Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 2, Juli 2023, 219-229 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i2.15397

## Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star
Lyra Yulianti*, Laila Hidayati , Des Welyyanti Program Studi S1 Matematika, Departemen Matematika dan Sains Data, FMIPA, Universitas Andalas, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia e-mail: lyra@sci.unand.ac.id, laila.hdyt3@gmail.com, wely@sci.unand.ac.id
Diajukan: 29 Desember 2022, Diperbaiki: 11 April 2023, Diterima: 13 Juli 2023

## Abstrak
Misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene 𝐵𝐵 60 dengan 60 titik. Graf Buckminsterfullerene- subdivisi , dinotasikan 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1 , dikonstruksi dengan cara melakukan operasi subdivisi terhadap satu sisi tertentu di 𝐵𝐵 60 , yaitu penyisipan sebanyak 𝑛𝑛 titik di sisi tersebut.  Selanjutnya, Graf Buckminsterfullerene-star , dinotasikan 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1, dikonstruksi dengan cara mengidentifikasi masing- masing satu titik daun dari lima graf bintang 𝑆𝑆 𝑛𝑛 dengan titik yang bersesuaian di 𝐵𝐵 60 . Pada artikel ini akan ditentukan dimensi metrik dari 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 dan 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ≥ 1 . Kata Kunci : Dimensi metrik, himpunan pembeda, Buckminsterfullerene-subdivisi , Buckminsterfullerene- star .

## Abstract
Let 𝐵𝐵 60 be the Buckminsterfullerene graph on 60 vertices. The Buckminsterfullerene-subdivision , denoted by 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1 ,  is constructed by subdividing one particular edge of 𝐵𝐵 60 into n+1 edges. Moreover, Buckminsterfullerene-star , denoted by 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1, is constructed by identifying one leaf from five stars 𝑆𝑆 𝑛𝑛 with the corresponding vertex of 𝐵𝐵 60 . This paper will discuss the metric dimension of Buckminsterfullerene-subdivision and Buckminsterfullerene-star graphs.
Keywords : Metric dimension, resolving set, Buckminsterfullerene-subdivision, Buckminsterfullerene-star.

## 1  Pendahuluan
Konsep dimensi metrik pada suatu graf diperkenalkan secara terpisah oleh Slater  [1]  dan Harary dan Melter [2]. Selanjutnya, Chartrand dkk. [3] memberikan definisi baku dimensi metrik dari suatu graf terhubung G sebagai berikut. Misalkan terdapat graf terhubung 𝐺𝐺 = (𝑉𝑉, 𝐸𝐸) , dan misalkan  terdapat  himpunan terurut 𝑊𝑊 = {𝑤𝑤 1 , 𝑤𝑤 2 , ⋯ , 𝑤𝑤 𝑘𝑘 } ⊆ 𝑉𝑉(𝐺𝐺) .  Representasi titik 𝑣𝑣 ∈ 𝑉𝑉(𝐺𝐺) terhadap 𝑊𝑊 , dinotasikan 𝑟𝑟(𝑣𝑣|𝑊𝑊) , didefinisikan sebagai k -vektor
𝑟𝑟(𝑣𝑣|𝑊𝑊) = �𝑑𝑑(𝑣𝑣, 𝑤𝑤 1 ), 𝑑𝑑(𝑣𝑣, 𝑤𝑤 2 ), . . . , 𝑑𝑑(𝑣𝑣, 𝑤𝑤 𝑘𝑘 )� .
Jika untuk setiap dua titik 𝑢𝑢 dan 𝑣𝑣 di 𝐺𝐺 diperoleh bahwa 𝑟𝑟(𝑢𝑢|𝑊𝑊) ≠ 𝑟𝑟(𝑣𝑣|𝑊𝑊) maka 𝑊𝑊 dinamakan himpunan pembeda dari 𝐺𝐺 . Himpunan pembeda dengan kardinalitas minimum disebut sebagai himpunan pembeda minimum, sementara nilai kardinalitas minimum tersebut dinamakan dimensi

