ISSN : 2460 – 7797 e-ISSN : 2614-8234 Website : jurnal.umj.ac.id/index.php/fbc Email : fibonacci@umj.ac.id Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika

## INTERIOR SUBGRUP
Saman Abdurrahman
Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Lambung Mangkurat, Jl. A. Yani Km 36 Banjarbaru Kalimantan Selatan, 70714
* saman@ulm.ac.id

## Abstrak
Pada penelitian ini, akan memperkenalkan konsep dari interior subgrup fuzzy dari suatu grup  G,  dan  akan  membuktikan  sifat  –  sifat  yang  terkait.  Instrumen  yang  akan  digunakan pada  penelitian  ini  adalah  konsep  dari  grup,  subgrup,  interior  subgrup,  subgrup  fuzzy, interior subgrup fuzzy, dan level subset. Instrumen ini, akan dijadikan sebagai pondasi untuk mengkonstruksi  suatu  definisi  dan  sifat  (teorema/lemma/akibat)  pada  struktur  interior subgrup fuzzy,  serta  dalam  membuktikan  kesohihannya . Hasil  yang diperoleh  pada penelitian  ini  adalah  beberapa  hasil  yang  analog  dengan  beberapa  teorema/lemma  pada grup  fuzzy,  secara  khusus,  bentuk  teorema/lemma  pada  interior  subgrup  fuzzy  dan  level subset dari interior subgrup fuzzy .
Kata Kunci: interior subgrup fuzzy, level subset, interior subgrup fuzzy

## PENDAHULUAN
Konsep himpunan fuzzy yang diperkenalkan  (Zadeh,  1965),  mampu menyelesaikan permasalahan ketidakpastian pada banyak bidang, diantaranya pada bidang
Teknik,
kedokteran, ekonomi, dan lingkungan. Pada bidang aljabar, (Rosenfeld,
1971)
mempelopori memperkenalkan pada grupoid dan grup,  yang selanjutnya dikenal dengan  grupoid fuzzy dan  subgrup fuzzy . Penelitian dari (Rosenfeld,
1971)
merupakan  penelitian  dasar,  yang  dapat dijadikan  sebagai  dasar  untuk  melakukan penelitian  lanjutan  pada  model  struktur aljabar fuzzy lainnya.
Diantara  peneliti  yang  melakukan penelitian  lanjutan  pada  model  struktur aljabar fuzzy lainya  adalah  (Kuroki,  1982) melakukan  penelitian  pada  semigrup fuzzy dan memperkenalkan konsep interior subsemigrup fuzzy , (Sharma, 2013) memperkenalkan konsep t-fuzzy pada subring  ring fuzzy dan  ideal fuzzy ,  dan (Abdurrahman, 2018) memperkenalkan interior subgrup fuzzy .
Pada penelitian ini, akan diperkenalkan  konsep  interior  subgrup pada  struktur  grup.  Penelitian ini,  merupakan  penelitian  lanjutan  dari penelitian  (Abdurrahman,  2018),  dan  ide penelitian dimotivasi oleh penelitian (Sharma,  2013).  Sifat  –  sifat  yang  akan
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020
dibuktikan pada penelitian ini meliputi sifat level  subset  dari  interior  subgrup fuzzy dan karakteristik  dari  interior  subgrup
,  yang  analog  dengan  sifat  –  sifat pada  penelitian  (Ajmal  &  Jahan,  2012; Boixader,  Mayor,  &  Recasens,  2018; Garton,  2016;  Kumar,  Davvaz,  &  Kumar, 2010; Sardar, Davvaz, Majumder, & Kayal, 2012;  Tărnăuceanu,  2016;  Zhan  &  Jun, 2010)

