## Contemporary Mathematics and Applications
Vol. 5, No. 2, 2023, pp. 64-78.
Resolving Independent Dominating Set pada Graf Bunga, Graf Gear, dan Graf Bunga Matahari
R M Prihandini 1 , N A Az-Zahra 2 , Dafik 3 , A C Prihandoko 4 , R Adawiyah 5
1,2,3,5 Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Jember, Indonesia
4 Program Studi Ilmu Komputer, Universitas Jember, Indonesia
5 Corresponding author Email: robiatul@unej.ac.id
Abstract.  Resolving  independent  dominating  set  is  the  development  of  metric  dimension  and independent  dominating  set.  The  set  W  is  resolving  independent  dominating  set  for  G  if  W  is independent in G, and distinct vertices of G have distinct representations with respect to W. The minimum  cardinality  of  resolving  independent  dominating  set  is  called  resolving  independent domination number and denoted by γri(G). In this study,  we examined the resolving independent dominating set of flower graphs, gear graphs, and sunflower graphs.
Keywords: Resolving Independent Dominating Set; Graf Bunga; Graf Gear; Graf Bunga Matahari.

## 1 Pendahuluan
Sebuah  graf 𝐺 merupakan  pasangan  himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑛 } adalah  himpunan  terbatas,  tak  kosong  dan  terurut  dari  elemen  yang  disebut  titik  dan 𝐸(𝐺) = {𝑒 1 , 𝑒 2 , … , 𝑒 𝑛 } merupakan  himpunan  terbatas,  boleh  kosong,  dan  tidak  terurut dari dua titik yang disebut sisi [6]. Suatu graf berkemungkinan tidak memiliki satu sisi tetapi harus memiliki minimal satu titik, graf tersebut dinamakan graf trivial [1]. Order merupakan  banyaknya  titik  dari  sebuah  graf  yang  dinotasikan  dengan |𝑉(𝐺)|. Size merupakan  banyaknya  sisi  dari  sebuah  graf  yang  dinotasikan  dengan |𝐸(𝐺)| [10]. Banyaknya  sisi  yang incident pada  suatu  titik  disebut  derajat  dan  dinotasikan  dengan 𝑑(𝑣) .
Konsep metric  dimension pertama  kali  dikenalkan  oleh  Harary  dan  Melter,  selain  itu diteliti  juga  oleh  Slater  secara  terpisah  [7].  Misalkan 𝑊 = {𝑤 1 , 𝑤 2 , … , 𝑤 𝑘 } merupakan suatu himpunan terurut dari titik pada graf 𝐺 dan 𝑣 adalah sebuah titik pada graf 𝐺 , maka representasi
titik 𝑣 ke 𝑊 merupakan sebuah 𝑘 −
𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑑(𝑣, 𝑤 1 ), 𝑑(𝑣, 𝑤 2 ), … , 𝑑(𝑣, 𝑤 𝑘 )) [3].  Apabila  setiap  titik  di  graf 𝐺 memiliki representasi berbeda terhadap 𝑊 , maka 𝑊 disebut resolving set . Kardinalitas minimum dari resolving set dinamakan metric dimension dan dinotasikan dengan 𝑑𝑖𝑚(𝐺) [5].
Himpunan 𝐷 pada titik graf sederhana 𝐺 disebut dengan dominating set apabila setiap titik 𝑣 ∈ (𝐺) − 𝐷 yang tidak  bertetangga pada  beberapa  titik 𝑣 ∈ 𝐷 [2].  Himpunan 𝐷 dinamakan independent dominating set apabila setiap titik di 𝐷 tidak bertetangga dengan titik  lainnya  [4].  Kardinalitas  minimum  dari independent  dominating  set dinamakan independent domination number dan dinotasikan dengan 𝛾 𝑖 (𝐺) . Resolving independent dominating set merupakan gabungan dari konsep independent dominating set dan metric dimension . Resolving independent dominating set memiliki syarat bahwa setiap titik yang menjadi dominator tidak boleh bertetangga satu sama lain. Pada penelitian sebelumnya, telah diteliti independent dominating set beberapa macam graf, yaitu graf lintasan (𝑃 𝑛 ) , graf cycle (𝐶 𝑛 ) , graf persahabatan (𝐹 𝑛 ) , graf helm (𝐻 𝑛 ) , dan graf kipas (𝑓 𝑛 ) [5].

