Vol. 6, No.2, 115-119,  Januari 2010
Karaktristik Ideal Prim Minimal dalam Gelanggang Operator Differensial
Amir Kamal Amir 

## Abstrak
Misalkan R adalah  suatu  gelanggang dengan identitas 1,  adalah suatu endomorfisma dari R ,  dan  adalah  suatu  -  derivatif.  Gelanggang  polinom  miring,  disimbol  dengan
[ ; , ] R x   ,  dalam  peubah  tak  diketahui x, adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom
seperti 0 ( ) n n f x a x a    yang memenuhi aturan perkalian ( ) ( ), xa a x a a R       .  Dalam  hal 1   atau  adalah  suatu  endomorfisma identitas, gelanggang polinom miring [ ; , ] R x   disebut gelanggang operator differensial dan ditulis [ ; ] R x  . Dalam paper ini akan diuraikan secara rinci karakteristik dari ideal-ideal prim minimal  dari  gelangang [ ; ] R x  dengan  asumsi  bahwa R adalah  suatu  daerah  komutatif Dedekind.
Kata Kunci : Differensial, ideal.

## 1. Pendahuluan
Gelanggang  polinom  miring  adalah  gelanggang  yang  terdiri  dari  polinom-polinom dengan  aturan  perkalian  yang  tidak  bersifat  komutatif.  Dalam  teori  sistem  kontrol,  gelanggang polinom  miring  digunakan  untuk  mentransfer  sistem  kontrol    klasik    ke  dalam  sistem  kontrol linier  abstrak  (aljabar).  Selanjutnya  pengkajian  sifat-sifat  dan  kelakuan  sistem  kontrol  linier diterjemahkan  menjadi  pengkajian  struktur,  sifat,  dan  kelakuan  sistem  linier  abstrak  terkait, misalnya  dengan  memanfaatkan  pengetahuan  aljabar.  Dengan  demikian,  pengkajian  sifat-sifat dan  kelakuan  sistem  kontrol  linier,  yang  banyak  digunakan  dalam  dunia  aplikasi  akan  sangat terbantu  jika  kita  mengetahui  dengan  baik  sifat-sifat  dan  struktur  gelanggang  polinom  miring tersebut.
Pengkajian    tentang    struktur  gelanggang  polinom  miring,  yang  dinotasikan  dengan
] , , [   x R ,  untuk  kasus  gelanggang  tumpuan  R  berupa  daerah  Dedekind  sudah  dilakukan. Sejumlah hasil mengenai pusat, ideal maksimal, dan ideal prima dari gelanggang polinom miring untuk kasus , 0   dinotasikan dengan ] , [  x R , telah banyak dikembangkan. Dalam  paper  ini, akan diuraikan  karakteristik ideal prim minimal gelanggang polinom miring ] , , [   x R dengan
1   dan 0   .
Secara  lengkap  pengertian  gelanggang  polinom  miring  disajikan  berikut  (Goodearl  & Warfiled,  1989;  McConnel  &  Robson,  1987).  Misalkan  R  suatu  gelanggang,  suatu endomorfisma di R, dan  suatu  -derivatif, yaitu:
1.  suatu endomorfisma grup di R .
 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Hasanuddin, Jl. Perintis Kemerdekaan Km.10, Tamalanrea, Makassar, email: amirkamalamir@yahoo.com.
Amir Kamal Amir
2. ( ) ( ) ( ) ( ) ab a b a b       untuk setiap , . a b R 
Gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   dalam  variabel  tak  diketahui x berisi  semua polinom  dengan  koefisien  di R yang  memenuhi  aturan  perkalian  sebagai  berikut:  untuk  setiap a R  berlaku ( ) ( ). xa a x a     Untuk  kasus  khusus  dimana 0   ,  gelanggang  polinom miring [ ; , ] R x   ditulis [ ; ] R x  . Struktur dari gelanggang polinom miring [ ; , ] R x   ( 0)   sangat berbeda dengan [ ; ] R x  ( 0).   Berikut ini diberikan ilustrasi.
Contoh  1. Misalkan        b a b a R , 5 . Automorfisma  pada R didefinisikan  sebagai ( 5) 5, a b a b       untuk setiap 5 . a b R    Selanjutnya pemetaan  didefinisikan sebagai ( 5) , a b b     untuk setiap 5 . a b R    Pemetaan  yang didefinisikan seperti ini  memenuhi  syarat  -derivatif.  Dengan  demikian, [ ; , ] R x   merupakan  suatu  gelanggang polinom  miring.  Gelanggang  ini  tidak  bersifat  komutatif.  Perhatikan  proses  perkalian  antara
( ) 4 2 5 f x    dengan ( ) 3 5 5 g x    berikut ini.
2 2 ( ) ( ) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (3 5 5) (4 2 5)(3 5 5) (4 2 5)5 ( 38 26 5) (20 10 5)
f x g x x x
x x x x x x x x                                                    2 2 ( ) ( ) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (3 5 5) (4 2 5) (4 2 5) (3 5 5)(4 2 5) (3 5 5)( 2) ( 38 26 5) ( 6 10 5)
g x f x x x
x x x x x x x x                                                      Perkalian  di  atas  menunjukkan  bahwa ( ) ( ) ( ) ( ). f x g x g x f x  Perkalian  di  atas  juga menunjukkan  dengan  jelas  bahwa  peranan  sangat  mempengaruhi  struktur  dari  gelanggang polinom  miring.  Tulisan  ini  akan  menguraikan  tentang  karkateristik  ideal  prim  minimal gelanggang  polinom  miring [ ; , ] R x   dengan  mengambil 1   .  Gelanggang  polinom  miring seperti  ini  cukup  ditulis [ ; ] R x  dan  lebih  dikenal  dengan  nama gelanggang  operator differensial. Untuk  hal 0   ,  gelanggang  polinom  miring  cukup  ditulis [ ; ] R x  .  Sedangkan untuk  kasus 1   dan 0   gelanggang  polinom  miring  cukup  ditulis [ ] R x ,  yang  merupakan gelanggang polinom biasa.
Contoh  2. Misalkan R adalah  gelanggang  polinom  biasa  dengan  elemen  tak  diketahui y , F ( y ) , dengan F adalah    lapangan  dengan  karakteristik  nol,  maka [ ; ] R x  merupakan  gelanggang operator differensial untuk d
dy y   .

