Penentuan Waktu antar Pemesanan Optimal untuk Model Persediaan Probabilistik Multi-Item dengan All-Units Discount dan Kendala

## Kapasitas Gudang
Handi Koswara  1) , Dharma Lesmono 2)
1) Jurusan Teknik Industri, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Nasional, Bandung, Jalan PHH. Mustafa 23, Bandung, 40124, Indonesia
2) Jurusan Matematika, Fakultas Teknologi Informasi dan Sains, Universitas Katolik Parahyangan, Jalan Ciumbuleuit 94, Bandung, 40141, Indonesia
DOI: 10.20961/performa.17.1.17504

## Abstrak
Suatu pengelolaan persediaan yang baik merupakan hal yang sangat penting bagi suatu perusahaan, terutama karena terkait dengan biaya yang melekat pada persediaan itu sendiri. Pada umumnya, dalam mengatur persediaan, perusahaan perlu menentukan jumlah pemesanan dan waktu antar pemesanan yang optimal. Terkadang, supplier memberikan diskon dan  perusahaan  cenderung  untuk  memanfaatkan  diskon  ini  walaupun  perusahan  perlu  mempertimbangkan  kapasitas gudang  yang  tersedia.  Di  dalam  paper  ini  akan  dikembangkan  model  persediaan  multi-item  probabilistik  dengan keterbatasan gudang. Dengan menggunakan  kondisi-kondisi Kuhn-Tucker akan dikembangkan sebuah algoritma  untuk memperoleh waktu pemesanan yang optimal. Dari contoh numerik dengan mempertimbangkan berbagai kapasitas gudang yang  tersedia,  diperoleh  bahwa  jika  kapasitas  gudang  diperbesar  maka  biaya  total  akan  berkurang.  Berdasarkan parameter  yang  digunakan,  kapasitas  minimum  gudang  yang  diperlukan  agar  perusahaan  memanfaatkan    all-units discount adalah 1,316.875 satuan volume.
Kata Kunci: persediaan, multi-item, all-units discount, keterbatasan kapasitas gudang, kondisi-kondisi Kuhn-Tucker

## Abstract
A good inventory management becomes crucial for a company since it is related to some  inventory costs. In managing inventory, in general we need to determine the optimal order quantity and the optimal time to order. In some cases, when supplier offers discount, a company tends to accept this offer although it needs to consider its storage capacity. In this paper, we develop  a multi-item probabilistic  inventory  model  with all-units discount and storage space restriction.  We employed the Kuhn-Tucker Conditions and developed an algorithm to find the optimal order policy. From the numerical experiments, considering different values of storage capacity, we found that when the storage capacity increases then the optimal time to order and the optimal quantity increase making the total cost decreases. Based on the parameters we used in  the  numerical  experiments,  the  minimum  capacity  of  storage  that  the  company  needed  to  take  all-units  discount  is 1,316.875-unit volume.
Keywords : inventory, multi-item, all-units discount, storage space restriction, the Kuhn-Tucker Conditions

## 1. Pendahuluan
Suatu pengelolaan persediaan atau inventory yang baik  merupakan hal yang sangat penting bagi suatu perusahaan, terutama karena terkait dengan biaya yang melekat pada persediaan itu sendiri. Biaya-biaya tersebut ( relevant  costs) umumnya  meliputi  biaya  pemesanan,  biaya  penyimpanan,  dan  biaya  kekurangan  ( stock-out cost ) (Ballou, 2004). Keseimbangan antara biaya pemesanan dan biaya penyimpanan merupakan hal penting yang perlu diperhatikan dalam pemesanan barang. Di satu sisi, pemesanan barang  yang terlalu banyak akan menyebabkan biaya penyimpanan yang besar (biaya pemesanan relatif kecil), tetapi di sisi lain jika pemesanan terlalu  sedikit  akan  menyebabkan  biaya  pemesanan menjadi  besar  (biaya  penyimpanan  relatif  kecil),  karena frekuensi pemesanan menjadi lebih besar. Biaya lain yang perlu diperhatikan adalah biaya kekurangan, yang muncul ketika permintaan lebih besar dari persediaan. Hal ini terkait dengan apa yang disebut service level, yaitu  kemampuan  perusahaan  untuk  memenuhi  permintaan  dari  pelanggan.    Secara  umum,  hampir  tidak mungkin suatu perusahaan mencapai service level 100% terutama di dalam kondisi ketidakpastian permintaan dan  keterbatasan  biaya  persediaan.  Dalam  hal  ini,  pengelolaan service  level dalam  kaitannya  dengan ketidakpastian permintaan dan biaya persediaan menjadi sesuatu yang penting.
