Limits: Journal of Mathematics and Its Applications E-ISSN: 2579-8936 P-ISSN: 1829-605X Vol. 20, No. 2, Juli 2023, 191-208 DOI: http://dx.doi.org/10.12962/limits.v20i2.12954
Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
Kasus Koefisien � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � ≠ 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 , 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 .
Suma Inna 1* , Irma Fauziah 2 , Muhammad Manaqib 3 , Priska Maya Putri 4 1,2,3,4 Program Studi Matematika Fakultas Sain dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta, Jl. Ir. H. Juanda No. 95 Tangerang Selatan 15412, Indonesia email : suma.inna@uinjkt.ac.id 1 , irma.fauziah@uinjkt.ac.id 2 muhammad.manaqib@uinjkt.ac.id 3 , priska.maya17@mhs.uinjkt.ac.id 4
Diajukan: 17 Mei 2022, Diperbaiki: 22 Juni 2023, Diterima: 28 Juli 2023

## Abstrak
Artikel ini membahas model fluida termampatkan tipe Korteweg dengan kondisi batas slip di half space space ( 𝑹𝑹 + 𝑁𝑁 ) . Model ini biasanya digunakan untuk mendeskripsikan aliran fluida dua fase di mana terdapat fase transisi pada antarmuka fase tersebut yang dikenal dengan efek kapiler. Untuk mengatasi efek kapiler tersebut, Korteweg mengembangkan model Navier-Stokes dengan menambahkan unsur kapilaritas pada persamaan Navier-Stokes. Dalam artikel ini ditunjukkan bahwa terdapat solusi pada model Navier- Stokes tipe Korteweg untuk kasus di mana koefisien � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � ≠ 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 , dengan μ ≠ ν. Kasus koefisien ini muncul berdasarkan kondisi akar persamaan karakteristik dari model yang dibahas dalam artikel ini.
Kata Kunci : Fluida termampatkan, Model Resolvent, Tranformasi Fourier Parsial, Navier Stokes Korteweg.

## Abstract
This paper discusses the Korteweg-type compressible fluid model with slip boundary conditions in a half-space ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) . This model is commonly used to describe two-phase fluid flow with a transitional phase at the interface between the phases, known as the capillary effect. To address this effect, Korteweg developed a model by incorporating the capillarity effect into the Navier-Stokes equation, which is a model for compressible fluid flow.  The  paper  demonstrates the existence of a solution for the Korteweg-type Navier-Stokes model in the case where the coefficient � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � >  0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 with 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 . This coefficient case arises from the root conditions of the characteristic equation of the model.
Keywords : Compressible Fluid, Resolvent Problem, Partial Fourier Transform, Navier Stokes Korteweg.

## 1  Pendahuluan
Segala jenis zat yang dapat mengalir dalam wujud gas maupun cair termasuk dalam kategori fluida. Berdasarkan sifat kompresibilitasnya, fluida dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu fluida yang dapat dimampatkan ( compressible fluid ) dan fluida yang tidak dapat dimampatkan
192 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
( incompressible fluid ). Fluida yang dapat dimampatkan adalah fluida dengan densitas atau kerapatan yang dapat berubah-ubah dengan meningkatnya tekanan dan berkurang dengan adanya ekspansi. Contohnya adalah gas seperti oksigen (O2), nitrogen (N2), dan lain sebagainya. Sementara  itu, fluida yang tidak dapat dimampatkan adalah fluida yang memiliki perubahan kerapatan yang sangat kecil ketika terkena tekanan, sehingga kerapatan dianggap tetap. Contohnya adalah air, minyak, oli, dan lain sebagainya.
Salah satu model matematika yang digunakan untuk mendeskripsikan aliran fluida yang dapat dimampatkan adalah model Navier-Stokes-Korteweg.
𝜕𝜕 𝑡𝑡 𝜌𝜌 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝜌𝜌𝒖𝒖 ) =  0                                                     di Ω × (0, 𝑇𝑇 ) 𝜌𝜌 ( 𝜕𝜕 𝑡𝑡 𝑢𝑢 + 𝒖𝒖 · 𝛻𝛻𝒖𝒖 ) = 𝐷𝐷𝑑𝑑𝑑𝑑 ( 𝑆𝑆 ( 𝒖𝒖 ) + 𝐾𝐾 ( 𝜌𝜌 ) − 𝑃𝑃 ( 𝜌𝜌 ) 𝐈𝐈 )  di Ω × (0, 𝑇𝑇 ) � (1)
dengan 𝑇𝑇 ∈ 𝐑𝐑 + , Ω ⊂ 𝐑𝐑 𝑁𝑁 , dengan 𝐑𝐑 adalah himpunan bilangan riil, 𝐑𝐑 + adalah himpunan bilangan riil yang lebih dari nol dan 𝐑𝐑 𝑁𝑁 adalah ruang Euclid berdimensi 𝑁𝑁 , 𝑁𝑁 ∈ 𝐍𝐍 , dengan 𝐍𝐍 adalah himpunan bilangan asli. Pada Persamaan (1), 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ), 𝑥𝑥 = ( 𝑥𝑥 1 , ⋯ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) ∈ Ω ⊂ 𝐑𝐑 𝑁𝑁 , 𝑡𝑡 ∈ (0, 𝑇𝑇 ) adalah fungsi tak diketahui dan bernilai skalar  ( 𝜌𝜌 : Ω ⊂ 𝐑𝐑 𝑁𝑁 × (0, 𝑇𝑇 ) → 𝐑𝐑 ) yang menyatakan kerapatan fluida. Fungsi tak diketahui lainnya dari Persamaan (1) adalah kecepatan fluida dinyatakan dinotasikan sebagai 𝒖𝒖 = ( 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 )  = �𝑢𝑢 1 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ),· · · , 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 , 𝑡𝑡 ) � ⊤ . Kemudian 𝑆𝑆 ( 𝒖𝒖 )  =  µ 𝐷𝐷 ( 𝒖𝒖 ) + ( 𝜈𝜈 − µ) 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝒖𝒖𝐈𝐈 , dengan µ, 𝜈𝜈 konstanta densitas dan 𝐷𝐷 ( 𝒖𝒖 ) adalah tensor tegangan ganda dengan komponen ke 𝑑𝑑 , 𝑗𝑗 -nya adalah 𝐷𝐷 𝑖𝑖𝑖𝑖 ( 𝒖𝒖 ) = 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑗𝑗 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑖𝑖 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑗𝑗 ; dan 𝐈𝐈 adalah matriks identitas 𝑁𝑁 × 𝑁𝑁 . Fungsi 𝐾𝐾 ( 𝜌𝜌 ) = 𝜅𝜅 2 ( ∆𝜌𝜌 2 − | 𝛻𝛻𝜌𝜌 | 2 ) 𝐼𝐼 − 𝜅𝜅𝛻𝛻𝜌𝜌 ⊗ 𝛻𝛻𝜌𝜌 , dengan 𝜅𝜅 menyatakan konstanta kapiler dan 𝑎𝑎 ⊗ 𝑏𝑏 = �𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑏𝑏 𝑖𝑖 � , pertama kali diperkenalkan oleh Korteweg pada tahun 1901. Fungsi ini ditambahkan pada model Navier Stokes dalam rangka memodelkan fluida termampatkan 2 fase (seperti gas dan zat cair) di mana terdapat fase trasnsisi yang dikenal dengan efek kapilaritas pada antarmuka dua fase tersebut.
Persamaan Navier-Stokes-Korteweg (NSK) secara umum digunakan untuk memodelkan aliran gas dan cairan yang melalui fase transisi, seperti perubahan air menjadi gas akibat suhu dan tekanan. Persamaan NSK merupakan pengembangan dari persamaan Navier-Stokes (NS), yang merupakan persamaan dasar untuk aliran fluida termampatkan seperti gas. Perbedaan mendasar antara NSK dan NS terletak pada penambahan tensor tegangan dengan konstanta kapilaritas yang disebut sebagai konstanta kapiler. Secara umum, jika konstanta kapiler sama dengan 0, maka NSK akan sama dengan NS.
