分体拓扑学

title: 历史与研究动机.
content: 分体拓扑学开始于阿尔弗雷德·诺思·怀特黑德的理论,在1916年至1929年间阐述于他出版的一些著作及文章。怀特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)与西门(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有讨论到。怀特黑德的理论在1929年出版的书"历程与实在(Process and Reality)"中扩大讨论到整体与部分的关系,这是夹杂着以诸如切点及连通空间的拓扑观念一起来讨论。尽管怀特黑德有如数学家版的洞察力,他的理论仍是不够充分且不是很正式的立论,甚至颇有瑕疵。经由证明怀特黑德理论能够被充分地正式化、且作一些订正,就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)确立了现代化的分体拓扑学。 克拉克与怀特黑德的理论在赛门(Simons)(1987年: 2.10.2)及卢卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的书上都有讨论到。怀特黑德无点几何学入门观点包含两项现代怀特黑德理论的论述,因于基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的论说,理论上每项不同的论点将在下一章节中陈述说明。  虽然分体拓扑学是数学理论,不过我们将之后的发展归功于逻辑学家与理论计算机科学家。卢卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪与瓦力(1999年: chpts. 4,5)论述中提到分体拓扑学的有关引介,说到只要修过一阶逻辑的课程任何人都可以理解分体拓扑学的理论。更多进一步分体拓扑学的论述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作,而以复杂数学来论述的有罗艾伯(Roeper)(1997年)的著作。关于怀特黑德无点几何学的数学论述,参见葛拉(Gerla)(1995年)的著述。  巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安东尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再则瓦力(Varzi)单独个人与其他人,他们所有人都证明分体拓扑学能够用在形式本体论与本体论,借此达到正式化关连的作用,诸如在切点、连通空间、边界、内部、孔洞(hole)等等上的应用。
title: 卡塞迪与瓦力较优法.
content: 卡塞迪与瓦力(1999年: chpt.4)阐述种种的分体论理论于一致的标记法上。这一章节阐述了一些巢状理论,而这些巢状理论在GEMTC的较优理论里也已发展到顶点了,接着咱们紧跟着他们的解说来走。在GEMTC的分体拓扑阐述中,有部分为GEM的传统理论。卡塞迪与瓦力也没有说到是否GEMTC的模型论包含到任何传统的拓扑空间。  我们以一些论域观点作为起始论述,它们的元素称为个体(即一个分体论同义词表示"个体的计算")。卡塞迪与瓦力较偏好限制本体论至实体物件,不过其他人就任意地应用分体拓扑理论来合理化几何图形与事件,并借由提出人工智能的研究工作来解决问题。  使用一个大写的拉丁字母来定义一个二元关系及谓词变量(英语:predicate),而谓词变量的字母关系到一阶逻辑的关系。从拉丁字母群(A-Z)的后段取用小写字母来定义变量范围,且及于整个定义域;而从字母群的初始段取用的小写字母就用来作为任意个体的名称。假如以一公式以原子公式表示再接着逻辑双如言,因此逻辑双如言右边的次公式表为原子公式的定义,他们的变量就为非约束形式。否则,变量不是外显性的量化而是内隐性的全称量化。底下所提的公理Cn系列对应到卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 4)著述里的公理C.n系列。  咱们从拓扑的基本理论谈起,如二元关系的"连接"特性;基本原子公式"Cxy"表示""x"是连接到"y""。连结是被控制着,至少,是经由这些公理来达成:  C1. formula_1 (自反关系)  C2. formula_2 (对称)  现在假定二元关系为"E",定义为:  formula_3  "Exy"读为""y"包围"x""且也全然为拓扑关系。而C1-2的表达结果即"E"是自反关系及传递关系,因此亦是预序关系。假如"E"也假定为外延公理,以致于:  formula_4  接着"E"被证明为反对称关系且因此变成为一偏序关系。在区域内,标记为"xKy",为怀特黑德理论(1919年,1925年)上的单一最初关系,且为分体拓扑学的起始点。  令"子集"(parthood)为主要分体论定义上最初的二元关系,且令原子公式"Pxy"定义作""x"是"y"的一部分"。