## PENALARAN INDUKTIF MAHASISWA CALON GURU MATEMATIKA DALAM PEMBUKTIAN

## Soffil Widadah
Pendidikan Matematika Universitas PGRI Delta sofdah16@gmail.com

## Aunillah
Kementerian Agama Kabupaten Sidoarjo rafifgama@gmail.com

## Abstrak
Penelitian  ini  menyelidiki  bagaimana  mahasiswa  calon  guru  matematika menggunakan  penalaran  induktif  dalam  membangun  bukti  matematika. Dengan  menggunakan  desain  penelitian  kualitatif,  data  dikumpulkan melalui  pemberian  tugas  dan  wawancara  semi-terstruktur,  dari  13  subjek tingkat empat program studi pendidikan matematika. Temuan menunjukkan bahwa meskipun subjek pada umumnya menunjukkan kemampuan dalam mengenali aturan dan merumuskan dugaan, tetapi terkadang masih kurang teliti dalam berargumen. Selain itu, Subjek menggunakan wawasan induktif untuk  membentuk  dugaan  dan  kemudian  menggunakan  metode  deduktif untuk  membuktikannya.  Kontribusi  penelitian  ini  adalah    pemahaman tentang  bagaimana  penalaran  induktif  dapat  dikembangkan  dan diintegrasikan  ke  dalam  praktik  pengajaran  matematika  dengan  tujuan meningkatkan kualitas pendidikan matematika.
Kata  Kunci: penalaran  induktif , penalaran  deduktif, Mahasiswa.

## Abstract
This study investigated how prospective mathematics teachers use inductive reasoning in constructing mathematical proofs. Using a qualitative research design,  data  were  collected  through  assignments  and  semi-structured interviews, from 13 fourth-year subjects of the mathematics education study program. The findings showed that although the subjects generally showed the ability to recognize rules and formulate conjectures, but sometimes still lacked rigor in arguing. In addition, Subjects used inductive insights to form conjectures and deductive methods to prove them. This research contributes to understanding how inductive reasoning can be developed and integrated into mathematics teaching practices to improve the quality of mathematics education.
Keywords: inductive reasoning, deductive reasoning, Students

## PENDAHULUAN
Penalaran  induktif  merupakan  bagian
umum dari kecerdasan manusia (Pellegrino, et.  al,  2021))  yang  mendasari kinerja tugas yang kompleks dari beragam domain  konten.  Hal  ini  dianggap  sebagai kemampuan  edukatif,  yaitu  kemampuan untuk  menghasilkan  "hal  baru"  (Suchyadi &  Suharyati,  2021).  Oleh  karena  itu, mahasiswa dapat mengembangkan kesadaran penalaran induktif dan aplikasinya.
Secara  umum,  penalaran  melibatkan simpulan yang diambil dari prinsip-prinsip dan  bukti,  di  mana  individu  menarik kesimpulan baru atau mengevaluasi simpulan  yang  diusulkan  dari  apa  yang telah  diketahui  (Byrne,  et.  al,  2019).  Ada dua jenis utama penalaran, yaitu penalaran deduktif  dan  induktif.  Penalaran  deduktif menunjukkan proses penalaran dari serangkaian premis umum untuk mencapai simpulan yang valid secara logis, sedangkan  penalaran  induktif  adalah proses  penalaran  dari  premis-premis  atau pengamatan  khusus  untuk  mencapai simpulan  umum  atau  aturan  keseluruhan. Oleh karena itu, simpulan deduktif menarik kesimpulan  yang  tersirat  dalam  informasi yang  diberikan,  sedangkan  simpulan
induktif menambahkan informasi (Prawitz, 2015).
Penalaran induktif merupakan komponen  fundamental  dalam  berpikir matematis,  terutama  bagi  calon  guru matematika yang bertanggung jawab untuk membimbing siswa dalam memahami dan membangun  bukti  matematika.  Penalaran induktif melibatkan pembuatan generalisasi  berdasarkan  contoh  atau  pola tertentu  yang  diamati  pada  kasus-kasus tertentu.  Jenis  penalaran  ini  berbeda dengan  penalaran  deduktif,  di  mana kesimpulan  diambil  dari  prinsip-prinsip umum atau aksioma.
