## FARABI Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika

## Pengoptimalan Antrean Pelayanan Pasien Menggunakan Metode Monte Carlo di Puskesmas Labuhan Ruku Kabupaten Batubara
Elma Peren 1 , Suyanto 2 ,
1 Program Studi Matematika , FMIPA , Universitas Sumatera Utara , Medan-Indonesia 20155 Email: 1 Elmaperen18@gmail.com, 2 Suyanto@usu.ac.id

## ABSTRAK
Antrean  merupakan  kumpulan  barang  atau  pelanggan  yang  menunggu  gilirannya  untuk mendapatkan  pelayanan.  Setiap  pelayanan  mengalami  suatu  antrean,  termasuk  pada  pelayanan pasien  BPJS  Puskesmas  Labuhan  Ruku  Kabupaten  Batubara.  Solusi  untuk  mengatasi  waktu tunggu pasien dibagian pelayanan registrasi menggunakan simulasi Metode Monte Carlo. Dengan model ini menggunakan aturan First Come First Service (M/M/2): (FCFS/∞/∞) dan proses antrean yang  digunakan adalah Multichannel - SinglePhase . Pengolahan  data yang  dilakukan adalah  data selama 5 hari pada, 2 September 2020, 3 September 2020, 8 September 2020, 9 September 2020, 17  September  2020.  Di  penelitian  ini  terdapat  2  (dua)  pelayanan.  Total  rata-rata  waktu  tunggu pasien  yang  diperoleh  sebelum  penerapan  model  simulasi  Metode  Monte  Carlo  selama  5  hari yaitu:  87,9442  menit.  Dan  setelah  melakukan  penerapan  model  simulasi  Metode  Monte  Carlo dengan penambahan 1 dokter, total rata-rata waktu tunggu pasien dibagian registrasi yaitu: 7,9941 menit.  Dari  hasil  analisis  penelitian  menggunakan  simulasi  Metode  Monte  Carlo  di  bagian pelayanan  registrasi  selama  5  hari  dengan  melakukan  penambahan  1  dokter  maka  waktu  tunggu pasien mendapatkan pelayanan menjadi lebih minimum.
Kata kunci: Antrean, Simulasi, Monte Carlo

## ABSTRACT
Queue is an event that someone has to wait their turn to get service. Almost all services experience a queue, including BPJS patient services at the Labuhan Ruku Health Center, Batubara Regency. The  solution  to  overcome  patient  waiting  time  in  the  registration  service  is  to  use  a  simulation model  of  the  Monte  Carlo  Method.  In  this  model,  the  rules  of  First  Come  First  Service  (M/M/2 :(FCFS/∞/∞)  are  used  and  the  queuing  process  used  is  Multichannel  -  SinglePhase.  The  data processing carried out is data for 5 days on September 2, 2020, September 3 2020, September 8 2020,  September  9  2020,  September  17  2020.  In  this study,  there  are  2  (two)  services.  The  total average  waiting  time  of  patients obtained  before  the  implementation  of the  Monte  Carlo  method simulation  model  for  5  days  is:  87.9442  minutes.  And  after  applying  the  Monte  Carlo  method simulation model with the addition of 1 doctor, the total average  waiting time for patients at the registration  section  is  7.9941  minutes.  From  the  results  of  the  research  analysis  with  the  Monte Carlo  method  simulation  in  the  registration  service  section  for  5  days  by  adding  1  doctor,  the waiting time for patients to get service is minimized .

