## Nilai Ketakteraturan Total dari Lima Copy Graf Bintang
Corry Corazon Marzuki 1 , Era Napra Tilopa Sihombing 2 , Abdussakir 3 , Ade Novia Rahma 4
1,2,4 Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau, Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293, Indonesia.
3 Program Magister Pendidikan Matematika, Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan, UIN Maulana Malik Ibrahim Malang, Jl. Gajayana 50, Malang, 65144, Indonesia.
Korespondensi;  Corry  Corazon  Marzuki,  Email:  corry@uin-suska.ac.id;  Era  Napra  Tilopa  Sihombing,  Email: erasihombing2701@gmail.com

## Abstrak
Misalka 𝑮 = (𝑽, 𝑬) adalah  suatu graf  dan 𝒌 adalah suatu bilangan bulat positif. Pelabelan- 𝒌 total pada 𝑮 adalah suatu pemetaaan 𝒇: 𝑽 ∪ 𝑬 → {𝟏, 𝟐, … , 𝒌} . Bobot titik 𝒕 dinyatakan dengan 𝒘 𝒇 (𝒕) = 𝒇(𝒕) + ∑ 𝒇(𝒖𝒕) 𝒖𝒕∈𝑬(𝑮) dan bobot sisi 𝒖𝒕 dinyatakan dengan 𝒘 𝒇 (𝒖𝒕) = 𝒇(𝒖) + 𝒇(𝒖𝒕) + 𝒇(𝒕) . Suatu pelabelan- 𝒌 total pada 𝑮 dikatakan tak teratur total, jika  bobot  setiap  titik  berbeda  dan  bobot  setiap  sisi  berbeda.  Nilai 𝒌 terkecil  sehingga  suatu  graf 𝑮 memiliki pelabelan- 𝒌 total  tak  teratur  total  disebut  nilai  ketakteraturan  total  dari 𝑮 ,  dinotasikan  dengan 𝒕𝒔(𝑮) .  Pada penelitian ini, ditentukan nilai ketakteraturan total dari lima copy graf bintang 5Sn, dengan 𝒏 adalah bilangan bulat positif dan 𝒏 ≥ 𝟑 .
Kata Kunci graf bintang; nilai ketakteraturan total; pelabelan total tak teratur total.

## Abstract
Let 𝑮 = (𝑽, 𝑬) be a graph and 𝒌 is a positive integer, total 𝒌 -labelling on 𝑮 is a mapping 𝒇: 𝑽 ∪ 𝑬 → {𝟏, 𝟐, … , 𝒌} . The weight  of  the  vertex 𝒕 is  defined  by 𝒘 𝒇 (𝒕) = 𝒇(𝒕) + ∑ 𝒇(𝒖𝒕) 𝒖𝒕∈𝑬(𝑮) and  the  weight  of  the  edge 𝒖𝒕 is  defined  by 𝒘 𝒇 (𝒖𝒕) = 𝒇(𝒖) + 𝒇(𝒖𝒕) + 𝒇(𝒕) . A total 𝒌 -labeling of 𝑮 is called a totally irregular total labeling, if the weight of every two distinct vertices are different and the weight of every two distinct edges are different. The minimum 𝒌 such that a graph 𝑮 has a totally irregular total 𝒌 -labeling of 𝑮 is called the total irregularity strength of 𝑮 , denoted by 𝒕𝒔(𝑮) . In this research determined total irregularity strength of five copies of star graph 5Sn, where 𝒏 is a positive integer and 𝒏 ≥ 𝟑 .
Keywords star graph; total irregularity strength; totally irregular total labeling.

