Іван Багушэвіч нарадзіўся 25 кастрычніка 1906 года ў Мінску ў рабочай сям'і. Атрымаў няпоўную сярэднюю адукацыю, пасля чаго працаваў зваршчыкам на Магнітабудзе, а затым настаўнікам у сельскай школе. У 1935 годзе быў прызваны на службу ў Рабоча-сялянскую Чырвоную Армію. У 1936 годзе Багушэвіч скончыў артылерыйскія курсы ўдасканалення камсаставу. Браў удзел у баях на Халхін-Голе ў 1939. У 1942 годзе ўступіў у ВКП(б).