## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimal pada Model Dinamik Penyebaran Penyakit Malaria
Retna Shely Purwanti dan Mardlijah Departemen Matematika, Fakultas Matematika, Komputasi, dan Sains Data Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
e-mail : retnashely88@gmail.com
Abstrak — Malaria  adalah  suatu  penyakit  yang  disebabkan  oleh parasit  Plasmodium  yang  ditularkan  oleh  gigitan  nyamuk Anopheles betina. Hampir separuh populasi dunia hidup dalam risiko  penyakit  ini  dengan  lebih  dari  300  juta  orang  terjangkit malaria  setiap  tahun.  Dalam  studi  ini,  digunakan  model penyebaran penyakit malaria yang terdiri dari dua populasi yang dibagi  menjadi  beberapa  sub-populasi  antara  lain  sub-populasi manusia  Susceptible,  sub-populasi  manusia  Exposed,  sub- populasi  manusia    Infected,  sub-populasi  manusia  Recovered, sub-populasi nyamuk Susceptible, sub-populasi nyamuk Exposed,  dan  sub-populasi  nyamuk  Infected.  Model  dianalisis dengan  menentukan  titik  kesetimbangan  bebas  penyakit  dan endemik,  serta  kestabilan  dari  setiap  titik  kesetimbangan. Kemudian  dilakukan  kontrol  optimal  menggunakan  Prinsip Maksimum Pontryagin dan disimulasikan dengan menggunakan Matlab.  Hasil  simulasi  menunjukan  menurunnya  sub-populasi manusia  dan  populasi  nyamuk  yang  terinfeksi  parasit Plasmodium  setelah  adanya  pemberian  kontrol  penyemprotan insektisida  dan  pengobatan  dengan  nilai  fungsi  objektif  sebesar 1.5556.
Kata  Kunci — Model  Penyebaran  Penyakit  Malaria,  Kestabilan, Kontrol Optimal, Prinsip Maksimum Pontryagin.

## I. PENDAHULUAN
ALARIA  adalah  suatu  penyakit  yang  disebabkan  oleh parasit Plasmodium yang  ditularkan  oleh  gigitan nyamuk Anopheles betina [1]. Situasi malaria di kawasan hutan masih  menjadi  masalah  serius  karena  nyamuk  yang  sangat efisien,  penularan  nyamuk  dan  perpindahan  penduduk  yang tidak  terkendali.  Selain  itu,  ada  bukti  yang  menunjukkan bahwa perubahan iklim dan meningkatnya pengendapan suhu bumi  akan  mempercepat  pematangan  parasit  pada  nyamuk, meningkatknya frekuensi menggigit nyamuk dan menciptakan kondisi  yang  menyebabkan  perkembangbiakan  nyamuk semakin cepat [2].
Malaria  dapat  ditemukan  mulai  dari  belahan  bumi  utara (Amerika  Utara  sampai  Eropa  dan  Asia)  ke  belahan  bumi selatan  (Amerika  Selatan);  mulai  dari  daerah  dengan ketinggian 2850 m sampai dengan daerah yang letaknya 400m di  bawah  permukaan  laut.  Keadaan  malaria  di  dunia  saat  ini diperkirakan terdapat 300-500 juta kasus malaria klinis/tahun dengan  1,5-2,7  juta  kematian,  terutama  negara-negara  benua Afrika.  Risiko  tinggi  penularan  malaria  di  Afrika  dengan jumlah  estimasi  kasus  pada  tahun  2010  sekitar  174  kasus dengan estimasi kematian sebanyak 596.000 kasus. Sebanyak 90% kematian terjadi pada anak-anak dengan rasio 1: 4 anak balita  di  Afrika  meninggal  karena  malaria. Sedangkan  di
Indonesia,  pada  tahun  2006  terdapat  sekitar  2  juta  kasus malaria klinis, sedangkan tahun 2007 menjadi 1,75 juta kasus. Jumlah  penderita  positif  malaria  tahun  2006  sekitar  350  ribu kasus, dan pada tahun 2007 sekitar 311 ribu kasus [3].
Melihat fenomena tersebut, perlu adanya model matematika pada  penyebaran  penyakit  malaria,  sehingga  dari  model tersebut  dapat  dianalisis  kestabilan  penyebaran  penyakit tersebut dan dapat dirancang kontrol optimal dengan berbagai faktor yang ada sesuai dengan fungsi tujuan yang diinginkan. Dalam  penelitian  ini,    dianalisis  kestabilan  model  dinamik penyebaran penyakit  malaria, serta dikontrol dengan beberapa faktor  upaya  yang  dibutuhkan  menggunakan  prinsip Maksimum  Pontryagin.  Sehingga,  dengan  adanya  kontrol optimal tersebut dapat ditentukan strategi yang optimal untuk dapat mengendalikan penyebaran penyakit malaria tersebut.

## M
Gambar  1.  Diagram  kompartemen  model  dinamik  penyebaran  penyakit malaria.
Tabel 1. Variabel pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Malaria Variabel Keterangan Nilai Awal Sumber 𝑆 𝐻 (𝑡) Kumpulan individu rentan terinfeksi  penyakit  ( Susceptible Host ). 600 [4] 𝐸 𝐻 (𝑡)
Kumpulan  individu  yang  sudah terinfeksi  malaria  namun  tidak tahu  jika  sedang  terinfeksi ( Exposed Host). 200 [4]
𝐼 𝐻 (𝑡) Kumpulan  individu  yang  sudah terinfeksi malaria ( Infected Host ) 20 [4] 𝑅 𝐻 (𝑡)
Kumpulan  individu  dalam  masa penyembuhan ( Recovered Host ). 10 [4] 𝑆 𝑉 (𝑡) Kumpulan nyamuk rentan terhadap  parasit Plasmodium ( Susceptible Vector ).
