ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.1 (Juni 2017) Hal. 1-11

## SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL LINIER ORDE DUA MENGGUNAKAN METODE POLINOMIAL TAYLOR

## Rezky Putri Rahayu, Yuni Yulida, Thresye
Program Studi Matematika Fakultas MIPA
Universitas Lambung Mangkurat Email : rezkyputri18@gmail.com

## ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan yang memuat turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas. Pada persamaan diferensial terdapat koefisien yang berupa konstanta dan berupa fungsi. Solusi dari persamaan diferensial parsial yang koefisiennya berupa konstanta mudah ditentukan. Namun, solusi dari persamaan diferensial yang koefisiennya berupa fungsi cukup sulit ditentukan. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi tersebut yaitu dengan menggunakan polinomial Taylor. Metode ini dapat digunakan pada persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan koefisien berupa fungsi dengan dua variabel bebas. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan solusi polinomial Taylor pada persamaan diferensial parsial linier orde dua. Pada penelitian ini diperoleh solusi dari persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan mengasumsikan solusi dalam bentuk polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 , 𝑁𝑁 𝑠𝑠=0 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0
dengan 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 = 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) merupakan koefisien polinomial Taylor, atau dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 .
Kata Kunci : Persamaan diferensial parsial linier orde dua, deret Taylor, polinomial Taylor, matriks.

## ABSTRACT
Partial differential equations are equations containing partial derivatives of one or more dependent variables against more than one independent variable. In the differential equations there constants and coefficients which form of the function. The solution of the differential equation in the form of the constant coefficient is easy to determined. However, the solution of differential equations whose coefficients form of function quite difficult to determine. One  method that can be used to determine the solution that is by using Taylor polynomials. This method can be used in order linear partial differential equations with coefficients of the form two functions with two independent variables. The purpose of this study was to determine the Taylor polynomial solution in second order linear partial differential equations. In this study was obtained from the solution of linear partial differential equations second order by assuming a solution in the form of Taylor polynomials of degree N
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 , 𝑁𝑁 𝑠𝑠=0 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0
with 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 = 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) is a Taylor polynomial coefficients, or can be expressed in the form of a matrix equation 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 .
Keywords :  Linear Partial Differential Equations Second Order, Taylor series , Taylor polynomials, matrix.

## 1. PENDAHULUAN
Pada bentuk persamaan diferensial parsial terdapat koefisien yang berupa konstanta dan berupa fungsi. Jika koefisiennya berupa konstanta maka solusi
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.1 (Juni 2017) Hal. 1-11
persamaan diferensial parsial lebih mudah ditentukan. Namun, jika koefisiennya berupa fungsi maka solusi persamaan diferensial parsial tersebut cukup sulit ditentukan. Beberapa metode yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial parsial dengan koefisien berupa fungsi yaitu dengan polinomial Chebyshev dan polinomial Taylor. Kesan [6],  menjelaskan tentang metode polinomial Chebyshev yang diterapkan pada persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan mengasumsikan solusi dari persamaan diferensial tersebut dalam bentuk deret Chebyshev. Namun, metode ini hanya mempunyai solusi pada selang tertutup ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ [ − 1,1] . Selanjutnya Kesan  [7]    juga menjelaskan tentang metode untuk menentukan solusi dari persamaan diferensial yang memiliki koefisien berupa fungsi dan digunakan pada persamaan diferensial parsial linier orde dua. Dalam metode ini, persamaan diferensial parsial linier orde dua yang memiliki solusi pada selang ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ [ 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ] dan  diasumsikan solusi pendekatan berbentuk polinomial Taylor dengan dua variabel bebas.
Berdasarkan pemaparan di atas, penulis mengkaji kembali artikel Kesan [7] yaitu untuk menentukan solusi polinomial Taylor pada persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan koefisien fungsi.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## 2.1 Persamaan Diferensial Parsial Linier Orde Dua
Secara umum persamaan diferensial parsial linier untuk orde dua dengan dua variabel bebas 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 memiliki bentuk persamaan sebagai berikut :
𝑋𝑋 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 + 𝐵𝐵 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐶𝐶 𝜕𝜕 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 2 + 𝐷𝐷 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐸𝐸 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 + 𝐹𝐹𝑢𝑢 = 𝐺𝐺 … (1)
dimana 𝑋𝑋 , 𝐵𝐵 , 𝐶𝐶 , 𝐷𝐷 , 𝐸𝐸 , 𝐹𝐹 , dan 𝐺𝐺 dapat berupa konstanta atau fungsi terhadap 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 . Persamaan (1) disebut homogen jika 𝐺𝐺 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) pada ruas kanan identik dengan nol untuk semua 𝑥𝑥 dan 𝑦𝑦 . Jika 𝐺𝐺 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) tidak identik dengan nol, maka persamaan (1) disebut nonhomogen [3].
