## KONTROL ASYMPTOTIC TRACKING PADA SYSTEM NON LINEAR DENGAN MENGGUNAKAN NONHYPERBOLIC ZERO DINAMIC (PENDULUM TERBALIK)

## CONTROL ASYMPTOTIC TRACKING SYSTEM NON LINEAR WITH USED NONHYPERBOLIC ZERO DINAMIC
Lilis Harianti Hasibuan 1§ , La Ode Sabran 2
1 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: lilisharianti@uinib.ac.id ]
2 Universitas Islam Negeri Imam Bonjol Padang, Indonesia [Email: ld.sabran@uho.ac.id ]
§ Corresponding Author

## Received 2019; Accepted 2019; Published 2019

## Abstrak
Tulisan    ini  membahas  tentang  permasalahan control  tracking pada  system  pendulum  terbalik  pada  dua buah gerobak/kereta yang dikenal dengan system yang non linear. Adapun sifat-sifat dari system pendulum terbalik  pada  dua  buah  gerobak/kereta  adalah  nonlinear,  nonminimum  phase  dengan  system  zero nonhyperbolic system.  Pada jurnal ini pertama sekali akan ditunjukkan bahwa nonhyperbolic zero dinamik tidak  begitu  perlu  diaplikasikan  pada  teori    keluaran  regulation.    Pada  bidang  lain,  masalah  asymptotic tracking  pada  dua  gerobak/kereta  dengan    menggunakan  system  pendulum  terbalik    yang  mana  system pendulum terbalik ini mampu  mengikuti pergerakan secara sinusoidal. Pergerakan tracking pada system pendulum terbalik yang mengikuti pergerakan sinusoidal inilah yang merupakan hasil dari keluaran teori regulation.    Sistem  kontrol  dibutuhkan  untuk  menstabilkan  dan  membuat  batang  pendulum  pada  posisi equilibriumnya  yaitu  pada  sudut  nol  radian.  Sistem  pendulum  kereta  memiliki  beberapa  permasalahan kontrol  diantaranya tracking. System  ini  terdiri  dari  sebuah  kereta  yang  pergerakannya  sepanjang  track terbatas  pada  gerak  linear  dan  gerak  batang  yang  dipasang  pada  kereta.  Antara  kereta  dan  batang dihubungkan dengan sebuah engsel. Pendulum-kereta merupakan sistem yang tidak stabil dan nonlinear, sehingga untuk mengontrolnya diperlukan teknik kontrol yang tidak mudah dibandingkan dengan teknik kontrol pada sistem yang linear dan stabil.
Kata Kunci : asymptotic tracking, nonhyperbolic, non linear output regulation, non minimum phase

## Abstract
This paper discusses the problem of tracking control on the inverted pendulum system on two carts / trains known as non-linear systems. The properties of the inverted pendulum system on two carts are nonlinear, non-minimum  phase  with  zero  non-hyperbolic  system.  In  this  journal,  we  will  first  show  that  dynamic nonhyperbolic zero does not need to be applied to the output regulation theory. In other fields, the problem of  asymptotic  tracking  on  two  carts  /  trains  using  an  inverted  pendulum  system  in  which  the  inverted pendulum  system  is  capable  of  following  sinusoidal  movements.  The  tracking  movement  in  the  inverted pendulum system that follows sinusoidal movement is the result of the regulation theory output. The control system is needed to stabilize and make the pendulum rod at its equilibrium position at zero angle radians.
The train pendulum system has several control issues including tracking. This system consists of a train whose movement along the track is limited to linear motion and the motion of the rod mounted on the train. Between the carriage and the trunk is connected by a hinge. Pendulum-train is an unstable and nonlinear system, so to control it requires a control technique that is not easy compared to the control technique in a linear and stable system.
Keyword : asymptotic tracking, nonhyperbolic, non linear output regulation, non minimum phase

