## Analisis Model Mangsa Pemangsa dengan Adanya Penyakit pada Populasi Mangsa

## Fardinah
Program Studi Pendidikan Matematika, FMIPA Universitas Sulawesi Barat fardinah@unsulbar.ac.id

## ABSTRAK
Model mangsa pemangsa adalah model yang digunakan untuk menggambarkan interaksi antara dua  populasi  yang  bersifat  mangsa  dan  pemangsa.  Pada  model  mangsa  pemangsa  dasar  selalu diasumsikan bahwa kedua populasi dalam kondisi sehat. Namun, pada kenyataannya dapat kita jumpai  kondisi  pada  lingkungan  yang  menunjukkan  bahwa  terdapat  mangsa  atau  pemangsa dengan  kondisi  sakit  yang  berpengaruh  terhadap  pertahanan  hidup  dan  berburu  makanan. Penelitian  ini  menganalisis  model  mangsa  pemangsa  dengan  adanya  penyakit  pada  populasi mangsa  yaitu  dengan  menyusun  model,  menentukan  titik  kesetimbangan  model,  serta menganalisis  kestabilan  lokal  titik  kesetimbangan  model  tersebut  berdasarkan  nilai  eigen  yang ditentukan dengan kriteria Routh-Hurwitz. Hasil penelitian yang diperoleh yaitu terdapat tiga titik kesetimbangan model yaitu titik kestimbangan tanpa adanya populasi, titik kesetimbangan tanpa populasi  mangsa  sakit  dan  titik  kesetimbangan  tanpa  populasi  pemangsa.  Titik  kesetimbangan tanpa adanya populasi tidak stabil dan titik kesetimbangan tanpa adanya populasi mangsa sakit atau  pemangsa  akan  stabil  tergantung  pada  hubungan  parameter-parameter  yang  digunakan dalam model tersebut.
Kata Kunci: Model Mangsa Pemangsa, Kestabilan Model, Kriteria Routh-Hurwitz

## ABSTRACT
Predator prey model is a model that used to describe the interaction between two populations that  are  prey  and  predator.  In  the  basic  predator  prey  model  it  is  always  assumed  that  both populations are in good health. However, in reality, we can find conditions in the  environment which  indicate  that  there  are  prey  or  predator  with  sick  conditions  that  affect  survival  and hunting  for  food.  This  research  analyzes  a  predator  prey  model  with  disease  in  the  prey population by formulating a  model, determining the  equilibrium points of  model and analyzing the  local  stability  of  equilibrium  point  based  on  the  eigenvalue  determined  by  Routh-Hurwitz criteria. The results are that there are three equilibrium points, namely equilibrium point without population,  equilibrium  point  without  sick  prey  population  and  equilibrium  point  without predator population. Equilibrium point in the absence of population is unstable and Equilibrium point in the absence of sick prey population or predator population will stable depending on the relationship parameters used in the model.
Keywords: Predator Prey Model, Stability Of Model, Routh-Hurwitz Criteria

