Efisiensi Generalized Estimating Equations Orde 1 (GEE1) dan Orde 2 (GEE2) untuk Data Longitudinal
The Efficiency of First (GEE1) and Second (GEE2) Order “Generalized Estimating Equations” for Longitudinal Data
Rizka Dwi Hidayati, I Made Tirta* ) dan  Yuliani Setia Dewi Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jember *E-mail: itirta.fmipa@unej.ac.id

## ABSTRACT
The  approach of GEE  focuses on a  linear  model  for the  mean of the  observations in  the  cluster without full specification  the distribution or the likelihood. GEE is a marginal model which is not based on the full likelihood of the response, but only based on the relationship between the mean (first moment) and variance (second moment) as well as the correlation matrix. The advantage of GEE is that the mean of  parameter are estimated consistently regardless whether  the correlation structure is specified correctly or not, as long as the mean has the correct specifications. However, the efficiency may be reduced when the working correlation structure is wrong. GEE was designed to focus on the marginal mean and correlation structure is treated as nuisance. Implementation of GEE  is  usually  limited  to  a  number  of  working  correlation  structure  (eg  AR-1,  exchangeable, independent,  m-dependent  and  unstructured).  To  increase  the  efficiency  of  the  GEE,  has  been introduced an extension called the Generalized Estimating Equations order 2 (GEE2). GEE2  was introduced to overcome the problem that considers correlation GEE as nuisance, by applying the second  equation  to  estimate  covariance  parameters  and solved  it  simultaneously  with  the  first equation. This study explore the efficiency of the GEE and GEE2 by using simulation data which are designed based on the the AR-1 and Exchangeable correlation structure. The results show that true specification of correlation structure and correlation link affects the efficiency of the  model estimation in that the estimates with the true specification of correlation and correlation link have smaller standard errors.
Keywords: Longitudinal data,  generalized estimating equation, marginal model

