Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 17, No. 2, Desember 2020, 97-109 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v17i2.4462

## Teorema Terkait Teknik Perhitungan Integral Garis Lebesgue- Hausdorff atas Kurva Sederhana
Ahmad Lazwardi 1 *, Rahmatya Nurmeidina 2
1,2 Affiliasi; Jl.H.Syarkawi Banjarmasin
1,2,3 Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Banjarmasin e-mail:lazwardiahmad@gmail.com
Diajukan:6 Nopember 2018,  Diperbaiki: 6 Desember 2020, Diterima:12 Desember 2020

## Abstrak
Penelitian ini bertujuan untuk mengkonstruksi beberapa teorema penting untuk teknik integrasi dari integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  yang  merupakan  generalisasi  dari  integral  garis  biasa.  Hasil  dari penelitian  ini  adalah  beberapa  teorema  yang  bersifat  teknis  yang  bisa  diaplikasikan  dalam  menentukan nilai integral garis Lebesgue-Hausdorff dari beberapa fungsi.
Kata Kunci : Integral Garis Lebesgue Hausdorff, Ukuran Hausdorff,

## Abstract
This  research  was  purposed  to  construct  an  integration  technique  involving  Lebesgue-Hausdorff line  integration  which  is  as  generalization  of  usual  line  integral.  The  result  of  this  research  is    some theorems  which  technically  able  to  determine  the  value  of  Lebesgue-Hausdorff  line  integral  of  some functions .
Keywords : Lebesgue-Hausdorff line Integral, Hausdorff measure.

## 1 Pendahuluan
Ukuran  Hausdorff  dan  dimensi  Hausdorff  merupakan  konsep  yang  penting  dalam  kasus geometri  fractal  seperti  pergerakan  Brownian  [1].    Istilah  ukuran  Hausdorff  mengacu  pada definisi berikut:
Definisi 1 [2] Diberikan 𝑬 ⊂ ℝ 𝟐 , 𝒔 ∈ ℝ , ukuran Hausdorff dari himpunan E didefinisikan sebagai
             i i i s i s U E U U E H  : : inf lim ) ( 1 0   dimana i U adalah diameter i U .
Untuk fungsi real dua variabel definisi keterukuran fungsi berdasarkan ukuran Hausdorff masih  analog  dengan  definisi  keterukuran  fungsi  berdasarkan  ukuran  Lebsegue,  sehingga sifatnya tidak banyak berbeda. Meskipun demikian, hal yang perlu diperhatikan adalah dimensi
Hausdorffnya  yang  melahirkan  beberapa  sifat-sifat  khusus.  Berikut  adalah  definisi  keterukuran fungsi.
Definisi  2 [3] Diberikan  bilangan s  dengan 0 ≤ 𝑠 ≤ 2 dan  fungsi 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ . Fungsi f dikatakan  terukur  s-Hausdorff  jika  untuk  setiap  himpunan  terbuka R O  berlaku ) ( 1 O f  terukur s-Hausdorff.
Teorema di atas berakibat langsung bahwa setiap fungsi kontinu terukur s- Hausdorff berapapun nilai s .
Lemma 3 [4] Diberikan fungsi 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ . Pernyataan berikut ekuivalen:
(i) Untuk setiap R   berlaku )) , (( 1    f terukur s-Hausdorff.
(ii) Untuk setiap R   berlaku )) , ([ 1    f terukur s-Hausdorff.
(iii)Untuk setiap R   berlaku )) , (( 1    f terukur s-Hausdorff.
(iv) Untuk setiap R   berlaku ]) , (( 1    f terukur s-Hausdorff.
Definisi  keterukuran  fungsi  di  atas  memberikan  konsekuensi  langsung  berupa  teorema berikut
Teorema  4 [4] Fungsi 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ terukur  s-Hausdorff  jika  dan  hanya  jika  untuk  setiap R   , himpunan )) , (( 1    f terukur s-Hausdorff.
Teorema  selanjutnya  merupakan  fakta  penting  untuk  menjamin  eksistensi  integral  garis Lebesgue-Hausdorff.
Teorema 5 [4] Diberikan kurva 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan fungsi 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ sehingga peta dari 𝜑 termuat  di  E.  Jika  f  terukur  1-Hausdorff    maka  restriksinya  pada  peta  kurva 𝜑 terukur  1- Hausdorff.
