## DINAMIKA GANGGUAN SKALAR ORDE KE-NOL PADA MODEL INFLASI STAROBINSKY MENGGUNAKAN FORMALISME ARNOWITT-DESER-MISNER (ADM)
Jesi Pebralia, Iful Amri
Pendidikan Fisika, Universitas Islam Negeri Raden Fatah Palembang, Palembang, Indonesia
jesipebralia@radenfatah.ac.id

## Abstrak
Penelitian ini membahas dinamika gangguan skalar pada model inflasi Starobinsky dengan menggunakan formalisme Arnowitt-Deser-Misner  (ADM)  pada  masa  inflasi  kosmik.  Tujuan  dari  penelitian  ini  ialah  untuk  mendapatkan  bentuk persamaan  gerak  medan  skalar  orde  ke-nol  pada  model  inflasi  Starobinsky  dan  membandingkannya  dengan  bentuk persamaan  gerak  medan  skalar  pada  model  inflasi  medan  skalar  secara  umum.  Analisis  awan  penelitian  dilakukan dengan  cara  menerapkan  metrik  ADM  pada  aksi  skalar-tensor  dan  menerapkan  teori  gangguan  pada  metrik  tersebut sehingga  didapat  aksi  skalar-tensor  orde  kedua.  Analisis  penelitian  kemudian  dilanjutkan  dengan  menerapkan  metrik ADM  pada  aksi  kurvatur-skalar  dan  menerapkan  teori  gangguan  pada  metrik  tersebut  sehingga  didapat  aksi  skalar- tensor  orde  kedua.  Hasil  dari  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa  pada  masa  inflasi  kosmik  nilai  konstanta  Hubble  H konstan.
Kata kunci : Gangguan Skalar, Inflasi Starobinsky, Formalisme ADM.

