## PEMBENTUKAN PORTOFOLIO SAHAM MENGGUNAKAN KLASTERING TIME SERIES K-MEDOID DENGAN UKURAN JARAK DYNAMIC TIME WARPING
La Gubu 1 , Dedi Rosadi 2 , and Abdurakhman 3
1,2,3 Departemen Matematika Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta-Indonesia
1 Jurusan Matematika Universitas Halu Oleo, Kendari-Indonesia e-mail: 1 lagubu2014@gmail.com, 2 dedirosadi@gadjahmada.edu, 3 rachmanstat@ugm.ac.id

## Abstrak
Pada  penelitian  ini  akan  disajikan  pembentukan  portofolio  saham  dengan preprocessing data menggunakan klastering time series dengan ukuran jarak Dynamic Time Warping (DTW). Pertama-tama saham-saham  dikelompokkan  ke  dalam  beberapa  klaster  menggunakan  klastering time  series Partitioning Around Medoids (PAM) berdasarkan ukuran jarak DTW. Setelah proses klastering, saham dipilih  untuk  mewakili  masing-masing  klaster  untuk  membangun  portofolio  optimum.  Saham  yang dipilih dari masing-masing klaster merupakan saham yang memiliki Sharpe ratio tertinggi. Portofolio optimal ditentukan dengan menggunakan tiga model portofolio, yaitu: model portofolio Mean-Variance (MV) klasik, model portofolio MV robust Fast Minimum Covariance Determinant (FMCD) dan model portofolio robust Scale (S).  Dengan  menggunakan  prosedur  ini,  dapat  diperoleh  portofolio  optimum secara  efisien  bila  ada  banyak  saham  yang  terlibat  dalam  proses  pembentukan  portofolio.  Untuk mengukur kinerja portofolio yang terbentuk digunakan Sharpe ratio . Hasil kajian empiris menunjukkan bahwa  kinerja  portofolio  yang  dihasilkan  dengan  menggunakan  klastering time  series PAM  dengan ukuran disimilaritas jarak DTW yang dikombinasikan dengan model portofolio MV klasik mengungguli kinerja portofolio yang dihasilkan kombinasi dengan model yang lain.
Kata kunci : klastering, k-medoids , portofolio saham, estimasi robust , kinerja portofolio

## Abstract
This research will present the formation of stock portfolios by preprocessing data using time- series clustering with a distance measure of Dynamic Time Warping (DTW). First, stocks are grouped into several clusters using the Partitioning Around Medoids (PAM) time series cluster based  on  the  DTW  distance  measure.  After  the  clustering  process,  stocks  are  selected  to represent each cluster to build the optimum portfolio. The stock selected from each cluster is the one with the highest Sharpe ratio. The optimal portfolio is determined using three portfolio models,  namely:  the  classic  Mean-Variance  (MV)  portfolio  model,  the  FMCD  robust  MV portfolio model, and the S robust portfolio model. Using this procedure, an optimum portfolio can be obtained efficiently if there are many stocks involved in the portfolio formation process. Sharpe ratio is used to measure the performance of the portfolios. The results of the empirical study show that the portfolio performance generated using the PAM time series clustering with DTW distance dissimilarity measure combined with the classic MV portfolio model outperforms the resulting portfolio performance in combination with other models.
Keywords: clustering, k-medoid, stock portfolio, robust estimation, portfolio performance