Persediaan dapat dipandang sebagai sumber daya yang menganggur yang akan dijual kepada konsumen, yang  memerlukan tempat penyimpanan dengan kapasitas yang tidak tak terbatas. Jika perusahaan menganut prinsip just-in-time , maka tentunya perusahaan tidak memerlukan atau hanya memerlukan tempat penyimpanan
 Korespondensi : handi.koswara@itenas.ac.id
dengan kapasitas yang tidak terlalu besar.  Tetapi dalam banyak kasus, perusahaan tetaplah memerlukan tempat penyimpanan barang dengan kapasitas tertentu. Dengan memperhatikan kapasitas penyimpanan barang yang dimiliki,  perusahaan  perlu  melakukan  pemesanan  dengan  jumlah  yang  optimal  agar  dapat  meminimumkan biaya persediaan dalam periode waktu tertentu.
Dalam banyak kasus, seringkali pihak pemasok  ( supplier) memberikan diskon untuk pemesanan barang yang  melebihi  suatu  kuantitas tertentu. Kesempatan  ini  dapat  dimanfaatkan  oleh  perusahaan  untuk  membeli barang dengan jumlah yang lebih banyak tetapi tetap perlu memperhatikan sejumlah faktor,  diantaranya adalah kapasitas  gudang  yang  dimiliki.  Jika  kapasitas  gudang  terbatas,  maka  perusahaan  tersebut  tidak  dapat memanfaatkan  diskon  yang  ditawarkan  oleh supplier secara  optimal.  Oleh  karena  itu,  diperlukan  suatu pengaturan dalam menentukan jumlah pemesanan yang memperhatikan kapasitas gudang yang tersedia.
Pada  penelitian-penelitian  sebelumnya,  Tamjidzad  dan  Mirmohammadi  (2015)  telah  mengembangkan model (r,Q) single item pada suatu sistem persediaan stokastik dengan all-units discount dan kendala sumber daya. Giri dan Roy (2013) mengembangkan model persediaan dengan quantity discount dan jumlah pengiriman yang berbeda-beda. Sarkar dkk. (2013) mengembangkan  suatu model persediaan dengan tingkat pemenuhan permintaan tertentu, kebijakan kredit dan tawaran diskon. Mousavi dkk. (2014) menggunakan algoritma particle swarm optimization untuk masalah pengendalian persediaan multi-item dengan mempertimbangkan inflasi dan diskon.  Papachristos  dan  Skouri  (2003)  mengembangkan  suatu  model persediaan  untuk  barang-barang  yang memiliki  waktu  kadaluarsa  dengan  mempertimbangkan  diskon,  harga  dan backorder yang  bergantung  pada waktu. Taleizadeh dan Pentico (2014) mengembangkan suatu model economic order quantity (EOQ) dengan backorder parsial dan all-units discount . Sementara itu, Cárdenas-Barrón dkk. (2015) mengembangkan suatu pendekatan  untuk  menyelesaikan  masalah  persediaan multi-item dengan  multi-periode  dengan  pemilihan pemasok.
