JURNAL GAUSSIAN, Volume 10, Nomor 3, Tahun 2021, Halaman 413 - 422 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian/

## ANALISIS METODE BAYESIAN PADA SISTEM ANTREAN RAWAT JALAN DI RSUP Dr. KARIADI DENGAN DISTRIBUSI SAMPEL POISSON DAN GEOMETRIK
Nur Azizah 1 , Sugito 2 , Hasbi Yasin 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : anur82654@gmail.com

## ABSTRACT
Hospital  service  facilities  cannot  be  separated  from  queuing  events.  Queues  are  an unavoidable part of life, but they can be minimized with a good system. The purpose of this study was to find out how the queuing system at Dr. Kariadi. Bayesian method is used to combine previous research and this research in order to obtain new information. The sample distribution  and  prior  distribution  obtained  from  previous  studies  are  combined  with  the sample likelihood function to obtain a posterior distribution. After calculating the posterior distribution, it was found that the queuing model in the outpatient installation at Dr. Kariadi Semarang is (G/G/c): (GD/∞/∞) where each polyclinic has met steady state conditions and the level of busyness is greater than the unemployment rate so that the queuing system at Dr. Kariadi is categorized as good, except in internal medicine poly.
Keywords : RSUP Dr. Kariadi, Queue, Bayesian, Steady State, Posterior

## 1. PENDAHULUAN
Upaya negara untuk menyediakan fasilitas kesehatan salah satunya dengan mendirikan rumah  sakit  di  berbagai  daerah,  sehingga  salah  satu  elemen  dasar  dalam  menumbuhkan ketahanan  nasional  dapat  terpenuhi.  Tujuan  didirikannya  rumah  sakit  adalah  untuk memberikan pelayanan kesehatan yang mampu meningkatkan mutu kesehatan masyarakat yang merata dan terjangkau di seluruh lapisan masyarakat. Oleh karena itu, sebuah rumah sakit  diharapkan  dapat  memberikan  pelayanan  terbaik  yang  mampu  memberikan  rasa nyaman dan bisa menumbuhkan kepercayaan masyarakat sehingga bersedia menempatkan kepercayaan  mereka  terhadap  rumah  sakit  tersebut  dengan  memakai  jasa  kesehatan  yang pihak rumah sakit tawarkan.
Fasilitas  pelayanan  rumah  sakit  tidak  bisa  lepas  dari  peristiwa  antrean.  Salah  satu permasalahan yang terjadi pada fasilitas pelayanan umum adalah yang terlihat pada instalasi rawat jalan yaitu lamanya proses menunggu pada instalasi rawat jalan di RSUP Dr. Kariadi. Secara teoritis peristiwa mengantre akan terjadi apabila jumlah pasien yang berkunjung lebih banyak  dibandingkan  dengan  pasien  terlayani.  Hal  tersebut  mengakibatkan  pasien  tidak terlayani secara maksimal oleh pihak rumah sakit karena jumlah waktu yang terbatas. Tujuan mempelajari  pengoperasian  sebuah  sarana  pelayanan  adalah  untuk  memperoleh  beberapa karakteristik yang mengukur kinerja sistem yang sedang dipelajari tersebut (Taha, 1996).
Pada  penelitian  sebelumnya  oleh  (Rachmawati,  2013)  didapat  gambaran  yang  tepat dan efisien pada sistem antrean dan ukuran kinerja sistem antrean pada instalasi rawat jalan di RSUP Dr. Kariadi Semarang. Metode Bayesian memberikan informasi baru yang dapat memperbaiki penelitian sebelumnya. Dalam pandangan Bayes, seseorang dapat memberikan kepercayaan  awal  ( prior  believe) terhadap  suatu  parameter  karena  adanya  asumsi  bahwa parameter merupakan suatu variabel acak (Bolstad, 2007). Dengan menggunakan Teorema
Bayes, informasi awal yang dinyatakan dengan distribusi prior dan informasi sampel yang dinyatakan dengan fungsi likelihood dikombinasikan untuk membentuk distribusi posterior (Soejati,  Z.  dan  Soebanar,  1988).Distribusi  posterior  didapat  dari  perhitungan  fungsi likelihood dan distribusi prior .