## PENDAHULUAN
Hakikat pembentukan portofolio adalah mengalokasikan modal pada berbagai alternatif investasi, sehingga risiko investasi dapat diminimumkan (Elton, dkk., 2014). Dalam memilih  portofolio, investor berusaha  memaksimalkan  keuntungan  dari investasi dengan tingkat risiko tertentu yang diterima.  Atau  dalam  pengertian  lain, investor berusaha  meminimalkan  risiko yang  dihadapi  pada  tingkat      keuntungan tertentu.  Portofolio  yang  dapat  mencapai tujuan  tersebut  disebut  portofolio  eﬁsien (Reilly dan Brown, 2012). Apabila seorang investor memiliki beberapa pilihan portofolio  yang  eﬁsien,  maka  portofolio optimal  yang  akan  dipilihnya.  Portofolio yang optimal adalah portofolio yang dapat memaksimalkan preferensi investor sehubungan dengan tingkat keuntungan dan risiko.
Pembentukan  portofolio  merupakan masalah  yang  menarik  dan  menantang dalam  studi  pemodelan  ekonomi  dan keuangan.
Masalah utama dalam pembentukan portofolio adalah memaksimalkan return
sekaligus meminimalkan  risiko,  sehingga  dapat dirumuskan  menjadi  masalah  optimasi (Supandi,  2017).  Upaya  pertama  dalam memodelkan  masalah  optimasi  ini  telah dilakukan oleh Markowitz pada tahun 1952. Markowitz  (1952)  menggunakan  ukuran- ukuran  statistik  dari  data  historis  harga saham untuk membangun portofolio optimal.  Dalam  model  ini,  return  saham direpresentasikan  sebagai  mean  dari  data sedangkan risiko direpresentasikan sebagai variansi, sehingga model ini disebut model portofolio Mean-Variance (MV).
Studi  untuk  mengembangkan  dan memperluas  model  MV  lebih  lanjut  telah dilakukan oleh banyak peneliti.
Pengembangan dan perluasan model tersebut  dilakukan  untuk  menyesuaikan model  agar  lebih  adaptif  dan robust terhadap kondisi pasar keuangan yang terus berubah, serta membangun cara yang lebih efektif  dan  efisien  untuk  membangun portofolio  yang  optimal.  Salah  satu  cara yang  dilakukan  adalah  dengan  metode
klastering. Penelitian tentang pembentukan portofolio dengan menggunakan klastering telah  dilakukan  oleh  beberapa  peneliti, antara  lain  oleh  Guan  dan  Jiang  (2007), Tola dkk (2008), Chen dan Huang (2009), Nanda  dkk  (2010),  Long  dkk  (2014),  dan Gubu,  dkk  (2019).  Dalam  pendekatan  ini, saham dipisahkan menjadi beberapa kelompok  (klaster),  kemudian  dipilih perwakilan  dari  masing-masing  kelompok untuk  membentuk  portofolio  optimal dengan  menggunakan  model  portofolio MV.
Masalah utama model portofolio MV adalah  bahwa  vektor  mean  dan  matriks variansi-kovariansi  harus  diestimasi  dari data  yang  dapat  sangat  volatil.  Estimasi parameter dapat dilakukan dengan menggunakan  berbagai  pilihan  teknik estimasi,  yang  tentunya  akan  mengandung kesalahan  estimasi.  Sebagai  input  yang sangat  penting  dalam  pembentukan  model portofolio  MV,  kesalahan  estimasi  akan berpengaruh  signifikan  terhadap  hasil pembentukan portofolio optimal. Beberapa penelitian terkait dengan kesalahan estimasi dan  hubungannya  dengan  pembentukan portofolio optimal telah dilakukan oleh Best dan  Grauer  (1991),  Chopra  dan  Ziemba (1993), dan Ceria dan Stubbs (2006). Studi- studi tersebut menyimpulkan bahwa meskipun  model  MV  didukung  oleh  teori yang  kuat  dan  relatif  mudah  dalam komputasi,  model  MV  menunjukkan beberapa kelemahan, diantaranya portofolio  optimal  yang  dihasilkan  oleh model  ini  belum  terdiversifikasi  dengan baik.  Selain  itu,  model  MV  juga  sangat sensitif terhadap perubahan parameter input yaitu  vektor  mean  dan  matriks  variansi- kovariansi.
Oleh  karena  itu  beberapa  peneliti telah  membangun  suatu  portofolio robust (Demiguel  dan  Nogales,  2009),  yaitu portofolio yang dapat mengurangi kesalahan estimasi vektor mean dan matriks variansi-kovariansi  pada  model  portofolio MV.  Salah  satu  pendekatan  standar  dalam membentuk  portofolio robust optimal adalah melalui pendekatan estimasi robust . Beberapa  studi  tentang  pembentukan portofolio  optimal  menggunakan  estimasi
robust telah  dilakukan  oleh  Lauprete (2001),  Vaz-de  Melo  dan  Camara  (2005), Welsh  dan  Zhou  (2007),  DeMiguel  dan Nogales  (2008),  dan  Supandi  (2017).
Perbedaan utama antara penelitian- penelitian ini terletak pada estimasi robust yang  digunakan  dalam pembentukan portofolio optimal.
Berdasarkan penelitian-penelitian sebelumnya,  disimpulkan  bahwa,  untuk meningkatkan efisiensi proses pembentukan portofolio, perlu
mengelompokkan  saham-saham  ke  dalam klaster-klaster,  kemudian  memilih  saham representasi dari masing-masing klaster dan menentukan  bobot  masing-masing  saham representasi.
Pada  penelitian  ini,  saham-saham dikelompokkan  ke  dalam  klaster-klaster menggunakan klastering time series Partitioning  Around  Medoids (PAM) dengan  ukuran  jarak Dynamic  Time
Warping (DTW).
Pemilihan  PAM  sebagai  analisis klaster yang digunakan
dengan pertimbangan  bahwa  analisis  klaster  PAM lebih robust dibandingkan  dengan  analisis klaster  yang  lain  seperti k-mean .  Pada analisis  klaster  PAM,  pusat  klaster  adalah medoid dari  data  dalam  suatu  klaster, sehingga jika ada outlier dalam data maka analisis  klaster  PAM  akan  lebih robust dibandingkan  dengan  analisis  klaster k- mean .
Ukuran  jarak  DTW  juga  disebut sebagai non-linear  sequence  alignment , sehingga  ukuran  jarak  ini  lebih  realistis untuk digunakan dalam mengukur disimilaritas  suatu  pola  dibandingkan menggunakan  ukuran  jarak  yang  lain seperti jarak Euclidean, Manhattan,
Minkowski  dan  lain-lain  (Berndt  dan Clifford,  1994).  Data  yang  diolah  selalu berada  dalam  kawasan  waktu,  sehingga rentetan  data  yang  kita  miliki  dianggap bervariasi  terhadap  waktu.  Atas  dasar  ini maka  ukuran  jarak  DTW  dipilih  untuk digunakan dalam penelitian ini.
Bobot  portofolio  ditentukan  dengan menggunakan  tiga  model  portofolio,  yaitu model  portofolio  MV  klasik,  model portofolio  MV robust FMCD  dan  model
portofoli  MV robust S.  Untuk  mengukur kinerja  portofolio  yang  terbentuk  dengan menggunakan tiga model portofolio digunakana Sharpe ratio .

