Simulasi  Model  SVIR  (Susceptible,  Vaccinated,  Infected,  Recovered)  Pada  Kasus Covid-19

## Muh. Irwan
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, Muhirwan@uin-alauddin.ac.id

## Wahidah Alwi
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar, wahidah.alwi@uin-alauddin.ac.id

## Susrianti
Program Studi Matematika, Universitas Islam Negeri Alauddin Makassar
ABSTRAK , Penelitian  ini  membahas  tentang  model epidemiologi SVIR pada penyebaran Covid-19 di Sulawesi Selatan.  Adapun  tujuan  dari  penelitian  yaitu  untuk mengetahui simulasi model penyebaran penyakit Covid-19 dan  mengetahui  analisis  kestabilan  pada  titik  -  titik ekuilibrium, serta nilai reproduksi dasar dari penyebaran penyakit  Covid-19.  Data  yang  digunakan  berasal  dari Dinas Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan. Berdasarkan hasil  penelitian  diperoleh  model  matematika  SVIR penyakit  yang  terdiri  atas  empat  persamaan  diferensial yang memberikan representasi mengenai laju peningkatan dan penurunan dari setiap kelompok populasi, berdasarkan  analisis  tersebut  dari  nilai  titik  ekuilibrium bersifat  stabil  dan  bilangan  reproduksi  dasar  diperoleh R_0=0,232212      yang  berarti  nilai  R0  <  1  menunjukkan bahwa penyakit Covid-19 terus berkurang diikuti dengan penurunan pertumbuhan jumlah kasus.

## Kata Kunci: Covid-19, Model Epidemiologi SVIR, Analisis
Kestabilan, Titik Ekuilibrium, Bilangan Reproduksi Dasar.

## 1. PENDAHULUAN
Corona  Virus  2019  atau  Covid-19  adalah penyakit  menular  yang  disebabkan  oleh  salah satu jenis corona virus Severe Acute Respiratory Syndrome  Coronavirus  2  (SARS-CoV-2). Infeksi  virus  corona  disebut  Covid-19  (Corona Virus Disease 2019) dan pertama kali ditemukan di  kota  Wuhan,  China  Desember  2019  hampir pada semua negara, termasuk Indonesia [1].
Pada  11  Maret  2020,  World  Health Organization  (WHO)  telah  menyatakan  wabah Covid-19 sebagai pandemi global. Pada Oktober 2020, dilaporkan bahwa setidaknya 42 juta orang telah terinfeksi di seluruh dunia, dengan jumlah kematian  lebih dari satu juta.  Dengan menerapkan strategi mitigasi yang terencana dan sistematis,  beberapa  negara  telah  berhasil menekan jumlah kasus aktif. Sebaliknya jumlah kasus aktif di Indonesia terus meningkat.
Salah  satu  upaya  yang  dilakukan  untuk mengurangi  wabah  Covid-19  adalah  dengan mengembangkan  vaksin  dan  memproduksi secara massal untuk semua negara yang terkena dampak.  Vaksin  merupakan  zat  atau  substansi bibit  penyakit  yang  dibuat  dari  virus  yang dimatikan  atau  dilemahkan  untuk  memperoleh kekebalan aktif terhadap penyakit tertentu, agar tubuh  dapat  mengenal  virus  sebenarnya  dan sistem  imun  dapat  terlatih  untuk  melawannya serta mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme alami.
Indonesia  saat  ini  memiliki  tiga  juta  dosis vaksin  yang  siap  pakai.  Vaksin  tersebut  sudah terdistribusi ke daerah-daerah. Presiden menyebutkan, ada 182 juta atau 70% penduduk Indonesia yang akan divaksin Covid-19. Dengan jumlah  ini,  dibutuhkan  sekitar  426  juta  dosis vaksin.  Data  jumlah  penerima  vaksin  yang  ter publikasi  pada  tanggal  3  Maret  2021  terus bertambah  sebanyak  169.489  menjadi  sejumlah 2.104.967 orang yang menerima vaksin dari total sasaran  sebanyak  181.554.465  [2].  Kabar  ini membawa  harapan  baru  bagi  penanganan mitigasi Covid-19 di Indonesia. Namun, riwayat penyakit  lain  yang  disebabkan  oleh  virus, masalah ketidakcocokan vaksin dan dugaan efek sampingnya  pada  individu  dengan  gangguan sistem  kekebalan,  sehingga  keberadaan  vaksin ini harus diperhatikan dengan baik [3].

