## JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v2i2.4385
Efek Diskritisasi pada Modifikasi Hypocycloid Menjadi CSCPP ( Curve Stitching Connected Pseudo Polygon )
Hanna Arini Parhusip 1*
1 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro No. 52-60, Kota Salatiga 50711, Jawa Tengah, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: hanna.parhusip@uksw.edu

## ABSTRAK 1
Tulisan ini membahas tentang pembuatan Curve Stitching berdasarkan efek diskritisasi kurva Hypocycloid yang dimodifikasi.  Kurva  yang dihasilkan  dinamakan Connected  Pseudo Polygon (CPP) karena berupa segibanyak yang berbentuk berdasarkan urutan cara menggambar serta diskritisasi  titik  yang  digunakan.  Yang  dimaksud Curve  Stitching disini  adalah  pembuatan ornamen  dengan  papan  dan  benang.  Desain  ini  digunakan  sebagai  media  bermain  dalam kegiatan  pelajaran  atau  kuliah  matematika.  Selain  dengan  benang,  CPP  juga  dibentuk dengan kawat dan sedotan agar Desain yang sama dapat dibentuk dengan beberapa material yang  cocok  untuk  penyusunan  CPP.  CPP  ini  digunakan  sebagai  media  untuk mengilustrasikan inovasi matematika atau ornamen matematika.
Kata Kunci: Hypocycloid ; Segibanyak; Curve Stitching

## ABSTRACT
This paper describes creating Curves Stitching based on the innovation of modified hypocycloid. The modified hypocycloid curve depends on the discretization used for drawing. The results are Connected Pseudo  Polygons  (CPP)  meaning  the  patterns  are  kind  of  polygons.  Each  edge  must  be  connected orderly. Curve stitching here means that making ornament using threads on a plain wood following CPP. This curve stitching can be used as learning media for mathematics. Not only using threads, but CPP  can  also  be  made  by  a  wire  or  a  straw  or  other  relevant  materials.  These  CPPs  are  used  to  be media for illustrating innovation in mathematics or mathematical ornaments.

## Keywords:
Hypocycloid; Polygon; Curve Stitching
Format Sitasi:
H. A. Parhusip , “ Efek Diskritisasi pada Modifikasi Hypocycloid Menjadi CSCPP ( Curve Stitching Connected Pseudo Polygon ) ,” Jambura J. Math. , vol. 2, no. 2, pp.60-72, 2020.

