Penaksiran Cadangan Dana Pada Asuransi Kendaraan Bermotor Melalui Pendekatan Bayesian; Model Banyaknya Klaim: Poisson − Gamma Dan Model Ganti Rugi: Lognormal − Invers 𝝌 𝟐 − Normal
Irfan Rizki Gumilar
1 Universitas Garut irfanrizki@uniga.ac.id

## Abstract
In  the  motor  vehicle  insurance  market,  insurance  companies  need  to  know an estimate of the number of claims and the value of compensation they will face in the next policy period, and need to estimate the aggregate payment. In this study, the number of claims is assumed to have a Poisson distribution and  the  compensation  value  is  assumed  to  be  of  a  Lognormal  distribution. Bayesian  sensibilities  will  be  used  in  shaping  the  predictive  distribution  of aggregate payments. Therefore, the Gamma distribution is used as the prior Poisson distribution, while the prior distribution of Lognormal is the Inverse χ ^ 2 distribution and the Normal distribution. The purpose of this paper is to provide an estimate of adequate reserve funds for motor vehicle insurance companies.  Estimates  of  reserve  funds  are  obtained from  percentiles  of the distribution of aggregate payments. Monte Carlo simulation techniques are used  to  estimate  the  aggregate  distribution  of  payments.  The  test  results show  that  the  Poisson  and  Lognormal  models  are  suitable  in  modeling  the real  data  used  in  this  paper.  The  simulation  results  from  the  predictive distribution  show  that  the  95th  percentile  is  IDR  404,368,169,  so  that  this value can  be  used  as  an  estimate  of  adequate  reserve  funds.  The  results  of this  study  are  expected  to provide  new information  that  is  useful for  motor vehicle insurance companies when estimating adequate reserve funds.
Keywords: Motor Vehicle Insurance, Reserve Funds, Number of Claims, Indemnity, Bayesian.

## 1. Pendahuluan
Setiap  kendaran  bermotor  memiliki  peluang  untuk  mengalami  kerusakan  atau  mengalami pencurian,  baik  salah  satu  bagian  dari  kendaraan  bermotor  maupun  seluruhnya.  Kerugian financial akibat  kerusakan  atau  pencurian  pada  kendaran  bemotor  dapat  dikelola  melalui asuransi  kendaraan  bermotor.  Asuransi  ini  memberikan  jaminan  bahwa  setiap  kerusakan  atau pencurian  kendaraan  bermotor  yang  dialami  oleh  tertanggung,  dengan  membayar  premi,  akan ditanggung oleh perusahaan asuransi selama periode waktu tertentu.
Tantangan utama yang dihadapi oleh perusahaan asuransi non-jiwa (kendaraan bermotor) adalah bagaimana  memperkirakan  secara  akurat  klaim-klaim  yang  akan  terjadi  dan  bagaimana
menentukan  cadangan  dana  beserta  premi  yang  tepat  (Omari,  Nyambura,  &  Mwangi,  2018). Fenomena  sekarang  di  Indonesia,  kebanyakan  perusahaa  asuransi  kendaraan  bermotor  dalam penetapan  preminya  tidak  lagi  menggunakan  formula  rumit  yang  disajikan  dalam  buku-buku teks,  tetapi  lebih  sederhana  yaitu  harga  jual  kendaraan  bermotor  pada  saat  penerbitan  polis dikalikan dengan p% , yang mana p merupakan bilangan positif. Oleh karenanya, agar paper ini bermanfaat  bagi  industri  asuransi,  maka paper ini  akan  membahas  tentang  bagaimana menentukan cadangan dana yang tepat.
Agar  dapat  menjalankan  perusahaan  dengan  baik,  hal  penting  yang  harus  diperhatikan  adalah kemampuan  perusahaan  asuransi  kendaraan  bermotor  menyediakan  sejumlah  cadangan  dana agar  dapat  meng- cover klaim-klaim  yang  akan  datang.  Apabila  perusahaan  asuransi  tidak memiliki  cadangan  dana  yang  cukup,  dampaknya  akan  langsung  terasa  jika  ada  banyak  klaim yang diajukan oleh para tertanggung sehingga bisa menyebabakan “gagal bayar”.
Tujuan  dari  studi  ini  adalah  bagaimana  menetapkan  taksiran  cadangan  dana  bagi  perusahaan asuransi  kendaraan  bermotor.  Dalam  menetapkan  cadangan  dana,  perusahaan  asuransi kendaraan  bermotor  perlu  memiliki  data  banyaknya  klaim  beserta  ganti  rugi  per  klaimnya (besarnya  klaim)  pada  periode  sebelumnya.  Berdasarkan  data  klaim  tersebut,  perusahaan memodelkan  banyaknya  klaim  dan  ganti  ruginya.  Dalam paper ini,  model  banyaknya  klaim diasumsikan  berdistribusi  poisson,  sementara  model  ganti  rugi  diasumsikan  berdistribusi Lognormal.  Dalam  statistika  inferensial,  penaksiran  parameter-parameter  dalam  model  bisa menggunakan  pendekatan  klasik  atau  pendekatan  bayesian.  Pendekatan  klasik  lebih  sering dibahas dibandingkan dengan pendekatan bayesian. Oleh karenanya, paper ini akan membahas statistika inferensial melalui pendekatan bayesian.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Model Total Ganti Rugi
Total ganti rugi per tertanggung dilambangkan dengan variabel acak 𝑆 . Banyaknya klaim yang diajukan  oleh  seorang  tertanggung  dalam  satu  periode  dilambangkan  dengan 𝑁 .  Sementara masimg-masing  ganti  ruginya  dilambangkan  dengan  variabel  acak 𝑋 1 , 𝑋 2 , ⋯ , 𝑋 𝑁 .  Model  total ganti rugi per tertanggung diberikan oleh persamaan (1) berikut ini:
𝑆 = 𝑋 1 +   𝑋 2 + ⋯ + 𝑋 𝑁 ,       𝑁 = 0,1,2, …,
…(1)
yang mana 𝑆 = 0 bilamana 𝑁 = 0 (Klugman, Panjer, & Wilmot, 208).

