## PERBANDINGAN SOLUSI NUMERIK INTEGRAL LIPAT DUA PADA FUNGSI ALJABAR DENGAN METODE ROMBERG DAN SIMULASI MONTE CARLO
Ermawati i , PujiRahayu ii , Faihatus Zuhairoh iii
i Dosen Jurusan Matematika FST UIN Alauddin Makassar
ii Mahasiswa Jurusan Matematika FST UIN Alauddin Makassar
iii Dosen Jurusan Matematika YPUP
ABSTRAK ,  Integrasi  numerik  merupakan  metode  yang dapat  digunakan  untuk  menyelesaikan  persoalan  integral yang  sulit  diselesaikan  secara  analitis.  Artikel  ini membahas tentang perbandingan tingkat keakuratan antara metode  Romberg  dan  Simulasi  Monte  Carlo  pada penyelesaian  integral  lipat  dua  untuk  fungsi  aljabar  baik fungsi  aljabar  rasional  maupun  irrasional.  Tingkat keakuratan  dapat  di  ketahuin  dari  perbandingan  galat antara kedua  metode tersebut. Berdasarkan hasil simulasi pada  beberapa  fungsi  aljabar  baik  rasional  maupun irrasional menunjukkan bahwa nilai galat metode Romberg lebih  kecil  dibandingkan  metode  Simulasi  Monte  Carlo, meskipun  jumlah  iterasi  untuk  metode  Simulasi  Monte Carlo  jauh  lebih  besar  dibandingkan  dengan  metode Romberg.  Sehingga  dapat  disimpulkan  bahwa  metode Romberg  lebih  akurat  dibandingan  dengan  metode Simulasi Monte Carlo, pada penyelesaian integral lipat dua dengan  fungsi  aljabar  baik  yang  rasional  maupun irrasional.
Kata  Kunci:  Integrasi  numerik,  Galat,  metode  Romberg,

## Simulasi Monte Carlo

## 1. PENDAHULUAN
Perkembangan teknologi
mempengaruhi berbagai  segi  kehidupan  manusia  yang  dapat membawa  perubahan  pada  bagaimana  cara manusia  menyelesaikan  permasalahan  yang dihadapi. Hadirnya pengaruh komputer membawa perkembangan yang terus berkelanjutan  dalam  melakukan  pendekatan untuk menyelesaikan permasalahan yang dihadapi.
Banyak  permasalahan  yang  dihadapi  dapat dimodelkan ke dalam suatu  persamaan integral. Namun  persamaan  integral  ini  terkadang bentuknya rumit sehingga sulit untuk diselesaikan  dengan  menggunakan  kaidah- kaidah  kalkulus  secara  analitik.  Untuk  itu diperlukan  bantuan  komputer  dan  metode pendekatan yang tepat untuk dapat menyelesaikan persamaan tersebut secara efisien dan  tepat.  Untuk  menangani  pesamaan  yang
rumit  dapat  menggunakan  metode  numerik. Metode  numerik  merupakan  teknik  dimana masalah matematika diformulasikan sedemikian rupa sehingga dapat diselesaikan oleh pengoperasian matematika, dimana penggunaan metode  ini  menghasilkan  solusi  hampiran  yang memang  tidak  persis  sama  dengan  solusi  yang sebenarnya (sejati). Akan tetapi tingkat keakuratannya  dapat  dilihat  dari  galat  sekecil mungkin.  Operasi  hitungan  dalam  metode numerik  umumnya  dilakukan  dengan  iterasi sehingga  jumlah  hitungan  yang  dilakukan banyak  dan  berulang-ulang.  Oleh  karena  itu diperlukan  bantuan  program  aplikasi  komputer untuk melaksakan operasi hitungan tersebut. Metode numerik yang digunakan untuk memecahkan persoalan integral disebut integrasi numerik.  Integrasi  numerik  merupakan  suatu metode  yang  digunakan  untuk  mendapatkan nilai-nilai hampiran dari beberapa integral tentu yang memerlukan penyelesaian numerik sebagai hampirannya.
Penyelesaian  integrasi  dengan  metode  numerik terdiri  dari  tiga  kelompok  berdasarkan  proses penurunannya  yaitu metode pias, metode Gauss dan  metode  Newton-Cotes.  Metode  pias  seperti metode  trapesium,  segi  empat  dan  titik  tengah. Metode Gauss seperti Gauss Legendre 2 titik, 3 titik dampai n titik. Sedangkan metode Newton- Cotes seperti metode trapesium, metode Simpson dan metode Boole. Metode Romberg merupakan gabungan  dari  rumus  trapesium  rekursif  dan Boole Rekursif  yang didasarkan pada perluasan ekstrapolasi Richardson sehingga dapat memperoleh  nilai  integrasi  yang  semakin  baik. Selain  itu,  terdapat  pula  sebuah  metode  yang menggunakan  pembangkit  bilangan  acak  yang disebut  Simulasi  Monte  Carlo.  Walaupun menggunakan  bilangan  acak,  metode  Simulasi Monte  Carlo  mempunyai  akurasi  yang  cukup tinggi karena berdasarkan pada teori probabilitas
dan statistik. Masalah yang akan di bahas dalam artikel  ini  berkaitan  dengan  perbedaan  tingkat keakuratan antara metode Romberg dan metode Simulasi Monte Carlo pada penyelesaian integral lipat dua pada fungsi aljabar, yang dimaksudkan untuk menjelaskan perbandingan tingkat keakuratan  penggunaan  metode  Romberg  dan Simulasi  Monte  Carlo  dalam  menyelesaian integral lipat dua pada fungsi aljabar.

