Vol. 18, No. 1,  67-77,  September, 2021 DOI: 10.20956/j.v18i1.14362
* Program Studi Magister Matematika FMIPA-UNHAS
Email address: 1 hukmahrusdi90123@gmail.com, 2 syamsuddint@yahoo.com, 3 jeffry.kusuma@gmail.com
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License

## Dynamics of Intra-guild Predation Model with Stage Structure in Prey
Dinamika Model Predasi Intraguild dengan Tahapan Struktur pada Mangsa
Hukmah 1* , Syamsuddin Toaha 2* , Jeffry Kusuma 3*

## Abstract
The Intra-guild predation  model is an interaction between three species  where two of them compete  and  prey  on  each  other  for  the  same  resource.  This  study  considers  the  stage structure  of  prey  on  and  combines  Beddington-DeAngelis  and  Holling  type  I  as  functional responses in the model. Furthermore, the equilibrium point and stability of the model will be analyzed. The numerical result at the equilibrium point shows, that the solution converging toward the equilibrium point so that the population is stable and will not become extinct with increasing  time.  In  addition,  the  population  tends  to  be  stable  when  the  density  of  prey  is larger than the predator.
Keywords: Intra-guild  Predation,  Stage  Structure,  Holling  Type  I,  Beddington- DeAngelis.

## Abstrak
Model  predasi  intraguild  merupakan  interaksi  antara  tiga  spesies  dimana  dua  spesies diantaranya  saling  berkompetisi  dan  memangsa  untuk  memperebutkan  sumber  daya  yang sama. Penelitian ini mempertimbangkan tahapan struktur pada mangsa dan menggabungkan fungsi  respon  Beddington-DeAngelis  dan  Holling  tipe  I  pada  model.  Selanjutnya  akan dianalisis titik kesetimbangan dan kestabilan model. Hasil numerik pada titik kesetimbangan menunjukkan  bahwa  solusi  konvergen  menuju  titik  kesetimbangan  sehingga  populasi stabil  dan  tidak  akan  punah  dengan  bertambahnya  waktu.  Selain  itu,  populasi  cenderung stabil ketika populasi mangsa lebih besar dari populasi pemangsa.
Kata kunci: Predasi Intraguild, Tahapan Struktur, Fungsi Respon Holling Tipe I, Fungsi Respon Beddington-DeAngelis.

## 1. Pendahuluan
Penelitian tentang model matematika yang melibatkan beberapa spesies atau populasi dalam dinamika  populasi  telah  banyak  dilakukan.  Kajian  tentang  dinamika  populasi  bertujuan  untuk mengungkap perilaku populasi dalam ekosistem akibat dari interaksi dan kondisi ekosistem di mana  populasi  tersebut  melanjutkan  kehidupannya.  Peran  matematika  dalam  hal  pemodelan dinamika populasi adalah untuk memprediksi keberlanjutan populasi untuk waktu yang panjang serta  juga  dapat  merekomendasikan  suatu  strategi  yang  dapat  diterapkan  untuk  menjaga keberlanjutan populasi [13].
Interaksi antar spesies maupun antar populasi dalam rantai makanan sangat mempengaruhi dinamika populasi dalam suatu ekosistem. Salah satu bentuk interaksi yang paling sering terjadi dalam  ekosistem  adalah  bentuk  pemangsaan,  satu  populasi  berperan  sebagai  pemangsa  dan