## a) Model Banyaknya Klaim: Poisson
Variabel  banyaknya  klaim  dikategorikan  sebagai  variabel  acak  diskrit,  oleh  karenanya banyaknya  klaim  dalam paper ini  akan  diasumsikan  berdistribusi  Poisson.  Distribusi  Poisson merupakan  salah  satu  anggota  dari  keluarga  distribusi  diskrit  dengan  parameter 𝜆 dan mempunyai fungsi peluang sebagai berikut:
Pr(𝑁 = 𝑘) = 𝑒 −𝜆 𝜆 𝑘 𝑘! ,       𝑘 = 0,1,2, ⋯,
…(2)
(Omari et al., 2018).
Vol. 18; No.  02; Tahun 2019 Halaman 109-120

## b) Model Ganti Rugi: Lognormal
Berbeda halnya dengan model banyaknya klaim yang dikategorikan variabel acak diskrit, model besarnya  ganti  rugi  per  klaim  dikategorikan  sebagai  variabel  acak  kontinu.  Distribusi Lognormal  merupakan  salah  satu  anggota  dari  keluarga  distribusi  kontinu  dengan  parameter lokasi 𝜇 dan parameter skala 𝜎 , serta mempunyai fungsi padat peluang sebagai berikut:
𝑓 𝑋 (𝑥|𝜇, 𝜎 2 ) = 1 𝑥𝜎√2𝜋 𝑒𝑥𝑝 [− (𝑙𝑜𝑔𝑥−𝜇) 2 2𝜎 2 ] ,      0 < 𝑥 < ∞. …(3)
Jadi, dalam paper ini besarnya ganti rugi diasumsikan berdistribusi Lognormal (Miljkovic dan Grun, 2016).

## 2.2 Model Agregat Payment
Misal  terdapat 𝑛 tertanggung  pada  satu  periode.  Misalkan  pula 𝑆 𝑖 adalah  variabel  acak  yang menggambarkan  total  ganti  rugi  untuk  tertanggung  ke- i ,  maka  model  agregat payment yang harus dibayar perusahaan asuransi pada semua tertanggung adalah sebagai berikut:
𝑇 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + ⋯ + 𝑆 𝑛 . …(4)
(Rotar dan Vladimir, 2003).

