REGRESI NONPARAMETRIK MENGGUNAKAN METODE ROBUST  DAN CROSS-VALIDATION

## (STUDI KASUS MAHASISWA STIA MUHAMMADIYAH SELONG)
Ratna Yuniarti 1 , Widya Hartati 2
1,2 STIA Muhammadiyah Selong , yuniarti.edu@gmail.com
Abstract This  paper  is  about  comparison  of  estimation  regression  function  between nonparametric  regression  kernel  using  Nadaraya  Watson  estimator  with  simple  linear regression. In addition, a long-time case study was given in obtaining the first job. The data  used  are  fresh  graduate  student,  of  Public  Administration  departement  in  STIA Muhammadiyah  Selong  graduate  2016.  In  this  case  we  will  see  the  relation  between Cumulative  Achievement  Index  ( X )  with  long  waiting  time  to  get  the  job  ( Y ).  The software statistics with the help of software applications R. For the selection of the best model  is  by  Cross-Validation.  In  this  paper,  given  the  theory  and  prove  about  cross- validation  method  are  described.  And  then,  this  paper  describes  the  Robust  method  if there is outlier.
Keywords: nonparametric  regression  kernel,  estimator  Nadaraya-Watson,  cross validation, outlier, and Robust.
Abstrak Penelitian ini tentang perbandingan hasil estimasi fungsi regresi antara model regresi nonparametrik kernel menggunakan estimator Nadaraya Watson dengan regresi linear  sederhana.  Selain  itu  diberikan  studi  kasus  lama  waktu  tunggu  dalam mendapatkan  pekerjaan  pertama.  Data  yang  yang  digunakan  adalah  data  mahasiswa fresh  graduate Program  Studi  Administrasi  Publik  STIA  Muhammadiyah  Selong angkatan  2016.  Dalam  hal  ini  akan  dilihat  hubungan  antara  Indeks  Prestasi  Kumulatif ( X )  dengan  lama  waktu  tunggu  mendapat  pekerjaan  ( Y ).  Adapun software statistik dengan  bantuan  aplikasi software  R .  Untuk  pemilihan  model  terbaik  yaitu  dengan metode Cross-Validation (Validasi  Silang).  Pada  penelitian  ini  diuraikan  teori  dan pembuktian  tentang  metode cross  –validation. Selain  itu,  pada  paper  ini  dijelaskan tentang metode Robust jika terdapat pencilan.
Kata  kunci: regresi  nonparametrik  kernel,  estimator  Nadaraya-Watson,  cross validation, outlier, dan Robust

## 1 Pendahuluan
Analisis  regresi  dengan  pendekatan  parametrik  digunakan  apabila  formulasi  hubungan antara  variabel  prediktor X dan  variabel  respon Y diketahui.  Namun,  apabila  formulasi hubungan  antara  variabel  prediktor X dan  variabel  respon Y tidak  diketahui  maka alternatif lain yang dapat digunakan adalah dengan pendekatan nonparametrik [9]. Estimasi fungsi  regresi  nonparametrik  dilakukan  berdasarkan  data  pengamatan.  Data  akan  mencari bentuk  estimasinya  sendiri  tanpa  dipengaruhi  oleh  subjektivitas  dari  peneliti,  sehingga pendekatan  regresi  nonparametrik memiliki  ﬂeksibilitas  yang tinggi  [2] . Agar  pendekatan nonparametrik  ini  menghasilkan  estimasi m yang  masuk  akal,  maka  hal  yang  harus
diperhatikan  adalah  asumsi  bahwa m memiliki  derajat  kemulusan  ( smoothing ),  kurva regresi  diasumsikan  termuat  dalam  suatu  ruang  fungsi  mulus  yang  berdimensi  tak  hingga yang mempunyai turunan yang kontinu atau dapat diintegralkan secara kuadrat.  Pemilihan ruang  fungsi  tersebut  biasanya  dimotivasi  oleh  sifat  kemulusan  ( smoothness )  yang diasumsikan  dimiliki  oleh  fungsi  regresi.  Ada  beberapa  teknik smoothing dalam  regresi nonparametrik antara lain histogram, estimator spline, estimator kernel, deret fourier, deret orthogonal,  k-NN,  dan  estimator  wavelet  [4].  Diantara  metode-metode  pendekaan nonparametrik  tersebut,  estimator  kernel  merupakan  metode  yang  akan  digunakan  dalam penelitian  ini.  Estimasi  dengan  pendekatan  kernel  tergantung  pada  dua  parameter  yaitu bandwidth  dan  fungsi  kernel. Cross-validation merupakan  contoh  metode  yang  dapat digunakan untuk mendapatkan model kurva regresi terbaik.