Model fluida termampatkan tipe Korteweg telah dibahas oleh beberapa peneliti seperti yang tercantum dalam referensi [1]–[5]. Kotschote membuktikan keunikan solusi lokal untuk model fluida isotermal [6]. Hirokazu Saito membahas model fluida termampatkan tipe Korteweg dengan
kondisi batas bebas dan memperoleh operator solusi tunggal [7]. Kemudian, Hirokazu Saito juga membahas model fluida termampatkan tipe Korteweg dengan kondisi batas 𝒏𝒏 . 𝛻𝛻 𝜌𝜌 = 𝑔𝑔 dan u = 0  [8].
Jika kita akan menyelesaikan Persamaan (1) untuk sebarang koefisien 𝜇𝜇 , 𝜈𝜈 dan 𝜅𝜅 , maka ada lima kondisi akar persamaan karakteristik yang harus dianalisis yaitu:
Kasus I: � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � < 0; Kasus II: � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � > 0, 𝜅𝜅 ≠ 𝜇𝜇 𝜈𝜈 ;
Kasus III: � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � > 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 ;
Kasus IV: � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � = 0, 𝜅𝜅 ≠ 𝜇𝜇 𝜈𝜈 ;
Kasus V: � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � = 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 .
Suma Inna dkk membahas model fluida termampatkan tipe Korteweg dengan kondisi batas slip di half-space ( 𝑹𝑹 + 𝑁𝑁 ) untuk kasus pertama dan kedua yaitu kasus koefisien � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � ≠ 0, 𝜅𝜅 ≠ 𝜇𝜇 𝜈𝜈 dan 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 serta menunjukkan adanya solusi tunggal dari sistem tersebut [9]. Kemudian Suma Inna dan Hirokazu Saito [10] menganalisis model NSK yang melibatkat variabel waktu 𝑡𝑡 dan menunjukkan adanya solusi lokal model NSK dengan kondisi batas slip . Sementara artikel ini fokus membahas model (1)  untuk kasus yang ketiga yaitu kasus koefisien � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � ≠ 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇 𝜈𝜈 dengan 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 .

## 2  Metode Penyelesaian Sistem
Secara umum, untuk menyelesaikan Persamaan tak linear (1) dengan syarat batas, dilakukan dengan beberapa tahap. Tahap pertama adalah melakukan linearisasi terhadap sistem tersebut. Selanjutnya, dilakukan transformasi Laplace terhadap sistem tersebut untuk mengeliminasi variabel waktu 𝑡𝑡 . Dengan demikian, diperoleh sistem persamaan yang dikenal sebagai persamaan resolven. Persamaan resolven yang sesuai dengan Persamaan (1) adalah sebagai berikut:
𝜆𝜆𝜌𝜌 + div 𝐮𝐮 = 𝑑𝑑 di Ω 𝜆𝜆𝐮𝐮 − 𝜇𝜇Δ𝐮𝐮 − 𝜈𝜈∇ div 𝐮𝐮 − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌 = 𝒇𝒇 di Ω� (2)
Dalam artikel ini, kami membahas penyelesaian Persamaan (2) di half space dengan kondisi batas slip , yang dinyatakan sebagai persamaan berikut:
194 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip
di Half-Space
𝜆𝜆𝜌𝜌 + div 𝐮𝐮 = 𝑑𝑑 di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝜆𝜆𝐮𝐮 − 𝜇𝜇Δ𝐮𝐮 − 𝜈𝜈∇ div 𝐮𝐮 − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌 = 𝒇𝒇 di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝒏𝒏 ⋅ ∇𝜌𝜌 = 𝑔𝑔 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑢𝑢 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕 𝑖𝑖 𝑢𝑢 𝑁𝑁 = ℎ 𝑖𝑖 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 , 𝑗𝑗 =  1, . . . , 𝑁𝑁 − 1 𝑢𝑢 𝑁𝑁 = ℎ 𝑁𝑁 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (3)
dengan 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌 ( 𝑥𝑥 ) merupakan fungsi bernilai skalar. Suatu fungsi dikatakan bernilai skalar jika domain dari fungsi tersebut berupa vektor dan hasil atau range dari fungsi tersebut berupa skalar. Sebagai contoh 𝑓𝑓 : 𝐑𝐑 𝑁𝑁 → 𝐑𝐑 dengan definisi 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 1 , 𝑥𝑥 2 , ⋯ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 2 + ⋯ + 𝑥𝑥 𝑁𝑁 . Sementara 𝐮𝐮 = 𝐮𝐮 ( 𝑥𝑥 )    = � 𝑢𝑢 1 ( 𝑥𝑥 ), … , 𝑢𝑢 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ) � ⊤ adalah fungsi bernilai vektor dan 𝜆𝜆 adalah parameter resolvent yang terdapat pada 𝐂𝐂 + = { 𝑧𝑧 ∈ 𝑪𝑪 ∣ ℜ𝑒𝑒 𝑧𝑧 > 0 } dengan 𝐂𝐂 adalah himpunan bilangan kompleks . Ruang 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 dan 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 untuk 𝑁𝑁 ≥ 2 ( 𝑁𝑁 ∈ 𝐍𝐍 ) merupakan ruang yang didefinisikan sebagai berikut,
𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 = { 𝑥𝑥 = ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )| 𝑥𝑥 ′ = ( 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 ) ∈ 𝐑𝐑 𝑁𝑁−1 , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 > 0},
𝐑𝐑 + 0 = { 𝑥𝑥 = ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )| 𝑥𝑥 ′ = ( 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 ) ∈ 𝐑𝐑 𝑁𝑁−1 , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 0}.
Untuk menyelesaikan Persamaan (3) dengan syarat batas secara umum, langkah-langkah umumnya meliputi penyelesaian Persamaan (3) di whole space , kemudian di half space , dan terakhir di bent half space .
Untuk suatu fungsi skalar 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥 ) dan fungsi vektor 𝐯𝐯 = 𝐯𝐯 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑑𝑑 1 ( 𝑥𝑥 ), … , 𝑑𝑑 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ) � ⊤ dan 𝜕𝜕 𝐽𝐽 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑥𝑥𝐽𝐽 ( 𝐽𝐽 = 1, … , 𝑁𝑁 ), didefinisikan
∇ 𝑢𝑢 =  ( 𝜕𝜕 1 𝑢𝑢 , … , 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑢𝑢 ) ⊤ ; ∇ 𝐯𝐯 = � 𝜕𝜕 𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝑘𝑘 � 𝐽𝐽 , 𝑘𝑘 =  1,2, … 𝑁𝑁 ) ; ∇ 2 𝑢𝑢 = ( 𝜕𝜕 𝐽𝐽 𝜕𝜕 𝑘𝑘 𝑢𝑢 | { 𝐽𝐽 , 𝑘𝑘 , 𝑙𝑙 = 1, … , 𝑁𝑁 });
div 𝐯𝐯 = � 𝜕𝜕 𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝐽𝐽 𝑁𝑁 𝐽𝐽=1 ; Δ 𝑢𝑢 = � 𝜕𝜕 𝐽𝐽 2 𝑢𝑢 ; 𝑁𝑁 𝐽𝐽=1 Δ𝐯𝐯 = ( Δ𝑑𝑑 1 , … , Δ𝑑𝑑 𝑁𝑁 ) ⊤ .
Untuk vektor berdimensi-N, 𝒂𝒂 =   ( 𝑎𝑎 1 , 𝑎𝑎 2 , … , 𝑎𝑎 𝑁𝑁 ) ⊤ dan 𝐛𝐛 =  ( 𝑏𝑏 1 , 𝑏𝑏 2 , … , 𝑏𝑏 𝑁𝑁 ) ⊤ ,
𝒂𝒂 ⋅ 𝒃𝒃 = ∑ 𝑎𝑎 𝐽𝐽 𝑏𝑏 𝐽𝐽 𝑁𝑁 𝐽𝐽=1 .
Khususnya, untuk 𝒏𝒏 ⋅ ∇ 𝜌𝜌 = −𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜌𝜌 .
