## GENERALISASI ATURAN CRAMER

## Ferry Syahriandi, Thresye, Akhmad Yusuf
Program Studi Matematika Fakultas MIPA Universitas Lambung Mangkurat Jl. A. Yani Km. 36, Banjarbaru 70714, Kalsel
Email : ferryexfresh@gmail.com

## ABSTRAK
Sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 , 𝒙 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 dan 𝑛 ≥ 𝑚 di mana 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 adalah matriks riil yang dapat mempunyai solusi tunggal, tak hingga banyaknya solusi, atau tidak mempunyai solusi. Ketika 𝑛 ≥ 𝑚 , sistem mempunyai solusi tunggal dengan norm minimum yang diberikan oleh invers Moore-Penrose, dinotasikan dengan 𝐴 + dan berbentuk 𝐴 + 𝒃 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 dengan det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 . Tujuan dari penelitian ini adalah membuktikan aturan Cramer yang telah digeneralisasi sehingga dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier yang demikian. Penelitian ini bersifat studi literatur. Hasil penelitian yang diperoleh dengan menggunakan invers Moore-Penrose dan aturan Cramer  adalah  aturan Cramer yang digeneralisasi.    Rumus tersebut dapat digunakan untuk menentukan solusi sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 di mana 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 dan 𝑛 ≥ 𝑚 .
Kata kunci : Sistem persamaan linier, aturan Cramer, invers Moore-Penrose

## ABSTRACT
Linear equation system 𝐴𝒙 = 𝒃 , 𝒙 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 and 𝑛 ≥ 𝑚 where 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 is a real matrix that can haveone solution, infinitely many solutions, or no solution.When 𝑛 ≥ 𝑚 , the system have unique solution with minimum norm given by Moore-Penrose inverse, denote by 𝐴 + and has a form 𝐴 + 𝒃 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 with det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 .The purpose ofthis research is to prove Cramer’s rule that have been generalized, so it can be used to determine solution of linear equation system. This research is study of literature. The result obtained using Moore-Penrose inverse and Cramer’s rule is Cramer’s rule that have been generalized.    This formula can be used to determine solution of linear equation system 𝐴𝒙 = 𝒃 and 𝑛 ≥ 𝑚 where 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 and 𝑛 ≥ 𝑚 .
Keywords : Linear equation system, Cramer’s rule, Moore-Penrose inverse

## 1. PENDAHULUAN
Sistem persamaan linier yang berbentuk 𝐴𝒙 = 𝒃 dapatmempunyai solusi tunggal, tak hingga banyaknya solusi, atau tidak mempunyai  solusi  [1].Sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 , 𝒙 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 dan 𝑛 ≥ 𝑚 di mana 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 adalah matriks riil yang mempunyai solusi tunggal ketika 𝑚 = 𝑛 dan det( 𝐴 ) ≠ 0 , solusinya dapat dicari dengan menggunakan aturan Cramer [5]. Burgstahler [2]  menyatakan sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 dengan matriks 𝐴 berbentuk bujur sangkar dapat dibentuk sebagai suatu kombinasi linier dari solusi sistem tersebut yang disebut dengan generalisasi aturan Cramer sederhana.Dalam pengembangannya, generalisasi aturan Cramer sederhana digunakan untuk menentukan solusi dari sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 di mana 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 yang artinya tidak hanya ketika matriks 𝐴 berbentuk bujur sangkar, namun juga ketika matriks 𝐴 tidak berbentuk bujur sangkar, dalam kasus ini 𝑛 > 𝑚 . Sistem tersebut memiliki solusi tunggal dengan norm minimum yang diberikan oleh invers Moore-Penrose dan dinotasikan dengan 𝐴 + , dalam hal ini solusi yang diberikan adalah 𝐴 + 𝒃 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 dengan det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 [5].Berdasarkan  uraian  masalah yang dikaji, maka dibahas  penyelesaiansistem persaman linier 𝐴𝒙 = 𝒃 di mana matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 𝑚 menggunakan aturan Cramer.
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28

