## GEOMETRI DAN PERMASALAHAN DALAM PEMBELAJARANNYA (SUATU PENELITIAN META ANALISIS)
Mega Teguh Budiarto 1 , Rudianto Artiono 2
1,2 Prodi Pendidikan Matematika FMIPA, Universitas Negeri Surabaya Jalan Ketintang, Kampus Unesa, Ketintang, Surabaya, Indonesia
e-mail: 1 megatbudiarto@unesa.ac.id; 2 rudiantoartiono@unesa.ac.id;

## Abstrak
Geometri mengajarkan kita tidak hanya tentang bagaimana cara memberikan apresiasi terhadap sesuatu, tetapi  juga  bagaimana  cara  mencari  koneksi  yang  terjadi  antara  materi  geometri  dengan  materi  kuliah lainnya. Selain itu, geometri juga melatihkan komunikasi melalui kegiatan eksplorasi, diskusi, konjektur dan  investigasi.  Permasalahan-permasalahan  yang  ada  pada  keterampilan  dasar  geometri  berturut-turut adalah  permasalahan  yang  berkaitan  dengan  keterampilan  logika,  keterampilan  menggambar, keterampilan visual, keterampilan verbal, dan keterampilan terapan. Berdasarkan pembelajaran geometri dengan  menggunakan  sajian  analitik  maka  permasalahan  penggunakan  deduktif  aksiomatik  menempati urutan teratas, kemudian permasalahan persepsi. Miskonsepsi terhadap proses dan kegiatan  visual,  serta terakhir permasalahan pada penggunaan prosedur, konsep, dan prinsip.
Kata Kunci : analitik, geometri, komunikasi, koneksi

## GEOMETRY AND ITS PROBLEM IN LEARNING

## Abstract
Geometry  teaches  us  not  only  about  how  to  give  appreciation  for  something,  but  also  how  to  find connections that occur between geometry material and other lecture material. In addition, geometry also trains  communication  through  exploration,  discussion,  conjecture  and  investigation.  The  problems  that exist  in  basic  geometry  skills  in  a  row  are  problems  related  to  logic  skills,  drawing  skills,  visual  skills, verbal skills, and applied skills. Based on geometric learning using analytical presentation, the problem of using  axiomatic  deductive  is  at  the  top,  then  the  problem  of  perception.  Misconceptions  about  visual processes and activities, and finally problems with the use of procedures, concepts, and principles.
Keywords : analytic, geometry, communication, connection
1. Pendahuluan

## 1.1. Manfaat Mempelajari Geomentri
Geometri  dapat  mengajarkan  cara  untuk memberikan  appresiasi  terhadap  dunia.  Hal  ini karena  geometri  dapat  ditemukan  tidak  hanya pada  struktur  sistem  tata  surya,  tetapi  juga fenomena-fenomena alam seperti pada pembentukan geologi, batuan dan kristal, tumbuhan  dan  bunga  bahkan  pada  hewan. Geometri juga mencakup sebagian besar dari alam atau  semesta  sintesis  kita  seperti:  seni,  arsitektur, mobil,  mesin,  dan  hampir  segala  sesuatu  yang manusia  ciptakan  memiliki  unsur-unsur  yang berbentuk geometri.
Eksplorasi terhadap geometri dapat
mengembangkan keterampilan dalam memecahkan  masalah.  Penalaran  ruangan  adalah bentuk  pemecahan  masalah  yang  terpenting,  dan seperti  tercantum  dalam  kurikulum  di  Indonesia, pemecahan  masalah  merupakan  salah  satu  alasan utama  dalam  mempelajari  matematika.  Suatu permasalahan matematika akan mudah dipecahkan  dengan  menggunakan  bahasa  gambar geometri, dan merupakan sebagian dari penyelesaian.
Selain  itu,  geometri  juga  mempunyai koneksi  dengan  materi  matematika  lainnya.  Di antaranya  geometri  dan  pengukuran.  Sebagai contoh,  konsep  pecahan  dikoneksikan  dalam geometri  dengan  konstruksi  bahwa  bagian
terhadap  keseluruhan.  Rasio  dan  perbandingan terkait secara langsung dengan konsep kesebangunan  dalam  geometri.  Geometri  telah digunakan  sehari-hari  oleh  manusia.  Seorang dokter segera tahu letak jantung karena kemampuan  ruang  yang  bagus.  Arsitek,  seniman, insinyur,  para  pengembang,  hanyalah  beberapa profesi yang biasanya menggunakan geometri.  Di rumah,  geometri  membantu  di  antaranya  dalam pembuatan  pagar,  mendesain  kandang  hewan peliharaan,  menata  taman,  dan  mengatur  ruang tamu. .
1.2. Permasalahan Dalam Pembelajaran Geometri
Budiarto  (2009)  mengemukakan  tentang adanya miskonsepsi dalam pembelajaran geometri seperti mahasiswa yang berpendapat bahwa sudut dan  persegipanjang  sisinya  harus  mendatar. Selain  itu  masih  ditemukan  juga  guru  yang memiliki  miskonsepsi  tentang  kata  ”panjang” dalam  proses  memahami  suatu  persegipanjang. Penelitian Budiarto (1998) yang lain menunjukkan: (1) 22% dari 54 siswa menggunakan  “yang  akan  dibuktikan  sebagai yang  diketahui”,    19,4%  dari  42  guru  SMP  dan SMU  di  Surabaya      mengalami  kesulitan menyelesaikan  permasalahan  “buktikan  bahwa ...”,  24%  dari  62  siswa  peserta  matakuliah geometri  tidak  dapat  menuliskan  apa  yang diketahui  dan  apa  yang  ditanyakan    dari  suatu permasalahan  yang  diberikan,  dan  adanya miskonsepsi  siswa  dalam  memahami  konsep- konsep geometri.