Selanjutnya, akan diperkenalkan beberapa notasi khusus yang digunakan pada artikel ini. Misal 𝑞𝑞 ∈ [1, ∞ ), 𝐿𝐿 𝑞𝑞 ( 𝐑𝐑 + N ) dan 𝑊𝑊 𝑞𝑞 𝑚𝑚 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) menyatakan ruang Lebesque dan ruang Sobolev berturut- turut di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 , 𝑚𝑚 ∈ 𝑵𝑵 , dan untuk 𝑚𝑚 = 0 , maka 𝑊𝑊 𝑞𝑞 0 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) = 𝐿𝐿 𝑞𝑞 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) dan norma di 𝑊𝑊 𝑞𝑞 𝑛𝑛 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ), 𝑛𝑛 ∈ 𝐍𝐍 0 , 𝐍𝐍 𝟎𝟎 = 𝐍𝐍 ∪ {0} . dinotasikan dengan ‖⋅‖ 𝑊𝑊 𝑝𝑝 𝑛𝑛 ( 𝑹𝑹 + 𝑁𝑁 ) . Misalkan 𝑋𝑋 and 𝑌𝑌 adalah ruang Banach, maka 𝑋𝑋 𝑚𝑚 ,
𝑚𝑚 ∈ 𝐍𝐍 , menyatakan perkalian 𝑋𝑋 sebanyak 𝑚𝑚 dan norma di 𝑋𝑋 𝑚𝑚 ditulis secara lebih singkat ‖⋅‖ 𝑋𝑋 . Himpunan dari operator linear dari 𝑋𝑋 ke 𝑌𝑌 dinotasikan dengan ℒ ( 𝑋𝑋 , 𝑌𝑌 ) dan himpunan dari operator linear dari 𝑋𝑋 ke 𝑋𝑋 dinotasikan dengan ℒ ( 𝑋𝑋 ). Untuk suatu domain 𝑈𝑈 ⊂ 𝐂𝐂 , 𝐻𝐻𝐻𝐻𝑙𝑙 ( 𝑈𝑈 , ℒ ( 𝑋𝑋 , 𝑌𝑌 )) menyatakan himpunan fungsi holomorfik bernilai ℒ ( 𝑋𝑋 , 𝑌𝑌 ) yang terdefinisi pada 𝑈𝑈 .
Untuk menyelesaikan Sistem (3), digunakan pendekatan solusi dari sistem di whole-space ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ). Sistem Persamaan di whole-space ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ) dinyatakan dalam persamaan berikut,
𝜆𝜆𝜌𝜌 + div 𝐮𝐮 = 𝑑𝑑 di 𝐑𝐑 𝑁𝑁 𝐮𝐮 − 𝜇𝜇Δ𝐮𝐮 − 𝜈𝜈∇ div 𝐮𝐮 − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌 = 𝐟𝐟 di 𝐑𝐑 𝑁𝑁 . � (4)
Untuk Sistem (4), Saito, pada [7], mendapatkan hasil sebagai berikut.
Didefinisikan ruang untuk fungsi ruas kanan 𝐅𝐅 0 = ( 𝑑𝑑 , 𝐟𝐟 ) sebagai berikut
𝒳𝒳 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 N ) = 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 N ) × 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 N ) 𝑁𝑁 .
Kemudian, definisikan 𝑋𝑋 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 N ) dan ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 0 sebagai berikut:
𝑋𝑋 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 N ) = 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 N ) 𝑆𝑆 ,      dengan 𝑠𝑠 = 𝑁𝑁 + 1 + 𝑁𝑁 ; ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 1 = �∇ 𝑑𝑑 , 𝜆𝜆 1 2 𝑑𝑑 , 𝒇𝒇� ∈ 𝑋𝑋 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 N ).
Kemudian diperoleh teorema berikut.
Teorema 1 (Saito [7]). Misalkan 𝑝𝑝 ∈ (1, ∞ ) dan asumsikan bahwa 𝜇𝜇 , 𝜈𝜈 dan 𝜅𝜅 adalah konstanta positif, maka untuk setiap 𝜆𝜆 ∈ 𝑪𝑪 + terdapat operator 𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) dan ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) dengan,
𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ �𝑋𝑋 𝑞𝑞 1 ( 𝐑𝐑 N ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 3 ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ) �� , ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ�𝑋𝑋 𝑞𝑞 1 ( 𝐑𝐑 N ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 2 ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁 �� ,
sehingga untuk setiap 𝐅𝐅 0 = ( 𝑑𝑑 , 𝒇𝒇 ) ∈ 𝒳𝒳 𝑞𝑞 1 ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ) diperoleh operator solusi tunggal ( 𝜌𝜌 , 𝒖𝒖 ) = �𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟎𝟎 , ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟎𝟎 � dari Sistem (4).

## 3  Hasil dan Pembahasan
Bagian ini merupakan inti dari pembahasan artikel ini yaitu membuktikan adanya solusi untuk Sistem (3). Definisikan ruang untuk fungsi ruas kanan Sistem (3), 𝐅𝐅 1 = ( 𝑑𝑑 , 𝐟𝐟 , 𝑔𝑔 , 𝒉𝒉′ , ℎ 𝑁𝑁 ) dengan 𝒉𝒉′ = ( ℎ 1 , . . . ℎ 𝑁𝑁−1 ) , sebagai berikut,
𝒳𝒳 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) = 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) × 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁 × 𝑊𝑊 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) × 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁−1 × 𝑊𝑊 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ).
Kemudian, definisikan ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 1 dan 𝔛𝔛 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) sebagai berikut,
𝔛𝔛 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) = 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + N ) 𝑀𝑀 ,
196 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 1 =   (( ∇ 𝑑𝑑 , 𝜆𝜆 1 2 𝑑𝑑 ), 𝐟𝐟 , ∇ 2 𝑔𝑔 , 𝜆𝜆 1 2 ∇ 𝑔𝑔 , 𝜆𝜆 𝑔𝑔 ), ( ∇𝒉𝒉′ , 𝜆𝜆 1 2 𝒉𝒉′ ), ( ∇ 2 ℎ 𝑁𝑁 , 𝜆𝜆 1 2 ∇ ℎ 𝑁𝑁 , 𝜆𝜆ℎ 𝑁𝑁 )) ∈ 𝔛𝔛 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) 𝑀𝑀 =   ( 𝑁𝑁 + 1) + 𝑁𝑁 + ( 𝑁𝑁 2 + 𝑁𝑁 + 1) + ( 𝑁𝑁 − 1)( 𝑁𝑁 + 1) + ( 𝑁𝑁 2 + 𝑁𝑁 + 1)
Tujuan utama dari artikel ini adalah mencari operator solusi dari Sistem Persamaan (3) atau dengan kata lain adalah membuktikan teorema berikut.
Teorema 2. Misalkan 𝑞𝑞 ∈ (1, ∞ ) dan asumsikan bahwa 𝜇𝜇 , 𝜈𝜈 dan 𝜅𝜅 adalah konstanta positif yang memenuhi � 𝜇𝜇+𝜈𝜈 2𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � > 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 dan 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 , 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑘𝑘𝑎𝑎 untuk setiap 𝜆𝜆 ∈ 𝑪𝑪 + terdapat operator 𝒜𝒜 0 ( 𝜆𝜆 ) dan ℬ 0 ( 𝜆𝜆 ) dengan,
𝒜𝒜 0 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ �𝔛𝔛 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 3 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) �� , ℬ 0 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ�𝔛𝔛 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) 𝑁𝑁 �� ,
sehingga untuk setiap 𝐅𝐅 1 = ( 𝑑𝑑 , 𝒇𝒇 , 𝑔𝑔 , 𝒉𝒉′ , ℎ 𝑁𝑁 ) ∈ 𝒳𝒳 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) , ( 𝜌𝜌 , 𝐮𝐮 ) = �𝒜𝒜 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟏𝟏 , ℬ 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟏𝟏 � adalah operator solusi untuk Persamaan (3) .
Terdapat beberapa tahapan dalam membuktikan Teorema 2, yaitu: pertama, mereduksi Sistem tak homogen (3) menjadi sistem homogen. Tahap selanjutnya adalah menyelesaikan sistem homogen tersebut.

