## Contemporary Mathematics and Applications

## Analisis Kestabilan dan Kontrol Optimum pada Model Penyebaran Penyakit Influenza dengan Adanya Populasi
Cross-Immune
Bertha Aurellia Pamudya Fajar 1 , Miswanto 1,* & Windarto 1
1 Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Indonesia
* Corresponding author: miswanto@fst.unair.ac.id
Abstract. Influenza  is  a  respiratory  tract  infection  known  as  flu.  Caused  by  an  RNA  virus  from Orthomyxoviridae family. This thesis aims to analyze the stability of the equilibrium point in the mathematical model of influenza transmission with Cross-Immune population and applying optimal control variables in the form of prevention and treatment. In this mathematical model of influenza transmission with Cross-Immune population, we obtain two equilibriums namely, the non- endemic equilibrium and the endemic equilibrium. Local stability and the existence of endemic equilibrium depend  on  the  basic  reproduction  number  ( R 0 ).  The  spread  of  influenza  does  not  occur  in  the population  when R 0 <  1  and  the  spread  of  influenza  persist  in  the  population  when R 0 >  1. Furthermore, the problem of control variables in the mathematical model of influenza transmission is determined through the Pontryagin Maximum Principle method. The numerical simulation results show that treatment efforts are more effective in suppressing the spread of influenza disease than prevention efforts. However, giving control variables in the form of prevention and treatment at the same time is very effective in minimizing the number of human populations expose to and infected with influenza.
Keywords: influenza, mathematical model, optimal control, prevention, stability, treatment.

## 1 Pendahuluan
Influenza lebih dikenal dengan sebutan flu, yang disebabkan oleh virus RNA dari family Orthomyxoviridae (virus  influenza),  flu  dapat  dibedakan  dalam  tiga  tipe  berbeda  yaitu tipe  A,  B,  dan  C  [1].  Orang yang terinfeksi  influenza umumnya  dapat  sembuh  dalam jangka  waktu  satu  sampai  dua  minggu.  Pada  balita  dan  orang  tua  influenza  dapat menimbulkan  risiko  yang  serius.  Infeksi  tersebut  dapat  menyebabkan  kematian  [2]. Penularannya dari orang ke orang melalui udara bersin, batuk, menyentuh benda-benda kotor kemudian dengan tidak sengaja tangan menggosok mata, hidung atau mulut, dan lain-lain [3].
Imunitas  silang  ( cross-immune )  menggambarkan  suatu  populasi  yang  terletak  antara populasi rentan ( 𝑆) dan populasi sembuh dan mempunyai imunitas ( 𝑅) . Cross-immune populasi adalah suatu populasi  yang memiliki imun sementara sehingga dapat menjadi populasi rentan kembali [4]. Kebiasaan mencuci tangan adalah langkah terbaik agar kita
Vol. 4, No. 2, 2022, pp. 72-90.
dapat melindungi diri dari penularan penyakit serta mencegah kita untuk menyebarkan penyakit kepada orang lain. Segera cuci tangan kita setelah bersin atau batuk. Cuci tangan dianjurkkan menggunakan air mengalir dan sabun. Desinfektan atau hand-sanitizer juga dapat digunakan untuk menjaga agar tangan tidak terkontaminasi virus tersebut. Orang yang  menderita  flu  disarankan  banyak  beristirahat,  meminum  banyak  cairan,  dan  bila perlu mengkonsumsi obat-obatan untuk meredakan gejala yang mengganggu [5].
Perkembangan  ilmu  pengetahuan  khususnya  di  bidang  matematika  turut  memberikan peranan  penting  dalam  menggambarkan  fenomena  penyebaran  suatu  penyakit  serta mencegah  meluasnya  penyebaran  penyakit  influenza.  penyebaran  influenza  dengan model SIRS  dan  model  pertumbuhannya  berbentuk  logistik  [6].  model  penyebaran influenza  dengan  empat  kompartemen  SEIR  yang  memperhatikan  adanya  faktor  masa inkubasi [7]. model penyebaran virus influenza dengan memasukkan parameter kontrol yaitu  pemberian  obat  influenza  pada  individu  terinfeksi  dan  pengendalian  lingkungan berupa  penyuluhan  [8].  memodelkan  penyebaran  influenza  menggunakan  model  SIR dengan adanya penambahan kompartemen cross-immune (SIRC) yang menggambarkan populasi antara populasi rentan ( 𝑆) dan populasi sembuh dan mempunyai imunitas ( 𝑅) [9].
Berdasarkan  uraian  di  atas,  pada  artikel  ini  akan  dikaji  analisis  model  matematika penyebaran influenza dengan mempertimbangkan adanya masa inkubasi serta mengubah laju  pertumbuhan  eksponensial  berubah  menjadi  model  pertumbuhan  logistik.  Adapun model  logistik  adalah  sebuah  model  pertumbuhan  yang  dianggap  lebih  realistis dibandingkan model eksponensial karena pada kenyataannya laju pertumbuhan populasi terbatas.  Dengan  memasukkan  batas  kapasitas  pendukung  untuk  populasinya  sehingga jumlah populasi tidak akan tumbuh secara tak terhingga dan pada masa tertentu jumlah populasi  akan  mendekati  kapasitas  pendukung.  Selain  itu  penulis  juga  menambahkan variabel  kontrol  berupa  pencegahan  (menjaga  jarak,  menggunakan  masker,  mencuci tangan)  dan  pengobatan.  Dari  penambahan  variabel  kontrol  tersebut  diharapkan  dapat mengeliminasi atau mereduksi populasi yang terinfeksi penyakit influenza.