## Keywords:JMPM, author guidelines, article template

## A. Pendahuluan
Antrean konsumen maupun benda yang lagi  menanti  agar  dilayani  ataupun  dikirim disebut dengan antrean (Heizer dan Render,2005).  Prosedur  antrean  terjadi  dari
konsumen  yang  sedang  dilayani  pada  suatu fasilitas  sistem  antrean  atau  fasilitas  pelayanan antrean  dengan  laju  yang  konstan  atau  variable ( Sakinah., N. 2019)
Jasa  adalah  sesuatu  yang  diberikan untuk  melayani  setiap  pelanggan  yang  selalu terjadi  dalam  waktu  pelayanan  terdistribusi secara  acak.  Jika  setiap  pasien  membutuhkan jam  pelayanan  yang  berbeda,  maka  jam pelayanannya adalah acak (Hendra et al, 2012). ( Hendra et al, 2012).
Pemodelan  dan  simulasi  dengan Metode Monte Carlo dengan sistem antrean Multhi  Channel  Singel  Phase  digunakan demikian bahwa PT Pos Indonesia (Persero)  dapat  mengoptimalkan  sistem manajemen serta mengurangi antrean pelayanan pada pelanggan PT Pos Indonesia  (Persero)  ( Raja  Ayu,  Mahessya. 2017).
Metode Monte Carlo merupakan pengaplikasian  algoritma  komputasi  yang digunakan agar mensimulasikan karakter berbagai sistem fisik dan matematika tetapi juga untuk  persediaan  dan  proses  produksi.  Dalam sistem  antrean,  monte  carlo  di  aplikasikan menggunakan microsoft excel untuk membangkitkan  bilangan  random  saat  proses menghitung agar mengetahui bagaimana seharusnya  pelayanan  optimal  itu  dibuat  dan meninjau  data  masukan  waktu  kedatangan, waktu  pelayanan,  serta  data  masukan  lainnya yang  cocok  dengan  data  yang  diperoleh (Baretto, et al 2006).
Beberapa  penelitian  tersebut  dapat diketahui  bahwa  dengan  menerapkan  Metode Monte Carlo dapat meminimalisir waktu tunggu pasien  atau  pelayanan  untuk  ditangani  dalam sistem antrean. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk  membuat  penelitian  dengan  judul “Pengoptimalan  Antrean  Pelayanan  Pasien Menggunakan Metode Monte Carlo di Puskesmas Labuhan Ruku Kabupaten
Batubara”.
Berdasarkan identifikasi masalah diatas,  maka  penulis  membatasi  penelitian  ini, antara  lain:  Penelitian  dilakukan  selama  3 minggu  dan  data  yang  diambil  selama  5  hari setiap  minggu  pada  jam  sibuk.  Peneltian  hanya mencakup  kedatangan,  pelayanan,  disiplin antrean  dan  jumlah  fasilitas  pelayanan.  Data yang  diambil  adalah  data  pasien  BPJS  pada bagian registrasi.
Tujuan  yang  ingin  dicapai  dalam penelitian  ini  adalah  untuk  meminimalisir  atau mengoptimalkan  waktu  tunggu  pasien  pada registrasi  pendaftaran  di  Puskesmas  Labuhan
Ruku  Kabupaten  Batubara  untuk  mendapatkan pelayanan menggunakan Metode Monte Carlo.

## 1. Pengertian Teori Antrean
Teori antrean merupakan Kumpulan barang  atau  pelanggan  yang  mengantre  pada suatu  sistem  untuk  mendapatkan  pelayanan. Teori  antrean  pertama  kali  diperkenalkan  oleh seorang  ahli  matematika  dari  Denmark  yang bernama  A.K.  Erlang  melalui  buku  yang ditulisnya  yang  berjudul  “Solution  of  Some Problem  in  the  Theory  of  Probability  of Significance in Automatic
Telephone
Exchange”.
2. Elemen Dasar Model Antrean
Elemen  dasar  dari  suatu  model  antrean  adalah sebagai berikut (Aminuddin, 2005):
1. Sifat pemanggilan populasi,
2. Sifat fasilitas pelayanan,
3. Struktur-struktur antrean dasar.
Adapun  beberapa  disiplin  antrean  menurut urutan kedatangan (Kakiay, 2004) adalah: 1.  First  In  First  Out  (FIFO)  artinya  adalah pelanggan  atau  barang  yang  mendapatkan antrean  pertama  yang  akan  di  proses  atau dilayani lebih dulu.
2.  Last  In  First  Out  (LIFO)  artinya  pelanggan atau  barang  yang  mendapatkan  antrean  paling akhir yang akan dilayani lebih dulu.
3.  Service  In  Random  Order  (SIRO)  artinya adalah  pelayanan  pelanggan  secara  acak  tanpa melihat nomor antreannya.
4. Priority Service (PS) artinya, pelanggan yang memiliki  prioritas  tinggi  akan  dilayani  lebih dulu.