## 2. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Sistem Persamaan Linier
Definisi 2.1 [1] Secara umum persamaan linier dengan 𝑛 variabel 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 dapat ditulis dalam bentuk:
𝑎 1 𝑥 1 + 𝑎 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 ...(2.1)
di mana 𝑎 1 , 𝑎 2 , … , 𝑎 𝑛 dan 𝑏 bilangan konstan serta 𝑎 𝑖 tidak semuanya nol . Dalam kasus khusus persamaan (2.1) disebut persamaan linier homogen jika 𝑏 = 0. Kumpulan dari persamaan linier disebut sistem persamaan linier. Secara umum sistem persamaan linier dengan 𝑚 persamaan dan 𝑛 variabel 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 dapat ditulis dalam bentuk: 𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚 ...(2.2)
Sistem persamaan linier  dapat  mempunyai solusi tunggal, tak hingga banyaknya solusi, atau tidak mempunyai solusi.Dari persamaan (2.2) dapat dijadikan sebuah perkalian  matriks,  dinotasikan dengan 𝐴 , 𝒙 dan 𝒃 , maka dapat ditulis kembali persamaan matriks tunggal:
𝐴𝒙 = 𝒃 ...(2.3)

## 2.2 Matriks dan Operasi Matriks
Matriks adalah susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan- bilangan tersebut disebut entri atau elemen matriks. Operasi-operasi aritmatika dalam matriks yaitu penjumlahan matriks, pengurangan matriks, perkalian matriks dengan suatu skalar, dan perkalian matriks dengan matriks.

## Teorema 2.2 [1]
Jika A matriks 𝑛 × 𝑛 dan dapat dibalik, maka untuk setiap matriks 𝒃𝑛 × 1 dari sistem persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 mempunyai solusi eksak tunggal yaitu 𝒙 = 𝐴 −1 𝒃 .

## 2.3 Determinan
Ada beberapa definisi yang dikembangkan dalam rangkaian determinan, salah satu konteksnya adalah untuk menyelesaikan sistem persamaan linier.
Definisi 2.3[1] Jika 𝐴 matriks 𝑛 × 𝑛 , maka bilangan yang diperoleh dengan mengalikan entri-entri dalam setiap baris atau kolom dari 𝐴 dengan kofaktor yang sesuai dan menambahkan hasilnya disebut determinan 𝐴 , dan jumlahan semuanya disebut ekspansi kofaktor 𝐴 . det( 𝐴 ) = 𝑎 1𝑗 𝐶 1𝑗 + 𝑎 2𝑗 𝐶 2𝑗 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑗 𝐶 𝑛𝑗 (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke- 𝑗 ) ...(2.4)
dan
det( 𝐴 ) = 𝑎 𝑖1 𝐶 𝑖1 + 𝑎 𝑖2 𝐶 𝑖2 + ⋯ + 𝑎 𝑖𝑛 𝐶 𝑖𝑛 (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke- 𝑖 ). ...(2.5)

## Teorema 2.4 [1]
Jika 𝐴 adalah matriks bujur sangkar dengan dua baris mempunyai entri-entri yang identik atau dua kolom mempunyai entri-entri yang identik, maka det( 𝐴 ) = 0 . Teorema 2.5 [1] Diberikan matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛
i. Jika 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari baris tunggal atau kolom tunggal yang dikalikan dengan skalar 𝑘 , maka det( 𝐵 ) = 𝑘 det( 𝐴 ) .
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
ii. Jika 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari dua buah baris atau dua buah kolom matriks 𝐴 yang saling ditukar, maka det( 𝐵 ) = − det( 𝐴 ) . iii. Jika 𝐵 adalah matriks yang dihasilkan dari penggandaan suatu baris matriks 𝐴 ditambahkan ke baris lain atau penggandaan suatu kolom matriks 𝐴 ditambahkan ke kolom lainnya, maka det( 𝐵 ) = det( 𝐴 ) .
Teorema 2.6[1] Diberikan 𝐴 , 𝐵 , dan 𝐶 adalah matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 yang hanya berbeda pada salah satu barisnya, katakan baris ke- 𝑟 , dan diasumsikan bahwa baris ke- 𝑟 dari 𝐶 dapat diperoleh dengan menambahkan entri-entri yang bersesuaian pada baris ke- 𝑟 dari matriks 𝐴 dan 𝐵 . Maka
det( 𝐶 ) = det( 𝐴 ) + det( 𝐵 ) ...(2.6)
Hasilnya juga sama untuk kolom ke- 𝑟 . Teorema 2.7[1] Jika sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 dengan 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 sedemikian sehingga det( 𝐴 ) ≠ 0 , maka sistem mempunyai solusi tunggal, yaitu:
𝑥 1 = det( 𝐴 1 ) det( 𝐴 ) , 𝑥 2 = det( 𝐴 2 ) det( 𝐴 ) , … , 𝑥 𝑛 = det( 𝐴 𝑛 ) det( 𝐴 ) ...(2.7)
di mana 𝐴 𝑗 adalah matriks yang diperoleh dengan menggantikan entri-entri pada kolom ke- j dari matriks 𝐴 dengan entri-entri pada matriks
𝒃 = � 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑛 �
Rumus di atas disebut aturan Cramer.

