Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 3, Nopember 2023, 289-298 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i3.16301

## Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia
Patrik Wahyu Yubelian 1 , Noorma Yulia Megawati 1* 1,2 Departemen Matematika UGM Yogyakarta Indonesia Sekip Utara BLS 21 Bulaksumur, Yogyakarta e-mail: noorma_yulia@ugm.ac.id
Diajukan: 26 Februari 2023, Diperbaiki: 21 September 2023, Diterima: 25 Oktober 2023

## Abstrak
Pemilihan umum di Indonesia adalah sarana kedaulatan rakyat untuk pemilihan presiden dan wakil presiden serta pejabat legislatif yang dilaksanakan serentak setiap lima tahun sekali. Salah satu indikator keberhasilan pemilu adalah tingkat partisipasi masyarakat. Dalam pemilihan umum terdapat golongan putih atau disebut abstainer yang secara sadar tidak menggunakan hak pilih dengan alasan tersendiri. Golongan abstainer ini  dapat  mempengaruhi  orang  lain  untuk  tidak  menggunakan  hak  pilih.  Pada  penelitian  ini dibahas mengenai model matematika tingkat partisipasi politik masyarakat dalam pemilihan umum. Dari model tersebut akan ditentukan titik ekuilibrium bebas abstainer, titik ekuilibrium abstainer dan bilangan reproduksi dasar. Hasil analisis menunjukkan bahwa untuk 𝑅 0 ≤ 1 , titik ekuilibirum bebas abstainer stabil asimtotik  dan  untuk 𝑅 0 > 1 ,  titik  ekuilibirum abstainer ada  dan stabil  asimtotik.  Simulasi  numerik dilakukan untuk memverifikasi hasil analisis teoritis. Hasil simulasi menunjukkan bahwa kondisi populasi yang bebas abstainer bisa dicapai namun membutuhkan waktu yang sangat lama.
Kata Kunci : Pemilu, titik ekuilibrium, stabil, Lyapunov, Routh-Hurwitz

## Abstract
General elections in Indonesia are how the people exercise their sovereignty to select the president, vice president, and legislative officials. These elections are held simultaneously every five years. One of the  indicators  of  the  success  of  these  elections  is  the  level  of  public  participation.  Within  the  general elections, there is a group known as the "golongan putih" or abstainers, who consciously choose not to exercise their voting rights for various reasons. Abstainers may influence others to refrain from voting as well. In this paper, we discussed about a mathematical model of political participation level of the public in general elections. The abstainer-free equilibrium point, the abstainer equilibrium point, and the basic reproduction number will be determined. The analysis results indicate that for 𝑅 0 ≤ 1 , the abstainer-free equilibrium  point  is  asymptotically  stable  and  for 𝑅 0 > 1 ,  the  abstainer  equilibrium  point  exists  and asymptotically stable.  Finally, a  numerical  simulation  was conducted to verify theoretical  analysis. The numerical  simulation  shows  that  a  population  condition  without  abstainers  can  be  achieved  but  would require a very long time.
Keywords: Pemilu, equilibrium point, stable, Lyapunov, Routh-Hurwitz.

## 1 Pendahuluan
Pemilihan  umum  (Pemilu)  adalah  sarana  kedaulatan  rakyat  yang  dilaksanankan  secara serentak setiap 5 tahun sekali untuk memilih anggota Dewan Perwakilan Rakyat Daerah, anggota

## Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia
Dewan Perwakilan Daerah, anggota Dewan Perwakilan Rakyat dan Presiden dan Wakil Presiden. Pemilu dilakukan secara langsung, umum, bebas, rahasia, jujur, dan adil dalam Negara Kesatuan Republik Indonesia berdasarkan Pancasila dan Undang-Undang Dasar Negara Republik Indonesia [1].
Tingkat kesuksesan Pemilu ditentukan oleh tingkat partisipasi masyarakat yang merupakan jantung  demokrasi,  dan  demokrasi  adalah  sesuatu  yang  tidak  bisa  dijelaskan  tanpa  adanya kemampuan masyarakat untuk berpartisipasi secara bebas dalam menentukan proses pemerintahan [1]. Salah satu syarat warga negara Indonesia untuk memilih adalah sudah berumur 17 tahun ketika pemilihan berlangsung. Menurut data hasil Pemutakhiran Data pemilih berkelanjutan (PDPB) dari KPU pada semester I tahun 2022 tercatat ada 190.022.169 pemilih tetap ([2], [3]).
Setiap pemilihan umum pasti terdapat golongan putih selanjutnya disebut dengan abstainer yang biasanya secara sadar tidak menggunakan hak pilih dengan alasan tersendiri.  Berdasarkan Departemen  Politik  dan  Pemerintahan  (DPP)  Fisipol  UGM  [4],  pada  pemilu  2019,  dilakukan analisis  percakapan  di  media  sosial twitter dan  pemberitaan  di  276  media  online  dalam  kurun waktu dari 27 Januari hingga 19 Februari 2019. Hasil analisis tersebut menyebutkan bahwa dari 2.840  percakapan  tentang  golput,  terdapat  9,5%  percakapan  mengkampanyekan  golput.  Hal  ini dapat diartikan  bahwa  1 dari  10 percakapan  tersebut  berisi  kampanye untuk  melakukan  golput. Dalam situasi di mana pemilih berinteraksi, baik melalui percakapan formal maupun percakapan santai, pengaruhnya terhadap pilihan individu dapat terlihat. Salah satu dampak dari interaksi ini adalah  kemungkinan  memengaruhi  seseorang  untuk  tidak  menggunakan  hak  pilihnya  dalam pemilihan umum. Menurut data KPU, pada pemilu 2019, jumlah abstainer mencapai 18,31% yaitu 35.295.381 dari 192.770.611 daftar pemilih tetap.
Penelitian yang berkaitan dengan Pemilu sudah banyak dilakukan. Analisis dinamika model pada pemilu presiden di Indonesia dibahas dalam paper [5]–[8]. Dalam paper [9], [10] membahas mengenai model matematika mengenai tingkat partisipasi masyarakat dalam pemilu. Dalam model tersebut diasumsikan bahwa populasi abstainer merupakan populasi yang belum mendaftar sebagai pemilih. Model  tersebut tidak  cocok  diaplikasikan  pada  pemilu  di  Indonesia,  karena menjelang Pemilu pemerintah secara masif akan melakukan pencatatan penduduk yang berhak memilih. Oleh karena itu, dalam penelitian ini akan dikembangkan model tingkat partisipasi masyarakat dalam Pemilu dengan populasi abstainer adalah populasi yang tidak menggunakan hak pilih. Dari model matematika ini dapat digunakan untuk mengestimasikan tingkat abstainer untuk Pemilu sehingga pemerintah  dapat  mengambil  kebijakan  dalam  rangka  pencegahan  meningkatnya  populasi abstainer .

