## ANALISIS KESALAHAN MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN PERMASALAHAN INTEGRAL TAK TENTU PADA MATA KULIAH KALKULUS INTEGRAL
Mimi Nur Hajizah Universitas Negeri Jakarta mimi.nurhajizah@gmail.com Article history Abstract Submission      : Revised            : Accepted          : 7/10/2019
The  purpose  of  this  study  is  to  identify,  describe,  and classify  the  types  of  student  errors  in  solving  indeterminate integral  problems  and  find  out  the  factors  that  cause  these errors.  This  research  is  a  type  of  descriptive  research  using qualitative  research  methods.  The  subjects  in  this  study  were students  of  the  Mathematics  Study  Program  FMIPA  UNJ  in 2018/2019  school  year  who  were  taking  Integral  Calculus courses.  Data  collection  is  done  through  tests  and  interviews. The test is conducted to obtain data on the types of errors made, while  interviews  are  conducted  to  explore  the  causes  of  the mistakes  made.  The  results  of  this  study  indicate  the  types  of errors made by students based on the indicator approach are as follows.  1)  Determine  indeterminate  integrals  with  the integration  of  substitution  techniques.  2)  Determine  indefinite integrals  with  partial  integration  techniques.  3)  Determine indeterminate  integrals  with  the  integration  of  trigonometric substitution  techniques.  4)  Determine  indefinite  integrals  with the technique of rationalizing integrals. Factors causing errors include  students  lacking  understanding  of  the  concept  of indeterminate  integrals  as  anti-derivatives,  difficulty  in identifying  the  integrating  techniques  that  must  be  applied,  not proficient in carrying out integrating procedures, and errors in calculations.
Keyword:
analysis, error, indeterminate integral, calculus