Pada  penelitian  sebelumnya,  Lesmono  dan  Limansyah  (2017)  telah  mengembangkan  suatu  algoritma untuk menentukan jumlah pemesanan pada model persediaan multi-item dengan all-units discount. Sementara itu, Ghosh dkk. (2015) mengembangkan suatu model persediaan multi-item untuk barang-barang dengan masa kadaluarsa  dengan  permintaan  bergantung  pada  persediaan  dan  keterbatasan  kapasitas  gudang.  Di  dalam praktik, perusahaan tidak hanya menjual satu jenis barang dan kapasitas gudang yang dimiliki adalah terbatas. Sementara  itu  di  sisi  lain,  pihak  pemasok  seperti  telah  disebutkan  di  atas  sering  menawarkan  diskon  dalam bentuk all-units discount untuk pemesanan barang di atas jumlah tertentu. Dengan memperhatikan faktor dari pihak perusahaan dan pihak supplier , maka pada penelitian ini, akan dikembangkan suatu model persediaan multi-item dengan all-units discount dan keterbatasan kapasitas gudang.  Selanjutnya, dikembangkan pula suatu algoritma penentuan kuantitas pemesanan yang optimal dengan memperhatikan kapasitas gudang.

## 2. Model
Pada  penelitian  sebelumnya  (Lesmono  dan  Limansyah,  2017),  telah  dikembangkan  suatu  model persediaan probabilitik multi-item dengan all-units discount . Pada penelitian ini, dikembangkan  suatu model persediaan dengan all-units discount dengan adanya keterbatasan kapasitas gudang. Ada beberapa asumsi yang digunakan pada penelitian ini, yaitu :
1. Permintaan barang selama lead time mengikuti distribusi Gamma.
2. Lead time diketahui dan besarnya konstan.
3. Penanganan kekurangan persediaan dilakukan dengan backorder .
4. Jumlah pemesanan akan tetap untuk setiap periode pemesanan.
Notasi yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut :
𝐷 𝑖 :  Banyaknya permintaan barang ke – 𝑖 setiap tahun 𝑃 𝑖 :  Harga barang ke – 𝑖 ℎ 𝑖 :  Rasio biaya penyimpanan barang ke – 𝑖
𝑅 𝑖 :  Titik pemesanan kembali (Reorder point) 𝑆 :  Biaya untuk satu kali pemesanan 𝜋 𝑖
:  Biaya backorder barang ke – 𝑖 𝑇𝐴𝐶
:  Total biaya 𝑇 :  Waktu antar pemesanan
𝑊
:  Total kapasitas gudang
𝑤 𝑖 :  Volume barang ke – 𝑖
Lesmono  dan  Limansyah  (2017)  telah  mengembangkan  model  persediaan  probabilistik  dengan all-units discount . Biaya total dalam model ini adalah
𝑇𝐴𝐶(𝑇) = 𝑆 𝑇 + ∑ {𝑃 𝑖 𝐷 𝑖 + 𝑃 𝑖 ℎ 𝑖 ( 𝑇𝐷 𝑖 2 + 𝑅 𝑖 − 𝐸(𝑋 𝑖 ))} 𝑛 𝑖=1 + ∑ 𝜋 𝑖 𝑇 ∫ (𝑥 𝑖 − 𝑅 𝑖 )𝑓(𝑥 𝑖 )𝑑𝑥 𝑖 ∞ 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1 (1)
Pada model di atas, suku pertama menyatakan biaya pemesanan, suku kedua menyatakan biaya pembelian dan biaya penyimpanan, sedangkan suku ketiga menyatakan biaya backorder . Variabel 𝑋 𝑖 menyatakan peubah acak dari permintaan barang ke – 𝑖 selama lead time dimana 𝑥 𝑖 berdistribusi gamma dengan parameter 𝛼 𝑖 dan 𝛽 𝑖 . 𝐸(𝑋 𝑖 ) menyatakan  ekspektasi  permintaan  barang  ke  – 𝑖 selama lead  time .  Jika  terdapat  kendala  kapasitas gudang, maka kendalanya adalah
∑ 𝑤 𝑖 𝑄 𝑖 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑊 (2)
Karena modelnya merupakan periodic review , maka kendala pada persamaan (2) dapat diubah menjadi
𝑔(𝑇) = ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑇 𝑛 𝑖=1 ≤ 𝑊 (3)
Salah satu teknik optimasi yang dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pada (1) dengan kendala (2) adalah dengan menggunakan kondisi-kondisi Kuhn-Tucker (The Kuhn-Tucker Conditions).
The Kuhn-Tucker Conditions merupakan salah satu metode optimasi dimana terdapat kendala dengan tanda ≤ . Misal diberikan permasalahan non-linear programming sebagai berikut (Winston, 2004): min 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 )
terhadap
𝑔 1 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 1 𝑔 2 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 2 ⋮ 𝑔 𝑚 (𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) ≤ 𝑏 𝑚 (4)
Teorema 1 dapat digunakan untuk mencari solusi pada permasalahan non-linear programming pada persamaan (1) dengan kendala (3).
Teorema 1. Pada permasalahan minimasi, jika 𝑥̅ = (𝑥 1 ̅̅̅, 𝑥 2 ̅̅̅, … , 𝑥 𝑛 ̅̅̅) merupakan solusi optimal dari permasalahan pada  persamaan  (4),  maka 𝑥̅ = (𝑥 1 ̅̅̅, 𝑥 2 ̅̅̅, … , 𝑥 𝑛 ̅̅̅) harus  memenuhi 𝑚 kendala  dan  terdapat 𝜆 1 , 𝜆 2 , … , 𝜆 𝑚 yang memenuhi (Winston, 2004)
𝜕𝑓(𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑗 + ∑ 𝜆 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝜕𝑔 𝑖 (𝑥̅) 𝜕𝑥 𝑗 = 0 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 𝜆 𝑖 (𝑏 𝑖 − 𝑔 𝑖 (𝑥̅)) = 0 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 𝜆 𝑖 ≥ 0 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
Model penelitian yang digunakan adalah
min 𝑇𝐴𝐶(𝑇)
dengan kendala
𝑔(𝑇) ≤ 𝑊
𝑇 ≥ 0
dimana 𝑇𝐴𝐶(𝑇) merupakan  fungsi  dari  total  biaya  yang  dinyatakan  pada  persamaan  (1).  Fungsi 𝑔(𝑇) merupakan kendala dari kapasitas gudang yang dinyatakan pada persamaan (3).
Dengan  kondisi-kondisi Kuhn-Tucker ,  dapat  ditentukan  solusi  yang  optimal  dari  permasalahan  ini. Perhatikan bahwa
𝑑𝑇𝐴𝐶 𝑑𝑇 = ∑ ( 𝑃 𝑖 ℎ 𝑖 𝐷 𝑖 2 − 𝜋 𝑖 𝑇 2 ∫ (𝑥 𝑖 − 𝑅 𝑖 )𝑓(𝑥 𝑖 )𝑑𝑥 𝑖 ∞ 𝑅 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 − 𝑆 𝑇 2 (5)
𝛼 𝑖
: Shape paramater distribusi gamma barang ke – 𝑖 𝛽 𝑖 : Rate paramater distribusi gamma barang ke – 𝑖
𝑑𝑔 𝑑𝑇 = ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 . (6)
Berdasarkan Teorema 1, diperoleh dua persamaan sebagai berikut:
∑ ( 𝑃 𝑖 ℎ 𝑖 𝐷 𝑖 2 − 𝜋 𝑖 𝑇 2 ∫ (𝑥 𝑖 − 𝑅 𝑖 )𝑓(𝑥 𝑖 )𝑑𝑥 𝑖 ∞ 𝑅 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 − 𝑆 𝑇 2 + 𝜆 ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 = 0 (7)
𝜆 (∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑇 𝑛 𝑖=1 − 𝑊) = 0 (8)
𝜆 ≥ 0. (9)
Perhatikan  persamaan  (8),  jika 𝜆 = 0 maka 𝑔(𝑇) − 𝑊 < 0 atau 𝑔(𝑇) − 𝑊 > 0 .  Agar  persamaaan  ini memenuhi pertidaksamaan (3) maka haruslah 𝑔(𝑇) − 𝑊 < 0 . Ini berarti bahwa kapasitas gudang akan cukup untuk menampung pesanan. Jika 𝜆 > 0 maka 𝑔(𝑇) − 𝑊 = 0 . Hal ini berarti bahwa jumlah pemesanan dibatasi oleh kapasitas gudang.
