## Bilangan Kromatik Graceful Pada Keluarga Graf Grid

## Graceful Chromatic Number on Grid Graph Family
A. I. Kristiana 1 , Anzori 2 , Robiatul Adawiyah 3 , Slamin 4 , Ermita Rizki Albirri 5 arika.fkip@unej.ac.id
Universitas Jember

## Abstrak
Semua graf pada artikel ini merupakan graf terhubung dan graf sederhana. Misalkan
( )   : 1, 2,..., c V G k → merupakan  warna  titik proper dengan 2 k  yang menginduksi warna sisi proper ( )  
' : 1, 2,..., 1
c E G k → − sehingga ( ) ( ) ( ) ' c uv c u c v = − ,  dimana uv pada ( ) E G disebut  pewarnaan k-graceful . Pewarnaan  titik c pada  graf G dikatakan  sebagai  pewarnaan graceful apabila c merupakan sebuah pewarnaan k-gracfeul dengan k N  . Jumlah k minimum disebut bilangan  kromatik graceful yang  dinotasikan  dengan ( ) g G  .  Pada  artikel  ini  akan diuraikan  langkah-langkah  pewarnaan graceful dengan  menggunakan  metode pendeteksi pola guna menemukan pola pewarnaan dan bilangan kromatik, sehingga diperoleh bilangan kromatik graceful keluarga graf grid yaitu pada graf H ( ) n H untuk
2 n  adalah ( ) 6 g n H  = dan  pada  graf  grid ( ) , m n G untuk , 3 m n  adalah
( ) , 6 3, 4 3 5 8 5 6 g m n untuk m dan n G untuk m dan n  =
   =     .
Kata kunci: bilangan kromatik graceful , keluarga graf grid
Abstract
All  graphs  in  this  paper  be  connected  and  simple  graph.  Let
( )  : 1, 2, c V G →  ..., k is  a
proper  vertex  coloring  where 2 k  which  induces  a  proper  edge  coloring ( )   ' : 1, 2,..., 1 c E G k → − define  by ( ) ( ) ( ) ' c uv c u c v = − ,  where uv in ( ) E G is called graceful k-coloring. A vertex coloring c of graph G is a graceful coloring if c is a graceful k- coloring for some k N  . The minimum k for which a graph G is a graceful chromatic number denoted  by ( ) g G  .  In  this  paper,  we  will  describe  the  steps  for  graceful  coloring  using  the pattern  detection  method  to  find  coloring  patterns  and  chromatic  numbers,  so  that  graceful chromatic numbers for the grid graph family are obtained, namely H graph ( ) n H for 2 n  is ( ) 6 g n H  = and grid graph ( ) , m n G for , 3 m n  is ( ) , 6 3, 4 3
5 8 5 6 g m n untuk m dan n G untuk m dan n  =
   =    
Keyword : graceful cromatic number, grid graph family

## PENDAHULUAN
Semua  graf  pada  penelitian  ini  merupakan  graf  berhingga,  sederhana dan  terhubung,  lihat  Gross,  dkk  (2014).  Suatu  graf G didefinisikan  sebagai pasangan ( ) ( ) ( ) ; V G E G ,  dimana ( ) V G =   1 2 3 , , ,..., n v v v v merupakan
himpunan titik tak kosong berhingga dan ( )   1 2 3 , , ,..., n E G e e e e = merupakan
himpunan sisi yang boleh kosong dan berhingga dari pasangan tak terurut V (Hartsfield,  N.  dan  Ringel,  G.,  1994).  Terdapat  banyak  jenis  pelabelan  graf, salah satunya adalah pelabelan graceful seperti di Gallian, J. A. (2013).
Pelabelan graceful pada  suatu  graf G adalah  fungsi  injektif
( ) ( )   : 0,1, 2,..., c V G E G
→ yang dipetakan  ke  setiap sisi ( ) uv E G  dengan
bobot ( ) ( ) ( ) ' c uv c u c v = − ,  sedemikian  sehingga  semua  bobot  sisinya berbeda. Oleh karena itu, jika f adalah pelabelan graceful dari graf G , maka himpunan bobot sisi dari graf G adalah   1, 2,..., . m Suatu graf yang memiliki pelabelan graceful merupakan graf graceful di Byers, A. D.(2018) .
