古德斯坦定理

title: 以"n"为基底的瓜瓞式基底表示法.
content: 古德斯坦序列是由一种"以"n"为基底的瓜瓞式表示法" 的概念来定义的。这个表示法与平常的 n 进制制表示法很像,但一般的进制表示法无法达到古德斯坦定理的目的。 在原本的 n 进制表示法,"n" 是一个大于 1 的自然数,而任一个自然数 "m" 则被改写为一些由 "n" 的幂次的乘积的相加之和: 其中,每个系数 "a" 满足,且。如在 2 进制中, 所以, 35 的二进制是 100011()。类似地,由 3 进制表示的 100 是 10201:  然而需注意的是,这些指数仍非是基于 n 的表述法。如上述表示式中的 2 和 3 。  将一个 "n" 进制表示转换为瓜瓞式"n"基底表示法,首先要将每个指数改为 "n" 基底表示法。然后改写指数中的指数,持续这个动作直到每个数都被改为以"n" 为基底表示法。  譬如, 2 进制的 35 为 100011,将它改写成以 "n" 为基底的瓜瓞式表示法为: () 。类似的,以"3"为基底的瓜瓞式表示法的 100 为
title: 古德斯坦序列.
content: 古德斯坦序列 "G"("m") 是一个自然数的序列。第一项为 m 本身。第二项则是先将 "m" 以 2 为基底得出其的瓜瓞式表示法,再将所有的 2 改为 3,再减去 1。更一般地,第 项的 为:  前几个古德斯坦序列会很快地终止,如 "G"(3) 结束于第 6 步:  之后的古德斯坦序列则成长到很庞大的数字,如 "G"(4) 开始如下:  "G"(4) 会一直递增,直到基底为 formula_6 时,会达到最大值 formula_7,并在这里停留 formula_6 步后,然后开始递减。  这个序列到达 0 时,当时的基底为 formula_9。(有趣的是,这是个胡道尔数: formula_10。而且,对于所有起始值大于 4 的数,都是如此。)  不过,"G"(4) 仍无法很好地展示古德斯坦序列的项数是如何快速地成长。"G"(19) 成长更迅速,其开头几项如下:  尽管其成长如此迅速,古德斯坦定理说明了无论起始值为何,每个古德斯坦最终会终止于 0。
title: 证明.
content: 古德斯坦定理的证明(需要使用皮亚诺算术以外的技巧)如下: 对于每个给定的古德斯坦序列 "G"("m"),我们可以建造一个由序数所组成的平行序列 "P"("m"),而且是严格递减和终止。所以"G"("m") 也必将停止,并且它只在达到 0 时才会终止。  对这个证明的常见的误解在于认 "G"("m") 达到 0 是"因为"它被 "P"("m") 所支配。事实是,"P"("m") 对支配 "G"("m") 毫无作用。其重点在于: "G"("m")("k") 存在当且仅当 "P"("m")("k") 存在。于是,如果 "P"("m") 终止,则 "G"("m") 也如此。而 "G"("m") 只有在到逹 0 时才会终止。  我们可以定义函数 "f"("x"),将 x 改为以为基底的表示法,并将每个 换成第一个无穷序数 ω。 而序列 "P"("m") 中的每一项 "P"("m")("n") 则定义为 "f"("G"("m")("n"),"n+1")。譬如, 和 。序数的加法、乘法和指数都是良好定义的。  我们可声明 formula_11 。在古德斯坦序列中,将 "G"("m")("n") 改换基底后,将其记为 formula_12 。明显的,formula_13,现在我们套用 "-1" 运算后,因为 formula_14,所以 formula_15。  譬如, formula_16 乃 formula_17,所以 formula_18 和 formula_19 是严格变小。需注意的是,若要计算 "f(G(m)(n),n+1)",我们要先将 "G"("m")("n") 改为以 为基底的表示法。所以如 formula_20 等的表示式,既不会是无意义的也非等同 formula_21 。  "P"("m") 是严格递减的。而标准排序算子 < 在序数上是良基关系,一个无穷的严格递减序列是不可能存在的。换句话说,每个严格递减的序数序列会停止(不可能无限)。但"P"("m")("n") 是由 "G"("m")("n") 计算出来的。 "G"("m")("n") 也必然停止,这意味着它会达到 0 。  虽然这个证明相当简单,但"柯比-柏丽斯定理" (证明了在皮亚诺算术中不会有古德斯坦定理)则是非常专门且相当困难。它使用了皮亚诺算术中的countable nonstandard models。
title: 扩展的古德斯坦定理.
content: 假设古德斯坦定理的定义中的「将"b"改为」的这个动作,将它改为,那么这个序列会终止吗? 更一般地,让 "b", "b", "b",... 为任意整数列,然后让第 项的 变成: 将 "G"("m")("n") 改为 "b" 的表示法,将 "b" 改为 再减 1 。 我们仍可断言这个序列仍会终止。 扩展的证明则将 定义为如下: 将 "G"("m")("n") 改为 "b" 表示法,再将所有的 "b" 改为第一个无限序数 ω。 古德斯坦序列中,从"G"("m")("n")到的"改变基底"的这个运算并不会改变 "f" 的值。 譬如,如果 且, 则 formula_22。因此,序数 formula_23 是 严格大于 序数 formula_24。
title: 起始点为变量的序列长度函数.
content: 古德斯坦函数 formula_25 定义为由 "n" 为起始值的古德斯坦序列的长度。因为古德斯坦序列会终止,所以这是一个完全函数。要测定 formula_26 的快速成长,可由多种借由标准基于序数体系中的函数,如Hardy hierarchy 中的 formula_27 函数,和 Löb and Wainer 的 高成长体系 formula_28 函数。  一些例子如下: (对于阿克曼函数和葛立恒数的界限,请参考 高成长体系。)
title: 可计算函数的应用.
content: 古德斯坦定理可用于构造一个完全的可计算函数,但皮亚诺算术却不能证明它是完全的。图灵机可以有效地列举古德斯坦序列;所以存在一个特殊的图灵机来计算古德斯坦函数。这个图灵机只需列举出 "n" 的 古德斯坦序列,并在遇到 0 时结束,并传回其长度。因为每个古德斯坦序列终将结束,所以这个函数是完全的。但因为皮亚诺算术不能证明古德斯坦序列会终止,皮亚诺算术不能证明这个图灵机计算了一个完全函数。

Summary: 古德斯坦定理是数理逻辑中的一个关于自然数的叙述,是在 1944 年由 鲁本・古德斯坦所证明。其主要是在说明"古德斯坦序列"最终会结束于 0 。柯比和柏丽斯 证明它在皮亚诺算术中是不可证明的(但它可以在一个更强的系统如二阶算术中被证明)。这是继哥德尔不完备定理和 1943 年格哈德·根岑直接证明皮亚诺算术中 ε-induction 不可被证明之后,第三个被证明在皮亚诺算术中是不可证明的。之后的例子是 柏丽斯–哈灵顿定理。

Goodstein's theorem: In mathematical logic, Goodstein's theorem is a statement about the natural numbers, proved by Reuben Goodstein in 1944, which states that every "Goodstein sequence" eventually terminates at 0. Kirby and Paris showed that it is unprovable in Peano arithmetic (but it can be proven in stronger systems, such as second-order arithmetic). This was the third example of a true statement that is unprovable in Peano arithmetic, after Gödel's incompleteness theorem and Gerhard Gentzen's 1943 direct proof of the unprovability of ε-induction in Peano arithmetic. The Paris–Harrington theorem was a later example.