Vol. 7, No.1, 1-12,  Juli  2010
Algoritma Penalized Residual Sum of Square pada Penentuan Model Multivariate Adaptive Regression Spline dengan Respon Kontinu
Raupong 

## Abstrak
Analisis  regresi  digunakan  untuk  melihat  pengaruh  variabel  independen  terhadap  variabel dependen  dengan  terlebih  dahulu  melihat  pola  hubungan  variabel  tersebut.  Hal  ini  dapat dilakukan  dengan  dua  pendekatan,  yaitu  pendekatan  parametrik  dan  nonparametrik. Penerapan  Algoritma Penalized  Residual  Sum  of  Square (PRSS)  pada  model  MARS  akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan dengan respon kontinu. Adapun tujuan dalam penulisan  ini  adalah  mendapatkan    model  MARS terbaik  pada  penurunan  tekanan  darah terhadap  pemberian  ramuan  buah  mengkudu  dan  daun  kumis  kucing  pada  pasien  hipertensi yang  berobat  di  laboratorium  P4OT  Surabaya.  Secara  keseluruhan,  model  terbaik  dipilih berdasarkan  koefisien  determinasi  terbesar.  Namun  demikian  untuk  MARS,  model  terbaik dipilih berdasarkan pada Generalized Cross Validation (GCV), minimum Mean Square Error ( MSE), dan koefisien determinasi terbesar.
Kata  Kunci: Regresi  nonparametrik,  spline,  titik  knot,  MARS,  koefisien determinasi.

## 1. Pendahuluan
Analisis regresi digunakan untuk melihat pengaruh variabel prediktor  terhadap variabel respon dengan terlebih dahulu melihat pola hubungan variabel tersebut. Hal ini dapat dilakukan dengan  melakukan  dua  pendekatan.  Pendekatan  umum  dan  sering  dilakukan  adalah  pendekatan parametrik  yang  mengasumsikan  bentuk  model  sudah  ditentukan.  Apabila  tidak  ada  informasi apapun  tentang  bentuk  model,  maka  pendekatan  yang  dilakukan  adalah  pendekatan nonparametrik. Karena pendekatan tidak tergantung pada asumsi bentuk kurva tertentu, sehingga memberikan  fleksibilitas  yang  lebih  besar.  Pendekatan  regresi  parametrik  antara  lain menggunakan  regresi  linear  sederhana,  kuadratik,  dan  kubik,  sedangkan  regresi  nonparametrik antara lain menggunakan B - Spline dan Multivariate Adaptive Regression Spline (MARS). Secara keseluruhan, model terbaik dipilih berdasarkan koefisien determinasi terbesar, Mean Square Error (MSE) dan Cp Mallows. Namun demikian untuk MARS, model terbaik dipilih  berdasarkan pada nilai Generalized Cross Validation (GCV), MSE dan koefisien determinasi terbesar (Budiantara, 2006).
MARS  merupakan  suatu  prosedur  adaptif  dikarenakan  seleksi  fungsi  basis  adalah database  dan  terkhusus  pada  masalah  yang  ada.  Algoritma  ini  merupakan  prosedur  regresi nonparametrik yang tidak membuat anggapan khusus mengenai hubungan fungsional penekanan antara variabel prediktor dan variabel respon (Taylan dkk., 2007).
 Prodi Statistika, Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Hasanuddin.

## Raupong
Pada  model  MARS,  selain  penentuan  knots  yang  dilakukan  secara  otomatis  dari  data, juga menghasilkan model yang kontinu pada knots. Pemilihan knots pada MARS menggunakan algoritma forward  stepwise dan backward  stepwise yang  salah  satunya  didasarkan  nilai  GCV minimum (Budiantara, 2006).
Penerapan  MARS  pada  umumnya  digunakan  untuk  menyelesaikan  dua  permasalahan utama dalam statistika, yaitu respon kontinu dan respon kategorik. Pada respon kontinu, beberapa peneliti  yang  telah  menerapkan  MARS  antara  lain  Dwinnell  pada  tahun  2000  dengan mengeksplorasi  MARS  sebagai  alternatif  Neural  Network  (NN),  Park et  al. pada  tahun  2001 menggunakan  MCMC  pada  model  MARS  untuk  data  korelasi  temporal,  dan  Sephton  di  tahun yang  sama  memprediksi  resesi  menggunakan  MARS  dengan  hasil  yang  lebih  baik  dibanding ARIMA.  Sedangkan  pada  respon  kategorik,  Holmes  dan  Denisson  tahun  2002  secara  khusus membahas  penerapan  Bayesian  statistika  pada  pembentukan  model  klasifikasi  MARS  (Otok, 2008).
Pada  paper  ini  penelitian  akan  difokuskan  untuk  menentukan  model  MARS  pada penurunan  tekanan  darah  terhadap  pemberian  ramuan  buah  mengkudu  dan  daun  kumis  kucing pada pasien hipertensi yang berobat di laboratorium P4OT Surabaya.