Bukti:  Karena f terukur  1 - Hausdorff  maka  untuk  setiap  himpunan  terbuka O berlaku ) ( 1 O f  terukur 1-Hausdorff.  Diperhatikan restriksi fungsi f pada peta kurva 𝜑 , yaitu  ] , [ : ] , [ b a f b a  
ℝ dengan  sifat ) , ( ) , ( ] , [ y x f y x f b a   untuk  setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝜑[𝑎, 𝑏] .  Diambil  sebarang himpunan terbuka O pada ℝ . Karena ukuran Hausdorff adalah ukuran Borel (tidak tergantung s ) maka ] , [ ) ( ) ( 1 1 ] , [ b a O f O f b a       himpunan  terukur  1-Hausdorff.  Jadi  restriksinya  pada  peta
kurva 𝜑 terukur 1-Hausdorff.

## Ahmad Lazwardi, Rahmatya Nurmeidina
Selanjutnya didefinisikan fungsi karakteristik dari suatu himpunan E ⊂ ℝ 2 .
Definisi 6 [4] Diberikan himpunan E ⊂ ℝ 2 . Didefinisikan fungsi karakteristik E sebagai
𝜒 𝐸 : ℝ 2 ⟶ ℝ
dengan
𝜒 𝐸 (𝑥, 𝑦) = { 1,     (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 0,      (𝑥, 𝑦)   ∉ 𝐸
Mudah  dibuktikan  bahwa  keterukuran  fungsi  karakteristik  berlaku  jika  hanya  jika  support  nya terukur Hausdorff.
Teorema berikut menjelaskan tentang sifat-sifat dari invariansi fungsi terukur Hausdorff.
Teorema 7 [4] Diberikan E himpunan terukur s-Hausdorff. Jika 𝑓, 𝑔 ∶  𝐸 ⊂ ℝ 2 ⟶  ℝ terukur s- Hausdorff dan c ∈  ℝ , maka f + c, cf, f + g, g –  f dan fg terukur s-Hausdorff.
Catatan: dalam hal ini fungsi c didefinisikan sebagai 𝑐(𝑥, 𝑦) = 𝑐 untuk setiap (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐸 .
Teorema 8 [4] Diberikan  barisan  fungsi  terukur  s-Hausdorff  dan  koleksi  fungsi  { 𝑓 𝑛 : 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ} berlaku n f f sup *  dan n f f inf *  terukur s-Hausdorff .
Teorema  berikutnya  adalah  teorema  yang  sangat  penting  dalam  mempermudah perhitungan nilai integral Lebesgue-Hausdorff.
Teorema  9 [4] Diberikan  fungsi 𝑓, 𝑔: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ dan  f  terukur  s-Hausdorff.  Jika 𝑓 = 𝑔 a.e maka g terukur s-Hausdorff .
Bukti:
Misalkan A = {(𝑥, 𝑦) ∈ E: 𝑓(𝑥, 𝑦) ≠ 𝑔(𝑥, 𝑦)} . Karena 𝑓 = 𝑔 a.e pada E , maka 𝐻 𝑠 (𝐴) = 0 . Diambil sebarang 𝛼 ∈ ℝ . Diperoleh bahwa
{𝑥 ∈ 𝐸| 𝑔(𝑥) > 𝛼} = [ {𝑥 ∈ 𝐸| 𝑓(𝑥) > 𝛼}   ∪ {𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) > 𝛼}] −  {𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) ≤ 𝛼}
Karena 𝑓 terukur s- Hausdorff maka {𝑥 ∈ A| 𝑔(𝑥) > 𝛼}
Karena 𝐻 𝑠 (𝐴) = 0 , dan
{𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) > 𝛼} , {𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) ≤ 𝛼}   ⊆ 𝐴
maka, {𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) > 𝛼}  dan  {𝑥 ∈ 𝐴| 𝑔(𝑥) ≤ 𝛼} terukur s- Hausdorff.
Akibatnya, {𝑥 ∈ 𝐸| 𝑔(𝑥) > 𝛼} terukur s- Hausdorff, ∀𝛼  ∈ ℝ.
