## TIGA CARA MENENTUKAN NAMA WUKU DALAM PAWUKON SAKA
Agung Prabowo
Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Jenderal Soedirman
Jl. Dr. Soeparno No. 61 Karangwangkal Purwokerto, Jawa Tengah e-mail: agung.prabowo@unsoed.ac.id ; agung_nghp@yahoo.com
Sugiyanto SMA Negeri 1 Kebumen
Jl. Mayjen Sutoyo No. 7 Kebumen, Jawa Tengah e-mail: giantogm@gmail.com
Indar Tri Wahyuni SMA Negeri 2 Kebumen Jl. Cincin Kota No. 8 Kebumen, Jawa Tengah
e-mail: indartw@gmail.com
Abstract. This  article  discusses  Pawukon  Saka  which  is  a  mathematical  calendar.This article  explains  mathematical  knowledge  required  to  create  Pawukon  Saka  and particularly  called  as  Javanese  Mathematics.  The  Pawukon  Saka  Calendar  obtained  is then  used  to  check  some  calendars  sculpted  on  various  epigraphs  using  The  Chinese Remainder  Problem.  There  are  some  mistakes  in  the  names  of  wuku  sculpted  on  some epigraphs after checking.
Keywords: Javanese Mathematics, Pawukon Saka, The Chinese Remainder Problem
Abstrak. Tulisan ini membahas mengenai Pawukon Saka yang merupakan suatu kalendar matematika.  Artikel  ini  memaparkan  pengetahuan  matematika/aritmatika  yang diperlukan  untuk  penciptaan  Pawukon  Saka  dan  secara  khusus  disebut  sebagai Matematika  Jawa.  Kalender  Pawukon  Saka  yang  diperoleh  digunakan  untuk  menguji penanggalan yang terpahat pada berbagai prasasti, dengan menggunakan bantuan solusi dari  Masalah  Sisa  China  (The  Chinese  Remainder  Problem).  Hasilnya,  terdapat kekeliruan nama wuku yang terpahat pada beberapa prasasti.
Kata kunci: Matematika Jawa, Pawukon Saka, The Chinese Remainder Problem Mathematical Subject Classification 2010 : 11A07

## 1. PENDAHULUAN
Pawukon  Saka  adalah  jenis  pawukon  yang  dipadukan  dalam  Kalender Saka. Jenis pawukon lainnya adalah Pawukon Jawa dan Pawukon Bali. Salah satu contoh  penggunaan  Pawukon  Saka  adalah  pada  Prasasti  Sang  Hyang  Tapak (Cicatih/Jaya  Bupati)  yang  ditemukan  di  Sukabumi,  Jawa  Barat  dan  berangka
JMP : Volume 7 Nomor 1, Juni 2015, hal. 30 - 47
tahun 952 Saka (1030 Masehi). Saat itu, masyarakat Jawa telah mengembangkan pengetahuan matematika (sebut sebagai Matematika Jawa) yang digunakan untuk menciptakan Pawukon Saka.
Pawukon Saka merupakan mathematical calendar yang dibangun oleh tiga buah wewaran ( pancawara, sadwara dan saptawara ) serta tiga puluh buah wuku . Pawukon  Saka  dimulai  pada saptawara Radite (Minggu) pancawara  Paing, sadwara  Tungle,  wuku Sinta (Prabowo,  2014).  Umur  setahun  (sekali  siklus)
Pawukon Saka adalah 210 hari yang disebut segrombol atau sedhapur (Prabowo, 2014).
Penggunaan Pawukon Saka pertama kali ditemukan pada prasasti-prasasti dari Mataram Kuno, kemudian menyebar ke Bali, Jawa Barat, Sumatera Barat dan lain-lain.  Prasasti-prasasti  yang  berasal  dari  luar  Jawa  (dalam  artikel  ini  Jawa adalah wilayah yang saat ini meliputi propinsi Jawa Tengah, Yogyakarta dan Jawa Timur)  dan  memahatkan  adanya  unsur-unsur  Pawukon  Saka  dapatlah  dipastikan mempunyai  kaitan  dengan  Mataram  Kuno.  Sekarang  ini,  Pawukon  Saka dikembangkan  menjadi  Pawukon  Jawa  dan  Pawukon  Bali.  Tabel  1  menyarikan karakteristik dari Pawukon Saka.
Tabel 1 Karakteristik Pawukon Saka Karakteristik Pawukon Saka Unsur Pembangun Pancawara, Sadwara, Saptawara, dan wuku Umur 210 hari Hari Pertama Radite-Paing, Tungle, wuku Sinta Hari Terakhir Saniscara-Umanis, Mawulu, wuku Watugunung Penggunaan Mataram Kuno – Mataram Islam (732  – 1633 M) Jenis Mathematical calendar
Mengacu latar belakang, dimajukan rumusan masalah seperti apakah model matematika  untuk  menentukan nama wuku dan  menguji  kebenaran  nama wuku pada prasasti-prasasti nunsatara untuk titik waktu tertentu pada kalender Pawukon Saka, sehingga tujuan penulisan artikel ini adalah membangun model matematika
31                                                                                                               Agung Prabowo
untuk menentukan nama wuku dan menguji kebenaran nama wuku pada prasasti- prasasti nunsatara untuk titik waktu tertentu pada kalender Saka.
Model  matematika  yang  dihasilkan  dapat  digunakan  oleh  seluruh  khalayak untuk menentukan nama wuku serta menguji kebenaran nama wuku pada data-data prasasti,  dengan  menggunakan  bantuan  solusi  dari  Masalah  Sisa  China  ( The Chinese  Remainder  Problem ).  Sebagai  contoh,  Prasasti  Cicatih  (Sang  Hyang Tapak  atau  Jaya  Bupati)  memahatkan  nama  wuku Tambir ,  padahal  seharusnya Medangkungan .