## 220 Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star
metrik dari 𝐺𝐺 , dinotasikan 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐺𝐺) . Definisi dan notasi lainnya yang digunakan mengacu ke Diestel [4].
Berikut diberikan beberapa hasil terkait penentuan dimensi metrik dari suatu graf  yang merupakan hasil operasi terhadap graf lain yang telah diketahui dimensi metriknya. Pada  [5], Saputro dkk. memperoleh dimensi metrik graf hasilkali lexicographic dari beberapa graf tertentu. Selanjutnya, pada [6] diberikan batas atas dan batas bawah dimensi metrik graf hasil amalgamasi beberapa graf terhubung sebarang. Putra dkk. [7] menentukan dimensi metrik dari graf hasil operasi join antara graf roda dan siklus, dinotasikan 𝑊𝑊 𝑛𝑛 + 𝐶𝐶 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ∈ {3,4} .
Pada  [8]  diperoleh dimensi metrik graf hasil operasi amalgamasi  graf  tangga segitiga diperumum homogen. Hasil pada [8] diperumum oleh Yulianti dkk. [9] dengan menentukan dimensi metrik  amalgamasi graf tangga segitiga diperumum sebarang, dinamakan graf triangle-net . Selanjutnya, pada [10]  diberikan hasil terkait dimensi metrik graf amalgamasi graf lengkap Amal (𝑛𝑛𝐾𝐾 𝑚𝑚 ) untuk 𝑛𝑛 ≥ 4 dan 𝑖𝑖 ≥ 4 .  Yulianti dkk. [11]  memberikan dimensi metrik graf hasil operasi thorn dan thorn- subdivisi terhadap graf lengkap K n untuk 𝑛𝑛 ≥ 1. Kemudian pada  [12] diberikan dimensi metrik graf hasil subdivisi terhadap graf Lobster, dengan cara menyisipkan 𝑖𝑖 titik di setiap sisi graf tersebut, dinotasikan R n (q,r) m untuk n, q, r, m ≥ 2 .
Andova  dkk.  [13]  membahas tentang graf fullerene ,  yang merupakan representasi dari molekul fullerene , suatu molekul polyhedral yang terbuat dari atom karbon. Selanjutnya, Akhter dkk.  [14]  memperoleh dimensi metrik dari graf (3,6)-fullerene dan (4,6)-fullerene ,  dimana  graf (k,6)-fullerene adalah graf fullerene dengan semua face yang berbentuk k -gon dan hexagon, untuk k =3,4,5 . Graf Buckminsterfullerene B 60 yang didefinisikan oleh Kroto dkk. [15] adalah salah satu jenis graf (5,6)- fullerene dengan bentuk paling simetris. Putri dkk. [16] memperoleh bahwa dimensi metrik graf B 60 adalah 3 . Amalia dkk. [17] menentukan dimensi metrik graf Buckminsterfullerene- type B 60 (1,t) untuk 1 ≤ t ≤ 5 . Graf tersebut dikonstruksi dengan mengidentifikasi lima titik terluar dari graf B 60 dengan lima titik yang bersesuaian di lima salinan graf B 60 . Selanjutnya, Yulianti dkk. [18] menentukan dimensi metrik dari graf Buckminsterfullerene-net , yaitu graf yang berasal dari amalgamasi titik terhadap m salinan graf B 60 untuk m ≥ 2. Pada artikel ini akan ditentukan dimensi metrik dari dua graf hasil modifikasi terhadap graf Buckminsterfullerene B 60 , yaitu graf Buckminsterfullerene-subdivisi dan graf Buckminsterfullerene-star.
Misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene B 60 dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang didefinisikan oleh Putri dkk. [16] sebagai berikut.
𝑉𝑉(𝐵𝐵 60 ) = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5} ∪ {𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 |1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} ∪ {𝑥𝑥 𝑘𝑘 |1 ≤ 𝑘𝑘 ≤ 20},
(1)
𝐸𝐸(𝐵𝐵 60 ) = {𝑣𝑣 𝑙𝑙 𝑣𝑣 𝑙𝑙+1 , 𝑧𝑧 𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1 ≤ 𝑙𝑙 ≤ 4} ∪ {𝑤𝑤 𝑚𝑚 𝑤𝑤 𝑚𝑚+1 , 𝑦𝑦 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑚𝑚+1 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 14} (2)
∪ {𝑥𝑥 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛+1 |1 ≤ 𝑛𝑛 ≤ 19} ∪ {𝑤𝑤 3𝑙𝑙 𝑥𝑥 4𝑙𝑙+1 , 𝑥𝑥 4𝑙𝑙 𝑦𝑦 3𝑙𝑙+1 , 𝑦𝑦 3𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1 ≤ 𝑙𝑙 ≤ 4}
∪ {𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−2 , 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−2 , 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−1 𝑦𝑦 3𝑖𝑖−1 |1 ≤ 𝑖𝑖  ≤ 5}
∪ {𝑤𝑤 15 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 20 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 15 𝑧𝑧 1 , 𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 5 , 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 5 , 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 15 , 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 15 , 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 20 } .
Pada artikel ini graf Buckminsterfullerene-subdivisi , dinotasikan 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ≥ 1 , diperoleh dengan melakukan operasi subdivisi terhadap sisi 𝑒𝑒 = 𝑣𝑣 4 𝑣𝑣 5 , yaitu dengan menyisipkan sebanyak n titik ke sisi tersebut. Maka diperoleh:
𝑉𝑉�𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 � = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 |1 ≤ i ≤ 5} ∪ �𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 �1 ≤ j  ≤ 15� ∪ {𝑥𝑥 𝑘𝑘 |1  ≤  k  ≤  20} ∪ �𝑣𝑣 4,𝑡𝑡 �1 ≤  t ≤  n� , (3)
𝐸𝐸(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) = {𝑣𝑣 𝑙𝑙 𝑣𝑣 𝑙𝑙+1 , 𝑧𝑧 𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1 ≤ l ≤  4} ∪ {𝑤𝑤 𝑚𝑚 𝑤𝑤 𝑚𝑚+1 , 𝑦𝑦 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑚𝑚+1 |1  ≤  𝑖𝑖  ≤  14}
∪ {𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 |1  ≤  𝑘𝑘  ≤  19} ∪ {𝑤𝑤 3𝑙𝑙 𝑥𝑥 4𝑙𝑙+1 , 𝑥𝑥 4𝑙𝑙 𝑦𝑦 3𝑙𝑙+1 , 𝑦𝑦 3𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1  ≤  𝑙𝑙  ≤  4}
∪ {𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−2 , 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−2 , 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−1 𝑦𝑦 3𝑖𝑖−1 |1  ≤  𝑖𝑖  ≤  5}
∪ {𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 5 , 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 5 , 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 15 , 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 15 , 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 20 , 𝑤𝑤 15 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 20 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 15 𝑧𝑧 1 } ∪ �𝑣𝑣 4,𝑠𝑠 𝑣𝑣 4,𝑠𝑠+1 �1 ≤ s ≤ n − 1� ∪ {𝑣𝑣 4 𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4,𝑛𝑛 𝑣𝑣 5 }. (4)
Selanjutnya,  misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene B 60 dengan himpunan titik dan himpunan sisi seperti pada persamaan (1) dan persamaan (2), serta gabungan lima graf bintang dengan n sisi yang homogen, dinotasikan 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ≥ 1 , dengan:
𝑉𝑉(5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑝𝑝 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 0 ≤ 𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛,
𝐸𝐸(5𝑆𝑆 𝑛𝑛 )  =   {𝑣𝑣 𝑖𝑖,0 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑞𝑞 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5, 1 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 𝑛𝑛}.
Graf Buckminsterfullerene-star, dinotasikan 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛  ≥  1 ,  dikonstruksi  dengan  cara mengidentifikasi titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖 di 𝐵𝐵 60 dengan titik 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑛𝑛 untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5. Tuliskan titik hasil identifikasi sebagai 𝑣𝑣 𝑖𝑖 untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5 . Maka diperoleh:
𝑉𝑉(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5} ∪ �𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 �1 ≤ 𝑗𝑗  ≤ 15� ∪ {𝑥𝑥 𝑘𝑘 |1  ≤  𝑘𝑘  ≤  20} ∪ �𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑟𝑟 �1 ≤  𝑖𝑖 ≤  5;  0  ≤  𝑟𝑟  ≤ 𝑛𝑛 − 1� ,
(5)
𝐸𝐸(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) = {𝑣𝑣 𝑙𝑙 𝑣𝑣 𝑙𝑙+1 , 𝑧𝑧 𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1 ≤ l ≤  4} ∪ {𝑤𝑤 𝑚𝑚 𝑤𝑤 𝑚𝑚+1 , 𝑦𝑦 𝑚𝑚 𝑦𝑦 𝑚𝑚+1 |1 ≤ 𝑖𝑖  ≤ 14}
∪ {𝑥𝑥 𝑘𝑘 𝑥𝑥 𝑘𝑘+1 |1 ≤ 𝑘𝑘  ≤ 19} ∪ {𝑤𝑤 3𝑙𝑙 𝑥𝑥 4𝑙𝑙+1 , 𝑥𝑥 4𝑙𝑙 𝑦𝑦 3𝑙𝑙+1 , 𝑦𝑦 3𝑙𝑙 𝑧𝑧 𝑙𝑙+1 |1 ≤ 𝑙𝑙  ≤ 4}
∪ {𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−2 , 𝑤𝑤 3𝑖𝑖−1 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−2 , 𝑥𝑥 4𝑖𝑖−1 𝑦𝑦 3𝑖𝑖−1 |1 ≤ 𝑖𝑖  ≤ 5}
∪ {𝑣𝑣 1 𝑣𝑣 5 , 𝑧𝑧 1 𝑧𝑧 5 , 𝑤𝑤 1 𝑤𝑤 15 , 𝑦𝑦 1 𝑦𝑦 15 , 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 20 , 𝑤𝑤 15 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 20 𝑦𝑦 1 , 𝑦𝑦 15 𝑧𝑧 1 } ∪ �𝑣𝑣 𝑖𝑖 𝑣𝑣 𝑖𝑖,0 �1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5� ∪ {𝑣𝑣 𝑖𝑖,0 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑞𝑞 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5, 1 ≤ 𝑞𝑞 ≤ 𝑛𝑛}.
(6)

