JURNAL GAUSSIAN, Volume 7, Nomor 3,  Tahun 2018, Halaman 224-235 Online di: https://ejournal3.undip.ac.id/index.php/gaussian /

## GENERALIZED PARETO DISTRIBUTION UNTUK PENGUKURAN
VALUE AT RISK PADA PORTOFOLIO SAHAM SYARIAH DAN APLIKASINYA MENGGUNAKAN GUI MATLAB
Desi Nur Rahma 1 , Di Asih I Maruddani 2 , Tarno. 3
1,2,3 Departemen Statistika, Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Diponegoro e-mail : maruddani@gmail.com

## ABSTRACT
The capital market is one of long-term investment alternative. One of the traded products is stock, including sharia stock. The risk  measurement  is an  important thing  for  investor in other that can decrease  investment loss. One of the popular methods now is Value at Risk (VaR). There are many financial data that have heavy tailed, because of extreme values, so Value at Risk Generalized Pareto Distribution is used for this case. This research  also  result  a  Matlab  GUI  programming  application  that  can  help  users  to  measure  the  VaR.  The purpose of this research is to analyze VaR with GPD approach with GUI Matlab for helping the computation in sharia stock. The data that is used in this case are PT XL Axiata Tbk, PT Waskita Karya (Persero) Tbk, dan  PT  Charoen  Pokphand  Indonesia  Tbk  on  January,  2nd  2017  until  May,  31st  2017.  The  results  of VaRGPD  are:  EXCL  single  stock  VaR  8,76%  of  investment,  WSKT  single  stock  VaR  4%  of  investment, CPIN single stock VaR 5,86% of investment, 2 assets portfolio (EXCL and WSKT) 4,09% of investment, 2 assets  portfolio  (EXCL  and  CPIN)  5,28%  of  investment,  2  assets  portfolio  (WSKT  and  CPIN)  3,68%  of investment, and 3 assets portfolio (EXCL, WSKT, and CPIN) 3,75% of investment. It can be concluded that the portfolios  more and  more, the risk  is  smaller. It is  because the possibility of all  stocks of the company dropped together is small.
Keywords: Generalized Pareto Distribution, Value at Risk, Graphical User Interface, sharia stock

## 1. PENDAHULUAN
Pasar  modal  merupakan  salah  satu alternatif  investasi  jangka  panjang  dan  sebagai media  investasi  bagi  pemodal.  Salah  satu  yang  diperjualbelikan  pada  pasar  modal  yaitu saham.  Terdapat  beberapa  jenis  saham,  salah  satunya  saham  syariah.  Perusahaan- perusahaan  yang  sahamnya  termasuk  saham  syariah  terdata  pada  Indeks  Saham  Syariah Indonesia  (ISSI).  Setiap  investasi  antar  saham  yang  dilakukan  akan  memberikan keuntungan dan risiko yang berbeda meskipun dalam sektor industri yang sama. Harapan dari  investor  terhadap  investasinya  adalah  memperoleh  return  sebesar-besarnya  dengan risiko  tertentu.  Pengukuran  risiko  merupakan  hal  yang  sangat  penting  berkaitan  dengan investasi  dana  yang  cukup  besar.  Oleh  sebab  itu,  pengukuran  risiko  perlu  dilakukan  agar risiko  berada  dalam  tingkatan  yang  terkendali  sehingga  dapat  mengurangi  terjadinya kerugian  berinvestasi.  Salah  satu  metode  yang  berkembang  pesat  dan  sangat  populer dipergunakan saat ini ialah Value at Risk (VaR) yang dipopulerkan oleh J. P. Morgan pada tahun 1994.
Data  deret  waktu  keuangan  sebagian  besar  memiliki  ekor  distribusi  yang  gemuk ( heavy tailed ) yaitu ekor distribusi turun secara lambat bila dibandingkan dengan distribusi normal. Ekor gemuk disebabkan oleh adanya nilai ekstrim. Karena adanya kasus ekstrim, maka  perhitungan  nilai  VaR  dilakukan  dengan  menggunakan  metode Peaks  Over Threshold (POT). Menurut Sari dan Sutikno (2013), metode Peaks Over Threshold (POT) adalah metode lain Extreme Value Theory (EVT) yang digunakan untuk mengidentifikasi nilai  ekstrim.  Metode  POT  menggunakan  nilai  patokan  atau  yang  biasa  disebut  dengan threshold. Metode POT mengikuti distribusi Generalized Pareto Distribution (GPD). Setiap  investor  menginginkan  portofolio  yang  efisien  ( efficient  portfolio ),  yaitu portofolio  yang  dapat  memberikan  tingkat  risiko  terendah  dengan return ekspektasi terbesar.  Salah  satu  metode  dalam  pembentukan  portofolio  efisien  yaitu Mean  Variance
Efficient  Portfolio (MVEP).  Pada  metode  MVEP  ini,  portofolio  efisiesn  didefinisikan sebagai  portofolio  yang  memiliki  varian  minimum  di  antara  keseluruhan  kemungkinan portofolio yang dapat dibentuk.
Matlab  ( Matrix  Laboratory )  adalah  sebuah  program  untuk  analisis  dan  komputasi numerik,  merupakan  suatu  bahasa  pemrograman  matematika  lanjutan  yang  dibentuk dengan  dasar  pemikiran  menggunakan  sifat  dan  bentuk  matriks  (Pusadan,  2014). Graphical  User  Interface (GUI)  dapat  dibuat  menggunakan  Matlab,  yang  mengandung menu,  tombol,  teks,  grafis,  dll,  sehingga  pengguna  dapat  mengubahnya  secara  interaktif dengan menggunakan mouse dan keyboard (Hunt, dkk, 2001). Aplikasi GUI pada Matlab diharapkan dapat mempermudah pengguna dalam perhitungan nilai VaR.
Berdasarkan  uraian  tersebut,  peneliti  mengambil  topik  mengenai  “ Generalized Pareto Distribution Untuk Pengukuran Value at Risk pada Portofolio Saham Syariah dan Aplikasinya Menggunakan GUI Matlab”.

