Jurnal Matematika, Sains, dan Pembelajarannya
Vol.9, No.2, Juli 2023, pp. 180~188
DOI:10.31605/saintifik.v9i2.439
ISSN 2622-8904 (online)
Penerapan Sistem Persamaan Linear Aljabar Max Plus Pada Masalah Ground Handling di Terminal 1 Bandara Internasional Juanda
Eka Susilowati
Universitas Nahdatul Ulama Al Gazali Cilacap Email: eka250@gmail.com

## Abstrak
Delay sebuah pesawat dapat dikarenakan berbagai masalah, Salah satu penyebab adanya penundaan jadwal  penerbangan  adalah  karena  adanya  pelayanan  yang  terjadi  ground  handling.  Pada  penelitian  ini, kegiatan  ground  handling  yang  dilakukan  adalah  menggosongkan  area,  melepas  garbarata/tangga, menyalakan  mesin,  penumpang  naik,  pengecekan  log  book,  mengangkut  muatan,  pemeriksaan  keliling, pengisian  bahan  bakar,  pelayanan  kabin,  pelayanan  kamar  kecil,  pelayanan  dapur,  membongkar  muatan, mengecek log book,penumpang turun, mengatur posisi  garbarata, mematikan mesin. Tujuan dari penelitian ini  adalah  untuk  menentukan  penyelesaian  system A x b  = atas  aljabar  max  plus  dengan max max , , , m n m
A x m n     serta  penerapan  dalam  masalah  ground  handling  pesawat.  Penelitian  ini diawali dengan mengkaji sub penyelesaian terbesar dari system persamaan A x b  = . Selanjutnya, akan membahas  aplikasi  system A x b  = atas  aljabar  max  plus  dalam  masalah  ground  handling  pesawat  di terminal I Bandara Juanda. Hasil penelitian adalah vektor
  * 34 34 25 30.7 20 19 21 15.5 22.7 21 17 33.5 20 32 34 38.5 t = bukan merupakan penyelesaian. Meskipun * t bukan  merupakan  penyelesaian  yang  tepat  untuk  system  persamaan  di  atas,  bukan  berarti  pesawat  akan mengalami penundaan jadwal keberangkatan. Akan tetapi, tidak terpenuhinya persamaan ketiga disebabkan karena penanganan pesawat di gate 3 selesai lebih awal.

