## Perancangan Motif Batik Model Fraktal IFS

## Yang Dapat Didaur Ulang
Tedjo Darmanto Program Studi Teknik Informatika STMIK AMIK Bandung Jl. Jakarta 28 Bandung tedjodarmanto@stmik-amikbandung.ac.id
Abstrak —Makalah hasil penelitian ini membahas tentang bagaimana melakukan perancangan motif batik apakah jika  perancangan  tersebut  dilakukan  melalui  model  fraktal  IFS  akan  diperoleh  proses  perancangan  yang  lebih sederhana. Secara teori  setiap obyek pada umumnya dapat digambarkan dengan model  fraktal. Model fraktal IFS sebagai  salah  satu  model  fraktal  secara  sederhana  dapat  dinyatakan  dengan  kode  IFS  dan  dibangkitkan  dengan algoritma Iterasi acak menjadi obyek fraktal yang diwakilinya. Kelebihan perancangan obyek gambar melalui model fraktal  IFS  dibandingkan  dengan  model  lain  adalah  dalam  hal  kemudahan  daur  ulang  melalui  proses Reverse engineering .
Kata kunci—Motif batik; Model fraktal; Fraktal IFS; Kode IFS; Algoritma Iterasi acak; Reverse engineering

## I. P ENDAHULUAN
Model fraktal dapat dimanfaatkan untuk memudahkan merancang motif batik baik yang bersifat simetris dalam arah  horizontal  dan  vertikal  atau  salah  satunya  atau  yang  bersifat  tidak  simetris.  Rancangan  motif  batik  simetris sederhana dapat dirancang dengan model fraktal secara sederhana. Paling tidak terdapat dua model fraktal, yaitu model fraktal Sistem-L dan model fraktal IFS ( Iterated Function Systems ).
Untuk perancangan motif batik, maka model fraktal IFS lebih sesuai karena lebih dapat menggambarkan segala jenis  obyek  fraktal  dibandingkan  dengan  model  fraktal  Sistem-L.  Fraktal  pertamakali  diperkenalkan  oleh  bapak fraktal  yaitu  Benoit  Mandelbrot pada  tahun  1982  [1].  Fraktal  lebih  dipopulerkan  melalui  model fraktal  IFS  oleh Michael Barnsley dan Demko pada tahun 1985 [2] melalui model matematis fungsi Affine dan teorema Collage yang  memanfaatkan  sifat  keserupaan  diri  ( self-similarity )  yang  disampaikan  pertamakali  oleh  Hutchinson  [3]. Melalui  sifat  keserupaan  diri  fraktal,  maka  perancangan  sebarang  obyek  alam  terutama  yang  umumnya mempunyai  sifat  keserupaan  diri  seperti  pohon  dan  awan  lebih  dimudahkan.  Pada  model  fraktal  IFS  proses pengkodean  menjadi  kode  IFS  yang  berasal  dari  perancangan  Collage  dapat  dilakukan  daur  ulang  baik  melalui penambahan komponen Collage, maupun melalui proses Reverse engineering [5].

## II. M ETODE

## A. Fraktal
Model fraktal merupakan model geometri yang dapat menggambarkan obyek yang mempunyai dimensi dengan bilangan yang tidak bulat. Seperti kita ketahui obyek berdimensi satu adalah garis lurus  yang mengarah ke salah satu arah koordinat. Obyek berdimensi dengan bilangan positif lebih kecil dari satu adalah garis lurus putus-putus yang mengarah ke salah satu arah koordinat.
Seperti kita  ketahui obyek berdimensi dua salah satunya  adalah obyek persegi empat yang  di dalamnya tidak ada  ruang  kosong.  Jika  pada  obyek  persegi  empat  tersebut  terdapat  ruang-ruang  kosong  maka  dimensinya berkurang menjadi lebih kecil dari dua. Demikian selanjutnya untuk obyek berdimensi antara dua dan tiga, sebagai contoh adalah obyek kubus yang di dalamnya terdapat ruang-ruang kosong.