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
A. Profil Rumah Sakit Umum Pusat (RSUP) Dr. Kariadi
RSUP Dr. Kariadi merupakan rumah sakit terbesar dan merupakan rumah sakit rujukan yang  berlokasi  di  daerah  Semarang,  Jawa  Tengah  dengan  alamat  lengkap  di  Jalan  Dr. Sutomo  Nomor  16  Semarang.  RSUP  Dr.  Kariadi  merupakan  rumah  sakit  tipe  A  dimana sarana dan prasarana yang tersedia di RSUP Dr. Kariadi sudah memenuhi standar yang telah ditetapkan  oleh  menteri  dan  mempunyai  fasilitas  serta  kemampuan  pelayanan  medik spesialistik luas..

## B. Deskripsi Antrean
Fenomena  menunggu  merupakan  hasil  dari  keacakan  dalam  operasional  pelayanan fasilitas. Secara umum, kedatangan customer dan waktu pelayanannya tidak diketahui untuk waktu selanjutnya. Sebaliknya fasilitas operasional dapat diatur sehingga dapat mengurangi antrian  (Aminudin,  2005).  Proses  antrean  (queueing  process)  adalah  suatu  proses  yang berhubungan  dengan  kedatanagan  pelanggan  serta  fasilitas  pelanggan  pada  suatu  fasilitas pelayanan, menunggu dalam baris antrean jika belum dapat dilayani, dilayani dan akhirnya meninggalkan fasilitas tersebut sesudah dilayani.

## 2.1. Ukuran Steady State
Steady  state  merupakan  kondisi  sewaktu  sifat-sifat  sistem  tidak  berubah dengan  berjalannya  waktu  (konstan).  Menurut  Taha  (1996),    misalnya  λ  adalah  rata-rata kedatangan pelanggan ke tempat pelayanan per satuan waktu, μ adalah ratarata pelanggan yang telah dilayani per satuan waktu, dan c merupakan banyaknya fasilitas tempat pelayanan (server), maka ρ didefinisikan sebagai perbandingan antara rata-rata pelanggan yang datang (λ) dengan rata-rata pelanggan yang telah dilayani per satuan waktu (μ), atau dapat dituliskan sebagai berikut:
ρ = 𝜆 𝑐𝜇
2.2. Proses Poisson
Menurut Praptono (1986) proses Poisson adalah proses cacah yang mempunyai  batasan  tertentu  diantaranya  N(t)  mengikuti  distribusi  Poisson  dengan rata-rata  λt  dimana  λ  suatu  konstanta.  Beberapa  asumsi  untuk  proses  poisson diantaranya:
1. Independen N(t) independen terhadap banyaknya kejadian yang terjadi didalam selang waktu yang lalu. Artinya N(t) tak tergantung pada kejadian sebelumnya.
2. Homogenitas dalam waktu
Homogenitas  dalam  waktu  Pn(t)  hanya  tergantung  pada  panjang  t  atau panjang selang waktu, tetapi tidak tergantung dimana selang waktu berada.
3. Regularitas
Regularitas  yaitu  dalam  suatu  interval  kecil  (∆t),  probabilitas  bahwa tepat  satu  kejadian  terjadi  adalah  λ(∆t)  +  o(∆t)  dan  probabilitas  bahwa banyaknya kejadian terjadi lebih dari sekali adalah o(∆t) dalam interval ∆t, sedangkan simbol o(∆t) digunakan untuk menyatakan fungsi ∆t yang mendekati 0 lebih cepat dari ∆t sendiri mendekati 0, artinya
𝑓 (∆ 𝑡 ) disebut o(∆t)↔ lim ∆t→0 𝑓(∆t) ∆t = 0
2.3. Uji Kolmogorov-Smirnov
Menurut Daniel (1989), asumsi dalam uji Kolmogorov Smirnov adalah  data  terdiri  atas  hasil  pengamatan  bebas  X1,  X2,  ...,  Xi,  yang merupakan  sebuah  sampel  acak  berukuran  i  dari  suatu  fungsi  distribusi  yang belum diketahui dan dinyatakan dengan F0(xi).
