RESONANSI BRAGG PADA ALIRAN AIR AKIBAT DINDING SINUSOIDAL DI SEKITAR MUARA SUNGAI

## Viska Noviantri
Jurusan Matematika dan Statistik, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Bina Nusantara Jln. K.H. Syahdan No. 9, Palmerah, Jakarta Barat 11480 viskanoviantri@binu.ac.id

## ABSTRACT
Basically, the water wave (wave) that passes through uneven base will have a solution to the wave transmission and reflection. It has been found also that the sinusoidal basis with certain conditions can cause the Bragg resonance. This paper will show that the wave propagation through the wall of river water can also cause sinusoidal Bragg resonance. Bragg resonance will occur if the sinusoidal wall of the wave number twice the number of incoming waves. Both analytically and numerically, the river wall with amplitude sinusoidal small amplitude can be reduced significantly due to the Bragg resonance. More specifically, the situation would be different if we consider the river mouth in the form of a hard wall of the dam. The existence of the hard wall of the dam at the mouth of the river it can cause the amplitude of the waves crashing against the transmission of large dams increased many-fold.
Keywords: Bragg resonance, sinusoidal wall, multi-scale asymptotic expansion

## ABSTRAK
Pada  dasarnya,  gelombang air (gelombang datang) yang melewati dasar tak rata akan mengalami pemecahan menjadi gelombang  transmisi  dan refleksi. Telah diketahui  juga  bahwa dasar sinusoidal dengan kondisi tertentu  dapat menyebabkan terjadinya resonansi  Bragg. Paper ini akan menunjukkan  bahwa  perambatan gelombang air  yang melewati dinding sungai sinusoidal juga dapat menimbulkan resonansi Bragg. Resonansi  Bragg akan terjadi jika bilangan gelombang dinding sinusoidal sebesar dua kali  lipat bilangan gelombang datang. Baik secara  analitik maupun numerik, dinding sungai  sinusoidal dengan amplitudo  yang kecil dapat  mereduksi amplitudo gelombang datang secara signifikan akibat  adanya resonansi Bragg. Lebih khusus lagi, situasi akan berbeda  jika kita tinjau muara  sungai yang berupa bendungan hard wall. Adanya bendungan hard wall  di  muara sungai  ternyata  dapat  menyebabkan amplitudo gelombang transmisi yang  menabrak bendungan bertambah besar sekian kali lipat.
Kata kunci: resonansi Bragg, dinding sinusoidal, ekspansi asimtotik multi skala

## PENDAHULUAN
Gelombang air laut dengan amplitudo yang besar dapat menimbulkan kerusakan pantai dan untuk mengurangi kerugian akibat terjangan gelombang tersebut adalah dengan membuat tembok laut. Pembuatan tembok laut sebagai pemecah gelombang tentu saja membutuhkan biaya yang tidak sedikit. Pemikiran berlanjut pada pemecah gelombang alami, yaitu memanfaatkan bentuk dasar laut tak rata. Pada prinsipnya setiap gelombang yang melewati  dasar dengan kedalaman berbeda akan terpecah menjadi dua bagian, yaitu gelombang transmisi dan re fl eksi (Hirose dan Karl, 1985).
Dalam kasus dasar sinusoidal, perpecahan gelombang ini terjadi berulang-ulang tak berhingga kali. Bentuk dasar laut tak rata yang berupa sinusoidal melalui pendekatan linier sudah pernah dikaji terlebih dahulu oleh Viska (2007). Kajian tak linier dari masalah ini dapat diperoleh dari Yu Jie dan C.C Mei (2000). Dapat ditunjukkan bahwa hasil dari pendekatan linier ini serupa dengan kajian tak liniernya, yaitu bila panjang gelombang permukaan dua kali lipat panjang gelombang dasar sinusoidal, akan muncul gejala resonansi Bragg: Amplitudo dasar sinusoidal yang relatif kecil akan memecah gelombang datang menjadi gelombang re fl eksi dengan  amplitudo yang relatif  besar  dan gelombang transmisi dengan  amplitudo yang relatif kecil.