Berdasarkan  uraian  diatas  pada  penelitian  ini  akan  dibahas  mengenai  teori  dan pembuktian  tentang cross  validation .  Selain  itu,  diberikan  perbandingan  hasil  estimasi fungsi  regresi  menggunakan pendekatan parametrik,  dan pendekatan nonparametrik. Serta bagaimana menggunakan regresi Robust apabila terdapat outlier .

## 2 Metode Penelitian
Penelitian  tentang  estimasi  fungsi  regresi  nonparametrik  dengan  menggunakan  metode Robust dan cross-validation ini dilakukan dengan studi kepustakaan. Penelitian ini dimulai dengan mencari dan menentukan jurnal  yang akan dijadikan bahan acuan, mengumpulkan jurnal jurnal lain  yang relevan dengan materi dalam jurnal acuan, mempelajari buku-buku pendukung  yang  berkaitan  dengan  topik  permasalahan  penelitian  yaitu  teori  regresi nonparametrik,  fungsi  kernel  dan  sifat-sifatnya,  estimator  Nadaraya-Watson,  estimasi fungsi dalam regresi nonparametrik, pemilihan bandwidth , metode cross validation , outlier, metode  robust,  regresi  nonparametrik  Robust.  Bagian  terakhir  dari  penelitian  ini  adalah studi  kasus  menggunakan  software  R . Data  pada  penelitian  ini  diperoleh  dengan mengedarkan  angket  kepada  alumni.  Kuestioner/angket  adalah  teknik  pengumpulan  data yang  dilakukan  dengan  cara  memberi  seperangkat  pertanyaan  atau  pernyataan  tertulis kepada responden untuk dijawabnya [5][7]. Kuestioner dapat berupa pertanyaan/pernyataan tertutup  atau  terbuka  dapat  diberikan  kepada  responden  secara  langsung  atau  dikirim melalui pos, atau internet.

## 3 Pembahasan
Metode cross-validation adalah metode untuk menyeleksi model berdasarkan kemampuan prediksi  untuk  memilih  satu  dari  satu  kelas  model.  Susunan  data  dipisahkan  menjadi  dua bagian.  Untuk  bagian  pertama  terdiri  dari  titik-titik  data c n yang  digunakan  untuk menyesuaikan  satu  model  (mengkonstruksi  model),  sebaliknya  bagian  kedua  terdiri  dari v c n n n   yang tersedia untuk menilai kemampuan prediksi model (validasi model). Secara tegas  dikatakan,  validasi  model  diselesaikan  tidak  hanya  dengan  menggunakan v n ,  tapi semua data v c n n n   . Ada perbedaan
v n n       cara untuk memisahkan susunan data. Cross-
validation ,  sesuai  dengan  namanya,  memilih  model  dengan  kemampuan  prediksi  rata-rata terbaik  yang dihitung berdasarkan semua atau beberapa cara yang berbeda dari pemisahan data.