Masalah  lainnya  yang  muncul  adalah  guru salah  dalam  memahami    dua  garis  tegak  lurus bersilangan,  bidang  dapat  diperluas  dan  irisan suatu  bidang  dengan  bangun  ruang.  Penelitian Budiarto  (1999)  menunjukkan  bahwa  mahasiswa peserta matakuliah geometri tidak dapat menggunakan  perolehan  geometri  di  SMA maupun  geometri  datar  untuk  menyelesaikan permasalahan  dalam  geometri  ruang.  Geometri masih  merupakan momok  tidak hanya bagi siswa tetapi  juga  sebagian  besar  guru.  Budiarto  (2000) mengemukakan  daya  siswa  dalam  membuktikan masih sangat kurang. Sementara, Budiarto (2008) menemukan  kesalahan-kesalahan  yang  dilakukan siswa  dengan  pola  yang  relatif  sama.  Bentuk kesalahan  itu  adalah  siswa  tidak  terlatih  dalam pembuktian  secara  deduktif,  belum  mampu menggunakan  aksioma,  definisi,  teorema  dalam memecahkan  masalah  pembuktian,  dan  daya logika  yang  lemah.  Bentuk  kesalahan  lainnya adalah  rancu  dalam  menggunakan  istilah  atau tidak tertib dalam menggunakan suatu kesepakatan. Misalnya siswa mengacaukan antara
notasi  garis,  ruas  garis,  sinar  garis,  panjang  ruas garis, serta sudut dan besar sudut.
Pada penelitian Budiarto (2009)
menunjukkan  koneksi  antara  konsep-konsep geometri yang lemah, yaitu tidak dapat mengaitkan pengetahuan satu dengan pengetahuan  yang  lain  dalam  geometri  apalagi dengan  bidang  lain  dalam  matematika  di  luar geometri.  Penalaran  siswa  juga  lemah,  hal  ini dapat  dilihat  dari  masih  banyaknya  siswa  tidak dapat  menggunakan  apa  yang  diketahui  untuk membuktikan  permasalahan  yang  diberikan.  Di sisi lain geometri disusun secara spiral dan saling terkait  sehingga  jika  terjadi  lobang  pada  suatu bagian  akan  menjadikan  pincang  pada  proses pembelajaran berikutnya.
Hasil  penelitian  Budiarto  (2010)  lainnya menunjukkan bahwa siswa kurang ulet dan mudah putus asa jika menghadapi permasalahan geometri yang  penuh  tantangan,  apalagi  jika  berkenaan dengan  masalah-masalah  pembuktian.  Hasil penelitian Budiarto (2010) bentuk-bentuk kesalahan  mahasiswa  baru  dalam    pemecahan masalah geometri yaitu kesalahan dalam menganalisis  soal,  hal  ini  terlihat  dari  mahasiswa yang  kurang  memperhatikan  ada  tidaknya informasi  dari  suatu  masalah  yang  diberikan, tidak  tahu  apa  yang  diketahui  dan  apa  yang  akan dibuktikan dari masalah yang diberikan dan tidak dapat  menggunakan  apa  yang  diketahui  atau menggunakan  apa  yang  akan  dibuktikan  sebagai yang diketahui, tidak dapat mengkoneksi pengetahuan  satu  dengan  pengetahuan  yang  lain dalam geometri apalagi dengan bidang lain dalam matematika di luar geometri,  tidak terjadi retensi terhadap  materi  yang  diberikan  dan  kelihatannya materi sulit mengendap dalam benak siswa.
Hasil  penelitian  Budiarto  (2011)  tentang karakteristik  bentuk  kesalahan  mahasiswa  dalam menyelesaikan  suatu  permasalahan  geometri mencakup ketrampilan visual, keterampilan verbal,  dan  keterampilan  terapan.    Keterampilan visual  meliputi:  tidak  cukup  memahami  unsur- unsur geometri yang diperlukan untuk mendiskripsikan hubungan geometris dan persepsi ruang  kurang  memuaskan.  Kesalahan  yang berkaitan  dengan  keterampilan  verbal  meliputi: miskonsepsi  dalam  memahami  konsep-konsep geometri;  daya  menganalisis  soal  yang  lemah; rancu  dalam  menggunakan  istilah  seperti  rusuk dan  sisi,  kubus  dan  persegi,  bidang  empat  dan limas segiempat; tidak tertib dalam menggunakan kesepakatan-kesepakatan seperti penggunaan notasi  untuk  garis,  ruas  garis,  sinar  garis,  sudut dan besar sudut; tidak tahu apa yang diketahui dan apa  yang  akan  dibuktikan  dari  masalah  yang
diberikan;  tidak    dapat  menggunakan  apa  yang diketahui  atau  menggunakan  apa  yang  akan dibuktikan  sebagai  apa  yang  diketahui;  tidak dapat  mengaitkan  pengetahuan  satu  dengan pengetahuan  yang  lain  dalam  geometri;    kurang ulet  dan  mudah  putus  asa  jika  menghadapi permasalahan  geometri  yang  penuh  tantangan. Kesalahan  yang  berkaitan  dengan  keterampilan terapan  meliputi:  belum  mampu  menggunakan aksioma,  definisi,  teorema  untuk  memecahkan masalah  pembuktian;  gagal  dalam  mempelajari konsep  dasar  geometri;  tidak  memahami    dua garis  tegak  lurus  bersilangan;  tidak  memahami bidang  dapat  diperluas;  tidak  dapat  membuat irisan  suatu  bidang  dengan  bangun  ruang  karena daya  tilik  ruang  yang  rendah;  dan  tidak  dapat menggunakan  perolehan  geometri  di  SMA maupun  geometri  datar  untuk  menyelesaikan permasalahan geometri ruang.
Temuan lainnya adalah mahasiswa melakukan kesalahan yang berkaitan dengan daya tilik  ruang  yaitu:  menafsirkan  gambar  pada dimensi  tiga  sebagai  gambar  pada  dimensi  dua, misal  garis  bersilangan  dianggap  berpotongan; tidak  memahami  aksioma  bahwa  bangun  dapat diperluas  dan  garis  dapat  diperpanjang;  dan persepsi  yang  salah  terhadap  proses  dan  kegiatan visual.