## 2 Metode
Metode  yang  digunakan  dalam  penelitian  ini  adalah  metode  deduktif  aksiomatik  dan metode pendeteksian pola [6].
a) Metode deduktif aksiomatik
Metode deduktif aksiomatik merupakan metode penelitian yang menerapkan prinsip- prinsip pembuktian deduktif (dari hal umum ke khusus) yang berlaku dalam logika matematika  dengan  menggunakan  aksioma,  lemma,  dan  teorema  yang  ada  untuk memecahkan suatu permasalahan pada topik yang diteliti. Penelitian ini nantinya akan diperoleh  beberapa  teorema  atau  definisi  yang  didapatkan  dari  hasil  analisis  lebih lanjut dari beberapa teorema atau definisi yang ada sebelumnya [8].
b) Metode pendeteksian pola Metode pendeteksian pola merupakan metode penelitian guna mencari pola resolving independent dominating set pada graf yang diteliti [9].

## 3 Hasil dan Diskusi
Berikut  akan  dibahas  mengenai resolving  independent  dominating  set dari  graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) , graf gear (𝐺 𝑛 ) , dan graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) yang akan disajikan dalam beberapa teorema dan pembuktian sebagai berikut.
Teorema 1. Jika (𝐹𝑙 𝑛 ) merupakan graf bunga dengan 𝑛 ≥ 3 , maka
𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛
Bukti: Graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) merupakan  graf  dengan  himpunan  titik 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) = {𝑧} ∪ {𝑥 𝑖 , ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑗 , ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝐹𝑙 𝑛 ) = {𝑧𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑧𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑖\𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 1 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛 − 1} ∪ {𝑥 𝑛 𝑥 1 } . Kardinalitas dari himpunan sisi dan himpunan titik dari graf bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) berturut-turut
adalah |𝑉(𝐹𝑙 𝑛 )| = 2𝑛 + 1 dan |𝐸(𝐹𝑙 𝑛 )| = 4𝑛 . (𝐹𝑙 𝑛 ) memiliki  dimensi  metrik  yaitu 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 untuk 𝑛 = 3 dan 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 − 1 untuk 𝑛 ≥ 4 . Jadi kita mempunyai 2 kasus, kasus pertama adalah saat 𝑛 = 3 dan kasus kedua adalah saat 𝑛 ≥ 4 .
Kasus 1. 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 3 akan dibuktikan dengan menunjukkan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan batas  atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 . Pertama, kita akan membuktikan batas atas resolving independent dominating number dari (𝐹𝑙 𝑛 ) . Kita memilih 𝑊 = {𝑦 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = 𝑛 . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga  dari  himpunan  titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) − 𝑊 adalah 𝑁(𝑦 𝑗 )   = {𝑧, 𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}
ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  saling  bertetangga,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set
iii. Titik di (𝐹𝑙 𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda di 𝑊 . Jadi 𝑊 merupakan resolving set . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada (𝐹𝑙 𝑛 ) dengan resolving independent dominating set pada Tabel 1.
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝐹𝑙 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  bawah  dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 .  Berdasarkan  (ii)  kita dapatkan  bahwa 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 ,  jadi  kita  mempunyai 𝛾 𝑟 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 ) .  Dengan demikian, kita dapatkan batas bawah dari resolving independent domination number dari 𝐹𝑙 𝑛 sebagai berikut:
𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ max  { 𝛾 𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 )} = max  {𝑛, 𝑛}

## = 𝑛
Berdasarkan  analisis  tersebut,  didapatkan  batas  bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan  batas  atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 .  Jadi,  dapat  disimpulkan  bahwa resolving  domination  number dari  graf bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) saat 𝑛 = 3 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 .
