Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745

## RESEARCH ARTICLE

## Numerical  Solution  of  the  Mathematical  Model  of DHF  Spread  using  the  Runge-Kutta  Fourth  Order Method
Syafruddin Side*, Ahmad Zaki, & Miswar
Department of Mathematics, Universitas Negeri Makassar, Makassar, Sulawesi Selatan, Indonesia
Abstract: This  research  was  conducted  to  find  a  numerical  solution  to  the mathematical  model  of  DHF  in  Makassar  using  the  Runge-Kutta  fourth order method. The mathematical model of DHF is in the form of a system of differential  equations  that includes variables S  (Susceptible), E (Exposed), I (Infected), and R (Recovery) simplified into classes of vulnerable (S), exposed (E), infected (I) and cured (R) as initial value. Parameters value that is solved numerically using the Runge-Kutta fourth order method with time intervals h = 0.01 months using data from South Sulawesi Provincial Health Service in 2017.  Based  on  the  initial  value  of  each  class,  namely:  obtained  (S h1 ) =10910.4, (E) = 0, (I h1 ) = 177.9 , (S v1 ) = 5018685.6, (I v1 ) = 135.4,  and R = - 981612.3.  The  initial  values  and  parameter  values  are  substituted  into numerical solutions to the model simulated using maple as a tool.
Keywords : DHF, Numerical solutions, Runge-Kutta fourth order

## 1. Introduction
Pemodelan  matematika  adalah  penyusunan  suatu  deskripsi  dari  beberapa  perilaku  dunia nyata  (fenomena  -  fenomena  alam)  ke  dalam  bagian  –  bagian  matematika  yang  disebut dunia matematika. Ada dua tipe model matematika, yaitu model bertipe deterministik dan model  bertipe  empirik  (Richard  &  Gabriel,  2007).  Banyak  permasalahan  di  dunia  yang terkait  dalam  bidang  matematika  yang  dapat  dibentuk  ke  dalam  sistem  persamaan diferensial  (Side,  2014).  Salah  satunya  adalah  penyakit  yang  semakin  banyak  diderita  oleh penduduk dunia dan semakin meningkat setiap tahunnya, yaitu penyakit DBD.
Penyakit  DBD  masih  merupakan  salah  satu  masalah  kesehatan  masyarakat  di  Indonesia yang  belum  dapat  ditanggulangi  sampai  saat  ini.  Penyakit  ini  sering  kali  menimbulkan Kejadian  Luar  Biasa  (KLB)  di  beberapa  kabupaten/kota  di  Indonesia.  Pada  tahun  2012, kasus DBD  di  Indonesia dilaporkan sebanyak    90.245  orang  dengan kematian 816  orang. Pada tahun 2013, Incident Rate (IR) DBD adalah 45,85/100.000 penduduk (Sari, 2018).
Penelitian  Dalam  dunia  matematika  masalah  tersebut  dapat  dianalisis  dan  diperoleh  hasil yang  eksak  dengan  cara  memodelkan  masalah  yang  ada.  Beberapa  penelitian  dan  analisis model matematika untuk penyakit DBD telah banyak dilakukan diantaranya penelitian yang dilakukan  oleh  (Sukohar,  2014)  tentang  Demam  Berdarah  Dengue,    penelitian  yang dilakukan oleh (Sari, 2017) tentang Fungsi Lyapunov Model SIR dan SEIR untuk Penularan Penyakit  Demam  Berdarah,  dan  penelitian  yang  dilakukan  oleh  (Kadaffi,  2011)  tentang Analisis Model Matematika Penyebaran DBD dengan Fungsi Lyapunov .
* Corresponding author: Syafruddin Side, Department of Mathematics, Universitas Negeri Makassar, Makassar, Sulawesi Selatan, Indonesia
E-mail: xxxx@xxx.edu
Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745
Sistem  Penelitian-penelitian  tersebut  hanya  menggunakan  model  matematika  dalam mengkaji  penyakit  DBD.  Oleh  karena  itu  penulis  mengangkat  penelitian  mengenai  solusi numerik dari penelitian (Sari, 2017) tentang Analisis Model Matematika Penyebaran DBD dengan Fungsi Lyapunov menggunakan metode Runge-Kutta orde empat. Metode ini akan memberikan  hasil  dengan  ketelitian  yang  lebih  tinggi  dalam  perhitungan  dan  pembulatan. Ini  sudah  dibuktikan  dalam  penelitiannya  pada  pemodelan  dan  simulasi  dengan  metode Euler dan Runge-Kutta (Kadaffi, 2011).

