## Menentukan Metode Input Probability Distribution dalam Pemodelan dan Simulasi di Antrian Kasir Toko Buku PT. XYZ
Mega Purnamasari 1 , Titi Iswari 2 , Frylie Frescia Falen 3
1) Program Studi Teknik Industri, Fakultas Teknik, Univeritas Mercu Buana Jl. Meruya Selatan, Kembangan, Jakarta Barat 11650 Email: megapurnamasari6812@gmail.com
2,3) Program Studi Paska Sarjana Teknik Industri, Fakultas Teknik, Univeritas Gadjah Mada JL. Grafika, No. 2, Bulaksumur, Yogyakarta

## Abstrak
PT XYZ merupakan perusahaan yang memiliki banyak toko penjualan buku yang tersebar di Indonesia. PT XYZ berusaha melakukan perbaikan yang berkesinambungan dalam melakukan pelayanan  terhadap  pelanggan  salah  satunya  adalah  antrian  di  kasir.  Sistem  dapat  diperbaiki dengan  cara  membuat  skenario-skenario  yang  kemudian  dilakukan  pemodelan  dan  simulasi. Kita harus bisa memilih metode pemodelan dan simulasi yang terbaik yang memiliki dampak error terkecil.  Memodelkan  dan  simulasi  sistem  nyata  dapat  dilakukan  dengan  beberapa pendekatan dalam input probability distribution antara lain metode trace driven , metode empris, dan metode teoritis. Pada penelitian ini dilakukan pemodelan dan simulasi di antrian kasir di PT XYZ  dengan  menggunakan  ketiga  metode  pendekatan  tersebut.  Dari  ketiga  hasil  simulasi didapatkan bahwa semua hasil waiting time dari ketiga metode tidak memiliki perbedaan yang berarti antara data sistem nyata dengan model sistem nyata. Kemudian dari selisih total waiting time , utilisasi, dan jumlah pelanggan yang terlayani metode trace driven adalah metode terbaik.
Kata Kunci: pemodelan, simulasi, trace driven, empiris, teoritis

## Abstract
PT XYZ is a company that has a lot of book sales stores spread across Indonesia. PT XYZ strives to  make  continuous  improvements  in  service  to  customers,  one  of  which  is  the  queue  at  the cashier. The system can be improved by creating scenarios which are then carried out modeling and simulation. We must be able to choose the best modeling and simulation method that has the  smallest  error  impact.    Modeling  and  simulating  real  systems  can  be  done  with  several approaches  in  the  input  probability  distribution,  including  trace  driven  methods,  empirical methods, and theoretical methods. In this research, modeling and simulation are performed in the single server cashier queue at PT XYZ by using the three methods of the approach. From the three simulation results, it was found that all the waiting time results from the three methods used did not have a significant difference between the real system data and the simulation results of  the  real  system  model.  Then  from  the  difference  in  total  waiting  time,  utilization,  and  the number of customers served it can be seen that the trace driven method is the best method.
Kata Kunci: modeling, simulation, trace driven, empirical, theoretical