## Pendahuluan
Teori  graf  merupakan  pokok  bahasan  yang  terus  mengalami  perkembangan  sampai  saat  ini.  Graf merupakan suatu sistem yang terdiri dari suatu himpunan berhingga dan tak kosong dari objek yang disebut  titik  ( vertex)  dan  himpunan  pasangan  tak  terurut  dari  titik-titik  disebut  sisi  (edge).  Graf dinotasikan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) , dengan 𝑉 merupakan himpunan titik,dan 𝐸 merupakan himpunan sisi [11]. Teori graf memiliki peran penting dalam kehidupan untuk menyelesaikan suatu permasalahan dalam kehidupan nyata, salah satunya pelabelan pada graf. Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan yang memasangkan unsur-unsur graf (titik atau sisi) dengan bilangan bulat positif atau bilangan bulat tak negatif [9]. Berdasarkan unsur yang dilabeli, pelabelan dibagi menjadi tiga jenis, yaitu pelabelan titik ( vertex labeling), pelabelan sisi (edge labeling), dan pelabelan total (total labeling). Jika suatu pelabelan hanya melabeli titik, maka pelabelan semacam ini disebut pelabelan titik. Begitu juga dengan pelabelan sisi  hanya  melabeli  sisi.  Jika  suatu  pelabelan  melabeli  titik  dan  sisi,  maka  pelabelan  ini  disebut pelabelan total [9].
Pada tahun 2007, Baca, dkk. [3] memperkenalkan pelabelan- 𝑘 total tak teratur yang mempunyai dua  tipe  yakni  pelabelan- 𝑘 total  tak  teratur  sisi  dan  pelabelan- 𝑘 total  tak  teratur  titik.  Misalkan
diberikan suatu graf 𝐺 = (𝑉, 𝐸) , untuk suatu bilangan bulat 𝑘 , pelabelan- 𝑘 total tak teratur sisi pada 𝐺 adalah pemetaan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , 𝑘} yang memenuhi 𝑤 𝑓 (𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑢𝑣) + 𝑓(𝑣) berbeda untuk setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) . Nilai 𝑤 𝑓 (𝑢𝑣) disebut bobot sisi 𝑢𝑣 . Nilai minimum 𝑘 sehingga 𝐺 memiliki pelabelan- 𝑘 total tak teratur sisi, dinotasikan dengan 𝑡𝑒𝑠(𝐺) , disebut nilai ketakteraturan sisi dari 𝐺 . Untuk semua bilangan bulat 𝑘 , pelabelan- 𝑘 total tak teratur titik pada 𝐺 adalah pemetaan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , 𝑘} yang  memenuhi 𝑤 𝑓 (𝑣) = 𝑓(𝑣) + ∑ 𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐺) berbeda  untuk  setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) . Nilai minimum 𝑘 sehingga 𝐺 memiliki pelabelan- 𝑘 total tak teratur titik, dinotasikan dengan 𝑡𝑣𝑠(𝐺) , disebut nilai total ketakteraturan titik dari 𝐺 .
Penelitian mengenai nilai total ketakteraturan titik dan nilai total ketakteraturan sisi ini sudah banyak ditemukan  oleh  peneliti  sebelumnya.  Pada  tahun  2014,  Ahmad.,  dkk.  [1]  menemukan  nilai  total ketakteraturan titik dari graf ladder, yaitu 𝑡𝑣𝑠(𝐷𝐿 𝑛 ) = ⌈ 2𝑛+1 3 ⌉ dan Anjelia, dkk. [2] mendapatkan nilai total ketakteraturan sisi dari graf segitiga bermuda, yaitu 𝑡𝑒𝑠(𝐵𝑡𝑟 𝑛,4 ∪ 𝐵𝑡𝑟 𝑚,4 ) = ⌈ (30𝑛+15)+(3𝑚𝑛+15)+2 3 ⌉ . Selain itu, Siddiqui, dkk. [18] juga menemukan nilai total ketakteraturan sisi dari gabungan lepas graf matahari. Kemudian pada tahun 2015, Rajasingh, dkk. [14] memperoleh nilai total ketakteraturan sisi dari graf seri parallel, yaitu 𝑡𝑒𝑠(𝑠𝑝(𝑚, 𝑟, 𝑙)) ≥ ⌈ 𝑙𝑚(𝑟+1)+2 3 ⌉ .
Di  samping  penelitian  mengenai  nilai  total  ketakteraturan  titik  dan  nilai  total  ketakteraturan  sisi yang terus berkembang, pada tahun 2013, Marzuki dkk. [8] mengkombinasikan pelabelan- 𝑘 total tak teratur  sisi  dan  pelabelan- 𝑘 total  tak  teratur  titik,  sehingga  didapatkan  suatu  pelabelan  baru,  yaitu pelabelan- 𝑘 total tak teratur total. Pelabelan- 𝑘 total tak teratur total pada 𝐺 adalah pemetaan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , 𝑘} yang  memenuhi 𝑤 𝑓 (𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑢𝑣) + 𝑓(𝑣) berbeda  untuk  setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) dan 𝑤 𝑓 (𝑣) = 𝑓(𝑣) + ∑ 𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐺) berbeda untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) . Nilai minimum 𝑘 sehingga 𝐺 memiliki pelabelan- 𝑘 total tak teratur total disebut nilai ketakteraturan total dari 𝐺 , yang dinotasikan dengan 𝑡𝑠(𝐺) .
Penelitian  mengenai  nilai  ketakteraturan  total  ini  juga  sudah  banyak  ditemukan  oleh  peneliti sebelumnya.  Ramdani.,  dkk.  [16]  melakukan  penelitian  dengan  hasil  diperoleh 𝑡𝑠(𝑚(𝐶 𝑛 ∘ 𝑃 2 )) = 𝑚𝑚 + 1 . Rahangmetan., dkk. [13] melakukan penelitian dengan hasil penelitian diperoleh 𝑡𝑠(𝑚𝑊 𝑛 ) = ⌈ 2𝑚𝑛+2 3 ⌉ dan 𝑡𝑠(𝑚(𝑃 1 Θ𝑆 𝑛 )) = ⌈ 𝑚(2𝑛+1)+2 3 ⌉ . Kemudian pada tahun 2017 Julaeha, dkk. [7] memperoleh nilai ketakteraturan total pada graf bunga adalah 𝑡𝑠(𝐹 𝑛 ) = ⌈ 4𝑛+2 3 ⌉ , pada tahun 2018, Nurdin, dkk. [12] memperoleh 𝑡𝑣𝑠(𝐵𝑟 𝑛 ) = ⌈ 𝑛+1 3 ⌉ , Marzuki., dkk [10] mendapatkan nilai ketakteraturan total dari p-copy graf theta, yaitu 𝑡𝑠 (𝑝𝜃(4,4, (1,0,10))) = 2𝑝 + 1 .
Penelitian ini melanjutkan beberapa penelitian yang sudah dilakukan beberapa peneliti sebelumnya, yaitu Ramdani, dkk. [15] yang memperoleh nilai ketakteraturan total dari 2-copy graf bintang, yaitu 𝑡𝑠(2𝑆 𝑛 ) = 𝑛 + 1 , kemudian Yuliana [19] pada tahun 2020 melakukan penelitian untuk menentukan nilai ketakteraturan total dari 3-copy graf bintang, yaitu 𝑡𝑠(3𝑆 𝑛 ) = ⌈ 3𝑛+1 2 ⌉ , dan pada tahun yang sama Sari  [17]  juga  melakukan  penelitian  untuk  menentukan  nilai  ketakteraturan  total  dari  4-copy  graf bintang, yaitu 𝑡𝑠(4𝑆 𝑛 ) = 2𝑛 + 1 . Pada penelitian ini dibahas nilai ketakteraturan total dari lima copy graf bintang yang dinotasikan dengan 𝑡𝑠(5𝑆 𝑛 ) .

