DIAGONALISASI MATRIKS HILBERT
Randhi N. Darmawan 1
1 Universitas PGRI Banyuwangi, randhi.numeric@gmail.com
Abstract. The Hilbert matrix is a square matrix 𝐻 𝑛×𝑛 = 𝐻 𝑛 with entries being the unit fraction 𝐻 𝑖,𝑗 = 1 𝑖+𝑗 −1 .  Since  some  reason  Hilbert  matrix  is  call  bad  condition.  On  this research we will examine process diagonalizing of Hilbert matrix 𝐻 2 and 𝐻 3 and also to determine  whether  both  of  the  matrix  possible  to  diagonalize  with  some  matrix 𝑃 .Matrix 𝑃 is  said  to  be  diagonalize 𝐻 𝑛 if  satisfy  the  result  of  the  condition 𝑃 −1 𝐻 𝑛 𝑃 is diagonal matrix.
Key Words : Eigen Values, Eigen Vectors,Diagonalization, Hilbert Matrices
Abstrak. Matriks Hilbert adalah suatu matriks bujur sangkar 𝐻 𝑛 ×𝑛 = 𝐻 𝑛 dengan entri- entrinya  adalah  unit  pecahan  yang  didefinisikan 𝐻 𝑖,𝑗 = 1 𝑖+𝑗 −1 .  Karena  suatu  alasan tertentu matriks Hilbert dikatakan matriks kondisi buruk. Pada penelitian ini akan dikaji proses diagonalisasi dari matriks Hilbert 𝐻 2 dan 𝐻 3 dan juga memastikan apakah kedua matriks tersebut memungkinkan untuk didiagonalisasi dengan suatu matriks 𝑃 . Matriks 𝑃 dikatakan  mendiagonalisasi 𝐻 𝑛 jika  memenuhi  hasil  dari  kondisi 𝑃 −1 𝐻 𝑛 𝑃 adalah matriks diagonal.
Kata Kunci : Nilai Eigen, Vektor Eigen, Diagonalisasi, Matriks Hilbert

## 1 Pendahuluan
Aljabar linier merupakan salah satu cabang dari matematika yang di dalamnya terdapat suatu konsep yang sering digunakan dalam berbagai cabang ilmu, yaitu matriks. Matriks adalah  susunan  bilangan,  simbol,  atau  ekspresi  yang  disusun  dalam  baris  dan  kolom sehingga  membentuk  suatu  bangun  persegi  atau  persegi  panjang  [1].    Suatu  matriks memiliki bentuk dan ukuran berbeda-beda, ukuran ini yang disebut dengan ordo matriks yang  ditentukan  oleh  banyaknya  baris  dan  kolom  dari  suatu  matriks.Jika  suatumatriks 𝐴 mempunyai 𝑚 baris  dan 𝑛 kolom  maka  matriks  tersebut  dinyatakan  dengan  matriks ordo 𝑚 × 𝑛 dan ditulis dengan 𝐴 𝑚 ×𝑛 . Jika banyak baris dan kolom dari matriks tersebut sama 𝑚 = 𝑛 maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.
Suatu  matriks  yang  dapat  dibalik  (memiliki  invers)  hanyalah  matriks  bujur sangkar  oleh  karena  itu  matriks  bujur  sangkar  merupakan  salah  satu  syarat  dalam menentukandiagonalisasi  dalam  sebuah  matriks.  Diagonalisasi  matriks  banyak diterapkan dalam berbagai ilmu matematika, misalnya penerapan diagonalisasi matriks dalam irisan kerucut dan persamaan differensial dimana dalam penerapannyadiagonalisasi dilakukan pada matriks dengan unsur bilangan real.
Salah    satu    jenis    matriks    bujur  sangkar    yang    sering    digunakan    dalam berbagai    aplikasi    atau    penelitian  adalah  matriks  diagonal.  Matriks  diagonal merupakan salah satu bentuk matriks bujur sangkar dengan semua entri  diluar  diagonal