## 2.   Landasan Teori

## 2.1. Regresi Nonparametrik
Diberikan data   j j y t , dengan hubungan antara t j dan y j diasumsikan  mengikuti model regresi nonparametrik
  n j t f y j j j ,..., 2 , 1 ,     (1)
dengan f ( t j ) merupakan  kurva  regresi  yang  diasumsikan  halus  ( smooth ) bagian  demi  bagian, dalam  arti  merupakan  anggota  ruang  fungsi  tertentu,  khususnya   b a W f m , 2  , dengan  
          b a m m dt t f f b a
W 2
2 : , adalah ruang fungsi sobolev orde dua untuk suatu m bilangan bulat positif. Galat acak j  berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi 2  (Budiantara, 2001).

## 2.2   Spline
Menurut  Mahler  (1995),  analisis  regresi  nonparametrik  spline  dikembangkan  untuk mendapatkan  fleksibilitas  dalam  persoalan  regresi  untuk  analisis  data.  Di  samping  itu,  menurut Budiantara  (2003)  spline  juga  dikembangkan  untuk  menangani  data  yang  bersifat  lokal  dan mempunyai  perilaku  yang  berbeda  pada  tiap-tiap  sub  interval.  Terdapat  beberapa  model  spline yang  telah  dikembangkan  oleh  banyak  peneliti,  masing-masing  mempunyai  peran  yang  berbeda sebagai estimasi kurva regresi nonparametrik maupun semiparametrik (Budiantara, 2004).
Spline adalah salah satu jenis piecewise polinomial, yaitu polinomial yang memiliki sifat tersegmen.  Sifat  tersegmen  ini  memberikan  fleksibilitas  lebih  dari  polinomial  biasa,  sehingga memungkinkan  untuk  menyesuaikan  diri  secara  lebih  efektif  terhadap  karakteristik  suatu  fungsi atau  data.  Spline  mempunyai  kelemahan  pada  saat  orde  Spline  tinggi,  knots  yang  banyak,  dan

## Raupong
knots yang terlalu dekat yang akan membentuk matriks dalam perhitungan yang hampir singular, sehingga  persamaan  normal  tidak  dapat  diselesaikan.  Secara  umum,  fungsi  Spline  berorde k adalah sembarang fungsi yang dinyatakan  sebagai berikut
           1 0 1 1 ) ( k i h j k j j i i u t t t S   , (2)
dengan
                j j k j k j u t u t u t u t , 0 , 1 1 , (3)
dimana  dan  adalah konstanta, dan u 1 ,..., u h adalah titik-titik knot. Menurut Budiantara (2001, 2004),  spline  pada  dasarnya  merupakan  suatu  fungsi  yang  digeneralisasikan  dari  polinomial. Spline S ( x ) merupakan potongan polinomial yang dapat dinyatakan sebagai :
S ( x ) =P ( x ) +T ( x ), x є R , (4)
dengan P merupakan polinomial dan T merupakan fungsi truncated .