## METODOLOGI

## Model Portofolio Mean-Variance
Model  portofolio Mean-Variance (MV) untuk membentuk portofolio optimal didasarkan pada trade-off antara return dan risiko  portofolio  yang  direpresentasikan sebagai mean dan variansi saham (Markowitz, 1952). Oleh karena itu, model ini  dapat  dirumuskan  sebagai  masalah optimasi berikut (Supandi, 2017):
max 𝒘 𝒘′𝝁 − 𝛾 2 𝒘′𝚺𝒘 (1)
𝒘 ′ 𝒆 = 1 (2)
dengan w menyatakan  bobot  portofolio, 𝝁 adalah  vektor  mean, 𝚺 adalah  matriks variansi-kovariansi, e adalah matriks kolom dengan semua elemennya adalah 1 dan 𝛾 ≥ 0 adalah  parameter  penghindaran  risiko ( risk  aversion ),  yaitu  ukuran  relatif penghindaran risiko. Model portofolio MV dipilih oleh investor dengan menggunakan kriteria  fungsi  utilitas.  Dengan  asumsi bahwa  sikap investor adalah risk  averse , investor akan  memilih  portofolio  yang memberikan  utilitas  maksimum  yang diharapkan 𝐸(𝑈) .  Jadi,  portofolio mean- variance setara dengan max  𝐸(𝑈(𝒘)) (3)
𝒘 ′ 𝒆 = 1 (4)
Diberikan  modal  awal 𝑊 0 ,  di  bawah portofolio  dengan  vektor  bobot w ,  pada akhir periode, modal menjadi 𝑊 0 (1 + 𝑅 𝑝 ) , di  mana 𝑅 𝑝 adalah variabel random  return portofolio  (Supandi,  2017).  Fungsi  utilitas 𝑊 0 (1 + 𝑅 𝑝 ) adalah 𝑈(𝑊 0 (1 + 𝑅 𝑝 )) . Selanjutnya,  Supandi  (2017)  menyatakan bahwa  fungsi  utilitas  dapat  diperluas dengan  menggunakan  pendekatan  deret Taylor orde dua, yaitu
𝑈(𝑊 0 (1 + 𝑅 𝑝 )) = 𝑈(𝑊 0 ) + 𝑊 0 𝑈 ′ (𝑊 0 )𝑅 𝑝 + 1 2 𝑊 0 2 𝑈 ′′ (𝑊 0 )𝑅 𝑝 2 + 𝑂(𝑅 𝑝 3 )
(5) Mengambil  nilai  harapan  persamaan  (5) diperoleh
𝐸 (𝑈(𝑊 0 (1 + 𝑅 𝑝 ))) = 𝑈(𝑊 0 ) +
𝑊 0 𝑈 ′ (𝑊 0 ) (𝜇 𝑝 + 1 2 𝑊 0 𝑈 ′′ (𝑊 0 ) 𝑈 ′ (𝑊 0 ) 𝜎 𝑝 2 ) (6) Berdasarkan pendekatan tersebut, memaksimalkan fungsi utilitas yang diharapkan sama dengan memaksimalkan
𝐴 = 𝜇 𝑝 − 1 2 𝛾𝜎 𝑝 2 (7)
dengan 𝛾 = −𝑊 0 𝑈 ′′ (𝑊 0 ) 𝑈 ′ (𝑊 0 ) menyatakan ukuran  relatif  penghindaran  risiko.  Telah diketahui  bahwa 𝜇 𝑝 = 𝒘′𝝁 dan 𝜎 𝑝 2 = 𝒘′𝚺𝒘 , sehingga persamaan (7) dapat ditulis dalam bentuk
𝐵 = 𝒘 ′ 𝝁 − 𝛾 2 𝒘′Σ𝒘 (8)
Sehingga  persamaan  (1)  ekuivalen  dengan persamaan (8) ditambah kendala 𝒘 ′ 𝒆 = 1 . Permasalahan optimasi pada persamaan  (1)  dan  (2)  dapat  diselesaikan dengan  menggunakan  metode  Lagrange. Pertama, bentuk fungsi Lagrange:
𝑳 = 𝒘 ′ 𝝁 − 1 2 𝛾𝒘 ′ Σ𝒘 + 𝜆(𝒘 ′ 𝒆 − 1) (9)
Berdasarkan  teorema  Kuhn-Tucker (Winston dan Goldberg, 2004), syarat perlu persamaan  (9)  mencapai  nilai  optimum adalah:
𝜕𝑳 𝜕𝒘 = 0 (10)
𝜕𝑳 𝜕𝜆 = 0 (11)
Dari persamaan (9), (10) dan (11) diperoleh
𝒘 = Σ −1 𝛾 (𝝁 + 𝜆𝒆) (12)
dan
𝒆 ′ 𝒘 = 1 (13)
Substitusi  persamaan  (12)  ke  persamaan (13) diperoleh 𝜆 = 𝛾(𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 − (𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 𝒆 ′ Σ −1 𝝁 (14)
Substitusi persamaan (14) pada persamaan (12) menghasilkan:
𝒘 = 1 𝛾 (Σ −1 − Σ −1 𝒆(𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 𝒆 ′ Σ −1 )𝝁 + Σ −1 𝒆(𝒆 ′ Σ −1 𝒆) −1 (15)
Persamaan (15) menunjukkan bahwa bobot portofolio ( w ) bergantung pada input vektor mean 𝝁 dan matiks variansi-kovariansi 𝚺 .

## Klastering Time Series
Masalah klastering time series terjadi ketika kita mengamati himpunan time series dan  kita  ingin  mengaturnya  ke  dalam kelompok  atau  kluster  terpisah  (Alonso,
2006). Pada bagian ini akan disajikan secara singkat tentang hal-hal yang terkait dengan analisis  klaster time  series yang  akan digunakan dalam penelitian ini.

## Ukuran Disimilaritas
Ukuran  disimilaritas (dissimilarity measure) merupakan  hal  terpenting  dalam melakukan analisis klaster. Banyak ukuran disimilaritas  antara time  series telah diajukan  dalam  literatur.  Dalam  penelitian ini  ukuran  disimilaritas  yang  digunakan adalah  jarak Dynamic  Time  Warping (DTW).
Jarak  DTW  telah  dipelajari  secara mendalam oleh Sankoff dan Kruskal (1983) dan  digunakan  untuk  menemukan  pola dalam deret waktu oleh Berndt dan Clifford (1994).  Jarak  DTW  bertujuan  untuk menemukan pemetaan 𝑟 antara deret waktu tersebut  sehingga  ukuran  jarak  antara pengamatan berpasangan (𝑋 𝑎 𝑖 , 𝑌 𝑏 𝑖 ) adalah minimum.  Montero  dan  Vilar  (2014) memberikan  definisi  jarak  DTW  sebagai berikut.
𝑑 𝐷𝑇𝑊 (𝑿 𝑇 , 𝒀 𝑇 ) = min 𝑟𝜖𝑀 (∑ |𝑋 𝑎𝑖 − 𝑌 𝑏𝑖 | 𝑖=1,… ,𝑚 ) (16)
Lebih  lanjut,  Montero  dan  Vilar (2014)  menyatakan  bahwa  jarak  DTW memungkinkan  untuk  mengenali  bentuk yang  serupa,  bahkan  dengan  adanya transformasi  sinyal  seperti  pergeseran dan/atau penskalaan.