## 2.4 Ruang Vektor
Ruang  vektor dengan skalar riil disebut ruang vektor riil dan ruang vektor dengan skalar kompleks disebut ruang vektor kompleks.
Definisi 2.8 [1] Jika 𝑆 = ( 𝑣 1 , 𝑣 2 , … , 𝑣 𝑟 ) bukan himpunan kosong di ruang vektor 𝑉 , maka persamaan 𝑘 1 𝒗 𝟏 + 𝑘 2 𝒗 𝟐 + ⋯ + 𝑘 𝑟 𝒗 𝒓 = 0 ...(2.8)
paling tidak mempunyai satu solusi, yaitu
𝑘 1 = 0, 𝑘 2 = 0, … , 𝑘 𝑟 = 0 yang disebut solusi trivial. Jika ini satu-satunya solusi, maka 𝑆 disebut bebas linier dan jika ada solusi selain solusi trivial, maka 𝑆 dikatakan bergantung linier .
2.5 Rank dan Nullitas
Definisi 2.9[1]
Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom matriks 𝐴 disebut rank 𝐴 dan donotasikan dengan 𝑟 ( 𝐴 ) ;dimensi dari ruang null 𝐴 disebut nullitas 𝐴 dan dinotasikan dengan 𝑛 ( 𝐴 ) . Definisi 2.10[3] Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 nonsingular jika dan hanya jika 𝑟 ( 𝐴 ) = 𝑛 . Matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai rank kurang dari 𝑛 disebut singular. Teorema 2.11[6] Jika 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑚 × 𝑛 , maka 𝑟 ( 𝐴 ) = 𝑟 ( 𝐴 𝑇 𝐴 ) = 𝑟 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) ...(2.9)
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28

