## Model Waktu Eksekusi dari Logaritma Poisson
untuk Mengukur Keandalan Software
R.Fenny Syafariani, .S.Si, M.Stat Dosen Tetap Program Studi Sistem Informasi Universitas Komputer Indonesia

## Abstrak
Model    keandalan  ( reliability) dari  sebuah software baru  dibangun dengan  cara  memprediksi  rata-rata  kegagalan  dari software lama  , dimana  prediksi  tersebut  dilakukan  supaya  lebih  baik  dan  lebih sederhana  dalam  hal  validitas  prediktifnya.  Model  ini  hanya memasukkan waktu eksekusi dan komponen-komponennya.
Kata kunci : reliability , software , forecasting , probabilitas
I. Pendahuluan
Keandalan  dari  suatu software didefinisikan  sebagai peluang operasi bebas kegagalan ( failure free operation ) dari sebuah program komputer  dimana  didalamnya terdapat  lingkungan  dan  waktu yang  spesifik  /  yang  telah ditetapkan.Sebuah kegagalan merupakan  suatu  permulaan dari  operasi  program  menuju kebutuhan-kebutuhan  program yang  ingin  dicapai.  Model keandalan  dari  suatu software memberikan suatu bentuk umum, di pan dan g dari sudut   proses  aca k  yang menj el aska n ke ga ga l an - ke ga gal an, u nt uk men ggol on gkan kean dal an sof t ware at au kua nt i t as  yan g  ber ka i t an sebagai fun gsi dari
ke ga gal an -ke ga gal an yan g  di al a mi   at au  w akt u ekse kusi . Par a me t er - par a met er f ungsi i ni t er gant un g  pada  a kt i vi t as per bai kan  dan  si f at -s i f at yan g  mu n gki n  ada  dar i suat u sof t ware at au pr oses  pen ge mban gan nya . Model bar u i ni mer upa kan hasi l dar i suat u usaha unt uk mene mu kan m odel seder hana  dal a m  val i d i t as pr edi kt i f yan g t i nggi , model   t er sebut   di dasar kan pada model w akt u ekse kusi  Musa. Har us  di ket ahui   j uga bahwa ke ga gal an i t u dapat   di a mat i   dar i   d asar model n ya  da n  bu kan  p ada kesal ahan at au c acat ko de; t i da kl ah pr a kt i s
men ghi t un g
kesal a han - kesal ahan  hi n gga  w akt u ekse kusi n ya men j adi sangat besar.K ar ena j uml ah  ke ga gal an  yang t erj adi   pada  wa kt u  yang t i dak t erbat as ad al ah bergant u n g  pada  sej arah kh usus pel a ksa n aan sebuah  pro gra m,  ma ka   i ni di pandan g san gat bai k sebagai vari abel a cak (j uml ah  kesal ahan  yang dapat di anggap det er mi ni st i s). II.Model K omponen Waktu E ksekusi Sebuah model kean dal an sof t ware d apat di defi n i si kan ke da l am sudut proses a cak {M(τ),τ  0} yang menunj ukkan j uml a h ke ga gal an  yan g  di al a mi oleh  waktu  eksekusi  τ. Proses pen ghi t un gan t ersebut di t et apkan den gan di st ri busi dari M(τ),  termasuk  fungsi ni l ai  rat a -rat a µ( τ) = E[M( τ)]       (1) at au fun gsi  i nt e nsi t as  dari ke ga gal an λ(τ) = (2) Pada ba gi an i ni di asu msi kan u nt uk ko mpon en  wa kt u  e kse kusi dari   model   yan g  a kan di aj ukan.