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
populasi lainnya berperan sebagai mangsa. Beberapa contoh dinamika populasi yang melibatkan bentuk pemangsaan berserta varian-variannya serta tujuan kajiannya dapat ditemukan pada [[1], [9], [12], [14], [15], [16], 19]]. Salah satu bentuk interaksi yang unik adalah predasi intraguild, yang merupakan kombinasi antara kompetisi dan predasi/parasitisasi. Perbedaan antara predasi intraguild  dan  kompetisi  adalah  pada  predasi  intraguild,  salah  satu  spesies  mendapatkan keuntungan (+,-), sedangkan pada kompetisi kedua spesies secara umum mengalami kerugian (- ,-). Predasi intraguild menjadi faktor utama dalam keberhasilan pengendalian hayati [18].
Penelitian  model  predasi  intraguild  telah  banyak  dikembangkan  dalam  berbagai  dinamika populasi.  Kang  dan  Wedekin  [8]  memvariasikan  predator  menjadi  dua  jenis  yaitu  predator khusus  dan  predator  umum    untuk  mengetahui  jenis  predator  yang  cenderung  menyebabkan koeksistensi  ke  tiga  spesies.  Wei  dkk.,  [17]  mempertimbangkan  pengganti  mangsa  ( prey switching )  yang  memungkinkan  predator  mengkonsumsi  mangsa  secara  proporsional  terhadap kelimpahan  mangsa.  Selain  jenis  populasi,  model  juga  dikembangkan  dengan  berbagai  faktor perlakuan  terhadap  populasi,  misalnya  dengan  melibatkan  pemanenan  [2],  dengan  melibatkan faktor difusi dan waktu tunda dalam mekanisme pertumbuhan populasi [5] .
Sejumlah  spesies  umumnya  memiliki  dua  tahap  dalam  siklus  hidupnya,  yaitu  tahapan spesies yang belum dewasa ( immature ) dan spesies yang sudah dewasa ( mature ). Dalam banyak faktor  dan  tujuan  tertentu, populasi tersebut  dibagi  dalam  sub-sub  populasi.  Hal  tersebut  telah dipertimbangkan  dalam  beberapa  penelitian  model  predasi  intraguild,  seperti  Collera  & Magpantay  [3]  yang  meneliti  tentang  dinamika  model  predasi  intraguild  dengan  tahapan struktur pada populasi mangsa intraguild. Pada artikel ini, dinamika populasi mangsa pemangsa dengan  mangsa  intraguild  dikaji  untuk  mengetahui  pengaruh  dari  pemangsaan  dan  struktur umur  yang  dilibatkan  dalam  model.  Perilaku  populasi  dikaji  dengan  menganalisis  kestabilan lokal  dari  titik  kesetimbanagan  model  melalui  pendekatan  linearisasi  yang  melibatkan  matriks Jacobi dan nilai eigen.