7050 [4] 𝐸 𝑉 (𝑡) Kumpulan  nyamuk  yang  sudah terinfeksi  parasit Plasmodium namun  belum  bisa  menginfeksi ( Exposed Vector ) 20 [4] 𝐼 𝑉 (𝑡)
Kumpulan  nyamuk  yang  sudah terinfeksi  parasit Plasmodium ( Infected Vector ). 15 [4] Tabel 2. Parameter pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Malaria Para- meter Keterangan Nilai Sumber Π 𝐻 Rate pertumbuhan hidup manusia 0.00001 1 [5] 𝜌 𝐻 Rate individu manusia recovered karena sistem imun 0.0146 [4] 𝜎 𝑉 Rate individu  manusia  terkena gigitan nyamuk 0.5 [4] 𝛽 𝐻 Rate transmisi parasit dari individu nyamuk infected 0.4 [4] 𝜇 𝐻 Rate kematian alami manusia 0.00004 [4] 𝑣 𝐻 Rate rata  penyembuhan  manusia
exposed menjadi infected 0.2 [4]
𝛾 𝐻
Rate individu  manusia infected menjadi recovered 0.05 [4]
𝛿 𝐻 Rate kematian  individu  manusia akibat terjangkit malaria 0.00345 4 [4] Π 𝑉 Rate pertumbuhan hidup nyamuk 0. 2 [5] 𝛽 𝑉 Rate transmisi  parasit  nyamuk dari individu manusia infected 0.3 [4]
𝛽 𝑉𝐻 Rate kontak  nyamuk  dengan manusia 0.03 [4] 𝜈 𝑉
Rate rata  penyembuhan  nyamuk exposed menjadi infected 0.1 [4] 𝜇 𝑉 Rate kematian alami nyamuk 0.0714 [4] 𝑢 1 Kontrol penyemprotan insektisida terhadap nyamuk 30 Asumsi 𝑢 2 Kontrol  pengobatan  terhadap individu manusia yang terinfeksi. 40 Asumsi

## II. MODEL DINAMIK PENYEBARAN PENYAKIT MALARIA
Model dinamik penyebaran penyakit malaria yang dibahas pada jurnal ini adalah model dinamik yang digunakan Roop-O dkk [4] yang  meninjau  dua  populasi,  yaitu  populasi host (penderita  atau  manusia)  yang  dinotasikan 𝑁 𝐻 dan vector (penular  atau  nyamuk)  yang  dinotasikan 𝑁 𝑉 .  Selanjutnya, model dikontruksi dengan menambahkan strategi kontrol yang diinginkan.  Adapun  strategi  kontrol  yang  digunakan  dalam
Studi  ini,  yaitu  penyemprotan  insektisida  dan  pengobatan individu  yang  terinfeksi  pada  model  penyebaran  penyakit malaria. Berikut ini diberikan beberapa asumsi yang digunakan dalam  strategi  kontrol  pada  model  penyebaran  penyakit malaria, yaitu:
1. Kontrol 𝑢 1 merupakan  penyemprotan  insektisida  pada nyamuk  terutama  nyamuk  yang  berparasit Plasmodium. Karena nyamuk berkembangbiak lebih cepat pada  musim hujan dan iklim yang panas [2], sehingga diperlukan usaha yang  lebih  dalam  penyemprotan  insektisida . Dengan demikian,  tingkat  reproduksi  populasi  nyamuk  berkurang dengan faktor 1 − 𝑢 1 .
2. Strategi  kontrol 𝑢 2 merupakan  proporsi  pemberian  obat malaria.  Diasumsikan 𝑢 2 𝐼 𝐻 adalah  pengobatan  terhadap individu yang terinfeksi.
Sehubungan  dengan    asumsi  yang  mendasari  ini,  model kontrol  optimal  untuk  penyebaran  penyakit  malaria  yang menyimpulkan strategi pencegahan dan pengobatan digambarkan  dengan  diagram  kompartemen  model  dinamik penyebaran penyakit malaria, sebagai pada Gambar 1.
Berdasarkan diagram kompartemen pada Gambar 1, model matematika  penyebaran  penyakit  malaria  dapat  disajikan dalam sistem persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑑𝑆𝐻 𝑑𝑡 = Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 𝑆 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 (2.1)
𝑑𝐸𝐻 𝑑𝑡 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 𝑆 𝐻 − (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝐸 𝐻 (2.2)
𝑑𝐼𝐻 𝑑𝑡 = 𝜈 𝐻 𝐸 𝐻 − (𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 )𝐼 𝐻 (2.3)
𝑑𝑅𝐻 𝑑𝑡 = 𝛾 𝐻 𝐼 𝐻 − (𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝑅 𝐻 + 𝑢 2 𝐼 𝐻 (2.4)
𝑑𝑆𝑉 𝑑𝑡 = Π 𝑉 − (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − 𝜇 𝑉 𝑆 𝑉 (2.5)
𝑑𝐸𝑉 𝑑𝑡 = (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 )𝐸 𝑉 (2.6)
𝑑𝐼𝑉 𝑑𝑡 = 𝜈 𝑉 𝐸 𝑉 − (𝜇 𝑉 + 𝑢 1 )𝐼 𝑉 (2.7)
dimana 𝑁 𝐻 (𝑡) = 𝑆 𝐻 (𝑡) +   𝐸 𝐻 (𝑡) + 𝐼 𝐻 (𝑡) +   𝑅 𝐻 (𝑡) dan 𝑁 𝑉 (𝑡) = 𝑆 𝑉 (𝑡) +   𝐸 𝑉 (𝑡) +   𝐼 𝑉 (𝑡)
Adapun notasi serta definisi dari variabel dan masing-masing parameter yang digunakan pada model matematika penyebaran penyakit malaria tertera pada Tabel 1 dan 2:

## III. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

## A.     Analisis Model Penyebaran Penyakit Malaria
Pada analisis model penyebaran penyakir malaria ditentukan titik  kesetimbangan  dan  bilangan  reproduksi  dasar.  Titik kesetimbangan  sistem  dinamis  yang  dinyatakan  oleh  suatu persamaan  differensial  biasa  merupakan  solusi  dari  sistem yang  tidak  berubah  terhadap  waktu.  Misal,  diberikan  suatu persamaan differensial.