## 2. METODE PENELITIAN
Penelitian dan hasil yang dituangkan dalam artikel ini diselesaikan dengan metodologi penelitian berupa kajian pustaka dan kajian data-data prasasti dengan mengambil  sumber  penelitian  berupa  prasasti-prasasti  tertua  yang  dikeluarkan oleh  Kerajaan  Mataram  Kuno  dan  kerajaan-kerajaan  di  Bali,  Jawa  Barat  dan Sumatera  Barat.  Penggunaan  prasasti  didasarkan  pada  posisi  prasasti  sebagai sumber tertulis yang tertua. Prasasti-prasasti yang digunakan dalam penelitian ini dapat  dilihat  pada  tabel  2  dan  berupa  prasasti  yang  dipahat  pada  batu  ( upala praasasti ) dan logam ( tripta praasasti ).

## 3. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pawukon  Saka  dibangun  oleh  penguasa  Mataram  Kuno  yang  mendiami Jawa  Tengah.  Disebut  Pawukon  Saka  sebab  pawukon  tersebut  dipadukan  dalam Kalender Saka yang masih digunakan hingga Mataram Islam.
Pawukon  Saka  dibangun  secara  matematik,  dengan  menggunakan Matematika  Jawa.  Oleh  karena  itu,  dalam  artikel  akan  ini  dibahas  pengetahuan- pengetahuan Matematika Jawa yang dipastikan sudah dimiliki manusia Jawa pada saat penciptaan dan penggunaan Pawukon Saka.
Umur  setahun  Kalender  Masehi  adalah  365/366  hari  dan  pembuatannya berdasarkan  peredaran  matahari  selama  setahun  sehingga  Masehi  disebut solar calendar . Penentuan perjalalan waktu dalam setiap bulannya sudah ditetapkan dan
Pawukon Saka                                                                                                                   32
tidak akan berubah sehingga Masehi merupakan mathematical calendar (Prabowo dan Sidi, 2012).
Kalender Hijriah dibangun oleh siklus 354/355 hari berdasarkan peredaran bulan  selama  setahun  sehingga  Hijriah  disebut lunar  calendar .  Penentuan perjalalan waktu dalam setiap bulannya tergantung pada perubahan bentuk bulan sehingga Hijriah merupakan astronomical calendar (Prabowo dan Sidi, 2012).
Kalender  Jawa  (Kalender  Mataraman/Sultan  Agungan)  juga  merupakan lunar calendar sebab setahun umurnya 354/355 hari. Penyusunan Kalender Jawa berdasarkan  perhitungan/aturan  matematis  sehingga  disebut mathematical calendar (Prabowo dan Sidi, 2012).
Masyrakat Jawa juga pernah menggunakan kalender Saka yang merupakan solar calendar tetapi perhitungan jumlah hari tiap bulannya mengikuti perubahan bentuk bulan. Akibatnya, Saka merupakan luni-solar calendar . Setahun kalender Saka  umurnya  354  hari  dan  akan  mencapai  383/384  hari  pada  tahun  kabisat. Pengertian tahun kabisat pada kalender Saka adalah setahun berjumlah 13 bulan. Hal ini berbeda dengan pengertian tahun kabisat pada kalender Masehi (tambah 1 hari  pada  Februari),  Hijriah  (tambah  1  hari  pada  bulan  Dzulhijjah)  dan  Jawa (tambah 1 hari pada bulan Besar).
Saat  ini,  kalender  Saka    masih  terus  digunakan  di  Bali.  Di  Jawa  hanya digunakan  oleh  pemeluk  Hindu  dan  Budha.  Artikel  ini  mempertahankan penggunaan angka tahun pada Kalender Saka (S).  Konversi menjadi Masehi (M) dengan menambah 78 pada angka tahun Saka (Prabowo dan Sidi, 2014).
Bagaimana  dengan  Pawukon  Saka?  Apakah  Pawukon  Saka  merupakan solar calender,  lunar  calendar,  luni-solar  calendar,  astronomical  calendar atau mathematical calendar ?
Wewaran dan Jenis-Jenisnya
Kata wewaran berasal  dari  bahasa  Jawa  Kuno,  ‘ wara ’  yang  berarti  hari dengan  imbuhan we + an sehingga  menjadi wewaraan ,  berubah  menjadi wewaran .  Istilah wewaran berarti  kelompok  hari  atau  pengelompokan  hari. Penggunaan wewaran saptawara telah dimulai tahun 654 S, terpahat pada Prasasti
33                                                                                                                Agung Prabowo
Canggal. Penggunaan dua wewaran berikutnya ( pancawara dan sadwara ) dimulai sejak  714  S  pada  Prasasti  Manjusrigraha  (tabel  2).  Prasasti-prasasti  yang menggunakan Kalender Saka hingga runtuhnya Majapahit hanya memahatkan tiga jenis wewaran ( pancawara, sadwara, dan saptawara ).
Ketika  Kalender  Saka  digunakan,  nama-nama pancawara adalah Pahing, Pon,  Wagai,  Kaliwuan dan Umanis/Manis .  Penulisan  pada  prasasti  terkadang menggunakan  singkatan  Pa,  Po,  Wa,  Ka  dan  U  atau  Ma.  Nama-nama  hari sadwara adalah Tungle,  Aryang,  Wurukung,  Uwas,  Paningron dan Mawulu . Dalam  prasasti,  terkadang  ditulis tu atau tung = tunglai , ha = hariyang , wu = wurukung , pa = paniruan , wa = was ,  dan ma = mawulu .  Nama-nama  hari saptawara dalam  prasasti  ditulis  dengan  singkatan  (Damais,  1951  dan  de Casparis, 1978 dalam Andreanto, 2008) ra atau a = Raditya atau Aditya (Minggu), so = Soma (Senin), ang = Anggara (Selasa), bu = Budha (Rabu), wr = Wrhaspati (Kamis), su = Sukra (Jumat) dan sa = Saniscara (Sabtu). Contoh-contoh prasasti yang memahatkan wewaran dan wuku diberikan pada tabel 2.
Tabel 2 Nama-nama wewaran dan wuku yang terpahat dalam berbagai prasasti
No Nama Prasasti Wara Wuku Tahun (Saka) Sadwara Pancawara Saptawara Jawa Tengah, Jawa Timur dan Yogyakarta 1 Canggal - - soma - 654 S 2 Manjusrigraha was pon sukra - 714 S 3 Wantil wurukung wagai wrehaspati - 778 S 4 Wayuku vurukum pahim sukra - 779 S 5 Bulai wu ; pa po ; ka so ; bu - 782 S 6 Tugu Upit I wurukuṅ kaliwuan soma - 788 S 7 Poleng II tunlai pon soma - 797 S 8 Kapuhunan pa u su - 800 S 9 Ra Tawun tu wa su 803 S 10 Poh Dulur tumlai pon soma - 812 S
Pawukon Saka                                                                                                                   34
11 Kandangan was wagai wŗhaspati - 828 S 12 Mantyasih tu u sa - 829 S 13 Kwak I wurukuṁ umanis soma - 905 S 14 Pakis Wetan wa wa aṁ mahatal 1188 S 15 Kudadu ha u sa maḍaṅ kaṅan 1216 S 16 Sukamerta tuṁ ka ca kuniṅan 1218 S 17 Tuhanaru tuṅ u aṅ krulwut 1245 S 18 Gajah Mada ha po bu tolu 1273 S 19 Pamintihan ma ma su laṅkir 1395 S Bali 20 Pandak Badung wa untuk wr gumrg 993 S