咱们假设"P"为一偏序关系。称其为结果的最简化分体论M。  假如"x"为"y"的一部分,我们假定"y"包围"x":  C3. formula_5  C3精巧的连接分体论这个部分到拓扑学的范围内。  令"O"表示为这个分体论"重复"的二元关系,定义为:  formula_6  令"Oxy"表示为""x"与"y"重复",再着手进行"O"的处理,C3的结果为:  formula_7  要注意到逆命题(converse)是不需要一直坚持着。尽管情况显示重复是需要连结的,然而连结的情况是反而是不需要重复的。假如不是这种情况,拓扑学不会仅是一个分体论模式(这儿"重复"总是表示为原来的或是定义好的两种情况之一)。  基础分体拓扑学(MT)即表示这个理论含有最初的"C"与"P",定义的"E"与"O",及公理C1-3,而这些公理可以用来确定"P"即是偏序关系。在MT中以标准的外延公理分体论GEM来替代M产生GEMT理论.  令"IPxy"表示为""x"是"y"内之一部分","IP"定义为:  formula_8  令σ"x" φ("x")定义为所有在定义域满足φ("x")之分体逻辑和(合并)。σ为一约束变量前缀(英语:prefix)算子。GEM的公理假设φ("x")是一个一阶逻辑则这个和就存在着。根据现成的σ及"IP"关系的条件,咱们能定义"x"内部结构,formula_9 而这是"x"所有的内部部分"z"分体之和,或则:  formula_10  这个定义出两个简单结果为:  formula_11  这儿"W"表全体的个体部分,且  C5. formula_12 (子集)  算子 i 含有超过两个公理属性:  C6. formula_13 (等幂)  C7. formula_14  而"a"×"b"为"a"与"b"的分体乘积,在"Oab"不成立时并不定义。i分散在乘积里。  现在看得出来,对于拓扑学的内部算子而言i为同构。也因此i的对偶性(英语:duality)、拓扑闭包算子c,以i的观点可以被定义出来,且卡齐米日·库拉托夫斯基公理对c而言是一些定理。同样地,已知c的公理是类比于C5-7,i依c可以被定义,且C5-7可以成为定理。将C5-7加进GEMT而产生卡塞迪与瓦力较优分体拓扑理论,GEMTC。  "x"为"自我连接",假如它满足下列谓语变量逻辑:  formula_15  要注意到在定义上MT不但是单独、且为充分之最原始的及有定义的谓语变量。谓语变量"SC"可以正式成立需要的条件、是基于所给予的怀特黑德'的"历程与实在"书中所述:两个个体之分体逻辑和是能够存在:他们也必须是连结的。正式定义为:  C8. formula_16  给予一些分体拓扑X,加C8到X结果产生出卡塞迪与瓦力所称的X的"怀特黑德衍伸式",表记为WX。因此这个定理为WGEMTC,它的公理为C1-8。  C8的逆向为GEMTC定理。因此,已知一GEMTC的公理,假如"O"及"SC"视为起初的谓语变量,则"C"为一已定义的谓语变量。  假如主要的分体论是没有原子公式且比GEM来的弱,这公理确定是缺少原子公式(P9出于"卡塞迪与瓦力1999"的论述)那就可以被C9替代,如此则可以设想没有一个个体有拓扑边界:  C9. formula_17  当定义域包含有几何图形时,则边界值可以是点、曲线,或面。考虑到其它的本体论时、边界值能够代表什么意思,讨论起来不是一件简单的事情,在卡塞迪与瓦力(1999年: chpt. 5)的著作里有讨论到这些问题。

Summary: 在形式本体论(英语:英语:formal ontology)领域(形而上学的一个分支)以及在计算机与信息科学本体领域,分体拓扑学(英语:英语:mereotopology)是一种关于整体、部分、部分之部分以及部分间边界之间关系的,用于具体表达分体论及拓扑学概念的一阶理论(英语:英语:first-order theory)。

Mereotopologie: Die Mereotopologie ist eine formale Theorie, die Mereologie und Topologie miteinander verbindet. Sie untersucht die topologischen Beziehungen zwischen Ganzheiten, Teilen und den Rändern der Teile. Obgleich die Theorie im Wesentlichen mathematisch ist, wurde sie vollständig von Logikern und theoretischen Informatikern entwickelt. Die Mereotopologie hat sich für Zwecke der formalen Ontologie als nützlich erwiesen (Smith 1996).