Vol .15, No. 2, 33-41, January 2019
* Program Studi Statistika, Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Hasanuddin
1 herdiani.erna@gmail.com, 2 nirwanilyas@yahoo.com

## Bagan Kendali Robust Multivariat untuk Pengamatan Individual
*Seltuti, Erna Tri Herdiani *1 , Nirwan Ilyas *2

## Abstract
The  most  widely  used  of  control  chart  in  multivariate  control  processing  is  control  chart  T 2 Hotelling. There  are  2  kinds  of  control  chart  T 2 Hotelling,  namely  T 2 Hotelling  for  group  observation  and  T 2
Hotelling    for  individual  observation.  In  this  paper,  discuss  the  control  chart  T 2 Hotelling  for  individual observation.  This  control  chart  is  used  for  monitoring  of  mean  vector  and  sample  of  covariance  matrix. Mean vector and sample of covariance  matrix are very  sensitive  with respect to extreme point ( outliers ). Therefore, it is needed  an estimator of mean vector and has a stocky population covariance matrix to the outliers  data.  One  method  that  can  be  used  to  detect  data  that  contains  outliers  is Minimum  Covariance Determinant (MCD). From the calculation results, obtained that  control chart T 2 Hotelling by using Fast - MCD algorithm is more sensitive to detect outliers data  than  T 2 Hotelling classically.
Keyword : T 2 Hotelling, Minimum Covariance Determinant (MCD), robust, outlier

## Abstrak
Bagan kendali yang  paling banyak digunakan dalam pengendalian proses secara multivariat adalah bagan kendali T 2 Hotelling. Ada 2 jenis dari bagan kendali Hotelling yaitu bagan kendali Hotelling untuk pengamatan  kelompok  dan  individual.  Pada  tulisan  ini  membahas  bagan  kendali Hotelling  untuk pengamatan  individual.  Bagan  kendali  ini  digunakan  untuk  memonitor  vektor    rata-rata  dan  matriks kovariansi  sampel.  Vektor  rata-rata  dan  matriks  kovariansi  sampel  sangat  sensitif  terhadap  titik  ekstrim ( outliers ).  Oleh  karena  itu  dibutuhkan  estimator  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovariansi  populasi  yang kekar  terhadap  data outliers .  Salah  satu  metode yang  dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  data  yang mengandung outliers adalah Minimum Covariance Determinant (MCD). Dari hasil perhitungan diperoleh bahwa  bagan  kendali  T 2 Hotelling  dengan  algoritma Fast -MCD  lebih  sensitif  mendeteksi  data outliers daripada T 2 Hotelling klasik. Kata Kunci: T 2 Hotelling, Minimum Covariance Determinant (MCD), robust, outlier .

