数学归纳法

title: 定义.
content: 最简单和常见的数学归纳法是证明当"n"等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步:  这种方法的原理在于:首先证明在某个起点值时命题成立,然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明,那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如:你有一列很长的直立着的多米诺骨牌,如果你可以: 那么便可以下结论:所有的骨牌都会倒下。
title: 例子.
content: 假设我们要证明下面这个公式(命题):  formula_1  其中"n"为任意自然数。这是用于计算前"n"个自然数的和的简单公式。证明这个公式成立的步骤如下。
title: 证明.
title: 第一步-起始步骤.
content: 第一步是验证这个公式在"n = 1"时成立。我们有左边 = "1",而右边 =formula_2,所以这个公式在"n" = "1"时成立。第一步完成。
title: 第二步-推递步骤.
content: 第二步我们需要证明如果假设"n" = "m"时公式成立,那么可以推导出"n" = "m"+1时公式也成立。证明步骤如下。  我们先假设"n" = "m"时公式成立。即  formula_3(等式1)  然后在等式等号两边分别加上"m" + 1得到  formula_4(等式2)  这就是"n" = "m"+1时的等式。我们现在需要根据等式1证明等式2成立。通过因式分解合并,等式2的右手边  formula_5  也就是说  formula_6  这样便证明了从P("m") 成立可以推导出P("m"+1) 也成立。证明至此完成,结论:对于任意自然数"n",P("n") 均成立。
title: 解释.
content: 在这个证明中,归纳推理的过程如下:
title: 数学归纳法的变体.
content: 在应用中,数学归纳法常常需要采取一些变化来适应实际的需求。下面介绍一些常见的数学归纳法变体。
title: 从0以外的自然数开始.
content: 第一种情况: 如果欲证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有大于等于某个数字"b"的自然数,那么证明的步骤需要做如下修改:  用这个方法可以证明诸如“当"n" ≥ 3时,"n" > 2"n"”这一类命题。  第二种情况: 如果欲证明的命题针对全部自然数,但仅当大于等于某个数字"b"时比较容易证明,则可参考如下步骤:  用这种方法可以证明一些需要通过放缩来证明的不等式。
title: 只针对偶数或只针对奇数.
content: 如果我们想证明的命题并不是针对全部自然数,而只是针对所有奇数或偶数,那么证明的步骤需要做如下修改:  奇数方面:  偶数方面:
title: 递降归纳法 又名 递回归纳法.
content: 数学归纳法并不是只能应用于形如“对任意的"n"”这样的命题。对于形如“对任意的"n"=0,1,2...,m”这样的命题,如果对一般的"n"比较复杂,而"n"="m"比较容易验证,并且我们可以实现从"k"到"k"-"1"的递推,"k"="1"...,"m"的话,我们就能应用归纳法得到对于任意的"n"=0,1,2...,m,原命题均成立。
title: 完整归纳法.
content: 另一个一般化的方法叫完整归纳法(也称第二数学归纳法或强归纳法),在第二步中我们假定式子不仅当"n" = "m"时成立,当"n"小于或等于"m"时也成立.这样可以设计出这样两步:  例如,这种方法被用来证明:  其中"fib"("n") 是第n个斐波纳契数和Φ = (1 + 5) / 2 (即黄金分割).如果我们可以假设式子已经在当"n" = "m"和"n" = "m" − 1时成立,从"fib"("m" + 1) = "fib"("m") + "fib"("m" − 1)之后可以直截了当地证明当"n"="m" + 1时式子成立.  这种方法也是第一种形式的特殊化: 结论:"P"("n")对一切自然数"n"成立。
title: 超限归纳法.
content: 最后两步可以用这样一步表示:  实际上这是数学归纳法的大多数通式,可以知道他不仅对表达自然数的式子有效,而且对于任何在良基集(也就是一个偏序的集合,包括有限降链) 中元素的式子也有效(这里"<"被定义为"a" < "b" 当且仅当"a" ≤ "b"和"a" ≠ "b").  这种形式的归纳法当运用到序数(以有序的和一些的良基类的形式)时被称为"超限归纳法".它在集合论,拓扑学和其他领域是一种重要的方法.  要区别用超限归纳法证明的命题的三种情况:  参见数学归纳法的三种形式。
title: 形式写法.
title: 使用二阶逻辑.
content: 二阶逻辑可捕捉数学归纳法这概念,表达成如下逻辑式: "P"(.) 是容纳一自然数的述词变元,遍历所有述词而非个别数字,为二阶量词(是故此式与二阶逻辑有关),"k" 与 "n" 则是自然数变元,遍历所有自然数。  白话解释此式,此式说:起始步骤 "P"(0) 与推递步骤(即归纳假设,"P"("k") 蕴涵 "P"("k" + 1)) 两步成立会导出对任一自然数 "n", "P"("n") 成立之结论。通常,我们为了证明第二步,会假设"P"("n")成立(归纳假设),再进一步证明"P"("n+1")。此牵涉到条件证法,将条件句之前件作为假设,假定其正确以便于证明。
title: 使用一阶逻辑.
content: 若用一阶逻辑将数学归纳法公设化,则须采用公设模式,替每一个可能存在的述词设下针对其的独立公设。举例而言,我们仅允许三个一阶述词存在,分别名为 P、P、P,则原先以二阶逻辑描述的公设可改写为: 。然而其强度与以二阶逻辑描述之逻辑式不同,前者较后者弱。理由为一阶逻辑述词之数量为可数,而二阶逻辑量限所迭代的集合为不可数。  此外,二阶逻辑所表示的归纳公设综合其它皮亚诺公设为同畴(categorical),且所得之自然数模型无限大。根据勒文海姆-斯科伦定理,用一阶逻辑表达的理论若有可数无限大的模型,则其有不可数大的模型,是故无法前头将所述的模型公设化。亦即,用二阶逻辑表达的公设仅允许一群模型彼此同构,而一阶逻辑模型则因前述定理,并非每个模型都同构。
title: 使用一阶ZFC集合论.
content: 一阶ZFC集合论不允许述词被遍历, 但我们可以借由遍历集合,绕过一阶逻辑之限制,描述归纳法: formula_13 本身是集合,但可视作命题——只要命题在这数下成立,数字就会收入集合。别于皮亚诺公设,将数学归纳法定为公设,ZFC集合论直接定义自然数,使得归纳法本身是定理而非公设。
title: 数学归纳法的合理性.
content: 皮亚诺公理视数学归纳法不证自明,设作公设,而于ZFC集合论,数学归纳法可从良序定理(well-ordering principle)推导出来。

Summary: 数学归纳法(Mathematical Induction、MI、ID)是一种数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或者局部)自然数范围内成立。除了自然数以外,广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构,例如:集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域,称作结构归纳法。

Mathematical induction: Mathematical induction is a mathematical proof technique. It is essentially used to prove that a statement "P"("n") holds for every natural number "n" = 0, 1, 2, 3,... ; that is, the overall statement is a sequence of infinitely many cases "P"(0), "P"(1), "P"(2), "P"(3),.... Informal metaphors help to explain this technique, such as falling dominoes or climbing a ladder: A proof by induction consists of two cases. The first, the base case (or basis), proves the statement for "n =" 0 without assuming any knowledge of other cases. The second case, the induction step, proves that "if" the statement holds for any given case "n = k", "then" it must also hold for the next case "n" = "k" + 1. These two steps establish that the statement holds for every natural number "n". The base case does not necessarily begin with "n =" 0, but often with "n =" 1, and possibly with any fixed natural number "n = N", establishing the truth of the statement for all natural numbers "n ≥ N".