SUATU KRITERIA STABILISASI SISTEM DESKRIPTOR LINIER KONTINU REGULAR
Yulian Sari
Prodi Pendidikan Matematika FKIP Universitas Riau Kepulauan Batam Korespondensi: yuliansari17@gmail.com

## Abstract.
The regular descriptor linear time-invariant system, or shorthandly this system is denoted by are  used  in  many  applications,  especially  in  mathematical  modeling  for engineering, biology, and economics. In this paper, the characterization of stabilization of this systems.  Feedback  control
for some and is
used  for  stabilizing  the  system
such  that  the  closed-loop  system is  stable.  Some  examples  is  given  to  illustrate  this characteristic.
Keywords: regular descriptor linear time-invariant system, stabilization, stabilizable.

## PENDAHULUAN
Diberikan suatu sistem persamaan diferensial orde satu sebagai berikut.
(1) dimana .  Pada  persamaan  di  atas, menyatakan
variabel keadaan,
adalah variabel kontrol (input), dan
menyatakan waktu.
Sistem (1) sering disebut sebagai sistem deskriptor linier kontinu [2,6]. Secara ringkas, sistem (1)  ditulis  sebagai .  Sistem  ini  sering  dijumpai  sebagai  model  untuk  beberapa masalah, terutama dalam bidang rekayasa, biologi, dan ekonomi. [1,2,5,6].
Jika   adalah matriks nonsingular, maka sistem (1) dapat ditulis sebagai berikut.
(2)
dimana dan
,  yang  merupakan  sistem  linier  standar.  Solusi  sistem  (2)
diberikan sebagai berikut.
Jika adalah  matriks  singular,  sistem  (1)  mungkin  tidak  mempunyai  solusi.  Dalam  [1,3]
dinyatakan  bahwa  sistem  (1),  dengan ,  memiliki  solusi  tunggal  jika untuk suatu . Untuk selanjutnya, sistem (1) dengan untuk  suatu disebut  sistem  deskriptor  regular.  Pada  [6]  dinyatakan bahwa solusi sistem deskriptor linier regular (1) adalah
untuk  suatu
, adalah  indeks  matriks dan yang  memenuhi dan dan untuk setiap kondisi awal konsisten .
Salah  satu  kriteria  kestabilan  sistem  (1)  adalah  bagian  riil  dari  semua  nilai  eigen pasangan matriks bernilai negatif. Sistem (1) dikatakan dapat distabilkan ( stabilizable ) jika  terdapat  kontrol feedback untuk  suatu
dan
sedemikian sehingga sistem loop tertutup
(3)
adalah  stabil  [1,2].  Dalam  hal  ini,  vektor
dikatakan  kontrol  yang  menstabilkan sistem  (1).  Pada  artikel  ini  akan  dipaparkan  kembali  dengan  contoh  bahwa  eksitensi sedemikian sehingga sistem (1) yang menjadikan sistem (3) stabil.

## NOTASI DAN DEFINISI
Skalar dikatakan nilai eigen berhingga dari suatu pasangan matriks jika .  Himpunan  semua  nilai  eigen  berhingga  dari dinotasikan  dengan .  Suatu  vektor sedemikian  sehingga disebut  sebagai vektor eigen dari yang berkaitan dengan nilai eigen  . Jika   singular dan
sedemikian  sehingga
maka    disebut  sebagai  vektor  eigen  yang  berkaitan  dengan nilai  eigen .  Himpunan  semua  nilai  eigen  dari
disebut  spectrum  dari
,  dan dinotasikan dengan . Jelas bahwa [6]. Untuk  sebarang  matriks ,  eksponensial  dari  matriks , ,
didefinisikan sebagai
Invers  Drazin  dari dinyatakan  dengan
,  adalah  matriks  yang  memenuhi ketiga kondisi berikut:
1.
,
2.
3.
dimana  adalah indeks dari  .