## 2.3 Metode Bayesian
Terdapat  dua  paradigma  statistika  inferensial  yang  berkembang  saat  ini:  (i)  Paradigma  klasik atau frequentist dan  (ii)  Paradigma  Bayesian  (Herzog,  2002).  Perbedaan  mendasar  antara pendekatan  klasik  dan  bayesian  adalah  bahwa  paradigma  klasik  memandang  sampel  yang terbentuk  berasal dari  suatu  distribusi  dengan parameternya (𝜽) dianggap fixed tetapi  nilainya tidak diketahui, sementara paradigma Bayesian memandang parameter 𝜽 sebagai variabel acak sehingga  memiliki  distribusi  peluang  tertentu  (Muthen  dan  Asparouhov,  2012).  Jadi,  dapat disimpulkan  bahwa,  dalam  paradigma  bayesian,  baik  data  pengamatan  maupun  parameter dianggap sebagai variabel acak.
Secara  ringkas,  Shevchenko  dan  Wu ̈ thrich  (2006)  meyarankan  langkah-langkah  pemodelan melalui pendekatan bayesian adalah sebagai berikut:
1. Bentuk Distribusi Prior
2. Bentuk Distribusi Posterior
3. Bentuk Distribusi Prediktif
a) Distribusi Conjugate Prior
Dalam  paradigma  Bayesian,  distribusi conjugate  prior sangat  bermanfaat  ketika  melakukan bayesian  inference (Shevchenko  dan  Wu ̈ thrich,  2006).  Diantara  keuntungannya  adalah  secara matematika  mudah  untuk  mendapatkan  formula  fungsi  padat  posterior  beserta  parameter updated -nya (data plus prior). Adapun definisi dari distribusi conjugate prior diberikan berikut ini:
Definisi  1 Distribusi  prior  disebut  distribusi conjugate  prior apabila  hasil  distribusi  posterior berasal  dari  keluarga  yang  sama  dengan  distribusi  prior-nya  (tetapi  mungkin  dengan  nilai parameter yang berbeda).
(Klugman et al, 2008)
Secara  sederhana  definisi  1  menyatakan  bahwa  distribusi  prior  dikatakan  distribusi conjugate prior apabila  hasil  distribusi posterior mempunyai  bentuk  yang  sama  dengan  bentuk  distribusi prior-nya, tetapi mungkin dengan nilai parameter yang berbeda.
Menurut Shevchenko dan Wu ̈ thrich (2006), pasangan conjugate 𝐹 − 𝑃 untuk distribusi Poisson dan Lognormal diberikan berikut ini:
1. Model Banyaknya Klaim: Poisson − Gamma.
2. Model Besarnya Ganti Rugi: Lognormal − Invers 𝜒 2 − Normal
Jadi, untuk Poisson, distribusi prior dari parameter 𝜆 diberikan oleh
𝜋(𝜆)   = 𝜆 𝛼0−1 𝑒 −𝜆 𝜃0 ⁄ Γ(𝛼 0 )   𝜃 0 𝛼0 …(5)
yang  merupakan  distribusi  Gamma  dengan  parameter 𝛼 0 dan 𝜃 0 (Shevchenko  dan  Wu ̈ thrich, 2006).
Sementara untuk Lognormal, distribusi prior untuk parameter 𝜎 2 diberikan oleh
𝜋(𝜎 2 ) = 2 −𝑣0 2 ⁄ 𝛽 0 Γ(𝑣 0 2 ⁄ ) ( 𝜎 2 𝛽 0 ) − 𝑣0 2 −1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 0 2𝜎 2 )  ,     𝜎 2 > 0 , …(6)
yang  merupakan  distribusi  Invers 𝜒 2 dengan  parameter 𝜈 0 dan 𝛽 0 (Shevchenko  dan  Wu ̈ thrich, 2006). Distribusi prior dari parameter 𝜇 diberikan oleh
𝜋(𝜇|𝜎 2 ) = 1 𝜎√2𝜋 𝑘 0 ⁄ 𝑒𝑥𝑝 {− (𝜇−𝜇 0 ) 2 2𝜎 2 𝑘 0 ⁄ }  ,         − ∞ < 𝜇 < ∞, …(7)
yang merupakan distribusi normal dengan parameter 𝜇 0 dan 𝜎 2 𝑘 0 ⁄ (Shevchenko dan Wu ̈ thrich, 2006). Maka, distribusi prior gabungannya adalah
𝜋(𝜇, 𝜎 2 ) = 2 −𝑣0 2 ⁄ 𝛽 0 Γ(𝑣 0 2 ⁄ ) ( 𝜎 2 𝛽 0 ) − 𝑣0 2 −1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 0 2𝜎 2 ) × 1 𝜎√2𝜋 𝑘 0 ⁄ 𝑒𝑥𝑝 {− (𝜇−𝜇 0 ) 2 2𝜎 2 𝑘 0 ⁄ }, …(8)
yang mana 𝜎 2 > 0 dan −∞ < 𝜇 < ∞. Persamaan (8) dapat juga diekspresikan dengan
𝜋(𝜇, 𝜎 2 ) ∝   (𝜎 2 ) − 𝑣0 2 −1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 0 2𝜎 2 ) × 1 𝜎 𝑒𝑥𝑝 {− (𝜇−𝜇 0 ) 2 2𝜎 2 𝑘 0 ⁄ }, …(9)
yang  merupakan  hasil  kali  antara  distribusi Invers 𝜒 2 (𝜈 0 , 𝛽 0 ) dengan  distribusi Normal (𝜇 0 , 𝜎 2 𝑘 0 ⁄ ) (Shevchenko dan Wu ̈ thrich, 2006).