Conner, et. al,  (2014) menghubungkan penalaran  induktif  dalam  matematika dengan menemukan pola dan hubungan di antara  angka-angka  dan  gambar.  Ide  ini berawal  dari  karya  Polya  (2020),  yang mendefinisikan penalaran induktif sebagai penalaran  alamiah  yang  memungkinkan kita  memperoleh  pengetahuan  ilmiah. Polya  (2020)  juga  menganggap  penalaran induktif  dalam pembelajaran  matematika sebagai  metode  untuk  menemukan  sifat- sifat  dari  fenomena  dan  menemukan keteraturan  dengan  cara  yang  logis. Penalaran induktif sebagai sebuah metode melibatkan empat langkah, yaitu: pengalaman  dengan  kasus-kasus  tertentu,
perumusan  dugaan,  pembuktian  dugaan, dan  pembuktian  dengan  kasus-kasus tertentu yang baru (Polya, 2020). Berdasarkan  langkah-langkah  tersebut, Komatsu & Jones (2022) mengembangkan sebuah  sistem  yang  terdiri  dari  tindakan berpikir siswa pendidikan menengah ketika mereka memecahkan masalah pembuktian dan  menghubungkan  penalaran  induktif dengan pembenaran dari sebuah
pernyataan  di  mana  penalaran  induktif muncul.
Imenda (2014)
mendefinisikan penalaran  induktif  sebagai  perbandingan sistematis  dan  analitik  dari  objek-  objek yang bertujuan untuk menemukan kesamaan  dan/atau  perbedaan  antara atribut-atribut  atau  relasi-relasi.    Definisi ini  menghasilkan  identifikasi  enam  kelas masalah  penalaran  induktif  (generalisasi, diskriminasi,  klasifikasi  silang, mengenali hubungan,  membedakan  hubungan,  dan konstruksi  sistem),  sesuai  dengan  jenis proses  kognitif  induktif  yang  diperlukan untuk  solusinya.  Setiap  format  soal dipasangkan  dengan  operasi  kognitif tertentu yang diperlukan untuk menyelesaikan  soal  tersebut  (Lin  &  Lin, 2014).
Keenam kelas masalah induktif tersebut saling  berkaitan  karena  semuanya  dapat
diselesaikan dengan strategi inti penalaran induktif,  yaitu  proses  membandingkan (Barkl,  et. al.,  2012).  Melalui  penguraian, seseorang  membandingkan  objek-objek sehubungan dengan atribut atau relasi yang sama.  Setelah  mengevaluasi  semua  objek terkait  kesamaan  dan  ketidaksamaan semua  atribut  atau  hubungan,  pemecah masalah (mahasiswa calon guru matematika) diharapkan menemukan aturan  dan  solusi  dari  suatu  masalah. Strategi  perbandingan  mengasumsikan bahwa pemecah masalah dapat mengenali semua atribut atau relasi yang ada di dalam masalah.
Kerangka kerja (Sznajder, 2021) menyebutkan  bahwa  ada  tiga  proses kognitif  dalam  penalaran  induktif,  yaitu: kesamaan,  ketidaksamaan,  dan  keduanya (integrasi). Ketiga proses kognitif tersebut mengacu  pada  operasi  dan  keterampilan pemecahan  masalah  untuk  memecahkan berbagai  jenis  informasi,  hubungan,  dan masalah  yang  mencerminkan  kemampuan mahasiswa  calon guru matematika.
