## PENENTUAN DISTRIBUSI SUHU PADA PELAT LOGAM DENGAN CARA MENYELESAIKAN PERSAMAAN DIFERENSIAL ELIPTIK MENGGUNAKAN MICROSOFT EXCEL
Lukman Samatowa * , Septiana Kurniasari, Muhammad Yunus, Relita Damopolii
Jurusan Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Gorontalo
*Corresponding Address: lukman.samatowa@ung.ac.id

## Info Artikel ABSTRAK

## Riwayat artikel
Dikirim   : Feb 20, 2023 Direvisi   : Mar 10, 2023 Diterima : Mar 16, 2023
Penelitian ini bertujuan untuk visualisasi distribusi suhu pada pelat logam dengan menyelesaikan persamaan diferensial eliptik menggunakan bantuan program Microsoft Excel. Banyak masalah fisika yang memiliki solusi secara analitik terbatas sehingga diperlukan solusi numerik. Salah satunya adalah mengenai distribusi suhu pada pelat logam homogen dalam kondisi tunak. Bentuk  persamaan  aliran  panas  dalam  kondisi  tunak  adalah  persamaan diferensial parsial eliptik (PDE). Dengan menyelesaikan persamaan ini pelat dapat menjadi model numerik berupa jaring-jaring yang memiliki titik suhu tertentu.  Setiap  titik  telah  diketahui  persamaan  untuk  menghitung  nilai suhunya.  Persamaan  ini  dipengaruhi  batas  tepi  dari  pelat  dan  adanya pembangkit  kalor.  Tepi  pelat  dapat  berupa  suhu  yang  konstan,  konveksi dengan  udara  luar  dan  tepi  yang  diisolasi.  Model  ini  kemudian  diolah menggunakan Microsoft Excel dengan perhitungan iterasi hingga kemudian diperoleh  nilai  sebaran  suhu.  Hasilnya,  diperoleh  visualisasi  grafik mengenai distribusi suhu pada pelat.
Kata Kunci: Microsoft Excel Distribusi Suhu PDE
DOI: 10.24252/jpf.v11i1.36382

## ABSTRACT
This study aims to visualize the temperature distribution on metal plates by solving elliptic differential equations  using the  help of the Microsoft Excel program.  Many  physics  problems  have  limited  analytic  solutions  so  a numerical  solution  is  needed.  One  of  them  is  about  the  temperature distribution on a homogeneous metal plate in a steady-state condition . The equation  of  heat  flow  in  steady-state  conditions  is  an  elliptic  partial differential  equation  (PDE).  By  solving  this  equation,  we  will  have  a numerical model of the plate that can be a mesh with a certain temperature point. Each point has been known to calculate the temperature  value. The temperature value influenced. The Temperature value influenced borders on the plate and the presence of heat generation. The edge of the plate can be a constant temperature, a convection zone with the outside air, or an isolated edge. This model is then processed using Microsoft Excel with the iteration calculation until the temperature distribution value is obtained. The results obtained a graphical visualization of temperature distribution on the plate.
© 2022 The Author(s). Published by Department of Physics Education. Alauddin State Islamic University Makassar.