## 2. TINJAUAN PUSTAKA

## Fungsi
Suatu  fungsi f merupakan  suatu  aturan korespondensi  yang  menghubungkan  setiap objek x dalam  suatu  himpunan  pertama  dengan suatu  nilai  tunggal 𝑓(𝑥) dari  suatu  himpunan kedua.
Secara  garis  besar  fungsi  dibedakan menjadi  dua  yaitu  fungsi  aljabar  dan  fungsi transenden.  Fungsi  aljabar  adalah  fungsi  yang diperoleh dari sejumlah berhingga operasi aljabar seperti  penjumlahan,  pengurangan,  perkalian, pembagian,  perpangkatan  dan  penarikan  akar. Adapun  yang  termasuk  fungsi  aljabar  adalah fungsi  polynomial,  fungsi  rasional  dan  fungsi irasional.

## Integral
Integral  merupakan  perhitungan  kebalikan  dari diferensial  suatu  fungsi  (suatu  fungsi  asal  yang diturunkan  dapat  kefungsi  asalnya  dengan  cara integral).  Integral  terdiri  dari  integral  taktentu ( indefinite ) dan integral tentu ( definite ).
Misalkan f suatu fungsi yang didefinisikan pada interval tertutup [ a, b ]. Jika ada, maka dikatakan f adalah terintegrasikan pada [ a, b ].
Lebih  lanjut
∫ 𝑓(𝑥) 𝑏 𝑎 𝑑𝑥 , disebut Integral
tentu (integral  Riemann) f dari a ke b, kemudian diberikan oleh
  0 1 ( ) lim b n i p i a i f x dx f x x      
Dalam  bidang  teknik,  integral  sering  muncul dalam bentuk integral ganda dua (lipat dua) atau integral ganda tiga (lipat tiga). Integral lipat dua didefinisikan sebagai berikut:
∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝐴 = ∫ [∫(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 𝑑 𝑐 ] 𝑑𝑥 𝑏 𝑎 𝐴 = ∫ [∫(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 𝑏 𝑎 ] 𝑑𝑦 𝑑 𝑐

## IntegrasiNumerik
Integrasi  numerik  adalah  suatu  metode  yang digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai hampiran  dari  beberapa  integral  tentu  yang memerlukan  penyelesaian  numeric  sebagai hampirannya.  Terdapat  tiga  pendekatan  dalam menurunkan rumus integral numerik. Pendekatan pertama adalah berdasarkan tafsiran geometri  integral  tentu.  Daerah  integrasi  dibagi atas  sejumlah  pias  ( strip )  yang  berbentuk segiempat.  Luas  daerah  integrasi  dihampiri dengan luas seluruh pias. Integrasi numerik yang diturunkan  dengan  pendekatan  ini  digolongkan kedalam metode pias. Kaidah integrasi numerik yang  dapat  diturunkan  dengan  metode  pias adalah  kaidah  segiempat,  kaidah  trapezium  dan kaidah  titik  tengah.  Pendekatan  kedua  adalah berdasarkan interpolasi polinomial. Disini fungsi integran f ( x )  dihampiri  dengan  polinomial interpolasi p n ( x ). Selanjutnya, integrasi dilakukan  terhadap p n ( x )  karena  polinom  lebih mudah  diintegralkan  daripada  mengintegralkan f ( x ).  Rumus  integrasi  numerik  yang  diturunkan dengan  pendekatan  ini  digolongkan  kedalam metode  Newton-Cotes,  yaitu  metode  umum untuk  menurunkan  rumus  integrasi  numerik. Adapun beberapa kaidah integrasi numerik yang diturunkan dari metode Newton-Cotes antara lain kaidah trapesium, kaidah Simpson 1 3 dan kaidah Simpson 3 8 . Pendekatan ketiga sama sekali tidak menggunakan  titik-titik  diskrit  sebagaimana pada  kedua  pendekatan  di  atas.  Nilai  integral diperoleh dengan mengevaluasi nilai fungsi pada sejumlah  titik  tertentu  di  dalam  selang  [-1,1], mengalikannya dengan suatu konstanta, kemudian menjumlahkan
keseluruhan
perhitungan.  Pendekatan  ketiga  ini  dinamakan Kuadratur Gauss.

## Metode Romberg
Metode  Romberg  merupakan  metode  integrasi yang  didasarkan  pada  perluasan  ekstrapolasi Richardson yang dihasilkan dari aturan trapesium  rekursif.  Kelemahan  dari  metode  ini
  0 lim 1 p n f x x i i i    
adalah harus menggunakan jumlah interval yang besar  guna  mencapai  akurasi  yang  diharapkan. Salah  satu  cara  untuk  meningkatkan  akurasi adalah dengan membagi dua interval secara terus menerus  sampai  nilai  integral  yang  dihitung dengan  2 k dan  2 k+1 konvergen  pada  suatu  nilai. Proses penyelesaian integral dengan menggunakan  metode  Romberg  dapat  dilihat pada flow chart seperti pada gambar 1 berikut:
Gambar    1  Flowchart  Penyelesaian  Integral  dengan  Metode Romberg