## Landasan Teori
Berikut  ini  diberikan  definisi  dan  teorema  yang  dibutuhkan  dalam  menentukan  rumus  umum  nilai ketakteraturan total pada lima copy graf bintang untuk 𝑛 ≥ 3 .

## Definisi 1 [4]
Suatu  Graf 𝐺 adalah  suatu  himpunan  berhingga  dan  tak  kosong 𝑉 yang  dinamakan  titik  bersama himpunan 𝐸 dari subhimpunan 2-elemen dari 𝑉 yang dinamakan sisi. Untuk menyatakan suatu graf 𝐺 memiliki himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 , ditulis 𝐺 = (𝑉, 𝐸) .
Definisi 2 [9] Suatu graf 𝐺 disebut graf bipartit jika himpunan titiknya dapat dipartisi menjadi dua subhimpunan 𝑋 dan 𝑌 sedemikian sehingga setiap sisi menghubungkan suatu titik di 𝑋 kesuatu titik di 𝑌 .
u 1 u 2 u 3 u n v 1 v 2
Gambar 1. Graf Bipartit.
Definisi 3 [9] Graf bintang dinotasikan dengan 𝑆 𝑛 , adalah suatu graf bipartit lengkap 𝐾 1,𝑛 .
u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 v Gambar 2. Graf Bintang 𝑆 5 ≈   𝐾 1,5 .
Definisi 4 [6] Dua graf 𝐺 1 dan 𝐺 2 dikatakan isomorfik 𝐺 1 ≅ 𝐺 2 jika terdapat pemetaan satu-satu 𝜑 ∶ 𝑉(𝐺 1 ) → 𝑉(𝐺 2 ) sedemikiaan sehingga dua titik 𝑣 𝑖 dan 𝑣 𝑗 bertetangga dalam graf 𝐺 1 jika dan hanya jika titik 𝜑(𝑣 𝑖 ) dan 𝜑(𝑣 𝑗 ) juga bertetangga dalam graf 𝐺 2 .
Definisi 5 [5] Gabungan dari dua graf 𝐺 1 dan 𝐺 2 yang dinotasikan dengan 𝐺 1 ∪ 𝐺 2 adalah graf yang mempunyai 𝑉(𝐺 1 ∪ 𝐺 2 ) = 𝑉(𝐺 1 ) ∪ 𝑉(𝐺 2 ) dan 𝐸(𝐺 1 ∪ 𝐺 2 ) = 𝐸(𝐺 1 ) ∪ 𝐸(𝐺 2 ) . Jika 𝐺 1 ≅ 𝐺 2 ≅ 𝐺 maka dinotasikan dengan 2𝐺 untuk 𝐺 1 ∪ 𝐺 2 . Pada umumnya, jika 𝐺 1 , 𝐺 2 , … , 𝐺 𝑛 adalah n graf yang isomorfik dengan 𝐺 , maka 𝐺 1 ∪ 𝐺 2 ∪ … ∪ 𝐺 𝑛 dinotasikan dengan 𝑛𝐺 yang dinamakan n-copy graf 𝐺 .