## 2. TINJAUANPUSTAKA

## 2.1 Saham Syariah
Menurut Sunariyah (2003), saham adalah penyertaan modal dalam pemilikan suatu Perseroan Terbatas (PT) atau yang biasa  disebut emiten. Suatu saham dapat dikategorikan sebagai saham syariah jika saham tersebut diterbitkan oleh: (ojk.go.id)
1. Emiten  dan  perusahaan  publik  yang  secara  jelas  menyatakan  dalam  anggaran dasarnya bahwa kegiatan usaha emiten dan perusahaan publik tidak bertentangan dengan prinsip-prinsip syariah.
2. Emiten dan perusahaan publik yang tidak menyatakan dalam anggaran dasarnya bahwa kegiatan usaha emiten dan perusahaan publik tidak bertentangan dengan prinsip-prinsip syariah, namun memenuhi kriteria.

## 2.2 Indeks Saham Syariah Indonesia
Indeks  Saham  Syariah  Indonesia  (ISSI)  merupakan  indeks  saham  yang mencerminkan  keseluruhan  saham  syariah  yang  tercatat  di  Bursa  Efek  Indonesia  (BEI). Konstituen  ISSI  adalah  keseluruhan  saham  syariah  tercatat  di  BEI  dan  terdaftar  dalam Daftar  Efek  Syariah  (DES).  Konstituen  ISSI  di review setiap  6  bulan  sekali  (Mei  dan November)  dan  dipublikasikan  pada  awal  bulan  berikutnya.  Konstituen  ISSI  juga dilakukan penyesuaian apabila ada saham syariah yang baru tercatat atau dihapuskan dari DES. (idx.co.id)

## 2.3. Return
Menurut  Ghozali  (2007), return adalah  pendapatan  yang  akan  diterima  jika menginvestasikan  uang  pada  suatu  aktiva financial (saham,  obligasi,  dll)  atau  aktiva  riil ( property , tanah, dll).
(1) Keterangan:
H t = Harga saham pada periode t H t-1 = Harga saham pada periode t-1

## 2.4 Metode Mean Variance Efficient Portfolio
Menurut Maruddani dan Purbowati (2009), salah satu metode dalam pembentukan portofolio  efisien  yaitu Mean  Variance  Efficient  Portfolio (MVEP).  MVEP  didefinisikan sebagai  portofolio  yang  memiliki  varian  minimum  di  antara  keseluruhan  kemungkinan
portofolio yang dapat dibentuk. Jika diasumsikan preferensi investor terhadap risiko adalah risk  averse (menghindari  risiko),  maka  portofolio  yang  memiliki mean  variance efisien ( Mean Variance Efficient Portfolio ) adalah portofolio yang memiliki varian minimum dari mean return nya. Hal tersebut sama dengan mengoptimalisasi bobot 𝒘 = [𝑤 1 … 𝑤 𝑁 ] 𝑇 berdasarkan maksimum mean return dari varian yang diberikan.
Secara  lebih  formal,  akan  dicari  vektor  pembobotan  w  agar  portofolio  yang dibentuk mempunyai varian yang minimum berdasarkan dua batasan ( constraints ) yaitu
1. Spesifikasi awal dari return mean μ p harus tercapai yaitu w T μ . 2. Jumlah  proporsi  dari  portofolio  yang  terbentuk  sama  dengan  1  yaitu w T 1 N =1, dengan 1 N adalah vektor satu dengan dimensi N x 1. Permasalahan optimalisasi dapat diselesaikan dengan fungsi Lagrange yaitu 𝐿 = 𝒘 𝑇 𝜮𝒘 + 𝜆 1 (𝜇 𝑝 − 𝒘 𝑇 𝝁) + 𝜆 2 (1 − 𝒘 𝑇 𝟏 𝑁 ) (2)
dengan   L = fungsi Lagrange λ = faktor pengali Lagrange
Untuk kasus portofolio dengan varian efisien, tidak ada pembatasan pada mean portofolio (λ 1 =0), sehingga pembobotan pada MVEP dengan return 𝑿~𝑁 𝑁 (𝝁, 𝜮) adalah
𝒘 = 𝜮 −1 𝟏 𝑁 𝟏 𝑁 𝑇 𝜮 −1 𝟏 𝑁 (3)
dengan Σ -1 = invers matriks varian-kovarian