## PENDAHULUAN
Seiring  dengan  kemajuan  ilmu  pengetahuan dan  teknologi,  khususnya  bidang  komputasi, analisis regresi juga mengalami perkembangan yang cukup pesat dan  banyak digunakan dalam berbagai  bidang.  Analisis  regresi  merupakan salah  satu  analisis  dalam  statistika  yang bertujuan untuk mengestimasi atau menyelidiki hubungan  antara  variabel  prediktor  dengan variabel respon
melalui pengamatan kecenderungan  pola  hubungan  yang  ada. Analisis  regresi  yang  mengandung  kombinasi linier  parameter  dengan  prediktornya,  sering disebut sebagai model linier.
Pada  awalnya  model  linier  disyaratkan harus memiliki galat berdistribusi normal yang independen  (saling  bebas).  Namun  dalam kenyataan  di  lapangan,  asumsi  tersebut  sering tidak  terpenuhi.  Atas  dasar  itulah  kemudian model  linier  berkembang  dan  bisa  menangani data  yang  tidak  berdistribusi  normal  (tetapi
masih dalam keluarga eksponensial). Walaupun bisa  memiliki  galat  yang  tidak  berdistribusi normal, namun masih harus saling independen. Model  linier  seperti  ini  disebut Generalized Linier  Model (GLM)  (McCullagh  &  Nelder, 1989).
Dalam  hal  pengamatan  yang  dilakukan secara  berulang  (longitudinal),  atau  data  yang mengandung  klaster,  maka  akan  didapatkan respon  yang  mutivariat  yang  kemungkinan besar    antar  pengamatan,  tidak  saling independen.  Hal  ini  disebabkan  respon  yang diperoleh  secara  berulang  cenderung  memiliki hubungan  atau  berkorelasi  antara  satu  respon dengan  yang  lainnya.  Pengamatan  yang menghasilkan  respon  seperti  itu  akan bertentangan  dengan  asumsi  GLM.  Kasus tersebut  mungkin  bisa    diselesaikan  dengan metode  multivariat biasa,  namun  metode  biasa hanya mendeskripsikan hubungan  antar variabel  saja  sehingga  pola  korelasi  yang
terbentuk  dari  pengamatan  tersebut  tidak terlihat  dan  cenderung  melibatkan  jumlah parameter yang berlebih. Salah satu cara untuk menangani  data  seperti  ini  adalah  dengan menerapkan  model  linier  yang  disebut Generalized Estimating Equation (GEE), yang diperkenalkan  oleh  Liang  &  Zeger  (1986).
Model linier ini mengatasi
ketidaksalingbebasan  data  dengan  menerapkan struktur korelasi yang berbeda-beda bergantung pada  matriks  ragam-koragamnya,  sehingga pola  korelasi  yang  terbentuk  dari  respon pengamatan dapat diktetahui.
Pendekatan GEE fokus pada model linier untuk mean dari pengamatan berkorelasi dalam kluster  tanpa  spesifikasi  distribusi  bersama pada  secara  penuh.  GEE  merupakan  model marjinal  yang  tidak  didasarkan  atas  bentuk likelihood lengkap  dari  respon,  tetapi  hanya berdasarkan  hubungan  antar  nilai  tengah (momen  pertama)  dan  ragamnya  (momen kedua)  serta  bentuk  matriks  korelasinya (Halekoh et  al. ,  2006  ).  GEE  diklaim robust terhadap kesalahan spesifikasi struktur korelasi (Overall,  2004  ),  yaitu  dengan  GEE  diklaim parameter  mean  dapat    diestimasi  secara konsisten  terlepas  dari  apakah  struktur korelasinya ditentukan dengan benar atau tidak, selama  mean  mempunyai  spesifikasi  yang benar.  Namun  ada  kekhawatiran    efisiensi estimasi  menurun/  hilang  ketika  struktur working  correlation tidak  ditentukan  dengan benar (Crespi et al ., 2009). GEE  didesain  untuk  fokus  pada  mean marjinal  dan  memperlakukan  struktur  korelasi sebagai nuisance, sehingga  implementasi  dari GEE  biasanya  terbatas  pada  sejumlah  struktur working correlation (misalnya AR-1,
exchangeable , independence , m-dependence dan unstructured ) (Crespi et al. , 2009).. Untuk menambah  efisiensi  dari  GEE,    Prentice    &
Zhao (1991) memperkenalkan sebuah pengembangan  dari  GEE  yang  selanjutnya dikenal dengan Generalized Estimating
Equations orde 2 (GEE2). GEE2 diperkenalkan untuk  mengatasi  masalah  pada  GEE  yang menganggap korelasi sebagai nuisance dengan menerapkan  persamaan  estimasi  kedua  untuk parameter  kovarian  dan  diselesaikan  secara bersamaan dengan persamaan estimasi pertama,  singkatnya  persamaan  GEE2  adalah perpanjangan dari GEE dengan solusi simultan dari  persamaan  estimasi  untuk  mean  dan persamaan  estimasi  untuk  kovarian  (Lane, 2007)

## METODE
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini adalah data simulasi dengan cara membangkitkan data secara random berdasarkan struktur data yang digunakan oleh Yan (2002) dengan perubahan pada distribusinya,  dimana  banyak  data  200  data respon  yang  terbagi  dalam  50  subjek  dengan variabel-variabel sebagai berikut: a. x 1 ,dan x 2 merupakan variabel bebas b. y merupakan  variabel  respon  yang  diukur dalam  empat  (4)  kali  visitasi,  sedangkan identitas subjek diberi kode ‘id’.
Struktur  data  yang  disimulasikan  dengan varabelnya  dapat  ditunjukan  pada  Tabel  1. Sedangkan langkah-langkah simulasinya diberikan  pada  Gambar  1.  Rincian  prosedur simulasi  dan  analisis  datanya  adalah  seperti berikut ini.
Tabel 1. Ideintifikasi variabel
Visit Subyek id -------------------------------- x 1 x 2 y 1 y 2 y 3 y 4 1 1 y 11 y 12 y 13 y 14 x 11 x 12 2 2 y 21 y 22 y 23 y 24 x 21 x 22 3 3 y 31 y 32 y 33 y 34 x 31 x 32 : : : : : : : : n n y n1 y n2 y n3 y n4 x n1 x n2

