## REPRESENTASI MATEMATIS

## Oleh:
Ahmad Nizar Rangkuti, S. Si., M.Pd 1

## Abstract
Mathematical  representative  is  part  of  mathematicalcommunication. Mathematical communication ability is one of standard of process that still need for growing and students have it. This standard of process must say while process of mathematic learning. Mathematical representative is a picture, translator, act of expressing,  reappointment,  institutionalization,  or  modeling  of  idea,  concept, concept mathematic, and relationship between one configuration, construction, or situation of problem which from the students in medley type as effort to get clarify meaning,  showing  of  comprehending,  or  to  look  for  solution  of  the  problem which there in front of us. Representative is not also to show the result, or product of new configuration or construction, but also process of thinking that is done for getting  and  comprehending  the  concept,  campaign,  and  relationship  of mathematic from one configuration.
Kata kunci: Komunikasi  matematis, dan Representasi matematis
1 Penulis adalah dosen pada Jurusan Tarbiyah Prodi Tadris Matematika IAIN Padangsidimpuan

## PENDAHULUAN
Menghadapi masa depan yang penuh dengan persaingan dan tantangan, diperlukan  kecakapan  dan  keterampilan  tertentu  untuk  dapat  mengatasi problematika dan dinamika zaman yang terus berkembang. Permasalahan yang terus  berdatangan  dalam  kehidupan  perlu  disikapi  secara  cermat,  efektif,  dan efisien  agar  diperoleh  solusi  yang  optimal.  Untuk  mengatasinya  diperlukan kemampuan  berpikir  yang  logis,  rasional,  sistematis,  kritis,  dan  kreatif  yang mampu memecahkan permasalahan.
Tidak  dapat  dipungkiri  bahwa  matematika  sangat  berkaitan  erat  dengan fenomena  kehidupan,  mulai  dari  fenomena  yang  sederhana  sampai  fenomena yang  kompleks.  Penguasaan  matematika  sangat  diperlukan  dalam  kehidupan. Penguasaan  matematika  ini  meliputi  mengemukakan  ide  matematika  ke  dalam bahasanya ( mathematical communication), kemampuan memahami isi (content) matematika  itu  sendiri,  memahami  kaitan  antar  konsep  matematika ( mathematical  connection),  ,  serta  menyusun  model  matematika  dalam menyelesaikan permasalahan ( mathematical problem solving).
Oleh  karena  itu,  karakteristik  kemampuan  matematika  yang  akan dikembangkan  adalah  aspek-aspek  yang  meliputi  komunikasi  matematik, kemampuan  pemahaman  konsep  matematika,  koneksi  matematik,  penalaran matematik,  dan  pemecahan  masalah  matematik.  Pada  tulisan  ini  akan dipaparkan  tentang  representasi  matematis  yang  merupakan  bagian  dari komunikasi matematis.

## PEMBAHASAN
NCTM (1989: 27) menyatakan bahwa representasi merupakan salah satu kunci  keterampilan  komunikasi  matematik 2 .  Dengan  demikian,  jika  proses pembelajaran  matematika  menekankan  pada  keterampilan  dan  kemampuan representasi,  hal  tersebut  pada  dasarnya  melatih  keterampilan  siswa  dalam komunikasi matematis.
2 National  Council  of  Teachers  of  Mathematics. Curriculum  and  Evaluation  Standards  for School Mathematics. (Reston VA:  The National Council of Teachers of Mathematics Inc, 1989) hlm. 27.

## 112
Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis

## 1. Pengertian dan Proses Representasi Matematik
Menurut  Goldin,  representasi  adalah  suatu  konfigurasi  (bentuk  atau susunan)  yang  dapat  menggambarkan,  mewakili,  atau  melambangkan sesuatu  dalam  suatu  cara 3 .  Contohnya,  suatu  kata  dapat  menggambarkan suatu  objek  kehidupan  nyata  atau  suatu  angka  dapat  mewakili  suatu  posisi dalam  garis  bilangan.  Dalam  hal  ini,  hubungan  representasi-representasi dapat dipandang sebagai hubungan dua arah. Misalnya, grafik dalam bidang cartesius  dapat  digunakan  sebagai  representasi  persamaan  (ekspresi matematik)  dengan  cara  menggambarkan  himpunan  penyelesaiannya  atau persamaan  merupakan  representasi  grafik  dengan  cara  membuat  pola hubungan yang memenuhi semua koordinat titiknya.