## A. PENDAHULUAN
Interaksi  antar  individu  memiliki  beberapa sifat,  salah  satunya  adalah  pemangsaan. Pemangsaan  merupakan  hubungan  antara pemangsa  dengan  mangsa  di  dalam  interaksi
dua populasi. Pemangsaan mempunyai pengaruh  negatif  pada  pertumbuhan  potensial populasi  mangsa,  tetapi  pada  pertumbuhan populasi  pemangsa  memiliki  pengaruh  yang positif.
Seiring dengan perkembangan model matematika  realistik  dalam  ilmu  ekologi, matematika  sangat  baik  dalam  merefleksikan penggunaannya untuk mendiskripsikan permasalahan  pada  interaksi  populasi  dengan model  matematika  yang  salah  satunya  adalah model  mangsa  pemangsa.  Model  ini  pertama kali  dikemukakan  oleh  Lotka-Volterra  (1926). Model ini menganalisis populasi pemangsa dan mangsa di suatu wilayah dengan mempertimbangkan bahwasanya mangsa
adalah  sumber  makanan  satu  -  satunya penunjang  kehidupan  pemangsa.  Interaksi antara mangsa dan pemangsa akan mempengaruhi  perkembangan  kedua  populasi. Model  matematika  yang  digunakan  adalah sistem  persamaan  diferensial  biasa  yang menyatakan  perubahan  jumlah  individu  pada masing-masing  populasi  setiap  waktunya. Model  mangsa  pemangsa yang  dibentuk  oleh Lotka  dan  Voltera  mengasumsikan  kedua populasi  dalam  kondisi  sehat.  Oleh  karena  itu tidak ada kendala bagi pemangsa untuk berburu dan  bagi  mangsa  untuk  menghindari  buruan. Namun,  terkadang  kondisi  di  lingkungan menunjukkan  adanya  populasi  yang  sakit. Kondisi  pemangsa  yang  sakit  akan  membuat kemampuan  berburu  menurun  sedangkan  bagi mangsa  membuat  kemampuan  menghindar berkurang.
Penelitian mengenai model mangsa pemangsa dengan melibatkan populasi mangsa yang  sakit  telah  dilakukan  beberapa  peneliti sebelumnya.  Hetchcote  et.al  (2004)  meneliti
model mangsa pemangsa dengan pertumbuhan logistik  dan  menggabungkan  infeksi  dengan pola model SIR ( susceptible, infectible,
Recovered ).  Sinha  et.al  (2010)  memodelkan mangsa  pemangsa dengan  pertumbuhan logistik  pada  mangsa  dan  infeksi  pada  mangsa dipengaruhi  oleh  lingkungan  dengan  pola  SIS. Wuhaib  dan  Hasan  (2013)  meneliti  model dengan  infeksi  pada  mangsa  yang  melibatkan pemanenan.  Populasi  mangsa  yang  terinfeksi mampu  untuk  sembuh  dan  menjadi  populasi sehat  yang  dapat  terinfeksi  kembali.  Sani  et.al (2014) meneliti model penyebaran infeksi pada populasi  mangsa  dengan  pola  SIS  ( susceptible, infectible, susceptible ) dan mengkaji
kestabilannya  dengan  metode Next  Generation Matrix  (NGM) .  Kumar  et.al  (2016)  meneliti model  mangsa  pemangsa dengan  studi  kasus pada  penyebaran worm , trojan  horse dan antivirus di komputer. Worm yang diasumsikan sebagai  pemangsa  menginfeksi  komputer dengan  bantuan  interaksi  perangkat  komputer lainnya  yang  telah  terinfeksi.  Sujatha  dan Gunasekaran  (2016)  meneliti  model  mangsa pemangsa dengan  infeksi  pola  SIS  dan mengikutsertakan  pemanenan  untuk  populasi mangsa  serta  menganalisis  kestabilan  dengan NGM.
Berdasarkan  penjelasan  tersebut  di  atas, pada  penelitian  ini  akan  dikaji  tentang  analisis model  mangsa  pemangsa dengan  adanya penyakit  pada  populasi  mangsa.  Diasumsikan bahwa  populasi  mangsa  yang  sakit  tidak diberikan pengobatan sehingga populasi
mangsa  yang  sakit  akan  mati.  Selanjutnya pemangsa  yang  memangsa  mangsa  yang  sakit akan  terinfeksi  dan  dapat  menyebabkan kematian.
Selanjutnya, penelitian ini disusun berdasarkan sistematika berikut ini. Perumusan model  diberikan  setelah  bab  ini.  Analisis kualitatif  kestabilan  lokal  model  di  sekitar  titik ekuilibrium  ditentukan  berdasarkan  nilai  eigen yang  ditentukan  dengan  kriteria  Routh-Hurwitz diberikan  pada  bagian  tiga.  Simulasi  numerik diberikan  pada  bagian  empat.  Pada  bab  lima diberikan kesimpulan dari penelitian ini.

## B. METODE
Penelitian  ini  berupa  analisis  kualitatif  yang terdiri  dari  beberapa  tahapan  sebagai  berikut: (1)  penentuan  asumsi  model,  dimana  tahapan ini  adalah  tahap  menentukan  asumsi  model. Asumsi  diperlukan  sebagai  batasan  sejauh mana model akan dibuat; (2) penurunan model, dimana  penurunan  model  merupakan  langkah penyajian  hubungan  antara  mangsa,  mangsa sakit  dan  pemangsa ke  dalam  model matematika  yang  berbentuk  sistem  persamaan diferensial;  (3)  penentuan  titik  kesetimbangan; (4) analisis titik kesetimbangan, dimana analisis titik  kesetimbangan  dilakukan  dengan  terlebih dahulu  melinierisasi  sistem  di  sekitar  titik kesetimbangan  dengan  menentukan  matriks Jacobian,  selanjutnya  menentukan  persamaan karakteristik  dan  selanjutnya  menentukan karakteristik  nilai  eigen  menggunakan  kriteria Routh-Hurwitz;  (5)  simulasi  model,  dimana simulasi model dilakukan menggunakan
software Maple 18. Simulasi ini dilakukan untuk mengetahui apakah analisis titik kesetimbangan model  sesuai  dengan  simulasi  model;  (6) penarikan kesimpulan.