## 1. Pendahuluan
Penelitian  tentang  pendulum  terbalik  sudah lama dilakukan diberbagai belahan dunia, dengan berbagai  cara  dan  bentuk  penelitian  yang dilakukan  agar  dapat  membuat  kesimpulan tentang  pengontrol  pendulum  terbalik.  Prinsip kerja  dari  pendulum  terbalik  membuat  banyak peneliti  melakukan  penelitian  tentang  pendulum terbalik  salah  satunya  pada  bidang  model  kereta, karakteristik dari sistem nonlinear yang sederhana tapi  sulit  untuk  dikontrol  pada  bidang  model kereta  sehingga  sering  menggunakan  berbagai metode  untuk  mengontrolnya.  Sistem  pendulum terbalik  merupakan  sistem  yang  tidak  stabil  dan nonlinear, sehingga untuk mengontrolnya diperlukan  teknik  kontrol  yang  tidak  mudah dibanding dengan teknik kontrol pada sistem yang linear  dan  stabil  [8].  Secara  umum,  sistem pendulum  terbalik  banyak  digunakan  sebagai bentuk  nyata  dalam  suatu  sistem  kontrol  Seiring dengan  perkembangan  ilmu  pengetahuan  dan teknologi,  sistem  pendulum  terbalik  merupakan suatu sistem yang sangat penting dalam penelitian di  bidang  kontrol.  Beberapa  teori  dan  metode kontrol  banyak  diuji  dan  dibandingkan  melalui pengujian terhadap sistem pendulum terbalik. Hal tersebut  dikarenakan  sistem  pendulum  terbalik merupakan  sistem  nonlinear  yang  kompleks  dan
tidak  stabil,  dapat  dilinearisasi  di  sekitar  titik kesetimbangan,  serta  mudah  diterapkan  dalam sistem aktual Sistem  pendulum terbalik memiliki beberapa  permasalahan  kontrol  diantaranya swing-up,  stabilisasi,  dan  tracking.  Swing-up merupakan  kondisi  sistem  pendulum  terbalik dalam mengayunkan batang pendulum dari posisi menggantung  menjadi  terbalik.  Selanjutnya kondisi sistem pendulum terbalik dalam mempertahankan posisi pendulum dalam keadaan terbalik  disebut  stabilisasi  oleh  [9].  Sedangkan tracking  adalah  upaya  untuk  mengontrol  kereta agar  mengikuti  sinyal  referensi  yang  diberikan dengan  mempertahankan  pendulum  pada  posisi terbalik.  Oleh  karena  itu,  penelititan    yang membahas tentang kestabilan dari sistem pendulum  terbalik  melalui  Linear  Quadratic Regulator  (LQR)  agar  stabil  dan  dapat  dikontrol [9]. Sedangkan Menurut A. Isidori dan C.I. Byrnes [1] pendulum terbalik pada sebuah kereta bergerak adalah  system  klasik  yang  digunakan  untuk mendemonstrasikan aspek teori dan aspek praktis dari  teori  control.  System  ini  terdiri  dari  sebuah kereta  yang  pergerakannya  sepanjang  track terbatas pada gerak linear dan gerak batang  yang dipasang  pada  kereta.  Antara  kereta  dan  batang dihubungkan dengan sebuah engsel. Antara kereta
dan  batang  dihubungkan  dengan  sebuah  engsel.
Kereta  dilengkapi  dengan  sebuah  motor  yang
menerima tenaga listrik Pendulum-kereta merupakan sistem yang tidak stabil dan nonlinear, sehingga  untuk  mengontrolnya  diperlukan  teknik kontrol  yang  tidak  mudah  dibandingkan  dengan teknik kontrol pada sistem yang linear dan stabil.
Sedangkan  menurut  Hassan  K.  Khalil  [3]  secara umum sistem pendulum-kereta banyak digunakan sebagai plant nyata dalam suatu sistem kontrol.