## 2. Model Predasi Intraguild
Bentuk  umum  model  predasi  intraguild  telah  dikaji  oleh  penulis  [7]  dalam  bentuk  sistem persamaan differensial autonomus sebagai berikut.
                    2 3 3 2 2 1 3 1 1 2 1 , , , , , , , , , , , , , , d y z y w e w z y w e z dt dz d z z y w w z y w e y dt dy z z y w y z y w w w dt dw                
Variabel w , y ,  dan z pada  Model  (2.1)  menyatakan  kepadatan  populasi  mangsa,  mangsa intraguild  (mangsa  IG)  dan  pemangsa  intraguild  (pemangsa  IG).  Fungsi  pertumbuhan  mangsa tanpa  interaksi  dengan  pemangsa  dinyatakan  dengan  persamaan ( ) w w  ,  sedangkan  fungsi respon  pemangsa  dinyatakan  dengan   1 , , w y z y  ,   2 , , w y z z  ,  dan   3 , , w y z z  . Parameter , ,  dan menyatakan  laju  konversi  pemangsaan  kepada  pemangsa.  Sementara laju kematian populasi mangsa IG dan pemangsa IG dinotasikan dengan dan . Parameter yang terlibat dalam Model (2.1) semuanya diasumsikan bernilai positif.
Dinamika  populasi  pada  penelitian  ini  dimodelkan  secara  matematis  menggunakan  sistem persamaan  differensial.  Model  dikembangkan  dari  penelitian  Kang  dan  Wedekin  [8]  dengan asumsi  bahwa  laju  predasi  dipengaruhi  oleh  interferensi  (kompetisi  intraspesifik)  pada pemangsa . Ketika kepadatan pemangsa meningkat, maka laju konsumsi pemangsa menurun akibat  interferensi  antar  pemangsa  [6].  Selain  itu,  diasumsikan  bahwa  populasi  mangsa diklasifikasikan  menjadi  dua  tahapan  usia,  yaitu  mangsa  yang  belum  dewasa dan  mangsa yang  sudah  dewasa [4].  Model  persamaan  differensial  dibangun  dengan  asumsi  sebagai berikut:
(2.1)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
1) Populasi  mangsa  kecil akan  berkurang  sebesar
ketika  mengalami  transformasi
menjadi  dewasa.  Predasi  oleh  mangsa  IG  dan  pemangsa  IG  menyebabkan  berkurangnya mangsa  kecil  masing-masing  sebesar dan .  Tetapi  akan  bertambah  sebesar akibat perkembangbiakan oleh populasi mangsa dewasa.
2) Populasi  mangsa  dewasa mengalami  pertumbuhan  logistik  sebesar ( ) dan bertambah sebesar akibat transformasi mangsa kecil menjadi dewasa. Namun, populasi akan berkurang sebesar akibat laju predasi oleh pemangsa IG.
3) Populasi mangsa IG akan bertambah sebesar
akibat interaksi dengan mangsa kecil dan akan berkurang sebesar
akibat interaksi dengan pemangsa IG.
4) Populasi  pemangsa  IG akan  bertambah  sebesar , ,  dan akibat
interaksi dengan mangsa (kecil, dewasa, dan IG).
5) Predasi  intraguild  ditunjukkan  oleh  interaksi  antara  mangsa  IG  sebagai  kompetitor potensial  dan  pemangsa  IG  untuk  memperebutkan  sumber  daya  (mangsa  kecil).  Predasi terhadap  mangsa  (kecil  dan  dewasa)  menggunakan  fungsi  respon  Holling  Tipe  I  dan Beddington-DeAngelis untuk predasi terhadap mangsa IG.
6) Populasi  mangsa  IG  dan  pemangsa  IG  akan  berkurang  sebesar dan akibat kematian alami.
7) Salah satu fenomena yang menggambarkan dinamika predasi intraguild pada penelitian ini adalah  interaksi  antara  populasi  kucing  ( Felis  catus )  dan  tikus  ( Rattus  rattus,  Rattus exulans, Rattus norvegicus ) dalam memangsa populasi burung pantai ( seabird ) [[10], [11]]. Dengan  mempertimbangkan  asumsi  tersebut,  diperoleh  sistem  persamaan  diferensial berikut.
  1 2 3 2 1 1 2 3 4 2 , 1 , , 1 1 d u r w u r y z
d t d w w r w r u w z d t k d y z y e u d d t h y g z
d z y z e w e e u d d t h y g z
                                            
Keterangan simbol untuk Model (2.2) diberikan pada Tabel 2.1 dan kompartemen diagram pada Model (2.2) ditunjukkan pada Gambar 2.1.
Tabel 2.1 Deskripsi Variabel dan Parameter Model Simbol Keterangan menyatakan laju perubahan ukuran populasi mangsa kecil terhadap waktu . menyatakan laju perubahan ukuran populasi mangsa dewasa terhadap waktu .
menyatakan laju perubahan ukuran populasi mangsa IG terhadap waktu .
menyatakan laju perubahan ukuran populasi pemangsa IG terhadap waktu .
menyatakan laju kelahiran individu populasi mangsa dewasa menyatakan transformasi individu populasi mangsa kecil menjadi dewasa menyatakan tingkat pertumbuhan intrinsik individu populasi mangsa dewasa menyatakan  tingkat  predasi  maksimum  mangsa  IG  terhadap  mangsa  belum dewasa menyatakan  tingkat  predasi  maksimum  pemangsa  IG  terhadap  mangsa  belum
(2.2)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
dewasa menyatakan tingkat predasi maksimum pemangsa IG terhadap mangsa intraguild menyatakan tingkat predasi maksimum pemangsa IG terhadap mangsa dewasa menyatakan daya dukung lingkungan menyatakan tingkat penanganan dan pencernaan mangsa IG menyatakan kekuatan saling interferensi antar pemangsa menyatakan laju kematian mangsa IG menyatakan laju kematian pemangsa IG menyatakan  laju  konversi  konsumsi  mangsa  belum  dewasa  ke  dalam  tingkat pertumbuhan mangsa IG menyatakan  laju  konversi  konsumsi  mangsa  belum  dewasa  ke  dalam  tingkat pertumbuhan pemangsa IG menyatakan  laju  konversi  konsumsi  mangsa  dewasa  ke  dalam  tingkat pertumbuhan pemangsa IG
menyatakan  laju  konversi  konsumsi  mangsa  intraguild  ke  dalam  tingkat pertumbuhan pemangsa IG
Sebagai syarat untuk mengalisis dinamika populasi mangsa dan pemangsa maka semua populasi diberikan syarat awal, yaitu ( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) .

