TERMINOLOGI DASAR PADA HIMPUNAN SIMETRISASI ALJABAR MIN-PLUS
Suroto 1)
Ari wardayani 2)
Chumaedi Sugihandardji 3)
1,2) Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Jenderal Soedirman
3) Jurusan Pendidikan Matematika, FKIP, Universitas Muhammadiyah Purwokerto e-mail: suroto@unsoed.ac.id

## ABSTRACT
This paper discusses some of the terminology and basic properties of the set of min-plus algebra symmetrization. The results are algebraic structure of the positive or zero part of the set of min-plus algebra symmetrization is a semi-field, and the min-plus algebra can be viewed as the positive or zero part in the context of the set of min- plus algebra symmetrization. Furthermore, the form of the result of the subtraction of the elements in the set of min-plus algebra symmetrization, the multiplicative inverse of element in the non zero-positive and negative part, and some basic properties of balance as an analogy to the similarity of linear algebra are also obtained.
Keywords: balance, min-plus algebra, symmetrization, terminology.

## ABSTRAK
Pada makalah ini dibahas beberapa terminologi dan sifat dasar pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus. Hasil penelitian yang diperoleh adalah struktur aljabar dari bagian positif atau nol himpunan simetrisasi aljabar min-plus merupakan semilapangan, dan aljabar min-plus dapat dipandang sebagai bagian positif atau nol pada konteks himpunan simetrisasi aljabar min-plus. Selain itu juga diperoleh bentuk hasil pengurangan dari elemen- elemen pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus, bentuk invers perkalian elemen pada bagian positif dan negatif tak nol, serta beberapa sifat dasar kesetimbangan sebagai analogi dari sifat kesamaan pada aljabar linier.
Kata kunci: aljabar min-plus, setimbang, simetrisasi, terminologi.
Aljabar max-plus merupakan himpunan R ∪ {- ∞ } yang dilengkapi dengan dua operasi biner yakni “ minimum ” sebagai operasi penjumlahan dan “ penjumlahan biasa ” sebagai operasi perkalian, dengan R  adalah  himpunan  bilangan  riil.  Aljabar  min-plus  merupakan  dual  dari  aljabar  max-plus  yakni himpunan  R ∪ { ∞ }  yang  dilengkapi  dengan  dua  operasi  biner  yakni “ minimum ” sebagai  operasi penjumlahan dan “ penjumlahan biasa ” sebagai operasi perkalian, dengan R adalah himpunan bilangan riil. Untuk selanjutnya, aljabar max-plus dinotasikan dengan R_max dan aljabar min-plus dinotasikan dengan R_min. Pembahasan mengenai aljabar max-plus dapat dilihat pada (Baccelli et al., 2001), (Goto, 2014), (Gyamerah et al., 2016). Pembahasan mengenai aljabar min-plus dapat dilihat pada (Subiono, 2015), (Watanabe & Watanabe, 2014). Struktur aljabar yang terbentuk dari aljabar min-plus adalah semilapangan dengan elemen nol E=∞ dan elemen satuan e=0. Untuk setiap elemen pada R_min tidak memiliki invers penjumlahan, kecuali untuk elemen nol.
Pembahasan mengenai perluasan aljabar max-plus menjadi aljabar max-plus tersimetri sudah dilakukan untuk mengatasi masalah invers penjumlahan pada aljabar max-plus (Baccelli et al., 2001).
Beberapa  masalah  terkait  dengan  invers  penjumlahan  yang  tidak  dapat  diselesaikan  pada aljabar max-plus dapat ditinjau melalui masalah pada aljabar max-plus tersimetri. Salah satu kelebihan aljabar max-plus tersimetri adalah adanya suatu kaitan yang mengkorespondensikan konsep pada aljabar max-plus tersimetri dengan aljabar linier (De Schutter, 1996). Permasalahan pada aljabar max- plus tersimetri dapat dikorespondensikan dengan masalah pada aljabar linier, kemudian penyelesaian dilakukan  pada  konteks  aljabar  linier,  dan  penyelesaian  yang  diperoleh  dapat  dikorespondensikan kembali pada aljabar max-plus tersimetri (De Schutter & De Moor, 2002).
Beberapa permasalahan terkadang tidak dapat dimodelkan dalam konteks aljabar max-plus, dan merupakan suatu permasalahan dalam konteks aljabar min-plus. Penerapan aljabar min-plus pada berbagai bidang sudah banyak dilakukan, antara lain masalah rute tercepat distribusi susu (Suwanti et al., 2017), masalah simulasi produksi susu (Pramesthi, 2021), masalah distribusi kentang (Putri, 2016), masalah jaringan angkutan (Susilowati, 2018). Penelitian pengembangan aljabar min-plus juga sudah beberapa dilakukan antara lain masalah dualitas max-plus dan min-plus jaringan (Liebeherr, 2017), masalah arsitektur jaringan, (Darbon et al., 2021), nilai eigen pada matriks atas aljabar min-plus (Hook, 2017), (Rahayu et al., 2021), masalah aljabar min-plus interval (Awallia et al., 2020), dan basis atas aljabar min-plus (Rosyada et al., 2021).
