Weissman lớn lên ở Great Falls, Montana. Ông đậu bằng cử nhân khoa học ở Đại học bang Montana năm 1961, bằng bác sĩ y khoa ở Đại học Stanford năm 1965, và bắt đầu sự nghiệp khoa học tại Viện nghiên cứu McLaughlin.