Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 1, Juli 2020, 1-8 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i1.6030

## Kategori Modul yang Dibangun oleh 𝓤 𝑽
Fitriani 1 *, Ahmad Faisol 2 1,2 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Lampung Bandar Lampung, Lampung, Indonesia e-mail: 1 fitriani.1984@fmipa.unila.ac.id, 2 ahmadfaisol@fmipa.unila.ac.id
Diajukan:22 Oktober 2019,  Diperbaiki: 27 Januari 2020, Diterima:23 Mei 2020

## Abstrak
Misalkan 𝒰 keluarga  modul  atas R dan V merupakan  submodul  dari  jumlah  langsung  beberapa elemen di dalam keluarga 𝒰 . Modul N atas R dibangun oleh 𝒰 jika terdapat epimorfisma dari V ke N . Modul yang dibangun oleh 𝒰 merupakan perumuman dari modul yang dibangun oleh 𝒰 . Perumuman ini  dilakukan  dengan  menggunakan  konsep  barisan V -koeksak  dari  modul.  Di  dalam  paper  ini, dikonstruksi kategori  dari modul-modul yang dibangun oleh 𝒰 beserta beberapa sifat-sifatnya. Selain itu, ditunjukkan bahwa kategori modul yang dibangun oleh 𝒰 merupakan kategori pre-aditif.
Kata Kunci : 𝒰 -generator, barisan V -koeksak, kategori pre-aditif, 𝒰 -generator.

## Abstract
Let 𝒰 be a family of R-modules and V be a submodule of a direct sum of some elements in 𝒰 . An R- module N is generated by 𝒰 if there exists an epimorphism from V to N. The notion of the 𝒰 -generated module is a generalization of the 𝒰 -generated module. This generalization uses the concept of the V- coexact sequence of modules. In this paper, we construct a category of 𝒰 -generated modules. Furthermore, we investigate some properties of the category of 𝒰 -generated modules. We also prove that this category is a pre-additive category.
Keywords: 𝒰 -generator, V-coexact sequence, category pre-additive, 𝒰 -generator.

## 1 Pendahuluan
Barisan eksak merupakan salah satu konsep penting di dalam struktur aljabar. Misalkan K , L , M merupakan  modul-modul  atas  ring R dan f , g merupakan  homomorfisma  modul  atas R . Barisan homomorfisma modul atas ring R

## 𝐾 → 𝐿 → 𝑀
dikatakan  eksak  jika 𝐼𝑚  𝑓 𝐾𝑒𝑟  𝑔 [1].  Barisan  eksak  ini  diperumum  oleh  Davvaz  dan Parnian-Garamaleky  [2]  yang  dilakukan  dengan  cara  mengganti  submodul  0  dengan  sebarang submodul U di M .  Mereka  memperumum  beberapa  konsep  terkait  dengan  barisan  eksak  yang diperumum  menjadi  barisan U -eksak  dan  mendefinisikan  barisan V -koeksak  sebagai  dual  dari barisan U -eksak. Selain itu, di dalam [3] Davvaz dkk. memberikan perumuman beberapa konsep
dalam aljabar homologi menggunakan konsep barisan quasi eksak dan di dalam [4], Anvariyeh dkk.  memperkenalkan  barisan U -terpisah  serta  kaitan  antara  barisan U -terpisah  dan  modul proyektif.
Selanjutnya,  di  dalam  [5]  Davvaz  dan  Anvariyeh  memberikan  hasil  lanjutan  mengenai barisan  quasi  eksak  dan  menggunakannya  untuk  memperumum  Lemma  Schanuel  dan Madanshekaf  [6]  menggunakan  barisan U -eksak  dalam  mengembangkan  konsep  presentasi berhingga  dari modul atas R dan fungtor torsi dalam kategori R -MOD.
Selanjutnya, sebagai aplikasi dari barisan U -eksak, Aminizadeh [7] menggunakan konsep barisan U -eksak untuk memperkenalkan barisan U -eksak dari S -act. Selain itu, Elviyanti dkk. [8] mengkonstruksi kategori U -kompleks dengan menggunakan konsep barisan U -eksak. Pada tahun 2017,  Mahatama  dan  Muchtadi-Alamsyah  [9]  mengkonstruksi U -resolusi  proyektif  yang merupakan perumuman dari resolusi proyektif suatu modul dengan menggunakan konsep barisan U -eksak.