Terdapat  tiga  macam  pewarnaan  graf,  yaitu  pewarnaan  titik, pewarnaan sisi, dan pewarnaan wilayah. Pewarnaan titik dari sebuah graf G adalah  pemberian  warna  pada  titik  dimana  tidak  ada  dua  titik  yang  berbagi sisi  memiliki  warna  yang  sama  (Joyner,  dkk  2013).  Pewarnaan  sisi  dari sebuah graf G adalah pemberian warna pada sisi dimana sisi yang bertetangga (sisi  yang  bersisian  pada  titik  yang  sama)  memiliki  warna  yang  berbeda (Hartsfield, N. dan Ringel, G., 1994). Menurut Chartrand dan Lesniak (1996) bahwa jika terdapat minimal k warna pada pewarnaan wilayah maka disebut k- pewarnaan  wilayah.  Terdapat  beberapa  hasil  tentang  topik  pewarnaan  di Agustin, dkk (2018), Azahra, dkk (2020), dan Kristiana, dkk (2020).
Pewarnaan k-graceful adalah pewarnaan titik proper ( )   : 1, 2,..., c V G k → , dimana 2 k  yang menginduksi pewarnaan sisi proper
( )   ' : 1, 2,..., 1 c E G k → − didefinisikan ( ) ' c uv = ( ) ( ) c u c v − . Pewarnaan titik c dari sebuah graf G merupakan pewarnaan graceful jika c termasuk pewarnaan k-graceful untuk k N  .  Menurut  Zhang,  P  (2016)  jumlah  minimum k untuk pewarnaan k-graceful pada graf G disebut bilangan kromatik graceful dari graf G yang dinotasikan dengan ( ) .
g G 
Beberapa peneliti yang telah melakukan penelitian tentang pewarnaan graceful adalah  English  dan  Zhang  (2017)  tentang  bilangan  kromatik graceful pada  graf  pohon.  Selanjutnya  Alfarisi,  dkk  (2019)  menemukan  bilangan kromatik graceful pada keluarga graf unicyclic , yaitu graf tadpole , graf pan , dan graf sun .  Selanjutnya  Mincu,  dkk  (2019)  tentang  bilangan  kromatik graceful pada  beberapa  kelas  graf  khusus.  Selanjutnya  Sania,  dkk  (2020)  yang
menemukan bilangan kromatik graceful pada keluarga graf unicyclic , yaitu graf bull ,  graf net ,  graf cricket ,  graf caveman ,  graf peach ,  dan  graf flowerpot .
Selanjutnya Khoirunnisa,  dkk  (2021)  menemukan bilangan kromatik graceful pada  hasil  operasi comb graf  roda,  yaitu  graf  roda  dengan graf  lintasan  dan graf roda dengan graf lingkaran.
Berdasarkan hasil  penelitian  sebelumnya,  penelitian  ini  tertarik untuk menganalisis  bilangan  kromatik graceful pada  keluarga  graf  grid.  Pemilihan pewarnaan graceful didasari  oleh  keunikannya,  yaitu  pada  suatu  graf G titik yang  bertetangga  harus  memiliki  warna  yang  berbeda  yang  menginduksi pewarnaan  sisinya  dimana  warna  sisinya  diperoleh  dari  nilai  mutlak  selisih titik yang bertetangga dengan sisi tersebut. Sementara itu, pemilihan keluarga graf grid didasari oleh proses generalisasi yaitu menjadikan topik pewarnaan graceful semakin  umum  melalui  penelitian  terkait  bilangan  kromatik graceful keluarga graf grid yang belum pernah diteliti atau didapatkan sebelumnya.