Pemahaman tentang kesamaan
ditunjukkan  pada  tingkat  atribut  dengan kemampuan seseorang
untuk mengidentifikasi  kesamaan  atribut  objek yang berbeda (angka atau bentuk) dan pada tingkat relasi dengan kemampuan
seseorang untuk mengidentifikasi kesamaan relasi (antara angka atau objek). Tiga  format  soal  yang  umum  digunakan pada  tingkat  atribut  adalah  pembentukan kelas,  perluasan  kelas,  dan  menemukan kesamaan atribut (Lin & Lin, 2014). Dalam pembuktian  matematika,    pembentukan merupakan  proses  mengidentifikasi  dan mengelompokkan  objek  atau  konsep matematika  yang  memiliki  sifat  atau karakteristik  yang  sama.  Perluasan  kelas dalm  pembuktian  matematika  merupakan generalisasi  dari  hasil  atau  pola  yang ditemukan  dalam  sejumlah  kasus  khusus ke  kasus  yang  lebih  umum.  Contohnya, setelah  membuktikan suatu  teorema berlaku untuk bilangan bulat tertentu, kita bisa  memperluas  untuk  membuktikan bahwa  teorema  berlaku  untuk  semua bilangan  bulat.  Sedangkan  menemukan kesamaan  atribut  dalam  pembuktian matematika  adalah  mengidentifikasi  dan menganalisis sifat atau karakteristik umum yang  dimiliki  oleh  berbagai  objek matematika.  Hal  ini  dapat  membantu menyusun hipotesis/dugaan atau membangun argumen dalam pembuktian.
Ketidaksamaan atribut dalam pembuktian  matematika  mengacu  pada pada mengidentifikasi serta memanfaatkan perbedaan  sifat  atau  karakteristik  antara
objek-objek matematika untuk membuktikan  teorema.  Pendekatan  ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dua objek atau lebih tidak memiliki sifat yang sama. Ketidaksamaan atribut dapat membantu  dalam  membedakan  berbagai jenis  objek  matematika  dan  memahami sifat-sifat  unik  objek-objek  matematika tersebut.  Selanjutnya,  integrasi  kesamaan dan ketidaksamaan atribut dalam pembuktian  matematika  mengacu  pada melibatkan  penggunaan  kedua  konsep secara bersamaan untuk menyusun argumen  yang  kuat  dan  komprehensif. Pendekatan  ini  dapat  membantu  dalam menggali lebih dalam sifat objek matematika, mengidentifikasi pola, membedakan  objek,  serta  membuktikan teorema atau proposisi (Ferreirós, 2015).
Dalam  penelitian  ini,  proses  penalaran Induktif  terbagi  menjadi  empat  langkah, yaitu: 1) observasi: langkah awal melibatkan  pengamatan  terhadap  contoh- contoh  atau  kejadian-kejadian  spesifik. Bagi  mahasiswa  calon  guru  matematika, hal  ini  mungkin  termasuk  memeriksa serangkaian  masalah  atau  titik  data  untuk mengidentifikasi ciri-ciri umum; 2. pengenalan  aturan:  setelah  mengamati contoh-contoh, langkah selanjutnya adalah mengenali aturan. Guru perlu membimbing
siswa  untuk  memperhatikan  aturan  yang ada dan  memahami  maknanya; 3) generalisasi:  Berdasarkan  aturan  yang dikenali,  pernyataan  atau  dugaan  umum dirumuskan.  Hal  ini  melibatkan  hipotesis bahwa  pola  yang  diamati  akan  berlaku untuk  semua  kasus  yang  serupa;  4) pengujian  dan  penyempurnaan:  Dugaan yang  telah  dibuat  kemudian  diuji  dengan contoh-contoh tambahan untuk memastikan keabsahannya. Jika ditemukan contoh  yang  berlawanan,  maka  dugaan tersebut akan disempurnakan atau disesuaikan.
Penalaran  induktif  penting  dilakukan, karena: 1) sebagai dasar untuk pembuktian: penalaran  induktif  menjadi  dasar  untuk mengembangkan  dugaan  dan  hipotesis dalam  matematika.  Penalaran  induktif memungkinkan calon guru untuk mengenali  pola  dan  keteraturan  dalam masalah matematika, yang mengarah pada perumusan pernyataan umum atau teorema.;  2)  sebagai  strategi  pengajaran: memahami  penalaran  induktif  sangat penting  bagi  para  guru  karena  membantu untuk  menjelaskan  proses  sampai  pada generalisasi  matematika.  Kemampuan  ini sangat  penting  untuk  mendorong  siswa mengeksplorasi  dan  menemukan  konsep matematika secara mandiri.
