MENGKONSTRUKSI DIRECT PRODUCT NEAR RING DAN SMARANDACHE NEAR RING
Rizky Muhammad Bagas 1 , Titi Udjiani SRRM 2 , Harjito 3
1 ,2,3 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro.
Email : 1 rizkymuh.bagas@yahoo.com.
Abstract. If we have two arbitrary non empty sets  ,then their cartesian product can be constructed. Cartesian products of two sets can be generalized into 𝑛 number of  sets. It has been found that if the algebraic structure of groups and rings are seen as any set, then the  phenomenon  of  cartesian  products  of    sets    can  be  extended  to  groups  and  rings. Direct products of groups and rings can be obtained by adding binary operations to the cartesian  product.  This  paper  answers  the  question  of  whether  the  direct  product phenomenon of groups and rings can also be extended at the  near ring and Smarandache near ring ?. The method in this paper is  by following the method in groups and rings, namely by seen that  near ring and Smarandache near ring  as a set and then build their cartesian products. Next,  the binary operations is adding to the cartesian  products that have  been  obtained  to  build  the  direct  product  definitions  of  near  ring  and  near  ring Smarandache.
Kata Kunci: Cartesian, direct,  product, near-ring, Smarandache
Abstrak. Jika diberikan dua buah himpunan  sebarang yang tidak kosong, maka dapat dibangun  cartesian  productnya  yaitu  suatu  himpunan  yang  elemennya  merupakan pasangan terurut dari himpunan himpunan tersebut. Cartesian produk dari  dua himpunan dapat  diperumum  untuk  sejumlah 𝑛 himpunan.  Telah  diperoleh  bahwa  jika  struktur aljabar  grup  dan  ring  dipandang  sebagai  himpunan,  maka  fenomena  cartesian  product pada himpunan sebarang dapat diperluas pada grup dan ring. Direct product dari grup dan ring dapat diperoleh dengan menambahkan operasi biner pada cartesian productnya Tulisan ini menjawab pertanyaan bahwa apakah fenomena direct product dari grup dan ring  juga  dapat  diperluas  pada  struktur  aljabar  near  ring  dan  near  ring  Smarandache. Metode  yang  digunakan  dengan  mengikuti  metode  pada  grup  dan  ring,  yaitu  dengan memandang  struktur  aljabar  near  ring  dan  dan  near  ring  Smarandache  sebagai  suatu himpunan dan membangun cartesian product dari near ring dan near ring Smarandache. Selanjutnya  menambahkan  operasi  biner  pada  cartesian  product  yang  telah  diperoleh untuk membangun definisi direct product pada near ring dan near ring Smarandache.
Kata Kunci: Cartesian, direct,  product, near-ring, Smarandache

## I. PENDAHULUAN
Linda dan Jimmie Gilbert [ 7], menjelaskan bahwa jika diketahui himpunan tidak kosong 𝐴 1 dan 𝐴 2 , maka Cartesian product dari 𝐴 1 dan 𝐴 2 didefinisikan sebagai :
𝐴 1 x 𝐴 2 = {(𝑎 1 , 𝑎 2 )|𝑎 1 ∈ 𝐴 1 , 𝑎 2 ∈ 𝐴 2 } .
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.35 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Cartesian product dari himpunan 𝐴 1 dan 𝐴 2 adalah himpunan yang elemen elemennya adalah pasangan terurut dari elemen anggota 𝐴 1 dan 𝐴 2 . Pada setiap pasangan, memuat komponen pertama  yang merupakan elemen anggota 𝐴 1 dan komponen ke kedua adalah elemen anggota 𝐴 2 . Urutan komponen diperhatikan, artinya (𝑎 1 , 𝑎 2 ) = (𝑏 1 , 𝑏 2 ) jika dan hanya jika 𝑎 1 = 𝑏 1 dan 𝑎 2 = 𝑏 2 untuk setiap 𝑎 1 , 𝑏 1 ∈ 𝐴 1 dan 𝑎 2 , 𝑏 2 ∈ 𝐴 2 .