Pada aljabar min-plus, setiap elemen tidak memiliki invers penjumahan, kecuali untuk elemen nol.  Hal  ini  tentunya  juga  mempengaruhi  penyelesaian  permasalahan  pada  aljabar  min-plus  yang melibatkan invers penjumlahan. Pembahasan mengenai simetrisasi aljabar min-plus untuk mengatasi masalah invers penjumlahan pada aljabar min-plus sudah dilakukan (Suroto, 2022). Proses simetrisasi dilakukan dengan menggunakan relasi setimbang ∇ dan mengadopsi gagasan perluasan himpunan semua  bilangan  cacah  menjadi  himpunan  semua  bilangan  bulat  pada  aljabar  linier.  Apabila permasalahan ditinjau melalui simetrisasi aljabar min-plus, maka peranan invers penjumlahan dapat digantikan dengan operator minus ⊖ . Akan tetapi operator minus pada simetrisasi aljabar min-plus bukan merupakan suatu bentuk invers penjumlahan seperti halnya negatif pada aljabar linier. Pada pembahasan  simetrisasi  aljabar  min-plus  tersebut,  diperoleh  bentuk  kelas-kelas  ekuivalensi  dari simetrisasi aljabar min-plus. Untuk selanjutnya, himpunan kelas-kelas ekuivalensi yang dihasilkan dari simetrisasi aljabar min-plus dinotasikan dengan S.
Pada  masalah  persamaan  linier  x ⊕ 2=E,  tidak  ada  solusi  x  yang  memenuhi  pada  konteks aljabar min-plus R_min. Apabila masalah tersebut ditinjau melalui konteks kesetimbangan linier pada simetrisasi  aljabar  min-plus  S,  yakni  x ⊕ ̅ 2 ∇ E,  maka  dapat  ditentukan  solusi  untuk  x  yaitu ⊖ 2. Selanjutnya, agar himpunan simetrisasi aljabar min-plus dapat digunakan secara baik pada masalah kesetimbangan linier secara umum yakni a ⊗ ̅ x ⊕ ̅ b ∇ c, maka diperlukan beberapa terminologi dan sifat-sifat dasar pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus untuk menentukan solusi pada masalah kesetimbangan linier tersebut.

## METODE
Penelitian  ini  adalah  studi  literatur  yang  sifatnya  mengembangkan  penelitian  yang  sudah  ada sebelumnya, yakni masalah simetrisasi aljabar min-plus. Pada penelitian ini dibahas tentang beberapa terminologi dan sifat dasar himpunan yang dihasilkan dari simetrisasi aljabar min-plus (Suroto, 2022) dengan mengacu pada relasi setimbang yang merujuk pada (Baccelli et al., 2001). Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah:
1.  Menunjukkan struktur aljabar yang terbentuk dari himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
2.  Menunjukkan  bahwa  aljabar  min-plus  dapat  dipandang  sebagai  bagian  positif  dari  himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
3.  Menunjukkan hasil operasi pengurangan pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
4.  Menunjukkan beberapa sifat kesetimbangan pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Bagian ini merupakan pembahasan utama pada penelitian ini. Pada bagian ini disajikan beberapa terminologi dan sifat dasar dari himpunan hasil simetrisasi alljabar min-plus. Pembahasan meliputi invers perkalian, aljabar min-plus sebagai kejadian khusus dari himpunan simetrisasi aljabar min-plus, bentuk hasil operasi pengurangan dan beberapa sifat kesetimbangan dari himpunan simetrisasi aljabar min-plus.  Hasil  ini  selanjutnya  memiliki  peranan  penting  pada  masalah  kesetimbangan  linier 𝑎 ⊗ ̅̅̅ 𝑥 ⊕ ̅̅̅ 𝑏 ∇ 𝑐 pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
Pada  proses  simetrisasi  aljabar  min-plus ℝ min ,  langkah  awal  yang  dilakukan  adalah membentuk himpunan ℝ min × ℝ min . Untuk 𝑢 = (𝑝, 𝑞) ∈ ℝ min × ℝ min didefinisikan minus dari 𝑢 yakni ⊖ 𝑢 = (𝑞, 𝑝) ,  dan  setimbang  dari 𝑢 yakni 𝑢 ⦁ = 𝑢 ⊕ (⊖ 𝑢) .  Untuk 𝑢 = (𝑝, 𝑞), 𝑣 = (𝑟, 𝑠) ∈ ℝ min × ℝ min , 𝑢 dikatakan berelasi setimbang dengan 𝑣 (dinotasikan dengan 𝑢∇𝑣 ) apabila 𝑝 ⊕ 𝑠 = 𝑞 ⊕ 𝑟 . Himpunan semua kelas-kelas ekuivalensi pada ℝ min × ℝ min yang diperoleh dari proses simetrisasi dinotasikan dengan 𝑆 . Pada proses simetrisasi ini, kelas-kelas ekuivalensi dapat dikelompokkan menjadi 1.  Kelas (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑎, 𝑥) ∈ ℝ min × ℝ min |𝑎 > 𝑥} dinamakan bagian positif, 2.  Kelas (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑥, 𝑎) ∈ ℝ min × ℝ min |𝑎 > 𝑥} dinamakan bagian negatif, 3.  Kelas (𝑥, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ = {(𝑥, 𝑥) ∈ ℝ min × ℝ min } , dinamakan bagian setimbang. Untuk selanjutnya, kelas ℰ̅ = (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ dinamakan bagian nol. Himpunan semua bagian positif atau nol dinotasikan ℝ min ⊕ , himpunan semua bagian negatif atau nol dinotasikan ℝ min ⊖ , dan himpunan semua  bagian  setimbang  dinotasikan ℝ min • ,  dengan ℝ min ⊕ ∪ ℝ min ⊖ ∪ ℝ min • = 𝑆 dan ℝ min ⊕ ∩ ℝ min ⊖ ∩ ℝ min • = {ℰ̅} . Selanjutnya, elemen pada ℝ min ⊕ cukup dinotasikan 𝑥 , elemen pada ℝ min ⊖ cukup dinotasikan ⊖ 𝑥 dan elemen pada ℝ min • cukup dinotasikan 𝑥 • . Pembahasan lebih detail mengenai proses simetrisasi pada aljabar min-plus ℝ min dapat dilihat pada (Suroto, 2022). Pada bagian awal pembahasan ini, terlebih dahulu didefinisikan himpunan elemen bertanda pada hasil simetrisasi aljabar min-plus yang berperan seperti halnya himpunan bilangan positif atau negatif pada pembahasan aljabar linier. Berikut diberikan definisi himpunan semua elemen bertanda.