Dalam  pemilihan  bandwidth  diperlukan  suatu  kriteria  ukuran  untuk  menentukan bandwidth  yang  optimal,  salah  satu  kriteria  yang  digunakan    adalah Mean  Squared  Error (MSE)  [1][6],  sedangkan  rata-rata  integral  dari  MSE  disebut Mean  Integrated  Squared Error (MISE). Dalam [8] dijelaskan
𝑀𝐼𝑆𝐸 𝑚 𝑥 , 𝑓 𝑥   =   𝑀𝑆𝐸 ∞ −∞ 𝑚 𝑥 𝑓 𝑥  𝑑𝑥 = 𝐸 ∞ −∞ (𝑚 𝑥  − 𝑚 𝑥 ) 2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐸[  (𝑚 𝑥  − 𝑚 𝑥 ) 2 ]𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∞ −∞ dan rata-rata MSE adalah :
𝑀𝐼𝑆𝐸 𝑚 𝑥   = 𝐸[ 𝑚(𝑥 𝑖 −𝑚 𝑥 ) 2 ] 𝑛 𝑖=1 𝑛 (1)
MISE [𝑚 𝑥 ] mengandung 𝑚(𝑥) dimana 𝑚(𝑥) merupakan  suatu  fungsi  tidak  diketahui. Fungsi  ini  tidak  bisa  diestimasi  dari  data.  Jadi,  untuk  menghitung  rata-rata  MISE [𝑚 𝑥 ] dibutuhkan  suatu  metode.  Untuk  itu  suatu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk mengestimasi ( ) m x menggunakan Average Predictive  Squared  Error (APSE)  atau  juga sering disebut Prediction Mean Squared Error (PMSE), didefinisikan sebagai berikut:
𝐴𝑃𝑆𝐸[𝑚 𝑥 𝑖 ] = 𝐸[ (𝑚  𝑥 𝑖 +𝜖 𝑖 ∗ −𝑚 𝑥 𝑖 ) 2 ] 𝑛 𝑖=1 𝑛 (2)
dengan 𝑦 𝑖 ∗ (1 ≤ 𝑖 < 𝑛 nilai dari prediktor untuk data (𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 ∗ ) . Dengan nilai prediktor (𝑥 𝑖 𝑦 𝑖 ∗ ) sama dengan (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) , maka 𝑦 𝑖 ∗ didefinisikan sebagai: 𝑦 𝑖 ∗ = 𝑚 𝑥 𝑖 + 𝜖 𝑖 ∗ (3) dengan 𝜖 𝑖 ∗ independen  terhadap 𝜖 𝑖 tetapi  memiliki  sifat-sifat  yang  sama.  Dengan mensubstitusikan Persamaan (3) ke Persamaan (2) maka:
𝐴𝑃𝑆𝐸 𝑚 𝑥   = 𝐸[ (𝑚 𝑥 𝑖 + 𝜖 𝑖 ∗ − 𝑚 𝑥 𝑖 ) 2 ] 𝑛 𝑖=1 𝑛 = 𝐸[ 𝑚 𝑥 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 ) 2 + 2𝐸[ (𝜖 𝑖 ∗ 𝑚 𝑥 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 ))  + 𝐸[ (𝜖 𝑖 ∗ )] 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1
𝑛 = 𝑀𝐼𝑆𝐸 ′ 𝑚 𝑥 𝑖 + 2𝐸 𝜖 𝑖 ∗ 𝑚 𝑥 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 + 𝐸[(𝜖 𝑖 ∗ )] = 𝑀𝐼𝑆𝐸 ′ 𝑚 𝑥 𝑖 + 0 + 𝜍 2 = 𝑀𝐼𝑆𝐸 ′ 𝑚 𝑥 𝑖 + 𝜍 2 (4)
dengan 𝜍 2 = 𝐸(𝜖 𝑖 ∗ ) adalah variansi 𝜖 𝑖 ∗ sama seperti 𝜖 𝑖 . Persamaan kedua pada baris ketiga terpenuhi  dengan  asumsi 𝐸  𝜖 𝑖 ∗ = 0 terpenuhi.  Persamaan  pada  baris  terakhir menunjukkan  penurunan 𝑚 𝑥 dengan  meminimumkan 𝑀𝐼𝑆𝐸 ′ 𝑚 𝑥 𝑖 ekuivalen  dengan meminimumkan  APSE 𝑚 𝑥 𝑖 .  Dengan  begitu,  diperlukan  suatu  metode  untuk mengestimasi  prediksi error tersebut.  