## Simulasi Monte Carlo
Metode  simulasi  Monte  Carlo  merupakan  salah satu  metode  integrasi  numerik  dengan  cara memasukkan  sejumlah  N  nilai  fungsi x secara random dengan x berada dalam interval integral, menurunkan secara acak nilai variabel tidak pasti secara  berulang-ulang  dalam  simulasi  model. Rumusan  integrasi  numerik  dengan  metode simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut:
1 ( ) ( ) b n i a b a f x dx f xi n     
Dengan x i adalah  bilangan  random  yang dibangkitkan  dengan  harga 𝑎 ≤ 𝑥𝑖 ≤ 𝑏 dan n adalah  jumlah  masukkan  (pengulangan)  banyak data  yang  diinginkan.  Proses  penyelesaian integral  dengan  menggunakan  simulasi  Monte
Carlo dapat dilihat pada flow chart seperti pada gambar 2 berikut:
Gambar    2  Flow  Chart  Penyelesaian  Integal  dengan  Simulasi Monte Carlo

## Galat
Galat  atau  biasa  disebut error dalam  metode numerik  adalah  selisih  antara  yang  ditimbulkan antara  nilai  sebenanrnya  dengan  nilai  yang dihasilkan  dengan  metode  numerik.  Galat dibedakan menjadi tiga yaitu:
1. Galat Mutlak
Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran, atau perhitungan adalah perbedaan numerik nilai sesungguhnya  terhadap  nilai  pendekatan  yang diberikan,  atau  yang  diperoleh  dari  hasil perhitungan atau pengukuran.
Kesalahan (Error) = nilai Eksak – Nilai perkiraan Jika 𝑎 ∗ adalah hampiran dari nilai eksak a maka galat  mutlak  dari  a  adalah 𝐸  =   | 𝑎 – 𝑎 ∗ | yang berarti hampiran = nilai eksak – galat 2. Galat Relatif
𝑒 = 𝐸 𝐴 = 𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑁𝑖𝑙𝑎𝑖 𝐸𝑘𝑠𝑎𝑘

## 3. Persentase Galat
Persentase galat adalah 100 kali galat relatif
𝜉𝑎 =   𝑒 ∗ 100%
Flowchart Penyelesaian Integral dengan Metode Romberg
start
ℎ = 𝑥 2 − 𝑥 1 𝑅( 1,1 ) = 𝑇 0 = ℎ 2 𝑓(𝑥 1 , 𝑦) + 𝑓(𝑥 2 , 𝑦) 𝑅(𝑟 , 1 ) = 𝑇 𝑘 +1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘 +1 𝑓 2 𝑟− 1 2 𝑘 𝑟 =1 ; 𝑓(𝑖) = 𝑓  𝑥 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘 +1 , 𝑟 ≥ 2 𝑅(𝑟 , 𝑠) = 4 𝑠− 1 𝑅(𝑟 , 𝑠 − 1 ) − 𝑅(𝑟 − 1, 𝑠 − 1 ) (4 𝑠− 1 − 1) end Output I Input 𝑥 1 , 𝑥 2 dan n

## 3. METODOLOGI

## Prosedur Analisis
Adapun  prosedur  penelitian  yang  digunakan penulis untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Memberikan  contoh  soal  integral  lipat  dua dengan fungsi aljabar rasional untuk diselesaikan secara analitik,
2. Menyelesaikan  contoh  soal  menggunakan metode  Romberg  dan  Simulasi  Monte  Carlo secara numeric dengan iterasi n = 2 dan n = 4,
3. Menghitung galat dari masing-masing metode dan membandingkan hasilnya,
4. Mensimulasikan  beberapa  fungsi  aljabar rasional  dan  irrasional  pada  program  Matlab dengan  menggunakan  metode  Romberg  dan Simulasi Monte Carlo sesuai dengan flowchart pada BAB II,
5. Membandingkan  hasil  simulasi  untuk n =  2 dan n =  4.  Kemudian  menganalisis  galat mutlak dari kedua metode untuk mendapatkan metode yang paling akurat.

## 4. PEMBAHASAN
Diberikan contoh soal integral lipat dua sebagai berikut:
∫ ∫ 𝑥 2 𝑦 𝑥 3 + 1 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦

## Penyelesaian secara Analitik
Metode Substitusi:
Misal 𝑢 = 𝑥 3 + 1 𝑑𝑢 = 3𝑥 2 𝑑𝑦 1 3 𝑑𝑢 = 𝑥 2 𝑑𝑦
untuk batas 𝑥 = 0 => 𝑢 = 0 3 + 1 = 1 , dan untuk batas 𝑥 = 1 => 𝑢 = 1 3 + 1 = 2 2 1 2 2 2 3 0 0 1 1 1
1 3 x y dx dy y du dy x u     
2 0 1 ln 2 3 y dy   2 2 2 0 1 ln 2 6 y y     
4 ln 2 6 
Solusi  di  atas  merupakan  solusi  eksak.  Namun untuk menyelesaikan perhitungan secara numerik  harus  diubah  dalam  bentuk  desimal untuk  mendapatkan  solusi  hampiran.  Oleh karena itu, nilai 4 6 ln 2 jika diubah dalam bentuk desimal menjadi 0,46209812