Mahasiswa  melakukan  kesalahan  yang berkaitan  dengan  pembuktian    yaitu:  belum mampu  menggunakan  aksioma,  definisi,  teorema untuk  memecahkan  masalah  pembuktian;  daya logika  yang  lemah;  tidak  dapat  menggunalan perolehan  sebelumnya;  tidak  dapat  mengubah masalah  dalam  soal  kedalam  bahasa  gambar geometri;  tidak  dapat  memahami  konsep  atau defnisi; kemampuan  geometri dasar yang kurang; kemapuan  tilik  ruang  yang  lemah;  dan  tidak punya  ide  untuk  keluar  dari  rutinitas  untuk menyelesaikan masalah nonrutin.
Hasil penelitian Budiarto (2005)
menunjukkan hasil siswa yang berada pada level 1 mampu  mengenali  atribut  semua  bangun  dalam suatu kelas bukan suatu bangun yang tunggal dan dapat  merangkai  hubungan  antara  atribut-atribut bangun-bangun tersebut. Siswa mampu mendiskripsikan  pengertian  suatu  bangun  dengan menggunakan  atribut  yang  dikenali  walaupun definisi  yang  dibangun  tidak  akurat.  Misal persegipanjang  bangun  datar  yang  mempunyai empat sisi, dua pasang sisi berhadapan sejajar, dan mempunyai  empat  sudut  siku-siku,  walaupun definisi  ini  berlebih.  Pada  level  ini  siswa  mulai mengapresiasi bahwa sekumpulan bangun dikumpulkan  bersama  karena  atribut-atributnya.
Ide-ide
tentang suatu bangun dapat
digeneralisasikan  menjadi  semua  bangun  yang sesuai  dengan  kelas  tersebut.  Jika  suatu  bangun termuat  ke  dalam  suatu  kelas  tertentu  seperti kubus,  maka  bangun  itu  memiliki  sifat-sifat  yang bersesuain  kelas  itu”  semua  kubus  memiliki  6 permukaan  yang  kongruen  dan  masing-masing permukaan  itu  berbentuk  persegi.  Sifat-sifat  ini hanya  implisit  di  level  0.  Siswa  yang  beroperasi pada  level  1  akan  mampu  mendaftar  sifat-sifat persegi, persegi panjang dan jajaran genjang tetapi tidak melihat bahwa bangun-bangun ini merupakan  sub  kelas  satu  sama  lain  yaitu  semua persegi adalah persegi panjang dan semua persegi panjang adalah jajaran genjang. Dalam mendefinisikan suatu bangun para pemikir level 1 mungkin  mendaftar  sifat-sifat  dari  suatu  bangun sebanyak  yang  mereka  ketahui.  Hasil  berfikir pada level 1 adalah sifat-sifat bangun.
Siswa  level  2  mulai  berpikir  tentang  sifat- sifat  objek  geometri  tanpa  rintangan  dari  suatu objek tertentu,mereka telah mampu mengembangkan  hubungan-hubungan  di  antara sifat-sifat  objek  geometri  tersebut.  “jika  keempat sudutnya  adalah  siku  maka  bangun  tersebut adalah  persegipanjang.  Jika  bangun  itu  adalah suatu  persegi  maka  semua  sudutnya  siku-siku. Jika bangun itu adalah persegi maka pasti bangun itu  adalah  persegipanjang.”  Dengan  kemampuan yang  lebih  besar  dalam  penalaran  “jika-maka”, bangun-bangun  itu  dapat  diklasifikasi  dengan menggunakan  karakteristik  minimum.  Contohnya empat sisi yang kongruen dan satu sudut siku-siku cukup untuk mendefinisikan persegi. Persegipanjang  adalah  jajargenjang  dengan  satu sudut siku.
Pengamatan  di  luar  sifat-sifat  tersebut  dan pengamatan  tersebut  mulai  difokuskan  pada argumen-argumen  logis  tentang  sifat-sifat  itu. Siswa  pada  level  2  akan  mampu  mengikuti  dan mengapresiasi tentang argumen deduktif informal tentang bangun-bangun dan sifatnya.” Pembuktian dapat  menjadi  lebih  intuitif  daripada  deduktif yang  ketat.  Namun  demikian  terdapat  suatu apresiasi bahwa suatu argumen logis itu memaksa. Appresiasi  terhadap  struktur  axiomatik  suatu sistem  deduktif  formal  tetap  berada  di  bawah argumen  logis  tersebut.  Hasil  berpikir  pada  level dua  adalah  hubungan  diantara  sifat-sifat  obyek geometri seperti persegipanjang adalah jajargenjang  dengan  satu  sudut  siku-siku  atau persegi  adalah  pergegipanjang  yang  sisi-sisinya sama  panjang.  Pada  level  ini  siswa  dapat mengkostruk  hubungan  antara  dua  bangun, sehinga  siswa  pada  level  ini  dapat  membuat diagram hubungan antara bangun-bangun.

## 1.3. Pembelajaran Geometri
Ada  dua  cara  untuk  membelajarkan geometri  (Budiarto,  2011)  yaitu  pertama  cara global,  dimana  pada  siswa  dikenalkan  model dunia nyata kemudian dibawa ke model geometri. Pada  mereka  dikenalkan  model  utuh,  baru kemudian dikenalkan unsur-unsur yang membangun  bangun  tersebut.  Dengan  kata  lain dikenalkan  kubus,  bidangg  sisi,  rusuk  dan  itik sudut.  Cara  kedua  adalah  keunsuran  dimana pembelajaran  dimulai  dengan  titik,  garis,  banug datar,  dan  bangun  ruang.  Cara  pertama  sering disebut geometri informal. Aktivitas dari pembelajaran  ini  adalah  memberikan  kesempatan kepada  siswa    untuk  mengeksplorasi,  merasakan dan melihat, menyusun dan memisahkan, melakukan observasi tentang bangun di lingkungan sekitar mereka maupun di dunia yang mereka  buat  melaui  gambar-gambar,  model- model,  dan  komputer.  Aktivitas  melibatkan pengkonstruksian, visualisasi, perbandingan, tranformasi dan pengklasifikasian bangun-bangun geometri. Pengalaman dan pengeklporasian tersebut dapat berlangsung pada level pengalaman yang  berbeda:  dari  sejumlah  bangun  dan tampilannya  sampai  pada  sifat-sifat  bangun  dan hubungan-hubungan  diantara  sifat-sifat  bangun itu.  Roh  geometri  informal  adalah  salah  satu explorasi, yang hampir selalu melibatkan aktivitas.