## b) Distribusi Posterior
Definisi 2 Distribusi Posterior adalah distribusi peluang bersyarat dari parameter ( 𝜽) diberikan data pengamatan ( 𝒙) . Distribusi Posterior dinotasikan dengan 𝜋̂(𝜽|𝒙).
(Klugman et al, 2008)
Distribusi posterior dari Poisson − Gamma diberikan oleh persamaan (10) berikut ini
𝜋̂(𝜆|𝒌) ∝ 𝜆 𝛼 𝑛 −1 𝑒𝑥𝑝[− 𝜆 𝜃 𝑛 ⁄ ], …(10)
yang merupakan distribusi Gamma dengan parameter updated -nya:
𝛼 𝑛 = ∑ 𝑘 𝑗 + 𝛼 0 …(11)
dan
𝜃 𝑛 = 𝜃 0 1+𝑛𝜃 0
…(12)
(Shevchenko dan Wu ̈ thrich, 2006).
Distribusi  posterior  dari  Lognormal − Invers 𝜒 2 − Normal  diberikan  oleh  persamaan  (13) berikut ini
𝜋(𝜇, 𝜎 2 |𝑥) ∝   (𝜎 2 ) − 𝑣𝑛 2 −1 𝑒𝑥𝑝 (− 𝛽 𝑛 2𝜎 2 ) × 1 𝜎 𝑒𝑥𝑝 {− (𝜇−𝜇 𝑛 ) 2 2𝜎 2 𝑘 𝑛 ⁄ }, …(13)
yang  merupakan  hasil  kali  antara  distribusi  Invers 𝜒 2 (𝜈 𝑛 , 𝛽 𝑛 ) dengan  distribusi Normal (𝜇 𝑛 , 𝜎 2 𝑘 𝑛 ⁄ ) dengan paramater updated -nya
𝛽 𝑛 = 𝛽 0 + 𝑛𝑦 2 ̅̅̅ + 𝑘 0 𝜇 0 2 − (𝑛𝑦̅+𝜇 0 𝑘 0 ) 2 𝑘 0 +𝑛 , …(14)
𝑘 𝑛 = 𝑘 0 + 𝑛, …(15)
𝜇 𝑛 = 𝑛𝑦̅+𝜇 0 𝑘 0 𝑘 0 +𝑛 , …(16)
𝜈 𝑛 = 𝜈 0 + 𝑛, …(17)
yang mana 𝑦̅ = Σ ln 𝑋 𝑛 dan 𝑦 2 ̅̅̅ = (Σ ln 𝑋) 2 𝑛 (Shevchenko dan Wu ̈ thrich, 2006).

## 2.5 Simulasi Distribusi Prediktif Agregat Payment dan Penaksiran Cadangan Dana
Distribusi  prediktif  dalam  pendekatan  Bayesian  digunakan  untuk  menaksir  klaim-klaim  yang kan  terjadi  di  masa  mendatang  (Jakub  dan  James,  2006).  Distribusi  prediktif  dari  agregat payment akan ditaksir melalui simulasi Monte Carlo. Persentil-persentil dari taksiran distribusi prediktif ini diperlakukan sebagai penaksir cadangan dana.
Penelitian  tentang  penaksiran  cadangan  dana  melalui  pendekatan  Bayesian  pernah  diulas  oleh Pavel  dan  Mario  (2006)  yang  membahas  distribusi-distribusi  peluang  yang  dapat  digunakan untuk penaksiran cadangan dana dalam kontek operational risk , serta  penelitian dari Jakub dan James  (2006)  yang  mengaplikasikan  distribusi  Poisson − Generalised  Pareto  dan  distribusi Truncated  Generalised  Pareto  dalam  bidang  asuransi  kebakaran.  Adapun paper ini  membahas tentang aplikasi penggunaan distribusi Poisson − Gamma dan distribusi
Lognormal − Invers 𝜒 2 − Normal dalam bidang asuransi kendaraan bermotor.
Vol. 18; No.  02; Tahun 2019 Halaman 109-120