## Pelabelan Graf
Berikut akan  dijelaskan tiga  jenis pelabelan total  tak teratur, yaitu: pelabelan total tak  teratur titik, pelabelan total tak teratur sisi dan pelabelan total tak teratur total.
1. Pelabelan Total Tak Teratur Titik
Pelabelan- 𝑘 total tak teratur titik  pertama kali diperkenalkan oleh Baca dkk  [3]  dalam paper yang berjudul On Irreguler Total Labellings.
Definisi 6 [3] Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah  graf.  Pelabelan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , 𝑘} dikatakan  pelabelan- 𝑘 total  tak teratur titik di 𝐺 , jika setiap dua titik berbeda 𝑥 dan 𝑦 di 𝐺 memenuhi 𝑤 𝑓 (𝑥) ≠ 𝑤 𝑓 (𝑦) . Nilai 𝑤 𝑓 (𝑥) merupakan bobot titik 𝑥 yang dinyatakan sebagai:
    E xy f xy f x f x w ) ( ) ( ) ( .
Baca dkk [3] juga memberikan batas bawah untuk nilai ketakteraturan titik pada Teorema 1 berikut: Teorema 1 [3] Misalkan 𝐺 adalah graf (𝑝, 𝑞) , dengan 𝑝 adalah banyaknya titik dan 𝑞 adalah banyaknya sisi. Jika derajat minimum 𝛿 dan derajat maksimum ∆ , maka
1 2 ) ( 1                p G tvs p .
Baca dkk [3] juga memperoleh nilai ketakteraturan titik pada graf lengkap yang dinyatakan pada teorema sebagai berikut:
Teorema 2 [3] Misalkan 𝐾 𝑝 adalah graf lengkap dengan 𝑝 titik, maka 𝑡𝑣𝑠(𝐾 𝑝 ) = 2

## 2. Pelabelan Total Tak Teratur Sisi
Pelabelan- 𝑘 total tak teratur sisi juga diperkenalkan oleh Baca dkk., [3]. Berikut ini definisi pelabelan total tak teratur sisi.
Definisi 7 [3] Pelabelan- 𝑘 total dikatakan pelabelan- 𝑘 total tak teratur sisi dari graf 𝐺 , jika untuk sebarang dua sisi 𝑒 = 𝑢 1 𝑢 2 dan 𝑤 = 𝑣 1 𝑣 2 yang berbeda di graf 𝐺 berlaku 𝑤 𝑓 (𝑒) ≠ 𝑤 𝑓 (𝑤) dengan 𝑤 𝑓 (𝑒) = 𝑓(𝑢 1 ) + 𝑓(𝑒) + 𝑓(𝑢 2 ) dan 𝑤 𝑓 (𝑤) = 𝑓(𝑣 1 ) + 𝑓(𝑤) + 𝑓(𝑣 2 ) .
Baca, dkk. [3] memberikan nilai batas bawah untuk nilai ketakteraturan sisi pada teorema sebagai berikut:
Teorema 3 [3] Misalkan 𝐺 = (𝑉, 𝐸) adalah suatu graf dengan himpunan titik 𝑉 dan himpunan sisi 𝐸 . Maka
E G tes E          ) ( 3 2 .
Baca dkk [3] juga memperoleh nilai ketakteraturan sisi pada graf lintasan yang dinyatakan pada Teorema 4 sebagai berikut:
Teorema 4 [3] Misalkan 𝑃 𝑛 adalah graf lintasan dengan 𝑛– 1 sisi, dan 𝑛 ≥ 1 . Maka
      3 2 ) ( ) n P tes n .
Selain itu, Baca, dkk. juga memperoleh nilai ketakteraturan sisi pada graf lingkaran yang diberikan pada Teorema 5 berikut ini:
Teorema 5 [3] Misalkan 𝐶 𝑛 adalah graf lingkaran dengan 𝑛 sisi, dan 𝑛 ≥ 3 . Maka
      3 2 ) ( n C tes n .

## 3. Pelabelan Total Tak Teratur Total
Pelabelan- 𝑘 total tak teratur total diperkenalkan oleh Marzuki, dkk. [8] pada tahun 2013. Berikut ini definisi pelabelan total tak teratur total.