## 1.  Pendahuluan
Curve  Stitching adalah  kurva  yang  terbentuk  karena  pergerakan  benang-benang dengan pola tertentu yang diperkenalkan pertama kali oleh Mary Everest Boole (1832 –
1 e-ISSN: 2656-1344 © 2020 H.A. Parhusip | Under the license CC BY-NC 4.0
Diterima: 8 Januari 2020|Disetujui: 22 Februari 2020|Online: 01 Maret 2020
1916)  sebagai  salah  satu  matematikawan  wanita  pertama  di  Inggris.  Pada  umumnya Curve  Stitching diperkenalkan  pada  sekolah-sekolah  untuk  memperkenalkan matematika  agar  lebih  menarik.  Misalkan 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑐 fungsi  linear,  fungsi  parabolik, dinyatakan dalam benang-benang dengan arah-arah tertentu sehingga menyusun pola kurva baru pada bidang. Ada berbagai hasil seni yang dihasilkan baik berupa hiasan saja  maupun  untuk  kebutuhan  rumah  tangga  seperti  kursi.  Akan  tetapi  kegiatan  ini masih  sebagai  kegiatan  yang  rutin  dengan  penyusunan  kurva  dari  pola-pola  klasik (garis  dan  atau  kurva  parabola).  Untuk  itu  diperlukan  inovasi  yang  lebih  banyak terlebih dengan pengetahuan kurva-kurva parametrik yang ada.
Beberapa  literatur  menjelaskan  tentang    pembuatan  kurva  dan  permukaan  dimana Masalah  dalam  pembuatan  kurva  2  dimensi  dan  permukaan  3  dimensi  dapat dinyatakan  secara  parametrik  ataupun  implisit  [1].  Misalkan  pembuatan  permukaan dikaitkan dengan Computer Aided Design (CAD) dimana pembuatan dilakukan dalam permukaan parametrik bentuk bebas seperti Bézier, B-spline dan fungsi-fungsi NURBS [2]  yang  bermanfaat  dalam  pembuatan gear.  Demikian  pula  pembuatan  kurva dapat dilakukan  sebagai  limit  dari  barisan  kurva  segibanyak  dengan  proses  iterasi  dalam kurva-kurva  fractal  [3]  .  Pendekatan  kurva  dan  permukaan  dan  komputasi  secara topologi dijelaskan dari konsep hingga hasil dimana efisiensi praktis diperhatikan [4]. Sedangkan  pembuatan Curve  Stitching pada  tulisan  ini  dilakukan  untuk  membuat desain  ornamen  matematika.  Pembuatan  desain  ornamen  dengan  matematika  sudah berkembang  pada  beberapa  negara.    Selain  untuk  keperluan  eksplorasi  bagi  dunia pendidikan,  desain-desain  yang  dibuat  juga  banyak  berpengaruh  terhadap  berbagai arsitektur modern.
Beberapa  desain  arsitektur  pada  bangunan  modern  banyak  dijumpai  yang menggunakan inovasi kurva dan permukaan [5]. Akan tetapi realisasi dengan industri yang terjadi masih pada negara maju seperti negara-negara di Eropa. Sedangkan pada negara  berkembang  seperti  Indonesia,  matematika  belum  dimanfaatkan  secara langsung  pada  berbagai  bidang  dengan  industri  sekitar.  Untuk  itu  pada  bagian  ini akan  dibahas  bagaimana  matematika  dapat  terkait  dengan  industri  sekitar.  Karena jenis  industri  yang  ada  adalah  industri  rumah  tangga,  maka  perlu  penjelasan  yang rinci untuk rancangan desain yang akan dibuat. Pada bagian  ini ditunjukan beberapa rancangan  desain  dengan  ukuran  yang  dikehendaki  sehingga  dapat  diterjemahkan langsung  pada  tukang  atau  teknisi  pada  industri  kecil  tersebut.  Industri  kecil  yang dimaksud  misalnya  tukang  las.  Jika  material  yang  digunakan  adalah  kawat  maka tukang  las  harus  memahami  desain  dan  panjang  kawat  dengan  ukuran  yang dikehendaki.
Pada  tulisan  ini,  akan  ditunjukkan  bagaimana  desain Curve  Stitching dihasilkan  dari persamaan hypocycloid yang  dimodifikasi.  Demikian  pula  barisan  Fibonacci  dapat digunakan  untuk  dapat  menghasilkan  kurva  yang  menarik  yaitu  kurva  yang  sudah ada digandakan sesuai urutan baris Fibonacci (Penyusunan  desain sangat tergantung pada  cara  menggambar  dimana  program  yang  digunakan  adalah  MATLAB. Banyaknya  titik  yang  digunakan  mempengaruhi  desain  yang  diperoleh  selain  dari parameter  yang  dipilih.  Artinya  untuk  suatu  kurva  parametrik  dapat  diperoleh berbagai macam desain yang berbeda karena banyaknya titik yang digunakan berbeda sekalipun  parameternya  sama.    Hal  ini  sebagai  efek  diskritisasi  yang  akan  dibahas pada bagian selanjutnya.

## 2.  Metode
Pengenalan  matematika  sebagai  bagian  dari art liberal  telah  dilakukan  oleh  para matematikawan untuk dapat menjadikan pembuat kreator yang percaya pada art dan kreasinya bahkan hanya dengan mengeksplorasi kalkulus   [6]. Oleh karena itu, pada bagian  ini  penulis  melakukan  eksplorasi hypocycloid yang  diperoleh  dari  kalkulus untuk menjadi bentuk geometris yang bermacam-macam berdasarkan banyaknya titik dalam menggambar.

