Estimasi Solusi Model Pertumbuhan Logistik dengan Metode Ensemble Kalman Filter
Solution Estimation of Logistic Growth Model with Ensemble Kalman Filter Method
Vianda Nuning Fitriani, Kosala Dwidja Purnomo Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Jember Email:  kosaladp@gmail.com

## ABSTRACT
Ensemble Kalman Filter (EnKF) can be applied for linear or nonlinear models. This paper is aimed to estimate the logistic growth of population models using EnKF. The estimation will be compared with the analytical solution. We assume that we can find the analytical solution of the models. The models is in the specific form i.e comparison between the population growth rate and the amount of population is in the parabolic form. The good estimation will be attained by choosing 100 as size of ensembles in EnKF. The result of estimation really so closed to the analytical solution.
Keywords : Analytical solution, EnKF, ensemble

## PENDAHULUAN
Metode Kalman Filter (KF) diperkenalkan oleh R.E.  Kalman  pada  tahun  1960  melalui  paper terkenalnya  yang  menjelaskan  tentang  solusi pada masalah filter linier untuk data diskrit. KF adalah  suatu  metode  yang  digunakan  untuk mengestimasi state sistem  yang  diperoleh  dari suatu  pengukuran  yang  mengandung noise . Metode  ini  dapat  mengestimasi  suatu  keadaan berdasarkan data yang minim.
Data pengukuran  terbaru  menjadi  bagian  penting dari  algoritma  KF  karena  data  tersebut  akan berguna  untuk  mengoreksi  hasil  prediksi, sehingga  hasil  estimasinya  akan  lebih mendekati kondisi yang sebenarnya.
Dengan  bentuk  standarnya  metode  KF hanya  bisa  diterapkan  pada  model  dinamik linier. Dalam perkembangannya untuk memecahkan model dinamik nonlinier, metode
KF  dikembangkan  menjadi  beberapa  metode lanjutan,  diantaranya  Extended  Kalman  Filter (EKF)  dan  Ensemble  Kalman  Filter  (EnKF). Kedua  metode  tersebut  memiliki  karakteristik yang  berbeda,  EKF  dapat  diterapkan  pada metode  KF  jika  model  dinamik  nonliniernya telah dilinierisasi dengan menggunakan matriks Jacobi.  Sedangkan  metode  EnKF  dapat dijalankan  dengan  cara  membangkitkan sejumlah ensemble tertentu  untuk  menghitung mean dan kovarian error variabel statenya. Purnomo,  K.  (2008)  membahas  tentang penerapan EKF dan EnKF dalam mengestimasi
pertumbuhan populasi plankton yang menghasilkan  solusi  bahwa  penggunaan metode  EKF  lebih  cocok  digunakan  dalam pengestimasian  daripada  metode  EnKF.  Erna dkk. (2011)  telah menggunakan metode  yang menghasilkan kesimpulan bahwa metode EnKF cocok digunakan untuk mengestimasi polusi air tanah  dan  estimasi  EnKF  lebih  akurat dibandingkan KF . Dalam  tulisan  ini  penulis  mencoba mengembangkan solusi estimasi model pertumbuhan  logistik  menggunakan  metode EnKF. Model pertumbuhan logistik yang dikaji mengasumsikan  bahwa  perbandingan  antara laju  pertumbuhan  populasi  dan  jumlah populasinya  setiap  saat  berbentuk  kurva parabolik. Solusi analitik atau solusi eksak dari model juga akan digunakan sebagai pembanding hasil estimasinya.

## Model Pertumbuhan Logistik
Misalkan  banyaknya  populasi  pada  waktu adalah ,  maka  laju  perubahan  populasi terhadap waktu adalah . Selanjutnya  jika  laju  perubahan  populasi sebanding  dengan  banyaknya  populasi  yang ada, maka:
atau
(1)
dengan konstanta  dan  disebut  laju reproduksi.  Jika  laju  reproduksinya  tidak konstan, maka   dapat dipandang sebagai suatu fungsi  dari  variabel N ,  misalkan
.  Maka model persamaan (1) dapat diubah menjadi:
(2)
Dari  model  persamaan  pertumbuhan eksponensial (1) dapat  ditentukan  suatu  model baru yaitu persamaan pertumbuhan logistik (2).
Pertumbuhan logistik adalah model pertumbuhan  populasi  yang  terkait  dengan kepadatan  yang  mencerminkan  pengaruh  dari persaingan intraspesifik. Penghambatan pertumbuhan  populasi  dapat  dijelaskan  secara matematika  dengan  menambahkan  variabel yang  menjelaskan  pengaruh  kepadatan  ke dalam persamaan eksponensial.
Dari persamaan (2), asumsi sederhana yang dapat  dibuat  adalah berbentuk  linier, yaitu . Jika kita menggunakan  kondisi dimana adalah  laju  pertumbuhan  dan ( adalah carrying  capacity atau  ambang  batas populasi),  maka kita dapat  menemukan dan .  Jadi  diperoleh  bentuk .  Oleh  karena  itu, persamaan  logistik  dengan linier adalah: (3) Persamaan (3) mempunyai solusi analitik (Zill, 2005). Asumsi linier dapat dikembangkan
menjadi bentuk parabolik, yaitu:
(4)
dimana    dan    adalah  konstanta.  Dalam  hal ini  persamaan  (4)  akan  menjadi  asumsi  dalam model pertumbuhan logistik yang akan dikaji.