2.2. Deret Taylor Teorema 2.1 [4] Hanya ada satu deret pangkat dalam 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 memenuhi untuk 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) sehingga
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 )     = 𝑎𝑎 0 + 𝑎𝑎 1 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) + 𝑎𝑎 2 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 2 + 𝑎𝑎 3 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 3 + ⋯ = � 𝑎𝑎 𝑛𝑛 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 … (2)
berlaku untuk semua 𝑥𝑥 dalam beberapa interval disekitar 𝑐𝑐 dengan
𝑎𝑎 𝑛𝑛 = 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 ) 𝑛𝑛 ! … (3)
Deret
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 𝑛𝑛 ( 𝑐𝑐 ) 𝑛𝑛 ! ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 ) 𝑛𝑛 ∞ 𝑛𝑛=0 … (4)
disebut deret Taylor. Teorema 2.2 [2] Misalkan 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) mempunyai turunan ketiga yang kontinu pada himpunan tutup 𝐷𝐷 , maka untuk titik dalam ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) di 𝐷𝐷 dan ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) ∈ 𝐷𝐷 berlaku
f(x, y) = f(a, b) + (x − a) ∂f ∂x (a, b) + (y − b) ∂f ∂y (a, b) + 1 2 ! � (x − a) 2 ∂ 2 f ∂x 2 (a, b) + 2(x − a)(y − b) ∂ 2 f ∂x ∂y (a, b) + (y − b) 2 ∂ 2 f ∂y 2 (a, b) � + R 2 … (5)
dengan
lim h→ ( 0 , 0 ) R 2 ‖𝐡𝐡‖ 2 = 0                                             … (6)
dan 𝐡𝐡 = (x − a, y − b) . Polinom di ruas kanan pada (6) disebut polinom Taylor derajat dua.

## 2.2 Operasi Matriks
Operasi matriks yang digunakan dalam penelitian ini adalah penjumlahan matriks, perkalian matriks, transpos matriks, invers matriks, serta matriks diperbesar. Untuk menentukan nilai dari koefisien polinomial Taylor dapat digunakan metode operasi baris elementer atau eliminasi Gauss.

## 3. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Adapun  prosedur pada penelitian ini adalah mengumpulkan dan mengkaji bahan-bahan yang berkaitan dengan persamaan diferensial parsial terutama untuk persamaan diferensial parsial linier orde dua dengan dua variabel bebas. Kemudian, menentukan hubungan dasar suatu  fungsi dua variabel dalam bentuk deret Taylor yang diturunkan terhadap 𝑥𝑥 dan terhadap 𝑦𝑦 sehingga diperoleh koefisien deret Taylor yang dinyatakan dalam bentuk matriks. Kemudian, menentukan solusi persamaan diferensial parsial (PDP) dengan mengasumsikan  solusi serta koefisien-koefisien PDP dalam bentuk polinomial Taylor yang dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks. Selanjutnya, membentuk matriks diperbesar untuk menentukan matriks yang elemennya berupa koefisien polinomial Taylor sehingga diperoleh solusi pendekatan pada PDP linier ord dua.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Diberikan persamaan diferensial parsial linier (PDPL) orde dua dengan bentuk seperti pada persamaan (1) dengan syarat awal dan syarat batas 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑏𝑏 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 1 ) + 𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 ) + 𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑏𝑏 ) + 𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) … (7)
𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 ) + 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑦𝑦 ) = 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) … (8) 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑎𝑎 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 1 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑎𝑎 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑏𝑏 ) + 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝜆𝜆 … (9)
Dengan 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 0 ≤ 𝑏𝑏 dan 𝑎𝑎 ≤ 𝑐𝑐 1 ≤ 𝑏𝑏 , serta 𝑓𝑓 sebagai fungsi terhadap 𝑥𝑥 , 𝑔𝑔 sebagai fungsi terhadap 𝑦𝑦 dan 𝜆𝜆 sebagai konstanta. Syarat awal dan syarat batas pada persamaan (7) , (8) disebut syarat awal dan syarat batas Robin . Sedangkan syarat awal dan syarat batas pada persamaan (9) disebut syarat awal dan syarat batas Dirichlet .