## 2. Literature Review
2.1. Metode Runge-Kutta
Metode Runge-Kutta merupakan metode yang memberikan ketelitian hasil yang lebih besar dan tidak memerlukan turunan dari fungsi. Bentuk umum dari metode Runge-Kutta seperti pada persamaan (2). (Ridwan, 2007)
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + 𝛷(𝑡 𝑖 , 𝑥 𝑖 , ℎ) (2)
dengan 𝛷(𝑡 𝑖 , 𝑥 𝑖 , ℎ) adalah  fungsi  pertambahan  yang  merupakan  kemiringan  rerata  pada interval  dan  digunakan  untuk  mengekstrapolasi  dari  nilai  lama 𝑥 𝑖 ke  nilai  baru 𝑥 𝑖+1 sepanjang  interval  h.  Fungsi  pertambahan  dapat  ditulis dalam  bentuk  umum  seperti  pada persamaan (3)
𝛷 = 𝑎 1 𝑘 1 + 𝑎 2 𝑘 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑘 𝑛 (3)
dengan 𝑎 adalah konstanta dan 𝑘 adalah:
𝑘 1 = 𝑓(𝑡 𝑖 , 𝑥 𝑖 ) (4) 𝑘 2 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 𝑖 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 11 𝑘 1 ℎ) (5)
𝑘 3 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 𝑖 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 21 𝑘 1 ℎ + 𝑞 22 𝑘 2 ℎ) (6)
𝑘 𝑛 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 𝑛−1 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 𝑛−1,2 𝑘 1 ℎ + 𝑞 𝑛−1,2 𝑘 2 ℎ + ⋯ + 𝑘 𝑛−1 ℎ)
dengan  p  dan  q  adalah  konstanta.  Nilai  k  menunjukkan  hubungan  berurutan.  Nilai 𝑘 1 muncul  dalam  persamaan  (5),  yang  keduanya  juga  muncul  dalam  persamaan  (6),  dan seterusnya (Sari, 2017).
2.2. Metode Runge-Kutta Orde Empat
Metode  Runge-Kutta  orde  empat  mempunyai  bentuk  sebagaimana  pada  persamaan  (7) (Sair, 2018).
𝑥 𝑖+1 = 𝑥 𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 2𝑘 2 + 2𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ (7)
Dengan:
𝑘 1 = 𝑓(𝑡 𝑖 , 𝑥 𝑖 ) 𝑘 2 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 1 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 11 𝑘 1 , ℎ) 𝑘 3 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 2 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 21 𝑘 1 ℎ + 𝑞 22 𝑘 2 ℎ) 𝑘 4 = 𝑓(𝑡 𝑖 + 𝑝 3 ℎ, 𝑥 𝑖 + 𝑞 31 𝑘 1 ℎ + 𝑞 32 𝑘 3 ℎ)

## 2.3. Model Matematika Penyakit Demam Berdarah
Model  penyakit  DBD  yang  digunakan  pada  penelitian  ini  adalah  model  (Sari,  2017)  yaitu seperti persamaan  (8) hingga (12).
𝑑𝑆 ℎ 𝑑𝑡 = 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣 𝑆 ℎ − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ + 𝜃 ℎ 𝑅 ℎ (8)
Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745
𝑑𝐼 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣 𝑆 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝛾 ℎ )𝐼 ℎ (9)
𝑑𝑅 ℎ 𝑑𝑡 = 𝛾 ℎ 𝐼 ℎ − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ )𝑅 ℎ (10) 𝑑𝑆 𝑣 𝑑𝑡 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ 𝑆 𝑣 − 𝜇 𝑣 𝑆 𝑣 (11) 𝑑𝐼 𝑣 𝑑𝑡 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣 𝑆 𝑣 − 𝜇 𝑣 𝐼 𝑣 (12)
Sumber: (Sari, 2017)