## 2.6 Ruang Hasil Kali Dalam
Hasil kali dalam merupakan operasi yang mengaitkan antara ruang vektor dengan bilangan riil.
Definisi 2.12[1]
Hasil kali dalam pada ruang vektor riil 𝑉 adalah fungsi yang menghubungkan bilangan riil 〈𝒖 , 𝒗〉 dengan setiap pasang dari vektor-vektor di 𝑉 yang memenuhi aksioma berikut untuk setiap 𝒖 , 𝒗 , 𝒘 ∈ 𝑉 dan skalar 𝑘 :
i. 〈𝒖 , 𝒗〉 = 〈𝒗 , 𝒖〉
ii.
〈𝒖 + 𝒗 , 𝒘〉 = 〈𝒖 , 𝒘〉 + 〈𝒗 , 𝒘〉 iii.
〈𝑘𝒖 , 𝒗〉 = 𝑘〈𝒖 , 𝒗〉
iv. 〈𝒗 , 𝒗〉 ≥ 0 dan 〈𝒗 , 𝒗〉 = 0 jika dan hanya jika 𝒗 = 𝟎
Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam disebut ruang hasil kali dalam.
Definisi 2.13[1] Jika 𝑉 adalah ruang hasil kali dalam riil, maka norm (panjang) dari vektor 𝒗 di 𝑉 dinotasikan dengan ‖𝒗‖ dan didefinisikan oleh ‖𝒗‖ = �〈𝒗 , 𝒗〉 ...(2.10)
Definisi 2.14[1]
Dua buah vektor 𝒖 dan 𝒗 dalam ruang hasil kali dalam disebut ortogonal jika 〈𝒖 , 𝒗〉 = 0 .
Langkah-langkah konstruksi dari basis ortogonal atau ortonormal disebut proses Gram-Schmidt.
i. 𝒗 𝟏 = 𝒖 𝟏 ii. 𝒗 𝟐 = 𝒖 𝟐 − 〈𝒖 𝟐 , 𝒗 𝟏 〉 ‖𝒗 𝟏 ‖ 𝟐 𝒗 𝟏
iii. 𝒗 𝟑 = 𝒖 𝟑 − 〈𝒖 𝟑 , 𝒗 𝟏 〉 ‖𝒗 𝟏 ‖ 𝟐 𝒗 𝟏 − 〈𝒖 𝟑 , 𝒗 𝟐 〉 ‖𝒗 𝟐 ‖ 𝟐 𝒗 𝟐
iv. 𝒗 𝟒 = 𝒖 𝟒 − 〈𝒖 𝟒 , 𝒗 𝟏 〉 ‖𝒗 𝟏 ‖ 𝟐 𝒗 𝟏 − 〈𝒖 𝟒 , 𝒗 𝟐 〉
‖𝒗 𝟐 ‖ 𝟐 𝒗 𝟐 − 〈𝒖 𝟒 , 𝒗 𝟑 〉 ‖𝒗 𝟑 ‖ 𝟐 𝒗 𝟑 dan seterusnya
Definisi 2.15 [4] Ruang Hilbert adalah ruang hasil kali dalam lengkap.
Lemma 2.16 [5] Diberikan 𝑉 dan 𝑊 adalah ruang Hilbert, 𝐺 ∈ 𝐿 ( 𝑉 , 𝑊 ) dan 𝐺 ∗ ∈ 𝐿 ( 𝑊 , 𝑉 ) adalah adjoint operator, maka pernyataan berikut berlaku i. Range( 𝐺 ) = 𝑊 ⇔ ∃𝛾 > 0 ∋ ‖𝐺 ∗ 𝑤‖ 𝑉 ≥ 𝛾‖𝑤‖ 𝑊 , 𝑤 ∈ 𝑊 . ii. Range( 𝐺 ) ������������� = 𝑊 ⇔ Ker( 𝐺 ∗ ) = {0} 𝑊 ⇔ 𝐺 ∗ satu-satu.

## 2.7 Invers Moore-Penrose
Definisi 2.17[7] Diberikan matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 . Matriks 𝑋 dikatakan pseudo-invers atau invers tergeneralisasi dari matriks 𝐴 jika dan hanya jika 𝑋 memenuhi satu atau lebih sifat-sifat berikut: i. 𝐴𝑋𝐴 = 𝐴
ii. 𝑋𝐴𝑋 = 𝑋
iii. ( 𝐴𝑋 ) ∗ = 𝐴𝑋
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
iv. ( 𝑋𝐴 ) ∗ = 𝑋𝐴 di mana 𝐵 ∗ adalah konjugat transpos dari matriks 𝐵 yang secara umum entri-entri matriks 𝐵 adalah bilangan kompleks. Apabila entri-entri matriks 𝐵 adalah bilangan riil maka 𝐵 ∗ = 𝐵 𝑇 . Jika 𝑋 memenuhi sifat (i) maka disebut one-inverse . Definisi 2.18[7] 𝑋 dikatakan invers Moore-Penrose dari matriks 𝐴 jika dan hanya jika 𝑋 memenuhi semua sifat yang diberikan oleh Definisi 2.16 dan dinotasikan dengan 𝐴 + . Teorema 2.19[7]
Untuk sebarang sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 dengan 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝑟 ( 𝐴 ) =
𝑚 , 𝒙 = 𝐴 + 𝒃 adalah solusi tunggal dengan ‖𝒙‖ 2 2 minimum .

## 3. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur. Prosedurnya dimulai dengan mengumpulkan bahan tentang generalisasi Aturan Cramr. Kemudian  membuktikan teorema yang  menyatakan  sistem persamaan 𝐴𝒙 = 𝒃 mempunyai solusi jika dan hanya jika det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 menggunakan aturan Cramer dan invers Moore-Penrose.  Selanjutnya  mendefinisikan suatu sistem persamaan linier 〈𝒍 𝒊 , 𝒙〉 = 𝑏 𝑖 di mana 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 yang dibentuk dari vektor-vektor baris matriks 𝐴 besrta solusinya. Kemudian membuktikan teorema yang menyatakan sistem 𝐴𝒙 = 𝒃 mempunyai solusi jika dan hanya jika vektor-vektor barisnya bebas linier menggunakan proses Gram-Schmidt.