## 3.1 Reduksi Sistem
Misalkan 𝑢𝑢 𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 𝑖𝑖 ( 𝑗𝑗 =  1, . . . , 𝑁𝑁 − 1), 𝑢𝑢 𝑁𝑁 = 𝑑𝑑 𝑁𝑁 + ℎ 𝑁𝑁 , dan 𝐯𝐯 =   ( 𝑑𝑑 1 , . . . , 𝑑𝑑 𝑁𝑁 ) ⊤ , maka diperoleh sistem sebagai berikut,
𝜆𝜆𝜌𝜌 + div 𝐯𝐯 = 𝑑𝑑̃ di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝜆𝜆𝐯𝐯 − 𝜇𝜇Δ𝐯𝐯 − 𝜈𝜈∇ div 𝐯𝐯 − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌 = 𝒇𝒇� di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝒏𝒏 ⋅ ∇𝜌𝜌 = 𝑔𝑔 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕 𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑁𝑁 = ℎ 𝑖𝑖 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝑑𝑑 𝑁𝑁 = 0     pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (5)
dengan 𝑑𝑑̃ = 𝑑𝑑 − ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ℎ 𝑁𝑁 ), ℎ� 𝑖𝑖 = −ℎ 𝑖𝑖 − ( 𝜕𝜕 𝑖𝑖 ℎ 𝑁𝑁 )
dan 𝐟𝐟̃ = 𝐟𝐟 − ( −𝜈𝜈 𝜕𝜕 1 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ℎ 𝑁𝑁 , … , −𝜈𝜈 𝜕𝜕 𝑁𝑁−1 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ℎ 𝑁𝑁 , 𝜆𝜆 ℎ 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇 Δ ℎ 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ℎ 𝑁𝑁 ) ⊤ .
Selanjutnya, digunakan ekstensi genap dan ekstensi ganjil untuk membentuk sistem persamaan homogen. Untuk suatu fungsi 𝑓𝑓 = 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) di 𝐑𝐑 + N , definisikan ekstensi genap 𝐸𝐸 𝑒𝑒 dan ekstensi ganjil 𝐸𝐸 𝑜𝑜 sebagai berikut,
𝐸𝐸 𝑒𝑒 ( 𝑓𝑓 ) = 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),    ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 >  0) 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),   ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 <  0) 𝐸𝐸 𝑜𝑜 ( 𝑓𝑓 ) = 𝐸𝐸 𝑜𝑜 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ) = � 𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),    ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 >  0) −𝑓𝑓 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ), ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 <  0)
dengan ( 𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 ). Kemudian definisikan ekstensi dari suatu fungsi vektor 𝐟𝐟 = ( 𝑓𝑓 1 , … , 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ) ⊤ sebagai berikut,
𝑬𝑬𝐟𝐟 =   ( 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑓𝑓 1 , … , 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑓𝑓 𝑁𝑁−1 , 𝐸𝐸 𝑜𝑜 𝑓𝑓 𝑁𝑁 ) ⊤ . (6)
Catatan bahwa 𝑬𝑬 ∈ ℒ�𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁 , 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁 � dan 𝐸𝐸 𝑒𝑒 ∈ ℒ� 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 + 𝐍𝐍 � , 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 𝑁𝑁 )).
Misalkan, ( 𝑑𝑑̃ , 𝒇𝒇� ) merupakan fungsi yang terdapat di ruang 𝑊𝑊 𝑝𝑝 1 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) × 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) 𝑁𝑁 pada Sistem Persamaan (5) dan 𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 0 , ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 0 adalah operator solusi yang terdapat pada Teorema 1 di whole-space ( 𝐑𝐑 N ) . Definisikan operator R dan 𝐕𝐕 berturut-turut sebagai berikut,
R  = 𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 � 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ , 𝑬𝑬𝐟𝐟̃� dan 𝐕𝐕 = ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 � 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ , 𝑬𝑬𝐟𝐟̃ � . (7)
Selanjutnya, definisikan 𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) dan 𝐓𝐓 = 𝐓𝐓 ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) sebagai
𝑆𝑆 =  R( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ), 𝐓𝐓 = �𝑉𝑉 1 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ), … , 𝑉𝑉 𝑁𝑁−1 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ), −𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ⊤ .           (8) Kemudian 𝑉𝑉 𝑖𝑖 dan 𝑇𝑇 𝑖𝑖 merupakan komponen ke   dari V dan T berturut-turut, dengan 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁 − 1 . Dengan demikian diperoleh
𝑇𝑇 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = −𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) (9)
Substitusi Persamaan (8) ke baris pertama Sistem (5) sehingga untuk baris pertama diperoleh sebagai berikut,
( 𝜆𝜆𝑆𝑆 +  div 𝐓𝐓 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) =   ( 𝜆𝜆𝜆𝜆 +  div 𝐕𝐕 )( 𝑥𝑥′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) =   ( 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ ( 𝑥𝑥′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),
Selanjutnya substitusi Persamaan (8) ke baris kedua Sistem (5) sehingga diperoleh sebagai berikut,
( 𝜆𝜆𝑇𝑇 𝑖𝑖 − 𝜇𝜇Δ𝑇𝑇 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑖𝑖 div 𝐓𝐓 − 𝜅𝜅 𝜕𝜕 𝑖𝑖 Δ𝑆𝑆 )( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = � 𝑉𝑉 𝑖𝑖 – 𝜇𝜇Δ 𝑉𝑉 𝑖𝑖 – 𝜈𝜈 𝜕𝜕 𝑖𝑖 div 𝐕𝐕 − 𝜅𝜅𝜕𝜕 𝑖𝑖 Δ𝜆𝜆� ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑓𝑓̃ 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑓𝑓̃ 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),
dengan 𝑗𝑗 =  1, . . . , 𝑁𝑁 − 1, dan
( 𝜆𝜆 𝑇𝑇 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇 Δ 𝑇𝑇 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈 𝜕𝜕 𝑁𝑁 div 𝐓𝐓 − 𝜅𝜅 𝜕𝜕 𝑁𝑁 Δ 𝑆𝑆 )( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) =   ( 𝜆𝜆 𝑉𝑉 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇 Δ 𝑉𝑉 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈 𝜕𝜕 𝑁𝑁 div 𝐕𝐕 − 𝜅𝜅 𝜕𝜕 𝑁𝑁 Δ 𝜆𝜆 )( 𝑥𝑥 ′ , −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = − ( 𝐸𝐸 𝑜𝑜 𝑓𝑓̃ 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′
, −𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝐸𝐸 𝑜𝑜 𝑓𝑓̃ 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ),
Dengan demikian, 𝑆𝑆 dan 𝐓𝐓 juga merupakan operator solusi di whole-space ( 𝐑𝐑 𝐍𝐍 ) . Oleh karena itu, berdasarkan ketunggalan solusi di whole-space ,
198 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip
di Half-Space
𝑇𝑇 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝑉𝑉 𝑖𝑖 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) 𝑇𝑇 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � (10)
Akibatnya, berdasarkan Persamaan (9) dan (10), diperoleh 𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = −𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 𝑥𝑥 _ 𝑁𝑁 ) . Dengan demikian jika 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 0, maka 𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 0) = −𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 0) jika dan hanya jika 𝑉𝑉 𝑁𝑁 ( 𝑥𝑥 ′ , 0) = 0.
Misalkan   dan u didefinisikan sebagai berikut,
𝜌𝜌 = 𝜆𝜆 + 𝜌𝜌� dan 𝐮𝐮 = 𝑉𝑉 + 𝐯𝐯� (11)
Substitusi Persamaan (11) ke Sistem (3), maka diperoleh sistem homogen sebagai berikut
𝜆𝜆 𝜌𝜌� + div 𝐯𝐯� = 0       di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝜆𝜆𝐯𝐯� − 𝜇𝜇Δ𝐯𝐯� − 𝜈𝜈∇ div 𝐯𝐯� − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌� = 0       di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁
𝒏𝒏 ⋅ ∇𝜌𝜌� = −𝑔𝑔� pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕 𝑖𝑖 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 = ℎ�� 𝑖𝑖 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 = 0      pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫
(12)
dengan
𝑔𝑔� = 𝑔𝑔 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ( ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 � 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ , 𝑬𝑬𝐟𝐟̃� , ℎ�� 𝑖𝑖 = ℎ� − 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ℎ 𝑁𝑁 − 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ( ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 � 𝐸𝐸 𝑒𝑒 𝑑𝑑̃ , 𝑬𝑬𝐟𝐟̃� .