## 2 Metode Penelitian
Penentuan dimensi metrik graf Buckminsterfullerene-subdivisi 𝑩𝑩 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝒏𝒏 dan  graf Buckminsterfullerene-star 𝑩𝑩 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟓𝟓𝑺𝑺 𝒏𝒏 untuk 𝒏𝒏 ≥ 𝟏𝟏 dilakukan dengan cara sebagai berikut. Dituliskan

## 222 Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star
𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅(𝑮𝑮) ≤ 𝒌𝒌 untuk 𝑮𝑮 = 𝑩𝑩 𝟔𝟔𝟔𝟔,𝒏𝒏 atau 𝑮𝑮 = 𝑩𝑩 𝟔𝟔𝟔𝟔 𝟓𝟓𝑺𝑺 𝒏𝒏 dan suatu bilangan bulat k , jika dapat ditentukan suatu himpunan pembeda W dengan |𝑾𝑾| = 𝒌𝒌 sedemikian sehingga sebarang dua titik u dan v di G mempunyai representasi yang berbeda. Selanjutnya, dituliskan 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅(𝑮𝑮) ≥ 𝒌𝒌 jika untuk setiap kemungkinan himpunan 𝑾𝑾 ∗ dengan |𝑾𝑾 ∗ | = 𝒌𝒌 − 𝟏𝟏 , selalu terdapat minimal dua titik dengan representasi yang sama.

## 3  Hasil dan Pembahasan
Pada bagian ini diberikan dimensi metrik graf Buckminsterfullerene -subdivisi 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 dan graf Buckminsterfullerene -star 𝐵𝐵 60 𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk 𝑛𝑛 ≥ 1 .
Teorema  1 Misalkan  terdapat graf Buckminsterfullerene-subdivisi 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 dengan 𝑛𝑛 ≥ 1 .  Maka 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖�𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 � =  3 .

