Penerapan Generalized Cross Validation dalam Model Regresi Smoothing Spline pada Produksi Ubi Jalar di Jawa Tengah
Trionika Dian Wahyuningsih 1 , Sri Sulistijowati Handajani 2 , and Diari Indriati 3 1,3 Program Studi Matematika FMIPA Universitas Sebelas Maret
2 Program Studi Statistika FMIPA Universitas Sebelas Maret
rr_ssh@staff.uns.ac.id , trionikadian2@gmail.com
Abstract: Sweet Potato is a useful plant as a source carbohydrates, proteins, and is used as an animal feed and ingredient industry. Based on data from the Badan Pusat Statistik (BPS), the production fluctuations of the sweet potato in Central Java from year  to  year  are  caused  by  many  factor.  The  production  of  sweet  potato  and  the factors that affected it if they are described into a pattern of relationships then they do  not have  a  specific  pattern  and  do  not  follow  a  particular  distribution,  such  as harvest  area,  the  allocation  of  subsidized  urea  fertilizer,  and  the  allocation  of subsidized organic fertilizer. Therefore, the production model of sweet potato could be  applied  into  nonparametric  regression  model.  The  approach  used  for nonparametric  regression  in  this  study  is  smoothing  spline  regression.  The  method used  in  regression  smoothing  spline  is  generalized  cross  validation  (GCV).  The value of the smoothing parameter (λ) is chosen from the minimum GCV value. The results  of  the  study  show  that  the  optimum  λ  value  for  the  factors  of  harvest  area, urea  fertilizer  and  organic  fertilizer  are  5.57905e-14,  2.51426e-06,  and  3.227217e- 13 that they result a minimum GCV i.e 2.29272e-21, 1.38391e-16, and 3.46813e-24.
Keywords : Sweet  potato , nonparametric,  smoothing  spline,  generalized  cross validation.

## 1. Pendahuluan
Indonesia  sebagai  negara  beriklim  tropis,  memiliki  tanah  subur  dan  hasil  alam yang  beraneka  ragam,  khususnya  di  bidang  pertanian.  Pertanian  dalam  arti  luas  terdiri atas  lima  sektor  yaitu  tanaman  pangan,  perkebunan,  peternakan,  perikanan,  dan kehutanan  (Soekartawi [1]).  Sektor tanaman  pangan  yang  salah  satunya adalah tanaman palawija  yaitu  ubi  kayu,  ubi  jalar,  dan  talas  (Purwono  dan  Purnamawati  [2]).  Sebagai salah satu tanaman pangan, ubi jalar merupakan sumber karbohidrat dan protein.
Provinsi  Jawa  Tengah  termasuk  ke  dalam  lima  daerah  sentra  produksi  ubi  jalar terbesar  di  Indonesia.  Produksi  ubi  jalar  sebagai  bahan  pangan  pengganti  merupakan suatu  hal  yang  perlu  diperhatikan  agar  tidak  menjadi  ancaman  untuk  ketahanan  pangan Jawa  Tengah  dan  Nasional.  Produksi  ubi  jalar  Jawa  Tengah  mengalami  fluktuatif  dari tahun ke tahun, hal ini disebabkan oleh berbagai faktor, antara lain luas panen, luas lahan, bibit, jumlah pupuk, jumlah tenaga kerja, curah hujan, dan konsumsi masyarakat.
Volume 1  No. 2 November 2018
Najwah [3] melakukan analisis efisiensi usaha tani ubi jalar ( Ipomoea batatas L.) di Kabupaten Karanganyar dan menghasilkan kesimpulan bahwa luas lahan, bibit, pupuk phonska, pestisida, dan tenaga kerja berpengaruh nyata terhadap produksi ubi jalar. Selain itu,  Defri  [4]  melakukan  analisis  pendapatan  dan  faktor-faktor  yang  memengaruhi produksi  usahatani  ubi  jalar  (studi  kasus  Desa  Purwasari,  Kecamatan  Dramaga, Kabupaten  Bogor).  Hasil  penelitian  tersebut  menyatakan  estimasi  parameter ordinary least  square untuk  fungsi  produksi Cobb-Douglass menunjukkan  bahwa  variabel  yang berpengaruh terhadap produksi ubi jalar adalah variabel pupuk kandang, bibit, dan tenaga kerja.
