## ANALISIS DATA KATEGORI DENGAN LOG LINIER
MENGGUNAKAN PRINSIP HIRARKI (STUDI KASUS JUMLAH KECELAKAAN LALU LINTAS DI KOTA MAKASSAR TAHUN 2011).

## Try Azisah Nurman
Dosen Pada Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi
UIN Alauddin Makassar e-mail: chicha_chirwan@yahoo.com
Abstrac t:  Presentation  of  data  commonly  used  frequency  tables,  but  for categorical data, the table used is the contingency table, it is a table in the form  of  rows  and  columns  and  can  be  used  for  two  or  more  variables.  As with  the  variable  type  of  vehicle,  age,  and  education  level  in  the  case  of traffic  accidents  of  Makassar  in  2011.  If  the  case  stated  in  the  table  is included  in  the  category  of  three-dimensional  contingency  table,  then  the appropriate analysis use is an analysis  of  the  log  linear  analysis,  it   is techniques  to  determine  the  cause  dependency category. The parameters of the log linear models estimated using Maximum Likelihood. Test used is the Goodness of Fit test aims to determine  independence between variables with  the  statistical  Chi-Square  test  or  Likelihood  Ratio.  Furthermore,  the selection  of  the  best  model  using  backward  Elimination  matode  which basically  uses  the  principle  of  hierarchy.  In  the  estimation  of  log  linear models for three-dimensional model has several estimators corresponding to such possible models: estimator for model (X, Y, Z) is 𝑚 𝑖𝑗 𝑘 = 𝑛 𝑖.. 𝑛 .𝑗 . 𝑛 ..𝑘 𝑛 … 2 ,
then  the  other  estimators  in  accordance  with  their  respective  models.  The produced  analysis  of  log  linear  analysis  of  traffic  accidents  in  the  city  of Makassar  in  2011  is  a  model  of  interaction  between  the  types  of  vehicles with Last Education and age of the rider with driver education last driver.
Keywords :

## PENDAHULUAN
enelitian adalah suatu pekerjaan yang melangkah dari sebuah teori kepada fakta. Penelitian memiliki tiga tingkatan yaitu: 1) Penelitian dalam upaya mencari  masalah  atau  menjajaki  masalah,  2)  Penelitian  dalam  upaya mengembangkan  masalah,  dan  3)  Penelitian  dalam  upaya  menguji  jawaban terhadap  masalah.  Tingkatan  penelitian  yang  terakhir  yaitu  penelitian  yang berupaya  menguji  (verifikasi)  jawaban  masalah,  maksudnya  adalah  menguji jawaban  hasil  pemikiran  (rasional)  yang  bersifat  sementara  (hipotesis) [Subyantoro, 2007]. Sebelum pengujian hipotesis terlebih dahulu perlu ditetapkan P
data atau informasi empirik yang akan digunakan.
Data  hasil  penelitian  dapat  berupa  angka  atau  berbentuk  kategori,  seperti tinggi, sedang, dan pendek, atau ramai, sedang, dan sepi. Hal ini menjadi sebuah masalah  dalam  menganalisis  data,  karena  harus  menggunakan  metode  yang berbeda dengan metode yang digunakan dalam penelitian yang menghasilkan data numerik.
Penyajian  data  dituangkan  dalam  tabel  untuk  memudahkan  analisis. Umumnya  tabel  berbentuk  baris  dan  kolom,  yang  menggambarkan  tentang variabel  dan  frekuensinya.  Data  kategori  yang  terdiri  dari  beberapa  variabel disajikan dalam tabel kontingensi, yaitu tabel yang berbentuk baris dan kolom dan dapat digunakan untuk dua atau lebih variabel, dengan beberapa kategori.
Metode  yang  dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  masalah  seperti  ini misalnya  menggunakan  analisis  logistik,  namun  uji  ini  menggunakan  variabel dikotomi.  Variabel  dikotomi  hanya  terdiri  atas  dua  nilai,  yang  mewakili kemunculan atau tidak adanya suatu kejadian, yang biasanya diberi angka 0 atau 1. Metode lain yang dapat digunakan adalah analisis log linier. Analisis log linier dapat  digunakan  untuk  menganalisis  pola  hubungan  antar  sekelompok  variabel kategori baik  yang mencakup dua  variabel, tiga variabel, atau lebih. Analisis log linear merupakan perpanjangan dari tabel kontingensi dua arah dimana hubungan kondisional  antara  dua  atau  lebih  diskrit,  variabel  kategoris  dianalisis  dengan mengambil logaritma natural dari frekuensi sel dalam tabel kontingensi.
Model log linier bisa diperoleh dengan dua cara yaitu menggunakan model teoritis  (non  hirarki)  atau  prinsip  hirarki.  Prinsip  hirarki  adalah  suatu  cara  untuk mencari  semua  kemungkinan  dari  metode  yang  ada.  Dikatakan    prinsip  hirarki jika  suatu  komponen  ada  dalam  model  maka  penyusun  komponen  itu  ada  pula dalam  model.  Dengan  menggunakan  model  hirarki  dapat  diketahui  semua komponen  yang  memberikan  kontribusi  dalam  model.  Sehingga  prinsip  yang dapat dipertimbangkan  digunakan untuk analisis log linier adalah prinsip hirarki.