Jadi terbukti, 𝑔 terukur s- Hausdorff terbukti.
Sebelum  mendefinisikan  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff,  terlebih  dahulu  diberikan definisi fungsi sederhana sebagai berikut.
Definisi  10 [4] Diberikan  E    himpunan  terukur  s-Hausdorff . Suatu  fungsi  real 𝜓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ disebut  fungsi  s-sederhana  jika  ada  berhingga  himpunan  terukur  s-Hausdorff  saling  asing
{𝐸 1 , 𝐸 2 , … , 𝐸 𝑝 } sehingga k p k E E 1    dan berhingga bilangan real berbeda 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑝 sehingga
   p k E k k x a x 1 ) ( 
Selanjutnya  siap  untuk  didefinisikan  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  untuk  kurva  injektif rektifiabel sebagai berikut.
Definisi  11 [4] Diberikan  kurva  injektif  rektifiabel 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan  fungsi  1-sederhana 𝜓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ sehingga
   p k E k k x a x 1 ) ( 
untuk  suatu  himpunan  terukur  1-Hausdorff  saling  asing {𝐸 1 , 𝐸 2 , … , 𝐸 𝑝 } dengan k p k E b a 1 ] , [    
dan bilangan real berbeda 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑝 .
Didefinisikan integral garis  Lebesgue-Hausdorff dari 𝜓 sebagai
    p k E k k H a dH LH
1 1 ) ( ) (   
Karena domain dari fungsi sederhana merupakan gabungan berhingga dari himpunan-humpunan yang  terukur s- Hausdorff  maka  fungsi  sederhana  selalu  terukur s- Hausdorff  untuk 0 ≤ 𝑠 ≤ 2 . Dapat  dilihat  dari  definisi  di  atas,  konsep  fungsi  karakteristik  dan  fungsi  sederhana  dengan domain  kurva  rektifiabel  tidak  jauh  berbeda  dengan  konsep  fungsi  sederhana  secara  umum, hanya saja ukuran yang dipakai adalah ukuran Hausdorff dan domainnya berupa peta kurva.
Perlu  diingat  disini,  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  untuk  sebarang  fungsi  sederhana  pasti eksis  dan  berhingga  mengingat  sifat  subadditif  dari  ukuran  Hausdorff  dan 𝐻 1 (𝜑[𝑎, 𝑏]) = 𝐿(𝜑) < ∞ . Lebih jauh integral garis fungsi sederhana bersifat linear dan naik monoton.
(2) (3) (1)

## Ahmad Lazwardi, Rahmatya Nurmeidina
Teorema  12 [4] (Lemma  Aproksimasi  Fungsi  Sederhana) Diberikan 0 < 𝑠 ≤ 2 dan  fungsi terukur  s-Hausdorff 𝑓: 𝐸 ⊂ ℝ 2 → ℝ .  Jika  f  terbatas  maka  untuk  setiap 𝜀 > 0 ada  fungsi  s- sederhana 𝜁 𝜀 dan 𝜓 𝜀 sehingga 𝜁 𝜀 ≤ 𝑓 ≤ 𝜓 𝜀 dan 𝜓 𝜀 −𝜁 𝜀 < 𝜀 pada E.
Bukti: Karena f terbatas  maka  dapat  dipilih  interval (𝑐, 𝑑) yang  memuat 𝑓(𝐸) .  Diambill sebarang partisi 𝑐 = 𝑦 0 < 𝑦 1 < 𝑦 2 < ⋯ < 𝑦 𝑛 = 𝑑 sehingga 𝑦 𝑖+1 − 𝑦 𝑖 < 𝜀 untuk setiap i . Didefinisikan   1 ,   i i i y y I dan ) ( 1 i i I f E   . Sebagai konsekuensinya diperoleh
i E himpunan terukur s- Hausdorff. Didefinisikan fungsi sederhana
   n i E i i y 0    dan     n i E i i y 0 1    .
Mudah dicek bahwa 𝜁 𝜀 ≤ 𝑓 ≤ 𝜓 𝜀 dan 𝜓 𝜀 −𝜁 𝜀 < 𝜀 pada E .
