PEMROGRAMAN LINIER PERMASALAHAN EKONOMI PERTAHANAN: METODE GRAFIK DAN METODE SIMPLEKS
Endro Tri Susdarwono
Universitas Peradaban, Jl. Raya Pagojengan KM 5 Paguyangan, Brebes, Indonesia Email: susdarwonoendrotri@gmail.com

## ABSTRACT
Linear programming is used to maximize or minimize the objective function, with limited resource factors as constraints. Various problems widely use linear programs as implementation material. Such as defense planning, military and defense industry. The study discusses the application of linear programs in solving the defense economy problem of making two types of missiles. The settlement method uses the graph method and the simplex method. The research approach uses a descriptive approach to describe or describe the completion of linear programming using graphical methods and simplex methods related to defense economic problems. Defense economic problems regarding the case of making two types of missiles (missiles) by the defense industry (indhan), Using the graph and simplex method produces the largest Z value of 43.33 with the optimal point (4/3, 2). So the decision P1 type missiles made 4/3 packages (4/3 x 12 = 16 missiles) and P2 type missiles made 2 packages (2 x 12 = 24 missiles) every year. Annual profit of 43.33 million US dollars. So there is a match between the results of the settlement with the graph method and the simplex method.
Keywords: Defense economics, graph method, simplex method, linear programming

## ABSTRAK
Pemrograman  linier  digunakan  untuk  memaksimalkan  atau  meminimalkan  fungsi  tujuan,  dengan  keterbatasan  faktor sumber  daya  sebagai  kendala.  Berbagai  masalah  secara  luas  banyak  menggunakan  program  linier  sebagai  bahan implementasi. Seperti perencanaan pertahanan, militer, dan industri pertahanan. Penelitian membahas aplikasi program linier dalam menyelesaikan masalah ekonomi pertahanan tentang pembuatan dua macam peluru kendali (rudal). Metode penyelesaian  menggunakan  metode  grafik  dan  metode  simpleks.  Pendekatan  penelitian  menggunakan  pendekatan deskriptif untuk memaparkan atau menggambarkam penyelesaian linear programming menggunakan metode grafik dan metode  simpleks  terkait  permasalahan  ekonomi  pertahanan.  Permasalahan  ekonomi  pertahanan  tentang  kasus pembuatan dua macam peluru kendali (rudal) oleh industri pertahanan (Indhan), Penggunakan metode grafik maupun metode simpleks menghasilkan nilai Z terbesar adalah 43,33 dengan titik optimal (4/3, 2). Sehingga keputusannya rudal jenis P1 dibuat 4/3 paket (4/3 x 12 = 16 rudal) dan rudal jenis P2 dibuat 2 paket (2 x 12 = 24 rudal) setiap tahun. Laba setiap tahun sebesar 43,33 juta dolar AS. Sehingga ada kesesuaian antara hasil penyelesaian dengan metode grafik dan metode simpleks.
Kata kunci: Ekonomi pertahanan, metode grafik, metode simpleks, pemrograman linier
Dikirim: 18 Januari 2020; Diterima: 16 Februari 2020; Dipublikasikan: 30 Maret 2020 Cara sitasi: Susdarwono, E. T. (2020). Pemrograman linier permasalahan ekonomi pertahanan: metode grafik dan metode simpleks. Teorema : Teori dan Riset Matematika, 5 (1), 89-104.

## PENDAHULUAN
Opportunity  cost atau  biaya  peluang  adalah  gagasan  krusial  dalam  pertimbangan  untuk memilih alternatif terbaik dalam masalah ekonomi pertahanan. Sumber daya dinilai dari biaya peluang, jadi misalkan biaya sebuah sistem misil (rudal) adalah apa yang bisa sistem dapatkan dari pembelian dari misil tersebut. Ketika keputusan alokasi telah dibuat, metoda ekonomi terdiri dari optimasi tujuan terhadap  konstrain  yang  membatasi  pilihan  yang  tersedia.  Contoh,  sebuah  perusahaan  terlimitasi dengan batasan teknologi dan keuangan; seorang konsumen terlimitasi dengan dana yang ia miliki; dan sebuah ekonomi terlimitasi dengan kemungkinan batasan produksinya. Pada kasus minimalisasi biaya, sumber daya digunakan secara efisien ketika marginal produk per dollar terhadap sumber daya sama dengan sumber daya yang digunakan untuk memproduksi output . Sebuah industri mencapai efisiensi produksi ketika semua perusahaan berada di kurva biaya terendah dan terlebih lagi marginal cost tiap perusahaan adalah sama. Jika marginal cost tidak sama antar perusahaan, maka masih dimungkinkan  untuk  menukarkan  perusahaan  bermarginal cost tinggi  ke  perusahaan  bermarginal rendah  maka  kedua  perusahaan  dapat  berproduksi dengan  level output sama  tetapi dengan cost terendah (Sandler & Hartley, 1995).
Salah  satu  model  matematika  dengan  teknik  analitik  adalah  pemrograman  linier. Pemrograman  linier  digunakan  untuk  memaksimalkan  atau  meminimalkan  fungsi  tujuan,  dengan keterbatasan  faktor  sumber  daya  sebagai  kendala.  Implementasi  pemrograman  linier  banyak digunakan secara luas dalam berbagai masalah, termasuk dalam perencanaan pertahanan, militer, dan industri pertahanan (Yusgiantoro, 2014).
Ekonomi pertahanan menerapkan alat-alat ekonomi kepada studi pertahanan, pembatasan senjata, konversi, dan perdamaian. Sebagaimana ekonomi pertahanan merupakan sub-bidang dari ekonomi yang menghubungkan metode ekonomi dengan topik khusus, yaitu sektor pertahanan. Topik yang  dimaksud  termasuk  diantaranya  analisis  pembagian  beban  aliansi,  efek  dari  desain  kontrak pengadaan,  dampak  dari  pengeluaran  pertahanan  pada  pertumbuhan  ekonomi,  dan  konsekuensi ekonomis dari perjanjian kontrol senjata (Sandler & Hartley, 1995).
