Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 11 No. 1, Juni 2019, hal. 21-32 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422

## KAJIAN METODE ORDINARY LEAST SQUARE DAN ROBUST
ESTIMASI M PADA MODEL REGRESI LINIER SEDERHANA YANG

## MEMUAT OUTLIER

## Zahrotul Aflakhah
Universitas Jenderal Soedirman Email : aflakhahzahrotul@gmail.com
Jajang
Universitas Jenderal Soedirman Email : rzjajang@yahoo.com
Agustini Tripena Br. Sb.
Universitas Jenderal Soedirman Email : tripena1960@yahoo.co.id
ABSTRACT. This research discusses about the Ordinary Least Squares (OLS) method and  robust  M-estimation  method;  compare  between  the  Tukey  bisquare  and  Huber weighting from simple linier regression models that contain outliers. Data are generated through simulation with the  percentages of outliers and sample sizes. Each data will be formed  into  a  simple  linier  regression  model,  then  the  percentage  of  outliers,  RSE  and MAD values are calculated. The results show that RSE and MAD values produced by a simple linear regression model with the OLS method are influenced by the percentage of outliers. However, the regression model of robust M-estimation with sample size 30, 60, 90,  120,  and  150  results  an  unstable  RSE  values  with  the  change  of  the  percentage  of outlier and the MAD values that are not affected by the percentage of outliers and sample size.  The  robust  M-estimation  method  with  Tukey  Bisquare  weighting  is  as  good  as  the Huber weighting.
Keywords :  MAD,  OLS  model,  outlier,  robust  regression  M-estimation  method, RSE.
ABSTRAK. Penelitian  ini  mengkaji  metode  OLS  dan robust estimasi  M  serta membandingkan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  dari  model  regresi  linier sederhana  yang  memuat outlier .  Data  dibangkitkan  melalui  simulasi  dengan  persentase besarnya outlier dan ukuran sampel yang berbeda-beda. Masing-masing dari data tersebut dibentuk  model  regresi  linier  sederhana  dan  dihitung  besarnya  persentase  outlier,  nilai RSE dan MAD.  Hasil penelitian menyatakan bahwa nilai RSE dan MAD yang dihasilkan oleh  model  regresi  linier  sederhana  dengan  metode  OLS  dipengaruhi  oleh  persentase besarnya outlier . Namun, nilai RSE yang dihasilkan oleh model regresi robust estimasi M untuk  ukuran  sampel  30,  60,  90,  120,  dan  150  cenderung  fluktuatif  seiring  dengan perubahan  besarnya  persentase outlier .  Sementara  itu,  nilai  MAD  yang  dihasilkan  oleh model  regresi robust estimasi  M  tidak  dipengaruhi  oleh  besarnya  persentase outlier
maupun  ukuran  sampel.  Metode robust estimasi  M  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey hampir sama baiknya dengan metode robust estimasi M dengan fungsi pembobot Huber.
Kata Kunci : MAD, metode OLS, outlier , regresi robust estimasi M, RSE .

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  regresi  merupakan  metode  yang  digunakan  untuk  menentukan hubungan antara satu variabel terikat dengan satu atau lebih variabel bebas. Salah satu  metode  yang  digunakan  untuk  mengestimasi  parameter  model  regresi  yaitu metode  kuadrat  terkecil  atau ordinary  least  square (OLS).  Penggunaan  metode OLS  memerlukan  beberapa  asumsi  klasik  yang  harus  dipenuhi.  Apabila  asumsi klasik  tersebut  tidak  terpenuhi,  maka  estimator  yang  dihasilkan  bersifat  bias  dan interpretasi hasil yang diberikan pun menjadi tidak valid.
Salah  satu  penyebab  tidak  terpenuhinya  asumsi  klasik  pada  metode  OLS yaitu  adanya  pencilan  atau outlier . Outlier merupakan  suatu  keganjilan  dan menandakan  suatu  titik  data  yang  berbeda  dibandingkan  dengan  data  lainnya (Draper  dan  Smith,1992:  146).  Keberadaan outlier dapat  mempengaruhi  proses analisis data, seperti rata-rata maupun simpangan baku. Meskipun demikian, data outlier tidak dapat dibuang begitu saja karena akan mempengaruhi model regresi serta  menghasilkan  estimasi  parameter  yang  kurang  tepat.  Untuk  menyelesaikan masalah tersebut, diperlukan adanya metode yang bersifat robust (kekar) sehingga saat  terjadi  perubahan  kecil  dalam  data  tidak  akan  mempengaruhi  nilai estimasinya.
