## PERHITUNGAN TEKANAN DAN DEBIT ALIRAN AIR DALAM PIPA : APLIKASI METODE ELEMEN HINGGA DENGAN MENGGUNAKAN PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
Yeny Pusvyta* *Dosen Program Studi Teknik Mesin Fakultas Teknik  Universitas IBA
Email : yeny.isgawa@gmail.com

## ABSTRAK
Penelitian ini merupakan penelitian awal yang mengarah kepada penyelesaian dengan metoda komputasi. Dimana  kasus  yang terjadi  merupakan kasus  yang  mempunyai  model  matematika dengan  variabel  yang banyak.    Pada  instalasi  pipa  yang  bercabang,  debit  aliran  pipa  diatur  dengan  menetapkan  batasan  nilai tekanan  masuk  dan  keluar.  Instalasi  pipa  kemudian  dibagi  menjadi  beberapa  elemen.  Metode  elemen hingga  digunakan    untuk  menentukan  titik-titik  acuan  yang  akan  ditinjau  tekanannya,  sehingga  tekanan pada tiap elemen pipa dapat diketahui. Pada tiap elemen dihitung tahanannya. Perhitungan tekanan  pada rangkaian  pipa  dilakukan  dengan  metode  eliminasi    Gauss  matrik  segitiga  atas  dan  bawah.  Analisa  dan komparasi dari hasil perhitungan penurunan tekanan dan debit aliran menunjukkan  perhitungan tekanan memenuhi  hukum Poiseuille dan  mempunyai trend nilai  yang  sama  dengan  perbedaan  nilai  tekanan terbesar  di  elemen  5  sebesar  73  N/m 2 atau  sekitar  6,06%  dan    perbedaan  tekanan  terkecil  di  elemen  6 sebesar 9,73 N/m 2 atau sekitar 0,81%. Perbedaan nilai debit terbesar terdapat pada elemen 1 yaitu sebesar 13,25  m 3 /s  dan  yang  terkecil  sebesar  1,27  m 3 /s  pada  elemen  pipa  2,  3,  dan  4.  Pada  perhitungan  debit masuk  keluar  pipa  bercabang,  didapat  hasil  bahwa    tidak  seluruh  pipa  majemuk  pada  instalasi  tersebut memenuhi hukum kontinuitas.
Keyword  : Elemen  pipa,  eliminasi  Gauss,  matrik  segitiga  atas  dan  bawah,  perubahan  tekanan,  debit aliran.

## 1. PENDAHULUAN

## 1.1. Latar Belakang
Pemenuhan kebutuhan terhadap air dengan jangkauan yang jauh sebagian besar dilakukan dengan  menggunakan  sistem  perpipaan,  dimana  pada  proses  aliran  dari  sumber  air  tersebut terdapat  rugi-rugi  yang  mengakibatkan  penurunan  tekanan  aliran.    Beberapa  kondisi  yang mempunyai  pengaruh    terhadap  rugi-rugi  aliran  fluida,  seperti  gesekan  pada  dinding  pipa, belokan  belokan,  perbesaran  maupun  pengecilan  dalam  pipa,  dan  variabel  lainnya  sehingga tekanan dalam pipa makin berkurang. Seperti penelitian yang dilakukan oleh Nurcholis (2008), tentang perhitungan laju aliran fluida pada jaringan pipa yang menunjukkan bahwa hubungan antara kehilangan  tenaga  dan  debit  aliran,  jika  aliran  semakin  besar  dengan  koefisien  rugi head tinggi, maka rugi head pada setiap panjang pipa semakin besar.
Perhitungan  rugi-rugi  aliran  air  dalam  pipa  yang  bercabang  dengan  metode  elemen hingga  melibatkan  penggunaan  variabel  yang  lebih  banyak  tergantung  dengan jumlah  elemen, dimana  penyelesaian  dengan  variabel  yang  sangat  banyak  akan  lebih  efisien  jika  dilakukan dengan  metode  komputasi.  Pada  proses  ke  arah  penggunaan  metode  komputasi,  diperlukan langkah-langkah awal dalam menangani kasus perhitungan yang memiliki kemungkinan untuk diselesaikan dengan metode tersebut.
Proses  numerik  yang  dilakukan  pada  perhitungan  tekanan  dan  debit  air  dalam  pipa, melibatkan  pembagian  elemen  yang  jumlahnya  sebanding  dengan  banyaknya  variabel  dalam
persamaan.  Penyelesaian  proses  numerik  untuk  persamaan  variabel  banyak  untuk  kasus  aliran dalam  pipa  yang  merupakan  persamaan  linier,  membutuhkan  perhitungan  manual  yang dilakukan  sebagai langkah awal untuk mendapatkan nilai pembanding untuk proses yang lebih lanjut.  Mengingat  bahwa,  proses  manual  yang  biasa  digunakan  untuk  menyelesaikan  sistem persamaan  linear,  tidak  bisa  begitu  saja  diterapkan  dalam  pemrograman.  Diperlukan  beberapa perlakuan yang berbeda, yang pada prinsipnya bertujuan untuk memperoleh bentuk matrik yang paling  optimal  (Krisnawati,  2009).  Maka  dilakukan  perhitungan  dengan  dua  perlakuan  yang berbeda  untuk  melihat  kesamaan  ataupun  perbedaan  terhadap  nilai  tekanan  dan  debit    yang dihasilkan.