Ekonomi dan efisiensi merupakan dua sisi mata uang, yaitu dua cara pendekatan yang sama terhadap karekteristik sebuah operasi. Bila suatu perusahaan atau komandan militer telah memiliki anggaran tetap ( fixed budget -atau sumber daya yang telah ditetapkan) dan mereka  menginginkan untuk  memaksimalkan  produksi  atau  memaksimalkan  pencapaian  sasaran,  maka  dapat  dikatakan mereka akan menghadapi permasalahan dalam efisiensi penggunaan sumber daya. Tetapi dipihak lain, bila tujuan ( goal ) atau sasaran ( objective )-nya telah dit entukan “tetap”, permasalahnnya adalah membuatnya  lebih  ekonomis  dalam  penggunaan  sumber  daya  yang  telah  mereka  miliki,  yaitu meminimalkan biaya yang dimiliki. Permasalahan ini, kelihatannya merupakan permasalahan yang berbeda, tetapi sebenarnya merupakan permasalahan yang sama. Pada setiap tingkatan, apakah itu “anggaran” atau “tujuan”, pilihan antara memaksimumkan pencapaian tujuan untuk “anggaran yang telah ditentukan”, sama dengan pilihan untuk meminimalisasi biaya dalam pencapian tujuan. Sebagai contoh, bila suatu peluru kendali (rudal) yang merupakan suatu sistem dengan anggaran tertentu yang akan  memberikan  efek  tangkal  maksimal,  itu  berarti  bahwa  rudal  tersebut  ekonomis  pada  tingkat penangkalan. Dengan kata lain, tidak ada pertentangan dalam bidang penganggaran, yaitu antara siapa yang lebih berkepentingan pada anggaran yang telah ditetapkan dan komandan militer yang berkepentingan  mengefisiensikan  pengeluaran  ketika  sasaran  telah  ditetapkan.  Terkecuali  dalam menentukan jumlah anggaran atau tujuan yang ingin dicapai, mereka harus sepakat pada semua tahapan pengambilan keputusan (Supriyatno, 2014).
Pemrograman linier merupakan salah satu metode dalam riset operasi yang digunakan untuk pengambilan  keputusan  menggunakan  pendekatan  kuantitatif,  pemrograman  ini  dilakukan  pada keadaan static .  Teknik  pemrograman  linier  diperkenalkan  Kantorovich  pada  tahun  1939,  ahli matematika dari Rusia. Pada awalnya, analisis dilakukan dengan metode aljabar maupun grafis pada kasus  sederhana,  namun  karena  penggunaannya  semakin  meluas,  teknik  ini  mengalami perkembangan.  Pada  tahun  1949,  George  Dantzig  mengembangkan  metode  simpleks  dalam
pemrograman  linier,  sehingga  analisis  tersebut  bisa  digunakan  pada  kasus  dengan  tingkat kompleksitas tinggi dengan ratusan bahkan ribuan variabel. Perkembangan komputer digital elektronik yang memiliki kemampuan melakukan kalkulasi hitungan yang jauh lebih cepat daripada cara manual, sangat membantu dalam penggunaan teknik ini (Yusgiantoro, 2014).
Linear programming merupakan suatu model umum yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber-sumber yang teratas secara optimal. Masalah tersebut timbul apabila seseorang  diharuskan  untuk  memilih  atau  menentukan  tingkat  setiap  kegiatan  yang  akan dilakukannya,  dimana  masing-masing  kegiatan  membutuhkan  sumber  yang  sama  sedangkan jumlahnya terbatas. Secara sederhana, dapat digambarkan sebuah contoh keadaan bagian produksi suatu perusahaan yang dihadapkan pada masalah penentuan tingkat produksi masing-masing jenis produk dengan memperhatikan batasan faktor-faktor produksi: mesin, tenaga kerja, bahan mentah, dan  sebagainya  untuk  memperoleh  tingkat  keuntungan  maksimal  atau  biaya  yang  minimal (Yusgiantoro, 2014).
Pemecahan masalah linear programming tersebut menggunakan model matematis. Sebutan “ linear ” berarti bahwa semua fungsi -fungsi matematis yang disajikan dalam model ini haruslah fungsi- fu ngsi linear. Kata “ programming ” jangan dikacaukan dengan “ computer programming ”, seperti yang sering  didengar  dalam  pembicaraan  sehari-hari,  walaupun  secara  mendasar  keduanya  sering digunakan untuk perencanaan. Jadi, linear programming mencakup perencanaan kegiatan-kegiatan untuk mencapai suatu hasil yang “optimal”, yaitu suatu hasil yang mencerminkan tercapainya sasar an tertentu  yang  paling  baik  (menurut  model  matematis)  di  antara  aternatif-alternatif  yang  mungkin, dengan penggunaan fungsi linear (Subagyo et al , 2010).
Setiap model pemrograman linier dinyatakan dalam bentuk fungsi tujuan dan fungsi batasan ( constraint ). Fungsi tujuan merupakan suatu persamaan fungsi linear dari variabel tujuan, misalnya pendapatan,  keuntungan,  atau  biaya.  Dalam  fungsi  tujuan,  harus  dijelaskan  apakah  akan memaksimalkan  atau  meminimalkan  fungsi  variabel.  Variabel,  seperti  keuntungan,  produksi,  dan penjualan,  ditujukan  untuk  dimaksimalkan.  Sedangkan  variabel  biaya  dan  risiko  ditujukan  untuk diminimalkan. Fungsi batasan menggambarkan batasan yang dihadapi dalam mencapai tujuan, yaitu terdiri dari beberapa persamaan yang masing-masing berkorelasi dengan sumber daya tertentu yang tersedia. Asumsi dasar pemrograman linier menurut Vanderbei (2007) dijelaskan sebagai berikut:
1) Naik  turunnya  nilai  dari  fungsi  tujuan  (yang  akan  dimaksimalkan  atau  diminimalkan)  dan penggunaan sumber akan sebanding dengan perubahan tingkat kegiatan.
2) Nilai tujuan pada setiap kegiatan tidak saling mempengaruhi.
3) Hasil atau output pada setiap kegiatan dapat berupa pecahan.
4) Semua parameter dari model dapat diperkirakan dengan pasti.
Pemrograman linier yang mengandung sifat linier dapat diuji dengan menggunakan beberapa cara,  antara  lain  dengan  uji  statistik,  baik  dengan  memakai  pendekatan  grafik,  maupun  analitik. Beberapa langkah penting yang perlu diperhatikan dalam penyelesaian pemrograman linier, dimulai dengan memahami sistem dan melakukan konstruksi permasalahan yang dihadapai secara tepat. Termasuk  bagaimana  membangun  formulasi  fungsi  tujuan,  fungsi  kendala  karena  keterbatasan sumber daya, berbagai pilihan keputusan yang akan diambil, kurun waktu pengambilan keputusan, dan  keterkaitan  antar  sumber  daya  yang  dipelajari  dengan  yang  lain.  Penetapan  fungsi  tujuan ( objective function ) dan fungsi kendala ( subjective function ) yang tepat, merupakan aspek yang sangat penting dalam memformulasikan fungsi matematik. Hal ini, dilakukan setelah mengidentifikasi dan memahami  permasalahan  dari  kondisi  nyata,  kemudian  melakukan  transformasi  ke  dalam  model optimisasi pemrograman linier (Yusgiantoro, 2014).
