  paling  sedikit  ada  dua  matriks  rerata  kolom yang tidak sama)

## 3) Hipotesis interaksi
H 0 AB : CM = O (arti H 0 AB : tidak ada interaksi baris dan kolom terhadap variabel-variabel terikat)
H 1 AB : CM ≠ O (arti H 1 AB :  ada  interaksi  baris  dan  kolom  terhadap variabel-variabel terikat)
b. Taraf Signifikansi ( α )
c.  Menentukan Statistik Uji
Untuk  melakukan  uji  hipotesis  menggunakan  MANOVA  dua  jalan mengikuti formula statistik uji Wilks’ sebagaimana disajikan pada Tabel 2.  Langkah  awal  dalam  menguji  hipotesis  ini  adalah  menentukan statistik  uji  yang  tepat  sesuai  dengan  model  analisis.  Hal  yang  perlu diperhatikan dalam memilih formula statistik uji Wilks’ yaitu banyaknya
variabel  terikat  dan  desain  faktorial  yang  digunakan.  Sebagai  contoh penentuan  formula  statistik  uji  Wilks’,  ditinjau  kasus  pada  desain faktorial  2×3  dengan  2  buah  variabel  terikat.  Pada  contoh  ini  terdapat dua variabel terikat ( p = 2). Menurut Rencher (2002), ketika untuk p = 2 dan sebarang v H , maka formula statistik uji Wilks’ yang tepat adalah:
    1 2 2 1 Λ Λ 1                 E H H E v , v ~F v v F Formula  ini  perlu  adanya  modifikasi  pada  nilai-nilai H v dan E v dengan mengikuti Tabel 1.
1) Pengaruh Faktor A
Karena 1   a v HA dan ab N v E   , maka       1 2 1 2 1 1 Λ Λ 1                       ab N , a ~F a ab N F A A A 2) Pengaruh Faktor B Karena 1   b v HB dan ab N v E   , maka       1 2 1 2 1 1 Λ Λ 1                       ab N , b ~F b ab N F B B B

## 3) Interaksi Antara Faktor A dan Faktor B
Karena    1 1    b a v HAB dan ab N v E   , maka
          1 2 1 1 2 1 1 1 Λ Λ 1                         ab N , b a ~F b a ab N F AB AB AB dimana: a :banyaknya baris
b : banyaknya kolom
N :banyaknya seluruh data amatan
HA v : derajat kebebasan H A = a – 1
HB v : derajat kebebasan H B = b – 1
HAB v : derajat kebebasan H AB = ( a – 1)( b – 1)
E v :derajat kebebasan E = N – ab d. Daerah Kritis Untuk masing-masing nilai F di atas, daerah kritisnya adalah:
1) Daerah kritis F A adalah       1 2 1 2      ab N ; a α; F F F DK
2) Daerah kritis F B adalah       1 2 1 2      ab N ; b α; F F F DK
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
3) Daerah kritis F AB adalah        1 2 1 1 2       ab N ; b a α; F F F DK
e.  Keputusan Uji: H 0 ditolak jika DK F  obs .
f.  Menentukan kesimpulan dari keputusan uji yang ada.
Jika  uji  multivariat  yang  didasarkan  pada  menolak H 0 ,  ini  dapat diikuti  oleh  uji F pada  setiap p individual.  Kita  dapat  merumuskan hipotesis perbandingan rerata menyilang k kelompok untuk setiap variabel, yaitu, H 0 r : 1 2 ... r r kr       , r = 1, 2, …, p . Itu tidak selalu berarti bahwa setiap uji F pada p individual variabel akan menolak H 0 r yang bersesuaian. Sebaliknya,  ada  kemungkinan  bahwa  salah  satu  atau  lebih  dari F akan menolak H 0 r ketika  uji  menerima H 0 .  Dalam  kedua  kasus,  dimana  uji multivariat  dan  uji  univariat  berbeda,  kita  menggunakan  hasil  uji multivariat daripada hasil uji univariat. Hal ini mirip hubungan antara uji Z 2 dan uji z yang ditunjukkan pada gambar berikut.
Gambar 3. Daerah Penerimaan dan Penolakan Uji Univariatdan Uji Multivariat
Ketika  MANOVA  menunjukkan  bahwa  hipotesis  nol  ditolak,  maka dilanjutkan dengan ANOVA pada masing-masing variabel terikat. Rencher dan Schott (dalam Rencher, 1998, 2002) menunjukkan bahwa prosedur ini akan menjaga taraf kesalahan α sepanjang uji ANOVA dilaksanakan hanya jika uji MANOVA menolak hipotesis nol.