## Bukti.
Misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene-subdivisi B 60,n dengan himpunan titik dan sisi pada persamaan (3) dan persamaan (4). Definisikan suatu himpunan pembeda:
𝑊𝑊 = � �𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4,𝑛𝑛+1 2 � , untuk 𝑛𝑛 ganjil,
�𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4,𝑛𝑛2 � , untuk 𝑛𝑛 genap.
Perhatikan dua kasus berikut.
Kasus 1.A n g anjil.
Pilih 𝑊𝑊 = �𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � . Perhatikan dua subkasus berikut.
Kasus 1.A.1 𝑛𝑛 = 1 .
Pilih 𝑊𝑊 1 = {𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4,1 }. Pada Tabel 1 diberikan representasi semua titik di B 60,1 terhadap 𝑊𝑊 1 .
Tabel 1. Representasi titik B 60,1 Titik  Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi v 1 (6,8,2) v 2 (5,9,3) v 3 (4,8,2) v 4 (3,7,1) v 5 (5,7,1) w 1 (7,7,3) w 2 (8,7,4) w 3 (7,7,5) w 4 (6,8,4) w 5 (5,7,5) w 6 (4,7,4) w 7 (3,8,3) w 8 (2,6,4) w 9 (1,6,3) w 10 (2,6,2) w 11 (2,5,3) w 12 (3,5,3) w 13 (4,6,2) w 14 (5,6,3) w 15 (6,6,4) x 1 (7,5,5) x 2 (8,6,6) x 3 (9,5,6) x 4 (8,5,7) x 5 (8,6,6) x 6 (6,6,6) x 7 (6,5,7) x 8 (5,5,6) x 9 (4,6,5) x 10 (3,5,5) x 11 (2,4,6) x 12 (1,4,5) x 13 (0,5,4) x 14 (1,4,4) x 15 (2,3,5) x 16 (3,3,5) x 17 (4,4,4) x 18 (5,5,4) x 19 (6,4,5) x 20 (7,4,6) y 1 (7,3,7) y 2 (8,4,7) y 3 (7,3,8) y 4 (7,4,8) y 5 (6,4,8)
y 6 (5,3,9) y 7 (4,4,7) y 8 (3,3,7) y 9 (3,2,7) y 10 (2,3,6) y 11 (3,2,6) y 12 (4,1,7) y 13 (4,2,7) y 14 (5,3,6) y 15 (6,2,7) z 1 (6,1,8) z 2 (6,2,9) z 3 (5,2,9) z 4 (4,1,8) z 5 (5,0,8) v 4,1 (4,8,0)

## 223
Dapat dilihat dari Tabel 1 bahwa setiap dua titik di B 60,1 mempunyai representasi yang berbeda terhadap W 1 . Kasus 1.A.2 n ganjil, n ≥ 3.
Pilih 𝑊𝑊 2 = �𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � . Dari konstruksi graf B 60,n diketahui bahwa 𝑑𝑑(𝑣𝑣 4 , 𝑣𝑣 5 ) = 𝑛𝑛 + 1, sehingga didapatkan 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑛𝑛+1 2 dan 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑛𝑛+1 2 −  1  = 𝑛𝑛−1 2 .
Dari persamaan (3), tuliskan:
𝑉𝑉(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) = 𝑉𝑉(𝐵𝐵 60,1 ) ∪ {𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 |2  ≤  𝑏𝑏 ≤ 𝑛𝑛} . (7)
Selanjutnya, akan ditentukan representasi titik-titik di V( 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) untuk n ganjil, n ≥ 3. Ambil sebarang titik di 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 , namakan titik u . Karena 𝑑𝑑 �𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑑𝑑�𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4,1 � +  𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑑𝑑�𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4,1 � + 𝑛𝑛−1 2 ,  maka  representasi titik di B 60,1 pada persamaan (7) terhadap W 2 akan berbeda dengan representasi titik yang bersesuaian terhadap W 1 di Tabel 1.
Kemudian akan ditentukan representasi dari titik-titik di {𝑣𝑣 4,𝑝𝑝 |2  ≤  𝑝𝑝 ≤ 𝑛𝑛} pada persamaan (7). Misal terdapat dua titik 𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 dan 𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , dengan 2  ≤  𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ≤ 𝑛𝑛 . Perhatikan dua kondisi berikut.
(a) Jika 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � ≠ 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � maka 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 |𝑊𝑊 2 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 |𝑊𝑊 2 ) .
(b) Jika 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � = 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛+1 2 � maka 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4 � ≠ 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4 � atau 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 5 � ≠ 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 5 �, sehingga diperoleh 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 |𝑊𝑊 2 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 |𝑊𝑊 2 ).
Kasus 1.B 𝑛𝑛 genap.
Pilih 𝑊𝑊 3 = �𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 �. Perhatikan dua subkasus berikut.
Kasus 1.B.1 𝑛𝑛 = 2 .
Pilih 𝑊𝑊 3 = {𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4,1 } . Pada Tabel 2 diberikan representasi semua titik di B 60,2 terhadap 𝑊𝑊 3 .
Tabel 2. Representasi titik B 60,2 Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik  Represen tasi v 1 (6,8,3) v 2 (5,9,3) v 3 (4,8,2) v 4 (3,7,1) v 5 (5,7,2) w 1 (7,7,4) w 2 (8,7,5) w 3 (7,7,6) w 4 (6,8,4) w 5 (5,7,5) w 6 (4,7,4) w 7 (3,8,3) w 8 (2,6,4) w 9 (1,6,3) w 10 (2,6,2) w 11 (2,5,3) w 12 (3,5,4) w 13 (4,6,3) w 14 (5,6,4) w 15 (6,6,5) x 1 (7,5,6) x 2 (8,6,7) x 3 (9,5,7) x 4 (8,5,8) x 5 (8,6,6) x 6 (6,6,6) x 7 (6,5,7) x 8 (5,5,6) x 9 (4,6,5) x 10 (3,5,5) x 11 (2,4,6) x 12 (1,4,5) x 13 (0,5,4) x 14 (1,4,4) x 15 (2,3,5) x 16 (3,3,6) x 17 (4,4,5) x 18 (5,5,5) x 19 (6,4,6) x 20 (7,4,7) y 1 (7,3,8) y 2 (8,4,8) y 3 (7,3,9) y 4 (7,4,9) y 5 (6,4,8) y 6 (5,3,9) y 7 (4,4,7) y 8 (3,3,7) y 9 (3,2,7) y 10 (2,3,6) y 11 (3,2,6) y 12 (4,1,7) y 13 (4,2,7) y 14 (5,3,7) y 15 (6,2,8)