Selanjutnya, untuk membuktikan Teorema 2 cukup dengan menyelesaikan Sistem Homogen (12) yang akan dibahas pada bagian berikut.
3.2 Penyelesaian Sistem Persamaan Homogen di half-space ( 𝐑𝐑 + 𝐍𝐍 )
Sistem Persamaan Homogen (12) secara sederhana dapat ditulis sebagai berikut,
𝜆𝜆𝜌𝜌 + div 𝐯𝐯 = 0       di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 𝜆𝜆𝐯𝐯 − 𝜇𝜇Δ𝐯𝐯 − 𝜈𝜈∇ div 𝐯𝐯 − 𝜅𝜅Δ∇𝜌𝜌 = 0       di 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁
𝒏𝒏 ⋅ ∇𝜌𝜌 = −𝑔𝑔 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕 𝑖𝑖 𝑑𝑑 𝑁𝑁 = ℎ 𝑖𝑖 pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 𝑑𝑑 𝑁𝑁 = 0      pada 𝐑𝐑 0 𝑁𝑁 ⎭ ⎪ ⎬ ⎪ ⎫ (13)
dengan 𝑗𝑗 =  1, . . . , 𝑁𝑁 − 1 . Untuk membuktikan Teorema 2 cukup dengan membuktikan Teorema 3 berikut.
Untuk fungsi ruas kanan 𝑮𝑮 = ( 𝑔𝑔 , ℎ 1 , … , ℎ 𝑁𝑁−1 ) pada Sistem (13), definisikan ruang
𝓎𝓎 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + N ) = 𝑊𝑊 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + N ) × 𝑊𝑊 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + N ) 𝑁𝑁−1 .
Kemudian definisikan
𝑌𝑌 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + N ) = 𝐿𝐿 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + N ) 𝑧𝑧 , 𝑧𝑧 = ( 𝑁𝑁 2 + 𝑁𝑁 + 1) + ( 𝑁𝑁 − 1)( 𝑁𝑁 + 1), 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 = ��∇ 2 𝑔𝑔 , 𝜆𝜆 1 2 ∇ 𝑔𝑔 , 𝜆𝜆 𝑔𝑔� , ( ∇ ℎ 1 , ⋯ ∇ ℎ 𝑁𝑁−1 ), � 𝜆𝜆 1 2 ℎ 1 , ⋯ 𝜆𝜆 1
2 ℎ 𝑁𝑁−1 �� ∈ 𝑌𝑌 𝑝𝑝 2 ( 𝐑𝐑 + N ).
Teorema 3. Misalkan 𝑝𝑝 ∈ (1, ∞ ) dan asumsikan bahwa 𝜇𝜇 , 𝜈𝜈 dan 𝜅𝜅 adalah konstanta positif yang memenuhi � 𝜇𝜇+𝜈𝜈 2𝜅𝜅 � 2 − � 1 𝜅𝜅 � > 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 , 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 , maka untuk setiap 𝜆𝜆 ∈ 𝐂𝐂 + terdapat operator 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) dan ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) dengan,
𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ �𝑌𝑌 𝑞𝑞 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 3 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) �� , ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) ∈ Hol �𝐂𝐂 + , ℒ�𝑌𝑌 𝑞𝑞 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ), 𝑊𝑊 𝑞𝑞 2 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) 𝑁𝑁 �� ,
sehingga untuk setiap 𝑮𝑮 = ( 𝑔𝑔 , ℎ 1 … ℎ 𝑁𝑁−1 ) ∈ 𝓎𝓎 𝑝𝑝 ( 𝐑𝐑 + 𝑵𝑵 ) , ( 𝜌𝜌 , 𝐯𝐯 ) = ( 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝐆𝐆 , ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝐆𝐆 ) adalah operator solusi dari Persamaan (13) .

## Bukti
Sebelumnya diperkenalkan definisi dari transformasi Fourier parsial berikut. Diberikan fungsi 𝑢𝑢 terdefinisi pada 𝐑𝐑 𝑁𝑁 . Maka transformasi Fourier parsial dan invers transformasi Fourier parsial dari 𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) secara berturut-turut ditulis:
𝑢𝑢� = 𝑢𝑢� ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )   = 𝑢𝑢� ( 𝜉𝜉′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )   = � 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑥𝑥 ′ ⋅𝜉𝜉 ′ 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥′ 𝑅𝑅 𝑁𝑁−1
ℱ 𝜉𝜉 ′ −1 [ 𝑢𝑢� ( 𝜉𝜉 ′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )]( 𝑥𝑥 ′ ) = 1 (2 𝜋𝜋 ) 𝑁𝑁−1 � 𝑒𝑒 −𝑖𝑖𝑥𝑥 ′ . 𝜉𝜉 ′ 𝑢𝑢 ( 𝑥𝑥′ , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) 𝑑𝑑𝑥𝑥′ 𝑅𝑅 𝑁𝑁−1 dengan 𝑥𝑥 ′ = ( 𝑥𝑥 1 , … , 𝑥𝑥 𝑁𝑁−1 ) dan 𝜉𝜉 ′ = 𝜉𝜉 1 , … , 𝜉𝜉 𝑁𝑁 ).
Misalkan div 𝐯𝐯 = 𝜓𝜓 , lalu laukan transformasi Fourier parsial ke Sistem Persamaan (13) sehingga diperoleh sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut,
𝜆𝜆 𝜌𝜌� + 𝜓𝜓� = 0, 𝑥𝑥 𝑁𝑁 >  0 (14)
𝜆𝜆𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝜇𝜇 � ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ) − | 𝜉𝜉 | 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝜓𝜓� − 𝜅𝜅𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 � ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ) − | 𝜉𝜉 ′ | 2 �𝜌𝜌� = 0, 𝑥𝑥 𝑁𝑁 > 0 (15)
𝜆𝜆𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜇𝜇 � ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ) − | 𝜉𝜉 | 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜓𝜓� − 𝜅𝜅𝜕𝜕 𝑁𝑁 � ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ) − | 𝜉𝜉 ′ | 2 �𝜌𝜌� = 0, 𝑥𝑥 𝑁𝑁 > 0 (16)
dengan syarat batas sebagai berikut,
𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜌𝜌� (0) = − 𝑔𝑔� (0) (17)
𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 (0) + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 (0)   = ℎ� 𝑖𝑖 (0) (18)
𝑑𝑑� 𝑁𝑁 (0)   =  0 (19)
dengan,
𝜓𝜓� = ∑ 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 . 𝑁𝑁−1 𝑖𝑖=1 (20)
Substitusi Persamaan (14) ke Persamaan (15) dan (16) sehingga diperoleh
𝜆𝜆 2 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝜆𝜆𝜇𝜇 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜈𝜈𝜆𝜆 − 𝜅𝜅 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �𝜓𝜓� = 0 (21)
𝜆𝜆 2 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜆𝜆𝜇𝜇 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜆𝜆𝑑𝑑 − 𝜅𝜅 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �𝜓𝜓� = 0 (22) dan ke Persamaan (17) sehingga diperoleh,
200 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip
di Half-Space
𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜓𝜓� (0) = 𝜆𝜆𝑔𝑔� (0). (23)
Misalkan 𝑃𝑃 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) didefinisikan sebagai berikut,
𝑃𝑃 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜆𝜆 2 − 𝜆𝜆 ( 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 )( 𝑡𝑡 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) 2 + 𝜅𝜅 ( 𝑡𝑡 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) (24)
Dengan demikian diperoleh bentuk sistem persamaan diferensial biasa sebagai berikut,
𝑃𝑃 𝜆𝜆 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ) 𝜓𝜓� = 0 , 𝑥𝑥 𝑁𝑁 > 0 (25) �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑃𝑃 𝜆𝜆 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ) 𝑑𝑑� 𝐽𝐽 = 0, 𝑥𝑥 𝑁𝑁 > 0, untuk 𝐽𝐽 = 1, … , 𝑁𝑁 (26)
dengan
ω λ = � | ξ ′ | 2 + λ μ .