## Journal of Mathematics and Computer Science
utamanya  nol  dan  paling  tidak  terdapat satu  entri  pada  diagonal  utamanya  tidak sama  dengan  nol.Jika  suatu  matriks 𝐴 berbentuk  diagonal,  maka  entri  diagonal  utama dari matriks 𝐴 adalah nilai-nilai  eigen  dari  matriks 𝐴 [2].
Masalah  diagonalisasi  ini  bertujuan  untuk  menunjukkan  misal  diberikan  suatu matriks 𝐴 𝑛×𝑛 makan  dapat  ditentukan  suatu  matriks 𝑃 yang  dapat  dibalik  dan sedemikian  hingga 𝑃 −1 𝐴𝑃 adalah  matriks  diagonal.  Matriks  bujur  sangkar  yang digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  matriks  Hilbert 𝐻 𝑛 yang  merupakan  matriks berkondisi  buruk,  meski  demikian  ruang  matriks  Hilbert  telah  diterapkan  dalam klasifikasi Support  Tensor  Machine (STM)  dan  perbandingan  himpunan  data  hasil eksperimen dalam kehidupan nyata [3].
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka penelitian ini difokuskan pada matriks Hilbert  ordo 2 × 2 ( 𝐻 2 )  dan  ordo 3 × 3 ( 𝐻 3 ),  apakah  dari  masing-masing  matriks tersebut  dapat  ditentukan  matriks 𝑃 yang  mendiagonalisasi  sehingga  hasil  dari 𝑃 −1 𝐻 𝑛 𝑃 adalah matriks diagonal.

## 2 Metode Penelitian
Sebelum  masuk  pada  langkah-langkah  penelitian,  pada  bagian  iniakan  dijabarkan beberapa  definisi,  teorema,  dan  penelitian  terdahulu  yang  dijadikan  landasan  berpijak peneliti untuk melakukan proses diagonalisasi matriks Hilbert.

## Definisi 1
Jika 𝐴 adalah  sebuah  matriks 𝑛 × 𝑛 ,  maka  sebuah  vektor  taknol 𝐱 pada 𝑅 𝑛 disebut vektor  eigen (eigenvector)  dari 𝐴 jika 𝐴𝐱 adalah  sebuah  kelipatan  scalar  dari 𝐱 ; jelasnya 𝐴𝐱 = λ𝐱 untuk  sebarang λ ,  Skalar λ disebut nilai  eigen (eigenvalue)  dari 𝐴 , dan 𝐱 disebut sebagai vektor eigen yang terkait dengan λ [2] .

## Teorema 1
Sebuah  matriks  bujur  sangkar 𝐴 dapat  dibalik  jika  dan  hanya  jika λ = 0 bukan merupakan nilai eigen dari 𝐴 [2].
Bukti. Asumsikan  bahwa 𝐴 adalah  matriks  bujur  sangkar  dan λ = 0 adalah  solusi  dari persamaan karakteristik
𝜆 𝑛 + 𝑐 1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐 𝑛 = 0 (1)
jika  dan  hanya  jika  kontanta 𝑐 𝑛 adalah  nol.  Sehingga,  akan  cukup  untuk  membuktikan bahwa 𝐴 dapat dibalik jika dan hanya jika 𝑐 𝑛 ≠ 0 . Akan tetapi
det 𝜆𝐼 − 𝐴  = 𝜆 𝑛 + 𝑐 1 𝜆 𝑛−1 + ⋯ + 𝑐 𝑛 (2)
atau dengan menetapkan 𝜆 = 0 , sehingga persamaan (2) menjadi, det −𝐴  = 𝑐 𝑛 atau (−1) 𝑛 det 𝐴  = 𝑐 𝑛 (3)
Berdasarkan  Persamaan  (3), det 𝐴  = 0 jika  dan  hanya  jika 𝑐 𝑛 = 0 ,  dan  hal  ini  pada gilirannya akan mengimplikasikan bahwa 𝐴 dapat dibalik jika dan hanya jika 𝑐 𝑛 ≠ 0 .
∎

## Journal of Mathematics and Computer Science

## Definisi 2
Sebuah matriks  bujur sangkar 𝐴 dikatakan dapat  didiagonalisasi (diagonalizable) jika terdapat sebuah matriks 𝑃 yang dapat dibalik sedemikian hingga 𝑃 −1 𝐴𝑃 adalah sebuah matriks diagonal; matriks 𝑃 dikatakan mendiagonalisasi (diagonalize) 𝐴 [2] .