## KAJIAN TEORITIS

## Variabel Kategorik
Variabel  merupakan  topik  atau  peristiwa  yang  diteliti.  Seperti:  umur seseorang, adalah suatu data tentang variabel umur penduduk [Tiro, 1999]. Suatu variabel  dikatakan  variabel  kategorik  jika  variabel  tersebut  mempunyai  skala pengukuran  yang  terdiri  dari  sekumpulan  kategori  tertentu.  Seperti  umur  terdiri dari beberapa kategori, anak-anak, remaja, dan dewasa. Nilai dari kategori sering disebut  sub  kategori  atau disebut juga tingkat  dari  variabel  kategorik,  contohnya anak-anak,  merupakan  sub  kategori.    Data  yang  diperoleh  dari  hasil  berbagai macam subjek terhadap satu atau lebih variabel kategorik disebut data kategorik. Data kategorik merupakan data hasil klasifikasi semua individu sampel ke dalam satu  atau  lebih  variabel  kategorik  secara  bersamaan.  Dengan  demikian,  data kategorik  dari  hasil  suatu  pengamatan  mengandung  variabel-variabel  yang
101_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 99-110
berkategori,  sekaligus  merupakan  data  yang  berupa  frekuensi  pengamatan [Hapsari, 2011].

## Tabel Kontingensi
Tabel  kontingensi  merupakan  teknik  penyusun  data  untuk  melihat hubungan  antara  variabel  dalam  satu  tabel.  Variabel  yang  digunakan  merupakan variabel  kategorik  yang  memiliki  skala  nominal  atau  ordinal  [Mahulae,  2009]. Tabel  ini  dapat  digunakan  untuk  dua  dimensi  (dua  variabel),  tiga  dimensi  (tiga variabel), atau bahkan lebih.

## 1. Tabel Kontingensi Dua Dimensi
Secara umum, tabel kontingensi dua dimensi dapat disajikan dalam bentuk tabel  I  x  J.  Tabel  I  x  J  terdapat  dua  variabel  yaitu  variabel  A  dan  variabel  B. Dalam tabel ini mempunyai I baris yang menyatakan kategori dari variabel A dan J  kolom  yang  menyatakan  kategori  dari  variabel  B.  Terdapat  IJ  sel  dalam  tabel yang  berisi  frekuensi  pengamatan  yang  terjadi  dari  kombinasi  kedua  kategori variabel  sehingga  diperoleh  data  berkategori  dalam  bentuk  kontingensi  dua dimensi berukuran I x J [Hapsari, 2011]. Tabel kontingensi  I x J dapat disajikan seperti dalam Tabel 1.
Tabel 1. Tabel kontingensi dua dimensi
Keterangan:
n ij : frekuensi pengamatan pada baris ke- i dan kolom ke- j n i . : (dibaca n i dot) total marjinal pada variabel baris ke- i n . j : (dibaca n dot j ) total marjinal pada variabel kolom ke- j n .. : (dibaca n dot dot) total frekuensi pengamatan

