J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l . I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   1 2 ,   No.   1,   Mei   2 0 1 5,  2 3 — 3 3

## PENGGUNAAN PENYELESAIAN PERSAMAAN ALJABAR RICCATI WAKTU DISKRIT PADA KENDALI OPTIMAL LINIER KUADRATIK
Dita Marsa Yuanita 1 , Soleha 2
1,2 Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 seha_07@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Permasalahan kendali optimal linier kuadratik adalah mendapatkan aturan kendali  optimal 𝒖(𝒕) dengan  mendapatkan  penyelesaian  Persamaan  Aljabar Riccati  Waktu  Diskrit  (PRAWD) 𝑷(𝒕) yang  definit  positif  dan  matriks  gain umpan balik 𝑲(𝒕) . Untuk proses kendali berhingga, matriks-matriks 𝑷(𝒕) dan 𝑲(𝒕) adalah  varian  waktu.  Akan  tetapi,  jika  proses  tersebut  tidak  berhingga maka matriks tersebut menjadi matriks konstan 𝑷 dan 𝑲 . Untuk mendapatkan penyelesaian  kendali  optimal  steady  state,  diperlukan  suatu  penyelesaian PRAWD  steady  state.  Penyelesaian  PRAWD steady  state didapat  dengan membalik waktu dari PRAWD non steady state. Pendiskritan juga diperlukan untuk  menyelesaikan  kendali  optimal  waktu diskrit  apabila diberikan  sistem waktu kontinu dengan indeks performansi kontinu, contoh kasus adalah sistem servo dengan plant pendulum terbalik. Analisis pada PRAWD menunjukkan sifat invariant dari PRAWD jika matriks pemberat indeks performansi diganti. Perlu diketahui  juga  bahwa  PRAWD  memiliki  penyelesaian  minimum  yang unik.
Kata  kunci:  Kendali  optimal  linier  kuadratik,  Pendulum terbalik,  Persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit, Penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit, Sistem servo

## 1. Pendahuluan
Sejak  awal  tahun  60-an,  Kalman  telah  menjelaskan  dalam  jurnal-jurnal terdahulunya  bahwa  persamaan  Aljabar  Riccati  memiliki  peran  krusial  dalam penyelesaian  masalah  kendali  optimal  linier  kuadratik,  pemfilteran  serta  estimasi. Bahkan,  pada  50  tahun  terakhir  persamaan  Riccati  ditemukan  muncul  dalam permasalahan linear dinamis dengan kriteria indeks performansi kuadratik, masalah faktorisasi spektral, teori perturbasi singular, teori stokastik realisasi dan identifikasi,
masalah  nilai  batas  untuk  persamaan  differensial  biasa,  teori  embedding  dan scattering  invariant.  Untuk  alasan  tersebut,  persamaan  Riccati  secara  universal dianggap sebagai landasan dari teori kendali modern.
Pada masalah kendali optimal, persamaan Aljabar Riccati muncul pada beberapa permasalahan  yaitu  masalah  optimal  kuadratik,  Kalman  Filter, 𝐻 2 dan 𝐻 ∞ . Penelitian  sebelumnya [1] ,  memberikan  salah  satu  bahasan  pada  kendali  optimal yang memunculkan persamaan Aljabar Riccati yaitu masalah optimal kuadratik pada sistem  yang  berupa  persamaan  differensial  yang  memenuhi  sifat  kelinieran,  atau disebut  sistem  linier  invariant  waktu  kontinu.  Permasalahan  tersebut  diselesaikan dengan mengoptimalkan indeks performansi menggunakan penyelesaian persamaan Aljabar Riccati waktu kontinu. Penyelesaian  dapat diperoleh apabila sistem  dalam keadaan terkontrol dan stabil.
Dengan  cara  sama,  penyelesaian  persamaan  Aljabar  Riccati  waktu  diskrit (PRAWD) berbentuk
𝑃 = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑃𝐹 − 𝐹 ∗ 𝑃𝐺(𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺) −1 𝐺 ∗ 𝑋𝐹                                    (1.1) dengan 𝑃 matriks  definit  positif,  digunakan  untuk  mendapatkan  penyelesaian  dari permasalahan  kendali  optimal  linier  kuadratik  waktu  diskrit.  Sistem  waktu  diskrit berbentuk persamaan beda 𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡), 𝑥(0) = 𝑐                                         (1.2) Dan asumsikan sistem terkontrol.
Permasalahan  kendali  optimal  kuadratik  waktu  diskrit  adalah  mendapatkan vektor 𝑢(𝑡) sedemikian hingga indeks performansi kuadratik yang diberikan dapat diminimalkan menggunakan aturan umpan balik
𝑢(𝑡) = −𝐾𝑥(𝑡)                                                                                       (1.3) dengan 𝐾 adalah  matriks  invarian  waktu  apabila  proses  kendali  optimal  tak berhingga.  Misal diberikan salah satu contoh indeks performansi kuadratik
𝐽 = ∑[𝑥 ∗ (𝑡)𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑅𝑢(𝑡)]
∞
𝑡=0 (1.4)
Matriks 𝑄 dan 𝑅 secara  terurut,  adalah  matriks  Hermit  (simetris)  definit  positif. Matriks tersebut merupakan pemberat dari vektor keadaan 𝑥(𝑡) , dan vektor kendali 𝑢(𝑘) . Diasumsikan bahwa vektor kendali 𝑢(𝑡) tidak memiliki kendala.