Komparasi  ganda  adalah  tindak  lanjut  dari  ANOVA  apabila  hasil analisis  tersebut  menunjukkan  bahwa  hipotesis  nol  ditolak  dan  nilai  dari variabel  penelitian  lebih  dari  dua.  Metode  Scheffé  dipilih  karena menghasilkan  cacah  beda  rerata  signifikan  paling  sedikit  dibandingkan metode  lainnya.  Metode  ini  terdapat  empat  macam  komparasi,  yaitu komparasi ganda rerata antar baris, komparasi ganda rerata antar kolom, komparasi  ganda  antar  sel  pada  baris  yang  sama,  dan  komparasi  ganda rerata antar sel pada kolom yang sama.
Menurut  Ho  (2006:  64),  uji  komparasi  rerata  antar  sel  untuk  faktor interaksi  tidak  dapat  dilakukan  secara  langsung  menggunakan  program
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
General  Linear  Model (GLM)  pada  paket software SPSS.  Fasilitas  yang dapat  digunakan  untuk  melihat  adanya  interaksi  secara  langsung  adalah profil  efek.  Jika  profil  variabel  bebas  pertama  dan  profil  variabel  bebas kedua  tidak  berpotongan,  maka  kecenderungannya  tidak  ada  interaksi  di antara mereka. Sebaliknya, jika profil variabel bebas pertama berpotongan dengan profil variabel bebas kedua, maka kecenderungannya ada interaksi di  antara  keduanya.  Namun,  profil  efek  tidak  dapat  mengindikasikan perbedaan  rerata. Untuk  mengidentifikasi  perbedaan  secara  spesifik  tetap membutuhkan  uji  pasca  ANOVA  (disebut  juga  uji  lanjut  atau  komparasi ganda). Misalnya kasus pada artikel ini menggunakan desain faktorial 2×3 dengan 2 buah variabel bebas. Variabel bebas pertama memiliki 2 nilai dan variabel  bebas  kedua  memiliki  3  nilai,  sehingga  terdapat  6  sel  (kondisi eksperimentasi).  Selain  program  GLM,  uji  komparasi  ganda  pada  paket software SPSS  dapat  dilakukan  melalui  program One-Way ANOVA. Menurut  Ho  (2006:  64),  prosedur  yang  dapat  dilakukan  untuk  keperluan tersebut  adalah  memanipulasi  data  dengan  merubah  6  kondisi eksperimentasi menjadi 6 nilai (dianggap satu variabel bebas).

## D. Simpulan
MANOVA merupakan suatu solusi teknik analisis data kuantitatif bagi peneliti di dunia pendidikan yang ingin mengamati secara lebih mendetail terkait  hasil  belajar  peserta  didik,  dalam  rangka  menerapkan  prinsip kebulatan  dalam  Kurikulum  2013  (prinsip  evaluasi  hasil  belajar  secara menyeluruh meliputi aspek kognitif, aspek afektif, dan aspek  psikomotor). MANOVA  memberikan  inovasi  bagi  penelitian  pendidikan,  sekaligus memperkaya hasil penelitian pendidikan.
MANOVA memiliki asumsi yang mirip dengan ANOVA tetapi diperluas untuk  kasus  multivariat.  Adapun  asumsi  yang  harus  dipenuhi  pada MANOVA  yaitu  independen,  sampel  acak,  normalitas  multivariat,  dan homogenitas  matriks  kovariansi.  Uji  persyaratan  MANOVA  meliputi  uji normalitas  multivariat  yang  dapat  menggunakan  uji  Mardia  dan  uji homogenitas  matriks  kovariansi  yang  dapat  menggunakan  uji  Box’s M . Kesulitan penerapan analisis multivariat pada perhitungannya yang terlalu rumit, sudah terpecahkan dengan tersedianya fitur software statistik yang semakin canggih.
Terdapat  beberapa  statistik  uji  MANOVA  yaitu  Wilks’  Lambda,  Pillai, Lawley-Hotelling,  dan  Roy’s  Largest  Root.  Banyak software statistik menyajikan  perhitungan  keempat  statistik  uji  MANOVA  tersebut,  dan biasanya  keempat  statistik  uji  tersebut  menghasilkan  kesimpulan  yang sama.  Ketika  MANOVA  menunjukkan  bahwa  hipotesis  nol  ditolak,  maka dilanjutkan dengan ANOVA pada masing-masing variabel terikat. Prosedur ini  akan  menjaga  taraf  kesalahan α sepanjang  uji  ANOVA  dilaksanakan
hanya  jika  uji  MANOVA  menolak  hipotesis  nol.  Apabila  ANOVA menunjukkan  bahwa  hipotesis  nol  ditolak,  maka  dilakukan  uji  post  hoc menggunakan metode Scheffe’. Metode ini dilakukan ketika variabel bebas memiliki lebih dari dua nilai. Jika suatu variabel bebas hanya memiliki dua nilai,  maka  untuk  melihat  perbedaan  antara  keduanya  dapat  langsung dilakukan perbandingan pada masing-masing rerata marginalnya.