𝑥̇(𝑡) = 𝑓(𝑥(𝑡)),          𝑥(𝑡 𝑜 ) = 𝑥 0
Gambar  2.  Grafik  sub-populasi  manusia exposed sebelum  dan  sesudah dikontrol.
Gambar  3.  Grafik  Sub-populasi  manusia infected sebelum  dan  sesudah dikontrol.
Gambar  4.  Grafik  sub-populasi  manusia susceptible sebelum  dan  sesudah dikontrol.
Gambar  5.  Grafik  Sub-populasi  nyamuk susceptible sebelum  dan  sesudah dikontrol.
dengan 𝑥(𝑡) ∈ 𝑅 𝑛 , vektor 𝑥̅ yang memenuhi 𝑓(𝑥̅) = 0 . Definisi 3.1 Titik 𝑥̅ ∈ ℝ 𝑛 disebut titik kesetimbangan dari suatu sistem jika 𝑓(𝑥̅) = 0 [6]
Untuk  titik  kesetimbangan  diperoleh  pada  laju  masing- masing kompartemen samadengan nol. Untuk titik kesetimbangan  bebas  penyakit  sub-populasi  manusia  yang terinfeksi  malaria  samadengan  nol  ( 0  H I )  dan  juga  sub- populasi  nyamuk  yang  terinfeksi  malaria  samadengan  nol ( 0  V I ).  Sehingga,  diperoleh  titik  kesetimbangan  bebas penyakit yaitu
𝐸 0 = (𝑆 0 𝐻 , 𝐸 0 𝐻 , 𝐼 0 𝐻 , 𝑅 0 𝐻 , 𝑆 0 𝑉 , 𝐸 0 𝑉 , 𝐼 0 𝑉 ) = ( Π 𝐻 𝜇 𝐻 , 0,0,0, Π 𝑉 𝜇 𝑉 , 0,0).
Untuk  titik  kesetimbangan  endemik  sub-populasi  manusia yang terinfeksi malaria tidak sama dengan nol ( 0  H I ) dan juga sub-populasi nyamuk yang terinfeksi malaria tidak sama dengan nol ( 0  V I ). Sehingga, diperoleh titik kesetimbangan endemik yaitu
𝐸 = (𝑆 ∗ 𝐻 , 𝐸 ∗ 𝐻 , 𝐼 ∗ 𝐻 , 𝑅 ∗ 𝐻 , 𝑆 ∗ 𝑉 , 𝐸 ∗ 𝑉 , 𝐼 ∗ 𝑉 ) dimana:
𝑆 ∗ 𝐻 = Π 𝐻 (Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 )𝑅 ∗ 𝐻 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝜇 𝐻 𝐼 ∗ 𝑉 − 𝜇 𝐻 Π 𝐻 𝐸 ∗ 𝐻 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝜇 𝐻 𝐼 ∗ 𝑉 Π 𝐻 (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 ) 𝑆 ∗ 𝐻
𝐼 ∗ 𝐻 = 𝜈 𝐻 𝐸 ∗ 𝐻 𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 𝑅 ∗ 𝐻 = (𝛾 𝐻 + 𝑢 2 )𝐼 ∗ 𝐻 𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 𝑆 ∗ 𝑉 = Π 𝑉 2 (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 𝜇 𝐻 (𝛽 𝑉 𝐼 ∗ 𝐻 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 ∗ 𝐻 ) − 𝜇 𝑉 Π 𝐻 𝐸 ∗ 𝑉 = (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 𝜇 𝐻 (𝛽 𝑉 𝐼 ∗ 𝐻 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 ∗ 𝐻 )𝑆 ∗ 𝑉 Π 𝑉 (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 ) 𝐼 ∗ 𝑉 = 𝜈 𝑉 𝐸 ∗ 𝑉 𝜇 𝑉 + 𝑢 1
Untuk  menganalisis  kestabilan  lokal  pada  setiap  titik kesetimbangan perlu dilakukan linierisasi dengan menggunakan  matriks  Jacobian.  Matriks  Jacobian 𝐽(𝑓(𝑥̅)) dapat digunakan untuk mengidentifikasi sifat kestabilan sistem nonlinier  disekitar  titik  setimbang 𝑥̅ dimana  titik  setimbang tersebut disubtitusikan ke dalam persamaan  matriks Jacobian sehingga  diperoleh  nilai-nilai  eigennya (𝜆) dari  persamaan karakteristik det (𝐴 − 𝜆𝐼) = 0 .