## 224 Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star
Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik  Represen tasi z 1 (6,1,9) z 2 (6,2,10) z 3 (5,2,9) z 4 (4,1,8) z 5 (5,0,8) v 4,1 (4,8,0) v 4,2 (5,8,1)
Dapat dilihat dari Tabel 2 bahwa setiap dua titik di B 60,2 mempunyai representasi yang berbeda terhadap W 3 . Kasus 1.B.2 n genap, n ≥ 4.
Pilih 𝑊𝑊 4 = �𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � .  Diketahui bahwa 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑛𝑛 2 , 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 5 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑛𝑛 2 + 1 ,  dan 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑛𝑛 2 −  1  = 𝑛𝑛−2 2 . Dari persamaan (3), tuliskan:
𝑉𝑉(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) = 𝑉𝑉(𝐵𝐵 60,2 ) ∪ {𝑣𝑣 4,𝑟𝑟 |3  ≤  𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛} . (8)
Akan ditentukan representasi titik-titik di V( 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) untuk n genap, n ≥ 4. Ambil sebarang titik di 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 , namakan titik u . Karena 𝑑𝑑 �𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑑𝑑�𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4,1 � +  𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑑𝑑�𝑢𝑢, 𝑣𝑣 4,1 � + 𝑛𝑛−2 2 , maka representasi titik di B 60,2 pada persamaan (8) terhadap W 4 akan berbeda dengan representasi titik yang bersesuaian terhadap W 3 di Tabel 2.
Kemudian ditentukan representasi titik-titik di {𝑣𝑣 4,𝑟𝑟 |3  ≤ 𝑟𝑟 ≤ 𝑛𝑛} pada persamaan (8). Misal terdapat dua titik 𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 dan 𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , dengan 3 ≤ 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ≤ 𝑛𝑛 . Perhatikan dua kondisi berikut.
(a) Jika 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � ≠ 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � maka 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 |𝑊𝑊 4 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 |𝑊𝑊 4 ) . (b) Jika 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � = 𝑑𝑑 �𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4, 𝑛𝑛 2 � maka 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 4 � ≠ 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 4 � atau 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 , 𝑣𝑣 5 � ≠ 𝑑𝑑�𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 , 𝑣𝑣 5 �, sehingga diperoleh 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑎𝑎 |𝑊𝑊 4 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑣𝑣 4,𝑏𝑏 |𝑊𝑊 4 ).
Berdasarkan  Kasus  1.A  dan  Kasus  1.B  dapat dilihat bahwa setiap titik  di graf 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 memiliki representasi yang berbeda. Diperoleh bahwa 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) ≤ 3.
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang himpunan 𝑊𝑊 ∗ dengan |𝑊𝑊 ∗ | = 2 , selalu terdapat minimal dua titik di 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 dengan representasi yang sama terhadap 𝑊𝑊 ∗ . Pandang beberapa kasus berikut.
Kasus  2.A 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 5} , atau 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑧𝑧 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 5} , atau 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑦𝑦 𝑖𝑖 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 20}.
Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 5} , dengan 𝑗𝑗 = (𝑖𝑖 + 2) 𝑖𝑖𝑚𝑚𝑑𝑑 5 . Misalkan 𝑊𝑊 1 ∗ = {𝑣𝑣 1 , 𝑣𝑣 3 } maka 𝑟𝑟(𝑤𝑤 3 |𝑊𝑊 1 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑤𝑤 5 |𝑊𝑊 1 ∗ ) = (3,3), sehingga 𝑊𝑊 1 ∗ bukan himpunan pembeda. Untuk titik-titik lain pada Kasus 2.A, pembuktian dilakukan dengan cara serupa.
Kasus 2.B 𝑊𝑊 2 ∗ = {𝑣𝑣 4,𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑗𝑗 ≤ 𝑛𝑛} .