Membuat model matematika dari suatu permasalahan dengan pemrograman linier, menuntut kemampuan matematika dan seni permodelan. Membangun pemrograman linier dari kasus praktik yang sangat beragam tidaklah mudah. Yang terpenting adalah memahami anatomi permasalahan setiap kasus dan bagaimana kemudian dapat ditransformasikan ke dalam konsep permodelannya. Meskipun  dalam  pemrograman  linier  ini  fungsi  tujuan  berupa  maksimalisasi  atau  minimalisasi,
keputusan untuk memilih salah satunya memerlukan justifikasi yang matang. Fungsi tujuan pada suatu kasus bisa dikonversi menjadi fungsi kendala pada kasus yang lain. Pada pemrograman linier ini, yang secara garis besar perlu dicermati dalam menentukan tujuan adalah variabel keputusan dan sumber daya yang membatasi.
Tujuan penelitian ini untuk memberikan pemahaman  tentang aplikasi program linier dalam menyelesaikan masalah ekonomi pertahanan dalam masalah pembuatan dua macam peluru kendali (rudal).  Pemecahan  masalah  aplikasi  program  linier  dalam  kasus  ekonomi  pertahanan  terutama tentang industri pertahanan adalah dalam pembuatan dua macam peluru kendali (rudal). Pemecahan masalah  ini  dapat  menggunakan  beberapa  teknik,  antara  lain  aljabar,  grafik,  ataupun  metode simpleks.  Cara  aljabar  merupakan  teknik  yang  paling  sederhana  tetapi  kurang  efisien,  terutama apabila jumlah batasan cukup banyak. Cara aljabar dilakukan untuk mencari penyelesaian dengan pendekatan trial and error agar diperoleh hasil yang optimal. Cara grafik cukup sederhana namun hanya  dapat digunakan  untuk  permasalahan  yang  memiliki  dua  variabel  saja,  yaitu  dalam  bentuk grafik dua dimensi. Jika grafiknya lebih dari dua dimensi (variabel), kesulitan yang dialami adalah dalam mencari titik penyelesaian yang optimal. Cara lain yang dapat digunakan untuk memecahkan permasalahan yang memiliki banyak variabel dan batasan adalah metode simpleks. Metode simpleks pada dasarnya menggunakan prinsip solusi matriks. Penyelesaian dengan metode grafik langkahnya adalah sebagai berikut, (1) menetapkan identifikasi variabel keputusan; (2) menetapkan identifikasi fungsi  tujuan  dan  fungsi  kendala;  (3)  membuat  gambar  grafik  dari  fungsi  yang  sudah  didapat; (4) menentukan daerah solusi yang memenuhi persyaratan; dan (5) menetapkan titik optimal.

## METODE PENELITIAN
Pendekatan  penelitian  ini  menggunakan  pendekatan  deskriptif,  pendekatan  tersebut dimaksudkan  untuk  memaparkan  atau  menggambarkam  penyelesaian linear  programming menggunakan  metode  grafik  dan  metode  simpleks  terkait  permasalahan  ekonomi  pertahanan, sedangkan  jenis  penelitian  adalah  penelitian  deskriptif  kualitatif,  yaitu  mendeskripsikan  dan menginterpretasi apa yang ada, itu bisa mengenai kondisi/hubungan yang ada yaitu keterkaitan antara teknik dalam penyelesaian linear programming dengan jenis permasalahan yang ada dalam ekonomi pertahanan.  Pendapat  yang  sedang  tumbuh,  proses  yang  sedang  berlangsung,  akibat/efek  yang terjadi atau kecenderungan yang tengah berkembang.
Langkah-langkah  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini  seperti  dijelaskan  pada  Gambar  1 dengan mengikuti langkah berikut:
1) Tahap pertama peneliti mengadakan pengamatan terhadap permasalahan tentang ekonomi pertahanan yaitu masalah tentang pembuatan dua macam peluru kendali (rudal) oleh industri pertahanan (indhan).
2) Tahap selanjutnya peneliti menganalisis menggunakan metode grafik dan metode simpleks terhadap kasus tersebut.
3) Selanjutnya peneliti membuat rangkuman yang berisi tentang hasil penelitian dan membahas data tersebut untuk ditarik suatu kesimpulan.
Gambar 1. Rancangan penelitian
HASIL DAN PEMBAHASAN Penyelesaian Linear Programming
Model  matematis  perumusan  masalah  umum  pengalokasian  sumber  daya  untuk  berbagai kegiatan  disebut  sebagai  model linear  programming (LP).  Model  LP  ini  merupakan  bentuk  dan susunan dalam menyajikan masalah-masalah yang akan dipecahkan dengan teknik LP. Dalam model LP dikenal 2 (dua) macam “fungsi”, yaitu fungsi tujuan ( objective function ) dan fungsi-fungsi batasan ( constraint functions ).  Fungsi  tujuan  adalah  fungsi  yang  menggambarkan tujuan/sasaran  di  dalam permasalahan  LP  yang  berkaitan  dengan  pengaturan  secara  optimal  sumber  daya-sumber  daya, untuk  memperoleh  keuntungan  maksimal  atau  biaya  minimal.  Pada  umumnya  nilai  yang  akan dioptimalkan dinyatakan sebagai Z. Sedangkan fungsi batasan merupakan bentuk penyajian secara matematis  batasan-batasan  kapasitas  yang  tersedia  yang  akan  dialokasikan  secara  optimal  ke berbagai kegiatan (Subagyo et al , 2010).
Agar memudahkan pembahasan model LP ini, digunakan simbol-simbol sebagai berikut:
m   =  macam batasan-batasan sumber atau fasilitas yang tersedia.
n   =   macam kegiatan-kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas tersebut. i  =  nomor setiap macam sumber atau fasilitas yang tersedia (i = 1, 2, . . ., m).
j  =  nomor setiap macam kegiatan yang menggunakan sumber atau fasilitas yang tersedia (j = 1, 2, . . ., n).
X j =  tingkat kegiatan ke-j (j = 1, 2, . . ., n). a ij =  banyaknya  sumber  i  yang  diperlukan  untuk  menghasilkan  setiap  unit  keluaran  ( output ) kegiatan j (i = 1, 2, . . ., m, dan j = 1, 2, . . ., n).
b i =  banyaknya sumber (fasilitas) I yang tersedia untuk dialokasikan ke setiap unit kegiatan (i = 1, 2, . . ., n).
Z  =  nilai yang dioptimalkan (maksimum atau minimum). C j =  kenaikan nilai Z apabila ada pertambahan tingkat kegiatan (X j ) dengan satu satuan (unit); atau merupakan sumbangan setiap satuan keluaran kegiatan j terhadap nilai Z.