Adapun langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov sebagai berikut:
a. Menentukan Hipotesis
H 0 : Distribusi sampel mengikuti distribusi yang ditetapkan H 1 : Distribusi sampel tidak mengikuti distribusi yang ditetapkan
b. Menentukan Taraf Signifikansi Taraf signifikansi yang digunakan adalah α = 5%
c. Statistik Uji
D=max(max(| 𝑆 ( 𝑥𝑖 ) - 𝐹 0 ( 𝑥𝑖 )| , | 𝑆 ( 𝑥𝑖 -1) - 𝐹 0 ( 𝑥𝑖 )|) 1≤i≤r dengan: S(xi) :  fungsi peluang kumulatif yang dihitung dari data sampel F 0 (xi): fungsi distribusi yang dihipotesiskan (fungsi peluang
kumulatif) r        :  banyaknya nilai x yang berbeda
d. Kriteria Uji
Tolak H0 jika pada taraf signifikansi α jika nilai D > nilai D*( 𝛼 2 ) atau jika nilai sig < nilai α.
D*( 𝛼 2 ) adalah nilai kritis yang diperoleh dari Tabel Kolmogorov-Smirnov untuk uji dua sisi.
2.6. Distribusi Gamma
Menurut Bain dan Engelhardt (1992), sebuah variabel random kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter 𝑘 > 0 dan θ > 0 jika memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :
f(x ; θ, k) = 1 𝜃 𝑘 𝛤(𝑘) 𝑦 𝑘−1 𝑒 𝑘 𝜃 , y > 0
Notasi  pada keadaan tersebut, yaitu :
X ~ Gamma (θ, k)
2.7. Distribusi Geometrik Menurut Bain dan Engelhardt (1992), sebuah variable random diskrit X, jika memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut :
g (x;p) = pq x-1 x = 1,2,3
Notasi  pada keadaan tersebut, yaitu :
X ~ GEO ( p )

## 2.8. Distribusi Beta
Menurut  Spiegel,  Schiller  dan  Srinivasan  (2004),  suatu  variable  acak  dikatakan memiliki distribusi Beta dengan parameter α dan b, jika fungsi kepadatannya adalah
f(x) = { 1 𝐵(α,b) 𝑥 α−1 (1 − 𝑥) 𝑏−1 0 < 𝑥 < 1 0                                      𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
dimana B (α,b) merupakan fungsi Beta yang didefinisikan sebagai
B (α,b) =   ∫ 𝑥 α−1 (1 − 𝑥) 𝑏−1 𝑑𝑥 1 0 𝑎 > 0, 𝑏 > 0
Fungsi Beta dihubungkan dengan fungsi Gamma:
B(α,b) = 𝛤(α)Γ(b) 𝛤(𝑎+𝑏)
Sehingga distribusi Beta juga dapat didefinisikan oleh fungsi kepadatan :
f(x) = { 𝛤(α)Γ(b) 𝛤(𝑎+𝑏) 𝑥 α−1 (1 − 𝑥) 𝑏−1 0 < 𝑥 < 1
0                                      𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛
2.7. Model Antrean (G/G/c):(GD/∞/∞)