## Kata kunci—Pesawat, Ground Handling, Aljabar Max Plux, Penjadwalan

## 1. PENDAHULUAN
Adanya peningkatan laju perekonomian di Indonesia, mengakibatkan permintaan jasa akan transportasi yang enak dan aman semakin melonjak naik. Mobilitas masyarakat yang semakin tinggi dari satu tempat ke tempat yang lain dengan kebutuhan waktu yang terbatas maka dibutuhkan transportasi yang mengefisienkan waktu. Salah  satu  pilihan  transportasinya  adalah  pesawat  terbang.  Transportasi  udara  sekarang  ini  memiliki  peran penting yang dapat menolong kita di setiap perubahan setiap negara yang berada dunia, termasuk juga negara Indonesia  (Juniarti et  al .,  2020).  Transportasi  udara,  berperan  sebagai  moda  transportasi  yang  meluas dipergunakan  masyarakat  disebabkan  dapat  menempuh  jarak  yang  jauh  namun  efisien  waktu  dan  dalam perkembangannya, dari segi keamanan maupun kenyamanan terjamin (Hestuningrum & Ahyudanari, 2019). Sarana penunjang yang juga berkaitan dengan adanya pesawat ini adalah dengan keberadaan bandara sebagai penunjang utama moda transportasi udara.
Contoh bandara besar yang ada di Indonesia adalah Bandara Internasional Juanda yang terletak di Jawa Timur. Bandara Juanda adalah bandara internasional yang peranannya penting dalam perkembangan ekonomi selain  itu  merupakan  salah  satu  diantara  pintu  masuk  Provinsi  Jawa  Timur.dari  luar  (Fendiyanto,  2019). Bandara Internasional Juanda melayani penerbangan domestic dan internasional. Demi membatasi kepadatan di  terminal  I,  Bandara  Internasional  Juanda  ini  dibagi  menjadi  2  terminal.  Terminal  1  dipergunakan  untuk penumpang yang akan melaksanakan keberangkatan penerbangan domestik dimana pelayanannya dilakukan oleh maskapai Citilink, Sriwijaya Air, Batik Air dan Lion Air, serta terminal 2 dimanfaatkan untuk penumpang yang  akan  melaksanakan  keberangkatan  penerbangan  internasional  dan  beberapa  penerbangan  domestik dengan pelayanannya dilakukan oleh maskapai Garuda Indonesia, Air Asia, Mandala Tiger Airways, Lion Air,
China  Airlines,  Singapore  Airlines,  Eva  Air,  Cathay  Pacific,  dan  Jetstar/Value  Air.  Bandara  Internasional Juanda mempunyai panjang landasan 3000 m (Hestuningrum & Ahyudanari, 2019)
Ground handling merupakan kegiatan menangani pesawat pada saat ada di darat atau apron bandara, dari  kegiatan  pesawat  mendarat  hingga  selanjutnya  melakukan  penerbangan  kembali.  Ada  beberapa  jenis kegiatan  pelayanan  pada  pesawat  terbang  berada  di  apron.  Jenis-  jenis  kegiatan  pesawat  terbang  pada umumnya  yaitu  melakukan  persiapan  tangga,  penurunan  penumpang  dari  pesawat  terbang,  mengisi  bahan bakar pesawat terbang, penurunan bagasi, penurunan kargo, pembersihan kabin, persiapan makanan, pemuatan kargo, pemuatan bagasi, proses naik penumpang ke pesawat terbang, pemindahan tangga, mendorong mundur pesawat  terbang,  dan  penyalaan  mesin  pesawat  terbang  (Setiawan,  2019).  Setelah  semua  proses  selesai dilakukan  pecatatan  waktu  off  block  yakni pada  saat pesawat menutup  pintu  dan  bersiap  untuk melakukan push back (Fatchiyah et al., 2017). Kegiatan ground handling yang dibahas di sisi meliputi menggosongkan area,  melepas  garbarata/tangga,  menyalakan  mesin,  penumpang  naik,  pengecekan  log  book,  mengangkut muatan,  pemeriksaan  keliling,  pengisian  bahan  bakar,  pelayanan  kabin,  pelayanan  kamar  kecil,  pelayanan dapur, membongkar muatan, mengecek log book,penumpang turun, mengatur posisi  garbarata, mematikan mesin. Setiap bandara dipastikan mempunyai kapasitas maksimal sehingga dapat mengakomodasi keseluruhan jumlah penerbangan. Kapasitas bandara diharuskan disesuaikan dengan keseluruhan penerbangan di bandara tersebut (Udara et al., 2019). Pada penelitian ini, dibahas jadwal pesawat yang ada di bandara Juanda adalah B739, B738, B735, B734, B 733, A320. ATK72.
Kecepatan, akurasi, dan efisiensi menjadi elemen yang diperhitungkan dalam proses ground handling. Di Bandara Internasional juanda terdapat banyak perusahaan yang memegang penanganan kegiatan ground handling  seperti  halnya  Gapura,  JAS,  Lion  dan  masih  banyak  lagi.  Masalah  groundhandling  merupakan masalah  sikronisasi  dalam  SKD.  Pada  permasalahan  sinkronisasi,  kejadian-kejadian  (events)  yang  dialami secara  simultan  dan  harus  selesai  sesuai  batas  waktu  yang  telah  ditetapkan  sebelumnya  (deadline)  dan terjadwal (Rudhito, 2014). Penjadwalan ini juga bisa dilakukan Ketika membangun suatu proyek (Susilowati & Hartono, 2023) Runtutan  kegiatan groundhandling yang  dilakukan secara simultan dan mesti elesai sesuai dengan  waktu yang ditentukan supaya tidak terjadi delay dan jadwal keberangkatan tepat waktu.
