צ'פמן נולדה לדיפלומט ואסילי קושצ'נקו ששירת בשגרירות הרוסית בניירובי, קניה. לדעת בעלה הבריטי לשעבר של אנה, אביה היה קצין קג""ב בכיר. אנה היא בוגרת החוג לכלכלה של אוניברסיטת מוסקבה.