Definisi Pewarnaan k-graceful dari  sebuah  graf  tak  kosong G adalah pewarnaan titik proper ( )   : 1, 2,..., c V G k
→ , dimana 2 k  yang menginduksi pewarnaan sisi proper ( )   ' : 1, 2,..., 1 c E G k → − didefinisikan ( ) ' c uv = ( ) ( ) c u c v − . (Zhang, 2016)
Observasi Jika H adalah  subgraf  dari  graf ( ) G ,  maka ( ) ( ) g g G H    .
(Byers,  A.  D.,  2018).  Pada  artikel  ini  akan  dicari  bilangan  kromatik graceful pada keluarga graf grid, yaitu graf H ( ) n H dengan 2 n  dan graf grid ( ) , m n G
dengan , 3 m n  .

## METODE
Jenis  penelitian  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  yaitu  penelitian eksploratif.  Penelitian  eksploratif  merupakan  jenis  penelitian  yang  bertujuan untuk  menemukan  hal  baru  yang  ingin  diketahui,  sehingga  hasilnya  dapat digunakan sebagai dasar penelitian selanjutnya. Penelitian ini termasuk dalam jenis  penelitian  eksploratif  dikarenakan  tujuan  dari  penelitian  ini  ialah  agar suatu  topik  yang  diangkat  dapat  dikenal  oleh  masyarakat  luas,  memberikan gambaran  dasar  dari  topik  yang  diteliti,  mengembangkan  gagasan  dan  teori yang  bersifat  dapat  diubah,  membuka  kemungkinan  adanya  penelitian lanjutan  mengenai  topik  bahasan,  dan  menentukan  arah  maupun  teknik penelitian yang akan digunakan dalam penelitian selanjutnya.
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deduktif aksiomatik dan metode pendeteksi pola ( pattern recognition ). Metode deduktif  aksiomatik  adalah  metode  penelitian  yang  menggunakan  prinsip- prinsip  pembuktian  deduktif  yang  berlaku  dalam  logika  matematika  dengan menggunakan  aksioma  atau  teorema  yang  telah  ada  yang  dapat  diterapkan
dalam  pewarnaan graceful pada  keluarga  graf  grid.  Metode  pendeteksi  pola ( pattern recognition ) merupakan metode untuk mencari serta menemukan pola pewarnaan  dan  bilangan  kromatik,  sehingga  diperoleh  bilangan  kromatik graceful pada keluarga graf grid.
Selanjutnya,  prosedur  penelitian  yang  dilakukan  untuk  menentukan bilangan kromatik graceful pada keluarga graf grid disajikan sebagai berikut,

## Gambar 1. Alur Penelitian
Penjelasan  dari  prosedur  penelitian  untuk  menentukan  bilangan kromatik graceful pada keluarga graf grid adalah sebagai berikut:
1. Menentukan graf yang diteliti, yaitu keluarga graf grid meliputi graf H dan graf grid.
2. Menentukan kardinalitas graf H ;
3. Melakukan pewarnaan titik proper pada graf H ;
4. Melakukan pewarnaan sisi proper pada graf H ;
5. Mengecek  pewarnaan  yang  telah  dilakukan,  apakah  sudah  memenuhi Definisi,  apabila  belum  memenuhi  maka  melakukan  pewarnaan proper pada  titik  dan  sisi  kembali,  apabila  sudah  memenuhi  maka  lanjut  ke langkah selanjutnya;
6. Menentukan bilangan kromatik graceful pada graf H ;
7. Membuat teorema hasil pewarnaan graceful pada graf H ;
8. Membuktikan kebenaran dari teorema yang telah diperoleh pada graf H ;
9. Mengulangi langkah 2 sampai 8 untuk mewarnai keluarga graf grid.
10. Selesai.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Penelitian ini merupakan penelitian pewarnaan graceful pada keluarga graf  grid,  yaitu  graf H ( ) n H dan  graf  grid ( ) , m n G .  Hasil  dari  penelitian  ini berupa  teorema  baru  bilangan  kromatik graceful pada  keluarga  graf  grid sebagai berikut.
