域扩张

title: 定义.
content: 设和是两个域。如果存在从到的域同态,则称(,)是的一个域扩张,记作或⊆、⊂。称为域扩张的基域,称为的扩域。如果某个域既是的扩域,又是的子域,则称域扩张是域扩张的子扩张,称(域扩张的)中间域。  域扩张的记法只是形式上的标记,不表示存在任何商环或商群等代数结构。有些文献中也会将域扩张记为:。  另外,因为是域同态,所以是单射。由于是域,所以()是一个的同构于的子域。很多时候也直接省略,直接将视为的一个子域。为了记叙方便,下文中将依情况使用这种省略方式。  设有域扩张,给定一个由中不属于()的元素组成的集合,考虑中所有同时包含()和的子域,其中有一个“最小的”,称为“在中添加(集合)生成的扩域”,记作()。它是所有同时包含()和的域的子域。如果集合只有一个元素,则称域扩张()为单扩张,对应的扩域一般简记作()。称为这个域扩张的本原元。  每个域扩张中,扩域可以看作是以基域为系数域的向量空间。设有域扩张,将中元素看作向量,中元素看作系数,可以定义中的域加法运算作为向量的加法运算,同时可以定义中元素作为系数与中元素的数乘运算。可以验证,在这样定义下,是一个向量空间。它的维数称为域扩张的次数或度数,一般记作[:]。次数为1的扩张,扩域和基域同构,称为平凡扩张。次数有限的域扩张称为有限扩张,否则称为无限扩张。
title: 例子.
content: 复数域formula_1是实数域formula_2的扩域,而formula_2则是有理数域formula_4的扩域。这样,显然formula_5也是一个域扩张。实数到复数的域扩张次数:formula_6。因为formula_1可以看作是以formula_8为基的实向量空间。故扩张formula_5是有限扩张。formula_10,所以这个扩张是单扩张。  集合formula_11是在formula_4中添加formula_13生成的扩域,显然也是一个单扩张。它的次数是2,因为formula_14可作为一个基。formula_4的有限扩张也称为代数数域,在代数数论有重要地位。  有理数的另一个扩张域是关于一个素数的进数域formula_16。它与formula_2类似,是有理数域完备化得到的数域。但由于使用的拓扑不同,所以与formula_2有着截然不同的性质。  对任何的素数和正整数,都存在一个元素个数为的有限域,记作。它是有限域(即formula_19)的扩域。  给定域和以中元素为系数的不可约多项式,为上的多项式环[]的元素。生成的理想是极大理想,因此[]是域,而且是的扩域。其中不定元是多项式的根。  给定域,考虑所有以中元素为系数的有理函数,即可以表示为两个以中元素为系数的多项式、之比:的函数。它们构成一个域,记作(),是多项式环[]的分式域。它是域的扩域,次数为无限大。
title: 基本性质.
content: 设有域扩张,则扩域与有相同的加法和乘法单位元。加法群 (, +) 是 (,+) 的一个子群,乘法群 (, ·) 是 (, ·) 的一个子群。因此,与有相同的特征。  设有域扩张及某个中间域,则域扩张和的次数乘积等于的次数:
title: 代数元与超越元.
content: 给定域扩张,如果中一个元素是某个以中元素为系数的(非零)多项式(以下简称为多项式)的根,则称是上的一个代数元,否则称其为超越元。如果中每个元素都是上的代数元,就称域扩张为代数扩张,否则称其为超越扩张。例如formula_13和formula_22都是formula_4上的代数元,而与都是formula_4上的超越元。formula_4上的代数元和超越元分别叫做代数数与超越数。  每个有限扩张都是代数扩张,反之则不然。超越扩张必然是无限扩张。给定域扩张,如果中元素要么属于,要么是上的超越元,则称是的纯超越扩张。一个单扩张如果由添加代数元生成则是有限扩张,如果由添加超越元生成则是纯超越扩张。
title: 极小多项式.
content: 给定域扩张,如果中一个元素是上的代数元,那么在所有使得 0的首一多项式中,存在一个次数最小的,称为在上的极小多项式,记为。设为次多项式,则中间域等于所有以为不定元的多项式的集合。更具体地说,等于所有以为不定元的、次数严格小于的多项式的集合:。这说明中任何元素都可以写成formula_26的形式。其中formula_27是个中元素。由于是极小多项式,所以可推出:formula_28是中间域作为向量空间的基。扩张的次数是.
title: 分裂域与代数闭包.
content: 分裂域是将某个多项式的根全部添加到其系数域中生成的域扩张,将多项式转化为域扩张进行研究。给定域扩张,称一个多项式在中分裂,如果可以写成: 的形式,即的每个根都是中的元素。如果在中分裂,但不在的任何一个包含的真子域中分裂(也就是说是令在其中分裂的“最小”的域扩张),就称是在上的分裂域。  给定域,如果所有多项式在分裂,则称为代数闭域。给定代数扩张,如果是代数闭域,则称其为的代数闭包,一般记作。给定,则它所有的代数闭包都是同构的。
title: 域扩张的自同构群.
content: 除了将扩域看作基域上的向量空间外,另一个研究域扩张的角度是考察域扩张的自同构群。给定域扩张,上的一个自同构被称为自同构,当且仅当限制在上的部分是平凡的(即为恒等映射): 所有的自同构组成一个群,称为域扩张的自同构群,记作()。这些自同构描绘了“以外”的元素可以怎样相互变换而保持域的域结构不变。
title: 正规、可分与伽罗瓦扩张.
content: 伽罗瓦扩张是伽罗瓦理论中的基础概念。有限的伽罗瓦扩张满足伽罗瓦理论基本定理,在此扩张的伽罗瓦群的子群与其中间域之间建立了一一对应的关系,从而给出了中间域的清晰描述。  一般定义伽罗瓦扩张是正规且可分的域扩张。一个域扩张称为正规扩张,如果对任何一个以中元素为系数的不可约多项式,只要它有一个根在中,则它的所有根都在中,也就是说可以分解为上一次因式的乘积。正规扩张也叫做准伽罗瓦扩张,它与伽罗瓦扩张的差别是伽罗瓦扩张还是可分扩张。一个代数扩张称为可分扩张,如果中每个元素在上的极小多项式是可分的,即(在 的一个代数闭包中)没有重根。从以上正规扩张和可分扩张的定义中可以推出:一个域扩张是伽罗瓦扩张,当且仅当它是某个以中元素为系数的可分多项式的分裂域。  伽罗瓦扩张的自同构群称为其伽罗瓦群,记作()。它的阶数(群中元素个数)等于伽罗瓦扩张的次数:[:]。伽罗瓦理论基本定理说明,当伽罗瓦扩张是有限扩张的时候,给定()的任一个子群,唯一存在一个中间域⊂⊂与之对应,这个域恰好是中对所有的中的自同构固定的元素的集合: 这种对应关系被称作伽罗瓦对应。给定()的子群,被称为的对应域。伽罗瓦对应建立了特定条件下域扩张与群论之间转化的纽带,通过研究特定群的结构,可以给出域扩张的仔细刻画。

Summary: 域扩张(英语:field extensions)是数学分支抽象代数之域论中的主要研究对象,基本想法是从一个基域开始以某种方式构造包含它的“更大”的域。域扩张可以推广为环扩张。

Field extension: In mathematics, particularly in algebra, a field extension is a pair of fields formula_1 such that the operations of "E" are those of "F" restricted to "E". In this case, "F" is an extension field of "E" and "E" is a subfield of "F". For example, under the usual notions of addition and multiplication, the complex numbers are an extension field of the real numbers; the real numbers are a subfield of the complex numbers.