Vol. 3, No.2, 53-59,  Januari 2007
Pergerakan Tanah Pada Lembah Tertimbun Yang Dipengaruhi Gelombang Permukaan Datar
Jeffry Kusuma 

## Abstrak
Tulisan  ini  membahas  mengenai  pergerakan  tanah  pada  lembah  tertimbun  yang  dipengaruhi gelombang  permukaan  datar.  Solusinya  diselesaikan  secara  numerik  dengan  metode  elemen batas dengan menggunakan bahasa pascal.
Kata Kunci : g elombang permukaan datar, metode elemen batas.

## 1. Pendahuluan
Gempa  bumi  merupakan  peristiwa  alam  yang  terjadi  akibat  pergeseran  lempeng  di dalam  bumi  yang  menimbulkan  berbagai  kerusakan  di  atas  permukaan.  Tingkat  kerusakan  oleh gempa pada dasarnya sangat berkaitan dengan berbagai faktor seperti rendahnya mutu konstruksi suatu tempat/bangunan, pengaruh topografi maupun kondisi geologi dari suatu daerah. Dalam hal ini  distribusi  kerusakan  dipengaruhi  oleh  gelombang  seismik  dalam  kaitannya  dengan  topografi lokal dan karakteristik dalam tanah (Wong dan Trifunac,1974).
Dalam beberapa kondisi, pergerakan tanah akibat gempa dapat dibuatkan model secara sederhana,  akan  tetapi  untuk  topografi  tak  beraturan  harus  dihadapkan  oleh  peristiwa  mengenai ruang,  misalnya  kejadian  gempa  yang  melalui  lembah  tertimbun.  Sehingga  para  pakar  sepakat bahwa  guna  menyelesaikan  problem  ini,  harus  meninjau  lembah  tertimbun  ini  sebagai  masalah dua  dimensi  yang  merupakan  permukaan  dari  setengah  bidang  elastik  (Sanchez,  Sesma  dan Esquivel,1979).
Dalam tulisan ini, lembah yang tertimbun ditinjau sebagai daerah yang memiliki batas- batas  tertentu.  Batas-batas  ini  tidak  lain  merupakan  model  yang  ditinjau  yang  selanjutnya merupakan  batas  yang  akan  dikaji  ataupun  dilakukan  perhitungan  akan    simpangan  dan turunannya.

