Jurnal Ilmiah Matematika dan Pendidikan Matematika (JMP) Vol. 14 No. 2, Desember 2022, hal. 133-144 ISSN (Cetak) : 2085-1456; ISSN ( Online ) : 2550-0422
Info Artikel : dikirim 20 Agt. 2022; direvisi 16 Nov. 2022; diterima 27 Des. 2022.

## PENERAPAN REGRESI ROBUST ESTIMASI-S DENGAN FUNGSI PEMBOBOT TUKEY BISQUARE DAN WELSCH PADA KASUS DATA
IPM DI PROVINSI PAPUA TAHUN 2021

## Nita Nurcahyani
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman nita.nurcahyani@mhs.unsoed.ac.id

## Budi Pratikno*
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman budi.pratikno@unsoed.ac.id

## Supriyanto
Jurusan Matematika, Universitas Jenderal Soedirman Supriyanto2505@unsoed.ac.id
ABSTRACT. The  research studied the robust regression estimation-S on Tukey-Bisquare and  Welsch  weighting  function.  Due  to  the  data  contains  outliers,  we  therefore  used robust  regression  to  handle  outliers.  The  purpose  is  to  find  the  best  model  between  the Tukey Bisquare or Welsch. The mean square error (MSE) and adjusted is then used. The  simulation  data  is  a  human  development index  (HDI)  in  Papua in  2021.  The  result showed  that  the    robust  regression  model  on    the  S-estimation  between  Tukey  Bisquare and  Welsch are similar  (close). However, the  adjusted weighting function Welsch is greater  than  the  Tukey  Bisquare,  and  the  MSE  of  the  Welsch  is  smaller  than  the  Tukey Bisquare, so we recommended  the  robust S-estimation Welsch is a little better.
Keywords : Outlier , robust , estimate-S , Tukey  Bisquare  weighting  function , Welsch weighting function .
ABSTRAK. Penelitian ini membahas penerapan model estimasi parameter regresi robust estimasi  S  fungsi  pembobot Tukey-Bisquare dan Welsch pada  kasus  data  IPM  tahun 2021. Karena  data  memuat outlier, maka  model  regresi  robust  dipertimbangkan  sebagai model yang dapat mengatasi outlier. Tujuan penelitian ini adalah mencari model terbaik antara fungsi pembobot Tukey Bisquare dengan Welsch berdasarkan kriteria mean square error  (MSE) dan adjusted .  Hasil  riset  menunjukan  bahwa  estimasi  regresi robust estimasi- S dengan  fungsi  pembobot Tukey  Bisquare dan Welsch serupa  atau  cenderung sama. Namun jika dilihat dari nilainya, adjusted fungsi pembobot Welsch lebih besar dari  pembobot Tukey  Bisquare ,  dan MSE fungsi  pembobot Welsch lebih  kecil  dari pembobot Tukey Bisquare , karena itu regresi robust estimasi- S dengan fungsi pembobot Welsch lebih di rekomendasikan
Kata Kunci : Outlier , regresi robust , Estimasi- S , fungsi pembobot Tukey Bisquare , fungsi pembobot Welsch .