## 225
Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 2 ∗ = {𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4,𝑛𝑛 | 𝑛𝑛 ≥ 2}. Sebagai contoh, untuk n = 4 misalkan 𝑊𝑊 2 ∗ = {𝑣𝑣 4,1 , 𝑣𝑣 4,4 }. Maka 𝑟𝑟(𝑥𝑥 1 |𝑊𝑊 2 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑥𝑥 2 |𝑊𝑊 2 ∗ ) = (8,5) , sehingga 𝑊𝑊 2 ∗ bukan himpunan pembeda. Untuk titik-titik lain pada Kasus 2.B, pembuktian dilakukan dengan cara serupa.
Kasus 2.C 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤  𝑛𝑛} , atau 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑤𝑤 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 15;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤ 𝑛𝑛} , atau 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 20;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤  𝑛𝑛} , atau 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑦𝑦 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 15;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤ 𝑛𝑛} , atau 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑧𝑧 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤  𝑛𝑛} .
Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑥𝑥 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 4,𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 20;  1  ≤  𝑗𝑗  ≤  𝑛𝑛}. Sebagai contoh, untuk n = 4 misalkan 𝑊𝑊 3 ∗ = {𝑥𝑥 13 , 𝑣𝑣 4,1 }. Maka 𝑟𝑟(𝑥𝑥 11 |𝑊𝑊 3 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑦𝑦 10 |𝑊𝑊 3 ∗ ) = (2,6) , sehingga 𝑊𝑊 3 ∗ bukan himpunan pembeda. Untuk titik-titik lain pada Kasus 2.C, pembuktian dilakukan dengan cara serupa.
Kasus  2.D 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑤𝑤 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑘𝑘 ≤ 20} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑦𝑦 𝑗𝑗 | 1  ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑤𝑤 𝑗𝑗 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 | 1 ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15; 1  ≤ 𝑘𝑘 ≤ 20} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑦𝑦 𝑗𝑗 , 𝑧𝑧 𝑖𝑖 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑗𝑗 ≤ 15} , atau 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑧𝑧 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1  ≤ 𝑘𝑘 ≤ 20}.
Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑧𝑧 𝑖𝑖 , 𝑥𝑥 𝑘𝑘 | 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5;  1 ≤  𝑘𝑘 ≤ 20}. Sebagai contoh, untuk n = 4 misalkan 𝑊𝑊 4 ∗ = {𝑧𝑧 5 , 𝑥𝑥 13 }. Maka 𝑟𝑟(𝑦𝑦 6 |𝑊𝑊 4 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑦𝑦 14 |𝑊𝑊 4 ∗ ) = (4,5) , sehingga 𝑊𝑊 4 ∗ bukan himpunan pembeda. Untuk titik-titik lain pada Kasus 2.D, pembuktian dilakukan dengan cara serupa.
Berdasarkan  Kasus  2.A  sampai  Kasus  2.D  dapat dilihat bahwa 𝑊𝑊 1 ∗ , 𝑊𝑊 2 ∗ , 𝑊𝑊 3 ∗ dan 𝑊𝑊 4 ∗ bukan merupakan himpunan pembeda, karena terdapat minimal dua titik yang mempunyai representasi yang sama. Karena itu, diperoleh bahwa 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) ≥ 3 .
■
Teorema 2 Misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene-star 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 dengan 𝑛𝑛 ≥ 1 . Maka:
𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) =   �3, 𝑛𝑛 = 1,2,
1 + 5(𝑛𝑛 − 2), 𝑛𝑛 ≥ 3.
Bukti.
Misalkan terdapat graf Buckminsterfullerene-star 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 dengan himpunan titik dan himpunan sisi yang didefinisikan pada persamaan (5) dan persamaan (6). Perhatikan dua kasus berikut.
Kasus 1.A n = 1 dan n = 2 .
Tanpa mengurangi perumuman, misalkan n = 2 . Karena 𝐵𝐵 60 ⊆ 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 2 , maka dari [16] diperoleh bahwa 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ≥ 3 . Selanjutnya, definisikan suatu himpunan pembeda 𝑊𝑊 5 = {𝑥𝑥 13 , 𝑧𝑧 5 , 𝑣𝑣 1 }. Pada Tabel 3 diberikan representasi titik di 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 2 .