## 2.3. Multivariate Adaptive Regression Spline (MARS)
Metode  statistik  yang  digunakan  dalam  analisis  diskriminan  multivariat  telah  banyak dikembangkan  mulai  dari  metode  analisis  klasik  hingga  metode  yang  berbasis  komputasi. Analisis  diskriminan  linear  yang  merupakan  bagian  dari  analisis  multivariat,  digunakan  dengan mengasumsikan  kenormalan  sisaan  dan  memiliki  kovarian  sisaan  yang  sama.  Dalam  hal terbatasnya  informasi  tentang  pola  data  sehingga  sulit  untuk  membuat  asumsi  terhadap  bentuk kurva  atau  dalam  bentuk  pola  data  nonlinear  dan  berdimensi  tinggi,  diskriminan  linear  sering menimbulkan  masalah  dan  sulit  diinterpretasikan.  Salah  satu  pendekatan  yang  dapat  dilakukan adalah  dengan  menggunakan  metode Multivariate  Adaptive  Regression  Spline (MARS) . MARS merupakan  pendekatan  regresi  multivariat  nonparametrik  yang  diharapkan  dapat  meningkatkan tingkat ketepatan hasil. Pendekatan ini digunakan untuk model regresi nonlinear yang merupakan pengembangan dari dari prosedur Recursive Partitioning Regression (RPR) dengan menggunakan spline untuk menduga model. Dalam hal pengelompokan, pendekatan regresi logistik digunakan dalam MARS (Abraham dkk., 2003).
RPR merupakan pendekatan dari fungsi f ( t ) yang tidak diketahui dengan
   S j j j t B t c t f 1 ) ( ) ( ) ( ˆ (5)
Raupong
dengan    . , ) ( I R t I t B j j   menunjukkan  fungsi  indikator  yang  mempunyai  nilai  1    jika pernyataan  benar   j R t  , dan  0  (nol)  jika  salah, c j ( t )  merupakan  koefisien  (konstanta)  yang ditentukan dalam sub region (Budiantara, 2006).
MARS  merupakan  suatu  prosedur adaptif dikarenakan  seleksi  fungsi  basis  adalah database  dan  dikhususkan  pada  masalah  yang  ada.  Model  ini  merupakan  prosedur  regresi nonparametrik yang tidak membuat anggapan khusus mengenai penekanan hubungan fungsional antara variabel tidak bebas dengan variabel bebas. MARS sangat berguna untuk data dimensional tinggi serta dapat menjelaskan kesesuaian fungsi multivariabel nonlinear. Manfaat khusus MARS terdapat pada kemampuannya untuk memperkirakan kontribusi fungsi basis sehingga efek aditif dan interaktif prediktor dapat menentukan variabel respon. MARS menggunakan perluasan pada bagian fungsi basis linear pada bentuk              x x c , ,               x x c , dimana
    q q , 0 max   dan  merupakan knot variasi tunggal.  Tiap fungsi merupakan bagian linear dengan  nilai  knot  ,  dan  disebut  sebagai reflected  pair (cerminan),  sebagaimana  yang diperlihatkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Elemen Basis pada Regresi dengan MARS.
Titik-titik pada gambar ini mengilustrasikan data   N i y x i i ,..., 2 , 1 , ,  , tersusun oleh spesifikasi input dimensional- p pada variabel x , dan yang berhubungan dengan respon dimensional-l  yang ditentukan oleh variabel y (Taylan dkk., 2007).
Pada  model  MARS,  pemilihan  model  menggunakan  metode stepwise yang  terdiri  dari forward dan backward.  Forward  stepwise dilakukan  untuk  mendapatkan  jumlah  basis  fungsi maksimum  dengan  kriteria  pemilihan  basis  fungsi  adalah  meminimumkan Average  Sum  Of Square Residual (ASR). Menurut Friedman dan Silverman (1989), serta Friedman (1990, 1991), untuk  memenuhi  konsep  parsemoni  (model  sederhana)  dilakukan backward  stepwise yaitu memilih  basis  fungsi  yang  dihasilkan  dari forward  stepwise dengan  meminimumkan  nilai Generalized Cross-Validation (GCV). Model MARS dapat ditulis sebagai berikut
           
