叉积

title: 定义.
content: 两个向量 formula_2 和 formula_3 的叉积仅在三维空间中有定义,写作 formula_4。在物理学中,叉积有时也被写成formula_12,但在数学中 formula_12 是外代数中的外积。  叉积 formula_4 是与 formula_2 和 formula_3 都垂直的向量 formula_17。其方向由右手定则决定,模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积。  叉积可以定义为:  其中 formula_19 表示 formula_2 和 formula_3 在它们所定义的平面上的夹角(formula_22)。formula_23 和 formula_24 是向量 formula_2 和 formula_3 的模长,而 formula_27 则是一个与 formula_2、formula_3 所构成的平面垂直的单位向量,方向由右手定则决定。根据上述公式,当 formula_2 与 formula_3 平行(即 formula_19 为 0° 或 180°)时,它们的叉积为零向量 formula_33。  按照惯例,向量 formula_27 的方向由右手定则决定:将右手食指指向 formula_2 的方向、中指指向 formula_3 的方向,则此时拇指的方向即为 formula_27 的方向。使用这一定则意味着叉积满足反交换律,formula_38:将右手食指指向 formula_3、中指指向 formula_2,那么拇指就必定指向相反方向,即翻转了叉积的符号。  由此可以看出,使用叉积需要考虑坐标系的利手性(英语:Handedness),如果使用的是左手坐标系,向量 formula_27 的方向需要使用左手定则决定,与右手坐标系中的方向相反。  这样就会带来一个问题:参照系的变换不应该影响 formula_27 的方向(例如从右手坐标系到左手坐标系的镜像变换)。因此,两个向量的叉积并不是(真)向量,而是伪向量。
title: 计算.
title: 坐标表示.
content: 右手坐标系中,基向量 formula_43、formula_44、formula_45 满足以下等式:  根据反交换律可以得出:  根据叉积的定义可以得出:  根据以上等式,结合叉积的分配律和线性关系,就可以确定任意向量的叉积。  向量 formula_49 和 formula_50 可以定义为平行于基向量的三个正交元素之和:  两者的叉积 formula_52 可以根据分配律展开:  即把 formula_52 分解为九个仅涉及 formula_43、formula_44、formula_45 的简单叉积之和。九个叉积各自所涉及的向量,要么相互平行、要么相互正交。将最前面所述的几个等式带入其中,然后合并同类项,可以得到:  即结果向量 formula_59 的三个标量元素为:  也可以记作列向量的形式:
title: 矩阵表示.
content: 叉积可以表达为这样的行列式:  这个行列式可以使用萨吕法则或拉普拉斯展开计算。使用萨吕法则可以展开为:  使用拉普拉斯展开可以沿第一行展开为: 都可以直接得到结果向量。
title: 性质.
title: 代数性质.
content: 对于任意三个向量 formula_2、formula_3、formula_17,  一般来说,向量叉积不遵守约简律,即 formula_77 不表示 formula_78。此外,formula_79 不表示 formula_80 或 formula_81。  但对于两个非零向量 formula_2 和 formula_3,
title: 几何意义.
content: 如果以向量 formula_2 和 formula_3 为边构成一个平行四边形,那么这两个向量叉积的模长与这个平行四边形的正面积相等(如图1):  同时,如果以向量 formula_2、formula_3、formula_17 为棱构成一个平行六面体,那么这个平行六面体的体积 formula_93 也可以通过叉积和点积的组合得到,这种积称作标量三重积(如图2):  因为标量三重积可能为负,平行六面体的体积需要取其绝对值:  因为叉积的模长与其参数夹角的正弦有关,可以认为叉积是「垂直度」的度量,正如点积是「平行度」的度量一样。对于任意两个单位向量,叉积为1意味着它们互相垂直,叉积为0意味着它们互相平行。点积则相反:点积为0意味着它们互相垂直。  单位向量还能带来两个特性:两个单位向量的点积是它们夹角的余弦(可正可负);它们叉积的模长则为夹角的正弦(始终为正)。
title: 向量微分.
content: 对于实数 formula_96 和两个向量值函数 formula_97、formula_98,乘积法则成立:
title: 三维坐标.
content: 给定直角坐标系的单位向量formula_43,formula_44,formula_45满足下列等式:  通过这些规则,两个向量的叉积的坐标可以方便地计算出来,不需要考虑任何角度:设  则  叉积也可以用四元数来表示。注意到上述 formula_43、formula_44、formula_45 之间的叉积满足四元数的乘法。一般而言,若将向量["a", "a", "a"]表示成四元数"a""i" + "a""j" + "a""k",两个向量的叉积可以这样计算:计算两个四元数的乘积得到一个四元数,并将这个四元数的实部去掉,即为结果。更多关于四元数乘法,向量运算及其几何意义请参见四元数与空间旋转。
title: 高维情形.
content: 七维向量的叉积可以通过八元数得到,与上述的四元数方法相同。  七维叉积具有与三维叉积相似的性质:
title: 应用.
content: 另外,在物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中,叉积应用十分广泛。例如力矩、角动量、洛伦兹力等矢量都可以由向量的叉积求解。在进行这些物理量的计算时,往往可以借助右手定则辅助判断方向。

Summary: 在数学和向量代数领域,叉积(英语:Cross product)又称向量积(英语:Vector product),是对三维空间中的两个向量的二元运算,使用符号 formula_1。与点积不同,它的运算结果是向量。对于线性无关的两个向量 formula_2 和 formula_3,它们的叉积写作 formula_4,是 formula_2 和 formula_3 所在平面的法线向量,与 formula_2 和 formula_3 都垂直。叉积被广泛运用于数学、物理、工程学、计算机科学领域。

Cross product: In mathematics, the cross product or vector product (occasionally directed area product to emphasize the geometric significance) is a binary operation on two vectors in three-dimensional space formula_1 and is denoted by the symbol formula_2. Given two linearly independent vectors formula_3 and formula_4, the cross product, formula_5 (read "a cross b"), is a vector that is perpendicular to both formula_3 and formula_4 and thus normal to the plane containing them. It has many applications in mathematics, physics, engineering, and computer programming. It should not be confused with the dot product (projection product).