Menurut Gross dan Harris (dalam, Sihotang, E., 2019) model antrean (G/G/c):(GD/∞/∞) adalah model antrean dengan pola kedatangan berdistribusi umum (general) dan pola pelayanan berdistribusi umum (general) dengan jumlah fasilitas pelayanan sebanyak c, c = 1, 2, 3, ... Disiplin antrean yang digunakan pada model ini adalah umum yaitu FCFS (First Come First Service), kapasitas maksimum yang diperbolehkan dalam sistem adalah tak hingga dan memiliki sumber pemanggilan takhingga. Untuk penghitungan jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam antrean (Lq) didasarkan pada ukuran kinerja pada model (M/M/c):(GD/∞/∞). Rumus untuk mencari ukuran-ukuran kinerja pada model (G/G/c):(GD/∞/∞) adalah :
𝐿 𝑞 =   ( 𝜌𝑟 𝑐 𝑐! (1 − 𝜌) 2 ) 𝑃 0 𝜇 2 𝑣(𝑡) + 𝑣(𝑡 ′ )𝜆 2
2
dengan : v(t)= (1/(𝜇 2 )) 2
v(t ’ )= (1/( 𝜆 2 )) Ls = Lq + r Wq = 𝐿𝑞 𝜆 Ws = Wq + 1 𝜇 2.8. Metode Bayesian
Menurut  Box  dan  Tiao  (1973),  diketahui  bahwa  x’  =  (x1,…,xn)  adalah  vektor  dari pengamatan sebanyak n dengan distribusi probabilitas p(x|λ) adalah probabilitas bersyarat y jika diketahui nilai dari k parameter λ adalah λ’= (λ1,….,λk). Diketahui bahwa λ memiliki distribusi probabilitasnya sendiri yaitu p(λ), dengan p(x|λ)p(λ) = p(λ|x)p(x) = p(x,λ) sehingga didapatkan persamaan : p(λ|x) = p(x|λ)p(λ) p(x) 2.9. Distribusi Prior
Box  dan  Tiao  (dalam,  Nadhifah.L,  2012)  menjelaskan  bahwa  distribusi prior dikelompokkan menjadi dua kelompok berdasarkan bentuk fungsi likelihood-nya, yaitu :
1. Berkaitan dengan bentuk distribusi hasil identifikasi pola datanya dapat dibedakan menjadi:
a. Distribusi prior sekawan  (conjugate),  mengacu  pada  acuan  analisis  model terutama  dalam  pembentukan  fungsi  likelihoodnya  sehingga  dalam  penentuan prior sekawan selalu dipikirkan mengenai penentuan pola distribusi prior yang mempunyai  bentuk  sekawan  dengan  fungsi  densitas  peluang  pembangun likelihood-nya.
b. Distribusi prior tidak  sekawan  (non-conjugate),  apabila  pemberian  bentuk distribusi prior yang tidak sekawan dengan bentuk hasil identifikasi dari datanya.
2. Berkaitan  dengan  penentuan  masing-masing  parameter  pada  pola  distribusi prior tersebut, dapat dibedakan menjadi dua bentuk yang berbeda, yaitu:
a. Distribusi prior informatif  mengacu  pada  pemberian  parameter  dari  distribusi prior yang telah dipilih baik distribusi prior sekawan atau tidak, pemberian nilai parameter  pada  distribusi prior ini  didasarkan  pada  informasi  data  yang diperoleh.