## PENDAHULUAN
Cabang dari fisika yang membahas mengenai hubungan antara kalor dan bentuk lain dari  energi  disebut  termodinamika.  Pada  prinsipnya,  termodinamika  sama  seperti ilmu  alam  yang  lain  yang  berdasarkan  pengamatan  yang  kemudian  ditetapkan hukum-hukumnya yang mencakup semua kejadian yang terjadi di alam dan belum ditemukan pengecualian atas hukum-hukum tersebut. Secara khusus, termodinamika dikenal  sebagai  ilmu  yang  mempelajari  tentang  kalor  (panas),  yaitu  energi  yang mengalir atau berpindah [1].
Perpindahan  energi terjadi ketika ada perbedaan suhu antar bagian di dalam suatu sistem, atau ketika dua sistem yang suhunya berbeda mengalami kontak [2]. Secara makroskopis energi yang berpindah ini pengaruhnya dapat diidentifikasi dan diukur, sedangkan  secara  mikroskopis  dapat  ditunjukkan  melalui  teori  kinetik  dan termodinamika statistik bahwa aliran kalor adalah proses perubahan energi internal dari suatu sistem. Berlangsungnya proses aliran energi (kalor) dalam sebuah sistem ditunjukkan oleh distribusi suhu pada sistem tersebut.
Persamaan  matematika  yang  menjelaskan  fenomena  distribusi  kalor  ini  berbentuk persamaan diferensial. Persamaan diferensial memiliki banyak ragam dan jenis mulai dari  yang  sederhana  hingga  yang  rumit  (kompleks).  Persamaan  diferensial  yang sederhana  bisa  diselesaikan  menggunakan  metode  analitik,  sedangkan  persamaan diferensial yang kompleks dapat diselesaikan dengan menggunakan metode numerik menggunakan  bantuan  komputer sebagai  alat  hitung.  Persamaan diferensial  eliptik yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  distribusi  kalor  dalam  keadaan  tunak  dapat dikategorikan pada persamaan diferensial kompleks. Terdapat banyak program yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan ini.
Pada  tahun  2003,  Sumariyah  dkk.  membuat  program  komputasi  aliran  kalor  pada sebuah  batang  dengan  menggunakan  algoritma  numerov  dan  bahasa  pemrograman Delphi  6.0.  Algoritma  numerov  merupakan  penjabaran  dari  deret  Taylor  yang merupakan metode beda hingga [3]. Siti  Sailah (2010) menggunakan metode Crank Nicholson  untuk  menentukan  distribusi  suhu  1D.  Perhitungan  distribusi  suhu melibatkan  persamaan  diferensial.  Persamaan  diferensial  yang  dipakai  adalah persamaan  diferensial  parabolik.  Persamaan  ini  menggunakan  pendekatan  metode Crank  Nicholson  serta  penyelesaian  Gauss  Seidel.  Hasilnya  menunjukkan  terjadi perambatan  kalor  menuju  bagian  tengah  benda  [4].  MATLAB  7.0  digunakan Supardiyono  (2011)  untuk  menerangkan  distribusi  suhu  menggunakan  persamaan laplace.  Supardiyono  menggunakan  metode  beda  hingga  untuk  penyelesaian  secara numerik. Metode ini menggunakan interval suhu dari 0 sampai 0,5. dengan interval x dan  y  antara  0  sampai  1  [5].  Supardi  (2003)  menggunakan  metode  relaksasi  dalam penyelesaian masalah persamaan diferensial dimensi dua. Metode ini menggunakan parameter  kontrol  omega  untuk  mengontrol  laju  konvergensi.  Parameter  ini  dibagi menjadi dua jenis yaitu under relaxion dan over relaxion [6].
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan persamaan diferensial eliptik dari  model  aliran  kalor  dalam  kondisi  tunak  pada  pelat  logam  secara  numerik menggunakan Microsoft Excel.

## METODE

## Menyelesaikan Persamaan Konduksi Kalor Dua Dimensi pada Konduksi Tunak
Distribusi suhu pada pelat logam dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan diferensial eliptik  (persamaan  1). Distribusi suhu pada pelat ini berlangsung dalam kondisi  tunak  (ajeg/steady  state).  Pada  keadaan  steady  state,  distribusi  suhu  bukan fungsi waktu, dan dalam perhitungan numerik, konstanta-konstanta dapat diberi nilai 1.  Persamaan  distribusi  kalor  tak  gayut  waktu  dan  konstanta  konduktivitas  termal dipilih sama dengan 1, yang dikenal sebagai persamaan Laplace 2 dimensi.
𝜕 2 𝑇 𝜕𝑥 2 + 𝜕 2 𝑇 𝜕𝑦 2 = 0 (1)
Empat titik kisi yang digunakan dalam perhitungan T(x,y) ditunjukkan pada gambar 1.