## 4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Generalisasi Aturan Cramer
Didefinisikan suatu sistem persamaan linier
𝐴𝒙 = 𝒃 , 𝒙 ∈ 𝑅 𝑛 , 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 , 𝑛 ≥ 𝑚 ...(4.1)
Ketika 𝑚 = 𝑛 dan det( 𝐴 ) ≠ 0 ,menurut Teorema 2.2 sistem  tersebut  mempunyai solusi tunggal yaitu 𝒙 = 𝐴 −1 𝒃 . Berdasarkan Teorema 2.7, solusi persamaan (4.2) juga dapat dicari menggunakan aturan Cramer.Ada sebuah teorema yang menyatakan bahwa solusi dari persamaan (4.2) dapat berupa suatu kombinasi linier yang mana teorema ini disebut juga sebagai aturan Cramer Sederhana sesuai dengan teorema berikut:
Teorema 4.1 Sistem persamaan (4.1) dengan 𝑚 = 𝑛 mempunyai solusi tunggal 𝑥 1 , 𝑥 2 , … , 𝑥 𝑛 , maka jumlahan dari solusi sistem ∀𝑘 𝑖 ∈ ℝ di mana 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 memenuhi: 𝑘 1 𝑥 1 + 𝑘 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑥 𝑛
= � 𝑎 11 + 𝑘 1 𝑏 1 𝑎 12 + 𝑘 2 𝑏 1 ⋯ 𝑎 1𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 1 𝑎 21 + 𝑘 1 𝑏 2 𝑎 22 + 𝑘 2 𝑏 2 ⋯ 𝑎 2𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 + 𝑘 1 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛2 + 𝑘 2 𝑏 𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 𝑛 � � 𝑎 11 𝑎 21 ⋯ 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝑎 22 ⋯ 𝑎 𝑛2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 � − 1 (4.2)
Bukti: Diberikan 𝑁 adalah matriks koefisien konstan sistem yang entri-entrinya ditambahkan dengan konstanta 𝒃 pada baris yang bersesuaian dan terdapat suatu skalar 𝑘 𝑖 ∈ ℝ di mana 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 sedemikian sehingga determinannya adalah
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
det( 𝑁 ) = � 𝑎 11 + 𝑘 1 𝑏 1 𝑎 12 + 𝑘 2 𝑏 1 ⋯ 𝑎 1𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 1 𝑎 21 + 𝑘 1 𝑏 2 𝑎 22 + 𝑘 2 𝑏 2 ⋯ 𝑎 2𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 + 𝑘 1 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛2 + 𝑘 2 𝑏 𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 𝑛 �
berdasarkan Teorema 2.6,2.5 (i), danTeorema 2.4maka
det( 𝑁 ) = � 𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑎 22 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 � + 𝑘 1 � 𝑏 1 𝑎 12 ⋯ 𝑎 1𝑛 𝑏 2 𝑎 22 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 � + 𝑘 2 � 𝑎 11 𝑏 1 ⋯ 𝑎 1𝑛 𝑎 21 𝑏 2 ⋯ 𝑎 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑏 𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 � + ⋯ + 𝑘 𝑛 � 𝑎 11 𝑎 12 ⋯ 𝑏 1 𝑎 21 𝑎 22 ⋯ 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 𝑎 𝑛2 ⋯ 𝑏 𝑛 �
Jika kedua ruas dibagi dengan determinan dari matriks 𝐴 maka dengan menggunakan Teorema 2.7 atau aturan Cramer diperoleh
𝑘 1 𝑥 1 + 𝑘 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑥 𝑛 = det( 𝑁 ) det( 𝐴 ) − 1 𝑘 1 𝑥 1 + 𝑘 2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑘 𝑛 𝑥 𝑛 = � 𝑎 11 + 𝑘 1 𝑏 1 𝑎 12 + 𝑘 2 𝑏 1 ⋯ 𝑎 1𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 1 𝑎 21 + 𝑘 1 𝑏 2 𝑎 22 + 𝑘 2 𝑏 2 ⋯ 𝑎 2𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑛1 + 𝑘 1 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛2 + 𝑘 2 𝑏 𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 + 𝑘 𝑛 𝑏 𝑛 � � 𝑎 11 𝑎 21 ⋯ 𝑎 𝑛1 𝑎 12 𝑎 22 ⋯ 𝑎 𝑛2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛 � − 1 ∎
Dalam kasus lain, persamaan (4.1) akan memiliki solusi  di mana matriks 𝐴 berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan 𝑛 ≥ 𝑚 sesuai dengan teorema berikut.
Teorema 4.2 Untuk setiap 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 , persamaan (4.1) mempunyai solusi jika dan hanya jika det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 .
Bukti: ⟹ Matriks 𝐴 dipandang sebagai operator linier 𝐴 : 𝑅 𝑛 → 𝑅 𝑚 dan adjoint operator 𝐴 𝑇 adalah transpos matriks 𝐴 di mana 𝐴 𝑇 : 𝑅 𝑚 → 𝑅 𝑛 . Persamaan (4.2) mempunyai solusi jika dan hanya jika operator 𝐴 surjektif. Oleh karena itu, dari Lemma 2.16 ∃𝛾 > 0 ∋ ‖𝐴 𝑇 𝑧‖ 𝑅 𝑛 ≥ 𝛾‖𝑧‖ 𝑅 𝑚 , 𝑧 ∈ 𝑅 𝑚
sehingga
〈𝐴𝐴 𝑇 𝑧 , 𝑧〉 ≥ 𝛾 2 ‖𝑧‖ 𝑅 𝑚 2 , 𝑧 ∈ 𝑅 𝑚
akibatnya 𝐴𝐴 𝑇 satu-satu. Karena 𝐴𝐴 𝑇 matriks 𝑚 × 𝑚 , maka det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 .
⟸ Jika diketahui det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 , maka berdasarkan Definisi 2.11 𝑟 ( 𝐴 ) = 𝑚 . Dari Teorema 2.19  dapat dilihat jika 𝑟 ( 𝐴 ) = 𝑚 maka 𝒙 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 adalah solusi dari 𝐴𝒙 = 𝒃 dan merupakan solusi dengan norm minimum.  Jika 𝒘 = ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 adalah satu-satunya solusi dari persamaan ( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝒘 = 𝒃 , maka dari Teorema 2.7diperoleh