## 3. Results and Disc
Persamaan (8) sampai (12) diatas akan diselesaikan menggunakan metode runge-kutta orde empat  seperti  pada  persamaan  (7).  persamaan  (8)  sampai  (12)  disubtitusikan  pada persamaan runge-kutta orde empat sehingga diperoleh persamaan (13) sampai (16).
𝑆 ℎ𝑖+1 = 𝑆 ℎ𝑖 + 1 6 (𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ (13)
𝐼 ℎ𝑖+1 = 𝐼 ℎ𝑖 + 1 6 (𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ (14) 𝑅 ℎ𝑖+1 = 𝑅 ℎ𝑖 + 1 6 (𝑚 1 + 𝑚 2 + 𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ (14)
𝑆 𝑣𝑖+1 = 𝑆 𝑣𝑖 + 1 6 (𝑛 1 + 𝑛 2 + 𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ (15)
𝐼 𝑣𝑖+1 = 𝐼 𝑣𝑖 + 1 6 (𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 )ℎ (16)
dengan
𝑘 1 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼𝑣 𝑖 𝑆 ℎ𝑖 − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ𝑖 + 𝜃 ℎ 𝑅 ℎ𝑖 𝑙 1 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣𝑖 𝑆 ℎ𝑖 − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ )𝐼 ℎ𝑖 𝑚 1 = 𝑌 ℎ 𝐼 ℎ𝑖 − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ )𝑅 ℎ𝑖
𝑛 1 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ𝑖 𝑆 𝑣𝑖 − 𝜇 𝑣 𝑆 𝑣𝑖 𝑝 1 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣𝑖 𝑆 𝑣𝑖 − 𝜇 𝑣𝑖 𝐼 𝑣𝑖 𝑘 2 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 1 ℎ 2 ) 𝑙 2 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ ) (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) 𝑚 2 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ ) (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 1 ℎ 2 ) 𝑛 2 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) 𝑝 2 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 )
Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745
𝑘 3 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 2 ℎ 2 ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ 2 ) 𝑙 3 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 2 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ ) (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) 𝑚 3 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ ) (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ 2 ) 𝑛 3 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) 𝑝 3 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) 𝑘 4 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ)(𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ) 𝑙 4 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ )(𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 3 ℎ) 𝑚 4 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 3 ℎ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ )(𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 3 ℎ) 𝑛 4 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ) 𝑝 4 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 3 ℎ)
4. Simulasi  Model  Secara  Numerik  Menggunakan  Metode  Runge-Kutta  Orde Empat
Solusi  numeric  model  penyakit  DBD  menggunkan  metode  rengu-kutta  orde  empat dilakukan  pada  bulan  Januari  sampai  Februari  2019  dan  menggunakan  data  penderita penyakit DBD tahun 2017 yang diperoleh dari Dinas Kesehatan Provinsi Suawesi Selatan.
Asumsi yang akan digunakan sebagai nilai awal variabel yang akan digunakan dalam simulasi solusi  numerik  model  SEIV  penyakit  hepatitis  B  menggunakan  runge-kutta  orde  empat dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Nilai Awal Varabel Nilai Keterangan 𝑆 (0) 14.836 Data populasi manusia yang rentan terhadap penyakit 𝐸 (0) 0 Data  populasi manusia yang terdapat gejala virus DBD 𝐼 (0) 135 Data populasi manusia yang terinfeksi penyakit DBD 𝑅 (0) 130 Data pupolasi manusia yang telah sembuh dari DBD
Nilai  parameter-  parameter  yang  ada  pada  model  penyakit  pneumoia  pada  balita  dapat dilihat pada tabel 2.
Tabel 2. Nilai Parameter Parameter Nilai Keterangan 𝑁 ℎ 1,671,001 Jumlah Populasi Manusia 𝑁 𝑣 12,000,000 Jumlah Populasi Nyamuk
Parameter Nilai Keterangan 𝜇 ℎ 0,000046 Angka kelahiran dan kematian manusia 𝜇 𝑣 0,5 Angka kelahiran dan kematian nyamuk 𝛾 ℎ 0.328833 Laju kesembuhan terhadap penyakit 𝑏 0.03895 Tingkat gigitan nyamuk 𝜃 ℎ 0.1667 Laju penurunan kekebalan manusia terhadap penyakit 𝐵 𝑣 0.189 peluang penyebaran virus dari 𝐼 ℎ ke 𝑆 𝑣 , 𝛽 𝑣 𝐼 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ adalah laju perubahan 𝑆 𝑣 menjadi 𝐼 𝑣 𝛽 ℎ 0.174 peluang penyebaran virus dari 𝐼 𝑣 ke 𝑆 ℎ , 𝛽 ℎ 𝐼 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ adalah laju perubahan 𝑆 ℎ menjadi 𝐼 ℎ , 𝛽 𝑣 𝑏 0.468 kemampuan interaksi 𝐼 ℎ dengan 𝑆 𝑣 , 𝛽 ℎ 𝑏 0.326 kemampuan interaksi 𝐼 𝑣 dengan 𝑆 ℎ 𝐴 0.134 laju rekruitmen nyamuk Sumber (Sari, 2017)
