## METODE PNSR PADA INTERPOLASI GAUSSIAN

## Elin Herlinawati
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Terbuka, Jl. Cabe Raya Pondok Cabe Pamulang Tangerang Selatan, 15418
elin@ecampus.ut.ac.id

## Abstrak
Interpolasi  adalah  pencarian  fungsi
yang  melalui  sejumlah  titik  data  yang diberikan. Interpolan yang digunakan pada artikel ini adalah fungsi Gaussian yang memiliki nilai  parameter .  Pemilihan  nilai  parameter mempengaruhi  hasil  interpolasi.  Artikel  ini membahas metode yang digunakan dalam pemilihan nilai parameter yang optimum. Metode yang  digunakan  adalah  metode  PNSR  (Peak  Noise  to  Signal  Ratio).  Selanjutnya,  nilai parameter yang  optimum  dipilih  dengan  cara  meminimumkan  vektor  galat  PNSR.  Hasil dari  pemilihan  nilai  parameter  bergantung  pada  banyaknya  data  dan  sebaran  data  yang diketahui.
Kata Kunci: fungsi Gaussian, interpolasi, metode PNSR, nilai parameter c.

## PENDAHULUAN
Misalkan *( )+ dengan adalah  himpunan  titik  data.  Interpolasi merupakan  suatu  cara  mencari  fungsi yang  memenuhi  kondisi ( ) untuk setiap *        + .  Berdasarkan  Cheney dan Light, fungsi yang dicari berbentuk
( )   ∑ (‖ ‖) ( )
dengan fungsi  bernilai  real  yang  disebut sebagai  fungsi  basis  dari  interpolan,  dan
‖  ‖ menyatakan  norm  Euclid.  Fungsi harus memenuhi kondisi interpolasi, yakni
( ) ( )
Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan persamaan (1) yang memenuhi  kondisi  (2)  sama  dengan menyelesaikan sistem persamaan ( ) dengan [ ]   [ (‖ ‖)] , - dengan dan , - dengan Masalah
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
interpolasi  tersebut  mempunyai  solusi  jika dan  hanya  jika  matriks adalah  matriks nonsingular.
Selanjutnya, tinjau bahwa merupakan  fungsi  Gaussian,  yakni  fungsi yang berbentuk
( )      ( ) ( )
dengan merupakan  nilai  parameter dari  fungsi  Gaussian.  Cheney  dan  Light mengemukakan  bahwa  fungsi  Gaussian merupakan fungsi definit positif.
Akibatnya,  matriks , (‖ ‖)- dengan  merupakan  matriks  nonsingular. Oleh  karena  itu,  fungsi  Gaussian  dipilih sebagai fungsi basis dari interpolan.
Hal  lain  yang  perlu  diketahui  adalah fungsi Gaussian memiliki nilai parameter . Pemilihan nilai parameter tersebut mempengaruhi  hasil  interpolasi.  Sarra  dan Sturgill  menemukan  strategi  penentuan nilai  parameter untuk  interpolasi  dengan fungsi  basis  radial.  Selain  himpunan  titik data  yang  diberikan,  Sturgill  menggunakan himpunan  titik  evalusi  untuk  menghitung galat  interpolasi.  Analog  dengan  Sturgill, Madych  juga menggunakan himpunan titik evaluasi untuk menghitung galat interpolasi.
Artikel ini menunjukkan metode lain yang digunakan untuk memilih nilai  parameter dari  interpolasi  Gaussian.
Metode  tersebut  dilakukan  dengan  cara membandingkan  antara  galat root  mean square (RMS)  dan  banyaknya  titik  data maksimum yang digunakan .
Misalkan adalah  sebarang  himpunan buka, adalah  ukuran  Borel  pada yakni ukuran  yang  didefinisikan  pada  himpunan buka ,  dan ̂ adalah  transformasi  Fourier dari .  Lemma  berikut  menjelaskan  kaitan antara  ukuran  Borel,  transformasi  Fourier, dan fungsi definit positif.
Lemma  1 Misalkan adalah  suatu  ukuran Borel  bernilai  hingga  dan  tak  negatif  pada dengan  penyangga  dari bukan merupakan  himpunan  berukuran  Lebesgue nol. Maka ̂ definit positif pada .
Dalam  lemma  tersebut  digunakan istilah penyangga dari ukuran Borel pada yang  didefinisikan  sebagai  himpunan dengan merupakan himpunan buka  di dan ( ) Kaitannya  dengan interpolasi, Lemma 1 merupakan salah satu cara  untuk  menunjukkan  suatu    fungsi definit positif.
Selanjutnya, interpolan yang digunakan pada  penelitian  ini  adalah  fungsi  Gaussian yang memiliki sifat-sifat istimewa sebagaimana  disebutkan  dalam  lemma  dan teorema berikut.
Lemma 2 ( Cheney dan Light) Setiap fungsi Gaussian ( )      ( ‖ ‖ )
dan merupakan  sebuah  transformasi Fourier dari suatu fungsi, yaitu
( ‖ ‖ ) ∫ . / ( ‖ ‖ )    (      )
(5)
untuk setiap .
Teorema 3 ( Cheney dan Light) Jika , maka  fungsi ( )      ( ‖ ‖ ) radial dan definit positif pada sebarang ruang hasil kali dalam real.
Bukti . Karena setiap ruang hasil kali dalam real berdimensi isomorfik  dengan ruang Euclid , maka titik-titik di dapat diasumsikan  berada  di
.  Selanjutnya, berdasarkan definisi, fungsi adalah radial.
Selanjutnya, untuk menunjukkan
bahwa adalah  fungsi  definit  positif,
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 65-70.
berdasarkan  Lemma  1,  cukup  ditunjukkan bahwa adalah  suatu  transformasi  Fourier dari  sebuah  ukuran  di dengan penyangga dari ukuran tersebut mempunyai ukuran Lebesgue positif. Definisikan ukuran sebagai
. / . ‖ ‖ /             ( ) Dari Lemma 2, untuk setiap , ̂( )   ∫ ( )
∫
. / (  ( ) ‖ ‖ )
‖ ‖
( ) .
(7)
Jadi, adalah  transformasi  Fourier  dari suatu  ukuran di
.  Karena adalah
fungsi  Gaussian,  maka
bernilai  positif untuk  setiap di sehingga  penyangga
dari adalah .  Hal  ini  menunjukkan bahwa adalah  ukuran  di yang
penyangga  dari merupakan  himpunan
yang  bukan  berukuran  Lebesgue  nol.
Berdasarkan  Lemma  1,  fungsi definit positif pada .
Berdasarkan  Teorema  3,  penggunaan fungsi  Gaussian  sebagai  fungsi  basis interpolan mengakibatkan
matriks interpolasi  taksingular  sehingga  persamaan (1) mempunyai solusi.  Hal lain yang perlu diperhatikan adalah keberadaan nilai parameter  c  pada  fungsi  Gaussian  yang mempengaruhi  hasil  interpolasi.  Perhatikan contoh berikut.
Contoh  4 Diberikan himpunan  data seperti pada tabel berikut.
Tabel 1 . Himpunan titik data Titik pada (3,1) (1,2) (4,1) (3,3) (1,4) Nilai fungsi 2 4 2 3 5 Masalah interpolasi pada tabel 1 akan diselesaikan dengan menggunakan interpolan  fungsi  Gaussian  yang  berbentuk ( )   ∑ ‖ ‖ dengan Pertama,  digunakan  nilai ,  kemudian diproses interpolasi diulang dengan menggunakan .  Gambar  permukaan
dari  hasil  interpolasi  ditunjukkan  pada gambar 1 dan gambar 2.
Gambar 1. Interpolasi Menggunakan Fungsi Gaussian dengan
Gambar 2. Interpolasi Menggunakan Fungsi Gaussian dengan
Contoh 4 menunjukkan bahwa perbedaan nilai parameter yang digunakan  mengakibatkan  perbedaan  pada hasil interpolasi.  Oleh karena itu, pencarian nilai  c  yang optimum menjadi  fokus utama pada  penelitian  ini.  Dengan  menemukan nilai  c  yang  optimum,  interpolan  yang
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019
memuat  nilai  c  tersebut  diharapkan  dapat membuat hasil interpolasi lebih akurat.

## METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan adalah studi literatur dan eksperimen. Studi literatur dilakukan sebagai studi awal untuk mengumpulkan  dan  mempelajari  bahan- bahan  yang  berkaitan  dengan  penelitian. Kemudian  dilakukan  eksperimen  dengan memanfaatkan software MATLAB  R2013.
Dalam  uji  coba  yang  dilakukan,  peneliti membatasi data yang digunakan pada ruang dan pada beberapa pemilihan banyaknyaknya  data  (N)  sebagai  sampel dari eksperimen.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Beberapa  metode  pemilihan  nilai parameter untuk  interpolan  multiquadrik dan  invers  multiquadrik  telah  dilakukan Hardi dan Franke .
Penentuan  nilai  PNSR  terinspirasi dari  PSNR  ( Peak  Signal-to-Noise  Ratio ). PSNR  adalah  perbandingan  antara  nilai maksimum  dari  sinyal  yang  diukur  dengan besarnya  derau  yang  berpengaruh  pada sinyal  tersebut.  Misalkan adalah maksimum  sinyal  yang  diukur  dan  MSE ( Mean Squared
Error ) menyatakan
besarnya  derau.  PSNR  (dalam  satuan  dB) didefinisikan sebagai
( ) (8)
Dalam  aplikasi  pada  citra  digital, PSNR  digunakan  untuk  mengetahui  rasio kualitas citra asli dan citra hasil rekonstruksi.  Nilai  PSNR  yang  tinggi menyiratkan  kemiripan  yang  lebih  erat antara  hasil  rekonstruksi  dan  gambar  asli. Merujuk  pada  hal  tersebut,  maka  nilai PNSR yang kecil diharapkan dapat
menyiratkan  kemiripan  antara  nilai  fungsi interpolan dan nilai fungsi yang sebenarnya. Misalkan adalah maksimum banyaknya titik data  yang digunakan untuk menghitung  galat, h adalah  nilai  eksak  di titik , F adalah perkiraan nilai di titik dan  RMS  adalah  galat root  means  square, maka  galat  PNSR  dihitung  dengan  rumus sebagai berikut
( ) ( ∑ ( ( )    ( )) ) (∑( ( )    ( )) ) (9)
Penerapan PNSR  yaitu  ditetapkannya maksimum  titik  data  yang  ada  pada  domain daerah  interpolasi,  kemudian  dihitung  rasio dari galat interpolasi dan maksimum titik-titik data  tersebut  yang  mempengaruhi  kebenaran dari  representasi  interpolan.  Kriteria  yang digunakan  untuk  mengukur  kebenaran  dari representasi interpolan dengan metode PNSR adalah  semakin  kecil  nilai  PNSR  maka semakin baik representasi interpolan. Selanjutnya,  toleransi  galat  sebesar  5% memberikan  nilai  PNSR  sebesar -78.0618 sehingga jika nilai PNSR lebih kecil daripada -78.0618 ,  maka  interpolan  yang  digunakan dikatakan “baik”.
Selanjutnya, dilakukan percobaan numerik  dengan  banyaknya  data ( ) yang berbeda-beda,  yakni  N=9,  N=25,  N=49, N=81,  dan  N=289  pada ,    -
.
Kemudian  tetapkan  interval  nilai  c  yang akan  dipilih.  Dalam  hal,  nilai  c  dipilih  dari interval (     - yang didiskritisasi sebanyak  1000  buah.  Selanjutnya,  pilih
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 5 (1), pp: 65-70.
nilai  c  yang  meminimumkan  galat  PNSR. Tabel  berikut  menunjukkan  nilai  c  yang meminimumkan  galat  PNSR  untuk  setiap banyaknya data ( ) yang diberikan.
Tabel 2. Nilai parameter optimum untuk berbeda
N opt Galat PNSR 9 2,20 -1,69 . 10 2 25 4,86 -1,86 . 10 2
49 3,50 -1,93 . 10 2 81 3,96 -2,04 . 10 2 289 5,60 -2,48 . 10 2
Semua  percobaan  yang  dilakukan menunjukkan bahwa interpolan yang digunakan termasuk dalam kategori baik.