## 2.1Asum si - asum si
Asu msi -as u msi
ber i kut   i ni   a kan   di buat unt uk menet ap kan ko mpon en  wa kt u  e kse kusi model : Asu msi 1: T i dak ada ke ga gal an  yan g  di ket ahui pada wa kt u τ  =  0,  misalnya  M(0)  =  0 den gan ke mun gki nan sat u. Asumsi 2: Int ens i t as ke ga gal an  a kan  ber kur ang secar a eks ponen si al den gan j u ml ah yang di per ki r a kan dar i ke ga gal an  ya n g  di al a mi . J i ka ki t a menunj ukkan den gan  0 dan  u nt uk masi n g -masi n g  i nt ens i t as ke ga gal an per t a ma dan t i ngkat   pen gur an gan  p ada i nt ensi t as  ke ga gal an  yang di nor mal kan per ke ga gal an, m aka asu msi n ya  dapat   di t ul i s sebagai ( τ)  =  λ 0 . ( 3) Har us di j el askan bahwa ban ya k m odel
mendal i l kan pen gur an gan -pen gur an gan yan g  sa ma   pada  i nt ens i t as ke ga gal an  sel a ma  mas i ng - masi n g  ke ga gal an  di al a mi dan
per bai kan di usaha kan.  Pada  m odel i ni ,  per bai kan  ke ga ga l an - ke ga gal an awal men gur an gi i nt ens i t as ke ga gal an l ebi h dar i ke ga gal an -ke ga gal an ke mudi an, sep er t i
di ekspresi kan ol eh Asu msi 2. Ini men yel esai kan t uj uan yan g  sa ma  unt u k  m odel di ferensi al ,  t et api   j el as merupa kan  se buah  m odel yan g berbeda. It u di hubun gkan  secara  l ebi h erat   denga n  model   de - eut rophi cat i on  geo me t ri k yan g  di ke mu ka kan  ol eh Mor anda,  di   mana   t i n gkat baha ya dar i i nt er val ke ga gal an ber kur ang den gan  car a  geo met r i k. Model   Poi sson  l o gar i t ma dapat   di pandan g  seb agai ver si   t er us -me ner us  dar i model geo met r i k. Per bedaan ant ar a dua model   t er sebut   di j el askan pada Ga mbar  1 .
Ga mbar  1.  Int e nsi t as  K ega gal an  mel awan  j uml a h ke ga gal an -ke ga gal an  yang di al a mi  unt u k  mod el  l ogar i t ma
dan  mo del  de -eut rophi cat i on ge o met r i k Mor a nda Asumsi 3:   Unt u k  i nt e rval wa kt u  yan g  pende k , pel uan g menda pat kan sat u  ke ga gal an  at au   l ebi h dari sat u ke ga gal an sel a ma  ( adal ah masi n g -masi n g  ( )∆ + o(∆ )  dan   o(∆ ),  di   ma na
seba gai  ∆  0. 2.2 Deri vasi dari K uanti tas - kuanti tas Model  P enti ng 2.2.1 F ungsi   Ni l ai   Rat a - rat a dan F ungsi Int ensi t as K egagal an T er l ebi h dul u gu na kan  asu msi   1  da n  2 unt uk menda pat kan
bent u k -bent u k  f un gsi onal unt uk  f u n gsi   ni l ai   r at a - r at a  dan  f ungsi   i nt ens i t as ke ga gal an. J i ka ki t a men ggant i ( 2) men j adi ( 3) , ki t a menda pat kan
per sa maan di f er ensi al :
λ 0 . (4)
At au =  λ 0 (5) Den gan  me mperhat i ka n bahwa (6)
ki t a perol eh  dari  (5)
Den gan  men ggabun gkan
(7),  men ghasi l ka n
di mana C ad al ah ko nst ant a i nt e gr asi . K arena  (0)  =  0  dari
Asu msi   1,  ki t a  perol eh C =  1.  K ar ena  i t u,  dari   (8) ki t a  perol eh   fun gsi   n i l ai rat a -rat a seba gai
yan g  meru pa kan fu n gs i l ogari t ma  dari .
La gi pul a,
dari
defi ni si -defi ni si yang
di beri kan   pada   (2)  ki t a perol eh  fungsi   i nt ens i t as ke ga gal an seba gai
merupa kan  fun gsi  l i ni er t erbal i k dari . 2.2.2 K egagal an - kegagal an ya ng Di al ami
K ega gal an -ke ga gal an yan g  di al a mi   ol eh   w akt u
, M( ),  adal ah  j uml ah r ando mi sasi . Den gan men ggu na kan asu msi - asu msi   1   dan   3,   d apat di bukt i kan   den gan   mu dah bahwa ke mu n gki nan a M ( )   me mi l i ki   ni l ai m di t ent ukan  ol eh
Ini   mer upa kan  di st r i busi Poi sson den ga n r at a -r a t a dan  var i ans  ( ) , yan g
di j el askan pada ( 9) . An ggapl ah bah wa ke ga gal an -ke ga gal an m e t el ah di a mat i sel a ma ( 0, e ) . K ar ena pr o ses Poi s son {M( ) ,  0} me mi l i ki t a mba han - t ambahan i ndepen den, di st r i busi   ber syar at   M ( ) yan g
me mper l i hat kan M ( e )   = m e unt u k > e adal ah  di st r i busi   j uml a h ke ga gal an  sel a ma  ( e , ) , mi sal n ya unt u k m  m e ,
2.2.3 Wakt u  K egagal a n dan Wa kt u Ant ara K egagal an - kegagal an E kspr esi -e ks pr esi yan g di per ol eh p ada Ba gi an 2. 2.2 a kan di gun a kan pada ba gi an i ni unt uk me n el i t i per i l aku  dar i   kuant i t as - kua nt i t as acak seb agai
wa kt u -wa kt u ke ga gal an dan i nt erval -i nt e rval wa kt u  ant ara  ke ga ga l an - ke ga gal an  unt u k  mo del . K uant i t as -kuant i t as i ni
akan   me mbant u   dal a m  hal me mpre di ksi   wa kt u  yang di pergu na kann ya u nt uk men gal a mi sej uml a h ke ga gal an t ert ent u dan ke mun gki n an ope rasi bebas  ke ga gal an  sel a ma sej uml ah  wa kt u  t ert ent u ( mi sal nya  keandal an).
