Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov Pada

## Data Banyaknya Kedatangan Klaim Asuransi Jiwa
Vieri Koerniawan 1* , Nurtiti Sunusi 2 , Raupong 3 1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin, Makassar, 90245, Indonesia
* Corresponding author, email: vieri.koerniawan@gmail.com

## Abstract
The  Poisson  hidden  Markov  model  is  a  model  that  consists  of  two  parts.  The  first  part  is  the  cause  of events that are hidden or cannot be observed directly and form a Markov chain, while the second part is the  process  of  observation or  observable  parts  that depend  on  the  cause  of  the  event and  following  the Poisson  distribution.  The  Poisson  hidden  Markov  model  parameters  are  estimated  using  the  Maximum Likelihood Estimator (MLE). But it is difficult to find analytical solutions from the ln-likelihood function. Therefore, the Expectation Maximization (EM) algorithm is used to obtain its numerical solutions which are then applied to life insurance data. The best model is obtained with 2 states or m = 2 based on the smallest  Bayesian  Information  Criterion  (BIC)  value  of  338,778  and  the  average  predicted  number  of claims arrivals is 0.385 per day.
Keywords : BIC, EM Algorithm, Life Insurance, MLE, Poisson Hidden Markov Model.

## Abstrak
Model  Poisson hidden Markov  merupakan  model  yang  terdiri  atas  dua  bagian.  Bagian  pertama  adalah penyebab peristiwa yang tersembunyi ( hidden ) atau tidak dapat diamati secara langsung dan membentuk suatu  rantai  Markov,  sedangkan  bagian  kedua  adalah  proses  observasi  atau  bagian  teramati  yang bergantung pada penyebab peristiwa tersebut dan berdistribusi Poisson. Parameter model Poisson hidden Markov diestimasi menggunakan Maximum Likelihood Estimator (MLE). Namun sulit untuk menemukan solusi  analitik  dari  fungsi ln-likelihood -nya.  Oleh  karena  itu,  digunakan  algoritma Expectation Maximization (EM)  untuk  memperoleh  solusi  numeriknya  kemudian  diaplikasikan  pada  data  asuransi jiwa.  Model  terbaik  diperoleh  dengan  2 state atau 𝑚 = 2 berdasarkan  nilai Bayesian  Information Criterion (BIC) terkecil yaitu 338.778 dan prediksi rata-rata banyaknya kedatangan klaim adalah sebesar 0.385 perhari.
Kata Kunci : Algoritma EM, Asuransi Jiwa, BIC, MLE, Model Poisson Hidden Markov.

## 1. Pendahuluan
Hampir semua fenomena atau peristiwa  yang terjadi di alam ini bersifat  acak atau probabilistik.  Suatu  proses  yang  dapat  memprediksi  ataupun  menjelaskan  fenomena- fenomena  tersebut  dinamakan  proses  stokastik.  Proses  Poisson  merupakan  salah  satu proses stokastik yang pembentukannya didasarkan pada distribusi Poisson dan sifat-sifat keindependenannya.  Jika  suatu  variabel  acak  berdistribusi  Poisson  maka  mean  dan variansinya  diasumsikan  bernilai  sama  [1].  Namun,  pada  penerapannya  dalam kehidupan  sehari-hari,  seringkali  terjadi  pelanggaran  asumsi  berupa  overdispersi.

