全集

title: 在特定场合下.
content: 这个一般概念有数个精确的版本。最简单的可能就是,任意集合都可以是全集。当研究一个特定集合的时候,这个集合就是全集。若研究实数,则所有实数的集合实数线formula_1就是全集。在1870年代和1880年代,康托尔第一次发展现代朴素集合论和势的概念以应用于实分析,这时他默认地使用着的全集就是实数线formula_1。康托尔一开始关心的也只是formula_1的子集。  这种全集概念在文氏图的应用中有所反映。在文氏图中,所有的操作按例都是在一个表示全集formula_4的大长方形内进行。集合通常表示为圆形,但这些集合只能是"formula_4"的子集。集合formula_6的补集则为长方形中表示"formula_6"的圆形的外面的部分。严格地说,这是"formula_6"对"formula_4"的"相对补集'"formula_10;但在"formula_4"是全集的场合下,这可以被当成是"formula_6"的"绝对补集'"formula_13。同样的,有一个称为空交集的概念,即零个集合的交集(指没有集合,而不是空集)。要是没有全集,空交集就会是所有东西组成的集合,这一般被认为是不可能的;但有了全集,空交集可以被当成是有条件(即"formula_4")下的所有东西组成的集合。  在基于布尔格的代数方法研究基础集合理论时,这种惯例非常有用。但对公理化集合论的一些非标准形式并非如此,例如新基础集合论,这里所有集合的类并不是布尔格,而仅仅是相对有补格。相反,"formula_4"的幂集,即"formula_4"的所有子集组成的集合,是一个布尔格。上述的绝对补集是布尔格中的补运算;而空交集"formula_4"则作为布尔格中的最大元(或空交)。这里,适用于补运算、交运算和并运算(集合论中的并集)的德·摩根律成立,而且对空交和空并(即空集)也成立。
title: 在一般数学中.
content: 然而,当考虑过给定集合formula_18的子集(在康托尔的例子中,formula_19),可能就会进一步关心"formula_18"的子集组成的集合。 (例如:"formula_18"上的一个拓扑就是一个"formula_18"的子集组成的集合。) 这些不同的"formula_18"的子集组成的集合本身,一般而言并不是"formula_18"的子集,却是"formula_18"的幂集formula_26的子集。当然,这还没有完;可以进一步考虑"formula_18"的子集组成的集合所组成的集合,等等。另一个方向是:可以考虑笛卡尔积formula_28,或从"formula_18"映射到其自身的函数。接着,还可以考虑笛卡尔积上的函数,或从"formula_18"映射到formula_31的函数,等等。  这样,尽管主要关心的是"formula_18",仍然需要一个比"formula_18"大很多的全集。顺着上面的思路,可能需要"formula_18"上的超结构。这可以通过结构递归来定义,如下:  注意到,无论初始集合"formula_18"如何,空集总是属于formula_37。重定义空集为冯·诺伊曼序数formula_54。则formula_55,是仅含有空集为元素的集合,属于formula_40;定义为冯·诺伊曼序数formula_57。类似的,formula_58属于formula_59,则formula_55和formula_58的并集formula_62也属于该集合;定义为冯·诺伊曼序数formula_63。重复这个过程,所有的自然数都通过其冯·诺伊曼序数在超结构中表现出来。然后,若formula_64和formula_65属于这个超结构,则formula_66(这个集合表示了有序对formula_67)也属于它。从而,这个超结构将包含各种所想要的笛卡尔积。而且,这个超结构也包含各种函数和关系,因为他们可以被表示为笛卡尔积的子集。以及,还能够得到有序"n"元组,表示定义域为冯·诺伊曼序数formula_68的函数。等等。  所以,就算仅从formula_69出发,也可以构造大量的用于数学研究的集合,它们都是在{}上的超结构里的某个元素。但是,这样formula_70的每个元素都会是有限集合。每个自然数都属于formula_70,但“所有”自然数的集合formula_72不属于formula_70(尽管它是formula_70的“子集”)。实际上,"formula_18"上的超结构包含了所有的遗传有限集合。这样,它可以被认为是“有限主义数学的全集”。可以想像一下,假若19世纪的有限主义者利奥波德·克罗内克当时能使用到这个全集的话;他会相信每个自然数都存在,而集合formula_72(一个"完全的无穷大")则不然。  然而,对一般的数学家(它们不是有限主义者)来说,formula_70是不足够的,因为尽管formula_72是formula_70的子集,但formula_72的幂集仍然不是。特别的,任意的实数集合都不是。所以,需要重新开始这个过程,来构造formula_81。不过,为简单起见,就只用给出的自然数集合formula_72来构造formula_83,即formula_72上的超结构。这通常被认为是“一般数学的全集”。其意思是指,一般研究的所有数学对象,都已作为这个全集的元素而包含其中。例如:任何通常的实数的构造方式(比如通过戴德金分割)都会属于formula_83。即使是非标准分析,也能够在自然数的一个非标准模型上的超结构中进行。  应当注意,这个部分在观念上有些改变,这里全集是任何被关心的集合formula_4。上个部分中,被研究的集合是全集的"子集";而现在,它们是全集的"元素"。这样尽管formula_87是一个布尔格,但相应的formula_47不是。因此,几乎不直接采用布尔格和文氏图来描述这种超结构式的全集;在上个部分中,它们被用来描述幂集式的全集。作为替代,可以采用独立的布尔格formula_89,这里formula_6是formula_47中任意相应的集合;则formula_89是formula_47的子集(实际上它属于formula_47)。
title: 在集合论中.
content: 正式来说,可以给出一个精确定义,来说明为何formula_83为一般数学的全集;这是策梅洛集合论的模型。策梅洛集合论是由恩斯特·策梅洛最初在1908年提出的公理集合论。策梅洛集合论的成功完全在于它能够公理化"一般"数学,完成了康托尔在三十年之前开始的课题。但策梅洛集合论对进一步发展公理集合论和数学基础中的其他工作,特别是模型论,是不够的。举一个戏剧性的例子:上述超结构的描述并不能独立地在策梅洛集合论中完成! 最后一步,构造formula_96成为一个无限并集,需要代换公理;这条公理在1922年被加入策梅洛集合论,成为如今通用的策梅洛-弗兰克尔集合论。所以,尽管一般数学可以在formula_83中"进行,"对formula_83的讨论则不再"一般",而是转向元数学的领域。  但是,若在超级的集合论中,可以发现上述的超结构过程只是超限归纳法的开始。回到formula_69(空集),并用(标准的)符号formula_100表示formula_101。则有formula_102,formula_103,等等,和前面一样。但是,所谓"超结构"现在只是这个列中的下一项:formula_104,这里formula_105为第一个无穷序数。按照序数知识,得到:

Summary: 数学上,特别是在集合论和数学基础的应用中,全类(Universe,若是集合,则为全集)大约是这样一个类,它(在某种程度上)包含了所有的研究对象和集合。

Grundmenge: Eine Grundmenge (auch Universum) bezeichnet in der Mathematik eine Menge aus allen in einem bestimmten Zusammenhang betrachteten Objekten. Alle in diesem Zusammenhang betrachteten Mengen sind dann Teilmengen dieser Grundmenge. In einzelnen Fällen werden jedoch im Gegenzug nicht auch alle Teilmengen der Grundmenge betrachtet, so zum Beispiel im Fall einer σ-Algebra. In der Logik und in den Sprachwissenschaften entspricht der Begriff der Grundmenge dem Diskursuniversum; in der Prädikatenlogik der Definitionsmenge.