## Tahap Simulasi
Pada  tahap  ini  dibangkitkan  dua  set  data masing-masing  dengan  respon  antar  visit  1 sampai  dengan  4  memiliki  struktur  korelasi AR-1  dan exchangeable yang  merupakan matriks simmetris dengan bentuk umum seperti berikut.  Untuk AR-1
2 1 2 3 1 1 ( ) 1 1 p p p R                            , dan 1 1 ( ) 1
1 R      
                  untuk exchangeable
Gambar 1. Prosedur simulasi dan analisis data
Pada penelitian ini dipilih nilai  = 0,4729753 untuk  struktur  korelasi  AR-1  dan  = 0,4088738 untuk korelasi Exchangeable.
Tahap analisis
a. Masing-masing  data  di  analisis  dengan metode  GEE,  dengan  fungsi gee() dan GEE2,  dengan  fungsi geese() untuk melihat  perbedaan  adanya  pemodelan  link korelasi dan tanpa link korelasi.
b. Pada penggunaan GEE dan GEE2, masing- masing  set  data  dianalisis  dengan menggunakan pilihan correlation structure exchangeable dan AR-1 untuk membandingkan  hasil  ketika corelation structure -nya  ditetapkan  secara  benar  dan ketika ditetapkan secara tidak benar.
c. Hasil  analisis  dibandingkan  terutama  nilai estimasi  parameter,  AIC  dan standard error (kesalahan baku)-nya.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Hasil eksplorasi grafis dari data  simulasi yang digunakan ditunjukkan oleh  Gambar 2 (model AR-1)    dan  Gambar  3  (exchangeable).  Kedua gambar  menunjukkan  adanya  indikasi  bahwa dilihat  dari  respon y data  memiliki  sebaran yang  tidak  sepenuhnya  saling  bebas  (memiliki pola).  Pola  akan  lebih  jelas  terlihat  jika dilakukan plot indeks pada y .
Gambar 2. Eksplorasi data simulasi dengan Korelasi AR-1
Plot  indeks  untuk  variabel y dengan struktur korelasi AR-1 diberikan pada Gambar 4a  dan  Gambar  4b  sedangkan  plot  index variabel y dengan struktur korelasi
Exchangeable disajikan dalam Gambar 4c  dan Gambar 4d. Gambar tersebut  mengindikasikan adanya korelasi pada respon, hal ini dilihat dari sebaran  data  yang  cenderung  tidak  acak  dan membentuk  suatu  pola  dimana y berkorelasi dengan  dirinya  sendiri  (autokorelasi).  Sebaran data tersebut sesuai dengan desain dari struktur korelasi yang digunakan.

## Gambar 3. Eksplorasi data simulasi dengan Korelasi Exchangeable
Sebagaimana  disebutkan  sebelumnya, untuk  setiap  data  diterapkan  2  (dua)  metode estimasi yaitu GEE dan GEE2, dengan 2 (dua) pilihan  struktur  korelasi.  Hal  ini  bertujuan untuk  mengetahui  ada  tidaknya  pengaruh antara  link  korelasi  dimodelkan  dengan  tidak dimodelkan  dan  struktur  korelasi  yang  benar dan tidak benar. Link korelasi yang digunakan dalam  metode  GEE2  yaitu  link identity . Keefisienan estimasi dilihat dari nilai standard error yang  lebih  kecil,  sedangkan  pemilihan model  terbaik  berdasarkan  nilai  AIC.    Hasil yang  diperoleh  dengan  menggunakan  metode GEE dan GEE2 sebagai berikut.