Suatu  metode  yang  dapat  digunakan  untuk mengestimasi APSE 𝑚 𝑥 𝑖 adalah metode cross-validation . Cross-validation adalah sebuah metode untuk mengevaluasi model dengan beberapa tahapan dan juga dengan beberapa cara. Ide dasar dari cross-validation adalah menemukan parameter  penghalus  yang  merupakan  estimator  terbaik  untuk  mengestimasi  data didasarkan  pada  observasi  baru,  serta  mampu  meberikan  indikasi-indikasi  seberapa  baik

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
yang  akan  dapat  dilakukan  untuk  menentukan  prediksi  selanjutnya  atau  jika  ada  data terbaru  yang  diperoleh,  sementara  data  tersebut  belum  pernah  ada  sebelumnya.  Dan selanjutnya akan dipilih model terbaik. Didefinisikan
𝐶𝑉 𝑚 𝑥   = (𝑦 𝑘 −𝑚 −𝑘 (𝑥 𝑘 ) 2 𝑛 𝑘=1 𝑛 (5)
Salah  satu  teknik cross-validation yang  diketahui  adalah leave  one  out  cross-validation (LOOCV)  yang  berarti  bahwa  meninggalkan  satu  untuk  valiasi  silang,  yaitu  dengan melibatkan  sampel  pengamatan  tunggal  dari  sampel  asli  digunakan  sebagai  validasi  data, dan  sampel  pengamatan  yang  tersisa  digunakan  sebagai  data  pelatihan.  Hal  ini  dilakukan berulang  pada  setiap  observasi  dalam  sampel  yang  digunakan  sekaligus  sebagai  validasi data.  Persamaan  (5), 𝑚 −𝑘 (𝑥) fungsi  regresi  yang  diperoleh  dengan  menghilangkan  satu data (𝑥 𝑘 , 𝑦 𝑘 ) dari (𝑥 𝑖 , 𝑦 𝑖 ) . Dengan demikian diperoleh:
𝐸 𝐶𝑉(𝑚 𝑥 )  ≈ 𝐴𝑃𝑆𝐸[𝑚 𝑥 ] (6) hubungan tersebut diperoleh dari:
𝐸[𝑦 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 ) 2 = 𝐸[((𝑦 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 − 𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 )) 2 = 𝐸[(𝑦 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 ) 2 ] − 2𝐸[ 𝑦 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 𝑚(𝑥 𝑘 ) − 𝑚 −𝑘 (𝑥 𝑘 )  + 𝐸[( 𝑚(𝑥 𝑘 − 𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 ) 2 ] = 𝐸[(𝑦 𝑘 − 𝑚(𝑥 𝑘 )) 2 ] − 2𝐸[ 𝜖 𝑘 ∙ 𝑚(𝑥 𝑘 )— 𝑚 −𝑘 (𝑥 𝑘 ) ] + 𝐸[( 𝑚(𝑥 𝑘 − 𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 )] = 𝜍 2 + 0 + 𝐸[( 𝑚(𝑥 𝑘 − 𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 )] = 𝜍 2 + 𝑀𝑆𝐸[𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 ] (7)
Untuk lebih mudah mencari 𝐶𝑉[𝑚 𝑥 ] pada Persamaan (3) estimator untuk 𝑚(𝑥) ditulis 𝑚 𝑥 𝑖 = [𝐻 𝑖𝑗 ] 𝑛 𝑖=1 𝑦 𝑗 (8) dengan H (matriks ukuran n n  ) adalah hat matriks. Jika fungsi regresi dinyatakan seperti Persamaan  (8),  maka  Persamaan  (3)  dapat  direpresentasikan  dengan  elemen  diagonal ([Hii]).