## 1.2. Tujuan Penelitian
Menerapkan  teori-teori  dalam  metode  elemen  hingga  untuk  perhitungan  tekanan  aliran fluida  tak  mampu  mampat  dalam  pipa  tertutup,  dan  mengkomparasi  nilai  tekanan  dan  debit dengan perhitungan eliminasi Gauss segitiga atas dan bawah.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Metode Elemen Hingga
Metode  Elemen  hingga  adalah  metode  numerik  untuk  mendapatkan  solusi  persamaan diferensial,  baik  persamaan  diferensial  biasa  maupun  parsial.  Prinsip  metode  elemen  hingga adalah  membagi  domain  permasalahan  baik  itu  domain  ruang  ( spatial  domain )  atau  domain waktu  ( time  domain ),  menjadi  sub  domain  atau  elemen  yang  lebih  kecil.  Dengan  menghitung solusi ada elemen elemen dan selanjutnya menggabungkan keseluruhan solusi elemental, solusi total dari permasalahan yang diperoleh.  Dalam  menghitung solusi per-elemen  tentunya solusi elemen  harus  memenuhi  beberapa  ketentuan,  seperti  kontinuitas  pada  titik  titik  nodal  dan antarmuka ( interface ) elemen (Kosasih, 2012).

## Persamaan Linier Simultan
Persamaan  linier  simultan  adalah  suatu  bentuk  persamaan-persamaan  yang  secara bersama sama menyajikan banyak variabel bebas. Bentuk  persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas dapat dituliskan sebagai berikut :
a 11 x 1 + a 12 x 2 +….+ a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +….+ a 2n x n =b 2 ….. a m1 x 1 + a m2 x 2 +….+ a mn x n =b m
Persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matrik, sebagai berikut :
[ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 13 … 𝑎 1𝑛 𝑎 23 … 𝑎 2𝑛 𝑎 33 … 𝑎 3𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚3 … 𝑎 𝑚𝑛 ] [ 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 ⋮ 𝑥 𝑛 ] = [ 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ⋮ 𝑏 𝑛 ]
dimana :
a ij =  merupakan  koefisien  persamaan  simultan  dengan  i  menunjukkan  baris,  dan  j menunjukkan kolom
x = variabel bebas pada persamaan simultan
Persamaan  linear  simultan  dapat  diselesaikan  dengan  beberapa  metode,  salah  satunya yaitu dengan metode eliminasi Gauss. Pada metode eliminasi Gauss, beberapa persamaan n x n
dan dengan 1 x n variabel bebas dikumpulkan dalam sebuah matrik yang dinamakan augmented matrik .  Beberapa  variabel  dalam Augmented  matrik kemudian  dilakukan  eliminasi,  dengan mengambil pivot baris pertama dan berlanjut hingga baris ke m-1. Variabel di baris selanjutnya dikurangkan  dengan  baris  pivot  dikali  konstanta  dilakukan  supaya  matrik  tersebut  berbentuk segitiga  atas,  atau  mengambil  pivot  di  baris  terakhir  untuk  menjadi  matrik  segitiga  bawah dengan  menggunakan  operasi  basis  elementer  (OBE).  Contoh augmented  matrik yang  diubah menjadi matrik segitiga atas :
[ 𝑎 11 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 22 𝑎 31 𝑎 32 𝑎 13 … 𝑎 1𝑛 𝑎 23 … 𝑎 2𝑛 𝑎 33 … 𝑎 3𝑛 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚3 … 𝑎 𝑚𝑛 | | 𝑏 1 𝑏 2 𝑏 3 ⋮ 𝑏 𝑛 ] → [ 𝑐 11 𝑐 12 0 𝑐 22 0 0 𝑐 13 … 𝑐 1𝑛 𝑐 23 … 𝑐 2𝑛 𝑐 33 … 𝑐 3𝑛 ⋮ 0    0 0 … 𝑐 𝑚𝑛 | | 𝑑 1 𝑑 2 𝑑 3 ⋮ 𝑑 𝑛 ]
Nilai  dari  masing-masing  variabel  dicari  dengan  melakukan  substitusi  balik,  dengan mencari harga x n , x n-1 hingga x 1 .
a nn x n =   b n →   x n =   b n a nn ⁄ a n−1,n−1 x n−1 +   a n−1,n x n =   b n−1 →   x n−1 = b n−1 − a n−1,n x n a n−1,n−1 a n−2,n−2 x n−2 +  a n−2,n−1 x n−1 +   a n−1,n x n =   b n−2 →   x n−2 = b n−2 − a n−2,n−1 x n−1 − a n−2,n x n a n−2,n−2
Dan seterusnya, hingga didapat seluruh nilai  variabel x.