## 3. Struktur Antrean Dasar
Struktur  antrean  pelayanan  secara  umum yaitu :
1. Single Channel – Single Phase, artinya hanya ada  satu  jalur  antrean  dan  stasiun  pelayanan dalam sistem.
2.Single  Channel  –  Multiphase,  artinya  hanya ada  satu  jalur  antrean  tetapi  stasiun  pelayanan lebih dari satu dalam sistem.
3. Multichannel – Single Phase, artinya banyak jalur  antrean  tetapi  hanya  ada  satu  stasiun pelayanan dalam sistem.
4.  Multichannel  –  Multiphase,  artinya  ada banyak  jalur  antrean  dan  stasiun  pelayanan dalam sistem.
4. Uji Kesesuaian Distribusi
a. Distribusi Poisson
Distribusi  Poisson  biasa  digunakan  dalam distribusi tingkat kedatangan, dimana kedatangan  pasien  bersifat  bebas  dan  acak (Taha,1997).  Variabel  acak  diskrit  x dikatakan  berdistribusi  Poisson  dengan parameter λ jika fungsi peluangnya sebagai berikut.
𝑓(𝑥) = 𝜆 𝑥 𝑒 −𝜆 𝑥! 𝑥 = 0,1,2, …

## b. Distribusi Eksponensial
Waktu  yang  dihabiskan  untuk  melayani pelanggan  tidak  bergantung  pada  lamanya waktu  yang  dihabiskan  untuk  melayani pelanggan sebelumnya (Taha, 1997). Variabel x dikatakan distribusi
Eksponensial,  variabel  acak  diskrit  x dikatakan berdistribusi Eksponensial dengan parameter µ jika fungsi peluangnya sebagai berikut.
𝑓(𝑥) = 𝜇𝑒 −𝜇𝑥 , 𝑥 ≥ 0

## 5. Notasi Antrean
Terdapat  banyak  variasi  yang  mungkin  dari model  antrean.  Ciri-ciri  dari  masing-masing model  akan  diringkas  dalam  notasi  Kendall yang  diperluas.  Notasi  itu  di  tuliskan  (Sri Mulyono, 2017)
[a / b / c / d / e / f]

## 6. Model Antrean
Adapun  model  antrean  yang  digunakan untuk penghitungan proses data dalam penelitian ini yaitu : 1. Model 1 : (M/M/1/∞/∞) a.  Rata-rata  jumlah  individu  dalam  prosedur antrean
𝐿 𝑞 = 𝜆 2 𝜇(𝜇 − 𝜆) (1)
b.  Rata-rata  jumlah  individu  dalam  setiap prosedur
𝐿 𝑠 = 𝜆 2 𝜇 − 𝜆 (2)
c.  Probabilitas  terdapat  n  individu  dalam prosedur (frekuensi pasti)
𝑃 𝑛 = ( 𝜆 𝜇 ) 𝑛 (1 − 𝜆 𝜇 )            (3)
d. Rata-rata waktu dalam prosedur (jam)
𝑊 𝑠 = 1 𝜇 − 𝜆 (4)
e. Rata-rata waktu dalam antrean (jam)
𝑊 𝑞 = 𝜆 𝜇(𝜇 − 𝜆) (5)
f. Probabilitas menunggu dalam prosedur (frekuensipasti)
𝑃 𝑤 = 𝜆 𝜇 (6)
2. Model 2 : (M/M/2/∞/∞) a. Probabilitas bahwa tidak ada Pasien dalam prosedur (semua layanan menganggur)
𝑃 0 = 1 [∑ 1 𝑛! ( 𝜆 𝜇 ) 𝑛 𝑠−1 𝑛=0 ] + 1 𝑠! ( 𝜆 𝜇 ) 𝑠 ( 𝑠𝜇 𝑠𝜇−𝜆 ) (7)
b. Rata-rata jumlah pasien dalam prosedur antrean masing- masing
𝐿 𝑞 = 𝜆𝜇( 𝜆 𝜇 ) 𝑠 (𝑠 − 1)! (𝑠𝜇 − 𝜆) 2 𝑃 0 + 𝜆 𝜇 (8)
c. Jumlah perkiraan pasien yang diperkirakan dalamantrean
𝐿 𝑞 = 𝐿 𝑠 − 𝜆 𝜇 (9)
d. Rata-rata waktu dalam prosedur dan rata-rata waktu antrean masing-masing pasien
𝑊 𝑠 = 𝐿 𝑠 𝜆 (10)
e. Tingkat kepuasan fasilitas pelayanan
𝑃 = 𝜆 𝑠𝜇 (11)