Selanjutnya  siap  untuk  didefinisikan  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  untuk  fungsi  terukur Hausdorff sebagai berikut:
Definisi  13 [4] (Integral  Garis  Lebesgue-Hausdorff) Diberikan  kurva  injektif 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan fungsi 𝑓: ℝ 2 → ℝ . Didefinisikan Integral Bawah Garis Lebesgue-Hausdorff sebagai:
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = 𝑠𝑢𝑝 {(𝐿𝐻) ∫ 𝜁 𝜑 𝑑𝐻: 𝜁 ≤ 𝑓, 𝜁𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 1 − 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝜑[𝑎, 𝑏]}
Didefinisikan pula Integral Atas Garis Lebesgue-Hausdorff sebagai:
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = 𝑖𝑛𝑓 {(𝐿𝐻) ∫ 𝜓
𝜑 𝑑𝐻: 𝑓 ≤ 𝜓, 𝜓𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 1 − 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝜑[𝑎, 𝑏]}
Fungsi f dikatakan terintegral garis Lebesgue-Hausdorff jika berlaku
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 < ∞
Integral garis Lebesgue-Hausdorff didefinisikan sebagai
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻
Teorema berikut menjelaskan tentang suatu syarat cukup yang menjamin eksistensi integral garis Lebesgue-Hausdorff.
Krzysztof menjelaskan dalam papernya bahwa setiap  kurva rektifiabel terukur  1-Hausdorff  [5].
Teorema  berikut  menjelaskan  lebih  lanjut  terkait  hubungan  antara  kurva  terukur  dengan  fungsi terukur 1-Hausdorff.
(4)
(5) (6)
102

## Teorema Terkait Teknik Perhitungan Integral Garis Lebesgue-Hausdorff atas Kurva Sederhana
Teorema  14 [4] Diberikan  kurva  injektif 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan  fungsi  terbatas 𝑓: ℝ 2 → ℝ .  Jika fungsi f terukur 1-Hausdorff  pada 𝜑[𝑎, 𝑏] maka f terintegral garis Lebesgue-Hausdorff.
Bukti: Andaikan f terukur  1-Hausdorff  pada 𝜑[𝑎, 𝑏] maka  untuk  setiap  bilangan  asli n dapat dipilih fungsi 1-sederhana
   n i E i n i y 0   dan     n i E i n i y 0 1   .
sehingga 𝜁 𝜀 ≤ 𝑓 ≤ 𝜓 𝜀 dan 𝜓 𝜀 −𝜁 𝜀 < 1 𝑛 pada 𝜑[𝑎, 𝑏] . Akibatnya
n b a H E H y y LH LH n i i i i n n ]) , [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 1 0 1 1               
akibatnya
n b a H dH LH dH LH n n ]) , [ ( ) sup( ) inf( 0 1      
    untuk setiap n
Dengan membuat n membesar menuju tak hingga diperoleh
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 .
Sebelum membahas tentang kurva sederhana, terlabih dahulu dibahas tentang suatu contoh dari kurva  sederhana  yang  sangat  penting,  yaitu  simpul  (loop).  Simpul  adalah  kurva  yang  tidak mengandung  potongan  dan  titik  awalnya  sama  dengan  titik  ujungnya.  Secara  matematis dijelaskan sebagai berikut.
Definisi 15 Suatu kurva 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 disebut simpul jika ) ( ) ( b a    .
Diperhatikan  hal  berikut  untuk  suatu  simpul 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 .  Diperhatikan  hal  berikut,  interval ( a,b ]  bisa  dituliskan  sebagai             b n m a b a n m , ] , ( 1 1 dengan        b n m a , jika b n m a   .
Akibatnya                   b n m a b a n m , ] , ( 1 1   sehingga  restriksi  kurva 𝜑 pada      b n m a , injektif
asalkan        b n m a , .  Selanjutnya  karena 𝜑[𝑎, 𝑏] = 𝜑(𝑎, 𝑏] ∩ 𝜑({𝑎}) 𝑐 dan 𝐻 1 (𝜑({𝑎})) = 0
maka ] , [ b a  terukur  Hausdorff.  Dengan  fakta  ini,  bisa  diperluas  cakupan  integral  Lebesgue- Hausdorff untuk simpul.
Definisi  16 Suatu  kurva 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dikatakan  sederhana  jika  restriksinya  pada ( a,b ) merupakan pemetaan injektif .
