## PENANGANAN OVERDISPERSI PADA MODEL REGRESI POISSON MENGGUNAKAN MODEL REGRESI BINOMIAL NEGATIF
Rio Tongaril Simarmata 1 , Dwi Ispriyanti 2
1 Alumni Program Studi  Statistika   Undip
2 Staf Pengajar Program Studi Statistika Undip

## Abstract
Poisson regression is the most popular tool for modeling the relationship between a discrete data in the  response  variable  and  a  set  of  predictors  with  continue,  discrete,  categoric  or  mix  data. Response  variable  with  discrete  data,  however,  may  overdispersed  or  underdispersed,  not conductive  to  Poisson  regression  which  assumed  that  the  mean  value  equals  to  variance (equidispersed).  One  of  the  model  that  be  used  to  overdispersed  the  discrete  data  is  a  regression model  based  on  mixture  distribution  namely  Poisson-gamma  mixture  which  result  negative binomial distribution. This regression model usually known as binomial negative regression. Using Generalized Linier Model (GLM) approach, the given model, parameter estimate, diagnostics, and interpretation of negative binomial regression can be determined.
Keyword : Negative Binomial Distribution, Dispersion, Generalized Linier Model

## 1. Pendahuluan
Analisis regresi adalah suatu metode yang digunakan untuk menganalisis hubungan antara variabel respon dengan beberapa variabel prediktor. Pada umumnya analisis regresi digunakan  untuk  menganalisis  data  variabel  respon  yang  berupa  data  kontinu.  Namun dalam  beberapa  aplikasinya,  data  variabel  respon  yang  akan  dianalisis  dapat  berupa  data diskrit.  Salah  satu  model  regresi  yang  dapat  digunakan  untuk  menganalisis  hubungan antara variabel respon Y yang berupa data diskrit dengan variabel prediktor X berupa data diskrit, kontinu, kategorik atau campuran  adalah model regresi Poisson.
Dalam model regresi Poisson terdapat beberapa asumsi yang harus dipenuhi, salah satunya adalah nilai  variansi dari variabel respon Y yang diberikan oleh X = x harus sama dengan nilai meannya yaitu:    ) | ( ) | ( x Y E x Y Var . Namun  dalam analisis data diskrit dengan  menggunakan  model  regresi  Poisson  terkadang  terjadi  pelanggaran  asumsi tersebut,  dimana  nilai  variansinya  lebih  besar  dari  nilai  mean  yang  disebut  overdispersi atau  varian  lebih  kecil  dari  nilai  mean  yang  disebut  underdispersi.  Dalam  model  regresi linier klasik pelanggaran tersebut dinamakan pelanggaran asumsi homokedastisitas [3] . Jika terjadi kasus overdispersi, penanganan model  yang dapat digunakan adalah model regresi binomial negatif. Model ini dibentuk dari distribusi mixture Poisson-gamma dimana:
         , Gamma ~ Poisson ~ | y
Jika suatu distribusi Poisson    dimana  merupakan nilai variabel random yang berdistribusi  gamma,  maka  akan  dihasilkan  distribusi mixture yang  dinamakan  distribusi binomial negatif. Model regresi binomial negatif mengasumsikan
  ) | ( x Y E dan 2 ) | (   k x Y Var  
dengan k adalah  parameter  dispersi  =  1/  dimana  =  parameter  bentuk  dari  distribusi gamma.
Model  ini  dapat  mengatasi  masalah  overdispersi  karena  tidak  mengharuskan  nilai  mean yang sama dengan nilai variansi seperti pada model  regresi Poisson.