Pada  tugas  akhir  ini,  diberikan  salah  satu  bahasan  pada  kendali  optimal  yang memunculkan  persamaan  Aljabar  Riccati  yakni  masalah  optimal  kuadratik  dari sistem (1.2) yaitu  kendali  optimal  kuadratik  waktu  diskrit,  kemudian  kendali optimal kuadratik waktu diskrit pada keadaan steady state, dengan contoh kasus pada sistem pendulum terbalik mengenai penyelesaian PRAWD

## 2. Sistem Pendulum Tebalik
Proses-proses  kimiawi,  mekanik,  elektronik  dan  lain-lain  dapat  dimodelkan dengan suatu sistem yang dapat direpresentasikan sebagai berikut
𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡), 𝑥(0) = 𝑥 0 (2.1)
𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡)                                                                            (2.2)
Persamaan  ini  disebut  sistem  linier  invariant  waktu  diskrit.  Persamaan (2.1) disebut persamaan keadaan. Persamaan (2.2) disebut persamaan output. Vektor 𝑥(𝑡) adalah  vektor  keadaan  pada  waktu 𝑡 .  Vektor 𝑢(𝑡) adalah  vektor input  bebas  linier  dari  sistem.  Vektor 𝑦(𝑡) adalah  output  dari  sistem.  Matriks 𝐹 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 , 𝐺 ∈ 𝑀 𝑛×𝑟 , 𝐶 ∈ 𝑀 𝑟×𝑛 dan 𝐷 ∈ 𝑀 𝑟×𝑚 adalah  matriks  yang  mengandung parameter dari keseluruhan sistem.
Sistem di atas memiliki sifat linier dan invariant waktu. Linier artinya untuk suatu operator 𝑇 berlaku jika input 𝑢 1 (𝑡) memiliki output 𝑦 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) memiliki output 𝑦 2 (𝑡) , maka 𝑇(𝛼𝑢 1 (𝑡) + 𝛽𝑢 2 (𝑡)) = 𝛼 𝑦 1 (𝑡) + 𝛽 𝑦 2 (𝑡) = 𝛼 𝑇(𝑢 1 (𝑡)) + 𝛽 𝑇(𝑢 2 (𝑡))
Sedangkan  invariant  waktu  berarti  jika  input 𝑢(𝑡) menghasilkan  output 𝑦(𝑡) , maka 𝑢(𝑡 − 𝜏) menghasilkan output 𝑦(𝑡 − 𝜏) untuk setiap 𝜏 ∈ ℤ . [4] Dalam  paper  ini,  akan  diberikan  salah  satu  sistem  yang  dapat  diselesaikan dengan persamaan Riccati, yakni pendulum terbalik.
Gambar 1. Pendulum terbalik
Pendulum  terbalik  adalah  pendulum  yang  porosnya  ditempelkan  pada  kereta yang  dapat  bergerak  dengan  arah  horizontal.  Kereta  digerakkan  oleh  suatu  motor kecil  yang  pada  saat 𝑡 ,  bekerja  suatu  gaya 𝑢(𝑡) pada  kereta.  Gaya  tersebut  adalah variabel  input  pada  sistem.  Massa  kereta  dinotasikan  dengan 𝑀, sedangkan 𝑚 adalah massa pendulum. Jarak antara titik poros pendulum ke pusat gravitasi massa adalah 𝑙 . Sudut yang dibentuk oleh pendulum dengan sumbu vertikal adalah 𝜃 . Sudut tersebut  selalu  diasumsikan  bernilai  kecil  untuk  menjaga  pendulum  terbalik  tetap vertikal. (𝑥 𝐺 , 𝑧 𝐺 ) menyatakan koordinat (𝑥, 𝑧) dari pusat gravitasi. Maka, 𝑥 𝐺 = 𝑥 + 𝑙 sin 𝜃 𝑧 𝐺 = 𝑙 cos 𝜃 Dengan menggunakan hukum kedua Newton, persamaan gerak pendulum pada arah sumbu 𝑥 sebagai berikut
𝑀 𝑑 2 𝑥 𝑑𝑡 2 + 𝑚 𝑑 2 𝑥 𝐺 𝑑𝑡 2 = 𝑢, (𝑀 + 𝑚) 𝑑 2 𝑑𝑡 2 (𝑥 + 𝑙 sin 𝜃) = 𝑢,                               (2.3)
Persamaan (2.3) dapat ditulis sebagai berikut
(𝑀 + 𝑚)𝑥̈ − 𝑚𝑙(sin 𝜃)𝜃̇ 2 + 𝑚𝑙(cos 𝜃)𝜃̈ = 𝑢                 (2.4) Kemudian,  persamaan  gerak  massa 𝑚 pada  arah 𝑧 didapat  dengan menggunakan hukum kedua Newton untuk gerak melingkar sehingga
𝑚 𝑑 2 𝑥 𝐺 𝑑𝑡 2 (𝑙 cos 𝜃) − 𝑚 𝑑 2 𝑧 𝐺 𝑑𝑡 2 (𝑙 sin 𝜃) = 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃,
𝑚𝑥̈ cos 𝜃 + 𝑚𝑙𝜃̈ = 𝑚𝑔 sin 𝜃                      (2.5)
Dengan  melakukan  pendekatan  untuk sin 𝜃 = 𝜃, cos 𝜃 = 1, dan 𝜃𝜃̈ = 0 , persamaan (2.4) dan (2.5) dapat dilinierisasi menjadi
(𝑀 + 𝑚)𝑥̈ + 𝑚𝑙𝜃̈ = 𝑢                                             (2.6)
𝑚𝑥̈ + 𝑚𝑙𝜃̈ = 𝑚𝑔𝜃                                                   (2.7)
Linierisasi tersebut berlaku selama 𝜃 dan 𝜃 bernilai kecil. Persamaan (2.6) dan (2.7) mendefinisikan suatu model matematika dari sistem pendulum terbalik.