## C. HASIL DAN PEMBAHASAN
1. Pemodelan  Mangsa  Pemangsa  dengan Populasi Mangsa Sakit
Misalkan  didefinisikan   t x adalah  populasi mangsa sehat pada suatu habitat pada waktu t,   t y adalah  populasi  mangsa  sakit  pada  suatu habitat pada waktu t dan   t p adalah populasi pemangsa  pada  habitat  yang  sama  dengan populasi  mangsa  pada  waktu  t.  Hubungan antara  mangsa  dan  pemangsa  pada  suatu habitat ini diberikan pada Gambar 1.
Asumsi  yang  digunakan  dalam  model  ini sebagai berikut:
a. Hanya  mangsa  sehat  yang  dapat  tumbuh. Tanpa  adanya  pemangsa,  mangsa  sehat tumbuh secara proporsional sebesar  .
b. Infeksi antar mangsa terjadi akibat interaksi, jumlahnya  sebanding  dengan  hasil  kali jumlah kedua populasi dengan konstanta  . Infeksi  akan  menyebabkan  kematian  pada populasi  mangsa  sakit  secara  proporsional sebesar  .
c. Mangsa adalah satu-satunya sumber makanan bagi pemangsa  sebagai penunjang kehidupan  sehingga  tidak  adanya  mangsa akan  mengakibatkan  kematian  pemangsa sebesar  sedangkan  adanya  mangsa mengakibatkan pertumbuhan populasi
pemangsa sebanding dengan jumlah
populasi keduanya sebesar 1  .
d. Pemangsa  yang  memangsa  mangsa  sakit akan mengalami kematian sebanding dengan  jumlah  kedua  populasi  dengan konstanta 2  .
Gambar 1. Kompartemen mangsa dan Pemangsa dalam Model Berdasarkan
asumsi dan diagram kompartemen  tersebut,  diperoleh  model  yang menggambarkan  perubahan  populasi  mangsa dan  pemangsa  dengan  adanya  penyakit  pada populasi mangsa yaitu:
dengan
( )     ( )     ( ) dan

## 2. Analisis Kestabilan Model
Berikut  diberikan  analisis  kestabilan  model mangsa  pemangsa  dengan  adanya  penyakit pada  populasi  mangsa  yang  dimulai  dengan menentukan titik kesetimbangan model kemudian  menganalisis  kestabilan  lokal  setiap titik kesetimbangan tersebut.
Titik
kesetimbangan  sistem  (1)  diperoleh  dari
. 0 dan 0 , 0 ' ' '    p y x (Verhulst,  1989) Dari sistem  persamaan  tersebut  diperoleh  titik kesetimbangan dalam   p y x , , yaitu:
(     ) ( ) dan ( ) Preposisi 1 Titik  kesetimbangan   0 , 0 , 0 1  E merupakan titik kesetimbangan yang tidak stabil Bukti:
Matriks Jacobian dari sistem (1) yaitu:
( ) Substitusi (       ) ke  matriks  Jacobian  J diperoleh:
( )
Persamaan  karakteristik  untuk  diperoleh 1 J dari  persamaan | | (Kocak,  1991), sehingga persamaan karakteristik 1 J adalah:
(     )(      )(      )
Diperoleh  nilai  eigen  dalam  bentuk ( ) yaitu        , , .  Karena  terdapat  nilai  eigen positif  yaitu 0   maka  titik  kesetimbangan
  0 , 0 , 0 1  E tidak stabil (Olsder, 1994)