Pembelajaran geometri di sekolah sebaiknya  diarahkan  pada  penyelidikan  dan pemanfaatan  ide-ide  serta  hubungan-hubungan antara sifat-sifat geometri. Dalam belajar geometri siswa diharapkan dapat memvisualisasikan, menggambarkan  serta  membandingkan  bangun- bangun  geometri  dalam  berbagai  posisi,  sehingga murid  dapat  memahaminya.  Menurut  Budiarto (2010]    dalam  pembelajaran  geometri  perlu penekanan  akan  sifat-sifat  bangun  geometri, hubungan-hubungan  di  antara  sifat-sifat  bangun geometri, pengembangan daya tilik ruangan, serta penggunaan pemecahan masalah geometri berbasis  dunia  nyata.  Daya  tilik  ruangan  adalah daya  tilik  seseorang  yang  ditujukan    kepada lingkungannya yaitu daya mengenal dan membedakan rangsangan-rangsangan yang berkaitan dengan ruangan dan untuk mengintepretasikan rangsangan itu perlu dikaitkan dengan pengalaman sebelumnya.  Daya tilik ruang dan  daya  kognitif  dalam  geometri  adalah berbanding  lurus.  Peningkatan  daya  tilik  ruang akan meningkatkan daya kognitif dalam geometri, dan sebaliknya.
Konsep  daya  tilik  ruangan  peserta  didik yaitu:  pertama,  daya  tilik  ruangan  dibangun
melalui organisasi progresif dari tindakan  internal peserta didik menghasilkan sistem-sistem perasional,  dan  daya  tilik  ruangan  bukan  hasil pengamatan  dari  ruang  disekitarnya,  tetapi  yang timbul  dari  penggunaan  aktif  ruangan  disekitar kita.  Kedua,    organisasi  progresif  gagasan geometrik  mengikuti  urutan  tertentu  yaitu  urutan yang bersifat logis dari pada bersifat historis. Pada permulaan disusun hubungan topologis, kemudian hubungan  proyektif  dan  hubungan-hubungan menurut Euclid.
Pemahaman  ruangan  dapat  didefinisikan sebagai  intuisi  tentang  bangun-bangun  dan hubungan-hubungan  diantara  bangun-bangun  itu. Individu-individu  dengan  pemahaman  ruangan memenuhi  aspek-aspek  geometri  di  lingkungan mereka dan bangun-bangun tersebut dibentuk oleh obyek  dari  lingkungan  tersebut.  Banyak  orang menyatakan  bahwa  mereka  memiliki  pemahaman bangun  yang  tidak  terlalu  baik  atau  mereka memiliki pemahaman ruangan yang sedikit/kurang.  Keyakinan  tersebut  menyatakan bahwa  anda  terlahir  dengan  pemahaman  atau tanpa pemahaman keruangan. Pernyataan sederhana tersebut tidaklah benar!  Sekarang Kita ketahui  bersama  bahwa  pengalaman  yang  banyak tentang  bentuk/bangun  dan  hubungan  ruangan, jika  diberikan  secara  konsisten  dari  waktu  ke waktu,  hal  ini  betul-betul  dapat  mengembangkan pemahaman ruangan. Tanpa pengalaman geometri, kebanyakan orang memiliki pemahaman  dan  penalaran  ruangan  yang  tidak berkembang.
2. Pembahasan

## 2.1. Upaya  Perbaikan  Dalam  Pembelajaran Geometri
Pertama,  secara  teoritis  bahwa  hasil berpikir  pada  tiap  level  sama  dengan  objek berfikir  pada  level  selanjutnya.  Untuk  sampai pada  suatu  level  tertentu  model  level  berpikir geometri  menurut  van  Hiele  (Burger  dan Shaughnessy,  1986),  siswa  harus  melalui  level sebelumnya.  Untuk  melalui  suatu  level  seorang siswa  harus  telah  mengalami  berpikir  geometri yang  tepat  untuk  level  itu  dan  telah  mnciptakan jenis  objek  atau  hubungan  dalam  pikirannya sendiri yang merupakan fokus berpikir pada level selanjutnya.  Dengan  meloncati  suatu  level  yang jarang  terjadi.  Kelebihan  model  tersebut  adalah hirarki  lima  level  cara  memahami  ide-ide keruangan. Masing-masing dari ke 5 level tersebut mendeskripsikan  proses  berpikir  yang  digunakan dalam  konteks  geometri.  Level-level  tersebut mendeskripsikan  bagaimana  seseorang  berpikir dan  jenis  ide  geometri  apakah  yang  seseorang
pikirkan,  bukan  seberapa  banyak  pengetahuan yang seseorang memiliki. Sebagaimana seseorang berkembang  dari  satu  level  ke  level  selanjutnya, obyek  perubahan  berpikir  geometri  seseorang. Hasil penelitian penulis, siswa SMP masih berada pada level 0, 1, atau 2 dan sedikit Level 3. Level- level  berpikir  tersebut  tidak  bergantung  padausia se perti yang dipahami dalam tahap perkembangan  Piaget.  Siswa  kelas  SD  atau seorang  siswa  SMP  bisa  saja  pada  level  0. Sebenarnya,  diantara  siswa  dan  orang-orang dewasa  ada  yang  selamanya  berada  pada  level  0, dan sejumlah signifikan banyaknya orang dewasa tidak  pernah  sampai  pada  level  2.  Tapi  usia  jelas terkait  dengan  banyaknya  pengalaman  geometri dan  jenis-jenis  pengalaman  geometri  yang  kita miliki.  Oleh  karena  itu,  rasional  kalau  semua peserta  didik  pada  kelas  SD  kelas  bawah  berada pada  level  0,  maupun  mayoritas  siswa  SD  yang berada  pada  kelas  atas.  Pengalaman  geometri merupakan faktor tunggal terbesar yang mempengaruhi  kemajuan  untuk  melewati  level- level berpikir. Aktivitas-aktivitas yang memungkinkan bagi siswa dalam mengeksplorasi, berbicara dan berintareksi dengan materi (content) geometri pada level selanjutnya, seiring bertambahnya  pengalaman  mereka  pada  level dimana mereka berada memiliki kesempatan yang paling  tepat  dalam  meningkatkan  level  berfikir bagi siswa.