Definisi 1. Himpunan 𝑆 ^ ≝ ℝ min ⊕ ∪ ℝ min ⊖ dinamakan himpunan semua elemen bertanda yakni himpunan  semua bagian positif, negatif atau nol pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
Himpunan 𝑆 ^ pada Definisi 1 tidak memuat bagian setimbang pada 𝑆 , dan hanya memuat bagian positif, negatif atau nol. Operasi penjumlahan dan perkalian pada 𝑆 didefinisikan dengan mengadopsi pada ℝ min × ℝ min yakni (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 ⊕ 𝑟, 𝑞 ⊕ 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑟, 𝑠)
̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 ⊗ 𝑟 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑠, 𝑝 ⊗ 𝑠 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑟) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
untuk setiap (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅, (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ ∈ 𝑆 . Berikut diberikan lemma yang menjelaskan bentuk invers perkalian dari  bagian  positif  tak  nol  dan  bagian  negatif  tak  nol  pada  himpunan  simetrisasi  aljabar  min-plus. Elemen nol (identitas terhadap penjumlahan) dan elemen satuan (identitas terhadap perkalian) pada 𝑆 masing-masing adalah ℰ̅ = (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑒̅ = (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Lemma 2. Bentuk invers perkalian dari bagian positif tak nol (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah (−𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Bukti. Diperhatikan bahwa
(𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (−𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊗ (−𝑥) ⊕ ∞ ⊗ ∞, 𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ −𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥 + (−𝑥), ∞ + ∞} , min{𝑥 + ∞, ∞ + (−𝑥)}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{0, ∞} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ,
dan
(−𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (−𝑥 ⊗ 𝑥 ⊕ ∞ ⊗ ∞, −𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{−𝑥 + 𝑥, ∞ + ∞} , min{−𝑥 + ∞, ∞ + 𝑥}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{0, ∞} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Dengan demikian, bentuk invers perkalian dari (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah (−𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . ∎
Lemma 3. Bentuk invers perkalian dari bagian negatif tak nol (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah (∞, −𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Bukti. Diperhatikan bahwa
(∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (∞, −𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (∞ ⊗ ∞ ⊕ 𝑥 ⊗ (−𝑥) , ∞ ⊗ −𝑥 ⊕ 𝑥 ⊗ ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{∞ + ∞, 𝑥 + (−𝑥)} , min{∞ + (−𝑥), 𝑥 + ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{∞, 0} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅
dan
(∞, −𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (∞ ⊗ ∞ ⊕ (−𝑥) ⊗ 𝑥 , ∞ ⊗ 𝑥 ⊕ −𝑥 ⊗ ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{∞ + ∞, −𝑥 + 𝑥} , min{∞ + 𝑥, −𝑥 + ∞})
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{∞, 0} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Dengan demikian, bentuk invers dari (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ adalah (∞, −𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . ∎
Berdasarkan Lemma 2 dan Lemma 3 diperoleh akibat seperti berikut ini.
Akibat 4. Setiap elemen bertanda tak nol pada 𝑆 ^ memiliki invers perkalian .
Bukti. Dengan melihat pada pembuktian Lemma 2 dan Lemma 3, maka dapat disimpulkan bahwa setiap elemen bertanda tak nol pada 𝑆 ^ memiliki invers perkalian. ∎
Selanjutnya akan ditentukan struktur aljabar yang terbentuk dari bagian positif, bagian negatif dan bagian setimbang dari hasil simetrisasi aljabar min-plus.
Lemma  5. Himpunan  bagian  positif ℝ min ⊕ terhadap  operasi  penjumlahan  merupakan  semigrup idempoten komutatif dengan elemen nol .
Bukti. Ambil sembarang (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ , (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ .  Diperhatikan bahwa 1. (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑦, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊕ 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, 𝑦} , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ .  Dengan  demikian  operasi penjumlahan bersifat tertutup pada ℝ min ⊕ .
2. ((𝑥, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊕ ̅̅̅ (𝑧, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊕ 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = ((𝑥 ⊕ 𝑦) ⊕ 𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{min{𝑥, 𝑦}, 𝑧}, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑥, 𝑦, 𝑧}, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑥, min{𝑦, 𝑧}}, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊕ (𝑦 ⊕ 𝑧), ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑦 ⊕ 𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ ((𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) .
Dengan demikian operasi penjumlahan bersifat assosiatif pada ℝ min ⊕ . 3. (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊕ 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, 𝑦} , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑦, 𝑥} , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑦 ⊕ 𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ . Dengan demikian operasi penjumlahan bersifat komutatif pada ℝ min ⊕ . 4.  Elemen  nol  pada ℝ min ⊕ adalah (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ,  karena  untuk  setiap (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅   ∈ ℝ min ⊕ berlaku (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (∞ ⊕ 𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{∞, 𝑥} , ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ . 5.  Operasi  penjumlahan  pada ℝ min ⊕ bersifat  idempoten,  yakni  untuk  setiap (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ berlaku (𝑥, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊕ 𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, 𝑥}, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Berdasarkan  uraian  1,2,3,4  dan  5,  dapat  simpulkan  bahwa ℝ min ⊕ yang  dilengkapi  operasi penjumlahan merupakan semigrup idempoten komutatif dengan elemen nol. ∎
Lemma 6. Himpunan bagian positif ℝ min ⊕ terhadap operasi perkalian merupakan semigrup komutatif dengan elemen satuan .
Bukti. Ambil sembarang (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ , (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ .  Diperhatikan bahwa 1. (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ ∞, 𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑥 + 𝑦, ∞ + ∞}, min{𝑥 + ∞, ∞ + 𝑦}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥 + 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ .
Dengan demikian, operasi perkalian bersifat tertutup pada ℝ min ⊕ . 2. ((𝑥, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊗ ̅̅̅ (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ ∞, 𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅
= ((𝑥 ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ ∞) ⊗ 𝑧 ⊕ (𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑦) ⊗ ∞, (𝑥 ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ ∞) ⊗ ∞ ⊕ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑦) ⊗ 𝑧) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{min{𝑥 + 𝑦, ∞} + 𝑧 , min{∞, ∞} + ∞} , min{min{𝑥 + 𝑦, ∞} + ∞, min{∞, ∞} + 𝑧 }) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{(𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∞} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧), ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥 + (𝑦 + 𝑧), ∞} , min{∞, ∞}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{min{𝑥 + 𝑦, ∞} + 𝑧 , min{∞, ∞} + ∞} , min{min{𝑥 + 𝑦, ∞} + ∞, min{∞, ∞} + 𝑧 }) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= ((𝑥 ⊗ (𝑦 ⊗ 𝑧 ⊕ ∞ ⊗ ∞) ⊕ ∞ ⊗ (𝑦 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑧) , 𝑥 ⊗ (𝑦 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑧) ⊕ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
∞ ⊗ (𝑦 ⊗ 𝑧 ⊕ ∞ ⊗ ∞))
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑦 ⊗ 𝑧 ⊕ ∞ ⊗ ∞, 𝑦 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑧) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ ((𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑧, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅)
Dengan demikian, operasi perkalian bersifat assosiatif pada ℝ min ⊕ .
3. (𝑥, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥 ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ ∞, 𝑥 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑥 + 𝑦, ∞ + ∞}, min{𝑥 + ∞, ∞ + 𝑦})
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥 + 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑦 + 𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑦 + 𝑥, ∞ + ∞}, min{𝑦 + ∞, ∞ + 𝑥})
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑦 ⊗ 𝑥 ⊕ ∞ ⊗ ∞ , 𝑦 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅
Dengan demikian, operasi perkalian bersifat komutatif pada ℝ min ⊕ . 4.  Elemen  satuan  pada ℝ min ⊕ adalah (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ,  karena  untuk  setiap (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅   ∈ ℝ min ⊕ berlaku (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (0 ⊗ 𝑥 ⊕ ∞ ⊗ ∞, 0 ⊗ ∞ ⊕ ∞ ⊗ 𝑥)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{0 + 𝑥, ∞ + ∞}, min{0 + ∞, ∞ + 𝑥})
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .
Jadi dapat disimpulkan bahwa ℝ min ⊕ terhadap operasi perkalian membentuk semigrup komutatif dengan elemen satuan. ∎
Elemen  nol (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ merupakan  elemen  penyerap  terhadap  operasi  perkalian  pada 𝑆 dan berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan. Dengan demikian, sifat elemen penyerap dari elemen nol (∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ pada ℝ min ⊕ dan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dapat langsung diwariskan dari sifat elemen penyerap dan distributif pada 𝑆 . Berdasarkan Lemma 2, Lemma 5, Lemma 6, sifat elemen penyerap dan sifat distributif, maka dapat diperoleh struktur aljabar semilapangan dari ℝ min ⊕ yang disajikan daalam akibat berikut ini.
Akibat 7. Himpunan ℝ min ⊕ merupakan semilapangan.
Bukti. Berdasarkan  pembuktian  pada  Lemma  2,  Lemma  5,  Lemma  6,  sifat  elemen  penyerap  dan distributif, maka dapat disimpulkan bahwa ℝ min ⊕ membentuk semilapangan. ∎
Diperhatikan bahwa ℝ min ⊖ dan ℝ min •∙ masing-masing bukan merupakan semilapangan. Hal ini dikarenakan untuk setiap (∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ , (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊖ diperoleh
(∞, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (∞ ⊗ ∞ ⊕ 𝑥 ⊗ 𝑦, ∞ ⊗ 𝑦 ⊕ ∞ ⊗ 𝑥)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{∞ + ∞, 𝑥 + 𝑦}, min{∞ + 𝑦, ∞ + 𝑥}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (𝑥 + 𝑦, ∞)
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , dengan  bentuk (𝑥 + 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ bukan  merupakan  elemen  pada ℝ min ⊖ ,  kecuali  untuk 𝑥 + 𝑦 = ∞ . Dengan  demikian,  operasi  perkalian  tidak  tertutup  pada ℝ min ⊖ .      Selanjutnya, (0, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ bukan merupakan elemen pada ℝ min •∙ , sehingga ℝ min • tidak memiliki elemen satuan.
Karena ℝ min ⊕ dan ℝ min masing-masing  merupakan  semilapangan,  maka  akan  dibentuk suatu  korespondensi  satu-satu  yang  mengawetkan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian. Korespondensi  satu-satu  ini  selanjutnya  digunakan  untuk  meninjau ℝ min sebagai ℝ min ⊕ pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
Teorema  8. Pemetaan 𝑇: ℝ min ⊕ → ℝ min dengan  definisi 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑥 merupakan korespondensi satu-satu yang mngawetkan operasi penjumlahan dan perkalian.