Menurut Thomas W. dan Judson Stephen F. [8],  Cartesian product pada dua buah himpunan dapat  diperumum  pada  sejumlah  berhingga  himpunan.    Jika  diberikan  sejumlah 𝑛 ∈ ℤ himpunan 𝐴 1 , 𝐴 2 , … , 𝐴 𝑛 maka
𝐴 1 x 𝐴 2 x … x 𝐴 𝑛 = {(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 )|𝑎 1 ∈ 𝐴 1 , 𝑎 2 ∈ 𝐴 2 , … , 𝑎 𝑛 ∈ 𝐴 𝑛 } .
Grup merupakan struktur aljabar yang memiliki sebuah operasi biner dan memenuhi sifat-sifat tertentu. Definisi grup oleh Adkins, dkk [1], didefinisikan sebagai berikut :
Definisi 1. Grup (𝐺,∗) adalah suatu himpunan tak kosong G dengan operasi biner  “ ∗ “ : yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
i. Operasi  biner ∗ bersifat  asosiatif,  artinya 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ 𝑏) ∗ 𝑐 untuk  setiap , , a b c G 
ii. Himpunan G memiliki elemen identitas artinya, terdapat e G  sedemikian hingga untuk setiap a G  berlaku . 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎
iii. Setiap  elemen  di  G  memiliki  invers  di  G,  artinya  untuk  setiap a G  terdapat b G  sedemikian hingga 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒
Dengan  memandang  struktur  aljabar  grup G sebagai  himpunan,  Adkins,  dkk,  memperluas definisi  cartesian  product  dari  himpunan  ke  grup  dan  membangun  direct  product  dari  grup seperti yang disampaikan pada Definisi 2 sebagai berikut :
Definisi 2. Diberikan 𝐺 1 dan 𝐺 2 adalah grup . Direct  product dari 𝐺 1 dan 𝐺 2 , dinotasikan 𝐺 1 x 𝐺 2 adalah Cartesian product dari 𝐺 1 x 𝐺 2 dengan operasi biner “ ∗ “ yang didefinisikan sebagai (𝑔 1 , 𝑔 2 ) ∗ (ℎ 1 , ℎ 2 ) = (𝑔 1 ∗ ℎ 1 , 𝑔 2 ∗ ℎ 2 ) untuk setiap (𝑔 1 , 𝑔 2 ) , (ℎ 1 , ℎ 2 )   ∈ 𝐺 1 x 𝐺 2 .
Selain struktur aljabar grup, pada bidang aljabar juga dikenal  struktur aljabar ring. Menurut Dummit, dkk [2], ring didefinisikan sebagi berikut.
G G G  →
71
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Definisi 3. Sebuah ring R adalah himpunan dengan dua operasi biner dan (disebut penjumlahan dan pergandaan) yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:
i. ( , ) R + adalah grup abelian,
ii. ( , ) R  bersifat assosiatif yaitu ( ) ( ) a b c a b c
  =   untuk setiap , , a b c R  ,
iii. Berlaku hukum distributif di R, artinya  untuk setiap , , a b c R  berlaku
( ) ( ) ( ) a b c a c b c +  =  +  dan ( ) ( ) ( ) a b c a b a c  + =  +  .
Seperti  halnya  Adkins,  peneliti  lain  yaitu  Doer,  dkk  [3]  mendefinisikan  pengertian  direct product pada ring sebagai berikut :
Definisi 4.  Diberikan {𝑅 𝑖 } adalah keluarga  ring dimana . Direct  product dari keluarga  ring {𝑅 𝑖 } didefinisikan  sebagai 𝑅 1 x 𝑅 2 x  …  x 𝑅 𝑛 = {(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 )|𝑎 1 ∈ 𝑅 1 , 𝑎 2 ∈ 𝑅 2 , … , 𝑎 𝑛 ∈ 𝑅 𝑛 } dengan operasi penjumlahan dan pergandaan pada 𝑅 1 x 𝑅 2 x … x 𝑅 𝑛 didefinisakan sebagai :
(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ) + (𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 ) = (𝑎 1 + 𝑏 1 , 𝑎 2 + 𝑏 2 , … , 𝑎 𝑛 +   𝑏 𝑛 )
(𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ). (𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 ) = (𝑎 1 . 𝑏 1 , 𝑎 2 . 𝑏 2 , … , 𝑎 𝑛 . 𝑏 𝑛 ) untuk setiap (𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 ), (𝑏 1 , 𝑏 2 , … , 𝑏 𝑛 ) ∈ 𝑅 1 x 𝑅 2 x … x 𝑅 𝑛 .
