线性映射

title: 定义和基本性质.
content: 设formula_1和formula_2是在相同域formula_3上的向量空间。法则formula_4被称为是线性映射,如果对于"formula_1"中任何两个向量formula_6和formula_7与"formula_3"中任何标量formula_9,满足下列两个条件:  这等价于要求对于任何向量formula_10和标量formula_11,方程 成立。  偶尔地,"formula_1"和"formula_2"可被看作在不同域上的向量空间。那么必须指定哪些基础域要被用在“线性”的定义中。如果"formula_1"和"formula_2"被看作前面的域"formula_3"上的空间,我们谈论的就是"formula_3"-线性映射。例如,复数的共轭是formula_19-线性映射formula_20,而不是formula_21-线性映射。  从向量空间"formula_1"到数域"K"的线性映射有一个特别的名字,叫做“线性泛函”。线性泛函分析就是将空间维度增加到无穷维(包括不可数无穷维)的高等线性代数。线性泛函分析是泛函分析最成熟的分支,但泛函分析最早研究的是有关向量空间"formula_1"上的实值函数(它们一般是非线性映射)的变分学问题。  从定义立即得出formula_24。因此线性映射有时叫做均匀线性映射(参见线性泛函)。
title: 不同作者的术语差异.
content: “线性变换”和“线性算子”是与“线性映射”有关的名称。但不同作者会按个人喜好对“线性变换”和“线性算子”下不同的定义。这导致这2个概念与“线性映射”的关系比较乱,没有统一的标准。  从向量空间formula_25内的向量映射到同一个空间formula_25内的线性映射是一类重要的线性映射,而且是一种自同态。是否给它一个特殊的术语作为名称就导致了不同作者做法的分歧。比如Axler的书将“线性映射”和“线性变换”当做同义词,但“线性算子”则用于定义这种线性映射中特殊的自同态映射。龚升的书也将“线性算子”定义为线性的自同态映射。李尚志的书则将线性自同态映射称为“线性变换”。而泛函分析教材中一般将“线性变换”和“线性算子”都当做“线性映射”的别称,彼此不加区别。  为避免词义混乱,本条目暂将“线性算子”视作在同一空间内的“线性映射”(即认为二者存在区别),并将“线性变换”当做“线性映射”的同义词。认定“线性算子”仅指从向量空间formula_25内的向量映射到同一个空间formula_25内的线性映射。即“线性算子”只是“线性映射”的其中一种。“线性算子”是从向量空间到其自身的线性映射(自同态),而“线性映射”则只是一般的同态(不一定是自同态)。
title: 矩阵.
content: 如果"formula_1"和"formula_2"是有限维的,并且在这些空间中有选择好的基,则从"formula_1"到"formula_2"的所有线性映射可以被表示为矩阵。反过来说,矩阵生成线性映射的例子:如果"formula_25"是实数的formula_34矩阵,则规定formula_62描述一个线性映射formula_63(参见欧几里得空间)。  设formula_64是"formula_1"的一个基。则在"formula_1"中所有向量formula_67是唯一的由在  的系数formula_69确定的。如果formula_4是线性映射,  这蕴涵了这个函数formula_72是完全由 的值确定的。  现在设formula_74是"formula_2"的基。则可以表示每个formula_76的值为  如果把这些值放置到formula_34矩阵formula_81中,则可以方便的使用它来计算"formula_72"对在"formula_1"中任何向量的值。如果我放置formula_69的值到formula_85矩阵formula_21,我们有formula_87。  一个单一的线性映射可以由很多矩阵表示。这是因为矩阵的元素的值依赖于选择的基。
title: 线性映射的矩阵的例子.
content: 二维空间formula_93的线性变换的一些特殊情况有:
title: 从给定线性映射构造新的线性映射.
content: 两个线性映射的复合映射是线性的:如果formula_4和formula_103是线性的,则formula_104也是线性的。  若线性映射可逆,则该线性映射的逆也是线性映射。  如果formula_105和formula_106是线性的,则它们的和formula_107也是线性的(这是由formula_108定义的)。  如果formula_4是线性的,而"a"是基础域"K"的一个元素,则定义自 ("af")("x") = "a" ("f"("x"))的映射"af"也是线性的。  所以从formula_1到formula_2的线性映射的集合formula_112自身形成在formula_3上的向量空间,有时指示为formula_114。进一步的说,在formula_115的情况中,这个向量空间(指示为formula_116)是在映射复合下的结合代数,因为两个线性映射的复合再次是线性映射,所以映射的复合总是结合律的。  给定有限维的情况,如果基已经选择好了,则线性映射的复合对应于矩阵乘法,线性映射的加法对应于矩阵加法,而线性映射与标量的乘法对应于矩阵与标量的乘法。
title: 自同态线性映射.
content: 自同态的线性映射在泛函分析和量子力学中都有很重要的地位。按前文约定,我们用“线性算子”来简称它。(注意泛函分析中所说的“线性算子”不一定是自同态(endomorphism)映射,但我们为了照顾不同书籍的差异以及叙述的方便,暂用“线性算子”来称呼这种自同态。)
title: 自同态和自同构.
content: 线性算子formula_117是"formula_1"的自同态;所有这种自同态的集合formula_116与如上定义的加法、复合和标量乘法一起形成一个结合代数,带有在域formula_3上的单位元(特别是一个环)。这个代数的乘法单位元是恒等映射formula_121。  若"formula_1"的自同态也刚好是同构则称之为自同构。两个自同构的复合再次是自同构,所以"formula_1"的所有的自同构的集合形成一个群,"formula_1"的自同构群可表为formula_125或formula_126。因为自同构正好是那些在复合运算下拥有逆元的自同态,所以formula_125也就是在环formula_116中的可逆元群。  如果"formula_1"之维度formula_91有限formula_116同构于带有在"formula_3"中元素的所有formula_133矩阵构成的结合代数,且"formula_1"的自同态群同构于带有在"formula_3"中元素的所有formula_133可逆矩阵构成的一般线性群formula_137。
title: 核、像和秩-零化度定理.
content: 如果formula_4是线性的,我们定义formula_72的核和像(或称值域)为  formula_142是"formula_1"的子空间,而formula_144是"formula_2"的子空间。下面的叫做秩-零化度定理的维度公式经常是有用的:  formula_147的数也叫做“formula_72的秩”(rank)并写为formula_149,有时写为formula_150;formula_151的数也叫做“formula_72的零化度”(nullity)并写为formula_153。如果"formula_1"和"formula_2"是有限维的,基已经选择好并且"formula_72"被表示为矩阵"formula_25",则"formula_72"的秩和零化度分别等于矩阵"formula_25"的秩和零化度。
title: 推广.
content: 多重线性映射是线性映射最重要的推广,它也是格拉斯曼代数和张量分析的数学基础。其特例为双线性映射。

Summary: 在数学中,线性映射(有的书上将“线性变换”作为其同义词,有的则不然)是在两个向量空间(包括由函数构成的抽象的向量空间)之间的一种保持向量加法和标量乘法的特殊映射。线性映射从抽象代数角度看是向量空间的同态,从范畴论角度看是在给定的域上的向量空间所构成的范畴中的态射。

Linear map: In mathematics, a linear map (also called a linear mapping, linear transformation or, in some contexts, linear function) is a mapping between two modules (for example, two vector spaces) that preserves (in the sense defined below) the operations of addition and scalar multiplication. If a linear map is a bijection then it is called a linear isomorphism.