Abstrak — Perpindahan  panas  (heat  transfer)  adalah  energi yang  berpindah  karena  adanya  perbedaan  suhu,  dimana prosesnya  terjadi  secara  konduksi,  konveksi  dan  radiasi. Fenomena  ini  memunculkan  model  matematika  perpindahan panas yang merupakan persamaan diferensial parsial dan dapat diselesaikan  secara  numerik.  Banyak  penelitian  muncul  yang membahas masalah perpindahan panas dengan berbagai macam medium  dan  solusi  numerik  yang  digunakan.  Metode  yang digunakan untuk penyelesaian masalah numerik ini diantaranya adalah metode beda hingga, metode volume hingga dan metode elemen hingga. Pada penelitian ini dibahas bagaimana simulasi perpindahan  panas  pada  lapisan  tengah  pelat  dimana  model matematikanya  dikembangkan  dari  penelitian  sebelumnya. Model  matematika  ini  diselesaikan  dengan  metode  elemen hingga  dengan  fungsi  bentuk  segiempat  linier.  Selanjutnya persamaan  perpindahan  panas  diselesaikan  dengan  metode residual  dan  formulasi  galerkin  sehingga  hasil  akhirnya  dapat disimulasikan  menggunakan  software  MATLAB  untuk mengetahui  laju  perpindahan  panas  pada  lapisan  tengah  pelat. Dari  hasil  simulasi  diperoleh  kesimpulan  bahwa  banyaknya elemen yang digunakan berpengaruh pada perhitungan numerik distribusi  suhu  pada  pelat.  Selain  itu,  banyaknya  elemen  juga berpengaruh pada kontur pelat dan waktu yang dibutuhkan saat simulasi.
Kata  Kunci — Metode  Elemen  Hingga,  Pelat,  Perpindahan Panas.

## I. PENDAHULUAN
erpindahan  panas  adalah  energi  yang  berpindah dikarenakan  adanya  perbedaan  suhu[1].  Proses perpindahan panas terjadi secara  konduksi,  konveksi dan radiasi. Fenomena ini memunculkan model matematika dari  perpindahan  panas  yang  merupakan  persamaan diferensial  parsial  sehingga  dibutuhkan  sebuah  solusi  agar diketahui sifat dan karakteristik dari laju perpindahan panas. Penelitian  tentang  perpindahan  panas  sudah  dilakukan  dan dikembangkan  dengan  beberapa  metode  numerik,  seperti metode  beda  hingga,  metode  volume  hingga  dan  metode elemen  hingga  yang  dilakukan  dengan  bantuan  komputasi komputer.
Metode  elemen  hingga  merupakan  salah  satu  metode numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan  persamaan diferensial  parsial  pada  permasalahan  ilmu  rekayasa  dan matematika  fisik  seperti  perpindahan  panas,  analisis struktur,  aliran  fluida,  transportasi  massa  dan  potensial elektromagnetik.  Proses  dari  metode  elemen  hingga  adalah membagi  masalah  yang  kompleks  menjadi  elemen-elemen agar  lebih  mudah  mendapatkan  solusi.  Solusi  dari  tiap elemen  kemudian  digabungkan  sehingga  menjadi  solusi masalah secara keseluruhan[2].
Salah  satu  contoh  penelitian  yang  membahas  masalah perpindahan  panas  dengan  penyelesaian  persamaan  secara numerik  adalah  penelitian  yang  dilakukan  oleh  Jeffers. Penelitiannya  menjelaskan  tentang  elemen  perpindahan panas  yang  disajikan  untuk  menangkap  reaksi  termal  pada shell dan  pelat  tiga  dimensi  yang  diselesaikan  secara numerik  dengan  metode  elemen  hingga.  Persamaan pembangunnya  didiskritisasikan  menjadi  serangkaian lapisan dua dimensi yang dihubungkan dengan perhitungan beda  hingga  dan  menggunakan  fungsi  bentuk  elemen segiempat kuadrat dengan 9 node . Formulasinya digunakan untuk  menunjukkan  akurasi  dan  efisiensi  dari  bidang  suhu yang  diprediksi  pada shell yang  dipanaskan  tak  seragam dengan beban komputasi yang ringan[3].
Berdasarkan  penelitian  tersebut,  penelitian  ini  akan membahas tentang simulasi perpindahan panas pada lapisan tengah pelat. Persamaan panas yang digunakan diselesaikan secara  numerik  menggunakan  metode  elemen  hingga dengan  fungsi  bentuk  elemen  segiempat  linier  yang memiliki 4 node . Hasilnya akan disimulasikan menggunakan software MATLAB.