## Gambar 2.1 Diagram Model Interaksi Predasi Intraguild

## 3. Analisis Dinamika Populasi
Dalam  menganalisis  dinamika  populasi,  salah  fokus  kajian  adalah  penentuan  titik keseimbangan  sistem.  Pada  kondisi  populasi  setimbang,  semua  populasi  tidak  berubah  dengan bertambahnya  waktu  sehingga  kestabilan  dari  titik  kesetimbangan  tersebut  menjadi  penentu dalam  mengetahui  dinamika  populasi  di  sekitar  titik  kesetimbangan  tersebut.  Titik kesetimbangan dari Model (2.2) diperoleh dengan menyelesaikan
, , , dan secara simultan.
  1 2 0 r w u r y z u            
, maka diperoleh
0 u  atau  
1 2 0 r w r y z u      

## 𝑟 𝑤
MANGSA INTRAGUILD (𝑦 ) 𝑟 𝑤 ( 𝑤 𝑘 ) MANGSA KECIL ( 𝑢) PEMANGSA INTRAGUILD (𝑧 ) 𝑒 𝛼𝑤𝑧 𝑒 𝛿𝑢𝑧
MANGSA DEWASA ( 𝑤) 𝑒 𝜌𝑢𝑦
𝑒 𝛽𝑦𝑧 +  𝑦 + 𝑔𝑧 𝑑 𝑧 𝑑 𝑦 𝑟 𝑢

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
2 3 1 0 r u w w r z
k w                 
, maka diperoleh
0 w  atau
2 3 1 0 r u w r z k w                 
1 1 0 1 z y e u d h y g z  
           , maka diperoleh
0 y  atau 1 1 0
1 z e u d h y g z       
2 3 4 2 0 1 y z e w e e u d h y g z                , maka diperoleh
0 z  atau 2 3 4 2 0 1 y e w e e u d h y g z  
      
Berdasarkan  uraian  tersebut  diperoleh  lima  titik  kesetimbangan  nonnegative  yaitu (          ) , ( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) . Titik kesetimbangan dan merupakan titik kesetimbangan yang tidak relevan dengan dinamika biologi  dan  tidak  terlalu  menarik  untuk  dianalisis  kestabilan  titik  kesetimbangan  tersebut, karena  populasi  mangsa  dan  pemangsa  IG  bernilai  nol.  Sementara dan merupakan  titik kesetimbangan pada dinamika mangsa pemangsa yang juga ada melibatkan populasi setimbang dengan  nilai  nol.  Dalam  dinamika  populasi,  biasanya  yang  menarik  untuk  dikaji  adalah  titik kesetimbangan untuk semua populasi bernilai positif.  Oleh karena itu, titik kesetimbangan yang dianalisis  pada  Model  (2.2)  hanya karena  relevan  dengan  dinamika  predasi  intraguild.
Misalkan ( ) sebagai  fungsi  pertumbuhan  mangsa  dewasa  dan sebagai  fungsi  respon  pemangsa  IG  terhadap  mangsa  IG,  maka  dari  Persamaan  (3.1),    (3.2), (3.3), dan (3.4) diperoleh titik kesetimbangan berikut.
 
 
            
  
      * * 5 2 5 1 1 * 2 5 * 5 * 5 1 * 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 5 * 5 * 3 1 1 2 1 5 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 * 3 1 1 2 1 5 * 2 5 1 , , u z d r u w z r d d
r z y e z
d d r d r r e z
z A B C                         
  