## 1. Pendahuluan
Bagan  kendali  kualitas  atau  yang  disebut control  chart merupakan  salah  satu  alat  yang digunakan  dalam  usaha  mengendalikan  kualitas  proses  karena  dalam  bagan  kendali  dapat  diketahui kapan  proses  berada  di  luar  kendali  ( out  of  control ).  Untuk  mengukur  dua  atau  lebih  karakteristik kualitas  secara  bersamaan  digunakan  bagan  kendali  multivariat  yang  diperkenalkan  oleh  Harold Hotelling.  Bagan  kendali  ini  dikenal  sebagai  bagan  kendali  T 2 Hotelling.  Menurut  Montgomery (2009),  bagan  kendali  T 2 Hotelling  paling  banyak  digunakan  dalam  pengendalian  proses  secara multivariat  untuk  memonitor  vektor  rata-rata  proses  karena  dalam  bagan  kendali  T 2 Hotelling menggunakan  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovariansi  dari  sampel.  Vektor  rata-rata  dan  matriks kovariansi  sampel  sangat  sensitif  terhadap  titik  ekstrim  ( outliers ).  Karena  itu  dibutuhkan  estimator vektor  rata-rata  dan  matriks  kovariansi  populasi  yang  kekar  terhadap  data  pencilan  untuk  membuat bagan kendali T 2 Hotelling.
Salah satu metode yang cukup terkenal adalah Minimum Covariance Determinant (MCD)[9]. Menurut berbagai penelitian antara lain Rousseeuw dan van Driesen (1998), Hubert dan van Driessen
(2002),  penaksir robust dengan  metode  MCD  dapat  memberikan  angka  ketepatan  yang  lebih  baik dibanding metode-metode yang lainnya. Namun, pada metode  MCD , apabila data berdimensi cukup besar, akan sulit dilakukan karena terdapat banyak kombinasi sub sampel yang harus ditemukan oleh penaksir  MCD.  Oleh  karena  itu,  Roussew  dan  Van  Driessen  (1999)  menemukan  algoritma Fast- MCD.  Dari  sudut  pandang  ketersediaan  paket  program,  MCD  telah  terakomodir  dalam  S-PLUS, Matlab  dan  SAS  dengan  menggunakan  algoritma Fast -MCD.  Penaksir Fast -MCD  merupakan estimasi  dengan  menggunakan  rata-rata  dan  kovariansi  dari  sebagian  pengamatan  yang meminimumkan  determinan  matriks  kovariansi.  Metode Fast- MCD  selain  memenuhi  sifat  statistik high breakdown point (dapat mengatasi pencilan sampai 50%), juga efisien dalam komputasinya dan yang  paling  penting  adalah  efektif  dalam  mengatasi  pengamatan  yang  mengandung  pencilan. Berdasarkan hal tersebut, dalam penulisan tugas akhir ini membahas bagan kendali robust multivariat untuk  pengamatan  individual  diterapkan  untuk  menentukan  pengamatan  yang out  of  control dari bahan Clay Putih sebagai bahan pengisi dan pengikat untuk pupuk NPK Phonska.

## 2. Tinjuan Pustaka

## 2.1 Pengendalian Kualitas
Pengendalian proses multivariat merupakan salah satu bagian dari pengendalian kualitas yang cepat berkembang karena ada banyak situasi real yang melibatkan lebih dari dua karakteristik kualitas proses  yang  saling  berhubungan.  Pengendalian  proses  multivariat  ini  selanjutnya  dikenal  sebagai Multivariate  Statistic  Proses  Control (Erna,  2014).  Seperti  halnya SPC ,  dalam MSPC juga  terdapat bagan  kendali.  Bagan  kendali  multivariat  digunakan  untuk  memantau  peubah  secara  bersama-sama pada suatu proses. Proses yang dilakukan dikatakan terkendali jika tidak ada pengamatan yang berada di luar batas kendali ( outlier ).

## 2.2 Analisis Multivariat
Analisis  multivariat  merupakan  analisis  yang  melibatkan  banyak  variabel  (lebih  dari dua).  Asumsi-asumsi  pada  analisis  multivariat  adalah  variabel  karakteristik  harus  saling  berkorelasi dan berdistribusi normal multivariat [7].
2.2.1 Uji Korelasi
Korelasi  adalah  suatu  ukuran  yang  menyatakan  kekuatan  hubungan  antara  2  variabel  [9]. Perhitungan koefisien korelasi Pearson antara variabel dan , yaitu :
√   ( )√ ∑ ̅ ̅ √∑ ̅ √∑ ̅
Berikut merupakan uji korelasi.
1. Hipotesis :
(tidak terdapat korelasi antar variabel).
(terdapat korelasi antar variabel).
2. Statistik uji :
[∑ ∑ ̅ ̂ ∑ ̅ ̅ ] (1)
dengan :
̅ ∑
̅ ∑ ∑
̂
̅ ̅

## 3. Kriteria Pengujian :
Jika statistik uji maka ditolak. Sehingga dapat disimpulkan diterima bahwa terdapat korelasi yang signifikan antar variabel.