## Aliran tak mampu mampat dalam pipa
Aliran  fluida  internal  tak  mampu  mampat  adalah  aliran  di  dalam  suatu  laluan  yang penampang nya berupa kurva tertutup  dan masa jenis fluida sepanjang aliran adalah tetap.
Aliran tunak berkembang penuh pada diameter konstan digerakan oleh gravitasi  dan/atau gaya  tekanan.  Pada  aliran  pipa  horizontal,  gravitasi  tidak  berpengaruh  untuk  variasi  tekanan hidrostatik    melalui  pipa.  Perbedaan  tekanan ∆𝑝 = 𝑝 1 − 𝑝 2 antara  bagian  satu  dengan  yang lain  yang  membuat  fluida  mengalir  melalui  pipa.  Perhitungan  perbedaan  tekanan  dihitung dengan rumus 2.1.
∆p =  ρ f L D v ̅ 2 2 (2.1)
μ = 4 ρ Q π D Re
(2.2)
dimana;
∆𝑝 = pressure drop (N/m 2 ) 𝜌 = masa jenis fluida (kg/m 3 ) L = panjang pipa (m) 𝑣̅ = kecepatan rata-rata (m/s)
𝜇 = viskositas dinamik (N.s/m 2 ) 𝑓 = faktor gesekan
Re = Bilangan Reynolds Q = debit aliran (m 3 /s)
Untuk aliran tunak, berkembang penuh;
 Aliran laminar ( Re < 2300) 𝑓 = 64 𝑅𝑒
(2.3)
𝑙 𝑒 𝐷 = 0,06 𝑅𝑒 ; 𝑙 𝑒 𝐷 = panjang jalan masuk
(2.4)
Untuk  Aliran  Laminer,  berkembang  penuh  pada  pipa  horizontal,  dengan  mensubtusi rumus (2,3), rumus luas penampang lingkaran ke rumus (2.1) dan mengkonversi dengan rumus (2.2) didapat rumus penurunan tekanan atau dikenal dengan hukum Poiseuille :
∆p = 128 μ L π D 4 Q (2.5)
 Aliran turbulen ( Re > 4000)
𝑙 𝑒 𝐷 = 4,4 (𝑅𝑒) 1 6 ⁄ (2.6)
Gambar 2.1. Pergerakan Elemen Fluida Silindris dalam Pipa
Gambar 2.2. Diagram Benda Bebas Elemen Fluida
Persamaan Bernoulli untuk fluida aliran tunak tak mampu mampat, jika tidak terjadi rugi tekanan akibat gesekan :
1 ρ (p 2 − p 1 ) + 1 2 (v 2 2 −   v 1 2 ) + g(z 2 − z 1 ) =0 (2.7)
p 1
ρ + 1 2 v 1 2 + gz 1 = p 2 ρ + 1 2 v 2 2 + gz 2 (2.8)

Mayor head loss adalah rugi pada daerah pipa lurus. Keseimbangan energi untuk aliran tunak berkembang penuh;
( p 1 ρ + gz 1 ) − ( p 2 ρ + gz 2 ) = L D v ̅ 2 2 (2.9)
h L = L D v ̅ 2 2 (2.10)
 Minor head loss : Rugi pada daerah pipa yang diakibatkan perubahan arah atau geometri sepanjang saluran alir,  terjadi akibat belokan, elbow, tee , dan sebagainya.
h M = K v ̅ 2 2 (2.11)
h M = L e D v ̅ 2 2 (2.12)
dimana :
D, 𝑓 , dan v̅ mengarah pada pipa yang berdekatan K = koefisien head loss 𝐿 𝑒 = panjang ekivalen
Total Head Loss :
h T =   ∑ h L +   ∑ h M (2.13)
( p 1 ρ + 1 2 v 1 2 + gz 1 ) −   ( p 2 ρ + 1 2 v 2 2 + gz 2 ) =   h T (2.14)
𝛼 =  koefisien energy kinetik ( 𝛼 = 1 untuk profil seragam, 𝛼 = 2 untuk profil parabolik)
Pada  aliran  konstan  fluida  dalam  pipa  yang  tidak  mampu  mampat  dan  masa  jenisnya tetap, berlaku  hukum kontinuitas  yaitu perkalian antara luas penampang dan kecepatan fluida di setiap titik sepanjang tabung adalah konstan pada persamaan (2.15) dan (2.16).
𝑄 1 =   𝑄 2 (2.15)
𝑣 1 ̅̅̅ . 𝐴 1 = 𝑣 2 ̅̅̅ . 𝐴 2
(2.16)
Pada  sistem  pipa  majemuk  yang  terdiri  dari  pipa  pipa  yang  tersusun  bercabang  ( loop), maka  jumlah  seluruh  laju  aliran  pada  percabangannya  merupakan  besar  laju  aliran  di  pipa utama. Persamaan (2.17) untuk pipa majemuk yang mempunyai dua cabang :
𝑄 1 =   𝑄 2 +   𝑄 3 (2.17)