## 226 Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star
Tabel 3. Representasi titik 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 2 Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik Represen tasi Titik  Represen tasi v 1 (5,8,0) v 2 (5,9,1) v 3 (4,8,2) v 4 (3,7,2) v 5 (4,7,1) w 1 (7,7,1) w 2 (8,7,2) w 3 (7,7,3) w 4 (6,8,2) w 5 (5,7,3) w 6 (4,7,4) w 7 (3,8,3) w 8 (2,6,4) w 9 (1,6,4) w 10 (2,6,3) w 11 (2,5,4) w 12 (3,5,3) w 13 (4,6,2) w 14 (5,6,3) w 15 (6,6,2) x 1 (7,5,3) x 2 (8,6,3) x 3 (9,5,4) x 4 (8,5,8) x 5 (8,6,4) x 6 (6,6,5) x 7 (6,5,5) x 8 (5,5,6) x 9 (4,6,5) x 10 (3,5,5) x 11 (2,4,7) x 12 (1,4,6) x 13 (0,5,5) x 14 (1,4,5) x 15 (2,3,6) x 16 (3,3,5) x 17 (4,4,4) x 18 (5,5,4) x 19 (6,4,5) x 20 (7,4,4) y 1 (7,3,5) y 2 (8,4,5) y 3 (7,3,6) y 4 (7,4,6) y 5 (6,4,8) y 6 (5,3,7) y 7 (4,4,7) y 8 (3,3,8) y 9 (3,2,8) y 10 (2,3,7) y 11 (3,2,7) y 12 (4,1,8) y 13 (4,2,7) y 14 (5,3,6) y 15 (6,2,6) z 1 (6,1,7) z 2 (6,2,7) z 3 (5,2,8) z 4 (4,1,9) z 5 (5,0,8)
v 1,0 (6,9,1) v 2,0 (6,10,2) v 3,0 (5,9,3) v 4,0 (4,8,3) v 5,0 (5,8,2) v 1,1 (7,10,2) v 2,1 (7,11,3) v 3,1 (6,10,4) v 4,1 (5,9,4) v 5,1 (6,9,3)
Dapat dilihat bahwa setiap titik di graf 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 2 memiliki representasi yang berbeda terhadap W 5 , sehingga 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 2 ) ≤ 3.
Kasus 1.B n ≥ 3.
Definisikan suatu himpunan pembeda 𝑊𝑊 6 = {𝑥𝑥 13 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2}. Misalkan terdapat titik a dan b di 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 untuk n ≥ 3. Perhatikan beberapa kasus berikut.
Kasus 1.B.1 Misalkan 𝑎𝑎 ∈ 𝑉𝑉(𝐵𝐵 60 ) dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑉𝑉(𝐵𝐵 60 ).
Terdapat beberapa kondisi berikut.
(a) Jika 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑥𝑥 13 ) ≠ 𝑑𝑑(𝑏𝑏, 𝑥𝑥 13 ) maka jelas 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) .
(b) Jika 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑥𝑥 13 ) = 𝑑𝑑(𝑏𝑏, 𝑥𝑥 13 ) maka terdapat suatu s, 1 ≤ 𝑠𝑠 ≤ 5 dan suatu t, 1 ≤ 𝑡𝑡 ≤ 𝑛𝑛 − 2 , dengan i ≠ s dan t ≠ m , sehingga 𝑑𝑑�𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑠𝑠,𝑡𝑡 � ≠ 𝑑𝑑�𝑏𝑏, 𝑣𝑣 𝑠𝑠,𝑡𝑡 � . Diperoleh bahwa 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) . Sebagai contoh, 𝑑𝑑(𝑥𝑥 15 , 𝑥𝑥 13 ) = 𝑑𝑑(𝑥𝑥 11 , 𝑥𝑥 13 ) = 2 tetapi 𝑑𝑑�𝑥𝑥 15 , 𝑣𝑣 4,1 � ≠ 𝑑𝑑�𝑥𝑥 11 , 𝑣𝑣 4,1 � , sehingga 𝑟𝑟(𝑥𝑥 15 |𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑥𝑥 11 |𝑊𝑊 6 ) .
Kasus 1.B.2 Misalkan 𝑎𝑎 ∈ 𝑉𝑉(𝐵𝐵 60 ) dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑉𝑉(5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ).
Karena 𝑑𝑑�𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � = 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) + 𝑑𝑑�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � maka 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) untuk b = 𝑣𝑣 𝑖𝑖 , atau b = 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5 dan 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2 .
Kasus 1.B.3 Misalkan 𝑎𝑎 ∈ 𝑉𝑉(5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) dan 𝑏𝑏 ∈ 𝑉𝑉(5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ).
Terdapat beberapa kondisi berikut.
(a) Jika a = 𝑣𝑣 𝑖𝑖 dan b  = 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 maka 𝑑𝑑�𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � = 1 ≠ 0 = 𝑑𝑑�𝑏𝑏, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � , sehingga 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5 dan 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2 .
(b) Jika a = 𝑣𝑣 𝑡𝑡 dan b  = 𝑣𝑣 𝑖𝑖 maka 𝑑𝑑�𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � = 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑏𝑏) + 𝑑𝑑�𝑏𝑏, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � , sehingga 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) untuk 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑡𝑡 ≤ 5 dan 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2 .
(c) Jika a = 𝑣𝑣 𝑡𝑡,𝑠𝑠 dan b = 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 maka diperoleh 𝑑𝑑�𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � = 𝑑𝑑(𝑎𝑎, 𝑣𝑣 𝑡𝑡 ) + 𝑑𝑑(𝑣𝑣 𝑡𝑡 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖 ) + 𝑑𝑑�𝑣𝑣 𝑖𝑖 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � ≠ 0 = 𝑑𝑑�𝑏𝑏, 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 � , sehingga 𝑟𝑟(𝑎𝑎|𝑊𝑊 6 ) ≠ 𝑟𝑟(𝑏𝑏|𝑊𝑊 6 ) untuk 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑡𝑡 ≤ 5 dan 1 ≤ 𝑖𝑖, 𝑠𝑠 ≤ 𝑛𝑛 − 2 .
Dari Kasus 1.B.1  sampai Kasus 1.B.3, diperoleh bahwa representasi setiap dua titik di 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 berbeda terhadap W 6 . Dapat disimpulkan bahwa 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 ) ≤  1 + 5(𝑛𝑛 − 2) = 5𝑛𝑛 − 9 untuk n ≥ 3 .
Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang himpunan 𝑊𝑊 ∗ dengan |𝑊𝑊 ∗ | = 5(𝑛𝑛  − 2) , selalu terdapat minimal dua titik di 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 dengan representasi yang sama terhadap 𝑊𝑊 ∗ . Pandang beberapa kasus berikut.
Kasus 2.A Tidak ada titik di 𝐵𝐵 60 yang menjadi anggota 𝑊𝑊 ∗ .
Tuliskan 𝑊𝑊 5 ∗ = {𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2} .  Maka terdapat titik 𝑤𝑤 9 dan 𝑤𝑤 11 sedemikian sehingga 𝑑𝑑(𝑤𝑤 9 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 )   =   𝑑𝑑(𝑤𝑤 11 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑚𝑚 ) untuk 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5 dan 1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 𝑛𝑛 − 2 . Diperoleh bahwa 𝑟𝑟(𝑤𝑤 9 |𝑊𝑊 5 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑤𝑤 11 |𝑊𝑊 5 ∗ ) .
Kasus 2.B Terdapat tepat satu titik di 𝐵𝐵 60 dan 5(𝑛𝑛 − 2) − 1 titik di 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 yang menjadi anggota 𝑊𝑊 ∗ . Tanpa mengurangi perumuman, misalkan 𝑊𝑊 6 ∗ = {𝑥𝑥 13 , 𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑓𝑓 |1 ≤ 𝑖𝑖 ≤ 5; 1 ≤ 𝑓𝑓 ≤ 𝑛𝑛 − 3} .  Karena 𝑑𝑑(𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑛𝑛−1 , 𝑢𝑢)   =   𝑑𝑑(𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑛𝑛−2 , 𝑢𝑢) untuk setiap titik u di 𝑊𝑊 6 ∗ , maka jelas bahwa 𝑟𝑟(𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑛𝑛−1 |𝑊𝑊 6 ∗ ) = 𝑟𝑟(𝑣𝑣 𝑖𝑖,𝑛𝑛−2 |𝑊𝑊 6 ∗ ).
Dari Kasus 2.A dan Kasus 2.B dapat dilihat bahwa 𝑊𝑊 5 ∗ dan 𝑊𝑊 6 ∗ bukan himpunan pembeda, karena terdapat minimal dua titik yang mempunyai representasi yang sama. Karena itu, diperoleh bahwa 𝑑𝑑im(B 60 5S n ) ≥ 5(n − 2) +  1 . ■
Pada Gambar 1 diberikan graf Buckminsterfullerene-subdivisi 𝐵𝐵 60,4 dan graf Buckminsterfullerene- star 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 5 . Titik berwarna merah menyatakan anggota himpunan pembeda pada graf tersebut.
Gambar 1. (a) 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 ) = 3 , (b) 𝑑𝑑𝑖𝑖𝑖𝑖(𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 5 ) = 16

