Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19

## MENGENAL HIMPUNAN KABUR (FUZZY SET)  DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA : SUATU KAJIAN PUSTAKA
I Made Yasna FPMIPA IKIP SARASWATI dekyasna@gmail.com

## ABSTRAK
Teori himpunan sebagai bagian dari matematika telah mengalami perkembangan. Salah satunya adalah himpunan kabur. Walaupun telah sering dibicarakan pada berbagai seminar matematika maupun seminar pendidikan matematika namun, di indonesia himpunan kabur masih relatif baru sehingga layak disajikan dan diperkenalkan kepada dosen dan mahasiswa pendidikan matematika. Sebagai langkah awal, pembahasan dibatasi hanya pada himpunan bagian kabur dan operasi-operasinya yang terdiri dari komplemen, gabungan, dan irisan serta indeks kekaburan.
Kata Kunci : Himpunan kabur, gabungan, irisan, indeks kekaburan

## INTRODUCE THE FUZZY SET IN MATHENATICS LEARNING: A LITERATURE REVIEW ABSTRACT
The set theory as part of mathematics has progressed. One of them is fuzzy sets. Although it has often been discussed in various mathematics seminars and seminars of mathematics education. However, in indonesia the fuzzy set is still relatively new so it is worthy presented and introduced to lecturers and students of mathematics education. As a first step, the discussion is limited only to the part of the fuzzy set and its operations consisting of complement, union, intersection and fuzzyness index.
Keyword : Fuzzy set,union, intersection, fuzzyness indeks

## PENDAHULUAN
Pengertian himpunan kabur yang akan dibahas dalam tulisan ini adalah perluasan dari pengertian himpunan yang telah dikenal. Untuk membedakan kedua himpunan ini, maka himpunan yang telah dikenal selanjutnya disebut himpunan sederhana . Himpunan kabur telah banyak dibicarakan pada seminar matematika maupun seminar pendidikan matematika diberbagai kesempatan. Konsep dasarnya
sangat sederhana namun sangat besar manfaatnya, karena dengan konsep sederhana itu dapat dibuat model untuk menemukan  penyelesaian masalah dalam kehidupan sehari-hari. Konsep tersebut akan diperluas berdasarkan pengertian himpunan bagian kabur. Perluasan inilah yang dijadikan pokok bahasan pada tulisan ini.
Himpunan Kabur (Fuzzy Set) sebagai cabang dari matematika pertama
kali dicetuskan  oleh Lutfi Zadeh pada awal tahun 1965 di Universitas California di Barkley. Teori ini dapat diaplikasikan dalam berbagai bidang, antara lain:  diagnose medis, sistem pendukung keputusan, ekonomi, psikologi, lingkungan, keamanan dan ilmu pengetahuan dan lain-lain (Setiadji, 2009). Himpunan kabur ini masih relative baru di Indonesia, sehingga belum semua perguruan tinggi yang memiliki jurusan matematika menyelenggarakan mata kuliah ini. Dengan alasan itulah penulis mengangkat materi ini sebagai langkah awal dalam belajar dan mengenal himpunan kabur. Pembahasan materi ini akan dibatasi pada beberapa konsep himpunan kabur dan operasi-operasi himpunan kabur, yaitu komplemen, irisan, dan gabungan.

## PEMBAHASAN
Konsep Himpunan Bagian Kabur
Dalam himpunan sederhana, him- punan memiliki ciri sebagai berikut.
Misalkan S himpunan semesta, A sebagai himpunan memiliki sifat :
i. A Ϲ S ii.  Untuk setiap x ϵ S hanya salah satu yang berlaku :  x ϵ A atau x ∉ A.

