J URNAL S AINSTEK STT P EKANBARU - V OL . 11 N O . 1 (2023)
Terbit online pada laman web jurnal :
https://ejournal.sttp-yds.ac.id/index.php/js/index

## Sainstek
(e-Journal)
|    ISSN (Print) 2337-6910    |    ISSN (Online) 2460-1039    |

## Faktorisasi Matriks Pascal dan  Matriks Tetranacci
Mirfaturiqa a , Nurhasnah b , Mohd. Bayu Baheramsyah c
a,b,c Sekolah Tinggi Teknologi Pekanbaru, Jl. Dirgantara, Pekanbaru, 28294, Indonesia
I NFORMASI A RTIKEL

## ABSTRACT
Sejarah Artikel: Diterima Redaksi: 10 Juni 2023
Revisi Akhir: 30 Juni 2023
Diterbitkan Online : 30 Juni 2023
Matriks Pascal  dinyatakan  dengan 𝑃 𝑛 adalah  matriks segitiga bawah dengan setiap entrinya merupakan bilangan pada segitiga Pascal. Selanjutnya, Matriks Tetranacci dinyatakan dengan 𝑀 𝑛 dengan setiap entrinya merupakan bilangan Tetranacci.  Dalam  artikel  ini,  membahas  faktorisasi  dari  hubungan    matriks Tetranacci dan matriks Pascal. Kemudian, dari hubungan dua matriks tersebut diperoleh  sebuah  matriks  baru,  yaitu  matriks 𝑄 𝑛 sehunggga  matriks  Pascal dapat dinyatakan 𝑃 𝑛 = 𝑄 𝑛 𝑀 𝑛 .

## K ATA K UNCI
Bilangan Pascal, Bilangan Tetranacci, Matriks Pascal, dan Matriks Tetranacci.

## K ORESPONDENSI
Telepon: 0821-7238-3318
E-mail: turiqamirfa@gmail.com

## 1. PENDAHULUAN
Segitiga Passcal dapat dinyatakan dalam  matriks persegi, dan  setiap  entrinya  adalah  bilangan  segitiga  Pascal sehinggan  disebut  segitiga  Pascal,.  Banyak  artikel  yang membahas  tentang  matriks  Pascal,  hubungan  matriks matriks  Pascal  dengan  Matriks  Fibonacci.  Brawer  dan Pirovino [1] memberikan bentuk representasi matriks dari segitiga Pascal dan membahas tentang bentuk aljabar dari matriks  Pascal.  Kemudian  Call  dan  Veleman  [2] mendefinisikan  matriks  Pascal  sebgai  matriks  segitiga bawah untuk setiap 𝑛 bilangan asli yang dinyatakan dengan 𝑃 𝑛 .
Segitiga  Pascal  dan  bilangan  Fibonacci  merupakan  salah satu  topik  yang  menjadi  daya  tarik  beberapa  penulis, karena  hubungan  antara  segitiga  Pascal  dan  bilangan Fibonacci diperoleh bahwa penjumlahan setiap entri–entri
pada  segitiga  Pascal  menghasilkan  bilangan  Fibonacci.
Pernyataan tersebut dipertegas oleh Varnadore [10], yang menyatakan  bahwa  dari  hubungan  antara  bilangan Fibonacci dan segitiga Pascal diperoleh bahwa penjumlahan  setiap entri–entri dari segitiga Pascal  secara diagonal menghasilkan bilangan Fibonacci.
Ide  yang  sama  pada  segitiga  Pascal,  bilangan  Fibonacci juga dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks persegi dengan  setiap  entrinya  merupakan  bilangan  Fibonacci, sehingga  matriks  ini  disebut  dengan  matriks  Fibonacci. Lee  et  al.  [5]  mendeﬁnisikan  matriks  Fibonacci  sebagai matriks  segitiga  bawah  dan  matriks  simetris  dan dinyatakan  dengan 𝐹 𝑛 .  Kemudian,  dari  deﬁnisi  matriks Fibonacci  tersebut  diperoleh  bentuk  faktorisasi    dari matriks  Fibonacci  dan  nilai–nilai  eigen  dari  matriks simetris Fibonacci.
