Volume 1, No. 1, 2019, pp. 65-72 http://dx.doi.org/10.21580/square.2019.1.1.4111

## Penentuan Harga Opsi Tipe Eropa dengan Model Binomial
Via Maulida 1* , Emy Siswanah 2 , Eva Khoirun Nisa 3 1,2,3 Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Walisongo Semarang
* viamaulida.vm@gmail.com

## ABSTRAK
Opsi merupakan suatu jenis kontrak yang memberikan hak kepada salah satu pihak untuk menjual atau membeli sejumlah saham pada suatu harga dan jangka waktu tertentu. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menentukan harga opsi call dan put tipe Eropa  menggunakan  model  binomial langkah dan membandingkan hasil perhitungan harga opsi model binomial   langkah dengan harga opsi model Black-Scholes dan harga opsi pasar. Model binomial merupakan model sederhana yang digunakan  untuk  menentukan  harga  opsi  dengan  mengasumsikan  dua  kemungkinan  pergerakan harga  saham  yaitu  harga  saham  akan  naik  atau  turun.  Hasil  penelitian  ini  menunjukkan  bahwa penentuan harga opsi tipe Eropa dipengaruhi oleh harga saham ( ), harga kontrak ( ), waktu jatuh tempo ( ), volatilitas ( ), suku bunga ( ) dan parameter yang dibutuhkan untuk menghitung harga opsi yaitu peluang harga saham naik ( ), tingkat kenaikan harga saham ( ), tingkat penurunan harga saham ( ). Dilihat dari besar erornya, secara empiris penentuan harga opsi dengan model binomial memberikan  harga  yang  lebih  mendekati  harga  opsi  pasar  dibandingkan  dengan  besar  eror  yang dihasilkan dari harga opsi model Black-Scholes terhadap harga opsi pasar. Namun secara empiris, harga opsi  yang dihasilkan  oleh model binomial hampir sama dengan harga opsi  yang dihasilkan oleh model Black-Scholes yang merupakan model yang telah banyak diterima di dunia keuangan. Kata kunci : Opsi Eropa, Model Binomial, Model Black-Scholes.

## ABSTRACT
Option is essentially a right to buy or sell a particular stock for a predetermined period and price. The purpose to this research is to determine call and put option price European type then will be compared with the market’s option price and Black-Scholes option price. Binomial model is simple models to determine option price that assumed to have two future values which are to be increasing or decreasing. The result of this research show that the determination of option price are influenced by the initial stock price ( ) , strike price (K), the maturity date (T), volatility ( ), interest rate ( ) and  the  basic  parameters  that  are  needed  to  be  calculated  to  determine  option  price  are  the probability of the neutral risk ( ), the level of increasing stock price (u) and the level of decreasing stock price (d). Known from the large error, empirically the determination of option price with the binomial model gives a price that is closer to the the market’s option price rather than the larger error  from  the  Black-Scholes  models  to  the  market’s  option  price.  However  option  price  that obtained by the binomial model are almost same with the option price of Black-Scholes model. Keywords: European Option, Binomial Model, Black-Scholes Model.