## 3. METODE PENELITIAN
Metode  penelitian  yang  digunakan  untuk  penelitian  ini  merupakan  kajian  literatur  dan studi  komparasi  dari    perhitungan  teoritis  perhitungan  tekanan  fluida  cair  dalam  sambungan pipa,  dimana  dalam  perhitungan  tersebut  menggunakan  teori  dalam  metode  elemen  hingga, sistem persamaan linier simultan yaitu eliminasi Gauss segitiga atas dan bawah. Metodologi penelitian :
1. Menetapkan model fisik rangkaian pipa untuk aliran fluida
2. Menetapkan batasan-batasan penelitian dan asumsi
3. Membagi rangkaian pipa menjadi beberapa elemen
4. Membuat model matematika untuk satu elemen
5. Menetapkan kondisi batas dan nilai nilai awal
6. Membuat augmented matrik
7. Melakukan penyelesaian dengan metode eliminasi Gauss segitiga atas dan bawah
8. Mendapatkan nilai tekanan di tiap titik
9. Mendapatkan nilai debit
10. Membandingkan dan menganalisa nilai tekanan
11. Membandingkan dan menganalisa nilai debit
Adapun model fisik rangkaian pipa yang akan dibahas terdapat pada gambar berikut:
Gambar 3.1. Model Fisik Pipa dengan Pembagian Elemen dan Nodal Tekanan
Batasan – batasan dalam penelitian ini adalah :
 Sambungan pipa berada pada level ketinggian yang sama
 Fluida di dalam pipa adalah yaitu air.
 Aliran air dalam pipa merupakan aliran laminer
 Aliran air dalam pipa adalah aliran berkembang penuh
 Perhitungan head loss minor diabaikan
 Rangkaian pipa dibagi menjadi 6 elemen
 Pengujian perhitungan mengambil nilai : L 1 = L 6 = 3 meter, L 2 = L 4 =10 meter, L 3 = L 5 = 16 meter, diameter pipa 40 mm, tekanan masuk 2000 N/m 2 dan tekanan keluar = 1200 N/m 2 , viskositas dinamik air diambil untuk suhu 20 o C = 0,001 Ns/m 2 .