Aljabar merupakan salah satu cabang Matematika yang dipakai di sebagian besar lini kehidupan. Aljabar biasanya menggunakan variable variable untuk menggantikan bilangan bilangan. Secara umum, aljabar sendiri mempunyai bidang khusus antara lain aljabar dasar, aljabar abstrak dan aljabar terapan. Salah satu struktur aljabar yang lebih banyak penerapannya adalah aljabar max plus. Aljabar max plus merupakan suatu bentuk khusus  semiring  dengan  himpunan  dengan  = − dengan  operasi  max  dan  plus  dimana   max , x y x y  = dan x y x y  = +
Seperti halnya aljabar linear, pasangan operasi ( ) ,   dalam aljabar max plus dapat diperluas ke dalam operasi  matriks  ataa  aljabar  max  plus.  Matriks  atas  aljabar  max  plus  selanjutnya  digunakan  dalam merepresentasikan  system  persamaan  linear  aljabar  max  plus  yang  selanjutnya  dicari  penyelesaiannya. Representasi  system  persamaan  linear  yang  dimaksud  serupa  dalam  aljabar  linear  yakni  berupa  persamaan matriks A x b  = .  Berbeda  dengan  aljabar  linear,  aljabar  maks  plus  tidak  memiliki  invers  terhadap penjumlahan. Dengan demikian, penyelesaian sistem persamaan linear aljabar max-plus beda dibandingkan dengan sistem persamaan linear dalam aljabar biasa. Penyelesaian sistem persamaan linear aljabar max-plus, jika  dibandingkan  dalam  aljabar  biasa,  berbeda.  Sistem  persamaan  linear  aljabar  max  plus  memiliki penyelesaian yang tidak selalu ada dan bila ada tidak selalu tunggal.
Sistem linear aljabar max-plus sangat membantu dalam memodelkan serta menganalisa Discrete Event System (DES) seperti sistem transportasi, sistem komunikasi, sistem produksi, sistem komputasi paralel, dan sebagainya. Salah satunya yang akan kita uraikan pada penelitian ini mengenai system transportasi pesawat. Menurut  Subiono  (2013),  pendekatan  aljabar  max-  plus  diaplikasikan  pada  sistem  yang  hanya mempertimbangkan sinkronisasi tanpa konkurensi. Sinkronisasi yang dikaitkan dengan ketersediaan beberapa sumber dalam waktu bersamaan sedangkan konkurensi terlihat ketika pada suatu saat seorang pengguna harus memilih beberapa sumber
Penanganan pesawat di bandara atau sering disebut dengan istilah ground handling merupakan salah satu  masalah  sinkronisasi.  Kegiatan  ground  handling  yang  dibahas  di  sisi  meliputi  menggosongkan  area, melepas garbarata/tangga, menyalakan mesin, penumpang naik, pengecekan log book,dan kegiatan yang lain.
Masing-masing  kegiatan memiliki  durasi  waktu  yang berbeda untuk  setiap  pesawat.  Kegiatan-  kegiatan ini dilaksanakan secara simultan dan harus dapat diselesaikan pada waktu yang telah ditetapkan. Oleh sebab itu, dibutuhkan penentuan waktu mulai paling lambat untuk setiap kegiatan supaya setiap kegiatan dipastikan telah selesai sesuai waktu keberangkatan (departure time) pesawat-pesawat dari bandara. Jika setiap kegiatan ada yang terjadi tidak sesuai dengan waktu mulai paling lambat maka akan terjadi delay. Masing-masing kegiatan mempunyai  durasi  waktu  yang  berbeda  untuk  setiap  pesawat  yang  berbeda  pula.  Kegiatan-  kegiatan  ini dilaksanakan secara simultan dan mesti selesai sesuai waktu yang sudah ditetapkan. Oleh sebab itu, diperlukan penentuan  waktu  mulai  paling  lambat  untuk  setiap  kegiatan  supaya  keseluruhan  kegiatan  dipastikan  telah selesai  pada  waktu  keberangkatan  (departure  time)  pesawat-pesawat  dari  bandara  (Hestuningrum  & Ahyudanari, 2019).
Setiap kegiatan mempunyai durasi waktu yang tidak sama pada setiap pesawat. Kegiatan- kegiatan ini dilaksanakan secara simultan mesti selesai pada waktu yang telah ditetapkan. Oleh sebab itu, butuh ditetapkan waktu mulai paling lambat untuk setiap kegiatan supaya setiap kegiatan dipastikan telah selesai pada waktu keberangkatan pesawat yang telah dijadwalkan (departure time) dari bandara. Karena banyak penumpang dan pergerakan pesawat baik komersial atau militer selalu bertambah setiap tahunnya, yang secara tidak langsung pergerakan kendaraan ground handling juga bertambah dalam penanganan pesawat satu dengan yang lainnya. Jika satu kendaraan ground handling saja terlambat berakibat akan mempengaruhi kegiatan kendaraan ground handling serta penerbangan lainnya. Masalah ground handling ini berhubungan dengan masalah penyelesaian sistem persamaan linear A x b  = dimana matriks A menyatakan durasi setiap kegiatan ground handling untuk  setiap  pesawat,  vektor b menyatakan  ground  time  pesawat  dan  akan  ditetapkan  vektor x yang menyatakan waktu mulai paling lambat untuk tiap kegiatan ground handling yang akan menentukan  waktu selesainya pesawat dapat terbang kembali. Berdasarkan hal tersebut, dalam penelitian ini dilakukan mengkaji sistem  persamaan  linear  aljabar  max-plus  serta  aplikasinya  dalam  masalah  ground  handling  pesawat  dan menganalisisnya