b. Distribusi prior non-informatif, pemilihannya tidak didasarkan pada data yang ada atau distribusi prior yang tidak mengandung informasi tentang parameter 𝜆 . 2.10. Metode Jeffrey’s
Menurut Berger (1980) salah satu bentuk pendekatan dari prior non-informatif adalah dengan  menggunakan  metode  Jeffrey.  Metode  ini  menyatakan  bahwa  distribusi prior ( 𝜆 ) merupakan akar kuadrat dari informasi Fisher yang dinyatakan dalam:
f(λ) = [𝐼(𝜆)] 1/2
I (λ) = -E 0 [ 𝜕 2 𝑙𝑛 𝐿(𝜆) 𝜕𝜆 2 ]
dimana :
( 𝜆 ): Distribusi prior 𝐸 0 : Nilai harapan ( 𝜆 ): Informasi Fisher

## 2.11. Fungsi Likelihood
Informasi yang diperoleh mengenai fungsi kepekatan peluang dari data sampel disebut fungsi  likelihood.  Menurut  Bain  dan  Engelhardt  (1992),  fungsi  likelihood  adalah  fungsi densitas bersama dari n variabel random Y1, Y2,…,Yn dan dinyatakan dalam bentuk 𝑓 ( 𝑦 1, 𝑦 2, … , 𝑦𝑛 ; 𝜆 ). Jika 𝑦 1, 𝑦 2, … , 𝑦𝑛 ditetapkan, maka fungsi likelihood adalah fungsi dari parameter 𝜆 dan  dinotasikan  dengan 𝐿 ( 𝜆 ).  Jika  Y1,  Y2,…,Yn  menyatakan  suatu  sampel random dari 𝑓 ( 𝑦 | 𝜆 ), maka: ( 𝜆 ) = 𝑓 ( 𝑦 1| 𝜆 ) 𝑓 ( 𝑦 2| 𝜆 ) … 𝑓 ( 𝑦𝑛 | 𝜆 ) = ∏ f(yi |λ) 𝑛 𝑖=1
2.12. Distribusi Posterior Menurut Soejati Subanar (1988), Ditribusi posterior adalah fungsi densitas bersyarat λ jika diketahui nilai observasi x. Ini dapat dituliskan sebagai:
f(λ׀x)= 𝑓(𝜆,𝑥) 𝑓(𝑥)
Fungsi  densitas  posterior  untuk  variable  random  kontinu  dapat  ditulis  sebagai  : f(λ׀x) = 𝑓(λ) f(x ׀ λ) ∫ 𝑓(λ) f(x ׀ λ) dλ ∞ −∞
3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Sumber Data dan Variabel Peneltian
Pada penelitian ini data yang digunakan adalah data primer. Penelitian ini dilaksanakan di Instalasi Rawat Jalan, Unit Merpati RSUP Kariadi dengan waktu pelaksanaan tanggal 23 Februari  –  8  Maret  2021.  Variabel  yang  digunakan  adalah  data  jumlah  kedatangan  dan pelayanan pasien yang dilayani pada poli saraf, poli penyakit dalam, poli CDC, poli anak dan poli kandungan di Unit Merpati RSUP Dr. Kariadi Semarang.
3.2. Langkah-langkah Analisis Prosedur yang dilakukan dalam penelitian dan analisis data dijelaskan sebagai berikut
:
1. Melakukan  penelian  secara  langsung  di  RSUP  Dr  Kariadi  Semarang.  Peneliti mengamati  waktu  kedatangan  pasien  guna  mendapatkan  jumlah  kedatangan  tiap  unit waktu (λ), dan waktu pelayanan guna mendapatkan jumlah yang dilayani per unit waktu (μ), jumlah kedatangan dan pasien dan jumlah pasien terlayani.
2. Mendapatkan data jumlah kedatangan dan jumlah pelayanan dalam interval waktu yang ditentukan.
3. Pemeriksaan  kondisi  steady  state  pada  data  (ρ  = λ μ < 1) dengan  λ sebagai  rata-rata  kedatangan  pasien  dan  µ  sebagai  rata-rata  pasien  yang telah  dilayani.  Apabila  data  belum  memenuhi  kondisi  steady  state  maka  disarankan untuk melakukan penambahan jumlah pelayanan atau memepercepat waktu pelayanan.
4. Melakukan  kecocokan  uji  distribusi  poisson  dengan  menggunakan  Kolmogorov- Smirnov  dengan software R-Gui  pada  jumlah  kedatangan  dan  pelayanan.  Apabila hipotesis nol diterima maka data mengikuti distribusi poisson dan apabila hipotesis nol ditolak maka dilakukan kembali uji kecocokan distribusi lainnya.
5. Kemudian dilakukan uji kecocokan distribusi selain poisson, sesuai dengan distribusi yang paling tepat menggunakan software easy fit .