            
           
  
dengan  nilai-nilai 𝐴   ( 2 3 1 2 1 ) , 𝐵   ( 1 2 3 1 + 2 3 2 1 + 1 2 1 2 1 2 1 1 + 2 1 ) , dan 𝐶 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 + 1 1 1 1 2 1
1 1 2 .  Selanjutnya,  untuk  menganalisis  kestabilan  lokal  titik  kesetimbangan pada persamaan  (3.5)  dilakukan  linearisasi  di  sekitar  titik  kesetimbangan  dengan  menggunakan matriks Jacobi berikut.
(3.2)
(3.4) (3.3)
(3.5)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
( )
[ + + + ]
Nilai  eigen  dari  matriks  Jacobi ( 5 ) diperoleh  dengan  menyelesaikan | ( 5 )   𝜆𝐼|   0 mengasilkan  persamaan    karakteristik   4 3 2 0 1 2 3 4 P c c c c c           dengan 𝑐 0 1 ,
𝑐 1 ( 11 [5] + 22 [5] + 33 [5] + 44 [5] ) , 𝑐 2 ( 11 [5] + 33 [5] + 44 [5] ) 22 [5] + ( 11 [5] + 44 [5] ) 33 [5] + 11 [5] 44 [5]
34 [5] 43 [5] 14 [5] 41 [5] 42 [5] 24 [5] 21 [5] 12 [5]
13 [5] 31 [5] , 𝑐 3 (( 11 [5]
44 [5] ) 33 [5] 11 [5] 44 [5] + 34 [5] 43 [5] +
41 [5] 14 [5] + 31 [5] 13 [5] ) 22 [5] + ( 11 [5] 44 [5] + 12 [5] 21 [5] + 14 [5] 41 [5] + 24 [5] 42 [5] ) 33 [5] + ( 24 [5] 42 [5] + 34 [5] 43 [5] ) 11 [5] +
( 12 [5] 21 [5] + 13 [5] 31 [5] ) 44 [5] 41 [5] 24 [5] 12 [5] 34 [5] 41 [5] 13 [5] 14 [5] ( 21 [5] 42 [5] + 31 [5] 43 [5] ) , dan 𝑐 4 (( 11 [5] 44 [5] 14 [5] 41 [5] ) 33 [5] 11 [5] 34 [5] 43 [5] + 34 [5] 41 [5] 13 [5] + 43 [5] 14 [5] 31 [5] 31 [5] 13 [5] 44 [5] ) 22 [5] +
( 11 [5] 24 [5] 42 [5] 12 [5] 21 [5] 44 [5] + 12 [5] 24 [5] 41 [5] + 14 [5] 21 [5] 42 [5] ) 44 [5] ( 12 [5] 43 [5] + 13 [5] 42 [5] )( 21 [5] 34 [5] 24 [5] 31 [5] ) .
Berdasarkan kriteria uji kestabilan Routh Hurwitz, yaitu jika 𝑐 , 𝑐 , 𝑐 , 𝑐
, 𝑐 ,  dan 𝑐 𝑐 𝑐 , 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 𝑐 + 𝑐 maka  titik  kesetimbangan bersifat  stabil asimtotik lokal.

## 4. Simulasi Numerik
Untuk  mengetahui  dinamika  populasi  mangsa  dan  pemangsa  dan  mengkonfirmasi  hasil analisis  yang  diberikan  sebelumnya  dilakukan  simulasi  numerik  untuk  mengetahui  perilaku dinamik di sekitar titik kesetimbangan . Simulasi Model (2.2) menggunakan nilai parameter pada Tabel 4.1 berikut
Tabel 4.1 Deskripsi Variabel dan Parameter Model Variabel/ Parameter Nilai Dimensi Sumber [[4], [20]] 3 [Tahun] -1 [4] (0-5); 4.5 [Tahun] -1 Asumsi 4 [Tahun] -1 [4] (0-1); 0.05 [Mangsa IG] -1 [Tahun] -1 Asumsi (0-1); 0.0001 [Pemangsa IG] -1 [Tahun] -1 Asumsi 100 Biomassa [4] (0-1); 0.03 [Pemangsa IG] -1 [Tahun] -1 Asumsi (0-1); 0.035 [Pemangsa IG] -1 [Tahun] -1 Asumsi (0-1); 0.4 [Mangsa IG] [Mangsa kecil] -1 Asumsi (0-1); 0.3 [Pemangsa IG] [Mangsa dewasa] -1 [20] (0-1); 0.7 [Pemangsa IG] [Mangsa IG] -1 [20] (0-1); 0.5 [Pemangsa IG] [Mangsa keci] -1 Asumsi