Bukti. Ambil  sembarang (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ .  Apabila 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑇((𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) maka diperoleh 𝑥 = 𝑦 , akibatnya (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑇 bersifat injektif. Selanjutnya, untuk setiap 𝑥 ∈
ℝ min ,  selalu  terdapat (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ∈ ℝ min ⊕ sedemikian  hingga 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑥 .  Akibatnya 𝑇 juga bersifat surjektif. Dengan demikian 𝑇 merupakan suatu korespondensi satu-satu. Karena 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑇((𝑥 ⊕ 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑥 ⊕ 𝑦 = 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊕ 𝑇((𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) dan 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑇((𝑥 ⊗ 𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅) = 𝑥 ⊗ 𝑦 = 𝑇((𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) ⊗ 𝑇((𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) , maka 𝑇 mengawetkan  operasi  penjumlahan  dan  perkalian.  Dengan  demikian 𝑇 merupakan  suatu korespondensi satu-satu yang mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian. ∎
Berdasarkan Teorema 8 tersebut, maka ℝ min dapat dipandang melalui ℝ min ⊕ pada konteks pembicaraan himpunan simetrisasi aljabar min-plus 𝑆 . Operator minus pada 𝑆 juga mengacu pada operator minus pada proses simetrisasi aljabar min-plus, yakni ⊖ (𝑎, 𝑏) = (𝑏, 𝑎) . Operator minus selanjutnya  akan  digunakan  peranannya  untuk  melakukan  operasi  pengurangan  pada  himpunan simetrisasi aljabar min-plus. Karena 𝑆 merupakan suatu semiring maka tidak memenuhi eksistensi invers penjumlahan. Dengan demikian perlu dilakukan pengembangan pembahasan pada sifat hasil operasi “pengurangan”.
Lemma 9. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min , jika 𝑥 < 𝑦 maka 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) = 𝑥
Bukti. Karena 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min maka dapat disajikan dengan bentuk (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ pada 𝑆 . Selanjutnya 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) dapat disajikan sebagai (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (⊖ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ =
(𝑥 ⊕ ∞, ∞ ⊕ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, ∞}, min{∞, 𝑦}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ . Karena 𝑥 < 𝑦 maka (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ , sehingga (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ dapat dikorespondensikan dengan 𝑥 . Jadi diperoleh bahwa 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) = 𝑥 . ∎ Lemma 10. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min , jika 𝑥 > 𝑦 maka 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) =⊖ 𝑦
Bukti. Karena 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min maka dapat disajikan dalam bentuk (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ pada 𝑆 . Selanjutnya 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) dapat disajikan dengan (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (⊖ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ =
(𝑥 ⊕ ∞, ∞ ⊕ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, ∞}, min{∞, 𝑦}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ . Karena 𝑥 > 𝑦 maka (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ = (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ , sehingga (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ dapat dikorespondensikan dengan ⊖ 𝑦 . Jadi diperoleh 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) =⊖ 𝑦 . ∎ Lemma 11. Untuk 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min , jika 𝑥 = 𝑦 maka 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) = 𝑥 •
Bukti. Karena 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ min maka dapat disajikan dalam bentuk (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅, (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ pada 𝑆 . Selanjutnya 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) dapat disajikan sebagai (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (⊖ (𝑦, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅) = (𝑥, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (∞, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅ =
(𝑥 ⊕ ∞, ∞ ⊕ 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (min{𝑥, ∞}, min{∞, 𝑦}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ .  Karena 𝑥 = 𝑦 maka (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑥, 𝑥) ̅̅̅̅̅̅̅ , sehingga (𝑥, 𝑦) ̅̅̅̅̅̅̅ dapat dikorespondensikan dengan 𝑥 • . Jadi 𝑥 ⊕ (⊖ 𝑦) = 𝑥 • . ∎
Berdasarkan Lemma 9, Lemma 10 dan Lemma 11, diperoleh bentuk operasi pengurangan pada 𝑆 yang didefinisikan dengan 𝑥 ⊖ 𝑦 =  𝑥 ⊕ ̅̅̅ (⊖ 𝑦) , untuk 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 . Dengan demikian
𝑥 ⊖ 𝑦 = { 𝑥 , untuk 𝑥 < 𝑦 ⊖ 𝑦 , untuk 𝑥 > 𝑦
𝑥 • , untuk 𝑥 = 𝑦 .
Setelah diperoleh bentuk hasil operasi pengurangan pada 𝑆 , selanjutnya dibahas mengenai sifat-sifat terkait kesetimbangan pada 𝑆 . Sifat-sifat yang dibahas ini mengacu pada kesamaan pada aljabar linier. Beberapa  sifat  yang  diperoleh  merupakan  analogi  antara  kesamaan  pada  aljabar  linier  dengan kesetimbangan pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
Dua  buah  lemma  berikut  menjelaskan  sifat  yang  dapat  digunakan  untuk  menganalogikan pernyataan dalam aljabar linier menjadi suatu pernyataan pada simetrisasi min-plus, yakni untuk setiap 𝑥 pasti berlaku 𝑥 = 𝑥 , dan untuk setiap 𝑥, 𝑦 , jika 𝑥 = 𝑦 maka berlaku 𝑦 = 𝑥 . Kedua sifat ini akan dibahas keberlakuannya dalam konteks himpunan simetrisasi aljabar min-plus.
Lemma 12 . Untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑆 berlaku 𝑥 ∇ 𝑥 .
Bukti .  Misalkan 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ .  Diperhatikan  bahwa 𝑝 ⊕ 𝑞 = min{𝑝, 𝑞} = min{𝑞, 𝑝} =  𝑞 ⊕ 𝑝 . Dengan demikian 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ∇ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑥 . ∎
Lemma 13 . Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 berlaku 𝑥∇𝑦 jika dan hanya jika 𝑦∇𝑥 .
Bukti .  Misalkan 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑦 = (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ Diperhatikan  bahwa 𝑥∇𝑦 jika  dan  hanya  jika (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ∇ (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ . Dari sini diperoleh bahwa 𝑝 ⊕ 𝑠 = 𝑞 ⊕ 𝑟 ⇔ min{𝑝, 𝑠} = min{𝑞, 𝑟}
⇔ min{𝑟, 𝑞} = min{𝑠, 𝑝} ⇔ 𝑟 ⊕ 𝑞 = 𝑠 ⊕ 𝑝 ⇔ (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ ∇ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⇔ 𝑦 ∇ 𝑥 . Jadi 𝑥∇𝑦 jika dan hanya jika 𝑦∇𝑥 . ∎
Sifat berikut menjelaskan analogi pernyataan pada aljabar linier yakni 𝑥 = 𝑦 jika dan hanya jika 𝑥 − 𝑦 = 0 .  Sifat  tersebut  akan  dijelaskan  analoginya  dalam  konteks  pembahasan  himpunan simetrisasi aljabar min-plus, seperti pada lemma berikut ini.