Didapatkan matriks Jacobian dari sistem yaitu
𝐽 = ( −𝑎 1 − 𝜇 𝐻 0 0 𝜌 0
𝑎 1 −𝑎 3 0 0 0
0 𝜈 𝐻 −𝑎 3 − 𝑎 4 0 0
0 0 𝑎 4 −𝑎 6 0 0 0 0 −𝑎 7 −𝑎 8 − 𝜇 𝑣 0 0 0 𝑎 7 𝑎 8 0 0 0 0 0
0 −𝑎 2 0 𝑎 2 0 0 0 0
0 −𝑎 9 −𝑎 10 𝑎 9 𝜈 𝑉 −𝑎 11 )
dimana:
𝑎 1 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 𝑎 7 = (1−𝑢1)𝜎𝑉𝛽𝑉𝐻𝑆𝐻 𝑁𝐻
𝑎 2 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝑆𝐻 𝑁𝐻
𝑎 8 = (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑎 3 = 𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 𝑎 9 = (1−𝑢1)𝜎𝑉𝛽𝑉𝑆𝐻 𝑁𝐻
𝑎 4 = 𝛾 𝐻 + 𝑢 2 𝑎 10 = 𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 𝑎 5 = 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 𝑎 11 = 𝜇 𝑉 + 𝑢 1
𝑎 6 = 𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻
Seperti langkah pada analisis kestabilan titik setimbang non endemik,  dengan  mengevaluasi  nilai  titik  setimbang 𝐸 0 sehingga  diperoleh  persamaan  karakteristik  titik  setimbang endemik malaria:
(𝜆 + 𝜇 𝐻 )(𝜆 + 𝑏 1 )(𝜆 + 𝑏 2 + 𝑏 3 )(𝜆 + 𝑏 4 )(𝜆 + 𝜇 𝑉 ) (𝜆 + 𝑏 5 ) (𝜆 + 𝑏 6 ) = 0
Didapatkan beberapa nilai eigen, antara lain: 𝜆 1 = −𝜇 𝐻 𝜆 2 = −𝑏 1 = −(𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 ) 𝜆 3 = −𝑏 2 − 𝑏 3 = −(𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 ) 𝜆 4 = −𝑏 4 = −(𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 ) 𝜆 5 = −𝜇 𝑉 𝜆 6 = −𝑏 5 = −(𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 ) 𝜆 7 = −𝑏 6 = −(𝜇 𝑉 + 𝑢 1 )
Dari persamaan karakteristik diatas tersebut terlihat bahwa nilai  eigen 𝜆 1 , 𝜆 2 , 𝜆 3 , 𝜆 4 , 𝜆 5 , 𝜆 6 , 𝜆 7 < 0 ,  dan  karena  semua parameter bernilai positif maka titik setimbang bebas penyakit (non endemik) dapat dikatakan stabil.
Seperti langkah pada analisis kestabilan titik setimbang non endemik,  dengan  mengevaluasi  nilai  titik  setimbang 𝐸 sehingga  diperoleh  persamaan  karakteristik  titik  setimbang endemik malaria 𝜆 7 + 𝑃 1 𝜆 6 + 𝑃 2 𝜆 5 + 𝑃 3 𝜆 4 + 𝑃 4 𝜆 3 + 𝑃 5 𝜆 2 + 𝑃 6 𝜆 + 𝑃 7 = 0 Berdasarkan  kriteria  Routh-Hurwitz,  Persamaan  ini  akan memiliki akar-akar yang negatif jika dan hanya jika ↔ 𝑃 1 , 𝑃 2 , 𝑃 3 , 𝑃 4 , 𝑃 5 , 𝑃 6 , 𝑃 7 > 0 ↔ (𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 3 )𝑃 3 > 𝑃 1 (𝑃 1 𝑃 4 − 𝑃 5 ) ↔ ( 𝑃 1 𝑃 4 − 𝑃 5 𝑃 1 ) > ( 𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 3 𝑃 1 ) ( (𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 3 )𝑃 5 − 𝑃 1 (𝑃 1 𝑃 6 − 𝑃 7 ) (𝑃 1 𝑃 2 − 𝑃 3 )𝑃 3 − 𝑃 1 (𝑃 1 𝑃 4 − 𝑃 5 ) )

## B.     Kontrol Optimal dengan Prinsip Maksimum Pontryagin
Dalam menyelesaikan permasalahan kontrol optimal, salah satu metode yang dapat digunakan adalah prinsip maksimum Pontryagin.  Prinsip  maksimum  pontryagin  merupakan  suatu kondisi sehingga dapat diperoleh penyelesaian kontrol optimal
yang  sesuai  dengan  tujuan  (memaksimalkan  indeks performansi) [7].
Pada  masalah  kontrol  optimal  model  penyebaran  penyakit malaria,  tujuan  yang  akan  dicapai  adalah  meminimumkan penyebaran  penyakit  malaria  dengan  diberikan  tindakan kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) .  Kontrol 𝑢 1 (𝑡) yaitu  kontrol  kontrol terhadap penyemprotan
insektisida untuk dapat
meminimumkan jumlah populasi nyamuk. Dan kontrol 𝑢 2 (𝑡) yaitu kontrol untuk pengobatan individu yang sudah terinfeksi.
