## PEMODELAN INFLASI BERDASARKAN HARGA-HARGA PANGAN MENGGUNAKAN SPLINE MULTIVARIABEL
Alan Prahutama 1 , Tiani Wahyu U 2 , Rezzy Eko C 3 , Dede Zumrohtuliyosi 3
1 Dosen Jurusan Statistika FSM Undip, alanprahutama@undip.ac.id
2 Dosen Jurusan Statistika Unimus
3 Mahasiswa Jurusan Statistika FSM Undip

## Abstract
Inflation  is  defined  as  a  sustained  increase  in  the  general  level  of  price  for  goods  and  services. Some of the events that led to inflation in Indonesia is rising fuel prices, rising prices of meat and chili.  Inflation  has  negative  impact,  because  decreased  purchasing  power.    So  that  the  inflation model is needed. Modeling inflation can be use regression models. The approach can be performed with nonparametric regression, one of method of nonparametric regression is spline method. In this case, use three predictors to modeling inflation using spline multivariable. The predictors are price of rice, price of chicken, and price of chili. Obtained multivariable spline models with R-square of 93.94% with optimal m = 2 (quadratic) for 1 knots.
Keywords : Spline Multivariable, GCV, Inflation

## 1. Pendahuluan
Inflasi  diartikan  sebagai  meningkatnya  harga-harga  secara  umum  dan  terus menerus [5] . Kenaikan harga dari satu atau dua barang belum bisa dikatakan inflasi, kecuali kenaikan  tersebut  meluas.  Terjadi  peningkatan  inflasi  akan  menyebabkan  penurunan pertumbuhan perekonomian suatu negara. Misalnya kenaikan  BBM  menyebabkan  inflasi, karena  dengan  kenaikan  BBM  harga-harga  barang  meningkat,  daya  beli  masyarakat menurun  dan  biaya  produksi  meningkat.  Salah  satu  faktor  yang  mempengaruhi  inflasi adalah komoditas harga bahan pangan [9] .
Salah satu metode statistika yang bisa menjelaskan hubungan antara antara variabel prediktor  terhadap  variabel  respon  adalah  analisis  regresi.  Analisis  regresi  yang  sering digunakan  adalah  analisis  regresi  parametrik.  Pendekatan  regresi  secara  parametrik membutuhkan  asumsi-asumsi  yang  harus  dipenuhi  untuk  menghasilkan  pemodelan  yang baik [4] .  Pendekatan  regresi  parametrik  menghasilkan  model  yang  baik  jika  bentuk  kurva regresinya diketahui. Regresi  nonparametrik digunakan  jika  bentuk kurva  fungsinya tidak diketahui  sehingga  data  akan  mencari  sendiri  bentuk  kurva  regresinya [1] .  Pendekatan regresi  nonparametrik  yang  sudah  berkembang  antara  lain  dengan  deret  Fourier, Polinomial lokal, kernel, dan spline.
Spline merupakan polinomial truncated, yaitu bentuk kurva yang terpotong-potong sehingga  spline  mampu  mengatasi  perubahan  data  pada  sub  interval  tertentu.  Pendekatan spline menggunkan Penalized Least Square yaitu dengan mencari bentuk kurva dari regresi sehingga  model  spline  memiliki  fleksibelitas  yang  tinggi [7] .  Penelitian  menggunakan pendekatan  spline  sudah  banyak  dilakukan  antara  lain  Wang [8] melakukan  penelitian dengan pendekatan spline dengan titik-titik knot. Erifandi [2] melakukan pendekatan spline birespon.  Salah  satu  prosedur  pemodelan  menggunakan  spline  adalah  menentukan  titik knot  optimum.  Salah  satu  penentuan  titik  knot  optimum  adalah  dengan  menggunakan Generalized Cross Validation (GCV) [1] .
Berdasarkan  uraian-urain  tersebut,  penelitian  ini  bertujuan  untuk  mengembangkan model  spline  pada  data  perubahan  inflasi  di  Jawa  Tengah.  Suparti [6] mengembangkan