## 2. METODE PENELITIAN
Tahapan  pertama  penelitian  yang  digunakan  dengan  mengumpulkan  beberapa  data  waktu  setiap kegiatan ground handling. Data tersebut diperoleh dari jurnal (Hestuningrum & Ahyudanari, 2019). Tahapan kedua penelitian untuk metode aljabar max plus adalah menyelesaokan system persamaan linear A x b  = . Tahapan  selanjutnya  adalah  membuat  program  MATLAB  untuk  menyelesaokan  system  persamaan linear A x b  = untuk  menyelesaikan  dimana  matriks  A  berukuran  besar,  atau  dengan  kata  lain  kegiatan ground handlingnya banyak.
Berdasarkan teorema yang dijelaskan di atas
Skema 1. Bagan Alur Penelitian

## Periode I (3 bulan)
Dalam tiga bulan pertama, direncanakan untuk mengumpulkan  semua  data  waktu  setiap kegiatan ground handling

## Periode II (6 bulan)
Dalam  enam  bulan  selanjutnya,  direncanakan  untuk  mebuat program Matlab untuk menyelesaikan system persamaan linear

## Periode III (3 bulan)
Dalam  tiga  bulan  terakhir,  direncanakan  untuk  menyelesaikan  waktu  paling  lambat  mulai  setiap  kegiatan ground handling dengan menggunakan program MATLAB

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## Sistem Persamaan Linear Aljabar Max Plus
Sistem persamaan linear yang akan dibahas pada penelitian ini adalah A x b  = dimana max m n A   ,
max m b  dan , m n  . Penyelesaian dari system persamaan linear tersebut adalah himpunan semua vector max n x  sedemikian  sehingga  memenuhi A x b  = .  Lebih  lannjut  system  persamaan A x b  = dapat dituliskan lebih rinci sebagai berikut:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 11 12 1 1 1
21 22 2 2 2 1 2 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 n n m m mn n n n n n n m m mn n m a a a x b a a a x b x b a a a x b a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    =   =                         =           =                =  
Penyelesaian  dari  system  persamaan A x b  = dapat  diselesaikan  denga  menyelesaikan  system ekuivalen yang terakhir  dengan bentuk bakunya
( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   ( ) ( ) ( )   11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 max , , , max , , , max , , , n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b A x b
a x a x a x b
  +  + =   + + + =
   =        + + + =


Penyelesaian dari system persamaan linear ini ada beberapa kemungkinan. Peneyelesainnya bisa ada bisa tidak ada. Salah satu contoh dari system oersamaan linear A x b  = tidak mempunyai penyelesaian sebagai berikut :
Diberikan matriks
1 5 3 5 6 A      =       dan 2 3 4 b     =       . Sistem persamaan linearnya menjadi 1 2 1 2 5 3 3 5 6 4 x x     
       =                 sehingga ( ) ( )   ( ) ( )   ( ) ( )   1 2 1 2 1 2 max 1 , 2 max 5 , 3 3 max 4 , 5 4 x x x x x x    +  =   + + =       + + =   .
Bersasarkan  system  persamaan  di  atas  maka  dapat  dilihat  jika  tidak  ada  nilai 2 max x  sedemikian mengakibatkan ( ) ( )   1 2 max 5 , 3 3 x x + + = dan ( ) ( )   1 2 max 4 , 5 4 x x + + = .
Penyelesaian  system  persamaan A x b  = memang  tidak  selalu  mempunyai  peneyelesaian,  namun  jika system  persamaan  ini  menjadi max A x b   selalu  mempunyai  penyelesaian  dengan  mengambil x  = . Dengan demikian, penyelesaian system persamaan A x b  = ini dapat dibuat lemah dengan pendefinisian subpenyelesaian terbesar.