## METODE PENELITIAN
Penelitian ini, merupakan kajian teori yang  diambil  dari  sumber  jurnal  nasional dan  internasional,  yang  berkaitan  dengan interior  grup fuzzy .  Suatu  himpunan  tidak kosong  dikatakan  grup,  jika  himpunan tersebut  dibawah  operasi  biner,  dipenuhi sifat asosiatif, adanya elemen identitas, dan setiap  elemennya  memiliki  invers.  Lebih jauh, (Lal, 2017) menyatakan bahwa subset tidak  kosong  S  dalam  grup  G  adalah subgrup  dari  G  jika  untuk  setiap dipenuhi  S.  Selajutnya,  (Mordeson, 2011)  mendefinisikan  subset fuzzy dari grup  G,  merupakan  sutau  pemetaan  dari  G ke  interval  tutup  [0,  1],  dan  koleksi  dari subset fuzzy dari  G,  dinotasikan  dengan
. Misalkan  dan 
.
Level  subset  dari didefinisikan  sebagai {  |        } Berikut  diberikan definisi  dan  sifat  yang  sangat  membantu pada  saat  mengkontruksi  definisi  ataupun sifat  pada  struktur  interior fuzzy subgrup.
Definisi  2.1 (Rosenfeld,  1971) Diberikan grup  G  dengan  .  Subset  fuzzy dari grup G merupakan subgrup fuzzy dari G  jika  untuk  setiap  b,  d  G  dipenuhi kondisi:
(i). {          } , dan
(ii). .
Definisi 2.2 (Abdurrahman, 2018) Subgrup S  dari  grup  G  merupakan  interior  dari  G jika asb  S untuk setiap a, b  G dan s  S.
Definisi 2.3 (Abdurrahman, 2018) Subgrup fuzzy  dari  grup  G  merupakan  interior subgrup  fuzzy  dari  G,  jika  (asb)  ≥  (s) untuk setiap a, s, b  G.
Definisi  2.4 (Sharma,  2013) Diberikan  G adalah grup dengan  dan  .
Didefinisikan subset – fuzzy dari G, yang dinotasikan dengan {       } untuk setiap a  G.
Mengingat  nilai  keanggotaan  dari terletak  pada  interval  tutup  [0,1]  untuk setiap  ,  maka adalah  subset fuzzy dari G atau  . Subset fuzzy dari
G ,  jika  memenuhi  Definisi  2.1,  maka disebut  subgrup fuzzy dari  G.  Berikut diberikan  definisi  interior  subgrup fuzzy dari  grup  G,  yang  diperoleh  dengan menginduksi dari Definisi  2.3 dan Definisi 2.4.
Definisi  2.5 Subgrup fuzzy dari grup  G  disebut  interior  subgrup fuzzy dari  G  jika
untuk  setiap
.

## HASIL DAN PEMBAHASAN
Lemma  3.1 Jika adalah  subgrup  fuzzy dari  grup  G,  maka  untuk  setiap  a  G berlaku
,  dan
.
Bukti:
Diambil  sebarang  ,  maka  ada  G yang  memenuhi  kondisi dan . Mengingat adalah  subgrup fuzzy dari G, maka menurut Definisi 2.1,
{   } } .
Akibatnya,
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (2), pp: 91 - 98.
{ }
{    { }
{       } ,
dan
{ } { }
{       } ,
yang mengakibatkan
. Dengan kata lain . ■ Lemma  3.2 Jika adalah  subgrup  fuzzy dari grup G, maka adalah subgrup fuzzy dari G.
Bukti:
Diambil  sebarang .  Mengingat adalah  subgrup fuzzy dari  grup  G,  maka menurut Definisi 2.1, dipenuhi kondisi:
{          }
dan
.
Akibatnya,
{        }
{   {          }    } {   {       }      {       }}
{ } ,
dan
{ } {       } .
Jadi,  berdasarkan  analisa  di  atas  diperoleh
adalah subgrup fuzzy dari G. ■
Kebalikan  dari  Lemma  3.2  tidak selalu  berlaku.  Sebagai  ilustrasi,  Misalkan {   } adalah  grup  terhadap  operasi perkalian  modulo  3,  dan  dengan dan . Subset fuzzy bukan  subgrup fuzzy dari  G,  dikarenakan kondisi  Definisi  2.3  tidak  dipenuhi,  yaitu:
dan {          } sehingga {          } . Selanjutnya, diambil maka untuk setiap  ,  yang  mengakibatkan {       } .  Oleh  karena  itu adalah  subgrup fuzzy ,  karena  untuk setaip  berlaku: { } , dan .
Berikut  diberikan  Teorema  yang menjamin  kondisi selalu  berupa subgrup fuzzy dari G, meskipun hanya subset fuzzy dari grup G.
Lemma 3.3 Misalkan adalah subset fuzzy dari  grup  G  dengan
untuk setiap  .  Jika
dengan
{    |  } , maka adalah subgrup fuzzy dari G.
Bukti:
Misalkan dan {    |  } , maka  untuk  setiap  ,  dipenuhi  kondisi
, sehingga
{       } . Selanjutnya diambil sebarang  dengan , maka
{        }
{    }
{   {       }       {       }} { } , dan { }
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020
{       } .
Jadi,  berdasarkan  analisa  di  atas  diperoleh bahwa adalah subgrup
fuzzy dari G. ■
Lemma  3.4 Subset  fuzzy adalah subgrup fuzzy  dari  grup  G  jika  dan hanya  jika  untuk  setiap berlaku { } . Bukti:
( ) Misalkan adalah subgrup
fuzzy
dari  grup  G.  Akan  dibuktikan  untuk  setiap
berlaku { } . Diambil  sebarang .  Karena
adalah  subgrup fuzzy dari  grup  G,
maka menurut Definisi 2.1 berlaku:
{ }
dan
.
Akibatnya,
{ }
{ } .
Jadi untuk setiap b, d  G berlaku:
{ } .
( )  Misalkan  dan
{ } untuk  setiap .
Akan  dibuktikan adalah subgrup fuzzy dari G ,  yaitu  untuk  setiap dipenuhi kondisi:
{ }
dan
. Diambil  sebarang ,  maka  menurut yang diketahui { } , dengan  kata  lain ,  yang
mengakibatkan
{
, sehingga
Selanjutnya,
{ } { } . Jadi, { } dan untuk  setiap ,
dengan  kata  lain
adalah  subgrup  fuzzy dari G. ■
Lemma 3.5 Jika adalah interior subgrup fuzzy dari grup G, maka adalah interior subgrup fuzzy dari G.
Bukti:
Mengingat adalah  interior  subgrup fuzzy dari  grup G, maka  menurut  Definisi  2.3, adalah  subgrup fuzzy dari  G,  sehingga menurut  Teorema  3.2, adalah subgrup fuzzy dari G. Akibatnya  menurut Definisi 2.5, untuk membuktikan adalah interior subgrup fuzzy dari G, cukup dibuktikan
untuk  setiap
 .  Selanjutnya  diambil  sebarang
 . Karena adalah interior subgrup fuzzy dari  grup  G,  maka  menurut  Definisi 2.3, , yang mengakibatkan
{         }