## Hasil Estimasi dengan  GEE
Pada  tahap  ini  kedua  data  di  analisis  dengan memilih model AR-1 dan exchangeable, untuk membandingkan  hasil estimasi parameter pada saat  struktur  korelasi  ditentukan  dengan  benar atau salah ( misspesification ). Selanjutnya untuk melihat  apakah  GEE  bisa  mendeteksi  struktur korelasi yang lebih sesuai.
Infrensi GEE  yang disediakan R    meliputi Naive  SE,  Naive  z,  Robust  SE,  Robust  z dan Scale  Parameter (parameter  skala). Naive  SE merupakan  standar  kesalahan  dalam  penduga naive menggunakan log-likelihood. Naive  z merupakan nilai z untuk penduga naive. Robust SE merupakan  standar  kesalahan  dalam penduga robust menggunakan penduga kuadrat terkecil yang terboboti ( weighted least-square ) pada varian, Robust z merupakan nilai z untuk penduga robust .

## Data dengan  Struktur Korelasi AR-1
Untuk  data  dengan  struktur  korelasi  AR-1, hasil estimasi parameter dan standard error-nya diberikan pada Tabel 2 dan Tabel 3.
Tabel 2. Estimasi β dengan korelasi AR-1 dan korelasi exchangeable
Tipe korelasi Variabel Estimate AR-1 Intercept 0,7666662 X1 2,2740097 X2 -3,147979 Exchangeable Intercept 0,7546400 X1 2,262358 X2 -3,135095

## Tabel 3. Standar error dan uji Z
Tipe Korelasi Variabel Naive S.E Naive Z Robust S.E Robust Z AR-1 Intercept 0,2736411 2,801722 0,1983451 3,865314 X1 0,09958396 22,808990 0,1328778 17,093977 X2 0,39008315 -8,069556 0,3355657 -9,380572 Exchangeable Intercept 0,2819451 2,676549 0,221743 3,403659 X1 0,1038594 21,782881 0,1314054 17,216631 X2 0,3858488 -8,125191 0,3518367 -8,910654 Data dengan  Struktur Korelasi Exchangeable Untuk data dengan struktur korelasi
Exchangeable , hasil estimasi parameter regresi dan  standard error-nya  diberikan pada  Tabel 4 dan Tabel 5.
Tabel 4. Estimasi koefisien regresi Tipe korelasi Variabel Estimate AR-1 Intercept 0,7666662 X1 2,2740097 X2 -3,147979 Exchangeable Intercept 0,7546400 X1 2,262358 X2 -3,135095

## Tabel 5. Standar error
Tipe Korelasi Variabel Naive S.E Naive Z Robust S.E Robust Z AR-1 Intercept 0,2478506 4,140071 0,2423303 4,234381 X1 0,1106409 18,403113 0,1584906 12,847055 X2 0,3380998 -8,940712 0,03243872 -9,318657 Exchangeable Intercept 0,2468469 4,238913 0,2392704 4,373139 X1 0,1076846 18,489790 0,1531813 12,998091 X2 0,3223487 -9,347052 0,3123651 -9,645795

## Hasil Estimasi  dengan  GEE2 Data dengan  Struktur Korelasi AR-1
Hasil  estimas  yang  disediakan  untuk  GEE2 meliputi san.se,  wald dan p ,  dimana san.se merupakan  penduga sandwich atau  yang  lebih dikenal dengan matriks kovarian empiris, wald adalah  uji  signifikansi  paramater  atau  yang sering  disebut  uji wald ,  sedangkan p adalah nilai p value dari masing-masing variabel . Penduga  matriks  korelasi  terdapat  dua jenis  yakni Naive/model-based  estimator dan Robust/empirical/  sandwich  estimator. Pada prosedur  GEE  penduga  matriks  korelasi menggunakan Naive/model-based  estimator sedangkan  pada  GEE2  lebih  menggunakan Robust/empirical/sandwich  estimator. Hasil estimasi  dengan  GEE2  untuk  data  dengan struktur  korelasi  AR-1  diberikan  pada  Tabel  6 untuk  koefisien  regresi  dan  Tabel  7  untuk standar error- nya.
Tabel 6. Hasil koefisien regresi (GEE2)
Tipe korelasi Link Korelasi Variabel Estimate Dispersi AR-1 identity Intercept 1,014051 0,8035262 X1 2,161674 X2 -3,369774
Exchangeable
Intercept 0,9846712 identity X1 2,1094860 0,7944896 X2 -3,310939
Gambar 4. Plot indeks variabel y dua model korelasi Plot a. AR-1     b. Exchangeable
Tabel  7.  Nilai  standard  error  dengan  link korelasi identity Tipe Korelasi Variabel Sand. S.E Wald P AR-1 Intercept 0,1670100 36,86675 1,264845e-09 X1 0,1229261 309,23735 0,000000e+00 X2 0,2632458 163,86217 0,000000e+00 Exchangeable Intercept 0,201507 23,87821 1,026289e-06 X1 0,1263943 278,54712 0,000000e+00 X2 0,2871256 132,97153 0,000000e+00 Sedangkan hasil estimasi parameter
korelasinya,  diberikan pada Tabel 8.
Tabel 8. Nilai estimasi untuk korelasi Tipe Korelasi Koef Korelasi Sand. S.E Wald P AR-1 0,6381885 0,0679042 88,3287 0 Exchangeable 0,4945328 0,0729258 45,98637 1,190792e-11 Data dengan Struktur Korelasi