## Jawa Barat
21 Mandiwunga haryang pon wrehaspati - - 22 Candi Abang wu ka aṁ - 794 S 23 Cicatih ha ka ra tambir 952 S

## Sumatera Barat
24 Padang Roco mawulu wage wrhas-pati Madang kungan 1208 S

## Wuku
Pawukon  merupakan  hitungan  waktu  yang  berlangsung  selama  210  dan terbagi  menjadi  30 kali  siklus tujuh harian. Siklus tujuh harian ini disebut wuku . Meskipun umur setiap wuku tujuh hari dan pergantian wuku mengikuti selesainya siklus saptawara , wuku bukan  mingguan.  Oleh  karena  pergantian wuku setiap tujuh hari, maka banyaknya wuku adalah 30 buah.
Nama-nama wuku yang  dipahatkan  pada  berbagai  prasasti  dengan  nama wuku yang  saat  ini  digunakan  relatif  tidak  jauh  berubah.  Pada  tabel  3, w adalah nomor  urut wuku dan  sisa t menyatakan  nama-nama  hari  setiap  jenis wewaran .
35                                                                                                                Agung Prabowo
Sebagai  contoh, w =  17  berarti wuku Kuru  Wlut dan t =  2  berarti pon (pada pancawara ), hariyang (pada sadwara ) dan soma (pada saptawara ).
Tabel 3 Nama-nama hari setiap jenis wewaran dan nama-nama wuku Jenis Wewaran Nama-Nama Hari dalam Prasasti 654 – 1555 S 732 – 1633 M Nama-nama Wuku dalam Prasasti 952 S - Kini 1030 M - Kini Sisa t Nomor Urut Wuku w (1) (2) Pancawara 1. Pahing 1. Sinta 16. Pahang 2. Pon 2. Landep 17. Kuru Wlut 3. Wagai 3. Wukir 18. Marakih 4. Kaliwuan 4. Krantil 19. Tambir 5. Umanis/Manis 5. Tolu 20. Madaṅkuṅan Sadwara 1. Tunglai 6. Gumbreg 21. Maha Tāl 2. Hariyang 7. Wariganing Wariga  22. Wuyai 3. Wurukung 8. Wariga 23. Manahil 4. Paniruan 9. Julung 24. Prang Bakat 5. Was 10. Julung Sungsang 25. Bala (Muki) 6. Mawulu 11. Duṅulan 26. Wugu-Wugu Saptawara 1. Raditya 12. Kuniṅan 27. Wayang-Wayang 2. Soma 13. Laṅkir 28. Kulawu 3. Anggara 14. Maḍasidha 29. Dukut 4. Budha 15. Julung Pujut 30. Watugunung 5. Wrhaspati 6. Sukra
7. Saniscara