## Definisi 8 [8]
Pelabelan- 𝑘 total tak teratur total pada 𝐺 adalah pemetaan 𝑓: 𝑉 ∪ 𝐸 → {1,2, … , 𝑘} yang memenuhi 𝑤 𝑓 (𝑢𝑣) = 𝑓(𝑢) + 𝑓(𝑢𝑣) + 𝑓(𝑣) berbeda  untuk  setiap 𝑢𝑣 ∈ 𝐸(𝐺) dan 𝑤 𝑓 (𝑣) = 𝑓(𝑣) + ∑ 𝑓(𝑢𝑣) 𝑢𝑣∈𝐸(𝐺) berbeda  untuk  setiap 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺) .  Nilai 𝑘 terkecil  sehingga  suatu  pelabelan  graf 𝐺 dapat  dilabeli  dengan  pelabelan- 𝑘 total  tak  teratur  total,  dinotasikan  dengan 𝑡𝑠(𝐺) ,  disebut  nilai ketakteraturan total dari graf 𝐺 .
Berikut ini akan disajikan contoh pelabelan- 𝑘 total ketakteraturan total pada graf 5𝑆 4 .
2 1 u 2 2 2 2 1 4 6 9 1 3 1 t 6 t 6 11 t 8 16 t 2 4 7 9 2 u 1 4 7 t 2 t 6 12 t 9 17 t 3 u 2 5 7 10 2 4 3 t 8 t 7 13 t 9 18 t 4 u 5 u 3 5 8 10 2 5 7 10 4 t 9 t 14 t 19 t 3 6 8 11 3 5 8 10 5 t 10 t 15 t 20 t
Gambar 3. Pelabelan-11 Total Tak Teratur Total pada Graf 5𝑆 4 .
Perhatikan bahwa bobot  setiap titik pada graf 5𝑆 4 berbeda dan bobot setiap sisi pada graf 5𝑆 4 juga berbeda. Oleh karena itu, 𝑓 adalah pelabelan-11 total tak teratur total pada graf 5𝑆 4 . Marzuki,  dkk.  [8]  juga  memberikan  batas  bawah  dari 𝑡𝑠(𝐺) yang  dinyatakan  pada  Teorema  6 berikut:
Teorema 6 [8] Untuk setiap graf 𝐺 , berlaku 𝑡𝑠(𝐺) ≥ 𝑚𝑎𝑥{𝑡𝑒𝑠(𝐺), 𝑡𝑣𝑠(𝐺)}
Dengan menggunakan definisi dan teorema di atas, akan ditentukan nilai total ketakteraturan total dari lima copy graf bintang dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Diberikan 5𝑆 𝑛 adalah lima copy graf bintang dengan 𝑛 bilangan positif dan 𝑛 ≥ 3 .
2. Menentukan batas bawah 𝑡𝑣𝑠(5𝑆 𝑛 ) .
3. Menentukan batas bawah 𝑡𝑒𝑠(5𝑆 𝑛 ) menggunakan Teorema 6.
4. Setelah didapatkan langkah 2 dan 3, kemudian ditentukan batas bawah dari 𝑡𝑠(5𝑆 𝑛 ) menggunakan Teorema 10.
5. Menentukan pelabelan total tak teratur total pada lima copy graf bintang 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 = 3,4, … ,10 dengan label terbesarnya adalah batas bawah yang diperoleh dari langkah 4.
6. Menentukan rumus untuk label titik dari 5𝑆 𝑛 dengan mengacu pada pola pelabelan yang terdapat pada langkah 5.
7. Menentukan rumus untuk label sisi dari 5𝑆 𝑛 dengan mengacu pada pelabelan yang terdapat pada langkah 5.
8. Berdasarkan langkah yang didapat pada langkah 6 dan 7, dapat ditentukan rumus untuk bobot titik dari 5𝑆 𝑛 .
9. Kemudian berdasarkan hasil yang didapat pada langkah 6 dan 7, dapat ditentukan rumus untuk bobot sisi dari 5𝑆 𝑛 . 10. Membuktikan  pelabelan  yang  diperoleh  merupakan  pelabelan  total  tak  teratur  total  pada  lima copy graf bintang 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 , dengan membuktikan tidak ada titik yang memiliki bobot yang sama dan tidak ada sisi yang memiliki bobot yang sama.
11. Mengaplikasikan rumus 𝑡𝑠(5𝑆 𝑛 ) yang telah diperoleh untuk 𝑛 = 13 .