## 7. Formula Yang Digunakan
Formula pada model inimengikutikinerja model M/M/C  ( Aruna,  D.(2017). ,  yaitu  sebagai berikut:
a. Tingkat kesibukan di setiap sistem
𝜌 = 𝜆 𝑘𝜇 (12)
b. Kemungkinan fasilitas pelayanan tidak bekerja
𝑃 𝑜 = 1 [∑ ( 𝜆 𝜇 ) 𝑛 + ( 𝜆 𝜇 ) 𝑘 𝑘! (1− 𝜆 𝑘𝜇 ) 𝑘−1 𝑛=0 ] (13)
c. Rata-rata jumlah pasien yang menunggu dalamantrean
𝐿 𝑞𝑀/𝑀/𝐶 = ( 𝜆 𝜇 ) 𝑘 𝜆𝜇 (𝑘 − 1)! (𝑘𝜇 − 𝜆) 2 𝑃 𝑜 (14)
d. Rata-rata jumlah pasien yang mengantre dalam prosedur
𝐿 𝑠 = 𝐿 𝑞 + 𝜆 𝜇 (15)
e. Rata-rata waktu pasien mengantre dalam antrean
𝑊 𝑞 = 𝐿 𝑞 𝜆 (16)
f. Waktu rata-rata pasien dalam prosedur
𝑊 𝑠 = 𝑊 𝑞 + 1 𝜇 (17)
g. Kemungkinan pasien harus menunggu untuk dilayani
𝑃 𝑤 = ( 𝜆 𝜇 ) 𝑘 𝑝 𝑜 𝑘! [1 − ( 𝜆 𝑘𝜇 )] (18)

## 8. Metode Monte Carlo
Metode  Monte  Carlo  adalah  penghitungan  data untuk  menjadikan  berbagai  jenis  sistem  fisika dan  matematika.  Monte  Carlo  adalah  nama kasino  terkemuka  di  Monako.  Penggunaan bilangan random  dan proses pengulangan sama dengan  kegiatan  yang  dilakukan  di  sebuah kasino  yang  dikenalkan  oleh  para  pioneer (termasuk  Stanislaw  Marcin  Ulam,  Enrico Fermi,  Jhon  von  Neumann  dan  Nicholas Metropolis). Dalam autobiografinya Adventures  of  mhatematics,  Stanislaw  Marcin Ulam  mengungkapkan  bahwa  metode  tersebut diberi  namasebagai  penghormatan  kepada pamannya  yang  seorang  penjudi,  atas  saran Metropolis.  Metode  Monte  Carlo  merupakan simulasi  inti  yang  dipergunakan  di  Manhattan Project,  meskipun  waktu  masih  mengandalkan peralatan  komputasi  yang  begitu  sederhana. Sejak  digunakannya  komputer  elektronik  pada tahun  1945,  Monte  Carlo  mulai  dipelajari secara  mendalam.  Pada  tahun  1950-an,  metode ini  dipakai  di  Laboratorium  National  Los Alamos  sebagai  penelitian  pertama  dalam pengembangan bom hydrogen,kemudian sangat terkenal  di  bidang  fisika  dan  riset  operasi. Metode  Monte  Carlo  perlu  sejumlah  besar bilangan  random,  dan  hal  seperti  itu  semakin mudah  dengan  perkembangan  pembangkit bilangan  random,  yang  jauh  lebih  cepat dibanding  dengan  metode  sebelumnya  yang menggunakan  tabel  bilangan  random  untuk sampling statistik.