## 2. Tabel Kontingensi Tiga Dimensi
Tabel  tiga dimensi  mempunyai  (I x J x K) sel,  yang terdiri  dari  I baris, J lapis (layer), K  kolom.  Tabel  ini  disebut  juga  dengan  tabel  kontingensi  I  x  J x  K [Lestyorini, 2010].
Tabel 2. Tabel kontingensi tiga dimensi
Keterangan: n ijk = banyaknya observasi pada baris ke- i , layer ke- j , dan kolom k n 1jk = banyaknya observasi pada baris ke-1, layer ke- j , dan kolom k n i1k = banyaknya observasi pada baris ke- i , layer ke-1, dan kolom k n ij1 = banyaknya observasi pada baris ke- i , layer ke- j , dan kolom 1 n... = banyaknya seluruh observasi . Secara umum tiga variabel dikatakan independen apabila
𝜋 ijk = 𝜋 i .. 𝜋 . j . 𝜋 .. k (1)
dimana: π ijk = probabilitas pengamatan pada baris ke- i , layer ke- j , dan kolom ke- k . π i .. = probabilitas pengamatan pada baris ke- i π. j . = probabilitas pengamatan pada layer ke- j π.. k = probabilitas pengamatan pada kolom ke- k
Misalkan m ijk adalah  frekuensi  harapan  untuk  nilai  pengamatan  sel  ( i,  j,  k ). Sehingga  dapat  dikatakan  bahwa m ijk = n π ijk [Agresti,  1984].  Probabilitas  sel adalah proporsi sampel. Misalkan π i .. = P i .., dimana 𝑃 𝑖.. = 𝑛 𝑖.. 𝑛 . Sehingga π ijk = P i ..
P. j . P.. k , dimana untuk setiap proporsi sampel adalah:
𝑃 𝑖.. = 𝑛 𝑖.. 𝑛 𝑃 .𝑗 . = 𝑛 .𝑗 . 𝑛 𝑃 ..𝑘 = 𝑛 ..𝑘 𝑛 (2)
Maka  berdasarkan  probabilitas  sel  dan  proporsi  sampel  maka  frekuensi  harapan untuk setiap model dapat diketahui.

## Model Log Linier Tiga Dimensi
Model  log  linier  adalah  suatu  model  untuk  memperoleh  model  statistika yang  menyatakan  hubungan  antara  variabel  kategorik  [Rosalia,  2004]. Kemungkinan model yang dihasilkan adalah:
103_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 99-110

## 1. Model Independen
Bentuk model log linier untuk model independen berikut:
log m ijk = u + u 1(i) + u 2(j) + u 3(k) (3)
keterangan:
m ijk : frekuensi harapan pada setiap sel ke- ijk dalam model
u : pengaruh rata-rata umum
u 1(i) : pengaruh utama variabel 1 kategori ke- i u 2(j) : pengaruh utama variabel 2 kategori ke- j u 3(k) : pengaruh utama variabel 3 kategori ke- k
Persamaan  (3)  disebut  dengan  model  independen  yang  artinya  adalah variabel  1,  2,  dan  3  ada  dalam  model,  tapi  tidak  ada  interaksi  antara  ketiganya (ketiga variabel independen).
Dimana: u 12( ij ) = u 13( ik ) = u 23( jk ) = u 123( ijk ) = 0
Jika  antara  ketiga  variabel  saling  independen  (X,  Y,  Z),  maka  estimator frekuensi harapan dari masing-masing sel adalah sebagai berikut:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖.. 𝑛 .𝑗. 𝑛 ..𝑘 𝑛 … 2 (4)
Dimana:
𝑚 𝑖𝑗𝑘
: estimator frekuensi harapan dalam setiap sel ke- i, j, k 𝑛 𝑖.. = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝐾 𝑘=1 𝐽 𝑗=1
: jumlah nilai observasi pada baris ke- i 𝑛 .𝑗. = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝐾 𝑘=1 𝐼 𝑖=1 : jumlah nilai observasi pada layer ke- j
𝑛 ..𝑘 = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝐽 𝑗=1 𝐼 � 牜 =1 : jumlah nilai observasi pada kolom ke- k
𝑛 ... = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝐾 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 : jumlah seluruh nilai observasi