## 2.1. Kurva Hypocycloid dan Modifikasinya
Kurva hypocycloid adalah kurva pada bidang sebagai hasil posisi lingkaran dengan jari- jari lingkaran dengan jari-jari a mengelilingi lingkaran yang lebih besar dengan jari-jari b ,  dimana  kurva  ini  mempunyai  persamaan  parametrik,  sebagaimana  ditunjukkan pada Persamaan (1),
(𝑎)  𝑥 = (𝑏 − 𝑎) cos 𝜃 + 𝑎 cos ( 𝑏 − 𝑎
𝑎 𝜃)
(𝑏)  𝑦 = (𝑏 − 𝑎) sin 𝜃 − 𝑏 sin ( 𝑏 − 𝑎 𝑎 𝜃) }                                                (1)
Persamaan ini adalah persamaan klasik hypocycloid yang sudah ada pada literatur [7]. Salah  satu  kurva  yang  juga  dianggap  menyerupai  adalah epycycloid [8]  yang  telah dilakukan inovasi sehingga diperoleh berbagai bentuk yang dapat memuat hypocycloid . Adapun  Persamaan  (1)  dimodifikasi  yang  mengabaikan  hubungan  nilai a dan b sebagai nilai jari-jari 2 lingkaran dimana b > a > 0.  Hal ini dimaksudkan agar diperoleh inovasi  kurva  bidang  datar  dengan  persamaan  ini.  Persamaan  inovasi  kemudian digunakan  untuk  membentuk  pola-pola Connected  Pseudo  Polygon (CPP)  yaitu  segi banyak  ( polygon )  yang  terbuat  karena  urutan  dan  banyaknya  titik  ( vertex )  untuk menggambar  diperhatikan.  Penggunaan  istilah Pseudo  polygon belum  ada  pada literatur kecuali pseudo triangle ( pseudo triangulation ) [9].
Perlu diperhatikan bahwa karena gambar dengan komputer, maka kita perlu titik-titik diskrit yang menyatakan pasangan (𝑥, 𝑦) dari setiap sudut yang diberikan. Lain halnya dengan  segi  banyak  pada  dimensi  2  yang  pada  umumnya  tidak  tergantung  pada urutan menggambar. Misalkan, kita menggambar segitiga sama sisi tidak perlu harus urut  titik vertex untuk  memulai  menggambar.  Adapun  pada  CPP  ini  kita  perlu memperhatikan urutan.
Untuk menjadikan suatu CPP dengan menggunakan materi 1 dimensi seperti benang, sedotan, kawat maka peletakan garis persilangan juga perlu diperhatikan agar terjadi keseragaman bentuk. Jika terjadi persilangan maka garis yang menyilang diletakkan di atas  garis  sebelumnya.  Agar  pembuatan  dapat  dilakukan  dengan  berbagai  ukuran maka perlu dilakukan program komputasi panjang untuk tiap sisi CPP dan koordinat masing-masing titik antar sisi. Untuk itu pada subbab berikut dibuat cara perhitungan panjang sisi-sisi CPP.

## 2.2. Penyusunan Curve Stitching CPP
Modifikasi pada persamaan hypocycloid diberikan pada Persamaan (2),
Efek Diskritisasi pada Modifikasi Hypocycloid Menjadi CSCPP …
(𝑎)  𝑥 = (𝑎 + 𝑏) cos 𝜃 + 𝑏 cos ( 𝑎 + 𝑏
𝑏 𝜃)
(𝑏)  𝑦 = (𝑎 + 𝑏) sin 𝜃 + 𝑏 sin ( 𝑎 + 𝑏 𝑏 𝜃) }                                                (2)
dimana a dan b parameter bilangan real [10]. Sejauh ini masih dibatasi keduanya lebih besar  0.  Untuk  menghitung  panjang  kurva  parametrik  ( S )  secara  analitik  dengan kalkulus, diketahui
𝑆 = ∫ √( 𝑑𝑥 𝑑𝜃 ) 2 + ( 𝑑𝑦 𝑑𝜃 ) 2 𝛽 𝛼
𝑑𝜃, 𝛼 ≤ 𝜃 ≤ 𝛽.
Formulasi  ini  telah  digunakan  untuk  menghitung  keliling  lingkaran,  asteroid,  atau kurva  pada  bidang  datar  yang  ditulis  dalam  parametrik  secara  analitik.  Lain  halnya dexngan kurva-kurva yang dihasilkan oleh Persamaan (1) atau Persamaan (2) dimana kurva  yang  dihasilkan  ditentukan  oleh  banyaknya  titik  yang  digunakan  untuk menggambar (karena dengan komputer). Salah satu kurva dihasilkan dengan beberapa variasi parameter dan banyaknya titik ditunjukkan pada Gambar 1.
Gambar 1. Persamaan (1.b) dengan 𝑎 = 15, 𝑏 = 𝑝 𝑞 ;  0 ≤ 𝜃 ≤ 0.56𝜋𝑝, 𝑝 = 600, 𝑞 = −30, 𝑛 = 30 (banyaknya titik diskrit)
Dengan  adanya  berbagai  kurva  dari  1  persamaan  yang  sama,  jelas  bahwa  formulasi analitik untuk menghitung panjang kurva Persamaan (2) tidak dapat digunakan. Oleh karena  itu  formulasi  Phytagoras  yang  dapat  digunakan  dimana  koordinat  tiap  sisi perlu  diketahui  secara  otomatis  sehingga  panjang  seluruh  CPP  hanya  dengan menambahkan panjang tiap sisi.