Secara lebih detail, NCTM menuturkan bahwa: a) proses representasi melibatkan penterjemahan masalah atau ide ke dalam bentuk baru; b) proses representasi termasuk pengubahan diagram atau model fisik ke dalam simbol- simbol atau kata-kata; dan c) proses representasi juga dapat digunakan dalam penterjemahan  atau  penganalisisan  masalah  verbal  untuk  membuat maknanya menjadi jelas 4 .
Dengan demikian, representasi matematik merupakan penggambaran, penterjemahan,  pengungkapan,  penunjukan  kembali,  pelambangan  atau bahkan  pemodelan  dari  ide,  gagasan,  konsep  matematik,  dan  hubungan  di antaranya  yang  termuat  dalam  suatu  konfigurasi,  konstruksi,  atau  situasi masalah  tertentu  yang  ditampilkan  siswa  dalam  bentuk  beragam  sebagai upaya  memperoleh  kejelasan  makna,  menunjukkan  pemahamannya,  atau mencari solusi dari masalah yang dihadapinya.
Sebagai  gambaran  sederhana  dari  representasi  tersebut  dapat ditunjukkan  dalam  contoh  berikut  ini.  Jika  diberikan  konstruksi  atau konfigurasi  berupa  persamaan y  =  x – 3; x,  y  R,  maka  konfigurasi  atau konstruksi  berbeda  dari  persamaan  tersebut  dapat  berupa  tabel  yang menghubungkan  nilai-nilai  dari  variabel x  dan  variabel  y,  grafiknya  dalam
3 Goldin, G.A. Representation in Mathematical Learning and Problem Solving. Dalam L.D English  (Ed).  Handbook  of  International  Research  in  Mathematics  Education  (IRME).  (New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, 2002) hlm 209.
4 NCTM, Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, hlm. 27
bidang  cartesius,  penafsiran  makna  persamaan  tersebut  dalam  bentuk  kata- kata,  uraian  situasi  masalahnya  dalam  bentuk  soal  cerita,  atau  konfigurasi lainnya yang memiliki makna sesuai dengan persamaan tersebut.
Berdasarkan  uraian  dan  contoh  di  atas  terlihat  bahwa  representasi sebenarnya  bukan  hanya  menunjuk  kepada  hasil  atau  produk  yang diwujudkan  dalam  konfigurasi  atau  konstruksi  baru  dan  berbeda  tetapi  juga proses pikir yang dilakukan untuk dapat menangkap dan memahami konsep, operasi, dan hubungan-hubungan matematik dari suatu konfigurasi. Artinya, proses  representasi  matematik  berlangsung  dalam  dua  tahap  yaitu  secara internal dan eksternal.
Representasi internal adalah proses berpikir tentang ide-ide matematik yang memungkinkan fikiran seseorang bekerja atas dasar ide tersebut. Untuk memahami  konsep  matematik  yang  lebih  penting  bukanlah  penyimpanan pengalaman masa lalu tetapi bagaimana mendapatkan kembali pengetahuan yang  telah  disimpan  dalam  ingatan  dan  relevan  dengan  kebutuhan  serta dapat  digunakan  ketika  diperlukan.  Selanjutnya,  dijelaskan  pula  bahwa proses mendapatkan pengetahuan yang relevan dan penggunaannya sangat terkait  dengan  pengkodean  pengalaman  masa  lalu  tersebut.  Proses  itulah yang  disebut  representasi  internal  karena  merupakan  salah  satu  aktivitas mental.
Proses  representasi  internal  tersebut  tentu  tidak  dapat  diamati  secara kasat  mata  dan  tidak  dapat  dinilai  secara  langsung  karena  merupakan aktivitas mental seseorang di dalam pikirannya. Dengan kata lain, seseorang yang melakukan proses representasi internal dalam belajar matematika akan berpikir  tentang  ide,  gagasan,  atau  konsep  matematik  yang  sedang dipelajarinya  agar  dapat  memaknai  dan  memahami  masalah  secara  jelas, menghubungkan  dan  mengaitkan  masalah  tersebut  dengan  pengetahuan yang telah dimilikinya, dan menyusun strategi penyelesaiannya.
Adapun  representasi  eksternal  adalah  hasil  perwujudan  untuk menggambarkan apa-apa yang dikerjakan siswa, guru, ahli matematik secara internal  atau  representasi  internal.  Hasil  perwujudan  tersebut  dapat diungkapkan  baik  secara  lisan  atau  tulisan  dalam  bentuk  kata-kata,  simbol,
114 Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
ekspresi, atau notasi matematik, gambar, grafik, diagram, tabel, atau melalui objek fisik berupa alat peraga .