Berdasarkan hasil penelitian terdahulu, penulis  tertarik untuk membahas kajian  linier  dari perambatan gelombang air yang melewati dasar rata tetapi dindingnya berbentuk sinusoidal. Apakah hal yang sama akan terjadi? Berbeda dengan penelitian terdahulu, pengkajian pengaruh dinding sinusoidal bukan ditinjau melalui amplitudo gelombang simpangan air melainkan melalui amplitudo dari fungsi kecepatan potensial partikel fl uida di permukaan air yang selanjutnya disebut amplitudo gelombang saja. Hasil pengkajian memberikan hasil yang serupa, yaitu dinding sinusoidal dapat menyebabkan terjadinya resonansi Bragg jika bilangan gelombang dinding sinusoidal sebesar dua kali lipat bilangan gelombang datang.
Pengkajian ini melibatkan aspek fi sika dalam menganalisa arti fi sis dari persamaan- persamaan yang digunakan. Untuk menyederhanakan pembahasan, maka pengkajian ini hanya akan membahas gelombang datang yang berupa gelombang monokromatik. Penulis menggunakan persamaan yang diturunkan oleh Kirby (Philip dan Liu, 1986) untuk memperoleh solusi gelombang pada dinding sinusoidal. Solusi ini diselesaikan dengan menggunakan metode ekspansi asimtotik multi skala. Besarnya amplitudo gelombang transmisi yang menuju bendungan dapat dilihat melalui penyelesaian baik secara analitik maupun numerik.
Perambatan air akan menjadi menarik  jika kita membahas  aliran  sungai yang sudah  dekat dengan muara sungai atau bendungan. Besarnya amplitudo gelombang transmisi yang menabrak dinding bendungan juga dipengaruhi oleh karakteristik dinding bendungan. Karakteristik bendungan yang dimaksud adalah kemampuan bendungan dalam menyerap atau memantulkan gelombang datang. Paduan antara besarnya amplitudo dinding sinusoidal dengan karakteristik bendungan yang berbeda akan memberikan efek yang berbeda pula pada besarnya amplitudo gelombang transmisi yang menabrak bendungan. Paper  ini hanya  akan mengkaji  kasus ekstrim  dari  karakteristik muara sungai, yaitu  muara  sungai yang dapat menyerap  dan memantulkan gelombang secara sempurna.

## METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode deskriptif melalui studi literatur. Namun hal ini ditunjang dengan memberikan hasil penelitian berupa solusi analitik dan numerik. Kesesuaian antara solusi analitik dan numerik dapat memberikan penjelasan yang lebih spesifik mengenai hasil penelitian yang diperoleh.
Solusi analitik dan numerik yang diperoleh merupakan hasil simulasi dari data-data yang digunakan. Data yang digunakan dalam penelitian ini diperoleh dari percobaan laboratorium yang dilakukan oleh seseorang bernama Heatershaw pada tahun 1982 dan digunakan oleh peneliti sebelumnya (C.C. Mei, 2004). Data ini merupakan data percobaan mengenai perambatan gelombang air di atas dasar berbentuk sinusoidal. Data ini meliputi berbagai kombinasi nilai perbandingan antara amplitudo dasar laut sinusoidal dengan kedalaman air ketika dasar rata, panjang dasar sinusoidal, bilangan gelombang datang dan bilangan gelombang dasar sinusoidal, dan amplitudo gelombang permukaan air yang datang. Walaupun data-data tersebut mengenai dasar sinusoidal, namun penulis menerapkannya untuk hal yang serupa yaitu dinding sinusoidal.

