幺半群

title: 定义.
content: 幺半群是一个带有二元运算 *: "M" × "M" → "M" 的集合 "M",其符合下列公理: 通常也会多加上另一个公理: 但这不是必要的,因为在二元运算中即内含了此一公理。  另外,幺半群也可以说是带有单位元的半群。  幺半群除了没有逆元素之外,满足其他所有群的公理。因此,一个带有逆元素的幺半群和群是一样的。
title: 生成元和子幺半群.
content: 幺半群 "M" 的 子幺半群是指一个在 "M" 内包含着单位元且具封闭性(即若"x","y"∈"N",则 "x"*"y"∈"N" )的子集 "N"。很明显地, "N" 自身会是个幺半群,在导自 "M" 的二元运算之下。等价地说,子幺半群是一个子集 "N",其中 "N"="N",且上标 * 为克莱尼星号。对任一于 "M" 内的子集 "N" 而言,子幺半群 "N" 会是包含着 "N" 的最小幺半群。  子集 "N" 被称之为 "M" 的生成元,当且仅当 "M"="N"。若 "N" 是有限的, "M" 即被称为是有限生成的。
title: 可交换幺半群.
content: 运算为可交换的幺半群称之为可交换幺半群(或称为阿贝尔幺半群)。可交换幺半群经常会将运算写成加号。每个可交换幺半群都自然会有一个它自身的代数预序 ≤,定义为下: "x ≤ y" 当且仅当存在 "z" 使得 "x+z=y" 。可交换幺半群 "M" 的序单位是一个在 "M" 内的元素 "u",其中对任一在 "M" 内的元素 "x" 而言,总会存在一个正整数 "n" 使得 "x ≤ nu"。这经常用在 "M" 是偏序阿贝尔群 "G" 的正锥体的情况,在这种情况下我们称 "u" 是 "G" 的序-单位。有接受任何交换幺半群,并把它变成全资格阿贝尔群的代数构造;这个构造叫做格罗滕迪克群。
title: 部分可交换幺半群.
content: 运算只对某些元素而不是所有元素是交换性的的幺半群是迹幺半群;迹幺半群通常出现在并发计算理论中。  某些固定字母Σ的有限字符串所组成的集合,会是个以字符串串接为运算的幺半群。空字符串当成单位元。这个幺半群标记为Σ,并称为在Σ内的自由幺半群。
title: 例子.
content: 此外,"f"也可以想成在点formula_4上的函数,给定如下  或等价地表示成  formula_7元素间的乘法即由复合函数给定。  注意当formula_8时,函数"f"是formula_9的置换,并给出个数为"n"的唯一循环群。
title: 性质.
content: 在一幺半群内,可以定义一元素"x"的正整数幂:"x"="x" 及 "x"="x"*...*"x" (乘上"n"次),其中"n">1。幂的规则"x"="x"*"x"则是很明显的。  由定义可以证明其单位元"e"是唯一的。然后,对任一"x",可以设"x"为"e",则其幂的规则在非负幂中依然会是成立的。  "逆元素":一元素"x"称为可逆,若存在一元素"y",使得"x"*"y" = "e"且"y"*"x" = "e"。此一元素"y"便称做"x"的逆元素。结合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。  若 "y"是"x"的逆元素,则可以定义"x"的负幂,以"x"="y"及 "x"="y"*...*"y" (乘上"n"次),其中"n">1。如此幂的规则在所有整数就都成立了,这也是为什么"x"的逆元素通常会写做"x"。所有在幺半群"M"内的可逆元素,和其自身的运算可组成一个群。在这意思之下,每个幺半群都含有一个群。  但并不是每个幺半群都包含在一个群内的。例如,绝对可能有一个幺半群,其两个元素"a"和"b"会有"a"*"b"="a"的关系,即使"b"不是单位元。如此的幺半群是不可能包含于一个群内的, 因为在群里,两边一同乘"a"的逆元素,就会得到"b" = "e"的结果,但这不是真的。一个幺半群(M,*)若具有消去性,即表示对任何在"M"内的"a"、"b"、"c","a"*"b" = "a"*"c"永远意指"b" = "c"且"b"*"a" = "c"*"a"也永远意指"b" = "c"。一具有消去性的可交换幺半群总是可以包含于一个群内。这是为什么整数(加法运算下的群)可以由自然数(具有消去性的加法运算下的可交换幺半群)建立。但一具有消去性的不可交换幺半群则一定不可能包含于一个群之中。  若一幺半群有消去性且是有限的,它会是一个群。  一可逆幺半群为一幺半群,其任一在"M"内的"a",总存在一唯一在"M"内的a,使得a=aaa且a=aaa。  一幺半群"G"的子幺半群是"G"的子集"H",其包含有单位元,且若"x"、"y"属于"H",则"xy"属于"H"。很清楚地,"H"本身也是个幺半群,在"G"的二元运算之下。