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Model Epidemik SVIR
Model  epidemik  dasar  pertama  kali diperkenalkan  oleh  Kermack  -  Mc  kendrick (1972) yang pada umumnya di bagi menjadi tiga kompatemen,  yang  disimbolkan  dengan S ( Susceptible ), I ( Infected ) dan R (Recovered) [4].
Model epidemik kemudian mengalami perkembangan,  salah  satunya  adalah  SVIR dengan menambahkan kompartemen Vaccinated Yang  disimbolkan  dengan V .  Pada  umumnya model  epidemik  diuraikan  ke  dalam  bentuk matematika menggunakan persamaan differensial yang dibangun berdasarkan asumsi

## Persamaan Differensial
Persamaan  differensial  adalah  persamaan  yang memuat turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas  terhadap  satu  atau  lebih  variabel  bebas. Menurut turunan fungsi variabel bebas, persamaan  diferensial  dibagi  menjadi  dua persamaan  diferensial  biasa  dan  persamaan diferensial parsial [5].

## Kestabilan Titik Ekuilibrium
Titik Ekuilibrium merupakan titi tetap yang tidak berubah terhadap waktu, Secara matematis, titik 𝑥̅ ∈ 𝑅 𝑛 disebut titik ekuilibrium dari suatu sistem persamaan 𝑥 = 𝑓(𝑥) ̇ jika memenuhi 𝑓(𝑥̅ ) = 0 Linearisasi  merupakan  proses  membawa  suatu sistem  nonlinear  untuk  mengetahui  perilaku sistem di sekitar titik ekuilibrium sistem tersebut. Linearisasi  pada  sistem  nonlinear  dimaksudkan untuk memperoleh aproksimasi yang baik [6]
Berikut diberikan defenisi matriks jacobian.  Diberikan  fungsi 𝑓 = (𝑓 1 , … , 𝑓 𝑛 ) pada sistem 𝑥 = 𝑓(𝑥) ̇ dengan 𝑓 𝑖 ∈ 𝐶(𝐸), 𝑖 = 1,2, … 𝑛.
A = [ 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 1 (𝑥) 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 2 (𝑥) … 𝜕𝑓 1 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 1 (𝑥) 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 2 (𝑥) … 𝜕𝑓 2 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥) ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 (𝑥) ⋮ ⋱ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 1 (𝑥) … ⋮ 𝜕𝑓 𝑛 𝜕𝑥 𝑛 (𝑥)] Matriks A Dinamakan matriks Jacobian dari f di titik x [7].
Nilai Eigen digunakan untuk mengetahui kestabialan  dari  suatu  sistem  persamaan diferensial.  Jika  A  adalah  matriks  n  x  n,  maka vektor  taknol  x  dalam 𝑅 𝑛 dinamakan  vektor eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x yaitu Ax=yx [8].
Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz adalah suatu metode yang digunakan untuk
menunjukkan kestabilan sistem dengan
memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar secara langsung [9].

## Bilangan Reproduksi Dasar
Bilangan reproduksi dasar adalah bilangan  yang  menyatakan  jumlah  orang  yang rentan  yang  dapat  menderita  penyakit  yang disebabkan  oleh  satu  orang  terinfeksi.  Angka reproduksi  dasar  ditandai  dengan 𝑅 0 dengan beberapa kondisi yang mungkin, yaitu:
1. Jika 𝑅 0 < 1, maka laju pertumbuhan penyakit akan semakin menurun.
2.  Jika 𝑅 0 =  1, maka  penyebaran  penyakit  akan tetap.
3.  Jika 𝑅 0 >  1,  maka  penyebaran  penyakit  akan berkembang menjadi wabah [10].

## 3. METODOLOGI

## Jenis Penelitian
Jenis penelitian yang digunakan pada penelitian ini  adalah  penelitian  terapan.  Penelitian  ini menggunakan  metode  studi  literatur  yang dilakukan dengan mengumpulkan dan mengkaji teori-teori dalam pemodelan matematika.