## Matematika Jawa dalam Pawukon Saka Fungsi Tangga Naik dan Fungsi Tangga
Fungsi Tangga Naik digunakan untuk menentukan bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan suatu bilangan. Sebagai contoh, bilangan bulat yang lebih besar dari atau sama dengan 15,01 adalah 16, 17, 18, .... Bilangan
Pawukon Saka                                                                                                                   36
bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan 15,01 adalah 16. Demikian juga, bilangan bulat terkecil yang lebih besar dari atau sama dengan 25 adalah 25.
Definisi 1: Fungsi Tangga Naik dalam Matematika Jawa
Jika x suatu bilangan, maka fungsi tangga naik dari x disimbolkan dengan x adalah  bilangan  bulat  terkecil  yang  lebih  besar  dari
atau sama dengan x .

## Modulo Jawa
Modulo Jawa merupakan salah satu pengetahuan dalam Matematika Jawa yang  sedikit  berbeda  dengan  konsep  modulo  dalam  matematika.  Modulo  Jawa hanya  bekerja  pada  bilangan  asli.  Akibatnya,  sisa  (disebut turah dalam  Modulo Jawa)  tidak  pernah  bernilai  0.  Sebagai  contoh,  dalam  modulo  5,  sisa  dari  24 adalah  4,  berlaku  dalam  Modulo  Jawa  maupun  matematika.  Tetapi,  sisa  dari  25 adalah 5 dalam Modulo Jawa sedangkan dalam matematika sisanya 0. Perbedaan tersebut menuntut penggunaan simbol  yang berbeda, moδ (dalam Modulo Jawa) dan mod (dalam modulo matematika)
24 (mod 5) = 4 25 (mod 5) = 0 (Matematika) 24 (moδ 5) = 4 25 (moδ 5) = 5 (Matematika Jawa)
Proses penentuan turah (sisa) dalam Modulo Jawa dilakukan dengan cara pengurangan  berulang.  Sesuai  dengan  konsep  modulo  dalam  matematika  dan Modulo Jawa, diperlihatkan adanya perbedaan proses pengurangan berulang:

## Matematika
24 – 5 – 5 – 5 – 5 = 4 (sisa 4) 25 – 5 – 5 – 5 – 5 – 5 = 0 (sisa 0) Matematika Jawa 24 – 5 – 5 – 5 – 5 = 4 (sisa 4) 25 – 5 – 5 – 5 – 5 = 5 (sisa 5)
Dari ilustrasi-ilustrasi di atas, dapat dibuat definisi:
Definisi 2: Modulo dalam Matematika
  s y x  mod didefinisikan sebagai s jy x   ;
37                                                                                                                Agung Prabowo
dengan ) 1 ( ,...., 1 , 0   y s , ( s = sisa) ,.... 1 , 0  j
Definisi 3: Modulo dalam Matematika Jawa
  t y mo x   didefinisikan sebagai t ky x   ; dengan y t ,...., 2 , 1  ,  ( t = turah = sisa) ,.... 2 , 1  k
Perhatikan  bahwa  tidak  pernah  ada turah (sisa)  0  dalam  Modulo  Jawa. Modulo  Jawa  juga  baru  bekerja  pada  saat  siklus  pertama  dimulai  ( k =  1,  2,  ....). Akibatnya, 1 (moδ 5), 2 (moδ 5), 3 (moδ 5), 4 (moδ 5), 5 (moδ 5) tidak pernah ada (belum ada modulo) sebab siklus pertama belum terjadi. Juga, tidak akan ada 0 (moδ 5) sebab moδ bekerja pada bilangan asli.