Selain  grup  dan  ring,  juga  dikenal  struktur  aljabar  near  ring  dan  Smarandache  near  ring, sehingga wajar jika muncul pertanyaan apakah konsep direct product yang dimiliki oleh grup dan ring juga dapat dimiliki oleh near ring dan Smarandache near ring.

## II. PEMBAHASAN
Salah satu struktur aljabar yang merupakan bentuk khusus  ring adalah near ring. Dengan mengabaikan  sifat komutatif terhadap operasi penjumlahan  dan sifat distributif kiri pada ring, Satyanarayana dkk [4] mendefinisikan near ring.
Definisi  5.  Himpunan  tak  kosong  N  yang  dilengkapi  dengan  operasi  biner “ + ” dan “ ∙ ” disebut  Near-ring jika:
i. Himpunan N dengan operasi penjumlahan “ + ” memenuhi syarat grup.
ii. Himpunan N dengan operasi pergandaan “ ∙ ” memenuhi syarat semigrup.
iii. Untuk setiap , , p q r N  , berlaku ( ) ( ) ( ) p q r p r q r +  =  +  . " " + " "  1, 2, , i n =
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Dimotivasi oleh Linda serta Thomas W, dkk dan dengan memandang struktur aljabar near ring sebagai  himpunan,  maka  dapat  diperoleh  caretesian  product  dari  near  ring (𝑁 1 , + 1 ,∙ 1 ) dan (𝑁 2 , + 2 ,∙ 2 ) sebagai berikut :
𝑁 1 x 𝑁 2 = {(𝑛 1 , 𝑛 2 , )|𝑛 𝑖 ∈ 𝑁 𝑖 , 𝑖 = 1,2}
Selanjutnya pada 𝑁 1 x 𝑁 2 didefinisikan operasi penjumlahan “ + 𝑁 ” sebagai berikut :
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) + 𝑁 (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = (𝑝 1 + 1 𝑞 1 ,  𝑝 2 + 2 𝑞 2 )
untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 .  Operasi “ + 𝑁 ” pada 𝑁 1 x 𝑁 2 merupakan operasi biner, karena dengan menggunakan sifat tertutup operasi “ + 1 ” pada 𝑁 1 dan operasi “ + 2 ” pada 𝑁 2 dijamin bahwa 𝑝 1 + 1 𝑞 1 ∈ 𝑁 1 dan 𝑝 2 + 2 𝑞 2 ∈ 𝑁 2 .
Telah diketahui bahwa kesamaan dua buah elemen di 𝑁 1 x 𝑁 2 diberikan dengan (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) jika dan hanya jika 𝑝 1 = 𝑞 1 dan 𝑝 2 = 𝑞 2 untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 .
Berikutnya    dengan  menggunakan  sifat  kesamaan  dua  buah  elemen  dan  definisi  operasi penjumlahan di 𝑁 1 x 𝑁 2 diperoleh bahwa   jika (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) dan (𝑟 1 , 𝑟 2 ), = (𝑠 1 , 𝑠 2 ) , maka (𝑝 1 , 𝑝 2 ) + 𝑁 (𝑟 1 , 𝑟 2 ) = (𝑝 1 + 1 𝑟 1 ,  𝑝 2 + 2 𝑟 2 ) = (𝑞 1 + 1 𝑠 1 ,  𝑞 2 + 2 𝑠 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) + 𝑁 (𝑠 1 , 𝑠 2 ) untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ), (𝑟 1 , 𝑟 2 ), (𝑠 1 , 𝑠 2 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 .