## Jenis dan Sumber Data
Jenis  dan  sumber  data  yang  dipakai  dalam penelitian  ini  merupakan  data  sekunder  yang berdasarkan  sumber  dari  Dinas  Kesehatan Provinsi Sulawesi Selatan dari tahun 2021.

## Teknik Analisis Data
Adapun teknik analisis data yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Membangun  model  SVIR  untuk  penyebaran penyakit Covid-19
a. Pembentukan asumsi dasar penelitian
b. Menentukan model SVIR dengan memperhatikan  diagram  alur  yang  telah dibuat.
2. Menganalisis model SVIR untuk penyebaran penyakit Covid-19.
a. Menentukan titik tetap model SVIR.
b. Menentukan  tipe  kestabilan  titik  tetap berdasarkaan nilai eigen.
c. Menentukan  Bilangan  Reproduksi  Dasar (R0).
3. Mengimplementasikan  hasil  simulasi  untuk penyebaran Covid-19 dengan bantuan sofware Maple.
a. Mengumpulkan  data  Covid-19  yang didapat  dari  Dinas  Kesehatan  Provinsi Sulawesi Selatan.
b. Menginput  data  data  Covid-19  yang didapat  dari  Dinas  Kesehatan  Provinsi Sulawesi Selatan
c. Menginput  hasil  analisis  model  kedalam software.
d. Menganalisis hasil simulasi.
e. Menarik kesimpulan

## 4. PEMBAHASAN

## Membangun Model SVIR
Berdasarkan  keempat  kelas  yaitu Susceptible , Vaccinated , Infected dan Recovered akan dibentuk  sebuah  model  dengan  asumsi  sebagai berikut:
1. Terdapat kelahiran dan kematian dalam suatu populasi.
2. Populasi  penduduk  terbuka  tetapi  tidak dipengaruhi imigrasi
3. Kompartemen recovered disini  merupakan gabungan  dari  individu  sembuh    dan  kebal terhadap penyakit covid-19 .
4. Setiap individu yang terdeteksi akan menjadi terinfeksi.
5. Masa  inkubasi Covid-19 rata-rata  5-6  hari dengan range 1-14 hari.
6. Jika terinfeksi dapat mengakibatkan kematian.
7. Setiap  individu  yang  telah  divaksin  akan memperoleh kekebalan.
Berdasarkan  asumsi  tersebut,  Diagram model SVIR untuk epidemi Covid-19
Gambar 4.1. Diagram Alur Model Penyebaran Penyakit Covid-19
Berdasarkan  asumsi  dan  Gambar  4.1 maka model matematika yang terbentuk adalah:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜇𝑁 − (1 − 𝜌) 𝐼 𝑁 𝑆 − 𝜌𝑆 − 𝜇𝑆 (4.1) 𝑑𝑉 𝑑𝑡 = 𝜌𝑆 − 𝜔 𝐼 𝑁 𝑉 − 𝛿𝑉 − 𝜇𝑉 (4.2)
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = (1 − 𝜌) 𝐼 𝑁 𝑆 + 𝜔 𝐼 𝑁 𝑉 − 𝛼𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐼 (4.3) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛼𝐼 + 𝛿𝑉 − 𝜇𝑅 (4.4) untuk  menyederhanakan  sistem  dari  persamaan (4.1),(4.2),(4.3) dan (4.4) serta untuk mempermudah melakukan simulasi pada software  maple,  maka  proporsi  banyaknya individu  pada  masing-masing  kelompok  dapat dinyatakan sebagai berikut:
Misal
N R r N I i N V v N S s = = = = , , ,

## Sehingga
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 𝜇 − ((1 − 𝜌)𝑖 + 𝜌 + 𝜇)𝑠 (4.6)
𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 𝜌𝑠 − (𝜔𝑖 + 𝛿 + 𝜇)𝑣 (4.7)
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = ((1 − 𝜌)𝑠 + 𝜔𝑣 − (𝛼 + 𝜇 + 𝛾))𝑖 (4.8)
𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛿𝑣 − 𝜇𝑟 (4.9)
Variabel  dan  parameter  yang  digunakan  adalah sebagai berikut:
Tabel 4.1. Variabel dan parameter Variabel Keterangan S Jumlah individu yang rentan V Jumlah individu yang telah divaksin I Jumlah in dividu yang terinfeksu R Jumlah individu yang telah Sembuh 𝜶 Laju perpindahan dari individu terinfeksi menjadi individu sembuh 𝜹 Laju perpindahan dari individu yang telah melakukan vaksinasi menjadi individu sembuh µ Laju kematian alami atau laju kelahiran 𝝆 Laju perpindahan dari individu
susceptible menjadi individu yang telah melakukan vaksinasi
𝜸 Laju kematian akibat Covid-19 𝝎 Laju perpindahan individu yang telah divaksin ke individu