Metode robust pertama kali diperkenalkan oleh Andrews pada tahun 1972.
Metode robust merupakan  metode  regresi  yang  digunakan  ketika  distribusi  dari residual tidak normal atau adanya beberapa outlier yang berpengaruh pada model (Ryan,  1997:    150).  Menurut  Chen  (2002:  1),  model robust memiliki  empat metode  estimasi  parameter,  diantaranya  estimasi  M,  estimasi  S,  estimasi  LMS, dan estimasi MM. Metode estimasi M merupakan salah satu metode robust yang paling  populer  dan  mudah  dalam  pengaplikasiannya.  Tak  hanya  itu,  metode estimasi M juga memiliki efisiensi yang tinggi.
Kajian Metode Ordinary Least Square
Pada  penelitian  sebelumnya,  Maulana  (2016)  mengkaji  tentang  regresi robust estimasi  M  menggunakan  fungsi  pembobot  Huber  dan Bisquare Tukey pada  regresi  linier  berganda.  Namun,  penelitian  tersebut  belum  mengkaji mengenai  metode  OLS  dan robust estimasi  M  menggunakan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey dan Huber pada model regresi linier yang memuat variasi outlier . Oleh  sebab  itu,  pada  penelitian  ini  penulis  tertarik  untuk  mengkaji  metode  OLS dan robust estimasi M menggunakan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber pada model regresi linier sederhana yang memuat variasi outlier .
Adapun  tujuan  yang  ingin  dicapai  dalam  penelitian  ini  yaitu  menjelaskan pengaruh besarnya  persentase outlier dan ukuran sampel terhadap nilai RSE dan MAD model regresi linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi M dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  serta  membandingkan metode robust estimasi M dengan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber.

## 2. METODE PENELITIAN
Adapun tahapan-tahapan  yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai berikut.
1. Membangkitkan  data  menggunakan software R  dengan  ukuran  sampel 30,60,90,120, dan 150 serta besarnya persentase outlier 6-10%, 11-15%, 16- 20%,  dan  21-25%.  Adapun  langkah-langkah  untuk  membangkitkan  data adalah sebagai berikut:
a. Mendeklarasikan besarnya ukuran sampel dan proporsi awal outlier yang dibangkitkan dalam sampel;
b. Membangkitkan error yang memuat outlier ;
c. Mendeklarasikan nilai 0 1 ,   ;
d. Membangkitkan variabel dan X Y ;
e. Mengestimasi  parameter  model  regresi  linier  sederhana  menggunakan metode OLS;
f. Menghitung nilai  RSE dan MAD model regresi  linier sederhana dengan metode OLS;
g. Mengidentifikasi outlier dengan metode boxplot. Pada penelitian ini data yang merupakan outlier yaitu nilai-nilai yang kurang dari   1 3 1 1,5 Q Q Q   dan lebih dari   3 3 1 1,5 Q Q Q   ;
h. Mengestimasi parameter model regresi robust estimasi M dengan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber;
i. Menghitung nilai RSE dan MAD masing-masing model.
2. Membangkitkan data sebanyak 500 kali untuk masing-masing ukuran sampel dan  besarnya  persentase outlier menghasilkan  rata-rata  nilai  RSE  dan  MAD metode OLS dan robust estimasi M menggunakan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber.
3. Menganalisis nilai RSE dan MAD dari model regresi linier sederhana dengan metode  OLS  dan robust estimasi  M  untuk  persentase  besarnya outlier yang berbeda.
4. Menganalisis nilai RSE dan MAD dari model regresi linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi M untuk ukuran sampel yang berbeda.
5. Menganalisis nilai RSE yang dihasilkan dari model regresi robust estimasi M dengan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber.
3. HASIL DAN PEMBAHASAN (ATAU JUDUL LAIN YANG SESUAI)
Penelitian  ini  membahas  mengenai  pengaruh  persentase  besarnya outlier terhadap nilai RSE dan MAD model regresi linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi M, pengaruh besarnya ukuran sampel terhadap nilai RSE dan MAD model regresi linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi M, serta  perbandingan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  pada  model regresi robust Estimasi M.