𝐶𝑉 𝑚 𝑥   = (𝑦 𝑖 −𝑚 𝑥 𝑖 ) 2 𝑛∙(1−[𝐻 𝑖𝑖 ]) 2 𝑛 𝑖=1 (9)
Jadi, 𝑚 −𝑘 (𝑥 𝑘 ) merupakan  jenis  lain 𝑚 𝑥 .  Hubungan  antara 𝑚 −𝑘 𝑥 𝑘 dan 𝑚 𝑥 dapat ditunjukkan  sebagai  berikut  dengan  memodifikasi 𝑚 𝑘 𝑥 𝑘 = [𝐻 𝑘𝑖 ]𝑦 𝑖 1−[𝐻 𝑘𝑘 ] 𝑛 𝑖=1,𝑖≠𝑘 kemudian disubstitusikan ke Persamaan (5), maka:
𝐶𝑉 𝑚 𝑥   = (𝑦 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 ) 2 𝑛 ∙ (1 − [𝐻 𝑖𝑖 ]) 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 (𝑦 𝑘 − 𝐻 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1,𝑖≠𝑘 𝑦 𝑖 1 −  𝐻 𝑘𝑘 ) 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ( 𝑦 𝑘 1 − 𝐻 𝑘𝑘 − 𝐻 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1,𝑖≠𝑘 𝑦 𝑖 1 −  𝐻 𝑘𝑘 ) 2 𝑛 𝑖=1 = 1 𝑛 ( 𝑦 𝑘 − 𝐻 𝑘𝑖 𝑛 𝑖=1, 𝑦 𝑖 1 −  𝐻 𝑘𝑘 ) 2 𝑛 𝑖=1
= (𝑦 𝑘 − 𝑚 𝑥 𝑘 ) 2 𝑛 ∙ (1 −  𝐻 𝑘𝑘 ) 2 𝑛 𝑖=1
Jadi, 𝑚 𝑥 dan 𝑚 𝑘 𝑥 𝑘 merupakan  estimator  untuk 𝑚(𝑥) ,  hanya  saja  bedanya  adalah 𝑚 𝑘 𝑥 𝑘 menghilangkan data ke (xk; yk) pada 𝑚 𝑥 .

## 3.1 Pendekatan Robust pada Regresi Nonparametrik
Perhatikan persamaan regresi nonparametrik
𝑦 𝑖 = 𝑚 𝑥 𝑖 + 𝜖 𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑛 (10) dengan  fungsi  regresi 𝑚(. ) dapat  menjadi 𝑚 . dengan  dengan  cara  meminimumkan jumlah  fungsi-fungsi  dari  residu  yang  monoton  naik.  Dengan  demikian  penghalus  robust 𝑚 𝑥 dari 𝑚(𝑥) dapat didefinisikan sebagai:
1 𝑛 𝜌{𝑦 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 = 𝑚𝑖𝑛 𝑛
𝑖=1 dengan 𝜌 merupakan fungsi monoton naik. Turunan pertama 𝜌 adalah 𝜓(. ) , Persamaan di atas disamakan dengan nol menjadi:
𝛼 𝑖 (𝑥)𝜌{𝑦 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 } = 𝑚𝑖𝑛 𝑛 𝑖=1
dengan 𝛼 𝑖 adalah suatu fungsi bobot.
Definisi  1. Jika  diberikan  model  regresi ( ) i i i y m x    , i  =1,  2,  ...,n maka 𝛼 𝑖 (𝑥)𝜌{𝑦 𝑖 − 𝑚 𝑥 𝑖 } = 𝑚𝑖𝑛 𝑛 𝑖=1 disebut  kernel  M- smoother 𝑚 ℎ 𝑀 (𝑥) untuk 𝑚(. ) ,  dengan 𝜓 .   = 𝜌 ′ [3]

## 4 Studi Kasus
Data yang digunaka pada penelitian ini adalah data alumni STIA Muhammadiyah program studi administrasi  perkantoran angkatan 2016.  Banyaknya  alumni  yang berhasil terdeteksi atau  yang  mengisi  dan  mengembalikan  kuestioner  adalah  30  orang  dari  ±100  orang. Berdasarkan  data  yang  diperoleh  terlihat  bahwa  70%  alumni  merupakan  mahasiswa  non regular  artinya  mahasiswa  tersebut  rata-rata  bekerja  sambil  kuliah.  Sampel  yang  sesuai digunakan pada penelitian ini adalah data mahasiswa fresh graduate atau  data mahasiswa regular.  Oleh  karena  itu  sampel  yang  digunakan  adalah  30  orang.  Untuk  penelitian  ini observasi  yang  dilakukan  mengenai  hubungan  antara  Indeks  Prestasi  Kumulatif  (IPK) X dengan  lama  waktu  tunggu  mendapat  pekerjaan  (bulan) Y .  Untuk  lebih  jelasnya  berikut diberikan plot data.