## terinfeksi
Analisis  Model  SVIR  untuk  penyebaran penyakit Covid-19

## Titik keseimbangan
Untuk  menentukan  titik  ekuilibrium  model SVIR  epidemi  penyakit Covid-19 ,  persamaan (4.6),(4.7),(4.8) dan (4.9) yang dihasilkan harus sama  dengan  nol  agar  memiliki  bentuk  sebagai berikut:
𝑑𝑠 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑣 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑖 𝑑𝑡 = 0, 𝑑𝑟 𝑑𝑡 = 0
Terdapat  dua  titik  keseimbangan  yaitu  titik keseimbangan  bebas  penyakit  yang  dinotasikan dengan E 0 dan titik keseimbangan endemik yang dinotasikan  dengan E 1 .  Titik  keseimbangan bebas penyakit diperoleh dengan mengasumsikan I=0 yang  berarti  tidak  ada individu  yang  terinfeksi  dan  menularkan penyakit. Adapun untuk nilai yang diperoleh dari titik  keseimbangan  bebas  penyakit 𝐸 0 = (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) = ( 𝜇 (𝜌+𝜇) , 𝜇𝜌 ( 𝜌+𝜇)(𝛿+𝜇) , 0, 𝛿𝜌 𝜌𝛿+𝜌𝜇+𝜇𝛿+𝜇 2 ) .
Untuk mengetahui titik keseimbangan endemik 𝐸 1 = (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) diasumsikan s,v,i,r ≠ 0 sehingga diperoleh
𝐸 1 = (𝑠, 𝑣, 𝑖, 𝑟) =
( 𝜇 ((1−𝜌)𝑖+𝜌+𝜇) , 𝜌𝜇 ( 𝜔𝑖∗+𝛿+𝜇 )(((1−𝜌)𝑖∗+𝜌+𝜇)) , 𝑖 ∗ , ( 𝛼 ( 𝜔𝑖∗+𝛿+𝜇 )(( 1−𝜌 ) 𝑖∗+𝜌+𝜇 ) +𝛿 𝜌𝜇 ) 𝜇 (( 𝜔𝑖∗+𝛿+𝜇 )(( 1−𝜌 ) 𝑖∗+𝜌+𝜇 )) )