## PENDAHULUAN
Alam  semesta  harus  mengalami dua fase percepatan kosmik. Fase pertama dinamakan  inflasi  kosmik  yang  terjadi sebelum  masa  dominasi  radiasi  dan  fase kedua adalah dimulai setelah masa dominasi  materi  (De  Felice  dan  Tsujikawa, 2010).  Fase  inflasi  tidak  hanya  dapat menyelesaikan  persamalahan  horizon  dan masalah flatness , tetapi juga dapat menjelaskan  bagaimana  ketidakisotropisan spektrum  temperatur  radiasi  foton  pada radiasi  latar  belakang  gelombang  mikro (CMB) terjadi.
Radiasi  latar  belakang  gelombang mikro  (CMB)  yang  berasal  380.000  tahun setelah  masa  inflasi  menunjukkan  adanya koreksi  distribusi  temperatur  foton  yang tidak seragam. Koreksi terhadap
temperatur foton tersebut dipandang sebagai  suatu  gangguan  medan  gravitasi yang  mempengaruhi  distribusi  partikel- partikel penyusun alam semesta (dodelson,
2003). Adanya koreksi terhadap
temperatur  foton  dalam  CMB  dan  formasi dari  struktur  skala  besar  yang  teramati pada  saat  ini  dipercaya  berasal  dari  suatu gangguan  kuantum  yang  berkembang
dengan  sangat  cepat  selama  masa  inflasi. Gangguan ini dapat berupa gangguan pada metrik  dan  juga  gangguan  pada  materi. Gangguan  pada  metrik  dapat  berupa gangguan  skalar,  vektor,  maupun  tensor. Persamaan  gerak  dari  gangguan  dapat dicari  melalui  persamaan  Einstein  ataupun melalui pendekatan aksi.
Untuk  menggambarkan  dinamika dari gangguan diperlukan suatu metrik yang dikombinasikan dengan suatu bentuk materi  tertentu  yang  bertanggung  jawab terhadap terjadinya inflasi. Terdapat
berbagai  macam  bentuk  metrik  yang  dapat digunakan untuk menggambarkan dinamika alam semesta
diantaranya metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker (FLRW)  yang  menggambarkan  dinamika ruang-waktu  dengan  bagian  ruang  yang mengembang (dodelson, 2003), (kundu,2012),  metrik  spherical  symmetry, metrik Arnowitt-Deser-Misner (ADM)
(arnowitt,  dkk.  1962),  dan  lain-lain.  Setiap metrik dipilih berdasarkan kelebihan- kelebihan yang dimiliki.
Adapun  penerapan  metrik  ADM telah banyak digunakan
untuk menggambarkan
dinamika gangguan
kuantum.  Formalisme  ADM  merupakan
cara menggambarkan ruang-waktu menjadi lembaran-lembaran hypersurface untuk waktu  yang  konstan.  Formalisme  ADM merupakan  formalisme  yang  paling  umum untuk  menggambarkan  dinamika  ruang- waktu.  Misalnya  penerapan  metrik  ADM untuk  aksi  skalar-tensor  dimana  kurvatur skalar  terkopel  dengan  medan  skalar (Maldacena, 2003),  (Baumann, 2009).
Untuk  menggambarkan  interaksi antara  materi  dengan  gravitasi  dapat menggunakan  prinsip  aksi.  Aksi  dari masing-masing gangguan dapat diekspansi sampai  orde  berapapun.  Oleh  karena  aksi untuk  menggambarkan  inflasi  merupakan kombinasi  antara  bagian  materi  yang menyebabkan inflasi dengan bagian gravitasi,  maka  dalam  hal  ini  penulis  akan menggunakan medan skalar sebagai model yang  paling  sederhana  sebagai  penyebab terjadinya  inflasi.  Kemudian  untuk  bagian gravitasi, penulis akan memodifikasi bagian kurvatur  skalar  dengan  mengambil  model Starobinsky.  Berdasarkan  penjelasan  di atas,  penulis  tertarik  untuk  melakukan penelitian  tentang  gangguan  kosmologi untuk fluktuasi skalar menggunakan formalisme  ADM  pada  masa  inflasi  kosmik dengan  menggunakan  aksi  kurvatur  skalar orde  ke-nol  untuk  model  Starobinsky  yang terkopel dengan medan skalar.

## AKSI KURVATUR SKALAR MODEL STAROBINSKY
Model inflasi Starobinsky merupakan model inflasi dengan memodifikasi bagian gravitasi  dengan  menambahkan  faktor 𝑅 2
pada bagian aksi kurvatur skalar (Starobinsjy,  1980).  Aksi  kurvatur  skalar model  Starobinsky  dalam  formalisme  ADM dinyatakan oleh,
𝑆 = 1 2 ∫ 𝑑 4 𝑥 √ℎ𝑁 [𝑅 (3) + 1 𝑁 2 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) + 1 𝑁 2 (𝛷̇ − 𝑁 𝑖 𝜕 𝑖 𝛷) 2 − ℎ 𝑖𝑗 𝜕 𝑖 𝛷𝜕 𝑗 𝛷 − 2𝑉(𝛷)]
Dengan  menggunakan  pendekatan  teori gangguan,  diperoleh  aksi  kurvatur  skalar
model  Starobinsky  orde  kedua  sebagai berikut,
𝑆 = 1 2 ∫ 𝑑 4 𝑥 √ℎ𝑁 [𝑅 (3) + 𝑅 (3)2 6𝑀 2 + 1 𝑁 2 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) + 1 3𝑀 2 𝑁 2 𝑅 (3) (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) + 1 6𝑀 2 𝑁 4 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) 2 + 1 𝑁 2 (𝛷̇ − 𝑁 𝑖 𝜕 𝑖 𝛷) 2 − ℎ 𝑖𝑗 𝜕 𝑖 𝛷𝜕 𝑗 𝛷 − 2𝑉(𝛷)].