Penelitian yang dilakukan Najwah [3] dan Defri [4] belum memeroleh hasil yang memuaskan. Hal ini disebabkan produksi ubi jalar dan faktor yang memengaruhinya jika digambarkan  ke  suatu  pola  maka  tidak  memiliki  pola  tertentu.  Oleh  karena  itu,  pola tersebut  tidak  dapat  digunakan  dengan  regresi  parametrik  sehingga  digunakan  regresi nonparametrik.  Model  regresi  nonparametrik  digunakan  apabila  tidak  ada  informasi sebelumnya  tentang  bentuk  kurva  regresi.  Salah  satu  pendekatan  regresi  nonparametrik untuk  memeroleh  dugaan  kurva  regresi  adalah smoothing  spline .  Menurut  Aydin  [5] smoothing spline memiliki hasil yang lebih baik daripada regresi kernel. Masalah utama pada  saat  menduga  fungsi  regresi smoothing  spline adalah  memilih  dan  menentukan parameter pemulus (Cantoni dan Hastie [6]).
Menurut  Lee  [7],  untuk  menentukan  parameter  pemulus  pada  regresi smoothing spline tersebut  dapat  digunakan  metode  GCV.  Dalam  penelitian  ini  digunakan  metode GCV  untuk  mendapatkan  hasil  yang  maksimum  pada  parameter  pemulus  ( λ ).    Nilai λ dipilih dari nilai GCV(λ) yang minimum.

## 2. Model Regresi Nonparametrik
Menurut Eubank [8] model regresi nonparametrik merupakan model regresi yang digunakan  untuk  mengestimasi  kurva  regresi  yang  hanya  tergantung  pada  data  amatan. Model  regresi  nonparametrik  tidak  memberikan  asumsi  terhadap  bentuk  kurva  regresi. Kurva  tersebut  hanya  diasumsikan  termuat  dalam  suatu  ruang  fungsi  tertentu,  dimana pemilihan ruang  fungsi  ini  biasanya  dimotivasi  oleh sifat  kemulusan  ( smoothness )  yang diasumsikan dimiliki oleh fungsi regresi tersebut. Ini memberikan fleksibilitas yang lebih besar  di  dalam  bentuk  yang  mungkin  dari  kurva  regresi.  Untuk  mengonstruksi  model regresinya  dipilih  ruang  fungsi  yang  sesuai,  yang  mana  kurva  regresi diyakini termasuk didalamnya.
Volume 1  No. 2 November 2018
Diberikan 𝑛 pengamatan (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) dengan 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 untuk 𝑥 𝑖 dan 𝑦 𝑖 dalam 𝑅 . Variabel 𝑥 𝑖 merupakan  variabel  prediktor  pada  pengamatan  ke- 𝑖 ,  variabel 𝑦 𝑖 merupakan variabel respon pada pengamatan ke- 𝑖 , dan 𝑅 merupakan bilangan riil. Hubungan antara 𝑥 𝑖 dan 𝑦 𝑖 diasumsikan mengikuti model regresi berikut.
𝑦 𝑖 = 𝑓(𝑥 𝑖 ) + 𝜀 𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 , (1)
dengan 𝑓(𝑥 𝑖 ) adalah fungsi 𝑓 yang tidak diketahui dan 𝜀 𝑖 adalah sisaan yang diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean nol dan variansi 𝜎 2 (Fox [9]).
Eubank  [8]  menyatakan  bahwa  ada  beberapa  teknik  untuk  mengestimasi  kurva regresi 𝑓 dalam regresi nonparametrik, salah satunya dengan smoothing spline .

## 3. Model Regresi Nonparametrik Spline
Salah satu model regresi dengan pendekatan nonparametrik yang dapat digunakan untuk  menduga  kurva  regresi  adalah  regresi spline .  Regresi spline merupakan  suatu pendekatan ke arah plot data dengan tetap memperhitungkan kemulusan kurva.