## B. IFS
Menurut teori  IFS, model obyek fraktal  IFS  dapat direpresentasikan oleh identitas obyek  yang sederhana dan dapat dipetakan secara iteratif melalui algoritma Iterasi acak menjadi obyek yang tampak tidak sederhana. Identitas obyek  dipresentasikan  dalam  bentuk  kumpulan  koefisien  Affine  yang disebut  kode  IFS.  Untuk  setiap  komponen obyek diwakili dengan enam koefisien Affine ( a sampai f ) ditambah dengan nilai probabilitas kerapatan titik-titik
yang  membentuk  komponen  tersebut  relatif  terhadap  kerapatan  titik-titik  yang  membentuk  obyek  fraktal,  seperti ditampilkan  pada  persamaan-1.  Persamaan-1  memperlihatkan  adanya  proses  iteratif  di  mana  nilai  x‟  dan  y‟ ( current )  bergantung  pada  nilai  x  dan  y  sebelumnya,  Gambar  obyek  fraktal  dapat  dibangkitkan  dengan  melalui proses decode kode  IFS  tersebut  yang  bergantung  pada  pembangkitan  bilangan  acak  sesuai  nilai  probabilitas masing-masing komponen obyek, sehingga  algoritma decode tersebut disebut sebagai algoritma Iterasi acak [4].
[ ]   * +   * +   * + (1)
Gambar 1. Obyek fraktal gasket empat komponen
Sebagai ilustrasi pertama, obyek fraktal berdimensi antara satu dan dua dapat dirancang dengan model fraktal IFS  yang  terdiri  dari  empat  komponen  seperti  contoh  obyek  fraktal  gasket  dengan  empat  komponen  yang ditampilkan pada gambar-1 (di atas). Sebagai ilustrasi kedua, obyek fraktal berdimensi antara satu dan dua dapat dirancang dengan model fraktal IFS yang terdiri dari lima komponen seperti contoh obyek fraktal gasket dengan lima komponen yang ditampilkan pada gambar-2 berikut ini.

## C. Model Fraktal IFS
Model  fraktal  IFS  adalah  model  fraktal  yang  menggunakan  transformasi  pemetaan  titik  titik pixel untuk menggambarkan  obyek  fraktal  dengan  fungsi  Affine  2D  dan  teorema  Collage.  Fungsi  Affine  terdiri  dari  dua bagian,  bagian  pertama  menentukan  bentuk  dan  arah  orientasi  komponen  obyek,  sedangkan  bagian  kedua menentukan skala ukuran komponen relatif terhadap ukuran obyek keseluruhan yang merupakan model matematis. Bagian pertama dinyatakan dalam bentuk matrik yang terdiri dari koefisien a , b , c dan d , sedangkan bagian kedua dinyatakan  dengan  vektor  vertikal  yang  terdiri  dari  koefisien e dan f ,  seperti  dinyatakan  persamaan-1  yang ditampilkan pada bagian pembahasan IFS di atas.
Model  matematis  ini  disebut  juga  sebagai  fungsi  Self-affine  karena  mempunyai  sifat  keserupaan  diri  [5]. Teorema  Collage  dapat  dinyatakan  secara  visual  dan  merupakan  bentuk  visualisasi  model  matematis  tersebut  di atas dalam formasi kumpulan komponen Collage. Setiap komponen Collage digambarkan sebagai area segi empat yang  dibatasi  oleh  empat  titik  dimulai  dari  titik  tertentu  sebagai  patokan  penentuan  arah.  Setiap  area  segi  empat dapat mempunyai  arah  yang  sama  atau  berbeda  relatif  terhadap  arah  kerangka  Collage  yang  dibatasi  empat  titik pada  pojok  kerangka  dimulai  dari  titik  kiri  bawah  berputar  searah  jarum  jam  atau  kerangka  selalu  mengarah  ke atas. Sebagai ilustrasi model rancangan yang menghasilkan dua obyek fraktal pada gambar-1 dan gambar-2 adalah berdasarkan  teorema  Collage  yang  divisualisasikan  sebagai  dua  gambar  rancangan  Collage  pada  gambar-3  dan gambar-4.