Lemma 14. Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑆 , 𝑥𝛻𝑦 jika dan hanya jika 𝑥 ⊖ 𝑦𝛻ℰ̅
Bukti . Misalkan 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑦 = (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ Diperhatikan bahwa 𝑥𝛻𝑦 ⇔ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅𝛻(𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅
⇔ 𝑝 ⊕ 𝑠 = 𝑞 ⊕ 𝑟
⇔ min{𝑝, 𝑠} = min{𝑞, 𝑟}
⇔ min{min{𝑝, 𝑠}, ∞} = min{min{𝑞, 𝑟}, ∞} ⇔ (𝑝 ⊕ 𝑠) ⊕ ℰ = (𝑞 ⊕ 𝑟) ⊕ ℰ
⇔ (𝑝 ⊕ 𝑠, 𝑞 ⊕ 𝑟) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝛻(ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅
⇔ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑠, 𝑟) ̅̅̅̅̅̅̅𝛻(ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ ⇔ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (⊖ (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅)𝛻(ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ ⇔ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊖ (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅𝛻(ℰ, ℰ) ̅̅̅̅̅̅̅ ⇔ 𝑥 ⊖ 𝑦𝛻ℰ̅ . Jadi 𝑥𝛻𝑦 jika dan hanya jika 𝑥 ⊖ 𝑦𝛻ℰ̅ . ∎
Berdasarkan Lemma 14, diperoleh akibat seperti berikut ini.
Akibat 15. Untuk 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑆 , 𝑎𝛻𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 ⊖ 𝑏 ∈ ℝ min •
Bukti. Ambil sembarang 𝑢 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ dengan 𝑢𝛻ℰ̅ . Karena 𝑢𝛻ℰ̅ maka (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅𝛻(∞, ∞) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , yang berarti 𝑝 ⊕ ∞ = 𝑞 ⊕ ∞ .  Dari  sini  diperoleh min{𝑝, ∞} = min{𝑞, ∞} yang  mengakibatkan 𝑝 = 𝑞 . Karena 𝑝 = 𝑞 maka haruslah (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝑢 ∈ ℝ min • . Dengan demikian, untuk sembarang elemen 𝑢 ∈
𝑆 dengan 𝑢𝛻ℰ̅ , maka haruslah 𝑢 ∈ ℝ min • . Selanjutnya, berdasarkan Lemma 14 diperoleh bahwa 𝑎𝛻𝑏 jika dan hanya jika 𝑎 ⊖ 𝑏𝛻ℰ . Dengan demikian diperoleh bahwa 𝑎 ⊖ 𝑏 ∈ ℝ min • . ∎ Pada pembahasan aljabar linier, jika 𝑥 = 𝑦 dan 𝑚 = 𝑛 maka berlaku 𝑥 + 𝑚 = 𝑦 + 𝑛 , dan jika 𝑥 = 𝑦 maka berlaku 𝑥𝑚 = 𝑦𝑚 . Kedua sifat pada aljabar linier ini akan dinyatakan analoginya dalam konteks himpunan simetrisasi aljabar min-plus, seperti disajikan pada dua buah lemma berikut ini.
Lemma 16 . Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑚, 𝑛 ∈ 𝑆 , jika 𝑥∇𝑦 dan 𝑚∇𝑛 maka 𝑥 ⊕ ̅̅̅ 𝑚 ∇ 𝑦 ⊕ ̅̅̅ 𝑛
Bukti. Misalkan 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑦 = (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ , 𝑚 = (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ dan 𝑛 = (𝑣, 𝑤) ̅̅̅̅̅̅̅̅ . Diperhatikan bahwa jika 𝑥∇𝑦 maka (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅∇(𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ . Dari  sini  diperoleh 𝑝 ⊕ 𝑠 = 𝑞 ⊕ 𝑟 ,  yang  mengakibatkan min{𝑝, 𝑠} = min{𝑞, 𝑟} .  Jika 𝑚∇𝑛 maka (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ ∇ (𝑣, 𝑤) ̅̅̅̅̅̅̅̅ .  Diperoleh  bahwa 𝑡 ⊕ 𝑤 = 𝑢 ⊕ 𝑣 ,  yang mengakibatkan min{𝑡, 𝑤} = min{𝑢, 𝑣} .  Selanjutnya,  karena min{min{𝑝, 𝑠}, min{𝑡, 𝑤}} = min{min{𝑞, 𝑟} , min{𝑢, 𝑣}} , maka diperoleh min{𝑝, 𝑠, 𝑡, 𝑤} = min{𝑞, 𝑟, 𝑢, 𝑣}
⇔ min{min{𝑝, 𝑡}, min{𝑠, 𝑤}} = min{min{𝑞, 𝑢} , min{𝑟, 𝑣}}
⇔ min{min{𝑝, 𝑡}, min{𝑠, 𝑤}} = min{min{𝑞, 𝑢} , min{𝑟, 𝑣}}
⇔ (𝑝 ⊕ 𝑡) ⊕ (𝑠 ⊕ 𝑤) = (𝑞 ⊕ 𝑢) ⊕ (𝑟 ⊕ 𝑣)
⇔ (𝑝 ⊕ 𝑡, 𝑞 ⊕ 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝛻(𝑟 ⊕ 𝑣, 𝑠 ⊕ 𝑤 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
⇔ (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ 𝛻 (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊕ ̅̅̅ (𝑣, 𝑤) ̅̅̅̅̅̅̅̅ ⇔ 𝑥 ⊕ ̅̅̅ 𝑚 𝛻 𝑦 ⊕ ̅̅̅ 𝑛 .