Simulasi  Simulasi  yang  dilakukan  yaitu  dengan  mensubtitusikan  nilai  awal  dan  nilai parameter-parameter  yang  diberikan  seperti  pada  Tabel  1  dan  2  kedalam  persamaan  8 sampai  12  yang  merupakan  solusi  numerik  model  penyakit  Hepatitis  B  menggunakan metode  Runge-Kutta  orde  empat  yang  selanjutnya  akan  digambarkan  melalui  plot  grafik menggunakanaplikasi maple..
Waktu interval atau jarak langkah yang digunakan adalah ℎ = 0,01. Selanjutnya diberikan 𝑆𝑖 = 𝑆 (0), 𝐸𝑖 = 𝐸 (0), 𝐼𝑖 = 𝐼 (0),  R 𝑖 =  R(0)  sebagai  nilai  awal  sehingga  diperoleh  hasil  solusi numerik model penyakit DBD menggunakan metode runge-kutta orde empat sebagaimana pada persamaan 16 sampai 20.
𝑆 ℎ0+1 = 𝑆 ℎ0 + 1 6 (𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 )ℎ (16) 𝐼 ℎ0+1 = 𝐼 ℎ0 + 1 6 (𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ (17)
𝑅 ℎ0+1 = 𝑅 ℎ0 + 1 6 (𝑚 1 + 𝑚 2 + 𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ (18)
𝑆 𝑣0+1 = 𝑆 𝑣0 + 1 6 (𝑛 1 + 𝑛 2 + 𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ (19)
𝐼 𝑣0+1 = 𝐼 𝑣0 + 1 6 (𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 )ℎ (20)
dengan
𝑘 1 = 𝜇 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼𝑣 𝑖 𝑆 ℎ𝑖 − 𝜇 ℎ 𝑆 ℎ𝑖 + 𝜃 ℎ 𝑅 ℎ𝑖 = −25,889.645
𝑙 1 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣𝑖 𝑆 ℎ𝑖 − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ )𝐼 ℎ𝑖 = 25,986.288 𝑚 1 = 𝑌 ℎ 𝐼 ℎ𝑖 − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ )𝑅 ℎ𝑖 = −1,214,999,978 𝑛 1 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 ℎ𝑖 𝑆 𝑣𝑖 − 𝜇 𝑣 𝑆 𝑣𝑖 = −2,112,532
𝑝 1 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ 𝐼 𝑣𝑖 𝑆 𝑣𝑖 − 𝜇 𝑣𝑖 𝐼 𝑣𝑖 = 64.187
Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745
𝑘 2 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 1 ℎ 2 ) = −1,012,603.954 𝑙 2 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ ) (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) = −87.1268146 𝑚 2 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ ) (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 1 ℎ 2 ) = 821,120,203.0788631
𝑛 2 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) = 4,120,790.9218203 𝑝 2 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 1 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) = 64.0612707 𝑘 3 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 1 ℎ 2 ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 2 ℎ 2 ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ 2 ) = 77.0891624 𝑙 3 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 1 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 2 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ ) (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 1 ℎ 2 ) = −87.2604874 𝑚 3 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ ) (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ 2 ) = 554,923,013.345703
𝑛 3 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) = −5,503,849.965 𝑝 3 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 2 ℎ 2 ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 2 ℎ 2 ) = 64.8837716 𝑘 4 = 𝑈 ℎ 𝑁 ℎ − 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ)(𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) − 𝜇 ℎ (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) + 𝜃 ℎ (𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 2 ℎ) = −1,368,708.8450795
𝑙 4 = 𝛽 ℎ 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ 2 ) (𝑆 ℎ𝑖 +𝑘 3 ℎ) − (𝜇 ℎ + 𝑌 ℎ )(𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 3 ℎ)   = −44.1080905
𝑚 4 = 𝑌 ℎ (𝐼 ℎ𝑖 +𝑙 3 ℎ) − (𝜇 ℎ + 𝜃 ℎ )(𝑅 ℎ𝑖 +𝑚 3 ℎ) = −750,088,651.67155
𝑛 4 = 𝜇 𝑣 𝑁 𝑣𝑖 − 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼ℎ 𝑖 +𝑙 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑙 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ) − 𝜇 𝑣 (𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ)
= 14,706,970.948
𝑝 4 = 𝛽 𝑣 𝑏 𝑁 ℎ (𝐼𝑣 𝑖 +𝑃 3 ℎ)(𝑆 𝑣𝑖 +𝑛 3 ℎ) − 𝜇 𝑣 (𝐼 𝑣𝑖 +𝑃 3 ℎ) = 63.039488
Kemudian  dengan  mensubtitusikan  nilai  k1  sampai  k4,  l1  sampai  l4,  m1  sampai  m4,  n1 sampai  n4  dan  p1  sampai  p4  kedalam  persamaan  16  sampai  20  didapatkan  hasil  solusi numerik  model  penyakit  DBD  menggunakan  metode  Runge-  Kutta  orde  empat  sebagai berikut:
𝑆 ℎ0+1 = 𝑆 ℎ0 + 1 6 (𝑘 1 + 𝑘 2 + 𝑘 3 + 𝑘 4 )
ℎ = 10,910.4232251
𝐼 ℎ0+1 = 𝐼 ℎ0 + 1 6 (𝑙 1 + 𝑙 2 + 𝑙 3 + 𝑙 4 )ℎ = 177.946321
𝑅 ℎ0+1 = 𝑅 ℎ0 + 1 6 (𝑚 1 + 𝑚 2 + 𝑚 3 + 𝑚 4 )ℎ = −981,612.3554116
𝑆 𝑣0+1 = 𝑆 𝑣0 + 1 6 (𝑛 1 + 𝑛 2 + 𝑛 3 + 𝑛 4 )ℎ = 5,018685.6331747
𝐼 𝑣0+1 = 𝐼 𝑣0 + 1 6 (𝑝 1 + 𝑝 2 + 𝑝 3 + 𝑝 4 )ℎ = 135.4269526
Hasil Iterasi untuk laju populasi  akan ditunjukkan pada plot grafik seperti pada Gambar 1 sampai 4.
Gambar 1. Penyebaran Jumlah Suspected (S)  kasus DBD
Gambar 2. Jumlah Infected of Human DBD