Burger dan Shaughnessy, (1986) mengemukakan instruksi atau bahasa berada pada level  yang  lebih  tinggi  daripada  level  yang dimiliki  siswa,  akan  terjadi  kelemahan  dalam berkomunikasi.  Siswa  harus  bergulat  dengan objek  berpikir  yang  belum  dikonstruk  pada  level sebelumnya,  hal  ini  dapat  dipaksakan,  dan  akan menjadi  belajar  dengan  hafalan  dan  hanya mencapai  kesuksesan  sementara  dan  dangkal. Sebagai  contoh,  seorang  siswa  dapat  menghapal bahwa semua persegi adalah persegipanjang tanpa memiliki  konstruk  tentang  hubungan-hubungan pada  bangun  itu.  Seorang  siswa  dapat  menghapal pembuktian geometri tetapi gagal dalam mnciptakan  langkah-langkah  atau  gagal  dalam memahami  alasan-alasan  rasional  yang  dilibatkan dalam  pembuktian  itu.  Untuk  itu  pembelajaran termediasi  sangat  sesuai  untuk  meningkatkan level berpikir.
Schwarz dan Dreyfus, (2001) dan  Jirotková dan    Littler,  (2004)  mengemukakan  tiga  aksi epistemik  yaitu  mengenali,  merangkai  dan mengonstruk.  Mengenali  adalah  pengenalan kembali terhadap   suatu struktur matematika yang sudah  pernah  dipelajari,  terjadi  ketika  seorang siswa  menyadari  bahwa  suatu  struktur  yang  telah
dikonstruksinya  dan  mungkin  telah  digunakan sebelumnya, sesuai dengan suatu situasi matematika
yang diberikan.
Mereka
mengidentifikasi    penggunaan  dan  kombinasi unsur-unsur yang sudah terstruktur untuk mencapai  tujuan  sebagai  aksi  epistemik  kedua dari  abstraksi,  dan  disebut  merangkai.  Merangkai memiliki  konotasi  aplikasi  yaitu  menggunakan pengetahuan  terstruktur    untuk  dirangkai  menjadi kemungkin  penyelesaian  dari  masalah  yang diberikan.  Merangkai  adalah  mengkombinasikan unsur struktural untuk mencapai tujuan yang telah ditetapkan.  Dengan  demikian  yang  dimaksud mengonstruksi  adalah  hal    terpenting  di  antara ketiga  aksi    yang  melibatkan  pengetahuan sebelumnya.  Mengonstruksi  diperlukan  untuk abstraksi. Tujuan utama dari kegiatan mengkontruksi  adalah  konstruksi  itu  sendiri sehingga  didapat    susunan  kognisi  baru.  Struktur pengetahuan  yang  ada  diorganisasi  secara vertikal, sehingga menambah kedalaman pengetahuan itu sendiri.
Kedua,  siswa  pada  level  0  mengenali  dan menamai bentuk secara keseluruhan, karakteristik visual  gambar  tersebut.  Siswa  yang  beroperasi pada level ini mampu melakukan pengukuran dan bahkan  mampu  berbicara  tentang  sifat-sifat bangun,  tapi  sifat-sifat  tersebut  tidak  dipikir secara  ekspilisit.  Tampilan  bangun  tersebut  yang mendefinisikan  bangun  tersebut  terhadap  siswa. Sebuah  persegi  adalah  persegi  “karena  bangun tersebut nampak seperti persegi”. Contoh, persegi yang  dirotasi  sehngga  semua  sisinya  berada  pada sudut 45 derjat terhadap sisi vertikal, tidak tampak sebagai suatu persegi untuk seorang pada level 0. Siswa  pada  level  ini  akan  menyusun  dan mengklasifikasikan  bangun  berdasarkan  tampilan bangun  tersebut  mirip.  Hasil  yang  diperoleh  dari berpikir  pada  level  0  adalah  kelas-kelas  atau pengelompokan  bangun-bangun  yang  tampak mirip.
Siswa  pada  level  3  dapat  menilai  bukan hanya  sifat-sifat  bangun.  Pemikiran  mereka terdahulu  telah  menghasilkan  konjektur  (terkaan cerdas). Yang berkitan dengan hubungan diantara sifat-sifat bangun. Apakah konjektur-konjektur itu benar? Ketika analisis tentang argumen formal ini dilakukan,  struktur  suatu  sistem  yang  lengkap dengan  axioma,  definisi,  teorema,  korollari,  dan postulat mulai dikembangkan dan dapat diapresiasi  sebagai  alat  yang  perlu  dalam mempertahankn  kebenaran  geometri.  Pada  level ini,  siswa  mulai  mengapresiasi  kebutuhan  akan suatu  sistem  logika  yang  bersandar  pada  aturan asumsi minimum dan dimana kebenaran yang lain dapat  diperoleh.  Siswa  pada  level  ini  mampu
bekerja  dengan  pernyataan  abstrak  tentang  sifat- sifat geometri dan membuat simpulan berdasarkan pada intuisi yang lebih logis. Seorang siswa yang beroperasi pada level tiga dapat mengamati secara jelas  bahwa  diagonal  suatu  persegipanjang  saling membagi,  seperti  yang  bisa  dilakukan  oleh  siswa yang berda pada level berpikir yang lebih rendah. Bagaimanapun  pada  level  tiga  ada  apresiasi tentang  kebutuhan  untuk  membuktikan  ini  dari serangkain argumen deduktif. Hasil berpikir pada level tiga adalah siswa mampu berpikir menggunakan sistem deduktif aksiomatik geometri.
Teori  van  Hiele  memberikan  bahan pemikiran bagi guru dengan suatu kerangka yang dapat  digunakan  dalam  melakukan  aktivitas geometri.  Teori  tersebut  tidak  mengklasifikan materi  atau  kurikulum  tetapi  dapat  diterapakan pada  kebanyakan  aktivitas.  Kebanyakan  kegiatan dapat  dirancang  untuk  dimulai  dengan  asumsi tentang  suatu  level  tertentu  kemudian  dimediasi melalui  jenis-jenis  pertanyaan  dan  panduan  atau bimbingan  yang  diberikan  oleh  guru  dengan mengunakan tiga kriteria pokok yaitu intensionalitas,  transendensi,  dan  pemaknaan. Hasil  penelitian  Budiato  (2013)  memberikan beberapa  mediasi  yang  disarankan  untuk  3  level yang pertama pada level van Hiele.