## 2.3. Pythagoras Numerik untuk Panjang Sisi
Pada bagian ini kita akan menggambar kurva dengan cara mendiskritisasi nilai sudut dari suatu subinterval pertama dan dilanjutkan dengan subinterval ke-2.  Kurva yang terjadi ditunjukkan pada Gambar 2. Program MATLAB juga ditunjukkan untuk dapat
-60 -40 -20 0 20 40 60 -60 -40 -20 0 20 40 60
menjadi  contoh  cara  menggambar  bagi  pembaca.  Misalkan  pada  Gambar  2  adalah kurva dengan versi titik saja (*).
Gambar 2. Titik-titik penyusun Curve Stitching CPP Persamaan (1.b) 𝑎 = 20, 𝑝 = 780, 𝑞 = −200, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3.9 , 𝑛 = 25 (banyaknya titik yang digunakan untuk menggambar)
Selanjutnya  desain  yang  sama  digambar  dengan  versi  garis  yang  ditunjukkan  pada Gambar 3.
Gambar 3 . Kurva modifikasi hypocycloid dari Persamaan (2.a) dengan 𝑎 = 20, 𝑝 = 780, 𝑞 = −200, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3.9 , 𝑛 = 25 (banyaknya titik yang digunakan untuk menggambar) dengan titik (*) dan garis
Padahal kita menghendaki panjang kurva yang dibentuk antar 2 titik berturutan yang kemudian  ditambahkan.    Jadi  secara  sederhana  kita  perlu  mengetahui  jarak  antar  2 titik  sehingga  kita  dapat  menggunakan  hukum  Phytagoras.  Hanya  saja,  tentu  kita
harus tahu apakah garis yang dibentuk antar 2 titik yang berturutan atau tidak. Untuk itu perlu indeks dan koordinat yang jelas terlihat.
Gambar 4 menghubungkan titik ke-1, ke-2 dan ke-3 yang berturut-turut disimbolkan pada titik A, B dan C. Dari daftar jarak antar 2 titik yang diperoleh maka ada 2 macam potongan 1 dimensi antar 2 titik yang berturutan. Ingat masing-masing belum punya satuan sebagaimana diilustrasikan pada Gambar 4.
Gambar 4. Persamaan (2) dengan 𝑎 = 20, 𝑝 = 780, 𝑞 = −200, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = 3.9 , 𝑛 = 25 (banyaknya titik diskrit untuk menggambar) dengan titik (*) dan garis dimana titik pertama, kedua dan ketiga berturut-turut pada a, b dan c
Masalah  selanjutnya  bagaimana  menginstruksi  tukang  agar  dapat  membuat  tepat sesuai  ukuran  yang  kita  berikan.  Ingat  sekalipun  desain  diberikan  tidak  serta  merta dipahami oleh industri kecil. Oleh karena itu koordinat dan ukuran tiap pasang titik perlu  jelas,  sehingga  perlu  diberikan  pelabelan  pada  setiap  titik.  Demikian  dalam pembuatan  CSCPP  harus  memperhatikan  pelabelan  sehingga  pembuatan  massal CSCPP  tetap  mempunyai  pola  yang  sama.  Dari  batang  dengan  nomor  titik  dimulai dari 1 hingga ke 9 maka untuk menyusun batang kawat dari ke-9 dengan ke-10 akan bersilangan  dengan  batang  dari  titik  ke-1  dan  ke-2.  Oleh  karena  itu,  batang  dengan koordinat  ke-9  dan  ke-10  harus  berada  di  atas  batang  pertama  (koordinat  ke-1  dan koordinat  ke-2).  Adapun  potongan  kawat  dengan  indeks  ke  10  dan  ke-11  belum bersilangan  dengan  batang  yang  ada.  Karena  pada  penyusunan  tahap  ini,  batang tersebut belum dipasang.  Adapun batang dengan label ke-11 dan ke-12 harus di atas dan bersilangan dengan batang dengan label ke-2 dan ke-3. Demikian seterusnya.