## Definisi
Sub penyelesaian terbesar adalah vector terbesar x yang memenuhi max A x b   yang diberi notasi * x . Sub penyelesaian terbesar tidak harus menjadi  penyelesaian dari A x b  = . Teorema berikut merupakan teroema untuk mencari sub penyelesaian terbesar A x b  = .
Teorema
Diberikan max m n A   dengan  elemen  elemen  pada  setiap  kolomnya  tidak  seluruhnya  sama  dengan  dan max m b  maka ( ) * max j i i ij x b a − = − + Untuk setiap   1, 2, , i m  dan   1, 2, , n j 

## Teorema
Diberikan max m n A   dengan  elemen  elemen  pada  setiap  kolomnya  tidak  seluruhnya  sama  dengan  dan max m b  .    Sistem  persamaan A x b  = memiliki  penyelesaian  bila  dan  hanya  bila * x adalah penyelesaiannya.
Perhatikan bahwa ( )
      11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 1 1 2 2 * max max , , , max , , , max , , , j i i ij m m m m n n mn m x b a a b a b a b a b a b a b a b a b a b − = − + − − −    
− − −
 
=     
 − − −  
Lebih lanjut, diberikan definisi matriks discrepancy dengan notasi dengan , A b D dengan
11 1 21 2 1 12 1 22 2 2 , 1 1 2 2 m m m m A b n n mn m a b a b
a b a b a b a b D
a b a b a b − − −     − − −   =  
 
− − −  
Setiap * j x − bisa ditetapkan dari pengambilan nilai maksimum setiap kolom , A b D .
Supaya  mendapat  prediksi  jumlah  penyelesaian  persamaan A x b  = ,  sehingga  perlu  diberikan  definisi matriks , A b R yang merupakan hasil reduksi matriks , A b D didefinisikan sebagai berikut :
, A b ij R r   =   dengan 1, jika d maksimum kolom j 0, yang lainnya ij ij r =  =  
Berikut ini contoh penyelesaian A x b  = .
Penyelesaian A x b  = jika
1 2 3 2 1 3
7 0 6 , , 4
4 0 2 5 x A x x b x     
        = = = 
                
.
Apabila didasarkan matriks A dan vector b maka diperoleh
, 6 7 5 3 3 1 5 3 A b D  − − −  
  = −     − − −
  dan , 0 0 0 0 0 1 1 1 0 A b R     =    
 