Didefinisikan variabel keadaan sebagai berikut 𝑥 1 = 𝜃 𝑥 2 = 𝜃̇ 𝑥 3 = 𝑥 𝑥 4 = 𝑥̇ 𝑥 adalah lokasi dari kereta, sehingga 𝑥 merupakan output dari sistem, dapat ditulis 𝑦 = 𝑥 = 𝑥 3 Dari persamaan (2.6) dan (2.7) didapat bentuk persamaan matriks-vektornya
[ 𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 𝑥̇ 3 𝑥̇ 4 ] = [ 0                  1 0 0 𝑀 + 𝑚 𝑀𝑙 𝑔 0 0 0 0            0 0 1 − 𝑚 𝑀 𝑔 0 0 0 ] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 ] + [ 0 − 1 𝑀𝑙 0 1 𝑀 ] 𝑢                         (2.8)
𝑦 = [0 0 1 0] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 ]                                                                    (2.9)
Persamaan (2.8) dan (2.9) memberikan  salah  satu representasi  ruang  keadaan dari sistem pendulum terbalik.

## 2.1 Desain Sistem Servo
Pada  bagian  ini,  akan  dijelaskan  mengenai  masalah  pendekatan  penempatan pole pada desain dari sistem servo.
Gambar 2. Denah Sistem Servo
Gambar 2 menunjukkan konfigurasi antara suatu sistem servo dengan keadaan umpan balik dan kontroler integral. Dari gambar tersebut didapat
𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡)                                      (2.10) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡)                                                    (2.11)
Persamaan keadaan integratornya adalah
𝑣(𝑡) = 𝑣(𝑡 − 1) + 𝑟(𝑡) − 𝑦(𝑡) Vektor kendali 𝑢(𝑘) diberikan oleh 𝑢(𝑡) = −𝐾 2 𝑥(𝑡) + 𝐾 1 𝑣(𝑡)                               (2.12) Desain  sistem  servo  adalah  menentukan  matriks 𝐾 1 dan 𝐾 2 sedemikian  hingga sistem memiliki pole loop tertutup yang diinginkan.
Perhatikan  bahwa 𝑢(𝑡) adalah  kombinasi  linier  dari  vektor  keadaan 𝑥(𝑡) dan 𝑣(𝑡) ,  definisikan  suatu  vektor  keadaan  baru  yang  mengandung 𝑥(𝑡) dan 𝑢(𝑡) . Kemudian didapat dari (2.10) dan (2.12) persamaan berikut
[ 𝑥(𝑡 + 1) 𝑢(𝑡 + 1) ] = [ 𝐹 𝐺 𝐾 2 − 𝐾 2 𝐹 − 𝐾 1 𝐶𝐹 𝐼 − 𝐾 2 𝐺 − 𝐾 1 𝐶𝐺 ] [ 𝑥(𝑡) 𝑢(𝑡) ] + [ 0 𝐾 1 ] 𝑟(𝑡 + 1)            (2.13)
Persamaan output, (2.11) , dapat ditulis sebagai berikut
G F
𝑦(𝑡) = [𝐶 0] [ 𝑥(𝑡) 𝑢(𝑡) ]
Untuk persamaan berikutnya, didefinisikan vektor 𝑟(𝑡) adalah vektor konstan 𝑟 . Dan didefinisikan vektor error sebagai berikut
𝑥 𝐸 (𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥(∞) 𝑢 𝐸 (𝑡) = 𝑢(𝑡) − 𝑢(∞)
Perhatikan  bahwa,  untuk  input 𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), dan 𝑣(𝑡) mencapai  nilai  konstan  pada 𝑥(∞), 𝑢(∞), dan 𝑣(∞). Jadi,  dari  persamaan (2.13), didapatkan  persamaan representasi errornya berupa
[ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑢 𝐸 (𝑡) ] = [ 𝐹 𝐺 𝐾 2 − 𝐾 2 𝐹 − 𝐾 1 𝐶𝐹 𝐼 − 𝐾 2 𝐺 − 𝐾 1 𝐶𝐺 ] [ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑢 𝐸 (𝑡) ]             (2.14)
Persamaan (2.14) dapat ditulis sebagai
[ 𝑥 𝐸 (𝑘 + 1) 𝑢 𝐸 (𝑘 + 1) ] = [ 𝐹 𝐺 0 0 ] [ 𝑥 𝐸 (𝑘) 𝑢 𝐸 (𝑘) ] + [ 0 𝐼 ] 𝑤(𝑡)                                           (2.15)
jika didefinisikan
𝑤(𝑡) = [𝐾 2 − 𝐾 2 𝐹 − 𝐾 1 𝐶𝐹 ⋮ 𝐼 − 𝐾 2 𝐺 − 𝐾 1 𝐶𝐺 ] [ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑢 𝐸 (𝑡) ]
Kemudian definisikan juga
𝜉(𝑡) = [ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑢 𝐸 (𝑡) ] , 𝐹̂ = [ 𝐹 𝐺 0 0 ] , 𝐺̂ = [ 0 𝐼 ] 𝐾 ̂ = −[𝐾 2 − 𝐾 2 𝐹 − 𝐾 1 𝐶𝐹 ⋮ 𝐼 − 𝐾 2 𝐺 − 𝐾 1 𝐶𝐺] : Sehingga persamaan (2.15) menjadi
𝜉(𝑡 + 1) = 𝐹̂𝜉(𝑡) + 𝐺̂𝑤(𝑡)
𝑤(𝑡) = −𝐾 ̂𝜉(𝑡)
Perhatikan bahwa
[𝐾 2 ⋮ 𝐾 1 ] [𝐹 − 𝐼 𝐺 𝐶𝐹 𝐶𝐺 ] = 𝐾 ̂ + [0 ⋮ 𝐼]                                         (2.16) Matriks 𝐾 1 dan 𝐾 2 yang diinginkan dapat diperoleh dari persamaan (2.16) .

## 2.2 Kendali Optimal Linier Kuadratik
Pada bagian ini dianalisis mengenai hubungan kendali optimal linier kuadratik dengan penyelesaian PRAWD. Sebelumnya, pandang suatu sistem terkontrol
𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡), 𝑥(0) = 𝑐
dengan 𝑡 = 0,1,2, … , 𝑁 − 1 .  Akan  ditentukan  vektor 𝑢(𝑡) sehingga  indeks performansi  kuadratik yang diberikan  dapat diminimalkan. Misal diberikan indeks performansi kuadratik untuk waktu terbatas adalah
𝐽 = 𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) + ∑[𝑥 ∗ (𝑡)𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑅𝑢(𝑡)]
𝑁−1 𝑡=0
dengan 𝑆 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 , 𝑄 ∈ 𝑀 𝑛×𝑛 ,  dan 𝑅 ∈ 𝑀 𝑟×𝑟 adalah  matriks  simetris  (Hermit) definit  (semidefinit  positif).  Permasalahan  kendali  optimal  pada  bagian  ini diselesaikan  dengan  menggunakan  pengali  Lagrange 𝜆(1), 𝜆(2), … , 𝜆(𝑁) . Kemudian dapat didefinisikan Indeks Performansi:
𝐿 = 𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) + ∑ [{𝑥 ∗ (𝑡)𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑅𝑢(𝑡)}𝜆 ∗ (𝑡 + 1){𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡)
𝑁−1
𝑡=0 − 𝑥(𝑡 + 1)} + {𝐹𝑥(𝑡) − 𝐺𝑢(𝑡) − 𝑥(𝑡 + 1)} ∗ 𝜆(𝑡 + 1)]
Untuk meminimalkan fungsi 𝐿 , 𝐿 didiferensialkan terhadap 𝑥̅(𝑡), 𝑢̅(𝑡) dan 𝜆̅(𝑡) dengan hasil sama dengan 0.