𝑤 1 = det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 1 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 ) , 𝑤 2 = det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 2 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 ) , … , 𝑤 𝑚 = det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝑚 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 )
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
di mana ( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝑖 adalah matriks yang diperoleh dengan mengganti entri-entri pada kolom ke- 𝑖 dari matriks 𝐴𝐴 𝑇 dengan matriks
� 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑚 � Solusi 𝒙 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 dari persamaan (4.1) dapat dituliskan sebagai berikut:
� 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 � = ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡�𝑎 𝑖1 𝑚 𝑖=1 det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝑖 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 ) � 𝑎 𝑖2 𝑚 𝑖=1 det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝑖 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ⋮ � 𝑎 𝑖𝑛 𝑚 𝑖=1 det(( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝑖 ) det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ∴ Benar bahwa untuk setiap 𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 , persamaan (4.2) mempunyai solusi jika dan hanya jika det( 𝐴𝐴 𝑇 ) ≠ 0 . ∎ Jika persamaan (4.2) didefinisikan sebagai vektor-vektor berikut
𝒍 𝟏 = � 𝑎 11 𝑎 12 ⋮ 𝑎 1𝑛 � , 𝒍 𝟐 = � 𝑎 21 𝑎 22 ⋮ 𝑎 2𝑛 � , … , 𝒍 𝒎 = � 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 ⋮ 𝑎 𝑚𝑛 � , 𝒙 = � 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 � dan 𝒃 = � 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑚 �
maka persamaannya dapat ditulis dalam bentuk
〈𝒍 𝒊 , 𝒙〉 = 𝑏 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ...(4.3)
Persamaan (4.3) dapat dicari solusinya, sesuai teorema berikut.
Teorema 4.3 Solusi dari persamaan (4.3) yang diberikan oleh invers Moore-Penrose 𝒙 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 dapat ditulis sebagai berikut:
𝑥 𝑗 = �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 + 𝑎 1𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 1 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 2 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 + 𝑎 2𝑗 𝑏 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 𝑚 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 2 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 𝑚 �� �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 �� − 1 ...(4.4) dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 . Bukti: Solusi persamaan (2.2) diberikan oleh invers Moore-Penrose  dengan  bentuk 𝒙 = 𝐴 𝑇 ( 𝐴𝐴 𝑇 ) −1 𝒃 . Diketahui { 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 } adalah vektor-vektor baris matriks 𝐴 , maka
� 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 � = � 𝑎 11 𝑎 21 ⋯ 𝑎 𝑚1 𝑎 12 𝑎 22 ⋯ 𝑎 𝑚2 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 1𝑛 𝑎 2𝑛 ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 � ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ −1 � 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑚 � Jika 𝒘 = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 ⎦ ⎥ ⎥ ⎤ −1 � 𝑏 1 𝑏 2 ⋮ 𝑏 𝑚 � merupakan suatu solusi untuk persamaan ( 𝐴𝐴 𝑇 ) 𝒘 = 𝒃 yang dapat dituliskan sebagai berikut
� 𝑤 1 𝑤 2 ⋮ 𝑤 𝑚 �
Solusi tersebut dapat disubstitusikan ke persamaan sebelumnya menjadi
� 𝑥 1 𝑥 2 ⋮ 𝑥 𝑛 � = � 𝑎 11 𝑤 1 + 𝑎 21 𝑤 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚1 𝑤 𝑚 𝑎 12 𝑤 1 + 𝑎 22 𝑤 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚2 𝑤 𝑚 ⋮ 𝑎 1𝑛 𝑤 1 + 𝑎 2𝑛 𝑤 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑤 𝑚 � 𝑥 𝑗 = 𝑎 1𝑗 𝑤 1 + 𝑎 2𝑗 𝑤 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑗 𝑤 𝑚 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Sesuai dengan Teorema 4.1,solusi di atas dapat diubah menjadi
𝑥 𝑗 = �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 + 𝑎 1𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 1 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 2 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 + 𝑎 2𝑗 𝑏 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 𝑚 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 𝑚 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 𝑚 �� �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 �� − 1 ∎