Hiebert  dan  Wearne  memandang  bahwa  pemahaman  konsep  yang dibangun  dalam  pengkonstruksian  pemikiran  akan  menghubungkan beberapa  representasi  ide-ide  matematik  secara  fisik,  gambar,  verbal,  dan simbol 5 .  Lebih  jauh,  Hiebert  dan  Wearne  memberi  kesan  bahwa pembangunan  hubungan-hubungan  antara  representasi  eksternal  akan mendorong  tumbuhnya  pemahaman  konsep  dan  representasi  internal  yang lebih terpadu dari ide-ide matematik.
Berdasarkan  paparan  di  atas  terlihat  bahwa  proses  interaksi representasi  internal  dan  representasi  eksternal  terjadi  secara  timbal-balik (feedback) ketika seseorang mempelajari matematika. Secara visual, interaksi timbal-balik antara kedua representasi tersebut digambarkan sebagai berikut:
Interaksi
Gambar 1.
Interaksi Timbal-Balik antara Representasi Internal dan Eksternal
Dengan  demikian,  jika  siswa  memiliki  kemampuan  membuat representasi-representasi tersebut, secara khusus siswa telah mempunyai alat- alat dalam meningkatkan keterampilan komunikasi matematiknya dan secara umum  dapat  meningkatkan  kemampuan  matematiknya.  Hal  ini  disebabkan representasi-representasi tersebut dapat membantu siswa untuk mengorganisasikan  pikirannya,  memudahkan  pemahamannya,  serta memfokuskannya  pada  hal-hal  yang  esensial  dari  masalah  matematik  yang dihadapinya.
5 Mulligan,  J.,  et.al. Representation  and  Comprehension  of  Numeral  by  Children. International Conference on Mathematical Education. (Belanda, 2002) hlm. 14
Representasi Internal
Representasi Eksternal

## 2. Manfaat Representasi Matematik dalam Pembelajaran Matematika
Representasi,  baik  secara  internal  maupun  secara  eksternal  perlu dilakukan  dalam  proses  pembelajaran  matematika  karena  dapat  membantu siswa  dalam  mengorganisasikan  fikirannya,  memudahkan  pemahamannya, serta  memfokuskannya  pada  hal-hal  yang  esensial  dari  masalah  matematik yang dihadapinya. Selain itu, representasi juga dapat membantu siswa dalam membangun  konsep  atau  prinsip  matematik  yang  sedang  dipelajarinya. Dengan  demikian,  sangat  tepat  disebutkan  bahwa  representasi  merupakan pusat pembelajaran dan penggunaan matematika.
Representasi sebagai elemen krusial dalam pembelajaran matematika bukan  hanya  karena  penggunaan  sistem  simbol  sangat  penting  dalam matematika; sintaksis dan semantiknya yang kaya, bervariasi, dan universal; tetapi  juga  karena  alasan  kuat  secara  epistemologi  yaitu  matematika memainkan bagian penting dalam konseptualisasi dunia nyata.
Representasi  bukan  hanya  bermanfaat  untuk  siswa  tetapi  juga  untuk guru.  Beberapa  manfaat  atau  nilai  tambah  yang  diperoleh  guru  atau  siswa sebagai  hasil  proses  pengajaran  dan  pembelajaran  yang  melibatkan representasi matematik adalah sebagai berikut:
a. Pengajaran  yang  melibatkan  representasi  dapat  memicu  guru  dalam meningkatkan  kemampuan  mengajar  dengan  cara  belajar  baik  dari representasi-representasi yang dihadirkan siswa – karena seringkali siswa menggambarkan  sesuatu  yang  berbeda  dengan  apa  yang  ada  dalam fikiran  guru  bahkan  siswa  membuat  representasi  yang  aneh-aneh (idiocyncratic) – maupun  dengan  proses  pengembangan  wawasan keilmuannya.  Pada  sisi  yang  lain,  representasi-representasi  yang  dibuat oleh  siswa  memberi  kesempatan  kepada  guru  untuk  mengetahui  dan mengakses bagaimana siswa berpikir tentang matematika.
b. Pembelajaran matematika yang menekankan representasi dapat memberi manfaat atau nilai tambah untuk siswa seperti:
1).  Meningkatkan Pemahaman Siswa.
Belajar matematika dengan mengandalkan pemahaman berarti bahwa gagasan atau ide matematik yang dipelajari direpresentasikan dengan  baik  secara  internal  di  dalam  fikiran  siswa  maupun  secara
116 Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
eksternal berupa penyajian dalam bentuk lisan, simbol-simbol tertulis, gambar-gambar,  atau  objek-objek  fisik.  Penggunaan  representasi matematik  dalam  pembelajaran  dapat  membuat  siswa  lebih  baik dalam  pemahaman,  penganalisisan  cara  penyelesaian,  penyediaan fasilitas pemanipulasian, dan pembentukan mental image baru 6 .