## Pendahuluan
Kalkulus  memiliki  aplikasi  yang  luas dalam  bidang-bidang  sains,  ekonomi,  maupun teknik.  Metode  kalkulus  juga  dapat  digunakan untuk  memecahkan  berbagai  masalah  yang tidak  dapat  dipecahkan  dengan  aljabar elementer  (LaTorre,  2007).  Penggunaannya yang  luas  untuk  berbagai  tujuan  dan  dalam berbagai  disiplin  ilmu,  menjadikan  kalkukus sebagai  subjek  studi  yang  penting  bagi  siswa sekolah  menengah  dan  mahasiswa  (Moskal, 2002). Kalkulus  merupakan  cabang  matematika yang  berkaitan  dengan  perhitungan  perubahan sesaat,  yang  dikenal  dengan  Kalkulus Diferensial dan penjumlahan dari banyak faktor kecil  untuk  menentukan  keseluruhan,  yang dikenal  sebagai  Kalkulus  Integral  (Berggren, 2016).  Materi  yang  dikaji  pada  mata  kuliah Kalkulus Diferensial di antaranya adalah materi pendahuluan  atau  prakalkulus  yang  terdiri  dari sistem  bilangan  riil,  pertidaksamaan,  nilai mutlak, dan fungsi. Selanjutnya materi inti yang terdiri  dari  limit,  kekontinuan,  dan  derivatif atau  turunan.  Setelah  lulus  mata  kuliah Kalkulus Diferensial
mahasiswa dapat menempuh mata kuliah Kalkulus Integral yang materinya  meliputi  integral  tak  tentu,  teknik pengintegralan,  integral  tentu,  integral  tak wajar,  integral  lipat,  dan  aplikasi  integral  pada masalah nyata.
Hasil  penelitian  menunjukkan  bahwa mahasiswa mengalami kesulitan dalam memahami  konsep  Kalkulus,  baik  dalam Kalkulus Diferensial maupun Kalkulus Integral (Hashemi,  2014;  Ferrer,  2016).  Ada  banyak hambatan  yang  dialami  mahasiswa  dalam mempelajari  kalkulus  dan  konsep-konsepnya (Ozkan,  2009;  Tarmizi,  2010;  Kashefi,  dkk., 2012). Integral  dan  turunan  adalah  konsep  yang penting dalam matematika. Integral dan turunan merupakan  dua  operasi  utama  dalam  kalkulus. Prinsip-prinsip  integral  diformulasikan  oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada abad ke-17  yang  merumuskan  konsep  integral sebagai  anti  turunan.  Berdasarkan  peta  konsep integral, integral tak tentu diperoleh dari konsep turunan.  Tingkat  penguasaan  konsep  turunan pada mahasiswa tentunya akan berdampak pada penguasaan  konsep  integral,  terutama  konsep integral tak tentu.
Penyelesaian  soal  integral  membutuhkan pemahaman  konsep  yang  baik,  penggunaan
rumus  yang  tepat,  serta  ketelitian  dan kreativitas  yang  tinggi.  Proses  yang  kompleks ini  menjadi  kesulitan  tersendiri  dalam mempelajari materi integral. Akibatnya mahasiswa  masih  banyak  yang  melakukan kesalahan dalam menyelesaikan soal integral.
Kesalahan-kesalahan  mahasiswa  dalam menyelesaikan  permasalahan  pada  mata  kuliah Kalkulus  Integral  perlu  segera  diidentifikasi melalui kegiatan analisis agar tidak berdampak pada  mata  kuliah  lain  yang  harus  ditempuh selanjutnya.  Hal  ini  dikarenakan  kalkulus sangat  terkait  dengan  mata  kuliah  lainnya  dan merupakan  pondasi  untuk  mempelajari  mata kuliah selanjutnya, seperti : Persamaan Diferensial,  Analisis  Real,  Aljabar,  Statistika Matematika,  maupun  mata  kuliah  lain  yang bersifat aplikasi atau terapan. Kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan  soal  integral  tak  tentu  dapat diidentifikasi  dari  kekeliruan  yang  dilakukan. Lebih lanjut, jenis kesalahan dapat dikelompokkan  menjadi  kesalahan  konsep, operasi,  dan  prinsip.  Pengelompokkan  tersebut berkaitan  dengan  objek  matematika.  Penelitian ini  akan  mengelompokkan  kesalahan  yang dilakukan  mahasiswa  dalam  menyelesaikan soal  integral  ke  dalam  tiga  jenis  kesalahan, yaitu kesalahan konsep, kesalahan operasi, dan kesalahan prinsip.
Kesalahan-kesalahan  yang  dilakukan  oleh mahasiswa  perlu  dianalisis  untuk  mengetahui beragam  kesalahan  yang  dilakukan.  Melalui analisis  tersebut,  dosen  dapat  memberikan solusi yang tepat agar kesalahan tersebut dapat diperbaki  dan  tidak  terulang  lagi.  Informasi kesalahan  dalam  menyelesaikan  permasalahan integral  tak  tentu  dapat  digunakan  untuk meningkatkan  efektivitas  pembelajaran  dalam mata kuliah Kalkulus Integral.
Berdasarkan  uraian  di  atas,  penulis bermaksud  untuk  menganalisis  jenis-jenis kesalahan,  kecenderungan  kesalahan,  dan penyebab  terjadinya  kesalahan  yang  dilakukan mahasiswa program studi Matematika Fakultas Matematika  dan  Ilmu  Pengetahuan  Alam Universitas Negeri Jakarta dalam menyelesaikan  permasalahan  integral  tak  tentu pada mata kuliah Kalkulus Integral.

## Metode Penelitian
Penelitian  ini  merupakan  jenis  penelitian deskriptif  dengan  menggunakan  metode penelitian  kualitatif.  Tujuan  dari  penelitian  ini adalah  mengidentifikasi,  mendeskripsikan,
mengklasifikasikan dan mengadakan komparasi jenis-jenis kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan soal-soal integral tak tentu pada mata kuliah Kalkulus Integral serta mengetahui faktor-faktor  penyebab  terjadinya  kesalahan mahasiswa  dalam  menyelesaikan  soal-soal integral  tak  tentu  pada  mata  kuliah  Kalkulus Integral.
Penelitian ini dilakukan pada bulan April – November 2019 di program studi Matematika FMIPA  Universitas  Negeri  Jakarta.  Subjek dalam  penelitian  ini  adalah  42  mahasiswa program  studi  Matematika  FMIPA  UNJ  tahun ajaran 2018/2019 yang sedang menempuh mata kuliah Kalkulus Integral.
Pengumpulan  data  dilakukan  melalui  tes dan  wawancara.  Tes  dilakukan  untuk memperoleh  data  jenis  kesalahan  yang dilakukan,  sedangkan  wawancara  dilakukan untuk  menggali  penyebab  kesalahan  yang dilakukan.

