## Jurnal Phi
Jenis Artikel: orginial research

## Magnetohidrodinamika pada Selinder Sembarang dengan Kelengkungan dan Puntiran
Abd Mujahid Hamdan* 1,2
1 Program Studi Teknik Arsitektur  Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Ar-Raniry  Banda Aceh
2 Program Studi Pendidikan Fisika, Fakultas Tarbiyah dan Keguruan  Universitas Islam Negeri Ar-Raniry Banda Aceh
*Corresponding e-mail : abd.mujahid.hamdan@gmail.com
KATA  KUNCI magnetohidrodina mika, sistem
koordinat germano
Diserahkan: 27 Mei 2017 Direvisi: 28 Mei 2017 Diterima: 27 Mei 2017 Diterbitkan : 16 Juli 2017 Terbitan daring: 16 juli 2017
Magnetohidrodinamika  adalah  kajian    teoritik    yang    menjelaskan    dinamika    fluida    yang    membawa    medan magnet  dan  listrik  dalam  skala  makroskopis  (Gomez  dkk.,  2013).  Secara  umum,  objek    fisika    pada    kajian    ini adalah perpaduan antara mekanika fluida klasik dan elektrodinamika. Dari sisi penerapan, magnetohidrodinamika  digunakan  utuk  menjelaskan  plasma  kosmik  (Cui    dkk.,    2015)    teori    medan    magnetik bumi  (Aurnou,  J. dkk,  2003),  dan  astrofisika  (Gu  dkk.,  2013).
Penggunaan  sistem  Koordinat  Germano  (KG)  telah  berhasil dengan  baik  menyajikan  dinamika  fluida  pada pipa  dengan  kelengkungan  dan  puntiran,  misal  pada  pipa  heliks  yang  berotasi  (Alam  dkk., 2007) dan dinamika aliran longsor granular  yang kanalnya  diserupakan  dengan  kanal pipa tak seragam  (Pudasaini dkk., 2007).
Pada  makalah  ini,  dengan    menggunakan    sistem    KG    akan    disajikan    persamaan    kelestarian    massa    atau yang  disebut  dengan  persamaan  kontinuitas  Eularian  dan  persamaan  kelestarian  energi  dan  momentum  pada magnetohidrodinamika.Pada  persamaan  tersebut,    kelengkungan    dan    puntiran    diperhitungkan    sebagai    salah satu  penentu  prilaku  magnetohidrodinamika.  Salah  satu  proyeksi  praktis  dari  persamaan-persamaan  tersebut adalah  pada  prediksi  dinamika  aliran  lava  yang  mengalir  dari    dapur    magma    menuju    mulut    kawah    saat terjadinya  letusan  gunung  api.  Proyeksi  berikutnya  adalah  penggunaa nnya  pada  alira  lava  yang  mengalir  pada
ABSTRAK. Koordinat  Germano  telah  digunakan  untuk  menjelaskan dinamika  fluida  pada  geometri  selinder  sembarang.  Sistem  koodinat tersebut jugatelah digunakan pada geofisika dan bidang keteknikan lainnya, seperti  untuk  menjelaskan  longsoran  salju  dan  aliran  fluida  pada  pipa heliks.  Namun, belum pernah dilakukan penelitian mengenai magnetohidrodinamika pada geometeri tesebut. Pada makalah ini, dengan menggunakan  sistem  koordinat  tersebut  disajikan  persamaan kontinuitas dan  kelestarian  momentum  magnetohidrodinamika  baik  yang  ideal maupun yang memperhitungkan visikositasya.
2
kanal  di  badan  gunung  yang  diasumsikansebagai  kanal  selinder  tak  seragam.  Sehingga,  diharapkan  persamaan kontinuitas  dan  kelestarian  momentum  berikut  dapat  menjadi  pijakan  bagi  geofisikawan  dalam  prediksi bahaya  dan  resiko kebencanaan  letusan  gunung  api.
Terdapa t  kurva   parame trik C ( s ) dalam  ruang  Euclidian, C ( s )  E yang   setiap   titiknya   memiliki   vektor   posisi R ˆ ( s ) yang   berasal   dari   kerangka   acuan   kartesian   sembarang.   Setiap   titik  yang   merupakan   anggota   himpunan dari    kurva ( s | s  C ) menjadi    titik   asal   vektor    bagi    vektor    Tangensial( T ),   vektor    Normal    ( N )   dan    vektor binormal   ( B ).  Ketiga   vektor   tersebut   saling   orthonormal.   Akibat   puntiran   ( )  ,  maka   terdapat   vektor satuan N  yang    membentuk    sudut (  +  0 ) terhad ap N dengan  adalah    sudut    sembarang    seperti    yang
0 ditunjukkan  oleh Gambar  1.
Sementara  puntira n  didefinisikan  sebagai:
 ( s ) d  ( s ) (1) = − . ds
Gambar.  1  Sistem  Koordina t  Germano  (Gammack  dkk.,  2001).
