李群

title: 总览.
content: 李群是光滑可微流形,因而可以用微分学来研究,这点与更一般的拓扑群不同。李群理论中的关键是替换掉“全局”的对象,也即群本身,而代之以其“局部”或线性化的版本。这个局部版本被索菲斯·李本人称为该李群的“无穷小群”,而后来以“李代数”为人熟知。  李群在现代几何学中在多个层面扮演了重要的角色。费利克斯·克莱因在他的爱尔兰根纲领中认为,可以通过选定适当的保持某种几何性质不变的变换群来考察各种“几何”。例如,欧氏几何对应于欧式空间R中保距变换构成的欧几里得群E(3);共形几何对应于把群扩大到共形群;而在射影几何中引起人们兴趣的是射影群的不变属性。这个观念后来发展为G-结构的概念,其中"G"是流形"局部"对称性形成的李群。  李群(以及与之关联的李代数)在现代物理学中起到了重要作用,并通常扮演了物理系统中的对称性。这里,李群表示或相应的李代数表示尤为重要。 表示理论在粒子物理中被频繁使用。一些具有较为重要的表示的群包括旋转群SO(3)(或其双覆盖特殊酉群SU(2)),特殊酉群SU(3)以及庞加莱群。
title: 定义与样例.
content: 实李群是一个满足下列条件的群:它也是一个有限维实光滑流形,其中群的乘法和求逆操作是光滑映射。 群乘法的光滑性  意味着"formula_5"是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。这两个条件可以合并成一条,即映射  是一个从积流形"formula_6"到"formula_1"的光滑映射。
title: 反例.
content: 现在我们给出一个群的例子,它拥有不可数的元素,并且在某种拓扑下不是李群。我们给定如下群:  其中formula_23是一个"固定的"无理数。这是一个环面 formula_24 的子群,它在子空间拓扑下不是李群。 比如说,如果我们取formula_25中的一个点formula_26的任意小邻域formula_27,那么formula_25在 formula_27中的部分是不连通的。群formula_25在环面上反复缠绕,形成了一个formula_24的稠密子群。 另一方面,我们可以给群formula_25指定另一个拓扑,使得两点formula_33之间的距离被定义为"群H中"连结 formula_34和formula_35的最短路径长度。在这个拓扑下,formula_25通过其元素中对应的formula_37与实直线同胚。在这种拓扑下,formula_25仅仅是加法意义下的实数群,因此也是李群。  群formula_25是李群的一个非闭"李子群"的样例。可参见下面基本概念部分关于李子群的讨论。
title: 矩阵李群.
content: 用表示复数域上的可逆矩阵。的任何闭子群也是一个李群;这类李群被称为矩阵李群。 由于李群中大多数有趣的例子都可以用矩阵李群实现,一些教科书把注意力限制在这类李群上,包括Hall以及 Rossmann等,这样可以简化李代数和指数映射的定义。下面是一些矩阵李群的标准样例: 以上列举的群均为经典群。
title: 相关概念.
content: 与实李群相对应,复李群是在复流形上定义的(例如)。类似地,使用一种Q的度量完备化我们可以在 "p"-进数上定义"p"-进数李群,一种满足每个点都有一个"p"-进数邻域的拓扑群。
title: 更多李群的样例.
content: 李群经常出现在数学和物理学中。矩阵群或代数群(大部分情况下)是由矩阵构成的群(例如正交群和辛群),而这些也是李群最常见的例子。
title: 一维李群.
content: 一维情况下唯二的连通李群是实直线formula_44 (其群操作为加法)和由绝对值为1的复数组成的圆群 formula_45 (其群操作为乘法)。 formula_45也常被记作formula_47,即formula_48酉群。
title: 二维李群.
content: 在二维情况下,如果我们只考虑简单连通群,那么可以通过它们的李代数来分类。若把同构的情况归为一类,那么此时只存在两种李代数。与这两种李代数关联的简单连通李群分别是formula_49(其群操作为向量加法)以及一维仿射群(在前面的小节"初步的样例"中有介绍)。
title: 解析李群与光滑李群.
content: 部分书籍在定义李群时假设了解析性,本条目采相同定义。另一种进路则是定义李群为实光滑(简记为formula_50)流形,并具有光滑的群二元运算与逆元运算。解析条件看似较强,实则两者等价:  定理.任意formula_50李群上具有唯一的实解析流形结构,使得群二元运算及逆元运算皆为解析映射。此时指数映射亦为解析映射。