Fungsi penalaran  induktif adalah sebagai  langkah  awal  dalam  membangun bukti deduktif (Zalaghi & Khazaei, 2016). Setelah sebuah generalisasi dibuat, generalisasi  tersebut  dapat  dibuktikan dengan ketat menggunakan metode deduktif.  Bentuk  khusus  dari  penalaran induktif yang digunakan dalam pembuktian  adalah  induksi  matematika. Metode  ini  membuktikan  bahwa  sebuah pernyataan  berlaku  untuk  semua  bilangan asli dengan terlebih dahulu membuktikannya  untuk  kasus  awal  dan kemudian menunjukkan bahwa jika pernyataan  tersebut  berlaku  untuk  kasus sembarang,  maka  pernyataan  tersebut berlaku untuk kasus berikutnya
Salah  satu  tantangan  dalam  penalaran induktif adalah memastikan bahwa generalisasi  yang  dibuat  valid  dan  dapat diterapkan dalam semua kasus (Niiniluoto &  Tuomela,  2012). Theoretical  concepts and  hypothetico-inductive  inference (Vol. 53). Springer Science & Business Media.. Calon  guru  harus  berhati-hati  dalam membuat generalisasi yang berlebihan dari contoh-contoh  yang  terbatas.  Penalaran induktif secara efektif mengharuskan calon guru  matematika  untuk  mengembangkan keterampilan dalam  mengidentifikasi  pola
dan  membimbing  siswa  melalui  proses membuat dan menguji dugaan.
Urgensi  penelitian  ini  terletak  pada potensinya untuk pengembangan
kemampuan penalaran induktif mahasiswa calon  guru  matematika  untuk  mengatasi kesenjangan  pendidikan  dengan  kritis, mendukung implementasi praktik pedagogis yang efektif, dan pada akhirnya berkontribusi  pada  hasil  pembelajaran yang lebih baik bagi siswa.
Tujuan utama dari penelitian ini adalah untuk  membekali  calon  guru  matematika dengan  kemampuan  penalaran  induktif yang  diperlukan  untuk  menumbuhkan pemahaman yang lebih mendalam tentang matematika  pada  siswa  mereka.  Dengan mencapai  tujuan,  penelitian  ini  berusaha untuk  berkontribusi  pada  peningkatan pendidikan matematika secara keseluruhan dan  untuk  mempersiapkan  guru  yang mampu membimbing siswa melalui proses penemuan  matematika  dan  konstruksi bukti.
Ada  dua  pertanyaan  penelitian  dalam artikel ini, yaitu: 1) Bagaimana calon guru matematika menggunakan penalaran induktif  dalam  proses  membangun  dan memahami bukti matematika?; 2) Bagaimana calon guru matematika mengintegrasikan penalaran induktif
dengan  bentuk  penalaran  matematika lainnya  (misalnya,  penalaran  deduktif) dalam pembuktian?.

## METODOLOGI
Penelitian  ini  merupakan  penelitian kualitatif yang dirancang untuk
mengeksplorasi secara mendalam pengalaman,  proses  berpikir,  dan  strategi yang  digunakan  oleh  mahasiswa  calon guru  matematika  dalam  menggunakan penalaran  induktif  dalam  konstruksi  dan pemahaman bukti matematika. Mahasiswa calon  guru  adalah  mahasiswa  yang menempuh  pendidikan  di  Perguruan Tinggi pada fakultas Ilmu Pendidikan dan berada pada tingkat empat.
Subjek  dalam  penelitian  ini,  13 mahasiswa  calon  guru  Universitas  PGRI Delta yang dipilih sesuai dengan kriteria di atas.  Semua  subjek  diberi  satu  tugas pembuktian  matematika  terkait  materi aljabar, selanjutnya diwawancara. Adapun tugas  pembuktia  dalam  penelitian  ini: Buktikan bahwa 6|(𝑎 3 − 𝑎) , untuk semua bilangan  bulat 𝑎 ”.  Pada  kesempatan  kali ini,  peneliti  melakukan  wawancara  hanya pada  satu  subjek  terpilih.  Analisis  data dilakukan dengan transkripsi dan pengkodena. Trasnskripsi dilakukan
dengan  rekaman  audio  dari  wawancara
ditranskrip  kata  demi  kata.  Catatan lapangan  dari  observasi  kelas  juga dikompilasi. Pengkodean dilakukan dengan  memberi  kode  untuk  tema,  pola, dan  pernyataan  penting  yang  berulang yang berkaitan dengan penalaran induktif. Kode  disusun  ke  dalam  kategori  yang mewakili  tema  dan  keterkaitan  satu  sama lain.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini  menyajikan temuan-temuan dari  investigasi  tentang  bagaimana  calon guru  matematika  menggunakan  penalaran induktif  dalam  menyusun  dan  memahami bukti-bukti matematika.