## 2. Pembahasan
Misalkan 1 u dan 2 u adalah  perpindahan  pada  arah  z  di  setengah  ruang  dan  lembah secara  berurutan.  Untuk  perambatan  gelombang  permukaan  datar  SH  (surface  horizontal), perpindahannya memenuhi persamaan gelombang
2 2 x u j   + 2 2 y u j   = 2 2 2 1 t u j j    ,          dengan j =1,2.                  (1)
 Staf pengajar  pada Jurusan Matematika  F.MIPA Universitas Hasanuddin  Makassar
Mauliddin, Jeffry Kusuma
dimana j  = j j   merupakan  kecepatan  gelombang  pada  medium j .  Untuk  gelombang harmonik yang tergantung pada waktu maka j u = iwt e , sehingga dengan mensubstitusi j k = j  
dan j u = iwt e maka persamaan sebelumnya menjadi persamaan Helmholtz
2 2 x u j   + 2 2 y u j   + j j u k 2 = 0.                                                             (2)
Jika ada sebuah gelombang  datar dari satu amplitudo yang merambat pada permukaan setengah ruang elastis, maka
) ( i u = exp  i           y x c y c x t , (3)
dimana   sin 1  x c ,   cos 1  y c ,  = sudut datang.
Adapun gelombang pantul / reflek  berbentuk :
) exp( ) ( y x r c y c x t u    . (4)
Jadi, jika tidak ada iregularitas maka dengan mudah diperoleh daerah solusi yakni:
 ) 0 ( u ) cos( 2 y c y  exp  i (
x c x t  ). (5)
Dengan adanya lembah tertimbun, maka solusi untuk daerah luar lapisan akan berbentuk
) ( ) 0 ( 1 d u u u   , (6)
dimana ) ( d u merupakan perpindahan ke gelombang difraksi.
Gambar 1  Definisi daerah R dan E serta kurva 1 c , 2 c , dan E 
Misalkan ) ( d u dan 2 u dapat ditulis sebagai  penghasil potensial sendiri (Ursell; 1973), dan kurva
1 c dan 2 c (gambar  1)  yang  terdefinisi  didalam    daerah  setengah  ruang  dan  lembah  secara berurutan, maka
Gambar 1c
Mauliddin, Jeffry Kusuma Q c d dS Q P G Q P u ) , ( ) ( ) ( 1 1 ) ( 1    , (7)
dimana  Q E E P c     ; 1 (gambar 1b) dan
Q c dS Q P G Q P u ) , ( ) ( ) ( 2 2 2 2    , (8)
dimana: E R P c Q     ; 2 (Gambar  1c). Karena  perpindahan j u tergantung  pada  posisi  P dan Q serta r , 0 r merupakan vektor posisi pada P dan Q , sehingga diperoleh
 2 2 x   + 2 2 y   + 2 j k  ) , ( Q P G j =-   0 r r   (9)
dengan kondisi batas bebas
y G j   = 0   ;  pada y=0 ; j =1,2. (10)
Fungsi Green diberikan oleh
    ) ( ) ( 4 , 2 ) 2 ( 0 1 ) 2 ( 0 r k H r k H i Q P G j j J   ; j = 1,2 (11)
dimana (.) (.) (.) 0 0 ) 2 ( 0 iY J H   merupakan fungsi Hankel jenis kedua dan berorder nol dengan
  2 1 2 0 2 0 1 ) ( ) ( y y x x r     yang  merupakan  jarak  antara  titik  P ) , ( y x dan  Q ) , ( 0 0 y x serta 
 2 1 2 0 2 0 2 ) ( ) ( y y x x r     yang merupakan  jarak antara titik P ) , ( y x dan Q ) , ( 0 0 y x  .
Untuk perpindahan dan stress secara berurutan yakni
1 u = 2 u , (12)
n u n u      2 2 1 1   , (13)
dimana n merupakan vektor normal pada batas E  . Berdasarkan persamaan (6) dan (7), diperoleh
  ) ( ) ( ) 0 ( 1 P u P u Q c dS Q P G Q ) , ( ) ( 1 1 1   dengan E E P    .               (14)
Subtitusi persamaan (8) dan (14) ke persamaan (12) , diperoleh:
Q c dS Q P G Q ) , ( ) ( 1 1 1   - Q c dS Q P G Q ) , ( ) ( 2 2 2   =- ) ( ) 0 ( P u .                  (15)
Subtitusi persamaan (8) dan (14) ke persamaan (13) , diperoleh:
p Q p c Q p c n P u dS n Q P G Q dS n Q P G Q            ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) 0 ( 2 2 1 1 2 1    ,             (16)
dimana E P   , n p merupakan vektor normal pada batas titik P, dan
1 2   =  .
Persamaan  (15)  dan  (16)  akan  dibuat  dalam  sistem  persamaan  integral  Fredholm  jenis  pertama dengan 1  dan 2  sebagai fungsi tak diketahui.

