SEMINORM PADA RUANG FUNGSI TERINTEGRAL DUNFORD
Solikhin 1* , YD Sumanto 1 , Abdul Aziz 1
1 Departemen Matematika, FSM Universitas Diponegoro Jl. Prof. Soedarto, S.H. Semarang
*Corresponding Author’s Email : solikhin@live.undip.ac.id
Abstract. This article discussed the seminorm on Dunford integrable functional space. We show that the set of all Dunford integrable functions is linear space. The results were shown  that ( ) [ , ], D a b  is  a  seminorm  space  with  function  defined  by
( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f L x f        =        .  Furthermore, ( ) [ , ],
D a b d is  a  pseudomatrix  space  with
function defined by ( ) ( ) ( ) * * * * [ , ] 1 , sup sup E a b x X E x d f g f g L x f g        = − = −        .
Keywords: Dunford integral, seminorm, pseudomatrix.
Abstrak. Pada  artikel  ini  dibahas  seminorm  pada  ruang  fungsi  terintegral  Dunford. Ditunjukkan bahwa koleksi  semua fungsi  yang terintegral Dunford merupakan  ruang linear.  Selanjutnya ( ) [ , ], D a b  merupakan  ruang  seminorma  terhadap  seminorma
( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f L x f        =        dan ( ) [ , ], D a b d merupakan  ruang  pseudometrik  terhadap
pseudometrik ( ) ( ) ( ) * * * * [ , ] 1 , sup sup E a b x X E x d f g f g L x f g        = − = −        .
Kata kunci: Integral Dunford, seminorma, pseudometrik.

## I. PENDAHULUAN
Integral  dari  suatu  fungsi  non-negatif  satu  variabel  atau  dua  variabel  pada  prinsipnya dianggap sebagai luas daerah atau volume di bawah kurva. Misalnya untuk fungsi kontinu pada interval  terbatas, maka luas  daerah  atau volume di  bawah kurva dapat  didefinisikan sebagai integral.  Integral ini dihitung dengan menggunakan aproksimasi atau menggunakan teorema dasar  kalkulus  asalkan  mempunyai  anti-derivatif.  Integral  semacam  ini  dinamakan  integral deskriptif atau integral Newton [1]. Akan tetapi tidak semua fungsi mempunyai anti-derivatif, maka  proses  pengintegralannya  secara  kontruktif  yang  dibangun  berdasarkan  partisi  seperti integral Riemann [1, 2] .
Integral Riemann didefinisikan berdasarkan partisi, kontruksi urutan area di bawah kurva yang  berbentuk  persegi  panjang  vertikal  yang  mudah  dihitung  dari  fungsi  yang  diberikan. Definisi  integral  ini  telah  berhasil  memberikan  jawaban  untuk  berbagai  permasalahan  yang diberikan.  Akan  tetapi,  integral  Riemann  tidak  berinteraksi  dengan  baik  dengan  mengambil
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
batas  urutan  fungsi.  Untuk  kelas  fungsi  yang  lebih  luas  misalkan  fungsi  Dirichlet,  integral Riemann tidak mampu memberikan hasil.
Integral  Lebesgue  dapat  menjawab  permasalahan  yang  tidak  adapat  diselesaikan  oleh integral  Riemann.  Integral  Lebesgue  memungkinkan  untuk  menghitung  integral  dari  kelas fungsi  yang  lebih  luas,  misalnya  seperti  fungsi  Dirichlet.  Fungsi  Dirichlet  ini  terintegral Lebesgue  dengan  nilai  nol.  Integral  ini  juga  memperluas  domain  untuk  fungsi-fungsi  yang dapat  didefinisikan.  Secara  analisis,  integral  Lebesgue  didefinisikan  berdasarkan  fungsi sederhana pada sebarang himpunan terukur E untuk fungsi bernilai real R .
Pada  banyak  penerapan,  misalnya  dalam  persamaan  differensial,  optimasi  dan  lain sebagainya  tidak  menutup  kemungkinan  permasalahan  integral  dihadapkan  pada  fungsi bernilai  Banach X .  Misalnya  seperti  integral  Bochner  dan  integral  Dunford  [3].  Fungsi : f I X → dikatakan terintegral Bochner jika terdapat barisan fungsi sederhana ( ) n f sehingga lim 0 n n I f f d  → − =  . Sedangkan fungsi terukur lemah f dikatakan terintegral Dunford, jika untuk setiap * * x X  ( * X adalah ruang dual dari ruang Banach X ) fungsi bernilai real ( ) * x f terintegral Lebesgue [3].
Jaminan  adanya  nilai  integral  Dunford  adalah  Lemma  Dunford  [3].  Lemma  ini mengkontruksi adanya operator linear kontinu. Kemudian berdasarkan lemma tersebut dikaji integral Dunford beserta sifat-sifat sederhananya. Dikaji juga sifat daripada operatornya [3, 4]. Selanjutnya  didefinisikan  sebuah  fungsi  pada  ruang  fungsi  terintegral  Dunford.  Diselidiki apakah  fungsi  tersebut  merupakan  norma  atau  seminorma,  lebih  lanjut  berdasarkan  fungsi tersebut didefinisikan fungsi jarak. Diselidiki apakah fungsi jarak tersebut merupakan metrik atau pseudometrik pada runag fungsi terintegral Dunford.