Mi sal kan T i ’ ( i = 1,2,.. .)  menj adi   vari abel acak  yan g  menunj ukkan i nt erval   ke ga gal an  ke i dan  mendefi ni si kan T i ( i = 1,2,.. .)  sebagai   vari abel acak  yan g  menunj ukkan wa kt u  unt u k  ke ga gal a n  ke i ,  mi sal n ya,
di   mana  T 0 =  0.
Perhat i kan bah wa peri st i wa -peri st i wa E1: Ada set i dak - t i daknya kegagal an - kegagal a n i yang di al a mi  ol eh  w ak t u ,
dan E2: Wa kt u u nt uk kegagal an  ke  i   adal ah set i dak - t i daknya ,  ada l ah ekui val en ,  mi sal n ya,
K arena i t u, c.d.f. dari   T i dapa t  di perol eh dari  ( 11) dan (14) seba gai Per hat i kan ba hwa i ni mer upa kan di st r i busi wa kt u unt uk men ghi l an gka n ke ga gal an -ke ga gal an i per t a ma. De mi ki an p ul a, dar i   ( 12)   dan  ( 14)   c.d.f . ber syar at dar i T i
me mper l i hat kan  M( e )   = m e , di ma na i > m e , di p er ol eh seba gai
2.2.4 Keandal an d an Ti ngkat  Bah aya K eandal an  ber syar at   dar i
T i pada  wakt u  ke ga gal an t er akhi r   T i - 1 = i - 1 da pat di per ol eh, men gguna kan
( 16) , seba gai
Per hat i kan  bah wa  i st i l ah ked ua  dar i   ( 17)   adal ah j uml ah  pel uan g  P oi sson kecual i unt u k i st i l ah per t a ma. K ar ena i t u, di per ol eh
Lebi h l anj ut ,  men ggan t i ( 9)   menj adi  ( 18) men ghasi l kan
Ol eh karena i t u,
kean dal an  unt u k  m odel bergant u n g  pada  w akt u ke ga gal an t era khi r i - 1 . J i ka di a mbi l deri vat i ve ne gat i f (18) berkenaa n den gan i , ma ka di perol eh fu ngsi densi t as  bersyarat   (cdf) dari i ,  yai t u,
dan  karena  i t u,  t i n gkat baha ya di perl i hat kan o l eh
Perhat i kan   bah wa  t i n gkat baha ya unt u k m odel adal ah sa ma sep ert i fungsi i nt ens i t as ke ga gal an.  Le bi h  l an j ut , men ggan t i (1) men j adi (21)  men gh asi l ka n III.Esti masi Maxi m um Li kel i hood dari parameter - parameternya Pada ba gi an i ni akan men ge mban gkan met ode Maxi mum Li kel i hood unt uk me mper ki ra ka n para met er -para met er  yang bel u m  di ket ahui  0 da n  . Di si ni a kan di ambi l sebuah  pe n de kat an  yang me mper ki ra ka n  produ k  =  0  den gan men ggu na kan fu ngsi densi t as bersa ma bersyarat     seba gai   fu ngsi Li kel i hood . K emu di an  di t ent ukan   dar i   f u ngsi ni l ai r at a -r at a. D apat di bukt i kan   den gan   mu dah bahwa pen de kat an sebel u mn ya ad al ah ekui val en  de n gan  met ode est i masi ma ksi mu m Li kel i hood ber dasar kan f ungsi   densi t as  ber s a ma t ak  b er s yar at .  Pen de kat an t er sebut men yeder hana kan  pr oses est i masi ( han ya sat u par a met er yang di l i bat kan)   dan  kar ena   i t u menj adi l ebi h ef i si en dal a m per hi t un gan n ya. Di per t i mban gka n pul a  ada  dua  j eni s  dat a ke ga gal an; i nt er val - i nt er val ke ga gal an ( Ba gi an  3. 1)   at au  j u ml ah - j uml ah ke ga gal an per i nt er val  ( Ba gi an  3.2) . 3.1. Est i m asi B erdasarkan Int er val - i nt erval  K egagal an An ggapl ah bah wa