## k-Medoids Clustering
Klastering k-medoids adalah  teknik klastering  yang  mirip  dengan  teknik klastering k - means untuk  mempartisi kumpulan  data (data  set) menjadi k
kelompok atau klaster. Dalam
pengelompokan k-medoids ,  setiap  klaster diwakili  oleh  salah  satu  titik  data  dalam klaster.  Titik-titik  ini  disebut medoids dari klaster.  Istilah medoid mengacu  pada entitas dalam sebuah klaster yang memiliki perbedaan  rata-rata  minimal  antara  titik tersebut dan semua anggota klaster lainnya. Sebagai catatan, dalam klastering k-means, pusat  kluster  ditentukan  sebagai  nilai  rata- rata dari semua titik data kluster. K-medoids adalah  alternatif  yang robust untuk klastering k -means.  Ini  berarti  bahwa klastering k-medoids kurang sensitif
terhadap  pencilan  dibandingkan  dengan klastering k-means , karena metode klastering  tersebut  menggunakan medoid sebagai  pusat  cluster. Partitioning  Around Medoids (PAM) adalah pendekatan klastering  yang  paling  umum  untuk k- medoids (Kaufman dan Rousseeuw, 1990). Algoritma  PAM  didasarkan  pada pencarian
k objek perwakilan (representative) atau medoid di  antara pengamatan  kumpulan  data (data  set) . Setelah  menemukan  satu  set k medoid , klaster dibangun dengan menetapkan setiap observasi ke medoid terdekat. Selanjutnya, setiap medoid yang  dipilih  dan  setiap  titik data non-medoid ditukar (swapped) dan fungsi  tujuan  dihitung.  Fungsi  objektif adalah jumlah disimilaritas semua objek ke medoid terdekatnya.
Langkah pertukaran (swap) mencoba meningkatkan  kualitas  pengelompokan dengan menukar objek yang dipilih sebagai medoid dan  objek non-medoid .  Jika  nilai fungsi  objektif  dapat  dikurangi  dengan menukar objek yang dipilih sebagai medoid dengan objek non-medoid , maka pertukaran dilakukan.  Hal  ini  terus  dilakukan  hingga fungsi objektif tidak dapat diturunkan lagi. Tujuannya adalah untuk menemukan objek perwakilan  yang  meminimalkan  jumlah disimilaritas pengamatan ke objek perwakilan terdekat mereka.
Secara  terperinci,  Kaufman  dan Rousseeuw  (1990)  menguraikan    langkah- langkah  algoritma  analisis  klaster  PAM sebagai berikut:
1. Pilih k objek untuk menjadi medoid ;
2. Hitung matriks disimilaritas
menggunakan persamaan (16);
3. Tetapkan  setiap  objek  ke medoid terdekatnya;
4. Untuk setiap pencarian klaster jika salah satu objek klaster menurunkan koefisien ketidaksamaan  rata-rata,  pilih  entitas yang paling banyak menurunkan koefisien  ini  sebagai medoid untuk klaster ini;
5. Jika  setidaknya  satu medoid telah berubah,  lanjutkan  ke  (3),  jika  tidak, akhiri algoritma.
Sharpe Ratio
Setelah klaster-klaster terbentuk, selanjutnya  dilakukan  penilaian  terhadap kinerja masing-masing saham dalam setiap klaster  dengan  menggunakan  Sharpe ratio (SR).  Sharpe ratio atau  indeks  Sharpe adalah ukuran dari excess return (atau risk premium )  per  unit  risiko  dalam  aset (Sharpe,  1994).  Sharpe ratio digunakan untuk  mengkarakterisasi  seberapa  baik return aset mengkompensasi investor untuk risiko  yang  diambil.  Lebih  lanjut  Sharpe (1994)  menyatakan  bahwa  SR  dihitung dengan  membandingkan  selisih  antara return  saham  (R)  dan return  risk-free  rate (𝑅 𝑓 ) dengan  standar  deviasi  return  saham
(𝜎) atau dapat ditulis sebagai berikut:
𝑆𝑅 = 𝑅−𝑅 𝑓 𝜎 (17)
Secara umum dapat dikatakan bahwa semakin  besar  nilai  Sharpe ratio suatu saham  maka  kinerja  saham  semakin  baik. Sharpe ratio juga  dapat  digunakan  untuk mengukur  kinerja  portofolio.  Jika  Sharpe ratio digunakan  untuk  mengukur  kinerja portofolio  maka  return dan  risiko  yang digunakan  adalah  return  dan  risiko portofolio.

## Pemilihan Portofolio Optimum dengan Menggunakan Estimasi Robust
Ada  dua  terminologi  penting  dalam pembentukan  portofolio,  yaitu  portofolio efisien dan portofolio optimum. Portofolio efisien  adalah  portofolio  dengan  return tertinggi pada risiko tertentu, atau portofolio  dengan  risiko  terendah  pada return tertentu (Elton, dkk., 2014). Investor perlu mempertimbangkan dan menentukan sekuritas  apa  saja  yang  membentuk portofolio  dan  dapat  mencapai  efisiensi maksimal.  Indikator  portofolio  efisien adalah:
1. Mampu  memberikan expected return terbesar dengan risiko yang sama. \
2. Mampu  memberi  risiko  terkecil  dengan expected return yang sama.
Penentuan portofolio efisien dilakukan  dengan  cara  memilih  tingkat expected return tertentu dan meminimumkan risikonya, atau menentukan  tingkat  risiko  tertentu  dan kemudian memaksimumkan expected returnnya.  Portofolio  efisien  merupakan
portofolio  yang  baik,  tetapi  bukan  yang terbaik.  Portofolio  yang  terbaik  adalah portofolio  yang  optimal.  Portofolio  efisien hanya mempunyai  satu  dari faktor terbaik, yaitu  faktor expected return  atau  faktor risikonya.  Sementara,  portofolio  yang optimal  adalah  portofolio  yang  memiliki kombinasi expected return dan risiko  yang terbaik (Elton, dkk., 2014).
Portofolio  MV  klasik  menjadi  tidak efektif ketika dihadapkan pada kondisi data return  yang  tidak  memenuhi  asumsi distribusi normal multivariat, karena estimasi klasik dari mean dan variansi tidak robust dan  sangat  dipengaruhi  oleh pengamatan-pengamatan yang menyimpang  ( outlier ),  (Maronna  dkk, 2006).  Statistika robust berkaitan  dengan membangun  prosedur  statistik  yang  stabil ketika  ada  bagian  dari  data  yang  tidak sesuai  dengan  distribusi  yang  diasumsikan atau terdapat penyimpangan dari model.
Pada penelitian ini, vektor mean dan matriks variansi-kovariansi diestimasi dengan  menggunakan  metode  estimasi robust Fast Minimum Covariance
Determinant (FMCD) dan metode estimasi robust Scale (S).  Berikut  akan  disajikan secara  sekilas  prosedur  metode  estimasi robust FMCD  dan  metode  estimasi robust S.