## 1. PENDAHULUAN
Investasi  bertujuan  untuk  memperoleh  keuntungan  yang  besar  dengan  biaya  yang minimum.  Namun  untuk  memperoleh  keuntungan  yang  besar,  investor  harus  berani menanggung resiko. Untuk meminimumkan resiko, maka berkembanglah produk-produk baru yang disebut produk derivatif. Produk derivatif berfungsi u ntuk melindungi dan meningkatkan keuntungan pada investasi yang dilakukan (Judokusumo, 2007). Salah satu dari bentuk produk derivatif adalah opsi.
Apabila  investor  menggunakan  opsi,  resiko  kerugian  yang  besar  akan  menjadi  kecil karena opsi memberikan hak dan bukan kewajiban kepada pemegangnya untuk menjual atau membeli sebuah finansial selama jangka waktu tertentu. Dilihat dari risiko yang ditimbulkan, kerugian yang akan dialami oleh pembeli opsi hanyalah sejumlah harga opsi yang dibayar, akan tetapi keuntungan yang mungkin didapat tidak terbatas jumlahnya (Siahaan, 2008).
Opsi  adalah  suatu  jenis  kontrak  antara  dua pihak, dimana  satu  pihak  memberikan  hak kepada  pihak  yang  lain  untuk  membeli  atau  menjual  saham  dalam  jangka  waktu  dan  harga tertentu. Opsi dibedakan menjadi dua jenis  yaitu opsi put dan opsi call. Opsi put adalah opsi yang  memberikan  hak  kepada  pemegangnya  untuk  menjual  sejumlah  tertentu  saham  suatu perusahaan  kepada  penjual  opsi  pada  harga  dan  waktu  tertentu.  Opsi call adalah  suatu  tipe kontrak  yang memberikan hak kepada pembeli opsi untuk membeli dari penjual opsi berupa saham tertentu pada harga dan jangka waktu tertentu (Hull, 2012).
Berdasarkan  waktu  jatuh  temponya,  opsi dapat dikelompokkan  menjadi  dua  yaitu opsi tipe Eropa dan opsi tipe Amerika. Opsi tipe Eropa adalah opsi yang dapat dilaksanakan pada saat jatuh tempo saja, sedangkan opsi tipe Amerika adalah opsi  yang dilaksanakan pada saat jatuh tempo atau sebelumnya (Hull, 2012).
Sebelum melakukan suatu kontrak opsi, sebaiknya investor mengetahui cara-cara dalam memprediksi suatu pergerakan harga saham dan meramalkan segala kemungkinan yang terjadi guna meminimalkan kerugian dan memaksimalkan keuntungan dalam melakukan kontrak opsi. Masalah yang menarik saat melakukan suatu kontrak opsi adalah bagaimana menentukan harga yang  pantas  dibayar  oleh  pembeli  opsi  kepada  penjual  opsi  saat membeli  sebuah  opsi  dari penjual opsi.
Pada  tahun  1973  Fisher  Black  dan  Mayor  Scholes  merumuskan  model  untuk penghitungan  harga  opsi  secara  analitik  yang  dikenal  sebagai  model  Black-Scholes.  Model Black-Scholes sangat berguna untuk menilai apakah harga opsi di pasar sudah merupakan harga yang fair bagi opsi tersebut. Apabila harga opsi yang terjadi di pasar tidak sesuai dengan harga yang dihasilkan model Black-Scholes, maka investor akan mendapat keuntungan (Tandelilin, 2017). Model  Black-Scholes  merupakan  model  yang  telah  banyak diterima oleh  masyarakat keuangan, namun penggunaan model Black-Scholes terbatas hanya pada opsi tipe Eropa dan hanya digunakan untuk saham yang tidak membagikan deviden (Siahaan, 2008).
Pada tahun 1979 Cox, Ross and Rubinstein menyajikan suatu pendekatan numerik untuk penghitungan  harga  opsi  yang  disebut  model  binomial.  Model  binomial  adalah  model  yang digunakan dalam penentuan harga opsi dengan mengasumsikan dua kemungkinan pergerakan harga saham di masa mendatang  yaitu harga saham akan  naik atau harga  saham akan turun. Model  binomial  menyediakan  hampiran  diskrit  untuk  proses  harga  kontinu  di  bawah  model Black-Scholes (Agustina, 2009). Model binomial sangat berguna untuk menentukan harga opsi
terutama  yang  tidak  dapat  diturunkan  secara  analitik.  Model  ini  menggambarkan  berbagai kemungkinan jalan yang bisa diikuti harga saham sepanjang masa opsi.
Penelitian  ini  bertujuan  untuk  menentukan  harga  opsi call dan put tipe  Eropa  dengan menggunakan model binomial, kemudian hasilnya dibandingkan dengan harga opsi pasar dan harga opsi model Black-Scholes. Oleh karena itu diharapkan dari penelitian ini dapat berguna untuk menetukan harga opsi tipe Eropa dengan menyajikan model pergerakan saham yang lebih sederhana  daripada  model  Black-Scholes,  dimana  model  Black-Scholes  menggunakan penurunan secara analitik yang lebih kompleks.

## 2. METODE

## 1.1. Sumber Data
Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah harga saham awal ( ) , harga kontrak ( ) dan data opsi call dan put pada perusahaan Caterpillar Inc. (CAT), The Walt Company (DIS), Apple Inc. (AAPL), Tesla  Inc. (TSLA), dan Facebook, Inc. (FB)  yang diperoleh dari http://www.finance.yahoo.com/ dengan  waktu  jatuh  tempo  30  hari  atau = bulan = 0,0833 . Suku bunga bebas resiko ( ) yang digunakan adalah suku bunga bank central Amerika (FED)  sebesar  2,5%  yang  diperoleh  dari https://www.global-rates.com/interest-rates/central- bank-america/fed-interest-rate.aspx .