## 2.5 Kurtosis
Menurut  Surya  dan  Situngkir  (2006),  kurtosis  merupakan  ukuran  kecenderungan data berada di luar distribusi. Kurtosis dari distribusi normal adalah 3, artinya jika kurtosis lebih besar dari 3 maka sampel data cenderung untuk di luar distribusi normal sedangkan jika kurtosis lebih kecil dari 3, sampel data cenderung berada di dalam lingkupan distribusi normal. Kurtosis didefinisikan sebagai:
𝛾 2 = 𝜇 4 𝜎 4 (4)
dengan 𝜇 4 = 𝐸{(𝑋 − 𝜇) 4 } merupakan momen tengah keempat. Distribusi yang leptokurtis (kelebihan  kurtosis)  ditandai  dengan  nilai  maksimum  yang  sempit  namun  sangat  besar nilainya,  dan  ekor  distribusi  yang  lebih  gemuk  daripada  ekor  distribusi  Gaussian. Kelebihan kurtosis dinyatakan sebagai γ 2 ’ = γ 2 – 3 (5)
karena kurtosis dari distribusi normal adalah 3.

## 2.6 Nilai Threshold
Menurut  Sari  dan  Sutikno  (2013),  nilai threshold adalah  batas  ambang  patokan dalam menentukan nilai ekstrim. Nilai-nilai yang berada di atas threshold merupakan nilai ekstrim.  Metode  dalam  menentukan  nilai threshold yang  lebih  mudah  digunakan  adalah metode  prosentase.  Menurut  Chaves-Dermoulin  dan  Embrechts  (2002),  10%  dari  data merupakan  nilai  kelebihan  atau  yang  disebut  dengan  nilai  ekstrim.  Langkah-langkah metode prosentase sebagai berikut:
1. Mengurutkan data dari yang terbesar hingga yang terkecil.
2. Menghitung  jumlah  data  ekstrim  n  =  10%  x  N  dengan  n  adalah  jumlah  data ekstrim dan N adalah jumlah sampel data. Sehingga data yang berada di urutan 1 hingga n merupakan nilai ekstrim.
3. Menentukan nilai threshold (u) yaitu data ke (n + 1).

## 2.7 Metode Peaks Over Threshold
Menurut  Sari  dan  Sutikno  (2013),  metode Peaks  Over  Threshold (POT)  adalah metode  lain Extreme  Value  Theory (EVT)  yang  digunakan  untuk  mengidentifikasi  nilai ekstrim.  Metode  POT  menggunakan  nilai  patokan  atau  yang  biasa  disebut  dengan threshold .  Metode  POT  mengikuti  distribusi Generalized  Pareto  Distribution (GPD). Teorema Pickland-Dalkema dan de Haan menyatakan bahwa apabila semakin tinggi nilai threshold maka distribusinya akan mengikuti GPD.

## 2.8 Generalized Pareto Distribution
Probability Density Function GPD adalah sebagai berikut (Sari dan Sutikno, 2013):
𝑓(𝑥|𝜉, 𝜎) = { 1 𝜎 (1 + 𝜉𝑥 𝜎 ) − 1 𝜉 −1 , 𝜉 ≠ 0 1 𝜎 𝑒𝑥𝑝 (− 𝑥 𝜎 ) , 𝜉 = 0 (6)
dengan 0 ≤ x < ∞ jika ξ ≥ 0 dan 0 ≤ x < -σ / ξ jika ξ < 0.
GPD memiliki dua parameter yaitu parameter bentuk (ξ) dan parameter skala (σ). Terdapat tiga tipe distribusi dalam GPD. Tipe 1 berdistribusi Eksponensial jika ξ = 0, tipe 2  berdistribusi  Pareto  jika  ξ  >  0,  dan  tipe  3  berdistribusi  Beta jika  ξ  <  0.  Semakin  besar nilai ξ maka distribusi akan memiliki ekor yang semakin gemuk.