## Amir Kamal Amir
Dalam  gelanggang    operator  differensial [ ; ] R x  dikenal  istilah  - ideal  dan  - prime  ideal.
Pengertian dari istilah-istilah tersebut dipaparkan pada definisi berikut ini.
Definisi 1.
Misalkan [ ; ] R x  adalah suatu gelangang  operator differensial. Suatu  - ideal dari R adalah suatu ideal I dari R sedemikian sehingga ( ) I I   . Suatu  - prime ideal adalah suatu  - ideal murni I dari R sedemikian sehingga jika J, K adalah  - ideal yang memenuhi JK I  , maka J I  atau K I  .

## 2. Ideal Prim Minimal dalam Gelanggang Operator Differensial
Dalam bagian ini akan dipaparkan secara rinci bentuk ideal-ideal (prim) dari gelanggang operator  differensial [ ; ] R x  dengan R adalah  suatu  gelanggang  komutatif    Dedekind.  Sebagai langkah awal, disajikan dulu bentuk-bentuk ideal secara umum.

## Teorema 1.
Misalkan R adalah suatu gelanggang,  adalah suatu derivatif dari R, dan [ ; ] S R x   adalah gelanggang operator differensial, maka
a. Jika I adalah suatu ideal kanan dari R, maka IS adalah suatu ideal kanan dari S.
b. Jika I adalah suatu  -ideal dari R, maka IS adalah suatu ideal dari S .
c. Jika J adalah suatu ideal dari S, maka J R  adalah suatu  -ideal dari R.
Bukti:
a. Misalkan I adalah suatu ideal kanan dari R , ( ) af x IS  , dan ( ) g x S  . Dari sini diperoleh
    ( ) ( ) ( ) ( ) af x g x a f x g x IS   karena ( ) ( ) f x g x IS  .  Jadi IS merupakan  ideal  kanan dari S.
b. Misalkan I adalah suatu  -ideal dari R , berarti ( ) I I   . Ambil 0 1 ( ) . n n
f x f f x f x IS     
Ini berarti bahwa , i f I i   . Misalkan
0 1 ( ) m m
g x g g x g x S      ,  akan  ditunjukkan  bahwa ( ) ( ) f x g x IS  dan ( ) ( ) g x f x IS  . Karena i f I  dan ( ) i f g x S  , maka dengan mudah dapat dilihat bahwa
( ) ( ) f x g x IS  .  Selanjutnya,  dengan  memperhatikan  bentuk  dari ( ) m a  ,  yaitu
1
1 0 ( ) ( ) ( ) m m i m i
i a a a a      
   (Goodearl, 1992) dan mengingat bahwa ( ) I I   , maka
dengan mudah juga dapat disimpulkan bahwa ( ) ( ) g x f x IS  .
c. Ambil a J R   ,  maka a J  ,  sehingga , ax xa J  karena J adalah  suatu  ideal  dari S . Dengan demikian ax xa J   , sehingga ( ) ■

## Amir Kamal Amir
Ideal-ideal dalam gelanggang operator differensial selalu memuat konstanta. Hal ini ditunjukkan pada teorema berikut.