## 2 . Landasan Teori
Sistem kontrol dibutuhkan untuk menstabilkan dan membuat batang pendulum pada posisi equilibriumnya yaitu pada sudut nol radian. Sistem  pendulum-kereta  memiliki  beberapa permasalahan  kontrol  diantaranya tracking.
Selanjutnya  pergerakan  system  dapat  dituliskan sebagai berikut:
0 ) sin cos ( ) sin cos ( ) ( , , , , 1 , 1 , 2 , , , , 1                   g l m u b ml m M
Untuk  memahami  persamaan  pergerakan  system di atas perhatikan gambar di bawah ini:
Gambar  1:    system  pendulum  terbalik  pada  dua gerobak/kereta
Keterangan:
M Massa gerobak/kereta m Massa block pendulum l Panjang pendulum g Akselarasi yang diakibatkan oleh gravitasi b Koefisien viscous friction pergerakan gerobak/kereta

Posisi sudut batang pendulum dengan sumbu vertikal
1  Posisi gerobak/kereta 1
2 

## Posisi gerobak/kereta 1

## u
Control/force
Untuk  mempelajari  masalah  symptotik  tracking pada system non linear dengan nonhyperbolic zero dinamik  ,  Devasia    menggunakan  pendulum terbalik    pada  satu  gerobak  saja  tetapi  dia  juga menghasilkan  system  pendulum  terbalik  untuk dua  gerobak/kereta    seperti  yang  ditunjukkan gambar  1,  persamaan  untuk  system  pendulum terbalik untuk dua gerobak yaitu sebagai berikut:
2.
0 )) ( ) ( ( ) ( 0 ) sin cos ( ) ( ) sin cos ( ) ( 1 2 , , 2 , , , , 1 1 2 , 1 , 2 , , , , 1              t t K t M g l m K u b ml m M                Dimana 2  menyatakan posisi dari gerobak kedua.
Dan K menyatakan konstanta kontroler.

## Dengan memisalkan variable
, 2 6 2 5 , 4 3 , 1 2 1 1 , , , , ,             x x x x x x
Persamaan  state-spase  pada  system  pendulum terbalik pada dua gerobak/kereta adalah:
) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) cos ) ( cos sin cos ) 1 ( cos sin ) (( ) ) (sin ( 1 )) ( sin cos sin ( ) (sin 1 1 5 1 , 6 6 , 5 3 1 5 3 3 2 4 3 2 3 3 2 3 , 4 4 , 3 1 5 3 3 2 3 2 4 2 3 , 2 2 , 1 t x t y x x M K x x x x x x K x x mlx x bx x u x g m M x m M l x x x x x K x x mg bx x mlx u x m M x x x                     
menunjukkan bahwa [1] adalah system nonminimum  space  dengan  nonhiperbolik  zero dynamic  dan  titik  luar  yang  berdasarkan  dari keluaran dari tracking pendulum terbalik.  Devasia mengubah system nonhyperbolik dengan memodifikasi  system  dinamik  ,  dan  idenya. mengembangkan  metode  aproksimasi  untuk menyelesaikan masalah symptotik tracking dengan  menggunakan  system  pendulum  terbalik pada dua gerobak/kereta.

## 3. Hasil dan Pembahasan

## 3.1. Penyelesaian Persamaan Regulator
Misalkan system pendulum terbalik pada dua gerobak/kereta memenuhi bentuk  standar berikut:
) ( ) 2 ( ) ( ) ( , x h y u x g x f x   
System pendulum terbalik memiliki vector state:
T x x x x ] ,..., , [ 6 2 1  ) ( ), ( x f x g dapat dilihat di (*) dan 1 ) ( x x h 
Kita akan memisalkan asymptotic tracking yang mana keluaran y yang mengikuti sinyal input sinusiodel yaitu t A t y d  sin ) (  .  Diperkenalkan suatu eksternal generator yaitu:
0 , ) 0 ( , 0 , ) ( ) ( v v t t Sv t v    (3)
                                        