Dari definisi di atas sudah jelas bahwa setiap simpul dan kurva injektif adalah kurva sederhana.
(7)
(8)
(9)
(10)
Definisi 17 [4] Diberikan kurva sederhana 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan fungsi 1-sederhana 𝜓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ sehingga
   p k E k k x a x 1 ) ( 
untuk  suatu  himpunan  terukur  1-Hausdorff  saling  asing {𝐸 1 , 𝐸 2 , … , 𝐸 𝑝 } dengan k p k E b a 1 ] , [    
dan bilangan real berbeda 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑝 .
Didefinisikan integral garis  Lebesgue-Hausdorff dari 𝜓 sebagai
    p k E k k H a dH LH
1 1 ) ( ) (    .
Selanjutnya  siap  untuk  didefinisikan  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  untuk  fungsi terukur Hausdorff sebagai berikut:
Definisi 18 [4] (Integral Garis Lebesgue-Hausdorff) Diberikan kurva sederhan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 dan  fungsi  yang  restriksinya  pada 𝜑[𝑎, 𝑏] terukur  1-Hausdorff 𝑓: ℝ 2 → ℝ .dan  terbatas  pada 𝜑[𝑎, 𝑏] . Didefinisikan Integral Bawah Garis Lebesgue-Hausdorff sebagai
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = 𝑠𝑢𝑝 {(𝐿𝐻) ∫ 𝜁 𝜑 𝑑𝐻: 𝜁 ≤ 𝑓, 𝜁𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 1 − 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝜑[𝑎, 𝑏]}
Didefinisikan pula Integral Atas Garis Lebesgue-Hausdorff sebagai:
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = 𝑖𝑛𝑓 {(𝐿𝐻) ∫ 𝜓 𝜑 𝑑𝐻: 𝑓 ≤ 𝜓, 𝜓𝑓𝑢𝑛𝑔𝑠𝑖 1 − 𝑠𝑒𝑑𝑒𝑟ℎ𝑎𝑛𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝜑[𝑎, 𝑏]}
Integral garis Lebesgue-Hausdorff didefinisikan sebagai
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻
Lintasan  adalah  perumuman  dari  konsep  kurva.  Dengan  memperumum  konsep  integral Lebesgue-Hausdorff  sehingga  berlaku  pada  sebarang  lintasan,  konsep  integral  Lebesgue- Hausdorff  mempunyai  cakupan  yang  lebih  luas  dari  integral  garis  Riemann.  Untuk melakukannya, terlebih dahulu dibahas konsep lintasan sebagai berikut.
Definisi  19 Diberikan  interval [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ .  Lintasan  pada  [a,b]  adalah  himpunan  berhingga kurva-kurva sederhana
ℳ = {𝜑 𝑖 : [𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖 ] → ℝ ∶ {𝑎 = 𝑥 0 < 𝑥 2 < ⋯ < 𝑥 𝑖 < ⋯ < 𝑥 𝑛 = 𝑏}
(11)
(12) ) (13) (14)
(15)
Dalam  beberapa  pembahasan  dimana  titik  titik  partisi  tidak  diperhatikan,maka  untuk menyederhanakan  penulisan,  cukup  ditulis  lintasan ℳ = {𝜑 1 , 𝜑 2 , . . , 𝜑 𝑛 } pada  [ a,b ]  untuk mewakili definisi di atas.
Definisi 20 Diberikan interval [𝑎, 𝑏] ⊂ ℝ . dan lintasan ℳ = {𝜑 1 , 𝜑 2 , . . , 𝜑 𝑛 } pada [a,b]. Untuk setiap  fungsi  yang  restriksinya  pada ℳ terukur  1-Hausdorff 𝑓: ℝ 2 → ℝ .dan  terbatas  pada ℳ . Didefinisikan Integral Garis Lebesgue-Hausdorff sebagai :
(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 ℳ 𝑑𝐻 = ∑(𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑘 𝑑𝐻 𝑛 𝑘=1

## 2 Metode Penelitian
Metode  penelitian  ini  menggunakan  metode  kajian  pustaka  dengan  tahapan  sebagai berikut.  Pertama  dipelajari  konsep  ukuran  Hausdorff  dan  karakteristiknya  yang  analog  dengan ukuran Lebesgue. Setelah menemukan beberapa kesamaan sifat, dilanjutkan dengan generalisasi sifat  ukuran  Lebesgue  kepada  ukuran  Hausdorff.  Selanjutnya  didefinisikan  integral  garis Lebesgue-Hausdorff  beserta  syarat  cukupnya  untuk  kurva  injektif.  Kemudian  definisi  integral garis Lebesgue-Hausdorff digeneralisasi untuk sebarang kurva sederhana dan sebarang lintasan. Tahap akhir penelitian ini adalah merumuskan teorema-teorema yang bisa dimanfaatkan sebagai teknik integrasi untuk mempermudah perhitunagn integral garis Lebesague-Hausdorff.