title: 同态和同构.
content: formula_52均为李群,二者之间的一个同态:formula_53为群同态并且是解析映射(事实上,可以证明这里解析的条件只需满足连续即可)。显然,两个同态的复合是同态。所有李群的类加上同态构成一个范畴。 两个李群之间存在一个双射,这个双射及其逆射均为同态,就称之为同构。
title: 李代数.
content: 李代数刻划了李群在单位元附近的局部性状;借助指数映射或源自李代数的叶状结构,可以将李代数的性质提升到李群的层次。  设formula_1为李群,其李代数formula_55定义为formula_1在单位元的切空间。formula_55自然具备了矢量空间结构,formula_55上的李括积formula_59定义如下:  不难验证formula_69满足李代数的抽象定义。李括积蕴含了群乘法的无穷小性质,例如:连通李群formula_1是交换群当且仅当formula_55是交换李代数。  李括积也可以用左不变矢量场及泊松括号定义,或者取定局部坐标,用群乘法映射在原点的泰勒级数定义。
title: 李群对应李代数.
content: 若formula_1是李群,formula_73是其子群,并带有李群结构,使得包含映射formula_74为浸入(不一定是闭的),则可得到子李代数formula_75。反之,任意子李代数formula_76透过左平移定义了formula_1上的叶状结构,取含单位元的极大积分流形,便得到满足前述条件的子群formula_73。此子群未必是闭子群,它可能是formula_1的稠密子集(考虑环面的例子)。  李代数的映射formula_80未必能提升至李群的映射formula_81,但可提升至映射formula_82,其中formula_83是formula_84的万有覆叠空间。
title: 指数映射.
content: 对于任意矢量formula_85,根据常微分方程序的基本理论,存在formula_1中的单参数子群formula_87使得formula_88。由此得到的映射 称为指数映射。它总是解析映射。  若formula_1为formula_92的子群,则formula_93,这是指数映射一词的缘由。  当formula_1连通且非交换时,指数映射formula_95并非同态;局部上,formula_96可以由Campbell-Baker-Hausdorff公式表成涉及括积的无穷级数。
title: 一般体上的李群.
content: 在任意体、环乃至于概形上,都可以定义群概形;这是概形范畴中的群对象。群概形具有深刻的几何与数论意义,然而李群未必是代数簇。  另一方面,若域formula_97对某个绝对值是完备域,其特征为零,则可照搬解析李群的定义以定义体formula_97上的李群、李代数与指数映射。较常见的例子是formula_99;至于数论方面,特别涉及自守表示的研究上,则须用到formula_97为p进数体的情形。

Summary: 李群(英语:Lie group,)是一个数学概念,指具有群结构的光滑微分流形,其群作用与微分结构相容。李群的名字源于挪威数学家索菲斯·李的姓氏,以其为连续变换群奠定基础。1893年,法文名词"groupes de Lie"首次出现在李的学生Arthur Tresse的论文第三页中。

Lie group: In mathematics, a Lie group (pronounced "Lee") is a group whose elements are organized continuously and smoothly, as opposed to discrete groups, where the elements are separated—this makes Lie groups differentiable manifolds. Classically, such groups were found by studying matrix subgroups formula_1 contained in formula_2 or formula_3, the group of formula_4 invertible matrices over formula_5 or formula_6. Lie groups are named after Norwegian mathematician Sophus Lie (1842–1899), who laid the foundations of the theory of continuous transformation groups.