## 2. Regresi Poisson

## a. Model
Regresi Poisson merupakan penerapan dari  Generalisasi Model Linier (GML) yang menggambarkan  hubungan  antara  variabel  respon Y data  diskrit  berdistribusi  Poisson dengan  variabel  prediktor X .  Jika Y merupakan  data  diskrit  yang  berdistribusi  Poisson dengan parameter  > 0 maka fungsi massa peluangnya adalah [2] :
! ) ; ( y e y f y      , y = 0, 1, 2, … (1)
dengan asumsi :   ) ( y
E dan   ) ( y Var
Persamaan (1) dapat ditulis dalam bentuk
) ! ln( ) ln( exp[ ) ; ( i i i i y y y f       ) ! ln( ) ( exp[ i i i i y b y      dimana ). ln( i i    Persamaan  ini  merupakan  suatu  bentuk  persamaan  fungsi  distribusi keluarga eksponensial.
Dengan menggunakan fungsi link diperoleh model regresi Poisson dalam bentuk:
ln  = X  ) .... exp( 1 1 0 ip p i i x x        
dengan  i nilai ekspektasi Y i berdistribusi Poisson Penaksiran koefisien  parameter regresi  Poisson  menggunakan metode maksimum likelihood yaitu dengan melakukan turunan parsial fungsi ln-likelihood terhadap parameter yang  akan  diestimasi  dan  diiterasikan  dengan  menggunakan  metode  iterasi  Newton- Rhapson. Fungsi ln-likelihood untuk regresi Poisson adalah:
       n i i i i i y y l 1 ) ! ln( ) ln( ) (   

## b. Overdispersi
Regresi Poisson dikatakan mengandung overdispersi apabila nilai variansinya lebih besar  dari  nilai  meannya.  Overdispersi  memiliki  dampak  yang  sama  dengan  pelanggaran asumsi  homokedastisitas  dalam  model  regresi  linier [3] .  Jika  pada  data  diskrit  terjadi overdispersi    namun  tetap  digunakan  model  regresi  Poisson  maka  estimasi  parameter koefisien  regresinya  tetap  konsisten  tetapi  tidak  efisien  karena  berdampak  pada  nilai standar  error.  Untuk  mendeteksi  terjadinya  masalah  overdispersi  dalam  model  regresi Poisson, dapat dilakukan dengan menguji hubungan antara varian dan mean dalam bentuk persamaan  : i i v    ) ( [1] ,  nilai  adalah  constant  (parameter  gangguan)  dan  dapat diestimasi  dengan  menggunakan  pendekatan  nilai  bagi  pearson  chi-square  dengan  derajat bebasnya [1] .  Jika  nilainya  lebih  besar  dari  satu  maka  dapat  disimpulkan  terdapat overdispersi pada model regresi Poisson.
3. Regresi Binomial Negatif
a. Generalisasi Model Linier Binomial Negatif
Regresi  Binomial  Negatif  merupakan  salah  satu  model  regresi  terapan  dari Generalisasi  Model  Linier (GML).  Sebagai  penerapan  dari  Generalisasi  Model  Linier (GML) maka distribusi binomial negatif memiliki ketiga komponen  yang akan dijelaskan sebagai berikut [6] : i. Komponen Random
Pada  regresi  binomial  negatif  variabel  respon  Y i diasumsikan  berdistribusi binomial negatif yang dihasilkan dari distribusi mixture Poisson-gamma. Misalkan :
         , Gamma ~ Poisson ~ | y
Fungsi massa peluang Poisson-gamma mixture dapat diperoleh dengan cara:
y P (  ) ,        d Gamma y Poisson ) , | ( . ) | ( 0                d y e y ) / exp( 1 . ! 1 0                   0 / 1 !           d y e e y             d e y y 1 0 / 1 1 !          Misalkan            1 1 v maka ,
1 1   d dv         dan untuk 0   , 0   v       v y P (  ) ,     dv v e y y v                         1 1 ! 1 0                   0 1 1 ! dv v e y y v y                                        y y y 1 1 ! ) , | (   Y P     y y y                         1 1 1 ! , dengan  y = 0,1,2,..
    y y y                         1 1 1 1 1 ! ) , | (   Y P merupakan fungsi massa peluang binomial negatif yang dihasilkan dari  distribusi  mixture  Poisson-gamma.  Nilai  mean  dan  variansi  Poisson-gamma mixture adalah :   ] [ Y E dan 2 ] [     Y V
Untuk  membentuk  suatu  model  regresi  pada  distribusi  binomial  negatif,  maka  nilai parameter  dari  distribusi  Poisson  gamma mixture dinyatakan  dalam  bentuk    dan  / 1  k sehingga diperoleh mean dan variansi dalam bentuk
  ] [ Y E dan 2 ] [   k Y V  
Kemudian fungsi massa peluang binomial negatif menjadi:
    y k k k k y k k y k y f                       1 1 1 ! / 1 / 1 ) , ; ( / 1
y = 0,1,2,.. (2)
Saat 0  k maka  distribusi  binomial  negatif  memiliki  varian   ] [ Y V .  Distribusi binomial  negatif  akan  mendekati  suatu  distribusi  Poisson  yang  mengasumsikan  mean dan variansi  sama yaitu    ] [ ] [ Y V Y E . Fungsi distribusi keluarga eksponensial dari distribusi binomial negatif adalah
      