Peneliti
menganalisis hasil pembuktian dan wawancara dengan subjek penelitian.
Subjek penelitian menunjukkan kemampuan  yang  berbeda-beda  dalam mengenali fakta dalam pembuktian
matematika. Kemampuan
untuk
merumuskan  dugaan  berdasarkan  fakta yang diamati. Ada beberapa yang menggunakan contoh-contoh spesifik untuk  menggeneralisasi  dan  membuat hipotesis.  Subjek  yang  menggunakan penalaran induktif  untuk  menyusun  bukti, sering  kali  dimulai  dengan  kasus-kasus sederhana  dan  memperluas  penalaran  ke yang  lebih  kompleks.  Namun,  ada
beberapa sunjek yang mengalami kesulitan  dalam  menjustifikasi  dugaan yang  dibuat.  Tabel  1.  Merupakan  tabel penalaran induktif 13 subjek penelitian.
Tabel 1. Proses Penalaran Induktif Subjek Peneltian
S u b je k Proses Penalaran Induktif Observ asi Menge nali Aturan Generali sasi Pengujian & Penyempu rnaan A √ √ √ √ B √ - √ √ C √ √ - √ D √ √ √ √ E √ √ √ √ F √ √ √ √ G √ √ √ √ H √ √ √ √ I √ √ √ √ J √ √ √ √ K √ − √ √ L √ √ √ √ M √ √ − −
Berdasarkan  Tabel  1.  Terlihat  bahwa semua  subjek  melakukan  observasi,  ada dua  subjek  yang  tidak  mengenali  aturan, dua  subjek  tidak  menggenaralisasi,  dan  1 subjek  tidak  melakukan  pengujian  dan penyempurnaan.  Berikut  salah  satu  hasil pekerjaan subjek penelitian dalam pembuktian aljabar.
Gambar 1. Pembuktian Subjek A Bagian 1 Pada Gambar 1. Terlihat bahwa subjek menuliskan
“menggunakan sifat keterbagian,  yaitu  “jika 𝑎|𝑏 maka 𝑎|𝑚𝑏 ”.
Kemudian membuktikan dengan
menuliskan  “Bukti: 𝑎|𝑏 → 𝑏 = 𝑘𝑎 → 𝑚𝑏 = (𝑘𝑚)𝑎 → 𝑎|𝑚 .  Selanjutnya  subjek A  memberikan  penjelasan  “ 6|(𝑎 3 − 𝑎)
dapat  difaktorkan  menjadi 6|𝑎(𝑎 2 − 1) .
Dengan  menggunakan  sifat,  jika 𝑎|𝑏 × 𝑐 , maka  juga  ada  sifat 𝑎|𝑏 dan 𝑎|𝑐 .  Maka
3|𝑎(𝑎 2 − 1) . 𝑎(𝑎 2 − 1). = 𝑎(𝑎 − 1)(𝑎 +
1) merupakan  tiga  bilangan  berurutan, sehingga 3|𝑎(𝑎 2 − 1) .  Dalam  setiap  tiga bilangan  asli  berurutan  pasti  terdapat bilangan  genap,  maka 3|𝑎(𝑎 2 − 1) .  Jadi terbukti  bahwa 6|(𝑎 3 − 𝑎) .  Hal  tersebut menyitratkan  bahwa  subjek  A  telah melakukan  observasi,  mengenali  aturan, dan  menggenarilasasi.  Ketiga  langkah tersebut  sesuai  dengan  hasil  wawancara berikut:
P  :  Apa yang anda lakukan ketika diberi tugas pembuktian?
A  :  Saya mengamati untuk memastikan langkah yang
akan saya lakukan untuk menyelesaikan tugas P  :  Apa yang anda lakukan untuk menyelesaikan tugas yanag diberikan? A  :  Saya mencoba mengingat aturan yang sesuai untuk pembuktian tersebut P  :  Setelah mengetahui aturan yang sesuai, apa yang anda lakukan?