## 2 Overview Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza Dengan Adanya Populasi Cross-Immune
Model  matematika  yang  digunakan  untuk  mengimplementasikan  penyebaran  penyakit influenza terdiri dari lima kompartemen yaitu populasi rentan (𝑆) , populasi terinfeksi (𝐼) , populasi  sembuh (𝑅) ,  populasi cross-immune (𝐶) . Pada  penelitian  ini  dilakukan modifikasi model dengan menambahkan satu kompartemen  yaitu  populasi expose (𝐸) , serta  memodifikasi  laju  pertumbuhan  yang  semula  menggunakan  laju  pertumbuhan eksponen berubah menjadi laju pertumbuhan logistik . Beberapa asumsi yang digunakan pada model matematika penyebaran penyakit influenza adalah sebagai berikut:
1. Tidak ada penyebaran penyakit lain selain penyakit influenza.
2. Setiap manusia lahir dalam keadaan rentan terhadap penyakit influenza.
3. Populasi yang sakit (𝐼) dapat menginfeksi populasi rentan (𝑆) .
4. Populasi cross-immune (𝐶) yang menggambarkan keadaan  antara populasi rentan ( 𝑆) dan populasi sembuh dan mempunyai imunitas ( 𝑅).
5. Populasi expose (𝐸) dapat berkembang menjadi poulasi terinfeksi (𝐼).
6. Populasi cross-immune (𝐶) dapat  kehilangan  imun  dan  kembali  menjadi populasi rentan (𝑆).
7. Semua parameter bernilai konstan positif.
Pendefinisian  dari  parameter  –  parameter  yang  digunakan  dalam  model  penyebaran penyakit influenza dengan adanya populasi cross-immune disajikan pada Tabel 1 .
Tabel 1 Pendefinisian Parameter Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza Dengan
Adanya Populasi Cross-Immune . Notasi Keterangan 𝑟 Laju pertumbuhan intrinsik dari populasi rentan 𝑘 Kapasitas pendukung yaitu ukuran maksimum dari populasi rentan β Laju infeksi 𝜇 Laju kematian alami γ Laju populasi cross-immune menjadi populasi rentan σ Proporsi interaksi populasi cross-immune dengan populasi terinfeksi 𝛼 1 Laju kesembuhan populasi terinfeksi menjadi populasi sembuh 𝛼 2 Laju kesembuhan populasi expose menjadi populasi sembuh δ Laju populasi sembuh menjadi populasi cross-immune
Variabel 𝑆(𝑡) , 𝐸(𝑡) , 𝐼(𝑡) , 𝑅(𝑡) dan 𝐶(𝑡) menyatakan populasi yang bergantung pada waktu maka
𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶 ≥ 0. (1) Selain  itu 𝑟, 𝑘, 𝛽, 𝜇, 𝛾, 𝜎, 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛿 merupakan  besaran  yang  menyatakan  laju  sehingga diasumsikan:
𝑟, 𝑘, 𝛽, 𝜇, 𝛾, 𝜎, 𝛼 1 , 𝛼 2 , 𝛿 > 0. (2)
Berdasarkan  asumsi  yang  dijelaskan,  implementasi  model  matematika  terhadap penyebaran penyakit influenza dengan adanya populasi cross-immune dapat dinyatakan dalam sistem persamaan diferensial berikut:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑆 (1 − 𝑆 𝑘 ) − 𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶 (3) 𝑑𝐸(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛽𝑆𝐼  − 𝜇𝐸 − 𝛿𝐸 −   𝛼 2 𝐸 (4)
𝑑𝐼(𝑡)
𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝛼 1 )𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼 (5)
𝑑𝑅(𝑡)
𝑑𝑡 = (1 − 𝜎 )𝛽𝐶𝐼  +   𝛼 1 𝐼 + 𝛼 2 𝐸 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 (6)
𝑑𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶 (7)

## 3 Pembahasan
Pada bagian ini dianalisis kestabilan model matematika penyebaran penyakit influenza. Analisis  model  matematika  penyebaran  penyakit  influenza meliputi  mencari  titik setimbang,  menganalisis  kestabilan  titik  setimbang  yang  diperoleh,  dan  menentukan bilangan  reproduksi  dasar  dari  model.  Selanjutnya  model  matematika  penyebaran penyakit  influenza  dimodifikasi  dengan  memberikan  kontrol  berupa  upaya  tindakan pencegahan  dan  pengobatan.  Berikutnya  akan  dicari  solusi  kontrol  yang  optimal  dari model  matematika  penyebaran  penyakit  influenza  menggunakan  Prinsip  Maksimum Pontryagin.

## 3.1 Analisis  Kestabilan  Titik  Setimbang  Model  Matematika  Penyebaran Penyakit Influenza Dengan Adanya Populasi Cross-Immune
Titik  setimbang  bebas  penyakit  (non  endemik)  adalah  kondisi  ketika  tidak  terjadi penyebaran  penyakit  pada  poulasi,  dalam  hal  ini  penyakit  yang  dimaksud  adalah influenza. Keadaan ini terjadi ketika populasi manusia terpapar dan terinfeksi bernilai nol (𝐸 = 0, 𝐼 = 0) .  Misalkan  titik  setimbang  non  endemik  dinyatakan  dengan 𝐸 0 = (𝑆 0 , 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑅 0 , 𝐶 0 ) maka titik setimbang non endemik dari model matematika penyebaran influenza sebagai berikut:
𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) = (0,0,0,0,0) dan
𝐸 0 = (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) = (𝑘, 0,0,0,0)
Titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 = (0,0,0,0,0) tidak  dibahas  dalam  penelitian  ini  ini karena  semua  populasi  punah  sehingga  tidak  ada  penyebaran  penyakit  influenza.  Titik setimbang  non  endemik  yang  digunakan  adalah 𝐸 0 = (𝑘, 0,0,0,0). Selanjutnya,  akan ditentukan  nilai  dari  bilangan  reproduksi  dasar (𝑅 0 ) dari  titik  setimbang  non  endemik digunakan  untuk  mengetahui  ambang  batas  suatu  keadaan  yang  menunjukkan  bahwa suatu penyakit mengalami keadaan ada penyebaran atau tidak.