  
                          ! / 1 / 1 ln 1 1 ln 1 1 ln exp ) , ; ( y k k y k k k k y k y f     (3)
ii. Komponen Sistematis
Kontribusi  variabel  prediktor  dalam  model  regresi  binomial  negatif  dinyatakan dalam  bentuk  kombinasi  linier  antara  parameter  (  )  dengan  parameter  regresi  yang akan diestimasi yaitu :
ip p i i x x         .... 1 1 0
Atau dalam matriks dituliskan dalam bentuk  = X  dengan  adalah vektor ( n x 1) dari observasi, X adalah matriks ( n x c ) dari variabel bebas,  adalah matriks ( c x 1) dari koefisien regresi, dengan c = p+1
iii. Fungsi Link
Nilai  ekspektasi  dari  variabel  respon  Y  adalah  diskrit  dan  bernilai  positif.  Maka untuk  mentransformasikan  nilai i  (bilangan  riil)  ke  rentang  yang  sesuai  dengan rentang pada respon y diperlukan suatu fungsi link g (.) yaitu:
i g   ln ) (  = X 

## b. Estimasi Parameter dan Uji Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif
Estimasi  parameter  dari  regresi  binomial  negatif  digunakan  metode  maksimum likelihood  dengan  prosedur  iterasi  Fisher  Scoring dan  Newton  Rhapson [5] .  Metode  ini membutuhkan  turunan  pertama  dan  kedua  dari  fungsi  likelihood.  Y i mempunyai  fungsi massa probabilitas distribusi binomial negatif seperti pada persamaan (2) yaitu:
,... 2 , 1 , 0 dengan , 1 1 1 ) 1 ( ) / 1 ( ) / 1 ( ) , | ( / 1              
       y k k k y k k y k y f y i i k i i i i i     (4)
Karena fungsinya saling bebas, maka fungsi likelihood adalah:
                      n i y i i k i k k k y k k y k l 1 / 1 1 1 1 ) 1 ( ) / 1 ( ) / 1 ( ) , (     dengan          1 1 1 ) ( ) / 1 ( ) / 1 ( y r k r k k y                               n i y i i k i i y r k k k y k r k l 1 / 1 1 1 1 1 1 1 ! 1 ) ( ) , (    
 