Hubungan  matriks  Pascal  dan  matriks  Fibonacci  telah diteliti oleh  beberapa penulis dalam  berbagai  artikel. Lee et  al.  [6]  membahas  hubungan  antara  matriks  Pascal  dan matriks  Fibonacci,  Lee  et  al.  [6],  Zhang  dan  Wang  [12] juga  membahas  hubungan  antara  matriks  Pascal  dan matriks  Fibonacci,  dengan  memperoleh  hasil  yang berbeda.
Kemudian, Sabeth et al. [8] membahas hubungan matriks tribonacci  dengan  matriks  Pascal  dan  memperoleh  dua hasil  yaitu  pertama,  dari  hubungan  dua  matriks  tersebut diperoleh  matriks  baru  yaitu  matriks 𝑅 𝑛 .  Selanjutnya, dengan menggunakan matriks 𝑅 𝑛 diperoleh bahwa matriks Pascal 𝑃 𝑛 dapat dinyatakan dengan 𝑃 𝑛 = 𝑇 𝑛 𝑅 𝑛 Hasil kedua yang  diperoleh  dari  hubungan  dua  matriks  tersebut diperoleh  matriks  baru  yaitu  matriks 𝐴 𝑛 ,  Selanjutnya, dengan menggunakan matriks 𝐴 𝑛 diperoleh bahwa matriks Pascal 𝑃 𝑛 dapat dinyatakan dengan 𝑃 𝑛 = 𝐴 𝑛 𝑇 𝑛
Mirfaturiqa et al. [7] mendefinisikan matriks tetrancci 𝑀 𝑛 , dimana  setiap  entri  matriks 𝑀 𝑛 merupakan  bilangan tetranacci  dan  memperoleh    hubungan  matriks  tetranacci daan  matriks  Pascal,  hubungan  matriks  tersebut didefiniskan  sebuah  matriks  baru 𝐸 𝑛 ,  sehingga  matriks Pascal dapat dinyatakan dalam bentuk 𝑃 𝑛 = 𝑀 𝑛 𝐸 𝑛
Pada artikel  ini,  membahas  hubungan  matriks Pascal dan matriks  tetranacci  yang  merupakan  lanjutan  dari  artikel Mirfaturiqa [7], sehingga diperoleh faktorisasi dari matriks Pascal dan matriks tetranacci.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
Matriks  pascal  adalah  matriks  segitiga  bawah  dengan setiap  entinya  merupakan  bilangan  pada  segitiga  Pascal. Matriks Pascal didefenisikan sebagai berikut [2]
Definisi  1. Untuk  setiap   n ,  matriks  Pascal n n  ,
𝑃 𝑛 = [𝑝 𝑖𝑗 ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = , didefinisikan sebagai,
𝑝 𝑖,𝑗 = { ( 𝑖−1 𝑗−1 ) , jika 𝑖 ≥ 𝑗, 0, lainnya ( ) 1
Barisan  tetranacci  merupakan  generalisasi  dari  bilangan
Fibonacci. Lee et al. [5] membentuk suatu matriks segitiga bawah  yang  entri-entrinya  meruakan  bilangan  Fibonacci yang disebut dengan matriks Fibonacci. Dengan ide yang sama dari [5] , barisan tetrancci juga dapat dinyatakan dalam  bentuk  matriks  segitiga  bawah  dengan  setiap entrinya  merupakan  bilangan  tetranacci,  sehingga
matriks  ini  disebut  matriks  tetranacci  yang didefinisikan sebagai berikut [7],
Definisi  2. Untuk  setiap   n ,  matriks  Pascal n n  , 𝑀 𝑛 = [𝑚 𝑖𝑗 ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = ,  dapat  dinyatakan dan didefinisikan sebagai
𝑚 𝑖,𝑗 = { 𝑀 𝑖−𝑗+3 , jika 𝑖 ≥ 𝑗, 0, lainnya ( ) 2
Matriks  tetranacci 𝑀 𝑛 merupakan  matriks  segitiga  bawah dengan diagonal utamanya adalah 1 dan  nilai determinan dari matriks tetranacci 𝑀 𝑛 merupakan hasil perkalian entri- entri    diagonalnya,  sehinggan  diperoleh det(𝑀 𝑛 ) = 1. Karena det(𝑀 𝑛 ) ≠ 0 ,  maka  matriks  tetranacci  memliki invers. Bentuk umum dari invers matriks tetranacci n n  untuk setiap   n dengan setiap entri dari invers matriks tetrancci 𝑀 𝑛 −1 = [𝑚 𝑖𝑗 ′ ] dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = ,  dapat
dinyatakan dan didefinisikan sebagai
𝑚 𝑖𝑗 ′ = { 1,                       Jika  𝑖 = 𝑗,
−1,     jika 𝑖 − 4 ≤ 𝑗 ≤ 𝑖 − 1,
0,                            lainnya.