                                0 0 ) ) (sin ( cos 0 ) (sin 1 0 ) ( ) ( )) ( cos sin cos sin ) (( ) ) (sin ( 1 )) ( sin cos sin ( ) (sin 1 ) ( (*) 2 3 3 2 3 5 1 6 1 5 3 3 2 4 3 2 3 2 3 4 1 5 3 3 2 3 2 4 2 3 2 x m M l x x m M x g x x M K x x x K x x mlx x bx x g m M x m M l x x x K x x mg bx x mlx x m M x x f
Dengan :
                      0 , 0 0 , 0 2 1 A v S v v v   Maka jelas 0 ), ( ) ( 1   t t v t y d . Masalah untuk asymptotic tracking adalah  state himpunan
control ) , ( v x k u  ke stabil local pada system close –loop untuk mencapai titik kestabilan tracking di nol yang stabil asymptotic , dengan pencapaian sebagai berikut:
0 )) ( ) ( ( lim     t y t y d t (4)
Persamaan 4 di atas dikenal sebagai bentuk standar keluaran teori regulasi atau diasumsikan
              ) 0 ( , ) 0 ( g x f adalah stabil. Permasalahan di
atas adalah merupakan solusi jika dan hanya jika persamaan regulator diasosiasikan dengan masalah tracking di atas :
1 )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( v v x h v u u x g v x f Sv v v x     
(5)
Merupakan solusi untuk fungsi ) ( v x dan ) ( v u
yang memenuhi 0 ) 0 (  x dan
0 ) 0 (  u . Faktanya
telah diasumsikan               ) 0 ( , ) 0 ( g x f adalah stabil,
dan L adalah konstanta feedback sehingga
L g x f                ) 0 ( ) 0 ( adalah stabil, kemudian
himpunan control diberikan sebagai berikut:
)) ( ( ) ( v x x L v u u    (6)
persamaan 6 merupakan solusi dari persamaan regulator pada persamaan 5 .
Ada beberapa remark yang perlu diperhatikan untuk mendapatkan keluaran dari regulation:
1 )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( ) ( v v x h v u u x g v x f Sv v v x     
Isidori  dan  Byrnes  telah  mempelajari  solusi  dari persamaan  regulator  pada  persamaan  5  di  atas. Persamaan regulator 5 dapat dicari solusinya jika zero  dinamik  pada  persamaan  2  dan  ekternal regulator  pada  persamaan  3  terdefinisi  dengan baik, dan zero dinamik menyebabkan terbentuknya  invariant  manifold  pada  system tersebut.  Untuk  masalah  ini,  zero  dynamic terdefinisi  dengan  baik  ,  dan  dapat  dituliskan seperti persamaan di bawah ini :
1 2 , 2 , 1 5 1 , 6 6 5 , 3 3 1 2 , 4 4 , 3 , ) ( , ) 7 ( sin cos , v v v v x v M K x x x x l g x v l x x x            
Persamaan  (7)  diubah  menjadi  persamaan  dalam Bentuk:
) 9 ( ) 8 ( ) , ( , , Sv v v z z    Dengan                                 ) ( sin cos ) , ( , 5 1 6 3 3 1 2 4 6 5 4 3 x v M K x x l g x v l x v z x x x x z  
Invariant  manifold  yang  telah  disebutkan  pada remark  1  didefinisikan  oleh  fungsi  licin ) ( v z