## Contoh 1 :
Misalkan S himpunan semua nama bulan masehi  dan  A himpunan nama- nama bulan masehi  yang terdiri dari 30 hari. Berarti  April, Juni, September, dan Nopember merupakan anggota-anggota dari A dan ditulis A = { April, Juni,
September, dan Nopember}.
Januari anggota S, tetapi Januari bukan anggota A. Demikian pula untuk Februari, Maret dan Mei.
Pengertian keanggotaan dalam A dapat dinyatakan dengan fungsi karateristik f A (x) untuk  setiap  x ϵ A sedemikian sehingga
f A (x)    =

## Dengan demikian dari contoh 1 tersebut di atas, A dapat ditulis
A =  {(Januari, 0), (Februari, 0), (Maret, 0), (April,1), (Mei, 0), (Juni, 1), (Juli, 0),
(Agustus, 0,) (September, 1), (Oktober, 0), (Nopember, 1), (Desember, 0) }
Nilai 0 atau 1 dari fungsi karakteristik itu menentukan apakah anggota dari semesta menjadi sebuah anggota sebuah himpunan atau tidak. Selanjutnya bagaimana jika  nilai fungsi  karakteristik diperluas  tidak  hanya  0  atau 1,  tetapi dalam  sebuah interval tertutup [0, 1] ?
Jika nilai dari fungsi karateristik tersebut dalam interval, maka nilai-nilai yang dipasangkan dengan setiap anggota himpunan semesta tersebut menunjukkan derajat keanggotaan dari anggota-anggota yang ditunjuk. Semakin besar nilainya semakin tinggi derajat keanggotaannya dalam suatu himpunan. Fungsi karak_ teristik yang memasangkan setiap anggota semesta dengan nilai f A (x) disebut fungsi keanggotaan dan himpunan yang didefinisikan  dengan  fungsi  karateristik tersebut dinamakan Himpunan Kabur
Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19
(Fuzzy Set) . Secara umum : Misalkan S himpunan semesta. Fungsi keanggotaan f A dari himpunan kabur A didefinisikan  sebagai  f A :  S M, dengan M interval dari bilangan real tertentu, sedemikian sehingga A = { (x, f A (x) ) | x ϵ S }. Biasanya M = [ 0, 1 ]. Dibaca  : A adalah himpunan yang anggotanya x dengan derajat keanggotaan f A (x). x anggota S. Dalam hal ini dapat dijelaskan bahwa suatu x ϵ S dikatakan :
a.  bukan anggota A, jika f A (x) = 0 b. anggota A dengan serajat keanggotaan yang rendah, jika f A (x)  0 c. anggota A dengan serajat keanggotaan yang tinggi, jika  f A (x)
d. anggota A seutuhnya, jika  f A (x) =1  (Maman A. Djauhari. 1994)

## Operasi-Operasi Himpunan Bagian Kabur
Operasi-operasi himpunan bagian sederhana seperti Komplemen, gabungan, dan irisan dapat dinyatakan melalui fungsi karakteristik. Demikian juga operasi- operasi antar himpunan bagian kabur. Sebelum membahas operasi-operasi gabungan, irisan, dan komplemen, terlebih dahulu akan dibahas tentang himpunan kosong, himpunan bagian kabur, dan kesamaan himpunan.
Misalkan S himpunan semesta 1.  Suatu himpunan kabur A dikatakan kosong jika dan hanya jika untuk setiap x ϵ S, nilai fungsi keanggotaan A , yaitu  f A (x)  =  0.
2.  Jika derajat keanggotaan setiap elemen S dalam himpunan kabur A kurang dari atau sama dengan derajat
keanggotaan himpunan kabur, maka A dikatakan himpunan bagian (subset) dari B. Notasinya : A Ϲ B ↔    f A (x)    ≤ f B (x),    x ϵ S 3.  Himpunan  kabur A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika dan hanya jika  f A (x)  =  f B (x)  untuk setiap x anggota S. Notasinya : A = B ↔    f A (x)  = f B (x),     x ϵ S 4.  Himpunan kabur A dikatakan himpunan bagian sejati (proper subset) dari B, jika A himpunan bagian kabur dari B dan keduanya tidak sama. Notasinya : A Ç B ↔ A Ϲ B,  A B (Tatag Yuli Eko S, 1998)
Contoh 2 : Misalkan  S menyatakan usia mannusia dalam  tahun, yang  ditenttukan   S  = { 5, 10, 20, 30, 40, 50, 60 70, 80 }. Himpunan kabur-himpunan kabur A,B,C dan D menyatakan kategori- kategori bayi, dewasa, muda dan tua. Derajat keanggotaan dari himpunan kabur-himpunan kabur tersebut dinyatakan dalam tabel berikut  :
Usia A (Bayi) B (Dewasa) C (Muda) D (Tua) 5 0 0 1 0 10 0 0 1 0 20 0 0,8 0,8 0,1 30 0 1 0,5 0,2 40 0 1 0,2 0,4 50 0 1 0,1 0,8 60 0 1 0 0,8 70 0 1 0 1 80 0 1 0 1
Dari contoh  2 di atas, maka (1) A merupakan himpunan kosong, karena f A (x)  =  0, untuk setiap x ϵ S.
(2) D Ϲ B, karena  f D (x)  ≤  f B (x),    x ϵ S. dengan demikian dapat diartikan bahwa orang tua merupakan bagian dari orang dewasa. Lebih lanjut D merupakan himpunan bagian sejati dari B.
(3) Dari himpunan A, B, C dan D tidak ada sebuah himpunan yang sama dengan yang lainnya.