( ) 3

## 3. METODOLOGI
Zhang dan Wang [12] membahas hubungan matiks Pascal dan  matriks  Fibonacci.    Kemudian  dari  hubungan  dua matriks tersebut diperoleh definisi matriks baru, misalkan matriks baru tersebut adalah matriks N n K n   , yang didefinisikan sebagai mstriks segitiga bawah berikut Dari pendefinisian matriks n K diperoleh teorema berikut.
Definisi 3. Untuk setiap   n , n K adalah matriks n n  dengan setiap entri   ij n k K = dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = , didefinisikan sebagai
. 1 1 1 1 1       − − −       − −       − − = j i j i j i k ij ( ) 4
Dari  pendefinisan  matriks n K diturunkan  beberapa teorema . selajutnya, dengan ide yang sama dari Zhang dan Wang  [12],  penulis  membahas  antara  matriks  tetranacci dan matriks Pascal .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Dengan  menggunakan  ide  dari  Zhang  dan  Wang  [12] dibentuk  hubungan  antara  matriks  tetranacci  dan  matriks Pascal.  Kemudian,  dari  hubungan  dua  matriks  tersebut diperoleh  deﬁnisi  matriks  baru,  misalkan  matriks  baru tersebut adalah matriks N n Q n   , dan setiap entri dari matriks n Q dinyatakan dengan 𝑞 𝑖𝑗 .
Definisi  4. Untuk  setiap N n   , n Q adalah  matriks
n n  dengan setiap entri n Q = [𝑞 𝑖𝑗 ] dengan
n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = , didefinisikan sebagai
𝑞 𝑖𝑗 = ( 𝑖−1 𝑗−1 ) − ( 𝑖−1 𝑗 ) − ( 𝑖−1 𝑗+1 ) − ( 𝑖−1 𝑗+2 ) − ( 𝑖−1 𝑗+3 ) ( ) 5
Dari  definisi ( ) 5 maka  diperoleh, 1 11 = q , 0 1 = j q ,
2   j ; 0 21 = q , 1 22 = q , 0 2 = j q , 3   j ; 2 31 − = q , 1 32 = q , 1 33 = q , 0 3 = j q , 4   j ;    dan 2 ,   j i , ( ) 24 18 23 6 24 1 2 3 4 − − + − − = i i i i q ij .
Matriks n Q merupakan  matriks  segitiga  bawah  dengan diagonal  utamanya  adalah  1  dan  nilai  determinan  sari matriks n Q merupakan hasil perkalian entri-entri
diagonalnya,  sehinggan  diperoleh
( ) 1 det = n Q .  Karena ( ) , 0 det  n Q maka  matriks n Q memiliki  invers. Misalkan
1 − n Q adalah    invers  dari  matriks n Q dan  setiap  entrik  dari
matriks 1 − n Q dinyatakan  sebagai . , ij q Entri-entri  dari  matriks
1 − n Q diperoleh  dari  perkalian n M dengan  matriks 1 − n P .