𝛿𝐿 𝛿𝑥̅(𝑡) = 0;  𝜆(𝑡) = 𝑄𝑥(𝑡) + 𝐹 ∗ 𝜆(𝑡 + 1)                          (2.17) 𝛿𝐿 𝛿𝑥̅(𝑁) = 0;   𝑆𝑥(𝑁) = 𝜆(𝑁)                                                (2.18) 𝛿𝐿 𝛿𝑢̅(𝑡) = 0;   𝑢(𝑡) = −𝑅 −1 𝐺 ∗ 𝜆(𝑡 + 1)                              (2.19) 𝛿𝐿 𝛿𝜆̅(𝑡) = 0;     𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡)                         (2.20) Vektor 𝑢(𝑡) dapat ditemukan dari persamaan 𝑢(𝑡) = −𝐾(𝑡)𝑥(𝑡) matriks 𝐾(𝑡) adalah matriks anggota 𝑀 𝑟×𝑛 . Asumsikan 𝜆(𝑡) sebagai fungsi dari vektor keadaan 𝑥(𝑡) dalam bentuk berikut: 𝜆(𝑡) = 𝑃(𝑡)𝑥(𝑡) 𝑃(𝑡) adalah matriks Hermit (real simetris) anggota 𝑀 𝑛×𝑛 Dengan  menyelesaikan  persamaan (2.17) sampai (2.20) secara  simultan didapat 𝑃(𝑡) = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐹 − 𝐹 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐺[𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐺] −1 𝐺𝑃(𝑡 + 1)𝐹               (2.21)
Persamaan (2.21) disebut  juga  persamaan  Riccati  dengan 𝑋(𝑁) = 𝑆 .  Persamaan (2.21) bisa  diselesaikan  secara  mundur  dari 𝑡 = 𝑁 ke 𝑡 = 0 sampai  didapat  nilai yang konstan. Dari persamaan (2.21) , vektor kendali optimal menjadi: 𝑢(𝑡) = −[𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐺] −1 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐹𝑥(𝑡) dengan
𝐾(𝑡) = [𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐺] −1 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡 + 1)𝐹                      (2.22) matriks 𝐾(𝑡) dinamakan matriks umpan balik.
Kemudian, dicari nilai minimum dari indeks performansi
min 𝐽 = min {𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) + ∑[𝑥 ∗ (𝑡)𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑅𝑢(𝑡)] 𝑁−1
𝑡=0 }
dengan mensubtitusikan persamaan yang telah didapatkan pada bagian sebelumnya.
𝑥 ∗ (𝑡)𝑄𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡) 𝑅𝑢 (𝑡) = 𝑥 ∗ (𝑡)𝑃(𝑡)𝑥(𝑡) − 𝑥 ∗ (𝑡 + 1)𝑃(𝑡 + 1)𝑥(𝑡 + 1)                (2.23)
Dengan mensubtitusikan persamaan (2.23) ke persamaan indeks performansi 𝐽 , diperoleh
𝐽 𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) + ∑[𝑥 ∗ (𝑡)𝑃(𝑡)𝑥(𝑡) − 𝑥 ∗ (𝑡 + 1)𝑃(𝑡 + 1)𝑥(𝑡 + 1)]
𝑁−1 𝑡=0 = 𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) + 𝑥 ∗ (0)𝑃(0)𝑥(0) − 𝑥 ∗ (𝑁)𝑃(𝑁) Ingat  bahwa 𝑋(𝑁) = 𝑆 ,  sehingga  nilai  minimum  dari  indeks  performansi 𝐽 adalah
𝐽 𝑚𝑖𝑛 = 𝑥 ∗ (0)𝑃(0)𝑥(0)                                                     (2.24)

## 2.3 Penyelesaian PRAWD
Setelah mengetahui bentuk dari penyelesaian persamaan Aljabar Riccati, berikut ini  diberikan  teorema  mengenai  keberadaan  dan  keunikan  penyelesaian  Aljabar Riccati.  Terlebih  dahulu,  definisikan  persamaan  Aljabar  Riccati  waktu  diskrit sebagai fungsi berikut
𝒟(𝑃) = 𝑃 − 𝐹 ∗ 𝑃𝐹 + (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹) ∗ (𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺) −1 (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹) − 𝑄 = 0                   (2.25) dengan matriks 𝐹 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 , 𝑆 ∈ ℂ 𝑚×𝑛 , 𝐺 ∈ ℂ 𝑛×𝑚 , 𝑅 = 𝑅 ∗ ∈ ℂ 𝑚×𝑚 , 𝑄 = 𝑄 ∗ ∈ ℂ 𝑚×𝑚 .
Suatu  matriks 𝑃 ∈ ℂ 𝑛×𝑛 disebut  penyelesaian  dari 𝒟(𝑃) apabila 𝑃 merupakan matriks  Hermit, det(𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺) ≠ 0 dan 𝒟(𝑃) = 0 .  Sehingga  didapat  vektor kendali optimal
𝑢 𝑜𝑝𝑡 (𝑡) = [𝐹 − 𝐺(𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑜𝑝𝑡 𝐺) −1 (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃 𝑜𝑝𝑡 𝐹)] 𝑥(𝑡)
yang akan meminimumkan indeks performansi
𝐽(𝑥 0 , 𝑢) = ∑(𝑥 ∗ (𝑡) 𝑢 ∗ (𝑡)) (𝑄 𝑆 ∗ 𝑆 𝑅 ) ( 𝑥(𝑡) 𝑢(𝑡) ) ∞ 𝑡=0 dengan 𝐽 semidefinit positif. Indeks performansi optimal diberikan oleh
𝐽 𝑜𝑝𝑡 = 𝑥 0 ∗ 𝑃 𝑜𝑝𝑡 𝑥 0 𝑃 𝑜𝑝𝑡 adalah penyelesaian semidefinit terkecil dari persamaan Aljabar Riccati waktu diskrit dan 𝑥(0) = 𝑥 0 .