## Reproduksi Dasar (R
0 )
Penentuan  bilangan  reproduksi  dasar  pada penyebaran  penyakit Covid-19 menggunakan model  SVIR  yang  berdasarkan  pada  kelas infected .  Berdasarkan  persamaan  (4.8),  dimana persamaan  tersebut  digunakan  dalam  mencari vektor dalam F dan V seperti berikut:
𝑑𝑖 𝑑𝑡 = ((1 − 𝜌)𝑠 + 𝜔𝑣 − (𝛼 + 𝜇 + 𝛾))𝑖
Misalkan 𝐹 = (1 − 𝜌)𝑠 + 𝜔𝑣
𝑉(𝑉 1 ) = (𝛼 + 𝜇 + 𝛾) 𝐹(𝑄) = ( 𝜕𝑓 1 𝜕𝑖 ) = (1 − 𝜌)𝑠 + 𝜔𝑣 dan 𝑉(𝑄) =
( 𝜕𝑉 1 𝜕𝑖 ) = (𝛼 + 𝜇 + 𝛾)
𝐸 0 = (𝑆, 𝑉, 𝐼, 𝑅) =
( 𝜇 (𝜌+𝜇) , 𝜇𝜌 ( 𝜌+𝜇 )( 𝛿+𝜇 ) , 0, 𝛿𝜌 𝜌𝛿+𝜌𝜇+𝜇𝛿+𝜇 2 )
𝐹 = 𝐹(𝐸 0 ) = (1 − 𝜌) ( 𝜇 (𝜌+𝜇) ) + 𝜔 ( 𝜇𝜌 ( 𝜌+𝜇 )( 𝛿+𝜇 ) ) = 𝜇𝛿 − 𝜇𝜌𝛿 + 𝜇 2 − 𝜇 2 𝜌 + 𝜇𝜌𝜔 𝜌𝛿 + 𝜇𝜌 + 𝜇𝛿 + 𝜇 2 Dan 𝑉(𝐸 0 ) = (𝛼 + 𝜇 + 𝛾) 𝑉 −1 = ( 1 (𝛼 + 𝜇 + 𝛾) ) 𝑘 = 𝐹𝑉 −1 = ( 𝜇𝛿 − 𝜇𝜌𝛿 + 𝜇 2 − 𝜇 2 𝜌 + 𝜇𝜌𝜔 𝜌𝛿 + 𝜇𝜌 + 𝜇𝛿 + 𝜇 2 ) ( 1 ( 𝛼 + 𝜇 + 𝛾 ) )
Sehingg diperoleh R 0 = ( 𝜇𝛿−𝜇𝜌𝛿+𝜇 2 −𝜇 2 𝜌+𝜇𝜌𝜔 𝛼𝜌𝛿+𝜇𝜌𝛿+𝜌𝛾𝛿+𝛼𝜇𝜌+𝜇 2 𝜌+𝜇𝜌𝛾+𝛼𝜇𝛿+𝜇 2 𝛿+𝜇𝛾𝛿+𝛼𝜇 2 +𝜇 3 +𝜇 2 𝛾 )

## Analisis Kestabilan titik keseimbangan
Kestabilan titik keseimbangan diperoleh dengan melakukan  pelinearan  pada  persamaan  (4.6) sampai  persamaan  (4.9)  sehingga  diperoleh matriks  jacobian  untuk  keseimbangan  bebas penyakit.
𝐽(𝐸 0 ) = [ −(1 − 𝜌)𝑖 − 𝜌 − 𝜇
0 −(1 − 𝜌)𝑠 0 𝜌 −𝜔𝑖 − 𝛿 − 𝜇 −𝜔𝑣                                                     0 (1 − 𝜌)𝑖 0 𝜔𝑖 𝛿 ( (1 − 𝜌 ) 𝑠 + 𝜔𝑣 − ( 𝛼 + 𝜇 + 𝛾 ) 𝛼 0 −𝜇 ]
Untuk mengetahui kestabilan E 0 maka dicari nilai eigennya  jika 𝝀 I  adalah  nilai  eigen J(E 0 ) maka det( 𝝀 I- JE 0 ) =0 𝑑𝑒𝑡 ([ 𝜆 0 0 0 0 𝜆 0 0
0 0 𝜆 0 0 0 0 𝜆 ] − [ −(1 − 𝜌)𝑖 − 𝜌 − 𝜇 0 −(1 − 𝜌)𝑠 0 𝜌 −𝜔𝑖 − 𝛿 − 𝜇 −𝜔𝑣                                                     0 (1 − 𝜌)𝑖 0 𝜔𝑖 𝛿 ( (1 − 𝜌 ) 𝑠 + 𝜔𝑣 − ( 𝛼 + 𝜇 + 𝛾 ) 𝛼 0 −𝜇 ]) = 0 𝑑𝑒𝑡 ( [ 𝜆 + (1 − 𝜌)𝑖 + 𝜌 + 𝜇 0 (1 − 𝜌)𝑠 0
−𝜌 𝜆 + 𝜔𝑖 + 𝛿 + 𝜇 𝜔𝑣 0
−(1 − 𝜌)𝑖 −𝜔𝑖 𝜆 − ( 1 − 𝜌 ) 𝑠 − 𝜔𝑣 + 𝛼 + 𝜇 + 𝛾 0 0 −𝛿 −𝛼 𝜆 + 𝜇 ] ) = 0
Dengan menggunakan metode ekspansi kofaktor diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1, 𝜆 2, 𝜆 3 dan 𝜆 4 bernilai negatif  sehingga  titik  keseimbangan  bebas penyakit bersifat stabil.
Selanjutnya menentukan kestabilan titik keseimbangan  endemik  dengan  cara  yang  sama dengan  titik  keseimbangan  bebas  penyakit. Sehingga  diperoleh  polynomial  orde  empat  dan semua nilai eigen bernilai negatif sehingga titik keseimbangan endemik bersifat stabil.