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
Vieri Koerniwan, Nurtiti Sunusi, Raupong
Overdispersi  adalah  suatu  kondisi  dengan  variabel  acak  memiliki  nilai  variansi  yang lebih  besar  daripada  nilai  meannya.  Penyebab  terjadinya  overdispersi  adalah  terdapat pengaruh variabel lain atau sumber keragaman lain dari suatu peristiwa yang tidak dapat diamati  secara  langsung  yang  mengakibatkan  probabilitas  terjadinya  suatu  peristiwa bergantung pada peristiwa sebelumnya [2]. Penyebab dari peristiwa tersebut terkadang membentuk suatu rantai Markov.
Rantai Markov ( Markov chain ) merupakan suatu proses stokastik yang menyatakan bahwa  probabilitas  bersyarat  dari  suatu  peristiwa  masa  depan  dengan  diketahui peristiwa  masa  lalu  dan  masa  kini  adalah  tidak  bergantung  pada  peristiwa  masa  lalu tetapi hanya bergantung pada peristiwa masa kini. Salah satu bentuk khusus dari rantai Markov  adalah  model hidden Markov.  Model hidden Markov  adalah  model  dengan waktu  diskrit  yang  terdiri  atas  dua  bagian.  Bagian  pertama  adalah  penyebab  peristiwa yang  tersembunyi  ( hidden )  atau  tidak  dapat  diamati  secara  langsung  dan  membentuk suatu  rantai  Markov,  sedangkan  bagian  kedua  adalah  proses  observasi  atau  bagian teramati  yang  bergantung  pada  penyebab  peristiwa  tersebut.  Model hidden Markov pertama  kali  dikembangkan  oleh  Paroli  dan  Spezia  (1999)  dengan  mengasumsikan proses  dari  bagian  yang  teramati  merupakan  variabel  acak  berdistribusi  Gaussian sehingga dinamakan dengan model Gaussian hidden Markov [3]. Selanjutnya, Paroli et al. (2000)  kembali  mengembangkan  model hidden Markov  dengan  mengasumsikan proses  dari  bagian  yang  teramati  merupakan  variabel  acak  berdistribusi  Poisson sehingga dinamakan dengan model Poisson hidden Markov [4].
Parameter model Poisson hidden Markov dapat diestimasi menggunakan maximum likelihood  estimator (MLE).  Tetapi,  pada  umumnya  sulit  untuk  mendapatkan  solusi analitik  dari  persamaan likelihood -nya.  Oleh  karena  itu,  digunakanlah  algoritma expectation  maximization (EM)  agar  diperoleh  solusi  numeriknya    [5].  Salah  satu aplikasi dari model Poisson hidden Markov adalah prediksi kedatangan klaim asuransi jiwa.
Asuransi  jiwa  adalah  suatu  program  perlindungan  yang  bertujuan  untuk menanggung  seseorang  terhadap  kerugian  finansial  tak  terduga.  Klaim  asuransi  jiwa dapat  dilakukan  apabila  tertanggung  mengalami  risiko  kehilangan  jiwa.  Estimasi banyaknya  kedatangan  klaim  dapat  membantu  pihak  asuransi  untuk  mempersiapkan cadangan  klaim  untuk  dibayarkan  kepada  pihak  tertanggung  apabila  mengalami  risiko yang  tidak  dapat  diketahui  secara  pasti  waktu  terjadinya.  Proses  kedatangan  klaim asuransi  jiwa  dapat  diasumsikan  mengikuti  distribusi  Poisson  karena  probabilitas tertanggung  mengalami  risiko  kehilangan  jiwa  sangat  kecil.  Proses  kedatangan  klaim asuransi jiwa juga sangat erat kaitannya dengan penyebab terjadinya, namun penyebab dari peristiwa tersebut tidak dapat diamati secara langsung. Jika penyebab dari peristiwa tersebut  diasumsikan  membentuk  rantai  Markov  dan  proses  kedatangan  klaim diasumsikan  mengikuti  berdistribusi  Poisson  maka  pasangan  proses  kedatangan  klaim dan penyebabnya dapat dimodelkan dengan model Poisson hidden Markov.

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...