Data Permasalahan Ekonomi pertahanan Metode Grafik Analisa Data Metode Simpleks Pembahasan Kesimpulan
Keseluruhan  simbol-simbol  di  atas  selanjutnya  disusun  ke  dalam  bentuk  tabel  standar  LP berikut.
Tabel 1.
Data untuk model linear programming Kegiatan/ Sumber Pemakaian sumber per unit kegiatan (keluaran) Kapasitas Sumber 1 2 3 . . . N 1 a 11 a 12 a 13 . . . a 1n b 1 2 a 21 a 22 a 23 . . . a 2n b 2 3 a 31 a 32 a 33 . . . a 3n b 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . M a m1 a m2 a m3 . . . a mn b m ∆ Z pertambahan tiap unit C 1 C 2 C 3 . . . C n Tingkat kegiatan X 1 X 2 X 3 . . . X n
Berdasarkan Tabel 1 kemudian dapat disusun suatu model matematis yang digunakan untuk mengemukakan suatu permasalahan LP sebagai berikut:
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + . . . + C n X n Batasan-batasan: 1)  a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + . . . + a 1n X n ≤ b 1 2)  a 21 X 1 + a 22 X 2 + a 23 X 3 + . . . + a 2n X n ≤ b 2 . . . m)  a m1 X 1 + a m2 X 2 + a m3 X 3 + . . . + a mn X n ≤ b m dan X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0, . . ., X n ≥ 0
Seperti telah diuraikan di muka, fungsi tujuan dalam LP mencerminkan atau menggambarkan tujuan yang ingin dicapai dalam pemecahan suatu masalah LP. Batasan pertama  mempunyai arti bahwa jumlah barang/jasa 1 yang dihasilkan oleh kegitan 1 dikalikan dengan kebutuhan akan sumber 1/satuan (berarti total alokasi 1 untuk kegiatan 1) ditambah dengan hasil kegiatan 2 dikalikan dengan kebutuhan tiap satuan keluaran 2 terhadap sumber 1 (dan seterusnya sampai dengan kegiatan ke-n) tidak akan melebihi jumlah (kapasitas) tersedianya sumber 1 (yang dinyatakan dengan b 1 ). Hal ini berlaku pula untuk batasan-batasan lainnya sampai ke-m.
Bentuk atau model LP di atas merupakan bentuk standar bagi masalah-masalah LP yang akan  dipakai  selanjutnya.  Dengan  kata  lain  bila  setiap  masalah  dapat  diformulasikan  secara matematis mengikuti model di atas, maka masalah tersebut dapat dipecahkan dengan teknik LP.
Terminologi umum untuk model LP yang diuraikan di atas dapat diringkas sebagai berikut:
1) Fungsi yang akan dimaksimumkan: C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + . . . + C n X n disebut fungsi tujuan ( objective function ).
2) Fungsi-fungsi batasan dapat dikelompokkan menjadi dua macam, yaitu: a. Fungsi batasan fungsional, yaitu fungsi-fungsi batasan sebanyak m (yaitu a i1 X 1 + a i2 X 2 + a i3 X 3 + . . . + a im X n ).
b. Fungsi  batasan  non-negatif  ( non-negatif-constraints )  yaitu  fungsi-fungsi  batasan  yang dinyatakan dengan X i ≥ 0.
3) Variabel-variabel X j disebut sebagai decision variables .
4) a ij , b i , dan C j , yaitu masukan-masukan ( input ) konstan; disebut sebagai parameter model
Tentu  saja,  dalam  praktik  tidak  semua  masalah  LP  dapat  persis  mengikuti  model  di atas. Masalah-masah tersebut antara lain adalah:
1) Masalah minimisasi, di mana seseorang dituntut untuk menentukan kombinasi ( output ) yang dapat meminimumkan pengorbanan (misal: biaya). Dalam hal ini, fungsi tujuan dinyatakan sebagai berikut:
Meminimumkan Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + . . . + C n X n
2) Masalah  dengan  fungsi  batasan  fungsional  yang  memiliki  tanda  matematis ≥ ;  sehingga apabila dirumuskan terlihat sebagai berikut:
a i1 X 1 + a i2 X 2 + a i3 X 3 + . . . + a in X n ≥ b i
3) Masalah dengan fungsi batasan fungsional yang memiliki tanda matematis =; sehingga bila dirumuskan sebagai berikut:
a i1 X 1 + a i2 X 2 + a i3 X 3 + . . . + a in X n = b i
4) Masalah tertentu, dimana fungsi batasan non-negatif tidak diperlukan; atau dengan kata lain X j tidak terbatas.
Asumsi-Asumsi Dasar Linear Programming
Seharusnya semua asumsi-asumsi (anggapan-anggapan) dasar LP telah tersirat pada model yang telah dibahas di atas. Tetapi ada baiknya untuk menguraikan asumsi-asumsi dasar tersebut agar penggunaan teknik LP ini dapat memuaskan tanpa terbentur pada berbagai hal. Asumsi-asumsi dasar LP dapat diperinci sebagai berikut (Christian, 2013):
1. Proportionality
Asumsi ini berarti bahwa naik turunnya nilai Z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding ( proportional ) dengan perubahan tingkat kegiatan. Misal:
a) Z = C 1 X 1 + C 2 X 2 + C 3 X 3 + . . . + C n X n Setiap pertambahan 1 unit X 1 akan menaikkan nilai Z dengan C 1 . Setiap pertambahan 1 unit X 2 akan menaikkan nilai Z dengan C 2 , dan seterusnya.
b) a 11 X 1 + a 12 X 2 + a 13 X 3 + . . . + a 1n X n ≤ b 1 Setiap pertambahan 1 unit X 1 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a 11 . Setiap pertambahan 1 unit X 2 akan menaikkan penggunaan sumber/fasilitas 1 dengan a 12 , dan seterusnya. Dengan kata lain, setiap ada kenaikan kapasitas riil tidak perlu ada biaya persiapan ( set up cost )
2. Additivity
Asumsi ini berarti bahwa nilai tujuan tiap kegiatan tidak saling mempengaruhi, atau dalam LP dianggap bahwa kenaikan dari nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh kenaikan suatu kegiatan dapat ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai Z yang diperoleh dari kegiatan lain. Misal: Z = 3X 1 + 5X 2 dimana X 1 = 10; X 2 = 2; sehingga Z = 30 + 10 = 40 Andaikatan  X 1 bertambah  1  unit,  maka  sesuai  dengan  asumsi  pertama  nilai  Z  menjadi 40+3=43. Jadi, nilai 3 karena kenaikan X 1 dapat langsung ditambahkan pada nilai Z mula-mula tanpa mengurangi bagian Z yang diperoleh dari kegiatan 2 X 2 ). Dengan kata lain, tidak ada korelasi antara X 1 dan X 2 . 3. Divisibility
Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran ( output ) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa  bilangan  pecahan.  Demikian  pula  dengan  nilai  Z  yang  dihasilkan.  Missal:  X 1 =  6,5;  Z  = 1.000,75.