Misalkan untuk 4 = n diperoleh entir-entri untuk matriks 1 4 − Q
Sebagai berikut:
              − − = = − 1 2 3 2 0 1 1 2 0 0 1 0 0 0 0 1 , 1 4 ij q Q ( ) 6
Dengan  memperhatikan  setiap  entri  pada  matriks  (6)  untuk
j i  semua nilai entri matriks tersebut didaftarkan seperti yang ditunjukan pada Tabel 1
Selanjutnya  dengan  memperhatikan  setiap  langkah  aljabar  dari
Tabel 1. Diperoleh bentuk umum matriks 1 − n Q berorde n n 
yang didefinisikan sebagai berikut:
Untuk setiap   n , dengan 1 − n Q adalah unvers dari matriks
n Q setiap  entri
  , 1 ij n q Q = − dengan n j i ,..., 3 , 2 , 1 , = ,
didefinisikan sebagai
( )  = + − +       − − − = i j k k i k j ij M j k q . 1 1 1 3 , ( ) 6
Tabel 1. Nilai entri untuk matriks 1 − n Q Entri matriks 1 − n Q Nilai entri matriks 1 − n Q , 11 q ( )       =       − − − + + − 0 0 1 1 1 1 1 3 1 1 3 1 1 M M , 21 q ( ) ( )       − − − +       − − − + − + − 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 3 2 2 2 3 1 2 M M       −       = 0 1 0 0 3 4 M M , 22 q ( ) ( )       − − − +       − − − + − + − 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 4 3 2 2 3 3 1 2 M M
      =       +       − = 1 1 1 1 1 0 3 3 4 M M M , 31 q ( ) ( )       − − − +       − − − + − + − 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 4 3 2 3 2 3 1 3 M M ( )       +       −       =       − − − + + − 0 2 0 1 0 0 1 1 1 3 1 3 4 5 4 3 3 3 M M M M , 32 q ( )
( )       − − − +       − − − + − + − 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 4 3 2 3 3 3 1 3 M M ( )
      −       +       − =       − − − + + − 1 2 1 1 0 0 1 2 1 3 1 3 4 5 5 3 3 3 M M M M   , ij q ( )  = + − +       − − − i j k k i k j M j k 3 1 1 1
Dari  pendefinisian  matriks n Q yang  didefinisikan    pada persamaan (6) dapat diturunkan teorema berikut.
Teorema  1. Misalkan  untuk  setiap   n dengan  matriks 𝑄 𝑛 yang  didefinisikan  pada  persamaan  (4),  matriks  Pascal yang  didefinisikan  pada  persamaan  (1)  dan  matriks tetranacci n M yang  didefiniskan  pada  persamaan  (2),
dapat dinyatakan
n n n M Q P = .
Bukti. Karena det(𝑀 𝑛 ) ≠ 0 ,  maka  matriks  tetranacci n M
memiliki invers.  akan dibuktikan bahwa
1 − = n n n M P Q . ( ) 7
Kemudian perhatikan ruas kiri pada persamaan (7), untuk setiap
1   i dan 1 = j ,  diperoleh
( ) , 24 18 32 6 24 1 2 3 4 1 − − + − − = i i i i q i ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 4 1 1 1 3 1 1 1 2 1 1 1 1 1 −       − − −       − − + −       − − +       − − = i i i i ( ) ( ) ( ) , 0 1 1 0 1 6 1 1 1 5 1       − − + +       − − + −       − − n i i i  , 51 5 , 41 4 , 31 3 , 21 2 , 11 1 1 m p m p m p m p m p q i i i i i i + + + + = , , 1 , 61 6 n im i m p m p + + +   = = n k k ik m p 1 , 1 .