## 2. Material dan Metode

## 2.1 Model Poisson Hidden Markov
Model Hidden Markov  adalah  proses  stokastik  dengan  waktu  diskrit,  terdiri  atas pasangan {𝑋 𝑡 , 𝑌 𝑡 ;  𝑡 ∈ ℕ} . {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} merupakan penyebab peristiwa yang tidak diamati secara  langsung  dan  membentuk  suatu  rantai  Markov.  Sedangkan {𝑌 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} adalah proses  observasi  yang  bergantung  pada {X t , 𝑡 ∈ ℕ} .  Model  Poisson hidden Markov dapat digunakan untuk mengatasi gejala overdispersi, yaitu nilai variansinya lebih besar dari nilai ekspektasinya.
Adapun  karakteristik  dari  model  Poisson hidden Markov  dapat  dituliskan  seperti berikut ini
1. {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} diasumsikan membentuk rantai Markov diskrit, homogen, aperiodik dan tak tereduksi dengan ruang state 𝑆 𝑥 = {1,2, … , 𝑚}
2. Matriks  probabilitas state transisi Γ = [𝛾 𝑖𝑗 ] ,  dimana Γ matriks  berukuran 𝑚 × 𝑚 dengan 𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆 𝑥 memenuhi
𝛾 𝑖𝑗 = 𝑃(X 𝑡+1 = 𝑗|X 𝑡 = 𝑖) = 𝑃(X 2 = 𝑗|X 1 = 𝑖) ,     𝛾 𝑖𝑗 ≥ 0
dan ∑ 𝛾 𝑖𝑗 𝑚 𝑗=1 = 1, 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
3. Dalam  model  Poisson hidden Markov,  saat 𝑋 𝑡 berada  pada state 𝑖 untuk  setiap 𝑖 ∈ 𝑆 𝑥 maka distribusi bersyarat dari variabel 𝑌 𝑡 jika diketahui 𝑋 𝑡 = 𝑖 untuk setiap 𝑡 ∈ ℕ adalah fungsi densitas probabilitas variabel acak Poisson dengan parameter 𝜆 𝑖 , yaitu 𝜋 𝑦𝑖 = 𝑃(𝑌 𝑡 = 𝑦|𝑋 𝑡 = 𝑖) = 𝑒 −𝜆 𝑖 𝜆 𝑖 𝑦 𝑦! ,
untuk setiap 𝑦 ∈ ℕ dan ∑ 𝜋 𝑦𝑖 𝑦∈ℕ = 1 4. Untuk  setiap 𝑡 ∈ ℕ ,  vektor  probabilitas state awal  ( initial )  dilambangkan 𝛅 = [𝛿 𝑖 ] , dimana 𝛅 berukuran 𝑚 × 1 dan 𝑖 ∈ 𝑆 𝑥 dengan
𝛿 𝑖 = 𝑃(X 𝑡 = 𝑖)
dan ∑ δ 𝑖 𝑚 𝑖=1 = 1 serta 𝛅 memenuhi persamaan
𝛅 = (I 𝑚×𝑚 − Γ + 1 𝑚×𝑚 ) −1 𝟏 𝒎 5. Untuk setiap 𝑡 ∈ ℕ , fungsi distribusi marginal dari 𝑌 𝑡 adalah
𝑃(𝑌 𝑡 = 𝑦)   = ∑ 𝑃(𝑌 𝑡 = 𝑦, 𝑋 𝑡 = 𝑖) 𝑚 𝑖=1 = ∑ 𝛿 𝑖 𝜋 𝑦𝑖 𝑚

## 𝑖=1
Berdasarkan  karakteristik  di  atas,  model  Poisson hidden Markov {X 𝑡 , Y 𝑡 ;  𝑡 ∈ ℕ} oleh  parameter 𝛅 dan 𝜽 = (Γ, 𝛌)′ dengan 𝛅 = [𝛿 𝑖 ],   𝑖 ∈ 𝑆 𝑥 , Γ = [𝛾 𝑖𝑗 ],   𝑖, 𝑗 ∈ 𝑆 𝑥 , 𝛌 = [𝜆 𝑖 ],   𝑖 ∈ 𝑆 𝑥 dan  ukuran  parameter  yang  akan  diestimasi  adalah  sebanyak 𝑚 2 − 𝑚 elemen  dari  matriks  probabilitas  transisi Γ = [𝛾 𝑖𝑗 ] karena  untuk  setiap  diagonalnya berlaku 𝛾 𝑖𝑖 = 1 − ∑ 𝛾 𝑖𝑗 𝑚 𝑗=1 , 𝑗 ≠ 𝑖, 𝑖 ∈ 𝑆 𝑥 ,  serta  sebanyak 𝑚 elemen  dari  vekor 𝛌
(1)
(4) (2) (3)

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
Vieri Koerniwan, Nurtiti Sunusi, Raupong
sehingga  diperoleh  ukuran  parameter  model  Poisson hidden Markov 𝜽 = (Γ, 𝛌)′ yang akan diestimasi adalah (𝑚 2 − 𝑚) + 𝑚 = 𝑚 2 [4].