## PENDAHULUAN
PT  XYZ  merupakan  perusahaan  yang  memiliki  banyak  toko  penjualan  buku  yang tersebar di Indonesia. PT XYZ berusaha melakukan perbaikan yang berkesinambungan dalam melakukan  pelayanan  terhadap  pelanggan  salah  satunya  adalah  antrian  di  kasir.  Berdasarkan data yang diperoleh dari hasil observasi, waktu tunggu pelanggan pada saat antri di kasir adalah 18 menit. Waktu tunggu tersebut dapat diperbaiki dengan cara membuat skenario-skenario yang kemudian dilakukan pemodelan dan simulasi. Pemodelan dan simulasi ini dapat dilakukan jika biaya yang terbatas, waktu yang terbatas, dan sulit untuk melakukan eksperimen di sistem nyata (mengganggu flow process yang ada). Namun pemodelan dan simulasi ini dipastikan akan selalu ada error . Oleh karena itu, kita harus bisa memilih metode pemodelan dan simulasi yang terbaik yang memiliki dampak error terkecil.
Law (2012) menyatakan bahwa penentuan input probability distribution adalah hal yang tidak  bisa  disepelekan  karena  merupakan  salah  satu  factor  penyebab  terjadinya error. Memodelkan  dan  simulasi  sistem  nyata  dapat  dilakukan  dengan  beberapa  pendekatan  dalam input  probability  distribution antara  lain  metode trace  driven ,  metode  empris,  dan  metode teoritis. Pada penelitian ini dilakukan pemodelan dan simulasi di antrian kasir single server di PT  XYZ  dengan  menggunakan  ketiga  metode  pendekatan  tersebut.  Hasil  pemodelan  dan simulasi,  kemudian diukur validitas dan tingkat error terkecil antara ketiga pendekatan  yang ada. Tujuan dari penelitian ini adalah  memodelkan dan mensimulasikan sistem nyata dengan metode input  probability  distribution trace  driven, empiris  dan  teoritis,  melakukan  validasi sistem  nyata  dengan  model  dan  hasil  simulasi  sistem  nyata,  menentukan  metode input probability distribution terbaik dilihat dari hasil error terkecil.  Asumsi dan batasan penelitian ini adalah data diasumsikan cukup dan data diasumsikan seragam.

## TINJAUAN PUSTAKA

## Antrian
Silvia et al. (2019) telah menggunakan data inter arrival time dan serving time untuk dijadikan acuan  dalam  melakukan  pemodelan  dan  simulasi  di  kantor  pos.  Kedua  data  tersebut  dapat merepresentasikan  sistem  yang  terjadi  di  kantor  pos  yang  menunjukan  tingkat  waktu  tunggu pelanggan, utilitas fasilitas, jumlah rata-rata pelanggan yang terlayani dalam satuan waktu dan idle time operator.

## Simulasi
Simulasi  adalah  teknik  untuk  menggunakan  komputer  untuk  meniru  operasi  berbagai macam  proses  dunia  nyata  atau  fasilitas.  Simulasi  digunakan  untuk  mengevaluasi  model numerik dan untuk memperkirakan diinginkan karakteristik dari model berdasarkan data yang diperoleh.  Sistem  adalah  kumpulan  variabel  yang  diperlukan  untuk  menggambarkan  sistem pada waktu tertentu, relatif terhadap tujuan studi ( Fishman, 1978).
Law  (2012)  menyatakan  bahwa input  probability  distribution merupakan  salah  satu faktor penting dalam pemodelan dan simulasi. Law (2012) telah membuat tutorial bagaimana menentukan metode input probability distribution yang terdiri dari teoritis dan empiris sesuai
dengan masing-masing kondisi. Namun, untuk membandingkan antara trace driven, teoritis, dan empiris belum dilakukan.
Input Distribusi:
1. Trace -driven
Simulasi data  yang terkumpul digunakan secara langsung dalam simulasi  untuk memilih salah satu nilai data bila diperlukan.
( - ) Pendekatan ini hanya bisa mereproduksi apa yang telah terjadi secara historis dan data mungkin tidak cukup untuk menjalankan simulasi penuh.
( + ) Pendekatan ini berguna untuk tujuan validasi untuk membandingkan output dari model dan output dari sistem yang ada.
2. Pendekatan Empiris
Data yang terkumpul digunakan untuk mendefinisikan empiris fungsi distribusi.
( - ) Tanpa ekstrapolasi, hal itu mungkin tidak mungkin untuk menghasilkan nilai-nilai di luar jangkauan data yang dikumpulkan.
(  +  )  Pendekatan  ini  berguna  jika  tidak  ada  teori  distribusi  cocok  untuk  data  yang dikumpulkan.
3. Distribusi Teoritis
Teknik standar gangguan statistik yang digunakan untuk pemasangan distribusi teoritis. ( - ) Meskipun dengan probabilitas yang sangat kecil, adalah mungkin untuk menghasilkan nilai-nilai yang sangat besar atau kecil. Mungkin perlu memotong distribusi untuk berbagai tertentu.
(  +  )  Mudah  untuk  mengubah  dan  untuk  menghasilkan  untuk  simulasi  tujuan,  misalnya mengubah nilai rata-rata.

