集合 (数学)

title: 导言.
title: 定义.
content: 简单来说,所谓的一个"集合",就是将数个对象归类而分成为一个或数个形态各异的大小整体。 一般来讲,集合是具有某种特性的事物的整体,或是一些确认对象的汇集。构成集合的事物或对象称作元素或是成员。集合的元素可以是任何事物,可以是人,可以是物,也可以是字母或数字等。  在数学交流当中为了方便,集合会有一些别名。比如:
title: 符号.
content: 元素通常用formula_4等小写字母来表示;而集合通常用formula_5等大写字母来表示。  当元素formula_6属于集合formula_7时,记作formula_8。  当元素formula_6不属于集合formula_7时,记作formula_11。  如果formula_12两个集合所包含的元素完全一样,则二者相等,写作formula_13
title: 集合的特性.
content: 无序性:一个集合中,每个元素的地位都是相同的,元素之间是无序的。 互异性:一个集合中,任何两个元素都认为是不相同的,即每个元素只能出现一次。 确定性:给定一个集合,任给一个元素,该元素或者属于或者不属于该集合,二者必居其一,不允许有模棱两可的情况出现。
title: 集合的表示.
content: 尽管两个集合有不同的表示,它们仍可能是相同的。比如:上述集合中,formula_22而formula_23,因为它们正好有相同的元素。  元素列出的顺序不同,或者元素列表中有重复,都没有关系。比如:这三个集合formula_24,formula_25和formula_26是相同的,同样因为它们有相同的元素。
title: 集合间的关系.
title: 子集与包含关系.
title: 定义.
content: 集合formula_2、formula_28,若formula_29,有formula_30。则称formula_2是formula_28的子集,亦称formula_2包含于formula_28,或formula_28包含formula_2,记作formula_37或formula_38,否则称formula_2不是formula_28的子集,记作formula_41或formula_42。  若formula_37,且formula_44,则称formula_2是formula_28的真子集,亦称formula_2真包含于formula_28,或formula_28真包含formula_2,记作formula_51或formula_52(有时也记作formula_53或formula_54)。
title: 集合的运算.
title: 并.
content: 两个集合可以相"加"。formula_2和formula_28的联集是将formula_2和formula_28的元素放到一起构成的新集合。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义运算formula_84如下:formula_85或formula_86。formula_87称为formula_2和formula_28的联集。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_84运算具有以下性质。
title: 交.
content: 一个新的集合也可以通过两个集合"共"有的元素来构造。formula_2和formula_28的交集,写作formula_115,是既属于formula_2的、又属于formula_28的所有元素组成的集合。  若formula_118,则formula_2和formula_28称作不相交。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2、formula_28,定义运算formula_123如下:formula_124且formula_86。formula_115称为formula_2和formula_28的交集。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_123运算具有以下性质。  其它性质还有:
title: 差.
content: 两个集合也可以相"减"。formula_2在formula_28中的相对补集,国际上通常写作 formula_151,中文教材中有时也会写作formula_152。表示属于formula_28的、但不属于formula_2的所有元素组成的集合。  在特定情况下,所讨论的所有集合是一个给定的全集formula_155的子集。这样, formula_156称作formula_2的绝对补集,或简称补集(余集),写作formula_158或formula_159。  补集可以看作两个集合相减,有时也称作差集。
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义运算-如下:formula_162且formula_163。formula_164称为formula_28对于formula_2的差集,相对补集或相对余集。  在上下文确定了全集formula_155时,对于formula_155的某个子集formula_2,一般称formula_156为formula_2(对于formula_155)的补集或余集,通常记为formula_158或formula_174,也有记为formula_175, formula_158, formula_177,以及formula_178的。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,- 运算有如下基本性质:
title: 对称差.
title: 定义.
content: 给定集合formula_2,formula_28,定义对称差运算formula_202如下:formula_203。
title: 基本性质.
content: 作为集合间的二元运算,formula_202运算具有如下基本性质:
title: 运算性质.
content: 集合的运算除了以上情况之外,集合间还具有以下运算性质:
title: 集合的元素个数.
content: 上述每一个集合都有确定的元素个数;比如:集合 "A" 有三个元素、而集合 "B" 有四个。一个集合中元素的数目称为该集合的基数。数学写法有很多种,不同作者及不同书本用不同的写法: formula_217。  集合可以没有元素。这样的集合叫做空集,用 formula_218 或符号formula_70表示。比如:在2004年,集合formula_2是所有住在月球上的人,它没有元素,则formula_221。在数学上,空集非常重要。更多资讯请参阅空集。  如果集合只含有限个元素,那么这个集合可以称为有限集合。  集合也可以有无穷多个元素,这样的集合称为无限集合。比如:自然数集便是无限集合。关于无穷大和集合的大小的其他资讯请见集合的势。
title: 公理化集合论.
content: 若把集合看作“符合任意特定性质的一堆东西”,会得出所谓罗素悖论。为解决罗素悖论,数学家提出公理化集合论。在公理集合论中,集合是一个不加定义的概念。
title: 类.
content: 在更深层的公理化数学中,集合仅仅是一种特殊的类,是“良性类”,是能够成为其它类的元素的类。  类区分为两种:一种是可以顺利进行类运算的“良性类”,我们把这种“良性类”称为集合;另一种是要限制运算的“本性类”,对于本性类,类运算并不是都能进行的。  定义 类A如果满足条件“formula_222”,则称类A为一个集合(简称为集),记为formula_223。否则称为本性类。  这说明,一个集合可以作为其它类的元素,但一个本性类却不能成为其它类的元素。因此可以理解为“本性类是最高层次的类”。

Summary: 集合(英语:Set,或简称集)是基本的数学概念,它是集合论的研究对象,指具有某种特定性质的事物的总体,(在最原始的集合论─朴素集合论─中的定义,集合就是“一堆东西”。)集合里的事物(“东西”),叫作元素。若然formula_1是集合formula_2的元素,记作formula_3。

Set (mathematics): In mathematics, a set is a well-defined collection of distinct objects, considered as an object in its own right. The arrangement of the objects in the set does not matter. For example, the numbers 2, 4, and 6 are distinct objects when considered separately, but when they are considered collectively they form a single set of size three, written as, which could also be written as.