Kasus 2. 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 4 akan dibuktikan dengan menunjukkan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan batas  atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 . Pertama, kita akan membuktikan batas atas
resolving independent dominating number dari (𝐹𝑙 𝑛 ) . Kita memilih 𝑊 = {𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = 𝑛 . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga dari himpunan titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) − 𝑊 adalah 𝑁(𝑦 𝑗 )~{𝑧, 𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}
ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝐹𝑙 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  saling  bertetangga,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set
iii. Titik  di (𝐹𝑙 𝑛 ) memiliki  representasi  yang  berbeda  di 𝑊 .  Jadi 𝑊 merupakan resolving set . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada (𝐹𝑙 𝑛 ) dengan resolving independent dominating set pada Tabel 1.
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝐹𝑙 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 .
Selanjutnya  akan  dibuktikan  batas  bawah  dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 .  Berdasarkan  (ii)  kita dapatkan bahwa 𝑖(𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 , jadi kita mempunyai 𝛾 𝑟 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑖(𝐹𝑙 𝑛 ) . Dengan demikian, kita  dapatkan  batas  bawah  dari resolving  independent  domination  number dari 𝐹𝑙 𝑛 sebagai berikut:
𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ max{ 𝛾 𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝐹𝑙 𝑛 )}
= max{𝑛, 𝑛 − 1}
= 𝑛
Kita  telah  membuktikan  batas  bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan  batas  atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) ≤ 𝑛 .  Jadi, dapat disimpulkan bahwa resolving domination number dari graf bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) saat 𝑛 ≥ 4 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 .
Pada Tabel 1 berikut diberikan representasi titik dari graf bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) .
Tabel 1. Representasi dari 𝒗 ∈ 𝑽(𝑭𝒍 𝒏 ) − 𝑾 𝒏 𝒅(𝒗|𝑾)
𝑧 (1,1,1, … ,1 ⏟ 𝑛 ) 𝑥 1 (1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−1 )
𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) 𝑥 2 (2,1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−2 ) 𝑥 3 (2,2,1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−3 ) ⋮ 𝑥 𝑖 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑖−1 , 1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−𝑖 ) 𝑥 𝑛 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−1 , 1) 𝑦 1 (0, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−1 ) 𝑦 2 (2,0, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−2 ) 𝑦 3 (2,2,0, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−3 ) 𝑦 𝑗 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑗−1 , 0, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−𝑗 ) 𝑦 𝑛 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−1 , 0)
Pada Gambar 1 diberikan resolving independent dominating set dari graf bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) .
Gambar 1 Resolving Independent Dominating Set Graf Bunga (𝐹𝑙 𝑛 )
Teorema 2. Jika (𝐺 𝑛 ) merupakan graf gear dengan 𝑛 ≥ 3 , maka
𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 )   = { 𝑛,                 𝑛 = 3 𝑛 − 1, 𝑥 ≥ 4
Bukti: Graf  gear (𝐺 𝑛 ) memiliki  himpunan  titik 𝑉(𝐺 𝑛 ) = {𝑧} ∪ {𝑥 𝑖 , ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑗 , ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝐺 𝑛 ) = {𝑧𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑗 ; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛; 𝑗 = 𝑖 − 1} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑛 } .  Kardinalitas  dari  himpunan  sisi |𝑉(𝐺 𝑛 )| = 2𝑛 + 1 dan  kardinalitas  dari  himpunan  titik  dari  graf  gear (𝐺 𝑛 ) adalah |𝐸(𝐺 𝑛 )| = 3𝑛 .  Dalam  membuktikan  teorema  ini  kita  menggunakan  2  kasus,  kasus pertama  adalah  saat 𝑛 = 3 dan  kasus  kedua  adalah  saat 𝑛 ≥ 4 .  Teorema  ini  akan dibuktikan  dengan  menentukan  batas  bawah  dan  batas  atas  dari resolving  independent dominating set pada graf gear .
Kasus  1. Untuk  membuktikan 𝛾 𝑟 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 = 3 kita  harus  membuktikan  batas bawah 𝛾 𝑟 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan batas atas 𝛾 𝑟 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 . Pertama, kita akan membuktikan batas atas resolving  independent  dominating  number dari 𝐺 𝑛 .  Kita  memilih 𝑊 = {𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = 𝑛 . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga dari himpunan titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝑊 adalah 𝑁(𝑥 𝑖 )~{𝑧, 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan 𝑁(𝑦 𝑗 )~{𝑧, 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 = 𝑗} ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  bertetangga  satu  sama  lain,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set
iii. Titik di (𝐺 𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda di 𝑊 . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada 𝐺 𝑛 dengan resolving independent dominating set pada Tabel 2. Berdasarkan  representasi  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑊 merupakan resolving independent dominating set .