Solusi dari persamaan (1) dapat diasumsikan dalam bentuk polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁 untuk 𝑁𝑁 suatu bilangan bulat positif sebagai berikut :
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 , 𝑎𝑎 ≤ ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) ≤ 𝑏𝑏 𝑁𝑁 𝑠𝑠=0 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0
= � � 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 )( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 ,                               … (10)
𝑁𝑁 𝑠𝑠=0 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.1 (Juni 2017) Hal. 1-11
Persamaan (10) merupakan polinomial Taylor berderajat 𝑁𝑁 saat ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) , dimana 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) untuk 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 = 0,1, … , 𝑁𝑁 merupakan koefisien yang akan ditentukan.  Koefisien polinomial Taylor pada persamaan (10) diturunkan terhadap 𝑥𝑥 dan terhadap 𝑦𝑦 sebanyak 𝑛𝑛 kali, diperoleh
𝑢𝑢 ( 𝑛𝑛 , 0 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑛𝑛+𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 )( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 ∞ 𝑠𝑠=0 ∞ 𝑟𝑟=0 = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 𝑛𝑛 , 0 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 ∞ 𝑠𝑠=0 ∞ 𝑟𝑟=0 … (11) dan
𝑢𝑢 ( 0 , 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 1 𝑟𝑟 ! 𝑠𝑠 ! 𝑢𝑢 ( 𝑟𝑟 , 𝑛𝑛+𝑠𝑠 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 )( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 ∞ 𝑠𝑠=0 ∞ 𝑟𝑟=0 = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 0 , 𝑛𝑛 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 … (12 ∞ 𝑠𝑠=0 ∞ 𝑟𝑟=0 )
Kemudian, persamaan (11) dan (12) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu
𝑋𝑋 ( 𝑛𝑛 , 0 ) = 𝑀𝑀 𝑛𝑛 𝑋𝑋 (13)
dan
𝑋𝑋 ( 0 , 𝑛𝑛 ) = 𝑀𝑀 𝑛𝑛 𝑋𝑋 𝑡𝑡 (14)
Berdasarkan persamaan matriks pada persamaan (13) dan (14) maka
𝑋𝑋 ( 𝑛𝑛 , 𝑛𝑛 ) = 𝑀𝑀 𝑛𝑛 𝑋𝑋 ( 𝑀𝑀 𝑛𝑛 ) 𝑡𝑡 (15)
4.1 Metode untuk Menentukan Solusi PDPL Orde Dua
Diberikan persamaan diferensial parsial linier (PDPL) orde dua seperti pada persamaan (1) dengan asusi solusi pada persamaan (10) atau dalam bentuk matriks, yaitu
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
(16)
dimana 𝑋𝑋 = [1 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 2 … ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑁𝑁 ] , 𝑋𝑋 = [1 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 2 … ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑁𝑁 ] 𝑡𝑡 , dan 𝑋𝑋 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝛼𝛼 0 , 0 ( 0 , 0 ) 𝛼𝛼 1 , 0 ( 0 , 0 ) ⋯ 𝛼𝛼 𝑁𝑁 , 0 ( 0 , 0 ) 𝛼𝛼 1 , 0 ( 0 , 0 ) 𝛼𝛼 1 , 1 ( 0 , 0 ) ⋯ 𝛼𝛼 𝑁𝑁 , 1 ( 0 , 0 ) ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ 𝛼𝛼 0 , 𝑁𝑁 ( 0 , 0 ) 𝛼𝛼 1 , 𝑁𝑁 ( 0 , 0 ) ⋯ 𝛼𝛼 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ( 0 , 0 ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Selain  itu, koefisien-koefisien pada PDPL orde dua juga diasumsikan dapat dibentuk dalam polinomial Taylor dan persamaan matriks. Persamaan matriks dari PDPL orde dua dapat ditulis sebagai
� ��𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 𝑁𝑁 𝑖𝑖=0 + 𝑏𝑏 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑐𝑐 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 ) 𝑡𝑡 + 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑓𝑓 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 � = 𝐺𝐺 (17)
Bentuk matriks pada persamaan (17) setelah diekspansi dapat disederhanakan menjadi
� 𝑊𝑊 𝜎𝜎 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝜎𝜎 = 𝐺𝐺 (18)
6
𝜎𝜎=1
dimana 𝑊𝑊 𝜎𝜎 = �𝑤𝑤 𝑖𝑖𝑖𝑖 � , 𝑋𝑋 𝜎𝜎 = �𝑦𝑦 𝑖𝑖𝑖𝑖 � untuk 𝜎𝜎 = 1,2, … ,6 .