3.1      Pengaruh  Persentase  Besarnya Outlier terhadap  Nilai  RSE  dan  MAD
Model  Regresi  Linier  Sederhana  dengan  Metode  OLS  dan Robust Estimasi M
Data hasil bangkitan software R dengan ukuran sampel 30, 60, 90, 120, dan 150  serta  besarnya outlier yang  berbeda-beda  akan  menghasilkan  model  regresi
Kajian Metode Ordinary Least Square
linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi M dengan nilai RSE dan MAD  yang  berbeda  pula.  Rata-rata  nilai  RSE  dan  MAD  model  regresi  linier sederhana  dengan  metode  OLS  dan robust estimasi  M  untuk  ukuran  sampel  30, 60, 90, 120, dan 150 serta besarnya outlier dari 6% hingga 25% setelah dilakukan simulasi  sebanyak  500  kali  ditunjukkan  pada  tabel  berikut  ini.  Dalam  hal  ini, fungsi  pembobot  yang  digunakan  pada  metode robust estimasi  M  yaitu  fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber.
Tabel  3.1 Rata-rata  Nilai  RSE  dan  MAD  dari  Berbagai  Persentase  Besarnya Outlier untuk 30 n  Persentase Outlier (%) OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 6-10 81,03967  21,99050  12,43572  8,36495  13,29583  8,82893 11-15 84,41002  17,27366  12,71542  8,59350  13,31866  8,81255 16-20 90,03780  13,08412  12,66265  8,57097  12,97101  8,67741 21-25 86,85008 8,03701 10,83937  7,27252  10,80487  7,20970 Tabel  3.2 Rata-rata  Nilai  RSE  dan  MAD  dari  Berbagai  Persentase  Besarnya Outlier untuk 60 n  Persentase Outlier
(%) OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 6-10 82,98336  21,12680  12,57463  8,45955  12,97536  8,71716 11-15 85,54634  14,66243  12,78893  8,63522  13,03056  8,71524 16-20 90,13810  11,23843  12,69518  8,61330  12,91745  8,63316 21-25 91,62435 7,91532 11,11776  7,54070  11,18155  7,52355 Tabel  3.3 Rata-rata  Nilai  RSE  dan  MAD  dari  Berbagai  Persentase  Besarnya Outlier untuk 90 n  Persentase Outlier (%) OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 6-10 83,79426  21,13207  12,65618  8,56030  13,07959  8,82937 11-15 85,34796  14,27493  12,80051  8,64982  12,98994  8,70891 16-20 90,33013  10,81080  12,76038  8,62351  12,88612  8,64259 21-25 93,34083 7,96294 11,47589  7,74031  11,46563  7,73615 Tabel  3.4 Rata-rata  Nilai  RSE  dan  MAD  dari  Berbagai  Persentase  Besarnya Outlier untuk 120 n  Persentase Outlier (%) OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD
6-10 84,10203  20,92755  12,67264  8,55879  13,04583  8,75921 11-15 85,79836  13,68622  12,87367  8,68720  12,99685  8,74898 16-20 89,89571  10,41897  12,78685  8,64458  12,88361  8,66986 21-25 93,53626 8,03282 11,53602  7,80454  11,55441  7,77807 Tabel  3.5 Rata-rata  Nilai  RSE  dan  MAD  dari  Berbagai  Persentase  Besarnya Outlier untuk 150 n  Persentase Outlier (%) OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 6-10 84,95854  20,92755  12,77809  8,61875  13,17902  8,85145 11-15 85,46219  13,35651  12,92803  8,73892  13,08302  8,81193 16-20 90,27443  10,19088  12,80604  8,62750  12,88217  8,67620 21-25 93,19271 8,09912 11,69043  7,88407  11,67715  7,88407
Berdasarkan  tabel  di  atas,  diperoleh  bahwa  nilai  RSE  pada  model  regresi linier  sederhana  dengan  metode  OLS  lebih  besar  jika  dibandingkan  dengan  nilai RSE  yang  dihasilkan  metode robust estimasi  M  baik  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  maupun  Huber.  Maka  dari  itu,  metode robust estimasi  M merupakan  salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk  mengatasi  adanya outlier .  Tak  hanya  itu,  nilai  RSE  untuk  model  regresi robust estimasi  M  baik dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  maupun  Huber  juga  tidak  mengalami perubahan  yang  signifikan  seiring  dengan  bertambahnya  persentase  jumlah outlier . Hal ini berarti besarnya persentase outlier tidak berpengaruh pada model. Berbeda  dengan  metode robust estimasi  M,  nilai  RSE  yang  dihasilkan  metode OLS  cenderung  mengalami  kenaikan  seiring  dengan  bertambahnya  persentase outlier .  Hal  ini  dikarenakan  persentase  jumlah outlier pada  metode  OLS  dapat mempengaruhi  nilai  RSE  yang  dihasilkan.  Meskipun  demikian,  setiap  kenaikan persentase  besarnya outlier pada 30 n  nilai  RSE  yang  dihasilkan  dengan metode  OLS  M  masih  fluktuatif.  Akibatnya,  metode  ini  kurang  relevan  jika digunakan  untuk  sampel  berukuran  30.  Sementara  itu,  untuk  ukuran  sampel  30, 60,  90,  120,  dan  150  nilai  RSE  yang  dihasilkan  metode robust estimasi  M  juga masih  fluktuatif.  Dengan  demikian  metode robust estimasi  M  belum  konsisten dan kurang relevan digunakan untuk ukuran sampel 30, 60, 90, 120, dan 150.