## Komplemen
Komplemen dari suatu himpunan bagian kabur A diberi symbol A C . Sedangkan A C menyatakan komplemen dari himpunan sederhana A. Pada teori himpunan sederhana, A C didefinisikan melalui fungsi karakteristik f A c sebagai berikut  :      f A c (x)  = 1  - f A (x)  untuk setiap x ϵ S.
Sejalan dengan definisi ini, maka A C didefinisikan  melalui  fungsi  keanggotaan f A sebagai berikut :  f A c (x)  = 1  - f A (x) untuk setiap x ϵ S.
Berdasarkan definisi ini, maka sifat ini terpenuhi :
[ A C ] C = A sebab  f [ A C ] C (x) = 1 – f A (x) = 1 – { 1 – f A (x)} =  f A (x). Contoh 3 : Misalkan himpunan semesta S = { a, b, c, d, e, f, g, h }. A Ϲ S dan
B Ϲ S dengan
A = {(a|0,13), (b|0,61), (c|0), (d|0),
(e|1), (f|0,06), (g|0,5),(h|0)},
B = {(a|0,87), (b|0,49), (c|1), (d|1), (e|0), (f|0,98), (g|0,4), (h|1)}.
a.  Tentukan A C , b. apakah A C Ϲ B ?

## Penyelesaian :
a.  Karena f A c (x)  = 1  – f A (x) untuk setiap x ϵ S, maka f A c (a) = 1 –  f A (a)  =  1 – 0,13 = 0,87; f A c (b) = 1 –  f A (b)  =  1 – 0,61 = 0,39;
f A c (c) = 1 –  f A (c)  =  1 – 0 = 1; f A c (d) = 1 –  f A (d)  =  1 – 0 = 1; f A c (e) = 1 –  f A (e)  =  1 – 1 = 0; f A c (f) = 1 –  f A (f)  =  1 – 0,06 = 0,94; f A c (g) = 1 –  f A (g)  =  1 – 0,5 = 0,5; f A c (h) = 1 –  f A (h)  =  1 – 1 = 0. Jadi A C = {{(a|0,87), (b|0,39), (c|1), (d|1), (e|0), (f|0,94), (g|0,5), (h|0)}.
b.  Jika dibandingkan f A c dan dan f B , diperoleh  f A c (a)  =  f B (a);   f A c (b)    f B (b); f A c (c) = f B (c);  f A c (d) = f B (d); f A c (e) = f B (e);  f A c (f)    f B (f); f A c (g) = f B (g); f A c (h) = f B (h).
Ternyata ada x sedemikian hingga
f A c (x)     f B (x) . Jadi A C Ϲ B.