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
Model  matematika  untuk  kasus  aliran  fluida  laminer  dan  tak  mampu  mampat  dalam pipa didapat model matematika dari persamaan (2.5) untuk debit aliran dan pressure drop sebgai berikut :
π D 4
128 μ L ∆p = Q
Tahanan pada elemen pipa : [R] e [ πD 4 128μL − πD 4 128μL − πD 4 128μL πD 4
128μL] dimana  :
R  = Tahanan pipa (𝑚 5 𝑁. 𝑠 ⁄ )
Model matematika debit aliran pada satu elemen  elemen pipa:
[ Q i,i+1 −Q i+1,i ] = [ πD 4 128μL − πD 4 128μL − πD 4 128μL πD 4 128μL] [ p i p i+1 ]
Augmented  matrik untuk  enam  elemen  pipa  dibuat  dengan  menjumlahkan  tahanan  pada percabangan pipa :
𝜋𝐷 1 4 128𝜇𝐿 1 − 𝜋𝐷 1 4 128𝜇𝐿 1 0 0
0 0
𝐵 1
− 𝜋𝐷 1 4 128𝜇𝐿 1 𝜋 128𝜇 ( 𝐷 1 4 𝐿 1 + 𝐷 2 4 𝐿 2 + 𝐷 5 4 𝐿 5 ) − 𝜋𝐷 2 4 128𝜇𝐿 2 0 − 𝜋𝐷 5 4
128𝜇𝐿 5 0 𝐵 2 0 − 𝜋𝐷 2 4 128𝜇𝐿 2 𝜋 128𝜇 ( 𝐷 2 4 𝐿 2 + 𝐷 3 4 𝐿 3 ) − 𝜋𝐷 3 4 128𝜇𝐿 3 0 0 𝐵 3
0 0
− 𝜋𝐷 3 4 128𝜇𝐿 3 𝜋 128𝜇 ( 𝐷 3 4 𝐿 3 − 𝐷 4 4 𝐿 4 ) − 𝜋𝐷 4 4
128𝜇𝐿 4 0 𝐵 4 0 − 𝜋𝐷 5 4 128𝜇𝐿 5 0 − 𝜋𝐷 4 4 128𝜇𝐿 4 𝜋 128𝜇 ( 𝐷 4 4 𝐿 4 − 𝐷 5 4 𝐿 5 + 𝐷 6 4 𝐿 6 ) − 𝜋𝐷 6 4 128𝜇𝐿 6 𝐵 5
0 0 0 0 − 𝜋𝐷 6 4 128𝜇𝐿 6 𝜋𝐷 6 4 128𝜇𝐿 6 𝐵 6
Untuk  mendapatkan  nilai  tekanan  di  tiap  elemen  pipa,  masukkan  nilai  batas  tekanan masuk  dan  tekanan  keluar,  maka  nilai − πD 1 4 128μL 1 pada augmented  matrik baris  pertama  dan
− πD 6 4 128μL 6 pada baris keenam menjadi nol. Masukkan nilai diameter, viskositas dinamik dan nilai panjang pipa :
1 0 0 0 0 0 2000 -209,33.10 -7 311,38.10 -7 -62,8. 10 -7 0 -39,3.10 -7 0 0 0 -62,8.10 -7 102,05.10 -7 -39,25.10 -7 0 0 0 0 0 -39,25.10 -7 102,1.10 -7 -62,8.10 -7 0 0 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 -209,33.10 -7 0 0 0 0 0 0 1 1200

## A. Matrik Segitiga Atas
Pivot baris ke-1 1 0 0 0 0 0 2000 0 311,38.10 -7 -62,80. 10 -7 0 -39,25. 10 -7 0 0,0419 0 -62,8. 10 -7 102,05. 10 -7 39,25. 10 -7 0 0 0 0 0 -39,25. 10 -7 102,05. 10 -7 -62,8. 10 -7 0 0
0 -39,25. 10 -7 0 -62,8. 10 -7 311,4.10 -7 -209,33. 10 -7 0 0 0 0 0 0 1 1200 Pivot baris ke-2 1 0 0 0 0 0 2000 0 311,38.10 -7 -62,80. 10 -7 0 -39,25. 10 -7 0 0,0419 0 0 89,38. 10 -7 -39,25. 10 -7 -7,92. 10 -7 0 0,0084 0 0 -39,25.10 -7 102,05. 10 -7 -62,8. 10 -7 0 0 0 0
-7,92.10 -7 -62,8. 10 -7 306,44. 10 -7 -209,33. 10 -7 0,0053 0 0 0 0 0 1 1200 Pivot baris ke-3 1 0 0 0 0 0 2000 0 311,38.10 -7 -62,80. 10 -7 0 -39,25. 10 -7 0 0,0419 0 0 89,38. 10 -7 -39,25. 10 -7 -7,92. 10 -7 0 0,0084 0 0 0 84,81. 10 -7 -66,28. 10 -7 0 0,0037 0 0 0 -62,8. 10 -7 300,87. 10 -7 -209,33. 10 -7 0,0053 0 0 0 0 0 1 1200 Pivot baris ke-4 1 0 0 0
0 0 2000 0 311,38.10 -7 -62,80. 10 -7 0 -39,25. 10 -7 0 0,0419 0 0
89,38. 10 -7 -39,25. 10 -7 -7,92. 10 -7 0 0,0084 0 0 0 84,81. 10 -7 -66,28. 10 -7 0 0,0037 0 0
0 0
251,80. 10 -7 -209,33. 10 -7 0,0080 0 0
0 0 0 1 1200
Matrik segitiga atas setelah dilakukan eliminasi Gauss menjadi :
1 0 0 0 0 0 P 1 2000 0 311,38.10 -7 -62,80. 10 -7 0 -39,25. 10 -7 0 P 2 0,0419 0 0 89,38. 10 -7 -39,25. 10 -7 -7,92. 10 -7 0 P 3 = 0,0084 0 0 0 84,81. 10 -7 -66,28. 10 -7 0 P 4 0,0037 0 0 0 0 251,80. 10 -7 -209,33. 10 -7 P 5 0,0080 0 0 0 0 0 1 P 6 1200
Dengan  substitusi  balik  didapat nilai tekanan  p 5 ,  p 4 , p 3 dan  p 2 secara berurut  pada  tabel untuk matrik (A).