## Aturan Matematika Jawa dalam Pembuatan Pawukon Saka
Pawukon  Saka  dibangun  oleh  tiga  buah wewaran yaitu pancawara, sadwara dan saptawara serta  30  buah wuku .  Pawukon  Saka  dimulai  pada wuku Sinta, Radite-Paing, Tungle .
Dalam rentang waktu 210 hari, siklus pancawara, sadwara dan saptawara menggunakan moδ 5, 6, dan 7. Artinya untuk menentukan hari ke- x dengan x = 1,
2,  ...,  210  maka  untuk pancawara digunakan  moδ  5,  untuk sadwara digunakan moδ  6  dan  untuk saptawara digunakan  moδ  7.  Urutan wuku dimulai  dari wuku Sinta,  Landep  dan  seterusnya  hingga  Watu  Gunung,  berganti  setiap  tujuh  hari. Berikut  ini  aturan  untuk  menentukan  nama  hari pancawara,  sadwara dan saptawara dan wuku.
Nama Pancawara, Sadwara dan Saptawara
Misalkan x adalah nomor urut hari pada Pawukon Saka, maka nama hari masing-masing wewaran adalah t pada  tabel  3  yang  ditentukan  oleh aturan berikut:
Pawukon Saka                                                                                                                   38
                  .[3] .......... saptawara baris (2) kolom 3 (tabel 210 1 ; 7 [2] .. .......... sadwara baris (2) kolom 3 (tabel 210 1 ; 6 .[1] .......... pancawara baris (2) kolom 3 (tabel 210 1 ; 5
x mo x x mo x x mo x t    Nama Wuku
Misalkan x adalah nomor urut hari pada Pawukon Saka, maka nama wuku adalah w pada tabel 3 yang ditentukan oleh aturan
7 : x w  (tabel 3 kolom (2)) .......... [4]
Sebagai contoh nomor hari ke-100 akan jatuh pada
Pancawara :  100 = (5  19) + 5; t = 5 : Umanis
Sadwara : 100 = (6  16) + 4; t = 4 : Paniruan
Saptawara : 100 = (7  14) + 2; t = 2 : Soma /Senin Wuku : 15 7 : 100   w w = 15 : Julung Pujut Tabel 4 Nama hari ke-100 pada Pawukon Saka Hari ke Pancawara Sadwara Saptawara Wuku 100 Umanis Paniruan Soma Julung Pujut
Aturan-aturan di atas menjelaskan bahwa Pawukon Saka dibangun dengan aturan-aturan  matematika  (aritmatika),  khususnya  Matematika  Jawa.  Rumus  [1], [2], dan [3] menjelaskan bahwa jumlah hari 210 dalam satu kali siklus Pawukon Saka  merupakan  hasil  kali  5,  6  dan  7  yang  merupakan  jumlah  hari pancawara, sadwara dan saptawara .  Hasil  dari  seluruh  aturan  [1],  [2],  [3],  dan  [4]  tersebut disajikan  pada  tabel  5  yang  hanya  menyajikan  sebagian  saja.  Cara  pembacaan kode  angka  dapat  diambil  contoh  0605  yang  menyatakan  anasir sadwara (06) dengan nomor urut (05) = 5 yang dapat dilihat pada tabel 3  bahwa hari sadwara pada  baris  ke-5  adalah was .  Secara  lengkap  0505060607073030  berarti Umanis, Mawulu, Saniscara, Watugunung.
39                                                                                                                Agung Prabowo

## Tabel 5 Pawukon Saka
Hari ( x ) Pancawara (05) Sadwara (06) Saptawara (07) Wuku (30) 1 Pahing 0501 Tunglai 0601 Raditya 0701 Sinta 3001 2 Pon 0502 Hariyang 0602 Soma 0702 Sinta 3001 3 Wagai 0503 Wurukung 0603 Anggara 0703 Sinta 3001 4 Kaliwuan 0504 Paniruan 0604 Budha 0704 Sinta 3001 5 Umanis 0505 Was 0605 Wrhaspati 0705 Sinta 3001 6 Pahing 0501 Mawulu 0606 Sukra 0706 Sinta 3001 7 Pon 0502 Tunglai 0601 Saniscara 0707 Sinta 3001 8 Wagai 0503 Hariyang 0602 Raditya 0701 Landep 3002 9 Kaliwuan 0504 Wurukung 0603 Soma 0702 Landep 3002 10 Umanis 0505 Paniruan 0604 Anggara 0703 Landep 3002 65 Umanis 0505 Was 0605 Soma 0702 Julung Sungsang 3010 66 Pahing 0501 Mawulu 0606 Anggara 0703 Julung Sungsang 3010 67 Pon 0502 Tunglai 0601 Budha 0704 Julung Sungsang 3010 68 Wagai 0503 Hariyang 0602 Wrhaspati 0705 Julung Sungsang 3010 69 Kaliwuan 0504 Wurukung 0603 Sukra 0706 Julung Sungsang 3010 70 Umanis 0505 Paniruan 0604 Saniscara 0707 Julung Sungsang 3010 71 Pahing 0501 Was 0605 Raditya 0701 Duṅulan 3011 72 Pon 0502 Mawulu 0606 Soma 0702 Duṅulan 3011 73 Wagai 0503 Tunglai 0601 Anggara 0703 Duṅulan 3011 74 Kaliwuan 0504 Hariyang 0602 Budha 0704 Duṅulan 3011 99 Kaliwuan 0504 Wurukung 0603 Raditya 0701 Julung Pujut 3015 100 Umanis 0505 Paniruan 0604 Soma 0702 Julung Pujut 3015 101 Pahing 0501 Was 0605 Anggara 0703 Julung Pujut 3015 102 Pon 0502 Mawulu 0606 Budha 0704 Julung Pujut 3015 103 Wagai 0503 Tunglai 0601 Wrhaspati 0705 Julung Pujut 3015 104 Kaliwuan 0504 Hariyang 0602 Sukra 0706 Julung Pujut 3015 105 Umanis 0505 Wurukung 0603 Saniscara 0707 Julung Pujut 3015 106 Pahing 0501 Paniruann 0604 Raditya 0701 Pahang 3016 203 Wagai 0503 Was 0605 Saniscara 0707 Dukut 3029 204 Kaliwuan 0504 Mawulu 0606 Raditya 0701 Watugunung 3030 205 Umanis 0505 Tunglai 0601 Soma 0702 Watugunung 3030 206 Pahing 0501 Hariyang 0602 Anggara 0703 Watugunung 3030 207 Pon 0502 Wurukung 0603 Budha 0704 Watugunung 3030 208 Wagai 0503 Paniruan 0604 Wraspati 0705 Watugunung 3030 209 Kaliwuan 0504 Was 0605 Sukra 0706 Watugunung 3030 210 Umanis 0505 Mawulu 0606 Saniscara 0707 Watugunung 3030