Persamaan matriks (18) dapat dibentuk ke dalam persamaan matriks baru dengan menggunakan 𝑥𝑥 𝑖𝑖 ( 𝑁𝑁+1 ) +𝑙𝑙 , 𝑖𝑖 ( 𝑁𝑁+1 ) +𝑘𝑘 = 𝑤𝑤 𝑖𝑖𝑖𝑖 ∙ 𝑦𝑦 𝑘𝑘𝑙𝑙 ; 𝑘𝑘 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 , 𝑗𝑗 = 0,1,2, . . , 𝑁𝑁 , 𝑙𝑙 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 , 𝑖𝑖 = 0,1,2, … , 𝑁𝑁 . Oleh karena itu, persamaan matriks baru dari persamaan (4.42) berukuran ( 𝑁𝑁 + 1) 2 × ( 𝑁𝑁 + 1) 2 dapat ditulis sebagai
� 𝑋𝑋 𝜎𝜎 𝑋𝑋̅ = 𝐺𝐺̅ ,                                                       (19) 6
𝜎𝜎=1
dimana 𝑋𝑋 𝜎𝜎 = �𝑥𝑥 𝑧𝑧 , 𝑞𝑞 � , 𝑧𝑧 , 𝑞𝑞 = 0,1,2, … , ( 𝑁𝑁 + 1)( 𝑁𝑁 + 1); 𝜎𝜎 = 1,2, … , 𝑁𝑁 dan 𝑋𝑋̅ = [ 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 … 𝛼𝛼 0𝑁𝑁 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 … 𝛼𝛼 1𝑁𝑁 … 𝛼𝛼 𝑁𝑁0 𝛼𝛼 𝑁𝑁1 … 𝛼𝛼 𝑁𝑁𝑁𝑁 ] 𝐺𝐺̅ = [ 𝑔𝑔 00 𝑔𝑔 01 … 𝑔𝑔 0𝑁𝑁 𝑔𝑔 10 𝑔𝑔 11 … 𝑔𝑔 1𝑁𝑁 … 𝑔𝑔 𝑁𝑁0 𝑔𝑔 𝑁𝑁1 … 𝑔𝑔 𝑁𝑁𝑁𝑁 ]

## 4.2 Bentuk Matriks dari Syarat Awal dan Syarat Batas yang Diberikan
Pada  PDPL orde dua telah diberikan syarat awal dan syarat batas untuk bentuk matriks pada persamaan (7) , (8) dan (9) . Selanjutnya, akan ditentukan hubungan bentuk matriks berdasarkan syarat awal dan syarat batas tersebut : 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) = [1 0 0 … 0] , 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) = [1 ℎ 0 ℎ 0 2 … ℎ 0 𝑁𝑁 ] , 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) = [1 𝑘𝑘 0 𝑘𝑘 0 2 … 𝑘𝑘 0 𝑁𝑁 ] , (20)
𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 0 ) = [0 1 0 … 0] 𝑀𝑀 , 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) = [0 1 ℎ 0 … ℎ 0 𝑁𝑁−1 ] 𝑀𝑀 , 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) = [0 1 𝑘𝑘 0 … 𝑘𝑘 0 𝑁𝑁−1 ] 𝑀𝑀 ,
dimana ℎ 0 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 0 , 𝑘𝑘 0 = 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 0 , dan 𝑀𝑀 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 1 0 ∙ ∙ ∙ ∙ 0 0 0 2 0 ∙ ∙ ∙ 0 0 0 0 3 0 ∙ ∙ 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑁𝑁 0 0 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) = [1 0 0 … 0] 𝑡𝑡 , 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) = [1 ℎ 1 ℎ 1 2 … ℎ 1 𝑁𝑁 ] 𝑡𝑡 , 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) = [1 𝑘𝑘 1 𝑘𝑘 1 2 … 𝑘𝑘 1 𝑁𝑁 ] 𝑡𝑡 , ( 21) 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 1 ) = [0 1 0 … 0] 𝑡𝑡 𝑀𝑀 ,
𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) = [0 1 ℎ 1 … ℎ 1 𝑁𝑁−1 ] 𝑡𝑡 𝑀𝑀 , 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) = [0 1 𝑘𝑘 1 … 𝑘𝑘 1 𝑁𝑁−1 ] 𝑡𝑡 𝑀𝑀 ,
dimana ℎ 1 = 𝑎𝑎 − 𝑐𝑐 1 , 𝑘𝑘 1 = 𝑏𝑏 − 𝑐𝑐 1 .