2).  Menjadikan Representasi Matematik sebagai Alat Konseptual
Thomas  dan  Hong  berpendapat  bahwa  suatu  representasi dapat  dilihat  sebagai  suatu  konstruksi  yang  multi-muka  yang mengasumsikan  peran-peran  berbeda  tergantung  kepada  cara  siswa berinteraksi  dengan  representasi  tersebut 7 .  Siswa  dapat  berinteraksi dengan  representasi  sedikitnya  dalam  dua  cara  yaitu  dengan mengobservasinya atau dengan melakukannya.
Observasi  representasi  ini  dapat  dilakukan  pada  level permukaan yaitu siswa hanya sebatas memandang suatu representasi atau  pada  level  yang  lebih  dalam  yaitu  siswa  mengerti  segala  seluk beluknya.  Misalnya,  ketika  siswa  memandang  suatu  representasi, maka dia hanya dapat mengomentari sifat-sifat representasi itu sendiri. Tetapi  ketika  mengerti,  siswa  tersebut  dapat  menggunakan representasi  tersebut  untuk  membantunya  memperhatikan  sifat-sifat dan objek konsep yang dihadirkan. Dalam hal ini, ide dari observasi representasi  sangat  penting  untuk  membangun  struktur  kognitif  lebih dari  yang  dibutuhkan.  Namun,  ketika  hal  tersebut  berlangsung  lebih jauh,  misalnya  siswa  melakukan  sesuatu  sebagai  hasil  dari observasi representasinya  untuk  memperoleh  informasi  konsep  dan pemahamannya,  representasi  tersebut  dapat  menjadi  alat  konseptual bagi  siswa.  Sebagai  contoh,  siswa  yang  hanya  memandang  suatu
6 Downs,  J.M.  dan  Downs,  M. Advanced      Mathematical  Thinking  with  a  Special Reference  to  Reflection  on  Mathematical  Structure.  Dalam  L.D  English  (Ed).  Handbook International  Research  in  Mathematics  Education  (IRME).  (New  Jersey:  Lawrence  Erlbaum Associates, 2002) hlm 178 .
7 Hong,  Y.  Y.,  &  Thomas,  M.  O.  J.  Representational  versatility  and  linear  algebraic equations. In Kinshuk, R. Lewis, K. Akahori, R. Kemp, T. Okamoto, L. Henderson, & C-H. Lee (Eds.)  ( Proceedings  of  the  International  Conference  on  Computers  in  Education,  ICCE  2002, Auckland, 2), hlm. 1002–1006
repesentasi  grafik  penyebaran  lima  data  akan  mengatakan representasi  tersebut  seperti  bukit  atau  seperti  gunung.  Tetapi  ketika siswa mengerti, dia akan dapat mengomentari sifat-sifat fungsi seperti maksimumnya atau minimumnya atau bahkan dapat membuat tabel dan melakukan aproksimasi nilai tengah dari fungsi.
Contoh  berikut  merupakan  kasus  yang  ditemukan  oleh Thomas  dan  Hong  berkaitan  dengan  kebiasaan  siswa  yang berinteraksi  dengan  representasi  grafik  atau  tabel  nilai-nilai  fungsi secara  aljabar (process-oriented)  dan  memandang  grafik  atau  tabel nilai-nilai fungsi tersebut hanya sebagai rangkaian pasangan titik atau nilai-nilai yang berlainan (discrete). Misalnya, diberikan persamaan 4 - 2 x  =  3x – 1.  Siswa  diminta  menggunakan  tabel  sebagai  alat  untuk menyelesaikan  persamaan  linear  tersebut.  Siswa  yang  memiliki kebiasaan  menyelesaikan  persamaan  linear  secara process-oriented tidak  dapat  merelasikan  nilai-nilai  input-output  dalam  tabel  untuk menyelesaikan  persamaan  tersebut.  Namun,  siswa  lain  yang  tidak dapat  menyelesaikan  persamaan  dengan  benar  dalam  representasi aljabar  ternyata  dapat  menggunakan  representasi  tabel  sebagai  alat konseptual  untuk  menyelesaikan  persamaan  dengan  menyatakan solusinya adalah x = 1 dan y = 2 karena jika x = 1, maka diperoleh y = 2 secara konsisten untuk kedua persamaan tersebut.