A  :  Saya melakukan perumuman pada kasus yang lain
Pada  bagian  selanjutnya,  subjek  A memberikan  contoh  bilangan  seperti  pada Gambar 2 berikut.
Gambar 2. Pembuktian Subjek A Bagian 2
Pada Gambar 2. terlihat bahwa subjek A mensubstitusikan angka 2 ke 𝑎(𝑎 2 − 1) = 𝑘. 6 selanjutnya,  subjek  A  menuliskan “berarti  terbukti  bahwa 𝑎 3 − 𝑎 habis dibagi  6, 𝑎 bilangan  bulat.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  subjek  A  pengujian dan  penyempurnaan  sesuai  dengan  hasil wawancara berikut.
P  :  Apa yang anda lakukan setelah melakukan pembuktian?
A  :  Saya memisalkan 𝑎 dengan angka 2 untuk
memastikan bahwa pembuktian yang saya lakukan benar
Penelitian  ini  mengungkapkan  bahwa mahasiswa  calon  guru  matematika  mahir dalam  mengenali  aturan,  sebuah  langkah mendasar dalam penalaran induktif. Kemampuan ini sejalan dengan penelitian sebelumnya yang mengindikasikan bahwa pengenalan aturan merupakan kemampuan penting dalam berpikir matematis (Morsanyi, et. al., 2018). Subjek penelitian menunjukkan  kemampuan  yang  kuat dalam  merumuskan  dugaan  berdasarkan aturan yang diamati, sesuai dengan temuan Lynch  &  Lockwood,  (2019)  tentang pentingnya membuat dugaan dalam penalaran  matematika.  Namun,  beberapa peserta  membuat  kesimpulan  yang  terlalu umum dari contoh-contoh.
Meskipun  banyak  subjek  penelitian yang  berhasil  menggunakan  penalaran induktif  untuk  menyusun  bukti,  transisi dari  kasus-kasus  khusus  ke  bukti  umum cukup  menantang  bagi  beberapa  subjek penelitian.  Temuan  ini  sejalan  dengan Stewart & Thomas, 2019), yang menemukan bahwa siswa sering mengalami  kesulitan  dengan  ketelitian yang  dibutuhkan  dalam  konstruksi  bukti. Memberikan kesempatan terstruktur untuk
mempraktikkan  konstruksi  bukti  dan menerima  umpan  balik  dapat  membantu mengatasi kesulitan-kesulitan ini.
Temuan penelitian ini menggarisbawahi pentingnya  penalaran  induktif  dalam pengembangan  ketrampilan  mahasiswa calon guru matematika. Mengenali aturan, merumuskan dugaan, dan menyusun bukti merupakan  keterampilan  penting  yang dapat  ditingkatkan  melalui  latihan.  Hasil penelitian ini diharapkan dapat
menyiapkankan  mahasiswa  calon  guru untuk mengajarkan pembuktian matematika dan menumbuhkan
pemahaman  yang  lebih  dalam  tentang matematika pada siswa. Penelitian selanjutnya  harus  terus  mengeksplorasi pengembangan  keterampilan  penalaran induktif dalam konteks yang beragam.
Implikasi dari penelitian ini, antara lain: 1)  desain  kurikulum:  program  pendidikan guru harus menekankan pada pengembangan  kemampuan  penalaran induktif.  Hal  ini  termasuk  memberikan kesempatan  kepada  calon  guru  untuk terlibat  dalam  kegiatan  yang  melibatkan pengenalan  pola,  perumusan  dugaan,  dan pengujian;  2)  strategi  pedagogis:  calon guru harus dilatih dalam strategi pedagogis yang  mendorong  penalaran  induktif  di dalam  kelas.  Hal  ini  dapat  mencakup
penggunaan
pertanyaan terbuka, mendorong  eksplorasi,  dan  memfasilitasi diskusi yang mengarah pada generalisasi.