Gambar 1 . Data Indeks Prestasi Kumulatif dan Lama Waktu Tunggu Mendapat Pekerjaan Mahasiswa

## 4.1 Estimasi Fungsi Regresi dengan Menggunakan Pendekatan Parametrik
Berikut hasil estimasi model regresi dengan menggunakan metode kuadrat terkecil. Dengan menggunakan  software  R  dipeorleh  hasil  model  regresi  dengan  metode  kuadrat  terkecil yaitu:
2, 52 0, 57 y x  
dengan estimasi standar error sebesar  3,98.

## 4.2 Estimasi Fungsi Regresi dengan Menggunakan Pendekatan Nonparametrik
Estimasi  fungsi  regresi  dengan  pendekatan  nonparametrik  yaitu  menggunakan  estimator Nadaraya-Watson.  Dari  hasil  pengolahan  data  dengan  software  R.3.0.2.  Dengan output yang diperoleh sebagai berikut.
Gambar 2. Kurva Fungsi Regresi dan Estimasi Fungsi Regresi
Pada  Gambar  2,  kurva  yang  berwarna  hitam  merupakan  kurva  data  yang  akan diestimasi  (kurva  data  sesungguhnya)  dan  kurva  yang  berwarna  biru  merupakan  kurva regresi hasil estimasi dengan menggunakan estimator Nadaraya-Watson. Proses smoothing dilakukan dengan fungsi ”ksmooth”. Sebelum melakukan smoothing terlebih dahulu dipilih bandwidth optimal. Adapun bentuk estimasi model regresi nonparametrik dengan estimator Nadaraya-Watson  menggunakan  fungsi  kernel  Gaussian  untuk  data  IPK  terhadap  lama
waktu  tunggu  mendapatkan  pekerjaan  menggunakan bandwidth h diberikan  oleh persamaan berikut:
𝑦  = 𝑚 𝑥 𝑖 = 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 𝑥 − 𝑋 𝑖 ℎ 2 )𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=1 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 𝑥 − 𝑋 𝑖 ℎ 2
) 𝑛 𝑖=1
Sebagai  contoh  misalkan  ingin  diestimasi  lama  waktu  tunggu  seseorang  mendapatkan pekerjaan jika IPK 3,06. Dengan menggunakan kernel Gaussian dan bandwidth sebesar 0,2 diperoleh:
𝑦 = 𝑚 𝑥 𝑖 , 𝑖 = 1, … ,30
= 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 ( 𝑥 − 𝑋 𝑖 ℎ ) 2 𝑦 𝑖 30 𝑖=1 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 ( 𝑥 − 𝑋 𝑖 ℎ ) 2 30 𝑖=1 = 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 2.00 − 3.30 0.2 2 + ⋯ + 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 2.00 − 3.50 0.2 2 ).4 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 2.00 − 3.30 0.2 2 + ⋯ + 1 2𝜋 exp⁡ (− 1 2 2.00 − 3.50 0.2 2 ) ≈ 6
Jadi,  lama  waktu  tunggu  seseorang  mendapatkan  pekerjaan  jika  memiliki  IPK  3.06 diprediksi sekitar 6 bulan. Kemudian estimasi untuk IPK sebesar 3,05,  dan 3,20 diperoleh hasil  estimasi  lama  waktu  tunggu    masing-masing  adalah    3  bulan,  dan    2  bulan.  Dengan standar error 0,22.  Hal  ini  menunjukkan  IPK  seseorang  tidak  memiliki  hubungan  dengan lamanya seseorang mendapatkan pekerjaan.