## 2.9 Estimasi Parameter
Menurut  Sari  dan  Sutikno  (2013),  salah  satu  metode  mengestimasi  parameter Generalized  Pareto  Distribution (GPD)  adalah Maximum  Likelihood  Estimation (MLE). X 1 ,X 2 ,…,X n adalah variable random yang berdistribusi identik dan independen GPD ( 𝜉, 𝜎 ). Cara  kerja  metode  ini  adalah  memaksimumkan  fungsi likelihood yang  merupakan  fungsi peluang bersama x 1 ,x 2 ,…,x n . Fungsi likelihood dari probability density GPD untuk ξ ≠ 0 adalah sebagai berikut:
𝐿(𝜉, 𝜎|𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝜎 −𝑛 ∏ (1 + 𝜉𝑥 𝑖 𝜎 ) −( 1 𝜉 +1) 𝑛 𝑖=1 (7)
Fungsi ln likelihood dari persamaan (6) adalah sebagai berikut: ln 𝐿(𝜉, 𝜎|𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = −𝑛 ln 𝜎 − ( 1 𝜉 + 1) ∑ 𝑙𝑛 (1 + 𝜉𝑥 𝑖 𝜎 ) 𝑛 𝑖=1 (8)
Setelah mendapatkan  fungsi  ln likelihood ,  mendapatkan  turunan  pertama terhadap parameternya yaitu ξ dan σ:
𝜕 ln 𝐿 𝜕𝜉 = 1 𝜉 2 ∑ 𝑙𝑛 (1 + 𝜉𝑥 𝑖 𝜎 ) − ( 1 𝜉 + 1) ∑ 𝑥 𝑖 (𝜎+𝜉𝑥 𝑖 ) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 (9) 𝜕 ln 𝐿 𝜕𝜎 = 𝜎 −1 (−𝑛 + (1 + 𝜉) ∑ 𝑥 𝑖 𝜎+𝜉𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ) (10)
Selanjutnya membuat persamaan turunan pertama menjadisama dengan nol hingga terbentuk  persamaan  yang  closed  form  untuk  mendapatkan  estimasi  parameter  sebagai berikut:
𝜉̂ = ∑ 𝑙𝑛(1+ 𝜉̂𝑥𝑖 𝜎 ̂ ) 𝑛 𝑖=1 (1+𝜉̂) ∑ 𝑥𝑖 (𝜎 ̂+𝜉̂𝑥𝑖) 𝑛 𝑖=1 (11)
𝜎̂ = (1+𝜉̂−𝑛𝜉̂) ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 2 (12)
Persamaan  (11)  merupakan  persamaan  yang  tidak closed  form karena  masih terdapat parameter di dalam persamaan akhirnya. Salah satu penyelesaian persamaan yang tidak closed form adalah metode Newton Raphson.
Penggunaan  metode  Newton  Raphson  dilakukan  dengan  melakukan  iterasi-iterasi hingga  didapatkan  hasil  yang  konvergen.  Persamaan  umum  Newton  Raphson  sebagai berikut:
𝜃 𝑙+1 = 𝜃 𝑙 − 𝑔(𝜃 𝑙 )𝐻 −1 (𝜃 𝑙 ) (13)
g(θ) adalah vektor gradien berukuran 1 x p dengan p adalah jumlah parameter. g(θ) berisi turunan  pertama probability  density  function GPD  terhadap  parameternya.  H(θ)  adalah matriks Hessian berukuran p x p yang berisi turunan kedua terhadap parameter.
𝑔(𝜃) = [ 𝜕 ln 𝐿 𝜕𝜉 𝜕 ln 𝐿 𝜕𝜎 ] (14)
𝐻(𝜃) = [ 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜉 2 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜉𝜕𝜎 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜉𝜕𝜎 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜎 2 ] (15)
Turunan kedua dari fungsi ln likelihood sebagai berikut: 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜉 2 = 2𝜉 −3 [𝜉 ∑ 𝑥 𝑖 𝜎+𝜉𝑥 𝑖 − ∑ 𝑙𝑛 (1 + 𝜉𝑥 𝑖 𝜎 ) 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 + (1 + 1 𝜉 ) ∑ 𝑥 𝑖 2 (𝜎+𝜉𝑥 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 ] (16) 𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜎 2 = 𝜎 −2 [𝑛 − (1 + 𝜉) ∑ 𝑥 𝑖 (2𝜎+𝜉𝑥 𝑖 ) (𝜎+𝜉𝑥 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 ] (17)
𝜕 2 ln 𝐿 𝜕𝜉𝜕𝜎 = 𝜉 −1 [(1 + 𝜉) ∑ 𝑥 𝑖 (𝜎+𝜉𝑥 𝑖 ) 2 𝑛 𝑖=1 −𝜎 −1 ∑ 𝑥 𝑖 𝜎+𝜉𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ] (18)
Iterasi  Newton  Raphson  diawali  dengan  menentukan  nilai  θ 0 .  θ 0 merupakan  vektor  yang elemennya berisi 𝜉̂ 0 dan 𝜃̂ 0 . Maka nilai estimasi awal tersebut  disubstitusikan pada vektor gradien  dan  matriks  Hessian.  Nilai 𝜎̂ 0 didekati  dengan  standar  deviasi  data  ekstrim  (s) sedangkan 𝜉̂ 0 didapatkan  dari  substitusi  persamaan  (12)  untuk  σ  ke  persamaan  (9).  Hasil substitusi dijadikan sama dengan nol. Estimasi awal parameter bentuk sebagai berikut:
𝜉̂ 0 = 𝑛 2 𝑠−∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 −𝑛 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 (19)
Iterasi berhenti apabila |θ n+1 – θ n | < ε. Fungsi likelihood untuk ξ = 0 dari probability density function GPD adalah sebagai berikut:
𝐿(𝜎|𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = 𝜎 −𝑛 𝑒 − ∑ 𝑥𝑖 𝜎 𝑛 𝑖=1 (20)
Fungsi ln likelihood dari persamaan 18 adalah sebagai berikut: ln 𝐿 (𝜎|𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 ) = −𝑛 𝑙𝑛 𝜎 − 1 𝜎 ∑ 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=1 (21)
Estimasi parameter skala 𝜎̂ diperoleh dengan membuat persamaan turunan pertama fungsi ln likelihood menjadi sama dengan nol.
𝜎̂ = 𝑥̅ (22)
2.10 Value at Risk
Menurut Jorion (2001), Value at Risk (VaR) merupakan kerugian maksimum yang akan diperoleh pada tingkat kepercayaan tertentu.
𝑉𝑎𝑅 𝐺𝑃𝐷 = 𝑢 + 𝜎 𝜉 {[ 𝑛 𝑁 𝑢 (1 − 𝑐𝑙)] −𝜉 − 1} (23)
dengan cl adalah tingkat kepercayaan ( confidence level ) VaR.