## Gambar 1. Sketsa Penyelesaian Persamaan Diferensial Eliptik dengan Metode Beda Hingga
Titik hitam menunjukkan nilai fungsi dari perhitungan sebelumnya, sedangkan titik putih  menunjukkan  nilai  fungsi  yang  akan  dihitung.  Dalam  lembar  kerja  Microsoft Excel,  titik  tersebut  diwakili  dengan  sel  lembar  kerja.  Distribusi  suhu  2-D  dengan bentuk geometri yang sederhana adalah distribusi suhu pada kotak 2x2 cm. Kemudian dipilih  h  =  k  =  1  cm,  sehingga  akan  ada  4  titik  suhu  yang  dihitung  nilainya menggunakan lembar kerja Microsoft Excel seperti ditunjukkan gambar 2.
Gambar 2. Lembar Kerja Excel untuk Distribusi Suhu pada Pelat 2x2 cm (h = k = 1 cm)
Pelat  yang  dimaksud  adalah  yang  berada  di  tengah  (berwarna  putih).  Pelat  yang menempel  pada  bagian  pinggir  adalah  tandon  kalor  yang  suhunya  dijaga  konstan. Tandon kalor di sisi atas dijaga pada suhu 100 0 C, sedangkan pada sisi yang lain dijaga pada suhu 0 0 C. Untuk pelat (2x2 cm) dengan grid lebih besar, ditentukan nilai h = k =
0,4  cm.  Sehingga  akan  terbentuk  kisi  berukuran  5x5.  Dalam  lembar  kerja Microsoft Excel akan ada 7x7 sel dengan masing-masing 1 sel  pada tiap sisi sebagai tandon kalor, seperti ditunjukkan pada gambar 3.
Gambar 3. Lembar Kerja Microsoft Excel untuk Distribusi Suhu pada Pelat 2x2 cm (h = k = 0,4cm)
Untuk  pelat  (2x2  cm)dengan  grid  lebih  besar  lagi,  ditentukan  nilai  h  =  k  =  0.1  cm. Sehingga akan terbentuk kisi berukuran 20x20. Dalam lembar kerja  Microsoft Excel akan ada 22x22 sel dengan masing-masing 1 sel  pada tiap sisi sebagai tandon kalor, seperti ditunjukkan pada gambar 4.
Gambar 4. Lembar Kerja Microsoft Excel untuk Distribusi Suhu pada Pelat 2x2 cm (h = k = 0,1cm)

## Kondisi Batas (Boundary Condition)
Ketika  tepi  dari  sebuah  pelat  berada  dalam  kondisi  dengan  suhu  yang  tetap  maka persamaan  yang  berlaku  adalah  seperti  persamaan  5.  Namun  jika  tepi  diberi  batas tertentu  seperti  berbatasan  dengan  keadaan  konveksi  dengan  udara  bebas,  atau berbatasan dengan sisi yang diisolasi dan memiliki pembangkit kalor dalam pelat itu, maka ada persamaan baru berkaitan dengan batas tersebut. Persamaan ini berkaitan dengan aliran energi pada volume kontrol batas tersebut [2].
Gambar 5. Volume Kontrol dari Batas Vertikal Pelat Konduksi Dua Dimensi [2]