## Irisan (Intersection)
Misalkan S himpunan semesta , A dan B adalah dua himpunan bagian kabur dari S.
Jika A dan B dua himpunan bagian sederhana dari S, yang dimaksud dengan Irisan dari A dan B ditulis  : A B adalah himpunan bagian kabur yang memiliiki fungsi keanggotaan  :
f A∩B (x)  = min { f A (x), f B (x)}
Definisi ini merupakan definisi standar dari  irisan kabur.
Artinya, f A∩B (x)  = yang terkecil diantara f A (x) dan f B (x). dan dapat pula A
Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19
B dinyatakan dengan f A∩B (x)  = [f A (x) , f B (x)],
Contoh 4 : Himpunan semesta S  = { a, b, c, d, e, f } dan A Ϲ S, B Ϲ S didefinisikan sebagai berikut :
A = {(a|0,2), (b|0,7), (c|1), (d|0), (e|0,5), (f|0,2)}
B = {(a|0,5), (b|0,3), (c|1), (d|0,1), (e|0,5), (f|0,3)}.
Tentukanlah : A B !
Penyelesaian : Dihitung dulu  min { f A (x), f B (x)} untuk setiap  x ϵ S. min { f A (a), f B (a)} =  min {0,2 ; 0,5} =  0,2 =  f A ∩ B (a) min { f A (b), f B (b)} =  min {0,7 ; 0,3} =  0,3 =  f A ∩ B (b) min { f A (c), f B (c)} =  min {1 ; 1} =  1  =  f A ∩ B (c) min { f A (d), f B (d)} =  min {0 ; 0,1} =  0  =  f
A ∩ B (d) min { f A (e), f B (e)} =  min {0,5 ; 0,5} =  0,5 =  f A ∩ B (e) min { f A (f), f B (f)} =  min {0,2 ; 0,3} =  0,2 =  f A ∩ B (f)
Jadi A B  = {(a|0,2), (b|0,2), (c|1), (d|0), (e|0,5), (f|0,2)}
Definisi  secara  umum  dijelaskan sebagai berikut Irisan dua himpunan kabur
A dan B dinyatakan dengan fungsi i  : [0,1]     [0,1]     [0,1] untuk setiap x anggota himpunan semesta. Fungsi ini menyatakan bahwa pasangan derajat keanggotaan elemen x dalam himpunan kabur A dan B menghasikan derajat keanggotaan x dalam irisan A dan B.
Dengan demikian derajat keanggotaan
dari sebuah elemen dalam A B adalah f A∩B (x)  =  { f A (x), f B (x)}  (Tatag Yuli Eko