## 1. PENDAHULUAN
Analisis  regresi  linier  adalah  analisis  yang  dilakukan  untuk  mengetahui hubungan yang linier antara satu atau beberapa variabel bebas dengan variabel tak bebas  serta  digunakan  untuk  tujuan  prediksi  atau  peramalan.  Analisis  regresi menggunakan  dua  variabel  disebut  regresi  linier  sederhana  sedangkan  analisis regresi  dengan  lebih  dari  dua  variabel  disebut  regresi  linier  berganda  (Mardiana dkk., 2021).
Salah  satu  metode  pendugaan  parameter  model  regresi  linier  adalah Metode Kuadrat Terkecil (MKT). Metode ini merupakan metode penaksir tak bias terbaik untuk parameter model regresi jika data yang digunakan memenuhi asumsi klasik.  Dalam  kasus  model  regesi,  terdapat  kemungkinan  adanya  data outlier (pencilan)  yaitu  pengamatan  dengan  nilai  mutlak  residual  jauh  lebih  besar daripada  residual-residual  lain  sehingga  akan  mempengaruhi  model  regresi  yang terbentuk.  Metode  kuadrat  terkecil  dalam  analisis  regresi  kurang  tepat  dilakukan untuk  data  yang  mengandung outlier karena  akan  mempengaruhi  model  regresi. Oleh  karena  itu,  dibutuhkan  suatu  metode  yang  kekar (robust) terhadap  kondisi data yang outlier (Lainun dan Tinungki, 2018). Regresi robust merupakan metode regresi  yang  digunakan  ketika  adanya outlier yang  berpengaruh  pada  model (Olive,  2005:3).  Menurut  Chen  (2002:13) regresi robust terdiri  dari  5  metode estimasi,  yaitu    (1)  estimasi ( Maximum  Likelihood  type ),  (2)  estimasi ( Least Median Squares ), (3) estimasi ( Least Trimmed Squares ), (4) estimasi ( Method of Moment ), dan (5) estimasi ( Scale ).
Jika dilihat dari nilai breakdown pointnya, estimasi- merupakan estimasi robust yang  memiliki  nilai breakdown  point yang  paling  tinggi  hingga , breakdown  point digunakan  untuk  menjelaskan  ukuran  kekekaran  ( robustness ) dari tenik robust .  Menurut Huber (1981: 13), breakdown point adalah persentase dari outlier yang  dapat  menyebabkan  nilai  estimator  menjadi  besar.  Di  antara beberapa  estimasi  untuk  mengatasi  hal  tersebut  adalah  estimasi- S .  Estimasi- tersebut  memiliki  fungsi  pembobot  di  antaranya  adalah Tukey  Bisquare dan Welsch . Fungsi pembobot Tukey Bisquare dan Welsch memiliki nilai skala robust yang  lebih  kecil  dibandingkan  dengan  fungsi  pembobot  lain  sehingga  hasilnya
lebih  efektif  (Yaziz  dan  Rizki,  2019).  Fungsi  pembobot  ini  digunakan  untuk menghasilkan nilai skala pembobot yang diperoleh dengan cara melakukan iterasi hingga estimasi yang diperoleh konvergen.
Pada penelitian sebelumnya, Setiawan dkk. (2019) telah mengkaji metode regresi robust estimasi-S dengan fungsi pembobot tukey bisquare pada kasus data kemiskinan  di  Indonesia.  Hasil  penelitian  tersebut  menyatakan  bahwa  metode regresi robust lebih baik digunakan dibandingkan dengan metode kuadrat terkecil pada  data  yang  mengandung outlier .  Penelitian  lain  juga  telah  dilakukan  oleh Cahyawati dkk. (2009) tentang efektivitas metode regresi robust penduga Welsch dalam mengatasi pencilan pada pemodelan regresi linier berganda. Diperoleh hasil bahwa pembobot welsch menghasilkan model regresi yang lebih baik dari metode kuadrat terkecil untuk berbagai ukuran sampel dan banyaknya outlier .
Berdasarkan  uraian  sebelumnya,  pada  penelitian  ini  dilakukan  penerapan estimasi-S  pada  kasus  data  Indeks  Pembangunan  Manusia  di  Provinsi  Papua. Perbedaan  penelitian  ini  dengan  penelitian  sebelumnya  terletak  pada  kasus  data dan fungsi pembobot yang digunakan.

## 2. METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kasus. Dalam hal ini,  peneliti  menerapkan  metode  regresi robust untuk  mengidentifikasi  faktor- faktor  yang  berpengaruh  pada  nilai  IPM  di  Provinsi  Papua  tahun  2021.  Variabel bebas  yang  digunakan  adalah  angka  harapan  hidup  ( X 1 ),  rata-rata  lama  sekolah ( X 2 ),  dan  pengeluaran  perkapita  disesuaikan  ( X 3 ).  Adapun  langkah-langkah  yang dilakukan dalam penelitian ini adalah:
1. mengumpulkan data dan menentukan variabel bebas dan tak bebas;
2. mencari estimasi parameter regresi dengan menggunakan MKT;
3. melakukan pendeteksian outlier dengan metode
4. mencari  estimasi  parameter  regresi robust estimasi- menggunakan  fungsi pembobot Tukey Bisquare dan Welsch ;
5. melakukan uji signifikansi parameter;
6. menghitung adjusted dan ;
7. memilih model terbaik.