## Definisi 3
Matriks  Hilbert  adalah    suatu  matriks  bujur  sangkar  yangentri-entrinya  adalah  unit pecahan yang didefinisikan
𝐻 𝑛 = 𝐻 𝑖,𝑗 = 1 𝑖 + 𝑗 − 1 = 1 1 1 2 1 3 ⋯ 1 𝑛 1 2 1 3 1 4 … 1 𝑛 + 1 1 3 ⋮ 1 𝑛 1 4 ⋮ 1 𝑛 + 1 1 5 ⋮ 1 𝑛 + 2 … ⋱ … 1 𝑛 + 2 ⋮ 1 2𝑛 − 1
Penelitian  dari  [4]  terkait  determinan  matriks  Hilbert  menggunakan  bantuan software SAS/IML menunjukkan bahwa semakin besar ordo dari suatu matriks Hilbert maka  nilai  determinan  akan  mendekati  nol  sehingga  berdampak  pada  invers  matriks tersebut  sebagaimana  dijabarkan  pada  [5]  untuk  ordo  matriks  Hilbert  yang  kecil  dan menengah  masih  dapat  ditentukan  inversnya  secara  komputasi  numerik  akan  tetapi untuk  matriks  Hilbert  ( 𝐻 𝑛 )  ordo  besar  dengan 𝑛 → ∞ akan  sulit  ditentukan  karena matriks tersebut adalah matriks singular atau dengan kata lain det 𝐻 𝑛 = 0; 𝑛 → ∞ . Metode    yang    digunakan    dalam    penelitian    ini    adalah  studi    literatur yaitudengan    mengumpulkan    data    dan    informasi    dari    berbagai    sumber    seperti jurnal  ilmiah  dan  buku-buku    yang    relevan.    Penelitiandilakukan  dengan  melakukan kajian  terhadap  buku-buku  aljabar  linear,  dan  buku-buku  matematika  lain  yang mendukung  penelitian.Perhitungan  penelitian  ini  menggunakan  perhitungan  komputasi numerik  dengan  bantuan software Maple  dengan  data  awal  yang  digunakan  dalam penelitian ini adalah matriks Hilbert 𝐻 2 dan 𝐻 3 sebagai berikut.
𝐻 2 = 1 1 2 1 2 1 3 dan 𝐻 3 = 1 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 3 1 4 1 5
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut:
a. Input data awal, yaitu pendefinisian matriks Hilbert 𝐻 2 dan 𝐻 3 .
b. Menentukan  nilai  eigen 𝜆 dan  vektor-vektor  eigen  dari  matriks  Hilbert 𝐻 2 dan 𝐻 3 yang saling bebas linier, misalkan 𝐩 𝟏 , 𝐩 𝟐 untuk 𝐻 2 serta 𝐩 𝟏 , 𝐩 𝟐 , 𝐩 𝟑 untuk 𝐻 3 .
c. Membentuk matriks 𝑃 2 = [ 𝐩 𝟏 |𝐩 𝟐 ] dan 𝑃 3 = [ 𝐩 𝟏 |𝐩 𝟐 |𝐩 𝟑 ] .
d. Menentukan  matriks 𝐷 2 = 𝑃 2 −1 𝐻 2 𝑃 dan 𝐷 3 = 𝑃 3 −1 𝐻 3 𝑃 apakah  berupa  matriks diagonal atau bukan.
e. Output berupa matriks 𝐷 2 dan 𝐷 3 .

## 3 Hasil dan Pembahasan
3.1 Proses Diagonalisasi Matriks Hilbert 𝑯 𝟐
Misal diketahui matriks Hilbert 𝐻 2 ,
.
Dengan menggunakan perintah matrixplot pada Maple dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor data maka grafik dari matriks Hilbert 𝐻 2 sebagai berikut,
Gambar 1. Grafik matriksHilbert 𝐻 2
Berdasarkan Definisi 1, maka dapat ditentukan nilai eigen dari matriks Hilbert 𝐻 2 yaitu,
𝜆 1 = 2 3 + 1 6 13 dan 𝜆 2 = 2 3 − 1 6 13
sehingga  didapatkan  vektor  eigen  yang  bersesuaian    dengan 𝜆 1 dan 𝜆 2 yaitu 𝐩 𝟏 dan 𝐩 𝟐 sebagai berikut,
dan .
Kemudian dari vektor eigen tersebut didapatkan matriks 𝑃 2 = [ 𝐩 𝟏 |𝐩 𝟐 ] sebagai berikut,
Langkah selanjutnya akan ditentukan invers dari matriks 𝑃 2 tersebut sehingga didapatkan 𝑃 2 −1 sebagai berikut,
𝑃 2 −1 = 1 78 13(−2 +  13)(2 +  13) 1 26 (−2 +  13) 13 − 1 78 13(−2 +  13)(2 +  13) 1 26 (2 +  13) 13 .
Langkah terakhir dari tahap diagonalisasi  adalah menentukan 𝑃 2 −1 𝐻 2 𝑃 yang merupakan matriks  diagonal,  pada  tahap  ini  dengan  menggunakan  perhitungan  pembulatan  secara numerik didapatkan sebagai berikut,
𝐷 2 = 1,267591879 3. 10 −11 4. 10 −10 0,0657414540 𝐷 2 ≈ 1,267591879 0 0 0,0657414540
sehingga  didapatkan  matriks  diagonal 𝐷 2 yang  berarti  matriks  Hilbert 𝐻 2 dapat didiagonalisasi.