## 2. Model Satu Interaksi Dua Variabel
Bentuk model log linier satu interaksi dua variabel adalah:
log m ijk = u + u 1(i) + u 2(j) + u 3(k) + u 12(ij) (5) keterangan:
u 12(ij) : pengaruh interaksi variabel 1 dan 2 kategori ke- ij
Dengan 𝑢 13( ik) = u 23( jk ) = u 123( ijk ) =  0,  model  ini   menyatakan  dependensi antara  variabel  1  dan  variabel  2,  dengan  variabel  3  ada,  atau  signifikansi  dalam model.
Demikian  juga  untuk  kemungkinan  model  yang  menyatakan  dependensi antara variabel 1 dan variabel 3, dengan variabel 2 ada, atau dependensi variabel 2 dan variabel 3, dengan variabel 1 ada, atau signifikansi dalam model.
Jika  antar  ketiga  variabel  ada  satu  interaksi  dan  interaksi  itu  antar  dua variable (XY,Z), maka estimator frekuensi harapan untuk setiap sel adalah:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖𝑗. 𝑛 ..𝑘 𝑛 … (6)

## 3. Model Dua Interaksi Dua Variabel
Bentuk model log linier dua interaksi dua variabel adalah:
log m ijk = u + u 1(i) + u 2(j) + u 3(k) + u 12(ij) + u 13(ik) (7) keterangan:
u 13(ik) : pengaruh interaksi variabel 1 dan 3 kategori ke- ik
Dengan u 23( jk ) = u 123( ijk ) =  0,  model  ini   menyatakan  dependensi  antara variabel  1  dengan  2  dan  variabel  1  dengan  variabel  3.Kemungkinan  model  log linier  yang  menyatakan  dependensi  antara  variabel  1  dengan  2,  dan  variabel  2 dengan  3,  serta  model  yang  menyatakan  dependensi  antara  variabel  1  dengan  3, dan variabel 2 dengan 3 dapat dinyatakan dengan cara yang sama seperti di atas.
Jika antara ketiga variabel ada dua interaksi antar dua variabel (XY, XZ), estimator frekuensi harapan adalah:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖𝑗. 𝑛 𝑖.𝑘 𝑛 𝑖.. (8)

## 4. Model Tanpa Interaksi Tiga Variabel
Bentuk model log linier tanpa interaksi tiga faktor adalah:
log m ijk = u + u 1(i) + u 2(j) + u 3(k) + u 12(ij) + u 13(ik) + u 23(jk (9)
keterangan:
u 23(jk)
: pengaruh interaksi variabel 2 dan 3 kategori ke- jk
Dengan u 123( ijk ) =  0,  model  ini  semua  interaksi  dua  faktor  ada  atau signifikan  dalam  model,  tetapi  tidak  ada  interaksi  atau  dependensi  antara  ketiga faktor.
Jika  antar  ketiga  variabel  semua  interaksi  antar  dua  variabel  ada,  namun interaksi  antar  tiga  variabel  tidak  ada  (XY,  XZ,  YZ),  estimator  frekuensi harapannya adalah:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖𝑗. 𝑛 𝑖.𝑘 𝑛 .𝑗𝑘 𝑛 𝑖.. 𝑛 .𝑗. 𝑛 ..𝑘 (10)
5. Model Saturated (Jenuh)
Model saturated adalah  model  yang  memuat  semua  parameter  yang mungkin  dan  tidak  dapat  dimasuki  parameter-parameter  lainnya  [Mulyani, 2004]. Modelnya adalah:
log m ijk = u + u 1(i) + u 2(j) + u 3(k) + u 12(ij) + u 13(ik) + u 23(jk) + u 123(ijk) (11)
Keterangan:
u 23(jk) : pengaruh interaksi variabel 1, 2, dan 3 kategori ke- ijk Estimator frekuensi harapannya adalah [Agresti, 1984]:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 (12)
105_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 99-110