## 2.2 Maximum Likelihood Estimation
Misalkan 𝒚 = (𝑦 1 , 𝑦 2 , … , 𝑦 𝑇 ) ′ adalah  vektor  dari  data  observasi.  Vektor 𝒚 adalah vektor  yang  tak  lengkap  karena  vektor  dari  data  yang  tidak  diamati,  yaitu {X 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} tidak  ada.  Misalkan 𝒙 = (𝑖 1 , 𝑖 2 , … , 𝑖 𝑇 ) ′ adalah  vektor  dari  data  yang  tidak  diamati ( hidden ). Fungsi likelihood dari 𝒚 dapat dituliskan sebagai berikut
𝐿 𝑇 (𝜽 ; 𝑌 𝑡 = 𝑦) = 𝑃( 𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑇 = 𝑦 𝑇 ;  𝜽 ),
dengan 𝜽 = (Γ, 𝛌)′ adalah vektor parameter untuk setiap 𝜽 ∈ Ω dan 𝑡 ∈ {1,2, … , 𝑇} dan fungsi likelihood dari (𝒙, 𝒚) yaitu untuk data lengkap adalah [4]
𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽 ; 𝑋 𝑡 = 𝑖, 𝑌 𝑡 = 𝑦) =  𝑃(𝑋 1 = 𝑖 1 , … , 𝑋 𝑇 = 𝑖 𝑇 ,  𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑇 = 𝑦 𝑇 ; 𝜽).
Untuk  menentukan  mle,  biasanya  diambil  nilai  logaritma  natural (𝑙𝑛) dari  fungsi likelihood agar  diperoleh  nilai  ekstrim  yang  memaksimumkan  fungsi  sehingga  solusi dari MLE diberikan oleh [6]
𝜕𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑌 𝑡 = 𝑦) 𝜕𝜽 | 𝜽=𝜽 ̂ = 0

## 2.3 Algoritma Expectation Maximization
Algoritma Expectation  Maximization (EM)  merupakan  salah  satu  algoritma numerik  yang  digunakan  untuk  mencari  solusi  dari  suatu  persamaan.  Algoritma  EM dapat  digunakan  untuk  mendapatkan  nilai  MLE  yang  sangat  sulit  diperoleh  solusi analitiknya.  Algoritma  EM  dapat  menemukan  estimator  parameter 𝜽 pada  persamaan dari  data  yang  tidak  lengkap.  Algoritma  merupakan  algoritma  iteratif  yang  terdiri  dari dua  langkah  pada  setiap  iterasinya.  Langkah  pertama  adalah  langkah  E  (E- step )  untuk menghitung  ekspektasi  dari  data  tidak  lengkap  dan  langkah  kedua  adalah  M  (M- step ) untuk memaksimumkan nilai ekspektasi yang telah diperoleh sebelumnya.
Misalkan diambil 𝜽 (𝑘) sebagai  estimator parameter model  Poisson hidden Markov yang diperoleh pada iterasi ke- (𝑘) , dengan 𝜽 (𝑘) = (Γ (𝑘) , 𝛌 (𝑘) )′ . Langkah E dan langkah M didefinisikan sebagai berikut
1. E- step , diberikan 𝜽 (𝑘) hitung
𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) = 𝐸(ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽)|𝑦)
= ∑ … ∑ [ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦)  𝑝(𝑥|𝑦; 𝜽)] 𝑚 𝑖 𝑇 =1 𝑚 𝑖 1 =1
,
2. M- step , cari 𝜽 (𝑘) yang memaksimumkan 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) dinotasikan
𝜽 (𝑘) ∈ argmax 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ),
sehingga
(7)
(8) (9)