Gambar 3. Model rancangan fraktal gasket empat komponen
Gambar 4. Model rancangan fraktal gasket lima komponen

## III. P ERANCANGAN
Seperti  telah  disebutkan  sebelumnya  kelebihan  model  fraktal  IFS  adalah  dalam  hal  kemudahan  daur  ulang model  yang  diwakilli  oleh  kode  IFS  dan  model  matematis  fungsi  Self-affine  dan  atau  model  visual  teorema Collage [5]. Proses daur ulang dilakukan dengan memanfaatkan proses Reverse engineering melalui perancangan ulang model rancangan komposisi Collage [5], seperti hanya sekedar menggeser beberapa komponen Collage dari posisi  semula  pada  perancangan  awal  ke  posisi  baru  pada  perancangan  ulang.  Untuk  perancangan  motif  batik dengan model fraktal ini dapat dilakukan dalam beberapa tahap perancangan, mulai dari perancangan awal, lanjut, final dan perancangan ulang.

## A. Perancangan Awal
Pada makalah ini yang merupakan pengembangan dari makalah sebelumnya [6] ditampilkan satu model motif batik  (model  kelima)  yang  merupakan  daur  ulang  empat  model  sebelumnya  secara  kronologis.  Model  pertama terdiri  dari  empat  komponen  Collage  digambarkan  dengan  komponen-1  sampai  4  pada  visualisasi  model rancangan pada gambar-5 dan gambar obyek fraktal hasil rancangan ditampilkan pada gambar-6. Model pertama yang  terdiri  dari  empat  komponen  Collage  berbentuk  memanjang  akan  menghasilkan  gambar  motif  garis-garis yang tidak memiliki sifat keserupaan diri.
Model kedua terdiri dari lima komponen Collage digambarkan dengan empat komponen seperti model pertama ditambah  satu  komponen  kelima  dari  model  rancangan  pada  gambar-5  dan  obyek  fraktal  hasil  rancangan ditampilkan  pada  gambar-7.  Pada  model  kedua  ini  terdapat  satu  komponen  yang  memiliki  sifat  keserupaan  diri, yaitu  komponen-5,  sehingga  menghasilkan  gambar  motif  garis-garis  yang  serupa  dengan  tampilan  obyek keseluruhan.  Komponen-5  ini  berada  pada  bagian  pojok  kanan  bawah  kerangka.  Pada  model  kedua  komponen kelima  mempunyai  arah  orientasi  yang  sama  seperti  kerangka  yaitu  mengarah  ke  atas  digambarkan  dengan  area yang dimulai dari titik tengah bawah kerangka ke arah tiga titik lainnya secara searah jarum jam.
Gambar 5. Contoh model rancangan motif batik (model-1 : komponen-1 s/d 4; model-2: komponen-1 s/d 5; model-3: komponen-1 s.d 6; model-4: komponen-1 s/d 7; model-5 komponen-1 s/d 8)
Gambar 6. Obyek fraktal hasil rancangan model-1 (4 komponen)
Gambar 7. Obyek fraktal hasil rancangan model-2 (5 komponen)