Serta definisikan suatu matriks loop tertutup terkait penyelesaian 𝑃 dari (2.25)
𝐹 𝑃 = 𝐹 − 𝐺(𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐺) −1 (𝑆 + 𝐺 ∗ 𝑃𝐹) dan 𝜎(𝐹 𝑃 ) adalah himpunan seluruh nilai eigen yang berbeda dari 𝐹 𝑃 . Maka keadaan optimal memenuhi 𝑥(𝑡 + 1) = (𝐹 𝑃 𝑜𝑝𝑡 ) 𝑥(𝑡) .
Suatu  penyelesaian 𝑃 dikatakan  sebagai  penstabil  jika |𝜆| < 1 untuk  seluruh  nilai eigen 𝜆 dari 𝐹 𝑃 . Misal 𝔻 = {𝑧; |𝑧| < 1} adalah unit  disk terbuka dan 𝛿𝔻 = {𝑧; |𝑧| = 1} adalah unit circle.

## 3. Hasil dan Pembahasan
3.1 Kendali Optimal Kuadratik Steady State
Pada bagian ini diberikan kasus ketika proses kendali tidak berhingga atau 𝑁 = ∞ , sehingga matiks gain varian waktu 𝐾(𝑡) menjadi suatu matriks konstan 𝐾 . Serta matriks penyelesaian PRAWD 𝑃(𝑡) menjadi 𝑃 . Pandang persamaan (1.2)
dengan 𝐹 = [ 0 0 −0.5 1 ] , 𝐺 = [ 1 0 ], nilai  awal 𝑥(0) = [ 2 2 ] ,  serta  indeks  performansi yang akan diminimumkan
𝐽 = ∑ [𝑥 ∗ (𝑡) [1 0 0 0.5 ] 𝑥(𝑡) + 𝑢 ∗ (𝑡)𝑢(𝑡)] ∞ 𝑡=0 (3.4)
Bentuk 𝑥 ∗ (𝑁)𝑆𝑥(𝑁) tidak  ada  di  persamaan (3.4) dikarenakan  jika  sistem stabil maka 𝑥(∞) bernilai nol sehingga 𝑥 ∗ (∞)𝑆𝑥(∞) = 0 . Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan Riccati untuk kendali optimal steady state adalah dengan membalik waktu dari persamaan Riccati non steady state pada persamaan (1.1) menjadi 𝑃(𝑡 + 1) = 𝑄 + 𝐹 ∗ 𝑃(𝑡)𝐹 − 𝐹 ∗ 𝑃(𝑡)𝐺[𝑅 + 𝐺 ∗ 𝑃(𝑡)𝐺] −1 𝐺𝑃(𝑡)𝐹 dan  iterasi  persamaan  tersebut  dengan  MATLAB  mulai  dari 𝑃(0) = 0 hingga 𝑃 mencapai nilai konstan dengan syarat batas
𝑃 = [ 0 0 0 0 ]
dan menghasilkan nilai yang tetap yaitu
𝑃 = [ 1.5664 −1.1328 −1.1328 2.7556 ]
Kemudian, matriks gain steady state 𝐾 dapat ditentukan dari persamaan (2.22) dapat diperoleh nilai 𝐾 = [0.2207 −0.4414]
Indeks  performansi 𝐽 yang  bersesuaian  dengan  aturan  kendali  optimal  steady state didapat dari persamaan (2.24) dengan mensubtitusikan 𝑃 untuk 𝑃(0)
𝐽 𝑚𝑖𝑛 = [2 2] [ 1.5664 −1.1328 −1 − 1328 2.7556 ] [2 2 ] = 8.2656

## 3.2 Kendali Optimal Kuadratik dari Sistem Servo
Diinginkan  untuk  mendapatkan  model  ruang  keadaan  kontinu  kemudian mendiskritkan model tersebut sehingga didapat model diskrit. Misalkan diketahui
𝑀 = 2.5𝑘𝑔, 𝑚 = 0.25𝑘𝑔, 𝑙 = 2𝑚
Pada  bab  2  didapat  representasi  ruang  keadaan  dari  pendulum  terbalik  pada persamaan (2.8) dan (2.9) .  Subtitusikan  nilai  dari 𝑀, 𝑚, 𝑙 dan 𝑔 = 9.81 didapat persamaan keadaan dan output dari pendulum terbalik adalah
[ 𝑥̇ 1 𝑥̇ 2 𝑥̇ 3 𝑥̇ 4 ] = [ 0 1 0 0 5.3955 0 0 0 0 0 0 1 −0.981 0 0 0 ] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 ] + [ 0 −0.2 0 0.4 ] 𝑢 𝑦 = [0 0 1 0] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 4 ]
Untuk  mendisain  sistem  kendali,  diperlukan  suatu  model  terdiskritisasi. Persamaan sistem terdiskritisasi adalah