## 3. Metode
Pada  penelitian  ini,  kita  memandang  portofolio  secara  keseluruhan.  Perhatian  tidak  pada pemegang  polis/tertanggung  secara  terpisah,  tetapi  pada  total  klaim  dari  seluruh  tertanggung yang dengannya perusahaan asuransi harus membayar klaim-klaim yang terjadi.
Statistika  deskriptif  dan  statistika  inferensia  digunakan  untuk  menganalisis  data  klaim  yang diperoleh. Statistika deskriptif digunakan untuk melihat apakah data terdistribusi secara positif atau  secara  negatif.  Jika  data  terdistribusi  secara  negatif,  dapat  diartikan  bahwa  klaim-klaim dengan nilai ganti rugi yang besar sering terjadi daripada nilai ganti rugi yang kecil. Sementara statistika inferensial dengan pendekatan bayesian digunakan untuk menaksir cadangan dana.
Penelitian  ini  menggunakan  bantuan  perangkat  lunak  Matlab  7.10  dalam  melakukan  simulasi Monet  Carlo.  Matlab  7.10  menyediakan  fungsi  untuk  membangkitakn  bilangan  acak berdistribusi Poisson, Gamma, dan Normal tetapi untuk distribusi  Invers 𝜒 2 dibutuhkan sedikit modifikasi  dalam  membuat  fungsi  pembangkitnya.  Matlab  7.10  juga  tidak  menyediakan Toolbox untuk simulasi Monte Carlo yang membangun distribusi prediktif dari agregat payment sehingga penelitian ini membutuhkan script algoritma tersendiri.

## 4. Hasil Penelitian dan Pambahasan
Paper ini  difokuskan  pada  pembahasan  penaksiran  sejumlah  dana  yang  dibutuhkan  oleh perusahaan  asuransi  umum  agar  dapat  meng- cover klaim-klaim  yang  diajukan  oleh  para tertanggung dalam satu periode waktu tertentu. Data yang digunakan adalah data klaim asuransi kendaraan  bermotor  di  perusahaan  asuransi  umum  CBA  cabang  bandung.  Data  klaim  tersebut berasal dari jenis pertanggungan all risk asuransi kendaraan bermotor dan merupakan data klaim yang dibayarkan pada payment year 2007.

## Model Banyaknya Klaim: Poisson
Selama  tahun  2007,  perusahaan  asuransi  umum  CBA  mempunyai  697  tertanggung  untuk asuransi  kendaraan  bermotornya.  Berdasarkan  697  tertanggung  tersebut,  delapan  tertanggung mengajukan klaim sebanyak 2 kali. Tabel 1 berikut ini menyajikan rincian lengkapnya.
Tabel 1: Banyaknya Klaim Yang Diajukan Tertanggung
Banyaknya Klaim Jumlah Tertanggung 0 622 1 66 2 8 3 1
Pada tabel 1 terlihat bahwa klaim yang dibayarkan pada payment year 2007 sebanyak 85 klaim dan rata-ratanya 0,122.
Uji Chi-Kuadrat akan digunakan untuk menguji bahwa banyaknya klaim berdistribusi Poisson. Jadi, hipotesis yang diuji berbentuk
𝐻 0 : Data Banyaknya Klaim Berdistribusi Poisson 𝐻 1 : Data Banyaknya Klaim Berdistribusi Lainnya
Pengujian hipotesis dilakukan pada 𝛼 = 0,05 . Hipotesis nol tidak ditolak jika statistik uji lebih kecil dari 𝜒 𝑑𝑘;𝛼 2 .
Tabel 2:  Perhitungan Uji Chi-Kuadrat
Banyaknya Klaim Observasi Poisson (𝟎, 𝟏𝟐𝟐) Ekspektasi Chi- Kuadrat 0 622 0.88 616.9785 0.0409 1 66 0.11 75.2413 1.1350 2 8 0.01 4.5879 2.5377 3 1 0.000267 0.1865 3.5484 4+ 0 0.0000836 0.0058 0.0058 Total 697 1 697 7.2679
Berdasarkan  tabel  2,  statistik  uji  diperoleh  sebesar  7,2679  (total  Chi-Kuadrat).  Sementara berdasarkan tabel Chi-Kuadrat dengan 𝑑𝑘 = 3 dan 𝛼 = 0,05 diperoleh 𝜒 3;0,05 2 = 7,8147. Oleh karena  statistik  uji  lebih  kecil  dari 𝜒 3;0,05 2 , maka 𝐻 0 tidak  ditolak.  Artinya,  dengan  tingkat signifikansi 5%, data banyaknya klaim dapat dimodelkan dengan distribusi Poisson.