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
𝑄(𝜽 (𝑘+1) ; 𝜽 (𝑘) ) ≥ 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) )
Langkah E dan M diulang hingga {ln 𝐿 𝑇 ( 𝜽 (𝑘+1) )} 𝑘=1 ∞ konvergen atau selisih
|ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝑘+1) ) − ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝑘) )|
kurang dari kesalahan ( error ) yang diinginkan.
Jika  algoritma  konvergen  pada  iterasi  ke-( 𝑘 + 1 )  maka  dapat  dikatakan 𝜽 (𝑘+1) dan ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝑘+1) ) adalah  titik  stasioner  dan 𝜽 (𝑘+1) = (Γ (𝑘+1) , 𝛌 (𝑘+1) )′ adalah  estimator maksimum dari fungsi likelihood [4].

## 2.4 Bayesian Information Criterion
Bayesian Information Criterion (BIC) digunakan untuk mengestimasi dimensi dari model.  Nilai  BIC  yang  lebih  kecil  merepresentasikan  keseimbangan  optimum  antara kecocokan model dengan banyaknya parameter, sehingga model yang lebih baik adalah model dengan nilai BIC minimum. Nilai BIC dirumuskan sebagai berikut
𝐵𝐼𝐶 = −2  ln 𝐿 𝑇 𝑚 (𝜽) + 𝑚 2 (ln 𝑇),
dengan 𝐿 𝑇 𝑚 (𝜽) adalah  fungsi ln-likelihood yang  dimaksimumkan  terhadap  model Poisson hidden Markov dan 𝑚 adalah banyak state .

## 2.3 Metode Penelitian
Data  yang  digunakan  adalah  data  sekunder  yang  bersumber  dari  perusahaan asuransi PT. Avrist Assurance Indonesia. Data merupakan banyaknya kedatangan klaim untuk  asuransi  jiwa  seumur  hidup  yang  terjadi  dalam  jangka  waktu  mulai  tanggal  14 Februari  2019  sampai  dengan  29  Agustus  2019.  Periode  observasi  yang  digunakan adalah data harian sehingga terdapat 197 barisan data observasi Selama periode waktu tersebut, terdapat 78 tertanggung yang mengajukan klaim.
Proses observasi, dalam hal ini adalah data banyaknya kedatangan klaim yang dapat diamati secara langsung, bergantung pada penyebab terjadinya pada waktu 𝑡 dinyatakan dalam variabel acak 𝑌 𝑡 dan penyebab dari terjadinya proses observasi (pengajuan klaim) yang tidak dapat diamati secara langsung (proses tersembunyi) pada waktu 𝑡 dinyatakan dalam variabel acak 𝑋 𝑡 .
Langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  menganalisis  data  dalam  penelitian  ini adalah sebagai berikut:
1. Melakukan langkah E dengan menghitung 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝒌) )
2. Melakukan langkah M dengan mencari 𝜽 (𝒌) yang memaksimumkan 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝒌) ) 3. Menghitung nilai estimator parameter 𝜽 (𝒌) = (Г (𝑘) , 𝛌 (𝑘) )′
4. Menghitung nilai estimator parameter 𝛅 (𝑘)
5. Mengganti 𝑘 dengan 𝑘 + 1 hingga {ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝒌) )} konvergen |ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝒌+𝟏) ) − ln 𝐿 𝑇 (𝜽 (𝒌) )| kurang dari kesalahan ( error ) yang diinginkan, yaitu 𝜀 = 10 −6
6. Menghitung nilai BIC untuk 𝑚 = 2,3,4,5 .
(10)

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
7. Memilih nilai BIC paling minimum agar diperoleh 𝑚 yang terbaik.