## II. TINJUAN PUSTAKA

## A. Perpindahan Panas
Perpindahan  energi  dari  daerah  satu  ke  daerah  lainnya akibat  adanya  perbedaan  suhu  baik  dalam  satu  medium maupun antar medium

## Konduksi
Perpindahan panas yang terjadi dari benda bersuhu tinggi ke benda bersuhu rendah pada medium tetap[1].

## Konveksi
Perpindahan panas yang terjadi antara permukaan benda padat  dan  fluida  (cair  atau  gas)  yang  bergerak disekelilingnya[1].

## B. Persamaan Difusi Panas
Persamaan  umum difusi panas pada  koordinat  kartesian yang  diperoleh  dari  persamaan  3  dimensi  kontrol  volume yaitu[1]
Persamaan ini sering kali ditunjuk sebagai persamaan panas sebagai  pembuktian  dasar  untuk  analisis  konduksi  panas. Dari  solusi  tersebut,  diperoleh  distribusi  suhu sebagai fungsi waktu. Persamaan diatas dapat ditulis sebagai berikut

## Simulasi Perpindahan Panas pada Lapisan Tengah Pelat Menggunakan Metode Elemen Hingga
Vimala Rachmawati dan Kamiran Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia e-mail : kamiran@matematika.its.ac.id
P

## C. Metode Elemen Hingga
Metode  numerik  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan permasalahan  teknik  dan  masalah  matematis  dari  suatu gejala  fisis.  Tipe  masalah  teknis  dan  matematis  fisis  yang dapat  diselesaikan  dengan  metode  elemen  hingga  terbagi menjadi  dua  kelompok,  yaitu  kelompok  masalah  analisis struktur dan kelompok masalah analisis non struktur[4].

## D. Konsep Dasar Metode Elemen HIngga
Metode  elemen  hingga  didasarkan  pada  suatu  konsep dimana  fungsi  kontinu  (seperti  suhu,  tekanan  dan  lain sebagainya) didekati dengan suatu model diskrit yang terdiri dari  satu  set piecewise  continous  function. Masing-masing piecewise  function didefinisikan  untuk  suatu  sub  domain yang disebut finite element (elemen hingga)[2].
Konsep ini berlaku untuk masalah dua atau tiga dimensi. Elemen  dua  dimensi  merupakan  fungsi x dan y yang  pada umumnya  berbentuk  segitiga  atau  segiempat.  Elemen  ini dapat  berbentuk  bidang  datar  maupun  bidang  lengkung. Suatu  kontinuum  terbagi  menjadi  beberapa  bagian  yang lebih kecil dan disebut elemen hingga.
Dengan  menggunakan  elemen  hingga,  suatu  masalah yang  memiliki  jumlah  derajat  kebebasan  tidak  berhingga dapat  diubah menjadi suatu  masalah dengan jumlah derajat kebebasan  tertentu  sehingga  proses  pemecahannya  akan lebih sederhana. Berikut langkah-langkah dasar dari metode elemen hingga :
• Diskritisasi domain
• Penentuan bentuk fungsi aproksimasi
• Penentuan sistem koordinat
• Perhitungan properti elemen
• Pembentukan sistem persamaan linier
• Penyelesaian sistem persamaan linier
• Post process hasil

## III. METODE PENELITIAN

## A. Tahap Studi Literatur
Pada  tahap  ini  dikumpulkan  referensi  dimana didalamnya  terdapat  teori–teori  dasar  yang  mendukung pembahasan  masalah.  Selanjutnya  akan  dipelajari  lebih lanjut  tentang  perpindahan  panas  pada  pelat  dan  metode elemen hingga

## B. Tahap Penyelesaian Numerik
Pada  tahap  ini  akan  dilakukan  penyelesaian  secara numerik  dari  persamaan  perpindahan  panas  pada  lapisan tengah pelat  menggunakan metode elemen hingga. Dimulai dengan  diskritisasi  domain  pada  pelat.  Selanjutnya  fungsi bentuk  yang  digunakan  adalah  fungsi  interpolasi  elemen segiempat linier. Kemudian fungsi bentuk ini disubstitusikan ke  persamaan  diferensial  yang  akan  diselesaikan  dengan formulasi  galerkin.  Dibentuk  matriks  global  yang  disusun dari matriks tiap elemen .