Selain operasi penjumlahan, pada 𝑁 1 x 𝑁 2 juga didefinisikan operasi perkalian “ ∙ 𝑁 ” sebagai berikut :
(𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∙ 𝑁 (𝑞 1 , 𝑞 2 ) = (𝑝 1 ∙ 1 𝑞 1 ,  𝑝 2 ∙ 2 𝑞 2 )
untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 .  Operasi “ ∙ 𝑁 ” pada 𝑁 1 x 𝑁 2 merupakan operasi biner, karena dengan menggunakan sifat tertutup operasi “ ∙ 1 ” pada 𝑁 1 dan operasi “ ∙ 2 ” pada 𝑁 2 dijamin bahwa 𝑝 1 ∙ 1 𝑞 1 ∈ 𝑁 1 dan 𝑝 2 ∙ 2 𝑞 2 ∈ 𝑁 2 . Dengan menggunakan prinsip kesamaan dua buah elemen dan definisi operasi perkalian “ ∙ 𝑁 ” di 𝑁 1 x 𝑁 2 diperoleh bahwa   jika (𝑝 1 , 𝑝 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) dan (𝑟 1
, 𝑟 2 ), = (𝑠 1 , 𝑠 2 ) ,  maka (𝑝 1 , 𝑝 2 ) ∙ 𝑁 (𝑟 1 , 𝑟 2 ) = (𝑝 1 ∙ 1 𝑟 1 ,  𝑝 2 ∙ 2 𝑟 2 ) = (𝑞 1 ∙ 1 𝑠 1 ,  𝑞 2 ∙ 2 𝑠 2 ) = (𝑞 1 , 𝑞 2 ) ∙ 𝑁 (𝑠 1 , 𝑠 2 ) untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 ), (𝑟 1 , 𝑟 2 ), (𝑠 1 , 𝑠 2 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 .
Sampai  disini  dapat  ditunjukkan  bahwa  definsi  operasi  penjumlahan “ + 𝑁 ” dan perkalian “ ∙ 𝑁 ” pada 𝑁 1 x 𝑁 2 dapat  dioperasionalkan    dengan  baik  ( well  defined ). Himpunan 𝑁 1 x 𝑁 2 yang dilengkapi dengan operasi “ + 𝑁 ” dan “ ∙ 𝑁 ” selanjutnya disebut direct product  dari 𝑁 1 x 𝑁 2 .  Fenomema  yang  dimiliki 𝑁 1 x 𝑁 2 ,  oleh  Kandasamy  [6]    diperumum untuk sejumlah 𝑛 near ring melalui Definisi 6 sebagai berikut :
http://dx.doi.org/10.14710/jfma.v2i2.35 p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Definisi  6. Diberikan {(𝑁 𝑖 ,  + 𝑖 ,∙ 𝑖 )} adalah  keluarga  near-ring  dengan i I  dan    I  adalah himpunan indeks. Direct product dari 𝑁 1 x 𝑁 2 x … x 𝑁 𝑛 didefinisikan sebagai himpunan 𝑁 1 x 𝑁 2 x … x 𝑁 𝑛 = {(𝑛 1 , 𝑛 2 , … , 𝑛 𝑛 )|𝑛 𝑖 ∈ 𝑁 𝑖 , 𝑖 ∈ 𝐼}
yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan “ + 𝑁 ” dan operasi pergandaan “ ∙ 𝑁 ” pada 𝑁 1 x 𝑁 2 x … x 𝑁 𝑛 sebagai berikut
(𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ) + 𝑁 (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) = (𝑝 1 + 1 𝑞 1 , 𝑝 2 + 2 𝑞 2 , … , 𝑝 𝑛 + 𝑛 𝑞 𝑛 ) dan
(𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ) ∙ 𝑁 . (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) = (𝑝 1 ∙ 1 𝑞 1 , 𝑝 2 ∙ 2 𝑞 2 , … , 𝑝 𝑛 ∙ 𝑛 𝑞 𝑛 ) untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 x … x 𝑁 𝑛
Tidak  setiap  near  ring  memuat  elemen  satuan  dan  elemen  tidak  nolnya  memiliki  invers. Selanjutnya   Patty, dkk [5], menyampaikan Definisi 7 dibawah ini :
Definisi 7. Near-ring ( 𝑁 , +, ⋅ ) disebut near-field, jika memenuhi
(a) ( 𝑁 , +, ⋅ ) adalah near-ring dengan elemen satuan 𝑒.
(b) Setiap elemen tak nol di 𝑁 memiliki invers terhadap operasi pergandaan " ⋅ " di 𝑁 .
Untuk setiap 𝑎  ≠  0 ∈ 𝑁 , terdapat 𝑎 −1 ∈ 𝑁 sehingga 𝑎 ⋅ 𝑎 −1 = 𝑎 −1 ⋅ 𝑎 = 𝑒 .