## Uji Prasasti
Tabel  2  mencatatkan  data-data  prasasti  terkait  dengan  Pawukon  Saka. Data-data tersebut akan dikonfirmasi dengan tabel 5 sehingga dapat diidentifikasi nomor  urut  Pawukon  Saka  dari  data-data  prasasti  tersebut.  Hasilnya  diberikan
Pawukon Saka                                                                                                                   40
pada  tabel  6.  Pada  tabel  6,  nama-nama  prasasti  dihilangkan  dan  dicantumkan nomor  urutnya  saja.  Kolom  paling  kanan  tabel  6  adalah  nomor  urut  hari  dalam Pawukon Saka (dari 1 – 210).
Tabel 6 Identifikasi data prasasti berdasarkan Pawukon Saka yang telah dibuat
N o. Wara pada Prasasti Wuku pada Prasasti Wuku yang seharusnya Tahun (Saka) No. Uru t Pancawara Sadwara Saptawara Jawa Tengah, Jawa Timur dan Yogyakarta 1 - - soma - ? 654 S ? 2 pon was sukra - prangbakat 714 S 167 3 wagai wurukung wrehaspati - taulu 778 S 33 4 pahim vurukum sukra - pahang 779 S 111 5 pon kaliwuan wurukung paniron soma buda - ugu sinta 782 S 177 4 6 kaliwuan wurukuṅ soma - landep 788 S 9 7 pon tunlai soma - gumbreg 797 S 37 8 umanis paniron sukra - menail 800 S 160 9 wagai tunglai sukra landep 803 S 13 10 pon tumlai soma - gumbreg 812 S 37 11 wagai was wŗhaspati - bala 828 S 173 12 umanis tunglai saniscara - bala 829 S 175 13 umanis wurukuṁ soma - medangkungan 905 S 135 14 wagai was aṁgara mahatal mahatal 1188 S 143 15 umanis hariyang saniscara maḍaṅkaṅan maḍaṅkaṅan
1216 S 140
16 kaliwuan tuṁlai caniscara kuniṅan Wariganing wariga 1218 S 49 17 umanis tuṅlai aṅgara krulwut krulwut 1245 S 115 18 pon hariyang buda tolu tolu 1273 S 32 19 manis mawulu sukra laṅkir laṅkir 1395 S 90 Bali 20 wage untuk urukung? wrhaspati gumrg taulu 993 S 33 Jawa Barat 21 pon haryang wrehaspati - uye - 152 22 kaliwuan wurukung aṁgara - tambir 794 S 129
23 kaliwuan hariyang radite
tambir madangkungan 952 S 134 Sumatera Barat 24 wage
mawulu wrhaspati madangkungan madangkungan 1208 S 138
Dari hasil uji prasasti di atas, dapat ditentukan nama wuku dan nomor urut hari Pawukon Saka, apabila tiga buah wewaran diketahui. Prasasti Sukamerta (no.
41                                                                                                                Agung Prabowo
16)  keliru  dalam  menuliskan  nama wuku ,  seharusnya wariganing  wariga dipahatkan kuniṅan .  Prasasti  Pandak  Badung  (no.  20)  keliru  dalam  menuliskan urukung dan  nama wuku yang  seharusnya taulu .  Prasasti  Cicatih  (no.  23)  juga keliru  dalam  menuliskan  nama wuku ,  yang  seharusnya medangkungan .  Berikut adalah tiga cara/metode untuk menguji kebenaran nama wuku pada prasasti.