## 2.4. Menetapkan Ukuran Praktis dalam Dimensi
Jika  potongan  sudah  diberikan,  masalah  yang  timbul  selanjutnya  adalah  menata batang-batang  tadi  dalam  bentuk  yang  dikehendaki  dengan  tepat.    Untuk  itu  maka perlu  pola  penskalaan  yang  harus  dipenuhi.  Berdasarkan  gambar  yang  dihasilkan maka diperlukan penskalaan sebagai berikut,
a) Panjang sisi perlu dihitung , hal ini didefinisikan sebagai,
𝛥𝑥 𝑖 = 𝑥 𝑖+1 − 𝑥 𝑖 𝛥𝑦 𝑖 = 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖
untuk 𝑖 = 1, … , 𝑛 − 1 . Selanjutnya hukum Phytagoras dapat diterapkan.
b) Untuk sumbu horizontal dan vertikal perlu diskala sebagai berikut,
𝑥̄ = max( 𝑥) + |min( 𝑥)| 𝑦̄ = max( 𝑦) + |min( 𝑦)|
Selanjutnya dicari referensi untuk panjang sumbu yaitu,
𝐷 = max{𝑥̄, 𝑦̄} .
Selanjutnya  ditetapkan  referensi  panjang  sisi-sisi  sebagai  batas  luar  objek  2  dimensi yang  akan  dibuat,  misalkan  disebut  sebagai ref L .  Jadi  tiap  sisi  harus  dihitung panjangnya  dan  kemudian  diskalakan  dalam  bentuk  berdimensi  dimana  setiap  sisi dihitung,
𝑙 𝑖 = √𝛥𝑥 𝑖 2 + 𝛥𝑦 𝑖 2 , 𝑖 = 1, … , 𝑛.
Pendekatan  ini  juga  telah  diusulkan  oleh  seorang  peneliti  bahwa  algoritma  untuk mengestimasi  parameter  dalam  kurva  dan  permukaan  parametrik  dengan  cara meminimalkan  jumlah  kuadrat  tersebut  dari  jarak  terpendek  antara  2 kurva/permukaan dengan titik-titik yang diberikan [11].
Selanjutnya,  bagaimana  tukang  mengikuti  pola  gambar  setelah  materi  diperoleh? Perhatikan  bahwa  kemiringan/sudut  harus  tepat  agar  masing-masing  potongan terhubung  dengan  benar.  Oleh  karena  itu  perlu  ada  komunikasi  lebih  lanjut  dengan pelaku  industri.  Diantaranya  adalah  membuatkan  sketsa  desain  sesuai  ukuran  yang dikehendaki.  Jika  koordinat  sudah  ada,  maka  urutan  pemasangan  penting  untuk diperhatikan.  Urutan  yang  berbeda  akan  memberikan  tumpang  tindih  pada  kawat yang  berbeda.  Jadi  indeks  pada  tiap  titik  diperlukan  agar  tukang  dapat  mempunyai pola  tumpang  tindih  kawat  yang  sama.  Jadi  program  perlu  dimodifikasi  untuk menampilkan  indeks.  Bagian  program  yang  memuat  indeks  sesuai  koordinat ditunjukkan pada bagian selanjutnya.