## Distribusi empiris
Jika data asli yang tersedia, kita dapat mendefinisikan kontinyu , piecewise - linear fungsi distribusi dengan menyortir data dalam urutan menaik.
𝐹(𝑥) =
{ 0, 𝑖𝑓 𝑥  < 𝑥 1 𝑖 − 1 𝑛 − 1 + 𝑥 − 𝑥 𝑖 {(𝑛 − 1)(𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 )} , 𝑖𝑓 𝑥 𝑖 ≤ 𝑥 < 𝑥 𝑖+1 𝑓𝑜𝑟 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 − 1
1, 𝑖𝑓 𝑥  < 𝑥 𝑛
Distribusi  empiris  tidak  memungkinkan  untuk  menghasilkan  nilai  acak  di  luar  nilai terbesar  mungkin perlu menambahkan distribusi eksponensial pada akhir ( sisi kanan ).

## Uji Statistik
Mann  Whitney  U  Test  adalah  uji  non  parametris  yang  digunakan  untuk  mengetahui perbedaan  median  2  kelompok  bebas  apabila  skala  data  variabel  terikatnya  ordinal  atau interval/ ratio tetapi  tidak  berdistribusi  normal.  Mann  Whitney  U  Test  disebut  juga  dengan Wilcoxon  Rank  Sum  Test.  Merupakan  pilihan  uji  non  parametris  apabila  Independent  t  Test tidak dapat dilakukan oleh karena asumsi normalitas tidak terpenuhi. Tetapi meskipun bentuk non parametris dari Independent t Test, Mann Whitney U Test tidak menguji perbedaan mean (rerata) dua kelompok seperti layaknya Independent t Test, melainkan untuk menguji perbedaan median (nilai tengah) dua kelompok.
Asumsi yang berlaku dalam Mann Whitney U Test adalah:
1. Mann Whitney U Test  mengasumsikan bahwa sampel  yang berasal  dari  populasi  adalah acak,
2. Pada Mann Whitney U Test sampel bersifat independen (berdiri sendiri),
3. Skala pengukuran yang digunakan adalah ordinal. Hipotesis yang digunakan adalah:
H 0 :  tidak  ada  perbedaan  distribusi  skor  untuk  populasi  yang  diwakilkan  oleh  kelompok eksperimen dan kontrol.
H a :  Skor  untuk  kelompok  eksperimen  secara  statistik  lebih  besar  daripada  skor  populasi kelompok kontrol.
Untuk menghitung nilai statistik Mann Whitney U Test, rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:
𝑈 =   𝑛 1 𝑛 2 + 𝑛 2 (𝑛 2 + 1) 2 −   ∑ 𝑅 𝑗 𝑛 2 𝑖=𝑛 1+1
dimana:
U = Nilai Mann Whitney U Test
N 1 = sampel 1 N 2 = sampel 2 R i = Ranking ukuran sampel