## {       }
.
Jadi, adalah  interior  subgrup fuzzy dari G. ■
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (2), pp: 91 - 98.
Akibat  3.6 Misalkan adalah  interior subgrup  fuzzy  dari  grup  G.  Jika dengan {    |  } ,  maka adalah interior subgrup fuzzy dari G.
Teorema  3.7 Jika  H  adalah  interior subgrup  dari  grup  G,  maka  untuk  setiap
 terdapat  interior  subgrup fuzzy dari G dengan
.

## Bukti:
Misalkan  S  adalah  interior  subgrup  dari grup  G,  dan  pemetaan dengan:
{  untuk setiap dan  .
Diambil sebarang  , maka :
(i). Jika  H.  Karena  H  adalah  interior
subgrup  dari  grup  G,  maka  H  adalah subgrup  dari  G  sehingga  dipenuhi
kondisi a
 , yang mengakibatkan
{ }
{    }
{    {    }      {    }}
{    {       }      {       }}
{ } .
(ii). Jika a  H dan x H, maka ≥ 0, = t, dan = 0, sehingga { } {    }
{   {          }    }
{    {       }      {       }}
{ }
. (iii). Jika , maka ≥ 0, = 0, dan = 0, akibatnya { }
{    }
{   {   }    }
{   {          }    }
{    {       }      {       }}
{ } .
Berdasarkan hasil analisa pada poin (i), (ii), dan (iii) disimpulkan { } untuk  setiap  ,
sehingga  menurut  Teorema  3.4: adalah
subgrup fuzzy dari G. Selanjutnya, diambil sebarang  .
(i). Jika  dan  H  adalah  interior subgrup  dari  G,  maka , yang mengakibatkan
{         }
{    }
{       }
(ii). Jika maka , berakibat
{         }
{    } {       } Oleh  karena  untuk  setiap  dipenuhi  kondisi , maka  subgrup fuzzy adalah interior subgrup fuzzy dari G. Berdasarkan  definisi  keanggotaan  level subset dari
, dan definisi keanggotaan dari , maka
{      | }
{      |    {       }    }
{      |        }
. ■
Lemma  3.8 Subset  fuzzy dari  grup  G adalah  interior  subgrup fuzzy  dari  G jika dan hanya jika level subset dari adalah interior subgrup dari G untuk setiap
.
Bukti:
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020
Misalkan adalah  interior subgrup fuzzy dari G ,  maka adalah
subgrup fuzzy dari G ,  oleh  karena  itu menurut Lemma 3.4,
{ }
,
untuk suatu
,  yang mengakibatkan
, dengan kata lain . Selanjutnya  diambil  sebarang maka dan . Dikarenakan adalah  interior subgrup
fuzzy dari G , maka
{ } {    }
berakibat  , yaitu adalah interior subgrup dari G .
Misalkan adalah  interior  subgrup dari G untuk setiap s  (G) {r  [0, 1] | r
 (e)}. Akan  dibuktikan  subset fuzzy adalah interior subgrup fuzzy dari G . Diambil  sebarang maka  terdapat sedemikian hingga dan . Misalkan {       } , maka
{    } ,
dan
{    } , yang mengakibatkan Karena adalah  interior  subgrup  dari  G untuk  setiap ,  maka adalah interior  subgrup  dari  G,  sehingga yang mengakibatkan
z
{       } {   {    }     {    }} .
{ } Selanjutnya,  andaikan  ada sedemikian hingga . Misalkan
{ } , maka . Akibatnya dan , dengan kata lain bukan interior subgrup
dari  G  untuk  suatu
.  Kondisi  ini, kontradiksi dengan yang diketahui yaitu adalah interior subgrup  dari G untuk  setiap ,  sehingga  pengandaian  salah,
seharusnya zxw untuk  setiap
.  Berdasarkan  analisa  di  atas,
maka  diperoleh  bahwa  subset fuzzy adalah interior subgrup fuzzy dari G . ■
Lemma  3.9 Misalkan adalah  interior subgrup fuzzy dari G, maka
{      | }
adalah interior subgroup dari G.