𝑅 0 = 𝛽𝑘𝛿 (𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 )(𝜇 + 𝛼 1 )
Titik  setimbang  endemik  adalah  kondisi  Ketika  terjadinya  penyebaran  penyakit  pada populasi,  dalam  hal  ini  penyakit  yang  dimaksud  adalah  influenza. Titik  setimbang endemik  akan  ada  apabila 𝑅 0 > 1. Selanjutnya  akan  dianalisis  kestabilan  lokal  dari masing – masing titik setimbang tersebut dapat membantu mengetahui dinamika perilaku sistem pada model penyebaran penyakit influenza.
Untuk mendapatkan kestabilan lokal dari masing–masing titik setimbang perlu dilakukan linierisasi  dengan  menggunakan  matriks  Jacobian.  Misalkan  persamaan  (3)-(7)  dapat dinyatakan  sebagai  fungsi  dari  variabel 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅 dan 𝐶 ,  sehingga  sistem  persamaan tersebut dapat dinyatakan secara umum sebagai berikut:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 =   𝑓 1 (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) 𝑑𝐸 𝑑𝑡 =   𝑓 2 (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =   𝑓 3 (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) 𝑑𝑅 𝑑𝑡 =   𝑓 4 (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) 𝑑𝐶 𝑑𝑡 =   𝑓 5 (𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶) maka matriks Jacobian dari persamaan (3)-(7) adalah
𝐽 = ( 𝑟 − 2𝑟𝑆 𝑘 0
−𝛽𝑆 0 𝛾 𝛽𝐼 −𝜇 − 𝛿 − 𝛼 2 𝛽𝑆 0 0 0 𝛿 −( 𝜇 + 𝛼 1 ) +  𝜎𝛽𝐶 0 𝜎𝛽𝐼 0 𝛼 2 ( 1 −  𝜎 )𝛽𝐶 + 𝛼 1 − ( 𝜇 + 𝛿 ) ( 1 −  𝜎 )𝛽𝐼 0 0 −𝛽𝐶 𝛿 −𝛽𝐼 − ( 𝜇 +  𝛾 ))
Berikutnya  akan  dianalisis  kestabilan  dari  titik  setimbang non endemik (𝐸 0 ) dan titik setimbang endemik (𝐸 1 ).
𝐽(𝐸 0 ) = ( −𝑟 0 −𝛽𝑘 0 𝛾 0 −(𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 ) 𝛽𝑘 0 0 0 𝛿 −( 𝜇 + 𝛼 1 ) 0 0 0 𝛼 2 𝛼 1 − ( 𝜇 + 𝛿 ) 0
0 0 0 𝛿 −( 𝜇 +  𝛾 ))
Dari matriks 𝐽(𝐸 0 ) akan dicari persamaan karakteristiknya dengan menggunakan det( 𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 0 )) = 0, sehingga diperoleh:
((−𝑟 − 𝜆)(−(𝜇 + 𝛾) − 𝜆)(−(𝜇 + 𝛿) − 𝜆))((−𝑎 − 𝜆)(−𝑏 − 𝜆) − 𝛽𝑘𝛿) = 0 (−𝑟 − 𝜆)(−(𝜇 + 𝛾) − 𝜆)( −(𝜇 + 𝛿) − 𝜆)(𝜆 2 + (𝑎 + 𝑏)𝜆 + 𝑎𝑏 −  𝛽𝑘𝛿) = 0 (8) (9)
dengan 𝑎 = (𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 ) dan 𝑏 =   (𝜇 + 𝛼 1 ) . Dari  persamaan  (9),  diperoleh  nilai  eigen 𝜆 1 = −𝑟, 𝜆 2 = −(𝜇 + 𝛾), 𝜆 3 = −(𝜇 + 𝛿) dan sisanya adalah akar-akar dari persamaan berikut 𝜆 2 + (𝑎 + 𝑏)𝜆 + 𝑎𝑏 − 𝛽𝑘𝛿 = 0 syarat agar persamaan (10) memiliki akar-akar yang bernilai negatif jika dan hanya jika:
1. (𝑎 + 𝑏) > 0
(𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 ) + (𝜇 + 𝛼 1 ) > 0
2𝜇 + 𝛿 + 𝛼 1 + 𝛼 2 > 0
2. 𝑎𝑏 − 𝛽𝑘𝛿 > 0
(𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 )( 𝜇 + 𝛼 1 ) − 𝛽𝑘𝛿 > 0
(𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 )( 𝜇 + 𝛼 1 ) > 𝛽𝑘𝛿
1 > 𝛽𝑘𝛿 (𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 )( 𝜇 + 𝛼 1 ) 𝛽𝑘𝛿 (𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 )( 𝜇 + 𝛼 1 ) < 1
𝑅 0 < 1.