## II. RUANG METRIK DAN RUANG BERNORMA
Diberikan definisi ruang metrik dan ruang bernorma beserta sifat-sifatnya.
Definisi 2.1 [5] Diberikan himpunan X . Fungsi jarak : d X X R  → dikatakan metrik pada X jika memenuhi
(M1). ( ) , 0 d x y  , untuk setiap , x y X  (M2). ( ) , 0 d x y
x y =  = , (M3). ( ) ( ) , , d x y d y x = , untuk setiap , x y X  dan (M4). ( ) ( ) ( ) , , , d x y d x z d y z  + , untuk setiap , , x y z X  .
Himpunan X yang dilengkapi dengan metrik d dinamakan ruang metrik, dinotasikan ( ) , X d
. Jika kondisi ( M2 ) tidak terpenuhi, maka fungsi jarak d dikatakan psedometrik.
Definisi 2.2 [5] Barisan ( ) n x X  pada ruang metrik ( ) , X d  dikatakan konvergen jika ada x X  sehingga
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
( ) lim , 0 n n d x x → = .
Sedangkan barisan ( ) n x X  pada ruang metrik ( ) , X d  dikatakan barisan Cauchy jika untuk setiap 0   terdapat bilangan asli ( ) 0 0 n n  = sehingga untuk setiap
0 , m n n  berlaku ( ) , n m d x x   .
Ruang metrik ( ) , X d dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di X adalah konvergen di X . Selanjutnya, setiap barisan konvergen pada ruang metrik merupakan barisan Cauchy.
Teorema 2.3 [6] Setiap barisan konvergen pada ruang metrik ( ) , X d adalah barisan Cauchy .
Bukti: Diambil  sebarang barisan ( ) n x X  yang konvergen ke x X  . Berarti untuk  setiap
0   terdapat ( ) 0 0 n n  = sehingga untuk setiap
0 n n  berlaku ( ) , 3 n d x x   .
Jadi, untuk setiap 0 , m n n  berlaku ( ) ( ) ( ) , , , 3 3 n m n m d x x d x x d x x     +  +  .
Terbukti bahwa ( ) n x X  merupakan barisan Cauchy. □
Definisi  2.4 [5] Diberikan X ruang  vektor  (ruang  linear).  Fungsi : X R  → dikatakan norma pada X jika memenuhi
(N1). 0 x  , 0 x x  =  = , (N3). ux u x = , dan
(N4).  x y x y +  + ,
untuk setiap , x y X  dan sebarang skalar u R  .
Pasangan ( ) , X  dikatakan ruang bernorma jika fungsi  merupakan norma pada X . Jika pada  kondisi  ( N1 )  tidak  terpenuhi  untuk 0 x x  =  = ,  maka  fungsi  merupakan seminorma. Norma pada X dapat mendefinisikan sebuah metrik d pada X yang diberikan oleh
( ) , d x y x y = − ,
untuk setiap , x y X  dan disebut metrik yang diinduksi oleh norma.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Definisi 2.5 [5] Diberikan ( ) , X  ruang bernorma. Barisan ( ) n x dikatakan konvergen jika ada x X  sehingga
lim
0 n n x x → − = .
Sedangkan  barisan ( ) n x dikatakan  barisan  Cauchy  jika  untuk  setiap 0   terdapat 0 n sehingga untuk setiap
0 , n m n  berlaku
n m x x  −  .
Selanjutnya, jika setiap barisan Cauchy pada ruang bernorma ( ) , X  konvergen di X maka ( ) , X  dikatakan ruang Banach, yaitu ruang bernorma yang lengkap.