## Estimasi Maksimum Likelihood
Maksimum  likelihood disebut  juga  metode Maksimum  likelihood merupakan  prosedur  menemukan  nilai  dari  satu  atau  lebih  parameter  dengan memaksimumkan  fungsi  kemungkinan.  Suatu  pendugaan  bersifat  unbias,  efisien dan konsisten dapat diketahui dengan menggunakan  suatu  metode  yaitu metode Maksimum  Likelihood .  Metode  tersebut  sering  memberikan  hasil  (penaksir) yang baik.
Definisi 2.1:
Misalkan X , X 2 ,..., X n peubah acak dengan fungsi distribusi f ( 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 n | 𝜃 ) dengan 𝜃 ∈ Θ yang tidak diketahui, maka fungsi likelihood ialah:
𝐿 𝜃  = 𝑓 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 𝜃   jika 𝐹 mempunyai fungsi padat 𝑓 𝑃 𝑥 1 , 𝑥 2 , ⋯ , 𝑥 𝑛 𝜃   jika 𝐹 mempunyai fungsi padat 𝑃
Untuk setiap 𝜃 = 𝜃 𝑛 ( 𝑋 1 , 𝑋 2 , . . . , 𝑋 n ) 𝜖 Θ sehingga L( 𝜃 ) = sup {L( 𝜃) : θ ϵ Θ disebut maximum likelihood estimation [Misbahunnur, 2009].
Langkah-langkah estimasi maksimum likelihood :
a. Menentukan fungsi distribusi.
b. Menentukan fungsi likelihood dari fungsi distribusi.
c. Menentukan  fungsi  maksimum  likelihood  (log  likelihood)  dari  fungsi distribusi.
d. Menentukan  penduga  parameter–parameter    dengan  memaksimumkan  fungsi maksimum likelihood dari fungsi distribusi yang telah ditentukan.

## Hipotesis
Ada  beberapa  hipotesis  yang  digunakan  dalam  analisis  log  linier  sesuai dengan  uji yang digunakan. Berikut adalah uji-uji yang dilakukan:
1. Uji Goodnes of Fit
Uji Goodness  of  Fit bertujuan  untuk  mengetahui  adanya  independensi antar variabel. Dan statistik uji yang digunakan adalah statistik chi-square dengan rumus sebagai berikut:
𝑋 2 = 𝑛 𝑖𝑗𝑘 − 𝑚 𝑖𝑗𝑘 2 𝐾 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 𝑚 𝑖𝑗𝑘
Selain  statistik chi-square ,  dapat  juga  menggunakan  statistik  rasio Likelihood . Statistik ini merupakan pendekatan chi-square [Agung, 2002] , dengan rumus sebagai berikut:
𝐺 2 = 2 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑙𝑛 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑚 𝑖𝑗𝑘 𝐾 𝑘=1 𝐽 𝑗=1 𝐼 𝑖=1 Hipotesis yang digunakan dalam uji ini adalah:
H 0 = Semua variabel independen H 1 = Ada variabel dependen
Kriteria keputusan:
H 0 diterima  apabila 𝜒 2   hitung  ≤ 𝜒 2   tabel  atau G 2   ≤ 𝜒 2   tabel  dan p- value (sig) > α maka semua variabel independen. Derajat bebas  ( i -1)( j -1) + ( i -1)( k -1)+ ( j -1)( k -1) + ( i -1)( j -1)( k -1).
Tabel 3. Derajat bebas untuk log linier 3 dimensi
Bentuk Model Log Linier Db (A,B,C) IJK-I-J-K+2 (AB,C) (IJ-1)(K-1) (AC,B) (IK-1)(J-1) (BC,A) (JK-1)(I-1) (AB,BC) J(I-1)(K-1) (AC,BC) K(I-1)(J-1) (AB,AC) I(J-1)(K-1) (AB,AC,BC) (I-1)(J-1)(K-1) (ABC) 0
2. Penyeleksian Model Terbaik. Menyeleksi  model  terbaik  dengan  metode elimination  backward yang berdasarkan  prinsip  hirarki  dimulai  dari  model  jenuh  ( saturated )  dan  secara berurutan  mengeliminasi  model.  Pada  setiap  tahap,  metode  ini  mengeliminasi model  yang  mempunyai  pengaruh  atau  efek  yang  paling  kecil.  Proses  seleksi berhenti  ketika  beberapa  pengeliminasian  yang  dilakukan  telah  mendapatkan model  yang sesuai  dan lebih sederhana.  Langkah-langkah  yang dilakukan adalah [Rosali, 2011]:
a) Anggap model (1) adalah model XYZ sebagai model terbaik.
b) Keluarkan  efek  interaksi  tiga  variabel  sehingga  modelnya  (XY,  XZ,  YZ) yang disebut dengan model (2).
c) Bandingkan model (1) dengan model (2) dengan hipotesis sebagai berikut: H 0 : model (2) adalah model yang terbaik
H 1 : model (2) bukan model yang terbaik
Statistik uji yang digunakan: G 2 ( Likelihood Ratio ) Kriteria penolakan: G 2 > 𝜒 2  tabel maka tolak H 0 .
i. Jika  H 0 ditolak,  maka  dinyatakan  bahwa  model  (1)  adalah  yang  terbaik. Tetapi  jika  gagal  tolak  H 0 ,  maka  bandingkan  kembali  model  (2)  dengan model (1) dengan mengeluarkan salah satu interaksi dua faktor.
ii. Untuk  menentukan  interaksi  mana  yang  dikeluarkan  terlebih  dahulu  maka dipilih nilai G 2 terkecil.
107_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 99-110