## Penyelesaian Pertama: Metode Tabulasi
Tiga  buah  prasasti  (Sukamerta,  Pandak  Badung  dan  Cicatih)  menuliskan nama wuku yang  keliru  (tabel  7). Wuku apakah  yang  seharusnya?  Tidak  sulit mencarinya  sebab  tabel  Pawukon  Saka  sudah  dibuat  dengan  aturan  [1],  [2],  [3] dan [4].
Tabel 7 Kekeliruan nama wuku pada prasasti
No. Wara pada Prasasti Wuku pada Prasasti Wuku yang benar Tahun (Saka) No. Urut Pancawara Sadwara Saptawara 16 kaliwuan 0504 tuṁlai 0601 caniscara 0707 kuniṅan Wariganing wariga 1218 S 49 20 wage 0503 urukung 0603 wrhaspati 0705 gumrg taulu 993 S 33 23 kaliwuan 0504 hariyang 0602 radite 0701 tambir madangkungan 952 S 134
Masalah pertama, kaliwuan, tumlai, caniscara menurut Prasasti Sukamerta bertepatan  dengan wuku Kuningan.  Apakah  hal  ini  benar?  Untuk  menjawabnya, gunakan  kode  untuk kaliwuan,  tumlai,  caniscara seperti  tampak  pada  tabel  9 nomor  16. Kaliwuan adalah  hari pancawara ke-4  sehingga  dikodekan  dengan 0504 yang artinya 05 ( pancawara ) dan 04 (ke-4).
Misalkan x adalah nomor urut hari pawukon sehingga model matematika untuk pancawara  kaliwuan yaitu   4 5   mo x .  Nilai x bisa  4,  9,  14,  19,  .... Model matematika untuk tumlai adalah   1 6   mo x dan untuk saniscara adalah   7 7   mo x .  Ketiga  model  tersebut  membentuk  masalah  berapa  nilai x yang memenuhi   4 5   mo x ,   1 6   mo x , dan   7 7   mo x ?
Pawukon Saka                                                                                                                   42
Manusia  Jawa  telah  menyiapkan  tabel  Pawukon  Saka  sehingga  solusinya dapat langsung dilacak dari tabel tersebut. Berdasarkan tabel 5, kode angka 0501 akan  ditulis  1  (digit  terakhir).  Demikian  juga  untuk  yang  lain  sehingga  tabel  5 akan  menjadi  tabel  8  dalam  susunan  mendatar.  Untuk pancawara  kaliwuan ,   4 5   mo x berarti  mencari  angka  4  pada  baris  tersebut.  Demikian  juga  untuk lainnya sehingga diperoleh kombinasi 4, 1 dan 7 pada nomot urut hari x = 49.
Tabel 8 Pawukon Saka dalam angka
No Urut Hari x 1 2 3 4 5 6 7 8 .... 47 48 49 50 .... 210 No dan Nama Wuku 1. Sinta 2. ..... 7. Wariganing Wariga 8. ...... 30. pancawara
kaliwuan
  4 5   mo x 1 2 3 4 5 1 2 3 .... 2 3 4 5 .... 5 sadwara
tumlai
  1 6   mo x 1 2 3 4 5 6 1 2 .... 5 6 1 2 .... 6 saptawara
saniscara   7 7   mo x 1 2 3 4 5 6 7 1 .... 5 6 7 1 .... 7

## Penyelesaian Kedua: Metode Modulo Jawa
Cara  lain  dapat  dirunut  dari  tabel  berikut  yang  dihitung  sampai  angka tertinggi  pada  pawukon  yaitu  210.  Prosesnya  diberikan  pada  tabel  9  dan  hasil yang diperoleh adalah x = 49 .
Tabel 9 Nilai x pada masalah Prasasti Sukamerta
Model Matematika Nilai x yang mungkin 210 1   x
Jawaban
kaliwuan   4 5   mo x
4, 9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49 , 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99, 104, 109, 114, 119, 124, 129, 134, 139, 144, 149, 154, 159, 164, 169, 174, 179, 184, 189, 194, 199, 204, 209. 49 tumlai   1 6   mo x 1, 7, 13, 19, 25, 31, 37, 43, 49 , 55, 61, 67, 73, 79, 85, 91,  97,  103,  109,  115,  121,  127,  133,  139,  145,  151,
157, 163, 169, 175, 181, 187, 193, 199, 205.

## 43                                                                                                                Agung Prabowo
saniscara
  7 7   mo x 7,  14,  21,  28,  35,  42, 49 ,  56,  63,  70,  77,  84,  91,  98,
105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168, 175, 182, 189, 196, 203, 210.
Dari tabel 8 dan 9 diperoleh nomor urut hari Pawukon Saka adalah x = 49. Umur setiap wuku adalah tujuh hari sehingga hari ke-49 merupakan hari  ketujuh untuk wuku ketujuh (7  7 = 49) yang jatuh pada wuku wariganing wariga (bukan kuningan ).
Penyelesaian Ketiga: The Chinese Remainder Problem
Dalam  siklus  210  hari,  kombinasi  tiga  nama  hari  dalam pancawara, sadwara dan saptawara selalu muncul sehingga kekeliruan yang mungkin adalah pada  penyebutan  nama wuku .  Kekeliruan  penyebutan  nama wuku memunculkan pertanyaan  yang  merupakan  masalah  mtematika.  Namun,  jika  dicermati  lebih lanjut,  permasalahan  menentukan  wuku  yang  benar  merupakan  masalah matematika  yang  dapat  diselesaikan  dengan  metode  dalam The  Chinese Remainder Problem (CRT).
Sun Tzu (abad ke-4 M) memberikan metode untuk memecahkan masalah yang  saat  ini  dikenal  dengan  nama The  Chinese  Remainder  Theorem/Problem . Kekeliruan  penulisan  nama wuku pada  prasasti  yang  memuat  Pawukon  Saka merupakan  masalah  yang  sejenis  dengan CRT.  Meskipun  CRT  bekerja  pada modulo matematika, tetapi dapat diterapkan pada Modulo Jawa.
Kembali  pada  masalah  menentukan x yang  memenuhi   4 5   mo x , 
 1 6   mo x , dan   7 7   mo x . Masalah ini identik dengan menentukan x yang memenuhi       7 7 6 1 5 4    mo mo mo x    .  Pitts  (2005)  memberikan solusi sebagai berikut:
Sisa 4 1  a 1 2  a 7 3  a
Modulo 5 1  m 6 2  m 7
3  m
Hasil kali modulo 210 7 6 5     m
42 1 1   m m z 35 2 2   m m z 30 3 3   m m z
  i i i m mo y z 1      5 1 42 1  mo y   1 5 42 1   t y   1 y 3   6 1 35 2  mo y   1 6 35 2   t y   2 y 5
  7 1 30 3  mo y   1 7 30 2   t y   3 y 4
Solusi
  m mo z y a z y a z y a x 3 3 3 2 2 2 1 1 1       210 30 4 7 35 5 1 42 3 4  mo x            210 1519  mo  49 
Jawaban x =  49  menyatakan  hari  ke-49  pada  Pawukon  Saka.  Untuk menentukan  nama wuku digunakan  fungsi  tangga  naik  (definisi  1)  dengan membagi x oleh 7 (setiap wuku 7 hari): 7 7 :  x . Wuku dengan nomor urut 7 adalah wariganing wariga (bukan kuningan ).
Masalah  pada  prasasti  dengan  nomor  20  dan  23  pada  tabel  6  serupa dengan  masalah  pada  prasasti  nomor  16  yang  telah  dipecahkan.  Solusinya ditabelkan pada tabel 10
Tabel 10 Solusi dengan The Chinese Remainder Problem
No Masalah Masalah yang identik x Nomor Wuku ( w ) Nama Wuku 16   4 5   mo x   1 6   mo x   7 7   mo x       7 7 6 1 5 4    mo mo mo x    49  7 : 49 7 7  Wariganing wariga
20   3 5   mo x   3 6   mo x   5 7   mo x       7 5 6 3 5 3    mo mo mo x    33  7 : 33 5 71 , 4 
Taulu
23   4 5   mo x   2 6   mo x   1 7   mo x       7 1 6 2 5 4    mo mo mo x    134  7 : 134 20 14 , 19  Medangkungan