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
(0-1.8); 0.6 [Tahun] -1 Asumsi (0-1.8); 1.3 [Tahun] -1 Asumsi 0.03 [Mangsa IG] -1 [4] 0.04 [Pemangsa IG] -1 [4]
Dengan  menggunakan  nilai  parameter  yang  diberikan  pada  Tabel  4.1.  diperoleh  titik kesetimbangan (                           ) .  Nilai  eigen  dari  matriks  Jacobi  yang berseuaian  dengan  titik  keseimbangan
(                           ) adalah 𝜆
𝜆 𝜆 𝜆 .  Semua  nilai  eigen  bernilai  real  dan  negatif yang  menunjukkan  bahwa  titik  kesetimbangan bersifat  stabil  asimtotik  lokal.  Dengan mengambil nilai awal populasi ( ) , ( ) , ( ) , dan ( ) , diperoleh kurva  solusi  yang  menggambarkan  perilaku  populasi  di  sekitar  titik  kesetimbangan seperti ditunjukkan oleh Gambar 4.1. berikut.
Gambar 4.1. Grafik perubahan populasi (a) mangsa belum dewasa, (b) mangsa dewasa, (c) mangsa IG, dan (d) pemangsa IG terhadap waktu.
Gambar 4.1. (a)(b) menunjukkan bahwa awalnya kurva solusi meningkat pada tahun dan menurun dalam jangka waktu
tahun. Gambar tersebut juga menunjukkan bahwa populasi mangsa dewasa lebih cepat konvergen menuju titik kesetimbangan
(a)
(b)
(c)
(d)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
(                           ) dibandingkan populasi mangsa kecil. Hal tersebut dipengaruhi oleh      populasi  mangsa  kecil  memiliki  pemangsa  yang  lebih  banyak  dibandingkan  mangsa dewasa.  Gambar  4.1.  (c)    menunjukkan  bahwa  awalnya  kurva  solusi  meningkat  pada tahun  dan  menurun  dalam  jangka  waktu
tahun  kemudian  konvergen  menuju  titik
kesetimbangan .  Hal  tersebut  menyebabkan  populasi  mangsa  IG  tidak  stabil  dalam  jangka waktu tahun.  Populasi  pemangsa  IG  pada  Gambar  4.1.  (d)    tidak  stabil  dalam  jangka waktu tahun  kemudian  stabil  yang  ditunjukkan  dengan  kurva  solusi  konvergen  menuju titik kesetimbangan . Populasi mangsa  IG  membutuhkan waktu yang lama untuk  mencapai keadaan stabil karena selain berkompetisi dengan pemangsa IG sekaligus menjadi mangsa dari pemangsa IG. Kurva solusi konvergen menuju titik kesetimbangan (                           ) menunjukkan  bahwa  populasi  tidak  akan  punah  dengan bertambahnya waktu . Jika diberikan nilai awal populasi mangsa IG dan pemangsa IG masing- masing  sebesar ( ) , ( ) dan ( ) , ( ) maka  perilaku  kurva  solusi di sekitar titik kesetimbangan ditunjukkan oleh Gambar 4.2. dan Gambar 4.3 berikut.
Gambar 4.2 Grafik perubahan populasi (a) mangsa belum dewasa, (b) mangsa dewasa, (c) mangsa IG, dan (d) pemangsa IG terhadap waktu.
(c) (d)
(a)
(b)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi
Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
Gambar 4.3 Grafik perubahan populasi (a) mangsa belum dewasa, (b) mangsa dewasa, (c) mangsa IG, dan (d) pemangsa IG terhadap waktu.
Interval  waktu  yang  dibutuhkan  populasi  untuk  konvergen  menuju titik  kesetimbangan pada  Gambar  4.2.(a)-(d)  dan  Gambar  4.3.(a)-(d)  cenderung  sama  meskipun  pola  pergerakan kurva  solusi  berbeda.  Namun  jika  dibandingkan  dengan  Gambar  4.1.(a)-(d),  maka  interval waktu  yang  dibutuhkan  populasi  untuk  konvergen  menuju  titik  kesetimbangan cenderung besar.  Selain  itu,  laju  perubahan  populasi  pada  Gambar  4.3.(a)-(d)    lebih  signifikan dibandingkan  Gambar  4.2.(a)-(d).  Misalnya  pada
tahun,  jumlah  populasi  mangsa  kecil pada  Gambar  4.2.(a)  menurun  sebesar ( ) sedangkan  pada  Gambar  4.3.(a)  meningkat sebesar ( ) untuk nilai awal yang sama. Keadaan yang sama juga terjadi  pada populasi mangsa dewasa (b), mangsa IG (c), dan pemangsa IG (d) dimana selisih antara jumlah populasi awal  dan  jumlah  populasi  pada tertentu  lebih  besar  pada  Gambar  4.3.  (b)-(d)  dibandingkan Gambar 4.2.(b)-(d). Hal tersebut dipengaruhi oleh nilai awal populasi mangsa IG dan pemangsa IG  pada  Gambar  4.2.(a)-(d)  memiliki  selisih  yang  lebih  kecil  dari  titik  kesetimbangan dibandingkan Gambar 4.3.(a)-(d)  Jadi besarnya selisih antara nilai awal dan titik kesetimbangan mempengaruhi  interval  waktu  yang  dibutuhkan  populasi  untuk  konvergen  menuju  titik kesetimbangan .
(a)
(b) (d) (c)