Teorema 1. Bilangan kromatik graceful pada graf H ( ) n H untuk 2 n  adalah
( ) 6.
g n H  = Bukti. Graf H ( ) n H memiliki ( )   , , ; 1 2 n i i i V H u v w i n =   dan
( ) n E H =       1 1 1 , ;1 2 1 ;1 2 , untuk ganjil , ;1 2 . i i i i i i i i i i u u v v i n w w i n i u w v w i n + + +   −       Kardinalitas  titik  dari  graf H adalah ( ) 6 = n V H n dan  kardinalitas  sisi  dari graf H adalah ( ) 9 2 = − n E H n .  Untuk  membuktikan  bilangan  kromatik graceful pada  graf H ( ) n H adalah  6,  harus  dibuktikan terlebih dahulu  bahwa batas  bawah ( ) 6 g n H   dan  batas  atas ( ) 6 g n H   .  Pertama,  kita  akan menunjukkan ( ) 6 g n H   .  Andaikan ( ) g n H  6  ,  misalnya ( ) 5. g n H  =
Misalkan 1 u diwarnai  dengan  1, 2 u diwarnai  dengan  3,    dan 2 w diwarnai dengan 4. Maka, pewarnaan sisinya sebagai berikut.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 2 ' 1 3 2 ' 3 4 1 c u u c u c u c u w c u c w = − = − = = − = − =
Kemudian akan ditentukan warna dari ( ) 3 c u . Karena ( ) 2 3 n u u E H  , sehingga
( ) 3 3 c u  .
a. Jika ( ) 3 1 c u = ,  maka ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 ' 3 1 2 c u u c u c u = − = − = .  Karena 2 3 u u bertetangga  dengan 1 2 u u dan 2 3 1 2 2 u u u u = = ,  maka  kontradiksi  dengan definisi pewarnaan graceful .
b. Jika ( ) 3 2 c u = ,  maka ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 ' 3 2 1 c u u c u c u = − = − = .  Karena 2 3 u u bertetangga dengan 2 2 u w dan 2 3 2 2 1 u u u w = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
c. Jika ( ) 3 4 c u = ,  maka ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 ' 3 4 1 c u u c u c u = − = − = .  Karena 2 3 u u bertetangga dengan 2 2 u w dan 2 3 2 2 1 u u u w = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
d. Jika ( ) 3 5 c u = ,  maka ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 ' 3 5 2 c u u c u c u = − = − = .  Karena 2 3 u u bertetangga  dengan 1 2 u u dan 2 3 1 2 2 u u u u = = ,  maka  kontradiksi  dengan definisi pewarnaan graceful .
Kemungkinan  a,  b,  c,  dan  d  kontradiksi  dengan  definisi  pewarnaan graceful , yaitu setiap sisi yang bertetangga harus memiliki warna yang berbeda. Oleh  karena  itu,  didapatkan  kesimpulan  bahwa ( ) 6 g n H   untuk 2 n  .