## Metode Estimasi Robust FMCD
Estimasi Minimum Covariance Determinant (MCD)  bertujuan  untuk mencari  estimasi robust berdasarkan h pengamatan  dari  total  pengamatan (n) , dimana  matriks  kovariansi  mempunyai determinan  paling  kecil.  Estimasi  MCD merupakan pasangan 𝝁 ̂ ∈ ℝ 𝑝 dan 𝚺 ̂ adalah matriks  definit  positif  simetris  berdimensi 𝑝 × 𝑝 dari  suatu  sub  ruang  sampel berukuran ℎ pengamatan, di mana (𝑛+𝑝+1)
2 ≤ ℎ ≤ 𝑛 dengan 𝝁 ̂ = 1 ℎ ∑ 𝒓 𝒊 ℎ 𝑖=1 (18)
dengan 𝒓 𝒊 return saham ke- 𝑖 , 𝑖 = 1, … , ℎ . Estimasi  matriks  kovariansi  dapat diperoleh dengan
menyelesaikan
persamaan berikut ini:
𝚺 ̂ = 1 ℎ ∑ (𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂)(𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂)′ ℎ 𝑖=1 (19)
Perhitungan  MCD  bisa  menjadi sangat rumit apabila dimensi data semakin besar, hal ini dikarenakan pada metode ini harus  memeriksa  semua  kemungkinan himpunan  bagian h dari  sejumah n data. Oleh  karena  itu  Roesseeuw  dan  Van Driessen  (1999)  menemukan  algoritma perhitungan  yang  lebih  cepat  untuk menghitung MCD yang disebut Fast MCD (FMCD).  Metode  FMCD  berdasarkan teorema C-Step yang dijelaskan berikut ini.
Teorema 1 (Rousseeuw dan
Driessen,1999) Jika 𝐻 1 adalah  himpunan bagian berukuran h yang diambil dari data berukuran n, maka statistik sampel adalah:
𝝁 ̂ 1 = 1 ℎ ∑ 𝒓 𝑖 𝑖∈𝐻 1 (20)
𝜮 ̂ 1 = 1 ℎ ∑ (𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂ 1 )(𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂ 1 ) 𝑖∈𝐻 1 ′ (21)
Jika |𝜮 ̂ 1 | > 0 maka jarak 𝑑 𝑖 = (𝒓 𝑖 ; 𝝁 ̂ 1 , 𝜮 ̂ 1 ) . Selanjutnya tentukan 𝐻 2 himpunan bagian yang terdiri dari dari h pengamatan dengan jarak  terkecil 𝑑 𝑖 ,  yaitu {𝑑 1 (𝑖)|𝑖 ∈ 𝐻 2 } = {(𝑑 1 ) 1 , … , (𝑑 1 ) ℎ } dengan (𝑑 1 ) 1 ≤ (𝑑 1 ) 2 ≤ ⋯ ≤ (𝑑 1 ) 𝑛 merupakan jarak yang berurutan. Berdasarkan 𝐻 2 dengan menggunakan  persamaan  (20  )  dan  (21), diperoleh
|𝜮 ̂ 2 | ≤ |𝜮 ̂ 1 | (22)
Ekspresi  (22)  akan  sama  apabila 𝝁 ̂ 1 = 𝝁 ̂ 2 dan 𝜮 ̂ 1 = 𝜮 ̂ 2 .
Teorema  C-Step  dilakukan  berulang kali  sampai | 𝚺 ̂ 𝑏𝑎𝑟𝑢 | > 0 atau | 𝚺 ̂ 𝑏𝑎𝑟𝑢 | = | 𝚺 ̂ 𝑙𝑎𝑚𝑎 | .

## Metode Estimasi Robust S
Estimasi  ini  diperkenalkan  pertama kali oleh Rousseeuw and Yohai (1984) yang kemudian dikembangkan lagi oleh Lopuhaa (1989) dan Davies (1987).
Deﬁnisi  1 (Davies,1987) Diberikan {𝒓 𝑖 , 𝑖 = 1, … , 𝑛} adalah himpunan data di ℝ 𝑝 dan diberikan 𝒫 𝑝 adalah  himpunan  semua  matriks simetrik  deﬁnit  positif  berukuran 𝑝 × 𝑝 . Estimasi S untuk ukuran lokasi 𝝁 ̂ ∈ ℝ 𝑝 dan dispersi 𝜮 ̂(𝑅) ∈ 𝒫 𝑝 adalah setiap pasangan yang meminimumkan |𝜮| dengan kendala 1 𝑛 ∑ 𝜌[(𝒓 𝑖 − 𝝁) ′ 𝜮 −1 (𝒓 𝑖 − 𝝁)] 1/2 𝑛 𝑖=1 = 𝑏 0
(23)
dengan 𝜌 adalah  fungsi  kerugian (loss  function),  dan 𝑏 0 adalah  suatu
konstanta. Konstanta  ini  harus  ditentukan dengan  tepat  karena  nilai  ini  berpengaruh terhadap  hasil  estimasi.  Apabila  distribusi data  tidak  diketahui  maka  dipilih b 0 = E{ρ‖𝐫‖} .
Estimator  S  dapat  diperoleh  dengan menyelesaikan persamaan berikut ini:
1 𝑛 ∑ 𝑢(𝑑 𝑖 )(𝒓 𝑖 − 𝝁) 𝑛 𝑖=1 = 0 (24) 1 𝑛 ∑ 𝑝𝑢(𝑑 𝑖 )(𝒓 𝑖 − 𝝁)(𝒓 𝑖 − 𝝁) ′ − 𝑛 𝑖=1 𝑣(𝑑 𝑖 )𝚺 = 0 (25)
dengan 𝑑 𝑖 = (𝒓 𝑖 − 𝝁) ′ 𝚺 −1 (𝒓 𝑖 − 𝝁) , 𝜓(𝑑 𝑖 ) = 𝜕𝜌 𝜕𝑑 , 𝑢(𝑑 𝑖 ) = 𝜓(𝑑 𝑖 )/𝑑 𝑖 , sedangkan 𝑣(𝑑 𝑖 ) = 𝜓(𝑑 𝑖 )𝑑 𝑖 − 𝜌(𝑑 𝑖 ) + 𝑏 0 . Estimasi S ditentukan  oleh  pemilihan  fungsi  kerugian ( loss function ).
Perhitungan  estimasi  S  dilakukan secara iteratif dengan menggunakan persamaan  (24)  dan  (25).  Menurut  Hardin (2000)  algoritma  perhitungan  estimasi  S adalah sebagai berikut:
1. Tentukan estimasi awal vektor mean dan matriks kovariansi, 𝝁 ̂ 0 dan 𝚺 ̂ 0 2. Hitung 𝑑 𝑖 = (𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂ 0 ) ′ 𝚺 ̂ 0 −1 (𝒓 𝑖 − 𝝁 ̂ 0 ) 3. Tentukan 𝑘 0 sedemikian hingga ∑ ρ(𝑑 𝑖 /𝑘 0 ) 𝑛 = 𝑏 0 4. Hitung 𝑑 𝑖 ̃ = 𝑑 𝑖 𝑘 0 5. Tentukan 𝝁 ̂ = ∑ 𝜓(𝑑 𝑖 ̃)𝒓 𝒊 ∑ 𝜓(𝑑 𝑖 ̃) dan Σ̂ =
𝑝 ∑ 𝜓(𝑑 𝑖 ̃)(𝒓 𝑖 −𝝁)(𝒓 𝑖 −𝝁) ′ ∑ 𝜓(𝑑 𝑖 ̃) 6. Ulangi  langkah  2-3  sampai 𝝁 ̂ dan 𝚺 ̂ konvergen