Berdasarkan  penjelasan  yang  telah  diperoleh,  titik  setimbang  non  endemik 𝐸 0 = ( 𝑆 0, 𝐸 0 , 𝐼 0 , 𝑅 0 , 𝐶 0 ) akan stabil asimtotis lokal jika dan hanya jika 𝑅 0 < 1. Hal ini menunjukkan bahwa jika 𝑅 0 < 1, maka setiap manusia yang terinfeksi dapat menularkan penyakit influenza kepada rata-rata kurang dari satu penderita baru atau  dengan  kata  lain  influenza  akan  menghilang  dari  populasi  atau  tidak  ada penyebaran influenza.
𝐽(𝐸 1 ) = ( 𝑘 1 0
−𝑘 2 0 𝛾 𝑘 3 −𝑥 1 𝑘 2 0 0
0 𝛿 𝜎𝑘 4 − 𝑥 2 0 𝜎𝑘 3
0 𝛼 2 (1 −  𝜎)𝑘 4 + 𝛼 1 −𝑥 3 ( 1 −  𝜎 )𝑘 3
0 0 −𝑘 4 𝛿 −𝑘 3 − 𝑥 4 ) dengan
𝑘 1 =  𝑟 − 2𝑟𝑆 ∗ 𝑘 𝑘 2 =  𝛽𝑆 ∗ 𝑘 3 =  𝛽𝐼 ∗ 𝑘 4 =  𝛽𝐶 ∗ 𝑥 1 = 𝜇 + 𝛿 + 𝛼 2 𝑥 2 =  𝜇 + 𝛼 1
(10)
(11) 𝑥 3 =  𝜇 + 𝛿 𝑥 4 =  𝜇 +  𝛾
Dari  matriks 𝐽(𝐸 1 ) akan  dicari  persamaan  karakteristiknya  dengan  menggunakan det( 𝜆𝐼 − 𝐽(𝐸 1 )) = 0, sehingga diperoleh:
𝜆 5 + 𝐴𝜆 4 + 𝐵𝜆 3 + 𝐶𝜆 2 + 𝐷𝜆 + 𝐸 = 0 Untuk  menentukan  akar-akar  dari  persamaan  karakteristik  (11)  sulit  dilakukan  secara analitik, sehingga titik setimbang endemik ini akan dianalisis melalui simulasi numerik dengan menggunakan bidang fase dengan software MATLAB.
Simulasi  ini  dilakukan  dengan  memberi  nilai  parameter  dan  tiga  nilai  awal  untuk 𝑆(0), 𝐸(0), 𝐼(𝑂), 𝑅(0) dan 𝐶(0) yang  berbeda.  Hal  ini  bertujuan  untuk  mengetahui kekonvergenan  solusi  dari  masing-masing  nilai  awal  dan  parameter  yang  diberikan. Adapun nilai parameter yang digunakan disajikan pada Tabel 2 .
Tabel 2 Nilai Parameter Bidang Fase Penyebaran Penyakit Influenza Parameter Nilai Parameter Sumber 𝑟 5 Asumsi 𝑘 100 Asumsi 𝛽 100 (Khalsaraei, dkk. 2021) 𝜇 0.02 (Khalsaraei, dkk. 2021) 𝛿 1 (Khalsaraei, dkk. 2021) 𝜎 0.05 (Khalsaraei, dkk. 2021) 𝛾 0.5 (Casagrandi dkk. 2006) 𝛼 2 365 7 (Casagrandi dkk. 2006) 𝛼 1 365 2 (Casagrandi dkk. 2006)
Adapun tiga nilai awal yang berbeda untuk masing-masing populasi disajikan pada Tabel 3 .
Tabel 3 Nilai Awal Bidang Fase Penyebaran Penyakit Influenza Nilai Awal 𝑆(0) 𝐸(0) 𝐼(0) 𝑅(0) 𝐶(0) Warna 1 130 100 230 100 210 Biru 2 140 400 330 150 270 Merah 3 110 200 440 200 300
Kuning
Simulasi ini hanya dilakukan pada waktu 𝑡 = 0 sampai 𝑡 = 100 dengan satuan hari. Hasil  simulasi  bidang  fase  pada  titik  setimbang  endemik  model  matematika penyebaran penyakit influenza.
Gambar 1 Grafik Bidang Fase pada Bidang 𝐼 − 𝐸 pada Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza

## 3.2 Analisis Sensitivitas
Analisis  sensitivitas  bertujuan  untuk  mengetahui  parameter  yang  memiliki  pengaruh besar  pada  suatu  model.  Hal  tersebut  dapat  diketahui  melalui  indeks  sensitivitas  dari masing-masing  parameter.  Adapun  indeks  sensitivitas  parameter  ( 𝑖𝑛𝑑 𝑚 )  dirumuskan sebagai berikut.
𝑖𝑛𝑑 𝑚 = ( 𝜕𝑅 0 𝜕𝑚 ) 𝑚 𝑅 0 ,
dengan 𝑚 merupakan parameter yang akan dianalisis.
Hasil perhitungan indeks sensitivitas parameter model matematika penyebaran penyakit influenza dengan adanya populasi Cross-Immune dapat dilihat pada Tabel 4.