   M m K k km m k v km m m u t s a a t f 1 1 , 0 . ˆ (6)
dimana
Raupong
a 0 = basis fungsi induk, a m = koefisien dari basis fungsi ke- m ,
M
= maksimum basis fungsi ( non constant basis fungsi ), K m = derajat interaksi, S km = nilainya 1  , t v ( k,m ) =  variabel independen,
u km
= nilai knots dari variabel independen t v ( k,m ) .
Penjabaran  persamaan  (6)  dapat  disajikan  sebagai  berikut
           M m m m v m m u t s a a t f 1 1 , 1 1 0 . ) ( ˆ                  M m m m v m m m v m m u t s u t s a 1 2 , 2 2 1 , 1 1 . .                           M m m m v m m m v m m m v m m u t s u t s u t s a 1 3 , 3 3 2 , 2 2 1 , 1 1 . . . (7)
Secara umum persamaan (6) dapat dituliskan sebagai berikut
               1 2 3 0 ... , , , ) ( ) ( ˆ m m m k k k k j i ijk j i ij i i t t t f t t f t f a t f . (8)
Persamaan (8) menunjukkan bahwa penjumlahan pertama meliputi semua basis fungsi untuk satu variabel,  penjumlahan  kedua  meliputi  semua  basis  fungsi  untuk  interaksi  antara  dua  variabel, penjumlahan  ketiga  meliputi  semua  basis  fungsi  untuk  interaksi  antara  tiga  variabel  dan seterusnya.
Misalkan     m K m k v m V 1 ,
) (  adalah himpunan dari variabel yang dihubungkan dengan basis  fungsi B m ke- m ,  maka  setiap  penjumlahan  pertama  pada  Persamaan  (8)  dapat  dinyatakan sebagai
          m V i K i m m i i m t B a t f 1 , (9)
f 1 ( t i )  merupakan  penjumlahan  semua  basis  fungsi  untuk  satu  variabel x i ,  dan  merupakan  Spline dengan  derajat q =1  yang  mempresentasikan  fungsi  univariat.  Setiap  fungsi  bivariat  pada Persamaan (8) dapat ditulis sebagai
            m V j i K j i m m j i ij m t t B a t t f , 2 , , , (10)
yang  mempresentasikan  penjumlahan  semua  basis  fungsi  dua  variabel t i dan t j . Penambahan  ini untuk menghubungkan kontribusi univariat, yang dituliskan sebagai berikut :
        j i ij j j i i j i ij t t f t f t f t t f , , *    . (11)
Untuk  fungsi  trivariat  pada  penjumlahan  yang  ketiga  diperoleh  dengan  menjumlahkan  semua basis fungsi untuk tiga variabel, yang dituliskan menjadi
   
        m V k j i K k j i m m k j i ijk m t t t B a t t t f , , 3 , , , , . (12)
Penambahan fungsi univariat dan bivariat mempunyai kontribusi dalam bentuk
            k i ik j i ij k k j j i i k j i ijk t t f t t f t f t f t f t t t f , , , , *      ,     k j i ijk k j jk t t t f t t f , , ,   . (13)
Persamaan (8) merupakan dekomposisi dari analisis varians untuk tabel kontingensi, yang dikenal dengan dekomposisi ANOVA dari model MARS. Interpretasi model MARS melalui dekomposisi ANOVA adalah  merepresentasikan  variabel  yang  masuk  dalam  model,  baik  untuk  satu  variabel maupun interaksi antara variabel, selanjutnya merepresentasikan secara grafik. Penambahan aditif persamaan  (9)  dapat  ditunjukkan  dengan  membuat  plot  antara f i ( t i )  dengan t i sebagai  salah  satu model aditif. Kontribusi interaksi antara dua variabel dapat divisualisasikan dengan membuat plot antara   j i ij t t f , * dengan t i dan t j menggunakan  kontur  plot.  Model  dengan  interaksi  yang  lebih tinggi  dalam  visualisasi  dapat  dibuat  dengan  menggunakan  plot  dalam  beberapa  variabel  fixed dengan variabel komplemen (Budiantara, 2006).
Menurut  Friedman  (1991),  algoritma  MARS  untuk  memperkirakan  model  fungsi f(x) terdiri dari dua algoritma, yaitu:
1. Algoritma forward  stepwise (seselangkah  maju): forward  stepwise mencari  fungsi  basis berlangsung  dengan  fungsi  basis  yang  konstan,  satu-satunya  yang  ada  pada  awalnya. Pada tiap langkah, dari tiap basis fungsi terpilih pembagian yang meminimalkan beberapa "lack  of  fit" atau  kriteria  kekurangcocokan dari  seluruh  kemungkinan  pembagian  yang ada. Prosesnya berhenti ketika nilai M max dicapai.
2. Algoritma backward  stepwise (seselangkah  mundur):  tujuan  dari  algoritma  ini  adalah untuk  mencegah over-fitting dengan  mengurangi  kerumitan  model  tanpa  menurunkan kecocokan dengan data. Karena itu, algoritma backward stepwise melibatkan penjauhan dari fungsi basis model yang memberikan kontribusi peningkatan terkecil pada kesalahan sisa hasil perkalian di tiap tempat serta menghasilkan model estimasi optimal  f ˆ dengan mempertimbangkan setiap jumlah suku, yang dinamakan  . Untuk memperkirakan nilai optimal  ,  GCV  dapat  digunakan,  yang  menunjukkan  kekurangcocokan  ketika menggunakan MARS. Kriteria tersebut ditetapkan dengan
3.
        2 1 2 / 1 ˆ : N M x f y GCV N i i i        , (14)
dimana M(α) adalah  jumlah  knot  yang  terpilih  pada  proses  ke  depannya,   , dM u
M    N adalah jumlah sampel observasi, M adalah jumlah fungsi basis yang secara linear tidak  terikat, dan d adalah  nilai  untuk  optimisasi  fungsi  basis juga  sebagai parameter  pelancar  dalam  prosedur.  Namun,  algoritma backward  stepwise dapat dihilangkan  (tidak  digunakan)  dalam  model  MARS.  Sebagai  gantinya  digunakan terminologi  penalti  di  samping  perkiraan  hasil  perkalian  terkecil  untuk  mengontrol