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Hasil Klastering
Pada penelitian ini, kami
menggunakan  harga  penutupan  harian saham  harian  dari  seluruh  saham  yang
termasuk  dalam  indeks  LQ-45  yang terdaftar  di  Bursa  Efek  Indonesia  periode Agustus  2017  –  Februari  2018  yang kemudian diperluas hingga Juli 2018 yang diakses  melalui  website  https://finance. yahoo.com. Analisis klaster yang digunakan  adalah  analisis  klaster time series PAM  dengan  ukuran  disimilaritas jarak  DTW.  Dengan  menggunakan  fungsi TSclust pada packages R, diperoleh bahwa saham-saham LQ-45 dapat dikelompokkan menjadi  6  klaster,  sebagaimana  disajikan pada Tabel 1.
Dari  Tabel  1  dapat  dilihat  bahwa dengan menggunakan klastering time series PAM  dengan  ukuran  disimilaritas  DTW, saham-saham  LQ-45  tersebar  ke  dalam enam  klaster  dengan  jumlah  anggota masing-masing  klaster  cukup  variatif. Klaster  1  terdiri  dari  10  saham,  klaster  2 terdiri  19  saham,  klaster  3  terdiri  dari  11 saham,  klaster  4  terdiri  dari  3  saham, sedangkan  klaster  5  dan  klaster  6  masing- masing beranggotakan 1 saham.

## Saham Representasi Klaster
Setelah klaster-klaster terbentuk langkah  selanjutnya  adalah  menghitung Sharpe ratio masing-masing  saham  pada setiap  klaster.  Dalam  perhitungan  Sharpe ratio ini ,  return  risk-free  rate yang digunakan adalah Bank Indonesia rate pada waktu  pengambilan data, yaitu 5.25 % per tahun.  Berdasarkan  perhitungan  Sharpe ratio setiap  saham  pada  masing-masing klaster diperoleh saham-saham yang merupakan  representasi  masing-masing klaster untuk menyusun portofolio optimum sebagaimana disajikan pada Tabel 2.
Tabel 1. Klaster Saham
Klaster Anggota Klaster 1 AALI AKRA ASII BBNI BMRI ICBP INDF JSMR LPPF SMGR 2 ADHI ADRO BBRI BBTN BJBR BRPT BSDE EXCL  HMSP INCO

## KLBF PGAS PTBA PTPP SCMA
SSMS TLKM  WIKA  WSKT 3 ANTM  BMTR  BUMI  LPKR LSIP MNCN  MYRX  PPRO  PWON  SMRA SRIL 4 BBCA INTP UNTR 5 GGRM
6 UNVR
Pada klaster 1 yang terdiri 10 saham dan  saham  ICBP  dengan  Sharpe ratio sebesar 0,00958 merupakan saham dengan Sharpe ratio tertinggi di klaster 1, sehingga saham  ICBP  terpilih  sebagai  representasi dari  klaster  1.  Selanjutnya  pada  klaster  2 yang terdiri dari 19 saham dan saham INCO dengan  Sharpe ratio sebesar  0,09116 merupakan  saham  dengan  Sharpe ratio tertinggi di klaster 2, sehingga saham INCO terpilih  sebagai  representasi  dari  klaster  2. Demikian  seterusnya  dengan  cara  yang sama, dipilih saham-saham ANTM, BBCA, GGRM,  dan  UNVR  secara  berturut-turut sebagai representasi dari klaster 3, 4, 5, dan 6.

## Perbandingan Kinerja Portofolio yang Terbentuk
Pada penelitian ini portofolio optimum  ditentukan  dengan  menggunakan tiga  model  portofolio,  yaitu:  model portofolio  MV  klasik  ( 𝑀𝑉 𝑘𝑙𝑎𝑠𝑖𝑘 ),  model portofolio  MV robust FMCD  ( 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 ) dan model portofolio MV robust S ( 𝑀𝑉 𝑆 ). Langkah  pertama  yang  dilakukan  adalah
menentukan bobot portofolio ketiga model untuk  berbagai  nilai risk  aversion 𝛾 menggunakan fungsi CovMcd dan CovSest pada packages R.  Saham-saham yang digunakan adalah saham-saham yang merupakan  representasi  setiap  klaster sebagaimana disajikan pada Tabel 1. Bobot portofolio  yang  dihasilkan  diberikan  pada Tabel 3.
Dari  Tabel  3  dapat  dilihat  bahwa, untuk  model  portofolio  MV  klasik,  saham dengan  return  negatif  yaitu  saham  UNVR memiliki bobot negatif (short selling) untuk semua  nilai risk  aversion 𝛾 .  Sebaliknya saham-saham  yang  lain  selalu  memiliki bobot  positif,  kecuali  saham  ICBP  untuk 𝛾 = 0,5 dan 𝛾 = 1 .
Dari Tabel 3, dapat dilihat pula bahwa untuk model portofolio MV robust FMCD, saham  ICBP,  INCO  dan  UNVR  memiliki bobot negatif untuk hampir semua nilai risk aversion 𝛾 . Namun demikian bobot negatif tersebut  semakin  mengecil  seiring  dengan bertambahnya nilai risk aversion 𝛾 . Di sisi lain,  saham  ANTM,  BBCA  dan  GGRM selalu  memiliki  bobot  positif.  Dengan

## Tabel 2. Saham-saham Representasi Klaster
Klaster Representasi Return Risiko Sharpe Ratio 1 ICBP 0,00028 0,01395 0,00958 2 INCO 0,00258 0,02673 0,09116 3 ANTM 0,00138 0,02431 0,05068 4 BBCA 0,00088 0,01285 0,05713 5 GGRM 0,00032 0,01830 0,00941 6 UNVR -0,00034 0,01383 -0,03521