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝐺 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 .
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 :
𝛾 𝑟 (𝐺 𝑛 ) ≥ max{𝛾(𝐺 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝐺 𝑛 )}
= max{𝑛, 𝑛}
= 𝑛
Kita telah membuktikan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa resolving independent domination number dari graf gear (𝐺 𝑛 ) saat 𝑛 = 3 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛 .
Kasus  2. 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛 − 1, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 4 akan  dibuktikan  dengan  menunjukkan  batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 − 1 dan  batas  atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 − 1 .  Pertama,  kita  akan
membuktikan batas atas resolving independent dominating number dari 𝐺 𝑛 . Kita memilih 𝑊 = {𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = 𝑛 − 1 . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga dari himpunan titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝑊 adalah
𝑁(𝑥 𝑖 )~{𝑧, 𝑥 𝑖−1 , 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} dan 𝑁(𝑦 𝑗 )~{𝑧, 𝑥 𝑖 , 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 𝑖 = 𝑗}
ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  tidak  terdominasi,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set .
iii. Titik di (𝐺 𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda di 𝑊 . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada 𝐺 𝑛 dengan resolving independent dominating set pada Tabel 2: Berdasarkan  representasi  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑊 merupakan resolving independent dominating set .
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝐺 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 − 1 .
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 − 1 :
𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ max  {𝛾 𝑖 (𝐺 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝐺 𝑛 )} = max  {𝑛 − 1, 𝑛 − 1}
= 𝑛 − 1
Kita telah membuktikan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≥ 𝑛 − 1 dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) ≤ 𝑛 − 1 . Jadi, dapat disimpulkan bahwa resolving independent domination number dari graf gear (𝐺 𝑛 ) saat 𝑛 ≥ 4 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 ) = 𝑛 − 1 . Berikut tabel  representasi titik dari graf gear (𝐺 𝑛 ) .
Tabel 2. Representasi dari 𝒗 ∈ 𝑽(𝑮 𝒏 ) − 𝑾 𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) 𝑧 (1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−3 ) 𝑥 1 (0, 3,3, … , ⏟   3,2 𝑛−3 ) 𝑥 2 (2,1, 3,3, … ,3 ⏟     , 2 𝑛−4 )
𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) 𝑥 3 (2,3,1,1, 3,3, … ,3 ⏟     , 2 𝑛−5 ) 𝑥 𝑖 (2, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑖−3 , 1,1, 3,3, … ,3 ⏟     , 2 𝑛−𝑖−2 ) 𝑥 𝑛−1 (2, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛−4 , 1,2) 𝑥 𝑛 (2, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛−3 , 0) 𝑦 1 (1,2, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑛−4 , 3) 𝑦 2 (3,0,2, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑛−5 , 3) 𝑦 3 (3,2,0,2, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑛−6 , 3) ⋮ 𝑦 𝑗 (3, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑗−3 , 2,0,2, 2,2, … ,2 ⏟
𝑛−𝑗 ) 𝑦 𝑛−1 (3, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑛−4 , 2,1) 𝑦 𝑛 (1, 4,4, … ,4 ⏟ 𝑛−3 , 1)
Berikut gambar resolving independent dominating set dari graf gear (𝐺 𝑛 ) .
Gambar 2 Resolving Independent Dominating Set Graf Gear (𝐺 𝑛 )
Teorema 3. Jika (𝑆𝐹 𝑛 ) merupakan graf bunga matahari dengan 𝑛 ≥ 5 , maka
𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 )   = ⌈ 𝑛 2 ⌉
Bukti: Graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) memiliki himpunan titik 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) = {𝑧} ∪ {𝑥 𝑖 , ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑦 𝑗 , ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} dan  himpunan  sisi 𝐸(𝑆𝐹 𝑛 ) = {𝑧𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 𝑖 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑗 ; 2 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛; 𝑗 = 𝑖 − 1} ∪ {𝑥 𝑖 𝑥 𝑖+1 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} ∪ {𝑥 1 𝑦 𝑛 } . Kardinalitas dari himpunan sisi |𝑉(𝑆𝐹 𝑛 )| = 2𝑛 + 1 dan kardinalitas dari himpunan titik dari graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) adalah |𝐸(𝑆𝐹 𝑛 )| = 4𝑛 . 𝑆𝐹 𝑛 memiliki dimensi metrik yaitu 𝑑𝑖𝑚(𝑆𝐹 𝑛 ) = 3 untuk 𝑛 = 5,6,7 dan 𝑑𝑖𝑚(𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 3 ⌉ untuk 𝑛 ≥ 8 . Jadi kita mempunyai 2  kasus,  kasus  pertama  adalah  saat 𝑛 = 5,6,7 dan  kasus  kedua  adalah  saat 𝑛 ≥ 8 . Teorema ini akan dibuktikan dengan menentukan batas bawah dan batas atas.