## 2.11 GUI
Menurut  Pusadan  (2014),  Matlab  ( Matrix  Laboratory )  adalah  sebuah  program untuk analisis dan komputasi numerik, merupakan suatu bahasa pemrograman matematika lanjutan  yang  dibentuk  dengan  dasar  pemikiran  menggunakan  sifat  dan  bentuk  matriks. Menurut Hunt, dkk (2001), dengan menggunakan Matlab, Graphical User Interface (GUI) dapat dibuat,  yang mengandung menu, tombol, teks, grafis, dll, sehingga pengguna dapat mengubahnya secara interaktif dengan menggunakan mouse dan keyboard .

## 3. METODE PENELITIAN

## 3.1. Jenis dan Sumber Data
Pada  penelitian  ini  jenis  data  yang  digunakan  adalah  data  sekunder.  Data  ini merupakan data harga penutupan ( closing price ) saham syariah harian pada PT XL Axiata Tbk, PT Waskita Karya (Persero) Tbk, dan PT Charoen Pokphand Indonesia Tbk periode 2 Januari 2017 sampai 31 Mei 2017 dengan jumlah data sebanyak 102. Data closing price ini didapatkan  dari  website  www.finance.yahoo.com.  Perusahan-perusahaan  tersebut  berasal dari sektor-sektor yang berbeda yaitu telekomunikasi, konstruksi, dan pangan.

## 3.2. Metode Pengumpulan Data
Pengambilan data dilakukan dengan mengunduh data melalui situs www.yahoo.finance.com pada perusahaan PT XL Axiata Tbk, PT Waskita Karya (Persero) Tbk,  dan  PT  Charoen  Pokphand  Indonesia  Tbk  periode  2  Januari  2017  sampai  31  Mei 2017.

## 3.3. Variabel Penelitian
Variabel  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah closing  price saham  harian pada  PT  XL  Axiata  Tbk,  PT  Waskita  Karya  (Persero)  Tbk,  dan  PT  Charoen  Pokphand Indonesia Tbk. Pemilihan perusahaan-perusahaan tersebut berdasarkan sektor-sektor  yang berbeda yaitu telekomunikasi, konstruksi, dan pangan.

