拓扑空间

title: 定义.
content: 拓扑空间是一个集合 formula_1 和其上定义的拓扑结构formula_2组成的二元组formula_3。formula_1 的元素 formula_5 通常称为拓扑空间 formula_3的点。而拓扑结构formula_2一词涵盖了开集,闭集,邻域,开核,闭包,导集,滤子等若干概念。从这些概念出发,可以给拓扑空间formula_3作出若干种等价的定义。在教科书中最常见的定义是从开集开始的。
title: 开集公理.
content: formula_1 的子集的集合族formula_10称为开集系(其中的元素称为开集),当且仅当其满足如下开集公理:  从开集出发定义其它各概念:
title: 闭集公理.
content: formula_1的子集的集合族formula_31称为闭集系(其中的元素称为闭集),当且仅当其满足如下闭集公理:  (显然,闭集是开集的对偶概念)。  从闭集出发定义其它各概念:
title: 邻域公理.
content: formula_1的映射formula_46(formula_47指formula_1的幂集的幂集)。这样formula_49将formula_1的每个点formula_5映射至formula_1的子集族formula_53。formula_53称为formula_5的邻域系(formula_53的元素称为formula_5的邻域),当且仅当对任意的formula_58,formula_53满足如下邻域公理:  从邻域出发定义其它概念:
title: 闭包公理.
content: formula_1的幂集formula_84上的一元运算formula_85(即将formula_1的子集A映射为formula_1的子集formula_88)称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算formula_89满足下述的闭包公理:  集合formula_19的闭包通常记为formula_44。  从闭包出发定义其它概念:
title: 开核公理.
content: formula_1的幂集formula_84上的一元运算formula_108(即将formula_1的子集A映射为formula_1的子集formula_111)称为开核运算(像称为原像的开核或内部)。当且仅当运算formula_112满足如下开核公理:  集合formula_19的开核通常记为formula_28。 (显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。  从开核出发定义其它概念:
title: 导集公理.
content: formula_1的幂集formula_130上的一元运算formula_131(即将formula_1的子集formula_19映射为formula_1的子集formula_135)称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当formula_136满足以下导集公理:  从导集出发定义其它概念:
title: 拓扑之间的关系.
content: 同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑formula_144的每一个开集都是拓扑formula_145的开集时,称拓扑formula_145比拓扑formula_144更细,或称拓扑formula_144比拓扑formula_145更粗。  仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。  最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。  在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。
title: 连续映射与同胚.
content: 类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。  拓扑空间上的一个映射formula_150称为连续映射,当且仅当它满足以下条件之一:  同胚映射是一个连续的双射,并且它的逆映射也连续。两个拓扑空间之间存在同胚映射,则称这两个空间是同胚的。从拓扑学的观点上来讲,同胚的空间是等同的。
title: 拓扑空间范畴.
content: 拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论、同调论和K-理论。
title: 相关概念.
title: 基本概念.
content: 给定拓扑空间(X,τ),A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):
title: 网.
content: 网的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集formula_164。  空间formula_1上的一个网formula_166是从有向集合formula_19映至formula_1的映射。  若存在formula_58,使得对每个formula_5的邻域formula_22都存在formula_172,使得formula_173,则称网formula_166收敛至formula_5。  几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目网
title: 拓扑空间的例子.
title: 例子.
content: 3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:
title: 拓扑空间的分类.
content: 依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。  以下假设X为一个拓扑空间。
title: 分离公理.
content: 详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史。
title: 紧性.
content: (详细资料请参照紧集)
title: 可度量化.
content: 可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。
title: 拥有代数结构的拓扑空间.
content: 对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群formula_179乃是一个拓扑空间配上连续映射formula_180(群乘法)及formula_181(反元素),使之具备群结构。  同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。  结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论及代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。
title: 拥有序结构的拓扑空间.
content: 拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:
title: 历史.
content: 参见拓扑学。
title: 外部链接.
content: n个元素的集上总拓扑数规律

Summary: 拓扑空间是一种数学结构,可以在上头形式化地定义出如收敛、连通、连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。

Topological space: In topology and related branches of mathematics, a topological space may be defined as a set of points, along with a set of neighbourhoods for each point, satisfying a set of axioms relating points and neighbourhoods. The definition of a topological space relies only upon set theory and is the most general notion of a mathematical space that allows for the definition of concepts such as continuity, connectedness, and convergence. Other spaces, such as manifolds and metric spaces, are specializations of topological spaces with extra structures or constraints. Being so general, topological spaces are a central unifying notion and appear in virtually every branch of modern mathematics. The branch of mathematics that studies topological spaces in their own right is called point-set topology or general topology.