Berdasarkan simpulan penelitian ini, maka saran yang dapat diberikan yaitu:  1)  peneliti  di  bidang  pendidikan  tidak  perlu  cemas  lagi  untuk melakukan  analisis  data  kuantitatif  menggunakan  MANOVA,  karena sudah  tersedia  fitur  software  yang  dapat  membantu  untuk  keperluan tersebut; dan 2) peneliti sudah saatnya melakukan inovasi pada penelitian pendidikan  dengan  menggunakan  MANOVA  sebagai  teknik  analisis  data karena akan memperkaya hasil penelitian. MANOVA mampu menganalisis variabel terikat dalam hal ini hasil belajar secara simultan.

## E. Daftar Pustaka
Anderson, T. W. 2003. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis .
New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.
Bryce, G. R. 1975. The One-Way Model. American Statistician 29, 69-70. Bryce,  G.  R.,  Carter,  M.  W.,  and  Reader,  M.  W.  1976. Nonsingular  and singular  transformations in the fixed model . Presented at the Annual Meeting  of  the  American  Statistical  Association,  Boston,  MA,  August 1976.
Bryce,  G.  R.,  Scott,  D.  T,  and  Carter,  M.  W.  1980. Estimation  and Hypothesis Testing in Linear Models—A Reparameterization Approach . Communications  in  Statistics—Series  A,  Theory  and  Methods  9,  131- 150.
Field,  A.  2009. Discovering  Statistics  Using  SPSS .  London:  Sage Publications.
Hardle,  W.  dan  Simar,  L.  2007. Applied  Multivariate  Statistical  Analysis . Berlin: Springer-Verlag.
Hocking,  R.  R.  1985. The  Analysis  of  Linear  Models .  Monterey,  CA: Brooks/Cole.
Hocking, R. R. 1996. Methods and Applications of Linear Models . New York: Wiley.
Hocking, R. R. and Speed, F M. 1975. A Full Rank Analysis of Some Linear Model  Problems. Journal  of  the  American  Statistical  Association 70, 706-712.
Vol. 9, No. 1, Juli 2018 e-ISSN 2579-7646
Leps,  J.  dan  Smilauer,  P.  1999. Multivariate  Analysis  of  Ecological  Data . Ceske  Budejovice:  Faculty  of  Biological  Science,  University  of  South Bohemia.
Mattjik,  A.  A.  dan  Sumertajaya,  I.  M.  2011. Sidik  Peubah  Ganda  dengan Menggunakan SAS . Bogor: IPB Press. Morrison, D. F. 1990. Multivariate Statistical Methods . New York: McGraw- Hill, Inc.
Nelder,  J.  A.  1974.  Letter  to  The  Editor. Journal  of  the  Royal  Statistical Society (Series C), 23, 232. Oja,  H.  2010. Multivariate  Nonparametric  Methods  with  R:  An  Approach Based  on  Spatial  Signs  and  Ranks .  New  York:  Springer Science+Business Media.
Peraturan Menteri Pendidikan dan Kebudayaan Republik Indonesia Nomor 53  Tahun  2015  tentang Penilaian  Hasil  Belajar  oleh  Pendidik  dan Satuan  Pendidikan  pada  Pendidikan  Dasar  dan  Pendidikan Menengah . Rencher,  A.  C.  1998. Multivariate  Statistical  Inference  and  Applications .
Kanada: John Wiley and Sons, Inc.
Rencher, A. C. 2002. Methods of Multivariate Analysis . Kanada: John Wiley and Sons, Inc.
Searle,  S.  R.  1977. Analysis  of  Variance  of  Unbalanced  Data  From  3-Way and Higher-Order Classifications . Technical Report BU-606-M, Cornell University, Biometrics Units.
Searle, S. R., Speed, F. M., and Henderson, H. V. 1981. Some computational and  model    equivalencies  in  analysis  of variance  of  unequal-subclass- numbers data. American Statistician 35, 16-33.
Speed,  F.  M.  1969. A  New  Approach  to  the  Analysis  of  Linear  Models . Technical  Report,  National  Aeronautics  and  Space  Administration, Houston, TX. NASA Technical memo, NASA TM X-58030.
Speed, F M., Hocking, R. R., and Hackney, O. P. 1978. Methods of analysis of  linear  models  with  unbalanced  data. Journal  of  the  American Statistical Association 73, 105-112. Steven, J. 2002. Applied Multivariate Statistics for the Social Sciences . New Jersey: Lawrence Erlabaum Associates.
Tabachnick,  B.  G.  dan  Fidell,  L.  S.  2007. Using  Multivariate  Statistics . Boston: Pearson Education, Inc.
Timm,  N.  H.  2002. Applied  Multivariate  Analysis .  New  York:  Springer- Verlag.
Urquhart,  N.  S.,  Weeks,  D.  L.,  dan  Henderson,  C.  R.  1973.  Estimation Associated  with  Linear  Models:  A  Revisitation. Communications  in Statistics 1, 303-330.