## Penyelesaian Secara Numerik
Dengan  menggunakan  8  angka  penting,  hasil perhitungan  numerik  metode  Romberg  dan Simulasi Monte Carlo adalah sebagai berikut:
Metode Romberg:
1. Fungsi  integran  yang  didefinisikan  adalah 𝑥 2 𝑦 𝑥 3 +1 2. Batas bawah  daerah  integrasi 𝑥 1 = 0 ,  batas atas daerah integrasi 𝑥 2 = 1 Batas  bawah  daerah  integrasi 𝑦 1 = 0 ,  batas atas daerah integrasi 𝑦 2 = 2 3. Untuk iterasi n=2:
Integral  pertama  yang  diselesaikan  adalah integral terhadap x
a. Menentukan lebar interval ( h ) pada batas x : ℎ = 𝑥 2 − 𝑥 1 ℎ = 1 − 0
= 1
b. Menghitung  integrasi  pada  kolom  pertama 𝑅(1,1) :
𝑅(1,1) = 𝑇 0 = ℎ 2 𝑓(𝑥 1 , 𝑦) + 𝑓(𝑥 2 , 𝑦) 𝑓(𝑥 1 , 𝑦) = 𝑓(0, 𝑦) = 𝑓(0) = 0
𝑓(𝑥 2 , 𝑦) = 𝑓(1, 𝑦) = 𝑓(1) = 1 2 𝑦 𝑅(1,1) = 𝑇 0 = 1 2 0 + 1 2 𝑦 = 1 4 𝑦 = 0,25000000 𝑦
c. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom pertama 𝑅(2,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑥 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2
𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 𝑇 0 2 + ℎ 2 𝑓 1 𝑓 1 = 𝑓  𝑥 1 + ℎ 2 = 𝑓  0 + 1 2 = 𝑓 1 2 = ( 1 2) 2 𝑦 ( 1 2) 3 + 1 = 0,2222 𝑦 𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 0,25000000 𝑦 2 + 1 2 0,22222222 𝑦 = 0,23611111 𝑦
d. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom kedua 𝑅(2,2) :
𝑅(𝑟, 𝑠) = 4 𝑠−1 𝑅(𝑟, 𝑠 − 1) − 𝑅(𝑟 − 1, 𝑠 − 1) 4 𝑠−1 − 1 𝑅(2,2) = 4 2−1 𝑅(2,2 − 1) − 𝑅(2 − 1,2 − 1) 4 2−1 − 1 = 4𝑅(2,1) − 𝑅(1,1) 3
= 4(0,23611111 𝑦) − 0,25000000 𝑦
3
= 0,23158148 𝑦
Integral  kedua  yang  diselesaikan  adalah integral terhadap y dengan fungsi 0.23158148  𝑦 :
1. Menentukan lebar interval ( h ) pada batas y : ℎ = 𝑦 2 − 𝑦 1 = 2 − 0
= 2
2. Menghitung  integrasi  pada  kolom  pertama
𝑅(1,1) :
𝑅(1,1) = 𝑇 0 = ℎ 2 𝑓(𝑥, 𝑦 1 ) + 𝑓(𝑥, 𝑦 2 )
𝑓(𝑥, 𝑦 1 ) = 𝑓(𝑥, 0) = 0,23158158  (0) = 0 𝑓(𝑥, 𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥, 2) = 0,23158158  (2) = 0,46296296 𝑅(1,1) = 𝑇 0 = 2 2 (0 + 0,46296296) = 0,46296296
3. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom pertama 𝑅(2,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑦 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2
𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 𝑇 0 2 + ℎ 2 𝑓 1 𝑓 1 = 𝑓  𝑦 1 + ℎ 2 = 𝑓  0 + 2 2 = 𝑓(1) = 0,23148148 (1) = 0,23148148 𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 0,46296296 2 + 2 2 0,23148148 = 0,46296296
e. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua  kolom kedua 𝑅(2,2) :
𝑅(2,2) = 4 2−1 𝑅(2,2 − 1) − 𝑅(2 − 1,2 − 1) 4 2−1 − 1 = 4𝑅(2,1) − 𝑅(1,1) 4 − 1 = 4(0,46296296) − 0,46296296 3 = 0,46296296 a. Untuk iterasi n = 4:

## Menyelesaikan integral pertama terhadap
x
1. Menentukan  lebar  interval  ( h )  pada batas x : ℎ = 𝑥 2 − 𝑥 1 = 1 − 0 = 1
2. Menghitung  integrasi  pada  kolom pertama 𝑅(1,1) : 𝑅(1,1) = 𝑇 0 = ℎ 2 𝑓(𝑥 1 , 𝑦) + 𝑓(𝑥 2 , 𝑦) 𝑓(𝑥 1 , 𝑦) = 𝑓(0, 𝑦) = 𝑓(0) = 0 𝑓(𝑥 2 , 𝑦) = 𝑓(1, 𝑦) = 𝑓(1) = 0,50000000 𝑦
𝑅(1,1) = 𝑇 0 = 1 2 (0 + 0,50000000𝑦) = 1 4 𝑦 = 0,25000000 𝑦
3. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom pertama 𝑅(2,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑥 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2 𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 𝑇 0 2 + ℎ 2 𝑓 1 𝑓 1 = 𝑓  𝑥 1 + ℎ 2 = 𝑓  0 + 1 2 = 𝑓 1 2 = ( 1 2) 2 𝑦 ( 1 2) 3 + 1 = 0,22222222 𝑦 𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 0,25000000 𝑦 2 + 1 2 0,22222222 𝑦 = 0,23611111 𝑦
4. Menghitung integrasi pada baris ketiga kolom pertama 𝑅(3,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑥 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2 𝑅(3,1) = 𝑇 2 = 𝑇 1 2 + ℎ 4 (𝑓 1 + 𝑓 3 ) 𝑓 1 = 𝑓  𝑥 1 + ℎ 4 = 𝑓  0 + 1 4 = 𝑓 1 4 = ( 1 4) 2 𝑦 ( 1 4) 3 + 1 = 0.06153846 𝑦 𝑓 3 = 𝑓  𝑥 1 + 3ℎ 4 = 𝑓  0 + 3 4 = 𝑓 3 4 = ( 3 4) 2 𝑦 ( 3 4) 3 + 1 = 0,39560439 𝑦 𝑅(3,1) = 𝑇 2 = 0,23611111 𝑦 2 + 1 4 (0,06153846 𝑦 + 0,39560439 𝑦) = 0,23234127 𝑦
5. Menghitung integrasi pada baris keempat kolom pertama 𝑅(4,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1
= 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑥 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2 𝑅(4,1) = 𝑇 3 = 𝑇 2 2 + ℎ 8 (𝑓 1 + 𝑓 3 + 𝑓 5 + 𝑓 7 ) 𝑓 1 = 𝑓  𝑥 1 + ℎ 8 = 𝑓  0 + 1 8 = ( 1 8) 2 𝑦 ( 1 8) 3 + 1 = 0,01559454 𝑦 𝑓 3 = 𝑓  𝑥 1 + 3ℎ 8 = 𝑓  0 + 3 8 = 𝑓 3 8 = ( 3 8) 2 𝑦 ( 3 8) 3 + 1 = 0,13358070 𝑦 𝑓 5 = 𝑓  𝑥 1 + 5ℎ 8 = 𝑓  0 + 5 8 = 𝑓 5 8 = ( 5 8) 2 𝑦 ( 5 8) 3 + 1 = 0,31397174 𝑦 𝑓 7 = 𝑓  𝑥 1 + 7ℎ 8 = 𝑓  0 + 7 8 = 𝑓 7 8 = ( 7 8) 2 𝑦 ( 7 8) 3 + 1 = 0,45847953 𝑦 𝑅(4,1) = 𝑇 3 = 0,2323 𝑦 2 + 1 8 (0,01559454  𝑦 + 0,13358070 𝑦 + 0,31397174 𝑦 + 0,45847953)
= 0,23137395 𝑦
6. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua  kolom kedua 𝑅(2,2) :
𝑅(𝑟, 𝑠) = 4 𝑠−1 𝑅(𝑟, 𝑠 − 1) − 𝑅(𝑟 − 1, 𝑠 − 1) 4 𝑠−1 − 1 𝑅(2,2) = 4 2−1 𝑅(2,2 − 1) − 𝑅(2 − 1,2 − 1)
4 2−1 − 1
= 4𝑅(2,1) − 𝑅(1,1)
3
= 4(0,23611111 𝑦) − 0,25000000 𝑦
3
= 0,231488148 𝑦
7. Menghitung  integrasi  pada  baris  ketiga  kolom kedua 𝑅(3,2) :
𝑅(3,2) = 4 2−1 𝑅(3,2 − 1) − 𝑅(3 − 1,2 − 1) 4 2−1 − 1
= 4𝑅(3,1) − 𝑅(2,1) 3 𝑅(3,2) = 4(0,23234127 𝑦) − 0,23611111 𝑦 3 = 0,23108466 𝑦 Dengan cara/formula yang sama, hasil perhitungan  untuk  baris  dan  kolom  yang  lain dapat dilihat pada table 1 berikut.
Tabel 1 Hasil integrasi Romberg terhadap x
Menyelesaikan  integral  kedua  terhadap y dengan fungsi 0.23104916  𝑦 :
1. Menentukan lebar interval ( h ) pada batas y : ℎ = 𝑦 2 − 𝑦 1 = 2 − 0 = 2
2. Menghitung  integrasi  pada  kolom  pertama
𝑅(1,1) :
𝑅(1,1) = 𝑇 0 = ℎ 2 𝑓(𝑥, 𝑦 1 ) + 𝑓(𝑥, 𝑦 2 ) 𝑓(𝑥, 𝑦 1 ) = 𝑓(𝑥, 0) = 0,23104916  (0) = 0 𝑓(𝑥, 𝑦 2 ) = 𝑓(𝑥, 2) = 0,23104916  (2) = 0,46209831
𝑅(1,1) = 𝑇 0 = 2 2 (0 + 0,46209831) = 0,46209831
3. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom pertama 𝑅(2,1) :
𝑅(𝑟, 1) = 𝑇 𝑘+1 = 𝑇 𝑘 2 + ℎ 2 𝑘+1 𝑓 2𝑗−1 2 𝑘 𝑗=1 , 𝑓 𝑖 = 𝑓  𝑦 1 + 𝑖 ℎ 2 𝑘+1 , 𝑟 ≥ 2 𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 𝑇 0 2 + ℎ 2 𝑓 1 𝑓 1 = 𝑓  𝑦 1 + ℎ 2 = 𝑓  0 + 2 2 = 𝑓(1)
= 0,23104916 = 0,23104916
𝑅(2,1) = 𝑇 1 = 0,46209831 2 + 2 2 0,23104916 = 0,46209831
4. Menghitung  integrasi  pada  baris  ketiga kolom pertama 𝑅(3,1) :
𝑅(3,1) = 𝑇 2 = 𝑇 1 2 + ℎ 2 2 (𝑓 1 + 𝑓 3 ) 𝑓 1 = 𝑓  𝑦 1 + ℎ 2 2 = 𝑓  0 + 2 4 = 0,23104916 1 2 = 0,11552458 𝑓 3 = 𝑓  𝑦 1 + 3 ℎ 2 2 = 𝑓  0 + 3 2 4 = 0,23104916 3 2 = 0,34657374 𝑅(3,1) = 𝑇 2 = 0,46209831 2 + 2 4 (0,11552458 + 0,34657374)
= 0,46209831
5. Menghitung  integrasi  pada  baris  keempat kolom pertama 𝑅(4,1) :
𝑅(4,1) = 𝑇 3 = 𝑇 2 2 + ℎ 2 3 (𝑓 1 + 𝑓 3 + 𝑓 5 + 𝑓 7 ) R(r,s) 1 2 3 4 1 0.25000000 y 2 0.23611111 y 0.23148148 y 3 0.23234127 y 0.23108466 y 0.23105820 y 4 0.23137395 y 0.23105151 y 0.23104930 y 0.23104916 y
𝑓 1 = 𝑓  𝑦 1 + ℎ 2 3 = 𝑓  0 + 2 8 = 0,23104916 1 4 𝑓 1 = 0,05776229 𝑓 3 = 𝑓  𝑦 1 + 3 ℎ 2 3 = 𝑓  0 + 3 2 8 = 0,23104916 3 4 = 0,17328687 𝑓 5 = 𝑓  𝑦 1 + 5 ℎ 2 3 = 𝑓  0 + 5 2 8 = 0,23104916 5 4 = 0,28881145 𝑓 7 = 𝑓  𝑦 1 + 7 ℎ 2 3 = 𝑓  0 + 7 2 8 = 0,23104916 7 4 = 0,40433603
𝑅(4,1) = 𝑇 3 = 0,46209831 2 + 2 8 (0,05776229 + 0,17328687 + 0,28881145 + 0,40433603) = 0,46209831
6. Menghitung  integrasi  pada  baris  kedua kolom kedua 𝑅(2,2) :
𝑅(𝑟, 𝑠) = 4 𝑠−1 𝑅(𝑟, 𝑠 − 1) − 𝑅(𝑟 − 1, 𝑠 − 1)
4 𝑠−1 − 1 𝑅(2,2) = 4 2−1 𝑅(2,2 − 1) − 𝑅(2 − 1,2 − 1) 4 2−1 − 1 = 4𝑅(2,1) − 𝑅(1,1) 4 − 1 = 4(0,46209831) − 0,46209831
3 = 0,46209831
Dengan cara/formula yang sama, hasil perhitungan  untuk  baris  dan  kolom  yang  lain dapat dilihat pada table 2 berikut:
Tabel 2 Hasil integrasi Romberg terhadap y
Metode Simulasi Monte Carlo
a. Fungsi  integran  yang  didefinisikan  adalah
𝑥 2 𝑦 𝑥 3 +1 b. Batas  bawah  daerah  integrasi 𝑥 1 = 0 batas atas daerah integrasi 𝑥 2 = 1 Batas  bawah  daerah  integrasi 𝑦 1 = 0 batas atas daerah integrasi 𝑦 2 = 2 c. Untuk iterasi n = 2
Integral  pertama  yang  diselesaikan  adalah integral terhadap x :
1) Membangkitkan  2  buah  data  ( 𝑥 𝑖 )  dari  0 sampai 1 pada Matlab Misalkan 𝑥 𝑖 = 0,7431         0,3922
2) Mensubstitusikan  masing-masing  nilai 𝑥 𝑖 pada fungsi integran:
𝑥 1 = 0,7431 2 𝑦 0,7431 3 + 1 = 0,39153564 𝑦 𝑥 2 = 0,3922 2 𝑦 0,3922 3 + 1 = 0,14506904 𝑦
3) Menjumlahkan nilai 𝑥 𝑖 :
𝑥 𝑖 2 𝑖=0 = 0,39153564 𝑦 + 0,14506904 𝑦 = 0,53660468 𝑦 4) Menghitung nilai integrasi I :
𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 = 1 − 0 2 𝑥 0,53660468  𝑦