Termotivasi dari pendefinisian barisan U -eksak dan barisan V -koeksak, Fitriani dkk. [10] mendefinisikan  barisan X -sub-eksak  sebagai  perumuman  barisan  eksak.  Konsep  ini  digunakan dalam perumuman dari keluarga modul bebas linear. Keluarga modul bebas linear ini merupakan perumuman dari himpunan bebas linear [1]. Selain itu, Fitriani dkk. [11] memperumum keluarga 𝒰 -generator  dengan  menggunakan  konsep  barisan V -koeksak.  Selanjutnya,  Fitriani  dkk.  [12] memperumum konsep basis dan modul bebas menggunakan konsep keluarga modul X -sub bebas linear dan keluarga 𝒰 -generator. Di dalam penelitian ini, dikonstruksi kategori yang obyeknya adalah modul-modul yang dibangun oleh 𝒰 dan akan diselidiki sifat-sifatnya. Hasil-hasil pada penelitian  ini  selanjutnya  akan  digunakan  untuk  mendefinisikan  rank  dari  suatu  modul  yang dibangun oleh 𝒰 yang merupakan perumuman dari rank modul di dalam kategori modul atas R .

## 2 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Mengkonstruksi kategori modul yang dibangun oleh 𝒰 yang selanjutnya dinotasikan dengan 𝜇 𝒰 ;
2. Menyelidiki sifat-sifat kategori 𝜇 𝒰 ;
3. Menyelidiki sifat pre-aditif pada kategori 𝜇 𝒰 . .

## 3 Hasil dan  Pembahasan
Pada  bagian  ini  akan  diberikan  hasil-hasil  penelitian  yang  meliputi  konstruksi  kategori
𝜇 𝒰 , pembuktian sifat-sifat kategori 𝜇 𝒰 dan uraian mengenai sifat pre-aditif pada kategori 𝜇 𝒰 . Untuk selanjutnya, yang dimaksud dengan 𝒰 adalah keluarga modul atas ring R dan V merupakan submodul dari ⨁ 𝑈 , dengan 𝑈 ∈ 𝒰 , untuk setiap 𝜆 ∈ Λ .
3. 1. Konstruksi Kategori 𝜇 𝒰
Misalkan 𝒰 𝑈
keluarga modul atas ring R . Modul M dibangun oleh 𝒰 jika terdapat epimorfisma dari ⊕ 𝑈 ke M [13]. Konsep 𝒰 -generator ini diperumum menjadi 𝒰 -generator. Hal  ini  dilakukan  dengan  cara  mengganti ⊕ 𝑈 dengan  sebarang  submodulnya.  Misalkan V submodul ⊕ 𝑈 . Suatu modul N dikatakan dibangun oleh 𝒰 jika terdapat epimorfisma dari V ke N [11].  Jika  diambil 𝑉 ⊕ 𝑈 ,  maka 𝒰 -generator  merupakan 𝒰 -generator.  Oleh  karena itu, 𝒰 -generator merupakan kasus khusus dari 𝒰 -generator.  Hal ini dijelaskan sebagai berikut. Diberikan  modul M yang  merupakan  modul 𝒰 -generator.  Hal  ini  berarti  terdapat  epimorfisma 𝑓:  ⊕ 𝑈 → 𝑀 .  Karena ⊕ 𝑈 merupakan  submodul  dari  dirinya  sendiri,  dapat  diambil 𝑉 ⊕ 𝑈 . Akibatnya, terdapat epimorfisma dari V ke M yang berarti M merupakan modul 𝒰 - generator. Oleh karena itu, setiap modul 𝒰 -generator merupakan modul 𝒰 -generator.