## 3.2 Proses Diagonalisasi Matriks Hilbert 𝑯 𝟑
Misal diketahui matriks Hilbert 𝐻 3 ,
.
Dengan menggunakan perintah matrixplot pada Maple dengan terlebih dahulu mendefinisikan vektor data maka grafik dari matriks Hilbert 𝐻 3 sebagai berikut,
Gambar 2 . Grafik matriks Hilbert 𝐻 3
Dengan langkah yang sama seperti pada matriks Hilbert 𝐻 2 akan tetapi pada kasus 𝐻 3 melibatkan  angka-angka  yang  lebih  rumit  dan  panjang  sehingga  akan  sulit  dalam proses  perhitungan  secara  analitik  sehingga  digunakan  proses  perhitungan  secara
numerik,  jadi  didapatkan  nilai  eigen  yang  merupakan  bukan  bilangan  real  (bilangan kompleks), sebagai berikut.
𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 =
sehingga  didapatkan  vektor  eigen  yang  bersesuaian    dengan 𝜆 1 , 𝜆 2 dan 𝜆 3 yaitu 𝐩 𝟏 , 𝐩 𝟐 dan 𝐩 𝟑 sebagai berikut,
Kemudian dari vektor eigen tersebut didapatkan matriks 𝑃 3 = [ 𝐩 𝟏 |𝐩 𝟐 | 𝐩 𝟑 ] dengan asumsi bahwa  nilai  entri  matriks  tidak  real(bagian  imajiner)  mendekati  0  (nol),  maka didapatkanvektor eigen sebagai berikut,
.
Langkah selanjutnya akan ditentukan invers dari matriks 𝑃 3 tersebut sehingga didapatkan 𝑃 3 −1 sebagai berikut,
𝑃 3 −1 = .
Langkah terakhir dari tahap diagonalisasi adalah menentukan 𝑃 3 −1 𝐻 3 𝑃 yang merupakan matriks  diagonal,  pada  tahap  ini  dengan  menggunakan  perhitungan  pembulatan  secara numerik dengan asumsi bahwa nilai entri matriks tidak real (imajiner) mendekati 0 (nol), didapatkan sebagai berikut,
𝐷 3 = 1,5064 −2,2028 2,2418 0,3720 −0,4011 0,5104 0,3071 −0,3461 0,4280
sehingga  didapatkan  matriks 𝐷 3 yang  bukan  merupakan  matriks  diagonal  yang  berarti matriks Hilbert 𝐻 3 tidak dapat didiagonalisasi.

## 3.3 Pembahasan
Berdasarkan  hasil  penilitian  yang  telah  dijabarkan  di  atas  maka  terdapat  dua  hal  yang berbeda  yaitu  pada  matriks  Hilbert 𝐻 2 yang  dapat  didiagonalisasi  dan  matriks  Hilbert 𝐻 3 yang  tidak  dapat  didiagonalisasi.  Pada  pembahasan  ini  akan  dijelaskan  penyebab