est i masi   di l a ku kan  p ada wa kt u  yan g  di t et ap kan e . K emu di an, j uml a h
ke ga gal an  yan g  di al a mi pada  ( 0, e )   a kan   menj adi var i abel   aca k.  Dal a m  hal i ni ,  dapat   men gguna kan f ungsi   densi t as  ber s a ma ber syar at   seba gai   f u ngsi Li kel i hood . Den gan men gan ggap ke ga ga l an - ke ga gal an m t el ah  di amat i dar i   wakt u   e ks e kusi e dan dengan me mper hat i ka n ba hwa
T m + 1 adal ah  bergant un g han ya  pada  T m kar ena
{T i ,i = 1,2 ,...} me mbe nt u k pr oses Poi sson,  ma ka  di per ol eh fungsi   densi t as  bers a ma dari { T 1 ,. .., T m } yang bergant u n g  pada  M( e )  = m e seba gai Di mana f ( 1 ,..., m ) menunj ukkan fu ngsi densi t as bersa ma t ak
bersyarat  dari   { T 1 ,...T m }.
Den gan men ggu na kan (20),di perol eh fu ngsi densi t as bersa ma t ak bersyarat  seba gai
Dari  (18) j uga di perol eh
Ol eh karena i t u, j i ka  men ggant i   (11 ),   (24)
dan  (25)  menj adi   (23), ma ka di perol eh fu ngsi densi t as bersa ma bersyarat  seba gai Bi sa  di l i hat   bahwa  (26) adal ah berl a ku u nt uk set i ap proses Poi sson l ai nnya.   J uga,   bi sa  di l i hat bahwa apa bi l a fu ngsi densi t as bersa ma dari vari abel -vari abel a cak T 1 ,...,T m me mi l i ki   bent uk
( 26) , var i abel -var i abel acakn ya  adal ah  st at i st i k ur ut an dar i p. d.f .  ( ) /  ( e ) .  Den gan  ka t a l ai n, wa kt u -w akt u ke ga gal an  ya n g  di ur ut kan secar a acak ad al ah i .i .d.( i ndependen  i den t i k) dar i  p.d.f . di  at as. Unt u k  mo del   ya n g di ke mu ka ka n d apat men ggant i   ( 9)   da n   ( 1) menj adi  ( 26) : yan g dap at di guna kan sebagai   f un gsi Li kel i hood unt uk me mper ki r akan par a mat er  ( =  0  ) . Est i masi / per ki r aan t ent ang  d apat di t emu kan den gan me ma ksi mal kan l og - Li kel i hood ( l o gar i t ma Li kel i hood ) ,  yai t u, Den gan men ga mbi l der i vat i f L ber ke n aan den gan  dan menet ap kann ya s a ma den gan nol , m aka di per ol eh K ar ena  per samaan  di   at as adal ah nonl i ni er , maka t i dak  dapat   me ne mu kan sol usi anal i t i s t et api har us me mper ol eh nya secar a nu mer i s.
Perhat i kan bah w a ( 29) t i dak me mberi kan est i masi -est i masi  0 dan  secara  t erpi sah.  U nt uk me mper ol ehn ya  guna kan ko ndi si   bahwa  ke ga ga l an - ke ga gal an m t el ah  di amat i ol eh  wa kt u e .  K arena  i t u, fungsi   ni l ai   rat a -rat a  p ada
e dapat   di pi l i h  seba gai m , i al ah,
Den gan  men ggant i  (9) menj adi  (30),  ma ka di perol eh
Ol eh  karena   i t u,   est i masi ̂ dapat   di t e mu kan   den gan men ggant i ̂ menj adi   (31) sebagai
K arena  ̂ = ̂ 0 ̂ , di perol eh
Met ode est i masi pada  ba gi an  i ni   d apat di t erapkan pada k asus t ersebut   apabi l a  est i masi di buat pada w akt u ke ga gal an  ke m den gan menet ap kan e = m .