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Persamaan Gelombang untuk Dinding Sinusoidal
Aliran sungai                                           Aliran sungai
Tipe 1 Tipe 2
Gambar 1  Dua  Tipe  Dinding Sungai  Sinusoidal Dilihat dari  Atas
Dinding sungai berbentuk sinusoidal adalah bentuk dinding tak rata yang berupa fungsi sinus atau cosinus. Dinding sungai berbentuk sinusoidal ini biasanya terdiri dari beberapa lengkungan. Lengkungan ini sama bentuknya seperti gundukan pada dasar laut sinusoidal. Terdapat dua tipe bentuk dinding sungai sinusoidal. Kedua tipe bentuk dinding sinusoidal dapat dilihat pada Gambar 1.
Perhatikan Gambar 2. Misalkan  bentuk  dinding  sungai sinusoidal  diberikan  oleh fungsi berikut:
dengan a setengah kali lebar sungai dalam keadaan dinding sungai rata, a ε G menyatakan amplitudo lengkungan dinding sinusoidal, dan K menyatakan  bilangan gelombang dinding sinusoidal. Parameter ε G tak berdimensi  yang menyatakan perbandingan antara  amplitudo simpangan dinding  sinusoidal dengan setengah lebar sungai ketika dindingnya  rata, a . Lebar sungai dinyatakan oleh:
Gambar 2  Skema  Dinding Sinusoidal Dilihat dari  Atas
Dengan memisalkan dinding sungai berupa batas kaku,  maka syarat batas yang berlaku sepanjang sungai  adalah:
Kirby  (Philip dan Liu, 1986) menunjukkan bahwa untuk masalah ini berlaku persamaan berikut:
dengan adalah fungsi  satu peubah yang merepresentasikan  topografi dasar sungai. Asumsikan dasar sungai rata, . Kemudian  integralkan  (6) dari y = a l ( x ) sampai y = a 2 ( x ) dan  terapkan formula Leibniz  serta gunakan  syarat batas pada (4)  dan (5)  sehingga diperoleh  persamaan gelombang satu dimensi  pada dasar sungai  rata sebagai  berikut:
Perhatikan  (7). Untuk dinding sinusoidal tipe  1 (lihat  Gambar 1),  diketahui bahwa b ( x ) adalah  konstan sehingga persamaan  (7)  dapat disederhanakan menjadi  persamaan  gelombang satu  dimensi yang memiliki solusi d’Alembert (Strauss, 1992). Oleh karena itu,  dinding  sinusoidal tipe 1 tidak akan  dibahas pada makalah  ini.
Perhatikan  bahwa untuk dinding sinusoidal tipe 2, b ( x )  diberikan oleh (3) sehingga persamaan  gelombang  satu dimensi  pada dasar sungai rata yang memiliki dinding sinusoidal dapat dituliskan secara eksplisit  sebagai berikut:
dengan menyatakan kecepatan potensial partikel fl uida yang ada di permukaan sungai.
Kemudian, terapkan metode ekspansi asimtotik  multi skala (Holmes, 1995) untuk memperoleh solusi persamaan (8). Mula - mula akan diperkenalkan variabel ’cepat’ dan ’lambat’, yang dapat dituliskan secara berturut-turut sebagai berikut:
sehingga  turunan parsialnya menjadi:
Ekspansi asimtotik   untuk diberikan  oleh:
Substitusikan  (9), (10) dan (11) ke  dalam (8) sehingga diperoleh suku-suku yang berorde O (1) sebagai  berikut:
yang memiliki solusi sebagai berikut:
Perhatikan bahwa dan secara berturut-turut merupakan envelope bagi komponen    yang menjalar ke kanan dan  ke kiri.
Untuk K = 2 k , maka  persamaan yang memiliki O ( ε ) adalah
Untuk menghindari  resonansi yang tidak terbatas  dan untuk menjamin  adanya  solusi bagi ,  maka koefisien-koefisien exp(±(kx- ω t)) dan  exp(±(kx- ω t))  pada ruas  kanan (15)  harus dibuat nol sehingga diperoleh sebagai berikut:
Seperti pada dasar sinusoidal, pada kasus dinding sinusoidal juga dapat diperoleh persamaan Klein-Gordon sebagai berikut:
dengan
yang memiliki dimensi (satuan) frekuensi.