Tabel 4 Nilai Indeks Sensitivitas Parameter Parameter Indeks Sensitivitas 𝛽 1 𝑘 1 𝛿 0,981 𝜇 -0,00049 𝛼 1 -0,9999 𝛼 2 -0,981
Selanjutnya, akan ditunjukkan hubungan antara perubahan pada nilai parameter terhadap perubahan nilai 𝑅 0 yang disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5 Hubungan antara Perubahan pada Nilai Parameter terhadap Nilai 𝑅 0 Parameter (𝑝) Indeks Sensitivitas 𝑅 0 = 1.03058 𝑝 − 10% 𝑝 − 5% 𝑝 + 5% 𝑝 + 10% 𝛽 1 0,93058 0,98058 1,08058 1,13058 𝑘 1 0,93058 0,98058 1,08058 1,13058 𝛿 0,981 0,93248 0,9815 1,07963 1,12868 𝜇 -0,00049 1,03053 1,0306 1,0305 1,03053 𝛼 1 -0,9999 1,13057 1,0805 0,9806 0,9306 𝛼 2 -0,981 1,12868 1,0796 0,9815 0,9325
Berdasarkan Tabel  5 terlihat  bahwa  untuk  indeks  sensitivitas  yang  bernilai  positif menunjukkan jika nilai parameter bertambah, maka nilai 𝑅 0 akan bertambah. Sebaliknya, jika  indeks  sensitivitas  bernilai  negatif  menunjukkan  jika  nilai  parameter  bertambah, maka  nilai 𝑅 0 akan  berkurang.  Dengan  demikian  parameter  yang  memiliki  pengaruh besar dalam model matematika penyebaran penyakit influenza dengan adanya populasi Cross-Immune adalah laju infeksi (𝛽) dan Kapasitas pendukung yaitu ukuran maksimum dari  populasi  rentan (𝑘) .  Selanjutnya,  akan  dilakukan  Simulasi  parameter 𝛽 dan 𝑘 terhadap 𝑅 0 . Hasil Simulasi sensitivitas 𝛽 dan 𝑘 terhadap 𝑅 0 ditunjukkan pada Gambar 2 dan 3.
Gambar 2 Sensitivitas 𝛽 terhadap Nilai 𝑅 0 dengan Tiga Nilai 𝑘 yang Berbeda.
Gambar 3 Sensitivitas 𝑘 terhadap Nilai 𝑅 0 dengan Tiga Nilai 𝛽 yang Berbeda.
Berdasarkan Gambar 2 dan 3 dapat disimpulkan bahwa apabila laju infeksi (𝛽) semakin besar, maka nilai 𝑅 0 juga akan semakin besar yang berarti penyebaran penyakit influenza dengan  adanya  populasi Cross-Immune semakin  endemik.  Hal  tersebut  dapat  terjadi disebebkan nilai dari indeks sensitivitas 𝛽 bernilai positif, sehingga saat nilainya semakin besar maka nilai 𝑅 0 juga akan semakin besar. Kemudian dengan nilai 𝑘 yang semakin besar juga mengakibatkan nilai 𝑅 0 yang semakin besar, dikarenakan indeks sensitivitas 𝑘 bernilai positif.
Berdasarkan hasil simulasi pada Gambar 1 diperoleh kesimpulan bahwa titik setimbang endemik 𝐸 1 diduga akan stabil asimtotis jika dan hanya jika 𝑅 0 > 1. Hal ini menunjukkan bahwa  jika 𝑅 0 > 1, maka  setiap  individu  yang  terinveksi  dapat  menularkan  penyakit influenza  kepada  rata-rata  lebih  dari  satu  penderita  baru  atau  dengan  kata  lain  terjadi penyebaran influenza.

## 3.3 Kontrol Optimal Model Matematika Penyebaran Penyakit Influenza
Untuk  menentukan  kontrol  optimal  maka  dilakukan  konstruksi  model  dengan penambahan  variabel  kontrol 𝑢 1 (𝑡) sebagai  upaya  berupa  pencegahan  (menjaga  jarak, menggunakan  masker,  mencuci  tangan)  penyebaran  penyakit  influenza  pada  individu rentan. Untuk individu yang sakit influenza diberikan kontrol 𝑢 2 (𝑡) berupa pengobatan untuk  mengurangi  individu  yang  sakit  influenza.  Pemberian  kontrol 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) bertujuan  untuk  mengurangi  populasi  yang  terinfeksi  tanpa  gejala  dan  populasi  yang terinfeksi dengan gejala, menggunakan ongkos yang minimum.
Adapun model matematika penyebaran penyakit influenza serta adanya kontrol berupa usaha pencegahan dan pengobatan adalah sebagai berikut:
𝑑𝑆(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑟𝑆(1 − 𝑆 𝑘 )   − (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶,
𝑑𝐸(𝑡) 𝑑𝑡 = (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼  − 𝜇𝐸 − 𝛿𝐸 −   𝛼 2 𝐸,
𝑑𝐼(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝛼 1 )𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼  − 𝑢 2 𝐼,
𝑑𝑅(𝑡) 𝑑𝑡 = (1 − 𝜎 )𝛽𝐶𝐼  +   𝛼 1 𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 + 𝑢 2 𝐼,
𝑑𝐶(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶.