## Hasil dan Pembahasan
Langkah awal yang harus dilakukan adalah pemberian nama pada masing-masing sisi dan titik, hal ini untuk memudahkan dalam merumuskan pelabelan titik, merumuskan pelabelan sisi, merumuskan
bobot titik dan merumuskan bobot sisi. Lima copy graf bintang dinotasikan dengan 5𝑆 𝑛 adalah suatu graf  dengan  himpunan  titik 𝑉(5𝑆 𝑛 ) = {𝑢 𝑖 untuk 𝑖 = 1,2,3,4,5} ∪ {𝑡 𝑗 untuk 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛} dan himpunan sisi 𝐸(5𝑆 𝑛 ) = {𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 untuk 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5), 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5), 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5), 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5), 𝑖 = 5 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛} . Ilustrasi dari graf 5𝑆 𝑛 diberikan pada Gambar 4 sebagai berikut:
1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 1 t 6 t 11 t 4 5  n t  7 t 2 t 12 t 3 5  n t  3 t 8 t 13 t 2 5  n t  4 t 9 t 14 t 1 5  n t  5 t 10 t 15 t n t 5 
Gambar 4. Ilustrasi Lima Copy Graf Bintang (5𝑆 𝑛 ) .
Langkah selanjutnya menentukan batas bawah nilai ketakteraturan total dari graf 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 3 , menentukan pelabelan- 𝑘 total tak teratur total dari graf 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 = 3,4, … ,10 dengan menggunakan label  terbesar  sebesar  batas  bawah,  menentukan  rumus  pelabelan  titik  dan  sisi  dari  graf 5𝑆 𝑛 , menentukan rumus bobot titik dan sisi, membuktikan bahwa pelabelan yang dirumuskan merupakan pelabelan total tak teratur total dari graf (5𝑆 𝑛 )
Setelah melakukan langkah-langkah tersebut, maka diperoleh Teorema 7. Sebagian langkah tersebut tersaji di dalam pembuktian Teorema 7.
Teorema 7 Misalkan 5𝑆 𝑛 adalah  lima copy  graf  bintang,  dengan 𝑛 bilangan  bulat  positif  dan 𝑛 ≥ 3 ,  maka 𝑡𝑠(5𝑆 𝑛 ) = ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ .
Bukti: Graf 5𝑆 𝑛 memiliki 5𝑛 titik  berderajat  1  dan  5  titik  berderajat 𝑛 .  Bobot  suatu  titik  berderajat  1 sedikitnya 2, dan bobot terbesar dari suatu titik berderajat 1 sedikitnya 5𝑛 + 1 . Bobot titik berderajat 1 adalah penjumlahan dari dua label, maka label terbesar dari titik berderajat 1 setidaknya ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ . Bobot  terkecil  dari  suatu  titik  berderajat 𝑛 sedikitnya 5𝑛 + 2 ,  dan  bobot  terbesar  dari  suatu  titik berderajat 𝑛 sedikitnya 5𝑛 + 6 , sehingga label terbesar dari suatu titik berderajat 𝑛 sedikitnya ⌈ 5𝑛+6 𝑛+1 ⌉ . Dengan demikian diperoleh
                        2 1 5 1 6 5 , 2 1 5 max ) 5 ( n n n n S tvs n (1)
Selain itu, banyaknya sisi dari 5𝑆 𝑛 adalah 5𝑛 , sehingga berdasakan Teorema 3, diperoleh
      3 2 5 ) 5 ( n S tes n (2)
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 6, diperoleh
                       2 1 5 2 1 5 , 3 2 5 max ) 5 ( n n n S ts n (3)
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa 𝑡𝑠(5𝑆 𝑛 ) ≤ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ . Hal ini akan dibuktikan dengan menunjukkan adanya pelabelan- ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ total tak teratur total pada graf 5𝑆 𝑛 , untuk 𝑛 bilangan bulat positif dengan 𝑛 ≥ 3 .
Berikut didefinisikan pelabelan total 𝑓 pada graf 5𝑆 𝑛 sebagai berikut: a. Pelabelan titik dari graf 5𝑆 𝑛 sebagai berikut:
     
1 2 6 ) ( i u f untuk untuk untuk 5 , 4 , 3 , 2 , 1 5 , 4 , 3 , 2 , 1 5 , 4 , 3 , 2 , 1    i i i dan dan dan 5 4 3    n n n      2 ) ( j t f j untuk n j 5 , , 3 , 2 , 1  
b. Pelabelan sisi dari graf 5𝑆 𝑛 sebagai berikut: 𝑓(𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 ) = ⌊ 𝑗 2 ⌋ + 1 untuk 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) , dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛
Perhatikan bahwa fungsi 𝑓 adalah suatu pemetaan dari 𝑉(5𝑆 𝑛 ) ∪ 𝐸(5𝑆 𝑛 ) ke {1,2, … , ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉} . Bobot titik dan bobot sisi pada graf 5𝑆 𝑛 : i  Untuk 𝑛 = 3 , bobot titik 𝑡 𝑗 dengan 𝑗 = 1,2,3, … ,15 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 2 sampai 16. Sedangkan bobot titik 𝑢 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5 adalah 17,19,20,22,23. Jadi tidak ada bobot titik yang sama. Untuk bobot sisi 𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 dengan 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 5 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,15 adalah  bilangan  bulat  positif  berurutan  mulai  dari  8  sampai  22.  Jadi  tidak  ada bobot sisi yang sama.
ii  Untuk 𝑛 = 4 , bobot titik 𝑡 𝑗 dengan 𝑗 = 1,2,3, … ,20 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 2 sampai 21. Sedangkan bobot titik 𝑢 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5 adalah 22,24,26,28,30. Jadi tidak ada bobot titik yang sama. Untuk bobot sisi 𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 dengan 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 5 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,20 adalah  bilangan  bulat  positif  berurutan  mulai  dari  4  sampai  23.  Jadi  tidak  ada bobot sisi yang sama.
iii Berdasarkan  rumus  pelabelan 𝑓 ,  diperoleh  rumus  untuk  bobot  setiap  titik  dan  rumus  setiap  sisi pada graf 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 5 sebagai berikut:
1. Rumus bobot titik pada graf 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 ≥ 5 sebagai berikut:
         4 4 5 4 3 5 ) ( 2 2 1 n n u w f untuk untuk n n genap ganjil           
4 4 2 5 4 5 2 5 ) ( 2 2 2 n n n n u w f untuk untuk n n genap ganjil            4 4 4 5 4 3 4 5 ) ( 2 2 3 n n n n u w f untuk untuk n n genap ganjil
          