## 3 Hasil dan Pembahasan
Pada  subbab  ini  diberikan  beberapa  teori  yang  bisa  mempermudah  perhitungan  nilai Integral  Hausdorff.  Pembahasan  ini  dimulai  dengan  membandingkan  nilai  integral  garis Lebesgue-Hausdorff dengan integral garis biasa. Hal ini dipaparkan dalam teorema berikut.
Teorema 21 Diberikan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 kurva sederhana. Jika f terintegral garis Riemann pada 𝜑[𝑎, 𝑏] maka  f  terintegral  garis  Lebesgue-Hausdorff  pada 𝜑[𝑎, 𝑏] .  Lebih  jauh,  integral  garis Lebesgue-Hausdorff nya sama nilainya dengan integral garis Riemann.
Bukti: Diperhatikan hal berikut.
        
   ] , [ , : ) ( sup ) ( b a pada sederhana fungsi f dH LH fdH LH      
   
        ] , [ } { , , : sup 1 b a sepanjang path I f s s s k n k I k k   
(17)
                 ] , [ ] , ( ], , ( ), ( ) ( ) ( sup 1 1 1 1 b a partisi t t t t t t t dt t dy dt t dx m k k k k k k n k k dengan )) ( ), ( ( inf t y t x f m Jk t k   = ]}) , {( , ( 1 k k t t f U  
Di sisi lain
            ] , [ , : ) ( inf ) ( b a pada sederhana fungsi f dH LH fdH LH                   ] , [ } { , , : inf 1 b a sepanjang path I s f s s k n k I k k                     ] , [ ] , ( ], , ( ), ( ) ( ) ( inf 1 1 1 1 b a partisi t t t t t t t dt t dy dt t dx M k k k k k k n k k dengan )) ( ), ( ( sup t y t x f M Jk t k   = ]}) , {( ; ( 1 k k t t f L   .
Karena f terintegral garis Riemann maka diperoleh
]}) , {( ; ( ]}) , {( ; ( 1 1 k k k k t t f L t t f U      .
Karena hal tersebut berlaku untuk sebarang partisi maka
∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐴 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐻 = ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐴
Dengan ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐴 dan ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐴 berturut-turut adalah integral bawah garis Riemann dan integral atas garis Riemann
Teorema di atas memberikan konsekuensi langsung berupa akibat berikut.
Akibat 22 Diberikan lintasan ℳ = {𝜑 1 , 𝜑 2 , . . , 𝜑 𝑛 } pada [ a , b ] . Jika f terintegral garis Riemann pada ℳ maka f terintegral garis Lebesgue-Hausdorff pada ℳ . Lebih jauh, integral garis Lebesgue-Hausdorff nya sama nilainya dengan integral garis Riemann .
Berdasarkan teorema di atas, dapat disimpulkan teknik integrasi pertama adalah jika suatu fungsi terintegral  garis  Riemann,  maka  cukup  untuk  menghitung  nilai  integral  garis  Riemann  untuk menentukan  nilai  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  nya.  Setiap  fungsi  yang  terintegral  garis Riemann,  fungsi  tersebut  terintegral  garis  Lebesgue-Hausdorff,  tapi  tidak  berlaku  sebaliknya.
(18)
106
Contoh  fungsi  tersebut  dijelaskan  di  akhir  pembahasan.  Teknik  integrasi  selanjutnya  berfokus pada teknik perhitungan integral Garis Hausdoff-Lebesgue yang tidak terintegral Riemann.