## S, 1998).

## Gabungan (Union)
Misalkan S himpunan semesta , A dan B adalah dua himpunan bagian kabur dari S.
Jika A dan B dua himpunan bagian sederhana dari S, yang dimaksud dengan Gabungan dari A dan B ditulis  : A B adalah himpunan bagian kabur yang memiliiki fungsi keanggotaan  :
f A ∪ B (x)  = maks { f A (x), f B (x)}
Definisi ini juga merupakan definisi standar dari gabungan kabur.
Artinya, f A ∪ B (x)  =  yang terbesar diantara f A (x) dan f B (x), dan dapat pula A  B  dinyatakan dengan f A ∪ B (x)  =  [f A (x) ,  f B (x)].
Contoh 5 : Himpunan semesta S  = { a, b, c, d, e, f } dan A Ϲ S, B Ϲ S didefinisikan sebagai berikut A = {(a|0,2), (b|0,7), (c|1), (d|0), (e|0,5), (f|0,2)}
B = {(a|0,5), (b|0,3), (c|1), (d|0,1), (e|0,5), (f|0,3)}.
Tentukanlah : A ∪ B !
Penyelesaian : Dihitung dulu maks { f A (x), f B (x)} untuk setiap  x ϵ S. maks { f A (a), f B (a)} =  maks {0,2 ; 0,5} =  0,5  = f A ∪ B (a)
maks { f A (b), f B (b)} =  maks {0,7 ; 0,3} =  0,7  = f A ∪ B (b)
maks { f A (c), f B (c)} =  maks {1 ; 1} =  1  = f A ∪ B (c)
maks { f A (d), f B (d)} =  maks {0 ; 0,1} =  0,1  = f A ∪ B (d)
maks { f A (e), f B (e)} =  maks {0,5 ; 0,5} =  0,5  = f A ∪ B (e)
maks { f A (f), f B (f)} =  maks {0,2 ;
0,3} =  0,3  = f A ∪ B (f)
Jadi A  B = {(a|0,5), (b|0,7), (c|1), (d|0,1), (e|0,5), (f|0,3)}.
Definisi gabungan yang lebih umum dijelaskan sebagai berikut :
Gabungan dari dua himpunan kabur A dan B , secara umum dinyatakan dengan fungsi
u  : [0,1]     [0,1]     [0,1]  untuk setiap x anggota himpunan semesta. Fungsi ini menyatakan bahwa pasangan derajat keanggotaan dari elemen x dalam himpunan kabur A dan B menghasikan derajat keanggotaan x dalam gabungan A dan B. Dengan kata lain f A ∪ B (x)  = [ f A (x) , f B (x)],

## Indek Kekaburan
Indeks kekaburan dari suatu himpunan bagian kabur didasarkan pada Jarak Hamming dan Jarak Euclides antara himpunan bagian kabur tersebut dan himpunan bagian sederhana yang terdekat. Oleh karena itu pada pembahasan berikut terlebih dahulu akan dibahas Jarak Hamming dan Jarak Euclides. Kemudian Himpunan Bagian Sederhana yang terdekat ke Himpunan Bagian Kabur dan Indeks Kekaburan.