## 3. HASIL DAN PEMBAHASAN

## 3.1 Estimasi Regresi Linier Berganda
Sebelum  melakukan  analisis  regresi robust ,  terlebih  dahulu  dilakukan analisis  menggunakan  metode  kuadrat  terkecil  (MKT)  untuk  mendapatkan estimasi  parameter  model  regresi  linier  berganda.  Pada  analisis  tersebut  IPM merupakan  variabel  tak  bebas  sedangkan  variabel  bebas  adalah  angka  harapan hidup, rata-rata lama sekolah, serta pengeluaran perkapita disesuaikan. Diperoleh model dari hasil perhitungan menggunakan R-Studio sebagai berikut:
̂ (1)
Analisis regresi persamaan (1) yang menggunakan metode MKT memerlukan uji asmusi  klasik  untuk  menentukan  apakah  model  tersebut  layak  atau  tidak.  Uji asumsi  klasik  dalam  hal  ini  meliputi  uji  normalitas,  uji  heteroskedastisitas,  uji autokorelasi, dan uji multikolinieritas. Berikut ini adalah uji asumsi klasik tersebut untuk menguji perlu tidaknya metode regresi robust karena adanya outlier .

## 3.2 Uji Asumsi Klasik
3.2.1 Uji Normalitas
Model regresi yang baik adalah model regresi yang memiliki nilai residual berdistribusi  normal.  Dari  hasil output  R- Studio  diperoleh  nilai , untuk nilai dengan diperoleh Jika dibandingkan dengan nilai yang diperoleh bahwa
. Berdasarkan kriteria keputusan maka diterima. Hal ini berarti bahwa asumsi normalitas residual terpenuhi.

## 3.2.2 Uji Heteroskedastisitas
Uji  heteroskedastisitas  dilakukan  untuk  mengetahui  adanya  gejala heteroskedastisitas pada model regresi. Untuk mengetahui terdapat heteroskedastisitas  atau  tidak  dilakukan  dengan  uji Glejser ,  yaitu  dengan meregresikan  residual model dengan variabel bebas. Berdasarkan output R -Studio diperoleh hasil untuk uji Glejser pada Tabel 1.
Tabel 1 Hasil Uji Glejser Variabel 1 0,008 2 0,014 3 0,007 Berdasarkan Tabel  1, diperoleh masing-masing  variabel  bebas
kurang  dari
,  artinya  terdapat  gejala  heteroskedastisitas  pada  model
tersebut. Oleh sebab itu, asumsi heteroskedastisitas dalam hal ini tidak terpenuhi.

## 3.2.3 Uji Autokorelasi
Uji  autokorelasi  bertujuan  untuk  menguji  apakah  dalam  model  regresi linier  terdapat  korelasi  antara  residual  satu  dengan  yang  lainnya.  Uji  yang dilakukan  yaitu  menggunakan  uji Durbin-Watson .  Hasil  perhitungan  dengan menggunakan  R-Studio  diperoleh  nilai Durbin-Watson yaitu dan
.  Pada  tabel Durbin-Watson diperoleh    nilai ,  karena  nilai maka gagal  ditolak,  artinya  tidak  terdapat autokorelasi.

## 3.2.4 Uji Multikolinieritas
Uji  ini  dilakukan  untuk  mengetahui  hubungan  antara  masing-masing variabel  bebas  pada  model  regresi.  Ada  tidaknya  suatu  gejala  multikolinieritas pada  model  dapat  berdasarkan  nilai VIF .  Model  regresi  dikatakan  tidak  terjadi multikolinieritas  jika
.    Adapun  nilai VIF berdasarkan output R -Studio disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Nilai VIF masing-masing variabel bebas Variabel VIF 1 0,312733 2 0,686013 3 0,707281 Berdasarkan Tabel 2 didapatkan nilai sehingga dapat dikatakan
tidak terdapat masalah multikolinieritas pada model.

## 3.3 Identifikasi Outlier
Identifikasi outlier yaitu menggunakan metode . Pada identifikasi
outlier menggunakan  metode
berlaku  ketentuan  jika  nilai |      |
masing-masing  data  lebih  dari √ maka  data  tersebut  dikategorikan  sebagai data outlier .  Nilai merupakan  jumlah  variabel  bebas  ditambah  satu,
sedangkan merupakan  banyaknya  pengamatan  (Mardiana  dkk.,  2021).  Pada penelitian ini, jumlah variabel bebas yang digunakan meliputi angka harapan hidup,  rata-rata  lama  sekolah,  dan  pengeluaran  perkapita  disesuaikan.
,  sedangkan  banyaknya  pengamatan adalah  29  pengamatan.  Maka
diperoleh nilai √ √
. Oleh karena itu, batas nilai penentuan berdasarkan |      | merupakan  data outlier .  Berdasarkan  hasil perhitungan diperoleh bahwa dari data pengamatan terdapat nilai
.  Dengan  menggunakan R -Studio  dan  diperoleh  plot pada Gambar 1.