Teorema  23 Diberikan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 kurva  sederhana  dan  fungsi  terintegral  Garis  Riemann 𝑓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ .  Jika 𝑔: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ dengan 𝑓 = 𝑔 𝑎. 𝑒 maka  fungsi  g  terintegral  garis Lebesgue-Hausdorff dan berlaku
(𝐿𝐻) ∫ 𝑔 𝜑 𝑑𝐻 = ∫ 𝑓 𝜑 𝑑𝐴
Bukti :
Karena 𝑓 = 𝑔 𝑎. 𝑒 maka terdapat himpunan
)} , ( ) , ( : ] , [ ) , {( y x g y x f b a y x E     dengan 𝐻 1 (𝐸) = 0 .
Akibatnya untuk setiap fungsi sederhana pada 𝜑[𝑎, 𝑏]
   p k E k k x a x 1 ) (  berlaku            E E H E b a H k p k 1 1 1 ) ] , [ (  ]) , [ ( 1 b a H   sehingga     )) ( ( ) ( 1 1 1 1 1 E H a E H a E H a dH LH k p k k k p k k k           . Akibatnya
dH g LH   ) ( =           g sederhana fungsi dH LH     : ) ( sup              g a E H E H a p k E k p k k k k 1 1 1 1 : )) ( ) ( ( sup              f a E H a p k E k p k k k k 1 1 1 : ) ) ( ( sup            f sederhana fungsi E H a p k k k   : ) ) ( ( sup 1 1 dH f LH    ) (
dA f   
(19)
) (10)
(20)
Dengan cara yang analog mudah diperoleh bahwa
dA f dH g HL      ) (
Perlu  dicatat  bahwa  teorema  di  atas  masih  berlaku  jika  syaratnya  diperlemah  menjadi  fungsi f terintegral Lebesgue-Hausdorff. Selanjutnya diberikan definisi berikut.
Definisi  24 Diberikan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 kurva  sederhana  dan  fungsi 𝑓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ yang terintegral garis Riemann sepanjang 𝜑 . Suatu fungsi 𝑔: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan bersimulasi-f  ( f-simulated)  jika  g  terintegral  garis  Riemann  dan e a g f .  .  Dalam  hal  ini  fungsi  f  disebut fungsi simulator dari g .
Berikut  adalah  contoh  penerapan  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  menggunakan teorema di atas. Sebuah drum berbentuk silinder dengan diameter 1 satuan  diberi tanda tertentu berupa garis  lurus memanjang pada salah satu sisi drum tersebut. Drum tersebut digelindingkan dari dump truk sejauh 2 1 rotasi kemudian jatuh ke tanah.
Pergerakan tanda garis pada drum mempunyai  model matematis menyerupai sikloid fungsi dua variabel
            , ) cos 1 ( ) sin 1 ( 2 1 , 2 2 y f (22)
dengan 𝜃 adalah besar sudut yang dibentuk antara jari-jari dengan ujungnya dengan garis tinggi silinder  saat  menggelinding.  Perpindahan  posisi  garis  yang  dipengaruhi  torsi  drum  saat  jatuh membuat  nilai f sulit  untuk ditentukan. Variabel y adalah variabel yang mengukur  untuk  tinggi silinder.    Pergerakan  tanda  garis  berlangsung  secara  kontinu  hingga  pada  saat 𝜃 = 𝜋 drum bergerak  jatuh.  Model  matematisnya  berupa  kurva 𝜑: [0, 𝜋] → ℝ dengan     ) ( .  Fungsi f di atas merupakan fungsi yang ekuivalen hampir dimana-mana dengan
        
          0 ) cos 1 ( ) sin 1 ( 2 1 , 2 2 y g (23)
sehingga  nilai  dari dA g f LH      ) ( ,  teknik  perhitungan  dapat  diselesaikan  menggunakan kalkulus sederhana.
Definisi di atas memberikan inspirasi untuk mendefinisikan relasi berikut.
(21)
108
Definisi  25 Diberikan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 kurva  sederhana  dan  fungsi 𝑓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ yang terintegral  garis  Riemann  sepanjang 𝜑 .  Fungsi 𝑔, ℎ: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ dikatakan  ekuivalen-f, disimbolkan dengan
h g f 
jika dan hanya jika fungsi g dan h sama-sama bersimulasi-f .