Setiap menjadi   pusat   penamp ang   polar yang  tegak  lurus  terhadap T yang  merupakan  penampa ng dari   sebuah   selinder   sembarang 3 .  Sehingg a   untuk   semua x = dan yang  jaraknya  dapat dinyatakan  dalam  vektor  posisi x ˆ . Metrik  dari  sistem  ini  adalah:
ds 2 = g  dx 1 dx 2 , (2)
dengan x 1 = s , x 2 = r ,  dan x 3 =  . Dengan   menggunakan   hubungan   pada   rumusan   Frenet-   Serret,   maka   tensor metrik  kontravaria nnya  adalah:
 1 0 0  g =  0 r 2 0  . (3) pq    0 0 ( 1 +  r sin(  +  +  ) ) 2   0  2  3 2  3
g  x j
0 0
   t   
Sehingga  determinan  dari  tensor  tersebut  adalah:
g = r 2 ( 1 +  r sin(  +  +  ) ) 2 , (4)
dan
= r +  r 2 sin(  +  +  ). (5)
Dengan  demikian,  tensor  metrik  konjugasinya  adalah:
   1 0 0   
g pq =  0 1  r 0  . (6) 1   0 0   ( 1 +  r sin(  +  +  ) ) 2   0 
Serupa  dengan  mekanika  fluida,magnetohidrodinamika  juga  dapat  disajikan  dalam  bentuk  persamaan kontinuitas  dan  kelestarian  momentum  dalam  keadaan  ideal.  Keadaan  ideal  berarti  tanpa  menghitung visikositas,  rotasi,  gravitasi,  ionisasi,  panas,  konduksi,  radiasi  dan  kerapatan  dalam  keadaan  tak  gayut  ruang dan  waktu.  Persamaan  kontinyuitas dituliskan sebagai:
  +  (  χ ) = 0. (7)
 t Sedangkan  persamaan  momentum nya  dapat  dituliskan  sebagai:
   + χ .   χ = J  B −  p , (8)   t   
atau
   ( B •  ) B  B 2    + χ •   χ =   0 −   p + 2   , (9) 0 
dengan  adalah  densitas, χ adalah  kecepatan, p adalah  tekanan, J adalah  rapat   arus,   dan B adalah   medan magnet  (Powel,  K.G.  dkk,  1999).
Dengan  menggun aka n  metrik  KG  pada  persamaa n  (3)  dan  (6)  maka  diperoleh  persamaan  kontinuitas:
   1 +    ( g  j )  = 0, (10)  t  
dan  persamaan  kelestarian  momentu m  berupa:
g
2
g  x j g  x j    0    0 j 0    +  i  i  1  ( g )   j   t   1   1   =   i B i  ( g )  B j , (11)  0      ( B ) 2  − g kr  p +
  x r  2  
dengan i adalah   delta   kronecke r.   Persam aan   (10)   dan   (11)   adalah   bentuk   umum   untuk   semua   kurvaliniar yang  bentuknya  ditentukan  oleh  bentuk  metrik  dari  sistem  koordinat  dan  transformasi  koordinat  yang  dipilih.
Jika,
 = r +  r 2 sin(  +  +  ), (12)
maka  persamaan  kelestarian  momentu m  tersebut  dapat  dituliskan  pada  masing-m asing  komponen yanguntuk  komponen  s  dari  persam aan  tersebut  adalah:
s , r dan 
    1 s +   (  )    t s    s s        +   1 r       r  r   r       1        +       ( r  s )    
    1     B s    s (  B s )       1   1 = + B    B  . (13)   r    r  r s  0       1     + B      ( rB s )         ( B ) 2  −  s  p + 2  
Jika  kelengkungan  dan  puntiran  dilenyapkan,  maka  persamaan  tersebut  serupa  dengan  persamaan magnethidrodinamika  pada  selinder  untuk  komponen  yang  searah  dengan  tinggi  selinder.  Hal  ini  disebabkan karena  persamaan  (12)hanya  menyisakan  = r .  Persamaan  (12)  dapat  hadir  hanya  jika  salah  satu  dari  dan  hadir  pada  sistem.