## C. Tahap Simulasi
Pada  tahap  ini  dilakukan  simulasi  menggunakan MATLAB  untuk  melihat  laju  perpindahan  panas  yang terjadi pada pelat.

## D. Tahap Penarikan Kesimpulan
Pada tahap ini akan dilakukan penarikan kesimpulan dari hasil simulasi MATLAB.

## IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Perpindahan panas yang terjadi pada lapisan tengah pelat dimana  dimensi  pelat  yang  dikaji  adalah  pelat  baja  datar berbentuk  segiempat  tiga  dimensi  yang  kemudian  dibagi menjadi  tiga  lapisan,  ditunjukkan  oleh  Gambar  1.  dan Gambar 2 [3].
Gambar 1.  Dimensi pelat
Gambar 2.  Pelat yang dibagi menjadi 3 lapisan
Kondisi  batas  yang  diberikan  pada  pelat  segiempat ditunjukkan oleh Gambar 3. dan Gambar  4. Diberikan baja memiliki  massa  jenis
,  konduktivitas panas dan  kapasitas  panas
.
Gambar 3. Skema kondisi batas pada sisi depan pelat
Gambar 4. Skema kondisi batas pada permukaan pelat

## A. Model Governing Equations
Governing  Equation yang  digunakan  adalah  persamaan perpindahan  panas  konduksi  yang  diperoleh  dari  aplikasi hukum  pertama  termodinamika  untuk  kontrol  volume  3D. Karena ketebalan lapisan relatif kecil atau sangat tipis, maka dapat  diasumsikan  bahwa  gradien mendekati  nol.
Sehingga  persamaan  semula  3D  untuk
menjadi 2D untuk yaitu
( 1)

## B. Diskritisasi Domain
Pelat  baja  yang  dikaji  kemudian  didiskritisasikan menjadi 16 elemen dengan 27 node untuk  sisi depan pelat, ditunjukkan oleh Gambar 5.

## Gambar 5. Sisi depan pelat yang didiskritisasikan menjadi 16 elemen dengan 27 node
Sedangkan untuk permukaan pelat didiskritisasikan menjadi 16 elemen dengan 27 node, 32 elemen dengan 45 node dan 64 elemen dengan 81 node , ditunjukkan oleh Gambar 6.
(a) (b) (c)
Gambar 6.  Permukaan  pelat yang didiskritisasikan menjadi (a) 16 elemen, (b) 32 elemen dan (c) 64 elemen.

## C. Fungsi Bentuk Aproksimasi
Fungsi  bentuk  aproksimasi  yang  digunakan  adalah fungsi  interpolasi  elemen  segiempat  linier,  dinyatakan sebagai berikut[5] :
(2)
Fungsi  bentuk  untuk  elemen  segiempat  linier  dapat dinyatakan sebagai pendekatan nilai distribusi suhu yaitu
(3)
dimana
(4)
Persamaan  (4)  merupakan fungsi bentuk  yang berlaku untuk sistem koordinat lokal. Sedangkan fungsi bentuk yang berlaku  pada  sistem  koordinat  natural  dinyatakan  sebagai berikut
(5)

## D. Perhitungan Properti Elemen
Governing  equation dihitung  dengan  menggunakan pendekatan  residu  berbobot  ( weighted  residue )  dan Formulasi Galerkin. Diperoleh persamaan sebagai berikut
(6)
Suku  kedua  dan  ketiga  dari  Persamaan  (6)  merupakan persamaan derivatif  tingkat  dua  yang harus disederhanakan menjadi  persamaan  derivatif  tingkat  satu  dengan menggunakan Teorema Green. Sehingga diperoleh
(7)
(8)
Selanjutnya  substitusi Persamaan (7) dan (8) ke Persamaan (6), diperoleh
(9)
Diberikan  kondisi  batas  konduksi  dan  konveksi  pada permukaan S sebagai berikut :
dan (10)