## 3.  Hasil dan Pembahasan
Sebagaimana disebutkan pada metode penelitian, terdapat beberapa macam CPP yang dapat dibuat dengan memvariasi banyaknya titik untuk menggambar pada Persamaan (2).  Oleh  karena  itu  di  bawah  ini  diberikan  beberapa  CPP  yang  diperoleh  yang digunakan  untuk  pembuatan  CSCPP  ataupun  ornamen  matematika.  Dibandingkan dengan visualisasi kurva oleh literatur yang lain, seperti kurva dari persamaan Lorenz
yang memperhatikan kelengkungan kurva [12], maka desain yang diperoleh ini sangat ditentukan oleh diskritisasi yang digunakan.

## 3.1. Desain-Desain yang Dipilih dalam Curve Stitching
Keunikan Curve  Stitching pada  umumnya  ditentukan  oleh  pola  dan  banyaknya  dan jenis  material  yang  digunakan.  Oleh  karena  itu,  beberapa  pola  yang  diperoleh  perlu dipilih dan hasil ditunjukkan pada Gambar 5-7.
Gambar  5. Persamaan (2) dengan 𝑎  = 1, 𝑏 = 𝑝 𝑞 , 𝑝 = 24 dan 𝑞 =  12, 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝑝𝜋.
Gambar 6. Persamaan (2) dengan 𝑎 = 20, 𝑝 = 750, 𝑞 = −75, 𝑏 = 10, dan 𝑛 = 50
Untuk  dapat  membuat  pola  Gambar  5-7,  maka  setiap  titik  perlu  diberi  label  secara otomatis  sebagaimana  dijelaskan  pada  bagian  metode.  Selain  pemberian  label,  perlu ditetapkan bahwa jika terjadi penumpukan penyusunan maka penumpukan dilakukan diatas kawat yang sudah ada.
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -3 -2 -1 0 1 2 3 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 -30 -20 -10 0 10 20 30
Gambar 7. Persamaan (1.b) dimana 𝑎 = 70, 𝑝 = 180, 𝑞 = 170, 𝑑𝑎𝑛 𝑏 = −1.05 , 𝑛 = 20 (banyaknya titik yang digunakan untuk menggambar)

## 3.2. Hasil-Hasil CPP dan Pengembangan
Beberapa desain di atas kemudian dibuat dengan benang, kawat dan sedotan. CSCPP dengan  benang  dan  sedotan  dikerjakan  oleh  mahasiswa  sebagai  materi  kuliah matematika  industri  sehingga  hasil  desain  dapat  digunakan  sebagai  prototipe  untuk berbagai  keperluan.  Adapun  desain  dengan  kawat  harus  dikerjakan  dengan  industri rumah tangga. Gambar 8 dan Gambar 9 adalah hasil CSCPP dengan desain berturut- turut dari Gambar 5 dan Gambar 7.
Gambar 8. Hasil CSCPP dengan desain dari Gambar 6
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
Efek Diskritisasi pada Modifikasi Hypocycloid Menjadi CSCPP …
Gambar 9. Hasil CSCPP dengan desain dari Gambar 7
Pola  pada  Gambar 7  juga  menjadi kegiatan  pola Curve  Stitching dengan aturan yang berbeda  pada  kegiatan Science  &  Engineering  Festival yang  dibawakan di  Washington DC  pada  Apri  16-17,  2016.  Jadi  pola-pola  yang  terbuat  dapat  menjadi  media  yang memperkenalkan  matematika  dengan  cara  yang  kreatif  dan  inovatif.  Desain  yang serupa  pada  museum  matematika MoMath di  Amerika  juga  diperoleh  namun  tidak dibuat  dari  kurva  modifikasi hypocycloid .  Hal  ini  menunjukkan  bahwa  hasil  pada penelitian  ini  original  dan  masih  dimungkinkan  dibentuknya  berbagai  CPP  yang variative,  yang  dapat  digunakan  untuk  media  bermain  siswa  ataupun  mahasiswa dalam memperkenalkan inovasi dan kreativitas matematika.