6. Setelah  diketahui  distribusi  yang  sesuai,  kemudian  menghitung  distribusi  posterior dengan menggunakan distribusi awal sebagai fungsi likelihood .
7. Menghitung  distribusi  posterior  dengan  menggunakan  distribusi prior yang  tersedia yaitu data antrian pelayanan rawat jalan RSUP Dr. Kariadi sebelumnya.
8. Menentukan model antrean yang sesuai.
9. Melakukan perhitungan dan analisis antrian untuk mendapatkan ukuran kinerja sistem antrian yaitu jumlah pelangganyang diperkirakan dalam antrian (Lq), jumlah pelanggan yang diperkirakan dalam sistem (Ls), waktu menunggu dalam antrian (Wq), dan waktu menunggu dalam sistem(Ws).
10. Membuat hasil dan pembahasan yang diperoleh dari kinerja sistem.
11. Mengambil  kesimpulan  mengenai  sistem  pelayanan  di  RSUP  Dr.  Kariadi  Semarang secara keseluruhan.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 4.1. Ukuran Steady State
Berikut adalah tabel ukuran steady state untuk masing-masing poli:
Tabel 1. Ukuran Steady State Poli Lambda Miu c p Penyakit Dalam 9,89 11,13 15 0,06 Kandungan 3,83 4,6 5 0,1667 Anak 6,58 6,58 10 0,1 Saraf 3,83 4,6 3 0,28 CDC 3,75 4,29 12 0,07
Nilai p kurang dari 1 artinya bahwa keadaan ini memenuhi kondisi steady state .

## 4.2. Uji Kecocokan Distribusi
Uji Kecocokan distribusi yang digunakan pada penelitian ini adalah uji Kolmogorov Smirnov untuk mengetahui data jumlah kedatangan dan pelayanan berdistribusi poisson atau tidak.
Tabel 2. Uji Kolmogorov Smirnov Jumlah Kedatangan Poli D D*(α/2) Sig Keputusan Kesimpulan Penyakit Dalam 0,25553 0,309 0,1904 H 0 diterima Data berdistribusi poisson Kandungan  0,24469 0,375 0,4689 H 0 diterima Data berdistribusi poisson Anak 0,32284 0,375 0,32284  H 0 diterima Data berdistribusi poisson Saraf 0,24469 0,375 0,4689 H 0 diterima Data berdistribusi poisson CDC 0,19788 0,409 0,558 H 0 diterima Data berdistribusi poisson Tabel 3. Uji Kolmogorov Smirnov Jumlah Pelayanan Poli D D*(α/2) Sig Keputusan Kesimpulan Penyakit Dalam 0,34019 0,327 0,04298  H 0 ditolak  Data tidak berdistribusi poisson Kandungan  0,31803 0,409 0,2639  H 0 diterima Data berdistribusi poisson Anak 0,31577 0,327 0,1826  H 0 diterima Data berdistribusi poisson Saraf 0,38576 0,409 0,102 H 0 diterima Data berdistribusi poisson CDC 0,19788 0,409 0,558 H 0 diterima Data berdistribusi poisson
Data pelayanan poli penyakit dalam tidak berdistribusi poisson, sehingga dilakukan uji lanjutan untuk mengetahui distribusi yang sesuai menggunakan software easy fit .
Tabel 4. Uji Kolmogorov Smirno Data Pelayanan Poli Penyakit Dalam
Poli D D*(α/2) Sig Keputusan Kesimpulan Penyakit Dalam 0,20032  0,32733  0,48135  H 0 diterima Data berdistribusi geometrik
Berdasarkan uji Kolmogorov Smirnov diperoleh kesimpulan bahwa jumlah pelayanan  poli penyakit dalam berdistribusi geomterik.
