轉動慣量

title: 定义.
content: 对于一个质点,formula_2,其中formula_3是其质量,formula_4是质点和转轴的垂直距离。  对于一个有多个质点的系统,formula_5。  对于刚体,可以用无限个质点的转动惯量和,即用积分计算其转动惯量,formula_6,其中formula_7是密度,formula_8是微量体积。
title: 相关概念.
title: 定轴转动动力学方程.
content: 在直线运动,formula_9。在旋转运动,则有formula_10,其中formula_11是力矩,formula_12是角加速度。
title: 定轴转动动能.
content: 一般物件的动能是formula_13。将速度formula_14和质量formula_3,用转动力学的定义取代:  得出  简化得  如果一个人坐在一张可转动的椅子,双手拿重物,张开双手,转动椅子,然后突然将手缩到胸前,转动的速度将突然增加,因为转动惯量减少了。
title: 常用定理.
title: 平行轴定理.
content: 平行轴定理是说,如果一个质量为formula_3的物件,以某条经过质心formula_21点的直线为轴,其转动惯量为formula_22。在空间取点formula_23,使得formula_24垂直于原本的轴。那么如果以经过formula_23、平行于原本的轴的直线为轴,formula_24的距离为formula_27,则formula_28。
title: 垂直轴定理.
content: 垂直轴定理是说,如果一个平面物件,以该平面内两条互相垂直、交于formula_21点的直线为轴,转动惯量分别为formula_30、formula_31,则它以过formula_21点且垂直于该平面的直线为轴的转动惯量formula_33。
title: 伸展定则.
content: 伸展定则是说,如果一个物件中的任一质点沿平行于某条轴的方向发生任意位移,该物件对该轴的转动惯量不变。
title: 惯性张量.
content: 对于三维空间中任意一参考点formula_34与以此参考点为原点的直角坐标系formula_35,一个刚体的惯性张量formula_36是  这里,矩阵的对角元素formula_38、formula_39、formula_40分别为对于formula_41-轴、formula_42-轴、formula_43-轴的转动惯量。设定formula_44为微小质量formula_45对于点formula_34的相对位置。则这些转动惯量以方程序定义为  矩阵的非对角元素,称为惯量积,以方程序定义为
title: 导引.
content: 如图formula_21,一个刚体对于质心formula_54与以点formula_54为原点的直角座标系formula_56的角动量formula_57定义为  这里,formula_59代表微小质量formula_45在formula_56座标系的位置,formula_62代表微小质量的速度。因为速度是角速度formula_63叉积位置,所以,  计算formula_41-轴分量,  相似地计算formula_42-轴与formula_43-轴分量,角动量为  如果,我们用方程序(1)设定对于质心formula_54的惯性张量formula_73,让角速度formula_63为formula_75,那么,
title: 平行轴定理.
content: 平行轴定理能够很简易的,从对于一个以质心为原点的座标系统的惯性张量,转换至另外一个平行的座标系统。假若已知刚体对于质心formula_54的惯性张量formula_73,而质心formula_54的位置是formula_80,则刚体对于原点formula_81的惯性张量formula_36,依照平行轴定理,可以表述为  证明:  a)参考图B,让formula_89、formula_44分别为微小质量formula_45对质心formula_54与原点formula_81的相对位置:  依照方程序(2),  所以,  相似地,可以求得formula_39、formula_40的方程序。  b)依照方程序(3),  因为formula_103,formula_94,所以 相似地,可以求得对于点formula_81的其他惯量积方程序。
title: 对于任意轴的转动惯量.
content: 参视图C,设定点formula_81为直角座标系的原点,点formula_34为三维空间里任意一点,formula_34不等于formula_81。思考一个刚体,对于formula_111-轴的转动惯量是  这里,formula_113是微小质量formula_45离formula_111-轴的垂直距离,formula_116是沿着formula_111-轴的单位向量,formula_118是微小质量formula_45的位置。  展开叉积,  稍微加以编排,  特别注意,从方程序(2)、(3),这些积分项目,分别是刚体对于formula_41-轴、formula_42-轴、formula_43-轴的转动惯量与惯量积。因此,  如果已经知道,刚体对于直角座标系的三个座标轴,formula_41-轴、formula_42-轴、formula_43-轴的转动惯量。那么,对于formula_111-轴的转动惯量,可以用此方程序求得。
title: 主转动惯量.
content: 因为惯性张量formula_36是个实值的三维对称矩阵,我们可以用对角线化,将惯量积变为零,使惯性张量成为一个对角矩阵。所得到的三个特征值必是正实值;三个特征向量必定互相正交。  换另外一种方法,我们需要解析特征方程序  也就是以下行列式等于零的的三次方程序:  这方程序的三个根formula_133、formula_134、formula_135都是正实的特征值。将特征值代入方程序(8),再加上方向余弦方程序,  我们可以求到特征向量formula_137、formula_138、formula_139。这些特征向量都是刚体的惯量主轴;而这些特征值则分别是刚体对于惯量主轴的主转动惯量。  假设formula_41-轴、formula_42-轴、formula_43-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为formula_143、formula_144、formula_145,角速度是formula_63。那么,角动量为
title: 动能.
content: 刚体的动能formula_148可以定义为  这里,formula_150是刚体质心的速度,formula_151是微小质量formula_45相对于质心的速度。在方程序里,等号右边第一个项目是刚体平移运动的动能,第二个项目是刚体旋转运动的动能formula_153。由于这旋转运动是绕着质心转动的,  这里,formula_63是微小质量formula_45绕着质心的角速度,formula_59是formula_45对于质心的相对位置。  应用向量恒等式,可以得到  或者,用矩阵来表达,  所以,刚体的动能为  假设formula_41-轴、formula_42-轴、formula_43-轴分别为一个刚体的惯量主轴,这刚体的主转动惯量分别为formula_143、formula_144、formula_145,角速度是formula_63。那么,刚体的动能为
title: 计算范例.
content: 利用线密度可轻易计算出细长棒子沿质心(CM)自转的转动惯量。  当自转轴移到末端,转动惯量变成:

Summary: 在经典力学中,转动惯量又称惯性矩(英语:Moment of inertia),通常以formula_1表示,国际单位制为[kg]·[m]。转动惯量是一个物体对于其旋转运动的惯性大小的量度。一个刚体对于某转轴的转动惯量决定了对于这物体绕着这转轴进行某种角加速度运动所需要施加的力矩。

Moment of inertia: The moment of inertia, otherwise known as the mass moment of inertia, angular mass or rotational inertia, of a rigid body is a quantity that determines the torque needed for a desired angular acceleration about a rotational axis; similar to how mass determines the force needed for a desired acceleration. It depends on the body's mass distribution and the axis chosen, with larger moments requiring more torque to change the body's rate of rotation.