## Teorema 4.4
Persamaan (4.1) mempunyai solusi jika dan hanya jika himpunan vektor- vektor { 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 } bebas linier di 𝑅 𝑛 .
Bukti:
⟹ Asumsikan persamaan (4.1) mempunyai solusi ∀𝒃 ∈ 𝑅 𝑚 . Diasumsikan bilangan 𝑐 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ada, sedemikian sehingga 𝑐 1 𝒍 𝟏 + 𝑐 2 𝒍 𝟐 + ⋯ + 𝑐 𝑚 𝒍 𝒎 = 0
maka, 𝒙 ∈ 𝑅 𝑛 ada sedemikian sehingga
𝑎 11 𝑥 1 + 𝑎 12 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐 1 𝑎 21 𝑥 1 + 𝑎 22 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑥 1 + 𝑎 𝑚2 𝑥 2 + ⋯ + 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑚 dengan kata lain
〈𝒍 𝒊 , 𝒙〉 = 𝑐 𝑖 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
oleh karena itu
〈𝒄 𝒊 𝒍 𝒊 , 𝒙〉 = 𝑐 𝑖 2 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 Jadi 〈𝑐 1 𝑙 1 + 𝑐 2 𝑙 2 + ⋯ + 𝑐 𝑚 𝑙 𝑚 , 𝒙〉 = 𝑐 1 2 + 𝑐 2 2 + ⋯ + 𝑐 𝑛 2 = 0
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
Sehingga 𝑐 1 = 𝑐 2 = ⋯ = 𝑐 𝑚 = 0 yang menunjukkan bahwa vektor-vektor { 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 } bebas linier sesuai Definisi 2.8. ⟸ Diasumsikan vektor-vektor { 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 } bebas linier di 𝑅 𝑛 . Menggunakan proses Gram-Schmidt dapat dicari vektor-vektor { 𝝊 𝟏 , 𝝊 𝟐 , … , 𝝊 𝒎 } yang ortogonal di 𝑅 𝑛 maka persamaan (4.1) akan ekuivalen dengan sistem berikut 〈𝝊 𝒊 , 𝒙〉 = 𝑐 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑚 ...(4.5)
di mana
𝑐 1 = 𝑏 1 𝑐 2 = 𝑏 2 − 〈𝒍 𝟐 , 𝝊 𝟏 〉 ‖𝝊 𝟏 ‖ 2 𝑐 1 𝑐 3 = 𝑏 3 − 〈𝒍 𝟑 , 𝝊 𝟏 〉 ‖𝝊 𝟏 ‖ 2 𝑐 1 − 〈𝒍 𝟑 , 𝝊 𝟐 〉 ‖𝝊 𝟐 ‖ 2 𝑐 2 ⋮ 𝑐 𝑚 = 𝑏 𝑚 − � 〈𝒍 𝒎 , 𝝊 𝒊 〉 ‖𝝊 𝒊 ‖ 2 𝑐 𝑖 𝑚−1 𝑖=1 Jika vektor-vektor 𝜐 𝑖 dengan
𝝊 𝒊 = � 𝜐 𝑖1 𝜐 𝑖2 ⋮ 𝜐 𝑖𝑛 � 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
dan matriks Υ berukuran 𝑚 × 𝑛 dengan
Υ = � 𝝊 𝟏 𝝊 𝟐 ⋮ 𝝊 𝒎 � = � 𝜐 11 𝜐 12 … 𝜐 1𝑛 𝜐 21 𝜐 22 … 𝜐 2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝜐 𝑚1 𝜐 𝑚2 … 𝜐 𝑚𝑛 �
maka  berdasarkan  Teorema 4.2dapat diperoleh bahwa persamaan (4.5) mempunyai solusi ∀𝒄 ∈ 𝑅 𝑚 jika dan hanya jika det( ΥΥ 𝑇 ) ≠ 0. Karena { 𝝊 𝟏 , 𝝊 𝟐 , … , 𝝊 𝒎 } adalah vektor-vektor yang ortogonal, maka
𝑥 𝑗 = � 𝜐 𝑖𝑗 𝑚 𝑖=1 𝑐 𝑖 ‖𝜐 𝑖 ‖ −2 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑚
∴ Benar  bahwa  persamaan (2.2) mempunyai solusi jika dan hanya jika himpunan vektor-vektor { 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 } bebas linier di 𝑅 𝑛 . ∎