Mudah dibuktikan bahwa relasi di atas merupakan relasi ekuivalensi. Selanjutnya terkait dengan karakteristik fungsi yang bersimulasi- f yang sudah dijelaskan di atas, dihasilkan teorema berikut.
Teorema  26 Diberikan 𝜑: [𝑎, 𝑏] → ℝ 2 kurva  sederhana  dan  fungsi 𝑔, ℎ: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ .  Jika terdapat fungsi 𝑓: 𝜑[𝑎, 𝑏] → ℝ sehingga 𝑔 ≈ 𝑓 ℎ maka baik g maupun h sama-sama terintegral Lebesgue-Hausdorff dan berlaku
(𝐿𝐻) ∫ 𝑔 𝜑 𝑑𝐻 = (𝐿𝐻) ∫ ℎ 𝜑 𝑑𝐻
Teorema di atas merupakan dasar dari teknik integrasi selanjutnya. Jika suatu fungsi yang akan  dicari  integral  garisnya  mempunyai  fungsi  simulator,  maka  cukup  dihitung  nilai  integral garis dari fungsi simulator tersebut.
Berikut  adalah  contoh  integral  garis  Lebesgue-Hausdorff  suatu  fungsi  tidak  terintegral  garis Riemann.
Diberikan kurva 𝜑: [0,1] → ℝ 2 dengan rumus 𝜑(𝑡) = (𝑡, 2𝑡) untuk 𝑡 ∈ [0,1] . Diberikan fungsi
𝑔(𝑥, 𝑦) = { 0 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 (𝑥, 𝑦) ∈ ℚ × ℚ 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎 (25)
Diambil  sebarang 𝛼 ∈ ℝ .  Himpunan {(𝑥, 𝑦): 𝑔(𝑥, 𝑦) > 𝛼} = (ℚ⋂(𝛼, ∞)) × (ℚ⋂(𝛼, ∞)) . Berdasarkan  teorema  Tonelli-Fubini,  diperoleh g terukur  Hausdorff.  Diperhatikan  fungsi 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥 untuk (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ 2 .  Jelas  bahwa e a f g .  dan  fungsi f terintegral  garis  Riemann.
Akibatnya  integral  garis g sepanjang  kurva 𝜑 sama  dengan  integral  garis 𝑓 sepanjang  kurva 𝜑 . Perhitungan secara teknik dapat diselesaikan dengan mudah menggunakan kalkulus sederhana.
Dua  teknik  integrasi  di  atas  dapat  dengan  mudah  diperumum  untuk  integral  garis  sepanjang lintasan.

## 4 Simpulan
Bersarkan pemaparan teori di atas disimpulkan bahwa:
a. Setiap  fungsi  multivariabel  yang  terintegral  garis  Riemann,  terintegral  garis  Lebsegue- Hausdorff, lebih lanjut, nilai kedua integral tersebut sama.
b. Setiap  fungsi  multivariabel  yang  dapat  ditemukan  fungsi  simulatornya,  fungsi  tersebut terintegral garis Lebsegue-Hausdorff dan nilainya sama dengan nilai integral garis fungsi simulatornya.

## 5 Daftar Pustaka
[1] R. Balka and A. Mathe, “Generalized Hausdorff Measure for Generic Compect Sets,” Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. , vol. 38, no. 72655, pp. 1–8, 2013.
[2] M. Fernandez and G.Sanchez, “Fractal dimension for fractal structures : A Hausdorff approach revisited,” Elsevier: Journal of Mathematical Analysis and Applications , vol. 401, pp. 321-330, 2013.
[3] E. Gariepy, C, Measure theory and fine properties of functions , Revisited. United States: CRC Press, 2015.
[4] A. Lazwardi, “Lebesgue-Hausdorff  Line Integral of Husdorff Measurable Multivariable Function over Simple Curve  on [ a , b ]”, International Conference of Mathematical
Analysis, Its Applications and Learning 2018 Proceedings , Yogyakarta, 2018.
[5] K. Ciesielski and T. Glatzer, “Functions Continous on Twice Differentiable Curves, Discontinous on Large Sets,” Real Anal. Exch. , vol. 37, pp. 353–362, 2011.