## Preposisi 2
Titik kesetimbangan ( )
merupakan  titik  kesetimbangan  yang  stabil
dengan syarat dan
Bukti:
Matriks Jacobian untuk ( ) adalah:
𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)
𝑝(𝑡) 𝛽 𝛼 𝛼 𝛼 𝜇 𝜇 (1)
Persamaan  karakteristik  untuk 2 J diperoleh dari persamaan | | sehingga persamaan karakteristik matriks 2 J adalah:
( ) ( ) Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz
diperoleh  bahwa  persamaan  karakteristik matriks 2 J akan  menghasilkan  akar-akar  atau nilai  eigen  yang  lebih  kecil  atau  sama  dengan nol  dengan  syarat dan .  Dari  syarat  tersebut  diperoleh dan Dengan demikian titik kesetimbangan ( ) stabil  jika dan Preposisi 3 Titik kesetimbangan merupakan titik kesetimbangan  yang  stabil  dengan  syarat
dan . Bukti: Matriks Jacobian untuk ( ) adalah: ( )
Persamaan  karakteristik  untuk 3 J diperoleh dari persamaan | | , sehingga persamaan karakteristik matriks 3 J adalah:
( ) ( Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz
diperoleh  bahwa  persamaan  karakteristik matriks 3 J akan  menghasilkan  akar-akar  atau nilai  eigen  yang  lebih  kecil  atau  sama  dengan nol  dengan  syarat dan .  Dari  syarat  tersebut  diperoleh dan Dengan demikian titik kesetimbangan ( ) stabil  jika dan

## 3. Simulasi
Pada  bagian  ini  akan  dilakukan  simulasi dengan  mengambil  nilai  parameter  yang digunakan  dalam  model  yang  terdiri  dari  dua jenis parameter seperti disajikan dalam Tabel 1 berikut.
Tabel 1. Parameter simulasi model Parameter E1 dan E2 E3  4 4
1 
3 1
2 
3 3  1 2  1 1
Berikut  diberikan  ruang  fase  hasil  simulasi titik  kesetimbangan  E1  dengan  nilai  awal
    01 . 0 , 01 . 0 , 03 . 0 ) 0 ( ), 0 ( ), 0 (  p y x .
Gambar 2. Ruang fase model sistem (1) dengan menggunakan parameter pada Tabel 1
Pada gambar tersebut, terlihat bahwa kurva bergerak  menjauhi  titik  kesetimbangan  E1 sepanjang  waktu  t.  Hal  ini  sesuai  dengan  hasil analisis  titik  kesetimbangan  E1  yang  diperoleh bahwa titik kesetimbangan E1 tidak stabil.
Berikut  diberikan  ruang  fase  hasil  simulasi titik  kesetimbangan  E2  dengan  nilai  awal

   01 . 4 , 01 . 0 , 01 . 1 ) 0 ( ), 0 ( ), 0 (  p y x .
Gambar 3. Ruang fase model sistem (1) dengan menggunakan parameter pada Tabel 1
Pada gambar tersebut, terlihat bahwa kurva bergerak  dari  nilai  awal  kemudian  menuju  ke titik  kesetimbangan  E2.  Namun  sepanjang waktu  t,  kurva  tersebut  hanya  bergerak mengelilingi  titik  kesetimbangan  E2  dan  tidak pernah mendekati atau menuju ke E2.
Hal  ini  sesuai  dengan  hasil  analisis  titik kesetimbangan  E2  yang  diperoleh  bahwa  titik kesetimbangan  E2  stabil  asalkan  terpenuhi syarat kestabilan yaitu 1 2 2      
Gambar 4. Grafik pertumbuhan populasi berdasarkan E2
Dari  gambar  tersebut  dapat  dilihat  bahwa ketika  laju  pemangsaan  lebih  besar  dari  pada laju  infeksi  maka  seiring  berjalannya  waktu, populasi  mangsa  terus  berkurang  namun  tidak sampai  mengalami  kepunahan  dan  populasi pemangsa terus bertambah sedangkan populasi mangsa sakit akan mengalami kepunahan.
Berikut  diberikan  ruang  fase  hasil  simulasi titik  kesetimbangan  E3  dengan  nilai  awal
    6 , 3 , 10 ) 0 ( ), 0 ( ), 0 (  p y x .
Gambar 5. Ruang fase model sistem (1) dengan menggunakan parameter pada Tabel 1
Pada gambar tersebut, terlihat bahwa kurva bergerak  dari  nilai  awal  kemudian  menuju  ke titik  kesetimbangan  E3.  Namun  sepanjang waktu  t,  kurva  tersebut  hanya  bergerak mengelilingi  titik  kesetimbangan  E3  dan  tidak pernah  mendekati  atau  menuju  ke  E2.  Hal  ini sesuai dengan hasil analisis titik kesetimbangan E3  yang  diperoleh  bahwa  titik  kesetimbangan E3  stabil  asalkan  terpenuhi  syarat  kestabilan
yaitu       2 2 1
Gambar 6. Grafik pertumbuhan populasi berdasarkan E3
Dari  gambar  tersebut  dapat  dilihat  bahwa ketika  laju  infeksi  lebih  besar  dari  pada  laju pemangsaan  maka  seiring  berjalannya  waktu, jumlah  populasi  mangsa  sakit  terus  mengalami pertambahan  seiring  bertambahnya  jumlah populasi  mangsa  sehat.  Sedangkan  jumlah populasi  pemangsa  semakin  berkurang  karena berkurangnya sumber makanan (mangsa sehat) sehingga  seiring  berjalannya  waktu  populasi pemangsa akan punah.