Selanjutnya, kita akan menunjukkan ( ) 6 g n H   . Pewarnaan titik proper yang didefinisikan ( )   : 1, 2, 3, 4, 5, 6 n c V H → sebagai berikut. ( ) ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   ( )   1, untuk , 1 mod 4 dan , 2 mod 4 2, untuk , 3 mod 4 dan , 1 mod 4 3, untuk , 2 mod 4 dan , 0 mod 4 4, untuk , 0 mod 4 dan , 2 mod 4 5, untuk , 1 mod 4 dan , 3 mod 4 6, untuk , 3 mod 4 dan , 0 mod 4 i i i i i i i i i i i i x u i v i x v i w i x u i w i c x
x u i w i x v i w i x u i v i              =                Berdasarkan  fungsi c di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  fungsi c ini  juga menginduksi pewarnaan sisi proper yang didefinisikan ( )   ' : 1, 2, 3, 4 n c E H → . ( )               1 1 1 1 1 1, untuk , genap dan 2, untuk , ganjil dan , ganjil
'
3, untuk , genap dan 4, untuk , ganjil i i i i i i i i i i i i i i y v v i u w
y u u i w w i c y y u u i v w y v v i + + + + +      = 
    
Pada  graf H ( ) n H untuk 2 n  diperoleh  batas  bawah  dan  batas
atasnya  adalah ( ) 6 g n H   dan ( ) 6 g n H   .  Oleh  karena  itu, ( ) 6 g n H  =
untuk 2
n  . Berikut ilustrasi pewarnaan graceful pada graf H ( ) n H
Gambar 2. Pewarnaan Graceful pada Graf H ( H 4 ) ( ) 4 H
Teorema  2. Bilangan  kromatik graceful pada  graf  grid ( ) , m n G untuk , 3 m n 
adalah ( ) , 6 3, 4 3 5 8 5 6 g m n untuk m dan n G untuk m dan n  =
   =    
Bukti. Graf  grid ( ) , m n G memiliki ( )   , , ;1 , 1 m n i j V G v i m j n =     dan ( )     , , 1, , , 1 ;1 1 ;1 1 m n i j i j i j i j E G v v i m v v j n + +
=   −    − .  Kardinalitas  titik  dari graf  grid  adalah ( ) , = m n V G mn dan  kardinalitas  dari  graf  grid  adalah
( ) , 2 = − − m n E G mn m n . Pembuktian bilangan kromatik graceful pada graf grid ( ) , m n G dibagi menjadi dua kasus sebagai berikut.
Kasus 1: ( ) , 6 g m n G  = , untuk 3, 4 m = dan 3 5 n   .
Graf H ( ) n H merupakan subgraf dari graf grid ( ) , m n G . Berdasarkan Teorema 1  dan  Observasi  diperoleh ( ) ( ) , 6 g m n g n G H    = .  Kita  akan  menunjukkan
( ) , 6 g m n G   . Pewarnaan titik proper didefinisikan
( ) , : m n c V G →   1, 2, 3, 4, 5, 6 sebagai berikut:
( )             11 14 33 23 35 42 12 25 31 44 13 21 43 24 32 45 15 22 34 41 1, untuk , ,
2, untuk , , 3, untuk , , , 4, untuk , , 5, untuk , , 6, untuk , , , x v v v x v v v x v v v v
c x x v v v x v v v x v v v v     
  =      

 Berdasarkan  fungsi c di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  fungsi c ini menginduksi pewarnaan sisi proper yang didefinisikan
( )   , ' : 1, 2, 3, 4, 5 . m n c E G → ( )       12 13 21 31 22 32 23 33 24 34 25 35 43 44 11 12 13 23 21 22 24 25 31 32 42 43 44 45 13 14 11 21 12 22 15 25 23 24 31 41 32 42 33 43 34 44 35 45 1, untuk , , , , , , 2, untuk , , , , , , 3, untuk , , , , , , , ,
' , 4, un y v v v v v v v v v v v v v v y v v v v v v v v v v v v v v y v v v v v v v v v v v v v v v v c y v v v v    =     14 24 22 23 32 33 34 35 41 42 14 15 33 34 tuk , , , , 5, untuk , y v v v v v v v v v v y v v v v
       
   Pada  graf  grid ( ) , m n G dengan 3, 4 m = dan 3 5 n   diperoleh  batas  bawah dan  batas  atasnya  adalah ( ) , 6 g m n G   dan ( ) , 6 g m n G   .  Oleh  karena  itu,
( ) , 6 g m n G  = untuk 3, 4 m = dan 3 5 n   .
Kasus 2: ( ) , 8 g m n G  = , untuk 5 m  dan 6 n  .