Jika  dilihat  kembali  tabel  di  atas,  maka  diperoleh  bahwa  nilai  MAD  yang dihasilkan  model  regresi  linier  sederhana  dengan  metode  OLS  mengalami
Kajian Metode Ordinary Least Square
perubahan  cukup  signifikan  seiring  dengan  kenaikan  persentase outlier . Perubahan tersebut dikarenakan nilai MAD dipengaruhi oleh besarnya persentase outlier .  Kendati  demikian,  nilai  MAD  tersebut  akan  terus  mengalami  penurunan seiring  dengan  bertambahnya  persentase outlier .  Hal  ini  dikarenakan  MAD bersifat robust terhadap outlier . Namun, nilai MAD yang dihasilkan model regresi robust estimasi M  baik dengan fungsi  pembobot Bisquare Tukey maupun Huber cenderung  tidak  mengalami  perubahan  untuk  setiap  kenaikan  persentase outlier . Akibatnya,  besarnya  persentase outlier tidak  mempengaruhi  nilai  MAD  yang dihasilkan metode ini.

## 3.2      Pengaruh  Besarnya  Ukuran  Sampel  terhadap  Nilai  RSE  dan  MAD
Model  Regresi  Linier  Sederhana  dengan  Metode  OLS  dan Robust Estimasi M
Selain  menganalisis  pengaruh  besarnya  persentase outlier terhadap  nilai RSE  dan  MAD  model  regresi  linier  sederhana  dengan  metode  OLS  dan robust estimasi  M,  penelitian  ini  juga  membahas  pengaruh  besarnya  ukuran  sampel terhadap nilai RSE dan MAD model regresi linier sederhana dengan metode OLS dan robust estimasi  M  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber. Berikut ini adalah tabel rata-rata nilai RSE dan MAD dari 500 simulasi data untuk outlier 6-10%,  11-15%,  16-20%,  dan  21-25%  dengan  besarnya  ukuran  sampel yang berbeda-beda.