## 3.3. CPP pada Ornamen Matematika
Desain  yang  ditunjukkan  pada  Gambar  4-7  dapat  digunakan  sebagai  acuan  untuk membuat  ornamen  matematika  dari  bahan  sedotan  atau  kawat.  Pada  tulisan  ini ditunjukkan hasil ornamen dengan desain CPP dari Gambar 4 dengan menggunakan sedotan dan kawat.
Gambar 10. Penamaan 𝐿 𝑟𝑒𝑓 , sisi pendek dan sisi panjang pada Gambar 4
Sedotan  dan  kawat  dipilih  karena  termasuk  material  yang  murah  dan  paling  aman bagi siswa.  Meksi demikian, desain tersebut harus dengan ukuran yang cukup masuk akal.  Berbagai  ukuran  yang  dikehendaki  dapat  dibuat  dengan  mengikuti  pola penskalaan  pada  bagian  subbab  2.4.  Referensi  yang  digunakan  adalah  panjang  sisi terluar  yang  melingkupi  gambar/desain,  sehingga  kita  dapat  menyusun  beberapa ukuran  CPP  Gambar  4  yang  terdiri  dari  8  sisi  panjang  dan  16  sisi  pendek  yang digambarkan  pada  Gambar  10.  Ukuran  yang  berkaitan  dengan  sisi  panjang,  sisi pendek dan sudut penyusun tiap 2 sisi berturutan dinyatakan pada Tabel 1.
Tabel 1.  Data ukuran panjang sisi polygon tiap panjang referensi yang dipilih ( 𝐿 𝑟𝑒𝑓 )
Keterangan 𝐿 𝑟𝑒𝑓 = 10𝑐𝑚 2* 𝐿 𝑟𝑒𝑓 3 𝐿 𝑟𝑒𝑓 5 𝐿 𝑟𝑒𝑓 Ukuran sisi pendek 2,9570      5,9139      8,8709     14,7848 Ukuran sisi panjang 4,1440      8,2880     12,4320     20,7200 Sudut sisi pendek dan sisi panjang (derajat) 149,4848    149,4848    149,4848    149,4848 Sudut sisi pendek dan sisi pendek (derajat) 106,0305  106,0305  106,0305  106,0305
Dengan  bidang  yang  melingkupi  CPP  adalah  30  cm  x  30  cm,  dibuat  ornamen matematika dengan sedotan sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 11.
Gambar 11. Pembuatan ornamen matematika CPP dengan sedotan menurut pola Gambar 4
Selanjutnya, dengan menggunakan referensi dan ukuran yang sama, dibuat ornamen matematika dengan bahan kawat sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 12.
Gambar 12. Pembuatan ornamen matematika CPP dengan kawat menurut pola Gambar 4
Efek Diskritisasi pada Modifikasi Hypocycloid Menjadi CSCPP …
Sejauh ini karya-karya Curve Stitching tidak banyak dihasilkan sebagai karya  tertulis dalam  jurnal  yang  bereputasi  karena  dasar  keilmuan  yang  digunakan  sangat sederhana  tetapi  dengan  melakukan  variasi  dan  inovasi  kurva-kurva  sederhana dengan cara berbeda. Oleh karena itu tidak banyak pustaka yang dapat dirujuk pada tulisan ini sekalipun terdapat juga penulis yang membahas tentang kurva dengan art yang  terkait  [13].  Demikian  pula  pemanfaatan  kurva hypocycloid umumnya  muncul pada  aplikasi  mekanika  seperti  pada gear [14][8][15]  untuk  mempelajari  gerak kinematik  antar  2  gerak  linear hypocycloid .  Hal  inilah  yang  menjadi  novelti  dalam tulisan  ini  dimana hypocycloid dapat  dimanfaatkan  dalam  pembuatan Curve  Stitching sebagai media kreatif pada matematika.