Penyelesaian kontrol optimal model penyebaran penyakit malaria  menggunakan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  dan fungsi objektif untuk model diberikan:
𝐽(𝑢 1 , 𝑢 2 ) = 𝑚𝑖𝑛 ∫ (𝐼 𝐻 (𝑡) + 𝐼 𝑣 (𝑡) + ( 𝐶1𝑢12 2 + 𝑡𝑓 𝑡0
𝐶2𝑢22 2 )) 𝑑𝑡
dengan kendala:
0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡 𝑓 0 ≤ 𝑢 1 ≤ 1 0 ≤ 𝑢 2 ≤ 1 dimana:
𝐶 1 ∶ bobot pada kontrol penyemprotan insektisida 𝐶 2 ∶ bobot pada kontrol pengobatan individu terinfeksi Untuk menyelesaikan kontrol optimal, Langkah langkah penyelesaian:
1. Bentuk fungsi Hamiltonian
𝐻 = 𝐼 𝐻 (𝑡) + 𝐼 𝑣 (𝑡) + ( 𝐶 1 𝑢 1 2 2 + 𝐶 2 𝑢 2 2 2 ) + 𝜆 𝑆𝐻 (Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 𝑆 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 ) + 𝜆 𝐸𝐻 (𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 𝑆 𝐻 − (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝐸 𝐻 ) + 𝜆 𝐼𝐻 (𝜈 𝐻 𝐸 𝐻 − (𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 )𝐼 𝐻 ) + 𝜆 𝑅𝐻 ((𝛾 𝐻 +𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝑅 𝐻 ) + 𝜆 𝑆𝑉 (Π 𝑉 − (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽 𝑉 𝐼 𝑉 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 𝐻 𝑁 𝐻 ) 𝑆 𝑉 − 𝜇 𝑉 𝑆 𝑉 + 𝜆 𝐸𝑉 (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽 𝑉 𝐼 𝑉 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 𝐻 𝑁 𝐻 ) 𝑆 𝑉 − (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 )𝐸 𝑉 +
𝜆 𝐼𝑉 (𝜈 𝑉 𝐸 𝑉 − (𝜇 𝑉 + 𝑢 2 )𝐼 𝑉 ) (3.1)
2. Menentukan kondisi stasioner dari persamaan (3.1) untuk mendapatkan persamaan kontrol optimal. Persamaan (3.1) diturunkan terhadap 𝑢 1 dan 𝑢 2 , sehingga diperoleh
a. 𝜕𝐻 𝜕𝑢1 = 0 𝐶 1 𝑢 1 ∗ + (𝜆 𝐸𝑉 − 𝜆 𝑆𝑉 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 + 𝜆 𝐼𝐻 𝐼 𝑉 =
0 𝐶 1 𝑢 1 ∗ = (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐸𝑉 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 + 𝜆 𝐼𝐻 𝐼 𝑉 𝑢 1 ∗ = (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐸𝑉 )𝜎 𝑉 ( 𝛽 𝑉 𝐼 𝑉 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 𝐻 𝑁 𝐻 ) 𝑆 𝑉 + 𝜆 𝐼𝐻 𝐼 𝑉 𝐶 1 (3.2)
Karena batasan nilai 𝑢 1 adalah 0 < 𝑢 1 < 1 , maka diperoleh beberapa kemungkinan hasil yang di dapat yaitu
𝑢 1 = { 𝑢 1 ∗ ,                  𝑗𝑖𝑘𝑎      0 < 𝑢 1 ∗ < 1
0,                     𝑗𝑖𝑘𝑎               𝑢 1 ∗ ≤ 0 1,                  𝑗𝑖𝑘𝑎            𝑢 1 ∗ ≥ 1
Dari beberapa kemungkinan diatas, maka pengontrol yang optimal adalah 𝑢 1 = max {𝑚𝑖𝑛 ( (𝜆𝑆𝑉−𝜆𝐸𝑉)𝜎𝑉( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 )𝑆𝑉   +𝜆𝐼𝐻𝐼𝑉 𝐶1
, 1) , 0}
b. 𝜕𝐻 𝜕𝑢2 = 0 𝐶 2 𝑢 2 ∗ + (𝜆 𝐼𝐻 − 𝜆 𝑆𝑉 )𝐼 𝐻 = 0 𝐶 2 𝑢 2 ∗ = (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐼𝐻 )𝐼 𝐻 𝑢 2 ∗ = (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐼𝐻 )𝐼 𝐻 𝐶 2 (3.3)
Karena batasan nilai 𝑢 2 adalah 0 < 𝑢 2 < 1 , maka diperoleh beberapa kemungkinan hasil yang di dapat yaitu
𝑢 2 = { 𝑢 2 ∗ ,                  𝑗𝑖𝑘𝑎      0 < 𝑢 2 ∗ < 1
0,                     𝑗𝑖𝑘𝑎               𝑢 2 ∗ ≤ 0

## 1,                  𝑗𝑖𝑘𝑎            𝑢
2 ∗ ≥ 1 Dari beberapa kemungkinan diatas, maka pengontrol yang optimal adalah
𝑢 2 = max {𝑚𝑖𝑛 ( (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐼𝐻 )𝐼 𝐻 𝐶 2 , 1) , 0}
3. Menentukan 𝐻 ∗ yang optimal Dengan mensubtitusikan persamaan (3.2) dan (3.3) ke dalam persamaan (3.1) sehingga diperoleh:
𝐻 ∗ = 𝐼 𝐻 (𝑡) + 𝐼 𝑣 (𝑡) + ( (𝜆𝑆𝑉−𝜆𝐸𝑉)𝜎𝑉( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻
𝑁𝐻 )𝑆𝑉
𝐶1 +
(𝜆𝑆𝑉−𝜆𝐼𝐻)𝐼𝐻 +𝜆𝐼𝐻𝐼𝑉 𝐶2 ) + 𝜆 𝑆𝐻 (Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 𝑆 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 ) + 𝜆 𝐸𝐻 (𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 𝑆 𝐻 − (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝐸 𝐻 ) + 𝜆 𝐼𝐻 (𝜈 𝐻 𝐸 𝐻 − (𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 )𝐼 𝐻 ) + 𝜆 𝑅𝐻 (𝛾 𝐻 𝐼 𝐻 − (𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝑅 𝐻 ) + 𝜆 𝑆𝑉 (Π 𝑉 − 𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − 𝜇 𝑉 𝑆 𝑉 + 𝜆 𝐸𝑉 𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝑉+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻
𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 )𝐸 𝑉 𝜆 𝐼𝑉 (𝜈 𝑉 𝐸 𝑉 − (𝜇 𝑉 )𝐼 𝑉 (4.5.4)
4. Menyelesaikan  persamaan  state  dan  costate  untuk memperoleh sistem yang optimal
a. Persamaan State 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝑆𝐻 = Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 𝑅 𝐻 − 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 𝑆 𝐻 − 𝜇 𝐻 𝑆 𝐻 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝐸𝐻 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼 𝑉 𝑁 𝐻 𝑆 𝐻 − (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝐸 𝐻 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝐼𝐻 = 𝜈 𝐻 𝐸 𝐻 − (𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 )𝐼 𝐻
𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝑅𝐻 = (𝛾 𝐻 +𝑢 2 )𝐼 𝐻 − (𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 )𝑅 𝐻 𝜕𝐻∗ 𝜕𝜆𝑆𝑉 = Π 𝑉 − (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − 𝜇 𝑉 𝑆 𝑉 𝜕𝐻∗ 𝜕𝜆𝐸𝑉 = (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) 𝑆 𝑉 − (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 )𝐸 𝑉 + 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝜆 𝐼𝑉 = 𝜈 𝑉 𝐸 𝑉 − (𝜇 𝑉 + 𝑢 2 )𝐼 𝑉
b. Persamaan costate 𝜕𝜆 𝑆𝐻 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑆 𝐻 = ( 𝜆 𝑆𝐻 − 𝜆 𝐸𝐻 ) 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝐼𝑉 𝑁𝐻 + 𝜆 𝑆𝐻 𝜇 𝐻 𝜕𝜆 𝐸𝐻 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐸 𝐻 = ( 𝜆 𝐸𝐻 − 𝜆 𝐼𝐻 ) 𝜈 𝐻 + 𝜆 𝐸𝐻 𝜇 𝐻 𝜕𝜆 𝐼𝐻 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐼 𝐻 = −1 + ( 𝜆 𝐼𝐻 − 𝜆 𝑅𝐻 ) 𝛾 𝐻 + 𝜆 𝐼𝐻 (𝜇 ℎ + 𝛿 𝐻 ) 𝜕𝜆 𝑅𝐻 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑅 𝐻 = ( 𝜆 𝑅𝐻 − 𝜆 𝑆𝐻 ) 𝜌 𝐻 + (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐸𝑉 ) 𝛽𝑉𝐻 𝑁𝐻 𝑆 𝑣 + 𝜆 𝑅𝐻 𝜇 𝐻 𝜕𝜆 𝑆𝑉 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝑆 𝑉 = ( 𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐸𝑉 ) 𝜎 𝑉 ( 𝛽𝑉𝐼𝐻+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 ) + 𝜆 𝑆𝑉 𝜇 𝑉 𝜕𝜆 𝐸𝑉 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐸 𝑉 = ( 𝜆 𝐸𝑉 − 𝜆 𝐼𝑉 ) 𝜈 𝑉 ∓ 𝜇 𝑉 𝜕𝜆 𝐼𝑉 𝜕𝑡 = − 𝜕𝐻 ∗ 𝜕𝐼 𝑉 = ( 𝜆 𝑆𝐻 − 𝜆 𝐸𝐻 ) 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝑆𝐻 𝑁𝐻 + (𝜆 𝑆𝑉 − 𝜆 𝐸𝑉 ) 𝛽𝐻 𝑁𝐻 𝑆 𝑣 +
𝜆 𝐼𝑉 𝜇 𝑉

## C.     Analisis Hasil Simulasi
Penyelesaian  kontrol  optimal  sulit  diselesaikan  secara analitik  sehingga  pada  penyelesaian  kontrol  optimal  ini diselesaikan  secara  numerik.  Hal  ini  dilakukan  dengan mensimulasikan  permasalahan  kontrol  optimal  menggunakan metode Range-Kutta Orde 4 dengan nilai awal dan parameter seperti pada Tabel 1 dan Tabel 2.
Dengan  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) yaitu  kontrol  terhadap penyemprotan insektisida untuk dapat meminimumkan jumlah populasi  nyamuk,  dan  kontrol 𝑢 2 (𝑡) yaitu  kontrol  untuk pengobatan  individu  yang  sudah  terinfeksi,  didapatkan  hasil simulasi yang dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar  2  menunjukan  perbedaan  jumlah  sub-populasi manusia Exposed sebelum  dan  sesudah  dikontrol.  Sub-po pulasi  manusia Exposed sebelum  di  kontrol  dengan  kondisi awal 𝐸 𝐻 (0)   =  200 , seiring waktu populasi manusia Exposed menurun,  kemudian  stabil  dari  waktu  45  dengan  jumlah manusia  manusia Exposed 30  orang.  Hal  ini,  disebabkan karena  populasi Exposed berubah  menjadi  poulasi Infected. Sedangkan,  ketika  sub-populasi  manusia Exposed tersebut
diberikan  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) terjadi  penurunan  secara cepat  sampai  waktu  ke  20  dengan  jumlah  populasi  manusia Exposed 20  orang,  kemudian  menaik  sampai  waktu  ke  44 dengan  jumlah  populasi  manusia Exposed 24  orang  dan kemudian  grafik  menunjukan  penurunan  secara  berangsur sampai  waktu ke 100 jumlah  populasi Exposed 19 orang. Ini berarti  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) efektif  dalam mengurangi jumlah sub-populasi manusia yang telah terinfeksi penyakit  malaria  namun  gejala  yang  ditimbulkan  belum tampak.