## RAPAT HAMILTONIAN
Dinamika gangguan skalar diperoleh dengan  terlebih  dahulu  melakukan  studi awal  terhadap  rapat  hamiltonian  sistem. Pada  model  inflasi  Starobinsky,  rapat hamiltonian sistem dinyatakan oleh persamaan berikut,
ℋ = 2𝜋 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 2𝑁 𝑗 ∇ 𝑖 (ℎ − 1 2 𝜋 𝑖𝑗 ) − 1 2 √ℎ𝑁 [𝑅 (3) + 𝑅 (3)2 6𝑀 2 + 1 𝑁 2 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) + 1 3𝑀 2 𝑁 2 𝑅 (3) (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) + 1 6𝑀 2 𝑁 4 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) 2 + 1 𝑁 2 (𝛷̇ − 𝑁 𝑖 𝜕 𝑖 𝛷) 2 − ℎ 𝑖𝑗 𝜕 𝑖 𝛷𝜕 𝑗 𝛷 − 2𝑉(𝛷)]

## PERSAMAAN KENDALA
Persamaan kendala sistem diperoleh dengan cara menurunkan rapat hamiltonian terhadap  pengali  Lagrange  sistem.  Pada penelitian ini, penulis menggunakan formalisme  ADM  untuk  mengidentifikasi dinamika dari gangguan skalar. Formalisme ADM  merupakan  formalisme  yang  efektif digunakan  karena  membagi  ruang-waktu
empat dimensi ke dalam domain lembaran- lembaran  ruang  tiga  dimensi  yang  disebut sebagai hypersurface dengan  masing- masing yang konstan pada setiap lembarannya. Metrik ADM berbentuk,
𝑑𝑠 2 = −(𝑁 2 − 𝑁 𝑖 𝑁 𝑖 )𝑑𝑡 2 + 2𝑁 𝑖 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑡 + ℎ 𝑖𝑗 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝑥 𝑗
Terdapat  tiga  variabel  yang  merupakan  ciri dari  metrik  ADM  yaitu ℎ 𝑖𝑗 yang  merupakan metrik  ruang  pada hypersurface , 𝑁 yang merupakan  fungsi  Lapse,  dan 𝑁 𝑖 yang merupakan shift vector . Dari ketiga variabel pada metrik ADM, dua variabel diantaranya merupakan  pengali  Lagrange.  Pengali Lagrange  pada  metrik  ADM  yaitu  varibel 𝑁 dan 𝑁 𝑖 .
Pada  penelitian  ini  terdapat  dua buah persamaan kendala  yang dicari,  yaitu persamaan  kendala  jenis  pertama  yang diperoleh dengan menurunkan rapat hamiltonian  sistem  terhadap  fungsi  Lapse dan  persamaan  kendala  jenis  kedua  yang diperoleh dengan menurunkan rapat hamiltonian  sistem  terhadap shift  vector . Persamaan kendala jenis pertama, yaitu:
𝑅 (3) + 𝑅 (3)2 6𝑀 2 − 1 𝑁 2 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) − 1 3𝑀 2 𝑁 2 𝑅 (3) (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) − 1 2𝑀 2 𝑁 4 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 ) 2 = 0
Persamaan kendala jenis kedua, yaitu:
∇ 𝑖 { 1 𝑁 (ℎ 𝑖𝑙 𝐸 𝑖𝑗 − 𝛿 𝑙 𝑗 𝐸) + 1 3𝑀 2 𝑁 𝑅 (3) (ℎ 𝑖𝑙 𝐸 𝑖𝑗 − 𝛿 𝑙 𝑗 𝐸) + 1 3𝑀 2 𝑁 3 (𝐸 𝑖𝑗 𝐸 𝑖𝑗 − 𝐸 2 )(ℎ 𝑖𝑙 𝐸 𝑖𝑗 − 𝛿 𝑙 𝑗 𝐸)} = 0