Untuk membuktikan bilangan kromatik graceful pada graf grid ( ) , m n G adalah 8,  harus  dibuktikan  terlebih  dahulu  bahwa  batas  bawah ( ) , 8 g m n G   dan batas  atas ( ) , 8 g m n G   .  Pertama,  kita  akan  menunjukkan ( ) , 8 g m n G   . Andaikan ( ) , 8 g m n G   ,  misalnya ( ) , 7 g m n G  = .  Misalkan 32 v diwarnai dengan  3, 41 v diwarnai  dengan  7, 42 v diwarnai  dengan  4,  dan 52 v diwarnai dengan 2. Maka diperoleh pewarnaan sisinya sebagai berikut.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 32 42 32 42 41 42 41 42 42 52 42 52 ' 3 4 1 '
7 4 3
' 4 2 2 c v v c v c v c v v c v c v
c v v c v c v = − = − = = − = − = = − = − =
Setelah  itu  akan  ditentukan  warna  dari ( ) 43 c v .  Warna ( ) 42 4 c v = dan ( ) 42 43 , m n v v E G  , sehingga ( ) 42 4 c v  .
a. Jika ( ) 43 1 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 '
4 1 3 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga dengan 41 42 v v dan 42 43 41 42 3 v v v v = = , maka kontradiksi
dengan definisi pewarnaan graceful .
b. Jika ( ) 43 2 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 ' 4 2 2 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga 42 52 v v dan 42 43 42 52 2 v v v v = = , maka kontradiksi dengan
definisi pewarnaan graceful .
c. Jika ( ) 43 3 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 ' 4 3 1 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga dengan 32 42 v v dan 42 43 32 42 1 v v v v = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
d. Jika ( ) 43 5 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 ' 4 5 1 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga dengan 32 42 v v dan 42 43 32 42 1 v v v v = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
e. Jika ( ) 43 6 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 '
4 6 2 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga 42 52 v v dan 42 43 42 52 2 v v v v = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
f. Jika ( ) 43 7 c v = ,  maka ( ) ( ) ( ) 42 43 42 43 '
4 7 3 c v v c v c v = − = − = .  Karena
42 43 v v bertetangga 41 42 v v dan 42 43 41 42 3 v v v v = = , maka kontradiksi dengan definisi pewarnaan graceful .
Kemungkinan  a,  b,  c,  d,  e,  dan  f  kontradiksi  dengan  definisi pewarnaan graceful ,  yaitu  setiap  sisi  yang  bertetangga  harus  memiliki  warna
yang  berbeda.  Oleh  karena  itu,  didapatkan  kesimpulan  bahwa  untuk ( ) , 8 g m n G   , untuk 5 m  dan 6 n  .
Selanjutnya,  kita  akan  menunjukkan
( ) , 8 g m n G   .  Pewarnaan  titik proper yang didefinisikan ( )   , : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 m n c V G → sebagai berikut: ( ) ( )   ( )    ( )  ( )   ( )   ( )    ( )  ( )   ( )   ( )    ( )  ,2 ,4 1, 2, ,2 ,4
1,
3, ,2 ,4 3, 4, 1, untuk , 2 mod 4 dan , 1 mod 4 dan , 0 mod 4 dan , 2 mod 4 2, untuk , 1 mod 4 dan , 3 mod 4 dan , 2 mod 4 dan , 0 mod 4 3, untuk , 3 mod 4 dan , 0 mod 4 dan , 2 mod 4 dan , 0 mod
i i j j i i j j i i j j x v i v i v j v j x v i v i v j v j x v i v i v j v j c x                =
( )   ( )   ( )    ( )  ( )   ( )   ( )    ( )  ( )   ( )   ( )    ( )  ( )   ,1 ,2 2, 4, ,1 ,3
1,
2, ,1 ,3
1,
3,
4
4, untuk , 2 mod 4 dan , 0 mod 4 dan , 1 mod 4 dan , 2 mod 4 5, untuk , 1 mod 4 dan , 2 mod 4 dan , 1 mod 4 dan , 3 mod 4 6, untuk , 3 mod 4 dan , 1 mod 4 dan , 3 mod 4 dan , 1 mod 4