Gambar  3  menunjukan  perbedaan  jumlah  sub-populasi manusia Infected sebelum dan sesudah dikontrol. Sub-populasi manusia Infected sebelum  di  kontrol  dengan  kondisi  awal 𝐼 𝐻 (0)   =  10 meningkat pada saat kurang lebih 10 hari akibat terinfeksi  malaria  sehingga jumlah  manusia Infected menjadi 178  orang,  kemudian  menurun  sampai  hari  ke-100  sehingga jumlah  manusia Infected tersebut  menjadi  114  orang. Sedangkan,  ketika  sub-populasi  manusia Infected tersebut diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) terjadi kenaikan juga smapai waktu ke 10 dengan jumlah populasi Infected 137 orang yang lebih kecil dari populasi manusia Infected. Namun setelah itu populasi  manusia Infected mengalami  penurunan  secara berangsur  sampai  waktu  ke  100  dengan  jumlah  populasi manusia Infected yaitu 84 orang, yang mana populasi manusia Infected lebih  sedikit  dari  sebelum  dikontrol.  Ini  berarti pemberian kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) efektif dalam mengurangi jumlah  sub-populasi  manusia  yang  telah  terinfeksi  penyakit malaria.
Gambar  4    menunjukan  perbedaan  jumlah  sub-populasi manusia Susceptible sebelum  dan  sesudah  dikontrol.  Sub- populasi  nyamuk Susceptible sebelum  di  kontrol  dengan kondisi  awal 𝑆 𝐻 (0)   =  600 menurun  pada  saat  kurang  lebih selama  4  hari  akibat  terjangkit  penyakit  malaria  sehingga jumlah  nyamuk Susceptible menjadi  560  dan  kemudian meningkat  sampai  hari  ke-100  hingga  jumlah  nyamuk Susceptible menjadi  675.  Sedangkan,  ketika  sub-populasi manusia Susceptible tersebut diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) terjadi  kenaikan  lebih  cepat  sampai  jumlah  manusia Susceptible menjadi  1002  orang..  Jadi,  jumlah  sub-populasi nyamuk Susceptible tersebut bertambah dengan pesat daripada tanpa  adanya  pengontrolan.  Ini  berarti  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) efektif  dalam  memaksimalkan  jumlah  sub-
populasi manusia sehat atau rentan dalam penyebaran penyakit malaria.
Gambar  5  menunjukan  perbedaan  jumlah  sub-populasi nyamuk Susceptible .  Sub-populasi  nyamuk Susceptible sebelum  di  kontrol  dengan  kondisi  awal 𝑆 𝑉 (0)   = 7050 menurun  sampai  waktu  ke  46  hari  dengan  populasi  nyamuk Susceptible sebanyak  6616  ekor  dan  kemudian  mengalami peningkatan  sampai  waktu  ke  100  dengan  jumlah  populasi nyamuk Susceptible sebanyak  6640  ekor,  ini  terjadi  karena nyamuk  terinfeksi  parasite Plasmodium Sedangkan,  ketika sub-populasi nyamuk Infected tersebut diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) terjadi  menurun  sampai  waktu  ke  30  hari  dengan populasi  nyamuk Susceptible sebanyak  6790  ekor  dan kemudian  mengalami  peningkatan  sampai  waktu  ke  100 dengan  jumlah  populasi  nyamuk Susceptible sebanyak  6866 ekor.  Ini  berarti  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) efektif dalam  memaksimalkan  jumlah  sub-populasi  nyamuk  sehat atau rentan dalam penyebaran penyakit malaria.
Gambar  6  menunjukan  perbedaan  jumlah  sub-populasi nyamuk Infected .  Sub-populasi  nyamuk Infected sebelum  di kontrol dengan kondisi awal 𝐼 𝑉 (0) = 15 mengalami kenaikan sampai  waktu  kurang  lebih  ke  38  dengan  jumlah  populasi nyamuk Infected sebanyak  348  ekor,  dan  setelahnya mengalami  kenaikan  sampai  waktu  ke  100  dengan  jumlah populasi Infected sebanyak 327 ekor. Sedangkan, ketika sub- populasi nyamuk Exposed tersebut diberikan kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) terjadi  kenaikan  sampai  waktu  kurang  lebih  ke  31 dengan jumlah populasi nyamuk Infected sebanyak 274 ekor, dan  setelahnya  mengalami  penurunan  secara  drastis  sampai waktu ke 100 dengan jumlah populasi Infected sebanyak 197 ekor, yang mana jumlah ini lebih sedikit dari populasi nyamuk Infected tanpa  adanya  kontrol.  Ini  berarti  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) efektif  dalam  memaksimalkan  jumlah  sub- populasi  nyamuk  yang  telah  terinfeksi  parasit  plasmodium namun gejala yang ditimbulkan belum tampak.
Dari  hasil  simulasi,  didapatkan  nilai  fungsi  objektif  ( J ) dengan dan tanpa kontrol adalah sebagai berikut
Simulasi Hasil Fungsi Objektif Simulasi tanpa kontrol 10.9144 Simulasi dengan kontrol 1.5556
Dari hasil perhitungan fungsi objektif dapat diamati bahwa simulasi  dengan  kontrol  memiliki  nilai  fungsi  objektif  yang lebih  kecil  dibandingkan  dengan  simulasi  tanpa  kontrol.  Ini berarti pemberian kontrol yang dilakukan dapat meminimumkan  fungsi  objektif  dimana  dalam  hal  ini  fungsi objektif  yang  dimaksudkan  adalah  biaya  yang  dikeluarkan. Jika nilai fungsi objektif rendah, maka biaya yang dikeluarkan juga  rendah,  begitu  juga  sebaliknya.  Jadi,  dengan  adanya pemberian  kontrol,  selain  dapat  meminimumkan  penyebaran penyakit  malaria,  pengeluaran  biaya  yang  dibutuhkan  juga dapat diminimumkan.