## Raupong
kekurangcocokan dari sudut pandang kompleksitas dari perkiraan.  Menurut Taylan dkk. (2007), metode tersebut dinamakan Penalized Residual Sum of Square (PRSS).
Algoritma  PRSS  yang  digunakan  dengan  fungsi  basis M max telah  terakumulasi  pada algoritma forward stepwise .  Untuk model MARS, PRSS memiliki bentuk sebagai berikut
                         N i M m m V s r s r m m m s r m m i i dt t D x f y PRSS 1 1 2 , 1 , 2 , 2 2 max 2 1 , :
        (15)
dimana     m m j K j K m V ,..., 2 , 1 |   adalah  perangkat  variabel  ke- m yang  berkenaan  dengan fungsi  basis m  ,   T mK m m m m t t t t ,..., , 2 1  menggambarkan  vektor  variabel  yang menambah/memperbesar fungsi basis ke- m . Selanjutnya,
    m m s m r m m m s r t t t t D 2 1 : ,           . (16)
Untuk   , , , 2 1 2 1          dimana   , 1 , 0 , 2 1    i  =2,  turunan   m m s r t D   , tak bersisa, dan dengan menunjukan indeks r < s digunakan aplikasi teorema Schwarz (Taylan dkk., 2007).

## 3. Metodologi Penelitian
Sumber data yang akan dipergunakan sebagai aplikasi  penggunaan algoritma PRSS pada penentuan  model  MARS  adalah  data  sekunder  dimana  jumlah  pengamatan  sebanyak  sembilan puluh sembilan dengan dua variabel respon yaitu Y 1 dan Y 2 , merupakan tekanan darah pasien yang diukur sebelum dan sesudah diberikan ramuan buah mengkudu dan daun kumis kucing, dan tiga variabel  bebas yaitu umur ( X 1 ),  jenis kelamin ( X 2 ) dan jenis pekerjaan ( X 3 ). Untuk variabel X 2 dikategorikan  dalam  dua  indikator  yakni  1  untuk  laki-laki  dan  2  untuk  perempuan,  sedangkan untuk  variabel X 3 dikategorikan  dalam  lima  indikator  yaitu  1  untuk  pegawai  negeri,  2  untuk swasta,  3  untuk  pensiunan,  4  untuk  ibu  rumah  tangga,  dan  5  untuk  lainnya. Data  tersebut diperoleh dari Tesis karya Stang , Program Pascasarjana, Universitas Airlangga. Adapun langkah- langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut
1. Membuat  basis  fungsi  dengan  menggunakan  metode forward  stepwise untuk mendapatkan  jumlah  basis  fungsi  maksimum  dengan  kriteria  pemilihan  basis  fungsi adalah meminimumkan ASR.
2. Memilih  basis  fungsi  dengan  menggunakan  algoritma  PRSS yang  digunakan  dengan fungsi  basis M max yang  telah  terakumulasi  pada  algoritma forward  stepwise dengan menggunakan rumus (15).
3. Menetukan  model  MARS  dengan  variasi  pada  basis  fungsi,  interaksi  antar  variabel independen, dan minimum observasi sub region dengan menggunakan software MARS.
4. Memilih model MARS terbaik dengan menggunakan kriteria yang berdasarkan pada nilai GCV, nilai minimum MSE  dan koefisien determinasi terbesar ( R 2 ).