## B. Metode Penelitian
MetodePenelitian :Metode  analisis  data dalam  penelitian  ini  menggunakan  metode monte  carlo.  Dengan  cara  mengumpulkan  data secara  langsung  dari  lapangan,  kemudian dilakukan  uji  kecukupan  data  terlebih  dahulu untuk  mendapatkan  jumlah  sampel  minimum dalam  menganalisis  waktu  kedatangan  dan waktu  pelayanan.  Setelah  itu  dilakukan  uji kesesuaian  distribusi  untuk  mengetahui  waktu
kedatangan  berdistribusi  poisson  dan  waktu pelayanan  berdistribusi  eksponensial.  Lalu dilanjutkan  dengan  menentukan  model  apa yang  bisa  digunakan  untuk  sistem  antrean. Kemudian  menghitung  ukuran  kinerja  sistem dari  probabilitas  fasilitas  pelayanan  tidak bekerja  (Po),  rata-rata  jumlah  pasien  yang mengantre  (Lq),  rata-rata  jumlah  pasien  yang mengantre dalam prosedur (Ls), rata-rata waktu pasien  mengantre  (Wq),  rata-rata  waktu  pasien mengantre  dalam  prosedur  (Ws),  kemungkinan pasien  harus  mengantre  untuk  dilayani  (Pw). Kemudian  melakukan  tahapan  perhitungan dengan  simulasi  metode  monte  carlo  dengan membangkitkan bilangan random menggunakan Microsoft Excel. Setelah itu dilakukan simulasi dengan  3  dokter  untuk  melihat  apakah  waktu antrean pasien menjadi minimum atau tidak.