Dari  contoh  di  atas  terlihat  bahwa  interaksi  yang  dilakukan siswa  terhadap  representasi  dapat  menggambarkan  mampu  tidaknya seorang  siswa  menjadikan  representasi  sebagai  alat  konseptual.  Cara yang  dapat  dilakukan  agar  siswa  dapat  berinteraksi  dengan representasi  lebih  dari  sebatas  memandangnya  adalah  siswa  selalu diminta untuk membuat representasi beragam dan menggunakannya sebagai  alat  penyelesaian  masalah  serta  meminta  mereka  untuk memberikan penjelasan atau alasan pemilihan dari setiap representasi yang dibuatnya. 3).  Meningkatkan Kemampuan Siswa dalam Menghubungkan Representasi    Matematik dengan Koneksi sebagai Alat Penyelesaian Masalah.

## 118
Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
Selain komunikasi, aspek kemampuan matematik lainnya yang harus  dikembangkan  dalam  pembelajaran  adalah  koneksi.  Untuk memenuhi dua kepentingan tersebut, representasi menjadi komponen penting  untuk  ditekankan  dalam  proses  pembelajaran  matematika karena  representasi  selain  menjadi  salah  satu  kunci  keterampilan komunikasi juga merupakan salah satu aspek proses dalam koneksi. Lebih  jauh,  Hodgson  mengklaim  bahwa  kemampuan  untuk menggunakan  koneksi  akan  memperkuat  kemampuan  siswa  sebagai pemecah  masalah 8 .  Sedangkan  alat  yang  fleksibel  agar  siswa  dapat memecahkan  masalah  adalah  siswa  dapat  mengaplikasikan  dan menterjemahkan di antara representasi-representasi yang berbeda dari situasi masalah atau konsep yang sama.
Hubungan  antara  representasi  matematik  dengan  koneksi sebagai alat penyelesaian masalah dapat diurutkan dalam dua tahap yaitu: 1) koneksi pemodelan antara situasi masalah atau konsep dan representasi-representasi  matematiknya;  2)  koneksi  matematik  antara dua  representasi  yang  ekuivalen  dan  antara  proses-prosesnya  yang berkorespondensi dalam masing-masing representasi untuk menghasilkan  solusi.  Secara  visual,  hubungan  antara  representasi matematik  dengan  koneksi  sebagai  alat  penyelesaian  masalah  dapat dilihat dalam Gambar 2 berikut:
8 Hodgson,  T.R. Connections  as  Problem-Solving  Tools.  Dalam  P.A.  House  dan  A.F Coxford  (Eds).  Yearbook  Connecting  Mathematics  Across  The  Curriculum.  Reston,  VA:  (The National Council of Teachers of Mathematics, 1995). hlm 1.
Gambar 2.
Hubungan antara Representasi Matematik dengan Koneksi sebagai   Alat Pemecah Masalah (NCTM, 1989: 146)
Pada  dasarnya,  manfaat  yang  diharapkan  muncul  dalam pembahasan ini, selain untuk meningkatkan kemampuan siswa dalam menghubungkan representasi matematik dengan koneksi sebagai alat penyelesaian  masalah  juga  untuk  memperluas  cara  pandang  siswa agar  melihat  matematika  sebagai  suatu  kesatuan  yang  menyeluruh bukan  sebagai  suatu  kumpulan  topik-topik  yang  terpisah  satu  sama lain. Sebagai contoh, disajikan situasi masalah sebagai berikut:
Pak Harun akan memagari sebidang tanah berbentuk huruf L dengan luas 15 satuan persegi seperti pada gambar di bawah ini. Pak Harun ingin meminta bantuan kalian untuk menentukan panjang x dan y.
Buatlah  dua  bentuk  penyajian  yang menggambarkan hubungan x dan y dari situasi  masalah  tersebut.  Kemudian proseslah  kedua  bentuk  penyajian tersebut untuk menentukan x dan y.
y x 6 3 2

## 120 Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
Untuk  membuat  solusi  dari  situasi  masalah  tersebut,  terlebih dahulu  siswa  membuat  koneksi  pemodelan.  Misalnya,  dengan merumuskan persamaan matematik sebagai representasi pertama dan menggambarkan  grafiknya  sebagai  representasi  kedua.  Sedangkan koneksi  matematik  terjadi  antara  kedua  representasi  yang  ekuivalen dari  konsep  yang  sama  yaitu  persamaan  matematik  dan  grafik  serta antara  setiap  representasi  dengan  prosesnya  masing-masing  yaitu persamaan  matematik  dengan  proses  aljabarnya  dan  grafik  dengan proses  analisisnya.  Hasil  dari  kedua  proses  tersebut  akan  memberi jawaban yang sama sebagai solusi jika representasi yang dibuat siswa benar-benar ekuivalen.