Membelajarkan geometri peserta didik level 0,  sebanyak  mungkin  aktivitas  dan  mediasi menyusun, mengidentifikasi, dan mendeskripsikan  berbagi  bangun.  Mediasi  dapat menggunakan  model-model  fisik  yang  dapat dimanipulasi  oleh  siswa.  Eksplorasi  dengan banyak contoh bangun dan bukan contoh bangun, sehingga  model  yang  tidak  relevan  tidak  menjadi penting. Mediasi diberikan sesuai dengan kebutuhan siswa sehingga tidak terjadi miskonsepsi  seperti  siswa  menganggap  bahwa hanya  segitiga  samasisi  yang  merupakan  segitiga atau persegipanjang yang diputar 90 derajat bukan lagi  persegipanjang  tetapi  disebut  persegipendek. Mediasi  diarahkan  agar  siswa  mengenali  atribut- atribut dari masing-masing bangun.
Membelajarkan geometri peserta didik level 1  menekankan  pada  aktivitas  dengan  lebih  fokus pada  sifat-sifat  bangun  daripada  fokus  pada identifikasi  sederhana.  Mendeskripsikan  bangun melalui aktivitas, mengukur, mengamati, mengubah  sifat-sifat  bangun  melalui  penggunaan model. Problem solving dimana sifat-sifat bangun merupakan  komponen  yang  penting.  Selanjutnya menggunakan  model  seperti  pada  level  0  tetapi masukkanlah  model-model  yang  memungkinkan siswa  mengeksplorasi  berbagai  sifat  bangun. Klasifikasikanlah  bangun-bangun  berdasarkan
sifat-sifat  bangun  maupun  nama-nama  bangun tersebut. Mediasi diarahkan agar siswa mengenali dan  merangkai  atribut-atribut  dari  masing-masing bangun.
Membelajarkan geometri peserta didik level 2  fokus  pada  aktivitas  yang  menggunakan  model dengan  fokus  pada  pendefinisian  sifat-sifat. Buatlah  daftar  sifat  dan  diskusikanlah  sifat-sifat mpeserta  didikah  yang  merupakan  syarat  perlu dan  mana  yang  merupakan  syarat  cukup  untuk suatu  bangun  atau  konsep  tertentu.  Memasukkan bahasa deduktif informal seperti: semua, beberapa,  tidak  ada,  jika  maka,  bagaimana seandainya dan sejenisnya. Investigasilah konvers dari hubungan-hubungan tertentu untuk mengetahui  validitas.  Sebagai  contoh,  konvers dari  “jika  suatu  bangun  adalah  persegi  maka bangun itu harus memiliki empat sudut siku-siku.” adalah  “jika  suatu  bangun  memiliki  empat  sudut siku-siku  bangun  itu  pasti  suatu  persegi. Gunakanlah model dan gambar sebagai alat untuk berpikir  dan  mulailah  untuk  mencari  generalisasi dan  contoh  penyangkal.  Doronglah  siswa  untuk membuat dan menguji hipotesis. Mediasi diarahkan  agar  siswa  mengenali,  merangkai  dan mengkonstruk hubungan antar- bangun.
Konsolidasi  dari  struktur  yang  baru terbentuk  akan  mengakibatkan  peserta  didik mampu mengenali struktur tersebut pada aktivitas selanjutnya  dan  membangun  dengan  struktur tersebut dengan mudah. Struktur yang dikonstruksi sebelumnya dalam sejarah pembelajaran peserta didik, dikenali dan direorganisasi menjadi sebuah struktur baru. Aksi yang  ditunjukkan  peserta  didik  meliputi    ketiga aksi  epistemik,  yaitu  mengenali,  merangkai,  dan mengonstruksi  seperti  dikemukakan  di  depan, tidak  sebagai  sebuah  rantai,  tetapi  dengan  cara tersarang,  dengan  kata  lain,  aksi  mengonstruksi tidak  hanya  mengikuti  mengenali  dan  merangkai dalam  bentuk  linier,  tetapi  dalam  suatu  aktivitas belajar termediasi serentak memerlukan mengenali, merangkai dan mengonstruk.

## 2.2. Komunikasi Pembelajaran Geometri
Kegiatan  komunikasi  (lisan  atau  tulis) dalam  pembelajaran  geometri  merupakan  salah satu aktivitas yang dapat meningkatkan penalaran matematika  peserta  didik. Sebab dengan  menulis, peserta  didik  dapat  menuangkan  ide  dan mengkomunikasikan  apa  yang  dipahaminya tentang  geometri  yang  telah  dipelajarinya.  Dari aktivitas menulis inilah guru dapat dengan mudah mengetahui  apa  yang  dipahami  peserta  didik  dan apa  yang  belum  dipahaminya.  Sebab  dari  tulisan yang  dibuat  oleh  peserta  didik,  guru  dapat
membaca  urut-urutan  pikiran  peserta  didik  dalam menyelesaikan  soal  yang  diberikan  dan  apa  yang diketahui peserta didik tentang soal tersebut, serta bagaimana peserta didik harus menyelesaikannya.