## Hasil Penelitian dan Pembahasan
Instrumen  tes  hasil  belajar  dibuat berdasarkan  indikator  pembelajaran  untuk materi  integral  tak  tentu.  Dari  hasil  tes  hasil belajar diperoleh deskripsi kesalahan mahasiswa  berdasarkan  indikator  materi integral lipat yaitu dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Kesalahan Mahasiswa Berdasarkan Indikator Materi Integral Tak Tentu No. Indikator Presentase Kesalahan 1. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan subsitusi 51,16% 2. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan parsial 30,23% 3. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan subsitusi trigonometri 23,26% 4. Menentukan integral tak tentu dengan teknik merasionalkan integran 48,84% Adapun bentuk kesalahan yang dilakukan  mahasiswa  berdasarkan  indikator dapat dilihat pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2. Bentuk Kesalahan Berdasarkan Indikator
Materi Integral Tak Tentu
No. Indikator Bentuk Kesalahan 1. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan subsitusi a. Tidak memahami konsep integral tak tentu sebagai anti turunan b. Kesalahan dalam memilih suku yang disubtitusikan c. Kesalahan dalam prosedur penyelesaian
d. Kesalahan dalam perhitungan (hasil akhir) e. Tidak menjawab sama sekali 2. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan parsial a. Tidak memahami konsep integral tak tentu sebagai anti turunan
b. Kesalahan dalam memilih u ( v ) dan dv c. Kesalahan dalam prosedur penyelesaian d. Kesalahan dalam perhitungan (hasil akhir) 3. Menentukan integral tak tentu dengan teknik pengintegralan subsitusi trigonometri a. Tidak memahami konsep integral tak tentu sebagai anti turunan b. Tidak menggunakan substitusi trigonometri c. Kesalahan dalam mengintegralkan bentuk trigonometri
d. Kesalahan dalam
prosedur penyelesaian e. Kesalahan dalam perhitungan (hasil akhir) f. Tidak menjawab sama sekali 4. Menentukan integral tak tentu dengan teknik merasionalkan integran a. Tidak mengubah integran ke dalam bentuk rasional b. Kesalahan dalam merasionalkan integran c. Kesalahan dalam prosedur penyelesaian d. Kesalahan dalam perhitungan (hasil akhir) Berikut ini adalah deskripsi kesalahan mahasiswa dalam menyelesaikan soal-soal integral tak tentu berdasarkan indikator materi.
1. Menentukan Integral Tak Tentu dengan Teknik Pengintegralan Subsitusi
Berdasarkan  hasil  tes  yang  diberikan kepada mahasiswa, terlihat bahwa beberapa mahasiswa masih belum memahami konsep integral  tak  tentu  sebagai  antiturunan. Gambar 1 menunjukkan jawaban salah satu mahasiswa  yang  tidak  menyertakan  C  di jawaban  akhirnya.    Kesalahan  ini nampaknya  sederhana,  namun  sebetulnya c u k u p f a t
a l dalam konsep integral tak tentu.
Gambar 1. Kesalahan mahasiswa dalam konsep
integral tak tentu
K esalaha n  lain yang
dilakukan  mahasiswa  adalah  salah  dalam memilih  suku  integran  yang  harus disubstitusikan  seperti  yang  terlihat  pada gambar 2 berikut.

## Gambar 2. Kesalahan mahasiswa dalam teknik pengintegralan dengan substitusi
Pada  gambar  2  tampak  mahasiswa sudah  mengarah  pada  teknik  subsitutusi dengan  melakukan  pemisalan  dengan variabel u ,  namun  dalam  penyelesaiannya mahasiswa tidak melakukan teknik pengintegralan dengan substitusi. Beberapa  mahasiswa  sudah  tampak memilih  teknik  dan  pemisalan  yang  tepat, namun melakukan kesalahan dalam prosedur pengerjaannya sehingga memperoleh jawaban  yang  tidak  tepat.  Ini  menunjukkan bahwa kemahiran mahasiswa dalam menerapkan  prosedur  pengintegralan  juga penting untuk diperhatikan.

## Gambar 3. Kesalahan mahasiswa dalam prosedur penyelesaian
Kesalahan  lain  yang  ditemukan  adalah kesalahan  dalam  perhitungan  akhir  (hasil akhir). Keterampilan berhitung ternyata juga memiliki peranan penting dalam menyelesaikan  soal-soal  integral  tak  tentu.
Beberapa  mahasiswa  melakukan  kesalahan dalam  perhitungan  atau  menentukan  hasil akhir,  ada  pula  yang  tidak  mengembalikan hasil  akhir  ke  bentuk  awal  (masih  dalam bentuk pemisalan).
Gambar 4. Kesalahan mahasiswa dalam perhitungan (hasil akhir)
2. Menentukan Integral Tak Tentu dengan
Teknik Pengintegralan Parsial Beberapa  mahasiswa  gagal  dalam mengidentifikasi  soal  yang  diberikan, apakah harus menggunakan teknik pengintegralan  parsial  atau  yang  lain.
Seperti  yang  ditunjukkan  oleh  gambar  5, mahasiswa  tersebut  menerapkan  teknik pengintegralan  substitusi  terhadap  soal yang seharusnya diselesaikan dengan teknik pengintegralan parsial.
Gambar 5. Kesalahan mahasiswa dalam mengidentifikasi teknik pengintegralan yang