## Teorema 2.
Misalkan  R  adalah  suatu  daerah  integral  komutatif  dengan  karakteristik  nol,  adalah  suatu
derivatif dan [ ; ] S R x   . Jika I adalah suatu ideal tak nol dari S, maka 0. I R  
Bukti: Pilih  elemen  tak  nol 0 1 ( ) n n f x f f x f x     dari I .  Dalam  hal  ini  diasumsikan 1 n  .  Selanjutnya n disebut  derajat  polinom ( ) f x dan n f disebut  koefisien  terdepan.  Pilih a R  sedemikian sehingga ( ) 0. a  
Dengan menggunakan kesamaan
1
1
0 ( ) ( ) ( ) m m i m i i a a a a          (Goodearl, 1992) dapat diketahui bahwa
1 ( ) ( ) ( ) [ -1] n n f x a af x nf a x suku dengan derajat kurang dari n      . Karena ( ) 0, n nf a   maka hal ini berarti I memuat elemen tak nol dengan derajat n-1 . Apabila proses  tersebut  di  atas  diulangi,  maka  pada  akhirnya  kita  akan  menemukan  bahwa I memuat elemen tak nol dengan derajat nol. ■
Teorema berikut memberikan sifat dari ideal prim (tidak harus minimal) dari gelanggang operator differensial.

## Teorema 3.
Misalkan [ ; ] S R x   adalah gelanggang operator differensial atas  R dengan R adalah daerah Dedekind komutatif, maka P adalah ideal prim minimal dari [ ; ] S R x   jika 0 ( ). P Spec S 
Bukti: Misalkan Q adalah ideal prim dari [ ; ] S R x   demean . Q P  Karena 0 ( ), P Spec S  maka 0 ( ). Q Spec S  Gunakan Theorem  10  (Leroy  dan  Matczuk,  2010)  diperoleh  bahawa Q adalah ideal prim maksimal. Jadi disimpulkan P Q  atau P adalah ideal prim minimal. ■
Teorema 4. Misalkan P  adalah ideal prim dari [ ; ] S R x   dengan char(R) = 0 dan . P R p   P adalah ideal prim minimal dari S jika dan hanya jika [ ; ] P p x   dengan p adalah suatu ideal   prim minimal dari  R.
Bukti: Misalkan P adalah  minimal  prim  ideal  dari S dan , P R p   maka    dari  Teorema  2 0. p  Dengan  menggunakan  Theorem  3.1  (Goodearl,  1992),  dapat  diperoleh  bahwa p adalah ideal   prim  dari R dan   . pS Spec S  Jadi pS P  sebab pS P  dan P adalah  suatu ideal prim minimal. Pada sisi lain [ ; ]. pS p x   Dari sini, diperoleh [ ; ] P p x   dan p adalah ideal   prim  minimal  dari R oleh  Lemma  2  (Amir dkk .,  2010).  Kebalikannya,  misalkan [ ; ] P p x   dan p adalah ideal   prim minimal dari R, maka [ ; ] P p x   adalah suatu ideal
prim dari S oleh Theorem 3.3 (Goodearl, 1992). Misalkan Q adalah suatu ideal prim tidak nol dari S dengan Q P  . Misalkan , q Q R   maka 0 q  oleh  Lemma  29  (Goodearl,  1989)    dan . q Q R P
R p      Gunakan  Theorem  3.1  (Goodearl,  1992),  diperoleh q adalah  ideal   prim  dari R. Jika q adalah ideal   prim  dari R, maka q p  sebab q p  dan p adalah ideal   prim minimal dari R. Jadi, [ ; ] [ ; ] . P p x q x Q      Hal ini mengakibatkan . P Q  Jadi, P adalah ideal prim minimal dari S . ■

## Daftar Pustaka
Amir,  A.K.,  Astuti,  P.,  dan  Muchtadi-Alamsyah,  I.  2010.  Minimal  prieme  ideals  of  ore  over commutative  Dedekind  domain. JP  Journal  of  Algebra,  Number  Theory  and  Application , Vol.16, No.2, March 2010, pp.101-107.
Goodearl, K.R., 1992. Prieme ideals in skew polinomial ring and quantized Weyl algebras. J. of Algebra , 150, pp. 324-377.
Goodearl, K.R., dan Warfiled, J.R., 1989. An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings . Cambridge University Press, London.
Leroy, A., dan Matczuk, J., 2010. Prime ideal of ore extension. Website: http://leroy.perso.math.cnrs.fr/Articles/Prime%20ideal%20in%20Ore%20extensions.pdf, diakses pada Juli 2010.
McConnel, J.C., dan Robson, J.C., 1987. Noncommutative Noetherian Rings . John Wiley & Sons Inc., New York.
Ore, O., 1933. Theory of non-commutative polynomials. Annals of Math, 34, pp.480-508.