Sedangkan  untuk  komponens  r  adalah:
j j 
   )  0       
   r +   1  (  )    t s    s r        +   1 r       r  r   r       1        +       ( r  r )         1     B s    s (  B r )       1   1 = + B    B  , (14)   r    r  r r  0       1     + B      ( rB r )    1      ( B ) 2  − r 2  r  p + 2  
dan  untuk  komponen  adalah:
    +   1  (  )    t s    s        +    1 r       r  r           +   1     ( r            1     B s    s (  B  )       = 1  + B  1    B  . (15)   r    r  r   0       + B  1  ( rB )   r             ( B ) −  p +    r  2  0 
Jika kurva dalam  keadaan  kontinu  maka,
   ( sin(  +  +  0 ) )     = r 2  s  (16)   ,  s  +   sin(  +  +  ) 
atau
  s 0  2
g  x j g  x k g  x j     )   j    (    ( sin(  −  s +  0 ) )     = r 2  s  (17)   ,  s  +   sin(  +  +  ) 
dengan   s 0      =  sin(  +  +  ). (18)  r  r  0
Kehadiran  visikositas  pada  magnetohidrodina mika  menyeba bkan  persamaa n  kelestarian  momentum nya dituliskan  sebagai:
 Dχ = − p +  J  H +   2 χ Dt +   + c 1    (  • χ ) + F luar , (19)  3 
dengan  adalah  visikositas  geser,  adalah    visikositas    bulk    dan    adalah    gaya    luar    yang    mempengaruhi dinamika  (Jeffrey,  A.  dkk  1966),  .  Sehingga  jika  disajikan  dalam  bentuk    memuat    komponen    tensor    metrik kovarian  dan  atau  kontravaria n,  maka  persama an  kelestarian  momentum  (19)  menjadi:
   +  i  i  1   j g   t j     = − g kr  p  x r +   c ijk J j H k  1   kr   j  +    g g  x r  (20)    +   + 1   g kr   1  ( g  )  3   x r       + F luar .
Dengan  tensor  metrik  pada  persamaan  (3)  dan  (6)  maka  persama an  kelestarian  momentum  pada  komponen s adalah:
   )  s  
   s +   1  (  )    t s    s s        +   1 r       r  r   s       1        +       ( r  s )       = −  p +  ( J   H − H  J )  s c r  r   1      s  + 1        s     s   s     2  r  +     r  r   1  +  r 2   s                  1   (      s      +   + 1     + 1       + F .  3   s     r  r r  s         + 1   ( r  )   (21)            
 
Untuk  komponen  r  adalah:
   )   s  
 
   r +   1  (  )    t s    s r        +   1 r       r  r   r       1        +       ( r  r )       = −  p +  ( J   H − H  J )  r c  s  s  1      r  + 1        r     s   s     2  r  +     r  r   + 1   r 2   r                  1   (      s      +   + 1   1   + 1       .  3  r 2  r     r  r r          + 1   ( r  )   + F r            (22)
Untuk  komponen  ,
)  2   )      s  
    +   1  (  )    t s    s        +   1        r          r  r    +   1     ( r         = −  p +  ( J   H − H  J )   c s    r s    r  1            s   s       +   + 1          r    r  r   1  +    r 2                  1   (      s  2     +   + 1   r   + 1        3          r      r  r      + 1   ( r  )         (23) + F      
Dari  keseluruhan  persamaan  kontinuitas    dan    kelestarian    momentum    terlihat    bahwa    kelengkungan    dan puntiran    menjadi    parameter    yang    sangat    fundamental    dalam    magnetohidrodinamika    pada    selinder sembarang.  Tentu  persamaan  tersebut  masih  berupa  kajian    teoritik    yang    belum    dapat    langsung    digunakan tanpa  analisis  numerik  dan  teknik  komputasi  dan  pemodelan.
Terimakasih  kepada  semua  pihak  yang  telah  memberi  kesempatan  untuk  melakuka n  penelitian  ini.
Abd.MH  melakukan  pengumpulan  data  dan  menulis  naskah  original  dan  revisi.  Memberi  gagasan  pokok pengembangan.  serta  memberi  gagasan  pokok  ide penelitian.
Gomez,  D., Martin,  L.N dan  Dmitruk,  P.  2013.  Magnetohydrodynamics  in solar and  space physics. , 1916-1923.
Cui, W., Ou, Y dan  Ren,  D, 2015.  Incompresible  limit of full compressible magnetohydrodynamic  equation  with well-prepared  data  in  3-D  bounded  domains. 288. 263-
Aurnou,  J.,  Andrea dis,  S.,  Zhu,  L.,  dan  Olson,  P.  2003.  Experiments  on  convection  in Earth’s core    tangent cylinder, 212,  119-134 Gu,  F.,  Lu,  Y.,  dan  Zhang,  Q.  2013,  Global solutions to one-dimensional  shallow water  magnetohydrodynamic equations 401,  714-723 Alam,  M.M.,  Ota,  M.,  Ferdows,  M.,  Islamv,  M.N.,  Wahiduzzaman,  dan  Yamamoto,  K.  2007.  Flow  through  a . ,
., , rotating  helical  pipe  with  a  wide  range  of  the  Dean  number, 501-517
Pudasaini,    S.P.,    dan    Hutter,    K.,   2007. :
Springer,  Newyork,  p.130
Gammack,  D   dan    Hydon,    P.E.   2001.    Flow   in    pipes    with    non-uniform    curvature    and    torsion. , 357-382.
Powel,  K.G,  Roe,  P.L.,  Linde,  T.J., Gambosi,  T.I dan  De Zeewu,  D.L. 1999.  A Solution-Adaptive  Upwind  Sceme  for Ideal  Magnetohydrodynamics, 284-309. Jeffrey,  A.  1966
Interscience  Publishe d  :  Newyork,  p.34.