## Model Besarnya Ganti Rugi per Klaim: Lognormal
Pada payment year 2007, 85 klaim asuransi kendaraan bermotor harus dibayarkan ganti ruginya oleh perusahaan asuransi umum CBA. Tabel 3 berikut ini menyajikan ukuran-ukuran statistika deskriptif untuk data besarnya ganti rugi asuransi kendaraan bermotor pada payment year 2007.
Tabel 3: Ukuran Statistika Deskriptif Besarnya Ganti Rugi Pada Payment Year 2007 Ukuran Statistika Nilai Ukuran Sampel 85 Minimum 225225 Maksimum 21570700 Total 284595097 Rata-Rata 3348177,612 Simpangan Baku 3862243,771 Skewness 2,536 Kurtosis 7,202
Studi  kasus  ini  mengasumsikan  bahwa  besarnya  ganti  rugi  per  klaim  berdistribusi  Lognormal sehingga hipotesis yang diuji berbentuk
𝐻 0 : Data Besarnya Ganti Rugi Berdistribusi Lognormal 𝐻 1 : Data Besarnya Ganti Rugi Berdistribusi Lainnya
Uji  Anderson-Darling  akan  digunakan  untuk  menguji  bahwa  besarnya  ganti  rugi  per  klaim berdistribusi  Lognormal.  Pengujian  hipotesis  dilakukan  dengan 𝛼 = 0,05 .  Hipotesis  nol  tidak ditolak jika statistik uji Anderson-Darling lebih kecil dari nilai kritisnya, 2,492 ( 𝛼 = 0,05) .
Gambar 1. Probability Plot Distribusi Lognormal
Berdasarkan  penggunaan  piranti  lunak  minitab  14,  statistik  uji  Anderson-Darling  diperoleh sebesar D = 0,583. Oleh karena 0,583 <2,492, maka hipotesis nol tidak ditolak. Artinya, pada 𝛼 = 0,05 , data besarnya ganti rugi per klaim dapat dimodelkan dengan distribusi Lognormal.

## Bayesian Inference
Seperti telah dijelaskan bahwa pendekatan Bayesian memperlakukan parameter-parameter dari Poisson dan Lognormal sebagai variabel acak yang memiliki distribusi peluang tersendiri, yaitu
𝜆~ Gamma (1,1000)
…(18)
yang merupakan distribusi prior untuk parameter Poisson, dan
𝜎 2 ~ Inv- 𝜒 2 (2 , 2) …(19)
𝜇|𝜎 2 ~ Normal (0 , 𝜎 2 0,001 ⁄ ) …(20)
yang merupakan distribusi prior untuk parameter-parameter Lognormal.
Distribusi  (18),  (19),  dan  (20)  disebut  dengan  distribusi vague/non-informative  prior . Penggunaan non-informative  prior ini  dikarenakan  pengetahuan  akan  karakteristik  parameter sangant  minim.  Prior-prior  tersebut  di  atas  memiliki  variansi  sangat  besar,  sehingga  tidak mempengaruhi  distribusi  posterior  terlalu  banyak  (Dudley,  2006).  Jadi,  variansi  prior  yang sangat  besar  menunjukkan  minimnya  pengetahuan  kita  tentang  karakteristik  dari  parameter. Sedangkan penggunaan distribusi informative prior ditetapkan berdasarkan penelitian-penelitian sebelumnya atau pendapat dari para ahli (Harindranath R.M. dan Jayanth Jacob, 2018).

## Model Banyaknya Klaim:  Posson-Gamma
Berdasarkan  distribusi  prior  (18)  diketahui  bahwa 𝛼 0 = 1 dan 𝜃 0 = 1000 ,  serta  untuk  model banyaknya  klaim  diketahui  bahwa  nilai 𝑛 = 697 dan Σ𝑘 𝑖 = 85 .  Nilai-nilai  tersebut disubtitusikan  ke  persamaan  (11)  dan  (12),  maka  akan  diperoleh  parameter updated sebagai berikut:
𝛼 𝑛 = 86 dan 𝜃 𝑛 = 0,0014
Jadi, distribusi posterior untuk model banyaknya klaim diberikan oleh
C1 Pe rc en t 100000000 10000000 1000000 100000 99.9 99 95 90 80 70 60 50 40 30 20 10 5 1 0.1 Loc 0.125 14.56 Scale 0.9366 N 85 AD 0.583 P-Value Probability Plot of C1 Lognormal - 95% CI
𝜋̂(𝜆|𝐤) ~Gamma (86   ,   0,0014) . …(21)
Model Besarnya Ganti Rugi per Klaim: Lognormal − Invers 𝝌 𝟐 − Normal Berdasarkan distribusi prior (19) dan (20) diketahui bahwa 𝜈 0 = 2,  𝛽 0 = 2, 𝜇 0 = 0, dan 𝑘 0 = 0,001, serta untuk model besarnya ganti rugi diketahui bahwa
𝑛 = 85   ,   𝑌̅ = ln 𝑋 85 = 14,56   , dan 𝑌 2 ̅̅̅̅ = (ln 𝑋) 2 85 = 213.
Nilai-nilai  ini  disubtitusikan  ke  persaman  (14),  (15),  (16),  dan  (17),  maka  akan  diperoleh parameter updated sebagai berikut
𝛽 𝑛 = 75,90   ,    𝑘 𝑛 = 85,001   ,   𝜇 𝑛 = 14,56   , dan 𝜈 𝑛 = 87.
Jadi, distribusi posterior untuk model besarnya ganti rugi adalah
𝜋̂(𝜇, 𝜎 2 |𝐱) ~Inv- 𝜒 2 (87 ,   75,9) ×Normal (14,56  ,    𝜎 2 85,001 ⁄ ). …(22)
Hasil Simulasi dan Taksiran Cadangan Dana Langkah 1 Bangkitkan bilangan acak 𝜆 (1) dari distribusi posterior (21), serta bilangan acak 𝜎 2(1) dan 𝜇 (1) dari distribusi posterior (22).