## Metode Ensemble Kalman Filter
Metode  Ensemble  Kalman  Filter  (EnKF) adalah  metode  estimasi  modifikasi  dari algoritma Kalman Filter yang dapat digunakan untuk  mengestimasi  model  sistem  linier maupun nonlinier. Metode EnKF diperkenalkan  oleh  Evensen  (2003)  dengan membangkitkan  atau  menggunakan  sejumlah ensemble pada tahap prediksi untuk mengestimasi  kovarian  errornya.  Oleh  karena itu, proses estimasi pada  metode EnKF  sedikit
berbeda  dengan  proses  estimasi  pada  metode Kalman Filter .
Bentuk  umum  sistem  dinamik  nonlinier pada EnKF adalah
dengan pengukuran linier
yaitu:
dimana,
Proses  estimasi  pada  EnKF  diawali  dengan membangkitkan  sejumlah N e ensemble  dengan mean nol dan kovarian tertentu. Ensemble yang dibangkitkan  dilakukan  secara  random  dan berdistribusi normal. Misalkan akan dibangkitkan  sejumlah N e ensemble  untuk .
Untuk  tahap  prediksi  dan  koreksi,  sama dengan  metode  Kalman  Filter  tetapi  sebelum masuk  ke  tahap  prediksi,  mean  ensemblenya ditentukan terlebih dahulu, yaitu:
(5)
dan untuk kovarian error P k , yaitu:
(6)
Persamaan  (5)  digunakan  pada  tahap  prediksi dan  tahap  koreksi  untuk  menghitung  estimasi masing-masing dan ,  sedangkan persamaan (6) hanya digunakan untuk kovarian pada  tahap  prediksi.  Pada  EnKF, noise sistem pada  tahap  prediksi  dan noise pengukuran pada  tahap  koreksi  dibangkitkan  dalam bentuk ensemble . Dalam  melakukan  estimasi  dengan  sistem dinamik nonlinier dan pengukuran  yang linier, diberikan  suatu  algoritma  EnKF  seperti  pada Tabel 1.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada  bagian  ini  akan  dibahas  tentang  estimasi pertumbuhan  logistik  dengan  menggunakan metode  EnKF  dan  solusi  eksak  dari  model pertumbuhan  logistik.  Model  pertumbuhan logistik  mempunyai  bentuk  nonlinier  dan kontinyu.  Oleh  karena  itu,  perlu  dilakukan diskritisasi  agar  algoritma  EnKF  dapat dijalankan  dengan  pemrograman  Matlab. Model  pertumbuhan  populasi  yang  masih berbentuk  model  deterministik  harus  diubah menjadi  model  dinamik  stokastik  dengan  cara menambahkan noise. Kemudian akan dibahas hasil  simulasi  dengan  cara  membandingkan hasil  estimasi  EnKF  dengan  solusi  analitik. Dalam  hal  ini  pada  metode  EnKF  akan dibandingkan  hasil  estimasi  dengan  ukuran
0 50 100 150 200 250 300 0 200 400 600 800 1000 1200 grafik pertumbuhan logistik waktu Ju m la h P op ul as i
ensemble 100,  200,  300,  400,  500,  1000  dan 3000.
Tabel  1.  Algoritma Ensemble  Kalman  Filter (EnKF)
Model Sistem dan model Pengukuran: ,
,
Tahap Inisialisasi:
Bangkitkan
ensemble  sesuai  estimasi awal  .
Tentukan nilai awal:
Tahap Prediksi:
dengan
Estimasi             :
Kovarian Error :
Tahap Koreksi:
dengan
Kalman Gain    :
Estimasi             :
Kovarian Error : Keterangan: : estimasi variabel keadaan pada tahap prediksi : kovariansi error pada tahap prediksi
(Purnomo, 2008)
Model  pertumbuhan  logistik  yang  dikaji merujuk  pada  persamaan  (2)  dan  (4),  dimana
adalah  fungsi  parabolik.  Jika menggunakan kondisi
dan
,  maka  dapat  ditemukan  nilai  dari konstanta a dan b ,  yaitu dan . Sehingga diperoleh bentuk .  Oleh  karena
itu,  persamaan  pertumbuhan  logistiknya menjadi:
atau
(7)
Persamaan  terakhir  ini  dapat  diubah  menjadi persamaan diferensial Bernoulli (8), yaitu:
(8)
Persamaan (7) ini mempunyai solusi analitik
(9)
Persamaan  (9)  dapat  ditunjukkan  melalui grafik  di  bawah  ini,  dimana  nilai  konstanta yang diambil diasumsikan sebagai berikut:
, , . Dengan  mensubstitusikan  ketiga  nilai  tersebut ke  dalam  persamaan  (9),  maka  diperoleh  nilai konstanta dan grafik solusi
sebagaimana pada Gambar 1.
Gambar 1. Grafik solusi model pertumbuhan logistik
Persamaan  (9)  merupakan  solusi  analitik dari  persamaan  pertumbuhan  logistik.  Solusi analitik  atau  solusi  eksak  merupakan  solusi ideal  dari  suatu  persamaan.  Oleh  karena  itu, solusi  analitik  ini  akan  dibandingkan  dengan hasil  estimasi  menggunakan  metode  Ensemble Kalman Filter.