## 4 KESIMPULAN
Penggunaan  Pawukon  Saka  telah  ada  sejak  Mataram  Kuno  hingga runtuhnya Majapahit dan masih diteruskan hingga masa Sultan Agung di Mataram

## 45                                                                                                                Agung Prabowo
Islam. Jumlah 210 hari dalam Pawukon Saka berasal dari siklus bersama 5, 6, dan 7 hari dari tiga jenis wewaran . Jenis wewaran yang pertama kali digunakan adalah saptawara (654  Saka),  disusul  dua  jenis wewaran sekaligus  ( pancawara dan sadwara ,  714  Saka).  Penggunaan  nama wuku yang  menandakan  Pawukon  baru digunakan pada tahun 952 Saka terpahat di Prasasti Cicatih. Fakta ini menjelaskan bahwa Pawukon telah digunakan pada tahun 1030 Masehi.
Pawukon  Saka  yang  dibangun  oleh pancawara,  sadwara,  saptawara dan 30  buah  wuku  diciptakan  dengan  aritmatika  yaitu  modulo  5,  6  dan  7  sehingga Pawukon  Saka  dapat  disebut  sebagai mathematical  calendar .  Hari  pertama Pawukon Saka adalah Radite-Paing, Tungle, wuku Sinta .
Aturan  untuk  menentukan  nama  hari  suatu wewaran ( pancawara, sadwara, dan saptawara )  menggunakan  aritmatika  berdasarkan  Modulo  Jawa pada nomor urut hari Pawukon. Dengan menggunakan aturan [1], [2], [3], dan [4] dapat  disusun  tabel  Pawukon  Jawa  yang  salah  satu  kegunaannya  mengecek kebenaran nama wuku (uji wuku ).
Metode  yang  digunakan  untuk  menyelesaikan The  CRP  Problem dapat dipakai untuk menentukan nomor urut hari Pawukon Saka, apabila tiga nama hari wewaran diketahui.  Selanjutnya,  dengan  menggunakan  fungsi  tangga  naik  dan fungsi tangga maka nama wuku dapat diketahui.

## DAFTAR PUSTAKA
Andreanto,  R.  Waktu  Terbaik  Penurunan  Keputusan  Raja:  Analisis  Berdasarkan Unsur  Penanggalan  pada  Prasasti  Jawa  Kuno  Abad  ke-9  dan  ke-10 Masehi. Skripsi pada  Program  Studi  Arkeologi,  Fakultas  Ilmu  Budaya, Universitas Indonesia, 2008
Pitts, J. T., Chinese Reminder Theorem , www.
http://www.math.tamu.edu/~jon.pitts/courses/2005c/470/supplements/chin ese.pdf, diakses pada 24 Mei 2014.
Prabowo,  A.  dan  Sidi,  P ., Tarikh  Jawa:  Kalender  Lunar  Berbasis  Matematika.
Jurnal Edumat PPPPTK, Vo. 3, No. 6, h. 395-410 , Yogyakarta, 2012.
Pawukon Saka                                                                                                                   46
Prabowo,  A.  dan  Sidi,  P., Permulaan  Matematika  dalam  Peradaban  Bangsa- Bangsa: Kontribusi Budaya Jawa dalam Matematika , Penerbit Universitas Jenderal Soedirman, Purwokerto, 2014.
Prabowo, A., The Pakubuwono Code , Phoenix Publishing, Jakarta, 2014.
47                                                                                                                Agung Prabowo