4. Deterministic ( Certainty ) Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model LP (a ij , b i , C j ) dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang dengan tepat.
Kasus Industri Pertahanan (Indhan)
Pembuatan dua macam peluru kendali (rudal), rudal pertama P1 dengan jarak tembak 25 km, rudal kedua P2 dengan jarak 50 km. Indhan memiliki tiga macam proses, yaitu, proses A membuat sistem  pelempar  rudal  25  km,  proses  B  membuat  sistem  pelempar  rudal  50  km,  dan  proses  C assembling . Setiap P1 mula-mula dikerjakan dalam proses A selama 2 bulan, kemudian proses C selama 3 bulan, sedangkan P2 dikerjakan dalam proses B selama 3 bulan, dan pada proses C selama 4 bulan. Jam kerja maksimal untuk satu tahun pada proses A = 6 bulan, proses B = 6 bulan, dan proses C = 12 bulan. Untuk setiap paket rudal (berisi 12 buah), sumbangan keuntungan P1 = 10 juta dolar  AS,  sedangkan  P2  =  15  juta  dolar  AS.  Berapa  unit  P1  dan  P2  harus  diproduksi  agar  bisa mendapat keuntungan maksimal? Identifikasi variabel keputusan adalah P1 dan P2. Identifikasi fungsi tujuan  dan  fungsi  kendala  untuk  mencari  keuntungan  maksimal  dari  penjualan  dua  rudal  adalah Z = 10P1 + 15P2 dengan kendala jam kerja maksimal untuk proses A = 6 bulan, proses B = 6 bulan, dan proses C = 12 bulan. Penggunaan proses A: untuk P1 selama 2 bulan, proses B: untuk P2 selama 3 bulan dan Proses C: untuk P1 selama 3 bulan dan P2 selama 4 bulan.
Metode Grafik
Berdasarkan  kasus  tentang  pembuatan  dua  macam  peluru  kendali  (rudal)  di  atas,  maka selanjutnya data disusun ke dalam tabel yang disajikan berikut.
Tabel 2. Data dari perusahan industri pertahanan rudal
Sebelum melakukan formulasi masalah di atas, maka pertama-tama menentukan simbol-simbol yang akan dipakai:
X 1 =  jumlah rudal P1 yang akan dibuat setiap tahun X 2 =  jumlah rudal P2 yang akan dibuat setiap tahun Z  =  jumlah sumbangan seluruh rudal jenis P1 dan jenis P2 yang akan diperoleh
Masalah di atas dapat dipecahkan dengan metode grafik dalam LP dengan langkah-langkah dan persyaratan-persyaratan penggunaannya secara terperinci di bawah ini.
Langkah-langkah dan persyaratan penggunaan Metode Grafik
Secara matematis telah digambarkan bentuk dan susunan model yang berlaku dalam LP, yang bila diteliti n ampak meliputi “kolom” dan “baris” yang teratur. Jumlah baris (menunjukkan batasan- batasan) ditentukan oleh banyaknya sumber yang akan dialokasikan ke setiap jenis kegiatan. Jumlah kolom  ditentukan  oleh  jumlah/macam  kegiatan  yang  memerlukan  sumber-sumber  tersebut.  Bila dikembalikan  lagi  pada  uraian  di  muka,  m  menunjukkan  jumlah  baris  dan  n  menunjukkan  jumlah kolom. Sehingga tampak “dimensi” suatu masalah LP yang dinyatakan dengan m x n. Metode grafik hanya da pat digunakan dalam pemecahan masalah LP yang ber “dimensi”: 2xn atau  mx2,  karena  keterbatasa n  kemampuan  suatu  grafik  dalam  “menyampaikan”  sesuatu (sebenarnya  grafik  3  dimensi  dapat  digambarkan,  tetapi  sangat  tidak  praktis).  Hal  ini  merupakan persyaratan  mutlak  untuk  dapat  digunakannya  metode  grafik;  selain  beberapa  persyaratan  dan asumsi-asusi dasar dimuka.
Rudal P1 P2 Jam Kerja Maksimal Proses A 2 0 6 B 0 3 6 C 3 4 12 Keuntungan (x juta dolar As) 10 15
Langkah-langkah  penggunakan  metode  grafik  dapat  ditunjukkan  secara  ringkas  sebagai berikut:
a. Menentukan fungsi tujuan dan memforumulasikannya dalam bentuk matematis.
b. Mengidentifikasi  batasan-batasan  yang  berlaku  dan  memformulasikannya  dalam  bentuk matematis.
c. Menggambarkan masing-masing garis fungsi Batasan dalam satu sistem salib sumbu.
d. Mencari titik yang paling menguntungkan (optimal) dihubungkan dengan fungsi tujuan.
Contoh masalah perusahaan Indhan di atas, pendekatan grafis akan mudah dipahami. Secara grafis akan digambarkan sumbu mendatar X 1 untuk produk 1 dan sumbu vertikal X 2 untuk produk 2, jumlah n = 2, yaitu produk 1 (rudal jenis P1) dan produk 2 (rudal jenis P2).
Tujuan kita adalah akan memaksimalkan laba yang akan diperoleh. Sumbangan keuntungan P1 = 10 juta dolar AS, sedangkan P2 = 15 juta dolar AS. Oleh karena itu dapat kita formulasikan fungsi tujuannya dalam (juta dolar AS) sebagai berikut:
Maksimumkan Z = 10X 1 + 15X 2 Dengan adanya batasan kapasitas dengan kendala jam kerja maksimal untuk proses A = 6 bulan, proses B = 6 bulan, dan proses C = 12 bulan. Penggunaan proses A: Untuk P1 selama 2 bulan, proses B: Untuk P2 selama 3 bulan dan Proses C: Untuk P1 selama 3 bulan dan P2 selama 4 bulan, maka kita dapat membuat formulasi Batasan-batasan itu, sebagai berikut:
1) 2X 1 ≤ 6 2) 3X 2 ≤ 6
3) 3X 1 + 4X 2 ≤ 12
Batasan (1) adalah batasan proses A, yang berarti 2 bulan kali jumlah rudal P1 yang dibuat (2X 1 ) tidak dapat lebih dari 6 bulan. Batasan (2) berarti 3 bulan kali jumlah rudal P2 yang dibuat (3X 2 ) tidak dapat lebih dari 6 bulan. Sedang batasan (3) berarti bahwa 3 bulan kali nilai X1 ditambah 4 bulan kali nilai X 2 tidak dapat lebih dari 12 bulan. Selain itu perlu pula diperhatikan batasan- batasan “non - negatif”, yaitu X 1 ≥ 0 dan X 2 ≥ 0. Artinya kombinasi X 1 dan X 2 nanti hanya akan terletak pada kuadran pertama, yaitu kuadran yang memuat nilai-nilai positif bagi X 1 dan X 2 . Fungsi batasan pertama (2X 1 ≤ 6) akan digambarkan sebagai garis tegak lurus pada sumbu X 1 di titik 2X 1 = 6 seperti tampak pada Gambar 2.