## 4. Hasil dan Pembahasan

## Raupong
Model  MARS  pada  penurunan  tekanan  darah  terhadap  pemberian  ramuan  buah mengkudu dan daun kumis kucing pada pasien hipertensi diolah dengan menggunakan software MARS  2.0  yang  dikembangkan  oleh  Salford-Systems.  Untuk  mendapatkan  jumlah  basis  fungsi maksimum yang menggunakan metode forward stepwise digunakan program MARS dengan hasil sebagai berikut.
a. Jumlah  basis  fungsi  dengan  variabel  respon  kontinu Y 1 dan    variabel    tak  bebas  ( predictor ) X 1 , X 2 , dan X 3 sebagai berikut.
Tabel 1.  Jumlah Basis Fungsi dengan Variabel Y 1 terhadap X . Basis Fungsi Nilai GCV Variabel Knot 0 98.217 2          1 97.388 X 3 3 98.767 X 1 23 5          4 100.459 X 1 48 7          6 100.899 X 1 60 9          8 102.505 X 3 11       10 104.193 X 3 12 104.204 X 1 23 14       13 103.089 X 1 65 15 104.298 X 3
Berdasarkan  Tabel  1,  jumlah  basis  fungsi  maksimum  adalah  sembilan  dengan  nilai  GCV terbesar  dihasilkan  pada  variabel X 3 sebesar  104.298.  Terdapat  beberapa  basis  fungsi  yang tidak  memiliki  titik  knot  yang  menunjukkan  bahwa  basis  fungsi  tersebut  dihasilkan  oleh variabel bebas kategorik.
b. Jumlah basis fungsi dengan variabel respon kontinu Y 2 dan variabel bebas ( predictor ) X 1 , X 2 , dan X 3 adalah sebagai berikut.
Tabel 2.  Jumlah Basis Fungsi dengan Variabel Y 2 terhadap X . Basis Fungsi Nilai GCV Variabel Knot 0 189.176 1 186.453 X 1 23 3         2 189.315 X 3 4 193.91 X 1 23 6          5 199.178 X 1 60 8          7 205.46 X 2 10        9 212.033 X 2 11 214.073 X 1 23 12 216.143 X 1 23 13 218.243 X 1 23 14 220.373 X 1 23 15 222.536 X 1 23