Jadi diperoleh bahwa jika 𝑥𝛻𝑦 dan 𝑚𝛻𝑛 maka 𝑥 ⊕ ̅̅̅ 𝑚 𝛻 𝑦 ⊕ ̅̅̅ 𝑛 . ∎
Lemma 17. Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑚 ∈ 𝑆 , jika 𝑥∇𝑦 maka 𝑥 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 ∇ 𝑦 ⊗ ̅̅̅ 𝑚
Bukti. Misalkan 𝑥 = (𝑝, 𝑞) ̅̅̅̅̅̅̅, 𝑦 = (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅, 𝑚 = (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ . Diperhatikan bahwa 𝑥 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 = (𝑝, 𝑞)
̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑡, 𝑢)
̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑝 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑢, 𝑝 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑡 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑝 + 𝑡, 𝑞 + 𝑢}, min{𝑝 + 𝑢, 𝑞 + 𝑡}) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
dan
𝑦 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 = (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ = (𝑟 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑢, 𝑟 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑡 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
= (min{𝑟 + 𝑡, 𝑠 + 𝑢}, min{𝑟 + 𝑢, 𝑠 + 𝑡})
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ . Karena 𝑥∇𝑦 maka min{𝑝, 𝑠} = min{𝑞, 𝑟} , sehingga diperoleh min{𝑝, 𝑠} + 𝑡 = min{𝑞, 𝑟} + 𝑡 min{𝑝, 𝑠} + 𝑢 = min{𝑞, 𝑟} + 𝑢 . Selanjutnya
min{min{𝑝, 𝑠} + 𝑡, min{𝑞, 𝑟} + 𝑢} = min{min{𝑝, 𝑠} + 𝑢, min{𝑞, 𝑟} + 𝑡} ⇔ min{min{𝑝 + 𝑡, 𝑠 + 𝑡}, min{𝑞 + 𝑢, 𝑟 + 𝑢}} = min{min{𝑝 + 𝑢, 𝑠 + 𝑢}, min{𝑞 + 𝑡, 𝑟 + 𝑡}} ⇔ min{𝑝 + 𝑡, 𝑠 + 𝑡, 𝑞 + 𝑢, 𝑟 + 𝑢} = min{𝑝 + 𝑢, 𝑠 + 𝑢, 𝑞 + 𝑡, 𝑟 + 𝑡} ⇔ min{min{𝑝 + 𝑡, 𝑞 + 𝑢}, min{𝑟 + 𝑢, 𝑠 + 𝑡}}
= min{min{𝑝 + 𝑢, 𝑞 + 𝑡}, min{𝑟 + 𝑡, 𝑠 + 𝑢}} ⇔ (𝑝 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑢) ⊕ (𝑟 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑡) = (𝑝 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑡) ⊕ (𝑟 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑢) . ⇔ (𝑝 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑢, 𝑝 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑞 ⊗ 𝑡 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝛻 (𝑟 ⊗ 𝑡 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑢, 𝑟 ⊗ 𝑢 ⊕ 𝑠 ⊗ 𝑡 ) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
⇔ (𝑝, 𝑞)
̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅ 𝛻 (𝑟, 𝑠) ̅̅̅̅̅̅̅ ⊗ ̅̅̅ (𝑡, 𝑢) ̅̅̅̅̅̅̅
⇔ 𝑥 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 𝛻 𝑦 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 .
Jadi, jika 𝑥∇𝑦 maka 𝑥 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 ∇ 𝑦 ⊗ ̅̅̅ 𝑚 . ∎
Persamaan  linier 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 pada aljabar  linier,  dapat  diubah  dalam  bentuk 𝑎𝑥 = 𝑐 − 𝑏 . Apabila 𝑎 ≠ 0 maka diperoleh solusi untuk 𝑥 , yakni 𝑥 = 𝑐−𝑏 𝑎 . Sementara itu, persamaan linier 𝑎 ⊗ 𝑥 ⊕ 𝑏 = 𝑐 pada aljabar min-plus ℝ min cukup rumit untuk ditentukan solusinya, Hal ini dikarenakan tidak bisa merubah bentuk 𝑎 ⊗ 𝑥 ⊕ 𝑏 = 𝑐 menjadi bentuk 𝑎 ⊗ 𝑥 = 𝑐 ⊖ 𝑏 seperti halnya pada aljabar linier. Hal ini dikarenakan setiap elemen pada ℝ min , tidak memiliki invers penjumlahan, kecuali untuk elemen nol. Pada pembicaraan himpunan simetrisasi aljabar min-plus 𝑆 , sudah didefinisikan operator minus ⊖ dan sudah ditunjukkan beberapa terminologi dan sifat berkaitan dengan himpunan simetrisasi aljabar min-plus 𝑆 . Misalkan  bentuk  persamaan  linier 𝑎 ⊗ 𝑥 ⊕ 𝑏 = 𝑐 pada  aljabar  min-plus ℝ min ditinjau sebagai suatu kesetimbangan linier 𝑎 ⊗ ̅̅̅ 𝑥 ⊕ ̅̅̅ 𝑏 ∇ 𝑐 . Dengan menerapkan Lemma 14 diperoleh 𝑎 ⊗ ̅̅̅ 𝑥 ∇ 𝑐 ⊖ 𝑏 .
Jika 𝑎 ∈ 𝑆 ^ maka eksistensi invers perkalian elemen 𝑎 terjamin ada. Misalkan invers perkalian dari 𝑎 adalah 𝑎 −1 , maka kesetimbanga linier 𝑎 ⊗ ̅̅̅ 𝑥 ∇ 𝑐 ⊖ 𝑏 memiliki solusi 𝑥∇ 𝑎 −1 ⊗ ̅̅̅ (𝑐 ⊖ 𝑏) .