7 i i j j i i j j i i j j x v i v i v j v j x v i v i v j v j x v i v i v j v j    
           ( )   ( )    ( )  ( )   ( )   ( )    ( )  ( )   ,1 ,3 3, 4, ,3 ,4 2, 4, , untuk , 0 mod 4 dan , 3 mod 4 dan , 3 mod 4 dan , 1 mod 4 8, untuk , 0 mod 4 dan , 2 mod 4 dan , 0 mod 4 dan , 3 mod 4 i i j j i i j j x v i v i v j v j x v i v i v j v j                    
              



## 
Berdasarkan  fungsi c di  atas,  dapat  dilihat  bahwa  fungsi c ini  juga menginduksi pewarnaan sisi proper yaitu ( )   , ' : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 m n c E G → . ( ) ( ) ( )   ( )   ( ) ( )   ( )   ( )   , 1, , 1, , 1, , 1, , , 1 , , 1 1, untuk
, 1 mod 4 dan 0 mod 4 dan , 3 mod 4 dan 1 2, untuk , 2 mod 4 dan 0 mod 4 dan , 0 mod 4 dan 1 ' 3, untuk , 1 dan 1 mod 4 dan 4, untuk , 1 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j y v v i j j v v i j m y v v i j j v v i j m c y y v v i n j y v v + + + + + +       
       =         ( ) ( )   ( ) ( )   ( ) ( )   , , 1 , 1, , 1, dan 1 , genap 5, untuk , 2 mod 4 dan 3 mod 4 6, untuk , 2 mod 4 dan 0 mod 4 7, untuk , 1 mod 4 dan 0 mod 4 i j i j i j i j i j i j i n j m j y v v i i j y v v i j y v v i j + + +
                          

Pada  graf  grid ( ) , m n G dengan 5 m  dan 6 n  diperoleh  batas  bawah  dan
batas  atasnya  adalah ( ) , 8 g m n G   dan ( ) , 8 g m n G   .  Oleh  karena  itu, ( ) , 8 g m n G  = ,  untuk 5 m  dan 6 n  .  Berikut  gambar  ilustrasi  pewarnaan graceful pada graf grid ( ) , m n G Gambar 3 Pewarnaan Graceful pada Graf Grid ( ) 6,6 G

## KESIMPULAN DAN SARAN
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  pada  bab  sebelumnya,  dapat disimpulkan bahwa dalam penelitian ini bilangan kromatik graceful diperoleh dengan  melakukan  pewarnaan  titik proper yang  menginduksi  pewarnaan  sisi proper pada keluarga graf grid yang meliputi graf H dan graf grid. Jadi, warna sisi  pada  pewarnaan graceful diperoleh  dari  hasil  induksi  atau  selisih  nilai mutlak  titik  yang  bertetangga  pada  sisi  tersebut.    Kemudian,  penelitian  ini juga  menemukan  dua  teorema  baru  mengenai  pewarnaan graceful pada keluarga  graf  grid.  Bilangan  kromatik graceful pada  keluarga  graf  grid  yang didapatkan pada penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Bilangan  kromatik graceful pada  graf H ( ) n H untuk 2 n  adalah ( ) 6 g n H  = .
2. Bilangan  kromatik graceful pada  graf  grid ( ) , m n G untuk , 3 m n  adalah ( ) , 6 3, 4 3
5 8 5 6 g m n
untuk m dan n G untuk m dan n  =
   = 
  
Berdasarkan hasil penelitian, terdapat beberapa graf yang masih belum ditemukan  nilai  dari  bilangan  kromatik graceful -nya dan  sulit  untuk
menemukan  generalisasi  rumusnya.  Oleh  karena  itu,  terdapat  beberapa masalah terbuka yang dapat digunakan sebagai acuan penelitian selanjutnya sebagai berikut:
Masalah terbuka 1 Bagaimana bilangan kromatik graceful untuk keluarga graf lain, seperti keluarga graf pohon, keluarga graf buku, dll.
Masalah  terbuka  2 Bagaimana  bilangan  kromatik  graceful  untuk  operasi  seperti operasi comb, operasi corona, dll.

## DAFTAR PUSTAKA
Agustin,  d.  (2018).  Local  Edge  Antimagic  Coloring  of  Comb  Product  of Graphs. Journal pf Physics: Conf. Series , 1008 012038.
Alfarisi,  dkk.  (2019).  Graceful  Chromatic  Number  of  Unicyclic  Graphs. Journal of Physics: Conference Series , 1306 (1).
Azahra,  N.  (2020).  Pewarnaan  Titik  Ketakteraturan  Lokal  Pada  Keluarga Graf  Grid  dan  Kaitannya  dengan  Keterampilan  Berpikir  Tingkat Tinggi. Skripsi. Jember: Universitas Jember. Balakrishnan,  R.,  dan  Ranganathan,  K.  (2012). A  Textbook  of  Graph  Theory (Second Edition). Springer.
Byers, A. D. (2018). Graceful Colorings and Connection in Graphs. Disertasi. Kalamazoo: Western Michigan University.
Chartrand,  G  dan  L.  Lesniak.  (1996). Graphs  and  Digraphs  Third  Edition.
United States America: Chapman and Hall.
English, S., dan Zhang, P. (2017). On graceful colorings of trees. Mathematica Bohemica , 142 (1), 57 – 73.
Exoo, dkk. (2006). Totally magic graphs. Discrete Mathematics , 254 (1 – 3), 103 – 113.
Gallian,  J.  A.  (2013).  Graph  Labelling. Electronic  Journal  of  Combinatorics , (Dynamic Survey DS6).
Gross, d. (2014). Handbook of Graph Theory Second Edition. United State: CRC Press.
Hartsfield,  N.,  dan  Ringel,  G.  (1994). Pearls  in  Graph  Theory .  United Kingdom: Academic Press Limited.
Irawati, N., dan Heri, R. (2010). Pelabelan Total Titik Ajaib Pada Complete Graph. Matematika , 13 (3), 136 – 142.
Jeyanthi,  dkk.  (2015).  One  Modulo  Three  Mean  Labeling  of  Cycle  Related Graphs. International  Journal  of  Pure  and  Applied  Mathematics , 103 (4), 625 – 633. Joyner, dkk. (2013). Algorithmic Graph Theory . Free Software Foundation. Khoirunnisa, dkk. (2021). On graceful chromatic number of comb product of ladder graph. Journal of Physics: Conference Series , 1836 (1).
Kristiana,  dkk.  (2019).  Local  Irregularity  Vertex  Coloring  of  Graphs.
International Journal of Civil Engineering and Technology (IJCIET) , 10 (03),
1606 – 1616.
Levin, O. (2019). Discreate Mathematics (3RD Edition) .
M.I.,  M.,  dan  E.M.,  B.  (2016).  Ladder  and  Subdivision  of  Ladder  Graphs with  Pendant  Edges  are  Odd  Graceful. International  Journal  on Applications  of  Graph  Theory  In  Wireless  Ad  Hoc  Networks  And  Sensor Networks , 8 (1), 1 – 8.
Mincu,  dkk.  (2019).  The  Graceful  Chromatic  Number  for  Some  Particular Classes of Graphs. Proceedings - 21st International Symposium on Symbolic and  Numeric  Algorithms  for  Scientific  Computing,  SYNASC  2019 , April ,
109 – 115.
Sania,  dkk.  (2020).  Bilangan  Kromatik  Graceful  pada  Keluarga  Graf Unicyclic. CGANT Journal of Mathematics And Applications , 1 (2), 27 – 38. Sudha, S., dan Manikandan, K. (2015). General Pattern of Total Coloring of a  Prism  Graph  of-Layers  and  a  Grid  Graph. International  Journal  of Innovative Science and Modern Engineering (IJISME) , 3 , 2319 – 6386. Wibisono, S. (2008). Matematika Diskrit . Yogyakarta: Graha Ilmu.
Windartini,  T.  (2015).  Nilai  Ketakteraturan  Jarak  dari  Famili  Graf  Roda.
Skripsi. Jember: Universitas Jember.
Zhang, P. (2016). A Kaleidoscopic View of Graph Colorings. In SpringerBriefs in Mathematics . Switzerland: Springer International Publishing.