Tabel 3.6 Rata-rata Nilai RSE dan MAD dari Berbagai Ukuran Sampel untuk Outlier 6- 10%
Ukuran Sampel OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 30 81,03967  21,99050  12,43572  8,36495  13,29583 8,82893 60 82,98336  21,12680  12,57463  8,45955  12,97536 8,71716 90 83,79426  21,13207  12,65618  8,56030  13,07959 8,82937 120 84,10203  20,92755  12,67264  8,55879  13,04583 8,75921 150 84,95854  20,46946  12,77809  8,61875  11,69043 8,85145 Tabel 3.7 Rata-rata Nilai RSE dan MAD dari Berbagai Ukuran Sampel untuk Outlier 11-
15%
Ukuran Sampel OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD
30 84,41002  17,27366  12,71542  8,59350  13,31866 8,81255 60 85,54634  14,66243  12,78893  8,63522  13,03056 8,71524 90 85,34796  14,27493  12,80051  8,64982  12,98994 8,70891 120 85,79836  13,68622  12,87367  8,68720  12,99685 8,74898 150 85,46219  13,35651  12,92803  8,73892  13,08302 8,81193 Tabel 3.8 Rata-rata Nilai RSE dan MAD dari Berbagai Ukuran Sampel untuk Outlier 16-
20%
Ukuran Sampel OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 30 90,03780  13,08412  12,66265  8,57097  12,97101 8,67741 60 91,62435  11,23843  12,69518  8,61330  12,91745 8,63316 90 90,33013  10,81080  12,76038  8,62351  12,88612 8,64259 120 89,89571  10,41897  12,78685  8,64458  12,88361 8,66986 150 90,27443  10,19088  12,80604  8,62750  12,88217 8,67620 Tabel 3.9 Rata-rata Nilai RSE dan MAD dari Berbagai Ukuran Sampel untuk Outlier 21-
25%
Ukuran Sampel OLS Bisquare Tukey Huber RSE MAD RSE MAD RSE MAD 30 91,85008  8,03701  10,83937  7,27252  10,80487 7,20970 60 86,85008  7,91532  11,11776  7,54070  11,18155 7,52355 90 93,34083  7,96294  11,47589  7,74031  11,46563 7,73615 120 93,53626  8,03282  11,53602  7,80454  11,55441 7,77807 150 93,19271  8,09912  11,69043  7,90328  11,67715 7,88407
Tabel  di  atas  menjelaskan  bahwa  nilai  RSE  model  regresi  linier  sederhana dengan metode OLS cenderung tidak mengalami perbedaan untuk ukuran sampel berbeda, sehingga nilai  RSE  yang dihasilkan oleh model regresi  linier sederhana pada metode OLS tidak dipengaruhi oleh besarnya ukuran sampel. Namun, untuk outlier 21-25%  nilai  RSE  tersebut  mengalami  perbedaan  dikarenakan  persentase outlier yang  tinggi.  Hal  ini  berarti  nilai  RSE  yang  dihasilkan  oleh  model  ini dipengaruhi  oleh  persentase  besarnya outlier .  Sementara  itu,  nilai  RSE  yang dihasilkan  model  regresi robust estimasi  M  baik  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  maupun  Huber  tidak  mengalami  banyak  perbedaan.  Hal  ini dikarenakan  model  regresi robust tidak  dipengaruhi  oleh  persentase  besarnya outlier .
Tabel di atas juga memberikan informasi bahwa nilai MAD yang dihasilkan model  regresi  linier  sederhana  dengan  metode  OLS  tidak  mengalami  perubahan.
Kajian Metode Ordinary Least Square
Hal ini dikarenakan nilai MAD yang dihasilkan model ini tidak dipengaruhi oleh besarnya ukuran sampel. Namun, untuk  besarnya persentase outlier 11-15%, 16- 20%,  dan  21-25%  nilai  MAD  yang  dihasilkan  model  ini  mengalami  sedikit perbedaan untuk setiap kenaikan persentase outlier . Hal ini dikarenakan besarnya persentase outlier yang  cukup  tinggi,  sehingga  mempengaruhi  model  yang dihasilkan.  Sementara  itu,  nilai  MAD  yang  dihasilkan  oleh  model  regresi robust estimasi M dengan fungsi pembobot Bisquare Tukey dan Huber tidak mengalami perubahan yang signifikan untuk ukuran sampel yang berbeda. Dengan demikian, besarnya  ukuran  sampel  tidak  mempengaruhi  nilai  MAD  yang  dihasilkan  model regresi robust estimasi M.
a. Perbandingan  Fungsi  Pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  pada Model Regresi Robust Estimasi M
Penggunaan  fungsi  pembobot  yang  berbeda  pada  model  regresi robust estimasi  M  akan  menghasilkan  estimator  model  yang  berbeda  pula.  Penentuan model  terbaik  dari  regresi robust estimasi  M  dengan  menggunakan  fungsi pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  yaitu  dengan  membandingkan  nilai  RSE dari masing-masing model. Model terbaik dipilih dari model yang memiliki nilai RSE  paling  kecil.  Dalam  hal  ini  nilai  MAD  tidak  dapat  digunakan  untuk menentukan  model  terbaik  dikarenakan  nilai  MAD  tersebut  kurang  dapat menggambarkan variansi dari sebuah model.