3.2 Esti masi B erdasarkan J u ml ah K egagal an per  Interv al An ggapl ah bah wa i nt erval pen ga m at an ( 0, x p ] di ba gi men j adi seku mpul an subi nt e rval t erpi sah p (0, x 1 ],( x 1 , x 2 ], ...,  ( x p - 1 , x p ]  dan  j uml a h ke ga gal an  pada  mas i ng -
masi n g subi nt e r val di cat at .  Mi sal kan y l ( l = 1,2,.. ., p )   menj adi   j uml a h ke ga gal an -ke ga gal an  p ada ( 0, x l ] . Gu na kan f u ngsi densi t as ber sa ma ber syar at u nt uk men ge mban gka n met ode ma ksi mu m Li kel i hood unt uk  est i masi   par a me t er - par a met er  0 da n  yang t i dak  di ket ah ui   dar i   dat a yan g t er sedi a y 1 , y 2 , ..., y p . Fun gsi densi t as ber sa ma  dar i Y l ’s  dapat di per ol eh  seba gai   ber i kut , den gan me mper hat i kan bahwa Y l ’s  membentuk pr oses  Poi sson:
di   mana x 0 =  0 , y 0 =  0, dan Pr { M( 0) =0} = 1. Den gan  men ggant i   ( 12) menj adi ( 34) men ghasi l kan di   mana y l menunj ukkan j uml ah  ke ga gal an  pada ( x l - 1 , x l ] ,  mi s al n ya,
Fun gsi densi t as ber sa ma  yan g  ber gant un g pada M( x p ) dapat di per ol eh seba gai K ar e na i t u, dengan men ggant i   ( 11)   da n  ( 35) dan dengan
me mper hat i ka n  dari   (36) bahwa
di perol eh
Unt u k  model   ya n g di ke mu ka ka n d apat di gant i  (9)  menj adi  (39): yan g dap at di guna kan sebagai   fun gsi Li kel i hood unt uk me mper ki rakan
para met er  ( =  0  ) . Est i masi   me n genai  dapat   di perol eh  dengan me ma ksi mal kan  l o gari t ma
Li kel i hood ,  mi sal n ya,
di man a (38) t el ah di t erapkan pada i st i l ah t erakhi r. Den gan men ga mbi l deri vat i f L berkenaa n  den gan  dan menet ap kann ya s a ma den gan nol , m aka di dapat ka n Den gan men ggu na kan  p en de kat an yan g sa ma sep er t i di gun a kan  pa da  Ba gi an 3.1,  est i masi -est i mas i  dan  0 unt uk me mper l i hat kan ̂ dapat di t emu kan seba gai
dan
Dapat   di bu kt i ka n  dengan mudah   bah wa  pen de kat an di   at as  adal ah  e kui val en den gan  met ode M axi mum Li kel i hood ber dasar kan f ungsi   densi t as  ber s a ma t ak ber s yar at .

## Daf t ar P ust aka
[ 1]   Deepa k Pen gor i a, Saur abh K u mar , “ A  St udy o n S of t ware R el i abi l i t y Engi neeri ng  Prese nt Paradi g ms an d I t s Fut ure Consi derat i ons ”, ISS RE , 2 009.
[ 2]   J .D.Mu sa,
K.Okumoto,” A Logari t hmi c  Poi ss on
Execut i on  Ti me  M odel f or S of t ware R el i abi l i t y Measure ment ”, IE EE, 1984, hal . 230 -238 . [3].D.Musa, K.Okumoto,” Appl i cat i on of Basi c and  Logari t h mi c
Poi sson Execu t i on Ti me Model s i n  Sof t ware Rel i abi l i t y Measurement”, AT &T Bel l Laborat ori es, 2005 . [4]   Mi chael R.L yu, “ Sof t ware Reliability Engineering”.
[5] Pan kaj  J al ot e, Brenda
Murph y, M ari o Garzi a , Ben Errez, “ Measuri ng Rel i abi l i t y of Sof t ware Product s” , IE EE, 2003. [6]   Parvi n der Si n gh Sandhu, A mi t K a mra, Hari
Si ngh,
“ A  Recursi ve  Met hod
f or Rel i abi l i t y
Comp ut at i on of Moran da’s G eomet ri c
S of t ware R el i abi l i t y Model ”, PW AS ET , 2007.