## METODE PENELITIAN

## Simulasi dengan Metode Input Probablity Distribution Trace Driven
Data hasil observasi dimodelkan dan dibuat simulasi dengan metode input probability distribution  trace  driven .  Langkah-langkah  untuk  membuat  simulasi  dengan  metode input probability distribution trace driven adalah sebagai berikut :
1. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah men- generate angka random dengan metode LCG random  generator dengan  nilai  a  =  7,  c  =  3,  dan  m  =  1027.  Hasil generate angka random yang  dihasilkan, random number diperoleh  dari  mengkalikan  angka random dengan jumlah data ( customer ).
2. Dari  angka random yang  telah  di- generate kemudian  dicari  nilai inter  arrival dan  nilai serving time berdasarkan data aktual. Misalkan, hasil angka random menunjukkan angka 3, maka data inter arrival dan serving time yang diambil dari data aktual adalah data ke 3.
3. Langkah  selanjutnya  data inter  arrival  time baru  dan serving  time baru  hasil generate disimulasikan  sehingga  didapatkan  data waiting  time,  arrival  time,  entering  server  time, finish serving time, dan idle time.
4. Hasil  simulasi  kemudian  di  validasi  dengan  menggunakan  data  aktual waiting  time, utilisasi , dan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani. Detail validasi adalah waiting time diuji  dengan  Mann  Whitney  U  Test  menggunakan software SPSS.  Pemilihan  Mann Whitney  U  Test  karena  data  bersifat  komparatif, independent, dan  tidak  terdistribusi normal.
5. Perbandingan utilisasi dan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata

## Simulasi dengan Metode Input Probability Distribution Empiris
Data hasil observasi dimodelkan dan dibuat simulasi dengan metode input probability distribution empiris. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Langkah pertama adalah mengurutkan data inter arrival time dan data serving time aktual dari data terendah ke data tertinggi, dan membuat range f(x) = 1/(123-1).
2. Langkah kedua adalah men- generate random angka dengan metode LCG dengan nilai a= 2, c=87,  m=4051.  Angka random tersebut  dijadikan  sebagai  f(x)  kemudian  dicek  di  grafik inter arrival time baru dan serving time baru.
3. Langkah  selanjutnya  data inter  arrival  time baru  dan serving  time baru  hasil generate disimulasikan  sehingga  didapatkan  data waiting  time,  arrival  time,  entering  server  time, finish serving time, dan idle time.
4. Hasil simulasi kemudian di validasi dengan menggunakan data aktual waiting time, utilisasi , dan  rata-rata  jumlah  pelanggan  yang  dilayani.  Detail  validasi  adalah waiting  time diuji dengan Mann Whitney U Test menggunakan software SPSS. Pemilihan Mann Whitney U Test karena data bersifat komparatif, independent, dan tidak terdistribusi normal.
5. Perbandingan utilisasi dan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata.

## Simulasi dengan Metode Input Probability Distribution Teoritis
Data  hasil  observasi  dimodelkan  dan  dibuat  simulasi  dengan  metode input  probability distribution teoritis. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Menentukan  distribusi  teoritis  dari  data inter  arrival time dan  data serving time dengan menggunakan Stat::Fit.
2. Generate data sesuai dengan distribusi hasil Stat::Fit
3. Hasil simulasi kemudian di validasi dengan menggunakan data aktual waiting time, utilisasi , dan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani.
4. Perbandingan utilisasi dan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata.
Metode penlitian ditunjukan pada Gambar 1.
Mulai observasi Formulasi Masalah Menentukan Tujuan Pemecahan Masalah Dan Rencana Keseluruhan Dari Desain Model Pengumpulan Data Pembuatan Model Validasi Model Penentuan Metode Pemodelan Terbaik Kesimpulan Selesai

## Gambar 1. Flowchart metodelogi penelitian

## HASIL DAN PEMBAHASAN Proses Pengambilan Data
Proses pengambilan data dilakukan di PT XYZ pada Jumat 12 Desember 2014 pukul 17.45-20.50 oleh 4 observator. Layout sistem ditunjukan pada Gambar 2.
Gambar 2. . Layout sistem
Alur proses sistem ditunjukan pada Gambar 3.
Gambar 3. Alur proses sistem
Cashier Antrian customer START Customer masuk ke antrian Customer masuk ke area cashier dan dilayani Cashier available ? Customer menunggu START yes no
Pada  proses  pengambilan  data, dihitung  inter  arrival  time  customer ke  antrian  dan serving time . Dari data tersebut dapat dihitung arrival time, waiting time , dan idle time.