title: 作用和算子幺半群.
content: 算子幺半群是一作用在集合"X"上的幺半群"M"。亦即,存在一运算$ : "M" × "X" → "X"符合幺半群的运算。  运算子幺半群也叫做作用(因为它们类似于群作用), 转移系统, 半自动机或变换半群。
title: 幺半群同态.
content: 两个幺半群("M", *)和("M"′, @)之间的同态是一个函数"f" : "M" → "M"′,会有如下两个性质: 其中"e"和"e"′分别是"M"和"M"′的单位元。  不是每一个群胚同态都会是个幺半群同态,因为它不一定会维持单位元。和上述不同,群同态的情况则会成立:群论的公理确保每一两群之间的群胚同态都会维持住单位元。对于幺半群,这不是永远成立的,而必须有另外的要求。  双射幺半群同态称做幺半群同构。
title: 幺半群同余和商幺半群.
content: 幺半群同余是相容于幺半群乘积的等价关系。就是说它是子集  使得它是自反的、对称的和传递的(如同所有等价关系必须的那样),还要有如果 formula_11 且 formula_12 对于所有 "M" 中的 formula_13 和 formula_14,则有 formula_15 的性质。  幺半群同余引发同余类  而幺半群运算 * 引发在同余类上的二元运算 formula_17:  它是幺半群同态。它明显的也是结合的,所以所有同余类的集合也是幺半群。这个幺半群叫做商幺半群,可以写为  一些额外的符号是公用的。给定子集 formula_20,写  对于引发自 "L" 的同余类的集合。在这个表示法中,明显的 formula_22。但是一般的说,formula_23 不是幺半群。走相反的方向,如果 formula_24 是商幺半群的子集,写  当然这只是 "X" 的成员的并集。一般的说,formula_26 不是幺半群。  明显的有 formula_27 且 formula_28。
title: 和范畴论的关系.
content: 幺半群可视之为一类特殊的范畴。幺半群运算满足的公理同于范畴中从一个对象到自身的态射。换言之:  精确地说,给定一个幺半群 ("M",*),可构造一个只有单个对象的小范畴,使得其态射由 "M" 的元素给出,而其合成则由 幺半群的运算 * 给出。  同理,幺半群之间的同态不外是这些范畴间的函子。就此意义来说,范畴论可视为是幺半群概念的延伸。许多关于幺半群的定义及定理皆可推广至小范畴。  幺半群一如其它代数结构,本身也形成一个范畴,记作 Mon,其对象是幺半群而态射是幺半群的同态。  范畴论中也有么半对象的概念,它抽象地定义了何谓一个范畴中的幺半群。

Summary: 在抽象代数此一数学分支中,幺半群(英语:monoid,又称为单群、亚群、具幺半群或四分之三群)是指一个带有可结合二元运算和单位元的代数结构。

Monoid: In der abstrakten Algebra ist ein Monoid eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge mit einer klammerfrei notierbaren (assoziativen) Verknüpfung und einem neutralen Element. Ein Beispiel sind die natürlichen Zahlen mit der Addition und der Zahl 0 als neutralem Element. Ein Monoid, in dem jedes Element invertierbar ist, heißt Gruppe.