Untuk 𝜆 > 0 , persamaan (8) dapat diubah menjadi
∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑇 𝑛 𝑖=1 = 𝑊 𝑇 = 𝑊 ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 (10)
Perhatikan pada persamaan (7), variabel 𝜆 dapat ditulis secara eksplisit sebagai berikut :
𝜆 = 1 𝑇 2 (𝑆 + ∑ 𝜋 𝑖 ∫ (𝑥 − 𝑅 𝑖 )𝑓(𝑥 𝑖 )𝑑𝑥 𝑖 ∞ 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) − ∑ 𝑃 𝑖 ℎ 𝑖 𝐷 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 (11)
Karena 𝜆 > 0 dan ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 > 0 maka
1 𝑇 2 (𝑆 + ∑ 𝜋 𝑖 ∫ (𝑥 − 𝑅 𝑖 )𝑓(𝑥 𝑖 )𝑑𝑥 𝑖 ∞ 𝑅 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) − ∑ 𝑃 𝑖 ℎ 𝑖 𝐷 𝑖 2 𝑛 𝑖=1 > 0 (12)
Pertidaksamaan (12) ekuivalen dengan
𝑇 2 < 2 ( 𝑆 + ∑ 𝜋 𝑖 ∫ ( 𝑥 𝑖 − 𝑅 𝑖 ) ∞ 𝑅 𝑖 𝑓 ( 𝑥 𝑖 ) 𝑑𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) ∑ 𝑃 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 ℎ 𝑖 (13)
Karena nilai 𝑇 > 0 maka
𝑇 < √ 2 ( 𝑆 + ∑ 𝜋 𝑖 ∫ ( 𝑥 𝑖 − 𝑅 𝑖 ) ∞ 𝑅 𝑖 𝑓 ( 𝑥 𝑖 ) 𝑑𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) ∑ 𝑃 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 ℎ 𝑖 (14)
Ruas  kanan  pada  pertidaksamaan  (14)  sama  dengan  formula  untuk  mencari 𝑇 optimal  dari joint  order (Lesmono  & Limansyah, 2017), sehingga jika nilai 𝑇 yang diperoleh dari persamaan (10) lebih kecil dari 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 maka nilai 𝜆 > 0 yang berarti terdapat kapasitas gudang yang terbatas.
Untuk menentukan nilai 𝑇 yang memberikan nilai 𝑇𝐴𝐶 minimum, telah dikembangkan suatu algoritma sebagai berikut :
1. Tentukan nilai 𝑇 berdasarkan persamaan (10).
2. Tentukan harga untuk semua barang (𝑃 𝑖 ) berdasarkan nilai 𝑇 yang diperoleh.
3. Tentukan nilai 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 . 4. Jika 𝑇 ≥ 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 maka tidak ada kendala kapasitas gudang dan nilai 𝑇 optimum adalah 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 . Jika 𝑇 < 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 , maka nilai 𝑇 yang diperoleh dari langkah 1 merupakan solusi optimal.

## 3. Hasil dan Analisis
Pada  bab ini,  dibahas  contoh  numerik dari  pencarian solusi optimum  dari  permasalahan persediaan  multi item dengan keterbatasan kapasitas gudang. Data yang digunakan adalah sebagai berikut (Lesmono dan Limansyah, 2017), dengan menambahkan harga barang untuk pemesanan yang melebihi kuantitas tertentu, dan kapasitas gudang sebesar 500 satuan volume.