## 5. KESIMPULAN
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier 𝐴𝒙 = 𝒃 di mana 𝐴 = �𝑎 𝑖𝑗 � 𝑚 × 𝑛 dan 𝑛 ≥ 𝑚 dengan mendefinisikan 𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 , … , 𝒍 𝒎 yang merupakan vektor-vektor baris dari matriks 𝐴 , maka dapat digunakan aturan Cramer yang telah generalisasi sebagai berikut:
Vol.11 No.2 (Desember 2017) Hal. 19-28
𝑥 𝑗 = �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 + 𝑎 1𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 1 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 1 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 2 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 + 𝑎 2𝑗 𝑏 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 2 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 + 𝑎 1𝑗 𝑏 𝑚 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 + 𝑎 2𝑗 𝑏 2 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 + 𝑎 𝑚𝑗 𝑏 𝑚 �� �� ‖𝒍 𝟏 ‖ 2 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ 〈𝒍 𝟏 , 𝒍 𝒎 〉 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝟏 〉 ‖𝒍 𝟐 ‖ 2 ⋯ 〈𝒍 𝟐 , 𝒍 𝒎 〉 ⋮ ⋮ ⋮ 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟏 〉 〈𝒍 𝒎 , 𝒍 𝟐 〉 ⋯ ‖𝒍 𝒎 ‖ 2 �� − 1 dengan 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 .

## 6. DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. & Rorres, C. 2010. Elementary Linear Algebra. Edisi ke-10. New York: John Wiley & Sons.
[2] Burgstahler, S. 1983. A Generalization of Cramer’s Rule .  The Two-Year College Mathematics Journal . 14 (3): 203-205.
[3] Harville, D. A. 1997. Matrix Algebra from a Statistician’s Perspective. New York: Springer.
[4] Kreyszig, E. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New York: John Wiley & Sons.
[5] Leiva, H. 2015. A Generalization of Cramer’s Rule .  Advances in Linear Algebra & Matrix Theory . 5: 156-166.
[6] Rohde, C. A. 2003. Linear Algebra and Matrices.Mc Graw-Hill. New York.
[7] Usmani, R. A. 1987. Applied Linear Algebra. New York: Marcel Dekker.