Selanjutnya, menentukan fungsi ongkos atau indeks performansi dari model matematika penyebaran  penyakit  influenza  yang  telah  diberi  kontrol  berupa 𝑢 1 (𝑡) dan 𝑢 2 (𝑡) . Berdasarkan penjelasan diatas, maka dapat dibentuk fungsi ongkos sebagai berikut:
𝑚𝑖𝑛 𝐽 ( 𝑢 1 , 𝑢 2 )   =   ∫ [ 𝐸(𝑡) + 𝐼(𝑡) + 𝐶 1 2 𝑢 1 2 (𝑡)   + 𝐶 2 2 𝑢 2 2 (𝑡)] 𝑑𝑡,
𝑡 𝑓 𝑡 0
𝐻 = 𝐸 +  𝐼 + 𝐶 1 2 𝑢 1 2 + 𝐶 2 2 𝑢 2 2 + (𝜆 1 𝜆 2 𝜆 3 𝜆 4 𝜆 5 ) ( 𝑟𝑆(1 − 𝑆 𝑘 )   − (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶
(1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼  − 𝜇𝐸 − 𝛿𝐸 −   𝛼 2 𝐸 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝛼 1 )𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼  − 𝑢 2 𝐼
(1 − 𝜎 )𝛽𝐶𝐼  +   𝛼 1 𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 + 𝑢 2 𝐼 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶 ) ⇔ 𝐻 = 𝐸 + 𝐼 + 𝑐 1 2 𝑢 1 2 + 𝑐 2 2 𝑢 2 2 + 𝜆 1 [𝑟𝑆(1 − 𝑆 𝑘 )   − (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶] + 𝜆 2 [(1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼  − 𝜇𝐸 − 𝛿𝐸 −   𝛼 2 𝐸] + 𝜆 3 [𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝛼 1 )𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼  − 𝑢 2 𝐼]
+ 𝜆 4 [(1 − 𝜎 )𝛽𝐶𝐼  +   𝛼 1 𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 + 𝑢 2 𝐼] + 𝜆 5 [𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶]
( 𝜕𝐻 𝜕𝑢 1 𝜕𝐻 𝜕𝑢 2 ) =   ( 0 0 )
Dari sini diperoleh:
𝜕𝐻 𝜕𝑢 1 = 0 ⇔ 𝐶 1 𝑢 1 + 𝜆 1 (𝛽𝑆𝐼) + 𝜆 2 (−𝛽𝑆𝐼) = 0
⇔ 𝑢 1 = 𝜆 2 𝛽𝑆𝐼 −  𝜆 1 𝛽𝑆𝐼 𝐶 1 𝜕𝐻 𝜕𝑢 2 = 0 ⇔ 𝐶 2 𝑢 2 + 𝜆 3 (−𝐼) + 𝜆 4 (𝐼) = 0 ⇔ 𝑢 2 = 𝐼(𝜆 3 − 𝜆 4 ) 𝐶 2
Oleh  karena 𝑢 1 dan 𝑢 2 berada  pada  rentang 0 ≤ 𝑢 1 , 𝑢 2 ≤ 1 maka  diperoleh  beberapa kemungkinan sebagai berikut:
𝑢 1 ∗ = { 0 1 𝐶 1 (𝜆 2 −  𝜆 1 )(𝛽𝑆𝐼) 1 untuk 0 < 𝑢 1 < 1
𝑢 2 ∗ = { 0 1 𝐶 2 (𝜆 3 −  𝜆 4 ) 1 untuk 0 < 𝑢 2 < 1
Berdasarkan  kemungkinan  di  atas,  maka  diperoleh  nilai  kontrol  yang  optimal  adalah sebagai berikut
𝑢 1 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 1 𝐶 1 (𝜆 2 −  𝜆 1 )(𝛽𝑆𝐼))) 𝑢 2 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 1 𝐶 2 (𝜆 3 −  𝜆 4 )))
Dari  persamaan  (12)  –  (13)  diketahui  bahwa  nilai  kontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ bergantung  pada variabel state dan variabel co-state, sehingga perlu adanya penyelesaian persamaan state dan persamaan co-state untuk memperoleh variabel tersebut.
Persamaan state diperoleh melalui 𝑥̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 , sehingga diperoleh:
𝑑𝑆 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 1 = 𝑟𝑆(1 − 𝑆 𝑘 )   − (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼 + 𝛾𝐶
𝑑𝐸 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 2 = (1 − 𝑢 1 )𝛽𝑆𝐼  − 𝜇𝐸 − 𝛿𝐸 −   𝛼 2 𝐸
𝑑𝐼 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 3 = 𝛿𝐸 − (𝜇 + 𝛼 1 )𝐼 + 𝜎𝛽𝐶𝐼  − 𝑢 2 𝐼
𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 4 = (1 − 𝜎 )𝛽𝐶𝐼  +   𝛼 1 𝐼 − (𝜇 + 𝛿)𝑅 + 𝑢 2 𝐼 (12) (13)
untuk 𝑢 1 ≤ 0 untuk 𝑢 1 ≥ 1
untuk 𝑢 2 ≤ 0
untuk 𝑢 2 ≥ 1
𝑑𝐶 𝑑𝑡 = 𝜕𝐻 𝜕𝜆 5 = 𝛿𝑅 − 𝛽𝐶𝐼 − (𝜇 + 𝛾)𝐶
Persamaan co-state diperoleh melalui 𝛾̇ = 𝜕𝐻 𝜕𝑥 , sehingga diperoleh:
𝛾̇ 1 = − 𝜕𝐻 𝜕𝑆 = 𝛽𝐼(1 − 𝑢 1 )(𝜆 1 − 𝜆 2 ) + 2𝜆 1 𝑟𝑆 𝑘 − 𝜆 1 𝑟 𝛾̇ 2 = − 𝜕𝐻 𝜕𝐸 = 𝛿(𝜆 2 + 𝜆 3 ) + 𝜆 2 (𝜇 + 𝛼 2 ) − 1
𝛾̇ 3 = − 𝜕𝐻 𝜕𝐼 = (1 − 𝑢 1 ) 𝛽𝑆 (𝜆 1 − 𝜆 2 ) + 𝛽𝐶 (−𝑟𝜆 3 − 𝜆 4 (1 − 𝜎) + 𝜆 5 ) + 𝜆 3 (𝑢 2 + 𝜇 + 𝛼 1 ) − 𝜆 4 (𝛼 1 + 𝑢 2 ) 𝛾̇ 4 = − 𝜕𝐻 𝜕𝑅 = 𝛿(𝜆 4 − 𝜆 5 ) + 𝜆 4 𝜇 𝛾̇ 5 = − 𝜕𝐻 𝜕𝐶 = 𝛽𝐼(−𝜎𝜆 3 − 𝜆 4 (1 − 𝜎) + 𝜆 5 ) + 𝛾(𝜆 5 − 𝜆 1 ) + 𝜆 5 𝜇
dengan 𝛾 𝑖 (𝑡 𝑓 ) = 0, untuk 𝑖 = 1, 2, 3, 4, 5
Setelah  diperoleh  nilai  dari  variabel state dan co-state ,  selanjutnya 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ disubstitusikan ke sistem Hamilton. Sehingga diperoleh sistem Hamilton yang optimal. Kemudian  untuk  mendapatkan  nilai 𝑆, 𝐸, 𝐼, 𝑅, 𝐶 dari  bentuk  kontrol 𝑢 1 ∗ dan 𝑢 2 ∗ yang optimal maka tahap yang harus dikerjakan adalah menyelesaikan persamaan state yang berbentuk persamaan diferensial non linier. Persamaan tersebut sulit diselesaikan secara analitik,  maka  dari  itu  dilakukan  pendekatan  numerik  yaitu  melalui  simulasi  numerik menggunakan program DOTcvp pada software MATLAB.