## B. Perancangan Lanjut
Selanjutnya pada model ketiga sampai kelima, setiap model rancangan ditambah satu komponen yang memiliki sifat  keserupaan  diri,  sehingga  pada  model  ketiga  menjadi  terdiri  dari  enam  komponen,  pada  model  keempat menjadi terdiri dari tujuh  komponen dan pada model kelima menjadi terdiri dari delapan komponen. Pada model ketiga  komponen  keenam  mempunyai  arah  orientasi  ke  bawah  digambarkan  dengan  area  yang  dimulai  dari  titik pojok  kiri  atas  kerangka  ke  arah  tiga  titik  lainnya  secara  berlawanan  arah  jarum  jam.  Pada  model  keempat komponen  ketujuh  mempunyai  arah  orientasi  ke  kanan  digambarkan  dengan  area  yang  dimulai  dari  titik  pojok kanan  atas  kerangka  ke  arah  tiga  titik  lainnya  secara  berlawanan  arah  jarum  jam.  Pada model  kelima  komponen kedelapan  mempunyai  arah  orientasi  ke  atas  digambarkan  dengan  area  yang  dimulai  dari  titik  pojok  kiri  bawah dari kerangka ke arah tiga titik lainnya secara searah jarum jam.
Komponen keenam model ketiga, komponen ketujuh model keempat dan komponen kedelapan model kelima ditampilkan  pada  gambar-5  sesuai  anotasi.  Gambar  obyek  fraktal  hasil  rancangan  model  ketiga  sampai  kelima ditampilkan pada gambar-8 sampai gambar-10. Kode IFS sebagai identitas obyek fraktal yang belum dinormalisasi ditampilkan pada tabel-1.
TABEL 1. C ONTOH K ODE IFS ( SEBELUM NORMALISASI ) a b c d e f prob 0.023 0.494 -0.02 0.504 0.001 0.0 0,0814 0.016 -0.50 0.018 0.506 -0.20 -0.19 0,0814 0.022 0.304 -0.02 0.304 0.106 -0.5 0,0465 0.02 -0.30 0.014 0.298 -0.1 -0.70 0,0465 0.502 -0.01 0.01 0.507 0.244 0.001 0,2326 0.5 0.018 0.020 -0.5 -0.23 -0.99 0,2326 0.013 0.303 0.304 -0.02 0.503 -0.85 0,1395 0.3 -0.01 0.008 0.302 -0.35 -0.00 0,1395
Model  pertama  diwakili  oleh  kode  IFS  baris  pertama  sampai  keempat.  Model  kedua  diwakili  oleh  kode  IFS baris pertama sampai kelima. Model ketiga diwakili oleh kode IFS baris pertama sampai keenam. Model keempat diwakili  oleh  kode  IFS  baris  pertama  sampai  ketujuh  dan  model  kelima  diwakili  oleh  kode  IFS  baris  pertama sampai kedelapan (terakhir).
Gambar 8. Obyek fraktal hasil rancangan model-3 (6 komponen)
Gambar 9. Obyek fraktal hasil rancangan model-4 (7 komponen)
Gambar 10. Obyek fraktal hasil rancangan model-5 (8 komponen)