## 2 Model Matematika
Untuk memodelkan tingkat partisipasi masyarakat dalam pemilihan umum, total penduduk yang sudah terdaftar dalam daftar pemilih tetap, dinotasikan dengan N dan diasumsikan kontan dibagi menjadi 3 sub populasi, yaitu:
1. Individu  yang  terdaftar  dalam  daftar  pemilih  tetap  namun  berpotensi abstain dinotasikan dengan P . Individu ini bertambah karena pendaftaran pemilih baru. Populasi P berkurang karena individu menggunakan hak pilihnya dalam Pemilu. Populasi di kompartemen ini juga berkurang  karena  berinteraksi  dengan  subpopulasi abstainer baik  melalui  diskusi  aktif maupun  pasif,  sehingga  terpengaruh  untuk  tidak  menggunakan  hak  pilihnya  maupun menjadi suara tidak sah.
2. Individu yang menggunakan hak pilih dinotasikan dengan R . Populasi R bertambah ketika individu dalam subpopulasi P menggunakan hak pilihnya. Subpopulasi ini berkurang karena pengaruh dari subpopulasi abstainer sehingga menjadikan suara tidak sah.
3. Individu  yang abstain  (abstainer) dinotasikan  dengan A yaitu  populasi  yang  tidak menggunakan hak pilih dan suara tidak sah. Subpopulasi A bertambah ketika individu dalam subpopulasi P berinteraksi melalui diskusi aktif maupun pasif dengan subpopulasi abstainer sehingga  menyebabkan  individu P tidak  mau  menggunakan  hak  pilihnya.  Selain  itu, subpopulasi ini bertambah karena individu dalam subpopulasi R menjadi suara tidak sah.
4. Setiap kompartemen juga berkurang karena adanya kematian alami.
Detail variabel dan parameter yang digunakan dalam pembentukan model diberikan dalam tabel berikut.
Tabel 1. Variabel dan Parameter Simbol Definisi Keterangan 𝑃(𝑡) populasi yang berhak memilih dan terdaftar namun berpotensi abstain pada saat t 𝑃(𝑡) ≥ 0 𝑅(𝑡) populasi yang menggunakan hak pilih pada saat t 𝑅(𝑡) ≥ 0 𝐴(𝑡) Populasi yang tidak menggunakan hak pilih dan suara tidak sah pada saat t 𝐴(𝑡) ≥ 0 Λ Banyaknya rekruitmen baru populasi Λ > 0 𝜇 Laju kematian alami 𝜇 > 0 𝛽 Laju  populasi  individu  berhak  memilih  dan  berpotensi abstain
menggunakan hak pilih
𝛽 > 0
292

## Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia
Simbol Definisi Keterangan 𝛼 Laju populasi individu berhak memilih dan berpotensi abstain namun tidak menggunakan hak pilih 𝛼 > 0 𝛾 Laju  populasi  yang  menggunakan  hak  pilih  namun  menjadi  suara tidak sah 𝛾 > 0
Model  kompartemen  penyebaran  populasi  masyarakat  dalam  pemilu  dapat  digambarkan dalam diagram alir berikut.
Gambar 1. Diagram alir model tingkat partisipasi Pemilu
Akibatnya, model matematika tingkat partisipasi masyarakat dapat dituliskan dalam sistem persamaan diferensial
𝑑𝑃 𝑑𝑡 = Λ − 𝛽𝑃 − 𝛼𝑃𝐴 − 𝜇𝑃
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝛽𝑃 − 𝛾𝑅𝐴 − 𝜇𝑅
𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛼𝑃𝐴 + 𝛾𝑅𝐴 − 𝜇𝐴
(1)
dengan 𝑃(0), 𝑅(0), 𝐴(0) ≥ 0 . Selanjutnya, didefinisikan himpunan
Ω = {(𝑃, 𝑅, 𝐴) ∈ ℝ + 3 |0 ≤ 𝑃 + 𝑅 + 𝐴 ≤ Λ 𝜇 }. (2)
Karena model (1) merepresentasikan jumlah individu dalam suatu kompartemen, maka perlu adanya jaminan bahwa solusi model (1) non-negatif untuk setiap nilai awal yang non-negatif. Hal ini tertuang dalam teorema berikut ini.
Teorema 1. Himpunan Ω merupakan himpunan invariant positif dan terbatas.
Bukti. Dari model (1), untuk 𝑃 = 𝑅 = 𝐴 = 0 , diperoleh 𝑑𝑃 𝑑𝑡 , 𝑑𝑅 𝑑𝑡 , 𝑑𝐴 𝑑𝑡 ≥ 0. Akibatnya, 𝑃(𝑡), 𝑅(𝑡) dan 𝐴(𝑡) naik monoton. Jadi, ℝ + 3 merupakan himpunan invariant positif.  Selanjutnya, diketahui bahwa 𝑁 = 𝑃 + 𝑅 + 𝐴, maka
𝑑𝑁 𝑑𝑡 = Λ − 𝜇𝑁. (3)
Solusi dari persamaan diferensial (3) dengan nilai awal 𝑁(0) adalah
𝑁(𝑡) = 𝑒 −𝜇𝑡 (𝑁(0) − Λ 𝜇 ) + Λ 𝜇 . (4)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa Ω himpunan invariant, diambil 𝑁(0) ∈ Ω , maka berdasarkan Persamaan (4), diperoleh
lim 𝑡→∞ 𝑁(𝑡) = lim 𝑡→∞ 𝑒 −𝜇𝑡 (𝑁(0) − Λ 𝜇 ) + Λ 𝜇 = Λ 𝜇 . (5)
Jadi,  diperoleh 0 ≤ 𝑁(𝑡) ≤ Λ 𝜇 atau  terbukti  bahwa Ω merupakan  himpunan  invariant  positif.
∎
Model (1) mempunyai 2 titik ekuilibrium, yaitu titik ekuilibrium bebas abstainer dan titik ekuilibrium abstainer .  Titik  ekuilibrium  bebas abstainer yaitu  titik  saat  tidak  ada  individu abstainer dalam populasi atau saat 𝐴 = 0 . Titik ekuilibrium bebas abstainer model (1) adalah
ℇ 0 = (𝑃̂, 𝑅̂, 𝐴̂) = ( Λ 𝛽+𝜇 , 𝛽Λ 𝜇(𝛽+𝜇) , 0). (6)
Bilangan  reproduksi  dasar 𝑅 0 dalam  kasus  ini  direpresentasikan  sebagai  rata-rata  jumlah orang  yang  terpengaruh  oleh  populasi abstainer sehingga  tidak  menggunakan  hak  pilihnya maupun menjadi suara tidak sah. Bilangan reproduksi dasar ini diperoleh dengan menggunakan metode Next Generation Matrix. Didefinisikan 𝑥 = 𝐴 , maka
𝑥̇ = 𝑑𝐴 𝑑𝑡 = 𝛼𝑃𝐴 + 𝛾𝑅𝐴 − 𝜇𝐴 = [𝛼𝑃𝐴 + 𝛾𝑅𝐴] − [𝜇𝐴]
= ℱ(𝑥) − 𝒱(𝑥)
(7)
Dibentuk 𝐹 = 𝜕ℱ 𝜕𝐴 | 𝑃=𝑃̂,𝑅=𝑅̂ = 𝛼𝑃̂ + 𝛾 𝑅̂ dan 𝑉 = 𝜕𝒱 𝜕𝐴 | 𝑃=𝑃̂,𝑅=𝑅̂ = 𝜇 ,  sehingga  diperoleh 𝑉 −1 = 1 𝜇 dan 𝐹𝑉 −1 = Λ(𝛼𝜇+𝛾𝛽) 𝜇 2 (𝛽+𝜇) . Bilangan reproduksi dasar merupakan radius spectral dari 𝐹𝑉 −1 , yaitu
𝑅 0 = Λ(𝛼𝜇+𝛾𝛽) 𝜇 2 (𝛽+𝜇) . (8)
Selanjutnya,  akan  ditentukan  titik  ekuilibrium abstainer dan  jaminan  eksistensinya.  Titik ekuilibrium abstainer adalah kondisi terdapat individu abstainer dalam populasi atau saat 𝐴  0 . Jaminan eksistensi titik ekuilbrium abstainer ini tertuang dalam teorema berikut.
Teorema 2. Jika 𝑅 0 1 , maka terdapat dengan tunggal titik ekuilibrium abstainer.
Bukti. Diasumsikan titik ekuilibirum abstainer adalah
ℇ 1 = (𝑃 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐴 ∗ ). (9)
Dalam  menentukan  titik  ekuilibrium abstainer, ruas  kiri  dari  model  (1)  disamadengankan  nol, sehingga diperoleh nilai
𝑃 ∗ = Λ 𝛽 + 𝛼𝐴 ∗ + 𝜇 , 𝑅 ∗ = β𝑃 ∗ (𝛾𝐴 ∗ + 𝜇) = 𝛽Λ (𝛾𝐴 ∗ + 𝜇)(𝛽 + 𝛼𝐴 ∗ + 𝜇)

## Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia
dan persamaan
(𝛼𝑃 ∗ + 𝛾𝑅 ∗ − 𝜇)𝐴 ∗ = 0.
Karena titik ekuilibrium abstainer terjadi saat 𝐴 ∗ 0 , maka
𝛼𝑃 ∗ + 𝛾𝑅 ∗ − 𝜇 = 0, (−𝛼𝜇𝛾)𝐴 2 + (𝛼𝛾Λ − 𝛾𝛽𝜇 − 𝛾𝜇 2 − 𝛼𝜇 2 )𝐴 + (𝛼𝜇Λ + 𝛾𝛽Λ − 𝛽𝜇 2 − 𝜇 3 ) = 0.
Nilai 𝐴 ∗ ditentukan dari akar persamaan kuadrat yang positif berikut
𝑐 1 𝐴 2 + 𝑐 2 𝐴 + 𝑐 3 = 0 (10)
dengan
𝑐 1 = −𝛼𝜇𝛾 𝑐 2 = 𝛼𝛾Λ − 𝛾𝛽𝜇 − 𝛾𝜇 2 − 𝛼𝜇 2
𝑐 3 = 𝛼𝜇Λ + 𝛾𝛽Λ − 𝛽𝜇 2 − 𝜇 3 = 𝜇 2 (𝛽 + 𝜇)(𝑅 0 − 1).
Syarat  agar  terdapat  dengan  tunggal  akar  positif  dari  persamaan  kuadrat  (10)  adalah  nilai diskriminan 𝐷 = 𝑐 2 2 − 4𝑐 1 𝑐 3 0 dan 𝑐 3 𝑐 1 0 . Karena parameter diasumsikan positif, maka  nilai 𝑐 1 selalu  negatif dan  untuk 𝑅 0 1 , nilai 𝑐 3 0 . Oleh sebab  itu, untuk 𝑅 0 1 , diperoleh  nilai 𝐷 = 𝑐 2 2 − 4𝑐 1 𝑐 3 0 dan 𝑐 3 𝑐 1 0 .  Jadi,  untuk 𝑅 0 1 terdapat  dengan  tunggal  titik  ekuilibrium abstainer ℇ 1 = (𝑃 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐴 ∗ ) . ∎