Penyelesaian  bentuk  strategi  pengendalian  optimal  sulit  untuk  diselesaikan  secara analitik, sehingga perlu pendekatan numerik. Simulasi ini bertujuan untuk mengetahui pengaruh  pemberian  usaha  pencegahan (𝑢 1 ) dan  pengobatan (𝑢 2 ) sebagai  variabel kontrol  dan  meminimalkan  penyebaran  influenza.  Pendekatan  numerik  yang  akan dilakukan  untuk  menentukan  solusi  kontrol  optimal  dilakukan  dengan  menggunakan program DOTcvp pada software MATLAB.
Gambar 4 Grafik Simulasi Jumlah Populasi Manusia Terpapar Dalam Masa Inkubasi (𝐸)
Dari Gambar 4 dapat diperoleh jumlah populasi manusia terpapar dalam masa inkubasi sebelum dan sesudah diberi kontrol. Jumlah populasi tersebut disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Jumlah Populasi Manusia Terpapar Dalam Masa Inkubasi selama 100 hari. Skenario Jumlah Populasi E pada hari ke-100 Tanpa variabel kontrol 5 Kontrol 𝑢 1 0 Kontrol 𝑢 2 0 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 0
Berdasarkan Tabel 6 terlihat bahwa terdapat perbedaan antara jumlah populasi manusia terpapar dalam masa inkubasi sebelum diberi kontrol, setelah diberi kontrol berupa upaya pencegahan  dan  pengobatan  secara  bersamaan.  Dari  beberapa  skenario,  dapat  dilihat bahwa seluruh skenario  efektif dalam mengurangi  populasi manusia terpapar penyakit influenza  hingga  akhir  pengamatan  dengan  penurunan  jumlah  populasi  setelah  diberi kontrol sebesar 100%.

## Gambar 5 Grafik Simulasi Jumlah Populasi Manusia Terpapar (𝐼)
Dari Gambar 5 dapat diperoleh jumlah populasi manusia terpapar sebelum dan sesudah diberi kontrol. Jumlah populasi tersebut disajikan pada Tabel 7.
Tabel 7 Jumlah Populasi Manusia Terpapar selama 100 hari. Skenario Jumlah Populasi I pada hari ke-100 Tanpa variabel kontrol 10 Kontrol 𝑢 1 0 Kontrol 𝑢 2 0 Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 0
Berdasarkan Tabel 7 terlihat bahwa terdapat perbedaan antara jumlah populasi manusia terpapar  sebelum  diberi  kontrol,  setelah  diberi  kontrol  berupa  upaya  pencegahan  dan pengobatan  secara  bersamaan.  Dari  beberapa  skenario,  dapat  dilihat  bahwa  seluruh skenario efektif dalam mengurangi populasi manusia terpapar penyakit influenza hingga akhir  pengamatan  dengan  penurunan  jumlah  populasi  setelah  diberi  kontrol  sebesar 100%.  Selanjutnya,  hasil  simulasi  untuk  profil  usaha  dari  beberapa  skenario  disajikan pada Gambar 6 – 8.
Gambar 6 Grafik Profil Kontrol Upaya Pencegahan Terinfeksi Influenza (𝑢 1 )
Gambar 7 Grafik Profil Kontrol Upaya Pengobatan Terinfeksi Influenza (𝑢 2 )
Gambar  8 Grafik  Profil  Kontrol  Upaya  Pencegahan (𝑢 1 ) dan  Pengobatan (𝑢 2 ) Terinfeksi Influenza
Gambar  6 menunjukkan  profil  strategi  pencegahan  terinfeksi  influenza (𝑢 1 ) yang dilakukan  selama  100  Hari. Gambar  7 menunjukkan  profil  strategi  pencegahan terinfeksi  influenza (𝑢 2 ) yang  dilakukan  selama  100  Hari. Gambar  8 menunjukkan profil strategi pencegahan (𝑢 1 ) dan pengobatan (𝑢 2 ) terinfeksi influenza yang dilakukan selama  100  Hari.  Adapun  fungsi  ongkos  setiap  skenario  yang  disimulasikan  disajikan pada Tabel 8.