## Gambar 1 Plot
Gambar  1  menunjukkan  bahwa  garis-garis  yang  keluar  pada  batas signifikansi  menunjukkan  adanya  pencilan  dari  setiap  variabel.  Dari  hasil identifikasi outlier disimpulkan  bahwa  terdapat  tiga outlier yaitu  data  ke-2,  21, dan 29, hal itu tentu berpengaruh pada model yang diperoleh menggunakan MKT. Selanjutnya untuk mengatasi outlier tersebut digunakan regresi robust estimasi-S
dengan fungsi pembobot Tukey Bisquare dan Welsch dengan tujuan memperoleh hasil yang lebih efektif.
3.4 Regresi Robust Estimasi- S
3.4.1 Estimasi-S dengan Fungsi Pembobot Tukey Bisquare
Berdasarkan  perhitungan R -Studio  diperoleh  estimasi  parameter  yang konvergen setelah dilakukan sebanyak iterasi dengan model sebagai berikut:
̂ (2)
Persamaan  (2)  adalah  persamaan  model  regresi  robust  Tukey  Bisquare yang  menunjukkan  bahwa  variabel memberikan  pengaruh  yang  positif
terhadap  IPM  Papua  sebesar artinya  jika  nilai meningkat  sebesar satuan,  maka  nilai  IPM  Papua  akan  meningkat  sebanyak .  Variabel
memberikan  pengaruh  positif  sebesar
artinya  jika  nilai meningkat sebesar satuan,  maka  nilai  IPM  Papua  akan  meningkat  sebanyak . Variabel juga memiliki pengaruh  yang positif sebesar
artinya jika nilai
meningkat sebesar satuan, maka nilai IPM Papua akan meningkat sebanyak
.
3.4.2 Estimasi-S dengan Fungsi Pembobot Welsch
Berdasarkan  perhitungan R -Studio  diperoleh  estimasi  parameter  yang konvergen setelah dilakukan sebanyak iterasi dengan model sebagai berikut:
̂ (3)
Persamaan (3) adalah model regresi robust menggunakan fungsi pembobot
Welsch menunjukkan  bahwa  variabel
memberikan  pengaruh  yang  positif terhadap  IPM  Papua  sebesar
artinya  jika  nilai meningkat  sebesar satuan,  maka  nilai  IPM  Papua  akan  meningkat  sebesar .  Variabel
memberikan  pengaruh  positif  sebesar
artinya  jika  nilai meningkat sebesar satuan, maka nilai IPM Papua akan meningkat sebesar 2 . Variabel
juga  memiliki  pengaruh  yang  positif  sebesar
artinya  jika  nilai
meningkat  sebesar satuan,  maka  nilai  IPM  Papua  akan  meningkat  sebanyak
.

## 3.5 Uji Signifikansi Parameter
Uji signifikansi dalam hal ini adalah Uji Simultan (Uji F ) dan Uji Parsial (Uji t ).  Uji F digunakan  untuk  pengujian  secara  simultan  (bersamaan)  untuk mengetahui  ada  tidaknya  pengaruh  simultan  dari  keseluruhan  variabel  bebas terhadap variabel  tak bebas. Sementara, uji t digunakan untuk  menguji pengaruh masing-masing variabel bebas terhadap variabel tak bebas.

## 3.5.1 Uji F
Pada  persamaan  estimasi  parameter  model  yang  dihasilkan  dari  fungsi pembobot Tukey  Bisquare dan Welsch ,  dilakukan  uji  secara  simultan  dan diperoleh hasil yang disajikan pada Tabel 3.
Tabel 3 Hasil Uji F Model p-value Tukey bisquare

## Welsch
Berdasarkan  Tabel  3  menunjukkan  bahwa  masing-masing untuk  pembobot Tukey  Bisquare dan Welsch kurang  dari  0,05.  Hal  ini menunjukkan  bahwa  kedua  model  tersebut  menunjukkan  bahwa  secara  simultan variabel , , dan berpengaruh terhadap variabel .

## 3.5.2 Uji t
Pada  persamaan  estimasi  parameter  model  yang  dihasilkan  dari  fungsi pembobot Tukey Bisquare dan Welsch , dilakukan uji secara parsial dan diperoleh hasil pada Tabel 4.
Tabel 4 Uji t pembobot Tukey Bisquare Variabel Parameter p - value
Berdasarkan  Tabel  4  menunjukkan  bahwa  masing-masing untuk uji t pada pembobot Tukey Bisquare kurang dari 0,05. Hal ini menunjukkan bahwa  setiap  variabel  bebas  bahwa  secara  parsial  berpengaruh  terhadap  variabel
. Selanjutnya untuk uji t pada pembobot Welsch diperoleh hasil pada Tabel 5.
Tabel 5 Uji t pembobot W elsch Variabel Parameter p - value
Berdasarkan  Tabel  5  menunjukkan  bahwa  masing-masing untuk uji t pada pembobot Welsch kurang dari 0,05. Hal ini menunjukkan bahwa setiap variabel bebas bahwa secara parsial berpengaruh terhadap variabel .