## seharusnya digunakan
Kesalahan  lain  yang  dilakukan  antara lain  adalah  salah  dalam  memilih u ( v )  dan d ( v ).  Pemisalan  ini  adalah  langkah  awal yang  harus  dilakukan  dengan  tepat  dalam mengintegralkan  secara  parsial.  Kesalahan penentuan nilai u ( v ) dan d ( v ) mengakibatkan kesalahan dalam menyelesaikan soal tersebut. Beberapa  mahasiswa  sudah  tampak memilih  teknik  dan  pemisalan  yang  tepat, namun  melakukan  kesalahan  dalam prosedur pengerjaannya
sehingga memperoleh jawaban yang tidak tepat.

## Gambar 6. Kesalahan mahasiswa dalam prosedur penyelesaian
Kesalahan  lain  yang  ditemukan  adalah kesalahan  dalam  perhitungan  akhir  (hasil
akhir).  Beberapa  mahasiswa  melakukan kesalahan dalam perhitungan atau menentukan hasil akhir, ada pula yang tidak mengembalikan  hasil  akhir  ke  bentuk  awal (masih dalam bentuk pemisalan).
3. Menentukan Integral Tak Tentu dengan Teknik Pengintegralan Substitusi Trigonometri
Kekeliruan dalam mengidentifikasi soal yang  diberikan  juga  terjadi  pada  soal  yang berkaitan  dengan  teknik  pengintegralan substitusi trigonometri. Seperti yang ditunjukkan  oleh  gambar  7,  mahasiswa tersebut  menerapkan  teknik  pengintegralan substitusi  biasa  terhadap  soal  yang seharusnya  diselesaikan  dengan  teknik pengintegralan dengan sunstitusi trigonometri.

## Gambar 7. Mahasiswa tidak menggunakan substitusi trigonometri
Kesalahan  lain  yang  dilakukan  antara lain  adalah  keliru  dalam  memilih  bentuk trigonometri  dalam  pemisalan.  Ada  pula yang  sudah  tepat  dalam  memilih  bentuk trigonometri namun keliru dalam menentukan turunannya.
Beberapa  mahasiswa  sudah  tampak
memilih  teknik  dan  pemisalan  yang  tepat, namun  melakukan  kesalahan  dalam prosedur pengerjaannya
sehingga
memperoleh jawaban yang tidak tepat. Gambar 8. Kesalahan mahasiswa dalam prosedur penyelesaian
Kesalahan  lain  yang  ditemukan  adalah kesalahan  dalam  perhitungan  akhir  (hasil akhir).  Beberapa  mahasiswa  melakukan kesalahan dalam perhitungan atau menentukan  hasil  akhir  karena  factor ketidaktelitian. Gambar 9. Mahasiswa tidak teliti dalam perhitungan
4. Menentukan Integral Tak Tentu dengan Teknik Merasionalkan Integran
Berdasarkan  soal  integral  tak  tentu dengan  teknik  merasionalkan  integran, terlihat  bahwa  masih  banyak  mahasiswa yang  tidak  mengubah  integran  ke  dalam bentuk rasional. Hal ini sangat menyulitkan mahasiswa  dalam  mengintegralkan  fungsi yang  diberikan.  Akibatnya,  soal  tersebut tidak dapat diselesaikan dengan tuntas.
Beberapa  mahasiswa  yang  sudah tampak mengarah pada proses merasionalkan integran juga masih ditemui beberapa kesalahan dalam proses merasionalkannya, hal ini juga menimbulkan  masalah  baru  dalam  langkah pengerjaan  selanjutnya.  Berikut  ini  adalah salah satu contoh kesalahan yang dilakukan mahasiswa dalam merasionalkan integran.

## Gambar 10. Kesalahan dalam merasionalkan integran
Serupa dengan soal-soal pada indikator sebelumnya,  pada  soal  yang  mengukur indikator  ini  juga  masih  dijumpai kesalahan-kesalahan  prosedural  maupun kesalahan    dalam  proses  perhitungan maupun penentuan hasil akhir.