## B. Matrik Segitiga Bawah Pivot di baris 6
1 0 0 0 0 0 2000 -209,33.10 - 7 311,38.10 -7 -62,8. 10 -7 0 -39,3.10 -7 0 0 0 -62,8.10 -7 102,05.10 -7 -39,25.10 -7 0 0 0 0 0 -39,25.10 -7 102,1.10 -7 -62,8.10 -7 0 0 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 0 0,0251 0 0 0 0 0 1 1200 Pivot di baris 5 1 0 0 0 0 0 2000 -209,33.10 -7 306,44. 10 -7 -62,8. 10 -7 -7,92.10 -7 0 0 0 0 -62,8.10 -7 102,05.10 -7 -39,25.10 -7 0 0 0 0 -7,92.10 -7 -39,25.10 -7 89,38.10 -7 0 0 0 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 0 0,0251 0 0 0 0 0 1 1200 Pivot di baris ke 4 1 0 0 0 0 0 2000 -209,33.10 -7 305,7.10 -7 -62,8. 10 -7 0 0 0 0,0036 0 -66,3.10 -7 84,8.10 -7 0 0 0 0,0022 0 -7,92.10 -7 -39,25.10 -7 89,38.10 -7 0 0 0,0051 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 0 0,0251 0 0 0 0 0 1 1200

## Pivot di baris ke 3
1 0 0 0 0 0 2000 -209,33.10 -7 254,0.10 -7 0 0 0 0 0,0036 0 -66,3.10 -7 84,8.10 -7 0 0 0 0,0022 0 -7,92.10 -7 -39,25.10 -7 89,38.10 -7 0 0 0,0051 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 0 0,0251 0 0 0 0 0 1 1200
Matrik segitiga bawah setelah dilakukan eliminasi Gauss :
1 0 0 0 0 0 P 1 2000 -209,33.10 -7 254,0.10 -7 0 0 0 0 P 2 0,0036 0 -66,3.10 -7 84,8.10 -7 0 0 0 P 3 = 0,0022 0 -7,92.10 -7 -39,25.10 -7 89,38.10 -7 0 0 P 4 0,0051 0 -39,25.10 -7 0 -62,8.10 -7 311,4.10 -7 0 P 5 0,0251 0 0 0 0 0 1 P 6 1200
Dengan melakukan substitusi, didapatkan secara berurut nilai p 2 , p 3 , p 4 , dan p 5 , pada tabel untuk matrik B.