Gambar 3.1 Grafik Nilai RSE Fungsi Pembobot Bisquare Tukey dan Huber untuk 30 n  0 2 4 6 8 10 12 14 6-10% 11-15% 16-20% 21-25%
Re sid ua l Sta nd a rd E rr o r Persentase Outlier n=30 Tukey Huber
Gambar 3.2 Grafik Nilai RSE Fungsi Pembobot Bisquare Tukey dan Huber untuk
60 n 
Gambar 3.3 Grafik Nilai RSE Fungsi Pembobot Bisquare Tukey dan Huber untuk 90 n 
Gambar 3.4 Grafik Nilai RSE Fungsi Pembobot Bisquare Tukey dan Huber untuk 120 n  10 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 6-10% 11-15% 16-20% 21-25% Resid ua l Sta nd a rd E rr o r Persentase Outlier n=60 Tukey Huber 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 6-10% 11-15% 16-20% 21-25% Resid ua l Sta nd a rd E rr o r Persentase Outlier n=90 Tukey Huber 10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 6-10% 11-15% 16-20% 21-25% R esid ua l Sta nd a rd E rr o r Persentase Outlier n=120 Tukey Huber
Kajian Metode Ordinary Least Square
Gambar 3.5 Grafik Nilai RSE Fungsi Pembobot Bisquare Tukey dan Huber untuk

## 150 n 
Perbedaan  nilai  RSE  untuk  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber dari  berbagai  karakteristik  data  dapat  dilihat  pada  gambar  di  atas.  Berdasarkan gambar tersebut diperoleh bahwa nilai RSE yang dihasilkan oleh fungsi pembobot Bisquare Tukey  dan  Huber  tidak  berbeda  jauh,  meskipun  nilai  RSE  yang dihasilkan  dari  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  cenderung  lebih  kecil  jika dibandingkan  dengan  fungsi  pembobot  Huber.  Dengan  demikian,  dapat disimpulkan  bahwa  model  regresi robust estimasi  M  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  dinilai  hampir  sama  baiknya  dengan  model  regresi robust estimasi M dengan fungsi pembobot Huber.

## 4. KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  analisis  dan  pembahasan  dapat  diperoleh  beberapa kesimpulan sebagai berikut.
1. Nilai  RSE  dan  MAD  yang  dihasilkan  oleh  model  regresi  linier  sederhana dengan metode OLS dipengaruhi oleh persentase besarnya outlier .
2. Nilai RSE yang dihasilkan oleh model regresi robust estimasi M untuk ukuran sampel  30,  60,  90,  120,  dan  150  cenderung  fluktuatif  seiring  dengan perubahan besarnya persentase outlier .
3. Nilai  MAD  yang  dihasilkan  oleh  model  regresi robust estimasi  M  tidak dipengaruhi oleh besarnya persentase outlier maupun ukuran sampel.
10.5 11 11.5 12 12.5 13 13.5 6-10% 11-15% 16-20% 21-25% R esid ua l Sta nd a rd E rr o r Persentase Outlier n=150 Tukey Huber
4. Metode robust estimasi  M  dengan  fungsi  pembobot Bisquare Tukey  hampir sama  baiknya  dengan  metode robust estimasi  M  dengan  fungsi  pembobot Huber.
Untuk  penelitian  selanjutnya,  diharapkan  dapat  dilakukan  kajian  dengan besarnya ukuran sampel dan persentase outlier yang berbeda. Selain itu, penelitian selanjutnya  diharapkan  juga  mengkaji  berbagai  karakteristik  data  pada  metode regresi robust lainnya, seperti metode estimasi S, estimasi MM, dan estimasi LTS.

## DAFTAR PUSTAKA
Chen,  C., Robust  Regression  and  Outlier  Detection  with  Robustreg  Procedure,
SUGI paper, 265-267, SAS Institute: Cary, NC, 2002.
Draper, N.R. dan Smith, H., Analisis Regresi Terapan Edisi Kedua , PT Gramedia, Jakarta, 1992.
Maulana,  H., Kajian  Metode  Regresi  Robust  Penaksir  M  Menggunakan  Fungsi Pembobot  Huber  dan  Bisquare  Tukey  pada  Regresi  Linear  Berganda , Skripsi,  Fakultas  Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam.  Purwokerto, Universitas Jenderal Soedirman, 2016.
Ryan, T.P., Modern Regression Methods , John Wiley & Son, Inc., Canada, 1997.