## Jarak Hamming dan Jarak Euclides
Misalkan
S  =  { x 1 , x 2 , x 3 , …, x n } , A Ϲ S  dan B Ϲ S. Jarak Hamming antara A dan B, diberi notasi  d (A , B ) didefinisikan sebagai berikut :
d (A , B )  = f A (x)  -  f B (x)}|
Selanjutnya, Jarak Euclides antara A dan B, diberi notasi  d (A , B ) didefinisikan sebagai berikut :
e. (A, B )  =
Berdasarkan  definisi  tersebut  di atas,  dan  mengingat  bahwa  f A (x i ),  dan f B (x i ) x ϵ [0,1] .  Maka keddua jarak tersebut memiliki sifat sebagai berikut  :
0  ≤  d (A , B )  ≤  n dan
0 ≤  e (A , B )  ≤
( i). d (A , B )   =  0  =  e (A , B )  jika dan hanya jika A = B ( ii). d (A , B )   =  n  atau   e (A , B ) =     jika dan hanya jika A = Φ dan B = S atau A = S, dan B = Φ, (dan A,  B himpunan sederhana) (Setiadji, 2009)
Jadi jarak maksimum dari d (A , B ) dan juga dari  e (A , B ) tergantung pada n. Oleh karena itu, untuk mengukur jarak antara A dan B seringkali digunakan Jarak Hamming Relatif δ (A , B )  dan Jarak Euclides Relatif  ε (A , B )  sebagai brikut  :
δ (A , B )  =     d (A , B )  = f A (x)  -  f B (x) |
Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19
ε (A , B )  =     e (A , B )  =
Dengan demikian berlaku  :
0 ≤  δ (A , B )  ≤  1
dan
0   ≤  ε (A , B )  ≤  1
Catatan : Banyak alat yang dapat digunakan untuk mengukur jarak antara dua objek. Alat yang digunakan harus disesuaikan dengan kebutuhan. Untuk mengukur jarak dua himpunan kabur A dan B digunakan d, e, δ, ε.
Contoh 6  : Misalkan S  =  { a, b, c, d, e, f, g }.
A = {(a|0,7), (b|0,2), (c|0), (d|0,6), (e|0,5), (f|1), (g|0)}
B = {(a|0,2), (b|0), (c|0), (d|0,6), (e|0,8), (f|0,4) (g|1)}.
Hitunglah : a). d (A , B ),  b). δ (A , B ),  c). e (A , B ),  d).  ε (A , B ) Penyelesaian  :
a.  d (A , B ) = |0,7 – 0,2|  +  |0,2 – 0|  + |0 – 0|  +  |0,6 – 0,6|  +  |0,5 – 0,8|  +  |1 –
0,4|  +  |0 – 1|  =  0,5  +  0,2  +  0  +  0  +
0,3  +  0,6  +  1   =  2,6
b.  δ (A , B ) = d (A , B ) = (2,6) =  0,37 c.   e 2 (A , B ), = { e (A , B )} 2 = (0,7 – 0,2) 2 + (0,2 – 0) 2 +  (0 – 0) 2 +  (0,6 – 0,6) 2 +  (0,5 – 0,8) 2 +  (1 – 0,4) 2 +
(0 – 1) 2
=  0,25  +  0,4  +  0  +  0  +  0,09  +  0,36
+  1   =  2,1
Jadi e (A , B )  = =  1,45
d.  ε (A , B )  = e (A , B )   = ( 2,1)  = 0,79
Pemb ahasan tersebut di atas hanya berlaku untuk himpunnan semesta S yang berhingga S  =  { x 1 , x 2 , x 3 , …, x n } .  Bagaimana jika S berupa himpunan bagian bilangan real ?
(i)  Bila  S  =  R.  Dalam hal ini,
d (A , B )  = dan e (A , B )  =
dengan catatan kedua integral tersebut memiliki harga yang tak berhingga.
(ii) Bila  S  =  [a ,b].  Misalkan  S  =  [a ,b]. dengan . Jadi S berupa interval terbatas.
Dalam hal ini,
d (A , B )  = dan e (A , B )  = δ (A , B )  = , d (A , B ) dan
ε (A , B )  = , e (A , B )
(Setiadji, 2009)
Contoh 7 : Diketahui   S  =  [0, 3]  Ϲ R, A Ϲ S  dan B Ϲ S, dengan f A (x)  = x 2 , x ϵ S dan f B (x)  = (x – 2), , x ϵ S . Hitunglah : a) d (A , B ), b). δ (A ,
B ),  c). e (A , B ),  d).  ε (A , B )
Penyelesaian : a)  d (A , B )  = = = =  9,375. b). δ (A , B )  = d (A , B )  = 9,375  =  3,125. c). e (A , B ) = dx
= dx = = =  6,91 d).  ε (A , B )   = . e (A , B )   = . 6,91  =  3,91 (Setiadji, 2009)

## Indeks Kekaburan :
Pengertian himpunan bagian kabur A membawa kita pada permasahan berikut. Himpunan bagian sederhana manakah yang paling dekat ke ? Misalkan A menyatakan himpunan bagian sederhana yang paling dekat ke A.  Dapat ditunjukkan bahwa A memiliki fungsi karakteristik sebagai berikut
f A ( x)  =
A  =  yang diberi garis tebal (M.A. Djauhari, 1994).