## Simulasi Model
Nilai  Awal  untuk  setiap  variabel  adalah sebagai berikut :
Tabel 4.2. Nilai Awal Variabel Variabel Nilai Sumber s 0,7512006513 Dinkes v 0,3199830374 Dinkes i 0,0122969824 Dinkes
Variabel Nilai Sumber r 0,0120376084 Dinkes
Simulasi  menggunakan  nilai  parameter  sebagai berikut: Tabel 4.3. Nilai Parameter Variabel Nilai Sumber 𝝎 0,005466 Dinkes 𝜶 0,035714 Dinkes 𝝆 0,002198 Dinkes 𝜹 0,0714286 Dinkes 𝜸 0,022067 Dinkes μ 0,00075 Dinkes
Berdasarkan  nilai  parameter  pada  tabel 4.3 diperoleh nilai R 0 = 0,2322121298 < 1, yang menunjukkan bahwa penyakit Covid-19 tersebut akan  terus  berkurang  diikuti  dengan  penurunan pertumbuhan jumlah kasus.
Simulasi Model SVIR Sebagai Berikut:
Gambar 4.2. Proporsi Populasi Model SVIR
Pada  Gambar  3  pada  grafik  berwarna merah  sebagai  proporsi  untuk  kelas  populasi susceptible menunjukkan  adanya  penurunan drastis  hingga  t=25  kemudian  meningkat kembali  pada  t=250  setelah  itu  turun  di  t=350 hingga meningkat  t=500 kemudian stabil , untuk pada grafik berwarna biru sebagai proporsi untuk kelas populasi vaccinated menunjukkan keadaan populasi  mengalami  penurunan  pada  t=50 kemudian stabil pada t=350 , untuk pada grafik berwarna  hijau  proporsi  untuk  kelas infected populasi  meningkat  t=20  kemudian  menurun t=200  meningkat  t=300  setelahnya  stabil  dan pada grafik berwarna kuning populasi Recovered yang  terus  meningkat  hingga  t=100 lalu  menurun  di  t=300  dan  terus  meningkat hingga t=400 setelahnya akan menurun perlahan.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
[1] Handayani,  Diah,  et  al.  "Corona  virus disease 2019." Jurnal Respirologi Indonesia 40.2 (2020): h.119. [2] Kesehatan,K Tentang Vaksinasi Covid-19. Retrieved from Covid- 19.co.id:https://covid-19.go.id/tentang- vaksin-covid19.2021
[3] Nuraini,  Nuning,  et  al.  "Mathematical models for assessing vaccination scenarios in several provinces in Indonesia." medRxiv (2020). [4] Rizky.”Dampak Pandemi Novel
CoronaVirus Disease(Covid-19) Terhadap Psikologis  Masyarakat  di  Desa  Senaning Kecamatan  Pemayung  Kabupaten  Batang Hari ” , Artikel Ilmiah, 22 Oktober 2020.
[5]  Campbell,  S.  L.,  &  Haberman,  R. Introduction to Differential Equations with Dynamical System . New Jersey: Princeton University Press. 2008.
[6] Didiharyono,  &  irwan,  M.  Analisis kestabilan  dan  usaha  permanen  Model Predator  Prey  Tipe  Holling  III  dengan keuntungan  maksimum. Jurnal  harian . 2019.
[7] Mulisi, Subro. "Pengaruh Vaksinasi Terhadap  Dinamika  Populasi  pada  Model SIR (Susceptible- InfectedRecovered)." Tugas Akhir S1 Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor (2011).
[8]   Bellomo N. and Preziosi L. Mathematical Modeling . CRC Press, Florida.1995.
[9] Subiono. Matematika  Sistem .  Jurusan
Matematika.  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam. Institut Teknologi  Sepuluh  Nopember:  Surabaya. (2003).
[10] Mulisi,  S. Pengaruh  Vaksinasi  terhadap Dinamika  Populasi  pada  Model  SIR (Suspected  Infected-Recovered). Tugas Akhir S1 Departemen Matematika Institut Pertanian Bogor.2011