## III. INTEGRAL DUNFORD
Berdasarkan Lemma Dunford, maka dapat didefinisikan integral Dunford sebagai berikut.
Definisi  3.1 [3] Diketahui X ruang  Banach.  Fungsi :[ , ] → f a b X dikatakan  terintegral Dunford pada [ , ] a b , ditulis [ , ] f D a b  , jika untuk setiap * *  x X fungsi ( ) * x f terintegral Lebesgue pada [ , ] a b ( ) ( ) * [ , ] x f L a b  dan untuk setiap himpunan terukur [ , ] E a b  terdapa vektort ( ) **
** , f E x X  sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , , f E E x x L x f = 
untuk setiap * *  x X .
Nilai  integral  Dunford ( ) E D f  ,  fungsi f atas  himpunan  terukur [ , ] E a b  diberikan  oleh ( ) ** ** , f E x X  , yaitu ( ) ( ) ** , f E E x D f =  ,
adalah tunggal.
Teorema  3.2 [4] Jika [ , ]  f D a b ,  maka  untuk  setiap  himpunan  terukur [ , ] E a b  vektor ( ) ** ** , f E x X  tunggal .
Bukti: Diambil sebarang himpunan terukur [ , ] E a b  . Andaikan terdapat vektor ( ) ** ** , f E x X 
dan ( ) ** ** , f E y X  maka ( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , f E E x x L x f =  dan ( ) ( ) ( ) ( ) ** * * , f A E y x L x f =  .
Lebih lanjut
( ) ( ) ( ) ( ) ** * ** * , , f E f E x x y x − ( ) ( ) ( ) ( ) * * E E L x f L x f = −   * * 0, x X
=   . □

## JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS
AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Contoh  fungsi  yang  terintegral  Dunford  misalnya  adalah  fungsi  konstan,  fungsi  terintegral Riemann,  fungsi  terintegral  Lebesgue  [4],  atau  fungsi  yang  terintegral  McShane.  Menurut Definisi 3.1 jelas bahwa jika fungsi f terintegral Dunford, maka untuk setiap * * x X  fungsi bernilai real * x f terintegral Lebesgue, artinya jika untuk setiap * * x X  fungsi bernilai real
* x f terintegral Lebesgue, maka f terintegral Dunford.
Teorema 3.3 Fungsi [ , ] f D a b  jika dan hanya jika untuk setiap * * x X  , * [ , ] x f L a b  .
Bukti: Jelas menurut Definisi.
□
Berdasarkan  Definisi  3.1  dan  Teorema  3.3,  maka  koleksi  semua  fungsi  yang  terintegral Dunford merupakan ruang linear.
Teorema 3.4 [ , ] D a b dalah ruang linear.
Bukti: Koleksi [ , ] D a b dikatakan ruang linear jika untuk setiap , [ , ] f g D a b  dan sebarang u R  berlaku [ , ] f g D a b +  dan [ , ] uf D a b  . Diambil  sebarang , [ , ] f g D a b  dan  sebarang  skalar u R  .  Karena , [ , ] f g D a b  ,  maka untuk setiap * * x X  diperoleh * [ , ] x f L a b  dan * [ , ] x g L a b  . Oleh karena itu, untuk setiap * * x X  diperoleh ( ) * [ , ] x f g L a b +  . Jadi, [ , ] f g D a b +  .
Lebih  lanjut,  untuk  sebarang  skalar u R  dan  untuk  setiap * * x X  diperoleh  fungsi
( ) * [ , ] x uf L a b  . Jadi, [ , ] uf D a b  .
Jadi, [ , ] D a b ruang linier. □
Teorema  3.5 Jika f  = hampir  dimana-mana  pada [ , ] a b ,  maka [ , ] f D a b  dan  jika [ , ] E a b  himpunan terukur maka
( ) ** , f E x  = .
Bukti: Karena f  = hampir dimana-mana pada [ , ] a b , maka ada himpunan terukur [ , ] E a b 
dengan ( ) 0 E   = sehingga jika * * x X  berlaku
* 0, [ , ] ( ) 0, x a b E x f x
x E =  −     .
Dibentuk
1 k k E E  = = dengan ( )   : 1
, 1, 2,3,... k E x E k f x k k E =  −   =  dan ( ) 0 k E   = . Diambil  sebarang 0   ,  maka  untuk  suatu k terdapat  himpunan  terbuka k O dengan ( )
2 k k O k 
   sehingga k k O E  .
Didefinisikan fungsi positif  pada [ , ] a b sedemikian sehingga ( )
, ( ) k N x x O   untuk k x E  , 1, 2,3,... k = dan sebarang fungsi positif untuk x yang lain.
Oleh karena itu, untuk sebarang [ , ] E a b  himpunan terukur berlaku ( ) ( ) ( ) ( ) * * * * 0 k k k E x E x E x E x f x f x f x f    − = + =     * 1 2 k k x k k    =  =