model  inflasi  di  Indonesia  menggunakan  Spline  berdasarkan  waktu.    Jawa  Tengah merupakan  salah  satu  provinsi  yang  menghasilkan  produksi  bahan  pangan  yang  surplus, khususnya  beras.  Model  yang  dikembangkan  adalah  pengaruh  perubahan  harga  bahan makanan  antara  lain  perubahan  harga  beras,  daging  ayam,  cabe  rawit  dan  tanaman  sayur sebagai  variabel-variabel  prediktor,  terhadap  perubahan  nilai  inflasi  di  Jawa  Tengah sebagai  variabel  respon.  Hal  ini  dikarenakan  inflasi  dihitung  berdasarkan  indeks  harga konsumen  (IHK),  sehigga  variable-variabel  prediktor  tersebut  diharapkan  mampu mengukur nilai dari IHK [9] . Jika diketahui perubahan inflasi pada suatu periode maka akan diketahui  nilai  inflasi  pada  periode  tersebut.  Pendekatan  spline  yang  digunakan  untuk memodelkan nilai inflasi adalah dengan pendekatan linier, kuadratik dan kubik. Kemudian dari model yang didapat, diharapkan mampu meramalkan nilai inflasi di Jawa Tengah pada periode berikutnya.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1. Regresi Parametrik
Regresi  parametrik  merupakan  pendekatan  regresi  untuk  mengetahui  pola hubungan  antara  variabel  respon  dan  variabel  prediktor  dengan  bentuk  kurva  regresi diketahui. Persamaan model regresi linier sederhana sebagai berikut [3] :
0 1 i i i y X       , 1, 2,..., i n  .
Jika ditulis dalam bentuk matriks diperoleh model regresi:
y = Xβ + ε , dimana   ~ N 2 ε
0,σ I .
Estimasi  koefisien  regresi β dilakukan  dengan  menggunakan  OLS    ( Ordinary  Least Square ).  Metode  ini  dilakukan  dengan  meminimumkan T ε ε terhadap β .  Nilai
    T T ε ε = y - Xβ y - Xβ , diturunkan terhadap β maka didapat estimator
  ˆ . -1 T T β = X X X y
2.2. Spline
Spline merupakan  suatu  polinomial  dimana  segmen-segmen  polinomial  yang berbeda  digabungkan  bersama  pada  knots k 1 , k 2 ,..., k r dan  kontinu  sehingga  bersifat fleksibel dibandingkan polinomial biasa. Spline orde m dengan titik-titik knot k 1 , k 2 , ..., k r secara umum dapat disajikan dalam bentuk [3] :
( ) i i y S x    untuk 1 1 ( ) ( ) m r i m i j m j i j S x x x k            dengan ( ) , ( ) 0 , m j j m j j x k x k x k x k           dimana  adalah konstanta dan k 1 , k 2 , ..., k r adalah titik-titik knots, sehingga jika dibuat bentuk matriks sebagai berikut:
        0 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 m m m r m m m m m n n n r n n r y x x k x k y
x x k x k y
           
                                                     
atau ε β X y  
Estimasi model spline menggunakan Weighted Least Square (WLS)  menghasilkan estimasi sebagai berikut:
ˆ T -1 T β = (X WX) X Wy , dengan W merupakan  matriks  diagonal  dari  perhitungan  estimasi  bobot.  Sehingga  model estimasinya didapat:
ˆ  T -1 T
y X (X WX) X Wy atau ˆ ( ) k  y A y .
Model  Spline  orde m =  1  (Linier)  dengan  1  titik  knot  untuk  3  prediktor  adalah sebagai berikut:
1 1 1
0 11 1 11 1 11 12 2 12 2 12 13 3 13 3 13 ( ) ( ) ( ) i i i i i i i y a a x b x K a x b x K a x b x K               
Model Spline orde m = 2 (kuadratik) dengan 1 titik knot untuk 3 prediktor adalah sebagai berikut [6] :
1 2 2
1
0 11 1 11 1 11 21 1 11 1 11 12 2 12 2 12 2 2 1 2 2
22 2 12 2 12 13 3 13 3 13 23 3 13 3 13 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i y a a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K   
                       