## Exchangeable
Hasil  estimasi  parameter  regresi    untuk  data dengan  struktur korelasi AR-1 diberikan pada Tabel 9 dan Tabel 10, sedangkan hasil estmasi untuk parameter korelasi diberikan pada Tabel 11.

## Tabel 9. Estimasi koefisien regresi
Tipe korelasi Link Korelasi Variabel Estimate Dispersi AR-1 identity Intercept 1,014253 X1 2,090146 1,014269 X2 -3,076242 Exchangeable Intercept 1,045919 identity X1 2,018462 1,020294 X2 -3,074195
Tabel  10.  Nilai standar  error dengan  link korelasi identity
Tipe Korelasi Variabel Sand. S.E Wald P AR-1 Intercept 0,1918365 27,95311 1,2429e-07 X1 0,1251906 278,74678 0,000000e+00 X2 0,3144923 95,67991 0,000000e+00 Exchangeable Intercept 0,1828997 32,70167 1,07445e-08 X1 0,1178171 293,51090 0,000000e+00 X2 0,2901770 112,23719 0,000000e+00

## Tabel 11. Nilai estimasi koefisien korelasi
Tipe Korelasi Estimate Sand. SE Wald P AR-1 0,4417912 0,07921034 31,10787 2,440792e-08 Exchangeable 0,3294760 0,07267385 20,55376 5,797984e-06
Dari  hasil  yang disampaikan   sebelumnya  kita dapat  merangkum  standar  error  untuk  metode
GEE dan GEE2 seperti pada tabel Tabel 12 dan Tabel 13:
a. Standard Error GEE dan GEE2 untuk data dengan struktur korelasi AR-1
Tabel 12. Standar Error GEE dan GEE2
GEE GEE2 Variabel AR-1 Exchangeable AR-1 Exchangeable Intercept 0,27364111 0,2819451 0,1670100 0,2015071 X1 0,09958396 0,1038594 0,1229261 0,1263943 X2 0,39008315 0,3858488 0,2632458 0,2871256  - - 0,0679042 0,0729258 AIC 988,3708 989,0583 574,4881 577,9208 b. Standard Error GEE dan GEE2  untuk data dengan Struktur korelasi
Exchangeable