## SUATU  KRITERIA  STABILISASI  SISTEM  DESKRIPTOR  LINIER  KONTINU REGULAR
Lemma 1. [4,5] Misal memenuhi dan , maka . Teorema  2. [6] Misalkan  pasangan  matriks dengan
adalah  regular,
, dan . Solusi sistem (1) adalah
untuk suatu .
Dalam  [4]  dinyatakan  bahwa  jika  kondisi
tidak  terpenuhi  untuk  sistem  deskriptor linier kontinu regular (1), maka solusi sistem tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan cara berikut. Kalikan kedua ruas (1) dengan
untuk suatu , maka diperoleh sistem yang ekivalen dengan sistem (1) yaitu
dimana
.
Lemma 3. [7] Misalkan
, maka
1.
2. .
Definisi  4. [1,2] Sistem  (1)  dikatakan  stabil  jika  terdapat  skalar sedemikian
sehingga jika
untuk , maka
memenuhi
.
Definisi  tersebut  bermakna  bahwa  jika  sistem  (1)  adalah  stabil  dan , maka
Teorema 5. [1,2,6] Sistem (1) adalah stabil jika
Adakalanya  sistem  (1)  tidak  stabil.  Dalam  [2]  dinyatakan  bahwa  sistem  deskriptor linier kontinu yang tidak stabil dapat distabilkan dengan menggunakan kontrol feedback ,
(4)
dimana dan .  Dengan  menggunakan  kontrol feedback (4),  maka sistem (1) dapat ditulis menjadi
(5)
Sistem (5) disebut juga sebagai sistem loop tertutup [1,2].
Definisi  6 . Sistem  (1)  dikatakan  dapat  distabilkan  ( stabilizable )  jika  ada  suatu  kontrol feedback (4) sedemikian sehingga sistem loop tertutup (5) adalah stabil.
Kriteria berikut dapat digunakan untuk menentukan apakah suatu sistem deskriptor stabil atau tidak.
Teorema 7. Sistem regular (1) dapat distabilkan jika dan hanya jika
Sebagai contoh, diberikan suatu sistem deskriptor linier kontinu regular berikut.
(6)
Akan ditunjukkan sistem (6) dapat distabilkan dengan menggunakan Teorema 7. Nilai eigen dari pasangan matriks adalah 1. Jelas bahwa sistem tidak dapat stabil karena memiliki bagian riil nilai eigen yang positif. Solusi sistem tersebut dapat diperoleh sebagai berikut.
Jika
, maka grafik solusi sistem (6) diperlihatkan dalam gambar berikut.
Gambar Solusi Sistem (6)
Karena untuk  setiap ,  maka  (6)  dapat  distabilkan.  Selanjutnya  akan  dipilih  kontrol feedback untuk  suatu dan sedemikian  sehingga  sistem loop tertutup adalah stabil. Pilih , maka diperoleh sistem loop tertutup sebagai berikut. (7)
Karena nilai  eigen dari  pasangan matriks
adalah  -2, maka sistem loop tertutup (7) adalah stabil. Sehingga sistem (6) dapat distabilkan.
Contoh  berikut  mengilustrasikan  untuk  sistem  deskriptor  linier  kontinu  yang  tidak dapat distabilkan.
Nilai  eigen  dari  pasangan  matriks
adalah  -1  dan  1.  Jelas  bahwa  sistem  tidak  stabil karena memiliki bagian riil nilai eigen yang positif. Karena
untuk
, maka menurut Teorema 7, sistem (8) tidak dapat distabilkan. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa tidak ada yang dapat menstabilkan sistem loop tertutup Misalkan dimana ,  maka  diperoleh  sistem  loop  tertutup  sebagai
berikut.
(9)
Karena  nilai  eigen  dari  pasangan  matriks
adalah  -1  dan  1  untuk  sebarang , jelas bahwa sistem loop tertutup (9) tidak stabil. Sehingga sistem (8) tidak dapat distabilkan.

## SARAN
Kajian  tentang  sistem  deskriptor  linier  kontinu  merupakan  topik  klasik  yang  telah banyak dibahas oleh peneliti. Namun kajian kestabilan, regularisasi, dan kepositifan terhadap sistem  tersebut  masih  merupakan  topik  yang  masih  dikaji  dalam  berbagai  penelitian. Disarankan  untuk  peneliti  selanjutnya  dapat  membahas  tentang  sistem  deskriptor  linier kontinu khususnya kestabilan dalam berbagai kondisi, seperti kriteria lainnya sebagai syarat kondisi suatu kestabilan sistem tersebut.

## DAFTAR PUSTAKA
Dai, L. 1989. Singular Control Systems. Lecture Notes in Control and Information Sciences. Berlin: Springer.
Duan, D. R. 2010. Analysis and Design of Descriptor Linear Systems . New York: Springer. Herrero, A., A. Ramirez, dan N. Thome. 2010. Nonnegativity, Stability, and Regularization of Discrete-Time Descriptor Systems . Elsivier. 432: 837-846.
Kaczorek, T. 1992. Linear Control Systems, Vol.1 . England: Research Studies Press LTD. Kunkel, Peter, dan Volker Mehrmann. 2006. Differential-algebraic Equations. Analysis and Numerical Solution . Zurich: EMS Publishing House.
Virnik, E. 2008. Stability Analysis of Positive Descriptor Systems , Linier Algebra Appl. 429: 2640-2659.