4 4 6 5 4 5 6 5 ) ( 2 2 4 n n n n u w f untuk untuk n n genap ganjil           
4 4 8 5 4 3 8 5 ) ( 2 2 5 n n n n u w f untuk untuk n n genap ganjil 1 ) (   j t w j f untuk n j 5 , , 3 , 2 , 1  
2. Rumus bobot sisi pada graf 5𝑆 𝑛 sebagai berikut: 𝑤 𝑓 (𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 ) = 𝑗 + 2 untuk 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 5 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) , dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛
Perhatikan  bahwa  untuk 𝑛 ≥ 5 ,  bobot  titik 𝑡 𝑗 yang  dinotasikan  dengan 𝑤 𝑓 (𝑡 𝑗 ) dengan 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 2,3, … 5𝑛 + 1 . Sedangkan bobot titik 𝑢 𝑖 dengan 𝑖 = 1,2,3,4,5 yang  dinotasikan  dengan 𝑤 𝑓 (𝑢 1 ) adalah 5𝑛 2 +3 4 untuk 𝑛 ganjil  dan 5𝑛 2 +4 4 untuk 𝑛 genap, 𝑤 𝑓 (𝑢 2 ) adalah 5𝑛 2 +2𝑛+5 4 untuk 𝑛 ganjil dan 5𝑛 2 +2𝑛+4 4 untuk 𝑛 genap, 𝑤 𝑓 (𝑢 3 ) adalah 5𝑛 2 +4𝑛+3 4 untuk 𝑛 ganjil dan 5𝑛 2 +4𝑛+4 4 untuk 𝑛 genap, 𝑤 𝑓 (𝑢 4 ) adalah 5𝑛 2 +6𝑛+5 4 untuk 𝑛 ganjil dan 5𝑛 2 +6𝑛+4 4 untuk 𝑛 genap, dan 𝑤 𝑓 (𝑢 5 ) adalah 5𝑛 2 +8𝑛+3 4 untuk 𝑛 ganjil dan 5𝑛 2 +8𝑛+4 4 untuk 𝑛 genap. Sedangkan bobot sisi 𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 yang dinotasikan dengan 𝑤 𝑓 (𝑢 𝑖 𝑡 𝑗 ) dengan 𝑖 = 1 dan 𝑗 = 1(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 2 dan 𝑗 = 2(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 3 dan 𝑗 = 3(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 4 dan 𝑗 = 4(𝑚𝑜𝑑5) , 𝑖 = 5 dan 𝑗 = 0(𝑚𝑜𝑑5) dimana 𝑗 = 1,2,3, … ,5𝑛 adalah bilangan bulat positif berurutan mulai dari 3,4, … ,5𝑛 + 2 . Hal ini menunjukkan bahwa setiap titik pada graf 5𝑆 𝑛 dengan pelabelan total tersebut memiliki bobot yang berbeda dan setiap sisi pada graf 5𝑆 𝑛 dengan pelabelan total tersebut juga memiliki bobot yang berbeda. Terbukti bahwa 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≤ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ . Berdasarkan uraian diatas diperoleh bahwa 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≥ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ dan 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≤ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ . Jadi terbukti bahwa 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) = ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ .
Sebagai ilustrasi dari teorema diatas, diberikan contoh aplikasi pelabelan total tak teratur total pada graf 5𝑆 𝑛 untuk 𝑛 = 13 dengan 𝑡𝑠( 5𝑆 13 ) = ⌈ 5(13)+1 2 ⌉ = 33 .
1 u 1 1 1 1 1 1 1 3 4 1 t 2 u 6 6 11 t 9 8 16 t 11 11 21 t 13 14 26 t 16 16 31 t 19 18 36 t 6 t 21 21 41 t 23 24 46 t 26 29 31 26 28 51 t 56 t 61 t 31 1 2 4 4 7 t 2 t 3 u 7 12 t 9 9 17 t 6 12 11 22 t 14 14 27 t 17 16 32 t 19 19 37 t 21 22 42 t 24 24 47 t 27 26 29 29 31 52 t 57 t 62 t 32 2 2 4 5 3 t 8 t 4 u 7 7 13 t 10 9 18 t 12 12 23 t 14 15 28 t 17 17 33 t 19 38 t 20 22 22 43 t 24 25 48 t 27 27 30 29 32 53 t 58 t 63 t 32 2 3 5 5 4 t 9 t 5 u 7 8 14 t 10 10 19 t 12 13 24 t 15 15 29 t 17 34 t 18 20 20 39 t 22 23 44 t 25 25 49 t 27 28 30 30 32 54 t 59 t 33 3 3 5 6 8 8 10 11 13 13 25 t 15 16 30 t 18 18 20 21 40 t 20 t 15 t 10 t 35 t 23 23 45 t 25 26 50 t 5 t 28 28 30 33 55 t 60 t 65 t 31 33 64 t
Gambar 5. Pelabelan-33 Total Tak Teratur Total pada Graf 5𝑆 13 .
Perhatikan bahwa setiap bobot titik pada graf 5𝑆 13 berbeda dan setiap bobot sisi pada graf 5𝑆 13 berbeda. Oleh karena itu, 𝑓 adalah pelabelan-33 total tak teratur total pada graf 5𝑆 13 .