## 1.2. Langkah Analisis Data
Langkah-langkah analisis yang dilakukan dalam penelitian ini adalah
(1) menentukan harga opsi call dan put dengan menggunakan model binomial   langkah,
(2) menentukan parameter u, d, dan p ,
(3) membandingkan  hasil  perhitungan  harga  opsi call dan put dari model binomial dengan harga opsi pasar dan harga opsi model Black-Scholes.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1   Model Binomial   Langkah
Perhitungan harga opsi menggunakan model binomial didasarkan pada kenyataan bahwa dalam pasar bebas harga saham akan selalu berubah naik atau turun seiring perubahan waktu. Misalkan harga saham pada saat = 0 adalah dan pada saat = akan naik dengan peluang menjadi atau akan turun dengan peluang 1 − menjadi , sehingga harga opsi pada saat = 0 adalah dan pada saat = akan naik menjadi atau akan turun menjadi    (Aziz,
2009).
Model  binomial  berangkat  dari  suatu  model  pergerakan  harga  saham  yang  sederhana. Selang waktu [0, ] dibagi menjadi   yang sama panjang sehingga (Higham, 2004)
∆ =
= . ∆ dimana = 0,1, … , = ( ) adalah harga saham pada saat
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam model binomial adalah (Aziz, 2009):
1. Setiap  periode  waktu harga  saham    dapat  naik  menjadi atau  turun  menjadi dengan 0 < < < 1 . Parameter dan masing-masing merupakan faktor perubahan naik dan turun yang konstan untuk setiap Δt .
2. Peluang perubahan naik adalah p dan peluang harga saham turun =  1 –  p .
3. Secara acak kontinu, ekspektasi harga saham dengan suku bunga bebas resiko  , dari pada waktu menjadi pada waktu adalah: ( ) = ∆
Model binomial   langkah didapatkan dari hasil perluasan struktur model binomial satu langkah, dua langkah, tiga langkah dan empat langkah. Harga opsi tipe Eropa dapat ditentukan setelah menemukan harga saham saat jatuh tempo. Untuk menentukan harga saham pada saat jatuh tempo dibutuhkan harga saham awal ( ) dengan model binomial.
Pada  saat  jatuh  tempo = . ∆ = terdapat + 1 kemungkinan  harga  saham  yaitu ( , ) dengan dengan  = 0,1, … , .  Untuk  setiap  kemungkinan  harga  saham pada  saat jatuh tempo dalam model binomial - langkah dapat ditulis:
( , ) = dengan peluang (1 − )
dengan = 0,1, … , . Nilai payoff dari opsi saat jatuh tempo   menjadi
( , ) = ( , ) − , 0 untuk opsi call
( , ) = − ( , ) , 0 untuk opsi put
Gambar 1. Struktur Model Binomial   Langkah
Nilai atau harga opsi pada saat   dalam model binomial diperoleh dari nilai opsi pada saat . Nilai opsi pada saat   untuk opsi call ( , ) merupakan nilai yang dihitung secara rata-rata dari nilai opsi pada saat yaitu ( , ) dan ( , ) atau dapat ditulis
( , ) = ∆ ( , ) + (1 − ) ( , ) (1)
dengan = − 1, − 2, … ,0 dan = 0,1, … , .
Begitu juga nilai opsi pada saat   untuk opsi put ( , ) diperoleh dari nilai yang dihitung secara rata-rata dari nilai opsi pada saat yaitu ( , ) dan ( , ) atau dapat ditulis ( , ) = ∆ ( , ) + (1 − ) ( , ) (2)
dengan = − 1, − 2, … ,0 dan  = 0,1, … , . Berdasar persamaan  persamaan  (1)  harga  opsi call model binomial  satu  langkah  dapat ditulis menjadi
= ∆ ( , ) + (1 − ) ( , ) (3)
Berdasarkan persamaan 3, persamaan harga opsi call model binomial dua langkah dapat ditulis menjadi
= ∆ ( , ) + 2p(1 − ) ( , ) + (1 − ) ( , ) (4)
Untuk opsi call model binomial tiga langkah dapat dirumuskan menggunakan persamaan 3 dan 4 menjadi
= ∆ ⎝ ⎜ ⎛ ( , ) +3 (1 − ) ( , ) +3 (1 − ) ( , ) +(1 − ) ( , ) ⎠ ⎟ ⎞
(5)
Untuk opsi call model binomial empat langkah dapat dirumuskan menggunakan persamaan 4 dan 5 menjadi
= ∆ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ( , ) +4 (1 − ) ( , ) +6 (1 − ) ( , ) +4 (1 − ) ( , ) +(1 − ) ( , ) ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ (6)
Maka diperoleh harga opsi call model binomial   langkah
= ∆ ∑ (1 − ) ( − , 0) (7)
dimana variabel acak   menyatakan jumlah kenaikan harga saham dari   langkah dan ∆ = dengan peluang terjadinya kenaikan harga saham adalah   dan peluang terjadinya penurunan harga saham adalah 1 − .
Berdasarkan Persamaan 2, persamaan harga opsi put model binomial satu langkah dapat ditulis menjadi
= ∆ ( , ) + (1 − ) ( , ) . (8)
Berdasarkan persamaan 8, persamaan harga opsi put model binomial dua langkah dapat ditulis menjadi
= ∆ ( , ) + 2p(1 − ) ( , ) + (1 − ) ( , ) . (9)
Untuk opsi put model binomial tiga langkah dapat dirumuskan menggunakan persamaan 8 dan 9 menjadi
= ∆ ⎝ ⎜ ⎛ ( , ) +3 (1 − ) ( , ) +3 (1 − ) ( , ) +(1 − ) ( , ) ⎠ ⎟ ⎞ . (10)
Untuk opsi put model binomial empat langkah dapat dirumuskan menggunakan Persamaan 9 dan 10 menjadi
= ∆ ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ ( , ) +4 (1 − ) ( , ) +6 (1 − ) ( , ) +4 (1 − ) ( , ) +(1 − ) ( , ) ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ . (11)
Maka diperoleh harga opsi put model binomial   langkah yaitu
= ∆ (1 − ) ( − , 0) (12)
Keterangan:
= harga opsi call = harga opsi put S = harga saham awal K  = harga kontrak saham r = tingkat suku bunga
σ = standar deviasi harga saham
p = peluang kenaikan harga saham u = presentase kenaikan harga saham d = presentase penurunan harga saham
3.2.  Penetuan Parameter , , dan
Berdasarkan  asumsi  harga  saham  model  binomial  1  dan  2,  diperoleh  persamaan  ekspektasi saham model diskrit.
( ) = + (1 − ) (13) Dengan menyamakan ekspektasi diskrit dan kontinu didapatkan + (1 − ) = ∆ (14)
= ∆ − − (15) Sehingga dari persamaan varian model kontinu dan diskrit ( ) = ( ) (16) [ ( − ) − ( − ) ] = ∆ ∆ − 1 (17) Didapat parameter = + − 1 , = dengan = ∆ ∆ .