Persamaan  (7)  yang  merupakan  model kontinyu selanjutnya akan didiskritisasi dengan beda  hingga  ( finite  difference ).  Jika menyatakan jumlah populasi pada saat  , maka diperoleh:
dimana dan Perubahan  variable  state terhadap  waktu diaproksimasi  dengan  menggunakan  metode beda hingga maju, sehingga diperoleh:
Persamaan  diatas  kemudian  disubtitusikan kepersamaan (7), sehingga diperoleh:
Atau (10) Persamaan  (10)  merupakan  bentuk  sistem dinamik  nonlinier,  dengan  model  pengukuran yang berbentuk linier yaitu:
dengan adalah  sebuah  matriks  pengukuran
yang  bergantung  pada  variabel  keadaan  yang akan  diukur.  Dalam  masalah  ini,  matriks pengukuran tersebut berukuran 1 × 1 .
Simulasi  dilakukan  dengan  menggunakan program Matlab 7.8.0. Dalam hal ini, algoritma yang  akan  akan  digunakan  dalam  proses simulasi  adalah  algoritma  dari  metode Ensemble  Kalman  Filter (EnKF)  yang  akan dibandingkan dengan solusi analitik atau solusi eksak  dari  model  persamaan  pertumbuhan logistik. Dalam proses simulasi terlebih dahulu ditentukan  grid  waktu .  Nilai ditentukan dengan menggunakan tebakan yang disesuaikan  dengan  hasil  estimasi  agar  hasil estimasi  dalam  metode  EnKF  menunjukkan hasil estimasi  yang konvergen. Nilai dari yang  akan  diambil  dalam  proses  simulasi pertumbuhan  logistik  ini  adalah . Selain  dari ,  data-data  yang  akan digunakan dalam proses simulasi pertumbuhan logistik  adalah:  laju  pertumbuhan  populasi ,  batas  maksimum  populasi , dan jumlah populasi awal . Dalam proses simulasi dengan menggunakan  metode  EnKF,  pengambilan ukuran ensemble yang  akan  diambil  adalah 100,  200,  300,  400,  500,  1000  dan  3000. Sedangkan variansi dari noise proses dan noise pengukuran masing-masing  adalah dan . Proses simulasi
dalam  hal  ini  dilakukan  dengan  jumlah  iterasi sebanyak  1000.  Hasil  simulasi  yang  diperoleh akan  dievaluasi  dengan  cara  membandingkan
hasil estimasi EnKF dengan solusi analitik dari model pertumbuhan logistik.
Dalam bagian ini akan disajikan grafik nilai analitik  dan  nilai  estimasi  EnKF  dari pertumbuhan  logistik.  Penyajian  hasil  melalui gambar  dimaksudkan  untuk  memperoleh gambaran  umum  hasil  estimasi  EnKF  dengan solusi analitik. Selain itu, disajikan juga grafik norm kovariansi error   yang digunakan untuk menentukan  tingkat  keragaman dari  hasil estimasi metode EnKF.
Gambar  2.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  100 ensemble
Gambar  3.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  200 ensemble
Gambar  4.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  300 ensemble
Gambar  5.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  400 ensemble
Gambar  6.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  500 ensemble
Gambar  7.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  1000 ensemble
Gambar  8.  Hasil  estimasi  EnKF  dengan  3000 ensemble
Berdasarkan  hasil  simulasi  pada  Gambar  2 sampai  dengan  Gambar  8,  dapat  diketahui bahwa  hasil  estimasi  dengan  metode  EnKF cukup dekat dengan hasil analitik pada Gambar 1. Grafik pada Gambar 1 menunjukkan bahwa pada  solusi  analitik  secara  asimtotik  jumlah populasi mendekati nilai tertentu (dalam hal ini 1000)  sebagai  ambang  batasnya.  Sedangkan nilai  estimasi  dengan  metode  EnKF  bergerak fluktuatif  di  sekitar  solusi  analitiknya.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  metode  EnKF  dengan lebih  dari  100  ensemble  memberikan  hasil estimasi yang cukup baik.
Dari  Gambar  2  sampai  Gambar  8  juga terlihat  bahwa  ukuran  ensemble  yang  lebih besar  secara  umum  memberikan  nilai  norm kovariansi  error  yang  lebih  kecil.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  estimasi  dengan  ukuran ensemble  yang lebih besar pada metode EnKF memberikan  hasil  yang  relatif  lebih  baik
dibandingkan  ukuran  ensemble  yang  lebih kecil. Namun demikian, patut dipertimbangkan juga  bahwa  ukuran  ensemble  yang  lebih  besar akan  memberikan  konskuensi  perhitungan numerik  yang  banyak,  sehingga  juga  akan membutuhkan  waktu  komputasi  yang  lebih besar.