## E. Pembentukan Sistem Persamaan Linier
Persamaan  (3)  dan  (10)  disubstitusikan  ke  Persamaan (9), diperoleh
[ ]    [ ]  { }  + [ ]  [ ]{ }  =  [ ]
Persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi
(11)
dimana
(12)
(13) (14)
(15) (16) (17) F. Penyelesaian Sistem Persamaan Linier
Untuk  memperoleh  matrik  kekakuan  kapasitansi , matrik  kekakuan  konduksi dan  vektor  kekakuan konduksi ,  fungsi  bentuk  yang  digunakan  ada  pada Persamaan (4) . Sedangkan  untuk  memperoleh  vektor  kekakuan konduksi ,  matrik  kekakuan  konveksi dan
vektor kekakuan konveksi
, digunakan fungsi bentuk pada Persamaan (5).
i. Matrik Kekakuan Kapasitansi
Diperoleh  matrik  kekakuan  kapasitansi
pada
Persamaan (12) yaitu dengan (18) ii. Matrik Kekakuan Konduksi
Diperoleh  matrik  kekakuan  konduksi pada Persamaan (13), yaitu
(19)
Diperoleh  vektor  kekakuan  konduksi
pada
Persamaan (15), yaitu
iii. Matrik Kekakuan Konveksi
Matrik kekakuan konveksi pada Persamaan (14)
yaitu
diperoleh matrik kekakuan konveksi
untuk tiap sisi, yaitu
(21)
(22)
(23)
(24) Vektor kekakuan konveksi pada Persamaan (16)
yaitu
dengan diperoleh vektor kekakuan konveksi untuk tiap sisi, yaitu (25) (26)
(27) (28)
diperoleh  vektor  kekakuan  konduksi
Persamaan (17) untuk tiap sisi, yaitu
(29)
(30) (31) (32)

## G. Post Process Hasil
Permasalahan yang dikaji merupakan perpindahan panas transien  dimana  variabel  penentunya  adalah dan (waktu).    Setelah  mendapatkan  penyelesaian  sistem persamaan secara global yaitu pada Persamaan (11) dimana terdapat  suku  derivatif yang  kemudian  dapat diekspresikan  oleh dengan  menggunakan  diskritisasi beda  hingga  ( finite  difference  method ).  Karena  yang diketahui adalah suhu awal maka metode beda hingga yang digunakan adalah beda maju. yang dihitung dengan beda maju yaitu
(33)
Substitusi Persamaan (33) ke Persamaan (11) diperoleh
(34)
H. Simulasi dan Analisis
i. Sisi Depan Pelat
Simulasi  dilakukan  dengan  kondisi  batas  yang ditunjukkan oleh Gambar  3 serta  diskritisasi domain oleh Gambar 5.
(a) (b) Gambar 7. Grafik Distribusi Suhu saat (a) dan (b)
Gambar  7.  Menunjukkan  grafik  distribusi  suhu  pada sisi depan pelat saat =10 dan 37 . Distribusi suhu  yang dihasilkan  pada  saat  itu  berbeda.  Distribusi  suhu  yang digunakan  ada  pada  Grafik  (b).  Suhu  tersebut  dianggap sudah  mendekati  suhu pada bagian  tengah dari sisi depan pelat.  Sehingga  suhu  tersebut  dapat  digunakan  sebagai
inputan suhu  awal  untuk  permukaan  pelat  pada  simulasi berikutnya.

## ii. Permukaan Pelat
Simulasi  dilakukan  dengan  kondisi  batas  yang ditunjukkan oleh Gambar  4 serta  diskritisasi domain oleh Gambar 6.