## Simulasi dengan Metode Input Probablity Distribution Trace Driven
Hasil  akumulasi  simulasi  metode input  probability  distribution  trace  driven ditunjukan  pada Tabel 1.
Tabel 1. Akumulasi Hasil Simulasi Metode Input Probablity Distribution Trace Driven
Rata-rata Waiting Time (detik) Total Idle Time (detik) Utilisasi Rata-rata Jumlah Pelangan yang Terlayani per Jam Simulasi 17.89 6000 44% 41 Aktual 18.09 5837 46% 41 Selisih 0.2 163 2% 0
Hasil  simulasi  kemudian  di  validasi  Mann-Whitney  Test  ditampilkan  pada  Gambar  4.  dan Gambar 5.
Gambar 4. Ranks
Gambar 5. Test statistics a
Pengujian  data  hipotesis  menunjukkan  nilai  signifikansi  lebih  dari  0.05  (nilai  tingkat kepentingan) sehingga, dapat  disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan  yang bermakna antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata.
Perbandingan utilisasi sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 2.
Tabel 2. Perbandingan Utilisasi Utilisasi Simulasi 44% Actual 46% Selisih 2%
Berdasarakan  Tabel  2.  selisish  antara  utilisasi  sistem  nyata  dengan  model  dan  hasil  simulasi sistem nyata adalah 2%.
Perbandingan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam pada sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 3.
Tabel 3. Perbandingan Rata-rata Jumlah Pelanggan Yang Terlayani per Jam
Rata-rata Jumlah Pelangan yang Terlayani per Jam simulasi 41 aktual 41 selisih 0
Berdasarakan Tabel 3. rata-rata jumlah pelanggan yang terlayani per jam di sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata adalah sama yaitu 41 pelanggan.

## Simulasi dengan Metode Input Probability Distribution Empiris
Hasil akumulasi simulasi metode input probability distribution empiris ditunjukan pada Tabel 4.

## Tabel 4. Akumulasi Hasil Simulasi Metode Empiris
Rata-rata Waiting Time (detik) Total Idle Time (detik) Utilisasi Rata-rata Jumlah Pelangan yang Terlayani per Jam Simulasi 14.15 6062 0.438703704 41 Aktual 18.09 5800 0.462962963 41 Selisih 3.94 262 2%
Hasil  simulasi  kemudian  di  validasi  Mann-Whitney  Test  ditampilkan  pada  Gambar  6.  dan Gambar 7.
VAR00 002 N Mean Rank Sum of Ranks VAR00001 1 123 125.78 15471.00 2 123 121.22 14910.00 Total 246 Gambar 6. Ranks
VAR00001 Mann-Whitney U 7284.000 Wilcoxon W 14910.000 Z -.561 Asymp. Sig. (2-tailed) .575 a. Grouping Variable: VAR00002 Gambar 7. Test statistics a
Pengujian  data  hipotesis  menunjukkan  nilai  signifikansi  lebih  dari  0.05  (nilai  tingkat kepentingan) sehingga, dapat  disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan  yang bermakna antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata.
Perbandingan utilisasi sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 5.
Tabel 5. Perbandingan Utilisasi Utilisasi Simulasi 0.438703704 Aktual 0.462962963 Selisih 2%
Berdasarakan Tabel 5. selisish antara utilisasi sistem nyata dan model dan hasil simulasi sistem nyata adalah 2%.
Perbandingan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam pada sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 6.
Tabel 6. Perbandingan Rata-rata jumlah pelanggan yang terlayani
Rata-rata Pelangan yang Terlayani per Jam Simulasi 41 Aktual 41 Selisih
Berdasarakan Tabel 6. rata-rata jumlah pelanggan yang terlayani per jam di sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata adalah sama yaitu 41 pelanggan.