Tabel 1. Data Produk Produk 1 Produk 2 Produk 3 𝐷 𝑖 550 400 800 𝑤 𝑖 2 2 2 ℎ 𝑖 0,01 0,015 0,01 𝜋 𝑖 1,5 2 1,2 𝑃 𝑖 12, 𝑄 < 201 10,5 , 𝑄 ≥ 201 15, 𝑄 < 131 13, 𝑄 ≥ 131 8, 𝑄 < 301 7, 𝑄 ≥ 301 𝛼 5 5 3 𝛽 2 1 2
Berdasarkan Lesmono dan Limansyah (2017) nilai 𝑅 𝑖 untuk produk 1, produk 2, dan produk 3 adalah 20, 10, dan 15, sedangkan biaya pemesanan untuk joint order , S adalah 9.
Berdasarkan langkah 1 pada algoritma, nilai 𝑇 dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (10). Nilai 𝑇 yang diperoleh adalah 1 7 tahun. Karena 𝑇 = 1 7 tahun, maka harga untuk barang 1 ( 𝑃 1 ) adalah 12, harga untuk barang 2 ( 𝑃 2 ) adalah 15, dan harga untuk barang 3 (𝑃 3 ) adalah 8. Pada langkah 3 dari algoritma, nilai 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 dapat ditentukan. Nilai 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 yang diperoleh adalah 0,2903. Karena nilai 𝑇 < 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 , maka pembelian bahan baku terbatas dan 𝑇 = 1 7 tahun merupakan solusi optimal dengan total biaya 19.083 dan 𝑄 1 = 79, 𝑄 2 = 58, dan 𝑄 3 = 115 .
Dengan cara yang serupa, untuk kapasitas gudang tersedia adalah 750, 1000, dan 1250 satuan volume, waktu antar pemesanan, total biaya, dan jumlah pemesanan setiap barang dapat dilihat pada tabel 2.
Tabel 2. Nilai 𝑇, 𝑇𝐴𝐶, 𝑄 1 , 𝑄 2 , 𝑄 3 dari Kapasitas Gudang yang Berbeda-beda
Kapasitas Gudang 𝑇 optimum 𝑇𝐴𝐶 𝑄 1 𝑄 2 𝑄 3 750 3 14 19.069 118 86 172 1000 2 7 19.066 158 115 229 1250 5 14 18.266 197 143 286
Dari tabel 2, dapat diperoleh bahwa jika semakin besar kapasitas gudang yang tersedia maka waktu antar pemesanan yang optimum  akan  semakin  lama,  kuantitas  pemesanan  akan  semakin  besar  dan  total  biaya  yang  harus  dikeluarkan  oleh perusahaan  akan  semakin  kecil.  Hal  ini  terjadi  karena  ketika  waktu  antar  pemesanan  menjadi  lebih  panjang,  maka perusahaan perlu memesan barang dalam jumlah yang lebih besar (kapasitas gudang masih mencukupi), sehingga dapat dengan lebih optimal memanfaatkan diskon yang diberikan oleh pihak pemasok yang akan berakibat biaya total persediaan menjadi lebih kecil.
Dari hasil ini, dapat juga ditentukan volume gudang minimum agar perusahaan tersebut dapat memanfaatkan diskon yang  diberikan  dari supplier .  Nilai  dari 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 dimana  harga  ketiga  barang  tersebut  merupakan  harga  diskon  adalah 0,37625 , sehingga volume gudang minimum yang diperlukan adalah
𝑊 ∑ 𝑤 𝑖 𝐷 𝑖 𝑛 𝑖=1 ≥ 0,37625

## 𝑊 ≥ 1.316,875.
Volume  gudang  minimum  adalah  1.316,875  satuan  volume.  Jika  kapasitas  gudang  yang  tersedia  adalah 1.316,875  maka  waktu  antar  pemesanan  adalah  0,37625  dan  total  biaya  yang  dikeluarkan  oleh  perusahaan adalah 16.638.