## IV. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah dibahas pada  bab  sebelumnya,  maka  diperoleh  kesimpulan  sebagai berikut:
1.  Sistem  dinamik  pada  model  penyebaran  penyakit  malaria diperoleh 2 titik kesetimbangan yaitu:
Gambar  6.  Grafik  sub-populasi  nyamuk infected sebelum  dan  sesudah dikontrol.
a. Titik setimbang non endemik 𝐸 0 = ( Π𝐻 𝜇𝐻 , 0,0,0, Π𝑉 𝜇𝑉 , 0,0)
b. Titik setimbang endemik 𝐸 = (𝑆 ∗ 𝐻 , 𝐸 ∗ 𝐻 , 𝐼 ∗ 𝐻 , 𝑅 ∗ 𝐻 , 𝑆 ∗ 𝑉 , 𝐸 ∗ 𝑉 , 𝐼 ∗ 𝑉 ) dengan:
𝑆 ∗ 𝐻 = Π 𝐻 (Π 𝐻 + 𝜌 𝐻 )𝑅 ∗ 𝐻 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝜇 𝐻 𝐼 ∗ 𝑉 − 𝜇 𝐻 Π 𝐻 𝐸 ∗ 𝐻 = 𝜎 𝑉 𝛽 𝐻 𝜇 𝐻 𝐼 ∗ 𝑉 Π 𝐻 (𝜈 𝐻 + 𝜇 𝐻 ) 𝑆 ∗ 𝐻 𝐼 ∗ 𝐻 = 𝜈 𝐻 𝐸 ∗ 𝐻 𝛾 𝐻 + 𝜇 𝐻 + 𝛿 𝐻 + 𝑢 2 𝑅 ∗ 𝐻 = (𝛾 𝐻 + 𝑢 2 )𝐼 ∗ 𝐻 𝜌 𝐻 + 𝜇 𝐻 𝑆 ∗ 𝑉 = Π 𝑉 2 (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 𝜇 𝐻 (𝛽 𝑉 𝐼 ∗ 𝐻 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 ∗ 𝐻 ) − 𝜇 𝑉 Π 𝐻 𝐸 ∗ 𝑉 = (1 − 𝑢 1 )𝜎 𝑉 𝜇 𝐻 (𝛽 𝑉 𝐼 ∗ 𝐻 + 𝛽 𝑉𝐻 𝑅 ∗ 𝐻 )𝑆 ∗ 𝑉 Π 𝑉 (𝜈 𝑉 + 𝜇 𝑉 ) 𝐼 ∗ 𝑉 = 𝜈 𝑉 𝐸 ∗ 𝑉 𝜇 𝑉 + 𝑢 1 2. Kendali optimal yang diperoleh pada upaya pemaksimalan atau  peningkatan  individu  manusia  yang  sehat  namun  rentan dengan  menerapkan  Prinsip  Maksimum  Pontryagin  didapat pengendali  berupa  pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) yaitu  kontrol terhadap penyemprotan insektisida untuk dapat meminimumkan  jumlah  populasi  nyamuk,  jika  nilai 𝑢 1 (𝑡) = (𝜆𝑆𝑉−𝜆𝐸𝑉)𝜎𝑉( 𝛽𝑉𝐼𝐻𝑠+𝛽𝑉𝐻𝑅𝐻 𝑁𝐻 )𝑆𝑉 𝐶1 , dan kontrol 𝑢 2 (𝑡) yaitu kontrol
untuk pengobatan individu yang sudah terinfeksi, jika 𝑢 2 (𝑡) = (𝜆𝑆𝑉−𝜆𝐼𝐻)𝐼𝐻 +𝜆𝐼𝐻𝐼𝑉 𝐶2 .
3.  Dengan  pemberian  kontrol  kontrol  penyemprotan insektisida  dan  kontrol  pengobatan  individu  terinfeksi, didapatkan  dinamika  jumlah  sub-populasi  manusia  yang terinfeksi  malaria  dan  jumlah  populasi  nyamuk  terinfeksi parasit Plasmodium juga  menurun  dibandingkan  dengan sebelum  diberikan  kontrol.  Selain  itu  juga,  didapatkan  nilai fungsi  objektif  dengan  adanya  kontrol  yang  lebih  kecil dibandingkan  dengan  nilai  fungsi  objektif  tanpa  adanya kontrol.  Ini  berarti  dengan  adanya  pemberian  kontrol,  selain dapat meminimumkan penyebaran penyakit malaria, pengeluaran biaya yang dibutuhkan juga dapat diminimumkan.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] J. Tumwiine, J. Y. T. Mugisha, and L. S. Luboobi, “A mathematical model  for  the  dynamics  of  malaria  in  a  human  host  and  mosquito vector with temporary immunity,” Appl. Math. Comput. , vol. 189, no. 2, pp. 1953–1965, Jun. 2007.
[2] WHO (World Health Organization), “World Malaria Report 2011,” 2011.
[3] L.  Hakim,  “Malaria:  Epidemiologi  dan  Diagnosis  Malaria: Epidemiology and Diagnostic.”
[4] P.  Roop-O,  W.  Chinviriyasit,  and  S.  Chinviriyasit,  “The  effect  of incidence  function  in  backward  bifurcation  for  malaria  model  with temporary immunity,” Math. Biosci. , vol. 265, pp. 47–64, Jul. 2015.
[5]
A. A. Momoh and A. Fügenschuh, “Optimal control of intervention strategies  and  cost  effectiveness  analysis  for  a  Zika  virus  model,” Oper. Res. Heal. Care , vol. 18, pp. 99–111, Sep. 2018.
[6] L.  Perko,  “Differential  Equations  and  Dynamical  Systems,”  USA, 2001.
[7] D. S. Naidu, Optimal Control Systems . USA: CRC Press LLC, 2002.