Struktur aljabar near ring adalah suatu himpunan, sehingga pasti memiliki himpunan bagian. Paling  tidak  himpunan  bagiannya  adalah  dirinya  sendiri.  Berdasarkan  beberapa  contoh  near ring diperoleh bawa terdapat himpunan bagian sejati dari near ring yang membentuk struktur aljabar  tertentu.  Salah  satu  near  ring  yang  memiliki  sifat  demikian  dikemukakan  oleh Kandasamy [6]   melalui Definisi 8 berikut ini :
Definisi  8 . Near  ring ( , , ) N +  disebut  Smarandache  near-ring,  jika ( , , ) N +  memiliki himpunan bagian sejati tak kosong A sehingga ( , , ) A +  adalah near-field.
Dengan mengingat bahwa Smarandache near ring merupakan kejadian khusus dari near ring dan   sifat tertutup terhadap operasi penjumlahan serta perkalian yang dimiliki oleh near ring
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
juga  dimiliki  oleh  Smarandache  near  ring,  maka  konsep  direct  product  pada  near  ring  oleh Kandasamy [6], diperluas pada Smarandache near ring.
Definisi 9 . Diberikan {(𝑵 𝒊 ,  + 𝒊 ,∙ 𝒊 )} keluarga  dari  Smarandache  near-ring.  Himpunan
1 1 2 {( , , , ) | , r r i i
D N N n n n n N =   =  1, 2, , } i r = beserta operasi penjumlahan “ + 𝑫 ” dan operasi pergandaan “ ∙ 𝑫 ” yang didefinisikan sebagai berikut
(𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ) + 𝐷 (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) = (𝑝 1 + 1 𝑞 1 , 𝑝 2 + 2 𝑞 2 , … , 𝑝 𝑛 + 𝑛 𝑞 𝑛 ) dan
(𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ) ∙ 𝐷 (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) = (𝑝 1 ∙ 1 𝑞 1 , 𝑝 2 ∙ 2 𝑞 2 , … , 𝑝 𝑛 ∙ 𝑛 𝑞 𝑛 ) untuk setiap (𝑝 1 , 𝑝 2 , … , 𝑝 𝑛 ), (𝑞 1 , 𝑞 2 , … , 𝑞 𝑛 ) ∈ 𝑁 1 x 𝑁 2 x … x 𝑁 𝑛 , disebut direct product dari Smarandache near-ring (𝑁 𝑖 ,  + 𝑖 ,∙ 𝑖 ) .

## III. KESIMPULAN
Konsep direct product pada struktur aljabar grup dan ring dapat diperluas pada struktur aljabar near ring dan smarandache near ring. Problem yang muncul selanjutnya adalah apakah direct product pada near ring dan smarandache near ring membentuk struktur aljabar tertentu.

## REFERENSI
[1] Adkins,  William  A,  Weintraub,  Steven  H.  1992. Algebra  An  Approach  Via  Module Theory . Springer-Verlag. New York.
[2] Dummit, David S, and Foote, Richard M. 2003. Abstract Algebra, Third Edition . Wiley. USA.
[3] Doer,  Al,  and  Levasseur,  Ken.  2018.  Applied  Discrete  Structures,  Third  Edition. Lulu.com. North California.
[4] Satyanarayana, Bhavanari, and Prasad, Kuncham S. 2013. Near Rings, Fuzzy Ideals, and Graph Theory . CRC Press. USA.
[5] Patty, Henry W. M. 2014. “Hasil Kali Langsung S-Near-Ring dan S-Near-Ring Bebas”. Jurnal Barekeng , vol. 8, no. 2, hal. 1-7. Universitas Pattimura. Ambon.
[6] Kandasamy,  W.B.V.  2002. Smarandache  Near-rings .  American  Research  Press. Rehoboth.
[7] Linda dan Jimmie G, 2009, Elements of Modern Algebra , Seventh Edition Brooks/Cole 10Davis Drive Belmont, USA
[8] Thomas W. Judson Stephen F, 2010, Abstract Algebra Theory and Applications ,
Austin State University
p-ISSN: 2621-6019 e-ISSN: 2621-6035

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 2 (NOV 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id