## 
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
untuk setiap * * x X  dan * 1 x  .
Hal  ini  berarti * [ , ] x f L a b  dan  untuk  himpunan  terukur [ , ] E a b  terdapat  vektor ( ) ** ** , f E x X  sehingga
( ) ( ) ( ) ** * * , 0 f E A x x L x f = =  .
Jadi
[ , ] f D a b  dan ( ) ** , f E x  = . □

## IV. SEMINORM PADA RUANG FUNGSI TERINTEGRAL DUNFORD
Fungsi f dan g dikatakan ekuivalen, jika f g = hampir dimana-mana pada [ , ] a b , yaitu jika terdapat himpunan terukur-  [ , ] E a b  dengan ( ) 0 E   = sehingga ( ) ( ) f x g x = ,
untuk setiap [ , ] x a b E  − .
Teorema 3.4 menunjukkan bahwa koleksi semua fungsi  yang terintegral Dunford pada [ a , b ] merupakan ruang linear. Selanjutnya akan didefinisikan sebuah fungsi  dari [ , ] D a b ke himpunan semua bilangan real R .
Definisi 4.1 Diberikan ruang linear [ , ] D a b . Didefinisikan fungsi . : [ , ] D a b R → oleh ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f L x f        =        untuk setiap [ , ] f D a b  .
Berdasarkan Definisi 3.1, ternyata fungsi yang didefinisikan dari [ , ] D a b ke himpunan semua bilangan real R merupakan seminorm pada [ , ] D a b seperti pada teorema berikut.
Teorema  4.2  Diberikan  ruang  linear [ , ] D a b .  Pasangan ( ) ( ) , , . D a b merupakan  ruang seminorma terhadap
( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f L x f      
 = 
      .
Bukti: Dibuktikan bahwa fungsi  .  merupakan seminorma pada ruang linear [ , ] D a b . (N1). Diambil sebarang [ , ] f D a b  .
Karena untuk setiap * * dan [ , ] x X E a b   berlaku ( ) * 0 E L x f   ,  maka ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup 0 A a b x X A x f L x f        =
        .
Jadi, 0 . f 
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Jika f  = pada [ , ] a b maka ( ) , [ , ] f x x a b  =   , sehingga untuk setiap himpunan terukur
[ , ] E a b  berlaku
( ) , [ , ] f x x E a b  =    .
Hal ini berakibat untuk setiap * * x X  dengan * 1 x  diperoleh
( ) * 0,
[ , ]. x f x x E a b =    sehingga ( ) * * * * 0, , 1, [ , ] E L x f x X x x E a b  =        ( ) * * * * 0, , 1, [ , ] E L x f x X x x E a b  =        ( ) * sup 0 x E E L x f   =  ( ) * * * * , ] 1 sup sup 0 E a b x X E x L x f     
   =        0 f  = .
Jadi jika f  = maka 0 f = .
(N2). Diambil sebarang [ , ] f D a b
 dan sebarang skalar k R  , diperoleh
( ) ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x kf L x kf      
 =        ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x k L x f     
  =        ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x k L x f     
  = 
      k f = . (N3). Diambil sebarang , [ , ] f g D a b  diperoleh ( ) ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f g L x f g        + = +        ( ) ( ) * * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E E x L x f L x g        = +        
Karena
( ) ( ) * * [ , ] sup E a b E E L x f L x g      +         ( ) ( ) * * [ , ] [ , ] sup sup E a b E a b E E L x f L x g            +              
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
Maka untuk setiap * * * , 1 x X x   berlaku
( ) ( ) * * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E E x L x f L x g           +              ( ) ( ) * * * * * * * * [ , ] [ , ] 1 1 sup sup sup sup E a b E a b x X x X E E x x L x f L x g
       