Berdasarkan , A b D maka diperoleh   * 1, 5, 3 T x = − . Tetapi jika diperhatikan , A b R terdapat satu baris di baris pertama  yang  nol.  Sehingga  system  persamaan A x b  = dengan  matriks  diatas  tidak  mempunyai penyelesaian.  Jadi   * 1, 5, 3 T x = − hanya  merupakan  sub  penyelesaian  terbesar  bukan  penyelesaian  dari system persamaan A x b  = . Jika  system  persamaan  linear A x b  = dengan  ukuran  matriks  yang  besar  maka  pengerjaan perhitungan  secara  manual  maka  akan  sulit  diselesaikan.  Oleh  karena  itu,  dibuat  program  dengan menggunakan MATLAB.
Tabel 1. Waktu yang diperlukan pesawat untuk melakukan kegiatan groundhandling
Kegiatan Tipe Pesawat B739  B738  B735  B734  B733  A320  ATR 72 Mematikan mesin 1 1 1 1 1 1 1 Mengatur posisi garbata/tangga 1 1 1 1 1 1 0,8 Penumpang turun 10 9 3 3 3 4,4 5,9 Mengecek log book 1,5 1.5 1,5 1,5 1,5 7,3 1,5 Membongkar muatan 11 6 15 15 15 6 6,2 Pelayanan dapur 15 15 16 16 16 12 7,7 Pelayanan kamar kecil 10 10 14 14 14 3,3 7,7 Pelayanan kabin 11 11 19,5 19,5 19,5 18 12 Pengisian bahan bakar 9 9 10 10 10 15,3 17,6 Pemeriksaan keliling 9 9 14 14 14 9 6 Mengangkut muatan 18 9 13 13 13 6 8.7 Pengecekan log book 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 Penumpang naik 15 14 5 5 5 12 6,2 Menyalakan mesin 3 3 2 2 2 3 1,5 Melepas garbata/tangga 1 1 1 1 1 1 1 Mengosongkan area untuk keberangkatan 1 1 1,5 1,5 1,5 1 2,31
Tampilan setelah dirunning menggunakan program MATLAB adalah sebagai berikut : >> solsislinmax Masukkan matriks A(mxn) = [1 1 10 1.5 11 15 10 11 9 9 18 1.5 15 3 1 1;1 1 9 1.5 15 16 14 19.5 10 14 13 1.5 5 2 1 1.5; 1 1 3 1.5 15 16 14 19.5 10 14 13 1.5 5 2 1 1.5; 1 1 3 1.5 15 16 14 19.5 10 14 13 1.5 5 2 1 1.5; 1 1 3 1.5 15 16 14 19.5 10 14 13 1.5 5 2 1 1.5; 1 1 4.4 7.3 6 12 3.3 18 15.3 9 6 1.5 12 3 1 1 ; 1 0.8 5.9 1.5 6.2 7.7 7.7 12 17.6 6 8.7 1.5 6.2 1.5 1 2.31]
Masukkan matriks b(mx1) = [35; 40; 36 ; 35; 42; 38; 42]
Matriks A =
Columns 1 through 11
1.0000    1.0000   10.0000    1.5000   11.0000   15.0000   10.0000   11.0000 9.0000    9.0000   18.0000 1.0000    1.0000    9.0000    1.5000   15.0000   16.0000   14.0000   19.5000 10.0000   14.0000   13.0000 1.0000    1.0000    3.0000    1.5000   15.0000   16.0000   14.0000   19.5000 10.0000   14.0000   13.0000 1.0000    1.0000    3.0000    1.5000   15.0000   16.0000   14.0000   19.5000 10.0000   14.0000   13.0000 1.0000    1.0000    3.0000    1.5000   15.0000   16.0000   14.0000   19.5000 10.0000   14.0000   13.0000 1.0000    1.0000    4.4000    7.3000    6.0000   12.0000    3.3000   18.0000 15.3000    9.0000    6.0000 1.0000    0.8000    5.9000    1.5000    6.2000    7.7000    7.7000   12.0000 17.6000    6.0000    8.7000

## Columns 12 through 16
1.5000   15.0000    3.0000    1.0000    1.0000 1.5000    5.0000    2.0000    1.0000    1.5000 1.5000    5.0000    2.0000    1.0000    1.5000 1.5000    5.0000    2.0000    1.0000    1.5000 1.5000    5.0000    2.0000    1.0000    1.5000 1.5000   12.0000    3.0000    1.0000    1.0000 1.5000    6.2000    1.5000    1.0000    2.3100 Matriks b = 35
40
36
35 42 38 42
Matriks D = Columns 1 through 11
-34.0000  -34.0000  -25.0000  -33.5000  -24.0000  -20.0000  -25.0000  -24.0000 -26.0000  -26.0000  -17.0000
-39.0000  -39.0000  -31.0000  -38.5000  -25.0000  -24.0000  -26.0000  -20.5000
-30.0000  -26.0000  -27.0000
-35.0000  -35.0000  -33.0000  -34.5000  -21.0000  -20.0000  -22.0000  -16.5000
-26.0000  -22.0000  -23.0000
-34.0000  -34.0000  -32.0000  -33.5000  -20.0000  -19.0000  -21.0000  -15.5000
-25.0000  -21.0000  -22.0000
-41.0000  -41.0000  -39.0000  -40.5000  -27.0000  -26.0000  -28.0000  -22.5000
-32.0000  -28.0000  -29.0000
-37.0000  -37.0000  -33.6000  -30.7000  -32.0000  -26.0000  -34.7000  -20.0000
-22.7000  -29.0000  -32.0000 -41.0000  -41.2000  -36.1000  -40.5000  -35.8000  -34.3000  -34.3000  -30.0000 -24.4000  -36.0000  -33.3000
Columns 12 through 16
-33.5000  -20.0000  -32.0000  -34.0000  -34.0000 -38.5000  -35.0000  -38.0000  -39.0000  -38.5000 -34.5000  -31.0000  -34.0000  -35.0000  -34.5000
-33.5000  -30.0000  -33.0000  -34.0000  -33.5000 -40.5000  -37.0000  -40.0000  -41.0000  -40.5000 -36.5000  -26.0000  -35.0000  -37.0000  -37.0000 -40.5000  -35.8000  -40.5000  -41.0000  -39.6900
Matriks R = 1     1     1     0     0     0     0     0     0     0     1     1     1
1     1     0 0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0 0     0     0 0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0 0     0     0 1     1     0     0     1     1     1     1     0     1     0     1     0 0     1     1 0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0 0     0     0 0     0     0     1     0     0     0     0     1     0     0     0     0 0     0     0 0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0
0     0     0
Penyelesaian sistem adalah x = {}
ans = '{}'