## 2.2.2 Distribusi Normal Multivariat
Pada  bagan  kendali  multivariat , pengujian  distribusi  normal  multivariat  dilakukan  untuk menguji  apakah  distribusi  data  yang  akan  dianalisis  telah  berdistribusi  normal  multivariat  sebagai asumsi dasar yang harus dipenuhi dalam analisis multivariat [7].
Berikut pengujian distribusi normal multivariat:
1. Hipotesis : data berdistribusi normal multivariat.
data tidak berdistribusi normal multivariat.
2. Statistik Uji :
( ̅ ) ( ̅ ) (2)
3. Kriteria pengujian
Data dapat dikatakan berdistribusi normal multivariat atau dapat dikatakan gagal menolak apabila terdapat minimal 50 % nilai atau hasil dari scatter plot berupa garis lurus [7].

## 2.3  Estimator Robust Minimum Covariance Determinant (MCD)
Menurut  Hubert  dkk  (2005)  penaksir robust Minimum  Covariance  Determinant (MCD) merupakan  rata-rata  kovariansi  dari  sebagian  pengamatan  yang  meminimumkan  determinan  matriks kovariansi.  Misalkan  vektor  random [ ] merupakan  himpunan  data  sejumlah pengamatan yang terdiri dari p variabel, dimana . Penaksir MCD merupakan pasangan rata- rata sub sampel ̅ dan S yang merupakan  matriks definit positif simetri berdimensi dari suatu sub sampel berukuran h pengamatan dimana dengan ̅ ∑ (3) ∑ ̅ ̅ (4)
Algoritma  yang  terkenal  dalam  menaksir  estimator  MCD  adalah Fast -MCD  yang  diusulkan oleh Rousseuw dan van Driessen (1999).
Algortima Fast -MCD dapat dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Ambil sejumlah pengamatan yang berbeda secara acak. Dari pengamatan akan dihasilkan ( ) himpunan yang baru. Nilai yang optimal memenuhi
.

## Seltuti, Erna Tri Herdiani, Nirwan Ilyas
2. Definisikan himpunan pertama sebagai . Berdasarkan himpunan hitung vektor rata-rata dan matriks kovariansi ( ̅ menggunakan rumus pada persamaan (3) dan (4).
3. Menghitung jarak mahalanobis dengan menggunakan rumus:
√ ̅ ̅ 4. Mengurutkan dari nilai terkecil ke nilai yang terbesar. 5. Definisikan  himpunan  bagian  baru  dengan sedemikian  sehingga  { dimana . 6. Menghitung vektor rata-rata dan matriks kovariansi ( ̅ dari 7. Bandingkan  det( dengan  det( .  Bila  det( >  det( ulangi  langkah  pada  poin  (1)
sampai  (6) hingga ditemukan bahwa det .

## 2.4  Bagan Kendali T 2 Hotelling
Bagan  kendali  T 2 Hotelling  digunakan  untuk  mendeteksi  pergeseran  proses  dengan menggunakan  vektor  mean  sampel  dan  matriks  kovariansi  sampel.  Nilai  T 2 untuk  masing-masing sampel adalah
̅ ̿ ̅ ̿
dengan adalah ukuran masing-masing sampel dan
merupakan invers dari matriks kovariansi S sedangkan batas pengendali atas (BPA) dapat ditentukan dari persamaan berikut :
( ) dengan menyatakan  banyaknya  sampel  yang  masing  –  masing  berukuran .  Jika  nilai untuk sampel ke , maka hal ini menunjukkan bahwa sampel ke - di luar kendali.
Jika  pada  saat  proses  pengamatan  tidak  terdapat  subgrup  atau  data  bersifat  individu  maka digunakan  bagan  kendali  T 2 Hotelling  individu.  Berikut  perhitungan  peta  kendali  T 2 -Hotelling individu (Montgomery,2009).
( ̅ ) ( ̅ ) (5)
Batas kendali T 2 Hotelling untuk pengamatan individual dengan sampel, dapat dirumuskan dengan persamaan (2.13).s
(6)

## 2.5 Indeks Kemampuan Proses
Analisis Kapabilitas proses adalah suatu analisis yang digunakan untuk menaksir kemampuan proses.  Analisis  kapabilitas  proses  dapat  digunakan  setelah  proses  produksi  telah  terkendali  secara statistik. Berikut merupakan kriteria nilai kapabilitas [2].
1. , Kemampuan proses sesuai
2. , Kemampuan proses sangat baik (tingkat presisi dan akurasi tinggi) 3. , Kemampuan proses tidak baik Rumus Indeks Kemampuan Proses
multivariat :
( ) (7)
dengan :
∑ ̅ ̅ (8) √ ̅ ̅
(9)