## Mauliddin, Jeffry Kusuma
Solusi  numerik  pada  kasus  daerah  yang  bermaterial  komposit  sebenarnya  merupakan pengembangan  solusi  numerik  pada  material  homogen.  Oleh  karena  itu  persamaaan  dan pendekatan-pendekatan numerik pada daerah homogen juga berlaku pada daerah komposit.
Dalam hal ini, guna mendapatkan solusi numerik maka dimisalkan ) ( Q j  ;  j=1,2  dan dapat ditulis dalam bentuk
       M m m m m c Q Q Q Q a Q 1 1 1 , ; ) (   , (17)
       N n n n n c Q Q Q Q b Q 1 2 2 , ; ) (   . (18)
Karena persamaan  (17) dan (18) maka persamaan (8) dan (14) menjadi:
     M m m m E P Q P G a P u P u 1 1 ) 0 ( 1 ); , ( ) ( ) ( , (19)
    N n n n R P Q P G b P u 1 2 2 ); , ( ) ( . (20)
Dengan cara yang sama, persamaan (15) dan (16) dapat didiskritkan dengan menentukan L pada titik-titik l P , sehingga diperoleh:
       N n l n l n M m m l m P u Q P G b Q P G a 1 ) 0 ( 2 1 1 ) ( ) , ( ) , ( ;  l 1,2,...,L            (21)
             N n p l p n l n p m l M m m l l l n P u n Q P G b n Q P G a 1 ) 0 ( 2 1 1 ) ( ) , ( ) , (  . (22)
Persamaan (21) dan (22) akan dibentuk dalam sebuah sistem persamaan linear 2L dengan M + N yang  tidak  diketahui. Jika  2L  =  M  +  N,  maka  dengan  demikian  persamaan  (21)  dan  (22)  dapat ditulis sebagai
[A]{x} = {b}. (23)
Solusi {x} yakni minimum mean square error dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan
[A*] T [W][A]{x} = [A*] T [W]{b},
(24)
dimana,      [A*]  merupakan  tranpose  konjugat  dari  matriks  koefisien  [A],  [W]    adalah  matriks diagonal yang memuat faktor normal. Pergerakan tanah yang terjadi merupakan kasus komposit, maka hubungan resiprokal yang terjadi adalah:
2 , 1 ; 0               j dS n U G n G U c j j j j j (25)
Persamaan  integral  diturunkan  dengan  memperhatikan  kontur  yang  membatasi  domain  yang ditinjau.  Bila  material  komposit  terdiri  dari  material  pertama  yang  bagian  luarnya  dibatasi  oleh kontur 1 c dan material kedua seluruhnya berada dalam material pertama dan dibatasi oleh kontur
2 c maka  kontur  yang  membatasi  material  pertama  seluruhnya  adalah  kontur tertutup  sederhana
2 1 c c  .  Dengan  mengeluarkan  sebuah  titik  (a,b)  dari  dalam  kontur  tertutup  yang  membatasi material  pertama,  misalkan  kontur  ini  berbentuk  lingkaran    kecil  dengan  jari-jari  maka diperoleh
0 2 1 1 1 1 1                 dS n U G n G U c c ,                                                                             (26) dS n U G n G U b a U c c               2 1 1 1 1 1 1 ) , (  .                                      (27)
Disini  adalah  konstanta  yang  merupakan  nilai  tengah  Cauchy.  Konstanta  tersebut  akan bernilai 1 jika titik (a,b) pada material pertama berada dalam kontur 2 1 c c  dan bernilai 0.5  jika titik  (a,b)  berada  pada  kontur
2 1 c c  .  Disini  kontur 1 c dipilih dengan  arah  berlawanan  dengan arah jarum jam sedangkan kontur 2 c dipilih searah jarum jam. Dengan mendiskritkan kontur 1 c dan 2 c , katakanlah 1 c ke dalam M segmen dan 2 c ke dalam N segmen maka  persamaan (27) menjadi:
dS n U G n G U dS n U G n G U b a U N i c M i c     
                        1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 ) , (  .            (28)
Demikian pula untuk kontur 2 c yang membatasi material kedua yakni:
dS n U G n G U d c U N i c               
1 2 2 2 2 2 2 ) , (  .                                                        (29)
Selanjutnya dengan melakukan pendekatan elemen konstan yaitu dengan menganggap 1 U , n U   1
pada  kontur dan 2 c serta
2 U , n U   2 pada  kontur 2 c sebagai  suatu  konstanta  serta  untuk segmen ke-j , maka pendekatan solusi menjadi:
                N M M i ij i ij I M i IJ i ij i j P G U P G U b a U 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( ) , (
 ,                                  (30)          N M M i ij i ij i j G U P d c U 1 2 2 2 2 2 ) , (  .                                                               (31)
Jika diberikan M buah syarat awal yang diketahui pada batasan luar material pertama pada kontur 1 c maka  persamaan  (12)  dan  (13)  beserta  syarat  awalnya  akan  segera  membentuk  M+2N persamaan linear dengan M+2N  variabel yang tidak diketahui.
Persamaan ini disusun seperti persamaan (23) dan diselesaikan, maka simpangan U dan n U   pada material 1 maupun material 2 akan diketahui.
Peristiwa  dan  difraksi  gelombang  yang  hanya  sepanjang  arah  vertikal,  amplitudo perpindahan berada bebas pada permukaan yaitu
2 )] 2 ( sin ) ( ) ( [cos 2 2 2 2 1 2 2 H k H k u     , (32)
dengan H merupakan ketebalan seragam (Rosset dan Whitman, 1969 lihat [2]).
Jika lereng-lereng merupakan lembah dan dalamnya lapisan kira-kira sama seperti lebarnya, serta lateral interferensinya signifikan, maka inilah yang menjadikan persamaan (32) tidak digunakan.
1 c
(-2,0)             (-1,0)          (1,0)       (2,0)
n U   = 0 n U   = - sin x (-2,- 2)         (2,-2)
U = cos x
Gambar 2.  Lembah Tertimbun Berbentuk Segi Empat
Material pertama menempati daerah persegi yang dibatasi oleh vertex(-2,0), (-2,-2), (2,- 2), (2,0), sedangkan di dalam material ini terdapat material kedua yang dibatasi oleh vertex (-1,0), (-1,-1), (1,-1), (1,0). Sedangkan syarat batas yang merupakan masalah Robin (masalah campuran) dengan nilai  untuk material kedua adalah 1.
Dari  gambar  2,  dapat  diperoleh  nilai  untuk  material  pertama  sebesar  1  dengan memasukan spesifikasi syarat batas.
    , sin , 2 , 0 , 2 , cos ) 2 , ( x y n U y n U x x U          
kedalam persamaan Helmholtz (2).
Kemudian, jika masing-masing sisi daerah yang berada di sebelah luar (kontur 1 c ) dibagi atas 2 segmen yang sama panjang, demikian pula untuk daerah yang berada di dalam (kontur 2 c ) maka  akan  diperoleh  total  N=8  dan  M=8,  setiap  segmen  harus  ditentukan    titik  ujung  dan  titik tengahnya terlebih dahulu, misalkan untuk sisi (-2,0) sampai (-2,-2).
- Segment 1 :  titik ujung bawahnya (-2,0) dan titik  ujung atasnya (-2,-1) dengan titik tengahnya (-2,-0,5).
- Segment  2 :    titik  ujung  bawahnya  (-2,-1)  dan  titik  ujung  atasnya  (-2,-2)  dengan  titik tengahnya (-2,-1,5).
Selanjutnya ditentukan nilai-nilai solusi   U serta fungsi Green dan turunannya  pada setiap titik segmen yang ada di kontur 1 c . Semua nilai ) 1 ( ij G dan ) 1 ( ij P dapat dihitung dengan metode Bode 10 titik yaitu:
dengan i i f x f  ) ( , ) 10 ( f adalah  turunan  kesepuluh  fungsi f , i i x x h    1 ,  dan  menyatakan nilai errornya.
               7 2 8 1 9 0 1080 15741
2587 89600 9 ) ( 1 2 f f f f f f h dx x f x x       11 ) 10 ( 5 4 6 3 14620 173 5778 19344 h f f f f f     