𝑥(𝑘 + 1) = 𝑒 𝐴 𝑥(𝑘) + 𝐵 𝐴 (𝑒 𝐴 − 1)𝑢(𝑘)
Pendiskritan  juga  dapat  dilakukan  dengan  menggunakan  command  pada MATLAB. Perintah ini digunakan untuk mendiskritkan suatu sistem linier invariant waktu kontinu, dengan dimisalkan periode sampel adalah 𝑇 = 0.1 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 [𝐹, 𝐺] = 𝑐2𝑑(𝐴, 𝐵, 𝑇)
Sehingga, model ruang keadaan terdiskritisasi adalah
𝑥(𝑡 + 1) = 𝐹𝑥(𝑡) + 𝐺𝑢(𝑡) 𝑦(𝑡) = 𝐶𝑥(𝑡) + 𝐷𝑢(𝑡) dengan 𝐹 = [ 1.0271 0.1009      0 0 0.5444 1.0271      0 0 −0.0049 −0.0002  1 0.1 −0.0990 −0.0049 0 1 ] , 𝐺 = [ −0.0005 −0.0101 0.002 0.04 ] , 𝐶 = [0 0 1 0], dan 𝐷 = 0
Berikutnya adalah mendisain sistem servo dari sistem pendulum terbalik. Disain sistem  servo  adalah  menentukan  matriks 𝐾 dan  konstanta 𝐾 1 sedemikian  hingga sistem  memiliki  pole  loop  tertutup  yang  diinginkan.  Persamaan  integrator ditunjukkan oleh persamaan (2.10) sehingga diperoleh
[ 𝑥(𝑡 + 1) 𝑣(𝑡 + 1) ] = [ 𝐹 0 −𝐶𝐹 1 ] [ 𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡) ] + [ 𝐺 −𝐶𝐺 ] 𝑢(𝑡) + [ 0 1 ] 𝑟(𝑡 + 1)
Misalkan 𝑟 adalah fungsi tangga dan definisikan
𝑥 𝐸 (𝑡) = 𝑥(𝑡) − 𝑥(∞) 𝑣 𝐸 (𝑡) = 𝑣(𝑡) − 𝑣(∞)
Dapat diperoleh persamaan error seperti berbentuk
[ 𝑥 𝑒 (𝑡 + 1) 𝑣 𝑒 (𝑡 + 1) ] = [ 𝐹 0 −𝐶𝐹 1 ] [ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑣 𝐸 (𝑡) ] + [ 𝐺 −𝐶𝐺 ] 𝑢 𝑒 (𝑡)
dengan
𝑢 𝑒 (𝑡) = −𝐾𝑥 𝐸 (𝑡) + 𝐾 1 𝑣 𝐸 (𝑡) = −[𝐾 𝐾 1 ] [ 𝑥 𝐸 (𝑡) 𝑣 𝐸 (𝑡) ]

## Sehingga dapat didefinisikan
𝐹̂ = [ 𝐹 0 −𝐶𝐹 1 ] , 𝐺̂ = [ 𝐺 −𝐶𝐺 ] , 𝐾 ̂ = −[𝐾 𝐾 1 ]
𝑤(𝑡) = 𝑢 𝐸 (𝑡), 𝜉(𝑡) = [ 𝑥 𝑒 (𝑡) 𝑣 𝑒 (𝑡) ] = [ 𝑥 1𝐸 (𝑡) 𝑥 2𝐸 (𝑡) 𝑥 3𝐸 (𝑡) 𝑥 4𝐸 (𝑡) 𝑣 𝐸 (𝑡) ]
Maka representasi ruang keadaan dari sistem dapat ditulis 𝜉(𝑡 + 1) = 𝐹̂𝜉(𝑡) + 𝐺̂𝑤(𝑡)
𝑤(𝑡) = −𝐾 ̂𝜉(𝑡) dengan 𝐹̂ = [ 1.1048 0.1035 0 0 2.1316 1.1048 0 0 −0.0025 −0.0001 1 0.1 −0.0508 −0.0025 0 1 ] , 𝐺̂ = [ −0.0051 −0.1035 0.0025 0.0501 −0.0025]
Perhatikan  bahwa  representasi  awal  sistem  pendulum  terbalik  berada  pada waktu  kontinu,  maka  harus  dipertimbangkan  suatu  indeks  performansi  waktu kontinu.  Indeks performansi waktu kontinu berbentuk
𝐽 = ∫ [𝜉 ∗ (𝑡)𝑄𝜉(𝑡) + 𝑤 ∗ (𝑡)𝑅𝑤(𝑡)]
∞ 0 𝑑𝑡
Indeks performansi tersebut didiskritkan menjadi
𝐽 = ∑[𝜉(𝑡) ∗ 𝑄𝜉(𝑡) + 𝑤(𝑡) ∗ 𝑅𝑤(𝑡)] ∞ 𝑡=0 Ambil 𝑄 = [ 10 0 0
0 1 0 0 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1] , 𝑅 = 1
Dapat diperoleh matriks gain umpan balik 𝐾 dan konstanta gain integral 𝐾 1 sebagai
berikut
𝐾 = [−116.5430 −74.1883 −17.2665 −20.0594], 𝐾 1 = [−0.6623]
Dari  matriks  gain 𝐾 yang  diketahui  dapat  diperoleh  respon  tangga  satuan  dengan cara sebagai berikut. Karena
𝑢(𝑡) = −𝐾𝑥(𝑡) + 𝐾 1 𝑣(𝑡) maka
[ 𝑥(𝑡 + 1) 𝑣(𝑡 + 1) ] = 𝐹𝐹 [ 𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡) ] + 𝐺𝐺𝑟                          (3.11) 𝑦(𝑡) = [𝐶 0] [ 𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡) ]                               (3.12)