## Bukti:
Dari  definisi  keanggotaan maka .  Mengingat  e  adalah  unsur identitas di G, maka , yang mengakibatkan ,  dengan  kata  lain .  Selanjutnya,  diambil  sebarang dan maka , , dan . Karena adalah  interior subgrup fuzzy dari G , maka ≥ min{ } = ,
dan
FIBONACCI : Jurnal Pendidikan Matematika dan Matematika. Vol. 6 (2), pp: 91 - 98.
(xay) ≥ (a) = , yang  mengakibatkan dan
, dengan kata lain interior subgrup dari G. ■

## SIMPULAN
Hasil  yang  dapat  dijadikan  simpulan  pada penelitian  ini,  yaitu: kondisi adalah interior  subgrup  fuzzy  dari  G  akan  selalu mengakibatkan adalah  interior  subgrup
fuzzy dari  G,  tetapi  kebalikannya belum  tentu  selalu  terjadi; kondisi adalah  interior  subgrup fuzzy dari  G selalu  mengakibatkan  level  subset adalah interior subgrup  dari G untuk  setiap , dan  kebalikannya  juga  selalu terjadi.

## DAFTAR PUSTAKA
Abdurrahman,  S.  2018.  "Interior  Subgrup Fuzzy". Jurnal Fourier . Vol. 7 (1), pp: 13–21.
Ajmal,  N.,  &  Jahan,  I.  2012.  "A  study  of normal fuzzy subgroups and characteristic  fuzzy  subgroups  of  a fuzzy  group". Fuzzy  Information  and Engineering . Vol. 4 (2), pp: 123–143.
Boixader, D., Mayor, G., & Recasens, J. B. 2018.  "Aggregating  Fuzzy  Subgroups and T-vague Groups". In International Summer School on Aggregation Operators. Vol. 581, pp. 40–52.
Garton,  D.  2016.  "Some  Finite  Abelian Group  Theory  and  Some  q  -Series
Identities". Annals  of  Combinatorics .
Vol 20 (2), pp: 361–371.
Kumar, S., Davvaz, B., & Kumar, S. 2010.
"A study on fuzzy interior ideals of Γ - semigroups". Computers and Mathematics  with  Applications .  Vol.
Kuroki,  N.  1982.  "Fuzzy  Semiprime  Ideals
in  Semigroup". Fuzzy  Sets  and
Systems . Vol. 8 (1), pp: 71–79.
Lal,  R. 2017. Group Theory.  In Algebra  1: Groups,  Rings,  Fields  and  Arithmetic
(pp.  93–143).  Singapore:  Springer Singapore.
Mordeson,  J.  N.  2011.  "Zadeh’s  influence on  mathematics". Scientia  Iranica . Vol. 18 (3 D), pp: 596–601.
Rosenfeld,  A.  1971.  "Fuzzy  groups". Journal  of  Mathematical  Analysis  and Applications. Vol. 35 (3), pp: 512–517.
Sardar, S. K., Davvaz, B., Majumder, S. K., &  Kayal,  S.  2012.  "On  generalized fuzzy interior ideals in Γ-semigroups".
Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics . Vol. 41 (2), pp: 231–241.
Sharma, P. K. 2013. "T- fuzzy Subring and
Ideal". Indian Journal of Computational and Applied Mathematics , Vol. 1 (1), pp: 93–104.
Tărnăuceanu, M. 2016. "A new equivalence relation to classify the fuzzy subgroups of  finite  groups". Fuzzy  Sets  and Systems . Vol. 289 , pp: 113–121.
Zadeh,  L.  A.  1965.  "Fuzzy  Sets". Information  and  Control .  Vol. 8 (3), pp: 338–353.
Zhan,  J.,  &  Jun,  Y.  B.  2010.  "Generalized fuzzy  interior  ideals  of  semigroups". Neural  Computing  and  Applications , Vol. 19 (4), pp: 515–519.
Volume 6 No. 2 Bulan Desember Tahun 2020