Dengan demikian, beberapa  terminologi dan sifat dasar yang diperoleh tersebut, memiliki peranan penting pada penyelesaian masalah kesetimbangan linier dalam konteks himpunan simetrisasi aljabar min-plus 𝑆 .

## SIMPULAN
Struktur aljabar yang terbentuk dari 〖 R_min 〗 ^ ⊕ pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus merupakan suatu semilapangan. Karena aljabar min-plus R_min juga merupakan semilapangan, maka dapat dibentuk suatu korespondensi satu-satu antara 〖 R_min 〗 ^ ⊕ dan R_min yang mengawetkan operasi penjumlahan dan perkalian. Selanjutnya, R_min dapat ditinjau sebagai 〖 R_min 〗 ^ ⊕ pada konteks himpunan simetrisasi aljabar min-plus. Beberapa terminologi dan sifat dasar pada himpunan simetrisasi aljabar min-plus, memiliki kemiripan seperti halnya pada aljabar linier, dan memiliki peranan yang penting pada penyelesaian masalah kesetimbangan linier. Dengan demikian, penentuan solusi pada  kesetimbangan  linier  dalam  konteks  himpunan  simetrisasi  aljabar  min-plus  dapat  dilakukan seperti halnya pada persamaan linier pada aljabar linier, dengan memanfaatkan beberapa terminologi dan  sifat  dasar  yang  sudah  diperoleh.  Penelitian  selanjutnya  dapat  dilakukan  pada  sifat  substitusi elemen  himpunan  simetrisasi  aljabar  min-plus.  Hal  ini  dikarenakan  substitusi  elemen  tidak  dapat dilakukan seperti halnya pada aljabar linier.

## REFERENSI
Awallia, A. R., Siswanto, & Kurniawan, V. Y. (2020). Interval min-plus algebraic structure and matrices over  interval  min-plus  algebra.  Journal  of  Physics:  Conference  Series,  1494(1),  012010. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1494/1/012010
Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G. J., & Quadrat, J. P. (Eds.). (2001). Synchronization and linearity: An algebra for discrete event systems. Wiley.
Darbon, J., Dower, P. M., & Meng, T. (2021). Neural network architectures using min plus algebra for solving  certain  high  dimensional  optimal  control  problems  and  Hamilton-Jacobi  PDEs (arXiv:2105.03336). arXiv. http://arxiv.org/abs/2105.03336
De Schutter, B. (1996). Max-algebraic system theory for discrete event systems. Katholieke Universiteit Leuven.
De Schutter, B., & De Moor, B. (2002). The QR Decomposition and the Singular Value Decomposition in  the  Symmetrized  Max-Plus  Algebra  Revisited.  SIAM  Review,  44(3),  417 – 454. https://doi.org/10.1137/S00361445024039
Goto, H. (2014). Introduction to max-plus algebra. Proceedings of the 39th International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation - ISSAC ’14, 21– 22.
https://doi.org/10.1145/2608628.2627496
Gyamerah,  S.,  Boateng,  P.,  &  Harvim,  P.  (2016).  Max-plus  Algebra  and  Application  to  Matrix Operations.  British  Journal  of  Mathematics  &  Computer  Science,  12(3),  1 – 14. https://doi.org/10.9734/BJMCS/2016/21639
Hook,  J.  (2017).  Min-plus  algebraic  low  rank  matrix  approximation:  A  new  method  for  revealing structure in networks (arXiv:1708.06552). arXiv. http://arxiv.org/abs/1708.06552 Liebeherr,  J.  (2017).  Opportunistic  Routing  in  Wireless  Networks.  Foundations  and  Trends®  in Networking, 11(3 – 4), 139 – 282. https://doi.org/10.1561/1300000059
Pramesthi,  S.  R.  P.  W.  (2021).  Simulasi  Petri  Net  pada  Proses  Produksi  Susu  Fermentasi. VYGOTSKY, 3(1), 25. https://doi.org/10.30736/voj.v3i1.349
Putri, R. K. (2016). PENENTUAN JALUR TERPENDEK MENGGUNAKAN ALJABAR MIN-PLUS. Studi Kasus:  Distribusi  Kentang  Jalur  Pangalengan,  Bandung  -  Jakarta.  WAHANA,  66(1),  7 – 15. https://doi.org/10.36456/wahana.v66i1.477
Rahayu, E. W., Siswanto, S., & Wiyono, S. B. (2021). Masalah Nilai Eigen dan Eigen Mode Matriks atas  Aljabar  Min-Plus.  BAREKENG:  Jurnal  Ilmu  Matematika  dan  Terapan,  15(4),  659 – 666. https://doi.org/10.30598/barekengvol15iss4pp659-666
Rosyada,  S.  A.,  Siswanto,  &  Kurniawan,  V.  Y.  (2021).  Bases  in  Min-Plus  Algebra:  International Conference of Mathematics and Mathematics Education (I-CMME 2021), Surakarta, Indonesia. https://doi.org/10.2991/assehr.k.211122.044
Subiono. (2015). Aljabar Min-Max Plus dan Terapannya. 173. Suroto,
S. (2022). Simetrisasi Aljabar Min-Plus. Vygotsky, 4(1), 35. https://doi.org/10.30736/voj.v4i1.444
Susilowati, E. (2018). The Comparasion Determining of Some Route of Angkot In Bandung by Using Greedy Algorithm and Min Plus Algorithm. Lontar Komputer : Jurnal Ilmiah Teknologi Informasi,
182. https://doi.org/10.24843/LKJITI.2018.v09.i03.p07 Suwanti, V., Bintoto, P., & Dinullah, R. N. I. (2017). Penerapan Min-Plus Algebra pada Penentuan Rute Tercepat  Distribusi  Susu.  Limits:  Journal  of  Mathematics  and  Its  Applications,  14(2),  15. https://doi.org/10.12962/limits.v14i2.3085