Tabel 8. Fungsi Ongkos No Skenario Nilai Fungsi Ongkos 1 Dengan Kontrol 𝑢 1 759.78444312 2 Dengan Kontrol 𝑢 2 480.39577098 3 Dengan Kontrol 𝑢 1 dan 𝑢 2 399.33407591
Berdasarkan Tabel  8 menunjukkan  nilai  fungsi  ongkos  atau  indeks  performansi  yang dikeluarkan dalam jangka waktu 100 hari. Nilai fungsi ongkos terbesar adalah pada saat penerapan  skenario  ke-1  yaitu  upaya  pencegahan.  Sedangkan  fungsi  ongkos  terkecil adalah pada saat penerapan skenario ke-3 yaitu upaya pencegahan dan upaya pengobatan.
Penerapan  kontrol  yang  optimal  dari  perubahan  populasi  sebelum  dan  setelah  diberi kontrol dan fungsi ongkos yang dikeluarkan. Berdasarkan simulasi sebelum dan sesudah diberi  kontrol  yang  diperoleh,  dengan  menerapkan  tiga  skenario  dapat  dilihat  bahwa
penerapan kontrol upaya pencegahan penyebaran 𝑢 1 dan upaya pengobatan influenza 𝑢 2 yang diterapkan secara bersamaan merupakan langkah  yang selalu mereduksi populasi individu terpapar, populasi individu terinfeksi. Dari nilai fungsi ongkos ketiga skenario penerapan kontrol upaya pencegahan penyebaran ( 𝑢 1 ) dan upaya pengobatan ( 𝑢 2 ) yang diterapkan secara bersamaan merupakan langkah yang optimal agar nilai fungsi ongkos yang dikeluarkan minimum.
Dengan  demikian  dari  penjelasan  diatas  dapat  disimpulkan  bahwa  penerapan  kontrol yang  optimal  menggunakan  skenario  upaya  pencegahan  penyebaran  ( 𝑢 1 )  dan  upaya pengobatan ( 𝑢 2 ) yang diterapkan secara bersamaan.

## 4 Kesimpulan
Model  matematika  penyebaran  penyakit  influenza  memiliki  dua  titik  setimbang,  yaitu titik setimbang non endemik (𝐸 0 ) dan titik setimbang (𝐸 1 ). Titik setimbang non endemik akan  stabil  asimtotis  jika  dan  hanya  jika 𝑅 0 < 1. Titik  setimbang  endemik  cenderung stabil  asimtotis  jika  memenuhi 𝑅 0 > 1 dengan 𝑅 0 = 𝛽𝑘𝛿 (𝜇+𝛿+𝛼 2 )(𝜇+𝛼 1 ) .  Bentuk  strategi kontrol yang optimal dari model matematika penyebaran penyakit influenza adalah 𝑢 1 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 1 𝐶 1 (𝜆 2 −  𝜆 1 )(𝛽𝑆𝐼))) dan 𝑢 2 ∗ = 𝑚𝑖𝑛 (1, 𝑚𝑎𝑥 (0, 1 𝐶 2 (𝜆 3 −  𝜆 4 ))) . Berdasarkan  hasil  simulasi  numerik  pada  model  matematika  penyebaran  penyakit influenza  sebelum  diberi  kontrol  terlihat  bahwa  titik  setimbang  stabil  dan  sesudah diberikan kontrol menggunakan program DOTcvp, hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa  upaya  pengobatan  lebih  efektif  dan  biaya  yang  dibutuhkan  lebih  kecil  di bandingkan  dengan  biaya  pencegahan.  Ketika  penerapan  kontrol  dilakukan  secara bersamaan,  yaitu upaya pencegahan (𝑢 1 ) dan upaya pengobatan (𝑢 2 ) lebih efektif dan biaya yang dibutuhkan lebih minimum dibandingkan jika dilakukan secara terpisah.

## 5 Daftar Pustaka
[1] Casagardi, R., Bolzoni, L., Levin, S. A., dan Andreasen, V., 2006, The SIRC model and Influenza A , Mathematical Biosciences , 200 2, 152-169.
[2] CDC, 2011, Flu Symptoms & Severity , (online), (http://www.cdc.gov/flu/, diakses 10 November 2021).
[3] Brankston  G.,  Gitterman  L.,  Hirji  Z.,  Lemieux  C.,  dan  Gardam  M.,  2007, Transmission of influenza A in human beings, The Lancet infectious diseases , 7, 257- 265.
[4] Larson  H.,  Tyrrell  D.,  Bowker  C.,  Potter  C.,  dan  Schild  G.,  1978,  Immunity  to Challenge in Volunteers Vaccinated With an Inactivated Current or Earlier Strain of Influenza A(H3N2), J. Hyg. Cambridge , 80  243.
[5] BPOM, 2006, Obat Flu , (online), (http://www.pom.go.id, diakses 20 Maret 2021).
[6] Ma, Z. dan Li, J., 2009, Dinamical Modeling and Analysis of Epidemics , Singapore:
World Scientific Publishing.
[7] Shatha  M.,  dan  Maha  M.A.,  2021,  Runge-Kutta  Numerical  Method  For  Solving Nonlinear Influenza Model , Journal of Physics 1879 , 032040.
[8] Rahmadhania  I.,  dan  Arif  D.K.,  2020,  Kontrol  Optimal  pada  Model  Penyebaran Virus Influenza Tipe A H1N1 dengan Menggunakan Prinsip Minumum Pontryagin, Journal of Mathematics and Its Applications , 17 1, 67-81.
[9] Khalsaraei M.M., dan A. Shokri, 2021, A positive and elementary stable nonstandard explicit scheme for a mathematical model of the influenza disease , Mathematics and Computers in Simulation , 182, 397– 410.