Kasus 1. 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 5 akan dibuktikan dengan menunjukkan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Pertama, kita akan membuktikan batas atas resolving independent dominating number dari 𝑆𝐹 𝑛 . Kita memilih 𝑊 = {𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga dari himpunan titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) − 𝑊 adalah 𝑁(𝑥 𝑖 )~{𝑧, 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛}
ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  bertetangga  satu  sama  lain,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set
iii. Titik di (𝑆𝐹 𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda di 𝑊 . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada 𝑆𝐹 𝑛 dengan resolving independent dominating set pada Tabel 3 dan Tabel 4.
Berdasarkan  representasi  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑊 merupakan resolving independent dominating set .
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝑆𝐹 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ .
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ : 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ 𝛾 𝑖 max{(𝑆𝐹 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝑆𝐹 𝑛 )} = max {⌈ 𝑛 2 ⌉ , 3}
= ⌈ 𝑛 2 ⌉
Kita telah membuktikan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Jadi, dapat  disimpulkan  bahwa resolving  independent  domination  number dari  graf  bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) saat 𝑛 = 5,6,7 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ .
Kasus 2. 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ , 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑛 ≥ 5 akan dibuktikan dengan menunjukkan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Pertama, kita akan membuktikan batas atas resolving independent dominating number dari graf bunga matahari. Kita memilih 𝑊 = {𝑥 𝑖 ; 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛} jadi kita memiliki |𝑊| = ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Akibatnya terdapat beberapa kondisi:
i. Tetangga  dari  himpunan  titik 𝑊 terhadap 𝑣 ∈ 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) − 𝑊 adalah 𝑁(𝑥 𝑖 )   = {𝑧, 𝑦 𝑗 ; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛}
ii. Semua titik di 𝑣 ∈ 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) − 𝑊 didominasi oleh titik-titik di 𝑊 dan tidak ada titik- titik  di 𝑊 yang  bertetangga  satu  sama  lain,  hal  ini  berarti  bahwa 𝑊 adalah independent dominating set
iii. Titik di (𝑆𝐹 𝑛 ) memiliki representasi yang berbeda di 𝑊 . Untuk mengetahui apakah representasi setiap titik di 𝑊 berbeda satu sama lain, kita dapat melihat representasi semua titik pada 𝑆𝐹 𝑛 dengan resolving independent  dominating set pada Tabel  3 dan Tabel 4.
Berdasarkan  representasi  di  atas,  dapat  disimpulkan  bahwa 𝑊 merupakan resolving independent dominating set .
Berdasarkan beberapa kondisi di atas, dapat disimpulkan bahwa batas atas dari resolving independent domination number dari 𝑆𝐹 𝑛 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ .
Selanjutnya akan dibuktikan batas bawah dari 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ : 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ 𝛾 𝑖 max{(𝑆𝐹 𝑛 ), 𝑑𝑖𝑚(𝑆𝐹 𝑛 )} = max {⌈ 𝑛 2 ⌉ , ⌈ 𝑛 3 ⌉ } = ⌈ 𝑛 2 ⌉
Kita telah membuktikan batas bawah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≥ ⌈ 𝑛 2 ⌉ dan batas atas 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) ≤ ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Jadi, dapat  disimpulkan  bahwa resolving  independent  domination  number dari  graf  bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) saat 𝑛 ≥ 8 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ . Berikut tabel representasi titik dari graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) .