Secara umum fungsi spline orde ke- m ditulis sebagai berikut :
𝑓(𝑥) = 𝛽 0 + ∑ 𝛽 𝑗 𝑥 𝑗 𝑚 𝑗=1 + ∑ 𝜃 𝑗 (𝑥 − 𝑋 𝑗 ) + 𝑚 𝑘 𝑗=1 , (2)
dengan fungsi terpotong sebagai berikut :
(𝑥 − 𝑋 𝑗 ) + 𝑚 = { (𝑥 − 𝑋 𝑗 ) + 𝑚 ; 𝑥 ≥ 𝑋 𝑗 0                  ; 𝑥 < 𝑋 𝑗 ,
dengan 𝛽 0 merupakan  parameter  model, 𝛽 𝑗 merupakan  parameter  pada  variabel 𝑥 𝑗 , 𝜃 𝑗 merupakan  parameter  pada  variabel  prediktor pemotongan  knot  ke- j, 𝑥 𝑗 merupakan variabel prediktor orde ke- j, 𝑋 𝑗 merupakan knot ke- j pada variabel 𝑥 𝑗 , nilai 𝑗 = 1,2, … , 𝑚 , m merupakan orde spline , dan k adalah banyak knot.
Dari  bentuk  matematis  fungsi spline ,  ditunjukkan  bahwa spline merupakan  model polinomial  yang  tersegmen  ( piecewise  polynomial ),  tetapi spline masih  bersifat  kontinu pada knot-knotnya.

## 4. Model Regresi Nonparametrik Smoothing Spline
Smoothing merupakan suatu proses yang dapat menghilangkan data kasar dengan mengikuti  bentuk  pola  data.  Berdasarkan  fungsi  regresi  nonparametrik, f adalah  fungsi pemulus  dan 𝐸(𝜀) = 0 ,  Fahrmeir  dan  Tuhtz  [10]  menduga  kurva  pemulus 𝑓̂(𝑥 𝑖 ) dapat diperoleh  berdasarkan  data  amatan,  yakni  pasangan  variabel  prediktor  dan  variabel respon.  Penduga  fungsi  pemulus  merupakan  penduga  fungsi  yang  mampu  memetakan
Volume 1  No. 2 November 2018
data  dengan  baik  serta  mempunyai  variansi error yang  kecil.  Oleh  karena  itu,  dengan menggunakan  data  amatan  sebanyak n , 𝑓(𝑥 𝑖 ) dapat  diperoleh  dengan  meminimumkan fungsi penalized least square (PLS), yaitu
𝑃𝐿𝑆 = ∑ (𝑦 𝑖 − 𝑓(𝑥 𝑖 )) 2 + 𝜆 ∫[𝑓 ′′ (𝑥)] 2 𝑑𝑥 𝑛 𝑖=1 (3)
dengan n adalah banyaknya data amatan, 𝜆 sebagai parameter pemulus dan 𝑓 ′′ (𝑥) adalah fungsi turunan tingkat dua.

## 5. GCV ( Generalized Cross Validation )
Metode  GCV  digunakan  untuk  menentukan λ dalam  regresi smoothing  spline .
Lee [7] mendefinisikan bentuk umum dari metode GCV sebagai berikut
𝐺𝐶𝑉(λ) = 1 𝑛 ∑ {𝑦 𝑖 −𝑓 𝜆 (𝑥 𝑖 )} 2 𝑛 𝑖=1 {1−𝑛 −1 𝑡𝑟(𝑆 𝜆 )} 2 , (4)
dengan 𝑓 𝜆 adalah  estimator  dari smoothing  spline dan 𝑡𝑟(𝑆 𝜆 )   ≤ 𝑛. Nilai λ dipilih  dari nilai GCV( λ ) yang minimum.
Adapun  langkah-langkah  yang  dilakukan  untuk  menentukan λ pada  regresi smoothing spline diasumsikan sebagai berikut.
1. Input data ( 𝑥 1𝑖 , 𝑥 2𝑖 , 𝑥 3𝑖 , … , 𝑥 𝑛𝑖 , 𝑦 𝑖 ).
2. Menghitung matriks T dan H kemudian matriks L .
𝑻 = [( 𝑹 + 𝜆𝑰 𝑛 𝑸 𝑡 𝑸 0 ) −1 ] (𝑛×𝑛) ,
dimana  notasi [. ] 𝑛×𝑛 menunjukkan  submatriks  berukuran 𝑛 × 𝑛 yang  dibentuk  dari bagian kiri atas matriks utama
[ 𝑻 𝑛  ×  𝑛 𝑻 𝟏 𝑛  ×  2 𝑻 𝟐 2  ×  𝑛 𝑻 𝟑 2  ×  2 ]
dengan 𝑹 = (
0 |𝑥1𝑖−𝑥2𝑖|3 12
|𝑥1𝑖−𝑥3𝑖|3 12 ⋯ |𝑥1𝑖−𝑥𝑛𝑖|3 12 |𝑥2𝑖−𝑥1𝑖|3 12 0 |𝑥2𝑖−𝑥3𝑖|3 12 ⋯ |𝑥2𝑖−𝑥𝑛𝑖|3 12 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ |𝑥𝑛𝑖−𝑥1𝑖|3 12 |𝑥𝑛𝑖−𝑥2𝑖|3 12 |𝑥𝑛𝑖−𝑥3𝑖|3 12 ⋯ 0 ) ,
dan 𝑸 = ( 1 1 1 𝑥 1𝑖 𝑥 2𝑖 𝑥 3𝑖 ⋯ ⋯ 1 𝑥 𝑛𝑖 ) .
Selanjutnya menentukan nilai 𝜆 yang diperoleh dari,
𝜆 = 1−𝑞 𝑞 , 0 < 𝑞 < 1 ,
Matriks H didefinisikan  sebagai  berikut 𝑯 = (𝑹 𝑸 𝒕 ) ( 𝑹 + 𝝀𝑰 𝒏 𝑸 𝒕 𝑸 0 ) −1 merupakan
submatriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang di bentuk dari bagian kiri matriks utama,
[ 𝑯 𝑛  ×  𝑛 𝑯 𝟏 𝑛  ×  2 ]
dan matriks L didefinisikan sebagai 𝑳 = (𝑻𝑯 −𝟏 ) 𝒕 𝑹𝑻𝑯 −𝟏 .
3. Menghitung matriks 𝑺 𝝀 dengan 𝑺 𝝀 = (𝑰 + 𝝀𝑳) −𝟏 .
4. Menghitung 𝑓 𝜆 untuk berbagai nilai 𝜆 dengan 𝑓 𝝀 = 𝑺 𝝀 𝑦 .
5. Memilih 𝑓 𝜆 yang meminimumkan GCV( 𝜆 ) dengan 𝐺𝐶𝑉(λ) = 1 𝑛 ∑ {𝑦𝑖−𝑓𝜆(𝑥𝑖)}2 𝑛 𝑖=1 {1−𝑛−1𝑡𝑟(𝑺𝝀)}2 .

## 6. Metode Penelitian
Data  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  data  sekunder  yang  diperoleh dari BPS Provinsi Jawa Tengah berupa produksi ubi jalar di Provinsi Jawa Tengah pada tahun  2015.  Variabel  respon  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  produksi  ubi jalar  di  35  kabupaten/kota  Jawa  Tengah.  Variabel  prediktor  yang  digunakan,  yaitu  luas panen, alokasi pupuk urea bersubsidi, alokasi pupuk organik bersubsidi di Provinsi Jawa Tengah  tahun  2015.  Data  alokasi  pupuk  urea  bersubsidi  dan  alokasi  pupuk  organik bersubsidi  diperoleh  dari  Dinas  Pertanian,  Tanaman  Pangan  dan  Holtikultura  Provinsi Jawa  Tengah,  sedangkan  data  luas  panen  dan  produksi  ubi  jalar  diperoleh  dari  BPS Provinsi Jawa Tengah.
Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian.
1. Membuat  diagram  pencar  hubungan  antara  produksi  ubi  jalar  terhadap  masing- masing variabel prediktor.
2. Menentukan nilai λ yang digunakan pada masing-masing variabel prediktor.
3. Menentukan  nilai  estimator smoothing  spline pada  masing-masing  variabel prediktor.
4. Menentukan λ optimum  berdasarkan  nilai  GCV  minimum  pada  masing-masing variabel prediktor.
7. Hasil dan Pembahasan
7.1 Diagram Pencar Data . Diagram pencar hubungan antara produksi ubi jalar terhadap luas panen, alokasi pupuk urea bersubsidi, dan alokasi pupuk organik bersubsidi dapat dilihat pada Gambar 1.
(a) (b) (c)
Gambar 1. Diagram pencar hubungan: (a) produksi ubi jalar terhadap luas panen; (b) produksi  ubi  jalar  terhadap  alokasi  pupuk  urea  bersubsidi;  (c)  produksi  ubi  jalar terhadap alokasi pupuk organik bersubsidi
Diagram pencar pada Gambar 1 mengindikasikan bahwa data tidak  memiliki pola  tertentu  sehingga  tidak  mengikuti  distribusi  tertentu.  Produksi  ubi  jalar  dapat diterapkan  dalam  model  regresi  nonparametrik.  Estimasi  fungsi  regresi nonparametrik dilakukan berdasarkan data pengamatan dengan menggunakan teknik pemulusan  ( smoothing ).  Pendekatan  yang  digunakan  untuk  regresi  nonparametrik salah  satunya  adalah  pendekatan  dengan  regresi smoothing  spline .  Adapun  metode yang digunakan dalam regresi smoothing spline adalah metode GCV.
7.2 GCV  ( Generalized  Cross  Validation ). Metode  GCV  adalah  metode  klasik  yang digunakan untuk menentukan λ pada regresi smoothing spline . Nilai λ dipilih dari nilai GCV  yang  minimum.  Langkah  yang  dilakukan  sebelum  memeroleh  GCV  minimum
Volume 1  No. 2 November 2018
adalah menentukan estimator smoothing spline dari berbagai nilai λ . Matriks estimator smoothing  spline berdasarkan  nilai λ optimum  pada  masing-masing  faktor  yang meminimumkan GCV dapat dilihat pada Tabel 4.1.
Tabel 4.1. Nilai f λ untuk λ optimum pada masing-masing faktor
Variabel prediktor Luas Panen Pupuk Urea Pupuk Organik
f λ
4941.9999999999945 1619.9999999999995 3603.999999999982 1681.9999999999998 981.9999999999997 2136. 8129. 24572.999999999996 313.9999999999995 355.00000000000074 1598.9999999999975 31076. 511.0000000000009 1424.9999999999995 2197.0000000000014 1403.0000000000016 1283.999999999979 1315.9999999999964 3636. 24812. 4942.000000000024 1619.9999999992783 3604.000000000146 1681.9999999996382 982.0000000000001 2136.000000000001 8128.999999999842 24573.000000000575 314.00000000803686 354.9999999919489 1599.0000000000025 31076.000000000007 511.00000000012307 1424.9999999998881 2197.000000002583 1402.9999999999889 1283.9999999999982 1316.000000000138 3635.9999999999995 24811.999999999807 4942. 1620.0000000000005 3604. 1682.0000000000002 982. 2136. 8128.999999999998 24573. 314. 355. 1599. 31076. 511. 1425. 2197. 1403. 1284. 1316. 3636. 24812.
Volume 1  No. 2 November 2018
4577.000000000005 6474. 13849. 738.0000000000056 3075. 1075.0000000000377 3742.999999999999 34.00000000000449 150.99999999999517 4576.999999997797 6474.000000000104 13849.000000000162 737.9999999999998 3075.0000000000014 1075.000000000003 3742.9999999998713 34.00000000036755 150.99999999967116 4577. 6474. 13849. 738. 3075. 1075. 3743. 34. 151.
Setelah  ditentukan  estimator smoothing  spline ,  langkah  selanjutnya  adalah menentukan nilai GCV yang minimum. Hasil perhitungan dari berbagai nilai λ dan nilai GCV ditunjukkan pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Nilai λ dan GCV pada masing-masing faktor
Berdasarkan  Tabel  4.2  nilai  GCV  minimum  dan  nilai λ optimum  untuk  masing- masing faktor adalah
1. luas panen: λ = 5.57905.10 -14 ; GCV = 2.29272.10 -21
2. pupuk urea: λ = 2.51426.10 -6 ; GCV = 1.38391.10 -16
3. pupuk organik: λ = 3.227217.10 -13 ; GCV = 3.46813.10 -24 .

## 8. Kesimpulan
Berdasarkan  hasil  dan  pembahasan  diperoleh  kesimpulan  bahwa  nilai λ optimum terhadap  faktor  luas  panen,  pupuk  urea,  dan  pupuk  organik  adalah  5.57905.10 -14 ,
Luas Panen Pupuk Urea Pupuk Organik λ GCV λ GCV λ GCV 1.362073.10 -17 1.24793.10 6 8.932447.10 -21 8.08271.10 7 7.878948.10 -17 192.012 5.57905.10 -14 2.29272.10 -21 2.51426.10 -6 1.38391.10 -16 3.227217.10 -13 3.46813.10 -24 2.607499.10 -5 0.000493612 0.001173893 2.60289.10 -16 5.414372.10 -6 2.90679.10 -10 0.0001376246 0.0137452 0.01029841 2.32165.10 -9 0.0007960934 6.28413.10 -6 0.07624897 3248.8 42.18229 0.0389435 0.08525932 0.0719865
2.51426.10 -6 ,  dan  3.227217.10 -13 dengan  GCV  minimum  sebesar  2.29272.10 -21 , 1.38391.10 -16 , dan 3.46813.10 -24 .
9. Daftar Pustaka
[1] Soekartawi, Agribisnis  Teori  dan  Aplikasi ,  PT.  Raja  Grafindo  Persada,  Jakarta, 1999.
[2] Purwono,  Purnamawati, H., Budidaya 8 Jenis Tanaman Pangan , Jakarta: Penebar Swadaya, 2007.
[3] Najwah,  I.  N., Analisis  Efisiensi  Usahatani  Ubi  Jalar  (Ipomoea  batatas  L.)  di Kabupaten  Karanganyar ,  Skripsi  Fakultas  Pertanian,  Universitas  Sebelas  Maret, Surakarta, 2014.
[4] Defri,  K., Analisis  Pendapatan  dan  Faktor-faktor  yang  Memengaruhi  Produksi Usahatani  Ubi  Jalar  (Studi  Kasus  Desa  Purwasari,  Kecamatan  Dramaga, Kabupaten  Bogor) ,  Skripsi  Fakultas  Ekonomi  dan  Manajemen,  Institut  Pertanian Bogor, Bogor, 2011.
[5] Aydin,  D., A  Comparison  of  The  Nonparametric  Regression  Models  Using Smoothing  Spline  and  Kernel  Regression, World  Academy  Science,  Enginering and Technology, 2007; (36): 253-257.
[6] Cantoni,  E.  dan  Hastie,  T., Degrees  of  Freedom  Tests  for  Smoothing  Splines, Statistics Department, Stanford University, 2000.
[7] Lee, T. C. M., Smoothing Parameter Selection for Smoothing Splines: a Simulation Study, Computational Statistic & Data Analysis, 2003; (42): 139-148.
[8] Eubank,  R., Nonparametric  Regression  and  Spline  Smoothing.  Second  Edition , New York: Marcel Dekker, 1999.
[9] Fox, J., Nonparametric Regression [Internet] . 2002 [cited 2009 Jan 24]. Available from: http://cran.r-project.org/doc/contrib/Fox-Companion/appendix- nonparametric-regression.pdf, [cited 2017 Jun 02].
[10] Fahrmeir,  L.  dan  Tuhtz,  G., Multivariate  Statistical  Modelling  Based  on Generalized Linear Models, Springer-Verlag, New York, 1994.