Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής περιγράφει την πολλαπλασιαστική δομή του Ζ. Σύμφωνα με το θεώρημα, κάθε μη μηδενικός ακέραιος μπορεί να γραφεί, με μοναδικό τρόπο, ως γινόμενο πρώτων παραγόντων και των ακεραίων ±1. Η περιγραφή του θεωρήματος ισχύει εν μέρει για την μοναδική παραγοντοποίηση των ιδεωδών σε έναν δακτύλιο Ο, διότι δεν εφαρμόζεται για τους παράγοντες ±1. Οι ακέραιοι +1 και -1 είναι τα αντίστροφα στοιχεία (μοναδιαία στοιχεία) του Ζ. Γενικότερα τα αντίστροφα στοιχεία του Ο, αποτελούν ομάδα ως προς τον πολλαπλασιασμό που ονομάζεται μοναδιαία ομάδα του Ο και συμβολίζεται με O×. Αυτή η ομάδα μπορεί να είναι αρκετά μεγαλύτερη της κυκλικής ομάδας τάξης 2 που σχηματίζεται από τα μοναδιαία στοιχεία του Ζ. Το θεώρημα του Πέτερ Γκουστάφ Λεζέν Ντίριχλετ για τις μοναδιαίες ομάδες περιγράφει την αφηρημένη δομή της μοναδιαίας ομάδας ως αβελιανής ομάδας. Μια πιο ακριβής περιγραφή είναι δυνατόν να επιτευχθεί, θεωρώντας την δομή του O× ⊗Z Q ως Γκαλουά module για την ομάδα Γκαλουά του K/Q. Τέλος, το μέγεθος της μοναδιαίας ομάδας και η δικτυωτή δομή της παρέχουν σημαντικές αριθμητικές πληροφορίες για τον δακτύλιο Ο, όπως μπορεί να φανεί από την φόρμουλα αριθμού των κλάσεων.