Hal ini tidak berlaku sebaliknya, yaitu setiap modul 𝒰 -generator belum tentu merupakan modul 𝒰 -generator. Sebagai contoh, jika 𝒰 ℚ kelas modul atas bilangan bulat ℤ , dengan ℚ himpunan bilangan rasional dan M = ℤ sebagai modul atas ℤ . Karena tidak terdapat epimorfisma dari ℚ ke ℤ ,  modul M bukan  merupakan  modul 𝒰 -generator.  Jika  diambil  V  = ℤ yang merupakan submodul ℚ , maka jelas bahwa terdapat epimorfisma dari V ke M . Hal ini berakibat M merupakan modul 𝑈 ℤ -generator. Hal ini menunjukkan bahwa 𝒰 -generator merupakan kasus khusus dari 𝒰 -generator.
Kelas modul-modul yang dibangun oleh 𝒰 dinotasikan dengan 𝜇 𝒰 . Dalam proposisi berikut dibuktikan  bahwa 𝜇 𝒰 merupakan suatu kategori.
Proposisi  1. Kelas modul-modul yang dibangun oleh 𝒰 , yaitu 𝜇 𝒰 merupakan suatu kategori.
Bukti.
1. Obyek: kelas dari semua modul yang dibangun oleh 𝒰 , yang dapat dituliskan sebagai berikut:
Obj 𝜇 𝒰 𝑀 ∈ 𝑅 𝑀𝑂𝐷| 𝑀 dibangun oleh 𝒰 ,

## Kategori Modul yang Dibangun oleh 𝓤 𝑽
dengan R-MOD merupakan  kategori  modul  atas  ring R .  Jika M termuat  di  dalam
Obj 𝜇 𝒰 , maka M dibangun oleh 𝒰 yang artinya terdapat  epimorfisma 𝑓 dari V ke M .
2. Morfisma:  morfisma  di  dalam  kategori 𝜇 𝒰 adalah  morfisma  modul  atas R . Misalkan 𝐾, 𝐿  ∈ Obj 𝜇 𝒰 . Morfisma Mor 𝒰 𝐾, 𝐿 adalah himpunan Mor 𝒰 𝐾, 𝐿 𝑓 ∶ 𝐾 → 𝐿| 𝑓 homomorfisma modul atas 𝑅 .
3. Komposisi Morfisma: komposisi morfisma di dalam kategori 𝜇 𝒰 adalah komposisi morfisma modul atas R yang memenuhi:
a. Untuk  setiap  modul-modul  atas R yaitu 𝐾, 𝐿, 𝑀, 𝑁 yang  termuat  di  dalam
Obj μ 𝒰 dan 𝑓  ∈ Mor 𝒰 𝐾, 𝐿 , 𝑔  ∈ Mor 𝒰 𝐿, 𝑀 , ℎ  ∈ Mor 𝒰 𝑀, 𝑁 , berlaku 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ 𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ .
b. Untuk  setiap 𝑀 ∈ Obj 𝜇 𝒰 ,  terdapat  morfisma 𝑖𝑑 ∈ Mor 𝒰 𝑀, 𝑀 yang memenuhi 𝑓 ∘ 𝑖𝑑 𝑖𝑑 ∘ 𝑓 ,  untuk  setiap 𝑓 ∈ Mor 𝒰 𝑀, 𝑁 , 𝑁  ∈
Obj 𝜇 𝒰 . Berdasarkan uraian tersebut, 𝜇 𝒰 merupakan suatu kategori. ■
Berdasarkan [13], suatu kategori 𝒟 merupakan subkategori 𝒞 jika memenuhi:
a. Obj 𝒟 ⊆ Obj 𝒞 ,
b. Mor 𝒟 𝐴, 𝐵 ⊆ Mor 𝒞 𝐴, 𝐵 , untuk setiap 𝐴, 𝐵  ∈ Obj 𝒟 ,
c. Komposisi morfisma di 𝒟 merupakan pembatasan dari komposisi morfisma di 𝒞 .
Jika Mor 𝒟 𝐴, 𝐵
Mor 𝒞 𝐴, 𝐵 ,  maka 𝒟 dikatakan  subkategori  penuh  dari 𝒞 [13].  Jika dibandingkan  dengan  kategori  modul  atas  ring R, yaitu R- MOD,  kategori 𝜇 𝒰 merupakan subkategori penuh dari R -MOD seperti diberikan dalam proposisi berikut.
Proposisi  2. Kategori modul yang dibangun oleh 𝒰 , yaitu 𝜇 𝒰 adalah subkategori penuh dari R-MOD yang merupakan kategori modul atas ring R .
Bukti . Pada  konstruksi  kategori 𝜇 𝒰 terlihat  bahwa Obj 𝜇 𝒰
⊂ Obj 𝑅 𝑀𝑂𝐷 dan Mor 𝒰 𝑀, 𝑁 Mor 𝑀, 𝑁 .  Oleh  karena  itu,  terbukti  bahwa 𝜇 𝒰 adalah subkategori penuh dari R- MOD.
■
3. 2. Beberapa Sifat Kategori 𝜇 𝒰
Pada  bagian  ini  diberikan  beberapa  sifat  kategori 𝜇 𝒰 .  Beberapa  sifat  modul  yang dibangun oleh 𝒰 telah diberikan di dalam [11]. Berikut ini diberikan sifat kategori 𝜇 𝒰 yang menyatakan bahwa kategori ini tertutup terhadap image homomorfisma sebagai berikut.
Proposisi 3. Jika 𝑀  ∈ Obj 𝜇 𝒰 , maka 𝑁  ∈ Obj 𝜇 𝒰 , untuk setiap image homomorfisma N dari M.
Bukti. Diberikan sebarang 𝑀  ∈ Obj 𝜇 𝒰 . Hal ini berarti modul M atas R dibangun oleh 𝒰 . Oleh karena itu, terdapat epimorfisma f dari V ke M . Misalkan N adalah image homomorfisma f dari M , yang berarti 𝑖𝑚  𝑓 𝑁 . Akibatnya, f merupakan suatu epimorfisma dari M ke N . Jadi, 𝑔 ∘ 𝑓 merupakan epimorfisma dari V ke N . Jadi, N merupakan modul yang dibangun oleh 𝒰 . Dengan kata lain, 𝑁 ∈ Obj 𝜇 𝒰 yang menunjukkan bahwa kategori 𝜇 𝒰 tertutup terhadap
image homomorfisma.
■
Misalkan M merupakan modul yang dibangun oleh 𝒰 . Karena terdapat pemetaan nol yang merupakan  epimorfisma  dari M ke  modul  0, modul  0  merupakan image homomorfisma  dari setiap modul yang dibangun oleh 𝒰 . Oleh karena itu, berdasarkan Proposisi 3 diperoleh bahwa 0 ∈ Obj 𝜇 𝒰 .  Demikian  halnya  dengan  modul  faktor  dari  modul  yang  dibangun  oleh 𝒰 seperti diberikan dalam sifat berikut.
Akibat  4. Jika 𝑀  ∈ Obj 𝜇 𝒰 , maka 𝑀/𝑁  ∈ Obj 𝜇 𝒰 , untuk setiap modul faktor 𝑀/𝑁 dari M.
Bukti. Diberikan  sebarang  modul  faktor 𝑀/𝑁 dari M .  Oleh  karena  itu,  terdapat  pemetaan proyeksi  kanonik 𝑝: 𝑀  → 𝑀/𝑁 .  Jadi,  berdasarkan  Proposisi  3  diperoleh 𝑀/𝑁 ∈ Obj 𝜇 𝒰 , untuk setiap modul faktor 𝑀/𝑁 dari M .
■
Selanjutnya,  dari  [11,  Proposisi  9]  diperoleh  bahwa  jika 𝑁 dibangun  oleh 𝒰 ,  untuk setiap 𝛼 ∈ 𝐴 , maka ⨁ 𝑁 dibangun oleh 𝒰 ⊕ . Akibatnya, diperoleh sifat berikut.
Akibat 5. Jika 𝑀   ∈ Obj 𝜇 𝒰 , untuk setiap 𝛼 ∈ 𝐴 , maka ⨁ 𝑀   ∈ Obj 𝜇 𝒰 ⊕ . Bukti. Diberikan 𝑀   ∈ Obj 𝜇 𝒰 ,  untuk  setiap 𝛼 ∈ 𝐴 .  Hal  ini  berakibat  terdapat epimorfisma 𝑓 : 𝑉 → 𝑀 , untuk  setiap 𝛼 ∈ 𝐴 .  Oleh  karena itu,  dapat  dibentuk ⨁ 𝑓 : ⨁ 𝑉 → ⨁ 𝑀 . Karena masing-masing 𝑓 merupakan epimorfisma, diperoleh ⨁ 𝑓 epimorfisma. Oleh karena itu, berdasarkan [11, Proposisi 9], diperoleh ⨁ 𝑀 dibangun oleh 𝒰 ⊕ dan akibatnya
⨁ 𝑀   ∈ Obj 𝜇 𝒰 ⊕ . ■
3. 3. Sifat Pre-Aditif pada Kategori 𝜇 𝒰
Pada  bagian  ini  akan  ditunjukkan  bahwa 𝜇 𝒰 merupakan  kategori  pre-aditif. Berdasarkan [14, Definisi 1.1], suatu kategori 𝒜 dikatakan aditif jika memenuhi kondisi berikut.
1. Untuk setiap pasangan obyek X dan Y , himpunan morfisma Hom 𝒜 𝑋, 𝑌 merupakan grup komutatif dan komposisi morfisma
Hom 𝒜 𝑌, 𝑍    Hom 𝒜 𝑋, 𝑌 → Hom 𝒜 𝑋, 𝑍
bilinear.
2. Kategori 𝒜 memuat  obyek  0,  yaitu  untuk  setiap  obyek 𝑋 ∈ 𝒜 ,  masing-masing himpunan morfisma Hom 𝒜 𝑋, 0 dan Hom 𝒜 0, 𝑋 memiliki tepat satu elemen.
3. Untuk setiap pasangan obyek-obyek X , Y di 𝒜 , terdapat ko-hasil kali 𝑋 ⊕ 𝑌 di 𝒜 .
Jika  hanya  terpenuhi  kondisi  1  dan  2,  maka  kategori 𝒜 disebut  kategori  pre-aditif  [14].
Pada teorema berikut ditunjukkan bahwa kategori 𝜇 𝒰 merupakan kategori pre-aditif.
Teorema 6. Kategori 𝜇 𝒰 merupakan kategori pre-aditif.
Bukti.
1. Diberikan  sebarang 𝑀, 𝑁  ∈ 𝜇 𝒰 .  Didefinisikan  operasi  pada  himpunan  morfisma Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 di dalam kategori 𝜇 𝒰 sebagai berikut.
: Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 → Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 𝑓, 𝑔 ⟼ 𝑓 𝑔 , dengan 𝑓 𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 ,  untuk  setiap 𝑥 ∈ 𝑀 .  Dengan  definisi  ini  dapat ditunjukkan bahwa Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 , merupakan grup dengan elemen identitas adalah pemetaan nol dan invers dari 𝑓 ∈  Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 adalah – 𝑓 ∈ Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 . Karena 𝑓 𝑔 𝑚 𝑓 𝑚 𝑔 𝑚 𝑔 𝑚 𝑓 𝑚 𝑔 𝑓 𝑚 , untuk setiap 𝑚 ∈ 𝑀 , Hom 𝒜 𝑀, 𝑁 , merupakan grup komutatif.
Selanjutnya,  diberikan  sebarang 𝐾, 𝐿, 𝑀  ∈ Obj 𝜇 𝒰 .  Akan  ditunjukkan  komposisi morfisma:
: Hom 𝒜 𝐿, 𝑀 Hom 𝒜 𝐾, 𝐿 → Hom 𝒜 𝐾, 𝑀
𝑓, 𝑔 ⟼ 𝑓 ∘ 𝑔 , bersifat bilinear, yaitu untuk setiap 𝑘 ∈ 𝐾 , berlaku
a. 𝑓 𝑔 ∘ ℎ 𝑘 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 = 𝑓 ℎ 𝑘 𝑔 ℎ 𝑘 = 𝑓 ∘ ℎ 𝑘 𝑔 ∘ ℎ 𝑘 , b. 𝑓 ∘ 𝑔 ℎ 𝑘 𝑓 𝑔 ℎ 𝑘 = 𝑓 𝑔 𝑘 ℎ 𝑘 = 𝑓 ∘ 𝑔 𝑘 𝑓 ∘ ℎ 𝑘 .
Oleh karena itu, komposisi morfisma pada kategori 𝜇 𝒰 bersifat bilinear.
2. Obyek 0 di dalam kategori 𝜇 𝒰 adalah modul 0 dan pada Bagian 3.2 telah diuraikan bahwa modul 0 termuat di dalam kategori 𝜇 𝒰 .
Jadi, terbukti bahwa 𝜇 𝒰 merupakan kategori pre-aditif. ■ Selanjutnya,  berdasarkan  [11,  2.2]  diperoleh  bahwa  jika 𝑀, 𝑁  ∈ Obj 𝜇 𝒰 ,  maka belum tentu 𝑀 ⊕ 𝑁 termuat di dalam himpunan Obj 𝜇 𝒰 . Oleh karena itu, kategori 𝜇 𝒰 bukan merupakan kategori aditif.

## 4 Simpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  yang  telah  diuraikan,  diperoleh  bahwa  himpunan semua modul yang dibangun oleh 𝒰 membentuk suatu kategori 𝜇 𝒰 . Kategori ini merupakan subkategori  penuh  dari  kategori  modul  atas  ring R ,  yaitu R -MOD.  Selain  itu,  kategori 𝜇 𝒰 tertutup terhadap image homomorfisma. Hasil ini berakibat modul 0 termuat di dalam kategori 𝜇 𝒰 dan  untuk  setiap M yang  termuat  di  dalam  kategori 𝜇 𝒰 berakibat  modul  faktor M , yaitu M / N juga termuat di dalam kategori tersebut. Selanjutnya, telah dibuktikan bahwa kategori 𝜇 𝒰 merupakan kategori pre-aditif.

## 5 Daftar Pustaka
[1] W. A. Adkins and S. H. Weintraub, Algebra, An Approach via Module Theory . New York: Springer-Verlag, 1992.
[2] B. Davvaz and Y. A. Parnian-Garamaleky, “A Note on Exact Sequences,” Bull. Malaysian Math. Soc. , vol. 22, pp. 53–56, 1999.
[3] B. Davvaz and H. Shabani-Solt, “A generalization of homological algebra,” J. Korean Math. Soc. , vol. 39, no. 6, pp. 881–898, 2002.
[4] S. M. Anvanriyeh and B. Davvaz, “U-Split Exact Sequences,” Far East J. Math. Sci. , vol. 4, no. 2, pp. 209–219, 2002.
[5] B. Davvaz and S. M. Anvariyeh, “On Quasi Exact Sequences,” Bull. Korean Math. Soc. , vol. 42, no. 1, pp. 149–155, 2005.
[6] A. Madanshekaf, “Quasi-Exact Sequence and Finitely Presented Modules,” Iran. J. Math. Sci. Informatics , vol. 3, no. 2, pp. 49–53, 2008.
[7] R. Aminizadeh, H. Rasouli, and A. Tehranian, “Quasi-exact Sequences of S-Act,” Bull. Malaysian Math. Soc. , 2017.
[8] G. Elfiyanti, I. Muchtadi, D. Nasution, and U. Amartiwi, “Abelian Property of the Category of U-Complexes Chain of U-Complexes,” Int. J. Math. Anal. , vol. 10, no. 17, pp. 849–853, 2016.
[9] Y. Mahatma and I. Muchtadi-alamsyah, “Construction of U -extension module,” AIP Conf. Proc. 1867 , vol. 020025, no. August, 2017.
[10]  Fitriani, B. Surodjo, and I. E. Wijayanti, “On Sub-Exact Sequences,” Far East J. Math. Sci. , vol. 100, no. 7, pp. 1055–1065, 2016.
[11]  Fitriani, I. E. Wijayanti, and B. Surodjo, “Generalization of U -Generator and M - Subgenerator Related to Category σ [ M ],” J. Math. Res. , vol. 10, no. 4, pp. 101–106, 2018.
[12]  Fitriani, I. E. Wijayanti, and B. Surodjo, “A Generalization of Basis and Free Modules Relatives to a Family of R-Modules,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1097, no. 1, 2018.
[13]  R. Wisbauer, Foundations of Module and Ring Theory . Philadelphia, USA: Gordon and Breach Science, 1991.
[14]  R. R. T. Holm, P. Jorgensen, Triagulated Categories . USA: Cambridge University Press.