## SIMPULAN
Berdasarkan  hasil  penelitian,  mahasiswa calon  guru  matematika  menunjukkan kemampuan yang bervariasi dalam menggunakan  penalaran  induktif  untuk membangun dan memahami bukti matematika.  Pada  umumnya  mampu mengenali  aturan  dalam  pembuktian  dan menggunakannya untuk merumuskan dugaan  ( conjectures ).  Meskipun  banyak mahasiswa  calon  guru  dapat  menyusun bukti  dengan  menggunakan  penalaran induktif, beberapa di antaranya menghadapi  tantangan  dalam  menjadikan dugaan, gergeneralisasi. Selain itu, mahasiwa calon guru matematika menggunakan  penalaran  induktif  sebagai langkah  awal  dalam  proses  pembuktian, kemudian  beralih  ke  penalaran  deduktif untuk  membuktikan  dugaan.  Integrasi antara  penalaran  induktif  dan  deduktif terjadi  ketika  mahasiswa  calon  guru menggunakan  aturan  untuk  membangun argumen  logis  dan  sistematis  untuk membuktikan kebenaran dugaan tersebut. Peneliti  menyarankan  kepada  peneliti selanjutnya untuk membandingkan
kemampuan penalaran induktif dan integrasinya  dengan penalaran  deduktif  di antara subjek penelitian di berbagai negara, sistem pendidikan, dan budaya agar dapat memperkaya data yang diperoleh.

## DAFTAR PUSTAKA
Barkl, S., Porter,  A., &  Ginns,  P. (2012). Cognitive training for children: Effects on  inductive  reasoning,  deductive reasoning,
and mathematics achievement  in  an  Australian  school setting. Psychology in the Schools , 49 (9), 828-842.
Byrne, R. M., Evans, J. S. B., & Newstead, S.  E.  (2019). Human  reasoning:  The psychology  of  deduction .  Psychology Press.
Conner,  A.,  Singletary,  L.  M.,  Smith,  R.
C.,  Wagner,  P.  A.,  &  Francisco,  R.  T. (2014).  Identifying  kinds  of  reasoning
in collective
argumentation. Mathematical  Thinking and Learning , 16 (3), 181-200.
Ferreirós, J. (2015). Mathematical knowledge  and  the  interplay  of practices . Princeton University Press.
Imenda,  S.  (2014).  Is  there  a  conceptual difference  between  theoretical  and conceptual  frameworks?. Journal  of social sciences , 38 (2), 185-195.
Komatsu,  K.,  &  Jones,  K.  (2022). Generating mathematical knowledge in the classroom through proof, refutation, and  abductive  reasoning. Educational Studies  in  Mathematics , 109 (3),  567-
591.
Lynch, A. G., & Lockwood, E. (2019). A comparison  between  mathematicians’ and  students’  use  of  examples  for
conjecturing  and  proving. The  Journal of  Mathematical  Behavior , 53 ,  323-
338.
Niiniluoto, I., & Tuomela, R. (2012). Theoretical concepts and hypothetico-inductive  inference (Vol.
53).  Springer  Science  &  Business
Media.
Pellegrino,  J.  W.,  &  Glaser,  R.  (2021). Components  of  inductive  reasoning.
In Aptitude, learning,
and
instruction (pp. 177-218). Routledge.
Polya, G. (2020). Mathematics and plausible reasoning, Volume 1: Induction and analogy in mathematics .
Princeton University Press.
Prawitz,  D.  (2015).  Explaining  deductive inference. Dag  Prawitz  on  proofs  and
meaning , 65-100.
Stewart,  S.,  &  Thomas,  M.  O.  (2019).
Student perspectives on proof in linear algebra. ZDM , 51 (7), 1069-1082.
Suchyadi, Y., & Suharyati, H. (2021). The Use  Of  Multimedia  As  An  Effort  To Improve The Understanding Ability Of
Basic  School  Teachers  ‘Creative
Thinking  In  The  Era  ‘Freedom  Of Learning,’. Yogyakarta: Zahir
Publishing , 42-53.
Sznajder,  M.  (2021).  Inductive  reasoning with  multi-dimensional  concepts. The
British  Journal  for  the  Philosophy  of Science .
Zalaghi,  H.,  &  Khazaei,  M.  (2016).  The role  of  deductive  and  inductive reasoning  in  accounting  research  and standard  setting. Asian  Journal  of
Finance & Accounting , 8 (1), 23-37.