## 3 Analisis Kestabilan
Dalam bagian ini akan dilakukan analisis kestabilan titik ekuilibrium bebas abstainer dan titik ekuilibrium abstainer.
Teorema 3. Jika 𝑅 0 1 , maka titik ekuilibrium bebas abstainer stabil asimtotik 294ungg dan jika 𝑅 0 1 , titik ekuilibrium bebas abstainer tidak stabil.
Bukti.  Untuk  analisis  kestabilan  294ungg  titik  ekuilibrium  bebas abstainer ℇ 0 , didefinisikan matriks Jacobian model (1) berikut
𝐽(ℇ 0 ) = [ −(𝛽 + 𝜇) 0 −𝛼𝑃̂ 𝛽 −𝜇 −𝛾𝑅̂
0 0 𝛼𝑃̂ + 𝛾𝑅̂ − 𝜇 ]. (11)
Nilai eigen dari matriks 𝐽(ℇ 0 ) adalah 𝜆 1 = −(𝛽 + 𝜇), 𝜆 2 = −𝜇 dan
𝜆 3 = 𝛼𝑃̂ + 𝛾𝑅̂ − 𝜇 = (𝑅 0 − 1)𝜇. (12)
Berdasarkan Persamaan (12) , diperoleh bahwa untuk 𝑅 0 1 , nilai 𝜆 3 0 dan untuk 𝑅 0 1 , nilai 𝜆 3 0 . Jadi, diperoleh bahwa jika 𝑅 0 1 , titik ekuilibrium bebas abstainer stabil asimtotik lokal.
Lebih  lanjut,  dilakukan  juga  analisis  kestabilan  global  titik  ekuilibrium  bebas abstainer yang termuat dalam teorema berikut.
Teorema 4. Jika 𝑅 0 1 , maka titik ekuilibrium bebas abstainer stabil asimtotik global dan jika 𝑅 0 1 , titik ekuilibrium bebas abstainer tidak stabil.
Bukti. Didefinisikan fungsi Lyapunov,
𝑌(𝐴) = 1 𝜇 𝐴. (13)
Jika Persamaan (13) diturunkan terhadap t , diperoleh
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 1 𝜇 (𝛼𝑃𝐴 + 𝛾𝑅𝐴 − 𝜇𝐴) ≤ 1 𝜇 (𝛼𝑃̂ + 𝛾𝑅̂ − 𝜇)𝐴 ≤ (𝑅 0 − 1)𝐴. (14)
Berdasarkan Persamaan (14), diperoleh bahwa jika 𝑅 0 1 , maka 𝑑𝑌 𝑑𝑡 0 . Akibatnya, untuk 𝑅 0 1, titik ekuilibrium bebas abstainer stabil asimtotik global. ∎
Selain  melakukan  analisis  kestabilan  titik  ekuilibrium  bebas abstainer, dilakukan  juga  analisis kestabilan  titik  ekuilibrium abstainer. Analisis  kestabilan  global  titik  ekuilibirum abstainer diberikan dalam teorema berikut.
Teorema  5.  Jika 𝑅 0 1 ,  maka  titik  ekuilibrium  abstainer ℇ 1 = (𝑃 ∗ , 𝑅 ∗ , 𝐴 ∗ ) stabil  asimtotik global.
Bukti.  Berdasarkan  Teorema  2,  untuk 𝑅 0 1 ,  maka  terdapat  dengan  tunggal  titik  ekuilibrium abstainer. Selanjutnya, dibentuk fungsi Lyapunov
𝑌(𝑃, 𝑅, 𝐴) = (𝑃 − 𝑃 ∗ − 𝑃 ∗ 𝑙𝑛 𝑃 𝑃 ∗ ) + (𝑅 − 𝑅 ∗ − 𝑅 ∗ 𝑙𝑛 𝑅 𝑅 ∗ ) + (𝐴 − 𝐴 ∗ − 𝐴 ∗ 𝑙𝑛 𝐴 𝐴 ∗ ). (15)
Jika Persamaan (15) diturunkan terhadap t, dan misalkan dinotasikan 𝑎 = 𝑃 𝑃 ∗ , 𝑏 = 𝑅 𝑅 ∗ dan 𝑐 = 𝐴 𝐴 ∗ , maka diperoleh
𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 𝛽𝑃 ∗ (2 − 𝑎 − 1 𝑎 ) + 𝛼𝑃 ∗ 𝐴 ∗ (2 − 1 𝑎 − 𝑎) + 𝛾𝑅 ∗ 𝐴 ∗ (𝑎 − 𝑎 𝑏 − 𝑏 + 1) +𝜇𝑃 ∗ (2 − 1 𝑎 − 𝑎) + 𝜇𝑅 ∗ (𝑎 − 𝑎 𝑏 − 𝑏 + 1) .
Diketahui  bahwa  nilai  mean  aritmetika  lebih  besar  dari  nilai  mean  geometri,  maka  diperoleh (2 − 𝑎 − 1 𝑎 ) ≤ 0 . Analog,  diperoleh (𝑎 − 𝑎 𝑏 − 𝑏 + 1) ≤ 0 . Lebih  lanjut,  untuk 𝑑𝑌 𝑑𝑡 = 0 dipenuhi untuk 2 − 𝑎 − 1 𝑎 = 0 dan 𝑎 − 𝑎 𝑏 − 𝑏 + 1 = 0 . Hal ini berakibat, 𝑃 = 𝑃 ∗ , 𝑅 = 𝑅 ∗ dan 𝐴 = 𝐴 ∗ . Jadi, berdasarkan Teorema Lasalle diperoleh bahwa titik ekuilibrium abstainer stabil asimtotik global.
∎

## Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia

## 4 Simulasi Numerik
Dalam  bagian  ini  akan  dibahas  mengenai  simulasi  numerik  model  tingkat  partisipasi masyarakat dalam pemilihan presiden. Dalam  simulasi numerik ini akan dibahas 2 kasus, yaitu kasus 𝑹 𝟎 𝟏 dan 𝑹 𝟎 𝟏 . Menurut data hasil Pemutakhiran Data Pemilih Berkelanjutan (PDPB) dari KPU pada semester I 2022 tercatat ada 190.022.169 pemilih pemilu. Lalu, dari data BPS, per bulan  Februari  2022  warga  negara  indonesia  yang  berumur  lebih  dari  15  tahun  terdapat 208.544.086 jiwa. Menurut data KPU pada pemilu 2019, jumlah abstainer mencapai 18,31% yaitu 35.295.381 dari 192.770.611 daftar pemilih tetap dengan suara tidak sah sejumlah 3.754.905 suara. Berdasarkan  informasi  tersebut,  diambil  nilai-nilai  populasi  awal  sebagai  berikut 𝑷(𝟎) = 𝟏𝟔𝟏. 𝟐𝟑𝟎. 𝟏𝟑𝟓, 𝑹(𝟎) = 𝟎 , dan 𝑨(𝟎) = 𝟑𝟏. 𝟓𝟒𝟎. 𝟒𝟕𝟔 . Selanjutnya, diasumsikan populasi yang memilih adalah populasi di rentang usia 17-75 tahun, sehingga laju rekruitment dihitung melalui rumus 𝟏 𝟕𝟓−𝟏𝟕 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕 , atau banyaknya rekruitmen adalah 𝚲 = 𝟑. 𝟖𝟑𝟎. 𝟑𝟗𝟖.

## a. Kasus 𝑹 𝟎 𝟏
Untuk kasus ini, diasumsikan 𝜶 = 𝟎, 𝟏𝟔, 𝜷 = 𝟎, 𝟖 , dan 𝜸 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑 . Karena diasumsikan populasi konstan, maka diambil 𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕 . Trayektori solusi sistem persamaan diferensial (1) diberikan dalam gambar berikut.
Gambar 2. Trayektori model saat 𝑹 𝟎 𝟏 .
Gambar  2  menunjukkan  bahwa  pada  populasi 𝑷 mengalami  penurunan  hingga  stabil  di 3.735.865  individu.  Jumlah  populasi 𝑹 naik,  kemudian  mengalami  penurunan  hingga  stabil  di 116.504.869  individu.  Jumlah  populasi abstainer mengalami  peningkatan  hingga  stabil  di 72.529.876 individu. Jadi, untuk 𝑹 𝟎 𝟏 , diperoleh titik ekuilibrium abstainer stabil asimtotik.
b. Kasus 𝑹 𝟎 𝟏 .
Untuk  kasus  ini,  diasumsikan 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟗𝟖, 𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕, 𝜷 = 𝟎, 𝟗𝟕 ,  dan 𝜸 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟖𝟕 . Trayektori solusi sistem (1) diberikan dalam gambar berikut.

## Gambar 3. Trayektori model matematika untuk 𝑹 𝟎 𝟏
Gambar 3 menunjukkan bahwa pada populasi 𝑷 mengalami penurunan hingga stabil di titik 3.880.848  individu  dan  populasi 𝑹 mengalami  kenaikan  hingga  stabil  di  221.429.019  individu. Kemudian,  populasi abstainer akan  turun  monoton  dan  menuju  nol.  Hal  ini  sejalan  dengan Teorema 4, yaitu untuk 𝑹 𝟎 𝟏 , titik ekuilibrium bebas abstainer stabil asimtotik. Namun, dalam Gambar 3 terlihat bahwa dibutuhkan waktu yang sangat lama hingga tidak ada populasi abstainer.