## Simulasi dengan Metode Input Probability Distribution Teoritis
Distribusi teoritis dari hasil menggunakan Stat::Fit untuk data inter arrival time adalah distribusi eksponensial sedangkan serving time adalah distribusi Pearson 5. Setelah dilakukan generate data sesuai dengan pola distribusi yang kemudian disimulasikan, langkah selanjutnya adalah membandingkan hasil model dengan sistem nyata seperti ditunjukan pada Tabel 7.
Tabel 7. Akumulasi Hasil Simulasi Metode Input Probablity Distribution Teoritis
Rata-rata Waiting Time (detik) Total Idle Time (detik) Utilisasi Rata-rata Jumlah Pelangan yang Terlayani per Jam Simulasi 18.14 6764 37.4% 41 Aktual 18.09 5837 46.3% 41 Selisih 0.05 927 9% 0
Hasil  simulasi  kemudian  di  validasi  Mann-Whitney  Test  ditampilkan  pada  Gambar  8.  dan Gambar 9.
Gambar 8. Ranks Gambar 9. Test statistics a
Pengujian  data  hipotesis  menunjukkan  nilai  signifikansi  lebih  dari  0.05  (nilai  tingkat kepentingan) sehingga,  dapat  disimpulkan bahwa tidak ada perbedaan  yang bermakna antara sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata.
Perbandingan utilisasi sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 8.
Tabel 8. Perbandingan Utilisasi Utilisasi Simulasi 37.4% Aktual 46.3% Selisih 9%
Berdasarkan Tabel 8. selisih antara utilisasi sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata adalah 9%.
Perbandingan rata-rata jumlah pelanggan yang dilayani per jam pada sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata ditunjukan pada Tabel 9.
Tabel 9. Perbandingan Rata-rata jumlah pelanggan yang terlayani
Rata-rata Jumlah Pelangan yang Terlayani per Jam Simulasi 41 Aktual 41 Selisih 0
Berdasarakan Tabel 9. rata-rata jumlah pelanggan yang terlayani dalam rentang waktu 3 jam di sistem nyata dengan model dan hasil simulasi sistem nyata adalah sama yaitu 123 pelanggan.

## PENUTUP
Simpulan
Dari ketiga hasil simulasi didapatkan bahwa semua hasil waiting time dari ketiga metode yang digunakan tidak memiliki perbedaan  yang berarti antara data sistem nyata dengan hasil simulasi  model  sistem  nyata.  Kemudian  dari  selisih  total waiting  time, utilisasi,  dan  jumlah pelanggan  yang  terlayani  dapat  dilihat  bahwa  metode trace  driven memberikan  selisih  hasil yang paling sedikit dibandingkan dengan simulasi dengan metode empiris dan teoritis. Sehingga dapat disimpulkan metode trace driven adalah metode terbaik.

## DAFTAR PUSTAKA
Law, A., & Kelton, D. (1982). Simulation modeling . New York: McGraw Hill.
Banks, J., Carson, J. S., Nelson, B. L., & Nicol, D. M. (2010). Discrete-event system simulation (5th ed). Upper Saddle River, New Jersey: Prentice-Hall, Inc.
Hillier, F. S., & Lieberman, G. J. (2005). Introduction to operations research (8th ed). New York: McGraw-Hill Companies.
Fishman, G. S. (1978). Principles of discrete event simulation . USA: Wiley. Law,  A.  M.  (2012). A  tutorial  on  how  to  select  simulation  input  probability  distributions. Proceedings  of  the  2012  Winter  Simulation  Conference  (WSC),  Berlin.  doi: 10.1109/WSC.2012.6465281
Ramakrishnan, R., & Kaur, A. (2020). Performance evaluation of web service response time probability distribution models for business process  cycle time simulation. Journal of Systems and Software , 161 , 0164-1212,
Dutková,  S.,  Hostakova,  D.,  Misok,  T.,  &  Rybicka,  I.  (2017).  Determination  of  probability distribution of customer input at post office. Transport and communications : scientific journal , 5 (2), 1339-5130.