## 4.  Kesimpulan
Pada  tulisan  ini  telah  dibahas  penyusunan Curve  Stitching dengan  modifikasi persamaan hypocycloid yang mengabaikan makna geometris dari nilai parameter yang digunakan. Terdapat beberapa kurva dimana kurva dengan garis lurus dipilih sebagai golongan Connected  Pseudo  Polygon (CPP).  Pembentukan  yang  diperoleh  berdasarkan urutan  pemasangan  sehingga  setiap  titik  penghubung  2  sisi  berturutan  diberi  label angka  urutan  pemasangan.  CPP  dibuat  sebagai Curve  Stitching Connected  Pseudo Polygon (CSCPP) dari benang dan ornamen dari sedotan dan kawat.

## Ucapan Terimakasih
Tulisan  ini  merupakan  luaran  dari  penelitian  yang  didanai  oleh  dana  penelitian internal UKSW dengan judul BMOV tahun anggaran 2018/2019.

## Referensi
[1] G. Taubin , “Estimation of planar curves, surfaces, and nonplanar space curves defined  by  implicit  equations  with  applications  to  edge  and  range  image segmentation,” IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell. , vol. 13, no. 11, pp. 1115 – 1138, 1991.
[2] A.  Iglesias et  al. ,  “Cuckoo  Search  Algorithm  with  Lévy  Flights  for  Global - Support Parametric Surface Approximation in Reverse Engineering,” Symmetry (Basel). , vol. 10, no. 3, p. 58, Mar. 2018.
[3] G. Irving and H. Segerman, “Developing fractal curves,” J. Math. Arts , vol. 7, no.
3 – 4, pp. 103 – 121, Dec. 2013.
[4] J. D. Boissonnat and M. Teillaud, Effective Computational Geometry for Curves and Surfaces . Springer Berlin Heidelberg, 2006..
[5] A.  Biran,  “Parametric  Curves,”  in Geometry  for  Naval  Architects ,  Technion: Elsevier, 2019, pp. 197 – 222.
[6] C. von Renesse and V. Ecke, “Discovering The Art of Mathematics: Using String Art to Investigate Calculus,” PRIMUS , vol. 26, no. 4, pp. 283 – 296, Apr. 2016.
[7] M.  Henle  and  B.  Hopkins,  Eds., Martin  Gardner  in  the  Twenty-First  Century . Washington: The Mathematical Association of America, 2012.
[8] D. M. Freeman, “Epicycloid curves and continued fractions,” J. Math. Arts , vol.
11, no. 2, pp. 100 – 113, Apr. 2017.
[9] O.  Aichholzer,  F.  Aurenhammer,  C.  Huemer,  and  H.  Krasse r,  “Transforming spanning trees and pseudo- triangulations,” Inf. Process. Lett. , vol. 97, no. 1, pp. 19 – 22, Jan. 2006.
[10] H. A. Parhusip, “Arts revealed in calculus and its extension,” Int. J. Stat. Math. , vol. 1, no. 3, pp. 016 – 023, 2014.
[11] C.  Li  and  G.  P.  Peterson,  “Parametric  Study  of  Pool  Boiling  on  Horizontal Highly Conductive Microporous Coated Surfaces,” J. Heat Transfer , vol. 129, no. 11, pp. 1465 – 1475, Nov. 2007.
[12] H.  M.  Osinga  and  B.  Krauskopf,  “Visualizing  curvature  on  the  Lorenz manifold,” J. Math. Arts , vol. 1, no. 2, pp. 113 – 123, Jun. 2007.
[13]  J. Nicol, On the Curve The Life and Art of Sybil Andrews Janet Nicol . Canada: Caitlin Press Inc., 2019.
[14] S.  Wang,  J.  Zhu,  X.  Wang,  Q.  Li,  and  H.  Zhu,  “Kinematics  Modeling  and Simula tion  of  a  Bionic  Fish  Tail  System  Based  on  Linear  Hypocycloid,” Appl. Bionics Biomech. , vol. 2015, pp. 1 – 8, 2015.
[15] M.  Florez,  V.  Carbonell,  and  E.  Martinez,  “Design  of  Cycloids,  Hypocycloids and  Epicycloids  Curves  with  Dynamic  Geometry  Software,”  in Engineering applications, Edulearn11 Proceedings , 2011, pp. 1011 – 1016.