## 5 Simpulan
Dalam  penelitian  ini  dikonstruksikan  model  matematika  tingkat  partisipasi  masyarakat dalam  Pemilu.  Dalam  model  ini  terdapat  dua  titik  ekuilibrium,  yaitu  titik  ekuilibrium  bebas abstainer dan  titik  ekuilibrium abstainer. Dari  hasil  analisis  kestabilan  diperoleh  bahwa  untuk 𝑅 0 1, titik ekuilibrium bebas abstainer stabil astimtotik. Untuk 𝑅 0 1, terdapat dengan tunggal titik  ekuilibrium abstainer dan  titik  ekuilibrium abstainer tersebut  stabil  atimtotik.  Dari  hasil simulasi  juga  diperoleh  bahwa  untuk  mencapai  suatu  kondisi  tidak  adanya  populasi abstainer membutuhkan  waktu  yang  cukup  lama.  Untuk  penelitian  selanjutnya,  dapat  dikaji  model matematika  dengan  menambahkan  kontrol  optimal  untuk  menekan  peningkatan  populasi abstainer.

## 298 Model Matematika Tingkat Partisipasi Masyarakat dalam Pemilu di Indonesia

## 6 Daftar Pustaka
[1] F.  ,  Halim  dan  M.  Lalongan, Partisipasi  Politik  Masyarakat :Teori  dan  Praktik .  SAH MEDIA, 2016.
[2] Badan  Pusat  Statistik  (BPS)  Republik  Indonesia,  “Statistik  Politik  2019,” https://www.bps.go.id/publication/2019/12/17/0da6c0d9d84d5200d4d38799/statistikpoliti k-  2019.html.
[3] Kompas.com,  “Data  Terbaru  KPU,  Jumlah  Pemilih  pada  Pemilu  2024  Turun  637.179,” https://nasional.kompas.com/read/2022/07/13/09283051/dataterbaru-kpu-jumlah-pemilih- pada-pemilu-2024-turun-637179.
[4] Universitas  Gadjah  Mada,  “Percakapan  Golput  Pemilu  2019  di  Media  Sosial  Banyak Dijumpai  di  Jawa,”  https://www.ugm.ac.id/id/berita/17711-percakapangolput-pemilu- 2019-di-media-sosial-banyak-dijumpai-di-jawa.
[5] B. Yong, “A Mathematical Modelling of The Dynamics of Voters Model of Two Political Fanaticism  Figures  with  The  Interaction  Between  Voters  in  Indonesian  Presidential Elections,” J Phys Conf Ser , vol. 2123, no. 1, hlm. 012006, Nov 2021, doi: 10.1088/1742- 6596/2123/1/012006.
[6] B. Yong dan N. A. Samat, “The SIR political fanaticism figure voters model for estimating number  of  votes  in  Indonesian  presidential  elections,” Model  Assisted  Statistics  and Applications , vol. 13, no. 3, hlm. 279–286, Agu 2018, doi: 10.3233/MAS-180434.
[7] B.  Yong,  “Effect  of  Undecided  and  Swing  Voters  on  The  Dynamics  Voters  Model  in Presidential Elections,” J  Phys  Conf  Ser ,  vol.  2123,  no.  1,  hlm.  012012,  Nov  2021,  doi: 10.1088/1742-6596/2123/1/012012.
[8] B.  Yong  dan  N.  A.  Samat,  “THE  DYNAMICAL  ANALYSIS  OF  TWO-POLITICAL FIGURES  FEVER  MODEL,” Far  East  Journal  of  Mathematical  Sciences  (FJMS) ,  vol. 101, no. 6, hlm. 1353–1362, Mar 2017, doi: 10.17654/MS101061353.
[9] O.  Balatif,  A.  Labzai,  dan  M.  Rachik,  “A  discrete  mathematical  modeling  and  optimal control of the electoral behavior with regard to a political party,” Discrete Dyn Nat Soc , vol. 2018, 2018, doi: 10.1155/2018/9649014.
[10]  O.  Balatif,  B.  Khajji,  dan  M.  Rachik,  “Mathematical  Modeling,  Analysis,  and  Optimal Control of Abstinence Behavior of Registration on the Electoral Lists,” Discrete Dyn Nat Soc , vol. 2020, 2020, doi: 10.1155/2020/9738934.