## ANALISIS PREMI TAHUNAN INDIVIDU DENGAN MANFAAT YANG DIBAYARKAN PADA AKHIR TAHUN KEMATIAN
Oleh:
1 Krishna Prafidya Romantica * , 2 Paiz Jalaludin
1,2 Universitas Darunnajah, Jurusan Sains Aktuaria, Fakultas Sains dan Teknologi Jln. Ciledug Raya No. 01, RT.1/RW.3, Ulujami, Pesanggrahan, Jakarta Selatan, DKI Jakarta - 12250
Email: krishnaprafidya@darunnajah.ac.id 1 , paizjalaludin@darunnajah.ac.id 2
*Corresponding Author Email: krishnaprafidya@darunnajah.ac.id

## ABSTRACT
Life insurance is an insurance product that provides guarantees in the form of benefits to the  insured's  family  if  the  insured  dies  in  the  future.  The  amount  of  this  benefit  is influenced  by  the  amount  of  the  annual  premium  paid  by  the  insurer  to  the  insured.  The researcher  will  calculate  the  amount  of  the  individual's  annual  premium  on  endowment insurance. The researcher will use a fixed interest rate to calculate the discount factor and the  Gompertz  distribution  approach  to  calculate  the  insurer's  chance  of  survival. Previously,  the  researcher  will  estimate  the  Gompertz  distribution  parameters  using  the Maximum  Likelihood  Method  (MLE)  based  on  the  2011  Indonesian  Mortality  Table (female). Furthermore, the researcher will calculate the insurer's chance of survival using the Gompertz distribution to obtain the actuarial present value of the initial term annuity and  the  actuarial  present  value  of  the  endowment  life  insurance.  In  addition,  the researcher  will  calculate  the  comparison  of  the  present  value  of  the  endowment  life insurance to the present value of the life annuity. The last step is that the researcher will multiply  the  comparison  of  this  present  value  by  the  benefits  received  to  calculate  the amount  of  the  individual's  annual  premium.  The  calculation  results  show  that  the comparison  of  the  present  value  of  dual-purpose  life  insurance  to  the  present  value  of  a living  annuity is  getting smaller  as the policy coverage period  increases. As a result,  the amount  of  the  individual's  annual  premium  will  also  be  smaller.  This  shows  that  the amount  of  the  annual  premium  is  influenced  by  interest  rate  factors,  the  insurer's  life chances, and the length of the coverage period.
Keywords: Actuarial Present Value, Gompertz Distribution, Interest Rate

## ABSTRAK
Asuransi  jiwa  merupakan  produk  asuransi  yang  memberikan  jaminan  berupa  manfaat kepada  keluarga  penanggung  apabila  penanggung  meninggal  dunia  di  kemudian  hari. Besarnya  manfaat  ini  dipengaruhi  oleh  besarnya  premi  tahunan  yang  dibayarkan penanggung  kepada  tertanggung.  Peneliti  akan  menghitung  besarnya  premi  tahunan individu pada asuransi jiwa dwiguna (endowment insurance). Peneliti akan menggunakan suku  bunga  tetap  untuk  menghitung  faktor  diskonto  dan  pendekatan  distribusi  Gompertz untuk  menghitung  peluang  hidup  penanggung.  Sebelumnya,  peneliti  akan  mengestimasi parameter distribusi Gompertz dengan Metode Maksimum Likelihood (MLE) berdasarkan Tabel  Mortalita  Indonesia  (wanita)  2011.  Selanjutnya,  peneliti  akan  menghitung  peluang hidup  penanggung  menggunakan  distribusi  Gompertz  sehingga  diperoleh  nilai  sekarang (actuarial  present  value) anuitas  awal  berjangka  dan  nilai  sekarang (actuarial  present
value) asuransi  jiwa  dwiguna.  Selain  itu,  peneliti  akan  menghitung  perbandingan  nilai sekarang  asuransi  jiwa  dwiguna  terhadap  nilai  sekarang  anuitas  hidup.  Langkah  terakhir adalah  peneliti  akan  mengalikan  perbandingan  nilai  sekarang  ini  dengan  manfaat  yang diterima  untuk  menghitung  besarnya  premi  tahunan  individu.  Hasil  perhitungan menujukkan  bahwa  perbandingan  nilai  sekarang  asuransi  jiwa  dwiguna  terhadap  nilai sekarang  anuitas  hidup  adalah  semakin  kecil  nilainya  seiring  bertambahnya  waktu pertanggungan  polis.  Akibatnya,  besar  premi  tahunan  individu  pun  akan  semakin  kecil nilainya.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  besar  premi  tahunan  dipengaruh  oleh  faktor  suku bunga, peluang hidup penanggung, dan lama waktu pertanggungan.
Kata kunci: Actuarial Present Value, Suku Bunga, Distribusi Gompertz

## PENDAHULUAN
Asuransi  jiwa  merupakan  produk  asuransi  yang  memberikan  jaminan  berupa manfaat  kepada  keluarga  penanggung  apabila  penanggung  meninggal  dunia  di  kemudian hari.  Besarnya  manfaat  ini  dipengaruhi  oleh  besarnya  premi  tahunan  yang  dibayarkan penanggung  kepada  tertanggung.  Di  dalam  kontrak  asuransi,  perusahaan  asuransi dikatakan sebagai pihak tertanggung, sedangkan pemegang polis  dikatakan sebagai pihak penanggung.  Berdasarkan lama waktu pertanggungan polis, asuransi jiwa terbagi menjadi empat  jenis,  yaitu  asuransi  seumur  hidup (whole  life  insurance), asuransi  jiwa  berjangka (n-years term insurance), asuransi jiwa dwiguna murni (pure endownment insurance), dan asuransi  dwiguna (endowment  insurance .    Artikel  penelitian  A.E.Dira,  N.Satyahadewi, H.Perdana  dan  F.Mahgfiroh,  N.Satyahadewi  menyatakan  bahwa  besaran  premi  tahunan yang ditanggung oleh penanggung adalah semakin kecil seiring bertambahnya lama waktu pertanggungan  polis.  Peneliti  akan  menggunakan  suku  bunga  tetap  untuk  menghitung faktor  diskonto  dan  pendekatan  distribusi  Gompertz  untuk  menghitung  peluang  hidup penanggung.  Pertama-tama,  peneliti  akan  mengestimasi  parameter dan yang digunakan pada dsitribusi Gompertz berdasarkan Tabel Mortalita Indonesia (wanita) 2011. Selanjutnya,  peneliti  akan  menghitung  peluang  hidup  penanggung  menggunakan pendekatan distribusi Gompertz sehingga akan diperoleh nilai sekarang (actuarial present value) anuitas  awal  berjangka.  Peneliti  akan  menghitung  premi  tunggal  bersih menggunakan  persamaan  nilai  sekarang (actuarial  present  value) asuransi  jiwa  dwiguna, Serta,  peneliti  akan  menghitung  perbandingan  nilai  sekarang  asuransi  jiwa  dwiguna terhadap  nilai  sekarang  anuitas  awal  berjangka.  Langkah  terakhir  adalah  peneliti  akan mengalikan  perbandingan  nilai  sekarang  ini  dengan  manfaat  yang  diterima  untuk menghitung besarnya premi tahunan individu.

## TINJAUAN PUSTAKA

## Tabel Mortalita
Misalkan adalah variabel random kontinu yang menyatakan usia seseorang. Fungsi distribusi dinyatakan oleh:
Artinya,  peluang  seseorang  akan  meninggal  dunia  sebelum  mencapai  usia tahun. Sedangkan, fungsi survival adalah:
berarti peluang seseorang akan bertahan hidup dan sudah mencapai usia
. Misalkan adalah  usia  seseorang  saat  mengikuti  asuransi  jiwa  dan adalah
notasi  sisa  usia Peluang  seseorang  berusia tahun  akan  bertahan  hidup  hingga
mencapai usia
adalah:
Sedangkan, peluang seseorang berusia
akan meninggal dunia sebelum mencapai
usia adalah Definisikan sebagai force of mortality seseorang berusia dan dinyatakan oleh: Dimana .  Peluang  hidup  seseorang, ,  dapat  dinyatakan  dengan menggunakan persamaan:
Bila ,  peluang  hidup  seseorang  berusia akan  bertahan  hidup  hingga  usia dapat dihitung menggunakan persamaan:

## Distribusi Gompertz
Seorang  matematikawan  Inggris,  Benjamin  Gompertz,  memperkenalkan  distribusi Gompertz sebagai suatu pendekatan yang digunakan untuk menghitung peluang hidup dan peluang  kematian  seseorang  yang  berusia .  Dalam  penelitian  ini,  peneliti  akan melakukan perhitungan atas nilai anuitas jiwa seseorang berusia dalam jangka waktu tahun. Fungsi kepadatan peluang distribusi Gompertz dinyatakan oleh:
dengan
.  Parameter mewakili  force  of  mortality  seseorang  berusia ,  sedangkan  parameter menyatakan  pertumbuhan  spesifik  dari  force  of  mortality seseorang berusia Fungsi kumulatif distribusi Gompertz adalah
dan fungsi survival distribusi Gompertz adalah
Serta, fungsi force of mortality seseorang berusia adalah:

## Anuitas Awal Berjangka
Anuitas  awal  berjangka tahun  merupakan  sejumah  unit  pembayaran  yang dilakukan setiap awal periode pembayaran sejak diterbitkannya polis asuransi jiwa hingga pemegang polis meninggal dunia di waktu . Definisikan sebagai variabel random sisa usia  seseorang  berusia .  Variabel  random  nilai  sekarang  dari dengan  pembayaran tahunnya sebesar Rp1,- adalah

## dan nilai sekarang aktuarianya adalah

## Manfaat Asuransi yang Dibayarkan pada Akhir Tahun Kematian
Asuransi jiwa merupakan suatu kontrak panjang antara tertanggung dan penanggung, dimana  penanggung  akan  memberikan  manfaat  kepada  keluarga  tertanggung  apabila tertanggung  mengalami  kecelakaan,  cacat,  ataupun  kematian.  Peneliti  akan  mengambil studi  kasus  terkait  pembayaran  manfaat  yang  diberikan  pada  akhir  tahun  kematian  atau dikenal sebagai asuransi dengan pembayaran secara diskrit.
Model  akan  dibangun  oleh  fungsi sebagai  sisa  usia  masa  depan (future  lifetime) dari asuransi jiwa ketika polis diterbitkan. Fungsi manfaat adalah jumlah pembayaran manfaat  atau  uang  pertanggungan  yang  diterima  nasabah  dengan  indeks .  Fungsi diskonto adalah fungsi  diskonto  suku bunga pada waktu  pengembalian  pembayaran hingga  periode  diterbitkannya  polis  asuransi,  dimana  tertanggung  meninggal  pada  tahun dari  asuransi.  Asumsikan  bahwa  laju  tingkat  suku  bunga  bernilai  konstan.  Nilai sekarang dari pembayaran manfaat asuransi saat polis diterbitkan adalah:
Asuransi jiwa dwiguna (endowment) tahun merupakan kombinasi produk asuransi berjangka tahun  dan  asuransi  dwiguna  murni (pure  endowment) (Rakhman  &  Effendi, 2019) . Pada  model  ini,  manfaat  kematian  akan  dibayarkan  pada  akhir  tahun  kematian apabila nasabah tetap hidup minimal selama tahun sejak polis asuransi diterbitkan. Juga, manfaat kematian akan dibayarkan pada akhir tahun kematian apabila nasabah tetap hidup hingga usia . Fungsi asuransi dwiguna dapat dinyatakan oleh:
Actuarial  present  value dari  asuransi  jiwa  dwiguna  adalah  (Darma  Ekawati  &  Fardinah, 2020):

## METODE PENELITIAN
Peneliti menggunakan pendekatan kuantitatif untuk menghitung besar premi tahunan individu  (wanita).  Peneliti  menggunakan  data  sekunder  yang  bersumber  dari  sumber literatur,  buku,  referensi,  serta  informasi  mortalita  Indonesia.  Pengambilan  sampel dilakukan  dengan  teknik  purposive  sampling  dengan  kriteria,  yaitu  mortalita  wanita  dari Tabel  Mortalita  Indonesia  2011.  Berdasarkan  tabel  mortalita  ini,  peneliti  akan mengestimasi  parameter dan pada  distribusi  Gompertz  menggunakan  Metode Maksimum  Likelihood  (MLE).  Peneliti  akan  menggunakan  pendekatan  distribusi Gompertz  untuk  menghitung  peluang  hidup  penanggung.  Selain  itu,  peneliti  akan menggunakan suku bunga tetap sebesar 7% untuk menentukan faktor diskonto. Berikut ini adalah tahapan penelitian yang akan dilakukan, yaitu:

## Penaksiran Parameter Distribusi Gompertz
Parameter dan akan  ditaksir  menggunakan  metode  Maksimum  Likelihood (MLE).  Pertama,  peneliti  akan  membentuk  persamaan  likelihood  distribusi  Gompertz seperti berikut:
Kedua, lakukan logaritma natural pada kedua ruas fungsi likelihood di atas menjadi:
Penaksiran parameter distribusi Gompertz Mulai Menghitung peluang hidup Menghitung APV Anuitas Hidup Menghitung APV Asuransi Jiwa Menghitung Premi Tahunan Analisis
Gambar 1. Tahapan Penelitian
Ini  disebut  fungsi  log-likelihood.  Syarat  memaksimumkan  fungsi  (pada  masing- masing parameter) adalah:
dan
Hasil turunan fungsi di atas adalah
dan
Seluruh  parameter  pada  persamaan  maksimum  fungsi  log-likelihood  saling bergantung  sehingga  parameter dan akan  disetimasi  menggunakan  metode  Newton Raphson. Selanjutnya, pilih nilai awal dan , masing-masing, adalah dimana dan .  Dengan  bantuan software R,  estimasi parameter dan dari distribusi Gompertz, adalah dan .

## Menghitung Peluang Hidup Seseorang
Peluang  hidup  seseorang  berusia akan  tetap  hidup  hingga  usia dapat dihitung menggunakan persamaan:
sehingga  peneliti  memperoleh  persamaan  peluang  hidup  seseorang  dengan  model distribusi Gompertz adalah
atau
Serta, persamaan peluang seseorang berusia akan meninggal sebelum usia adalah:

## dimana
.

## Perhitungan APV Anuitas Hidup
Pertama,  peneliti  akan  menetapkan  tingkat  suku  bunga sehingga  diperoleh  faktor diskonto .  Selanjutnya,  peneliti  akan  melakukan  perhitungan actuarial  present  value anuitas  bagi  seseorang  berusia dengan  pembayaran  premi  selama tahun  adalah (Fatimah et al., 2016)

## Perhitungan APV Asuransi Jiwa
Actuarial  present  value merupakan  sejumlah  pembayaran  premi  yang  dibayarakan tertanggung kepada penanggung. Seseorang berusia yang bertahan hidup  hingga usia akan  melakukan  sejumlah  pembayaran  premi  asuransi  dwiguna  selama tahun sebesar:

## Perhitungan Premi Tahunan
Premi  tahunan  merupakan  besaran  premi  yang  dibayarkan  nasabah  setiap  awal periode  pembayaran  sebagai  bentuk  jaminan  kepada  keluarganya  apabila  ia  mengalami kemalangan di kemudian hari. Besar premi tahunan seseorang berusia selama tahun dengan besar manfaat adalah:

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Misalkan  seorang  wanita  berusia  35  tahun  ingin  membeli  produk  asuransi  jiwa dengan  harapan  keluarga  akan  memperoleh  manfaat  apabila  ia  meninggal  dunia  di kemudian hari. Perusahaan asuransi menawarkan dua produk asuransi jiwa dwiguna, yaitu asuransi  jiwa  dwiguna  dengan  lama  pembayaran  premi  15  tahun  dan  asuransi  jiwa dwiguna  dengan  lama  pembayaran  premi  20  tahun.  Pada  keadaan  ini,  perusahaan menawarkan  manfaat  kepada  wanita  tersebut  dengan  ketetapan  bahwa  manfaat  akan dibayarkan pada akhir tahun kematian apabila wanita tersebut meninggal dunia.  Besaran manfaat  yang  akan  diberikan  adalah  Rp500.000.000,-.  Jika  perusahaan  asuransi menetapkan suku bunga sebesar 7%, maka produk asuransi manakah yang bisa dipilih oleh wanita tersebut:
a. Asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi tahunan selama 15 tahun.
b. Asuransi jiwa dwiguna dengan pembayaran premi tahunan 20 tahun.
Simulasi perhitungannya adalah sebagai berikut:
Peluang wanita berusia 35 tahun akan bertahan hidup hingga berusia tahun adalah sebagai berikut:
Sedangkan, peluang mati, , adalah Besarnya faktor diskonto dengan adalah
a. Asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi tahunan selama 15 tahun Actuarial  present  value anuitas  awal  seumur  hidup  dengan  pembayaran  premi  selama 15 tahun adalah sebesar
Serta, actuarial present value asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran premi selama 15 tahun adalah sebesar
Oleh karena itu, wanita ini akan membayar premi tahunan sebesar Rp18,609,803.15.
b. Asuransi jiwa dwiguna dengan pembayaran premi tahunan selama 20 tahun
Actuarial  present  value  anuitas  awal  seumur  hidup  dengan  pembayaran  premi  selama 15 tahun adalah sebesar
Serta,  actuarial  present  value  asuransi  jiwa  seumur  hidup  dengan  pembayaran  premi selama 15 tahun adalah sebesar
Oleh karena itu, wanita ini akan membayar premi tahunan sebesar Rp11,416,802.97.
Dengan  manfaat  sebesar  Rp500.000.000,-,  premi  tahunan  yang  dibayarkan  oleh wanita  berusia  35  tahun  dengan  masa  pertanggungan  15  tahun  adalah  lebih  besar  bila dibandingkan  dengan  premi  tahunan  dengan  jangka  waktu  20  tahun.Secara  umum, actuarial  present  value anuitas  awal  dengan  pembayaran  premi  selama tahun  dapat dideskripsikan oleh gambar berikut ini:
Actuarial  present  value anuitas  hidup  awal  nilainya  semakin  besar  seiring bertambahnya  masa  pertanggungan  polis.  Hal  ini  terlihat  bahwa  APV  anuitas  awal seseorang berusia 35 tahun dengan masa pertanggungan polis 20 tahun adalah lebih besar bila  dibandingkan  dengan  APV  anuitas  awal  seseorang  berusia  35  tahun  dengan  masa pertanggungan polis 15 tahun.
Nilai ini berbanding terbalik dengan actuarial  present  value asuransi  jiwa dengan pembayaran  premi  selama tahun.  APV  asuransi  jiwa  dwiguna  semakin  kecil  nilainya seiring  bertambahnya  masa  pertanggungan  polis.  Hal  ini  dapat  ditunjukkan  oleh  gambar berikut ini:
Gambar 3. APV Asuransi Jiwa Dwiguna tahun
Menindaklanjuti  hal  tersebut,  peneliti  akan  melakukan  analisis  perbandingan  APV asuransi jiwa terhadap APV anuitas hidup yang ditampilkan pada gambar berikut ini:
Gambar 4. Perbandingan Actuarial Present Value
Semakin bertambahnya masa pertanggungan polis, perbandingan APV asuransi jiwa terhadap  APV  anuitas  hidup  semakin  kecil  nilainya  karena  faktor  pembagi  (yaitu  APV anuitas hidup) semakin besar nilainya. Peneliti mengamati bahwa nilai perbandingan APV asuransi jiwa berbanding terbalik dengan APV anuitas hidup. Artinya, besar premi tahunan yang  dibayarkan  oleh  seorang  wanita  berusia
pun  nilainya  semakin  kecil  dengan
0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 AC T UA R IAL PR ESEN T VA LUE WAKTU APV Asuransi Jiwa Dwiguna 0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00 0 5 10 15 20 25 N ILA I P ERBA N FD IN G A N WAKTU Perbandingan APV Asuransi Jiwa terhadap APV Anuitas Hidup
masa  pertanggungan  polis  yang  semakin  lama.  Hal  ini  sejalan  dengan  hasil  penelitian A.E.Dira, N.Satyahadewi, H.Perdana, dan F.Mahgfiroh, N.Satyahadewi.

## PENUTUP

## Kesimpulan
Pada  produk  asuransi  jiwa  dwiguna  (pembayaran  manfaat  dilakukan  pada  akhir tahun  kematian),  besarnya  premi  tahunan  yang  harus  dibayarkan  seorang  wanita  berusia adalah  semakin  kecil  seiring  bertambahanya  waktu  pertanggungan  polis.  Bsarnya premi  tahunan  dipengaruhi  oleh  perbandingan  APV  asuransi  jiwa  terhadap  APV  anuitas hidup. Berdasarkan perhitungan, APV anuitas hidup seorang wanita berusia semakin besar  nilainya  seiring  bertambahnya  waktu  pertanggungan  polis.  Akibatnya,  wanita tersebut akan mebayar premi tahunan yang semakin kecil nilainya. Peneliti menyimpulkan bahwa  besarnya  premi  tahunan  wanita  berusia adalah  berbanding  terbalik  dengan APV  anuitas  hidupnya,  dimana  besaran  premi  tahunan  ini  dipengaruhi  oleh  suku  bunga, peluang hidup seseorang, dan lama waktu pertanggungan polis.

## Saran
Peneliti  selanjutnya  bisa  menghitung  premi  tahunan  asuransi  jiwa  Dwiguna menggunakan  pendekatan  lain,  seperti  distribusi  seragam,  distribusi  Makeham,  atau distribusi  lainnya.  Peneliti  juga  bisa  melakukan  analisis  pengaruh  faktor  usia,  jenis kelamin,  atau  faktor  lainnya  terhadap  besarnya  premi  asuransi  jiwa.  Selain  itu,  peneliti juga  bisa  mengembangkan  penelitian  terhadap  jumlah  penanggung  dengan  status gabungan yang terikat dalam kontrak asuransi jiwa.