## 3. Metode Analisis
Langkah-langkah yang dilakukan berdasarkan tujuan penelitian adalah sebagai berikut :
1. Pengambilan data sekunder PT Petrokimia Gresik berupa data parameter kualitas Clay Putih sebagai material balance atau bahan pengisi dan pengikat dalam proses produksi pupuk NPK Phonska, yaitu , Mesh, dan Derajat Putih.
2. Menguji korelasi untuk mengetahui hubungan antar variabel.
3. Melakukan  uji  distribusi  normal  multivariat  agar  asumsi  dasar  yang  harus  dipenuhi  dalam analisis multivariat terpenuhi.
4. Mengestimasi vektor rata-rata dan matriks kovariansi berdasarkan algoritma fast –MCD.
5. Menghitung bagan kendali T 2 Hotelling klasik dan T 2 Hotelling dengan algoritma fast –MCD. 6. Membandingkan  nilai setiap  pengamatan  dengan  BPA.  Jika
maka  data
pengamatan  ke- berada  pada  batas  kendali  ( in  control ).  Sebaliknya  jika
,  maka
data pengamatan ke- berada di luar kendali ( out of control ).
7. Menentukan  kapabilitas  proses  dari  bagan  kendali  T 2 Hotelling  dengan  menggunakan  data Clay Putih sebagai material balance dalam proses produksi pupuk NPK Phonska.
8. Menarik kesimpulan dari hasil penelitian.

## 4. Hasil dan Pembahasan
Pada  penelitian  ini,  analisis  vektor  rata-rata  dan  matriks  kovarian  pada  bagan  kendali  T 2 Hotelling dengan  algoritma Fast- MCD  akan  dilakukan  pada  data  sekunder  produksi  pupuk  bahan Clay Putih.
Hasil  perhitungan  T 2 Hotelling  menunjukkan  bahwa  terdapat  14  pengamatan  yang out  of control untuk data produksi pupuk bahan Clay Putih.
Gambar 1. bagan kendali  T 2 Hotelling dengan pengamatan yang out of control Untuk mencapai proses in control , data yang out of control perlu dihilangkan. Gambar 2. pada bagan kendali T 2 Hotelling menunjukkan bahwa untuk mencapai proses in control perlu di lakukan 9 kali iterasi penghapusan data out of control .
Gambar 2. bagan kendali  T 2 Hotelling dengan pengamatan in control
Selanjutnya bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast -MCD dapat kita lihat pada Gambar 3.
Gambar 3. Bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast MCD
Gambar  tersebut  menunjukkan  bahwa  terdapat  75  nilai yang out  of  control .  Untuk mencapai proses in control seperti pada Gambar 4, data yang out of control perlu dihilangkan. Dari hasil  perhitungan  diperoleh  bahwa  proses in  control dapat  dicapai  hanya  dengan  2  kali  iterasi penghapusan data out of control .
Gambar 4. Bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast -MCD
Perbandingan  hasil  perhitungan  bagan  kendali  T 2 Hotelling  klasik  dan  bagan  kendali  T 2 Hotelling dengan algoritma Fast MCD dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Perbandingan hasil perhitungan dan Identifikasi Data pupuk clay putih data out of control 14 75 Jumlah iterasi 9 2 BPA 7,796 7,796
Dari Tabel tersebut dapat kita lihat bahwa data out of control lebih banyak ditemukan pada bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast -MCD. Hal ini menunjukkan bahwa bagan kendali T 2 Hotelling dengan  algoritma Fast -MCD  lebih  efektif  dalam  mendeteksi  pengamatan  yang mengandung outlier .