## Contoh 8  :
Misalkan S  =  { a, b, c, d, e, f, g }.
A = {(a|0,2), (b|0,8), (c|0,5), (d|0,3),
(e|1), (f|0), (g|0,9)}
Tentukanlah  A ! Penyelesaian :
f A (a)  =  0  sebab  f a (a) =  0,2  <  0,5 f A (b)  =  1  sebab  f a (b) =  0,8  >  0,5 f A (c)  =  1  sebab  f a (c) =  0,5 f A (d)  =  0  sebab  f a (d) =  0,3  <  0,5 f A (e)  =  1  sebab  f a (e) =  1 f A (f)  =  0  sebab  f a (f)  =  0
f A (g)  =  1  sebab  f a (g) =  0,9  >  0,5
Jadi A  = {(a|0), (b|1), (c|1), (d|0),
(e|1), (f|0), (g|1)}
Atau,  A = { b, c, e, g }.
Contoh 9 : Misalkan S = [0,2] Ϲ R dan B Ϲ S  yang
mana f B (x) = (x – 2) 2 , x ϵ S.
Tentukan B ! Penyelesaian :
f B (x) berupa parabola seperti terlihat pada gambar di bawah ini. f B (x) fungsi turunandi  interval [0, 2].
11
1
α                    0                                                          β A  =  yang diberi garis tebal.  ( Maman A. Djauhari, 1994 ).
Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19
B  =  yang digaris tebal
Selanjutnya  dicari  harga  x ϵ [0, 2]
yang  memenuhi  f B (x)  = atau (x – 2) 2 = Persamaan ini dapat dituliskan sebagai berikut  :
(x – 2) 2 =  2 atau x – 2  =  ±
atau   x  = 2  ± Karena x ϵ [0, 2] maka harga x yang memenuhi persamaan f B (x) = adalah x = (2– ). Jadi   B  memiliki fungsi karakteristik f B (x)  =
Atau  B  =  [ 0, ]
Berdasarkan pengertian himpunan bagian sederhana A yang terdekat ke suatu himpunan kabbur A didefinisikan Indeks Kekaburan dari a ke A.  Jika digunakan jarak Hamming maka Indeks Kekaburan dari A disebut Indeks Kekaburan Linear dan disimbolkan dengan  ὺ ( A ).  Sedangkan
Jika digunakan Jarak Euclids maka disebut
Indeks Kekaburan Kuadratik disimbolkan dengan  ὴ  ( A ).  Kedua indeks tersebut didefinisikan sebagai berikut  : (1)  Dalam hal ini  S  =  { x 1 , x 2 , x 3 , …, x n } , ὺ ( A ) dan ὴ ( A ) didefinisikan sebagai berikut
ὺ ( A )  =    d ( A, A)  dan ὴ ( A )  =     e ( A, A). Dari  definisi  ini,  maka  kedua indeks tersebut memiliki sifat :
0    ὺ ( A )     1 dan  0    ὴ ( A )   1
Contoh 10 : Misalkan  S  =  { a, b, c, d, e, f, g }.
A = {(a|0,2), (b|0,8), (c|0,5), (d|0,3), (e|1), (f|0), (g|0,9)} Hitunglah ὺ ( A )  dan   ὴ ( A ) !
Penyelesaian : Diketahui A = {(a|0,2), (b|0,8), (c|0,5), (d|0,3), (e|1), (f|0), (g|0,9)} Diperoleh  A  = {(a|0), (b|1), (c|1), (d|0), (e|1), (f|0), (g|1)},  sehingga
d ( A, A)  = + + + + + = 0,2 +  0,2  +  0,5  + 0,3 +  0  +  0  + 0,1  =  1,3 e 2 ( A, A) = (0,2 – 0) 2 + (0,8 – 1) 2 + (0,5 – 0) 2 + (0,3 – 0) 2 + (1 – 1) 2 + (0 – 0) 2 + (0,9 – 1) 2 =  0,04  +  0.04  +  0,25  +  0,09  +  0 + 0  +  0,01  =  0,43.
Akibatnya  :
e ( A, A)  = =  0,66
dan  ὺ ( A )  = d ( A, A)  = (1,3)
=  0,37
ὴ ( A )  = e ( A, A)  = =  0,35 12
Jadi A  = {(a|0), (b|1), (c|1), (d|0), (e|1), (f|0), (g|1)} Atau,  A = { b, c, e, g }.
Tentukan B ! Penyelesaian :
f B (x)  berupa parabola seperti terlihat pada gambar di bawah ini. f B (x) fungsi turunan di interval [0, 2].
1
f B (x)
0                            1                         2 B  =  yang digaris tebal
(2)   Dalam hal  [ ],
,    maka    ὺ  ( A )  dan  ὴ  ( A ) didefinisikan sebagai  berikut:
ὺ ( A ) = . d ( A, A)  =
| f A (x) – f A (x) | dx.
ὴ ( A )   = . e ( A, A)  =
dx
Dalam hal ini juga berlaku sifat  :
0    ὺ ( A )     1   dan  0    ὴ ( A )   1.
Contoh 11 : Misalkan  S  =  [ 0, 1]  Ϲ R dan A Ϲ S  yang mana f A (x)  =  x /  x ϵ S.
Hitunglah  ὺ ( A ) dan ὴ ( A )  !
Penyelesaian : Tentukan dulu A, dengan menentukan harga x yang memenuhi persamaan
f A (x) = . Karena =  f A (x)  =  x  maka yang memenuhi persamaan tersebut
adalah  x  =     Selanjutnya karena   f A (x) adalah fungsi naik, maka :
f A (x) =
Sekarang dihitung d ( A, A) dan e ( A, A). |
d ( A, A)  = | f A (x) – f A (x)  |  dx = dx  + dx = dx  + dx   =
x 2 ]   +  x ]         x 2 ]
=      +  1              +       =
e 2 ( A, A)  = f A (x) – f A (x) } 2 dx = 2 dx  + 2 dx = 2 dx  + 2 dx
= x 3 ]   +  ( x 3 x 2 +  x ) ] =      + +   1 +      = =       +              =