## 3.4 Langkah Analisis Saham tunggal
1. Menyiapkan data yang digunakan dalam penelitian.
2. Identifikasi pola pergerakan closing price saham.
3. Menghitung return dan membuat plotnya.
4. Menguji apakah terdapat data ekstrim dengan melihat nilai kurtosisnya.
5. Menentukan nilai threshold dan nilai-nilai ekstrim.
6. Memeriksa  kesesuaian  distribusi  GPD  nilai-nilai  ekstrim  menggunakan pengujian hipotesis Kolmogorov-Smirnov.
7. Mengestimasi  parameter  GPD  dengan  metode Maximum  Likelihood  Estimation (MLE).
8. Menghitung nilai VaR GPD.
9. Membuat Graphical User Interface (GUI) untuk perhitungan VaR GPD. Saham portofolio
1. Menyiapkan data yang digunakan dalam penelitian.
2. Identifikasi pola pergerakan closing price masing-masing saham.
3. Menghitung return masing-masing saham dan membuat plotnya.
4. Menguji normalitas multivariat kedua return saham.
5. Menghitung portofolio dengan menggunakan metode Mean Variance Efficient Portfolio (MVEP).
6. Menguji apakah terdapat data ekstrim dengan melihat nilai kurtosisnya.
7. Menentukan nilai threshold dan nilai-nilai ekstrim.
8. Memeriksa  kesesuaian  distribusi  GPD  nilai-nilai  ekstrim  menggunakan pengujian hipotesis Kolmogorov-Smirnov.
9. Mengestimasi parameter GPD dengan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE).
10. Menghitung nilai VaR GPD.
11. Membuat Graphical User Interface (GUI) untuk perhitungan VaR GPD

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengukuran Value at Risk Return Saham
(a)
(b)
(c)
Gambar 1. Plot Return Saham: (a) EXCL, (b) WSKT, (c) CPIN; Periode 2 Januari 2017 - 31 Mei 2017
Berdasarkan  plot-plot  pada  Gambar  1  terlihat  bahwa  terdapat  puncak-puncak  yang berpeluang  terdapat  data  ekstrim  tetapi  volatilitas  cenderung  tidak  tinggi.  Karena  adanya data ekstrim, maka analisisnya bisa digunakan analisis untuk kasus Extreme Value , dengan salah satu metodenya  yaitu Peaks Over  Threshold menggunakan pendekatan Generalized Pareto Distribution .

## Asumsi Normalitas Multivariat
(a) (b) (c)
(d)
Gambar 2. Plot Uji Asumsi Normalitas Multivariat: (a) EXCL, WSKT, dan CPIN, (b) EXCL dan WSKT, (c) EXCL dan CPIN, (d) WSKT dan CPIN Plot  pada  Gambar  2  merupakan  plot  antara  jarak  mahalanobis  dengan  nilai  chi  kuadrat. Data  dikatakan  berdistribusi  normal  multivariat  jika  plotnya  membentuk  garis  lurus. Berdasarkan  Gambar  2,  dapat  disimpulkan  bahwa  data-data  tersebut  berdistribusi normalitas multivariat, sehingga dapat dilanjutkan dengan metode Mean Variance Efficient Portfolio (MVEP) untuk pembentukan portofolio.
Metode Mean Variance Efficient Portofolio (MVEP)

## Tabel 1. Bobot Portofolio
EXCL  WSKT  CPIN EXCL dan WSKT 0,2514  0,7486 EXCL dan CPIN 0,3988 0,6012 WSKT dan CPIN 0,6748  0,3252 EXCL, WSKT, dan CPIN  0,1587  0,5886  0,2527
Untuk portofolio 2 aset (EXCL dan WSKT), proporsi bobotnya adalah 0,318 untuk EXCL dan 0,682 untuk WSKT. Begitu pula seterusnya. Tabel return portofolio ditampilkan dalam lampiran.

## Kurtosis
Tabel 2. Nilai Kurtosis Kurtosis EXCL 4,3527 WSKT 5,8833 CPIN 3,1815 EXCL dan WSKT 3,6881 EXCL dan CPIN 3,7171 WSKT dan CPIN 4,8218 EXCL, WSKT, dan CPIN 3,5907
Berdasarkan Tabel 2, dapat disimpulkan bahwa semua data return baik data return saham tunggal maupun portofolio memiliki data-data ekstrim karena nilai kurtosis > 3.
Nilai Threshold dan Data Ekstrim
Tabel 3. Nilai Threshold Threshold EXCL 0,031449 WSKT 0,012793 CPIN 0,024000 EXCL dan WSKT 0,015100 EXCL dan CPIN 0,021500 WSKT dan CPIN 0,012400 EXCL, WSKT, dan CPIN 0,013400 Tabel 4. Nilai-Nilai Ekstrim No EXCL WSKT CPIN EXCL dan WSKT EXCL dan CPIN WSKT dan CPIN EXCL, WSKT, dan CPIN 1  0,098440  0,063988  0,059900  0,042100  0,050400  0,051800  0,040700 2  0,061409  0,046130  0,046400  0,039600  0,040900  0,033200  0,032000 3  0,056967  0,039221  0,045900  0,037800  0,037100  0,026500  0,028400 4  0,054941  0,023347  0,045200  0,023100  0,037100  0,023700  0,022600 5  0,054460  0,021232  0,038200  0,021900  0,036300  0,023600  0,021300 6  0,044913  0,020451  0,033400  0,017400  0,035300  0,021900  0,017600 7  0,039740  0,017778  0,030800  0,017300  0,029300  0,020300  0,017400 8  0,034552  0,017316  0,028800  0,016600  0,027900  0,016800  0,017000 9  0,034540  0,015625  0,027700  0,015800  0,024000  0,014400  0,015600 10  0,033448  0,015267  0,026400  0,015800  0,023100  0,013800  0,014600 11  0,031952  0,013363  0,024700  0,015700  0,021600  0,012500  0,014100
Uji Kesesuaian Distribusi Generalized Pareto Distribution (GPD)