## Gambar 2. Grafik fungsi (1) perusahaan rudal Indhan
Bagian  yang  diarsir  pada  Gambar  2  di  atas  merupakan  bagian  yang  memenuhi  batasan- batasan: X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0 dan 2X 1 ≤ 6. Dengan cara yang sama fungsi batasan kedua (3X 2 ≤ 6) dapat dilihat seperti Gambar 3.
X 2 0 3 X 1 2X 1 = 6

## Gambar 3. Grafik fungsi (2) perusahaan rudal Indhan
Fungsi  batasan  ketiga  (3X 1 +  4X 2 ≤ 12)  digambar  dengan  terlebih  dahulu  mencari  titik-titik perpotongan garis 3X 1 + 4X 2 = 12 dengan sumber X 1 dan X 2 .
X 1
X 2 0 3 4 0
Gambar 4. Grafik fungsi (3) perusahaan rudal Indhan
2 0 X 1 X 2 3X 2 = 6 X 2 0 4 X 1 3X 1 + 4X 2 = 12 3

## Gambar 5. Grafik fungsi-fungsi batasan perusahaan rudal Indhan
Bagian yang diarsir (disebut daerah feasible ) pada Gambar 5 di atas menunjukkan bagian yang memenuhi “persyaratan” yang ditetapkan oleh ketiga fungsi -fungsi batasan, atau merupakan daerah kemungkinan-kemungkinan kombinasi (X 1 , X 2 ) yang memenuhi batasan-batasan. Langkah terakhir pendekatan ini adalah mencari suatu titik (kombinasi X 1 dan X 2 ) yang terletak pada daerah feasible yang dapat memaksimumkan nilai Z. hal ini dapat dilakukan dengan 2 cara: dengan  menggambarkan  fungsi  tujuan  (disebut  sebagai  cara trail  and  error )  dan  dengan membandingkan nilai Z pada tiap-tiap alternatif. Berikut dengan membandingkan niai Z pada tiap-tiap alternatif:
Titik 0: Pada titik ini nilai X 1 = 0; X 2 = 0. Tentu saja Z = 0. Titik A: Pada titik ini, nilai X 1 = 3; X 2 = 0. Sehingga Z = 10(3) + 0 = 30. Titik B: Pada titik ini nilai X 1 = 3. Substitusikan nilai ini pada persamaan Batasan (3), maka 3(3) + 4X 2 =12. Jadi nilai X 2 = (12 – 9)/4 = ¾. Nilai Z = 10(3) + 15(3/4) = 41,25 Titik C: Pada titik ini nilai X 2 = 2. Substitusikan nilai ini pada persamaan Batasan (3), menjadi 3X 1 + 4(2) = 12. Jadi nilai X 1 = (12 – 8)/3 = 4/3. Nilai Z = 10(4/3) + 15(2) = 43,33 Titik D: Pada titik ini nilai X 2 = 2 dan nilai X 1 = 0. Nilai Z = 10(0) + 15(2) = 30.
Diantara kelima alternatif tersebut di atas yang mempunyai nilai Z terbesar adalah alternatif C, sebesar 43,33. Jadi titik inilah yang paling optimal. Keputusannya rudal jenis P1 dibuat 4/3 paket (4/3 x 12 = 16 rudal) dan rudal jenis P2 dibuat 2 paket (2 x 12 = 24 rudal) setiap tahun, dengan laba setiap tahun sebesar 43,33 juta dolar AS.
X 2 0 4 X 1 3X 1 + 4X 2 = 12 3 3 2 X 1 = 6 2 3 X 2 = 6 A B C D Daerah feasible

## Metode Simpleks
Saryoko (2016) berpendapat bahwa penerapan program linear menggunakan metode simpleks dapat membantu dalam memaksimalkan keuntungan dengan sumber daya yang terbatas. Sunarsih (Chandra, 2015) juga berpendapat bahwa teknik yang paling berhasil dalam pemecahan persoalan program linier dengan jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar dapat digunakan metode simpleks.  Metode  simpleks  dapat  digunakan  sebagai  alat  analisis  suatu  perusahaan  yang meggunakan banyak input dalam proses produksi dengan tujuan memperoleh keuntungan (Budiasih, 2013). Chandra (2015) mengatakan bahwa banyaknya iterasi tidak dipengaruhi oleh jumlah variabel, tetapi tergantung kepada nilai pada fungsi tujuan dari iterasi sebelumnya.
Apabila  suatu  masalah  LP  hanya  mengandung  2  (dua)  kegiatan  (atau  variabel-variabel keputusan) saja, maka akan dapat diselesaikan dengan metode grafik. Tetapi bila melibatkan lebih dari  dua  kegiatan  maka  metode  grafik  tidak  dapat  digunakan  lagi,  sehingga  diperlukan  metode simpleks. Metode simpleks merupakan suatu cara yang lazim dipakai untuk menentukan kombinasi optimal dari tiga variabel atau lebih (Firmansyah et al , 2018).
Pada  masa  sekarang  masalah-masalah  LP  yang  melibatkan  banyak  variabel-variabel keputusan  ( decision  variables )  dapat  dengan  cepat  dipecahkan  dengan  bantuan  komputer.  Bila variabel keputusan yang dikandung tidak terlala banyak masalah tersebut dapat diselesaikan dengan suatu  algoritma  yang  biasanya  sering  disebut  metode  simpleks  table.  Disebut  demikian  karena kombinasi variabel keputusan yang optimal dicari dengan menggunakan tabel-tabel.