## 3. Hasil dan Diskusi
3.1 Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov
Misalkan bahwa 𝑃(𝑋 1 = 𝑖 1 , … , 𝑋 𝑇 = 𝑖 𝑇 ,  𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑡 = 𝑌 𝑇 ; 𝜽) = 𝑝(𝑥, 𝑦 ;  𝜽) adalah fungsi densitas probabilitas bersama dari pasangan variabel acak {𝑋 𝑡 , 𝑌 𝑡 ;  𝑡 ∈ ℕ} maka fungsi likelihood -nya adalah
𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑋 𝑡 = 𝑖, 𝑌 𝑡 = 𝑦) = 𝑃(𝑋 1 = 𝑖 1 , … , 𝑋 𝑇 = 𝑖 𝑇 , 𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑇 = 𝑦 𝑇 ; 𝜽) = 𝑝(𝑥, 𝑦 ; 𝜽) , dan  misalkan  bahwa 𝑃(𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑇 = 𝑦 𝑇 ; 𝜽) = 𝑝(𝑦; 𝜽) adalah  fungsi  densitas probabilitas dari variabel acak {𝑌 𝑡 ;  𝑡 ∈ ℕ} maka fungsi likelihood -nya adalah
𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑌 𝑡 = 𝑦) = 𝑃( 𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑇 = 𝑦 𝑇 ;  𝜽 ) = 𝑝(𝑦; 𝜽) .
Selanjutnya,  misalkan  bahwa 𝑃(𝑋 1 = 𝑖 1 , … , 𝑋 𝑇 = 𝑖 𝑇 | 𝑌 1 = 𝑦 1 , … , 𝑌 𝑡 = 𝑌 𝑇 ;  𝜽) = 𝑝(𝑥|𝑦; 𝜽) adalah  fungsi  densitas  probabilitas  dari {𝑋 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} diberikan {𝑌 𝑡 , 𝑡 ∈ ℕ} , sehingga
𝑝(𝑥|𝑦; 𝜽) = 𝑝(𝑥, 𝑦 ; 𝜽) 𝑝(𝑦 ; 𝜽) = 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦)
𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦)
atau dapat dituliskan
ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) = ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦) − ln 𝑝(𝑥| 𝑦; 𝜽) .
Estimator  parameter 𝜽 ̂ = (Γ̂, 𝛌̂)′ dapat  diperoleh  dengan  memaksimumkan  nilai ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) sedemikian sehingga 𝜕𝐿 𝑇 (𝜽;𝑦) 𝜕𝜽 = 0 . Namun nilai ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) yang maksimum tidak dapat diperoleh secara analitik, karena 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) merupakan fungsi likelihood dari data yang tidak lengkap. Oleh karena itu, digunakan algoritma EM.

## 3.2 Algoritma Expectation Maximization
Algoritma EM merupakan algoritma numerik  yang secara umum digunakan untuk mendapatkan MLE secara tidak langsung dalam keadaan dengan data tidak lengkap. 1. Langkah Ekspektasi (E- step )
E- step dilakukan  dengan  menghitung  nilai  ekspektasi  dari  fungsi ln - likelihood ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) sehingga
ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) = 𝐸[ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦)|𝑦] − 𝐸[ln 𝑝(𝑥| 𝑦; 𝜽)|𝑦]
= 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) − 𝐻(𝜽; 𝜽 (𝑘) ),
dengan 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) = 𝐸[ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦)|𝑦] dan 𝐻(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) = 𝐸[ln 𝑝(𝑥| 𝑦; 𝜽)|𝑦] .
2. Langkah Maksimisasi (M- step )
Pada  M- step dari  algoritma  EM  akan  dimaksimumkan  fungsi ln-likelihood dari ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) . Persamaan (4.6) akan dimaksimumkan dengan mencari turunan pertama dari bentuk 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) − 𝐻(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) , yaitu