## 1. Saat

## Gambar 8. Distribusi Suhu pada Permukaan Pelat saat
Kondisi  awal  untuk  semua  permukaan  pelat  dengan diskritisasi yang berbeda pada saat . Inputan nilai awal  untuk  suhu  pada  pelat  diambil  dari  suhu  pada simulasi  sebelumnya    dimana  suhu  pada node 10-18 menggantikan  suhu  pada node 1-9,  juga  menggantikan suhu pada node 10-18 dan seterusnya.
Sisi  kanan  dan  sisi  kiri  pada  permukaan  pelat dipertahankan konstan 0 0 C. Pada kondisi ini belum terjadi perambatan panas pada pelat.
2. Saat (a) (b) (c)
Gambar 9.  Distribusi Suhu pada Permukaan Pelat saat untuk (a) 16 elemen, (b) 32 elemen dan (c) 64 elemen
Gambar 9. menunjukkan kondisi permukaan pelat saat .  Semua  pelat  mengalami  perubahan  kontur yaitu sisi kiri dan kanan bergerak menuju tengah pelat. Hal ini  dapat  diamati  dari  perubahan  jarak  sumbu x pada gambar.  Namun  kontur  pada  sisi  kanan  bagian  bawah bergerak  lebih  lebar  ke  tengah  hingga  mencapai  hampir setengah dari panjang pelat pada sumbu x . Ini disebabkan karena  konveksi  yang  masuk  pada  sisi  kanan  bawah permukaan  pelat  sudah  merambat  hingga  seperempat bagian pelat dan menyebabkan distribusi suhu pada bagian tersebut  lebih  rendah  dibandingkan  lainnya.  Sedangkan flux yang  masuk  pada  sisi  atas  pelat  menyebabkan
rambatan  konveksi  berjalan  lambat  sehingga  perubahan kontur  yang  terjadi  tidak  sama.  Dilihat  dari  sisi  simulasi, semakin banyak diskritisasi elemen yang digunakan maka semakin  halus  kontur  yang  dihasilkan.  Hal  ini  dapat diamati  dari  perbedaan  kontur  pada  ketiga  gambar. Kondisi  ini  menunjukkan  bahwa  semakin  banyak  elemen yang  digunakan,  distribusi  suhu  pada  pelat  akan  semakin mendekati suhu sebenarnya.
3. Saat (a) (b) (c)
Gambar 10.  Distribusi Suhu pada Permukaan Pelat saat untuk (a) 16 elemen, (b) 32 elemen dan (c) 64 elemen
Gambar  10.  menunjukkan  kondisi  permukaan  pelat saat .  Semua  pelat  mengalami  perubahan kontur  lebih  banyak  dibandingkan  sebelumnya.  Konveksi yang  merambat  hampir  memenuhi  permukaan  pelat.  Hal ini  dapat  diamati  dari  perubahan  warna  kontur  yang berbeda  pada  Gambar  10.  jika  dibandingkan  dengan Gambar 9.
Sedangkan  warna  putih  pada  kontur  menunjukkan bahwa flux yang masuk pada sisi atas pelat menyebabkan rambatan konveksi berjalan lambat. Sehingga pada bagian tersebut  distribusi  suhunya  lebih  tinggi  dibandingkan lainnya.  Dilihat  dari  sisi  simulasi,  semakin  banyak diskritisasi  elemen  yang  digunakan  maka  semakin  halus kontur  yang  dihasilkan.  Hal  ini  dapat  diamati  dari perbedaan  kontur  pada  ketiga  gambar.  Kondisi  ini menunjukkan  bahwa  semakin  banyak  elemen  yang digunakan,  distribusi  suhu  pada  pelat  akan  semakin mendekati suhu sebenarnya.

## V. KESIMPULAN
Dari  analisa  yang  telah  dilakukan  pada  pelat,  dapat disimpulkan bahwa :
1. Secara  numerik  hasil  distribusi  suhu  dari  lapisan tengah pelat dipengaruhi oleh banyaknya elemen yang digunakan.  Semakin  banyak  elemen  yang  digunakan maka  distribusi  suhu  yang  dihasilkan  akan  semakin akurat  meskipun  perubahan  numeriknya  tidak  terlalu signifikan.  Hal  ini  dapat  diamati  dari  perubahan  suhu pada node-node yang bersesuaian.
2. Banyaknya  elemen  yang  digunakan  juga  berpengaruh pada  simulasi.  Semakin  banyak  elemen  yang digunakan maka kontur yang dihasilkan akan semakin
halus  atau  perpindahan  panas  semakin  terlihat  untuk tiap node meskipun  waktu  yang  dibutuhkan  untuk simulasi akan menjadi lebih lama.

## DAFTAR PUSTAKA
[1] Incropera,  F.P.,  DeWitt,  D.P.  1990. Fundamentals of  Heat  and  Mass  Transfer , 3th  ed .  New  York:
John Wiley and Sons, Inc.
[2] Kosasih,  P.B.  2012. Teori  dan  Aplikasi  Metode Elemen Hingga . Yogyakarta: ANDI OFFSET.
[3] Jeffers, A.E. Heat Transfer Element for Modelling The Thermal Response of Non-Uniformly Heated Plates .  Scientific  Research:  Finite  Elements  in
Analysis and Design, 2013, 63, 62-68. [4] Susatio,  Y.  2004. Dasar-Dasar  Metode  Elemen Hingga . Yogyakarta : ANDI OFFSET.
[5] Segerlind,  L.J.  1984. Applied  Finite  Element Analysis, 2th ed . Canada: John Wiley and Sons, Inc.