## Journal of Mathematics and Computer Science
perbedaan  dua  hal  tersebut.  Matriks  Hilbert  adalah  salah  satu  matriks  dengan  kondisi buruk  dengan  entri-entri  yang  unik  dan  membentuk  suatu  pola  bilangan,  yang  mana semakin  besar  ukuran  matriks  Hilbert  maka  nilai  determinan  akan  mendekati  0  atau dengan kata lain akan menjadi matriks singular [4].
Dampak  dari  suatu  matriks  singular  adalah  matriks  tersebut  tidak  dapat  dibalik atau  tidak  dapat  ditentukan  nilai  inversnya,  oleh  karena  itu  data  berikut  akan memberikan informasi terkait singularitas matriks Hilbert
Tabel 1 . Determinan Matriks Hilbert Matriks Hilbert Determinan 𝐻 2 ≈ 0.08333333333 𝐻 3
≈ 0.0004629629630 𝐻 4 ≈ 0.000000165 𝐻 5
≈ 3,7492 × 10 −12
𝐻 9 9,7202 × 10 −43
⋮ ⋮ 𝐻 𝑛 𝑎 𝑛 𝑛 − 1 4 (2𝜋) 𝑛 4 (−𝑛 2 ) 𝐻 𝑛→∞ 0
Berikut  ini  akan  disajikan  grafik  ilustrasi  dari  matriks  Hilbert 𝐻 5 dan 𝐻 9 sebagai  fakta pendukung bahwa determinan matriks Hilbert 𝐻 𝑛 →∞ adalah 0.
Gambar 3 . Grafik Matriks Hilbert 𝐻 5 Gambar 4. Grafik Matriks Hilbert 𝐻 9
Berdasarkan data pada Tabel 1 tersebut maka masih memungkinkan menentukan invers  matriks  Hilbert 𝐻 2 sehingga  proses  diagonalisasi  juga  masih  bisa  ditentukan secara  analitik  maupun  numerik,  hal  ini  dapat  dilihat  dari  nilai  eigen  yang  didapatkan berupa bilangan real yaitu
𝜆 1 = 2 3 + 1 6 13 dan 𝜆 1 = 2 3 − 1 6 13 .
Pada  matriks  Hilbert 𝐻 3 memiliki  determinan  yang  mulai  mendekati  nol,  meskipun masih  memungkinkan  untuk  ditentukan  inversnya  akan  tetapi  problem  muncul  saat proses  diagonalisasi  yaitu  dari  nilai  eigen  yang  didapatkan  berupa  bilangan  kompleks yaitu  seperti  pada  perhitungan  diagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 3 di  atas  sehingga  pada proses  berikutnya  yaitu  penentuan  vektor  eigen  selalu  melibatkan  bilangan  kompleks yang cukup rumit sehingga matriks 𝐷 3 yang didapatkan bukanlah matriks diagonal. Berdasarkan  penelitian  diagonalisasi  pada  matriks  Hilbert 𝐻 3 yang  cukup  rumit proses  diagonalisasinya  karena  melibatkan  bilangan  kompleks  yang  menghasilkan kesimpulan  matriks  Hilbert 𝐻 3 tidak  dapat  didiagonalisasi,    maka  peneliti  memiliki dugaan  kuat  bahwa  untuk  proses  diagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 4 , 𝐻 5 , 𝐻 6 , bahkan 𝐻 𝑛 tidak  dapat  didiagonalisasi  karena  nilai  determinan  mendekati  0  (nol)  sehingga berakibat tidak memiliki invers.

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil penelitian dan pembahasan di atas, maka dapat disimpulan beberapa hal sebagai berikut.
a. Diagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 2 dapat  dilakukan,  hal  ini  ditunjukkan  dengan didapatkannya matriks 𝑃 2 yaitu,
yang  mendiagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 2 dengan  dibuktikan  bahwa 𝐷 2 = 𝑃 2 −1 𝐻 2 𝑃 adalah matriks diagonal yaitu,
𝐷 2 ≈ 1,267591879 0 0 0,0657414540
b. Diagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 3 tidak  dapat  dilakukan,  hal  ini  ditunjukkan  dengan didapatkannya matriks 𝑃 3 yaitu,
yang  tidak  mendiagonalisasi  matriks  Hilbert 𝐻 3 dengan  dibuktikan    bahwa 𝐷 3 = 𝑃 3 −1 𝐻 3 𝑃 adalah bukan matriks diagonal yaitu,
𝐷 3 = 1,5064 −2,2028 2,2418 0,3720 −0,4011 0,5104 0,3071 −0,3461 0,4280
c. Didapatkan dugaan kuat yaitu matriks Hilbert ordo tinggi tidak dapat didiagonalisasi.

## Daftar Pustaka
[1] Hazewinkel, M. 2001. Encyclopedia of Mathematics . Springer. Springer, ISBN978-1-55608-010-4.
[2] Anton, H., dan Rorres, C. 2005. Elementary Linier Algebra Application Version (Ninth Edition Ed.). John Willey & Son, Inc.
[3] Ye, Y. 2017. The Matrix Hilbert Space and Its Application to Matrix Learning. arXiv:1706.08110v2 [stat.ML] 14 Nov 2017 .
[4] Wicklin, R. 2014. blogs.sas.com . Retrieved 1123, 2017, fromhttps://blogs.sas.com/content/iml/2014/04/16/the-hilbert-matrix-det.html