## Mauliddin, Jeffry Kusuma
Selanjutnya  ditentukan  pula  nilai-nilai  fungsi  Green  dan  turunannya  pada  setiap  titik tengah  segmen  yang  berada  di  titik  kontur 2 c .  Dan  pada  akhirnya,  program  yang  dibuat  akan memudahkan untuk mencari solusi pada setiap titik-titik yang dimaksud.

## 3. Kesimpulan
Dalam mencari suatu solusi numerik terutama untuk persoalan pergerakan tanah yang menggunakan PD Helmholtz dapat digunakan metode elemen batas yang memanfaatkan batasan domainnya untuk mendekati solusinya. Untuk mendekati domain digunakan bentuk poligon (segi banyak).  Dalam  hal  ini  bentuk  poligon  yang  dimaksud  merupakan  bentuk  dari  lembah  yang tertimbun.  Jadi  metode  ini  pada  dasarnya  membagi-bagi  batasan  domain  menjadi  segmen  yang lebih  kecil.  Kemudian  segmen-segmen  yang  dibagi  tadi  dibagi  lagi  untuk  mendekati  integral dengan menggunakan metode bode 10 titik.
Dalam penggunaan metode ini perlu diketahui bahwa semakin banyak pembagian yang dilakukan  pada  pembagian  domain  maka  semakin  akurat  hasil  yang  diperoleh.  Jadi  dengan melakukan proses perhitungan akan didapatkan solusi dan turunan solusi pada batasan domain.

## Daftar Pustaka
[1] George B.Arfken,-,” Mathematical Methods for  Physics ”, edisi IV, New  York, Academic Press.
[2] Jeffry Kusuma, 1994, ” Persamaan Diferensial Helmholtz ”, dalam mata kuliah Persamaan Diferensial Parsial dan Masalah Syarat Batas, Ujung Pandang, 8 Desember.
[3] Fransisco  J.  Sanchez,;  Sesma;  Jorge  A.  Esquivel,1979,  ” Ground    Motion  On  Alluvial Valleys Under Incident Plane SH Waves ”, Bull. Seism. Soc. Am.69.
[4] Paul A Tippler, 1998, ” Fisika Untuk Sains Dan Teknik ”, Jakarta, Erlangga.
[5] MO Tjia,1993, ” Gelombang ” , Bandung, Jurusan Fisika, FMIPA ITB.
[6] M.D.Trifunac,1971,  ” Surface  Motion  Of  Semi-Cylindrical  Alluvial  Valley  For  Incident Plane SH Waves ”, Bull. Seism. Soc.Am.61.