## Gambar 6. Model Excel untuk Kondisi Batas Konveksi
Gambar  6  (a)  menunjukkan  model  Microsoft  Excel  di  mana  sisi  yang  sebelah  kiri memiliki kondisi batas konveksi, sisi atas memiliki suhu 100°C, sisi kanan dan bawah memiliki suhu 0°C. Gambar 6 (b) menunjukkan model Microsoft Excel di mana sisi kiri dan kanan memiliki kondisi batas konveksi sementara sisi atas dan bawah masing- masing memiliki suhu 100°C dan 0°C.
Gambar 7. Model Excel untuk Kondisi Batas Isolasi
Gambar  7  (a)  menunjukkan  model  Microsoft  Excel  di  mana  sisi  yang  sebelah  kiri diisolasi,  sisi  atas  memiliki  suhu  100°C,  sisi  kanan  dan  bawah  memiliki  suhu  0°C. Gambar  7  (b)  menunjukkan  model  Microsoft  Excel  di  mana  sisi  kiri  dan  kanan memiliki kondisi batas isolasi sementara sisi atas dan bawah masing-masing memiliki suhu 100°C dan 0°C.
Gambar 8. Model Excel untuk Kondisi Batas Konveksi dan Isolasi
Perhitungan langsung dari lembar kerja  Microsoft Excel ini dapat digunakan untuk model dengan pembangkit kalor untuk Gambar 8 dengan variasi nilai k untuk 3 jenis bahan yang berbeda yaitu:
1. Tembaga (k= 386 W/m. o C)
2. Besi murni (k= 73 W/m. o C)
3. Baja nikel (k= 10 W/m. o C)
Selain itu, dapat juga divariasikan nilai  Δx masing-masing 0.1 cm, 1 cm dan 10 cm, dengan:
h =75 (W/m. o C), T ∞ = 30 o C, q = 500 W/m 3 , dan k =10 W/m. o C.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Langkah  pertama,  dilakukan  simulasi  distribusi  suhu  pada  pelat  logam  2x2  cm dengan 4 titik suhu yang dihitung nilainya. Perhitungan tersebut memberikan hasil nilai  perhitungan  sudah  konstan  pada  iterasi  ke-16.  Penentuan  distribusi  suhu menggunakan cara ini dapat dengan mudah dilakukan jika grid berukuran kecil dan hanya  terdiri  dari  beberapa  titik  suhu  yang  dihitung  nilainya.  Nilai-nilai  pada  sel lembar kerja Microsoft Excel ditampilkan pada Gambar 9 dan Gambar 10.
Gambar 9. Nilai distribusi suhu pelat 2x2 cm (h = k = 1 cm) pada lembar kerja Excel
Gambar 10. Grafik distribusi suhu pada pelat 2x2 cm (h = k = 1cm)
Sebaran suhu pada pelat yang berukuran sama dengan grid yang lebih kecil (h = k = 0,4 cm) ditampilkan pada gambar 11 sedangkan kontur distribusinya ditampilkan pada gambar 12.
Gambar 11. Nilai Distribusi Suhu Pelat 2x2 cm (h = k = 0,4 cm) pada Lembar Kerja Microsoft Excel
Gambar 12. Grafik Distribusi Suhu pada Pelat 2x2 cm (h = k = 0,4cm)
Jika nilai suhu untuk masing-masing titik telah diketahui, maka aliran kalor untuk tiap sisi dapat dihitung menggunakan persamaan (2) [7].
𝑞 = ∑ 𝑘∆𝑥 ∆𝑇 ∆𝑦 (2)
Dengan Δx=Δy=0,4 cm, maka:
Sisi 100°C:
𝑞 = −𝑘[(47 − 100) + (63 − 100) + (67 − 100) + (63 − 100) + (47 − 100)] = 213 𝑘