Bayangkan suatu gelombang monokromatik  dengan amplitudo A 0 dan bilangan gelombang k datang  dari sebelah kiri daerah sinusoidal dengan bilangan gelombang K di mana K dan k memenuhi hubungan K = 2k. Misalkan daerah dinding sinusoidal terletak pada 0 < x < L, maka di sebelah kiri dasar sinusoidal, yaitu ketika x < 0, gelombang yang merambat ke  kanan dan ke kiri  tidak saling berinteraksi.  Pada daerah ini, gelombang A dan B bergerak mengikuti persamaan  transport. Pada awal pengamatan t ¯  =  0, gelombang monokromatik diasumsikan baru  mencapai x ¯  = 0 sehingga pada daerah dinding sinusoidal belum ada gelombang sama sekali. Dengan demikian, diperoleh syarat awal A ( x ¯ , 0)  = 0 dan B ( x ¯ , 0)  = 0.  Pada batas kiri x ¯  = 0, gelombang  yang  merambat  ke kanan hanya berasal dari gelombang datang  sehingga diperoleh syarat  batas kiri A (0 , t ¯) = A 0 .
Saat gelombang melewati dasar sinusoidal yang panjangnya L , yaitu pada  daerah 0 < x ¯ < L ¯ ,  maka  akan terjadi resonansi Bragg. Interaksi antara  gelombang  transmisi  dan re fl eksi ini digambarkan melalui sistem persamaan  (16) dan (17). Asumsikan bahwa di  sebelah kanan daerah sinusoidal  terdapat  muara sungai yang dapat  menyerap semua gelombang sehingga gelombang akan terus merambat  ke kanan tanpa ada gangguan sehingga pada daerah  ini  tidak ada gelombang re fl eksi ke kiri. Berdasarkan asumsi ini,  maka  diperoleh  syarat batas kanan B ( L ¯ , t ¯) = 0.
Pada domain 0 < x ¯ < L ¯ , dimisalkan  solusinya berbentuk:
dengan T ( x ¯)  menyatakan  koefisien  transmisi  dan R ( x ¯)  menyatakan  koefisien re fl eksi. Substitusikan kedua solusi tersebut  ke dalam  persamaan  Klein  Gordon (18) untuk memperoleh persamaan  diferensial dalam fungsi T ( x ¯) dan R ( x ¯). Penyelesaian persamaan diferensial dengan menggunakan syarat awal dan ssyarat batas yang ada akan memberikan solusi analitik berupa koefisien transmisi dan refleksi untuk  kasus  resonansi  sempurna.  Koefisien transmisi dan re fl eksi secara  berturut-turut adalah sebagai  berikut:
Gambar 3  Grafik R ( x ) dan T ( x ) pada Dinding Sinusoidal untuk L = 10, K = 2 k = 2 π .
Gambar 3 menunjukkan  hasil  simulasi  secara analitik dan numerik untuk beberapa  nilai perbandingan  antara amplitudo dinding sinusoidal dengan lebar sungai ( ε G ). Kurva putus-putus dan  kurva mulus  secara berturut-turut  merepresentasikan T dan R . Kurva T dan R tersebut diplot untuk ε G = 0.08, 0.1, 0.12, dan 0.14. Nilai T (10) yang lebih besar adalah untuk ε G yang lebih kecil, sedangkan nilai R (0) yang  lebih  besar  adalah untuk ε G yang lebih besar.