4.3. Model Antrean Bayesian
a. Prior
Dengan menggunakan metode Jeffrey sebagai salah satu pendekatan untuk distribusi non-infotmatif prior diketahui sebagai berikut:
f ( x ;λ)         = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥!
log f (x;λ)    = log ( 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑥! ) = xlogλ – logx! – λ 𝜕𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥;𝜆) 𝜕𝜆 = 𝑥 𝜆 −  1 𝜕 2 𝑙𝑜𝑔𝑓(𝑥;𝜆) 𝜕𝜆 2 = − 𝑥 𝜆 2
b. Likelihood
Likelihood Distribusi Poisson
Poisson(λ), 0 < λ, x = 0,1,…
𝐿(𝑓(𝑥; 𝜆)) = ∏ 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑥 𝑖 𝑥 𝑖 ! 𝑛 𝑖=1
= 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∏ 𝑥 𝑖! 𝑛 𝑖=1 Likelihood Distribusi Geometrik 𝑓(𝑥; 𝑝) = 𝑝(1 − 𝑝) 𝑥−1 𝐿(𝑓(𝑥; 𝑝)) = ∏ 𝑝(1 − 𝑝) 𝑥 𝑖 −1 𝑛 𝑖=1 Untuk (x=1,2,3,….) c. Distribusi Posterior
Distribusi Prior Poisson dan Likelihood Poisson f(x;λ) = f(x ׀ λ) x f(λ)
f(λ ׀ x) = 𝑓(𝑥;𝜆) ∫ 𝑓(𝑥;𝜆) = 𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 − 1 2 +  ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 ∏ 𝑥 𝑖! 𝑛 𝑖=1 x ∏ 𝑥 𝑖! 𝑛 𝑖=1 𝛤( 1 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) (𝑛 −1 ) ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 +1 2
I(λ)          = -E λ [− 𝑋 𝜆 2 ] = 1 𝜆 2 E λ (x) = 1 𝜆 2 (𝜆) = 1 𝜆
f(λ)           = √𝐼(𝜆) = √ 1 𝜆 = 𝜆 − 1 2
Sehingga distribusi prior f(x;λ) = 𝜆 − 1 2
=
𝑒 −𝑛𝜆 𝜆 − 1 2 +  ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 𝛤( 1 2 + ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) (𝑛 −1 ) ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 +1 2 ~Gamma( 1 𝑛 , ∑ 𝑥  + 1 2 )
Distribusi Prior Poisson dan Likelihood Gemoterik
f(x;λ) = f(x ׀ λ) x f(λ)
f(λ ׀ x) = 𝑓(𝑥;𝜆) ∫ 𝑓(𝑥;𝜆)
= 1 𝜆1/2 ∏ 𝜆(1−𝜆) 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ∫ 1 𝜆1/2 ∏ 𝜆(1−𝜆) 𝑥𝑖−1 𝑛 𝑖=1 ∞ −∞
= 𝜆 𝑛−1/2 (1−𝜆) ∑ 𝑥𝑖−𝑛 𝑛 𝑖=1 ∫ 𝜆 𝑛−1/2 (1−𝜆) ∑ 𝑥𝑖−𝑛 𝑛 𝑖=1 ∞ −∞ = Γ(∑ 𝑥 𝑖 +3/2 𝑛 𝑖=1 ) Γ(𝑛+1/2)Γ(∑ 𝑥 𝑖 −𝑛 𝑛 𝑖=1 +1) 𝜆 𝑛−1/2 (1 − 𝜆) ∑ 𝑥 𝑖 −𝑛 𝑛 𝑖=1
Sehingga diketahui 𝜆|𝑥 𝐵𝑒𝑡𝑎(𝑛 + 1 2 ; ∑ 𝑥 𝑖 − 𝑛 𝑛 𝑖=1 + 1)
4.4. Model Antrean Berikut tabel model antrean untuk masing-masing poli: Tabel 7. Model Antrean Poli Distribusi Kedatangan Distribusi Pelayanan Model Penyakit Dalam Gamma Beta (G/G/15) : (GD/∞/∞) Kandungan Gamma Gamma (G/G/5) : (GD/∞/∞) Anak Gamma Gamma (G/G/10) : (GD/∞/∞) Saraf Gamma Gamma (G/G/3) : (GD/∞/∞) CDC Gamma Gamma (G/G/12) : (GD/∞/∞)
4.5. Ukuran Kinerja Sistem
Ukuran kinerja sistem antrean pada tiap-tiap poli yang didapatkan dari output GUI R sebagai berikut:
Tabel 8. Ukuran Kinerja Sistem No  Poli Lq Ls Wq Ws 1 Penyakit Dalam 1,692998x10 -46 0.01217902 2,865216x10 -47 0,002061166 2 Kandungan 5,514655x10 -5 1,386687 4,501536x10 -6 0,1131933 3 Anak 0,00165658 1,388288 0,0001352243 0,113324 4 Saraf 0,0009318265 1,387563 5,704777x10 -5 0,08494866 5 CDC 7,645839x10 -12 1,277464 4,814199x10 -13 0,08043545
Berdasarkan tabel diperoleh jumlah pelanggan dalam antrean, jumlah pelanggan dalam sistem, waktu pelanggan dalam antrean, dan waktu pelanggan dalam sistem untuk masing- masing loket.