## Tabel  4.1.  Nilai  Tekanan  pada  Perhitungan  Eliminasi  Gauss  Matrik  Segitiga  Atas  dan Bawah
Tekanan (N/m 2 ) Matrik p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 p 6 A 2000 1854,2774 1704,8182 1465,6836 1316,2245  1200 B 2000 1791,0043 1661,8230 1455,1330 1325,9517  1200 |A-B| 0 63,2731 42,9952 10,5506 9,7272 0
Nilai  yang  dicari  dengan  menggunakan  eliminasi  Gauss  segitiga  atas  memiliki  nilai tekanan p 2 , p 3 , p 4 yang lebih tinggi dari nilai pada eliminasi Gauss segitiga bawah, sedangkan nilai p 5 lebih rendah. Selisih nilai tekanan tertinggi yaitu selisih tekanan di titik p 2 matrik A dan B, kemudian menurun secara berurut selisih tekanan di titik p 3 , p 4 , dan p 5 .
Gambar 4.1. Nilai Tekanan dan Debit Aliran pada Tiap Elemen Pipa untuk Matrik Segitiga Atas (A) dan Bawah (B) 0 500 1000 1500 2000 2500 1 2 3 4 5 6 T ek an an d alam P ip a (N/m 2 ) Posisi nilai Tekanan A B |A-B|
Tabel  4.2.  Penurunan  Tekanan  dan  Debit  Aliran  pada  Tiap  Elemen  Pipa  untuk  Matrik Segitiga Atas (A) dan Bawah (B)
Elemen Panjang Pipa (m) Penurunan tekanan (  p) Tahanan pipa Debit Aliran (m 3 /s) Posisi A B |A - B| (N/m 2 ) % (N/m 2 ) % (N/m 2 ) % *10 -6 A B |A - B| 1 3 P 1 -P 2 145,72 7,29 209,00 10,45 63,27 3,16 20,93 30,50 43,75 13,25 2 10 P 2 -P 3 149,46 8,06 129,18 7,21 20,28 0,85 6,28 9,39 8,11 1,27 3 16 P 3 -P 4 239,13 14,03 206,69 12,44 32,44 1,59 3,93 9,39 8,11 1,27 4 10 P 4 -P 5 149,46 10,20 129,18 8,88 20,28 1,32 6,28 9,39 8,11 1,27 5 16 P 2 -P 5 538,05 29,02 465,05 35,07 73,00 6,06 3,93 21,12 18,25 2,87 6 3 P 5 -P 6 116,22 9,69 125,95 10,50 9,73 0,81 20,93 24,33 26,37 2,04
Perbandingan  nilai  penurunan  tekanan  untuk  eliminasi  Gauss  matrik  segitiga  atas  dan bawah  :  pada  pengerjaan  dengan  matrik  segitiga  atas  terlihat  angka  penurunan  tekanan  yang lebih tinggi  untuk  elemen 2,  3,  4,  dan  5 dibandingkan  pengerjaan  matrik  segitiga  bawah  yang nilainya lebih tinggi untuk elemen 1 dan 6. Selisih nilai penurunan tekanan terbesar berdasarkan urutan terdapat pada elemen 5, 1, 3, tekanan pada elemen 2 dan 4 yang memiliki nilai sama, dan selisih  terkecil  terdapat  pada  perhitungan  penurunan  tekanan  di  elemen  6.  Kedua  metode memiliki  nilai penurunan tekanan yang tertinggi berurut pada elemen 5, 3, elemen 2 dan 4 yang memiliki nilai yang sama, sedangkan nilai terkecil terdapat pada elemen 6.
Gambar 4.2.  Grafik Penurunan Tekanan pada Elemen Pipa
Nilai  penurunan  tekanan  yang  besar  terdapat  pada  elemen  5  dan  elemen  3,  yang merupakan  pipa  yang  paling  panjang.  Ini  sesuai  dengan  hukum Poiseuille dimana    penurunan tekanan sebanding dengan pertambahan panjang.
Pada  matrik  eliminasi  Gauss  segitiga  atas,  penurunan  tekanan  terbesar  terjadi  pada elemen  5  yaitu  sebesar  538,0528  N/m 2 sedangkan  elemen  cabang  pipa  yang  yang  lain  yaitu elemen  pipa  2,3,dan  4  yang  terhubung,  jumlah  penurunan  tekanan  ketiga  cabang  tersebut nilainya  sama  dengan  penurunan  tekanan  pada elemen  pipa  5  yaitu  538,05  N/m 2 .  Pada  matrik eliminasi  Gauss  segitiga  bawah,  terjadi  kecenderungan  yang  sama  namun  nilainya  berbeda. Penurunan  tekanan  terbesar  juga  terjadi  pada  elemen  5  yaitu  sebesar  465,05  N/m 2 sedangkan elemen  cabang  pipa  yang  yang  lain  yaitu  elemen  pipa  2,3,dan  4  yang  terhubung,  jumlah
63,27 20,28 32,44 20,28 73,00 9,73 0 100 200 300 400 500 600 1 2 3 4 5 6 P en u ru n an T ek an an (P a) Elemen pipa A B |A - B| 3,16 0,85
1,59 1,32 6,06 0,81 0 5 10 15 20 25 30 35 40 1 2 3 4 5 6 P en u ru n an T ek an an (% ) Elemen Pipa A B |A - B|
penurunan  tekanan  ketiga  cabang  tersebut  nilainya  sama  dengan  penurunan  tekanan  pada elemen pipa 5 yaitu 465,05 N/m 2 .
Gambar 4.3.  Grafik Debit Aliran pada Elemen Pipa
Pada  perhitungan  debit  air,  matrik  eliminasi  Gauss  segitiga  atas  (A)  mempunyai  nilai yang lebih tinggi untuk elemen 2,3,4, dan 5 dari matrik eliminasi Gauss segitiga bawah (B), dan sebaliknya. Selisih nilai debit tertinggi terdapat pada perhitungan di elemen 1, kemudian elemen 5 dan 6. Selisih nilai debit yang terkecil terdapat pada 3 elemen yaitu 2, 3, dan 4.