## dengan
0 ) 0 (  z , memenuhi persamaan differential parsial sebagai berikut:
) 10 ( ) ), ( ( ) ( v v z Sv v v z    
Lemma 3.1. [2] Jika zero dynamic system adalah
hiperbolik  dan
z   )) 0 , 0 ( (  tidak  mempunyai  nilai
eigen  yang  imajiner  ,  maka  teorema center manifold memiliki eksistensi solusi, yang memuat semua  nilai  eigen  pada S adalah  pada  sumbu imajiner dan di bidang kompleks.
Bukti. Untuk  memeriksa  apakah  nilai  eigen  dari
S berada  pada  sumbu  imajiner  pada  bidang kompleks  ,  tetapi  zero  dynamic  system  tidaklah hyperbolic karena:
z   )) 0 , 0 ( (  mempunyai  nilai  eigen  imajiner
M K j  .  Disini akan ditunjukkan bahwa solusi
) ( v z pada  persamaan  (10)  ada.  Kita  dapat membagi  persamaan  (10)  menjadi  dua  bagian yaitu sebagai berikut:
) 12 ( ) ), ( ( ) ( ) 11 ( ) ), ( ( ) ( 2 2 2 1 1 1 v v z Sv v v z v v z Sv v v z        
Dengan
                     ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( 2 1 6 5 2 4 3 1 v z v z v z v x v x v z v x v x v z
Dan                       5 1 6 6 5 1 2 2 3 3 1 2 4 4 3 1 1 1 ( ) , , ( ) , ( sin cos ) , , ( ) , ( x v M K x v x x v z x l g x v l x v x x v z     
Subsistem  persamaan  (11)  adalah  hyperbolic
karena  nilai  eigen  dari
1 1 )) 0 , 0 ( ( z    adalah l g  .
Sehingga  dengan  menggunakan  teorema  center manifold  ,  fungsi  licin ) ( 1 v z dengan 0 ) 0 ( 1  z ada dan memenuhi persamaan (11) secara local. Tetapi untuk  persamaan  (12)  ,  karena ) , ( 2 2 v z  adalah linear  di 2 z dan v ,  dengan  menggunakan  metode standar untuk menyelesaikan versi linear dari (12), dapat  dibuat  dalam  bentuk  yang  lebih  eksplisit yang akan memenuhi:
                      2 2 1 2 6 5 2
1 1 1 ) ( ) ( ) ( v v v x v x v z    , dengan
M K /    . Sehingga invariant manifold yang didefinisikan pada (10)ada berbentuk
nonhyperbolik pada system (2).
Solusi  dari  (10)  adalah  ada.  Kita  dapat  juga dengan  mudah  membuat  solusi  dari  persamaan regulator (5) oleh metode standar  yang diberikan pada    (10).  Faktanya,  ini  tidak  sulit  untuk diperiksa, untuk system kita solusi dari persamaan (5) adalah:
) 14 ( ) 1 1 ( ) ( sin ) ( cos ) ( sin ) ( )) ( sin ( ) ( ) 13 ( 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 3 3 3 2 4 1 2 3 2 2 2 1 2 4 3 2 1 v v K v b v x v x mg
v x v mlx v v x m M v u v v v x v x v v v x           
                                Dimana ) ( 3 v x dan ) ( 4 v x ada.

## 3.2. Aproksimasi Center Manifold
Jacobian linearisasi dari system pendulum terbalik pada  dua  gerobak/kereta  dapat  dihitung  sebagai berikut:
                
              0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ) ( 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 ) 0 ( M K M K lM K g lM m M lM b lM K
M K M mg M b M K x f          

## 


## 

##        


## 
   0 0 1 0 1 ) 0 ( lM M g
Yang  mana  ini  adalah  terkontrol  .  state  hukum feedback  control  pada  persamaan  (6)  yang merupakan solusi keluaran dari masalah regulation ada, dengan titik luar yang ada pada (2).
Akan  tetapi  solusi  untuk ) ( 3 v x dan ) ( 4 v x
diperlukan.  Karena  fungsi  nonlinear (.,.) 1  tidaklah mudah, tidak mungkin untuk menyelesaikan  (11)  secara  analitik,  kita  akan menggunakan  approksimasi  dengan  ekspansi
power  series  untuk ) ( 3 v x dan ) ( 4 v x untuk menyelesaikan persamaan:
) 15 ( ) ), ( ( ) ( v v z f Sv v v z    Dimana q q q R S R v    , dan n q n R R R f   : (.,.) adalah  fungsi  licin  yang terdefinisi  di  seluruh  persekitaran  titik  pusat
n q n R R
R   , yang memenuhi 0 ) 0 , 0 (  f . Kita akan  membuat  bentuk  ekspansi  dengan  bentuk seperti dibawah ini:
) 16 ( ) ( 1 ] [    k k l v Z v z Dimana ] [ l v dinotasikan dalam vector:
) 17 ( ] ... ... ... [ 2 2 1 3 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 ] [ T l q q l l l q l l l l v v v v v v v v v v v v v v v      
Persamaan (15) dipenuhi secara baik. Substitusikan (16) ke persamaan (15) ,
ekspansikan persamaan (15) ke deret Taylor pada
v ,  dan  diidentifikasi  koefisien  dari ,.... 2 , 1 , ] [  l v l
yang mana menghasilkan hasil sebagai berikut:
Teorema  3.3. [1]  Sebuah  formal  series  pada bentuk  persamaan  (16)  (adalah  unik  jika m p  , persamaan dari (15) ada jika:
) 18 ( ) 0 , 0 ( n I z f rank
         untuk semua  diberikan oleh:      ,..., 2 , 1 , ... 1 l l i i    (19) dimana } ,..., 2 , 1 { ,..., 1 q i i l  dan q   ,..., 1 adalah nilai eigen dari S .