                           n i i i i i i y r k y k k y y k r k l k L i 1 1 1 0 1 ) 1 ln( ) ( ) ln( ! ln ) ln( ) , ( ln ) , (    
Turunan  pertama dari fungsi likelihood terhadap koefisien regresi  adalah
  0 1 1 ) , ( 1 1 1 0                                  n i i i i n i i i i i k y k k k y y k L
        0 ) ( 1 1 ) ( 1 ) , ( 1 1 1 1                                               n i i ip i i i i n i i ip i i n i i ip i i ip i p
x y k k x y k x k k y x y k L           
bentuk  persamaan  matriks  dari  turunan  pertama  fungsi  likelihood  terhadap  parameter β yaitu  : q  =  X T Wz , dengan X adalah  matriks  ( n x c )  dari  variabel  prediktor, W adalah matriks  weight  diagonal ke-i  dan z adalah  vektor  matriks  dengan  baris  ke-i, dengan masing-masing elemennya adalah:
dan
Turunan pertama dari fungsi log-likelihood terhadap parameter dispersi k adalah :
 
0 ) 1 ( ) ( ) 1 ln( 1 ) , ( ) ( ' 1 1 2 1 0 1 2                             n i i i i i i y r k y k k k k y k r k k k L k f i                                       n i i i i i y r k k y k k k r k k k L k f i 1 2 1 0 1 2 0 ) 1 ( ) 1 ln( 1 ) , ( ) ( '    
Turunan parsial kedua fungsi likelihood terhadap parameter koefisien regresi β adalah
                    n i i i i k ky k L 1 2 2 0 2 1 1 ) , (    
                    n i i i ij i i i ij i j k k x y k x k L 1 2 0 2 1 ) )( ( ) 1 ( ) , (                             n i i i ij i j k x ky k L 1 2 0 2 1 1 ) , (     
Misalkan turunan parsial pertama dari ) , ( k L  terhadap p j j  ,  adalah 0 1 ) ( ) , ( 1               n i i ij i i p k x y k L     i i i i y z   ) (  
Maka turunan parsial kedua terhadap p u u  ,  adalah    
                n i i i ij iu i i i ij iu i j u k k x x y k x x k L 1 2 2 1 ) )( ( ) 1 ( ) , (                             n i i i i ij iu j u k ky x x k L 1 2 2 1 1 ) , (      (5)
Ekspektasi dari turunan kedua log-likelihood adalah:
                       n i i i ij iu j u k x x k L E 1 2 1 ) , (      (6)
Jika  persamaan  (6)  dinyatakan  dalam  matriks I (matriks  informasi)  yaitu  matriks  yang mengandung ekspektasi negatif dari turunan kedua log-likelihood maka:
I = X T WX
dengan X adalah  matriks  dari  variabel  prediktor, W adalah  matriks  weight  diagonal  ke-i dengan elemen:
i i i k w     1
Turunan kedua fungsi likelihood terhadap parameter dispersi k adalah
                                 n i i i i i y r k k y k k k r k k k L k f i 1 2 1 0 1 2 ) 1 ( ) 1 ln( 1 ) , ( ) ( '                                       n i i i i i i i y r k k k y k k k k k r k r k k k L k f i 1 2 2 2 3 1 0 2 1 1 3 2 ) ( ) 2 1 )( ( 1 ) 1 ln( 2 ) 2 ( ) , ( ) ( "
      