Selanjutnya,  jika 1   i dan 2   j maka  diperoleh
      + − −       + − −       + − −       − −       − − =
2 1 2 1 1 1 1 1 1
J i J i j i j i j i q ij
( ) ( ) ( ) + −       − + − + −       − + − +       − − = 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 j i j i j i q ij ( ) ( ) + −       − + − + −       − + − 1 1 4 1 1 1 3 1 j i j i ( ) ( ) , 0 1 1 0 1 5 1       − − + +       − + − n i j i  ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) + + + = + + + + , 2 2 , 1 1 , j j j i j j j i jj ij ij m p m p m p q
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) + + + + + + , 4 4 , 3 3 j j j i j j j i m p m p ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) + + + + + + +  , 5 5 , 4 4 j j j i j j j i m p m p
, , nj in m p  = = n j k kj ik ij m p q . , Dengan demikian, terbukti bahwa n n n Q M P = − 1 .
Jadi,  dengan  didefinisikan   matriks 𝑄 𝑛 pada  persamaan  (4),
matriks Pascal  pada persamaan (1) dan matriks tetranacci
n M pada persamaan (2), dapat dinyatakan
n n n M Q P =
.
Dari Teorema 1. sehingga diperoleh Akibat berikut.
Akibat 1. Untuk setiap n k   1 dan j n  diperoleh  =    −       + − −       + − −       − −       − − =       − − n i k k i k i k i k i j i 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 + −          + − j k M k i ( ) 8
Bukti. Dengan  memperhatikan  setiap  entri  pada nj p dalam  perkalian  matriks n n n M Q P = secara  aljabar yang diperoleh sebagai berikut:
, kj ik ij m q p = ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) + + + = + + + + ) ( 2 2 ) ( 1 1 j i i i j i i i ij ii m q m q m q ( ) ( ) ( ) ( ) , ) ( 4 4 ) ( ) ( 3 3 ) ( nj in j i i i j i i i m q m q m q + + + + + + +  ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + = + − + + + − + + + − 3 2 2 3 1 1 3 j i i i j i i i j i ik ij M q M q M q p ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) + + + + − + + + − + +  3 4 4 3 3 3 j i i i j i i i M q M q
3 + − j n in M q , ( )( ) ( )( ) + + + = + − + + − + + − 5 2 4 1 3 j i i i j i i i j i ii ij M q M q M q p ( )( ) ( )( ) + + + + − + + − +  7 4 6 3 j i i i j i i i M q M q 3 + − j n in M q  = + − = n k j k ik ij M p p 1 3 . ( ) 9
Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (9) diperoleh
 = + − = n k j k ik ij M p p 1 3 ,  =    −       + − −       + − −       − −       − − =       − − n i k k i k i k i k i j i 2 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 1 + −          + − j k M k i .
Jadi  dengan  menggunakan  persamaan  (9)  dapat  diturunkan persamaan (8).
Selanjutnya dari pendefinisian matriks 1 − n Q pada persamaan (6) dapat diturunkan teorema berikut.
Teorema  2. Misalkan  untuk  setiap   n dengan  matriks
1 − n Q yang  didefinisikan  pada  persamaan  (6),  matriks
Pascal yang didefinisikan pada persamaan (1) dan matriks tetranacci n M yang  didefiniskan  pada  persamaan  (2),
dapat dinyatakan
n n n P Q M 1 − = .
Bukti. Karena det(𝑃 𝑛 ) ≠ 0 , maka matriks Pascal n P memiliki invers.  akan dibuktikan bahwa
1 1 − − = n n n P M Q . ( ) 10
Dengan  memperhatikan    ruas  kiri  pada  persamaan  (10),  untuk setiap 1  i dan 1  j ,  diperoleh
( )  = + + −       − − − = n j k j k k i ij j k M q 1 1 1 3 , , ( ) ( ) ( ) ( ) j j j i j j j i M j j M + + + + − + + − − +       − − − = 1 3 1 3 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j j j i M j j + + + + − − +       − − + 2 3 2 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) j j j i M j j + + + + − − +       − − + 3 3 3 1 1 1 2 ( ) ( )       − − − + +       − − + + + − 1 1 1 1 1 3 3 j n M j j j n n i  , ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + + + = + + + + , 2 2 , 1 1 , , j j j i j j j i jj ij ij p m p m p m q
( )( ) ( )( ) , , 3 3 nj in j j j i p m p m  + + + ,  = = n i k kj ik ij p m q , , . Dengan  demikian,  terbukti  bahwa 1 1 − − = n n n Q P M jadi
dengan  didefinisikan  matriks n Q pada  persamaan  (5),  matriks
Pascal n P pada persamaan (1) dan matriks tetranacci
n M pada
persamaan (2) maka diperoleh 1 1 − − = n n n P M Q

## 5. KESIMPULAN DAN SARAN
Artikel  ini  ,  hanya  membahas  hubungan  antara  matriks tetranacci  segitiga  bawah  dan  matriks  Pascal.  Kemudian, dari  hubungan  kedua  matriks  tersebut  diperoleh  definisi matriks  baru  yaitu  matriks n Q .  Selain  itu,  dari pendefinisan matriks n Q diperoleh faktorisasi  hubungan
matriks tetranacci dan  matriks Pascal dalam dua teorema dan satu akibat. Kajian berikutnya dapat dilanjutkan untuk membahas  hubungan  matriks  Pascal  dengan  matriks tetranacci  segitiga  atas,  matriks  tetranacci  simetris  dan generalisasi matriks tetranacci. .

## DAFTAR PUSTAKA
[1] R. Brawer and M. Pirovino, “The linear algebra of the Pascal matrix.” Linear Algebra Applications, Volume174, 1992, Pages 13–23.
[2] G. S. Call and D. J. Velleman, “Pascal’s matrices.” The American  Mathematical  Monthly, Volume  100,  1993, Pages 372–376.
[3]  S.  Falcon,  “The  k–Fibonacci  matrix  and  the  Pascal matrix.” Central  European  Journal  of  Mathematics , Volume 9, 2011, Pages 1403–1410.
[4]  M.  Feinberg,  “Fibonacci–tribonacci.” Fibonacci Quartely , Volume 1, 1963, Pages 70–74.
[5] G. Y. Lee, J. S. Kim and S. G. Lee, “Factorizations and eigenvalues  of  Fibonacci  and  symmetric  Fibonacci matrices.” Fibonacci  Quarterly, Volume 40, 2002, Pages 203–211.
[6]  G.  Y.  Lee,  J.  S.  Kim  and  S.  H.  Cho,  “Some combinatorial identities via Fibonacci numbers.” Discrete Applied Mathematics , Volume 130, 2003, Pages 527–534.
[7]  Mirfaturiqa,  S.  Gemawati  and  M.  D.  H.  Gamal, “Tetranacci  Matrix  via  Pascal’s  Matrix.” Bulletin  of Mathematics , Volume 9, 2017, Pages 1-7.
[8] N. Sabeth, S. Gemawati dan H. Saleh, “A factorization of  the  tribonacci  matrix  and  the  Pascal  matrix.” Applied Mathematical Sciences, Volume 11, 2017, Pages 489–497.
[9]  M.  N.  Saveri  and  J.  K.  Patel,  “Some  properties  of generalized tetranacci sequence modulo m.” International Journal of Computer and Mathemati cal Sciences, Volume 4, 2015, Pages 58–64.
[10]  J.  Varnadore,  “Pascal’s  triangle  and  Fibonacci numbers.” The Mathematics Theacher, Volume 84, 1991, Pages 314–316.
[11]  Z.  Zhang,  “The  linear  algebra  of  the  generalized Pascal.” Linear Algebra and Its Applications, Volume 250,
1997, Pages 51–60.
[12]  Z.  Zhang  dan  X.  Wang,  “A  factorization  of  the symmetric Pascal matrix involving the Fibonacci matrix.”
Discrete Applied Mathematics , Volume 155, 2007, Pages 2371–2376.