Model Spline orde m = 1 dengan 2 titik knot untuk 3 prediktor adalah sebagai berikut:
1 1 1 1
0 11 1 11 1 11 21 1 21 12 2 12 2 12 22 2 22 1 1 13 3 13 3 13 23 3 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i y a a x b x K b x K a x b x K b x K
a x b x K b x K                        
Model Spline orde m = 2 dengan 2 titik knot untuk 3 prediktor adalah sebagai berikut:
1 2 2 1
0 11 1 11 1 11 21 1 11 1 21 12 2 12 2 12 2 2 1 2 2
22 2 12 2 22 13 3 13 3 13 23 3 13 3 23 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i i i i i i i i y a a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K a x b x K   
                       

## 2.3. Generalized Cross Validation
Terdapat  beberapa  metode  untuk  memilih  titik  knot,  salah  satunya  adalah  dengan menggunakan  metode Generalized  Cross  Validation (GCV).    GCV  didefinisikan  sebagai berikut:
  2 1 ) ) ( /( ) ( ) ( k tr n k MSE k GCV A I    ,
dengan :
2 1 1 ) ( ) (             n i i i t f y n k MSE .
A (k)  : matrik proyeksi pada titik knot ke-k
y i
: variabel respon ke-i
I : matrik identitas
Pada saat orde ( m ) spline tinggi, knot yang banyak dan knot yang terlalu dekat akan membentuk matriks dalam perhitungan yang mendekati singular, sehingga persamaan tidak dapat diselesaikan. Pemilihan titik knot optimal dilakukan dengan  melihat nilai GCV yang minimum [3] .

## 3. Metodologi Penelitian
Variabel  respon  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  perubahan  nilai  inflasi di  Jawa  Tengah  tahun  2013 ( ) Y .  Sedangkan  variabel  prediktornya  antara  lain  Perubahan harga  beras  (X 1 ),  Perubahan  harga  daging  ayam  (X 2 ),  Perubahan  harga  cabai  rawit  (X 3 ), Perubahan  harga  tanaman  sayur  (X 4 )  di  kota  Semarang  pada  Tahun  2013  oleh  Bank Indonesia .  Melakukan  pendekatan  regresi  nonparametrik  dengan  regresi  Spline  dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mendapatkan nilai bandwidth untuk setiap variabel prediktor secara simultan
2. Memodelkan regresi Spline Linier  ( m = 1)
3. memodelkan regresi Spline Kuadratik ( m = 2)
4. Mendapatkan nilai 2 R untuk masing-masing model

## 4. Hasil Dan Pembahasan
Berdasarkan  Gambar  1  terlihat scatterplot antara  variabel  dependen  dengan variabel-variabel  independent  yang  sudah  distandardisasi  untuk  menyamakan  satuan. Berdasarkan  gambar  tersebut  terlihat  plot  data  menyebar  secara  acak,  sehingga  sesuai dengan pemodelan regresi nonparametrik.
Gambar 1. Scatterplot antara Variabel y , x 1 , x 2 , dan x 3