dengan 𝑟 = 1 . Definisikan 𝐹𝐹 = [ 𝐹 − 𝐺𝐾 𝐺𝐾 1 −𝐶𝐹 + 𝐶𝐺𝐾 −𝐶𝐺𝐾 1 + 1 ] , 𝐺𝐺 = [ 0 1 ]
𝐶𝐶 = [𝐶 0] = [0 0 1 0 0]
Untuk mendapatkan response 𝑥 1 (𝑡) , notasikan
𝑥 1 (𝑡) = [1 0 0 0 0] [ 𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡) ]
dengan mendefinisikan
𝐻𝐻 = [1 0 0 0 0]
Konversikan  persamaan  ruang  keadaan (3.11) dan (3.12) ke  fungsi  transfer 𝑋 1 (𝑧) 𝑅(𝑧) dengan
[𝑛𝑢𝑚1, 𝑑𝑒𝑛1] = 𝑠𝑠2𝑡𝑓(𝐹𝐹, 𝐺𝐺, 𝐻𝐻, 0)
Kemudian gunakan perintah filter untuk mendapatkan respon tangga 𝑥 1 = 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑒𝑟(𝑛𝑢𝑚1, 𝑑𝑒𝑛1, 𝑟) Dengan  cara  sama,  untuk  mendapatkan 𝑥 2 (𝑡), 𝑥 3 (𝑡) = 𝑦(𝑡), 𝑥 4 (𝑡), dan 𝑥 5 (𝑡) = 𝑣(𝑡) ,  kalikan  basis  liniernya  dengan [ 𝑥(𝑡) 𝑣(𝑡) ] dengan  mendefinisikan  basis
linier tersebut sebagai
𝐽𝐽 = [0 1 0 0 0]
𝐶𝐶 = [0 0 1 0 0] 𝐿𝐿 = [0 0 0 1 0] 𝑀𝑀 = [0 0 0 0 1]
Selanjutnya dilakukan hal yang sama untuk 𝑋 2 (𝑡) 𝑅(𝑡) , 𝑌(𝑡) 𝑅(𝑡) , 𝑋 4 (𝑧) 𝑅(𝑧) , dan 𝑉(𝑧)
𝑅(𝑧) .
Plot respon tangga satuan versus 𝑡 ditunjukkan pada gambar berikut
Gambar 3. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥 1 (𝑡) versus 𝑡
Gambar 4. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥 2 (𝑡) versus 𝑡
Gambar 5. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥 3 (𝑡) versus 𝑡
Gambar 6. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥 4 (𝑡) versus 𝑡
Gambar 7. Grafik Respon Tangga Satuan 𝑥 5 (𝑡) versus 𝑡
Jika  dimisalkan  periode  sampel  adalah 0.1 detik,  maka  dari  gambar  di  atas didapat bahwa keadaan steady state tercapai saat 7 detik.

## 4. Kesimpulan
1. Persamaan  keadaan  dan  output  dari  sistem  pendulum  terbalik  berbentuk persamaan  kontinu  dengan  indeks  performansi  kontinu,  pendiskritan dilakukan untuk membentuk suatu sistem linier invariant waktu diskrit dari sistem.
2. Desain  servo  diselesaikan  dengan  mendapatkan  penyelesaian  PRAWD 𝑃, matriks 𝐾 dan konstanta integral 𝐾 1 dari persamaan ruang keadaan
𝜉(𝑡 + 1) = 𝐹̂𝜉(𝑡) + 𝐺̂𝑤(𝑡) 𝑤(𝑡) = −𝐾 ̂𝜉(𝑡)
3. Dari  matriks 𝐾 dan 𝐾 1 dapat  diperoleh  respon  tangga  satuan 𝑥 1 (𝑡), 𝑥 2 (𝑡), 𝑥 3 (𝑡) = 𝑦(𝑡), 𝑥 4 (𝑡), dan 𝑥 5 (𝑡) = 𝑦(𝑡) .  Kemudian  dapat diberikan grafiknya versus 𝑡 dengan menggunakan software MATLAB.

## 5. Daftar Pustaka
[1] Bellon,  J.  (2008)  "Riccati  Equations  in  Optimal  Control  Theory". Mathematics Theses, Georgia State University.
[2] Clements,  D.  J.,  Wimmer,  H.K.  (2003).  “Existence  and  Uniqueness  of Unmixed  Solutions  of  the  Discrete-time  Algebraic  Riccati  Equations”. Systems and Control Letters, Vol. 50, Hal 343-340.
[3] Ogata,  K.  (1995).  “Discrete-Time  Control  System”.  Prentice-Hall International, London.
[4] Subiono. (2010). “Matematika Sistem”. Jurusan Matematika, FMIPA ITS.