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
Kurva  solusi  konvergen  menuju  titik  kesetimbangan  menunjukkan  keadaan  stabil  pada populasi  sehingga  ekosistem  dengan  interaksi  predasi  intraguild  memungkinkan  populasi mangsa  dan  pemangsa  yang  hidup  bersama  di  dalamnya  dapat  berlangsung  tanpa  ada  yang punah untuk waktu yang lama.

## 5. Kesimpulan
Predasi  intraguild  ditunjukkan  pada  interaksi  populasi  mangsa  IG  dan  pemangsa  IG terhadap mangsa kecil. Hasil analisis dari Model  (2.2) diperoleh 5 titik kesetimbangan, tetapi hanya ( ) yang  memenuhi  interaksi  predasi  intraguild. Titik  kesetimbangan bersifat  stabil  asimtotik  jika  memenuhi  syarat  tertentu.  Hasil  simulasi  numerik  menunjukkan bahwa solusi konvergen menuju titik kesetimbangan sehingga populasi stabil dan tidak akan punah  dengan  bertambahnya  waktu.  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  dengan  kondisi  tertentu kewujudan  titik  keseimbangan  yang  semuanya  bernilai  positif  dapat  dicapai.  Dan  dengan kondisi  tertentu  pula,  titik  kesetimbangan ( ) stabil  secara  asimptotik.  Hal  ini bermakna bahwa kedua populasi, populasi mangsa dan pemangsa dengan struktur umur, dapat hidup  bersama  secara  berkelanjutan  dalam  suatu  ekosistem  meskipun  terjadi  pemangsaan asalkan laju pemangsaan tidak terlalu besar dan terkontrol.