## 228 Dimensi Metrik Graf Buckminsterfullerene-Subdivisi dan Buckminsterfullerene-Star

## 4  Simpulan
Pada penelitian ini diperoleh bahwa dimensi metrik graf Buckminsterfullerene -subdivisi 𝐵𝐵 60,𝑛𝑛 adalah tiga, sementara dimensi metrik graf Buckminsterfullerene -star 𝐵𝐵 60 5𝑆𝑆 𝑛𝑛 adalah 5(n  –2)+1 untuk n ≥ 1.

## 5  Daftar Pustaka
[1]   P. Slater, "Leaves of trees," Congressus Numerantium, vol. 14, pp. 549 - 559, 1975.
[2]   F. Harary and Melter, R.A, "On the metric dimension of a graph," Ars Combin, vol. 2, pp. 191 - 195, 1976.
[3]   G. Chartrand, L. Eroh, M. Johnson and O. Oellermann, "Resolvability in graphs and the metric dimension of a graph," Discrete Applied Mathematics, vol. 105, pp. 99 - 133, 2000.
[4]   R. Diestel, Graph Theory, New York: Springer-Verlag New York Inc., 2017.
[5]   S. Saputro, R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa, H. Assiyatun, E. Baskoro, A. Salman and M. Baca, "The metric dimension of the lexicographic product of graphs," Discrete Math, vol. 313, no. 9, pp. 1045 - 1051, 2013.
[6]   R. Simanjuntak, S. Uttunggadewa and S. Saputro, "Metric Dimension of Amalgamation of Graphs," in Lecture Notes on Computer Science (LNCS) , New York, Springer, 2015, pp. 330 - 337.
[7]   R. Putra, L. Yulianti and S. Sy, "Dimensi Metrik dari Graf W_n + C_n untuk n ∈ {3, 4},"
Jurnal Matematika UNAND, vol. 7, no. 2, pp. 165 - 169, 2018.
[8]   F. Febrianti, L. Yulianti and N. Narwen, "Dimensi Metrik pada Graf Amalgamasi Tangga Segitiga Diperumum Homogen," Jurnal Matematika UNAND, vol. 7, no. 1, pp. 84 - 90, 2018.
[9]   L. Yulianti, A. Putri, B. Rudianto, Y. Yanita and D. Welyyanti, "On the metric dimension of the triangle-net graph," in AIP Conference Proceeding , 2022.
[10]  T. Utomo and N. Dewi, "Dimensi Metrik dari Graf Amal(nK_m)," Limits: Journal of Matematics and Its Applications, vol. `5, no. 1, pp. 71 - 77, 2018.
[11]  L. Yulianti, N. Narwen and S. Hariyani, "On The Subdivided Thorn Graph and Its Metric Dimension," Indonesian Journal of Combinatorics, vol. 3, no. 1, pp. 34 - 40, 2019.
[12]  R. Aditya, N. Narwen and D. Welyyanti, "Dimensi Metrik pada Graf Rn(q,r)m," Jurnal Matematika UNAND, vol. 7, no. 1, pp. 260 - 267, 2018.
[13]  V. Andova, F. Kardos and R. Skrekovsi, "Fullerene Graphs and Some Relevant Graphs Invariant," in Topics in Chemical Graph Theory, Mathematical Chemistry Monographs , Kragujevac, University of Kragujevac and Faculty of Science, Kragujevac, 2014, p. 39 – 54.
[14]  S. Akhter and R. Farooq, "Metric Dimension of Fullerene Graphs," Electronic Journal of Graph Theory and Applications, vol. 7, no. 1, pp. 91 - 103, 2019.
[15]  H. Kroto, J. Heath, S. O'Brien, S. Curl and R. Smalley, "C60: Buckminsterfullerene," Nature, vol. 318, pp. 162 - 163, 1985.
[16]  A. Putri, L. Yulianti and D. Welyyanti, "Dimensi Metrik dari Graf Buckminsterfullerene," Jurnal Matematika UNAND, vol. 8, no. 4, pp. 91 - 100, 2019.
[17]  M. Amalia, D. Welyyanti and L. Yulianti, "On the metric dimension of Buckminsterfullerene-type graphs," submitted.
[18]  L. Yulianti, D. Welyyanti, Y. Yanita, M. Fajri and S. Saputro, "On the metric dimension of Buckminsterfullerene-net graphs," submitted.