## Tabel 3. Bobot Portofolio
Model 𝜸 ICBP INCO ANTM BBCA GGRM UNVR 0,5 -0,50075 6,01759 0,01913 7,49371 0,35268 -12,38236 1 -0,11771 3,05234 0,02227 3,90435 0,22244 -6,08368 𝑀𝑉 𝑘𝑙𝑎𝑠𝑖𝑘 2 0,07380 1,56971 0,02384 2,10966 0,15733 -2,93434 5 0,18871 0,68014 0,02478 1,03285 0,11826 -1,04474 10 0,22702 0,38361 0,02509 0,67392 0,10523 -0,41487 0,5 -11,64984 -2,47218 3,38129 15,32727 0,41117 -3,99770 1 -5,72835 -1,21254 1,70727 7,80734 0,24466 -1,81838 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 2 -2,76760 -0,58271 0,87026 4,04737 0,16140 -0,72872 5 -0,99116 -0,20482 0,36806 1,79139 0,11145 -0,07492 10 -0,39901 -0,07886 0,20066 1,03940 0,09480 0,14301 0,5 -7,93013 0,21814 1,74590 11,37744 -0,87301 -3,53834 1 -3,84454 0,13009 0,89565 5,83364 -0,40021 -1,61463 𝑀𝑉 𝑆 2 -1,80174 0,08607 0,47052 3,06174 -0,16381 -0,65277 5 -0,57606 0,05965 0,21545 1,39860 -0,02197 -0,07566 10 -0,16751 0,05085 0,13042 0,84421 0,02531 0,11671
membesarnya  nilai risk  aversion 𝛾 bobot positif  tersebut  akan  semakin  menurun untuk  mengimbangi  saham-saham  dengan bobot negatif.
Untuk model portofolio MV robust S, saham ICBP, GGRM dan UNVR memiliki bobot  negatif  untuk  hampir  semua  nilai 𝛾 . Namun  demikian  bobot  negatif  tersebut semakin mengecil seiring dengan bertambahnya nilai risk aversion 𝛾 . Di sisi lain,  saham  INCO,  ANTM  dan  BBCA selalu  memiliki  bobot  positif  semua  nilai risk  aversion 𝛾 .  Sama  dengan  dua  model yang  lain,  dengan  membesarnya  nilai risk aversion 𝛾 ,  bobot  positif  tersebut  akan semakin  menurun  untuk  mengimbangi saham-saham dengan bobot negatif.
Berdasarkan bobot portofolio, vektor mean  dan  matriks  kovariansi,  selanjutnya dapat  ditentukan  return,  risiko  dan  Sharpe ratio ketiga portofolio yang dibentuk yang hasilnya sebagaimana disajikan pada Tabel 4.
Mengukur  kinerja  portofolio  tidak bisa hanya dilihat dari returnnya saja tetapi juga harus memperhatikan risiko yang akan ditanggung investor . Ada beberapa ukuran yang  dapat  digunakan  untuk  mengukur kinerja  portofolio,  salah  satunya  adalah dengan menggunakan Sharpe ratio . Tabel 4 memperlihatkan  return,  risiko  dan  Sharpe ratio portofolio  yang  dibentuk  dengan menggunakan  klastering time  series PAM dengan ukuran jarak DTW dikombinasikan dengan model portofolio MV klasik, model 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 dan  model 𝑀𝑉 𝑆 .  Dari  Tabel  4, secara  umum  dapat  dilihat  bahwa  kinerja portofolio yang dibentuk dengan menggunakan  saham  representasi  hasil klastering  menggunakan  PAM  dengan ukuran DTW yang dikombinasikan dengan model  portofolio  MV  klasik  mengungguli
kinerja  portofolio  yang  dibentuk  dengan kombinasi model portofolio yang lain.

## KESIMPULAN DAN SARAN

## Kesimpulan
Paper  ini  membahas  bagaimana teknik  klastering  dapat  digunakan  dalam manajemen portofolio saham dan membangun  sistem  untuk  mendapatkan portofolio optimum. Hal ini dapat mengurangi waktu pemilihan saham karena saham dengan kategori serupa dapat dengan mudah  dikelompokkan  ke  dalam  satu klaster.  Setelah  klaster-klaster  terbentuk, kemudian  dipilih  saham  berkinerja  terbaik dari masing-masing klaster sebagai representasi  klaster  untuk  membentuk portofolio optimum. Studi empiris menunjukkan bahwa dengan menggunakan klastering time series PAM dengan ukuran jarak DTW, 45 saham Bursa Efek Indonesia yang  termasuk  dalam  indeks  LQ-45  dapat dikelompokkan  menjadi  6  klaster.  Saham representasi masing-masing klaster kemudian  digunakan  untuk  membentuk portofolio  optimum  menggunakan  model portofolio MV klasik, model portofolio MV robust FMCD  dan  model  portofolio  MV robust S. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa  kinerja  portofolio  yang  dihasilkan dengan menggunakan klastering time series PAM  dengan  ukuran  jarak  DTW  yang dikombinasikan  dengan  model  portofolio MV klasik mengungguli kinerja portofolio yang  dihasilkan  kombinasi  dengan  model yang lain.

## Saran
Untuk  penelitian  selanjutnya,  akan menarik untuk menggunakan teknik klastering time  series dengan  ukuran disimilaritas yang lain seperti periodogram based  distance ,  Piccolo distance ,  Maharaj
Tabel 4. Return, Risiko dan Sharpe Ratio Portofolio
𝛾 Return Risiko Sharpe Ratio 𝑀𝑉 𝐾𝑙𝑎𝑠𝑖𝑘 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 𝑀𝑉 𝑆 𝑀𝑉 𝐾𝑙𝑎𝑠𝑖𝑘 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 𝑀𝑉 𝑆 𝑀𝑉 𝐾𝑙𝑎𝑠𝑖𝑘 𝑀𝑉 𝐹𝑀𝐶𝐷 𝑀𝑉 𝑆 0,5 0,02636 0,01959  0,01090 0,05167 0,04043  0,02222 0,11531 0,09669  0,07218 1 0,01346 0,00949  0,00536 0,01298 0,01015  0,00560 0,11687 0,09279  0,06976 2 0,00701 0,00444  0,00260 0,00331 0,00258  0,00145 0,11936 0,08470  0,06446 5 0,00314 0,00142  0,00093 0,00060 0,00046  0,00028 0,12213 0,05945  0,04695 10 0,00186 0,00041  0,00038 0,00022 0,00016  0,00012 0,11622 0,02111  0,02182
distance dan mengkombinasikannya dengan model-model portofolio yang sudah ada,  kemudian  membandingkan  kinerja portofolio yang dihasilkan.

## UCAPAN TERIMA KASIH
Kami mengucapkan terima kasih atas dukungan finansial dari Direktorat Jenderal Pendidikan  Tinggi,  Riset,  dan  Teknologi, Kementerian  Pendidikan,  Kebudayaan, Riset,  dan  Teknologi  Republik  Indonesia melalui  Hibah  Penelitian  Disertasi  Doktor (PDD)  Tahun  2021.  Penulis  pertama  juga mengucapkan terima kasih kepada Lembaga  Pengelola  Dana  Pendidikan (LPDP)  Kementerian  Keuangan  Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa untuk  Program  Doktor  di  Departemen Matematika Universitas Gadjah Mada.