## Kesimpulan
Berdasarkan hasil dan pembahasan diatas tentang nilai ketakteraturan total dari lima copy graf bintang, diperoleh bahwa 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) = ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ dengan 𝑛 ≥ 3 . Hal ini telah dibuktikan dengan 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≥ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ dan 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≤ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ .  Untuk 𝑡𝑠( 5𝑆 𝑛 ) ≤ ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ dibuktikan  dengan  cara  menunjukkan  adanya  pelabelan- ⌈ 5𝑛+1 2 ⌉ total tak teratur total pada graf 5𝑆 𝑛 .

## Referensi
[1] Ahmad, A., Bukhary, S. H., Hasni, R., dan Slamin. 2014.“Total Vertex Irregularity Strength Of Ladder Related Graphs. Science International (Lahore) . Vol. 26, No. 3: halaman 1-5.
[2] Anjelia, N., Slamin, dan Dafik. 2014.“Nilai Ketakteraturan Total Sisi Dari Graf Segitiga Bermuda. Jurnal Ilmu Dasar . Vol. 5, No. 3: halaman 157-166.
[3] Baca, M., Jendrol J., Miller, M., dan Ryan, J. 2007.“On Irregular Total Labellings. Discrete Math . Vol. 307: halaman 1378-1388.
[4] Chartrand G., Lesniak L., Zhang P., Graphs and Digraphs 5 th edition, CRC Press. New York. 2011.
[5] Chartrand, Gary and O. R. Oellermann. (1993). Applied and Algorithmic Graph Theory . McGraw-Hill Inc, New York.
[6] Chartrand, Gary. (1986). Introductory Graph Theory . Dover Publications Inc, New York.
[7] Julaeha, Siti, Luspitasari, I., dan Sukaesih, E. 2017.“Pelabelan Total Tak Teratur Total pada Graf Bunga (𝐹 𝑛 ) . J. Istek .
Vol. X, No. 1: halaman 6.
[8] Marzuki, C. C., Salman, A. N. M., dan Miller, M. 2013.“On The Total Irregularity Strenght of Cycles and Paths. Far East Journal of Mathematical Sciences . Vol.82: halaman 1-21.
[9] Marzuki, C. C., Riyanti, R. 2016.”Nilai Ketakteraturan Total dari Graf Hasil Kali Comb 𝑃 𝑚 dan 𝐶 5 dengan 𝑚 Bilangan Ganjil. Jurnal Sains Matematika dan Statistika . Vol. 2, No. 2: halaman 39-47.
[10] Marzuki, C. C., Handayani, S., Aryani, F., dan Abdussakir. 2018. “Nilai Ketakteraturan Total dari 𝑝 -copy Graf Theta Tak Seragam. Jurnal Seminar Nasional Teknologi Informasi : halaman 734-740.
[11] Munir, R. 2005.“ Matematika Diskrit . Revisi kelima. Bandung, Informatika.
[12] Nurdin, Salman, A. N. M., Gaos, N. N., dan Baskoro. 2018.“On Irregularity Strength of Diamond Network. AKCE International Journal of Graphs and Combinatorics , Vol. 15: halaman 291-297.
[13] Rahangmetan, R. D. S., Tilukay, M. I., Rumlawang, F. Y., dan Talakua, M. W. 2015.“Nilai Total Tak Teratur Total dari Gabungan Terpisah Graf Roda dan Graf Buku Segitiga. Jurnal Ilmu Matematika , Vol. 9, No. 2: halaman 97-102.
[14] Rajasingh, I., S. Teresa Arockiamary. 2015.“Total Edge Irregularity Strength  of Series  Parallel Graphs. International Journal of Pure and Applied Mathematic . Vol. 99, No. 1: halaman 11-21.
[15] Ramdani, R. 2014.“Nilai Total Ketakteraturan Total Dari Dua Copy Graf Bintang. J. Math. Fund. Sci . Vol 8, No. 2: halaman 4.
[16] Ramdani, R., Salman, A. N. M., dan Assiyatun, H. 2015.“On The Total Irregularity Strength of Regular Graph. Journal of Mathematical and Fundamental Sciences , Vol. 47, N0.3: halaman 281-295.
[17] Sari, Yusnita. 2020.“Nilai Ketakteraturan Total Dari Empat Copy Graf Bintang. Skripsi. Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau, Pekanbaru.
[18] Siddiqui, M. K., Ahmad, A., Nadeem, M. F., dan Bashir. 2013.“Total Edge Irregularity Strength of the Disjoint Union of Sun Graphs: International Journal of Matematics and Soft Computing . Vol. 3: pp. 21-27.
[19] Yuliana. 2020.“Nilai Ketakteraturan Total dari Tiga Copy Graf Bintang. Skripsi. Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau, Pekanbaru.

## THIS PAGE INTENTIONALLY LEFT BLANK