## HASIL DAN PEMBAHASAN

## Estimasi parameter model log linier
Berdasarkan  tabel  kontingensi  tiga  dimensi  maka  dapat  diketahui  bahwa distribusi  yang  digunakan  adalah  distribusi  poisson.  Fungsi  massa  peluang poisson dari 𝑛 𝑖𝑗𝑘 adalah:
𝑃 𝑛 𝑖𝑗𝑘 , 𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑒 −𝑚 𝑖𝑗𝑘 𝑚 𝑖𝑗 𝑘 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑛 𝑖𝑗 𝑘 ! (13)
Fungsi likelihood dari fungsi massa peluang di atas adalah:
𝑃 𝑛 𝑖� 帰 𝑘 , 𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑒 −𝑚 𝑖𝑗𝑘 𝑚 𝑖𝑗 𝑘 𝑛 � ㄰ 𝑗 𝑘 𝑛 𝑖𝑗 𝑘 ! 𝑘 𝑗 𝑖 (14)
Jika persamaan (14) diubah menjadi bentuk log likelihood dari m maka:
𝐿 𝑚  = 𝑙𝑜𝑔 � 〱 −𝑚 𝑖𝑗𝑘 𝑘 � 〱 𝑖 𝑚 𝑖� ㈱ 𝑘 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑘 𝑗 𝑖 𝑛 𝑖𝑗 𝑘 ! 𝑘 𝑗 𝑖 (15)
Jadi bentuk log likelihood dari m adalah 𝐿 𝑚  =       𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑙𝑜𝑔 𝑚 𝑖𝑗�𝐹 𝑘 𝑗 𝑖 −       𝑚 𝑖𝑗𝑘 𝑘 𝑗 𝑖 −        𝑙𝑜𝑔 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑘 𝑗 𝑖 (16)
Dengan log 𝑚 𝑖𝑗𝑘 adalah: log 𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑢 + 𝑢 1(𝑖) + 𝑢 2(𝑗) + 𝑢 3(𝑘) + 𝑢 12(𝑖𝑗) + 𝑢 13(𝑖𝑘) + 𝑢 23(𝑗𝑘) + 𝑢 123(𝑖𝑗𝑘) (17)
Jika persamaan (17) diubah menjadi bentuk eksponensial maka bentuknya menjadi:
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑒 𝑢+𝑢 1(𝑖) +𝑢 2(𝑗) +𝑢 3(𝑘) +𝑢 12(𝑖𝑗) +𝑢 13(𝑖𝑘) +𝑢 23(𝑗𝑘) +� 敦 123(𝑖𝑗𝑘) (18)
Maka dapat diperoleh persamaan maximum likelihood sebagai berikut:
𝐿 𝑚  =       𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 + 𝑘 𝑗 𝑖 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 1(𝑖) + 𝑘 𝑗 𝑖 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 2(𝑗 ) 𝑘 𝑗 𝑖 +       𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 3(𝑘) + 𝑘 𝑗 𝑖 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 12(𝑖𝑗 ) 𝑘 𝑗 𝑖
+       𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 13(𝑖𝑘) + 𝑘 𝑗 𝑖 𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 23(𝑗𝑘) 𝑘 𝑗 𝑖 +       𝑛 𝑖𝑗𝑘 𝑢 123(𝑖𝑗𝑘) 𝑘 𝑗 𝑖
−       𝑒 𝑢+𝑢 1(𝑖) +𝑢 2(𝑗 ) +𝑢 3(𝑘) +𝑢 12(𝑖𝑗 ) +𝑢 13(𝑖𝑘) +𝑢 23(𝑗 𝑘) +𝑢 123(𝑖𝑗 𝑘) +
𝑘 𝑗 𝑖
−       log 𝑛 � 尴 𝑗𝑘 𝑘 𝑗 𝑖
Dimana 𝑢 merupakan  parameter-parameter  dalam  model  yang  menjelaskan respon  dari  masing-masing  variabel.  Selanjutnya  untuk  memperoleh  estimator untuk  setiap  parameter  maka  L(m)  diturunkan  terhadap  parameter-parameter model yang masing-masing disamakan dengan nol.