## Daftar Pustaka
[1] Agus,  A.,  Toaha,  S.  &  Kasbawati.  2018.  Analisis  Model  Populasi  Mangsa  Pemangsa dengan  Area  Reservasi  dan  Pemanenan  Pemangsa. Jurnal  Matematika,  Statistika  dan Komputasi , Vol. 15, No. 1, 1-12.
[2] Collera,  J.  A.  2016.  Harvesting  in  Delayed  Food  Web  Model  with  Omnivory. AIP Conference Proceedings 1705, 020033.
[3] Collera,  J.A.,  &  Magpantay,  F.M.G.  2018.  Dynamics  of  a  Stage  Structured  Intraguild Predation Model. Springer International Publishing , pp.327-337.
[4] Dubey, B., & Kumar, A. 2019. Dynamics of  Prey-Predator Model with Stage Structure in Prey Including Maturation and Gestation Delays. Nonlinear Dynamics .
[5] Han,  R.,  Dai,  B.,  &  Wang,  Lin.  2018.  Delay  Induced  Spatiotemporal  Patterns  in  a Diffusive  Intraguild  Predation  Model  with  Beddington-DeAngelis  Functional  Response. Mathematical Bioscience and Engineering , 595-627.
[6] Garain,  K.,  Kumar,  U.,  &  Mandal,  P.S.  2019.  Global  Dynamics  in  a  Beddington- DeAngelis  Prey-Predator  Model  with  Density  Dependent  Death  Rate  of  Predator. Differential Equations and Dynamical Systems , 29.265-283.
[7] Holt, R.D., & Polis, G.A., 1997. A Theoretical Framework for Intraguild Predation. The American Naturalist, 149 , 745-764.
[8] Kang, Y., & Wedekin, L. 2013. Dynamic of a Intraguild Predation Model with Generalist or Specialist Predator. Journal of Mathematical Biology, 67(5), 1227-1259.
[9] Pratama,  R.A.,  Toaha,  S.  &  Kasbawati.  2019.  Optimal  Harvesting  ans  Stability  of Predaror  Prey  Model  with  Monod-Haldane  Predation  Response  Function  and  Stage Structure for Predator. IOP Conference Series: Earth and Environmental Science 279 (1), 012015.
[10] Russel,  J.C.,  Lecomte,  V.,  Dumont,  Y.,  &  Corre,  M.L.  2009.  Intraguild  Predation  and Mesopredator Release Effect on Long-Lived Prey. Ecological Modelling , 220. 1098-1104
[11] Ringler, D., Russell, J.C., & Corre, M.L. 2015. Trophic Role of Black Rats and Seabird Impacts  on  Tropical  Island:  Mesopredator  Release  or  Hyperpredation. Biological Conservation , 185. 75-84.

## Jurnal Matematika, Statistika & Komputasi

## Hukmah, Syamsuddin Toaha, Jeffry Kusuma
[12] Siddik,  A.M.A.,  Toaha,  S.,  &  Anwar,  A.M.  2021.  Stability  Analysis  of  Prey-Predator Model  with  Holling  Type  IV  Functional  Response  and  Infectious  Predator. Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi , Vol. 17, No. 2, 155-165.
[13] Toaha, S. Pemodelan Matematika dalam Dinamika Populasi . Makassar, Satu Dua Press, 2013.
[14] Toaha,  S.,  &  Azis,  M.  I.  2018.  Stability  and  Optimal  Harvesting  of  Modified  Leslie- Gower  Predator-Prey  Model. IOP  Conf.  Series:  Journal  of  Physics (Vol.  979). https://doi.org/doi:10.1088/1742-6596/979/1/012069.
[15] 7Toaha,  S.  2019.  The  effect  of  Harvesting  with  Threshold  on  the  Dynamics  of  Prey Predator Model. IOP Conf. Series: Journal of Physics 1341 (6), 062021.
[16] Ulya, F.H, Toaha, S. & Kasbawati. 2019. Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal Model Leslie-Gower Fungsi Respon Holling III dengan Pemanenan pada Populasi Predator dan Prey. Jurnal  Matematika,  Statistika  dan  Komputasi .  Vol  16,  Nol  1,  74-87. doi:10.20956/jmsk.v16i1.6784.
[17] Wei, H. C., Chen, Y. Y., Lin, J. T., & Hwang, S. F. 2018. The Dynamics of an Intraguild Predation Model with Prey Switching. AIP Conference Proceedings 1978 , 470012.
[18] Widihastuty.  2010.  Predasi  Intraguild:  Fenomena  dan  Pengaruhnya  dalam  Pengendalian Hayati. Kopertis Wilayah Nanggroe Aceh Darussalam (NAD), Sumatra Utara, Indonesia. Vol. 14. No.2.
[19] Yusrianto,  Y.,  Toaha,  S.  &  Kasbawati.  2019.  Analisis  Kestabilan  Model  Mangsa Pemangsa  dengan  Pemanenan  Ambang  Batas  pada  Populasi  Pemangsa. Jurnal Matematika, Statistika dan Komputasi , Vol. 16, No. 1, 97-106.
[20] Zhang,  D  &  Dai,  B.  2018.  Spreading  and Vanishing  in  a  Diffusive  Intraguild  Predation Model with Intraspecific Competition and Free Boundary. Mathematical Method Applied Sciences , 42.1-27