## DAFTAR PUSTAKA
Alonso,  A.  M.,  Barrendero,  J.  R., Hernandez,  A.,  dan  Justel,  A.  2006. Time  Series  Clustering  Based  on
Forecast  Densities. Computational Satistics  &  Data  Analysis ,  Vol.  51,
762–776.
Best,  Michael  J.  dan  Grauer,  Robert  R. 1991.  On  the  Sensitivity  of  Mean-
Variance  Efficient  Portfolios  to Changes  in  Asset  Means:  Some Analytical
and Computational
Results. Review of Financial Studies , Vol. 4(2), 315–342.
Berndt,  Donald  J.  dan  Clifford,  James.
1994. Using Dynamic Time Warping to  Find  Patterns  in  Time  Series.  In
Workshop  on  Knowledge  Discovery in Databases , 359–370.
Ceria,  Sabastian  dan  Stubbs,  Robert  A. 2006. Incorporating estimation errors into  portfolio  selection:  Robust portfolio  construction. Journal  of Asset  Management ,  Vol.  7(2),  109– 127.
Chen, Liang H. dan Huang, Lindsay. 2009.
Portfolio  optimization  of  equity mutual  funds  with  fuzzy  return  rates and  risks. Expert  Systems  with Applications , Vol. 36, 3720–3727.
Chopra,  Vijay  K.  dan  Ziemba,  William  T.
1993. The Effect of Errors in Means,
Variances,  and  Covariances  on Optimal Portfolio Choice. Journal of Portfolio Management , Vol. 19(2), 6– 11.
Davies, P. L. 1987. Asymptotic Behaviour of S-Estimates of Multivariate
Location  Parameters  and  Dispersion Matrices. The  Annals  of  Statistics ,
Vol. 15(3), 1269–1292.
DeMiguel, Victor dan Nogales, Francisco J.
2009. Portfolio Selection With Robust Estimation. Operations Research , Vol. 57(3), 560–577.
Elton, E. J., Gruber, M. J., Brown, S. J., dan Geotzmann,  W.  N.  2014. Modern Portfolio  Theory  and  Investment Analysis , 9th Edition, John Wiley and
Sons, Inc., New York.
Guan,  He  S.  dan  Jiang,  Qing  S.  2007. Cluster  financial  time  series  for portfolio.  Proceedings  of  the  2007 International Conference on Wavelet Analysis  and  Pattern  Recognition, ICWAPR 2007, Vol. 2, 851–856. Gubu,  L.  Rosadi,  D.,  dan  Abdurakhman. 2019.  Classical  portfolio  selection with  cluster  analysis:  Comparison between hierarchical complete linkage  and  Ward  algorithm,  in International Conference on
Mathematics  and  its  Applications 2019, AIP  Conference  Proceedings 2192 , 090004-1–0960004-7.
Hardin,  Johana  S.  2000.  Multivariate
Outlier Detection and Robust Clustering with Minimum Covariance  Determinant  Estimation and S-estimation. Disertasi , University of California, California.
Kaufman, Leonard dan Rousseeuw, Peter J. 1990. Finding  Groups  in  Data:  An Introduction, John  Wiley  &  Sons, Hoboken, New Jersey.
Lauprete, Geoffrey J. 2001. Portfolio Risk Minimization Under Departures from Normality. Disertasi ,  Massachusetts Institue of Technology.
Long,  N.  C.,  Wisitpongphan,  N.,  Meesad, P.,  dan  Unger,  H.  2014.  Clustering stock data for multi-objective portfolio  optimization. International Journal of Computational
Intelligence  and  Applications, Vol. 13(2), 1–13.
Lopuhaa, Hendrik P. 1989. On the Relation between S-Estimators and M-
Estimators  of  Multivariate  Location and  Covariance. The  Annals  of Statistics, Vol. 17(4), 1662–1683.
Markowitz, Harry. 1952. Portfolio Selection. The  Journal  of  Finance, Vol. 7(1), 77–91.
Maronna, R.  A., Martin,  R. D. dan Yohai, V. J. 2006. Robust Statistics: Theory and  Methods. John  Wiley  &  Sons, Ltd.
Montero,  Pablo  dan  Vilar,  Jose  A.  2014. TSclust:  an  R  Package  for  Time
Series Clustering. Journal of Statistical Software, Vol. 62(1), 1–43.
Nanda, S. R., Mahanty, B., dan Tiwari, M. K.  2010.  Clustering  Indian  Stock Market Data for Portfolio Management. Expert  Systems  with
Applications, Vol.  37(12),  8793– 8798. Reilly, Frank K. dan Brown, Keith C. 2012. Investment  Analysis  and  Portfolio Management . 10th Edition, Thomson South-Western. USA Rousseeuw,  Peter  J.  dan  Van  Driessen, Katrien.  1999.  Fast  Algorithm  For Minimum  Covariance  Determinant
Estimator. Technometrics, Vol. 41(3), 212–223. Rousseeuw,  Peter  J.  dan  Yohai,  Victor. 1984.  Robust  Regression  By  Means of  S  estimators, Lecture  Notes  in Statistics:  Robust  and Nonlinear Time  Series  Analysis,  Vol.  26,  256– 272. Sankoff, David dan Kruskal, Joseph. 1983. Time  Warps,  String  Edits,  and Macromolecules:  The  Theory  and Practice  of  Sequence  Comparison, Addison Wesley. Sharpe, William F. 1994. The Sharpe Ratio,
The Jornal of Portfolio Management, Vol. 21, 49–58. Supandi,  Epha  D.  2017.  Pengembangan Model  Portofolio  Mean-Variance
Melalui Metode Estimasi Robust dan Optimasi Robust. Disertasi , Departemen Matematika FMIPA
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta
Tola,  V.,  Lillo,  F.,  Gallegati,  M.,  dan Mantegna,  R.  N.  2008.  Cluster analysis  for  portfolio  optimization. Journal  of  Economic  Dynamics  and Control , Vol. 32(1), 235–258.
Vaz-de Melo, Beatriz dan Camara, Ricardo
P. 2005. Robust Multivariate
Modeling  in  Finance, International Journal of Managerial Finance , Vol.
1(2), 95–107.
Welsch, Roy E. dan Zhou, Xinfeng. 2007.
Application  of  robust  statistics  to asset  allocation  models. REVSTAT– Statistical Journal , Vol. 5(1), 97–114.
Winston,  Wayne  L.  dan  Goldberg,  Jeffrey B.  2004. Operations  Research: Applications and Algorithms, Fourth Edition, Thomson Learning Inc.