## Tabel 4.3. Pengujian Hukum Kontinuitas
Debit air pada elemen pipa (m 3 /s) Elemen Elemen pada pipa majemuk input Elemen pada pipa majemuk output Matrik 1 2+5 1-(2+5) 4+5 6 (4+5)-6 A 30,50 30,50 0,00 30,50 24,33 6,17 B 43,75 26,37 17,38 26,37 26,37 0,00
Pada  rangkaian  pipa  di  gambar  2.1,  elemen  pipa  1  tersambung  pada  elemen  pipa  2  dan elemen pipa 5 yang merupakan pipa majemuk. Air mengalir dari elemen pipa 2 ke elemen pipa 3, melewati elemen pipa 4 dan bertemu dengan aliran air dari elemen pipa 5 di titik p 5 . Air dari elemen pipa 4 dan 5   keluar lewat elemen pipa 6, dimana elemen pipa 4, 5, dan 6 merupakan pipa majemuk.
Pengujian nilai debit pada pipa majemuk yang bercabang dua, terdapat antara nilai debit yang sama pada elemen 1 dengan penjumlahan debit pada cabang pipa elemen 2 dan 5, untuk matrik  eliminasi  Gauss  segitiga  atas.  Pada  eliminasi  Gauss  segitiga  bawah,  nilai  yang  sama adalah jumlah nilai debit cabang pipa elemen 5 dan 4 dengan elemen pipa 6. Hukum kontinuitas terpenuhi  untuk  debit  masuk  matrik  segitiga  atas  dan  debit  keluar  matrik  segitiga  bawah. Sedangkan perbedaan nilai yang terjadi untuk matrik segitiga atas cabang pipa elemen 6 dengan selisih nilai 6,17 atau 20,24 %  kurang dari jumlah debit elemen  4 dan 5, serta matrik segitiga bawah  cabang  pipa  elemen  1  dengan  elemen  2  dan  5  dengan  nilai  selisih  17,38  atau  39,73% lebih besar dari nilai debit pada elemen 6. Ketidaksesuaian hukum kontinuitas terjadi pada hasil perhitungan eliminasi Gauss pada augmented matrik terhadap beda nilai tekanan yang di dapat lebih  awal  secara  teotitis,  yaitu  nilai  p 5 untuk  matrik  segitiga  atas  dan  nilai  p 2 untuk  matrik segitiga bawah.
13,25 1,27  1,27 1,27 2,87 2,04 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 1 2 3 4 5 6 D eb it A li ra n ( * 1 0 -4 m 3 /s) Elemen Pipa A B |A -  B|
5. KESIMPULAN DAN SARAN

## 5.1. Kesimpulan
1. Penerapan  teori  metode  elemen  hingga  pada  perhitungan  nilai  tekanan  dan  debit  air pada pipa tertutup sesuai dengan hukum Poiseuille .
2. Penyelesaian  perhitungan  tekanan  dan  debit  dengan  metode  eliminasi  Gauss  matrik segitiga  atas  dan  bawah  menghasilkan  nilai  yang  berbeda  namun  mempunyai trend nilai yang sama dengan perbedaan nilai tekanan terbesar di elemen 5 sebesar 73 N/m 2 atau sekitar 6,06% dan  perbedaan tekanan terkecil di elemen 6 sebesar 9,73 N/m 2 atau sekitar  0,81%.  Perbedaan  nilai  debit  terbesar  terdapat  pada  elemen  1  yaitu  sebesar 13,25 m 3 /s dan yang terkecil sebesar 1,27 m 3 /s pada elemen pipa 2, 3, dan 4.
3. Hukum  kontinuitas  terpenuhi  pada  debit  aliran  di  pipa  masuk  untuk  penyelesaian dengan eliminasi matrik segitiga atas untuk elemen pipa majemuk input 1,2 dan 5, dan debit keluar matrik segitiga bawah untuk lemen pipa majemuk output 4, 5, dan 6.

## 5.2. Saran
Perlu  penelitian  lanjutan  untuk  memilih  metode  yang  memiliki error minimal  untuk  di lanjutkan ke perhitungan dengan metode komputasi.

## DAFTAR PUSTAKA
Kosasih, Prabuono Buyung. 2012. Teori dan Aplikasi Metode Elemen Hingga.  Penerbit Andi.
Yogyakarta.
Krisnawati.  2009.  Studi  kasus  terhadap  penyelesaian  sistem  persamanaan  linear  dengan eliminasi Gauss. Jurnal Dasi. Vol 10 No 1. ISSN 1411-3201.
Munson, Bruce R et all. 2013. Fundamental of Fuid Mechanics . Seventh Edition. John Willey
& Sons Inc.
Munson, Bruce R et all. 2003. Mekanika Fluida. Alih bahasa oleh Harinaldi dan Budiarso. Edisi Keempat. Jilid 2. Penerbit Erlangga. Jakarta.
http://www.bakker.org/dartmouth06/engs150/01-intro.pdf diakses bulan September 2017.
http://dinus.ac.id/repository/docs/ajar/14-METODE_NUMERIK.pdf  diakses  bulan  Oktober 2017 .
http://p3m.amikom.ac.id/p3m/dasi/2010/DASIMaret2009/7%20- %20STMIK%20AMIKOM%20YOGYAKARTA%20- %20STUDI%20KASUS%20TERHADAP%20PENYELESAIAN%20SISTEM%20PERS AMANAAN%20LINEAR.pdf diakses bulan Oktober 2017
jurnal.untidar.ac.id/index.php/wahana/article/view/252/205 diakses bulan September 2017