## 3.3.  Perbandingan  Harga  Opsi  Binomial  dengan  Harga  Opsi  Pasar  dan  Harga  Opsi Model Black-Scholes
Simulasi saham yang digunakan untuk menentukan harga opsi tipe Eropa model binomial langkah dengan menggunakan software matlab pada penelitian ini disajikan pada Tabel 1. Berdasarkan perbandingan harga opsi yang dihasilkan oleh model binomial dan model Black- Scholes pada beberapa saham pada tabel 2 dan 3 dapat dilihat bahwa harga opsi yang dihasilkan oleh  model  binomial  lebih  baik  daripada  harga  opsi  yang  dihasilkan  model  Black-Scholes apabila keduanya dibandingkan dengan harga opsi pasar. Dilihat dari besar erornya, penentuan harga opsi dengan model binomial memberikan harga yang lebih mendekati harga opsi pasar dibandingkan dengan besar eror yang dihasilkan dari harga opsi model Black-Scholes terhadap
harga  opsi  pasar.  Walaupun  hasil  perhitungan  harga  opsi  model  binomial  dengan  hasil perhitungan harga opsi model Black-Scholes hampir sama atau tidak jauh berbeda.
Tabel 1. Daftar Harga Saham Nama Saham ( ) ( ) CAT bulan = 0,0833  0,3125  0,025  135,15  135 DIS bulan = 0,0833  0,220 0,025  140,40  140 AAPL bulan = 0,0833  0,2973  0,025  200,67  215 TSLA bulan = 0,0833  0,5869  0,025  238,69  237,50 FB bulan = 0,0833  0,378 0,025  194,41  180
Tabel 2. Perbandingan Harga Opsi Call Model Binomial dan Model Black-Scholes dengan Harga Opsi Pasar Nama Saham Model Binomial Model Black- Scholes Opsi Pasar Eror Binomial-Opsi Pasar Eror Black Scholes-Opsi Pasar CAT 5,04263 5,07200 3,91 1,13263 1,16200 DIS 3,89953 3,90348 3,70 0,19953 0,20348 AAPL 2,21695 2,21707 1,82 0,39695 0,39707 TSLA 16,8589 16,9098 16,1 0,7589 0,8098 FB 17,5421 17,5737 17,03 0,5121 0,5437 Tabel 3. Perbandingan Harga Opsi Put Model Binomial dan Model Black-Scholes dengan Harga Opsi Pasar Nama Saham Model Binomial Model Black Scholes Opsi Pasar Eror Binomial-Opsi Pasar Eror Black Scholes-Opsi Pasar CAT 4,61179 4,64116 4,63 0,01821 0,00116 DIS 3,20828 3,21223 3,90 0,69172 0,68777 AAPL 16,0997 16,0998 13,2 2,8997 2,8998 TSLA 15,1748 15,2257 15,15 0,0248 0,0757 FB 2,75767 2,78922 1,32 1,43767 1,46922

