Ο Εμίλ Άρτιν καθιέρωσε τον Νόμο αμοιβαιότητας Άρτιν σε μια σειρά εγγράφων (1924,1927,1930). Αυτός ο νόμος είναι ένα γενικό θεώρημα της Θεωρία αριθμών που αποτελεί κεντρικό τμήμα της παγκόσμιας Θεωρίας των πεδίων κλάσεων. Ο όρος Νόμος της αμοιβαιότητας αναφέρεται σε μια μακρά σειρά από θεμελιώδης πολυάριθμες θεωρητικές δηλώσεις στις οποίες γενικεύτηκε, από τον Νόμο τεταρτοβάθμιας αμοιβαιότητας και τους νόμους της αμοιβαιότητας των Αϊζενστάιν και Έρνστ Κούμερ μέχρι και το μέτρο γινόμενου του Ντάβιντ Χίλμπερτ για το Σύμβολο Χίλμπερτ. Τα αποτελέσματα του Άρτιν έδωσαν μια μερική λύση για το Ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ.