J .   M at h .   a n d  I t s  A pp l . I SSN:   1 8 2 9 - 6 0 5 X Vol .   9 ,   No.   1 ,   Mei   2 0 1 2 ,  1 7 - 3 1

## REGISTRASI CITRA PADA DOMAIN FREKUENSI MENGGUNAKAN METODE POWER CEPSTRUM
Kartika Mahanani 1 , Suhud Wahyudi 2 , Budi Setiyono 3 , Imam Mukhlash 4 1,2,3,4 Institut Teknologi Sepuluh Nopember
4 imam@matematika.its.ac.id

## Abstrak
Penyampaian informasi dapat dilakukan melalui gambar. Gambar atau bisa disebut citra dapat kehilangan informasi yang terkandung didalamnya jika citra tersebut  berkualitas  buruk,  seperti  buram,  berbintik,  ataupun  gelap.  Sehingga diperlukan suatu teknik yang dapat mengubah kualitas citra menjadi lebih baik dari  sebelumnya  dan  salah  satu  teknik  yang  dapat  digunakan  adalah  teknik Super Resolusi.
Teknik  Super  Resolusi  merupakan  teknik  yang  digunakan  untuk membangun  citra  beresolusi  lebih  tinggi  dari  kumpulan  citra  yang  beresolusi lebih rendah. Dalam teknik ini terdapat dua langkah utama yaitu registrasi dan rekonstruksi. Registrasi merupakan kegiatan yang dilakukan untuk memperoleh nilai  pergeseran  diantara  dua  citra  yang  memiliki  pergeseran  diantaranya. Registrasi  Citra  dilakukan  pada  domain  frekuensi  dengan  menggunakan Transformasi  Fourier,  yaitu  nilai  matriks  dari  citra  yang  sebelumnya  berada pada domain spasial diubah ke domain frekuensi.
Pada  Tugas  Akhir  ini  digunakan  metode  Power  Cepstrum  untuk menyelesaikan  permasalahan  Registrasi  Citra.  Cepstrum  merupakan  hasil perolehan  logaritma  spektrum  suatu  sinyal  yang  ditransformasikan  dengan menggunakan  Transformasi  Fourier.  Power  Cepstrum  digunakan  untuk mendapatkan  besar  pergeseran  diantara  kedua  citra.  Pada  permasalahan  satu dimensi,  Power  Cepstrum  dari  fungsi  waktu  adalah  power  spectrum  dari logaritma dari power spectrum fungsi tersebut. Pada permasalahan dua dimensi, fungsinya diubah menjadi fungsi intensitas citra.
Dari  uji  coba  yang  telah  dilakukan,  tampak  bahwa  perangkat  lunak Registrasi  Citra  menggunakan  metode  Power  Cepstrum  mampu  mendeteksi pergeseran  pada  level  piksel  dengan  nilai  pergeseran  maksimum  sebesar  30 piksel.
Kata  kunci:  registrasi  citra, power  cepstrum, transformasi fourier, domain frekuensi

## 1. Pendahuluan
Kualitas  citra  merupakan  hal  yang  paling  krusial  dalam  semua  bidang yang  berbasis  gambar.  Citra  yang  berkualitas  tinggi  akan  memudahkan pembacanya  dalam  memahami  informasi  yang  terkandung  didalamnya, sehingga  mengurangi kesalahan  yang  mungkin terjadi. Berbicara  mengenai kualitas citra, akan merujuk pada proses pengolahan citra, dimana pengolahan citra merupakan suatu proses  yang dilakukan dengan  masukan berupa citra dan hasilnya juga berupa citra[1] dengan tujuan untuk meningkatkan kualitas dari  citra  tersebut.  Salah  satu  metode  yang  dapat  digunakan  dalam  proses perbaikan  citra  adalah  Super  Resolusi,  Super  Resolusi  merupakan  suatu teknik  yang  digunakan  untuk  membangun  citra  beresolusi  tinggi  dari sekumpulan citra yang memiliki resolusi rendah[2].
Teknik  Super  Resolusi  mempunyai  dua  langkah  utama,  yaitu  registrasi citra dan rekonstruksi citra. Registrasi merupakan langkah terpenting dalam teknik Super Resolusi karena registrasi citra menentukan baik buruknya hasil dari  perbaikan  citra  menggunakan  Super  Resolusi.  Registrasi  citra  dapat diartikan  sebagai  proses  untuk  mendapatkan  nilai  pergeseran  diantara  citra beresolusi rendah yang melibatkan dua citra atau lebih yang memiliki objek sama namun diperoleh pada waktu, sudut pandang, dan sensor yang berbeda.
Dalam Tugas Akhir ini, akan diterapkan salah satu metode dari registrasi citra  yaitu  metode Power  Cepstrum yang  bekerja  dalam  domain  frekuensi. Power  Cepstrum dapat  digunakan  untuk  mendeteksi  parameter  rotasi  dan translasi  yang  lebih  efisien  dan  cukup  akurat.  Metode  ini  diperkenalkan pertama kali oleh Bogert et al, dimana awalnya metode ini digunakan untuk menganalisis data yang mengandung echoes . Power Cepstrum diperoleh dari logaritma spectrum sinyal yang kemudian ditransformasi menggunakan Transformasi Fourier . Metode ini mendapatkan nilai pergeseran dengan cara memproses nilai intensitas kedua citra referensi dan citra uji.
Tujuan  dari penelitian ini adalah membangun sebuah program yang dapat mendeteksi besar pergeseran diantara dua citra menggunakan metode Power Cepstrum dengan asumsi tidak ada beda rotasi diantara kedua citra. Program yang  akan  dibangun  diharapkan  dapat  berkontribusi  untuk  menentukan pergeseran  titik  piksel  citra  dalam  teknik  Super  Resolusi,  sehingga bermanfaat dalam proses perbaikan citra.

## 2. Tinjauan Pustaka

## 2.1 Citra
Istilah citra merujuk pada sebuah fungsi intensitas cahaya dua dimensi. Citra terbagi atas dua macam yaitu citra diskrit (citra digital ) yang diperoleh melalui  proses  digitalisasi  citra  dan  citra  kontinu  yang  diperoleh  melalui sistem optik yang menerima sinyal analog. Citra merupakan fungsi kontinu dari intensitas cahaya pada bidang dua dimensi yang dinyatakan dalam bentuk fungsi[5] 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan (𝑥, 𝑦) menyatakan  koordinat  spasial  pada  bidang
dua  dimensi, 𝑥 merupakan  nilai  baris  citra  dan 𝑦 adalah  nilai  kolom  citra, sehingga 𝑓(𝑥, 𝑦) menyatakan  intensitas  cahaya  pada  titik (𝑥, 𝑦) yang besarnya  adalah 0 < 𝑓(𝑥, 𝑦) < ∞ .  Model  koordinat  citra  diberikan  melalui gambar 2.1.
Gambar 2.1 . Sistem Koordinat Citra

## 2.2 Citra Digital
Suatu  citra 𝑓(𝑥, 𝑦) ,  jika x , y ,  dan  nilai  amplitudo  dari f terbatas,  maka citra  tersebut  disebut  citra digital [3].  Citra digital diperoleh  dari  proses digitalisasi citra, yaitu proses pengubahan citra dari fungsi kontinu menjadi fungsi diskrit[1]. Secara umum, citra digital berbentuk persegi empat dengan dimensi  ukurannya  dinyatakan  oleh  panjang  dan  lebar.  Misal  suatu  citra dengan  panjang M dan  lebar N, dinyatakan  dengan  bentuk  matriks  yang berukuran M x N sebagai berikut[3]:
{ 𝑓(0,0) 𝑓(0,1) ⋯ 𝑓(0, 𝑁 − 1) 𝑓(1,0) 𝑓(1,1)
⋯ 𝑓(1, 𝑁 − 1)
⋮ 𝑓(𝑀 − 1,0) ⋮ 𝑓(𝑀 − 1,1) ⋱ ⋯ ⋮ 𝑓(𝑀 − 1, 𝑁 − 1) }
Gambar 2.2 Matriks Citra Digital
Sebuah  citra digital dapat  dipandang  sebagai  sebuah  matriks  yang mempunyai indeks baris dan kolom yang mewakili posisi sebuah titik dalam citra,  dan  elemen  matriks  yang  terkait  mengidentifikasi  tingkat  keabuan  di titik tersebut.

## 2.3 Pengolahan Citra Digital
Pengolahan  citra  merupakan  pemrosesan  citra  menggunakan  komputer untuk  mendapatkan  citra  yang  kualitasnya  lebih  baik  dari  sebelumnya[10]. Pada  hampir  semua  aplikasi  pengolahan  citra digital ,  diperlukan  proses membandingkan  dua  atau  lebih  citra  dari  objek  yang  sama  yang  diperoleh pada waktu dan kondisi yang berbeda, namun akan sulit untuk menyamakan objek  di  posisi  yang  sama  karena  akan  terdapat  perbedaan  rotasional  atau translasional diantara dua citra tersebut. Sebelum dibandingkan, citra tersebut
harus  melalui  proses  registrasi,  sehingga  perbedaan  rotasional  dan translasional dapat dideteksi dan diperbaiki.

## 2.4 Registrasi Citra
Terdapat bermacam-macam definisi registrasi citra, diantaranya adalah registrasi citra merupakan proses overlay dua atau lebih citra dengan obyek yang sama, yang diambil pada waktu yang berbeda, dari sudut pandang yang berbeda,  dan  atau  oleh  sensor  yang  berbeda  pula[12].  Definisi  lain  adalah proses menemukan kembali titik-titik yang bersesuaian antara citra 𝐼 1 dengan citra 𝐼 2 dimana  citra 𝐼 2 yang  mengalami  transformasi  geometri  seperti pergeseran ( translasi ), rotasi, perbesaran ( scaling ), pembalikan ( fliping ), dan penarikan  ( stretching )[9].  Dua  pengertian  diatas,  meskipun  berbeda  namun memiliki makna yang sama sehingga dapat disimpulkan bahwa registrasi citra merupakan  suatu  proses  untuk  mendapatkan  hasil  pergeseran  diantara  citra beresolusi rendah yang melibatkan dua citra atau lebih yang memiliki objek sama namun diperoleh pada waktu, sudut pandang, dan sensor yang berbeda.
Registrasi  citra  dapat  dilakukan  pada  domain  spasial  dan  domain frekuensi.  Pada  domain  spasial,  registrasi  dilakukan  dengan  cara  mencari nilai rata-rata, median, atau ukuran statistika lainnya pada setiap nilai derajat keabuan ( gray scale ) atau RGB[9]. Registrasi citra pada domain spasial akan bekerja  dengan  baik  jika  diaplikasikan  pada  citra  yang  memiliki  tingkat ketidakteraturan  yang  cukup  kecil,  artinya  adalah  citra  tersebut  memiliki selisih  nilai  yang relatif kecil. Sedangkan pada domain  frekuensi dilakukan dengan  menggunakan  Transformasi Fourier ,  yaitu  nilai  matriks  dari  citra yang  sebelumnya  berada  pada  domain  spasial  diubah  ke  domain  frekuensi. Metode yang mengacu pada Transformasi Fourier mampu memberikan nilai rotasi  yang  besar,  perbesaran,  dan  pergeseran  untuk  mendapatkan  hasil registrasi  yang  lebih  akurat  dibandingkan  dengan  metode  pada  domain spasial.  Konsep  registrasi  citra  pada  domain  spasial  dan  frekuensi  adalah estimasi  pergeseran  dan  estimasi  rotasi.  Estimasi  pergeseran  diberikan sebagai berikut, misal 𝐼 2 adalah citra 𝐼 1 yang mengalami pergeseran sebesar (∆𝑥, ∆𝑦) maka
𝐼 1 (𝑥, 𝑦) = 𝐼 2 (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) (2.1)
Untuk  estimasi  rotasi  diberikan  sebagai  berikut.  Jika 𝐼 2 adalah  citra 𝐼 1 yang mengalami rotasi sebesar ∆𝜃 , maka untuk menemukan sudut rotasi ∆𝜃 dilakukan dengan mengubah sistem koordinat kartesian pada citra 𝐼 1 dan 𝐼 2 menjadi sistem koordinat polar sehingga
𝐼 1 (𝑟, 𝜃) = 𝐼 2 (𝑟, 𝜃 + ∆𝜃) (2.2)
Registrasi  citra  mendapatkan  besar  pergeseran  berdasarkan  pada koordinat  piksel  titik  referensi.  Titik  referensi  adalah  koordinat  titik  piksel yang  dipilih  dari  citra  referensi,  sedangkan  titik corresponding merupakan
koordinat  titik  piksel  dari  citra  uji  yang  diperoleh  setelah  proses  registrasi citra.

## 2.5  Transformasi Fourier
Karena pada Tugas Akhir ini menggunakan metode Registrasi Citra yang berdasar  pada  metode  domain  frekuensi,  maka  diperlukan  Transformasi Fourier .  Transformasi Fourier merupakan  transformasi  paling  penting didalam  bidang  pengolahan  sinyal,  khususnya  pada  bidang  pengolahan citra[10]. Transformasi Fourier merupakan peralatan ( tools ) untuk mengubah fungsi dari domain waktu/spasial ke domain frekuensi.
Transformasi Fourier terbagi  menjadi  dua  yaitu  kontinu  dan  diskrit. Dalam hal ini yang dibahas hanya Transformasi Fourier dua dimensi untuk bilangan bulat.
2.5.1. Transformasi Fourier Kontinu
Misalkan 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah  fungsi real kontinu  dan  terintegral  dengan variabel bebas x dan y , Transformasi Fourier dari 𝑓(𝑥, 𝑦) dinyatakan dengan ℑ{𝑓(𝑥, 𝑦)} dan didefinisikan pada persamaan (2.3)
ℑ{𝑓(𝑥, 𝑦)} = 𝐹(𝑢, 𝑣) = ∫ ∫ 𝑓(𝑥, 𝑦)exp[−𝑗2𝜋(𝑢𝑥 + 𝑣𝑦)]𝑑𝑥𝑑𝑦 ∞ −∞ ∞ −∞ (2.3)
dengan 𝑗 = √−1 u dan v adalah variabel frekuensi.
Jika  fungsi 𝐹(𝑢, 𝑣) diketahui,  maka  fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) dapat  diperoleh dengan menggunakan invers Transformasi Fourier , sebagai berikut
2.5.2. Transformasi Fourier Diskrit
Misalkan  ada  fungsi  kontinu 𝑓(𝑥) ,  akan  dilakukan  proses  diskritisasi 𝑓(𝑥) kedalam sebuah barisan sebagai berikut
{𝑓(𝑥 0 ), 𝑓(𝑥 0 + ∆𝑥), 𝑓(𝑥 0 + 2∆𝑥), … … , 𝑓(𝑥 0 + (𝑁 − 1)∆𝑥)}
dengan  mengambil  sampel  sebanyak N yang  memiliki  selisih  tetap  sebesar ∆𝑥 satuan, dapat didefinisikan
𝑓(𝑥 𝑘 ) = 𝑓(𝑥 0 + 𝑘∆𝑥) (2.4)
dengan x diasumsikan  sebagai  nilai  diskrit  0,  1,  2,  ..., N -1.  Barisan {𝑓(0), 𝑓(1), 𝑓(2), … … , 𝑓(𝑁 − 1)} menyatakan  sebuah  ruang  sampel seragam  dari  sebuah  fungsi  kontinu 𝑓(𝑥) .  Sehingga  Transformasi Fourier diskrit dari fungsi yang disampling tersebut diberikan oleh
𝐹(𝑢) = 1 𝑁 ∑ 𝑓(𝑥)exp [− 𝑗2𝜋𝑢𝑥 𝑁 ] 𝑁−1 𝑥=0 (2.5)
dengan u = 0, 1, 2, ..., N -1
Perluasan  dari  Transformasi Fourier diskrit  satu  dimensi  ke Transformasi Fourier diskrit  dua  dimensi  dari  fungsi  citra 𝑓(𝑥, 𝑦) dengan ukuran M x N diberikan melalui persamaan (2.6):
𝐹(𝑢, 𝑣) = 1 𝑀𝑁 ∑ ∑ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑒 −𝑗2𝜋( 𝑢𝑥 𝑀 + 𝑣𝑦 𝑁 ) 𝑁−1 𝑦=0 𝑀−1 𝑥=0 (2.6)
dengan nilai 𝑢 = 0,1,2, … … , 𝑀 − 1 dan 𝑣 = 0,1,2, … … , 𝑁 − 1

## 2.6   Algoritma Registrasi Citra dengan Metode Power Cepstrum
Untuk mendeteksi perbedaan diantara kedua citra referensi dan citra uji, maka kedua citra tersebut harus dibandingkan. Langkah yang harus dilakukan sebelum membandingkan kedua citra adalah kedua citra tersebut diregistrasi terlebih  dahulu.  Dengan  adanya  perbedaan  diantara  kedua  citra,  maka kesalahan  dalam  proses  registrasi  dapat  terjadi.  Algoritma  Registrasi  Citra dengan metode Power Cepstrum diberikan sebagai berikut[12]:
1. Penyederhanaan Citra ( Simplifying Image )
2. Koreksi Perbedaan Rotasional ( Rotation Correction )
3. Koreksi Pergeseran ( Translation Correction )
Algoritma  diatas  ditunjukkan  pada  gambar  2.2.  Tiga  langkah  diatas  akan dijelaskan pada bagian ini.

## 2.6.1. Penyederhanaan Citra
Dalam  proses  Penyederhanaan  Citra  ini,  terdapat  empat operasi  yang akan  dilakukan.  Empat  operasi  tersebut  akan  dijelaskan  pada  bagian  ini, disertai alasan mengapa operasi ini digunakan dalam proses Penyederhanaan Citra.
Citra Uji
Citra Referensi Penyederhanaan Citra Uji Penyederhanaan Citra Referensi Koreksi Rotasi terhadap Citra Uji Registrasi Citra Uji Membandingkan dua Citra dan Mendeteksi Pergeseran Nilai
Pergeseran
Gambar 2.3 Algoritma Registrasi Citra dengan Metode Power Cepstrum
Operasi 1 : Memilih subcitra
Karena  adanya  perbedaan  rotasional  dan  translasional  diantara  kedua citra,  maka  kedua  citra  tersebut  mengandung  banyak  informasi  untuk registrasi  citra.  Namun  tidak  semua  informasi  dapat  digunakan,  sehingga perlu  dilakukan  proses  pemilihan  sub  citra  dari  kedua  citra  masukan  untuk memfokuskan  area  kerja  dalam  registrasi  citra  agar  dapat  meminimalkan kesalahan pendeteksian.
Operasi 2 : Menyamakan intensitas kedua subcitra Karena  citra  referensi  dan  citra  uji  diperoleh  pada  waktu  dan  kondisi yang  berbeda,  kemungkinan  akan  ada  perbedaan  iluminasi  latar  belakang diantara keduanya. Hal ini dapat menyebabkan munculnya kesalahan dalam proses koreksi perbedaan translasional. Cara termudah untuk menyesuaikan iluminasi adalah dengan menghitung intensitas rata-rata untuk kedua subcitra dan  kemudian  mengubah  intensitas  citra  uji  sesuai  dengan  perbedaan intensitas rata-rata diantara keduanya.
Operasi 3 : Membinerkan kedua subcitra Setelah  memilih  subcitra  dan  menyamakan  intensitas  rata-ratanya, dilakukan binarization enhancement (mengubah nilai subcitra menjadi biner) untuk  menghapus  informasi-informasi  yang  tidak  penting.  Hal  ini  dapat meminimalkan terjadinya kesalahan dalam registrasi. Karena intensitas rata- rata  dari  citra  uji  telah  diubah,  maka  hanya  satu  nilai threshold yang digunakan  dalam  operasi binarization .  Operasi  ini  ditunjukkan  pada persamaan (2.7).
𝐼 𝑏 (𝑥, 𝑦) = { 1, 𝐼 𝑖𝑛 (𝑥, 𝑦) ≥ 𝑇 𝑏 0, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛 (2.7)
dengan 𝐼 𝑖𝑛 (𝑥, 𝑦) : subcitra masukan
𝐼 𝑏 (𝑥, 𝑦) : citra yang dibinerkan dengan nilai maksimum diberikan sebesar setengah dari skala gray level dari 0-255
𝑇 𝑏
: nilai threshold
Operasi 4 : Konvolusi dengan Operator Sobel Tujuan dari operasi ini adalah meningkatkan sensitifitas dari algoritma registrasi ini, sehingga pendeteksian pergeseran akan lebih mudah dan lebih akurat. Operasi ini dilakukan dengan operator Sobel 3x3 yang diaplikasikan pada  kedua  sub  citra  untuk  deteksi  tepinya.  Operator  Sobel  3x3  yang digunakan dalam operasi ini diberikan sebagai berikut
𝑆 1 = [ −1 0 1 −2 0 2 −1 0 1 ], 𝑆 2 = [ 1 2 1 0 0 0 −1 −2 −1 ]
Kemudian hasil 𝑆(𝑥, 𝑦) diperoleh sebagai berikut 𝑆(𝑥, 𝑦) = √[𝑆 1 (𝐼 𝑏 )] 2 + [𝑆 2 (𝐼 𝑏 )] 2 (2.8)
Persamaan (2.8) di atas diselesaikan berdasarkan persamaan (2.9) di  bawah ini
𝐼 𝑠 (𝑥, 𝑦) = { 127, 𝑆(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑇 𝑠 0, yang lain
(2.9)
dengan 𝐼 𝑠 (𝑥, 𝑦) : citra biner 𝑆(𝑥, 𝑦) : operator Sobel yang dioperasikan pada citra biner 𝑇 𝑠
: nilai threshold untuk operator Sobel
Pada  bagian  ini,  hanya  informasi  yang  penting  untuk  registrasi  dan  yang umum untuk kedua gambar yang dipertahankan.

## 2.6.2. Koreksi Rotasi
Berdasarkan  simulasi  komputer,  diketahui  bahwa Power Cepstrum tidak  mampu  untuk  mengoreksi  kedua  perbedaan  rotasional  dan translasional[6]. Hal ini dikarenakan, Power Cepstrum hanya didesain untuk mendeteksi perubahan translasional dan puncak cepstral akan menjadi kabur ( blur ) ketika citra  yang dideteksi  mengalami perubahan rotasional terhadap citra lainnya. Karena alasan tersebut, maka citra referensi dan citra uji perlu dirotasi terlebih dahulu sampai keduanya  menjadi  paralel, hanya perbedaan translasional yang tetap.

## 2.6.3. Koreksi Pergeseran
Setelah  melalui  proses  Penyederhanaan  dan  Koreksi  Rotasi,  maka kedua  sub  citra  saling  berparalel,  sehingga Power Cepstrum dapat diaplikasikan untuk mendeteksi parameter translasi. Karena kedua sub citra ini  memiliki  intensitas  yang  sama,  maka magnitudes dari  puncak cepstral yang pertama akan lebih mudah dideteksi.
Rumus Power Cepstrum didefinisikan sebagai berikut[13]
𝑃[𝐼(𝑥, 𝑦)] = |𝐹{log|𝐹{𝐼(𝑥, 𝑦)}| 2 }| 2 (2.10)

## 2.6 Power Cepstrum
Metode  Registrasi  Citra  yang  digunakan  pada  tugas  akhir  ini  adalah Power  Cepstrum, dimana  metode  ini  diperoleh  melalui  suatu  proses  yang memanfaatkan Transformasi Fourier . Cepstrum merupakan  hasil perolehan logaritma  spektrum  suatu  sinyal  yang  ditransformasikan  dengan menggunakan Transformasi Fourier . Nama ini diperoleh dengan membalik 4 huruf  pertama  dari  kata  “ spectrum ”.  Teknik Cepstrum pertama  kali diperkenalkan oleh Bogert  pada tahun  1962[6]. Dasarnya, teknik Cepstrum digunakan  untuk  analisis  data  yang  mengandung echoes .  Teknik Cepstrum terdiri dari metode Power Cepstrum dan metode Complex Cepstrum . Power Cepstrum biasa digunakan untuk menentukan waktu kedatangan dari sinyal dan echoes -nya  dan  amplitudo  relatifnya,  sedangkan Complex Cepstrum
digunakan  untuk  mendeteksi  parameter echo dan  menghapus echoes dari sinyal. Dalam hal ini, teknik Cepstrum yang digunakan adalah untuk sinyal dua dimensi dimana sinyal tersebut memiliki dua variabel,  sehingga teknik ini dapat digunakan dalam proses pengolahan citra digital [12]. Dalam permasalahan satu dimensi, Power Cepstrum dari sebuah fungsi (fungsi  yang  dimaksud  adalah  fungsi  waktu)  adalah power  spectrum dari logaritma power  spectrum dari  fungsi  tersebut,  sedangkan  pada  kasus  dua dimensi,  fungsinya  diubah  ke  fungsi  intensitas  citra  (fungsi  dua  dimensi). Untuk 𝐼(𝑥, 𝑦) Power Cepstrum dituliskan sebagai berikut:
Power Cepstrum = |𝐹{log|𝐹{𝐼(𝑥, 𝑦)}| 2 }| 2 (2.11)
dengan 𝐹 : notasi untuk fungsi Transformasi Fourier
𝐼(𝑥, 𝑦) :  superposisi  dari  citra  referensi  dan  citra  uji  dimana  terdapat perbedaan translasional diantaranya keduanya.
Asumsikan  sebuah  citra  gabungan  ( composite  image ) 𝐼(𝑥, 𝑦) dituliskan sebagai berikut:
𝐼(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑥, 𝑦) + 𝑆(𝑥, 𝑦) = 𝐼(𝑥, 𝑦) + 𝑎 0 𝑅(𝑥 − 𝑥 0 , 𝑦 − 𝑦 0 ) (2.12)
dengan
𝑅(𝑥, 𝑦) : citra referensi 𝑆(𝑥, 𝑦) : citra uji dari citra referensi yang digeser dengan amplitudo skala faktor 𝑎 0 dan perbedaan translasi sebesar (𝑥 0 , 𝑦 0 )
Hasil dari aplikasi Power Cepstrum terhadap fungsi 𝐼(𝑥, 𝑦) adalah[13]
𝑃[𝐼(𝑥, 𝑦)] = |𝐹[ln|𝑅(𝑢, 𝑣)| 2 ]| 2 + 𝐴𝛿(𝑥, 𝑦) + 𝐵𝛿(𝑥 ± 𝑥 0 , 𝑦 ± 𝑦 0 ) + 𝐶𝛿(𝑥 ± 2𝑥 0 , 𝑦 ± 2𝑦 0 ) + 𝐷𝛿(𝑥 ± 3𝑥 0 , 𝑦 ± 3𝑦 0 ) + ⋯ ⋯ ⋯ (2.13) dengan P [•] : notasi untuk Power Cepstrum dari fungsi A , B , C, D : konstanta
Setelah  mengurangkan 𝑃[𝑅(𝑥, 𝑦)] dari 𝑃[𝐼(𝑥, 𝑦)] ,  perbedaan translasional  diantara  dua  subcitra  dapat  dideteksi  dengan  memeriksa rangkaian  sinyal  yang  tersisa.  Dengan  kata  lain,  perbedaan  translasional setara  dengan  puncak  pertama 𝛿(𝑥 − 𝑥 0 , 𝑦 − 𝑦 0 ) yang  terjadi  pada  bidang cepstral .  Nilai  dari  konstanta 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, … akan  lebih  besar  jika  amplitudo skala  faktornya 𝑎 0 menuju  1.  Catat  bahwa  untuk  meningkatkan  puncak cepstral , cepstrum dari  citra  referensi  dikurangkan  dari cepstrum dari  citra referensi ditambah citra uji.

## 3. Perancangan dan Implementasi Program
3.1 Perancangan sistem
Perancangan sistem dilakukan untuk mengetahui gambaran keseluruhan dari proses kerja sistem program yang dibuat, bagaimana sistem program  berinteraksi  dengan user mulai  dari  memasukkan  data  sampai menghasilkan  keluaran.  Seluruh  proses  yang  dilakukan  dalam  Registrasi Citra digambarkan sebagai berikut:
Masukkan Citra Referensi dan Citra Uji Citra Referensi R(x,y) Apakan akan membuat citra uji dari program Ambil citra uji dari data komputer Menggeser citra Citra Uji S(x,y) Memilih Titik Referensi Memilih Besar Blok Citra Referensi dengan titik ref Registrasi Citra Nilai Pergeseran Ya Tidak Mengisi estimasi pergeseran Apakah akan menambah noise pada citra uji Menambah noise pada citra Ya Tidak Gambar 2.4 Diagram alir proses keseluruhan pada
sistem

## 3.1.1 Proses Registrasi Citra
Proses ini bertujuan untuk mendapatkan nilai pergeseran diantara kedua citra  masukan.  Langkah  yang  dilakukan  dalam  proses  ini  meliputi Penyederhanaan  Citra,  Koreksi  Rotasi,  dan  Koreksi  Pergeseran.  Karena dalam penelitian ini diasumsikan bahwa beda rotasional diantara kedua citra tidak  ada,  maka  yang  dilakukan  hanya  Simplify  dan  Koreksi  Translasi menggunakan Power Cepstrum. Kedua langkah tersebut ditunjukkan melalui gambar 2.5 dan dijelaskan dibawah ini:
1.  Penyederhanaan Citra
Langkah  ini  bertujuan  untuk  menyederhanakan  citra  masukan  sehingga citra  yang  diolah  hanya  yang  mengandung  informasi  terpenting  saja. Rangkaian kegiatan yang dilakukan pada langkah ini adalah: a.  Memilih area kerja
Fungsi  kegiatan  ini  adalah  memilih  sub  citra  pada  kedua  citra  dengan tujuan  untuk  memfokuskan  area  kerja  dalam  Registrasi  Citra.  Sub  citra yang  dipilih  harus  memuat  informasi  yang  dibutuhkan  dalam  proses Registrasi Citra.
b.  Menyamakan nilai intensitas
Kegiatan  ini  bertujuan  untuk  menyamakan  nilai  intensitas  kedua  citra dengan  cara  menghitung  intensitas  rata-rata  untuk  kedua  sub  citra kemudian  mengubah  intensitas citra uji sesuai dengan hasil perhitungan.
Tujuannya adalah memudahkan pada proses binarisasi citra.
c.  Membinerkan nilai citra
kegiatan selanjutnya adalah membinerkan nilai dari kedua citra referensi dan citra uji.
d.  Implementasi Operator Sobel Kegiatan  ini  dilakukan  untuk  meningkatkan  sensitifitas  dari  algoritma Registrasi ini.
2.  Koreksi Pergeseran Setelah  melalui  proses  Penyederhanaan,  maka  kedua  sub  citra  saling
berparalel  sehingga Power Cepstrum dapat diaplikasikan untuk  mendeteksi nilai pergeserannya.
Input Citra Referensi dan Citra Uji Penyederhanaan Citra HasiL Penyederhanaan Citra ( R’ ( x , y ) dan S’ ( x , y )) Koreksi Pergeseran Nilai Pergeseran Citra Referensi ( R ( x , y )) dan Citra Uji ( S ( x , y ))
Gambar 2.5 Diagram Alir Proses Registrasi Citra

## 3.1.2  Power Cepstrum
Power Cepstrum diperoleh  melalui  proses  Transformasi Fourier dan logaritma natural yang dikenakan pada fungsi citra 𝐼(𝑥, 𝑦) . Rumus umum dari metode Power Cepstrum dituliskan pada persamaan (2.14) berikut ini:
Power Cepstrum = |𝐹{ln[|𝐹{𝐼(𝑥, 𝑦)}| 2 ]}| 2 (2.14)
dengan F adalah notasi untuk fungsi Transformasi Fourier dan fungsi 𝐼(𝑥, 𝑦) merupakan gabungan citra referensi dan citra uji dimana diantara dua citra ini terdapat perbedaan translasional. Diasumsikan sebuah citra gabungan 𝐼(𝑥, 𝑦) dapat dituliskan sebagai berikut:
𝐼(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑥, 𝑦) + 𝑆(𝑥, 𝑦) = 𝑅(𝑥, 𝑦) + 𝑎 0 𝑅(𝑥 − 𝑥 0 , 𝑦 − 𝑦 0 ) (2.15)
dengan 𝑅(𝑥, 𝑦) adalah citra referensi 𝑆(𝑥, 𝑦) adalah citra uji dengan amplitudo skala faktor dan perbedaan translasi berturut-turut sebesar 𝑎 0 dan (𝑥 0 , 𝑦 0 )
Sehingga  hasil  dari  pengaplikasian Power Cepstrum pada  fungsi 𝐼(𝑥, 𝑦) adalah
𝑃[𝐼(𝑥, 𝑦)] = |𝐹{ln[𝑎 0 2 |𝑅(𝑢, 𝑣)| 2 ]}| 2 + 𝐴 0 𝛿(𝑥, 𝑦) + 𝐵 0 δ(𝑥 − 𝑥 0 , 𝑦 − 𝑦 0 ) + 𝐶 0 δ(𝑥 − 2𝑥 0 , 𝑦 − 2𝑦 0 ) + 𝐷 0 δ(𝑥 − 3𝑥 0 , 𝑦 − 3𝑦 0 ) + ⋯ ⋯ ⋯
(2.16)
dengan
𝐴 0 = 1 𝑎 0 2 − 1 2𝑎 0 4 + 1 3𝑎 0 6 − ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ 𝐵 0 = 2 𝑎 0 − 2 𝑎 0 3 + 2 𝑎 0 5 − ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ 𝐶 0 = − 2 𝑎 0 2 + 4 𝑎 0 4 − ⋯ ⋯ + ⋯ ⋯ 𝐷 0 = 8 3𝑎 0 3 − ⋯

## 4. Uji Coba dan Pembahasan
Untuk  uji  coba  pertama  menggunakan  citra  yang  diketahui  nilai pergeserannya. Langkah pertama adalah membuat citra uji dari citra referensi. Citra yang digunakan adalah Street.bmp yang kemudian digeser sebesar (3,1) sehingga dihasilkan citra uji Street3-1.bmp sebagai citra uji.
Untuk  uji  coba  yang  kedua  menggunakan  citra  bernoise,  yaitu  citra Street.bmp  yang  telah  diberi  noise  salt&pepper  yaitu  citra  StreetSalt.bmp. Kemudian citra bernoise ini digeser sebesar (3,1) menjadi StreetSalt3-1.bmp yang berperan sebagai citra uji.

## 4.1 Pelaksanaan Uji Coba
Uji  coba  dilakukan  pada  citra  Street.bmp,  dengan  keterangan  sebagai berikut: Citra Referensi  : Street.bmp Citra Uji : Street3-1.bmp Ukuran Citra : 768 x 576 Jenis Citra : grayscale
Besar Pergeseran : 𝑥 0 = 3 dan 𝑦 0 = 1 Hasilnya ditunjukkan melalui tabel 4.1
Uji  coba  kedua  dilakukan  dengan  citra  bernoise  dengan  keterangan sebagai berikut:
Citra Referensi  : StreetSalt.bmp
Citra Uji
: StreetSalt3-1.bmp
Ukuran Citra : 768 x 576
Jenis Citra : grayscale
Besar Pergeseran : 𝑥 0 = 3 dan 𝑦 0 = 1 Hasilnya ditunjukkan melalui tabel 4.2

## 4.2 Evaluasi
Berdasarkan  uji  coba  yang  telah  dilakukan, Power Cepstrum dapat mendeteksi  besar  pergeseran  diantara  kedua  citra  referensi  dan  citra  uji dengan  besar  pergeseran  antara  0  sampai  30  piksel,  data  uji  coba  lengkap dapat  dilihat  pada  lembar  lampiran.  Hasil  uji  coba terbaik  diperoleh  ketika nilai estimasi pergeseran yang dipilih berada di sekitar nilai pergeseran yang sebenarnya dengan perbedaan nilai tidak lebih dari 2 piksel.
Untuk  pengujian  yang  melibatkan  citra  ber noise terhadap  citra  referensi Street.bmp dan citra uji streetSalt3-1.bmp, Power Cepstrum dapat mendeteksi besar pergeseran dengan cukup akurat pada 4 nilai estimasi pergeseran yaitu pada  nilai  estimasi  (1,0),  (1,1),  (2,0),  dan  (3,0).  Sedangkan  hasil  uji  coba terhadap citra yang tidak diketahui pergeserannya, hasil pendeteksian belum bisa digunakan untuk menunjukkan nilai pergeseran yang sebenarnya.
Tabel 4.1 Hasil Uji Coba Street.bmp Titik Awal Titik Ref Besar Pergeseran Titik Corr x0 y0 x y 6 3 (309,535) 7 4 (316,539) 6 4 (194,604) 19 6 (213,610) 6 5 (204,165) 7 6 (211,171) 6 6 (95,418) 7 7 (102,425) 6 7 (334,535) 10 8 (344,543) 6 8 (67,474) 7 9 (74,483) 6 9 (431,693) 14 10 (445,703) 6 10 (215,703) 8 30 (223,733) 7 3 (477,91) 16 4 (493,95) 7 4 (401,555) 9 5 (410,560) 7 5 (225,507) 10 6 (235,513) 7 6 (217,78) 9 7 (226,85) Tabel 4.2 Hasil Uji Coba StreetSalt.bmp Titik Awal Titik Ref Besar Pergeseran Titik Corr x0 y0 x y 1 0 (107,104) 2 1 (109,105) 1 1 (128,680) 2 2 (130,682) 1 2 (523,117) 6 3 (529,120)
1 3 (503,655) 22 4 (525,659) 1 4 (255,196) 3 5 (258,201) 1 5 (179,484) 5 6 (184,490) 2 0 (482,165) 3 1 (485,166) 2 1 (209,568) 3 30 (212,598) 2 2 (227,224) 3 3 (230,227) 2 3 (278,601) 4 4 (282,605) 2 4 (462,655) 3 5 (465,660) 2 5 (115,372) 3 30 (118,402)

## 5. Kesimpulan dan Saran

## 5.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil pengujian perangkat lunak yang dilakukan pada Bab V, maka diperoleh  kesimpulan sebagai berikut:
a. Power Cepstrum tidak  dapat  mendeteksi  pergeseran  pada  citra  yang intensitasnya  relatif  homogen,  yaitu  citra  yang  memiliki  warna background yang sama. Hal ini dapat dilihat pada hasil uji coba terhadap citra referensi pic1.bmp dengan pic7-5.bmp dan citra referensi kuning0.tif dengan kuning9-13.tif .
b. Power Cepstrum mampu  mendeteksi  pergeseran  pada  citra  yang  diberi tambahan noise . Data hasil uji cobanya dapat dilihat pada lampiran, yaitu uji  coba  dengan  citra  uji  blurGaussian,  blurPoisson,  irisSpeckle,  dan StreetSalt.
c. Berdasarkan hasil uji coba yang diberikan pada lampiran, Power Cepstrum mampu  mendeteksi pergeseran untuk level piksel  yang besar pergeseran maksimumnya sebesar 30 piksel.

## 5.2  Saran
Saran  yang  dapat  diberikan  untuk  pengembangan  Tugas  Akhir  ini antara lain:
a. Menambahkan fungsi interpolasi untuk mendeteksi pergeseran pada level sub piksel.
b. Untuk  pengembangan  perangkat  lunak,  uji  coba  pada  citra  yang  tidak diketahui  pergeserannya,  dapat  diberikan    masukan  citra  yang  diperoleh langsung dari frame pada suatu video.

## 6. Daftar Pustaka
[1] Basuki,  A.  Palandi,  JF.  Fatchurrochman.  2005.  “Pengolahan  Citra Digital Menggunakan Visual Basic”. Yogyakarta: Graha Ilmu.
[2] Fadlisyah.  2007.  “Computer  Vision  dan  Pengolahan  Citra”. Yogyakarta: CV. ANDI OFFSET.
[3] Gonzales,  RC.  Woods,  RE.  2002.  “Digital  Image  Processing”.  New Jersey: Prentice Hall, Inc.
[4] Jain,  A.K.  1995.  “Fundamentals  of  Digital  Image  Processing”. Englewood Cliffs, J., U.S.A: Prentice Hall, Inc.
[5] Lee,  D.J.  1987.  “Image  Registration  Using  Power  Spectrum  and Cepstrum  Technique”.  Thesis.  Electrical  Engineering,  Texas  Tech University.
[6] Lee, D.J. Krile, T.F. Mitra, S. 1988. “Power Cepstrum and Spectrum Technique  Applied  to  Image  Registration”.  Jurnal.  Applied  Optics, Optical Society of America.
[7] Lee, D.J. Zhan, P. Thomas, A. Schoenberger, R. 2004. “Shape-based Human Detection for Threat Assesment”. Orlando, Florida, USA. SPIE International Symposium on Defense and Security. Visual Information Processing XIII. Vol 5438. Hal 81-91.
[8] Lehman, TM. Goerke, C. Kaupp, A. Schmitt, W. Repges, R. 1996. “A Rotation  –  extended  CepstrumTechnique  and  Its  Application  to Medical Images. Jurnal. Pattern
[9] Muchlisuddin.  2009.  “Teknik  High  Accuracy  Image  Registration Menggunakan  Fungsi  Phase  Only  Correlation” Tugas  Akhir,  Institut Teknologi Sepuluh Nopember.
[10] Munir,  Rinaldi.  2004.  “Pengolahan  Citra  Digital  dengan  Pendekatan Algoritmik”.  Diktat  Kuliah  Departemen  Teknik  Informatika  ITB. Bandung.
[11] Wijaya, AY. Arifin, AZ. Purwitasari, D. 2010. “Algoritma Pemutusan Rantai  Iteratif  pada  Registrasi  Citra  dengan  Menggunakan  Pseudo- polar  Fourier  Transform”.  Paper,  Jurusan  Teknik  Informatika  ITS Surabaya.
[12] Zitova,  B.  Flusser,  J.  2003.  “Image  Registration  Methods:  a  survey”. Jurnal. Czech Republic ELSEVIER. Hal 977-1000.