## Langkah 2
Diberikan 𝜆 (1) = 0,13 pada langkah 1, simulasikan total banyaknya klaim 𝑁 = 𝐾 1 +   𝐾 2 + ⋯ + 𝐾 697 ,  yang  mana 𝐾 𝑖 adalah  banyaknya  klaim  yang  diajukan  oleh  tertanggung  ke- i dengan 𝐾 𝑖 ~𝑃𝑜𝑖𝑠𝑠𝑜𝑛(0,13) . Hasilnya disajikan pada tabel 4.
Tabel 4: Hasil Simulasi Banyaknya Klaim ( b = 1)
Banyaknya Klaim Jumlah Tertanggung 0 609 1 84 2 4 3 0
Pada tabel 4 terlihat bahwa total banyaknya klaim sebesar 92.

## Langkah 3
Diberikan 𝜎 2(1) = 1,02 dan 𝜇 (1) = 14,59 pada langkah 1 serta banyaknya klaim pada langkah 2, simulasikan besarnya ganti rugi yang berdistribusi Lognormal( 14,59 , 1 , 02 ) untuk masing- masing  tertanggung.  Sebagai  ilustrasi,  jika  seorang  tertanggung  mengajukan  2  klaim,  maka simulasikan  besarnya  ganti  rugi  sebanyak  2  kali  kemudian  hasilnya  dijumlahkan  untuk memperoleh total ganti rugi. Tabel 5 berikut memperlihatkan beberapa persentil total ganti rugi tertanggung berdasarkan hasil simulasi langkah 3.
Tabel 5: Persentil Total Ganti Rugi Tertanggung ( b = 1) Persentil Total Ganti Rugi Tertanggung 0 0 80 0 85 0 90 Rp 784.710 95 Rp 3.260.064 99 Rp 9.723.567 100 Rp 37.503.873
Berdasarkan hasil simulasi langkah 3 ini diperoleh bahwa agregat payment yang harus dibayar oleh  pihak  perusahaan  adalah  sebesar  Rp  355.310.311,  yang  diperoleh  dengan  menjumlahkan seluruh total ganti rugi para tertanggung.

## Langkah 4
Untuk mendapatkan taksiran distribusi peluang dari agregat payment , langkah 1 sampai dengan langkah 3 diulang sebanyak b = 100.00 kali. Gambar 2 berikut ini menampilkan histogram dari 100.000 nilai agregat payment hasil simulasi tersebut.
Gambar 2: Histogram Agregat Payment (𝑏 = 100.000)
Tabel berikut ini menyajikan beberapa ukuran statistika deskriptif dari hasil simulasi.
Tabel 6: Taksiran Persentil Hasil Simulasi Agregat Payment (𝑏 = 100.000)
Persentil Taksiran Agregat Payment Persentil 90 Rp 371.782.252 Persentil 95 Rp 404.368.169 Persentil 99 Rp 476.974.280 Maksimal Rp 772.500.815
Berdasarkan tabel 6 diketahui bahwa apabila perusahaan asuransi memperoleh dana sebesar Rp 404.368.169,  maka  dengan  peluang  0,95,  dana  tersebut  diharapkan  dapat  meng- cover klaim-
klaim  yang  akan  terjadi.  Akan  tetapi,  jika  terkumpul  dana  sebesar  Rp  371.782.252,  maka dengan  peluang  0,90,  dana  tersebut  diharapkan  dapat  meng- cover klaim-klaim  yang  akan terjadi.
Tabel 7: Perbandingan Taksiran Agregat Payment Antara Bayesian dan klasik
Persentil Taksiran Agregat Payment Bayesian Klasik Persentil 90 Rp 371.782.252 Rp 338.982.479 Persentil 95 Rp 404.368.169 Rp 358.866.994 Persentil 99 Rp 476.974.280 Rp 401.159.411 Persentil 100 (Maks) Rp 772.500.815 Rp 568.144.339
Tabel  7  memperlihatkan  bahwa  persentil  90  berdasarkan  pendekatan  Bayesian  lebih  besar dibandingkan  pendekatan  klasik.  Hal  serupa  terjadi  pada  persentil  95,  99,  dan  100.  Hasil  ini serupa dengan penelitian yang dilakukan oleh Jakub dan James (2006), yang menyatakan bahwa ketidakpastian akan parameter (pendekatan Bayesian) dapat menaikkan taksiran cadangan dana.