Langkah-langkah metode simpleks tabel Langkah 1: Mengubah fungsi tujuan dan batasan-batasan. Fungsi tujuan diubah menjadi fungsi implisit, artinya semua C j X ij kita geser ke kiri. Misalnya fungsi tujuan pada contoh di depan Z = 10X 1 + 15X 2 diubah menjadi Z - 10X 1 - 15X 2 = 0. Pada bentuk standar, semua batasan mempunyai tanda ≤ . Ketidaksamaan ini harus diubah menjadi kesamaan. Caranya dengan menambah slack variable . Variabel slack ini adalah X n+1 , X n+2 , . . ., X n+m. karena tingkat atau hasil kegiatan-kegiatan yang ada diwakili oleh X 1 dan X 2 , maka variabel slack dimulai dari X 3 , X 4 dan seterusnya sebagai berikut:
1) 2X 1 ≤ 6  menjadi 2X 1 + X 3 = 6 2) 3X 2 ≤ 6  menjadi 3X 2 + X 4 = 6 3) 3X 1 + 4X 2 ≤ 12  menjadi 3X 1 + 4X 2 +
X 5 =        12
Berdasarkan perubahan persamaan-persamaan di atas dapat disusun formulasi yang diubah itu, sebagai berikut:
Fungsi tujuan: Maksimumkan Z - 10X 1 - 15X 2 Batasan-batasan :  (1)  2X 1 + X 3 = 6 (2) 3X 2 + X 4 = 6 (3)  3X 1 + 4X 2 + X 5 = 12
Langkah 2 :Menyusun persamaan-persamaan di dalam tabel.
Tabel 3. Persamaan-persamaan Variabel Dasar Z X 1 X 2 . . . X n X n+1 X n+2 . . . X n+m NK Z 1 -C 1 -C 2 . . . -C n 0 0 . . . 0 0 X n+1 0 a 11 a 12 . . . a 1n 1 0 . . . 0 b 1 X n+2 0 a 21 a 22 . . . a 2n 0 1 . . . 0 b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X n+m 0 a m1 a m2 . . . a mn 0 0 . . . 1 b m Pada Tabel 3 di atas merupakan bentuk simbol dari formulasi sebelumnya. NK adalah nilai kanan persamaan, yaitu nilai di belakang tanda sama dengan (=). Untuk batasan 1 sebesar 6, batasan 2 sebesar 6, dan batasan 3 sebesar 12.
Variabel dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan sisi kanan dari persamaan. Pada persamaan 2X 1 + X 3 = 6, kalau belum ada kegiatan apa-apa, berarti nilai X 1 = 0, dan semua kapasitas masih menganggur, maka pengangguran ada 6 satuan, atau nilai X 3 = 6. Pada tabel tersebut nilai variabel dasar (X 3 , X 4 , X 5 ) pada fungsi tujuan pada tabel permulaan ini harus 0, dan nilainya pada batasan-batasan bertanda positif.
Tabel 4. Data perusahaan dalam tabel simpleks yang pertama Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Z 1 -10 -15 0 0 0 0 X 3 0 2 0 1 0
0 6 X 4 0 0 3 0 1 0 6 X 5 0 3 4
0 0 1 12
Setelah data disusun ke dalam Tabel 4 di atas kemudian diadakan perubahan-perubahan agar dapat mencapai titik optimal, dengan langkah-langkah berikutnya.
Langkah 3: Memilih kolom kunci
Kolom kunci adalah kolom yang merupakan dasar untuk mengubah tabel di atas. Pilihlah kolom yang mempunyai nilai pada garis fungsi tujuan yang bernilai negative dengan angka terbesar. Dalam hal ini kolom X 2 dengan nilai pada baris persamaan tujuan-15. Berilah tanda segiempat pada kolom X 2 , seperti terlihat pada Tabel 5. Kalau suatu tabel sudah tidak memiliki nilai negatif pada baris fungsi tujuan, berarti tabel itu tidak bisa dioptimalkan lagi (sudah optimal).
Tabel 5.

## Pemilihan kolom kunci pada tabel pertama
Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Keterangan Z 1 -10 -15 0 0
0 0 X 3 0 2 0 1
0 0 6 X 4 0 0 3 0 1 0 6 6/3 = 2 (minimum) X 5 0 3 4 0 0 1 12 12/4 = 3
Langkah 4: Memilih baris kunci
Baris kunci adalah baris yang merupakan dasar untuk mengubah table 5 tersebut di atas. Untuk itu  terlebih  dahulu  carilah  indeks  tiap-tiap  baris  dengan  cara  membagi  nilai-nilai  pada  kolom  NK dengan nilai yang sebaris pada kolom kunci. (lihat kolom “keterangan” pada tab el)

## 𝐼𝑛𝑑𝑒𝑘𝑠 = 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑁𝐾 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖
Untuk baris batasan 1 besarnya indeks = 6/0 = ~ , baris batasan 2 = 6/3 = 2, dan batasan 3 = 12/4 = 3. Pilihlah baris yang mempunyai indeks positif dengan angka terkecil. Dalam hal ini batasan ke-2 yang terpilih sebagai baris kunci. Berilah tanda segi empat pada baris kunci itu, seperti terlihat pada tabel bagian atas. Nilai yang masuk dalam kolom kunci dan juga termasuk dalam baris kunci disebut angka kunci.
Tabel 6.

## Cara mengubah nilai baris kunci
Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK
Z
1 -10 -15 0 0 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 6 X 4 0 0 3 0 1 0 6 X 5 0 3 4 0 0 1 12 Z 1 X 3 0 X 2 0 0
1 0 1/3 0 2 X 5 0
Langkah 5 : Mengubah nilai-nilai baris kunci
Nilai baris kunci diubah dengan cara membaginya dengan angka kunci, seperti terlihat pada tabel bagian bawah (0/3 = 0; 3/3 = 1; 0/3 = 0; 1/3 = 1/3; 0/3 = 0; 6/3 = 2). Gantilah variabel dasar pada baris itu dengan variabel yang terdapat di bagian atas kolom kunci (X 2 ).
Langkah 6: Mengubah nilai-nilai selain pada baris kunci
Nilai-nilai baris yang lain, selain pada baris kunci dapat diubah dengan rumus sebagai berikut.
𝐵𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑏𝑎𝑟𝑢 = 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑙𝑎𝑚𝑎 − (𝑘𝑜𝑒𝑓𝑖𝑠𝑖𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖) × 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑏𝑎𝑟𝑢 𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑘𝑢𝑛𝑐𝑖 Untuk data di atas, nilai baru bari pertama (Z) sebagai berikut.
[-10 -15 0 0 0, 0] (-15) [0 1 0 1/3 0, 2] - Nilai baru: [-10 0 0 5 0, 30] Baris ke-2 (Batasan 1): [2 0 1 0 0, 6] 0 [0 1 0 1/3 0, 2] - Nilai baru: [2 0 1 0 0, 6] Baris ke-4 (Batasan 3): [3 4 0 0 1, 12] 4 [0 1 0 1/3 0, 2] - Nilai baru: [3 0 0 -4/3 1, 4]
Nilai-nilai baru di atas dipakai untuk melengkapi isi tabel bagiah bawah, hasilnya terlihat pada Tabel 7.
Tabel 7.