Secara  lengkap,  hubungan  antara  representasi  matematik dengan  koneksi  sebagai  alat  penyelesaian  masalah  dari  situasi masalah tersebut adalah:
Representasi  pertama  yang  dibuat  berdasarkan  gambar  adalah menterjemahkan  informasi  bahwa  panjang y  adalah  panjang  x ditambah  2  satuan  yang  menghasilkan  persamaan
2   x y atau 2    y x .  Kemudian,  berdasarkan  informasi  luas  tanah  dan  gambar dibuat  pula  kaitan  antara  luas  tanah  dengan  rumus  luas  sehingga diperoleh  beberapa  persamaan  karena  tergantung  kepada  cara  siswa membagi-bagi  daerah  yang  akan  dihitung  luasnya.  Persamaan- persamaan tersebut adalah:
6 x + 6 = 15, jika daerah dibagi dua dengan cara memanjangkan garis
horizontal sepanjang 3 satuan pada gambar ke kiri.
6 y – 6 = 15,   jika luas daerah dibuat persegi panjang utuh berukuran panjang  6  satuan  dan  lebar y  satuan,  kemudian
dikurangi luas tanah yang bukan milik Pak Harun.
3 x + 3y = 15,  jika  daerah  dibagi  dua  dengan  cara  memanjangkan garis vertikal sepanjang 2 satuan ke bawah.
12 2 3 2 9   y x ,  jika  daerah  dibagi  dua  sehingga  terbentuk  dua
trapesium siku-siku.
Dengan  demikian,  ada  empat  pasang  model  matematika  sebagai representasi pertama. Salah satunya adalah:
2    y x
3 x + 3y = 15
Selanjutnya,  pada  representasi  pertama  ini  dilakukan  proses  aljabar. Misalnya,  siswa  menggunakan  metode  substitusi,  metode  eliminasi, atau gabungannya. Solusi yang diperoleh dari proses aljabar tersebut adalah
2 7 dan 2 3   y x .
Sedangkan  representasi  kedua  berupa  grafik  dua  garis  lurus  dalam bidang cartesius sebagai berikut:
Dengan mengamati gambar tersebut, siswa mengetahui bahwa kedua grafik saling berpotongan pada suatu titik. Titik       2 7 , 2 3 itulah yang menjadi
solusi untuk menentukan panjang x dan y yang tepat untuk tanah Pak Harun. Bilangan  untuk x  dan  y  sebagai  solusi  masalah  yang  dihasilkan  oleh  kedua proses  representasi  tersebut  sama  karena  kedua  representasi  bersifat ekuivalen.
Koneksi  pemodelan  lainnya  yang  dapat  dibuat  dari  situasi  masalah tersebut  adalah  pasangan  representasi  seperti  tabel-grafik,  diagram-grafik, persamaan-tabel,  atau  diagram-persamaan.  Sedangkan  koneksi  topik matematika  dalam  situasi  masalah  tersebut  terjadi  antara  aljabar  dan geometri.
Melihat manfaat besar yang dapat diperoleh siswa dalam pembelajaran matematika  ini – khususnya  berkaitan  dengan  pencapaian  kemampuan komunikasi,  koneksi,  representasi,  dan  penyelesaian  soal – maka  perhatian
X 1  2  3  4  5  6  7  8 1 2 4 3 4 5 0 - 2 - 1 Y

## 122
Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
dan pelatihan yang terus menerus diharapkan dapat menumbuhkan harapan pada  diri  siswa  bahwa  hal  yang  dipelajarinya  dapat  berguna  dalam mengeksplorasi  konsep  matematik  lainnya.  Selain  itu,  perlu  pula diperkenalkan  kepada  siswa  koneksi  antara  matematika  dan  disiplin  ilmu lainnya serta koneksi antara matematika dengan keseharian (dunia nyata).
4).  Menghindarkan atau Meminimalisir Terjadinya Miskonsepsi.