## C. Perancangan  Final
Pada  proses  finalisasi  rancangan  motif  batik  dilakukan  proses  pencerminan  secara  horizontal,  vertikal  dan kedua-duanya  (pencerminan  diagonal)  dan  proses  pengubinan  ( tiling ).  Sebelum  dilakukan  proses  pencerminan pada  kode  IFS  yang  dihasilkan  dilakukan  normalisasi  (tabel-2),  yaitu  pembulatan  nilai  koefisien  sedemikian sehingga gambar motif yang tidak mempunyai sifat keserupaan diri menjadi berbentuk garis seperti tampak pada gambar-11.
Hasil  pencerminan  obyek  fraktal  model  kelima  pada  gambar-11  terhadap  sumbu  horizontal  (sumbu-x) ditampilkan pada gambar-12. Hasil pencerminan obyek fraktal model kelima terhadap sumbu vertikal (sumbu-y) ditampilkan  pada  gambar-13  dan  hasil  pencerminan  diagonal  obyek  fraktal  model  kelima  terhadap  sumbu horizontal dan vertikal ditampilkan pada gambar-14. Hasil proses pengubinan fase pertama diperoleh motif batik pada  gambar-15  yang  merupakan  hasil  pengubinan  empat  gambar  sebelumnya  (gambar-11  sampai  gambar-14). Hasil  proses  pengubinan  fase  kedua  diperoleh  motif  batik  pada  gambar-16  yang  merupakan  hasil  pengubinan empat obyek fraktal pada gambar-15.
Hasil rancangan final ini yang diwakili rancangan Collage semua komponen (1 sampai 8) pada gambar-5, dapat didaur  ulang  melalui  proses Reverse  engineering .  Proses Reverse  engineering dapat  memanfaatkan  rancangan yang sudah ada, seperti dengan mengubah posisi komponen Collage tertentu, seperti akan dijelaskan pembahasan pada bagian Perancangan daur ulang.
TABEL 2. C ONTOH K ODE IFS ( SETELAH NORMALISASI ) a b c d e f Prob 0.0 0.5 0.0 0.5 0.0 0.0 0,0814 0.0 -0.5 0.0 0.5 -0.2 -0.2 0,0814 0.0 0.3 0.0 0.3 0.1 -0.5 0,0465 0.0 -0.3 0.0 0.3 -0.1 -0.7 0,0465 0.5 0.0 0.0 0.5 0.25 0.0 0,2326 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.25 -1.0 0,2326 0.0 0.3 0.3 0.0 0.5 -0.85 0,1395 0.3 0.0 0.0 0.3 -0.35 0.0 0,1395
Gambar 11. Obyek fraktal hasil rancangan model-5 (normalisasi)
Gambar 12. Obyek fraktal hasil rancangan model-5 (pencerminan vertikal terhadap sumbu-x)
Gambar 13. Obyek fraktal hasil rancangan model-5 (pencerminan horizontal terhadap sumbu-y)
Gambar 14. Obyek fraktal hasil rancangan model-5 (pencerminan diagonal)
Gambar 15. Obyek fraktal hasil rancangan model-pengubinan fase satu
Pengubinan fase satu menghasilkan obyek fraktal motif batik yang simetris, karena merupakan komposisi hasil pencerminan  secara  horizontal,  vertikal  dan  diagonal  yang  ditempatkan  secara  bersesuaian.  Hasil  pencerminan horizontal (gambar-13) ditempatkan pada pojok kanan atas, hasil pencerminan vertikal (gambar-12) ditempatkan pada pojok kiri bawah dan hasil pencerminan diagonal (gambar-14) ditempatkan pada pojok kanan bawah relatif terhadap  obyek  fraktal original (gambar-11)  yang  ditempatkan  pada  pojok  kiri  atas.  Untuk  dapat  menghasilkan obyek fraktal motif batik yang lebih rapat diperlukan pengubinan fase berikutnya (fase dua dan seterusnya). Untuk pengubinan fase berikutnya cukup memanfaatkan duplikasi obyek fraktal pada fase sebelumnya dan ditempatkan pada keempat pojok seperti contoh pada gambar-15 untuk pengubinan fase dua.
Gambar 16. Obyek fraktal hasil rancangan model-pengubinan fase dua