## Penggunaan prinsip hirarki dalam model
Berdasarkan  dari  data  kepolisian  kota  Makassar  diperoleh  tabel  yang memuat  data  sebanyak 182 orang yang diklasifikasikan berdasarkan tiga variabel yaitu: jenis kendaraan,  umur,  dan pendidikan terakhir.
Tabel 4. Tabel kontingensi Jenis Kendar aan Umur Pendidikan Total SD SMP SMA PT 1 Anak-Anak 1 2 0 0 3 Remaja 1 5 10 0 16 Dewasa 7 17 77 25 126 2 Anak-Anak 0 0 0 0 0 Remaja 0 0 2 0 2 Dewasa 0 0 28 7 35 Total 9 24 117 32 182
Hasil  pengujian  secara  manual  memiliki  nilai  yang  sama  dengan  hasil pengujian  dengan  menggunakan  SPSS  18.0.  Model  yang  diperoleh  dari  hasil penerapan prinsip hirarki adalah jenis kendaraan,  umur, dan pendidikan terakhir, memiliki  sumbangsi  atau  dapat  menjadi  alasan  atas  terjadinya  suatu  kecalakaan, ditambah dengan interaksi antara jenis kendaraan dengan pendidikan terakhir, dan umur dengan pendidikan terakhir.
Hal  ini  dapat  diartikan  bahwa  salah  satu  interaksi  yang  memberikan pengaruh dalam suatu kejadian kecelakaan lalu lintas adalah jenis kendaraan yang digunakan dengan pendidikan terakhir pengendara. Pengaruh lain  yang diperoleh adalah umur pengendara dengan pendidikan terakhir dari pengendara.