Dalam pembelajaran geometri pada dasarnya  menghendaki  peserta  didik  menerima pesan  melalui  membaca,  mendengar  informasi guru  atau  yang  lainnya,  dan  peserta  didik mengirim  pesan  melalui  berbicara  ataupun menulis.  Guru  tidak  hanya  dapat  menggunakan kelas  geometri  untuk  membangun  kemampuan peserta  didik  untuk  membaca,  menulis,  dan mendengar,  tetapi  dengan  menekankan  aktivitas tersebut  dapat  menjadikan  guru  sebagai  guru matematika  yang  lebih  baik.  Guru  yang  baik, memberi  kesempatan  kepada  peserta  didik melakukan aktivitas komunikasi geometri. Kapankah  murid  dan  guru  dikatakan  dapat berkomunikasi  dalam  pembelajaran  matematika? Menurut  (NCTM,  2000),  guru  dan  peserta  didik haruslah  mampu  mengomunikasikan  pikiran matematisnya  secara  lisan  dan  tertulis  dengan indikator-indikator, mampu: (1) mengomunikasikan  pikiran  matematisnya  secara koheren  dan  jelas  antara  guru  dengan  peserta didik  dan  antara  peserta  didik  dengan  peserta didik  lainnya;  (2) untuk mengekspresikan ide/gagasannya  menggunakan  bahasa  matematika secara  tepat;  (3)  mengelola  pikiran  matematisnya melalui  komunikasi;  dan  (4)  menganalisis  dan mengevaluasi  pikiran  matemalis  dan  sirategi- slralegi orang lain.
Menulis  dan  berdiskusi  dipandang  sebagai bagian inlegral dari komunikasi yang menunjukkan pemahaman terhadap sebuah konsep  matematika.  Berikut  ini  akan  dijelaskan kedudukan menulis dan diskusi dalam komunikasi,  khususnya  dalam  mathematical communication.  Borasi  &  Rose  (dalam  Kosko  & Wilkins)  berpendapat  bahwa  peserta  didik  yang menulis  untuk  menjelaskan  atau  menggambarkan strategi  pemecahan  masalah  akan  mengalami peningkatan  keterampilan  pemecahan  masalah mereka.  Ilustrasi  ini  dapat  digunakan  oleh  guru untuk menggunakanannya sebagai metode pembelajaran dalam upaya meningkatkan pemahaman.  Peserta  didik  diarahkan  dalam kelompok-kelompok  kecil untuk  membandingkan strategi  pemecahan  masalah  satu  sama  lain. Penggunaan menulis untuk meningkatkan pemahaman konsep sering melibatkan komunikasi verbal  (lisan)  antara  peserta  didik  dan  guru  atau peserta  didik  dan  rekan-rekan.  Oleh  karena  itu, menulis dapat dimasukkan ke dalam diskusi untuk memperdalam pemahaman.
Menulis  merupakan  salah  satu  sarana komunikasi  yang  dapat  merangsang  pikiran, menata, dan memperjelas pemikiran. Ide-ide yang masih mentah dan belum teratur akan lebih tertata bila  dituliskan.  Tujuan  inilah  yang  mendasari munculnya  ide  bahwa  peserta  didik  dapat  belajar melalui  aktivitas  menulis.  Dengan  kata  lain, aktivitas menulis dapat dipandang sebagai strategi belajar. Aktivitas menulis tidak hanya dimaksudkan  untuk  membentuk  kemampuan menulis  itu  sendiri,  melainkan  dipandang  sebagai cara untuk membelajarkan peserta didik, termasuk belajar  geometri.  Menulis  dipandang  sebagai salah  satu  cara  bagi  peserta  didik  untuk menuangkan atau menjelaskan secara rinci ide-ide matematika  tertentu.  Hal  ini  membantu  peserta didik  untuk  mengartikulasikan  strategi,  sehingga dapat  meningkatkan  pengetahuan  prosedural  dan menghasilkan kompetens kognitif secara umum.
Terdapat  berbagai  manfaat  dari  pemberian lugas  menulis.  Berdasarkan  hasil  penelitian, Peserta  didik  yang  menuliskan  konsep-konsep yang  baru  mereka  pelajari  mempunyai  ingatan yang jauh lebih tepat daripada peserta didik yang tidak belajar demikian. Hasil penelitian mengindikasikan  bahwa  kemampuan  anak  untuk mengekspresikan  ide-ide  mereka  secara  lerlulis dapal  membanlu  meningkatkan  pemahaman mereka. Oleh karena itu, dalam mengkomunikasikan konsep matematika hendaknya  secara  koheren,  yaitu  agar  pemikiran matematika  yang  dibuat  peserta  didik  dikenal secara  benar.  Kebenaran  pembuktian  harus diterima  oleh  masyarakat  belajar  ataupun  oleh masyarakal  profesional.  Sehingga  para  peserta didik perlu memiliki kesempatan untuk menyajikan  gagasan  matematika  yang  berbasis pada  tukar  menukar  pengetahuan  untuk  melihat apakah  pemikiran  mereka  dapat  dipahami  dan meyakinkan.
Ketika  peserta  didik  berbicara  tentang geometri,  mereka  menggunakan  bahasa  informal (bahasanya  sendiri)  yang  membuat  mereka  lebih mudah untuk memahami konsep-konsep geometri. Bahasa  yang  digunakan  dalam  buku  pegangan peserta  didik,  atau  digunakan  oleh  guru,  kadang- kadang  dapat  menjadi  penghalang  bagi  peserta didik dalam memahami konsep.  Meskipun bahasa geometri  formal  perlu  diajarkan  kepada  peserta didik,  mereka  tidak  perlu  dipaksa  unluk memahami  kunsep  geometri  tertentu  dalam bahasa  yang  formal  (Lee,  dalam  Kosko  & Wilkins).  Bahkan  ketika  peserta  didik  mengerti geometri dalam bahasa formal, mereka membicarakannya secara informal.
Dengan  mendorong  diskusi,  eksplorasi, investigasi dan membuat konjektur tentang matem geometri,  peserta  didik  dapat  berkomunikasi dalam  bahasa  yang  membuat  mereka  merasa nyaman  daripada  menggunakan  bahasa  formal geometri.  Untuk  memberikan  dukungan  wacana kelas secara lebih efektif, guru harus membangun masyarakat  dimana  peserta  didik  merasa  bebas mcngcmukakan gagasannya. Peserta didik diminta untuk mengkomunikasikan ide-ide mereka tentang geometri dan menjelaskan alasan mereka. Dalam  diskusi,  peserta  didik  akan  berbicara tentang  geometri,  mengkomunikasikan  konsep kepada  orang  lain.  Dalam  hal  ini,  peserta  didik tidak  hams  berkomunikasi  secara  verbal  untuk melakukan komunikasi geometri.