Estimasi parameter regresi binomial negatif dilakukan dengan langkah sebagai berikut:
Langkah 1  : Tentukan taksiran awal dari k, misal
0 ^ 1  k
Langkah 2  : Tentukan  estimasi  maksimum  likelihood  dari  parameter  β  menggunakan prosedur iterasi Fisher Scoring dengan asumsi ^ 1 k k    i i T i T i i z W X X W X 1 ^ 1 ^       Iterasi berakhir jika diperoleh i i ^ 1 ^    
Langkah 3  : Gunakan ^  untuk  menghasilkan  estimasi  dari  parameter  k  dengan menggunakan prosedur iterasi Newthon-Rhapson satu dimensi .
) ( " ) ( ' ^ 1 ^ i i i i k f k f k k    Iterasi berakhir jika diperoleh i i k k ^ 1 ^  
Langkah 4 : Jika     | | 1 ^ 1 ^ k k i selesai; bila tidak, gunakan parameter 1 ^   i k k dan kembali ke  langkah  2.  Nilai  ε  merupakan  nilai  bilangan  positif  yang  sangat  kecil, misalnya ε = 0.001.
Untuk menguji kesesuaian model regresi binomial negatif digunakan uji deviansi dengan:
Hipotesis:
H 0 :  i = exp( ip p i i X ... X X         2 2 1 1 0 )
(model regresi binomial negatif  tepat digunakan sebagai model) H 1 :  i ≠ exp( ip p i i X ... X X         2 2 1 1 0 )
(model regresi binomial negatif tidak tepat digunakan sebagai model) Statistik uji:
                                   _ 1 1 1 ln ) ( ln 2 y k ky y k y y y D i i i i
Kriteria Uji:
H 0 ditolak jika statistik uji D > 2
1 ;   p n  
Uji signifikansi individu  variabel prediktornya dengan menggunakan uji Wald dengan Hipotesis:
H 0 :  j = 0 , dengan j = 1,2,…, p H 1 :  j ≠ 0 , dengan j = 1,2,…, p Statistik uji:
2 ) (          j j j SE W   Kriteria Uji: H 0 ditolak jika statistik uji
2 1 ; j W   

## 4. Contoh  Terapan
Sebagai  contoh  penerapan  model    regresi  binomial  negatif  digunakan  data  suatu kasus penelitian di daerah Connecticut, Massachetts dan Vermont (Amerika Serikat) yang diambil dari (http://www.sci.usq.edu.au/staff/dunn/Dataset/tech-GLM.html) tentang pengaruh  lokasi,  ketinggian  dari  permukaan  laut  (m),  dan  posisi  garis  lintang  (cm) terhadap jumlah semut yang ditemukan di dalam 44 blok penyampelan (observasi) dengan ukuran 64 m 2 , 22 blok ditempatkan di daerah berlumpur dan 22 blok lainya ditempatkan di hutan  disekitar  daerah  berlumpur  tersebut.  Lokasi  tersebut  berada  di  sekitar  3 0 dari  garis lintang di New England. Untuk menganalisis model regresi binomial negatif maka terlebih dahulu  dilakukan  pengecekan  asumsi  bahwa  variabel  respon  Y i berdistribusi  Poisson menggunakan uji kolmogorov-smirnov dengan bantuan program SPSS 13 for Windows
Tabel 1. One-Sample Kolmogorov-Smirnov Test
Y N 44 Poisson Parameter(a,b) Mean 7.75 Most Extreme Differences Absolute 0.158 Positive 0.158 Negative -0.154 Kolmogorov-Smirnov Z 1.047 Asymp. Sig. (2-tailed) 0.223
Analisis Output untuk uji kolmogorov-smirnov adalah sebagai berikut:
Hipotesis:
H 0 :  F(X) = F 0 (X) (Data berdistribusi Poisson)
H 1 :   F(X) ≠ F 0 (X) (Data tidak berdistribusi Poisson)
Tingkat signifikansi  = 5%
Statistik Uji:
Tolak  H 0 jika  D  D * (  ),  dimana  D * (  )  merupakan  nilai  kritis  yang  diperoleh  dari  tabel “ Kolmogorov-Smirnov ”, atau menggunakan tolak H 0 jika p-value   .
Berdasarkan  hasil  output  pada  Tabel  1  diperoleh  nilai asymp.  sig ( 2-tailed )  =  0.223,  jika dibandingkan  dengan  =  0.05  maka  nilai p-value =  0.223  >  =  0.05  yang  berarti  H 0 diterima.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  variabel  respon  (Y)  adalah  berdistribusi Poisson.
 Overdispersi  Model Regresi Poisson