Pada  dasarnya  dalam  pembelajaran  matematika  selama  ini,  siswa – sesederhana  apapun – telah  mengenal  dan  membuat  representasi  matematik. Tetapi  hal  itu  seringkali  dilakukan  siswa  berdasarkan  hasil  menghafal algoritma  dan  formalitas  prosedur  yang  dilatihkan  oleh  guru  atau  bahkan siswa  membuat  representasi  tersebut  berdasar  pengetahuan  intuitifnya. Namun,  hafalan  algoritma  dan  formalitas  prosedur  serta  penggunaan  intuisi ini  seringkali  memunculkan  ketidakkonsistenan  dalam  diri  siswa  sehingga dapat  menjadi  sumber  kesulitan  dalam  menghadapi  masalah  matematik seperti  terjadinya  miskonsepsi  dan  pemakaian  algoritma  yang  tidak  sesuai. Sebagai contoh, Tirosh dan Tsamir mengemukakan hasil kajian penggunaan pengetahuan  intuitif  siswa  dalam  memberikan  respons  yang  berbeda terhadap  masalah  matematik  yang  sebenarnya  sama  tetapi  melibatkan representasi-representasi  yang  berbeda 9 .  Pertanyaan  yang  diajukan  seorang guru  kepada  siswa  adalah “ Apakah  kedua  himpunan  tak  terbatas  yang direpresentasikan  secara  horizontal  berikut  memiliki  jumlah  elemen  yang sama jika A = {1, 2, 3, 4, … } dan  B = { 1, 4, 9, 16, … }? ” . Siswa menjawab bahwa  jumlah  elemen  kedua  himpunan  tersebut  tidak  sama  karena
n(B) n(A)  atau A B  . Tetapi, ketika guru tersebut mengubah representasi himpunan A dan himpunan B secara vertikal seperti berikut:
A = {1, 2, 3, 4, … } B = {1 2 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , … } ternyata  siswa  menyatakan  bahwa  jumlah  elemen  kedua  himpunan  adalah sama  karena  tiap  satu  elemen  dari  himpunan  A  dapat  dipasangkan  dengan satu elemen dari himpunan B.
9 Even,  R.  dan  Tirosh,  D. Teacher  Knowledge  and  Understanding  of  Student’s Mathematical  Learning.  Dalam  L.D  English  (Ed).  Handbook  of  International  Research  in Mathematics Education (IRME) (New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates, 2002) hlm. 223
Dari  contoh  di  atas  terlihat  jelas  bahwa  hafalan  algoritma  dan formalitas prosedur serta pengetahuan intuitif dapat memunculkan kesalahan dalam  penangkapan  dan  pemahaman  konsep (misconception).  Karena  itu, aktivitas  pembelajaran  yang  melibatkan  partisipasi  siswa  secara  langsung dalam melakukan proses representasi berdasarkan kemampuannya sendiri – namun  diarahkan  oleh  guru – dapat  menghindarkan  atau  meminimalisir terjadinya  miskonsepsi  dan  mendukung  keberhasilan  siswa  dalam mempelajari matematika.

## 3. Rubrik Penskoran Representasi Matematis
Dalam      pengembangan      representasi      matematis      perlu diperhatikan indikator untuk tercapainya peningkatan representasi matematis. Berikut ini akan dijelaskan beberapa indikator dari representasi matematis.
Representasi Bentuk-bentuk Operasional 1 1 Representasi visual a.Grafik, diagram,      dan tabel
 Menyajikan    kembali      data        atau  informasi  dari suatu  representasi  ke  representasi    diagram,  grafik, atau tabel.
 Menggunakan    representasi      visual  untuk menyelesaikan masalah.
b. Gambar  Membuat gambar pola-pola geometri  Membuat    gambar    bangun    geometri    untuk memperjelas      masalah      dan  memfasilitasi penyelesainnya 2 2 Persamaan atau ekspresi matematik  Membuat      persamaan      atau      model  matematika dari representasi lain yang diberikan  Membuat konjektur dari suatu pola bilangan  Penyelesaian masalah dengan melibatkan ekspresi matematik 3 3 Kata-kata  atau teks tertulis  Membuat  situasi  masalah  berdasarkan    data    atau representasi yang diberikan
 Menuliskan  interpretasi  dari  suatu representasi
 Menuliskan  langkah-langkah  penyelesaian      masalah

## 124
Ahmad Nizar................Refresentasi Matematis
matematika dengan kata-kata
 Menyusun  cerita  yang  sesuai  dengan  suatu representasi yang disajikan  Menjawab  soal  dengan  menggunakan  kata-kata  atau teks tertulis
Tabel 1.
Indikator Representasi Matematik
Tiap  representasi  yang  diuji,  yaitu:  representasi  visual,  persamaan  atau ekspresi  matematik,  kata-kata  atau  tulisan  tidak  bersyarat  satu  sama  lainnya, akan tetapi sangat mungkin adanya irisan diantara jenis representasi tersebut. Berikut ini disajikan contoh rubrik penskoran representasi matematis.