## = 0,26830234 𝑦
Integral  kedua  yang  diselesaikan  adalah integral  terhadap y dengan  fungsi  integran berubah menjadi 0.26830234 𝑦 .
1) Membangkitkan  2  buah  data  ( 𝑦 𝑖 )  dari  0 sampai 2 pada Matlab Misalkan 𝑦 𝑖 = 1,3110     0,3424
2) Mensubstitusikan  masing-masing  nilai 𝑦 𝑖 pada fungsi integran:
R(r,s) 1 2 3 4 1 0,46209831 2 0,46209831 0,46209831 3 0,46209831 0,46209831 0,46209831 4 0,46209831 0,46209831 0,46209831 0,46209831
𝑦 1 = 0,2683 𝑦 = 0,26830234  (1,3110) = 0,34174438 𝑦 2 = 0,2683 𝑦 = 0,26830234  (0,3424) = 0,09186672
3) Menjumlahkan nilai 𝑦 𝑖 :
𝑦 𝑖 2 𝑖=0 = 0,34174438 + 0,09186672 = 0,44361109 4) Menghitung nilai integrasi I :
𝐼 = 𝑑 − 𝑐 𝑛 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=0 = 2 − 0 2 𝑥 0,44361109 = 0,44361109
Maka  diperoleh  solusi  akhir  untuk n =  2  yaitu 𝟎, 𝟒𝟒𝟑𝟔𝟏𝟏𝟎𝟗
d. Untuk iterasi n = 4 Integral  pertama  yang  diselesaikan  adalah integral terhadap x 1) Membangkitkan  4  buah  data  ( 𝑥 𝑖 )  dari  0 sampai 1 pada Matlab Misalkan 𝑥 𝑖 = 0,1269    0,7131    0,2706    0,8381
2) Mensubstitusikan  masing-masing  nilai 𝑥 𝑖 pada fungsi integran:
𝑥 1 = 0,1269 2 𝑦 0,1269 3 + 1 = 0,01607077 𝑦 𝑥 2 = 0,7131 2 𝑦 0,7131 3 + 1 = 0,37318676 𝑦 𝑥 3 = 0,2706 2 𝑦 0,2706 3 + 1 = 0,07180164 𝑦 𝑥 4 = 0,8381 2 𝑦 0,8381 3 + 1 = 0,44213225 𝑦
3) Menjumlahkan nilai 𝑥 𝑖 :
𝑥 𝑖 4 𝑖=0 = 0,01607077𝑦 + 0,37318676𝑦 + 0,07180164𝑦 + 0,44213225 𝑦 = 0,90319143 𝑦
4) Menghitung nilai integrasi I :
𝐼 = 𝑏 − 𝑎 𝑛 𝑥 𝑖 𝑛 𝑖=0 𝐼 = 1 − 0
4 𝑥 0,90319143 𝑦
= 0,22579786 𝑦
Integral  kedua  yang  diselesaikan  adalah integral  terhadap y dengan  fungsi  integran berubah menjadi 0.22579786 𝑦 .
1) Membangkitkan  4  buah  data  ( 𝑦 𝑖 )  dari  0 sampai 2 pada Matlab Misalkan 𝑦 𝑖 = 0,2279    1,2123    1,3451    1,1745
2) Mensubstitusikan  masing-masing  nilai 𝑦 𝑖 pada fungsi integran: 𝑦 1 = 0,22579786 𝑦 = 0,22579786 (0,2279) = 0,05145933 𝑦 2 = 0,22579786 𝑦
= 0,22579786 (1,2123) = 0,27373474
𝑦 3 = 0,22579786 𝑦 = 0,22579786 (1,3451) = 0,30372070 𝑦 4 = 0,22579786 𝑦
= 0,22579786 (1,1745) = 0,26519958
3) Menjumlahkan nilai 𝑦 𝑖 :
𝑦 𝑖 4 𝑖=0 = 0,05145933 + 0,27373474 + 0,30372070 + 0,26519958
= 0,89411436
4) Menghitung nilai integrasi I : 𝐼 = 𝑑 − 𝑐 𝑛 𝑦 𝑖 𝑛 𝑖=0 = 2 − 0 4 𝑥 0,89411436 = 0,44705718
Maka  diperoleh  solusi  akhir  untuk n =  4  yaitu 𝟎, 𝟒𝟒𝟕𝟎𝟓𝟕𝟏𝟖 Perhitungan Galat