## 3.6 Memilih Model Terbaik
Dalam  menentukan  metode  terbaik,  digunakan  dua  kriteria,  yaitu  nilai adjusted dan mean square error (Mardiana dkk., 2021). Nilai adjusted dan MSE   selanjutnya disajikan pada Tabel 6.
Tabel 6 Nilai adjusted dan MSE Fungsi pembobot Adjusted MSE Tukey Bisquare

## Welsch
Berdasarkan Tabel 6 terlihat bahwa nilai adjusted dan MSE untuk fungsi pembobot Tukey  Bisquare dan Welsch memiliki  selisih  yang  tidak  terlalu  besar, sehingga  dapat  dikatakan  hasil  estimasi  regresi robust dengan  fungsi  pembobot
Tukey Bisquare dan Welsch serupa atau cenderung sama.

## 4. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis yang telah dilakukan diperoleh bahwa analisis regresi dengan menggunakan MKT pada kasus data IPM di Provinsi Papua terjadi adanya pelanggaran  asumsi  pada  model  dan  diketahui  terdapat  tiga  data outlier .  Untuk
mengatasi masalah tersebut diperlukan metode yang mampu menangani data yang mengandung outlier ,  yaitu  menggunakan  metode  regresi robust dengan  fungsi pembobot Tukey Bisquare dan Welsch . Hasil penelitian ini adalah bahwa estimasi regresi robust estimasi- S dengan  fungsi  pembobot Tukey  Bisquare dan Welsch serupa atau cenderung sama. Namun jika dilihat dari nilainya, adjusted fungsi pembobot Welsch lebih  besar  dari  pembobot Tukey  Bisquare dan MSE fungsi pembobot Welsch lebih  kecil  dari  pembobot Tukey  Bisquare .  Oleh  karena  itu, model  yang  direkomendasikan  untuk  mengestimasi  data  IPM  di  Provinsi  Papua tahun  2021  adalah  regresi robust estimasi- S dengan  fungsi  pembobot Welsch dengan persamaan model sebagai berikut:

## ̂
dengan nilai adjusted sebesar 0,9931 dan nilai MSE sebesar 4,172332.

## DAFTAR PUSTAKA
Cahyawati,  D.,  Tanuji,  H.,  dan  Abdiati,  R. Efektivitas  metode  regresi  robust penduga Welsch dalam mengatasi pencilan pada pemodelan regresi linear berganda , Jurnal Penelitian Sains, 12 (1) (2009).
Chen,  C., Robust  Regression  and  Outlier    Detection  with  the  Robustreg Procedure . Statistics and Data Analysis , SAS Institute: Cary, NC., 2002. Huber, P.J., Robust Statistics , A John Wiley & Sons, Inc., Canada, 1981.
Lainun,  H.,  Tinungki,  G.  M.,  dan  Amran,  A., Perbandingan  Penduga  M,  S,  dan MM  pada  Regresi  Linier  dalam  Menangani  Keberadaan  Outlier . Jurnal Matematika , Statistika dan Komputasi, 15 (1)  (2018), 88-96.
Mardiana,  M.,  Wibowo,  A.,  Mahmudah,  M.,  dan  Festi,  P., A  comparison  of  m- estimation and s-estimation on the factors affecting IR DHF in East Java in 2017 , The Indonesian Journal of Public Health, 16 (3) (2021), 349-362. Olive,  D.J., Applied  Robust  Statistics ,  Southern  Illinois  University,  Carbondale, 2005.
Setiawan, W., Debataraja, N. N., dan Sulistianingsih, E., Metode Estimasi-S Pada Analisis  Regresi  Robust  Dengan  Pembobotan  Tukey  Bisquare , Bimaster: Buletin Ilmiah Matematika, Statistika dan Terapannya, 8 (2) (2019).
Yaziz D.  K.,  dan  Rizki,  S.  W., Analisis  Regresi  Robust  Estimasi-M  dengan menggunakan Pembobotan Bisquare Tukey dan  Welsch dalam mengatasi Data  Outlier , Bimaster:  Buletin  Ilmiah  Matematika,  Statistika  dan Terapannya, 8 (4) .(2019).