## PENUTUP

## Kesimpulan
1. Estimator model log linier untuk model tiga dimensi misalnya untuk Model (X,Y,Z):
𝑚 𝑖𝑗𝑘 = 𝑛 𝑖.. 𝑛 .𝑗. 𝑛 ..𝑘 𝑛 … 2
2. Penggunaan prinsip hirarki dalam model
109_ Jurnal Teknosains, Volume 7 Nomor 1, Januari 2013, hlm: 99-110
Berdasarkan  hasil    analisis  model  log  linier  dalam  kasus  kecelakaan lalu  lintas  dengan  tiga  variabel,  maka  dapat  diketahui  bahwa  variabel  yang saling  berinteraksi  adalah  jenis  kendaraan  dengan  pendidikan  dan  umur  dengan pendidikan. Hal ini berarti yang memiliki pengaruh dalam suatu kasus kecelakaan lalu  lintas  adalah  jenis  kendaraan  dengan  pendidikan  terakhir  dari  pengendara, dan umur pengendara dengan pendidikan terkhir pengendara.

## Saran
Model  ini  dicakupkan  pada  tiga  dimensi  atau  tiga  variabel,  seandainya ditambahkan  menjadi  empat  atau  lebih  variabel  maka  akan  menghasilkan  model yang lebih variatif.

## DAFTAR RUJUKAN
Agresti,  Alan.1984. Analysis  of  Ordinal  Categorical  Data .  Canada.  Publisher Simultaneousty.
Ayu Rosalia, Silvira dan Sri pringit Wulandari, “ Analisis Model Log Linier Untuk Mengetahui  Kecenderunagn  Perilaku  Anak  Jalanan  Binaan  di Surabaya (Kasus Khusus Yayasan Arek Lintang-Alit)”. Jurnal Mahasiswa statistika ITS dan Dosen Statistika ITS, Surabaya.
Hapsari,  Galih  Sitaresmi.  “ Model  Log  Linear  untuk  Tabel  Kontingensi  Tak Sempurna  Berdimensi    Tiga ”.  Skripsi  sarjana,  Fakultas  Matematika  dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta , Yogyakarta.
Jeansonne,  Angela.  “ LoglinierModels ”.  http://www.scribd.com/doc/45640125/ logliniermodes.
Lestyorini,  Mamik.  “ Model  Log  Linear  Multivariat  Empat  Dimensi .”  Skripsi Jurusan  Pendidikan  Matematika  Di  Universitas  Negeri  Yogyakarta, Yogyakarta.
Limbong  Summary,  Julianto.  Model  Log  Linier  untuk  Tabel  Kontingen  3 Dimensi.http://eprints.undip.ac.id/32212/5/M01_Julianto_Limbong_chapt er_I.pdf .
Mahulae,  Elfriede,  “ Uji  Homogenitas  Marginal  dengan  Model  Log  Linier  pada Tabel  Kontingensi  Tiga  Dimensi  atau  Lebih” ”,  Skripsi  Departemen Matematika FMIPA- Universitas Sumatera Utara (2009), Sumatera Utara.
Try Azisah Nurman , Analisis Data Kategori Dengan Log Linier Menggunakan..._ 110
MathWord, Wolfram, “ Maksimum Likelihood. ” Jurnal from Wolfram MathWorld. http://mathworld.Wolfram.com/Maximum Likelihood.html.
Misbahussurur,  Ahmad,  “ Estimasi  Parameter Distribusi Gamma dengan  Metode Maksimum  Likelihood.” Skripsi  Jurusan  Matematika  Fakultas  Sains  dan Teknologi  Universitas  Islam  Negeri  (UIN)  Maulana  Malik  Ibrahim Malang (2009), Malang.
Mulyani,  Ely,  Sigit  Nugroho,  dan  Fachri  Faisal.  “ Model  Log  Linier  Beberapa Kasus Kriminologi yang Terjadi di Wilayah Polres Bengkulu pada Tahun 2004/2005 ”. Jurnal Alumni jurusan Matematika dan staf pengajar jurusan Matematika FMIPA Universitas Bengkulu, Bengkulu.
PASW Statistics 18.0 Release 18.0 (juli 2009).
Subyantoro,  Arif  dan  FX.  Suwarto.  2007. Metode  dan  Teknik  Penelitian  Sosial .
Yogyakarta: Andi.
Tiro,  Arif  Muhammad.  1999. Dasar-Dasar  Statistik .  Makassar:State  University of Makassar Press.