## KESIMPULAN
Dari  hasil  dan  pembahasan  di  atas  dapat disimpulkan bahwa:
1. Hasil  estimasi  dengan  metode  EnKF (dengan    jumlah  ensemble  100  atau  lebih) cukup dekat dengan solusi analitiknya.

## DAFTAR PUSTAKA
Erna,  A.,  Sanjoyo,  A.,  dan  Dieky,  A.  2011.  „‟The Ground  Water  Pollution  Estimation  by  The Ensemble Kalman Filter‟‟. Canadian Journal on Science  and  Engineering  Mathematics , Vol  2 No. 2. Evensen,  G.,  2003.  “The  Ensemble  Kalman  Filter:
Theoretical formulation and practical implementation”. Ocean  Dynamics , Vol  53 ,  hal 343  - 367. Purnomo,  K.  D.  2008. Aplikasi  Metode  Kalman Filter  pada  Model  populasi  Plankton .  Tidak diterbitkan.  Tesis.  Surabaya:  Program  Pasca Sarjana Institut Teknologi Sepuluh November
2.  Ukuran  ensemble  yang  lebih  besar  pada EnKF  memberikan  hasil  estimasi  yang lebih baik.

## DAFTAR PUSTAKA
Erna,  A.,  Sanjoyo,  A.,  dan  Dieky,  A.  2011.  „‟The Ground  Water  Pollution  Estimation  by  The Ensemble Kalman Filter‟‟. Canadian Journal on Science  and  Engineering  Mathematics , Vol  2 No. 2. Evensen,  G.,  2003.  “The  Ensemble  Kalman  Filter:
Theoretical
formulation and practical implementation”. Ocean  Dynamics , Vol  53 ,  hal 343  - 367. Purnomo,  K.  D.  2008. Aplikasi  Metode  Kalman Filter  pada  Model  populasi  Plankton .  Tidak diterbitkan.  Tesis.  Surabaya:  Program  Pasca Sarjana Institut Teknologi Sepuluh November.
Erna,  A.,  Sanjoyo,  A.,  dan  Dieky,  A.  2011.  „‟The Ground  Water  Pollution  Estimation  by  The Ensemble Kalman Filter‟‟. Canadian Journal on Science  and  Engineering  Mathematics , Vol  2
No. 2.
Evensen,  G.,  2003.  “The  Ensemble  Kalman  Filter:
Theoretical
formulation and practical implementation”. Ocean  Dynamics , Vol  53 ,  hal 343  - 367. Purnomo,  K.  D.  2008. Aplikasi  Metode  Kalman Filter  pada  Model  populasi  Plankton .  Tidak diterbitkan.  Tesis.  Surabaya:  Program  Pasca Sarjana Institut Teknologi Sepuluh November