Tabel pertama nilai lama dan tabel kedua nilai baru Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4
X 5
NK Z 1 -10 -15 0 0 0 0 X 3 0 2 0 1 0 0 6 X 4 0 0 3 0
1 0 6 X 5 0 3 4 0 0 1 12 Z 1 -10 0 0 5 0 30 X 3 0 2 0 1 0 0 6 X 2 0 0 1 0 1/3 0 2 X 5 0 3 0 0 -4/3 1 4
Langkah 7: Melanjutkan perbaikan-perbaikan/perubahan-perubahan
Ulangilah langkah-langkah perbaikan mulai langkah 3 sampai langkah ke 6 untuk memperbaiki tabel-tabel yang telah diubah/diperbaiki nilainya. Perubahan baru berhenti setelah pada baris pertama (fungsi tujuan) tidak ada yang bernilai negatif. Kalau tabel kedua (hasil perubahan) pada bagian bawah dari tabel itu kita ubah lagi, maka kolom dan baris kuncinya seperti terlihat pada tabel.
Tabel 8.
Kolom dan bari dari tabel hasil perbaikan pertama, dn nilai baru baris kunci hasil perbaikan kedua
Variabel Dasar Z X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 NK Keterangan Z 1 -10 0 0 5
0 30 X 3 0 2 0 1 0 0 6 6/2 = 3 X 2 0 0 1
0 1/3 0 2 X 5 0 3 0 0 -4/3 1 4 4/3 = 4/3 (Minimum) Z 1 X 3
0
X 2 0 X 1 0 1 0 0
-4/9 1/3 4/3
Nilai baru baris-baris yang lain kecuali baris kunci sebagai berikut.
Baris ke-1: [-10 0 0 5 0, 30] (-10) [1 0 0 -4/9 1/3, 4/3] - Nilai baru: [0 0 0 5/9 10/3, 43 1/3] Baris ke-2: [2 0 1 0 0, 6] 2 [1 0 0 -4/9 1/3, 4/3] - Nilai baru: [0 0 1 8/9 -2/3, 3 1/3]
Baris ke-3: tidak berubah, karena nilai pada kolom kunci = 0.
Kalau hasil perubahan di atas kita masukkan ke dalam tabel bagian bawah, hasilnya seperti terlihat pada tabel berikut.
Tabel 9. Hasil perubahan/perbaikan kedua Variabel Dasar Z X 1 X 2
X 3 X 4
X 5 NK Z 1 0 0 0 5/9 10/3 43 1/3 X 3 0 0 0 1 8/9 -2/3 3 1/3 X 2 0 0 1 0
1/3 0 2 X 1 0 1 0 0 -4/9 1/3 4/3
Kalau dilihat baris pertama (Z) pada tabel tidak ada lagi yang bernilai negatif, semuanya positif. Berarti tabel itu tidak dapat dioptimalkan lagi, sehingga hasil dari tabel tersebut sudah merupakan hasil optimal.
Berikut ini disajikan rangkuman langkah-langkah secara keseluruhan, yaitu apabila tabel awal (sebelum diubah), tabel hasil perubahan pertama dan tabel hasil perubahan kedua dijadikan satu, maka akan tampak jelas perubahannya, seperti terlihat pada tabel. Dari tabel ini akan tampak maksud dari tiap variabel dan nilai-nilai yang ada pada tabel optimal, yakni:
X 1 = 4/3, sehingga P 1 = 4/3 paket rudal X 2 = 2; sehingga P 2 = 2 paket rudal Z maksimum = 43 1/3; artinya laba yang akan diperoleh = 43,3 juta dolar US
KESIMPULAN
Penyelesaian  LP  menggunakan  metode  grafik  diberikan  dengan  mencari  suatu  titik (kombinasi X 1 dan X 2 ) yang terletak pada daerah feasible yang dapat memaksimumkan nilai Z. Hal ini dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu menggambarkan fungsi tujuan (disebut sebagai cara trail and error )  dan  dengan  membandingkan  nilai  Z  pada  tiap-tiap  alternatif.  Sedangkan  penyelesaian  LP menggunakan metode simpleks diberikan ketika baris pertama (Z) pada  tabel tidak ada lagi yang bernilai negatif, semuanya positif. Berarti tabel itu tidak dapat dioptimalkan lagi, sehingga hasil dari tabel tersebut sudah merupakan hasil optimal.
Permasalahan  ekonomi  pertahanan  tentang  kasus  pembuatan  dua  macam  peluru  kendali (rudal) oleh industri pertahanan (indhan), baik dengan menggunakan metode grafik maupun metode simpleks didapatkan bahwa nilai Z terbesar adalah 43,33 dengan titik optimal (4/3, 2). Keputusannya rudal jenis P1 dibuat 4/3 paket (4/3 x 12 = 16 rudal) dan rudal jenis P2 dibuat 2 paket (2 x 12 = 24 rudal) setiap tahun, dengan laba setiap tahun sebesar 43,33 juta dolar AS.

## REKOMENDASI
Saran untuk penelitian berikutnya bahwa terkait dengan masalah pembahasan penelitian ini perlu dikembangkan terutama tentang metode simpleks pada kondisi dengan penambahan masalah yang lebih kompleks.

## DAFTAR PUSTAKA
Budiasih,  Y.  (2013).  Maksimalisasi  keuntungan  dengan  pendekatan  metode  simpleks  kasus  pada pabrik sosis sm. Liquidity , 2 (1), 59-65.
Chandra, T. (2015). Penerapan  algoritma simpleks dalam aplikasi penyelesaian masalah program linier. Jurnal Times , 4 (1), 18-21.
Christian, S. (2013). Penerapan linear programming untuk mengoptimalkan jumlah produksi dalam memperoleh keuntungan maksimal pada cv cipta unggul pratama. The Winners , 14 (1), 55-60.
Firmansyah, F., Panjaitan, D. J., Salayan, M., & Silalahi, A. D. (2018). Pengoptimalan keuntungan badan usaha karya tani di deli serdang dengan metode simpleks. JISTech ( Journal of Islamic Science and Technology), 3(1), 18-28
Sandler, T., & Hartley, K. (1995). The economics of defense . Cambridge University Press.
Saryoko, A. (2016). Metode simpleks dalam optimalisasi hasil produksi. Informatics for Educators and Professionals, 1 (1), 27-36.
Subagyo, P., Marwan A., & Handoko, T. H. (2010). Dasar-dasar operations research. Yogyakarta: BPFE.
Supriyatno, M. (2014) Tentang ilmu pertahanan . Jakarta: Yayasan Pustaka Obor Indonesia.
Vanderbei, R. J. (2007). Linear programming : foundations and extensions: 3 rd edition . Alphen aan den Rijn, Netherlands: Kluwer Academic Publishers.
Yusgiantoro,  P.  (2014). Ekonomi  pertahanan : Teori  dan  praktik .  Jakarta:  PT.  Gramedia  Pustaka Utama.