## 3. Kesimpulan
Permasahan Geometri
berdasarkan keterampilan  dasar  geometri  berturut-turut  adalah permasalahan yang berkaitan dengan keterampilan  logika,  keterampilan  menggambar, keterampilan    visual,  keterampilan    verbal,  dan keterampilan  terapan.  Jika  ditinjau  pembelajaran geometri  dengan  menggunakan  sajian  analitik maka permasalahan penggunakan deduktif menempati urutan teratas seperti masalah buktikan,  kemudian    permasalahan    persepsi. miskonsepsi  terhadap proses dan kegiatan visual, serta  terakhir  permasalahan    penggunakan prosedur, konsep, dan prinsip. Dalam pembelajarannya  melibatkan  diskusi,  eksplorasi, investigasi  dan  konjektur    untuk  meningkatkan kemampuan  koneksi  dan  komunikasi  peserta didik.

## Daftar Pustaka
Budiarto,  Mega  Teguh,  1997,  Profil  Kemampuan Geometri  Mahasiswa  Baru  FMIPA  IKIP,  FKIP Universitas,  dan  STKIP  Negeri  dan  Swasta  Di Jawa Timur, Pusat Penelitian IKIP Surabaya
Budiarto,  Mega  Teguh,  1998,  Analisis  Kesulitan Materi  Geometri  guru-guru  SMP  dan  SMU  di Surabaya, Pusat Penelitian IKIP Surabaya
Budiarto, Mega Teguh, 1999, Pengembangan,
Implementasi dan Evaluasi Model Pembelajaran Geometri  yang  Berpandu  pada  pendekatan konstruktivisme dengan
Memperhatikan Miskonsepsi  dan  Aras  Berpikir  Van  Hielle  di SLTP, Pusat Penelitian IKIP Surabaya Budiarto,  Mega  Teguh,  2000,  Kemampuan  Deduktif
Aksiomatik  Mahasiswa  Jurusan  Pendidikan Matematika  FMIPA  IKIP  Surabaya,  Penelitian Peningkatan  Kualitas  Pembelajaran    RI.I BATCH  II,  Proyek  PGSM,    Pusat  Penelitian IKIP Surabaya
Budiarto,  Mega  Teguh,  2008,  Membangun  Level Abstraksi Siswa SMP dalam Memahami konsep Geometeri,  Penelitian  Fundamental  Tahun Pertama, Pusat Penelitian Unesa Surabaya.
Budiarto,  Mega  Teguh,  2009,  Membangun  Level Abstraksi Siswa SMP dalam Memahami Konsep Geometeri,  Penelitian  Fundamental  Tahun Kedua, Pusat Penelitian Unesa Surabaya.
Budiarto,  Mega  Teguh,  2010,  Profil  Pemetaan  Level Abstraksi  Siswa yang Mempunyai Gaya Belajar Visual  Spatial  dan  Auditory  sequensial  denan Operasi  Logis  Piaget,  Penelitian  Fundamental, Pusat Penelitian Unesa Surabaya.
Budiarto,  Mega  Teguh,  2011,  Rigorous  Mathematical
Thinking Dalam Pembelajaran geometri, Penelitian  Unggulan  Perguruan  Tinggi,  Pusat Penelitian Unesa Surabaya.
Hershkowitz,  R;  Schwarz,  B.B.;  Dreyfus,  T.  (2001). “Abstraction  in  Context:  Epistemic  Actions”. Journal for Research in Mathematics Education. Vol 32 No. 2 March 2001.
Jirotkova,  D.,  Littler,  G.H.,  Classification  Leading  to Structure, http://cerme4.crm.es/Papers520definitus/3/Jirotk ovaLittler.pdf
Kinard,  J.  T.,  &  Kozulin,  A.  2008.  Rigorous Mathematical  Thinking  :  Conceptual  Formation in  the  Mathematics  Classroom.  New  York  : Cambridge University Press.
Kinard, J. T., & Kozulin, A.1998. Psychological Tools :  A  Sociocultural  Approach  to  education. London : Harvard University Press.
Kinard,  J.  T.,  &  Kozulin,  A.  2001.Creating  Rigorous Mathemaical  Thinking:  A  Dynamic  that  Drives
Mathematical and Science Concptual Development.  Retrieved  on  October  21,  2009 from www.umanitoba.ca/unevoc/conference/ papers/ kinard .pdf
Kinard, J.T. Rigorous Mathematical Thinking,
Retrieved on January 23, 2010 from http://rmtchicago.com Kinard, J.T. 2007. Method and Apparatus for Creating Rigorous  Mathemaical  Thinking.  Retrieved  on 24 March 2010 from http://www.freepatentsonline. com/y2007/0111172.html
Kozulin,  A.  2002.  Sociocultural  Theory  and  the
Mediated learning Experience. School Psychology International, Vol. 23(1): 7-35.
Kozulin,  A.  2005.  Rigorous  Mathematical  Thinking: Mediated  Learning  and  Psychological  Tools. Focus on learning Problem in Mathematics 27.3 (Summer,  2005)  :1(29).  Academic  OneFile. Gale. Universitas Negeri Surabaya. Retrieved on
20 Oct. 2009 from http://find.galegroup.com/gtx/start.do?prodId=A ONE.
8000/kommit2004_psikologi_012_362.pdf. download pada 18 November 2010 Kozulin,  A.,  &  Presseisen,  B.Z.  1995.  Mediated Learning  Experience  and  Psychological  Tools: Vygotsky’s  and  Feuerstein’s  Perspectives  in  a
Study of Student Learning. Educational
Psychological, 30, 67-75.
Kozulin,  A., Gindis, B., Ageyev, V.S., & Miller, S.M. 2003.  Vygotsky’s  Educational  Theory  in
Cultural Context. New York: Cambrige University Press.
Rosa,  M.;  &  Orey,  D.  C.  (2010).  Ethnomodeling:  A
Pedagogical Action for Uncovering Ethnomathematical Practices. Journal of Mathematical  Modelling  and  Application,  1(3), 58-67, 2010.
Tsamir  P,  &  Dreyfus,  T.  2002.  “Comparing  Infinite Sets  –  A  Process  Of  Abstraction.  The  case  of  Ben”. The Journal of Mathematical Behavior. Vol 21 Issue 1. p:1-23