Misalkan 𝜇𝜇 , 𝜈𝜈 and 𝜅𝜅 adalah konstanta positif. Definisikan polinomial 𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠 ) sebagai
𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠 ) = 𝑠𝑠 2 − 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 𝜅𝜅 𝑠𝑠 + 1 𝜅𝜅 ,
maka diperoleh akar dari 𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠 )
𝑠𝑠 ∓ = � 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 ∓ �𝜂𝜂 , 𝜂𝜂 ≥ 0 𝜇𝜇 + 𝜈𝜈 2 𝜅𝜅 ∓ 𝑑𝑑�𝜂𝜂 , 𝜂𝜂 < 0
dengan 𝑑𝑑 = √− 1 dan 𝜂𝜂 = � 𝜇𝜇+𝜈𝜈 2𝜅𝜅 � 2 − 1 𝜅𝜅 . Misalkan 𝑠𝑠 = 𝜆𝜆 −1 ( 𝑡𝑡 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) , maka Persamaan (24) dapat ditulis
𝑝𝑝 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 ) = 𝜅𝜅𝜆𝜆 2 𝑝𝑝 ( 𝑠𝑠 ).
Misalkan 𝑠𝑠 1 = 𝑠𝑠 − , 𝑠𝑠 2 = 𝑠𝑠 + , maka untuk 𝑗𝑗 = 1, 2
𝑡𝑡 𝑖𝑖 = ± � | 𝜉𝜉 ′ | 2 + 𝑠𝑠 𝑖𝑖 𝜆𝜆
adalah akar dari Persamaan (24) dengan ( 𝜉𝜉 ′ , 𝜆𝜆 ) ∈ 𝐑𝐑 𝑁𝑁−1 × 𝐂𝐂 + . Pada kasus koefisien 𝜂𝜂 > 0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 untuk 𝜇𝜇 ≠ 𝜈𝜈 , diperoleh ( 𝑠𝑠 1 , 𝑠𝑠 2 ) = ( 𝜇𝜇 −1 , 𝜈𝜈 −1 ) . Dengan demikian diperoleh akar karakteristik untuk untuk Persamaan (25) dan (26) adalah 𝑡𝑡 1 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 = � | 𝜉𝜉 ′ | 2 + 𝜇𝜇 −1 𝜆𝜆 dan 𝑡𝑡 2 = � | 𝜉𝜉 ′ | 2 + 𝜈𝜈 −1 𝜆𝜆 . Dengan demikian, solusi umum persamaan karakteristik dari Persamaan (25) dan (26) sebagai berikut,
𝜓𝜓� = 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 , (27) 𝑑𝑑� 𝐽𝐽 = 𝛼𝛼 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝐽𝐽 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝐽𝐽 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) (28)
Berdasarkan Persamaan (20) diperoleh,
𝜎𝜎 = 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛼𝛼 ′ − 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛾𝛾′ − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛼𝛼 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛾𝛾 𝑁𝑁 , (29) 𝜏𝜏 = 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛾𝛾′ − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 (30)

## 201
0 = 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛽𝛽′ − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑁𝑁 (31)
dengan 𝑑𝑑𝜉𝜉′ ⋅ 𝛼𝛼′ = ∑ 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑎𝑎 𝑖𝑖 𝑁𝑁−1 𝑖𝑖=1 untuk 𝑎𝑎′ ∈ { 𝛼𝛼′ , 𝛽𝛽′ , 𝛾𝛾′ } .
Selanjutnya, substitusikan 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 pada Persamaan (21) menjadi sebagai berikut,
𝜆𝜆𝜇𝜇 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜆𝜆𝜈𝜈 − 𝜇𝜇𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �𝜓𝜓 = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝜈𝜈 − 𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) � 𝜓𝜓� = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝑑𝑑 � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 − ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �� 𝜓𝜓�
Karena ω λ = � | ξ ′ | 2 + λ μ , maka ω λ 2 = | ξ ′ | 2 + λ μ . Dengan demikian diperoleh persamaan 𝜆𝜆𝜇𝜇 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 + 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜆𝜆𝜈𝜈 − 𝜇𝜇𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �𝜓𝜓� = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜓𝜓� (32)
Kemudian, subtitusikan 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 terhadap Persamaan (32) sehingga diperoleh persamaan berikut, 𝜆𝜆𝜇𝜇 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜆𝜆𝜈𝜈 − 𝜇𝜇𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) � 𝜓𝜓� = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 𝜈𝜈 − 𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) � 𝜓𝜓� = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝑑𝑑 � 𝜆𝜆 𝜇𝜇 − ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �� 𝜓𝜓�
Dengan menggunakan fakta bahwa ω λ = � | ξ ′ | 2 + λ μ , maka diperoleh ω λ 2 = | ξ ′ | 2 + λ μ . Dengan demikian diperoleh persamaan berikut
𝜆𝜆𝜇𝜇 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜆𝜆𝜈𝜈 − 𝜇𝜇𝜈𝜈 ( 𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − | 𝜉𝜉 ′ | 2 ) �𝜓𝜓� = 𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜓𝜓� . (33)
Berdasarkan Persamaan (32) dan (33), maka Persamaan (21) dan (22) dapat ditulis sebagai berikut,
𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜓𝜓� = 0                                          (34)
𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝑑𝑑� 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜓𝜓� = 0                                         (35) Selanjutnya, substitusi Persamaan (27) dan (28) terhadap Persamaan (34) sebagai berikut,
𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 ��𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑖𝑖 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � −𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � ( 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝜆𝜆𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 �𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑖𝑖 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � −𝜆𝜆𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑖𝑖 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 ( 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 ( 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) �
202 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
= 𝜆𝜆 ( 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 2 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝑡𝑡 2 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛼𝛼 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑡𝑡 2 2 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � = 𝜆𝜆� − 2 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + �𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 �𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = − 2 𝜆𝜆𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + ��𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 ��𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝜏𝜏�� ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 0 .                                (36) Subsitusi Persamaan (27) dan (28) terhadap Persamaan (35),
𝜆𝜆�𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � ( 𝛼𝛼 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑁𝑁 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )) −𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜕𝜕 𝑁𝑁 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � ( 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝜆𝜆 ( 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛼𝛼 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 2 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝑡𝑡 2 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛼𝛼 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) − 𝜈𝜈𝜕𝜕 𝑁𝑁 �𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑡𝑡 2 2 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � = 𝜆𝜆� − 2 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + �𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � − 𝜈𝜈�𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝜏𝜏𝑡𝑡 2 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = − 2 𝜆𝜆𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + ��𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � ( 𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝑡𝑡 2 𝜏𝜏 ) � ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 0 .                    (37) Dengan demikian, berdasarkan hasil perhitungan Persamaan (36) dan (37) diperoleh,
− 2 𝜆𝜆𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 0, �𝑡𝑡 2 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 ��𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝜏𝜏� = 0, (38)
− 2 𝜆𝜆𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛽𝛽 𝑁𝑁 = 0, �𝑡𝑡 2 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � ( 𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝑡𝑡 2 𝜏𝜏 ) = 0. (39)
Karena 𝑡𝑡 2 ≠ 𝜔𝜔 𝜆𝜆 maka berdasarkan  Persamaan (38) dan (39) diperoleh koefisien,
𝛽𝛽 𝐽𝐽 = 0 �𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑖𝑖 − 𝜈𝜈𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝜏𝜏� = 0, (40) ( 𝜆𝜆𝛾𝛾 𝑁𝑁 − 𝜈𝜈𝑡𝑡 2 𝜏𝜏 ) = 0 .                                                              (41) Berdasarkan Persamaan (40) dan (41) diperoleh
𝛾𝛾 𝑖𝑖 = − 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 .                                                                (42) Persamaan (42) dikali 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 , lalu jumlahkan untuk 𝑗𝑗 = 1 sampai 𝑗𝑗 = 𝑁𝑁 − 1 untuk mendapatkan
𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛾𝛾 ′ = �𝜉𝜉 ′ � 2 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 . (43)
Untuk mendapatkan nilai 𝜏𝜏 , substitusikan (43) terhadap (30) sehingga diperoleh sebagai berikut,
𝜏𝜏 = | 𝜉𝜉 ′ | 2 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁

## 203
= 1 𝑡𝑡 2 (| 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝑡𝑡 2 2 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁 (44)
karena 𝛽𝛽 𝐽𝐽 = 0 maka Persamaan (28) dapat ditulis dalam bentuk lain yaitu,
𝑑𝑑� 𝐽𝐽 = 𝛼𝛼 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝐽𝐽 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) (45)
dimana 𝐽𝐽 = 1, … , 𝑁𝑁 . Selanjutnya, substitusikan Persamaan (45) terhadap syarat batas pada Persamaan (19),
𝑑𝑑� 𝑁𝑁 (0) = 𝛼𝛼 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑁𝑁 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝛼𝛼 𝑁𝑁 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 0 + 𝛾𝛾 𝑁𝑁 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 0 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 0 ) = 𝛼𝛼 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝑁𝑁 − 𝛾𝛾 𝑁𝑁 = 𝛼𝛼 𝑁𝑁 , dan karena 𝑑𝑑� 𝑁𝑁 (0) = 0 maka
𝛼𝛼 𝑁𝑁 = 0.
Kemudian, turunkan 𝑑𝑑� 𝐽𝐽 pada Persamaan (45) terhadap 𝑥𝑥 𝑁𝑁 sehingga menjadi sebagai berikut,
𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝐽𝐽 = 𝛼𝛼 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝛾𝛾 𝐽𝐽 ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝛼𝛼 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝛾𝛾 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝛾𝛾 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛼𝛼 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛾𝛾 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝛾𝛾 𝐽𝐽 − 𝛼𝛼 𝐽𝐽 �𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝐽𝐽 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 . (46)
Ketika 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 0 , Persamaan (46) menjadi sebagai berikut,
𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝑑𝑑� 𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝛾𝛾 𝑖𝑖 − 𝛼𝛼 𝑖𝑖 �𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 0 − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 0 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝛾𝛾 𝑖𝑖 − 𝛼𝛼 𝑖𝑖 � − 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑖𝑖 (47)
dengan 𝑗𝑗 =  1, … , 𝑁𝑁 − 1 . Kemudian, substitusikan Persamaan (47) terhadap syarat batas Persamaan (18) sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut
𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛼𝛼 𝑖𝑖 + ( 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝛾𝛾 𝑖𝑖 = ℎ� 𝑖𝑖 (0). (48) Selanjutnya, substitusikan Persamaan (42) ke Persamaan (48) sehingga diperoleh
ℎ� 𝑖𝑖 (0) = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝛼𝛼 𝑖𝑖 − 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁
yang berakibat
𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 �ℎ� 𝑖𝑖 + 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁 � . (49)
Kalikan Persamanan (49) dengan 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 lalu jumlahkan untuk 𝑗𝑗 = 1 sampai 𝑗𝑗 = 𝑁𝑁 − 1 untuk mendapatkan
𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝛼𝛼 ′ = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 �𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − �𝜉𝜉 ′ � 2 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁 � .                               (50) Substitusi 𝛽𝛽 𝑁𝑁 = 0 , 𝛼𝛼 𝑁𝑁 = 0, Persamaan (43), dan Persamaan (50) terhadap Persamaan (29) sehingga diperoleh
204 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
𝜎𝜎 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 �𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − | 𝜉𝜉 ′ | 2 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁 � − | 𝜉𝜉 ′ | 2 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 + 𝜔𝜔 𝑁𝑁 𝛾𝛾 𝑁𝑁 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 � | 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑁𝑁 (51)
Selanjutnya, substitusikan Persamaan (27) ke syarat batas pada Persamaan (23) untuk mendapatkan
𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜓𝜓𝜓 = 𝜕𝜕 𝑁𝑁 ( 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )  = 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁
sehingga
𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) = 𝜕𝜕 𝑁𝑁 𝜓𝜓� (0) = −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 0 − 𝑡𝑡 2 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 0 = −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝜎𝜎 − 𝑡𝑡 2 𝜏𝜏 (52)
Kemudian, substitusikan Persamaan (51) dan (44) ke Persamaan (52) sehingga diperoleh
𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) = −𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 � | 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑁𝑁 � − 𝑡𝑡 2 � �𝜉𝜉 ′ � 2 −𝑡𝑡 2 2 𝑡𝑡 2 � 𝛾𝛾 𝑁𝑁 = −𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) + � | 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑁𝑁 − (| 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝑡𝑡 2 2 ) 𝛾𝛾 𝑁𝑁 = −𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) + �𝑡𝑡 2 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 �𝛾𝛾 𝑁𝑁 .
Akibatnya diperoleh
𝛾𝛾 𝑁𝑁 = − 1 �𝑡𝑡 2 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � . (53)
Selanjutnya, substitusikan koefisien 𝛾𝛾 𝑁𝑁 pada Persamaan (53) terhadap Persamaan (42), (44), (49),
(51) dimana dimisalkan | 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝑡𝑡 2 2 = −𝜆𝜆𝑠𝑠 2 dan | 𝜉𝜉 ′ | 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 = −𝜆𝜆𝑠𝑠 1 sehingga diperoleh
𝛾𝛾 𝑖𝑖 = − 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝑡𝑡 2 𝛾𝛾 𝑁𝑁 = 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝑡𝑡 2 �𝑡𝑡 2 2 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � (54)
𝜏𝜏 = 𝜆𝜆𝑠𝑠 2 𝑡𝑡 2 �𝑡𝑡 2 2 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � (55)
𝛼𝛼 𝑖𝑖 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 ℎ� 𝑖𝑖 (0) + 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � (56) 𝜎𝜎 = 𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − 𝜆𝜆𝑠𝑠 1 𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝑡𝑡 2 2 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 2 � �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � . (57)
Misalkan
ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) = 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑡𝑡 2 − 𝜔𝜔 𝜆𝜆 .
Perhatikan bahwa
𝜓𝜓� = 𝜎𝜎𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + 𝜏𝜏𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = −σ (e −t 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 − e −ω λ 𝑥𝑥 N ) + ( σ + τ )e −t 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 = 𝜓𝜓� 1 + 𝜓𝜓� 2 di mana
𝜓𝜓� 1 = � 𝜆𝜆 ( 𝑠𝑠 2 − 2 𝑠𝑠 1 ) 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) − 𝜆𝜆𝑠𝑠 1 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) � ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )
dan
𝜓𝜓� 2 = �𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) + 1 𝑠𝑠 2 − 𝑠𝑠 1 � ( − 1) 𝑙𝑙 � 𝑠𝑠 𝑙𝑙 𝑡𝑡 𝑙𝑙 � �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � 2 𝑙𝑙=1
� ( 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 )
Karena 𝜌𝜌� = − 𝜓𝜓� 𝜆𝜆 , maka diperoleh
𝜌𝜌� = − ( 𝑠𝑠 2 − 2 𝑠𝑠 1 ) ∑ � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) ℎ� 𝑛𝑛 (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � + � 𝑠𝑠 1 𝜆𝜆 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝑔𝑔� (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1
− ∑ � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝜆𝜆 ℎ� 𝑛𝑛 (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � + 1 𝑠𝑠 2 −𝑠𝑠 1 ∑ ( − 1) 𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝑙𝑙 �� 1 𝑡𝑡 𝑙𝑙 � 𝑔𝑔� (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � 2 𝑙𝑙=1 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1
+ ∑ ∑ ( − 1) 𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝑙𝑙 �� 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑙𝑙 � ℎ� 𝑛𝑛 (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1 2 𝑙𝑙=1 (58)
Substitusi koefisien 𝛼𝛼 𝑖𝑖 , 𝛾𝛾 𝑖𝑖 pada Persamaan (54) dan (56) serta 𝛽𝛽 𝑖𝑖 = 0 ke Persamaan (28) sehingga diperoleh,