## Tabel 2 . Output Model Regresi Poisson
Nilai Pearson Chi-Square model dibagi derajat bebasnya adalah 1.3711. Nilai tersebut lebih besar dari satu yang berarti dapat disimpulkan model mengalami overdispersi.
 Uji Kesesuaian Model Regresi Binomial Negatif Uji  kesesuaian  model  regresi  binomial  negative  dilakukan  dengan  menggunakan prosedur pengujian nilai deviansi.
Tabel 3 . Ouput Regresi Binomial Negatif
Terlihat  pada  Tabel  3  nilai  deviansi  =  43.9689  lebih  kecil  dari  nilai  tabel  chi-square 2 40 ; 5 . 0  =  55.78).  Sehingga  H 0 diterima  yang  berarti  model  regresi  binomial  negatif dapat  digunakan  untuk  menganalisis  pengaruh  lokasi,  ketinggian,  dan  posisi  garis lintang  blok  sampel  yang  dibentuk  terhadap  jumlah  semut  yag  ditemukan  didalam blok  tersebut.  Selanjutnya  akan  dilakukakan  uji  individu  koefisien  regresi  binomial negatif dengan menggunakan prosedur uji Wald.
Tabel 4 . Output Regresi Binomial Negatif
Berdasarkan uji individu koefisien regresi disimpulkan bahwa masing-masing variabel prediktor  (lokasi,  posisi  garis  lintang,  dan  ketinggian)  memberikan  pengaruh  yang signifikan  terhadap  jumlah  semut  yang  ditemukan  dalam  blok  penyampelan (observasi). Sehingga diperoleh model regresi binomial negatif seperti berikut:
) 001 . 0 3007 . 0 3785 . 0 9449 . 14 exp( 3 2 1 i i i i X X X     

## 5. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diperoleh dari pembahasan diatas adalah sebagai berikut:
1. Distribusi  yang  digunakan  dalam  model  regresi  binomial  negatif  adalah  distribusi Poisson-gamma mixture yaitu :
    y k k k k y k k y k y f                       1 1 1 ! / 1 / 1 ) , ; ( / 1 y = 0, 1, 2, …
dengan:   ] [ Y E dan 2 ] [   k Y V   , k dinamakan parameter dispersi.
2. Regresi  binomial  negatif  memenuhi  ketiga  komponen  dari  GML    dengan  asumsi variabel  respon  berdistribusi  binomial  negatif  (Poisson-gamma  mixture)  dan  fungsi link yang digunakan adalah log-link. Bentuk modelnya adalah
    p j j ij i X 1 0 ) exp(   
3. Estimasi  maksimum  likelihood  parameter  regresi  dan  parameter  dispersi  binomial negatif  tidak  menghasilkan  persamaan  yang  linier  pada  turunan  parsial  pertama sehingga  hasil  estimasinya  diperoleh  dengan  menggunakan  metode  iterasi  yaitu metode iterasi Fisher Scoring dan Newton-Rhapson.

## DAFTAR PUSTAKA
1. Agresti, A., Categorical Data Analysis , Second edition, Jhon Wiley & Sons, Inc., New York, 2002.
2. Casella, G and Berger, R. L., Statistical Inference , Wadsworth, Inc., California, 1990.
3. Cameron,  A.C  and  Tivedi,  P.K., Regression  Analysis  of  Count  Data , Cambridge University Press., New York, 1998 .
4. Cameron,  A.C  and  Tivedi,  P.K., Essentials  of  Count  Data  Regression .  in  Badi  H. Baltagi  ed.,  A  Companion  to  Theoretical  Econometrics,  Blackwell,  Oxford (U.K.), 1999: 331-348 .
5. Dominique  and  Park,  B., Adjusment  for  The  Maximum  Likelihood  Estimate  of  The Negative Binomial Dispersion Paramete r. Texas A&M University, 2007.
6. Greene,  W., Functional  Forms  For  The  Negative  Binomial  Model  For  Count  Data. Foundations and Trends in Econometrics. Working Paper, Department of Economics, Stern School of Business, New York University, 2008: 585-590.