## BUKTI :
Teorema  3.3  dapat  ditunjukkan  menggunakan perluasan yang sama dan terus untuk dikembangkan. Faktanya koefisien matriks
,... 2 , 1 ,  l Z l dapat diselesaikan dengan persamaan aljabar  linear,  perlu  dicatat  bahwa  dengan menggunakan  ekspansi  deret  Taylor  untuk menyelesaikan persamaan (15).
Tabel 1.
Maximal Steady –State Tracking Error Persentase
dengan 1   Frekuensi Nonlinear Linear A=1.0 0.00030 0.0101 A=2.0 0.0011 0.0442 A=3.0 0.0052 0.1144 A=4.0 0.0184 0.2630 A=5.0 0.0531 0.7793 A=6.0 0.1306 Tidak stabil
Kondisi Rank pada persamaan (18) adalah sedikit lebih  kuat  dari  asumsi  hiperbolik  pada  matriks
z f   ) 0 , 0 ( ( karena  kondisi  rank  tersebut  tidak hanya  dilarang  untuk  nilai  eigen  yang  imajiner. Karena  semua  nilai  eigen  dari  matriks S mempunyai  bagian  real  0  ,  dan z   )) 0 , 0 ( ( 1 
adalah  hiperbolik,  persamaan  (11)  memenuhi kondisi  (18).  Sehingga  persamaan  (11)  dibuat menjadi  ekpansi  deret  Taylor  sehingga  menjadi
bentuk (16). Faktanya persamaan (11)
diekspansikan  menjadi  aproksimasi  derajat  tiga  , seperti persamaan berikut ini:
) 21 ( ) 2 3 ( ) ( ) ( ) 20 ( ) ( 2 2 1 12 30 3 2 12 2 10 ) 3 ( 4 3 1 30 2 2 1 12 1 10 ) 3 ( 3   v v a a v a v a v x v a v v a v a v x        Dimana ) 9 )( ( 6 ) 3 )( 7 ( ) 9 )( ( ) 3 ( , 2 2 10 2 2 10 30 2 2 10 2 2 10 12 2 10                               a a a a a a a Dengan l 2    dan l g   .
Solusi untuk derajat ketiga dari persamaan (11) , kita  dapat  solusi  derajat  ketiga  dari  persamaan regulator  (5)  dari  persamaan  (13)dan  persamaan (14) seperti berikut ini:
) 1 1 ( ) ) ( 3 2 ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( 1 1 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 3 1 10 ) 3 ( 3 1 10 2 2 10 1 2 2 1 10 ) 3 ( 1 2 1 2 ) 3 ( 4 ) 3 ( 3 2 1 ) 3 ( v v K v b v a v x mg v a v a ml v v a m M v u v v v x v x v v v x                                              3.3. Simulasi Berdasarkan ) ( ) 3 ( v x dan ) ( ) 3 ( v u ,  aproksimasi derajat ketiga , dipeoleh himpunan control sebagai berikut:
) 22 ( )) ( ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( v x x L v u u    Dimana ] 71 . 1 41 . 4 32 . 6 9 . 35 9 . 15 82 . 4 [    L ,
nilai  eigen  dari
L g x f ) 0 ( ) 0 (    akan  sama
dengan -2.
Perlakuan  control  yang  kita  gunakan  dievaluasi dengan  menggunakan  simulasi,  dengan  berbagai nilai    amplitude A dan  frekuensi  .  Nilai
parameter diberikan dimana
kg m dan s m g m l kg M s kg b 051 . 0 , / 8 . 9 , 325 . 0 , 378 . 1 , / 98 . 12
2    
 .
Perlakuan  Kontrol  dapat  dilihat  pada  gambar
berikut:
Gambar  2.  Perlakuan  control  yang  kita  gunakan dievaluasi dengan menggunakan simulasi, dengan berbagai nilai  amplitude A dan frekuensi  .
Table  1  di  atas  adalah  maksimal  steady-state tracking  errors  pada  close-loop  system  dengan berbagai  nilai  amplitude  dan  frekuensi  =1, sehingga  diperoleh  hukum  control  linear  seperti berikut:
) 23 ( )) ( ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( v x x L v u u    Dimana ) ( ) 1 ( v u dan ) ( ) 1 ( v x adalah  aproksimasi deret  pangkat  pertama  dari ) ( v u dan ) ( v x .  Ini dapat dilihat bahwa hukum control nonlinear pada persamaan  (22)  tidak  hanya  memiliki  superior tracking  yang  menggunakan  himpunan  control pada persamaan (23), tetapi juga mengikuti sinyal sinusoidal  dengan  memperbesar  amplitudo.  Pada gambar 2 di atas menunjukkan perlakuan tracking dari system nonlinear dan kontroler linear dengan frekuensi  =1  dan  A=4.  Walaupun  kontroler linear  menghasilkan  error  pada  saat  terjadinya tracking , yang mana error pada tracking tersebut
disebabkan  oleh  kontroler  yang  nonlinear  dan dapat diabaikan.