Diasumsikan bahwa fungsi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) dan 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) dapat diekspansi sebagai
𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 𝑟𝑟 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 = 𝑋𝑋𝑓𝑓 𝑁𝑁 𝑟𝑟=0 dan 𝑔𝑔 ( 𝑦𝑦 ) = � 𝑔𝑔 𝑠𝑠 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 = 𝑔𝑔𝑋𝑋 𝑁𝑁 𝑠𝑠=0 dimana 𝑓𝑓 = [ 𝑓𝑓 0 𝑓𝑓 1 … 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ] dan 𝑔𝑔 = [ 𝑔𝑔 0 𝑔𝑔 1 … 𝑔𝑔 𝑁𝑁 ] . Berdasarkan asumsi solusi dari polinomial Taylor dalam bentuk matriks pada persamaan (16) , yaitu
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.1 (Juni 2017) Hal. 1-11
maka diperoleh 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑏𝑏 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑎𝑎 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑎𝑎 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 (22)
𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑏𝑏 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑏𝑏 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 𝑢𝑢 ( 0 , 1 ) ( 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 1 ) 𝑢𝑢 ( 1 , 0 ) ( 𝑐𝑐 0 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 0 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋
𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑎𝑎 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑏𝑏 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 )
𝑢𝑢 ( 𝑎𝑎 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑎𝑎 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑏𝑏 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑢𝑢 ( 𝑏𝑏 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) (23)
𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑎𝑎 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) 𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑏𝑏 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 )
𝑢𝑢 ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) 𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 )
Kemudian, persamaan (22) dan (23) disubstitusi ke dalam persamaan (7) , (8) , dan (9) sehingga diperoleh persamaan matriks dari syarat awal dan syarat batas yang diberikan, yaitu 𝑋𝑋𝐴𝐴 = 𝑓𝑓 , 𝑉𝑉𝑋𝑋 = 𝑔𝑔 , dan 𝑄𝑄𝑋𝑋𝑄𝑄 = 𝜆𝜆 (24)
dengan
𝐴𝐴 = �𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) + 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑐𝑐 1 ) �
𝑉𝑉 = �𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) + 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 1 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) �
𝑄𝑄 = �𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 0 ) �
𝑄𝑄 = �𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑎𝑎 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑏𝑏 ) + 𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) �

## 4.3 Metode Pembentuk untuk Solusi
Diasumsikan persamaan (4.42) dalam bentuk
𝑋𝑋�𝑋𝑋̅ = 𝐺𝐺̅ (25)
Dengan 𝑋𝑋� = ∑ 𝑋𝑋 𝜎𝜎 6 𝜎𝜎=1
Kemudian, dapat dibentuk matriks diperbesar dari persamaan (24) menjadi [ 𝑋𝑋� ; 𝐺𝐺̅ ] atau ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥𝑥 0 , 0 ����� 𝑥𝑥 0 , 1 ����� ⋯ 𝑥𝑥 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ����������� ; 𝑔𝑔 00 𝑥𝑥 1 , 0 ����� 𝑥𝑥 1 , 1 ����� ⋯ 𝑥𝑥 1 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ����������� ; 𝑔𝑔 01 ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙
𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 0 ����������� 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 1 ����������� ⋯ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������������ ; 𝑔𝑔 𝑁𝑁𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(26)
Jika masing-masing dibentuk matriks baru dari syarat awal dan syarat batas persamaan (24) yaitu 𝐴𝐴𝑋𝑋 ���� = 𝑓𝑓 , 𝑉𝑉𝑋𝑋 ���� = 𝑔𝑔 𝑡𝑡 , dan 𝑄𝑄𝑋𝑋 ���� = 𝜆𝜆 , maka matriks diperbesar dari bentuk matriks yang baru menjadi [ 𝐴𝐴� ; 𝑓𝑓 ], [ 𝑉𝑉� ; 𝑔𝑔 𝑡𝑡 ], dan [ 𝑄𝑄� ; 𝜆𝜆 ] atau dapat ditunjukkan sebagai