## SIMPULAN
Dari pembahasan materi ini dapat dicatat bahwa operasi-operasi himpunan kabur, yaitu komplemen, gabunga dan irisan masing-masing mempunyai definisi standar sebaagai berikut.
f A c (x)  = 1  - f A (x)
f A∩B (x)  = min { f A (x), f B (x)} f A ∪ B (x)  = maks { f A (x), f B (x)}
Pendefisinian  yang  lebih  umum  dari operasi-operasi tersebut menggunakan suatu fungsi. Agar suatu fungsi dikategorikan sebagai komplemen, irisan dan gabungan kabur, maka fungsi-fungsi tersebut harus memenuhi aksioma-aksioma yang ada. Selain itu ada beberapa sifat yang dimiliki operasi-operasi tersebut.
Operasi-operasi himpunan kabur ini merupakan sebagian kecil dari materi himpunan kabur, sehingga untuk mengenal himpunan kabuur secara utuh memerukan lebih banyak waktu lagi. Namun demikian, dengan mempelajari yang sedikit ini kita tertantang dan tertarik untuk belajar dan mendalaminya lebih lanjut.
Suluh Pendidikan, 2018, 16 (1): 9—19
UCAPAN TERIMA KASIH
Terima kasih disampaikan kepada Ketua Dewan Redaksi dan seluruh anggota penyunting Jurnal Suluh Pendidikan IKIP Saraswati yang telah menerima dan mengedit artikel ini sehingga layak untuk diterbitkan.

## DAFTAR PUSTAKA
Djauhari,  Maman A., 1994, Himpunan Kabur, Universitas Terbuka, Jakarta.
Klir,  G. J.  1988, Fuzzy Set, Uncertainty and  Information,  Prentice  Hall, Englewood Cliffs,    New Jersey.
Setiadji, 2009, Himpunan & Logika Samar, Graha Ilmu, Yogyakarta.
Soedjadi, R., 1995,  Mengawali pengajaran Pengenalan Graph,  Makalah Seminar Pendidikan Matematika, FPMIPA IKIP Surabaya. Tanggal 23 Desember 1995.
Yuli Eko.S.,Tatag, 1998, Oprasi Himpunan Kabur, Makalah Seminar Pendidikan Matematika,
Program Pasca Sarjana IKIP Surabaya.