## 5. KESIMPULAN
Kesimpulan yang diperoleh dari hasil analisis dan pembahasan pada penelitian ini yaitu didapat distribusi posterior gamma dan beta   dengan perkalian antara prior dan likelihood sampel,  sistem  pelayanan  pada  tiap-tiap  poli  di  instalasi  rawat  jalan  RSUP  Dr.  Kariadi dengan  perhitungan  interval  45  menit  mempunyai  model  antrean  (G/G/c):(  GD/∞/∞). Kinerja  sistem  pelayanan  di  RSUP  Dr.  Kariadi  dikatakan  sudah  baik  berdasarkan perhitungan ukuran kinerja sistem dimana probabilitas pada masing-masing poli lebih besar daripada probabilitas menganggur, kecuali pada poli penyakit dalam.

## DAFTAR PUSTAKA
Aminudin. 2005. Prinsip-Prinsip Riset Operasi. Jakarta: Erlangga.
Bain,  L.  J.  dan  Engelhardt,  M.  1992. Introduction  To  Probability  and  Mathematical Statistics Second Edition. California: Duxburry Press.
Bolstad,  W.  2007. Introduction  to  Bayesian  Statistics  Second  Edition. (J.  W.  Sons,  Ed.) America.
Box,  G.E.P. dan Tiao, G.C. 1973. Bayesian Inference In Statistical Analysis. Philippines: Addision-Wesley Publishing Company.inc.
Daniel, W. W. 1989. Statistik Nonparametrik Terapan (Terjemahan). Jakarta: PT Gramedia.
Nadhifah.L.  et  al.  2012.  Analisis  Faktor-Faktor  yang  Mempengaruhi  Bayi  Berat  Lahir Rendah dengan Model Regresi Logistik Biner Menggunakan Metode Bayes (Studi Kasus di Rumah Sakit Umum Daerah Kota Semarang). Jurnal Gaussian , 125-134.
Praptono. 1986. Pengantar Proses Stokhastik I. Jakarta: Karunika
Sihotang, E. et al. 2019. Analisis Antrean dan Kinerja Sistem Pelayanan Gardu Tol Otomatis Gerbang  Tol  Muktiharjo  (Studi  Kasus  :  Gardu  Tol  Otomatis  Gerbang  Tol Muktiharjo). Jurnal Gaussian , 106-116.
Soejati, Z. dan Soebanar. 1988. Inferensi Bayesian. Jakarta: Karunika Universitas Terbuka.
Spiegel,  M.R,  Schiller,  J.J  dan  Srinivasan,  R.A.  2013. Schaum's  Outline  of  Probability Fourth Edition. New York: The McGraw-Hill Companies Inc.
Taha, H. A.1996. Riset Operasi : Jilid Dua. Jakarta: Binarupa Aksara.