分布 (数学分析)

title: 基本理念.
content: 很多时候,函数是描述某个对象的性质的手段。传统的函数是将输入值和输出值建立对应关系的映射,是从本质上描述对象性质的方法。分布的概念则源自物理学的发展。二十世纪初发展起来的量子力学理论,特别是不确定性原理的发现,使物理学家抛弃了从本质上确定地表述对象的想法,而是将对象的性质视作它在一定的测量手段下的表现。我们能够获得“某个粒子的位置”的信息,是因为使用了某种测量的工具。对象的性质通过测量才得以表现。分布理论发展了这种概念,通过观察某个函数formula_1与其它函数的“相互作用”来刻画这个函数。具体来说,我们观察formula_1和一群“测量函数”formula_3之乘积的积分:formula_4。之所以使用积分作为“观察”的方式,一方面是因为在积分和求导两种数学分析的基本概念之间,(局部)可积分的函数比(局部)可导的函数要“多得多”;另一方面,则可以用物理上的测量方式解释。测量某个物理量的时候,我们往往不要求(也无法做到)知道此物理量在某个精确时刻或某个精确位置上的值,而只能通过多次测量,知道它在某一小段时间段或某个小区域内的平均测量值。从实际的角度,这种平均值才是测量和使用函数的最常见方式。而积分则是这种“平均值”的数学表现形式。  分布理论的目的在于建立一种比一般的函数更广泛的“广义函数”,称为分布,并能将微积分的常用结论运用到这类广义函数上去。也就是说,分布理论建立的分布应当满足几个基本的要求:  对每一个实数值的“测试函数”formula_3,将它映射到积分formula_4,就定义了一个线性泛函。这个线性泛函称为formula_1对应的分布。积分formula_4的存在性取决于函数formula_1与formula_3的乘积,所以对formula_3要求越高,就能对越多的formula_1定义对应的分布。分布理论中选取的“测试函数”的集合是紧支撑的函数空间D(R),也就是满足以下两个条件的R射到R函数的集合: 一般来说,一个分布就定义为 D(R) 射到R的连续线性泛函。一个分布formula_13(作用在“测试函数”formula_3上)的值一般使用类似内积的符号记为formula_15。当“测试函数”空间选为D(R)的时候,只要 formula_1局部可积,就能定义它对应的分布。一个函数对应的分布通常记为formula_17,以和formula_1 区分,而它的值就是:  对于概率分布函数formula_20,也可以将它定义为分布formula_21。对给定的一个测试函数formula_22,可以定义分布formula_21作用在formula_22上的值是:formula_25 这样定义下的formula_21是线性的泛函,所以满足分布的定义。  除了对普通的函数可以定义分布,对一些普通意义上无法定义的“函数”也能定义出相应的分布。例如0点上的狄拉克δ函数就能用分布方式定义为: 也就是说它对每一个函数的“效果”是取其0点上的值。
title: 严格定义.
content: 接下来,我们定义R中开集U上的实值分布。在细微的调整之后,我们可以定义相应的复值分布,也可以将 R 替换为任何(仿紧)光滑流形。  首先需要定义U上的检验函数空间 D(U) (即所谓的“测试函数”),定义其上的拓扑和极限。D(U)上的所有连续线性泛函构成的空间就是分布空间。
title: 检验函数空间.
content: 函数formula_3: U → R具有紧支撑集,当且仅当存在U的紧子集K,使得对任意 U\K 中的元素formula_29,都有formula_30。  定义D(U)为所有在某个紧支撑集上无穷可微的函数(也就是所谓的隆起函数)的集合,则这个集合是一个实向量空间。这个空间中的拓扑可以通过定义序列的极限而定义。具体如下:  在如此定义下的拓扑中,D(U)是一个完备、局部凸的拓扑向量空间,且满足海涅-博雷尔定理,但不是可度量的空间(不同胚于任何的度量空间)。而D(U)上的泛函formula_39连续,当且仅当对任意收敛到零的formula_31,都有formula_41
title: 分布.
content: U上的分布定义为D(U)上的连续线性泛函。也就是说,如果一个实线性泛函formula_42(或复线性泛函formula_43)满足连续性,即对D(U)中任意的收敛函数列formula_31,都有 那么就称此泛函为U上的一个分布。  另一个更具可操作性的定义是,如果D(U)上的一个实线性泛函formula_42(或复线性泛函formula_43)满足以下的条件: 就称之为U上的一个分布。如果存在的正整数formula_54使得对任意的formula_48,都有formula_56,那么最小的这样的formula_54称为这个分布的阶数(order),称formula_58为一个formula_54阶分布。  U上的分布集合记为D'(U),是D(U)的拓扑对偶空间。D'(U)中的元素formula_60和D(U)中的元素formula_3之间的对偶关系可以用尖括号表示:  在弱*拓扑下,D'(U)为一个局部凸的拓扑向量空间。其中,弱*收敛的定义为:D'(U)中序列formula_63弱*收敛到formula_60当且仅当对于任意的检验函数formula_3,有
title: 函数对应的分布.
content: 一个局部可积函数formula_67是指在U的任意紧子集上都勒贝格可积的函数。局部可积函数包括了所有的连续函数和所有的L可积函数。在以上定义的D(U)的拓扑中,每个局部可积的函数都对应着一个D(U)上的连续线性泛函,也就是D'(U)中的一个元素,记作formula_17。线性泛函formula_17作用在D(U)中任一个检验函数formula_3上的取值是: 一般约定,在不至于引起混淆的时候,可以将formula_17和formula_1等同起来。比如说以上的取值等式也可以记作: 可以证明,两个局部可积函数formula_1和formula_76对应的分布相同,当且仅当它们几乎处处相等。与函数的分布类似,U上的每个Radon测度formula_77都有一个对应的分布formula_78,定义为: 与函数的对应分布一样,测度对应的分布在不至于混淆的时候也可以和测度等同起来,比如将上式写成formula_80。  可以注意到,检验函数也是局部可积的,所以也有对应的分布。这些分布在D'(U)上是稠密的(对于以上定义的拓扑来说)。也就是说,任意一个分布formula_81都是某个检验函数(分布)序列formula_31收敛的极限。对任意的检验函数formula_83,都有:

Summary: 数学分析中的分布是广义函数的一种,由法国数学家洛朗·施瓦茨首先于二十世纪五十年代引入。分布推广了普通意义上的函数概念。对于普通意义上不可导甚至不连续的函数,可以具备分布意义上的导数。事实上,任意局部可积的函数都有分布意义上的弱导数。在偏微分方程的研究中,常常使用分布来表示方程的广义解函数,因为很多时候传统意义上的解函数不存在或难以求出。分布理论在物理学和工程学中都十分有用,因为在应用中常会出现解或初始条件是分布的微分方程,例如初始条件可能是一个狄拉克δ分布。

Distribution (mathematics): Distributions (or generalized functions) are objects that generalize the classical notion of functions in mathematical analysis. Distributions make it possible to differentiate functions whose derivatives do not exist in the classical sense. In particular, any locally integrable function has a distributional derivative. Distributions are widely used in the theory of partial differential equations, where it may be easier to establish the existence of distributional solutions than classical solutions, or appropriate classical solutions may not exist. Distributions are also important in physics and engineering where many problems naturally lead to differential equations whose solutions or initial conditions are distributions, such as the Dirac delta function.