Suárez kasvoi Saltossa seitsenlapsisessa perheessä. Perhe muutti Montevideoon Suárezin ollessa seitsemän ja 14-vuotiaana hän siirtyi montevideolaiseen Nacionaliin. Suárez nousi nopeasti edustusjoukkueeseen ja debytoi toukokuussa 2005 Libertadores cupin ottelussa. Hän oli nuoresta iästään huolimatta yksi joukkueen avainpelaajia, kun Nacional voitti Uruguayn mestaruuden 2006. Hyvän kauden jälkeen hollantilainen FC Groningen osti Suárezin 800 000 eurolla. Suárezilla oli aluksi vaikeuksia sopeutua Groeningenissa, mutta kauden edetessä hän vakiinnuttui paikkansa ja onnistui hyvin. Hän teki lopulta liigassa kymmenen maalia 29 ottelussa, ja muut kilpailut mukaan lukien 17 maalia 37 ottelussa.