## DAFTAR PUSTAKA
A.  Elvira  Dira,  N.  Satyahadewi,  and  H.  Perdana  INTISARI,  “Metode  Non-Linear  Least Square  Pada  Distribusi  Makeham  Dalam  Penentuan  Nilai  Premi  Asuransi  Jiwa Dwiguna,” Bul. Ilm. Math. Stat. dan Ter., vol. 11, no. 5, pp. 759–766, 2022.
A.  R.  Effendie,  Matematika  Aktuaria,  3rd  ed.  Tangerang  Selatan:  Universitas  Terbuka,
2021.
Anisa  and  D.  P.  Sari,  “PENENTUAN  PREMI  BERSIH  TAHUNAN  ASURANSI  JIWA DWIGUNA DENGAN HUKUM DE MOIVRE,” J. Ilm. Mat., vol. 9, no. 2, pp. 437– 446, 2021, [Online]. Available: https://media.neliti.com/media/publications/249234- model-infeksi-hiv-dengan-pengaruh-percob-b7e3cd43.pdf
D. N. Trisnawati, I. N. Widana, and K. Jayanegara, “Analisis Komponen Biaya Asuransi Jiwa Dwiguna (Endowment),” J. Mat., vol. 04, no. 1, pp. 1693–1394, 2014.
D.  Ratnasari,  N.  Satyahadewi,  and  S.  M.  Intisari,  “Penentuan  Nilai  Tunai  Anuitas  Jiwa Berjangka  Individu  Kasus  Kontinu  Menggunakanmetode  Woolhouse,”  Bul.  Ilm. Math. Stat. dan Ter., vol. 04, no. 3, pp. 217–226, 2015.
Darma  Ekawati  and  Fardinah,  “Penentuan  Cadangan  Premi  Asuransi  Jiwa  Bersama Dwiguna dengan Metode Canadian,” J. Math. Theory Appl., vol. 2, no. 1, pp. 1–4, 2020, doi: 10.31605/jomta.v2i1.748.
F.  Maghfiroh  and  N.  Satyahadewi,  “Analisis  Premi  Tunggal  Bersih  Asuransi  Jiwa Dwiguna K-Tahun Unit Link Menggunakan Metode Point To Point Dengan Garansi Minimum Dan Nilai Cap,” Bul. Ilm. Math. Stat. dan Ter., vol. 10, no. 1, pp. 33–42, 2021.
J.  LeMaire,  N.  Bowers,  H.  Gerber,  J.  Hickman,  D.  Jones,  and  C.  Nesbitt,  Actuarial Mathematics, vol. 57, no. 2. 1990. doi: 10.2307/253313.
K. P. Romantica, “Analisis probabilitas gagal bayar (problem loans) debitur menggunakan model regresi logistik biner,” JMSAB, vol. 2, no. 2, pp. 155–164, 2019.
N. Andiraja and D. Wahyuni,  “Premi Tahunan Asuransi  Jiwa Berjangka  Dengan Asumsi Seragam Untuk Status Gabungan,” J. Sains Mat. dan Stat., vol. 1, no. 2, p. 83, 2015, doi: 10.24014/jsms.v1i2.1962.
N. D. Khairunnisa, O. Rohaeni, and Y. Permanasari, “Model Perhitungan Premi Asuransi Jiwa  Berjangka  Secara  Diskrit  Dan  Kontinu,”  Pros.  Mat.,  vol.  2,  no.  1,  pp.  1–7, 2016.
R. Cunningham and T. Herzog, Model for Quantifying Risk, 2nd ed. London: FSA, 2006.
Rakhman  and  A.  .  Effendi,  Matematika  Aktuaria,  1st  ed.  Tangerang  Selatan:  Universitas Terbuka, 2019.
S. ARTIKA, I. G. P. PURNABA, and D. C. LESMANA, “Penentuan Premi Asuransi Jiwa Berjangka  Menggunakan  Model  Vasicek  Dan  Model  Cox-Ingersoll-Ross  (Cir),”  J. Math. Its Appl., vol. 17, no. 2, pp. 129–139, 2018, doi: 10.29244/jmap.17.2.129-139.
S.  Fatimah,  S.  Hadewii,  and  S.  Matha,  “Penentuan  Nilai  Anuitas  Jiwa  Seumur  Hidup Menggunakan Distribusi Gompertz,” Bul. Ilm. Mat.Stat.dan Ter., vol. 78–96, 2016.