米勒-拉宾检验

title: 概念.
content: 首先介绍一个相关的引理。我们发现formula_1 和 formula_2总是得到 formula_3,我们称-1和1是formula_4的“平凡平方根”,当formula_5是素数且formula_6时,不存在formula_4 的“非平凡平方根”。为了证明该引理,首先假设formula_8是formula_4的平凡平方根,于是有  formula_10  formula_11  也就是说,素数 formula_5 能够整除 formula_13 或者formula_14,根据欧几里得引理,formula_15 或者 formula_16能够被 formula_5 整除,即 formula_18 或 formula_19,  即 formula_8 是 formula_4 的平凡平方根。  现在假设formula_22是一个素数,且 formula_23。于是formula_24是一个偶数,可以被表示为formula_25 的形式,formula_26和formula_27都是正整数且formula_27是奇数。对任意在formula_29 范围内的 formula_30 和formula_31,必满足以下两种形式的一种:  formula_32 formula_33  因为由于 费马小定理,对于一个素数formula_22,有  formula_35  又由于上面的引理,如果我们不断对formula_36取平方根后,我们总会得到 1 或 -1。如果我们得到了 -1,意味着2式成立,formula_22 是一个素数。如果我们从未得到 -1,那么通过这个过程我们已经取遍了所有2的幂次,即1式成立。  米勒-拉宾素性测试就是基于上述原理的逆否,也就是说,如果我们能找到这样一个 formula_30,使得对任意formula_31以下两个式子均满足:  formula_40formula_41那么 formula_22 就不是一个素数。这样的 formula_30 称为 formula_22 是合数的一个凭证(witness)。否则 formula_30 可能是一个证明 formula_22 是素数的“强伪证”(strong liar),即当formula_22确实是一个合数,但是对当前选取的 formula_30 来说上述两个式子均不满足,这时我们认为formula_22是基于formula_30的大概率素数。  每个奇合数 formula_22 都有很多个对应的凭证 formula_30,但是要生成这些 formula_30 并不容易。当前解决的办法是使用概率性的测试。我们从集合formula_29中随机选择非零数 formula_30,然后检测当前的 formula_30 是否是 formula_22 为合数的一个凭证。如果 formula_22 本身确实是一个合数,那么大部分被选择的 formula_30 都应该是 formula_22 的凭证,也即通过这个测试能检测出 formula_22 是合数的可能性很大。然而,仍有极小概率的情况下我们找到的 formula_30 是一个“强伪证”(反而表明了 formula_22 可能是一个素数)。通过多次独立测试不同的 formula_30,我们能减少这种出错的概率。  对于测试一个大数是否是素数,常见的做法随机选取基数formula_30,毕竟我们并不知道凭证和伪证在formula_66这个区间如何分布。典型的例子是 Arnault 曾经给出了一个397位的合数formula_22,但是所有小于307的基数formula_30都是formula_22是素数的“强伪证”。不出所料,这个大合数通过了 Maple 程序的codice_1 函数(被判定为素数)。这个函数通过检测 formula_70 这几种情况来进行素性检验。
title: 例子.
content: 假设我们需要检验 formula_71 是否是一个素数。首先formula_72,于是我们得到了formula_73和formula_74.我们随机从formula_75中选取formula_30,假设formula_77,于是有:  formula_78formula_79因为我们得到了一个 -1,所以要么formula_71确实是一个素数,要么formula_77是一个“强伪证”。我们再选取formula_82,于是有:  formula_83formula_84即formula_82是formula_71为合数的一个凭证,而formula_77是一个“强伪证”。  选取特定的整数可以在一定范围内确定(而非单纯基于概率猜测)某个整数是质数还是合数。对于小于formula_88的情形,选取formula_89共三个凭据可以做到这一点;对于小于formula_90的情形,选取formula_91共七个凭据可以做到这一点。
title: 算法复杂度.
content: 这一算法可以被表示成如下伪代码:  使用,这个算法的时间复杂度是formula_92,formula_93是我们测试的不同的 formula_30 的值。也就是说,这是一个高效的多项式时间算法。使用快速傅里叶变换能够将这个时间推进到 O("k" log"n" log log "n" log log log "n") = Õ("k" log"n").  如果我们加入最大公因数算法到上述算法中,我们有时候可以得到 formula_22 的因数,而不仅仅是证明 formula_22 是一个合数。例如,若 formula_22 是一个基于formula_30 的可能的素数,但不是一个大概率素数,则formula_99或formula_100将得到 formula_22 的因数。如果因式分解是必要的,这一formula_102算法可以加入到上述的算法中,代价是增加了一些额外的运算时间。  例如,假设 formula_103,则formula_104.于是formula_105,这也告诉我们 formula_22 不是一个大概率素数,即 formula_22 是一个合数。如果这个时候我们求最大公因数,我们可以得到一个formula_103的因数:formula_109.这时可行的,因为formula_103是一个基于2的伪素数,但不是一个“强伪素数”。
title: 示例代码.
content: 下面是根据以上定义而使用Magma语言编写的“米勒-拉宾”检验程序。

Summary: 米勒-拉宾质数判定法是一种质数判定法则,利用随机化算法判断一个数是合数还是"可能是"素数。卡内基梅隆大学的计算机系教授Gary Lee Miller首先提出了基于广义黎曼猜想的确定性算法,由于广义黎曼猜想并没有被证明,其后由以色列耶路撒冷希伯来大学的Michael O. Rabin教授作出修改,提出了不依赖于该假设的随机化算法。

Miller–Rabin primality test: The Miller–Rabin primality test or Rabin–Miller primality test is a primality test: an algorithm which determines whether a given number is prime, similar to the Fermat primality test and the Solovay–Strassen primality test. Gary L. Miller discovered it in 1976; Miller's version of the test is deterministic, but its correctness relies on the unproven extended Riemann hypothesis. Michael O. Rabin modified it to obtain an unconditional probabilistic algorithm in 1980. This test is often said to have been discovered by M. M. Artjuhov in 1967 but that is incorrect: a reading of Artjuhov's paper (particularly his Theorem E) shows he discovered the Solovay-Strassen test, not the Miller-Rabin test.