## SIMPULAN
Pemilihan  nilai  parameter  c  pada interpolasi Gaussian dapat dilakukan dengan menggunakan metode PNSR. Pemilihan  nilai  parameter  c  bergantung pada banyaknya data dan sebaran data yang diketahui.

## DAFTAR PUSTAKA
Cheney,  W.,  Light,  W.  2009. A  Course  in  Approximation  Theory .  America:  American Mathematical Society.
Franke,  Richard.  1982.  “Scattered  data  interpolation:  tests  of  some  methods ”. Math  of Computation. Vol. (38), pp: 181–200.
Hanafi, Muhamad., Wulandari, KN., Wulansari, Rizki. 2017. “Transformasi Geometri Rotasi berbantuan  Software  Geogebra” Fibonacci:  Jurnal  Pendidikan  Matematika  dan Matematika. Vol. 3 (2), pp: 93-101.
Hardy, Rolland L. 1971. “Multiquadric equations of topography and other irregular surfaces ”. Journal of Geophysical Research. Vol. 76 (8), pp: 1905–1915.
Herlinawati, E. 2017. Interpolasi dengan menggunakan fungsi radial. Tesis tidak diterbitkan. Bandung: ITB.
Madych, W.R. 1992. “Miscellaneous error bounds for multiquadric and related interpolants” . Computers Math.Applic . Vol. 24 (12), pp: 121-138.
Rippa, Shmuel. 1999. “An algorithm for selecting a good value for the parameter in radial basis  function  interpolation ”. Journal  of  Advance  in  Computational  Mathematics .  Vol 11 (2-3), pp: 193-210.
Sarra,  S.A,  Sturgill,  D.  1992.  “A  random  variable  shape  parameter  strategy  for  radial  basis function approximation methods”. Eng.Anal.Bound.Elem . Vol. 33 (1), pp: 99-120.
Volume 5 No. 1 Bulan Juni Tahun 2019