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑢𝑢 0 , 0 ����� 𝑢𝑢 0 , 1 ����� ⋯ 𝑢𝑢 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝑓𝑓 0 𝑢𝑢 1 , 0 ����� 𝑢𝑢 1 , 1 ����� ⋯ 𝑢𝑢 1 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝑓𝑓 1 ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 0 ������������ 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 1 ������������ ⋯ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������������ ; 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (27) ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑣𝑣 0 , 0 ����� 𝑣𝑣 0 , 1 ����� ⋯ 𝑣𝑣 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 )
����������� ; 𝑔𝑔 0 𝑣𝑣 1 , 0 ����� 𝑣𝑣 1 , 1 ����� ⋯ 𝑣𝑣 1 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 )
����������� ; 𝑔𝑔 1 ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ; ∙
𝑣𝑣 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 0 ����������� 𝑣𝑣 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 1 ����������� ⋯ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ), 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������������
; 𝑔𝑔 𝑁𝑁 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(28)
dan [ 𝑞𝑞 0 , 0 ����� 𝑞𝑞 0 , 1 ����� ⋯ 𝑣𝑣 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ����������� ; 𝜆𝜆 ] (29)
Akibatnya, dengan menggantikan persamaan (27) , (28) , dan (29) oleh baris terakhir ke 2 𝑁𝑁 + 1 dari persamaan (26) , maka diperoleh suatu matriks diperbesar yang baru dengan bentuk sebagai berikut :
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝑥𝑥 0 , 0 ����� 𝑥𝑥 0 , 1 ����� ⋯ 𝑥𝑥 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ����������� ; 𝑔𝑔 0 , 0 𝑥𝑥 1 , 0 ����� 𝑥𝑥 1 , 1 ����� ⋯ 𝑥𝑥 1 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ����������� ; 𝑔𝑔 0 , 1 ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙
𝑥𝑥 𝑁𝑁 2 −1 , 0 ��������� 𝑥𝑥 𝑁𝑁 2 −1 , 1 ��������� ⋯ 𝑥𝑥 𝑁𝑁 2 −1 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ���������������� ; 𝑔𝑔 𝑁𝑁−2 , 𝑁𝑁−1 𝑢𝑢 0 , 0 ����� 𝑢𝑢 0 , 1 ����� ⋯ 𝑢𝑢 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝑓𝑓 0 ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ 𝑢𝑢 𝑁𝑁 , 0 ����� 𝑢𝑢 𝑁𝑁 . 1 ����� ⋯ 𝑢𝑢 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝑓𝑓 𝑁𝑁 𝑣𝑣 0 , 0 ����� 𝑣𝑣 0 , 1 ����� ⋯ 𝑣𝑣 0 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 )
����������� ; 𝑔𝑔 0 ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ ⋯ ∙ ∙ ∙ 𝑣𝑣 𝑁𝑁 , 0 ����� 𝑣𝑣 𝑁𝑁 , 1 ����� ⋯ 𝑣𝑣 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝑔𝑔 𝑁𝑁 𝑞𝑞 0 , 0 ����� 𝑞𝑞 0 , 1 ����� ⋯ 𝑞𝑞 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ( 𝑁𝑁+2 ) ������������ ; 𝜆𝜆 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (30)
Untuk menentukan matriks 𝑋𝑋 maka dapat digunakan metode eliminasi Gauss atau metode operasi baris elementer  sehingga dapat memenuhi asumsi solusi yang berupa persamaan matriks 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 . Dengan kata lain, solusi pendekatan tersebut dapat ditentukan dengan menentukan matriks 𝑋𝑋 yang entri-entrinya berupa koefisien polinomial Taylor.
Contoh
Diberikan PDPL orde dua dengan koefisien berupa variabel berbentuk
𝑢𝑢 𝜕𝜕 − 𝜕𝜕 2 2 𝑢𝑢 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 (31)
dengan syarat awal berbentuk 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0) = 𝑥𝑥 2
Kemudian, diasumsikan solusi dari PDPL orde dua persamaan (10) untuk 𝑁𝑁 = 2 dalam bentuk polinomial Taylor
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = � � 𝛼𝛼 𝑟𝑟 , 𝑠𝑠 ( 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐 0 ) 𝑟𝑟 ( 𝑦𝑦 − 𝑐𝑐 1 ) 𝑠𝑠 2 𝑠𝑠=0 2 𝑟𝑟=0 ,       ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) = (0,0)                        (32)
Penyelesaian : Berdasarkan persamaan (17) dapat dibentuk persamaan matriks, yaitu
� ��𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 � = 𝟎𝟎 2 𝑖𝑖=0 2 𝑖𝑖=0 (33) dengan 𝑋𝑋 = � 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 � , 𝑀𝑀 = � 0 1 0 0 0 2 0 0 0 � ,
𝑀𝑀 2 = � 0 1 0 0 0 2 0 0 0 � 2 = � 0 0 2 0 0 0 0 0 0 � , ( 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 = � 0 0 0 1 0 0 0 2 0 � , dan 𝟎𝟎 = � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � ,
Kemudian, persamaan matriks (33) akan diekspansi menjadi
� ��𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 � = 𝟎𝟎 2 𝑖𝑖=0 2 𝑖𝑖=0 � [( 𝑒𝑒 𝑖𝑖0 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖0 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) 2 𝑖𝑖=0 +( 𝑒𝑒 𝑖𝑖1 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖1 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 ) + �𝑒𝑒 𝑖𝑖2 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝐶𝐶 𝑖𝑖 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 𝑖𝑖 ) 𝑡𝑡 � = 𝟎𝟎