## Raupong
Berdasarkan  Tabel 2 di atas diperoleh jumlah basis fungsi maksimum sebanyak 11 dengan nilai GVC terbesar terdapat pada variabel X 1 sebesar 222.536 dan terletak pada titik knot 23, yang menunjukkan bahwa titik knot tersebut dihasilkan oleh variabel kontinu.
Selanjutnya  untuk  menghasilkan  model MARS ,  jumlah  basis  fungsi  maksimum  yang  telah diperoleh  akan  dipilih  dengan  menggunakan  metode backward  stepwise atau  metode  PRSS dengan hasil sebagai berikut.
 Model  akhir  dengan  variabel  respon  kontinu Y 1 dan  variabel  bebas X 1 , X 2 ,  dan X 3 adalah sebagai berikut.
Tabel 3.  Model Variabel  Respon Y 1 terhadap X . Basis Fungsi Koefisien  Variabel  Nilai GCV MSE R 2 0 80.832 96.917 90.946 0.117 1 18.448 X 3 4 -1.911 X 1 10 1.841 X 3 12 1.16 X 1 13 1.489 X 1
Berdasarkan  Tabel  3  dapat  dilihat  bahwa  model    akhir  dari  MARS terdiri  dari  lima  basis fungsi dengan model sebagai berikut.
13 * 489 . 1 12 * 160 . 1 10 * 841 . 1 4 * 911 . 1 1 * 448 . 18 832 . 80 ˆ 1 BF BF BF BF BF Y      
dimana BF 1   = ( X 3 = 4 atau X 3 = 5), BF 2   = ( X 3 = 1 atau X 3 = 2 atau X 3 = 3), BF 4   = max (0, X 1 – 48), BF 10 = ( X 3 = 4 atau X 3 = 5) * BF 4, BF 12 = max (0, X 1 – 23) * BF 2, BF 13 = max (0, X 1 – 65) * BF 2.
Model  ini  menunjukkan  bahwa  pada  variabel  respon Y 1 dipengaruhi  oleh  basis  fungsi (variabel  bebas  kategorik  dan  kontinu).    Model  di  atas  menunjukkan  pula  bahwa  tekanan darah pada pasien hipertensi sebelum diberi ramuan buah mengkudu dan daun kumis kucing dipengaruhi variabel-variabel bebasnya yaitu umur dan jenis pekerjaan.
 Model akhir dengan variabel respon kontinu Y 2 dan variabel prediktor X 1 , X 2 , dan X 3 sebagai berikut.
Tabel 4.  Model Variabel  Respon Y 2 terhadap X . Basis Fungsi Koefisien Variabel  Nilai GCV MSE R2 0 95.8 188.087 181.323 0.042 5 -0.521 X 1

## Raupong
Berdasarkan Tabel  4,    model      MARS untuk      respon  kontinu Y 2 hanya  menghasilkan  satu basis  fungsi  dengan  model
5 * 521 . 0 8 . 95 ˆ 2 BF Y   ,  dengan BF 5  =  max  (0, X 1 –  60). Model di atas menunjukkan bahwa variabel respon Y 2 dipengaruhi oleh basis fungsi (variabel bebas  kontinu),  ini  menunjukkan  pula  bahwa    tekanan  darah  pada  pasien  hipertensi  setelah diberi  ramuan  buah  mengkudu  dan  daun  kumis  kucing  dipengaruhi  variabel  bebas  yaitu umur.
Untuk  melihat  variabel-variabel  bebas  yang  paling  berpengaruh  terhadap  variabel  respon ditunjukkan dalam Tabel 5 dan 6  berikut.
Tabel 5. Pengaruh X terhadap Y 1. Variabel Nilai Kepentingan GCV X 3 100 99.775 X 1 40.616 97.388 X 2 0 96.917 Tabel 6. Pengaruh X terhadap Y 2 . Variabel Nilai Kepentingan GCV X 1 100 189.176 X 2 0 188.087 X 3 0 188.087
Tabel 5 menunjukkan pengaruh variabel  bebas  terhadap variabel respon kontinu Y 1 , dimana variabel X 3 sangat  berpengaruh  yang  dapat  dilihat  dari  nilai  kepentingan  dan  nilai  GCV dengan  nilai  masing-masing  100  dan  99.775.  Sementara  variabel X 1 memiliki  nilai kepentingan  sebesar  40.616  dan  nilai  GCV  97.388.  Sedangkan  variabel X 2 tidak  memiliki pengaruh yang  berarti terhadap variabel respon Y 1 , dapat dilihat dari nilai kepentingan yang besarnya  0  dan  nilai  GCV  yang  paling  kecil  yaitu  96.917.  Tabel    6  menunjukkan  pengaruh variabel  bebas X 1 , X 2 , X 3 terhadap  variabel  respon  kontinu Y 2 .  Dari  tabel  terlihat  bahwa variabel X 1 merupakan  satu-satunya  variabel  yang  sangat  berpengaruh  terhadap  variabel respon Y 2 dengan nilai kepentingan sebesar 100 dan nilai GCV sebesar 189.176. Sementara untuk variabel X 2 dan X 3 tidak memiliki pengaruh yang berarti terhadap variabel respon yang dapat  dilihat  dari  nilai  kepentingan  dan  nilai  GCV  yang  sama  yaitu  masing-masing  0  dan 188.087.