## Metode Romberg
Galat mutlak dari metode Romberg yaitu sebagai berikut:
1) untuk n = 2 𝜀 = |𝐼 − 𝐼′|
= |0,46209812 – 0,46296296 |
= 0,00086484
2) untuk n = 4 𝜀 = |𝐼 − 𝐼′| = |0.46209812 – 0,46209831 | = 0,00000019

## Metode Simulasi Monte Carlo
Galat mutlak dari metode Simulasi Monte Carlo yaitu sebagai berikut:
1) untuk n = 2
𝜀 = |𝐼 − 𝐼′| = |0,46209812 – 0,44361109| = 0,01848703
2) untuk n = 4 𝜀 = |𝐼 − 𝐼′| = |0,46209812 –  0,44705718| = 0,01499812
Selanjutnya  disimulasikan  beberapa  fungsi aljabar  rasional  dan  irrasional  dalam  program Matlab.  Perbandingan  galat  dari  kedua  metode tersebut  dapat  dilihat  pada  tabel  1  Apendiks. Pada tabel 1 apendiks terlihat bahwa untuk iterasi dalam  jumlah  kecil  (2  dan  4),  metode  Simulasi Monte  Carlo  menghasilkan  galat  yang  relatif lebih besar. Oleh karena itu perlu disimulasikan pula untuk iterasi dalam jumlah yang besar (1000 dan  10000).  Seperti  terlihat  pada  tabel  2 apendiks.

## 5. KESIMPULAN
Berdasarkan  pembahasan  yang  telah  dilakukan dapat  disimpulkan  bahwa  pada  penyelesaian integral  lipat  dua  dengan  fungsi  aljabar  yang berbentuk  rasional  dan  irrasional,  metode Romberg  lebih  akurat  dibandingkan  dengan metode Simulasi Monte Carlo. Hal ini dibuktikan dengan  nilai  galat  mutlak  yang  dihasilkan metode Romberg jauh lebih  kecil dibandingkan dengan  metode  Simulasi  Monte  Carlo.  Dengan iterasi n = 4, metode Romberg bisa menghasilkan galat  sebesar  0.000000003  pada  fungsi  aljabar rasional  dan  0.00000007  pada  fungsi  aljabar irrasional.  Sedangkan  pada  metode  Simulasi Monte  Carlo  untuk  iterasi n =  10000  sekalipun galat yang dihasilkan tidak lebih kecil dari galat yang dihasilkan metode Romberg.

## 6. DAFTAR PUSTAKA
Ammar,  Muhammad. Solusi  Penyelesaian Integral Lipat Dua dengan Menggunakan
Metode Romber. Makassar: UIN Alauddin. 2009.
Ardi,  Pujiyanta. Komputasi  Numerik  dengan Matlab. Yogyakarta: Graha Ilmu. 2007
Arhami,  Muhammad  dkk. Pemrograman MATLAB . Yogyakarta: ANDI, 2012.
Away,  Gunaidi  Abdia. the  Shorcut  of  Matlab Programming .  Bandung:  Informatika Bandung, 2006. Elhasany, Zain. Contoh Daftar Pustaka Makalah Dan  Skripsi ,  Artikel  Ilmiah  Lengkap, diakses dari http://www.scribd.com/doc/92181730/M ETODE-NUMERIK#scribd, pada tanggal 11 Oktober 2015 pukul 21.11
Haryono,  Nugroho  agus. Perhitungan  Integral Lipat  Menggunakan  Metode  Monte Carlo .  Jurnal  Informatika  vol.  5  no.  2.
Yogyakarta:  Universitas  Kristen  Duta
Wacana. 2009.
Hernadi, Julan. Matematika Numerik Dengan Implementasi MATLAB .  Yogyakarta:  ANDI.
2012.
Ilham, Muhammad. Modul 3 Integrasi Numerik .
Bandung:  Institut  Teknologi  Bandung. 2014.
Kosasih, Buyung. Komputasi Numerik Teori dan Aplikasinya. Yogyakarta: ANDI. 2006. Munir,  Rinaldi. Metode  Numerik  Revisi  Kedua . Bandung: Informatika Bandung. 2008. Munir,  Rinaldi. Metode  Numerik  sebagai Algoritma Komputasi .https://dirgamath29. files.wordpress.com.pdf  (12 Mei 2015) Sahid, Pengantar  Komputasi  Numerik  dengan MATLAB . Yogyakarta: ANDI. 2005. Sangadji, Metode  Numerik. Yogyakarta:  Graha Ilmu. 2008.
Setiawan,  Agus. Pengantar  Metode  Numerik . Yogyakarta: ANDI. 2006.
Supangat, Andi. Matematika untuk Ekonomi dan Bisnis .  Jakarta:  Prenada  Media  Grup. 2006.

## Apendiks

## Tabel 1. Perbandingan galat metode Romberg dan Simulasi Monte Carlo
No Fungsi Galat Romberg Galat Simulasi Monte Carlo n = 2 n = 4 n = 2
n = 4
1 ∫ ∫ 𝑥 6 𝑦 𝑥 7 + 5 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,007623849 0,000008903 0,041656832 0,107791395 2 ∫ ∫ 𝑥 2 𝑦 𝑥 3 + 1 2 1 4 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,003831037
0,000001352 0,22074213 0,058801476 3 ∫ ∫ 2 𝑥 3 𝑦 5 7 𝑥 4 + 9 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,023547849
0,00002924 0,184802441 0,00197106
4
∫ ∫ 5 𝑥 2 9 𝑦 4 2 𝑥 3 − 7 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 1,25674004
0,00071989 16,8500659 9,48896014
5 ∫ ∫ 𝑥 2 𝑦 𝑥 3 + 1 − 5 − 7 − 1 − 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,000168037 0,000000003 0,306925181 0,220759238 6 ∫ ∫ (𝑥 2 − 2 ) 2 𝑦 3 2 0 5 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,01064197
0,00000022 0,05906214 0,02725182
7 ∫ ∫ 𝑥 − 3 𝑦 − 2 3 − 1 − 2 0 − 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,75158
0,0016 2,52229 4,78764 8 ∫ ∫ 𝑥𝑦 1 0 ( 2 + 𝑥) 3 1
0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,804166667
0,8 0,567868 0,541924 9 ∫ ∫ 𝑥 7 𝑦 5 4 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,001959934 0,000001796 0,169797172 0,111395333 10 ∫ ∫ 𝑥 5 𝑦 3 2 3 1 5 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,0241317
0,0000004 1,110119762 19,75899259 11 ∫ ∫ 5 𝑥 7 𝑦 2 9 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,00167457
0,00000034 0,058711424 0,060424773 12 ∫ ∫ 3 𝑥 5 9 𝑦 4 − 17 1 0 2 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,06650799
0,00000305 0,231671198 0,040737921 13 ∫ ∫ 𝑦 𝑥 2 + 4 2 0 3 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 0,0010985 0,0000017
4,1471339 0,0056796 14
∫ ∫ 𝑦 3 2 𝑥 + 7 2 0 4 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,0001922
0,000001 12,043452 6,8394404 15 ∫ ∫ 6 𝑥𝑦 3 𝑥 − 1 3 1 0 1 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,678661
0,625537 0,394852 0,062759
tabel 2. Simulasi Monte Carlo untuk n = 1000 dan n = 10000
No. Fungsi Simulasi Monte Carlo Galat Simulasi Monte Carlo n = 1000 n = 10000 n = 1000 n = 10000 1 ∫ ∫ 𝑦 𝑥 2 + 4 2 0 3 1 𝑑𝑦 𝑑𝑥 18,4260326
18,3993512 0,0613354 0,034654 2 ∫ ∫ (𝑥 2 − 2 ) 2 𝑦 3 2 0 5 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 0,13517045 0,13459302 0,00242971 0,00185228 3 ∫ ∫ 𝑥 − 3 𝑦 − 2 3 − 1 − 2 0 − 3 𝑑𝑥 𝑑𝑦 9,62460 9,59395 0,06165 0,09230 4 ∫ ∫ 𝑦 3 2 𝑥 + 7 2 0 4 2 𝑑𝑥 𝑑𝑦 21,6917663
21,2989075 0,4368449 0,0439861