⇔ [( 𝑒𝑒 00 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 00 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 01 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 01 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 02 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 02 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 10 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 10 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 11 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 11 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 12 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 12 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 20 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 20 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 21 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 21 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 ) +( 𝑒𝑒 22 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 22 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 )] = 𝟎𝟎
Kemudian, persamaan matriks yang telah diekspansi dan memiliki koefisien yang sama dapat dikelompokkan sesuai dengan koefisiennya masing-masing, sehingga diperoleh ⇔ [ 𝑒𝑒 00 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 01 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 02 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 10 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 11 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 12 𝐶𝐶 1 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 20 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 21 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 22 𝐶𝐶 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − [ 𝑎𝑎 00 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 01 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 02 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 10 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 11 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 12 𝐶𝐶 1 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 20 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 21 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 1 ) 𝑡𝑡 + 𝑎𝑎 22 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 2 ) 𝑡𝑡 ] = 𝟎𝟎 ⇔ ( 𝑒𝑒 00 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝑎𝑎 20 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) = 𝟎𝟎 ⇔ (2 𝐶𝐶 0 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ( 𝐶𝐶 0 ) 𝑡𝑡 ) = 𝟎𝟎 ⇔ (2 𝑋𝑋 ( 𝑀𝑀 ) 𝑡𝑡 − 𝐶𝐶 2 𝑀𝑀 2 𝑋𝑋 ) = 𝟎𝟎 (34)
dengan 𝐶𝐶 2 = � 0 0 0 0 0 0 1 0 0 � .
Persamaan (34) merupakan persamaan matriks yang berukuran 3 × 3 dari ekspansi polinomial Taylor untuk 𝑁𝑁 = 4 .
Persamaan (34) akan dibentuk persamaan matriks baru diperoleh
2 �� 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 � × � 0 0 0 1 0 0 0 2 0 �� − �� 0 0 0 0 0 0 1 0 0 � × � 0 0 2 0 0 0 0 0 0 � × � 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 �� = � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � 2 �� 𝛼𝛼 01 2 𝛼𝛼 02 0 𝛼𝛼 11 2 𝛼𝛼 12 0 𝛼𝛼 21 2 𝛼𝛼 22 0 �� − �� 0 0 0 0 0 0 0 0 2 � × � 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 �� = � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �
�� 2 𝛼𝛼 01 4 𝛼𝛼 02 0 2 𝛼𝛼 11 4 𝛼𝛼 12 0 2 𝛼𝛼 21 4 𝛼𝛼 22 0 �� − �� 0 0 0 0 0 0 2 𝛼𝛼 20 2 𝛼𝛼 21 2 𝛼𝛼 22 �� = � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 �
� 2 𝛼𝛼 01 4 𝛼𝛼 02 0 2 𝛼𝛼 11 4 𝛼𝛼 12 0 2 𝛼𝛼 21 − 2 𝛼𝛼 20 4 𝛼𝛼 22 − 2 𝛼𝛼 21 − 2 𝛼𝛼 22 � = � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � (35)
Selanjutnya, diketahui pada persamaan (32) di  sekitar ( 𝑐𝑐 0 , 𝑐𝑐 1 ) = (0,0) dan memiliki syarat awal, maka 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑐𝑐 1 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) ( 𝑐𝑐 1 ) maka 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) (0)
dengan 𝑋𝑋 = [1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 ] dan 𝑋𝑋 ( 0 ) = [1 0 0] 𝑡𝑡 , selanjutnya 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 0) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 ( 0 ) (0) 𝑥𝑥 2 = [1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 2 ] 𝑋𝑋 [1 0 0] 𝑡𝑡