## Tabel 13. Standar Error GEE dan GEE2
GEE GEE2 Variabel AR-1 Exchangeable AR-1 Exchangeable Intercept 0,2478506 0,2478506 0,1918365 0,18289997 X1 0,1106409 0,1076846 0,1251906 0,1178171 X2 0,3380998 0,3223487 0,3144923 0,2901770  - - 0,07921034 0,07267385 AIC 695,3979 689,1450 443,3828 440,9040
Berdasarkan  hasil  analisis  data  menggunakan software R  baik  menggunakan  prosedur  GEE maupun  menggunakan  prosedur  GEE2,  dapat diperoleh  beberapa  penjelasan  yang  berkaitan dengan  analisis  data  simulasi  dengan  respon diasumsikan  berkorelasi  sebagai  berikut.    Dari Tabel 2 dan Tabel 4 dapat disimpulkan bahwa metode  GEE  (GEE1  maupun  GEE2)  tetap mengestimasi  koefisien  regresi  secara  relatif konsisten  terlepas  dari  struktur  korelasinya ditentukan  dengan  benar  atau  tidak.  Hal  ini dilihat  dari  besarnya  hasil  estimasi  koefisien regresi.    Struktur  korelasi  yang  sesuai  dengan desain  data  simulasi  pertama  adalah  AR-1 namun  estimasi  dengan  struktur  korelasi exchangeable nilai  estimasinya  tidak  jauh berbeda  dengan  yang  dihasilkan  oleh  struktur korelasi  AR-1.  Begitu  juga  sebaliknya  dengan data  yang  didesain  berdasarkan  struktrur korelasi exchangeable ketika  diestimasi menggunakan struktur korelasi AR-1
menghasilkan  nilai  estimasi  yang  tidak  jauh berbeda pula (Tabel 6 dan Tabel 9). Meskipun penggunaan struktur korelasi yang tidak sesuai dengan  desain  awal  tetap  mengasilkan  nilai estimasi yang konsisten.
Namun  ketika  struktur  korelasinya  tidak sesuai, estimasi-estimasi tersebut menghasilkan nilai standard  error yang  cenderung  lebih tinggi dibandingkan dengan estimasi menggunakan  struktur  korelasi  yang  sesuai,
baik menggunakan metode GEE maupun GEE2 (Tabel  3  dan    Tabel  5  untuk  metode  GEE, sedangkan  untuk  metode  GEE2  pada  Tabel  7 dan Tabel 10). Data yang didesain berdasarkan struktur  korelasi  AR-1,  dianalisis  dengan struktur  korelasi exchangeable, menghasilkan nilai standard  error untuk  cenderung  lebih besar  dibandingkan  dengan  struktur  korelasi AR-1  dan  begitu  juga  sebaliknya.  Sehingga keefisienan  estimasi  tersebut  dapat  dikatakan berkurang  meskipun  menghasilkan  nilai estimasi  yang  tidak  jauh  berbeda.  Selain  itu nilai  AIC  yang  dihasilkan  juga  menunjukan bahwa  nilai  AIC  model  dengan  struktur korelasi  AR-1  (untuk  data  yang  didesain berdasarkan  struktur  korelasi  AR-1)  nilainya lebih  kecil  baik  dengan  menggunakan  metode GEE  maupun  GEE2  (Tabel  12)  begitu  pula dengan  model  yang  didesain  sesuai  dengan struktur  korelasi exchangeable memberikan nilai  AIC  yang  dihasilkan  juga  lebih  kecil dibandingkan  dengan  model  dengan  struktur korelasi  AR-1  (Tabel  13).  Kedua  hal  tersebut ( standard  error dan  nilai  AIC)  menunjukkan bahwa  dengan  penggunaan  struktur  korelasi yang  salah    koefisien  regresi  masih  diestimasi secara konsisten, namun keefisienan modelnya dapat dikatakan kurang baik.
Berdasarkan  hasil  analisis  Tabel  12  dan Tabel  13  dapat  dikatakan  bahwa  link  korelasi juga  mempengaruhi  keefisienan  model,  hal  ini terlihat  dari  nilai standard  error untuk  model dengan  link  korelasi  dimodelkan  (metode GEE2)  memberikan  nilai  yang  lebih  kecil dibandingkan  dengan  link  korelasi  yang  tidak dimodelkan baik dengan menggunakan struktur korelasi AR-1 maupun exchangeable . Sehingga dapat  dikatakan   metode  GEE2  mengestimasi parameter dengan  keefisienan yang lebih baik, dari  GEE,  hal  ini  ditunjukkan  dengan  nilai standard  error metode  GEE2  lebih  kecil dibandingkan  metode  GEE.  Selain  itu  nilai AIC untuk metode GEE2 juga jauh lebih kecil dibandingkan dengan GEE, hal ini menunjukkan  model  dengan  metode  GEE2 lebih baik (Tabel 12 dan Tabel 13).
Pada  metode  GEE  koefisien  korelasi tidak  diestimasi,  nilai   hanya  ditunjukan  pada struktur  korelasinya  saja.  Sedangkan  pada GEE2  koefisien  korelasi   diestimasi  sama seperti   dengan  memberikan  nilai standard error ,  uji  wald  dan  nilai  p- value nya  sehingga dapat  dibandingkan  keefisienan   pada  kedua struktur  korelasi  yang  digunakan.  Untuk  data dengan  desain  korelasi  AR-1,  Tabel    12
menunjukkan  nilai  koefisien  korelasi   untuk AR-1  mempunyai  nilai  yang  lebih  mendekati nilai  1  dibandingkan  struktur  korelasi exchangeable dengan nilai estimasinya sebesar 0,6381885  serta  nilai  uji  wald  menunjukan signifikan  dengan  nilai standard  error lebih minimum  yaitu  0,0679042,  sedangkan  untuk data dengan desain struktur korelasi exchangeable mempunyai  nilai   sebesar 0,3294760  dengan  nilai standard  error- nya 0,07267385 yang jauh lebih kecil dibandingkan dengan struktur korelasi pembandingnya (Tabel 13).