## 4. SIMPULAN
Harga opsi call tipe Eropa model binomial langkah adalah = ∆ ∑ (1- ) maks − , 0 . Harga  opsi put tipe  Eropa  model
binomial   langkah yaitu = ∆ ∑ (1 − ) maks − , 0 dimana variabel acak   menyatakan jumlah kenaikan harga saham dari   langkah dan ∆ = dengan peluang terjadinya kenaikan harga saham dan penurutan harga saham berturut-turut adalah dan 1 − . Parameter = ∆ , = +
− 1 , = dengan nilai = ∆ ∆ .
Hasil  perbandingan  menunjukkan  bahwa  model  binomial  lebih  baik  daripada  model Black-Scholes.  Dilihat  dari  besar  erornya,  penentuan  harga  opsi  dengan  model  binomial memberikan harga yang lebih mendekati harga opsi pasar dibandingkan dengan besar eror yang dihasilkan  dari  harga  opsi  model  Black-Scholes  terhadap  harga  opsi  pasar.  Namun  secara empiris, perbandingan harga opsi yang dihasilkan oleh model binomial tidak jauh berbeda atau hampir sama dengan harga opsi  yang dihasilkan oleh model Black-Scholes  yang merupakan model yang telah banyak diterima di dunia keuangan .
Hasil penelitian  ini menggunakan saham  yang tidak membagikan deviden dikarenakan dalam penelitian  ini  dilakukan  perbandingan  terhadap  harga  opsi  model  Black-Scholes  yang
hanya  dapat  berlaku  untuk  saham  yang  tidak  membagikan  deviden.  Untuk  penelitian selanjutnya  disarankan  untuk  menentukan  harga  opsi  tipe  Eropa  model  binomial  yang membagikan deviden dikarenakan deviden lebih menguntungkan bagi investor.

## 5. DAFTAR PUSTAKA
Agustina,  Fitriani.  (2009). Kekonvergenan  Model  Binomial  dalam  Penentuan  Opsi  Eropa. Prosiding Seminar Nasional Matematika. Bandung.
Aziz, Abdul. (2009). Empat Model Aproksimasi Binomial Harga Saham Model Black ‐ Scholes. Chauchy. 1(1): 1-10.
Hull. John C.. (2012). Option Futures and Other Derivatives. South Westren College Pub.
Judokusumo,  Suherdi.  (2007). Pengantar  Derivatif  dalam  Moneter  Internasional .  Jakarta: Grasindo.
Siahaan, Hinsa. (2008). Seluk-Beluk Perdagangan Instrumen Derivatif. Jakarta: PT Elex Media Komputindo Kompas Gramedia.
Tandelilin,  Eduardus. (2017). Pasar  Modal  Manajemen  Portofolio  &  Investasi .  Sleman:  PT Kanisius.