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
𝜕 ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) 𝜕𝜽 = 𝜕𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) 𝜕𝜽 − 𝜕𝐻(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) 𝜕𝜽 .
Menurut  Dempster et  al .  (1977)  dalam  Paroli et  al. (1999)  hasil  turunan  dari 𝐻(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) adalah sama dengan nol [7].
Oleh karena itu, fungsi yang akan dimaksimumkan untuk mengestimasi parameter 𝜽 hanya 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) sehingga ln 𝐿 𝑇 (𝜽; 𝑦) akan  maksimum,  dengan 𝑘 adalah  banyak iterasi. Jadi terlebih dahulu dicari fungsi 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) dengan
𝑄(𝜽; 𝜽 (𝑘) ) = 𝐸[ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽; 𝑥, 𝑦)|𝑦]
=   ∑ … ∑ [ln 𝐿 𝑇 𝑐 (𝜽 (𝒌) ; 𝑥, 𝑦)  𝑝(𝑥|𝑦; 𝜽 (𝒌) )] 𝑚 𝑖 𝑇 =1 𝑚 𝑖 1 =1 Sehingga diperoleh
𝑄(𝜽; 𝜽 (𝒌) ) = ∑ ∑ ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝜋 𝑦 𝑡+1 𝑖 𝑡 (𝑘) 𝑏 𝑡+1 (𝑘) (𝑗)𝛾 𝑖𝑗 (𝑘) 𝑇−1 𝑡=1 ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑙)𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑙) 𝑚 𝑙=1 𝑚 𝑗=1 𝑚 𝑖=1 ln 𝛾 𝑖𝑗
+ ∑ ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑖) 𝑇 𝑡=1 ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑙)𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑙) 𝑚 𝑙=1 𝑚 𝑖=1 ln 𝜋 𝑦 𝑡 𝑖 .
Selanjutnya,  fungsi 𝑄(𝜽; 𝜽 (𝒌) ) dimaksimumkan  agar  diperoleh  estimator  parameter 𝛾 𝑖𝑗 dan 𝜆 𝑖 , yaitu
𝛾̂ 𝑖𝑗 = ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝜋 𝑦 𝑡+1 𝑗 (𝑘) 𝑏 𝑡+1 (𝑘) (𝑗)𝛾 𝑖𝑗 (𝑘) 𝑇−1 𝑡=1 ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝜋 𝑦 𝑡+1 𝑗 (𝑘) 𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑗) 𝑇−1 𝑡=1 dan
𝜆 𝑖 ̂ = ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝑦 𝑡 𝑇 𝑡=1 ∑ 𝑎 𝑡 (𝑘) (𝑖)𝑏 𝑡 (𝑘) (𝑖) 𝑇 𝑡=1 ,
dengan
𝑎 𝑡 (𝑖) = (∑ 𝑎 𝑡−1 (𝑗)𝛾 𝑖𝑗 𝑚 𝑗=1 ) 𝜋 𝑦 𝑡 𝑖 ,
dan
𝑏 𝑡 (𝑗) = ∑ 𝜋 𝑦 𝑡+1 𝑖 𝑏 𝑡+1 (𝑖) 𝑚 𝑖=1 𝛾 𝑖𝑗 adalah probabilitas forward-backward .
3.3 Penentuan  Nilai  Parameter  Model  Poisson Hidden Markov  pada  Data Banyaknya Kedatangan Klaim Asuransi Jiwa
Nilai  estimator  parameter  model  Poisson hidden Markov  untuk 𝑚 = 2,3,4,5 dihitung menggunakan estimator parameter pada persamaan (12), (13) dan (3), nilai ln- likelihood untuk  masing-masing 𝑚 dihitung  menggunakan  persamaan  (11)  serta  nilai
(12)
(13) (11)

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...
BIC  menggunakan  persamaan  (10)  dengan  bantuan software  Mathematica 11.3.0. Sehingga diperoleh Tabel 1 berikut ini.
Tabel 1. Nilai Loglikelihood dan AIC 𝑚 ln-likelihood BIC 2 −158.834 338.778 3 −156.741 361.029 4 −153.328 391.184 5 −152.109 436.294