## SOLUSI PERSAMAAN KENDALA
Solusi persamaan
kendala diperoleh  dengan  menerapkan  Maldacena gauge yang berbentuk,
𝛿𝛷 = 0 ℎ 𝑖𝑗 = 𝑎 2 (𝑒 2𝜍 𝛿 𝑖𝑗 ) ℎ̇ 𝑖𝑗 = 2𝑎 2 (𝐻 + 𝜍̇)𝑒 2𝜍 𝛿 𝑖𝑗 1.  Solusi Persamaan Kendala Jenis Pertama Orde ke-Nol
3𝐻 2 (1 − 3𝐻 2 𝑀 2 ) − 1 2 𝛷̇ 2 − 𝑉(𝛷) = 0
Model  inflasi  Starobinsky  dengan  aksi yang  mengandung  bagian  kurvatur skalar  memberikan  persamaan  gerak gangguan skalar yang terdiri dari bagian potensial  gangguan  skalar,  konstanta massa  ( 𝑀 )  ,  dan  konstanta  Hubble  ( 𝐻 ). Persamaan  solusi  persamaan  kendala jenis  pertama  orde  ke  nol  mempunyai bentuk  yang  menyerupai  persamaan
Friedmann dengan faktor tambahan 9𝐻4 𝑀2 .
2.  Solusi Persamaan Kendala Jenis Kedua Orde ke-Nol
∇ 𝑖 {[(−2𝐻𝛿 𝑗 𝑖 ) + 4𝐻 3 𝑀 2 𝛿 𝑗 𝑖 ]} = 0
Pada  persamaan  solusi  persamaan kendala  jenis  kedua  orde  ke  nol mengharuskan turunan fungsi ( 𝐻 ) terhadap  domain  ruang  sama  dengan nol.  Hal  ini  sesuai  dengan  definisi konstanta  ( 𝐻 = 𝐻(𝑡) )  yang  merupakan fungsi dari waktu.

## KESIMPULAN
Dengan  menerapkan  formalisme  ADM pada  aksi  kurvatur  skalar  model  Inflasi Starobinsky  diperoleh  bentuk  persamaan gerak gangguan skalar orde ke-nol sebagai berikut,
3𝐻 2 (1 − 3𝐻 2 𝑀 2 ) − 1 2 𝛷̇ 2 − 𝑉(𝛷) = 0
Persamaan solusi persamaan kendala jenis pertama orde ke nol merupakan persamaan dinamika  medan  skalar  yang  menyerupai persamaan Friedmann dengan faktor tambahan yaitu 9𝐻4 𝑀2 . Sedangkan persamaan solusi persamaan kendala jenis kedua orde ke  nol menunjukkan bahwa turunan konstanta  Hubble  (H  )  terhadap  domain ruang  bernilai  nol,  hal  ini  sesuai  dengan teori  inflasi  medan  skalar  secara  umum bahwa konstanta Hubble hanya merupakan fungsi dari waktu, yaitu H = H(t).

## DAFTAR PUSTAKA
Arnowitt,  R.,  dkk.  (1962).  The  Dynamics  of General  Relativity.  Gravitation:  an introduction to current research.
Baumann,  D.  (2009).  Tasi  lectures  on
inflation. arXiv preprint
arXiv:0907.5424.
De  Felice,  A.,  dan  Tsujikawa,  S.  (2010).
𝑓(𝑅) Theories.
Dodelson,  S.  (2003).  Modern  cosmology. Academic press.
Kundu,  S.  (2012).  Inflation  with  general
initial conditions for scalar perturbations. Journal of Cosmology and Astroparticle Physics, 2012(02):005. Maldacena, J. (2003). Non-gaussian features  of  primordial  fluctuations in single field  inflationary  models.  Journal  of  High Energy Physics, 2003(05):013. Starobinsky,  A.  A.  (1980).  A  new  type  of isotropic cosmological models without singularity.  Physics  Letters  B, 91(1):99 –102