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Dari  hasil  dan  pembahasan  sebelumnya diperoleh kesimpulan sebagai berikut ini. a.  Metode  GEE  (GEE  dan  GEE2)  tetap mengestimasi   secara  konsisten  terlepas dari struktur korelasinya ditentukan dengan benar  atau  tidak,  namun  namun  estimasi lebih  efisien  saat  struktur  korelasi ditentukan dengan benar.
b. Link korelasi juga mempengaruhi keefisienan  model  yang  ditunjukan  dengan nilai standard  error yang  dihasilkan  oleh metode  GEE2  lebih  kecil  dibandingkan dengan metode GEE yang tidak memodelkan  korelasi.  Begitu  juga  dengan nilai  AICnya,  metode  GEE2  menghasilkan nilai  AIC  yang  lebih  kecil  dibandingkan dengan metode GEE.

## Saran
Bagi  para  peneliti  yang  menerapkan  analisis regresi  dengan  respon  yang  berkorelasi disarankan  untuk  menggunakan  GEE2,  karena GEE2  menyediakan  pilihan  yang  lebih fleksibel untuk model maupun link korelasinya. Lebih-lebih,  analisis  tersebut  telah  ada  pada software statistika  yang  tersedia  secara  bebas dalam bentuk open source yang mudah diakses.

## DAFTAR PUSTAKA
Crespi.,Wong  &  Shiraz.  2009.  Using  Second  Order GEE  to  Model  Heterogeneous  Intra  Class Correlation in Cluster Randomized Trials. NIH Public Access . 28(5) -814.
Halekoh,  Hojsgaard  &  Yan.  2006.  The  R  Package geepack for Generalized Estimating Equations.
Journal  of  Statistics  Software .  Vol. 15  (2) :1- 11. Lane,S. 2007. Generalized Estimating Equations for Pedigree Analysis . Department of Mathematics  and  Statistics:University  of Melbourne.
Liang,  K-Y  &  Zeger,  S.  1986.  Longitudinal  data analysis  using  Generalized  Linear  Model, Biometrika , 73 :13-22 McCullagh,  P.  &  Nelder  J.A.  1989. Generalized Linear Models , Chapman & Hall Overall,  J  E  &  Tonidandel,  S. 2004.  Robustness  of Generalized  Estimating  Equation  (GEE)  Test of Significance against Misspecification of the Error  Structure  Model. Biometrical  Journal . 2 :203-213 Prentice  R.L.    &    Zhao,  L.P.  1991.  Estimating Equations  for  Parameters  in  Means  and Covariances  of  Multivariate  Discrete  and Continuous  Responses. Biometrics . 47 :  825- 839. Yan,  J  2002  geepack:  Yet  Another  Package  for Generalized  Estimating      Equations R-News , 2(3) :12-14