## 4. Kesimpulan dan Saran
Pada  jurnal ini kita ingin menunjukkan kestabilan dua  buah  gerobak  dengan  menggunakan  system pendulum  terbalik  .  system  ini  sulit  untuk menemukan keluaran dari regulation pada system yang  nonlinear  dengan  nonhyperbolic  zero dynamic.  Kita  juga  telah  melakukan  metode approksimasi  untuk  menyelesaikan  persamaan center  manifold  yaitu  dengan  ekspansi  deret Taylor.  Kita  mencatat  bahwa  kontroler  pada persamaan  (6)  pada  solusi  persamaan  regulator tidak  kuat  dengan  berbagai  nilai  parameter  yang ada.

## 5. Ucapan Terima Kasih
Ucapan terima kasih kepada :
1. Pengelola  Rumah  Jurnal  UIN  Imam  Bonjol Padang
2. Jurnal  MAp  Program  Studi  Matematika  UIN Imam Bonjol
3. Rekan-Rekan
Dosen program studi
matematika
4. Para  penulis  Jurnal  Map  program  studi matematika UIN Imam Bonjol Padang

## Daftar Pustaka
[1]  A.  Isidori  dan  C.I.  Byrnes.  1995. Output regulation  of  nonlinear  system .  IEEE  Trans. Automat. Contr. Vol 40,pp 1497-1500.
[2]  Jie  Huang.  2000. Asymptotic  Tracking  of  a Nonminimum  Phase  Nonlinear  System  with nonhyperbolic  Zero  Dynamics ,  IEEE  Trans. Automat. Contr. Vol 45,No.3.
[3]  Hassan  K.  Khalil.  2002. Nonlinear  System Third Edition . Prentice Hall
[4] Astrom, K. J., Futura, K.2000. Swinging up a Pendulum by Energy Control, Automatica , Vol. 36 pp 287 – 295.
[5]  Earl,  M.G.,  D’Andrea,  R.  2005. Design  and Implementation  of  a  Minimum  TimeTranslation for  an  Inverted  Pendulum .  Proceeding  of  the Asian Conference of
Industrial Automation and Robotic. Bangkok.
[6]  Lewis,  F.  L.,  Syrmos,  V.  L.1995.  Optimal Control. John Wiley and Sons, pp 170 –174.
[7]  Olsder,  G.  J,.1994. Mathematical  Systems Theory, 1994, Delftse Ultgevers Maatschappij, Netherland, pp 13 – 16.
[8]. Eizadiyan Muhammad Ali. 2015. Control of Inverted  Pendulum  Cart  System  by  Use  of  PID Cotroller . Sci.Int.(Lahore). 27(2):1063-1068
[9].  Putri  RA  dan  Agustinah  T.  2013. Kontrol Tracking Fuzzy-Optimal untuk Sistem Pendulum-Kereta . Jurnal Teknik Pomits.; 2(2):333-338.
.