Tabel 3. Representasi dari 𝒗 ∈ 𝑽(𝑺𝑭 𝒏 ) − 𝑾, 𝒏 = ganjil 𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) Keterangan 𝑧 (1,1, … ,1 ⏟
⌊ 𝑛 2 ⌋ , 2) 𝑛 ≥ 5 𝑥 1 (0, 2,2, … ,2 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋ ) 𝑛 ≥ 5 𝑥 2 (1,1, 2,2, … ,2 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−2 , 3) 𝑛 ≥ 5 𝑥 3 (2,0, , 2,2, … ,2 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−2 , 3) 𝑛 ≥ 5
⋮
𝑥 𝑖 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑖 2 −1 , 1,1, 2,2, … ,2 ⏟
⌊ 𝑛−2−𝑖 2 ⌋ , 3) 𝑖 genap
𝑥 𝑖 (2,2, … ,2 ⏟ ⌈ 𝑖 2 ⌉−1 , 0, 2,2, … ,2 ⏟ ⌈ 𝑛−2−𝑖 2 ⌉ , 3) 𝑖 ganjil 𝑥 𝑛−1 (2,2, … ,2 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 , 1,1) 𝑛 ganjil 𝑥 𝑛 (1, 2,2, … ,2 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 , 1) 𝑛 ganjil 𝑦 1 (1, 3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 , 2) 𝑛 ≥ 5 𝑦 2 (1,2, 3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 ) 𝑛 ≥ 5
𝑦 3 (2,1, 3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−2 , 4) 𝑛 ≥ 5
⋮
𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) Keterangan 𝑦 𝑗 (3,3, … ,3 ⏟ 𝑗 2 −1 , 1,2, 3,3, … ,3 ⏟
⌊ 𝑛−2−𝑗 2 ⌋ , 4) 𝑗 ganjil 𝑦 𝑗 (3,3, … ,3 ⏟
⌊ 𝑗 2 ⌋−1 , 2,1, 3,3, … ,3 ⏟ ⌈ 𝑛−2−𝑗 2 ⌉ , 4) 𝑗 ganjil 𝑦 𝑛−1 (3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 , 1,2) 𝑛 ganjil 𝑦 𝑛 (2, 3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−2 , 2,0) 𝑛 ganjil 𝑦 𝑛−1 (3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−1 , 1,2) 𝑛 ganjil 𝑦 𝑛 (2, 3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑛 2 ⌋−2 , 2,0) 𝑛 ganjil
Tabel 4. Representasi dari 𝑣 ∈ 𝑉(𝑆𝐹 𝑛 ) − 𝑊, 𝑛 = genap 𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) Keterangan 𝑧 (1,1, … ,1 ⏟ 𝑛 2 ) 𝑛 ≥ 5
𝑥 1 (0, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛 2 −1 ) 𝑛 ≥ 5 𝑥 2 (1,1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛 2 −2 ) 𝑛 ≥ 5
𝑥 3
(2,0, , 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛 2 −2 ) 𝑛 ≥ 5
⋮
𝒏 𝒅(𝒗|𝑾) Keterangan 𝑥 𝑖 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑖 2 −1 , 1,1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛−2−𝑖
2 ) 𝑖 genap 𝑥 𝑖 (2,2, … ,2 ⏟ ⌈ 𝑖 2 ⌉−1 , 0, 2,2, … ,2 ⏟ ⌈ 𝑛−2−𝑖 2 ⌉ ) 𝑖 ganjil 𝑥 𝑛−1 (2,2, … ,2 ⏟ 𝑛 2 −1 , 0) 𝑛 genap 𝑥 𝑛 (1, 2,2, … ,2 ⏟ 𝑛 2 −2 , 1) 𝑛 genap 𝑦 1 (1, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛 2 −2 , 2) 𝑛 ≥ 5 𝑦 2 (1,2, 3,3, … ,3 ⏟
𝑛 2 −2 ) 𝑛 ≥ 5 𝑦 3 (2,1, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛 2 −2 ) 𝑛 ≥ 5 ⋮
𝑦 𝑗 (3,3, … ,3 ⏟ 𝑗 2 −1 , 1,2, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛−2−𝑗 2 ) 𝑗 ganjil
𝑦 𝑗 (3,3, … ,3 ⏟ ⌊ 𝑗 2 ⌋−1 , 2,1, 3,3, … ,3 ⏟ ⌈ 𝑛−2−𝑗 2 ⌉ ) 𝑗 ganjil
𝑦 𝑛−1 (3,3, … ,3 ⏟ 𝑛 2 −2 , 0) 𝑛 genap
𝑦 𝑛 (2, 3,3, … ,3 ⏟ 𝑛 2 −2 , 1)
𝑛 genap
Berikut gambar resolving independent dominating set dari graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) .