𝑑𝑑� 𝑖𝑖 = �𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 ℎ� 𝑖𝑖 (0) + 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) �� 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 + � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) �� ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) (59)
dimana 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁 − 1 . Selanjutnya, substitusikan koefisien 𝛼𝛼 𝑁𝑁 = 0 , 𝛽𝛽 𝑁𝑁 = 0 dan 𝛾𝛾 𝑁𝑁 pada Persamaan (53) ke Persamaan (28) sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut,
𝑑𝑑� 𝑁𝑁 = − � 1 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) �� ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) (60)
Dengan demikian diperoleh solusi operator solusi 𝜌𝜌 = 𝜌𝜌 1 + 𝜌𝜌 2 , 𝑑𝑑 𝑖𝑖 dan 𝑑𝑑 𝑁𝑁 dengan melakukan invers transfromasi Fourier parsial terhadap Persamaan (58), (59) dan (60) sehingga diperoleh,
𝜌𝜌 = − ( 𝑠𝑠 2 − 2 𝑠𝑠 1 ) ∑ ℱ −1 � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) ℎ� 𝑛𝑛 (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1 + 𝑠𝑠 1 ℱ −1 � 𝜆𝜆 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝑔𝑔� (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) − � ℱ −1 � 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝜆𝜆 ℎ � 𝑛𝑛 (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1
+ 1 𝑠𝑠 2 − 𝑠𝑠 1 � ( − 1) 𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ℱ −1 �� 1 𝑡𝑡 𝑙𝑙 � 𝑔𝑔� (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � 2 𝑙𝑙=1 ( 𝑥𝑥 ′ ) + � � ( − 1) 𝑙𝑙 𝑠𝑠 𝑙𝑙 ℱ −1 �� 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝑡𝑡 𝑙𝑙 � ℎ� 𝑛𝑛 (0) 𝑒𝑒 −𝑡𝑡 2 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1 2 𝑙𝑙=1 = : 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮
𝑑𝑑 𝑖𝑖 = ℱ −1 �𝜔𝜔 𝜆𝜆 −1 ℎ� 𝑖𝑖 (0) 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � ( 𝑥𝑥 ′ ) + ℱ −1 � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑗𝑗 𝜆𝜆 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) 𝑔𝑔� (0) 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � ( 𝑥𝑥 ′ )
206 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip
di Half-Space
+ � ℱ −1 � 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) ℎ� 𝑛𝑛 (0) 𝑒𝑒 −𝜔𝜔 𝜆𝜆 𝑥𝑥 𝑁𝑁 � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1
+ ℱ −1 � 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝜆𝜆 �𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) � 𝑔𝑔� (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) + � ℱ −1 � 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑖𝑖 𝑑𝑑𝜉𝜉 𝑛𝑛 �𝑡𝑡 2 ( 𝑡𝑡 2 + 𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) � ℎ� 𝑛𝑛 (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1 =: ℬ 𝑖𝑖 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 , ( 𝑗𝑗 = 1, … , 𝑁𝑁 − 1 )
𝑑𝑑 𝑁𝑁 = −ℱ −1 � 1 ( 𝑡𝑡 2 +𝜔𝜔 𝜆𝜆 ) �𝜆𝜆𝑔𝑔� (0) + 𝑑𝑑𝜉𝜉 ′ ⋅ 𝒉𝒉� ′ (0) � ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) = −ℱ −1 � 𝜆𝜆 𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 1 𝑔𝑔� (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) − ∑ ℱ −1 � 𝑖𝑖𝜉𝜉 𝑛𝑛 𝑡𝑡 2 +𝑡𝑡 1 ℎ� 𝑛𝑛 (0) ℳ ( 𝑥𝑥 𝑁𝑁 ) � ( 𝑥𝑥 ′ ) 𝑁𝑁−1 𝑛𝑛=1
= : ℬ 𝑁𝑁 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 .
Misalkan,
ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) = �ℬ 1 2 ( 𝜆𝜆 ), ℬ 2 2 ( 𝜆𝜆 ), … , ℬ 𝑁𝑁 2 ( 𝜆𝜆 ) � ⊤
maka operator solusi ( 𝜌𝜌 , 𝐯𝐯 ) dapat ditulis sebagai berikut,
( 𝜌𝜌 , 𝐯𝐯 ) = ( 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 , ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 )
Dengan demikian, diperoleh operator solusi ( 𝜌𝜌 , 𝐯𝐯 ) = ( 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 , ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 ) dari Sistem Persamaan Homogen (13) di half-space ( 𝐑𝐑 + N ) . Dengan demikian maka Teorema (3) terbukti.

## 3.3 Bukti Teorema 2
Perhatikan kembali Persamaaan (11), maka diperoleh  operator solusi di half-space ( 𝐑𝐑 + N ) sebagai berikut,
𝜌𝜌 = 𝜆𝜆 + 𝜌𝜌� = 𝒜𝒜 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝑭𝑭 𝟎𝟎 + 𝒜𝒜 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 = 𝒜𝒜 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝑭𝑭 𝟏𝟏
dan
𝐮𝐮 = 𝑽𝑽 + 𝐯𝐯� = ℬ 1 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝑭𝑭 𝟎𝟎 + ℬ 2 ( 𝜆𝜆 ) 𝒢𝒢 𝜆𝜆 𝑮𝑮 = ℬ 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝑭𝑭 𝟏𝟏
maka operator solusi ( 𝜌𝜌 , 𝐮𝐮 ) sistem (3) dapat ditulis sebagai berikut
( 𝜌𝜌 , 𝐮𝐮 ) = �𝒜𝒜 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟏𝟏 , ℬ 0 ( 𝜆𝜆 ) ℱ 𝜆𝜆 0 𝐅𝐅 𝟏𝟏 �
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa Sistem Persamaan (3), untuk  kasus koefisien � 𝜇𝜇+𝜈𝜈 2𝜅𝜅 � 2 − 1 𝜅𝜅 >  0, 𝜅𝜅 = 𝜇𝜇𝜈𝜈 , memiliki operator solusi di half-space ( 𝐑𝐑 + 𝑁𝑁 ) . Dengan demikian, Teorema (2) Terbukti. ∎

## 4 Ucapan Terima Kasih
Penelitian ini didanai oleh Pusat Penelitian dan Penerbitan (PUSLITPEN) UIN Syarif Hidayatullah Jakarta tahun fiskal 2022 nomor UN.01/KPA/223/2022.

## 5  Daftar Pustaka
[1]  H. Freistühler and M. Kotschote, “Phase-Field and Korteweg-Type Models for the Time- Dependent Flow of Compressible Two-Phase Fluids,” Arch. Ration. Mech. Anal. , vol. 224, no. 1, 2017, doi: 10.1007/s00205-016-1065-0.
[2]  M. Kotschote, “Strong well-posedness for a korteweg-type model for the dynamics of a compressible non-isothermal fluid,” J. Math. Fluid Mech. , vol. 12, no. 4, 2010, doi: 10.1007/s00021-009-0298-1.
[3]  M. Kotschote, “Existence and time-asymptotics of global strong solutions to dynamic korteweg models,” Indiana Univ. Math. J. , vol. 63, no. 1, 2014, doi:
10.1512/iumj.2014.63.5187.
[4]  B. Haspot, “Existence of global weak solution for compressible fluid models of Korteweg type,” J. Math. Fluid Mech. , vol. 13, no. 2, 2011, doi: 10.1007/s00021-009-0013-2.
[5]  D. Bian, L. Yao, and C. Zhu, “Vanishing capillarity limit of the compressible fluid models of korteweg type to the navier-stokes equations,” SIAM J. Math. Anal. , vol. 46, no. 2, 2014, doi: 10.1137/130942231.
[6]  M. Kotschote, “Strong solutions for a compressible fluid model of Korteweg type,” Ann. l’I.H.P. Anal. non linéaire , vol. 25, no. 4, pp. 679–696, 2008, doi:
10.1016/j.anihpc.2007.03.005.
[7]  H. Saito, “Compressible Fluid Model of Korteweg Type with Free Boundary Condition: Model Problem,” Funkc. Ekvacioj , vol. 62, no. 3, pp. 337–386, 2019, doi:
10.1619/fesi.62.337.
[8]  H. Saito, “Existence of $\mathcal{R}$-bounded solution operator families for a compressible fluid model of Korteweg type on the half-space,” Math. Methods Appl. Sci. ,
vol. 44, no. 2, pp. 1744–1787, Jan. 2021, doi: https://doi.org/10.1002/mma.6875.
[9]  S. Inna, S. Maryani, and H. Saito, “Half-space model problem for a compressible fluid
208 Operator Solusi Model Fluida Termampatkan Tipe Korteweg Dengan Kondisi Batas Slip di Half-Space
model of Korteweg type with slip boundary condition,” J. Phys. Conf. Ser. , vol. 1494, no.
1, p. 012014, 2020, doi: 10.1088/1742-6596/1494/1/012014.
[10]  S. Inna and H. Saito, “Local Solvability for a Compressible Fluid Model of Korteweg Type on General Domains,” Mathematics , vol. 11, no. 10, May 2023, doi:
10.3390/math11102368.