## Ketiga sisi 0°C:
𝑞 = −𝑘[(3 − 0) + (5 − 0) + (6 − 0) + (5 − 0) + (3 − 0) + 2. ((47 − 0) + (25 − 0) + (13 − 0) + (7 − 0) + (3 − 0))] = −213 𝑘
Dari hasil tersebut terlihat ada kesesuaian antara aliran kalor yang masuk melalui sisi 100°C dan yang keluar dari sisi 0°C. Untuk memperjelas, distribusi suhu pada pelat dapat  dilihat  pada  kisi  yang  diperhalus  dengan  h  =  k  =  0,1  cm  ,  seperti  yang ditunjukkan pada gambar 13.
Gambar 13. Grafik Distribusi Suhu pada Pelat 2x2 cm (h = k = 0,1 cm)
Gambar  13  menunjukkan  distribusi  suhu  dengan  pembagian  grid  yang  lebih  besar. Dengan grid yang lebih halus, distribusi suhu pada setiap titik akan lebih jelas. Dari gambar,  terlihat  suhu  tinggi  menyebar  dari  titik  tengah  sisi  yang  bersuhu  100°C, dengan suhu maksimum 90,6°C. Sebaran suhu ini berlangsung secara kontinu tidak berbatas pada  range suhu yang diwakilkan oleh warna-warna seperti  pada gambar. Pada kondisi ini, apa pun bahan pelat tidak mempengaruhi distribusi suhu pada pelat karena  dalam  persamaan  nilai  k  tidak  mempengaruhi  perhitungan.  Nilai  k  ikut berperan dalam penghitungan distribusi suhu jika sisi-sisinya memiliki kondisi batas konveksi atau isolasi.
Gambar 14. Grafik Distribusi Suhu dengan Kondisi Batas Diisolasi
Gambar  14  menunjukkan  distribusi  suhu  dari  kondisi  batas  isolasi.  Dari  gambar terlihat bahwa untuk sisi yang diisolasi memiliki pola beraturan menunjukkan tidak adanya aliran kalor pada sisi ini. Adanya isolasi pada pelat menghasilkan distribusi suhu  yang  berbeda  dibanding  gambar  13.  Distribusi  suhu  pada  batas  konveksi membuat batas kisaran suhu menjadi garis lurus dari sisi kiri ke sisi kanan (Gambar 14(b)). Suhu maksimum pada pelat meningkat menjadi  95,2°C. Hal ini diakibatkan aliran kalor langsung dari bagian atas menuju ke bawah. Tidak ada kalor yang hilang pada sisi kiri dan kanan pelat.
Gambar 15. Grafik Distribusi Suhu dengan Kondisi Batas Diisolasi
Gambar 15 (a) dan (b) menunjukkan distribusi suhu dengan kondisi batas konveksi. Aliran kalor konveksi pada batas ini menghasilkan distribusi suhu yang menyerupai gambar 14. Suhu maksimum pelat 95,1°C. Distribusi suhu pada batas konveksi juga membuat  batas  kisaran  suhu  menjadi  garis  dari  sisi  kiri  ke  sisi  kanan,  tetapi  pada bagian tengah ada sedikit lekukan. Hal ini diakibatkan oleh nilai Δx yang kecil (0.001 m), sehingga aliran konveksi pada batas kiri dan kanan cukup kecil dan menyerupai kondisi batas yang diisolasi.
Gambar 16. Grafik Distribusi Suhu dengan Kondisi Batas Konveksi dan Diisolasi
Untuk  kasus  di  mana  pelat  memiliki  batas  dengan  sisi  kiri  diisolasi  dan  sisi  kanan berbatasan  dengan  konveksi  dari  udara  bebas  ditunjukkan  oleh  gambar  16.  Dari gambar  terlihat  garis  batas  kisaran  suhu  berupa  garis  lurus  dari  bagian  kiri  yang diisolasi dan mendekati sisi konveksi ada sedikit lengkungan untuk kisaran suhu di atas 30°C. Suhu maksimum pelat adalah 95.2°C.
Gambar 17. Gambar Distribusi Suhu dari Besi Murni (k = 73 W/m 0 C)
Gambar 17 menunjukkan distribusi suhu pada pelat dengan nilai k yang lebih besar yaitu k = 73 W/m°C. Nilai k yang lebih besar menjadikan sisi konveksi terlihat seperti sisi  isolasi.  Batas  kisaran  suhu  menjadi  garis  lurus  dari  kiri  ke  kanan.  Nilai  suhu maksimum pada pelat ini sama seperti gambar 13 yaitu 95,2°C.
Gambar 18. Grafik Distribusi Suhu Tembaga (K= 386 W/M o c)
Distribusi suhu pada pelat dengan k= 386 W/m o C ditunjukkan oleh gambar 18. Nilai k tembaga  yang  lebih  besar  dibanding  besi  tidak  menimbulkan  perbedaan  grafik distribusi suhu di antara keduanya. Suhu maksimum pada kedua model juga sama. Nilai Δx yang kecil mengakibatkan tidak adanya perubahan distribusi suhu dibanding gambar  sebelumnya.  Perbedaan  distribusi  suhu  pada  pelat  yang  dipengaruhi  oleh nilai Δx ditunjukkan oleh gambar 19 dan Gambar 20.
Gambar 19. Grafik Distribusi Suhu dengan Δx = 1 Cm
Gambar  19  menunjukkan  distribusi  suhu  dengan  nilai  Δx  =  1  cm, di  mana  nilai  ini lebih besar dibanding nilai sebelumnya (0,1 cm). Dengan pelat yang lebih besar (Δx =1 cm, maka ukuran pelat adalah 20 cm), perbedaan antara sisi yang diisolasi dan sisi konveksi  menjadi  semakin  jelas.  Pada  kondisi  ini  sisi  yang  diisolasi  masih menunjukkan  pola  yang  teratur,  sedangkan  pada  sisi  konveksi  mulai  terlihat lengkungan pada kisaran suhu 40-100°C walaupun nilai suhu maksimum tetap pada 95,2°C.