## Tabel 5. Uji Kesesuaian Distribusi GPD
D hitung D 1-α EXCL 0,172 0,391 WSKT 0,148 0,391 CPIN 0,139 0,391 WEXCL dan WSKT 0,218 0,391 EXCL dan CPIN 0,154 0,391 WSKT dan CPIN 0,163 0,391 EXCL, WSKT, dan CPIN 0,121 0,391
Dapat  disimpulkan  bahwa  data-data  ekstrim  semua return saham  tunggal  dan  portofolio mengikuti distribusi Generalized Pareto Distribution k arena semua D hitung < D 1-α (0.391).
Estimasi Parameter Generalized Pareto Distribution (GPD)
Tabel 6. Estimasi Parameter GPD ξ σ EXCL -1,0860  0,1069 WSKT -0,6487  0,0445 CPIN -1,1082  0,0664 EXCL dan WSKT -1,2167  0,0512 EXCL dan CPIN -1,2466  0,0628 WSKT dan CPIN -0,7820  0,0418 EXCL, WSKT, dan CPIN -1,1553  0,0470
Value at Risk (VaR) Generalized Pareto Distribution (GPD)
Tabel 7. Nilai Value at Risk (VaR) VaR EXCL 0,0876 WSKT 0,0400 CPIN 0,0586 EXCL dan WSKT 0,0409 EXCL dan CPIN 0,0528 WSKT dan CPIN 0,0368 EXCL, WSKT, dan CPIN 0,0375
Berdasarkan nilai-nilai pada Tabel 7, terlihat bahwa risiko terkecil adalah portofolio saham 2 aset yang terdiri dari saham PT Waskita Karya (Persero) Tbk dan PT Charoen Pokphand Indonesia  Tbk.  Portofolio  saham  3  aset  juga  memiliki  nilai Value  at  Risk yang  kecil, karena  biasanya  semakin  banyak  jumlah  perusahaan  pada  portofolionya  maka  semakin kecil  risikonya,  karena  kemungkinan  anjloknya  semua  saham-saham  perusahaan  tersebut secara bersama-sama kecil.

## 4.2 Graphical User Interface (GUI) Matlab
Gambar 3. Tampilan Home GUI Matlab Generalized Pareto Distribution untuk Pengukuran Value at Risk
Gambar 4. Tampilan Analisis
Pemaparan tampilan dan cara penggunaan program GUI Matlab Generalized Pareto Distribution untuk Pengukuran Value at Risk sebagai berikut.
1. Tampilan Home GUI  Matlab Generalized  Pareto  Distribution untuk Pengukuran Value at Risk dapat dilihat pada Gambar 3.
2. Bagian dalam GUI Matlab Generalized Pareto Distribution untuk Pengukuran Value  at  Risk dapat  ditampilkan  dengan  melakukan  klik  pada  tombol “Analisis”, sehingga akan muncul tampilan seperti pada Gambar 4.
3. Penginputan data dilakukan dengan mengklik tombol “Input Data”. Data yang dimasukkan  adalah  data closing  price saham.  Data  tersebut  akan  muncul  di dalam tabel yang telah tersedia seperti pada Gambar 4.
4. Perhitungan  nilai return dilakukan  dengan  mengklik  tombol  “Hitung  Return”. Hasil output nya  akan  muncul  pada  tabel  yang  telah  tersedia  seperti  pada Gambar 4.
5. Jika  syarat  asumsi  normalitas  multivariat  terpenuhi  maka  dapat  dilanjutkan pada langkah selanjutnya yaitu mengklik tombol  “Hitung Data Ekstrim” untuk menentukan data portofolio, kurtosis, dan data ekstrim seperti pada Gambar 4.
6. Jika syarat uji kesesuaian distribusi terpenuhi maka langkah berikutnya adalah pendugaan parameter dan perhitungan nilai Value at Risk serta penentuan Value at  Risk yang  paling  optimal  dengan  memasukkan  nilai  tingkat  kepercayaan seperti pada Gambar 4.
7. Cara  mengakhiri  program  yaitu  dengan  melakukan  klik  pada  tombol “Keluar” seperti pada Gambar 3.