## Pengaruh Muara Sungai pada Resonansi
Jika kita menganalogikan muara sungai seperti pantai yang memiliki kemampuan untuk menyerap atau memantulkan gelombang datang, maka kita akan menemui berbagai karakteristik muara sungai. Muara sungai yang terdiri dari pasir atau tanah memiliki kemampuan menyerap gelombang yang cukup besar (daya pantulnya kecil), sedangkan muara sungai yang terdiri dari batu- batu keras (hard wall) dapat memantulkan gelombang secara sempurna. Selain material penyusun muara sungai, bentuk muara juga mempengaruhi besarnya pemantulan gelombang. Pada kenyataannya, tidak ada pantai yang memantulkan atau menyerap gelombang secara sempurna. Di sini, akan dibahas dua tipe muara, yaitu muara yang dapat menyerap dan memantulkan gelombang secara sempurna.
Jika A dan B berturut-turut menyatakan amplitudo yang bergerak ke kanan dan  ke kiri, |R| menyatakan proporsi  amplitudo gelombang yang dipantulkan, dan θ adalah beda  fase antara gelombang datang dan gelombang pantul, maka seperti halnya pantai, kemampuan muara sungai dalam  menyerap atau memantulkan gelombang direpresentasikan oleh  persamaan berikut:
Melalui analisis lebih lanjut, maka akan diperoleh syarat batas kanan yang menunjukkan hubungan antara A dan B untuk beberapa  jenis  muara (lihat Tabel  1).
Tabel 1 Syarat Batas Kanan di x = L untuk Beberapa Karakteristik Pantai
Jenis Muara Sungai Beda Fasa Antara A dan B ( θ ) Syarat Batas Kanan Menyerap sempurna B(L,t) = 0 Memantulkan sempurna 0 B (L,t) = A(L,t) Π B(L,t) = -A(L,t)
Untuk  melihat  perambatan gelombang  di daerah  dinding  sinusoidal  yang merambat ke kanan  (A) dan  ke kiri (B), persamaan (16) dan (17) didiskritisasi dengan metode beda  hingga, yaitu secara berturut-turut menggunakan FTBS  dan FTFS.
Selain melihat perambatan gelombang transmisi dan re fl eksi, kita juga perlu meninjau transfer energi antara gelombang transmisi dan re fl eksi. Melalui transfer energi, kita dapat mengetahui berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh gelombang sampai tidak ada lagi interaksi antara gelombang transmisi dan re fl eksi. Interaksi antara gelombang transmisi dan re fl eksi dinyatakan oleh hubungan berikut:
di mana ( |A| 2 -| B| 2 ) /2 menyatakan fl uks  energi.
2
Transfer energi antara A dan B akan terus terjadi selama ( |A ( x,t 0 ) | 2 -| B ( x,t 0 ) | 2 ) /2 masih berubah- ubah  terhadap posisi x . Dengan kata lain, transfer energi berhenti ketika  ( |A ( x,t 0 ) | 2 -| B ( x,t 0 ) | 2 ) /2= konstan.

## Kasus 1 Muara Sungai Menyerap Gelombang dengan Sempurna
Jika muara sungai berupa bendungan yang  dapat menyerap gelombang, maka  perambatan gelombang yang  melalui dinding sinusoidal dapat  dilihat pada Gambar 4. Misalkan gelombang datang dengan  amplitudo A 0 = 1. Pada saat t = 0 . 1, gelombang datang  belum melewati semua bagian dasar sinusoidal sehingga ada bagian dari A,B , dan fluks energi yang bernilai nol, yaitu pada daerah yang belum dilewati gelombang. Hal serupa juga masih terlihat  saat t =  0 . 5.  Walaupun demikian, pemecahan gelombang sudah terjadi sejak gelombang datang memasuki dasar sinusoidal. Hal ini ditandai dengan adanya bagian amlitudo gelombang re fl eksi yang tidak  nol, yaitu pada suatu  daerah di mana gelombang  transmisi  sudah mencapai daerah tersebut.  Pada saat t = 1,  gelombang datang  sudah  melewati  semua  bagian  dasar  sinusoidal  sehingga  tidak ada  lagi A , B , dan fl uks energi yang bernilai  nol.