Untuk lebih jelas  berikut diberikan kurva perbandingan hasil estimasi fungsi  regresi yaitu dengan pendekatan parametrik menggunakan regresi linear sederhana dan pendekatan nonparametrik menggunakan regresi kernel dengan estimator Nadaraya-Watson.
Gambar 3. Kurva Perbandingan Fungsi Regresi
Berdasarkan Gambar 3, terlihat bahwa kurva yang berwarna hitam merupakan kurva  dari data  yang  akan  diestimasi.  Hasil  estimasi  dengan  regresi  linear  sederhana  terlihat  pada kurva  yang  berwarna  merah.Terlihat  bahwa  hasil  estimasi  dengan  pendekatan  parametrik

## Unisda Journal of Mathematics and Computer Science
belum  mendekati  kurva  dari  data  karena  berupa  garis  lurus.  Apabila  diestimasi  dengan pendekatan nonparametrik menghasilkan estimasi kurva regresi yang lebih tepat mendekati bentuk kurva datanya terlihat dari kurva yang berwarna biru. Adapun perbandingan standar error dari hasil estimasi di atas sebagai berikut:
Tabel 1. Perbandingan Standar Error Hasil Estimasi Fungsi Regresi No Metode Standar error 1 Regresi  linier  sederhana  dengan  metode  kuadrat terkecil 3,98 2 Regresi  nonparametrik  kernel  dengan  estimator Nadaraya-Watson 0,22

## 6 Kesimpulan
Berdasarkan hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa :
1. Berdasarkan  hasil output SPSS  di  atas  hasil  estimasi  model  regresi  dengan pendekatan  parametrik  yaitu 2, 52 0, 57 y x   dengan  estimasi  standar error sebesar 3,98.
2. Estimasi hubungan antara  Indeks Prestasi Kumulatif (IPK) dan lama waktu tunggu mendapat  pekerjaan  alumni  STIA  Muhammadiyah  Selong  program  studi administrasi publik angkatan 2016 lebih cocok menggunakan regresi nonparametrik dengan  kernel  Gaussian  dan  bandwidth  0,2.  Hal  ini  dapat  dilihat  dari  SE  yang dihasilkan sebesar 0,22.
3. Berdasarkan  perbandingan  ketiga  kurva  hasil  estimasi  terlihat  bahwa  pemodelan lama waktu  tunggu mendapatkan pekerjaan pertama alumni  STIA Muhammadiyah Selong  program  studi  administrasi  publik  angkatan  2016  lebih  mendekati  jika menggunakan regresi nonparametrik kernel.

## Daftar Pustaka
[1]   Bain, L. J dan Engelhardt. 1991. Introduction to Probability and Mathematical Statistics Second Edition . Duxbury Press. USA .
[2]   Eubank, R. L. 1988. Spline Smoothing and Nonparametric Regression. Marcell Dekker Inc. New York.
[3]    Hardle, Wolfgang. 1990. Smoothing Techniques With Implementation in S . Springer-Verlag. New York.
[4]    Hardle, W, Hall, P, dan Marron, J. 1992. Regression Smoothing Parameters that are not Far from Their Optimum. J. Amer Statist. Assoc . 87: 227-233 .
[5]   Putranto,  R.  T.,  dan  Mashuri,  M.  2012. Analisis  Statistik  Tentang  Faktor-Faktor  yang  Mempengaruhi Waktu Tunggu Kerja Fresh Graduate di Jurusan Statistika Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) dengan Menggunakan Regesi Logistik Ordinal. Jurnal Sains dan Seni ITS . 1(1) :324 – 328.
[6]   Roussas, George.G. 1997. Acourse in Mathematical Statistics Second Edition. Academic Press. USA.
[7]   Sugiyono. 2007. Metode Penelitian Kuantitati Kualitatif dan R and D . Alfabeta. Bandung.
[8]    Takezawa, Kunio. 2005. Introduction to Nonparametric Regression. Jhon Wiley. USA.
[9]   Wand, M.P dan Jones, M.C. 1995. Kernel Smoothing . Chapman and Hall.London.