## Indeks Kemampuan Proses
Setelah  diperoleh  bagan  kendali  T 2 Hotelling dalam  keadaan  pengamatan in  control ,  maka langkah selanjutnya adalah menaksir kapabilitas proses ( dimana sesuai dengan batas spesifikasi yang  telah  ditentukan  oleh  perusahaan.  Nilai
yang  diperoleh  untuk  bagan  kendali  T 2 Hotelling produksi pupuk dengan bahan Clay Putih sebesar
Sedangkan nilai yang diperoleh untuk bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast -MCD yaitu .

## 5. Kesimpulan
Perbandingan yang diperoleh adalah bagan kendali T 2 Hotelling dengan algoritma Fast -MCD lebih efektif mendeteksi data yang mengandung outlier . Dari hasil perhitungan diperoleh 14 data yang out  of  control pada  bagan  kendali  T 2 Hotelling  klasik  dan  75  data  yang out  of  control pada  bagan kendali T 2 Hotelling  dengan algoritma Fast -MCD dengan nilai BPA = .

## Daftar Pustaka
[1].  Barnett V, Lewis T., 1994. Outliers in Statistical Data . Chichester: John Wiley & Sons, Ltd.
[2].  Bothe, Davis,R.,1997. Measuring Process Capability. McGraw-Hill Companies,   United States of America.
[3].    Chenouri,  S.,  Steiner,  S.  H.,  Variyath,  A.  M.,  2009.  A  Multivariate  Robust  Control  Chart  for Individual Observations . Journal of Quality Technology , 41, (3).
[4].  Erna,  2014 .  Bagan  Kendali  T 2 Hotelling  Dengan  Sampel  Ganda  Dan  Aplikasinya. Skripsi. Program  Studi  Matematika  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  pengetahuan  Alam.  Makassar: Universitas Hasanuddin.
[5].  Hotelling,  H.,  1947. In Techniques  of  Statistical  Analysis ,  C.  Eisenhart,  H.  Hastay,  and  W. A.Wallis, eds., pp. New York, NY: McGraw-Hill.
[6]. Hubert, M dan Driessen, 2002. Fast and Robust Discriminant Analysis . Computational Statistics and Data Analysis.45.
[7].  Johnson,  Richard.  Dean  Wichern.,  2007. Applied  Multivariat  Statistical  Analysis,  5th  ed. New Jersey: Prentice Hall.
[8].    Montgomery,  D.C.(2009). Introduction  to  statistical  quality  control (6 th ed.)  Arizona  State University: John Wiley & Sons, Inc.
[9].  Ronal, E Walpole. 2002. Probability and Statistics for Engineers and Scientist 7th. Prentice Hall, Inc: Upple Saddle River, New Jersey 017458.
[10].  Rousseeuw, P. J. (1985). Multivariate estimation with high breakdown point . In Mathematical Statistics and Applications B (W. Grossmann, G. Pflug,  I. Vincze and W. Werz, eds.) 283297. Reidel, Dordrecht.
[11].  Rousseeuw,  P.  J.,  Driessen,  K.  1999. A  Fast  Algorithm  for  the  Minimum  Covariance Determinant  Estimator. Wilrijk,  Belgium:  Department  of  Mathematics  and  Computer  Science, University of Antwerpon.
[12]. Todorov, V., & Filzmoser, P. An Object Oriented Framework for Robust Multivariate Analysis . Vienna, Austria: United Nations Industrial Development Organization (UNIDO).
[13].  Variyath, Asokan M. dan Vattathoor, Jayasankar. 2013. Robust Control Charts for Monitoring Process  Mean  of  Phase-I  Multivariate  Individual  Observations. Journal  of  Quality  and Reliability Engineering , Volume 2013, Article ID 542305. Hindawi Publishing Corporation [14].    Walpole,  R.E.,  Myers,  R.H.,  Myers,  S.L.,  &Ye,  K  .(2012). Probability  &  Statistics  for Engineers & Scientists (9th ed.). United States of America: Person Education Inc.
Lampiran : Identifikasi data Out Of Control dengan T 2 Hotelling

## Seltuti, Erna Tri Herdiani, Nirwan Ilyas
Lampiran : Identifikasi data Out Of Control T 2 Hotelling dengan algoritma fast -MCD