## Gambar 20. Grafik Distribusi Suhu dengan Kondisi Batas Konveksi dan Diisolasi
Distribusi suhu dengan nilai Δx yang lebih besar (10 cm) ditunjukkan oleh Gambar 20. Ukuran  pelat  menjadi  lebih  besar,  pengaruhnya  adalah  suhu  di  batas  konveksi mendekati nilai suhu lingkungan. Sementara di sisi isolasi menunjukkan  pola yang tetap dan teratur. Suhu maksimum meningkat menjadi 99,4 o C.
Perbedaan yang terjadi antara setiap gambar distribusi suhu diakibatkan pemilihan grid, kondisi batas pada setiap tepi, nilai Δx dan adanya pembangkit kalor dalam pelat. Grid  yang  lebih  halus  menghasilkan  grafik  distribusi  suhu  yang  lebih  teliti.  Syarat batas konveksi memberikan pengaruh suhu di sekitar batas mendekati suhu T ∞ . Syarat
batas  isolasi  memberikan  pola  yang  teratur  di  daerah  tepi  yang  diisolasi..  Nilai  Δx yang besar mengakibatkan batas konveksi semakin mendekati nilai suhu lingkungan T ∞ .

## KESIMPULAN
Hasil  penelitian  yang  telah  dipaparkan  memberikan  kesimpulan  bahwa  distribusi suhu dari model aliran kalor dalam kondisi tunak pada pelat logam dapat dijelaskan dengan  menggunakan  Microsoft  Excel.  Hal-hal  yang  mempengaruhi  tampilan  dan ketelitian  distribusi  suhu  pada  pelat  logam  dalam  kondisi  tunak  adalah  pemilihan ukuran grid, kondisi batas pada setiap tepi, dan adanya pembangkit kalor dalam pelat.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]  A. Abu Hamid, Kalor dan Termodinamika. Yogyakarta: UNY, 2007.
[2]  F. Kreith, R. M. Manglik, and M. Bohn, Principles of Heat Transfer, 7th ed. Stanford: Cengage Learning, 2011.
[3]  I. Noor and A. Fitrian,  Simulasi Sebaran Temperatur Pelat Logam Tipis Besi dan Kuningan Berbasis Matlab, Navigation Physics, vol. 2, no 1. pp. 9-13. 2020
[4]  Sumariyah, K. S. Firdaus, and D. Mulyati, “Komputasi Aliran Panas pada Sebuah Batang  Logam  dengan  Menggunakan  Algoritma  Numerov  dan  Bahasa Pemprograman Borland Delphi 6.0,” Berk. Fis., vol. 6, no. 3, pp. 71–78, 2003.
[5]  S.  Sailah,  “Menentukan  Distribusi  Temperatur  dengan  Menggunakan  Metode Crank Nicholson,” J. Penelit. Sains, vol. 13, no. 2(B), pp. 17–22, 2010.
[6]  Supardiyono, “Analisis Distribusi Suhu pada Pelat Dua Dimensi Menggunakan Metoda Beda Hingga,” J. Penelit. Fis. Dan Apl., vol. 1, no. 2, pp. 33–39, 2011.
[7]  Sukardiyono and Supardi, “Penggunaan Metode Relaksasi untuk Penyelesaian Persamaan  Diferensial  Parsial  Eliptik  Dimensi  Dua,”  in  Prosiding  Seminar Nasional Hasil Penelitian MIPA dan Pendidikan MIPA, Yogyakarta, 2003.
[8]  J. P. Holman, Perpindahan Kalor. Jakarta: Erlangga, 1995.