## 8. KESIMPULAN
Dari hasil perhitungan, diperoleh:
1. VaR saham tunggal EXCL, WSKT, dan CPIN masing-masing sebesar 0,0876, 0,04, dan 0,0586 yang menunjukkan bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, maka kemungkinan kerugian  maksimal  pada  1  hari  ke  depan  adalah  8,76%,  4%,  dan  5,86%  dari  besarnya investasi.
2. VaR portofolio 2 aset (EXCL dan WSKT), (EXCL dan CPIN), dan (WSKT dan CPIN) masing-masing  sebesar  0,0409,  0,0528,  dan  0,0368  yang  menunjukkan  bahwa  dengan tingkat kepercayaan 95%, maka kemungkinan kerugian maksimal pada 1 hari ke depan adalah 4,09%, 5,28%, dan 3,68% dari besarnya investasi.
3. VaR  portofolio  3  aset  (EXCL,  WSKT,  dan  CPIN)  sebesar  0,0375,  yang  menunjukkan bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, maka kemungkinan kerugian maksimal pada 1 hari ke depan adalah 3,75% dari besarnya investasi.
Dari  7  nilai  VaR  yang  telah  diperoleh,  baik  saham  tunggal,  portofolio  2  aset,  dan portofolio  3  aset,  diperoleh  VaR  optimal  adalah  VaR  portofolio  2  aset  yaitu  PT  Waskita Karya  (Persero)  Tbk  (WSKT)  dan  PT  Charoen  Pokphand  Indonesia  Tbk  (CPIN)  sebesar 0,0368.  Portofolio  saham  3  aset  juga  memiliki  nilai Value  at  Risk yang  kecil,  karena biasanya  semakin  banyak  portofolio,  maka  semakin  kecil  risikonya.  Hal  ini  dikarenakan kemungkinan  anjloknya  semua  saham-saham  perusahaan  tersebut  secara  bersama-sama kecil.
Pada  penelitian  ini  juga  berhasil  dalam  melakukan  komputasi Generalized  Pareto Distribution untuk Pengukuran Value at Risk dengan menggunakan  GUI Matlab. Dengan GUI  ini  akan  mempermudah  pengguna  dalam  melakukan  pengukuran Value  at  Risk dengan pendekatan Generalized Pareto Distribution .

## DAFTAR PUSTAKA
Ahmad,  K.  2004. Dasar-Dasar  Manajemen  Investasi  dan  Portofolio .  Jakarta:  PT  Rineka Cipta.
Chaves-Dermoulin, V. dan Embrechts P. 2002. “Smooth Extermal Models for Operational Risk”. Financial Valuation and Risk Management Working Paper Series . 135. Dowd,  K.  2002. An  Introduction  to  Market  Risk  Measurement .  England:  John  Wiley  & Sons.
Ghozali,  I.  2007. Manajemen  Risiko  Perbankan:  Pendekatan  Kuantitatif  Value  at  Risk (VaR) . Semarang: Badan Penerbit Universitas Diponegoro. Hanafi, M.M. 2006. Manajemen Risiko . Yogyakarta: Unit Penerbit dan Percetakan Sekolah Tinggi Ilmu Manajemen YKPN.
Haryatmi, S. dan Suryo Guritno. 2008. Metode Statistika Multivariat . Jakarta: Universitas Terbuka.
Hunt,  B.R.,  Ronald  L.  Lipsman,  Jonathan  M.  Rosenberg,  Kevin  R.  Coombes,  John  E. Osborn, dan Garret J. Stuck. 2001. A Guide to Matlab for Beginner and Experienced Users . NewYork: Cambridge University.
idx.co.id. 2018. Indonesia Sharia Stock Index (ISSI) . http://www.idx.co.id/id-id/beranda/ produkdanlayanan/pasarsyariah/indekssahamsyariah.aspx. Diakses pada tanggal 7 Februari 2018.
Jorion, P. 2001. Value at Risk:  The New Benchmark for Managing Financial Risk . USA: McGraw-Hill.
Maruddani, D.A.I. dan Purbowati, A. 2009. “Pengukuran Value at Risk pada Aset Tunggal dan Portofolio dengan Simulasi Monte Carlo”. Media Statistika . Vol. 2 (2), 93-104. ojk.go.id. 2018. Pasar Modal Syariah . http://www.ojk.go.id/id/kanal/syariah/ Pages/Pasar- Modal-Syariah.aspx. Diakses pada tanggal 4 Februari 2018.
Pusadan,  M.Y.  2014.  Pemrograman  Matlab  pada  Sistem  Pakar  Fuzzy.  Yogyakarta: Deepublish.
Sari, Y.D.W. dan Sutikno. 2013. “Estimasi Parameter Generalized Pareto Distribution pada Kasus Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi”. Jurnal Sains dan Seni POMITS . Vol. 2 (2). Sunariyah.  2003. Pengantar  Pengetahuan  Pasar  Modal .  Yogyakarta:  Unit  Penerbit  dan Percetakan (UPP) AMP YKPN.
Surya, Y. dan Hokky Situngkir. 2006. “Value at Risk yang Memperhatikan Sifat Statistika Distribusi Return”. Munich Personal RePEc Archive Paper, 895.