## 4.1.  Pemodelan Spline Multivariabel dengan 1 titik knot
Langkah  pertama  sebelum    pemodelan  regresi  spline  multivariabel  adalah menentukan  nilai titik knot yang optimal. Penentuan  nilai titik knot optimal menggunakan metode Generalized  Cross  Validation (GCV). Tabel 1  menunjukan  nilai  GCV untuk satu titik knot dengan m = 1 (linier) dan m = 2 (kuadratik).
Tabel 1. Nilai GCV untuk Satu Titik Knot dengan m = 1 dan m = 2
Berdasarkan  Tabel  1,  nilai  titik  knot  yang  optimal  merupakan  nilai  GCV  terkecil.  Untuk m = 1 nilai titik knot optimal pada variabel X 1 = 0.01; X 2 = 0; X 3 = 0.01. Sedangkan pada orde m =  2  nilai  titik  knot  optimal  untuk  masing-masing  variabel  adalah  X 1 =  1.1; X 2 =  X 3 =  1.  Selanjutnya  dengan  titik  knot optimal  akan  dicari  estimasi  parameter  untuk model.
Satu Titik Knot untuk m = 1 Satu Titik Knot untuk m = 2 X 1 X 2 X 3 GCV X 1 X 2 X 3 GCV 0.03 0.03 0 0.1970282 1.06 1 1 0.1707476 0.05 0.05 0 0.1986317 1.08 1 1 0.1707134 0.01 0 0.01 0.1945642 1.1 1 1 0.1706788 0.02 0 0.02 0.1947962 1 1 1 0.170844 0.03 0 0.03 0.1950628 1.01 1.01 1 0.1733423 0.04 0 0.04 0.1953263 1.02 1.02 1 0.1758606
Hasil estimasi parameter untuk m = 2 dengan 1 titik knot adalah
1 1 1 1 2 2 3
1 3
ˆ 0.6122 0.0512 0.0406( 0.01) 0.3828 0.1795( 0) 1.5182 0.2404( 0.01) i i i i i i i y x x x x x x              
dengan R-square = 0.8981 dan MSE = 0.0976. Titik  knot  optimal  untuk  orde m =  2  (kuadratik)  pada  Tabel  1  adalah  X 1 =  1.1; X 2 = X 3 = 1 dengan nilai GCV sebesar 0.1706788. Hasil estimasi parameter untuk m = 2 dengan 1 titik knot adalah
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2
2 2 1 2 2
2 2 3 3 3 3 ˆ 0.469 0.029 0.044( 1.1) 0.894 0.044( 1.1) 0.894 0.976( 1) 0.256 0.2901( 1) 0.0921 4.425( 1) 0.0455 4.425( 1) i i i i i i i i i i i i i
y x x x x x x x x x x x x   
                      
dengan R-Square = 0.9394 dan MSE = 0.0581.

## 4.2.  Pemodelan Spline Multivariabel dengan 2 titik knot
Selanjutnya akan dicobakan pemodelan spline multivariabel dengan 2 titik knot.
Tabel 2 . Nilai GCV Spline Multivariabel untuk m = 1 (linier) dengan 2 Titik Knot
Titik Knot ke-1 Titik Knot ke-2 GCV X 1 X 2 X 3 X 1 X 2 X 3 1.08 1 1 1 1 1 0.1912417 1.1 1 1 1 1 1 0.1914233 1 1 1 1 1 1 0.170844 1.01 1.01 1 1 1 1 0.1267579 1.02 1.02 1 1 1 1 0.1268772 1.03 1.03 1 1 1 1 0.1270015 1.04 1.04 1 1 1 1 0.1271312 1.05 1.05 1 1 1 1 0.1272669 1.06 1.06 1 1 1 1 0.1274091
Berdasarkan  Tabel  2,  diperoleh  nilai  GCV  terkecil  sebesar  0.1267579  untuk  titik  knot pertama nilainya pada X 1 = X 2 = 1.01 dan X 3 = 1 sedangkan pada titik knot kedua nilainya pada  X 1 =  X 2 =  X 3 =  1.  Berdasarkan  titik  knot  optimal  pada  Tabel  3,  diperoleh  estimasi parameter untuk m = 1 dengan 2 titik knot adalah sebagai berikut:
1 1 1 1 1 1 2 2
1 1 1
2 3 3 3
ˆ 0.078 0.0838 0.9766( 1.01) 0.0691( 1) 37.0181 0.0236( 1.01) 0.3058( 1) 36.9165 0.0236( 1) 0.3058( 1) i i i i i i i i i i
y x x x x x x x x x   
                   