Sebelum gelombang mencapai x = 10, amplitudo gelombang A cenderung menurun seiring dengan perambatannya ke kanan, sedangkan amplitudo  gelombang B cenderung  meningkat seiring dengan perambatannya  ke kiri. Hal ini disebabkan karena adanya transfer energi dari A ke B .  Transfer energi ini  terus terjadi  sampai t =  5. Transfer energi terjadi  karena  adanya  pengaruh dinding sinusoidal. Saat t ≥ 5, tidak ada  lagi transfer energi antara A dan B sehingga nilai A dan B tidak berubah-ubah lagi  terhadap posisi. Pada akhirnya diperoleh bahwa amplitude gelombang datang  terreduksi  hingga ± 53% saja yang ditransmisikan.  Hal ini  diakibatkan  oleh dinding sinusoidal dengan amplitudo sebesar 0.08 dari lebar sungai ( ε G = 0 . 08).
ComTech Vol.1 No.1 Juni 2010: 27-38
Gambar 4 Grafik A ( x, t ): hijau, B ( x, t ): merah, dan fl uks energi: biru, untuk A 0 = 1, L = 10, B (10 , t ) = 0, ε G = 0 . 08

## Kasus 2 Muara Sungai Memantulkan Gelombang dengan B(L,t) = - A(L,t)
Bendungan di muara sungai yang memiliki mempengaruhi perambatan gelombang yang melalui dinding sinusoidal. Hal ini dapat dilihat pada Gambar 5. Penjelasan serupa dengan kasus 1 untuk t ≤ 1. Bandingkan Gambar 4 dengan Gambar 5. Perbedaan yang signifikan dapat dilihat pada saat t = 1.5. Hal ini disebabkan karena pada kasus 1, gelombang transmisi terserap sempurna di sebelah kanan, sedangkan pada Gambar 5, gelombang transmisi sudah mencapai bendungan dan dipantulkan sempurna oleh bendungan tersebut sehingga amplitudo gelombang re fl eksi tidak hanya dipengaruhi oleh dinding sinusoidal, tetapi juga dipengaruhi oleh bendungan yang memantulkan gelombang secara sempurna dengan pembalikkan fase sebesar π . Pada saat t = 1.5, pengaruh adanya pantai baru dirasakan oleh gelombang re fl eksi yang berada di daerah x > 5 dan pengaruh ini menyebabkan gelombang re fl eksi memiliki beda fase sebesar π . Sedangkan di daerah  lainnya belum terjadi pembalikkan fase. Pada kasus ini, transfer energi terjadi dalam waktu yang lebih lama dibandingkan dengan Kasus 1. Pada saat t = 10, sudah tidak ada lagi transfer energi. Pada akhirnya diperoleh bahwa amplitudo gelombang datang terreduksi hingga ±30% untuk ε G = 0.08.
Gambar 5 Grafik A ( x, t ): hijau, B ( x, t ): merah, dan fl uks energi: biru, untuk A 0    = 1, L = 10, B (10 , t ) = − A (10 , t ), ε G = 0 . 08.

## Kasus 3  Muara  Sungai  Memantulkan Gelombang  dengan B(L,t) = A(L,t)
Perambatan  gelombang yang melalui dinding sinusoidal dan berada  di  sekitar bendungan yang berkarakteristik B(L,t)=A(L,t) dapat  dilihat pada Gambar 6. Untuk t ≤ 1, penjelasan yang serupa  dengan kedua kasus sebelumnya berlaku juga pada kasus ini. Pada saat t =  1 . 5, efek adanya muara sungai baru terasa di  sebagian daerah, yaitu pada x > 5.  Pada daerah  ini,  amplitudo gelombang re fl eksi sama dengan amplitudo  gelombang  transmisi  karena muara sungai memantulkan  gelombang secara sempurna tanpa  ada pembalikkan  fase.  Pada saat t =  10, efek muara yang berupa bendungan  sudah dirasakan di sepanjang daerah dinding sinusoidal sehingga hampir di  setiap x amplitudo  gelombang re fl eksi bernilai hampir sama dengan amplitudo gelombang transmisi.