[0 0 1] 𝑡𝑡 = 𝑋𝑋 . 𝑋𝑋 ( 0 ) (0) (36)
Selanjutnya, berdasarkan persamaan (35) dapat dibentuk suatu matriks diperbesar sebagai berikut
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∙ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(37)
Syarat awal dalam bentuk matriks pada persamaan (36) , digunakan untuk mengganti baris ke 2 𝑁𝑁 + 1 ke dalam persamaan (37)
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 − 2 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∙ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤
(38)
Dari persamaan (38) dapat ditentukan nilai koefisien dari polinomial Taylor untuk 𝑁𝑁 = 2 dengan bentuk matriks diperbesar dengan menggunakan metode operasi baris elementer dari persamaan (4.66) seperti pada (Lampiran 2) maka dapat diperoleh nilai dari koefisien polinomial Taylor untuk 𝑁𝑁 = 2 , yaitu
𝑋𝑋 = � 𝛼𝛼 00 𝛼𝛼 01 𝛼𝛼 02 𝛼𝛼 10 𝛼𝛼 11 𝛼𝛼 12 𝛼𝛼 20 𝛼𝛼 21 𝛼𝛼 22 � = � 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 � �
Nilai koefisien pada matriks A di atas   disubstitusi ke dalam persamaan matriks 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 dan diperoleh
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑥𝑥 2 + 𝑥𝑥 2 𝑦𝑦 + ( 𝜕𝜕𝜕𝜕 ) 2 2 (39)
Solusi pada persamaan (39) merupakan solusi pendekatan dengan orde 𝑁𝑁 = 2 dan dapat dituliskan
𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑥𝑥 2 (1 + 𝑦𝑦 + 𝜕𝜕 2 2 ) (40)
Solusi dari persamaan (40) akan konvergen ke solusi eksak 𝑥𝑥 2 𝑒𝑒 𝜕𝜕 .

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan diperoleh langkah-langkah untuk menentukan solusi PDP linier orde dua menggunakan metode polinomial Taylor sebagai berikut :
1. Membentuk persamaan matriks dalam bentuk polinomial Taylor dari bentuk PDPL orde dua yang diberikan.
2. Mengekspansi bentuk pada langkah 1 dan mengelompokkan setiap suku yang memiliki koefisien yang sama. Kemudian, dari ekspansi tersebut akan terbentuk persamaan matriks baru.
3. Menyelesaikan persamaan matriks pada langkah 2 hingga terbentuk suatu matriks. Kemudian, dibentuk matriks diperbesar.
4. Perhatikan syarat awal dan syarat batas yang diberikan untuk PDPL orde dua. Syarat awal dan syarat batas tersebut dibentuk dalam persamaan matriks
5. Membentuk matriks diperbesar dengan mengaplikasikan syarat awal dan syarat batas pada langkah 4.
6. Gunakan operasi baris elementer atau metode eliminasi Gauss untuk menentukan nilai dari koefisien polinomial Taylor dari langkah 5.
ISSN: 1978-4422 Vol.11 No.1 (Juni 2017) Hal. 1-11

## 7.
Substitusi nilai koefisien yang diperoleh dari langkah 6 ke asumsi solusi dari PDPL orde dua yang berbentuk 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 ) = 𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋𝑋 .  Jadi  diperoleh solusi pendekatan dari PDPL orde dua yang diberikan.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1]  Anton, H. 2000. Dasar-dasar Aljabar Linier Edisi 7 Jilid 1 .  Interaksara. Batam.
[2]  Budi, W. S.  2001. Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya. ITB. Bandung.
[3]  Farlow, S. J.  1982. Partia Differential Equations for Scientists and Engineers. John Wiley and Sons. New York
[4]  Gazali, Wiaria & Soedadyatmodjo. 2005. Kalkulus. Graha Ilmu, Yogyakarta.
[5]  Imron, Chairul dan Sentot Didik S. 2007. Modul Aljabar Linier. Departemen Pendidikan Nasional. Surabaya.
[6]  Kesan, Cenk. 2003. Chebyshev Polynomial Solutions of Second Order Linear Partial Differential Equations. Applied Mathematics and Computation. 134: 109–124.
[7]  Kesan, Cenk. 2004. Taylor Polynomial Solutions of Second Order Linear Partial Differential Equation. Applied Mathematics and Computation . 152: 29-41.
[8]  Murphy, Michael G., et al . 1983. Algebra and Trigonometry. United States of America.
[9]  Raslan, K.R et al . 2012. Differential Trasform Method for Solving Partial Differential Equations with Variable Coefficients .  International Journal of Physical Science. 7(9): 1412-1419.
[10] Ross, S.  L. 1984. Differential Equation Third Edition . John Wiley & Sons. New York.
[11] Supranto, J. 1998. Pengantar Matriks. Rineka Cipta. Jakarta.