## C. Hasil dan Pembahasan
Hasil dan Pembahasan : Hasil perhitungan data pasien yang diperoleh disajikan pada rangkuman tabel berikut:
Efektivit as Proses Pelayana n 2 staff Administra si 3 staff Administra si Rabu, 2 Septemb er 2020 𝜆 0,5733 0,5733 Μ 0,2986 0,2986 Ρ 0,9600 0,6400 𝑃 0 0,0204 0,1244 𝐿 𝑞 3,8397 5,1657 𝐿 𝑠 5,7596 7,0856 𝑊 𝑞 6,6975 9,0105 𝑊 𝑠 10,0465 12,3595 𝑃 𝑤 0,94 0,4076 Kamis, 3 Septemb er 2020 𝜆 0,5033 0,5033 Μ 0,2702 0,2702 Ρ 0,9313 0,6209 𝑃 0 0,0355 0,1344 𝐿 𝑞 3,9885 1,0456 𝐿 𝑠 5,8512 2,9083 𝑊 𝑞 7,9246 2,0775 𝑊 𝑠 11,6256 5,7784 𝑃 𝑤 0,8982 0,3819 Selasa, 8 Septemb er 2020 𝜆 0,6567 0,6567 Μ 0,2983 0,2983 Ρ 1,1007 0,7338
𝑃 0 0,0479 0,0813 𝐿 𝑞 85,6276 10,1482 𝐿 𝑠 87,8291 12,3497 𝑊 𝑞 130,3907 15,4533 𝑊 𝑠 133,7430 18,8056 𝑃 𝑤 1,1526 0,5431 Rabu, 9 Septemb er 2020 𝜆 0,5 0,5 Μ 0,2699 0,2699 Ρ 0,9263 0,6175 𝑃 0 0,0383 0,1363 𝐿 𝑞 98,2667 5,4043 𝐿 𝑠 100,1191 7,2568 𝑊 𝑞 196,5334 10,8086 𝑊 𝑠 200,2385 14,5137 𝑃 𝑤 0,8917 0,3776 Kamis, 17 Septemb er 2020 𝜆 0,44 0,44 Μ 0,2959 0,2959 Ρ 0,7435 0,4957 𝑃 0 0,1471 0,1302 𝐿 𝑞 15,2686 1,1529 𝐿 𝑠 16,7556 2,6399 𝑊 𝑞 34,7015 2,6203 𝑊 𝑠 38,0810 5,9998 𝑃 𝑤 0,8917 0,1415 D. Kesimpulan dan Saran
1. Kesimpulan :
Kesimpulan  dalam  penelitian  ini  adalah perhitungan  data  pasien  di  loket  regitrasi dilakukan menggunakan simulasi metode monte  carlo  adapunmodel  penelitian  di Puskesmas  Labuhan  Ruku  Kabupaten Batubara mengikuti model antrean (M/M/2)  :  (FCFS/∞/∞)  dengan  sistem antrean MultiChannel  -  SinglePhase dan disiplin  antrean  first  come  first  served. Dengan  jumlah  pasien  dalam  prosedur antreanadalah tak
terhingga.
Rekomendasi  penghitungan  data  dengan penerapan  simulasi  Metode  Monte  Carlo adalah  dengan  melakukan  penambahan dokter di bagian pendaftaran  minimum 3 dokter,  maka  diperoleh  waktu  yang dihabiskan  pasien  dalam  sistem  antrean kurang lebih 10 menit per pasien.
2. Saran
Berdasarkan  dari  hasil  analisis  dan pembahasan  maka  saran  dari  penelitian ini  adalah  agar  menambahkan  jumlah perhitungan antrean pasien dari loket satu
ke  loket  lainnya  serta  mengamati  tingkat kedatangan  dan  waktu  pelayanan  dengan jumlah yang maksimal.

## E. Daftar Pustaka
Aruna,  D.(2017). A  Study  on  M/M/C  Queues Model  under  Monte  Carlo  Simulation  in Traffic  Model,  Dept  of  science  and humanities, Kumaraguru College of
Technology, Coimbatore. Kakiay,  TJ.  (2004). Dasar  Teori  Antrean Untuk Kehidupan Nyata. Yogyakarta:Andi.
Heizer  Jay,  Render  Barry.  (2005). Operations Management. Jakarta: Salemba Empat.
Aminuddin.  (2005). Prinsip-prinsip  Riset Operasi. Erlangga. Jakarta.
Hamdy.,  Taha.  (1997). Riset  Operasi.  Edisi  5. Departemen  of  industrial  Engineering University of Arlunsas Fayettevine.
Barreto, H., & Howland, F. (2006). Introductory  Econometrics  Using  Monte Carlo  Simulation  With  Microsoft  Excel. USA: Cambridge University Press.
Hendra,  &  Nasution,  H.  (2012). Analisis Efisiensi  Waktu  Layanan  Pada  Sistem Administrasi. Jurnal  ELKHA.  Vol.  4  No. 2. 25-33.
Mulyono,  Sri.  2017. Riset  Operasi. Klaten: Mitra Wacana Media.
Raja  Ayu,  Mahessya.  2017. Pemodelan  dan simulasi sistem antrean pelayanan pelanggan  menggunakan  metode  monte carlo  pada  PT  Pos  Indonesia  (Persero) Padang  :  Teknik  Informatika,  UPI “YPTK” Padang.
Sakinah  N,  2019. Penerapan  Sistem  Antrean
Pada Pelayanan Peserta Badan Penyelenggaraan  Jaminan  Sosial  (BPJS) Kesehatan  Kantor  Cabang  Makassar. [skripsi]. Universitas Islam Negeri
Alaudin Makassar, Maassar.