Gambar 3 Resolving Independent Dominating Set Graf Bunga Matahari (𝑆𝐹 𝑛 )

## 4 Kesimpulan
Berdasarkan hasil di atas, diperoleh teorema baru resolving independent dominating set untuk  graf  khusus. Resolving  independent  domination  number pada  graf  bunga (𝐹𝑙 𝑛 ) dengan 𝑛 ≥ 3 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐹𝑙 𝑛 ) = 𝑛 , resolving independent domination number pada graf gear (𝐺 𝑛 ) dengan 𝑛 ≥ 3 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝐺 𝑛 )   = { 𝑛,          𝑛 = 3 𝑛 − 1, 𝑥 ≥ 4 , resolving  independent domination number pada graf bunga matahari (𝑆𝐹 𝑛 ) dengan 𝑛 ≥ 5 adalah 𝛾 𝑟𝑖 (𝑆𝐹 𝑛 ) = ⌈ 𝑛 2 ⌉ .

## 5 Daftar Pustaka
[1] Adawiyah, R., Prihandini, R. M., Albirri, E. R., Agustin, I. H. & Alfarisi, R., 2019, The local  multiset  dimension  of  unicyclic  graph ,  in IOP  Conference  Series:  Earth  and Environmental Science, IOP Publishing (Vol. 243, No. 1, p. 012075).
[2] Az-Zahra,  N.  A.,  Dafik,  D.  &  Prihandini,  R.  M.,  2023, Resolving  Dominating  Set  pada Graf  Bunga  dan  Graf  Roda , CGANT  JOURNAL  OF  MATHEMATICS  AND APPLICATIONS, 4 (1).
[3] Alfarisi ,  R.,  Dafik,  &  Kristiana,  A.  I.,  2019, Resolving  domination  number  of  graphs , Discrete Mathematics, Algorithms, and Application, 11 (6), 1950071.
[4] Dafik ,  Agustin,  I.  H.,  Wardani,  D.  A.,  &  Kurniawati,  E.  Y.,  2017, A  study  of  local domination  number  of  S n ⊵ H  graph .  Journal  of  Physics:  Conference  Series, 943 (1), 012003.
[5] Dafik ,  Slamin,  Agustin,  I.  H.,  Retnowardani,  D.  A.  &  Kurniawati,  E.  Y.,  2021, On  the resolving  strong  domination  number  of  graphs:  a  new  notion .  Journal  of  Physics: Conference Series, 1836 (1), 012019.
[6] Mazidah, T., Dafik, Slamin, Agustin, I. H. & Nisviasari, R., 2021, Resolving independent domination  number  of  some  special  graphs ,  Journal  of  Physics:  Conference  Series, 1832 (1), 012022.
[7] Prihandini,  R.  M.  &  Adawiyah,  R.,  2023, On  Super  (3n+5,2)-Edge  Antimagic  Total Labeling  and  Its  Application  to  Construct  Hill  Chiper  Algorithm . BAREKENG:  Jurnal Ilmu Matematika dan Terapan, 17 (1), 0029-0036.
[8] R. H., Dafik, Kristiana, A. I., Agustin, I. H. & Kurniawati, E. Y., 2022, On the resolving strong domination number of some wheel related graphs , Journal of Physics: Conference Series, 2157 (1), 012015.
[9] Rofiah, M. & Dafik, 2014, Kajian himpunan dominasi pada graf khusus dan operasinya , in  Prosiding  Seminar  Matematika  dan  Pendidikan  Matematika  Universitas  Jember,  pp. 191-6.
[10] Slamin, 2009, Desain Jaringan: Pendekatan Teori Graf , Universitas Jember.