אליאס שקור נולד בשנת 1939 בכפר בירעם בגליל העליון למשפחה נוצרית פלסטינית תחת שלטון המנדט הבריטי. עם סיום מלחמת העצמאות פונתה משפחתו מבירעם. שקור סיים את לימודי התיכון בנצרת ולמד תאולוגיה בפריז שבצרפת. לאחר סיום לימודי התאולוגיה חזר לישראל, ומונה לכומר על ידי ג'ורג' חכים, הארכיבישוף של עכו, חיפה, נצרת והגליל.