Vol. 10, No. 1,  1-5,  Juli  2013
Beberapa Karakteristik Fungsi Mobius
Nur Erawaty 1

## Abstrak
Fungsi  Mobius  adalah  fungsi  unik  yang  terdapat  dalam  teori  bilangan  dan  transformasi Mobius dalam bidang Geometri. Fungsi ini mengelompokkan himpunan bilangan asli menjadi tiga kelompok bilangan. Aturan fungsi ini memiliki beberapa karakteristik khusus .
Kata Kunci : Fungsi Mobius, multiplikatif, bebas kuadrat, pembangkit.

## 1. Pendahuluan
Fungsi  merupakan  aturan  pengawanan  yang  memetakan  setiap  unsur  di  dalam  domain pada  tepat  satu  unsur  kodomain.  Fungsi  Mobius  merupakan  sebuah  fungsi  yang  unik,  dengan domain  himpunan  bilangan  asli  N.  Sedangkan  himpunan  daerah  hasil  fungsi  ini  adalah  hanya terdiri  dari  beberapa  bilangan.Fungsi  ini  pertama  kali  dikemukakan  oleh  Mobius,  lengkapnya August  Ferdinan  Mobius.  Mobius  adalah  professor  astronomi  di  Universitas  Leipzig  sekaligus sebagai  direktur  observatorium  Leipzig.  Meskipun  menekuni  bidang  astronomi  namun  kiprah Mobius banyak ditemukan dalam bidang Matematika. Namanya terkenal ketika mengemukakan Pita Mobius (Mobius Strip) pada tahun 1858.
Pada  tahun  1831,  August  Ferdinand  Mobius  membagi  bilangan  ke  dalam  3  kelompok sebagai suatu  fungsi jenis baru.  Dilambangkan  dengan  huruf  Yunani µ (mu)  dan  disebut  fungsi Mobius.
Dalam kelompok “nol”, Mobius menempatkan kelipatan dari bilangan kuadrat (kecuali 1) yaitu 4, 8, 9, 12, ...  seterusnya. Dalam kelompok “negatif satu”, Mobius menempatkan bilangan yang dapat difaktorkan ke dalam sejumlah bilangan ganjil bilangan-bilangan prima yang berbeda. Yaitu 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ... dan seterusnya. Sedangkan dalam kelompok “positif satu”, Mobius  menempatkan  semua  bilangan  yang  memiliki  sejumlah  bilangan  genap  faktor-faktor bilangan prima yang berbeda. Untuk lengkapnya 1 ditempatkan dalam kelompok ini.

## 2. Pembahasan
Pembahasan dimulai dengan memberikan beberapa definisi fungsi Mobius.

## Definisi Fungsi Mobius.
Dilambangkan  dengan  huruf  Yunani  µ,  yang  identik  dengan  huruf  m  dan  didefinisikan  sebagai berikut :
a. Domain Fungsi Mobius adalah himpunan bilangan asli N.
b. µ(1) = 1
1 Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin, email: nurerawaty@gmail.com
c. µ(n) = 0 jika n memiliki faktor yang merupakan kuadrat dari suatu bilangan bulat.
d. µ(n)  =  -1  jika  n  adalah  bilangan  prima  atau  memiliki  sejumlah  bilangan  ganjil  faktor bilangan prima.
e. µ(n) = 1 jika n memiliki sejumlah bilangan genap faktor bilangan prima yang berbeda.
Beberapa nilai µ ( n ),
µ (2)=-1 µ (3)=-1 µ (4)=0 µ (5)=-1 µ (6)=1 µ (7)=-1 µ (8)=0 µ (9)=0 µ (10)=1 µ (11)=0 µ (12)=0 µ (13)=-1 µ (14)=1 µ (15)=1 µ (16)=0 µ (17)=-1 µ (18)=0 µ (19)=-1 µ (20)=0
Perhatikan bahwa µ (48)=0, µ (49)=0 dan µ (50)=0 karena 48, 49 dan 50 dapat dibagi oleh bilangan kuadrat. Bilangan-bilangan yang masuk kelompok “nol” adalah 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32, 36, 40, 44, 45, 48, 49, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 64, 68, ... .
Bilangan- bilangan yang masuk kelompok “negatif satu” adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31, 37, 41, 42, 43, 47, 53, 59, 61, 66, 67, 70, ... .
Perhatikan µ (29)=-1, µ (30)=-1  dan µ (31)=-1,  ini  merupakan  3  bilangan  berurutan  yang memiliki  nilai  fungsi  Mobius  negatif  satu.  Karena  untuk  bilangan  keempat  dapat  dibagi  4, sehingga dalam kelompok  ini tidak akan ditemukan lebih dari 3 bilangan yang  berurutan dalam kelompok  ini.  Bilangan-bilangan  prima  yang  berada  dalam  kelompok  ini,  termasuk  bilangan- bilangan
66 (2x3x11) 665 (5x7x19)
6654 (2x3x1109)
...
66549954999999999 (3x11x61x2238013x14772071)
665499549999999999 (3x2063x107529415091291)
Bilangan-bilangan dalam kelompok “positif satu” adalah 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46, 51, 55, 57, 58, 62, 65, 69, ... Termasuk juga bilangan-bilangan berikut ini,
6 (2x3) 69 (3x23)
699 (3x233) 6999 (3x2333)
6999906909090909090990909090
berada dalam kelompok ini.
Secara  ekivalen,  fungsi  ini  dapat  dituliskan  dengan  cara  berbeda.  Misalkan ω ( n )  adalah banyaknya  bilangan  prima (berbeda)  yang  membagi n dan Ω ( n )  adalah  banyaknya  faktor prima dari n, dihitung dengan multiplisitasnya. Sehingga jelas, ω ( n ) ≤ Ω ( n ).

## Sehingga
( )   { (  ) ( ) (  ) ( ) ( )    ( ) ( )     ( )
Dari  definisi  ini  juga  menunjukkan  bahwa  µ(1)  =1  (karena  1  tidak  memilikifaktor  prima  atau dikatakan  bahwa  1  memiliki  sejumlah  genap  (nol)  faktor  prima)  sedangkan µ (0)  tidak didefinisikan.
Misalkan a , b ϵ N dengan a dan b saling prim.
Jika a atau b memiliki faktor bilangan kuadrat maka
µ (a)=0 atau µ (b)=0
Artinya bahwa ab juga memiliki faktor bilangan kuadrat sehingga µ ( ab )=0 Sehingga µ ( ab )= µ ( a ) µ ( b ) untuk a atau b yang memiliki faktor bilangan kuadrat Misalkan a dan b tidak  memiliki  faktor  bilangan  kuadrat.  Misalkan  pula  k  =  banyaknya  faktor dari a
t = banyaknya faktor dari b
sehingga  jika k dan t dua-duanya  ganjil  ( µ ( a )= µ ( b )=-1)  atau  dua-duanya  genap  ( µ ( a )=µ( b )=1) maka jumlah faktornyanya adalah genap ( µ ( ab )=1), sehingga berlaku µ ( ab )= µ ( a )µ( b ). dan  jika k dan t salah  satunya  ganjil  dan  yang  lainnya  genap  atau  sebaliknya  maka  jumlah faktornya adalah ganjil, sehingga berlaku pula µ ( ab )= µ(a )µ( b ). Sedangkan  jika a dan b tidak  saling  prim  artinya ab mengandung  faktor  kuadrat  sehingga µ ( ab )=0.
Sehingga beberapa kesimpulan yang diperoleh diberikan berikut ini.
Proposisi 1.
Misalkan a, b ϵ N dengan a dan b saling prim, berlaku µ(ab)=µ(a)µ(b)
Ini menunjukkan bahwa fungsi Mobius bersifat multiplikatif.
Jika d merupakan pembagi n , maka berlaku
∑ ( )     { .
Definisi Bilangan Bebas Kuadrat ( Square-free Number )
Bilangan bebas kuadrat merupakan bilangan asli yang tidak memiliki pangkat lebih dari 1 dalam faktorisasi primnya.

## Nur Erawaty
Dengan kata lain, x bilangan bebas kuadrat jika faktorisasi primanya tidak memuat faktor prima yang  berulang.Jika  µ (n )=1  berarti n bebas  kuadrat  dengan  sejumlah  genap  faktor  prima. Dan µ ( n )=-1  jika  n  bebas  kuadrat  dengan  sejumlah  ganjil  faktor  prima.  Sedangkan  jika µ ( n )=0 artinya n tidak bebas kuadrat.
Fungsi Mobius memiliki fungsi pembangkit, yakni
untuk . Hasil ini diperoleh dari rumus Euler’s product
Fungsi pembangkit yang lain diberikan sebagai berikut
untuk .
Beberapa jumlahan tak hingga dari Fungsi Mobius,
Nur Erawaty
sebagaimana jumlahan dari pembagi d , d|n
di mana merupakan banyaknya faktor prim yang berbeda dari n .
memenuhi hasil kali tak hingga,
untuk .

## 3. Kesimpulan
Dari  penjelasan  di  atas,  fungsi  Mobius  merupakan  fungsi  yang  unik  dan  memiliki karakteristik khusus, yaitu
1. Fungsi pembangkit untuk fungsi Mobius,
dan
2. Fungsi Mobius bersifat multiplikatif yakni berlaku µ ( ab )= µ ( a ) µ ( b )
3. Jumlahan dari pembagi d,

## Daftar Pustaka
[1]     Ed  Pegg  Jr.,  2003.  The  Mobius  Function  (and  Squarefree  Numbers). MAA  Online  Math Games.
[2] Klimov  N.I.,  2001.    Mobius  Function,  in  Hazewinkel,  Michiel,  Encyclopedia  of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=m/m064280 ) .