Transfer energi antara A dan B sudah tidak ada lagi setelah t = 10 sehingga nilai A dan B sudah tidak berubah-ubah terhadap  posisi. Transfer  energi membutuhkan  waktu yang lebih lama daripada  kedua kasus  sebelumnya. Pada akhirnya diperoleh bahwa amplitudo  gelombang  dating sama sekali  tidak tereduksi.  Bahkan gelombang transmisi  yang menuju bendungan  memiliki
amplitudo sekitar empat kali lipat amplitudo gelombang datang untuk ε E = 0 . 08 karena pada kasus ini akan terjadi superposisi konstruktif.  Jelas ini sangat membahayakan kehidupan warga  yang tinggal di sekitar bendungan karena mungkin saja tinggi  dinding  bendungan tersebut  lebih  rendah daripada amplitudo yang menerjang bendungan  sehingga air sungai keluar dari bendungan  dan bisa mengakibatkan banjir.
Gambar 6 Grafik A ( x, t ): hijau, B ( x, t ): merah, dan fl uks energi: biru, untuk A 0    = 1, L = 10, B (10 , t ) = A (10 , t ), ε G = 0 . 08.

## SIMPULAN
Dinding sungai sinusoidal yang memiliki bilangan gelombang sebesar dua kali lipat bilangan  gelombang yang datang  akan  menyebabkan terjadinya resonansi Bragg. Besarnya amplitudo gelombang transmisi dan gelombang re fl eksi yang  dihasilkan sangat  dipengaruhi oleh besarnya amplitudo dinding sinusoidal dan karakteristik  muara sungai (dalam hal  ini  bendungan) dalam menyerap atau memantulkan  gelombang. K eberadaan  dinding sinusoidal dapat mereduksi
amplitudo  gelombang  yang  menabrak bendungan dengan cukup signifikan dalam kasus bendungan  bersifat menyerap gelombang  secara  sempurna atau  memantulkan secara  sempurna disertai dengan pembalikan fase sebesar π . Dalam kasus  bendungan hard wall atau bersifat memantulkan  gelombang  tanpa  pembalikkan fase, akan terjadi superposisi  konstruktif  antar gelombang-gelombang  yang  menabrak  bendungan. Dalam  kasus  ini,  keberadaan  dinding sinusoidal akan memperbesar amplitudo  gelombang  yang  menabrak bendungan hingga lebih dari dua kali lipat. Kajian tiga jenis  bendungan dengan sifat ekstrim yang berbeda-beda di atas dapat  memberikan  gambaran  mengenai  pengaruh dinding sinusoidal sebagai  penahan gelombang.

## DAFTAR PUSTAKA
Hirose, A., and Karl. E. L. (1985). Introduction to wave  phenomena ,  New York:  John  Wiley and Sons.
Holmes, M. H. (1995). Introduction to perturbation methods , New York: Springer-Verlag.
Mei, C. C. (2004). Multiple  scattering  by an extended  region of  inhomogeneities . Wave Propagation, Fall.
Noviantri, V.  (2007). Dasar laut dan  dinding  sinusoidal sebagai re fl ektor gelombang. Tugas Akhir S1 ,
Institut Teknologi Bandung.
Philip, L.,  and  Liu, F. (1986). Resonant re fl ection  of water waves  in a long channel with corrugated boundaries. J.Fluid Mech , 179, 371-381,  New York: Cornell University.
Strauss, A. W. (1992). Partial  differential equations  an introduction , New York: John Wiley and Sons.
Yu, J., and Mei, C. C.  (2000). Do longshore bars shelter the shore?. J.Fluid  Mech , 404, 251-268, United States of America:  Cambridge University.