## 4. Simpulan dan Saran
Pada model persediaan dimana terdapat n buah barang dengan all-units discount dan kendala kapasitas gudang, waktu antar pemesanan dapat ditentukan dengan suatu algoritma yang  telah dipaparkan. Jika nilai 𝑇 yang diperoleh lebih kecil dari 𝑇 𝑗𝑜𝑖𝑛𝑡 maka kapasitas gudang tidak mampu untuk menyimpan barang yang dipesan dari supplier . Dari algoritma ini juga dapat ditentukan volume gudang minimum yang diperlukan. Dari contoh numerik yang digunakan diperoleh bahwa 𝑇 𝑜𝑝𝑡𝑖𝑚𝑢𝑚 = 1 7 tahun  dimana  volume  gudang  yang tersedia  adalah 500  satuan  volume. Jika  kapasitas  gudang diperbesar, maka waktu antar pemesanan yang optimum akan semakin lama, kuantitas pemesanan akan semakin besar dan total biaya yang harus dikeluarkan oleh perusahaan akan semakin kecil. Volume gudang minimum yang diperlukan agar  perusahaan  dapat  memanfaatkan  diskon  yang  diberikan  oleh supplier adalah  1.316,875  satuan  volume.  Untuk penelitian selanjutnya, model ini dapat dikembangkan dengan mempertimbangkan  kapasitas gudang keterbatasan dana yang tersedia secara simultan.
Pada penelitian ini diasumsikan bahwa barang tidak mengalami penurunan kualitas. Untuk barang-barang tertentu, kualitas barang akan mengalami penurunan seiring dengan berjalannya waktu. Pelibatan faktor kadaluwarsa barang ke dalam model merupakan salah satu arah untuk penelitian lebih lanjut. Dengan adanya faktor kadaluwarsa barang, maka perlu  diperhatikan  adanya  keseimbangan  antara  kapasitas  gudang  dengan  kuantitas  pemesanan  barang  untuk memanfaatkan diskon dari supplier secara lebih optimal.

## Daftar Pustaka
Ballou, R. H. (2004). Business logistics/Supply Chain Management. Pearson Prentice Hall.
Cárdenas-Barrón, L. E., González-Velarde, J. L., & Treviño-Garza, G. (2015). A new approach to solve the multi-product  multi-period  inventory  lot  sizing  with  supplier  selection  problem. Computers  & Operations Research , 64 , 225-232.
Ghosh,  S.  K.,  Sarkar,  T.,  &  Chaudhuri,  K.  (2015).  A  multi-item  inventory  model  for  deteriorating  items  in limited  storage  space  with  stock-dependent  demand. American  Journal  of  Mathematical  and Management Sciences , 34 (2), 147-161.
Giri, B. C., & Roy, B. (2013). A vendor–buyer integrated production-inventory model with quantity discount and unequal sized shipments. International Journal of Operational Research , 16 (1), 1-13.
Lesmono,  D.,  &  Limansyah,  T.  (2017,  October).  A  multi  item  probabilistic  inventory  model.  In Journal  of Physics: Conference Series (Vol. 893, No. 1, p. 012024). IOP Publishing.
Mousavi, S. M., Hajipour, V., Niaki, S. T. A., & Aalikar, N. (2014). A multi-product multi-period inventory control problem under inflation and discount: a parameter-tuned particle swarm optimization algorithm. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology , 70 (9-12), 1739-1756.
Papachristos, S., & Skouri, K. (2003). An inventory model with deteriorating items, quantity discount, pricing and time-dependent partial backlogging. International Journal of Production Economics , 83 (3), 247-
256.
Sarkar, B., Sana, S. S., & Chaudhuri, K. (2013). An inventory model with finite replenishment rate, trade credit policy and price-discount offer. Journal of Industrial Engineering , 2013 .
Taleizadeh, A. A., & Pentico, D. W. (2014). An economic order quantity model with partial backordering and all-units discount. International Journal of Production Economics , 155 , 172-184.
Tamjidzad, S., & Mirmohammadi, S. H. (2015). An optimal (r, Q) policy in a stochastic inventory system with all-units quantity discount and limited sharable resource. European Journal of Operational Research ,
247 (1), 93-100.
Tersine, R. J. (1994). Principles of inventory and materials management. New York: Elsevier North-Holland Winston, W. L. (2004). Operations Research Applications and Algorithms. New York: Duxbury Press.