## D. PENUTUP

## 1. Kesimpulan
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:
a) Model  mangsa  pemangsa  dengan  populasi mangsa sakit yaitu:
( )     ( )     ( ) dan
b) Terdapat 3 (tiga) titik  kesetimbangan model yaitu:
(       ) , ( ) dan ( )
c) Titik  kesetimbangan  E1  tidak  stabil,  titik kesetimbangan    E2  stabil  dengan  syarat dan dan titik kesetimbangan    E3  stabil  dengan  syarat
dan
d) Ketika  laju  pemangsaan  lebih  besar  dari pada  laju  infeksi  maka  seiring  berjalannya
waktu populasi mangsa sakit akan mengalami kepunahan.
e) Ketika  laju  infeksi  lebih  besar  dari  pada  laju pemangsaan maka seiring berjalannya waktu populasi pemangsa akan mengalami kepunahan.
2. Saran
Berdasarkan  hasil  penelitian  yang  telah diperoleh,  peneliti  dapat  memberikan  saran yaitu agar penelitian selanjutnya lebih dikembangkan  lagi  dengan  mengikutsertakan faktor  lain  selain  faktor  yang  terdapat  dalam penelitian  ini  seperti  adanya  pengobatan  atau konservasi  pada  populasi  mangsa  yang  sakit atau dengan menambahkan asumsi-asumsi lain.

## DAFTAR PUSTAKA
Hethcote,  H.W.,  Wang,W.,  Han,L.,  Zhien  Ma. (2004). A  predator–prey  model  with infected  prey ,  Theoretical  Population Biology 66, 259 – 268.
Kocak,  H.  dan  Hale,  J.K.  (1991 ) . Dynamic  and Bifurcation. New York: Springer Verlag.
Kumar, M., Bimal Kumar Mishra & T. C. Panda.
(2016). Predator-Prey
Models on
Interaction  between  Computer  Worms,
Trojan Horse and Antivirus Software Inside a  Computer  System ,  International  Journal of  Security  and  Its  Applications,  Vol.  10, No. 1, 173-190.
Olsder,  G.J.  (1994 ) . Mathematical  Systems Theory. Netherlands:  Delftse  Uitgevers Maatschappij, CW Delft.
S.A.  Wuhaib,  Y.  Abu  Hasan.  (2013). A  predator infected  prey  model  with  harvesting  of infected Prey, ScienceAsia 39S, 37–41.
Sani,A.,  Cahyono,E.,  Mukhsar,  G.A.,  Rahman,
Y.T.  Hewindati,  F.A.A.  Faeldog,  F.A. Abdullah.  (2014). Dynamics  of  Disease Spread  in  a  Predator-Prey  System ,
Advanced Studies in Biology, vol. 6, No. 4,
169 – 179.
Sinha,S., Misra,O.P.,  Dhar,  J.  (2010). Modelling
a predator–prey system  with infected prey in polluted environment , Applied Mathematical Modelling, 34, 1861–1872.
Sujatha,  K.,  Gunasekaran,  M.  (2016). Dynamics in  a  Harvested  Prey-Predator  Model  with Susceptible-Infected-Susceptible (SIS)
Epidemic  Disease  in  the  Prey ,  Advances  in Applied  Mathematical  Biosciences.  ISSN 2248-9983 Volume 7, No. 1, 23-31.
Verhulst,  F.  (1990). Nonlinear  Differential Equations  and  Dynamical  Systems. New- York, USA: Springer – Verlag.