## 5. Simpulan dan Saran
Paper ini  mengulas  pendekatan Bayesian  inferensial dalam  menaksir  cadangan  dana  bagi asuransi  kendaraan  bermotor.  Perusahaan  asuransi  perlu  memodelkan  banyaknya  klaim  dan memodelkan  ganti  rugi  untuk  menaksir  cadangan  dana  yang  memadai.  Dalam  penelitian  ini, dipilih  distribusi  poisson  untuk  memodelkan  banyaknya  klaim  dan  distribusi  lognormal  untuk memodelkan  ganti  ruginya  (besarnya  klaim).  Pendekatan  Bayesian  membutuhkan  penetapan distribusi prior untuk parameter-parameter dalam model. Distribusi prior yang digunakan adalah distribusi  Gamma  untuk  parameter  distribusi  Poison.  Sementara  untuk  parameter  distribusi Lognormal, distribusi prior yang digunakan adalah distribusi Invers 𝜒 2 dan distribusi Normal.
Dengan  menggunakan  data real asuransi  kendaraan  bermotor,  aplikasi  penaksiran  cadangan dana dalam paper ini dimulai dengan pengujian distribusi dari data banyaknya klaim dan ganti ruginya  (besarnya  klaim).  Setelah  pengujian  diterima,  langkah  selanjutnya  adalah  penetapan nilai  parameter  prior  secara non-informative kemudian  menghitung  parameter updated -nya. Penaksiran  cadangan  dana  diperoleh  melalui  persentil-persentil  distribusi  prediktif  agregat payment hasil simulasi.
Berdasarkan  analisis  yang  dilakukan  dalam  penelitian  ini,  apabila  perusahaan  asuransi menggunakan  persentil  95  sebagai  taksiran  cadangan  dananya,  maka  disarankan  untuk melakukan Backtesting .  Pada  dasarnya, Backtesting membandingkan  taksiran  cadangan  dana dengan  total ganti rugi aktual. Apabila total ganti rugi aktual melebihi taksiran cadangan dana sering  terjadi,  maka  nilai  yang  telah  ditetapkan  tidak  cocok.  Uji  Kupiec  merupakan  uji  yang sederhana untuk melakukan Backtesting (Navneet Kaur Virdi, 2011).

## Daftar Pustaka
Cyprian Ondieki Omari, Shalyne Gathoni Nyambura, Joan Wairimu Mwangi. (2018). Modeling the  Frequency  and  Severity  of  Auto  Insurance  Claims  Using  Statistical  Distributions. Jounal of Mathematical Finance , 137-160.
Dudley,  C.  (2006).  Bayesian  Analysis  Of  An  Aggregate  Claim  ModelL  Using  Various  Loss Distributions. Eidenburg: Disertasi Heriot-Watt University..
Harinranath R.M. dan Jayanth Jacob. (2018). Bayesian structural equation modelling tutorial for novice management researchers. Management Reearch Review .
Herzog, T. N. (2002). Bayesian Staistics and The Monte Carlo Method. Proceedings of the 2002 Winter Simulation Confeence.
Jakub M. Borowicz dan James P.Norman. (2006). The Effects Of Parameter Uncertainty In The Extreme  Event  Frequency-Severity  Model. 28th  International  Congress  of  Actuaries. Paris.
Muthen, B. and Asparouv, T. (2012). Bayesian Structural Equation Modeling: a more flexible represntation of substantive theoryP. Psychological Methods, 17 (3), 313-335.
Pavel V. Shevchenko dan Mario V. Wuthrich. (2006). The Structural Modelling of Operational Risk via Bayesian inference: Combining Loss Data with Expert Opinions . The Journal of Operational Risk , 3-26.
Rotar,  V.  I.  (2003). Actuarial  Models:  The  Mathematics  of  Insurance. London: Chapmann&Hall.
Stuart  A.  Klugman,  Hary  H.  PAnjer,  Gordon  E.  Wilmot.  (2008). Loss  Model:  From  Data  To Decisions, 3rd Edition. New Jersey: Wiley-Interscience.
Tatjana Miljkovic, Betina Grunb. (2016). Modeling Loss Data Using Mixtures of Distributions.
Insurance: Mathematics adn Economics 70 , 387-396.
Virdi,  N.  K.  (2011).  A  Review  of  Backtesting  Methods  for  Evaluating  Value-at  Risk  . International Review of Business Research Papers , 14-24.