## D. Perancangan  Ulang
Melalui  proses  perancangan  ulang,  rancangan  motif  batik  sebelumnya  dapat  dimodifikasi  sesuai  kebutuhan berikutnya  dengan  mudah  melalui  proses Reverse  engineering sehingga  diperoleh  rancangan  baru.  Sebagai ilustrasi  hasil  rancangan  ulang  pada  gambar-17  ditampilkan  model  rancangan  motif  batik  baru  hasil  modifikasi dari model rancangan motif sebelumnya yang ada pada gambar-5. Pada rancangan baru dilakukan pergeseran dua komponen garis, yaitu komponen ke-3 dan ke-4 dan pergeseran dua komponen yang memiliki sifat keserupaan diri yang berukuran kecil, yaitu komponen ke-7 dan ke-8, agar diperoleh ruang kosong dipojok kanan atas dan pojok kiri bawah.
Gambar 17. Contoh model rancangan motif batik daur ulang dari gambar-5 (komponen-3, 4, 7 dan 8 gambar-5 digeser)
Obyek  fraktal  sebagai  hasil  rancangan  setelah  normalisasi  ditampilkan  pada  gambar-18,  dan  kode  IFS  yang mewakilinya sebagai identitas obyek fraktal IFS ditampilkan pada tabel-3. Hasil pencerminan horizontal gambar- 18  ditampilkan  pada  gambar-19.  Hasil  pencerminan  vertikal  gambar-18  ditampil-kan  pada  gambar-20.  Hasil pencerminan  diagonal  gambar-18  ditampilkan  pada  gambar-21.  Hasil  pengubinan  keempat  komponen  hasil rancangan ditampilkan pada gambar-22.
TABEL 3. C ONTOH K ODE IFS GAMBAR -18 ( SETELAH NORMALISASI ) a b c d e f Prob 0.0 0.5 -0.0 0.5 0.0 0.0 0,0814 0.0 -0.5 0.0 0.5 -0.2 -0.2 0,0814 0.0 0.3 -0.0 0.3 0.1 -0.5 0,0465 0.0 -0.3 0.0 0.3 -0.1 -0.7 0,0465 0.5 -0.0 0.0 0.5 0.25 0.0 0,2326 0.5 0.0 0.0 -0.5 -0.25 -1.0 0,2326 0.0 0.35 0.25 0.0 0.5 -0.625 0,1395 0.3 0.0 0.0 0.3 -0.15 -0.0 0,1395
Gambar 18. Obyek fraktal hasil rancangan motif batik pada gambar-17
Gambar 19. Obyek fraktal hasil pencerminan horizontal gambar-18
Gambar 20. Obyek fraktal hasil pencerminan vertikal gambar-18
Gambar 21. Obyek fraktal hasil pencerminan diagonal gambar-18
Gambar 22. Obyek fraktal hasil pengubinan gambar-18, 19, 20 dan 21 (fase satu)
Gambar 23. Obyek fraktal motif batik hasil pengubinan empat gambar-22 (pengubinan fase dua)
Hasil rancangan motif batik pengubinan fase dua dapat dilanjutkan ke fase tiga. Pada pengubinan fase tiga diperlukan empat obyek fraktal yang dihasilkan pengubinan fase dua yang ditempatkan pada keempat pojok kerangka motif batik yang lebih besar. Hasil rancangan motif batik pengubinan fase tiga tersebut ditampilkan pada gambar-24 dan gambar-25.
Gambar 24. Obyek fraktal motif batik hasil pengubinan empat gambar-23 (sebagai hasil pengubinan fase tiga versi daur ulang)
Gambar 25. Obyek fraktal motif batik hasil pengubinan empat gambar-16 (sebagai hasil pengubinan fase tiga versi original )

## IV. K ESIMPULAN
Motif batik dapat dirancang melalui rancangan sebarang obyek fraktal IFS seperti obyek tanpa sifat keserupaan diri  yang  menghasilkan  motif  garis-garis  sederhana.  Motif  batik  yang  menarik  diperoleh  dengan  menambahkan
komponen obyek fraktal yang mempunyai sifat keserupaan diri. Motif batik yang mempunyai ciri simetris dapat dibentuk  melalui  proses  pencerminan  dan  pengubinan.  Motif  batik  dapat  juga  dirancang  ulang  melalui  proses Reverse engineering .

## D AFTAR P USTAKA
[1] Mandelbrot, Benoit B; “The Fractal Geometry of Nature”; WH Freeman and Company; 1982
[2] Barnsley,  Michael  F;  Demko,  S;  “Iterated  Function  Systems  and  the  Global  Construction  of  Fractals”;  Royal  Society  Publishing; 1985
[3] Hutchinson, John E; “Fractals Self-similarity”; Indiana University Mathematics Journal 30; 1981
[4] Barnsley, MF; “Fractals Everywhere”; Morgan Kaufmann, 2nd Edition; 1993
[5] Darmanto,  T; “Animating  Fractal  of  Things:  Based  on  IFS  Fractal  Model”;  Lambert  Academic  Publishing;  @2016  Omniscriptum GmbH & Co KG; ISBN 978-3-659-86851-1
[6] Darmanto, T; “Building Symmetrical Art Image by Multi-object of Fractal Model based on Mirroring Methods” ; prosiding SNIJA 2014; ISBN 978-602-70361-0-9