## Gambar 3. Penyebaran Jumlah Infected of Vector kasus DBD
Gambar 4. Penyebaran Jumlah Recovered kasus DBD

## 5. Conclusion
Kesimpulan yang diperoleh adalah:
1. hasil pada iterasi-1 model solusi numerik model penyakit DBD menggunakan metode Runge-Kutta orde 4 dengan interval h = 0.01 diperoleh (S h1 )=10,910.4, ( 𝐸 ) = 0, (I h1 ) = 177.9, (S v1 )=5,018685.6, (I v1 )=135.4 dan R = -981,612.3554116 dan iterasi selanjutnya digunakan perangkat lunak maple.
Side, et.al., ARRUS Journal of Mathematics and Applied Science, Vol. 2, No. 2 (2022) https://doi.org/10.35877/mathscience745
2. populasi  yang  sembuh  dari  penyakit  DBD  mencapai  puncaknya  pada  bulan  ke-50  (4 tahun)  setelahnya,  namun  kembali  akan  menurun  perlahan  dikarenakan  pada  model SIRS populasi yang telah sembuh dapat tertular kembali.

## References
Kadaffi.  (2011).  Pemodelan  dan  Simulasi  dengan  Metode  Euler  dan  Runge-Kutta.(serial  on  line). http://kk.mercubuana.ac.id/files/14036-8-670093584421.doc.  diakses  pada  tanggal  10 Desember 2018.
Richard., & Gabriel. (2007). Persamaan Differensial Edisi Ketiga. Jakarta : Erlangga.
Ridwan. (2007). Studi Analisis Perbandingan Tingkat Ketelitian Solusi Masalah Nilai Awal dengan Metode  Runge-Kutta  dan  Metode  Prediktor,  Korektor.  (Skripsi):  Universitas  Negeri Makassar.
Sair,  I.  S.  (2018).  Solusi  Numerik  Model  Penyebaran  Penyakit  Hepatitis  B  Menggunakan  Metode Runge-Kutta Orde Empat. (Skripsi): Universitas Negeri Makassar
Sari, N. (2017). Analisis Model Matematika Penyebaran DBD dengan Fungsi Lyapunov. (Skripsi): Universitas Negeri Makassar
Side. (2014). Guide to Mathematical Modelling. London : The Macmillan Press.
Sukohar. (2014). Demam Berdarah Dengue. Medula. (Skripsi): Universitas Lampung.