Krieria 1 2 3 4 Ketepatan perhitunga n Banyak kesalahan perhitungan  Ada beberapa kesalahan perhitungan  Salah menggunaka n rumus  Sangat sedikit melakukan kesalahan perhitungan  Penggunaan rumus  sudah benar  Sangat sedikit melakukan kesalahan perhitungan  Penggunaan rumus  sudah tepat  Penyelesaian disajikan dengan  rapi dan baik Penjelasan  Tidak jelas  Tidak memahami pola  barisan dan deret aritmatika  Meragukan  Ada pemahaman pola  Ditulis  dengan jelas  Memahami satu aspek hubungan suku  ke – n dengan jumlah  n  suku pertama  Ditulis  dengan jelas  Memahami kedua  aspek hubungan suku  ke – n
dengan banyak  suku ke - n Jawaban  Tidak  benar  Sebagian  Jawaban  Jawaban
yang didapat sama  sekali atau tidak menjawab sama sekali  Tidak menggambar kan representasi dengan dunia  nyata atau  dengan symbol matematika jawaban benar  Sedikit menggambar kan representasi dengan dunia  nyata atau  dengan symbol matematika
hampir sebagian besar benar  Hampir sebagian besar menggambark an representasi dengan  dunia nyata atau dengan symbol matematika yang diperoleh benar dan tepat  Sudah menggambark an representasi dengan  dunia nyata atau dengan symbol matematika
Tabel 2.

## Rubrik Penskoran Representasi Matematik

## PENUTUP
Kemampuan representasi matematis adalah salah satu standar proses yang perlu ditumbuhkan  dan  dimiliki  siswa.  Standar  proses  ini  hendaknya  disampaikan selama  proses  belajar  matematika.  Representasi  matematik  merupakan penggambaran, penterjemahan, pengungkapan, penunjukan kembali, pelambangan atau bahkan pemodelan dari ide, gagasan, konsep matematik, dan hubungan  di  antaranya  yang  termuat  dalam  suatu  konfigurasi,  konstruksi,  atau situasi  masalah  tertentu  yang  ditampilkan  siswa  dalam  bentuk  beragam  sebagai upaya  memperoleh  kejelasan  makna,  menunjukkan  pemahamannya,  atau mencari  solusi  dari  masalah  yang  dihadapinya.  Representasi  bukan  hanya menunjuk  kepada  hasil  atau  produk  yang  diwujudkan  dalam  konfigurasi  atau konstruksi baru dan berbeda tetapi juga proses pikir yang dilakukan untuk dapat menangkap  dan  memahami  konsep,  operasi,  dan  hubungan-hubungan matematik dari suatu konfigurasi.
DAFTAR PUSTAKA
Downs, J.M. dan Downs, M. (2002). Advanced   Mathematical Thinking with a Special  Reference  to  Reflection  on  Mathematical  Structure.  Dalam  L.D English (Ed). Handbook International Research in Mathematics Education (IRME). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Even,  R.  dan  Tirosh,  D.  (2002). Teacher  Knowledge  and  Understanding  of
Student ’ s Mathematical Learning. Dalam L.D English (Ed). Handbook of
International  Research  in  Mathematics  Education  (IRME).  New  Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.
Goldin,  G.A.  (2002). Representation  in  Mathematical  Learning  and  Problem Solving. Dalam L.D English (Ed). Handbook of International Research in Mathematics  Education  (IRME).  New  Jersey:  Lawrence  Erlbaum Associates.
Hong, Y. Y., & Thomas, M. O. J. (2002). Representational versatility and linear algebraic  equations.  In  Kinshuk,  R.  Lewis,  K.  Akahori,  R.  Kemp,  T. Okamoto,  L.  Henderson,  &  C-H.  Lee  (Eds.) Proceedings  of  the International  Conference  on  Computers  in  Education,  ICCE  2002, Auckland, 2, 1002 – 1006
Hodgson,  T.R.  (1995). Connections  as  Problem-Solving  Tools.  Dalam  P.A. House dan A.F Coxford (Eds). Yearbook Connecting Mathematics Across The  Curriculum.  Reston,  VA:  The  National  Council  of  Teachers  of Mathematics.
Izsak, A. dan Sherin, M.G. (2003). Exploring the Use of New Representations as Resources for Teacher Learning. School Science and Mathematics, 1, 103.
Mulligan,  J.,  et.al.  (2002). Representation  and  Comprehension  of  Numeral  by Children. International Conference on Mathematical Education. Belanda.
National Council of Teachers of Mathematics. (1989). Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics. Reston VA:  The National Council of Teachers of Mathematics Inc.
Sabandar,  J  (2004b). Mathematical  Representation.  Makalah.  Disajikan  dalam Conference on Recent Progress in Mathematics Education (CRPME 2004). Bandung: ITB.
Swafford, J.O. dan Langrall, C.W. (2000). Grade 6 Student ’ s Preinstructional Use of Equation to Describe and Represent Problem Situations . Dalam Journal for Research in Mathematics Education. Volume 31. 89-112.