## 5.   Kesimpulan dan Saran

## 5.1. Kesimpulan
Dari hasil simulasi diperoleh dua persamaan model MARS yaitu
1. Persamaan dengan variabel respon Y 1 sebagai berikut
13 * 489 . 1 12 * 160 . 1 10 * 841 . 1 4 * 911 . 1 1 * 448 . 18 832 . 80 ˆ 1 BF BF BF BF BF Y      
dengan
BF 1   = ( X 3 = 4 atau X 3 = 5), BF 2   = ( X 3 = 1 atau X 3 = 2 atau X 3 = 3),
BF 4   = max (0, X 1 – 48), BF 10 = ( X 3 = 4 atau X 3 = 5) * BF 4, BF 12 = max (0, X 1 – 23) * BF 2,
BF 13 = max (0, X 1 – 65) * BF 2.
2. Persamaan dengan variabel respon Y 2 sebagai berikut
5 * 521 . 0 8 . 95
ˆ 2 BF Y   dengan BF 5 = max (0, X 1 – 60).
Hasil  analisis  model  MARS,  menunjukkan    bahwa  terjadi  penurunan  tekanan darah setelah pemberian ramuan buah mengkudu dan daun kumis kucing terhadap pasien hipertensi yang berobat di laboratorium P4OT Surabaya. Hal ini dapat dilihat dari model yang dihasilkan pada tekanan darah setelah pemberian ramuan ( Y 2 ). Ketiga variabel bebas yaitu umur ( X 1 ),  jenis kelamin ( X 2 ) dan jenis pekerjaan ( X 3 ) yang  paling  berpengaruh  terhadap  tekanan  darah  sebelum  diberikan  ramuan  (variabel respon  kontinu Y 1 )  adalah  jenis  pekerjaan  ( X 3 )  dengan  nilai  kepentingan  dan  nilai  GCV masing-masing  sebesar  100  dan  99.775.  Sedangkan  yang  paling  berpengaruh  terhadap tekanan darah setelah diberikan ramuan ( Y 2 ) adalah umur ( X 1 ) dengan nilai kepentingan dan nilai GCV masing-masing sebesar 100 dan 189.176.

## 5.2. Saran
Dalam  tulisan  penulis  hanya  membahas  model  MARS  dengan  respon  kontinu, bagi  pembaca  yang  ingin  mendalami  masalah  ini  lebih  jauh  lagi  maka  perlu dikembangkan suatu  model MARS dengan respon kategorik.

## Daftar Pustaka
Abraham,  A.  dkk.,  2003. Instruction  Detection  Systems  Using  Adaptive  Regression  Splines. Natural  Computation  Lab.  Dep.  Computer  Science,  Oklahama  State  University,  Tulsa, U.S.A.
Otok, B.W., 2008. Materi Pelatihan Nonparametric Regression Multivariate Adaptive Regression Spline ( MARS ) . Laboratorium  Statistika  Sosial  dan  Bisnis,  Institut  Teknologi  Sepuluh November, Surabaya.
Budiantara,  I.N.,  2001.  Aplikasi  spline  estimator  terboboti. Jurnal  Teknik  Industri  Universitas Petra Surabaya , Vol. 3, 57-62.
______________,  2004.  Spline:  historis,  motivasi  dan  perannya  dalam  regresi  nonparametrik. Makalah  Pembicara  Utama  pada  Konferensi  nasional  Matematika  XII, Jurusan

## Raupong
Matematika,  Fakultas  matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam  Universitas  Udayana, Denpasar- Bali.
Budiantara,  I.N.  dkk.,  2006.  Pemodelan  B-Spline  dan  MARS  pada  nilai  ujian  masuk  terhadap IPK mahasiswa Jurusan Disain Komunikasi Visual UK. Petra Surabaya. Jurnal UK Petra, Surabaya.
Hidayat,  U.,  2003. Analisis  Pengelompokan  dengan  Metode  Multivariate  Adaptive  Regression Spline ( MARS ). Studi Kasus: Pengelompokan Desa/Kelurahan di Jawa Timur, Surabaya.
Taylan  dkk.,  2007. Multivariate  Adaptive  Regression  Spline  and  Continuous  Optimization  for Modern  Application  in  Science,  Economy  and  Technology. Department  of  Mathematics, Dicle University, Turkey.
Wahba, G., 1990. Spline models for observational data. SIAM, CBMS-NSF Regional Conferense Series in Applied Mathematics , Philadelphia.