## Simpulan dan Saran
Simpulan
Dari  penelitian  yang  sudah  dilakukan, dapat di ambil kesimpulan sebagai berikut. 1. Kesalahan  yang  dilakukan  mahasiswa berdasarkan  pendekatan  indikator  adalah  : Menentukan  integral  tak  tentu  dengan teknik  pengintegralan  subsitusi  sebesar 51,16%.  Menentukan  integral  tak  tentu dengan  teknik  pengintegralan  parsial sebesar  30,23%.  Menentukan  integral  tak tentu dengan teknik pengintegralan subsitusi    trigonometri  sebanyak  23,26  %. Menentukan  integral  tak  tentu  dengan teknik  merasionalkan  integran  sebesar 48,84%.
2. Faktor  penyebab  kesalahan  di  antaranya adalah  mahasiswa  kurang  memahami konsep  integral  tak  tentu  sebagai  anti turunan,  kesulitan  dalam  mengidentifikasi teknik pengintegralan yang harus diterapkan,  tidak  mahir  dalam  melakukan prosedur  pengintegralan,  dan  kesalahan dalam perhitungan.

## Saran
Setelah dilakukan penelitian, maka saran yang dapat diberikan adalah sebagai berikut. 1. Dalam  mempelajari  integral  tak  tentu hendaknya  materi  turunan  sebagai  materi prasyarat  harus  dikuasai  dengan  baik, sehingga  mahasiswa  dapat  memahami dengan  baik  konsep  integral  tak  tentu sebagai anti turunan.
2. Setelah mempelajari suatu konsep hendaklah  meminta  kepada  mahasiswa untuk  mengungkapkan  kembali  makna konsep  tersebut  dengan  menggunakan bahasa  sendiri  agar  mahasiswa  lebih memahami apa yang dipelajari. 3. Latihan  soal  harus  sering  dilakukan  untuk mengasah  kemahiran  prosedur  mahasiswa dalam  menyelesaikan  soal-soal  integral  tak tentu.

## Daftar Pustaka
Ardiawan,  Y.  (2015).  “Analisis  Kesalahan Mahasiswa  dalam  Menyelesaikan  Soal Induksi  Matematika  di  IKIP  PGRI Pontianak”. Jurnal Pendidikan Matematika dan Sains .
Astuty, K.Y., & Wijayanti, P. (2013). “Analisis
Kesalahan  Siswa  Kelas  V  dalam Menyelesaikan  Soal  Matematika  pada Materi  Pecahan  di  SDN  Medokan Semampir I/259 Surabaya”. MATHEdunesa . Azkan, E.M. & Unal, H. (2009).
“Misconception  in  Calculus-I:  Engineering
Students’ Misconceptions in The Process of
Finding  Domain  of  Functions”. Procedia Social and Bahavioral Sciences . Berggren, J.L. (2006). “Calculus: Mathematics. Encyclopedia  Britannica”.  Diakses  dari http://www.britannica.com/topic/calculus- mathematics.
Ferrer,  F.P.  (2016). “ Investigating  Students’ Learning Difficulties in Integral Calculus”. PEOPLE:  International  Journal  of  Social Sciences. Hashemi, N. (2014). “ Undergraduate Students’
Difficulties in Conceptual Understanding of Derivation”. Procedia Social and Bahavioral Sciences .
LaTorre, D.R., dkk. (2007). Calculus Concepts: An Applied Approach to the Mathematics of Change . Cengange Learning. Kashefi,  H.,  dkk.  2012.  Overcoming  Students’
Obstacles  in  Multivariabel  Calculus through Blended Learning: A Mathematical Thinking  Approach. Procedia  Social  and
Bahavioral Sciences . Moskal,  B.M.  (2002).  Calculus:  Mathematics. Encyclopedia.com. Diakses dari http://www.encyclopedia.com/topic/calculu s.aspx.
Rahmawati,  A.  (2017).  “Analisis  Kesalahan
Mahasiswa  Pendidikan  Matematika  dalam Menyelesaikan  Soal  Pertidaksamaan  pada Mata Kuliah Kalkulus I”. Al-Jabar: Jurnal
Pendidikan Matematika.
Tarmizi,  R.A.,  (2010).  “Visualizing  Students’
Difficulties in Learning Calculus”. Procedia Social and Bahavioral Sciences .
Widdiharto.  (2008). Diagnosis  Kesulitan
Belajar  Matematika  SMP  dan  ALternatif Proses  Remidinya .  Yogyakarta:  Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan
Pendidikan  dan  Tenaga  Kependidikan Matematika.