Tabel 3 . Nilai GCV Spline Multivariabel untuk m = 2 dengan 2 Titik Knot Titik Knot ke-1 Titik Knot ke-2 GCV X1 X2 X3 X1 X2 X3 0.08 0 0 0.08 0 0 0.1727516 0.09 0 0 0.09 0 0 0.1727256 0.1 0 0 0.1 0 0 0.1726997 0 0 0 0 0 0 0.1729616 0.01 0 0 0 0.01 0 0.2344619 0.02 0 0 0 0.02 0 0.2340674 0.03 0 0 0 0.03 0 0.2336641
Berdasarkan  Tabel  3,  nilai  GCV  spline  multivariabel  untuk m =  3  dengan  2  titik  knot sebesar 0.1726997. Titik knot pertama untuk masing-masing variabel bernilai X 1 = 0.1 dan X 2 = X 3 =  0, pada titik knot kedua nilai  setiap  variabel  sama dengan knot pertama. Hasil estimasi  parameter  model  spline  multivariabel  untuk m =  2  dengan  2  titik  knot  optimal berdasarkan Tabel 3 adalah sebagai berikut:
1 2 2 1 1 1 1 1 2 2
2 2 1 2 2 2 2 3 3 3 3 ˆ 0.3452 0.1843 0.2597( 0.1) 1.6907 1.7968( 0.1) 0.0109 0.5757( 0) 0.1486 1.0453( 0) 0.3214 0.1486( 0) 1.0453 0.3214( 0) i i i i i i i i i i i i i
y x x x x x x x x x x x x   
                      
didapatkan R-square = 0.8246 dan MSE = 0.1681

## 5. Kesimpulan
Langkah  awal  pemodelan  regresi  nonparametrik  dengan  metode  spline  adalah menentukan  nilai  knot  optimal.  Penentuan  knot  optimal  dilakukan  untuk  masing-masing orde,  yaitu m =  1  (linier)  dan m =  2  (kuadratik)  di  setiap  knot.  Nilai  GCV  terkecil merupakan titik knot optimal. Pada pemodelan inflasi spline multivariabel m = 1 dan m = 2 untuk 1 titik knot dan 2 titik knot, didapat nilai R-square tertinggi pada m = 2 dengan 1 titik knot yaitu sebesar 93.94%. Modelnya adalah sebagai berikut:
1 2 2 1
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2
2 2 3 3 3 3 ˆ 0.469 0.029 0.044( 1.1) 0.894 0.044( 1.1) 0.894 0.976( 1) 0.256 0.2901( 1) 0.0921 4.425( 1) 0.0455 4.425( 1) i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x x x x x x x   
                      
dengan R-Square = 0.9394 dan MSE = 0.0581.
Berdasarkan  model tersebut, variabel-variabel perubahan  harga  beras, daging ayam, cabai rawit, dan tanaman sayur memberikan kontribusi terhadap nilai inflasi sebesar 93.94%.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Budiantara,  I.N.,  Metode  U,  GML,  CV,  dan  GCV  dalam  regresi  Nonparametrik Spline, Majalah Ilmiah Himpunan Matematika Indonesia (MIHMI) , 2000, Vol. 6: 285- 290.
2. Erifandi,  W.,  Estimator  Spline  Parsial  dalam  Regresi  Semiparametrik  Multirespon, Tesis Magister Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember , Tidak dipublikasikan.
3. Eubank, R.L., Spline Smoothing and Nonparametric Regression , Marcel Dekker, New York, 1988.
4. Hardle,  W., Applied  Nonparametric  Regression ,  Cambridge  University  Press, NewYork. 1990
5. Siregar,  R.Y.,  and  Goo,  S.,  Effectiveness  and  Commitment  to  Inflation  Targeting Policy:  Evidence  from  Indonesia  and  Thailand, Journal  of  Asian  Economics ,  2010, Vol. 21: 113-128.
6. Suparti  .  Analisis  Data  Inflasi  di  Indonesia  Menggunakan  Model  Regresi  Spline, Jurnal Media Statistika , 2013, Vol. 6, No. 1.
7. Wahba,  G.,  Spline  Smoothing  Models  With  Correlated  Errors, Journal  of  the American Statistical Association , 1990, Vol. 93: 341-348
8. Wang, Y., Spline Smoothing Models with Correlated Errors, Journal of The American Statistical Association , Vol. 93: 341-348
9. Wimanda,  R.E.,  Turner,  P.M.,  and  Hall,  M.J.B.,  Expextions  and  The  Inertia  of Inflation: The Case of Indonesia, Journal of Policy Modeling , 2011, Vol. 22: 426-438.