## Teorema
Diberikan sistem persamaan A x b  = di mana  dengan elemen – elemen max m n A   pada setiap kolomnya tidak seluruhnya sama dengan  dan m b  .
1. Apabila ada baris nol pada matriks ,b A R maka sistem tidak mempunyai penyelesaian.
2. Apabila terdapat paling tidak satu elemen 1 pada tiap baris ,b A R , maka * x adalah penyelesaian dari sistem persamaan A x b  = .
Berdasarkan  pada  hasil  output  MATLAB,  maka  system  tidak  memiliki  penyelesaian.  Vektor * t bukan merupakan penyelesaian sebab berdasarkan matriks R dan teorema di atas maka sistem persamaan A x b  = tidak  memiliki  penyelesaian.  Vektor 
 * 34 34 25 30.7 20 19 21 15.5 22.7 21 17 33.5 20 32 34 38.5 t = bukan merupakan penyelesaian. Meskipun * t bukan merupakan penyelesaian yang tepat untuk system persamaan di  atas,  bukan  berarti  pesawat  akan  mengalami  penundaan  jadwal  keberangkatan.  Akan  tetapi,  tidak terpenuhinya  persamaan  ketiga  disebabkan  karena  penanganan  pesawat  di  gate  3  selesai  lebih  awal. Penyelesaian seperti ini disebut sebagai penyelesaian tak ideal.

## 4. KESIMPULAN
Sistem persamaan aljabar max plus A x b  = bisa diaplikasikan ke maslah ground handling di bandara. Pengaplikasiannya ini dengan menentukan waktu mulai paling lambat untuk setiap kegiatan ground handling sehingga secara keseluruhan kegiatan dapat terselesaikan dan pesawat dapat berangkat tepat waktu.

## DAFTAR PUSTAKA
Fatchiyah  L,  Magister  P,  Dan  M,  Transportasi  R,  Sipil  JT,  Teknik  F,  et  al.  Analisis  Dampak  Delay  Yang Terjadi Pada Runway , Apron Analysis the Impact of Delay Runway , Apron and Airspace Aircraft Operations on. 2017;
Fendiyanto P. MENGHITUNG KAPASITAS RUNWAY MENGGUNAKAN PETRI NET DAN ALJABAR MAX-PLUS. J PRIMATIKA. 2019;8(2):101–10.
Hestuningrum  HAPL,  Ahyudanari  E.  Manajemen  Kendaraan  Ground  Handling  di  Terminal  1  Bandara Internasional Juanda. War Ardhia. 2019;44(2):99–106.
Junianti P, Sisca M, Pandey V, Lalamentik LGJ. Analisis Kapasitas Landasan Pacu (Runway) Pada Bandar Udara Internasional Sam Ratulangi Manado. J Sipil Statik. 2020;8(1):83–90.
Rudhito MA. Aljabar max-plus dan penerapannya. 2016;
Setiawan  D.  Analisis  Kapasitas  Apron  dan  Ruang  Tunggu  Keberangkatan  Penumpang  Pesawat  pada  New Yogyakarta International Airport. Semesta Tek. 2019;22(1):31–40.
Susilowati  E,  Hartono  BP.  Penjadwalan  Proyek  Rumah  Dengan  Menggunakan  Metode  CPM  Pendekatan Aljabar Max Plus. Saintifik. 2023;9(1):7–17.
Udara  B,  Sastranegara  H,  Hermansyah  MS,  Nugraha  C.  Model  Simulasi  Untuk  Analisis  Kapasitas. 2014;02(03):210–21.