## Sumber: Data diolah 2020
Dari  hasil  yang  diperoleh  dapat  dilihat  bahwa  nilai  BIC  terkecil  adalah  sebesar 338.778 yaitu untuk banyak state adalah 2 sehingga dapat dikatakan bahwa nilai 𝑚 = 2 merupakan  nilai  yang  terbaik  untuk  estimasi  parameter  model.  Sehingga  diperoleh matriks probabilitas transisi penyebab terjadinya proses kedatangan klaim asuransi jiwa yang memaksimumkan fungsi ln-likelihood , yaitu
Γ̂ = ( 0.964 0.036 0.953 0.047 ).
Nilai  tersebut  menyatakan  bahwa  setelah  terjadinya  kedatangan  klaim  oleh  penyebab keadaan  pertama  akan  terjadi  lagi  oleh  penyebab  dari  keadaan  pertama  dengan probabilitas  sebesar 0.964 serta  terjadi  lagi  oleh  penyebab  keadaan  kedua  dengan probabilitas  sebesar 0.036 .  Selanjutnya,  setelah  terjadinya  kedatangan  klaim  oleh penyebab  keadaan  kedua  akan  terjadi  lagi  oleh  penyebab  keadaan  pertama  dengan probabilitas  sebesar 0.953 serta  terjadi  lagi  oleh  penyebab  keadaan  kedua  dengan probabilitas sebesar 0.047 .
Selanjutnya,  diperoleh  nilai  vektor  estimator  parameter  dari  distribusi  Poisson, yaitu
𝝀̂ = ( 0.259 3.672 ).
Nilai  tersebut  menyatakan  bahwa  laju  kedatangan  klaim  oleh  penyebab  keadaan pertama adalah sebesar 0.259 per hari, sedangkan laju kedatangan klaim oleh penyebab keadaan kedua adalah sebesar 3.672 per hari. Kemudian, diperoleh vektor probabilitas state awal berdasarkan persamaan (3), yaitu
𝛅 ̂ = (0.963 0.037 ).
Nilai  tersebut  menyatakan  bahwa  probabilitas  terjadinya  kedatangan  klaim  karena penyebab keadaan pertama adalah sebesar 0.963 dan probabilitas terjadinya kedatangan klaim karena penyebab keadaan kedua adalah sebesar 0.037 .

## Estimasi Parameter Model Poisson Hidden Markov pada...

## 4. Kesimpulan
Model  Poisson hidden Markov  terbaik  pada  data  banyaknya  kedatangan  klaim asuransi  jiwa  berdasarkan  kriteria  BIC,  yaitu  nilai  BIC  yang  paling  minimum  adalah dengan 𝑚 = 2 atau dua penyebab ( 2 state ) sehingga diperoleh nilai estimator parameter sebagai berikut
Γ̂ = ( 0.964 0.036 0.953 0.047 )
𝝀̂ = ( 0.259 3.672 ) 𝛅 ̂ = (0.963 0.037 )
Penelitian dapat dilanjutkan untuk mencari apa faktor penyebab proses yang sesuai dengan banyak penyebab yang telah diperoleh.

## Daftar Pustaka
[1]   Taylor,  H.  M.,  dan  Karlin,  S. An  Introduction  to  Stochastic  Modeling ,  Third Edition. San Diego: Academic Press. 1998.
[2]     Long, J. S. Regression Models for Categorical and Limited Dependent Variables . California: Sage. 1997.
[3]  Paroli, R., dan Spezia, L. Gaussian Hidden Markov Models: Parameters Estimation and  Applications  to  Air  Pollution  Data .  Milano:  Universita  Cattolica  Del  Sacro Coure. 1999.
[4]     Paroli, R., Redaelli, G., dan Spezia, L. Poisson Hidden Markov Models for Time Series of Overdispersed Insurance Count. Astin Colloquium , 461-474, 2000.
[5]     Gustra,  H.  Pemodelan  Klaim  Asuransi  Kerugian  Menggunakan  Poisson  Hidden Markov untuk Data Overdispersi. Bogor: Institut Pertanian Bogor. 2014.
[6] Hogg,  R.  V.,  Craig,  A.  T.,  dan  McKean, J.  W.  Introduction  to  Mathematical Statistics , Sixth Edition. New Jersey: Prentice Hall. 2005.
[7] Dempster,  A.  P.,  Laird,  N.,  dan  Rubin,  D.  B.  Maximum  Likelihood  from Incomplete Data via the  EM Algorithm. Journal  of  the Royal  Statistical  Society , 39 (1) : 1-38, 1977.