朗道量子化

title: 推导.
content: 朗道量子化可以通过准经典的方法部分导出。这里采用量子力学的方法进行推导:  考虑一个带电粒子组成的二维系统。这些粒子无内部相互作用,所带电荷为,自旋量子数为,并被限制在平面内一个面积的区域内。  对这一系统施加一个沿轴的均匀磁场formula_1。由于自旋对于这个二维系统没有影响,因而在下面的推导中将忽略自旋。在CGS单位制下,这个系统的哈密顿算符为: 式中formula_3为正则动量算符,formula_4为磁场的磁矢势,与磁感应强度的关系为:  给定磁场的磁矢势具有一定的规范自由度。当formula_4被添加一个标量场的梯度时,波函数的整体相位也会随着标量场产生一定的变化,但由于哈密顿算符具有规范不变性,系统的物理性质并不受选定的规范影响。为了简便计算,这里选择朗道规范: 式中=|B|,"x"为位置算符方向上的分量。  在这一规范下,系统的哈密顿算符为: 算符formula_9与这一哈密顿算符是对易的。这是因为在选定规范时,算符formula_10被忽略掉了,因而算符formula_9可被它的本征值替代。  如果设定回旋频率,那么可以得出此时哈密顿算符为: 这与量子谐振子的哈密顿算符基本一致,但势能的最小值需要在位置表象中移动。  注意到谐振子势能的平移并不会影响到系统的能量,也就是说这一系统的能量与标准的量子谐振子一致: 由于能量与量子数无关,因而会存在一定的简并态。  由于formula_9与哈密顿算符是对易的,因而系统的波函数可以表示为方向上动量的本征值与谐振子本征矢formula_15的乘积,但formula_15也需要在方向上移动,即:  总之,电子的状态可以通过与这两个量子数表征。
title: 朗道能级.
content: 朗道量子化所造成的效应只能在平均内能小于能级间差值,即时才能被观测到。简单来说就是温度较低,外磁场较强。  每个朗道能级都具有一定的简并度,因为量子数的取值情况为: 式中为整数。所允许的取值受到振子的运动中心坐标的影响。振子的运动必须在系统范围内,也就是说。这给出了的取值范围:  对于带电量的粒子来说,的上限可以表记为磁通量的比值: 式中为磁通量的基本量子,是系统的磁通量,面积。  因而对于自旋为的粒子,每个朗道能级的简并度的最大值为:  上述讨论只是在有限尺度内给出的粗略的结果,严格来说,谐振子解只对在方向上不受限的系统有效,如果系统尺度是有限的,那个方向上的束缚态条件会导致磁场中的非标准量子化情况。原则上,两个都是埃尔米特方程的解。多电子对于朗道能级的填充仍是研究热点之一。  一般来说,朗道能级可以在电子系统中被观察到,其中=1,=1/2。随着磁场增强,越来越多的电子会占据朗道能级。最高的朗道能级的占据情况会导致多种电子性质振荡,如德哈斯-范阿尔芬效应及舒布尼科夫-德哈斯效应。  如果考虑到塞曼效应的话,那么每个朗道能级都会分裂为一对能级:一个为自旋向上的电子占据的能级,一个是自旋向下的电子占据的能级。此时每个自旋朗道能级的简并度就会是磁通量的比率: = 。两个能级与分裂前的能级间隔是相同的:。然而在多个能级被占满时,系统的费米能与基态的能量却是大致相同的,因为塞曼效应造成的影响,在这些能级相加时会被抵消掉。
title: 讨论.
content: 在上面的推导过程中,与似乎并不对称。然而,考虑到系统的对称性,并没有物理量能表征这两个坐标的区别。在对与进行适当的内部变换后,可以得到相同的结果。  此外,上述推导中电子在方向上运动受限的情形尽管在实验中确实存在,如二维电子气。但这一假设并不基本。如果电子在方向上可以自由移动,那么波函数还需要乘以一个因子exp(),能量对应地需要加上。这一项会“填入”能级间隙,从而减小量子化的效果。但在垂直于磁场的平面-上的运动仍是量子化的。
title: 对称规范中的朗道能级.
content: 选定对称规范:  对于哈密顿算符进行去量纲化:  实际值可以通过引入formula_24、formula_25、formula_26、formula_27及formula_28等常数得出。  引入算符  这些算符的对易关系为:  哈密顿算符可记为:  朗道能级序数formula_35是formula_36的本征值。  角动量方向上的分量为:  利用其与哈密顿算符可对易,即formula_38,我们选定formula_39的本征值formula_40为使formula_41与 formula_39对角化的本征函数。易见,在第formula_35个朗道能级上存在formula_44。然而formula_45的值可能非常大。在下面将推导系统表现出的有限简并度。  使用formula_46可以使formula_45减小一个单位同时使formula_35保持不变,而formula_49则可以使formula_35增大一个单位,同时令formula_45减小一个单位。类比量子谐振子,可以得到:  在朗道规范与对称规范下,每个朗道能级上的简并轨道分别以量子数及formula_45表征,每个朗道能级上单位面积的简并度是相同的。  可以证明选定下面这个波函数时,也可以得到上面得到的结果:  式中formula_57。  特别地,对于最低的朗道能级,即formula_58时,波函数为任意一个解析函数与高斯函数的乘积:formula_59。
title: 规范变换的影响.
content: 进行这样的规范变换:  运动学动量的定义为:  式中formula_62为正则动量。哈密顿算符是规范不变的,因而formula_63与formula_64也会在规范变换后保持不变,但formula_65会受到规范变换的影响。  为了考察规范变换带来的影响,设磁矢势为formula_66与formula_67时的量子态为formula_68与formula_69。  由于formula_64和formula_63是规范不变的,可以得到:  设算符formula_75会使formula_76,则:  综上所述:

Summary: 朗道量子化是指均匀磁场中带电粒子的回旋轨道发生的量子化。这些带电粒子能量在一系列分立的数值中取值,形成朗道能级。朗道能级是简并的,每一能级上电子的电子数量与外加磁场的强度成正比。由朗道量子化可以得出外磁场会导致材料中电子性质的振荡。这一理论是由苏联物理学家列夫·朗道于1930年提出的。

Landau-Niveau: Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) stellen eine Quantelung der Energie von geladenen Teilchen dar, die sich in homogenen Magnetfeldern bewegen. Man kann zeigen, dass die Energie eines geladenen Teilchens der Masse formula_1 (z. B. eines Elektrons) und Ladung formula_2, das sich parallel zu einem Magnetfeld formula_3 in formula_4-Richtung bewegt, folgendermaßen lautet: Dabei ist formula_6 der (nicht quantisierte) Impuls des Teilchens in formula_4-Richtung, formula_8 die Zyklotronfrequenz und formula_9 das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf, so führt dies zu einer zusätzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl formula_10 für die formula_4-Komponente (= Magnetfeldrichtung) des Spins: Dies bedeutet, dass (wie rechts in der Abbildung angedeutet) nur bestimmte Teilchenbahnen erlaubt sind, die durch die zwei Quantenzahlen formula_6 und formula_14 (und evtl. den Spin formula_10) charakterisiert werden. Man kann sich die Bewegung auch so vorstellen, dass sich das Teilchen longitudinal frei ausbreitet und transversal (radial) dazu eine harmonische Schwingungsbewegung ausführt (siehe harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)). Dies entspricht insgesamt einer Schraubenbahn um die Magnetfeldlinien. Im transversalen Impulsraum (nur formula_16-formula_17-Komponente) bleibt die Bewegung auf einen Kreis für jede Quantenzahl formula_14 beschränkt, im 3-dimensionalen Impulsraum liegen die Zustände also auf Zylindern (Landau-Zylinder).