       +              
Jadi,
f g f g +  + . Terbukti bahwa ( ) ( ) , , . D a b merupakan ruang bernorma terhadap norma
( ) * * * * [ , ] 1 sup sup A a b x X A x f L x f        = 
      . □
Selanjutnya berdasarkan seminorma seperti pada Definisi 4.1 didefinisikan fungsi jarak pada ruang linear [ , ] D a b .
Definisi 4.3 Didefinisikan fungsi : [ , ] [ , ] d D a b D a b R  → oleh ( ) , d f g f g = −
untuk setiap , [ , ] f g HD a b  . Fungsi : [ , ] [ , ] d D a b D a b R  → seperti pada Definisi 4.3 merupakan pseudometrik pada [ , ] D a b .
Teorema 4.4 Ruang linear [ , ] D a b merupakan ruang pseudometrik terhadap fungsi jarak
( ) , d f g f g = − ,
untuk setiap , [ , ] f g D a b  .
Bukti:
(D1). Diambil sebarang dua fungsi , [ , ] f g D a b  , diperoleh ( ) , d f g f g = − 0  .
(D2). Diambil sebarang dua fungsi , [ , ] f g D a b  , diperoleh ( ) , d f g f g = − g f = − ( ) , d g f = . (D3). Diambil sebarang tiga fungsi , , [ , ] f g h D a b  , diperoleh ( ) , d f h f h = − f g g h = − + − f g g h  − + − ( ) ( ) , , d f g d g h = + .
Jadi, fungsi d merupakan pseudometrik pada [ , ] D a b . □

## V. PENUTUP
Koleksi  semua  fungsi  yang  terintegral  Dunford  merupakan  ruang  linear  dan  jika diberikan  fungsi . : [ , ] D a b R → oleh ( ) * * * * [ , ] 1 sup sup E a b x X E x f L x f        =        ,  maka ( ) [ , ], D a b 
merupakan ruang seminorma. Selanjutnya terhadap fungsi jarak
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id
( ) ( ) ( ) * * * * [ , ] 1 , sup sup E a b x X E x d f g f g L x f g        = − = −        ,  maka ( ) [ , ], D a b d merupakan  ruang psudometrik.

## DAFTAR PUSTAKA
[1]   Lee P.Y. (1989), Lanzhou Lectures on Henstock Integration , World Scientific, Singapore.
[2]  Gordon, R.A. (1994), The Integral of lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock , Mathematical Society, USA.
[3]  Schwabik, S., Guoju, Ye. (2005), Topics in Banach Space Integration , World Scientific, Singapore.
[4]  Solikhin, dkk. (2018). Operator pada Ruang Fungsi Terintegral Dunford, Journal of Fundamental Mathematics and Application (JFMA) , 2(1): 110, 10.14710/jfma.v1i2.17
[5]  Kreyszig, E. (1989), Introductory Funtional Analysis with Applications , John Willey & Sons, USA.
[6]   Darmawijaya, S. (2007), Pengantar Analisis Abstrak, Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
JOURNAL OF FUNDAMENTAL MATHEMATICS AND APPLICATIONS (JFMA) VOL. 2 NO. 1 (Jun 2019) Available online at www.jfma.math.fsm.undip.ac.id